Математическая сущность природы по Пифагору и Платону. Стремление к совершенству и попытки преодоления парадоксов

Ковешников Е.В.

Ассистент, кафедра алгебры и геометрии, Уссурийский государственный педагогический

институт

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ ПРИРОДЫ ПО ПИФАГОРУ И ПЛАТОНУ.

СТРЕМЛЕНИЕ К СОВЕРШЕНСТВУ И ПОПЫТКИ ПРЕОДОЛЕНИЯ

ПАРАДОКСОВ

Аннотация

В статье даётся краткий исторический обзор математико-философских концепций мироустройства, выдвинутых Пифагорейской школой и Платоном, анализируется их значение для развития естествознания. Показана философская проблема неполноты и неопределённости в пифагорейском учении. Показаны действия Платона по расширению и систематизации концепции пифагорейцев, устранению из неё парадоксов и неполноты.

Ключевые слова: Пифагор, Платон, число, многогранники, шар, геометризация мира. Keywords: Pythagoras, Plato, number, polyhedrons, sphere, geometric conception of universe.

Пифагор. Имя этого древнегреческого (570-490 гг. до н.э.) учёного человек познаёт ещё в начальной школе при изучении и заучивании таблицы умножения, именуемой также таблицей Пифагора. "Популярный современный образ Пифагора - это мастер математики и учёный. Древние доказательства, однако, показывают, что пока Пифагор был известен в дни своей жизни и ещё 150 лет после во времена Платона и Аристотеля, его известность запечатлелась не в математике или науке. Пифагор был известен 1) как эксперт по судьбе души после смерти, мыслилось, что душа бессмертна и проходит через серию реинкарнаций; 2) как эксперт по религиозному ритуалу; 3) как чудо-человек, имевший золотое бедро и кто мог бы находиться в двух местах одновременно; 4) как основатель строгого жизненного пути с подчёркнутыми диетными ограничениями, религиозным ритуалом и религиозной самодисциплиной" [10, перев. - авт.]. Пожалуй, Пифагор - одна из самых загадочных фигур в истории философии и математики. Мы точно знаем, что существовал такой математик, как Лобачевский, такой геометр, как Гильберт, такой физик, как Тесла, такой философ, как Кун. Это были обычные учёные, не сверхчеловеки, без всяких там золотых бёдер и склонности к раздвоению в пространстве. Некоторые исследователи полагают, что Пифагора как человека вообще могло не существовать.

Но будем всё же думать, что и сам основатель школы - реальный человек, живший и творивший в Древней Греции и рассмотрим вклад его школы в развитие математики и математической картины мира. Вот что про него говорит Диоген Лаэртский: " Это он довёл до совершенства геометрию после того, как Мерид открыл её начатки (так пишет Антиклид во II книге «Об Александре»). Больше всего внимания он уделял числовой стороне этой науки. Он же открыл и разметку монохорда (инструмент с одной струной. Имеется ввиду открытие закономерности изменения высоты тона от длины колеблющейся струны - авт.); не пренебрегал он и наукой врачевания. А когда он нашел, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату катетов (сумме квадратов - авт.), то принёс богам гекатомбу (как о том говорит Аполлодор-Исчислитель); и об этом есть такая эпиграмма:

В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,

Славную он за него жертву быками воздвиг

(100 быков (гекатомба), вероятнее всего, были сделаны из теста - авт.)" [5, с. 335].

Аристотель так говорит про идею числа в Пифагорейской школе: "Пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили её и, овладев ею, стали считать её начала началами всего существующего. А так как среди этих начал числа от природы суть первое, а в числах пифагорейцы усматривали [так им казалось] много сходного с тем, что существует и возникает <...> так как, далее, они видели, что свойства и соотношения, присущие гармонии, выразимы в числах; так как, следовательно, им казалось, что всё остальное по своей природе явно уподобляемо числам и что числа -первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число" [1, I, 5]. Слова Аристотеля резюмирует П. П. Гайденко: "Пифагорейцы первыми возвысили математику до ранее неведомого ей ранга - стали рассматривать числа и числовые отношения как ключ к пониманию вселенной и её структуры. Они впервые пришли к убеждению, что «книга природы написана на языке математики», как спустя почти два тысячелетия выразил эту мысль Галилей" [4, с. 24].

Кстати, пифагорейцы не просто развили математику, они дали название этой науке. Вот что пишет Ямвлих: "Те же пифагорейцы, которые занимаются науками (математики), единодушно признают акусматиков пифагорейцами и сами говорят ещё больше, чем акусматики, и то, что они говорят, истинно. <...> Но более молодым ученикам, которые были способны к труду и учению, Пифагор объяснял науки и доказательства. От них происходят математики" [9, с. 64-65]. Таким образом, математика, по Пифагору, - это когда не просто принимаешь на веру учёные рассуждения, а постигаешь умом доказательства их истинности. Умение рассуждать, проверять на истинность некоторое данное кем-то знание - очень сильный способ в дальнейшем преодолеть неопределённость этого знания. В предшествующей пифагорейцам Милетской школе знание о Мире было, преимущественно, гипотетическим. Милетцы сделали первый шаг - учились выдвигать гипотезы. Пифагорейцы же пошли на второй шаг - ввели понятие определения объекта исследования и ввели метод строгого доказательства.

Любопытны и математико-атомистические взгляды Пифагорейской школы на мироустройство: "Во всяком случае очевидно, что они число принимают за начало и как материю для существующего, и как [выражение] его состояний и свойств, а элементами числа они считают чётное и нечётное, из коих последнее - предельное, а первое -беспредельное; единое же состоит у них из того и другого (а именно: оно чётное и нечётное), число происходит из единого, а всё небо, как было сказано, - это числа" [1, I, 5]. Далее, пифагорейцы "также утверждали, что пустота существует и входит из бесконечной пневмы в само Небо, как бы вдыхающее [в себя] пустоту, которая разграничивает природные [вещи], как если бы пустота служила для отделения и различения смежных [предметов]. И прежде всего, по их мнению, это происходит в числах, так как пустота разграничивает их природу" [2, IV, 6]. Более того, "пифагорейцы признают одно - математическое - число, только не отделённое; они утверждают, что чувственно воспринимаемые сущности состоят из такого числа, а именно всё небо образовано из чисел, но не составленных из [отвлечённых] единиц; единицы, по их мнению, имеют [пространственную] величину. Но как возникла величина у первого единого, это, по-видимому, вызывает затруднения у них" [1, XIII, 6]. Аристотель не соглашается с пифагорейцами: "Но чтобы тела, как они считают, были составлены из чисел и чтобы число это было математическим - это что-то несообразное" [там же, 8]. Итак, уже из этих цитат из Аристотеля можно судить, что, во-первых, пифагорейцы, подобно милетцам, искали (и нашли) своё первоначало в Природе, а во-вторых, ещё задолго до Демокрита в школе Пифагора начала разрабатываться концепция атомизма. Отчасти были выполнены следующие важные этапы: поиск первоначала, рассуждение о

его неделимости, введение пустоты, построение тел и всего сущего из первоначала, разделение тел и слагающих их единиц пустотой. Точка, единица - первоначало у Пифагора. В своё время Демокрит много учился, в том числе и у пифагорейцев (по Диогену Лаэртскому). Ничего удивительного, что он перенял эти интуитивные начатки атомизма и на их основе создал своё учение, гораздо более продвинутое и внятное по рассуждениям. Последователем и продолжателем пифагорейско-демокритового учения позже стал Эпикур.

Математизация мира доходила у пифагорейцев до такой степени, что они даже сам мир пытались подогнать под свою числовую концепцию. Так, "десятка, как им представлялось, есть нечто совершенное и охватывает всю природу чисел, то и движущихся небесных тел, по их утверждению, десять, а так как видно только девять, то десятым они объявляют «противоземлю» (гипотетическая планета - авт.)" [1, I, 5]. "И всё, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями и частями неба и со всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в согласие друг с другом; и если у них где-то получался тот или иной пробел, то они стремились восполнить его, чтобы всё учение было связным" [там же].

Возвращаясь к десятке, следует отметить, что "декада - это «предел» числа, ибо, перешагнув этот предел, число вновь возвращается к единице. <...> В этом отношении декада есть как бы модель всякого числа, числа вообще" [4, с. 32]. В самом деле, базовыми цифрами для построения любого натурального числа в десятичной системе счисления служат ровно десять цифр: 0, 1, 2,..., 9. Это декада. А уже все остальные числовые системы опираются в конечном счёте на натуральные числа, моделью (матрицей!) для которых служит декада. Вот такой атомистический тезис пифагорейцев в современной арифметике. Порфирий в книге "Жизнь Пифагора" говорит: "В самом деле, если природа всего определяется через отношения и подобия чисел и если всё, что возникает, растёт и завершается, раскрывается в отношениях чисел, а всякий вид числа, всякое отношение и всякое подобие заключены в Десятке, то как же не назвать Десятку числом совершенным?" [5, с. 459] Но такая совершенность очень относительна. Чем хуже в смысле святости та же двойка? Ничем. И если в нашем физическом мире мы по-прежнему, следуя пифагорейской традиции, считаем декаду особым числом, то в созданном нами цифровом виртуальном мире священна именно двойка, т.к. вся цифровая информация представима наиболее экономичным (математически оптимальным!) способом в двоичной системе.

Таким образом, в Пифагорейской школе стремились сделать свою концепцию устройства Мира максимально строгой. Такая тенденция - важный этап на пути эволюции знания от мистическо-философского к научному. Однако параллельно с этим пифагорейцы делают серьёзную ошибку, которую ещё многократно совершали как в философских, так и в научных школах. Ошибка эта очень серьёзная, ибо она тормозит само развитие знания. Пифагорейцы возвели свою числовую концепцию мироустройства в ранг неприкасаемой и непререкаемой, совершенной, пытались даже сам Мир втиснуть в её узкие рамки вместо того, чтобы, наоборот, попытаться расширить саму теорию. Не теория для описания Мира, а мир для подкрепления Теории! Наверное, это первый случай в истории философии науки, когда теория, не обладающая полнотой и несущая в себе ряд существенных неопределённостей, наделялась такими большими полномочиями.

Более того, пифагорейцы скрывали своё знание от других людей, даже в самой Пифагорейской школе была разноуровневая система посвящённости. " Учение Пифагора было секретным и сохранялось в тайне вплоть до времени Филолая, который первым изложил его в своей книге (последняя треть V в. до н.э.). До него книг у пифагорейцев не было и всё излагалось в устной форме" [6, с. 35]. Сейчас бы мы назвали организацию, подобную пифагорейцам, масонской ложей или даже лучше - закрытым институтом. К

сожалению, закрытость знания не способствует его развитию, а деградации и забвению -легко, что и случилось потом. Открытость философского и научного знания для обсуждения и дискуссий, его общедоступность являются важным посылом к преодолению его неполноты и неопределённостей - неизменных спутниками любой теории. Здесь, правда, следует оговориться, что есть мнение, согласно которому пифагорейцы тщательно скрывали, скорее, не научно-философские, а религиозно-политические идеи: " Однако никаких запретов или ограничений на распространение научных и философских идей у пифагорейцев не было, по крайней мере, свидетельств об этом мы не находим" [там же, с. 39]. Полной определённости здесь нет.

Полагают, что Пифагор определил форму Земли как шарообразную. "Часто пишут о том, что Пифагор придал Земле сферическую форму, исходя из чисто эстетических соображений. Мы приводили уже пифагорейскую акусму, которая утверждает, что самое совершенное среди фигур - круг, а среди тел - сфера. Но почему выбрана именно сфера, а не куб или пирамида? Истоки этого представления скорее математические, чем эстетические: в круг можно вписать любую правильную фигуру, а в шар - любой правильный многогранник, их совершенство заключается в том, что они вмещают в себя все остальные фигуры и тела" [там же, с. 115]. Опять видение мира было продиктовано математическими соображениями. Шарообразной понимали и всю вселенную, всё бытие, как, например, Парменид. Вообще, шар и пять правильных многогранников занимают почётное место в разнообразных философских, математических, механистических, космологических и религиозно-мистических теориях от времён Пифагора до сегодняшнего дня. По Л. Я. Жмудь, " в схолиях к Евклиду (XIII, 1) говорится, что первые три тела (тетраэдр, куб и додекаэдр) открыли пифагорейцы, а октаэдр и икосаэдр - Теэтет (рубеж V - IV вв. до н. э. ). Эта информация, как сейчас уже общепринято, восходит к Евдему. Построение же додекаэдра связывается в традиции с Гиппасом <...>. Из всего этого с определённой степенью вероятности можно заключить, что Пифагору принадлежит построение первых двух многогранников: тетраэдра и куба" [там же, с. 70]. То, что некоторые тела в природе -суть образы правильных многогранников, уже ни у кого не вызывает сомнения. Кристаллы химических соединений, вирусы, структурированная вода и фуллерены -наглядное подтверждение идеям пифагорейцев о строении материи. Чуть позже Демокрит применит эти многогранники в своей атомистической теории, наделив их формой свои атомы.

Как правило, истоки греческой математики связывают с Милетской школой Фалеса, где помимо поиска первоначала предпринимались ещё и попытки доказать ряд математических утверждений. Пифагорейская школа расширила горизонты древней геометрии: "Если Фалес впервые занялся «угловой» геометрией, в отличие от «линейной» геометрии египтян и вавилонян, то Пифагор сделал следующий шаг и положил начало стереометрии, построив правильный тетраэдр и куб" [там же, с. 79]. Такой скачок от планиметрии к стереометрии в то время был эквивалентен скачку от евклидовой геометрии к неевклидовым в XIX веке. Что касается дедуктивного метода (основа математики), то его впервые стал использовать Фалес в геометрических рассуждениях. Пифагор пошёл дальше и распространил этот метод и на арифметику.

Прекрасным образчиком того, как молодое математическое знание впервые наталкивается на серьёзный парадокс (неопределённость), могло бы стать главное открытие Школы - теорема Пифагора о соотношениях длин сторон прямоугольного треугольника. Согласно устоявшейся традиции, мы считаем, что Пифагор или его ученики столкнулись с проблемой несоизмеримости величин почти сразу после открытия теоремы, когда были выбраны равные длины у катетов. При таком выборе длин невозможно алгебраически вычислить гипотенузу, ибо она равна -У2, но с другой стороны, на чертеже

она выглядит вполне конечной, вполне обычной, как и катеты, ничем от них не отличаясь, то есть геометрически гипотенуза вполне вычислима. Вот как комментирует этот момент Л. Я. Жмудь: "Применительно ко времени Пифагора вообще нельзя говорить о «теории» иррациональных величин, но лишь об открытии иррациональности корня квадратного из 2, о чём Евдем, как, впрочем, и Прокл, не мог не знать. <...> Если бы Пифагор открыл иррациональность корня квадратного из 2, это безусловно нашло бы отражение в античной литературе. Между тем об этом не говорит больше ни один античный автор - все сведения так или иначе связаны с именем Гиппаса" [там же, с. 69]. Таким образом, неопределённость, следующая из теоремы Пифагора, была вскрыта, вероятнее всего, не самим Пифагором, а более поздними исследователями. Примечательно то, что к этой неопределённости приходят в индивидуальном порядке почти все, кто занимается математикой. Так, в первый момент, искреннее удивление у студентов вызывает задание, где надо отложить отрезок длины -У5, 47 и т.д.

Имена Пифагора и Платона часто ставят рядом. Платон (427-347 гг. до н.э.), по мнению ряда исследователей, очень близок по взглядам к пифагорейцам. Ничего удивительного здесь нет, ведь математика как таковая родилась в их школе, а Платон много внимания уделяет этой науке и даже методике обучения ей (арифметике). В дальнейшем даже те пять многогранников, что изобрели пифагорейцы, станут называться "Платоновыми телами" (он использовал их в своей космологии, ставя в соответствие каждой стихии свой многогранник). Олимпиодор в книге "Жизнь Платона" говорит о его учёбе у последователей Пифагора: " Вслед за тем он отправился в Италию, нашёл там пифагорейскую школу, основанную Архитом, и вновь учился..." [5, с. 447]. Платона тоже интересует природа чисел, только " он полагает, что числа существуют отдельно от чувственно воспринимаемого, в то время как пифагорейцы говорят, что сами вещи суть числа" [1, I, 6]. Платон продолжает математико-атомистические рассуждения пифагорейцев: "Единица неделима, ибо она есть единое, а единое неделимо по определению. Единица, согласно концепции Платона, рождает множество, но и само множество имеет своим логическим условием единицу: ведь если нет единого, то нет и многого, поскольку многое - это множество единиц. Единицу нельзя разделить на том самом основании, которое Платон с предельной чёткостью сформулировал в заключительных словах к диалогу «Парменид»: «Если единое не существует, то ничего не существует»" [4, с. 125].

Чтобы продвигаться дальше в изучении мира и философствовании, строить научные программы, нужно определить, что на самом деле есть знание. У пифагорейцев по этому поводу явных дискуссий нет, а вот Платона волнует эта проблема: " Вот это как раз и приводит меня в затруднение, и я не вполне способен сам разобраться, что же такое знание. Нет ли у вас желания потолковать об этом?" [8]

Как уже отмечалось выше, почётное место в пифагорейском учении занимала проблема души и её перевоплощений. Платон здесь следует пифагорейской традиции. Он тоже считает, что каждая душа покидает тело после смерти, а потом находит себе новое тело новорождённого. Пока душа не нашла тело, она живёт в мире идей, где непосредственно получает все знания, постигает идеи. Идея - понятие идеальное. Все предметы реального мира - несовершенные копии со своих идей. Например, идея дома одна, а самих домов - разнообразное множество. То есть, фактически, с позиции математики, можно задать некоторое небиективное отображение F, такое что: F(Мва(О)) = {01,02,03,...,0п}, где Мва(О) - идея виртуального объекта О, а -реальные объекты нашего мира. Таким образом, хорошо видно, что Платон расширил математические и религиозно-философские представления пифагорейцев.

Платон и в самой геометрии " различает геометрические фигуры, как они представлены на чертеже, и «фигуры сами по себе», т.е. такие, которые «можно видеть лишь мысленным взором» (своеобразная идея фигуры - авт.)" [4, с. 125]. Сегодня это утверждение играет огромную роль в преподавании методики преподавания математики (планиметрии) в школе.

Теория идей Платона имеет большое значение для понимания процесса мышления. Всякая буква, иероглиф - это идея какого-то объекта. Человек мыслит путём построения дискретной цепочки образов реальных и абстрактных (для математики) предметов. Каждый образ - это тоже идея. В этом смысле вклад Платона в теорию познания очень весом. Есть здесь, вероятно, и влияние атомистических представлений Пифагорейской школы: каждую идею можно рассматривать как неделимое первоначало.

Вообще, Платон считает постижение математической науки необходимым условием становления философа-мыслителя: "— Но ведь арифметика и счёт целиком касаются числа?

— Конечно.

— И оказывается, что как раз они-то и ведут к истине. —Да к тому же превосходным образом.

— Значит, они принадлежат к тем познаниям, которые мы искали. Воину необходимо их усвоить для войскового строя, а философу - для постижения сущности, всякий раз как он вынырнет из области становящегося, иначе ему никогда не стать мыслителем" [7, VII, 525]. А ниже Платон-математик говорит поистине важные слова, достойные быть выбитыми на мраморной доске золотыми буквами: " Эта наука, Главкон, подходит для того, чтобы установить закон и убедить всех, кто собирается занять высшие должности в государстве, обратиться к искусству счёта, причём заниматься им они должны будут не как попало, а до тех пор, пока не придут с помощью самого мышления к созерцанию природы чисел - не ради купли-продажи, о чём заботятся купцы и торговцы, но для военных целей и чтобы облегчить самой душе её обращение от становления к истинному бытию" [там же].

В диалоге "Тимей" Платон размышляет о создании космоса с некой матрицы-"первообраза", рассказывает о построении правильных многогранников и их роли в геометрическом строении мира, а так же " делает попытку выявить в природном мире всё то, что может быть предметом изучения математики и тем самым впервые в истории строит в сущности вариант математической физики", отвергая и критикуя физики, построенные другими мыслителями без использования математического "каркаса" [4, с. 175]. Таким образом, Платон, как и пифагорейцы, но на более высоком уровне выдвигает научно-философскую программу геометризации Мира, которая разрабатывается математиками и физиками и сегодня (например, гипотеза У. Тёрстона о геометризации нашей Вселенной, связанная с топологией; идея Б. Мандельброта о том, что живую и неживую природу можно описать при помощи геометрии самоподобных математических структур - фракталов; разнообразные многомерные теории Вселенной и пр.). Собственно, теперь становится ясным, почему пять правильных многогранников и получили названия "Платоновых тел", лежащих в основе Мира: "Поскольку элементы земли, воды, огня и воздуха телесны, то они, как геометрические тела, состоят из плоскостей. Стереометрическая форма земли - куб, воды - икосаэдр (двадцатигранник), огня - пирамида, воздуха - октаэдр (восьмигранник). Небо украшено по образцу додекаэдра (двенадцатигранника). Жизнью мира правят числовые отношения и гармония" [3, с. 83].

Итак, подведём итоги. Пифагор и его школа учили, что в этом мире "число есть сущность всего", что существование Вселенной подчиняется математическим законам, схожим с теми, по которым рождается музыка (современная физико-философская теория

суперструн в чём-то повторяет мысли Пифагора). В школе Пифагора были созданы пять правильных многогранников, без которых нельзя представить развитие ряда естественных наук. Введение определения и подкрепление утверждений доказательствами - тоже заслуга Пифагорейской школы. Наконец, в его школе были заложены начала атомистической теории. Конечно, здесь не обошлось без преувеличения могущества числового подхода и досадного затруднения, последовавшего непосредственно из главного открытия Пифагора. Платон-математик отчасти тоже продолжает пифагорейскую традицию, развивая и уточняя их исследования, привносит новое. Платон-политик создаёт теорию построения государства, выступает за изучение математики всяким, кто хочет стать мыслителем или государственным мужем. И хотя при входе в его Академию была надпись "Не геометр - да не войдёт", Платон отверг пифагорейскую закрытость знания от людей и открыто философствовал. Наверное, поэтому Пифагор и его последователи в истории философии остаются по большей части людьми-призраками, в то время как про Платона и его научно-философские и политические достижения нам известно больше и достоверность этого знания намного выше.

Литература

1. Аристотель. Метафизика // Библиотека сервера Философского факультета МГУ. [Электронный ресурс]. URL: http://www.philos.msu.ru/libfiles/aristote_2.txt (дата обращения: 27.10.09).

2. Аристотель. Физика // Библиотека сервера Философского факультета МГУ. [Электронный ресурс]. URL: http://www.philos.msu.ru/library.php?sid=2 (дата обращения: 27.10.09).

3. Асмус В. Ф. Платон. Изд. 2-е. - М.: Едиториал УРСС, 2005. 160 с.

4. Гайденко П. П. История греческой философии в её связи с наукой. Изд. 2-е, испр. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 264 с.

5. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов / АН СССР, Ин-т философии; Общ. ред. и вступит. статья А.Ф. Лосева. - М.: Мысль, 1979. 620 с.

6. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа. - Л.: Наука, 1990.

7. Платон. Государство // Библиотека сервера Философского факультета МГУ. [Электронный ресурс]. URL: http://www.philos.msu.ru/libfiles/Plato_Polit.txt (дата обращения: 2.11.09).

8. Платон. Теэтет // Библиотека сервера Философского факультета МГУ. [Электронный ресурс]. URL: http://www.philos.msu.ru/libfiles/platon_3.txt (дата обращения: 2.11.09).

9. Ямвлих. О Пифагоровой жизни / Пер. с древнегреч. И. Ю. Мельниковой. - М.: Алетейа, 2002. 192 с.

10. Pythagoras. Stanford Encyclopedia of Philosophy. [Электронный ресурс]. URL: http://plato.stanford.edu/entries/pythagoras/ (дата обращения: 20.02.09).