Оценка сложности моделей функции преобразования датчика давления

УДК 681.2.:389.001.5

ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ МОДЕЛЕЙ ФУНКЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАТЧИКА ДАВЛЕНИЯ

А.Л. Шестаков, А.П. Лапин, Е.А. Лапина

ESTIMATION OF THE COMPLEXITY OF MODELS TRANSFORMATION FUNCTION FOR PRESSURE SENSORS

A.L. Shestakov, A.P. Lapin, E.A. Lapina

Дан краткий анализ работ, связанных с выбором функций преобразования интеллектуальных датчиков давления. Сформулировано понятие показателя сложности и предложены варианты оценки сложности моделей функций преобразование различного вида.

Ключевые слова: измерительные преобразователи давления, функция преобразования, интеллектуальные датчики давления.

This paper presents a brief analysis of works associated with the choice of transformation functions for smart pressure sensors. The notion of complexity factor was given and offer a way to assess the complexity of models for different types of transformation functions has been proposed.

Keywords: pressure transducers, pressure sensors, transformation function, smart pressure sensors.

Введение

Повышение точности измерения интеллектуальными датчиками давления связано с правильным выбором модели функции преобразования (ФП) датчика. В последние годы выполнен ряд исследований, посвященных изучению этой проблемы. Например, автором работы [1] предлагается для описания ФП использовать систему локальных поверхностей, описанных линейными или параболическими зависимостями. Автор работы [2] производит оценку сложности моделей ФП, удовлетворяющих требованиям по приведенной погрешности, и осуществляет выбор наиболее простой из них. В работе [3] выбор наилучшей ФП осуществляется на основе «спора» нескольких математических моделей. Однако вопросы, связанные с оценкой сложности моделей и выбором ФП в этих работах, представляются нам недостаточно исследованными. В частности, в них не рассматривается связь между градуировкой измерительного преобразователя (ИП) датчика и возможностью построения наиболее простых, и, одновременно, наиболее «дешевых» ФП, обладающих одинаковой точностью.

1. Постановка задачи

Исходная информация для построения функции преобразования получается в результате градуировки [4] измерительного преобразователя. На вход преобразователя подается определенная последовательность значений образцового давления при различных фиксированных температурах среды, в которой находится ИП. На выходе измерительного преобразователя измеряются напряжения, зависящие от входного давления и температуры.

Исследуем построенную по результатам градуировки модель обратной двухфакторной ФП вида

Р = Р~1

где Р - рассчитанное на основе обратной ФП измеряемое (подаваемое на вход измерительного преобразователя датчика) давление; IIр - напряжение на выходе ИП, зависящее от давления; Т - температура среды, в которой находится ИП; е - различного рода неучтенные факторы (помехи); /г_1 - модель обратной ФП.

С учетом определенных допущений [5] модель обратной ФП имеет следующий вид:

Шестаков Александр Леонидович - д-р техн. наук, профессор, ректор ЮУрГУ; admin@urc.ac.ni Лапин Андрей Павлович - канд. техн. наук, доцент кафедры информационно-измерительной техники ЮУрГУ; a_lapin@mail.ru

Лапина Екатерина Андреевна - аспирант ЮУрГУ: a_lapin@mail.ru

Shestakov Aleksandr Leonidovich - PhD, professor, rector of SUSU; admin@urc.ac.ru

Lapin Andrey Pavlovich - PhD, assistant professor of the Equipment for information and measuring department of SUSU; a_lapin@mail.ru

Lapina Ekaterina Andreevna - postgraduate student of SUSU: a_lapin@mail.ru

P = 1lnUBn{T)

где Р — рассчитанное на основе обратной ФП измеряемое (подаваемое на вход ИП) давление; В0(Т)...ВК/ (Г) - коэффициенты обратной ФП

ИП как функции температуры Т при Uр ; Uр -напряжение на выходе ИП, зависящее от давления. Коэффициенты В0 (Т)...ВК/< (Т) могут быть записаны как функции от температуры следующим образом:

где KT(N) - значение степени полиномов (коэффициентов), входящих в выражение (2); UT - напряжение на выходе ИП давления, пропорциональное температуре окружающей среды (канал измерения температуры); Рдг,о-”Рлг ~~ коэффициенты, описывающие полиномиальное представление BN(T).

Параметры Кт и КР определяются числом точек градуировки по температуре Nr = Кт +1 и давлению NP = КР +1. Согласно рекомендации [6] примем NT = 6 и Nр = 6 , т. е. модель (2) будет иметь вид

P = t-$-p,

где t = |^i0 t] ... t5 J - вектор-строка размером

(1x6). Элементами этого вектора выступают t -

нормированные значения напряжений на выходе ИП по температуре, рассчитанные по формуле

t =-

UT -ит

1______1 mm

ит -иг

1 шах 1 min

-транс-

понированный вектор-столбец размером (6x1). Элементами этого вектора выступают р - нормированные значения напряжений на выходе ИП по давле-

ир ~ир

нию, рассчитанные по формуле р =---------------;

Ртах Ртіп

Р' - транспонированная матрица размером (6x6) вида

Р =

Ро

Р5

_РзО • • • Рз5 . или верхняя треугольная матрица размером (бхб) вида

Р,

!0

20

Р5

О

Полагаем, что чем больше коэффициентов содержит математическая модель, тем она сложнее.

Наиболее простой является модель, содержащая только коэффициент р0, а наиболее сложной является модель (4), (5), содержащая все 36 коэффициентов или модель (4)-(6), содержащая 21 коэффициент. Но количество коэффициентов не может выступать в качестве единственного показателя сложности модели ФП.

2. Оценка сложности моделей вида

В работе [2] количество возможных моделей функции преобразования указанного вида определяется максимально возможными степенями по давлению и температуре

мпах(Кр)/ /г 1\ . 1\^+1

N

м

где NM - количество возможных моделей ФП; КР

v м

степень аппроксимирующего полинома по

параметру р\ [ Кт ] - набор степеней аппроксимирующих полиномов по параметру I.

Например, если положить тах(/Г;)) = 3,

тах([/Сг]) = 4, то количество возможных моделей ФП составит 775. Метод оценки сложности моделей ФП вида (4), (5) основан [2] на представлении каждой модели числом, возрастающим с увеличением степеней параметров р и ?.

Показатель сложности модели, обозначим его числом £>, формируется следующим образом. Количество разрядов этого числа - N!:), определяется максимальным значением КР, входящим в модель: N ¡у = тах(А"Р ) + 2 . Например, для

тах(А'/,) = 3, тах ([Кт ]) = 4, разряды числа О

будут определены следующим образом:

Р) — КРК-Р^КР')К'/'^КР^.

Система счисления числа О определяется максимальным значением из набора степеней. В данном случае основание системы счисления равно четырем.

Рассмотрим оценку сложности модели на простом примере, для шах (КР) = 2, тах ([АГГ ]) = 1.

При таких параметрах модель (4), (5) принимает следующий вид:

Р = р° (Ро + Р)0 + р1 (Рб + р7?) +

+р2( Р12 +Р]зО-

Показатель сложности (8) для такой модели определяется как

-О = КРК-^2 , где КР - цифра равная максимальной степени давления; КТ2 - цифра равная максимальной степени температуры при /?2; К

т\

цифра равная

максимальной степени температуры при р]; Кг0 -цифра равная максимальной степени температуры при р°.

Таблица 1

Пример определение показателей сложности для математических моделей вида

при тах(ЛГр) = 2,тах([АГг]) = 1

№ п/п Математические модели ФП Показатель сложности модели D

1 Р = Р°(%) 0000

2 Р = Р° (%)+ Р1 ($б) 1000

3 Р= Р°(?>о) + p'($6+Pit) 1010

4 P = p°(%) + pl{V6+V7t) + p2($u) 2010

5 Р = Р° (Ро ) + Р1 (Рб + PvO + Р2 (Pl2 + РвО 2110

6 P = /(P0+P,í) 0001

7 Р = /(Р0+Р1/) + р1(Рб) 1001

8 /> = /(Р0 + Р1/) + У(Р6) + р2(Р12) 2001

9 Р- Р° (Ро + Plf ) + РХ (Рб ) + Р2 (Pl2 + Pl3?) 2101

10 ^> = /?0(Ро +PlO + /71 (Рб + $1() 1011

11 Р-Р°{% +Р1?) + Р' (Рб + $1*) + Р~ (Pl2 ) 2011

12 Р = Р°{% +Plí) + P1(P6 +Р70 + ^2(Р12 + Р13?) 2111

Таблица 2

Ранжирование членов модели ФП вида

Группы членов модели Члены модели Ранг членов модели Вес членов модели

Члены модели, содержащие параметр t Р/ 1 220

Р/ 2 219

Члены модели, содержащие параметры t и р Pio'V 3 218

Члены модели, содержащие параметр t р/ 4 217

Члены модели, содержащие параметры t и р Рgt р 5 216

мУ 6 215

Члены модели, содержащие параметр р РгО Р 7 2м

Pis Р* 8 213

Члены модели, содержащие параметры t и р Pi 9Р t 9 2й

Члены модели, содержащие параметр р Р,5/>3 10 2”

Члены модели, содержащие параметры tap Pi бР 1 11 210

Р мР^2 12 29

Члены модели, содержащие параметр t Р/ 13 28

Члены модели, содержащие параметры tup Ps t2P 14 27

Р ,з'У 15 26

Члены модели, содержащие параметр t P]í 16 25

Члены модели, содержащие параметры t и р р7#> 17 24

Р 12ÍP 18 23

Члены модели, содержащие параметр р Р \\Р2 19 22

Рб Р 20 21

Постоянная составляющая модели Ро 21 2°

множества, содержащие модели с одинаковым количеством коэффициентов (членов).

Входящие в модель члены не равнозначны. В зависимости от того, в какой степени соответствующий параметр (температура или давление) входит в математическую модель, зависит план проведения градуировки и соответственно количество температурных точек и точек давления.

План градуировки должен содержать как можно меньше температурных точек, так как именно они определяют продолжительность [6] градуировки, и, как следствие этого, ее стоимость. Поэтому при прочих равных условиях следует отдавать предпочтение моделям, в которые параметр температуры входит в наименьшей степени.

Ранжируем члены модели вида (4), (6) таким образом, чтобы был отдан приоритет показателю степени температуры (табл. 2). Наиболее значимыми будем считать члены математической модели, имеющие наибольший показатель степени температуры.

С учетом такого способа ранжирования сформируем показатель для оценки сложности моделей в границах одного (каждого) подмножества в виде выражения

С = 1\1-2),

где I = 220 219 ... 2° - вектор-строка разме-

Таблица 3

Матрица £, размером

Ро р, р2 Рз р4 р5 Рб р7 р* р9 Рш Рп Рі2 Різ Рі4 Р,5 Рів Рі7 Р] 8 Р]9 Р20

Рз 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Р< 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рю 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рз 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Р9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рм 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Рго 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Рі8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

Рі9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

р!5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 І 0 0 0 0 0

Ріб 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 п 1 0 0 0 0

Р]7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Р2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Р8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Різ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Р. 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рт 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Р,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рп 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рб 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ро 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Таким образом, значение показателя сложности О для этой модели равно О = 2111. Количество (множество) возможных частных моделей ФП, получающихся из этой модели, равно

ЛГм=1'=10 + 0У+,= 22 +23 =12.

Вид частных моделей и их показатели сложности представлены в табл. 1.

Однако этот показатель сложности может быть использован не для всех математических моделей вида (4), (5). С его помощью оцениваются только те модели, которые созданы последовательным инкрементированием степени давления и температуры. Так, например, если тах(КР) = 2,

шах ([КТ ]) = 1, то методом последовательного

перебора получаем, что количество всех возможных моделей равно 64, а используя метод [2] мы можем оценить только 12 математических моделей (см. табл. 1).

3. Новый показатель для оценки сложности

моделей вида

Общее количество моделей, созданных в рамках выражений (4), (6) будет равно 220 = 1 048 576 (полагаем, что коэффициент Р0 всегда содержится в модели ФП). Общее множество всех моделей в количестве 1 048 576 может быть разбито на под-

Пример оценки сложности моделей ФП с одинаковым количеством коэффициентов

Таблица 4

№ Показатель сложности, двоичное п/п (десятичное) представление С

Вид моделей

000100000100010111111

?°(ßo +ßli + ß3i3) + ^(ß6 + ß7r + ß^ ) + p2 (ßll +ßl2i) + i,3ß]5

000000010110110100111 (11 687)_______________

P°(ßo+ßl' + $2Г} + p{$b +ß8?2) + /,7ßl! +/,3(ßl5 +ßl6i) + /'4ßl8

3

4

5

6

7

8 9

000000100110110100111 (19 879)_______________

/(ßo +ßli + ß2i2) + p(ß6 +ßgr ) + /Pll + /(Pl5 + Pl6?) + /P20

000000000І Î0110110J11

/(ßo + Рі/+Рзг) + /:,(Рб +Р?? + ßx,2)+ P'ßit + />3(ßi5 + РібО

000000000110111100111

jP°

000110000100000111111

P° (ßo + ßl* + ß3?3 ) + P(ßö + + ß9?3 ) + p2 (ßl 1 + ßl2?) + /ßl5

000110000110000110111 (199 735)______________

/

000000001110110100111

)

OOUOOOOOOIII 110100111

/(ßo +ßli + ß2?2) + JP(ß6 + ß8/2 ) + ^ßl 1 +/(ßl5 +ßl60 + /ßl9?

j /’"

ром (1x21), позволяет сделать переход от двоичного к десятичному представлению числа С; Ь - матрица (табл. 3) размером (21x21), предназначена для перехода от модели ФП к двоичному числу (двоичному представлению показателя сложности этой модели) с количеством разрядов, равным 21. Первый (младший) разряд этого числа равен единице, если в модели присутствует член Р0, иначе он равен нулю; второй разряд числа равен единице, если в модели присутствует член р6/, иначе он равен нулю и т. д. для всех входящих в модель членов в соответствии с табл. 2\2- вектор-столбец размером (21x1). В качестве элементов вектора выступают

единицы и нули, соотнесенные с коэффициентами оцениваемой модели ФП (единица — когда соответствующий коэффициент присутствует в модели, ноль - отсутствует):

Ро 2(1), Р, 2(2), р2 ** 2(3), ..., Р20 г(21) .

В табл. 4 представлен пример оценки сложности математических моделей, содержащих одинаковое количество коэффициентов (девять) и удовлетворяющих требованиям по приведенной погрешности.

В табл. 4 лучшими следует признать модели под номерами 4, 5 и 9 , так как эти модели имеют наименьшие показатели сложности по сравнению с другими моделями. В этих моделях параметр температура входит во второй степени, а параметр давление в третьей степени. Это позволяет реализовать план градуировки по трем температурным точкам и четырем точкам давления.

Заключение

В работе изучены модели функций преобразования двух видов. Модель первого вида (4), (5) является, на наш взгляд, избыточной и экономически

затратной. Показатель сложности [2] не позволяет сократить план проведения градуировки, так как оперирует с ограниченным количеством моделей ФП.

Модель второго вида (4), (6) и показатель (9), используемый для оценки ее сложности, дают возможность выбирать более простой план градуировки. Это позволяет уменьшать стоимость испытаний измерительных преобразователей давления без ухудшения их метрологических характеристик.

Литература

1. Удод, Е.В. Исследование и разработка прецизионных математических моделей преобразования и алгоритмов вычислений значений давления: автореф. дис. ... канд. техн. наук / Е.В. Удод. -Таганрог, 2007.

2. Данилов, H.A. Синтез функций преобразования измерительных приборов для контроля давления по заданному пределу приведенной погрешности: автореф. дис. ... канд. техн. наук / H.A. Данилов. — СПб., 2007.

3. Бычков, В. В. Высокоточные анапоговые и цифровые преобразователи давления: автореф. дис. ... канд. техн. наук / В.В. Бычков. — Томск, 2006.

4. РМГ 29-99 ГСИ. Метрология. Основные термины. -М.: Изд-во стандартов, 2000. — 105 с.

5. Шестаков, А.Л. Задача оптимизации функций преобразования измерительных преобразователей /А.Л. Шестаков, А.П. Лапин, Е.А. Лапина // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2010. -Вып. И. -№2(178). - С. 4-6.

6. ГОСТ 22520-85. Датчики давления, разрежения и разности давлений с электрическими аналоговыми выходными сигналами ГСП. — М.: Изд-во стандартов, 1985. - 25 с.

Поступила в редакцию 24 сентября 2010 г.