Обратная задача для экзогенных параметров модели Солоу

А. С. Урусова

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭКЗОГЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ

МОДЕЛИ СОЛОУ

Работа представлена кафедрой информатики и вычислительной математики Карачаево-Черкесского государственного университета им. У. Дж. Алиева. Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Семенчин

В статье поставлена обратная задача для оценки экзогенных параметров математической модели Солоу одиосекторной экономики. Предложен метод ее решения, который позволяет свести решение рассматриваемой задачи к решению нескольких относительно простых задач квадратичного программирования.

The article presents the inverse problem for estimation of the exogenous parameters of the Solow mathematical model in the single-sector economy. The proposed method of its solution makes it possible to reduce solution of the considered problem to solution of several relatively simple tasks of square programming.

Постановка задачи. Математическая модель экономического роста одиосекторной экономики (модель Солоу) имеет вид1 : ШК

Ь=Ц— =-рК+рХ, Iе[/0,Т], К(/0) =КД1) ш

X = ¥

где X - валовой внутренний продукт (ВВП); К - объем производственных фондов; Ь -число занятых в производственном процессе; I - инвестиции в экономику; С - объем фонда непроизводственного потребления; /и - доля выбывших за год основных производственных фондов; V - годовой темп прироста числа занятых; р - норма накопления (доля валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте).

Переменные величины Ь = Ь(), К = К(), X = Х(), I = 1(), С = С() принято называть эндогенными (т. е. внутренними) переменными рассматриваемой экономической системы, параметры /и, V, р - экзогенными (т. е. данными вне системы) параметрами, которые являются постоянными величинами, удовлетворяющими ограничениям2

-1 < V < 1, 0 < ¡и< 1, 0 <р< 1.

Если ввести в рассмотрение относительные показатели3:

k = K/L - фондовооруженность; х = XIL-народно-хозяйственную производительность труда; i = IIL - удельные инвестиции (на одного занятого); c = CIL - среднедушевое потребление (на одного занятого), то модель (1), (2) в удельных (относительных) показателях примет вид:

— = -Xk + рх, t е[/0,Г], k(0) =k0 =^5-, X = ^+v, (4) dt L0

x = f

Задача определения L(t), K(t), X(t), I (t), C(t) из модели (1), (2) по заданным L(t), v, /и, p, K0 условимся называть прямой, задачей в (1), (2).

Аналогично задачу определения k(t), x(t), i(t), c(t) из модели (4), (5) по заданным v, /и, р, k0 будем называть прямой задачей в этой модели.

В рамках модели (1), (2) сформулируем задачу: по заданным переменным L(t), K(t) (а значит, и по одновременно заданным X(t), I (t), C(t), K0), te [t0, T] найти параметры p, v, p.

Данную задачу условимся называть обратной задачей (по отношению к указанной

Обратная задача для экзогенных параметров модели Солоу

выше прямой). Она представляет существенный интерес в тех случаях, когда требуется по заданным статистическим данным значений L(t), K(t) в дискретные моменты времени t0, t1, t2, K, t п<е [0, TJ, T<T восстановить модель (1), (2) и на ее основе спрогнозировать значения L(t), K(t), X(t), I(t), C(t) на последующие моменты времени te[T1, T].

Аналогично в рамках моделей (1), (2), (3), (4) можно сформулировать следующую обратную задачу: по заданным L(t), k(t), te[t0, T] найти /и, v, p.

Метод решения поставленной задачи. Реально на практике функции L(t), K(t), k(t) задаются не в виде аналитического выражения, а таблично.

Таблица 1

t„ tx t2 t n

K(t0)=K0 K(t)=K K(t2) = K2 K(t)=K v n' n

т=L L(^)=L m=L Lit ) = L v И' n

k(t0)=k0 k(tj) = k k(t2)=k2 k(t )=k v n J n

С помощью табл. 1 можно найти значения К'(0 или £'(0 в точках X X К, X воспользовавшись известными методами либо численного дифференцирования4, либо методом регуляризации5, минимизируя по К'(0 выражение

(I-

K'(г) dz - K(t) + K0)2 +а (K\t))2

)

или no k'(t) - выражение

dr- k (t) + k0)2 + a(k '(t ))2,

(J k'

где а - параметр регуляризации (достаточно малое положительное число), который на практике удобно находить методом подбора6 .

Если вычислены К'(Х0), К'(Х1), А, К'(п) по данным табл. 1, то, воспользовавшись соотношениями (1), (2), приходим к системам алгебраических уравнений:

ln L(t1) = ln L0 + v t1, ln L(t1) = ln L0 + v t2,

ln L(tn) = ln L0 +v tn,

K'

K'(tn) = -mK(tn) + p- F(L(tn), K(tn)).

Аналогично по данным табл. 1, воспользовавшись соотношениями (1), (4), (5), придем к системе (6) и системе

k '(О = -Ak (t 0) + р- f (k (t0)),

k '(О = -Ak ft) + p- f (k ft)), k'ft) = -Xk (tn) + f (k (tn)).

Из (6) находим у1, у2, К, уя. Решая задачу квадратичного программирования7

(У-У1 )2 + (У- У2 )2 +.. . + )2 ^ т1п ,

-1<у<1,

найдем наилучшую в среднем квадратиче-ском оценку V параметра V.

Из системы (7), группируя первые п уравнений системы по т подсистем из двух уравнений (очевидно, т = 1 , где Сп2+1 -число сочетаний из (п+1) по 2), находим ^

^ Л, ^т И Po, Pl, Л, Рт.

Решая задачи квадратичного программирования

находим наилучшие в среднем квадрати-ческом оценки Ц, р параметров ц, р.

Совершенно аналогично из системы (8) можно найти А,, А, А и р., р, Л, р . Ре-

0 1 т 0 1 т

шая задачи квадратичного программирования

23 1

ОБЩЕСТВЕННЫЕ И ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ

(А-)2 +(Л-Л1 )2 +... + (Л-Лт)2 ^min,

-1 <Я< 2,

и (11), найдем наилучшие в среднем квад-ратическом оценки Л , Р параметров Л, р (заметим, что условие -1<А<2 следует из условий — 1 <v< 1, 0<u<1, A=^+v:). Наконец, по найденным Л , V , учитывая, что A=^+v, находим оценку ¡и.

Для решения задач квадратичного программирования (9)—(12) можно воспользоваться средствами Microsoft Excel.

Пример. Пусть k(t), L(t), из (1), (4) заданы табл. 2:

Таблица 2

t 0 1 2 3 4 5

k(t) 4 4,5 4,9 5,1 5,2 5,4

L(t) 1000 1200 1300 1400 1450 1500

Будем считать, что функция f(k) является функцией Кобба-Дугласа:

f (k) = A  kp, A = const > 0, p = const, 0 <^<1,

где A = 1, p= 0,5, т. e. f (k) = 4k. Требуется найти оценки Д, у, р для /и, v, р в модели (4), (5).

Согласно данным, приведенным в табл. 2, система (6) принимает вид:

ln1200 = ln 1000 + v-1, ln 1300 = ln 1000 + v 2, < ln1400 = ln1000 + v 3, ln1500 = ln1000 + v 4, ln1450 = ln1000 + v 5.

Из этой системы находим v1=0,182, v2=0,131, v3=0,112, v4=0,093, v5=0,081. Решая задачу квадратичного программирования

(v-v1)2 + (v-v2)2 +... + (v-vn)2 ^min, -1 <v < 1,

с помощью Microsoft Excel найдем v=0,12.

Система (8) имеет вид (в данном случае в (8) отсутствует последнее уравнение):

0,5 = -4 Л+ 44 р, 0,4 = -4,5 Л+ 445 р, < 0,2 = -4,9 Л + 449 р, 0,1 = -5,1А + .ДГР, 0,2 = -5,2 Л+ 452 р.

Из этой системы по описанной выше методике находим А1=0,5, А2=0,72, А3=0,7, ^4=0,55, А5=1, А6=1,09, А7=0,6, ^g= 1,18, ^9=0,04, Аю= -1,87, р=1,25, Р2=1,69, р3=1,65, Р4=1,35, р5=2,32, Рб=2,5, р7=1,458, р=2,7068, Р9=0,18, pw= -4,1756.

Задачи (11), (12) принимают соответственно вид:

(р-д)2 + (Р-Р2)2 - + (Р-Р10)2 ^ mm, 0 <р< 1,

Р

(А-Д)2 + (А-А2)2 + - + (А-А10)2 ^min, -1 <А<2 .

С помощью средств Microsoft Excel находим решение этих задач: Л =0,451, р =0,9. Из условия Л = /и + v найдем Д = 0,33.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Кундышева Е. С. Математическое моделирование в экономике: Учеб. пособие. М.: Издатель-ско-торговая корпорация «Дашков и К0», 2006. С. 224; Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. С. 106.

2 Кундышева Е. С. Указ. соч. С. 224; Колемаев В. А. Указ. соч. С. 106.

3 Кундышева Е. С. Указ. соч. С. 218.

4 Сизиков В. С. Математические методы обработки результатов измерений: Учебник для вузов. СПб.: Политехника, 2001. С. 217; Вержбицкий В. М. Численные методы. М.: Высшая школа, 2001. С. 189.

5 Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, Гл. ред. физмат. лит., 1986. С. 186.

6 Сизиков В. С. Указ. соч. С. 217.

7 Там же.