Об использовании инвариантов отражения в практическом решении задачи определения зеркальной симметрии

УДК 004.932

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ИНВАРИАНТОВ ОТРАЖЕНИЯ В ПРАКТИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗЕРКАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ

С.А. Федотова, О.С. Середин, О.А. Кушнир

Поиск осей зеркальной симметрии на бинарных изображениях является вычислительно сложной задачей. В исследовании [1] предлагается использовать инварианты отражения для определения самого факта наличия зеркальной симметрии, что позволяет выявлять асимметричные объекты на изображениях еще до запуска процедуры поиска оси симметрии. В данной работе экспериментально проверяется применимость инвариантов для определения зеркальной симметрии на реальных изображениях. Для этого оценки симметричности, полученные с использованием инвариантов отражения, сравниваются с объективной мерой, рассчитанной на основе подобия Жаккара. Экспериментальные исследования, проведенные на базах бинарных растровых изображений Бабочки и MPEG 7 CE Shape-1 Part B, показали невозможность использования инвариантов отражения для быстрого выявления приближенной симметрии на бинарных растровых изображениях.

Ключевые слова: зеркальная симметрия, бинарные растровые изображения, моменты изображения, инварианты отражения.

Введение. Зеркальная симметрия является свойством различных бинарных изображений искусственных и природных объектов. Очевидно, что при решении реальных задач идеально симметричные объекты встречаются редко, поэтому поиск приближенной симметрии и оценка симметричности изображения является наиболее актуальной задачей.

Задача определения симметрии и нахождения меры симметричности для бинарных растровых изображений известна, но существует достаточно небольшое число эффективных методов для ее решения. Нами была разработана группа алгоритмов для нахождения оси зеркальной симметрии. Для оценки симметричности фигуры в данных алгоритмах используется теоретико-множественное подобие Жаккара

\S (B) u S (Br )|

где B - бинарное изображение, яркость черных пикселей которого обозначим 1, белых - 0; Br - изображение, полученное отражением бинарного изображения B относительно некоторой прямой; S(B) - множество пикселей изображения B, яркость которых равна 1.

Очевидно, mT (B) обладает основными «хорошими» свойствами меры: 0 < mT (B) £ 1, причем mr (B) = 1, если B - идеально симметрично, и mr (B) = 0, если B и Br не пересекаются.

Мера Жаккара используется в точном алгоритме определения оси симметрии изображения [2]. Точный алгоритм перебирает все возможные прямые, пересекающие фигуру, и находит среди них ту, для которой мера Жаккара максимальна. Эта прямая и будет считаться осью симметрии изображения (см. рис. 1).

Данный алгоритм работает достаточно долго, поэтому были разработаны две его модификации - с учетом полупериметров и центра масс изображения [2]. Первая учитывает то свойство, что ось симметрии делит контур идеально симметричного

125

изображения точно пополам, поэтому ось приближенной симметрии разделит контур приблизительно пополам. Второй алгоритм основывается на том свойстве, что ось идеальной симметрии проходит точно через центр масс, следовательно, ось приближенной симметрии пройдет в некоторой его окрестности. Данные модификации способны получать ось симметрии за гораздо меньшее время, чем точный алгоритм, но для адекватного результата необходима настройка параметра, отвечающего за величину окрестности, - как для полупериметра, так и для центра масс. Это существенно затрудняет автоматическую обработку больших баз изображений.

Рис. 1. Примеры изображений с осью, соответствующей максимальному значению меры симметричности, вычисленной на основе подобия Жаккара

Также был разработан приближенный метод определения зеркальной симметрии на основе построения скелета изображения и его описания цепочками примитивов [3, 4]. Данный метод работает значительно быстрее, чем алгоритм на основе полного перебора, но имеет меньшую точность. Поэтому было предложено три варианта уточнения результата работы скелетного алгоритма, основанных на переборе осей в некоторой окрестности от скелетной оси с целью поиска оси с большей мерой симметричности [5].

Чтобы быстро получать эталонные оси симметрии для разметки баз изображений, была разработана параллельная версия точного алгоритма, а для поиска оси симметрии изображения в реальном времени был распараллелен второй вариант алгоритма уточнения оси, найденной скелетным методом [6].

Однако все перечисленные алгоритмы некоторым образом перебирают прямые, проходящие через изображение, и всегда находят прямую, относительно которой мера симметричности максимальна. Недостаток такого подхода заключается в том, что найденная прямая может не быть осью симметрии, поскольку изображение в принципе не является ни идеально, ни приближенно симметричным. На данный момент мы не можем заранее оценить, симметрично ли изображение или нет, стоит ли перебирать на нем прямые и искать ось симметрии или же в этом нет необходимости, и изображение можно пометить как асимметричное.

В то же время, в анализе изображений хорошо известны эффективные в вычислительном смысле методы, использующие понятие моментов изображения. С помощью моментов получают инварианты относительно некоторых классов преобразований изображения.

В данной работе рассмотрено практическое применение описанных в статье [1] «инвариантов отражения» для быстрого определения наличия зеркальной симметрии на изображении. Целью работы является исследование возможности усовершенствования имеющихся алгоритмов определения зеркальной симметрии при помощи инвариантов, что позволит быстрее определять симметричность, отсеивая заведомо асимметричные объекты перед запуском процедуры поиска оси симметрии.

Определение моментов. Для двумерной непрерывной функции р(х, у) момент порядка (т + п) имеет следующий вид

М

= | | хтупр(х,у)ёхёу,

где т , п — неотрицательные целые числа. В случае монохромного (в частном случае бинарного) растрового изображения с интенсивностями пикселей I(X, у) моменты

Мтп вычисляются по формуле:

Мтп = ЕЕ ХтуП1 ( X, У ).

х У

В области компьютерного зрения и распознавания образов чаще используются центральные моменты, которые обладают свойством инвариантности к сдвигу. Они определяются как

Мтп = I I (х — х)т (У — У )пр(x,У)ахаУ,

где х = ^З0, у = - компоненты центра масс. Если р(х, у) является цифровым

тоо тоо

изображением с интенсивностями пикселей I (х, у), то уравнение будет иметь следующий вид:

/ = ЕЕ

х У

Центральные моменты /итп любого порядка по построению инвариантны относительно сдвигов. Нормированные моменты г]тп инвариантны к сдвигу и масштабу.

Они могут быть построены из центральных моментов путем деления на правильно от-масштабированный нулевой центральный момент:

Л =_^ттп_, где п + т > 2.

1тп

+1

Моо

Данные моменты достаточно быстро вычисляются, а также на их основе могут быть вычислены моменты высокого порядка.

Обзор применения моментов в компьютерном зрении. Моменты изображения достаточно широко используются при анализе изображений, в задачах классификации и распознавания. Впервые применение моментов в задачах распознавания было описано в 1962 году М. Ху [7], который использовал результаты теории алгебраических инвариантов и вывел свои семь известных инвариантов к вращению в плоскости двумерных объектов. С тех пор достаточно много работ было посвящено улучшению и анализу инвариантов М. Ху, выводу моментов высокого порядка [8, 9], поиску моментов, инвариантных аффинным преобразованиям [1о], инвариантных шуму [11] и абсолютной интенсивности изображения [12]. В работе [13] был подытожен способ определения геометрических инвариантов и предложены две функции для порождения инвариантов, называемые БИареВКЛ. В [14] изложенна идея о геометрических инвариантных ядрах, посредством которых можно получить моменты любого порядка и степени в разных размерностях. В работах [15-18] найдены новые способы генерации семи инвариантов М. Ху.

Также моменты применяют при решении различных прикладных задач, таких как распознавание рукописных и печатных символов латинского [8, 11, 19—22] и арабского алфавитов [23], обнаружение МРТ-снимков с патологиями [24], распознавание

моделей и типов самолетов [19, 25], распознавание изображений [26], распознавание текстуры [27], распознавание размытых изображений [28, 29], восстановление изображения из дискретных и зашумленных данных [30].

Существует ряд работ, посвященных определению зеркальной симметрии и нахождению оси симметрии с помощью моментов. Для определения геометрического сходства М. Ху вывел семь инвариантов и назвал седьмой косоинвариантным [7], так как на его основе можно отличить изображение от его зеркальной копии. В работе [31] была разработана непрерывная мера и рассмотрены свойства дескриптора зеркальной симметрии, который был усовершенствован в работе [32] и дополнен пространственным распределением асимметрии объектов в [33]. В [34] предложены моменты для определения ^-кратной симметрии вращения. Авторы работы [18] ввели комплексные моменты, заметили, что некоторые из них меняли знак при отражении, и назвали их псевдоинвариантами. Псевдоинварианты использовались и в работе [17]. Также для обнаружения симметрии для объемных фигур используется сегментации фигуры [32], определение общего момента через векторное произведение векторов [35], определение по обобщенному комплексному моменту [36] и другие методы [37-41].

В недавнем исследовании [1] на основе нормированных моментов двумерной непрерывной функции были выведены новые инварианты отражения с целью применения в задаче поиска оси симметрии. Данные инварианты быстро вычисляются, поэтому перед запуском процедуры поиска оси можно вычислить инварианты отражения, на основе значений которых можно будет оценить, есть ли симметрия на изображении. Использование таких инвариантов позволит заранее определять наличие или отсутствие симметрии и проводить процедуру тщательного поиска оси только в случае наличия симметрии. Инварианты отражения имеют следующий вид:

= (^20 - Л02 ) («12 + 2^21 + Мэ0 ) + Л (Лс/ + ^ - ^ - Пы ) , (4) Ъ2 = (Л20 - Л02 ) (ЯА - Мх ) + 2Лп (Л)3 + ) - Л (^12 + Л )) .

На основе свойств данных инвариантов авторами исследования [1] было выдвинуто предложение: если ни один из инвариантов отражения не равен нулю, то на изображении нет симметрии.

Постановка проблемы определения симметричности. Алгоритмы, основанные на вычислении меры Жаккара, позволяют находить ось приближенной симметрии. Они некоторым образом перебирают прямые, проходящие через изображение, и всегда находят прямую, относительно которой мера симметричности максимальна. Однако эта прямая может не быть осью симметрии, поскольку изображение в принципе не является ни идеально, ни приближенно симметричным. Данными алгоритмами нельзя заранее оценить, симметрично изображение или нет, стоит ли перебирать на нем прямые и искать ось симметрии, или же изображение можно сразу пометить как асимметричное, не затрачивая вычислительных ресурсов на поиск оси.

Предполагается, что для быстрого определения наличия симметрии можно использовать инварианты отражения, выведенные в работе [1]. На основании значений данных инвариантов можно сделать заключение о симметричности или асимметричности изображения.

Предлагается комбинировать два подхода. С помощью инвариантов определять наличие симметрии на изображении, и, если изображение симметрично, запускать процедуру поиска оси симметрии алгоритмами на основе меры Жаккара.

Экспериментальным путем необходимо определить, какие значения меры Жаккара и какие значения инвариантов отражения соответствуют симметричным и несимметричным изображениям, и не будут ли противоречить друг другу эти значения.

Необходимо убедиться в том, что инварианты отражения, изначально выведенные для двумерных непрерывных функций, могут помочь в определении приближенной симметрии и на бинарных растровых изображениях.

При помощи меры Жаккара симметричность изображения можно определить следующим образом. Мера принимает значение от 0 до 1, где 0 - асимметричное изображение, а 1 - идеально симметричное. Соответственно, на данном интервале есть некоторое значение, которое будет являться пороговым, и оси, для которых мера Жаккара будет больше или равна этому порогу, будут являться осями симметрии. Данное пороговое значение может быть определено экспертным методом.

При помощи инвариантов отражения из работы [1] симметричность изображения определяется так: если изображение идеально симметрично, то хотя бы один из инвариантов должен быть равен нулю. Поскольку нашей задачей является определение приближенной симметрии, примем следующее условие: если ни одно из значений инвариантов отражения не близко к нулю, тогда изображение асимметрично. Следовательно, необходимо определить некоторую окрестность близких к нулю значений. Определим ее экспериментальным путем.

Постановка эксперимента с инвариантами отражения. Для экспериментальных исследований была выбрана база бинарных растровых изображений «Бабочки» (доступна по адресу http://lda.tsu.tula.ru/papers/ Butterflies.zip) и известная база бинарных растровых изображений MPEG 7 CE Shape-1 Part B [42].

В базе «Бабочки» содержится 30 изображений размером примерно 400 на 600 пикселей (см. рис. 2). Изображения для базы были отобраны из общедоступных интернет-ресурсов и бинаризованы.

Все изображения базы «Бабочки» с точки зрения эксперта являются симметричными, база MPEG-7 содержит как симметричные, так и асимметричные объекты.

Рис. 2. Изображения из базы «Бабочки»

Точным алгоритмом определения степени симметричности [2] получим оси симметрии и меры Жаккара для изображений из базы «Бабочки» (примеры на рис. 1) и из базы MPEG 7 CE Shape-1 Part B (примеры на рис. 3). Экспертным путем определим, что симметричными будут изображения с мерой Жаккара в интервале от 0,8 до 1. Изображения, для которых найдена ось с меньшей мерой, будем считать асимметричными.

Для всех, как симметричных, так и асимметричных, изображений вычислим значения инвариантов. Численно сравним полученные значения для симметричных и асимметричных объектов, а также проверим наличие связи между значениями меры Жаккара и значениями инвариантов отражения из работы [1].

Рис. 3. Примеры изображений из базы MPEG 7 CE Shape-1 Part B с осью, соответствующей максимальному значению меры Жаккара

Экспериментальные исследования инвариантов отражения. Был проведен эксперимент над симметричными изображениями из базы «Бабочки». Для каждого изображения были рассчитаны предложенные в [1] инварианты отражения (4) с использованием дискретной формулы вычисления центральных моментов (2) и формулы нормированных моментов (3), а также мера симметричности по подобию Жаккара (1).

В табл. 1 приведены значения меры Жаккара, полученные значения двух инвариантов, их абсолютные значения, сумма и минимальное из абсолютных значений двух инвариантов. Строки таблицы упорядочены по убыванию меры Жаккара.

Таблица 1

Результаты расчета инвариантов для симметричных изображений

Изображения из базы «Бабочки»

№ изобр. в базе Мера Жак-кара Инварианты

15 0,99488 1,86E-18 1,33E-20 1,86E-18 1,33E-20 1,87E-18 1,33E-20

14 0,99472 -6,57E-18 -5,97E-17 6,57E-18 5,97E-17 6,63E-17 6,57E-18

1 0,99261 -5,98E-18 1,52E-17 5,98E-18 1,52E-17 2,12E-17 5,98E-18

Окончание таблицы 1

Изображения из базы «Бабочки»

№ изобр. в базе Мера Жак-кара Инварианты

16 0,99071 -2,58Е-18 -4,48Е-18 2,58Е-18 4,48Е-18 7,06Е-18 2,58Е-18

21 0,98524 1,95Е-17 2,61Е-18 1,95Е-17 2,61Е-18 2,21Е-17 2,61Е-18

19 0,98370 1,85Е-19 -6,02Е-19 1,85Е-19 6,02Е-19 7,87Е-19 1,85Е-19

20 0,98353 4,32Е-18 -2,20Е-18 4,32Е-18 2,20Е-18 6,52Е-18 2,20Е-18

28 0,98313 -1,51Е-17 -8,01Е-17 1,51Е-17 8,01Е-17 9,51Е-17 1,51Е-17

12 0,98205 2,79Е-17 -1,29Е-16 2,79Е-17 1,29Е-16 1,57Е-16 2,79Е-17

23 0,97966 1,96Е-17 -9,20Е-17 1,96Е-17 9,20Е-17 1,12Е-16 1,96Е-17

25 0,97885 -1,59Е-18 -2,56Е-17 1,59Е-18 2,56Е-17 2,72Е-17 1,59Е-18

13 0,97843 -4,09Е-18 9,55Е-18 4,09Е-18 9,55Е-18 1,36Е-17 4,09Е-18

7 0,97720 1,54Е-17 -3,94Е-17 1,54Е-17 3,94Е-17 5,47Е-17 1,54Е-17

11 0,97482 3,00Е-18 -3,55Е-18 3,00Е-18 3,55Е-18 6,55Е-18 3,00Е-18

8 0,97422 -8,31Е-19 9,84Е-18 8,31Е-19 9,84Е-18 1,07Е-17 8,31Е-19

9 0,97392 5,80Е-17 -3,76Е-17 5,80Е-17 3,76Е-17 9,56Е-17 3,76Е-17

29 0,97376 1,27Е-17 -2,56Е-16 1,27Е-17 2,56Е-16 2,69Е-16 1,27Е-17

22 0,97278 4,68Е-17 -3,76Е-17 4,68Е-17 3,76Е-17 8,44Е-17 3,76Е-17

24 0,96995 -6,30Е-17 6,67Е-17 6,30Е-17 6,67Е-17 1,30Е-16 6,30Е-17

2 0,96693 4,11Е-19 -2,40Е-18 4,11Е-19 2,40Е-18 2,81Е-18 4,11Е-19

10 0,96366 5,83Е-17 -7,35Е-17 5,83Е-17 7,35Е-17 1,32Е-16 5,83Е-17

18 0,96275 9,63Е-18 -4,27Е-17 9,63Е-18 4,27Е-17 5,23Е-17 9,63Е-18

26 0,96240 1,76Е-16 -1,89Е-16 1,76Е-16 1,89Е-16 3,65Е-16 1,76Е-16

4 0,96145 -1,64Е-16 8,63Е-17 1,64Е-16 8,63Е-17 2,51Е-16 8,63Е-17

3 0,95936 -1,54Е-16 -1,28Е-16 1,54Е-16 1,28Е-16 2,82Е-16 1,28Е-16

27 0,95736 1,91Е-17 2,14Е-17 1,91Е-17 2,14Е-17 4,06Е-17 1,91Е-17

30 0,94767 5,16Е-17 -8,74Е-17 5,16Е-17 8,74Е-17 1,39Е-16 5,16Е-17

5 0,93813 2,36Е-16 -4,76Е-17 2,36Е-16 4,76Е-17 2,84Е-16 4,76Е-17

17 0,93112 1,51Е-17 -6,98Е-17 1,51Е-17 6,98Е-17 8,49Е-17 1,51Е-17

6 0,91954 -3,52Е-16 -3,76Е-16 3,52Е-16 3,76Е-16 7,28Е-16 3,52Е-16

По мере Жаккара все изображения из базы Бабочки являются симметричными, так как значения меры находятся в интервале [0,8; 1]. Значения рассчитанных инвариантов близки к нулю, что также характеризует симметричные изображения согласно работе [1]. Предполагается, что при уменьшении симметричности изображений, которая характеризуется уменьшением меры Жаккара, абсолютные значения инвариантов

должны увеличиваться. Для первого и последнего столбца таблицы это предположение, за некоторым исключением, верно, но для двух оставшихся столбцов ожидаемой закономерности не прослеживается.

База MPEG 7 CE Shape-1 Part B была полностью обработана алгоритмом поиска оси симметрии на основе полного перебора [2]. Минимальное значение меры Жак-кара, полученное в результате экспериментов, составляет 0,245974, максимальное - 1. На 62 изображениях значение меры Жаккара получилось меньше 0,5. Для 481 изображений мера находится в интервале [0,5; 0,8]. На 851 изображении полученная мера была в интервале [0,8; 1], что позволяет считать их симметричными. Среди них было найдено 23 идеально симметричных изображения, и только на трех изображениях инварианты равнялись нулю.

В табл. 2 представлены результаты для асимметричных изображений (мера Жаккара меньше 0,8) из базы MPEG 7 CE Shape-1 Part B. Приведены значения меры Жаккара, полученные значения двух инвариантов, абсолютные значения инвариантов, их сумма и минимальное из абсолютных значений двух инвариантов. Строки таблицы упорядочены по убыванию меры Жаккара.

Таблица 2

Результаты расчета инвариантов для асимметричных изображений

Изображения из базы MPEG 7 CE Shape-1 Part B

Изображение Мера Жаккара Инварианты

chopper-04 0,7998 7,56E-16 -5,31E-16 7,56E-16 5,31E-16 1,29E-15

Bone-7 0,7994 -1,15E-12 -1,20E-13 1,15E-12 1,20E-13 1,27E-12

car-05 0,7971 -1,70E-15 -1,08E-17 1,70E-15 1,08E-17 1,71E-15

classic-10 0,7967 4,80E-16 1,09E-16 4,80E-16 1,09E-16 5,89E-16

car-18 0,7942 -1,29E-15 -1,14E-16 1,29E-15 1, 14E-16 1,40E-15

chopper-01 0,7859 8,54E-15 -3,37E-15 8,54E-15 3,37E-15 1, 19E-14

brick-01 0,7853 -1,21E-16 -2,04E-17 1,21E-16 2,04E-17 1,41E-16

car-19 0,7800 -2,27E-15 -1,50E-16 2,27E-15 1,50E-16 2,42E-15

Comma-10 0,7785 1,05E-16 8,77E-17 1,05E-16 8,77E-17 1,93E-16

car-20 0,7784 -2,46E-15 -9,88E-17 2,46E-15 9,88E-17 2,56E-15

brick-04 0,7637 8,98E-16 1,44E-16 8,98E-16 1,44E-16 1,04E-15

chicken-7 0,7636 -1,04E-15 9,57E-16 1,04E-15 9,57E-16 2,00E-15

brick-03 0,7636 -3,95E-18 -2,29E-19 3,95E-18 2,29E-19 4,18E-18

bird-17 0,7603 -2,84E-14 -3,77E-15 2,84E-14 3,77E-15 3,21E-14

brick-16 0,7500 8,25E-17 3,97E-18 8,25E-17 3,97E-18 8,64E-17

bird-11 0,7475 4,45E-15 1,14E-14 4,45E-15 1, 14E-14 1,58E-14

brick-07 0,7462 2,59E-18 -1,22E-17 2,59E-18 1,22E-17 1,47E-17

key-11 0,7461 -1,13E-14 4,18E-15 1,13E-14 4,18E-15 1,55E-14

fork-20 0,7452 -6,64E-13 1,72E-13 6,64E-13 1,72E-13 8,36E-13

device6-14 0,7402 4,04E-18 2,24E-17 4,04E-18 2,24E-17 2,65E-17

Bone-8 0,7376 1,88E-12 1,51E-13 1,88E-12 1,51E-13 2,03E-12

bird-13 0,7265 6,95E-15 -9,11E-15 6,95E-15 9,11E-15 1,61E-14

Окончание таблицы 2

Изображения из базы ЫРЕО 7 СЕ БЬаре-1 РаП В

Изображение Мера Жаккара Инварианты

Ьпск-06 0,7217 2,84Е-18 -1,82Е-17 2,84Е-18 1,82Е-17 2,11Е-17

£1у-10 0,7082 2,86Е-16 -2,89Е-16 2,86Е-16 2,89Е-16 5,75Е-16

sea_snake-10 0,7066 -1,36Е-13 1,31Е-13 1,36Е-13 1,31Е-13 2,68Е-13

саШе-11 0,7064 9,47Е-16 -1,02Е-15 9,47Е-16 1,02Е-15 1,96Е-15

Ыгё-2 0,7034 -7,14Е-15 4,25Е-15 7,14Е-15 4,25Е-15 1,14Е-14

сЫскеп-8 0,6923 1,30Е-16 3,95Е-15 1,30Е-16 3,95Е-15 4,08Е-15

саше1-20 0,6622 3,88Е-16 -1,62Е-16 3,88Е-16 1,62Е-16 5,49Е-16

sea_snake-5 0,6569 3,81Е-15 3,85Е-14 3,81Е-15 3,85Е-14 4,24Е-14

саше1-1 0,6549 -3,89Е-16 4,54Е-16 3,89Е-16 4,54Е-16 8,43Е-16

bat-10 0,6358 1,60Е-12 -3,77Е-14 1,60Е-12 3,77Е-14 1,64Е-12

саше1-10 0,6293 -3,90Е-16 3,89Е-16 3,90Е-16 3,89Е-16 7,79Е-16

fork-14 0,6281 2,47Е-13 3,94Е-13 2,47Е-13 3,94Е-13 6,41Е-13

sea_snake-6 0,6275 -2,16Е-15 -1,46Е-14 2,16Е-15 1,46Е-14 1,68Е-14

саше1-11 0,6114 -3,69Е-16 4,99Е-16 3,69Е-16 4,99Е-16 8,68Е-16

catt1e-9 0,6114 1,01Е-15 -2,46Е-15 1,01Е-15 2,46Е-15 3,46Е-15

саше1-6 0,6110 1,07Е-15 -5,99Е-16 1,07Е-15 5,99Е-16 1,67Е-15

сатаде-06 0,6092 -7,87Е-15 4,27Е-17 7,87Е-15 4,27Е-17 7,91Е-15

сай1е-8 0,6075 1,00Е-15 -2,46Е-15 1,00Е-15 2,46Е-15 3,46Е-15

сатаде-10 0,5864 2,21Е-14 6,74Е-15 2,21Е-14 6,74Е-15 2,89Е-14

йу-13 0,5837 -3,74Е-16 8,16Е-16 3,74Е-16 8,16Е-16 1, 19Е-15

catt1e-14 0,5827 -2,70Е-15 2,89Е-15 2,70Е-15 2,89Е-15 5,59Е-15

0,5793 -8,10Е-15 -1,66Е-16 8,10Е-15 1,66Е-16 8,27Е-15

сай1е-7 0,5778 1,11Е-15 -1,16Е-15 1,11Е-15 1, 16Е-15 2,27Е-15

сатаде-05 0,5692 1,08Е-15 2,68Е-15 1,08Е-15 2,68Е-15 3,76Е-15

сатаде-09 0,5460 7,30Е-15 3,72Е-15 7,30Е-15 3,72Е-15 1, 10Е-14

spoon-20 0,5423 2,96Е-12 6,29Е-14 2,96Е-12 6,29Е-14 3,03Е-12

spoon-3 0,5423 2,96Е-12 6,29Е-14 2,96Е-12 6,29Е-14 3,03Е-12

саше1-17 0,5407 4,19Е-15 -4,57Е-15 4,19Е-15 4,57Е-15 8,76Е-15

саше1-2 0,5350 -1,04Е-15 1,86Е-15 1,04Е-15 1,86Е-15 2,90Е-15

fork-10 0,4822 6,28Е-13 7,34Е-13 6,28Е-13 7,34Е-13 1,36Е-12

sea_snake-3 0,4773 2,77Е-15 -9,92Е-14 2,77Е-15 9,92Е-14 1,02Е-13

Bone-19 0,4640 -3,07Е-12 -3,56Е-13 3,07Е-12 3,56Е-13 3,43Е-12

sea_snake-14 0,4607 -1,40Е-13 -1,27Е-13 1,40Е-13 1,27Е-13 2,67Е-13

sea_snake-16 0,4414 -1,35Е-14 -3,20Е-13 1,35Е-14 3,20Е-13 3,34Е-13

Bone-17 0,4397 -8,72Е-13 -6,62Е-14 8,72Е-13 6,62Е-14 9,38Е-13

sea_snake-15 0,4375 7,52Е-14 3,14Е-13 7,52Е-14 3,14Е-13 3,89Е-13

Проанализировав табл. 1 и 2, можно заключить, что, хотя значения инвариантов отражения для асимметричных изображений по абсолютному значению, как правило, больше, чем абсолютные значения инвариантов симметричных изображений, однако они тоже очень близки к нулю. Поэтому невозможно четко определить границу окрестности близких к нулю значений, которые позволили бы судить о симметричности изображения. Кроме того, в табл. 2 не прослеживается явной тенденции к увеличению абсолютных значений инвариантов в зависимости от увеличения степени несимметричности изображений.

Заключение.

Первое замечание. Авторы работы [1] исследовали предложенные инварианты отражения при помощи синтетических (искусственных) изображений, которые имеют ось идеальной симметрии, и получали в качестве значений инвариантов для них чистый ноль. В практическом применении идеальная симметрия встречается довольно редко, если вообще существует. Часто при решении реальных задач приходится оценивать наличие приближенной симметрии, для которой значения инвариантов получаются не столь точными.

Второе замечание. Приведенные инварианты отражения (4) определены в непрерывной области. В дискретной области не определены операции масштабирования и вращения. Дискретное изображение, преобразованное при помощи данных операций, как правило, является приближением, и преобразование необратимо. Поэтому данные инварианты лишь приблизительно инвариантны при описании формы дискретного изображения.

Таким образом, инварианты отражения, предложенные в [1], не применимы для определения наличия приближенной симметрии на дискретных изображениях и не могут быть использованы в качестве предварительной оценки симметричности изображения в алгоритмах поиска оси приближенной симметрии.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты 16-57-52042, 18-07-00942, с использованием оборудования Центра коллективного пользования сверхвысокопроизводительными вычислительными ресурсами МГУ имени М.В. Ломоносова.

Список литературы

1. Li E., Li H. Reflection Invariant and Symmetry Detection // arXiv preprint arXiv:1705.10768. 2017.

2. Kushnir O. et al. Reflection symmetry of shapes based on skeleton primitive chains // International Conference on Analysis of Images, Social Networks and Texts. Springer, Cham, 2016. С. 293-304.

3. Kushnir O., Seredin O. Parametric Description of Skeleton Radial Function by Legendre Polynomials for Binary Images Comparison // International Conference on Image and Signal Processing. - Springer International Publishing, 2014. С. 520-530.

4. Kushnir O., Seredin O. Shape Matching Based on Skeletonization and Alignment of Primitive Chains // International Conference on Analysis of Images, Social Networks and Texts. Springer International Publishing, 2015. С. 123-136.

5. Федотова С.А., Середин О.С., Кушнир О.А. Алгоритмы уточнения оси зеркальной симметрии, найденной методом сравнения подцепочек скелетных примитивов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2016. Вып. 11. Ч. 1. С. 99-111.

6. Fedotova S., Seredin O., Kushnir O. The Parallel Implementation of Algorithms for Finding the Reflection Symmetry of the Binary Images // The International Archives of Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences, 2017. Т. 42. 179 с.

7. Hu M. K. Visual pattern recognition by moment invariants // IRE transactions on information theory, 1962. T. 8. №. 2. C. 179-187.

8. Li Y. Reforming the theory of invariant moments for pattern recognition // Pattern recognition, 1992. T. 25. №. 7. C. 723-730.

9. Wong W.H., Siu W.C., Lam K.M. Generation of moment invariants and their uses for character recognition // Pattern Recognition Letters, 1995. T. 16. №. 2. C. 115-123.

10. Flusser J., Suk T. Pattern recognition by affine moment invariants // Pattern recognition, 1993. T. 26. №. 1. C. 167-174.

11. Tsirikolias K., Mertzios B.G. Statistical pattern recognition using efficient two-dimensional moments with applications to character recognition // Pattern Recognition, 1993. T. 26. №. 6. C. 877-882.

12. Hupkens T.M., De Clippeleir J. Noise and intensity invariant moments // Pattern Recognition Letters, 1995. T. 16. №. 4. C. 371-376.

13. Li E. et al. Shape DNA: Basic generating functions for geometric moment invariants //arXiv preprint arXiv:1703.02242. 2017.

14. Xu D., Li H. Geometric moment invariants // Pattern recognition, 2008. T. 41. №. 1. C. 240-249.

15. Flusser J. On the independence of rotation moment invariants // Pattern recognition, 2000. T. 33. №. 9. C. 1405-1410.

16. Gonzalez R.C. et al. Digital image processing using MATLAB. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson-Prentice-Hall, 2004. T. 624.

17. Flusser J., Suk T., Zitova B. 2D and 3D Image Analysis by Moments. John Wiley and Sons Ltd, 2017.

18. Teague M.R. Image analysis via the general theory of moments // JOSA, 1980. T. 70. №. 8. C. 920-930.

19. Belkasim S.O., Shridhar M., Ahmadi M. Pattern recognition with moment invariants: a comparative study and new results // Pattern recognition, 1991. T. 24. №. 12. C. 1117-1138.

20. Flusser J., Suk T. A moment-based approach to registration of images with affine geometric distortion // IEEE transactions on Geoscience and remote sensing, 1994. T. 32. №. 2. C. 382-387.

21. Flusser J., Suk T. Affine moment invariants: a new tool for character recognition // Pattern recognition letters, 1994. T. 15. №. 4. C. 433-436.

22. Bailey R.R., Srinath M. Orthogonal moment features for use with parametric and non-parametric classifiers // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1996. T. 18. №. 4. C. 389-399.

23. El-Khaly F., Sid-Ahmed M.A. Machine recognition of optically captured machine printed Arabic text // Pattern recognition, 1990. T. 23. №. 11. C. 1207-1214.

24. Zhang Y. et al. Pathological brain detection based on wavelet entropy and Hu moment invariants // Bio-medical materials and engineering, 2015. T. 26. №. s1. P. S1283-S1290.

25. Dudani S.A., Breeding K.J., McGhee R.B. Aircraft identification by moment invariants // IEEE transactions on computers, 1977. T. 100. №. 1. C. 39-46.

26. Khotanzad A., Hong Y.H. Invariant image recognition by Zernike moments //IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence, 1990. T. 12. №. 5. P. 489497.

27. Wang L., Healey G. Using Zernike moments for the illumination and geometry invariant classification of multispectral texture // IEEE Transactions on Image Processing. 1998. T. 7. №. 2. C. 196-203.

28. Flusser J., Suk T., Saic S. Recognition of blurred images by the method of moments //IEEE Transactions on Image Processing, 1996. T. 5. №. 3. C. 533-538.

29. Flusser J., Suk T. Degraded image analysis: an invariant approach // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1998. Т. 20. №. 6. P. 590-603.

30. Pawlak M. On the reconstruction aspects of moment descriptors // IEEE Transactions on Information Theory, 1992. Т. 38. №. 6. С. 1698-1708.

31. Kazhdan M. et al. A reflective symmetry descriptor for 3D models // Algorith-mica, 2004. Т. 38. №. 1. С. 201-225.

32. Podolak J. et al. A planar-reflective symmetry transform for 3D shapes // ACM Transactions on Graphics (TOG), 2006. Т. 25. №. 3. С. 549-559.

33. Rustamov R.M. Laplace-Beltrami eigenfunctions for deformation invariant shape representation // Proceedings of the fifth Eurographics symposium on Geometry processing. // Eurographics Association, 2007. P. 225-233.

34. Flusser J., Suk T. Rotation moment invariants for recognition of symmetric objects // IEEE Transactions on Image Processing, 2006. Т. 15. №. 12. P. 3784-3790.

35. Martinet A. et al. Accurate detection of symmetries in 3d shapes // ACM Transactions on Graphics (TOG), 2006. Т. 25. №. 2. P. 439-464.

36. Shen D. et al. Symmetry detection by generalized complex (GC) moments: a close-form solution // IEEE Transactions on Pattern Analysis & Machine Intelligence, 1999. №. 5. С. 466-476.

37. Hel-Or Y., Peleg S., Avnir D. Characterization of right-handed and left-handed shapes // CVGIP: Image Understanding, 1991. Т. 53. №. 3. P. 297-302.

38. Loy G., Eklundh J.O. Detecting symmetry and symmetric constellations of features // European Conference on Computer Vision. // Springer, Berlin, Heidelberg, 2006. P. 508-521.

39. Mitra N.J., Guibas L.J., Pauly M. Partial and approximate symmetry detection for 3D geometry // ACM Transactions on Graphics (TOG), 2006. Т. 25. №. 3. P. 560-568.

40. Xu K. et al. Partial intrinsic reflectional symmetry of 3D shapes // ACM Transactions on Graphics (TOG). ACM, 2009. Т. 28. №. 5. 138 p.

41. Sun C., Sherrah J. 3D symmetry detection using the extended Gaussian image // IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence, 1997. Т. 19. №. 2. С. 164-168.

42. Shape data for the MPEG-7 core experiment CE-Shape-1. [Электронный ресурс] URL: http://www.cis.temple.edu/~latecki/TestData/mpeg7shapeB.tar.gz (дата обращения: 10.09.2018).

Федотова Софья Антоновна, студент, fedotova.sonya@gmail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Середин Олег Сергеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, oseredin@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Кушнир Олеся Александровна, ассистент, kushnir-olesya@rambler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ON PRACTICAL SOLUTION TO THE PROBLEM OF REFLECTION SYMMETRY DETECTION USING REFLECTION INVARIANTS

S.A. Fedotova, O.S. Seredin, O.A. Kushnir

The task of reflection symmetry axis searching applied to binarized real-world images is very time-consuming. In [1], it is proposed to use reflection invariants for symmetry detection. This would allow us to determine asymmetric objects in images before starting the

136

procedure of symmetry axis searching. In this work, the possibility of applying reflection invariants to the task of symmetry detection on binarized real-world images is experimentally tested. To do this, we compare values of reflection invariants to the objective symmetry measure calculated on the basis of Jaccard similarity. Experimental study was performed on Butterfly and MPEG 7 CE Shape-1 Part B datasets. Results show that it is impossible to use reflection invariants for fast detection of approximate symmetry on binary raster images.

Key words: reflection symmetry, binary image, image moments, reflection invariants.

Fedotova Sofia Antonovna, student, _ fedotova. sonya@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University,

Seredin Oleg Sergeevich, candidate of mathematical science, docent, oseredin@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Kushnir Olesia Aleksandrovna, assistant, kushnir-olesya@,rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 004.67

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЕРЕВЬЕВ РЕШЕНИЙ ПРИ ВИЗУАЛИЗАЦИИ

МНОГОМЕРНЫХ ДАННЫХ

С. С. Яковлев, О. С. Середин

Существующие алгоритмы снижения размерности данных с целью их визуализации не всегда они могут предоставить достаточную разделимость объектов исходных данных в задачах классификации. Предлагается использовать алгоритм построения деревьев решений See5 как эффективного способа визуализации многомерных данных. Использование подхода на основе решающих деревьев в рамках задачи визуализации многомерных данных позволит осуществить более качественное разделение объектов разных классов исходных данных относительно рассмотренных в статье существующих методов визуализации многомерных данных.

Ключевые слова: визуализация многомерных данных, деревья решений, See5/C5.

Визуализация - это представление различной информации с помощью изображений, графиков, схем, таблиц - всего того, что значительно упрощает восприятие. 90% информации человек воспринимает зрительно. Данные довольно легко визуализировать до тех пор, пока количество рассматриваемых признаков не превышает трех. Действительно не представляет трудности построить график функции или диаграмму распределения объектов на плоскости (в пространстве двух признаков). В случае необходимости можно рассматривать объекты в трехмерном пространстве.

Однако задач, где для описания объектов используется такое малое число признаков, немного. Гораздо чаще возникает ситуация, когда для описания объекта используются несколько десятков или даже сотен признаков. Большое количество признаков объясняется желанием построить как можно более полную и достоверную модель исследуемой системы. Однако качественно, т.е. наиболее наглядно, визуализировать такую модель нелегко. Таким образом возникает противоречие: для того, чтобы построить визуализацию, число признаков, различающих объекты не должно