К синтезу формул, реализующих и представляющих квазимонотонные и монотонные функции на полурешетке подмножеств конечного множества

и 1. Так как при разложении по V уменьшается параметр т/, а при разложении по л - т/, то для выбора базисной операции на каждом шаге алгоритма можно использовать следующее эвристическое соображение: если т/>т/, то выбираем операцию л, иначе - v. Если для очередной компоненты разложения не находится реализующей ее функции в Ф, то она, в свою очередь, подвергается разложению, и так до определения всех компонент. Процесс сходится, если выполнено условие теоремы 2.

Данный алгоритм строит однокаскадные схемы, а значит, решение в классе КМОП-схем существует, только если задана отрицательная функция либо на входы схемы вместе с каждым входным сигналом подается и его инверсия. В дальнейшем предполагается рассмотреть вопрос о выделении каскадов, преследующем двоякую цель: во-первых, расширение класса реализуемых функций и, во-вторых, упрощение получаемых схем (особенно при задании на синтез системы функций).

ЛИТЕРАТУРА

1. Агибалов Г. П. Дискретные автоматы на полурешетках. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993.227 с.

2. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: ИЛ, 1963. 827 с.

2. Поваров Г.Н. Метод синтеза вычислительных и управляющих контактных схем // Автоматика и телемеханика. 1957. №2. С. 145-162.

4. Агибалов Г.П., Бузанов В.А., Липский В.Б., Румянцев Б.Ф. Логическое проектирование переключательных автоматов. Томск: Изд-во

Том. ун-та, 1983. 156 с.

5. Павлов В.Л. О синтезе логических схем из элементов «ИЛИ-НЕ» с ограниченным числом входов // Вычислительная техника Кау-

нас: Каунасский политехнический институт, 1971. Т. 2. С. 219-223.

Статья представлена кафедрой зашиты информации и криптографии факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.

УДК 519.7

Н.Г. Парватов

К СИНТЕЗУ ФОРМУЛ, РЕАЛИЗУЮЩИХ И ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ

КВАЗИМОНОТОННЫЕ И МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ НА ПОЛУРЕШЕТКЕ ПОДМНОЖЕСТВ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 98-01-00288

Предлагаются методы синтеза формул из одноместных функций и двухместной дизъюнкции (конъюнкции) для реализации и представления квазимонотонных и монотонных функций на полурешетке подмножеств ¿-элементного множества.

Постановка задачи

Будем рассматривать функции, которые вместе со своими аргументами принимают значения из верхней полурешетки С всех непустых подмножеств множества £={0,..., А-1}. Множество всех таких функций обозначим Рс- Функции из Рс заслуживают внимания в связи с тем, что с их помощью удается адекватно и с наперед заданной точностью моделировать динамическое поведение интегральных схем логического управления [1]. Область определения любой такой функции / от п переменных является полурешеткой С - и-й декартовой степенью полурешетки С. В ней элементы суть наборы длины л с компонентами в С, отношение порядка й есть покомпонентное включение и сложение есть покомпонентное объединение.

Функция/называется аддитивной, если она является гомоморфизмом полурешеток, т.е. если Да+А)= =Да)+/6) для любых аиЬюй/. Функция/называется точечной, если ее значение на любом элементе </ из Df равно сумме (объединению) элементов, содержащихся в с/. Функция / называется монотонной, если для произвольных а и ¿> из £>/ всякий раз из а<Ь следуетФункция /реализуется функцией g, или g является реализацией / если при лю-

бом </ из Функция /называется квазимонотонной, если она реализуется некоторой монотонной функцией. Множества всех аддитивных, точечных, монотонных и квазимонотонных функций в Рс обознача-

ются соответственно Н, Р, А/ и Q. Вместе с отношением реализации они являются частично упорядоченными множествами, причем Я и Р - собственными подмножествами в М, М- собственным подмножеством в Q, Q - собственным подмножеством в Рс, поэтому можно говорить о минимальных элементах в них. Минимальными в Q функциями являются минимальные точечные функции, множество которых обозначается Т. Множества всех минимальных элементов частично упорядоченного множества S обозначается m(S). В частности, m(P)=m(Q)=m(M)=T, т(С)=Е - множества минимальных точечных функций и одноэлементных подмножеств соответственно. Элементы в С будем рассматривать и как функции в Рс, принимающие значения соответствующих констант и, следовательно, являющиеся точечными функциями, т.е. CqP, причем т(С)ст(Р). Введенные выше определения взяты нами из [2].

Пусть BcQ. Определим понятие формулы над В и функции данной формулы. Сделаем это в форме следующего индуктивного определения:

1. Пусть х - символ переменной, принимающей значения в полурешетке С. Тогда х - формула над В и одноместная функция, значения которой совпадают со значениями своего аргумента - функция данной формулы.

2. Пусть Fu-, Fm - формулы над В и функции /i,—> fm являются функциями соответствующих формул Fi,..., Fm. Пусть/- символ m-местной функции из В. Тогда fiFh..., Fm) - формула над В и ДА,..., • ••>/п) - функция данной формулы.

3. Других формул над В нет.

Будем говорить:

- функция /реализуется формулой /•" или формула к является г-формулой функции если / реализуется функцией формулы

- формула ^ является представлением функции / или формула F является я-формулой функции / если / является функцией формулы Л

Пусть N - некоторый класс функций из 0 и Будем говорить, что система функций В обладает свойством г-палноты (я-полноты) в N или В является г-базисом (¿-базисом) в ЛГ, если для любой функции из N существует г-формула (¿-формула) над В.

Задача синтеза г- и ¿-формул для функций из N в базисе В ставится следующим образом: требуется указать метод, при помощи которого для любой функции из N можно построить г- и ¿-формулу над В. Заметим, что задача синтеза формул для квазимонотонных функций осложняется тем, что необходимые и достаточные условия г-полноты, так же как и условия ¿-полноты, до сих пор неизвестны [2-4].

Договоримся не различать одноэлементные подмножества некоторого множества от соответствующих элементов данного множества: т.е. для любого множества Б и для любого с/из£> будем считать Ф= .

Пусть через xvy и х&у обозначаются минимальные точечные функции, дизъюнкция и конъюнкция, которые при х из Е и у из Е равны соответственно тах(х, у) и тт(х, у).

. . . 3 .щсгрдшрй, работе рассматриваются метода синтеза г- и ¿-формул для функций из М и в монотонных и квазимонотонных базисах типа МиВ, состо-ящих из функции V и некоторого множества В одноместных квазимонотонных функций, содержащего в себе множество всех одноместных минимальных точечных функций. Заметим, что решив задачу синтеза г- и 5-формул для функций ю М и Q в данных базисах, мы тем самым показали г- и ¿-полноту данных базисов в множествах MиQ соответственно.

Поясним постановку задачи. Данная постановка возникает в связи с проблемой синтеза комбинационных схем с заданным динамическим поведением. Если при создании обычной комбинационной схемы, функционирующей в статическом режиме, требуют, чтобы она выдавала определенные выходные сигналы при определенных комбинациях входных сигналов, то при создании комбинационных схем, функционирующих в динамическом режиме, требуется также, чтобы выходные сигналы схемы не выходили за границы заданных подмножеств при изменении входных сигналов в рамках заданных подмножеств. Оказывается, что только квазимонотонные функции физически реализуемы (допускают схемную реализацию в физически исполнимом базисе): функции реальных элементов аддитивные и точечные, функции схем из таких элементов монотонные, а функции, реализуемые схемами, квазимонотонные [1]. Так как существует взаимно однозначное соответствие между формулами в монотонных базисах и структурами комбинационных схем, то сформулированные выше задачи синтеза эквивалентны задачам синтеза комбинационных схем с определенным динамическим поведением. Поясним выбор базисных функ-

ций. Для начала заметим, что поскольку конъюнкция выражается через дизъюнкцию при помощи некоторой перестановки j из в форме x(fey=i"l(j(x)vs(y)), то описанные ниже методы синтеза в базисах типа {v}uB легко могут быть переформулированы для базисов типа {&}и5. Выбор же функций & и v в качестве базисных не случаен. Дело в том, что для большого класса комбинационных схем, а именно для тех комбинационных схем, в которых элементами из множества £ моделируются проводимости цепей, функции & и v моделируют соответственно последовательное и параллельное соединения проводников и, следовательно, содержатся в любом реальном базисе. В этом случае приводимые в данной работе методы позволяют создавать плоские схемы из функциональных элементов, соответству-ющих функциям из 7<|). Функции же из 7*1' являются в некотором смысле простейшими в Q, и на синтез схем для них могут быть естественным образом распространены известные методы синтеза схем для одноместных функций ¿-значной логики.

Синтез г-формул для квазимонотонных функций в базисе {vJuT^

Введем необходимые обозначения.

Для произвольной функции / в Q и для произвольного элемента с в С пусть Vj=ß_DJj={f{d):deDj}. Mf={deb/j(d)nc= 0},'Df={deDf.J{d)=c} и max(k/) есть множество максимальных элементов в М/.

Введем в рассмотрение специальный класс квазимонотонных функций Ф, определив его при помощи выражения:

Для числа j в {1,...,т}, вектора и={и\.....ит) в С

и подмножества 1/сС™ обозначим через [м]у - j-ю компоненту и7 вектора и, через [U\j - множество {[и]/.иеЦ) j-x компонент векторов из U, через inf(l/) - точную нижнюю грань множества U в полурешетке С™ (которая есть покомпонентное пересечение элементов из U)\ причем будем считать, что inf(С/)=0, если таковая отсутствует.

Для произвольного множества А обозначим через Л(л,) множество всех m-местных функций в А.

Будем говорить, что функция f разлагается по функции ge(tm) на компоненты/,...^ earnJ^g(f[y...Jm).

Обозначим S множество перестановок в 7<1>. Каждая функция ¿ в 5 имеет в S обратную функцию ¿"' такую, что Vjcs C(ss"'(:c)=i''j(.)c)=;t).

Сформулируем сначала тест квазимонотонности ш [1].

Тест квазимонотонности. Функция f.C"-*C ква-зимонотонна, если и только если для любого подмножества t/cC", имеющего нижнюю грань в С", подмножество ДIfyzC имеет нижнюю грань в С.

Так как в верхней полурешетке существование нижней грани равносильно существованию точной нижней грани, то в формулировке теста вместо «нижняя грань» можно читать «точная нижняя грань», чем мы и будем пользоваться в дальнейшем без дополнительных оговорок.

Докажем необходимые утверждения.

Лемма 1. Пусть /ебм и У£/£С"(тА;[ф*0=>

=>шАЯ69)*0). Тогда 356 ^'»(Дх,.....хм)2а(дс,)).

Доказательство. Для произвольного элемента с в С положим £>с={^/еС":[</|^с}. Построим одноместную функцию р для произвольного с из С, положив р(су= ЧпЭДА))- Так как по построению то

т1|ХД ))*0, и данное определение функции корректно. Заметам, что/х,,---,*«)^^)-

Покажем квазимонотонность функции р. Пусть ЦЬС, и={ии..., к,} и и=ЩЦ^0. Тогда р(и}={р(щ)>->

Д£)„)}=ш1(/(/)„/и...и£>вг)). Так как тЯ[£и/и...иЦ4)= =[1ф*0, то, по условию леммы ...иД,,))^ и,

следовательно, ¡пДр(СО)*0, откуда по тесту квазимонотонности следует, что /»€0. Значит, в качестве функции 5 можно взять любую функцию из 7*1', реализующую функциюр.

Следствие. Пусть /е(/т) и УисС(тЩЦ))=

=0=>тад)=0).Тогда Зхе?1^.....

Лемма 2. Пусть /е Тогда Зу'е {1,..., /я}

Э^'^х..............

Доказательство. Если то функция/реа-

лизуется константой в С. Поэтому рассмотрим случай

Пусть У={уеУ/ЗА^У/(ЩАУ0& =0)}. Тогда У/-У={уеУ/.ЧА£У/(ЩА)*0=>ЩАиуу* #0)}.Так как тЩУу- )=0, то К*0 и из определения класса Ф следует, что Уу€ И(|£/|=1).

Пусть V - произвольный элемент из множества V. Тогда тПокажем это. Из определения множества У следует, что ЗАс:У/тИ(АУ*0& ¡п^Лиу)=0).

Пусть А-АпУ и А=А ........ аг}, где {аь..,

-У)пА. Тогда ю^Л >0, так как шДЛ>*0 и Л 'о4. Покажем, что тЦЛ Оу)=0. Предположим, что ш^Л Ъу)*0. Пользуясь определением множества У/-У и фактом {аь ..., Ог}^УгУ, получим ¡пДЛ

*0. Пришли к противоречию. Следовательно, ¡пД /1 Оу)= =0. Заметим, что УвЛ, уе АПусть У-\>-А '»{у!..., у,}. Из определения класса Ф следует, что \jviV0, откуда, в свою очередь, следует ¡п^Л Ъу( и

т.д Применяя индукцию, получим шГ (А

Предположим, что существует такое подмножество I/ множества У/, что ¡п^1/)=0 и V не содержится в I/. Пусть 11-Иг\У, и/}. Так как И не содержит-

ся в и, то ИсУ и Зу€ УЦУ-у^СГ). А так как то и ЩУУ*0. Из определения V, так как то и2и...

...иц)==т1({/)*0 Полученное противоречие доказывает, что (Щуу=0=>Ц^У). Так как верно

£К/6ЬК=>тЯ;1/)=0), то УЦаУЛи^Усэ щиу=0).

Пусть ГГ={(1ев1.]{(1)еУ)- Так как т!|Х£)О)Нп1(Р>=0, то по тесту квазимонотонности для функции / следует, что Щр*)=&. Следовательно, существует число у в множестве {!,.., т} такое, что тЭДЛ"],)^. А так как УубГ()0/|=1), то ViЗД(¡nf|Xl9)=0=>tЬ£>v), и, следовательно, ,)= 0, откуда по следствию из леммы 1 имеем Зле \Дх1,..., /))• Лемма доказана.

Пусть/- произвольная квазимонотонная функция. Весом функции / будем называть число где суммирование ведется по всем с из С.

Так как У*е5Ус€С(|с|=Кс)|), то У$е5у/е£(И'/= Можно показать также, что и

в дальнейшем будем пользоваться этими фактами без оговорок.

Лемма 3. Пусть / - произвольная функция в Тогда найдется функция 5 в 5, найдутся квазимонотонные функции g] и gг такие, что f=s{g\\/g¿),

Доказательство. Так как/еФ, то 3 сеЕ З^еГ^За^еД/ )г»£=/(4)псс:0). Построим функции/,/ такие,

У+с и для каждого </ в И^^Ж} верно: /(¿^ТгИН =){сИ). По построению/¡>/и£>/, откуда следует, что//е О, Возьмем функцию 5 в 5 такую, что з(0)=с.

Тогда

и для любого й в множестве Df-{d\4^} верно:

В качестве функций g^, g2 возьмем функции 5"'(/1) и соответственно. Тогда/=^^§2), И^с

Лемма доказана.

Расширением квазимонотонной функции/будем называть квазимонотонную функцию /у:£>/->С такую, что если Уее£(^йшах(А^<г)) и £-8ир{е:ее£&</ешах(А^')} в противном случае.

Лемма 4. Пусть/е0, gsЛ/и £</у. Тогда

Доказательство. Для произвольного элемента </ в О/ и произвольного элемента ев Е пусть верно: ейДсО. Тогда/</>06=0 и, следовательно, с1еМ/. Значит, существует элемент (ГетахЩ") такой, что с&сГ, и по построению функции /у еёР^сГ). А так как g<Ffi то е£щ((Г). В силу монотонности функции g и е£%{с[). Это доказывает, что и в

силу произвольности выбора элемента </в ^ Лемма доказана.

Лемма 5. У/е^^у).

Доказательство. Пусть Для произвольного элемента с/в О/и произвольного элемента ев Е: если е«/")^, то ¿етъх(М/) и, следовательно, егДсО-Это означает, чтоДс/)^/^^). Лемма доказана.

Доказанные выше леммы позволяют нам сформулировать метод синтеза г-формул для функций из б в базисе ^}и7<1).

1. Пусть/- квазимонотоная функция, формулу для которой необходимо построить. Построим расширение Ff функции / В соответствии с леммой 5 и, следовательно, В соответствии с леммой 4, вследствие монотонности базиса{у}и7<1), г-формула для функции Ff является также и г-формулой для функции/ поэтому далее вместо г-формулы для функции /будем строить г-формулу для функции Ту.

2. Если функция Ff принадлежит множеству Ф, то реализуем ее одноместной функцией из способом, описанным в доказательстве леммы 2. В противном случае разложим ее по функции s(xvу) при некоторой функции 5 в 5 способом, описанным в

доказательстве леммы 3, на квазимонотонные компоненты большего веса. С компонентами разложения поступим так же, как и с функцией / Так как количество квазимонотонных функций любой конечной местности конечно, то через конечное число разложений получим формулу над {vJuT^, реализующую функцию/

. Описанный метод синтеза является доказательством теоремы 1.

Теорема 1. Система функций {vJuT^ сполна в Q.

Для произвольного числа / в {0,..,&} введем специальный класс ф квазимонотонных функций, определив его при 1*0 выражением 4>r{feQ: Все еС(|с| =/&V<?€c(| М/1 Si))} и положив Фь=Q.

Справедливо включение: <Î^q0q..q<ÎV=<P. Заметим, что VseS(fe 0p>s(J)& ф) и {g<f &ge ф)=>/е Ф,.

Лемма 6. Пусть/- произвольная функция из <Р/, при некотором 1<к. Тогда существует функция s в S,

существуют функции /.....f, в множестве такие,

4To/=j(/iv...v/f).

Доказательство. Так как/е Ф,, то существует элемент с в С такой, что | с | =/ и для каждого элемента е из с верно | М/\й1. Пусть j - произвольный элемент из Е-с. Пусть M/={du...,dr}, г>1. Построим функции gi,...,gP такие, что Dgi=Dg2=...=Dg,=Dfi для

произвольного / в {1.....г}, положив g,(d)=j{d)+j.

если deM}-d„ и g,(d)=f{d), если diMj-d,. Так как Vie €{lt.., г}Vee{oty'XIMj | <1) и|в+/|-/+П то g^y...,greФм.

Пусть s - произвольная функция из S такая, что

s(0y=j. Для каждого / из {1.....г} возьмем в качестве

функции / композицию функций Можно показать, что справедливо представление f=stf\V...y/ï). А так как функции gi,..., gr принадлежат множеству Фни то и функции/,,..„/ принадлежат Лемма доказана.

Лемма 6 дает нам еще один метод синтеза г-формул для функций из Q в базисе {vJuT*4.

1. Пусть /- квазимонотонная функция, формулу для которой необходимо построить. Построим расширение Ff функции / В соответствии с леммой 5 /¿F/, следовательно, если для некоторого / верно /еФ/, то верно и /•}€ Ф/. Вместо г-формулы для функции/будем строить г-формулу для функции F/.

2. Если функция Ff принадлежит множеству Фь то реализуем ее одноместной функцией из 7*1* способом, описанным в доказательстве леммы 2. В противном случае функция Ff принадлежит множеству ф при некотором 1<к. Разложим ее по функции s(xvy) при некоторой s из S способом, описанным в доказательстве леммы 6, на квазимонотонные компоненты из ф+\. С компонентами разложения поступим так же, как и с функцией / Через конечное число разложений получим формулу над {v}u7<1), реализующую/

Синтез 5-формул для квазимонотонных функций в базисах, содержащих функции из {vjui^1'

Введем в рассмотрение специальный класс В квазимонотонных функций, определив его при помощи выражения feBo3eeE3ceC(e<c&Vf={e,c}&

10/1=1). Для любой функции я из 5 определим операцию V, следующим образом:

Лемма 7. Пусть и Существуют функции 5Ь..., з, из 5 и функциииз В такие, что

/=/0^1/^2/2 ...V,/,.

Доказательство. Случай /=% тривиален. Пусть /¿/о. Тогда р/о. Положим ДН^еЯД^/^О}- Пусть £>0 = .....dr}. Зафиксируем указанную нумерацию элементов в Д>. Для каждого / из {1,.., г} пусть е, - произвольный элемент множества/^. Для каждого элемента / го

{1.....г} построим функцию из В, положив

если ¿=4 для любого deDf-d. При лю-

бом /' из {1,..., г} пусть - функция из 5 такая, что 5,(е,)=0. Для любого О^О/ постоим функцию/>1>Г>У^ положив если deD, и положив в противном

случае. Заметим, чmf=fпри ¿>=Д) и/Ц/о- Пусть для некоторого /' в {1,..., г}. Тогда/^Л/я/ Покажем это. Если dsD, тои, следовательно,

Если deDJ-(DucO, тоАс^Щ),/^

и, следовательно

s:\sf

Если <Ы то ас1гтгш^>е, е,

и, следовательно, с одной стороны

а с другой стороны,

Итак, имеем/^^/0^,/ откуда следует: /Ч^/ь/'^/о^/,^,....

Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть / - произвольная функция из Тогда существуют функции 50.- -> в В ' такие, что/*,.....

Доказательство. Так как/- функция в Д то существуют элеменш е в Е, с в С, dm) в Гугакие, что е<с и/ принимает значение е на всех аргументах, кроме на котором она равна с. Для произвольных элементов А из С, а из 6 из С таких, что а<Ь, обозначим 4 функцию из й"', которая принимает значение Ь при аргументе, равном И, и значение а при остальных значениях аргумента.

Пусть И={к-1,0} - элемент из С. Положим 50-<Рк'' и 5г<Ра~1' * для каждого / из {1,..., т). Можно показать, чтоДх,,..., Лемма доказана.

Леммы 7, 8 позволяют нам сформулировать следующий метод синтеза «-формул для функций из б в базисе {у}и7<1,и5(,).

1. Любым известным способом получим реализацию^ функции/в базисе {у}и7<|).

2. Способом, описанным в доказательстве леммы 7, находим функции 5Ь..., в 7<1) и функции /,..., / в В и представляем/в форме^/¿^¡/¡у^-ч^п

3. Способом, описанным в доказательстве леммы 8,

для каждой/ из/...../ находим функции в

такие, что Дх,.....и представляем / в форме /й^уд/г- ^л/гйч^а^0.1(^1,

Следствием теоремы 1 и данного метода синтеза является следующая теорема.

Теорема 2. Система функций полна в <2-

Синтез 5-формул для монотонных функций в базисах, содержащих функции из {у}и7<,)

/мне** тшиг^е, и л^у/х^лль'

другой стороны, так как

^(сШ^^АФ^М- Следовательно, /(^ откуда получаем:

. лвмма до-

казана.

Лемма 10. Пусть / - произвольная функция из

Введем в рассмотрение специальный класс Вм моно-тоных функций: произвольная функция / из М принадлежит Вм, если и только если найдутся элементы ев Е, с в С »{¡в такие, что е<с, У/={е, с} и для любого элемента Я из DfЩмofícty=c<z>d'Ы

Для произвольных е из Е, с из С таких, что е<с, и для произвольного (1 из С при некотором т обозначим /¿'с функцию из Вм, определенную на Сг, такую, что для каждого <Р из С":/сГ)=с если ¿"><1, и _ДйГ)=е в противном случае.

Лемма 9. Пусть//> - функции из М и//0- Тогда найдется число г, функции $1,..., а, из 5 и функции из

/...../ из Вм такие, что

Доказательство. Случай//, - Тривиален. ПусЛъ/¿/о-Тогда Обозначим £»о={^еЛД^>/о(й0}. Пусть Д>= ={с1\.....с1г}. Зафиксируем указанную нумерацию элементов в Д>. Для произвольного / в {1,..., г} пусть е, -произвольный элемент из множества/^«/,) и Для

каждого элемента < из {1,..., г} возьмем функцию И,} в Вмтакую, что/г/<*"'Ы- Пусть при любом / из {1,..., г) sí - функция из 5 такая, что з{е,)=0. Для любого /)с£>/постоим функцию У/ для произвольного (Г в йр положив (с/')=/о(^)+2Х£0> где суммирование ведется по всем ¿1 из Д содержащимся в элементе (Г. Заметим, что/^/при £>=Д) и / = /,. Пусть ¿е {1,..., г} и £*сД г-<4 Тогда/^^/Ч^/. Покажем это.

Пусть и не реализуется <4 Тогда и, следовательно, ^^гД^^лДсО^Г'^А^«/«/)55

Пусть <£>4. Тогда

ЛИТЕРАТУРА

\. Агибалов Г.П. Дискретные автоматы на полурешетках.Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993.227 с.

2. Агибалов Г.П. О полных системах операций и синтезе схем для квазимонотонных функций на конечных полурешетках // Новые

информационные технологии в исследовании дискретных структур. Екатеринбург: Из-во УрО РАН, 1998. С. 149-152.

3. Агибалов Г.П. О полных системах функций на полурешетке подмножеств конечного множества // Всесибирские чтения по матема-

тике и механике: Математика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. Т. 1. С. 148-149.

4. Агибалов Г.П. К синтезу схем, реализующих квазимонотонные функции на полурешетке подмножеств двухэлементного множества.

//Там же. С. 147-148.

Статья представлена кафедрой защиты информации и криптографии факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.

УДК 621.391.7

И. В. Пронина, Г.П. Агибалов

НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ КРИПТАНАЛИЗА ДЛЯ КОДОВЫХ КРИПТОСИСТЕМ

Предлагаются алгортмы криптанализа для кодовых криптосистем с закрытым ключом с целью нахождения ключа при возможности выбора сообщений и для кодовых криптосистем с открытым ключом с целью нахождения сообщения, если известны открытый ключ и криптограмма.

Bjm). Тогда существуют функции S0>—> sm в Вм ' такие, что/хь-, xm)=i0(iiiiv...vv»,).

Доказательство. /еВд* поэтому существуют элементы е в Е, с в С, <Hdh..., dm) в Df такие, что е<с и/принимает значение с на аргументах, реализуемых 4 и значение е на остальных аргументах.

Пусть А={А—1,0) - элемент из С. Положим s0=fh''с и SrfjT1, * для всех /е{1,..., т). Можно показать, что /хь..., x^soC^v. • .vs^m). Лемма доказана

Леммы 9, 10 позволяют нам сформулировать следующий метод синтеза 5-формул для функций из М в базисе {v]^1)\jBJ1\

1. Любым известным способом получим реализацию f0 функции /

2. Способом, описанным в доказательстве леммы 9,

находим функции sh..., sr в функции в/...../ из Вм и

представляем/в форме/^/оЧ./у^..^/.

3. Способом, описанным в доказательстве леммы

10, для каждой/ из/...../ находим функции s0,n..., зт, в

В0* такие, чт Дх...... xmy=s0l£siAxiy/...vsmil(xm)), и представляем функцию / в форме /=/vJi/ivi2^--vs/= =/vjl[50,l(i|.l(Xi)v...VJm|(xm))]vj2[50^(ili2(x1)V...VSm>2(*m))]

Описанный метод синтеза является доказательством следующей теоремы.

Теорема 3. Система функций {v}<j7<1)(jBm0) s-полна в М.

Введение

Кодовые криптосистемы строятся на основе линейных кодов, исправляющих ошибки. Как и все крипто-

системы, они делятся на два класса - симметричные, или с закрытым ключом, и несимметричные, или с открытым ключом. Криптанализу последних посвящены работы [1,2, 3], где для некоторых кодовых криптоси-