Теория функций в методологии теоретического типа мышления: содержание учебной деятельности уровня общего образования

УДК 371.24+371.212

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ В МЕТОДОЛОГИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ТИПА МЫШЛЕНИЯ: СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УРОВНЯ ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Горбачев В.И.

В статье исследуются закономерности построения теории функций в условиях восхождения от абстрактного к конкретному. В содержании учебной математической деятельности выделяются обобщенные способы изучения пространства функций и его теории. Учебная математическая деятельность проектируется в системе учебных задач.

Ключевые слова: теоретический тип мышления в школьной дидактике, содержательно-теоретический подход обучения математике, учебная математическая деятельность, учебные задачи пространства и теории функций.

THE THEORY OF FUNCTIONS IN THE METHODOLOGY OF THEORETICAL TYPE OF THINKING: CONTENT OF LEARNING ACTIVITY OF LEVEL OF GENERAL EDUCATION

Gorbachev V.I.

The article analyzes the development of the functions in the content of general mathematical education. Classes of specific functions are investigated in a model-theoretical approach. The article also describes the structure of the functional models, patterns of their study from the standpoint of the formation of a theoretical type of thinking.

Keywords: theoretical type of thinking in didactics, content-theoretical approach to teaching mathematics, models of functions of general mathematical education.

Закономерности функционального пространства как предмет пространственно-функционального и теоретико-функционального видов деятельностей в субъектном плане представлены, исследуются в содержании:

1. Спектрального этапа выделения пространственно-векторной, пространственно-точечной, пространственно-метрической, векторно-координатной, вероятностной, логической функциональных моделей: «Классы функций в системе математических теорий числовых систем, геометрических фигур, векторного пространства, булевой алгебры, вероятностей выступают предметными моделями теории функционального пространства» [2, с. 338].

2. Этапа теоретического обобщения в системе теоретико-множественных понятий функции, биективной функции, композиции, обращения функций: «Идея функциональной зависимости - основополагающая для понимания и изучения процессов и явлений, происходящих в природе и обществе. Знакомство с ней вносит серьезный вклад в развитие представлений учащихся о математическом моделировании» [11, с.24].

3. Интегрального этапа изучения дискретной и непрерывной числовых функциональных моделей с фундаментальными понятиями предела, производной, непрерывности: «Для математического исследования явлений реального мира особенно важны понятия предела и производной, ведь это основные понятия, на которых говорит природа» [6, с. 2].

Системно-структурное представление теории функций [2], выстроенное в методологии формирования теоретического типа мышления В.В. Давыдова

[15, 16], в достаточной степени позволяют исследовать общие закономерности деятельности представ-ливания и теоретико - функциональной деятельности в пространстве функций. Их конкретная реализация в проектировании учебной деятельности, выделении системы учебных задач теории функций отражает богатый опыт научно-методического анализа, разработки и апробации различных подходов в классических работах Н.Я. Виленкина [13], Г.Д. Глейзера [8], И.М. Гельфанда [1], О.С. Ивашева-Мусатова [14], Г.Д. Дорофеева [3], А.Н. Колмогорова [4], А.И. Маркуше-вича [10], А.Г. Мордковича [5, 6], С.И. Новоселова [7], профессиональных математиков, методистов, авторов учебников.

Восхождение от абстрактного к конкретному в теории функций. Абстрактное теоретико-множественное понятие функции в содержании характеристических свойств функциональности ((Ух)( Уу)(Уг) если у = /(х) и г = /(х), то у = г ) и определенности ((Ух) (Зу) (у = /(х)) выступает генетически исходной содержательной абстракцией:

- абстрагирует и обобщает познавательную человеческую деятельность по анализу процессов с однозначно определенной зависимостью величин;

- определяет универсальный метод исследования зависимостей в различных предметных теориях;

- вместе с понятиями числа, фигуры составляет категориальный аппарат содержания учебной математической деятельности, исследования каждой из учебных математических теорий;

- позволяет проводить классификацию, систе-

матизацию функций, как в плане выделения различных функциональных моделей, так и в плане их структурного представления;

- в каждой из функциональных моделей сохраняет характеристические свойства, вместе с классами объектов определяет содержание, свойства модели;

- приводит к выделению в классе числовых элементарных функций фундаментальных понятий современной математики, общего метода исследования.

Закономерным этапом восхождения к конкретному выступает развитие категории функции как содержательной абстракции в системном анализе функциональных моделей для цели последующего становления общетеоретических представлений:

- в изученных на логико-содержательном уровне предметных теориях числовых систем, геометрических фигур, векторного пространства, вероятности в содержательном анализе выделяются отношения с явно выраженными функциональными свойствами, обладающие в теории собственными «именами», сохранение свойств определенности и функциональности позволяет их отнести к конкретным классам в содержании категории функции;

- функциональная трактовка и обоснование основных результатов предметной теории позволяют установить базовые классы функций, их общефункциональные и специфические свойства - построить функциональную модель теории.

Опыт выделения функциональных моделей предметных теорий обобщается на этапе модельно-теоретических представлений в сочетании абстрактных алгебраических определений категорий функции, композиции, обращения, дискретности, непрерывности и их модельных конкретизаций. В процессе восхождения становится технологичным отмеченное Г.В. Дорофеевым преимущество модельно-абстрактного подхода к понятию функции: «возможность рассматривать не только числовые функции числового аргумента, но и функции, определенные на множествах объектов произвольной природы и принимающих значения, являющиеся объектами также произвольной природы» [1, с. 12].

В определенной степени сложившиеся функциональные модельно-теоретические представления становятся основанием для постановки, принятия цели развития теории функций на базе разработанной теории числовых систем - вначале в форме дискретной и непрерывной моделей теории функций и, затем, в содержании новой математической теории - дифференциального и интегрального исчисления.

Классы числовых функций в образах дискретной и непрерывной функциональных моделей формируют функциональное пространство, существенно от-

личающееся категориальными понятиями, представлениями, свойствами от пространства функций спектрального этапа:

- в формальной целостности, определенной функциональной зависимостью у = f(x), в качестве областей определения и значений выступают определенные бесконечные, дискретные или непрерывные подмножества числовых систем со свойствами операций, упорядочения, базовыми моделями;

- в дискретной функциональной модели {/ | f:N ^ R} объектами исследования являются области значений в форме счетных последовательностей {хп | хп = f(n)} с операциями суммы, произведения, частного, фундаментальными понятием предела последовательности lim хп = а, свойствами сходимо-

п ^от

сти либо расходимости;

- в непрерывной функциональной модели {/ | f:R ^ R] произвольная последовательность значений аргумента {хп \ хп = f(n)} и соответствующая последовательность значений функции {уп | уп = f(xn)} интегрируются в последовательности {(хп,уп) | хп = f(n),yn = f(xn)} точек координатной плоскости (графика функции) с фундаментальными понятиями предела функции в точке lim f(x) =А, непрерывности функции lim f(x) = f(x0), свойствами ограниченности, монотонности, периодичности, функционально-графическими представлениями;

- предельный переход в классах последовательностей, функций, приращений функций расширяет систему фундаментальных понятий общей теории функций новыми операциями дифференцирования и интегрирования, тесно связанными с композицией, суммированием, произведением функций в системе свойств производной;

- описание фундаментальных понятий числовых функциональных моделей тремя типами переменных (аргументы, значения функции, функциональные зависимости) в системе условных символов как закономерность теории обосновывает предикатную логико-символическую форму представленности субъекту понятий, свойств, способов исследования.

Помимо логико-символической формы представления понятий, свойств пространства числовых дискретных и непрерывных функциональных моделей деятельность представливания направлена на выделение мировоззренчески обоснованных классов числовых элементарных функций с единым способом исследования, формирование общего способа исследования их произвольных комбинаций, композиций средствами дифференциального исчисления.

Итоговой закономерностью системного структурирования функционального пространства в деятельности представливания выступает обобщенный

целостный анализ:

- абстрактного понятия функции, композиции, обратной функции;

- функциональных моделей предметных теорий векторного, евклидова, точечного, геометрического пространств, пространства событий, случайных величин, булева пространства в системе базовых классов функций, их общефункциональных и специфических свойств, роли в построении предметной теории;

- числовых дискретной и непрерывной функциональных моделей с базовыми системами понятий, классов функций и метода их исследования.

Учебная деятельность в теории функций. Учебная деятельность представливания на спектральном и интегральном этапах развития пространственно-функционального типа мышления формируется в процедуре восхождения от абстрактного понятия функции к конкретной функциональной модели и от спектра моделей к целостному модельно-теоретическому представлению класса всех функций. Спектрально-модельная представленность функционального пространства с опорой на теоретические закономерности предметного (числовых систем, векторного, евклидова, точечного, геометрического, случайных величин, двоичных последовательностей) пространства обосновывает методологию формирования учебной математической деятельности в совокупности обобщенных способов деятельности:

- построения, исследования функциональной модели в предметном пространстве;

- исследования теоретических закономерностей предметного пространства в содержании функциональных моделей спектрального этапа;

- становление фундаментальных методов теории функций, их приложений в функциональных моделях числового пространства;

- становления интегральных модельно-теорети-ческих представлений функционального пространства.

В содержании предметной математической теории построение, исследование конкретной функциональной модели (пространственно-векторной, пространственно-точечной, пространственно-метрической, векторно-координатной, вероятностной, логической) характеризуются обобщенными действиями закономерного плана:

- анализа базовых классов объектов предметной теории в единстве с операциями, отношениями и их свойствами;

- выделения именованных понятиями предметной теории основных классов функций на основе характеристических свойств определенности и функциональности, обоснованных свойствами операций на классах объектов;

- формализации специфических для функциональной модели свойств каждого из выделенных классов функций на основе операций, отношений предметной теории;

- конструирования операций композиции, произведения, суммы, обращения на выделенных классах функций предметной теории;

- исследования фундаментальных свойств конечности-бесконечности, дискретности-непрерывности классов функций предметной теории;

- функциональной трактовки и обоснования основных результатов предметной теории для анализа роли функциональных зависимостей в ее построении;

- целостного представления классов функций предметной теории, их свойств, значимости в развитии теории - функциональной модели предметной теории.

Конструирование функциональной модели предметного пространства на спектральном этапе не выступает предметом общей теории функций, основная цель предметной функциональной модели - становление, развитие теории предметного пространства:

- базовые функции предметной модели отражают фундаментальные свойства объектов пространства;

- теоретические закономерности предметных пространств (векторного, евклидова, точечного, геометрического, случайных величин) имеют функциональную форму представленности;

- развитие теории предметного пространства осуществляется посредством введения новых классов функций, отражающих все более глубокие свойства пространства, классов объектов.

Направленность функциональных моделей на исследование теоретических закономерностей пространства, поглощение моделей теорией соответствующего предметного пространства выражается в спектре формируемых в содержании модели обобщенных способов деятельности.

Пространственно-векторная функциональная модель в условиях своего развития углубляет представление геометрического пространства, наделяя его структурой трехмерного евклидова пространства вместе с новыми типами объектов (векторы), функций, векторным методом исследования объектов геометрического пространства:

- представление геометрического пространства как евклидова в содержании базовых функций пространственно-векторной модели;

- исследование условий коллинеарности, ком-плонарности, ортогональности векторов в функциональной форме;

- описание прямых, плоскостей, их взаимного расположения в геометрическом пространстве значениями векторных функций;

- исследование пространственных свойств геометрических фигур в спектре функционально-векторных условий взаимного расположения прямых, плоскостей;

- исследование метрических понятий длины отрезка, величины угла, площади многоугольника, объема многогранника в пространственно-векторной модели;

- вычисление метрических характеристик геометрических фигур векторным (функциональным) методом;

- описание геометрических фигур в системе пространственных, метрических свойств.

Пространственно-точечная модель теории функций структурирована в условиях представления геометрического пространства точечным (геометрические фигуры - множества точек) с целью введения, обоснования исследования геометрических фигур методом преобразований (подобия, движения и их конкретных видов):

- представление геометрического пространства точечным, геометрических фигур - как определенных множеств точек, допускающих конструктивные, аналитические преобразования симметрии, параллельного переноса, вращения, гомотетии, их композиции, обращения;

- исследование базовых преобразований осевой симметрии, параллельного переноса, вращения, скользящей симметрии в содержании общего понятия движения в геометрическом пространстве;

- введение фундаментального понятия равенства геометрических фигур с позиции понятия движения, его конкретных видов;

- выделение свойств, признаков равенства геометрических фигур для их приложения в изучении пространственных, конструктивных, метрических свойств;

- исследование базовых преобразований гомотетии, центрально-подобного вращения, центрально-подобной симметрии в содержании общего понятия подобия в геометрическом пространстве;

- введение фундаментального понятия подобия геометрических фигур с позиции понятия преобразования подобия, его конкретных видов;

- выделение свойств, признаков подобия геометрических фигур для их приложения в изучении пространственных, конструктивных, метрических свойств;

- исследование взаимных связей преобразований движения, подобия, операций композиции, обращения, классификация преобразований движения, подобия;

- приложение преобразований подобия, движения в задачах на доказательство, построение геометрических фигур, исследование их пространственных, метрических, конструктивных свойств.

Пространственно-метрическая модель теории функций направлена на сформированность метрического компонента пространственного мышления исследованием метрических свойств геометрических фигур в их взаимной связи:

- представление геометрического пространства в закономерностях отражения метрических характеристик объектов реального пространства в содержании конкретной числовой системы;

- аксиоматическое введение понятия длины отрезка, исследование классических фактов евклидовой геометрии о конструктивных, пространственных свойствах функции длины на множестве геометрических фигур;

- расширение функции длины введением понятия длины линии в предельном переходе системы действительных чисел, вычисление длины окружности;

- аксиоматическое введение понятия величины плоского угла, исследование классических фактов евклидовой геометрии о конструктивных, пространственных свойствах функции величины угла на множестве геометрических фигур;

- расширение функции величины плоского угла введением понятия угла между линиями на плоскости в предельном переходе системы действительных чисел, его приложением в конкретных исследованиях;

- исследование взаимной связи функций длины и величины угла в классах геометрических фигур;

- аксиоматическое введение понятия площади многоугольника, исследование классических фактов евклидовой геометрии о конструктивных, пространственных свойствах функции площади на множестве геометрических фигур;

- расширение функции площади введением понятия площади плоской фигуры в предельном переходе системы действительных чисел, вычисление площади круга, поверхности сферы;

- исследование взаимной связи функций площади, длины и величины угла в классах геометрических фигур;

- аксиоматическое введение понятия объема многогранника, исследование классических фактов евклидовой геометрии о конструктивных, пространственных свойствах функции объема на множестве геометрических фигур;

- расширение функции объема введением понятия объема тела в предельном переходе системы действительных чисел, вычисление объемов круглых тел;

- исследование взаимных связей конструктивных, пространственных и метрических свойств геометрических фигур в представлении геометрического пространства.

Векторно-координатная модель в форме класса функций аналитического соответствия направлена:

- на построение, исследование аналитических моделей определенных классов геометрических фигур (прямых, плоскостей, линий, поверхностей) в арифметическом пространстве;

- последующую интерпретацию результатов исследования аналитических моделей арифметического пространства в виде свойств геометрических фигур геометрического пространства.

В условиях отождествления геометрического пространства с трехмерным евклидовым (пространственно-векторная модель) пространством в аналитической модели строится опосредованное (изоморфное) представление геометрического пространства как арифметического с векторно-координатным методом исследования геометрических фигур:

- в представлении геометрического пространства как трехмерного евклидова, на базе пространственно-векторной модели осуществляется выбор ор-тонормированного базиса;

- в системе функций аналитического соответствия в геометрическом пространстве фиксируется система координат с ортонормированными базисными векторами;

- геометрическое пространство с фиксированной системой координат отождествляется с арифметическим пространством, в котором определенные классы геометрических фигур (точки, прямые, линии, плоскости, поверхности) представлены аналитическими моделями;

- в геометрическом пространстве с фиксированной системой координат геометрическая фигура выступает объектом арифметического пространства вместе с характеризующими ее точками, прямыми, линиями, плоскостями, поверхностями;

- в системе аналитических моделей точек, прямых, линий, плоскостей, поверхностей геометрической фигуры осуществляются ее аналитическое описание, интерпретация в системе геометрических свойств.

Вероятностная модель теории функций в спектре базовых функций теории вероятностей позволяет провести исследование закона распределения (дискретной, непрерывной) случайной величины:

- случайная величина в системе числовых значений полной группы событий с соответствующими вероятностями характеризуется как дискретная, непрерывная с целью выбора способа исследования;

- в системе значений случайной величины, соответствующих вероятностей строится ее закон распределения;

- в анализе значений случайной величины, закона распределения устанавливаются характеристические свойства определенного классического закона распределения;

- по значениям закона распределения находятся значения функции распределения, строится ее графическое представление;

- вычисляется математическое ожидание слу-

чайной величины на базе закономерностей классического закона распределения;

- вычисляется дисперсия, среднее квадратичное отклонение случайной величины;

- на основе выделенных функций вероятностной модели строится целостное представление случайной величины.

В отличие от функциональных моделей спектрального этапа предметом функциональных моделей (дискретной, непрерывной) числового пространства выступают не объекты теории числовых систем, а теоретические закономерности функционального пространства, обоснованные структурой и содержанием числового пространства:

- связанные с понятиями предела, сходимости последовательности и суммы ее членов в модели функций натурального аргумента;

- представленные в системе понятий предела и непрерывности функции, производной, интеграла в модели числовых элементарных функций.

В методологии интегрального этапа теории функций концептуальным выступает высказывание А.Г. Мордковича о важности для математического исследования явлений реального мира понятий предела и производной. Им же ограничен объективный уровень изучения фундаментальных понятий теории: «... в школе мы лишь знакомим учащихся с элементами математического анализа, составляющими существенную часть общечеловеческой культуры, формальное изучение этого предмета - удел высшей математики [4, с. 4].

Содержанием модели функций натурального аргумента выступает представление теории последовательностей в предельном переходе - характериза-ции бесконечной числовой последовательности одним числом - ее пределом. В обобщенном представлении данной функциональной модели:

- бесконечная последовательность действительных чисел рассматривается как новый математический объект с арифметическими операциями, сравнением, анализом изменения членов последовательности с изменением их номеров;

- выделяются классические числовые последовательности - арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательности сумм их членов;

- вводятся интуитивное, образное, аналитическое представления предела последовательности, исследуются его свойства;

- исследуются способы демонстрации, доказательства сходимости последовательности к действительному числу, в условиях приближения иррациональных чисел бесконечными последовательностями рациональных чисел строятся примеры последовательностей с заданными пределами;

- в условиях предельного перехода в геометрическом пространстве осуществляется формирование понятий длины линии, величины угла между линиями, площади плоской фигуры, поверхности, объема тела;

- в системе образных, аналитических обобщенно-конкретных представлений формируются понятия сходимости, расходимости, признаки сходимости, свойства пределов суммы, произведения, частного последовательностей;

- в конкретных классах числовых функций проводится анализ взаимной связи сходимости бесконечной последовательности значений переменной и последовательности соответствующих значений функции, в условиях сходимости - сравнение предела последовательности значений переменной и предела последовательности значений функции;

- в содержании функционально-графических представлений в совокупности последовательностей значений переменной, соответствующих последовательностей точек графика, секущих с фиксированным началом осуществляется характеризация касательной к графику функции как предела последовательности секущих.

Учебная математическая деятельность в модели числовых элементарных функций направлена на становление обобщенных теоретических представлений функционального пространства:

- в содержании стандартных классов числовых функций, их расширений в процедурах аналитических преобразований, комбинаций, композиций, обращения, посредством операторов дифференцирования, интегрирования;

- в спектре категориальных понятий предела функции, производной функции, первообразной функции, свойств непрерывности, ограниченности, монотонности, периодичности;

- в условиях выявления закономерных связей функции и ее производной, функции и ее первообразной, их приложения в исследовании экстремальных, метрических задач;

- в формировании обобщенного способа исследования в классе числовых элементарных функций;

- использованием логико-символической, предикатной формы представления понятий, свойств, исследования функций;

- в анализе метода предельного перехода в построении теории числовых элементарных функций.

Несформированность на уровне общего математического образования абстрактных теоретико-множественных положений теории функций объясняет ее развитие в сочетании модельно-функциональ-ной формы спектрального этапа и аналитических, логико-символических, функционально-графических представлений интегрального этапа. Учебная деятельность, направленная на становление теоретико-

функционального мышления в интеграции абстрактного аксиоматического описания теории функций и всего спектра модельных функциональных представлений, включая числовые, структурируется обобщенной системой действий:

- введения абстрактных понятий-категорий теории функций в единстве с их модельной конкретизацией с использованием интуитивной, образной, аналитической, логико-символической форм представленности;

- доказательства общих и специфических функциональных свойств средствами аппарата предметных теорий;

- становления метода предельного перехода в классах дискретных и непрерывных числовых функций;

- исследования и обоснования свойств классов числовых элементарных функций с помощью аппарата дифференциального исчисления;

- интеграции теоретико-модельных представлений в целостном субъектном образе - функциональной картине мира.

Учебные задачи в теории функций. Функциональное пространство, определяющее методологию изучения векторного, геометрического, числового, арифметического, вероятностного пространств, обладает достаточно сложной структурой функциональных моделей со специфической системой свойств, опосредованными предметными пространствами обобщенными способами деятельности представли-вания, теоретико-функциональной деятельности. Закономерная выраженность функциональных представлений в спектре представлений предметных функциональных моделей с последующей интеграцией в общем теоретико-функциональном подходе обосновывает направления учебной математической деятельности:

- построения, исследования предметных функциональных моделей;

- выделения обобщенных способов исследования предметных пространств в содержании соответствующей функциональной модели;

- теоретико-функциональные исследования числовых функциональных моделей.

Структура учебной модельно-теоретической функциональной деятельности определяет процесс ее формирования в системе учебных задач:

1. Представление пространственно-векторной функциональной модели с векторным методом исследования объектов геометрического пространства:

- выделение базовых классов функций оперирования над векторами, их свойств в условиях отождествления геометрического пространства с трехмерным евклидовым пространством;

- описание свойств трехмерного евклидова пространства в системе базовых функций пространственно-векторной функциональной модели, их композиций;

- исследование пространственных, метрических свойств геометрических фигур средствами базовых функций пространственно-векторной функциональной модели в содержании векторного метода;

2. Представление пространственно-точечной функциональной модели, исследование геометрических фигур методом преобразований геометрического пространства:

- выделение базовых классов биективных функций преобразований геометрического пространства в его представлении точечным, преобразований движения, подобия;

- классификация преобразований движения, подобия в функциональных операциях композиции, обращения;

- функциональный способ введения понятий равенства, подобия на множестве геометрических фигур, исследование признаков равенства, подобия в классах геометрических фигур;

- конструирование, исследование геометрических фигур методом преобразований геометрического пространства;

- представление пространственно-точечной функциональной модели с позиции общего понятия функции в функциональном пространстве.

3. Представление пространственно-метрической функциональной модели, исследование метрических свойств фигур геометрического пространства:

- абстрагирование процедур измерения величин реального пространства в понятиях функций длины отрезка, величины угла, площади многоугольника, объема тела геометрического пространства, аксиоматизация функциональных метрических понятий в теории геометрического пространства;

- расширение функциональных метрических понятий в содержании предельного перехода во множестве действительных чисел;

- исследование взаимной связи метрических функций в различных классах геометрических фигур, связи метрических функций с функциями пространственно-точечной модели;

- сравнение метрических функций геометрического пространства и их определения, методов вычисления в пространственно-векторной модели, в содержании векторно-координатного метода исследования геометрических фигур.

4. Представление векторно-координатной функциональной модели с векторно-координатным (аналитическим) методом исследования объектов геометрического пространства:

- выделение классов функций аналитического

соответствия в условиях отождествления геометрического пространства с евклидовым введением прямоугольной декартовой системы координат;

- описание классов прямых, линий, плоскостей, поверхностей функциями аналитического соответствия в форме аналитических моделей, исследование моделей алгебраическими средствами, интерпретация результатов исследования в системе пространственных, метрических свойств геометрического пространства;

- исследование геометрических фигур век-торно-координатным методом - средствами аналитических моделей составляющих фигуры прямых, линий, плоскостей, поверхностей в интегрированном (геометрическом, евклидовом, арифметическом) пространстве;

- интегральное представление пространственно-векторной, пространственно-точечной, пространственно-метрической и векторно-координатной функциональных моделей с соответствующими методами исследования геометрических фигур в целостном представлении геометрического пространства.

5. Представление вероятностной функциональной модели, исследование законов распределения случайных величин вероятностного пространства:

- исследование функции вероятности в пространстве событий с операциями суммирования, произведения, в содержании полной группы событий, их кратного воспроизведения;

- выделение базовых функциональных характеристик дискретных и непрерывных случайных величин в совокупности классических законов распределения;

- исследование общефункциональных и предметно-специфических свойств функций вероятностного пространства;

- анализ закона распределения случайной величины в содержании вероятностной функциональной модели с позиции его целостного представления.

6. Теоретическое представление модели функций натурального аргумента, метод предельного перехода в классах функций натурального аргумента:

- исследование функциональной формы сходимости или расходимости в базовых классах последовательностей (рациональных чисел, арифметических и геометрических прогрессий, показательных последовательностей, периметров и площадей вписанных многоугольников, семейства секущих с общим началом) в рамках интуитивного, образного представлений понятия предела последовательности;

- представление понятия, свойств предела последовательности в образной, аналитической, логико-символической формах, в процедурах обобщения и конкретизации;

- исследование функций натуральной переменной в содержании предельного перехода;

- исследование взаимной связи свойства сходимости последовательностей значений переменной и соответствующих значений функции.

7. Теоретическое представление модели числовых элементарных функций, исследование числовых элементарных функций средствами дифференциального, интегрального исчислений:

- выделение, исследование свойств стандартных классов функций, их расширений в аналитических преобразованиях, операциях комбинирования, композиции, обращения функций;

- образное, логико-символическое, аналитическое представления фундаментальных понятий предела функции, производной функции, первообразной функции в их взаимной связи;

- становление обобщенного способа исследования числовых элементарных функций средствами аппарата производных, его приложение в системе экстремальных задач;

- анализ числовых элементарных функций в содержании интегрального исчисления, его приложения

в метрических задачах теории числовых элементарных функций.

8. Интеграция функциональных моделей в содержании теоретико-множественных представлений функционального пространства:

- определение, систематизация функциональных понятий-категорий спектрального, интегрального этапов в единстве с их базовыми предметными представлениями, анализом их роли в развитии предметной теории, предметной функциональной модели;

- теоретико-модельное исследование фундаментальных функциональных свойств «арности», «конечности-бесконечности», «дискретности-непрерывности», «равномощности» спектрального этапа, свойств монотонности, ограниченности, периодичности интегрального этапа развития теории функций;

- интеграция категориальной системы понятий, свойств теории функций и ее «предметных» функциональных моделей для цели сформированности, демонстрации универсального и фундаментального характера понятия «функция» в содержании категории функционального пространства.

Список литературы

1. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики (основные приемы). М.: Наука, 1968. 96 с.

2. Горбачев В. И. Теория функций в методологии теоретического типа мышления: теоретико-модельные представления уровня общего образования // Вестник Брянского государственного университета: Исторические науки и археология /литературоведение/ языкознание/ педагогические науки. Брянск: РИО БГУ. 2016.№ 1 (27). С. 336-343.

3. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе // Математика в школе. 1978. № 2. С. 10-27. О принципах отбора содержания школьного математического содержания // Математика в школе. 1990. № 6. С. 2-5. Гуманитарно-ориентированный курсоснова учебного предмета математика в общеобразовательной школе // Математика в школе. 1997. № 4. С. 59-66.

4. Колмогоров А.Н. Что такое функция // Математика в школе. 1978. № 2. С. 27-29.

5. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. 1996. № 6. С. 28-33.

6. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения элементов анализа в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. № 9. С. 2-12.

7. Новоселов С.И. Учение о функциях в средней школе // Математика в школе. 1947. № 5-6. С. 22-38. О дискуссионных вопросах, связанных с учением о функциях в школьном курсе // Математика в школе. 1954. № 4. С. 43-46.

8. Глейзер Г.Д. Стандарт математического образования: сущность и проблемы к обсуждению // Математика в школе. 1994. № 2. С. 2-4.

9. Стандарт среднего математического образования (проект) // Математика в школе. 1993. № 4. С. 10-23.

10. Маркушевич А.И. Понятие функции // Математика в школе. 1947. № 4. С. 1-16.

11. К концепции школьного математического образования // Математика в школе. 1989. № 2. С. 20-30.

12. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. 2000. № 2. С. 13-18.

13. Виленкин Н.Я., Блох А.Я. Элементарные функции в школьном курсе математики // Математика в школе. 1978. № 3. С. 53-57.

14.Ивашев-Мусатов О.С. Непрерывность и начала анализа // Математика в школе. 1978. № 3. С. 49-53.

15. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика, 1972. 423 с.

16. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: Интор, 1996. 544 с.

Об авторе

Горбачев Василий Иванович - доктор педагогических наук, профессор, директор естественно-научного института Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, enibgu@mail.ru