Применение метода конечных разностей во временной области для расчета волновых процессов в протяженных подземных проводниках

УДК 621.311

Д.В.Куклин

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРОТЯЖЕННЫХ ПОДЗЕМНЫХ ПРОВОДНИКАХ

Аннотация

Проанализированы методы, используемые для моделирования импульсных характеристик заземлителей сложной конфигурации. Приведены результаты модельных расчетов процессов в подземном проводнике методом конечных разностей во временной области (FDTD) и выполнено сравнение с экспериментальными данными.

Ключевые слова:

метод конечных разностей во временной области, переходное сопротивление, заземление

D.V.Kuklin

ELECTROMAGNETIC MODELING OF LONG BURIED THIN WIRES BY USING FINITE-DIFFERENCE TIME-DOMAIN METHOD

Abstract

Analysis of methods for modeling transient characteristics of complex grounding was made. Calculation results of buried wires transient behavior received by FDTD method and their comparison with experiments are shown.

Keywords:

finite difference time domain method, transient resistance, grounding

Заземлитель - это проводящая часть или совокупность соединенных между собой проводящих частей, находящихся в электрическом контакте с землей непосредственно или через промежуточную проводящую среду. Заземлитель может состоять из одного (например, простого металлического стержня) или многих вертикальных и горизонтальных электродов и характеризуется значением сопротивления заземлителя, которое равно отношению потенциала на заземлителе к стекающему с него току.

В общем случае сопротивление заземлителя является переходной (импульсной) характеристикой заземлителя и оказывается различным при растекании с него импульсного тока молнии и при токе 50 Гц. Поэтому для объектов, сопротивление заземления которых должно определяться требованиями грозозащиты, необходимо учитывать импульсное сопротивление заземлителей. Чем ниже импульсное сопротивление заземлителя, тем меньше потенциал на заземленном объекте и меньше вероятность обратного перекрытия изоляции. Вероятность обратного перекрытия изоляции оказывается выше при больших сопротивлениях грунта, а также на подстанциях небольших размеров.

Согласно ПУЭ [1], сопротивление заземлителей нормируется по сопротивлению только при промышленной частоте. Однако появление большого количества методов расчета электромагнитных полей, а также развитие компьютерных возможностей позволяет рассчитывать сопротивления заземлителей с достаточной точностью.

Одним из распространенных методов, используемых для моделирования переходных характеристик заземлителей сложной конфигурации, является метод создания эквивалентной цепи с сосредоточенными параметрами (Circuit approach) [2].

При использовании метода необходимо пройти следующие этапы:

1. Разделить заземлитель на множество конечных элементов.

2. Создать эквивалентную цепь с сосредоточенными параметрами и вычислить их значения (собственную и взаимную индуктивность, емкость, проводимость и внутреннее сопротивление).

3. Решить уравнения получившейся эквивалентной цепи, представляющей весь заземлитель, с помощью законов Кирхгофа. Уравнения цепи с распределенными параметрами могут быть представлены с помощью различных методов.

Этот метод является относительно простым для понимания в том смысле, что сложные переходные процессы в заземляющих устройствах приводятся к простому анализу переходных характеристик эквивалентных цепей. Такое преобразование делает задачу более удобной для исследования. Основным недостатком этого метода является то, что он не позволяет предсказывать задержку распространения волн [2].

Метод моментов (Method of Moments, MOM) [2] основан на поверхностных токах (определяются только поверхностные токи, весь объем сеткой не делится). Анализируемая структура разделяется на металлические пластины и проводники (в некоторых алгоритмах пластины не применяются; в них сплошные объекты заменяются их каркасными моделями). После того как структура определена, все проводники разделяются на отрезки проводников (они должны быть достаточно короткими по сравнению с длиной волны вследствие допущения, согласно которому ток не меняется при переходе через сегмент), а пластины разделяются на небольшие (по сравнению с длиной волны) участки. После этого для получившейся структуры создается система линейных уравнений. Через решение этой системы линейных уравнений вычисляются токи для каждого отрезка провода и участка пластины. После нахождения токов можно узнать электрическое поле в любой точке пространства через векторную сумму решений уравнений для каждого отрезка/участка.

Так как с помощью этого метода рассчитываются токи через проводники, он хорошо подходит для моделирования протяженных металлических объектов окруженных воздухом. Однако добавление

диэлектриков усложняет использование этого метода и увеличивает объем требуемой для расчета оперативной памяти ЭВМ.

В методе конечных элементов (Finite Element Method, FEM) [2] вычисления производятся по всему объему. Рассчитываемая область разделяется на небольшие элементы, обычно треугольной или тетраэдрической формы, и представляется как сетка, состоящая из конечных элементов. В этом методе используется допущение, согласно которому поля постоянны внутри каждого элемента сетки. Поле в каждом элементе аппроксимируется полиномом небольшого порядка с неизвестными коэффициентами. Эти аппроксимирующие функции подставляются в вариационное выражение, которое выводится из уравнений Максвелла, и получающаяся в результате система уравнений

решается для определения неизвестных коэффициентов. После того как коэффициенты найдены, поля внутри каждого элемента известны.

Метод длинной линии (Transmission line approach) [2] является первым методом, который был применен для расчета переходных процессов в заземлителях. Однако разработка этого метода не была столь быстрой, как для других методов, и поначалу он мог применяться только для заземлителей простой формы. Он исходит из теории длинных линий и основывается на решении телеграфных уравнений, либо уравнений Зунде. Имея современные вычислительные возможности, этот метод получил дальнейшее развитие, и совместно с другими методами он теперь может быть применен для заземлителей более сложной формы [2]. Однако он нуждается в экспериментальной проверке.

Метод конечных разностей во временной области (Finite Difference Time Domain, FDTD) [3] основан на центрально-разностной дискретизации уравнений Максвелла во времени и пространстве.

Уравнения Максвелла для изотропной среды:

3D

Vx H = J +-

at

где

V E дВ

Vx E =------------,

ot

D = sE,

В = juH.

В декартовой системе координат уравнения (1), с учетом материальных соотношений (2), эквивалентны следующей системе уравнений:

0Ex = l

dt є

дБ^ = і Оі є

8E^ = І at є

at

OH

OHz OHy

ду dz

OHx dH7

dz dx

OHy OHx

dx dy

(

у _

Ot /и\ dx

Жу

dz

OE„

E

ду

OEx

dz

- Jx

- Jy -Jz

OHz= l iOEx OEy ]

at

Ox

ду

Обозначим точку пространства как

(/, у, к) = (/Ах, уДу, кД), тогда для функции пространства и времени

^(/Ах, уДу,кДг, пД) = ¥п (/, у, к).

l

Запишем уравнение (3а), используя центрально-разностную аппроксимацию во времени и пространстве:

En

1

А

е

( ттп-1/2

И2и-1/ 2

Ду

Ип; /2 (/ +1 / 2,у,к +1 / 2) - И" 2 (/ +1 / 2,у,к -1 / 2) ..2

'-----------—-------------- ------у------'-----------—------------- - Гх-1 /2

А?

Соответствующим образом записываются уравнения (3б) и (3в). Для (3г) получаем:

. _ ,,2 1

Ихп+1 / 2

Д

ц

Епу

Д

А

Соответствующим образом записываются уравнения (3д) и (3е).

Рис.1 поясняет уравнения (6) и (7) и взаимное расположение векторов электрического и магнитного поля.

Рис.1. Относительное расположение векторов электрического и магнитного полей

х

х

х

В итоге мы получаем систему из шести конечно-разностных уравнений, являющихся основой РБТБ алгоритма, который позволяет рассчитывать взаимодействия электромагнитных волн с трехмерными объектами.

Среди методов численного решения задач электродинамики метод РБТБ оказался довольно эффективным методом для расчета переходных сопротивлений заземлителей. Точность этого метода по сравнению с экспериментальными результатами для заземлителей различных конфигураций проверена и является удовлетворительной [4].

Опишем эксперимент, согласно которому измерялось переходное (локальное) импульсное сопротивление тонкого подземного проводника. В начало тонкого подземного проводника, диаметром 4 мм, зарытого на глубину примерно 10-15 см, подавался импульс тока от генератора импульсного тока. Длина заземленного проводника - 200 м, токового и потенциального контуров -по 100 м. Токовый и потенциальный контуры (ТК и ПК) размещены перпендикулярно заземленному проводнику. Осциллографом измеряются ток через проводник и напряжение на нем, как показано на рис.2. Результаты измерений показаны на рис.3.

Рис.2. Схема измерения переходного сопротивления тонкого подземного проводника

Рис.3. Измеренные ток через проводник, напряжение на нем и его сопротивление

Произведем расчет переходного импульсного сопротивления тонкого подземного проводника с помощью метода РБТБ для случая, аналогичного экспериментам.

Шаг сетки выберем равным 0.25 м, так как больший шаг приведет к существенной неточности моделирования глубины, на которую зарыт проводник, а меньший шаг - к нехватке ресурсов компьютера. Для предотвращения неустойчивости численного решения временной шаг вычисляется по формуле:

Ак

At <

л/3с

где с - скорость света в вакууме, Ах - шаг сетки. Выбирая максимальное значение At, получаем At = 481,5 пс.

Для решения задач методом FDTD область вычислений должна быть ограничена. Вследствие этого необходимо применение граничных условий на границах области для имитации бесконечности (в случае отсутствия граничных условий появляются отражения от границ области). Существует несколько различных методов для создания граничных условий, но UPML (Uniaxial Perfectly Matched Layer) [5] обладает на порядки меньшими коэффициентами отражений от границ, чем остальные.

Все проводники смоделированы с помощью метода моделирования тонкого провода (thin wire technique) [6], так как их диаметр меньше шага сетки.

Зададим ток в проводе через напряженность поля вокруг него так, чтобы он совпадал с током в эксперименте. Относительная диэлектрическая проницаемость земли принята равной 20, что примерно соответствует экспериментальным данным. Удельная электрическая проводимость земли принята равной 5 мСм/м, так как измерение удельного сопротивления грунта дало 220 Омм. На рис.4 показаны расчетные ток, стекающий с заземлителя, напряжение на нем, а также значение импульсного сопротивления заземлителя, которое определено как отношение мгновенных значений напряжения к мгновенным значениям тока.

Время, МКС

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

^ Qj

И й

О

&

о

С'

Рис.4. Результаты вычислений

Метод FDTD требует больших вычислительных ресурсов. Но при использовании параллельных вычислений [7] в многопроцессорных системах время расчета может быть существенно снижено или может быть значительно увеличена моделируемая область, хотя при увеличении области время расчета растет нелинейно (увеличивается быстрее). Также нужно учитывать, что при большом количестве точек сетки этот метод требует большого объема ОЗУ, но объем занимаемой памяти с увеличением области расчетов растет линейно.

Большие импульсные токи, создаваемые разрядом молнии приводят к ионизации в почве, и эффект ионизации должен учитываться при расчетах переходных характеристик заземлителей. Нелинейное поведение характеристик заземлителей еще не изучено по причине сложности данного явления. Однако, используя существующие модели этого явления, его можно учитывать, в том числе и в расчетах методом FDTD [8].

Литература

1. Правила устройства электроустановок. 7-е изд. СПб.: ДЕАН, 2008. 704 с.

2. Transient Response of Grounding Systems Caused by Lightning: Modeling and Experiments / Y.Liu //Acta Universitatis. Comprehensive Summaries of Uppsala Dissertations from the Faculty of Science and Technology. 1015. 2004.

3. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equation in isotropic media / Kane S. Yee. 1966.

4. Novel method for analyzing the transient behavior of grounding systems based on the finite-difference time-domain method / Kazuo Tanabe. 2001.

5. An Anisotropic Perfectly Matched Layer-Absorbing Medium for the Truncation of FDTD Lattices / Stephen D. Gedney. 1996.

6. The treatment of geometrically small structures in FDTD by the modification of assigned material parameters / C.J.Railton, D.L.Paul, I.J.Craddock, G.S.Hilton. 2005.

7. Parallel Finite-Difference Time-Domain Method / W.Yu, R.Mittra, T.Su, Y.Liu, X.Yang. Artech House, 2006. 262 р.

8. Soil Ionization in Different Types of Grounding Grids Simulated by FDTD Method / T. L. T. dos Santos, R. M. S. de Oliveira, C. L. da S. S. Sobrinho, J. F. Almeida. 2009.

Сведения об авторах Куклин Дмитрий Владимирович,

инженер лаборатории высоковольтной электроэнергетики и технологии Центра физикотехнических проблем энергетики Севера КНЦ РАН

Россия, 184209, Мурманская область, г. Апатиты, мкр. Академгородок, д. 21А эл. почта: kuklindima@gmail.com