Структуре курса "неклассическая логика" для студентов физико-математического факультета тувинского государственного университета

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 1.16.161

О СТРУКТУРЕ КУРСА «НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА ТУВИНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Кадыг-оол Х. К. Тувинский государственный университет, г. Кызыл

ON THE STRUCTURE OF "NON-CLASSICAL LOGIC" COURSE FOR STUDENTS OF PHYSICS AND MATH IN TUVAN STATE UNIVERSITY

Kadyg-ool Kh. K Tuvan State University, Kyzyl

В работе рассматриваются некоторые методические вопросы, связанные с преподаванием неклассической логики студентам физико-математического факультета ТувГУ. Особый упор делается на учебно-методические и научно-методические факторы. Автор пришел к выводу о том, что цикл логических дисциплин должен быть выстроен по единой схеме: «классическая логика - неклассическая логика». В работе применены методы аксиоматической формулировки логических систем с заданием формализованного языка.

Ключевые слова: Тувинский государственный университет, классическая логика, неклассическая логика, модальная логика, методика преподавания, формализованный язык, студенты.

The work is concerned with some methodical questions that we faced during the course of non-classical logic for students of math and physics in TuvSU. We make an impact on teaching and science factors. We conclude that the logical disciplines should be taught based on an integer system: "classical logic - non-classical logic". The methods of axiomatic logical systems forming are used with defining formalized language.

Key words: Tuvan State University, classical logic, non-classical logic, modal logic, teaching methods, formalized language, students.

Вводная часть. Современное развитие логики позволяет говорить о том, что ее потенциал как аналитического инструмента давно перерос границы какой-либо одной сферы знания. В особенности это касается так называемой неклассической логики. Знакомство студентов, обучающихся по физико-математическому направлению, с данной наукой существенно расширяет их интеллектуальный кругозор, обогащает мощными методами научного исследования. Такие направления, как многозначная, модальная, нечеткая логики и др. становятся все более важными не только как некоторые абстрактные теории, но и как прикладной инструментарий,

результаты которого применяются, в том числе, и на производстве, даже в повседневной жизни людей.

К примеру, с 70-80 гг. прошлого столетия делаются попытки автоматизировать процессы принятия решения в разных сферах: бизнес, управление и др., возникают так называемые экспертные системы, которые используют, как программное обеспечение, так и человеческий интеллект. В данных исследованиях стали применять так называемые нечеткую логику, чтобы более адекватно анализировать факты или связи между ними, которые не носят четко определенный характер 10: 193]. Также нечеткая логика является весьма важным компонентом в исследованиях искусственного интеллекта [9: 51], используется в медицине, при создании современной фото и видеотехники, роботизированных манипуляторов на разных производствах [7: 271-310] и т.д.

Теоретические пояснения. Неклассическая логика как отдельное направление стало формироваться еще в работах великого философа и ученого Аристотеля [4: 10]. Особенностью так называемых неклассических логик является ослабление, либо полное отрицание того или иного принципа классической логики: двузначности, исключенного третьего, противоречия и др. [1: 277]. Основные направления неклассической логики: многозначная, модальная, нечеткая, релевантная, паранепротиворечивая и др. В связи с тем, что далее в работе делается упор на модальную логику, рассмотрим соответствующие основные термины. Особенностью модальной логики является анализ высказываний, содержащих особые логические операторы, с помощью которых выражается характеристика или оценка некоторой сложившейся ситуации [4: 8]. В некотором смысле основной модальной логикой является логика алетических модальностей («необходимо» и «возможно»). Также среди модальных логик выделяют эпистемические, деонтические, доксастические и др [8: 3]. Далее под модальной логикой будем понимать именно логику алетических модальностей. Последняя сложилась как современная логическая теория в XX в. [4: 21].

Формализованным языком логической системы является упорядоченная двойка, первым элементом которой является алфавит, состоящий из логических (логические связки, например, отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация), нелогических (переменные) и технических символов (запятая и скобки). Вторым элементом двойки является множество всех правильно построенных формул. Определение правильно построенной формулы - стандартно. Это описание формализованного языка логики высказываний. При формулировке языка логики предикатов соответствующая двойка становится тройкой в связи с появлением множества термов.

С дидактической точки зрения математическая логика - один из тех предметов, который не требует инноваций с точки зрения применения какого-либо высокотехнологичного оборудования. Как правило, преподаватель обходится доской и мелом (или маркером), студенты - бумагой и ручками. Гораздо важнее учитывать методические особенности, которые вытекают, как из уникальности самого предмета изучения, так и его места в системе других дисциплин физико-математического цикла.

Известно, что преподаватель университета обязан владеть навыками нескольких видов методической деятельности: учебно-методической, научно-методической, организационно-методической [6: 53].

Учебно-методические аспекты изучения неклассической логики в Тувинском государственном университете заключаются в том, что данная дисциплина является относительно новой для учебного заведения. В настоящее время отсутствует необходимая учебная литература.

Анализ педагогического опыта. Особенностью некоторых направлений неклассической логики, например, модальной, является то, что они строятся на основе классической. К примеру, в работах Аристотеля модальный фрагмент силлогистики сформулирован на основе ассерторического [5: 8]. Поэтому для полноценного усвоения материалов необходимо знание классической логики. Автор вел спецкурс по неклассической логике на физико-математическом факультете ТувГУ в 2015 году. Данный опыт показал, что студенты, которые хорошо помнят курс классической математической логики, не испытывают особых проблем во время начала изучения неклассической логики, в частности модальной. Как правило, ребята неплохо знают язык логики высказываний, табличные определения логических терминов.

Определенные сложности возникли, когда при объяснении некоторых естественно усложняющихся тем мы начинали использовать язык логики предикатов первого порядка. Выяснилось, что некоторые студенты не знали, что такое терм, какая связка должна идти после квантора общности в правильно построенной формуле и т.д. Таким образом, необходима унификация основных логических определений в двух курсах: классической и неклассической логик. Без такого подхода может показаться, что это два разных предмета, слабо связанных между собой.

Весьма важным является знание метода построения исчислений гильбертовского типа. Рассмотрим для примера одни из самых первых систем модальной логики, которые сформулировал американский ученый К. Льюис [4: 22]:

Система Э11:

(р & q) ^ ф & p);

(ф & p) ^ p; p ^ (р & р);

((р & q) & г) ^ (р & ф & г));

((Р ^ Ф) & (Ф ^ г)) ^ (р ^ г);

(Р & (Р ^ Ф)) ^ Ф-

Из системы Э1 добавлением других аксиом получаем:

32 = Б1 + О(р & я) ^ Ор.

33 = Б1 + (р ^ я) ^ (^ Оя ^ 1Ор).

34 = Э1 + ООр ^ Ор.

Эб = Э1 + Ор ^ пОр.

1 Под символом «^» понимается так называемые «строгая» импликация Льюиса.

Правила вывода: правило подстановки, адъюнкция (введение конъюнкции двух ранее доказанных высказываний), modus ponens.

Очевидно, что принцип формулировки исчислений принципиально не отличается от того, что используется, например, в классической логике высказываний. Различия немного глубже - в пересмотре принципов классической логики: для некоторых модальных логик они обобщаются [3: 54]. Также по очевидным причинам, язык пропозициональной модальной логики богаче языка классической логики высказываний.

Как правило, ребята неплохо справляются с задачами, которые связаны с семантическими таблицами истинности, например, в разделе «Многозначная логика». Это связано с тем, что они решали подобные задачи в курсе по классической логике, когда изучали тему «Классическая пропозициональная логика». Но при этом приходится, как говорится, «с нуля» изучать другие виды семантик: реляционную и алгебраическую. Для нормальных модальных систем невозможно определять значения в виде таблиц истинности, поэтому необходимо изучение реляционной и алгебраической семантик. При этом, использование метода семантических таблиц истинности возможно, к примеру, в квазиматричных модальных системах Ивлева [3: 51]. Таким образом, мы снова приходим к необходимости сведения к общей основе курсов по классической и неклассической логикам.

Еще одним, по нашему мнению, важным результатом наблюдения является совершенно естественный факт, что студенты-математики мало интересуются подробностями методологических особенностей того или иного направления неклассической логики. Автор настоящей работы, будучи выпускником кафедры логики философского факультета, перед каждой темой давал некоторые пояснительные материалы, которые можно условно назвать логико-методологическими. Отметим, что их можно существенно сократить. Развернутые пояснения можно дать, например, в рамках обязательного курса философии для студентов-математиков.

Считаем, что необходимо упомянуть о еще одном аспекте, который не касается собственно логики. Речь идет об уровне знания русского языка. Многие студенты физико-математического факультета поступили в Тувинский государственный университет из районных школ Республики Тыва, в связи с чем иногда не в должной мере знают русский язык. В некоторых случаях необходимо выяснять, по какой причине студент не может что-то понять: из-за принципиального непонимания или потому, что он попросту не до конца понял сказанное лектором из-за недостаточных знаний языка. Иногда бывает, что студент хорошо решает какой-нибудь тип задач, но не может полностью объяснить по-русски, как это делается. Вопрос соотношения тувинского и русского языков в математических дисциплинах все еще не до конца изучен - это тема для отдельного монографического исследования.

Примерная структура курса по неклассической логике. Приведем один из вариантов обобщенной тематической структуры:

1. Повторение классической логики (логика высказываний, логика предикатов, основные свойства). Принципы классической логики.

2. Многозначная логика. Логики Лукасевича, Клини, Поста и др.

3. Модальная логика. Синтаксические системы и семантика. Квазиматричная

логика.

4. Нечеткая логика. Основы теории нечетких множеств. Основы нечеткой арифметики.

5. Иные направления неклассической логики (обзорное рассмотрение): релевантная логика, темпоральная, паранепротиворечивая и др.

Таким образом, студенты получат возможность познакомиться со всем многообразием направлений неклассической логики. Отметим, что пп. 2-4 совершенно необходимы при изучении неклассической логики.

Заключение. Подводя итоги нашего обобщенного исследования, можно утверждать, что неклассическая логика должна изучаться в рамках единого курса -математическая логика, который, в свою, очередь, будет делиться на два больших направления: классическая и неклассическая. Необходимо создание соответствующей учебной литературы. Если в случае с классической логикой проблем с учебниками не имеется, то в случае с неклассической логикой дела обстоят гораздо хуже.

В рамках данного исследования конечным результатом станет создание учебного пособия по неклассической логике на кафедре алгебры и геометрии физико-математического факультета Тувинского государственного университета.

Библиографический список

1. Бочаров В. А., Маркин В.И. Введение в логику. Москва. 2008. 555 С.

2. Ивлев Ю. В. Квазиматричная логика - основа теории фактических (физических) модальностей // Логические исследования. Вып. 8. Москва, 2001. С. 50-64

3. Ивлев Ю. В. Табличное построение пропозициональной модальной логики // Вестник Московского университета. Серия «Философия». №6. Москва. 1973. С. 51-61.

4. Кадыг-оол Х. К. Матричные и квазиматричные системы алетической модальной логики. Кызыл. 2017. 100 С.

5. Кадыг-оол Х. К., Худойдодов Ф. История развития семантики возможных миров для модальной логики // Известия Академии Наук Республики Таджикистан, Серия «Философия и право», №2, 2011. С. 8-11.

6. Соловова Н. В. Методическая компетентность преподавателя вуза // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2010. Вып. 5. С. 52-59.

7. Chen G., Pham T. T. Fuzzy sets, fuzzy logic, and fuzzy control systems. Boca Raton. 2001. 317 P.

8. Goldblatt R. Mathematical modal logic: a view of it's evolution // Handbook of the History of Logic. Vol. 7: Logic and modalities in XX century. Amsterdam, 2006. PP. 1-98.

9. Mukaidono M. Fuzzy logic for beginners. Singapore. 2001. 110 P.

10. Zimmermann H.-J. Fuzzy Set Theory and Its Applications (Fourth Edition). New-York. 2001. 514 P. Bibliograficheskij spisok

1. Bocharov V. A., Markin V.I. Vvedenie v logiku. Moskva. 2008. 555 S.

2. Ivlev Ju. V. Kvazimatrichnaja logika - osnova teorii fakticheskih (fizicheskih) modal'nostej // Logicheskie issledovanija. Vyp. 8. Moskva, 2001. S. 50-64

3. Ivlev Ju. V. Tablichnoe postroenie propozicional'noj modal'noj logiki // Vestnik Moskovskogo universiteta. Serija «Filosofija». №6. Moskva. 1973. S. 51-61.

4. Kadyg-ool H. K. Matrichnye i kvazimatrichnye sistemy aleticheskoj modal'noj logiki. Kyzyl. 2017. 100

5.

5. Kadyg-ool H. K., Hudojdodov F. Istorija razvitija semantiki vozmozhnyh mirov dlja modal'noj logiki // Izvestija Akademii Nauk Respubliki Tadzhikistan, Serija «Filosofija i pravo», №2, 2011. S. 8-11.

6. Solovova N. V. Metodicheskaja kompetentnost' prepodavatelja vuza // Vestnik Rossijskogo gosudarstvennogo universiteta im. I. Kanta. 2010. Vyp. 5. S. 52-59.

7. Chen G., Pham T. T. Fuzzy sets, fuzzy logic, and fuzzy control systems. Boca Raton. 2001. 317 P.

8. Goldblatt R. Mathematical modal logic: a view of its evolution // Handbook of the History of Logic. Vol. 7: Logic and modalities in XX century. Amsterdam, 2006. PP. 1-98.

9. Mukaidono M. Fuzzy logic for beginners. Singapore. 2001. 110 P.

10. Zimmermann H.-J. Fuzzy Set Theory and Its Applications (Fourth Edition). New-York. 2001. 514 P.

Кадыг-оол Хулербен Кок-оолович - к.филос.н., зам. директора по науке Национального музея им. Алдан-Маадыр Республики Тыва, магистрант физико-математического факультета Тувинского государственного университета, г. Кызыл, email - hoolerben@yandex.ru.

Khulerben Kadyg-ool - Candidate of Philosophy, Deputy Director of Aldan-Maadyr National Museum of the Republic of Tuva, graduate student of Physics and Math Faculty, Tuvan State University, Kyzyl, email - hoolerben@yandex.ru.

УДК 512.54

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МОЩНОСТЕЙ СЛОЕВ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП

Сенашов В.И.,1 Белов Д.К.2 1 Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск 2Сибирский федеральный университет, Красноярск

VISUALIZATION OF POWERS OF LAYERS OF INFINITE GROUPS

Senashov V.I.,1 Belov D.K.2 institute of Computational Modelling of Siberian Branch of RAS, Krasnoyarsk 2Siberian Federal University, Krasnoyarsk

В данной статье исследованы функции мощности слоев для полных слойно конечных групп и конечных расширений этих групп, продемонстрированы их графические представления.

Ключевые слова: группа, слой, мощность слоя, порядок, конечное расширение.

In this article we study the power functions of layers for complete layer-finite groups and for finite extensions of these groups, demonstrated their graphical representations.

Keywords: group, layer, power of layer, order, finite extension.

Введение. Ранее С.Н. Черниковым исследовались бесконечные слойно конечные группы, которые впервые появились в его работах сначала без названия, а затем в его последующих публикациях за ними закрепилось название слойно