Анализ сложных электрических систем по частям на основе свойств активного двухполюсника

УДК 621.311.3 ББК 3211

ПЛ. ВОРОНОВ

АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО ЧАСТЯМ НА ОСНОВЕ СВОЙСТВ АКТИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА

Ключевые слова: электрическая система, активный двухполюсник, контурный ток, матричный метод, матрица преобразования.

Рассматриваются алгоритм и одна из модификаций эффективного метода расчета многоконтурных электрических сетей по частям. Алгоритм строится на основе применения свойств активного двухполюсника, метода наложения (суперпозиции), принципа компенсации (замены электрической ветви с сопротивлением эквивалентным источником ЭДС), а также матричных преобразований. Одно из достоинств такого подхода состоит в том, что предложенный алгоритм позволяет избежать построения цепи пересечений и трудностей операции объединения решений для сложных систем, когда используется метод контурных токов и образуемые подсистемы не имеют заземленных узлов. Поэтапные шаги алгоритма приводят посредством соответствующих матричных преобразований к результирующей формуле, которая идентична выражению решения уравнений ортогональных цепей. Алгоритм легко реализуется для практических расчетов на ЭВМ.

P. VORONOV

PIECEWISE ANALYSIS OF LARGE-SCALE ELECTRICAL SYSTEMS BASED ON TWO-TERMINAL NETWORK PROPERTIES

Key words: electrical system, two-terminal network, mesh current, matrix method, connection matrix.

We consider a modification of the effective method and algorithm for piecewise calculation of meshed electrical networks. The algorithm is based on use of active two-terminal network properties, overlap method (superposition), the compensation principle (replacement of electrical resistance branches with equivalent EMF source) and matrix transformations. One of the advantages of this approach is that the proposed algorithm allows to avoid constructing an intersections chain and challenges of merging solutions for complex systems when using a Mesh analysis and when the constructed subsystems do not have grounded nodes. By means of the corresponding matrix transformations the algorithm's incremental steps lead to the resulting formula, which is identical to the expression for the solution of equations of orthogonal chains. The algorithm is easy to implement for practical calculations on a computer.

Решение все усложняющихся задач проектирования многоаспектного исследования и моделирования сложных технических устройств и энергосистем приводит к громоздкости уравнений и требует значительных затрат времени счета на ЭВМ.

Одним из важных и эффективных направлений решения таких задач является применение тензорной теории сетей на основе метода решения сложных систем по частям.

Математическому обеспечению расчетов и созданию эффективных алгоритмов, реализующих метод диакоптики Г. Крона [3], в последние годы посвящен ряд научных работ [1, 5, 7-9 и др.].

Применение современных программно-вычислительных комплексов (ПВК) открывает новые возможности для существующих алгоритмов расчета сложных систем по частям, поскольку увеличение объема памяти и скорости счета позволяет решать все более сложные задачи. Однако при расчетах на

ЭВМ энергосистем максимальное и допустимое число ветвей и узлов определяется не только характеристиками вычислительных средств, но и эффективностью алгоритмов. Например при расчете многоконтурных сетей, содержащих электрические машины, возникают затруднения в построении так называемой цепи пересечений [3, 6]. Между тем с помощью свойств активного двухполюсника можно построить алгоритм, в котором исключается этап построения такой цепи. Этот алгоритм предлагается в настоящей статье.

Предложенный в [3] Г. Кроном метод анализа и расчета сложных систем по частям - диакоптика - основан на разработанной им теории ортогональных цепей. Практическое применение уравнений ортогональных электрических цепей на конкретных примерах показано в [2]. Расчет сложных электрических систем по частям обычно проводится с помощью совокупности замкнутых или разомкнутых путей токов, вводимых в электрическую схему замещения исследуемой системы. Часто подобные расчеты ассоциируются с тривиальным анализом электрических цепей методом контурных токов или методом узловых потенциалов. Однако на самом деле это совершенно разные подходы, которые имеют принципиальные отличия. Если в расчете по частям используется метод замкнутых путей токов, то дополнительная сеть пересечений, появляющаяся в процессе объединения решений отдельных подсистем, представляет собой узловую цепь. И наоборот, если применяется метод открытых путей токов (узловой метод), то цепь пересечений является контурной.

Наиболее простым является алгоритм анализа сложных электрических систем по частям узловым методом, когда во всех подсистемах, получаемых в результате деления исходной системы, имеет место хотя бы одна заземленная точка. При рассмотрении же сети как контурной, когда точки заземления в подсистемах отсутствуют, возникают дополнительные трудности при построении цепи пересечений, подробно проанализированные в [6].

Между тем для ряда часто встречающихся на практике случаев электрических сетей контурного типа можно предложить очень удобный для инженерных расчетов метод. Он сочетает в себе расчет по частям с обычным методом контурных токов. Суть предлагаемого подхода состоит в том, что в результате тензорных преобразований параметров исследуемой сети и ее анализа удается получить выражение, аналогичное формуле решения уравнений ортогональной цепи. При этом используются известные свойства активного двухполюсника и не требуется строить цепь пересечения для получения решения системы в целом.

Пусть, например, необходимо определить приращение токов в ветвях активного двухполюсника при подключении к нему какой-либо новой ветви с сопротивлением Я (рис. 1, а).

Очевидно, что после подключения данной ветви в любой другой ветви данного двухполюсника произойдет приращение тока. Например, для ветви с током 1а это приращение будет равно А1а. Для определения тока А1а можно воспользоваться свойством активного двухполюсника и методом наложения. Для этого в схему с подключенной ветвью Я (рис. 1, б) сначала надо ввести два противоположно направленных источника ЭДС Ер и Е'р, которые равны по величине напряжению £/р, а затем применить метод наложения, представив этот

двухполюсник суммой двух (рис. 1, в и 1, г). Очевидно, что в схеме (рис. 1, в) токи во всех ветвях будут такими же, что и в схеме (рис. 1, а). Это следует из эквивалентности данных цепей, поскольку значения напряжения иаб = Цр в обеих схемах одинаковы. По схеме же на рис. 1, г можно рассчитать приращения токов во всех ветвях двухполюсника, вызванные подключением дополнительной ветви. Далее можно использовать известный в теории электрических цепей принцип компенсации, согласно которому в любой электрической цепи отдельную ветвь с сопротивлением можно всегда заменить встречной ЭДС, и ввести такой источник с ЭДС, равной Ек = Шк. Тем самым можно учесть влияние выделенной части на всю остальную цепь.

в г

Рис. 1. Схемы и свойства активного двухполюсника

Обратимся к практическому расчету некоторой часто встречающейся на практике схемы (рис. 2) и получим результирующую формулу решения для нее по частям с учетом рассмотренных свойств активного двухполюсника.

Ч.1 Ч.Ш Ч.11

Рис. 2. Схема связанных электрических систем

При этом воспользуемся тензорным методом Крона, а все выкладки проведем с помощью матричных преобразований. Выполним эти преобразования для системы, разрезаемой здесь на три части. Каждая часть может представлять сама по себе, например, многоконтурную энергосистему, связанную с другими линиями электропередач.

В анализе будем предполагать, что отсутствуют электромагнитные связи между ветвями, относящимися к разным подсистемам, а контурные токи в каждой из них выбраны так, чтобы они принадлежали, соответственно, I и III, II и III подсистемам. Тогда полное число контурных токов будет равно количеству независимых контуров исходной системы. Выполнив перечисленные условия, можно далее для определения искомых контурных токов и токов ветвей использовать следующие шаги.

1. Составляем уравнения «элементарной» цепи. «Элементарная» цепь, как известно [5], состоит из ветвей, замкнутых на себя и включающих в себя сопротивления ZB и ЭДС ЕВ. Получаем для совокупности различных частей общее уравнение «элемента

рной» цепи в виде

E.

bi

E

bii

Eb

zbi

zbii

zbiii

bi

bii

где индексы I, II, III относят ветви, токи и ЭДС ветвей к соответствующим подсистемам.

2. Выражаем токи ветвей через контурные токи !к с помощью матрицы преобразования [С].

Имеем

bi

Ib

Cij

cii ,ii

ciii ,i ciii ,ii

iKI

I

KII

3. Применяя матрицу [С] к преобразованию ЭДС и сопротивления, по формулам Крона Ек = С(ЕВ и 2КК = С12ВВС находим контурные уравнения системы:

CtI, I CtIII ,I

CtII ,II CtIII ,II

Eb

Eb

E

biii

CtI ,I ctIII ,i

CtII ,II ctIII ,ii

х

X

zbi

zbii

zbiii

cii

cii ,ii

ciii ,i ciii ,ii

KI

I

KII

где индекс ^ обозначает транспонированную матрицу. В результате несложных преобразований получаем:

EKI CtI ,IEB1 + CtIII ,IEBIII

EKII ctii ,iiEbii + ctiii ,iiEbiii

EKI

EKII

CtI ,IZBICI ,I CtIII, IZBIIICIII ,II

CtIII ,IIZBIIICIII ,I CtII, iiZbiiQi ,II

KI

I

KII

где уравнения (3) являются контурными уравнениями исходной системы.

4. Искомые токи можно определить посредством обращения матрицы контурных сопротивлений матричного уравнения (3), порядок которой может быть значительным. Уравнения (3) являются полными контурными

bii

biii

уравнениями системы в целом, поскольку содержат токи всех независимых контуров.

Чтобы сократить время и повысить точность вычислений, воспользуемся идеей диакоптики, т.е. будем предполагать, что система разделена на три части, как показано на рис. 2. Разделение системы на части и объединение их решений выполним с учетом перечисленных выше условий деления и соответствующих свойств эквивалентного активного двухполюсника, избегая построения какой-либо цепи пересечений. Для этого изменим алгоритм расчета, исключив четвертый этап, заключающийся в обращении полной матрицы контурных токов, и введем новые, дополнительные этапы расчета (4доп).

4доп. По теореме компенсации заменим каждое напряжение ветвей в подсистеме С-3 соответствующей ЭДС

ebiii = —Uвш = —ZBIIIIDIII.

Выразим аналитически значения этой ЭДС EBIII, которую требуется ввести в каждую из ветвей части III исходной системы, чтобы обеспечить в этих ветвях токи, равные нулю. С учетом выражений (1) и (2) находим:

Ebiii — — Zb

C

III, I

C

III ,II

I,

KI

I,

KII

5. Составим теперь уравнения контурных токов с учетом замены сопротивлений в ветвях III подсистемы согласно теореме компенсации, используя выражение (4). Подставляя (4) в (3) и перенося в левую часть выражения (4) соответствующие ЭДС, получаем матричную систему уравнений

Eki + Ctiii г Е,

tIII ,I^BIII

ekii + ctin ,iiebiii

CtI ,IZBICI ,I 0

0 CtII ,IIZBIICii ,ii

Iki

Ikii

Эту систему уравнений можно представить в форме одного матричного уравнения

решение которого относительно матрицы токов может быть записано как

[ 1к ] = [¿к Г1

Коль скоро компоненты матрицы [Евш ] не известны, то целесообразно исключить ее из уравнения (7) с помощью следующих очевидных матричных операций:

[Евш ] = -[¿вш ][С/я ][ 1к ];

[Сш ][1к ] = -[^вш ]-1 [Евш ];

[Сш ][1к] = -[^вш]-1 [Евш];

[Сш][1к] = [Сш] [¿к]-1([Ек]+[Саи][Евш]); [Евш] = -([2вш]-1 + [Сш][2к]-1[Сш])-1]Сш][2к]^к]-1[Ек]. Из этого семейства формул в итоге получаем матричное выражение для искомых токов исходной схемы в виде уравнения, которое представим, опуская квадратные скобки у матриц, в виде

1к = ¿к {1 - Сш

Отметим, что применение формулы (8) требует обращения трех матриц, однако порядок каждой из них гораздо меньше числа независимых контурных токов системы в целом. Эта формула идентична выражению, представляющему решение уравнений ортогональной цепи, на которых основывается метод диакоптики Г. Крона.

Числовой пример. Для схемы, представленной на рис. 3, требуется найти токи в ветвях рассмотренным выше методом. Схема делится на три части, как показано на рис. 3 волнистыми линиями разреза. Положительные направления для токов в ветвях и контурных токов выбираются произвольно, но с учетом указанных выше ограничений. Значения индуктивных сопротивлений ветвей указаны на схеме в омах. Значения ЭДС в ветвях также заданы: Е1 = ,¡120 В; Е7 = ,¡120 В; Е4 = ¡160 В. Решение проведем по рассмотренному алгоритму, опуская перед числовыми значениями сопротивлений символ ] и объединяя последовательно включенные сопротивления в ветвях 1 и 7.

ч I ч III ч II

Рис. 3. Рассчитываемая электрическая цепь

1. Составим уравнение «элементарной» цепи исследуемой схемы Ев = Хв1в в матричной форме

120

120 160

20

20

20

20

20

20

3

А. А.

14

X

В этом матричном уравнении в первом столбце перечисляются значения ЭДС соответствующих ветвей, номера которых определяются номерами токов ветвей, составляющих столбец неизвестных величин, подлежащих определению. Токи составляют группы, относящие ветви к определенным подсистемам. Поэтому ток 14, образующий третью группу, представлен последним в столбце токов в правой части уравнения. Напомним, что в матричных операциях необходимо строго соблюдать порядок следования элементов всех участвующих в преобразованиях матриц. Естественно, что при применении ЭВМ этот порядок сохраняется автоматически.

2. Выразим токи ветвей через токи контуров с помощью матрицы преобразования 1В = С1К. Имеем

Л

А А А А

17

14

-1

1 -1

1

-1

-1 1

-1

1 1

' к 3

'К 4

3. Вычислим последовательно, следуя предложенному алгоритму, компоненты матриц:

2к1 - Са ,1%1С1,1 —

-1 1

-1 1

20

20

20

-1

1 -1

1

2кп — Са ,1^1С1,1 —

-1 -1

1 -1

20

20

20

-1

-1 1

-1

40 - 20

- 20 40

40 - 20

- 20 40

%iii — 3  () 1 — — .

=

40 - 20 40 20

- 20 40  )-1 = 12с 20 40

40 - 20 40 20

- 20 40 20 40

4. Определяем слагаемое

СШ (%К ) 1 Сгш —

Тогда получаем

1 1

40 20

1 20 40

120 40 20

20 40

2 3

1 2

(2Ш )-1 + Сш (2к )-'Сш = 3 + 3 — 1.

Следовательно, обратная величина от последнего выражения равна 1, а второе слагаемое в фигурных скобках уравнения (8) будет

1 1

1

120

40 20

20 40

40 20

20 40

I

1

120'

20 40 40 20

20 40 40 20

' 120'

120

- 20 80 - 40 - 20

- 20 - 40 80 - 20

120

Рядом с полученной матрицей приведена матрица, представляющая собой полное выражение в фигурных скобках формулы (8), которая определена как разность диагональной единичной матрицы и полученной выше.

5. На заключительном этапе находим искомые контурные токи и токи всех ветвей исследуемой системы

-1201 - 24,44 160 = 11,11 , ' 160 11,11 ' -120 - 24,44

Ik1 40 20

ik 2 1 20 40

Ik3 120 40 20

Ik 4 20 40

1

120

120

- 20 80 - 40 - 20

- 20 - 40 80 - 20

120

h 12 13 15 16 17 14

24,44 - 35,55 11,11 -11,11 - 35,55 24,44 22,22

Выводы. 1. Предложен алгоритм расчета сложных многоконтурных сетей по частям, позволяющий благодаря использованию свойств активного двухполюсника применять его для исследования изолированных подсистем, не прибегая к построению цепи пересечений.

2. Алгоритм может быть легко реализован для практических расчетов на ЭВМ в вычислительных комплексах, использующих программы расчета систем по частям.

Литература

1. Архангельский Н.Л. Курнышев Б.С. Захаров П.А. Применение тензорной методологии к описанию электромагнитных процессов в асинхронном двигателе // Электричество. 1995. № 2. С. 37-39.

2. Воронов П.Л., Попова Н.Я., Щедрин В.А. Практическое применение уравнений ортогональной цепи // Математические модели и их приложения. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 76-84.

3. Крон Г. Исследование сложных систем по частям - диакоптика. М.: Наука, 1972. 544 с.

4. Крон Г. Тензорный анализ сетей. М.: Сов. радио, 1978. 720 с.

5. Сохор Ю.Н. Применение coarray Fortran для реализации тензорной диакоптики на многоядерной архитектуре Intel  Manycore Testing Lab [Электронный ресурс]. URL: https://soft-ware.intel.com/ru-ru/articles/mtl-coarray-fortran.

6. Щедрин В.А., Ермолаева Н.М. Усовершенствованная методика расчета электрических систем методом диакоптики в случае изолированных подсистем // Автоматизация и надежность электроснабжения промышленных предприятий. Чебоксары: Чуваш. ун-т, 1984. С. 22-28.

7. Bowden К. Kron's Method of Tearing on a Transputer Arrey. The Computer Journal, 1990, vol. 33(5), pp. 453-459.

8. Jalili-Marandi V., Zhiyin Zhou, Dinavahi V. Large-Scale Transient Stability Simulation of Electrical Power Systems on Parallel GPUs. IEEE transactions on parallel and distributed systems, 2012, vol. 23, № 7, pp. 1255-1266.

9. Numrich R.W., Reid J.K. Co-Array Fortran for parallel programming. ACM Fortran Forum, 1998, vol. 17(2). pp. 1-31.

References

1. Arhangelskiy N.L. Kurnyishev B.S. Zaharov P.A. Primenenie tenzornoy metodologii k opi-saniyu elektromagnitnykh protsessov v asinhronnom dvigatele [Application of tensor methodology to describe the electromagnetic processes in asynchronous motor]. Elektrichestvo [Electricity], 1995, no. 2, pp. 37-39.

2. Voronov P.L., Popova N.Ya., Shchedrin V.A. Prakticheskoe primenenie uravneniy ortogo-nalnoy tsepi [Practical application of the equations of orthogonal chain]. Matematicheskie modeli i ih prilozheniya [Mathematical models and their applications]. Cheboksary, Chuvash University Publ., 2010, Issue 12, pp. 76-84.

3. Kron G. Diakoptics. The piecewise solution of large-scale systems. London, 1963. 166 p. (Russ. ed.: Kron G. Issledovanie slozhnyih sistem po chastyam - diakoptika. Moscow, Nauka Publ., 1972).

4. Kron G. Tensor Analysis of Networks. London, 1965, 635 p. (Russ. ed.: Kron G. Tenzornyiy analiz setey. Moscow, Sovetskoe radio,1978, 720 p.).

5. Sohor Yu.N. Primenenie coarray Fortran dlya realizatsii tenzornoy diakoptiki na mnogo-yadernoy arhitekture Intel  Manycore Testing Lab [Application coarray Fortran to implement tensor Diakoptics on multi-core architectures Intel  Manycore Testing Lab]. Available as: https://software.intel.com/ru-ru/articles/mtl-coarray-fortran.

6. Shchedrin V.A., Ermolaeva N.M. Usovershenstvovannaya metodika rascheta elektricheskih sistem metodom diakoptiki v sluchae izolirovannykh podsistem [Improved method for calculating electrical systems by Diakoptics in the case of isolated subsystems]. Avtomatizatsiya i nadezhnost elektrosnabzheniya promyishlennyih predpriyatiy [Automation and reliability of power supply of industrial enterprises]. Cheboksary, Chuvash University Publ., 1984, pp. 22-28.

7. Bowden К. Kron's Method of Tearing on a Transputer Arrey. The Computer Journal, 1990, vol. 33(5), pp. 453-459.

8. Jalili-Marandi V., Zhiyin Zhou, Dinavahi V. Large-Scale Transient Stability Simulation of Electrical Power Systems on Parallel GPUs. IEEE transactions on parallel and distributed systems, 2012, vol. 23, № 7, pp. 1255-1266.

9. Numrich R.W., Reid J.K. Co-Array Fortran for parallel programming. ACM Fortran Forum, 1998, vol. 17(2). pp. 1-31.

ВОРОНОВ ПАВЕЛ ЛЕОНИДОВИЧ - аспирант кафедры электроснабжения промышленных предприятий имени А.А. Федорова, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (plv911@mail.ru).

VORONOV PAVEL - post-graduate student of Industrial Enterprises Power Supply Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.