Зависимость текущего такта измерения при адаптивной временной дискретизации экстраполяционного типа от структурных свойств сигнала

Зависимость текущего такта измерения при адаптивной временной дискретизации экстраполяционного типа от структурных свойств

сигнала

С.В. Кавчук Южный федеральный университет, Таганрог

Аннотация: Эффективность алгоритмов адаптивной временной дискретизации (АВД) по сравнению с равномерной временной дискретизацией (РВД) определяется таким свойством аналогового сигнала как его сжимаемость. В целях теоретической оценки сжимаемости измерительных сигналов рассматривается зависимость текущего такта измерения при идеальной в смысле качества воспроизведения АВД от динамических свойств сигнала. Восстановление сигнала после АВД производится экстраполяционным полиномом п-ой степени. Качество аппроксимации устанавливается согласно критерию равномерного приближения. Для расширенной области допустимой погрешности воспроизведения предлагается в качестве динамических свойств сигнала использовать его структурные свойства. В случае полинома 0-й степени получена функциональная зависимость текущего такта измерения от структурных свойств сигнала, позволяющая на ее основе определять среднюю длительность такта измерения при АВД. Ключевые слова: Аналого-цифровое преобразование, адаптивная временная дискретизация, такт измерения, коэффициент сокращения числа отсчетов, структурные свойства сигнала.

В настоящее время все большее распространение получают территориально распределенные системы сбора и обработки измерительной информации. В таких системах актуальной является задача сокращения избыточности передаваемой информации. Одним из методов сокращения измерительной информации на этапе аналого-цифрового преобразования аналоговых сигналов является адаптивная временная дискретизация (АВД) [1-3]. Эффективность применения алгоритмов АВД по сравнению с равномерной временной дискретизацией (РВД) в цифровых информационно-измерительных системах определяется коэффициентом сокращения числа отсчетов (сжатия), который зависит как от вида алгоритма АВД, так и от динамических свойств аналогового сигнала [4-6].

При этом величина сжатия посредством АВД (как инструмента) в основном зависит от способности сигнала (как материала) к сжатию. По

аналогии со способностью вещества изменять свой объём под действием внешнего давления данное свойство сигнала можно характеризовать как его сжимаемость.

Для теоретической оценки сжимаемости аналоговых сигналов нужно последовательно определять [7]:

1) зависимость текущего такта измерения т при идеальной в смысле качества воспроизведения АВД от динамических свойств сигнала;

2) среднюю длительность такта измерения и число отсчетов при АВД.

В данной работе рассматривается решение первой задачи при следующих условиях. Восстановление сигнала после АВД производится экстраполяционным полиномом п -ой степени. Качество воспроизведения (аппроксимации) устанавливается согласно критерию равномерного приближения.

Чтобы математически найти величину т необходимо, во-первых, выбрать, конкретизируя класс функций, математическую модель сигнала и, во-вторых, наложить соответствующие ограничения на величину допустимой погрешности воспроизведения 8 0.

Поскольку в теории приближения функций [8] для принятых условий рассматривается класс аналитических (т.е. бесконечно дифференцируемых) функций, то в качестве математической модели сигнала целесообразно принять аналитическую функцию х(Х),Х е [0,1т]. Данную функцию можно

рассматривать как полную, контурную модель сигнала. Эта модель является определенной идеализацией реальных сигналов. Однако она позволяет довольно хорошо их описать на каждом ограниченном интервале [?г-1 е [0,1т] оценочной функцией х*(1),1 е [¿г-1 ¿г] в виде степенного

алгебраического полинома.

В отличие от допущения, принятого при оценке средней длительности такта измерения при АВД в [7], будем полагать, что величина модуля

J

допустимой погрешности воспроизведения 80 ограничена менее жестким

условием. Пусть она принадлежит области A таких значений, при которых на каждом участке аппроксимации длительности At производная сигнала (п+2)-го порядка x(n+2J(t) = const,t e [t1_1 ,t1_1 +At] или, вводя новую переменную t' = t _ t1 _1, в другой форме x(n+2) (t1_1 +1') = const, t' е [0, At] (сокращенно t' eAt). Для принятого ограничения на величину 80 е A1 правомерно считать, что на каждом участке аппроксимации сигнал достаточно точно описывается полиномом (п+2)-го порядка.

Установим величину текущего такта измерения для идеального (в смысле качества воспроизведения) алгоритма АВД экстраполяционного типа. Следует отметить, что условие идеальности качества воспроизведения предполагает на каждом участке аппроксимации точное выполнение равенства 8 0 =|8 J, где |8 J = max| 8(t' ),t' eAt - модуль-максимум текущей

погрешности аппроксимации 8(t') = x(t') _ x* (t'). Идеальным в вышеназванном смысле алгоритмам АВД, ориентированным на воспроизведения сигнала экстраполяционным полиномом, соответствуют известные аппроксимационные (А) алгоритмы экстраполяционного (Э) типа (АВД-АЭ) [9]. Это позволяет при рассмотрении процесса идеальной АВД ориентироваться на соответствующий алгоритм АВД-АЭ.

В результате действия алгоритма АВД-АЭ при экстраполяции функции x(t' ),t' eAt полиномом Тейлора Tn(t') = x * (t' ),t' eAt и принятом ограничении на величину 80 текущая погрешность аппроксимации

8(t') = x(t') _ Tn(t') = x(n+1) • -+ x(Hn+2)  -, t' e At

{ 7 ' 7 n( У н (n +1)! н (n + 2)!

где xHn+1) и xHn+2) значения (n+1)-ой и (п+2)-ой производных в начале каждого участка аппроксимации.

Текущая погрешность 8(г' ) всегда достигает своего максимального значения 8т = ±80 в конце каждого участка экстраполяции при г ' = Аг = т. Поэтому это условие может быть записано в виде двух уравнений: (п +1 )!-х[п+2)т(п+2) + (п + 2)!-х[п+1 )т(п+1) - 80(п +1 )!(п + 2)! = 0 при 8т > 0; (1 а) (п +1 )!-х(нп+2)т(п+2) + (п + 2}!-х[п+1)т(п+1) +80(п +1 )!(п + 2)! = 0 при 8т <0; (1 б) Решение уравнений (1а, б) относительно т дает возможность найти зависимость текущего такта измерения при идеальной АВД экстраполяционного типа от локальных, дифференциальных свойств сигнала - т = уэ(80,хНп+1 ),х(нп+2.

В данном случае по отношению к задаче определения текущего такта полная, контурная модель сигнала

обладает свойством математической избыточности. С другой стороны, для решения этой же задачи неполная, контурная модель сигнала в виде функции х(п+1) е [0,?т] математически явно недостаточна.

Необходимость учета по крайней мере двух производных в процессе нахождения т по приводит к выбору структурной модели сигнала [9,10]

Ф = х(п+2) (г )[х(п+1) (г)] = х(п+2) [х(п+1) ],г е [ 0,гт], где х(п+1) (г) и х(п+2) (г) - контурные модели или фазовые координаты сигнала. В рамках структурных моделей связь между фазовыми координатами характеризует структурные свойства сигнала и обычно выражается в виде фазового изображения, представляющего собой след (траекторию) от движения изображающей точки на фазовой плоскости Х(п+2 )ОХ(п+1).

Таким образом, в терминах данной модели величина текущего такта измерения при АВД зависит от структурных свойств сигнала, которые в свою очередь описываются его двумерным фазовым изображением с координатами х(п+1) (г) и х(п+2)(г) .

:

Найдем функциональную зависимость текущего такта измерения от структурных свойств сигнала. В общем виде уравнения (1) решить не представляется возможным. Поэтому ограничимся наиболее распространенным на практике случаем - экстраполяция полиномом 0-й степени. Будем полагать, что любая точка фазовой траектории может быть началом участка аппроксимации длительности At — т.

Экстраполяция полиномом 0-й степени. Тогда при п =0 уравнения (1 а, б) принимают вид

^2)т2 + 2х

х

Формальное решение (8 а) и (8 б) дает четыре функциональных зависимости для такта измерения при АВД экстраполяционного типа

т — у Э0

Т1,2 = ^1,2

- X

±л/а .

-- У- х

т3,4 —V3,4

- X

±л/Д

X1

где Д] и Д2 - дискриминанты соответственно уравнений (8 а) и (8 б),

О1 — (х(1) )2 + 250х(2) и О2 — (х(1) )2 - 250х(2).

В то же время не вызывает сомнения тот факт, что такт измерения при АВД при заданных способе и величине допустимой погрешности воспроизведения является однозначной функцией производных х( 1) и х(2). Из физических представлений такт измерения при АВД - действительная и положительная величина. Это условие ограничивает область решений каждого уравнения областью действительных и положительных решений.

Условие т > 0 ограничивает на фазовой плоскости Х( 2 1) (рис. 1) область решений уравнения (8 а) областями I, II, III и VI, а уравнения (8 б) -III, IV, V и VI. При этом областям I и II соответствует единственное решение

т1 уравнения (8 а). Областям IV и V - решение т4 уравнения (8 б), области III - решения т3 и т4 уравнения (8 б) и решение т1 уравнения (8 а) и, наконец, области VI - решения т1 и т2 уравнения (8 а) и решение т4 уравнения (8 б).

Для наглядности на этом же рисунке показан графический метод решения уравнений (8 а, б) по графику текущей погрешности экстраполяции 5( t') соответственно для каждой области.

Действие алгоритма АВД-АЭ [9] на каждом участке экстраполяции связано с непрерывным контролем текущей погрешности аппроксимации 5(t') сигнала полиномом Тейлора Tn(t')^' eт = Дt в процессе последовательного наращивания длины т интервала экстраполяции. Как только текущая погрешность аппроксимации 5(t') достигает заданной

величины 50, наращивание интервала т прекращается, фиксируется отсчет сигнала и действие алгоритма циклически повторяется.

Рис. 1. Области решений для такта измерения при АВД-АЭ в случае ступенчатой экстраполяции

:

Учитывая данный характер действия алгоритма АВД-АЭ, в областях с несколькими решениями (III и VI) необходимо выбирать меньшее из них, а именно - т4 в III и Г] в VI, что особенно наглядно видно при графическом методе решения уравнений (8 а, б) по функции текущей погрешности аппроксимации, рис. 1.

В результате фазовая плоскость разделяется кривой DoOEo

(рис. 1), уравнение которой

/1 (x( 1) )=(x( 1) )Р/25 0

при x( 1 < 0 ;

/2 ( 1; )=-(( 1; )/2S 0 на две неограниченных замкнутых области Q1 - с единственным решением ij уравнения (8 а) и Q2 (на рис. 1 она заштрихована) с единственным решением т4 уравнения (8 ,б), причем точки кривой ОЕ0 принадлежат области Q1 , а кривой OD0 - области Q2.

Таким образом, величине такта измерения при АВД экстраполяционного типа и степени полинома n = 0 соответствует действительное, положительное и наименьшее в случае неоднозначности решение уравнений

^0

'э0

у/ 5 0 ,x

x( 11 +

ти2

+ 250x

при (x( 1 ),x(2)) eQ1;

x

У 2

- x

250x

при (x( 1V2)) eQ

x

Зависимость (10) в рамках структурной модели сигнала дает связь изображающей точки на фазовой плоскости х( 2 )ох(1;

с текущим тактом

измерения при АВД. При этом двумерному фазовому изображению с координатами х( Х1>(1) и х( 2 ^(1) будет согласно (10) соответствовать множество перекрывающихся тактов измерения т(1> = у12 (б0 ,х( (?>,х(2> (I>).

2

Пространственное 3Б изображение Mathcad перекрывающихся тактов измерения согласно формуле (10) в виде поверхности и столбчатой диаграммы показано соответственно на рис. (2 а) и (2 б).

а) т б)

Рис. 2. Пространственная картина множества перекрывающихся тактов измерения при АВД экстраполяционного типа и степени полинома п = 0 Заключение. Получена зависимость у э0 (10) для множества перекрывающихся тактов измерения т(t) при АВД, ориентированной на

воспроизведение сигнала полиномом Тейлора нулевой степени (п = 0). На основании этой зависимости можно решать задачу нахождения средней длительности такта измерения при АВД с последующей оценкой сжимаемости аналоговых сигналов.

Полученные соотношения позволяют также оценивать сжимаемость случайных сигналов, полагая функцию х(^ реализацией дифференцируемого случайного процесса Х(0.

Литература

1. Авдеев Б.Я., Антонюк Е.М., Долинов С.Н., Журавин Л.Г., Семенов Е.И., Фремке А.В. Адаптивные телеизмерительные системы / Под ред. Фремке А.В. Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. 248 с.

2. Куревин В.В., Морозов О.Г., Морозов Г. А. и др. Новые интегральные решения для разработки сборщиков энергии из окружающей среды. // Инженерный вестник Дона. 2016. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_79_Sinyutin.pdf_e8c1c28197.pdf.

3. Нгуен Суан Мань, Попов Г. А. Система сбора данных по параметрам конструкций интеллектуального здания на основе волоконно-оптических датчиков. // Инженерный вестник Дона. 2015. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_53_Nguyen.pdf_29bf05efed.pdf.

4. Кавчук С.В. Теоретические основы информационно-измерительной техники. Конспект лекций. Часть I. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. 125 с.

5. Qaisar, S.M., L.L. Fesquet and M.R. Laurent, 2009. Adaptive Rate Sampling and Filtering Based on Level Crossing Sampling. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2009(10.1155/2009/971656), 160 p.

6. Кавчук С.В., Ткаченко Г.И., Ткаченко М.Г. Оценка сжимаемости измерительных сигналов на основании априорных данных об их динамических свойствах // Естественные и технические науки. 2008. № 3. С. 15-18.

7. Кавчук С.В., Ткаченко Г.И., Савченко Я.С. Априорная оценка средней длительности такта измерения и числа отсчетов при адаптивной временной дискретизации // Известия ЮФУ. Технические науки. 2014. №4. С. 147-155.

8. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехиздат, 1954. 327 с.

9. Авдеев Б.Я., Семенов Е.И. Адаптивные информационно-измерительные системы (с адаптивной коммутацией) // Приборы. 2009. №10.

C. 57-64.

10. Mark, J.W. and T.D. Todd, 1981. A nonuniform sampling approach to data compression. IEEE Transactions on Communications (issue 29), Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc, pp: 24-32.

References

1. Avdeev B.Ya., Antonyuk E.M., Dolinov S.N., Zhuravin L.G., Semenov E.I., Fremke A.V., Pod red. Fremke A.V. Adaptivnye teleizmeritel'nye sistemy [Adaptive telemeasuring system] L.: Energo-izdat. Leningr. otd-nie, 1981. 248 p.

2. Kurevin V.V., Morozov O.G., Morozov G.A. i dr. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2016. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_79_Sinyutin.pdf_e8c1c28197.pdf.

3. Nguen Suan Man', Popov G.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2015. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_53_Nguyen.pdf_29bf05efed.pdf.

4. Kavchuk S.V. Teoreticheskie osnovy informatsionno-izmeritel'noy tekhniki. Konspekt lektsiy. Chast' I [Theoretical bases of information-measuring equipment. Lecture notes. Part I]. Taganrog: Izd-vo TRTU, 2001. 125 p.

5. Qaisar, S.M., L.L. Fesquet and M.R. Laurent, 2009. Adaptive Rate Sampling and Filtering Based on Level Crossing Sampling. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2009(10.1155/2009/971656), 160 p.

6. Kavchuk S.V., Tkachenko G.I., Tkachenko M.G. Estestvennye i tekhnicheskie nauki. 2008. № 3. pp. 15-18.

7. Kavchuk S.V., Tkachenko G.I., Savchenko Ya.S. Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki. 2014. №4. pp. 147-155.

8. Goncharov V.L. Teoriya interpolirovaniya i priblizheniya funktsiy [The theory of interpolation and approximation of functions]. M.: Gostekhizdat, 1954. 327 p.

9. Avdeev B.Ya., Semenov E.I. [Adaptive information-measuring system (adaptive commutation)]. Pribory. 2009. №10. pp. 57-64.

10. Mark, J.W. and T.D. Todd, 1981. A nonuniform sampling approach to data compression. IEEE Transactions on Communications (issue 29), Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc, pp: 24-32.