К расчету сейсмостойкости гравитационных упругопластических систем

К РАСЧЕТУ СЕЙСМОСТОЙКОСТИ ГРАВИТАЦИОННЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Л.А. БОРОДИН к.т.н., доц.

Московский государственный вечерний металлургический институт

В несущих каркасах многоэтажных зданий консольного типа, возводимых в районах с высокой сейсмоактивностью целесообразно использовать геометрически относительно малоизменяемые конструкций в виде, например, ядер жесткости, колонн усиленного поперечного сечения и т.п., отличительная особенность которых состоит в принципе их свободного опирания на фундамент. Этот принцип осуществляется исходя из такого расчета, чтобы при угловом смещении опорной контактной подошвы конструкции относительно фундамента возникал удерживающий момент от вертикальной статической нагрузки, представляющий гравитационную восстанавливающую силу (ГВС), которая при отклонении сооружения от положения равновесия способствует его возврату к исходному состоянию. Таким образом, конструкции, обеспечивающие фактор ГВС, можно именовать гравитационными восстанавливающими подсистемами (ГВП) [1], а также гравитационными отсеками. Опорная контактная подошва ГВП представляет плоскую поверхность в сочетании с криволинейной поверхностью по дуге окружности, близкой по форме (в ограниченных пределах) к эквольвенте. Сечения конструкций ГВП следует задавать таких размеров, чтобы возникающие в них напряжения не выходили за пределы упругих сопротивлений.

Рассмотрим в схематическом плане сложную конструктивную систему, которая составлена из гравитационного отсека (ГВП) с примыкающей к нему в виде многоэтажных полурам упругой восстанавливающей подсистемы (УВП), обеспечивающей возникновение упругой восстанавливающей силы (УВС) (рис. 1а). При этом в узловых соединениях ригелей, примыкающих к гравитационным отсекам, планируется возникновение пластических шарниров. В виду сказанного такая система по комплексному характеру работы представляет гравитационную упругопластическую систему.

В процессе сейсмоколебаний консольных систем подобного типа доминируют отклонения по основному тону [2], которые, благодаря ограниченной деформативности гравитационных отсеков, имеют по форме (особенно во время поворота опорной подошвы относительно фундамента) практически прямолинейное очертание и пропорциональны, следовательно, угловому смещению относительно основания. Такая особенность приводит к исходной расчетной предпосылке, согласно которой картина реакции гравитационных упругопластических систем в целом тождественна реакции системы с одной степенью свободы. При этом величину реакции неуп-

87

Рис. 1. Расчетные схемы и диаграммы реакции гравитационной упругопластической системы: а) общеконструкционная схема составной системы; б) фрагмент опорной контактной подошвы ГВП; в) диаграмма ГВП; г) диаграмма упругопла-стической составляющей; д) диаграмма статического понижения; е) суммарная диаграмма; ж) расчетная схема гравитационной упругопластической систем; з) пояснительная схема обратимости.

88

ругой системы на сейсмическую нагрузку можно определить на основании энергетического принципа, полагая, что работа, совершенная в результате отклонения неупругой системы в крайнее деформированное состояние от действия сейсмической нагрузки, равна работе, выполненной в эквивалентной упругой системе, которая отличается от неупругой системы лишь неограниченно высокими пределами текучести. Потерями энергии при развитии пластических деформаций в неупругих системах пренебрегаем, обеспечивая тем самым некоторый запас прочности. Объем работы, производимой в упругой и неупругой системах, выражается через площади соответствующих диаграмм реакции, которые представляют суммарные моменты усилий относительно основания в зависимости от угловых смещений, возникающих при отклонениях систем от положения равновесия.

Расчет сложной составной системы включает два этапа: расчет по упругой схеме — этап 1; расчет неупругой системы — этап 2.

Расчет эквивалентной упругой системы (этап1) осуществляется при помощи известных традиционных методов. При этом определяются максимальные поэтажные перерезывающие усилия от сейсмической на-

к

грузки по главным формам С-^ = £ > где — горизонтальная сейс-

/=п

мическая сила по г -той главной форме, приложенная в уровне сосредоточения массы /и •; ] = п, п-1,..., к — число этажей над междуэтажным пространством, где возникает усилие О^. Затем определяются обобщенные значения поэтажных усилий в виде геометрических сумм

/ „ Л0'5

Сок =

1С,

где я — число форм, учтенных в расчете. Далее опре-

деляются соответствующие горизонтальные усилия, приложенные к упругой системе: = - + ], именуемые, как было условленно [3], приведенной сейсмической нагрузкой. Суммарный момент усилий относи-

п

тельно основания системы равен М() = £ ' где — отметка этажа,

в уровне которого приложено усилие . Угловое смещение, соответствующее М0, составляет (р() - М0 / , где — коэффициент угловой

жесткости упругой системы. Учитывая, что доминирующее значение при сейсмоколебаниях имеет основной тон и что сейсмическая нагрузка при разложении по главным формам пропорциональна соответствующим инер-

ционным силам получим

С<г=р2011т^

7=1

где —частота основного тона упругой системы, совершающей отклонения по прямолинейной форме.

При этом угловое смещение системы будет иметь значение

<Ро =

/" \ ( Л-'

НА,

4^=1 У

Р2о1 Ъ

}=>

По практическим соображениям параметры диаграмм реакции упругой и неупругой системы удобно представить в относительном измерении через параметры упругой системы. Таким образом, относительные

величины суммарного момента М0, углового смещения сра и угловой жесткости С1, обозначенные соответственно через ао, Цо, Со будут иметь единичные значения. При этом, поскольку в упругой системе зависимость усилий от смещений линейная, работа, произведенная при отклонении в крайнее деформированное положение, будет А0 — 0, Ъа()ц0 = 0,5 .

Отметим, что как при расчете эквивалентной упругой системы так и при расчете неупругой гравитационной системы, у которой в процессе развития пластических деформаций происходит изменение жесткостных характеристик, значения собственных частот рассматриваются как параметры упругого сопротивления конструкций при разложении по главным векторам, и вопрос свободных колебаний здесь не затрагивается. Отметим также, что учет только частот основного тона при определении коэффициентов угловой жесткости, занижает показатели упругого сопротивления конструкций несущественно. К тому же, поскольку коэффициенты угловой жесткости получаются как и прочие параметры, в относительном измерении, такие упрощения тем более малозначительны.

Расчет сложной неупругой системы (этап 2) осуществляется при построении диаграммы комплексной реакции составляющих систему частей, работающих параллельно. К ним относятся реакции гравитационной и упругой восстанавливающих подсистем ГВП и УВП, а также суммарная реакция предельных моментов, воспринимаемых в пластических зонах. Вместе с тем при определении суммарной реакции сооружения учитывается отрицательное влияние вертикальной статической нагрузки.

Начнем с построения диаграммы ГВС. В процессе отклонения системы от положения равновесия гравитационный отсек на первой стадии до начала поворота опорной контактной подошвы относительно основания представляет упруго защемленную консоль, а на второй стадии при пово-90

роте подошвы представляет шарнирно опертый стержень. Отсюда реакцию упруго защемленного гравитационного отсека характеризует коэффициент угловой жесткости, полученный в виде разности:

ка/ ={ры ~ Лу!^™- гДе Р201 и Роу/ — соответствующие первой и

у=1

второй стадиям смещений отсека частоты основного тона системы. При этом реакция ГВП на 1-ой стадии смещений имеет значение

{(р) = к'^Ц) . Реакцию ГВП на 2-ой стадии смещений гравитационного

отсека можно выразить, решив уравнения, составленные в соответствии со схемой, приведенной на рис. 16:

^

ксл (<Р~<Ро )=Мъ(а0+г<рс);]

где (р — угловое смещение системы относительно нейтральной оси; <р(,

— угловое смещение плоской части поверхности контактной подошвы относительно основания; — суммарная статическая нагрузка, непосредст-

п

венно воспринимаемая гравитационным отсеком, Л\. = Е N;, N . —

]=1 3

статическая нагрузка, отнесенная к уровню этажа ао — расстояние от нейтральной оси системы до края плоской части опорной подошвы гравитационного отсека; г — радиус кривизны криволинейной поверхности опорной подошвы.

Решая уравнения (2), получим выражения зависимости углового

смещения опорной подошвы <рс и реакции ГВП (<р) от углового смещения системы ср :

-1 Г I"1

<ра =

{(р) = Л^И-Л^г<р + Мта0(1+Ыгг/к^у1 (4) Обозначив в правой части выражения (4) первой член перед угловым смещением (р через , а второй член через п0, уравнение угловой реакции ГВП запишется в виде

Кс, Ы = кспР + пс ^

Заметим, что к^ц характеризует угловую жесткость ГВП на II стадии смещений.

Значение углового смещения системы и реакцию ГВП в момент начала поворота подошвы ГВП относительно основания получим при подстановке в (2) <рс = 0 :

В целом диаграмма реакции ГВП получается в виде диаграммы билинейного типа (рис. 1в). Параметры диаграммы даны в относительном измерении. При этом координаты переломной точки диаграммы составля-

ют РоС ~ Фос; ^ <Ро> гоО ~ ЯоО IМ0, коэффициенты угловой жесткости на первой и второй стадии смещений имеют значения д= к^ IС^ ;

¿То// = к'оц IС„ .

Затем выполняется построение диафаммы упругопластической системы, в которой учитывается совместная реакция элементов, работающих в упругих пределах и в пластической области. Гравитационный отсек в системе рассматривается как шарнирно опертый стержень ограниченной деформативности. В такой системе даже в случае неравномерного выключения по высоте связей при развитии пластических деформаций распределение поперечных перерезывающих усилий от горизонтальной сейсмической нагрузки будет происходить, как отмечалось в [1], в пропорциях, близких к распределению усилий в исходной эквивалентной упругой системе. Это вполне объяснимо, поскольку в целом отклонения системы совершаются по прямолинейной форме, и нагрузка, таким образом, находится в прямой зависимости от углового смещения системы относительно положения равновесия и удаленности точек приложения нагрузки от основания системы по вертикали. Вместе с тем, так как массы в регулярных конструктивных системах обычно распределяются по высоте достаточно равномерно, соответствующие эпюры поперечных усилий имеют сравнительно плавное очертание параболического типа. В то же время в строительных объектах по условиям технологии, изготовления и монтажа используется, как правило, ограниченное количество типоразмеров конструкций. В результате эпюры несущей способности конструктивных систем имеют ступенчатое строение и существенно отличаются от эпюр распределения усилий. Поэтому включение конструкций в пластическую область в процессе сейсмоколебаний будет происходить по высоте системы неравномерно и не одновременно. К тому же, поскольку усилия от статики в элементах, работающих на изгиб, примерно одинаковы по высоте зданий, а усилия от сейсмики меняются от нижних этажей к верхним в сторону уменьшения, наиболее интенсивное развитие пластических деформаций следует ожидать в пределах нижних этажей. При этом не исключено, что работа верхних этажей будет происходить только в упругих границах.

Определение параметров диаграмм упругопластической реакции системы с шарнирно опертым гравитационным отсеком осуществляется следующим образом. В начале допускается, что конструкции системы работают упруго и выполняется расчет системы на горизонтальную нагрузку, пропорциональную по распределению приведенной сейсмической нагрузке, полученной в результате расчета эквивалентной упругой системы. Также находятся усилия от вертикальной статической нагрузки. При этом опорный узел гравитационного отсека представлен, как показано на расчетной схеме (рис. 1ж), в виде шарнира с приложенным к нему постоянным

моментом п,; и упругой связью, угловая жесткость которой . Значения

Пг и получаются с помощью выражения (5). Затем предельные усилия,

воспринимаемые в узловых соединениях, рассчитанных на возникновение в них пластических шарниров, находим в отношениях к усилиям в тех же соединениях, полученных при расчете по упругой схеме. Например, предельное усилие воспринимаемое в некотором узловом соединении я, берется в отношении к усилию ЛУЧ, возникающему в том же соединении при упругом расчете: ц - Ятч / ЛуЧ. Возникновение пластических шарниров следует, очевидно, раньше ожидать в тех соединениях, где эти отношения имеют меньшие значения. В целях сокращения объема рутинных расчетов отношения типа ц можно расположить в строку в порядке их возрастания и разбить на сравнительно небольшое число групп. Для практических расчетов достаточно обойтись тремя - четырьмя группами, не больше. В каждой группе от взятых поотдельности усилий находятся моменты относительно основания, которые затем суммируются. Например, от предельного усилия Як] из некоторой группы е находится относительно основания системы момент Мт<1. Полученные моменты группы е суммируются: МуТ(. = к

X м тя' гДе к " число просуммированных усилий. Далее при построении 1

диаграммы реакции момент Мугс используется в относительном измерении: Гте = Мутс / Мо.

Диаграмма упругопластической реакции представляет график ломанного очертания (рис. 1 г) При этом абсциссы переломных точек, соответствующие переходам выделенных конструктивных групп из упругого состояния в пластическое, определяются по формуле:

/¿к^МСы -Се)"'

где <^..1, С* - коэффициенты угловой жесткости до и после включения в пла-

2 2 2 2 стическую область группы элементов е; <= Ре_ц / Р()Г ; = Ре / / Р01;

Л> 1/ ' ' соответствующие частоты основного тона упругой части еие-

темы.

Ордината переломной точки, в данном случае точки е, составляет:

е

аге - +

7=1

Где Гц - относительное значение суммарных моментов предельных усилий группы элементов I, работающих в пластической области.

Отклонения конструктивной системы от положения равновесия в определенной мере зависит от влияния отрицательного момента, вызванного суммарной статической нагрузкой М™ {(р) = -<р Е Qjhj гДе ~

7 = 1

вертикальная статическая нагрузка, отнесенная к уровню этажа ^ графически в относительном измерении этот момент представлен на рис. 1 д в виде линейной диаграммы с нисходящим уклоном. Коэффициент линейно-

п

го уклона равен £д = - X Qjhj / М().

В итоге, суммируя полученные диаграммы (рис. 1 в, г, д), строится диаграмма составной гравитационной упругопластической системы (рис 1е). Абсциссами переломных точек суммарной диаграммы являются абсциссы переломных точек диаграммы реакции образующих систему гравитационной и упругопластической составляющих и

/луе (<?=1, 2, 3...), которые располагаются в порядке возрастания, с присвоением сквозной нумерации: , . . ., \, ... (рис 1е). Соответствующие данным абсциссам ординаты переломных точек составляют

7

при //, <я; «у )М] + I

е=\

прищ>ис а] =(Саи -Сои)мс +1 ^

те

е=1

где С,} - коэффициент угловой жесткости конструкций, работающих упруго, при включении в пластическую область у групп конструктивных элементов; гуе - суммарный момент предельных усилий группы элементов е

относительно основания системы в относительном измерении.

Попутно заметим, что на рис. 1 е совместно с диаграммой неупругой реакции представлена также линейная диаграмма реакции эквивалентной упругой системы; координаты соответствующие смещению системы в крайнее деформированное состояние имеют единичные значения, а произ-

веденная работа А0 = 0,5.

Ординаты точек, абсциссы которых находятся в промежутке между переходными точками суммарной диаграммы, определяются по интерполяции координат этих переходных точек.

Расчетное угловое смещение гравитационной упругопластической системы определяется следующим образом. Диаграмма реакции системы при ломанном очертании по существу составлена из трапециидальных фигур, площади которых определяются по координатам переломных точек и предоставляют порции выполненной работы. Совершенная при смещении в крайнее деформированное состояние работа в упругой и неупругой системах работа по условию одинакова. Последовательно суммируя площади трапеций находим интервал, в котором эта работа заключена:

Рк < А() < ^ | Разность АРП = А() - Гк по форме также представляет

трапециидальную фигуру, основание которой цп , спроектированное на ось абсцисс, необходимо найти, чтобы определить в итоге искомое смеще-

1 2

ние. Решая соответствующее уравнение = а + — С к!1 и ' нахо" дим:

Мг/

-а

к

+ (а2к+

Полное угловое смещение системы

МР = Мк + Мп

Суммарная угловая реакция системы будет

а

УПС

= ак + ^к^п - ^д^р

Полученное сСуПО является ничем иным как передаточным коэффициентом, который используется при определении расчетной горизонтальной нагрузки на гравитационную упругопластическую систему:

У1Ю ~ аупс ' ' где - приведенная сейсмическая нафузка, полученная при расчете эквивалентной упругой системы. Расчетная схема (рис 1ж) представлена с обозначенными на ней усилиями. При этом согласно построенной диаграмме реакции в узловых соединениях, которые вышли в состав групп элементов К, взамен соответственно отброшенных

упругих связей в расчетной схеме вносятся предельные усилия типа Яте,

учитываемые как внешняя нагрузка. Затем выполняется квазистический расчет и в случае необходимости, проводятся дополнительная корректировка по размерам и формам конструкций.

Гравитационные упругопластические системы должны обладать свойствами обратимости, т.е. способностью к самовосстановлению за счет потенциальной энергии, накопленной при смещении системы в крайнее деформированное положение. Картина обратимости поясняется на схеме (рис. 1з) Площадь диаграммы в пределах первого квадранта представляет работу, произведенную при отклонении системы. Заштрихованная часть этой диаграммы представляет энергию, поглощенную при развитии пластических деформаций и других необратимых процессов. Объем накопленной потенциальной энергии (не заштрихованная часть диаграммы) должен быть достаточен для обеспечения возврата смещенной системы к положению равновесия. Способность системы к самовосстановлению предлагается выяснять в приближенной постановке при условии учета суммарной реакции элементов обеспечивающих энергопоглощение по схеме - жесткопла-стического деформирования [1]

Литература

1. Бородин Л.А. Оценка сейсмоустойчивости гравитационных упругопла-стических систем // «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» - М.: изд. АСВ, вып. 12,2003 -С. 92 - 95.

2. Бородин Л.А., Тимофеева Т.В., Панасюк В.Ф. Особенности реакции на сейсмическую нагрузку каркасных систем консольного типа с изменяющимися жесткостными характеристиками. // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. М. Изд. АСВ, вып. 10, 2001 - с. 87-90.

3. Бородин Л.А., Ефремов М.М. // Расчет сейсмостойкости обратимых неупругих систем консольного типа с вертикальными хребтовыми элементами // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений М. Изд. РУДН №1 2005 с. 108 112.

ТО CALCULATION OF SEISMIC STABILITY GRAVITATIONAL IT IS ELASTIC PLASTIC SYSTEMS.

L. A. Borodin

The method of calculation of difficult constructive systems is stated in view of influence of gravitation and the factor of formation of plastic hinges.