Об одном случае полной управляемости линейной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 73-81

= Математика =

УДК 517.938

Об одном случае полной управляемости линейной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

И.С. Потапова

Аннотация. Определены условия, при которых система с переменными коэффициентами является вполне управляемой. Исследован случай приведения однородной системы с переменными коэффициентами к системе с диагональной матрицей. Рассмотрен пример.

Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, полная управляемости, матрица, неособенное преобразование.

Введение

Проблема полной управляемости систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами является одной из важнейших проблем теории управляемости линейных систем. Исследованию этой проблемы посвящен ряд работ, среди которых следует отметить работу [1], в которой доказана теорема о достаточных условиях полной управляемости линейных систем с переменными коэффициентами, определенных свойствами правой части системы. В работе [2] проблема полной управляемости линейной системы исследована в предположении, что определен явный вид фундаментальной матрицы системы линейного приближения.

Управляемая система с переменными коэффициентами, со скалярным управлением рассматривалась в работах [3], [4]. В работе [3] получены условия существования подпространства, в котором система является вполне управляемой. В работе [4] решается задача об обращении условий полной управляемости линейной системы, установленных в работе [1].

Основной результат

1. Условия полной управляемости линейной системы с переменными коэффициентами. Рассмотрим систему вида

х = Л

где Л(Ь) — п х п, Е(Ь) — п х т-матрицы, и — т-мерный вектор-управление.

Введем следующие обозначения: jxj = max{jx^}, ||D|| = ma^ jdj|, T >

i i j=1

> 0 — некоторое число, x £ En, En — n-мерное векторное пространство, D = = (dij)П — матрица, N — множество всех натуральных чисел.

Предположим, что на сегменте [0,T] матрицы A(t) и B(t) определены и непрерывны. Множество допустимых управлений определим равенством U = = {u(t)}, где u(t) — кусочно-непрерывная на сегменте [0, T] m-мерная вектор-функция.

Определение 1. Система (1) называется вполне управляемой на сегменте [0,T], если для любых векторов а и ß пространства En существует управление u(t) £ U, при котором система (1) имеет решение x(t), удовлетворяющее краевым условиям x(0) = а, x(T) = ß.

В статье ставится задача: найти условия полной управляемости системы

(1).

Пусть X(t) — фундаментальная матрица системы x = A(t)x, X(0) = E, u(t) £ U — произвольная, но фиксированная вектор-функция. Тогда решение x(t) (x(0) = а) системы (1) представляется равенством

t

x(t)= X (t)a + X (t)J X-1(0B(0u(0d£,.

0

Следовательно, для того, чтобы система (1) была вполне управляемой во множестве допустимых управлений, необходимо и достаточно, чтобы для любых векторов а £ En и ß £ En существовало допустимое управление u(t) £ £ U, удовлетворяющее равенству

T

J X-1

0

в которой y = X-1(T)ß — а.

Далее будем предполагать, что B (t) = (bij (t))n ™, при любых

i £ {1,2,...,n}, j £ {1,2,...,m} bij (t) представимо равенством

bij(t) = djfs(t), dj — действительные числа, f s(t) — определенные и

=1

кусочно-непрерывные на сегменте [0, T] функции,

U = {u

k

R(t) = (rij (t))mn, rij(t)J2 (t), rj — действительные числа, (t) —

v

известные функции, определенные и кусочно-непрерывные на сегменте [0, T], v — n-мерный постоянный вектор.

Заметим, что матрицы B

равенствами B(t) = £ Dsfs(t), R(t) = £ RvVV(t), в которых Ds = (d(s)"™,

s=1 v=l

M p k Rv = КУ)?П- Тогда X-1 (t)B(t)R(t) = X-1(t) £ £ DsRvfs(t)<fiv(t).

s=1v=1

Равенство (2) запишется так

T

J X-1

0

Следовательно, для того, чтобы система (1) была вполне управляемой во множестве допустимых управлений, определенных равенством (3), необходимо и достаточно, чтобы существовала матрица R(t),

T

удовлетворяющая неравенству det / X-1(t)B(t)R(t)dt = 0.

0

T

Пусть P = f X-1(t)B(t)R(t)dt, r — m x n x k-мерный вектор, 0

определенный равенством r = (п,Г2,. .. Гп, Гп+1,Гп+1, , Г2п,  , r (m-1)n+1,

r ( m- 1)n+2, , Гтп, , rmxnxk ), в котором Г1 = Г11, Г2 = Г^,    , Гп = Г^, 11 1 1 2 2 Гп+1 = Г^, Гп+2 = r2^,  , Г2п = Г^у  , m = ^m, rmn+1 = r21, Tmn+2 = r21,

2 2 k    , r(m+1)n rn1,    , r2mn rnm,    , rkmn rnm.

Непосредственным вычислением устанавливаем, что

det P = Yl a(h,i2,... ,in)rh ri2 rin ,

(il,i2, . . . , i„)£D

где D — множество сочетаний из натуральных чисел 1, kmn по n.

Теорема 1. Для того чтобы система (1) была вполне управляемой во множестве допустимых управлений, определенных равенством (3), необходимо и достаточно, чтобы существовало хотя бы одно сочетание (i1, i2,   , in) G D, при котором a(ilii2,... ,in) = 0.

Доказательство. Необходимость. Так как система (1) вполне управляема во множестве допустимых управлений, определенных равенством (3), то существует матрица R(t) такая, что выполнено неравенство det P = 0. Это значит, что существует сочетание (i1,i2,    ,in) G G D, удовлетворяющее неравенству a(il, i2,... in) = 0.

Достаточность. Пусть сочетание i,І2,,in) G D таково, что a(il,i2,...,in) = 0. Тогда, положив rii = ^ =  = rin = 1, rj = 0 при jG {i1,i2,    ,in}, получим матрицу R*(t), удовлетворяющую неравенству T

det f X-1(t)B(t)R*(t)dt = 0. Множество управлений, при котором система

0

(1) вполне управляема, имеет вид {и(г) : и(г) = К * (Ь)у}, V Е Еп — произвольный вектор.

Согласно теореме 1 для решения проблемы полной управляемости конкретных линейных систем необходимо иметь явное представление фундаментальной матрицы системы х = А(Ь)х.

2. Приведение матрицы с переменными коэффициентами к диагональной матрице.

Теорема 2. [5] Пусть А(г) — п х п-матрица, определенная на сегменте [0,Т]. Тогда для того чтобы существовали постоянная неособенная матрица В и диагональная матрица С(г), удовлетворяющее равенству

в котором т ^ п, матрица А3 постоянная /3(г) — известные и

определенные на промежутке [0,Т] функции, при любом в = 1,п;

ks — Colon{k\g, k2sy • • • } kns) , kis G R, hg — {hsl, hs2i . . . y hsn), hsj G R, К — = (k1,k2,..., km) — n x т-постоянная матрица, rang К — m;

2) при любых i,j G {1,... ,n} выполняются равенства

(, ) — скалярное произведение.

Доказательство. Необходимость. Пусть справедливо равенство (5), в котором В — постоянная матрица, С(г) = diag(c11(t), с22(г),..., спп(Ь)). Пусть = со1оп(0,..., 0,1,0,... 0), г Е 1,п.

+ е2еТС22(Ь) + ... + впвПСпп(Ь). Полагая Css(t) = ¡з(Ь) при любом в е 1,п, будем иметь А(г) = ВС(Ь)В-1 = Ве1е{В-1/1(г) + Ве2е^В-1/2(г) + ... +

+ ВепеП В-11п(Ь). ____

Положим к8 = Ве8, Н8 = еТВ-1 при любом в = 1,п. Тогда А(г) = = кф1^(г) + к2Ь,212(Ь) + ... + кпЬ,п1п(Ь), где при любом в = 1,п А3 = = Ве3еТВ-1 = к3к3. Следовательно, справедливы равенства (6) и (7).

А(г)в = вс (г),

необходимо и достаточно, чтобы

1) матрицу А(г) м,ожно представить следующим равенством

m

s=l

i — j (hi, kj )—0,

i — j (hi,ki) — 0,

Учитывая, что ее — матрица, у которой в г столбце на г строке стоит единица, а остальные элементы равны нулю, получим С (г) = е1 еТ Сц(г) +

T

Справедливость равенств (8) и (9) следует из того, что hikj = eTBB-lej = = eTej = Sij, где Sij — символ Кронекера.

Заметим, что если предположить cm+lm+l(t) = ... = cnn(t) = 0 на

m

сегменте [0,Т], то получим A(t) = £ Asfs(t), K = (kl,k2,... ,km) =

s=l

= B(el, e2,..., em) = Bm, Bm — n x m-матрица, расположенная на m первых столбцах матрицы B, rang Bm = m.

Достаточность. Предположим, что выполняются равенства (6), (7), (8) и

(9), докажем, что выполняется равенство (5).

В качестве матрицы B выберем матрицу, первыми m столбцами которой являются векторы ks. Если m = n, то матрица B неособенная. Если m < < n, то в качестве остальных n — m столбцов bm+l,... ,bn выберем линейно независимые решения системы Hb = 0, где матрица H размерности m x n, состоящая из строк hi, то есть H = colon(hl, h2,..., hm).

Докажем, что kl,..., km, bm+l,... ,bn линейно независимые столбцы. Предположим обратное, то есть столбцы kl,... ,km,bm+l,... ,bn линейно зависимые. Это значит, что существуют числа al,...,an, среди которых есть хотя бы одно не равное нулю, удовлетворяющие равенству alkl + a2k2 + ... + amkm + am+lbm+l + ... + anbn = 0.

Так как векторы bm+l,... ,bn линейно независимы, то отличное от нуля число находится среди чисел al,..., am.

Для определенности, положим al = 0. Следовательно, выполнено равенство kl = — 0^ k2 — ... — am km — bm+l — ... — an bn. Умножив

полученное равенство слева на hl, получим hlkl = — ^hlk2 — ... —

— 0° hlkm — ^ hlbm+l — - — ОТ hlbn. 1

С одной стороны, согласно неравенству (9) hlkl = 0, но с другой стороны, hlki = 0 при любом i = 2,m (из условия (8) теоремы) и при любом j = m + 1,n hlbj = 0, так как bj является решением системы уравнений Hb = = 0. Получили противоречие, следовательно, векторы kl,..., km, bm+l,... ,bn линейно независимы, матрица B неособенная.

Матрицу C(t) определим равенством C(t) = (klhlfl(t),k2h2f2(t),...

... , kmhmfm(t), 0, 0,.. . , 0).

n- m

Убедимся, что выполняется равенство (5). Действительно, произведение A(t)B = AlBfl(t) + A2Bf2 (t) + ... + AmBfm(t) = klhlBfl(t) + k2h2Bf2(t) + + ... + k2h2Bf2(t). С учетом равенств (8) и неравенств (9) и того, что матрица B = (kl,... ,km,bm+l,... ,bn), получим, что klhlBfl(t) = = (klhl kl, fl(t), k2h2Bf2(t) = (0,k2 h2k2,0,0,,.^_10)f2(t),...

n- l n- 2

. . . ,kmhmBfm(t) = (0, ..., ° ° ^..^ °)fm{t)‘

m- l

n- m

Следовательно, A(t)B = (klhlklfl(t),k2h2k2f2(t),km hmkmfm (t), 0,..., 0).

С другой стороны BC

diag(hikifi(t),h2k2f2(t), . . .,hm kmfm(t), 0, — , 0) =

n-m

= (kihi kifi(t),k2h2k2 f2 (t), ..., kmhmkmfm(t), 0, . . . , 0).

Откуда следует, что A(t)B = BC(t).

Теорема доказана.

3. Аппарат нахождения векторов ki, hj. Пусть матрица A(t) определена равенством

A(t) = Alfl(t) + A2 f2 (t) + ... + Amfm(t'),

в котором при любом s £ 1,m As = (aj1^, aj — постоянные действительные числа, fs — непрерывная функция на сегменте [0,T].

Заметим, что kshs = (kishsj)П — n х n-матрица. Найдем условия, при

которых выполняется равенство

j =

Будем предполагать, что As — ненулевая матрица. Для простоты

рассуждения предположим, что отличным от нуля является элемент a\i .

Теорема 3. Для того чтобы существовали векторы ks, hs, удовлетворяющие равенству (10) необходимо и достаточно, чтобы для любых i,j £ {1, 2,... ,n} выполнялось равенство

anaij) = aiiaij.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы ks, hs таковы, что выполнено равенство (10), и пусть kis = 0 — произвольное, но фиксированное

a

число. Из равенства (10) следует, что hsl = -jp. Тогда из того, что kishsl =

= a(s\ получим kis = ail(j)ls при любом i £ {1, 2,...,n}. Кроме того, из

аи

(s) alsj

равенства klshsj = af- будем иметь hsj = к—. Согласно равенству

a(s) = kishsj = Zl(l1 . Отсюда следует равенство (11). all

Достаточность. Пусть выполнено равенство

= ai1(s)1-, hsj = -¡l-, получим что при любых i,j £ {1, 2,... ,n} kishsj = aj.

all kls ij

Из произвольности чисел i, j £ {1, 2, . . . , n} следует выполнимость равенства

(10).

Теорема доказана.

Предположив, что для любого q Е {1, 2,...,m} матрица Aq ненулевая, и для определенности a(qq^ = 0. Тогда на основании теоремы 3 получим

a(q) q

справедливость равенства (10) при s = q. Следовательно, kiq = ai1(q)1q. Таким

aii

образом, имеем равенства

a

= ail klq h ,= a}j_

kiq — (q) , hsj — , •

all

Введем обозначения: k* = colon(a(q),a2q), • • •, аЩ), h* = (a(fl,a(f)i, • • •

..., a^n)). Из равенства (12) следует, что

kq = % k*, hs = h*•

ail kis

Теорема 4. Для того чтобы векторы kq, hs, определенные равенство

(12), удовлетворяли соотношениям (8), (9) необходимо и достаточно,

чтобы (h*, k*) = 0 при q = s, и (h*, k*) = 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы kq, hs удовлетворяют равенствам (8), (9), следовательно, с учетом равенства (13) непосредственным вычислением устанавливаем, что (hs,kq) = (q)1q (h*,k*).

a{\' kis 4

Из определения чисел klq,a(q,kls следует, что (h*,k*) = 0 при q = s, (h*,k*) =0, при этом (hs, kq) = -(s) (h*,k*).

aij

Достаточность. Пусть (h*s,k*) = 0 при q = s, и (h*s,k*) = 0. Тогда в силу равенств (12) (hs,kq) = (q1q (h*,k*). Отсюда следует справедливость

a11 k1s

утверждений (8), (9).

Теорема доказана.

Матрицу K* определим равенством K* = (k*,k*, • • •, km).

Теорема 5. Для того, чтобы rangK = m необходимо и достаточно, чтобы rang K * = m.

Справедливость теоремы с учетом неравенства k1qa(1q1) = 0 следует из

равенства kq = k*.

a11

Таким образом, приходим к выводу — теоремы 3,4 и 5 полностью описывают множество матриц A(t), определенных равенством (6), для которых существуют постоянная неособенная матрица B и диагональная матрица C(t), удовлетворяющие равенству (5) при любом t Е [0, T].

4. Пример. Рассмотрим систему (1), в которой матрица A(t) = Aifi(t) + + A2f2(t) + A3f3(t), Al = (colon(3,6, —9), colon(3,6, —9), colon(2,4, -6)), A2 =

= (colon(3.21. — 36), colon(6, 42, -72), colon(5.35. — 60)), A3 = (colon(18/49, —

-3/7,15/49), colon(—54/49, 9/7, —45/49), colon—30/49, 5/7, —25/49)), fi(t) =

= sint, fl(t) = cos t, fl(t) = t, матрица B(t) = (colon(ecosb, 0, eb), colon(1, esinb, e1)).

При любом s E {1, 2, 3} для матрицы As выполняется равенство As =

= kshs, при любых i,j E {1, 2, 3} выполнены условия (8) и (9) теоремы 2. Согласно теореме 2 неособенная матрица B определяется равенством B =

= (colon(1, 2, —3), colon(3, 21, —36), colon(—6/49,1/7, —5/49)).

Таким образом, однородная система, соответствующая системе (1), с помощью замены y = B-lx сведется к системе y = C(t)y, в которой C(t) =

= (colon(sint, 0,0), colon(0, cos t, 0), colon(0,0,1)).

Пусть матрица R(t) = (rJ (t))23 такова, что rJ (t) = r(Jt + rJ cos t +

I (3) . ,

+ r j sin t. iJ

Непосредственным вычислением устанавливаем, что при r^ = r^ =

Следовательно, согласно теореме 1, система (1), рассмотренная в примере, вполне управляема во множестве управлений, заданных равенством u(t) = = R(t)v, R(t) = (colon(0, sin t), colon(0,0), colon(sin t,t)).

1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

2. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

3. Леваков А.А. К управляемости линейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23, №5. С.798-806.

4. Минюк С.А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26, №3. С.414-420.

5. Ретюнских Н.В. Критерий приведения матрицы А(Ь] к диагональному или треугольному виду с помощью постоянной матрицы // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2002. №6. С.72-76.

2

det / X l(t)B(t)R(t)dt = 1.805.

о

Список литературы

574 с.

Потапова Ирина Сергеевна (m.terehin@rsu.edu.ru), аспирант, кафедра математического анализа, Рязанский государственный университет.

About one case of full controllability of the linear system of differential equations with variable coefficients

I.S. Potapova

Abstract. In this paper we defined conditions of full controllability the system with variable coefficients. It is investigated case of transformation of the homogeneous system with variable coefficients to the system with diagonal matrix. The example is considered.

Keywords : system of the differential equations, full of controllability, matrix, non-degenerate transformation.

Potapova Irina (m.terehin@rsu.edu.ru), postgraduate student, department of mathematical analysis, Ryazan State University.

Поступила 15.01.2011