Основные свойства и параметры циклических и корректирующих кодов

УДК 681.3

Остроумов И.В., Свиридова И.В., Муратов А.В.

Воронежский государственный технический университет

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ И КОРРЕКТИРУЮЩИХ КОДОВ

В статье рассматривается свойства циклических и корректирующих кодов.

Ключевые слова: коды, исправляющие ошибки, циклические, корректирующие коды.

В настоящее время обмен информацией при помощи технических средств происходит практически во всех областях человеческой деятельности. Обработка информации в приемно-передающих устройствах средств связи осуществляется с помощью алгоритмов кодирования и декодирования, что позволяет повысить эффективность работы систем связи. Для решения ряда научно-технических проблем, осуществляемых в настоящее время, необходимо повысить надежность и качество используемых технических систем, применяющих современные методы кодирования и декодирования.

Для обеспечения помехоустойчивости передаваемой информации применяют корректирующие коды. Теория кодов, исправляющих ошибки, возникла в середине XX века. С момента возникновения теория помехоустойчивого кодирования была разделена на два направления, изучающие блоковые коды и сверточные коды. Приложение алгоритмов декодирования сверточных кодов для декодирования блоковых кодов привело к появлению новых методов декодирования блоковых кодов по кодовым решеткам.

Корректирующие коды получили широкое применение в задачах обработки, передачи, записи, хранения и защиты информации. В настоящее время блоковые коды представлены в многочисленных технических приложениях, например, в стандартах CCSDS 101.0-В-б (Consultative Committee for Space Data Systems), ITU-T G.975.1 (International Telecommunication Union) и IEEE 802.16 (The Institute of Electrical and Electronics Engineers). Передача информации с применением корректирующих кодов требует эффективных методов декодирования.

На рис. 1. приведена упрощённая классификация помехоустойчивых кодов. Помехоустойчивые (корректирующие) коды делятся на блочные и непрерывные.

Помехоустойчивые (корректирующие) _____коды_______

Рис. 1. Упрощенная классификация помехоустойчивых кодов

Циклические коды также относятся к классу линейных систематических кодов и обладают всеми их свойствами. Коды названы циклическими потому, что циклический сдвиг любой разрешённой кодовой комбинации также является разрешённой комбинацией. Теория построения циклических кодов базируется на разделах высшей алгебры, изучающей свойства двоичных многочленов.

Особую роль в этой теории играют так называемые неприводимые многочлены, т.е. полиномы, которые не могут быть представлены в виде произведения многочленов низших степеней. В связи с этим циклические коды относят к разновидности полиномиальных кодов.

Среди циклических кодов особое место занимает класс кодов, предложенных Боузом и Рой-Чоудхури и независимо от них Хоквингемом [1]. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема получили сокращённое наименование БЧХ - коды и отличаются специальным выбором порождающего (образующего) циклический код полинома, что приводит к простой процедуре декодирования.

В циклических кодах «г» проверочных символов, добавляемых к исходным «к» информационным, могут быть получены сразу, т.е. в целом, в результате умножения исходной подлежащей передаче кодовой комбинации Q(x) простого кода на одночлен xr и добавлением к этому произведению остатка R(x), полученного в результате деления произведения на порождающий полином P(x).

Коды Хемминга также можно получить по алгоритмам формирования циклических кодов [2].

Проблема помехоустойчивого кодирования представляет собой обширную область теоретических и прикладных исследований. Основными задачами при этом являются следующие: отыскание кодов, эффективно исправляющих ошибки требуемого вида; нахождение методов кодирования и декодирования и простых способов их реализации.

Наибольшее внимание с точки зрения технических приложений уделяется двоичным блочным корректирующим кодам. При использовании блочных кодов цифровая информация передаётся в виде отдельных кодовых комбинаций (блоков) равной длины. Кодирование и декодирование каждого блока осуществляется независимо друг от друга [5].

Почти все блочные коды относятся к разделимым кодам, кодовые комбинации которых состоят из двух частей: информационной и проверочной. При общем числе n символов в блоке число информационных символов равно k, а число проверочных символов

r = n - k

К основным характеристикам корректирующих кодов относятся:

- число разрешённых и запрещённых кодовых комбинаций;

- избыточность кода;

- минимальное кодовое расстояние;

- число обнаруживаемых или исправляемых ошибок;

- корректирующие возможности кодов.

На сформулированной теореме Клода Шеннона базируется помехоустойчивое кодирование: при любой скорости передачи двоичных символов, меньшей, чем пропускная способность канала, существует такой код, при котором вероятность ошибочного декодирования будет сколь угодно мала [4].

Построение такого кода достигается ценой введения избыточности. То есть, применяя для передачи информации код, у которого используются не все возможные комбинации, а только некоторые из них, можно повысить помехоустойчивость приема. Такие коды называют избыточными или корректирующими. Корректирующие свойства избыточных кодов зависят от правил построения этих кодов и параметров кода (длительности символов, числа разрядов, избыточности и др.). В настоящее время наибольшее внимание уделяется двоичным равномерным корректирующим кодам. Они обладают хорошими корректирующими свойствами и их реализация сравнительно проста. Основными параметрами, характеризующими корректирующие свойства кодов являются избыточность кода, кодовое расстояние, число обнаруживаемых или исправленных ошибок [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки: Пер. с англ. М.: Мир, 1976, 600 c.

2. Никитин Г.И. Первичные коды: Метод. указ., ЛИАП, Л., 1984, 28 с.

3. Никитин Г.И. Эффективные коды: Метод. указ., ЛИАП, Л., 1987, 28 с.

4. Журавлев А.К., Никитин Г.И. Радиотехнические системы передачи информации: Учеб.пособие /ЛИАП, Л., 1984, 86 с.

5. http://freepapers.ru/29/pomehoustojchivoe-kodirovanie/410618.list1.html