Триады поверхностей с оптическим свойством

6. Бабкина Л. А., Сорокин Д. В. Геометрическое моделирование и модальный анализ параболической антенны космического аппарата с многовариантной схемой крепления // Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий: сб. науч. тр. / Восточно-Сибирский гос. ун-т технологий и управления, 2015. С. 41-45.

7. Gimpilevich Yu.B., Shirokov I.B. Control of microwave aerospace antenna service condition // Geoscience and Remote Sensing Sympozium, 2002. IGARSS'02. 2002 IEEE International. 2002. Vol. 6. P. 3644-3645. DOI: 10.1109/IGARSS.2002.1027277.

8. Odinets M. N., Kaygorodtseva N. V., Odinets A. I., Kaygorodtseva T.N. Computer modeling of a collapsible surface of the mirror of the parabolic antenna, while maintaining the technical characteristics // 2016 Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics). 2016. Vol. 6. P. 1-5. DOI: 10.1109/ Dynamics.2016.7819054.

9. Лопатин А. В., Пасечник К. А., Власов А. Ю., Шатов А. В. Разработка прецизионных антенных рефлекторов из полимерных композиционных материалов: конечно-элементное моделирование конструкции // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева. 2013. № 3(49). С. 73-78.

10. Астафьев И. В. Анализ возможностей пакетов проектирования по моделированию тепловых воздействий на параболические антенны // Надежность и качество : труды междунар. симпозиума. Пенза: Пензенский гос.ун-т, 2010. Т. I. С. 269-271.

11. Ludick D. J., Venter M., Davidson D. B., Venter G. A multiphysics analysis of dish reflector antennas for radio astronomy applications // 2016 10th European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP). 2016. Vol. 4. P. 1-4. DOI: 10.1109/EuCAP.2016.7481745.

12. Sukharevsky O. I., Nechitaylo S. V., Khlopov G. I., Voitovych O. A. Influence of the snow cover on radiation characteristics of reflector antennas // 2013 IX Internatioal Conference on Antenna Theory and Techniques, 2013. Vol. 3. P. 447-449. DOI: 10.1109/ICATT.2013.6650807.

13. Савицкий Г. А. Антенно-мачтовые сооружения. М.: Государственное издательство литературы по вопросам связи и радио, 1962. 231 с.

14. СП 20.13330.2011. Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП 2.01.07-85. Введ. 2011-05-20 Минрегион России.

15. Руководство по расчету зданий и сооружений на действие ветра. М.: Стройиздат, 1978. 216 с.

УДК 514.88

ТРИАДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ОПТИЧЕСКИМ СВОЙСТВОМ

К. Л. Панчук, Е. В. Любчинов, И. В. Крысова

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-148-154

Аннотация — В работе представлена геометрическая модель формообразования поверхностей, образующих взаимосвязанную тройку поверхностей излучателя, отражателя и приемника. Основу модели составляет циклографическое отображение кривой линии пространства на плоскость. В этом отображении точке (x,y,z) кривой линии соответствует цикл с центром (x,y) и радиусом R = ±|г| на плоскости П^(ху). Всей кривой соответствует направленная огибающая циклов, состоящая в общем случае из двух ветвей. Показано, что триаде линий, состоящей из двух ветвей огибающей и ортогональной проекции исходной линии на плоскости П^(ху), соответствует триада развертывающихся поверхностей. Триада линий на плоскости П^(ху) и исходная линия образуют триаду линейчатых поверхностей. Обе триады обладают оптическим свойством. Если луч света, выходящий из точки поверхности излучателя по вектору нормали к ней, падает на поверхность отражателя, то после отражения направляется по нормальному вектору к поверхности приёмника.

Решены прямая и обратная задачи формообразования триады поверхностей. В первом случае по заданной кривой пространства определяется однопараметрическое множество триад поверхностей. Во втором случае по заданной на плоскости П^(ху) паре линий «излучатель-приемник» определяется единственная триада поверхностей. Рассмотрены численные примеры решений прямой и обратной задачи и приведены соответствующие визуализации.

Результаты работы могут быть использованы при проектировании рефлекторных антенн в системах радиолокации и системах преобразования солнечной энергии в электрическую и тепловую.

Ключевые слова: геометрическая модель, циклографическое отображение, триада поверхностей, оптическое свойство.

I. Введение

Отражение и фокусировка электромагнитных волн исследуются и находят применения в геометрической и компьютерной оптике [1, 2, 3]. Применение отражающих поверхностей в современных антеннах в радиолокации позволяет решать задачи телеметрии, навигации, картографии, обнаружения полезных ископаемых, определения координат и формы цели и ее сопровождения. Традиционно в качестве отражающих поверхностей рефлекторных антенн используются параболические, цилиндрические, сферические поверхности и их комбинации [4, 5, 6, 7, 8]. Известно применение широкоугольных антенн геликоидального типа с параболической образующей, обладающих рядом преимуществ в сравнении с антеннами с простым профилем рефлектора [9, 10].

Важным и перспективным направлением применения отражающих поверхностей является разработка концентраторов солнечного излучения с такими поверхностями [11, 12, 13, 14] для решения ряда энергетически затратных космических задач, таких как уничтожение космического мусора, получения энергии в космосе с передачей ее на Землю, освещение Земли с орбиты [11]. Концентратор принимает солнечное излучение, отражает его, многократно увеличивая плотность отраженного солнечного потока, и направляет его на теплопри-ёмник, в котором функционирует система преобразования солнечной энергии. Эффективность космической солнечной энергетической установки во многом зависит от геометрии отражающей поверхности концентратора и поверхности теплоприемника [11].

Таким образом, существует необходимость решения задачи исследования и разработки отражающих поверхностей с новыми геометрическими формами.

II. Постановка задачи

Ставится задача разработки геометрической модели формообразования отражающих поверхностей рефлекторов простейшей, после плоскости, формы и простейшей геометрии, а именно линейчатых развертывающихся поверхностей с одновременным получением такой же простейшей формы поверхности излучателя (теплопри-емника). При этом поверхность излучателя должна находиться во взаимосвязи с отражающей поверхностью, а изменения формы и положения излучателя, допускаемые моделью, должны позволять достигать эффективных режимных характеристик работы излучателя. Так, например, излучатель рефлекторной антенны выносят за пределы раскрыва рефлектора и располагают на фокальной дуге отражающей поверхности для исключения затеняющего действия излучателя и рефлектора [9], а теплоприемник космической солнечной энергетической установки размещают в фокальной плоскости концентратора для достижения необходимых показателей теплообмена на поверхности теплоприемника [11].

III. Теория

5. Математическая модель триады поверхностей, включающей поверхность отражения и излучения

Для линии пространства

P

можно построить ее обобщенную циклографическую проекцию на плоскости П1(ху), математическая модель которой представляет собой систему параметрических уравнений:

Xß (t) = x(t) + z (t) • e(t)--*-

Mt)

j '

) = У«) + z(t) • e(t) ,

A

где M(t) = e(t)• z '(t) + z(t)• e '(0, ¿(t) = x'(t)2 + y '(t)2, e(t) = tgP(t), P' = —, x '(t) = ^, У '(t) = dУ,

dt dt dt

dz de

z (t) = * -e (t)=-dt

Из уравнений (2) при e(t) = const получаем уравнения огибающей циклов (направленных окружностей) для случая в = const, а при e(t) = 1 получаем известные уравнения огибающей для циклографической проекции при в = 45° [2, 15].

Геометрическая схема образования циклографической проекции пространственной линии P(t) представлена на рис. 1.

Рис. 1. Геометрическая схема образования циклографической проекции кривой линии

Циклографической проекцией любой точки кривой линии P(t) является цикл на плоскости П1(ху). Центр цикла имеет координаты (x,у) , а его радиус равен R = ±|, где Я = соответствует расположению точки над плоскостью Пьа Я = —|^ - под плоскостью П1. В первом случае цикл имеет положительное направление, а во втором - отрицательное.

В общем случае огибающая (2) циклов на плоскости П1 состоит из двух ветвей Р^ и Р^ . Эти линии вместе с линией Р1 центров циклов образуют триаду проецирующих относительно плоскости П1 цилиндрических поверхностей Фь Фа > и Ф{2) (рис. 2).

Рис. 2. Триада цилиндрических поверхностей

Триада поверхностей обладает следующим оптическим свойством: луч света, выходящий из одной из поверхностей, Ф(1) или Ф(2), по вектору нормали к ней, после отражения от средней поверхности Ф1 направляется по вектору нормали к другой. Это оптическое свойство поверхностей рассматриваемой триады следует из известного оптического свойства линий Р1; Рр{Х) и Р^ [2], представляющих собой направляющие линии поверхностей Ф1, Ф(1) и Ф(2) соответственно.

Если рассматривать пары линий P, Pe(1) и P, Pp^ как направляющие линии развертывающихся поверхностей ¥i и ¥(2) соответственно, то можно получить математическую модель этих поверхностей в виде системы параметрических уравнений:

X(t,l) = x(t) +1 • [xe(t) -x(t)],

Y

Z (t, l) = z( t И1 -1),

t, l e R : T < t < T, L0 < l < L.

Линейчатые поверхности fi и f(2) представляют собой две части огибающей поверхности однопараметри-ческого множества конусов циклографического отображения, вершины которых принадлежат линии P(t), а основания-циклы принадлежат плоскости проекций П1. Полууглы в при вершинах конусов могут быть постоянными в = const для всех точек линии P(t), либо могут быть выражены некоторой функцией в = f (t): f (t) с С1, t e R : T < t < T.

Триада линейчатых поверхностей Фь fi и f2) также обладает оптическим свойством: луч света, выходящий из одной из них по вектору нормали к ней после отражения от средней поверхности Ф1 направляется по вектору нормали к другой.

Для полуугла в e R : B0 < в < B получаем однопараметрическое множество триад линейчатых поверхностей с неизменной поверхностью отражения Ф1 (рис. 3). Подобная ситуация имеет место и для триад, составленных из троек цилиндрических поверхностей с неизменной поверхностью отражения Ф\ (см. рис. 2).

Рис. 3. Система триад линейчатых поверхностей линии P

Наличие множества триад поверхностей при неизменной средней поверхности отражения оказывается удобным для конструирования поверхностей Ф(1) и Ф(2) или У^) и !Р(2) в качестве поверхностей излучателя и приемника. Для этого необходимы дополнительные условия, которые определяют геометрическую форму и положение этих поверхностей относительно отражающей поверхности Ф1.

6. Алгоритм решения обратной задачи формообразования поверхностей триады

Эта задача формулируется так: на плоскости заданы направляющие линии P^í)(h) и P(2)(í«) поверхности излучателя и приемника, где R :Л0<X <Л, М0 <х <М. Требуется определить отражающую поверхность триады.

Для упрощения решения задачи примем, что полууглы в при вершинах отображающих конусов имеют постоянные значения в = 45° . Тогда алгоритм решения обратной задачи будет таким:

1. Для линий P(1)(Л,) и Г^^у) в плоскости П^) строим их эволюты б(1)(Я) и G(2)(^) соответственно (рис. 4).

2. В каждой точке одной и другой эволюты восстанавливаем перпендикуляры к плоскости П1 длиной, равной величине соответствующего радиуса кривизны одной либо другой исходной кривой линии. Все перпендикуляры от одной эволюты откладываются только в одном направлении относительно оси ъ.

Рис. 4. Исходные линии и их эволюты

На рис. 5 все перпендикуляры к плоскости П1 отложены от обеих эволют в положительном направлении оси ъ. Таким образом, для каждой эволюты получаем соответствующую линию в пространстве:

ё(,)(Я) ^ё(Я), о(1)(м) ^ад.

Рис. 5. Образование отражающей поверхности Ф1

3. Рассматриваются пары линий Р(1)(А),Q(А) и Р{2)(м), О(м). Из схемы построения линий Q(А) иО(м) следует, что геометрическая форма каждой из них определяется параметром формы А им соответствующей линии Р0)(А) или Р(2)(м). Пары линий Р(1)(А) ^Q(А) и Р{2)(м) ^О(м) образуют линейчатые поверхности ¥(Г) и ¥(2) излучателя (или приемника).

4. Определяется линия пересечения поверхностей о У(2) = Р и ее горизонтальная проекция Р1. Линии Р и Р1 являются направляющими линиями искомой отражающей поверхности Ф1 с проецирующими образующими линиями относительно П1(ху).

IV. Результаты экспериментов Для выполнения численного эксперимента с целью построения множества триад линейчатых поверхностей по заданной пространственной линии Р (/) была использована дуга винтовой линии:

Р(/) = {10), 10бш(?),2/},/ еЯ :П</ <ж .

Затем средствами компьютерной алгебры на основании уравнений (2) и (3) были выполнены расчеты и получена их визуализация (см. рис. 3).

Для решения обратной задачи в качестве исходных данных были приняты линии (дуги эллипсов):

Рт (/1) = {5 + 3 есз(/1 ),3 + 2 )}, /1 е Я : — ж < / < — П,

P(2)(t2) = {6 + 4cos(t2),2 + 3sin(t2)},t2 e R : — < t < п.

ж ~2

На основе алгоритма решения обратной задачи были получены результаты численного эксперимента и выполнена их визуализация (см. рис. 5).

V. Обсуждение результатов

Анализ результатов численных экспериментов и возможностей вычислительных алгоритмов их получения показывает, что определение триад поверхностей по заданной линии P(t) является простой в вычислительном плане задачей. Это облегчает оптимизационный выбор триады из однопараметрического множества триад по определенным техническим условиям ее применения.

Решение обратной задачи, т.е. определение триады по набору двух линий P(y)(X) и Р(2)(р) в плоскости, гораздо сложнее в вычислительном плане. В математической модели решения этой задачи, как правило, приходится применять численные методы.

VI. Выводы и заключение

В работе предложена геометрическая модель и приведено ее математическое описание для формообразования поверхностей триады, обладающих оптическим свойством. Поверхности триады геометрически взаимосвязаны, математически формализуемы и могут быть использованы, например, в технических системах радиолокации в качестве отражающей поверхности рефлектора, поверхности излучателя и приемника.

Список литературы

1. Farouki R. T., Chastang J-C. A. Curves and surface in geometrical optics // Mathematical Methodes in Computer Aided Geometric Design II. Academic Press. 1992. P. 239-260.

2. Pottmann H., Wallner J. Computational Line Geometry. Berlin. Heidelberg: Springer Verlag, 2001. 565 p.

3. Борисова К. В., Моисеев М. А., Досколович Л. Л., Андреев Е. С. Расчёт отражающей поверхности, фокусирующей излучение в произвольную кривую в пространстве // Компьютерная оптика. 2014. № 3. С. 449-455.

4. Gautier H., Tournois P. Signal Processing Using Surface-Acoustic-Wave and Digital Components // IEE Proceedings F - Communications, Radar and Signal Processing. 1980. Vol. 127, Is. 2. P. 92-93.

5. Andreyev A. Yu., Kobak V. O., Leont'yev V. V. Scattering characteristics of spherical and cylindrical reflectors near an interface // Telecommunications and Radio Engineering. 1990.

6. Coquin G. A., Tsu R. Theory and Performance of Perpendicular Diffraction Delay Lines // Proc. IEEE. 1965. Vol. 53, Is. 6. P. 581-591.

7. Rodrigue G. P. Microwave Solid-State Delay Line // Proc. IEEE, October 1965. Vol. 53. P. 1428-1437.

8. Merrill I. Skolnik. Radar Handbook // Third Edition., Editor in Chief, McGraw-Hill Companies, 2008. 1351 p.

9. Пелевин В. Широкоугольное сканирование рефлекторными антеннами // Вестник Полоцкого государственного университета. 2012.Серия С. С. 88-98.

10. Barabashov B. G., Pelevin O. Yu. Estimate of the effectiveness of interference-error averaging algorithms of an amplitude-type direction finder // Telecommunications and Radio Engineering. 1989. Vol. 44(5). P. 45-47.

11. Кныш Л. И. Влияние геометрии концентратора на энергетические показатели системы приема космической солнечной энергетической установки // Космическая наука и техника. Днепропетровский национальный университет. 2011. Т. 17. № 5. С. 19-23.

12. Knysh, L.I., Gabrinets, V.A. Assessment of PVT-technology efficiency in combined solar power plants // Scientific Bulletin of the National Mining University. 2013. Vol. 2. P. 74-78.

13. Simon A. Calculation of the solar energy concentration in the focal spot of parabolic reflector // J. Solar Energy Sci. and Engineering. 1968. № 2. P. 25-28.

14. Семёнов Ю. П. Новые российские технологии в ракетно-космической технике последних лет // Вестник Российской Академии наук. 2000. № 8. С. 696-709.

15. Choi H. I., Han C. Y., Moon H. P., Roh K. H., Wee N. S. Medial axis transform and offset curves by Minkowski Pythagorean hodograph curves // Comput. Aided Design. 1999. Vol. 31. P. 59-72.