О применении метода направляющих функций к задаче о бифуркации периодических решений дифференциальных включений

УДК 517.911.5

О применении метода направляющих функций к задаче о бифуркации периодических решений дифференциальных включений

Н. В. Лой *, В. В. Обуховский1

* Кафедра алгебры и геометрии Воронежский государственный педагогический университет ул. Ленина, д. 86, Воронеж, Россия, 394043 ^ Кафедра алгебры и топологических методов анализа

Воронежский государственный университет Университетская пл., д. 1, Воронеж, Россия, 394006

В данной работе, применяя метод направляющих функций и метод интегральных направляющих функций, мы изучаем глобальную структуру множества периодических решений однопараметрического семейства дифференциальных включений первого порядка.

Ключевые слова: глобальная бифуркация, направляющая функция, дифференциальное включение, периодическое решение.

1. Введение

Изучение глобальной структуры множества периодических решений дифференциальных уравнений и включений является интересной задачей нелинейного анализа, основная трудность которой возникает при вычислении бифуркационного индекса. В работе В. Крышевского [1] изложено применение метода направляющих функций для изучения глобальной бифуркации периодических решений однопараметрического семейства дифференциальных включений первого порядка. Данная работа является дальнейшим развитием этого подхода. В отличие от результата работы [1, теорема 8.20], в котором глобальная бифуркация происходит из некоторой неопределённой точки, здесь, применяя другие направляющие функции, мы изучим глобальную бифуркацию в заданной точке. Основные результаты работы, установленные в теоремах 3 и 4, показывают, что метод направляющих функций является эффективным средством не только для решения задач о периодических колебаниях, но и для изучения глобальной структуры множества периодических решений.

2. Предварительные сведения

Пусть Х,У — банаховы пространства. Обозначим через Р(У) \CviY),Ку(У)] множество всех непустых (соответственно, непустых замкнутых выпуклых, непустых компактных выпуклых) подмножеств У.

Определение 1 (см., например [2—4]). Многозначное отображение (муль-тиотображение) Р: X ^ Р(У) называется полунепрерывным сверху (пн.св.), если для каждого открытого множества V С У множество

Р-1(У) = [х е х: Р (х) С V}

открыто в X. Пн. св. мультиотображение Р называется вполне непрерывным, если образ Р(Х\) любого ограниченного множества Х\ С X относительно компактен в У.

Статья поступила в редакцию 12 июня 2009 г.

Работа поддержана грантами РФФИ 08-01-00192, 07-01-00137 и 09-01-92003-ННС-а.

Напомним (см., например [2-4]), что если вполне непрерывное мультиотоб-ражение F: U ^ Kv(X) не имеет неподвижных точек на границе dU открытого ограниченного множества U С X, то топологическая степень многозначного векторного поля deg(i — F,U), где i обозначает оператор вложения, корректно определена и обладает всеми обычными свойствами топологической степени.

Определение 2 (см., например [5]). Линейное ограниченное отображение L: X ^ Y называется фредгольмовым оператором нулевого индекса, если (1i) Im L замкнуто в Y;

(2i) Ker L и Coker L имеют конечные размерности и dim Ker L = dim Coker L.

Пусть L: dom L С X ^ Y — линейный фредгольмов оператор нулевого индекса. Тогда существуют проекции Р: X ^ X и Q: Y ^ Y такие, что Im Р = Ker L и Ker Q = Im L. Если оператор

Lр: dom L П Ker Р ^ Im L

определяется как сужение оператора L на dom L П Ker Р, то Lp является линейным изоморфизмом, и мы можем определить оператор Кр: Im L ^ dom L, КР = L-1.

Теперь пусть Coker L = Y/Im L; П: Y ^ Coker L — канонический оператор проектирования

П(г) = z + Im L

и Л: Coker L ^ Ker L — линейный непрерывный изоморфизм, тогда уравнение

Lx = у, у G Y

эквивалентно уравнению

(г — Р )х = (ЛП + kp,q )у,

где Kp,Q : Y ^ X определяется равенством

Kp,Q = Кр (г — Q),

а i — тождественное отображение.

Пусть Ос X х R — открытое множество, содержащее некоторую замкнутую окрестность Вх(0,г1) х [^0 — "г2,^0 + т2] точки (0, ^0), где

Вх(0,ri) = (ж G X: \\х\\х < ri>.

Рассмотрим однопараметрическое семейство включений

х G Т

где Т: О ^ Kv(X) — мультиотображение. Предположим, что

при 0 < \\ж\\ < ^^; (Т3) для каждого £ > 0 существует 5 > 0 такое, что

Н(Т(х,^), Т(х,ц')) < е

для всех (х,у), (x,tf) G Вх(0,ri) х [^о — Г2,^о + — м'1 < где h —

метрика Хаусдорфа (см., например [2]).

Из (Г 1)-(Г2) следует, что для каждого ß, 0 < lß—ß0l ^ топологическая степень

deg

корректно определена. Бифуркационный индекс мультиотображения Г в точке (0, ßo) определяется следующим образом

Bi (Г(0,ро)) = lim deg (i — T(^,ß),Bx(0,nj) — lim deg (i — T(^,ß),Bx(0,nj).

Через S обозначим множество всех нетривиальных решений семейства (1), т.е.,

S = {(х, ß) £О: х = 0 и х £ Г(х, ß)}. Справедливо следующее утверждение (см. [6]).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (Г 1)-(Г3). Предположим, что

Bi (Г(0,ßo)) =0.

Тогда существует связное подмножество К С S такое, что (0, ß0) £ К и выполнено хотя бы одно из следующих условий:

а) К неограничено;

б) КП дО = $;

в) (0,ß*) £К для некоторого ß* = ß0.

3. Постановка задачи

Обозначим через С пространство всех непрерывных функций С([0, Tj; Rn) и через СР пространство всех р-суммируемых функций Lp([0,Tj; Rn), р > 1. Для любого х £ С и любого f £ Ср их соответствующие нормы определяются обычным образом:

Ис = max \\x(t)\R и \\f ||р = (f \\f(s)\\Rn ds

' \o

Шар радиуса г в пространстве Rn [С] обозначается символом Ur(0) (соответственно, Вс(0,г)). Через {•, •) обозначим скалярное произведение в Rn.

Рассмотрим однопараметрическое семейство дифференциальных включений типа

х

Предположим, что

имеет измеримое сечение; (F2) для t = 0 и почти всех t £ (0, Tj мультиотображение F(t, •, •): Rn х R ^

Kv(Rn) полунепрерывно сверху; (F3) для любого непустого ограниченного множества П С Rn х R существует такая неотрицательная функция hn £ Lp([0,Tj; R), что

\\F

для всех (у, ß) £ П и почти всех t £ [0, Tj, где

\\F(t,y,ß)\R» = тах{Н^\к- : г £ F(t,y,ß)};

(F4) 0 G F(s, 0, ß) для всех ß G R и почти всех s G [0, Т];

(F5) существует г0 > 0 такое, что для каждого к > 0 найдётся 'q > 0 такое, что

h(F(t,y,ß),F(t,y,p')) < к

для всех (y,ß), (y,ß') G Uro(0) х [^0 — г0,^0 + ^о], Iß — Ц11 < V и почти всех t G [0, Т], где ц0 G R — заданное число.

Определение 3. Назовём Т-периодическим решением семейства (2) такую пару (x,ß), которая удовлетворяет включению (2) и граничному условию: ж(0) = Х(Т).

Замечание 1. Из (F?) следует, что множество Т-периодических решений семейства (2) совпадает с множеством решений следующей задачи

х'

ж

Напомним (см., например [2-4]), что при выполнении условий (F1)—(Т3) муль-тиоператор суперпозиции

VF : Сх R ^ Cv(£p), Vf(x,ß) = { f G Ср: f (s) G F(s,x(s),ß) для почти всех s G [0, T]}

замкнут, т.е., Vf имеет замкнутый график.

Обозначим через W 1'р пространство всех функций х: [0, Т] ^ R", первые производные которых существуют почти всюду на [0,Т] и являются элементами пространства Ср с нормой

IMk = Ыр + II' II?.

Напомним (см., например [7]), что вложение W1,2 ^ С компактно. Пусть W1'P обозначает подпространство всех функций х G W 1'р таких, что ж(0) = х(Т).

Под решением задачи (3)—(4) будем понимать пару (х, /л) G х R такую,

что найдётся функция f G Vf(x,ß), для которой х'(t) = f (t) для почти всех

t G [0,Т].

Из (F4) следует, что (0, ß) является решением задачи (3)—(4) для любого ß G R. Такие решения называем тривиальными. Обозначим через S множество всех нетривиальных Т-периодических решений семейства (2).

4. Метод направляющих функций и глобальная структура S при р = 1

4.1. Метод направляющих функций

В этом разделе, применяя метод направляющих функций, мы изучим глобальную структуру множества Т-периодических решений семейства (2) при Ср = С1. Заметим, что решениями задачи (3)—(4) являются неподвижные точки следующего семейства интегральных мультиоператоров

JT: Сх R ^ Kv

Нетрудно проверить, что Jt является вполне непрерывным мультиоператором.

Определение 4. (ср. [8,9]). При фиксированном ц, точка х0 е К" называется точкой Т-невозвращаемости траекторий включения (3), если для любого нетривиального решения х включения (3) выполнены условия ж(0) = Хо и х(1) = Хо для любого £ е (0, Т].

Следующее утверждение играет ключевую роль в обосновании применения метода направляющих функций к задаче о глобальной бифуркации периодических решений, доказательство которого является модификацией доказательства теоремы 3.3.10 из [2].

Теорема 2. Пусть выполнены условия (Р 1)~(Р5) и (Рт) Предположим, что для каждого ц, 0 < |^ — ^ < г0, где г0 — коэффициент в (Р5), выполнены следующие условия:

(Р6) существует достаточно малое > 0 такое, что если (х,^) является нетривиальным решением семейства (3) с начальным условием ж(0) = 0, то \\х\\с > £,л;

(Н1) существует такое е (0,ер), где — коэффициент в (Р6), что любая точка

у е и8.(0) \ [0} ={0 = У е К": \М\К» < 6Л

является точкой Т-невозвращаемости траекторий включения (3); (Н2) мультиполе : К" ^ Ку(Ж п), 0,^(у) = —Р(0,у,^) не имеет особых точек на й(0) \{0}.

Тогда х е при 0 < \\х\\с < и

deg (г — ат(;»),ВС(0,5|1))=deg (0)).

Непрерывно дифференцируемую функцию V: К п ^ К будем называть невырожденным потенциалом, если её градиент

УУ (х) = ( ^ХМ, ^М,..., дЩ. ^

V дх\ ' дх2 ' ' дхп )

не обращается в нуль при 0 < \\ж\\к™ ^ г, где г > 0 достаточно мало.

Из свойств топологической степени вытекает, что степень невырожденного потенциала deg (УУ, иг' (0)) не зависит от г' е (0,г). Это общее значение степени называется индексом невырожденного потенциала и обозначается М V.

Определение 5 (см. [2], определение 3.3.12). При каждом ц, е К непрерывно дифференцируемая функция У)Л: Кп ^ К называется направляющей функцией для включения (3), если существует достаточно малое Тц > 0 такое, что для любого у е Р(Ь, х, у):

{(ЧУр(х),у) > 0 при Ь = 0 и почти всех Ь е (0,тр), 0 < \\ж\\к» < тр, (УУ^(х),у) ^ 0 при почти всех Ь е [т^,Т].

Из данного определения сразу следует, что если — направляющая функция включения (3), то У)Л является невырожденным потенциалом, и поля —УУ)Л и не допускают противоположных направлений на сфере диг (0) при любых 0 < г < Тр. Поэтому

deg (а^,йг(0)) = deg (—УУ^,йг(0)) = (—1)пШ У1Л.

4.2. Глобальная структура S при р = 1

Теорема 3. Пусть выполнены условия (F 1)-(F6) и (Ft). Предположим, что для каждого ц, 0 < — ^0| ^ г0, где г0 — коэффициент в (F5), существует направляющая функция Vß для включения (3) такая, что

lim ind — lim ind = 0.

Тогда существует связное множество KcS такое, что (0,^0) е R и либо R неограничено, либо (0,^*) е R для некоторого ц* = ц0.

Доказательство. Мы покажем, что мультиотображение Jt удовлетворяет условиям теоремы 1.

Действительно, выполнение условий (Т1) и (Т3) нетрудно проверить. Теперь покажем, что мультиотображение Jt удовлетворяет условию (Т2) и подсчитаем бифуркационный индекс B{Jt(0,/j,0)). Для этого зафиксируем 0 < — ^0| ^ г0, и пусть

0 <öß < min[eß,Tß},

где — коэффициенты в (F6) и в определении 5, соответственно.

Покажем, что (0) \ {0} является множеством точек Т-невозвращаемости траекторий включения (3). Действительно, пусть х0 е (0) \ {0} и х — любое нетривиальное решение включения (3) такое, что ж(0) = Ж0. Предположим, что существует t* е (0,Т] такое, что x(t*) = ж(0). Так как ||ж0||к» < т^, то мы можем выбрать е (0,т^) такое, что < t* и ||ж(£)||к» < тß для любого t е (0,tß). Но тогда имеем

t*

0 = Vß(x(t*)) — Vß(x(0)) = J {VVß(x(s)),x'(s)) ds =

0

t^ t* = I (VVp(x(s)),x'(s)) ds + I {Wß(x(s)),x'(s)) ds > 0,

что есть противоречие. Заметим, что для каждого ß, 0 < — ^0| ^ г0, из существования направляющей функции Vß включения (3) следует, что поле Q^ = —F(0,у,^) невырождено на U$м(0) \ {0}. Из теоремы 2 следует, что х / Jt(х,^) при 0 < ЦхЦс < öß и

Bi (Jt(0,^)) = lim deg (ь—Jt(;ц),Вс(0,Sß))— lim deg (ь—Jt(;»),Вс(0,Sß)) = = lim deg (Qß,U* (0)) — lim deg (0)) =

lim i TI/-] _ liin ind V

= (—!)"( lim ind Vß — lim ind V^ = 0.

Для завершения доказательства нам достаточно применять теорему 1 с замечанием, что множество С х К неограничено, поэтому случай (Ь) теоремы 1 не может иметь места.

5. Метод интегральных направляющих функций. Глобальная структура 5 при р = 2

5.1. Интегральная направляющая функция

В этом разделе мы изучим задачу о глобальной структуре Т-периодических решений семейства (2) при Ср = С2. Пусть мультиотображение Р удовлетворяет условиям (Рт), (Р1) и (Р3)—(Р5). Дополнительно предположим, что (Р2)' для почти всех Ь е [0, Т] мультиотображение Р, ): К" х К ^ Ку(Шп) полунепрерывно сверху;

12 2

Определим оператор I: ^ С2 следующим образом

'

Известно, что I является линейным фредгольмовым оператором нулевого индекса и

Кег I ^ К" ^ Сокег I. Заменим проблему (3)—(4) включением

£х е Тр (х,

или эквивалентным ему

х е С

где

С: С х К ^ С, С(х, ц) = Рх + (ЛП + КР^)Т>Р(х, /л). Напомним, что проекция П: С2 ^ К " определяется равенством

т

П = Ц / Шз

0

и гомоморфизм Л: К " ^ К " является тождественным оператором.

Определение 6 (см. [10]). При каждом ^ е К непрерывно дифференцируемая функция У^ : К" ^ К называется интегральной направляющей функцией для включения (3), если существует достаточно малое > 0 такое, что для любого

х е WTГ''2 из 0 < \\х\\2 < Кц и ||ж'(£)||к™ < \\Р(Ь,х(Ь), для почти всех Ь е [0, Т]

следует

т

I (ЧУр(х(з)),/(в)) йв > 0

0

для / е Тр (х,^) таких, что \\ж'\\2 < \Ц И 2 .

Заметим, что интегральная направляющая функция Vи является невырожденным потенциалом. В самом деле, для любого у е К 0 < \\у^ , считая у постоянной функцией, имеем

т , т

/ (^(у), /(5)) ^ = /УУ^(у), Т /= Т (УУ^(у), Щ) > 0

00

для любого / е Рр(у,^). Отсюда следует, что УУ^(у) = 0 при 0 < \\y\R < .

5.2. Глобальная структура S при р = 2

Теорема 4. Пусть выполнены условия (F1), (F2)', (F3)-(F5) и (Ft). Предположим, что для каждого ß, 0 < ^ — ß^ < г0, где г0 — коэффициент в (F5), существует интегральная направляющая функция Vß для включения (3) такая, что

lim ind — lim ind = 0.

Тогда существует связное множество R С S такое, что (0,ß0) еR и либо R неограничено, либо (0,ß*) е R для некоторого ß* = ß0.

Доказательство. Мы покажем, что мультиотображение G удовлетворяет условиям теоремы 1.

тт 12 2

Пространства Wt' и С2 допускают следующие разложения W±'2 = W0 © Wi, и С2 = С0 ©U,

где W0 = Ker l, W1 = Wq~, C0 = Coker l, C1 = Im l. Соответствующие разложения элементов и е

и f е С2 обозначаются следующим образом

и = U0 + ui, U0 е W0, ui е Wi, и f = /0 + fi, /0 е С0, fi е Ci.

Шаг 1. Из (F4) следует, что 0 е G(0,ß) для любого ß е R. Пусть

Ф: Сх R х [0,1] ^ Cv(C2), Ф(х, ß, А) = o,(Vf(х, ß),X),

где а: С2 х [0,1] ^ С2 определяется равенством

«(/0 + Л,А) = /0 + Xfi. Покажем, что мультиоператор

Е: Сх R х [0,1] ^ Cv

вполне непрерывен.

Действительно, из непрерывности линейного оператора а следует, что оператор

(ЛП + Kp'Q) О а: С2 ^С

непрерывен. Тогда, применяя теорему 1.5.30 из [2], мы получаем, что мультиопе-ратор (ЛП + КР^)Ф замкнут.

Далее, для любого ограниченного множества U С СхRх [0,1] в силу (F3) множество Ф(^) ограничено в

2. Но

тогда множество (ЛП + Kp,Q)Ф(и) ограничено в wTp'2, и из теоремы вложения Соболева вытекает относительная компактность множества (ЛП + Кро)Ф(и) в пространстве С. Замкнутое и компактное мультиотображение (ЛП + Кр^)Ф полунепрерывно сверху (см., например [2-4]). Наконец, утверждение следует из того, что оператор Р непрерывен и принимает значения в конечномерном пространстве. В частности, мультиотображение G = £(-, •, 1) вполне непрерывно. Условие (Т1) выполнено.

ШШаг 2. Покажем теперь, что для каждого ß, 0 < ^ — ß0| ^ г0, найдётся > 0 такое, что х е G(x,ß) при 0 < ЦхЦс < rß.

В самом деле, выбираем произвольное 0 < ^ min j, где ^ — коэффициент в определении 6, и предположим, что х е Вс(0,Гц) — нетривиальное

решение включения (3). Тогда существует / £ Рр(х,^) такое, что х'(Ь) = /(Ь) для почти всех £ £ [0, Т].

Из 0 < \\х\\2 < Кр и \\х'(в)\\к„ = \Ц(в)\\к„ < \\Р(в,ж(в),^)\\к„ для почти всех 8 £ [0,Т] следует

т т

| (ЧУр(х(з)),/(з)) ¿8 = | (ЧУр(х(з)),х'(з)) ¿8 = Ур(х(Т)) - Ур(х(0)) > 0,

0 0

что даёт противоречие. Условие (Т2) выполнено. Условие (Т3) непосредственно следует из (Р5).

ТТТаг 3. На этом шаге мы подсчитаем бифуркационный индекс для муль-тиотображения О в точке (0,^0). Для этого фиксируем 0 < |ц, — ц,0| ^ г0, и выбираем Гр как и на шаге 2. Рассмотрим следующее семейство включений

х £ Ер

где

Ер : Сх [0,1] ^ Ку(С), Е р(х, X) = Рх + (ЛП + )Ф(х,X).

Как показано на шаге 1, мультиотображение Ер вполне непрерывно. Теперь мы покажем, что Ер не имеет неподвижных точек на дВс(0,Гр) х [0,1].

Предположим противное и пусть (х*,Х*) £ дВс(0,гр) х [0,1] есть решение (6), тогда существует функция /* £ Рр(х*,^) такая, что

ж* = Рх* + (ЛП + Кр^о) о а(/* ,Х*),

или эквивалентно

Г £х* = X7* \0 = /0*,

где /0* + Л* = /*, /0* £¿0 и Я ££ь

Так как 0 < \\ж*\\2 < кр, \\ж*'(£)\\к- < \\/*(г)\\]к» для почти всех Ь £ [0,Т], то

т

I (УУр(х*(з)),/*(з)) ¿8> 0.

Если Л* = 0, то т

I (ЧУр(х*(з)),/*(з)) йв = 1 (чУр(х*(з)),±X*'(3)^ ¿8 =

0

=Ь

1 (Ур(х*(Т)) — Ур (х*(0))) =0,

что есть противоречие.

Если Л* = 0, то £х* = 0. Это значит, что х* £ Кег I, т.е., х* = а для некоторого а £ К", \\а\\к™ = гр. Из того, что \\х'\\2 = 0 < \\/\\2 для любого / £ Рр(а, у), следует

т

/ (ЧУр(а),/(з)) ¿8> 0

0

для любого / £ Рр(о>,^).

С другой стороны,

т , т ,

/ (W»,/ (s)> ds = ^ Wß(a),J f (s) dsj = T (W^a), П/> .

0 * 0 Поэтому

T

Следовательно, П/ = 0 для любого f С Vf(a,ß), в частности П/* = 0. Но, П/* = П/о =0 в силу того, что /* = 0, что даёт противоречие.

Таким образом, мультиотображение Е, является гомотопией, соединяющей мультиотображения ЕД-, 1) = G(-,ß) и ЕД-, 0) = Р + ПVF(~,ß) (так как оператор Л является тождественным и Пд = 0 для любого д С С\). В силу свойства гомотопической инвариантности топологической степени получаем

deg (г - G(;ß),Bc(0,г,)) = deg (г - Р - П^(;Р),ВС(0,г,)).

Мультиотображение Р + WPf(~,ß) принимает значения в R", поэтому

deg (i - Р - WPf(;ß),Bc(0,r,)) = deg (i - P - П^(;ß),Ür^(0)),

где (0) = Bc(0,r,) П R".

В пространстве R" мультиполе i - P - ПVF(~,ß) имеет вид

i - P - ^F(-,ß) = -П^(•,»),

поэтому

deg (i - P - П^(;ß),Ür^(0)) = deg (-П^(;ß),Ür^(0)). Из (7) следует, что мультиполя ПVF(~,ß) и V)ЛУ гомотопны на (0), поэтому

deg (-П^(;ß),Ür,(0)) = deg (-VV^Ür.(0)) = (-1)"ind V,. Теперь бифуркационный индекс подсчитывается следующим образом Bi (G(0^0)) =

= lim deg (г - G(;»),BC(0,r,)) - lim deg (г - G(-,ß),Bc(0,r,)) = = lim+ deg (-П^(;ß),Ür,(0)) - lim deg (-П^(-,ß),Ür.(0)) =

= (-1)"( lim ind V, - lim ind V,u) = 0.

Для завершения доказательства нам нужно только применить теорему 1 с замечанием, что множество С х R неограничено, поэтому случай (Ь) теоремы 1 не может иметь места.

6. Заключение

В настоящей работе исследована глобальная бифуркация периодических решений семейства дифференциальных включений в заданной точке. С помощью метода направляющих функций и интегральных направляющих функций мы показали, что ветвь нетривиальных Т-периодических решений семейства либо уходит к бесконечности, либо переходит к другой точке бифуркации.

Литература

1. Kryszewski W. Homotopy Properties of Set-Valued Mappings. — Torun: Univ. N. Copernicus Publishing, 1997.

2. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. — Москва: КомКнига, 2005. — 216 с.

3. Deimling K. Multivalued Differential Equations. — Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992.

4. Kamenskii M, Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. — Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.

5. Gaines R. E., Mawhin J. L. Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1977.

6. Alexander J. C., Fitzpatrick P. M. Global Bifurcation for Solutions of Equations Involving Several Parameter Multivalued Condensing Mappings // Fixed Point Theory. Lecture Notes in Mathematics / Ed. by E. Fadell, G. Fornier. — 1981. — Vol. 886. — Pp. 1-19.

7. Denkowski Z., Migorski S., Papageorgiou N. S. An Introduction to Nonlinear Analysis: Theory. — Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2003.

8. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. — Москва: Наука, 1966.

9. Красносельский М. М., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. — Москва: Наука, 1966.

10. Kornev S. V., Obukhovskii V. V. On Some Developments of the Method of Integral Guiding Functions // Functional Differential Equat. — 2005. — Т. 12, № 3-4. — С. 303.

UDC 517.911.5

Application of the Method of Guiding Functions to Problem of Bifurcation of Periodic Solutions of Differential Inclusions

N. V. Loi *, V. V. Obukhovskii t

* Voronezh state pedagogical university ul. Lenina, 86, Voronezh, Russian, 394043 t Voronezh state university Universitetskaya pl., 1, Voronezh, Russian, 394006

In this paper, applying the method of guiding functions and of integral guiding functions we consider the problem of global bifurcation of periodic solutions of the family of one-parameter ordinary differential inclusions.

Key words and phrases: global bifurcation, guiding function, differential inclusion, periodic solution.