Применение экспоненциальных моделей для анализа и сжатия измерительной информации

УДК 621.317

О. Н. Никишин, М. Г. Мясникова

ПРИМЕНЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ АНАЛИЗА И СЖАТИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ

ИНФОРМАЦИИ

Аннотация. Рассматриваются принципы сжатия, восстановления и анализа измерительных сигналов на основе аппроксимации данных экспоненциальными суммами. Разрабатываются алгоритмы сжатия и восстановления сигналов, приводятся результаты их моделирования.

Abstract. The principles of compression, recovery and analysis of the measuring signals, based on data approximation by exponential of sums, are considered. Algorithms of compression and restoration of signals are developed. The results of their simulation are presented.

Ключевые слова: сжатие, восстановление, экспоненциальная модель, коэффициент сжатия.

K e y words: compression, recovery, exponential model, coefficient of compression, approximation.

Сжатие - одна из основных задач в цифровой обработке сигнала в системах телеметрии и управления. В данной статье рассматривается сжатие без потерь на основе аппроксимации сигналов экспоненциальными суммами, описывающими колебательные процессы в сложных технических системах.

Известно много способов аналитического представления сигналов. Основными из них являются представление сигналов с помощью системы линейно независимых колебаний, аппроксимация полиномами, представление сигнала с помощью системы ортогональных орто-нормированных функций, разложение в ряд Котельникова сигналов с ограниченным спектром. Исходя из решения той или иной задачи выбирается вид аналитического представления сигнала (процесса).

Сжатие-восстановление на основе аппроксимации экспоненциальными суммами.

К сожалению, в специальной литературе мало внимания уделяется описанию свободных и вынужденных колебаний. Данная модель по сути является суммой затухающих колебательных q составляющих разной частоты fk с соответствующими амплитудами Лк , фазами и затуханиями ак, k = l...q . В основе определения этих параметров лежит аппроксимация экспоненциальными суммами:

p

p q

X = ZHkZk = ZAk 'ехР(“а/Л) • cos(2rcfktt + tyk) j=i k=i

Преимуществом этой аппроксимации по сравнению с другими является связь с физическими параметрами, а также возможность привязки ко времени измерения. Рассмотрим способ сжатия и восстановления измерительной информации на основе аппроксимации уравнением вида (1).

Для определения параметров модели (1) предложим метод Рутисхаузера [1, 2].

На первом этапе предлагаемого метода необходимо преобразовать входной массив с

данными по правилам ромба

¿1)=+а у+1) -а у >

а (0 = а({+1)-1—

1 а1 „(О

е(/+1) в последовательность (а(г), е(г)} .

е1

На втором этапе по полученной последовательности {д(0), е(0)} следует составить непрерывную дробь вида

х(2) = х(^о) _ е(0)д(0) _ е20)д20) _

2_д

Последовательность (2) несет всю информацию о входном сигнале.

На третьем этапе, преобразовав непрерывную дробь вида (2), получим характеристическое уравнение

X

V„(2) ' '

Решая знаменатель характеристического уравнения (3), полученного на основе рациональной дроби, находим корни знаменателям 2к . Далее, преобразовав данное уравнение к виа и п_1( 2 к) , , 7

ду а к = —;-, к = 1,..., п, и подставляя в него корни знаменателям /к, получим значения

Уп

массива Нк.

Принцип сжатия-восстановления информации. Формула (1) служит основой для сжатия-восстановления информации двумя способами:

р

1) на основе аппроксимации экспоненциальными суммами: х1 = 1 Нк1П ;

1=1

2) на основе аппроксимации колебательными и (или) инерционными составляющими

д

(частный случай при ^ = 0): х = £ Ак • ехр(_а^г) • /к ^ + фк).

к=1

В первом случае коэффициенты Нк и 2к несут полную информацию о сигнале - его частотных свойствах.

Во втором случае передаются параметры {Ак, /к, фк, ак}, к = 1,2,..., д, которые используются для восстановления сигнала.

На рис. 1 показана аппроксимация этими двумя методами. Здесь и далее исходный сигнал показан прерывистой линией, результаты восстановления - сплошной; ось абсцисс - порядковый номер отсчета, ось ординат - значение сигнала в относительных единицах.

Аппроксимация экспоненциальными суммами, показанная на рис. 1,а, может быть использована для сжатия информации, так как требует хранения только 2п коэффициентов рациональной дроби (т.е. всего 2п значений вместо исходного ряда из —). Таким образом, сигнал может быть полностью восстановлен по своим начальным значениям и коэффициентам

рациональной дроби, при этом коэффициент сжатия составит .

2 Р

а)

б)

Рис. 1. Аппроксимация сигнала экспоненциальными суммами

Показанная на рис. 1,б аппроксимация колебательными или инерционными составляющими обеспечивает такой же коэффициент сжатия, как и в первом случае. При таком варианте сжатого хранения информации используется 4д параметров сигнала: {Лк, /к, Фк, ак}, к = 1...ч, где # < р, так как комплексно-сопряженные пары составляющих описывают одно действительное колебание. При д = р /2 методы обеспечивают одинаковое сжатие.

Алгоритмы сжатия и восстановления измерительной информации. Необходимо заметить, что при восстановлении сигнала надо отфильтровывать те значения массива Нк, которые существенно меньше по сравнению с другими элементами массива Нк.

Для проверки эффективности предложенного алгоритма было проведено моделирование в среде Ма1;ЬаЬ. При этом сравнивалась погрешность восстановления по предложенному алгоритму и алгоритму с фильтрацией каждого элемента массива Нк.

При отношении сигнал/шум, равном 50, приведенная среднеквадратичная погрешность восстановления при применении интегрирования составила 0,8 %, а в классическом алгоритме -4,8 %. При отношении сигнал/шум, равном 70, приведенная среднеквадратичная погрешность восстановления при применении интегрирования составила 0,2 %, а в классическом алгоритме -3,2 %.

На рис. 2,а показан сигнал без фильтрации действительной части массива Нк, на рис. 2,б -с фильтрацией действительной части.

Отметим, что погрешность в первом случае значительно меньше, чем во втором.

На основе моделирования можно обосновать алгоритм сжатия, включающий следующие этапы:

1) преобразование входных отсчетов;

2) преобразование коэффициентов непрерывной дроби в рациональную;

3) формирование сжатой информации.

0 20 40 60 80 100 120

N

а)

N

б)

Рис. 2. Результаты моделирования алгоритмов восстановления сигнала

Алгоритм восстановления будет включать следующие этапы:

1) решение характеристического уравнения и нахождение нулей;

2) определение собственных частот и коэффициентов затухания;

3) определение комплексных амплитуд по известным отсчетам и корням;

4) восстановление сигнала.

Предложенные алгоритмы на основе аппроксимации экспоненциальными суммами могут применяться для сжатия пакетов цифровой информации отдельных мониторинговых датчиков, в том числе быстропеременных процессов и программно-алгоритмического обеспечения восстановления данных. Моделирование алгоритмов показало возможность достижения требуемого сжатия и обеспечения приемлемой погрешности восстановления. Связь предложенных алгоритмов с методом определения параметров составляющих сигнала открывает возможности для применения их в системах телеизмерений.

Список литературы

1. Рутисхаузер, Г. Алгоритм частных и разностей / Г. Рутисхаузер. - М. : Иностр. лит.,

1960. - 94 с.

2. Джоунс, У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения / У. Джоунс,

В. Трон. - М. : Мир, 1985. - 414 с.

Никишин Олег Николаевич

аспирант,

Пензенский государственный университет E-mail: gtleon@mail.ru

Мясникова Мария Геннадьевна

кандидат технических наук, доцент, кафедра информационно-измерительной техники, Пензенский государственный университет E-mail: urchin_blue@mail.ru

Nikishin Oleg Nikolaevich

postgraduate student,

Penza State University

Myasnikova Mariya Gennad'evna

candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of information and measuring technique Penza State University

УДК 621.317 Никишин, О. Н.

Применение экспоненциальных моделей для анализа и сжатия измерительной информации / О. Н. Никишин, М. Г. Мясникова // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2012. -№ 1. - С. 35-39.