Об одном едином алгоритме решения нелинейных краевых задач с разрывными явлениями

ОБ ОДНОМ ЕДИНОМ АЛГОРИТМЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

С РАЗРЫВНЫМИ ЯВЛЕНИЯМИ

Муртазалиев Г.М., Акаев А.И., Пайзулаев М.М.

Дагестанский государственный технический университет, г. Махачкала

Решение многих инженерных задач сводится к необходимости анализа разрывных явлений, происходящих при плавном и непрерывном изменении значений параметров самих конструкций и внешнего воздействия на них. Механически эти разрывные явления проявляются в виде скачкообразных и внезапных переходов рассчитываемой конструкции из одного возможного равновесного состояния в другие, часто крайне нежелательные и недопустимые состояния.

При анализе этих особенностей возникает ряд взаимосвязанных задач, строгие математические критерии которых установлены в теории ветвления решений нелинейных уравнений [1,3], состоящей в свою очередь из:

-теории существования, в которой, применительно к механике конструкций устанавливаются возможные формы равновесия систем решением исходной нелинейной краевой задачи с параметрами, характеризующей исследуемый процесс; в определении границ существования возможных форм равновесия конструкции и в установлении возможных способов ее перехода из одной формы равновесия в другую;

- теории кратности, в которой исследуется устойчивость всех найденных форм равновесия конструкций, включающая отыскание значений параметра нагрузки, при которых происходит бифуркация (ветвление) равновесных форм; определение числа и кратности ответвляющихся решений и установление конфигураций равновесных форм побочного процесса.

- спектральной теории, в которой определяется характер начального этапа послекритического поведения конструкций, для чего требуется анализ более высокого порядка, чем при решении первых двух задач.

Рис.1. Геометрия и схема загружения защемленного купола

В качестве примера реализации указанного подхода, рассмотрим поведение пологих оболочек под действием поперечной нагрузки интенсивности д (рис.1),

являющейся удачной моделью для анализа многих характерных особенностей поведения силовых конструкций.

Исходные уравнения упруго-нелинейного деформирования примем в виде:

D-V 4W = v2 F + LW, F > 1 Eh" V4F = -V2W- 12"LW,W

>

где Ук (), Ь() - дифференциальные операторы, которые при решении задачи в полярных координатах, имеют вид:

víO к7

д2<

дГ

i sO i а2<

г дг г d(p¿

d2W дг2

dF 1 d2F

-+ ^—т

rdr r d<p

d2F

dr¿

dW 1 d2W

rdr r2 dcp2

+ -2-

dr

dW

rdcp

d_ dr

/ 3F Л

r

Заменой в (3) F на W находится оператор

Система уравнений (1) составлена в отношении двух неизвестных функций: функции усилий через которую определяются внутренние усилия безмоментной группы мембранных усилий в срединной поверхности N N и S и функции прогибов W, с помощью которой определяются внутренние усилия моментной группы расчетные параметры изгибающих Мг, М( и крутящего Н моментов. Первое из них есть уравнение равновесия сил, действующих на выделенный бесконечно малый элемент оболочки на нормаль к срединной поверхности оболочки, второе - уравнение совместности деформаций в срединной поверхности оболочки.

Обычно основные уравнения (1)-ь(3) приводятся к безразмерной форме, в котором они имеют вид:

r F' F

V4W = V2 F +

r r

W" +

W W

V4 F = - VW +

rr

2

F2

F

W

r

+ 4 p;

r

(W) {r J

rW' W rr2

•W'

В соответствии с отмеченным, разобьем эту общую нелинейную краевую задачу на ряд последовательных и взаимосвязанных задач:

- изучение исходного нелинейного осессиметричного поведения оболочки и построение «кривой равновесных состояния», являющейся информативно емкой характеристикой этих задач;

- определение параметров бифуркационных нагрузок и их кратности;

- определение характера послекритического поведения оболочки.

В случае осесимметричного деформирования оболочки уравнения (4) значительно упрощаются и их первый интеграл принимает вид:

& & ^

-НГ = Ф г г

0

Ф

Ф

г Ф

-1 -2р-Ъ,

= -©

г

где © = —IV' - безразмерный параметр угла поворота радиального сечения,

- первая производная функции усилий.

Системой уравнений (5) описывается упруго-нелинейное осесимметричное деформирование пологих оболочек вращения и вместе с соответствующими граничными условиями составляют полную систему уравнений для решения этой конкретной задачи. Несмотря на кажущуюся простоту она представляет систему нелинейных дифференцированных уравнений второго порядка, для решения которых отсутствуют точные аналитические методы, дающие в замкнутом виде полное множество решений.

Система уравнений авторами решена на основе комбинации метода конечных разностей повышенной точности для решения краевой части задачи и метода дифференцирования уравнений по параметру, представляющего «шаговую» процедуру решения задач на основе программ комплекта МаШСаё. Такой алгоритм и программа позволяют построить всю кривую равновесных состояний, отыскать на ней «особые» точки в единой численной процедуре.

Для решения второго этапа общей задачи, функции характеризующие состояние оболочки в момент потери устойчивости представим в виде:

где Ж0(г) и ¥0(г) - величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние осесимметричного поведения оболочки;

\¥1(г,ф) и ¥г(г,ф) - приращения функций прогиба и усилий при возможном переходе оболочки к смежной равновесной форме.

Подстановка (6) в исходные разрешающие уравнения (4), учет уравнений (5), описывающих исходный процесс и последующая линеаризация по Е, приводит к уравнениям:

у4щ = у2^

г Р Р Л Ф Р" г 1- 1 04 ж;г-

г г

г

г

у4^ = -У2Щ +

/ V г

Г2)

0' + — 0.

г

Л

т ж

—

V Г Г )

Ф;

Уравнения (7) являются однородными дифференциальными уравнениями в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами. Эти уравнения, кроме тривиального решения (^7=^1=0), для некоторых значений параметра внешней нагрузки, входящего в значения Q и Ф, имеют нетривиальные решения, удовлетворяющие на контуре оболочки соответствующим граничным условиям.

Наименьшее значение внешней нагрузки, для которого система уравнений (7) наряду с тривиальным имеет нетривиальное решение и будет бифуркационной критической нагрузкой.

2

г

1

г

Значение этой нагрузки получено на основе метода конечных разностей повышенной точности и стандартных программ вычисления значений определителей.

Приведенный выше анализ позволяет определить исходные равновесные формы, исследовать устойчивость соответствующих им равновесных состояний под действием заданных внешних нагрузок и не дает никаких указаний относительно характера хотя бы начального этапа послекритического (послебифуркационного) поведения и чувствительности оболочки ко всякого рода возмущениям, всегда существующим в природе.

Для вывода уравнений, описывающих характер начального этапа послебифуркационного поведения оболочек, представим решение исходной системы уравнений (4) в следующем виде:

F = Fq + íf1 + Z2F2 + ...,

где и Г0 - параметры исходного состояния основного процесса -

осесимметричного деформирования, определяемые по решению системы нелинейных дифференциальных уравнений (5);

и - собственные функции, характеризующие форму выпучивания, определяемые решением системы (4);

1¥2 и р2 - функции, характеризующие послекритическое поведение оболочки, подлежащие определению; В, - малый параметр.

Подставляя выражения (8) в исходные уравнения (4), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра Е, в правых и левых частях, с учетом соотношений (5) и (7) получим следующие уравнения:

vw2 -v2f2 +

F' F

1 2 j_2

r r2

r F' F 4

1 ,1

r r

V4F2 + W2W2 -

r r2

W''

cr cr

Г

F"

СГ

Г

r r /

W1 +

—

r )

F;-2

w"

cr

Г

•Ф1 =

w: w,N

—+4

r r j

Уравнения (9) вместе с соответствующими граничными условиями описывают послебифуркационное поведение оболочки на начальном участке побочной (вторичной, закритической) равновесной кривой, т.е. в окрестности точки ветвления (бифуркации) исходной равновесной формы.

Уравнения (9) представляют систему линейных дифференциальных уравнений, решение которых, осуществляется с помощью стандартных программ решения систем линейных алгебраических уравнений [2].

Библиографический список:

1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. -М.: Наука,1969. -527 с.

2. Муртазалиев Г.М. Методы теории катастроф в задачах устойчивости оболочек. ДГТУ, Махачкала, 2004 год. -200 с.

3. Теория ветвлений и нелинейные краевые задачи на собственные значения /Под ред.Дж.Б. Келлера и С. Антмана. -М.: Мир, 1974. -256 с.