Интерфейс для исследования субримановых геодезических на трехмерных группах Ли

руководства обучением с возможностями использования всех вспомогательных систем при проведении комплексных занятий на ТМК нового поколения.

Перспективы разработки ТМК нового поколения в различных сферах подготовки операторов. Показанные подходы в проектировании ТМК нового поколения дают возможности модернизации существующей тренажерной и учебной базы, а также разработки принципиально новых технических решений:

- использование новых системных решений позволит учесть при разработке современные информационные технологии, программные средства и уникальные технические решения, опробованные в различных разработках ТМК и образовательных космоцентрах;

- использование новых принципов управления обучением с применением современных пультов контроля и управления, средств ввода информации, в том числе голосового, для выдачи управляющих команд способствует наиболее простому и оперативному взаимодействию с программно-техническим комплексом как для инструкторов, так и для обучаемого персонала;

- новые технологии интеграции используют современные распределенные хранилища информации, стандарты передачи данных между отдельными модулями и тренажерами, в том числе с использованием внутренней и внешней интеграции для облегчения проектирования управляющих интерфейсов между разносторонними программными средами;

- взаимосвязанное использование составных модулей ТМК позволяет проводить новые виды тренировок на объекте с целью разнообразия и расширения этапов обучения - от ознакомительных учебных занятий с применением компьютерных обучающих программ до тренировок на интерактивных аналогах аппаратов с контролем и оценкой деятельности обучаемых на каждом из этапов.

Все изложенные принципы проектирования найдут практическое применение в решении задач разработки новых обучающих систем и ТМК в сфере подготовки специалистов космической отрасли и инновационных образовательных космо-центров:

- при модернизации и объединении тренажеров российского сегмента Международной космической станции с использованием технологий единого информационного пространства для моделирования проведения совместных тренировок;

- в разработке тренажеров, функционально-моделирующих стендов и обучающих систем для подготовки специалистов главной оперативной группы управления, совмещающих на единой аппаратной и программной базе различные тренировочные средства двойного назначения;

- в процессе проектирования и внедрения образовательных космоцентров на территории Российской Федерации, объединяющих в себе компоненты образовательных и тренажерных технологий, что позволит при их эксплуатации привлекать различные группы посетителей от учеников младших классов до профессиональных космонавтов.

Литература

1. Бурнавцев A.C. Заоблачный компьютинг // HARD'n'SOFT. 2009. № 12. С. 20-21.

2. Современные информационные технологии в образовании. URL: http://sgpu2004.narod.ru/infotek/index.htm (дата обращения: 27.06.2012).

3. Филатова Н.Н., Вавилова Н.И., Ахремчик О.Л. Мультимедиа тренажерные комплексы для технического образования // Educational Technology & Society. 2003. № 6. C. 164-186.

4. Современные тренажерные технологии. URL: http:// www.traintech.ru (дата обращения: 27.06.2012).

References

1. Burnavtsev A.S., HARD 'n 'SOFT, 2009, no. 12, pp. 20-21.

2. Modern IT in education, Available at: http://sgpu2004.na-rod.ru/infotek/ index.htm (accessed 27 June 2012).

3. Filatova N.N., Vavilova N.I., Akhremchik O.L., Educational Technology & Society, 2003, no. 6, pp. 164-186.

4. Modern training technologies, Available at: http://www. traintech.ru (accessed 27 June 2012).

УДК 004.4+517.977

ИНТЕРФЕЙС ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СУБРИМАНОВЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ НА ТРЕХМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ

А.А. Ардентов, м.н.с.; И.Ю. Бесчастный, аспирант; А.П. Маштаков, м.н.с.; Ю.Л. Сачков, д.ф.-м.н., доцент, руководитель исследовательского центра

Рассматривается программный интерфейс для вычисления и исследования геодезических субримановых структур на группах SO(3) и SL(2), разработанный в системе Wolfram Mathematica. Данный интерфейс является первым

шагом к получению полного описания геодезических кривых всех контактных структур на трехмерных группах Ли. В статье приводятся уравнения гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина в обоих случаях. Уравнения для сопряженных переменных в гамильтоновой системе имеют один и тот же вид для всех задач. Продемонстрированы результаты работы программы. Показаны примеры геодезических на группах SO(3) и SL(2) в эллиптическом и гиперболическом случаях.

Ключевые слова: интерфейс, субриманова задача, геодезические, Wolfram Mathematica, SL(2), SO(3), гамильто-нова система.

INTERFACE FOR STUDY OF SUB-RIEMANNIAN GEODESICS ON 3D LIE GROUPS

ArdentovAA., Junior Researcher; Beschastnyi I. Yu, Postgraduate; Mashtakov A P., Junior Researcher;

Sachkov Yu L., Ph.D., Associate Professor, Head of the Research Center (Program System Institute of RAS, 4a, Petr 1st Av., Pereslavl-Zalessky, 152021, Russia, sachkov@sys.botik.ru) Аbstract. We consider a program interface for evaluation and study of geodesics of sub-Riemannian structures on groups SO(3) and SL(2), which was developed in Wolfram Mathematica. The given interface is the first step towards complete description of geodesic curves of all contact structures on 3-dimensional Lie groups. Equations for the adjoint variables of the Hamiltonian system are the same for all problems. In this paper equations for the Hamiltonian system of Pontryagin's maximum principle for both cases are presented. Simulation results are demonstrated. Examples of geodesics on SO(3) and on SL(2) in elliptic and hyperbolic cases are shown.

Keywords: interface, sub-Riemannian problem, geodesic, Wolfram Mathematica, SL(2), SO(3), Hamiltonian system.

Субриманова геометрия является естественным языком теории управления [1]. На римановом многообразии касательный вектор к кривой может быть любым. В субримановом случае он должен лежать в определенном подпространстве. Совокупность всех этих подпространств называется распределением.

Такое обобщение римановой геометрии имеет многочисленные приложения в различных областях науки и техники. Например, изопериметриче-ские проблемы, такие как задача Дидоны, связаны с динамикой частиц в магнитном поле [2]. Задачи на группе вращений трехмерного пространства имеют приложения к задачам ориентации твердого тела, когда, например, вектор угловой скорости не покидает некоторую двухмерную плоскость [3]. Решения задач на специальных унитарных группах SU(2) и SU(3) используются в управлении квантовыми двухуровневыми и трехуровневыми системами [4, 5]. Задачи об эластиках Эйлера, оптимальном движении колесного робота и о восстановлении поврежденных изображений вариационным методом могут быть сформулированы как соответствующие задачи на группе движений евклидова пространства [1, 6, 7]. Многие механические задачи с неголономными ограничениями допускают субриманово описание, например, задача о качении шара по плоскости [6]. Помимо этого, с помощью субримановой геометрии могут быть получены аппроксимации нелинейных систем управления, сохраняющие свойство управляемости [8], которые находят применение, к примеру, при управлении колесным роботом с прицепами [9].

В этой статье рассматриваются субримановы структуры на специальной ортогональной группе SO(3) и специальной линейной группе SL(2):

ЯО(3) = (д е R3 х3 | det д = 1, дТд = М},

Ж (2) = (д е R2х2 ^ д = 1}.

Распределение на этих группах задается как линейная оболочка пары независимых векторных

полей span{/, /2} [10], а параметризация геодезических получается как решение соответствующей задачи оптимального управления:

д = иЛ (д)+щ/2 (дХ

д (0) = Id, д ) = д1, (и1,и2) е Я2,

'1 2

' (q)=íи

t 2 2 И, + и,

— dt ^ min,

2

где q=q(t) - кривая на группе; и, - управления; /¿д) - левоинвариантные векторные поля.

Рассматриваемые субримановы структуры возникают в задачах восстановления изображений, а также в задачах управления вращением твердого тела в пространстве.

Для исследования поставленной задачи используются принцип максимума Понтрягина и численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Гамильтонова система принципа максимума Понтрягина

В работе [10] описана классификация левоин-вариантных субримановых задач (1) на трехмерных группах Ли. Показано, что основное семейство таких задач в некотором каноническом репере {/о, /, /2} удовлетворяет условиям /, /)]=^та+ /2, /о]=^та-^а)/ь //]=/), где /, / -коммутатор векторных полей; параметр ае(0, п).

Из принципа максимума Понтрягина [1] получена гамильтонова система дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют оптимальные траектории q(t) в задаче оптимального управления (1):

с

Y :

2

c = -2 sin a sin2Y;

q = cos y f

Здесь y, c - сопряженные переменные принципа максимума Понтрягина.

0

Запишем в координатах дифференциальное уравнение (3) для следующих случаев.

1. Случай а е ^0, — J соответствует группе

SO(3), которая параметризуется кватернионом единичной длины (д0, д1, д2, д3). Получим:

2(-чл

cos а + sin а cos у - qís[Cos а - sin а sin y

sin y ),

ql =1 (-q3V cos а + sin а cos y + q0\/ cos а- sin а sin y ), q2 =1 ( q0s¡ cos а + sin а cos y + q3V cos а-sin а sin y ),

q3 =1 ( QjV cos а + sin а cos y-q2V cos а-sin а sin y) ,

q0 (0) = 1, q (0) = 42 (0) = Чз (0) = 0. ~ ^ - (п

2. Случаи a el "4, "4 I соответствует группе

SLh(2), которая задается матрицами ничным определителем. Получим:

a b c d

с еди-

= — (-а 2 ^

cos a + sin a cos у + cos a + sin a sin у

b = — (Wcos a + sin a cos у - W- cos a + sin a sin у ),

с = — (-dV cos a + sin a cos y + с\/- cos a + sin a sin у),

1 (-dj

2

d = — (сл/i 2

cv cos a + sin a cos у

d-

cos a + sin a sin у

in Y ),

a(0) = 1, b(0) = 0, c(0) = 0, d (0) = 1.

3п

3. Случаи a e | —, п | соответствует группе

ab

cd

с еди-

SLe(2), которая задается матрицами

ничным определителем. Получим:

¿a = 1 (W - cos a- sin a cos y + ¿V - cos a + sin a sin у),

b = 1 (¿4 - cos a- sin a cos у - W - cos a + sin a sin у ),

c = 1 (d%/-d = 1 (csi

cos a - sin a cos y + c%/- cos a + sin a sin у

cv - cos a - sin a cos у

d-

cos a + sin a sin у)

а(0) = 1, Ь(0) = 0, с(0) = 0, ^ (0) = 1.

Из-за высокой сложности гамильтоновой системы (2), (3) для ее решения и исследования необходимо применение компьютерных методов.

Интерфейс для вычисления и исследования геодезических

Для численного интегрирования гамильтоновой системы (2), (3) использовалась программная среда Wolfram Mathematica [10]. Соответствую-

щие функции вычисления геодезических для каждой субримановой задачи были запрограммированы и объединены в общий интерфейс.

Входными параметрами интерфейса являются переменные а, у0, с0, /ь которые задаются с помощью управляющих ползунков. Выходными параметрами являются значение вектора сопряженных переменных в конечной точке у(А), ), график проекции геодезической на фазовую плоскость маятника (у, с)(/), /е[0, /1], значение конечной точки в некоторых координатах (для SO(3) компоненты кватерниона д0, д1; д2, д3, а для SL(2) компоненты матрицы а, Ь, с, d) и проекция геодезических (в случае SO(3) на сферу х2+у2+12=1, а в случае SL(2) - на плоскости (а, Ь) и (с, ?)).

Интерфейс удобен как средство компьютерного исследования семейства задач оптимального управления (1), он может использоваться и математиками, и инженерами, работающими с приложениями этих задач в обработке изображений и механике.

Примеры графиков, иллюстрирующие работу интерфейса, приведены на рисунках 1-4.

Рис. 1. Геодезические для SO(3), когда

ае\ 0,П

Рис. 3. Другой пример геодезических для SO

Рис. 2. SL(2) гиперболический

(п 3п случай, a e l —, — I 4 4

Рис. 4. SL(2) эллиптический

3п

случай, a e | , п

В заключение отметим, что основными результатами данной работы являются гамильтонова

)

)

система (2), (3) принципа максимума Понтрягина для субримановой задачи (1), координатное представление системы (2), программный интерфейс для исследования субримановой задачи (1).

Разработанный интерфейс целесообразно использовать при изучении субримановых структур на трехмерных группах Ли. Изображения геодезических и их проекций позволяют предположить наличие дискретных симметрий (отражений) в этих задачах. При разных значениях параметра а можно наблюдать разное качественное поведение геодезических во времени, например, асимптотическое поведение, ограниченность, наличие точек возврата и огибающих в проекции. Применяя интерфейс, можно сравнивать свойства геодезических для разных классов задач (эллиптического и гиперболического случаев для группы SL(2)). Эта информация будет полезной для последующего изучения рассматриваемых задач.

В дальнейшем планируется математическое исследование субримановых структур на трехмерных группах Ли: параметризация геодезических, описание симметрий экспоненциального отображения и соответствующих множеств Максвелла для оценки верхней границы времени разреза и первого сопряженного времени. Это позволит дополнить программный интерфейс функциями управления оптимальными траекториями, которые будут использованы в задачах восстановления изображений и управления вращениями твердого тела в пространстве.

Литература

1. Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005. 392 с.

2. Agrachev A.A., Gauthier J.-P.A. On the Dido problem and plane Isoperimetric problems. Acta Applicandae Mathematicae, 1999, no. 57, pp. 287-338.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 408 с.

4. Boscain U., Mason P. Time minimal trajectories for a spin

A particle in a magnetic field. Journ. of Mathematical Physics. 2006, no. 47.

5. Boscain U., Chambrion T., Sigalotti M. Nonisotropic 3-le-vel quantum systems: complete solutions for minimum time and minimal energy. Discrete and Continuous Dynamical Systems-B. 2005. Vol. 5. Iss. 4, pp. 957-990.

6. Jurdjevic V. Geometric Control Theory. Cambridge University Press, 1997. 510 p.

7. Сачков Ю.Л., Ардентов А.А., Маштаков А.П. Параллельный алгоритм и программа восстановления изофот поврежденных изображений // Программные системы: теория и приложения. 2010. Т. 1. № 1. С. 3-20.

8. Agrachev A.A.. Sarychev A.V. Filtrations of a Lie algebra of vector fields and the nilpotent approximation of controllable systems. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1987. Vol. 295. no. 4, pp. 777-781.

9. Маштаков А.П.. Алгоритмическое и программное обеспечение решения конструктивной задачи управления не-голономными пятимерными системами // Программные системы: теория и приложения. 2012. Т. 1. № 3. C. 3-29.

10. Agrachev A., Barilari D. Sub-Riemannian structures on 3D Lie groups. Journ. of Dynamical and Control Systems, 2012, Vol. 18, pp. 21-44.

11. Wolfram Mathematica 8, URL: http://www.wolfram.com/ mathematica/ (дата обращения: 13.10.2012).

References

1. Agrachev A.A., Sachkov Yu.L., Geometricheskaya teoriya upravleniya [Geometric control theory], Moscow, Fizmatlit, 2005.

2. Agrachev A.A., Gauthier J.-P.A., Acta Applicandae Mathematicae,, 1999, no. 57, pp. 287-338.

3. Arnold V.I., Matematicheskie metody klassicheskoi me-khaniki [Mathematical methods of classical mechanics], Moscow, Editorial URSS, 2000.

4. Boscain U., Mason P., Journ. of Math. Phys, 2006, no. 47.

5. Boscain U., Chambrion T., Sigalotti M., Discrete and Continuous Dynamical Systems-B, 2005, Vol. 5, Iss. 4, pp. 957-990.

6. Jurdjevic V., Geometric Control Theory. Cambridge Univ. Press, 1997, 510 p.

7. Sachkov Yu.L., Ardentov A.A., Mashtakov A.P., Programmnye sistemy: teoriya i prilozheniya, 2010, Vol. 1, no. 1, pp. 3-20.

8. Agrachev A.A., Sarychev A.V., Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1987, Vol. 295, no. 4, pp. 777-781.

9. Mashtakov A.P., Programmnye sistemy: teoriya i prilozhe-niya, 2012, Vol. 1, no. 3, pp. 3-29.

10. Agrachev A., Barilari D., Journ. of Dynamical and Control Systems, 2012, Vol. 18, pp. 21-44.

11. Wolfram Mathematica 8, Available at: http://www.wolf-ram.com/mathematica/ (accessed 13 October 2012).

УДК 629.735:533.69

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ПРИ АВТОМАТИЗИРОВАННОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

(Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»

по направлению «Конструирование летательных аппаратов», по проблеме «Разработка и конструирование дополнительных аэродинамических поверхностей крыла летательного аппарата нового поколения», соглашение № 14.132.21.1585)

А.А. Горбунов, аспирант; А.Д. Припадчев, к.т.н., доцент

В представленной статье сформулирован и обоснован метод автоматизированного проектирования с использованием разработанных программных средств и оптимального выбора дополнительных аэродинамических поверхно-