Аппроксимационные свойства абелевых групп

2015

Математика и механика

№ 3

МАТЕМАТИКА

УДК 512.543

Б01 10.17223/19988621/35/1

Д.Н. Азаров

АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Пусть п - некоторое множество простых чисел. Для произвольной абелевой группы получено необходимое и достаточное условие почти аппроксимируемости конечными п-группами. Получена также характеризация мощных абелевых групп.

Ключевые слова: абелева группа, финитно аппроксимируемая группа.

Введение

Пусть К - некоторый класс групп. Напомним, что группа О называется аппроксимируемой группами из класса К (или, короче, К-аппроксимируемой), если для любого неединичного элемента а группы О существует гомоморфизм группы О на некоторую группу из класса К, при котором образ элемента а отличен от 1. Группа О называется почти аппроксимируемой классом К, если она содержит К-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса.

Если Е обозначает класс всех конечных групп, то понятие Е-аппроксими-руемости совпадает с классическим понятием финитной аппроксимируемости. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучается также более тонкое свойство Еп-аппроксимируемости, где п - некоторое множество простых чисел, Еп - класс всех конечных п-групп. Напомним, что конечная группа называется конечной п-группой, если ее порядок является п-числом, т.е. если все его простые делители принадлежат множеству п. Если п состоит из всех простых чисел, то понятие Еп-аппроксимируемости совпадает с понятием финитной аппроксимируемости. Очевидно, что группа О финитно аппроксимируема (Еп-аппроксимируема) тогда и только тогда, когда пересечение всех подгрупп конечного индекса (всех нормальных подгрупп конечного п-индекса) группы О совпадает с единичной подгруппой. Очевидно также, что произвольная Еп-аппроксимируемая группа является почти Еп-аппроксимируемой. С другой стороны, любая почти Е-аппроксими-руемая (и, в частности, любая почти Еп-аппроксимируемая) группа является Е-аппроксимируемой. Действительно, если Н - подгруппа конечного индекса группы О, то любая подгруппа конечного индекса группы Н имеет конечный индекс в О, и поэтому из финитной аппроксимируемости группы Н следует финитная аппроксимируемость группы О.

Таким образом, свойство почти Еп-аппроксимируемости является промежуточным между финитной аппроксимируемостью и Еп-аппроксимируемостью. Особый интерес представляет случай, когда множество п состоит из одного простого числа р. В этом случае класс Еп совпадает с классом Ер всех конечных р-групп.

Понятие финитно аппроксимируемой группы было введено еще А. И. Мальцевым в [1]. В этой работе доказана финитная аппроксимируемость конечно порожденных линейных групп. Частным случаем этой теоремы является результат К. Гирша [2] о финитной аппроксимируемости произвольной полициклической группы. В дальнейшем выяснилось, что полициклические группы почти ^-аппроксимируемы для каждого простого числа р [3]. Свойством ^-аппроксимируемости полициклические группы, вообще говоря, не обладают, и соответствующий критерий получить до сих пор не удается. Еще сложнее дело обстоит с изучением финитной аппроксимируемости и других аппроксимационных свойств разрешимых групп. Некоторые результаты о разрешимых группах конечного ранга, полученные в этом направлении, упомянуты ниже. Для абелевых групп вопросы ^-аппроксимируемости и почти ^-аппроксимируемости полностью исследованы. Этим вопросам и посвящена настоящая работа.

Пусть, как и выше, п - непустое множество простых чисел. В исследованиях ^-аппроксимируемости абелевых групп и некоторых разрешимых групп особое значение имеет понятие п-полного элемента группы. Напомним, что элемент а группы О называется п-полным (или, в другой терминологии, п-радикабельным), если для любого целого положительного п-числа п уравнение хп = а разрешимо в группе О. Если множество п совпадает с множеством всех простых чисел, то понятие п-полного элемента совпадает с классическим понятием полного элемента. В теории абелевых групп вместо термина «полный элемент» используется также термин «делимый элемент». Если множество п состоит из одного простого числа р, то вместо термина «п-полный элемент» используют термин «р-полный элемент».

Связь финитной аппроксимируемости группы с полнотой ее элементов впервые была обнаружена еще А.И. Мальцевым в [4], где он заметил, что в произвольной финитно аппроксимируемой группе нет полных элементов отличных от 1 и что абе-лева группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда в ней нет полных элементов отличных от 1. Это простое утверждение легко проверяется с помощью хорошо известной теоремы Прюфера о разложимости периодической абелевой группы с ограниченными порядками элементов в прямое произведение циклических. Более того, теорема Прюфера позволяет обобщить утверждение А.И. Мальцева на случай ^-аппроксимируемости следующим образом [5].

Теорема 1. Пусть О - абелева группа. И пусть п - множество простых чисел. Группа О ^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда она не содержит п-полных элементов отличных от 1.

Эта теорема является простым следствием следующего утверждения, доказанного ниже.

Лемма. Пусть О - абелева группа, п - множество простых чисел, юп(О) - множество всех п-полных элементов группы О, сп(О) - пересечение всех подгрупп конечного п-индекса группы О. Тогда юп(О) = сп(О).

Рассмотрим теперь вопрос о почти ^-аппроксимируемости для абелевых групп. В случае, когда п совпадает с множеством всех простых чисел, свойство почти ^-аппроксимируемости совпадает со свойством почти ^-аппроксимируе-мости, которое, как легко видеть, равносильно свойству ^-аппроксимируемости, и поэтому в данном случае поставленный вопрос решается упомянутой выше тео-

ремой Мальцева. Теперь мы можем предполагать, что п не совпадает с множеством всех простых чисел. При этом предположении здесь доказан следующий критерий почти Еп-аппроксимируемости абелевых групп.

Теорема 2. Пусть О - абелева группа; п - множество простых чисел, не совпадающее с множеством П всех простых чисел; п' - дополнение множества п в множестве П. И пусть Т - п'-компонента группы О, т. е. множество всех элементов группы О, порядки которых конечны и являются п'-числами. Тогда следующие три утверждения равносильны между собой.

1. Группа О почти Еп-аппроксимируема.

2. Подгруппа Т конечна и фактор-группа О/Т Еп-аппроксимируема.

3. Подгруппа Т конечна и совпадает с множеством всех п-полных элементов группы О.

В качестве следствия из теоремы 2 приведем следующее утверждение, дающее полную информацию о месте Еп-аппроксимируемых групп среди почти Еп-аппроксимируемых абелевых групп.

Следствие. Пусть О - абелева группа. И пусть п, п' и Т такие же, как в теореме 2. Группа О является Еп-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда она почти Еп-аппроксимируема и Т = 1. В частности, для абелевой группы без кручения свойства Еп-аппроксимируемости и почти Еп-аппроксимируемости равносильны между собой.

Необходимость в этом утверждении очевидна, так как в любой Еп-аппроксими-руемой группе нет п'-кручения. Для проверки достаточности предположим, что абелева группа О почти Еп-аппроксимируема и что Т = 1. Тогда по теореме 2 фактор-группа О/Т Еп-аппроксимируема. Отсюда и из того, что Т = 1, следует Еп-аппроксимируемость группы О.

Заметим, что теорема 1 не может быть распространена с абелевых групп на нильпотентные группы. Соответствующий пример был подсказан автору настоящей работы А.Л. Шмелькиным и представляет собой обобщенное прямое произведение бесконечного числа экземпляров группы кватернионов с объединенными центрами. Такая группа не является финитно аппроксимируемой, но при этом в ней нет полных элементов, кроме 1. С другой стороны, в работе [5] теорема 1 без каких-либо изменений переносится на произвольную нильпотентную группу конечного ранга, т. е. на нильпотентную группу, для которой существует целое положительное число г такое, что любая ее конечно порожденная подгруппа порождается не более чем г элементами.

На разрешимые группы конечного ранга теорема 1 уже не может быть распространена, но она оказывается справедливой для разрешимых групп конечного ранга в случае, когда множество п совпадает с множеством всех простых чисел. Критерий финитной аппроксимируемости разрешимой группы конечного ранга в терминах полноты элементов был получен еще Д. Робинсоном (см., например, [6, п. 5.3.2]). Для произвольного множества п простых чисел вопрос об Еп-аппрок-симируемости разрешимой группы О конечного ранга не исследован даже в простейшем случае, когда группа О является полициклической, а множество п состоит из одного простого числа. Значительно лучше изучен вопрос о почти Еп-аппрок-симируемости разрешимых групп конечного ранга (см., например, [7, 8]).

Среди финитно аппроксимируемых групп особое место занимают мощные группы, т. е. группы, все элементы которых являются мощными. Напомним, что элемент a бесконечного (конечного) порядка группы G называется мощным, если для каждого натурального числа n (для каждого натурального делителя n порядка элемента a) существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную группу, при котором порядок образа элемента a равен n.

Мощные абелевы группы могут быть легко описаны в терминах полноты элементов следующим образом.

Теорема 3. Абелева группа G является мощной тогда и только тогда, когда она финитно аппроксимируема и не содержит /»-полных элементов бесконечного порядка ни для какого простого числа р.

Выше отмечалось, что теорема 1 доказана в работе [5]. Здесь доказаны теоремы 2 и 3. В процессе их доказательства будет заново доказана и теорема 1.

Доказательство теорем

1. Доказательство леммы. Пусть G - абелева группа, п - непустое множество простых чисел, œn(G) - множество всех п-полных элементов группы G, cn(G) -пересечение всех подгрупп конечного п-индекса группы G. Введенные здесь обозначения сохраняются всюду в этой статье. Докажем справедливость сформулированной выше леммы, т.е. покажем, что œn(G) = on(G).

В самом деле, пусть а - произвольный элемент из œn(G), т.е. a - п-полный элемент группы G. И пусть F - подгруппа группы G конечного п-индекса. Так как в конечной п-группе G/F, очевидно, нет п-полных элементов отличных от 1, а элемент aF наследует п-полноту от элемента a, то aF = 1, т. е. a принадлежит F. Следовательно, a принадлежит o^G). Таким образом, мы видим, что œ^G) содержится в o^G).

Теперь для доказательства равенства œ^G) = o^G) остается проверить, что любой элемент a группы G, не принадлежащий œ^G), не принадлежит и некоторой подгруппе конечного п-индекса группы G. Так как элемент a не является п-полным, то он не принадлежит некоторой степенной подгруппе H = Gn группы G, где n - п-число. Так как G/H - абелева п-группа с ограниченными порядками элементов, то по хорошо известной теореме Прюфера (см., например, [9, с. 85]) группа G/H раскладывается в прямое произведение циклических п-подгрупп. Поэтому группа G/H Fjj-аппроксимируема. Отсюда и из того, что aH - неединичный элемент группы G/H следует, что в группе G/H существует подгруппа F/H конечного п-индекса, не содержащая элемент aH. Тогда F - подгруппа конечного п-индекса группы G, не содержащая элемент a. Равенство œ^G) = o^G) доказано.

2. Доказательство теоремы 1. Так как FK-аппроксимируемость группы G, очевидно, равносильна условию o^G) = 1, то справедливость теоремы 1 вытекает из доказанной выше леммы, утверждающей, что œ^G) = o^G).

3. Доказательство теоремы 2. Для доказательства теоремы 2 будем далее предполагать, что п не совпадает с множеством П всех простых чисел. Как и в формулировке теоремы 2 через п' будем обозначать дополнение множества п в множестве П, а через T - п'-компоненту группы G. Покажем, что следующие три утверждения равносильны между собой.

1. Группа G почти Fп-аппроксимируема.

2. Подгруппа T конечна и фактор-группа G/T Fп-аппроксимируема.

3. Подгруппа Т конечна и совпадает с множеством юп(О).

Предположим сначала, что выполняется условие 1, т. е. что О почти ^-аппроксимируема. Обозначим через Р какую-нибудь .п-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса группы О. Так как в любой .^-аппроксимируемой группе, очевидно, нет п'-кручения, то пересечение подгрупп Т и Р тривиально. Отсюда и из того, что индекс подгруппы Р в группе О конечен, следует, что подгруппа Т конечна. Очевидно, что если порядок элемента группы конечен и является п'-числом, то этот элемент является п-полным. Поэтому все элементы из Т являются п-полными, т.е. Т содержится в юп(О). Для доказательства обратного включения обозначим через Ь подгруппу группы О, содержащую Р и такую, что индекс 1 = [О : Ь] является п'-числом, а индекс [Ь : Р] является п-числом. Из последнего обстоятельства и . п-аппроксимируемости группы Р следует .п-аппроксимируемость группы Ь. Пусть а - произвольный элемент из юп(О). Так как а - п-полный элемент группы О, и Ь - подгруппа группы О индекса 1, то а1 -п-полный элемент группы Ь. Отсюда и из . п-аппроксимируемости группы Ь по теореме 1 следует, что а1 = 1. Так как 1 - п'-число, то последнее равенство означает, что а принадлежит Т. Тем самым доказано, что юп(О) содержится в Т. Мы видим, таким образом, что подгруппа Т конечна и совпадает с юп(О). Иными словами, выполняется условие 3.

Пусть теперь выполняется условие 3, т. е. подгруппа Т конечна и совпадает с юп(О). Тогда в силу доказанного выше равенства юп(О) = сп(О) (см. лемму) подгруппа Т совпадает с пересечением всех подгрупп конечного п-индекса группы О. Отсюда следует, что в фактор-группе О/Т пересечение всех подгрупп конечного п-индекса тривиально, т. е. что группа О/Т .п-аппроксимируема. Мы видим, что выполняется условие 2.

Предположим теперь, что выполняется условие 2, т. е. что подгруппа Т конечна и фактор-группа О/Т .п-аппроксимируема. Обозначим через т порядок подгруппы Т. Пусть элемент t принадлежит пересечению подгрупп Т и От. Поскольку элемент t содержится в подгруппе Т порядка т, то = 1. Так как t принадлежит еще и подгруппе От, то t = для некоторого элемента g из О. Из последних двух равенств следует, что порядок элемента g делит т2. Отсюда и из того, что т = |Т| -п'-число, следует, что g содержится в Т. Но тогда gm = 1, т. е. t = 1. Таким образом, пересечение подгрупп Т и От тривиально. По теореме Прюфера фактор-группа О/От раскладывается в прямое произведение циклических подгрупп и поэтому является финитно аппроксимируемой группой. Поскольку пересечение подгрупп Т и От тривиально, то естественный гомоморфизм е группы О на фактор-группу О/От инъективен на подгруппе Т. Так как Те - конечная подгруппа финитно аппроксимируемой группы О/От, то существует гомоморфизм ф группы О/От на конечную группу К, инъективный на Те. Тогда произведение еф является гомоморфизмом группы О на конечную группу К, инъективным на Т. Поэтому ядро N гомоморфизма еф является подгруппой конечного индекса группы О, и при этом N тривиально пересекает Т. Отсюда следует, что естественный гомоморфизм р группы О на фактор-группу О/Т инъективен на N. Поэтому группа N вложима в группу О/Т. Отсюда и из того, что О/Т .п-аппроксимируема, следует, что и N .п-аппроксимируема. Таким образом, N - .п-аппроксимируемая подгруппа конечного индекса группы О. Следовательно, О почти . п-аппроксимируема, т. е. выполняется условие 1. Теорема 2 доказана.

4. Доказательство теоремы 3. Докажем сначала необходимость в теореме 3. Пусть О - мощная абелева группа. Очевидно, что группа О финитно аппроксими-

руема. Пусть a - элемент бесконечного порядка группы G. Тогда из определения мощного элемента следует, что для произвольного простого числа p существует гомоморфизм группы G на конечную группу P, при котором порядок образа элемента a равен p, причем ввиду разложимости группы P в прямое произведение примарных компонент можно считать, что P - конечная p-группа. Следовательно, элемент a не принадлежит пересечению op(G) всех подгрупп конечного p-индекса группы G, которое, как мы видели выше, совпадает с множеством rap(G) всех p-полных элементов группы G. Таким образом, группа G финитно аппроксимируема и не содержит p-полных элементов бесконечного порядка. Это доказывает необходимость в теореме 3.

Для доказательства достаточности в теореме 3 предположим, что абелева группа G финитно аппроксимируема и не содержит p-полных элементов бесконечного порядка ни для какого простого числа p. Покажем, что произвольный элемент a группы G является мощным. Если порядок элемента a конечен, то ввиду финитной аппроксимируемости группы G существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную группу, сохраняющий порядок элемента a, и тогда мощность элемента a обеспечивается тем очевидным обстоятельством, что любая конечная абелева группа является мощной. Предположим теперь, что порядок элемента a бесконечен и H - циклическая подгрупп группы G, порожденная элементом a. Покажем, что элемент a является мощным, т. е. что для каждого натурального числа n в группе G существует подгруппа N конечного индекса, высекающая в H подгруппу Hn. Доказательство этого утверждения очевидным образом сводится к доказательству того же самого утверждения для случая, когда n = pk - степень простого числа p. Пусть m = pk-1. Элемент arn имеет бесконечный порядок, и поэтому он не является p-полным. Таким образом, элемент am не принадлежит подмножеству rap(G), которое, как мы видели, совпадает с op(G). Поэтому существует гомоморфизм ф группы G на конечную p-группу P, переводящий элемент am в элемент отличный от 1, причем мощность группы P позволяет без потери общности считать, что образ элемента am относительно ф имеет порядок p. Тогда порядок образа элемента a относительно ф равен n, и поэтому в качестве искомой подгруппы N можно взять ядро гомоморфизма ф. Теорема 3 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мальцев А.И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Мат. сб. 1940. Т. 8. № 3. С. 405-422.

2. Hirsh K.A. On infinite soluble groups // J. London Math. Soc. 1952. V. 27. P. 81-85.

3. Шмелькин А.Л. Полициклические группы // Сиб. мат. ж. 1968. Т. 9. С. 234-235.

4. Мальцев А.И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. зап. Иван. гос. пед. ин-та. 1958. Т. 18. Вып. 5. С. 49-60.

5. Азаров Д.Н. Некоторые аппроксимационные свойства групп конечного ранга // Модел. и анализ информ. систем. 2014. Т. 21(2). С. 50-55.

6. Lennox J., Robinson D. The theory of infinite soluble groups. Oxford.: Clarendon press. 2004.

7. Азаров Д.Н. Аппроксимируемость разрешимых групп конечного ранга некоторыми классами конечных групп // Известия вузов. Математика. 2014. № 8. С. 18-29.

8. Азаров Д.Н. Некоторые аппроксимационные свойства разрешимых групп конечного ранга // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15. № 1(49). С. 7-18.

9. Каргаполов М.И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука. 1972.

Статья поступила 15.02.2015 г.

Azarov D. N. RESIDUAL PROPERTIES OF ABELIAN GROUPS

DOI 10.17223/19988621/35/1

Let n be a set of primes. For Abelian groups, the necessary and sufficient condition to be a virtually residually finite n-group is obtained, as well as a characterization of potent Abelian groups. Recall that a group G is said to be a residually finite n-group if for every nonidentity element a of G there exists a homomorphism of the group G onto some finite n-group such that the image of the element a differs from 1. A group G is said to be a virtually residually finite n-group if it contains a finite index subgroup which is a residually finite n-group. Recall that an element g in G is said to be n-radicable if g is an mth power of an element of G for every positive n-number m. Let A be an Abelian group. It is well known that A is a residually finite n-group if and only if A has no nonidentity n-radicable elements. Suppose now that n does not coincide with the set n of all primes. Let n' be the complement of n in the set n. And let T be a n'-component of A, i.e., T be a set of all elements of A whose orders are finite n'-numbers. We prove that the following three statements are equivalent to each other: (1) the group A is a virtually residually finite n-group; (2) the subgroup T is finite and the quotient group A / T is a residually finite n-group; (3) the subgroup T is finite and T coincides with the set of all n-radicable elements of A.

Keywords: Abelian group, residually finite group.

AZAROVDmitrii Nikolaevich (Candidate of Physics and Mathematics, Ivanovo State University, Ivanovo, Russian Federation) E-mail: azarovdn@mail.ru

REFERENCES

1. Mal'tsev A.I. Ob izomorfnom predstavlenii beskonechnykh grupp matritsami. Mat. sb., 1940, vol. 8, no. 3, pp. 405-422.

2. Hirsh K.A. On infinite soluble groups. J. London Math. Soc., 1952, vol. 27, pp. 81-85.

3. Shmel'kin A.L. Politsiklicheskie gruppy. Sib. matem. zhurnal, 1968, vol. 9, pp. 234-235.

4. Mal'tsev A.I. O gomomorfizmakh na konechnye gruppy. Uchen. zap. Ivan. gos. ped. in-ta, 1958, vol. 18, no. 5, pp. 49-60.

5. Azarov D.N. Nekotorye approksimatsionnye svoystva grupp konechnogo ranga. Model. i analiz inform. sistem, 2014, vol. 21

6. Lennox J., Robinson D. The theory of infinite soluble groups. Oxford, Clarendon press, 2004.

7. Azarov D.N. Approksimiruemost' razreshimykh grupp konechnogo ranga nekotorymi klassami konechnykh grupp. Izvestiya vuzov. Matematika, 2014, no. 8, pp. 18-29.

8. Azarov D.N. Nekotorye approksimatsionnye svoystva razreshimykh grupp konechnogo ranga. Chebyshevskiy sbornik, 2014, vol. 15, no. 1

9. Kargapolov M.I, Merzlyakov Yu.I. Osnovy teorii grupp. Moskow, Nauka Publ., 1972.