Научный вклад П. Р. Монмора в комбинаторную теорию перечисления

2011

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА________________

Математика. Механика. Информатика Вып.2

ИСТОРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

УДК 512

Научный вклад П. Р. Монмора в комбинаторную теорию перечисления

А. Е. Малых, А. М. Нагоева

Пермский государственный педагогический университет, Россия 614000, Пермь, ул. Сибирская, 24. malych@pspu.ru; (342) 280-37-55

Рассмотрен научный вклад Пьера Ремона де Монмора в комбинаторную теорию перечислений. Он продолжил исследования своих предшественников в элементарной комбинаторике: ввел новые виды соединений, получил новые результаты о фигурных числах и изучил их свойства, разработал методы для решения проблем в комбинаторном анализе и теории вероятностей.

Ключевые слова: комбинаторика; биномиальная и полиномиальная теоремы; задача "о встрече"; конечные разности; суммирование рядов; азартные игры; теория перечисления;

соединения.

Как всегда, формирование любой научной теории не является делом одного или нескольких ученых. Обычно в этом процессе принимают участие не только группы исследователей, но и целые поколения. Аналогичное произошло и с созданием комбинаторной теории.

К концу XVII - началу XVIII в. были опубликованы многочисленные работы, тесно связанные с изучением комбинаторных видов соединений, выводом формул для их подсчета, доказательством свойств и выяснением приложений. Заметный вклад в формирование теории внесли Б. Паскаль, Г. В. Лейбниц, Дж. Валлис, Я. I Бернулли, А. де Муавр и др.

Я. I Бернулли (1654-1705) построил комбинаторную теорию соединений, которая систематичностью, широким охватом проблем, простотой изложения правил и методов превзошла все предшествовавшие ей исследования в этой области [1]. Строгости изложе-

© А. Е. Малых, А. М. Нагоева, 2011

ния материала в значительной степени способствовало широкое использование неполной индукции, аналитическая запись выкладок, применение алгебраического аппарата. Во второй части "Искусства предположений" (1713) ученый сформулировал проблемы, которые следовало решить его последователям. К их числу с полным правом можно отнести и П. Р. де Монмора, научное наследие которого в области комбинаторики до сих не изучено историками математики, в то время как его теоретико-вероятностные исследования давно получили должное освещение.

Разработке теории соединений ученый посвятил два выпуска трактата "Опыт анализа азартных игр" (1708, 1713) [2]. В них, как писал известный историк науки и ученый М. Тодхантер, "Монмор с храбростью Колумба открывал новый мир в математике" [3. С.136]. Издания отличаются не только объемом, содержанием, но и структурой.

Предваряя издание [2] вступлением "К читателю", Монмор писал: "... собрал в пер-

вой части все теоремы о комбинациях, которые раньше были разбросаны по книге, добавил ряд теорем; и если в предыдущем издании были опущены самые сложные доказательства, то теперь они включены по просьбе некоторых друзей” [2. С. XXV].

E S S A Y

D’ANALYSE

SUR

LES JEUX DE HAZARD-

SECONDE EDITION

Revue & augmentée de pluficurs Lettres.

A PARIS,

Chez Jacque Quillau, Imprimeur-Juré-Libraire de l’Univcrfite, rue Galande.

M D C C X I 1 I.

AVEC APPROBATION ET PRIVILEGE, BV ROr,

Рис. 1. Титульный лист второго издания "Опыта"

Нами предпринята попытка анализа и оценки научной значимости комбинаторных исследований Монмора.

Пьер Ремон де Монмор (21.10.1678 -7.10.1719) - математик, член Английской (с 1715) и Французской (с 1716) академий наук, родился в Париже, занимался проблемами философии, религии, математики. Он был средним из трех сыновей Франсуа Ремона и Маргариты Релле. По совету отца изучал право, но учеба ему наскучила, и он уехал в Англию, где много путешествовал, а затем - в Германию. Незадолго до смерти отца в возрасте 21 года он возвратился во Францию. Пьер получил хорошее наследство, однако не смог преумножить его.

Работы философа Nikolas Malebranche оказали на Монмора сильное влияние. Будучи его учеником, он изучал картезианскую физику и философию. Вместе с молодым ученым F. Nicole приобщился к математике. Во время второго посещения Лондона (1700) Монмор встретился с английскими учеными и был представлен И. Ньютону. После возвращения в Париж брат стал убеждать его быть каноником в Парижском Нотр Дам. В начале 1700-х гг. Пьер купил поместье в Монморе и вскоре же-

нился. Современники отмечали, что они были исключительно счастливой парой. В то же время Монмор получил место чиновника [3].

Математические исследования Монмо-ра создали ему авторитет среди крупнейших учёных того времени. Он вел обширную научную переписку. Его корреспондентами были Г. В. Лейбниц, Я. I Бернулли, Н. I Бернулли, А. де Муавр, Б. Тейлор и многие другие. Лейбниц, высоко оценивая ученого как математика, предложил ему стать посредником (1716) в споре с И. Ньютоном о приоритете авторства при создании дифференциального и интегрального исчислений. В одном из писем к Монмору он указал, что необходима разработка математической теории азартных игр.

В 1711 г. в споре с А. де Муавром Монмор отстаивал свое право на приоритет в решении вопроса о вероятности выигрыша.

В теории рядов он занимался их суммированием и получил для этих целей формулу. Каждый из ученых, с которыми вел переписку Монмор, обладал широким кругом научных интересов, в той или иной степени интересовался вопросами, связанными со случайными событиями, возможностью их количественного измерения. Так как игры в карты и кости представляли простые математические модели, то вслед за Б. Паскалем, П. Ферма, Хр. Гюйгенсом, Г. В. Лейбницем, Я. I Бернулли Монмор изучал с математических позиций разнообразные карточные игры.

XXV

COC/X/OC/3 Q

ô A #***^*****************#*******m****** *************** ~ Q

8 H qpqp qpqpqpqp qpqpqpqpqp qpqpqpopqpf*? & 3

5 COC/X/3COC/XOC/3COCO C/XOWW C/SCOOTC/.I COOOÇ/XrtCO COÏ/OCOCOCOCOûO

mrs&mmnmmmnmm

AVERTISSEMENT

CETTE fécondé Edition efl de moitié plus ample que laprecedcnte ; l’ordre en efl aujji différent. J’ai ramaflé dans la premiere partie tous les Theorêmes fur les Combinaifons qui étaient répandus dans le corps du livre. J’en ai aujfi ajouté quelques-uns. Les principales additions font dans la premiere partie & vers la fin de la quatrième. J’avois obmis dans l’édition precedente les Démonflrations des plus difficiles Problèmes 3 dans le def fein de picquer davantage la curiofité du Leéîeur 3 qui fouvent croit avoir fçu ce qu’il apprend fans peine. Je les ai mifes toutes dans celle-ci a la prière de quelques amis. Celles des Formules fur le Treize fe trouveront dans les Notes latines de M. N. Bernoulli. Je naurois pu en don. ner de meilleures.

La cinquième partie efl un Recueil de Lettres que j’ai reçues de Adejjieurs Bernoulli a l'occaflon de cet Ouvrage3

6 des réponfes que je leur ai faites. Il ri y en a qu une de M. J. Bernoulli 3 mais très belle. Les autres font de M. N. Bernoulli fon neveu 3 digne héritier du fç avoir géométrique 3 qui efl dans cette illuflre famille. .

Il n’efl pas befoin que je fajfe ici l’éloge de ces Lettres 3 elles portent leur recommandation avec elles. On verra que l’on ne peut rkn de plus fon en ce genre. J’efpere que

Рис. 2. Обращение к читателю

Опубликованный в "Обращении к читателю” очерк по истории комбинаторной тематики (рис. 2) подтверждает, что Монмор был не только в курсе многочисленных работ современников, но и хорошо знал труды предшественников. Обширная переписка с великими учеными позволила ему находиться в центре научной математической мысли своего времени.

Вслед за 1-ым изданием "Опыта" (1708) Монмора вышли два произведения: диссертация Н. I Бернулли (1709) на степень лиценциата юридических наук [5] и мемуар А. де Муавра "О мере случая" в 1712 г. [6], отличавшийся глубоким единством построения. Оба они имели содержательную связь с "Опытом" Монмора. Муавр сделал ряд резких замечаний в адрес ученого, суть которых заключалась в том, что он лишь немного углубил предмет, полностью забытый в течение шестидесяти лет со времен Гюйгенса [6. С.ХХХ]. На эти обвинения крайне задетый Монмор ответил: "Главным образом, именно новизна заставила меня писать, и я пользуюсь случаем уточнить, что уже сделано по данному предмету, и дать возможность читателю судить об этом" [4. С. XXX].

Упомянутые обращения к нему Н. I Бернулли (1713) и Муавра (1712), усо-

вершенствование своих прежних результатов и получение новых, интерес к истории вопроса об измерении случайных величин, а также сведения из переписки с видными учеными

побудили Монмора вновь обратиться к "Опыту анализа азартных игр". Второе его издание вышло в Париже (1713); оно было существенно переработано и дополнено. В письмах к автору и его брату Г. В. Лейбниц был благосклонного мнения о трактате.

Появлению 2-го издания "Опыта" Монмора [2] способствовало несколько причин и, прежде всего, переписка с Н. I Бернулли, который в 1709 г. опубликовал труд "Примеры искусства предположений в приложении к правовым вопросам" [5], в котором применил исчисление вероятностей к вопросу о виновности обвиняемого, против которого имеются несколько свидетельств; об объявлении умершими лиц, пропавших без вести, и к генуэзской лотерее. Из писем Н. I Бернулли, а также публикации похвального слова А. де Фонтене и статьи академика Дж. Сорена по

поводу кончины рис. з. Предисловие к

Опыту”

великого Я. I Бернулли французский ученый узнал о предмете исследования "Искусства предположений" [1]. В предисловии к [1] Н. I Бернулли обратился с просьбой к Монмору и Муав-ру взять на себя задачу применения теории вероятностей к гражданским, моральным и экономическим вопросам и "со временем сообщить публике свои выдающиеся открытия" [5. С.163].

Второе издание, как и первое, было опубликовано анонимно, однако авторство можно установить по приложенным письмам. В нем имелись сведения из переписки с

Н. I Бернулли в 1709 г. Сочинение Монмора состоит из четырех частей и занимает объем 414 страниц. Кроме того, в него входит предисловие (рис. 3), обращение к читателю

30В Lettre de М. N. Bernoulli

Lettre de М. ( Nicolas) Bernoulli a M. de Ai . .

De Bile ce z6 Février 1711.

C’est pour vous remercier, Monfieur, de votre très obligeante Lettre, par laquelle vous avés voulu m’allurer de votre amitié & de votre eftime, dont je vous fuis infiniment redevable. Mon oncle, à qui iès affaires jufqu’ici n'ont pas permis d'examiner toutes les belles choies dont vous avés rempli la Lettre que vous vous êtiés donné la peine de lui écrire, m’a chargé de le faire & de vous y répondre ; en attendant donc du loifir pour cela, j'ai différé jufqu’ici la réponfe que je vous dois.

Je n’ai pas encore tenté la folution generale du Problème furie Jeu duTreize, parcequ’elle me paroîtprefque impoffible ; c’eft auffi pourquoi j'étois fort étonné de ce que vous dites,que vous avés trouvé 7 ¿1, ;

pour l’avantage de celui qui rient les cartes ; mais en examinant la chofe un peu de plus près , je fuis tombé dans la penfée, que vous n’avés peut-être réfolu generalemetit ce Problème que dans la fuppofîtion, que celui qui tient les cartes ayant gagné ou perdu, le jeu finifloit ; ce qui me confirme dans cette penfée, eft que j’ai trouvé pour cette hypothefe une formule generale, laquelle appliquée au cas particulier de ji cartes, donne pour l’avantage de celui qui tient les cartes cette fra&ion ,”  l A

qui eft un peu plus grande que la vôtre, mais qui a pour dénominateur un nombre compoie de preique les mêmes fadeurs que celui de la vôtre, ce qui me fait croire que vous avés fait une faute de calcul dans l’application de votre^ formule : voici la mienne dont je viens de parler.

qu’à un terme qui ioit = o ; par p j’entens îe nombre de fois que chaque carte différente eft repetée, & par n le

Рис. 4. Переписка П.Р. Монмора с Н. I Бернулли

г83

CINQUIEME PARTIE,

CONTENANT PLUSIEURS LETTRES écrites à l’occaiion de cet Ouvrage.

Lettre de M. (Jean) Bernoulli à M. de M...

De Вліе cc 17 Mars 1710.

Comme je n’ai reçu votre beau Livre que long temps après votre derniere Lettre, j’ai bien voulu différer la réponfe juiqu’à ce que je l’euflë reçu & lu, pour être en état de vous en dire mon lentiment. Quoiqu'une fluxion fur les yeux , dont je iùis iouvent incommodé, m’empêche de travailler beaucoup for des choies qui demandent de longs calculs, fur-tout dans le temps de l’hyver, je n’ai pas laifle d'examiner aux heures oifives les principaux endroits de votre Traité, & de faire moi-même, autant Nnij

Рис. 5. Переписка П.Р.Мон-мора с И.І Бернулли

PREFACE-

L y a long temps que les Geometres fe vantent de pouvoir par leurs méthodes découvrir dans les Sciences naturelles, toutes les vérités qui font à la portée de l'efprit humain ; & il eft certain que par le merveilleux alliage qu’ils ont fait depuis cinquante ans de la Geometrie avec la Phyfique, ils ont forcé les hommes à reconnoî-tre que ce qu’ils difent à l’avantage de la Geometrie n’eft pas fans fondement. Quelle gloire fe-roit-ce pour cette Science fi elle pouvoir encore fervir à regler les jugemens & la conduite des hommes dans la pratique des chofes de la vie !

L’aîné de Meilleurs Bernoulli fi connus l’un & l’autre dans le monde fçavant, n’a pas cru qu’il fût impoffible de porter la Geometrie jufqu’à ce point. Il avoit entrepris de donner des Réglés pour juger de la probabilité des évenemens futurs, & dont la connoiflance nous eft cachée, foit dans les Jeux, foit dans les autres chofes de la vie où le hazard feul a part, Le titre de cet Ouvrage dévoie * *>'

(рис. 2) и переписка ученого с Н. I и И. I Бернулли (рис. 4, 5). В предисловии Монмор отказался от разработки теории к моральным, гражданским и экономическим делам: "Не будучи в состоянии удовлетворить эти требования полностью, я решил отложить работу до другого времени или передать славу ее совершения другому, более искусному лицу, чем говорить вещи общественные и недостаточно точные, которые бы не отвечали ожиданиям читателя и великолепию вопроса" [2. С. XXV].

В отечественной литературе по истории математики имеется небольшой обзор "Опыта анализа азартных игр" [7]. Переписке Монмора и "Обращению к читателю", представляющих исторический очерк науки о случайном, дан короткий анализ [8]. В этих и других обзорах Монмор представлен как математик, продвинувший учение о вероятности выигрыша при исследовании различных азартных игр.

Наша цель - дать оценку вклада ученого в формирование комбинаторной теории перечисления. Математические исследования помещены в первой части под названием "Трактат о сочетаниях" [2. С. 1-72] (рис. 6).

traité

DES COMBINAISONS.

Р RE MI E RE PARTIE.

D£'F IN IT I ON.

Рис. 6. Начало первой части "Опыта"

В нем содержатся 18 предложений и 25 следствий из них. Все они посвящены выводу формул основных комбинаторных операций: исследованию соединений с многочисленными ограничениями на позиции их элементов; введению новых видов соединений; изучению натуральных степеней бинома и полинома, а также задач, связанных с ними; получению независимой формулы для суммирования многоугольных чисел, выяснению свойств фигурных чисел, применению изобретенных им приемов и методов к решению комбинаторных и теоретико-вероятностных задач.

Трактат начинается с определения сочетаний как неупорядоченных выборок из нескольких предметов, после чего ставится задача подсчета всех возможных способов выбора подмножеств этого множества. Решая ее в общем виде, Монмор сослался на работу Б. Паскаля [9] и дал два своих способа построения арифметического треугольника: горизонтальный - суммирование чисел предшествующей диагонали - и вертикальный, когда находится сумма чисел, стоящих рядом и выше в левой вертикали. Второй способ дал возможность Монмору доказать справедливость равенства Счр = Счр_х + Счр_\ . Он отметил, что его способ облегчает вычисления, когда р и q - большие числа. Ученый не удовлетворился этим равенством и поставил задачу отыскания общего правила подсчета Ср.

Он сформулировал лемму и доказал 12 свойств чисел арифметического треугольника. С опорой на нее получил мультипликативную формулу

Cq _ р

Ср q(q _ 1)...2-1 ’

В качестве других следствий отметим:

1. Если р + q — т, то Ст — Ст. Из это-

-т 1 ? т т

го следуют три замечания, в частности сумма чисел любой р-й вертикали равна члену р геометрической прогрессии с Ь1 — 1 и q — 2.

2. Вторая горизонталь арифметического

треугольника содержит элементы р, представляющие натуральный ряд чисел; элементы третьей Монмор записал в виде р(р +1)/2, они являются треугольными числами; в следующей горизонтали стоят числа пирамидальные вида р(р +1)(р + 2) ;

1 - 2 - 3

- р

в пятой - ----<- - треугольно-

1 - 2 - 3 - 4 пирамидальные и т. д.

Таблица 1

а а а а а а а

b a+b 2a+b 3a+b 4a+b 5a+b

b a+2b 3a+3b 6a+4b 10a+5b

b a+3b 4a+6b 10a+10b

b a+4b 5a+10b

b a+5b

b

3. По аналогии с треугольником Паскаля Монмор составил буквенную таблицу, найдя такой способ обозначения ее элементов, чтобы получить фигурные числа (табл. 1). Она позволила ученому рассмотреть общий случай: в каждой горизонтали представлены числа вида Л • a + B • Ь , например, (p — 1)а + Ь ;

а + рЬ; (р —1) р р +1) а + р( р +1) Ь 12 1 • 2 • 3 12

и т.д., где р - номер элемента трансверсали, а

- первый ее элемент, (р — 1)а + Ь - второй и т. д. При а = 3 и Ь = 1 табл. 1 примет вид (табл. 2), в котором, например, четвертая трансверсаль состоит из элементов 3, 10, 22, 40, 65, ... Давая а и Ь из табл. 1 конкретные значения, он получал фигурные числа. В частности, при а = Ь = 1 она совпадает с треугольником Паскаля. Если же положить

Ь = 1, а = 2; п, то в третьей строке табл. 1 получатся многоугольные числа. Количество углов и сторон каждого из них имеет вид а + 2 . Само п-угольное число определяется его номером. Например Р65 = 51: при Ь = 1 оно находится по формуле

(р —1) ра+рЬ = (6 —1)6 • 3 + 6 -1 = 45 + 6 = 51.

1-2

1-2

Таблица 2

3 3 3 3 3 3 3

1 4 7 10 13 16

1 5 12 22 35

1 6 18 40

1 7 25

1 8

1

Кроме того, Монмор указал правило нахождения суммы многоугольных чисел. Так, для первых шести пятиугольных чисел она равна:

(р —1) р( р +1) а + р( р +1) Ь =

1 - 2 - 3

1 - 2

5 - 6 - 7 6 - 7 , ^

3 +------1 = 126.

1-2-3

1-2

В том же следствии ученый дал формулу нахождения из данного многоугольного квадрата натурального числа, указав: "Вероятно, этого правила еще никто не нашел, оно же ясно, пригодно и любопытно" [2. С. 17]. В соответствии с ней составлена табл. 3.

В последнем замечании Монмор указал, что квадрат каждого треугольного числа равен сумме кубов натуральных чисел, предшествующих ему. Так, квадрат второго треугольного числа равен 32 = 13 + 23. Аналогично, 62 = 13 + 23 + 33 и т. д. Формулу для нахождения суммы кубов последовательных натуральных чисел ученый представил в виде

(р + 1)3 • рр / 4 . Изучением квадратных чисел, по словам Монмора, он стал заниматься еще в 1701 г., выразив их через пятиугольные и семиугольные. Результаты исследования он опубликовал в мемуарах Академии наук. В одном из замечаний к следствию ученый представил формулу нахождения суммы р первых квадратных чисел в виде 2р3 + 3р2 + р /!І!Ч ~

— -----— (*). Он отметил, что для этого

1-2 • 3

следует сложить р — 1 первых треугольных чисел, удвоить полученную сумму и результат сложить с р-м треугольным числом. В аналитической записи это правило имеет вид

л-уг у • 2 + , который легко

1 - 2 - 3 приводятся к *.

Таблица 3

1-2

и-угольные числа Формулы Квадраты

Треугольные 1,3,6, 10, 15,21 РР + р 2 РР + Р-Ъ + 1 2

4-угольные 1,4, 9, 16, 25, 36 2 рр - 0 • р 2 рр - 0 • р

2 2

5-угольные 1,5, 12, 22, 35, 51 Зрр-1-р 2 3 рр -1 • р ИИ -24 + 1 2

6-угольные 1,6, 15,28, 45, 66 4рр-2р 2 4 рр - 2 р FF -8 + 1 2

7-угольные 1, 7, 18, 34, 55, 81 5 рр-Ър 2 5 рр-Ър -40 + 9 2

8-угольные 1,8,21,40, 65, 96 6 рр- 4 р 2 6 рр - 4 р ИИ И • 12 + 4 2

9-угольные 1,9, 24, 46, 75, 111 1 рр-Ър 2 7 рр-5 р ИИ -56 + 25 2

10-угольные 1, 10, 27, 52, 85, 126 8 рр - 6 р 2 8 рр - 6 р ИИ 16 + 9 2

11 -угольные 1, 11,30,58, 95, 141 9рр-1 р 2 9 рр - 7 р -72 + 49 2

12-угольные 1, 12, 33, 64, 105, 156 10 яр-8/? 10 рр-8 р °0 і 16

2 2

Продолжая исследования Я. I Бернулли, Монмор стал искать правило суммирования степеней натуральных чисел, отметив, что он искал его, и первые наработки были помещены в "Journal des Scavans" (1711). В работе [2] проблеме посвящено "Предложение 3". Доказательство выполнено Монмором для 2, 3 и 4 степеней p первых чисел натурального ряда. При q = 2 он рассуждал следующим образом: пусть B - сумма квадратов p таких чисел, A -сумма их первых степеней:

B = 1 + 2 +... + p , A = 1 + 2 +... + p . Найдя A + B и преобразовав сумму, он пришел к (1 +12) + (2 + 22) + ...(p + p2) =

= 1-2 + 2 • 3 +... + p( p +1).

Разделив обе части на 2 и выразив правую часть равенства через сочетания, он по-

A B о о о

лучил — + — = с2 + C3 + ... + Cp+1.

p+1

Из свойства I Ck = C 3+2 следует, что

k =2

выражение в правой части станет равным ,3 _______ ^3 _p

C p +2. Так как C ^ =

' p+ 2

1 • 2 • 3

и

A = p(p +1, то B = 2p3 + 3p2 + p

1-2

6

Аналогичные рассуждения Монмор использовал и для нахождения суммы третьих степеней p первых чисел натурального ряда. Он обозначил ее через C, рассмотрел выражение C /6 + 3B /6 + 2 A /6 и получил формулу С = (p +1)2p2/4. Наконец, ученый получил формулу для нахождения суммы четвертых степеней p первых чисел.

Заметим, что Монмор с искренним интересом, без зависти, следил за успехами ученых в рассматриваемом направлении. Так, он отметил, что справедливость правил суммирования, представленных в трактате M. Johnes’a "New Introduction to the Mathematics", "... может считаться великолепным памятником английскому ученому" [2. С.20].

"Предложения 4-8" содержат многочисленные математические задачи, сформулированные Монмором на языке карточных игр. Их решение осуществлено с помощью комбинаторных формул, полученных ученым. Поэтому известный историк науки М.А.Тод-хантер представил эту часть работы "... скорее как главу о шансах, чем о комбинациях". Сле-

дует отметить, что при решении комбинаторной задачи ученый часто переходил к ее формулировке в терминах азартной игры. Об этом он писал: "Для меня некоторую легкость в понимании задачи о подсчете перестановок или сочетаний из данного числа элементов оказывает пример в вытягивании наугад р карт из колоды q карт в азартной игре..." [2.С.22].

В "Предложении 4" Монмор поставил вопрос о нахождении правила подсчета упорядоченных сочетаний из п элементов, взятых по п, т.е. Рп . Используя рекуррентную запись Рп = Рп—1 • п, он в конечном счете последовательно получил общую формулу Рп = п! Заметим, что знак "факториал" был введен значительно позже Л.Ф.А. Арбогастом (1801).

В том же предложении ученый доказал

формулу для С 9р, опираясь на правило соот-

ветствующей карточной игры: из колоды карт случайным образом выбираются четыре. Сколько существует способов вытянуть четыре туза? В решении использованы правило

произведения, формулы Ср и Рп .

В "Предложениях 5-7" Монмор отрабатывал полученные им математические формулы нахождения числа исходов испытаний, благоприятствующих наступлению того или иного события. При этом он в неявном виде использовал общие комбинаторные правила (произведения и суммы), разрабатывал прием, получивший в последствии название метода включения и исключения.

"Предложение 5" связано с подсчетом всевозможных выборок из р элементов одного вида и q элементов другого, при условии, что п первых мест заняты k элементами первого вида, а т - второго. В этом случае п = k + т . Задача сформулирована Монмором в терминах карточной игры: колода содержит р карт бубновой масти и q - червовой; следует найти число способов выбора, при котором первые k карт имеют бубновую масть, а остальные -червовую. Так как число Рр+Ч известно, то

среди них найдутся р бубновых карт, занимающих первое место. Остальные могут располагаться (р + q — 1) • (р + q — 2) •... • 2 '1 способами. Имеется р • (р — 1) возможностей занять первые и вторые места бубновыми картами. Остальные (р + q — 2) места займут

карты другой масти и т. д. Общее число решений задачи:

р • (р - 1)(р + q - 2) • (р + q - 3) •• 2 • 1.

Этот способ применим и для случая, когда к первых мест заняты бубновыми картами, а остальные - любыми.

В условие рассмотренного предложения ученый ввел дополнительные ограничения на положения элементов: первая - не буби или первая буби, а вторая черви; или две первые буби, третья черви; или три первые буби, четвертая черви и т. д. Его решения соответственно имеют вид

q • (р + q - 1) • (р + q - 2) •... • 2 • 1; р • q • (р + q - 2) • (р + q - 3) •... • 2 • 1; р • (р -1) • q • (р + q - 3) • (р + q - 4) •... • 2 • 1.

Для первого случая автор привел доказательство, которое можно распространить на остальные. Так, в третьей задаче имеется столько возможностей вытянуть две первые бубновые, а третью - червовую карту, сколько существует перестановок с двумя уже выбранными бубновыми картами без всех перестановок, в которых третье место занято не червовой. Таких возможностей

р • (р -1) • q • (р + q - 3) • (р + q - 4) •... • 2 • 1. "Предложение 6" связано с решением задачи о минимальном полном наборе элементов т различных видов, содержащих р элементов

каждый. Монмор интерпретировал ее как число способов вытянуть на пари т карт различной масти из колоды, содержащей р карт каждой

масти. Доказательство ученый рассмотрел для частного случая (т = 52 и п = 13). Ответ был

т

найден как ^ р1 . С комбинаторной точки зре-

к=1

ния - это решение задачи о числе размещений с повторениями из р. элементов по т.

Следующим усложнением является введение Монмором понятия рода элементов, как одного и того же наименования карты в колоде. Он ввел обозначения: пусть т - число карт в колоде, q - количество повторений наименования карты. Другими словами, т - это число мастей, а р - карт одной масти, откуда т = pq . Наконец, Ь - род карты, т.е. количество повторений одного и того же наименования карты в вытянутом наборе. Максимальное значение Ь равно q. Пусть теперь сделаны выборки различного рода, при условии, что q > Ь > с > d > е > /..., причем В - число вы-

борок рода Ь, С - рода с, D - й,... Для них выполняется В > С > D > Е > ...

Затем сформулирована задача: найти число способов вытянуть некоторое количество карт так, чтобы было определенное число их простых, дублей, тройных, и т. д., при условии, что каждая масть насчитывает одинаковое количество карт и число входящих в нее видов элементов. С комбинаторной точки зрения следует подсчитать всевозможные вы-бороки рода , взятые А1 раз из т элементов

р видов с qi элементами в каждом.

Именно здесь Монмор ввел обозначение сочетаний так, как писал об этом Тодхан-тер: |-П-| [3. С.144].

Г

Ученый сформулировал правило подсчета выборок. В современных обозначениях оно имеет вид

(с? С )С-(С Г У-...'

.. '^^Б С^СС—В ^^р-Б-С Сс?-Б-С-Г р-Б-С-Г-р

Искомый результат Монмор записал как

ч 7 У 7 ч

Шв х I----)С х 1--|Р X ПИЛЕ х і---|Г х &с. X

с Л Є Ґ

р—в р—%—С р—Б—С—В р—В—С—С—Е

X Г I х X Г7 [ X СИП X ¿СС

в С о Е ¥ .

Монмор предложил ряд примеров, расположенных в возрастающей степени сложности. Один их них: Пьер имеет 7 карт из 52. Найти число способов вытянуть три дубля и одну простую. Внутри карт одного наименования дубль совершается СЬ = С4 способами. В связи с требованием появления трех дублей таких возможностей имеется (С 2 )3. Далее, из 13 различных наименований карт появляется С3з названий дублей. Поэтому по

правилу произведения число способов выбора 3 дублей из 52 карт четырех различных мастей

равно (с4 )3 - (С133). Однако по условию задачи следует выбрать еще одну простую карту. Поэтому С 4 способов ее выбора из каждого рода следует умножить на С10 способов выбора после трех дублей из 10 оставшихся карт - одну. Поэтому окончательное решение имело вид

Ы-Ы- с4 с1о=б3-28б-4 10=2471о4о.

Последним усложнением задачи явился вопрос о подсчете всевозможных выборок рода Ъ1, взятых А. раз из т данных элементов; р видов с qi элементами в каждом; причем число элементов qi в каждом из р видов не обязательно одинаково. Общее решение ее автор не привел, а ограничился конкретным примером.

На предложенных задачах Монмор последовательно отрабатывал метод включения

- исключения, а также правила суммы и про-

изведения. Он доказал формулы подсчета размещений, перестановок и сочетаний, а также выборок с многочисленными ограничениями на позиции их элементов. По этому поводу он заметил: "Можно продолжать

обобщения и дальше, получая более затруднительные предложения. Но необязательно всякий раз знать общее решение, достаточно иногда получить частное для конкретного примера, чтобы потом применять метод рассуждения для другой задачи" [2. С. 31].

"Предложения 9-15" являются относительно самостоятельной частью трактата и представляют цепочку задач, сформулированных в терминах теории соединений и карточных игр. Для нас представляют интерес вытекающие из них следствия о свойствах биномиальных коэффициентов. Относительно формулы разложения натуральной степени бинома ученый заметил: "... она является весьма важной и будет служить решению многих дальнейших задач трактата. Возможно, в составлении коэффициентов многочлена также будут участвовать числа сочетаний" [2. С.34].

В "Предложении 10" Монмор установил соответствие между результатом всевозможных выпадений р кубиков с q гранями и произведениями членов полинома из q слагаемых, взятых р раз. Число таких произведений

- q. Здесь же Монмор решил задачу о составлении различных р-слов из q букв с неограниченными повторениями элементов. Он показал, что если из q букв составить 1-, 2-, ..., р-буквенные слова, то их число равно

(др+' - q )/(д -1). Еще одним следствием этого предложения является вывод формулы

~ р = ч(ч +1).( ч + р -1).

С ч 1-2-3-...-р

При возведении q-члена в натуральную степень р Монмор решил в общем виде задачу нахождения суммы коэффициентов, при которых неизвестные входят в данной степе-

р-т ' р(р - Г)...(р - т +1) В

1 - 2 - 3 -...- т

качестве примера он нашел сумму коэффициентов, содержащих а3 при возведении 6-члена в степень 9.

В других предложениях Монмор показал связь между задачами возведения многочлена в степень и различными ситуациями в карточных играх. Представляет интерес, что для одной математической задачи он показал существование различных моделей.

В "Предложениях 16-18" Монмор последовательно изучил новые виды соединений: сочетания и перестановки с определенными суммами, а также ограниченными повторениями элементов. Для решения задач, приводящих к ним, он составлял специальные таблицы, а при получении результатов широко применял метод включения-исключения.

Ход рассуждений Монмора единообразный: рассматривался определенный вид азартной игры, затем следующие задачи усложнялись дополнительными условиями, после чего решались и обобщались. Наконец, теоретико-вероятностные задачи переводились на математический язык. Так, Монмор сформулировал задачу: имеется п костей с f гранями, отмеченными числами 1, 2, ..., f Сколько имеется способов выпадения, когда сумма чисел, представленная на гранях, равна заданному числу р? Он показал, что с математической точки зрения решение сводится к

нахождению коэффициента при хр в разложении натуральной степени полинома

(1 + х + х2 +... + хf ) п . Еще одна комбинаторная задача состояла в нахождении числа решений уравнения х + у + г = р , где х, у, г - целые числа, принимающие значения от 1 до 10 включительно, а целое число р имеет определенное значение (3 < р < 30) . Хотя ученый и не дал общего метода решения подобного вида задач, а пояснил их на частных примерах, тем не менее, привлек к ним внимание ученых.

Монмор изучал также проблему суммирования последовательностей, ставшей в XIX в. одной из центральных в теории конечных разностей: найти сумму любого заданного числа членов последовательностей, в которых конечные разности определенного порядка равны 0. Если ип - п-й член, а (т +1) -я конечная разность равна нулю, то справедлива формула

ни т:

Un = U 0 + nAU 0 +

п(п -1) 2ТТ

—--------AU 0 +

2! 0

+ + n(n ~ 1)...(n ~ m + 1) дти

... m! °.

Используя ее, он показал, что суммирование данного числа членов последовательностей сводится к суммированию последовательностей с общим членом СП . Ученый отметил,

что в этом случае вычисления будут более эффективными, если использовать арифметический треугольник и его свойства. Он писал: "Проблема будет развиваться и заключает в себе универсальные возможности, еще не изложенные в научных сочинениях" [2. С. 66]. Исследования Монмора стали стимулом для занятий в этой области других математиков:

Н. I Бернулли, А. де Муавра и др.

Появление знаменитой задачи, интерес к которой не ослабевал на протяжении почти двух столетий, связывают с математическим анализом карточной игры "Treize", или "Rencontre". Суть ее заключается в следующем: игрок A играет против произвольного числа игроков. Из полной колоды карт, занумерованных числами от 1 до 13, он произвольным образом вытаскивает их 1, 2, ..., 13 раз и выигрывает, если при каждом n (1 < n < 13) вытянутая карта не совпадает со своим номером. Видимо, поэтому игру назвали "Treize" - тринадцать. В противном случае игрок проигрывает. Этот факт послужил поводом назвать игру "Rencontre" ("Meeting") - встреча.

Игровым ситуациям соответствуют различные математические постановки этой задачи, в частности, какова вероятность того, что A выиграет не позже, чем вытянет n-ю карту? Если допустить, что A выигрывает, вытянув (n - 1)-ю карту, то все предшествующие не должны совпадать со своими номерами. Это влечет математическую постановку задачи "о встрече": каково число расположений n занумерованных предметов, если ни один из них не занимает своего первоначального положения? Ее история и многочисленные разновидности освещены в статьях [1°’ 11; 12]. Монмору же принадлежит постановка задачи [2. С. 130-143]. В первом издании "Опыта" решения были даны без доказательства, а во втором к ним добавлено письмо И. I Бернулли, замечания Н. I Бернулли и переписка по этому вопросу с последним за 171°

- 1711 гг. В предисловии он отметил, что фор-

мулы для задачи в ее первой постановке были получены Н. I Бернулли. Сам он оказался не в состоянии дать лучшее [2. С.301-302].

После рассмотрения частных случаев

(п = 2;5) Монмор получил общую и рекуррентную формулы

р„ = 1 - - + - - - +... + (-1) п+'-; п 2! 3! 4! п!

Рп =

Pn-i(n -1) + Р,

п-2

п

где рп - вероятность того, что произойдет по

крайней мере одна "встреча" не позже, чем будет вытянута п-я карта. При этом ученый упомянул, что общий вид формулы представляет последовательность частичных сумм,

если разлагать е 1 в бесконечный ряд.

В письме к Монмору от 17 марта 1710 г. И. I Бернулли утверждал, что вывел такую же формулу. Кроме того, он нашел еще одну [2. С.290]. Уже в первом издании "Опыта" Мон-мор поместил таблицу, по которой можно определять число благоприятных исходов в 7-м ходе игры при условии, что колода насчитывает п = 1, 2, 3, ... карт. Из ее анализа Монмор получил, не давая строгого доказательства, рекуррентное соотношение. В письме от 26 февраля 1711 г. Н. I Бернулли сообщил ему о получении формулы для более общей задачи: из п карт каждая повторяется р раз; какова вероятность того, что А выиграет не позже, чем вытянет п - р карт? Формула имела вид

[2. С.315]:

п - р +

+..

2!

4!

Задача "о встрече" привлекла интерес многих современников и последователей Монмора, в частности А. де Муавра, великого Л. Эйлера, многих ученых на протяжении всего XIX столетия.

Монмор считал, что наиболее интересным является установление внутренней связи теории вероятностей, теории рядов и комбинаторных видов соединений, выполненное в предложениях и следствиях из них [2. С.32-45]. К ним отнесены: число всевозможных способов выбрасывания р кубиков с f гранями, при которых получается а единиц, Ъ двоек, с троек и т.д.; сумма коэффициентов разложения нату-

ральной степени полинома; составление перестановок (анаграмм) из p букв q различных видов, на элементы которых введены многочисленные дополнительные ограничения. Монмор так и отметил, что решение указанных задач позволило обнаружить "очень любопытную связь между перестановками, коэффициентами возводимого в степень многочлена и задачами об игральных костях" [2.С.43]. Он предпринял также попытку установить связь теории соединений с проблемой делимости чисел.

Таким образом, в "Трактате о сочетаниях" выведены формулы основных видов комбинаторных операций; выявлены новые виды комбинаторных соединений, изучены свойства коэффициентов разложения натуральной степени полинома, получены формулы суммирования фигурных чисел; квадратные числа представлены другими видами многоугольных. Ученый внес заметный вклад в развитие комбинаторной теории перечисления, выявил ее связь с проблемами в смежных математических дисциплинах.

Список литературы

1. Bernoulli J. Ars conjectandi. Basilleae, 1713.

2.Montmort P. R. Essau d’analyse sur les jeux hasard. Paris, 1713. Bd.2. P.1-72. XXV-XLI.

3. Dictionary of scientific biography / ed. Ch. C. Gillispie. N.Y.: Scribner’s sans publ, 1973. Vol.9. P. 499-500.

4. Todhunter M. A. F. K. S. A history of the Ma-themetical theory of Probability. Cambridge, L., 1865. Ch. 5; 8.

5. Bernoulli N. De usu Artic conjectandi in jure. Basilleae, 1709.

6.Moivre A. De mensura sortis. L., 1713.

7.Майстров Л. Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. М.: Наука, 1967.

8.Майстров Л. Е. Развитие понятия вероятности. М.: Наука, 1980.

9. Pascal B. Traite du triangle arithmetique / Oeuvres. Paris, 1908. Liv.3.

10. Knobloch E. Euler and the History of a Problem of Probability Theory // Bull. Indian Sec. History Math. 1984. Vol. 6. № 1-4. P. 1-12.

11. Малых А. Е. Решение и развитие Эйлером

комбинаторных задач, относящихся к перечислению и расположению элементов // Историко-математические исследования / под ред. А.П.Юшкевича. М.: Наука, 1986.

Вып.30. C. 199-223.

12. Малых А. Е. О решении некоторых задач теории соединений // Там же. М.: Наука, 1990. Вып. XXXII-XXXIII. C. 211-234.

P. R. Montmort’s scientific contribution in combinatorial theory of enumeration

A. E. Malykh, A. M. Nagoyeva

Perm State Pedagogical University, Russia, 614000, Perm, Sibirskaja st., 24 malych@pspu.ru; (342) 280-37-55

Pierre Remond de Montmort's scientific investigation in elementary combinatorics was shown. He introduced new kinds of combinations; obtained new results in figured numbers and learned their properties; elaborated methods for solving of problems in combinatorial analysis and the theory of probability.

Key words: combinatorics, binomial and polynomial theorems; "meeting" problem; finite differences; summing up of series; games of chance; theory of enumeration; combinations.