Энергетический спектр и оптические свойства примесного комплекса в структурах с квантовыми точками

УДК 539.23; 539.216.1

В. Д. Кревчик, А. В. Левашов ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

ПРИМЕСНОГО КОМПЛЕКСА A+ + e В СТРУКТУРАХ С КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ

В рамках модели потенциала нулевого радиуса в адиабатическом приближении исследовано влияние кулоновского взаимодействия на оптические свойства комплекса A+ + e в квантовой точке, описываемой моделью «жесткой стенки». Аналитически получено дисперсионное уравнение для дырки, локализованной на A0 -центре. Показано, что изменение квантового состояния электрона приводит к существенному росту энергии связи дырки. В рамках адиабатического приближения, с учетом дисперсии радиуса квантовых точек, получено аналитическое выражение для коэффициента примесного поглощения квазинульмерной структуры с комплексами A+ + e в случае перехода

дырки, локализованной на A0 -центре, в состояния дискретного спектра адиабатического потенциала электрона. Выявлено, что адиабатический потенциал электрона приводит к нетривиальной зависимости коэффициента примесного поглощения от среднего радиуса квантовой точки.

В настоящей работе рассмотрена ситуация, когда в процессе возбуждения фотолюминесценции светом накачки в квантовой точке (КТ) возможно образование комплекса A+ + e , представляющего собой дырку, локализованную на A0 -центре и взаимодействующую с электроном, локализованном в основном состоянии КТ. Действительно, согласно работе [1, 2], при использовании метода двойного селективного легирования, например в квантовых ямах, сохраняется

вероятность нахождения некоторого количества A0 -центров, с которыми могут эффективно взаимодействовать неравновесные электроны и дырки с образованием комплексов A+ + e . Учет кулоновского взаимодействия между дыркой, локализованной на A0 -центре, и электроном ведется в рамках адиабатического приближения.

Цель настоящей работы состоит в теоретическом исследовании влияния кулоновского взаимодействия на энергию связи дырки в комплексе

A+ + e и оптического поглощения квазинульмерных структур.

1. Энергетический спектр комплекса A++ e

Рассмотрим задачу о связанных состояниях дырки в комплексе A+ + e , в КТ, потенциал конфайнмента которой моделируется сферически симметричной потенциальной ямой с бесконечными высокими стенками (модель «жестких стенок»). Как известно, движение электрона в поле такой потенциальной ямы описывается волновой функцией вида

/с Ч-v /с \ +1/ 2 (kl ,nr) /1ч

Vn,l,m

R0^ rJl+3/2

Потенциал примеси описывается в рамках модели потенциала нулевого 2 *

радиуса мощностью у = 2кН /(а/и ), который в сферической системе координат имеет вид

Уs

где а определяется энергией связанного состояния этого же A+ -центра в массивном полупроводнике; 8(x) - дельта-функция Дирака.

Будем предполагать, что в процессе фотовозбуждения дырка объединяется с нейтральным акцептором А0 с образованием А+ -центра. Взаимодействие электрона, локализованного в основном состоянии КТ с дыркой, локализованной на А0 -центре, будем рассматривать в рамках адиабатического приближения. Как известно [3], адиабатическое приближение приводит к задаче об изотропном трехмерном гармоническом осцилляторе. Характерными длинами задачи являются: ае и а^ - эффективные боровские радиусы электрона и дырки соответственно; Щ - радиус КТ; X-1 - радиус локализации

дырки на А0-центре; ап - характерная длина осциллятора. Теоретическое рассмотрение проводится в рамках метода эффективной массы, т.е. в предположении, что все характерные длины велики по сравнению с постоянной решетки. Рассмотрим случай X-1 << Щ и учтем взаимодействие электрона и дырки, локализованной на А0-центре. Электронный потенциал Упіт (г),

действующий на дырку, можно считать усредненным по движению электрона (адиабатическое приближение):

2 0

Уп1 т (ГУ~- |

Є 0

1 /- *\ 2

¥п ,і ,и (г 0

г - ге

йтє,

так что на дырку в случае і = т = 0 будет действовать сферически симметричный потенциал вида [4]

Уп^М--^^,

ЄЛ0 2

где

Рп =У0 - Сі

У0 = 1,781 - постоянная Эйлера; т* - эффективная масса дырки; Сі (х) - интегральный косинус; є - диэлектрическая проницаемость КТ, а частота юп

определяется следующей формулой:

-і!/2

ЙЮп

(2 л2 п1в1)/ Л0

Уровни энергии такого осциллятора даются в виде

2

т^п,0,0 е пя . * ( . . . 3^ /ПЛ

Еп1, п2,пЗ - рп + Йюп ^п1 + п2 + п3 +2^ ,

а соответствующие одночастичные волновые функции запишутся как

^П1,п2,пЗ (х. у. ^) = Спехр

где Сп =

x + у + z

2аП

2 >

Ґ л Ґ Л Ґ Л

Нп1 X К ап Нп 2 у К ап Нп3 z К ап ,

/-.пі+п2+пЗ . . ._3/2 3

2 Пі !п2 !пз an

-1/2

- , Hn

полино-

мы Эрмита; «, «2 , « - квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням гармонического осциллятора [5].

Для определения энергии связи дырки в комплексе А+ + е в адиабатическом приближении необходимо построить одночастичную функцию Грина О (г, Яа; Е^п) к уравнению Шредингера с гамильтонианом, содержащим потенциалы (2) и (4):

в\ г,Яа;Е

А +е

- I

п1,п2,п3

^пі,п2,п3

-^А +е

+ Йюп

где

7А++й

= |ЕАп| - е2РП /Ио) + 3ЙЮп/2 - энергия связи дырки в комплек-

се А+ + е, отсчитываемая от уровня энергии основного состояния осцилля-торной сферически-симметричной потенциальной ямы; Е^п = -Й2^2 /^2т*).

Суммирование в (9) по квантовым числам можно выполнить, воспользовавшись формулой Меллера для производящих полиномов Эрмита [6]. Используя стандартную процедуру метода потенциала нулевого радиуса [7], получим уравнение, определяющее зависимость энергии связи дырки

ЕА

-‘—'її

в комплексе А + е от параметров КТ и квантового числа п:

Л; =

7* А++е

\йге

Упг

2

* А++ е

ехр

Е

-г\

X

1 - е-

1 + е

-г

2і42І

(і - е-2г )3/2

где Е

* А++е

7А++е

/ Еи =лП- ^+ЗуЛ Уп я*/ (2^ п). я* = яа/ ал;

л

0

лг- = д/|Е-|/ Ей.

На рисунке 1 приведены результаты компьютерного анализа уравнения (10) для случая КТ на основе ТиБЪ. Можно видеть, что энергия связи дырки

оо

0

ЕА +е в комплексе А+ + е существенно возрастает с увеличением радиального квантового числа п, характеризующего состояние электрона в комплексе

А+ + е (ср. кривые 1 и 4). Таким образом, особенность энергетического спектра дырки, обусловленная адиабатическим потенциалом ее кулоновского взаимодействия с электроном, приводит к зависимости энергии связи дырки

в комплексе А+ + е от радиального квантового числа электрона в КТ.

еА

, мэВ

3

Яа , НМ

14,4 28,8 43,2 57,6 72

Рис. 1 Зависимость энергии связи дырки в комплексе Л+ + е в случае КТ 1и8Ъ (Я0 = 72 нм , \Б;\ = 5мэВ) от координаты Л+ -центра

при различных значениях радиального квантового числа электрона п:

1 - п = 1; 2 - п = 2; 3 - п = 3; 4 - п = 4; 5 - п = 10

2. Коэффициент примесного поглощения

Рассмотрим теперь примесное поглощение света в структурах, содержащих КТ с комплексами Л+ + е с учетом кулоновского взаимодействия электрона и дырки. Действительно, для материалов с те  т^ (те и т^ -

эффективные массы электрона и дырки) кулоновский потенциал электрона, действующий на дырку, можно считать усредненным по быстрому движению электрона (адиабатическое приближение). В случае если электрон находится на нижнем уровне зоны размерного квантования, этот потенциал имеет минимум в центре сферически-симметричной квантовой точки и может быть записан в виде (4).

Таким образом, учет кулоновского взаимодействия приводит к появлению для дырки дополнительной потенциальной ямы, глубиной порядка

2

е / е^0. Роль дополнительной потенциальной ямы в формировании энергетического спектра дырок существенным образом зависит от соотношения глубины ямы и энергии размерного квантования дырок. Относительный вклад этих величин зависит от размера КТ и может быть оценен по порядку величины. Действительно, энергия кулоновского взаимодействия, пропорциональная е / еЛо, будет больше энергии размерного квантования дырок,

5

6

4

5

3

4

2

1

которая пропорциональна Й2/ т^Я^ при значениях радиусов КТ, удовлетворяющих условию Яо > аь .

Таким образом, для полупроводниковых материалов с те  т^ энергетический спектр дырок определяется усредненным по движению электрона потенциалом кулоновского взаимодействия, а не размерным квантованием [4].

В этой связи возможен новый механизм примесного поглощения света

в квазинульмерных структурах с комплексами А+ + е, связанный с оптическим переходом дырки в состояния дискретного спектра адиабатического потенциала электрона.

Пусть А+ -центр локализован в точке Яа = Яа (0,0,0), локальный уровень энергии Е^п его связанного состояния расположен ниже дна параболического потенциала, а электрон находится соответственно в основном состоянии (^-состояние, п = 1) КТ.

Волновая функция дырки, локализованной на А0 -центре, когда электрон находится в основном состоянии, дается выражением

П1 (г ) —

^ X Л ^

3 + М

4 2

V_____і

1+£к 4 2

л

V

/

-3/4

2л2 а31

ґ х Л

31 £^1

4 2

V V 1

¥

¥

^ х 'Л

3 + £Я1

4 2

V уУ

ах1

W

£І1.1 2 ’4

2

V ах1 У

,

где £^1 3Я* /2л2 л2 — 2Р{/2), а^1 — а2д/3"^о3/2л2, к — ае /а^,

Wаp(z) - функция Уиттекера; ¥(^) - логарифмическая производная

гамма-функции.

Используя рекуррентные соотношения между шаровыми функциями и свойства ортогональности, легко можно показать, что выполняются стандартные правила отбора дипольного электрического излучения, таким образом, оказывается возможным переход только в р-состояние с т — 0.

Матричный элемент в боровских единицах можно представить в виде

2 Я*3 Бка*10 /г

31/2 лХ

пГ !Г2

л

V

г

3Я*3 V

2пГ + 5 |--^- + гц2

Г 2) Я0 11

о

х

/

х-

1 Г(2 )Г

Л

3 £^1

- + -Л1 + п

4 2 ;

V_______________і

^3 + £М ^ А

4 2

11 41

— + + п,

Л

х Л ^ 3+£А1 4 2

V______і

1+£к

V

У

^ ^ х \

3 + £М

4 2

V V у

¥

¥

^ х 'Л

4 2

V уу

х

х 2

Г 2 \

—I- пг ,2; —I—— + пг; 0

2 г 4 2 г

где тц \Exi\fЕк , X = Йю/Еь , ^0 = к0/ аН •

Коэффициент поглощения К(2^Х) с учетом дисперсии радиусов КТ будет определяться формулой

к(я )(х ) = «2| з

. 2 ,,2 )«;1/2г1^+ 5

!

Хп,- !Г2[|

х

/

л и 8 (2пг+ 2) _л

3Яо383 0 п, *0

х

Г 2 IГ(2)Г

^ я-п ) )2 ^

3 ж

— + + пг

4 2 г

V

У

3 + <1пг Г

4 2

V У

11 <1"г '

— + + "

4 2

3+М3

4 2

V

1 о*';", )

1+ °^1

4 2

V

{ г ¥

$;"- ^ 3 + 1'

4 2

V V У V

¥

я;п

3+М.

4 2

;п_ Л)

х

У У

2

5 11 е?1"г

2пг -—,2;---------1-------- пг ;0 х

г 2 4 2 г

\2/3

х

X-т2+#

5/3

я

о У

здесь Р (м) - функция Слезнова-Лифшица [8],

34 ей 2ехр

Р (м ) =

25/3 (м + 3)7/3 (3/2 - м) 0,

\11/3 ’

м < 3/2,

м > 3/2,

и соответственно

^1

8пг =

3Я*383 А

и Г!

8л2

т,-

л

0

+2

2Й

*

\2/3

Я

0 У

пг =1

г

где и = Л^/^0 ; к0 - средний радиус КТ; соответственно = Л^/ан ; N0 -

концентрация квантовых точек в материале, Иг = [С ] - целая часть числа С, определяемого следующим выражением:

9^/цЛ0(з1^Т1ч

с = -

16л

5

4'

Пороговое значение энергии фотона X^ в боровских единицах опре деляется как

2Р1

2 20л

ХгИ = Л1 + _ —*з/2 -* •

9 Щ

На рисунках 1 и 2 представлены спектральные зависимости коэффициента

примесного поглощения квазинульмерной структуры с комплексами А+ + е . Из рисунков 1 и 2 видно, что при увеличении среднего радиуса КТ коэффициент примесного поглощения уменьшается (ср. рис. 1,б и 2), т.к. при увеличении Що уровни энергии параболической ямы сдвигаются в сторону дна валентной зоны и расстояния между локальным уровнем энергии А+ -центра |£^1І и размерными уровнями параболической ямы становятся больше.

а)

Рис. 1 Спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения света в КТ ІиБЬ, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице при ІЕ-І = 3 мэВ : а - Що = 58 нм; б - Що = 72 нм

а)

б)

Рис. 2 Спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения света в КТ 1и8Ъ, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице: а - Е\= 3 мэВ , Яо = 108 нм ; б - |£;| = 5 мэВ , Яо = 72 нм

Таким образом, наличие электронного адиабатического потенциала в КТ приводит к нетривиальной зависимости коэффициента примесного поглощения, а также края полосы примесного поглощения от среднего радиуса КТ.

Список литературы

1. Иванов Ю. ЛПетров П. ВТонких А. АЦырлин Г. ЭУстинов В. М. // ФТП. - 2003. - 37 т. - С. 1114.

2. Авиркиев Н. С., Жуков А. Е., Иванов Ю. Л. [и др.] // ФТП. - 2004. -38 т. - С. 222.

3. Эфр ос Ал. Л., Эфрос Ф. Л. // ФТП. - 1982. - 16 т. - С. 1209.

4. Екимов А. И., Оеущенко А. А., Эфрос Ал. Л. // Письма в ЖЭТФ. -

1986. - 43. - С. 292.

5. Флюге, З. Задачи по квантовой механике / З.Флюге. - М. : Мир, 1974. - 1 т.

6. Бейтман, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтман, А. Эрдейи. - М. : Наука. - 1 т.

7. Кревчик В. Д., Левашов А. В. // ФТП. - 2002. - 36 т. - С. 216.

8. Лифшиц И. М., Слезнов В. В. // ЖЭТФ. - 1958. - 35 т. - № 2 (8). - С. 479.