Общекатегорная схема для топологически свободных нормированных модулей

Математика

УДК 517.98

ОБЩЕКАТЕГОРНАЯ СХЕМА ДЛЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИ СВОБОДНЫХ

НОРМИРОВАННЫХ МОДУЛЕЙ

Е. А. Гусаров1

Показано, что строгая проективность нормированных модулей является частным случаем проективности в оснащенной категории. Охарактеризованы те борнологические пространства, которые являются базами свободных объектов в соответствующих категориях. Получено достаточное условие того, что всякий проективный объект есть ретракт свободного объекта.

Ключевые слова: проективный модуль, свободный модуль, оснащенная категория, борнологическое пространство.

It is shown that the strict projectivity of normed modules is a special case of projectivity in a rigged category. A criterion is given for a bornological space to be a base for a free object in the corresponding category. A certain class of categories is indicated where each projective object is a retract of a free object.

Key words: projective module, free module, rigged category, bornology.

1. Введение. В топологической гомологии понятие проективного модуля является одним из важнейших. Существуют разные виды проективности, но все они получаются из общекатегорного понятия проективности при надлежащем выборе оснащенной категории (см. [1]). К наиболее известным типам проективности относится так называемая строгая, или топологическая, проективность. В статье показано, что этот вид проективности нормированных модулей возникает, если в качестве оснащения выступает забывающий функтор, действующий в категорию так называемых борнологических пространств. Охарактеризованы те борнологические пространства, которые являются базами свободных объектов в соответствующих категориях.

Наиболее удобные для изучения оснащенные категории — это так называемые свободолюбивые категории, в которых каждый объект вспомогательной категории является базой свободного объекта основной категории. В таких категориях всякий проективный объект есть ретракт свободного. Интересный факт заключается в том, что категория нормированных пространств с оснащением в борнологических пространствах не свободолюбива, однако всякий проективный объект в ней есть ретракт свободного. В конце статьи предлагается общекатегорный способ интерпретации этого факта.

Для нормированной алгебры A через A+ обозначается ее унитализация, а через e+ — единица в А+. Будет рассматриваться категория нормированных модулей А — mod (морфизмы — ограниченные модульные морфизмы), категория банаховых модулей А — mod (морфизмы те же, что в А — mod) и категория нормированных пространств Nor (морфизмы — ограниченные операторы). Через обозначается (непополненное) проективное тензорное произведение нормированных пространств или модулей.

2. Борнологические пространства. В некоторых случаях эту категорию удобно брать в качестве оснащения. Опишем, как она задается.

Определение 1 (ср. [2]). Пусть задано множество E. Система его подмножеств B называется бор-нологией на E в том случае, когда B обладает следующими свойствами:

1) если A ев, B ев, то A U B ев;

2) если A Св и B ев, то A ев;

3) для каждой точки x е E множество {x} е в.

Множество E с заданной на нем борнологией в называется борнологическим пространством. Подмножества E, принадлежащие борнологии в, называются ограниченными множествами.

Определение 2. Базой борнологии в на E называют подсистему во в в, такую, что всякий элемент в содержится в некотором элементе во.

1 Гусаров Евгений Алексеевич — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: p3gus@yandex.ru.

Определение 3. Пусть E и F — два борнологических пространства, u: E — F — отображение. Будем говорить, что u ограничено, если оно переводит всякое ограниченное множество из E в ограниченное множество из F.

Таким образом, мы рассматриваем некую категорию, которую обозначим Born. Ее объектами являются борнологические пространства, морфизмами — ограниченные отображения.

Пусть E — нормированное пространство. Тогда ограниченные по норме множества (содержащиеся в некотором шаре) задают борнологию на E, а всякий непрерывный оператор u: E — F, действующий между нормированными пространствами, ограничен относительно соответствующих борнологий. Таким образом, можно определить забывающий функтор : Nor — Born.

Определение 4. Борнология на множестве E, состоящая из всех конечных подмножеств E, называется дискретной борнологией. Борнология, состоящая из всех подмножеств E, называется антидискретной.

Термины "дискретный" и "антидискретный" позаимствованы из топологии. Чтобы оправдать их, сформулируем следующее очевидное

Предложение 1. Пусть E — борнологическое пространство. Тогда

1) любое отображение из E в произвольное борнологическое пространство F ограничено в том и только в том случае, когда E дискретно;

2) любое отображение из произвольного борнологического пространства F в E ограничено в том и только в том случае, когда E антидискретно.

Аналогичный факт верен для топологических пространств и непрерывных отображений.

3. Проективность в оснащенной категории. Пусть K, L — категории. Напомним, что функтор : K —> L называется верным (или точным), если для любых двух различных морфизмов pi, Р2 в K выполнено соотношение F(pi) = F(p2).

Определение 5 (ср. [1]). Оснащением категории K назовем верный функтор : K — L. Оснащенная категория — это категория K, снабженная оснащением : K — L. Строго говоря, это пара (K, ).

Пусть (K, ) — оснащенная категория, : K — L, F — объект в K, M — объект в L.

Определение 6 (ср. [1, 3]). Объект F называется свободным с базой M, если он обладает универсальной стрелкой j, т.е. существует морфизм j: M — F, такой, что для любого объекта X £K и любого морфизма p: M — X существует единственный морфизм ф: F — X, делающий следующую диаграмму коммутативной: аф

of-ах.

м

Определение 7 (см. [1]). Морфизм р в К называется допустимым эпиморфизмом, если ар — ретракция.

Пусть заданы объект Р е К, морфизм а: У — X в К и морфизм р: Р — X. Напомним, что задачей подъема (Р, а, р) называется задача отыскания такого морфизма ф: Р — У, что коммутативна диаграмма

У

Ф *

/

Р—ГХ.

Задача подъема называется допустимой, если a — допустимый эпиморфизм.

Определение 8 (ср. [4]). Объект P £ K называется проективным, если любая допустимая задача подъема (P, a, p) разрешима.

Через n : A — mod — Nor будем обозначать забывающий функтор, действующий из категории модулей в категорию нормированных пространств.

Приведем очевидное

Предложение 2. Традиционно проективными модулями в A — mod (т.е. проективными в смысле [1]) являются проективные модули в оснащенной категории (A — mod, n) и только они.

Определение 9. Назовем модуль P строго (или топологически) проективным, если всякая задача подъема (P, a, p) с открытым морфизмом a разрешима.

Это определение дословно переносится на случай банаховых модулей.

Пусть объектами в категории K являются линейные пространства (вообще говоря, обладающие допол-

j

а

нительной структурой), а морфизмами — (некоторые) линейные операторы. Тогда забывающий функтор  l : K — Lin дает оснащение для K.

Предложение 3. Строго проективными банаховыми модулями являются проективные объекты в (А — mod, UL) и только они.

Доказательство. Необходимо убедиться, что допустимые эпиморфизмы в (A — mod, — это в точности открытые морфизмы.

Согласно теореме Банаха, всякий сюръективный оператор между банаховыми пространствами открыт. Поэтому если морфизм ф является ретракцией в Lin, то он открыт. Обратно: открытый морфизм сюръективен и поэтому является ретракцией в Lin.

Применительно к нормированным модулям последнее предложение неверно. Например, подпространство финитных последовательностей l°(N), рассмотренное как модуль над нулевой алгеброй, строго про-ективно, однако не является проективным в (A — mod,  l). Это вынуждает нас искать другое оснащение для A — mod.

Пусть объектами категории K являются борнологические пространства (с дополнительной структурой), а морфизмами — (некоторые) ограниченные отображения. Забывающий функтор  в : K — Born задает оснащение для K.

Предложение 4. В категории нормированных модулей (A — mod, в) проективными объектами являются строго проективные модули и только они.

Доказательство. Пусть T : E — F — допустимый эпиморфизм нормированных модулей. Таким образом, существует ограниченное отображение S : bF — bE, такое, что (^bT)S = lp. Покажем, что T — открытый оператор. Пусть Bp — единичный шар в F и S (Bp) покрывается шаром радиуса

R с центром в нуле. Возьмем произвольный ненулевой вектор у £ F. Положим х = ЦуЦб* Тогда

Обратно, пусть оператор T открыт. Тогда существует константа R > 0, такая, что для любого элемента y £ F найдется элемент x £ E, удовлетворяющий условиям T (x) = y и ||x|| ^ R||y||. Пусть морфизм S : вF — вE отображает y в x. Тогда S — правый обратный к T в Born, т.е. T — ретракция в Born.

Пусть Л — произвольное множество. Через ^(Л) обозначим нормированное подпространство l i(Л), состоящее из функций с конечным носителем. Очевидно, в ^(Л) существует алгебраический базис, состоящий из функций ôx, равных единице в точке Л и нулю в остальных. Элементы вида ôx мы будем называть ортами.

Предложение 5. Пусть Y — нормированное пространство, Л — произвольное множество, E = {yx £ Y, Л £ Л} — подмножество в Y, индексированное элементами Л. Предположим, что E ограничено. Тогда

1) существует единственный непрерывный оператор ф : l°(Л) — Y, такой, что ф(5х) = yx для любого Л £ Л;

2) пусть Y вдобавок нормированный модуль над алгеброй A. Тогда существует единственный непрерывный морфизм ф : A+ 0p ^(Л) — Y, такой,, что ф(е+ 0 ôx) = yx для любого Л £ Л.

При этом в обоих случаях ||ф|| = sup ЦухЦ.

хеЛ

Доказательство. 1) Существование и единственность оператора очевидны. Равенство ||ф|| = sup ЦухЦ

хеЛ

также легко проверить.

2) Пользуясь результатом п. 1, рассмотрим непрерывный оператор фо : ^(Л) — Y, такой, что фо(0х) = Ух для всех Л £ Л. Поскольку A+ 0p 1°(Л) — свободный объект в (A — mod, n) (ср. [4]), то существует единственный морфизм ф : A+ 0p l°(Л) — Y, продолжающий ф° с пространства l°(Л) = e+ 01° (Л) на весь модуль A+ 0p 1°(Л). При этом Цф° || = ||ф||.

Предложение 6. Модули, топологически изоморфные X = A+ 0p l ° (Л), и только они являются свободными в оснащенной категории (A — mod, в).

Доказательство. Покажем, что X = A+ 0pl°(Л) является свободным в (A — mod, в). Тогда любой модуль, топологически изоморфный X, также свободен.

Пусть Y £ A — mod. Выберем базис E = {e+ 0 ôx, Л £ Л} в A+ 0p l °(Л). Введем в E антидискретную борнологию. В качестве j возьмем естественное вложение E в X. Тогда требуемое утверждение следует из предложения 5, п. 1.

Обратно: пусть модуль X свободен в (A — mod, в), E — базис X, j — соответствующая универсальная стрелка. Выберем Y = A+ 0p l°(E) и покажем, что X изоморфен Y.

Отметим два свойства универсальной стрелки: 1) стрелка j инъективна, 2) j(y) = 0 для всех y £ E. Докажем, например, второе (первое доказывается сходным образом). Пусть нашелся элемент yo £ E, такой, что j(yo) = 0. Тогда пусть р(у) = yi £ Y, где yi = 0. Очевидно, не существует морфизма ф, делающего диаграмму (1) коммутативной. Противоречие.

nBX^tnBY.

3 /f Е

Положим р: E ^ Y: x ^ e+  ||j(x)||^. Легко видеть, что р — ограниченное отображение. Существует морфизм ф: X ^ Y, делающий диаграмму (1) коммутативной. Обозначим через ф ограничение

n

ф на подмодуль Xo = A+  span j (E) С X. Всякий элемент x £ Xo представим в виде x = ^ akXk,

k=i

n

ak £ A+, Xk = j(yk) £ j(E), где все yk различны. Далее, ф(х) = ^ ak  Ixk||^fc. Как известно, для

k=i

любого нормированного пространства Z элементы Z 10(Л) можно интерпретировать как функции на

Л со значениями в Z и с li-нормой. Поэтому ||ф(х)|| = ^ \\akУ • \\%к||. Отсюда получаем ||x|| ^

~ ~ к=1 что влечет инъективность ф. Сюръективность ф следует из того, что j (x) = 0 для всех x £ E .К тому же оператор ф непрерывен как ограничение непрерывного оператора. Собирая эти факты вместе, получаем, что ф — топологический модульный изоморфизм.

Заметим, что ф-1ф — непрерывный проектор на Xo С X. Следовательно, Xo модульно дополняем в X: X = Xo  Xi. Покажем, что Xi = 0. Допустим, что это не так. Тогда морфизм ф1: X — X, равный проектору на Xi вдоль Xo, отличен от нулевого морфизма ф2: X — X. Положим Y = X, p = 0. Тогда морфизмы фl и ф2 делают диаграмму (1) коммутативной. Но такой морфизм единственный. Следовательно, фl = ф2. Противоречие.

В итоге Xo = X и X = A+ l0(E), что и требовалось доказать.

Поскольку нормированные пространства суть модули над нулевой алгеброй, мы немедленно получаем

Следствие 1. Свободные объекты в категории (Nor,  в) — это пространства, топологически изоморфные lo(Л) для некоторого множества Л.

Предложение 7. Пусть E £ Born. Следующие утверждения эквивалентны:

1) E является базисом некоторого свободного объекта X £ (A — mod, в);

2) для любого объекта Y £ (A — mod, в) и любого морфизма p: E — вY множество p(E) ограничено в вY;

3) не существует счетного подмножества Eo С E, такого, что индуцированная борнология на Eo дискретна.

Доказательство. 1 ^ 3. Предположим противное: такое подмножество Eo = {ei, в2,---} существует. Тогда положим Y = A+ 0p lo(E). Отображение p: E — вY действует по правилу p: ек — ke+  Hj(ek)||^efc. Для всех е £ Eo положим p(e) = 0. Легко видеть, что p ограничено. Поэтому существует ограниченный морфизм ф: X — Y, делающий следующую диаграмму коммутативной:

я Ф

авх —  BY.

j ^

E

3 ^ 2. Предположим противное. Пусть существуют объект Y £ (A — mod,  в) и ограниченное отображение р: E ^ Y, такие, что p(E) — неограниченное множество. Выберем последовательность ei, e2,... элементов E, такую, что ||p(ek)|| > к для любого к. Положим Eo = {ei,e2,...}. Очевидно, р переводит любое бесконечное подмножество Ei С Eo в неограниченное подмножество Xi С X. Но р ограничено, значит, E1 неограничено и борнология в Eo дискретна. Противоречие.

2 ^ 1. Положим X = A+ lo(E), j : E ^  вX — естественное вложение, т.е. j: e ^ e+ 5e. Покажем,

что модуль X свободен2. Рассмотрим любой модуль Y £ (A — mod,  в) и любой ограниченный морфизм ф: Е ^ вY. Согласно условию 2, множество ф(Е) ограничено в Y. Дальше работает предложение 5.

Следствие 2. Если Е £ Born является базисом некоторого объекта X £ (A — mod, в), то Е — базис для A+ 0p 10(Е). При этом универсальная стрелка j: Е ^ в(A+ 0p 10(Е)) действует по правилу j: e ^ e+  öe.

Определение 10. Будем говорить, что борнологическое пространство Е является базисным, если оно является базисом некоторого X £ (A — mod, в).

Пример 1. Антидискретное борнологическое пространство базисно.

Пример 2. Рассмотрим борнологию на множестве Е, база которой — все счетные подмножества. Счетного подмножества с дискретной борнологией в Е нет, поэтому Е — базисное борнологическое пространство.

4. Связь свободных объектов с проективными в общем случае. В этом пункте (K, : K ^

С) — произвольная оснащенная категория.

Следующее предложение приводится, например, в [3] (в эквивалентных терминах).

Предложение 8. Пусть (K, ) — оснащенная категория, : K ^ С. Предположим, что всякий объект M £С является базисным. Тогда для всякого объекта X £ K найдутся свободный объект F £K и допустимый эпиморфизм т: F ^ X.

Предложение 9. Если всякий объект из K является образом допустимого эпиморфизма свободного объекта, то всякий проективный объект из K является ретрактом свободного.

Доказательство. Пусть X — проективный объект из K. Найдется допустимый эпиморфизм т: F ^ X, где F — свободный объект. Поскольку X проективен, то морфизм т является нужной ретракцией в K.

Пример 3. Рассмотрим категорию A — mod. В качестве оснащения возьмем забывающий функтор : A — mod ^ Nor. Всякое нормированное пространство M является базисом свободного объекта вида A+ 0p M. Проективные объекты в такой категории — это традиционно проективные модули. Все проективные модули — ретракты свободных.

Пример 4. Рассмотрим категорию A — mod i (объекты — нормированные модули, морфизмы — сжимающие операторы). В качестве оснащения возьмем функтор О: A — mod i ^ Set: X ^ Bx, где Bx обозначает замкнутый единичный шар в X. Каждое множество M является базисом свободного объекта вида A+ 0p l0(M). Проективные объекты в такой категории называют метрически проективными. Все метрически проективные модули — ретракты свободных.

Примеры 3 и 4 разобраны в статье [1].

Пример 5. Рассмотрим категорию (A — mod, в). Как показано выше, не всякое борнологическое пространство является базисом свободного объекта в (A — mod, в). Однако любой модуль X является образом открытого морфизма т: A+ 0p l0 (Sx ) ^ X, где Sx — единичная сфера в X и т определен равенством т(e+  öx) = x. Такой морфизм т существует благодаря предложению 5, п. 2. Он, очевидно, открыт (и даже коизометричен). В итоге X является образом допустимого эпиморфизма свободного объекта. Поэтому проективные объекты (A — mod, в) суть ретракты свободных.

Таким образом, общекатегорное предложение 8 не работает для примера 5. Цель дальнейшего изложения — обобщить предложение 8 так, чтобы оно было применимо к примеру 5.

Предложение 10. Пусть заданы категории K, Со, С, а также верные функторы , о,  i, такие, что  =  i^o, как показано на диаграмме

о

/С-Fi-" С

Пусть для каждого X £К найдется такой объект М £С, что

1) П0X — свободный объект с базой М в оснащенной категории (Со,  1);

2) М является базой для некоторого свободного объекта Е в оснащенной категории (К, ).

Тогда всякий объект X £ К является образом допустимого эпиморфизма свободного в (К, ) объекта.

2Может показаться, что это уже доказано в предложении 6. Но на самом деле предложение 6 накладывает более жесткие ограничения на морфизм ф: е ^ оу, поскольку е предполагается антидискретным.

Доказательство. Пусть X еК, М еС такие, как в условии предложения. Пусть %: М — П^ПдХ — универсальная стрелка в (Со, П). Так как О^о = , то % действует из М в ОХ. Пусть ¥ — свободный объект в (К, ) с базой М, а ] : М —  ¥ — универсальная стрелка. Тогда найдутся морфизмы а: ОоХ — о¥ и т: ¥ — X, такие, что коммутативна диаграмма

¥

г

Ввиду свойств свободных объектов в (Lo, di) существует единственный морфизм ф: O0X — DoX в Lo, такой, что i = D^ о i. Очевидно, морфизм ф, равный 1а0х, удовлетворяет последнему равенству. В то же время, согласно диаграмме (2), можно взять ф = dor о а. Ввиду единственности морфизма ф выполнено dor о а = 1п0х, и после применения функтора di получим DrDia = 1dx. Следовательно, Dr — ретракция и r: F — X — допустимый эпиморфизм. d

Пример 6. Найдем взаимосвязь предложений 8 и 10. Пусть Lo = L, а di — тождественный функтор. Очевидно, в категории (Lo, di) всякий объект X является свободным с базой X, поэтому условие 1 предложения 10 выполнено автоматически. Условие 2 говорит, что для всякого X G K объект DX является базисным (т.е. служит базисом для некоторого свободного F G K). Это заведомо выполнено, если всякий объект из L базисный, что и требуется в предложении 8.

Кроме того, можно заметить, что доказательство предложения 8 не изменится, если лишь потребовать, чтобы DX был базисным объектом для любого X G K.

Пример 7. Обозначим через Noro категорию, объекты которой имеют вид N = (J (R+)i, где R+ =

ге1

[0, и для любых i = j выполнено (R+)i П (R+ )j = {0}. Отображение ф: N — M в Noro считается морфизмом, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) ф(Лпг) = Лф(пг) для всех Л G R+, i G I, пг G (М+)г;

2) существует R> 0, такое, что |ф(п)| ^ R\n\ для всех n G N.

Введем в N борнологию. Будем считать множество {nj G N\ j G I} ограниченным, если множество {nj} ограничено в R. Забывающий функтор di: Noro — Born дает оснащение для Noro. Нетрудно видеть, что всякий объект N = (J (R+)i G Noro является свободным с базой M = (J 1г, где 1г есть

ге1 ге1

единица из (R+ )г. Универсальная стрелка — естественное вложение.

Введем функтор do: A — mod — Noro. Пусть X G A — mod, S — единичная сфера в X. Тогда doX = U (R+)x. Пусть задан морфизм ф: X — Y. Определим do^>. Пусть Л G R+, 1x — единица из

xes (R+)x. Тогда

^ф(Л1) i0, если ф(х) = 0;

° ^ [^^(ж)!!^, где у = Äp ф(х) ф 0.

Функтор do верный. Говоря неформально, doX — это модуль X, потерявший структуру сложения и внешнего умножения, однако сохранивший структуру нормы и умножения на скаляр из R+.

Заметим, что d = dido: A — mod — Born — это введенный выше забывающий функтор DB. Этот факт можно представить в виде коммутативной диаграммы

Noro

А — mod-щ-Born.

Теперь в предложении 10 положим K = A — mod, Co = Noro, C = Born. Для любого X £ A — mod единичная сфера Sx служит базисом свободного объекта

1) doX в (Noro, di);

2) А+ р lQ(Sx) в (A — mod, ).

Таким образом, условия предложения 10 выполнены. В категории (A — mod, Db) всякий объект есть образ свободного объекта при допустимом эпиморфизме, и предложение 10 дает категорную интерпретацию этого факта.

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2014. №2

9

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хелемский А.Я. Метрическая свобода и проективность для классических и квантовых нормированных модулей // Матем. сб. 2013. 204, № 7. 127-158.

2. Hogbe-Nlend H. Bornologies and functional analysis. North-Holland Mathematics Studies (Book 26). North-Holland, 1977.

3. Маклейн С. Категории для работающего математика. М.: Физматлит, 2004.

4. Хелемский А.Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М.: Изд-во МГУ, 1986.

Поступила в редакцию 02.04.2012

УДК 519.95

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРОИЗВЕДЕНИЙ В ВИДЕ СУММЫ СТЕПЕНЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ

С.Б. Гашков1, Е. Т. Шавгулидзе2

Доказано, что произведение n независимых комплексных переменных можно тождественно выразить в виде суммы m = 2n-1 слагаемых, являющихся n-ми степенями линейных форм от этих переменных, причем при любом m < 2n-1 подобного тождества с m слагаемыми, являющимися n-ми степенями линейных форм, не существует.

Ключевые слова: линейные формы, одночлены, представление в виде суммы степеней, нижние оценки.

We prove that the product of n complex variables can be represented as a sum of m = 2n-1 n-powers of linear forms of n variables and for any m < 2n-1 there is no such identity with m summands being nth powers of linear forms.

Key words: linear forms, monomials, representation as sum of powers, low bounds.

Широко известно тождество xy = ((x + y)2 — (x — y)2)/4, позволяющее выполнять умножение, если доступна таблица квадратов. Этот прием использовался для умножения несколько сот лет назад как альтернатива применению логарифмов. Менее известно, что если есть таблица кубов, то можно выполнять умножение трех чисел по формуле

xyz = ^{{x + y + zf -{x + y-zf -{x-y + zf -{y + z- xf).

Эту формулу можно обобщить и на случай вычисления произведения n переменных с помощью операций сложения, вычитания и возведения в n-ю степень. Для любого поля, характеристика которого больше n (или нулевая), справедливо тождество

Х1...хп = £ (-1Г+-+*»(Ж1 + (-1 Гж2 + . . . + (-1 т"хп)п.

' ст2=0,1,...ст„=0,1

Для его доказательства заметим, что в каждом из 2n-1 слагаемых

(xi + ( — 1)°2 Х2 + ... + ( — 1)an Xn)n

имеется моном п!(-1)°"2+---+°"пх\ .. .хп, который после умножения на ( — 1)СТ2+—+ап превращается в моном п\х\... хп, а после вычисления суммы перед мономом будет коэффициент 2п_1п!. Остается проверить, что

1 Гашков Сергей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sbgashkov@gmail.com.

Шавгулидзе Евгений Тенгизович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shavgulidze@bk.ru.