Дифракция звуковых волн на эллипсоиде с неоднородным покрытием в цилиндрическом волноводе

УДК 593.3

ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА ЭЛЛИПСОИДЕ С НЕОДНОРОДНЫМ ПОКРЫТИЕМ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ

ВОЛНОВОДЕ

С.А. Скобельцын, Н.Ю. Пешков

Представлено решение задачи дифракции плоской и сферической звуковых волн на упругом эллипсоиде со слоисто-неоднородным покрытием. Эллипсоид находится в цилиндрическом волноводе бесконечной длины, заполненном идеальной жидкостью. Боковые стенки волновода являются акустически мягкими, абсолютно жесткими или импедансными. Решение проводится на основе линейной теории упругости и модели распространения малых возмущений в идеальной жидкости с помощью метода конечных элементов. Приведены результаты расчета давления в рассеянном звуковом поле, которые показывают влияние физических параметров эллипсоида и волновода на дифракцию звука.

Ключевые слова: упругий эллипсоид, неоднородный упругий слой, цилиндрический волновод, рассеянное поле, потенциал смещений, импеданс, метод конечных элементов

Введение. Исследование дифракции звуковых волн на упругих эллипсоидальных телах представляет значительный интерес. Эллипсоидальной геометрией охватывается большое многообразие форм. Многие реальные объекты хорошо аппроксимируются телами упомянутой формы. Дифракция акустических волн на упругих однородных сфероидах изучалась в ряде работ, например, [1 - 6]. В [7] рассматривался упругий неоднородный сфероидальный рассеиватель.

Изменение характеристик рассеяния звука упругих тел можно осуществить с помощью покрытий в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя. Дифракция звуковых волн на цилиндрических, сферических и сфероидальных упругих однородных телах с непрерывно-неоднородными покрытиями, находящимися в безграничном пространстве, исследовалась в [8 - 14].

Широкие возможности для исследования задач дифракции дает использование метода конечных элементов [15 - 17], который уже много лет с успехом применяется в решении различных практических задач гидродинамики и теории упругости. В монографии [17] подробно изложены различные аспекты использования МКЭ при решении задач о рассеянии звука объектами различного типа: жесткими, мягкими, упругими.

В данной работе представлено решение задачи дифракции плоской, цилиндрической и сферической акустических волн упругим эллипсоидом с неоднородным покрытием, находящимся в цилиндрическом волноводе бесконечной длины, заполненном идеальной жидкостью и имеющем абсолютно жесткие или импедансные боковые стенки, с использованием метода конечных элементов.

Постановка задачи. Пусть внутри цилиндрического волновода бесконечной длины Т радиуса г0 с центром О и осью ТТ, заполненного идеальной жидкостью с плотностью р о и скоростью звука со, находится упругий объект Е, внутренняя (основная) часть которого - однородный упругий эллипсоид с полуосями а, Ь, с и центром О\. На поверхность эллипсоида нанесен неоднородный упругий слой толщины И. Считается заданным d - смещение точки О\ от точки О. Также известны физические характеристики (плотность, модуль Юнга, коэффициент Пуассона) для однородной части тела - р^, Е^, п и для внешнего слоя - р2(г), Е2 (г), V 2 (г), где г - радиус-вектор точки пространства. Боковые стенки волновода являются абсолютно жесткими или импедансными.

Из акустического пространства волновода на тело падает монохроматическая звуковая волна (плоская или сферическая). Полагается, что потенциал смещений р частиц жидкости в ней имеет вид:

а) плоская волна

= е/

где к о - волновой вектор падающей волны (|к 0 = ко = —); ю - круговая

с0

частота; ? - время.

б) сферическая волна

Ако^ )

^р = е-,

где г, =

г - %

расстояние от источника до текущей точки; г,0 - центр источника.

В результате взаимодействия падающей волны с препятствием и стенками волновода образуется рассеянная волна. Потенциал смещений частиц жидкости в рассеянной волне требуется определить.

Геометрическая схема задачи представлена на рис. 1, а. Условно на нем показаны: однонаправленными стрелками - направление вектора ко плоской звуковой волны из (1); маркером-звездочкой - центр го сферического волнового источника из (2).

Введем ортогональную декартову систему координат Oxyz так, чтобы направление оси Ox совпадало с направлением вектора Т^. Также введем локальную систему координат Ol Xl У1 21 так, чтобы уравнение поверхности Г однородной части рассеивателя Е имело каноническую форму

(Х1/ а )2 +(у1/ Ь )2 +(21/ с )2 = 1.

Каждой точке М (х1, У1,21) поверхности Г будет соответствовать точка поверхности внешней поверхности Г2 тела с локальными координатами

х2 = X + Ьпх, у2 = У1 + Ипу, г2 = г1 + Нпг,

где пх, Пу, п2 - компоненты внешней единичной нормали п к поверхности Ц в точке М в системе координат О1Х1 у121. Значения пх, Пу, п2 зависят от параметров а, Ь, с и координат (х1, у1, ) следующим образом

пх = Х1(Ьс )2/ g, Пу = у1(Ьс )2/ £, п2 = 21(Ьс )2/ £,

где £ = д/ (х1 (Ьс )2 ^ + (у1 (ас )2 ^ + (21 (аЬ )2 )2

Рис. 1. Геометрическая схема, рассматриваемой задачи: а - геометрия задачи; б - Введение систем координат

Введем параметр q - расстояние от поверхности Ц внутренних точек неоднородного упругого слоя тела Е. Тогда любую точку (х 2, у 2,2 2) внутри внешнего слоя по аналогии с (2) можно представить в следующем виде:

х2 = х1 + Чпх, у2 = у1 + Япу, 22 = 21 + Яп2,

где 0 £ q £ И.

Ориентацию осей локальной системы координат О1 х1 у1 по отношению к глобальной Охуг будем задавать углами Эйлера а, р, 7 так, что

координаты связаны выражением

Т

" '"'а

(х, у, 2 )Т = Ма- Мр- Му( х1, у1,21 )Т + а

где

М 7 =

М а =

/соб а - бш а 0Л бш а соб а 0

0

0

1

(

М р =

У

1 0

0

Л

0 соб р - бш р 0 бш р соб р

и

соб у - бш у 0 бш у соб у 0

V 0 01У

- матрицы поворота. Углы Эйлера будем тракто-

вать как углы поворота тела Е при задании его ориентации по отношению к системе координат Оху2.

Схематично, геометрия задачи после введения систем координат представлена на рис. 1, б. Упругое тело на нем представлено сечениями поверхности Е координатными плоскостями системы координат О^у^.

На осях О1Х1, О1У1, О^ указаны точки А , А ; В , В ; С , С с локальными координатами (а,о,о), (а + И,о,о); (о, Ь,о), (о, Ь + И,о); (о, о, с), (о,о, с + И).

Обозначим области, занимаемые различными средами так: & о - область цилиндрического волновода, занятая идеальной жидкостью; - область эллипсоида, занятая однородной упругой средой

((х1 /а)2 + (у1 /Ь)2 + (21 /с)2 £ 1); &2 - неоднородный слой упругого препятствия (Х2 = Х1 + дпх, У2 = У1 + Япу, 72 = 21 + дп2, (х1,У1,21 )е Г1, о £ д £ И).

В области движение частиц идеальной жидкости определяется потенциалами смещений в падающей Тр и рассеянной волнах. Смещение и о и давление ро в области & о определяются через эти потенциалы так [18]:

и о = grad

где То = Тр + - потенциал смещений в суммарном акустическом поле

в области . При этом потенциал должен удовлетворять уравнению Гельмгольца [18]

АТ, + ко2 = о

и условиям излучения на бесконечности.

Предполагается, что движение частиц в препятствии подчиняется законам линейной теории упругости [19]. Обозначим вектор смещений и тензор напряжений в области эллипсоида и1 и 01 соответственно. Тогда гармонические колебания частиц в однородной части тела Е описываются уравнениями движения

Б1у

где Э1у(о1) - первый инвариант ковариантной производной тензора напряжений 01.

Аналогично в неоднородном слое препятствия уравнения движения будут иметь вид

Б1у

где и 2 и о 2 - вектор смещений и тензор напряжений в & 2.

Тензор напряжений выражается через компоненты вектора смещений посредством закона Гука, так что уравнения (7), (8) можно рассматривать как системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно компонент векторов смещений и1 и и 2.

На поверхности Г соединения внешнего неоднородного слоя и эллипсоида должны быть непрерывными смещения и тензор напряжений:

2оо

u1

Г

u2|Ц' s1nn

Г1

G 2

nn

Г1

G1

nt

G2nt Г (t = 1'2)'

Г

где Gjnj - компоненты скалярных произведений n g (i = 1,2, j = n, t); n

- внешняя нормаль к Г1; t - индекс, определяющий два касательных к Г1 направления.

На внешней поверхности тела Г - поверхности соприкосновения жидкости и упругого материала - должны быть непрерывными нормальная компонента вектора смещений и тензора напряжений

U1

n

Г2

= u0

n

Г2

, G1

nn

Г

Г2

G1

nt

Г

= 0

где п - индекс, соответствующий проекции на нормаль (индекс т на касательные) уже к поверхности Г2. Величины ио и ро выражаются через

потенциал То в соответствии с (4).

Наконец, на границе области & о - Го - боковых стенках волновода - в зависимости от их типа должны выполняться условия

а) Р0\ ~ = 0; б) U0

n

Г = о или б) ро Г = тЪ^оп

Го о „

где - входной акустический импеданс внешней области. Случай а) соответствует варианту акустически мягких стенок, б) - варианту абсолютно жестких стенок, а в) - импедансных.

Таким образом, в математической постановке задача состоит в нахождении решений уравнений (5), (7) и (8), удовлетворяющих граничным условиям (9), (1о), (11) и условиям излучения.

Решение задачи. Решение задачи проведено численно с использованием метода конечных элементов на основе подхода [2о, 21], основанного на искусственном ограничении бесконечной области цилиндрического волновода с помощью условий, моделирующих излучающие границы. Эти условия позволяют моделировать излучение вводимой границей области волны соответствующего типа в окружающую среду. Участки границы с такими условиями характеризуются минимальным отражением плоских, цилиндрических и сферических волн соответственно. Следовательно, если поле, формируемое объектами внутри области имеет характер близкий типу излучающей границы, то его отражение, направленное внутрь области, оказывается минимальным. Граничное условие, имитирующее излучающую границу, имеет вид [21]

а) плоская волна

+ 'ко +— А||Т, = о,

-п 2ко

где п - внешняя нормаль к границе; А|| - оператор Лапласа в касательной

плоскости для текущей точки границы;

б) сферическая волна

Эп

+

1

ik0 +— rs J

Y -

1 s

= 0.

Ограничим бесконечную область & о, вводя в рассмотрение две

/У

торцевые излучающие границы Го, расположенные перпендикулярно оси цилиндрического волновода Т1Т2 на расстояниях OQl и OQ2 от начала системы координат Оху2, так, чтобы внутри поверхности Го = Го и Го оказалось препятствие Е и источник звуковых колебаний. При этом минималь-

/У

ное расстояние от упругого тела до границ Го должно иметь порядок характерного размера упругого тела Я = (а + Ь + с) /3 + И.

Геометрическая схема задачи, модифицированная добавлением излучающих границ, представлена на рис. 2.

Рис. 2. Геометрия задачи с учетом границ Го

В скорректированной постановке задачи условия излучения (6) заменяются одним из граничных условий (12), (13).

Проведем дискретизацию совокупности областей жидкой и упругих сред & = & о и и &2 путем разбиения их на конечные элементы в форме тетраэдров. Все неизвестные функции в & представим в виде линейных комбинаций координатных функций узлов [17]. В частности для потенциала Т, можно записать

к=1

где у - узловые значения потенциала в области &; /к (г) - координатные функции конечно-элементной модели; К - количество узлов. Будем считать, что множество значений к = 1, К охватывает узлы всей КЭ-сетки области &, а в узлах, не относящихся к & о, положим у = о.

В форме, аналогичной

и(г )= I и к/к (г). к=1

Здесь и рассматривается как общее обозначение для смещений и1 и и 2, введенных выше.

В результате граничные условия (9), (10), (11), и одно из (12) - (13) будут содержать в качестве неизвестных только узловые значения функций , и1 и и 2 из ограниченной области О. После этого можно решать краевую задачу для уравнений (5), (7), (8) с указанными граничными условиями стандартной технологией МКЭ [17]. В результате решения находим все узловые значения неизвестных функций у , и к (к = 1, К).

Численные исследования. Представленная модель решения задачи была использована для численных исследований определения рассеянного поля звуковой волны (плоской, цилиндрической или сферической) в математическом пакете МЛТЬЛБ [22].

При проведении численных исследований анализировались значения потенциала смещений в рассеянной звуковой волне в ограниченном числе точек Г1,Г2,...,Г/, полученные в пакете конечно-элементного анализа С0М80Ь МиШрИуБЮБ [23] ¥{ располагались на окружности радиуса Г0 с центром F, которая, в свою очередь, размещалась на боковой поверхности цилиндрического волновода параллельно границам Ц.

В качестве функциональных зависимостей параметров упругой среды в неоднородном слое рассматривались три линейных зависимости

wo(И) = 1; ) = 0,5 + q/И; ^2(И) = 1,5 -q/И, (wo (И) используется для случая однородного покрытия).

Зависимость параметров материала неоднородного слоя от координат представлялась в виде

р 2 (я )=Р1^ X Е2 (я )=Е1^), п (q ),

где w(q) - одна из функций Wk^) (к = 0,1, 2).

Предполагались следующие геометрические характеристики цилиндрического волновода: = 5 м, О^ = OQ2 = 4 м . В качестве идеальной среды, заполняющей область О 0, использовалась жидкость с плотностью Р0 = 1000 кг/м3 и скоростью звука с0 = 1485 м/с.

Рассматривалось упругое препятствие, имеющее фиксированные геометрические параметры: а = 1,5 м; Ь = 1м; с = 1 м ; И = 0,2 м; а = (-1,0,0) м; (а, р, у)=(р/6,0,0). Плотность и модули упругости в области О задавались так: р1 = 2700 кг/м3 , Е1 = 6,9443 -1010 Па и у1 = 53/158.

Частота падающей волны выбиралась такой, что к0Я = 5 .

Расчет значений потенциала проводился в нормальном сечении П волновода, находящимся между источником звука и эллипсоидом на расстоянии 3а от его центра.

На рис. 3 - 7 представлены линии уровня вещественной части потенциала для случая сферического источника.

У

-5 -4-3-2-10123

Рис. 3. Линии уровня

х

Рис. 4. Линии уровня Ч^

На осях графиков откладываются значения декартовых координат х и у в сечении волновода. Внешняя пунктирная окружность показывает границу сечения. Утолщенная пунктирная линия показывает проекцию эллипсоида на плоскость П. Крестовой маркер показывает проекцию на П центра сферического источника звука. Все представленные расчеты, кроме рис. 5, получены при условии, что стенки волновода - акустически мягкие.

Рис. 5. Линии уровня

Рис. 6. Линии уровня

2о5

Рис. 7. Линии уровня ^

На рис. 3 представлены результаты расчета ^ для случая, когда источник звука и центр эллипсоида находятся на оси волновода. Линии уровня ^ представляют собой почти правильные окружности, хотя форма препятствия не является центрально симметричной. Это показывает, что определяющим фактором выступает форма и тип поверхности волновода.

Изменение распределения рассеянного давления при изменении типа поверхности волновода показано на рис. 4, который построен для случая абсолютно жестких стенок. Величина давления в рассеянной волне отличается от соответствующих значений для случая акустически мягких стенок на 10.. .15 %.

На рис. 5 показано влияние на распределение давления смещения по оси х эллипсоида без поворота. При этом точка максимума отклонений давления в рассеянном поле остается в точке проекции источника, а уровень ^ при положительных значениях х изменяется на 30.50 %.

Жесткая связь точки максимума в поле рассеянного давления с положением источника проявляется и на рис. 6, который построен для случая сдвига источника в сторону отрицательных значений у. Максимум в величине ^ также смещается в точку проекции источника на П.

Эффект влияния неоднородности покрытия демонстрируется на рис. 7. Здесь представлены результаты расчета давления в рассеянной волне при той же геометрической конфигурации, что и в случае рис. 6. Но в этом случае модуль Юнга покрытия эллипсоида задан зависимостью

206

E = Ejw^r). Как видно, изменились и структура распределения линий уровня Y и значения потенциала. При этом более существенные изменения наблюдаются в участках сечения расположенных дальше от проекции источника.

Заключение. Использованное решение демонстрирует эффективность использования метода конечных элементов для решения задач о рассеянии звука при достаточно сложных конфигурациях волноводных систем.

Полученные результаты численных исследований показывают, что при рассмотренной частоте звука физические и геометрические параметры задачи заметно проявляются в рассеянном поле. Однако получение достоверных результатов при увеличенной частоте источника требует существенных затрат вычислительных ресурсов.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

Список литературы

1. Flax L., Dragonette L., Varadan V.K., Varadan V.V. Analysis and computation of the acoustic scattering by an elastic prolate spheroid obtained from the T-matrix formulation // J. Acoust. Soc. Amer. 1982. V.71. № 5. P.1077 - 1082.

2. Клещев А. А. Трехмерные и двумерные (осесимметричные) характеристики упругих сфероидальных рассеивателей // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 2. С. 268 - 271.

3. Hackman R.H., Sammelmann G.S., Williams K.L., Trivett D.H. A re-analysis of the acoustic scattering from elastic spheroids // J. Acoust. Soc. Amer. 1988. V. 83. № 4. P. 1255 - 1266.

4. Рождественский К.Н., Толоконников Л. А. О рассеянии звуковых волн на упругом сфероиде // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 5. С. 927 -930.

5. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на упругом сфероиде с малым эксцентриситетом в вязкой среде // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 152 - 157.

6. Клещев А. А. Резонансное рассеяние звука на упругих сфероидальных телах и оболочках // Акуст. журн. 2014. Т. 60. № 3. С. 253 -261.

7. Толоконников Л.А., Лобанов А.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 176 - 191.

8. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265 - 274.

9. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202 - 208.

10. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2013. Вып. 3. С. 179 - 192.

11. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519 - 526.

12. Толоконников Л.А., Родионова Г.А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2014. Вып. 3. С. 131 - 137.

13. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 181 - 193.

14. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. О дифракции звука на упругом сфероиде с непрерывно-неоднородным покрытием // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. междунар. науч. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 457 - 464.

15. Harari I., Hughes T.J.R. Finite element method for the Helmholtz equation in an exterior domain: model problems // Comp. Methods Appl. Mech. Eng, 1991. V. 87. P. 59-96.

16. Gan H., Levin P.L., Ludwig R. Finite element formulation of acoustic scattering phenomena with absorbing boundary condition in the frequency domain // J. Acoust. Soc. Am. 1993. V. 94. № 3. Pt. 1, P. 1651-1662.

17. Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer Publishing Company Inc., 2013. 226 p.

18. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

19. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

20. Скобельцын С. А. Решение задач акустики с использованием метода конечных элементов: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2018. 224 с.

21. Acoustics Module User's Guide. Stockholm: COMSOL AB, 2018.

698 p.

22. MATLAB Programming Fundamentals. MA.: The MathWorks, Inc., 2018. 1418 p.

23. LiveLink for MATLAB User's Guide. Stockholm: COMSOL AB, 2018. 352 p.

Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, skhlaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Пешков Никита Юрьевич, аспирант, nikita.peshkoffayandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

DIFFRACTION OF SOUND WA VES ON AN ELLIPSOID WITH AN INHOMOGENEOUS COATING IN A CYLINDRICAL WAVEGUIDE

S.A. Skobel'tsyn, N.Y. Peshkov

The solution of the diffraction problem for the plane and spherical sound waves on a elastic ellipsoid with an inhomogeneous coating, is presented. The ellipsoid is located in a cylindrical waveguide of infinite length filled with an ideal fluid. The waveguide's side walls are soft, hard or impedance. The solution is realized at the base of the linear theory of elasticity and the model ofpropagation of the small vibrations in an ideal fluid using the finite element method (FEM). The results of calculation of the of the scattered sound field pressure, which show the influence of the physical parameters of the ellipsoid and waveguide at sound diffraction, are presented.

Key words: elastic ellipsoid, inhomogeneous elastic layer, cylindrical waveguide, scatteredfield, displacement potential, impedance, finite element method.

Skobel'tsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, skhl a ramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Peshkov Nikita Yurievich, postgraduate, nikita.peshkoffayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 004.052.42

АЛГОРИТМ ОЦЕНИВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОТЛАДКИ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЭРЛАНГА ДЛИТЕЛЬНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ ОШИБОК

А.И. Данилов, А.А. Данилов

Предлагается динамическая модель поиска и устранения ошибок в программном обеспечении, с использованием которой разрабатывается алгоритм оценивания эффективности отладки программных средств, использование которого позволяет комплексно планировать финальную надежность программных средств, затрачиваемые ресурсы и необходимое время на различных этапах реализации проектов. Процесс обнаружения ошибок аппроксимируется двухфазным обобщенным распределением Эрланга, а процесс устранения ошибок - экспоненциальным законом. После аппроксимации процесс отладки программ представляется марковской системой обслуживания с дискретным множеством состояний и непрерывным временем. При этом используются вероятности обнаружения ошибок для каждого модуля. Приведены размеченный граф и система дифференциальных уравнений, численное решение которой позволяет вычислить показатели надежности программных средств. Для комплексного оценивания эффективности процессов отладки программ использован обобщенный показатель - вероятность достижения цели операции (отладки). Приведены результаты расчетов как частных показателей целевого эффекта отладки программ, так и комплексного показателя эффективности.

Ключевые слова: модель, эффективность, программные средства, ошибка, вероятность, распределение Эрланга.

По известным причинам вопросам надежности программных средств (ПС) и эффективности их отладки всегда уделялось большое внимание. Существующие стандарты разработки ПС требуют осуществлять

209