Математические ожидания k-х входящих степеней вершин в случайных графах в модели Боллобаша--Риордана

УДК 519.175.4

Л. А. Остроумова

Кафедра дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ;

Отдел теоретических и прикладных исследований, ООО «Яндекс»

Математические ожидания к-х входящих степеней вершин в случайных графах в модели Боллобаша—Риордана

Работа посвящена модели Боллобаша-Риордана случайного веб-графа. Эта модель адекватно описывает поведение реального веба. Рассмотрено математическое ожидание к-ой степени вершины в такой модели. Получены новые верхние и нижние оценки.

Ключевые слова: случайный граф, веб-граф, степень вершины.

1. Введение

Настоящая работа посвящена изучению свойств случайных графов. Существуют различные модели таких графов. Наиболее известна классическая модель Эрдеша-Реньи, в которой ребра между п вершинами проводятся независимо друг от друга с вероятностью

0 < р < 1. Изучению графов в модели Эрдеша-Реньи посвящено множество работ. Основные результаты можно найти в книгах [1, 2, 3].

В последнее время появилась потребность моделировать графы, которые описывают реальные структуры. Классические модели не всегда хорошо отражают свойства этих структур. В качестве примера можно рассмотреть Интернет. Пусть вершины графа — это страницы Интернета, а ребра — гиперссылки между ними. Известно, что распределение степеней вершин полученного графа подчиняется степенному закону, который не наблюдается в модели Эрдеша-Реньи. Именно поэтому стали появляться другие модели случайных графов, которые обладают нужным распределением степеней вершин. Первым исследованием в этом направлении можно назвать работу Барабаши и Альберт (см. [4]). Позже, Боллобаш и Риордан уточнили модель Барабаши-Альберт. В статье [5] можно найти обзор различных моделей случайных графов и основных результатов.

В настоящей работе мы будем исследовать модель Боллобаша-Риордана. Опишем, как строится граф в этой модели. Обычно для него используется обозначение С^, где п — число вершин, т — фиксированный параметр. Сперва по индукции строится С^. Граф С} состоит из одной вершины и одной петли. Граф С} получается из С}-1 добавлением вершины £ и одного ребра между вершинами £ и г, где г выбирается случайно следующим образом:

Г dGt-1 (в)/(2£ — 1), если 1 ^ в ^ £ — 1,

р(г = в) = < ,1

[1/(2£ — 1), если в =

Здесь dGtl

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 12-01-00683, гранта Президента РФ № МД-666.2012.1, гранта поддержки ведущих научных школ НШ-2519.2012.1.

строится на основе Стп. Первые т вершин составляют первую вершину нового графа,

следующие т — вторую, и так далее. Ребра в некотором смысле сохраняются, а именно: если в 0тп ребро соединяло вершины І и І, то в полученном графе От это ребро соединяет те группы вершин, в которые попали І и І Тем самым в графе могут возникнуть кратные ребра и кратные петли. Построенные таким образом графы О'т образуют вероятностное пространство 6^

Большое количество работ посвящено изучению свойств графов предпочтительного присоединения. В частности, изучался их диаметр (см. [6]). В статье [7] Боллобаш и Ри-ордан показали, что распределение степеней подчиняется степенному закону.

В настоящей работе изучаются к-е входящие степени вершин. А именно, посчитано математическое ожидание суммы к-й и (к — 1)-й степеней вершины в графе СП как при фиксированном к, так и при к, растущем с ростом п. Аналогичные результаты, но при фиксированном к, получены для графа О'т с произвольным т.

В разделе 2 будут введены основные понятия и сформулированы теоремы. Доказательства теорем приведены в разделе 3.

2. Введение обозначений и формулировки результатов

2.1. Определение к-й входящей степени вершины

К определению к-й степени вершины можно подходить по-разному в зависимости от ситуации. Первое возможное определение к-й степени вершины і в некотором графе — количество ребер, которые выходят из вершин, находящихся на расстоянии к—1 от і, кроме тех, которые ведут в вершины, находящиеся на расстоянии к — 2 от і. Кроме того, можно определять к-ю степень вершины і как количество вершин, находящихся на расстоянии к от нее.

В графе предпочтительного присоединения вводится естественная ориентация ребер

— от вершин с большими номерами к вершинам с меньшими. Соответственно можно рассматривать «входящую» степень вершин. Определим ее сперва по аналогии с первым определением. Будем пока рассматривать только граф СП. Пусть множества О к (і) определяются индуктивно следующим образом: О0(і) = {і}, для к ^ 1

Ок(і) = {І : І Є Оо(і) и Оі(і) и ... и Ок_і(і), З І Є О^_і(і), І Є С*,1}.

Когда будем писать іі Є С^, будем иметь в виду, что направленное ребро из вершины І в вершину І проведено в графе С^. Таким образом, Ок (і) — множество вершин і, от которых можно добраться до вершины і самое меньшее за к шагов, двигаясь все время по направленным ребрам. Далее, пусть

$к(і) = {ІІ : І Є Ок_і(і), іі Є СП, к ^ 1.

Величина |5к(і)| = ^к(і) и есть к-я входящая степень вершины. Считаем ^0(і) = 1. Кроме того, можно было бы назвать к-й входящей степенью вершины і количество вершин, находящихся от і на «входящем» расстоянии к, то есть |Ок(і)|. Заметим, что в графе СП при к > 1 оба определения совпадают. Далее под ¿(¿) (или (і)) понимаем полную степень

вершины і, а под ^к(і) — к-ю входящую степень вершины і.

В настоящей работе будет вычислена величина Мдк(і), где дк (і) = ^к(і) + ^к-1(^), к ^ 1.

Для графа вычислим немного другую величину. Пусть О!к (і) — множество таких вершин графа С^, из которых можно добраться до вершины і ровно за к шагов, двигаясь все время по направленным ребрам (но не по петлям). При этом возможность добраться

за меньшее количество шагов допускается. Считаем Д0(£) = {£}. Положим d/fc(£) = |Ок(£)|. Вычислим величину Мдк(£), где д'к(£) = d/k(£) + т^_}(£). Для т =1 при к > 2 эта величина не отличается от определенной ранее, поскольку в графе СП между двумя вершинами не может быть больше одного направленного пути.

2.2. Формулировки результатов

Сперва рассмотрим граф G^. Определим функцию / (t, n). Пусть f0(t,n) = 1, а для fc > 0

Л(‘-") = (ГТ1)!\/?(1п\/?) •

Теорема 1. Для любого натурального к ^ 2 и любой вершины t < n в графе G^

Mgfc(t) = fk(t,n) (1 + 0(k,t,n)) (1 + 0i(t))fc , k2 1

где |0(fc,i, n)| ^ С--—; |^i(i)| ^ C*it; С и C\ — некоторые константы.

t ln л/n/t г

Посмотрим, при каких условиях на fc и i мы получаем асимптотику. Чтобы получить

|0(fc, i, гг) | = о(1), надо взять fc = о(у/ТТп^). Тогда при i ^ 1п п имеем (1 + $i(i))fc = 1+о(1).

Чтобы иметь возможность взять к ^ 2, надо наложить ограничение t ^ n — w(n), где w(n) стремится к бесконечности с ростом n.

Следствие 1. Пусть w(n) ^ œ при n ^ œ. Пусть, далее, ln n ^ t ^ n — w(n) и k = o(^Jt ln j), k ^ 2. Тогда

Mgfc

при n ^ œ.

Далее от графа СП перейдем к графу С^, с т ^ 2. Обозначим через 1ц индикатор того, что в графе С^, проведено ребро Іі. Заметим, что для величин дк(і) в графе СП выполняется соотношение

П

дк(і) = X] дк_і(і)/і* г=і+і

при к ^ 3. Для к = 2 это не всегда выполнено из-за возможности петли в вершине і. Для т ^ 2 введем аналогичную величину ^(і). Определим ее индуктивно. Пусть ^і(і) = ^(¿), а для к > 1

Як(£) = X ?к-1(г)1**. г=*+1

Ясно, что Як(£) ^ дк(£), поскольку это неравенство выполнено для к = 1, а для к > 1

П

дк(£) ^ X] дк-1(г)/^*-

i=t+1

Кроме того, заметим, что Як(£) — оценка сверху суммы степеней вершин из множества О'к-1(£). Для к =1 имеем точное равенство, а для к > 1 работает рекуррентное соотношение.

Для величин Як(£) докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Фиксируем m ^ 2. Для любого натурального k ^ 2 и любой вершины t < n в графе Gm

Mqfc(t) = mk fk(t, n) (1 + 6(k,t,n)) (1 + 6i(t))k ,

~ k2 ~ 1 ~ ~

где \9(k,t,n)\ ^ С--—, |^i(i)| ^ C\-r, С и C\ — некоторые константы.

t ІПл/n/t t

И, наконец, оценим gk(t) снизу и получим следующую теорему.

Теорема 3. Пусть натуральные m ^ 2 и k ^ 1 фиксированы. Тогда для t < n

1

Mgk(t) = m fk(t,n) 1 + O

t min{l, ln j}

В трех параграфах следующего раздела будут последовательно доказаны теоремы 1,

2 и 3.

3. Доказательства теорем

3.1. Доказательство теоремы 1

Заметим, что gi(t) = d(t) — обычная степень вершины t. Докажем, что для любого к ^ 2

Mgfc(t) = fk(t,n) (1 + 6»(k,t,n)) (1 + 0i(t))fc ,

1

где |0(fc,i,n)| ^ С-------, |^i(i)| ^ СiT, константы С ж Ci будут определены далее.

t ln л/n/t t

Математическое ожидание степени вершины i графа G™ известно, оно равно л/njt (1 +

1

+ 0(1/£)) (см. [7]). Это несложно вычисляется следующим образом:

М(^1 (£)) = 1 + 1/(2£ — 1).

А для в > £ имеем

М(^С| (£)Ис1-1 (£)) = dGs1-1 (£) + ^1-1 (£)/(2в — 1)-

Откуда следует, что

м№:<‘)) = г^тМ^-.М).

И получаем, что для любой вершины £

«№*<*» 11 ^НУ!=^(і+от)-

i=t

В последнем равенстве используем формулу Стирлинга. Это в точности рассуждения из [7], нам потребуется сослаться на них при доказательстве следующего вспомогательного утверждения.

Лемма 1. Для любых вершин 1 ^ £ < г ^ п при к ^ 1 и к = 2 выполнено

М 1цдк(г) = М/й  Мдк(г)  (1 + ^(г)),

где |02(01 ^ Для к = 2

М1цд2(г) = М 1ц  (Мд2(г) — 2^—\) ' + ^(О)-

Доказательство. Рассмотрим случай к =1. Помним, что д1(г) = d(г). Имеем:

Шц(1{г) = Шц • М(ф)| 1ц = 1) = Шц • 1Ш(г) • ^1 - ^ .

Поясним, откуда взялось последнее равенство. Вспомним, как мы считали математическое ожидание степени вершины. В графе С\ выполняется МдСг(г) = ^, а далее при до-

бавлении каждой следующей вершины в число умножается на 2в/(2в — 1). А при наличии ребра г£ получаем dGi(г) = 1, т.е. М^Сг (г)1= 1) = 1. Дальнейшие вычисления не изменяются. Получаем, что если в графе есть ребро г£, то математическое ожидание степени вершины г изменяется всего лишь в 1 — раз. Тем самым для к = 1 лемма доказана. Пусть теперь к ^ 3:

М/Йдк(г) = М1^  М(дк(г)|/Й = 1),

П

М(дк(г) 1 /И = 1) = X М(дк-1(^)/^г|/г* = 1) =

.7=2+1

П

= X М(/7ч|1** = 1)  М(дк-1(^')|/72 = 1,/й = 1) =

7=2+1

П

= £ Ш»= !) = Мл(.) • (1 + <ВД).

7=2+1

Здесь воспользовались случаем к = 1 при вычислении М(/72|/24 =1). Кроме того, следует пояснить равенство М(дк-1(^')|/7г = 1,1^ = 1) = М(дк-1(^')|/7г = 1). Заметим, что наличие ребра ^'г полностью определяет вероятности ребер Ц и (_; + 1)^'. Далее, по индукции, оно однозначно определяет вероятности тех или иных ребер на множестве вершин ..., п. Поэтому распределение ребер на вершинах ..., п при условии /7-2 = 1 совпадает с распределением этих ребер при условии события (/72 = 1) П (/24 =1).

Осталось рассмотреть случай к = 2. Заметим, что равенство

П

М

7=1+1

верно, хотя без условия /24 = 1 таковым не являлось. Итак,

М/г*д2(г) = МД*  М(д2(г)|/** =1),

ПП

М(д2(г)|/г* = 1) = X М(д1(^)/7*|/** = 1) = X М(/72|/2* = 1)  М(д1(^')|/7г = 1 > /И = 1) =

7=2+1 7=2+1

П

= X • ^1 - ^ • М(У10-)|/,Ч = 1) = - 2* — 1 ) ’ (1 + ^2(0)•

7=2+1

Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. Для к =1, как мы уже знаем,

IШ(£) = (1 + <*Р1^)),

где |^1(£)| ^ М1/£, М1 — константа.

Теорему будем доказывать по индукции. Рассмотрим сперва к = 2. Нетрудно видеть,

что

М#2(і) — М їіі^(і) + М 1а — Мїіі^(і) + р(їіі — 1) —

і=і+1 і=і+1

п

= X М/г* • ^ІШ(г) - 2^ і) + ^(О) + 2і — 1 * і=і+1

В последнем равенстве воспользовались леммой 1.

Математическое ожидание индикатора їіі — вероятность ребра іі в графе СП:

ЬА(1сі-і (¿) \/(і — 1)/і л/іН

мій = -^Ьг = 2і — і ^ = Уг ^ + в*№>

где |03(і)| ^ С3/і, С3 — константа.

Введем обозначение: ^(і) — величина, не превосходящая С1/Ь, где С1 выбирается настолько большой, чтоб можно было заменить выражением (1 + ^(і)) следующие два выражения: (1 + ^(і)) и (1 + 02(г))(1 + 03(і)) для і > і.

В итоге получаем

МІц

2і

Складываем по всем і > і (пользуемся интегральным признаком):

^(і+вт2+о> 1

іуіі

X к= + 0(1/і) = 1п л/^/1+0( ІД),

і=*+1 і

п

г=*+1

Итак,

м^2(і) = \АЛ (1п \АЛ + ^(іА)) (! + ^і^))2 + о (і = \fnjtil + 6і!(і))2 (іп + О

Получили выражение

Щ2ІІ) = ^^-(1 + вхіі))2 (іп + ф, п)^ ,

1п л/п/1

где \<р(Ь, п)| ^ М — константа. Это равенство верно для любого Ь ^ п.

Теперь выберем константу С. Пусть С = тах{М, 1}. С такой константой, очевидно, утверждение верно в случае к = 2. Предположим, что к ^ 2 и

Щк{1) = (1п V? + е(-к’*’п) 1пл/?)(1 + 01

і

для £ ^ п. При £ = п считаем, что 0(&, п) 1п ^ Ск2/1. Сделаем переход индукции. Поступим аналогично. Заметим, что для любого натурального к ^ 2

п п п

Мдк+1^) = М X 1%ь9к(г) = X Шидк(г) = X М1и ' Мдк(г)(1 + ^(г))-

i=t+1 г=*+1 г=4+1

В последнем равенстве воспользовались леммой 1. Далее п п /тут

£ М/- ' МЛ««1 + «2«) = £ ^МЛ(г)(1 + <ВД)(1 + %(()) =

i=t+1 i=t+1

i=t+1

В итоге получили

М^+1(*)= X ^(1пУ|) (1 + в1(г))к+1{1п^ + 1п^в(к,г,п)) =

i=t+1

(1+».«)‘+1^ ( £ М>”У!Г + Е

^^+1 ¿=*+1

Сначала рассмотрим первую сумму в получившемся выражении:

п

^ 1 / /—\ к“1 1 Г 1 / N &-1

Е I (1п \/1) = ¥ х (1п I) Лх + в^-

i=t+1 к-1

1(ь|г^=-/нг-и)=|и'‘

В итоге первая сумма в выражении для Мдк+1(^) имеет вид:

П 1_, 7

£й(>”/!Г =Н‘”У!) +^>-

i=t+1

Посмотрим на вторую сумму. Обозначим ее 05(£). Хотим оценить сверху модуль этой величины:

П ] ,

к—1

i=t+1 ¿=Л+1 V <0

1=4+1

/ \ к— 1

2 / /—\к-2 С к2

^ л™ V /

2хЬ \ ух) ¿

t

п

п

п

Итак,

à Vf (b Vf

, . к (в4(Ь) + 05(Ь)) ~

Положим в (к + 1, ¿, гг) = ------ ----^------. Осталось лишь проверить, что эта величина до-

статочно мала:

в (к + 1, t, п) In

к

i^Vf)

k-1

< k_ _|_ Cfc3 < C^fc + l)2

2t 1 t

t

Последнее неравенство выполнено для любых к ^ 2 и С ^ 1. Теорема доказана.

3.2. Доказательство теоремы 2

Доказательство этой теоремы будет аналогично доказательству теоремы 1. Фиксируем натуральное число m ^ 2. Помним, что граф Gm получается из графа Gmn объединением вершин в группы по m. Вершина t в Gm получена из вершин m(t—1) + 1, m(t —1) + 2,... , mt. Положим N = mn.

Для начала посмотрим, что происходит с математическим ожиданием степени вершины t в графе Gm. Нужно сложить математические ожидания степеней вершин графа Gmn, из которых получена вершина t:

mt

__ mi _____

•\JW(l + 0(l/i)) = X \/^n(l + 0(l/rai)) = m yfd + 0(l/i)).

Md(t) = ^

i=m(t—1)+1 i=m(t—1)+1

Хотим доказать, что для любого к ^ 2

Mqk(t) = mk /к(t,n) (1 + 0(fc,t,n)) (1 + 6»i(i))k ,

где |0(fc,i, гг) I ^ C-

к2

i In л^/ гг/i" ' 4/1 ^

Докажем аналог леммы 1 в нашем случае.

Лемма 2. Для любых вершин 1 ^ t < i ^ n в графе G^ выполнено

(i) = MI**  Mqfc(i)  (1 + ^2(i)),

Доказательство. При k

Mlitd(i) =

= 1 получаем

Mlit  M(d(i)|/it = 1) = M/it  Md(i)  (1 + O(1/i)).

Здесь надо пояснить последнее равенство. Степень вершины г в графе Gm — сумма степеней тех вершин в графе Gn, из которых получена г. Для каждой из т вершин, которые составляют г, математическое ожидание степени вершины при наличии ребра в одну из более ранних вершин изменяется в 1 + 0(1/тг) раз. Отсюда получаем М(д(г)|!й = 1) = Мд(г)(1 + + 0(1/г)). Для к =1 лемма доказана.

Для к ^ 2 в точности повторяем рассуждения из доказательства леммы 1. Только в этом случае доказательство для к = 2 не отличается от к ^ 3. Лемма доказана.

к

Далее, посмотрим, чему равна вероятность ребра іі в графе для і > і. Вершина і получена объединением т вершин графа Стп. Вероятность того, что хотя бы из одной из этих т вершин идет ребро в і, не превосходит:

М1.< £ М^= £ ^(1 + 0(1/())^(1 + 0(1/()).

^'=т(г—1)+1 ^'=т(г—1)+1

С другой стороны, вероятность ребра іі можно оценить снизу (формула включения-исключения):

( т 2 М^ (¿)(М^ (і)+ 1)4 . . ,

М/“ ^ ---- 4т^ ) 0 + °(1/І)) =

= + О (І)) (1 + 0(1/0) = ^ (1 + 0(1/0).

Получили, что вероятность ребра іі в графе в т раз больше, чем в графе 0^.

Перейдем непосредственно к доказательству теоремы. Как мы уже знаем, Мд1(^) =

= Мд(0 = ту^(1 + 0(1/0).

Далее можем проводить в точности рассуждения из теоремы 1 (индукцию на этот раз начинаем с к = 1). Единственное отличие — математическое ожидание индикатора ребра И в графе Ст в т раз больше, чем математическое ожидание того же индикатора в С^. То есть каждый шаг индукции будет увеличивать функцию в т раз. В итоге придем к выражению:

М<зк(і) = тк/(і,п) (1 + 0(М,п)) (1 + ^(О^ .

Теорема доказана.

3.3. Доказательство теоремы 3

Заметим, что оценка сверху величины дк(О уже была получена в теореме 2, и в случае фиксированного к она в точности такая, какая требуется. Осталось оценить дк(О снизу.

Доказываем утверждение теоремы индукцией по к. Сперва рассматриваем случай к = 1:

П П

Мд[(г) = т + X М/й = т + X ^ + ^(1/0) =

¿=¿+1 ¿=¿+1 ^

= + ^/О) = т/і(і,п)(1 + 0(1/0).

Далее переход индукции. Пусть доказали, что на шаге к

%№) = т‘ЛМ (і + О (ітіп{; іІ1?})) .

Докажем в этом случае следующую лемму.

Лемма 3. Для любых вершин 1 ^ і < і ^ п в графе для к =1

МІид[(і) = М1и • га/і(г,п) (і + О (0) .

А для к ^ 2

М/г*^(0 = М Іи-тк ¡к(г,п) ^1 + О ‘

Доказательство. Здесь и далее при г = п в знаменателе может появиться In j = 0. Но во всех случаях логарифм в знаменателе сократится с таким же в числителе, поскольку при k ^ 2 он содержится в функции /&.

Докажем утверждение для k ^ 2, поскольку случай k =1 рассматривается абсолютно аналогично. Имеем

(г) =  M(gk(г)11^^ = 1).

Далее, пусть A — событие, заключающееся в том, что из вершины г идет ребро в какую-нибудь из предыдущих вершин. Тогда

M(gk (*)|1it = 1) = M(gk (г) I A) = (M/ (г) - M(gk (i)|A)P(A)) /P(A) =

= mk fk{i,n) ^1 + 0 ^imin{} ing})) “ М(9'к(г)\А)Р(А) (1 + 0(l/i)). 1

Ясно, что P(A) = О

Далее, заметим, что

м(9к(г)\А) < M(Qk{i)\A) = О fk{i,n) (1 + 7

г тш{1,1п

Поясним последнее равенство. Заметим, что в графе имеем М(д(г)|А) = 2т. В

графе получаем: М(д(г)|А) = 2т^М(1 + О(1/г)). И тем самым вероятность ребра в

вершину г из какой-либо из последующих вершин (при условии события А) увеличивается не более чем в два раза. И в итоге М(дк(г) | А) увеличится не более чем в 2к раз по сравнению с Мдк(г).

С учетом всего вышесказанного получаем, что

M(gk(i)|/it =1) = m /fc(i,nHi + о

г тш{1,1п Что и требовалось.

Для к = 1 доказательство отличается лишь тем, что вместо О ( --------г—,—т-т- ) имеем

угтш{1, т )

Рассмотрим величину ™=i+i Mgk (i)1it. Для k =1

n

X Щ[(г)1и = X (Х + 0 (т)) =

= ™2 £ ¿К1 + 0 (?)) = ™2лм (!+0 (

i=t+1 i=t+1

n n / / \ \

£ ^ - m‘ л(;-п) (!+0 (¡ж?) +0 (?)) =

mk+1 fk+i(t,n) ^1 + О

i=t+1 i=t+1

mk+i Vn Л /п\"~" I 1 , I 1

(k - 1)! .

i=t+1

1 4oft

tin? 1 Vi

1

Такие суммы мы считали при доказательстве теоремы 1. Мы знаем, что П-^+і Мдк(¿)!й

не меньше, чем Мд к+і(і). Некоторые вершины, из которых можно добраться за к и к — 1 шаг до соседей вершины і, могут совпадать. Пусть есть вершины, из которых ведет более одного ребра в вершины из Б к(і). Тогда вычтем «лишние» ребра (все, кроме одного). Аналогично, вычтем «лишние» ребра для вершин, из которых ведет более одного ребра в вершины из ^к_ і (і), их нужно вычесть т раз. Пусть В+і(і) и В (і) — соответственно количество этих ребер. Обозначим через Гк+і(І,І) и Гк(і, і) количество «лишних» ребер, выходящих из вершины і. Для начала оценим МВк(і) (аналогично оценивается МВк+1(і)):

П

МВд.(і) = X Мгк(і,і). і—і+і

Далее появятся константы с1, с2 и с3, возможно зависящие от к и т. Значения этих констант нам не важны. Помним, что дк(і) является оценкой сверху суммы степеней множества Б'к_ 1(і). Обозначим через ді(і) ту же величину дк(і), но в графе Сі Вероятность того, что из конкретных двух вершин, составляющих і, проведены ребра в Б'к_ 1(і), равна 0(Мд1 (і)(Мді(і) + 1)/і2). Поэтому при к =1

гі

і—¿+і

О

/2

Мг>(М)<^М81(*)(У) + 1)<

М 1п V *

к-і

1 + О

1

і тіп{1,1п І}

+

Итак,

С2Л/! ІП

+

к—і

2 к—2

1 + О

1

гі

+

1 тіп{1,1п |}

2 к—2

+

(ІГ

,к-1

+

к—і

МВк (і) = О X

й2 тіп{1,1п2 |} і\/ії й\/йтт{1,1п |} ) к—і л і\к—2'

,2 к—4

гі

+

М—і+і

гі2

+

гі

+

гі2

Оценим сверху сумму

и

і—і+і

Докажем, что она достаточно мала. Рассматриваем I > 0. Нетрудно убедиться, что функ-

ция

(МУ

хі

на отрезке [¿, то] монотонно растет до точки х = ¿в1 и далее монотонно убывает.

Iі

В точке х = іе она равна Положим <рі = 1/і , если ¿е < п,ж ірі =

Мі

пі

иначе. Сумму

і

2

і

:2

Б(/) можно вычислить следующим образом (интегральный признак):

^ Лп(гД)г\ [ 1п(жД)г , . 1п1+1(п/£) , .

£ (-ТГ^) = У = 1(7ТТГ + °Ы'

г-*+1 4

/ 1п п/~Ь \

При / = 0 имеем ¿'(0) = О ( —^— ). Будем считать щ = 0.

Итак, мы получили оценку на МВ(¿):

МВ (¿) =

^ /'1п(пД)2*!_1 , , 1п(пД)2А:“3 1*Р2к—& , Ь^/*)* (1ппД)к_1 <^_2

= О I ------1--------Ь <Р2к-2 Н----^2------1---1---1----1------^ ^к~1 -------¡2------------1-Т~

Аналогично

МВ+1(^) =

/'1п(п/()2*+1 ^(п/г)2*-1 92»-2 , 1п(п/()*+1 (1пп/()Ь

= О ----(--+ т + —^+ —(— + ^ + —

Нужно проверить, что эти величины малы по сравнению с /д;+1(^, п). Нетрудно убедиться, что

М-ВД) _ 0 ( 1

1пй(п/£)л/пД yi min{l, In j}

M%i(i) _q( 1

1пй(п/£)л/пД \ітіп{1,1п^}

Это можно проверить по очереди для каждого слагаемого.

Итак, мы вычли все «лишние» ребра и результат от этого не изменился. Теорема доказана.

Литература

1. Bollobas B. Random Graphs.— Cambridge Univ. Press, 2001.

2. Janson S., Luczak T., Ruciaski A. Random graphs.—New York: Wiley, 2000.

3. Колчин В. Ф. Случайные графы.— М.: Физматлит, 2002.

4. Barabasi A.-L., Albert R. Emergence of scaling in random networks // Science. — 1999. — V. 286.-P. 509-512.

5. Bollobas B., Riordan O.M. Mathematical results on scale-free random graphs // Handbook of graphs and networks. —Wiley-VCH, Weinheim, 2003.

6. Bollobas B., Riordan O.M. The diameter of a scale-free random graph // Combinator-ica. — 2004. — V. 24, N 1. — P. 5-34.

7. Bollobas B., Riordan O. M. The degree sequence of a scale-free random graph process // Random Structures and Algorithms. — 2001. — V. 18, N 3. —P. 279—290.

Поступила в редакцию 20.07.2011

УДК 519.175.4

Л. А. Остроумова

Кафедра дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ; Отдел теоретических и прикладных исследований, ООО «Яндекс»

Об г-диаметрах случайных графов в модели Боллобаша—Риордана

Работа посвящена модели Боллобаша-Риордана случайного веб-графа. Эта модель адекватно описывает поведение реального веба. Рассмотрено обобщение понятия диаметра графа — так назывемый г-диаметр, который определяется как максимум по всем множествам вершин мощности г от минимума расстояний между парами вершин в данном множестве. Доказана теорема о

том, что почти наверное веб-граф на п вершинах имеет г-диаметр, сколь угод-

„ 1п п — 1п г

но олизкии к величине —^^--.

1п 1п п

Ключевые слова: случайный граф, веб-граф, диаметр.

Настоящая работа посвящена исследованию некоторых свойств случайных графов. Существует множество различных моделей таких графов, наиболее распространенная из них

— классическая модель Эрдеша-Реньи, в которой граф С(п,р) на п вершинах строится следующим образом: все ребра проводятся независимо друг от друга с вероятностью р Є (0,1). Изучению свойств таких графов посвящено большое количество работ (см., например, [1, 2, 3]).

Однако в последнее время появилась потребность моделировать различные реальные структуры, свойства которых существенно отличаются от свойств случайных графов в модели Эрдеша-Реньи. Особенно важно создать модель, наиболее точно представляющую Интернет. Пусть вершинами графа будут сайты или страницы Интернета, а ребрами — гиперссылки между ними. Получим некоторый граф. Хочется иметь модель, отражающую основные его свойства. Например, в отличие от С(п,р), граф, представляющий Интернет, обладает степенным распределением степеней вершин. Именно это свойство положено в основу различных моделей случайных графов. Некоторые из них изначально обладают нужным распределением, для других это свойство доказывается. Обзор различных моделей и основных результатов можно найти в работе [4].

Наиболее распространенная модель Интернета была впервые описана Барабаши и Альберт (см. [5]), а позже уточнена Боллобашем и Риорданом. Определенную ими модель мы и будем рассматривать в настоящей работе. Опишем, как строится граф в этой модели. Обычно для него используется обозначение 0^, где п — число вершин, т — фиксированный параметр. Сперва по индукции строится СП Граф состоит из одной вершины и одной петли. Граф С1 получается из СІ-1 посредством добавления вершины і и одного ребра между вершинами і и і, где і выбирается случайно следующим образом:

1. Введение

Р

если 1 ^ 5 ^ І — 1,

если 5 = І.

Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 12-01-00683 и гранта Президента РФ № MD-666.2012.1.

Здесь (з) - степень вершины в в графе Иными словами, чем больше степень вершины в графе С-1, тем больше вероятность того, что следующая вершина будет соединена с ней. Поэтому такие графы еще называют «графами предпочтительного присоединения». Граф Ст (т > 1) строится на основе Стп. Первые т вершин Стп составляют первую вершину нового графа, следующие т — вторую, и так далее. Ребра в некотором смысле сохраняются, а именно: если в ребро соединяло вершины і и і, то в полученном графе Ст это ребро соединяет те группы вершин, в которые попали і и і. Тем самым в графе могут возникнуть кратные ребра и кратные петли. Построенные таким образом графы Ст образуют вероятностное пространство 6^

Итак, в основу построения графа положен принцип предпочтительного присоединения. Это вполне соответствует цели получить модель Интернета, ведь вновь появившийся сайт скорее предпочтет сослаться на ту страницу, которая уже «популярна». Тот факт, что граф Ст обладает степенным распределением степеней вершин, был доказан Болло-башем и Риорданом в работе [6]. Кроме того, в статье [7] они показали, что диаметр при т ^ 2 асимптотически равен . Точная формулировка этого результата будет

дана в следующем разделе. В настоящей работе будет дано обобщение понятия диаметра графа и доказан соответствующий результат.

В разделе 2 будут введены основные понятия и сформулированы теоремы, которые будут доказаны в разделах 3 и 4.

2. Введение обозначений и формулировка результата

Пусть имеется некоторый граф G = (V,E). Его диаметром называется следующая величина:

diam(G) = max p(i, j), ijeV

где p(i, j) — длина кратчайшего пути между вершинами i и j в графе G.

Введем некоторое обобщение понятия диаметра — r-диаметр:

diamr(G) = max min p(i, j).

Иными словами, теперь мы рассматриваем не пары вершин, а подмножества мощности r. В каждом таком подмножестве мы находим две вершины на наименьшем расстоянии друг от друга. И нас интересует максимум этого расстояния по всем подмножествам. Заметим, что при r = 2 имеем в точности обычный диаметр графа G. В этой работе всегда будем полагать, что r ^ 2, чтобы понятие r-диаметра имело смысл.

В работе [7] Боллобаш и Риордан доказали следующую теорему.

Теорема 1. Для любого є > 0 и любого натурального m ^ 2

lim Р ^ diam(G”) ^ (1 + є)тЩ^) = 1V lnln n m 'lnln nj

В настоящей работе будет доказано подобное утверждение для r-диаметра. А именно

Теорема 2. Пусть є > 0 и натуральное m ^ 2 фиксированы. Далее, пусть r(n) — произвольная последовательность целых чисел, лежащих в пределах от 2 до п. Тогда

т „/І1 - є) ln n - ln r (1 + є) ln n - ln r\

Inn P -----f-.-------^ diarnr(Gm) ^ ------ri------- = !•

n^ro \ lnln n V m lnln n /

Как и ожидалось, чем больше вершин в рассматриваемых множествах, тем меньше г-диаметр. Отметим, что если для любого а > 0 выполнено г(п) = о (па), т.е. г(п) = по(1), то результаты теорем 1 и 2, по существу, идентичны. Если же, например, г(п) = па, а > 0, то константа в асимптотике из теоремы 2 принципиально другая: 1 ± є превращается в 1 — а ± є. Если, наконец, г(п) = п1-о(1), то асимптотики в теореме 2 нет.

Доказательство теоремы 2 естественно разбивается на два шага — оценка снизу и оценка сверху. Нижняя оценка будет доказана в разделе 3, верхняя — в разделе 4. При этом мы существенно будем опираться на работу [7], особенно в разделе 4.

3. Оценка снизу

3.1. Формулировка результата и вспомогательных лемм

Будем говорить, что событие происходит с асимптотической вероятностью 1, если его вероятность стремится к 1 при п ^ то.

При доказательстве оценки снизу мы докажем немного больше, а именно

Теорема 3. Пусть т ^ 1 фиксировано, тогда сііатг(Ст) ^ 1п(17т2 Ьта) ~ ^ с асимпто~ тической вероятностью 1.

Ясно, что требуемая оценка сразу следует из этой теоремы.

Разобьем г(п) на две подпоследовательности. В одной из них г(п) ^ в ДРУ1"0

г(п) < Заметим, что для первой подпоследовательности оценка снизу тривиальна —

для достаточно больших п там просто стоит отрицательное число. Поэтому далее считаем, п

ЧТО Г < і--.

ш п

Для доказательства нам потребуется несколько вспомогательных лемм. Во-первых, нас будет интересовать вероятность того, что граф СП содержит некоторый подграф Б. Под событием {Б С СП} понимаем, что граф СП содержит в точности граф Б, а не изоморфный ему подграф. Иными словами, если в Б проведено ребро іі, то в СП должно быть ребро между вершинами с теми же номерами. В работе [7] доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть Б = (V, Е) — некоторый граф с множеством вершин V = {1,... ,п}, у которого нет петель и каждая вершина соединена не более чем с одной из вершин с меньшими номерами. Пусть далее е(Б) = |Е|, а Д(Б) — максимальная степень вершины в графе Б. Тогда

Р(£ С С") ^ 2е(5)(А(5)+2) Д

¿€£(5) ^%2

Далее нам понадобится следующая конструкция. Пусть ^ (і < і, 1 ^ і,і ^ п) — индикаторные случайные величины на каком-то вероятностном пространстве, то есть с некоторой вероятностью ру Є [0,1] величина ^ принимает значение 1, а с вероятностью

1 — ру принимает значение 0. Про зависимость между ^ ничего не говорится. Пусть, кроме того, — множество всех графов на вершинах 1,...,п без петель и кратных ребер, ,^п = 2Пп — стандартная сигма-алгебра, состоящая из всех подмножеств ПП, а вероятностная мера задается следующим образом: для любого С = (V, Е) Є

Рп,€«(С) = Р({У іі Є Е(С) : & = 1}П{У іі Є Е(С) : & = 0}).

Рассмотрим теперь вероятностное пространство 0(п, ) = (ПП) ^га, )• Для таким об-

разом определенного случайного графа будет доказана следующая лемма.

Лемма 2. Пусть г < Пусть, кроме того, для индикаторных случайных величин

Г* < 3; 1 ^ ЬЗ ^ п) выполнено: Р(£у = 1) = О • Тогда с асимптотической

вероятностью 1 в графе С Є 6([п/2],£у) есть независимое множество размера хотя бы г.

В последующих двух параграфах этого раздела будет сначала доказана лемма 2, а затем непосредственно оценка снизу.

3.2. Доказательство леммы 2

Заметим, что количество ребер в графе С с асимптотической вероятностью 1 не пре-п2

восходит

Доказательство леммы проведем методом от противного. Допустим, что в любом подграфе С на г вершинах проведено хотя бы одно ребро. Пусть А1 — независимое множество в графе С максимального размера. Тогда |А1| < г и, кроме того, из любой вершины V(С) \ А1 ведет ребро в хотя бы одну вершину А1 (иначе А1 не максимальное). Далее, пусть А2 — максимальное независимое множество в подграфе на вершинах V(С) \ А1. Тогда |А2| < г и из любой вершины V(С) \ А1 \ А2 ведет ребро хотя бы в одну вершину А2. Аналогичную операцию будем проводить до тех пор, пока не кончатся вершины графа С. В итоге придем к последовательности множеств А1, А2,..., А Теперь можем оценить количество ребер снизу:

Легко заметить, что если при фиксированной сумме |А1| + ... + |А^| = [п/2] мы хотим минимизировать полученное выражение, мы должны взять максимально возможным |А1|, затем |А2|, и так далее, сколько получится. В итоге получим

\Е(С)\ » ([п/2] - г) + ([,,/2] - 2г) + ... + ([п/2] - [£] г) = [п/2] [§] - § Щ ([§] + і) =

2 2 2 = ^(1+0(1)) -^(1+0(1)) = ^(1+0(1)).

2

Получили, что с одной стороны, \Е(С)\ ^ с асимптотической вероятностью 1, а с

п2

другой стороны, \Е(С)\ ^ 8^(1 + °(1))- Таким образом, предположение неверно. Лемма доказана.

Заметим, что проведенное выше рассуждение — это один из способов доказательства известной теоремы Турана в экстремальной теории графов (см. [8]). Мы воспроизвели его прежде всего ради большей замкнутости работы.

3.3. Доказательство теоремы 3

1п п — 1п г

Положим Ь

1

^ ^ ^ ^ . Рассмотрим множество вершин А = { \п/2\ +1,..., гг}

графа Заметим, что |А| = [п/2]. Докажем, что для любых вершин г,] £ А

Р

Рассмотрим две вершины г,] £ А. Оценим вероятность того, что между этими двумя вершинами найдется путь длины 1 ^ I ^ Ь. Пусть путь между этими вершинами в С^ следующий: = г, У\, у2,..., У[-\,У[ = ]. Рассмотрим какой-нибудь граф С1^71, из которого

получен граф Ст с нужным свойством. Тот факт, что в графе С'т соединены вершины V

и vt+i, обозначает то, что в G™n есть ребро utwt+1, причем — = vt и = vt+\. При

m

Wt+1

m

данных и0,... ,и1 и и>1,..., wl+1 вероятность того, что в графе С^, проведены ребра (0 ^ ^ I — 1),по лемме 1 не превосходит

1-1 1-1 1-1

241 ТТ , 1 ^ 241 ТТ —= 2а1-^= ТТ

\/Рт ^^+1 уДз щ

Посмотрим, сколько всего есть графов, из которых получается С^ с данным конкретным путем длины I. Каждое ребро между Vt и г>4+1 может быть получено т2 способами: т возможностей выбрать вершину и и т возможностей выбрать вершину wt+1. Ребер всего

I, в итоге получаем т21 графов. Итак, вероятность содержать конкретный путь длины I не превосходит

(4т)21—ТТ

Суммируем по всем возможным V!, . . . , ^1, получаем, что вероятность того, что вершины г и ] соединены путем длины I, не превосходит

(4m)21 1—1 і 2(4m)21 / 1 1 \1_1 2(17m2 )г(1п и)1 1

.[Ц LI Vt ^ п \ ' 2 п) ^ п •

1^vi,...,vi — !^n t=1

В первом неравенстве воспользовались тем, что мы рассматриваем вершины с номерами, большими п/2. Просуммируем по всем l ^ L:

JГ In гг — In г

2 2 и \i 2(17m2 \nn)L+l 2(17т2 lrm)ln<17m2lnri> / \

2l W 2

> (17га Inn) ^ —-------------------;------------^ —--------------------------------= 0

и 1п и и 1п и

п 1п п 1п п п 1п п \Т 1п п

1=1

Что и требовалось.

Итак, для любых двух вершин из А вероятность того, что они соединены путем длины не более Ь, равна О • Обратимся теперь к лемме 2. Рассмотрим граф С на множе-

стве вершин А. Проведем ребро между двумя вершинами в графе О, если эти вершины соединены путем длины не больше Ь в Из леммы 2 следует, что с асимптотической вероятностью 1 в множестве А найдется независимое подмножество размера г. Иными словами, найдутся такие г вершин в графе С^, что расстояние между любыми двумя из них больше Ь. Теорема доказана.

4. Оценка сверху 4.1. Формулировка результата и описание модели

Справедлива

(1 + £") ІП п — ІП Т

Теорема 4. Пусть є > 0; тогда сііапіГ(С^) ^ ------ с асимптотической веро-

ятностью 1.

При доказательстве теоремы 4 мы будем использовать другое, эквивалентное определение модели — хордовую диаграмму, которая была описана в работе [7]. Для большей замкнутости данной работы мы приводим здесь полное описание этой модели.

Положим N = топ. Рассмотрим числа от 1 до и разобьем их на пары. Как нетрудно

ным образом (вероятность выбрать каждое равна N!2м/(2N)!). Представим, что точки от 1 до 2N расположены на прямой, и соединим хордами пары точек, на которые мы разбили наше множество. Получили N хорд. Сформируем граф. Из всех правых концов хорд выберем один с наименьшим номером. Пусть это число гь Тогда объединим точки 1,... , гі в первую вершину. Далее, точки г1 + 1,..., г2, где г2 — следующий правый конец, образуют вторую вершину. И так далее. Получим N вершин. А каждой хорде соответствует ребро. Ребро соединяет вершины і и і (і ^ і), если имеется хорда между Гj и одной из точек гі-1 + 1,..., г — 1 (считаем г0 = 0).

Покажем, что такое определение графа эквивалентно обычному определению . Будем рассматривать правые концы хорд слева направо. Рассмотрим первый правый конец. Из этой точки идет одна хорда, и она соответствует петле в первой вершине. Далее, пусть каким-либо образом проведены хорды из правых концов г1,...,гі. Рассмотрим і + 1-й правый конец. Вероятность того, что из вершины і + 1 ведет ребро в вершину і, пропорциональна количеству отрезков, на которые в данный момент разбит отрезок [г^—1, г*], ведь ровно столько есть соответствующих разбиений на пары. А количество отрезков, как нетрудно видеть, это степень вершины і в данный момент. Итак, получили ровно то же построение модели.

Преобразуем полученное определение в еще одно эквивалентное. Возьмем отрезок [0,1] и случайные величины х1; х2,..., х2м — независимые и равномерно распределенные на этом отрезке. Пары теперь — это вершины х2і-1 и х2і. Каждый порядок расположения точек равновероятен. При этом одному и тому же паросочетанию соответствует ровно 2м различных взаимных расположений точек. Таким образом, все паросочетания равновероятны. Положим Ьі = шіп{х2і-1, х2і}, Яі = шах{х2і-1, х2і}. Тот же результат получим, если рассмотрим случайные величины Яі — независимые с плотностью 2х на отрезке [0,1] каждая. И при фиксированных Яі возьмем Ьі равномерно распределенными на [0,Яі]. Аналогично тому, как делали это ранее, соединяем хордами Ьі с соответствующими Яі. Считаем, что в графе проведено ребро іі (і ^ і), если в полученной диаграмме проведена хорда, соединяющая Яі и Ьі, где Ьі лежит между Я,— и Яj (полагаем Я0 = 0). С этим

определением и будем работать далее.

Граф Ст получаем из обычным образом. Положим Жі = Яті — нас интересуют именно эти правые концы, когда мы рассматриваем С^. И пусть и = Wi — Жі-1 (считаем

видеть, всего таких разбиений (2Ж)!/(^!2М). Теперь выберем одно из разбиений случай

^о = 0).

Пусть а — наименьшее целое число, для которого 5 = 2“ > 1п7 п, Ь — наибольшее целое число, для которого 2Ь < 2п/3. Положим I* = [2* + 1, 2*+1] для а ^ Ь < Ь. Нам потребуется следующая лемма (см. [7]):

Лемма 3. Фиксируем т ^ 2. Введем несколько событий:

= \гиі ^ п 4/5, для всех і > ™ >.

I 1п2 п >

Тогда вероятность каждого из этих событий стремится к 1 при п ^ <х.

Далее будем считать, что правые концы Я1;..., Ям фиксированы. Величины Ьі независимы и равномерно распределены на [0,Яі]. Но мы для простоты будем полагать, что Ьт(і-1)+, (1 ^ і ^ п, 1 ^ і ^ т) равномерно распределены на [0,Жі]. Такое допущение просто увеличит вероятность петли в каждой из вершин и, следовательно, не уменьшит г-диаметр. Теперь заметим, что можно рассматривать только т =2. Случай т > 2 сводится к этому удалением лишних ребер, что только увеличивает г-диаметр.

Итак, определили случайный граф С, с которым будем работать. Везде далее Ж1, ..., фиксированы и выполняются события £1,... , £4. Из каждой вершины і в вершины с меньшими номерами идет два независимых ребра — в вершины /і;1 и /і>2 (поскольку т = 2),

причем Р(1^ = к) = ^ для к ^ і.

у і

В последующих двух параграфах мы сперва докажем некоторую техническую лемму, а затем и саму теорему 4.

4.2. Техническая лемма

1 (1 + є) ln n -

2 ln Inn

TT ап A 10 TS 1(1+ є) ln n - ln Г . _ . .

Лемма 4. Пусть є > 0; г ^ In п, К = ^---------------:—:----------1. Далее, пусть /0, /і,... —

последовательность действительных чисел с /0 ^ (ln2 n) /п и

^ min{21og2(/fcn/lnn) - 31,6 - а - 1}

Jfc+i / 1000

для всех к ^ 0. Тогда при достаточно большом п величина I = minjfc : fk ^ 4Inn/^/rn} существует и не превосходит K.

Доказательство. Заметим, что b — a — 1 и 2log2(/0n/lnn) — 31 — растущие с ростом п функции. Значит, при достаточно большом п выполняется неравенство

min{2 log2(/on/ Inn) — 31, 6 — а — 1} ^ 0 1000 ^

В таком случае / ^ 2/о. Далее, очевидно, /fc+i ^ 2/ (ведь / ^ /о). В итоге / ^ 2k/о и 1 существует.

Поскольку b — a — 1 ^ log2 n — 8 log2 ln n для достаточно больших n, то неравенство

2 log2(/fcn/ ln n) — 31 > b — a — 1 выполняется лишь при /*. > -—------. Последнее выраже-

(ln п) л/п

ние больше, чем требуемое нам 4Inn/yrn, при достаточно больших п. Из этого следует, что для k < l минимум равен первому члену. Таким образом, при достаточно больших n

, ^ log2(/fcn/lnn) - 16 ^ log2(2fc/0n/lnn) - 16 ^ log2(2fcln2n/lnn) - 16 _

^fc+1 ^ 500 ^ ^ 500 ' 500 *k ~

k + log2 ln П - 16 , -iWrnn

500 fk ^ fk(k + 1)/500.

Отсюда

. (¿ — 1)! f

1 1 ^ 500i_1 ^ V500e/ •'°‘

Поскольку fi_i ^ 41nn/y/rn, to

(I - lV"1 < 4^

\500e/ ^ л/г Inn’

Отсюда при больших п имеем

(/ — 1) 1п (/ — 1) — (/ — 1) 1п 500е ^ 1п 4 + 1п л/п — 1п л/г — 1п 1п та.

и 7 1^ 1+^/2 -1с^гаг 1п п „ ,

Докажем, что с некоторого та имеем I — I ^ ^-------Іпіпта’ ли величина ‘ огра-

ничена с ростом п, то все очевидно. Иначе предположим противное: для бесконечной

7 і 1+ є/2 - 1о§га г 1п п „ ,

последовательности значении та выполнено I — I > -----------~—=----------. іогда по той же

2 1п1п п

последовательности значений п, начиная с некоторого момента)

(/ — 1) ln (/ — 1) — (/ — 1) ln500e — ln4 = (/ — 1) ln(1 — 1)(1 + o(1)) >

’ Inn Іпіпта

> 1 +e/2 - log„r 1,1,, /ln l+£/2-log,,r + ]n lnn _ ]n ln]n n ,

1 + є/2 — logra r

2

1пта(1 + о(1)) = ((1 + є/2 )lny/n — Invi) (1 + 0(1)) > In \fn—ln 'Vr — Іпіпта.

1 + є/2 — log r

Воспользовались тем, что ln--------^------ = o(lnlnn), поскольку 0 ^ lograr ^ 1. Итак,

мы пришли к противоречию, а значит, при достаточно больших n имеем

1+е/2-log пг \пп = і(1+ є/2) In та-In г _

^ 2 In In та 2 In In та ’

Лемма доказана.

4.3. Доказательство теоремы 4

Наконец, можем приступить к доказательству оценки сверху. Опять разобьем r(n) на две подпоследовательности. В одной из них r(n) < ln10 n, в другой r(n) ^ ln10 n. Заметим, что в первом случае ln r = o(ln n) и нам фактически нужно доказать, что для любого

(1 + є) ln n

є > 0 выполнено diamr{G'm) ^ —j—j------ с асимптотической вероятностью 1. Но в работе

[7] показано, что путь требуемой длины существует между любыми двумя вершинами графа. Поэтому далее можем считать, что r(n) ^ ln10 n.

Назовем вершину i полезной, если i ^ n/ ln5 n и w ^ (ln2 n) /n. Воспользуемся леммой из работы [7].

Лемма 5. Вероятность того, что каждая вершина v графа G соединена путем длины не более 8lnlnn с какой-нибудь полезной вершиной, равна 1 — o(1) при n ^ то.

Сформулируем теперь основную лемму, которая фактически даст нам оценку сверху.

Лемма 6. Рассматриваем граф G, определенный выше. Число є > 0 — фиксировано. Возьмем некоторую полезную вершину v. Тогда с вероятностью 1 — o(n-1) существует путь

длины не более ^ ^ ^ между этой вершиной и одной из вершин 1,... ,г — 1.

Доказательство. Нас будет интересовать то, как растет количество вершин, до которых можно добраться от данной вершины не более чем за k шагов с ростом k. Из каждой вершины i в вершины с меньшими номерами идет два ребра — в вершины /i;1 и /i;2. В процессе доказательства эти ребра будем рассматривать отдельно. Назовем вершину i хорошей, если Wi ^ —^—=. Определим множества Го, Г і,... следующим образом. Положим Го = {f}. 10v in

Далее, пусть для k ^ 1 множество Гд состоит из таких вершин j Є [s + 1, 2Ь]\(Г0U.. .иГ^-1),

что j — хорошая и либо j G Г^-1, либо найдется такая вершина i G Г^-1, что /¿д = j. Положим также N = Г0 U ... U Гд.

Будем рассматривать поведение следующей величины:

fk = Yl ~f=-

тГ л/т

*erfc

Поскольку для всех к ^ 1 множество Гд состоит только из хороших вершин, вес Гд (то есть£iepfc Wi) не меньше //10. Чтобы это выполнялось и для Г0, положим /о = (ln2 П /n. Назовем интервал полным на шаге к + 1, если |Nk+1 П It| ^ 2t-2.

Воспользуемся результатом Боллобаша и Риордана (см. [7]).

Лемма 7. Пусть Г0,..., Гк фиксированы, тогда с вероятностью 1 — O(n-6/5) либо какой-то из It полный на шаге к + 1, либо

^ min{21og2(/fcn/lnn) - 31,6 - а - 1}

Jfc+i / 1000 Jk-

Итак, Г0 = {v}. Строим множества Г1, Г2,..., Гк, где K — наименьший номер к, для

которого либо fk ^ 41пп/у/гп, либо

t ^ min{21og2(/fcn/lnn) - 31,6 - а - 1} t Jk+i < 1000 Jk-

тт л ^ 1 (1 + e)ln n — ln r

Лемма 4 говорит нам о том, что К ^ тг----------;—;----------1.

2 lnln n

Если ни на каком шаге (до K) никакой интервал не становится полным, тогда (из леммы 7) при каждом фиксированном к с вероятностью 1 — O(n-6/5) выполняется

^ min{21og2(/fcn/lnn) - 31,6 - а - 1}

Jk+i / 1000 Jk-

Вероятность того, что это неравенство выполняется на каждом шаге до K, будет равна

1 — O

(поскольку К ^ km). Следовательно, fx ^ 41пгг/у/ггг с вероятностью 1 — о(п~1).

Пусть на некотором шаге 1 ^ к ^ K какой-то из интервалов It стал полным. Тогда в множестве Nfc\{v} имеем хотя бы 2t-2 — 1 хорошую вершину, лежащую в It. Поэтому

fi + ... + fK> ^ > —

V¥+hi 12фг 12фг '

Поскольку для всех к < К выполнено fk < 4 ln п/yjr n, отсюда следует, что для достаточно больших n неравенство

t у ln3 п _ 4 ln2 п у 41пта ^ 12у/п у/гп ^ у/гп

справедливо и в этом случае тоже.

Итак, для любой вершины i G Г# имеем

Р [1ц ^ Г- 1|ГЬ...,ГК) = ^ ~7ТГ \! - • Щт ^ /Т.

1 м ^ 111 ’ к 10 V п 11V % V 4%

В первом неравенстве воспользовались тем, что выполняется событие £1. В итоге вероятность того, что нужного ребра ни из одной из вершин не идет, оценивается сверху цепочкой неравенств

/к^М\ /______, 01„„л _п-2_

¿еГк

П i1 - у i) <ехр

Отсюда следует, что с вероятностью 1 — o(n вершина v соединена путем длины не

^ 7-. ^ 1 (1 + е) Inn — lnr ^

более К + 1 ^ тг------55------ с одной из вершин 1,,г — 1. Лемма доказана. U

2 In Inn

Итак, у нас есть r вершин. По лемме 5 с вероятностью 1 — o(1) каждая вершина G соединена путем длины не более 8 ln ln n с полезной вершиной. Если вдруг для каких-нибудь из наших вершин эти полезные вершины совпали, то доказывать нечего. Иначе есть r полезных вершин. По лемме 6 (в качестве є берем е/2) с вероятностью 1 — o(1) каждая

1 (1 + e/2)ln n — ln r

полезная вершина соединена путем длины не более ^--------In In та-----С °,Л’НО из веРшин

1,... , r — 1. Значит, для каких-то двух из наших r полезных вершин искомая вершина из 1,..., r — 1 совпадет. Следовательно, с вероятностью 1 — o

. (1 + e/2)ln n — ln r (1 + є) ln n — ln r

16mmnH----------г-:--------- ^ -----г-:-------.

ln ln n ln ln n

В определении графа G мы предполагали, что события Ei,... , E4 выполнены. А в нашем графе Gm они происходят с асимптотической вероятностью 1. Таким образом, теорема 4 доказана.

Литература

1. B. Bollobas B. Random Graphs.— Cambridge Univ. Press, 2001.

2. Janson S., Luczak T., Rucinski A. Random graphs.—New York: Wiley, 2000.

3. Колчин В. Ф. Случайные графы.— М.: Физматлит, 2002.

4. Bollobas B., Riordan O.M. Mathematical results on scale-free random graphs // Handbook of graphs and networks. —Wiley-VCH, Weinheim, 2003.

5. Barabasi A.-L., Albert R. Emergence of scaling in random networks // Science. — 1999. — V. 286.-P. 509-512.

6. Bollobas B., Riordan O. M. The degree sequence of a scale-free random graph process // Random Structures and Algorithms. — 2001. — V. 18, N 3. —P. 279—290.

7. Bollobas B., Riordan O.M. The diameter of a scale-free random graph // Combinator-ica. — 2004. — V. 24, N 1. — P. 5-34.

8. Харари Ф. Теория графов.—М.: Мир, 1973.

Поступила в редакцию 27.06.2011