Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на круговой бесконечнолистной спирали с одной точкой контакта

Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на круговой бесконечнолистной спирали с одной точкой

контакта

В.С. Булдырев, А.П. Танченко

отдел Математической и Вычислительной физики НИИФ Санкт-Петербургского Государственного Университета

Аннотация

В последние время большой интерес вызывают задачи дифракции на телах с обобщенными импедансными граничными условиями (ОБИГУ), содержащими, помимо самого поля и его нормальной производной, касательные производные поля высокого порядка. В двухмерных задачах, в точках разрыва коэффициентов ОБИГУ для единственности решения задачи дифракции должны быть поставлены дополнительные условия, называемые контактными условиями (КУ). В первой части работы решена плоская задача дифракции цилиндрической волны на круговой бесконечной спирали, расположенной на бесконечнолистной римановой поверхности логарифмического типа. На круговой спирали ставятся ОБИГУ, содержащие касательные к спирали производные второго порядка с разрывными коэффициентами. В точке разрыва коэффициентов ОБИГУ выполняются контактные условия. Во второй части работы найдена асимптотика полученного решения.

1. Решение задачи дифракции на спирали с одной точкой контакта

1.1 Постановка задачи

Рис. 1 Круговая спираль

Рассмотрим плоскую задачу дифракции. На круговую спираль г = а > 0, -о<р<+о (г, р — полярные координаты), расположенную на римановой поверхности логарифмического типа, падает цилиндрическая волна, порожденная точечным источником, расположенным в точке г = г0 > а, р = р0 (|р|<П2). Функция и (г ,р), описывающая падающее и рассеянное волновое поле, удовлетворяет:

1) во внешности спирали г >а , -с<р<+оо уравнению Гельмгольца

( + k 2 )u (r,p) = -

ö

-¿(р-р0),

где к > 0 — волновое число, г0, р0 — полярные координаты источника цилиндрической волны;

2) на спирали ОБИГУ, содержащее касательные производные (производные по углу р) второго порядка

' * -2 Л

1 du k dr

r = a

-a^ +

ß d2

(ka)2 dp2

r = a

P< 0,

1 du k dr

r = a

-a2 +"

ß2 д

2 ^

P> 0,

r = a

(ка) др

где , Д, ] = 1,2 — постоянные комплексные числа, причем, в общем случае,

а Фа2 и Д ф Д2;

3) в точке контакта С (г = а, р = 0) условию (Мейкснера) конечности энергии в окрестности С и контактным условиям [4]: функции и и Дд^ непрерывны в точке С

[u] = 0,

ß^L

dp

= 0,

где [f ] = lim f (a,p) - lim f (a,p) — скачок функции f (r,p) в точке контакта;

p^+0 p^-0

4) принципу предельного поглощения (зависимость от времени задается множителем e-гí).

1.2 Решение задачи

Построим решение поставленной задачи в кольце а < г < г0. Функцию и(г,р) представим суммою двух слагаемых

u (r ,p) = u (1)(r,p) + v(r ,p),

где

(1)( ) * +Г

uv (r, p) = - J

f

) - ri

Hv '(ka) z

\

(1) i(p-p0) z

H (1W )e 0 dz, z 0

• +ГО И^(кг) •

Лг,Р) = ~ I ^-еЩ й! ,

8 и (1)(ка) 2

и!1)(р), и(2)(р) — функции Ханкеля первого и второго рода,

1п И (2) (ка) + а+ (ка)~2 в 2 2

Ф) =  2 1 1

1 1п И(р(ка) + а + (ка) 2 в122

1

и q(2) - неизвестная функция. Если г > ^, то в выражении для и (г,р) г и г0 нужно поменять местами. В дальнейшем будем считать, что г < г0.

Первое слагаемое и (1)(г,р) в равенстве (5) является функцией Грина для круговой спирали логарифмического типа, на которой выполнено ОБИГУ (2) с постоянными коэффициентами а1 и в на всей спирали (см. [3]). Второе слагаемое у(г,р), очевидно, удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца и принципу предельного поглощения, функция q(2) должна быть определена так, чтобы выполнялись ОБИГУ (2), (3) и контактные условия (4).

Функция и(г,р), определенная равенством (5), удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1) и принципу предельного поглощения. Используя асимптотические

представления функций Ханкеля и2^(р), И^(2)(р) [1] можно показать, что для того

чтобы в точке контакта функция у(г,р) была бы непрерывной, достаточно

—2

потребовать, чтобы для искомой функции q( 2) выполнялась оценка q(z) = 0(2 ),

2 ^ГО .

Граничные условия

+ГО 1

—ГО

+ГО 1 Рр +ГО/ 2 \ (2) (1) ¡(р — р)2

—ГО —ГО

где

И1. (2) = 1п' И (г)(ка) + а . + (ка)—2 в . 22 , Г 2 у ] ]

1п'И^\ка) - логарифмическая производная

А.

1п' И^'ека) = —

р = ка

р)

и

функции Ханкеля И^\ка).

Интегралы в левых частях равенств

при г ^±оо являются расходящимися в обычном смысле. Расходящиеся интегралы в этих равенствах следует понимать в смысле обобщенного преобразования Фурье [5].

Для выполнения равенства (6) достаточно потребовать, чтобы функция

И _

была аналитической в нижней полуплоскости вплоть до вещественной оси и возрастала при | г не быстрее некоторой степени г . Для выполнения равенства (7) достаточно потребовать, чтобы функция

И + (г ) = ¿2 (г Ж г ) + ( (г ) _ ^ (г )ъ\ (г ) ) )2) (ка) И (кг0)е ' 7

была аналитической в верхней полуплоскости вплоть до вещественной оси и возрастала при | г не быстрее некоторой степени г .

Исключая из равенств (8) и (9) функцию q( г), приходим к неоднородной задаче Римана: найти функцию И+ (г), аналитическую в верхней полуплоскости и функцию И_(г), аналитическую в нижней полуплоскости, для которых на вещественной оси выполняется равенство

где

1 1 4/ И^1 (кг0) г

ъ\(г)И (г)_и2(г)И (г) = —ё(г) г 0 е 0 :

1 + 2 _ пка И^Чка)

ё(г) = (ка)_2(в2 _ в1)г2 + ^ .

1т г = 0,

z . ' /А

• ] Л*.

/1

Г

К

чл - z . . 3

Рис. 2 Особенности функции И

Факторизуем функции И1(2), Г = 1,2, т.е. представим функции И1 (2) в виде

произведений двух множителей И±(2), аналитичных соответственно в верхней и нижней полуплоскости

и1 (2) = И+ (2 )И— (2), Г = 1,2.

Функции

И1 (2) = 1п И^ (ка) + а + (ка)~2 в 22,

Г = 1,2

имеют на комплексной плоскости 2 бесконечное количество полюсов первого порядка {±^1^ 1, совпадающих с нулями функции Ханкеля И^^(ка) и по два простых корня ±2г (рис.2).

Выделим у функции и[(2) множитель, соответствующий корням ±2 . и множитель (ка) в

И1. (2) = (ка)—2 в .ф. (2) ( 2 2 — 22 ), Г = 1,2.

Функции ф (2), оставшиеся после такого выделения, аналитичны на всей комплексной плоскости за исключением полюсов первого порядка {±уп }ГО=1 и стремятся на бесконечности к единице. Представим Ьф (2) с помощью формулы Коши контурным интегралом

1п ф. (2) =

1

2П

- С

1п ф.

й2'

2 — 2

т

Г = 1,2,

здесь Г - произвольный замкнутый контур, охватывающий точку 2 . Расширяя этот контур, придем к формуле

И/ (2) = И + (2)И — (2), Г = 1,2,

где

и1( 2)=

в ±

*-(2 ± 2 .)exp

ка Г

2т

- С

1п ф.

-й2 '

2 — 2

т

1

контуры Г± охватывают полюса {±^п }п = 1 (см. рис 2). Интегралы в правых частях равенств (3) могут быть вычислены по вычетам.

Формулы (11) и (12) дают искомое представление функций И1 (2) в виде

произведения функций И++ (г) — аналитичных в верхней полуплоскости и функций

И- (г) — аналитичных в нижней полуплоскости. При этом для функций И±(г),

очевидно, имеет место оценка И± (г) = 0(г), г .

Используя равенство (11), можно переписать (10) следующим образом

И+ (г) И-(г) 4/ л(г) Н^(кг) - /т г

-+—Н+

7+

И+

Введем кусочно-аналитическую функцию у(г), аналитическую в верхней 1тг > 0 и нижней 1т г < 0 полуплоскостях

2 Л(г') Н9(кг0)е-т0г' уг) =2 | --г -^

п ка И— (г')И+ (г') Н^ (ка) г - г

Значение функции у (г) в верхней (нижней) полуплоскости обозначим у+ (г) (у-(г)). При 1т г = 0 функция у+ (г) определяется интегралом по контуру обходящему полюс подынтегральной функции г' = г снизу, функция у (г) определяется интегралом по

контуру обходящему полюс подынтегральной функции сверху. В силу свойств интеграла типа Коши [6], функции у± (г) являются ограниченными функциями на

бесконечности. В силу формулы Сохоцкого при переходе через вещественную ось имеет место скачок

4/ Л(г) Н^(кт_) -¡тг

у

+ жка и-

Равенство (14) позволяет переписать соотношение (13) в виде

И+

Н

И+

Согласно теореме об аналитическом продолжении через контур левая и правая части равенства (15) задают единую функцию Н(г), аналитическую на все комплексной плоскости г

У

1 Н+ (г)-у+ (г), 1тг > 0

Н (г) =

И+ (г) + +

И-

---Н (г) - у_ (г), 1т г < 0.

И-

Выясним поведение функции Н (г) на бесконечности. Для обеспечения непрерывности функции у(г,т) мы потребовали выполнения оценки д(г) = 0(г ),

2 ^го . Отсюда следует, что И±(2) = 0(1), 2 ^го . Из оценки Иг(2) = 0(2), 2 ^го ,

следует, что И(2) = 0(1), 2^го. Отсюда, по теореме Лиувилля: И(2) — тождественно равна константе И(2) = с.

Таким образом, на основании равенств

(

+ГО

и (г ( = - I

8 —ГО

И?

И4 Чка) 2

\

(1) ¡(Р —Р0) 2 И (1)(кг )С 0 й2 + 2 0

+ГО

(1)(

+с- I

р(2 Иуч(кг) • +ГО щ— (2) Иу4(кг) •

й2 + - I

8 —Го И+

ё(2й2.

Как нетрудно установить, используя оценки поведения подынтегральных функций, первое слагаемое в этой формуле — бесконечно дифференцируемая функция в точке контакта С, второе слагаемое имеет непрерывную производную по р в точке контакта, а третье слагаемое имеет разрывы всех производных по р в этой токе.

1.3 Контактное условие

Определим константу с, входящую в формулу (16), используя контактное условие (4). Как было уже отмечено, производная по р от первого и второго слагаемого в решении (16) — непрерывные функции в точке контакта С. Подставив решение (16) в контактное условие (4), получим значение константы с

где

+ГО

Г =

= I 2 (1 — г1(

—ГО

с =

(в1—в

Iя+1р

2 в21 +—в1г

И^Чка ) и21))(kг0)e

р +ГО 2Щ

1р = I

—Го 2)И2

-й2,

I ± =

Нт

+ГО

I

.¡Р2

й2.

Р^±0 —Го И

При вычислении интегралов I ± переходить к пределу под знаком интеграла нельзя, так как получающиеся при этом интегралы будут расходиться. Преобразуем интегралы в формуле (17) так, чтобы предельный переход под знаком интеграла был

бы возможен. Продеформируем в равенстве (17) для I + контур интегрирования —

вещественную ось в контур Г , огибающий нули функции Ханкеля И(1)(ка),

+ 2

расположенные в верхней полуплоскости, а в равенстве для I— в контур Г

2

огибающий нули функции Ханкеля H^(ka), расположенные в нижней полуплоскости (рис. 2). При деформации вещественной оси в контур Г+ будет пересечен простой полюс z2 функции —1—, и поэтому

h-

I + = 2ni-^-+ lim J-eVzz.

h+

Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю в силу того, что подынтегральная функция не имеет особенностей внутри контура интегрирования. В результате для I + получим

I + = 2ni--^-

Аналогично, деформируя вещественную ось в контур Г , можно выполнить

предельный переход р^—0 в интеграле I—

— 21

I = 2П--1-

h+ '

2. Исследование решения задачи дифракции на спирали с одной

точкой контакта

Построенное в предыдущем пункте точное решение и (г ,р) задачи дифракции на спирали с одной точкой контакта будет нами исследовано в освещенной области

.. а а | р — р |< аrccos--+ ягссс^

0 г г

0

в предположении ка ? 1 (к - волновое число, а - радиус спирали). Как было уже отмечено, первое слагаемое и (1)(г,р) в равенстве (16) является функцией Грина для круговой спирали, на которой выполнено ОБИГУ (2) с постоянными коэффициентами а и в на всей спирали. Построение асимптотики функции и (1)(г ,р) по методу

перевала проведено в работе [2]. В освещенной области имеет место, следующее асимптотическое представление

и (1) = e 4 eikR

2л/2Л 4kR

п п

-+о (-L

1 ka

+ r

J 4 f (l0+V

1+о (-L

l ka

1 2л/2л л/каУ

здесь Я - расстояние от точки источника Q до точки наблюдения М, 10 - расстояние от точки источника Q до точки падения Р на спираль, ¡х - расстояние от точки

падения Р до точки наблюдения М, 3 - угол падения, J - геометрическая расходимость отраженных лучей в точке наблюдения М .

Первое слагаемое в (18), очевидно, дает падающую цилиндрическую волну, а второе - отраженное волну с коэффициентом отражения ^(ка Бт$).

Найдем асимптотику второго слагаемого в

u (c)(r,y) = c — J

H (1) (kr ) z

dz.

8 к+

Пользуясь асимптотикой Дебая функции Ханкеля [1], представим подынтегральную функцию интеграла и(с)(г,р) в области, ограниченной на плоскости Z = -а нулями

функции Иг(1)(ка), И((2)(ка) в виде

где

h+

Hz)

1 + O (1 l ka ,

f

S(Z) = \jp2 -Z2 ->/ 1 -Z2 +Z arccosZ- arccos Z + yZ,

Л

PJ

f (Z) =

h+ (kaZ)h- (kaZ)\

1 -Z2

P2-Z2' P = a'

po=a

' a s a c i / ro yc

C Л*й

а / y*. \ic

M ^ M

Рис. 3 Волна соскальзывания

Вычисление асимптотики слагаемого u(c)(r,y) производится различным образом в зависимости от значения угла y.

1) Пусть |y|<arccos— (точка наблюдения M принадлежит области a ,

Pc

распололоженной правее касательной к спирали в точке контакта C, (рис. 3). В этом случае фазовая функция S (Z) имеет одну вещественную перевальную точку Zc = -sin3 (*c - угол между нормалью к спирали в точке контакта и прямой,

соединяющей точку контакта и точку наблюдения). Деформируя вещественную ось в перевальный контур, проходящий через точку перевала Zc и пользуясь известными

формулами метода перевала, получим следующее асимптотическое представление

для функции u

(c) e

wv ' = г _

c

i ( kl + 3f c 4

1 + О Г-lN

l ka ,

где

rc =.

n kac

cosS

2 4 h+

1 4 c' 2 v c7

¡с - расстояние от точки контакта до точки наблюдения.

Формула (19) имеет наглядный физический смысл: в области Ос функция и

описывает цилиндрическую волну с коэффициентом возбуждения г• , которую

излучает точка контакта.

2) Пусть |р|> arccosр (точка наблюдения находится в зоне тени ,

относительно источника, помещенного в точку контакта). В этом случае перевальных точек у фазовой функции £ (С) нет, и интеграл и(с) может быть представлен суммой вычетов в полюсах подынтегральной функции, которые совпадают с нулями г = V.,

1 = 1,2,..., функции Н(1)(ка) и с нулями функции Р(г) = (г)Ъ— (г). Вклады от нулей

г 12

функции Р( г) соответствуют поверхностным волнам, распространяющимся в окрестности круговой спирали. Будем считать, что мнимые части корней функции Р(г) велики и поверхностные волны экспоненциально затухают при удалении точки наблюдения от спирали. В дальнейшем мы будем пренебрегать поверхностными

волнами. Ряд вычетов в нулях функции Н^(ка) экспоненциально сходится за счет

роста 1тV . при увеличении .. Ограничимся вычислением вычетов с малыми

номерами, расположенными в окрестности единицы. Разлогая вычеты в точках г = vj по степеням V. — 1 и удерживая в разложении предэкспоненциального множителя один член, а в разложении фазовой функции два члена, получим

ко

(ка)2/3 ( 2 ^ 4 ^ 7 " ' . „ 1

-т-

wv - r e s

1 i ( k (l +ст) + ^ 2 ^e ^ U ' 6

ka

f

1+ О

Y

1/3

где

n

kac

r-s

8л/2 P(1)vЦУ

ls — длина луча, соскальзывающего с дуги спирали по касательной и приходящего в

точку наблюдения, и — длина дуги спирали между точкой контакта и точкой соскальзывания (точка касания соскальзывающего луча), v(t) - функция Эйри, экспоненциально убывающая при t ^+оо, т1 =-2,33... - первый корень функции Эйри

v(t ), т = -т.

1

V3 - i 2^2

множитель e

Множители, входящие в формулу (20) имеют следующий физический смысл:

I +о)

5 ' означает, что возмущение приходит в область О кратчайшим

путем, распространяясь от точки контакта вдоль дуги скольжения а и соскальзывающего луча l ; множитель говорит о том, что при распространении

rls

вдоль касательного луча амплитуда волны убывает обратно пропорционально квадратному корню из расстояния, т.е. подчиняется обычным геометрическим

-т ka (ka)2/3

закономерностям; множитель e описывает экспоненциальное ослабление

амплитуды при увеличении дуги скольжения а и набег фазы, который возникает при распространении возмущения вдоль дуги скольжения. Волну с такими свойствами принято называть волной соскальзывания.

Формулы (19) и (20) не применимы в окрестности прямой y = arccos—,

P

поскольку в этой области в интеграле u(c) точка перевала Zc близка к единице и при

вычислении асимптотики этого интеграла для функции Hz(1)(ka) должно быть использовано асимптотическое представление Фока, содержащие функцию Эйри wi(t) [2].

Коротко остановимся на вычислении асимптотики третьего слагаемого в формуле

u (л, i Т w-(z) Hzv) yzdz.

8 h+ (z)h- (z) H^ (ka) Построение асимптотики интеграла u(^) начнем с вычисления асимптотики

функции

2 d(z') H(1)(kr0)e y0z'

W

n2ka h- (z')h+ (z') H^ (ka) z - z

г

входящую в подынтегральное выражение и

заменим функции Ханкеля И*!)(ко) и Иф(ка) асимптотикой Дебая

d

h-(z')h+ (z') H(1)(ka) z'-z

1+o a

l ka

где

S Z) = ^2 -Z'2 -^/l_?2 +Z'

f Z' Л

arccos Z' - arccos--y

po 0

ka h-

h- (kaZ')h+ (kaZ')\

1-Z'2 1 Z =

P02-Z'2 Z'-Z- * ka

Фазовая функция £(^') имеет одну точку перевала Z' = -, где 30 - угол падения

в точке контакта (рис. 3) .

Если полюс подынтегральной функции Z' = Z в интеграле (21) удовлетворяет

неравенству -1 <Z<-sin30 вклад в асимптотику (kaZ) даст только точка перевала

Z' = - sin 30

у (kaZ) = --

d

i П

cosS0 e 4 eikl

1+ 0 f-1

l ka ,

пкакх (—кампЗ^^(—камп30) ^ + ^п30 2^2п ^

здесь I — расстояние от точки источника до точки контакта.

Если —1 <С < — sinр0 вклад в асимптотику (каС) даст как точка перевала

С' = — sin 30 так и полюс £' = £

у (kaZ) = -

d

i П

cos30 e 4 eikl

nkah-- (-kaún3Q)h+(-kasin30) Z + sin30 2^2n

1+o Г-1

l ka ,

4i

d

nka u~

h1 (kaZ)h+ (kaZ)\

1 -Z2 eikaS

2 >-2

^0-Z

1+o f-1 ^

l ka ,

ro Фс

Рис. 4 Отраженная волна

Вычислим асимптотику интеграла и( р )(г,р). Заменяя функцию (г) ее

асимптотикой и применяя метод перевала можно получить следующее

,

асимптотическое представление для интеграла u

4 e " V0 ' '1

u\r ' (г,ф) = <

i П ik (L +1

\ e e

, (ka sin 3) - r (ka sin 3) I —¡=-

' 1 >2y¡2n sjkaJ

1+o í-1

l ka ,

,

0 (i )• (гф

где ¡0 — расстояние от точки источника Q до точки падения Р, ¡1 — расстояние от

точки падения до токи наблюдения М, 3 — угол падения, J — геометрическая расходимость отраженных от спирали лучей, вычисленная в точке наблюдения М ,

1п Н (2) (ка) + а+ (ка)-2 в 22 г ( 2 ) =_2_2_2_.

2 1п Н^ (ка) + а + (ка)-2 в 22

Области О; и О2 изображены на рис. 4, граница между областями О; и О2 (пунктирная линия на рисунке 4) совпадает с критическим лучом, на котором /с = /.

Суммируя полученные результаты, можно написать асимптотику общего решения

и (г ,ф) в виде

П

4

е 4 е

e' 4 JR í Л i Jk (l0 +1

u (r ,ф): .— -7= +

.— .— , r (ka sin 3) + 8~ rn (ka sin 5) ,— ,-

2V2n JkR ^ 1 Q2 2 J 2y/2n JkaJ

i (kl +n -T ka, 1 i (k (l + ст) + 5П

+

e' C 4/ +Л . (ka)2/3 í 2 u ' 6

+8^ -¡=-+ ^ e

íkT Q s {ka J ¡kl

С V с 5

где 8О = 1, если точка наблюдения принадлежит области О и 8О = 0, если точка наблюдения не принадлежит области О.

В области (8Ц = 1, 8О2 = 0) второе слагаемое будет представлять собой

волну, отраженную от границы ср<0, г = а , а в области О2 (8О2 = 1, 8О = 0) — волну, отраженную от границы ср> 0, г = а . В области Ос четвертое слагаемое равно нулю, а третье слагаемое представляет собой цилиндрическую волну, излучаемую точкой контакта. В области О5 третье слагаемое равно нулю, а четвертое слагаемое описывает волну соскальзывания.

Список литературы

[1] Петрашень Г.И., Макаров Г.И., Смирнова Н.С., О асимптотических представлениях цилиндрических функций., Уч. записки ЛГУ, 170, 1953

[2] Бабич В.М., Булдырев В.С., Молотков И.А., Некоторые математические методы, применяемые в теории дифракции., В сб. I Всесоюз. школа-семинар по дифр. и распр. волн., 1968

[3] Вайнштейн Л. А., Малюжинец Г. Д. Поперечная диффузия при дифракции на импедансном цилиндре большого радиуса. Радиотехн. и электроника, 1961, т.6, 8

[4] Булдырев В. С., Танченко А.П., Гранично-контактные условия в электродинамике. Рассеяние плоской электромагнитной волны на стыке двух однородных хорошо поглощающих полупространств., Журнал Выч. Мат. и Мат. физики, 1999, т.39, 12

[5] Коузов Д.П., Дифракция цилиндрической гидроакустической волны на стыке двух полубесконечных пластин., ПММ., 1969 т.33, 2

[6] Гахов Ф.Д., Краевые задачи., Наука, 1977