Математическое моделирование в задачах механики неоднородных сред и динамики природных процессов

Вестник ДВО РАН. 2016. № 4

УДК 532.5+534.222+533.6.011+551.466.6

В.А. ЛЕВИН, НА. ЛУЦЕНКО,

Л.В. НАДКРИНИЧНЫЙ, СВ. СМИРНОВ

Математическое моделирование в задачах механики неоднородных сред и динамики природных процессов

Представлен обзор полученных в лаборатории механики жидкости и газа ИАПУ ДВО РАН некоторых результатов математического моделирования в задачах механики, связанных с исследованием волновых процессов в различных средах. Тематика исследований включает процессы инициирования и распространения волн детонации в каналах различной пространственной конфигурации и сверхзвуковых потоках, применение локализованного энерговклада для уменьшения сопротивления тел в сверхзвуковом потоке, процессы горения и иного энерговыделения в пористых средах, генерацию и распространение длинных поверхностных волн в жидкости, создаваемых источниками различной природы, сейшевые колебания в природных водоемах.

Ключевые слова: газовая детонация, ударная волна, пористые среды, фильтрационное горение, мелкая вода, цунами, сейшевые колебания.

Mathematical modeling in problems of mechanics of heterogeneous media and dynamics of natural processes.

V.A. LEVIN, N.A. LUTSENKO, L.V. NADKRINICHNIY, S.V. SMIRNOV (Institute of Automation and Control Processes, FEB RAS, Vladivostok).

A review of some results of mathematical modeling in the problems of mechanics, related to the study of wave processes in different media, is presented. These results were produced in the fluid and gas mechanics laboratory of IACP FEB RAS. Subjects of research include the processes of initiation and propagation of detonation waves in channels of different spatial configurations and supersonic flows, the use of the localized energy input to reduce the resistance of bodies in a supersonic flow, combustion and other energy release processes in porous media, the generation and propagation of long surface waves in the liquid, produced by sources of different nature, seiche oscillations in natural bodies of water.

Key words: gas detonation, shock wave, porous media, filtration combustion, shallow water, tsunami, seiche oscillations.

Введение

В работе проведен обзор полученных в лаборатории механики жидкости и газа ИАПУ ДВО РАН некоторых результатов математического моделирования в задачах механики, связанных с исследованиями волновых процессов в различных средах. Тематика исследований соответствует разделу «Математическое моделирование природных процессов и механика неоднородных сред» темы НИР ИАПУ ДВО РАН «Исследование проблем механики сплошных сред и динамики сложных систем».

ЛЕВИН Владимир Алексеевич - академик, главный научный сотрудник, профессор, ЛУЦЕНКО Николай Анатольевич - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, НАДКРИНИЧНЫЙ Леонид Владимирович - младший научный сотрудник, *СМИРНОВ Сергей Викторович - кандидат физико-математических наук, и.о. заведующего лабораторией (Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток).

*Е-таП: smimoff@iacp.dvo.ru

Рассмотрены процессы инициирования и распространения волн детонации в каналах различной пространственной конфигурации и сверхзвуковых потоках, применение локализованного энерговклада для уменьшения сопротивления тел в сверхзвуковом потоке, процессы горения и иного энерговыделения в пористых средах, генерация и распространение длинных поверхностных волн в жидкости, создаваемых источниками различной природы, сейшевые колебания в природных водоемах.

Анализ условий инициирования и распространения волн детонации

в каналах различной пространственной конфигурации

и сверхзвуковых потоках

Всевозрастающий интерес специалистов к исследованию газовой детонации связан в основном с попытками использовать ее энергетические возможности в энергоустановках различного назначения. Основным источником информации о волнах детонации являются натурные эксперименты. При исследовании процессов инициирования и стабилизации детонации в ограниченных объемах камер сгорания энергетических установок, реализующих высокоскоростное сжигание топлива, особую роль приобретают методы математического моделирования. Для описания двумерных и трехмерных нестационарных газодинамических течений используется система уравнений Эйлера динамики идеальной многокомпонентной реагирующей смеси совершенных газов. Численные расчеты проводились на оригинальном программном комплексе с современным интерфейсом, созданном на базе модифицированного метода С.К. Годунова 1-го порядка точности по пространству и по времени.

В [3] изучено распространение детонации в сверхзвуковом потоке стехиометриче-ской водородно-воздушной смеси в плоском канале с гладко меняющейся площадью поперечного сечения. Для различных значений числа Маха входящего потока определены особенности канала, обеспечивающие стабилизацию в нем детонационного горения. Показана возможность формирования без энергоподвода стационарной детонационной волны. Установлена возможность реализации детонации дополнительными разрядами (с гауссовским распределением плотности энергоподвода) на достаточном удалении от места инициирования волны при скорости потока, существенно превосходящей скорость распространения самоподдерживающейся волны детонации. Исследовано влияние числа Маха потока, энергии дополнительных разрядов и их локализации на процесс стабилизации детонационного горения. В [7] представлены результаты численного исследования плоских течений пропано-воздушной смеси при изменении размера квадратной области по синусоидальному закону, а также сверхзвуковых трехмерных воздушных и пропано-воздушных потоков в каналах переменного квадратного сечения. Подтверждена гиперзвуковая аналогия плоских и пространственных течений, позволяющая использовать двумерные решения для оценки трехмерных потоков. Для описания течений использовались уравнения многокомпонентного идеального совершенного газа и одностадийная кинетика химических реакций.

В [6] проведено численное исследование трехмерных структур газовой детонации, установлен их хаотический характер в общем случае. Показано, что наблюдаемая в экспериментах двумерная ячеистая детонация реализуется за счет подавления поперечных волн при достаточно малом размере одной из сторон прямоугольного сечения канала. Исследованы условия инициирования двумерной детонации при вращении эллиптического канала и в канале квадратного сечения, изменяющегося со временем по периодическому закону. Численными расчетами процесса формирования трехмерной детонации в сверхзвуковом потоке в винтовом канале эллиптического сечения и в канале квадратного сечения, переменного по длине канала, показано, что для оценки возможности формирования детонации в трехмерных каналах можно использовать результаты двумерных расчетов.

Численное исследование влияния электрического разряда в сверхзвуковом газовом потоке на турбулентный пограничный слой

Большой интерес представляет исследование проблемы использования энергоподвода в высокоскоростных воздушных потоках с целью совершенствования аэродинамических характеристик летательных аппаратов. Подвод энергии, осуществляемый посредством электрического разряда, может быть использован для управления зоной отрыва, образующейся вблизи стенки. В газодинамическом аспекте взаимодействие электрического разряда со сверхзвуковым потоком может быть описано с помощью простой модели теплового источника, имеющего заданную интенсивность и конфигурацию. Для описания турбулентного движения совершенного газа используется система осредненных уравнений в отсутствие внешних массовых сил. При описании отрыва пограничного слоя применяются полученные экспериментально распределения давления. Коэффициент турбулентной вязкости определяется по двухслойной модели Себеси и Смита, учитывающей влияние сжимаемости и продольных градиентов давления, которая успешно применялась в исследованиях отрыва пограничного слоя и теплообмена при высоких скоростях набегающего потока. В расчетах используется неявная разностная схема 2-го порядка точности по пространству.

Результаты проведенного численного исследования [4] сверхзвукового обтекания ступеньки, расположенной на плоской пластине, показывают возможность возникновения отрыва при отличном от нуля сдвиговом напряжении на стенке для достаточно больших значений мощности электрического разряда, находящегося внутри пограничного слоя.

В работе [5] численно исследовано влияние электрического разряда в сверхзвуковом газовом потоке на развитие турбулентного пограничного слоя перед плоской ступенькой. Показано, что при умеренной мощности электрического разряда отрыв на охлаждаемой стенке происходит позднее отрыва на теплоизолированной стенке. В случае достаточно большой мощности разряда передача тепла к стенке не оказывает влияния на положение точки отрыва, который возникает при не равном нулю сдвиговом напряжении на поверхности тела и обусловлен развитием возвратного течения в ядре пограничного слоя.

Численное моделирование горения и иного энерговыделения в пористых средах

Фильтрационное горение, представляющее собой распространение волны экзотермической реакции в пористой среде при фильтрации газа, достаточно распространено в природных и технологических процессах [1]. Одним из видов такого горения является гетерогенное горение пористых сред, при котором происходит взаимодействие конденсированного горючего компонента, содержащегося в твердой пористой среде, с окислителем из газовой фазы. Такие процессы наблюдаются, в частности, при торфяных и подземных пожарах, горении в завалах разрушенных в результате катастроф сооружений, самовоспламенении полигонов твердых бытовых отходов.

Рассмотрены однородные неподвижные пористые объекты, имеющие как открытые границы, так и непроницаемые нетеплопроводные стенки. Через открытые границы объекта может входить холодный газ, который при этом движется через пористую среду и вытекает в свободное пространство. Твердое пористое вещество состоит из горючего и инертного компонентов, при этом твердое горючее вещество в результате экзотермической реакции с газообразным окислителем превращается в газ.

Математическая модель таких объектов построена в предположении взаимодействующих взаимопроникающих континуумов [12] с использованием классических подходов теории фильтрационного горения [1]. Модель включает в себя уравнения энергии, движения, неразрывности и состояния для каждого компонента (твердой фазы и газа).

Для описания динамики газа вместо уравнения Дарси используется уравнение сохранения импульса для пористых сред. Процессы горения описываются одностадийной химической реакцией первого порядка по отношению к каждому компоненту (окислителю и степени выгорания твердого горючего). Более детальное описание предложенной модели горения пористых объектов приведено в [18]. При моделировании процессов в пористых объектах с источниками энерговыделения без учета детальной химической кинетики предполагается, что тепловыделение прямо пропорционально концентрации реагирующего вещества, скорость убывания которой прямо пропорциональна самой концентрации. Такие допущения справедливы, в частности, при моделировании процессов в аварийном энергоблоке Чернобыльской АЭС; более детальное описание предложенной модели приведено в [19].

На входе в пористый объект (на его открытой границе, через которую поступает газ) известны температура и давление газа, а также, если в модели учитывается химическая кинетика, массовая концентрация окислителя. На выходе из объекта (на его открытой границе, через которую газ выходит) известно давление, так как истечение газа происходит в открытое пространство. Известны также условия теплообмена на входе и выходе из пористого объекта и на ограничивающих непроницаемых стенках. Расход и скорость фильтрации газа на входе в пористый объект неизвестны и должны определяться при решении. Задание таких граничных условий позволяет моделировать процессы как при естественной конвекции, так и при принудительной фильтрации.

Для исследования двумерных нестационарных течений газа через пористые объекты с очагами гетерогенного горения разработан оригинальный численный метод, основанный на комбинации явных и неявных конечно разностных схем. На основе этих же идей разработан оригинальный вычислительный алгоритм для исследования трехмерных нестационарных режимов движения газа через пористые объекты с источниками энерговыделения без учета детальной химической кинетики, когда реакции не приводят к заметному изменению масс и убывание концентрации реагирующего вещества моделируется упрощенно.

С помощью вычислительного эксперимента исследовано распространение двумерных нестационарных волн гетерогенного горения в вертикальном пористом объекте как при вынужденной фильтрации, так и при естественной конвекции, т.е. когда давление на открытых границах объекта соответствует атмосферному давлению на заданных высотах. Численные эксперименты показали, что двумерные волны гетерогенного горения в пористых средах распространяются в двух режимах с различной степенью выгорания твердых горючих материалов, как и одномерные волны горения [17, 18]. В случае вынужденной фильтрации при расположении зоны воспламенения в нижней и средней части объекта появляется спутная волна горения, которая движется вверх и одновременно вбок (в сторону боковых стен), полностью выжигая твердое горючее вещество, при этом волна горения может не достичь некоторых частей объекта. Газ, двигаясь вверх, стремится обогнуть нагретые зоны объекта, предпочитая течь по холодным зонам. Таким образом, в случае вынужденной фильтрации размер сгоревшей части пористого объекта зависит от расположения области зажигания и давления на входе в объект. В случае естественной конвекции двумерные волны горения, доходя до границ объекта, могут отражаться и двигаться в противоположную сторону. Поэтому в этом случае волна горения проходит через все части объекта независимо от того, где находится зона зажигания, и все горючее вещество в каждой части объекта оказывается сгоревшим.

Разработанные программные реализации алгоритмов расчета нестационарных процессов в пористых саморазогревающихся объектах без учета детальной химической кинетики показали свою эффективность при решении ряда двумерных и трехмерных задач.

Численное моделирование волнообразования

на поверхности мелкой воды источниками различной природы

Исследуются интенсивные внешние воздействия, сказывающиеся на динамике водного слоя жидкости, заполняющей бассейн заданной конфигурации. Такие воздействия прежде всего могут проявляться в проблеме волн цунами, в задачах, связанных с их возникновением. Известно множество случаев, когда зародившиеся в океане крупные волны наносили колоссальные повреждения побережью, поэтому исследование морских природных катастроф имеет очевидную практическую направленность.

Проблему цунами традиционно разделяют на несколько направлений: образование волн, их распространение в открытом океане и выход на побережье. Причем до сих пор окончательно невыясненными остаются причины зарождения катастрофических волн, поскольку провести реальное наблюдение и оценку параметров очага волнообразования представляется сложной задачей, в этом случае большую роль играет математическое моделирование.

Можно выделить некоторые малоизученные сценарии образования крупных океанических волн или применить новые подходы к уже существующим. Например, в последнее время стал возникать широкий интерес к малоизвестному процессу зарождения цунами стоком воды в сейсмические трещины - так называемому стоковому механизму. Впервые дал название этому процессу и обратил на него особый интерес Б.В. Левин с коллегами, проведя лабораторные опыты и анализ донного стока. Впоследствии были предложены иные приближения для описания стокового механизма: в виде разлома, провала и пр. Представлены результаты расчетов и анализ образования волн при длительном опускании части дна [10], а также при постепенном расширении подводного разлома [11]. Такие приближения отражают длительность процесса волнообразования и учитывают горизонтальную динамику.

Существует вероятность падения из космического пространства в океан тела с параметрами, достаточными для возбуждения крупных волн. Возникновение цунами в результате падения астероида не лишено перспективы для дальнейшего изучения, поскольку разрушения, вызванные космогенными цунами, могут иметь грандиозные масштабы. Проводятся вычисления образования волн при погружении цилиндрического твердого тела в слой жидкости со скоростью, сравнимой со скоростью падающего астероида [16]. По результатам моделирования делаются выводы о взаимосвязи параметров тела и образованных волн.

Даже известная модель волнообразования в океане, детально описанная в ставших уже классическими работах Ю.И. Шокина и Е.Н. Пелиновского, - модель вертикальных подвижек дна - не теряет своей актуальности. Используемый в настоящее время подход в виде статический деформации водной поверхности при численном моделировании не описывает подвижки дна в очаге волнообразования. В [9] проводятся расчет вертикальных подвижек широко распространенных типов подводных образований (кальдеры, гайота и простой горы) и анализ результатов моделирования волнообразования по каждому типу.

Также рассматривается модель возникновения и распространения волн при выходе плоской ударной газовой волны (например, вызванной детонацией газовых смесей) с уступа на поверхность жидкости. Применение приближения уравнений мелкой воды с учетом поля внешнего давления определенной конфигурации позволяет получить аналитическое решение [8]. В этом случае поле давления представляет собой «ступеньку» с постоянными значениям давления за и перед фронтом ударной волны, движущейся с постоянной скоростью, при условии отсутствия влияния деформации поверхности жидкости на параметры газового потока за ударной волной. Важная особенность решения состоит в том, что фронты ударной и поверхностной волн совпадают. Аналитические критерии существования и единственности решения, а также соотношения между параметрами волн позволили получить экстремальные значения решения.

Численное исследование сейшевых колебаний в природных водоемах

Сейши представляют собой стоячие свободные колебания жидкости в замкнутом или полузамкнутом водоеме. Сейши в заливах, бухтах и озерах могут представлять опасность для прибрежных инженерных сооружений и населения. К настоящему времени выполнено большое количество натурных, лабораторных и теоретических исследований поведения сейшевых колебаний в различных водоемах мира [20]. Тем не менее требуется изучение особенностей сейшевых колебаний еще во многих конкретных заливах и бухтах, отличающихся сложной формой рельефа дна и береговой черты. В таких случаях можно эффективно применять спектрально-разностную модель [13]. Модель основана на линеаризованной системе уравнений мелкой воды в сферической системе координат. Все переменные подчиняются гармоническому по времени закону. Спектрально-разностные аналоги исходных уравнений строятся на нерегулярной сферическо-геодезической треугольной сетке с учетом сохранения объема и энергии. После исключения компонент скорости получаем спектрально-разностную задачу. Решая задачу на собственные значения, получаем значения периодов и соответствующие сеточные функции, описывающие пространственные формы собственных колебаний. Применение нерегулярной треугольной сетки со сгущениями в исследуемом регионе позволяет значительно сократить объем и время вычислений.

1. Сейшевые колебания Байкала

Оз. Байкал является самым глубоким и крупнейшим в мире по объему пресной воды. Сейшевые колебания на Байкале наблюдаются почти непрерывно в течение всего года. С применением спектрально-разностной модели была исследована пространственная структура колебаний оз. Байкал. Показано [15], что периоды 277, 152, 84 и 67 мин соответствуют одно-, двух-, трех- и четырехузловой продольным сейшевым модам Байкала. Значения полученных в расчетах периодов сейшевых колебаний близки к значениям периодов, соответствующим хорошо выраженным максимумам спектральной плотности, вычисленной по натурным данным измерения уровня, полученным сотрудниками Лимнологического института СО РАН.

2. Сейшевые колебания в зал. Петра Великого

Зал. Петра Великого расположен в северо-западной части Японского моря. В его бухтах находятся многие порты. С применением спектрально-разностной модели были исследованы пространственные структуры колебаний в ряде акваторий западной, центральной и восточной частей залива. Чтобы избежать трудностей с формулировкой условий на жидкой границе зал. Петра Великого, в расчетную область вместе с исследуемыми акваториями было включено Японское море. Наиболее подробно на сетке были описаны акватории исследуемых заливов и бухт. Исследования и полученные результаты изложены в работах [2, 13, 14].

Зал. Посьета расположен в западной части зал. Петра Великого Японского моря. По данным измерений, выполненных в бухте Витязь сотрудниками ТОИ ДВО РАН, было обнаружено, что в диапазоне периодов десятков минут основная энергетика колебаний сосредоточена в окрестности периода около 17 мин. Поскольку период собственных колебаний бухты Витязь не превышает 10 мин, для интерпретации этого спектрального максимума было представлено численное решение спектрально-разностной модели, амплитуда колебаний которого существенна как в бухте Витязь, так и в находящейся на расстоянии 15 км от него бухте Лукина.

Средняя часть зал. Петра Великого включает Амурский и Уссурийский заливы. С применением спектрально-разностной модели исследована пространственная структура ряда

колебаний, выделенных при анализе материалов измерений уровня с автоматизированного поста Владивосток. Анализ показал, что колебания с периодами около 12,5 и 33 мин сопровождаются первой и нулевой модами резонансных колебаний бухты Золотой Рог. Колебания с периодами около 48 мин связаны со второй поперечной сейшей средней части зал. Петра Великого. Амплитуда центральной пучности сейши максимальна в вершине бухты Золотой Рог.

Зал. Находка находится в восточной части зал. Петра Великого. В результате спектрального анализа данных измерений уровня с автоматизированного поста Находка выявлено наличие хорошо выделенных групп пиков с периодами около 28, 37, 40 и 70 мин. Для выделенных окрестностей были вычислены наборы периодов и соответствующих форм сейшевых колебаний. Показано, что полученные решения имеют формы, характерные для сейшевых мод: второй продольной, первой поперечной, первой продольной и основной продольной моды соответственно. Следовательно, в зал. Находка возможно резонансное усиление приходящих волн с периодами в окрестностях выделенных значений.

Заключение

Представленные в обзоре результаты имеют самостоятельную научную и практическую ценность, вместе с тем будут продолжены дальнейшие исследования по данным направлениям, стимулируемые постоянным развитием методов и средств математического моделирования и натурного эксперимента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алдушин А.П., Мержанов А.Г. Теория фильтрационного горения: общие представления и состояние исследований // Распространение тепловых волн в гетерогенных средах. Новосибирск: Наука, 1988. С. 9-52.

2. Долгих Г.И., Долгих С.Г., Смирнов С.В., Чупин В.А., Швец В.А., Яковенко С.В. Инфразвуковые колебания Японского моря // ДАН. 2011. Т. 441, № 1. С. 98-102.

3. Журавская Т.А., Левин В.А. Исследование некоторых способов стабилизации детонационной волны в сверхзвуковом потоке // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2012. № 6. С. 126-136.

4. Ларин О.Б., Левин В.А. Влияние внешнего источника тепловыделения на отрыв турбулентного сверхзвукового пограничного слоя перед плоской ступенькой // Письма в ЖТФ. 2012. Т. 38, № 19. С. 53-60.

5. Ларин О.Б., Левин В.А. Отрыв турбулентного сверхзвукового пограничного слоя при подводе тепла перед плоской ступенькой // Прикладная механика и техническая физика. 2015. № 3. С. 89-95.

6. Левин В.А., Мануйлович И.С., Марков В.В. Инициирование и распространение многомерных волн детонации // Физика горения и взрыва. 2015. Т. 51, № 1. С. 47-56.

7. Левин В.А., Мануйлович И.С., Марков В.В. Математическое моделирование ударно-волновых процессов при взаимодействии газов с твердыми границами // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 2013. Т. 281. С. 42-54.

8. Надкриничный Л.В. Образование волн при выходе плоской ударной волны на поверхность мелкой воды // XI Всерос. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сб. докл. (Казань, 20-24 августа 2015 г.). Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2015. С. 2721.

9. Надкриничный Л.В. Численное исследование влияния формы вертикальных подвижек дна на образование поверхностных волн // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18, № 3. С. 34-45.

10. Надкриничный Л.В. Численное исследование генерации поверхностных волн и прохода волн над подводным препятствием // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, № 2. С. 148-160.

11. Надкриничный Л.В. Численное исследование образования и распространения волн цунами, вызванных бегущим разломом дна // Математическое моделирование. 2013. Т. 25, № 10. С. 53-64.

12. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

13. Смирнов С.В. О расчете сейшевых колебаний средней части залива Петра Великого // Сиб. журн. вы-числ. математики. 2014. Т. 17, № 2. С. 203-216.

14. Смирнов С.В. О сейшевых колебаниях в заливе Находка // Метеорология и гидрология. 2016. № 1. С. 78-85.

15. Смирнов С.В., Кучер К.М., Гранин Н.Г., Стурова И.В. Сейшевые колебания Байкала // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2014. Т. 50, № 1. С. 105-116.

16. Levin V.A., Nadkrinichnyi L.V. Numerical Investigation of Surface Wave Generation upon Solid Body Immersion in Water // Fluid Dynamics. 2011. Vol. 46, N 4. P. 658-664.

17. Lutsenko N.A., Levin V.A. Effect of Gravity Field and Pressure Difference on Heterogeneous Combustion in Porous Media // Combustion Science and Technology. 2014. Vol. 186, N 10/11. P. 1410-1421.

18. Lutsenko N.A. Modeling of Heterogeneous Combustion in Porous Media under Free Convection // Proceedings of the Combustion Institute. 2013. Vol. 34, N 2. P. 2289-2294.

19. Lutsenko N.A. Numerical modeling of unsteady gas flow through porous heat-evolutional objects with partial closure of the object's outlet // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2014. Vol. 72. P. 602-608.

20. Rabinovich A.B. Seiches and Harbor Oscillations // Handbook of Coastal and Ocean Engineering / Y.C. Kim (ed.). Singapoure: World Scientific Publ., 2009. Chapter 9. P. 193-236.