Модель формирования портфеля ценных бумаг с учетом особенностей российского фондового рынка

Модель формирования портфеля ценных бумаг с учетом особенностей российского фондового рынка The model of securities portfolio formation with consideration of characteristics of the Russian stock market

Шагиев Зуфар Ильдарович ведущий специалист отдела развития конкуренции Министерство экономики Республики Татарстан

e-mail: zorroz@yandex.ru

Аннотация. В статье рассматривается модель формирования портфеля ценных бумаг, учитывающая ряд специфических особенностей российского фондового рынка (низкая ликвидность, высокая чувствительность к изменениям цен на нефть), а также особенности поведения российских инвесторов при формировании инвестиционного портфеля. Проведен анализ эффективности предлагаемой модели на фактических данных рынка акций Московской фондовой биржи.

Abstract. This article considers the model of the securities portfolio formation taking into account a number of characteristics of the Russian stock market (low liquidity, high sensitivity to changes in oil prices) and characteristics of Russian investors’ behavior during formation of investment portfolio. The analysis of the effectiveness of the proposed model is implemented on the basis of factual data of shares market of Moscow Stock Exchange.

Ключевые слова: ценные бумаги, инвестиционный портфель,

ликвидность, модель Блэка-Литтермана, коэффициент Шарпа, коэффициент Сортино.

Keywords: securities, investment portfolio, liquidity, Black-Litterman model, Sharpe ratio, Sortino Ratio.

Введение

Наиболее известной и широко применяемой моделью формирования портфеля ценных бумаг является модель, описанная в классических работах Г.Марковица и А.Д.Роя [7; 11]. Данная модель в общем виде предполагает максимизацию функции полезности инвестора, определяемой ожидаемой доходностью и риском портфеля ценных бумаг. Как правило, для оценки ожидаемой доходности и риска используются исторические данные.

Вместе с тем, для российского фондового рынка исторические данные могут быть крайне ненадежным источником информации, особенно в периоды изменения тренда рынка. В результате возникает необходимость в инкорпорировании в модель прогнозной и аналитической информации, чего не предусматривают классические подходы.

Также необходимо отметить, что одной из особенностей российского рынка ценных бумаг является его относительно низкая ликвидность, выражающаяся, в частности, в высоком уровне спреда между наименьшей ценой продажи и наибольшей ценой покупки (bid-ask spread).

Кроме того, анализ предпочтений российских инвесторов [3] свидетельствует о том, что наиболее адекватно их поведение описывается не функциями полезности, а показателями эффективности - коэффициентом Шарпа, основанном на стандартном отклонении как мере риска, и коэффициентом Сортино, основанном на «альтернативной» мере «левостороннего» риска («риска недобора»).

Таким образом, модель формирования портфеля, учитывающая особенности российского фондового рынка, должна обладать следующими свойствами:

а) целевой функцией должна быть максимизация коэффициента Шарпа или коэффициента Сортино;

б) модель должна учитывать прогнозы динамики цен активов;

в) модель должна учитывать влияние ликвидности активов на их ожидаемую доходность и риск.

Описание модели

В соответствии с требуемыми свойствами определим формализованную целевую функцию предлагаемой модели.

Для максимизации коэффициента Шарпа:

N

Rp - Rf - Rf

SharpeR = —p------= I-1 ^ max;

ap

NN

ZX xixic

i=1 j=1

N

Zxi=1;

i=1

^ х1 > 0 1 = 1Д

где: SharpeR - коэффициент Шарпа;

Rp - фактическая доходность инвестиционного портфеля;

Rf - безрисковая доходность; ор - риск (стандартное отклонение) для портфеля; х1 и Xj - искомые доли активов 1 и ] в портфеле; ц1 - ожидаемая доходность 1-го актива;

Оу - ковариация доходностей активов 1 и ];

N - число активов в портфеле.

Для максимизации коэффициента Сортино:

N

Rp - Rt Zxi^ - Rt

SortR = —p------------------------------------------------------------= —-> max;

DSRp DSRp

N

X xi = 1;

i=1 i

^ х1 > 0 1 = 1,N,

где: SortR - коэффициент Сортино;

Rt - целевой уровень доходности;

DSRp - риск недобора (левосторонний риск) для портфеля.

Для учета в рассматриваемой модели формирования портфеля ценных бумаг прогнозов динамики цен активов целесообразно использовать подход, разработанный Ф. Блэком и Р. Литтерманом для Goldman Sachs в 1992 году. Базовая модель была представлена в статье «Global Portfolio Optimization» [5]. Более подробный анализ модели содержится в работах А. Бевана и К. Винкелманна [4], Т.М. Идзорека [6], а также А. Меуччи [8; 9; 10].

Формирование инвестиционного портфеля в соответствии с моделью Блэка-Литтермана осуществляется в несколько этапов [12]:

а) определение активов, входящих в состав рыночного портфеля;

б) расчет ковариационной матрицы по историческим данным;

в) расчет оценок доходности по историческим данным;

г) определение субъективных оценок инвестора;

д) объединение равновесных и субъективных оценок с помощью модели;

е) использование полученных оценок в качестве входных данных для оптимизации;

ж) выбор эффективного портфеля, соответствующего степени несклонности к риску конкретного инвестора.

Результирующие оценки в модели Блэка-Литтермана представляют собой нелинейную комбинацию объективных и субъективных оценок. При низкой надежности оценок результирующее распределение доходностей активов будет слабо отличаться от исходного. Высокая степень надежности оценок, напротив, приводит к смещению математического ожидания распределения в сторону субъективных оценок.

Третьим свойством рассматриваемой модели определен учет риска ликвидности. С учетом наличия данных в свободном доступе это возможно сделать, инкорпорировав в модель так называемый спрэд, то есть разницу между минимальной ценой продажи (ask) и максимальной ценой покупки (bid).

Данный вывод может быть формально выражен путем разложения логарифмической доходности на компоненты:

RT = ln

f pB Л PA

V 0 У

M

= ln

PB PM PM

1 1 0

PM PM

10

P

= ln

PB

1

0 У

P1

M

+ ln

1

PM

P1

PM

^ 0 У

+ ln

PM

P0

PA

Vr 0 У

= b1 + RM + a0,

т

где: R -ожидаемая доходность с учетом ликвидности актива; Р^ - ожидаемая цена продажи актива в будущем;

Р0А - текущая цена покупки актива;

0

-уЫ

РМ и Р1м - соответственно, текущая и будущая «рыночные» цены;

Ь1 - ожидаемое (в будущем) отношение цены продажи к «рыночной»

цене;

RM - ожидаемая доходность, оцененная по «рыночным ценам»; а0 - текущее отношение «рыночной» цены к цене покупки.

A

В формуле (5) параметры Ь1 и RM являются случайными величинами, для которых могут быть определены математическое ожидание (соответственно, ожидаемые потери при продаже актива в будущем и ожидаемая доходность) и

дисперсия (соответственно, риск ликвидности и рыночный риск). Рассчитанные

т

таким образом параметры для показателя R могут быть использованы в качестве входных данных для модели Блэка-Литтермана.

Итоговая модель в графической форме представлена на рисунке 1.

Рис. 1. Модель формирования портфеля ценных бумаг с учетом особенностей российского фондового рынка

Построение модели

Построение модели проводилось по следующему алгоритму.

На первом этапе осуществлялся анализ исторических данных:

а) анализируемый период разбивался на недельные отрезки;

б) из списка акций, котирующихся на Московской фондовой бирже (в части бывшей ММВБ), отбирались ценные бумаги, имеющие в рассматриваемом периоде более 40 значений цен закрытия, максимальной цены покупки и минимальной цены продажи на соответствующие даты конца недельных отрезков;

в) для отобранных ценных бумаг определялись: ожидаемая

средненедельная логарифмическая доходность (математическое ожидание), показатели риска (стандартное отклонение и риск недобра), величина прямых потерь (математическое ожидание логарифма отношения максимальной цены продажи к цене закрытия, а также фактическое логарифма отношения минимальной цены покупки к цене закрытия), строились соответствующие матрицы ковариаций и «полуковариаций»;

г) в качестве целевого уровня доходности для расчета показателей риска недобора использовалось средневзвешенное (по величине чистых активов) значение доходности открытых паевых инвестиционных фондов акций за соответствующий год.

На втором осуществлялось построение прогнозов динамики цен активов. В данном случае были применены два подхода:

а) подход на основе факторной модели доходности активов в зависимости от изменения стоимости нефти марки Brent;

б) подход на основе определения средних прогнозов аналитиков, публикуемых на сайте РБК [2].

Для построения факторной модели недельные доходности активов сопоставлялись с недельными изменениями спотовых цен на нефть марки Brent. Далее методом регрессионного анализа определялись параметры для следующего уравнения:

Ri = a + bRBrent + s

где: Ri - логарифмическая доходность с i-го актива;

RBrent - логарифмическое относительное изменение цены на нефть марки

Brent;

a, b - параметры регрессии;

е - случайная ошибка.

После оценки параметров уравнения для всех активов, участвующих в анализе, определялась ожидаемая доходность на следующий период путем подстановки в уравнение (6) логарифма отношения стоимости годового фьючерса на нефть марки Brent к текущей спотовой цене на соответствующую дату.

При построении оценок на основе прогнозов аналитиков на сайте РБК определялся средний за последние три месяца (октябрь-декабрь) соответствующего года целевой уровень цены. Поскольку данные прогнозы ориентированы на биржу РТС и определяют стоимости активов в долларах США, производился их перевод в «рублевые» значения путем умножения на стоимость фьючерсного контракта на доллар США на рынке РТС FORTS на соответствующею дату.

На третьем этапе полученные априорные значения (результат 1 этапа) и прогнозные оценки (результат 2 этапа) объединялись на основе модели Блэка-Литтермана. Выходными данными модели являлись апостериорные значения ожидаемой доходности и ковариационная матрица.

Полученные данные использовались в качестве входных параметров для оптимизации функционала (1) для коэффициента Шарпа и функционала (3) для коэффициента Сортино. При этом в дополнение к ограничениям (2) и (4) также применялось ограничение максимальной доли актива не более 15% портфеля, что соответствует требованиям Положения о составе и структуре активов акционерных инвестиционных фондов и активов паевых инвестиционных фондов, утвержденного ФСФР РФ, для открытых паевых инвестиционных фондов акций [1, п. 4.2].

Для определения коэффициента Шарпа использовался расчетный показатель безрисковой доходности, определяемый путем умножения средней доходности казначейских векселей США в соответствующем периоде (общепризнанный эталон безрисковой доходности) на отношение годового форвардного курса рубля к его текущему спотовому курсу.

Для определения коэффициента Сортино в качестве целевого уровня использовался, как уже упоминалось, показатель средневзвешенной доходности открытых паевых инвестиционных фондов акций за соответствующий период.

По результатам процедуры определения оптимальных долей активов в портфеле проводился анализ эффективности рассматриваемой модели.

Для этого определялись показатели доходности, риска, а также коэффициенты Шарпа и Сортино для полученного портфеля в году, следующем за рассматриваемым (то есть, например, если анализ проводился на основе данных 2009 года, то эффективность модели определялась по данным 2010 года).

Результаты анализа эффективности модели по данным 2009-2010 годов

Результаты анализа эффективности предлагаемой модели по данным 2009-2010 годов представлены в таблице 1. Данный период соответствует «растущему» рынку. Динамика стоимости лучшего по коэффициенту Шарпа и коэффициенту Сортино модельного портфеля в 2010 году приведена на рисунке

2.

Рис. 2. Динамика стоимости модельных портфелей в 2010 году

В данном периоде практически все рассматриваемые модели превзошли по показателям эффективности средний открытый ПИФ акций или индекс ММВБ.

При этом лучшие значения коэффициента Шарпа и коэффициента Сортино показала модель на основе коэффициента Шарпа с прогнозами на основе цены на нефть с учетом ликвидности.

Показатели эффективности модели по данным 2009-2010 годов

Используемая модель Способ расчета Доходность Риск (стандартное отклонение) Риск недобора Коэффициент Шарпа Коэффициент Сортино Число активов в портфеле

Коэффициент Шарпа с прогнозами на основе цены на нефть и прогнозами аналитиков По ценам закрытия 34,4% 0,187 0,102 1,477 0,887 18

Коэффициент Шарпа с прогнозами на основе цены на нефть и прогнозами аналитиков с учетом ликвидности По ценам закрытия 36,4% 0,187 0,100 1,577 1,095 18

Коэффициент Шарпа с прогнозами аналитиков По ценам закрытия 33,9% 0,183 0,100 1,480 0,847 19

Коэффициент Шарпа с прогнозами на основе цены на нефть и прогнозами аналитиков с учетом ликвидности По ценам продажи 35,8% 0,184 0,100 1,573 1,035 19

Коэффициент Шарпа По ценам закрытия 32,8% 0,190 0,107 1,371 0,698 18

Коэффициент Шарпа с прогнозами аналитиков с учетом ликвидности По ценам закрытия 34,8% 0,190 0,106 1,468 0,886 18

Коэффициент Шарпа с прогнозами на основе цены на нефть и прогнозами аналитиков По ценам продажи 35,2% 0,189 0,104 1,499 0,939 19

Коэффициент Шарпа с прогнозами на основе цены на нефть По ценам закрытия 37,0% 0,190 0,104 1,591 1,122 19

Коэффициент Сортино с прогнозами аналитиков с учетом ликвидности По ценам закрытия 34,3% 0,189 0,103 1,454 0,872 18

Коэффициент Шарпа с учетом ликвидности По ценам закрытия 36,3% 0,190 0,101 1,554 1,079 18

Коэффициент Сортино с прогнозами аналитиков По ценам закрытия 33,8% 0,185 0,101 1,461 0,835 19

Коэффициент Сортино с учетом ликвидности По ценам закрытия 35,7% 0,186 0,101 1,555 1,024 19

Коэффициент Шарпа с прогнозами на основе цены на нефть с учетом ликвидности По ценам закрытия 33,0% 0,193 0,109 1,359 0,699 18

Коэффициент Сортино По ценам закрытия 34,9% 0,193 0,107 1,458 0,888 18

Коэффициент Сортино с прогнозами на основе цены на нефть и прогнозами аналитиков По ценам закрытия 33,8% 0,189 0,106 1,425 0,789 19

Коэффициент Сортино с прогнозами на основе цены на нефть и прогнозами аналитиков с учетом ликвидности По ценам закрытия 35,7% 0,190 0,106 1,517 0,966 19

Коэффициент Шарпа с прогнозами аналитиков с учетом ликвидности По ценам продажи 24,8% 0,180 0,101 0,998 -0,061 15

Коэффициент Шарпа с прогнозами аналитиков По ценам продажи 27,2% 0,187 0,107 1,093 0,170 15

Коэффициент Шарпа По ценам продажи 25,2% 0,174 0,096 1,058 -0,017 18

Коэффициент Шарпа с учетом ликвидности По ценам продажи 27,6% 0,180 0,101 1,154 0,218 18

Коэффициент Сортино с прогнозами на основе цены на нефть с учетом ликвидности По ценам закрытия 26,2% 0,185 0,106 1,051 0,078 16

Коэффициент Шарпа с прогнозами на основе цены на нефть По ценам продажи 28,9% 0,193 0,112 1,144 0,311 16

Коэффициент Шарпа с прогнозами на основе цены на нефть с учетом ликвидности По ценам продажи 30,2% 0,176 0,100 1,329 0,485 15

Коэффициент Сортино с прогнозами на основе цены на нефть По ценам закрытия 32,8% 0,184 0,105 1,415 0,709 15

Коэффициент Сортино с прогнозами аналитиков с учетом ликвидности По ценам продажи 24,7% 0,179 0,100 0,995 -0,072 16

Коэффициент Сортино с прогнозами аналитиков По ценам продажи 27,1% 0,186 0,106 1,090 0,164 16

Коэффициент Сортино с учетом ликвидности По ценам продажи 26,1% 0,174 0,095 1,109 0,072 19

Коэффициент Сортино По ценам продажи 28,5% 0,180 0,100 1,206 0,312 19

Коэффициент Сортино с прогнозами на основе цены на нефть и прогнозами аналитиков с учетом ликвидности По ценам продажи 26,8% 0,185 0,106 1,080 0,136 16

Коэффициент Сортино с прогнозами на основе цены на нефть и прогнозами аналитиков По ценам продажи 29,5% 0,194 0,111 1,172 0,369 16

Коэффициент Сортино с прогнозами на основе цены на нефть с учетом ликвидности По ценам продажи 31,3% 0,177 0,099 1,385 0,595 15

Коэффициент Сортино с прогнозами на основе цены на нефть По ценам продажи 33,9% 0,184 0,104 1,469 0,820 15

Открытые ПИФ акций 25,4% 0,184 0,141 1,012 0,000

Индекс ММВБ 20,4% 0,204 0,166 0,663 -0,302

Заключение

Проведённый анализ позволяет сделать следующие выводы:

а) при сохраняющемся в течение длительного периода положительном тренде фондового рынка наиболее высокие показатели показывает модель на основе коэффициента Шарпа с прогнозами на основе цены на нефть и/или прогнозами аналитиков с учетом ликвидности;

б) учет ликвидности в большинстве случаев приводит к улучшению апостериорной эффективности модели;

в) получаемые на основе рассматриваемых моделей портфели являются слабо диверсифицированными, что говорит об ограниченном наборе привлекательных по соотношению «риск - доходность» инструментов;

г) необходимо отметить, что ни в один из модельных портфелей не вошли акции таких крупнейших эмитентов, как ОАО «Г азпром», ОАО «Лукойл», ОАО «НК «Роснефть» и ряда других, что свидетельствует об их относительно низкой инвестиционной привлекательности с точки зрения соотношения «риск -доходность» (возможно, причиной этого является повышенное внимание к данным активам со стороны аналитиков и инвесторов, в результате чего на них устанавливаются цены, близкие к «справедливым», что исключает возможность получения дополнительной доходности);

д) побочным результатом предыдущего вывода является необходимость для инвестора анализировать весь рынок в поисках «инвестиционных идей», даже несмотря на то, что в конечный портфель, возможно, войдет не более 20 активов.

Таким образом, предлагаемый алгоритм действий в сочетании с рассмотренными моделями формирования портфеля позволяет при отсутствии необходимости постоянного пересмотра структуры портфеля обеспечивать достаточно высокую его эффективность в координатах «риск-доходность», сопоставимую с эффективностью паевых инвестиционных фондов. При этом необходимо отметить, что в данном анализе не рассматривались

дополнительные издержки, которые несет инвестор в ПИФы, связанные с комиссионным вознаграждением менеджеров фондов. Учет этих издержек (в среднем дополнительно 2-4% в виде вознаграждения управляющей компании, вознаграждения спецдепозитария и расходов, подлежащие возмещению за счет имущества фонда) снижает относительную эффективность инвестиций в ПИФы.

Библиографический список

1. Об утверждении Положения о составе и структуре активов акционерных инвестиционных фондов и активов паевых инвестиционных фондов [Электронный ресурс]: Приказ ФСФР РФ от 28.12.2010, № 10-79/пз-н (ред. 31.05.2011) // Справочно-правовая система «Консультант Плюс». Версия Проф. - Последнее обновление 18.08.2012.

2. Прогнозы и рекомендации профучастников по российским акциям [Электронный ресурс]. - ОАО «РосБизнесКонсалтинг». - 2012. - Режим доступа: http://consensus.rbc.ru/shares.

3. Шагиев З.И. Линия рынка капитала при отсутствии возможности неограниченного заимствования / З.И. Шагиев // Экономика и управление в XXI веке: тенденции развития: Сборник материалов VI международной научнопрактической конференции. - Новосибирск, 2012.

4. Bevan A. Using the Black-Litterman Global Asset Allocation Model: Three Years of Practical Experience [Report] / A. Bevan, K. Winkelmann. - Goldman Sachs Fixed Income Research, 1998.

5. Black F. Global Portfolio Optimization / F. Black, R. Litterman // Financial Analysts Journal. - 1992. - Vol. 48. - №5. - pp. 28-43.

6. Idzorek T.M. Step-by-Step Guide to The Black-Litterman Model / T.M. Idzorek, G. Jacoby, K. Smimou, A.A. Gottesman, M.C. Jensen // Journal of Business. - 2004. - Vol. 42. - pp. 167-247.

7. Markowitz H.M. Portfolio Selection / H.M. Markowitz // The Journal of Finance. - 1952. - Vol. 4. - №7. - pp. 77-91.

8. Meucci A. Enhancing the Black-Litterman and related approaches: Views and stress-test on risk factors / A. Meucci // Journal of Asset Management. - 2009. -10. - №2. - 89-96.

9. Meucci A. Fully Flexible Views: Theory and Practice / A. Meucci // Risk Magazine. - 2008. - Vol. 21. - №10. - pp. 97-102.

10. Meucci A. The Black-Litterman Approach: Original Model and Extensions / A. Meucci, R. Cont // Encyclopedia of Quantitative Finance: Wiley, 2010.

11. Roy A.D. Safety First and the Holding of Assets / A.D. Roy // Econometrica. - 1952. - Vol. 20. - №3. - pp. 431-449.

12. Walters J. The Black-Litterman Model: A Detailed Exploration [Report] / J. Walters, 2008.