Модальный расчет балок, податливых при трансверсальном сдвиге, методом Ритца

Для получения детального расчёта воспользуемся программным обеспечением с использованием метода конечных элементов [1-3].

Метод конечных элементов за последние несколько десятилетий стал одним из основных при решении задач строительной механики. На его основе построены современные процедуры статического и динамического расчетов, а также расчеты на температурные деформации.

Суть метода состоит в том, что конструкция, представляющая собой непрерывное деформируемое твёрдое тело иногда сложной формы, рассматривается в виде некоторого числа блоков-элементов конечных размеров (конечных элементов). В качестве конечных элементов могут рассматриваться прямолинейные и криволинейные стержни, балки, плоские пластины различной конфигурации, оболочки, трёхмерные массивные тела (см. рис. 3).

Предполагается, что одинаковые или разные по форме и размерам элементы связаны между собой в точках, расположенных на их границах и называемых узловыми точками.

Проведение расчётов с элементами различных видов, а также предварительный анализ решений тестовых задач позволяют выбрать элементы и аппроксимирующие функции, удовлетворяющие требованиям необходимой точности решения.

Для получения достоверной информации по отклонению геометрической формы используем подход, при котором отклонение аппроксимированной поверх-

ности от теоретического профиля составляет не более 1/3 от допуска на отклонение поверхности.

Предложенный подход позволяет определить изменения геометрии как по образующей, так и по кольцевому контуру многослойных оболочек вращения из композиционных материалов.

Библиографические ссылки

1. Зиновьев П. А., Смердов А. А. Оптимальное проектирование композиционных материалов. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 103 с.

2. Дружинский И. А. Сложные поверхности: Математическое описание и технологическое обеспечение : справочник. Л. : Машиностроение. Ленингр. отд-е, 1985. 263 с.

3. Рычков С. П. Моделирование конструкций в среде Femap with NX Nastran. М. : ДМК Пресс, 2013. 784 с.

References

1. Zinoviev P., Smerdov A. Composite material design optimization. BMSTU Publishing House, 2006, p. 103.

2. Druzhinskiy I. Polysurfaces: Mathematical description and engineering support : Reference Book. Mechanical Engineering, Leningrad Division, 1985, p. 263.

3. Richkov C. Structural modeling in Femap with NX Nastran: DMK the Press Publish and House, 2013, p. 784.

© Лукьянов В. В., Наговицин В. Н., 2013

УДК 519.62

МОДАЛЬНЫЙ РАСЧЕТ БАЛОК, ПОДАТЛИВЫХ ПРИ ТРАНСВЕРСАЛЬНОМ СДВИГЕ, МЕТОДОМ РИТЦА

В. А. Нестеров, Д. В. Сорокин

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-шаП: misternester@gmail.com

Рассматривается задача о собственных колебаниях защемленной с обоих концов балки, податливой при трансверсальном сдвиге. Решение выполняется с помощью метода Ритца. Прогиб аппроксимируется одной балочной функцией. Полученные частоты собственных колебаний сравниваются с результатами оригинального конечно-элементного расчета, в котором угол сдвига учитывается в качестве независимого узлового параметра. Показана допустимость решения задачи о собственных колебаниях методом Ритца для сплошных композитных балок и трехслойных балок с относительно высокой жесткостью материала заполнителя.

Ключевые слова: балка, модальный расчет, частоты собственных колебаний, трансверсальный сдвиг, метод Ритца, метод конечных элементов.

Решетневскуе чтения. 2013

MODAL ANALYSIS OF SHEAR FLEXIBLE BEAM WITH BOTH CLAMPED ENDS BY RITZ METHOD

V. A. Nesterov, D. V. Sorokin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. E-mail: misternester@gmail.com

Modal analysis of shear flexible clamped beam is considered. Analysis is fulfilled by Ritz method. The bending deflection of a beam is approximated by the first beam function. The results of calculation are compared to the original finite element solution in which transverse shear strain is appointed as the basic cinematic variable. The admissibility of approximate solution by the Ritz method for modal analysis of composite beams and sandwich beams with rather high stiffness of score is shown.

Keywords: modal analysis, beam, finite element method, Ritz method, transverse shear strains.

Расчеты элементов авиационных и ракетно-космических конструкций весьма трудоемки в силу сложности их математических моделей и в строгой постановке допускают, как правило, только численные решения. Композиционные материалы благодаря своим высоким удельным механическим характеристикам часто используются в производстве летающей техники. Но из-за ряда особенностей композитов еще более усложняется постановка задач расчета конструкций и их решение. Поэтому численные методы (такие, например, как МКЭ) остаются основным и иногда единственным средством решения этих задач. Тем не менее в ряде случаев оказывается возможным добиться приемлемой точности решения при использовании приближенных методов расчета, которые за счет более простого алгоритма реализации дают преимущество перед численными методами. Кроме того, иногда полезно бывает перед реализацией точного численного расчета иметь предварительные результаты, полученные на основе более простых приближенных методов. Модальный расчет податливых при трансверсальном сдвиге конструкций - один из таких случаев.

Примем расчетную модель слоистой балки, учитывающую трансверсальный сдвиг. Для решения задачи о собственных колебаниях выберем метод Ритца, который, как известно, имеет вариационную постановку. Получен функционал устойчивости для сдвиговой модели балки [1]:

А

d w

dx2

Л

+ K у2

u 2 + w2 ) + Dp

\V-

dx -

dx = 0,

где В определяет жесткость балки при растяжении-сжатии вдоль продольной оси; D - изгибная жесткость; К - жесткость балки при трансверсальном сдвиге; Bp, Dp - параметры, характеризующие инерционные свойства; у - угол сдвига; ю - круговая частота колебаний.

Полагая оба края балки защемленными, примем следующие распределения для прогиба, угла транс-версального сдвига и продольного перемещения:

w = W {(sinh( kl) - sin(kl)) (cosh(kx) - cos(kx)) -- (cosh(kl) - cos(kl ))(sinh(kx) - sin(kx))},

. , 2nx \ . (2nx

у = F sin | —— I, u = U sin I ——

Реализация процедуры метода Ритца сводит вариационную задачу к обобщенной задаче на собственные значения, решение которой позволяет определить первую частоту собственных колебаний балки.

Полученные с помощью приближенного метода Ритца собственные значения будем сравнивать с результатами численных расчетов, выполняемых методом конечных элементов. Основными узловыми неизвестными являются: прогиб w, изгибной угол наклона сечения, угол трансверсального сдвига и продольное перемещение u.

С помощью оригинальных авторских программ [2] двумя методами (Рица и КЭ) выполнены решения задач о собственных колебаниях сплошной композитной и трехслойной балок.

Результаты расчетов, представленные в табл. 1-3, свидетельствуют о том, что приближенное решение методом Ритца с использованием в качестве базисной только одной балочной функции дает достаточно точные результаты по собственным частотам для сплошных композитных балок и для трехслойных балок с относительно жестким слоем заполнителя. При расчете трехслойных балок с весьма податливым заполнителем метод Ритца дает неверные результаты из-за неточности представления прогиба одной балочной функцией (табл. 3).

Библиографические ссылки

1. Нестеров В. А. Модальный конечно-элементный анализ балок, податливых при трансверсальном сдвиге // Вестник СибГАУ. 2013. № 1 (47). С. 68-74.

2. Нестеров В. А. Исследование НДС, устойчивости и собственных колебаний трехслойной балки с податливым заполнителем с помощью МКЭ при учете трансверсального сдвига в качестве узлового неизвестного. Свидетельство о государственной регистра-

ции программ для ЭВМ № 2010611781 ; 09.03.2010 ; 18.01.2010. 8 с.

References

1. Nesterov V. A. Vestnik SibGAU. 2013. no 1 (47), pp. 68-74.

2. Nesterov V. A. Issledovanie NDS, ustoychivosti i sobstvennykh kolebaniy trekhsloynoy balki s podatlivym zapolnitelem s pomoshch'yu MKE pri uchete transversal'nogo sdviga v kachestve uzlovogo neizvestnogo: svidetel'stvo o gosudarstvennoy registratsii programm dlya EVM № 2010611781. 09.03.2010. 8 p.

Значения критических усилий для сплошной композитной балки

Таблица 1

h, мм Метод Ритца, Гц МКЭ, Гц Относительная разница, % Аналитическое решение, Гц

10 117,30 117,10 0,17 118,04

319,78 325,38

619,41 637,88

1009,03 1054,45

20 230,35 228,83 0,66 236,08

609,10 650,76

1144,85 1275,76

1803,94 2108,89

30 335,66 330,93 1,43 354,114

850,09 976,14

1541,04 1913,63

2345,91 3163,34

40 430,99 420,97 2,38 472,15

1039,96 1301,53

1823,54 2551,51

2700,76 4217,78

50 515,42 498,17 3,46 590,19

60 589,07 563,14 8,47 708,23

70 652,76 617,09 5,78 826,27

80 707,66 661,70 6,94 944,30

90 755,05 698,49 8,10 1062,34

100 796,14 728,90 9,22 1180,38

Таблица 2

Значения первой частоты собственных колебаний для трехслойной балки с различной толщиной слоя заполнителя

h, мм Метод Ритца, Гц МКЭ, Гц Относительная разница, %

10 107,29 107,05 0,22

20 152,39 151,66 0,48

30 185,99 184,65 0,73

40 213,46 211,41 0,97

50 236,94 234,13 1,20

60 257,55 253,93 1,43

70 275,96 271,50 1,64

80 292,61 287,27 1,85

90 307,82 301,59 2,07

100 321,81 314,68 2,27

Таблица 3

Значения первой частоты собственных колебаний для трехслойной балки с различной жесткостью слоя заполнителя

E, ГПа Метод Ритца, Гц МКЭ, Гц Относительная разница, %

5 383,83 381,55 0,60

1 354,68 345,54 2,65

0,5 326,53 312,07 4,63

0,1 223,70 197,93 13,02

0,05 178,34 149,65 19,17

0,01 108,90 71,15 53,06

© Нестеров В. А., Сорокин Д. В., 2013