Моделирование показателей финансовых рисков с использованием коэффициентов сжатия

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ РИСКОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТОВ СЖАТИЯ

А.Е. КУЛАКОВ, доктор технических наук

Данная работа продолжает цикл статей, посвященных описанию математического обеспечения подсистемы синтеза структуры активов и пассивов1.

Зависимости доходности актива или стоимости привлечения пассива, рассматриваемые в достаточно длительном интервале времени, отличаются бесконечным разнообразием. Такой характер зависимостей складывается при одновременном воздействии множества самых разнообразных факторов. На рис.1 приведен один из возможных вариантов такой зависимости, показана зависимость среднего значения и зависимости, отстоящие от средней на величину трех среднеквадратичных отклонений (линии разброса). Из теории вероятностей хорошо известно, что при нормальном законе распределения в этом диапазоне находится 0,9973 всех значений случайной величины. На рисунке видно, что имеются временные отрезки, на которых среднее значение возрастает, снижается или остается относительно постоянным. Имеются временные отрезки, на которых величина разброса также возрастает, снижается или остается относительно постоянной, которые в общем случае не совпадают с первыми временными отрезками. В более коротком интервале времени приведенную зависимость можно разбить на последовательность более простых зависимостей. Изменение среднего значения при этом с некоторой точностью можно считать линейным или квазилинейным. Для каждого из

' Кулаков А.Е., Цагарейшвили Н.С., Яшин В.В. Процентные риски и синтез структуры активов и пассивов банка // Финансы и кредит. 2000. № 6.

Кулаков А.Е., Цагарейшвили Н.С., Яшин В.В. Опыт разработки подсистемы синтеза структуры активов и пассивов банка на основе стохастических моделей и оценка ее возможностей // Финансы и кредит. 2000. N° 7.

Кулаков А.Е., Цагарейшвили Н.С. Синтез структуры активов и пассивов банка по квадратичным стохастическим моделям // Финансы и кредит. 2001. № 15.

2 Там же.

3 См. Финансы и кредит. 2000. № 6.

месяцы

Рис. 1. Пример зависимости среднего значения доходности актива и линий разброса

трех возможных вариантов изменения среднего значения (возрастает, снижается или остается относительно постоянным) принципиально могут существовать три аналогичных варианта изменения среднеквадратичного отклонения. Таким образом, принципиально возможны девять вариантов зависимостей, приведенных на рис. 2.

Ранее нами было показано2, что для относительно небольшого интервала времени / доходность актива или стоимость привлечения пассива действительно описывается линейной или квазилинейной зависимостью. Далее, с целью упрощения изложения материала, моделирование показателей финансовых рисков будет рассмотрено для случая линейной зависимости доходности актива или стоимости привлечения пассива. Отметим, что под показателями финансовых рисков мы понимаем дисперсию и среднеквадратичное отклонение таких финансовых показателей, как доходность актива, стоимость привлечения пассива. Как было показано в статье3, дисперсия для случая линейной зависимости записывается в виде:

ЕКХ.) = О

Здесь О(Х0) — дисперсия начальной доходности актива или начальной стоимости привлечения пассива;

D(a) — дисперсия линейного коэффициента изменения доходности актива или стоимости привлечения пассива во времени.

Так как дисперсия по определению не может быть отрицательной (квадрат отклонения от среднего значения величины), то разброс значений с ростом времени t либо остается неизменным (при D(a) = 0), либо растет (при D(a) > 0) и модель (1) описывает принципиальный характер только двух третей возможных зависимостей из представленных на рис. 2 (случаи а\ в\ г; е; ж\ и). Под принципиальным характером зависимости здесь понимается сохранение, увеличение или уменьшение среднего значения корсчета и сохранение, увеличение или уменьшение его разброса относительно среднего значения во времени. Вместе с тем, как показывает практика, ситуации с постоянным разбросом значений достаточно редки, а значит ситуации, изображенные на рис. 2 б\ д; з возникают с ве-

роятностью близкой к 0,5, то есть в течение половины анализируемого периода.

Насколько известно автору, задача моделирования снижающегося риска не ставилась. Научные публикации по данному вопросу автору неизвестны. Апробация западной системы фирмы SAS, которая признана одной из самых мощных программных средств моделирования, показала, что ни один из более чем сорока включенных в нее методов моделирования не позволяет описывать временное снижение риска даже для сходящегося временного ряда. Ниже изложен подход, позволяющий решить эту задачу.

Доходность какого-либо вида актива или стоимость привлечения какого-либо пассива складывается из совокупности действующих на данный момент договоров (кредитные, депозитные, договора вклада и др.) и состава портфелей ценных бумаг. Рассматривая эти договора, отдельные выпуски государственных об-

Рис. 2 Принципиально возможные виды зависимостей доходности актам или стоимости пассива в интервале времени:

а, б, в - увеличение среднего значения доходности актива или стоимости пассива; г, д, е - снижение среднего значения доходности актива или стоимости пассива; ж, з, и - постоянство среднего значения доходности актива или стоимости пассива; а, г, ж - увеличение разброса значений (риска); б, д, з - уменьшение разброса значений; в,' е, и - постоянство разброса значений

лигаций или акции конкретных эмитентов, входящие в портфель как составляющие этого вида актива или пассива, следует отметить их существенные отличия. Например, проценты по вкладам отличаются в зависимости от суммы и срока размещения, а помимо этого и порядком начисления. Проценты по кредитным договорам кроме этого отличаются для различных категорий заемщиков и порядком выплаты. Доходности государственных облигаций отличаются в зависимости от вида облигации, номера выпуска и срока до погашения. Фактические доходности акций предприятий также отличаются для различных эмитентов. Таким образом, для каждого конкретного вида актива или пассива доходность или стоимость привлечения на каждую дату занимает некоторый диапазон значений. Как уже было отмечено выше, этот диапазон или разброс значений может, и увеличиваться и уменьшаться.

Если рассмотреть доходность (стоимость привлечения) отдельных составляющих, входящих в конкретный актив (пассив) на отрезке времени, то обнаруживается следующая важная закономерность: чем выше начальное значение доходности или стоимости привлечения, тем в большей степени она подвержена изменению во времени. Графики зависимостей составляющих расходятся в виде веера или, наоборот, стягиваются в меньший диапазон. Степень выраженности этой особенности может быть разной, но принципиальный характер сохраняется, причем для любых видов активов и пассивов.

Можно сказать, что существует корреляция между начальными доходностями (стоимостями привлечения) составляющих актива (пассива) и степенью их изменения во времени. Эта кор-

реляция может быть как положительной, так и отрицательной. При положительной корреляции имеем увеличение разброса значений, или расширение, при отрицательной корреляции — уменьшение разброса значений, или сжатие. Если для каждой составляющей актива (пассива), то есть для каждого кредитного договора или договора вклада, построить линии регрессии вида dt = d + at, то можно определить степень тесноты корреляционной связи как коэффициент корреляции г между d и а.

В табл. 1 — 6 приведены значения доходное-тей и стоимостей привлечения некоторых видов активов и пассивов одного из крупных российских банков, рассчитанные по ним параметры линий регрессии d, a и коэффициенты корреляции г. На рис. 3, 4 приведены сглаженные зависимости процентных ставок размещения и привлечения для различных видов активов и пассивов этого банка.

Таким образом, модель доходности актива или стоимости привлечения пассива примет вид:

г

Xt = Х0 + at,

где г — коэффициент парной корреляции между начальным значением доходности актива или стоимости привлечения пассива Х0 и линейным коэффициентом его изменения во времени а. Модель доходности актива или стоимости привлечения пассива на временном отрезке теперь описывается пятью параметрами: Х0; D(X0); a; D(a) и г. Отметим, что коэффициент парной корреляции г определяет степень тесноты взаимосвязи двух случайных величин, однозначно вычисляется по статистическим рядам их значений и лежит в диапазоне от —1 до +1. Пока-

та б л и ц а 1

Максимальные ставки привлечения по операциям с юридическими лицами

в рублях

Сроки, дни 1 2 3 4 5

06.11.98 14.01.99 25.03.99 28.05.99 23.07.99 d a Р

1...6 7...13 14...20 21...30 31...60 61...90 91...120 121...150 151...180 181...270 271...365 25 26 27 26 25 21 20 20 19 19 17 20 23 23 24 21 20 20 19 19 17 20 23 23 24 21 25 27 27 29 9 11 14 16 17 18 19 20 21 22 2,5 3 4,5 9 9,5 10,5 14 15 16 17 16,125 18,500 20,375 21,250 21,875 16,875 13,000 11,000 8,250 6,250 2,975 4,000 5,425 3,850 4,325 5,925 10,100 12,800 14,750 17,450 -1,625 -2 -2,375 -1,75 -1,875 -1,875 -2,5 -3 -3,25 -3,75

г = -0,930875

Таблица 2

Максимальные ставки привлечения по операциям с юридическими лицами в рублях

Сроки, дни 1 2 3 4 5

06.11.98 14.01.99 25.03.99 28.05.99 23.07.99 А а Р

1...6 7...13 14...20 21...30 31...60 61...90 91...120 121...150 151...180 181...270 271...365 34 37 40 38 36 30 29 27 27 25 23 26 29 29 31 30 29 27 27 25 23 26 29 29 31 30 32 33 33 34 15 17 20 22 23 24 25 26 27 28 5 6 7,5 13 13,5 14,5 19 20 21 22 19,500 22,250 24,125 25,750 27,875 25,875 24,250 18,500 18,000 12,250 6,300 6,850 8,275 5,750 5,825 6,625 7,550 12,200 12,600 17,250 -2,5 -2,75 -3,125 -2,25 -2,375 -2,375 -2,25 -3 -3 -3,75

г = -0,885489

Таблица 3

Минимальные ставки размещения в кредиты юридическими лицами в рублях

Сроки, дни 1 2 3 4 5 6

15.12.98 12.02.99 28.05.99 28.06.99 23.07.99 24.09.99 а а Р

1...6 7...13

14...20 40

21...30 52 40 40 34 34 33 44,2000 -3,7143 0,2857

31...60 54 41 41 35 35 34 45,2000 -3,7143 0,2857

61...90 56 43 42 36 36 35 48,0000 -4,7714 0,4286

91...120 58 44 43 38 38 36 47,6000 -3,3857 0,2143

121...150 60 45 43 43 42 37 43,6000 1,3000 -0,5000

151...180 60 50 45 45 43 38 51,0000 -1,7429 -0,1429

181...270 63 55 45 45 44 39 60,0000 -7,1571 0,6429

271...365 63 55 50 50 45 40 56,0000 -1,3571 -0,3571

свыше 1 года до 2 лет 46 42

свыше 2 до 3 лет 48 43

свыше 3 до 5 лет 50 45

г = -0,446458

Таблица 4

Ставки по перераспределению ресурсов между отделениями и головной конторой в рублях

Сроки, дни 1 2 3 4

14.01.99 25.03.99 27.05.99 18.10.99 (1 а Р

7... 14 15 15 9 9 18 -2,4 0

15...30 16 16 14 14 17 -0,8 0

31...45 17 17 18 17 15,75 1,35 -0,25

46...60 18 18 19 18 16,75 1,35 -0,25

61...120 19 19 22 20 16 3,1 -0,5

121...180 20 20 23 21 17 3,1 -0,5

. г = -0,692858

Таблица 5

Ставки по срочным валютным депозитам на 3 мес.

Дата 300—4999$ 5000...9999$ 10000...49999$ 50000...99999$ 100000$ и выше

05.05.97 4 6 8 8,5 10

25.08.97 3 3,5 5 6,5 8

15.07.98 5 6 7 8 9

12.04.99 2,5 3 4 5 7

15.07.99 2,5 3 4 5 7

<1 3,20 6,00 8,80 8,90 10,80

а 0,72 -0,44 -1,33 -0,64 -1,13

Р -0,18 -0,04 0,07 -0,03 0,08

г = -0,910

Рис. 3. Зависимость ставок по срочным валютным депозитам от времени

Таблица 6

Ставки по срочным валютным депозитам на б мес.

05.05.97 5 7 9 9,5 И

25.08.97 4 4,5 6 8 10

15.07.98 6 7 8 9 10

12.04.99 3 4 5 6 7

15.07.99 3 4 5 5,5 7

д 4,20 7,00 9,80 9,60 11,80

а 0,79 -0,44 -1,33 -0,14 -0,67

Ь -0,21 -0,04 0,07 -0,14 -0,07

г = -0,752

Рис. 4. Зависимость ставок по срочным валютным депозитам от времени

жем, что дисперсия при этом выразится зависимостью

D(Xt) = D(X0) + D(a)t2 + 2г ^D(X0)D(a) t (3) Проведем для этого очевидные преобразования: D(Xt) = M(Xi-Xi)J=M[Xio-Xlo+ai t -a.t]1 =

= M[(Xio-Xio)^2(Xio-Xio)(a¡-ai)t4-(a-ai)t^ =

= >J + 2t MK\- x.. Ж -;5, )1+

+t2 M(a - ai)=D(X0)+2t cov[(X^- X,o)(a - a,)+tJD(a). Так как, по определению, ковариация равна соу[(Х^— X.^Xoij— a¡)] = г уЩх^Ща) ,получим

выражение (3).

В отсутствие корреляции (при г = 0) выражение (3) примет вид (1). Из рассмотрения выражения (3) следует, что при положительных значениях г зависимость становится возрастающей. При отрицательных значениях г дисперсия сначала убывает, а потом возрастает. Отметим, что и при положительных значениях г дисперсия убывала в предшествующий период, то есть до начала принятого нами отсчета времени (или в области отрицательных значений времени, если таковые допустить при принятом нами начале отсчета). Таким образом, модель (2) является универсальной, так как описывает все возможные случаи изменения доходности актива или стоимости привлечения пассива в интервале времени, причем обеспечивает более высокую точность за счет использования дополнительного параметра, учитывающего корреляцию.

Для вычисления параметров модели Х0; a ; D(X„); D(a) и г необходимо воспользоваться статистическим подходом. Все параметры однозначно определяются через значения в некотором

предшествующем интервале времени í,.....t i.....tk

(базовый интервал времени) методом наименьших квадратов.

Зависимость (3), выражающая меру неопределенности величины изменения доходности актива или стоимости привлечения пассива, имеет вид параболы, а значит имеет экстремум (минимум при отрицательных г). При положительных г минимум лежит в области отрицательных значений времени t, то есть до момента, принятого нами за начало отсчета времени. Для того чтобы найти минимум, продифференцируем (3) по времени t и приравняем производную к нулю, получим:

2r^/D

Выражая из этого уравнения время t, получим его значение, при котором дисперсия D(Xt) минимальна:

и= -rVD

Подставляя это значение времени в

Чем выше абсолютное значение г, тем меньше величина D^)^ при фиксированной начальной дисперсии D(X0). Так как дисперсия является мерой финансового риска, назовем коэффициент корреляции г коэффициентом сжатия финансового риска. Из (6) следует, что

г = tVl-DÍX.U/DÍXo) .

Знак перед радикалом определяется ростом или снижением дисперсии во времени. Зависимость (7) можно использовать для приближенной оценки величины коэффициента сжатия финансового риска на основе графика изменения доходности актива или стоимости привлечения пассива.

Выражение для дисперсии (2.8) может быть представлено в другом виде. На основании (6) можно записать:

D

Подставляя это выражение в (2.8), получим D(Xt) = DÍX,)^ + г1 D(X0) + D(a) t2 +

+ 2r^/D(X0)D(a) t. Выделяя полный квадрат, найдем

D(Xt) = D(X,)^ + D(a) [t + r VD(X0)/D(a) ]2. Заменяя второе слагаемое в скобках на левую часть выражения (5), окончательно получим

D

Важно отметить, что время, при котором риск неопределенности доходности актива или стоимости привлечения пассива минимален t^ и минимальная степень риска неопределенности доходности актива или стоимости привлечения пассива D(Xt)min не зависят от параметров изменения доходности актива или стоимости привлечения пассива в среднем, то есть от Х0 и a •

Для используемой в подсистеме синтеза структуры активов и пассивов квадратичной модели

г

Xt = X0 + at + pt2

дисперсия выразится зависимостью D

Математическое обеспечение подсистемы включает модель риска снижения отношения прибыли к активам с учетом долевой структуры активов и пассивов и моделей (11) для каждого вида актива и пассива в виде:

п п

а(П%/АЕ) = T[{Ix20 D(ci) + Т\ /4 Z х20 D(a) +

Í—1 i о i=l I

+ VJ9 £ х\Пф.) + Т.1д rv¡ jD(dh)D(ai) + 21 [x0[ x0j + х0ш/2Т+1)/2-х0;са Т/2Т>п T(2T+1)/4PJ

X [r^ ^D

+ Pc /4[ t со? D(d,) + Pc /2,25 Z to? D<a,) + i=l о i=l

ТУ4 I со? D(Pi)+4Tc/3 Í CD> V¡ ] +

+ -Pc/2lMicoj[r.^D(dio)D(dJo) +

+ TJ/2,25 r^VDCa^DCaj)]} + T/2{ ¿ ^ [D(d1()) +

+ (2T+ l)3/4 D(a¡) + [(T+ l)3-T3]2/9 D(p;) + (2T+l)x * V, ] + 21 ayo, [r.^D(dio)D(djo) +

+ (2T + 1) r ^XaJDiaj)]} ]1/J

По сравнению с приведенным в статье4 выражением данная модель включает показатели сжатия финансового риска гй а для каждого вида актива и пассива. При синтезе структуры активов и (или) пассивов с использованием модели (12) по критерию ст(П%/А2)ш1п достигается эффект группового хеджирования, аналогичный хеджированию валютной сделки несколькими фьючерсными контрактами. Можно показать, что при линейных моделях доходностей активов и стоимостей привлечения пассивов отношение процентной прибыли к активам П%/А1 также будет выражаться линейной зависимостью. При этом для П%/Ае будут справедливы формулы (1) — (9). Для квадратичных моделей эти выражения будут подобными, но более сложными.

В заключение отметим, что предложенный подход был использован для управления спекулятивным портфелем высоколиквидных акций (определение оптимальной структуры портфеля на предстоящую торговую сессию), а также для управления структурой мультивалютного депозитного портфеля и показал достаточно хорошие результаты как на падающем, так и на растущем рынке.

4 См. Финансы и кредит. 2000. № 6.

БЭНКИЕРУ

Bankir.Ru - ресурс о банковском деле.

Ежедневно сайт публикует банковские новости, пресс-релизы компаний и банков, аналитические материалы по всем направлениям банковского бизнеса. Любой материал можно обсудить. Работает каталог банковских ссылок, банковский форум и электронный магазин.

На банковском форуме зарегистрировано свыше 12 ООО банкиров из более чем 200 городов России. Ежедневно сайт Bankir.Ru посещают свыше 3 500 человек, в месяц более 35 ООО.

Форум разделен на 4 Департамента: Департамент бухучета, отчетности и контроля, Международных отношений и расчетов, Управления и макроэкономики, Экономики/Права и Технологический Департамент. В более чем 20 разделах форума, банкиры обсуждают вопросы банковского бизнеса по совершенно разным направлениям: это и налогообложение, и новые правила бухучета ценных бумаг в кредитных организациях, и ФЗ «О противодействии легализации (отмыванию) доходов, полученных преступным путем», юридические проблемы, вопросы валютного контроля и многое другое.

По итогам конкурса «Бизнес-сайт 2001 года» Bankir.Ru занял почетное третье место в категории «Общественное признание».

ЕВНКИВРУ_

Журнал "Мир Интернет", #11-{50] ноябрь 2000г. - "...Самый популярный ресурс, посвященный банкам, - сайт Bankir.ru имеет более 2500 постоянных посетителей...".

Журнал "Банковского дело в Москве", #1 2001 г. - "Банковский форум Banklr.Ru - это место, еде можно пообщаться и узнать много интересного и полезного, обсудить банковское ' законодательство. В разделе можно обсудить любой вопрос...".

Журнал "Ви*1пе*> Опипе", #3 2001г. - "Так, по результатам недавнего опроса, проведенного специалистами 8ру1.од, специализированный банковский форум "Банкир.ру" сегодня занимает четвертое место по посещаемости, уступая лишь таким гигантам, как, например, миеЬ-првдставитепьство ЦБ РФ и Сбербанка России".

Узнать об условиях размещения рекламы на сайте Bankir.Ru можно на http://www.bankir.ru/about/adver e-mail: bankir@bankir.ru телефон: +7 (8612) 53-64-69