Математическое моделирование процессов пластичности и разрушения материалов при нестационарных и несимметричных циклических нагружениях

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 64-74

^ Механика ^

УДК 539.3

Математическое моделирование процессов пластичности и разрушения материалов при нестационарных и несимметричных циклических нагружениях

В. С. Бондарь, С. В. Бурчаков, В. В. Даншин

Аннотация. Рассматривается математическая модель, описывающая процессы упругопластического деформирования и разрушения конструкционных сталей и сплавов при нестационарных и несимметричных как жестких, так и мягких режимах циклического нагружения. Формулируются базовый эксперимент и метод идентификации материальных функций, замыкающих теорию. Приводятся результаты расчетов процессов пластичности и разрушения при нестационарных и несимметричных режимах циклического наружения.

Ключевые слова: пластическая деформация, циклическое нагружение, разрушение.

Введение

При несимметричных жестких циклических режимах нагружения конструкционных сталей и сплавов первоначально несимметричная петля пластического гистерезиса в процессе деформирования стремится стать симметричной, то есть осуществляется так называемая «посадка» петли пластического гистерезиса. При нестационарных несимметричных жестких циклических нагружениях имеет место эффект малого цикла в большом, заключающийся в том, что петля малого несимметричного цикла практически возвращается в ту же начальную точку, из которой и начался малый цикл. При несимметричных циклических как пропорциональных мягких, так и непропорциональных мягких и смешанных режимах нагружения конструкционных сталей и сплавов происходит одностороннее накопление деформации (вышагивание петли пластического гистерезиса), интенсивность которого увеличивается с возрастанием несимметричности процесса нагружения. Математическое моделирование явлений посадки и вышагивания предпринималось в большом количестве работ, обзор и анализ которых содержится в работах [1-5]. В данной работе рассматривается математическое моделирование этих явлений на основе варианта одноповерхностной теории

пластического течения при комбинированном упрочнении. Смещение поверхности нагружения описывается на основе модели Новожилова-Шабоши [6, 7] подразумевающей, что полное смещение есть сумма смещений, для каждого из которых имеет место свое эволюционное уравнение. Здесь в качестве первого эволюционного уравнения, описывающего смещение первого типа, принимается уравнение Ишлинского-Прагера [8, 9], обобщенное согласно принципу симметрии циклических свойств [10] на процессы вышагивания. В качестве второго эволюционного уравнения, описывающего смещение второго типа, принимается уравнение Амстронга-Фредерика [11]. Последующие эволюционные уравнения, описывающие смещения третьего типа, соответствуют простейшему аналогу модели Оно-Ванга [12].

Разрушение конструкционных сталей и сплавов при несимметричных циклических нагружениях мало зависит от несимметричности в условиях жесткого нагружения и существенно зависит от несимметричности при мягком нагружении. При нестационарных циклических нагружениях переход с меньших амплитуд деформации (напряжения) на большую увеличивает суммарную долговечность, а переход с большей амплитуды на меньшую уменьшает суммарную долговечность, по сравнению с долговечностью соответствующей правилу линейного суммирования повреждений. Для описания этих явлений формулируются кинетические уравнения накопления повреждений, где в качестве энергий расходуемых на создание повреждений в материале принимаются работы добавочных напряжений (тензор смещения) первого, второго и третьего типов на поле пластических деформаций.

1. Основные положения и уравнения теории

Уравнения теории пластического деформирования подробно рассмотрены в работах [13, 14]. При этом предполагается, что материал однороден и начально изотропен. В процессе упругопластического деформирования в нем может возникать только деформационная анизотропия. Процесс циклического деформирования может проходить в условиях мягкого, жесткого или смешанного режимов нагружения, быть стационарным или нестационарным, симметричным или несимметричным, изотермическим или неизотермическим, а также проходить в условиях ионизирующего излучения.

Для описания процесса накопления повреждений используется энергетический подход. В качестве энергий, расходуемых на создание повреждений в материале, принимаются энергии равные работе добавочных напряжений (тензор смещения) первого, второго и третьего типов на поле пластических деформаций. Кинетические уравнения накопления повреждений имеют вид

а(1)ер- а(2)ёр-

СО — Ше + СОр + СО е,

0, если Шр < Ср1,

,, (т) .р

М а.. £

— аг]

р

т=з Шр

Здесь ше — повреждение, обусловленное работой добавочных напряжений первого типа и проявляющееся при смещении петли пластического гистерезиса; Шр — повреждение, обусловленное работой добавочных напряжений второго типа, пороговое значение Шр1 которого говорит об окончании первой стадии зарождения микродефектов и о начале второй стадии распространения микродефектов [15]; ше — повреждение, обусловленное работой добавочных напряжений третьего типа и имеющее место только на второй стадии процесса накопления повреждений. Введение этих стадий позволяет описать явление нелинейного суммирования повреждений при нестационарных режимах циклического нагружения.

Предлагаемый вариант теории пластического деформирования и разрушения материала замыкают следующие материальные функции:

Е (Т, Ф), V (Т, Ф), ат (Т, Ф), аф (Т, Ф) — упругие параметры;

Еао (Т, Ф), га (Т, Ф), в (Т, Ф) — модули анизотропного упрочнения;

Ке (Т, Ф), пе (Т, Ф) — модули вышагивания;

а(Г] (Т, Ф), в(т) (Т, Ф), ( т — 3,..., М) — модули анизотропного упрочнения, соответствующие аналогу модели Оно-Ванга;

Ср (Т, Ф,еи*) — функция изотропного упрочнения;

Ше (Т, Ф) — энергия разрушения при вышагивании;

Шр (Т, Ф) — энергия разрушения при малоцикловой усталости;

Шр1 — повреждение, соответствующее первой стадии накопления повреждений.

2. Расчетно-экспериментальный метод определения материальных функций

Материальные функции определяются по результатам испытаний в условиях упругопластического одноосного напряженного состояния при различных уровнях температуры и флюенса. Базовый эксперимент включает в себя следующий набор данных:

- упругие параметры, которые определяют традиционными методами;

- диаграмма пластического деформирования при растяжении до деформации 0.05-0.1;

- циклические диаграммы при симметричном растяжении-сжатии при постоянной амплитуде деформации 0.005-0.01;

- циклические диаграммы при несимметричном растяжении-сжатии при постоянной амплитуде деформации 0.005-0.01 и средней деформации цикла

0.05-0.1;

- данные по малоцикловой усталости 101 ^ 103 циклов, многоцикловой усталости 104 ^ 106 циклов при жестком симметричном циклическом нагружении;

-данные по малоцикловой усталости 101 ^ 103 циклов при мягком несимметричном (Ка — (Гшш/сШах — -0.5 ^ 0) циклическом нагружении.

На рис. 1 схематично представлены базовые эксперименты и набор материальных параметров и функций.

сг О _+ N

^

€Р °7/

\______________/

Ем,/3,<та,рт\с-™,КЕ,пЕ,Ср{е&

_____ Д е____

\^=^о^о 1 г

* С> р> Р1 ~*Г-

N. ~ *

Рис. 1. Базовые эксперименты и набор материальных параметров и

функций

Определение параметров анизотропного упрочнения и модулей вышагивания, а также функции изотропного упрочнения Ср приведено в работах [13, 14].

Остановимся подробнее на определении энергии разрушения и порогового значения повреждения. Вначале рассматривается жесткое симметричное циклическое нагружение. Значение Шр\ принимается равным нулю, а Шс полагается достаточно большим и подбирается значение энергии Шр при малоцикловой усталости. Далее подбирается Шр\ при многоцикловой усталости. Затем проводится расчет при малоцикловой усталости и, если необходимо, то корректируется значение Шр. Далее проводится расчет при многоцикловой усталости и, если необходимо, то корректируется значение Шр\. Данная итерационная процедура повторяется до заданной сходимости значений Шр и Шр1. Для определения энергии Шс рассматривается мягкое несимметричное циклическое нагружение с достаточной несимметричностью цикла. Значение Шс подбирается по результатам эксперимента при малоцикловой усталости при мягком нагружении.

3. Пластичность при нестационарных и несимметричных режимах циклического нагружения

Результаты расчетов, проведенных на основе предложенной математической модели, процессов нестационарного циклического нагружения нержавеющей стали ЯЯ 304 в условиях одноосного растяжения-сжатия приведены

на рис. 2-13. На всех этих рисунках сплошные кривые соответствуют расчетам, а кружки — экспериментам [16, 17]. Вначале рассматриваются жесткие циклические нагружения в условиях блочного изменения амплитуды деформации в случае симметричного нагружения (рис. 2-5), а также блочного изменения средней деформации цикла в случае несимметричного нагружения (рис. 6, 7). На рис. 3, 5, 7 приведены расчетные циклические диаграммы, соответственно для трех блочных режимов. Расчетные и экспериментальные [16, 17] циклические диаграммы практически совпадают.

6' = ±0.002

О 50 100 150Д',сус1е

Рис. 2. Амплитуда напряжений при шестиблочном жестком симметричном нагружении

Рис. 3. Циклическая диаграмма при шестиблочном жестком симметричном нагружении

юо ,У(сус1е

Рис. 4. Амплитуда напряжений при пятиблочном жестком симметричном нагружении

Рис. 5. Циклическая диаграмма при пятиблочном жестком симметричном нагружении

Далее рассматриваются мягкие циклические нагружения в условиях блочного изменения амплитуды напряжения при постоянном среднем напряжении цикла (рис. 8, 9), а также блочного изменения среднего напряжения цикла при постоянной амплитуде (рис. 10-13). Рассмотренные режимы являются несимметричными, причем в процессе нагружения несимметричность как возрастает, так и убывает. На рис. 9, 11, 13 приведены расчетные циклические диаграммы, иллюстрирующие процесс вышагивания петли пластического гистерезиса. Расчетные циклические диаграммы соответствуют экспериментальным [16, 17].

Л', cycle

Рис. 6. Амплитуда напряжений при шестиблочном жестком несимметричном нагружении

60 Л', cycle

Рис. 8. Деформация ратчетинга при мягком циклическом нагружении

О 20 40 60 80 100 Л^сусйе

Рис. 10. Деформация ратчетинга при мягком циклическом нагружении

Рис. 7. Циклическая диаграмма при шестиблочном жестком несимметричном нагружении

Рис. 9. Циклическая диаграмма при мягком циклическом нагружении

Рис. 11. Циклическая диаграмма при мягком циклическом нагружении

4. Разрушение при нестационарных и несимметричных режимах циклического нагружения

Расчетные исследования малоцикловой прочности нержавеющей стали ЯЯ 304 проводятся при симметричном жестком циклическом нагружении

100 Лг,сус1е

Рис. 12. Деформация ратчетинга при мягком циклическом нагружении

Рис. 13. Циклическая диаграмма при мягком циклическом нагружении

как при постоянной амплитуде деформации (рис. 14), так и при блочном изменении амплитуды деформации (рис. 15-17). На рис. 14 сплошной линией показана расчетная кривая малоцикловой усталости, а треугольниками — экспериментальные данные [18]. Отклонение от правила линейного суммирования повреждений при блочном изменении амплитуды деформации приведены на рис. 15, 16 и 17 соответственно при двухблочном, трехблочном и пятиблочном изменении амплитуды деформации. Результаты расчетов и экспериментов [18] на этих рисунках показаны соответственно светлыми и темными кружками и треугольниками. Наблюдается существенное отклонение от правила линейного суммирования повреждений при удовлетворительном соответствии результатов расчетов и экспериментов.

100 1000 10000 N,07016

Рис. 14. Кривая малоцикловой усталости стали ЯЯ 304

Расчетные исследования малоцикловой прочности нержавеющей стали 12Х18Н9 проводятся при несимметричном мягком циклическом нагружении. На рис. 18 сплошной линией показана расчетная кривая малоцикловой усталости при жестком симметричном циклическом нагружении, а светлыми кружками — экспериментальные данные НИИ Механики ННГУ. Влияние несимметричности при мягком циклическом нагружении приводится на рис. 19. Здесь сплошные кривые соответствуют расчету, а светлые кружки,

Рис. 15. Суммирование усталостных повреждений при двухблочном изменении амплитуды деформации

Рис. 16. Суммирование усталостных повреждений при трехблочном изменении амплитуды деформации

Рис. 17. Суммирование усталостных повреждений при пятиблочном изменении амплитуды деформации

треугольники, квадраты — эксперименту [19]. Влияние несимметричности при жестком циклическом нагружении стали 45 показаны на рис. 20. Здесь также сплошная кривая соответствует расчету при средней деформации цикла ет = 0, а светлые кружки, треугольники и квадраты — эксперименту [20] соответственно при ет = 0, 0.08 и 0.16. Приведенные выше результаты иллюстрируют незначительное влияние несимметричности циклического нагружения при жестком нагружении и существенное влияние при мягком нагружении.

5. Заключение

Предложенный вариант математической модели в достаточной мере адекватно описывает процессы упругопластического деформирования и разрушения конструкционных сталей и сплавов при нестационарных и несимметричных циклических нагружениях. Базовый эксперимент и метод идентификации материальных функций, замыкающих рассматриваемую теорию,

10000Лг,сус1е

Рис. 18. Кривая малоцикловой усталости стали 12Х18Н9 при жестком симметричном циклическом нагружении

юоо jv, cycle

Рис. 19. Кривые малоцикловой усталости стали 12Х18Н9 при мягком несимметричном циклическом нагружении

Лггсус1е

Рис. 20. Кривая малоцикловой усталости стали 45 при жестком несимметричном циклическом нагружении

являются достаточно простыми и легко реализуемыми. Сравнение результатов расчетов и экспериментов говорит о надежном их соответствии.

Список литературы

1. Bari S., Hassan T. Anatomy of coupled constitutive models for ratcheting simulation // International J. of Plasticity. 2000. V. 16. P. 381-409.

2. Bari S., Hassan T. Kinematic hardening rules in uncoupled modeling for multiaxial ratcheting simulation // International J. of Plasticity. 2001. V. 17. P. 885-905.

3. Bari S., Hassan T. An advancement in cyclic plasticity modeling for multiaxial ratcheting simulation // International J. of Plasticity. 2002. V. 18. P. 873-894.

4. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 144 с.

5. Chaboche J.L. On some modifications of kinematic hardening to improve the description of ratchettig effects // International J. of Plasticity. 1991. V. 7. P. 661-678.

6. Новожилов В.В. О сложном нагружении и перспективах феноменологического подхода к исследованию микронапряжений // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 393-400.

7. Chaboche J.L., Dang-Van K., Cordier G. Modelization of the strain memory effect on the cyclic hardening of 316 stainless steel // Proceedings of the 5th International Conference on SMiRT, Div. L. Berlin. 1979.

8. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. матем. журн. 1954. Т. 6. Вып. 3. С. 314-324.

9. Prager W. The theory of plasticity: A Survey of Recent Achievements // Proc. Inst. Mech. Engrs. London. 1955. V. 169. P. 41.

10. Бондарь В.С. Некоторые новые результаты исследования пластичности материалов при сложном нагружении // Упругость и неупругость. М.: ЛЕНАНД, 2006. С. 94-109.

11. Armstrong P.J., Frederick C.O. A mathematical represention of the multiaxial bauscinger effect // CEGB Report No. RD/B/N 731. 1966.

12. Ohno N., Wang J.-D. Kinematic hardening rules with critical state of dynamic recovery. Part 1: formulations and basic features for ratcheting behavior // International J. of Plasticity. 1993.V. 9. P. 375-390.

13. Бондарь В.С., Бурчаков С.В., Даншин В.В. Математическое моделирование процессов ратчетинга при несимметричных циклических нагружениях // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 41-51.

14. Бондарь В.С., Бурчаков С.В., Даншин В.В. Пластичность и разрушение материалов при нестационарных и несимметричных циклических нагружениях // Современные проблемы ресурса материалов и конструкций: тр. III школы-семинара /МАМИ. Москва, 2009. С. 177-190.

15. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 424 с.

16. Guozheng Kang, Qing Gao, Lixun Cai, Yafang Sun. Experimental study on uniaxial and nonproportionally multiaxial ratcheting of SS304 stainless steel at room and high temperatures // Nuclear Engineering and Design. 2002. V. 216. P. 13-26.

17. Guozheng Kang, Qing Gao, Xianjie Yang. Uniaxial cyclic ratcheting and plastic flow properties of SS304 stainless steel at room and elevated temperatures // Mechanics of Materials. 2002. V. 34. P. 145-159.

18. Бернард-Конноли, Бью Куок, Бирон. Усталость коррозионностойкой стали 304 при испытаниях в условиях многоступенчатой контролируемой деформации // Теор. основы инж. расчетов. 1983. № 3. С. 47-53.

19. Гусенков А.П. Прочность при изотермическом и неизотермическом малоцикловом нагружении. М.: Наука, 1979. 295 с.

20. Yang X. Low cyclic fatigue and cyclic stress ratcheting failure behavior of carbon steel 45 under uniaxial cyclic // Intern. J. of Fatigue. 2004. V. 27. P. 1124-1132.

Бондарь Валентин Степанович (tm@mami.ru), д. ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».

Бурчаков Сергей Владимирович (tm@mami.ru), аспирант, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».

Даншин Владимир Васильевич (tm@mami.ru), к. ф.-м.н., доцент, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».

Mathematical modelling of processes of plasticity and destruction of materials at non-steady and asymmetrical cyclical loadings

V. S. Bondar, S.V. Burchakov, V. V. Danshin

Abstract. The mathematical model depicting processes of elastoplastic deforming and destruction of constructional steels and alloys at non-steady and asymmetrical as rigid, and soft modes of cyclical loading is esteemed. Are stated base experiment and method of identification of material functions closing the theory. The outcomes of calculations of processes of plasticity and destruction are resulted at non-steady and asymmetrical modes cyclical loading.

Keywords : plastic deformation, cyclic loading, destruction.

Bondar Valentin (tm@mami.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».

Burchakov Sergei (tm@mami.ru), postgraduate student, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».

Danshin Vladimir (tm@mami.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».

Поступила 08.12.2009