Качественный анализ эволюционных уравнений в неклассической теории пологих оболочек с начальными неправильностями

УДК 539.3

В.Ф. Кириченко, П.А. Самаркин КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ

В статье с помощью метода компактности и новой методики получения априорных оценок доказана разрешимость первой краевой задачи для уравнений движения в неклассической теории пологих оболочек.

Неклассическая теория пологих оболочек, уравнения математической физики, обобщенные решения нелинейных краевых задач

V.F. Kirichenko, P.A. Samarkin

QUALITATIVE ANALYSIS OF THE EVOLUTION EQUATIONS IN NONCLASSICAL THEORY OF SHALLOW SHELLS WITH INITIAL IRREGULARITIES

This article uses compactness method and new methodology of giving an a priori estimate to prove solvability of the first boundary-value problem for the equations of motion in nonclassical theory of shallow shells.

Nonclassical theory of shallow shells, equations of mathematical physics, generalized solutions of nonlinear boundary-value problems

В монографии [1, стр. 349-350] сформулированы нерешенные проблемы математической теории оболочек, в частности, седьмая проблема связана с построением математической теории для вариантов оболочек, наряду с геометрической нелинейностью учитывающих сдвиговые напряжения. Именно для уравнений движения такого варианта пологих оболочек в данной статье доказано существования обобщенного решения.

Объектом исследования является следующая краевая задача для эволюционных уравнений «в смешанной форме», определяющих условия движения пологой изотропной и однородной оболочки в рамках обобщенных гипотез Тимошенко (модель Пелеха — Шереметьева) с учётом начальных неправильностей:

п

Б

Au, BдЩо , d + £,A — 1 A s B du30 1 A d A dSl2 + Csi31 dx3-j i3 J

1 j* 1 j dt d 1

dx3 = 0,

i = 1,2;

Б

к ( ~>2 д и

к О

2

О-------------30 + £

У ^,2

дt2

ди^0+у | ов-—

дt £ Г дх,

д

(

+ £:В --------

г дх

V

дt

Аиг1 - в ди^

г1 дх,

в

У

2

эч

дх 2

Ли„ — В диз0

дх

+

В д ^12 — С д^г3

дхз-г дхг

дх

д2^ д2^

— К —К2^Г — 1(и30. ^) — ^) = £ (Х1, х2, t);

х2 дх12

1 дх 2

д 2и30 1

1 ^ д 2и30

—А2 ^ = — к—-30 — к2 2

Ек 1 дх2 2 дх2 2

Ь(и30, и30) ^(и30, ^0);

и I =0 ди30

^г 0, ди

=0

, ди

= 0, иг1 |Г = 0, г = 1,2;

и30(Х1, х2 , t0) = ^30(Х1, Х2), и11(Х1, х2 , 0 = &1(Х1, Х2),

дt

дип(Х1, х2 , to) _

У30(х1, х2),

ди30 (х1, х2 , О — дt

1, Х2, ^'=У'1( ^ Х2), 1 = 1,2

дt

В задаче (1) — (6) и всюду далее приняты следующие условные обозначения:

А2() = А(А()), А() = ^ + Э-2();

дх дхп

А =

4 х:

3 Л

х3 —

V

3к2

В =

_ 4 х33

3к2 ’

4 х2

С = 1 — 4 х3

к2

1 д2^ Е

<Х, =— +

к дх32— г 1 — V2

дип ди ,, 11 | V -3—11 — в д2и,„ д 2и,„ Л

А 30 + V 30

\ 1 д г д г 1 1 N. 1 2 1 У

^12

к дх1дх2 2

^3 =

Е

2

С

иг1 +

ди

ди11 ди21 + —21 — В 2 д и30 Л

_ дх2 1 дх1 дх1дх2 У

30

дх

г = 1,2;

Г = дОх ^0, t1], О = ОидО, Ое Я2, 0 = Ох^0, t1),

Б = Ох| — к,к 1, бе Я3; (х1,х2)е О, х3 е

к к 2, 2

к > 0;

Здесь О — измеримая по Лебегу односвязная область в евклидовом пространстве Я2

к к ' — область в пространстве Я3, занимаемая оболочкой в

с границей дО ; Б = О Х

22

недеформированном состоянии; и — внешняя единичная нормаль к плоской кривой дО; к — постоянная толщина оболочки; о — постоянная плотность материала оболочки; 1У0, ^] — отрезок времени наблюдения за эволюцией оболочки; функция ^0(х1, х2) определяет начальную неправильность оболочки; функция и30( х1, х2, t) определяет дополнительный прогиб оболочки в момент времени t е [^, t1], а функция

34

Г

Г

[и30( х1, х2, t) + ^0( х1, х2)] — полный прогиб; К (г = 1,2) — постоянные начальные кривизны

оболочки; Е(х1, х2, t) — искомая функция усилий; и30(х1, х2, t), иг1(х1, х2, t) (г = 1,2) — искомые функции, определяющие коэффициенты в аппроксимации вектора перемещений точек оболочки; £(х1, х2, t) — интенсивность поперечной нагрузки; срп (х1, х2) , ср30 (х1, х2), уг1(х1,х2), у30(х1,х2) — известные функции, определяющие начальные условия (5), (6), г = 1,2; £, £2, £3 — постоянные коэффициенты демпфирования; Е, V — упругие

постоянные, Е > 0, 0 < V <1 /2.

Следует отметить, что краевая задача (1) — (6) получена по методике из работы [2]. Далее будем использовать обозначения, в том числе функциональных пространств, норм и скалярного произведения, из [3].

Теорема. Пусть кривая дО имеет гладкость, достаточную для используемых теорем вложения, и выполняются такие условия:

£ е Г (0), сръ, е Н02 (О), У30 е Н0(О).

1 2 — -2 -

&1 е НО (О), Уг1 е Г (О), 1 = 1,2; ^0 е С (О).

Тогда:

• существует хотя бы одно решение {~/г1, и30, Е} задачи (1) — (6), при этом

~ ди~

~30,Ее Г(^,tl;Н02(О)); «„,е Г(to,tl;Н0(О)),

д~ дt

-и.е Г(^,tl;Г2(О));

• приближенное решение задачи (1) — (6) может быть найдено методом Бубнова

- Галеркина, при этом функция Е определяется как решение уравнения (3) с

граничными условиями из (4), а всё множество получаемых решений слабо

компактно в пространствах, соответствующих (8), и его предельные точки определяют решение задачи (1) — (6).

Отметим основные этапы доказательства.

10 Построение приближенного решения. Решение задачи (1) — (6) ищем с помощью метода Бубнова - Г алеркина и с этой целью полагаем:

И3 Иг _

и30 = У £3К3

К3=1 Кг =1

где {С3К3 } — базис в Н02 (О) ,

{%и } — базисные системы в Н0(О), при этом функция Еи определяется как решение следующей граничной задачи для уравнения эллиптического типа:

1 /-)2^. и 7)2,. и 1 ~\т^

—А2 Е = — к1---Л- — К,-^—2Ци",0, «30) — 1

£зКз ^), ^), из аппроксимаций (9), определяются из следующей системы

обыкновенных дифференциальных уравнений:

( Г -л 2

ді2

Г ,2

АиI - В Эи30

г1 Эх,

э

+ £> — г ді

АиЦ - В Эи30

г1 Эх,

к АХ„

+

/р

ЭХ к

Эх

+

/р

+

а”.А

ЭХ„

Эх

3-і

+ а

3. Х),

= 0. і = 1.2. к =1. п ;

/р

Г|" Э 2и30 ди3п0 ]

—\.Хзк

ді2

(-В)-

ЭХз

ді

л Г

Л 2

+У

і 'О

2

/р

ді2

Эип

Аи" - ВЭи^

г1 Эх,

Э

+ ^г ді

Эип

Аип - В Эи^

г1 Эх,

Эх,

+

/р

2

Э х

Эх,2

+

/р

^1И2.

Эх , Эх,

2

к

Э2 ¥п Эх,2 >Сз'3

2

к

/п

Э2 ¥п Эх2 Хзкз

1

V

Л

/п

з-і і

а”. С-

Эх,

/р

= (£і.Єзк )п. кз=1.пз.

с начальными условиями следующего вида:

п

изо (і0 ) рз0.

Эиз0 (і0 ) = .уп

ді Уз0.

иЖ) = (рп.

аи-(і0) _

рз0 У азкзХзкз. ^0  р0 в Н 0 (П).

=1

з

Узп0 = У ЪзКзХзКз. ¥І0 Уз0

=1

Рп = У ак. Х, К =1 г

п

ді

У.

¥п = У Ь,К Х„

К =1 г і = 1.2.

р,1  р,1

¥п ¥п

В Н 0(П).

В Н 0(П).

в 12(П).

где изп0(і0) = изп0(х1.х2.і0). ип(і0) = и,'1(х1.х2.і0). а?. а”. апз п0лучаются из а. оь. а

0/ м30 Ч**! л2’‘'0 7’ мг1\‘'07 ^гг’э ^12э ^г3

заменой функций щ, и30, Е на иги,и30,Рп соответственно; символ «» в (13) обозначет сильную сходимость.

Разрешимость задачи Коши (12), (13) на некотором интервале (^, tп) следует из принципа неподвижной точки Ю. Шаудера и доказывается подобно работе [4].

2 Получение априорных оценок. Умножим уравнения из системы (12) на

Э&* — Э8з

' і = 1.2.

дt дt

следующее «энергетическое» равенство:

. соответственно. а результат просуммируем — в итоге получим

2=1

п

зб

+

1 _Э_

2 ді

2уЕ

Р

Эи

з0

ді

+ -

е

2

ЭиЦ Эи

+

21

л г

- В

А - В Э2изп0

Эх,

Эх2

І Эх2 Эх1

А - В Э 2изп0

2 Э 2изп0 Л

Эх1Эх

+

Эх2 Эх22

12

+—А¥п +

/р

ей'

+У

і=1

Р

Эип

Аи" - В Эиз0

Эх,

+ -

е

1 - V 2

А Эи1 - В Э 2изп0

+

е

2

2 Э

+ У е — 1=1 г ді

С

и '1 +

Эи

з0

Эх

/

Эип

Аи '1 - В

г1 Эх,

2 V р/

2

Эи

з0

ді

Эх,

+

Эх2

+

Г Эизп0 V £

р

ді

/п

2

2

п

п

р

р

п

2

2

р

р

V

2

п

п

р

При получении равенства (14) используются, согласно граничной задаче для определения функции ¥п и свойствам функции Ь(а,Ь) [3, стр. 59-60], следующие равенства:

ЦК. ¥п) + Ь^0. ¥п )1 |

г _Э_ ді

К

л Г

Э2 ¥п

Э2 ¥п Эх2

Эх

2 +К2

/п

¥

/п

Э2 ¥п Э2 ¥п 1 Эх22 2 Эх12

1 Г Э

г

= — I — А¥п.А¥п I + ЕЙ І ді / п

Ґ

К

Э2 ¥п

Эх2

-+ К

Э2 ¥п Эх2

ді

ч

Эи,

Э2ип Э2ип

^ О из0 1 ^ О из0

1 Эх

ді

Эх

21 1 Э А¥п

¥

/п

/п

2ЕИ ді

Эизп0

~дГ

/п

Проинтегрируем равенство (14) по переменной t е (t0, tп) и, учитывая следующее

неравенство:

2vE

2

В из0

Эи1п1 Эх1 Эх12

А Эи2”

Эх,,

2

В из0

Эх 2

<

/р

vE У

1 - V2 У

Эх,

2

В Э из0

Эх2

приходим к такому неравенству:

Э

2

п

2

р

з7

Р

du

30

dt

+ -

E

диП ди" )

+1

2=1

Р

+ езJ ddt0 dt + Z J

^ dt П 2=1 t-

D 2

Au" -B^

11 dx

2 , t

M1 + 21

V dX2 dX1 J

-B

30

V dX1dX2 J

12

+ ——\AFn + Eh 'W

+ -

E

1 + v

A ^Ul — B d_“. dx dx2

2Л. n

30

+ -

E

D 2

C

un + du30 U21

V

< 1

р I Узо ID +

t0

E

dun

Au" — B - 30

dx,

dt <

2

2

D

n N

'21 -

'1,

2n

B

2n д j30

V dX1dX2 J

+

dx

2

к

+

2vE

1 - v2

о f

A d j1 — в d j30

+Z

2=1

Р

dx,

Ay" — B

dx2

A d j21 — B d j30

dX2 dx^

+ -

JD

Eh

DF"

+

dy

+ -

E

2

C

n

j,1 +

dx d j

+ -

E

1 — v2

A j — B d j

dx,

n

30

dx,

2J

2

J,,

du

30

dt

dX2

dt.

+

J W

2

2

n

D

2

2

D

D

t

2

2

11

2

D

1

2

W

2

2

D

D

n

D

0

Из (17) на основании леммы Тронуолла [5, стр. 152-153], условий данной теоремы и сильной сходимости в условиях (13) заключаем, что левая часть неравенства (17) ограничена некоторой положительной постоянной g >0 ( g = const е R ), зависящей от момента времени t1, но не зависящей от « n3» и « nn ».

Тем самым, каждое отдельное слагаемое из левой части неравенства (17) ограничено постоянной g (конечно, при получении указанных оценок отбрасываются из левой части

неравенства (17) слагаемые с «е3» и «е »).

Рассмотрим подробнее получение априорных оценок на примере следующего слагаемого:

Y

>

Aun

B du3n0

dx,

4 x:

X

3h2

du!1

4 x! d f du

dt 3h2 dx, V dt

h3

252

JJ

68

V dt J

2

16 du,n d

5 dt dx

du

30

г \

dt

+

dx

V°xi V

n ^ ^

30

dt

JJ

dX1 dx2 >

>

h3

252

" 68 16е du! 2 2 h3 + [1 —161 d f du3n0 ^

_ 5 5 _ dt w 252 _ 5e_ dx, f dt J

(при получении неравенства (18) использовано неравенство Коши с «е» [5, стр. 33]),

Г16 17 ^ 68 16е л , 16 п

выбирая ее I—,— I, замечаем, что-------------------------------> 0, 1->0 и, следовательно, из

I 5 4 У 5 5 5е

получаем:

2

2

D

D

2

n

5

W

2

W

duii

Э‘

<

Эх

г V

Эu3nо

~ЭТ

<

где

и у2 — некоторые положительные постоянные. По аналогии с (19) получаем:

Эх

< const,

Эul1 + du21

Эх2 Эх1

< const, i = 1,2,

2n 2 Э uзо

Эх1 Эх2

< const,

Э 2u

зо

и кроме того, из (17) следует, что:

Эх2

Эп3Щ0

< const,

AF'

< const,

Э‘

< const.

Наличие априорных оценок (19) - (20) позволяет, подобно работе [4], продолжать решение задачи (12) - (13) на весь отрезок [70, ^] и сделать вывод о том, что:

множества «}, |Е”} ограничены в Ь°° ^0,^; Н02(^));

Г дп[

множества

множества

зо

Э‘

{ыЩ }, i = 1,2, ограничены в L¥ (t0, t;; H0 (W));

Э‘

, i = 1,2, ограничены в L (t0, t;; L (W)) .

Таким образом, множество приближенных решений задачи (1) - (6), полученных по методу Бубнова - Г алёркина, слабо компактно в пространствах, соответствующих (8).

30 Предельный переход. В силу слабой компактности множества приближенных решений можно выделить подпоследовательности

{<},{^ },{<},

такие, что:

2

2

Э

2

2

2

2

2

2

u30  2~зо *-слабо в L (‘о ti; H 2(W));

Эu30 Эы30 Э‘ Э‘ *-слабо в L“ (‘о 1t H 1 W

FM  F *-слабо в L“ (‘о ti; H 2(W));

ui!  р1 *-слабо в L“ (‘о ti; H 0(W));

Эрг1 Э‘ Э‘ *-слабо в L“ (‘о ti; L2(Q)), i = 12;

u30  u30 сильно в L2(Q).

На основании условий (22) предельный переход в обобщенной форме записи уравнений (1) - (4) производится подобно работе [3, стр. 62-63].

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 376 с.

2. Кириченко В.Ф. «Проекционные» условия движения термоупругого

деформируемого твердого тела и их применение в теории многослойных ортотропных оболочек // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов: Издательство СГТУ, 1997. Т.1. С. 144-155.

3. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

4. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Известия АН СССР, Серия математическая, 1957. Т.21. 6. С. 747-784.

5. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

Кириченко Валерий Федорович -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математика и Моделирование» Саратовского государственного технического университета

Kirichenko Valery Fedorovich -

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department “Mathematics and Modeling”, Saratov State Technical University

Самаркин Павел Александрович -

аспирант кафедры «Математика и Моделирование» Саратовского государственного технического университета

Samarkin Pavel Aleksandrovich -

Post-graduate student of the Department “Mathematics and Modeling”, Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 04.03.2011 , принята к опубликованию 05.07.2011