Динамическая оптимизация инвестиционного портфеля с использованием парных копул на примере основных фондовых рынков Европы

Прикладная эконометрика, 2015, 40 (4), с. 84-105. Applied Econometrics, 2015, 40 (4), pp. 84-105.

И. А. Ацканов1

Динамическая оптимизация инвестиционного портфеля с использованием парных копул на примере основных фондовых рынков Европы

Данная работа предлагает процедуру динамической оптимизации портфеля, составленного из фондовых индексов. Для оценки статистических характеристик активов используются SJC-копулы. Копулы позволяют численно оценить взаимосвязь доходно-стей финансовых инструментов и построить эффективный инвестиционный портфель. Характеристики активов меняются со временем, поэтому структура портфеля регулярно обновляется. Доходность полученного портфеля сравнивается с результатами традиционных методов. Предложенная методика оптимизации демонстрирует преимущество по ряду критериев. Дополнительно исследуется формирование портфеля с короткими позициями.

Ключевые слова: SJC-копулы; динамическая оптимизация портфеля; взаимозависимость доходностей активов; метод Монте-Карло; CVaR. JEL classification: C15; C61; C63; G11.

1. Введение

Европу можно считать одним из наиболее продвинутых регионов в плане развитости отношений между странами, входящими в него. Отдельные европейские страны начали развивать экономическое сотрудничество еще в 1957 году с момента создания Европейского экономического сообщества. С тех пор множество мер было направлено на расширение состава стран-участников, укрепление и облегчение торговых отношений, формирование общих целей. Был сформирован ряд институтов для решения проблем членов Евросоюза.

По всей видимости, добровольное ограничение суверенитета в рамках вступления в Евросоюз несет для стран-членов определенные качественные преимущества. С другой стороны, и это стало видно в свете последнего долгового кризиса в Европе, излишняя «сплоченность» может привести к неблагоприятным последствиям. Подтверждение тому — долговой кризис в Европе, начавшийся в 2011 году.

Предметом настоящего исследования является взаимосвязь фондовых рынков и построение эффективного портфеля, учитывающего наличие такой взаимосвязи. Отталкиваясь от вышесказанного, можно предположить, что взаимосвязь фондовых рынков Европы не со-

1 Ацканов Исуф Алимович — УК «Атон-менеджмент», Москва; atskanov@gmail.com.

хранялась на каком-то постоянном уровне. Определенные этапы в ходе формирования Ев- § ропейского союза могли способствовать изменениям в уровне взаимосвязи между европей- § скими странами и, как следствие, между их фондовыми рынками. Основными событиями, повлиявшими на взаимосвязь, могли быть вступление очередных стран в Евросоюз или пе- ^ реход на единую валюту. Данное исследование сначала проверяет факт такого изменения, а затем предлагает процедуру построения портфеля в условиях меняющейся взаимосвязи рынков. Дополнительно исследуется возможность формирования портфеля с короткими позициями.

На основе результатов предыдущих исследований одним из приемлемых вариантов для решения задач исследования представляются динамические копулы. Функция копулы заключается в построении совместного распределения двух и более случайных величин, причем главным преимуществом копулы является отсутствие ограничений на величины. Значения параметров копул, оптимизированные под конкретные данные, позволяют оценить уровень взаимосвязи между оцениваемыми случайными величинами.

Динамические копулы также позволят построить оптимальный по соотношению риск/доходность портфель из фондовых индексов, учитывающий меняющуюся взаимосвязь между активами. В данном исследовании предполагается активное управление портфелем, использующее последние оценки уровня взаимосвязи для вычисления оптимальных весов активов. Динамика полученного портфеля будет сравниваться с динамикой аналогичных портфелей, построенных более традиционными методами.

Результаты исследования могут быть актуальны в первую очередь для управляющих фондами акций, имеющих позиции по активам в различных европейских странах. В дополнение, динамические копулы могут быть полезны для риск-менеджеров, т. к. позволяют численно оценивать риск отдельного актива и портфеля в целом на различных временных горизонтах.

Настоящая статья структурирована следующим образом. В разделе 2 приводится обзор основных работ, связанных с данной тематикой. В разделе 3 дано описание инструментов исследования и процедуры оптимизации портфеля, а раздел 4 содержит основные полученные результаты.

2. Обзор современной литературы по изучаемой проблеме

2.1. Оценка уровня взаимосвязи рынков с использованием копул

Основы моделирования копул достаточно подробно описываются в работах (Alexander, 2008; Cherubini et al., 2004; Trivedi, Zimmer, 2005; Nielsen, 2006). Применение копул для анализа временных рядов можно разделить на два направления: построение совместного распределения нескольких временных рядов (именно на нем фокусируется данное исследование) и оценка зависимости между последовательными наблюдениями одного временного ряда. Первое позволяет дать оценку взаимосвязи между временными рядами, которая используется в риск-менеджменте для моделирования риска портфеля, в частности, для подбора оптимальных весов активов в портфеле. Второе применение похоже на использование марковских процессов (более подробно см. (Lageras, 2010)).

При анализе нескольких временных рядов с использованием копулы можно выделить два разных способа, связанных со статическими и динамическими копулами. Статические ко-

пулы до сих пор используются некоторыми исследователями ввиду своей простоты — подробнее можно посмотреть в работах (Righi, Ceretta, 2013; Hu, 2003; Hu, 2008; Ning, 2009).

В ряде исследований (Embrechts, Dias, 2004; Hu, 2008; Ning, 2009) проведен анализ эффективности динамических копул по сравнению со статическими на различных фондовых рынках. Работа (Busetti, Harvey, 2011) предлагает тесты на неизменность параметра копу-лы в применении к доходностям акций. В целом все приходят к выводу, что оптимальные параметры копул меняются со временем, поэтому статические копулы уступают динамическим на длительных периодах в точности объяснения уровня взаимосвязи между временными рядами. Исключение можно найти в работе (Hu, 2008), где на примере рынка Китая во взаимосвязи с другими рынками показывается большая эффективность статической копулы. Данное исключение можно связать с закрытостью китайского фондового рынка для иностранных инвесторов.

Изменения в параметрах копул многие пытаются связать с определенными макроэкономическими событиями (Embrechts, Dias, 2004; Patton, 2006a). Patton (2006b) первым предложил обобщение теоремы Склара (Sklar, 1959) для условной копулы, параметры которой меняются с течением времени. Он выявил структурные изменения в зависимостях между немецкой маркой и йеной по отношению к американскому доллару и нашел им макроэкономическое обоснование. Основное структурное изменение происходит в момент введения единой европейской валюты. Помимо разных вариантов условной копулы, тестирование структурных изменений производилось также с помощью модели GARCH-BEKK. Обе модели прошли тест на структурный сдвиг на уровне значимости 5%, но GARCH-BEKK ошиблась на 10%-ном уровне значимости. Работа (Goorbergh, 2004), сравнивавшая копулы и различные вариации модели GARCH для оценки взаимосвязи, показала на примере рынков США, Великобритании и Франции преимущество различных модификаций копул над моделью DCC-GARCH, разработанной Engle (2002).

Было предложено несколько различных моделей, которые допускали изменение в параметрах копул с течением времени (Ignatieva, 2005; Mendes, 2005; Patton, 2006a, 2006b; Aloui et al., 2013). Так, Mendes (2005) разбивал данные на отдельные участки, Aloui et al. (2013) использовали движущееся окно в 250 наблюдений (примерное число рабочих дней в году). Ignatieva (2005) предложила более комплексный подход с использованием метода локального изменения (LCPD). В этом случае размер отдельных периодов, на которых оценивался оптимальный параметр копулы, подбирался с помощью теста на однородность данных. Подразумевалось, что если однородность отвергается, то наступает переломный момент, т. е. меняется параметр взаимозависимости. Тем не менее, из приведенных работ наиболее цитируемыми являются работы (Patton, 2006a, 2006b), предлагающие условную копу-лу. На ее основе были предложены и некоторые модификации, в частности псевдо-копулы (Fermanian, Wegkamp, 2004).

Копулы очень активно используются для анализа зависимостей глобальных фондовых и товарных рынков (например (Hu, 2003; Hu, 2008; Ning, 2009)). Ning (2009) пришла к выводу, что на рынках Европы и Азии зависимость меняется не только по общей интенсивности, но и по структуре (отдельно право- и левохвостовая зависимости). Подробнее про моделирование структурных изменений в корреляции см. (Mesfioui, Quessy, 2008). Ning (2009) также показала, что взаимовлияние фондовых рынков сильнее выражено внутри отдельного континента, чем на разных континентах. Похожий результат есть у Hu (2008), который отметил влияние географического расстояния между странами на взаимосвязь их фондовых рынков.

Однако в рамках данной работы более интересны исследования, сфокусированные на вза- § имосвязи фондовых рынков Европы (Bartram et al., 2007; Ciprian, 2010; Allen et al., 2010; g Philippas, Siriopoulos, 2013; Kenourgios et al., 2009; Dajcman, 2013). Так, Bartram et al. (2007) использовали модель GJR-MA-t с нормальной копулой, чтобы показать структурное изме- ^ нение в поведении основных европейских рынков еще в начале 1998 года, когда только объявили о странах, переходящих на единую валюту. Авторы, однако, оценивали взаимосвязь фондовых индексов стран не между собой, а с общим европейским фондовым индексом (и дополнительно с SnP-500), поэтому их исследование не решает полностью проблему, рассматриваемую в настоящей статье. Ciprian (2010) оценивал взаимосвязь четырех европейских стран (Чехия, Венгрия, Польша и Румыния) через динамическую корреляцию их национальных валют по отношению к евро за 1999-2010 годы с использованием SJC-копулы. Он отмечает польский злотый как валюту (этих стран), наиболее зависимую от евро. В работе (Philippas, Siriopoulos, 2013) рассматривается взаимосвязь европейских стран через взаимосвязь их рынков облигаций. Авторы концентрируют внимание на Греции, Нидерландах, Германии, Италии, Испании, Португалии и Франции. Была обнаружена связь в период угрозы дефолта Греции между греческими облигациями и рынками облигаций в Германии, Нидерландах и Франции, а остальные рассматриваемые рынки облигаций не продемонстрировали сильной подверженности проблемам Греции.

Allen et al. (2010) исследуют 12 развивающихся рынков Центральной и Восточной Европы. В отличие от приведенных выше работ, они используют простой коэффициент корреляции и модель GARCH, чтобы показать влияние факта вступления страны в Евросоюз на степень взаимозависимости ее фондового рынка с другими европейскими рынками. Примеры Венгрии, Чехии и Польши подтверждают эту гипотезу, т. к. эти страны имеют наиболее развитые рынки из рассмотренных стран. Kenourgios et al. (2009) оценили взаимосвязь акций и облигаций внутри каждого рынка после введения европейской валюты и вступления в Евросоюз, используя модель AG-DCC. Они отмечают повышение уровня взаимосвязи внутри каждого рассмотренного рынка после этих событий. Dajcman (2013) использует вейвлет-анализ для оценки взаимосвязи рынков Германии, Франции, Великобритании и Австрии в разных масштабах данных. Первые три рынка демонстрируют выраженную взаимосвязь на краткосрочных и среднесрочных периодах, австрийский рынок более независим. На долгосрочных периодах (доходность за полгода) взаимосвязь остается видимой только для Германии и Франции.

2.2. Оптимизация портфеля активов

Обзор литературы логично начать с основополагающей статьи Марковица по оптимизации портфеля (Markowitz, 1952). В ней была разработана процедура оценки рисков активов через стандартное отклонение их доходности и построения портфеля исходя из этих рисков, ожидаемой доходности и корреляции между активами. Используя эти характеристики, можно составить эффективную границу портфеля активов, предлагающую разные допустимые комбинации риска и доходности, в том числе подобрать оптимальный портфель по соотношению риск/доходность. Основная критика работы (Markowitz, 1952) направлена на использование стандартного отклонения актива как основной меры риска. Все три меры (ожидаемая доходность, стандартное отклонение, матрица корреляций), используемые для построения эффективного портфеля, предполагают, что доходности распределены нормально, тем самым

эти три меры являются константами, что не имеет места в действительности. Одним из недостатков этой работы можно также считать ограничение на открытие коротких позиций в портфеле. Эта проблема решается позднее в (Jacobs et al., 2005), где изучается возможность дополнения портфеля короткими позициями при накладывании определенных ограничений.

Альтернативной мерой риска, рекомендуемой Базельским комитетом в качестве стандарта, является коэффициент Value-at-Risk (VaR), который, однако, часто подвергается критике. Так, Artzner et al. (1999) отмечают, что данный показатель не отвечает требованию субаддитивности (риск комбинации активов не превышает суммы их рисков по отдельности). В работе (Kakouris, Rustem, 2014) отмечается, что VaR не является выпуклой мерой риска, тем самым он может иметь несколько локальных экстремумов, что усложняет процесс оптимизации портфеля. Вдобавок, VaR никак не учитывает толщину хвостов распределения, поэтому оценка возможного риска может быть далека от реальности даже для высоких уровней значимости. Уместной альтернативой, которая также будет использоваться в данном исследовании, можно считать CVaR, рассмотренный в работах (Rockafellar, Uryasev, 2000, 2002) как более «качественная» (по сравнению с VaR) мера риска. CVaR — это в сущности ожидаемые убытки в случае, если значение VaR будет превышено. Таким образом, CVaR позволяет учитывать «толстые хвосты» распределения случайной величины.

Согласно (Rockafellar, Uryasev, 2002) оценка CVaR требует формулировки предположения о распределении активов, формирующих портфель. Аналогично (Kakouris, Rustem, 2014), в данном исследовании CVaR будет оцениваться через совместное распределение доходно-стей индексов, построенное на основе многомерной копулы. В работе (Kakouris, Rustem, 2014) отмечается несостоятельность использования нормальной копулы, т. к. она подразумевает симметричность, т. е. потенциальные убытки равны потенциальным прибылям (что, по мнению авторов, нереалистично), и предлагается использовать архимедовы копулы, которые допускают асимметричность. Данное исследование в решении этого вопроса будет использовать копулу Клэйтона, уделяющую особое внимание взаимосвязи именно отрицательных доходностей, что позволит более точно учитывать возможные риски. Kakouris, Rustem (2014) сравнивают результаты своей оптимизации с классическим вариантом оптимизации портфеля по Марковицу и показывают, что их метод приносит большую доходность.

Deng et al. (2001) также используют меру риска CVaR для оптимизации портфеля, но останавливаются на использовании копулы Стьюдента. Ortobelli et al. (2012) применяют ассиме-тричную копулу Стьюдента и предлагают свою процедуру для оптимизации портфеля. В работе (Bai, Sun, 2007) используются архимедовы копулы для формирования портфеля из трех активов. Авторы также измеряют риск портфеля с помощью CVaR и получают необходимые для формирования оптимального портфеля сценарии с помощью метода Монте-Карло.

3. Методика исследования и данные

3.1. Данные

Выборка включает ежедневные значения основных фондовых индексов 21 европейской страны: Австрия, Бельгия, Хорватия, Чехия, Германия, Дания, Финляндия, Греция, Ирландия, Италия, Люксембург, Нидерланды, Норвегия, Португалия, Швейцария, Польша, Великобритания, Швеция, Венгрия, Франция и Испания. Рассматриваемый период — 1993-2013 гг.

Учитывая, что дневные цены внутри периода доступны не по всем 21 индексам, необхо- § димо было синхронизировать данные по датам. §

После синхронизации дневные значения цен трансформируются в дневные доходности

посредством формулы: ^

р

Г =Р,

где Р( — значение фондового индекса в день г( — доходность фондового индекса в день t.

3.2. Методика оценки взаимосвязи и проверки основной гипотезы

Построение динамической копулы можно разбить на два этапа:

1) построение предельных равномерных распределений доходностей индексов;

2) построение совместного распределения с помощью копулы на основе полученных на первом этапе предельных равномерных распределений доходностей индексов.

Для построения предельных равномерных распределений доходностей активов в данном исследовании, как и во многих упомянутых выше, используются модель AR для условного среднего и модель GJR-GARCH для дисперсии:

Г =с + ЦГ- +е,,

к2 = а> + ае2г-1 + + уе]^! {ем > 0} .

На основе оценок (2) и (3) для каждого индекса строится равномерное распределение:

2. = —

Получив предельные распределения по каждому индексу, можно приступать к построению попарных совместных распределений. Распределения далее используются для проверки гипотезы об изменении взаимосвязи между рынками.

Отбираются несколько ключевых дат: введение евро (2000-2004), вступление очередной группы стан в Евросоюз (2004), объединение бирж Дании, Швеции и Финляндии (20022004). Для тестирования используется регрессия:

yt =Ру- +е,

где е. — белый шум, Е(е{) = 0, Е (е. ) = о2. Выдвигается нулевая гипотеза:

Но: р = 1, . = 1,...,Т,

где Т — размер выборки.

Альтернативная гипотеза подразумевает резкий рост уровня взаимосвязи:

=1, . = 1,...,[тТ ], Н, : \ .

1 \р, >1, . = [хТ] + 1,...,Т,

где [ хТ ] — «переломный» момент (х< 1).

Для проверки гипотезы будет использоваться модифицированная статистика из (Busetti, Taylor, 2004), описанная также в (Homm, Breitung, 2012; Homm, 2012):

1 t

BT = —2-2 У

1 s02(T-[tT])2 ^YT yt~2' ' w

где s^ — дисперсия тестируемого временного ряда.

Тест на наличие «переломного» момента на интервале [0,1-t0], где 10 Е [0,0.5], использует супремум-статистику

supBT(t 0) = sup BTt.

re[0,1-to ]

При t0 = 0 правая граница интервала соответствует моменту времени T. Левая граница интервала соответствует моменту времени 1.

Асимптотическое распределение (при больших T) максимального значения BTt, отвечающего предполагаемой дате перелома [tT ], дается следующей формулой:

supBT(t 0 ) ^ sup

re[o,l-r0 ]

(1 -t)2 fw2 (l -r )dr

где ^ обозначает слабую сходимость, а W (•) — винеровский процесс.

Если значение статистики больше критического, то нулевая гипотеза (6) отвергается в пользу альтернативной (7), т. е. имеет место усиление взаимосвязи.

3.3. Методика построения оптимального портфеля на основе копул

Данная часть исследования проводится только на 10 индексах для снижения числа вычислений. Это фондовые индексы следующих стран: Австрия, Бельгия, Франция, Германия, Ирландия, Италия, Нидерланды, Польша, Великобритания, Испания. В качестве меры риска будет использоваться показатель CVaR вместо дисперсии.

Опишем процедуру оптимизации инвестиционного портфеля с помощью копул (на ежемесячной основе).

1. На текущий момент рассчитываются предельные распределения фондовых индексов. Для момента времени Т используются только данные, предшествующие этому моменту, чтобы симулировать процесс управления портфелем, когда нет полной информации о будущем.

2. Вычисляется текущая матрица ранговой корреляции фондовых индексов.

3. С помощью копулы производится 10 000 симуляций Монте-Карло. Симуляции позволяют получить сценарии доходностей индексов и производить по ним дальнейшие вычисления.

4. Методом Монте-Карло получаются ожидаемая доходность каждого актива и оценка его риска по значению коэффициента СVaR.

5. Строится эффективная граница портфеля путем минимизации общего портфельного § CVaR при желаемом уровне портфельной доходности k: g

10 10 ^ min (CVaR): E (Rp ) = ^,Е (R, ) = k; =1, wt > 0 V/ e[1,10], (10) s-

¿=1 i=i

где Ri — доходность актива i.

Поскольку дополнительно будет строиться портфель с короткими позициями, для него необходимо составить другую задачу оптимизации. Используется один из методов, предложенных в работе (Jacobs et al., 2005) — каждый актив дублируется с противоположной доходностью. Таким образом, портфель составляется из 10 оригинальных активов и 10 «фиктивных» активов с противоположной доходностью:

10

min (CVaR): E (Rp ) = - wt )E (R ) = k;

10 i=1

2

i=1

Далее соответствующие веса оригинального и «фиктивного» актива складываются, чтобы получить чистую позицию оригинального актива в портфеле.

6. Из полученной границы эффективного портфеля в качестве оптимального выбирается портфель с максимальным отношением доходность/риск:

W N

E

max—v P ' ,

CVaRWp У J

где E (R, ) и CVaR'W — это, соответственно, ожидаемая доходность и риск портфеля W из множества портфелей, полученных на предыдущем шаге.

7. Веса оптимального инвестиционного портфеля используются в торговой стратегии.

8. Поскольку предполагается активное управление портфелем, такая процедура проводится ежемесячно. Дополнительно приводятся результаты для горизонтов инвестирования в квартал, полгода и год.

Чтобы показать, что такая процедура является разумной, доходность торговой стратегии будет сравниваться с доходностью следующих двух вариантов портфелей:

1) средневзвешенный портфель из 10 фондовых индексов;

2) портфель, оптимальный по Марковицу.

Во втором варианте процедура построения аналогична процедуре оптимизации по копу-лам, но вместо показателя CVaR используется дисперсия.

Далее все три портфеля будут сравниваться по следующим показателям эффективности:

• среднегодовая доходность

Annualized Return =

365

1 ppriœend Х

\PPriCestart I

где PPricestart и PPriceend — стоимости инвестиционного портфеля на начало и конец тестового периода соответственно, Т — общее число дней под управлением (включая выходные и праздничные дни);

• максимальное снижение общей стоимости инвестиционного портфеля за период:

MaxDrawDown = min

/ \ PPrice

-1

max

V 3<i

где PPricei — цена портфеля в момент времени i Е [1, T], max (PPricej ) — максимальная цена портфеля за все время, предшествующее i; j<'

• коэффициент Шарпа без альтернативных вложений:

E

SharpeRatio = , ,

/Var

где E (PRet) и ^Var( PRet) — это, соответственно, среднее значение и стандартное отклонение доходности портфеля;

коэффициент Gain-to-Pain психологической комфортности торговой стратегии:

Annualized Return

GainToPain =-.

MaxDrawDown

Данный набор коэффициентов, за исключением последнего, является стандартным для оценки торговой стратегии. Однако последний коэффициент представляется весьма полезным, т. к. позволяет управляющему понять, будет ли стратегия осуществима для него с психологической точки зрения. Если максимальное падение портфеля (стрессовый фактор) значительно превышает его среднюю доходность (фактор, смягчающий стресс), управляющий, по всей видимости, найдет такую стратегию некомфортной. Коэффициент Gain-To-Pain лучше коэффициента Шарпа в том смысле, что скачки в стоимости портфеля увеличивают его вариацию, и, следовательно, снижают коэффициент Шарпа, что скорее не несет в себе новой информации, а наоборот искажает ее. Коэффициент Gain-To-Pain от таких скачков снижаться не будет, т. к. реагирует только на снижения в стоимости. Более подробно о нем можно прочитать в монографии (Fitschen, 2013).

4. Результаты эмпирического исследования

4.1. Изменение уровня взаимосвязи в период перехода на евро

Переход на единую европейскую валюту начался в январе 1999 года с безналичных расчетов. Переход на наличные расчеты и извлечение из оборота национальных валют участников монетарного союза были осуществлены только в 2002 году. Таким образом, для проверки гипотезы об изменении уровня взаимосвязи между европейскими странами необходимо провести тест (Busetti, Taylor, 2004) с расширением временных рамок на период 1997-2006 гг.

Каких-то значительных изменений в уровне взаимосвязи между странами в 1999-2000 гг. не наблюдалось. Значимые изменения наступают в периоде c 2001 по 2003 год, когда национальные валюты участников монетарного союза были выведены из обращения, и оста-

лось только евро. Конкретные даты в скачках уровней взаимосвязи можно найти в Прило- § жении (табл. 3). g

Страны, участвовавшие в монетарном союзе с самого начала — это Австрия, Бельгия, Германия, Ирландия, Испания, Люксембург, Нидерланды, Португалия, Финляндия, Фран- ^ ция (к списку можно добавить Грецию, которая перешла на евро в 2001 году). Как видно из табл. 3 (в Приложении), уровень взаимосвязи менялся в основном именно у этих стран. Наибольшее число изменений было выявлено для Ирландии, Бельгии, Австрии, Финляндии, Люксембурга. Более крупные рынки типа Германии, Франции, Испании и Италии уже имели достаточно высокий уровень взаимосвязи до событий, связанных с переходом на евро, и по всей видимости поэтому модифицированный тест (Busetti, Taylor, 2004) не выявил каких-то значительных подвижек в уровне ранговой корреляции.

Таким образом, по результатам тестирования было выявлено изменение уровня взаимосвязи для большинства европейских стран, изначально принявших участие в переходе на единую валюту.

4.2. Изменение уровня взаимосвязи стран при вступлении в Евросоюз

Эффект от вступления отдельных стран в Евросоюз на степень взаимосвязанности их рынков из-за ограниченности данных можно проверить только для мая 2004 года. В этот период к Евросоюзу присоединилась большая группа: Венгрия, Кипр, Латвия, Литва, Мальта, Польша, Словакия, Словения, Чехия, Эстония. Из этих стран только три попадают в итоговую выборку исследования — это страны с относительно крупными и развитыми фондовыми рынками: Польша, Чехия и Венгрия. Остальные страны отсеялись на этапе подбора выборки либо из-за недостаточности данных, либо из-за низкого общего уровня взаимосвязи с остальными. Тест (Busetti, Taylor, 2004) проверялся на периоде 2003-2006 гг.

Страны, фондовые рынки которых за этот период стали более взаимозависимыми с рынками других стран — это Финляндия, Польша, Чехия, Венгрия, Дания и Швеция. Усиление взаимосвязи рынков Финляндии, Швеции и Дании объясняется объединением их бирж в этот период, что подразумевает более удобные условия для инвесторов по размещению активов в разных странах. Подробнее даты роста взаимосвязи можно посмотреть в Приложении (табл. 4).

4.3. Формирование оптимального портфеля из фондовых индексов

Последняя часть исследования посвящена построению оптимального портфеля по соотношению доходность/риск. Для оценки риска и ожидаемой доходности используются динамические параметры копулы, вычисленные на предыдущем этапе исследования. Риск портфеля выражен в значении коэффициента CVaR. На ежемесячной основе коэффициент CVaR оценивается с помощью метода Монте-Карло по копуле с соответствующим параметром. Такой метод генерирует множество различных сценариев доходностей индексов, учитывая их взаимосвязь, определяемую копулой. На основе этих сценариев, помимо CVaR, считаются также ожидаемые доходности. С учетом полученных значений формируется эффективная граница портфеля, и на ней выбирается портфель с максимальным значением отноше-

ния доходность/риск. Строятся два варианта портфеля: 1) только с длинными позициями; 2) с длинными и короткими позициями.

Полученный оптимальный портфель только с длинными позициями сравнивается по нескольким показателям со средневзвешенным портфелем из этих 10 выбранных индексов и с таким же портфелем, оптимизированным по Марковицу. Портфель Марковица также обновляется на ежемесячной основе для более точного сравнения с портфелем CVaR. Портфель CVaR с длинными и короткими позициями сравнивается с точно таким же форматом портфеля, оптимизированном по Марковицу. Далее приводятся результаты для двух форматов портфелей.

На рисунке 1 представлена динамика стоимости трех портфелей только с длинными позициями на периоде 1996-2013 гг. Как видно из графика, портфель, построенный по оценке риска через копулы, приносит наибольшую доходность среди рассматриваемых портфелей. Портфель, оптимизированный по Марковицу с оценкой риска через дисперсию, демонстрирует несколько большую доходность, чем средневзвешенный портфель, но генерирует примерно лишь половину дохода портфеля, оптимизированного с помощью копул.

500

д,

о * 450

о

д

й 400

ны

н е 350

л

п

оак 300

к

250

200

150

100

50

0

Портфель CVaR, long only Средневзвешенный портфель, long only Портфель Марковица, long only

4D СО СО CK

CK

СО CK CK

Дата

Рис. 1. Динамика изменения стоимости портфелей только с длинными позициями

В таблице 1 приведены показатели эффективности управления портфелем только с длинными позициями за весь период.

Таблица 1. Показатели эффективности управления по стратегиям только с длинными позициями

Показатель Портфель CVaR копула Портфель по Марковицу Средневзвешенный портфель

Среднегодовая доходность (%) 8.81 3.88 4.82

Максимальное снижение (%) 52 76 74

Коэффициент Шарпа 0.168 0.100 0.112

Коэффициент Gain-to-Pain 0.169 0.051 0.065

Как видно из таблицы, портфель, оптимизированный по копуле, выглядит лучше двух других исследуемых портфелей не только в терминах более высокой доходности, но и в терминах более низкого риска — меньше максимальное падение стоимости портфеля, больше коэффициенты Шарпа и Gain-to-Pain.

Если посмотреть на распределение весов в портфелях (рис. 2 и 3), можно увидеть значительную разницу между портфелем Марковица и портфелем, оптимизированным по копуле (CVaR). Веса в портфеле, оптимизированном по копуле, меняются относительно плавно — оборачиваемость портфеля составляет в среднем всего около 120% в год. Портфель, оптимизированный по Марковицу, напротив, выглядит весьма хаотично, никакой устойчивости

Spain

Sweden

UK

Netherlands

Italy Ireland

Germany

France

Belgium

Austria

ооооооооооооооооооооо

Дата

Рис. 2. Динамика изменения весов в портфеле только с длинными позициями, оптимизированном с помощью копул

0

Si

1 «Ï

«Ï

I Spain  Sweden UK 1 Netherlands

Italy 1 Ireland 1 Germany 1 France 1 Belgium 1 Austria

(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N

t^ on ^ о о о о о

m ^

о о о о о

CK 1> m

о о о о

оооо

ооооооооооооооооооооо

Дата

Рис. 3. Динамика весов в портфеле только с длинными позициями, оптимизированном с использованием классического подхода

в распределении весов между индексами не наблюдается. При этом оборачиваемость такого портфеля в среднем составляет 719% в год, что практически в 6 раз больше, чем оборачиваемость портфеля CVaR. Даже если бы портфель Марковица мог сравниться с портфелем CVaR по уровню доходности, он, очевидно, терял бы большую часть этой доходности на комиссиях за совершение многочисленных сделок по купле/продаже активов. На основе полученных результатов легко сделать вывод, что процедура оптимизации портфеля по Маркови-цу не может быть применима для активных стратегий с перераспределением весов на ежемесячной основе. С другой стороны, факт неустойчивости весов портфеля, оптимизированного по Марковицу, ставит под вопрос состоятельность такой процедуры даже для пассивных стратегий. Более тщательное изучение данного вопроса, однако, имеет слабое отношение к настоящему исследованию, поэтому не имеет смысла останавливаться на нем подробнее.

На рисунке 4 приведены результаты управления для портфеля с длинными и короткими позициями.

ч «

120 100 80 60 40 20 0

Портфель CVaR, long/short

Портфель Марковица, long/short

-20

^ ^ ^ ^ ^

Дата

Рис. 4. Динамика изменения стоимости портфелей с длинными и короткими позициями

Как видно из рисунка, при снятии ограничений на короткие позиции методика с использованием CVaR все еще остается более эффективной в долгосрочной перспективе. Портфель Марковица выигрывает на отдельном участке с 1996 по 2002 год, но содержит высокий риск. В таблице 2 приводится сравнение портфелей по показателям.

Таблица 2. Показатели эффективности портфелей с длинными и короткими позициями

Показатель Портфель CVaR копула Портфель по Марковицу

Среднегодовая доходность (%) 4.2 2.6

Максимальное снижение (%) 20.4 33.3

Коэффициент Шарпа 1.86 0.90

Коэффициент Gam-to-Pam 0.2 0.07

Как видно из этой таблицы, все показатели эффективности портфеля CVaR превосходят показатели портфеля Марковица. Кроме того, портфели без ограничений на короткие пози-

ции позволяют получить менее волатильную доходность, чем портфели только с длинными § позициями, о чем говорят более высокие коэффициенты Шарпа и Gain-to-Pain. §

Полученные показатели рассчитывались для месячного горизонта инвестирования. Но в действительности результаты могут сильно различаться в зависимости от длины го- ^ ризонта. В Приложении приведена табл. 5 с показателями эффективности для горизонтов инвестирования в квартал, полугодие и год. Как видно из этой таблицы, портфель Маркови-ца демонстрирует большую эффективность на горизонтах инвестирования в квартал и год по сравнению с портфелем CVaR на тех же горизонтах. Наибольшую эффективность портфель Марковица демонстрирует на горизонте в 1 год. Однако даже в этом случае показатели эффективности уступают портфелю CVaR с частотой инвестирования в месяц. На основе полученных результатов логично заключить, что портфель CVaR показывает большую эффективность при сравнительно частом пересмотре структуры портфеля, в то время как портфель Марковица требует расширения горизонта инвестирования для повышения эффективности управления.

Таким образом, предлагаемая в исследовании процедура управления оказалась эффективнее классического подхода, предложенного Марковицем, при условии частого пересмотра структуры портфеля. Тем не менее, поскольку показатель комфортности управления (Gain-to-Pain) портфелем CVaR достаточно низкий (а для комфортности он должен превышать 1), не рекомендуется использоваться данную стратегию в качестве единственного инструмента принятия решений. Это имеет еще больший смысл, если учитывать следующие факты по поводу разработанной процедуры.

1. Процедура подразумевает 100%-ное размещение средств в активы, поэтому портфель будет сильно терять в стоимости на падающих рынках. Во время падения рынка управляющие активами, как правило, стараются использовать денежные средства или другие более надежные (по сравнению с акциями) активы.

2. Процедура, по сути, не предлагает какого-то критерия по отбору активов, она лишь определяет оптимальный портфель из всех доступных активов. Управляющие активами, как правило, отбирают только часть из них по различным критериям, зависящим от стиля управления. Этот нюанс может давать им значительное преимущество по сравнению со стратегией.

Логично было бы использовать данную стратегию как дополнительный инструмент к навыкам профессионального управляющего. Сочетание предлагаемого статистического метода с опытом профессионала могут качественно улучшить доходность.

5. Заключение

Данное исследование посвящено использованию динамических копул для оценки взаимосвязи между фондовыми рынками Европы и построения оптимального портфеля европейских фондовых индексов. Проверялась гипотеза о росте уровня взаимосвязи между фондовыми рынками Европы при переходе европейских стран на единую валюту, при вступлении новой страны в Евросоюз и при объединении бирж разных стран. По результатам исследования удалось выявить следующее.

1. Большинство стран, перешедших на евро, демонстрировало рост взаимосвязи друг с другом в период с 2001 по 2003 гг., причем большая часть скачков в уровне взаимосвязи

происходила после 2002 года, когда евро был введен в наличное обращение. Это подтверждает результаты некоторых исследований, проведенных ранее.

2. Присоединение группы стран, среди которых Польша, Чехия и Венгрия, к Европейскому союзу в 2004 году сопровождалось ростом взаимосвязи их фондовых рынков с фондовыми рынками других стран Евросоюза.

3. Объединение бирж Дании, Швеции и Финляндии в 2002-2004 гг. также сопровождалось ростом взаимосвязи фондовых индексов этих стран между собой и с фондовыми индексами других европейских стран.

С практической точки зрения результаты, приведенные выше, могут пригодиться риск-менеджерам. В частности, если начнется очередной раунд присоединений стран к Евросоюзу, перехода на евро или объединения бирж, риск-менеджеры должны будут вкладывать в модель оценки риска портфеля с активами разных стран возможный рост взаимосвязи между фондовыми рынками стран, имеющих отношение к ситуации.

В работе предлагается процедура по активному управлению портфелем фондовых индексов (с точки зрения реализации более реалистично, что это будут фьючерсы на фондовые индексы). Результаты тестирования стратегии показывают, что использование копул и оценки риска с помощью коэффициента CVaR позволяют получить лучшие результаты управления, чем более традиционная оценка риска через дисперсию и уровня взаимосвязи через корреляцию. Однако это соблюдается только при условии относительно частого пересмотра структуры портфеля — при расширении горизонта инвестирования до года более традиционный подход начинает демонстрировать большую эффективность, хоть и не превосходит портфель CVaR с горизонтом инвестирования в месяц.

Полученная процедура, однако, не может быть единственным инструментом управления, т. к. представляется менее гибкой, чем работа профессионального управляющего портфелем ценных бумаг, но может стать полезным дополнением к набору инструментов профессионала, позволяя рассчитать оптимальные веса активов в портфеле.

Список литературы

Alexander C. (2008). Market risk analysis. Volume 2: Practical financial econometrics. UK, John Wiley and Sons.

Allen D. E., Golab A., Powell R. (2010). Volatility and correlations for stock markets in the emerging economies of Central and Eastern Europe: Implications for European investors. Working Paper 1001, Edith Cowan University. http://www.ecu.edu.au/__data/assets/pdf_file/0003/88 473/SAFE-wp1001.pdf.

Aloui R., Hammoudeh S., Nguyen D. K. (2013). A time-varying copula approach to oil and stock market dependence: The case of transition economies. Energy Economics, 39, 208-221.

Artzner P., Delbaen F., Erber J. M., Heath D. (1999). Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9, 203-228.

Bai M., Sun L. (2007). Application of copula and copula-CVaR in the multivariate portfolio optimization.

In: ESCAPE'07 Proceedings of the First international conference on Combinatorics, Algorithms, Probabilistic and Experimental Methodologies, 231-242.

Bartram M. S., Taylor J. S., Wang Y. H. (2007). The euro and European financial market dependence. Journal of Banking & Finance, 31 (5), 1461-1481.

Busetti F., Taylor M. R. (2004). Tests of stationarity against a change in persistence. Journal of Econo- 0 metrics, 123, 33-66. §

S.

Busetti F., Harvey A. (2011). When is a copula constant? A test for changing relationships. Journal of Financial Econometrics, 9 (1), 106-131.

S

Ciprian A. A. (2010). Analyzing asymmetric dependence in exchange rates using copula. Master's thesis, Academy of Economic Studies. http://www.dofin.ase.ro/Working%20papers/Alupoaiei%20Alexie/alu-poaiei.alexie.dissertation.pdf.

Cherubini U., Luciano E., Vecchiato W. (2004). Copula methods in finance. UK, John Wiley & Sons.

Dajcman S. (2013). Interdependence between some major European stock markets — A wavelet lead/ lag analysis. Prague economic papers, 28-49.

Deng L., Ma C., Yang W. (2001). Portfolio optimization via pair copula-GARCH-EVT-CVaR model. Systems Engineering Procedia, 2, 171-181.

Embrechts P., Dias A. (2004). Dynamic copula models for multivariate high-frequence data in finance. Working paper, ETH-Zurich.

Fermanian J. D., Wegkamp M. (2010). Time dependent copulas. Journal of Multivariate Analysis, 110, 19-29.

Fitschen K. (2013). Building reliable trading systems: Tradable strategies that perform as they backtest and meet your risk-reward goals. New Jersey. John Wiley & Sons.

Goorbergh R. (2004). A copula-based autoregressive conditional dependence model of international stock markets. DNB Working Papers.

Homm U. (2012). Econometric analysis of financial risk and correlation. Dissertation, Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universitât. http://hss.ulb.uni-bonn.de/2012/2989/2989.htm.

Homm U., Breitung J. (2012). Testing for speculative bubbles in stock markets: A comparison of alternative methods. Journal of Financial Econometrics, 10 (1), 198-231.

Hu J. (2008). Dependence structures in Chinese and U.S. financial markets: A time-varying conditional copula approach. MPRA Paper No. 11401.

Hu L. (2003). Dependence patterns across financial markets: A mixed copula approach. Working Paper. Ohio State University.

Ignatieva E. (2005). Adaptive estimation of time varying copulae. Master's thesis, Humboldt University. http://edoc.hu-berlin.de/master/ignatieva-ekaterina-2005-09-06/PDF/ignatieva.pdf.

Jacobs B., Levy K., Markowitz H. (2005). Portfolio optimization with factors, scenarios, and realistic short positions. Operations Research, 53 (4), 586-599.

Kakouris I., Rustem B. (2014). Robust portfolio optimization with copulas. European Journal of Operational Research, 235, 28-37.

Kenourgios D., Samitas A., Paltalidis N. (2009). Financial market dynamics in an enlarged European Union. Journal of Economic Integration, 24 (2), 197-221.

Lageras N. A. (2010). Copulas for Markovian dependence. Bernoulli, 16 (2), 331-342.

Markowitz H. (1952). Portfolio selection. The Journal of Finance, 7 (1), 77-91.

Mendes B. V. (2005). Computing conditional VaR using time-varying copulas. Revista Brasileira de Finanças, 3 (2), 251-265.

Mesfioui M., Quessy J. F. (2008). Dependence structure of conditional Archimedean copulas. Journal of Multivariate Analysis, 99, 372-385.

Nelsen R. B. (2006). An introduction to copulas. 2ndEdition. New York, Springer Science and Business.

Ning C. (2009). Extreme dependence in international stock markets. Working Paper, Ryerson University. http://economics.ryerson.ca/workingpapers/wp008.pdf.

Ortobelli S., Biglova A., Rachev T., Stoyanov S. (2012). Portfolio selection based on a simulated copula. Working Paper, School of Economics and Business Engineering University of Karlsruhe and KIT.

Patton A. J. (2006a). Modeling asymmetric exchange rate dependence. International Economic Review, 47 (2), 527-556.

Patton A. J. (2006b). Estimation of multivariate models for time series of possibly different lengths. Journal of Applied Econometrics, 21 (2), 147-173.

Philippas D., Siriopoulos C. (2013). Putting the «C» into crisis: Contagion, correlations and copulas on EMU bond markets. International Financial Markets, Institutions and Money, 27, 161-176.

Righi M. B., Ceretta P. S. (2013). Estimating non-linear serial and cross-interdependence between financial assets. Journal of Banking & Finance, 37, 837-846.

Rockafellar R. T., Uryasev S. (2000). Optimization of conditional value-at-risk. Journal of Risk, 2 (3), 21-41.

Rockafellar R. T., Uryasev S. (2002). Conditional value-at-risk for general loss distributions. Journal of Banking and Finance, 26 (7), 1443-1471.

Sklar A. (1959). Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges. Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris, 8, 229-231.

Trivedi P. K., Zimmer D. M. (2005). Copula modeling: Introduction for practitioners. Foundation and Trends in Econometrics, 1 (1), 1-111.

Приложение

Таблица 3. Увеличение взаимосвязи между странами попарно в период введения евро 1999-2002 гг.

Страна 1 Страна 2 Примерная дата скачка Страна 1 Страна 2 Примерная дата скачка

Belgium Austria 08-May-2001 Italy Finland 16-Dec-2003

France Austria 18-Dec-2002 Luxemburg Finland 23-May-2003

Denmark Austria 04-Jun-2002 Netherlands Finland 18-Jul-1997

Finland Austria 15-May-2002 Portugal Finland 25-Aug-2000

Greece Austria 28-Jun-2002 UK Finland 05-Nov-2001

Ireland Austria 15-May-2002 Sweden Finland 12-0ct-2001

Luxemburg Austria 14-May-2003 Hungary Finland 03-Jul-2002

Netherlands Austria 22-Jul-1997 Spain Finland 06-Mar-2002

Portugal Austria 16-Aug-2000 Ireland Greece 28-Jun-2002

Switzerland Austria 18-Apr-2002 Italy Greece 25-Jun-2003

Poland Austria 30-Aug-2002 Luxemburg Greece 05-Jun-2003

UK Austria 23-Jan-2002 Portugal Greece 16-Aug-2000

Hungary Austria 18-Mar-2002 Sweden Greece 26-Feb-2002

Окончание табл. 3

Страна 1 Страна 2 Примерная дата скачка Страна 1 Страна 2 Примерная дата скачка

Spain Austria 19-Apr-2002 Spain Greece 26-Feb-2002

France Belgium 04-Apr-2002 Italy Ireland 25-Jun-2004

Germany Belgium 02-Mar-2000 Luxemburg Ireland 29-Apr-2003

Finland Belgium 10-May-2002 Netherlands Ireland 07-Jun-1996

Greece Belgium 07-Jun-2002 Portugal Ireland 01-Aug-2000

Ireland Belgium 30-Apr-2002 Switzerland Ireland 19-Mar-2002

Italy Belgium 24-Nov-2003 Poland Ireland 04-Sep-2002

Netherlands Belgium 23-Jul-1997 Sweden Ireland 29-May-2002

Norway Belgium 30-Jul-2003 Hungary Ireland 16-Apr-2002

Portugal Belgium 22-Mar-2000 Spain Ireland 25-Apr-2002

Switzerland Belgium 12-Nov-2001 Portugal Italy 11-Apr-2002

UK Belgium 25-Jan-2002 Spain Italy 22-Apr-2002

Sweden Belgium 22-Apr-2002 Portugal Luxemburg 22-May-2002

Spain Belgium 25-Apr-2002 Switzerland Luxemburg 23-Apr-2002

Czech R. France 16-0ct-2002 Poland Luxemburg 13-Jun-2002

Finland France 02-May-2002 UK Luxemburg 15-Apr-2002

Greece France 31-May-2002 Sweden Luxemburg 29-Apr-2002

Ireland France 30-Apr-2002 Hungary Luxemburg 28-May-2002

Italy France 17-Nov-2002 Spain Luxemburg 08-May-2002

Luxemburg France 09-May-2003 Norway Netherlands 28-Apr-1999

Netherlands France 10-Jun-1997 Sweden Netherlands 15-Jan-2002

Switzerland France 27-Mar-2002 UK Norway 12-Mar-2002

UK France 22-Jan-2002 Sweden Norway 25-Apr-2002

Poland Czech R. 29-Jul-2002 Poland Portugal 14-Aug-2002

Finland Germany 13-May-2002 UK Portugal 23-Jan-2002

Greece Germany 14-Jun-2002 Sweden Portugal 22-May-2002

Ireland Germany 26-Apr-2002 Hungary Portugal 11-Apr-2002

Italy Germany 28-Nov-2003 Spain Portugal 16-Apr-2002

Luxemburg Germany 13-May-2003 UK Switzerland 24-Sep-2001

Netherlands Germany 11-Jul-1997 Sweden Switzerland 23-Apr-2002

Portugal Germany 25-Aug-2000 UK Poland 20-Aug-2002

Switzerland Germany 25-Mar-2002 Sweden Poland 25-Mar-2002

Spain Germany 03-May-2002 Spain Poland 18-Mar-2002

Ireland Denmark 03-May-2002 Sweden UK 25-Oct-2001

UK Denmark 11-Dec-2001 Spain UK 22-Jun-2001

Greece Finland 10-Apr-2002 Spain Sweden 08-May-2002

Ireland Finland 15-May-2002

Таблица 4. Даты увеличения уровня взаимосвязи между странами попарно в период присоединения очередной группы стран к Евросоюзу (2004 г.) и объединения бирж Дании, Швеции и Финляндии

Страна 1 Страна 2 Примерная дата скачка Страна 1 Страна 2 Примерная дата скачка

France Austria 28-Apr-2005 Italy Finland 27-Nov-2005

Czech R. Austria 05-Apr-2005 Luxemburg Finland 22-Mar-2005

Poland Austria 07-Jan-2005 Netherlands Finland 11-0ct-2004

UK Austria 21-Jun-2004 Norway Finland 20-Apr-2005

Spain Austria 18-Jun-2004 Switzerland Finland 11-May-2004

Ireland Belgium 19-Aug-2004 Poland Finland 27-Oct-2004

Poland Belgium 15-0ct-2004 UK Finland 01-Apr-2004

Hungary Belgium 16-Aug-2004 Sweden Finland 21-Apr-2005

Czech R. France 21-Feb-2005 Ireland Greece 05-Oct-2004

UK France 23-Feb-2004 Italy Greece 25-Jul-2006

Hungary France 23-Aug-2004 UK Greece 17-May-2004

Germany Czech R. 08-Feb-2005 Sweden Greece 01-0ct-2004

Denmark Czech R. 20-Aug-2004 Norway Ireland 14-Jul-2006

Italy Czech R. 29-Nov-2005 Spain Ireland 25-Aug-2004

Luxemburg Czech R. 10-Oct-2005 Poland Italy 19-0ct-2004

Netherlands Czech R. 30-Mar-2005 Hungary Italy 23-Aug-2004

Hungary Czech R. 23-Jan-2005 Poland Luxemburg 24-Sep-2004

Denmark Germany 28-Aug-2003 Sweden Luxemburg 15-Jun-2004

Finland Germany 22-Oct-2003 Poland Netherlands 18-Jan-2005

Ireland Germany 16-Aug-2004 UK Netherlands 18-Feb-2004

Poland Germany 17-Jan-2005 Sweden Netherlands 07-Aug-2003

Sweden Germany 14-Mar-2003 Switzerland Norway 02-Jun-2004

Finland Denmark 22-Aug-2003 Poland Norway 01-Dec-2004

Luxemburg Denmark 16-Feb-2005 Hungary Norway 06-Aug-2004

Switzerland Denmark 22-Sep-2003 Hungary Poland 15-Sep-2004

Sweden Denmark 11-Sep-2003 Spain Poland 08-Sep-2004

Hungary Denmark 02-Sep-2005 Sweden UK 03-Mar-2004

Greece Finland 14-Oct-2004 Spain UK 26-Aug-2004

Ireland Finland 11-Feb-2004 Spain Hungary 24-Aug-2004

Таблица 5. Показатели эффективности управления по стратегиям только с длинными позициями

Показатель

Портфель CVaR копула

Портфель по Марковицу

Средневзвешенный портфель

0

Si

1

Среднегодовая доходность (%) Максимальное снижение (%) Коэффициент Шарпа Коэффициент Gain-to-Pain

Горизонт инвестирования — квартал

5.12 6.55

56 50

0.09 0.09

0.09 0.13

4.20 55 0.09 0.08

Среднегодовая доходность

Горизонт инвестирования — 6 месяцев

5.55 2.68

55 70

0.09 0.04

0.10 0.04

5.55 2.68

4.55 55 0.07 0.08 4.55

Среднегодовая доходность (%) Максимальное снижение (%) Коэффициент Шарпа Коэффициент Gam-to-Pam

Горизонт инвестирования — год

4.95 7.91 43 56

0.07 0.06

0.11 0.14

4.95 43 0.07 0.11

Поступила в редакцию 04.07.2015; принята в печать 05.12.2015.

Atskanov I. Dynamic optimization of an investment portfolio on European stock markets using pair copulas. Applied Econometrics, 2015, 40 (4), pp. 84-105.

Isuf Atskanov

Aton Asset Management, Moscow, Russian Federation; atskanov@gmail.com

Dynamic optimization of an investment portfolio on European stock markets using pair copulas

This paper proposes a procedure for dynamic optimization of an investment portfolio, consisting of stock market indices. SJC-copulas were used to assets statistical characteristics of assets. Copulas allow to measure interdependence between financial instruments, and to build an efficient investment portfolio. Since statistical characteristics of assets are changing with time, the structure of the portfolio is upgrading accordingly. The portfolio is then compared with two benchmarks in terms of return and risk. As a result the proposed procedure provides better performance. Also, the paper studies building a portfolio with short positions.

Keywords: SJC-copulas; dynamic portfolio optimization; asset returns interdependence; Monte-Carlo simulation; CVaR. JEL classification: C15; C61; C63; G11.

References

Alexander C. (2008). Market risk analysis. Volume 2: Practical financial econometrics. UK, John Wiley and Sons.

Allen D. E., Golab A., Powell R. (2010). Volatility and correlations for stock markets in the emerging economies of Central and Eastern Europe: Implications for European investors. Working Paper 1001, Edith Cowan University. http://www.ecu.edu.au/__data/assets/pdf_file/0003/88 473/SAFE-wp1001.pdf.

Aloui R., Hammoudeh S., Nguyen D. K. (2013). A time-varying copula approach to oil and stock market dependence: The case of transition economies. Energy Economics, 39, 208-221.

Artzner P., Delbaen F., Erber J. M., Heath D. (1999). Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9, 203-228.

Bai M., Sun L. (2007). Application of copula and copula-CVaR in the multivariate portfolio optimization.

In: ESCAPE'07 Proceedings of the First international conference on Combinatorics, Algorithms, Probabilistic and Experimental Methodologies, 231-242.

Bartram M. S., Taylor J. S., Wang Y. H. (2007). The euro and European financial market dependence. Journal of Banking & Finance, 31 (5), 1461-1481.

Busetti F., Taylor M. R. (2004). Tests of stationarity against a change in persistence. Journal of Econometrics, 123, 33-66.

Busetti F., Harvey A. (2011). When is a copula constant? A test for changing relationships. Journal of Financial Econometrics, 9 (1), 106-131.

Ciprian A. A. (2010). Analyzing asymmetric dependence in exchange rates using copula. Master's thesis, Academy of Economic Studies. http://www.dofin.ase.ro/Working%20papers/Alupoaiei%20Alexie/ alupoaiei.alexie.dissertation.pdf.

Cherubini U., Luciano E., Vecchiato W. (2004). Copula methods in finance. UK, John Wiley & Sons.

Dajcman S. (2013). Interdependence between some major European stock markets — A wavelet lead/ lag analysis. Prague economic papers, 28-49.

Deng L., Ma C., Yang W. (2001). Portfolio optimization via pair copula-GARCH-EVT-CVaR model. Systems Engineering Procedia, 2, 171-181.

Embrechts P., Dias A. (2004). Dynamic copula models for multivariate high-frequence data in finance. Research paper, ETH-Zürich.

Fermanian J. D., Wegkamp M. (2010). Time dependent copulas. Journal of Multivariate Analysis, 110, 19-29.

Fitschen K. (2013). Building reliable trading systems: Tradable strategies that perform as they backtest and meet your risk-reward goals. New Jersey. John Wiley & Sons.

Goorbergh R. (2004). A copula-based autoregressive conditional dependence model of international stock markets, DNB Working Papers.

Homm U. (2012). Econometric analysis of financial risk and correlation. Dissertation, Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität. http://hss.ulb.uni-bonn.de/2012/2989/2989.htm.

Homm U., Breitung J. (2012). Testing for speculative bubbles in stock markets: A comparison of alternative methods. Journal of Financial Econometrics, 10 (1), 198-231.

Hu J. (2008). Dependence structures in Chinese and U.S. financial markets: A time-varying conditional copula approach. MPRA Paper No. 11401.

Hu L. (2003). Dependence patterns across financial markets: A mixed copula approach. Working Paper. Ohio State University.

Ignatieva E. (2005). Adaptive estimation of time varying copulae. Master's thesis, Humboldt University. 0 http://edoc.hu-berlin.de/master/ignatieva-ekaterina-2005-09-06/PDF/ignatieva.pdf. §

Jacobs B., Levy K., Markowitz H. (2005). Portfolio optimization with factors, scenarios, and realistic short positions. Operations Research, 53 (4), 586-599.

Kakouris I., Rustem B. (2014). Robust portfolio optimization with copulas, European Journal of Op-erationalResearch, 235, 28-37.

Kenourgios D., Samitas A., Paltalidis N. (2009). Financial market dynamics in an Enlarged European Union. Journal of Economic Integration, 24 (2), 197-221.

Lageras N. A. (2010). Copulas for Markovian dependence. Bernoulli, 16 (2), 331-342.

Markowitz H. (1952). Portfolio selection. The Journal of Finance, 7 (1), 77-91.

Mendes B. V. (2005). Computing conditional VaR using time-varying copulas. Revista Brasileira de Finanças, 3 (2), 251-265.

Mesfioui M., Quessy J. F. (2008). Dependence structure of conditional Archimedean copulas. Journal of Multivariate Analysis, 99, 372-385.

Nelsen R. B. (2006). An introduction to copulas. 2ndEdition. New York, Springer Science and Business.

Ning C. (2009). Extreme dependence in international stock markets. Working Paper, Ryerson University. http://economics.ryerson.ca/workingpapers/wp008.pdf.

Ortobelli S., Biglova A., Rachev T., Stoyanov S. (2012). Portfolio selection based on a simulated copula. Working Paper, School of Economics and Business Engineering University of Karlsruhe and KIT.

Patton A. J. (2006a). Modeling asymmetric exchange rate dependence. International Economic Review, 47 (2), 527-556.

Patton A. J. (2006b). Estimation of multivariate models for time series of possibly different lengths. Journal of Applied Econometrics, 21 (2), 147-173.

Philippas D., Siriopoulos C. (2013). Putting the «C» into crisis: Contagion, correlations and copulas on EMU bond markets. International Financial Markets, Institutions and Money, 27, 161-176.

Righi M. B., Ceretta P. S. (2013). Estimating non-linear serial and cross-interdependence between financial assets. Journal of Banking & Finance, 37, 837-846.

Rockafellar R. T., Uryasev S. (2000). Optimization of conditional value-at-risk. Journal of Risk, 2 (3), 21-41.

Rockafellar R. T., Uryasev S. (2002). Conditional value-at-risk for general loss distributions. Journal of Banking and Finance, 26 (7), 1443-1471.

Sklar A. (1959). Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges. Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris, 8, 229-231.

Trivedi P. K., Zimmer D. M. (2005). Copula modeling: Introduction for practitioners. Foundation and Trends in Econometrics, 1 (1), 1-111.

Received 04.07.2015; accepted 05.12.2015.