Возникновение отрыва пограничного слоя на вращающемся цилиндре в потоке несжимаемой жидкости

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 19 8 2

№ 6

УДК 532.526.2

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОТРЫВА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ В ПОТОКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

К. В. Николаев

В настоящей работе численно решается задача двумерного обтекания вращающегося цилиндра внешним плоскопараллельным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Для решения используется приближение пограничного слоя с заданным градиентом давления, который находится из внешнего невязкого обтекания. В работе определяются соотношение скоростей вращения и набегающего потока, при котором начинается отрыв, и точка появления отрыва. Результаты, полученные для безотрывного обтекания, находятся в хорошем согласии с решением данной задачи методом малых возмущений.

Задача вязкого обтекания цилиндра с циркуляцией, вызванной его вращением, известна в гидродинамике давно. Еще в середине прошлого столетия Магнус и Релей положили начало изучению этого вопроса. Подробный обзор проведенных с тех пор исследований дан в работе [1]. Значительные теоретические результаты были получены в работах [2—4], где эта задача решалась методом возмущений в предположении, что скорость набегающего потока мала по сравнению со скоростью вращения, и где получены зависимости циркуляции, подъемной силы, вращательного момента от скорости набегающего потока в виде разложений по малому параметру. Это решение линеаризованной задачи достаточно точно описывает безотрывное обтекание, но оно никоим образом не указывает на возможность возникновения отрыва пограничного слоя при увеличении скорости набегающего потока. Получить отрыв можно, лишь решив нелинейную задачу для пограничного слоя. В настоящей работе нелинейная задача решается численно с целью нахождения соотношения для скорости вращения и набегающего потока, при котором в решении возникает особенность, свидетельствующая о появлении отрыва пограничного слоя.

Постановка задачи. Рассмотрим двумерное течение вязкой несжимаемой жидкости следующего вида: в набегающий из беско-

нечности плоскопараллельный поток, имеющий скорость ,»00, помещен круглый цилиндр, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью <«0, причем критическая точка находится в потоке (рис. 1).

За характерный линейный размер задачи примем радиус цилиндра г0, за характерную скорость течения примем ш0г0. Число

о>0 Гд

Рейнольдса Ие = —-— считаем достаточно большим, чтобы решать

Рис. 1

задачу в рамках теории пограничного слоя Прандтля. Отнеся скорость набегающего потока к скорости вращения цилиндра, полу-

v

чим безразмерный параметр е =--------------, определяющий картину те-

wo г О

чения.

Циркуляцию определим как Г ==---------\uds, где интеграл

2кг0 о>0 J

берется по контуру, охватывающему цилиндр по внешней границе пограничного слоя.

Введем полярные координаты (г, 6), где г—расстояние от центра цилиндра, а угол в отсчитывается против часовой стрелки, как показано на рис. 1. Внешнее невязкое течение описывается комплексным потенциалом w — s + —-'j — г'Г In z, где г = reib (см. [5]).

Потенциал течения <р есть действительная часть w <р = Гб + sir -f -М cos 0.

3___«Ученые записки» № б

33

Составляющие скорости по 6 и по г в потенциальном течении

обозначим соответственно и и V. Они определяются как

м = -гж=т--£(1 + тф*п6; 0>

= = —^]с°5б.

Давление /?рю2г2 + рт может быть найдено из уравнения Бернулли, которое в рассматриваемом случае имеет вид:

, и2 + V2 г2

Р + ----9--- =-«- •

Получаем

Г2 , „ / 1 . М. о, , / соз20 1 \ -оч

Р = — 2ТГ-Г 1г(^—+ —]8ш6 +  [—7? 27^)- О

Уравнения (1)—(3) точно описывают внешнее невязкое течение при безотрывном обтекании цилиндра. Следует только иметь в виду, что Г является функцией от е, которая для малых в может быть определена методом возмущений в виде асимптотического ряда по е, что было выполнено в работах [2—4], а для є~1 может быть найдена численно, как будет показано ниже.

Уравнения пограничного слоя в переменных (у, б), где у=|/К!е(г—1), имеют следующий вид:

ии9+ уиу=—п9+иуу-, и,+ Уу = 0.

Здесь и и ^—соответственно касательная и нормальная компоненты скорости; П = П(0) — величина известная, равная давлению внешнего невязкого течения на поверхности цилиндра

П (©) = /?(!, 6)= 2Ге эт 0 е2 ^соэ2 0

откуда

Пе = 2Гг соб 0 — 2 в2 вш 20.

Граничные условия на стенке —это условия прилипания и непротекания

и

Скорость 11 на внешней границе пограничного слоя определяется, как скорость внешнего невязкого течения при г— 1:

и

Начальные условия для задачи (4) — (6) отсутствуют. Вместо них на решение накладывается условие периодичности по 0.

Метод численного решения. Введем для пограничного слоя систему координат (х, у),. для чего начало координат поместим на стенке цилиндра в точке 0 = я, ось л; направим вдоль стенки по направлению вращения, а ось у—по нормали к поверхности.

Перенос начала координат вызван стремлением начинать расчет из области с отрицательным градиентом давления. Уравнения пограничного слоя и граничные условия примут вид:

UUX + VUy = Uyy + 2е cos А' (Г + 2s sin х);

их-\- Vу = 0;

U(x, 0) = 1;

V(x, 0) = 0;

U (х, 8) = Г -f 2г sin X,

где х=-Ь — тс, 8 — размер расчетной области по у.

Для численного решения использовалась неявная схема второго порядка аппроксимации, описанная, например, в [6]. Чтобы применить эту схему в настоящей работе, потребовалось поставить внутреннее граничное условие для U на движущейся стенке.

Расчет начинается с линии х = 0, на которой необходимо задать некоторые начальные условия для U и V. В настоящей работе скорость’ U задавалась при л: = 0 в виде линейного профиля, а скорость V=0. В процессе расчета скорости U и V последовательно вычислялись на каждой линии х — const по известным их значениям на двух предшествующих линиях.

Расчет с обходом по контуру тела проводится до тех пор, пока в каждом сечении х = const не установится с определенной точностью свой профиль скорости. Начальные профили скоростей практически не влияют на скорость установления, так как полностью „забываются" менее чем за один обход, и картина течения в пограничном слое формируется только под влиянием граничных условий.

Для контроля за установлением вычисляется производная Uy(x, 0) на стенке и сравнивается со значением производной Uy{x — 2тс, 0), вычисленной в той же тОчке, но на предыдущем обходе тела. Расчет прекращается, когда для одного полного обхода в каждой точке расчетной сетки на стенке выполнится условие

| Uy (х, 0) - Uy (х - 2тс, 0) | < КГ*.

Для такого установления требовалось от 10 до 50 обходов тела в зависимости от параметра е и размера расчетной области 8.

Существенным различием постановок задачи для аналитического и для численного решения является то, что внешнее граничное условие на скорость U ставится в первом случае на бесконечности, а во втором —на некотором конечном расстоянии 8. При решении задач о периодических пограничных слоях аналитическими методами (см. [2, 4, 7]) величина циркуляции находилась из условия существования периодического решения и определялась при этом однозначно. Если же решать задачу в ограниченной по у области, то периодические решения получаются, вообще говоря, при любом соотношении величин Г и s. В этом случае истинное значение Г при заданном е можно определить из условия стремления к нулю производной Uy на внешней границе, что должно имитировать уход на бесконечность.

В настоящей работе на каждом шаге по х вычислялась производная на внешней границе пограничного слоя Uv (xit 8), i— 1, .. М, где xt — координаты узлов расчетной сетки, М—число шагов по л для одного обхода тела. После установления решения вычислялось значение

S — шах | £/ (xt, о) |.

<=1...м

Для каждого заданного параметра е проводилась серия расчетов при различных Г. За истинное принималось такое значение Г, при котором 5 было минимально. Таким образом определялась зависимость Г (е) с точностью до 0,001.

Для контроля правильности нахождения величины циркуляции Г расчеты повторялись при заданном е для разных значений размера расчетной области о. Величина Г считалась найденной верно, если ее значение существенно не изменялось при повторном расчете с параметром 8, увеличенным в 1,5 раза.

Толщина пограничного слоя оказывалась различной для разных точек поверхности цилиндра: под критической точкой (0 = 90°)— больше, с противоположной стороны (0 = 270°) — меньше [за толщину пограничного слоя принималось то значение координаты у, при котором скорость U(x, у) отличалась от значения на границе U(x, 8) на \%]. Различие в толщине пограничного слоя становилось тем больше, чем больше задавался параметр в. При в = 0,24 отношение максимальной толщины пограничного слоя к минимальной становилось более двадцати.

Поэтому, чтобы сократить время расчета и повысить его точность, при больших s вводилось растяжение координаты у:

у'= 7)8 (Х), 0<Y]<1,

где функция

8 (х) = 8шт + (8щах — &min) Sin4

аппроксимирует толщину пограничного слоя. При е = 0,24, например, значения параметров следующие: 8max = 52, 8min = 2 (рис. 2).

Рис. 2

Штриховая кривая соответствует толщине пограничного слоя при з = 0(24.

В новых переменных (х, -ц) уравнения пограничного слоя и граничные условия принимают вид:

UUX - Ц- riUUV[ + -L VUn = + 2е cos а (Г + 2е sin *);

£/, + -^ч£/, + Х^=0;

U(x, 0)= 1;

V(x, 0) = 0;

U(x, 1) = Г -J— 2s sin x.

Уравнения (8) решаются при помощи той же схемы, что и уравнения (7).

В процессе решения для каждого значения параметра е, при соответственно подобранной Г, фиксируется минимальное значение скорости иты в пограничном слое. Это необходимо для определения момента возникновения отрыва, так как ему предшествует обращение скорости U (одновременно со своей производной Uy) в ноль в какой-либо точке пограничного слоя (см. [8, 9]).

Согласно описанной выше процедуре получена зависимость Г (г), представленная на рис. 3. Там же показан ход аналитической зависимости

Г = 1 — 3-г2 — 3,24г4

полученной в работе [2] методом возмущений для малых s.

На рис. 4 даны профили скорости U при г = 0,24, где в качестве нормальной координаты использована г\. Вычисления показывают, что точка минимума скорости U в пограничном слое располагается при 6 = 87° + 3° для всех е<;0,25. Ее нормальная координата при г — 0,24 -s-0,25 соответствует ж 0,15. Величина минимума скорости ит\п в зависимости от г представлена на рис. 5.

06-

ОМ-

В =90° 0 я” 270"

/ N у Ч

1 ..по

в = 0

180

0,2

1.0

1,2 и

Хорошо известно, что в точке, где скорость и стремится к нулю вместе со своей производной и у, толщина пограничного слоя неограниченно растет. Применительно к случаю движущейся стенки это показано в работах [8, 9]. В данной работе также при стремлении ит\а к нулю размер расчетной области 8шах растет, что не позволяет получить обращения £/тш в ноль. Максимальное значение е, для которого удалось провести расчет, было е = 0,25. Однако крутое падение графика итш(е) (рис. 5) достаточно убедительно показывает, что итт обращается в ноль при г ^0,26. Этой величине е соответствует Г ^0,78.

Расстояние /? от центра цилиндра до критической точки в невязком потоке определяется по формуле

Для е = 0,26 и Г = 0,78 получаем И = 2,6, т. е. отрыв пограничного слоя наступает задолго до того, как критическая точка достигнет поверхности цилиндра.

Следует, однако, заметить, что для значений е>0,2 принятое приближение пограничного слоя с заданным градиентом давления не является, вообще говоря, обоснованным, поскольку наблюдается изменение толщины пограничного слоя на конечном участке поверхности тела на порядок и более (см. рис. 2). Для более точного определения значения г, соответствующего отрыву, необходимо учесть толщину вытеснения.

В заключение автор благодарит В. В. Сычева за постановку задачи и внимание к работе, а также А. И. Рубана за полезные обсуждения и советы.

1. Swanson W. М. The Magnus Effect: A Summary of Investigations to Date. Journal of Basic Engineering, Transactions ASME, ser. D, vol. 83, N 3, September, 1961.

2. G1 a u e r 1 M, B. The flow past a rapidly rotating circular cylinder. 1957. Proc. Roy. Soc., A, N 1228, vol. 242.

3. Moore D. W. The flow past a rapidly rotating circular cylinder in a uniform stream. Journ. Fluid Мес., vol. 2, 1957.

4. Wood W. W. Boundary layers whose stream-lines are closed. Journ. Fluid Мес., vol. 2. 1957.

5. К о чин H. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М., Физматгиз, 1963.

6. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., „Наука*, 1974.

7. Нейланд В. Я., Сычев В. В. К теории течений в стационарных срывных зонах. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 1, 1970.

8. T е 1 i о n i s D. P., W е г 1 е М. J. Boundary-layer separation from downstream moving boundaries. Trans. ASME, ser. E, „J. Appl. Mech'., vol. 40, N 2, 1973.

9. Сычев Вик. В. О некоторых особенностях в решениях уравнений пограничного слоя на подвижной поверхности, ПММ, т. 44, № 5, 1980.

(СМ. [5]).

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 21jIV 1981 г.