Эллиптический закон для случайных матриц

УДК 519.21

А. А. Наумов1

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЗАКОН ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ

В статье рассмотрен ансамбль случайных матриц с зависимыми элементами. В предположении конечности четвертого момента элементов матрицы установлено, что эмпирическая спектральная функция распределения собственных значений случайной матрицы слабо сходится по вероятности к равномерному распределению на эллипсе. Оси эллипса определяются коэффициентом корреляции между элементами матрицы, симметричными относительно главной диагонали. Вид предельной функции распределения не зависит от распределения элементов матрицы, и результат в этом смысле является универсальным.

Ключевые слова: случайные матрицы, наименьшее сингулярное число, функции концентрации, эллиптический закон.

1. Введение. Хорошо известно, что при статистическом анализе данных высокой размерности многие статистические результаты, основанные на классических предельных теоремах, могут быть не применимы или оказываются бесполезными. Поэтому возникла необходимость поиска методов работы с данными высокой размерности. Теория случайных матриц представляет собой один из возможных методов решения этой проблемы и в последние годы привлекла внимание большого числа специалистов в области статистики. По тем же причинам случайные матрицы нашли множество применений в физике, численном анализе, обработке сигналов и изображений, беспроводной передаче данных и анализе финансовых рынков. Например, в области беспроводной передачи данных случайные матрицы могут быть применены для описания технологии MIMO (multiple-input multiple-output). В финансовом анализе теория случайных матриц используется при построении оптимального портфеля. В настоящей работе автором исследуется предельное распределение спектра ансамбля случайных матриц с зависимыми элементами. Результаты работы могут быть полезны для понимания эволюции динамической системы, в которой связи между элементами заданы с помощью асимметричной случайной матрицы. Поведение собственных значений такой матрицы может играть важную роль в эволюции системы.

2. Основной результат. В статье мы рассмотрим ансамбль действительных случайных матриц Хп(ш) = {Xi:j{oj)}^j=l и предположим, что выполнены следующие условия (СО): а) пары

1 Факультет ВМК, асп., e-mail: naumovneQgmail.com

— независимые одинаково распределенные (н.о.р.) случайные векторы; б) ЕХх2 = = ЕХ21 = О, ЕХ22 = ЕХ32! = 1, Е(Х12Х21) ,, < I и тах(ЕХ^ЕХ11) < Л/,: в) Хи — н.о.р. случайные величины, не зависящие от {Х^}^, и Е1ц = О, ЕХ^ < оо.

Обозначим через А1,..., Ап собственные значения матрицы п п и определим эмпирическую спектральную меру рп{В) = п_1#{г : Аг € В}, В € В(Ж2). Всюду далее под сходимостью мер мы будем подразумевать слабую сходимость.

Теорема 1 (эллиптический закон). Пусть Хп удовлетворяет условию (СО) и \р\ < 1. Тогда цп ц по вероятности, и р имеет плотность д следующего вида:

, ч (7Г_1(1 — р2)-1, ж,у € {и,у € ж : и2/(1 + р)2 + у2/(1 - р)2 < 1} , I и, иначе.

При р = 0 результат совпадает с круговым законом, см. [1-5]. Для \р\ < 1 результат был впервые получен при более сильных ограничениях на распределение элементов матрицы в работе [6].

Если Х\2 имеет стандартное нормальное распределение, то мы можем определить меру на пространстве матриц с помощью

F(dX) ~ ехр и утверждение теоремы 1 следует из [7].

1 Тг

2

( "' -Л1/2 ( 3 з\1,/3

Для вектора х = (х\,... ,хп) определим нормы ||ж||2 = ( X) xi ) и 11ж11з = ( X) \хг\ )  Обозначим единичную сферу через Sn~l = {х : ||ж||2 = 1}- Для произвольной матрицы А определим нормы ||А|| = sup ЦАжЦг и ||А||2 = (Тг(А* А))1/2. Всюду далее, если не указано иное, si ^ ... ^ sn — ж:||ж||2 = 1

сингулярные числа матрицы n~1//2X — zl, z € С, и ип = un(z,B) = : Si € В} — эмпириче-

ская спектральная мера сингулярных чисел матрицы п~1//2Х — zl. Под [п] будем понимать множество {1,... ,п}. Обозначим supp(a;) множество ненулевых координат х.

3. Доказательство основного результата. В дальнейшем нам понадобятся определения логарифмического потенциала и равномерной интегрируемости функции.

Определение 1. Логарифмическим потенциалом IIто меры т(-) называется функция

Um(z) = — J \n\z — w\m(dw), z € С.

Определение 2. Функция / : Ж ^ Ж называется равномерно интегрируемой по вероятности относительно семейства случайных мер {тп(-)}п^ 1 на (Ж, <8(Ж)), если для всех е > О

lim lim Р( / \f(x)\mn(dx)>£) = 0.

t—>00 п—>оо у J I

Следующая цепочка равенств

ос

.1 п Х^п ) ]

с о

позволяет нам перейти от п_1//2Х к эрмитовой матрице (п_1//2Хп — ¿1 )*(п_1//2Хп — ¿1). Для доказательства теоремы 1 нам потребуется

Лемма 1. Предположим, что для почти всех г € С существует неслучайная вероятностная мера на [0, оо), такая, что:

а) "п при п —ь оо по вероятности;

б) логарифм равномерно интегрируем по вероятности относительно семейства Тогда существует вероятностная мера р, такая, что:

а) Мп № пРи к оо по вероятности;

ос

б) для почти всех г € С = — / 1пжг/г(с£ж).

о

Доказательство приведено в [2, лемма 4.3].

Доказательство теоремы 1. Достаточно проверить справедливость условий а и б леммы 1. Условие б следует из теоремы 4. Условие а вытекает из теоремы 3. Ключевым фактом для нас является то, что мера не зависит от распределения Х^, следовательно, мы можем применить результат в гауссовском случае и сделать вывод, что определяет эллиптический закон.

4. Наименьшее сингулярное число. Для доказательства равномерной интегрируемости !»(•) по вероятности относительно {ь>п}п^1 нам понадобится оценка вероятности события {«„(А) ^ еп~1!2, ||А|| ^ К^/п), где А = X — Обозначим £ц = {||Х — г1|| ^ К^/п,}.

Теорема 2. Пусть А = X — ¿1, гдеХ. — случайная матрица, удовлетворяющая условию (СО), и К > 1. Тогда для всех е > О

Р(в„(А) < £п~1!2,£к) < С(р)е1/8 + С"(р)п~1/8,

где С(р), С'(р) — некоторые константы, зависящие только от р, К и М4.

Напомним, что функцией концентрации Леви случайной величины Z называется функция вида е) = БирР(|2' — г>| ^ е). Следующее утверждение дает оценку функции концентрации Леви

1>ек

для сумм независимых случайных величин.

Утверждение 1. Пусть {а,^ + Ь^щ}^ — независимые случайные величины, = Ет^ = О, Е£2 = Ет?2 = 1, Е= р, тах(Е£|,Ет^) С М4 и тах |аг_1Ьг| = 0(п1//12). Потребуем дополнительно

Щ.Щ.П

с\п~112 ^ |«г| ^ С2П~1!2, где с\, сг — некоторые константы. Тогда

Се С\

Н=1 , (1-р2)1/2 (1_р2)3/2п1/4-

Доказательство. Легко проверить, что

п п п

г=1 г=1 г=1 г=1

где С" — некоторая константа, зависящая от М4. По центральной предельной теореме для произвольного «е!

+ -v

i= 1

\

i= 1

где g' — нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и дисперсией а2, В — некоторая константа. Плотность д' равномерно ограничена числом 1/л/2 па2. Отсюда и из произвольности v следует утверждение.

Замечание. Пусть X, — независимые случайные величины и S/ V '/¡. где I С [п]. Нетрудно

i£l

показать, что £(Si,e) ^ £(Sj,e) для любого множества J С I.

Далее мы будем следовать идеям работы [8], в которой получены оценки наименьшего сингулярного числа симметричной случайной матрицы, и адаптируем доказательство для нашего случая.

Для доказательства теоремы 2 мы разложим Sn~1 на множество сжимаемых и несжимаемых векторов и покажем обратимость матрицы на каждом множестве отдельно.

Определение 3. Пусть S, т € (0,1). Вектор i6lB называется разреженным, если |вирр(ж)| ^ ^ 8п. Множество всех разреженных векторов обозначим Sparse(5). Вектор х € называется сжи-

маемым, если dist(a;, Sparse(5)) ^ т. Иначе вектор х € называется несжимаемым. Множество

сжимаемых и несжимаемых векторов обозначим через Comp = Comp(5, г) и Incomp = Incomp(5, г) соответственно.

По свойству сингулярных чисел sn(A) = min ||Аж||2. Следующая лемма дает оценку

xes«-1

inf ЦАжЦг-

х£Сотр

Лемма 2. Пусть А удовлетворяет условиям (СО). Существуют константы 8,т,с € (0,1), зависящие только от К и М4, такие, что для всех и € К™ выполнено

т£ || Аж — иЦг/ЦжЦг ^ суп, £к ) ^ 2е сп.

Доказательство приведено в [8, утверждение 4.2].

Для оценки т£ ЦАжЦг воспользуемся следующим утверждением.

х£1псотр

Лемма 3. Рассмотрим произвольную матрицу А. Обозначим А\,... ,Ап столбцы матрицы А, и пусть ///, обозначает линейную облочку Аг фк. Тогда для любых 6,т € (0,1) и любого е > О

р

\хе1псотр(<5,т) / ОП

к= 1

Доказательство. Смотри [9, лемма 3.5]. Запишем матрицу А = X — г! в блочной форме

ап

и В ) ' К }

где II, V и В принимают значения в Жп_1 и соответственно. Обозначим через к единич-

ный вектор, ортогональный А2,... ,Ап. Из условия ортогональности следует, что 0 = к\У + Вт д, где к = (/11, д), и д = —]ъ1~В~тУ. Из определения к следует, что

Таким образом,

Оценка правой части в (1) будет следовать из следующей леммы.

Лемма 4. Пусть матрица А удовлетворяет условиям (СО). Тогда для всех е > О

зирР (Щ^Ш^Л < ОД

е1/8 + С'(р)п~1^,

где В, II, V определены в (2), С(р),С'(р) — константы, зависящие от р, К и М4. Для доказательства леммы 4 нам потребуется несколько утверждений. Обозначим

гу «-т.

в-1 о„_1;' " " куч' " \V1'

где Оп_1 — нулевая матрица, II', V' — независимые копии II, V соответственно. Скалярное произведение в формулировке леммы 4 может быть переписано в терминах (В~ТУ,11) = (ЦШ, Ш)/2. Обозначим оператор проектирования через Р/. Следующее утверждение позволяет переходить от квадратичной формы к сумме случайных величин. Утверждение 2.

вир Риг (КС^ИО - 2е) < (КСРМИ' - - и\ < 2е),

1>£К

где и не зависит от Р./ И' = (Р/?7, Р/^)т.

Доказательство. Зафиксируем произвольное V и введем обозначение

р = ¥(\(ОШ,Ш) - < 2е).

Представим множество [п] в виде объединения [п] = Л)</с. Положим 11\ = 112 = Р/<=?7, = Р/^

и ¥2 = Р./.-1-'. В силу [10, лемма 4.7]

р2 ^ РСКаИ7;^) ~ < 2е,\(цг,г) - у\ ^2е) < Р (\(0\У, Ш) - (цг, г)\

I Е Б1

Перепишем В т в блочном виде

в "=\с Н,

Легко показать, что

(<ЗИ'. IV) - (ЦХ. г) = 2(Г( VI. - 1^). Г,) + 2(С;(Г, - Щ), V,) + 2(Н!/2, - 2{НУ:. У^).

Последние два члена зависят только от и-2, Щ, У2, У2, и мы можем заключить, что

где и = п{1 V . / . V'/. /•'. (7. //).

Утверждение 3. Для всех и € Жп_1 существует константа с, такая, что

€ Сотр(5, т),£к ) ^ 2е

Доказательство следует из леммы 2. Доказательство леммы 4.

Пусть ¿л.....— н.о.р. случайные величины с распределением Бернулли и Е^ = г(,/2. Положим 7 = {г : ^ = 0} и Е'о = {|7С| ^ соп}. Из неравенства больших уклонений следует, что Р(-Е'о) ^ 1 — 2ехр(^сд?г/2). Обозначим событие

Ег = {е1/2^1 + \\В~ту\\2 < \\В~% < ^ЦСРМИ' " ^ОИг},

где во будет выбрано позже. Используя утверждение 1, замечание и неравенство Чебышева, легко показать, что :; в.и .и '../(/-1 и £%) ^ 1 — С'(ео + п-1/2) — 2е~сп. Рассмотрим случайный вектор

_1_ /В"ТР/С(^ - Г)\ (а

[в-^ми-и')) ~ \ь

Из утверждения 3 вытекает, что событие Е2 = {а € 1псотр(5, г)} имеет вероятность

:;н(/-;, и«.^ IV. IV"../) ^ 1 - 2ехр(^с"п).

Объединяя вероятности, мы получим

:гв.и .и '. ;(/-.о. ЕиЕ2и£ск)>1- 2е~с*п>2 - С'(е0 + п~1/2) - 2е~с'п - 2е~с"п = 1 - р0.

Фиксируя ,1, удовлетворяющее \JC\ ^ соп, можно показать, что матрица В с вероятностью, превосходящей 1 — у/ро, обладает свойством: или или выполнено Е3 = {£к и Р^и^'С^ь Е2\В) ^ 1 — у/ро}. Обозначим множество матриц В, для которых выполнено Е3 через В.

Нас интересует событие По = {(1 + ||В —^VII—1/21(С^Т7^7", Ш) — ^ 2е}. Мы имеем

-в, и

[/(По П £к) < Рв,и/(П0 П Е3) + :;н.и («-сл П Ес3).

Так как второе слагаемое не превосходит у/ро, то предыдущее неравенство может быть переписано в виде Рв,и-'(^о П £к) ^ зирР^/(По|В) + у/ро- Отсюда следует неравенство

в

в

,И/

в

Обозначим р\ = ¥щц/> (По, Е\ |В) и пусть для матрицы В выполнено Е3. В силу утверждения 2 и первого неравенства в Е\

4-V-'

П1

Аналогично предыдущим выкладкам Р^/^/>(П1) ^ Р^/^/>(П1, /ц. /V.) + у/ро и

р\ < -Рщ^Ц^Р^) - «К 2е~3/2е,Е1) +

Случайный вектор то не зависит от вектора Р / И'. Фиксируя Р/с(Ш — Ш'), получим

р\ < зир РРЛг

и)о = (а,Ь) : а£1псотр(<5,т) и)£К

Снова фиксируем вектор шо и число ш. Перепишем скалярное произведение в виде (wo,PJW) = = ^2(агхг + ЬгУг); где ||а||| + \\Ц\2 = 1- Положим 8т2/4 ^ Со ^ 1/4. Из [8, лемма 3.8] следует,

г£ -I

что не менее 2с^п координат произвольного вектора а € 1псотр(5, г) удовлетворяют неравенствам т(2п)~1!2 < \ак\ < (8п)-^2. Пус

ть зргеас1(а) С J — множество координат с таким свойством. Отсюда и из свойства 3 следует, что |зргеа<1(а) | = [соп]. В силу замечания мы можем перейти от 3 к зргеас1(а). Исследуем свойства Представим множества зргеас1(а) в виде объединения зргеас1(а) = 1\ и 12: 1\ = {г € зргеас1(а) : > п~5/12}; 12 = {г е зргеас1(а) : ^ п~5/12}. Из неравенства \\Ъ\\\ < 1 следует, что \1г\ = о(п). Для всех ! е ^ мы имеем тах |аг_1Ьг| = 0(п1//12). В силу утверждения 1 и замечания

р

г£зргеас1(а) ^

Положим е0 = е1/2. Из (3)-(5) заключаем, что

Рв,и/(О0 П^) < ОДе1/8 + С'{р)п~11\

где С(р), С'(р) — некоторые константы, которые зависят от р, К и М4. Доказательство теоремы 1 следует из лемм 2-4.

5. Равномерная интегрируемость. Докажем следующую теорему.

Теорема 3. Если выполнено условие (СО), то 1п(-) равномерно интегрируем по вероятности относительно семейства

Доказательству теоремы 4 мы предпошлем несколько лемм.

Лемма 5. Пусть выполнено (СО). Тогда существует константа К > 0, зависящая от р, такая, что Р(«1(Х) ^ Ку/п) = о(1).

Доказательство. Представим матрицу X в виде X = (X + Хт)/2 + (X — Хт)/2 = Х1 + Хг-В [11, теорема 2.3.23] доказано, что существуют К\ = К\{р) и К> К2(р) > 0, такие, что Р(«1(п"1''2Х1) > К\) = о(1) и Р(51(п"1/2Х2) > К2) = о(1). Положим К = 2тах(КъК2). Утверждение следует из неравенства треугольника.

Лемма 6. Если выполнено (СО), то существуют с>0ы0<7<1, такие, что для всех п >> 1 и п1-7 ^ г ^ п — 1 выполнено неравенство ^ сп~1г п.н.

Доказательство. Достаточно доказать утверждение для 2 (п — I)1"7 + — 1, где

7 € (0,1) будет выбрано позже. Зафиксируем 2(п — I)1"7 ^ ! ( в-1 и рассмотрим матрицу А', сформированную из первых т = п — [г/2] строк матрицы т/пА. Обозначим ^ ... ^ з'т сингулярные числа А'. Легко видеть, что ^ Обозначим через Щ ¿-строку матрицы А' и //, 8рап(Д,-, ] = \,... ,т, ] ф г) — линейная оболочка векторов Е^, 3 ф %. В силу [4, лемма А.4]

!_2 /_о _2 _2

+ ... + = <1'811 + • • • + с^^^/зч. Мы имеем

п — [г/2] п — [г/2]

^ 2'4" ^ ^ Я3 2 ^ £ 2'

3=п-г з=1

где = <ИзЬ(Щ, Ну). Для оценки сНя^ перепишем А' в блочной форме

в

где X, У принимают значения в Ж™-1 и Жп_1 соответственно, и В — матрица со значениями в !)х!); сформированная из строк В\,..., Вт_ 1. Обозначим Н[ = 8рап(1?1,..., Вт_ 1). Из определения расстояния следует, что <ИзЬ(К1, Н{) ^ dist(У, Н[) и (11т(Н[) ^ ^111(^1) ^ п — 1 — г/2 ^

^ п — 1 — (п — I)1 7. Вектор Y и гиперплоскость Н[ независимы. В [4, утверждение 5.1] доказано, что

P(dist(Y,#i) sC ^n-l-dim(H[)) < exp(^(n - 1)й).

Утверждение леммы следует из леммы Бореля-Кантелли и цепочки неравенств (6).

Доказательство леммы 3. Достаточно показать, что существуют р, q > 0, такие, что

оо сю

lim Шп Р

t—>00!l-»-OC \J 1 t—>00!l-»-OC \J 1

0 0

Положим p = 2. Тогда первое утверждение в (7) следует из равенства

00 1 п 1 п

2,, in — Y^ „2 _ 1 v^ y2

X vn

(0, dx) = ~Y,Si=^Yl X i= 1

усиленного закона больших чисел и Sj(n 1,/2Х — zï) ^ Обозначим события Qi =

= {ш : sn-i > cj-, п1-"1 < i < n - 1} и Q2 = Qi П {ш : sn Js n"-4"1/2}, где A > 0. Тогда

n '

oo

J x~qvn{dx) >?j x~qvn{dx) > t, + P^y x~9vn{dx) > t, O^ .

0 0 0

В силу теоремы 2, лемм 5 и 6

оо

^lin^P(У x~9vn{dx) > = 0.

о

Оценим первое слагаемое в (8). Из определения Q2 имеем

x~qvn{dx)I{Q2)

оо

~ 11 ^1 _„ 1

0

п п ^ 1

i=l i=n-\n1-^] +1

п 1

^ 2п(.4+1/2)в-7 + c-qi £ (у) 9 < + С"« J S~q ds.

i= 1 „

Если 0 < д < шт(1,7/(4 + 1/2)), то последний интеграл является сходящимся. В силу неравенства Маркова второе утверждение доказано.

6. Сходимость сингулярных чисел. Для доказательства сходимости н„ к предельной мере /'• достаточно доказать сходимость соответствующих преобразований Стилтьеса:

оо

/ \ С (dx) ^ | ^ .

Ьп(а,г) = / -, а € <Ь = \ а = и + IV, г> > и к

,] х — а о

Теорема 4. Пусть случайная матрица Хп удовлетворяет условию (СО). Тогда для почти всех г е С и всех а € С+ <5п(а, г) Б(а, г) по вероятности, и является преобразованием

Стилтьеса неслучайной вероятностной меры их. Доказательство. Введем матрицы

^={п~1/2ХТ ^ ), 0п

где через Оп обозначим матрицу с нулевыми элементами. Рассмотрим матрицу = V — Л(г). Хорошо известно, что собственные значения матрицы У(г) — сингулярные числа матрицы п взятые со знаками ±.

Положим R = R(a, z) = (V(z) — а1гп) Определим функции

^ 2п ^ п 2 п

Sni&i z) — 7i / ,ERjj, in(o!, z) — / ER,j_|_n j, un(a,z) — \ ERi ¿_|_n. 2n n n

i=1 i=l i=l

Нетрудно показать, что sn является преобразованием Стилтьеса меры Е fn-i/2x-zi(') — = (Еь>п{-) + Ег/П(—-))/2, которая представляет собой симметризацию Ег/П. Для доказательства теоремы 4 достаточно показать, что sn(a,z) сходится к преобразованию Стилтьеса некоторой меры vq(z,-). Опуская технические детали (см. препринт [12]), можно доказать, что функции sn, tn и ип удовлетворяют системе уравнений

1 + asn(a, z) + s2n{a, z) = (a, z) - |i„(a, z) - (^u2n(a, z) - |«„(a, z) + <5n(a, z),

atn(a,z) = -sn(a,z)tn(a,z) - psn(a, z)un(a, z) -zsn(a,z) + 8n(a,z), aun(a,z) = -sn(a,z)un(a,z) - psn(a, z)tn(a, z) - zsn(a,z) + 6n(a,z),

где 6n(a,z) —> 0 при n ^ oo. Выбирая достаточно большое г>о > 0, можно показать, что для всех а = и + iv с v > vq и \и\ < С

|sn(a, z) — sm(a, z)\ ^ £n,m{-, z) —> 0 при n, m^oo,

и сходимость является равномерной. Так как sn — локально ограниченные аналитические функции, отображающие С+ в С+, то можно заключить в силу теоремы Монтеля (см. [13, теорема 2.9], что существует аналитическая функция s0 : С+ —> С+, такая, что lim sn = So- Также существует мера vq(z,-), такая, что

Г v0

so{a) = / -•

J х — а

к

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bai Z., Silverstein J. W. Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices. N.Y.: Spinger, 2010.

2. http://arxiv.org/abs/1109.3343.

3. Gotze F., Tikhomirov A.N. The circular law for random matrices // Ann. Probab. 2010. 38. N 4. P. 1444-1491.

4. Tao Т., Vu V. Random matrices: universality of local eigenvalue statistics // Acta Math. 2011. 206. N 1. P. 127-204.

5. Гирко В. JI. Круговой закон // Теория вероятн. и ее примен. 1984. 29. № 4. С. 669-679.

6. Гирко В. J1. Эллиптический закон // Теория вероятн. и ее примен. 1985. 30. № 4. С. 640-651.

7. Sommers Н. J., Crisanti A., Sompolinsky Н., Stein Y. Spectrum of large random asymmetric matrices // Phys. Rev. Lett. 1988. 60. P. 1895-1898.

8. http://arxiv.org/abs/1102.0300.

9. RudelsonM., VershyninR. The Littlewood-Offord problem and invertibility of random matrices // Adv. Math. 2008. 218. N 2. P. 600-633.

10. Costello K.P., Tao Т., Vu V. Random symmetric matrices are almost surely nonsingular // Duke Math. J. 2006. 145. N 2. P. 395-413.

11. Tao T. Topics in Random Matrix Theory. American Mathematical Society, 2012.

12. http://arxiv.org/abs/1201.1639.

13. Conway J. B. Functions of One Complex Variable. N.Y.: Spinger, 1978.

Поступила в редакцию 11.04.12

ELLIPTIC LAW FOR RANDOM MATRICES

Naumov A. A.

We consider ensemble of real random matrices with dependent elements. This ensemble extends ensemble of random matrices with independent elements and ensemble of symmetric random matrices. Under assumption of finite fourth moment of matrix elements we prove that empirical spectral measure of eigenvalues weakly converges in probability to a random variable uniformly distributed on the ellipse. The axes of the ellipse are determined by correlation between random matrix elements. This result is called "elliptic law". The limiting distribution doesn't depend on distribution of matrix elements and the result in this sense is universal.

Keywords: random matrices, least singular values, concentration function, elliptic law.