Нечеткие дифференциальные системы и их применение для математического моделирования в экологии

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И КАЧЕСТВА ИЗДЕЛИЙ

TECHNOLOGICAL BASES OF IMPROVING THE RELIABILITY AND QUALITY OF PRODUCTS

УДК 519.718.2 DOI 10.21685/2307-4205-2019-3-4

О. Б. Бутусов, В. В. Дикусар, Н. И. Редикульцева

НЕЧЕТКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭКОЛОГИИ

O. B. Butusov, V. V. Dikusar, N. I. Redikul'tseva

FUZZY DIFFERENTIAL SYSTEMS AND THEIR APPLICATION FOR

MATHEMATICAL MODELING IN ECOLOGY

Аннотация. К нечетким дифференциальным системам (НДС) относятся системы, для моделирования которых используются нечеткие дифференциальные уравнения (НДУ). Разработка, развитие и практическое применение математических моделей НДС является важной и актуальной практической задачей, так как обусловлена необходимостью математического описания систем с неизвестными или плохо определенными параметрами. Основная цель работы: развитие и применение теории НДС для решения экологических проблем. Частная цель работы: на основе логистической модели Ферхюльста разработать нечеткую дифференциальную модель динамики лесной биомассы, в которой использовано понятие виртуального отрицательного потока биомассы, с помощью которого можно моделировать процессы деградации лесов под воздействием антропогенных (в том числе техногенных) факторов.

Ключевые слова: нечеткая производная, нечеткие дифференциальные уравнения, модифицированное уравнение Ферхюльста, виртуальный отрицательный поток биомассы, интервальная арифметика, качество природной среды, экологический мониторинг.

Abstract. Fuzzy differential systems (FDS) are systems for which modelling fuzzy differential equations (FDE) are used. The development and practical application of mathematical models of FDS is an important and urgent practical task, since it is caused by the need for mathematical description of systems with unknown or poorly defined parameters. The main goal of the work: the development and application of the theory of FDS to solve environmental problems. Private objective: based on the Verhulst logistic model, develop a fuzzy differential model of forest biomass dynamics using the concept of virtual negative biomass flow, which can be used to model forest degradation processes under the influence of anthropogenic (including technogenic) factors.

Keywords: fuzzy derivative, fuzzy differential equations, modified Verhulst equation, virtual negative biomass flow, interval arithmetic, environmental systems quality, environmental monitoring.

© Бутусов О. Б., Дикусар В. В., Редикульцева Н. И., 2019

Введение

В разработанной модели в качестве интегрального показателя антропогенного воздействия на природную среду и, в частности, на леса использована величина лесной биомассы, которая уменьшается под воздействием антропогенных факторов [1]. В работе [2] предложена следующая эмпирическая формула для оценки антропогенных изменений лесной биомассы:

dB = GBM

dt

1 - B

M

где В - плотность лесной биомассы (кг-м~2); t - время (месяц1); О - коэффициент прироста биомассы (кг^м^месяц1); М- плотность биомассы при нулевом потоке (кг-м" ); Е - отрицательный поток биомассы (кг-м"2- месяц1).

В работе [2] отрицательный поток биомассы - это количество биомассы, изымаемое из лесного массива в единицу времени на нужды отопления. В данной работе предложено использовать поток биомассы, который имеет виртуальный характер. Так, уменьшение биомассы под воздействием выбросов промышленных предприятий можно рассматривать как отрицательный поток. Увеличение биомассы также может быть описано с помощью виртуальных положительных потоков, например, увеличение биомассы, связанное с восстановлением и реабилитацией лесов, происходящее вследствие очистки газовых выбросов промышленных предприятий.

Авторы [2] в качестве единицы измерения времени использовали один месяц, что вполне оправдано для южных широт. В северных широтах для измерения времени лучше использовать другую единицу, например, в наших расчетах использован вегетационный период (ВП). Это обусловлено тем, что реальное уменьшение биомассы за счет газовых выбросов промышленных предприятий может происходить только в течение вегетационного периода.

Модель (1) является трехпараметрической моделью и относится к классу моделей Ферхюль-ста [3]. В безразмерной форме модель имеет следующий вид:

db

= b(1 - b) - в,

d т

b(0) = bo,

В

где Ь =--безразмерная плотность биомассы; М - предельная плотность биомассы при нулевом

М

потоке (кг м 2); g = ОМ - удельный коэффициент прироста биомассы (ВП1); т = gt - безразмерное время; Т - время релаксации динамической системы (ВП); Т§ = gT - безразмерное время релаксации динамической системы; тп = — = -— безразмерное нормализованное время; е = -Е--безраз-

Т§ Т Mg

мерный отрицательный поток биомассы; Ь0 - начальная безразмерная плотность биомассы. Для постоянных потоков биомассы модель (2) имеет аналитическое решение:

b ( т) =

а1 - Pa2

1 - P '

b0 + ке - kb0 / 2

1 - к

1 + т

е < 0,25;

е > 0,25;

е = 0,25,

где о, = 0,5+V0,25-е , а2 = 0,50,25-е , P = exp(-(a,-a2)т), к = — tg(re), r = Vе-0,25 .

b0 - a2

Следует учитывать, что при е > 0,25, т.е. при больших отрицательных потоках, биомасса достаточно быстро уменьшается до нуля и далее становится отрицательной. Поэтому для получения решений, имеющих физический смысл, следует использовать только варианты е < 0,25, т.е. рассматривать случаи небольших отрицательных потоков или положительных потоков.

Методика

Рассмотрим модель (2) в приближении нечетких чисел. Обозначим безразмерное время т^ t. Тогда нечеткий вариант модели (2) с отрицательным потоком биомассы примет следующий вид:

db

= b (1 - b) - ё,

dt

b(0) = bo,

где знак — «тильда» используется для обозначения НЧ.

Для численного моделирования будем рассматривать приближение положительных треугольных нечетких чисел (ТНЧ) и метод а-сечений функций принадлежности ФП [4]. При этом а-сечение представляет собой четкий интервал, в котором находятся точки x, для которых fb (x) >a, где fb (x) -функция принадлежности. Таким образом, от нечетких чисел можно перейти к четким интервалам и решать интервальные уравнения вместо нечетких [4]. а-интервал для функции b(t) можно представить в следующем виде: [b(t)]a = [ba(t), ba(t)] .

Введем следующие обозначения: ba(t) ^ d(t), ba(t) ^ u(t) («d - down» and «u - up»). В этих обозначениях [b(t)]a ^[b(t)] = [d(t),u(t)], где [b(t)] - интервальная функция. Согласно [5, 6] в расчетах производных в нечетких дифференциальных уравнениях используется разность Хукухары двух нечетких чисел (нечетких интервалов), например, [ A - B]a = [а~а - b—, a^ - ba ] . При этом результат операции вычитания НЧ должен иметь такие же свойства, что и операнды. По определению разность Хукухара двух НЧ определяется как НЧ C = A -H B, такое, что из условия существования C следует, что A = B + C . Разность Хукухары называется также Н-разность и обозначена как A -HB. В наших расчетах использовались следующие свойства, которым должны удовлетворять НЧ: нормализация, выпуклость, верхняя полунепрерывность, компактность носителя НЧ. Важной особенностью Н-разности является то, что A -HB Ф B -H A , причем возможно, что одна из разностей не имеет перечисленных требуемых свойств и, таким образом, не существует. На рис. 1 представлена разность двух многоугольных НЧ. На рис. 1,а представлен случай, когда Н-разность существует, а на рис. 1,б случай, когда Н-разность не существует.

Н-разность: Y

Н-разность: Z

-1-1-1-1-1-г

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0 0.5 1.0 1.5

2.0

а)

б)

Рис. 1. Иллюстрация двух вариантов Н-разности: а - Н-разность двух НЧ существует; б - Н-разность двух НЧ не существует

x

x

Применение Н-разностей в НДС приводит к двум математическим моделям

[ d\t), и ^) ] = [ f

[ d\t), и ^) ] = [ f

где f(x, у, 2) = х - у2 - 2, еи = е, ей = е .

Интервальное уравнение (5) эквивалентно системе следующих двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДЕ):

д! ^) = / (, и, еи); и' (t) = / (и, й, ей).

Интервальное уравнение (6) эквивалентно следующей системе ОДЕ:

й'и) = /(и, й, ей);

,

и(^ = / (, и, еи).

Для численного решения систем ОДЕ (7) и (8) был использован метод конечных разностей и численная схема Рунге - Кутта второго порядка. Численная схема для решения системы ОДЕ (7) имеет следующий вид:

= + у

и+1 = и + у

где = + dt • / ((, ц, еи), и = и + dt • / (и, ^, ей). Для системы ОДЕ (8) численная схема имеет вид

й1+1 = + у

dt

w,

/+1

= w +—

2

где D = d + dt /(щ, d, ed), U = щ + dt •/(d, щ, eu).

Область допустимых решений конечно-разностных уравнений (9)-(12) определяется условиями: dz, щ > 0; D., U i > 0.

Результаты

В разработанной нечеткой дифференциальной модели антропогенная нагрузка учитывается с помощью нечетких виртуальных отрицательных потоков биомассы. Результаты численных экспериментов представлены на рис. 2. Обозначим нечеткую интервальную модель (9), (10) «1А1» (Interval Arithmetic-1) и модель (11), (12) «IA2» (Interval Arithmetic-2). Объемы лесной биомассы могут регулироваться в модели с помощью двух управляющих параметров: коэффициента прироста биомассы и величиной отрицательных виртуальных потоков биомассы. Как отмечено выше, величина этих параметров неизвестна и поэтому эти параметры были описаны с помощью нечетких чисел. Результаты моделирования с помощью нечеткой модели IA1 показаны на рис. 2,а. Как следует из рис. 2,а, границы интервала нечеткости не имеют асимптот и расходятся в разные стороны, в результате чего ширина интервала неопределенности катастрофически возрастает.

1.4

1.2

Модель IA1: альфа = 0 е = {0.15,0.2,0.25) g = 1

0.6

0.4

0.2

b«=0.S ---b™ = 0.6  b^ = 0.7 i i

--„-- ---—

i i i i ! i ! i i

0.74 0.72 0.7 0.68 0.66 0.64 0.62 0.6 0.58

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

а)

Модель IA2: альфа = 0.8 е = (0.15,0.2,0.25) g = 1

j 1 j i j i j 1 1 j 1 1 ! !

_______ 0.58 : П К

bg° = __htm) =

____ Y G -bjju) = 0.62

/7 -1 i-1

/

\ \ \ \ \ i i i i i i i i i i

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

б)

Рис. 2. Динамика границ интервалов нечеткости: а - модель «1А1»; б - модель «1А2»

Результаты моделирования с помощью нечеткой модели 1А2 показаны на рис. 2,б. Очевидно, что границы интервала асимптотически приближаются к своим пределам. Ширина интервала стабилизируется и постепенно приближается к постоянному значению, а сама плотность биомассы приближается к стационарному пределу, который и определяет предельное значение плотности биомассы. При этом следует отметить, что воздействие атмосферных промышленных загрязнений на качество лесных экосистем проявляется различным образом в зависимости от величины концентрации промышленных загрязнений в атмосферном воздухе. В книге Вильяма Смита [7] взаимодействие атмосферных загрязнений и лесных экосистем разделяется на три класса: слабое взаимодействие при малых концентрациях промышленных поллютантов, при котором лесные массивы выступают в роли эффективного очистителя атмосферы от поллютантов; средний уровень воздей-

ствия загрязнений на леса, при котором происходят физиологические нарушения, имеющие физиономический характер, и уменьшение таких важных показателей экологического состояния лесов, как биомасса, проективное покрытие, видовое разнообразие и прочее, при этом в результате ослабления защитных функций возможны заболевания отдельных групп деревьев и инвазия насекомых вредителей; высокий уровень характеризуется заболеванием и смертностью деревьев, в результате чего происходит изреживание древостоя, обезлесивание территорий и значительное уменьшение плотности биомассы.

Заключение

Введено понятие виртуальных отрицательных потоков биомассы, с помощью которых предложено описывать воздействие газовых выбросов промышленных предприятий на природные экосистемы.

Для моделирования динамических процессов в природной среде предложено использовать нечеткую модификацию дифференциальной модели Ферхюльста с учетом виртуальных отрицательных потоков биомассы.

В численных экспериментах использованы два варианта разработанной модели, к которым приводит использование при расчетах производных различных форм Н-разности:

ит Р(и + А) -^Ы = р(Ц -^К - И) = ,

И^0+0 И И^0+0 И и 4 0/ 4 у

Г Ю -«РЦ + Щ = ,.т р(,р - И) -ю =

И^0+0 ( - И ) И^0+0 ( - И ) 0

Установлено, что модель 1А1 не имеет асимптот и границы интервалов расходятся, в результате чего ширина интервалов неопределенности катастрофически возрастает. Модель 1А2 имеет асимптоты, ширина интервала достаточно быстро приближается к стационарному пределу, после которого сохраняет постоянную ширину.

Библиографический список

1. Бутусов, О. Б. Новая модель доза-эффект динамики лесных экосистем в районе металлургических предприятий / О. Б. Бутусов, А. М. Степанов // Экология и промышленность России. - 2001. - № 6. - С. 37-40.

2. Salerno, F. Energy, Forest, and Indoor Air Pollution Models for Sagarmatha National Park and Buffer Zone, Nepal / F. Salerno, G. Viviano, S. Thakuri // Mountain Research and Development (MRD) (An international, peer-reviewed open access journal published by the International Mountain Society (IMS). - 2010. - Vol. 30, № 2. -P. 113-126. - URL: http://dx.doi.org/10.1659/MRD-JOURNAL-D-10-00027.1

3. Малинецкий, Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: введение в нелинейную динамику / Г. Г. Малинецкий. - Москва : Наука, 1997. - 255 с.

4. Lee Kwang H. First Course on Fuzzy Theory and Applications / Lee Kwang H. - Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer, 2005. - 341p.

5. Lakshmikantham, V. Theory of fuzzy differential equations and inclusions / V. Lakshmikantham, R. N. Mohapatra. -London , New York : Taylor &Francis Group, 2003. - 182 p.

6. Kanagarajan, K. Numerical solution of fuzzy differential equations under generalized differentiability by Modified Euler method / K. Kanagarajan, R. Suresh // International Journal of Mathematical Engineering and Science. -2013. - Vol. 2, № 11. - P. 5-15.

7. Smith, W. H. Air Pollution and Forests. Interactions between Air Contaminants and Forest Ecosystems / W. H. Smith. - New York : Springer-Verlag, 1981. - 388 p.

References

1. Butusov O. B., Stepanov A. M. Ekologiya ipromyshlennost' Rossii [Ecology and industry of Russia]. 2001, no. 6, pp. 37-40. [In Russian]

2. Salerno F., Viviano G., Thakuri S. et. al. Mountain Research and Development (MRD) (An international, peer-reviewed open access journal published by the International Mountain Society (IMS). 2010, vol. 30, no. 2, pp. 113-126. Available at: http://dx.doi.org/10.1659/MRD-J0URNAL-D-10-00027.1

3. Malinetskiy G. G. Khaos. Struktury. Vychislitel'nyy eksperiment: Vvedenie v nelineynuyu dinamiku [Chaos. Structures. Computational experiment: Introduction to nonlinear dynamics]. Moscow: Nauka, 1997, 255 p. [In Russian]

4. Lee Kwang H. First Course on Fuzzy Theory and Applications. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 2005, 341 p.

5. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. London, New York: Taylor &Francis Group, 2003, 182 p.

6. Kanagarajan K., Suresh R. International Journal of Mathematical Engineering and Science. 2013, vol. 2, no. 11, pp. 5-15.

7. Smith W. H. Air Pollution and Forests. Interactions between Air Contaminants and Forest Ecosystems. New York: Springer-Verlag, 1981, 388 p.

Бутусов Олег Борисович

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики,

Московский политехнический университет (107023, Россия, г. Москва, ул. Б. Семеновская, 38) E-mail: butusov-1@mail.ru

Дикусар Василий Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра высшей математики, Московский физико-технический институт (141701, Россия, г. Долгопрудный, Институтский пер., 9) E-mail: dikussar@yandex.ru

Редикульцева Нина Ивановна

кандидат технических наук, доцент, кафедра прикладной математики, Московский гуманитарный университет (111395, Россия, г. Москва, ул. Юности, 5) E-mail: redik_ni@mail.ru

Butusov Oleg Borisovich

doctor of physical and mathematical sciences, professor,

sub-department of mathematics,

Moscow Polytechnic University

Dikusar Vasily Vasilevich

dortor of physical and mathematical sciences, professor,

sub-department of higher mathematics, Moscow Institute of Physics and Technology

Redikul'tseva Nina Ivanovna

candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of applied mathematics, Moscow Humanitarian University

Образец цитирования:

Бутусов, О. Б. Нечеткие дифференциальные системы и их применение для математического моделирования в экологии / О. Б. Бутусов, В. В. Дикусар, Н. И. Редикульцева // Надежность и качество сложных систем. - 2019. - № 3 (27). - С. 33-39. - БОТ 10.21685/2307-4205-2019-3-4.