Биомеханические проблемы прыжка на лыжах с трамплина

БИОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПРЫЖКА НА ЛЫЖАХ С ТРАМПЛИНА

А.Р. Подгаец, Р.Н. Рудаков

Россия, 614600, Пермь, Комсомольский проспект 29а, Пермский государственный технический университет, кафедра теоретической механики

Аннотация: Рассмотрены основные фазы прыжка на лыжах с трамплина (разгон, отталкивание, полёт и приземление) и связанные с ними задачи биомеханики. Приведен обзор экспериментальных и теоретических работ, посвященных исследованию различных аспектов прыжка на лыжах с трамплина. Подробно рассмотрены различные методы определения аэродинамических коэффициентов лобового сопротивления и подъёмной силы в фазе полета. Обсуждаются задачи математического моделирования прыжка с трамплина.

Ключевые слова: прыжок на лыжах с трамплина, аэродинамические

коэффициенты, оптимальная траектория

Введение

Прыжки с трамплина - один из наиболее технически сложных видов спорта. Достижения в нём связаны, в основном, с практической деятельностью тренеров и спортсменов, а строгое математическое моделирование прыжка, учитывающее индивидуальность спортсмена, находится пока на пути становления. Работы, посвящённые прыжкам с трамплина, можно разделить на две группы: экспериментальные работы по анализу различных фаз прыжка и теоретические исследования прыжка на лыжах. Среди экспериментальных работ следует выделить работу Е.А. Грозина [1] и его опытное определение коэффициентов аэродинамического сопротивления, а среди теоретических - работы Л.П. Ремизова [2-3], который исследовал оптимальные значения угла атаки лыжника. К более поздним исследованиям относятся работы авторов [4-6], в которых теоретический анализ опирается на результаты обработки видеозаписей прыжков ведущих спортсменов мира и делается попытка теоретического определения аэродинамических коэффициентов. В этих работах впервые идёт речь о безопасности приземления, вводится показатель безударности приземления.

1. Основные фазы прыжка с трамплина

Весь прыжок можно условно разделить на 4 фазы: разгон, отталкивание, полёт и приземление. Основной является фаза полёта, однако успешность прыжка готовят предыдущие фазы; не менее важно и успешное приземление. Экспериментальные и теоретические исследования посвящены рассмотрению отдельных фаз прыжка, хотя наиболее обоснованные теоретические результаты могут быть достигнуты лишь на основе комплексного решения проблемы.

На рис. 1 изображён трамплин в разрезе. Трамплины создаются на определённую максимальную дальность прыжка, которая вычисляется как длина нити, натянутой между кромкой стола отрыва и точкой приземления на склоне горы (точкой приземления считается та точка, где касается земли место лыж, к которому крепятся

ботинки). Например, в Перми есть детские трамплины, рассчитанные на максимальную дальность 10, 15, 20 и 29 метров и два трамплина для соревнований - с дальностью 48.5 и 70 метров. Для вычисления геометрических размеров трамплинов (их называют профильными характеристиками) существуют специальные уравнения и нормы, призванные предотвратить травмы лыжников из-за чрезмерной дальности прыжка.

Трамплин состоит из склона разгона и так называемого стола отрыва, с которого лыжники уходят в свободный полёт. Стол отрыва имеет небольшой отрицательный угол к горизонтали в, обычно составляющий от 6° до 12°. Здесь собственно трамплин заканчивается и то, что дальше, строго говоря, уже является горой приземления. Склон приземления состоит из трёх участков: участка высотой Н и длиной N, участка приземления и закругляющегося вверх участка торможения. Участок приземления -это плоскость с углом к горизонту от -25° до -40°. Высота стола отрыва над склоном горы приземления обозначается буквой Т и обычно составляет 2-4% от максимальной дальности (см. рис. 1).

1.1. Фаза разгона

В этой фазе формируется скорость лыжника, которая обеспечивает дальность прыжка. Существует, по-видимому, оптимальная скорость, так как при очень больших скоростях вылета лыжнику трудно принять обтекаемую позу в следующей фазе прыжка.

Разгон лыжника при спуске с горы подробно рассмотрен в книге В.А. Петрова и Ю.А. Гагина [8]. На рис. 2 показаны силы, действующие на лыжника при спуске: сила тяжести Р = mg, нормальная реакция лыжника N, сила трения ГТР = /Я, сила лобового сопротивления Я = 0.5рс$2 и подъёмная сила Q = 0.5рс$2, где т -масса лыжника, g - ускорение свободного падения, р - плотность воздуха, £ -площадь миделя, V - скорость спуска, сх и су - аэродинамические коэффициенты

лобового сопротивления и подъёмной силы. В [8] приводятся значения некоторых параметров при низкой стойке, характерной при прыжках с трамплина: £ =0.34 ^ 0.5 м2, сх =0.55 ^ 0.65, су =0.3 ^ 0.4. Коэффициент трения /=0.05.

Лыжник рассматривается как материальная точка. На основе второго закона Ньютона составляются уравнения движения

т— = Р Бта-¥ТР - Я,

&

0 = -Рсо8« + N + Q.

Из (2) находится нормальная реакция, которая зависит от скорости. Уравнение (1) даёт зависимость скорости от пройденного расстояния х :

I - ^ х

V = а\ 1 - е а 2 ,

где

K = mg (sin a- f cos а), a = Подъёмная сила в (3) не учтена.

2mgKz

cx pS

1.2. Фаза отталкивания и формирование обтекаемой позы

В начале фазы спортсмен сообщает телу скорость Vпр, которая имеет две

составляющие: v1, параллельную столу отрыва и увеличивающую начальную скорость вылета V0, и V2, перпендикулярную столу отрыва и оказывающую влияние на угол вылета (см. рис. 3).

Так, при скоростях v0 = 25 м/с, v1 = 0 и v2 = 1 м/с угол, на который изменяется

угол вылета, равен приблизительно 2°. Это влияет на траекторию и дальность прыжка.

Наиболее важная начальная фаза - формирование обтекаемой позы. Этому посвящены экспериментальные исследования. Ф. Ваверка (Чехия, Палацкий университет) и Б. Йост (Словения, Университет Любляны) со своими сотрудниками с 1992 года проводят видеосъёмки разгона, отрыва и полёта лыжников на

международных турнирах. Все их статьи, например, [12, 18] посвящены

статистическому обобщению достигнутых спортсменами результатов. Работы М. Вирмавирты и П.В. Коми посвящены видеосъёмке и кинематическому анализу фазы отрыва [16], решению обратной задачи динамики отрыва, то есть нахождению сил, действующих на лыжника во время предполётного прыжка, по известным кинематическим параметрам движения [9] и экспериментальному измерению этих сил с помощью специального тренажёра [15]. В их работе [13] выделяются основные следствия отталкивания, исходя из динамики процесса и многочисленного экспериментального материала, и определяется их влияние на качество прыжка. Во-первых, во время отталкивания лыжник может прыгнуть вверх, вперёд или и вверх, и вперёд под некоторым углом к столу отрыва. Само по себе увеличение высоты полёта (ведь скорость отталкивания у ведущих спортсменов достигает 2.5-3 м/с) влияет на дальность всего прыжка; отталкивание вперёд прибавляет скорость отталкивания к скорости, набранной на склоне. Во-вторых, как видно на рис. 1, угол в отрицателен; однако лыжник в полёте имеет положительный угол между лыжами и горизонталью и сам лежит почти параллельно лыжам. То есть лыжник должен одним прыжком повернуть своё тело на 10-30°. Это задание само по себе требует хорошей координации движений; кроме того, оно должно быть выполнено за минимальное время, так как во время поворота лыжник находится в аэродинамически невыгодной позе, то есть позе с большим лобовым сопротивлением, и теряет скорость, набранную на склоне разгона. Таким образом, отталкивание можно выполнить под разным углом к столу отрыва (что влияет на начальную скорость и высоту полёта), а принятие полётной позы - за большее или меньшее время (что влияет на начальную скорость полёта).

Задачу обратной динамики решали также сотрудники Б. Йоста - И. Коля и В. Стройник [17]. Японский учёный Т. Сасаки и его коллеги занимаются видеосъёмкой отталкивания [14], классифицируют способы отталкивания по кинематическому признаку и выбирают из них наилучший [11]. Авторы находят лучшее из трёх направление отталкивания, при котором достигается удачное соотношение потери скорости и высоты выпрыгивания. В статье Н.А. Масальгина и др. [10] методом наименьших квадратов установлена экспериментальная зависимость между силой мышц спортсмена и дальностью прыжка.

1.3. Фаза полёта

В работах [2-7] траектория полёта лыжника рассматривается в неподвижной системе координат 0ху2 с началом координат в точке отрыва (см. рис. 4).

В основной фазе полёта движение лыжника поступательно, поэтому по теореме

о движении центра масс механической системы оно может быть описано как движение материальной точки под воздействием силы тяжести Р, лобового сопротивления Я. и подъёмной силы И . Силы Я и И зависят от скорости лыжника относительно воздуха w, которая равна разности скорости лыжника относительно земли V и скорости ветра и в той области, в которой лыжник находится в данный момент времени:

w = V - и.

В рамках гидравлического приближения подъёмная сила и сила лобового

сопротивления имеют вид:

И = 2схР£м/\ И = 2су Р£м/2.

Сила лобового сопротивления Я направлена противоположно скорости w :

Я = -к^м w,

где

Рис. 4. Схематическое изображение полёта лыжника (пояснения в тексте).

к = 1 сх р8.

Направление подъёмной силы О может быть найдено с помощью орта е оси Ог , направленной из плоскости рис. 1 на читателя:

О = I™

где

I = \су р8.

Второй закон Ньютона связывает массу экипированного лыжника т и его ускорение а с приложенными к лыжнику силами:

та = Р - к^ w +

Разделив (33) на т и спроектировав на оси координат, мы приходим к системе дифференциальных уравнений второго порядка:

Ы

х = Я------------------------,

т

.. - МУ-иу ) + / ^

У =-------------------------->

т

где я - ускорение свободного падения, - модуль скорости лыжника

относительно воздуха:

™ = л!

их и иу - проекции скорости ветра на оси координат (без учёта влияния лыжника на

скорость движения воздуха).

Аналогичные уравнения, но без учёта ветра, рассматриваются в работах Л.П. Ремизова [2, 3]. Аэродинамические коэффициенты для техник прыжка 60-х и 70-х годов взяты из книги Е.А. Грозина [1] и аппроксимированы квадратичными функциями. Решается задача оптимального управления по нахождению траектории

полёта максимальной дальности. В работе делается вывод о том, что угол атаки

лыжника должен увеличиваться в полёте. Похожим способом воспользовались Н.А. Багин и др. [19], в работе которых выведена аналитическая формула для быстрой оценки дальности прыжка, учитывающая массу спортсмена и скорость вылета.

В работах [4, 5] уравнения (11) решаются численно, что даёт возможность учесть также влияние постоянного ветра и его порывов, колебания лыж и безопасность приземления. Результаты решения задачи оптимизации приведены на рис. 5 и 6. Рис. 5 показывает, что чем тяжелее спортсмен, тем выше он должен поднимать носки лыж. На рис. 6 изображены линии равной дальности в координатах масса лыжника - длина лыж.

Этот рисунок построен для оптимальных траекторий полёта, поэтому указанные дальности полёта максимальны для каждого лыжника. Рис. 6 показывает, что для достижения большей дальности полёта масса лыжника со снаряжением важнее, чем длина лыж: изменение массы лыжника на 1 % равносильно изменению длины лыж на 2 %.

Потеря дальности у расчётной оптимальной траектории в случае внезапного порыва ветра наводит авторов на мысль об исследовании устойчивости математически оптимальных рекомендаций для спортсменов. Поэтому в следующей работе [6] делается попытка исследовать устойчивые оптимальные траектории.

1.4. Фаза приземления

Приземлению и торможению посвящено наименьшее количество работ. Нами была найдена лишь экспериментальная статья [ 19] итальянских учёных, исследовавших кинематику движения и силу давления на склон приземления во время приземления и торможения спортсменов. В нашей работе [20] исследовалось влияние на скорость приземления такого фактора как аэродинамическое качество системы лыжник-лыжи в полёте (аэродинамическое качество равно отношению подъёмной силы к силе лобового

сопротивления: К = —). Исследование показало, что существует некоторое

Я

оптимальное значение аэродинамического качества, при котором нормальная к поверхности составляющая скорости приземления минимальна.

Рис. 5. Оптимальные углы лыж к горизонтали для различных масс полностью экипированного лыжника

и различных длин лыж.

Рис. 6. Изолинии максимальной полётной дальности в координатах масса - длина системы лыжник-

лыжи.

2. Методы определения аэродинамического коэффициента лобового сопротивления и подъёмной силы

Самый естественный путь определения аэродинамических коэффициентов системы лыжник-лыжи - обдув в аэродинамической трубе. Обдуваться могут лыжники, манекены в рост человека, экипированные реальным спортивным снаряжением и уменьшенные модельные фигурки. Е.А. Грозин [1] обдувал в аэродинамической трубе фигурки лыжников, уменьшенные в 10 раз. В работе О.М. Боженинова [21] опубликованы результаты обдува манекена спортсмена в современной полётной позе и определена оптимальная поза спортсмена при пользовании V-стилем: угол атаки лыж - 30°;

угол наклона туловища и ног одинаков и составляет 39-42°; угол развода носков лыж - 20-25°;

расстояние между лыжами в районе пяток - 300-400 мм [21].

N1

Аэродинамические коэффициенты системы лыжник-лыжи могут быть получены и теоретически. В статье [20] рассматривается обтекание потоком воздуха со скоростью v плоской пластины конечной толщины d, длины l (длина лыж) и ширины b (рис.7).

За основу вывода формул коэффициентов подъёмной силы и силы лобового

сопротивления принят известный в механике метод определения силы давления движущейся струи жидкости на неподвижную преграду.

В результате были получены аналитические выражения для подъёмной силы

Q = bpv2 sin a cosa

для силы лобового сопротивления

R = bpv2

и для аэродинамического качества

Q sinacosa

K = — =-----------^--------3-------.

R l sin a + d cos a

Аэродинамическое качество модельной системы лыжник-лыжи представлено на

рис.8.

Рис.8. Аэродинамическое качество модельной системы лыжник-лыжи при разных её толщинах.

В работах [4-6] задача нахождения аэродинамических коэффициентов решалась численно как задача аэродинамики, то есть задача обтекания твёрдого тела потоком вязкой несжимаемой жидкости. Задача об обтекании решалась методом конечных элементов. В результате были получены аэродинамические коэффициенты, качественно похожие на получаемые экспериментально.

3. Задачи математического моделирования прыжка на лыжах

Основная задача при математическом моделировании прыжка с трамплина -учёт индивидуальных особенностей прыгуна на лыжах. На первом месте стоит задача определения зависимости аэродинамических коэффициентов лобового сопротивления и подъёмной силы от параметров системы лыжник-лыжи. В решении этой задачи пока предпочтительнее экспериментальные методы [1, 21]. Современная вычислительная техника позволяет при расчёте аэродинамических коэффициентов учитывать лишь некоторые особенности системы лыжник-лыжи: такие как размеры, угол атаки [4, 5, 6,

20]; однако учёт остальной структуры системы, решение трёхмерной задачи обтекания системы лыжник-лыжи потоком воздуха - одна из важнейших задач математического моделирования прыжка на лыжах.

Необходимой составляющей успешности прыжка является устойчивость полёта прыгуна на лыжах. До сих пор рассматривалась простейшая модель прыжка -движение материальной точки. Требуется рассмотрение движения свободного твёрдого тела или по крайней мере модель плоскопараллельного движения и исследование устойчивости этого движения.

В работах [4, 5, 6, 20] рассматривался вопрос о безопасности приземления, в [19] экспериментально исследованы нагрузки, которые испытывает прыгун в фазе приземления. Стоит задача рассмотрения сложной биомеханической модели лыжника и теоретический анализ усилий, которые испытывают суставы и мышцы нижних конечностей прыгуна при приземлении.

Рис. 9. Зависимость аэродинамических коэффициентов подъёмной силы и силы лобового сопротивления от угла атаки. Сплошная линия - аэродинамические коэффициенты, полученные из решения задачи обтекания модели лыжник-лыжи потоком воздуха, штриховая линия - найденные экспериментально в аэродинамической трубе для фигурок прыгунов в полётных стилях 1960-х годов [1].

Как перспективная рассматривается задача учёта проницаемости костюма лыжника и её влияние на дальность и устойчивость полёта.

В известных работах не проанализированы перегрузки, испытываемые лыжником в фазе разгона при движении по криволинейному профилю горы разгона. Решение этой задачи связано с проблемой оптимизации профиля горы разгона.

И, наконец, теоретически неисследованной остаётся фаза отталкивания и формирования обтекаемой и устойчивой позы лыжника. Известные экспериментальные данные по исследованию этой фазы [9-18] являются базой для теоретического анализа вопроса.

Литература

1. ГРОЗИН Е.А. Прыжки с трамплина. Москва, Физкультура и спорт, 1971.

2. РЕМИЗОВ Л.П. Максимальная дальность прыжка с трамплина. Теория и практика

физической культуры, 3: 73-75, 1973.

3. REMIZOV L.P. Biomechanics of optimal ski jump. J Biomechanics, 3: 167-171, 1984.

4. NYASHIN Y.I., PODGAYETS A.R., RUDAKOV R.N. Mechanics of a ski jump. Russian Journal of

Biomechanics, 1(1-2): 89-97, 1998.

5. PODGAYETS A., RUDAKOV R. Computer modelling of a ski jump. Proceedings of XVI International Simposium on Biomechanics in Sports. Book 1. Riehle H. J., Vieten M. M. (Editors), UVK-Universitatsverlag Konstanz GmbH, 372-375, 1998.

6. PODGAYETS A.R., RUDAKOV R.N, GITMAN M.B., SHVETSOV B.S. Stochastic optimization of ski-jumper’s flight. Proceedings of VI International Sport Kinetics Conference “Theories of Human Motor Performance and their Reflections in Practice”. Strojnik V., Usaj A. (Editors), University of Ljubljana, Faculty of Sport, 281-284, 1998.

7. БАГИН Н.А., ВОЛОШИН Ю.И., ЕВТЕЕВ В.П. К теории полёта лыжника при прыжке с трамплина. Теория и практика физической культуры, 2: 9-11, 1997.

8. ПЕТРОВ В.А., ГАГИН Ю.А. Механика спортивных движений. Москва, Физкультура и спорт, 1974.

9. VIRMAVIRTA M., KOMI P.V. The take-off forces in ski jumping. International Journal of Sport Biomechanics, 5: 248-257, 1989.

10. МАСАЛЬГИН Н.А., ЖИЛЯКОВ А.А., ФАЛАЛАЕВ А.Г. Зависимость между взрывной силой мышц и длиной прыжка на лыжах с трамплина у лыжников двоеборцев в различные периоды тренировки. Теория и практика физической культуры, 4: 40-41, 1993.

11. SASAKI T., TSUNODA K., HOSHINO H. Three techniques of ski jump take-off modeled by changes of joint angle. Proceedings of XVI International Symposium on Biomechanics in Sports. Book 1. Riehle H. J., Vieten M. M. (Editors), UVK-Universitatsverlag Konstanz GmbH, 233-236, 1998.

12. VAVERKA F., JANURA M., ELFMARK M., SALINGER J., McPHERSON M. Inter- and intraindividual variability of the ski-jumper’s take-off. In: Muller E., Schwameder H., Kornexl E., Raschner C. (Editors). Science in Skiing, London: E&FN Spon., 61-71, 1997.

13. KOMI P.V., VIRMAVIRTA M. Ski-jumping take-off performance: determining factors and motodological advances. In: Muller E., Schwameder H., Kornexl E., Raschner C. (Editors). Science in Skiing, London: E&FN Spon., 3-26, 1997.

14. SASAKI T., TSUNODA K., NISHIZONO H. Video analysis of take-off actions in ski jumping. Proceedings of XII International Congress of Biomechanics. Los Angeles, UCLA, 203-204, 1991.

15. VIRMAVIRTA M., KOMI P.V. Measurement of take-off forces in ski-jumping Part I. Scandinavian Journal of Medicine and Science in Sports: 229-236, 1993.

16. VIRMAVIRTA M., KOMI P.V. Take-off analysis of a champion ski jumper. Proceedings of XIV International Congress of Biomechanics. Los Angeles, UCLA, 418-419, 1995.

17. COLJA I., STROJNIK V., JOST B. Inverse dynamics of take-off on ski-jumping simulator. Proceedings of XII International Symposium on Biomechanics in Sports. Barabas A., Fabian G. (Editors), Budapest, Hungarian University of Physical Education, 282-284, 1994.

18. VAVERKA F., JANURA M. A longitudinal study of the take-off and transition phase in ski-jumping at Intersporttournee Innsbruck 1992-1994. Proceedings of XII International Symposium on Biomechanics in Sports. Barabas A., Fabian G. (Editors), Hungarian University of Physical Education, 278-281, 1994.

19. VOLPE A., BURATTO A., CASADIO G., TOFFOLO M. Telemark: pressure analysis and motion during downhill skiing. Proceedings of XVI International Symposium on Biomechanics in Sports. Book 2. Riehle H. J., Vieten M. M. (Editors), UVK-Universitatsverlag Konstanz GmbH, 263-265, 1998.

20. PODGAYETS A.R., RUDAKOV R.N. Evaluation of the effect of ski-jumper’s aerodynamics quality on safety of landing. Russian Journal of Biomechanics, 3 (3): 91-98, 1999.

21. БОЖЕНИНОВ О.М. Факторы, влияющие на результат в прыжках с трамплина на лыжах и эволюцию техники полёта. Теория и практика физической культуры, 1: 37-40, 1995.

BIOMECHANICAL PROBLEMS OF A SKI JUMP

А. R. Podgayets, R. N. Rudakov

Ski-jumping is one of the most technically complicated kinds of sports. The achievements of ski-jumpers are commonly caused by practical activity of trainers and sportsmen; the mathematical modeling of a ski jump with regard to the individuality of sportsmen is only at the stage of development. The works on ski-jumping are either experimental or theoretical. The book of E.A. Grozin [1] and his measurement of aerodynamical coefficients is the most outstanding experimental research till today and works of L.P. Remizov [2-3] about optimal attack angles of the ski-jumpers are the most famous of theoretical papers. Recent investigations [4-6] combine these approaches and hold theoretical analysis on the basis of videorecording of ski jumps of the best world sportsmen; the authors also try to find aerodynamic coefficients theoretically. The safety of the flight is taken into account for the first time in these works. Ref. 21.

Key words: ski jump, aerodynamic coefficients, optimal trajectory

Получено 17 мая 2000