Итерационный способ расчета анизотропной балки на прочность

Общетехнические задачи и пути их решения

73

зданий / Г. М. Борликов, Э. В. Аринина. - Новочеркасск, 1969.

2. Деформации модельных и натурных резервуаров на слабых грунтах / Р. А. Усманов // Нефтепромысловое строительство. - 1982. -№ 5. - С. 5-7.

3. Расчет оснований зданий и сооружений в упруго-пластической стадии работы с применением ЭВМ / Ю. Н. Мурзенко. - Ленинград : Стройиздат, Ленингр. отделение, 1989. - 135 с.

4. Расчет оснований гидротехнических сооружений / В. А. Флорин. - Москва : Госстрой-издат, 1948. - 188 с.

5. Прочность оснований и устойчивость гидротехнических сооружений на мягких грунтах /

П. Д. Евдокимов. - Москва : Госэнергоиздат, 1956. - 271 с.

6. Решение задачи предельного равновесия с использованием метода конечных элементов / К. Г. Шашкин, В. А. Шашкин, М. В. Дунаева // Развитие городов и геотехническое строительство. - 2011. - № 13. - С. 81-95.

7. Условия моделирования напряженно-деформированного состояния сыпучей среды под жестким штампом. Исследование оснований, фундаментов и гидротехнических сооружений: Труды НПИ. Т. 216. - Новочеркасск, 1970. -С. 12-22.

8. Механика грунтов / Н. А. Цытович. - Москва : Госстройиздат, 1963. - 636 с.

УДК 624.04

Б. М. Аллахвердов, К. Ю. Полинкевич

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

ИТЕРАЦИОННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА АНИЗОТРОПНОЙ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ

Предложено описание методики расчета анизотропных балок на прочность, основанной на итерационном способе последовательного удовлетворения условиям равновесия и совместности деформаций. На численном примере приведены результаты, и оценена их близость к решению, полученному точным аналитическим способом. Определены упругие постоянные анизотропного материала в зависимости от направления армирования связующего вещества. Даны характеристики современного углепластика и очерчена область его применения.

теория упругости, анизотропия, ортотропная балка, метод итераций, напряжения, деформации.

Введение

В работе рассмотрена возможность применения итерационного способа расчета на прочность к анизотропным балкам. Рассмотрен простейший расчет балка на двух опорах, имеющий точное аналитическое решение. Приведено сравнение результатов.

1 Закон Гука для анизотропных материалов

Считая, как это принято в сопротивлении материалов, что при малых деформациях зависимость между деформациями и напряжениями соответствует линейному закону, запишем в общем случае анизотропии обобщенный закон Гука [1]:

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

74

Общетехнические задачи и пути их решения

; _ an°x + а12°у + «13°z + V y1x1 Vx1y1 . П1° _ П1Т .

+ «14T yz + «15Т xz + «16Т xy Ey1 Ex1 ; Ex1 G ’ Ux1 y1

П2° _ П2 т

(1) Ey G„,t'

Y xy = «61° x + «62° y + «63° z +

+ a.т + т + а,-т .

64 yz 65 xz 66 xy

Здесь a , a12...a66 - упругие постоянные анизотропного материала. В общем случае число различных постоянных равно 21.

В случае плоского напряженного состояния, когда отсутствуют все напряжения на площадке с нормалью по оси z и ортогональные оси x1, y1 повернуты относительно главных осей x, y на некоторый угол а, зависимость (1) принимает вид:

1

V,

'y1x1 П1т

в x1 = — ° x1 -E~ ° у1 + G-------------Х x1y1;

Ex1 Ey1 Gx1 у1

в у1 =--Ег ° x1 + -у- ° у1 + 7^Tx1y1;

Ex1 Ey1 Gx1y1

Приведенные зависимости показывают, что в анизотропных материалах нормальные напряжения вызывают не только продольные, но и сдвиговые деформации, а касательные напряжения могут быть причиной не только появления сдвигов, но и продольных деформаций.

При изучении плоского напряженного состояния анизотропной балки часто можно встретиться с такой задачей: известны упругие постоянные для некоторой системы координат x, y и требуется найти упругие постоянные для новой системы x1, y1, повернутой по отношению к первой на угол а. Для ортотропной балки обычно задаются главные упругие постоянные, однако может оказаться, что пользоваться главной системой координат почему-либо неудобно, и придется производить пересчет упругих постоянных. Модули и коэффициенты для новых осей определяются по формулам [2]:

Y x1 у1

л +П2°°+_!_

J7 x1 J7 y1 r~<

Ex1 Ey1 Gx1 y1

“x1y1’

здесь sx1, г - относительные удлинения (линейные деформации) в направлении действия нормальных напряжений; у -относительный сдвиг (сдвиговая деформация) или величина изменения прямого угла между площадками, на которых действуют соответствующие касательные напряжения; Ех1, Ey1, Gx1y1 - модули упругости и сдвига соответственно; V;1 , - коэффициенты влияния линейной деформации по направлению /1 на линейную деформацию по направлению у1, п;о, - коэффициенты влияния линейной деформации на сдвиговую деформацию по направлению /; р.т, - коэффициенты влияния сдвиговой деформации на линейную деформацию по направлению ., при этом соблюдаются отношения:

1 cos4 а

x1

1

f 1 2v Л

G E

. 2 2 sin4 а

sin а-cos а +-------:

1 у

sin4 а

y1

1

f 1 2v- Л

G E1

* 2 2 cos а /.ч

sin а-cos а +-------;

1 _ 2_+

Gx1y1 G

1 + V1 + 1 + V2 - 1 К E1 E2 G

sin2 2а;

V у1 _ Ex1

V1 1 f 1 + V1 1 + V 2 11

— + 2 — sin 2а

L E 4 1e e2 G J

E

V x1 _ V y1

x1 .

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

75

Л1а= Ex1 Х

sin2 а cos2 а 1 f 1 2v1 cos 2а

Х — —+ — —

г- ™ 1 E1 2 1G E1 J

sin 2а;

Х

cos2 а

~^т

П2а = Ey1 Х

sin2 а

~Е~

1 { -2 [ G

2v,

"i J

cos 2а

sin 2а.

При повороте осей эти упругие постоянные изменяются по (4).

На рис. 1 показаны графики зависимости модуля упругости и модуля сдвига от угла поворота.

3 Итерационный способ расчета анизотропной балки на прочность

2 Выбор актуального материала для численных расчетов

В настоящее время углепластики являются основным классом материалов для вновь создаваемых или модернизируемых летательных аппаратов. Ведущие авиастроительные предприятия, такие как «Боинг» и «Эйрбас», являются основными покупателями углеволокон. Фюзеляжи современных самолетов состоят более чем на 50 % из композитов. Углепластики имеют высокие показатели прочности и жесткости. В дальнейших расчетах предлагается рассмотреть в качестве примера углепластик марки M60J/Epoxy [5], который имеет следующие характеристики относительно главных направлений, связанных с расположением волокон:

E, = 33,0-104 МПа - вдоль волокон;

Е2 = 0,5886-104 МПа - поперек волокон; V, = 0,32; G12 = 0,3 9 24 1 04 МПа.

Предлагается применить к решению задач исследования напряженного состояния анизотропных стержней итерационный алгоритм уточнения компонент напряжений. Использование итерационного способа расчета НДС для изотропных и многослойных балок с целью уточнения значения напряжений при учете сдвиговых и поперечных деформаций рассматривалось в [3] и [4].

Далее описывается процедура итерационного процесса. Она анализируется на конкретном примере.

Рассматривается анизотропная балка длиной L, высотой h и шириной b на двух шарнирных опорах (рис. 2), загруженная постоянной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q.

Для численных расчетов принимаются следующие значения:

L = 3 м; h = 0,6 м; b = 0,1 м; q = 10 т; а = 30°.

Рис. 1. Полярные диаграммы изменения модулей: а) продольной упругости; б) сдвига при повороте координатных осей для углепластика M60J/Epoxy

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

76

Общетехнические задачи и пути их решения

q = const

h

b

Рис. 2. Расчетная схема с указанием принятых осей координат и направлением главных осей армирования

В поставленной задаче направление оси Х1 балки и направление главных осей армирования пластика углеродистыми волокнами отличаются на угол а = 30°, потому в соответствии с формулой (4) определено значение упругих постоянных:

£ =16739,0 МПа; Ey1= 6984,7МПа; Gx1y1= 5131,9 МПа;" vx1 = 0,26725;

V, 1 = 0,11152; п1о=1,4993; п2о= 0,38373.

В данном примере функции изгибающего момента M(x) = qX (L — x) и продольной

силы N (x) = 0 известны заранее.

1. Первая итерация.

1.1. Примем, что деформации sy (x, у) и Y (x, у) равны нулю.

1.2. Основываясь на гипотезе плоских сечений, деформацию sx задаем в виде:

1.4. Из условий равновесия находим значения функций в0 (x) и х (x):

N (x) = J a x (x, у )dA =

A

h/2

= Ex1b J ((x) + X(x) • у) =

—h/2

= Ex1b ^s0

M (x) = J (a x (x, у) • y)dA =

A

h/2

= Ex1b J ((x) + X(x)• у)• у• dy =

—h/2

= Ex1b • 12 x(x) — x(x) = M (xJ ;

12 Ex1 • Jx1

T b h

здесь J. = b —. x1 12

S x

где s0 (x) и x (x) - неизвестные функции (s0 (x) можно трактовать как продольную деформацию оси стержня, а x (x) - как кривизну его оси).

1.3. Зная деформации, по линейному закону Гука для изотропных материалов можно перейти к нормальным напряжениям вдоль оси х:

Формула для нормальных напряжений теперь выглядит так, как в сопротивлении изотропных материалов:

a x

M (x) • у

Jx1

1.5. Теперь, зная функцию нормальных напряжений, из дифференциального уравнения равновесия

ax (^ у) = Ex1 'Sx (x, у) =

= Ex1 (s0 (x) + х( x) • у).

da x

dx ду

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

77

можем найти выражение для касательных напряжений с точностью до произвольной функции т0 (х):

1.8. Напряжения су (х, у) вдоль нижних волокон (у = h ) отсутствуют:

Т ух (^ У) =

гдах (х, у) .

-J я------dy + то( х) =

дх

г dM

-к—^~ydy+то( х) =

dx • Jx1

Q(х) у J1 2

+ то( х).

Здесь Q(х) =

dM ( х) dx

3q(х) h

2A 2

'2 Л

1 --

V

3h2

= 0 ^а у о(х) = -

+ ау 0 (х) =

q

2 • b

, Л 3q( х) и ау (x, у) = у

2A

1 -

4у

3h2

2

q

2b 2b

у 4 у3 3Z + — 1

h h

1.6. Зная, что вдоль нижних волокон (у =

h

= — ) касательные напряжения отсутствуют: 2

6Q

bh

у2 + то( х) =

= 0 ^ то (х) =

3 Qx) 2 A

, ч 3 Q(х)„ 4у2 ит(х, у) =-^-L (1 -

2A Здесь A = bh.

h2

).

1.7. Аналогично из второго уравнения равновесия

да у

—у^ч_ + ух\ J = о

ду дх

находим значение функции су с точностью до произвольной функции су0 (х):

а

. дт ух

X х у) = -|--дх-----Лу + а у 0( х) =

г3 • dQ(х) 4у2, .

^(1 + ау0( х) =

= ^ у(1 - 4у2) + а у о( х).

2A 3h2 у0

Здесь q(х) = -

dQ( х) dx

Нахождением напряжений как функций двух переменных заканчивается первый цикл итерационного процесса. Этот шаг полностью описывает поведение стержня в рамках классического сопротивления материалов.

2. Вторая итерация.

2.1. В начале второго цикла по закону Гука (3) для анизотропного тела находим функцию деформаций вдоль оси у - £у:

£ у (х у ) = —а х (х у) +

Ex1

+ ^~ ау (x, у) + ^^Тух (X, у).

Ey1 Ey1

2.2. Зная функцию деформации £у (х, у), можно найти соответствующую функцию перемещения V (х, у), пользуясь уравнением связи между деформациями и перемещениями:

V (х у) =

= j£ у

h

с точностью до произвольной функции V0 (х).

2.3. Далее определяем функцию деформации сдвига по обобщенному закону Гука

(3):

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

78

Общетехнические задачи и пути их решения

Уху =п^Ъх у) +

Ех1

п 1

+ Т^у (У У) + -Tух (У У )-

Еу1 Gx1 у1

Результаты численного расчета по предложенному алгоритму итерационного уточнения напряженного состояния для анизотропных стержней приведены далее.

2.4. Затем вновь находим функцию продольных деформаций а х (х, у ):

dW дУ

Гху ду дх

духу — dW д2У ;

дх дудх дх2 ’

а х

6W

дх

—^дуау~\Чгау+а0

-у"( х) • х,

но это уже не та линейная функция, с которой начинался первый цикл вычислений.

Учитывая, что при малости углов поворота УДх) - -%(х), получаем схожую с первым циклом задачу определения новых функций а0 (х) и х (х). Эти функции, также как и в первом цикле, находятся из условия равновесия.

2.5. Зная деформации, теперь уже по обобщенному закону Гука для анизотропных тел можно определить нормальные напряжения сх (х, у) во втором цикле:

4 Точное аналитическое решение

Точное аналитическое решение (21) получено с использованием функции Эри (Airy) и приведено в [2]. Нормальные продольные и касательные напряжения в сечении определяются по следующим формулам:

а„ —

—q (i (- z2 )• у+

2/

у2 Л 1 -12 Дт

q a11 h V h2 J

b +2 (2 + 2 л 2a12 + a66 a16 ( 4 у3 3 у ]

v 4a11 a11 j Vh3 5h J

;

T N и ( h2 5 - Y2 - q • Oyl • ( Y 4Y

2 J X1 V4 J b a11 V h hJ J

, L Jx1 — bh 1 V х1

где i—у; ; an — a12 —

2. 12 Ех1 Ех1

a16—

1а

х1

а х(у у) — а х(у у) • Ех1 +

+ Vx1 'ау (x, у) Па • T ух (x, у).

Дальнейшие процедуры также повторяются.

5 Сравнение результатов

В таблице приведены значения нормальных и касательных напряжений в трех точках по высоте сечения в четверти пролета

ТАБЛИЦА. Нормальные напряжения

Сечение Итерационный способ Аналитический метод

Цикл 1 Цикл 2 Цикл 3

о т о т о т о т

Верхняя фибра -1406,25 0 -1058,68 0 -968,49 0 -979,48 0

Центр сечения 0 187,50 -187,41 187,50 -187,41 187,49 -187,41 187,50

Нижняя фибра 1406,25 0 1808,35 0 1718,40 0 1729,12 0

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

79

Рис. 3. Эпюры нормальных (а) и касательных (б) напряжений по высоте балки.

1 - первая итерация; 2 - вторая итерация; 3 - третья итерация; 0 - аналитическое решение

балки. На рис. 3 определенным двумя различными способами по численным данным построены эпюры напряжений по высоте балки в том же сечении. Очевидна сходимость результатов итерационного способа к точному решению уже на третьем цикле.

Заключение

1. В среде MathCAD был реализован алгоритм расчета анизотропных балок на прочность, основанный на итерационном способе последовательного удовлетворения условиям равновесия и совместности деформаций. По данному алгоритму решена задача.

2. Та же задача решена точным аналитическим методом.

3. Приведено сравнение напряженного состояния конкретной анизотропной балки, определенного вышеизложенным способом, с аналитическим, полученным с использованием функции Эри. После трех циклов итерации предложенное решение практически не отличается от точного, полученного

методами теории упругости анизотропного тела.

Библиографический список

1. Теория анизотропных пластин (прочность, устойчивость и колебания) / С. А. Амбарцумян. -Москва : Наука, 1967. - 268 с.

2. Анизотропные пластинки / С. Г. Лехниц-кий. - Москва : Гос. изд-во техн.-теор. литературы, 1957. - 463 с.

3. Итерационный метод расчета балок с изменяющимися по высоте характеристиками. Исследования по механике материалов и конструкций (сб. научн. статей) / Б. М. Аллахвердов. -2002. - Вып. 12. - С. 30-34.

4. Итерационный способ расчета слоистых балок на прочность / К. Ю. Полинкевич // Известия ПГУПС. - 2013. - Вып. 2 (35). - С. 148-153.

5. Анализ оптимальных сочетаний требований к разрабатываемым углепластикам для крупногабаритных ракетно-космических конструкций / А. А. Смердов, И. А. Буянов, И. В. Чуд-нов // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 2012. - Вып. 8. - С. 70-77.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2