Энергетические характеристики излучения заряженной частицы, движущейся вдоль границы раздела с резонансно диспергирующим диэлектриком

УДК 537.87 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2005, вып. 2

Н. В. Иванов, А. В. Тюхтин

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ, ДВИЖУЩЕЙСЯ ВДОЛЬ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА С РЕЗОНАНСНО ДИСПЕРГИРУЮЩИМ ДИЭЛЕКТРИКОМ

Проблемам излучения заряженных частиц, движущихся вдоль плоских и цилиндрических границ раздела двух сред, уделялось значительное внимание в научной литературе (см., например, [1-6]). Однако при этом практически не анализировался вопрос о роли тех или иных конкретных дисперсионных характеристик сред. В то же время исследование задач об излучении Вавилова-Черенкова (ИВЧ) для безграничных сред показало, что типичная для диэлектриков дисперсия резонансного типа оказывает принципиальное влияние на формирование волнового поля [7, 8]. В связи с этим представляется важным рассмотреть ряд задач об излучении движущихся частиц при учете влияния как границ раздела, так и резонансной дисперсии сред.

В настоящей работе анализируется ИВЧ от заряда, движущегося вдоль плоской границы раздела с диэлектриком. Ранее подобная задача рассматривалась, в частности, в обзоре [1], где получены и проанализированы общие выражения для энергии излучения. Однако важный вопрос об энергетических характеристиках волн разных поляризаций в доступной нам литературе не затрагивался. Поэтому прежде всего рассмотрим данный вопрос с общих позиций, а затем перейдем к анализу случая среды с дисперсией резонансного типа.

Пусть точечный заряд q движется в вакууме с постоянной скоростью У по прямолинейной траектории, определяемой соотношениями х = — й, у = 0. Полупространство х > 0 заполнено диспергирующим непоглощающим изотропным диэлектриком, обладающим диэлектрической проницаемостью е (ш) и магнитной проницаемостью /х = 1. Согласно [1], выражения для векторных потенциалов отраженного А1 и проходящего Аг полей имеют следующий вид:

+оо +СО

А1 = Ш? / / ^куйш а! (ку, и) ехр {г [адг + 51Я + куу + $ (г - У«)]} ,

-оо-со /-,>,

+ос +оо Vх/

А2 = ^рг / / 6ку<ко а2 {ку, и) ехр {г [¿д\ + д2х + куу + (г - У«)] } ,

— оо —оо

где

1 92 - £51 К

а\х —---;-, о,\у —--

и> 52 + £р1 ш

1

52 + £51 51.

У

а= —7

иг

2 1 ^ I „ 92 - £51

+ 01

52 + £51 51 У 52 + £51.

251 2 к

й2х =---:-Г, й2у — —

У

а =

<¿(52 +£51)' и (52 + £51)'

2У

(5152 +к2у) ,

и2 (52 + £51]

' У

дг=1]/( 1-П^+Ц, 52 = у(£М/?2-1 0= с

Отметим прежде всего некоторые особенности отраженного поля. Интеграл по ку для потспциала А1 может быть приближенно найден методом перевала (при этом удобно предва-

© Н. В. Иванов, А. В. Тюхтин. 2005

ИЗ

рительно сделать замену переменной интегрирования ку — гш V 1 у/1 — /З2 sin (ipk))- Главный член соответствующего асимптотического разложения имеет вид

+оо

А] » -

J du>exp

; ро = л/l - (32\ г = л/г2 +у2 (угол отсчи-

у/Шр^У

где Е: = ехр ( -<¿^/1 - Р2вт<р | 5181

\ / ч>ь=ч>

тывается от положительного направления оси х). Выражение(2) справедливо при условии

\ро\ 1. Как и следовало ожидать, Фурье-образ потенциала отраженного поля является экспоненциально убывающей функцией расстояния, что свидетельствует об отсутствии излучения в вакуум. Вследствие этого потери энергии частицы могут быть связаны исключительно с потоком энергии в диэлектрическое полупространство.

Отметим, что суммарные потери энергии можно найти через работу поля над зарядом, что и было сделано, например, в обзоре [1]. Однако представляет интерес и более детальный анализ энергетических характеристик. Важен, в частности, вопрос о соотношении энергий излучения волн разных поляризаций. (Очевидно, что, в отличие от случая безграничной среды, в рассматриваемой задаче должны возбуждаться не только волны ТМ-поляризации с компонентами Нр, Ег, Ег, но и волны ТЕ-поляризации с компонентами Е^, Нг, Нх.) Для каждой поляризации энергия излучения, приходящаяся на единицу длины пути, может быть рассчитана с помощью интегрирования соответствующей плотности потока энергии по полуцилиндру, ось которого совпадает с осью г. Данные интегралы имеют следующий вид:

+т/2 +оо +т/2

dWiu _ с f , f „ тт j dWTE dzo A-kV

-ir/2 -00 -ж/2

тъ / ¿ +oo TT/i -1-00

J Ap J EzHvdz, ^¡¡Г = ~4kV f dlf J Elfi Hz dZ'

Вследствие отсутствия поглощения в среде радиус цилиндра может быть любым. Для упрощения расчетов его целесообразно устремить к бесконечности, что позволяет воспользоваться асимптотическими выражениями для компонент поля.

Асимптотику для потенциала Аг нетрудно найти методом перевала, причем предварительно целесообразно сделать замену переменной интегрирования ку — у ^/e¡32 — 1 sin (ipk)- В итоге при \р\ 1 находим

+оо ,

А2 * -Щу I ** ехр - У<)] F2 [*

— оо

— Л ш /-5--Ш Г /-

где F2 = 52а2е |¥,fc=¥); s = —y/l - /З2 + (e/32 - 1) sin2 ip\ p = — y/e/32 - 1 (угол ip отсчи-тывается от отрицательного направления оси х). Опираясь на результат (4), легко найти асимптотические выражения для компонент поля. После их подстановки в формулы (3) можно получить следующие выражения:

оо +ÍT/2 оо +1-/2

dWru _ f du [ d dWrE _ [ dw f dip

dzo J J dip ' dzo J J dtp

o —*J2 0 ""/2

e/32 >1 e/32 > 1

в которых подынтегральные функции имеют смысл спектрально-угловых плотностей энергий излучения:

dlтм _ 2q2üj eß2 -1 £ (1 - ß2) + £ (e^2 - 2 + ß2) sin2

У

dtp

7Г V2 £-1

£2у92 -(£ + 1)(£у32 -1)C0S2V?

ехр(—2ds) cos2 (93) ,

d/тЕ 2д2ш eß2 - 1

£-1

exp

d<p nV2 £-1 £2/32 - (e + 1) (e/32 - l)cos2 y Для полного спектрально-углового распределения энергии излучения находим

di d/тм , di те, 2 q2u) е(32 - 1

— —-+- = —-— —- х

dtp dip dip 7Г V2 £ — 1

(£ + l)(£/32-l) sin2 у + e(l-(32) 2

Х £2¡32 — (£ ~Ь 1) (e¡32 — 1) cos2 tp «Р^) cos (V) •

Данный результат был получен в [1] другим способом.

Как видим, отношение спектрально-угловых плотностей энергий излучения двух поляризаций имеет вид

d/гм / ¿/те dip

-¿I+

т

dlru / ¿/те , л2

Отсюда следует, что —-— / —-— « ctg <р при eß — 1 << 1. Следовательно, для таких скорос-dtp / dip

тей излучение ТМ-поляризацйи преобладает при tp < 7г/4, а в противном случае преобладает излучение ТЕ-поляризации.

Для ультрарелятивистских скоростей, когда 1 — ß « 1, отношение (7) практически опре-

_ „ „  dlru / dlTE

деляется только величиной диэлектрической проницаемости: —-— / —-— ss е (исключением

dip dip

является лишь случай малых углов <р, при которых существенно первое слагаемое в квадратных скобках в (7)). Таким образом, излучение TM-поляризации в ультрарелятивистском режиме всегда в той или иной степени преобладает над излучением ТЕ-поляризации. Однако большая разница в энергиях излучения имеет место только в двух случаях: либо при е >> 1, либо при очень малых углах tp, когда (1 — ß2) ctg2tp 1.

Рассмотрим теперь спектральные плотности энергии излучения, получаемые путем интегрирования (5) и (6) по углу tp. При произвольном значении d соответствующие интегралы не вычисляются аналитически. Если же d = 0, то они выражаются через элементарные функции:

/тм =

2 д2ш £ V2 £2 — 1

2 q2uj

i(eß2-2 + ß2) +

1 + £ - 2eß2

eß

/те =

I =

V2

2q2uj eß2 - 1 V2 £-1

1

г +

(e + l)(eß2-l) \^/i + £-£ß2 eß2 - £ - 1 ( eß

2 (£ + !)(£/32-l) \^1+£-£ß2

eß

-1

- 1

2 (£ + 1) (£/32 — 1) ^г + е-е/З2

Эти формулы являются также приближенно верными при условии ¿'^¿е — 1 <<1. С ростом расстояния d энергии излучения обеих поЯяризаций уменьшаются (соответствующие численные результаты будут приведены далее).

При относительно небольших скоростях, когда £/32 — 1 << 1, из (8)-(10) получаем

/тм =

eß2 — 1 V2 £+1

q2üJ eß2 - 1

JTE — -Г7Т

V2 (£ + !>£'

/ =

q2uj eß2 - 1 V2 £

0,006 т

Рис. 1. Зависимости спектральных плотностей энергии излучения двух поляриза-

ций от частоты для разных значений ё = сЬлос и ¡3.

а - <2 = 0,1; б - й - 1; / - 0 = 0,4; II - & = 0,6; III - 0 = 1. Сплошная линия среды с дисперсией, пунктирная линйя - для случая недиспергирующей среды.

для случая

Рис. 2. Зависимости энергии излучения =

(Ш

и/дд2 8го

от /5 для а — О, I (а) и а = 1 (о

Как видим, в этом случае /тм//те = £, а спектральная плотность полной энергии излучения / такая же, как для случая безграничной среды.

В ультрарелятивистском случае из (8)-(10) имеем

/тм =

д2ы е{е - 1)

/те =

д2ш

е-1

I =

д ш е — 1

V2 (е +1)2 1 V2 (е+1)2' * V2 е + 1

При этом также /тм //те — £, однако отношение полной спектральной плотности энергии / к спектральной плотности энергии /о для сплошной среды оказывается иным: ///о = е/(е + 1).

Рассмотрим теперь частный случай резонансно диспергирующего диэлектрика с одной резонансной частотой, равной шо. Диэлектрическая проницаемость такой среды записывается в виде-

е

где параметр £о имеет смысл проницаемости среды по отношению к статическому полю. Далее будем сравнивать излучение в такой ситуации с излучением в случае среды без дисперсии (диэлектрическую проницаемость последней положим равной £ = £о). В случае недиспергиру-ющей среды излучение генерируется при /3 > /Зс = е^1^2, причем спектр излучения охватывает весь частотный диапазон от нуля до бесконечности. В случае среды с проницаемостью (11) излучение имеется при любой скорости движения заряда, а частоты излучаемых волн, в соответствии с условием £ (и) /З2 >1, лежат в пределах шс < ш < шо, где

Ш с

= / ^о^(1-£о/32)(1-/32)-1 при £0/32 < 1 \ 0 при £о/32 > 1.

На рис. 1 показаны спектральные распределения энергии излучения при разных значениях й = скоос-1 и /3. По оси абсцисс отложена безразмерная частота Г2 = ш/ыо, а по оси ординат -

величины (Ттм =

-/ТМ И (ТТЕ =

-/те- Рисунок построен для случая ео = 4, так что в

среде без дисперсии излучение генерируется только при /3 > 1/2.

Отметим прежде всего, что в случае диэлектрика с резонансной дисперсией при любом значении б, спектральные плотности энергии излучения обеих поляризаций имеют один максимум

и обращаются в нуль на границах диапазона частот излучаемых волн. Аналогичные закономерности справедливы и для случая недиспергирующей среды, однако только при условии d ф 0 и с той оговоркой, что верхняя граница частот излучаемых волн обращается в бесконечность. Положение максимумов спектральных плотностей в случаях диспергирующего и недиспергирующего диэлектриков существенно различается. Как видно из рис. 1, с увеличением d максимумы смещаются в сторону меньших частот. Нетрудно показать, что при d —» О максимумы либо располагаются при шо (в случае резонансно диспергирующего диэлектрика), либо уходят на бесконечность (для среды без дисперсии). Если же d » 1, то максимумы располагаются вблизи нижней границы диапазона частот излучаемых волн, которая в среде с дисперсией равна шс, т.е. отлична от нуля при 0 < 0С = £о ^ •

Для обеих рассматриваемых сред энергия излучения ТМ-поляризации значительно превосходит энергию излучения ТЕ-поляризации. Интересно, что отношение /тм /-/те на достаточно высоких частотах для диспергирующей среды оказывается большим, чем для среды без дисперсии. В то же время на относительно низких частотах различие в случаях недиспергирующей и диспергирующей сред практически исчезает, что объясняется близостью их диэлектрических пронидаемостей.

На рис. 2 приведены зависимости полных энергий излучения обеих поляризаций от скорости 0. Как видим, для среды с дисперсией во всем диапазоне допустимых скоростей имеет место монотонный рост энергий излучения. При этом наиболее быстрым он является при 0 < 0С, а при дальнейшем увеличении скорости энергия излучения возрастает медленнее, достигая максимума при 0 т 1. Энергия излучения в недиспергирующей среде отлична от нуля только при /3 > 0с и испытывает очень резкий рост в узком диапазоне скоростей вблизи к 0с. При небольших расстояниях d учет резонансной дисперсии приводит к уменьшению энергии излучения почти во всем диапазоне скоростей 0 > 0С (по сравнению со случаем среды без дисперсии). Если же d > 1, то энергии излучения в обеих средах оказываются сопоставимыми.

Summary

Ivanov N. V., Tyukhtin А. V. Energetic characteristics of radiation of charged particle, moving along the boundary with resonance dispersive dielectric.

The radiation of charged point particle traveling in vacuum parallel to the boundary of dispersive dielectric was investigated. General expression of energy of electromagnetic radiation excited in the medium have been obtained separately for two polarization. Special attention was given to the case of dielectric with resonant dispersion. It was shown, in particular, that the maximum of spectral density of radiation energy is shifted to the lower frequencies with increasing the distance from Lhe charge Lo the boundary. A uumber of essential differences in radiation in media with resonant dispersion and without it were noted.

Литература

1. Болотовский Б. M. // Успехи физ. наук. 1961. Т. 75, № 2. С. 295-350. 2. Зрелое В. П. Излучение Вавилова-Черенкова и его применение в физике высоких энергий. Ч. 1. М., 1968. 3. Цытович В. Н. // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. 29, № 5. С. 597-604. 4. Gai W., Schoessow P., Cole В. et al. // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61, N. 24. P. 2756-2758. 6. Power J. G., Conde M. E., Gai W. et al. // Phys. Rev. Special Topics - Accelerators and Beams. 2000. Vol. 3. P. 101302-1-101302-7. 6. Варданян А. С., Оксузян Г. Г. // Журнал техн. физики. 2002. Т. 72, вып. 4. С. 76-80. 7. Afanasiev G. N., Kariavenko V. G. // J. of Physics. D. 1998. Vol. 31. P. 2760-2776. 8. Afanasiev G. N., Kartavenko V. G., Magar E. N. // Physica. B. 1999. Vol. 269. P. 95-118.

Статья поступила в редакцию 13 июля 2004 г.