Математическая модель замкнутой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины

Р. Ф. Гильмутдинов, А. П. Кирпичников

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАМКНУТОЙ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЧЕРЕДЬЮ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

Ключевые слова: Система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель замкнутой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины. Проведена подробная математическая формализация модели и впервые вычислены вторые моменты всех важнейших числовых характеристик систем массового обслуживания этого типа.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

The mathematical model of multi-channel queuing system of the closed type with queue of the finite length is presented. A detailed mathematical formalization of the model is held; for the first time the second moments of all the important numerical characteristics of queuing system of this type are calculated.

Рассматриваемая в этой работе система массового обслуживания является наиболее общей по отношению к трем ранее изученным вариантам [1 -3] замкнутых СМО и при соответствующем выборе её параметров может быть сведена к любому из них. Предположим, что в системе имеется конечное число требований N т обслуживающих приборов (каналов) и, кроме того, конечное число мест для ожидания, что общее число требований в очереди не может превышать Е. Предположим также, что N > т+Е, при этом все требования, поступающие в систему тогда, когда в ней уже имеется т+Е заявок, теряются и немедленно возвращаются в группу поступающих так, как будто бы они были полностью обслужены (на языке символики Кендалла - это система М/М/т/Б/Ы). Граф состояний такой СМО имеет вид, изображенный на рис. 1. При N=т + Е эта модель переходит в модель замкнутой многоканальной СМО, рассмотренную в работе [2], а при I=Е=0 - в модель Энгсета [3].

Решение уравнений Колмогорова в данном случае вполне аналогично тому, которое было получено в работе [2] для модели М/М/т/Ж, так что запишем сразу его конечный результат, которым является связка формул

N [к] рк , ,

Рк =-п— Р0 = CN Р Ро при к ^ т ;

Рк =

к!

N[k V

m!mk-m

р0 при m < к < m + E

Р0 =

k = 0

'k = m +1 m

к - m

-1

В этих формулах N[к] - факториальные многочлены или обобщённые степени [4, 5],

ск = CN =

N!

(N - к)!k! циенты.

=N tkУк! - биномиальные коэффи-

s

Рн

Числовые характеристики установившегося режима

Вероятность отказа

ротк

N - m - E

N - к

— pm + E

N -т -Е N[т+Е ] рт+Е

N - к

т! т

-Ро>

относительная пропускная способность q =1 -- Ротк , абсолютная пропускная способность

А =л( N - к ) q =

= - [ -(N - т - Е )рт+Е]

или

т+Е-1 т +Е-1

А= Х2кРк = 2 Х(-к )Рк =

к = 0

к = 0

= 2

т+Е

Х(-к )Рк-(-т -Е )Рт + Е к = 0

=2^ - к -(N - т - Е )Рт+Е]. Вероятность ожидания

1 т + Е -1

рожид =~ГТ Т '^Х((- к }рк =

N-к к=т

р т+Е-1 ,, [к ] к

Х (- к

т

тр0

к-т

к = т т

+Е-1 N [к + 1 ] рк + 1

рт

Х

к = т

к +1 - т

т+Е

р

П Х рк =

к = т + 1

т

Р

( т ^

1-Х Рк

При Е=0 Х Рк =1 и Рожид = 0. Вероятность нек = 0

медленного обслуживания

1 т -1

Робсл =~ГТ т (N - к Ррк =

N - кк=0

Р т-1 ы[к ] Р

= Р0 х (- к ) р =

[к + 1] рк + 1

Х(к+1 Р г Р

Р(-к )к = 0 (к + 1)!

Среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов), очевидно,

т + Е т -1

т

= Х к Рк +т Х Рк = Х к Рк +т 1-Х Рк

к = 0

к = т + 1 к = 0 т -1

V к = 0

=т -Х(т - к )Рк к = 0

- такая же формула, что и в модели М/М/Ш/К

Среднее число требований в системе в целом

т+Е т + Е т+Е

к = Х к Рк = N Х Рк - Х( - к )Рк =

к = 0 к = 0 к = 0

т -1

= N-( - т - Е )рп+Е -Х ( - к )Рк -к = 0

т + Е -1

- Х(N-к рк = N-(N-т- Е )Рт+Е -

к = т

т -1

- Р0 Х(N -к Р

N[к ] рк

к=0 т + Е -1

-т х

т!

к = т

к!

N[к ]рк

к-т

= N-( N - т - Е ) р

т -1

т+Е

т + Е -1

---Х(к+1 РРк + 1---Х Рк + 1

рк=0 р к=ш

к = т

= N-( N -т -Е )р

т + Е '

л т т+Е

-1 Х.кРк-- ХРк =

р к = 0 р к = т + 1

= N-

р

Это же соотношение можно, очевидно, получить, используя зависимость (2): т = А//и . С помощью (5) можно легко проверить соотношения (1), (3) и (4), показав, что в данном случае мы также имеем

Ротк + Р ожид + Р обсл = 1. При этом

р

Уотк — \ Уш+Е;

г + р(-ш-Е )р

ш+Е

р

Ро

т

ожид

т

+р( - ш - Е )р;

ш + Е

1-Х Рк

V к =0 У

V к =0 У

обсл '

т

+ р{ы - т - Е )р

"X кРк >

так что

Рожид + Робсл —

т + Е к=1

т

т

+р(Ы - т - Е )р

Средняя длина очереди

I = к -ш=N -(-ш -Е )рш+е -г

т+Е

-1+Р:

Р

=N

N - т - Е т

1 ~Рт+Е - ,

Вывод соотношения для дисперсии числа требований под обслуживанием

т ш + Е

„2 _ V- ,2 „ , 2 ^ -2

2 Х""' 7 2 2 —2

°т = Х к Рк +т X Рк - т =

к = 0 к = О

(

т т

= X к2 Рк +т2 1-X Рк

к = 0 ^ к = О

і{т - т рХЫ - к )к Рк = т {т - т )-£

—2

- т =

к=О

совершенно аналогичен выводу этой величины для модели М/М/ш//К с той лишь разницей, что в данном случае имеем

к=1

= [т + p\N - т - Е)р-+е]бсл =

= т -\т + р(-т -Е)рт+е]жид =

= т (I- рожид Р - р(( - т - Е ^)рт+Е рожид,

тогда как в модели М/М/шУ/Ы было т __

Х кРк=т (1 - Рожид), а в модели М/М/ш/0/Ы к=1 т _

Х к Рк = т . В итоге формула для параметра ^

к=1

запишется в виде

£=

РN {т - т )-т {1-Рожид )+Р{ N - т - Е) Рт + Е Рожид

1 + Р

и тогда

<?т = т {т - т ) +

{1-Рожид )-Р{ N - т - Е Р Рт + Е Рожид-РN { т - т Р 1+Р

т

{1 Рожид) р{ N т Е) Рт+Е Рожид

1 + р

і -\\~ РN

+1 т - т II т —----

У 1 1+Р

= т {1 Рожид Р р{ N т Е) Рт+Е Рожид

1 + Р

р{т-т )[/ + {К'-т -Е рРт+е \ =

1 + р

{1 - Рожид )-р( т - т Р1 -Р{ N - т - Е ){ т - т + Рожид )рш+ Е 1+р

аналог соотношений (5) работы [2] и (6) работы [3]. Легко видеть, что при N = т + Е последнее выражение переходит в зависимость (5) работы [2], а при I=Е=0 получается формула (6) работы [3].

Дисперсия общего числа требований в системе

т+Е 2 т+Е 2

^к =Х к2 Рк-к = Х{к - N + ^кРк -к =

к=0

к=0

т+Е т + Е

= N X к Рк-Х{ - к ')к Рк - к = к=0 к=0

т-1

= Nk -X { - к )рк -

к=0

т + Е . т-1

-X(N - к )к Рк - к = { -к )к-X(N - к )к Рк

к= т

т-1

X»

к=0

т+Е-1

- Х(N-к )крк -(N-т -Е )(т + Е )Рт+Е .

к=т

Обе суммы в последнем выражении можно подвергнуть затем тому же ряду преобразований, какие использовались при выводе аналогичной зависимости для модели М/М/ш//№

ш—1 т+Е-1

-Х(-к рРк - Х( - к рРк =

к=0 к=т

т-1

= -Р0 X(N - к )к?[к

к=0

к!

т+Е-1 ... [к 1 к

- т ^ { - к =

т! , тк т

к=т

„ т-1 лг[к+1\к+1

:-£!X {к + 1-1 )(к+1 к рк

р £, {к+1)!

1

+

+

-Р0 х (к+1-1 )л'+ -

к+1-т

т + Е -1 рт! ,----- т

к=т

ш-1 \т\к + 1] „к + 1

= - Х (к+1 )2 ^ р

р к=0 т -1

(к+1)!

__ д /- [к+1] к + 1

+£0 Х(к +1 -----

р к-0 (к+1)!

ш р ш+Е-1 м [к + 1] р + 1

-ЕР° Х (к+1 р-т-р—

р— ш +ш

т +Е-1 N [к+1]рк + 1

+

тр0

Х

Л III Л III

= Х к2 рк +_ Х крк -

р к=0

т+Е

т

р к = 0 т + Е

т

гп ' т '

-р Х крк +— Х рк =

к=т+1 к=т+1

1 ГП "< I

= -•1Х к2 Рк ~ Х к Рк

рк=0 рк = т + 1 р

т+Е

т V-1 , + т =

т 1 ,2 т — .

=--------Х к рк к -Х крк

р рг=,

к=0

р

к=0

1 1 ш-1

т тк 1

:-------+ Х (т-к )кРк •

р р рк=0

откуда следует

стк =

— Т , т-1

+—Х(т - к )к Рк -

т\т ш тк 1 -------------+—

р р рк=0

(N-к )к +

-(-т -Е )(т + Е )рт+е =

=(- к )+тр-тр+р-

-(М'-т -Е )(т + Е )рт+Е,

и в силу

р

-(N-т -Е )т + Е )р

т+Е

кт - т1 -(т- 1 )ш + £

р

-( - т - Е )( т+Е - к ) рт+Е-

= р(11+р){ т (р+ Рожид )-(т - т )Р -

-р( N - т - Е )р( т - т)-Рожид +(1+р)( е -1)] Рт+е\

Ковариация числа требований в очереди и под обслуживанием

N — ( -)-

Кт1 = Х т(к-т )рк - 1т = (т-т )1,

к=т

и тогда

2 2 2 ~ т

ст1 = ак -ат -2Кт1 = _

Рожид -(1+р)(т-т ^. р

-(N-т -Е )(Е-1- рожид )рт+Е ,

К

т1

ех definitio коэффициент корреляции г— =

При I=Е = 0 следует, ст2 =о—, Кт1 =а^ = 0, как и

должно ожидать. В другом предельном случае при N=т+Е получаем формулы (7), (8) модели М/М/шШ [2].

Среднее время обслуживания одного требования (обсл =1 и = -А , дисперсия времени обслуживания <г'^бсл =1/и. Балансовое соотношение для функции распределения времени нахождения в очереди одной заявки точно так же, как и раньше,

N - к г /\]

q 77 [ 1 - ^ожид ()] =

N

т+Е-1

=Х

к = т

N - к

N

к-т

Рк Х в) ()=

т+N-1

] = 0 к-т

= е-т(И Х N~ к рк Х Р

к=т

] =0

р-

т + Е -1

=е-

^ N - к

Х Рк ек -

к=т

N

Ми),

где е

(\ 1 р р р

,(р)=1 +-----------------------------------------1-+... +- неполная экспо-

1! 2! ш!

ненциальная функция (неполная экспонента). При этом е0 (р) = 1, а при т < 0 полагаем ет (р) = 0. Яс-

но, что

ет

следует

^ожид (Р 1 е-ти( -+Е-1

?

Х( - к )Ркек - т Р

к=т

+

+

и

= т и е-т и

т + Е-1

к-т

q(-к р е к=ту1' ’^Ук ((-т)!

так что среднее время ожидания одной заявкой обслуживания

,ожид =|Чожид М =

0

, т+Е-1 ( \к-т+1 х

1 ^ (\т }\\ти> Г *к-т+1 -ит, 1,

Г7Ш Х (N-k/7/—к-Рк I 1 е =

^-к Р р=ш (-т к 0

т + Е-1

1 т1Е 1 ( \к-т+1 ¡1

1, Х ^-к)(тг ч р,^-

(^Г) к = — ((-т)! (тир

к-т+1

(к - т +1)!

- т + 2

1

т + Е -1

- к)

Ч—^^„ , к = — т+Е-1

Х^ - к )к - т +1 )Рк =

qmm

к-т

к=т т + Е -1

т

Р0 ^ Х^-к)к-т+1 Г^

,Р0 . ^(к — ,, к [к+1] рк+\

!и

г!2

Х(к - т +1 р

q к=т

т + Е -1

т

к +1 - т

1

Ц(М к ) Х(к - т +1 )Рк + 1 =

-^Ч к=т 1 т+Е 1

= —(----=^т— Х (к- —)рк =—

его дисперсия

к - т + 1 х

1 / \ Л_ШТ1

.¡-Ь Х (- к)( т ( ) Рк I

q( К - к Р к = т (к - т )! о

, т+Е-1 ( \к-т+1 / ,

1 х"» / и , и — и ) ( к - —

( . . 7) Х ( N - к Р ( к )! Рк~Т---7

^ - к Р к = т

1 т + Е -1

,( (( 7) Х ( N-к )к-т + 2 )(к-т +1 )Рк

" ^-к Р к = т

(к - т + 2)! -2 _

------;----;;— 1 ожид =

к-т+3

2 2 qm и

-2

-1 ожид =

Р0

2 , 2 qm тли

т + Е-1

Х(

к = т

____ дг[ к ] к _2

х Х (N - к )(к - т + 2 )к - т + 1) ,

к - т

-------х

qmm!.ЯU\N - к )

т + Е-1

Х

N[ к + 1] „к + 1

к + 1- т

р -2 =

-1 ожид =

—+Е \т\к ] к

Р0 Х (к-—+1 )к-трЦр- Ю,жид =

тт! и А 1

к=т

т+Е

к-т

Х (к-—+1 )(к-т)рк -,ожид =

ти А

к=т

ти А

т + Е

Х(к - — рРк-(—-1 р1

к=т

-2

- ^ожид.

Далее, имеем

т+Е

Х(к - — рРк-(—-1 р/=

к = т т+Е

т+Е

= Х к 2 Рк - т Х к Рк +

к = 0

к = 0

+ Х(—-к )Рк-(—-1 )1 =

к=0

2 —2 — / \ ~

=СТк + к - тк+£-(т-1 )1 =

=Nk -

7 тI +(т - 1 р— -£

р

-( N -т -Е )( т+Е )р

т+Е

- тк+£-(т-1)/ =

= ( N - т + 1) / - Е ^ - т - Е )рт+Е-

- т/ - т рожид р ’

так что

сто

ЗжидТ—[( N-т+1)1 - Е( N-т-Е )р, и—А

т+Е

-(—/ - —рожид )/я]-, ожид .

В этом случае, очевидно, 1сист = , ожид + , обсл = Та и

ст2 =ст2 +ст2 =

°^сист ^обсл ожид

=~~2 +~и~А\(N+т + 1 к1 ^-т-Е )р—+Е -

и2 ит А

-(—/ - т Рожид )/р\-Сист .

2

х

1

ч

ч

Как легко видеть, при N=т + Е полученная

выше система формул аожид и аСист переходит в соответствующие зависимости (9), (10) модели М/М/т//Ы [2]. При I=Е=0 а2жид = 0 и

2 =2 =,/ 2

асист = аобсл = V М .

Литература

1. Гильмутдинов Р.Ф., Кирпичников А.П. Математическая модель замкнутой одноканальной системы массового обслуживания // Вестник Казанского технологического университета. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2012. - № 6. -С. 189 - 195.

2. Гильмутдинов Р.Ф., Кирпичников А.П. Многоканальные системы массового обслуживания замкнутого типа // Вестник Казанского технологического университета. -Казань: Изд-во КНИТУ, 2012. - № 8. - С. 326-331.

3. Гильмутдинов Р.Ф., Кирпичников А.П. Замкнутые многоканальные системы массового обслуживания с отказами // Вестник Казанского технологического университета. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2012. - № 10. - С. 232234 .

4. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. - М.: Наука, 1977. -384с.

5. Кирпичников А.П. Методы прикладной теории массового обслуживания. - Казань: Издательство Казанского университета, 2011. - 200с.

© Р. Ф. Гильмутдинов - ст. преп. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, ruslan.gilmutdinov@rambler.ru; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru.