Изучение теории колебаний в курсе теоретической механики с использованием базы знаний WolframAlpha

Клоков А.С., Сорокин А.Н. Изучение теории колебаний в курсе теоретической механики с использованием базы знаний WolframAlpha // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ - 2016. -№4 (7) октябрь -декабрь. - URL http://e-journal.omgau.ru/index.php/2016-god/7/32-statya-2016-4/491-00236. - ISSN 2413-4066

УДК 378.14

Клоков Александр Сергеевич

Кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУВО Омский ГАУ, г. Омск aleklokov@yandex.ru

Сорокин Анатолий Никифорович

Кандидат технических наук, доцент ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск. anatoliy40in@gmail.com

Изучение теории колебаний в курсе теоретической механики с использованием базы

знаний WolframAlpha

Аннотация: В статье обсуждается применение базы знаний WolframAlpha при изучении теории колебаний материальной точки в курсе теоретической механики. Рассмотрены конкретные примеры, показывающие высокую эффективность такого рода подхода, ориентированного на повышение качества профессиональной подготовки студентов, обучающихся на инженерных специальностях.

Ключевые слова: база знаний WolframAlpha, теоретическая механика, динамика точки, колебания материальной точки, учебные задачи по теоретической механике, дифференциальные уравнения.

Изучение теории колебаний в курсе теоретической механики начинается с рассмотрения простейшей задачи о линейных колебаниях материальной точки, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Эта задача относится к числу обратных задач динамики, в которых при заданных силах определяется движение.

Как правило, сначала рассматривают свободные колебания материальной точки. Затем рассматривают влияние сопротивления на свободные колебания точки. И, наконец, вынужденные колебания точки, которые возникают при движении точки под действием восстанавливающей и возмущающей силы, а также некоторой постоянной силы и силы сопротивления среды, линейно зависящей от скорости точки.

Одной из специфических особенностей изучения теории колебаний является необходимость демонстрации на конкретных задачах практических приложений общих формул, а также доведения решения задач до получения численного результата. Высокая эффективность такого подхода невозможна без применения современной вычислительной техники и высокопроизводительного программного обеспечения. Одним из вариантов, который легко реализуем на практике, является применение базы знаний WolframAlpha [1, 2]. К числу достоинств данной базы знаний относятся: открытый доступ в интернете, возможность работать с использованием планшетов и смартфонов, которые имеют практически все студенты, удобный интерфейс, предоставляемый пользователю.

Наличие у преподавателя теоретической механики такого помощника, как база знаний WolframAlpha, позволяет значительно больше внимания уделять обсуждению различных вариантов постановки задач, учитывающих те или иные особенности рассматриваемой механической модели движения материальной точки, а также детальному рассмотрению влияния на движение материальной точки сопротивления среды, структуры, действующих на материальную точку сил: изучению зависимостей, как в аналитическом, так и числовомвиде, имеющих место между начальными условиями (начальным положением, начальной скоростью), массой точки, коэффициентом упругости пружины, амплитудой, периодом колебаний в случаях большого и малого сопротивления среды (в случае, когда сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости материальной точки), а также при наличии возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону.

Ниже мы приведём решения учебных задач в рабочей среде WolframAlpha из пособия И. В. Мещерского [3], которое уже многие десятилетия используется при изучении теоретической механики на инженерных специальностях в вузах России.

Задача 32.80. Найти уравнение прямолинейного движения точки массой т, на которую действует восстанавливающая сила Q = - сх и сила Г = Г0е ~а\ если в начальный момент точка находилась в положении равновесия в состоянии покоя.

Решение. 1. Выбираем систему отсчёта с началом в положении статического равновесия материальной точки (использование условия статического равновесия позволит уничтожить постоянные слагаемые в правой части дифференциального уравнения, описывающего движение материальной точки).

2. Используем основной закон динамики (второй закон Ньютона) в проекции на соответствующую ось (в нашем случае это ось Ох) для составления дифференциального уравнения движения материальной точки.

В данном случае уравнение движения будет иметь следующий вид:

Выбирая начало системы координат в положении статического равновесия, получаем

или

тп т

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Его решение находят в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного, которое зависит от вида правой части уравнения (3). Как правило, это достаточно трудоёмкий процесс ввиду большого объёма вычислений.

3. Решаем полученное дифференциальное уравнение движения материальной точки с использованием базы знаний WolframAlpha.

Запрос для его решения будет иметь вид:

solve x"(t)+(c/m)*x(t)=(F0/m)*eA(-alfa*t), x(0)=0, x'(0)=0

Результат решения уравнения приведён на рис. 1.

Таким образом, мы видим, что основная сложность при решении задачи заключается в правильном составлении дифференциального уравнения движения материальной точки.

Изменяя незначительно вид запроса,который использовался при решении задачи 32.80 можно получать решения и других учебных задач. Например, рассмотрим, как решается задача, в которой исследуется влияние сопротивления среды на движение материальной точки.

Задача 32.71. Груз массы 100 г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Коэффициент жёсткости пружины с = 19.6 Н/м. Сила сопротивления движению пропорциональна первой степени скорости груза:

Я =аг

где а = 3,5 Нс/м.

Найти уравнение движения груза, если в начальный момент груз был смещён из положения равновесия на Ло = 1 см и отпущен без начальной скорости.

Решение. Составление уравнения движения материальной точки не представляет особых затруднений. Запрос для решения этого уравнения имеет вид:

solvexм+35*x'+196*x=0, х(0)=1, х'(0)=0

Результат решения задачи 32.71 приведён на рис. 2.

Рис. 1

В условии учебной задачи 32.73 изменены начальные условия: в начальный момент груз смещёниз положения равновесия на расстояние vo = - см и ему сообщена начальная скорость = см/с в том же направлении.

Решение задачи аналогично решению предыдущей и запрос уже имеет такой вид:

solvex''+35*x'+ 196*x=0, x(0)=5, x'(0)=100

Результат решения задачи 32.73 - см. рис. 3.

Кроме того, база знаний WolframAlpha позволяет построить график зависимости перемещения от времени и найти максимальное отклонение точки на задаваемом промежутке времени с помощью запроса

maximize (5/7)*eA(-28*t)*(16*eA(21*t)-9) t=0..0.3

WolframAlpha

computational knowledge спспе

sofve хЧ35*х+1 96*х=0, x(GH, *'(0)=0 3

m EI m ^ EEs WebApps = Examples ЭС Random

Input:

(x"(t) -l- 35 jc'(t) -l- 196jf{i) = 0, x(0) = 1, jf'{0) = 0} Op?n ;ode

ODE names:

Autonomous equation:

x"(t) = -196 jeff) - 35 jr'(f) Autonomous equation »

Sturm-Liouville equation:

— [c3St a:'tt))+- 196c35t xtt) = 0 dt ' Sturm-Liouvl lie ecuatiorc »

ODE classification:

second-order linear ordinary differential equation

Alternate form:

|x"(t) = -35 x'(t) - 196ptj, *(0) = 1, x'(0) = 0}

Differential equation solution

c~2St

Approximate form

Li Step-by-step solution

Рис. 2

График зависимости перемещения от времени и значение локального максимума(задача 32.73) приведён на рис. 4.

В заключение следует отметить, что база знаний WolframAlpha может выдавать ответ к поставленной задаче в форме отличной от той, которая приводится в сборнике задач [3]. Например, ответ к задаче 32.93 имеет вид, который отличается формой записи от приведённого в сборнике задач.

Задача 32.93.Груз на пружине колеблется так, что его движение описывается дифференциальным уравнением

.

Найти закон движения груза, если в начальный момент его смещение и скорость равны нулю, а также определить, при каких значениях w наступит резонанс.

Запрос для решения дифференциального уравнения будет иметь вид:

solve m*x''(t)+c*x(t)=5*cos(omega*t)+2*cos(3*omega*t), x(0)=0, x'(0)=0

Решение представлено на рис.5.

^WolframAlpha

solve x'+35*x'+196*х=0, x(0)=5, x'(0)=100 Q

ЕЭ В Ш Çf WebApps = Examples Random

Input:

4- 35 ь 19ö x(t) = 0, *{0) = 5, x'(0) = 100}

ODE names:

Autonomous equation:

x"(t) = -196 jc(t) - 35 Autonomous equation »

Q Enlarge 1 i Data | в Customize | A Plaintext | Ф interactive

— (c35f je'itti i 19Ö c35t *(t) = 0 dt '

Sturm-Liouville equation »

ODE classification:

second-order linear ordinary differential equation

Altem ate form:

(x"{f) = -35x'U) - 19Ö jc(t), = 5, = 100}

Differential equation solution: Approximate form 1 Gf Step-by-step solution H

Plots of the solution

f x

Рис. 3

Рис.4

Для определения значений угловой скорости **> , при которых наступит резонанс,

приравниваем нулю знаменатель выражения найденного закона x(t) движения груза

.

Решая данное уравнение, относительно ш , находим значения критических угловых скоростей.

Запрос для решения этого уравнения будет иметь вид:

solve cA2-10*c*m*omegaA2+9*mA2*omegaA4, omega

Решение представлено на рис. 6.

Исходя из физического смысла поставленной задачи, значения критических угловых скоростей **> должны быть только положительными величинами. Тогда резонанс наступит в двух случаях при:

Рассмотренные в статье примеры решения учебных задач показывают, что применение базы знаний WolframAlpha существенным образом изменяют традиционное представление о методике проведения аудиторных занятий и внеаудиторной работы студентов.

Данный подход может мотивировать студентов к проведению дополнительного анализа, полученных с помощью базы знаний WolframAlpha, результатов решения поставленных учебных задач, что крайне полезно, как нам представляется, для будущего специалиста.

4>WolframAlpha

computational knowledge engine

solve rr>*x-(t)+c*x(t)=5*cqs(omega*tJ+2*cos(3*omega*t), x(0)=0, x'(0)=0

EEs WebApps = Examples ЭС Random

En put: (m x"(t) + cx(t) = 5 cos(to t) -1-2 cos(3 ta t), x(Q) = 0, jc'(0) = 0} Open code fS\

ODE classification; second-order linear ordinary diffei ential equation

Alternate forms: fc jc{t) m x"{t) = tos{f to) {4 cos(2 t to) 4- 3), jc(0) = 0, Jt'(0) = 0}

jc x(t) + m x"(t) = 2 cos?<r to) - 6 sin2(t to) cos(i; to) 4- 5 cosU to), jc(0) = 0, x'l.0) = 0}

jcзт(£) 4-m = - +. - citiJ I c~3iti" + c3'tu, x(0) = 0, jc'(0) = o) 2 2 >

Differential equation solution:

(47 m ii? -7c) cosi—) 4- costf to) (41 с - iti to*) cost. 2 t to) + 3 с - 43 m w2) V v in /

Df Stsp-by-atep solution

=

c2 — 10 с m +- 9 m2 to4

Рис. 5

#WolfiramAlpha=

sotve c*2-1 0*с*гтт*оппедал2+9*пг1А2*оппедаН omega 0

^ В Ü Ä « kAf^h йгчпс = Examples ЭС Random

Input interpretation:

solve c: - 10 с m is? 4- 9 m2 toA = 0 for io

ШШШШШ

Open cods /^S

Рис. 6

Ссылки на источники:

1. WolframAlpha: Computational Knowledge Engine. Режимдоступа: http://www.wolframalpha.com/ - [23.12.2016].

2. Книга Стивена Вольфрама «Элементарное введение в язык WolframLanguage» (перевод поста Stephen Wolfram "IWroteaBook—ToTeachtheWolframLanguage".) - URL: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/273601/.- [23.12.2016].

3. Мещерский И. В. Задачи по теоретической механике: Учеб пособие. - 37-е издание, исправл. Под ред. В.А. Пальмова, Д. Р. Меркина./ Оформление обложки С.Л. Шапиро, А. А. Олексенко. - Спб.: Издательство «Лань», 1998. -448 с.

AleksandrKlokov

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor

FSBEI HO Omsk SA U, Omsk

aleklokov@yandex.ru

Sorokin AnatoliyNikiforovich

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor FSBEI HO Omsk SA U, Omsk anatoliy40in@gmail.com

Studying The Oscillation Theory In The Course Of Theoretical Mechanics Using Wolfram Alpha Knowledge Base

Abstract: In the article we discuss using Wolfram Alpha knowledge base while studying the material point oscillation theory in the course of theoretical mechanics. A few concrete examples are considered to show a high efficiency of such an approach oriented to increasing the quality of students' training.

Keywords: Wolfram Alpha knowledge base, theoretical mechanics, dynamics of a point, oscillations of a point, case studies in theoretical mechanics, differential equations.