Задача с нелокальным смещением для уравнения дробной диффузии

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. Том 24 № 3 2018

35

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.9

DOI: 10.18287/2541-7525-2018-24-3-35-40

Ф.М. Лосанова1

ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМ СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

ДРОБНОЙ ДИФФУЗИИ

В данной работе строится решение внутреннекраевой задачи с нелокальным смещением для уравнения дробной диффузии в прямоугольной области.

Ключевые слова: внутреннекраевая задача, нелокальное смещение, функция типа Райта.

Цитирование. Лосанова Ф.М. Задача с нелокальным смещением для уравнения дробной диффузии // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2018. Т. 24. № 3. С. 35-40. БО!: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-3-35-40.

где -оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка а, определяемый следующим образом [1, с. 28]

Г(а) - гамма-функция Эйлера, 0 < а ^ 1.

Дифференциальные уравнения дробного порядка представляют большой интерес для многих авторов, так как математический аппарат интегродифференцирования дробного порядка позволяет описывать процессы в системах, для которых существенен учет нелокальных свойств по времени и пространству. Широкое применение в естествознании получили производные дробного порядка в связи с тем, что их интерпертируют как способ учета эффектов памяти (нелокальность по времени) и пространственных корреляций (нелокальность по координатам). С помощью уравнений в дробных производных можно описать эволюцию некоторой физической системы с потерями, причем дробный показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за все время эволюции [2]. В частности уравнение (1) возникает при математическом моделировании динамики численности популяции с учетом различных миграционных процессов [3].

Сделаем небольшой обзор работ, посвященных уравнению (1).

В работе [4] исследовались диффузионные и диффузионно-волновые уравнения, представленные в форме, получаемой после интегрирования порядка а уравнения (1), построены фундаментальные решения, изучены некоторые их свойства.

В работе [5] исследовалась задача Коши для уравнения диффузии дробного порядка (0 < а < 1) с регуляризованной дробной производной (производной Капуто) и эллиптическим оператором с коэффициентами, зависящими от пространственных переменных. В терминах ^-функции построено фундаментальное решение, найдено решение задачи Коши и показана его единственность.

х© Лосанова Ф.М., 2018

Лосанова Фатима Мухамедовна (losanovaf@gmail.com), лаборатория синергетических проблем, Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Российская Федерация, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А.

Введение

В области ll = {(x,t) :0 < x <l, 0 <t <T} рассмотрим уравнение

uxx(x, t) — Dot u(x, n) = f (x, t),

a < 0,

a = 0, p — 1 < a ^ p, p G N.

Преобразование Лапласа и преобразование Фурье были использованы в работе [6] для построения фундаментальных решений диффузионных и диффузионно-волновых уравнений дробного порядка с производными Капуто и Римана-Лиувилля.

Диффузионно-волновое уравнение методами группового анализа исследовалось в работе [7]. Методом разделения переменных диффузионно-волновое уравнение исследовалось в работе [8].

В работах [9], [10] методом редукции к системе уравнений меньшего порядка решена задача Коши и первая краевая задача для дробного уравнения диффузии вида (1). Затем методом функции Грина построены решения основных краевых задач в прямоугольной области и с помощью фундаментального решения решена задача Коши для диффузионно-волнового уравнения.

Более полную библиографию можно найти например в [11] и [12].

В данной работе исследуется внутреннекраевая задача со смещением с интегральным условием. На важность исследования краевых задач с нелокальным условием, содержащим интеграл от искомой функции по пространственным переменным, впервые обратил внимание А.А. Самарский [13]. В дальнейшем подобные задачи для уравнений различных типов исследовались во многих работах, например [14] и [15].

Отметим монографию [16], в которой проведен анализ наиболее типичных краевых и внутреннекра-евых задач со смещением для уравнений в частных производных различных типов, сделан аналитический обзор задач, которые можно отнести к классу нелокальных, получены энергетические оценки и необходимые краевые и внутреннекраевые условия со смещением для широких классов уравнений в частных производных основных и смешанных типов в двумерных и многомерных областях (см. библ. сп.).

1. Постановка задачи

Регулярным решением уравнения (1) в области П назовем функцию и = и(х,€) из класса ва-^хп) € С(П), ихх(х,Ь), П"ги(х,ц) € С(П), удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках (х,Ь) € П.

Ставится следующая

Задача. Найти регулярное решение и(х,€) уравнения (1) в области П, удовлетворяющее условиям:

Иш Па-1и

I

и

о

и

где т(х), ф(€), ф(г), М(х,г) — заданные непрерывные функции.

2. Редукция к интегральному уравнению

Далее обозначим через и(0,г) = р(г).

Для нахождения решения задачи (1), (2)—(4) воспользуемся предсталением решения первой краевой задачи для уравнения (1), которое выписывается в виде [12, стр. 99]

г г

и(х,г) = ! р(г/)0^ (х,г, о,n)dn — J (х,г,1,ц)^+

t l

где

+ J т(rj)G(x, t, g, 0)dg - J J f (g,v)G(x,t,g,V)dgdV,

0 0 0

G(x,t,g,ri)={t f 1 x

TO

E

n= — TO

в f_ | x - g + 2nl\ _ 1в (_ | X + g + 2nl 4 (t - ) eie\ (t -

— функция Грина первой краевой задачи, ß = а/2,

e

, в (*) = Е

-1 , в

п=0

п!Г

функция Райта [12, стр. 23].

Удовлетворив функцию (5) условию (3), после несложных преобразований получим

г

р(г) +1 р(п)к (г,лщ = р (г),

где

ь

к {,'п)Ч м м ^

0

е1 . 0

1 , Ч

ае

(г - п)в,

1,0 I (х + 2п1)\

10 \х - 2п1\\ + 1,0 (____ .

П=1 %вУ (г - п)в) +п==1 (г - п)в)\

ь г

р (г) = Ф(ь) + ! м (х,г)! ф(п)а6 (х,г,1,п№^х-

ь ь

- ! м(х,Ь) ! т(£)а(х,г,£, 0)^х+

г ь

+ 1 м (х,г) 111 п)а(х,1,£,ФЫпё,х.

00

3. Исследование ядра

Исследуем далее функцию

к(г,п)^ м(х,г)(г - п)-1х

1,0 1,в

( (г -V) П^1^

1,0 (_ \х - 2пЦ\ +

1 в

. 1 , 0 I \х + 2п1\\ + 2^ е

1

1 ,Ч (г - п)в)\

¿х.

Будем считать, что функция м(х,г) непрерывна в области И. Пусть м(г) = вир \ м(х,г) \ . Ис-

пользуя оценку для функции Райта [12, стр. 27] оценим К(г,п). Учитывая, что е^'в — положительная функция,

ге[0 , ь]

м

[ Г 1 , 0 ( х \ _ 1 , 0 (_ \х - 2п1\\ +

г - ^Ч (г - п)в) П= е1в\ (г - п)в +

0

+ £ е1,

1,0 \х + 2п1\\

1,в

п=1

(г - п)в )\

¿х

< м(г)с

(г - п)в(1+в)-1

1в

1 ^

Гв)+ П=Д 1в (2п + 1)в 1в (2п - 1)в

1

или

м

(г - п)1-в

__^

^

+

1

+

п

2

X

+

n=1

hß(_\l + 2nl | N

M

Ji,ß

где C

(t -

константа, не зависящая от x, в £ (1, 2].

i \l - 2nl\\

Г w-w л

<

C

1

4. Формулировка результата

Если г1-аф(г) € С[0, Т], то из (8) следует, что также Ь1-а¥(г) € С[0,Т]. Поэтому из оценки (9) следует, что ядро К (г, п) имеет степенную и интегрируемую особенность и, следовательно, резольвента

я

к=0

тоже имеет такую особенность, где

t

Ki(t,n) = K (t,n), Kn(t,n) = j K (t,s)Kn-i(s,n)ds.

n

Таким образом уравнение (6) является интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода, решение которого можно выписать в виде [см. 17]

г

р

о

где Я(г,п) — резольвента ядра К(г,п).

Теперь, пользуясь представлением (5), решение задачи (1), (2)-(4) может быть выписано в виде

t

(x,t) = j F(t) - Jf(n)R(t,n)dn

о

t

G^(x, t, 0, n)dn-

- j v

t i

+ J t(n)G(x, t, g, 0)dg - J j f (t,ri)G(x,t,t,ri)dgdV.

о 0

Сформулируем теорему о разрешимости задачи (1), (2)-(4).

Теорема. Пусть М(х,г) € С(П), 0 < а < 1, г1-ар(г), г1-аф(г), г1-аф(г) € С[0,Т], т(х) € С[0,1], г1-а/(х,г) € С(П), /(х,г) удовлетворяет условию Гельдера по перечтенной х. Тогда решение задачи (2)-(4) для уравнения (1) существует, единственно и представимо в виде (11).

Доказательство.

Заметим, что единственность решения задачи (1), (2)-(4) следует из единственности решения интегрального уравнения (9) и представления (11). Учитывая условия, наложенные на ф(г), ф(г), р(г) доказательство того, что функция (11) является решением уравнения (1) и удовлетворяет условиям (2)-(4) проводится также как и в работе [10].

u

Литература

[1] Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

[2] Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

[3] Лосанова Ф.М. Задача с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе // Вестник КРАУНЦ. физ.-мат. науки. 2015. № 2(11). С. 17-21. DOI: https://doi.org/10.18454/2079-6641-2015-11-2-17-21.

[4] Wyss W. The fractional diffusion equation // J. Math. Phys. 1986. 27:11. P. 2782-2785.

[5] Кочубей А.Н., Эйдельман С.Д. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Докл. РАН. 2004. 394:2. P. 159-161.

[6] Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos Solitons Fractals. 1996. 7:9. P. 1461-1477. DOI: http://doi.org/10.1016/0960-0779(95)00125-5.

[7] Luchko Yu., Gorenflo R. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order // Fract. Calc. Appl. Anal. 1998. 1:1. P. 63-78.

[8] Андреев А.А., Еремин А.С. Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени // Математическое моделирование и краевые задачи, Тр. двенадцатой межвуз. конф. Самара: СамГТУ, 2004. Ч. 3. C. 3-9.

[9] Псху А.В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 10. С. 1430-1433. DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000017925.68789.e9.

[10] Псху А.В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 9. С. 1286-1289. DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000012703.45373.aa.

[11] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

[12] Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М: Наука, 2005. 199 с.

[13] Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.

[14] Ионкин Н.И. Решение одной задачи теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1280-1283. DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000047025.64101.16.

[15] Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 7. С. 887-892.

[16] Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М: Наука, 2006. 287 с.

[17] Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М: Наука, 1975. 304 с.

References

[1] Nakhushev A.M. Uravneniia matematicheskoi biologii [Equations of Mathematical Biology]. M.: Vyssh. shk., 1995, 301 p. [in Russian].

[2] Uchaikin V.V. Metod drobnykh proizvodnykh [Method of Fractional Derivatives]. Ulyanovsk: Artishok, 2008, 512 p. [in Russian].

[3] Losanova F.M. Zadacha s usloviem Samarskogo dlia uravneniia drobnoi diffuzii v polupolose [Problem with conditions Samara for fractional diffusion equation in the half]. Vestnik KRAUNTs. Fiz.-mat. nauki [Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences], 2015, 11:2, pp. 15-18. DOI: https://doi.org/10.18454/2079-6641-2015-11-2-17-21 [in Russian].

[4] Wyss W. The fractional diffusion equation. J. Math. Phys., 27:11 (1986), pp. 2782-2785 [in English].

[5] Kochubei A.N., Eidelman S.D. Zadacha Koshi dlia evoliutsionnykh uravnenii drobnogo poriadka [The Cauchy problem for evolution equations of fractional order]. Dokl. RAN, 2004, 349:2, pp. 159-161 [in Russian].

[6] Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena. Chaos Solitons Fractals, 1996, 7:9, pp. 1461-1477. DOI: http://doi.org/10.1016/0960-0779(95)00125-5 [in English].

[7] Luchko Yu., Gorenflo R. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order. Fract. Calc. Appl. Anal., 1998, 1:1, pp. 63-78 [in English].

[8] Andreev A.A., Eremin A.S. Kraevaia zadacha dlia uravneniia diffuzii s drobnoi proizvodnoi po vremeni [Boundary-value problem for the diffusion equation with a fractional derivative with respect to time]. In: Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi, Tr. dvenadtsatoi mezhvuz. konf. [Mathematical modelling and boundary-value problems, Proceedings of the 12th interacademic conference]. Samara: SamGTU, 2004, Part 3, pp. 3-9 [in Russian].

[9] Pskhu A.V. Reshenie kraevykh zadach dlia uravneniia diffuzii drobnogo poriadka metodom funktsii Grina [Solution of Boundary Value Problems for the Fractional Diffusion Equation by the Green Function Method]. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 2003, 39:10, pp. 1509-1513. DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000017925.68789.e9.

[10] Pskhu A.V. Reshenie pervoi kraevoi zadachi dlia uravneniia diffuzii drobnogo poriadka [Solution of the First Boundary Value Problem for a Fractional-Order Diffusion Equation]. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 2003, 39:9, pp. 1359-1363. DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000012703.45373.aa [in Russian].

[11] Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integraly i proizvodnye drobnogo poriadka i nekotorye ikh prilozheniia [Integrals and Derivatives of Fractional Order and Some of Their Applications]. Minsk: Nauka i tekhnika, 1987, 688 p. [in Russian].

[12] Pskhu A.V. Uravneniia v chastnykh proizvodnykh drobnogo poriadka [Partial differential equations of fractional order]. M.: Nauka, 2005, 199 p. [in Russian].

[13] Samarskii A.A. O nekotorykh problemakh teorii differentsial'nykh uravnenii [Some problems of the theory of differential equations]. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 1980, Vol. 16, no. 11, pp. 1925-1935 [in Russian].

[14] Ionkin N.I. Reshenie odnoi zadachi teploprovodnosti s neklassicheskim kraevym usloviem [The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition]. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 1977, 13:2, pp. 294-304 [in Russian].

[15] Pulkina L.S. Nelokal'naia zadacha s integral'nymi usloviiami dlia giperbolicheskogo uravneniia [A Nonlocal Problem with Integral Conditions for a Hyperbolic Equation]. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 2004, 40:7, pp. 947-953. DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000047025.64101.16 [in Russian].

[16] Nakhushev A.M. Zadachi so smeshcheniem dlia uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Problems with Shift for Partial Differential Equations]. M.: Nauka, 2006, 287 p. [in Russian].

[17] Krasnov M.L. Integral'nye uravneniia [Integral equations]. M.: Nauka, 1975, 304 p. [in Russian].

F.M. Losanova2

A PROBLEM WITH NONLOCAL DISPLACEMENT FOR FRACTIONAL

DIFFUSION EQUATION

In this paper, we construct a solution of the inner-boundary problem with a nonlocal shift for the fractional diffusion equation in a rectangular region.

Key words: internal task, nonlocal offset, Wright type function.

Citation. Losanova F.M. Zadacha s nelokal'nym smeshcheniem dlia uravneniia drobnoi diffuzii [A problem with nonlocal displacement for fractional diffusion equation]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia [Vestnik of Samara University. Natural Science Series], 2018, no. 24, no. 3, pp. 35-40. DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-3-35-40 [in Russian].

Статья поступила в редакцию 4/IX/2018. The article received 4/IX/2018.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

2Losanova Fatima Mukhamedovna (losanovaf@gmail.com), Sinergetics Problems laboratory, Institute of Applied Mathematics and Automation, 89A, Shortanova Street, Nalchik, 360000, Kabardino-Balkar Republic, Russian Federation.