Модель разрушения хрупких и квазихрупких материалов и геосред

УДК 539.4

Модель разрушения хрупких и квазихрупких материалов и геосред

П.В. Макаров1,2, М.О. Еремин2

1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 2 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

В работе предложены общая модель и единый математический формализм описания неупругой деформации и разрушения различных твердых тел, как хрупких, так и пластичных, как процесса их эволюции в полях действующих сил. Нагружаемые твердые тела и среды описываются как нелинейные динамические системы. Одна из главных задач настоящей работы состоит в том, чтобы показать, что численные решения уравнений механики деформируемого твердого тела демонстрируют фундаментальные свойства нелинейных динамических систем — самоорганизованную критичность и наличие двух стадий эволюционного процесса (сравнительно медленной квазистационарной стадии и сверхбыстрой катастрофической — режима с обострением), если задача деформирования и разрушения прочной среды сформулирована как задача ее эволюции в полях действующих сил. Модель тестируется с помощью моделирования разрушения квазихрупких композитов при их осевом сжатии. Приведены также расчеты современных тектонических течений и сейсмического процесса в Центральной Азии, включая Байкальскую рифтовую зону и Алтае-Саянскую складчатую область. Показано, что численные решения всех рассматриваемых задач неупругого деформирования и разрушения нагружаемых сред демонстрируют свойство самоорганизованной критичности, включая особенности медленной динамики и пространственно-временную миграцию деформационной активности, а также развитие разрушения в две стадии — квазиравновесной стадии сравнительно медленного накопления средой повреждений и сверхбыстрого катастрофического режима. Расчетные сейсмические события выражают закон Гутенберга-Рихтера (закон повторяемости сейсмических событий).

Ключевые слова: квазихрупкое разрушение, нелинейные динамические системы, самоорганизованная критичность, квазиста-ционарная фаза, режим с обострением, миграция деформационной активности

Fracture model of brittle and quasibrittle materials and geomedia

P.V. Makarov1,2 and M.O. Eremin2

1 Institute of Strength Physics and Materials Sciences, SB RAS, Tomsk, 634021, Russia 2 National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia

A general model and a unified mathematical formalism are proposed for description of inelastic deformation and fracture of any solid, be it brittle or plastic, as its evolution in effective force fields. Loaded solids and media are considered as nonlinear dynamic systems. One of the main tasks of the work is to show that numerical solutions of equations of solid mechanics do demonstrate the fundamental properties of nonlinear dynamic systems — self-organized criticality and two-stage evolution (a rather slow quasistationary stage and a superfast catastrophic stage or a blowup mode) — providing that the deformation and fracture problem for a strong medium is formulated as a problem of its evolution in effective force fields. The model is tested by simulation of fracture of quasibrittle composites under axial compression. Calculations are also presented for the now developing tectonic flows and seismic processes in Central Asia, including the Baikal rift zone and the Altai-Sayany folded region. It is shown that numerical solutions of all examined problems of inelastic deformation and fracture of loaded media demonstrate self-organized criticality, including peculiarities of slow dynamics and spatial-temporal migration of deformation activity, and also two-stage fracture: comparatively slow quasi-equilibrium damage accumulation and superfast catastrophic fracture. The predicted seismic events obey the Gutenberg-Richter law.

Keywords: quasibrittle fracture, nonlinear dynamic systems, self-organized criticality, quasistationary phase, blowup mode, migration of deformation activity

1. Введение. Обобщенные условия пластичности и хрупкого разрушения

Разработка достаточно общей и целостной методологии моделирования неупругого деформирования и разрушения твердых тел и сред остается актуальной и далеко незавершенной проблемой механики деформи-

руемого твердого тела. Подобная методология должна базироваться на наиболее общих физических и математических идеях и должна позволять описывать неупругое деформирование и макроразрушение любой прочной среды (хрупкой и/или пластичной) в полях действующих сил.

© Макаров П.В., Еремин М.О., 2013

Такими общими идеями и методами являются, на наш взгляд, представления о нагружаемой прочной среде как о многомасштабной нелинейной динамической системе [1-4], а наиболее общей методологией является методология нелинейной динамики [5-7], что позволяет изучать деформационные процессы как эволюционные.

В представленной работе развиваются идеи математической теории эволюции нагружаемых твердых тел и сред [4, 8]. Одна из главных задач работы состоит в том, чтобы на примерах численного решения тестовых задач неупругой деформации и разрушения квазихруп-ких тел и сред показать, что численные решения уравнений механики деформируемого твердого тела демонстрируют важнейшее фундаментальное свойство нелинейных динамических систем — свойство самоорга-низованной критичности. Другая задача заключается в том, чтобы продемонстрировать способность развиваемого подхода к описанию макроразрушения как сверхбыстрого катастрофического этапа эволюции нагружаемой прочной среды — режима с обострением [9, 10].

Одной из центральных проблем механики деформируемого твердого тела остается проблема формулировки условий или критериев разрушения. В настоящей работе эта проблема также решается на основе идей математической теории эволюции нагружаемых твердых тел и сред [9, 10]. Материал считается разрушенным, когда его прочностные параметры в ходе эволюционного процесса деградируют до нуля.

Такая точка зрения не согласуется с традиционными представлениями механики деформируемого твердого тела. Согласно традиционным представлениям механики разрушения, локальное разрушение в твердом теле происходит при достижении предельной нагрузки. Весь опыт применения этого подхода к решению задач предельного проектирования показал его приемлемую работоспособность и корректность для решения многих практических задач. Однако мы ничего не можем сказать о самом процессе разрушения, тем более о его прогнозе. Даже если решается динамическая задача, время разрушения никак не связано со свойствами среды и будет определяться скоростью роста упругих напряжений, которые полностью определены скоростями приложения внешних нагрузок. Если к телу приложена некая постоянная или переменная нагрузка, можно вычислить только соответствующее напряженно-деформированное состояние и ответить на вопрос, достигнута ли где-либо предельная нагрузка. В ряде важных случаев при решении инженерных задач такие ответы оказываются полезными и достаточными, но сказать что-либо о механизмах и сценариях формирования очага разрушения невозможно.

Колоссальное значение для механики разрушения имеет сформулированная Дж.Р. Ирвином и Э. Орованом концепция квазихрупкого разрушения. Она ознаменовала переход от идеального материала в концепции Гриф-

фитса к реальным, в том числе и к пластичным материалам. Оказалось, что макроскопически хрупкий излом на более мелких масштабах вблизи поверхности излома всегда содержит заметные неупругие деформации [11, 12]. Последнее означало, что разрушение и пластическое деформирование — процессы многомасштабные. Механика деформируемого твердого тела в рамках традиционных макроскопических представлений, базирующихся на силовых критериях, оказалась не готовой к решению подобных многомасштабных задач. И если в изучении режимов развития отдельных единичных трещин было получено много важных результатов (см., например, обзоры [11, 13]), то решение проблемы разрушения материала, образца или конструкции как многомасштабной нелинейной системы сугубо макроскопический подход предложить не смог.

Предлагаемые критерии перехода материала в пластическое состояние или к разрушению никак не учитывали время приложения нагрузки, что вообще исключало возможность предсказывать время наступления разрушения. Однако огромный накопленный экспериментальный материал позволил сформулировать механикам ключевые идеи и на качественном уровне сформировать правильные представления об особенностях неупругого деформирования и последующего разрушения «пластичных» и «хрупких» сред. Так, еще H.H. Да-виденков в 50-х годах прошлого века писал, что следует говорить не о пластичных и хрупких телах, а об их хрупком или вязком отклике на нагружение, и предложил схему, описывающую переход нагружаемого материала из вязкого состояния в хрупкое. Понимание этого фундаментального свойства материалов позволило в дальнейшем сформулировать концепцию о невозможности описания предельного состояния материала одним уравнением [12]. Таким образом, в зависимости от вида напряженно-деформированного состояния материал может разрушаться как хрупко (отрывом) от нормальных напряжений, так и пластически (срезом) от касательных напряжений. Из этого был сделан фундаментальный вывод, что форма предельной поверхности и ее свойства полностью определены тремя параметрами напряженного состояния — октаэдрическим нормальным напряжением стос(, октаэдрическим сдвиговым напряжением Toct и видом напряженного состояния (параметром

Лоде-Надаи) [12].

Еще в 70-х годах прошлого века была установлена фундаментальная закономерность разрушения любых материалов: полному разрушению (любому, не только усталостному) предшествует более или менее значительный подготовительный период. Например, для силикатных стекол, разрушение которых рассматривалось как мгновенное, скорость развития трещины в начале процесса оказалась в тысячи раз меньше, чем на заключительном этапе [11], и это при том, что процесс разрушения в целом укладывается в несколько миллисекунд.

Было понято также главное — проектировать и изготовлять конструкции надо таким образом, чтобы развитие трещин (поскольку они уже есть) было бы устойчивым и желательно предсказуемым процессом в широком диапазоне допустимых нагрузок, а сверхбыстрая критическая стадия была бы отодвинута как можно дальше.

Оказалось, что в устойчивом состоянии трещина не развивается, если внешняя нагрузка постоянна и меньше некоторого критического значения [11]. Другим фундаментальным результатом классической механики разрушения является то, что малое приращение внешней нагрузки dP приводит к такой же малой величине прироста длины или площади трещины при условии ее устойчивого состояния. Следовательно, для устойчивой трещины справедливо неравенство йР/& > 0, в неустойчивом закритическом состоянии при неограниченном росте трещины — 1Р/^ < 0 [11]. Трещина начинает развиваться при достижении нагрузкой некоторой критической величины [11, 12], и на этой закритической стадии скорость процесса разрушения возрастает на многие порядки. Следовательно, разрушение необходимо изучать как процесс, переходящий на заключительной стадии в катастрофический сверхбыстрый режим — режим с обострением согласно терминологии нелинейной динамики [9, 10], и только динамика может дать ответ на решение проблемы разрушения и описать различные сценарии формирования очага разрушения.

Критические значения нагрузок были получены как на основе энергетических соображений [14], так и на основе силовых критериев, впервые сформулированных Дж.Р. Ирвином. Для нас здесь важна эквивалентность этих двух подходов (энергетического и силового), показанная в [15, 16].

Понятно, что первоначально вслед за основополагающими работами А. Гриффита и Дж.Р. Ирвина механика разрушения сосредоточила внимание на закономерностях развития единичных трещин. Главные направления этих исследований можно сформулировать как следующие: 1) прочность твердых тел и сред с трещинами; 2) геометрия трещин и напряженно-де формированное состояние вблизи трещин; 3) динамика трещин [11]. Решение задач о совместном развитии двух или нескольких трещин на основе этих классических подходов встретилось с практически непреодолимыми математическими трудностями и ограничениями усредненного макроскопического подхода.

Бурное развитие идей и методов нелинейной динамики в эти же годы и в последующие десятилетия позволило С.П. Курдюмову с учениками сформулировать новую концепцию сверхбыстрых катастрофических этапов эволюции нелинейных систем (режимов с обострением) [9, 10] и аналитически и численно изучить виды и особенности этих режимов. Базовым уравнением, демонстрирующим режимы с обострением в работах С.П. Курдюмова, было нелинейное уравнение тепло-

проводности. Оказалось, что пространственная локализация распределения параметров в любой нелинейной системе приводит к локализации процесса во времени. Наступает сверхбыстрый катастрофический этап эволюции — режим с обострением [9, 10].

Эти идеи и полученные на их основе качественные результаты являются ключевыми и для понимания процесса разрушения [3, 4, 8]. В рассматриваемом случае хрупкого или квазихрупкого разрушения (а также при разрушении любых материалов и конструкций, пластичных металлов, хрупких бетонов, горных пород, геосред и т.д.) подготовительный процесс накопления неупругих деформаций или повреждений в хрупких средах локализуется в определенных областях. Эта подготовительная квазистационарная стадия в силу свойства са-моорганизованной критичности деформируемого твердого тела как нелинейной динамической системы рано или поздно переходит в сверхбыструю катастрофическую стадию — режим с обострением по Курдюмову [3,

4, 8, 17, 18]. Понятно, что любой прогноз разрушения в принципе не возможен без изучения особенностей развития этих стадий и условий перехода стадии устойчивого развития разрушения в неустойчивый сверхбыстрый режим.

Для настоящего исследования важно то, что фактически уже в рамках традиционных подходов механики разрушения было обращено внимание на существование квазистационарной подготовительной стадии разрушения, связанной с накоплением неупругих деформаций и/или повреждений на масштабах существенно меньших, чем изучаемый макроскопический масштаб, а также на наличие сверхбыстрого катастрофического этапа разрушения на закритической неустойчивой стадии разрушения. Однако удовлетворительных математических моделей описания этих стадий и процесса разрушения в целом как многомасштабного явления традиционная механика не смогла предложить. Для решения этих задач и корректной постановки проблемы прогноза разрушения нужны были принципиально новые идеи и подходы, которые и были сформулированы в рамках подходов физической мезомеханики материалов [1, 2] и нелинейной динамики [3-7].

Идеи физической мезомеханики, согласно которым процессы неупругой деформации и разрушения развиваются во всей иерархии масштабов, начиная от масштабов, соизмеримых с межатомными расстояниями, вплоть до макроскопического масштаба, равного характерному размеру исследуемого образца, являются в настоящее время общепризнанными. Достигнуто также понимание, что ключевое место занимает так называемый мезоуровень, объединяющий группу мезоскопических масштабов, отражающих наиболее значимые структурные элементы, ответственные за ведущие механизмы деформационных процессов. Базовые идеи и принципы физической мезомеханики достаточно полно

изложены, например, в работах [1, 2]. Физическая мезо-механика рассматривает нагружаемое твердое тело или среду как нелинейную иерархически организованную динамическую систему, эволюция которой осуществляется по законам нелинейной динамики. Было также показано, что для обеспечения правильных качественных результатов при моделировании, а во многих случаях и хорошего количественного согласия, явный учет многих масштабов является избыточным [4, 8] и вполне достаточно для описания трех масштабных уровней: макроскопического усредненного уровня, мезоуровня, на котором явно вводятся в рассмотрение наиболее значимые структурные элементы (например, в случае керамического композита это матрица и жесткие упрочняющие частицы, включая их интерфейсы), и микроуровня — уровня, интегрально учитывающего более мелкие масштабы, чем мезоскопический масштаб явного учета структурных элементов. Обычно этому уровню описания соответствуют некие кинетические уравнения, описывающие вклады в макроскопическую деформацию и/или разрушение частиц, вносимые микроскопическими масштабами [4, 19].

Таким образом, разрушение есть многомасштабный иерархически организованный процесс, а нагружаемое твердое тело — нелинейная динамическая система, которая эволюционирует под приложенными нагрузками по законам нелинейной динамики.

Математическая теория эволюции твердых тел и сред объединяет как базовые идеи традиционной механики деформируемого твердого тела, так и методы, подходы и идеи физической мезомеханики материалов и нелинейной динамики.

В основе математической теории эволюции твердых тел и сред лежат уравнения механики деформируемого твердого тела как фундаментальные уравнения математической физики, отражающие самые общие природные законы сохранения массы, импульса, моментов импульса и энергии [4]. Все многообразие физических механизмов неупругой (пластической) деформации и процессов дилатансии, т.е. развития несплошностей разных масштабов и различной физической природы, на этом феноменологическом уровне описания интегрально отражается путем задания нелинейных функций отклика среды на нагружение — эволюционными определяющими уравнениями первой и второй групп. Определяющие уравнения первой группы соответствуют уровню усредненного макроскопического описания. Эти уравнения задают связи между макроскопическими усредненными параметрами среды: скоростями изменения напряжений и скоростями неупругой деформации, а также скоростями накопления средой несплошностей (повреждений). В них должны также входить источники неупругой деформации и повреждений, на которых могут возникать нестационарные диссипативные структуры [4]. Эти уравнения должны также включать поло-

жительные и отрицательные обратные связи между параметрами. Такие обратные связи являются регуляторами образования различных структур в нагружаемой среде [4, 20]. Другая фундаментальная функция обратных связей заключается в формировании конкретных сценариев эволюции деформируемой среды. В частности, они играют определяющую роль в переходе процесса разрушения от квазистационарной фазы эволюции в сверхбыстрый катастрофический режим. Именно конкуренция стабилизирующей роли отрицательной обратной связи и дестабилизирующей положительной обратной связи во всей иерархии масштабов приводит к тому, что неупругое деформирование и разрушение есть последовательность нарастающих катастроф, разделенных квазиравновесными стадиями сравнительно медленного процесса накопления повреждений.

Эволюционные уравнения второй группы — это кинетические уравнения, задающие скорости накопления неупругой (пластической в том числе) деформации или скорости накопления повреждений. Эволюционные уравнения второй группы устанавливают связи между макроскопическим уровнем описания и процессами на более мелких масштабах, т.е. на «микроуровне». В настоящем контексте под «микроуровнем» понимается иерархия масштабов, которые не вводятся явно в рассмотрение, а учитываются интегрально путем задания соответствующих кинетик накопления различного рода несплошностей и повреждений средой. Определяющие уравнения второй группы включают также уравнения, отражающие изменения усредненных макроскопических прочностных характеристик среды или геоматериала. Они включают как скорости деградации прочностных характеристик за счет накопленных повреждений, так и скорости восстановления прочности вследствие «залечивания» повреждений, если этот процесс имеет место [4].

В качестве предельной поверхности в настоящей работе взята поверхность, удовлетворяющая требованию обобщения условий пластичности и хрупкого разрушения [12] и учитывающая вид напряженного состояния. Общий вид такой поверхности может быть записан в следующей форме:

/Кеи Тх*. . С) = °.

Здесь с — некоторые материальные характеристики среды, отражающие в данном случае различное сопротивление хрупкого материала растяжению и сжатию;

— параметр Лоде-Надаи.

В работе [21] на основе обобщения гипотезы Кулона-Мора Д. Друкером и В. Прагером было сформулировано условие текучести следующего вида:

которое частично удовлетворяет условию (1) (нет зависимости от вида напряженного состояния) и учитывает

внутреннее трение а и дилатансию. Причем, согласно понятию пластического потенциала, который в случае ассоциированного закона пластического течения совпадает с функцией текучести (2), для скоростей неупругой деформации еР получается [21] следующее выражение:

<аа)

Следовательно, в модели Друкера-Прагера дилатан-сия еР является величиной зависимой, полностью определенной параметром внутреннего трения а:

Мы в своих расчетах будем пользоваться модификацией уравнений (2), (3), предложенной В.Н. Николаевским [22] и подробно изученной в [19, 23], в которой дилатансия независима от внутреннего трения, что приводит к неассоциированному закону неупругого деформирования материала [22]. Как показано в [19, 22], эта модель хорошо описывает как поведение грунтов, так и горных пород, в частности песчаников.

В представленном варианте модели неупругая деформация квазихрупкого материала обеспечивается накоплением повреждений на микроуровнях и описана приведением напряжений к мгновенной предельной поверхности. Эта процедура, как было показано С.С. Григоряном в кратком комментарии к работе Уилкинса [24], эквивалентна теории неупругого течения. Таким образом, накапливаемая незначительная неупругая деформация соответствует стадии предразрушения квазихруп-кого материала. Функция меры поврежденности среды D описывается кинетическим уравнением и зависит от вида напряженного состояния цО. В модель введена процедура деградации прочностных характеристик материала и упругих модулей по мере накопления средой повреждений. На заключительной сверхбыстрой катастрофической стадии предразрушения скорость деградации возрастает на многие порядки, что приводит в соответствующих локальных областях к обвальной деградации прочностных параметров материала — режиму с обострением, Y^ 0 в (2), т.е. материал считается разрушенным.

Понимание того, что макроразрушение происходит в областях деградированного материала с пониженными прочностными характеристиками, было достигнуто давно. Так, в монографии [12] в разделе «Механические теории предельного состояния» указано: «при разрушении срезом образование трещины подготавливается пластической деформацией под действием касательных напряжений (2-го рода). Происходит «разрыхление» материала (т.е. накопление повреждений и дефектов на микромасштабах), и силы сцепления по площадкам скольжения снижаются до нуля». Однако должного отражения в макроскопических моделях этот факт не на-

шел и критериальные теории предельного состояния исходят из того, что разрушение происходит при достижении в материале максимальных предельных напряжений. Кроме того, разрушение рассматривалось как мгновенный акт, в то время как это длительный процесс накопления дефектов и повреждений во всей иерархии масштабов, включая и всю устойчивую квазистационар-ную стадию, предшествующую сверхбыстрому катастрофическому режиму, который, в свою очередь, полностью подготавливается и определяется квазистацио-нарной стадией.

Таким образом, стадия лавинного роста скорости неупругой деформации и, как результат, катастрофической деградации прочности материала и есть собственно разрушение материала в представляемой модели. Такой подход снимает известные противоречия между описанием неупругой деформации, предваряющей разрушение материала, и соответствующими расчетами на прочность.

Действительно, в развиваемом подходе на макроскопическом уровне континуального описания деформируемая среда остается консолидированной, пусть и с существенно пониженными прочностными характеристиками. Такой взгляд на деформационный процесс на формальном уровне описания не делает различия между пластическим деформированием и разрушением в общепринятом традиционном понимании этих процессов в рамках усредненного макроскопического подхода, например, между пластическим течением металлов и ква-зихрупким деформированием горных пород или геосред. И в том и в другом случае изучается неупругая деформация нагружаемой среды, в процессе которой нарастает деградация прочностных параметров среды за счет накапливаемых дефектов. Термин «неупругая» деформация подразумевает, что деформационный процесс остается непрерывным, а среда — сплошной только на макроуровне и обеспечивается дискретными актами неупругого деформирования, т.е. разрушениями на микро- и мезоуровнях, накапливаемыми дефектами разных масштабов и различной физической природы. Такой общий подход позволяет отвлечься от множества конкретных механизмов и сосредоточить внимание на общих закономерностях деформационных процессов в твердых телах как нелинейных динамических системах. Заметим, что при а = Л = 0 в определяющих отношениях (2), (7) и (8) получаем модель пластического течения Прандтля-Рейса, в которой скорость пластических сдвигов еР может быть, например, описана уравнением Орована еР = ЬЩс(ст) и соответствующей дислокационной кинетикой [19] (Ь — модуль вектора Бюргерса, И/— плотность подвижных дислокаций, р(ст) — средняя скорость дислокаций). Таким образом, конкретизируя функции отклика деформируемого материала на нагружение (определяющие уравнения второй группы), можно вводить в рассмотрение различные механизмы,

контролирующие процессы неупругого деформирования хрупких и пластичных твердых тел и сред. Во всех случаях общая феноменология описания деформационного процесса и математический формализм остаются неизменными.

Согласно мнению А.Х. Коттрелла: «Теории, объединяющие феноменологию разрушения, должны исходить только из общих свойств, присущих всем или большинству твердых тел, и не должны использовать специальные механизмы (например, процессы, связанные с участием дислокаций), присущие только некоторым из них» [25]. Такими общими свойствами в деформируемых твердых тел как нелинейных динамических систем являются свойство самоорганизованной критичности, наличие в нелинейной системе медленной динамики, а также развитие деформационного процесса на заключительной стадии в режиме с обострением.

2. Математическая постановка задачи. Модель квазихрупкой среды

В соответствии с эволюционной концепцией описания процессов неупругого деформирования и последующего разрушения [4] полная система уравнений включает фундаментальные законы сохранения массы, количества движения и энергии, а также эволюционные уравнения первой и второй группы.

Фундаментальный закон сохранения массы записывается как

—+ р<1гу V = 0,

&

количества движения &и1 дац „

Р~лГ = ~ГГ + Р^ ’

d t д х]

энергии

а е = 1 ё t р ^ а t

Эволюционные уравнения первой группы записываются в релаксационной форме (6). Это означает, что приращения напряжений Да, = пропорциональны

приращениям полных скоростей деформаций е,, а ре-лаксируют напряжения пропорционально развитию неупругой скорости деформации е Р. Процедура снесения напряжений на мгновенную предельную поверхность будет означать мгновенную релаксацию напряжений на каждом временном шаге до некого динамического равновесия, определяемого релаксацией и скоростью деградации прочностных и упругих параметров среды. При еР >е, в (6) Да, < 0, идет релаксация, реализуется отрицательная обратная связь, стабилизирующая деформационный процесс в состоянии динамического равновесия [4, 20], определяемого текущим значением прочностных параметров. При еР < е, Да, > 0 и напряжения растут, увеличивая скорость генерации неуп-

ругих деформаций или повреждений. В этом случае непосредственно реализуется положительная обратная связь, приводящая к катастрофе — макроскопическому разрушению. Определяющую роль перехода эволюции прочности среды в сверхбыстрый катастрофический режим будут играть особенности накопления средой локализованных неупругих деформаций и соответствующая деградация физико-механических параметров, о чем будет сказано далее:

а, = М0‘ -0р)5« + 2ц(в, -еР),

а, = -Р5, + SІJ, Р = -К

DS

Dt

- = - Sik ,к - S,к (&1к,

дг1 др,: з7

1

<°и = -

У 2

дг1

дxJ дх1

где D/Dt — коротационная производная Яумана, учитывающая поворот элементов среды при деформировании.

Задачей эволюционных уравнений второй группы является определение скоростей неупругих деформаций в уравнениях (6). В общем случае это кинетические уравнения, задающие скорости неупругой деформации и обеспечивающие релаксацию упругих напряжений в (6) [4]. В настоящей работе компоненты тензора скоростей неупругой деформации определим в соответствии с теорией пластического течения и мгновенной релаксации напряжений на каждом временном шаге.

Предельная поверхность напряжений записана в форме Мизеса-Шлейхера (2) и является обобщением критерия текучести Кулона-Мора. За основу взята модель Друкера-Прагера-Николаевского с неассоциированным законом течения, позволяющая описывать процесс дилатансии как независимый от внутреннего трения. В случае неассоциированного закона неупругого течения пластический потенциал не совпадает с функцией текучести и для предельной поверхности (2) записывается в виде [19, 22, 23]:

ё(а,) = ^2 +Л Jl I 2¥-у31 1 +

компоненты тензора скоростей неупругой деформации определятся следующим образом [19, 22]:

А,

ДР = 2Л(/Р)1/2,

что позволяет установить связь между объемной и сдвиговой составляющими пластической деформации (второе уравнение в (8), где Л имеет смысл коэффициента дилатансии). Однако модель не связана с видом напря-

женного состояния. Эта зависимость будет прописана при задании скорости накопления повреждений.

Разрушение материла в развиваемом подходе описано как процесс обвальной деградации прочности материала до нуля при формировании трещины на сверхбыстрой катастрофической стадии эволюции напряженно-деформированного состояния. Эта стадия является завершающим этапом предразрушения, и среда остается консолидированной при Y ^ 0. Следовательно, остаются справедливыми все уравнения неупругого деформирования (1)-(8). Нет также необходимости вводить в модель прочностные параметры, определяющие «предельное» состояние материала. По развиваемым в настоящей работе представлениям предельное состояние должно формироваться в нагружаемой среде по мере накопления в ней неупругих деформаций — повреждений. Необходимо только задать величину Y0 — исходную прочность материала.

Согласно идеям классиков кинетической концепции разрушения (Н.С. Журкова, A.B. Степанова, Р. Беккера, Я.И. Френкеля и др.) [26-30], для того чтобы довести неповрежденный кристалл до состояния локального сдвига, надо совершить работу, пропорциональную разнице свободных энергий F идеального кристалла и кристалла в текущем состоянии:

А(ст)~ V(ст0 -ст2)/(2ц), где V— объем; ст0 — значение теоретической прочности. Вслед за Р. Беккером [30], предложившим, что А(ст)~ V(Сто -атек)2/(2^) (сттек — текущее напряжение, действующее на объем материала) в механике разрушения широко стали применять феноменологические выражения для оценки меры накопления повреждений D следующего вида:

D = J(a° - fTeK) dt,0 < D < 1. о ст»4

Э. Орован первым связал прочность кристалла с его структурным состоянием, наклепом и упрочнением. Он положил энергию активации зависящей только от величины пластической (неупругой) деформации и принял, что Аст = ст- ст0 = hep, где h — коэффициент деформационного упрочнения [31]:

F (ст)~ h2V ер/(2ц).

Для задания функции меры поврежденности нагружаемой среды воспользуемся этой идеей Орована. Анализ и критику различных подходов к виду записи зависимостей для запасенной энергии при неупругой деформации можно найти, например, в [32].

Функцию деградации среды D = D(t, , е) в ее

простейшем варианте представим в виде зависимости от накапливаемой средой неупругой деформации ер и вида напряженного состояния. Это феноменологическое выражение (9) соответствует идее Орована о пропорциональности энергии активации, необходимой для

доведения объема среды V до состояния локального сдвига, накапливаемой пластической (неупругой) деформации, т.к. етек -ео = ер:

D = 1

[(£тек -£0 У + ^1(етек -е0 )2]di

e2f

е*=Ео*(1 + Ца )n, Y = Yo(1-D), D < 1, ц =2^3-1

c 2 C _ <T 1 °1 °3

где етек — второй инвариант тензора полной деформаций; е0, е0 — начальные степени деформации на упругой стадии, при достижении которых в материале начинается накопление повреждений в областях сжатия и растяжения соответственно, причем е0 << е0. Таким образом, повреждения в областях растяжения-сдвига (цс < 0) начинают накапливаться при существенно меньших напряжениях, чем при > 0 в областях сжатия-сдвига. Скорости накопления повреждений для локальных областей, где < 0, также существенно выше, чем в областях сжатия-сдвига (цс > 0). Этот процесс регулируется параметром е» = е»(цс ) в (9). Таким образом, отклик среды на вид напряженного состояния (ее текущая прочность) формируется в среде в процессе ее нагружения. Следовательно, прочностные параметры будут деградировать существенно быстрее в тех областях (частицах) среды, где параметр Лоде-Надаи был пониженным, < 0, т.е. преимущественный характер напряженно-деформированного состояния определялся растяжениями-сдвигами. Этот отклик зависит также от истории нагружения. Если какая-то частица среды сначала подвергалась, например, растяжению-сдвигу, а потом вид напряженно-деформированного состояния изменился на сжатие-сдвиг, то процесс дальнейшего разрушения будет развиваться уже при пониженных прочностных параметрах, хотя и более медленно, в соответствии с кинетикой (9). При < 0 K1 = 1, и K1 = 0, если > 0, е0* — параметр модели, t» имеет смысл характерного времени процесса.

Любое твердое тело под нагрузкой рано или поздно разрушается, причем макроскопическое разрушение обычно представляется как мгновенное, в то время как устойчивая стадия неупругого деформирования как стадия предразрушения может быть весьма продолжительной. Мы покажем также, что для квазихрупких сред в стесненных условиях деформирования за счет дилатан-сионных процессов сверхбыстрая закритическая стадия также может быть существенно затянута во времени. В модели эти процессы описаны зависимостью для меры накопления повреждений D и законом деградации.

Приведенные ниже результаты моделирования процессов неупругого деформирования и разрушения хрупких и квазихрупких сред получены решением системы уравнений (2), (5)-(9) в двумерной постановке мето-

Рис. 1. Модельная структура композита с 15%

дом конечных разностей по схеме второго порядка точности, подробно описанной в работе [24].

3. Результаты моделирования неупругой деформации и разрушения квазихрупких сред

Изучим процесс разрушения квазихрупких сред при осевом сжатии образцов. В качестве такой квазихрупкой среды рассмотрим керамические композиты с матрицей из диоксида циркония 2г02 и с различным процентным содержанием упрочняющих частиц оксида алюминия А1203 (корунда), модельные структуры которых представлены на рис. 1. В нагружаемом композиционном материале, с одной стороны, всегда формируется сложное напряженное состояние, а с другой стороны, керамические композиты как квазихрупкие среды должны на макроскопическом уровне разрушаться как типичная квазихрупкая среда, несмотря на особенности локального разрушения, диктуемого свойствами мезострук-туры. Таким образом, рассматривая особенности разрушения композита, можно в наиболее полном объеме протестировать изучаемую модель.

В табл. 1 приведены физико-механические свойства материалов, составляющих композит, необходимые для расчета по представленной модели.

Упрочняющие частицы заполняют матрицу квазиравномерно. Представленные на рис. 1 мезообъемы можно рассматривать как представительные объемы, поэтому их отклик на нагружение будет эквивалентен усредненному отклику макрочастицы в традиционном понимании механики сплошных сред, в то время как характер локального разрушения будет определяться особенностями мезоструктуры. Так как среда считается всюду сплошной вплоть до момента, когда прочность становится равной нулю (У = 0 при D = 1), нет необходимости задавать какие-либо граничные условия на границах формирующихся трещин, а также на границах структурных элементов, например, на границах «зерно -

матрица» [19]. Как уже говорилось выше, собственно разрушение рассматривается как процесс обвальной деградации прочности в локальных областях материала. В этом смысле невсегда области локализованной неупругой деформации совпадают с формирующимися трещинами. Мы увидим, что в областях локального растяжения трещины могут развиваться очень быстро, только частично совпадая с областями локализованной неупругой деформации, накопленной, например, в областях сжатия-сдвига, в которых в целом процесс накопления повреждений еще не перешел в сверхбыстрый катастрофический режим.

Особенность неупругого деформирования и разрушения квазихрупких сред заключается в том, что наклон полос локализованной неупругой деформации определяется параметрами внутреннего трения и дилатансии и процесс формирования будущих трещин в областях сжатия-сдвига может достаточно долго протекать в ква-зистационарном режиме, в то время как в областях преимущественного растяжения накопление неупругих деформаций происходит на порядки быстрее. Процесс деградации в этих областях растяжения очень быстро пе-

Таблица 1

Физико-механические свойства компонентов композита

^г02 А12О3

Плотность, г/см3 5.7 3.984

Начальный модуль объемного сжатия, 105 МПа 1.433 3.46

Начальный модуль сдвига, 105 МПа 0.6615 1.6

Начальный предел текучести, 105 МПа 0.021 0.0374

Коэффициент дилатансии 0.22 0.12

Коэффициент внутреннего трения а 0.62 0.6

^ Ч ^ D

Рис. 2. Расчетные картины неупругих деформаций (для трех последовательных времен ti), вида напряженного состояния (по коэффициенту Лоде-Надаи |1а) и распределения поврежденности в образце (функция D) для композита с 15% (а, в) и 40% (б) содержанием упрочняющих частиц в случае идеального скольжения (а, б) и жесткого защемления образца (в) на границе приложения нагрузки

реходит в закритическую стадию, формируя в образцах, подвергнутых осевому сжатию, системы вертикальных трещин (рис. 2, а, б). Условия нагружения для этих расчетов отвечают идеальному скольжению на торцах.

Общая картина состояния предразрушения образца состоит из систем вертикальных мезотрещин и полос локализованной неупругой деформации, в которых остаточная прочность материала может быть значительной. Как правило, тонкая структура таких накопленных трещин в образцах при их осевом сжатии является системой мелких вертикальных мезотрещин (рис. 2, б, 13). Как видно из представленных расчетов, наибольшее повреждение образцов соответствует областям растяжения-сдвига, Ца < 0, а D близко к 1 (рис. 2).

Таким образом, предлагаемая модель дает качественно верную картину предразрушения квазихрупких сред.

При условии защемления торцов нагружаемых осевым сжатием образцов картина разрушения несколько

меняется (рис. 2, в). Углы менее разрушены, а разрушение сосредоточено в области максимального растяжения — центре образца.

Соответствующие средние макроскопические а-е-диаграммы для представленных мезообъемов, показанных на рис. 1, приведены на рис. 3.

В случае жесткого защемления квазихрупкого образца на границе приложения нагрузки неупругая деформация, предшествующая катастрофической стадии разрушения (режиму с обострением), оказывается заметно больше, что приводит к несколько большей деградации макроскопической прочности и, соответственно, меньшему усредненному максимальному напряжению на а-е-диаграмме, чем в случае идеального скольжения.

Из представленных картин разрушения видно, что увеличение процентного содержания упрочняющих частиц приводит к изменению механизма разрушения. В композите с 40% содержанием упрочняющих частиц происходит множественное растрескивание. Большое

а, МПа

а, МПа

Рис. 3. Средние а-е-диаграммы для двух представительных мезообъемов образцов с 40% и 15% содержанием упрочняющих частиц

число упрочняющих частиц одновременно создает возможность для образования множества областей локальных растягивающих напряжений, а с другой стороны, препятствует распространению мелких трещин, формирующихся в областях локального растяжения. Образование магистральной трещины происходит по заранее

подготовленной перколяционной сети более мелких трещин на заключительной стадии деформирования. В композите с 15% содержанием упрочняющих частиц преград для роста трещин меньше почти в три раза. Зарождение и дальнейший рост трещин происходят в отсутствии заметного сопротивления со стороны упрочняющих частиц, и магистральная трещина проходит через весь образец. Закритическая неустойчивая стадия катастрофического макроскопического разрушения развивается в режиме с обострением буквально за несколько временны х шагов. Скорость разрушения на этой стадии в несколько тысяч раз больше, чем на предваряющей ее квазистационарной стадии в данных расчетах (ниспадающая ветвь на а-8-диаграмме на рис. 3).

Во всех представленных случаях разрушение происходит в областях растяжения-сдвига (цс < 0, В ^ 1), это видно из картин распределения параметра Лоде-Надаи и поврежденности на рис. 2, которые полностью совпадают с картиной локализованных неупругих деформаций.

Характер разрушения и процесс формирования магистральной трещины можно проследить по полям смещений, построенных относительно какой-либо характерной точки, например упрочняющей частицы, находящейся вблизи центра мезообъема, как показано на рис. 4 (частица обведена кружком).

1 Iі!

ІІ

Рис. 4. Расчетные поля смещений для композита с 15% содержанием упрочняющих частиц в случае слабого трения на границе приложения нагрузки для трех последовательных времен

7900

7940

7980

и мкс

Рис. 5. Мониторинг функции поврежденности D для точек образца, принадлежащих соседним системам мезотрещин в композите с 15% содержанием упрочняющих частиц, расчет для условий жесткого защемления образца на границе приложения нагрузки

Из рис. 4 видно, что на стадии предразрушения, когда в композитах происходит формирование мезотрещин, поля смещений обладают ярко выраженной неоднородностью. Рассмотрение полей смещений во времени показывает, что напряженно-деформированное состояние в области зафиксированного зерна меняется в ходе нагружения — сжатие на начальной стадии деформирования, затем сдвиг и формирование вихревых структур и, наконец, растяжение при фрагментации композита. При образовании магистральной трещины поле смещений показывает коррелированное движение фрагментов композита в нормальном к магистральной трещине направлении.

4. Режим с обострением. Свойство самооргани-зованной критичности твердого тела как нелинейной динамической системы

На настоящий момент можно считать доказанным, что все деформируемые твердые тела и среды как динамические нелинейные системы обладают свойством са-моорганизованной критичности [8, 33-37]. Фундаментальным свойством подобных нелинейных систем является то, что они в силу внутренних нелинейных свойств, стремятся к критическому состоянию — режиму с обострением. В них «возможны катастрофы любых масштабов» [38]. Нагружаемые твердые тела являются наиболее яркими представителями подобных нелинейных систем. Статистика распределения флуктуаций напряжений в них дает распределения с «тяжелыми хвостами» [39]. Для геосред (а также для любых нагружаемых твердых тел [8, 37, 40]) подобные распределения выражают также законы Гутенберга-Рихтера и Омори.

Необходимым условием перехода устойчивого процесса неупругого деформирования в неустойчивую сверхбыструю стадию является наличие в системе положительной обратной связи, разгоняющей процесс разру-

шения в автокаталитическом режиме. Действительно, нелинейные свойства среды приводят к тому, что очень быстро процесс рассеянного квазиравномерного накопления дефектов и повреждений сменяется их локализацией в сравнительно узких областях — полосах локализованного сдвига, что увеличивает в них деградацию прочности. Пониженная прочность усиливает процессы локализации, а значит и деградацию и т.д. Скорость подобных автокаталитических процессов на заключительных этапах существенно больше, чем даже экспоненциальная зависимость [9]. Следовательно, наличие положительной обратной связи в формулировках определяющих уравнений является принципиальным требованием, чтобы модели среды и соответствующие численные решения демонстрировали эти фундаментальные особенности эволюции нелинейных динамических систем — переход процесса разрушения в сверхбыстрый катастрофический режим.

Представленные ниже расчеты разрушения показывают, что нагружаемое твердое тело как нелинейная динамическая система демонстрирует самоподобные свойства на разных масштабах и качественный характер развития мезотрещин в локальных областях совпадает с качественным характером развития макроскопической магистральной трещины. Все мезотрещины, как и разрушение образца в целом, развиваются в две стадии: медленная квазистационарная стадия и сверхбыстрый катастрофический режим. На рис. 5 представлены картины мониторинга функции поврежденности D для локальных точек образца, принадлежащих соседним системам мезотрещин, находящихся в предполагаемой зоне взаимного динамического влияния.

Из рис. 5 видно, что вначале наблюдается квазиста-ционарная фаза накопления повреждений, а затем наступает сверхбыстрая фаза эволюции — режим с обострением с ростом поврежденности в частице композита

б

-1 -

-2" А \

-3 - /7 \

л «

“Г 1 1 1111 -6 -4-2 0 2 (а-ш)/а*

Рис. 6. Деформационная диаграмма прерывистого течения алюминиевого сплава 5454 (а), плотность распределения флуктуаций напряжения (РОБ) на стадии пластического течения для различных материалов ( — А1 5454, о — сталь 03Х18Н10, V — армко-железо) (б) [37]

до максимума. Поскольку осуществлялся мониторинг функции поврежденности в точках в предполагаемой зоне динамического влияния, то последовательный рост D в разных точках до максимума свидетельствует о переключении деформационной активности с одной мезо-трещины на другую: за режимом с обострением в одной из точек среды начинается (или продолжается) квазиста-ционарная фаза в соседней точке, а затем и в ней начинается сверхбыстрая фаза эволюции, далее происходит переключение деформационной активности в следующую точку. Как видно из графиков, представляющих усредненное поведение представительного мезообъема в целом (рис. 3), макроскопическое разрушение также развивается в режиме с обострением. Этот этап сверхбыстрой эволюции соответствует формированию в образце магистральной трещины (рис. 2, 4, е3).

Обсужденные выше сценарии разрушения свидетельствуют о наличии в модельной нагружаемой среде свойства самоорганизованной критичности, которое выражается в том, что в твердом теле все динамические процессы скоррелированы и охватывают всю иерархию масштабов вплоть до масштаба образца в целом. Таким образом, одной из главнейших черт динамических систем с самоорганизованной критичностью является то, что в ней нельзя выделить статистически независимые мезоскопические масштабы. Именно это обстоятельство и приводит к миграции деформационной активности, замиранию процесса локализации деформаций и повреждений в одной области образца и его активизации в другой, например, миграции землетрясений в земной коре.

Свойство самоорганизованной критичности возможно только в таких нелинейных динамических системах, в которых имеет место информационный обмен между всеми элементами динамической системы (частицами нагружаемой среды в данном случае). В твердых телах это волны напряжений, распространяющиеся со скоростью звука. Понятно, что скорость собственно деформационного процесса, включая процессы миграции

деформационной активности и фронты деформаций, изученные нами ранее [8, 17, 18], составляют медленную динамику твердого тела как нелинейной динамической системы.

В реальных твердых телах, в том числе геосредах, свойство самоорганизованной критичности проявляется в особом характере статистики флуктуаций напряжений для плотности распределения флуктуаций напряжения, которые являются универсальным законом статистической автомодельности когерентно эволюционирующих флуктуаций во всей иерархии масштабов нагружаемого твердого тела [8]. Этот характер распределения флуктуаций напряжений дает так называемые распределения с «тяжелыми хвостами» и соответствует степенному закону. В гауссовом распределении все события случайны и независимы, в степенных распределениях — скоррелированы во всей иерархии масштабов. Классическими примерами таких распределений являются законы Гутенберга-Рихтера и Омори для сейсмических событий. Следовательно, численные решения, моделирующие деформационные процессы, также должны приводить к степенным законам и соответствующей статистике в распределении флуктуаций напряжений. На рис. 6 приведена экспериментальная деформационная диаграмма прерывистого течения для сплава алюминия 5454 и плотность распределения флуктуаций напряжения [37]. На рис. 7 представлены расчетная а-е-диаграмма для упругопластического течения, соответствующее ей распределение флуктуаций напряжений, а также график повторяемости для флуктуаций напряжений. Таким образом, в расчетах получено распределение, соответствующее экспериментальному и отвечающее свойству самоорганизованной критичности деформационного процесса в целом.

Подобные распределения получены и в расчетах разрушения квазихрупких образцов. Для этого был исследован характер разрушения образца в стесненных условиях. К боковым границам нагружаемого сжатием образца прикладывалось сжимающее напряжение. Стес-

^(п/Ы)] ^ б

11111 -4 -2 0 -1 - Г1' •К' -3_ /' -4 - 1 1 1 1 1 ^ 2 (а-ш)/а*

Рис. 7. Тестовый расчет макроскопической а-е-диаграммы

ненность деформации резко меняла характер разрушения на закритической стадии (рис. 8). Режим с обострением «разваливался» [9] и наблюдался медленный спад напряжений (рис. 8, а) или даже рост напряжений (рис. 8, б) при большем стеснении. По времени закрити-ческая стадия, показанная на рис. 8, более чем в 103 раз больше, чем режим с обострением, приведенный на рис. 5.

На рис. 9 показаны график флуктуаций напряжений от усредненного тренда и плотность распределения флуктуаций для случая восходящей ветви, приведенной на рис. 8 (обведена эллипсом). Видно типичное распределение с «тяжелыми хвостами», соответствующее степенной зависимости.

Такой характер закритической стадии при стесненной деформации обусловлен особенностями дилатан-сии. Начавшаяся катастрофическая стадия разрушения (рис. 8, а) приводит в зоне разрушения к разуплотнению и, как результат, к увеличению, а не к сбросу напряжений. В локальной области формирующейся макроскопической трещины меняется вид напряженного состояния от сдвигов-растяжений к сдвигам-сжатиям и наоборот. Этот процесс показан на рис. 10.

Локальная стесненность деформации в этом случае обусловлена как жестким защемлением границ образца, так и упрочняющими частицами. В одних частях поло-

сы, там где наблюдаются растяжения-сдвиги, дилатан-сия нарастает (ца < 0), в других частях полосы, где наблюдаются сдвиги-сжатия (ца > 0), идет компакция. В условиях сильного стеснения (боковые грани нагружаемого образца фиксированы, рис. 8, б) напряжения могут даже возрастать на фоне формирования мелких ме-зотрещин, образующихся уже в условиях сдвига-сжатия.

Эти результаты показывают, что дилатансия в стесненных условиях деформирования может существенно (в тысячи раз по времени) затянуть стадию режима с обострением, превратив ее в сравнительно медленный, а не обвальный, процесс деградации прочности.

В природе встречается очень редкий класс медленных землетрясений — брадисейсм, физическая природа которых остается неясной. Так, в 1968 г. в местечке Флегрин Филдс около Неаполя произошло подобное землетрясение. Вертикальные смещения с амплитудой до 7 м произошли за 48 ч [41].

На наш взгляд, одним из наиболее вероятных физических механизмов подобных явлений может быть «затянутое» разрушение, развивающееся на неустойчивой закритической стадии в условиях стесненной деформации. Если дилатансия велика и охватывает значительные объемы разрушающегося материала, то в стесненных условиях деформирования это приведет к карди-

Рис. 8. Характер разрушения квазихрупкого образца на неустойчивой закритической стадии в условиях стесненного деформирования

^(пт)і ^ Щ

-4 -2 0 -1 - і і і і і ^ 2 (а-ш)/а*

Рис. 9. Распределение с «тяжелыми хвостами» флуктуаций напряжений на закритической стадии деформирования образца в условиях стесненной деформации: отклонение флуктуаций напряжений от среднего тренда

нальному изменению напряженно-деформированного состояния. Растяжения-сдвиги сменятся на сжатия-сдвиги, что на порядки уменьшит скорость деградации среды, полностью изменив сценарий эволюции.

Возникает вопрос, насколько такой процесс возможен в реальной геосреде? Для этого необходимо одновременное соблюдение многих условий. Как показал Г.Г. Кочарян [42] в экспериментах по изучению влияния дилатансии на величину смещений, процесс дилатан-сии, развивающийся в узкой зоне реального разлома, не может сколько-нибудь заметно изменить напряженно-деформированное состояние в ближней зоне разлома, изменив тем самым сценарий эволюции геосреды. Для того чтобы влияние дилатансии на ход разрушения оказалось кардинальным, необходимо, чтобы разрушение развивалось в обширной области вблизи зоны ма-

Рис. 10. Смена вида напряженно-деформированного состояния от сдвигов-растяжений

гистрального сместителя. Другими словами, необходим большой объем разрушающегося материала, а не только узкая зона магистрального сместителя, что вполне очевидно. Большое влияние на величину дилатансии оказывает гранулометрический состав разрушенных частиц в области сдвига [42]. Однако в зонах магистральных сместителей, где в большинстве случаев локализована основная часть смещений, размер частиц очень мал и обычно составляет от 30 до 200 мкм [42], что должно привести к незначительному влиянию эффекта дилатансии на вид напряженно-деформированного состояния в ближней зоне разлома. К подобным выводам пришли и авторы работы [43], в которой численно изучалось влияние стесненности на дилатансионные процессы в блочной среде. Согласно [43], в условиях равноосного сжатия блочной среды развивающийся процесс разрушения «затрудняет вовлечение дилатансионных и деформационных механизмов высших масштабов, что приводит к уменьшению основных дилатансионных параметров среды». Заметим, что результаты, приведенные на рис. 8, отвечают множественному разрушению, развивающемуся во всем объеме нагружаемого образца, а не только в узкой зоне магистрального разлома, что кардинально и изменило сценарий эволюционного процесса в образце в целом. На рис. 8 показаны усредненные по всему образцу макроскопические а-8-диаграм-мы, отражающие процесс накопления повреждений и разрушение в объеме в целом. Как отмечено в работе [42], необходимым условием существенного влияния дилатансии на формирование очага разрушения (и, добавим, на развитие разрушения в сравнительно медленном квазистационарном режиме, но уже на неустойчивой закритической стадии) является особая структура формирующихся магистральных сместителей, взаимодействующих через обширные области разрушаемых участков — перемычек, т.е. разрушение в объеме. Именно такому случаю и отвечают результаты, представленные на рис. 8. Смену сценария разрушения в локальных

Рис. 11. Макроскопическая эволюция нагружаемого твердого тела, включающая квазистационарную стадию неупругого деформирования

областях нагружаемой квазихрупкой среды иллюстрирует рис. 10.

Для решения многих задач прикладного характера традиционный подход предельного проектирования допустим и нет смысла рассматривать режим с обострением. Однако принципиальное значение имеет понимание того факта, что среда разрушается не там, где напряжения высоки, а там, где она наиболее повреждена, а значит, прочность мала и, следовательно, напряжения минимальны. Особенно большое значение этот факт имеет для понимания механизмов формирования очага разрушения, в частности при землетрясениях. Анализ напряженно-деформированного состояния в геосреде с позиций предельного состояния приводит к заведомо ложным выводам и делает невозможным построение на основе этой идеи какой-либо прогностической теории.

Схема, представленная на рис. 11, иллюстрирует основную идею, позволившую объединить в рамках общего формализма описание процессов неупругого деформирования и макроскопического разрушения любых сред, демонстрирующих как хрупкое, так и пластическое поведение. Как хорошо известно, развитие неупругой деформации во времени можно проиллюстрировать схемой, приведенной на рис. 11, а. Здесь область I отвечает заметному накоплению повреждений на «упругой» стадии практически без квазистационарной стадии (хрупкое и квазихрупкое разрушение). Область II — ква-зистационарная стадия накопления повреждений, отвечает пластической реакции материала. Область III — сверхбыстрый катастрофический режим. Соответствующая этим областям макроскопическая а-е-диаграм-ма приведена на рис. 11, б (кривая 2) и отражает только усредненную макроскопическую реакцию среды на нагружение, которая является отражением динамического равновесия между воздействием на твердое тело и его усредненной реакцией на нагружение. Прочность среды (кривая 1 на рис. 11, б) эволюционирует в каждой ее частице индивидуально, в зависимости от индиви-

дуальной эволюции напряженно-деформированного состояния в каждой частице среды и соответствующего этой эволюции характера накопления повреждений. Обвальный характер деградации прочности во множестве частиц среды в области макроскопической локализованной деформации (точка пересечения кривых 1 и 2) и есть макроразрушение. Понятно, что стадия II на схеме 11, б может быть минимальной, что будет соответствовать хрупкой реакции материала, проявляемой, например, при очень высоком уровне приложенных напряжений.

Суммируя изложенные выше результаты, можно констатировать, что развиваемая методология позволяет в рамках единого формализма правильно описывать процессы неупругой деформации и разрушения твердых тел.

5. Моделирование тектонических течений и сейсмического процесса в геосредах

Следующая серия расчетов позволила численно воспроизвести как тектонические течения, так и сопровождающий их сейсмический процесс. В рамках предлагаемого подхода к описанию эволюции напряженно-деформированного состояния рассматривается эволюция внутриконтинентальных складчатых областей Центральной Азии, в частности Байкальской рифтовой зоны и Алтае-Саянской складчатой области, как результата Индо-Евразийской коллизии. В работе [44] отмечается, что коллизия Индийской и Евразийской плит определяет характер деформационных процессов в Центральной и Восточной Азии. Для моделирования принципиальным является то, что в результате субмеридионального сжатия коры в исследуемом регионе сформировались два типа неотектонических единиц — жесткие домены (микроплиты, например Тарим, Джунгарская впадина и т.д.) и податливые зоны милонитизации коры с различной степенью дробления (например Большой Алтай), обрамляющие жесткие домены [45]. Не детализируя решение этой задачи (этому вопросу будет посвящена

Северо-

Американская

плита

а 15' блоки

теризующиеся наибольшей степенью современной активности

И разломы

ел оси разноранговых деструктивных зон!

Рис. 12. Схема зонно-блоковой структуры литосферы Центральной и Восточной Азии по К.Ж. Семинскому [45]

отдельная работа), коротко остановимся на некоторых полученных результатах.

В качестве структурной модели континента была взята схема зонно-блоковой делимости литосферы в Центральной и Восточной Азии, составленная К.Ж. Се-минским [45] (рис. 12, а). На этой схеме представлена иерархия блоков, подразделенных на два типа неотекто-нических единиц — жесткие домены (белый цвет) и податливые зоны (темные тона). На рис. 12, б приведена карта расчетной области, составленная на основе схемы Семинского с тремя группами зонно-блоковых областей, отвечающих различным плотностям сейсмогенных разрывов в этих областях. Относительные значения

прочностных параметров жестких блоков по отношению к податливым зонам характеризуются параметром

5, который варьируется в пределах от 1.1 до 1.8 для различных групп зонно-блоковой делимости. Тектонические течения, полученные в расчетах по этой уточненной зонно-блоковой модели и с учетом значимых разломов, показаны на рис. 13, а. Поле смещений, вычисленное относительно г. Иркутска, демонстрирует современную картину тектонического течения в Центральной Азии. Ярко выражен поворот Амурской плиты, а в области Байкальского рифта наблюдается глобальный сдвиг с растяжением. Полученное тектоническое течение демонстрирует типичную рифтовую зону и находится в

Рис. 13. Расчетное поле смещений относительно г. Иркутск

87о30’

88о30’

87030’

К ☆ 17 *16 О 13-14 12 10-11 8-9

_ Блокораздельные разломы — Поверхностные разрывы

88030’

Рис. 14. Схема зонно-блоковой делимости литосферы в Чуйско-Курайской зоне с нанесенным эпицентром главного толчка Чуйского землетрясения 2003 г. и эпицентрами афтершокового процесса (а), пространственное распределение рассчитанных неупругих деформаций (б), кругом отмечен Чаган-Узунский жесткий блок

хорошем согласии с данными наблюдений о характере смещений элементов земной коры в Байкальской рифто-вой зоне, рифт раскрывается (рис. 13, а).

На рис. 14, а представлена схема Чуйско-Курайской зоны с нанесенными эпицентрами главного толчка и афтершоков Чуйского землетрясения, а также пространственное распределение расчетных сейсмических событий, разбитых на условные классы по формуле: К = ^Е, где К—класс события; Е — энергия, выделенная при одном сейсмическом событии. Сформировавшиеся в расчетах активные разломы (темные полосы локализованных неупругих деформаций на рис. 14, б) хорошо коррелируют с наблюдениями (рис. 14, а).

В разделе 4 при обсуждении свойства самоорганизо-ванной критичности нагружаемых твердых тел и сред было показано, что флуктуации напряжений на а-е-диа-грамме, а также и при разрушении квазихрупкого композита (рис. 6-9) подчиняются фундаментальному закону повторяемости землетрясений Гутенберга-Рихтера. В этом смысле разрушение элементов земной коры,

в том числе и при землетрясениях, рассматриваемых в настоящей работе как заключительная стадия разрушения — режим с обострением, ничем не отличается от разрушения композита или процесса деструкции материала при прерывистой текучести. Энергия расчетного сейсмического события определялась как работа напряжения на соответствующее приращение деформации Де = еДt на заключительной стадии разрушения.

Сравнение пространственной локализации расчетных сейсмических событий (рис. 15, а) с пространственной локализацией наблюдаемых сейсмических событий (рис. 14, а) свидетельствует об адекватности структурной модели Чуйско-Курайской зоны, а также о корректно выбранных условиях нагружения субмери-дионального сжатия в первом приближении. Пространственное распределение расчетных сейсмических событий демонстрирует активность сформировавшегося в расчетах разлома (рис. 14, б), по которому произошла катастрофическая подвижка во время Чуйского землетрясения в 2003 г. Значительная концентрация

Рис. 15. Пространственное распределение расчетных сейсмических событий по классам

Расчетное время

27.09

Расстояние вдоль линии активизации в проекции на ось Ох, км

-40 -20 0 20 40

Расстояние от эпицентра по линии активизации, км

Рис. 16. Пространственно-временная локализация расчетных сейсмических событий

расчетных сейсмических событий наблюдается также в области на юго-восточной границе Чаган-Узунского блока, что свидетельствует о потенциальной возможности активизации сейсмического процесса вдоль этой границы в реальной среде. Результаты статистического анализа расчетных сейсмических событий для всей Центральной Азии (рис. 13, б) и для Чуйско-Курайской зоны (рис. 15, б) соответствуют закону Гутенберга-Рихтера, что говорит о степенном характере зависимости количества расчетных сейсмических событий от выделенной энергии. Конечно, методика моделирования сейсмических событий является идеализированной, а соответствующие расчеты демонстрируют в данном контексте только принципиальную возможность численного моделирования сейсмического процесса как катастрофического заключительного этапа разрушения геосреды на соответствующем масштабе. В целом расчеты, воспроизводящие тектонические течения и сейсмические события в модельной геосреде, свидетельствуют о том, что численные решения уравнений механики деформируемого твердого тела описывают деформационный процесс как типичный эволюционный процесс нелинейной динамической системы, обладающей свойством самоорганизованной критичности. Таким образом, развиваемый подход и модельные представления на качественном уровне, а в ряде случаев и в количественном отношении, правильно описывают механическое поведение реальных геосред.

На рис. 16 показано сравнение пространственновременной локализации расчетных сейсмических событий и наблюдаемых сейсмических событий в Чуйско-Курайской зоне по данным работы [46].

Пространственно-временное распределение афтер-шоков Чуйского землетрясения, представленное в работе [46], свидетельствует о миграции сейсмического процесса из очаговой зоны главного толчка вдоль линии активизации к Северо-Чуйскому хребту, где произошло два крупнейших афтершока. Затем процесс постепенно затухал, переходя к фоновой сейсмичности с отдельными крупными событиями. Расчетная картина миграции сейсмической активности (рис. 16, а) качественно соответствует наблюдениям (рис. 16, б).

Постановка задачи численного изучения геодинами-ческого процесса как эволюционного является принципиальной, что позволило смоделировать как медленную динамику, так и связанную с ней миграцию деформационной активности. В расчетах воспроизведен сейсмический процесс, а также наличие медленной динамики в геологических средах.

Таким образом, воспроизводимость фундаментальных свойств реальных нелинейных динамических систем, таких как самоорганизованная критичность, наличие медленной динамики, миграции деформационной активности и развития разрушения на заключительной закритической стадии в сверхбыстром режиме (режиме с обострением), при математическом моделировании свидетельствует об адекватности развиваемой методологии моделирования нагружаемой геосреды с позиций эволюционного подхода [4].

Несмотря на качественное сходство результатов расчетов тектонических течений с наблюдаемыми смещениями элементов земной коры для всей Центральной Азии, а также пространственно-временной локализации расчетного сейсмического процесса с наблюдаемой

сейсмикой, представленные в работе расчеты авторами рассматриваются как тестовые. Вопросы о корректности структурной модели, граничных условий, модельных представлений о характере реологии геосреды и особенностях разрушения требуют уточнения и являются задачами дальнейших исследований.

6. Заключительные замечания

В работе представлена общая методология и единый математический формализм описания неупругой деформации и разрушения любых твердых тел, как хрупких, так и пластичных, как процесса их эволюции в полях действующих сил. Нагружаемые твердые тела и среды описываются как нелинейные динамические системы.

Одна из главных задач настоящей работы состояла в том, чтобы показать, что численные решения уравнений механики деформируемого твердого тела демонстрируют фундаментальные свойства нелинейных динамических систем — самоорганизованную критичность и наличие двух стадий эволюционного процесса: сравнительно медленной квазистационарной стадии и сверхбыстрой катастрофической — режима с обострением, если задача деформирования и разрушения прочной среды сформулирована как задача ее эволюции в полях действующих сил.

В области предсказаний катастрофических событий, к которым относится проблема разрушения в целом и землетрясений в частности, наметился существенный прогресс. Этот прогресс связан с новой концепцией са-моорганизованной критичности нелинейных динамических систем [8, 33-37], которая вступила в серьезные противоречия с традиционными представлениями, согласно которым редкие катастрофические явления рассматривались как случайные независимые события, для которых будущее практически не зависит от прошлого. Такой подход приводит к гауссовой статистике — нормальному гауссову распределению вероятности независимых случайных событий.

Статистика природных катастроф (землетрясений, ураганов, наводнений), техногенных аварий (разрушений различных конструкций, взрывов на производствах), а также многих других бедствий (обвалов на биржах, утечек информации и т.д.) подчиняется, как правило, степенным законам распределения [38, 39].

Степенные законы распределения являются фундаментальным свойством эволюции большинства многомасштабных нелинейных динамических систем, к которым относятся деформируемые твердые тела, и в случае нагружаемых сред отражают следующие их важнейшие качества: 1) формирование в эволюционирующей системе длинных пространственно-временных корреляций, охватывающих всю иерархию масштабов; в такой системе нельзя выделить статистически независимые мезоскопические масштабы; 2) автомодельность и самоподобие процесса разрушения, обусловленные

автомодельным характером накопления дефектов и повреждений во всей иерархии масштабов; 3) наличие медленной динамики; 4) миграцию деформационной активности в сформировавшейся области пространственно-временных корреляций.

Системы, обладающие подобными свойствами, получили название систем с самоорганизованной критичностью [33]. Фундаментальным свойством таких систем является то, что они в силу внутренних свойств стремятся к критическому состоянию, а их динамическое состояние отличается квазистационарностью и сопровождается образованием лавин (в рассматриваемом случае это полосы локализованных сдвигов и трещины разных масштабов), которые и поддерживают средние значения колеблющихся параметров.

Показано, что численные решения уравнений механики деформируемого твердого тела демонстрируют все перечисленные выше характерные черты нелинейных динамических систем, обладающих свойством са-моорганизованной критичности, и известные нам из наблюдений и экспериментов. Это следует из характера статистики флуктуаций напряжений (расчетных зависимостей плотности распределения флуктуаций), полученных как для случая моделирования а-е-диаграмм при упругопластическом течении, так и для случая ква-зихрупкого разрушения среды в стесненных условиях. Подобные распределения с «тяжелыми хвостами», соответствующие степенным зависимостям, получены также в расчетах тектонических течений в геосредах, на примерах моделирования современной эволюции напряженно-деформированного состояния Центральной и Восточной Азии и Алтае-Саянской складчатой области. Полученные в расчетах графики повторяемости сейсмических событий соответствуют закону повторяемости Гутенберга-Рихтера.

Представленные в настоящей работе результаты, а также расчеты, воспроизводящие медленную динамику деформируемых систем и миграцию деформационной активности, полученные ранее [8, 17, 18], доказывают, что численные решения нелинейной системы уравнений в частных производных механики деформируемого твердого тела демонстрируют фундаментальные особенности эволюции нелинейных динамических систем. В данном случае речь идет о свойстве самоорганизо-ванной критичности, означающем, прежде всего, скор-релированность процессов неупругого деформирования и разрушения во всей иерархии масштабов нагружаемой среды. Таким образом, наличие медленной динамики и миграции деформационной активности, включая миграцию сейсмического процесса, является следствием свойства самоорганизованной критичности деформируемой среды как нелинейной динамической системы. Последнее означает, что в нагружаемом материале процесс разрушения обязательно выйдет на максимально возможный для данной среды масштаб. С дру-

гой стороны, самоорганизованная критичность стремится поддерживать эволюционный процесс нелинейной динамической системы (в данном случае деструкцию нагружаемой среды) в некотором состоянии квази-стационарного равновесия. Отклонения от среднего тренда диктуются внутренними свойствами динамической системы, характером обратных связей и, конечно, условиями нагружения, управляющими параметрами. Таким образом, в ходе эволюции динамическая система проходит через последовательность нарастающих катастроф, затрагивающих всю иерархию масштабов. Здесь под термином катастрофа мы понимаем временную локализацию эволюционного процесса на соответствующем масштабе — режим с обострением. Именно по этой причине мы говорим, что разрушение материала есть последовательность катастроф, разделенных квази-стационарными стадиями медленного накопления повреждений более мелких масштабов. Этот процесс са-моподобен и охватывает всю иерархию масштабов нагружаемого материала.

Другим ключевым моментом рассматриваемого в работе подхода является идея о трактовке неупругого деформирования как процесса предразрушения на макроуровне, с одной стороны, и нарастающего разрушения среды на микро- и мезомасштабах, с другой стороны. С этой точки зрения неупругая деформация, включая и пластическое деформирование, может быть описана как нарастающее от масштаба к масштабу разрушение через соответствующие кинетики накопления дефектов и повреждений различной физической природы во всей иерархии масштабов. Эта идея позволила построить единый математический формализм описания деструкции твердых тел и сред (т.е. совместного развития неупругой/пластической деформации и разрушения в традиционной терминологии).

Изложенные идеи реализованы в настоящей работе на примерах простейших идеализированных кинетик накопления повреждений, позволивших, тем не менее, на хорошем качественном уровне проиллюстрировать фундаментальные особенности эволюции твердых тел и сред как нелинейных динамических систем. Понятно, что в зависимости от реологии, особенностей разрушения, а также условий нагружения необходимо рассматривать и соответствующие кинетики, отражающие ведущие физические механизмы неупругой деформации/разрушения в каждом конкретном случае.

Примеры моделирования разрушения квазихрупкой среды в стесненных условиях показали существенное влияние дилатансии на эволюцию среды на закритичес-кой стадии. Показано, что в случае когда процесс разрушения не локализован в области магистрального сдвига, а охватывает значительный (весь) объем нагружаемого образца, сценарий эволюции может кардинально измениться. Режим с обострением разваливается, и макроразрушение проходит через серию существенно мень-

ших катастроф, растянутых во времени. В этом случае общее время макроразрушения на неустойчивой закри-тической стадии на несколько порядков больше времени макроразрушения в режиме с обострением. Эти результаты позволили высказать идею о том, что наиболее вероятным механизмом медленных землетрясений (бра-дисейсм) может быть дилатансионный механизм, реализующийся в особых условиях стесненности деформаций. Необходимым условием того, чтобы дилатансия могла существенно повлиять на сценарий эволюции геосреды, является множественное разрушение, охватывающее значительные объемы нагруженного материала. На эти обстоятельства указал также Г.Г. Кочарян [42].

Одним из краеугольных камней нелинейных динамических систем является пороговость эволюционных процессов. Однако в реальности точно указать величину порога, при достижении которого кардинально меняется сценарий эволюции системы, например, система переходит из устойчивого состояния в неустойчивый катастрофический этап эволюции, практически невозможно. По этой причине неоднократно высказывались идеи о принципиальной невозможности прогноза эволюции нелинейных динамических систем, обладающих свойством самоорганизованной критичности, в частности, о принципиальной невозможности точного прогноза землетрясений (можно только оценить его вероятность). Ранее мы показали, что ситуация не столь драматична и другие свойства подобных нелинейных динамических систем (особенности медленной динамики, формирование зон «затишья») вселяют оптимизм в возможность прогноза перехода эволюции системы в сверхбыстрый катастрофический режим [8]. Возможности такого прогноза связаны как с поиском соответствующих предвестников, так и с вычислением пороговых величин параметров или безразмерных критериев, при достижении которых система эволюционирует в режиме с обострением. Простейшими идеализированными моделями подобных пороговых критериев для твердых тел и сред являются традиционные критерии предельного проектирования (пределы упругости, пластичности, прочности и т.д.). Но также хорошо известно, что они работают только для инженерных оценок, устанавливающих верхнюю границу допустимых нагрузок.

В реальной нелинейной динамической системе такие пороговые критерии, если они есть, формируются в процессе эволюции системы. В ходе эволюции любая динамическая система претерпевает кардинальные изменения, меняется ее структура, а главное, характер отклика на внешние воздействия. С математической точки зрения, мы должны анализировать не какую-то исходную динамическую систему, а спектр нелинейных динамических систем. Простейшие оценки устойчивости/ неустойчивости таких систем, например по Ляпунову, непригодны. В теории нелинейных динамических систем введено понятие структурной устойчивости/неус-

тойчивости [6, 7], когда претерпевают изменения функции отклика системы на внешние воздействия, что и позволяет анализировать фактически спектр нелинейных динамических систем. Эти вопросы применительно к деформируемым твердым телам как нелинейным динамическим системам требуют специального изучения. Отметим только, что согласование расчетов деформирования квазихрупких сред с экспериментами при использовании определяющих уравнений вида (2), (7), (8) потребовало рассматривать параметры внутреннего трения и дилатансии а и Л как функций накапливаемой неупругой деформации [19], т.е. в ходе нагружения менялась функция отклика, что существенно меняло характер деформационного процесса. В представленных расчетах изменение параметров дилатансии даже в одной полосе локализованного сдвига кардинально меняет отклик среды в соседних областях. В одной части полосы растяжения-сдвига идет интенсивное разрушение, в то время как в соседней части сдвига-сжатия развивается процесс компакции. В реальных твердых телах по мере накопления в них дефектов и повреждений существенные изменения претерпевает их структурная организация на микро- и мезоуровнях, что кардинально изменяет функции их отклика на дальнейшее нагружение, а следовательно, и сценарий эволюции.

Таким образом, простых ответов на вопрос, при каких значениях параметров меняется сценарий эволюции, нет. И для реальных физических систем, и для их математических моделей смена эволюционного сценария определяется целым рядом факторов, нелинейностью отклика системы на нагружение, нелинейным характером обратных связей и, прежде всего, конкурентной игрой стабилизирующей роли отрицательных обратных связей и дестабилизирующей эволюционный процесс роли положительных обратных связей. Изучение различных сценариев и установление параметров порядка [6], определяющих ход эволюции, даже в простейших модельных случаях требуют специального изучения.

Вопрос о поведении разрушенного в полосе материала также пока остается открытым. Для целей настоящей работы важно то, что при D ^ 1, Y ^ 0 материал на макроуровне считается разрушенным, потерявшим несущую способность. Однако для геосред и материалов, находящихся в стесненных условиях, это не так. Материал будет оказывать сопротивление сжатию и не будет — растяжению. Однако в реальности всегда наблюдается комбинация растяжение-сдвиг (А < 0) или сжатие-сдвиг (А > 0) и необходимо построение модели, учитывающей сцепление и сопротивление разрушенной среды сдвигу в стесненных условиях деформирования, эта задача для дальнейших исследований.

В целом в изучении процессов неупругого деформирования и разрушения твердых тел и сред как нелиней-

ных динамических систем мы находимся в самом начале пути. Кратко обозначим направления дальнейших исследований:

1) изучение особенностей и механизмов формирования очагов разрушения в материалах и средах с различной реологией, включая землетрясения, форшоковые и афтершоковые процессы, в том числе в условиях стесненной деформации;

2) изучение свойства самоорганизованной критичности твердых тел и сред, включая различные прикладные аспекты этого явления;

3) изучение особенностей медленной динамики, включая особенности формирования и распространения деформационных фронтов разных масштабов (так называемых медленных движений) в нагружаемых твердых телах, в том числе в условиях стесненной деформации;

4) изучение особенностей миграции деформационной активности в зависимости от реологических свойств среды и условий нагружения, включая миграцию сейсмической активности;

5) изучение особенностей, возможных предвестников и условий перехода разрушения в закритическую катастрофическую стадию с целью прогноза места и времени разрушения;

6) на основе изучения свойств самоорганизованной критичности деформируемых твердых тел и сред и механизмов формирования очагов разрушения в численных расчетах разработка методов обработки сейсмических данных с целью прогноза катастрофических разрушений и землетрясений;

7) моделирование тектонических течений в геосредах.

7. Благодарности

Авторы выражают благодарность А.Ю. Перышкину, выполнившему ряд расчетов тектонических течений в Центральной Азии.

Различные разделы работы были выполнены в рамках тематики проекта РФФИ № 12-05-00503, интеграционного проекта СО РАН №2 90, программы фундаментальных исследований Президиума РАН №2 4.1, базового проекта VП.64.1.8.

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2 т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с.; Т. 2. - 320 с.

2. Панин В.Е., Коротаев А.Д., Макаров П.В., Кузнецов В.М. Физическая мезомеханика материалов // Изв. вузов. Физика. - 1998. -№ 9. - С. 8-36.

3. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблема моделирования // Физ. мезомех. -2005. - Т. 8. - № 6. - С. 39-56.

4. Макаров П.В. Математическая теория эволюции нагружаемых твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - №2 3. - С. 19-

35.

5. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного // Синергетика: от прошлого к будущему. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 344 с.

6. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелиней-

ной динамики. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

7. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике // Синергетика: от прошлого к будущему. - М.: КомКнига, 2006. - 208 с.

8. Макаров П.В. Самоорганизованная критичность деформационных

процессов и перспективы прогноза разрушения // Физ. мезомех. -2010. - Т. 13. - № 5. - С. 97-112.

9. Курдюмов С.П. Режимы с обострением. Эволюция идеи / Под ред.

Г.Г. Малинецкого. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 312 с.

10. Курдюмов С.П., Князева Е.Н. У истоков синергетического видения мира: режимы с обострением // Самоорганизация и наука: опыт философского осмысления. - М.: Арго, 1994. - С. 162-186.

11. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. - М.: Наука, 1974. - 416 с.

12. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. - Киев: Наукова думка, 1976. - 393 с.

13. Баренблатт Г.И. О некоторых общих представлениях математической теории хрупкого разрушения // ПММ. - 1964. - № 4. -С. 630-643.

14. Griffith A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. A. - 1920. - V. 221. - P. 163-198.

15. Irwin G.R. Analysis of stresses and strain near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. - 1957. - V. 24. - No. 3. - P. 361364; Discussion in J. Appl. Mech. - 1958. - V. 25. - No. 2. - P. 299303.

16. Irwin G.R. Relation of stresses near a crack to the crack extension force // Proc. IX Int. Congr. Appl. Mech. - Brussels: University of Brussels, 1957. - P. 245-251.

17. Макаров П.В. Самоорганизованная критичность и сейсмический процесс // Триггерные эффекты в геосистемах: Сборник материалов семинара-совещания. - М.: Изд-во ГЕОС, 2010. - C. 79-87.

18. МакаровП.В., Евтушенко Е.П., Смолин И.Ю. Численное изучение особенностей эволюции геосреды на стадии подготовки катастрофического события // Триггерные эффекты в геосистемах: Сборник материалов семинара-совещания. - М. : Изд-во ГЕОС, 2010. -C. 224-230.

19. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П. и др. Нелинейная механика геоматериалов и геосред. - Новосибирск: Академич. изд-во «Гео», 2007. - 235 с.

20. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Евтушенко Е.П., Трубицын А.А., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П. Сценарии эволюции горного массива над выработкой // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 1. -С. 65-82.

21. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 2. Определяющие законы механики грунтов. - М.: Мир, 1975. - С. 166-177.

22. Гарагаш И.А., Николаевский В.Н. Неассоциированные законы течения и локализации пластической деформации // Успехи механики. - 1989. - Т. 12. - № 1. - С. 131-183.

23. Стефанов Ю.П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упруго-хрупкопластичных материалов // Физ. мезо-мех. - 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 129-142.

24. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - С. 212-263.

25. Котрелл А.Х. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. -М.: Металлургиздат, 1958. - 242 с.

26. Журков С.Н., Нарзулл аев Б.Н. Временная зависимость прочности твердых тел // ЖТФ. - 1953. - Т. XXIII. - Вып. 10. - С. 1677-1689.

27. Степанов A.B. Основы практической прочности кристаллов. -М.: Наука, 1974. - 131 с.

28. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. - М.: Наука, 1974. - 560 с.

29. Френкель Я.И. Введение в теорию металлов. - М: Физматгиз, 1958. - 424 с.

30. Becker R. Über die Plastizität amorpher und Kristalliner fester Körper // Physikalische Zeitschrift. - 1925. - T. 25. - No. 7. - P. 919-925.

31. Orowan E. The creep of metals // J. West Scot. Iron and Steel Inst. -1947. - V. 54. - P. 45-96.

32. Федоров B.B. Кинетика повреждаемости и разрушения твердых тел. - Ташкент: Фан, 1985. - 168 с.

33. Bak P., Tang C., Wissenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of the l/f noise // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V. 59. - P. 381-384.

34. Bramwell S., Holdsworth P., Pinton J.-F. Universality of rare fluctuations in turbulence and critical phenomena // Nature. - 1998. -V. 396. - P. 552-554.

35. Pinton J.-F., W Holdsworth P.C., Labbe R. Power fluctuations in a closed shear flow // Phys. Rev. E. - 1999. - V. 60. - No. 3. - P. 24522455.

36. Ananthakrishna G., Naronha S.J., Fressengeas C., Kubin L.P Crossover from chaotic to self-organized critical dynamic in jerky flow of single crystals // Phys. Rev. E. - 1999. - V. 60. - No. 3. - P. 5455-5462.

37. Пантелеев И.А., Froustey C., Наймарк О.Б. Структурно-скейлин-говые переходы и универсальность статистики флуктуаций при пластическом течении металлов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2009. - Т. 2. - № 3. - С. 70-81.

38. Малинецкий ГГ., Курдюмов С.П. Приложение 2. Нелинейная динамика и проблемы прогноза // Структуры и хаос в нелинейных средах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - С. 425-451.

39. Писаренко В.Ф., Родкин М.В. Распределения с тяжелыми хвостами: приложения к анализу катастроф // Вычислительная сейсмология. Вып. 38. - М.: ГЕОС, 2007. - 242 с.

40. Карпинтери А., Лачидонья Дж., Пуцци С. Прогноз развития трещин в полномасштабных конструкциях на основе анализа показателя b и статистики Юла // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 3. -С. 75-87.

41. Шейдеггер А.Е. Физические аспекты природных катастроф. -М.: Недра, 1981. - 232 с.

42. Кочарян ГГ., Марков В.К., Марков Д.В., Перник Л.М. Экспериментальное исследование закономерностей деформирования малопрочных тонких слоев геоматериалов // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 6. - С. 63-70.

43. Астафуров С.В., Шилько Е.В., Андреев A.B., Псахье С.Г. Исследование влияния неравноосности сжатия на дилатансионные процессы в блочной среде в условиях сдвигового деформирования // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 2. - С. 47-55.

44. Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А.Г, Кирдяшкин А.А. Глубинная геодинамика. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, филиал «ГЕО», 2001. -409 с.

45. СеминскийК.Ж. Иерархия зонно-блоковой структуры литосферы Центральной и Восточной Азии // Геология и геофизика. - 2008. -Т. 49. - № 10. - С. 1018-1030.

46. Еманов А.А., Лескова Е.В. Строение эпицентральной зоны Чуйс-кого (Горный Алтай) землетрясения по данным метода сейсмической томографии с двойными разностями // Физ. мезомех. - 2006. -Т. 9. - № 1. - С. 45-50.

Поступила в редакцию 15.06.2012 г., после переработки 21.12.2012 г.

Сведения об авторах

Макаров Павел Васильевич, д.ф-м.н., проф., зав. лаб. ИФПМ СО РАН, проф. ТГУ, pvm@ispms.tsc.ru Еремин Михаил Олегович, аспирант ТГУ, bacardi@sibmail.com