Регуляризация алгебро-дифференциального уравнения первого порядка с фредгольмовым оператором при производной

MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 517.922

REGULARIZATION OF AN ALGEBRO-DIFFERENTIAL FIRST-ORDER EQUATION WITH A FREDHOLM OPERATOR IN THE DERIVATIVE

Uskov V.

candidate ofphysical and mathematical sciences, Assistant of department of mathematics,

Voronezh State Forestry University named of G.F. Morozov

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ФРЕДГОЛЬМОВЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ

Усков В.И.

кандидат физико-математических наук, Ассистент кафедры математики, Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова

Abstract

We consider a first-order algebraic differential equation with an irreversible operator at the derivative. The equation is resolved relative to the derivative by the decomposition method. The case of a Fredholm operator with zero index and a multidimensional kernel is considered. To solve the problem, a result was obtained on splitting the linear equation into equations in subspaces. The results can be applied in the study of problems for degenerate systems.

Аннотация

Рассматривается алгебро-дифференциальное уравнение первого порядка с необратимым оператором при производной. Уравнение разрешается относительно производной методом декомпозиции. Рассматривается случай фредгольмова оператора с нулевым индексом, имеющего многомерное ядро. Для решения задачи получен результат о расщеплении линейного уравнения на уравнения в подпространствах. Полученные результаты могут применяться при исследовании задач для вырожденных систем.

Keywords: first-order algebra-differential equation, Fredholm operator, multidimensional kernel, regulari-zation.

Ключевые слова: алгебро-дифференциальное уравнение первого порядка, фредгольмов оператор, многомерное ядро, регуляризация.

ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается алгебро-дифференциальное уравнение первого порядка:

dx

A— = Bx

где A, В - замкнутые линейные операторы, вообще говоря, неограниченные, действующие из банахова пространства Е1 в банахово пространство Е2, dom A = dom В = Е±; A - фредгольмов оператор с нулевым индексом; F(t) - заданная достаточно гладкая функция со значениями в Е2.

Уравнением (1) описываются динамическая модель Леонтьева выпуска валовой продукции [1], состояние лесопромышленной системы (дифференциальные уравнения Колмогорова) [2], явления тепло- и влагопереноса и т.д.

Свойство [3]. Фредгольмов оператор с нулевым индексом (далее Ф0-оператор) A: Е1 ^ Е2 вполне определяется свойством:

1) Е1 = Ker A  Coim A, Е2 = Coker A  Im A;

2) dim Ker A = dim Coker A < те;

3) сужение A = A|Coim ¿ndom A имеет ограниченный обратный A-1.

1. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

Рассматривается уравнение

Ax = у,

где А - линейный замкнутый Ф0-оператор, действующий из банахова пространства Е1 в банахово пространство Е2, х Е Е1П dom А, у Е Е2.

Вводятся: Р - проектор на подпространство Ker А, Q - проектор на подпространство Coker А, А- = A-1(I - Q) - полуобратный оператор.

В частном случае одномерного ядра результат получен в кандидатской диссертации д. ф.-м. н. Зубовой С.П. (1973) и в работе [4].

Лемма. Уравнение

Qy = 0.

Рассмотрим случай: dim Ker А = п. В подпространстве Coker А вводится скалярное произведение <•,•> так, что

<<pi,(pj>= 813. (5) Элемент Qy Е Coker А разложим по базису

Qy = ^dkpk.

k=1

Вычислим коэффициенты йк в последнем разложении. Применив поочередно функционалы <• >, ] = 1,2, ...,п, к элементу Qy, с учетом (5), имеем:

< Qy,<Pj >=< ^ dk9k,9j >

k=1

n

= ^dk< Pk,Pj > =

k = 1

^dk< P^ Pj >=^dk< P^ Pj > + dj < Pj, Pj

k=1

k*j >= d

Следовательно,

Qy = ^ < Qy,Pk >

Pk.

k=1

Из последнего равенства и равенства (4) вытекают соотношения:

<Qy,Pk>= 0,к = 1,2, ...,п.

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 1. Пусть выполнено условие (5). Тогда уравнение (2) равносильно системе (3) и (6).

2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим случай: dim Ker4 = п. Разложим элемент ядра Рх по базису е1,е2,... ,en:

Рх = ^ckek.

Пусть Д^ - алгебраическое дополнение элемента в этой матрице.

Пусть выполнено следующее условие. Условие 2. detД ^ 0. В этом случае оператор Д обратим. Вводятся следующие обозначения:

п

К = ^ку^д^о,^^)

¿=1

п =1

Система (9) имеет единственное решение, равное

сЛ0 = Ккх(ь) + Фк(0,к = 1,2, ...,п. (10) Подставив выражение (10) в (7), получим искомое уравнение:

йх

— = Тх

d

к=1

В силу теоремы 1 уравнение (1) равносильно системе:

п

-Х = А-

к=1

< Q(Вх(t) + Р&)), р, >= 0,] = 1,2,..., п, (8) где функции ск (Ь) надлежит найти. Пусть выполнено следующее условие. Условие 1. Функции < QР(t), р^ > дифференцируемы.

Вводятся следующие обозначения: О = -< QВА-В(•),<pj >, й

Р&) = -< QВА-Р(t),pj >~г< QР(t),фj >,

йу =< QВеi,(pj >. Продифференцируем соотношения (8) по £ и подставим выражение (7). Получим систему относительно с к ( Ь):

п

^ с,

¿=1

Вводится матрица

Д = (йц)Л,] = 1,2.....п.

в обозначениях:

п

Т=А-В + ^Кк

к=1

п

= А-Р(1) + ^Фк(1)ек.

к=1

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1, 2. Тогда уравнение (1) равносильно уравнению (11) и условиям (8).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Экономико-математические модели и методы / Под общей ред. А.В. Кузнецова. - Мн.: БГЭУ, 2000.

2. Игнатенко В.В., Турлай И.В., Федоренчик А.С. Моделирование и оптимизация процессов лесозаготовок: учебное пособие для студентов специальности «Лесоинженерное дело». Мн, БГТУ. -2004.

3. Никольский С.М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1943. - Т. 7, вып. 3. - С. 147-166.

4. Зубова С.П., Усков В.И. Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай // Математические заметки. - 2018. - Т. 103, вып. 3. - С. 393-404.