МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АПЕРИОДИЧЕСКИХ МАРШРУТНЫХ РАСПИСАНИЙ ГОРОДСКОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТРАНСПОРТА

ЭЛЕКТРОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 656.022.5

А. М. Горбачев, канд. техн. наук

Кафедра «Автоматика и телемеханика на железных дорогах»,

Петербургский государственный университет путей сообщения

Императора Александра I, Санкт-Петербург

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АПЕРИОДИЧЕСКИХ МАРШРУТНЫХ РАСПИСАНИЙ ГОРОДСКОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТРАНСПОРТА

Приведен анализ научных работ и моделей маршрутных расписаний движения. На основе существующих работ составлена классификация расписаний движения по признаку повторяемости значений времени. Представлено описание сети городского транспорта в виде мультиграфа. Рассмотрен переход от мультиграфа сети городского транспорта к сети событий, характеризующих процесс движения. Формализованы ограничения на значения времени для решения основной задачи теории расписаний. Предложенная формализация учитывает особенности планирования организации движения в России и других странах на постсоветском пространстве. Представлена математическая модель апериодических маршрутных расписаний движения наземного городского электрического транспорта на основе теории линейного программирования. Обоснован выбор критерия оптимизации при решении основной задачи теории расписаний. В качестве критерия оптимизации при решении основной задачи теории расписаний используется равномерность интервалов движения. В статье имеется табличная форма расписаний, принятая в городском транспорте для описания процессе движения при отсутствии значимых событий на линии. Приведен пример внедрения представленной в данной работе модели в программном обеспечении системы автоматизированного проектирования расписаний движения трамваев и троллейбусов в составе автоматизированной системы управления городским электрическим транспортом, используемой в настоящее время в Санкт-Петербурге для построения расписаний трамваев и троллейбусов. Продемонстрированы примеры расчета диаграмм интервалов по отправлению транспортных средств для демонстрации функции выравнивания интервалов движения. В заключении перечислены достоинства предложенной модели апериодических маршрутных расписаний движения наземного городского электрического транспорта и дальнейшие пути ее развития.

Городской транспорт, наземный электрический транспорт, маршрутное расписание, апериодическое расписание, линейная комбинация, система автоматизированного проектирования расписаний движения трамваев и троллейбусов, автоматизированная система управления городским электрическим транспортом

ЭО!: 10.20295/2412-9186-2020-6-4-499-517 Введение

Современный городской электрический транспорт обеспечивает перевозки большого объема пассажиропотоков экологичным способом. Основной доку-

мент, регламентирующий движение, — маршрутное расписание. Составление его — трудоемкий процесс, на который существенное влияние оказывает человеческий фактор. А конкретно — уровень подготовки инженера — составителя расписания.

В зависимости от наличия или отсутствия заданного интервала времени Period, через который события внутри расписания повторяются, можно ввести классификацию расписаний движения, разделив их на две группы: периодические (циклические) и апериодические.

Периодические (они же циклические, ритмические) расписания — это такие расписания движения, события в которых повторяются через заданный промежуток времени Period. Под событиями в данном случае понимается время прибытия (TArr) и отправления с контрольных точек (T ). В качестве контрольных точек в общем случае могут выступать остановки, узловые точки (например перекрестки) и конечные станции. Математические модели, положенные в основу построения периодических расписаний движения в Европе и США, подробно рассмотрены в различных работах для городского [1—4], железнодорожного [5—6] и авиатранспорта [7—8], обзор которых приведен в [9].

Апериодические расписания не имеют заданного промежутка времени Period, через который повторяются события, происходящие в расписании.

Соответственно, для последних интервал между отправлениями транспортных средств является величиной расчетной, а не заданной. Общий обзор математических моделей расписаний приведен в [9].

В большинстве моделей расписаний движения время — величина дискретная [10]. В России, как правило, дискретой считается одна минута. Ниже рассматриваются только целочисленные модели.

Однако рассмотренные авторами модели не учитывают некоторые исторически сложившиеся особенности организации движения на территории России и стран ближнего зарубежья.

1. Особенности организации движения наземного городского электрического транспорта в России и странах ближнего зарубежья

Важнейшей особенностью организации работы наземного городского транспорта в большинстве городов России является движение в общем потоке с автомобильным транспортом (при отсутствии выделенных полос на большинстве участков), а также наличие пересечений в одном уровне с автомобильным транспортом даже при наличии выделенных полос. Соответственно, время пробега городского транспорта по трассе маршрута в общем случае существенно колеблется в зависимости от периода суток, прежде всего из-за многочисленных заторов в движении. При этом в большинстве случаев технология построения расписаний предполагает дискретное изменение времени пробега по периодам суток [10]. При решении задачи синтеза расписаний эти технологические

особенности приводят к невозможности решения задачи обратного отсчета для случая, когда граница периода суток (переходное время) находится внутри рейса. Под задачей обратного отсчета понимается задача расчета времени прибытия по времени отправления.

Учитывая большое влияние на время пробега, которое оказывают заторы в движении, зависящие от времени суток, время торможения и разгона играет несущественную роль и входит в общее время пробега по перегону в качестве константы.

Как правило, по условиям технологии организации движения на городском транспорте водитель не может самостоятельно принимать решение об изменении скорости и должен стремиться к полному соблюдению регламентированных значений. Время хода задается при составлении маршрутного расписания.

Следующая важная особенность — возможность закрепления транспортных средств за бригадами водителей и кондукторов. Это вызвано как особенностями зачастую устаревшего подвижного состава, работающего на линии, так и деталями организации движения на маршруте. Соответственно, возникает простой трамвая, троллейбуса или автобуса во время обеденного перерыва водителя и кондуктора. Существование длительных обеденных стоянок делает применение периодических расписаний неоправданным из-за невозможности сократить длительность обычных (не связанных с перерывом на обед) стоянок. А при задании одинаковой длительности большая продолжительность стоянок на конечных станциях привела бы к сокращению времени полезной работы транспортных средств непосредственно на линии.

Сеть городского транспорта (public transport network) может быть представлена в виде мультиграфа PTN = (CP; P). Он состоит из конечного множества контрольных точек, cp. € {CP}, и конечного множества отрезков, соединяющих эти контрольные точки p € {P}, где p. € {cp, cp.+1}, т. е. каждый отрезок соединяет две соседние точки, между которыми возможно движение транспорта по трассе (см. рис. 1).

Дополнительной особенностью организации движения в России можно считать принятие стоянок на промежуточных остановках за константы и включение длительности этих стоянок во время хода по трассе маршрута. Это приводит к возможности выравнивания интервалов только с помощью регулирования стоянок на конечных пунктах (конечных станциях).

С учетом этой особенности граф PTN = (CP; P) может быть представлен как граф PTN = (EndSt;P), что подробно рассмотрено в [12].

2. Основная задача теории расписаний движения

Под основной в теории расписаний движения понимается задача определения значений времени при известной структуре маршрутного расписания. Это значит, что на основе известного числа рейсов для каждой части наряда (выхода на линию) рассчитываются значения времени с учетом набора ограничений.

Рис. 1. Пример мультиграфа сети городского транспорта PTN

Возможная формализация постановки основной задачи для апериодических расписаний с учетом ранее приведенных особенностей организации движения приведена в [9].

Для формализации выполнен переход от мультиграфа сети городского транспорта к сети событий (EAN — Event Activity Network). Для EAN каждый из узлов представлен одним независимым значением времени (см. рис. 2).

Для такой сети событий введены следующие обозначения:

EAN = {TI, [U, V]},

где {TI} — множество элементов TI, каждый элемент — независимо изме-неняемое значение времени; i = 1...n — порядковый номер независимо изменяемого значения времени, который изменяется от 1 до n, где n — число независимых параметров (отправлений с диспетчерских станций); {U}: U = = Dmin(i i+1) — минимальный промежуток времени, необходимый для перехода из состояния i в состояние i+1 (ограничение снизу на переход в новое состоя-

Рис. 2. Пример графа сети событий EAN

ние); {V}: V. = В , т) — максимальный промежуток времени, в течение которого возможен переход из состояния / в состояние +1 (ограничение сверху на переход в новое состояние).

Учитывая, что длительности пребывания транспортных средств на остановках общественного транспорта согласно действующей технологии не подлежат регулированию, в качестве независимых значений времени, которые должны быть рассчитаны по условиям задачи, могут выступать прибытия или отправления с конечных станций, между которыми осуществляется движение.

Движение по маршруту в абсолютном большинстве случаев осуществляется между двумя конечными станциями. Тогда возможны два случая. Интервалы движения могут быть отрегулированы за счет одной из станций (одна станция диспетчерская (распорядительная), другая оборотная, т. е. контрольный пункт без стоянки или с жестко фиксированной длительностью стоянки). Либо интервалы движения могут быть отрегулированы за счет стоянок на обеих конечных станциях (обе станции являются диспетчерскими). В связи с популярностью первого варианта рассмотрим случай с одной диспетчерской станцией. Модель, представленная в [3], не предполагает возможности оптимизации маршрутного расписания и не учитывает факта разделения стоянок на конечных станциях на типы по признаку зависимости от других параметров.

Здесь предлагается изменить модель представления ЕА^ предложенную в [11], для учета особенностей организации движения на городском транспорте, приведенных выше.

3. Обоснование выбора критерия эффективности маршрутного

расписания

В большинстве существующих теоретических моделей расчета расписаний в качестве критерия качества расписаний принимается минимизация суммарного времени всех пассажиров, затрачиваемого на перемещение в транспорте внутри по транспортной сети PTN. В общем случае это будет верным критерием.

Сегодня разработаны многочисленные модели оптимизации апериодических расписаний, основанные на использовании этого критерия.

Однако для решения задачи минимизации суммарного времени, затрачиваемого на перемещение всеми пассажирами, необходимо знать точные матрицы корреспонденций для учета перемещения людей внутри PTN.

В отечественной практике актуальная информация в большинстве случаев отсутствует, поскольку подвижной состав не оборудован датчиками подсчета пассажиропотока, а предприятия-перевозчики не имеют возможности часто проводить натурные обследования. Поэтому в качестве критерия качества апериодических маршрутных расписаний выбирается другой, более доступный для расчета на практике. За него принимается равномерность изменения интервалов отправления транспортных средств. Так обеспечивается приближение апериодических расписаний к периодическим, более удобным для пассажиров.

С учетом приведенных выше особенностей, в т. ч. связанных с необходимостью использования критерия равномерности изменения интервалов, можно сделать вывод: многочисленные существующие модели апериодических расписаний не учитывают практических особенностей организации движения в России. Требуется разработка отдельной модели апериодических маршрутных расписаний движения.

4. Классификация значений времени для модели апериодических

расписаний движения

Традиционно расписания движения, в которых отсутствуют события на линии (время остановок входит в пробеги по трассе, а скорости однозначно определяются матрицей времен хода), представляет собой таблицу с данными о прибытии и отправлении транспортных средств на линии, а также о выходе транспортных средств на линию из парков (депо) и возвращении в них. Данные таблиц 1 и 2, как и на рисунке 3, — примеры таких расписаний.

Рассмотрим расписания с одной диспетчерской (распорядительной) станцией. В таких расписаниях стоянка на одной конечной станции, называемой оборотной (или контрольным пунктом), жестко фиксирована в исходных данных. Стоянка на другой конечной станции, называемой диспетчерской (или оборотной), — величина расчетная.

Для задачи построения модели апериодических расписаний движения с учетом равномерности интервалов отправления транспортных средств нужно классифицировать множество значений времени, определенное выше по признаку независимости изменения времени.

В качестве независимо изменяемых значений времени выделим несвязанные между собой значения времени (вектор [Т1]), на которые влияют только ограничения {V} и {и}.

При выравнивании интервалов по времени отправления с конечных станций такими значениями будут времена отправления с диспетчерской конечной станции [Т№].

Остальные значения времени будут зависимыми параметрами.

К зависимым значениям времени первого порядка отнесем множество значений времени, характеризующее остальные события, происходящие на линии. В него будут входить время прибытия на обе конечные станции и время отправления с оборотной конечной станции.

К зависимым значениям времени второго порядка будут относиться прибытия в парк (депо) и отправления из парка (депо). Эти значения времени характеризуют события, происходящие вне движения на линии.

5. Формирование списков ограничений

Рассмотрим формирование множества ограничений. В рассматриваемой модели множества ограничений {V} и {U} будут однозначно определяться векторами [TI . ] и [TI ], обозначающими минимальные и максимальные значения

r L min L maxJ '

времени для каждого значения [TI].

Каждому элементу [TI] соответствует по одному элементу из [TI ] и [TI ].

^mi*^* max

Все элементы [TI . ] и [TI ] являются значениями времени.

L min L maxJ г

Таким образом, для каждого значения TI. из [TI] будет справедливо (2):

TI < TI. < TI , ,

mm i max' ' v '

где i — целое число от 1 до n; n — число элементов в векторе [TI] (равно числу элементов в [TI ] и [T ]).

L min L maxJ'

Для случая с одной диспетчерской станцией ограничения снизу будут присутствовать, когда в составе данной части наряда уже есть рейсы с диспетчерской конечной станции.

Необходимо сформировать два набора ограничений — по предыдущим рейсам и по следующим.

Рассмотрим набор ограничений по предыдущим рейсам. Учитывая, что только одна конечная станция является диспетчерской, предыдущие значения времени до момента отправления с предыдущей конечной диспетчерской станции будут зависимыми значениями времени. Соответственно, векторы ограничений

по предыдущим рейсам [Т1 . р ] и [Т1 р ] можно вычислить по формулам (3) и (4): тП " таХ ГеУ

Т1..р = Т1. - Тм., - А.., - Т' - А'

тт_Ргеу 1 Ыт8 1, 1-1 Ыт8 (1, 1-1) ' 4 '

Т1 Р = Т1. - Ты, - А.., - Т'и - А'

тах_Ре 1 Ыах8 >1 Ыах8 Ц, .-1) ' 4 '

где Ат.п (. .-1) — продолжительность рейса с предыдущей конечной станции (контрольного пункта) до данной (один рейс в обратном направлении); А'т.п — продолжительность предыдущего рейса с диспетчерской конечной станции до контрольного пункта (два рейса в обратном направлении); ТШп8 — длительность минимальной стоянки на диспетчерской конечной станции; Т'Шп5— длительность минимальной стоянки на контрольном пункте; ТМах5 — длительность максимальной стоянки на диспетчерской конечной станции; Т'Мах5 — длительность максимальной стоянки на контрольном пункте.

Время рейса на данную диспетчерскую станцию из контрольного пункта можно рассчитать по формуле с использованием функции обратного отсчета времени ЯыпТшеВаек (подробнее [11, 12]):

А.,.-1 = ЯыпТшеВаек

где Ма1г (Т1 . — ТШп) — матрица времен хода по периодам суток для движения в обратном направлении для времени прибытия на эту диспетчерскую станцию; Т1.АпШп = Ц — ТШп5 — время прибытия на диспетчерскую станцию, рассчитанное для случая минимальной стоянки.

По аналогии набор ограничений по следующим рейсам может быть рассчитан по формулам (6) и (7):

Т1. . „ , = Т1. + А. ,+1 + Т' , ,

1тт_Ыехг 1 ^ !+1 Ыт8 ' 4 '

Т1. = Т1. + А. .+1 + Т'м , ,

тах_Ыех( 1 ^ .+ 1 Ыахл1 4 '

где Ат.п (. .+1) — продолжительность рейса с диспетчерской конечной станции до контрольного пункта (один рейс в прямом направлении), может рассчитываться по формуле (8).

Ат.п

где ЯыпТте (Т11, Ма1г (Т1,, D1r)) — функция прямого отсчета времени (подробнее [11, 12]).

Если предыдущий (или следующий) рейс отсутствует (такое возможно, например, при формировании ограничений для первых и последних рейсов в наряде), то соответствующее слагаемое принимается равным нулю.

Объединяя оба набора ограничений, получим (9) и (10):

TI . = Max

imin v imm rrev, imin_Next'' v '

TI = Min

imax v imax_Prev, imax_Next' v '

6. Генерация стандартной временной сетки

В качестве стандартной сетки примем вектор [Tin], имеющий такое же число элементов, как и [TI], и представляющий собой равномерное распределение значений времени внутри закрытого промежутка [TI0; TIk], где k — число элементов в [TI]. Значения для i-го элемента в векторе [TIn] будут рассчитываться по формуле (11):

TIn = Round

k • i

где Round — функция математического округления до ближайшего целого (с учетом значения дискреты).

Вектор будет являться идеальным расписанием (в смысле соблюдения критерия равномерности интервалов) движения без учета влияния ограничений {U} и V}.

7. Модель апериодических расписаний движения

Новые значения вектора [TI] могут быть рассчитаны на основе линейной комбинации старых значений [TI] и [TIn], где s — коэффициент этой линейной комбинации векторов.

Коэффициент линейной комбинации можно рассчитать в цикле от 1 до n, где на каждом шаге рассчитывается коэффициент по формуле (12):

s = Min( s,

V -TIn тт>тт -, приТI > TIn(

TI, - TIn

U TInL_,npuTI < TIn

TT - TIn

После нахождения коэффициента линейной комбинации по формуле (12) можно рассчитать вектор [XI] согласно (13):

[Т7 ] = б[ТТ ] +

На основе рассчитанных значений вектора можно определить полный набор зависимых значений времени. Сначала рассчитываются зависимые значения времени первого порядка, затем значения времени второго порядка.

Предложенная модель расчета [Т1] обеспечивает максимально возможную близость к идеальному расписанию по равномерности интервалов [Т1п] с учетом множеств ограничений {и} и {V}.

Приведенная модель обеспечивает полиномиальную сложность решения задачи, что позволяет говорить о возможности практического применения модели при решении задач выравнивания интервалов.

8. Практическое применение разработанной модели апериодических

маршрутных расписаний

Предложенная модель апериодических расписаний движения реализована в Системе автоматизированного проектирования расписаний движения трамваев и троллейбусов (САПР РДТТ), используемой в Санкт-Петербурге для планирования организации трамвайного и троллейбусного движения (см. рис. 3). На рисунке 3 в главном окне программы изображен фрагмент расписания выходного дня в табличной форме для троллейбусного маршрута № 17 в программе САПР РДТТ.

В терминах программного обеспечения САПР РДТТ решение основной задачи теории расписаний называется выравниванием интервалов. Согласно рассмотренным выше условиям постановки задачи, это отражает для данной модели суть получаемого результата, когда в итоге работы алгоритма пользователь формирует расписание движения с максимально возможным ровным изменением интервалов с учетом наложенных ограничений.

Система автоматизированного проектирования расписаний движения трамваев и троллейбусов в составе Автоматизированной системы управления городским электрическим транспортом обеспечивает ручное и автоматическое формирование начального варианта расписаний. Вопросы генерации структуры расписания выходят за рамки рассмотрения данной статьи. После создания начального варианта расписания в ручном режиме фрагменты расписания, содержащие увеличенные стоянки (например, обеденные перерывы) не будут выровнены.

Ниже представлен пример фрагмента расписания рабочего дня для маршрута № 3 в виде таблицы (см. табл. 1).

Каждые две строки таблицы маршрутного расписания — это описание движения одного транспортного средства.

Например, «0604» — время выхода первого транспортного средства на линию, «0645» — прибытие на конечную станцию «Площадь Репина» (столбец «Реп.»), «0650» — отправление с нее на станцию «Сенная площадь» (столбец «Сенн») и т. д.

; САПР РДТТ: Z:\projecti\GЕТ\ТБ_17_В_2011 -08-19 ЬЗШ

Файл Исходные данные Вид Редактирование Настройки Расчет Книга пробегов Справка

0

<1

+ X

«-СП

-СП

Т1-*

ШН-

t

П~г

гттп +

гттп

+1 -1 +5 -5

Тиг 1/1 Вып. - ; ь вра нсгая ул. 2 Кклшко 3 ^ьврансгая ул. 4 Коспошпо 5 ^ьврэнсгая ул. 5 КЬсгюшгсо 7 1^ьврэ некая ул. 5 КЬсгюшгсо Э 1^ьврэ некая ул. 10 КЬсгюшгсо ; ь вра нсгая ул. "2 КЬсгюшк» ^ьврэнск ул.

- ЕВ 1л 0552 оео5 0626 0703 0724 0801 0822 т 0901 0924 Г 1030 1053 1132 1155

32л 19 30л19 9 30л11 И 56л16 16 53Л16 16 1200Л1

2 ЕВ бДЕ 1441

3 ЕВ 5сц 0758 0811 0832т 0912 0935 1014 1037 1116 1139Г

10 41Л11 И 40л16 16 42Л15 15 1214А1

4 ЕВ 2л ОСИ 0624 0645 0722 0743 0821 0842 0927 0950Г 1101 1124 1204 1228т

19 51л19 19 50л20 10 53л12 15 1027А16 16 30Л16 16 40л1

5 ЕВ Зл 0631 0644 0705 0742 0303 0333 0359 0942 1005 1045 1108Г 1220 1244т

20 ц-20 20 07-17 17 0903л15 15 11л15 15 45Л15 16 53л1

6 ЕВ 4ду 0739 0752 0313 0350 0911 0953 1021Г 1143 1211т 1303 1327

10 19-12 12 24л16 16 1114л16 16 27л13 13 33Л1

Рис. 3. Интерфейс главного окна САПР РДТТ

£

< и

m

.а I I

ГО

с!

т

0 и

по

01

3

и го S гс

I

с!

О

<и т О ю го и

I

го и s с и го и

I

го S

и го со

0

X

.0 ^

го т го

1 II

<v

го

а

<0

с

VO

.я

m Сенн 1107 - 1114 со 1123 о (N 1131 m СО 1139 СО 1149 СО m

Реп. 1045 о m 1052 о m 1101 ЧО О 1109 1117 (N (N 1127 <N СО

СО Сенн 1024 со (N 1031 m СО 1040 1048 (N Ш 1056 ООП 1106 о

(N Реп. 1002х О О 1009х х 8 о СО (N 1026х со 1034х СЛ СО х 4 0 сл

- Сенн 0943 о 0950 Ш 0957 1001 1005 сл о 1013 О 1023 LZ

О Реп. 0921 со (N 0927 Ш СО 0934 (N 0941 т о m 0948 т со Ш 0955 т 1006

сл Сенн 0902 чо о 0908 <N 0915 сл 0922 ЧО (N 0929 СО СО 0936 о

со Реп. 0842 о 0848 СО Ш 0855 0900 0901 О О 0907 0914 <N

о Сенн 0823 о (N 0829 СО СО 0836 о 0842 ЧО 0848 (N Ш 0855 сл Ш

чо Реп. 0803 СО о 0809 0816 <N 0822 о (N 0828 СО СО 0835 о

Ш Сенн 0744 со 0750 Ш 0757 0801 0803 О О 0809 СО 0816 о (N

Реп. 0724 сл (N 0730 Ш СО 0737 (N 0739 со 0746 Ш 0754 0801

со Сенн 0705 сл о 0715 0718 (N (N 0724 0731 0739

(N Реп. 0645 0 5 0658 0703 0711 6

Вып. Из 0604 0649 0617 0658 0630 0711

Таблица 2. Фрагмент расписания рабочего дня маршрута № 3 после выполнения выравнивания

Вып. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Из Реп. Сенн Реп. Сенн Реп. Сенн Реп. Сенн Реп. Сенн Реп. Сенн Реп. Сенн

0604 0645 0705 0724 0744 0803 0823 0842 0902 0921 0943 1002х 1031 1052 т 1120

50 09 29 48 08 27 47 06 28 47 14 35 1103 24

0649 0715 0730 0750 0809 0829 0848 0908 0927 0950 1009х 1039 1100 т 1127

35 54 14 33 53 12 35 54 22 43 10 31

0617 0658 0718 0737 0757 0816 0836 0855 0915 0934 0957 1018х 1047 1108т 1135

0703 22 42 0801 21 40 0900 19 42 1001 30 51 18 39

0658 0724 0739 0803 0822 0842 0901 0922 0941т 1005 1026х 1055 1116 1142

48 07 27 46 07 26 50 09 38 59 25 46

0630 0711 0731 0746 0809 0828 0848 0907 0929 0948 т 1013 1034х 1104 1125 1149

16 54 13 33 52 14 33 58 17 47 08 32 53

0711 0739 0754 0816 0835 0855 0914 0936 0955 т 1023 1044х 1113 1134 1156

0801 20 40 59 21 40 1006 27 56 17 39 1200

Рассмотрим такой фрагмент для демонстрации работы функции выравнивания и верификации предложенного ранее алгоритма.

В таблицах 1 и 2 представлен один и тот же фрагмент маршрутного расписания до и после операции выравнивания.

В качестве наглядного отображения равномерности интервалов будем использовать диаграмму интервалов по часам суток, сформированную в Системе автоматизированного проектирования расписаний движения трамваев и троллейбусов (рис. 4 и 5).

По результатам выравнивания, выполненного для промежутка времени с 8.00 до 11.00, видно, что произошло усреднение интервала времени (см. рис. 5), что наиболее заметно по интервалу с 9.00 до 10.00.

Внедрение Системы автоматизированного проектирования расписаний движения трамваев и троллейбусов в составе Автоматизированной системы управления городским электрическим транспортом в постоянную эксплуатацию позволило сократить затраты времени на построение маршрутных расписаний (по данным экспериментов, проведенных в СПб ГУП «Горэлектротранс») в 7—8 раз по сравнению с построением расписаний на бумаге, сделанным до программного обеспечения. Однако выравнивание — лишь одна из функций

Рис. 4. Интервалы до выравнивания

Репина пг.

131313 13

IBB El О

Средний

Минимальный

Максимальный

D D О D D О О D D :

03 07 08 09 10 11 12 13 14 Рис. 5. Интервалы после выравнивания в промежутке с 8.00 до 11.00

информационной системы, обеспечивающих повышение производительности труда.

Заключение

В начале статьи приведена общепринятая классификация расписаний движения маршрутного транспорта. Рассмотренные апериодические дискретные расписания являются наиболее популярным типом расписаний из числа тех, что используются в отечественной практике. Далее приводятся основные технологические особенности планирования организации движения на городском транспорте в странах постсоветского пространства.

Приведенная в статье математическая модель позволяет решить основную задачу теории расписаний для самого популярного в России класса апериодических расписаний — c учетом рассмотренных особенностей в организации движения городского наземного транспорта.

Обоснован выбор критерия оптимизации при решении основной задачи теории расписаний. В качестве такового взята равномерность интервалов движения. Приведенный критерий чаще прочих применяется на практике. Это

связано с отсутствием у предприятия-перевозчика актуальной информации о пассажиропотоках по всей городской транспортной сети. Для иллюстрации работы модели выбрана табличная форма представления маршрутных расписаний, принятая на городском транспорте для описания процесса движения. Это форма удобна при отсутствии плановых задержек на линии, когда время стоянок входит в пробеги трасс. Чтобы продемонстрировать, как работает функция выравнивания интервалов движения, в разделе о практическом применении приведены примеры расчета диаграмм интервалов между временем отправления транспортных средств с конечных станций.

Данный метод решения задачи не единственно возможный и предположительно не оптимальный с точки зрения затрат вычислительных мощностей. Но полиномиальная сложность алгоритма и опыт внедрения в Системе автоматизированного проектирования расписаний движения трамваев и троллейбусов, используемой в настоящее время в Санкт-Петербурге для построения расписаний трамваев и троллейбусов, позволяют с уверенностью говорить о положительном эффекте от внедрения в виде повышения производительности труда. Проблемы разработки более эффективных алгоритмов, сравнение их с приведенными, а также оценки сложности и повышения скорости расчетов могут стать предметом дальнейших исследований.

Библиографический список

1. Kochegurova E. Optimizing Urban Public Transportation with Ant Colony Algorithm / E. Kochegurova, E. Gorokhova // 8th International Conference on Computational Collective Intelligence. - Greece : Halkidiki, 2016. https://doi.org: 10.1007/978-3-319-452432-45

2. Liebchen C. Periodic Timetable Optimization in Public Transport. PhD thesis / C. Liebchen. -Belrin : Technische University Berlin, 2006. - 156 p.

3. Palmqvist C-W. Delays and Timetabling for Passenger Trains. PhD thesis / C-W. Palmqvist. -Sweden, Lund : Lund University, 2019. - 107 p.

4. Liebchen C. Computer-aided Systems in Public Transport. Springer. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems / C. Liebchen, M. Proksch, F. H. Wagner // Performance of algorithms for periodic timetable optimization. - Berlin : Heidelberg, 2008. - Vol. 600. -P. 151-180.

5. VautardF. Improvement of departure time suitability for interregional rail timetables. PhD thesis / F. Vautard. - Sweden, Stockholm : KTH Royal Institue of Technology, 2020. - 37 p.

6. Cacchiani V. Non-cyclic train timetabling and comparability graphs / V. Cacchiani, A. Capr-ara, P. Toth // Operations Research Letters. - 2010. - N 38 (3). - P. 179-184.

7. GengX. Simulated Annealing Method-Based Flight Schedule Optimization in Multiairport Systems / X. Geng, M. Hu // Mathematical Problems in Engineering. - 2020 - N 3. - P. 1-8. https:// doi.org/10.1155/2020/4731918

8. LeiL. Flight Schedule Strategy ofAirport Group / L. Lei, D. Zhao, H. Liu, D. Guo // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. - UK : IOP Publishing, 2020. - Vol. 790 012102. https://doi:10.1088/1757-899X/790/1/012102

9. Горбачев А. М. Обзор математических моделей расписаний маршрутного городского транспорта / А. М. Горбачев // Известия Петербургского университета путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2018. - Т. 15. - № 3. - С. 366-370.

10. Горбачев А. М. Автоматизация синтеза расписаний городского электрического транспорта / А. М. Горбачев // Известия Петербургского университета путей сообщения. -СПб. : ПГУПС, 2014. - № 4. - С. 27-32.

11. Горбачев А. М. Формализация представления апериодических маршрутных расписаний наземного городского электрического транспорта / А. М. Горбачев // «Транспортные интеллектуальные системы-2017» : сб. материалов I международной научно-практической конференции. - СПб. : ПГУПС, 2017. - С. 74-81.

12. Schmidt M. E. Integrating Routing Decisions in Public Transport Problems / M. E. Schmidt// Springer Optimization and Its Applicaions 89. - New York : Springer Science + Business Media, 2014. - 386 p. https://doi:10.1007/978-1-4614-9566-6-2

13. Herrigel-Wiedersheim S. Algorithmic Decision support for the construction of periodic railway timetables / S. Herrigel-Wiedersheim. - Zurich : ETH Zurich, 2015. - 167 p.

14. Illes B. Periodic timetable optimization in the public road transport services / B. Illes, R. Ladanyi, G. Sarkozi // Advances Logistics Systems. - 2009. - Vol. 3 (1). - P. 219-225.

15. SchobelA. The Complexity of Integrating Routing Decisions in Public Transportation Models / A. Schobel, M. Schmidt // 10th Workshop on Algorithmic Approaches for Transportation Modelling, Optimization, and Systems (ATMOS '10). - 2010. - P. 156-169.

A. M. Gorbachev

The department of "Automation and Telemechanics on Railways"

Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University, Saint Petersburg

MATHEMATICAL MODEL OF APERIODIC TIMETABLES OF URBAN ELECTRIC TRANSPORT

The analysis of scientific publications and timetable models is given. Existing works have been used as a basis of a classification of timetables by the frequency of time values. The urban transport network is presented in the form of a multigraph. The transition from a multigraph of the urban transport network to a network of events characterizing the traffic process is considered. Constraints on time values have been formalized to solve the main problem of the scheduling theory. The proposed formalization factors in the specifics of traffic management planning in Russia and other post-Soviet countries. A mathematical model of aperiodic timetables for the ground urban electric transport traffic based on the theory of linear programming is presented. The optimization criterion for solving the main problem of the scheduling theory has been substantiated. The uniformity of traffic intervals is used as an optimization criterion for solving the main problem of the scheduling theory. The article provides tabular timetables used in urban transport to describe the traffic process in the absence of significant events on the line. The implementation of the model presented in this article is exemplified by the automated tram and trolleybus timetable design software being part of the automated urban electric transport control system currently used in Saint Petersburg to form tram and trolleybus timetables. The examples of calculating the vehicle departure interval diagrams have been used to demonstrate the function of aligning the traffic intervals. In conclusion, the advantages and development paths of the proposed model of aperiodic timetables for the ground urban electric transport traffic are listed.

Urban transport, ground electric transport, timetable, aperiodic timetable, linear combination, automated tram and trolleybus timetable design system, automated urban electric transport control system

DOI: 10.20295/2412-9186-2020-6-4-499-517

References

1. Kochegurova E. & Gorokhova E. (2016) Optimizing Urban Public Transportation with Ant Colony Algorithm. 8th International Conference on Computational Collective Intelligence. https://doi.org: 10.1007/978-3-319-45243-2-45.

2. Liebchen C. (2006) Periodic Timetable Optimization in Public Transport. PhD thesis. Berlin, Technische Universität Berlin Press, 156 p.

3. Palmqvist C-W. (2019) Delays and Timetabling for Passenger Trains. PhD thesis. Sweden, Lund: Lund University Press, 107 p.

4. Liebchen C., Proksch M. & Wagner F. H. (2008) Computer-aided Systems in Public Transport. Springer. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Performance of algorithms for periodic timetable optimization. Berlin, Heidelberg Press, vol. 600, pp. 151-180.

5. VautardF. (2020) Improvement of departure time suitability for interregional rail timetables. PhD thesis. Sweden, Stockholm, KTH Royal Institute of Technology Press, 37 p.

6. Cacchiani V., Caprara A. & Toth P. (2010) Non-cyclic train timetabling and comparability graphs. Operations Research Letters, no. 38 (3), pp. 179-184.

7. GengX. & Hu M. (2020) Simulated Annealing Method-Based Flight Schedule Optimization in Multiairport Systems. Mathematical Problems in Engineering, no. 3, pp. 1-8. https://doi.org/ 10.1155/2020/4731918

8. Lei L., Zhao D., Liu H. & Guo D. (2020) Flight Schedule Strategy of Airport Group. IOP Conf Series: Materials Science and Engineering. UK, IOP Publishing, vol. 790 12102. https://doi: 10.1088/1757-899X/790/1/012102.

9. Gorbachev A. M.

10. Gorbachev A. M.

11. Gorbachev A. M.

12. Schmidt M. E. (2014) Integrating Routing Decisions in Public Transport Problems. Springer Optimization and Its Applications 89. New York, Springer Science + Business Media, 386 p. https://doi:10.1007/978-1-4614-9566-6-2

13. Herrigel-Wiedersheim S. (2015) Algorithmic Decision support for the construction of periodic railway timetables. Zurich, ETH Zurich Press, 167 p.

14. Illes B., Ladanyi R. & Sarkozi G. (2009) Periodic timetable optimization in the public road transport services. Advances Logistics Systems, vol. 3 (1), pp. 219-225.

15. Schobel A. & Schmidt M. (2010) The Complexity of Integrating Routing Decisions in Public Transportation Models. 10th Workshop on Algorithmic Approaches for Transportation Modelling, Optimization, and Systems (ATMOS '10), pp. 156-169.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Д. С. Марковым Поступила в редакцию 22.06.2020, принята к публикации 27.07.2020

ГОРБАЧЕВ Алексей Михайлович — кандидат технических наук, заведующий научно-исследовательской лабораторией кафедры «Автоматика и телемеханика на железных дорогах» Петербургского государственного университета путей сообщения Императора Александра I

e-mail: ag@agpage.ru

© Горбачев А. М., 2020