Анализ алгоритмов сортирования и классифицирования пиловочного сырья

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

инструментария, способного интегрироваться в действующие САПР корпусной мебели.

Библиографический список

1. Горощенко, Л.Г Анализ динамики развития российского рынка мебели / Л.Г. Горощенко // Мебельный мир. - 2006. - № 4(18). - С. 4-6.

2. Вороненко, В.П. Проектирование машиностроительного производства: учебник для вузов / В.П. Вороненко,

Ю.М. Соломенцев, А.Г Схиртладзе; под ред. чл.-корр. РАН Ю.М. Соломенцева. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2006. - 380 с.

3. Барташевич, А.А. Конструирование мебели: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности «Технология и дизайн мебели» / А.А. Барташевич, С.П. Трофимов. - Мн.: Современная школа, 2006. -336 с.

4. Штернберг, В. Трио в системе качества / В. Штернберг // Фабрика мебели. - 2005. - № 3. - С. 84-85.

АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ СОРТИРОВАНИЯ И КЛАССИФИЦИРОВАНИЯ

ПИЛОВОЧНОГО СЫРЬЯ

О.И. ШАКО, асп. каф. технологии лесопиления и деревообработки МГУЛ

Для традиционных технологий лесопиления процесс сортирования пиловочного сырья заключается в распределении бревен в соответствии с их параметрами по сортировочным группам (классам), они накапливается в определенном подстопном месте (кармане). Бревна каждой группы раскраиваются затем одним поставом.

В условиях применения гибких технологий лесопиления сырье сначала сортируется на малое число групп (2-4) или не сортируется совсем. Бревна каждой укрупненной группы раскраиваются затем регулируемым поставом. При поступлении бревна на распиловку оно должно быть классифицировано (отнесено к определенной группе по его параметрам) с целью выбора и настройки соответствующего постава.

При сортировании и классифицировании пиловочного сырья по размерам бревен необходимо обеспечить высокую эффективность раскроя, не допуская выхода некондиционной пилопродукции, прежде всего из-за обзола обрезных досок. Алгоритмы сортирования и классифицирования пиловочного сырья идентичны.

Нижнюю границу размеров бревен в каждой группе следует выбирать исходя из следующих условий:

1) размеры крайних боковых досок по ширине и длине должны быть не ниже заданных минимальных;

2) должна обеспечиваться полная длина досок, вписанных в пропиленную пласть бруса (при раскрое с брусовкой) или попавших в пифа-горическую зону бревна (при раскрое вразвал).

Согласно теории раскроя пиловочного сырья для модели бревна как усеченного парабо-

лоида вращения второго порядка получены следующие формулы для определения ширины b и длины l крайних досок [1]

b + Уь =\ l = - L

D2 - М2

3

2 D2 - M2

3 D2 - d2 ’ где D - комлевой диаметр бревна; d - вершинный диаметр бревна;

L - длина бревна;

M - охват диаметра бревна поставом; yb - усушка крайних досок по ширине.

Ширина пропиленной пласти бруса М

ц

для вписывания центральных и сердцевинных досок равна

мц =vd2 - H2 ,

где H -толщина выпиливаемого бруса с учетом усушки.

Ширина пифагорической зоны бревна определяется по формуле

Мц =yl 1,5d2 - 0,5D2 .

В лесопильном производстве могут быть использованы следующие алгоритмы сортирования и классифицирования пиловочного сырья по размерам бревен:

I) по вершинным диаметрам и длинам

бревен;

II) по вершинным диаметрам бревен;

III) по вершинным диаметрам бревен с учетом их длин;

IV) по комлевым диаметрам бревен;

V) по комлевым и вершинным диаметрам

бревен;

VI) по диаметрам бревен посередине

бревна.

142

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Алгоритм I является самым информативным, он обеспечивает наиболее высокую эффективность раскроя бревен. Символически его можно записать в виде

d.н < d.. < d.в; i = 1, ..., N;

i) i) i) ’ ’ ’ ’

L ном < L . < L ном + A; i = 1, ..., E;

i) i) i) ’ 5 5 5 V /

где d.. -диаметры бревен в i-м в диапазоне диа-

i)

метров для j-й группы бревен по длине;

dH, d e - соответственно нижняя и верхняя границы диаметров в i-м диапазоне для j-й группы бревен по длине;

L.. - длины бревен j-й группы в каждом i-м диапазоне их диаметров;

L.HOM - номинальная длина бревен в j-й группе;

A - стандартный интервал изменения длины досок.

Этот алгоритм потребует большого количества групп сортирования, увеличит капитальные вложения и эксплуатационные затраты. Например, в диапазоне вершинных диаметров бревен 14-60 см при сортировании по четным диаметрам и в диапазоне длин бревен 4-7 м с интервалом сортирования 0,25 м число сортировочных карманов составит 288.

В настоящее время для традиционных технологий лесопиления чаще всего используют алгоритм сортирования II по вершинным диаметрам бревен. В одну сортировочную группу с заданным диапазоном вершинных диаметров попадают бревна разных длин, которые раскраиваются одним поставом. Он описывается следующим образом

dH < d. < dj; i = 1, ..., N.

Тогда число градаций при сортировании бревен по четным диаметрам не превысит 24. Будем рассматривать этот алгоритм как базовый и относительно него выявлять эффективность остальных алгоритмов.

Пусть при распиловке вразвал или с брусовкой бревна сортируются по вершинному диаметру и не предъявляется требование получения досок полной длины. При этом для среднемерного сырья нижняя граница диапазона вершинных диаметров обычно рассчитывается исходя из обеспечения допустимой минимальной ширины крайней боковой доски bmn по формуле, выведенной из соотношения (1).

d,H NM2 + ЗФтп + У)' - sL,

где 5 - средний сбег бревна, s = (D - d) / L.

Расчет выполняется для самого короткого бревна, полученный минимальный диаметр обобщается на все длины. На рисунке а условно представлены границы диапазонов сортирования бревен по вершинным диаметрам, область сортирования имеет вид прямоугольника 0123.

Известно, что с ростом длины бревен коэффициент выхода пиломатериалов снижается. С увеличением длины бревна граница обеспечения минимальной ширины боковых досок смещается к меньшим диаметрам бревен (пунктирные линии на рисунке а). Тогда очевидно, что с увеличением длины бревен можно переходить к меньшим диаметрам бревен, раскраиваемых тем же поставом. При этом для бревен больших длин с меньшими диаметрами коэффициент выхода пиломатериалов будет увеличиваться.

Возникает возможность использования резерва повышения эффективности раскроя, если предусмотреть для данной группы сортирования переход на меньшие диаметры бревен с ростом их длины. Рассмотрим алгоритм сортирования бревен III по вершинным диаметрам с учетом их длин.

Он имеет вид

d£ < d.f < d.B; i = 1, ..., N;

L™ < L^< L^тах; i = 1, ..., F,

где Lf - длины бревен, предусмотренные в j-й зоне длин для -го диапазона диаметров;

L .j™1, L !nax - соответственно минимальная и максимальная границы j-й зоны длин бревен.

Пусть для двух зон длин бревен рассчитаны границы диаметров, как это показано на рисунке а. При сортировании согласно расчетам бревна с размерами по длине Lmin < L .1 < L0 попадут в интервал диаметров dH < d. < dj, а более длинные, во второй зоне с границами L0 < L < L - в интервал d0 < d. < d.,,0.

Тогда бревна, попавшие в область А, перейдут из предыдущей сортировочной группы и будут распилены более выгодным поставом со средним коэффициентом выхода пиломатериалов к Бревна, попавшие в область B, перейдут в последующую сортировочную группу и также будут распилены более выгодным поставом.

Теоретическое приращение коэффициента выхода Ак . для i-го диапазона сортирования по алгоритму III по сравнению с алгоритмом сортирования II можно определить как разность коэффициентов выхода кА и к с весовыми долями, соответствующими относительным площадям областей А и B (9).

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

143

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рисунок. Графическая интерпретация алгоритмов сортирования и классифицирования пиловочного сырья по размерам бревен

Ak. =

v max 0'

AL«, - d) где AL = L - L ;

max mm’

L , L - соответственно минимальная и мак-

min’ max

симальная длина распиливаемых бревен.

Также можно предусмотреть три или более зон длин бревен, тогда в формулу (9) будут добавлены аналогичные слагаемые. Например, для трех зон приращение коэффициента выхода пиломатериалов будет определяться по формуле

Ак. =

v max 0'

+

AL

(Ad0к A0 -Ad,+1)0kiB0) +

AL(d“+1 - dH) i1 A1 (i+41 iB1

Необходимо отметить, что здесь границы диаметров в каждом диапазоне определены расчетным путем для стандартного сбега бревен, его

реальная изменчивость может вызвать некоторый обзол выпиливаемых досок.

Для тех же условий проанализируем алгоритм сортирования бревен IV по их комлевым диаметрам [2].

Из формулы (1) получим для комлевого диаметра бревен ограничение по минимальной ширине крайних досок

D >4М2 + 3

Как видно, граничный комлевой диаметр не зависит от длины бревен. Поэтому, сортируя бревна по комлевому диаметру, независимо от длины бревна выполняем ограничение по ширине крайних досок. Границы диапазонов сортирования бревен по их комлевым диаметрам показаны в шкале вершинных диаметров наклонными линиями на рисунке б. Угол наклона линий а, угловой коэффициент tga = - s. Наклонные линии отсе-

144

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

кают по оси ординат отрезки, равные значениям комлевых диаметров DH и DH. В любой точке на границе диапазонов сортирования бревен их комлевые диаметры постоянны, независимо от длин бревен. С увеличением длины бревен некоторая их часть, соответствующая площадям А и B, автоматически попадает в следующий диапазон вершинных диаметров с большим коэффициентом выхода.

Алгоритм сортирования и классифицирования бревен IV по их комлевым диаметрам запишется в виде соотношения

DH < Dt < De; i = 1, ..., N.

где Dн - соответственно, нижняя и верхняя границы комлевых диаметров бревен для i-й группы сортирования.

По сравнению с базовым алгоритмом сортирования II по вершинным диаметрам бревен алгоритм сортирования IV по комлевым диаметрам обеспечит теоретическое повышение коэффициента выхода пиломатериалов на величину

Nk. =

v max___min '

2

Фактические колебания сбега бревен не приводят к изменению границ их комлевых диаметров, они рассчитываются по формуле (11).

Возможны случаи при диаметрах бревен более 30 см, когда границы диапазона вершинных диаметров определяются ограничением по допустимой минимальной длине крайних досок lmn согласно формуле (2). Тогда, решив квадратное уравнение

D2 - 3sl D + 1,5s2/ L - M2 = 0,

найдем соотношения для нижней границы диаметров бревен

DH > 1,5sl . +Jm2 - 1,5s2l . (L -1,5/ . ) ;

2i ’ min \ i ’ minv ’ min' ’

dH > 1,5slmin + ^M2 - 1,5s2/mm

Взяв производную последней функции по длине бревна L, получим

1,5s2l .

d \ =—. mn - s .

JM2 - 1,5s2l .

Следовательно, угловой коэффициент кривой, соответствующей ограничению по допустимой длине крайних досок, всегда отрицателен и возрастает по абсолютной величине при удлинении бревна. Это показано на рисунке б кривыми линиями (а) и (б). Таким образом, ограничение по допустимой длине крайних досок находится в зоне меньших диаметров, т.е. всегда будет вы-

полняться при сортировании бревен по комлевым диаметрам.

Теперь проанализируем комбинированный алгоритм сортирования и классифицирования бревен V по комлевым и вершинным диаметрам [2].

Пусть при раскрое пиловочного сырья брусовым способом заданы размеры центральных и сердцевинных досок полной длины, вписанных в пропиленную пласть бруса. Тогда минимальный диаметр бревен может быть определен из соотношения

<>л/м2 +Я7,

3/ \/ щентр ~ ' '

где M - ширина постава для центральных и сердцевинных досок полной длины.

При этом согласно рисунку в ограничение («отсечка») по нижней границе вершинного диаметра бревен наступит при длине бревна L0i. Найдем ее из равенства

В этом случае эффективность алгоритма сортирования бревен V по отношению к базовому алгоритму II снижается, так как площади областей А и В уменьшаются. Приращение коэффициента выхода пиломатериалов определяется по формуле

+

Nk = (L - max (L0. - L . )2 s. v 0i mm' i Jr 1

_ 2«, - dH )NL 41 -L„ )(L„ - L )s 0i'v 0i mm' i Jr

(dH+l - dH )NL J (L„,. ,, -L . )2s. ,

(Lmax 2(dH+l - dH )NL kBl - L0(i+1))(L0(i+1) - Lmm )si+1

(*:, - dH )NL

k

iB 2

Из соотношения (17) следует, что длина бревна L0 падает с ростом минимального диаметра d3 до величины L0 = L В этом крайнем случае и при дальнейшем увеличении d3 алгоритм сортирования бревен по комлевым диаметрам IV становится неэффективным и превращается в алгоритм сортирования по вершинным диаметрам II.

Комбинированный алгоритм сортирования V описывается следующим образом

dн < d . < dв; Dн < D. < Dв; i = 1, ..., N. (19) Рассмотрим случай, когда при раскрое бревен вразвал задано условие по обеспечению

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

145

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

полной длины центральных и сердцевинных досок, вписанных в пифагорическую зону бревна. Решим следующее квадратное уравнение, полученное на основе формулы (4),

d2 - sLd - (0,5s2L2 + M 2) = 0.

Тогда получим ограничение для нижней границы вершинных диаметров бревен

d3" > лM + 0,75s2L + 0,5sL .

3 V центр ~ ~ v '

На рисунке г ему соответствуют, например, кривые (а) и (б). Взяв первую производную d'3 функции (20) по длине бревна, легко убедиться, что угловой коэффициент функции всегда положителен,

0,75s2L

d' =, + 0,5s.

AM2 + 0,75s2 L2

центр

Ясно, что расчеты минимального диаметра, удовлетворяющего ограничению по обеспечению полной длины центральных и сердцевинных досок, следует выполнять для бревен максимальной длины. При сортировании бревен по комлевому диаметру целесообразно устанавливать ограничение («отсечку») для вершинного диаметра, рассчитанного для максимальной длины бревен. Оно будет учитываться, начиная с длины бревна L

L0. =-

0/

s

-JML+wI+yJ1

- -лM + 0,75s'L - 0,5L .

s

В этом случае применяется комбинированный алгоритм V сортирования бревен, его эффективность по отношению к базовому алгоритму определяется из соотношения (18).

Алгоритм сортирования бревен VI по их срединным диаметрам находил применение на некоторых предприятиях Швеции. Он аналогичен алгоритму сортирования по комлевым диаметрам. При этом он обеспечивает угловой коэффициент наклона границ зоны сортирования, равный tgP = - s / 2 (границы зоны сортирования показаны пунктирными прямыми на рисунке б). При этом его эффективность равна

Ak. =

1 Л/Л" j"\ v 11 i+1 i 7 v 7

4

При получении формул для приращений коэффициента выхода пиломатериалов Akпри-няты допущения, что внутри каждого диапазона диаметров и длин бревен коэффициент выхода изменяется линейно, распределение диаметров и длин бревен как случайных величин подчиняется равномерному закону.

Для всех алгоритмов должно соблюдаться условие, которое обеспечивает непрерывность использования всех бревен с различными диаметрами. Тогда нижняя граница диаметров бревен для i-го постава равна верхней границе для предыдущего (i -1)-го постава, верхняя граница диаметров для -го постава равна (с некоторым «зазором» 5) нижней границе для последующего (i+1)-ro постава, т.е.

dв = d_н - 5; Dв = D “ - 5;

i = 1, ..., N; 5 = 0,1 см.

Диапазоны диаметров бревен при их сортировании и классифицировании для последующего раскроя заданными поставами могут быть равны одному четному диаметру 2 см (иногда 1 см или 3 см), для крупномерного сырья - нескольким четным диаметрам.

Рассмотрим некоторые примеры расчетов эффективности алгоритмов сортирования бревен для заданного постава, где наглядно проявляются их различия.

Выберем постав (16 - 100 - 16) / / (16 - 32 - 32 - 32 - 16), для которого примем следующие исходные данные:

минимальная длина бревен - 4 м; максимальная длина бревен - 7 м; средний сбег бревен - 1 см/м; минимальная ширина досок - 75 мм; минимальная длина досок - 1,5 м.

При сортировании бревен по вершинным диаметрам (базовый алгоритм II) расчет выполняется для самого короткого бревна длиной 4 м, а полученные результаты обобщаются на все длины бревен. Минимальный расчетный диаметр равен 16 см, максимальный диаметр - 19 см, он равен минимальному диаметру для последующего постава (19 - 125 - 19) / (19 - 40 - 40 - 40 - 19). Средний коэффициент выхода пиломатериалов в области 0123 (рисунок а) будет равен 0,506.

При сортировании бревен по вершинным диаметрам с учетом длин бревен (алгоритм III) в диапазоне длин предусматриваются две зоны 4-5м и 5,25-7м. Тогда согласно расчетам в первой зоне минимальный и максимальный диаметры бревен остаются прежними, а во второй зоне снижаются на 1 см и составляют соответственно 15 и 18 см. Средний коэффициент выхода пиломатериалов в области А составит 0,556, а в области В - 0,4755 (рисунок а). Коэффициент выхода в полученной области 01456789 для сортирования и раскроя бревен равен 0,524 (9) (таблица).

146

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Таблица

Расчет коэффициентов выхода пиломатериалов

Алгоритм сортирования и классифицирования II, базовый III IV V VI

Коэффициент выхода пиломатериалов 0,506 0,524 0,540 0,527 0,524

Приращение коэффициента выхода пиломатериалов - 0,018 0,034 0,021 0,018

Коэффициент выхода пиломатериалов в области A - 0,556 0,557 0,557 0,548

Коэффициент выхода пиломатериалов в области B - 0,4755 0,490 0,477 0,476

Теоретическое приращение коэффициента выхода пиломатериалов - 0,0177 0,0335 0,0220 0,0178

При сортировании бревен по комлевым диаметрам IV для бревен длиной 4м диапазон вершинных диаметров остался прежним, а для длины 7м минимальный и максимальный вершинные диаметры снизились соответственно до 13 и 16 см (рисунок, б). Расчетные минимальный и максимальный комлевые диаметры для всех длин бревен будут равны 20 и 23 см соответственно (таблица), здесь теоретическое приращение коэффициента выхода рассчитано по формуле 13.

Аналогично выполнен расчет для алгоритма VI по срединным диаметрам бревен, данные занесены в таблицу, здесь теоретическое приращение коэффициента выхода рассчитано по формуле (23).

Далее для вышеуказанного постава выдвинуто требование, чтобы центральные и сердцевинная доски толщиной 32 мм получались полной длины, а для последующего постава - центральные и сердцевинная доски толщиной 40 мм. Тогда целесообразно использование алгоритма сортирования бревен V по комлевым и вершинным диаметрам бревен. При этом оказалось, что в зоне длин бревен от 4 до 5 м автоматически задействован алгоритм сортирования по комлевым диаметрам, а начиная с длины 5,25 м - алгоритм сортирования по вершинным диаметрам бревен (рисунок, в). Ограничения для минимального и максимального вершинных диаметров равны 15 и 18 см соответственно. Данные расчетов коэффициентов выхода занесены в таблицу, теоретическое приращение коэффициента выхода для алгоритма IV рассчитано по формуле (18).

Анализ результатов расчетов по таблице показывает, что приращения коэффициентов выхода пиломатериалов, полученных по данным непосредственных расчетов коэффициентов в диапазонах сортирования бревен и по теоретическим формулам практически совпадают.

Сравнивая эффективность рассмотренных алгоритмов сортирования и классифицирования пиловочного сырья на данном примере, можно сделать следующие выводы.

Алгоритм IV по комлевым диаметрам бревен различных длин является наиболее эффективным, для данного примера он обеспечивает приращение коэффициента выхода пиломатериалов относительно базового алгоритма по вершинным диаметрам, равное 3,4 %. При использовании алгоритма V по комлевым и вершинным диаметрам при выпиловке центральных и сердцевинных досок полной длины приращение коэффициента выхода пиломатериалов в нашем примере снижается до 2,1 %. Этот алгоритм эффективен также при сортировании и классифицировании бревен одной длины, так как будет учитываться их фактический сбег.

Таким образом, в результате анализа рассмотренных алгоритмов сортирования и классифицирования бревен по их размерам для практики лесопиления можно рекомендовать комбинированный алгоритм сортирования и классифицирования бревен по комлевым и вершинным диаметрам. Он претендует на универсальность. Для отдельных поставов он превращается в алгоритм сортирования и классифицирования по комлевым диаметрам, для других - по вершинным диаметрам, для третьих он функционирует как комбинированный. Технически этот алгоритм легко реализуется при помощи датчиков текущих диаметров бревна.

Приведенные в этой статье расчеты выполнены при помощи компьютерной программы «Дровосек», разработанной на кафедре технологии лесопиления и деревообработки МГУЛ [3].

Библиографический список

1. Аксенов, П.П. Технология пиломатериалов: учебник для вузов. Издание второе, переработанное и дополненное / П.П. Аксенов, Н.С. Макарова, И.К. Прохоров и др. - М.: Лесная пром-сть, 1976. - 480 с.

2. Фергин, В.Р. Сортирование пиловочного сырья по размерам бревен. В.Р. Фергин, О.И. Шако // Технология и оборудование для переработки древесины: сб. науч. тр. - Вып. 331. -2005. - С. 82-87.

3. Шако, О.И. Модель и программа расчета поставов для раскроя бревен на обрезные пиломатериалы заданных размеров / О.И. Шако // Научные труды МГУЛ. - 2005. -Вып.326. - C. 37-41.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

147