Аппроксимация гравитирующего влияния усеченного конуса

УДК 528.061.4:622.2 Б.Т. Мазуров СГГ А, Новосибирск

АППРОКСИМАЦИЯ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ВЛИЯНИЯ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

B. T. Mazurov

Siberian State Academy if Geodesy, Novosibirsk

APPROXIMATION OF TRANSCATED CONE GRAVITATING EFFECT

In his last publications the author presents solutions of inverse problems, in which the results of simultaneous mathematical treatment of multiple geodetic and gravimetric observations on the earth’s surface are the estimates of not only the points coordinates and displacements, but also of gravitating bodies masses and their variations. These examples deal with the volcanic eruptions and preparation for them. The spherical deep-seated magma bed of the volcano and its conical surface are presented as changing gravitating bodies.

For the earth’s surface relief the cone is rather a typical elementary shape of the body. More common is a truncated cone. Apart from volcanoes, in natural environment these may be some components of mountains peaks. In technogenic sphere we deal with not only cone-shaped rises, but also with conical depressions. In opencast mining the sites of exhausted rocks are conical too. For example kimberlite deposits are also cone-shaped. Development of Mir tube (Yakutia) resulted in a conical quarry of 520 m depth. Ore wastes dumps often look like truncated cones.

By far the author approximated conical gravitating bodies to a sphere (one-point mass). It would be quite reasonable to define the approximating cone model more exactly by increasing the number of point masses. In this case it is desirable that the number of parameters to be estimated was as small as possible. Thus, the requirement for a greater redundancy of measurements necessary for mathematical treatment will be met. For example, with the substance of a cone being homogeneous, the parameter to be estimated is its total mass which is dispersed in a certain way throughout the area (in five points).

The present paper shows a five-points model of a gravitating truncated cone, whose substance density is considered to be the same for any of its parts. To calculate the coordinates of the gravity centres of five masses with equal volumes rigorous mathematical formulae have been derived analytically. Using these formulae for approximating cone-shaped bodies of the earth’s relief (opencast mining, waste dumps, volcanoes, etc) we can see more exactly their gravitational effect by means of simultaneous mathematical treatment of the repeat geodetic and gravimetric observations. For a still greater detalization of a gravitating cone these formulae can also be used.

В работах [1 - 4] даются примеры решения обратных задач, когда результатом совместной математической обработки многократных геодезических и гравиметрических наблюдений на земной поверхности являются оценки не только координат пунктов, их смещений, но и масс гравитирующих тел, а также изменений этих масс. Эти примеры даны в отношении вулканического извержения и подготовки к нему. Меняющимися гравитирующими телами являлись шарообразный глубинный магматический очаг вулкана и его поверхностный конус.

Для рельефа земной поверхности конус является достаточно типичной элементарной формой тела. Причем, более общий случай - усеченный конус. В

естественной среде, кроме вулканов, это могут быть отдельные составляющие горных хребтов. В техногенной сфере мы имеем не только конусообразные возвышения, но и конусообразные выемки [5]. При открытых горных разработках пространство выработанной породы является конусообразным. Конусообразными являются, например, кимберлитовые месторождения. Разработка трубки Мир (Якутия) привела к образованию конусообразного карьера глубиной 520 метров. Отвалы отработанного рудного материала также часто представляют собой усеченные конусы.

В работах [1 - 5] конусообразные гравитирующие тела аппроксимировались шаром (одной точечной массой). Будет вполне разумным уточнить аппроксимирующую модель конуса путем увеличения числа точечных масс. Но при этом желательным является, чтобы число оцениваемых параметров осталось минимально необходимым. Тем самым будет выполняться требование большей избыточности измерений, которая необходима при математической обработке. Например, пусть при условии однородности вещества конуса оцениваемым параметром будет оставаться его общая масса, но рассредоточенная определенным образом в пространстве (в пяти точках).

Таким образом, имеем следующую задачу. Известны размеры усеченного конуса Я1 - радиус нижнего основания, г - радиус верхнего основания, И -высота конуса (рис. 1).

Необходимо разбить конус на пять равнообъемных частей и для каждой части найти координаты центра тяжести. Вариантов разбиения на пять

равнообъемных частей может быть много. Здесь выбран следующий (рис. 2). Горизонтальной плоскостью отсекается верхний усеченный конус объемом одну пятую от исходного (рис. 1). Нижний усеченный конус делим на четыре сектора двумя

вертикальными взаимноперпендикулярными плоскостями.

Найдем радиус Я2

горизонтального сечения и высоту Рис. 1. Усеченный конус верхнего конуса. Воспользуемся

формулами вычисления объема усеченного конуса для исходного V и для верхнего У2, полученного после отсечения горизонтальной плоскостью.

Ух=^

У2=^

С учетом того, что

а /?2 =

Я2-г

Щ-г

получаем после преобразований

Д2=з

II

г3) + г3

Теперь стало возможным аналитическое определение координат центра тяжести верхнего усеченного конуса.

Для этого будем использовать классический подход из теории сопротивления материалов к таким вычислениям через суммы статических моментов элементарных геометрических фигур (прямоугольник,

треугольник, сектор круга).

Вертикальное сечение усеченного конуса

представляет собой

равнобедренную трапецию, которую можно разделить на две симметричные

прямоугольные трапеции. А прямоугольную трапецию

можно представить

сочетанием прямоугольника и треугольника (рис. 3).

Рис. 2. Разбиение усеченного конуса на пять равнообъемных частей

г

/ 1ъ ШІ

Рис. 3. Вертикальное сечение верхнего усеченного конуса

Результатом деления суммы статических моментов этих фигур на сумму их площадей будут координаты центра тяжести. Для трапеции на рис 3 центр тяжести будет иметь координаты

гИІ (К2 - Г)ИІ

х = 0, : = —--------;----------.

гН2 + — 2

2 2

С четырьмя нижними объемными секторами поступим следующим образом. Для 90-градусного сектора плоскость симметрии будет проходить под углом 45°. Сечение этой плоскостью будет представлять собой прямоугольную трапецию, которую мы представляем сочетанием прямоугольника и треугольника (рис. 4).

Рис. 4. Вертикальное сечение нижнего объемного сектора

Вычислим площади заштрихованных фигур Бі - прямоугольника, Б2 -

треугольника

1

5і - Я2(^ -^2% 32 - ~(.Ь\ — Ь2 Х-^1 — ^2 )•

Координаты центра тяжести трапеции в целом

х

і -

51+52

Определяем радиус горизонтального сечения конуса на высоте, равной

Яз - Я\ ~(Я\ -ІЇ2)-

/?1 — /?2

Найдем координаты центра тяжести С четверти этого сечения (рис 5). Это четверть круга радиусом Я3. С учетом уравнения окружности, координаты будут вычисляться

К-х2

*с = Ус =

ЯЗ

[ СІХ \ycly

О О 4Я3

4

3

Ъж

Рис. 5. Горизонтальное сечение нижнего объемного сектора

Представим в виде таблицы формулы вычисления координат центров тяжести всех пяти равных гравитирующих масс усеченного конуса в системе координат с началом в центре нижнего основания (рис. 6).

Рис. 6. Система координат с началом в центре нижнего основания

Таблица. Координаты центров тяжести точечных масс

Масса 1 Масса 2 Масса 3 Масса 4 Масса 5

X 0 -хс -хс

У 0 Ус Ус ~Ус ~Ус

ъ \ - к2 + г 2Г і' і' і'

Таким образом, здесь представлена пятиточечная модель гравитирующего усеченного конуса, плотность вещества которого принята

одинаковой для любой его части. Для вычисления координат центров тяжести пяти равнообъемных масс аналитически выведены строгие математические формулы. Использование этих формул для аппроксимации конусообразных тел земного рельефа (открытые горные разработки, отвалы, вулканы и т.д.) позволит уточнить их гравитационное влияние при совместной математической обработке повторных геодезических и гравиметрических наблюдений. При необходимости еще большей детализации гравитирующего конуса эти формулы также могут быть использованы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мазуров, Б.Т. Модель вертикальных движений земной поверхности и изменений гравитационного поля в районе действующего вулкана / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2007. - № 2. - С. 97-106.

2. Мазуров, Б.Т. Модель системы наблюдений за вертикальными движениями земной поверхности и изменениями гравитационного поля в районе действующего вулкана / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2007. - № 3. - С. 93101.

3. Мазуров, Б.Т. Совместная математическая обработка разнородных комплексных геодезических и геофизических наблюдений за движениями земной поверхности и изменениями аномальных масс / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 6. - С. 30-38.

4. Мазуров, Б.Т. Идентификация напряженно-деформированного состояния вулканической области по результатам математической обработки разнородных геодезических и геофизических наблюдений / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 7. - С. 58-62.

5. Мазуров, Б.Т. Математическая обработка нивелирных и гравиметрических наблюдений в условиях извлечения и перемещения больших объемов руды и пород / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2006. - № 4. - С. 99-104.

© Б.Т. Мазуров, 2008