Достаточные условия полиномиальной ограниченности пучка операторов

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ ПУЧКА ОПЕРАТОРОВ

A.A. Замышляева, A.B. Уткина

Рассматривается задача Коши для уравнения соболевского типа второго порядка. Приводятся результаты ее однозначной разрешимости в предположении относительно полиномиальной ограниченности. Получены достаточные условия полиномиальной А-ограниченности в терминах относительно присоединенных векторов в случае фредгольмова оператора при старшей производной.

Ключевые слова: полиномиальная А ограниченность, присоединенные векторы.

1. Введение

Пусть U и Т банаховы пространства, операторы А, В0, Bi е C(U;F). Рассмотрим задачу Коши

ЦО) = и$, м'

для оиераторно дифференциального уравнения соболевского типа второго порядка

Au" = Biu' + В0и.

В [1-4] были заложены основы теории полиномиальной А-ограниченноети пучков операторов и пропагаторов, послужившей методом исследования задачи (1), (2). Нашей целью является получение достаточных условий полиномиальной А-ограниченноети пучка операторов.

В первом параграфе приводятся основные результаты теории полиномиально А-ограниченных пучков операторов, необходимые условия полиномиальной А-ограниченноети, Во втором вводится понятие относительно присоединенных векторов пучка операторов и исследуются их свойства. В последнем параграфе приводятся достаточные условия полиномиальной А- ограниченности в случае фредгольмова оператора.

2. Необходимые условия полиномиальной А-ограниченности

Пусть U и Т — банаховы пространства, операторы А,В0,Ві Є C(U;F). Рассматривается задача Коши

ЦО) = v,q, и'

для операторно-дифференциального уравнения соболевского типа второго порядка

Аи" = Biu1 + В0и.

Задача Коши (1), (2) представляет собой абстрактную форму многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений, моделирующих различные реальные процессы.

Обозначим через В пучок операторов (Bi,B0), Множества

рА(В) = {р Є С: (р1 А - ілВг - Воу1 Є C(F\U)}

и аА(В) = С \ рА(В) будем называть, соответственно, А-

резольвентным множеством и А-спектром пучка В.

Введем в рассмотрение операторнозначную функцию комплексного переменного

R^B) = {р2 A — fj,Bi — B0yl с областью определения рА{В).

Лемма 1. Яц(В) является непрерывной в смысле сходимости по операторной норме функцией комплексного переменного.

Теорема 1. R¡j,{B) аполитична в своей области определения.

Определение 1. В = (Bi,Bq) называется полиномиально ограниченным относительно оператора. А (или просто полиномиально А-ограниченным), если

За > 0 Ур Є С (|//| > а) => (R^B) є C(F-,U)).

Замечание 1. Если существует оператор А-1 е £(3-'.14). то пучок В полиномиально А-ограничен точно тогда, когда полиномиально ограничен пучок

(А-1ВЪА-1В0),(В1А-\В0А-1).

Выберем в комплексной плоскости замкнутый контур

Г = {// е С : // = г > и }.

Тогда имеют смысл следующие интегралы как интегралы от аналитических функций по замкнутому контуру:

Р = ----: I К^

2тп '] 2,тт1']

Г г

Пусть далее операторы А, Во, В\ такие, что

Пц

Лемма 2. Пусть выполняется условие (5), пучок В полиномиально А-ограничен, тогда операторы, Р \Ы —>• Ы и Ц : Т —>• Т, определенные формулой (4), являются, проекторам,и.

Положим

и0 = кегР, = к('1-д. и1 = 1111/'. = \xx\Q.

Из предыдущей леммы следует, что

и = ы°и\ Т = ^°ф^1.

Через Ак(В,1) обозначим сужение оператора А{В{) на Ык к = 0. 1:/ =

0,1.

Теорема 2. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, выполняются условия (5). Тогда, действия, операторов А,В]_,Вй расщепляются:

1) Ак е С(ик;Тк), к = 0,1;

2) Вк є С(Ык;^к), к, I = 0,1;

3) существует оператор (А1)-1 Є И{ТХ\1ЛХ);

4) А0-спектор пучка В0 не содержит конечных точек.

Следствие 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, выполняется условие (5). Тогда существует оператор {В$)^1 Є

Обозначим

Н, = (В°0)-1А° е С(Ы°), //, = (ВоТ1^ Є £(Я),

5і = {А1)-1В\ є ЦК1), Бо = {А1)-1В1 є ЦК1).

Тогда

ОО

Л„(В) = (- £>2Яі - #1Н2)‘)(В0°)-1(/ - 0)+

&=0

ОО

2

й=0

Теорема 3. Пусть пучок операторов В полиномиально А-ограничен, выполнено условие (5), причем, оо - пол,юс порядка р Є {0} и N А-резольвенты пучка В [3]. Тогда, при любых щ Є Ы1 существует единственное решение задачи (1), (2), которое можно представить в виде

и{ї) = М1(ї)щ + М1(ї)иі,

где Л /1. М1 - сужение семейства вырожденных М, N-функций [3] на, подпространство Ы1.

3. Относительно присоединенные векторы

Определение 2. Пусть ко г . 1 ф {0}, вектор (р$ Є ко г. 1 \ {0} будем называть собственным вектором оператора А.

Определение 3. Упорядоченное множество векторов {у>і, у>2, } называется цепочкой В-присоединенных векторов собственного вектора (ро, если

А(рі = Ві(ро, А(ря+2 = г',Г I +

Ч = о. 1.... у, $ кос Л \ {()}•- / = 1. 2....

Для присоединенного вектора (ря определим высоту, равной порядковому номеру вектора в цепочке.

Определение 4. Линейную оболочку всех собственных и В- присоединенных векторов оператора А назовем, его В -корневым линеалом.

Определение 5. В-корневым пространством будем называть замкнутый В- корневой линеал оператора, А.

Цепочка /¿-присоединенных векторов может быть бесконечной. В частности, она может быть заполнена нулями, если (ро Є ко г А П кегВі ПкегД). Но она будет конечной в случае существования такого ^-присоединенного вектора <ря, что либо Вііря 0 ітД либо В0іря 0 ітА

Определение 6. Высоту д последнего В- присоединенного вектора в конечной цепочке {991, (р2,...} будем называть длиной этой цепочки.

Пусть Вк є С(Ы]Т), к = 0,1, оператор А є Т{1Л\Т) - фред-гольмов (т.е. образ іігь4 замкнут и сііткег А = еосііт іігь4 < оо). Редуцируем уравнение (1) к операторно-дифференциальному уравнению

Ьй = Ми,

где оператор

м = (^ Во Ві ) е £(М-,Я),

а оператор

1:=(о А ) є С(М'М)-

фредгольмов. Пространства М := и х и-,М := и х Р - банаховы с естественной топологией прямого произведения банаховых пространств.

Возьмем вектор <р е кег Ь и рассмотрим итеративную процедуру: ср0 =

Определение 7. Векторы (pj, і = 1,2,..., получающиеся из векторов (р Є кет Ь \ {0} посредством процедуры (6), называются М-присоединенными векторами. Если Мер 0 іт Ь, то говорят, что вектор (р не имеет М-присоединенных векторов. Линеал М1 С М., содержащий все собственные и М - присоединенные векторы оператора Ь, называется М-корневым пространством оператора /, .

Лемма 3. Длины, всех цепочек В-присоединенных векторов оператора А ограничены числом р Є {0}1^ точно тогда, когда, длины всех цепочек М-присоединенных векторов оператора, Ь ограничены числом р Є {0} и N.

Доказательство. Действительно, легко проверить, что вектор <рд+п-1 является ^-присоединенным вектором высоты д оператора А точно тогда, когда вектор со1(<ря, <рд+і, , <рд+п-і) является М-присоединен-ным вектором высоты д оператора Ь.

4. Полиномиальная ограниченность относительно фредгольмова оператора

Пусть Въ є С(14] У7), к = 0,1, оператор А є Т{Ы] Т) - фредгольмов. Редуцируем уравнение (1) к операторно-дифференциальному уравнению

¡.'и = М и.

где оператор

М = 1Вх ) є ЦМ;ЛГ),

оператор

Ь := (" £ М е£(М;Л0-

фредгольмов. Пространства A4 := U х U;J\f := U х F - банаховы с естественной топологией прямого произведения банаховых пространств.

Определение 8. Оператор М Є C(ll',J-) называется ограниченным относительно оператора L Є C(U;J-), m.e. (L, a)-ограниченным, если

3/io > 0 Y/i Є С OI > /іо) {p>L — M)~l Є £(J-]U).

Лемма 4. Оператор M Є £(A4',N) ограничен относительно оператора L є точно тогда, когда пучок операторов В полино-

миально ограничен относительно оператора А.

Пусть оператор L Є T{M]N) фредгольмов. Обозначим через eoimL := „Ví ( : ker L некоторое топологическое и алгебраическое дополнение к ядру ко г L до пространства Л4. В [4] была доказана следующая

Теорема 4. Пусть операторы, L. М Є С(Л4,М), причем, оператор L фредгольмов. Тогда, следующие утверждения эквивалентны.

1 ) Длины, всех цепочек М-присоединенных векторов оператора, L ограничены числом р Є {0} U N.

2) Оператор M (L, а)-ограничен, причем, точка оо является, пол,юсом, порядка не более р L-резольвенты, оператора, М.

В силу теоремы 4 и леммы 3 имеет место следующая теорема:

Теорема 5. Пусть операторы, А, Ві,В0 Є OU, Т), причем, оператор А фредгольмов. Тогда, следующие утверждения эквивалентны.

(i) Длины, всех цепочек В-присоединенных векторов оператора, А ограничены числом р Є {0} U N.

(ii) Пучок операторов В полиномиально A-ограничен, причем, точка оо является, пол,юсом, порядка не более р А-резольвенты, пучка операторов В.

Список литературы

1. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 47-74.

2. Свиридюк Г.А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Челябинск, 1992.

3. Замышляева А. А. Задача Коши для линейного уравнения соболевского типа второго порядка // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. тр. Челлябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С. 16-29.

4. Кузнецов Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: Урал, гос. ун-т, 1999.

Челябинский государственный университет alzam@csu.ac.ru