Об одном критерии сильной подвижности

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 5—15 = Математика

V. : К 515.122.6

Об одном критерии сильной подвижности

Т. А. Авакян

Аннотация. Работа посвящена одному из важных понятий теории шейпов. Это — понятие сильной подвижности, которое первоначально для метризуемых компактов было введено К. Борсуком. Доказан критерий сильной подвижности топологических пространств, который, в частности, позволяет применить новый категорный подход к понятию сильной подвижности.

Ключевые апова: сильно подвижные категории, сильная подвижность топологических пространств.

Введение

Сильная подвижность является одним из важных понятий теории шейпов. Это понятие сыграло важную роль, прежде всего, при изучении устойчивости топологических пространств, т.е. пространств, имеющих шейп некоторого СIV-комплекса (см. [3], [4], [11]). Понятие сильной подвижности первоначально для метризуемых компактов было введено К. Борсуком [3] с помощью окрестностей данного метризуемого компакта, замкнуто вложенного в некоторое ЛЯ-пространство. Для произвольного топологического пространства это понятие было определено Мардешичем [7] с помощью ассоциированных с данным пространством обратных спектров. Полученные в данной статье результаты, в частности, позволяют применить новый категорный подход к понятию сильной подвижности. В основе этого подхода лежат идеи, которые были применены в работах [2], [5] к подвижности топологических пространств. Эти идеи, как было показано И. Поп в работе [10] и П.С. Геворкяном совместно с И. Поп в работе [6], оказались пригодными и для изучения равномерной подвижности топологических пространств.

1. Основные определения и понятия

Напомним некоторые необходимые для дальнейшего изложения определения и понятия из теории категорий и функторов и теории шейпов.

Пусть К произвольная категория. Класс всех объектов категории К обозначается ОЬ

или Нот (Л, В), если из контекста становится понятным о какой категории идет речь.

Определение 1. Говорят, что категория К функторно доминируется категорией Ь, если существуют такие функторы А: К —> Ь и С: Ь —» К, что О о А = 1К. В этом случае будем писать А ^ Ь.

Определение 2. Пусть А и С — ковариантные функторы из категории К в категорию Ь. Говорят, что задан функторный морфизм или естественное преобразования (р: А —> С функтора А в функтор С, если для произвольного объекта А £ К задан морфизм ц>{А): А(Л) —» С(Л) категории Ь так, что для любого морфизма /: А —» В категории А' диаграмма

А

^

с(Л

<р

коммутативна.

Если существует естественное преобразование (р: А —» С функтора А в функтор Ст, то мы пишем А ^ С.

Пусть (А'./), г € I — семейство категорий. Произведением категорий А'./, * е / называется категория П А'./, объектами которой служат всевозможные

¿е/

семейства (X), г € /, где — объект категории А'./ для каждого г € /, а морфизмы определяются следующим образом

Нот п *. ((Хг), (Уг)) = П Нот*-,(Хг,Уг).

Если

(иг)€НотПА-Д(Хг),(Уг)),

г£1

(гч) е Нот п КДУ]), (^¿)),

г£1

то композиция этих морфизмов определяется формулой

(гч) 0 («») = (гч О щ).

Пусть НТОР — гомотопическая категория топологических пространств, а НС\¥ — ее полная подкатегория, объектами которой являются топологические пространства, имеющие гомотопический тип С\¥-комплексов.

Определение 3 (К. Морита [9]). Обратная система (обратный спектр) {Ха, раа1, А} категории НС\У называется ассоциированной с топологическим пространством X, если для произвольного а £ А существует гомотопический класс ра: X —» Ха такой, что

1° раа1 о ра1 = ра для произвольных а, а' £ А, а < а';

2° для произвольного гомотопического класса /: X —> <2, <2 € ОЪ(НС\У), существуют а £ А и гомотопический класс /а: Ха —» <3 такие, что

3° для произвольного а £ А и произвольных гомотопических классов

удовлетворяющих условию /а о ра = ga о ра, сущсствуст индекс а' £ А, а < а' такой, что ¡а о раа* = ga о раа,.

Известно [9], что для любого топологического пространства X сущсствуст ассоциированный с ним обратный спектр категории НС\¥. Иначе говоря, НС\¥ является плотной подкатегорией категории НТОР, а, значит, можно построить теорию шейпов для всех топологических пространств, применяя ассоциированные обратные спектры.

Теорию шейпов топологических пространств можно построить и с помощью кома-категорий (см. [8]). Для этого каждому топологическому пространству X сопоставляется кома-категория IVх, объекты которой являются гомотопическими классами /: X —» ф, а морфизмы - коммутативными треугольниками

где Q,Q' £ Qh(HCW). Тогда шейповый морфизм F: X —> Y определяется как ковариантный функтор F: WY —> Wx, который оставляет неизменным гомотопический класс '//.

Определение 4 ([8]). Обратная система {Xa,paai,A} категории HCW называется сильно подвижной, если выполняется следующее условие.

(SM1) Для произвольного а £ А, существует а' £ А, а' ^ а такое, что для любого а" £ А, а" ^ а существует а* £ А, а* ^ а', а* ^ а”, и существует гомотопический класс г“ “ : Ха/ —» Хап так, что одновременно выполняются равенства

Топологическое пространство X называется сильно подвижным, если сущсствуст ассоциированная с ним сильно подвижная обратная система {Xa,paai, А} в категории HCW.

f = fa О Ра,

Для болсс подробного ознакомления с выше изложенными вопросами теории категорий и функторов и теории шейпов мы рекомендуем читателю книги [1] и [8].

2. Сильно подвижные категории

Пусть К и Ь произвольные категории.

Определение 5. Категорию К назовем сильно подвижной, если для произвольного объекта X £ оЬ(А') существуют такой объект М(Х) £ оЬ(А') и такой морфизм тпх € Могд-(А/(Х), X), что для любого объекта У £ оЬ(А') и любого морфизма р £ Мога'(У X) существует такой морфизм ир £ Могх(М(X), У), что р о ир = тпх-

Естественность этого определения станет очевидной ниже после доказательства теоремы 5.

Пример 1. Пусть во — категория множеств с отмеченной точкой, объектами которой служат всевозможные пары (Л,ао). где А — непустое множество, а ао — некоторая отмеченная точка множества А. а морфизмами — всевозможные отображения (Л,ао) —» (В,Ьо). переводящие отмеченную точку ао в отмеченную точку Ьо-

Нетрудно проверить, что категория Бо является сильно подвижной категорией.

Пример 2. Пусть Сг — категория групп, объектами которой служат всевозможные группы, а морфизмами — всевозможные гомоморфизмы между группами.

Легко убедиться, что категория Сг также является сильно подвижной категорией.

Следующая теорема даст множество нетривиальных и интересных примеров сильно подвижных категорий.

Теорема 1. Пусть <5 произвольный С\У-комплекс. Тогда кома-категория является сильно подвижной категорией.

Доказательство. Пусть X = ^ — произвольный объект кома-

категории XV^. Докажем, что объект М(Х) = 1д : <2 —> <2 и морфизм тх = /;  М(Х) —> X кома-категории IV удовлетворяют условию определения 5 сильной подвижности для кома-категории . В самом деле, пусть У = /": (3 —> О!' — произвольный объект, а р: У —ь X — произвольный морфизм кома-категории IV. По определению кома-категории р = 1]: У —» X — гомотопический класс, удовлетворяющий равенству

Г, о/" = /'•

Теперь в качестве искомого морфизма ир: М(Х) —» У положим ир = /": М(Х) —> У. Осталось проверить равенство р о ир = тх, что с точностью до обозначений есть равенство 3. Теорема доказана.

Теорема 2. Произведение J”[ К і категорий K.t. і є I сильно подвижно

ІЄІ

тогда и только тогда, когда сильно подвижны все сомножители Кі. і Є I.

Доказательство. Пусть произведение J~[ Кі категорий Кі, і є I —

¿є/

сильно подвижно. Докажем, что для произвольного ¿о Є І категория К.1й — сильно подвижна.

Пусть X — произвольный объект категории К.-10. Рассмотрим произвольный объект (Хі) Є І~І Кі, где Х:щ = X. Для этого объекта в силу сильной

¿є/

подвижности произведения ]~[ К і существуют такой объект (M(Xi)) Є ]Д К і

г<ЕІ г<ЕІ

и такой морфизм

ІЄІ

¿о-ю компоненту объекта (М(X)), а через mxio — *0'ю компоненту морфизма (тх{)-

Пусть теперь У — произвольный объект, а р: У —> X — произвольный морфизм категории К.1й. Рассмотрим объект (У) Є 1~[ К і и морфизм

¿є/

(рі): (У) -» (X/), где У0 = У и piü = р, а У = Xi и р* = 1^, если і ф щ. Пусть («¿): (М(Хі)) —> (У/) — морфизм, существование которого следует ИЗ определения СИЛЬНОЙ ПОДВИЖНОСТИ объекта (X), T.C. (рі) о (иі) = (тх{)-Но тогда морфизм щ0: М(Х/0) —> У0 = У удовлетворяет равенству р*0 о щ0 = шх{ і а значит Кщ — сильно подвижная категория.

Теперь предположим, ЧТО ДЛЯ произвольного І Є I категория К і — сильно подвижна. Докажем, что тогда произведение J~[ Кі также является сильно

¿є/

подвижной категорией.

Пусть (Хі) — произвольный объект категории ]~[ Kt. Для каждого

¿є/

Хі Є Кі найдем объект М(Xi) и морфизм тх{ ’ М(Xi) —> Xi, существование которых следует из определения сильной подвижности категории К[. Рассмотрим объект (М(Хі)) Є П Кг и морфизм (тхі)- (М(Хі)) —> (X/).

¿є/

Пусть теперь (У) Є П Кі — произвольный объект, а (р*): (У) —» (X*) —

¿е/

произвольный морфизм. Для каждого р*: У —» X*, і Є I существует морфизм щ: М(Хі) —> У такой, что р* о щ = тхг Но тогда морфизм (иі) ' (М(Х)) -» (У) удовлетворяет равенству (рі) о (щ) = (тх{)- Это и означает, что категория ]~[ К і является сильно подвижной. Теорема

¿є/

доказана.

Определение 6. Скажем, что категория К функторно слабо доминиру-стся категорией L, если существуют такие функторы F: К —> L и G: L —> К, что G о F ^ 1к (см. определение 2). В этом случае пишем А < L.

Замечание 1. Очевидно, что функторное доминирование влечет за собой слабое функторное доминирование, т.е. из К ^ Ь следует К < Ь.

Теорема 3. Пусть К < Ь. Если категория Ь — сильно подвижна, то категория К также сильно подвижна.

Доказательство. Пусть К —> Ь и С: Ь —» К такие функторы, что С о ^ ^ 1^ и пусть 95: О о ^ —>• 1^ — некоторое естественное преобразова-

Возьмсм произвольный объект X категории К. Рассмотрим объект М(Р(Х)) и морфизм тр(х) ' М(К(Х)) —> Р(Х) категории Ь, существование которых следует из определения сильной подвижности категории Ь.

Теперь покажем, что для объекта X £ К объект

М(Х) = в(М(Г(Х))) € к

и морфизм

тх = <р{Х) о 0(тр(х))'- М(Х) —> X

удовлетворяют определению сильной подвижности категории К.

В самом деле, пусть У — произвольный объект, а р: У —» X — произвольный морфизм категории К. Тогда для морфизма F(p): -Р(У) —» Е(Х) категории Ь в силу сильной подвижности категории Ь существует такой морфизм и: M(F(X)) —> ^(У), что -Р(р) о и = тр(х)- Осталось заметить, что морфизм и = <р(У) 0 С(г0 : М(X) —> У удовлетворяет равенству р о и = тх-Действительно,

р о и = {ро <у5(У)) о С(гО) = (<уз(Х) о С^О))) о С(гО) =

= ¡р(Х) о С(тщ)) = тх-

Итак, А' — сильно подвижная категория. Теорема доказана.

Из последней теоремы и замечания 1 немедленно вытекает следствие.

Следствие 1. Если категория К функторно доминируется категорией Ь: К ^ Ь и категория Ь — сильно подвижна, то категория К также сильно подвижна.

3. Сильная подвижность топологических пространств

Понятие сильной подвижности топологических пространств с помощью обратных спектров было дано Мардешичсм [7] (см. определение 4). Однако, в дальнейшем для наших целей будет удобной другая формулировка понятия сильной подвижности, которая дастся следующим предложением.

Предложение 1. Пусть обратная система {Ха, раа', А} категории НСIV ассоциирована с пространством X. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(SM2). Для любого а £ А существует а' £ А, а' ^ а такое, что для

любого а" £ А. а" ^ а существует гомотопический класс га а : Ха> Ха",

что одновременно выполняются равенства

Раа»Га'а" =Раа>,

Г0'0" О Ра' = Ра"-

Доказательство. Пусть X — сильно подвижное пространство. Согласно определению 4 достаточно показать справедливость равенства (5). Это равенство следует из формулы (2) и условия 1° определения 3:

г"'"" О ра, = г"'"" О ра'а* О ра, = Ра»а* О ра* = Ра"

Теперь докажем обратное. Пусть выполняется условие (SM2). Докажем, что тогда X сильно подвижное топологическое пространство, т.с. что выполняется условие (SM1) определения 4. Для этого достаточно доказать существование такого индекса а* £ А, а* ^ а', а* ^ а", что справедлива формула (2). Рассмотрим произвольный индекс а0 £ А, а0 ^ а', а0 ^ а" и заметим, что равенство (5) можно переписать в виде: г" " о о ра0 = ра"а0 0 Ра°-В силу условия 3° определения 3 существует такой индекс а* £ А, а* ^ а0. ЧТО г"'"" О Ра'аО О ра0а* = 0 ИЛИ г"'"" О ра'а* = Ра"а*- Что И

требовалось доказать.

Теорема 4. Топологическое, пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие.

(*) Для произвольного CW-комплекса Q и любого гомотопического класса /: X —» Q существуют такой CW-комплекс Q'. гомотопические классы f':X—>Q' и чу. Q' —» Q. удовлетворяющие равенству / = rj о /'. что каковы бы не были CW-комплекс Q". гомотопические -классы f”: X —» Q" и ?/: Q" —> Q; удовлетворяющие равенству / = '//о /". существует такой гомотопический -класс r\": —> <Э/;. что выполняются равенства

г\ о

??" о /' = /"•

Доказательство. Пусть выполняется условие (*). Докажем, что пространство X сильно подвижно. Для этого рассмотрим некоторый ассоциированный с X спектр {Ха, Раа' 1 А} и докажем, что он сильно подвижен, т.с. удовлетворяет условию (SM2) предложения 1.

Пусть а £ А произвольный элемент, а ра  X —> Ха естественная проекция. Для гомотопического класса ра ' X —» Ха рассмотрим подходящий CW-комплекс Q', гомотопические классы f':X—^Q' и rj: Q' —> Ха, удовлетворяющие условию 1] о f = ра, существование которых следует из условия (*).

Так как аззХ = {Ха, раа’, А}, то для /': X —» О,' существуют такое а)аи/': Ха <Э/, что

Г = ]'0Ра.

Нетрудно убедиться, что

Раа О Ра = Я 0 Г °Р&-

В самом деле,

Я 0 /' 0 Ра = Я 0 /' = Ра = Раа О Ра-

В силу равенства (9) и из определения ассоциированности 3 следует, что существует такой индекс а' £ А, а' ^ а, что

Раа О Раа' = Я 0 Г °Раа'-

Оказывается, что так найденный индекс а' £ А удовлетворяет условию (БМ2) предложения 1. В самом деле, пусть а" £ А, а" ^ а произвольный элемент. Для гомотопических классов раа" ' Ха" —» Ха и ра” ' X —> Ха" в силу условия (*) существует такой гомотопический класс я" ' Я' Ха", что

Я = Раа" О я",

я" 0 /' = Ра"

Теперь нетрудно убедиться, что гомотопический класс г“ “ = я" 0 }'°

Раа' ' Ха> —> Ха» — искомый, т.с. справедливы равенства (4) и (5) (см. пред-

ложение 1). В самом деле, справедливость равенства

Раа" О г"'"" = Раа" О я" 0 Г 0 Раа’ = Я 0 Г 0 Раа’ = Раа О Раа’ = Раа’-Справедливость равенства

а'а" п 21 п 21 п /•/

Г О ра> = Я ° ОРаа> °Ра> = Я 0 / 0 Ра = Я °/ = Ра"-

Теперь докажем обратное. Пусть X сильно подвижное топологическое пространство, а {Ха,раа1, А} некоторый ассоциированный с ним обратный спектр. Докажем, что выполняется свойство (*).

Рассмотрим произвольный гомотопический класс /: X —> <2, где <3 — некоторый С\¥-комплскс. В силу ассоциированности спектра {Ха,раа>, А} с пространством X, существует такой индекс а £ А и такой гомотопический класс /0 : Ха —» <2, что

/ = /а° Ра-

Для найденного а £ А существует индекс а' £ А, а' ^ а, который удовле-

творяет условию сильной подвижности (БМ2) пространства X (см. предложение 1).

Теперь убедимся, что С\¥-комплскс Ха1, гомотопические классы

/' = Ра'  X -» Ха> И Я = /а О Раа'  Ха' -» <9

удовлетворяют свойству (*). В самом деле, пусть О," произвольный С\¥-

комплскс, а /": X —> С}" и ?/: ^ такие гомотопические классы, которые

удовлетворяют условию

/ = '//«/"•

Для гомотопического класса /": X —> О," существуют такой индекс а” £ А, а" ^ а и такой гомотопический класс /": —> <5”, что выполняется ра-

венство

Г = Г°ра».

Из равенств (13), (15) и (16) следует

/а О Раа" 0 Ра" = Я 0 /" 0 Ра"-

Следовательно, согласно определению ассоциированности 3 можно найти такой индекс а"' £ А, а"' ^ а", что выполняется равенство

/а О Раа" 0 Ра"а'" = ??' 0 /" 0 Ра"а'" •

В силу сильной подвижности пространства X и согласно предложению 1

Л**

существует такой гомотопический класс г“ “ : » Ха'", что

Раа"' О г"'"'" = Раа',

га'а"' ора, = раш.

Положим

7?" = /" О Ра„а„, о г"'"'" : -» Хаш.

Остается заметить, что гомотопический класс г\": Ха< —> О," удовлетворяет равенствам

/ // / £11 СХ.> СХ.>>> £ Сх! СХ.>>>

п о о /" О ра"а"' О Гаа = ¡а О раа„ О ра"а'" О г" " =

е а' а"' е

= /а О рааш О Г = ¡а о Раа' = V-

Равенство

ц" 0 /' = /" 0 Ра"а'" 0 Га'а'" о = /" О Ра"а'" 0 Ра'" = /" 0 Ра" = /"• Теорема доказана.

Из последней теоремы следует утверждение.

Теорема 5. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда кома-категория IVх сильно подвижна.

Заметим, что теорема 5 позволяет применить результаты, относящиеся к сильно подвижным категориям, для изучения свойства сильной подвижности топологических пространств. В самом деле, из теорем 1 и 5 следует хорошо известный результат о том, что произвольный СIV-комплекс является сильно подвижным пространством. Поскольку шейповое доминирование

sh(X) ^ sh(Y) означает категорное доминирование Wx ^ WY, то из теоремы 5 и следствия 1 непосредственно следует другой известный результат: пусть sh(X) ^ sh(Y) uY является сильно подвижным топологическим пространством тогда топологическое пространство X также является сильно подвижным.

Предложение 2. Пусть X — несвязная топологическая сумма топологических пространств Х\ и X2'- X = Х\ U Х2. Тогда

Wx = wXlUX'2 < WXl х Wx'2.

r^j

Доказательство. Мы должны доказать, что существуют функторы F: -» WXl х 14'х- и G: WXl х Wx'2 -» такие, что G о

F ^ lwx1ux2 (см. определение 6).

Пусть /: Х\ U Xi —» Q — произвольный объект категории WXlUX’2. Функтор F: WXlUXl —> WXl х WXl определим, полагая F(f) = {/¡Хг- Х\ —> Q, f\x2  X2 -> Q) € WXi x Wx*.

Пусть теперь (/i: X\ —> Q, /2: X2 —> Q;) — произвольный объект категории x IVх'2. Определим функтор G: WXl x IVх'2 —> \VXlUX'2, пологая

C(/i, /2) = /: Xi U X2 —> Q U Q', где = f\ и /|х, = /2.

Теперь нетрудно Проверить, ЧТО GoF^ 1^/ХУУ.

Из теорем 2, 3, 5 и предложения 2 следует утверждение.

Теорема 6. Если топологическое пространство X имеет конечное число компонент связности и все они сильно подвижны, то X также сильно подвижно.

В заключение выражаю глубокую благодарность проф. В.В. Федорчуку и проф. П.С. Геворкяну за помощь и поддержку.

Список литературы

1. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972.

2. Геворкян П. С. Об одном критерии подвижности // Матем. заметки. 2002. Т. 71,

№ 2. С. 311-315.

3. Borsuk К. A note on the theory of shape of compacta // Fund. Math. 1970. V. 67.

P. 265-278.

4. Dydak J. On the Whitehead Theorem in pro-homotopy and on a question of

Mardesic ¡j Bull. Acad. Polon. Sci. Math. Astronom. Phys. 1975. V. 23. P. 775-779.

5. Gevorgyan P.S. Movable categories // Glasnik Mat. 2003. V. 38(58). P. 177-183.

6. Gevorgyan P.S., Pop. I. Uniformly movable categories and uniform movability of

topological spaces // Bull. Polish Acad. Sci. Math. 2007. V. 55. P. 229-242.

7. Mardesic S. Strongly movable compacta and shape retracts // Proc. Intern. Sym. on

Top. and its Appl. / Budva, 1972.

8. Mardesic S., Segal J. Shape theory — The inverse system approach.

Amsterdam:North-Holland, 1982.

9. Morita K. On shapes of topological spaces // Fund. Math. 1975. V. 86. P. 251-259.

10. Pop I. A Categorical notion of movability // Anal.Sei. University AL.I.CUZA. 2003. V. XLIX. P. 327-341.

11. Watanabe T. On strong movability // Bull. Acad. Polon. Sei. Math. Astronom. Phys. 1977. V. 25. P. 813-816.

Поступило 22.05.2009

Авакян Тигран Арамович (tikoavagyan@yahoo.com), стажер, кафедра общей топологии и геометрии, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.

About one criteria of the strong mobility

T.A. Avagyan

Abstract. The present paper is devoted to the one of the important notion of shape theory. This is the notion of strong movability, which for mctrizable compacta was introduced by K.Borsuk. The criterion of strong movability of topological space is proved. This criterion, in particular, gives a new categorical approach to the strong movability of shape theory.

Keywords: strong movable categories, strong movability of topological spaces.

Avagyan Tigran (tikoavagyan@yahoo.com), trainee, department of general topology and geometry, Lomonosov Moscow State University.