Методика и алгоритмы решения задач строительной механики с использованием программных средств. Ч. 2. Расчет плоских ферм в программах Excel, Mathcad, Compass

ящее время или в перспективе. Так необходимо менять сложившуюся планировочную структуру и устра-

нять ее недостатки.

Библиографический список

Статья поступила 15.01.2014.

1. Большаков А.Г. Геопластика в архитектуре и планировке ландшафта. Иркутск: Институт географии СО РАН, 2000. 114 с.

2. Большаков А.Г., Шишканова М.А., Шишканов В.А. Прибайкальский национальный парк. Особенности организации туризма. Иркутск: Проект Байкал, 2013. №37-38. С.95-98.

3. Большаков А.Г. Ландшафтный ресурс устойчивого развития территории в градостроительстве // Архитектура, строительство, дизайн. 2002. №4. С.41-46.

4. Большаков А.Г. Энтропия в нарушенных ландшафтах и метод геопластики // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2005. №2 (22). С.164-171.

УДК 519.6

МЕТОДИКА И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ. Ч. 2. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ В ПРОГРАММАХ EXCEL, MATHCAD, COMPASS

© Т.Л. Дмитриева1

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрена методика и алгоритмы решения задач статического анализа стержневых систем, которые реализованы в учебном процессе в рамках преподавания дисциплины «Строительная механика» с использованием программных средств. Приведен алгоритм расчета плоской фермы через матрицу равновесия и методом конечных элементов в статической постановке. Использован вычислительный аппарат программ Excel, Mathcad, а также расчет в программной системе COMPASS. Ил. 3. Табл. 5. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: статика; стержневые системы; ферма; метод конечных элементов.

METHODS AND ALGORITHMS FOR SOLVING PROBLEMS OF STRUCTURAL MECHANICS USING SOFTWARE. P. 2. CALCULATION OF PLANE TRUSSES IN THE PROGRAM EXCEL, MATHCAD, COMPASS T.L. Dmitrieva

Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The Methods and Algorithms for solving task of static analysis of bar systems using the software are considered. An algorithm for calculating the flat truss with equilibrium matrix and finite element method in a static setting. Used computational tool programs Excel, Mathcad, as well as the calculation in a software system COMPASS. 3 figures. 5 tables. 6 sources.

Key words: statics, bar system, truss, finite element analysis. Введение

Современные вычислительные средства позволяют производить расчет сложных технических сооружений. Матричные алгоритмы, заложенные в программные комплексы расчета, необходимы студентам для освоения с нескольких точек зрения. Во-первых, они дают представление о корректности выбора расчетной схемы, во-вторых, позволяют в наглядной и компактной форме отследить влияния жесткостных параметров конструкции, ее геометрии на результирующие значения усилий и перемещений. Наконец, эти алгоритмы дают понимание диагностики ошибок при расчете. В данной статье приведены алгоритмы матричного расчета фермы. Вычислительная поддержка алгоритма выполнена с помощью программ Excel и Mathcad. Для проверки полученных результатов приведен расчет в программной системе COMPASS, разработанной сотрудниками кафедры сопротивления материалов ИрГТУ.

Определение усилий в элементах и опорных реакций через уравнение равновесия

Приведем алгоритм расчета статически определимой фермы в матричной форме через уравнения равновесия [4, 5]. Матрица равновесия всей системы формируется через матрицы равновесия элементов с учетом опорных связей.

Матрица равновесия k-го элемента Матрица равновесия k-го элемента имеет вид:

Дмитриева Татьяна Львовна, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.: (3952) 405144, 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu

Tatyana Dmitrieva Associate Professor of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel: (3952) 405144, 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu

[ A ] =

Матрица опорной связи имеет две строки:

-cosa -sina cosa sina

[ A ] =

Блок 1: начальный узел Блок 2 : конечный узел

-cosa -sina

Опорный узел

Здесь а - угол наклона к-го стержня к оси х (угол наклона между локальной осью х стержня х и глобальной осью х) либо наклон опорной связи к оси х (рис. 1). Значения направляющих синусов и косинусов элемента удобно определять через координаты его узлов:

4 . L

cos a = — ; sin a =

L

L

где Lx = xj -xi'> Ly = yj -J

го) узлов в глобальной системе координат.

У; L = \¡(. L ) +(Ly )2 , X У, X Yj -

координаты «начального» (/-го) и «конечного» (j-

Стержень k

x

Рис. 1. Отображение локальной оси на элементе

Матрица равновесия системы

Вырезая узлы по возрастанию нумерации степеней свободы, получим систему уравнений равновесия фермы в целом. Неизвестными здесь являются усилия в элементах и реакции в связях {S}, а коэффициентами при неизвестных - компоненты матрицы равновесия [А]. Свободными членами будут узловые внешние силы {Р}. Таким образом, система статических уравнений имеет вид:

№}=М.

Матрица равновесия всей системы [A] состоит из матриц равновесия элементов [Ak]:

И=[ИМ4]......К]],

где n - число элементов и опорных связей.

Эта матрица имеет блочную структуру. Деление на блоки по горизонтали связано с тем, что для каждого узла плоской фермы можно составить два уравнения равновесия. Следовательно, каждому узлу соответствует блок из двух строк. Каждый стержень соединяет два узла, поэтому верхний блок (блок 1) матрицы равновесия элемента [Ak] соотносится с начальным узлом /, а нижний (блок 2) - с конечным узлом j. Число блоков по

вертикали (столбцов) равно числу элементов фермы плюс опорные связи (С+С0).

В статически определимых системах число неизвестных усилий равно числу уравнений равновесия, поэтому матрица [A] - квадратная. Если конструкция неизменяемая, то матрица равновесия не вырождена и имеет обратную матрицу. Вектор {S} можно определить из системы уравнений (4) обращением матрицы [A]:

{*} = [ A]-1 М

Пример реализации алгоритма в программе Excel

Рассмотрим пример расчета статически определимой фермы (рис. 2). Для определения внутренних усилий в элементах фермы необходимо выполнить следующие шаги, где вычислительные операции реализованы в программе Excel:

1. Покажем локальные оси xk для каждого стержня (за начальный возьмем узел с меньшим порядковым номером).

2. Определим направляющие синусы и косинусы стержней (табл. 1).

3. Сформируем матрицу равновесия всей системы и грузовой вектор (табл. 2). Обратим внимание на то, что матрица квадратная. Это вытекает из условия, устанавливающего, что в статически определимых системах удвоенное число узлов (число строк) равно суммарному количеству стержней и опорных связей (число столбцов).

4. Обратим матрицу равновесия [А- ] (табл. 3). Для этого используем функцию Excel «МОБР» (массив) в категории «Математические».

5. Выполним матричное перемножение обратной матрицы и грузового вектора [А-*]х{Р}(табл. 4). Используем для этого функцию «МУМНОЖ» (массив 1, массив 2) в категории «Математические».

6. Результат этого перемножения - значения внутренних усилий в стержнях фермы (первые семь элементов вектора) и значения опорных реакций (последние три элемента) (табл. 5).

Таблица 1

Расчет в табличном редакторе Excel_

Стержни Опоры

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 4 0 8 4 4 12 12

Xi 12 8 16 0 8 8 16

Lx 8 8 8 -4 4 -4 4

y 3 0 0 3 3 3 3

y 3 0 0 0 0 0 0

Ly 0 0 0 -3 -3 -3 -3

L 8 8 8 5 5 5 5

cos 1 1 1 -0,8 0,8 -0,8 0,8 1 0 0

sin 0 0 0 -0,6 -0,6 -0,6 -0,6 0 1 1

Таблица 2

Матрица равновесия_

-1 0 0 0,8 -0,8 0 0 0 0 0

0 0 0 0,6 0,6 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0,8 -0,8 0 0 0

0 0 0 0 0 0,6 0,6 0 0 0

0 -1 0 -0,8 0 0 0 -1 0 0

0 0 0 -0,6 0 0 0 0 -1 0

0 1 -1 0 0,8 -0,8 0 0 0 0

0 0 0 0 -0,6 -0,6 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0,8 0 0 0

0 0 0 0 0 0 -0,6 0 0 -1

Таблица 3

Обратная матрица_

-0,500 0,667 0,500 0,667 0,000 0,000 0,000 1,333 0,000 0,000

0,750 -1,000 0,750 -0,333 0,000 0,000 1,000 -0,667 1,000 0,000

0,250 -0,333 0,250 -1,000 0,000 0,000 0,000 -0,667 1,000 0,000

0,313 1,250 0,313 0,417 0,000 0,000 0,000 0,833 0,000 0,000

-0,313 0,417 -0,313 -0,417 0,000 0,000 0,000 -0,833 0,000 0,000

0,313 -0,417 0,313 0,417 0,000 0,000 0,000 -0,833 0,000 0,000

-0,313 0,417 -0,313 1,250 0,000 0,000 0,000 0,833 0,000 0,000

-1,000 0,000 -1,000 0,000 -1,000 0,000 -1,000 0,000 -1,000 0,000

-0,188 -0,750 -0,188 -0,250 0,000 -1,000 0,000 -0,500 0,000 0,000

0,188 -0,250 0,188 -0,750 0,000 0,000 0,000 -0,500 0,000 -1,000

Определение перемещений и усилий методом конечных элементов

В работе автора [5] приведена система уравнений метода конечных элементов (МКЭ):

[r]{Z} = {P},

которая называется разрешающей системой метода перемещений, поскольку неизвестными здесь являются перемещения. Эта система размерностью 2пр имеет положительно определенную матрицу коэффициентов ленточной структуры:

[г ] = [Л][ В]1 [А]

которая называется матрицей жесткости системы.

Вектор нагрузки P, кН

Таблица 4

0

-100

-100

Усилия, кН

Таблица 5

N1 -133,33

N2 133,33

N3 133,33

N4 -166,67

N5 0

N6 0

N7 -166,67

H3 0

V3 100

V8 100

0

0

0

0

0

0

0

100 кН 100 кН

Рис. 2. Расчетная схема фермы

Формирование матрицы жесткости системы прямым перемножением

Для получения матрицы жесткости будем использовать прямое перемножение матриц согласно выражению (7). Ввиду большой размерности этих матриц для операций с ними студентам предлагается использовать программу Mathcad [3, 6], в которую матрица [А] импортируется из программы Excel. Если десятичный разделитель в Excel настроен на запятую, необходимо выполнить контекстную замену на точку. Отметим, что делается вставка усеченной матрицы [А] размерностью 2np*ne, где отброшены столбцы, соответствующие опорным связям. Тогда матрица податливости [В] будет иметь размерность ne*ne. Это диагональная матрица, элемент которой определяется по выражению:

ВКк = Lk/

где EAk - жесткость элемента на сжатие-растяжение. Так как по умолчанию любая матрица в программе Mathcad - нулевая, то назначаются только диагональные элементы. Грузовой вектор {Р} и вектор длины {L} также импортируются из программы Excel. Матрица [г], полученная по выражению (7), вырождена, так как составлена без учета опорных закреплений (определитель матрицы равен нулю). Учет опорных связей произведем постановкой в эту матрицу чисел большого порядка (1014) на диагональ, соответствующую номеру опорной связи (это значение ассоциируется с жесткостью опорной связи). После определения перемещений из выражения (6) определяем вектор внутренних усилий по выражению:

{N}=[¿Г [Af {2} .

ОГЯСПЧ := 1

ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛг

'1

0

1 о о о о о о о

Исходные данные Матрица равновесия

ЕЛ := 1000

пр := 5

Длины элементов

пе := 7

Узловая нагрузка

А :=

ЛЛЛ/

\

0 0 0.8 -0.8 0 0 >

0 0 0.6 0.6 0 0 V

0 0 0 0 0.8 -0.8

8

0 0 0 0 0.6 0.6

8

-1 0 -0.0 0 0 0

Ь:= 5

0 0 -0.6 0 0 0 АЛЛ

5

1 -1 0 0.8 -0.8 0

5

0 0 0 -0.6 -0.6 0

,5 у

0 1 0 0 0 0.8

0 0 0 0 0 -0.6,

/

Р :=

\

Задание диагональной матрицы податливости к = 1 те Формирование матрицы жесткости г := А В-1 Л

Вк.ь -

0

-100 0

-100 о о 0 0 0 о

и

ЕА

\

/

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 381 0 -125 0 -128 -96 -128 96 0 0

2 0 144   -96 -72 96 -72 0 0

3 -125 О 381 О 0 0 -128 -96 -128 96

4 0 0 0 144 0 0 -96 -72 96 -72

5 -128 -96   253 96 -125 0 0 0

6 -96 -72 О О 96 72 0 0 0 0

7 -128 96 -128 -96 -125 0 506 0 -125 0

8 96 -72 -96 -72 0 0 0 144 0 0

9 0 О -128 96 0 0 -125 0 253 -96

10 0  96 -72 0 0 0 0 -96 72

Определитель матрицы Учет опорных закреплений

10

14

Ранг матрицы гее = 1"

галЫ г) = 7 ^О.К = 10

Определитель матрицы |г| = 1.493 10 Ранг матрицы галк(г) = 10

Приведем алгоритм (6)-(9) применительно к ферме, показанной на рис. 1, выполненный в программе МаШса!

Поэлементный подход для формирования матрицы жесткости

Метод прямого перемножения (7) для получения матрицы [г] нагляден и алгоритмически прост. Но в реальных алгоритмах, заложенных в автоматизированный расчет, такой подход не используется, так как требует

больших ресурсов для хранения матриц [А] и [В].

Рассмотрим поэлементный подход к формированию матрицы жесткости системы [1]. Матрица жесткости к-го

элемента [ гк ] содержит степени свободы узлов этого элемента. В процессе суммирования рассылка элементов

по матрице жесткости всей системы осуществляется в соответствии с глобальными степенями свободы узлов. Получим выражение матрицы жесткости к-го элемента фермы системы в глобальной системе координат:

[г ] = [А ][ в]-1 [А ]т =

-с

- Б

с

Б

К4

С

ЕА

[-С -Б С £] = —

Я -Я

-я я

где [ Н ] =

С = соъа.

С2 СБ СБ Б2

Матрицы [А] и [В] имеют блочную структуру, поэтому матрица жесткости системы в целом может быть сформулирована путем суммирования матриц жесткости п элементов

, Б = $так.

[г Ы [ Ак ][ Бк П Ак ]т =£ [гк ].

Приведем алгоритм расчета фермы, изображенной на рис. 1, где матрицы жесткости формируется сначала поэлементно по выражению (10). Геометрия фермы при этом вычисляется непосредственно в программе МаШса! Формирование матрицы жесткости всей системы производится при помощи матриц [М/к]. Эта матрица имеет размерность 2прх4 и отражает номера степеней свободы начального и конечного узлов элемента. Тогда выражение матрицы жесткости всей системы будет следующим:

[г ] = ! [ Мк ][гк }\У1к ]т.

Усилия в элементе определяются через его деформации Си=иги, и (и и V - компоненты вектора пе-

ремещений I) по выражению

ЕА

N = —- (Сик  со$,(ак) + сЫк  $,т(ак)). 4

Расчёт фермы методом конечных элементов 1. Ввод исходных данных

и \

12

х := 0

8

(ЗА

3

У:= 0

0

13

Число элементов Число узлов Число опорных связей |иор := 3|

Координаты узлов

Жесткость на сжатие-растяжение

Соединения в элементах

2. Геометрия элементов

¡ = 1 пе

3 4

4 5

ш := 1 3

1 4

2 4

/

ОШСШ

ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ/

гер^ТЛ7,«;) :=

N закреплённых связей

( 5 1

юр := 6

ш

II №

и. 1

1С

и

+

Цикл по числу элементов

Цикл по числу ]:=1..пр Цикл по числу узлов опорных связей

18 := 1.. лор

¡1. := т. .

1 1,1

И1:=и11,2

к

к=1

^ := >7„;.

ь

АЛЛ/

вычисление длин и направляющих косинусов и синусов в элементах

Ь =

8 8 5 5 5 45/

1а

с := — Ь

( 1 ^ 1 1

оя -о в 0-8 /

ь

( О ^ о о -0.6 -0.6 -0.6

г. := 1

3. Матрица жесткости элемента е ГСК

Ы2 с151 -Ы2

С.-«. -С.-«.

-Ы2 Ы2

с.з. -

2

ЕА

Ь. 1

4. Формирование матрицы жесткости системы

Матрицы М переноса блоков матриц элементов по адресам марицы жесткости системы

VI. := тайтх(2 'Лр , 1

У2. := тайтх(2 пр , 1

к1. := 2 И. - 1 1 1

к2. := 2 И. 1 1

кЗ. := 212. - 1 1 1

УЗ. := тайх\

к4. := 2 ¡2. 1 1

У4. := тайг\(2 1ф , 1

У1.:= гер1(У1.,к1.) У2. := гер1(У2.,к2.) УЗ. := гер1 (УЗ., кЗУ4. := гер1(У4.,к4.]

Ш. := аигтеп^У!. , У2. , УЗ., У4.1 Б. := М. г. Ш.Т

1 ^ ^ 1 1 1 Ц Г*И 111

И У (Ш.Г.Ш?

Я =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 38.1 0 -12.5 0 -12.8 -9.6 -12.8 9.6 0 0

2 0 14.4 0 0 -9.6 -7.2 9.6 -7.2 0 0

3 -12.5 0 38.1 0 0 0 -12.8 -9.6 -12.8 9.6

4 0 0 0 14.4 0 0 -9.6 -7.2 9.6 -7.2

5 -12.8 -9.6 0 0 25.3 9.6 -12.5 0 0 0

6 -9.6 -7.2 0 0 9.6 7.2 0 0 0 0

7 -12.8 9.6 -12.8 -9.6 -12.5 0 50.6 0 -12.5 0

8 9.6 -7.2 -9.6 -7.2 0 0 0 14.4 0 0

9 0 0 -12.8 9.6 0 0 -12.5 0 25.3 -9.6

10 0 0 9.6 -7.2 0 0 0 0 -9.6 7.2

Д. Учет опорных закреплений

14

Щьщ, = 10 |Ы| = 1.493 х ю30 гапк(К5 = 10

6. Задание сектора нагрузки 7. Узловые

перемещения системы

ъ = к 1-р =

1

1 16

2 -35.222

3 5.333

4 -35.222

5 0

6 -1-10-12

7 10.667

0 -42.333

9 21.333

10 -1-10-12

Р := (0 -100 0 -100 О О О О О О)1

Вычисление деформаций 1и. := и,

ОД " »

8. Усилия в элементах

N. :=

'ЕА Ь.

V 1

¿и. С. + ¿V. -8.1

I 1 1 1 V

{ -133333 ^ 133333 133333 -166667

-13

1.776 х 10

1599 х 10" 13 V -166^67 )

а)

б)

1 Наименование таблицы Код таблицы ПЕРЕМЕЩЕНИЯ УЗЛОВ

2 06.01.1

3 Массив DISNODE [ 2 , NPoillt ] NPoillU = 5

4 Номер узла 1-е Зафужение Перемещения по направлениям

5 Ux Vy

С 1 2 3

7 1 1600 -3522,222222

8 2 533,3333333 -3522,222222

3 0 0

10 4 1066,666667 -4233,333333

11 5 2133,333333 0

в)

Рис. 3. Результаты расчета в программной системе COMPASS: а - деформированная схема ферм; б - таблица результирующих усилий; в - таблица узловых перемещений

Проверка результатов, полученных в программе Mathcad, производится с использованием программной системы COMPASS [2], ориентированной на решение задач конечно-элементного анализа. Результаты расчета в этой программе показаны на рис. 3. Заключение

В результате освоения приведенных выше алгоритмов матричных расчетов фермы студент приобретает навыки, связанные не только с последовательностью выполнения матричных операций. Прежде всего, определяется область применения каждого алгоритма. Так, при помощи матрицы равновесия возможен расчет только статически определимых ферм (матрица [А] при этом квадратная), через уравнения МКЭ возможен расчет как статически определимых, так и статически неопределимых систем. Таким образом, область применения МКЭ шире. Отслеживается влияние исходных данных на полученные результаты. В программе Mathcad значение жесткости ЕА задается равным 100, а при расчете в программе COMPASS жесткость ЕА принята 1. Выполняется сравнение полученных при этом значений усилий и узловых перемещений и делается вывод о влиянии на них параметров жесткости.

Статья поступила 23.01.2014 г.

Библиографический список

1. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов / пер. с англ. А.С. Алексеева [и др.]; под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1882. 448 с.

2. Безделев В.В., Буклемишев А.В. Программная система COMPASS. Руководство пользователя. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2000. 120 с.

3. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 752 с.

4. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: учебник для строительных специальностей вузов. Изд. 10-е. СПб.: Лань, 2005. 655 с.

5. Дмитриева Т.Л. Методика и алгоритмы решения задач строительной механики с использованием программных средств. Ч. 1. Расчет плоских рам в программе Mathcad // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2013. № 11. С. 153-160.

6. Макаров Е. Инженерные расчеты в Mathcad. СПб.: Питер, 2007. 592 с.