Моделирование фильтрации жидкости через пластически деформируемую пористую среду в процессе экструзионного отжима

ВЕСТНИК ПНИПУ

2014 Механика № 2

УДК 532.546.2

С.Д. Анферов, О.И. Скульский

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПЛАСТИЧЕСКИ ДЕФОРМИРУЕМУЮ ПОРИСТУЮ СРЕДУ В ПРОЦЕССЕ ЭКСТРУЗИОННОГО ОТЖИМА

Модели течения жидкости через недеформируемые или упругодеформируемые пористые среды нашли широкое применение. Особенно стоит выделить решение задач подземной гидродинамики и нефтедобычи. Предложенная в работе гидродинамическая модель фильтрационного течения жидкости через пластически деформирующийся пористый скелет находит свое применение при исследовании процесса экструзионного отжима масла из семян рапса. В ходе этого процесса пористый скелет претерпевает значительные необратимые деформации, что требует иного подхода к описанию поведения материала. Исходный продукт в данной работе был представлен двухкомпонентной смесью, состоящей из пластически деформируемой пористой сжимаемой среды и равномерно распределенного в ней масла. Компоненты смеси предполагались не реагирующими между собой. В соответствии с распространенным в теории экструзионной обработки полимеров подходом задача была рассмотрена в обращенном движении, канал шнека был развернут на плоскость, а в качестве определяющего соотношения для составляющих смеси была использована модель вязкой жидкости. Дальнейшая постановка задачи была выполнена в рамках Эйлерова подхода к описанию движения в двумерной постановке для среднего сечения развернутого на плоскость канала шнека. Сформулированная в этой модели краевая задача основана на уравнениях баланса количества движения и сохранения массы каждой из составляющих смеси. Независимыми переменными поставленной краевой задачи являются: давление в смеси, давление в масле, скорости движения смеси и масла. Гипотеза пропорциональности скорости отжима давлению фильтрующейся жидкости позволяет получить приближенное аналитическое решение для постоянных коэффициентов фильтрации и сжимаемости среды.

Ключевые слова: математическая модель, пластически деформируемая пористая среда, экструзионный отжим, фильтрация, масло, семена рапса

S.D. Anferov, O.I. Skul'skiy

Institute of Continuous Media Mechanics UrB RAS, Perm, Russian Federation

MODELLING OF FLUID FILTRATION THROUGH PLASTICALLY DEFORMED POROUS MEDIUM IN THE PROCESS OF EXTRUSION

Mathematical models of fluid flow through non-deformable or elastically deformable porous media have become widely used. Especially they are common in water resources and oil drilling problems. The proposed hydrodynamic model of fluid filtration through plastically deforming porous skeleton, finds

application in the investigation of the rapeseed extrusion extraction process. During this process the porous skeleton undergoes large inelastic deformation, which requires an alternative approach to the material behavior description. The material was presented by a two-component mixture of plastically deformable compressible porous medium saturated by oil. The mixture components were assumed to be nonreactive. According to the polymers extrusion processing theory, the problem was considered in reverse motion, the screw channel was unrolled on the plane, and viscous fluid model was used as governing equation for both mixture components. Further problem formulation was performed in the framework of the Euler motion description approach in a two-dimensional formulation for the plane of screw channel middlesection. Boundary-value problem formulated based on momentum balance and mass conservation equations for each mixture component. The boundary value problem independent variables are the mixture pressure, oil pressure, mixture velocity and oil velocity. The hypothesis of extraction speed proportionality to the oil pressure allows obtaining an approximate analytical solution for a constant filtration and compressibility coefficients.

Keywords: mathematical model, plastically deformed porous medium, extrusion and extraction, filtration, oil, rape seeds.

Введение

Математические модели фильтрации жидкостей через недефор-мирующиеся пористые среды широко известны и хорошо разработаны [1-7]. Менее изучены процессы фильтрации в упругодеформирующих-ся средах [8-10]. Для фильтрации жидкостей и газов в условиях развитого пластического движения пористых сред общепринятые математические модели не так многочисленны [11-13], хотя в природе и технологических процессах такие явления существуют, например, при течении расплавленной газонасыщенной лавы при извержении вулканов [14], отжиме масла из масличных зерновых культур и производстве биотоплива [15].

Существующие коммерческие пакеты программ не позволяют моделировать течения неньютоновских жидкостей, осложненные процессами сжимаемости, диффузии и массопереноса.

Целью данного исследования является построение математической модели, позволяющей применять современные математические методы расчета к анализу процесса экструзионного отжима.

Экструзионный отжим через зеерную камеру [16-17] является одним из способов получения растительного масла из семян масличных культур. Зеерная камера представляет собой часть корпуса шнека и состоит из набора тонких продольных стальных пластин, малые зазоры между которыми препятствуют проникновению измельченной обрабатываемой масличной культуры, но свободно пропускают масло [18]. Вращение шнека-винта внутри корпуса экструдера обеспечивает продвижение смеси по направлению к головке, гидродинамическое сопротивление которой вызывает встречный перепад давления в смеси

по длине канала. Фильтрация масла через пластически деформируемую пористую смесь (жмых) и отжим масла за пределы канала экструдера через зеерную камеру вызывают радиальный перепад давления в масле.

Растительное масло, полученное из высококачественных семян рапса, характеризуется высоким содержанием полезных полиненасыщенных жирных кислот, что существенно отличает его от других видов растительных масел. В семенах озимого рапса содержится 35-45% масла. Масло используют в пищу, применяют в полиграфической, лакокрасочной, мыловаренной промышленности и в производстве биотоплива.

1. Постановка задачи

Задача течения материала в винтовом экструдере ставилась в «обращенном движении» (шнек неподвижен, а корпус вращается). Винтовой канал разворачивался на плоскость, и выделялось продольное срединное сечение (рис. 1). Нижняя граница полученного плоского канала оставалась неподвижной, а верхняя двигалась с заданной скоростью под углом к продольной оси. Продольная составляющая потока в этом случае является результатом тянущего движения стенки и встречного градиента давления, возникающего за счет сопротивления головки экструдера [19-23]. Концевая часть верхней подвижной границы развернутого на плоскость канала представляет собой область контакта материала с зеерной камерой, через которую происходит отжим масла. Высота канала Н соответствует глубине нарезки шнека, длина Ь соответствует длине образующей винтовой линии в середине глубины нарезки [24, 25].

Рис. 1. Схема экструдера для отжима масла

Экструдируемый продукт представляет собой двухкомпонентную смесь, состоящую из клетчатки, образующей пористую структуру, и распределенного в ее порах масла. Клетчатка и масло имеют практически одинаковую плотность, химически не реагируют между собой. Из-за отжима масла за пределы канала смесь клетчатки и масла проявляет свойство сжимаемости, которое однозначно связано с фильтрационными свойствами пористой среды.

В общем случае система дифференциальных уравнений, описывающих процесс экструзионного отжима масла, состоит из уравнения движения смеси, включающей клетчатку с остаточным содержанием масла,

Рс

дУ / ^

=у-«,

определяющих соотношений для маслосодержащей смеси

о=-Р1+2|1Б+М

уравнений сохранения масс

у)=-у , дт+у-

уравнения Дарси движения масла в пористой смеси [26]

w=-К,УРк.

Поскольку камера проницаема для масла и непроницаема для остальных компонентов смеси, поля давления масла и смеси не совпадают [27]. Комбинация уравнения сохранения и уравнения Дарси приводит к уравнению для определения поля давления для масла

дРт-У[РтК/УР,] = J .

Скорость изменения элементарного объема отжатого масла определяет скорость изменения элементарного объема смеси.

У-у=У^.

Здесь о - тензор напряжений; Б - симметричная часть градиента скорости; у - вектор скорости смеси; w - вектор скорости фильтрации

масла,; I - единичный тензор; Р - давление в смеси; Р— - давление в масле; ц - динамическая вязкость смеси; р5 - плотность смеси; рт -плотность масла; К1 - коэффициент фильтрации; 3 - скорость отжима масла из смеси.

Двумерная стационарная краевая задача ставилась в декартовой системе координат, в которой ось х направлена по нижней непроницаемой стенке канала, а ось у - по его высоте (рис. 2).

Рис. 2. Схема развернутого на плоскость канала шнека: 1 - среднее сечение; Ь - длина канала; Н - высота канала. Г0 - входное сечение канала; Г - выходное сечение канала; Г2 - нижняя сплошная неподвижная стенка; Г3 - сплошная часть верхней подвижной стенки; Г4 - проницаемая часть верхней подвижной стенки

Во входном сечении канала Г0 давление равно атмосферному, которое принято за отсчетное Г0: Р=0; Р— = 0 . В выходном сечении канала Г1 приложена распределенная нагрузка Г1: Р=РЬ (С2Ь), действующая навстречу тянущему движению стенки, численно равная сопротивлению экструзионной головки (где Рь (<2Ь) - расходно-напорная

характеристика головки).

На сплошных стенках канала Г 2 и Г3 выполняются условия при-

дР

липания для смеси и масла Г2: Ух = 0;у = 0; wy = 0^——=0;

ду

дР

Г 3: Ух = v0';vy = 0;—у = 0^——=0, а на проницаемой верхней стенке Г 4 -

ду

условия прилипания только для смеси Г 4: Ух = у0; уу = 0; Р— = 0. Уравнения (1)-(6) с граничными условиями на плоскостях Г0-Г4 представляют собой замкнутую краевую задачу.

2. Аналитическое решение

Поскольку напорная зона канала экструдера представляет собой обычный винтовой шнек, для которого методы аналитического и численного моделирования хорошо разработаны, остановим свое внимание на зеерной камере, в которой происходит отжим масла. Принимая во внимание большую относительную длину канала зеерной камеры, отметим, что единственная ненулевая продольная компонента скорости смеси благодаря сжимаемости из-за оттока масла за границу расчетной области является функцией двух координат ух (х, у). Давление

смеси Р(х) одномерное, но из-за нелинейности реологических свойств может быть нелинейным. Давление в масле РМ1 (х, у) двумерно и отличается от давления смеси [27], а вектор скорости фильтрации масла имеет две компоненты wx (х,у) и wy (х,у).

Движение смеси в канале винта экструдера в изотермическом режиме с постоянными коэффициентами сдвиговой и объемной вязкости в рамках принятых допущений описывается системой уравнений

"Рх^дХ^хх

Вязкость смеси в общем случае является функцией давления, концентрации масла, скорости сдвига и температуры [3, 28]. В первом приближении будем считать динамическую вязкость смеси постоянной. Определяющие соотношения в этом случае имеют вид

Т^у^^^М^,

дх дх

Ту .

Подстановка определяющих соотношений в уравнение движения приводит с учетом условия Стокса гк=-3Д к уравнению в частных

производных второго порядка

дР —

дх

г д V д V ^ 1 д2

дх ду

2

У

с»)

Движение масла через пористую смесь определяется законом

Дарси

w., =-К

Р

Эх

у ' Эу

Условия равенства скорости изменения объемов

дух т (Э.х Э.х ^ дх

=-У.

Эх Эу

--3

после подстановки закона Дарси принимают вид

^2

-К,

Э 2Р Э 2Р.

Л

Эх2 Эу2

Эх

Предположив, что скорость отжима масла из элементарного объема пропорциональна давлению в масле, положим

Эк.

3--

Эх

Уравнение движения и уравнение для давления в масле преобра зуются к виду

ЭР Э 2у

4 ЭР. __%_.

3Х Эх

2

-К,

Э2 Р.., + Э2 Р.

Л

Эх2 Эу2

где коэффициент % определяется фильтрационными свойствами пористого скелета. Система уравнений (15) и (16) при заданном распределении давления смеси Р(х) совместно с граничными условиями представляют собой замкнутую краевую задачу для независимых переменных Р., Ух. Неизвестные переменные .х,.у являются зависимыми [13, 29] и определяются из уравнений (11).

Будем искать решение для давлений в виде [4, 30]

Р

Интегрирование (14) с учетом граничных условий дает скорость смеси в виде

Дх у у

Хрп

Е (У )екх у).

Подставив (17) и (18) в уравнение движения (15) и приведя подобные, получим

(

4 * Е+0-

хд

Подставив (17) в (16), получим еще одно обыкновенное дифференциальное уравнение

((

2 , Х

Л

к2+

К

Е+

г /

Эу2

Л

=0.

Уравнения (19) и (20) имеют одинаковую структуру

2

А2 е+

ду2

--В.

общее решение имеет вид

Е=С1ео8( Ау) + С2в1и( Ау) +

В_ А2

Для смеси константы интегрирования определяются из гранич-

В

ных условий Еу=0 = ^ Еу=н =Го и равны Сг =—"А^

С =

В сов

2 А2 мп

Функция е(у) принимает вид

В А2

мп

С0Б( Ау)+1

мп

а профиль скорости смеси определяется формулой у Вх

^ = V

Н А2к

5ш

Со^( Ау)+1

Рпе

кх

Объемный расход смеси

^ = Г\ (х,у)йу=^ - ВХ-Р. ekx

^ Jo ^ 'у> у 2 А2к

к2

1

( V \

2(^( АН )-1) _АЫАН)~

+Н

где А=—;=к ; В=--; к=—log

\3 ДХ ^

Р

Р

\ т J

Давление смеси в экструдере Р0 создается регулируемым сопротивлением формующей головки и связано с расходом смеси на выходе из шнека.

Для масла константы интегрирования определяются из граничных условий для давления фильтрующейся жидкости, которые позволяют получить следующие выражения для щ(у): —

йу

Таким образом, С1 =1, С2 = 0 и функция g(у) принимает вид

g=Ау )

а распределение давления для масла определяется формулой

РК = Ртек ^(Ау),

=0, Щ =1.

у=0

где А =

2 , X

к 2 +

К

В=0.

f J

С другой стороны, условие свободного выхода масла через стен-

I п

ку зеерной камеры щ = 0 требует, чтобы А =-. Из условия

у= 2Н

к2 +

К

^ П2 п

г J

4Н2

вычисляется константа Х=К

! п2

Л

ч4Н J

, опреде-

ляющая зависимость сжимаемости смеси от коэффициента фильтрации.

Окончательно фильтрационный поток масла определяется следующими выражениями:

дР

=-Кг ^=-КРк^| \екх. х 1 дх /т 12Н '

^ =-К, ^ = " 12Н) ,

у 1 ду 2 Н V 1

где параметр автомодельности определяется выражением

к = Ь (Р0/ Рт) Ь '

Скорость отжима масла через зеерную камеру определяется формулой

( пу Л

Кр пек^т

ПУ V 2 Н у

у\у=н 2 Н

КР пе

-,

2Н

у=Н

а объемный выход масла канала зеерной камеры после интегрирования (30) и умножения на ширину развернутого канала Ь принимает вид

01 = ь ГV

у J0 у ^ ' 1у=Н 2кН ^

Фильтрационный поток масла вдоль канала

ОМ = Ь/0Ч

0п

пренебрежимо мал по сравнению с радиальным, поскольку обычно отношение Н/Ь «1.

3. Результаты расчета

Расчет экструзионного отжима масла проводился для прямоточного шнека с радиусом Я=0,0225 м, глубиной канала Н=0,008 м и углом подъема винтовой нарезки ф=17°. В обращенном движении скорость верхней стенки при числе оборотов винта п=10 об/мин равна

2пЯп . Д й

у0 =- м/с. Длина развернутого на плоскость канала зеерной ка-

60^

меры составляла 0,5 м и содержит 10 витков шнека. Регулируемое сопротивление экструзионной головки определяет противодавление в канале экструдера и может изменятся от нуля при свободном выходе до максимального значения, соответствующего закрытому выходу.

Гидродинамическое сопротивление экструзионной головки Р0 в данном случае принималось равным 10 МПа, что соответствует средним реальным значениям сопротивления головки при отжиме. Вязкость смеси ц=3,5х104 нс/м2 [31], значение эффективного коэффициента фильтрации Кг было принято равным 0,310-11 м4/нс [32]. Результаты

расчета основных характеристик отжима представлены на рис. 3-6.

Распределение скорости смеси по высоте канала почти во всей области близко к линейному (см. рис. 4), за исключением области выхода из экструдера. Следует отметить, что и другие полученные распределения проявляют нелинейность вблизи головки экструдера. В этой области резко возрастает давление смеси (см. рис. 3), а также наблюдается значительный перепад давления масла по высоте канала (см. рис. 5), что приводит к более интенсивному отжиму масла (см. рис. 6). В экспериментах по экструзионному отжиму было замечено подобное поведение отжимаемой жидкости вблизи выхода из шнека.

Рис. 3. Распределение давления в смеси Рис. 4. Распределение обезразмеренной

скорости смеси

Рис. 5. Распределение давления в масле Рис. 6. Распределение обезразмеренной

вертикальной скорости фильтрации

4. Обсуждение

Полученное аналитическое решение удовлетворяет системе уравнений поставленной краевой задачи течения бинарной смеси с фильтрацией жидкой фракции с постоянными коэффициентами вязкости и проницаемости. Сравнение результатов расчета распределения скорости отжима и давления для масла по длине канала экструдера с экспериментальными данными показало, что в то время как аналитическое решение предсказывает экспоненциальное возрастание давления в масле и скорости фильтрации по длине канала зеерной камеры, замеренное в реальном процессе отжима распределение массового выхода отжатого масла по длине зеерной камеры имеет максимум [17, 18], что очевидно связано с существенно нелинейной зависимостью вязкости и проницаемости от давления в смеси [31]. Решение краевой задачи с нелинейными свойствами может быть получено численно, что является предметом дальнейшего исследования.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 10-08-69096р.

Библиографический список

1. Механика насыщенных пористых сред / В.Н. Николаевский, К С. Басниев, А.Т. Горбунов, Г.А. Зотов. - М.: Недра, 1970. - 339 с.

2. Боренблат Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах. - М.: Недра, 1984. - 208 с.

3. El-Amin M.F., Salama A, Sun S., A Conditionally Stable Scheme for a Transient Flow of a Non-Newtonian Fluid Saturating a Porous Médium // Procedia Computer Science. - 2012. - Vol. 9. - P. 651-660. doi: 10.1016/j.procs.2012.04.070

4. Asgari A., Bagheripour M.H., Mollazadeh M. A generalized analytical solution for a nonlinear infiltration equation using the exp-function method // Scientia Iranica. - 2011. - Vol. 18. - Iss. 1. - P. 28-35. doi: 10.1016/j.scient.2011.03.004

5. Меретуков З.А., Косачев В.С., Кошевой Е.П., Решение задачи нелинейной напоропроводности при отжиме // Известия вузов. Пищевая технология. - 2011. - Т. 323-324, № 5-6. - С. 62-64.

6. Меретуков З.А., Кошевой Е.П., Косачев В.С. Решение дифференциального уравнения отжима // Новые технологии. - 2011. - № 4. -С. 54-57.

7. Model coupling for multiphase flow in porous media / R. Helmig,

B. Flemisch, M. Wolff, A. Ebigbo, H. Class //Advances in Water Resources. -2013. - Vol. 51. - P. 52-66. doi: 10.1016/j.advwatres.2012.07.003

8. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика - М.: Недра, 1996. - 446 с.

9. Костерин А.В., Березинский Д. А. Насыщенно-ненасыщенные состояния деформируемых пористых сред // Докл. АН России. - 1998. -Т. 358, № 3. - С. 343-345.

10. Kondaurov V.I. A non-equilibrium model of a porous medium saturated with immiscible fluids // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 2009. - Vol. 73. - Iss. 1. - P. 88-102. doi: 10.1016/j.jappmath-mech.2009.03.004

11. Петров И. А., Славнов Е.В. Моделирование шнек-прессового отжима как совокупности процессов течения вязкой несжимаемой смеси и фильтрации жидкости сквозь пористую среду // Вычислительная механика сплошных сред. -2013. - Т. 6, № 3. - С. 277-285. doi: 10.7242/1999-6691/2013.6.3.31

12. Аптуков В. Н. Модель упруговязкопластического пористого тела // Вестник Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика. -2008. - № 4. - С. 77-81.

13. Mixed and Galerkin finite element approximation of flow in a linear viscoelastic porous medium / E. Rohan, S. Shaw, M.F. Wheeler, J.R. Whiteman // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2013. - Vol. 260. - P. 78-91. doi: 10.1016/j.cma.2013.03.003

14. Бармин А.А., Мельник О.Э., Скульский О.И. Модель стационарного неизотермического течения магмы в канале вулкана с учетом скольжения на границе // Вычислительная механика сплошных сред. -2012. - Т. 5, № 3. - С. 354-358.

15. Тадмор З., Гогос К. Теоретические основы переработки полимеров. - М.: Химия, 1984. - 628 с.

16. Яковлев Д. А. Теоретические исследования процесса отжима сока шнековым рабочим органом с дополнительным дренирующим контуром // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2011. - Т. 11, № 7. -

C.997-1004.

17. Яковлев Д. А. Рационализация шнекового рабочего органа для отжима сока из зеленых растений // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. -2010. - Т. 10, № 4. - С. 556-559.

18. Белобородов В.В. Основные процессы производства растительных масел. - М.: Пищевая промышленность, 1966. - 240 с.

19. Раувендаль К. Экструзия полимеров. - СПб: Профессия, 2006. - 768 с.

20. Скульский О.И. Численное моделирование одночервячных экструдеров // Пластические массы. -1997. - № 8, -С. 39-43.

21. Savenkova O.V., Skul'skiy O.I., Slavnov Ye.V. Thermal modes existing in screw extruder for thermoplastic materials // Fluid Mechenics-Soviet Research. - 1987. - Vol. 16. - No. 3. - P. 128-133.

22. Skulsky O.I. Numerical solution problems of highly concentrated rod-like makromolecules // Inter J. Polymeric Mater. - 1994. - № 27. -P. 67-75.

23. Скульский О.И., Славнов Е.В. Диффузия влаги при экструзи-онной переработке увлажненного зерна // Вычислительная механика сплошных сред. - 2008. - Т.1, № 2. - С. 74-81.

24. Анферов С.Д., Скульский О.И., Славнов Е.В. Математическая модель течения вязкой пористой среды в приложении к процессу экс-трузионного отжима масличных культур // Вестник Перм. ун-та. Математика, механика, информатика. - 2011. - № 3. - С. 55-64.

25. Anferov S.D., Skulskiy O. I., Slavnov E.V. Mathematical model of rape oil extrusion extraction //Journal of International Scientific Publications: Ecology & Safety. - 2012. -Vol. 6. - Part 2. - P. 81-87.

26. Liu J., Mu L., Ye X. A Comparative Study of Locally Conservative Numerical Methods for Darcy's Flows // Procedia Computer Science. -2011. - Vol. 4. - P. 974-983. doi: 10.1016/j.procs.2011.04.103

27. Fucik R., Mikyska J. Discontinous Galerkin and Mixed-Hybrid Finite Element Approach to Two-Phase Flow in Heterogeneous Porous Media with Different Capillary Pressures // Procedia Computer Science. -

2011. - Vol. 4. - P. 908-917. doi: 10.1016/j.procs.2011.04.096

28. Торнер Р.В. Теоретические основы переработки полимеров. -М.: Химия, 1977. - 464 с.

29. Sun S., Salama A., El-Amin M.F. An Equation-Type Approach for the Numerical Solution of the Partial Differential Equations Governing Transport Phenomena in Porous Media // Procedia Computer Science. -

2012. - Vol. 9. - P. 661-669. doi: 10.1016/j.procs.2012.04.071

30. Choquet C. On a fully coupled nonlinear parabolic problem modelling miscible compressible displacement in porous media // Journal of

Mathematical Analysis and Applications. - 2008. - Vol. 339. - Iss. 2. -P. 1112-1133. doi: 10.1016/j.jmaa.2007.07.037

31. Славнов Е.В., Петров И. А., Анферов С. Д. Изменение вязкости экструдата рапса в процессе отжима масла (влияние давления) // Аграрный вестник Урала. - 2011. - № 9. - С. 16-19.

32. Славнов Е.В. Изменение проницаемости масличных культур в процессе отжима масла на примере экструдата рапса // Доклады Рос. акад. с.-х. наук. -2013. - № 3. - С. 58-60.

References

1. Nikolaevskiy V.N., Basnieva K.S., Gorbunov A.T., Zotov G.A. Mekhanika nasyshchenykh poristykh sred [Saturated porous media mechanics]. Moscow: Nedra, 1970, 339 p.

2. Borenblat G.I., Entov V.M., Ryzhik V.I. Dvizhenie zhidkostei i ga-zov v prirodnykh plastakh [Movement of liquids and gases in natural formations]. Moscow: Nedra, 1984, 208 p.

3. El-Amin M.F., Salama A, Sun S. A Conditionally Stable Scheme for a Transient Flow of a Non-Newtonian Fluid Saturating a Porous Medium, 2012. Procedia Computer Science, vol. 9, pp. 651-660. doi: 10.1016/j.procs.2012.04.070

4. Asgari A., Bagheripour M.H., Mollazadeh M. A generalized analytical solution for a nonlinear infiltration equation using the exp-function method. Scientia Iranica, 2011. vol. 18, iss. 1, pp. 28-35. doi: 10.1016/j.scient.2011.03.004

5. Meretukov Z.A., Kosachev V.S., Koshevoi E.P. Reshenie zadachi nelineinoi naporoprovodnosti pri otzhime [Nonlinear pressure conductivity problem solution under extraction conditions]. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Pishchevaia tekhnologiia, 2011, vol. 323-324, no. 5-6, pp. 62-64.

6. Meretukov Z.A., Koshevoi E.P., Kosachev V.S. Reshenie different-sial'nogo uravneniia otzhima [Extraction differential equation solution]. Novye tekhnologii, 2011, no. 4, pp. 54-57.

7. Helmig R., Flemisch B., Wolff M., Ebigbo A., Class H. Model coupling for multiphase flow in porous media. Advances in Water Resources, 2013, vol. 51, pp. 52-66. doi: 10.1016/j.advwatres.2012.07.003

8. Nikolaevskiy V.N. Geomekhanika i fliuidodinamika [Geo-mechanics and fluid-dynamics]. Moscow: Nedra, 1996, 446 p.

9. Kosterin A.V., Berezinskii D.A. Nasyshchenno-nenasyshchennye sostoianiia deformiruemykh poristykh sred [Saturated-unsaturated state of deformable porous media]. Doklady Rossiiskoi akademii nauk, 1998, vol. 358, no. 3, pp. 343-345.

10. Kondaurov V.I. A non-equilibrium model of a porous medium saturated with immiscible fluids. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2009, vol. 73, iss. 1, pp. 88-102. doi: 10.1016/j.jappmath-mech.2009.03.004

11. Petrov I.A., Slavnov E.V. Modelirovanie shnek-pressovogo otz-hima kak sovokupnosti protsessov techeniia viazkoi neszhimaemoi smesi i fil'tratsii zhidkosti skvoz' poristuiu sredu [Simulation of screw-press oil extraction as a set of two processes: incompressible viscous mixture flow and fluid filtration in porous medium]. Computational continuum mechanics, 2013, vol. 6, no. 3, pp. 277-285. doi: 10.7242/1999-6691/2013.6.3.31

12. Aptukov V.N. Model' uprugo-viazkoplasticheskogo poristogo tela [The model of the elasto-viscoplastic porous body]. VestnikPermskogo uni-versiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika, 2008, no. 4, pp. 77-81.

13. Rohan E., Shaw S., Wheeler M.F., Whiteman J.R. Mixed and Galerkin finite element approximation of flow in a linear viscoelastic porous medium. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2013, vol. 260, pp. 78-91. doi: 10.1016/j.cma.2013.03.003

14. Barmin A.A., Mel'nik O.E., Skul'skii O.I. Model' statsionarnogo neizotermicheskogo techeniia magmy v kanale vulkana s uchetom skol'z-heniia na granitse [Model of steady non-isothermal magma flow in volcano channel with slip on the boundary]. Computational continuum mechanic, 2012, vol. 5, no. 3, pp. 354-358.

15. Tadmor Z., Gogos K. Teoreticheskie osnovy pererabotki polimerov [Theoretical bases of polymer processing]. Moscow: Khimiia, 1984, 628 p.

16. Iakovlev D.A. Teoreticheskie issledovaniia protsessa otzhima soka shnekovym rabochim organom s dopolnitel'nym dreniruiushchim konturom [Theoretical investigation of Juice extrusive extraction process with an additional drain circuit]. Vestnik Donskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2011, vol. 11, no. 7, pp. 997-1004.

17. Iakovlev D.A. Ratsionalizatsiia shnekovogo rabochego organa dlia otzhima soka iz zelenykh rastenii [Rationalization of the screw-working body for extraction of juice from green plants]. Vestnik Donskogo gosu-darstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2010, vol. 10, no. 4, pp. 556-559.

18. Beloborodov V.V. Osnovnye protsessy proizvodstva rastitel'nykh masel [Basic processes of vegetable oil production]. Moscow: Pishchevaia promyshlennost', 1966, 240 p.

19. Rauvendal' K. Ekstruziia polimerov [Polymer extrusion]. Saint Petersburg: Professiia, 2006, 768 p.

20. Skul'skiy O.I. Chislennoe modelirovanie odnocherviachnykh ek-struderov [Numerical modeling of single-screw extruders]. International Polymer Science and Technology, 1998, vol. 25, no. 4, pp. 91-95.

21. Savenkova O.V., Skul'skiy O.I, Slavnov Ye.V. Thermal modes existing in screw extruder for thermoplastic materials. Fluid Mechenics-Soviet Research, 1987, vol. 16, no. 3, pp. 128-133.

22. Skulsky O.I. Numerical solution problems of highly concentrated rod-like macromolecules. Inter J. Polymeric Mater., 1994, no. 27, pp. 67-75.

23. Skulskiy O.I., Slavnov Ye.V. Diffuziia vlagi pri ekstruzionnoi pererabotke uvlazhnennogo zerna [Diffusion of moisture during extrusion processing of wet grain]. Computational continuum mechanics, 2008, vol. 1, no. 2, pp. 74-81.

24. Anferov S.D., Skulskiy O. I., Slavnov Ye.V. Matematicheskaia model' techeniia viazkoi poristoi sredy v prilozhenii k protsessu ekstruzion-nogo otzhima maslichnykh kul'tur [Mathematical model of viscous porous medium flow in application to the oilseed extrusive extraction]. Vestnik Permskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika, 2011, no. 3, pp. 55-64.

25. Anferov S.D., Skulskiy O. I., Slavnov E.V. Mathematical model of rape oil extrusion extraction. Journal of International Scientific Publications: Ecology & Safety, 2012, vol. 6, part 2, pp. 81-87.

26. Liu J., Mu L., Ye X., A Comparative Study of Locally Conservative Numerical Methods for Darcy's Flows. Procedia Computer Science, 2011, vol. 4. pp. 974-983. doi: 10.1016/j.procs.2011.04.103

27. Fucik R., Mikyska J. Discontinous Galerkin and Mixed-Hybrid Finite Element Approach to Two-Phase Flow in Heterogeneous Porous Media with Different Capillary Pressure. Procedia Computer Science, 2011, vol. 4, pp. 908-917. doi: 10.1016/j.procs.2011.04.096

28. Torner R.V. Teoreticheskie osnovy pererabotki polimerov [Theoretical principles of polymer processing]. Moscow: Khimiya, 1977, 464 p.

29. Sun S., Salama A., El-Amin M.F. An Equation-Type Approach for the Numerical Solution of the Partial Differential Equations Governing

Transport Phenomena in Porous Media. Procedia Computer Science, 2012, vol. 9, pp. 661-669. doi: 10.1016/j.procs.2012.04.071

30. Choquet C. On a fully coupled nonlinear parabolic problem modelling miscible compressible displacement in porous media. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, vol. 339, iss. 2, pp. 11121133. doi: 10.1016/j.jmaa.2007.07.037

31. Slavnov E.V., Petrov I.A., Anferov S.D. Izmenenie viazkosti ek-strudata rapsa v protsesse otzhima masla (vliianie davleniia) [Rape cake viscosity variation during oilseeds extraction (pressure influence)]. Agrarnyi vestnik Urala, 2011, no.10, pp. 16-18.

32. Slavnov E.V. Izmenenie pronitsaemosti maslichnykh kul'tur v protsesse otzhima masla na primere ekstrudata rapsa [Oilseeds permeability variation during rape oil extraction]. Doklady Rossiiskoi akademii sel'skok-hoziaistvennykh nauk, 2013, no. 3, pp. 58-60.

Об авторах

Анферов Сергей Дмитриевич (Пермь, Россия) - инженер-исследователь лаборатории механики термопластов Института механики сплошных сред УрО РАН (614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1, e-mail: anferov@icmm.ru).

Скульский Олег Иванович (Пермь, Россия) - доктор технических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории механики термопластов Института механики сплошных сред УрО РАН (614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1, e-mail: skul@icmm.ru).

About the authors

Sergey D. Anferov (Perm, Russian Federation) - Research Engineer of Laboratory of Thermoplastics Mechanics, Institute of Continuous Media Mechanics UrB RAS (1, Akademik Korolev str., 614013, Perm, Russian Federation, e-mail: anferov@icmm.ru).

Oleg I. Skulskiy (Perm, Russian Federation) - Doctor of Technical Sciences, Leading Researcher of Laboratory of Thermoplastics Mechanics, Institute of Continuous Media Mechanics UrB RAS (1, Akademik Korolev str., 614013, Perm, Russian Federation, e-mail: skul@icmm.ru).

Получено 22.12.2013

Просьба ссылаться на эту статью в русскоязычных источниках следующим образом:

Анферов С.Д., Скульский О.И. Моделирование фильтрации жидкости через пластически деформируемую пористую среду в процессе экструзионного отжима // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2014. - № 2. - С. 29-47.

Please cite this article in English as:

Anferov S.D., Skul'skiy O.I. Modelling of fluid filtration through plastically deformed porous medium in the process of extrusion. PNRPU Mechanics Bulletin. 2014. No. 2. P. 29-47.