Применение функционального подхода к адаптивному решению эллиптических задач

из анализа данных рис. 2 можно заключить, что с ее помощью хорошо оценивается и условная ковариационная матрица (22). Этого и следовало ожидать при невысоком уровне априорной неопределенности, имеющем место в случае плотности

р(V) = N(V, (-6;8),0,25Е).

В результате проведения расчетов получены следующие значения времени работы Т (в секундах) на ЭВМ по вычислению нижних границ двумя методами: рекуррентным (Р) и нерекуррентным (НР) при различном количестве измерений г.

I Т, с

Р НР

60 ...... 26 1810

30 ...... 12 490.

Из представленных результатов следует со всей очевидностью, что рекуррентный метод расчета значительно эффективнее.

Итак, в работе получена рекуррентная формула для вычисления нижних границ Pao — Крамера в случае постоянного вектора состояния, и на примере задачи о слежении по пеленгу проанализирована эффективность ее использования. Показано, что рекуррентный подход позволяет значительно сократить время вычислений практически без потерь точности. Проведено сопоставление полученных нижних границ с потенциальной точностью для оптимальной байесовской оценки, которое подтвердило основные теоретические положения. Разработанный рекуррентный метод может быть рекомендован к использованию во всех ситуациях, удовлетворяющих условиям его применимости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Степанов, О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1. Введение в теорию оценивания [Текст]/ О.А. Степанов.- СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2009. — 496 с.

2. Doucet, A. Sequentiual Monte-Carlo methods in practice [Текст] / A. Doucet, N. Freitas, N. Gordon .— New York: Shpringer-Verlag, 2001.- 581 p.

3. Long, Z. Conditional posterior Cramer — Rao lower bounds for nonlinear sequential Bayesian estimation [Электронный ресурс]/ Z. Long, N. Ruixin, P.K. Varshney// [2011] URL: www.people.vcu.edu/.../ zuo&etal_tsp11.pdf

4. Даугавет, И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. [Текст]/ И.К. Даугавет.— СПб.: БХВ-Петербург, 2006.-288 с.

5. Арсеньев, Д.Г. Эффективный выбор плотности распределения случайной сетки при решении задачи о слежении по азимуту методом Монте-Карло [Текст] / Д.Г. Арсеньев, В.М. Иванов, H.A. Берковский// Научно -технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2011.— № 2 (138).- С. 109-116.

6. Арсеньев, Д.Г. Метод существенной выборки при нерекуррентной схеме обработки в задачах фильтрации с нелинейными измерениями [Текст] / Д. Г. Арсеньев, O.A. Степанов, H.A. Берковский// Матер. XXVIII конф. памяти H.H. Острякова. — СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн ЦНИИ "Электроприбор"», 2012. - С. 31-32.

УДК 519.63

М.А. Чурилова

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПОДХОДА К АДАПТИВНОМУ РЕШЕНИЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В инженерную практику прочно вошло использование пакетов прикладных программ, которые позволяют получать приближенные решения задач, связанных с моделировани-

ем поведения объектов различной природы. Практически любая современная инженерная разработка включает в себя расчеты для обоснования ее целесообразности, надежности и

4

Математическая физика

эффективности. В таких коммерческих программных пакетах, как А№УБ, МАТЬАВ и др. используется метод конечных элементов и реализованы простые средства оценки точности полученных решений. Раздел вычислительной математики, посвященный построению более универсальных адаптивных алгоритмов, основанных на надежном апостериорном контроле и индикации локального распределения погрешности, начал интенсивно развиваться сравнительно недавно.

Задача количественного оценивания отклонения приближенного решения от точного сложнее, чем задача построения априорных оценок скорости сходимости. Последние крайне важны, но, как правило, основаны на предположении о повышенной гладкости точного решения и не позволяют оценить с достаточной эффективностью точность конкретного решения конкретной задачи. Апостериорная оценка, напротив, должна быть вычислимой, то есть включать в себя только исходные данные задачи и само приближенное решение. При этом норма, в которой измеряется величина отклонения, выбирается для конкретного класса задач.

Для адаптации расчетной сетки необходимо также иметь представление о локальном распределении ошибки по области. Если верхняя оценка (мажоранта) погрешности может быть представлена в виде суммы локальных вкладов на каждом элементе разбиения области, то ее можно использовать в качестве индикатора локального распределения погрешности.

В настоящее время в рамках метода конечных элементов существуют несколько устоявшихся подходов к построению апостериорных оценок погрешности. В этой статье рассматривается функциональный подход, основанный на вариационных и функциональных методах, а также интегральных преобразованиях. Подробно различные подходы к построению оценок описаны в монографиях [1, 2], а также цитируемой в них литературе.

Стационарная задача диффузии

Рассмотрим первую эллиптическую задачу — стационарную задачу диффузии со смешанными краевыми условиями:

- div(AVu) = f в Q; u=0 на Г

D>

n • AVu = F на Г

N>

где и - точное решение задачи; О, — ограниченная связная область в М с границей дО, непрерывной по Липшицу, а п - единичная внешняя нормаль к границе.

Граница области состоит из двух непересекающихся частей дО. = Гс ^ , где Гс — часть границы области, на которой задано условие типа Дирихле, а — часть границы с условием типа Неймана. Также накладываются

следующие ограничения на данные задачи: 2 2 / е L (О) и / е L (Гм); матрица А — симметричная, положительно определенная, удовлетворяющая неравенствам

- 2 - . 2 2 aiN -Атп^а2N ' м

где ах и а2 — некоторые положительные константы.

Эта задача рассматривается в обобщенной постановке: найти элемент

и eV0 е Н!(П) у\Го = о},

удовлетворяющий интегральному тождеству | АУи  Vwdx = | fwdx + | Fwds , Vw е У0.

Допустим, что для задачи (1) построено приближенное решение uh. Тогда возникает необходимость оценить отклонение этой аппроксимации от точного решения и. В данной работе рассматривается оценка энергетической нормы погрешности, а именно

Q

Соответствующая задаче мажоранта, полученная с помощью функционального подхода, приведена, в частности, в монографии [1] и имеет следующий вид:

ш .. ,2 О *

III u - uh Г < M2(uh ,р, y ) =

= (1 + р) j (AVuh - y *) • (Vuh - А "У )dx -

N

(

1 +1 Р

^ С2

^ f (divy* + f )2dx-

а1 a

1 4 I — i (F - У* •n)2 ds,

P^ai rN

* * ( * * О ^

где у eQ (О) = {у е ЩЗДу) у • п е Х2(ГМ)} и

Р > 0 - свободные переменные, а С - любая константа, удовлетворяющая неравенству

Цт =

J (AVuh - y *) • (Vuh - A"1y * )dx

\1/2

V T

RT

обозначенный далее за при использовании аппроксимаций Равьяра —Тома и r|T°" при ис-

пользовании непрерывных аппроксимации. Для оценки качества получаемых сеток был также реализован «эталонный» индикатор

nTf =

г л1/2

\ АЧё -Vedx

V т ,

1 ^• . I ^,,,

—2 < тГ -—-—-——. С2 ^ „ 2 + „

......... N

Эта оценка верна для любого приближенного решения из ¥0, константы С и ах не зависят от расчетной сетки. Если в качестве у* рассмотреть ЛУы , то неравенство (2) превратится в равенство, т. е. оценка является точной.

Таким образом, задача сводится к построению свободной переменной у*, достаточно близкой к ЛУы в пространстве ЩПДу). Для этого были реализованы классические непрерывные кусочно-линейные аппроксимации, а также аппроксимации Равьяра — Тома нулевого порядка (см., например, [3]), допускающие разрыв касательной составляющей у на межэлементной границе. И в том, и в другом случае свободную переменную можно найти из необходимого условия минимума функционала М2 при фиксированных р и ык, что приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей.

Исследование [4] для случая задачи Дирихле для стационарного уравнения диффузии показало, что при наличии разрывов первого рода в коэффициентах матрицы А или правой части уравнения использование аппроксимаций Равьяра — Тома повышает эффективность работы адаптивного алгоритма. Для адаптации расчетной сетки использовался следующий индикатор погрешности:

где ё = uref - uh ; Uf - так называемое «эталонное» решение (reference solution), в качестве которого выбиралось приближенное решение, полученное на более мелкой сетке uref = uh/4 .

С помощью эталонного решения можно также вычислить относительную погрешность

e = 111 ^ ~ f .100% I uref I

и индекс эффективности мажоранты

*

M

I ef —'

uh - u

ref

Пример 1. Рассмотрим один из примеров работы адаптивного алгоритма для задачи со смешанными краевыми условиями, рассмотренной в статье [5]. Геометрия области, граничные условия и график решения задачи представлены на рис. 1. Во всей области матрица А единичная, правая часть f= 0,5. На частях границы области, обозначенных штриховкой, задано нулевое условие типа Дирихле, на остальных частях — условие типа Неймана.

Начальная конечно-элементная сетка идентична использованной авторами статьи [5]. На каждом шаге адаптации производилось вычисление мажоранты погрешности, локальная индикация ошибки и измельчение сетки. Эта процедура продолжалась до достижения желаемого количества узлов сетки для сравнения с результатом, представленным в работе [5]. Финальные расчетные сетки приведены на рис. 2. Видно, что по своей структуре они весьма близки, поскольку у них совпадают зоны сгущения узлов.

Стационарная задача реакции-диффузии

Перейдем ко второй модельной задаче — стационарной задаче реакции-диффузии с краевыми условиями типа Дирихле:

Рис. 1. Геометрия области и граничные условия (я), а также приближенное решение (б) для примера 1

Рис. 2. Адаптивная расчетная сетка из статьи [5]

|-div(ÄVu) + р u = f в Q;

u = 0 на 5Q,

где р — коэффициент реакции.

Различные варианты оценки энергетической нормы погрешности для задачи (3) представлены в монографии [2]. Воспользуемся универсальной оценкой, не чувствительной к изменениям коэффициента р2 :

<

C 2(1 + ß) * 2 2

+ -\J,' ~ (d'vy + f ~Р\ )2 dx,

\

a2ß + p2C 2

Как и для задачи диффузии, для переменной у е Н(П^гу) использовались непрерывные аппроксимации и аппроксимации Равья-ра—Тома. При адаптации сетки рассматривались

,ref

„con ^ „RT

^t и Лт

индикаторы погрешности ^ Приведем два характерных примера: с разрывами первого рода в коэффициенте реакции и в матрице коэффициентов А.

Пример 2. Для данного примера геометрия области приведена на рис. 3. Матрица A — единичная во всей области, правая частьf= 1. Коэффициент реакции р = 1 в подобластях I и 2

IV, р" = 100

в подобластях II и III.

На рис. 4, а—в представлены результаты адаптации расчетной сетки с различными индикаторами погрешности. Несколько шагов адаптации приведены в таблице.

Можно сделать вывод, что для задачи с разрывом в коэффициенте реакции как непрерывные аппроксимации, так и аппроксимации Ра-вьяра - Тома дают удовлетворительный результат: по своей структуре сетки близки к «эталонной».

Рис. 4. Результаты адаптации для примеров 2{а—в) и Ъ(г—е) с индикаторами г|(а,г), ц™" (б,à) и •qRT (в,е) для случаев с наибольшим числом узлов, приведенных в таблице

Шаги адаптивного алгоритма с различными индикаторами для примеров 2 и 3

Индикатор Число узлов е, % Ieff

Пример 2

289 12,25

376 9,53

1300 4,86

4159 2,65

289 12,25 1,16

380 9,48 1,17

Лт" 1289 4,87 1,17

4116 2,65 1,17

289 12,25 1,41

„RT % 379 9,60 1,44

1377 5,01 1,40

4873 2,62 1,41

Пример 3

289 13,97

nTf 509 8,77

1667 4,69

4006 2,94

289 13,97 1,64

540 9,49 1,84

Vrr" 2841 4,64 1,74

7910 2,86 1,81

289 13,97 1,28

^RT Чт 531 9,20 1,30

1901 4,66 1,31

4661 2,94 1,31

Пример 3. Геометрия области для этого примера аналогична области для примера 2. Ма-(1 0^

трица A=

0 1

в подобластях I и IV, и

A =

(10 0 ^ 0 10

в подобластях II и III. Правая

часть f= 1, коэффициент реакции р = 1. На рис. 4, г—е представлены результаты адаптации расчетной сетки с различными индикаторами погрешности; в таблице также приведены некоторые шаги адаптации.

пт

Видно, что полученная с сетка не содержит зон избыточного сгущения узлов, которые возникают при использовании г|Т°" , благодаря тому, что аппроксимации Равьяра — Тома

допускают разрыв касательной составляющей * «

у на межэлементнои границе.

Стоит также отметить, что в случае, если в величине погрешности преобладает вклад от реакции, а не диффузии, необходимо в локальном индикаторе погрешности дополнительно учесть слагаемое, содержащее параметр реакции.

Полученные в настоящей статье результаты хорошо согласуются с полученными в работе [4] и свидетельствуют об эффективности использования аппроксимаций Равьяра — Тома свободной переменной в мажоранте для стационарной задачи реакции-диффузии в случае разрыва коэффициентов матрицы А. Для задач, содержащих лишь разрыв коэффициента реакции, можно также использовать классические непрерывные аппроксимации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Neittaanmaki, P. Reliable methods for computer simulation. Error control and a posteriori estimates [Text] / P. Neittaanmaki, S.I. Repin. — Studies in Mathematics and its Applications. Vol. 33. — Amsterdam: Elsevier, 2004. - 305 p.

2. Repin, S.I. A posteriori estimates for partial differential equations : Radon series on computational and applied mathematics. Vol. 4. [Text] / S.I. Repin. — Berlin: de Gruyter, 2008. — 316 p.

3. Raviart, P.A. A mixed finite element method for second order elliptic problems : Lecture notes in math-

ematics [Text] / P.A. Raviart, J.M. Thomas. — Berlin: Springer, 1977. - Vol. 606. - P. 292-315.

4. Фролов, M.E. Адаптация сеток на основе функциональных апостериорных оценок с аппроксимацией Равьяра — Тома / М.Е. Фролов, М.А. Чурилова // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 2012. — Т. 52, № 7. - С. 1277-1288

5. Rüter, M. Error-controlled adaptive mixed finite element methods for second-order elliptic equations [Text] / M. Rüter, R. Stenberg // Comput. Mech. - 2008. -Vol. 42. - No. 3. - P. 447-456.