Методические акценты в преподавании темы «Действительные числа» на профильном уровне

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №4 (99) 2011

контрольно-оценочной деятельности могут способствовать такие профессиональные умения учителя, как проектирование цикла обучения, описание целей обучения, подбор необходимых упражнений, выбор методов и определение их последовательности, усвоение, обобщение и перенос знаний из вузовского образования на учебный процесс в школе, сочетания теоретических знаний с умениями и навыками применения их в учебно-воспитательной деятельности и др.

Библиографический список

1. Кузьмина, Н. В. Очерки психологии труда учителя: Психологическая структура деятельности учителя и формирование его личности [Текст] / Н. В. Кузьмина. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1967. - 183 с.

2. Маркова, А. К. Формирование мотивации учения [Текст] / А. К. Маркова, Т. А. Матис, А. Б. Орлов. — М. : Просвещение, 1990. — 192 с.

3. Бондаревская, Е. В. Ценностные основания личностноориентированного воспитания [Текст] / Е. В. Бондаревская. — М. : Педагогика, 1995. — С. 29 — 36.

4. Шакуров, Р. Х. Мотивация и стимулирование качества педагогической деятельности в ССУЗ [Текст] / Р. Х. Шакуров. — Казань : ИССО РАО, 1996. — 56 с.

5. Гершунский, Б. С. Философия образования [Текст] / Б. С. Гер-шунский. — М. : Моск. психол.-соц. ин-т, 1998. — 428 с.

6. Маркова, А. К. Психологический анализ профессиональной компетентности учителя [Текст] / А. К. Маркова. — М. : Советская педагогика, 1990. — С. 82 — 88.

7. Лотова, И. П. Психологические условия личностно-профессионального развития студентов вуза [Текст] / И. П. Лотова. — М. : Педагогика, 2008. — С. 59 — 63.

8. Абульханова, К. А. Психология и сознание личности [Текст] / К. А. Абульханова. — М. : Воронеж : МОДЭК, 1999. — 218 с.

9. Талызина, Н. Ф. Пути разработки профиля специалиста / [Текст] Н. Ф. Талызина, Н. Г. Печенюк, Л. Б. Хихловский // Под ред.

Н. Ф. Талызиной. — Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1987. — 173 с.

10. Лященко, Е. И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст] / Е. И. Лященко. — М. : Просвещение, 1988. — 223 с.

11. Мищенко, А. И. Формирование профессиональной готовности учителя к реализации целостного педагогического процесса [Текст] / А. И. Мищенко. — М. : Школа-Пресс, 1992. — 387 с.

12. Пехлецкий, И. Д. Компоненты индивидуального стиля преподавания [Текст] / И. Д. Пехлецкий. — Пермь : ПГПИ, 1990. — 138 с.

13. Дергач, А. А., Акмеология: пути достижения вершин профессионализма [Текс] / А. А. Дергач, Н. В. Кузьмина. — М. : Российская академия управления, 1993. — С. 11 — 12.

14. Мордкович, А. Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте [Текст] / А. Г. Мордкович. — Москва : МГПИ, 1986. — 36 с.

15. Черкавский, Н. И. Формирование профессиональнометодических умений студентов пединститута на занятиях «Практикума по решению физических задач» [Текст] / Н. И. Черкавский. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-т, 1983 — 216 с.

16. Луканкин, Г. Л. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителя в педагогическом институте [Текст] / Г. Л. Луканин. — Л. : Ленингр. ун-т, 1989. — 59 с.

17. Стефанова, Н. Л. Теоретические основы развития системы методической подготовки учителя математики в педагогическом вузе [Текст] / Н. Л. Стефанова. — СПб. : Рос. гос. пед. ун-т им. А. И. Герцена, 1996. — 32 с.

СЫРЕЦКИЙ Максим Викторович, аспирант кафедры теории и методики обучения математике.

Адрес для переписки: e-mail: cblpnic@gmail.com

Статья поступила в редакцию 24.12.2010 г.

© М. В. Сырецкий

УДК 372.851.2 т. в. УЛЬЯНОВА

Омский государственный педагогический университет, филиал в г. Таре

МЕТОДИЧЕСКИЕ АКЦЕНТЫ В ПРЕПОДАВАНИИ ТЕМЫ «ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА»

НА ПРОФИЛЬНОМ УРОВНЕ

В статье рассматриваются методические особенности преподавания темы «Действительные числа» на профильном уровне в соответствии с учебником по алгебре и началам математического анализа для 10 класса под редакцией С.М. Никольского.

Ключевые слова: профильное обучение, доступность учебного текста, методические проблемы.

Введение профильного обучения требует прин- математики), в стандарт образования по алгебре для ципиально новых подходов к учебно-методическому 10—11 классов добавился дополнительный материал. обеспечению учебного процесса. В связи с внедре- Задачи, предлагаемые в учебнике [1] по новым темам

нием концепции многоуровневых учебников по ал- (таким, как «Сравнения по модулю т», «Доказатель-

гебре и началам анализа (т.е. обеспечивающих обу- ство числовых неравенств», «Уравнения с целочислен-чение как в рамках общеобразовательной програм- ными неизвестными» и др.), по большей части, немы, так и программы с углубленным изучением стандартны, поэтому их решение вызывает большие

затруднения. Это приводит к возникновению вопросов при самостоятельном изучении материала учащимися и при изложении новой темы учителем [2].

В данной статье анализируются некоторые методические проблемы в преподавании главы «Действительные числа» [1] на профильном уровне.

Многие школьники не могут пояснить, почему в десятичной записи обыкновенной дроби (рационального числа) обязательно есть период. Отчасти это происходит потому, что тема «Понятие действительного числа» не является практико-ориентированной, так как при решении задач, примеров, данный материал обычно не используется. Чтобы преодолеть психологические барьеры и облегчить усвоение этой темы, важно хотя бы один раз продемонстрировать процедуру «деления столбиком». Например, при делении «5

5

на 7» обыкновенная дробь — будет представлена как

десятичная периодическая 0,(714285). Нужно показать школьнику наглядно, что при делении на 7 возможны лишь шесть остатков — 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит, не позднее чем через шесть ступенек деления столбиком один из остатков снова повторится, а за ним и вся последующая цепочка цифр.

Впоследствии это поможет четко разграничить понятия «рациональное» (десятичная периодическая дробь) и «иррациональное» число (десятичная непериодическая дробь) на уровне антиномии: рациональный — «разумный», иррациональный — «не поддающийся осмыслению», потому что такую десятичную дробь невозможно записать целиком, до конца.

Известно, что первоначально термины «рациональный» и «иррациональный» относились не к числам, а к соизмеримым и несоизмеримым величинам (отрезкам). Первое же толкование «иррациональному числу» дал персидский математик Аль Махани (около 800 г. н.э.) [3]. Он пояснял, что иррациональное число невозможно произнести или представить количественно.

Здесь возникают и другие проблемы. Например, почему десятичные записи 2,4000... и 2,3999... [1, с. 4] равнозначны и определяют одно и то же число. Школьнику может быть непонятно, почему именно девятка в периоде оказалась исключением из правил. Такая исключительность «девятки» объясняется, конечно, тем, что она — последняя из перечня используемых цифр в десятичной системе счисления.

В высшей математике подробное объяснение такому равенству дает теорема Вейерштрасса: два числа называются, равными, если, они отличаются, друг от. друга меньше, чем. на любое данное положительное рациональное число [4, с. 53]. В нашем случае признаются равными числа 2,4 и 2,3999.: они отличаются друг от друга меньше, чем на 0,1, меньше, чем на 0,01 и т.д.

На наш взгляд, «сильный» ученик нуждается в знакомстве с этой теоремой. Если нет специальных оговорок, бесконечные десятичные дроби с периодом 9 можно демонстративно исключить из рассмотрения учащимися на уроках.

В параграфе «Множества чисел. Свойства действительных чисел» [1, с. 10] встречаются элементы теории множеств. Хотя, определение понятия «мощности множеств» не дается, однако оно демонстрируется через установление взаимно однозначного соответствия элементов множеств. Примерами, закрепляющими это понятие, призваны служить упражнения повышенной сложности 1.28 а), б) [1, с. 15]. Так, в задаче 1.28 а) требуется установить взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств

N и 2, N и О. В первом случае единице можно поставить в соответствие нуль, каждому четному натуральному числу 2п — число п, нечетному натуральному (2п + 1) — целое нечетное (—п). Во втором, очевидно, требуется пронумеровать все рациональные числа

~ . Это можно сделать, если отметить на координатной плоскости точки с целочисленными координатами р и <у и обойти эти узлы «одним росчерком пера» из начала координат с помощью спиралевидной ломаной по схеме Клейна [4, с. 358; 5, с. 16].

Тема «Делимость целых чисел» традиционно требует импровизации и смекалки. Отметим все же, что здесь допустима некоторая типизация задач, по крайней мере, на материале классических школьных пособий.

Анализируя тексты задачников, можно выделить некоторую «схожесть» сюжетов и в связи с этим предложить примерную классификацию задач на свойства делимости [6, 7]:

1) задачи на цифровые окончания;

2) задачи на применение классов делимости на 3;

3) задачи на применение классов делимости на 4, 5, и.т.д.;

4) задачи на делители квадрата, куба;

5) задачи на метод математической индукции.

Тогда очередную «нестандартную» задачу олим-

пиадного характера учащийся будет рассматривать с точки зрения принадлежности к одному из таких типов. Этот материал уместен как на школьном факультативе, так и на занятиях, посвященных подготовке к ЕГЭ (например, при решении задач вида С6) [5]. Приведенная выше классификация, конечно, условная и допускает дальнейшее расширение.

Совершенно новым в учебнике [1] является параграф «Сравнения по модулю т». Ранее эта тема никогда не была включена в школьную программу. Поэтому процесс освоения понятия сравнения, его свойств и связанной с ним символики нуждаются в методической поддержке.

Известно, что сравнения по модулю впервые стали использоваться Гауссом в его книге «Арифметические исследования», изданной в 1801 г. Хотя понятие сравнения в неявном виде употреблялось многими математиками, однако только Гаусс точно определил его и систематически развил теорию. Он же предложил современную символику для сравнений [5].

При обучении теме «Сравнения» возникают, пожалуй, две основные методические проблемы (технологическая и содержательная):

1) как приучить школьников к необычной символике, применяемой в теории сравнений;

2) как показать необходимость изучения новых понятий, то есть, существует ли определенный набор задач по теории чисел, который оправдывает применение нового понятийного аппарата.

Чтобы выработать привычку к символике сравнений, на первых этапах желательно пользоваться таблицами, где в первом столбце указывается остаток отделения числа р на число т. , во втором — запись в терминах делимости с остатком, в третьем — запись в виде сравнений. Таким образом, будет происходить быстрое усвоение смысла нововведенного термина. При доказательстве свойств сравнений, можно предложить учащимся список свойств в виде таблицы, в первом столбце которой была бы запись «на языке сравнений», а в правом — «на языке теории делимости» [5]. В конце концов, школьник должен достигнуть такого уровня, когда сам сможет оценить не только лаконичность записей, но и эффект от формальных действий над

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №4 (99) 2011 МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №4 (99) 2011

сравнениями. Что касается содержательного «оправдания» этой темы в глазах учеников, то здесь поможет лишь удачный подбор упражнений. Так, например, можно попытаться выделить условные типы задач [5]:

1) задачи на нахождение последней цифры числа (нахождение остатка при делении на 10);

2) задачи на определение остатков от деления;

3) задачи на «накопление» остатков;

4) восстановление числа по известному остатку (решение сравнений).

Очевидно, что этот список можно продолжать, расширяя круг упражнений, доступных школьнику на уровне почти формальных действий.

Вводимые понятия «сравнения» и «сравнимости» чисел оправдывают себя еще и тем, что в условиях многих заданий основную роль играют не сами числа, а остатки, получающиеся при их делении на некоторое число.

Уравнения, в которых неизвестные величины выражаются целыми числами, называются неопределенными или диофантовыми (по имени Диофанта из Александрии, III в.). При решении уравнений с целочисленными неизвестными у школьников могут возникнуть трудности в понимании их практической значимости. Здесь важно сразу продемонстрировать поучительные ситуации, например: «На покупку нескольких открыток по 11 рублей и конвертов по 13 рублей потратили всего 61 рубль. Сколько купили открыток?» [5, с. 67]. То, что возникающее здесь линейное уравнение с двумя неизвестными имеет только одно натуральное решение, может показаться неожиданным, но лишь оно будет удовлетворять требованиям, заявленным в условии.

Прежде чем начать решать линейное уравнение с целочисленными неизвестными, необходимо убедиться, что оно вообще имеет решение. В учебнике критерий разрешимости такого уравнения изложен очень кратко, поэтому учащимся полезно «освоить» его на примерах. Если у чисел а и Ь есть общий множитель ё, то уравнение имеет решение только тогда, когда с тоже делится на ё, в противном случае оно неразрешимо. Например, уравнение вида 9х + 21у= 100 не имеет решения в целых числах, так как числа 9 и 21 делятся на 3, а число 100 на 3 не делится [5].

При нахождении частного решения линейного диофантова уравнения, когда коэффициенты при неизвестных достаточно велики, использовать метод подбора неудобно, порой даже невозможно. В таких случаях, полезно применять алгоритм Евклида (для нахождения наибольшего общего делителя чисел а и Ь). Когда наибольший общий делитель чисел а и Ь известен, можно найти его линейное представление в виде аи + Ьу, а далее и частное решение частное решение х0=ис и У0=ус [5, с. 68].

На наш взгляд, лучшему пониманию смысла целочисленного решения линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными послужит его геометрическая интерпретация в виде ряда равноотстоящих точек прямой на координатной плоскости.

При решении диофантовых уравнений можно пользоваться различными методами [5]. Перечислим некоторые из них:

1) нахождение общего решения линейного дио-фантова уравнения по формулам;

2) метод сравнений по модулю (метод остатков);

3) метод спуска;

4) графический метод и др.

Владение способами решения уравнений с целочисленными неизвестными, несомненно, поможет учащемуся быстрее сориентироваться в проблемной ситуации.

Подробное описание приемов решения таких уравнений можно найти в журналах «Квант» [8, 9], а также в учебнике [10]. Графический метод применим и к системам неопределенных уравнений и неравенств: решением системы будут целочисленные координаты точек, одновременно принадлежащих нескольким множествам на плоскости. Заметим, что подобные задачи встречаются в материалах ЕГЭ (задачи С6). Они считаются «нестандартными» и требуют от школьника определенной смекалки и предварительно накопленного опыта. Такой опыт, включая сведения из теории делимости целых чисел, свойства сравнений по модулю т, а также диофантовы уравнения, можно накапливать на внеурочных занятиях, используя факультативные разработки [5].

Библиографический список

1. Алгебра и начала математического анализа [Текст] : учебник для 10 класса / С. М. Никольский [и др.]. — 7-е изд., испр. — М. : Просвещение, 2008. — 430 с.

2. Шевкин, А .В. Разработка концепции многоуровневого учебника и ее реализация в учебниках серии «МГУ — школе» [Электронный ресурс]. — Режим доступа : http://www.shevkin.ru/ ?асИоп = Раде&ГО = 299 (дата обращения: 10.10.10).

3. История математики с древнейших времен до начала XX столетия [Текст]. В 3 т. Т. 1. С древнейших времён до начала Нового времени / Под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1970. — 352 с.

4. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ / Ф. Клейн ; под ред. В. Г. Болтянского. — 4-е изд. — М. : Наука., 1987. — 432 с.

5. Ульянова, Т. В. Изучение темы «Действительные числа» на профильном уровне : учеб.-метод. пособие к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра и начала математического анализа 10» [Текст] / Т. В. Ульянова. — Омск : Изд-во ОмГПУ, 2010. — 120 с.

6. Каюмов, О. Р. Делимость целых чисел [Текст] / О. Р. Каю-мов, Т. В. Ульянова // Математика в школе. — 2009. — № 4. — С. 36-41.

7. Каюмов, О. Р. Делимость целых чисел [Текст] / О. Р. Каюмов, Т. В. Ульянова // Математика в школе. -2009. — № 5. — С. 21-28.

8. Кордемский, Б. А. Этому виду задач более 1600 лет [Текст] / Б. А. Кордемский // Квант. — 1973. — № 4. — С. 38 — 41.

9. Соловьев, Ю. Неопределенные уравнения первой степени [Текст] / Ю. Соловьев // Квант. — 1992. — № 4. — С. 42 — 46, 55.

10. Киселев, А. П. Алгебра. [Текст]. В 2 ч. Ч. 2. / А. П. Киселев. — М. : Физматлит, 2005. — 248 с.

УЛЬЯНОВА Татьяна Владимировна, аспирантка кафедры теории и методики обучения математике ОмГПУ, лаборант кафедры математики ОмГПУ (филиала в г. Таре).

Адрес для переписки: e-mail: адрес: lediuta@mail.ru

Статья поступила в редакцию 18.11.2010 г.

©Т. В. Ульянова