Формулы для разложения некоторых дробей на простейшие и их применения к специальным функция

Д.Б. КАРП, Е.В. КОСТЮЧЕНКО, С.М. СИТНИК

Формулы для разложения

^ и и_

некоторых дробей на простеишие и их применения к специальным функциям*

В статье получена формула для разложения одной рациональной функции на простейшие дроби. Найдены рекуррентные и комбинаторные формулы для коэффициентов этого разложения. Полученная формула применяется для вывода новых представлений для гипергеометрической функции Гаусса и неполной бета-функции Эйлера при специальных значениях параметров. В последнем параграфе работы доказано представление для одного частного случая функции Мейера и интеграла от неё через модифицированные функции Бесселя.

1. Введение. В работе получена формула для разложения на простейшие дроби выражения /"/(1 - г2/, где п и / - неотрицательные целые числа, такие что п < 2/ Эта формула находит ряд применений: для интегрирования рациональных выражений, для вывода нового представления для гипергеометрической функции Гаусса вида 2/1(/, (п + 1)/2; (п + 3)/2; Я2), для получения новых разложений для неполных эллиптических интегралов Лежандра. Здесь описаны первые два приложения, последнему случаю посвящена отдельная статья [8].

В последнем параграфе работы выведена простая формула для одного частного случая О-функции Мейера. В общем виде О-функция Мейера обобщает множество элементарных и специальных функций прикладной математики. Её частными случаями являются экспоненциальная и логарифмическая функции, функции Бесселя, полные эллиптические интегралы, гипергеометрические функции и множество других специальных функций. Наиболее полный список частных случаев О-функции приведён в популярном справочнике [6]. Расширение этого списка представляет значительный интерес. В последнем параграфе найдено новое представление для одного частного случая О-функции Мейера через производную функции МакДональда К1 (см. [2]). Это представление даёт также новую формулу для неопределённого интеграла от рассматриваемого случая О-функции.

2. Разложения на элементарные дроби. Для неотрицательного целого п и а = 0, 1 положим

Работа Д.Б. Карпа поддержана грантом РФФИ (02-01-000-28), грантом Фонда содействия отечественной науке и грантом ДВО РАН (04-3-Г-01-020).

Ф n (t) = (1 -1)-n + (-1)"(1+1)-n,

»

Уn "[(-1)a ln(1 +1) - ln(1 -1), n = 0.

Второе определение непротиворечиво в том смысле, что для действительного n:

lim у" (t) = (- 1)a ln(1 +1) - ln(1 -1), a = 0,1.

Заметим, что ФП (it), ¡ф\ (it), y\ (it) и iy °n (it) действительны при всех n и

- iy 0 (it) = 2 arctan(t).

Наша первая лемма элементарна.

Лемма 1. Для a = 0,1 имеют место формулы:

я

0 я

0

Основной результат о разложении на элементарные дроби сформулирован в следующей теореме.

Теорема 1. Положим п < 2/ - неотрицательные целые. Тогда справедливо следующее разложение на элементарные дроби:

tn

2); =ßn [1:ф"

где а = 0 для чётных п и а = 1 для нечётных п, Р" [/] = 2 1 и числа

Р"[ 1 - к], к = 1, 2, ..., / - 1, находятся из следующего рекуррентного соотношения:

где

( n ^

v k j

21

= 0 при к > n.

k j /=0

v к ij

Доказательство. Для вывода разложения (4) применим восходящий к Ньютону приём, который применяется также для вычисления вычетов.

Обобщение этого приёма приводит к быстрым алгоритмам разложений на простейшие дроби, построенным в [10]. Можно записать:

tn р;[1] р;[2] р;[j ^ R

- Ч-----h ... H-----±-

(1 -t)1 (1+t)1 1 -1 (1 -1)2 "' (1 -1)1 (1+t)1

где

R(t) _ßn[1] | ßn[2] + +_ß;[j]

(i+1)1 i+t (i+1)2 (i+1)1

и необходимо выбрать знак "+" ("-") для чётных (нечётных) n, благодаря чётности (нечётности) левой части. Умножим теперь обе части на (1 - t2)':

tn = (1 +1)1 (ß n [j ]+ß n [j -1](1 -1)+... + ßn [1](1 -1)1 -1) = (1 -1) }R(t).

Положив здесь t = 1, сразу обнаруживаем: ßn[ j] = 2-1. Продифференцируем теперь это выражение к раз и положим t = 1:

[tn ]S _Ê (flfc11)1 f) ßn [j - i](-1)4 k=i, 2, ..., j - i.

i_0

Имеем:

[Г]« =]п!/(п-к)" к~п, [(1 + г)11(/7) =-1-21-к+\

Щ=1 [0, к > п ' ''=1 (1 - к + 0!

Таким образом, числа РП [ 1 - к] могут быть найдены при помощи следующей рекуррентной формулы (начиная с Р П [ 1 ] = 2-1):

(-1) кп! к-1 ( кЛ Ю1-к+'

РП [1 - к ](-1) кк!21 = РП И - ¿](-1)г''!,

(n - k)! i_0 ^i ) (1 - k + i)! k = 1, 2, ..., j - 1,

или, после простых манипуляции:

ß-[ i - k] (-1)k;! t ( 1)k -1!ßnn- i] k=i / - i

1 21k!(n - k)! i_02k-i (k - i)!(J - k + i)!' ' "' '

что эквивалентно (5).

Применённый в теореме приём можно использовать для разложений на простейшие дроби выражений, знаменатели которых не

содержат квадратных трёхчленов. Разложим, например, рациональную функцию:

I« ) =

9г 4-12г 3-103г2 + 212г + 344

(г- 4)2(г + 1)(г + 2)2

Согласно общей теореме о разложениях на простейшие: . А В СБ Е

I (г) = -г + + + -

г-4 (г-4)2 г +1 г + 2 (г + 2)2'

Умножим обе части на (? - 4)2(? + 1)(? + 2)2. Получим:

9?4 - 12?3 - 103/2 + 212/ + 344 =Л

Положим здесь ? = 4. Это даёт выражение для В: 9г4-12г3 - 103г2 + 212г + 344

В = -

(г + 1)(г + 2)2

= 6.

г=4

Теперь подставим найденное значение В в (6), продифференцируем (6) и затем положим ? = 4:

[36?3 - 36/2 - 206/ + 212]|4=4 = = [А(? + 1)(? + 2)2 + 6(1 + 2)2 + 12(? + 1)(? + 2)]^=4.

Простые вычисления приводят к значению А = 3. Заметим, что нам нет необходимости вычислять производные коэффициентов при С, В и Е, поскольку при ? = 4 они, очевидно, обращаются в ноль. Аналогичные вычисления приводят к значениям С = 2, В = 4, Е = 7. Матричная форма описанного алгоритма приведена в [10].

В следующей теореме найдено явное выражение для чисел Щ [•]. Теорема 2. Числа РП[7 - к] вычисляются по формуле:

Р П [7-к ] = 2-^ У

(п\( к + 7-1 -Л

¿-Л

1=0

V1

7-1

, 0 < к < у.

Доказательство. Формулу (5) можно видоизменить следующим образом:

( 7 \

У (-2)1-к / РП[7-1] =

1=0 Vk 1)

к

V к )

Произведём замену обозначений г ^ к, к ^ п,_/' ^ т, п ^ р:

2

У (-1)к

к=0

2к р т [т-к ] = 2п

( р \

Vп )

Применяя формулу обращения

а.

= У( 1)к

к=0

( т \

V п-к )

*к ^ =у (-1)к

к=0

(п + т-1-к \ п-к

а,г

из [4], мы сразу же получим

2п рт [т-п] = У (-1) к

к=0

(п + т -1- к \ п-к

(„Л

Vк )

= 2-т У

( рп + т -1 - к\

к=0

Vк )

т -1

Возврат к исходным обозначениям даёт искомую формулу (7).

В следующей теореме получено явное выражение для чисел (5) в частном случае п = 0.

Теорема 3. Числа Р0 (1), г = 1, ..., ] явно выражаются формулой

Р0У-к] =

1 (7-1 + к\

7+к

7-1

, к = 0, 1, 2, ..., j - 1,

)

и, следовательно, имеет место следующее разложение:

^ 1 (7-1 + к \

7 2 7+к

к=0 •

7 1

Ф0-к (г).

Доказательство. Теорема даёт следующую рекурсию для чисел

Р0 [•]:

к-1

( 7' Л

1=0

Р0 = 2-7, р0[7-к] = -у

Vк Ь

Нам необходимо доказать, что числа (9) удовлетворяют этой рекуррентной формуле. Подстановкой (9) в (11) после некоторых вычислений получим:

(7-1 + к\ к-1 . к ( 7 7-1 +Л = ( 1)1 к

7-1

1=0

V к-1)

7-1

Запишем теперь j + 1 вместо j и поделим на -1. Получим:

к

т

2

к

1

I (-1)'

Г j-1ЛГ j-/ Л

кк /у

= 0, к = 1, 2,

j У

Поскольку

г j-1^г j-/ ]=-

к -* Л j У (к - /)!С/ +1 - (к -

(j -ТО + /)!

j -1Г к ЛГ j - / 1

к у V к 1 у

соотношение (12) эквивалентно

I

/=0

Г к Т j + / 1

V * Лк - 1У

= 0, к = 1, 2, ...

Последнее равенство является частным случаем формулы (5.24) из [3]. Следствие 3.1. Пусть ] > 1 - целое. Тогда справедлива формула

Ж

(1 -'2 У

^ 1 Гj -1 + кЛ 0

V °-к-1(/хх

к=0

j -1

у

где уп определено в (1).

Доказательство. Достаточно применить формулу (10) с заменой I на ¡1 и формулу (3).

Формула (13) даёт по-видимому новое выражение для интеграла из левой части. Этот интеграл играет важную роль при интегрировании рациональных функций. Действительно, интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию так называемых простых дробей четырёх типов. Наиболее сложный четвёртый тип имеет вид

Мх - N

(х2 + рх - д)т

где М, N р, q - действительные числа, т - целое и q - р /4 > 0 (тогда квадратный трёхчлен не имеет действительных корней) [7]. Интегрирование дробей этого типа сводится подстановкой I = х + р/2 к взятию интеграла

>-=1;

Ж

0 02 - а2)т

л

использовать рекуррентную формулу

= а

л / п

1-2т ^

Жи

(и2 -1) т'

где а2 = q - р2/4. Для этого учебники (см., например, [7]) предлагают

х

2т -1 г --Г- Л

2та2(х2 - а2) т 2та2

/=0

x

0

легко получающуюся интегрированием по частям. Системы компьютерной алгебры Mathematica и Maple приводят выражение для интеграла (14) через гипергеометрическую функцию Гаусса (т.е. через бесконечный ряд), которое получается разложением подынтегрального выражения в биномиальный ряд и почленным интегрированием. Справочник [5] даёт формулу через двойную конечную сумму. Наша формула (13) содержит лишь одинарную конечную сумму. С другой стороны, в ней содержатся комплексные выражения и необходимо приложить дополнительные усилия для приведения её к действительному виду.

3. Представления для гипергеометрической функции и неполной бета-функции Эйлера. Напомним читателю определение гипергеометрической функции Гаусса:

2 Fi

k=0 (с) kk!

где (a)k = a(a + 1)...(a + k - 1) при k = 1, 2, ... и (a)0 = 1 - символ Похгаммера.

Теорема 4. Пусть X Ф ±1 и n < 2j - неотрицательные целые. Тогда справедливо представление

n +1

2 F

X k=i

где a = n mod 2 и функция у 1 определена в (1).

Доказательство. Формула (16) доказывается применением интегрального представления Эйлера [1] (Яс > ЯЪ > 0):

2 F1(a, b, с) = Г(С) f Х'_ 1(1_ X)~1 dx. 2 1V • • • ' Г(Ь)Г(с _b)l (1_ xz)a

Подстановка z = X2, t2 = X2 даёт

Г(с) Xt2b4(X2 _t2)c_b_1 dx

F1(a, b; c; X2) =-^-f

1

2 \ a

Г

Положим теперь a = j, 2Ъ - 1 = n, с = Ъ + 1 и воспользуемся тем, что Г(1) = 1, r(z + 1) = zr(z) и

X tn dt j

Ittw=yp n [k a_ i(x) (17) 0 (1 t ) k=1

согласно (2) и (4). Это приводит к формуле (16) для |Я| < 1. Согласно принципу аналитического продолжения эта формула справедлива при всех комплексных Я, для которых обе части определены.

Для рассматриваемого случая гипергеометрической функции Гаусса в [6] приведена формула

2 Fl(a, Ь; Ь +1; г) = (Ь,1 - а), г

где

Вг (с, С) = | гс-1(1 - г У 1 Сг

0

- неполная бета-функция Эйлера. Следовательно, теорема 4 даёт следующее выражение для неполной бета-функции Эйлера:

Вх

к=1

4. Представление для частного случая С-функции Мейера. Перед формулировкой основного результата напомним определение О-функции Мейера порядка (т, п, р, ц), где 0 < т < q, 0 < п < р. Следуя [6], она определяется контурным интегралом вида

(

ат.п

р.*

(ар )Л Ь) у

(

ат.п

р*

Л

а1..... ар К-. . .Ь* у

-1-1 У ТГ7 J

Г(Ь1 +5)...Г(Ьт + Л)Г(1 -а1 -л)...Г(1 -ап -ф-

2^1 Г

-ds.

Существует несколько возможностей для контура Ьа, они подробно описаны в [1, 6]. Отметим только, что все эти контуры являются бесконечными петлями, разделяющими полюса гамма-функций вида Г(Ъ; + 5), I = 1, 2, ..., т, и Г(1 - ц - 5), j = 1, 2, ..., п. Очевидно, что для существования такого контура необходимо потребовать, чтобы полюса гамма-функций аргументов Ъ + 5, j = 1, ..., т не совпадали с полюсами гамма-функций аргументов 1 - ц - 5, j = 1, ..., п, т.е. для всех г = 1, ..., т, j = 1, ..., п, ц - Ъг Ф к, к е N0. Это условие является необходимым для существования О-функции. Нас будут интересовать лишь О-функции

вида О4'0, у которых отсутствуют множители Г(1 - а- 5), поэтому их существование не будет вызывать сомнений. Как показано, например, в [9], интеграл в (18) сходится и 0*'° равняется сумме вычетов

подынтегрального выражения в тех точках 5 = -Ъj - к, J = 1, *, к = 0, да, где есть полюса (полюса могут отсутствовать, если полюса знаменателя

г

г

и числителя взаимно уничтожаются). Это позволяет получить

следующее выражение для Gq/0. Пусть

h(s) =

Щ + s)...r

и пук - кратность полюса А(^) в точке £ = -Ьу - к. В точках, где полюс отсутствует, будем считать Пук = 0 и условно положим 1/(-1)! = 0. Тогда

(

G

q,0

Л

= У res h(s)x s =

q' у j=1, q

k=0,ш

= У

1

lim

a

tq (Пк "1)! S^bj-kdS

n,k -1

j=1qVljk

k=0,ш

(s + b + k)"

h

= y

1

19 (n,k -1)!

j=1q V" jk

k=0,ш

lim k У -1][(s+bj + k) "*h(s)] V)«.

s—^ b ; k --7 I

1 J=1q V 7 у

k=0, ш

Таким образом, окончательно:

p,q

x

a)

b ) у

bj +k

= У

x

Й ("* -1)!

j=1q V"jk

k=0, ш

"jk—^ " — У k ]

7=0

jk

(—ln x)7 [(s + bj + k) "^(s)]

Здесь была применена формула

resq( z) =

1

-lim

d

1- {( ^-a) "q( z)}

(" — 1)! z—adz"'1 ^ ' ^ "

для вычисления вычета в полюсе n-го порядка и формула Лейбница для и-й производной произведения функций. Подробно алгоритм разложения G-функции в ряд рассмотрен в [9].

Важнейшее свойство функции Gp0 состоит в том, что она

является обратным преобразованием Меллина от функции h(s) из (19):

x

m —1

s

x

X

X

01

х

Я-1 ^ 0,2Я-1, Я

-2 хЯ С [К 2я-1(^л/Х )]

Сх

2 хЯ

К 2Я (2л/Х) - Ях 1/2К2Я-1

согласно [2, 6].

Теорема 5. При Я > 0 имеет место формула

(

О

х

Я-1

0,2Я-1, Я

я

= 2 х

К 2я(2л/х )-Ях 1/2 К 2Я-1 (2л/х)],

2 х Я Сх КхК 2Я1

где ^ - функция МакДоналъда (или модифицированная функция Бесселя второго рода, см. [2]).

Доказательство. Нам понадобятся следующие формулы:

(-1) к

е Г( 5) = —к к!

Г( г)Г(-г ) = -

Г(г +1 - к)Г(к - г) = -

л

г Бт

л

л(-1)к

Бш

При Я, не равном полуцелому или целому числу, имеем:

О

3,0

Я-1

0.2Я-1, Я

1 ГГ

2га

Г(Я-1 + 5) 2-| Г(5)Г(2Я -1 + 5)(Я -1 + 5)х:

х С =

= У resg (5) + У Ге5 g (5) =

гг; 5=-к 5=-к-2Я+1

к=0'

к=0

" (-1)к

= I}— Г(2Я -1 - к)(Я -1 - к)хк +

к=0 к!

т (-1)к

+ I ^^Г(-к - 2Я + 1)(-к - Я)хк+2Я-1 к=0 к! А '

л

(к + Я) х

к +2Я-1

л I (к-Я-1)хк 8т л(2Я- 2) ¿0 Г(к + 2 - 2Я)к! зт л(-2лЯ) к"0 Г(к + 2Я)к!

8т

(к + Я) х

к+2Я-1

£0 Г(к + 2Я)к!

-I

к=0

(к -Я-1) хк Г(к + 2 - 2Я)к!

х

со

л

С другой стороны, пользуясь формулами

получим:

Ка(г)=

к

2 8ш

[/_а ( г)-1 х (г)],

iа ( г ) = у

2к+а

к=0 Г(к + А +1)*!

2 х А — [¡хК 2А-Х(24~х )] =

—х

кх

—

8т(к(2А -1)) —х

[2а (2^)- ^х11-2Х (2^Х )]]

кх

—

8т(к(2А -1)) —х

У

к+а

X

-У

к+1-а

к=0

Г(к + 2А)к! к=0 Г (к + 2-2А)к!

к

8т

У

к=0

(к + А) х

к+2 а -1

Г(к + 2А)к!

У

к=0

(к +1- А) хк Г (к + 2 - 2А)к!

Согласно основному свойству О-функции (22), полученную формулу можно переписать в виде

- 2|хА+1 — [¡хК2А-1 (2л/х)—х = Г(^)Г(5 + 2А -1)(я + А -1).

—х

где А Ф т/2, т е N0. Обе части этой формулы являются аналитическими функциями А при ЯА > 0 и ^ > 1. Следовательно, эта формула справедлива и при А целом или полуцелом. Беря производную и пользуясь формулами [2]

— /"К" (г)]= -г"К"-1 (г), К"КЛ(2) = *а+1(Г) - 2АГ-1КА(2), —г

получим следующее представление для искомой О-функции:

а

= х

/ А-1 1

х =

ч 0,2А -1, Ау

[ (2^) + К2а_) - х-1/2К2а-1 (24х)] = 2 х а [/ (2л/х ) - Ах-1/2 К 2а-1 (2^)].

В случае А = 1 последняя формула приобретает особенно простой вид:

X

0

0,1,1

Л

= G,

0,2

У

1,1

= 2 xk 0(2у[х ).

Эта формула приведена в [6]. Для О-функции из Теоремы система МаШешаИса даёт выражение через гипергеометрические функции намного более сложное, чем (23). Наконец, переписывая формулу (23) в виде

л

J G

(

Я- 1

0,2Я-1, Я

dt

= -2у[хК 2Я-1 (2д/Х),

получаем новый интеграл от G-функции.

Литература

1. Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. - М.: Наука, 1965.

2. Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. - М.: Наука, 1966.

3. Грэхэм Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. - М.: Мир, 1998.

4. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. - М.: Мир, 1972.

5. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука, 1986.

6. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. - М.: Наука, 1986.

7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. - М.: Наука, 1970.

8. Karp D., Savenkova A., Sitnik S.M. Series expansions and asymptotics for incomplete elliptic integrals via partial fraction decompositions, submitted to Integral Transforms and Special Functions, 2004.

9. Liakhovetski G.V. An algorithm for a series expansion of the Meijer G-function // Integral Transforms and Special Functions. 2001. 12:1, p. 53-64.

10. Mahrt L.F. and Szidarovszky F. A factored form of complex analytic functions and its application to finding partial fraction decompositions // Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics. 1997. No 2, p. 12-15.

2,0

х

t

я

t