Сплетение имеющее конечную ширину

УДК 512.543.1

СПЛЕТЕНИЕ, ИМЕЮЩЕЕ КОНЕЧНУЮ ШИРИНУ

А. А. Коробов

1. Введение

Начало исследованию бесконечных групп на наличие конечной ширины было положено в 1980 г., когда был найден первый пример бесконечной группы, имеющей конечную ширину. В 2004 г. Бергман [1] установил конечность ширины бесконечной симметрической группы. В 2005 г. Дросте и Холанд [2] установили, что группой конечной ширины является группа автоморфизмов 2-транзитивного линейно упорядоченного множества, а Дросте и Гебель [3] установили конечность ширины группы автоморфизмов множества вещественных чисел как борелевского пространства. В 2004 г. Кечрис и Розендаль доказали конечность ширины групп автоморфизмов многих счетных (-стабильных и (-категоричных структур. В 2006 г. [4] Корнулиер установил, что конечную ширину имеют (-экзистенционально замкнутые группы. В том же году В. А. Толстых [5-6] установил конечность ширины следующих групп: общей линейной группы бесконечномерного векторного пространства над произвольным телом, группы автоморфизмов произвольной бесконечно порожденной свободной ниль-потентной группы, группы автоморфизмов свободной группы счетно-бесконечного ранга.

В докладе [7] автор предложил использовать конструкции абстрактного декартова сплетения и декартова сплетения групп преобразований для получения новых примеров групп конечной ширины. Целью настоящей статьи является доказательство анонсированных там результатов.

© 2013 Коробов А. А.

2. Определения и примеры

Пусть M — множество. Обозначим через S(M) совокупность всех взаимно однозначных отображений M на себя, Fun(M, G) — декартово произведение изоморфных копий группы G, индексированных элементами множества M. Декартово сплетение группы A с группой B обозначим через АгВ [8].

Определение. Говорят, что группа G имеет конечную ширину, если для любого множества E порождающих элементов группы G с условием 1 £ E = E-1 существует такое натуральное число k, что G=Ek.

G

G

на в виде объединения счетной (несчетной) цепочки собственных подмножеств удовлетворяющих двум уеловиям: 1) H—1 = Hi для любого индекса i; 2) для любого индекса г существует такой индекс j, что j > in Hi Hi С Hj.

Предложение 1. Для любого непустого множества I декартово произведение Fun(I,S(N)) имеет несчетную строгую конфинальность (см. [3, лемма 3.5]).

GG несчетную строгую конфинальность тогда и только тогда, когда группа G

.

Пример 1. Рассмотрим группу S(N) и произвольное непустое множество I. Тогда декартово произведение Fun(I,S(N)) имеет конечную ширину. Это непосредственно следует из предложений 1 и 2.

G

I

I, G .

Пусть X, Y — произвольные множества, A ^ S(X) , B ^ S(Y). Для всякого преобразования a £ A через xa будем обозначать образ

элемента х € X при отображении а. Для других групп преобразований будем использовать аналогичные обозначения. Декартовым сплетением группы преобразований А с группой преобразований В называется группа преобразований АпВ множества X х У, состоящая из элементов (6, /), 6 € В, / € Ит(У, А), действующих на X х У по правилу (х,у)(6, /) = (х/(у6),у6). Обозначим группу Гип(У, А) символом В, единицу группы В — через е, а единицу группы В — через е.

Лемма 1. В декартовом сплетении АйВ групп преобразований существует такая нормальная подгруппа М, изоморфная В, что фактор-группа АпВ/Ы изоморфна группе В.

/€В

бого преобразования 6 € В правило у ^ /(у6-1) определяет функцию /ь из В. Известно (см. [8, 6.2.12]), что таблица умножения в группе ЛпВ вычисляется по следующей формуле:

(У6,6' € в)(V/, /' € В)(Ь, /)(Ь', /') = (66', /ь'/о•

Из таблицы умножения непосредственно следует, что множества (В,е) и (е, В) являются подгруппами в АпВ и множество (В,е)(е, В) совпадает с АпВ. Из таблицы умножения следует также правило для сопряжения:

^6 € В)(V/ € В) (6,е)-1 (е,/)(6,е) = (е, /ь)•

Поэтому (е, В) с АпВ.

Покажем, что (В,е) П (е, В) = {(е, е)}. В самом деле, пусть # € (В,е) П (е, В). Тогда найдутся такие элементы 6 € В,/ € В, что (е,/) = (6, е). Следовательно, для любой точки (х,у) € X х У выполнено (х/(у),у) = (х,у6). Поэтому у6 = у для любого у из У. Значит, 6 = е, поэтому # = (е, е).

Итак, АйВ = (е, В) X (В,е). Непосредственно проверяется, что отображения В ^ (В,е) и В ^ (е, В) то правилам 6 ^ (6, е) и / ^ (е, /) являются изоморфизмами. Тем самым N = (е, В) — искомая нормальная подгруппа. Лемма доказана.

В 2006 г. Уилсон установил конечную аксиоматизируемость класса конечных разрешимых групп [9]. Будем говорить, что конечная группа

G обладает свойством Уилсона, если существуют элемент g из G\{1} и наборы x, y из G56 такие, что g = [g1, gyi] ... [g56, gyse].

3. Матричная представимость групп

Пусть D — тело, V = Dn — множество строк длины п. Превратим множество V в векторное пространство над телом D, полагая, что dv — результат умножения каждого элемента строки v та скаляр d £ D

V

стему векторов W, обозначим через (W) и назовем линейной оболочкой системы W.

Определение. Пусть D — тело, G < GLn(D). Тогда группа G

Dn

Gv

vG

Dn

Лемма 2. Неприводимая абелева подгруппа G в GLn(D) изоморфна подгруппе мультипликативной группы некоторого поля топ

D

Доказательство. Пусть F — центр тела D . Обозначим через F[G] множество комбинаций элементов группы G

с коэффициентами из F. Ясно, что R = F[G] — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Покажем, что R — кольцо без делителей нуля.

Выберем произвольные ненулевые элементы a и b в кольце R. По условию найдется такой вектор v из Dn, что va ф 0. Тогда линейная оболочка ({vag | g £ G}) — ненулевое подпространство, инвариантное

GG что ({vag | g £ G}) = Dn. Так как b ф 0, найдется такой элемент go £ ^^то vagob ф 0. Ъ ча,стностп, a^b ф 0, что равносильно соотпо-ab R

RR коммутативное ассоциативное кольцо и без делителей нуля. Известно, что в этом случае существует поле частных P кольца R и вложение п : R ^ P. Тогда G < R* ~ (R^ * < P*• Лемма доказана.

Определение. Пусть V — (конечномерное) левое векторное пространство над телом, О ^ СЬ(V). Возьмем в V неуплотняемую матрешку С-допустимых подпространств:

V = V, > V > • • • > V = 0.

Очевидно, что О индуцирует в каждом факторе ^¿/^¿+1 неприводимую группу О^/у^ по формуле

(V + Ц,+1 )д = vg + Vi+l, V € V», д € О.

Естественное отображение

г-1

о ^ П О|^/^¿+1

г=0

является гомоморфизмом группы О. Группы называются

О

г-1

П

г

О

4. Теоремы и следствия

О

падающая со своим коммутантом, либо группа всех взаимно однозначных отображений бесконечного счетного множества на себя. Пусть Н — бесконечная группа конечной ширины. Тогда декартово сплетение 0%Н — группа конечной ширины, не имеющая изоморфного представления матрицами над телом.

О

группа, совпадающая со своим коммутантом. Рассмотрим декартово

Н, О Н, О

ширины (см. [4, теорема 4.1]). По определению декартово сплетение СъН — расширение группы конечной ширины с помощью группы, также имеющей конечную ширину. Поэтому 0%Н — группа конечной ширины (см. [1, лемма 7]). Первое утверждение теоремы 1 доказано.

Докажем второе утверждение. Предположим, что группа GiH точно представима матрицами степени n над телом D. Пусть сначала char D ф 0. Если бы простое число char D было единственным простым

G G D

также нильпотентной группой, совпадающей со своим коммутантом, что невозможно. Поэтому в группе G существует элемент g простого порядка p взаимно простого с числом char D.

Dg элемент простого порядка.

A H, g

H, G H, G

GiH. Тем самым группа А точно представима матрицами степени п над телом D. Рассмотрим гомоморфизм (группы A на связку неприводимых частей. Пусть V = D". Тогда ядро ker( стабилизирует некоторую матрешку подпространств в V. Выберем базис векторно-V

(

скалярными клетками по диагонали, причем все скаляры равны 1. По-

((

группа без кручения, когда char D = 0, либо ker( — q-группа, когда

charD = q ф 0 (см. [10, 1.3.2]). Покажем, что в любом случае ker( = 1.

(

A

кег( тривиальна. В случае тела характеристики q ф 0 ядро ker( — q-подгруппа в р-группе. Снова заключаем, что группа кег ( тривиальна.

(A вкладывается в прямое произведение абелевых неприводимых матрич-

D

ном прямом произведении вкладывается в мультипликативную группу некоторого поля по лемме 2. Поэтому каждый элемент проекции группы A та этот сомножитель является корнем многочлена xX — 1 в ука-

A

A

A

О

О

нечного счетного множества на себя. Рассмотрим декартово пропзве-Н, О

поэтому так же, как в предыдущем случае, убеждаемся, что СгН — группа конечной ширины.

Теперь докажем последнее утверждение. Предположим, что группа СгН изоморфно представима матрицами степени п над телом О

О

ОА А

мыми тройными циклами. Обе они не имеют изоморфного представления матрицами над телом нулевой характеристики, как показывают рассуждения, приведенные выше. Точно так же проверяется, что А

А

представления матрицами над телом характеристики, отличной от 3. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы 1.

Н

и конечная группа С обладает свойством Унлсона. Тогда в группе СгН существует бесконечная подгруппа конечной ширины, не имеющая изоморфного представления матрицами над телом.

О

условия следствия не является разрешимой. Ввиду конечности группы

О

ОО

группа М, совпадающая со своим коммутантом. Кроме того, декартово сплетение N111 вкладывается в декартово сплетение СгН (см. [11, 22.12]). Согласно теореме 1 подгруппа группы СгН, изоморфная группе МгН, является искомой бесконечной группой конечной ширины, не имеющей изоморфного представления матрицами над телом.

Теорема 2. Пусть для любого натурального числа I группа Кг обладает следующим свойством: декартово произведение любого числа

копий группы Ki имеет конечную ширину. Пусть G = K, Gi+i = GiüKi+i. Пусть Н — группа конечной ширины. Тогда для любого натурального числа i группа GiiiH имеет конечную ширину.

Доказательство будем вести индукцией по i. Покажем, что К{пН — группа конечной ширины. Рассмотрим группы и Н как группы преобразований множеств X и Y соответственно. По условию декартово произведение Fun(Y, K) — группа конечной ширины. По лемме 1 декартово сплетение К{пН содержит нормальную подгруппу, Y, K

изоморфную группе II. Другими словами, K{iiH — расширение одной группы конечной ширины с помощью другой группы конечной ширины. Поэтому группа К{пН имеет конечную ширину (см. [1, лемма 7]). Основание индукции выполнено.

Пусть уже доказано, что группа GiiiN имеет конечную ширину для любой группы N конечной ширины. Возьмем произвольную группу Н конечной ширины. Выше показано, что группа Ki+{iiH имеет конечную ширину. Поэтому по индуктивному предположению группа Giii(Ki+iiiH) имеет конечную ширину. Так как

(см. [8, 6.2.13]), доказательство индуктивного перехода завершено.

Следствие 2. Пусть для любого натурального числа i группа

Ki

мутантом, либо группа всех взаимно однозначных отображений бесконечного счетного множества на себя. Пусть H — бесконечная группа конечной ширины, G\ = Кi, Gj+i = GiiiKi+\. Тогда для любого натурального числа i группа GiiiH имеет конечную ширину и не имеет изоморфного представления матрицами над телом.

H

i

группу H как подгруппу в 5(Y), где Y — некоторое множество. Если бы Y было конечным множеством, то группа S(Y) была бы конеч-

H

Y

Y, Gi

изоморфного представления матрицами над телом. По лемме 1 последняя группа вкладывается в группу GiiiH, поэтому это декартово сплетение групп преобразований также не имеет изоморфного представления матрицами над телом.

Наконец, примеры 1 и 2 показывают, что семейство групп (Kj)ieN удовлетворяет условию теоремы 2. Поэтому группа GiiiH имеет конечную ширину. Бесконечная группа H конечной ширины и натуральное число i выбраны произвольно. Следствие доказано.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bergman G. Generating infinite symmetric groups // Bull. London Math. Soc. 2006. V. 38. P. 429-440.

2. Droste M., Holland W. C'. Generating automorphism groups of chains // Forum Math. 2005. V. 17. P. 699-710.

3. Droste M., Gobel R. Uncountable cofinalities of permutation groups //J. London Math. Soc. 2005. V. 71. P. 335-344.

4. Cornulier Y. de. Strongly bounded groups and infinite powers of finite groups // Comm. Algebra. 2006. V. 34. P. 2337-2345.

5. Толстых В. А. Группы автоморфизмов относительно свободных групп бесконечного ранга // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика.

2006. № 1. С. 24-48.

6. Tolstvkh V. On the Bergman property for the automorphism groups of relatively free groups 11 J. London Math. Soc. 2006. V. 73. P. 669-680.

7. Коробов А. А. Сплетение групп, имеющее конечную ширину // Междунар. конф. Алгебра и ее приложения. Тез. докл. Красноярск: Сиб. фед. ун-т,

2007. С. 76-77.

8. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1996.

9. Wilson J. S. Finite axiomatization of finite soluble groups //J. London Math. Soc. 2006. V. 74, N 3. P. 566-582.

10. Sbirvani M., Webrfritz B. A. F. Skew linear groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986.

11. Нейман X. Многообразия групп. M.: Мир, 1969.

г. Новосибирск

4 сентября 2013 г.