Синтез оптимальных по быстродействию регуляторов

Список литературы

1. Гироскопические приводы на базе трехстепенных электрических машин /А.Э. Соловьев, Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, Е.С. Козлова. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. 215 с.

2. Погрешность кардановых подвесов. Козлова Е.С. Ивестия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. Вып. 4. Ч. 2. Материалы международной научно-технической конференции. Изд-во «Гриф и К0». Тула 2001. С. 170-174.

Козлова Елена Сергеевна, канд. техн. наук, доц., Giroscopiya@yandex.ru, Россия, г.Тула, Тульский государственный университет

MEASURING INSTRUMENT OF GIRODRIVE ELECTROMAGNETIK TORQUE

E.S. Kozlova

There were obtained formulas based on the analysis of electromagnetic processes of three-stage electric machine. This allows to estimate the effect of the deflection angles of the object on the electromagnetic torque acting on the gyrodrive axes.

Key words: rotor, stator, three-stage electric machine, gyrodrive, precession.

Kozlova Elena Sergeevna, candidate of technical science, docent, Girosco-piya@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 681.513

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ

РЕГУЛЯТОРОВ

Б.В. Сухинин

На примере системы третьего порядка рассматривается аналитическое конструирование оптимальной по быстродействию системы управления.

Ключевые слова: аналитическое конструирование, оптимальное быстродействие, функциональное уравнение, структурная схема.

Для подавляющего большинства электроприводов, использующихся в электромеханических системах можно записать с достаточной точностью обыкновенное векторное нелинейное уравнение:

5ОД = A

136

где X е Rn - вектор отклонений фазовых координат состояния объекта от заданной траектории движения; А(Х) - матрица-столбец с нелинейными однозначными функциями а1(Х) ° а1(х1,х2,...,хп), 1 = 1,2,...,п; В(Х) ° (Ь1, Ь2,., Ьп)т - вектор столбец с элементами Ь1 = 0,Ь2 = 0,. ,Ьп = 1; управляющее воздействие и(0 принадлежит замкнутому множеству и * и на него наложено ограничение

I и

Область и * допустимых управлений определяется двумя условиями: классом допустимых (непрерывных или кусочно-непрерывных) функций и дополнительным ограничением (3) эксплуатационного или конструктивного характера, накладываемыми на и(1;) внутри данного класса.

Решение задачи быстродействия методом Беллмана или с использованием принципа максимума Понтрягина приводит к релейному закону управления:

и = -яед[у

где у(Х) - функция переключения регулятора, причем у = 0 - поверхность переключения. Для каждого из д-1 интервала составляют функциональное уравнение [1]:

У

где О = ^1^2,... ^д), gi =Эу/Эх1, ЦХ) = ОА, ф(Х) = ОВ, причем для устойчивости системы требуется выполнить условие управляемости:

1ДХ)|<ф

а для оптимальных по быстродействию неосциллирующих систем необходимо выполнить условие:

1ДХ)|=ф

Применяя метод попятного решения задачи, начиная с последнего интервала, для которого у д = хд, получим точное (с точностью до постоянных интегрирования) оптимальное по быстродействию управление:

У = У2 + I У2 I •и, и2 = ^д(У2),

У 2 =Уз +1 Уз1 и из = -^д(У3Х

......................., ..................,

уд-2 = Уд-1 + 1 У д-1 1 ^ ид-1 = -SlgД(Уд-1 X

.Уд-1 = хд + |хд| ^ ид =-s1gд(xд).

Постоянную интегрирования каждой производной от функции переключения определяют из условия У(0) = 0 .

Пример: Выполнить синтез оптимального управления системой третьего порядка:

х 1 = х2, х2 = х3, х3 =-ах2 -

причем а > 0 - постоянный параметр. Отметим, что к виду (8) можно привести уравнения, описывающие динамику канала крена летательного аппарата или электропривода радиолокатора. Выбор этого примера обусловлен тем, что известно точное решение для управления, оптимального по критерию быстродействия [2]:

u = -sign(y) = -sign

У1

a

a -1

. d.

1 ,

1/a

2

'a W/a ¿2 -1

¿1

где

d = sign

a • Xo + X3 X2 + X3 г/ ч -1

У1 =-У2 =--2-^ Уз = a • X1 + [(1 + a)-X2 + X3j .

a -1 a

Точное решение достаточно сложно в записи и его достаточно сложно реализовать при помощи электронной техники.

Решим задачу оптимального быстродействия с применением рассматриваемого метода [1]. В соответствии с утверждением о числе интервалов управлений здесь три интервала управления вида ui = -sign(yi), где i = 1,2,3, а общая функция переключения y(X) и общее управление u(X) совпадают функцией переключения и управлением первого интервала: y = y1, u = u1. На последнем, третьем интервале функция переключения

y3 состоит только из одной, самой "быстрой" координаты X3: y3 = x3 , а управление u3 =-sign[x3]. Функциональное уравнение на предпоследнем (втором) интервале должно иметь вид: y 2 = х3 + |х3| • u или y2 = sign(x3) + u .

Подставляя уравнения объекта (8) в последнюю формулу, получим: a • y2 = a • sign(x3) + X 3 + (1 + a)X 2 + aX 1.

Поскольку a > 0, произведение a • y2 можно обозначить за новую функцию, оставив прежнее обозначение. Проинтегрируем последнее уравнение:

y2 = х4 + C1 + х3 + (1 + a)x2 + ax1

и тогда

u2 =-sign

где C1 - постоянная интегрирования уравнения

х 4 = а • sigд

Итак, на втором интервале оптимальное управление и2 = -sigд(y 2). Функциональное уравнение на первом интервале должна иметь вид У = У1 = У2 +1У2 | и или у = sigд(y2) + и . Подставляя уравнения объекта в последнюю формулу и интегрируя, аналогично предыдущему получим окончательно с точностью до постоянных интегрирования формулу оптимального по быстродействию управления:

и = -sigд

где С2 - постоянная интегрирования уравнения

х 5 = а • sigд

Поскольку уравнения (8) - (13) записаны в относительных единицах, то для перехода к реальным переменным необходимо вместо х1 подставить в закон управления (11) - (13) величину х1 - х1зад, где х1зад - задающее воздействие на систему. Структурная схема привода радиолокатора (8) с законом управления (11) - (13) приведена на рис. 1.

Схема управления содержит два нелинейных блока формирования зависимостей коэффициентов С1 и С2 от начального отклонения регулируемой величины х1 от задания, характеристики которых приведены на рис. 2, и блок БЗ, запоминающий начальное отклонение регулируемой величины х1 .

Если не учитывать достаточно сложные блоки для коэффициентов С1 , С2 и блок, запоминающий начальное отклонение регулируемой величины х1 , то реализация полученного оптимального быстродействующего управления (12) намного проще, чем известного (9).

Отметим, что управляющее устройство (рис. 1) содержит два блока обратных связей: линейных ОС и нелинейной ОС, причем блок линейных ОС получается точно таким же, как и при проектировании системы управления по критерию обобщенной работы А. А. Красовского по отношению к выходной координате х1. Другими словами, если отсоединить выход блока нелинейной ОС от системы управления, то она станет оптимальной по критерию обобщенной работы.

Отмеченное свойство полученного управления позволяет в конце переходного процесса, оптимального по быстродействию перейти к управлению, оптимальному по критерию обобщенной работы, что является достоинством спроектированного управления, поскольку в этом случае можно не беспокоиться о точности изготовления относительно сложного блока нелинейной ОС.

На рис. 2 приведены результаты моделирования объекта (8) для а = 0.5 и х1зад =1 рад с точным известным управлением (9) и управлением

(11)-(13).

Блок линейных ОС

Г О

1 + а

1/а

Объект управления

х

1зад Ах \|/

^От>с>

А

г>0—> А

11

1>

V-

к»

А-

1/Р

1/Р

х.

X'

>>

1/р

Г>

1 + а

1/р

А

<-

БЗ

С-

<Оф/р А

с,

л

/\

Блок нелинейной ОС

Рис. 1. Структурная схема электропривода следящего радиолокатора

Рис. 2. Зависимости коэффициентов С! и С2 от начального отклонения регулируемой величины ххот задания

140

0.4 -1- -1

Рис. 3. Осциллограммы координат и управляющего сигнала объекта

или

Результаты моделирования процессов системы (8), приведенные на рис. 3 показывают полное совпадение графиков.

Список литературы

1. Сухинин Б.В., Сурков В.В., Цырук С.А., Феофилов Е.И. Оптимальное по точности (быстродействию, энергосбережению) управление электромеханическими объектами [Текст]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 140 с.

2. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

Сухинин Борис Владимирович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,. eeo@,tsu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SYNTHESIS OF OPTIMUM REGULATORS ON SPEED

B.V. Sukhinin 141

On an example of system of the third order analytical designing of an optimum control system on speed is considered.

Key words: analytical designing, optimum speed, the functional equation, the block diagramme.

Sukhinin Boris Vladimirovich, doctor of technical science, professor, manager of ka-thedra, eeoatsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula state university

УДК 681.513.5

МЕТОДИКА НАСТРОЙКИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ПО КРИТЕРИЮ ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЯ

Е. И. Кретов

Предлагается новая оригинальная методика настройки пропорционально-интегрального регулятора, позволяющая добиться экономии потребляемой энергии достаточно близкой к значению, получаемому при использовании строго оптимального программного управления. Методика применима к электротермическим объектам, переходная характеристика которых аппроксимируется апериодическим звеном первого порядка.

Ключевые слова: энергосбережение, ПИ-регулятор, критерий энергосбережения, объект первого порядка.

Пропорционально-интегральные (ПИ) регуляторы, достаточно универсальные и простые в настройке, получили широкое распространение в промышленности: на данный момент существует огромное количество методик (около тысячи) настройки этих регуляторов в зависимости от конкретных целей [1]. Но и с учетом такого разнообразия, вопрос энергосбережения в системах управления на основе ПИ-регуляторов рассмотрен недостаточно полно. В частности, в работе М.К. Хубеева [2] предлагается добиться экономии энергоресурсов путем сокращения числа изменений сигналов управления ПИ-регулятора. Такой подход главным образом ориентирован на такие объекты управления, как электродвигательные исполнительные устройства, что накладывает соответствующие ограничения на применение метода. В работе Ю.И. Еременко и его коллег [3] дается оценка энергоэффективности нейросетевого оптимизатора для ПИД регулятора в системе управления лабораторной печью. Нейросетевой оптимизатор позволяет добиться снижения расхода электроэнергии, затраченной на нагрев на 2 % по сравнению с решением, представленным фирмой «Сименс» (ФРГ). Разумеется, внедрение на практике подобного решения требует дополнительных вычислительных мощностей и довольно трудоемких расчетов.