Принцип дополнительности Н. Бора и начертательная геометрия

В. Г. Мушич-Громыко

ПРИНЦИП ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ Н. БОРА И НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В статье автор сопоставляет некоторые формализмы квантовой механики с формализмами начертательной геометрии, что позволяет сделать вывод о существовании содержательной сходности указанных дисциплин по определённым параметрам.

Ключевые слова: принцип дополнительности, формализмы, квантовая механика, начертательная геометрия.

Принцип дополнительности позволил пересмотреть взгляды на категориальную природу классической физики, указав на то, что в описании объекта (микрочастиц) должны участвовать отрицающие друг друга понятия (волна и частица). При этом сам принцип, как некоторая формальная модель, своими новыми абстракциями (дополнительные величины; коммутирующие и некоммутирующие операторы; антикоммутирующие операторы; оператор - единица; спектр собственных значений оператора; сопряжённые или эрмитовы операторы; пропадание информации об одной из дополнительных величин при взаимодействии с прибором; принцип суперпозиции и т. п.) и операциональными формализмами (под именем «квантовая механика» в целом) устраняет дуализм представлений об объекте в виде его противоречивых репрезентаций и даёт адекватное представление об исследуемом объекте. Принцип дополнительности это более общее положение по сравнению с принципом неопреде-лённости, который «отвечает» за количественную сторону анализа квантовых событий. Принцип дополнительности же «сконцентрирован» на качественной стороне явлений. По поводу примата принципа дополнительности или принципа неопреде-лённости не утихают споры в попытке ответить на вопрос - действительно ли принцип дополнительности является лишь следствием соотношения неопределённостей Гейзенберга, или порождающим всё-таки является именно принцип дополнительности в объяснении противоречивой информации об объекте? «Успехи лазерного охлаждения атомов и достижения последних лет в области квантовой оптики позволили провести эксперименты, которые дали прямой ответ на этот вопрос»1.

В 1995 г. в Массачусетском технологическом институте (США), при участии учёных из других стран, был осуществлён «мысленный эксперимент Фейнмана» (разобран Фейнманом в его лекциях по физике). В качестве экспериментального материала использовали атомы натрия, которые направлялись на дифракционную решётку, затем на вторую дифракционную решётку, затем далее и на третью. Когда атомы приближались к дифракционной решётке, их освещали светом. Регистрация рассеянного света давала возможность определить траекторию атома (интерферометр Маха-Цендера). Эксперимент показал, что как только определяли траекторию частицы, её волновые свойства исчезали. При малых значениях разницы между двумя путями атомов, нельзя было определить, какой путь «использовала» частица. «Самым примечательным в этом эксперименте является то, что механическое воздействие фотонов (передача атомам импульса при рассеянии на них фотонов) было намного меньше, чем это нужно, чтобы в соответствии с соотношением неопределённостей интерференция исчезла. Рассеяние фотонов приводит лишь к небольшому сдвигу интерференционной картины»2.

1

Рис. 1

Ещё более убедительный эксперимент в этом отношении проведён в Германии (г. Констанц). Основная идея этого эксперимента состояла в определении дополнительной возможности судить о траектории атомов по их внутреннему состоянию. Соотношение неопределённостей на деле «замазывает» истинную причину событий в микромире. Принцип неопределённости -это «шум», более грубый эффект, в котором «исчезают» более важные квантовомеханические законы. Обозначив тему статьи, в которой указывается на такую дисциплину как «начертательная геометрия», мы ставим себе целью подтверждение тезиса, согласно которому - принцип дополнительности, действительно, есть принцип, обращённый на качественную сторону явлений, а значит, и на другие области познания, где могут существовать познавательные ситуации, сходные с принципом дол “ з

полнительности. В нашей статье , как представляется, нам удалось показать, что в условиях проецирования такого объекта как сочетание перпендикулярных двух отрезков (рис. 1), явление принципа дополнительности имеет место быть, в виде инженерно-графических способов проецирования, где под операторами можно понимать проецирующие лучи, являющими собой некоммутирующие операторы (при условии, что они перпендикулярны к ортогональным плоскостям проекций). При этом отрезки (1, 2) и (2, 3) являются дополнительными друг к другу, а при воздействии на эту сопряжённую пару (1, 2 ^ 2, 3) одним из операторов пропадает информация в проекции об одной из измеряемых величин (речь идёт об отрезках (1, 2) и (2, 3)). В продление указанных представлений, настоящей статьёй, хотелось бы отметить следующее.

В квантовой механике существуют и, так называемые, антико)мм)утирующие операторы. В тех случаях, когда в результате применения оператора А • В получается та же функция

вполне функционально), что и в результате применения оператора В • А, но с обратным знаком, то операторы называются антикоммутирующими.

Возьмём для примера фигуру (рис. 2) и спроецируем её на

ортогональные оси «Х» и «У» (рис. 3). Пусть оператор А - есть проецирую)щие лучи, идущие сверху, а лучи, идущие слева - это оператор В. При воздействии операторов на систему (рис. 2) в

последовательности А • В в точке «О» мы получим последовательность точек - (2, 3, 1, 4). При воздействии на систему операторов в последовательности В • А мы получаем в той же точке «О» последовательность точек -(2, 1, 3, 4). Результаты отличаются противоположными знаками ввиду того, что порядок (1, 3) и (3, 1) в этих результатах различен. Значит,

А • В = - В • А.

Можно было бы брать и другие системы для проецирования - всё равно находились бы те «графические» функции, для которых выполнялось бы данное правило.

Рис. 2

Рис. 3

Существуют операторы, которые будучи примененными к любой функции, оставляют эту функцию без изменения. В квантовой механике операторы «х» и

5

« — » могут служить примером некоммутирующих операторов.

дх

д

Действительно, х—и = хи (и - функция, на которую действуют операторы). Далее

дх

можно записать: — х • и = — (х • и) = и + хи' (и' - производная).

дх дх

Если мы осуществим преобразования, то получим: (— х - х— )и = и .

дх дх

Такие операторы называются единичными или «операторами-единица»:

дд — х - х— = 1.

дх дх

Для фигуры

В результате применения оператора А (к примеру) к функции и иногда получается та же самая функция, умноженная на некоторое число Я: А • и = Я • и .

Если записанное нами соотношение имеет место и если «и» есть функция непрерывная, конечная и однозначная при любых значениях х, то «и» называется собственной функцией оператора А, а Я - собственным значением оператора, соответствующим собственной функции «и».

Для начертательной геометрии, в системе ортогональных осей «X» и «7», наклонный отрезок в пространстве этих осей будет проецироваться с искажением. Коэффициент Я вполне может характеризовать величину, с помощью которой адекватность длины отрезка к его проекции на одну из осей восстанавливается.

Следовательно,) и в этом случае мы имеем право сказать, что собственной функцией оператора А является длина этого отрезка, а Я - собственным значением этого оператора. Если вместо отрезка взять криволинейный «отрезок», то корреляцию между проекцией этого криволинейного отрезка на ось и самим криволинейным отрезком нельзя выразить определённым и однозначным образом, то в этих случаях криволинейный отрезок не будет являться собственной функцией оператора А , так как он вполне может не удовлетворять требованию ограниченности этой кривой линии (особенно в тех случаях, когда одна из точек этого криволинейного отрезка лежит в бесконечности).

Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Задача о нахождении спектра собственных значений в начертательной геометрии для отрезка, наклонного к осям, будет заключаться в построении прямоугольного треугольника, где катетами являются величины проекций отрезка, а гипотенузой сам отрезок. Отрезок (т. е. диагональ), найденный таким образом, вполне будет отвечать стандартным условиям, которые в квантовой физике обозначаются как: непрерыв-

ность, конечность, однозначность при любых значениях «х» в определённом интервале на оси «X».

Когда мы проецировали фигуры (рис. 1 и рис. 2), то, как и в квантовой механике, при воздействии одного из операторов на указанные графические образы возникал эффект пропадания информации об одной из сопряжённых величин. На проекциях, лежащих на оси «X», пропадает информация об отрезках, перпендикулярных к оси «X». И наоборот, отрезки, параллельные оси «X» в репрезентациях проецируемого объекта на ось «У», исчезают (превращаются в точку). При этом необходимо, в вопросе о сходности (понятно, относительной) начертательной геометрии по определённым параметрам с формализмами квантовой механики, исходить из того, что начертательная геометрия (как теоретическая дисциплина) возникла при обстоятельствах, очень сходных с теми, когда электрон (к примеру) в соответствующих экспериментах репрезентировался исследователем то «волной», то «частицей». К этим сходным обстоятельствам можно было отнести (при условии, что субъект, столкнувшийся с определённой проекционной проблематикой совершенно не знаком с правилами проецирования; не владеет даже в малой степени навыками изображения пространственных объектов на плоском листе бумаги; не замечал естественноприродных фактов отображения объектов в виде тени на земле и т. д.) следующее:

наличие, положим, для субъекта, на разных листах бумаги проекций объекта (рис. 1) в виде двух линий (рис. 4); наличие желания решить проблему, смысл Рис 4 которой заключается в восстановлении подлинного

вида объекта по его проекциям; желание устранения (через понимание сущности дуализма) дуализма двух репрезентаций исследуемого объекта в виде разновеликих отрезков; необходимость создания формально-парадигмального аппарата, который бы позволял устранять подобные противоречия; необходимость найти такие абстракции, в которых бы была выражена квантовоподобная способность элементов объекта исчезать в проекциях, полученных различными методологиями; необходимость продления таких понятий как - двугранный угол, проецирующий луч, горизонтальная или фронтальная проекция и т. д. - в область искусства синтеза противоречивых проекций-образов в нечто единое, что есть сам исследуемый пространственный объект. При всём этом, нашему исследователю нужно было бы держать в поле своего внимания ситуации, когда проецируемый объект множеством своих позиций (посредством точек, из которых состоит его объём или поверхность) выражает некоторый волноподобный фактор (криволинейный фактор; окружность, к примеру, положениями своих радиусов являет событие синусоидального характера).

Техногенная цивилизация в качестве своего базового ресурса имеет в своём распоряжении конечный набор геометрических тел, сочетанность которых (или их частей) создаёт на плоскости чертежа вероятностную картину распределения этих геометрических тел в графических образах, которые волноподобным (воображаемым на большом статистическом материале) образом концентрически располагаются около некоего центра (точки пересечения линий пересечений плоскостей октантов), или центра соответствующего изделия (хорошо бы экспериментально их обнаружить через анализ большого количества чертежей!).

Некоторые соображения по данной проблеме: а) всякие изделия крепятся к другим узлам или фундаментам с помощью (к примеру) резьбовых соединений; б) эти крепления могут располагаться по некоторой периферии изделия с переменной «плотностью» этого распределения, которое становится более «разреженным»

либо к центру изделия, либо к его отдельным частям (также можно представлять себе картину, когда меняющиеся «плотности» концентрации резьбовых элементов располагаются «волновым» образом в массе модификаций изделия и т. д.); мы, в данном случае, не исключаем существования в графическом «хозяйстве» нечто подобного орбиталям в квантовой механике; в) функция изделия требует распределения не только крепёжного материала, но и других распределений: массы изделия в пространстве; «массы» пустотностей этого изделия; «массы» геометрических сочетаний (треугольников, квадратов, окружностей, овалов и прочего); «массы» элементов, упрочняющих изделие; «массы», возможно, чего-то другого; г) квантовые объекты и геометрические объекты сходны тем, что синтез или деление тех и других создаёт новые объекты с новыми качествами; к этому же нужно добавить - сходность определяется ещё и тем, что пространственная изомерность квантовых и атомных, а далее и молекулярных соединений прямо влияет на физические и химические свойства этих объектов. «Изомерия - явление, заключающееся в существовании соединений, одинаковых по составу и молекулярной массе, но различающихся по строению или расположению атомов в пространстве и вследствие этого по свойствам. Такие соединения называются изомерами. Различают структурную и пространственную изомерию. <...> Пространственная изомерия обусловлена существованием соединений (стереоизомеров), имеющих одинаковый порядок связей атомов, но различное пространственной расположение. <...> Если два соединения одинаковы по порядку связей между атомами углерода, но не могут взаимно превращаться без разрыва химических связей, говорят о топологической изомерии.»4. Изомерность технических изделий, напрямую связанная с геометрической изомерностью, также выражает физические свойства объектов, в широком диапазоне варьирования этими свойствами через изменение закона изомерии.

Вернёмся вновь к существованию (осуществлению) преобразований с помощью операторов в квантовой области познания и в начертательно-геометрической. Если оператор умножается, в квантовых исчислениях, на постоянное число с, то оператор с А , при воздействии этого оператора на функцию и, записывается (с А)и = с А и. При воздействии проецирующих лучей на пространственный объект фронт этих лучей имеет определённую ширину. При измерении ориентации объекта в пространстве в иных случаях требуется более широкий (к примеру) фронт этих лучей, что будет соответствовать записи с А, а сам объект в проекции, конечно же, будет

отображаться записью: сАи.

Мы предполагаем, что примеры сходности между квантово-теоретическими и начертательно-теоретическими позициями можно было множить, когда бы они через сопоставительность давали бы основание говорить словами И. С. Алексеева: «.Идея дополнительности, своим запретом мыслить действительность “только в форме объекта” и включением в состав “явлений” измерительных процедур и средств наблюдения [заключается] в принципиальной невозможности получения знания об атомных объектах “самих по себе” безотносительно к им наблюдениям, в неправомерности даже самой постановки такой задачи, провозглашаемой этой концепцией»5, выражает, как и в начертательно-геометрической области, не отказ от духа научного познания и уступку субъективизму, а форму восприятия действительности в её теоретико-абстрактной особенности как части познания вообще.

Если говорить об изучении пространственных отношений с помощью начертательной геометрии, то и в ней невозможно, к примеру, мыслить пересечение тел и линию их пересечений без специальных абстракций типа: секущая плоскость; обра-

зующие; дополнительная плоскость проекций и т. д., которые есть и специальные приёмы наблюдения, и специальные процедуры измерительности, дающие, к примеру, один из эффектов квантового события под именем «пропадание информации при воздействии одного из операторов на теоретический объект», проекцию чего-либо. В начертательной геометрии не везде и не всегда дают знать о себе квантовоподобные эффекты; как и непосредственно в атомных явлениях, это событие - есть событие особого рода.

Таким образом, рассмотрение нами сопоставления некоторых формализмов квантовой механики и некоторых формализмов начертательной геометрии убеждают в необходимости продолжения подобных исследований не только в отношении к начертательной геометрии, но и ко многим сферам знаний, не являющимися выражением естественнонаучных представлений. Более всего нуждается в обогащении своих методологий методологиями квантовой механики гуманитарная область познания, так как и в ней существуют объекты, репрезентации которых попарно противоречивы, а значит, и не адекватны в сознании субъекта по отношению к реальному объекту.

Примечания

1 Ципенюк, Ю. М. Квантовая микро- и макрофизика / Ю. М. Ципенюк. - М. : Физ-маткнига, 2006.С. 69.

2 Там же. - С. 70.

См.: Мушич-Громыко, В. Г. О содержательной сходности принципа дополнительности Н. Бора и некоторых позиций начертательной геометрии / В. Г. Мушич-Громыко // Совр. гуманит. исследования. - 2007. - № 4 (17).

4 См.: Потапов, В. М. Изомерия / В. М. Потапов // Химия : энциклопедия. - М. : Сов. энцикл., 1983.

5 Алексеев, И. С. Концепция дополнительности : ист.-методол. анализ /

И. С. Алексеев ; АН СССР ; Ин-т истории естествознания и техники. - М. : Наука, 1978. - С. 110.

И. Н. Нехаева

ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МУЗЫКАЛЬНОГО ИСКУССТВА

В статье предлагается оригинальный взгляд на музыкальное искусство как сферу не-дискурсивной формы мышления - в противовес традиционному представлению о музыке как части языковой реальности, которое укоренилось в искусствоведческой среде, что не позволяло обнаружить действительные основания музыкального искусства в их онтологическом срезе.

Ключевые слова: музыкальное искусство, не-дискурсивная форма мышления, онтологическая основа.

С самого начала, следует отметить, что актуальность данной проблемы обусловлена интересом к не-дискурсивной сфере, в противовес дискурсивной, которая, вследствие лингвистического поворота, происшедшего в начале XX в., приобрела статус особой самостоятельной области. В связи с этим возникла необходимость об-