Пространственная задача Римана для двоякокруговых областей

Владикавказский математический журнал Октябрь декабрь, 2002, Том 4, Выпуск 4

УДК 517.55

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ ДВОЯКОКРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ

Г. Л. Луканкин

Поставлена и решена двумерная краевая задача сопряжения для двоякокруговых областей. В качестве математического аппарата решения задачи используется интеграл типа Темлякова. Решение задачи сводится к рассмотрению полного особого интегрального уравнения, решаемого известными способами.

К настоящему времени разработка теории одномерных краевых задач (задача Ри-мана, задача Гильберта, задача Карлемана и др.) для голоморфных функций одного комплексного переменного фактически завершена (см., например, [7, 17, 25]). Эти задачи нашли широкие приложения как в математике (сингулярные интегральные уравнения, уравнения типа свертки и др.), так и при рассмотрении большого числа прикладных задач в теории упругости, гидро- и аэродинамики, дифракции, теории массового обслуживания, в теории переноса частиц и т. д.

В 60-е годы прошлого столетия появился ряд работ академиков Н. Н. Боголюбова, Ю. В. Линника, В. С. Владимирова, А. А. Гончара, посвященных приложениям функций многих комплексных переменных в квантовой теории поля (см. [4, 6]) и математической статистике (см. [16]). В 70-е годы XX века в работах зарубежных авторов К. Черчильяни, К. Кейза и П. Цвайфеля изложены результаты, позволяющие получить точные решения нестационарных граничных задач для кинетических уравнений (см., например, [13, 27]). В последние годы XX столетия описан широкий класс задач из квантовой механики, теории вероятностей, математической физики, которые соответствующим преобразованием Фурье приводятся к пространственной задаче Римана (см., например, [1, 11, 12, 15, 24]).

Удобным аппаратом для исследования свойств голоморфных функций многих комплексных переменных, с целью их дальнейшего использования при рассмотрении пространственных краевых задач, являются интегральные представления Коши, Вей-ля, Мартинелли — Бохнера, Темлякова и др. (см., например, [1, 26]).

В настоящей статье представлены результаты, являющиеся продолжением исследований автора (см., например, [7, 19-23]) и его учеников (см., например, [2, 5, 8, 9, 14, 18, 24]) по краевым задачам линейного сопряжения функций двух комплексных переменных (пространственная задача Римана). Математическим аппаратом решения задач является интеграл типа Темлякова I рода с ограниченной двоякокруговой определяющей областью из класса (Т), граница которой имеет конечный порядок.

© 2002 Луканкин Г. Л.

1. Введение. Интеграл типа Темлякова и некоторые его свойства

Определение 1 (см. [26, с. 349]). Областью Б класса (Т) называется полная, ограниченная, выпуклая двоякокруговая область с центром в точке (0,0) €Е -О, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне.

Область Б класса (Т) (Б е (Т)) допускает следующее параметрическое задание:

D= U е С2 : < ri(r), < г2(г)|

OsCrsCl

= inter. P| I(го, г) е С2 : с(т)|го| + d(r)\z\ < lj

0<т<1

где с(т) = тг1 г(т), с1{т) = (1 — т)г2 1(т), г\{т) и гг(т) — действительные, непрерывно дифференцируемые функции в интервале (0,1), удовлетворяющие условиям

П

r2

о

Граница области D €E (T) имеет вид

dD = |(ад, z)€ С2 : И < n(r), |z| < r2(r), r e [0,1]}

= (EC2 : \w\ =rl{r)rh \z\ = г2{т)г,е~и, 0 < т < 1, 0 < t < 2тг, Ы = l}.

Рассмотрим функцию Ф(т, t, X,/л) (т и t — действительные переменные, Ли// — комплексные), которая суммируема в прямоугольнике R = {(г, t) €Е К2 : 0 ^ г ^ 1, 0 ^ t ^ 2-7г} при любых Ли// (|Л| < +оо, |/i| < +оо).

Определение 2. Интегралом типа Темлякова I рода будем называть интеграл вида

1 2ж

где (го, г) G С2, u = c(t)w + с1{т)ге%1.

Функции г\{т) и Гг(т) определяются условиями (2) и (3), поэтому можно рассмотреть неаналитическую гиперповерхность

Н=п

являющуюся огибающей семейства гиперповерхностей

c

и расположенную под огибаемой в каждой точке. Из соотношения (1) видно, что областью, границей ¿Ш которой является гиперповерхность (5), будет область I) €Е (Т). Поэтому интеграл (4) получил название интеграла типа Темлякова I рода с определяющей ограниченной областью I).

Известно (см., например, [20, с. 33]), что для функций представимых интегралом типа Темлякова I рода (4), в точках (ад, г) 6 С2 имеет место формула

(2ж-1р+ф

J ёт J Ф+(т, и, ие~гг)<И

тг ит3 ф+^р

Ф+Р ^ '

+ у dr у Ф (r,t,u,ue ) dt

т2ит3 ф-v

где

Ф(г, t + 27Г, Г], щ"1*) = Ф(г, t, Г], щ"1*),

Ф+

2жг J т] — и

\г)\ = 1

для \u\ < 1, а функция Ф~(т, í, u, ue~%t) определяется по той же формуле, но для > 1,

z) = arg w — arg г,

а(т, И, |г|) = (1 - с2(т)И2 - d2(r)|^|2)(2c(r)d(r)|«;||^|)-1, Ti = {г : с(т)Н + d(r)\z\ < 1}, Т2 = {т : с(т)Н - <¿(r)|z| > 1}, Т3 = {г : с(т)|ги| + <¿(t)|z| ^ 1, |с(т)|ги| - d(r)\z\\ 1}.

Пусть образ границы dD области D в абсолютной четверть-плоскости задается уравнением \z\ = K(\w\) (или r2(r) = K(ri(r))). Обозначим через [a¿,/0¿] (i = 1,2,...,n) интервалы изменения параметра г такие, что функция г2(т) = К{г\{т)) линейна на отрезке [ri(a¿), ri(/í¿)] (г = 1,2,..., гг), где ri(г) = тс"1 (c¡ > 0), г € [a¿, /3¿] (¿ = 1,2,... ,n).

Определение 3. Порядком границы |ги| = K(\z\) (г2(т) = K(ri(r))) области D называется число интервалов линейности [ri(o¡¿),r*i(/3¿)] функции г2(т) = К{г\{т)), принадлежащих отрезку [0, ri(l)].

Определение 4. Мы скажем, что функция Ф(т,1,г],г]е~гг) принадлежит классу a (Ф €Е а), если Ф по г/ удовлетворяет условию Lipa (0 < а ^ 1), независимому от г и í, и ограничена по модулю для (г, t,r]) €Е M = {(т, í, 77) : (т, í) €Е i?, = 1}.

Рассмотрим следующие функции:

/i(r,|ад|,\z\) = И - N(t)\w\ + JV(r)ri(r) - r2(r),

\w\,\z\) = 2\z\ - /i(r,\w\, \z\), hiT-> M, N) = 2N + ^(т)п(т) - r2(r) - /i(r, |ад|,\z\), где N(t) = г'2(т)(г[(r))_1, 0 < т < 1, причем a = lim N(t), b = lim N(t).

t—>-0 r—fl

Используя заданные функции, рассмотрим в пространстве С2 области: D++ = D= p| {(«,,«)€€?: /1 (г, Н, |г|) <0},

OsCrsC 1

D+- = {(ад, z) € С2 : /2(т, |ад|, |г|) < 0}, £)-+ = {(«;, г) 6 С2 : /3(т, |ад|, |г|) < 0}, I) = С2 \D--UD- UI) .

множества

Bs,i = {{w,z) GC2 : ад = (l + s)(2ci)-1??, г = (l^s)(2di)"1??,

= 1, с» > 0, di > 0 s = ±1, i = 1, 2,..., n},

а также следующие области:

1) если «i 0, ßn ф 1 (1 ^ п < +оо), то

/i(ft, kl, kl) < 0, /3(0, |ад|, |z|) > 0, s = -1, i = 1,2,... ,nj,

l7,i{(wiz) G С2 : /i(0, M, |г|) < 0, f2(ßi, М, \z\) < 0, s = +1 или

/i(l, |ад|, \z\) < 0, /3(«г, |ад|, \z\) > 0, s = -1, г = 1, 2,... ,п|;

2) если «1 = 0, ßi = 1, то

<?М = «7-i,i = D++-> Qi,i = d+~, qZhl = D~+.

Семейство двумерных поверхностей, проходящих через точки окружностей (s = ±1, i — фиксировано), обозначим через

ofil) = |(ад, z) е С2 : \z\ = &(|ад| — с"1), arg«; — argz = I

(arg0 = arg«?0 — l, (ад0,0) 6 B+1^), s = 1 или \z\ = k\w\ + d~l, arg«; — arg г = I

(arg0 = arg zq +I, (0,z0) £ В-i,i), « = -1, |fc| < +00, |l| < 2ж, % = 1,2,... ,nj.

Jl. А. Айзенберг установил (см., например, [26, с. 352]), что интеграл (4) является функцией голоморфной в областях D++, D '"и D+~, а если Ф €Е а, то непрерывен во всем пространстве С2, за исключением множеств (s = ±1, г = 1,2,... ,п).

Определение 5. Множества Ва^ назовем окружностями особенностей интеграла типа Темлякова I рода.

Для интеграла типа Темлякова имеют место следующие утверждения:

Предложение 1 (см. [3]). Интеграл (4) на двумерном многообразии бесконечно удаленных точек С2 обращается в нуль, причем, если точка (го, г) стремится к бесконечно удаленной точке вида (го о,оо) (или (ос, го)), то это стремление происходит произвольным способом; если же точка (го, г) стремится к точке вида (оо, оо), то это стремление должно происходить по пути, расположенному на гиперповерхности \г\ =с^~1|го| +Ь (Ь — произвольное вещественное число).

Предложение 2 (см. [21, с. 12-13]). Пусть граница области Б € (Т) имеет конечный порядок п (1 ^ п < оо), а плотность интеграла (4) функция Ф £ а. Тогда предельные значения интеграла типа Темлякова I рода (4) в точках окружностей особенностей определяются по формуле:

1 2ж

1 [ [ Г Ф

о о н=1

¡Зг 2ж

+ — J (],т ^ Ф(г, щ, ще~г*) сИ — — J (],т У Ф(г, щ, ще~г*) сИ,

<*г 0 <*г 1-<р0

где ио = с(г)гоо + с1(т)гое-8*, для т €Е [0, «¿) и (/%, 1],

(1 + з) ащго0 + (1 + +

г

щ = ехр -

для т е [а,г(3г], (гоо,^о) 6 -В8)г, 5 = ±1; особый интеграл в формуле (7) понимается в смысле главного значения по Коти;

<Ро{к) = , ^ Нт <р

(и),г)—

( 0, (и>, г) -> (и)о, е

7г, (ад, г) -> (и)о, €

= <

Определение 6. Функцию /(го, г) назовем функцией класса (Т) (/ е (Т)), если она задана в пространстве С2, кроме точек окружностей (« = ±1, г = 1, 2,..., п), и удовлетворяет следующим условиям:

1) функция /(го, г) — непрерывна в С2\Вв^; голоморфна в областях I) и обобщенно-аналптична в А"";

2) функция /(го, г) имеет конечные пределы в точках (,э = ±1, % = 1,2,..., гг) при стремлении точки (го, г) из областей (или I) или 1)+_); имеет предельные значения в точках (,э = ±1, % = 1, 2,..., п) по путям, расположенным на двумерных поверхностях о^^ (« = ±1, г = 1,2,..., гг), если стремление точки (го, г) происходит из области Б .

Из свойств интеграла типа Темлякова I рода с ограниченной определяющей областью I) €Е (Т) вытекает справедливость следующего утверждения

Утверждение 3 (см. [21, с. 13]). Всякая функция, представимая интегралом типа Темлякова I рода (4) с плотностью из Ф класса а, принадлежит классу (Т).

2. Постановка и решение неоднородной краевой задачи линейного сопряжения функций из класса

Пусть в пространстве С2 задана область В е (Т), граница которой имеет конечный порядок п (1 ^ п < об). Требуется найти функцию /(го, г) класса (Т), обращающуюся в нуль на двумерном многообразии бесконечно удаленных точек, удовлетворяющую в точках заданной окружности особенностей

= {{'№>%) ' = г = 0; = ^ = 1, 2, . . . ,п}

краевому условию

/д+>ос-\0) = 0

Функции С(г]о) и д{щ) заданы на окружности особенностей {г — фиксировано) и удовлетворяют условию Гёльдера, причем С{щ) ф 0 на окружности

Решение поставленной краевой задачи будем искать в виде интеграла типа Темлякова I рода с определяющей областью Б. По условию В — область класса (Т), граница которой имеет конечный порядок п. Для фиксированного % рассмотрим интервал линейности [г 1 (аг), г!(/%)]. Тогда граница дВ области В €Е (Т) имеет для этого отрезка вид с^|го| = 1, т. е. ?*1(т) = тс"1, г2(т) = (1 для т €Е [«¿, Д], с^ > 0,

¿г > 0. Рассмотрим сначала решение задачи для случая щ ф 0 и Д ф 1. Подставив формулы (7) предельных значений интеграла типа Темлякова в краевое условие (8), получим

4тг У 1 У У т/ — «о

+ Г т Г Ф(т, г, щ, ще~и) _ 2 ^ Д м = 0

тп ] ] п^щ ]

где

{ехр {¿ащ те [в^Д]

Т »70 с т

Отсюда следует, что

Г1 , л/ ,, ч . 1 - <3(?7о) [ , + + --- / '-

7П ] Г] — Щ

\у)\ = 1

+ J к(г,г),щ)рТо(г,г))<1г) = 2(0(770) + ф,щ)),

\г]\ = 1

2ж

где f <p(t,r)o)dt = 0 и <p(t,r)о) — некоторая функция непрерывная по í £ [0,27т] и о

удовлетворяющая условию Lipa (0 < a ^ 1) независимому от t,

Л

-it\

-it\

= / ^(r,t,u0,u0e %)dr,

К{1,г],г]о)Р^{1,г]) =-:- / ----—(¿г.

т ^ 11 Ыт) ' сн

Полученное уравнение (9) есть полное особое интегральное уравнение с ядром Коши, общая теория решения которого хорошо разработана (см., например, [7, с. 185-195]).

Для некоторых частных случаев области I) €Е (Т) уравнение (9) сводится к простейшему случаю особого интегрального уравнения — характеристическому уравнению, которое решается в замкнутой форме. Например, пусть щ = 0 и ¡3^ = 1, тогда область I) €Е (Т) есть область типа А, а уравнение (9) принимает следующий вид:

+ = ^ [ Лп = 2(д(щ) + ф,щ)),

жг ] г] — г]о

\г]\ = 1

т. е. характеристическое уравнение. Этот случай рассматривался нами ранее (см., например, [10, с. 14-15]), получено решение задачи в замкнутой форме.

Литература

1. Айзенберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения.— Новосибирск: Наука, 1990.—248 с.

2. Воганов В. И. Об особом интегральном уравнении с действительными параметрами // Вестн. Моск. пед. ун-та. Математика. Физика.—1998.—№ 3-4.—С. 5-9.

3. Воганов В. И., Луканкин Г. Л. Интеграл типа Темлякова и его предельные значения // Докл. АН СССР.—1967.—Т. 176.—С. 16-19.

4. Боголюбов Н. Н., Медведев В. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперсионных соотношений.—М.: Физматлит, 1958.—204 с.

5. Виноградова И. Н. О решении краевых задач // Теория функций, функциональный анализ и их приложения,—М., 1972,—В. 15, Ч. 2,—С. 198-216.

6. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных.—М.: Наука, 1964,—412 с.

7. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.—М.: Наука, 1977.—640 с.

8. Дзебисов X. П. О решении некоторых краевых задач // Математический анализ и теория функций,—М., 1974,—В. 4,—С. 99-123.

9. Дзебисов X. П. Внутренняя и внешняя односторонние краевые задачи сопряжения для двоякок-руговых областей пространства // Владикавк. мат. журн.—2000.—Т. 2, Т. 4.—С. 3-10.

10. История отечественной математики.—Киев: Наукова думка, 1970.—Т. 4, кн. 1.—С. 193-210.

11. Какичев В. А. Краевые задачи для функций, аналитических в биобластях // Вестн. Новгородского ун-та им. Я. Мудрого. Естественные и технические науки.—Новгород, 1995.—С. 110-114.

12. Какичев В. А. К вопросу о конструировании сверток // Изв. МАН ВШ.—2001.—№ 2 (16).— С. 135-145.

13. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса.—М.: Мир, 1972.—384 с.

14. Краснощеков А. Л. О решении некоторых краевых задач // Математический анализ и теория функций.—М., 1977.—в. 8.—С. 58-73.

15. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задачи о сильном испарении (конденсации) // Изв. РАН. Механика жидкости и газа.—1993.—№ 6.—С. 143-155.

16. Линник Ю. В. Статистические задачи с мешающими параметрами.—М.: Наука, 1966.—342 с.

17. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные особые уравнения со сдвигом.—М.: Наука, 1977.—448 с.

18. Лобанова О. В. Постановка и решение некоторых краевых задач // Математический анализ и теория функций.—М., 1976.—В. 6.—С. 70-88.

19. Луканкин Г. Л. Об интегралах типа Темлякова и некоторых их свойствах // Comment. Math. Univ. Carlov.—1968.—Т. 9, № 2,—С. 269-280.

20. Луканкин Г. Л. О некоторых краевых задачах для функций двух комплексных переменных // Учен, зап.—1969-70.—Т. 269, вып. 14,—С. 23-48.

21. Луканкин Г. Л. О задачах линейного сопряжения функций двух комплексных переменных // Математический анализ и теория функций.—М., 1973.—В. 1.—С. 10-24.

22. Луканкин Г. Л. Задачи линейного сопряжения в пространстве // Многомерный комплексный анализ и его приложения,—М., 1991.—С. 3-14. Деп. в ВИНИТИ 29.12.1991, № 4899-В91.

23. Луканкин Г. Л. Пространственная задача линейного сопряжения // Вестн. МАН ВШ.—1999.— № 4 (6).—С. 82-89.

24. Луканкин Г. Л., Латышев А. В., Рындина С. В. Граничная задача для одного класса линейных релаксационных нестационарных уравнений // Изв. МАН ВШ.—2001.—№ 2 (16).—С. 94-101.

25. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Наука, 1968.—542 с.

26. Фукс В. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных.—М.: Физматгиз, 1962.—420 с.

27. Черчильяни К. Математические методы в кинетической теории.—М.: Мир, 1973.—245 с.

г. Мытищи

Статья поступила 16 сентября 2002 г.