Бифуркационный анализ параметрической нестабильности волн в 3D-решетках углеродных нанотрубок с магнитными наночастицами в микроволновом диапазоне

УДК 537.874.6

Г. С. Макеева, О. А. Голованов

БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ВОЛН В ЭБ-РЕШЕТКАХ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК С МАГНИТНЫМИ НАНОЧАСТИЦАМИ В МИКРОВОЛНОВОМ ДИАПАЗОНЕ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Изучение электродинамических свойств анизотропных наноструктурных материалов на основе ЗБ-решеток углеродных нанотру-бок (УНТ), заполненных магнитными наночастицами оказывается более сложным ввиду нелинейных взаимодействий мод - электромагнитных волн и ди-поль-дипольных магнитостатических волн, дипольно-обменных спиновых волн. Целью данной работы является разработка методики бифуркационного анализа и математическое моделирование параметрического взаимодействия различных мод в нанокомпозитах на основе магнитнофункциализированных УНТ: электромагнитных волн и магнитостатических волн, дипольно-обменных спиновых волн для расчета порогов нелинейности таких анизотропных наноструктурных материалов в микроволновом диапазоне.

Материалы и методы. Математическая модель параметрической нестабильности волн в ЗБ-решетках углеродных нанотрубок с магнитными наночастицами базируется на решении нелинейной краевой ЗБ-задачи дифракции для системы уравнений Максвелла, дополненных уравнением Ландау - Лиф-шица с учетом поля обменного взаимодействия, декомпозиционным методом автономных блоков с каналами Флоке (ФАБ). Вычислительный метод включает в себя нахождение точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла при помощи разработанного вычислительного алгоритма определения точек бифуркации, модифицированного уравнением Ландау - Лифшица с учетом обменного члена, и усовершенствованного качественным методом анализа устойчивости полученного численного решения в соответствии с критерием Ляпунова.

Результаты. По точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла получены результаты электродинамического расчета пороговых значений амплитуды волны накачки, при которых начинаются нелинейные процессы и возникает параметрическое возбуждение безобменных магнитостатических волн и дипольно-обменных спиновых волн в периодической 2Б-решетке ориентированных УНТ с магнитными наночастицами в микроволновом диапазоне.

Выводы. Важным результатом математического моделирования является понижение порогов параметрической неустойчивости периодической 2Б-решетки ориентированных УНТ с магнитными наночастицами в режиме параметрического возбуждения магнитостатических волн, дипольно-обменных спиновых волн в магнитной наносистеме при увеличении значения напряженности внешнего постоянного магнитного поля. Разработанный алгоритм позволяет проводить компьютерное моделирование и оптимизацию нелинейных свойств нового класса анизотропных наноструктурных материалах на основе ЗБ-решеток УНТ с магнитными наночастицами и нелинейных магнитноуправляемых на-ноустройств микроволнового диапазона на их основе.

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 12-02-97025-р_поволжье_.

Ключевые слова: точки бифуркации, нелинейный оператор Максвелла, волна накачки, периодическая 3D-решетка, магнитные наночастицы, углеродные нанотрубки.

G. S. Makeeva, O. A. Golovanov

BIFURCATION ANALYSIS OF PARAMETRIC INSTABILITY OF WAVES IN THE 3D ARRAYS OF MAGNETIC NANOPARTICLE-FILLED CARBON NANOTUBES AT MICROWAVE FREQUENCY RANGE

Abstract.

Background. Investigation of electromagnetic properties of the anisotropic nanostructured materials based on the 3D arrays of magnetic nanoparticle-filled carbon nanotubes is complicated by the presence of nonlinear interactions of electromagnetic waves with magnetostatic and spin waves. The goal of this work is to develop a method of bifurcation analysis and to model parametric interactions of different modes in the nanocomposites based on the 3D arrays of magnetic nanoparti-cle-filled carbon nanotubes: electromagnetic waves and magnetostatic waves, spin waves for calculation of the nonlinearity thresholds of these anisotropic nanostructured materials at microwave frequency range.

Materials and methods. The mathematical model of the parametric instability of waves in the 3D arrays of magnetic nanoparticle-filled carbon nanotubes is based on solution of the nonlinear 3D diffraction boundary problems for the Maxwell equations complemented by the Landau-Lifshitz equation with the exchange term using decomposition onto the autonomous blocks with virtual Floquet channels (FABs). The numerical technique involves finding the bifurcation points of the nonlinear Maxwell operator using the authors' original computational algorithm for the numerical analysis of the bifurcation points modified to include the Landau-Lifshitz equation with the exchange term and improved by combining it with the qualitative method of analysis based on the Lyapunov stability theory.

Results. By computing the bifurcation points the authors determined the results of electrodynamic calculation of the threshold magnitudes of the pumping electromagnetic wave, where the nonlinear processes and the parametric instability excitation of magnetostatic and spin waves happen in 3D arrays of magnetic nanoparticle-filled carbon nanotubes, at microwave frequency range.

Conclusions. The results of mathematical modeling show that the nonlinear thresholds are reduced and, with increase of the value of bias magnetic field, occur at lower inputs at the regime of parametric excitation of magnetostatic and spin waves in the magnetic nanoparticle system. The developed algorithm allows to carry out computer analysis and optimization of the nonlinear properties of a new class of anisotropic nanomaterials based on the 3D arrays of magnetic nanoparticle-filled carbon nanotubes and 3D nanodevices tunable by the external magnetic field, at microwave frequencies.

Key words: bifurcation points, nonlinear Maxwell operator, pumping electromagnetic wave, 3D periodic array, magnetic nanoparticle, carbon nanotubes

Ведение

Твердотельные наноструктуры в сложных нанокомпозитах на основе магнитнофункциализированных углеродных нанотрубок (УНТ), содержащих массивы многостенных УНТ и капсулированные магнитные наночастицы

наполнителя [1-9], представляют собой наноразмерные неоднородности, имеющие различную физическую природу (УНТ и магнитные наночастицы) и произвольную пространственную конфигурацию. Существенную роль при этом играют резонансные взаимодействия различных мод в наноструктурах (УНТ и системы магнитных наночастиц), которые оказываются более сложными ввиду большего разнообразия взаимодействующих мод - электромагнитных волн и диполь-дипольных магнитостатических (МСВ), дипольно-обменных спиновых волн (СВ), а также сложной ЗБ-конфигурации наномас-штабных неоднородностей. Соответственно электродинамические свойства таких анизотропных наноструктурных материалов также оказываются более богатыми и разнообразными.

Нелинейность уравнения движения вектора намагниченности приводит к связи различных типов колебаний и волн в системах магнитных наночастиц и вызывает ряд новых нелинейных явлений, важнейшим из которых является параметрическое возбуждение одних типов колебаний или волн под воздействием других, когда амплитуды волны последних превышают определенное пороговое значение [10].

Использование достижений математики в области теории бифуркации и мощных численных методов вычислительной электродинамики открывает новые возможности в исследовании распространения электромагнитных волн в сложных нанокомпозитах на основе магнитнофункциализированных УНТ и их нелинейного взаимодействия с системами капсулированных в УНТ магнитных наночастиц,

Целью данной работы является разработка методики бифуркационного анализа и математическое моделирование на электродинамическом уровне строгости параметрического взаимодействия различных мод в нанокомпози-тах на основе магнитнофункциализированных УНТ: электромагнитных волн и «длинноволновых» безобменных МСВ, «коротких» дипольно-обменных СВ, возбуждаемых в системах магнитных наночастиц, капсулированных в УНТ, для расчета порогов нелинейности таких анизотропных нанострук-турных материалов в микроволновом диапазоне.

Рассмотрим задачу дифракции плоской однородной электромагнитной волны на 2Б-периодической решетке ориентированных магнитнофункциали-зированных УНТ, содержащих инкапсулированные магнитные наночастицы (рис. 1).

Математическая модель базируется на решении краевой ЗБ-задачи дифракции для системы уравнений Максвелла

с соответствующими электродинамическими граничными условиями, дополненной уравнением движения вектора намагниченности в ферромагнетике

1. Постановка нелинейной электродинамической задачи

rot H (t) = е0 £r +a E (t),

dt

с учетом обменного взаимодействия в форме Ландау - Лифшица с учетом поля обменного взаимодействия [10]

dM (t) dt

= -y(M (t) xH эф (t)) + юг (xo H (t)-M (t));

H эф (t) = H (t)+H q (t); H q (t) = q V 2M (t),

где Е(V), Н(V) - векторы напряженности электрического и магнитного полей; М(V) - вектор намагниченности среды; Б^) - вектор магнитной индукции; Н эф (V) - суммарное эффективное поле, включающее Hq (V) - поле обменного взаимодействия; V - оператор Лапласа; £ - относительная диэлектрическая проницаемость среды; а - электропроводность среды; £о, Цо - электрическая и магнитная постоянные; у - гиромагнитное отношение; юг - частота релаксации; %о - статическая восприимчивость; q - константа обменного взаимодействия.

H 0

a

H o t

H

I -J-

i /\

X

E

o

_____It '__

-Ы-.

' * ' 'H

I I -¡--f

-+-—+' 1 I 2r I

>c

Si

а)

б)

в)

Рис. 1. Дифракция электромагнитной волны на периодической 2Б-решетке ориентированных УНТ с магнитными наночастицами: а - ориентация падающей

ТЕМ-волны с волновым вектором к ; б - 2Б-решетка УНТ с магнитными наночастицами и направление внешнего постоянного магнитного поля Но; в - моделирование ячейки периодической 2Б-решетки автономным блоком с каналами Флоке (ФАБ): 1 - углеродные нанотрубки, 2 - магнитные наночастицы; а, Ь, с - геометрические размеры ФАБ

В уравнении Ландау - Лифшица (3) необходимо учитывать эффективное поле обменного взаимодействия, так как в решетках магнитнофункциали-

зированных УНТ, содержащих системы магнитных наночастиц, имеют место резкие изменения намагниченности с масштабом, задаваемым периодом решетки порядка 10-7 м или меньше.

Краевую задачу дифракции для уравнений (1)-(З) решаем декомпозиционным методом автономных блоков с каналами Флоке (ФАБ) [11], модифицированным с целью учета систем магнитных наночастиц в УНТ в ФАБ. Указанный метод применим для решения линейных и нелинейных задач дифракции на решетках магнитнофункциализированных УНТ, так как основой построения дескрипторов (математических описаний в виде систем нелинейных уравнений, связывающих амплитуды падающих и отраженных волн, или матриц рассеяния в линейном приближении) ФАБ с магнитными наночасти-цами являются уравнения Максвелла, решаемые совместно с уравнением Ландау - Лифшица без упрощения уравнений и граничных условий [12]. Вычислительный алгоритм определения дескрипторов ФАБ, содержащих УНТ с инкапсулированными магнитными наночастицами, построен на основе проекционного метода Галеркина [1З].

Пусть на периодическую 2Б-решетку ориентированных магнит-нофункциализированных УНТ, содержащих инкапсулированные магнитные наночастицы, падает плоская однородная электромагнитная ТЕМ-волна

E = E Xo , H = H Уо с волновым вектором k (рис. 1,а), частотой ю и амплитудой Сщ) (ю). Волна распространяется вдоль оси г, поперечно по отношению к направлению постоянного поля подмагничивания Но = Но^у, направленного вдоль оси УНТ (рис. 1,6).

Элементарную ячейку периодической нанорешетки (рис. 1,б) с геометрическими размерами а, Ь, с , содержащую УНТ (радиусом г и длиной I) с магнитными наночастицами, представим в виде ФАБ с магнитным нано-включением (рис. 1,в). Углеродные нанотрубки с магнитными наночастицами находятся между сечениями З^, ФАБ (рис. 1,в), рассматриваемого как волно-водный трансформатор [14]. На сечениях З^, введены локальные системы координат.

2. Методика бифуркационного анализа нестабильностей волн в магнитных нанорешетках

Решение задачи дифракции на основе нелинейных уравнений Максвелла (1), (2), дополненных уравнением Ландау - Лифшица (З), можно свести с помощью метода поперечных сечений [15] к решению системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений совместно с системами нелинейных алгебраических уравнений [16], которые запишем в символическом виде:

= Ъ(уь У2,..., Уп X

аг

V/

где Уг = Уг (г) - неизвестные функции продольной координаты г, составленные из функций, определяемых методом поперечных сечений [16].

При уг = 0 (г = 1,2,..., п) функции Ъг и ¥/ (г = 1,2,..., т; / = т +1,т + 2,...,п) тождественно обращаются в нуль, следовательно, решение уг = 0 (г = 1,2,...,п) системы (1) является неподвижным относительно продольной координаты г .

Линеаризуем систему уравнений (6), заменив ее системой линейных дифференциальных уравнений первого приближения. Для этого необходимо функции Ъ и ¥/ разложить в обобщенный ряд Тейлора в окрестности точки

Уг = 0 и учесть частные производные до первого порядка включительно. Тогда полученная система линейных дифференциальных уравнений имеет вид

dyt A Щ (0,0,...,0) y A dTjCO,^ y о

A-^--Ук , A-^--Ук - 0,

dz - . дУк K-1 дУк

к-1

г = 1,2,..., т; / = т +1, т + 2,..., п.

Запишем систему дифференциальных уравнений (7) в развернутом

виде:

а11(г) • У1 + а12(г) • У2 + ... + а1п (г) • Уп = У1, а21(г)-У1 + а22 (г) • У2 + ... + а2п (г)^ Уп = У2,

am1(z) • У1 + am2( z)' У2 + ... + amn (z) • Уп - У'т, am+1,1(z) • У1 + am+1,2 (z) • У2 + ... + am+1,п (z) • Уп - 0 am+2,1(z) • У1 + am+2,2 (z) • У2 +... + am+2,n (z) • Уп - 0

an1(z) • У1 + an2(z) • У2 + ... + ann (z) • Уп - 0

где коэффициенты а/ (г) (г, / = 1,2,..., п) составлены из частных производных в (6).

Исключая неизвестные ут+1, ут+2, . ., уп , запишем систему дифференциальных уравнений (8) в матричной форме:

A( z) У --f,

az

где у ,--вектор-функции с компонентами соответственно у1,У2 ,...,ут и

ёг

У ,у2 '-'Ут ; Л(г) = Лц(г) - Ли(г)Л—1(г)^г), здесь

4l(z) -

f aii

ami

Ai2( z) =

a2i(z) =

f a ( Z ) a ( Z) ... a1n(z) ^

1 m+1 1 m+2

a

2 m+1 2 m+2 ?

a

V m m+1 m m+2

a ( z ) a (z) ... a ( z ) ^

m+1 1 m+1 2 m+1 m

a

m+2 1 m+2 2 m+2 m

v

ani

anm

/

A22(*)=

fa ( z ) a ( z ) ... a ( z ) ^

m+1 m+1 m+1 m+2 m+1 n

a

m+2 m+1 m+2 m+2 m+2 n

ani

an 2

ann

Частные решения системы линейных дифференциальных уравнений (3) будем искать в виде

ут = ат ' ехР,

где аьа2,...,ат - компоненты вектора а .

Подставляя (10) в (9), получаем матричное уравнение

A а=^а,

из которого следует, что X и а являются соответственно собственными числами и собственными векторами матрицы Л (т.е. собственными числами и собственными векторами линеаризованного оператора Максвелла). Решая уравнение (11) численным методом ^Я-алгоритм), находим собственные числа Хт и собственные векторы а матрицы Л. Собственные числа Хт являются постоянными распространения «слабонелинейных» волн. Собственные векторы а являются численными аналогами поперечных и продольных компонентов электромагнитных полей «слабонелинейных» волн, зависящих от геометрии нанорешетки. Значения 1/ Хт определяют точки бифуркации Ц

нелинейного оператора Максвелла.

Методика исследования параметрических нестабильностей колебаний в резонансных магнитных нанорешетках аналогична. Собственные числа ют резонаторной краевой задачи являются собственными частотами «слабонелинейных» колебаний. Значения 1/ ют определяют точки бифуркации Ц нелинейного оператора Максвелла. Компоненты собственных векторов а являются компонентами электромагнитных полей «слабонелинейных» колебаний, зависящих от геометрии магнитных нановключений.

Согласно критерию Ляпунова [17], если действительные части комплексных собственных чисел Хт матрицы Л отрицательны, то решения системы дифференциальных уравнений (3) асимптотически устойчивы. Если действительные части (хотя бы одна) комплексных собственных чисел Хт матрицы Л положительны, то решения системы дифференциальных уравнений (8) являются неустойчивыми. Изменение знака действительной части комплексных собственных чисел Хт происходит в окрестностях точек бифуркации. Поэтому для того чтобы провести бифуркационный анализ возникновения параметрических нестабильностей в 3Б-магнитных нанорешет-ках, необходимо найти точки бифуркации нелинейного оператора Максвелла (уравнений Максвелла совместно с уравнением Ландау - Лифшица с учетом поля обменного взаимодействия) с помощью специального вычислительного алгоритма [18] и проследить за изменением точек бифуркации и решений при изменении параметров.

3. Электродинамический расчет порогов нелинейности решеток углеродных нанотрубок с магнитными наночастицами по точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла

При помощи разработанного вычислительного алгоритма определения точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла (уравнений Максвелла (1), (2) совместно с уравнением Ландау - Лифшица (3) с учетом поля обменного взаимодействия) [18] проведено математическое моделирование нестабильности процесса параметрического возбуждения МСВ и СВ в периодической 2Б-решетке ориентированных УНТ с магнитными наночастицами (рис. 1) в зависимости от значения бифуркационных параметров (амплитуды

волны накачки Сщ)(ю) и частоты ю).

Области нестабильности при параметрическом возбуждении находятся вблизи значений частоты ©о, удовлетворяющих известному условию параметрического резонанса для осциллятора [1о]:

©о = тюн /2, где т = 1, 2, 3.

По точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла рассчитаны пороговые значения амплитуды сщ) (юн) волны накачки, при которых начинаются нелинейные процессы и возникает параметрическое возбуждение безобменных МСВ и дипольно-обменных СВ в периодической 2Б-решетке ориентированных УНТ с магнитными наночастицами при сокращении расстояний между магнитными наночастицами до длины обменного взаимодействия.

Расчетная схема показана на рис. 2. Ячейка периодической структуры находится в канале Флоке, на которую падает ТЕМ-волна

с амплитудой с+1)(юн) и частотой юн = 2/ . Наблюдаем параметрическое возбуждение волны в случае неустойчивости первого порядка ©о = Я /2 на частоте Юо = 2/ (/о = 13ГГц) ю), равной половине частоты накачки (процесс Сула [19]).

2r

<—>

Рис. 2. Расчетная схема: ячейка периодической 2Б-решетки ориентированных УНТ с магнитными наночастицами в канале Флоке; Н0 - вектор напряженности внешнего постоянного магнитного поля; Нт - вектор напряженности магнитного поля волны сигнала с частотой ю0; с+1) (Юн) - вектор напряженности магнитного поля волны накачки

с частотой Юн и амплитудой сщ)

На рис. 3 приведены результаты электродинамического расчета зависимости амплитуды с+1)(Юн) электромагнитной волны накачки от нормированной частоты Ю) /юН (со0 - частота волны сигнала, юн - частота волны накачки), т.е. области нестабильности при параметрическом возбуждении безобменных МСВ и дипольно-обменных СВ в периодической 2Б-решетке ориентированных УНТ с магнитными наночастицами при различных значениях напряженности внешнего постоянного магнитного поля Но в условиях ферромагнитного резонанса.

В расчетах приняты следующие значения параметров решетки УНТ с магнитными наночастицами (рис. 1): радиус УНТ 2г = 25 нм, длина УНТ

I = 500 нм; толщина стенки Д = 3 нм; с = 2,5 Ом 1 м 1, е = 62; материал

наночастиц Со80М20 (4лМ5 = 15356 Гс, а = 0,005, с = 1,0-107Ом-1 -м-1, А = 1,5*10-9 Э); период решетки а = Ь = 76 нм, с = 550 нм (рис. 1).

Качественный анализ устойчивости полученного численного решения проводился в соответствии с критерием Ляпунова [17] с использованием комплексных собственных чисел Хт матрицы А .

Кривые на графике (рис. 3) разделяют области нестабильности и устойчивости полученного решения. В областях неустойчивости (эти области нестабильности расположены над кривыми на рис. 3) некоторые из комплекс-

ных собственных чисел Хт матрицы А имеют положительные действительные части. В окрестностях точек на этих кривых происходит изменение знака действительной части комплексных собственных чисел Хт. В областях устойчивости (эти области расположены под кривыми рис. 3) действительные части комплексных собственных чисел Хт матрицы А отрицательны.

600

400

200

0

К), э

Чн 0 = 8 51003

4H 0 = 8 Чн 0 = * ^H 0 = 8 ^H 0 = 8 52003 53003 54753 4003

0

0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 «

ю

н

Рис. 3. Пороги параметрической нестабильности периодической 2Б-решетки ориентированных УНТ с магнитными наночастицами: сщ) (юн) - амплитуда волны накачки; ю0 - частота волны сигнала (/0 = 13 ГГц); Юд - частота волны

накачки; Но - напряженность внешнего постоянного магнитного поля; Но = 8475 Э - ферромагнитный резонанс; магнитные наночастицы Со80№20

(4пМ = 15356 Гс, а = 0,005, а = 1,0 107 Ом-1 м-1, = 1,5х10-9 Э);

УНТ (о = 2,5 Ом-1 • м-1, е = 62, Д = 3 нм - толщина стенки); а = Ь = 76 нм, 2г = 25 нм, I = 500 нм, с = 525 нм

Сплошные кривые (рис. 3) разделяют неустойчивый режим параметрического возбуждения МСВ и СВ от устойчивого режима параметрической регенерации. При переходе через бифуркационные значения параметра

с+1) (Юн) в точках бифуркации происходят скачкообразные переходы исследуемой нелинейной магнитной наносистемы - 2Б-решетки УНТ с магнитными наночастицами - в режим параметрического возбуждения МСВ и СВ. Если амплитуда с+1)(Юн) волны накачки превышает определенное пороговое

значение, то в нелинейной системе магнитных наночастиц возникают МСВ и СВ колебания с частотами, удовлетворяющими условию (12).

+

Важным результатом математического моделирования является понижение порогов параметрической неустойчивости периодической 2Б-решетки ориентированных УНТ с магнитными наночастицами при увеличении значения напряженности внешнего постоянного магнитного поля Hq (рис. 3, кривые 1-3, 5) при приближении к ферромагнитному резонансу. Однако в точке резонанса при значении Hq = 8475 Э (соответствующем собственной частоте однородного типа прецессии намагниченности ферритовой сферы [10]:

= Hq ) наблюдается небольшое увеличение порога, что связано с возрас-

Y

танием магнитных потерь при ферромагнитном резонансе в решетке УНТ с магнитными наночастицами.

Дальнейшее развитие метода открывает перспективы компьютерного моделирования анизотропных наноструктурных материалов на основе 3Б-решеток УНТ с магнитными наночастицами и нелинейных наноустройств микроволнового и терагерцового диапазонов на их основе.

Список литературы

1. Дьячков, П. Н. Углеродные нанотрубки: строение, свойства, применения / П. Н. Дьячков. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 293 с.

2. Labunov, V. A. Microwave absorption in nanocomposite material of magnetically functionalized carbon nanotubes / V. A. Labunov, A. L. Danilyuk, A. L. Prudnikava, I. Komissarov, B. G. Shulitski et al. // J. Appl. Phys. - 2012. - Vol. 112. - Р. 024302.

3. Вовченко, Л. Л. Резонансный характер взаимодействия многослойных углеродных нанотрубок с излучением миллиметрового диапазона волн / Л. Л. Вовченко, Л. Ю. Мацуй, В. В. Олейник, В. Л. Лаунец, В. В. Загородний, Ф. Ле Норманд // Наносистеми, наноматерiали, нанотехнологп. Nanosystems. - 2011. - Т. 9, № 4. -

C. 759-769.

4. Shi, C. X. Tuning the coercivity of Fe-filled carbon-nanotube arrays by changing the shape anisotropy of the encapsulated Fe nanoparticles / C. X. Shi, H. T. Cong // J. Appl. Phys. - 2008. - Vol. 104. - Р. 034307.

5. Han, Z. Microwave response of FeCo/carbon nanotubes composites / Z. Han, D. Li, X. W. Wang, Z. D. Zhang // J. Appl. Phys. - 2011. - Vol. 109. - Р. 07A301.

6. Liu, X. G. (Fe, Ni)/C nanocapsules for electromagnetic-wave-absorber in the whole Ku-band / X. G. Liu, B. Li, D. Y. Geng, W. B. Cui, F. Yang, Z. G. Xie, D. J. Kang, Z. D. Zhang // Carbon. - 2009. - Vol. 47. - P. 470-474.

7. Zhao, D.-L. Microwave absorbing property and complex permittivity and permeability of epoxy composites containing Ni-coated and Ag filled carbon nanotubes /

D.-L. Zhao, X. Li, Z.-M. Shen // Composites Science and Technology. - 2008. -Vol. 68. - P. 2902-2908.

8. Zheng, Z. Novel composite of Co/carbon nanotubes: Synthesis, magnetism and microwave absorption properties / Z. Zheng, B. Xu, L. Huang, L. He, X. Ni // Solid State Sciences. - 2008. - Vol. 10. - P. 316-320.

9. Cheng, J. Chen. Synthesis of carbon nanotubes filled with Fe3C nanowires by CVD with titanate modified palygorskite as catalyst / J. Cheng, X. Zhang, F. Liu, J Tua, Y. Ye, Y. Ji, Ch. Chen // Carbon. - 2003. - Vol. 41. - P. 1965-1970.

10. Гуревич, А. Г. Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. -М. : Наука, 1994. - 407 с.

11. Голованов, О. А. Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их применение для решения прикладных задач электродинамики / О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 2006 - Т. 51, № 12. - С. 1423-1430.

12. Голованов, О. А. Метод автономных блоков с магнитными нановключения-ми и каналами Флоке для математического моделирования магнитных наноструктур с учетом обмена и граничных условий / О. А. Голованов, Г. С. Макеева // Радиотехника и электроника. - 2009 - Т. 54, №11. - С. 1421-1428.

13. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. - М. : Наука, 1975. -632 с.

14. Никольский, В. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики /

B. В. Никольский. - М. : Наука, 1983. - 297 с.

15. Свешников, А. Г. Докл. АН СССР / А. Г. Свешников. - 1969. - Т. 184, № 1. -

C. 139.

16. Макеева, Г. С. Электродинамический анализ взаимодействия электромагнитных волн с нелинейными гиромагнитными включениями в волноведущих структурах / Г. С. Макеева, О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 2006. -Т. 51, № 3. - С. 261-267.

17. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. -М. ; Л., 1950. - 472 с.

18. Макеева, Г. С. Численное исследование нестабильностей волн и колебаний в нелинейных гиромагнитных структурах по точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла / Г. С. Макеева, О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 2007. - Т. 52, № 1. - С. 106-113.

19. J. Phys. Chem. Solids. - 1957. - Vol. 1. - P. 209-227.

References

1. D'yachkov P. N. Uglerodnye nanotrubki: stroenie, svoystva, primeneniya [Carbon nanotubes: structure, properties, applications]. Moscow: BINOM. Laboratoriya znaniy, 2006, 293 p.

2. Labunov V. A., Danilyuk A. L., Prudnikava A. L., Komissarov I., Shulitski B. G. et al. J. Appl. Phys. 2012, vol. 112, p. 024302.

3. Vovchenko L. L., Matsuy L. Yu., Oleynik V. V., Launets V. L., Zagorodiy V. V., Le Normand F. Nanosistemi, nanomateriali, nanotekhnologii. Nanosystems [Nanosys-tems, nanomaterials, nanotechnologies. Nanosystems]. 2011, vol. 9, no. 4, pp. 759-769.

4. Shi C. X., Cong H. T. J. Appl. Phys. 2008, vol. 104, p. 034307.

5. Han Z., Li D., Wang X. W., Zhang Z. D. J. Appl. Phys. 2011, vol. 109, p. 07A301.

6. Liu, X. G., Li B., Geng D. Y., Cui W. B., Yang F., Xie Z. G., Kang D. J., Zhang Z. D. Carbon. 2009, vol. 47, pp. 470-474.

7. Zhao D.-L., Li X., Shen Z.-M. Composites Science and Technology. 2008, vol. 68, pp. 2902-2908.

8. Zheng Z., Xu B., Huang L., He L., Ni X. Solid State Sciences. 2008, vol. 10, pp. 316320.

9. Cheng J. Chen., Zhang X., Liu F., Tua J., Ye Y., Ji Y., Chen Ch. Carbon. 2003, vol. 41, pp. 1965-1970.

10. Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnitnye kolebaniya i volny [Magnetic oscillations and waves]. Moscow: Nauka, 1994, 407 p.

11. Golovanov O. A. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 2006, vol. 51, no. 12, pp. 1423-1430.

12. Golovanov O. A., Makeeva G. S. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 2009, vol. 54, no. 11, pp. 1421-1428.

13. Bakhvalov N. S. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow: Nauka, 1975, 632 p.

14. Nikol'skiy V. V. Dekompozitsionnyy podkhod k zadacham elektrodinamiki [Decomposition approach to electrodynamic problems]. Moscow: Nauka, 1983, 297 p.

15. Sveshnikov A. G. Dokl. AN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of USSR]. 1969, vol. 184, no. 1, p. 139.

16. Makeeva G. S., Golovanov O. A. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 2006, vol. 51, no. 3, pp. 261-267.

17. Lyapunov A. M. Obshchaya zadacha ob ustoychivosti dvizheniya [General problem of stability of motion]. Moscow; Leningrad, 1950, 472 p.

18. Makeeva G. S., Golovanov O. A. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 2007, vol. 52, no. 1, pp. 106-113.

19. J. Phys. Chem. Solids. 1957, vol. 1, pp. 209-227.

Макеева Галина Степановна

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет

E-mail: radiotech@pnzgu.ru

Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра общепрофессиональных дисциплин, Пензенский филиал Военной академии материально-технического обеспечения

E-mail: golovanovol@mail.ru

Makeeva Galina Stepanovna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of radio engineering and radio electronic systems, Penza State University

Golovanov Oleg Aleksandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of general professional disciplines, Penza branch of the Military Academy of Maintenance Supplies

УДК 537.874.6 Макеева, Г. С.

Бифуркационный анализ параметрической нестабильности волн в 3D-решетках углеродных нанотрубок с магнитными наночастицами в микроволновом диапазоне / Г. С. Макеева, О. А. Голованов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 2 (30). - С. 101-113.