Определение собственных частот и форм колебаний одной механической системы методом разложения в ряды Фурье

УДК 517.98

С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ОДНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ФУРЬЕ

Статья посвящена исследованию собственных колебаний механической системы в виде стержня с осциллятором. Описан способ определения собственных частот и форм колебаний этой системы, основанный на разложении в ряды Фурье.

Ключевые слова: упругий стержень, осциллятор, ряд Фурье, краевая задача, собственные частоты, собственные формы.

S.G. Barguev, A.D.Mizhidon

THE DEFINION OF OWN FREQUENCIES AND FORMS A VIBRATION OF A MECHANICAL SYSTEM BY MEANS OF RESOLUTION AT THE FOURIER SERIES

The article is devoted to an investigation of the own vibration of a mechanical system consistered from elastic core with oscillator. Are described the method definition of own frequencies and forms a vibration of a mechanical system by means of resolution at the Fourier series .

Key words: elastic core, oscillator, Fourier series, boundary task, own frequency, own forms

Введение

В работе рассматривается способ определения собственных частот и форм колебаний механической системы в виде стержня с осциллятором, основанный на разложении решения неоднородной краевой задачи в ряд Фурье по собственным формам однородной краевой задачи. Производится сопоставление с результатами, полученными авторами ранее.

1. Постановка задачи

В статье [1] приведена методика исследования собственных колебаний стержня с осциллятором, в которой совместные колебания стержня с осциллятором описываются гибридной системой дифференциальных уравнений. В результате использования метода Фурье разделения переменных получается система уравнений:

„2 л, „2

-а1 A + р2( A - V(a)) - 0,

d4V

-а V

с краевыми условиями

їх

V (0) = V (I) = 0,

(IV (IV

^ (0) = — (I) = 0. ёх ёх

2 - С е = С Ь = т рр’ рр ’

где V(х) - амплитуда колебаний точек стержня, х - координата точек стержня, о - частота собственных колебаний, А - амплитуда колебаний груза в осцилляторе. Осциллятор состоит из груза массы т и пружины жесткости с , стержень имеет длину I. Осциллятор закреплен на стержне в точке х - а , р -плотность материала стержня, р - площадь поперечного сечения стержня, ] - момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний.

Известно, что

V

где V (х) - решение неоднородной краевой задачи с дифференциальным уравнением

О

ах

и краевыми условиями

V (—а) — V (I — а) — 0, дУ ( ^_дV.;

——(—а) (1— а) -0.

дх дх

Ставится задача: найти собственные частоты о и собственные формы У(х) колебаний стержня с осциллятором, то есть решить задачу (2) путем разложения решения уравнения (2) и его правой части в ряд Фурье по собственным формам однородной краевой задачи:

а 4р

ах4

р

—(—а) — —— (/— а) — °. дх дх

2. Определение собственных частот и форм однородной краевой задачи

Общее решение (3) имеет вид:

р

Из краевых условий (3) получим систему уравнений относительно постоянных с1, с2, с3, с4:

с1Б1 (в а) — с2 Б2 (ва) + с3 Б3 (ва) — с4 Б4 (ва) — 0,

О р( х) + Ь \к4 — 0,

< —с1Б4(ва) + с2 Б1(ва) — с3Б2(ва) + с4Б3(ва) — 0, с1Б1 (в(1 — а)) + с2 Б2 (в(1 — а)) + с3 Б3 (в(1 — а)) + с4 Б4 (в(1 — а)) — 0, с1Б4 (в(1 — а)) + с2 Б1 (в(1 — а)) + с3 Б2 (в(1 — а)) + с4 Б3 (в(1 — а)) — 0.

Здесь в — в (О)).

Из условия нетривиальности решения относительно неизвестных с1, с2, с3, с4 получим уравнение для определения собственных частот:

ЗДа) — Б2

-Б4

Бв — а)) Б2

Б4

— 0.

Чтобы найти собственные формы, соответствующие данной частоте Щ , из уравнения (4) выразим постоянные с1, с2,с3, с4 через с1 — с . Тогда собственные формы примут вид:

ф

где 0{(х) - некоторая функция от функций Крылова Б1,Б2,Б3,Б4, при этом ф(0) — сгОг(0) ^ 0, г —1,2,3,...

- номера гармоник (собственные частоты).

3. Определение собственных частот и форм неоднородной краевой задачи

Разложим решение V (х) уравнения (2), а также дельта-функцию Дирака с>(х) в ряд Фурье по собственным функциям р (х):

V(х) — (х),

г—1

3( х) — (х).

г —1

Подставив в (2), получим:

то то то

—Е аОФ1

—1 —1 —1

Отсюда вытекает соотношение:

—а огФ

Здесь р™ (х) — вр( х). Тогда а (—О + ЬвА )р (х) — ур (х), щ—-

7г

—о2 + Ьв4'

Из разложения

8

г—1

найдём у путем умножения на р. (х) и интегрирования в пределах от —а до I — а :

I—а то /—а

I 8

—а г—1 —а

При выполнении условия ортогональности

, Г0, г ^ .

I—а

| ф( х)ф. (х) ах—<

I—а

,2

получим:

I ф.2(х) ах, г — .

Р

п—-

(г I

2

|р2 (х)ах

Обозначим р( х) —

I—а

.2

| р2 (х)ах ,

тогда

г,— р

а —

1 р

Отсюда собственная функция равна

V

Примечание: Согласно (8), постоянная с1 сокращается, следовательно ее можно приравнять единице, то есть собственная функция примет вид

ф( х) — о, (х).

Согласно [1], уравнение на собственные частоты имеет вид:

—о2 +-----— 0.

1 + ^

Из (8) следует:

V (0)—Е-р^ •

г—0 —О + Ьв р

Г> V Ц

Выразим V (0) из (9):.

__ 2 __________________ 2 ____________________ 1

1 + eV (0)— Р2, вУ (0) —^т — 1, V (0) — -

соо сО в

—а

а

Подставляя сюда (10), получим уравнение для собственных частот о

рр

1

0 + ЬРі 11$ (х )||

( 2 Л

О - 1

V0 У

Собственные функции находим из (1а) с учетом (8).

4. Пример расчета и сопоставление с известным результатом

Для расчета были взяты параметры системы стержень с осциллятором из работы [2]:

I — 1 м, р — 8000кг/м3, Б - 0,0025 м2, ЕІ — 1нм2, с —10000 н/м, т -10 кг, а — 0,5 м.

Все вычисления производились в среде МаШСаё. Сначала была решена краевая задача (3).

В разложении в ряды Фурье удерживалось восемь слагаемых, соответствующих восьми частотам О — 5,003; о2 —13,79; о3 — 27,035; о4 — 44,69; о5 — 66,759; о6 — 93,242; о —124,139;

О —159,449 формам - ф(..., ф(х),

и восьми

показанным ниже

2

График, соответствующий уравнению на собственные частоты (11) имеет вид:

Точки пересечения графика с осью абсцисс дают следующие частоты

О — 3,3; о2 — 21,547; о3 — 48,75; о4 — 78,912; о5 —129,593; Собственная форма была подсчитана согласно (8) для второй частоты, что дало

Рассчитанные собственные частоты и форма удовлетворительно согласуются с данными, полученными в [2].

Заключение

Приведенный способ определения собственных частот и собственных форм может быть применен в задаче о колебаниях пластины с твердыми телами конечных размеров, которые соединены с пластиной амортизаторами под разными углами. При этом учитываются не только поступательные смещения твердых тел вместе с центром масс, но и их угловые смещения. Решение данной задачи имеет важное значение для развития основ теории виброзащитных систем (ВЗС).

Приложение

Доказательство условия ортогональности.

Произведем умножение амплитудных уравнений стержня на собственные функции противоположного индекса:

со2ф

Для интеграла от произведения четвертой производной собственной функции на саму функцию имеем

I—а I—а

I рГ (х)р. (х)ах — I р] (х)р (х)—р. (х)р" (х)|'

l-a

-a

-a -a

l-a l-a

- j pf1 (x)pj (x) dx--j p!I (x)pj (x) dx--j pj (x) dp1 (x) -

-a -a

l-a l-a

— -Ф] (х)$ (х)|+ | Фі (х)$ (х)— | $ (х)$ (х)йх

-а -а

В результате получим

І-а І-а

-О2 (х) | ф (х) ф (х) йх + Ь | ф1 (х) фф (х) йх — 0

-а -а

Аналогично

І-а І-а

-О2(х) | ф] (х)ф (х) йх + Ь | фф (х)ф‘І (х) йх — 0

-а -а

Вычтя из второго уравнения первое, получим

l-a

(а2 -а]) j ф (x) ф (x) dx - 0

-a

Отсюда при i ^j получим

l-a

j p (x)p (x) dx - 0

-a

то есть

l-a ^ i * j

f pi(x )pj (x) * - |l jp (x) dx,

i-j

Литература

1. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - №2(22). - 2009. - С.13-20.

2. Цыцыренова М.Ж. Исследование собственных колебаний виброзащитных систем с учетом упругости основания: дипл. работа. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2009.

Баргуев Сергей Ганжурович, кандидат физико-математических наук, доцент Бурятского филиала Сибирского университета телекоммуникации информатики, e-mail: barguev @ yandex .ru

Мижидон Арсалан Дугарович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета.

Barguev Sergey Ganzhurovich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of Buryat Branch of Siberian Telecommunications University of Informatics.

Mizhidon Arsalan Dugarovich, doctor of technical sciences, professor, head of applied mathematics department of East Siberian State University of Technology.

a

a

-a