Решение задачи о взаимодействии жестких включений и когезионных трещин в изотропной среде при продольном сдвиге

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 196-206

Механика

УДК 539.375

Решение задачи о взаимодействии жестких включений и когезионных трещин в изотропной среде при продольном сдвиге

В. М. Мирсалимов, Ф. Ф. Гасанов

Аннотация. Предложена модель разрушения композитных материалов с периодической структурой, основанная на рассмотрении зоны процесса разрушения вблизи вершины трещины.

Зона процесса разрушения (концевая зона) представляет собой слой конечной длины, содержащей материал с частично нарушенными связями между его отдельными структурными элементами, рассматриваемый как часть трещины. Наличие связей между берегами трещины в концевой зоне моделируется приложением к поверхностям трещины сил сцепления, вызванных присутствием связей. Анализ предельного равновесия когезионной трещины при продольном сдвиге выполняется на основе критерия предельного сдвига связей материала.

Ключевые слова: изотропная среда, периодическая система круговых отверстий, жесткие включения, трещины со связями между берегами в концевых зонах, силы сцепления, продольный сдвиг.

1. Введение. Во многих отраслях современной техники широко используются технические средства в виде перфорированных элементов. В связи с этим важное значение приобретает разработка методов расчета на прочность перфорированных элементов машин и конструкций. Исследование этих вопросов важно в связи с интенсивным развитием энергетики, химической промышленности и других отраслей техники, а также широким использованием материалов, имеющих периодическую структуру (композитов).

2. Постановка задачи. Рассматривается плоская задача теории упругости для изотропной среды с периодической системой круговых отверстий, заполненных абсолютно жесткими включениями, спаянными вдоль обвода, и ослабленной прямолинейными трещинами со связями между берегами в концевых зонах коллинеарных оси абсцисс (рис. 1).

 .

Т»

а Ь

ь

(О

С

©

© © ©

© © © ©

Рис. 1. Расчетная схема задачи о взаимодействии жестких включений и когезионных трещин в изотропной среде при продольном сдвиге

Пусть изотропная среда ослаблена периодической системой круговых отверстий, имеющих радиус Л < 1 и центры в точках Рт = шш (ш = 0,

± 1, ±2,...), ш = 2.

Круговые отверстия среды заполнены абсолютно жесткими включениями, спаянными вдоль обвода. Изотропная среда ослаблена периодической системой прямолинейных когезионных трещин вдоль оси абсцисс. Берега трещины вне концевых зон свободны от внешних нагрузок. В плоскости имеет место антиплоская деформация ту = , тх = 0 (продольный сдвиг на

бесконечности).

Требуется определить напряженное и деформированное состояние в изотропной среде по граничным условиям, выражающим отсутствие упругих смещений вдоль обвода круговых отверстий и внешних нагрузок на берегах периодической системы трещин вне концевых зон.

По мере увеличения внешней нагрузки т^ на продолжении трещин будут возникать зоны предразрушения (концевые зоны). Используется модель трещины со связями между берегами в концевых зонах предразрушения [1—3]. Концевые зоны трещин моделируются областями с ослабленными межчастичными связями в материале среды. Взаимодействие берегов этих зон моделируется путем введения между берегами зоны предразрушения связей с заданной диаграммой деформирования. Физическая природа таких связей и размеры зоны предразрушения зависят от вида материала. В рассматриваемом случае рост трещин представляет собой процесс перехода области предразрушения в область разорванных связей между берегами трещины. Полагаем, что развитие трещины произойдет, когда сдвиг поверхностей трещины в ее кончике (у основания зоны предразрушения) достигнет критического для данного материала значения $шс [4]. Эта характеристика материала определяется опытным путем [5].

Условие разрушения среды в случае когезионной трещины продольного сдвига будет иметь вид

Ь+ — Ь = 6Шс.

При действии внешней нагрузки т^° на составное тело в связях, соединяющих берега зон предразрушения (а\, а) и (Ь, Ъ\), возникают касательные усилия цу (ж). Эти напряжения заранее неизвестны и подлежат определению.

Граничные условия задачи имеют вид

ь = 0 на контурах круговых отверстий,

ту = 0 на свободных берегах трещин,

ту = ду(ж) на берегах концевых зон трещин.

Основные соотношения поставленной задачи необходимо дополнить соотношением, связывающим сдвиг берегов зон предразрушения (концевые зоны) и усилия в связях. Без потери общности это соотношение представим в виде

ь+

где функция С (ж, ду (ж)) представляет собой эффективную податливость связей; (ь+ — ь-) — сдвиг берегов концевых зон трещин.

Выражая напряжения и смещения через аналитическую функцию [6]

тх — гту = /' (г), Ь = 1 Ие / (г), г = ж + гу,

ц

(где ц — постоянная материала среды; г2 = —1) краевые условия рассматриваемой задачи представим в виде:

/

/'

где т = Хвгв + ши (т = 0, ±1, ±2...); £ — аффикс точек берегов трещин с концевыми зонами;

0 на свободных берегах трещин,

/х( ) 1 —2г^у(£) на берегах концевых зон трещин.

В силу симметрии граничных условий и геометрии области Д, занятой материалом среды, напряжения являются периодическими функциями с периодом ш.

3. Метод решения краевой задачи. Решение краевой задачи (4) - (6) ищем в виде

/ (^) = /1(^) +

/1 (z) = F (z) = т» + £ ^+2 ^Г1]Г  (7>

1 f п

/2 (z) = F2 (z) = — g (t) ctg (t - z) dt, (8

П ^

где интеграл в формуле (8) берется по линии Ь = {[-й1, —61 ] и [й1 , 61]}; $(£) — искомая функция, характеризующая сдвиг берегов трещин с концевыми зонами;

д

11

Неизвестная функция д (ж) и искомые коэффициенты должны быть определены из краевых условий (4)—(5).

К основным представлениям (6)—(9) добавляются дополнительные условия, вытекающие из физического смысла задачи:

/-&1 гЬг

д

а,1 •у й1

Для вывода уравнений относительно коэффициентов а2к функции (г) преобразуем краевое условие (4) к виду

Fi

где /о (т) = -F2 (т) - F2 (т).

Для решения краевой задачи (11) применим метод степенных рядов. Относительно функции /о (т) будем считать, что она разлагается на контуре |т| = Л в ряд Фурье. Подставив в левую часть краевого условия (11) вместо Fi^), Fi^) их разложения в ряды Лорана в окрестности нулевой точки z = 0, а в правую часть (11) вместо функции /о (т) ряд Фурье и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях exp (г0) в обеих частях, получим бесконечную систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов а2к:

2 ^ а2к+2Л2к+2Го,к + 2т~ = Ао,

к=0 го ^ а2к+2Л2к+2г7,кЛ2,7' + a2j = A2j•

к=о

2

го

Здесь

1 „

Аік+1 = -— д(і)/2к (^,

Л 2к х2к+2 _

/2к(‘> = (Щ!7(2к,(() - (ЙЛ)!7(2к+2,(()- 7 = С‘8^

г = (2? + 2к + 1)! ді+к+1 г =0 д. = 2

^’к (2#)!(2к + 1)! 22і+2к+2 ’ '°>° 0 д 2 ^т^''

т=1

Требуя, чтобы функции (6)—(8) удовлетворяли краевому условию на берегах Ь, для нахождения неизвестной функции д (ж) получаем сингулярное интегральное уравнение:

1 ( п

— д

^ ,/ь ш

0 на свободных берегах трещин,

/*(ж) =

х [2ду(ж) на берегах концевых зон трещин.

Система алгебраических уравнений (12) совместно с сингулярными уравнениями (13) позволяет определить искомую функцию д(ж) и коэффициенты а2к. Используя в основной полосе периодов разложение функции с1§ п г и замену переменных, после некоторых преобразований сингулярное интегральное уравнение (13) приводится к стандартному виду:

Г / Р (Т) АТ + Г/ Р (т) в (П,т) йт — 1т ** (п) = /* (П) ' (14

п 7-1 г — п п 7-1

Здесь

1 — Л2 - /Ь^2^+2

і=°

в (П,Т) = —• и°А ’

(2# +1) + ( і) +,,, +

(^ + )+ 1 • 2 • 3 \ио + +

+

(2# + 1)(2#)(2# — 1)''' [(2# + 1) — (2# + 1 — 1)] /и

1 • 2'" (2# + 1) \ и°

Л1 = а-, р (т) = д(т), и = 1-2Лі (т + 1) + Л?>

1 - Л2

и° = ^-1 (п + 1) + Л?'

г

Для решения интегрального уравнения применим метод Мультоппа-Каландия [7]. Решения интегрального уравнения представим в виде

Р (п) =

д°

ут—

п2

где функция д0 (п) непрерывна по Гельдеру на [-1, 1], причем она заменяется [7] интерполяционным многочленом Лагранжа, построенным по чебышевским узлам.

Используя квадратурные формулы, после некоторых преобразований сингулярное интегральное уравнение с дополнительным условием (10) сводится к следующей конечной алгебраической системе уравнений:

' ^ 1 1

^ ат,кдк — 2 !т р* (пт) = 2/к (пт) (т = 1,2,''' ,М — 1),

к=1

дк0

Здесь

ат,к

2

М

кУ л/1/2 (1 — Л1) (тк + 1) + Л1

^т + ( —1)|т-к| -к

0'

1

2М

1

8ІП йт

-ctg-

2

пт = С08 й„

2т — 1 = (т = 1>2

+ В

,м),

пт'

Так как в составном теле напряжения ограничены, то решение сингулярного интегрального уравнения (14) следовало бы искать в классе всюду ограниченных функций. Таким образом, к полученным уравнениям (16) следует добавить дополнительные алгебраические уравнения

М й М й

Е(—1)к+М д°^ -2 =0, £)(—1)к д°С^ -2 =0,

к=1 к=1

обеспечивающие конечность напряжений в точках ж = ±а1, ж = ±61.

В правую часть полученных систем входят неизвестные значения напряжений (пт) в узловых точках, принадлежащих концевым зонам трещины. Неизвестные напряжения в связях (пт), возникающие на берегах концевых зон (й1, а) и (6, 61), определяются из дополнительных условий (3). Используя построенное решение, уравнение (3) представим в виде

т

Требуя выполнения условий (18) в узловых точках, принадлежащих концевым зонам (й1, а) и (6, 61), получим еще систему из М1 уравнений для определения приближенных значений (пт1) (т = 1, 2, ..., М1). При этом используется метод конечных разностей.

Поскольку размеры концевых зон трещин неизвестны, объединенная алгебраическая система уравнений (12), (16), (17) и конечноразностный аналог дифференциального уравнения (18) оказались нелинейными даже при линейно-упругих связях. Для ее решения использовали метод последовательных приближений [8], суть которого состоит в следующем. Решаем объединенную алгебраическую систему (12), (16), (18) при

некоторых определенных значениях размеров концевых зон а1 и 61 относительно остальных неизвестных. Остальные неизвестные входят в объединенную систему линейным образом.

Принятые значения размеров концевых зон и соответствующие значения остальных неизвестных не будут, вообще говоря, удовлетворять условиям ограниченности напряжений (17) у вершин х = ±а1 и х = ±61. Поэтому подбирая значения параметров концевых зон, будем многократно повторять вычисления до тех пор, пока условия ограниченности напряжений (17) не будут удовлетворяться с заданной точностью. Бесконечная система уравнений (12) урезалась до пяти уравнений. В численных расчетах полагалось М = 30, что соответствует разбиению интервала интегрирования на 30 чебышевских узлов.

В случае нелинейного закона деформирования связей для определения касательных усилий в концевых зонах используется также итерационный алгоритм, подобный методу упругих решений [9]. Считается, что закон деформирования межчастичных связей в концевой зоне линейный при (ш+ — ад-) ^ ад*. Первый шаг итерационного процесса счета состоит в решении системы уравнений для линейно-упругих связей. Следующие итерации выполняются только в случае, если на части концевой зоны имеет место неравенство (ад+ — ад-) > ад*. Для таких итераций решается система уравнений в каждом приближении для квазиупругих связей с изменяющейся вдоль берегов концевой зоны и зависящей от величины усилий в связях эффективной податливости, которая вычислена на предыдущем шаге расчета. Расчет эффективной податливости проводится подобно определению секущего модуля в методе переменных параметров упругости [10]. Процесс последовательных приближений заканчивается, когда усилия вдоль концевой зоны, полученные на двух последовательных итерациях, практически не различаются. Нелинейная часть кривой деформирования связей аппроксимировалась билинейной зависимостью, восходящий участок которой соответствовал деформированию связей (0 < (ад+ — ад-) ^ ад*) с их максимальным усилием связей. При (ад+ — ад-) > w* закон деформирования описывался нелинейной зависимостью, определяемой точками ^*, т*) и ($шс, тс), причем при тс ^ т* имело место возрастающая линейная

зависимость (линейное упрочнение, соответствующее упругопластической деформации связей).

Для определения предельно-равновесного состояния составного тела, при котором происходит развитие трещин, используется условие (1). Используя полученное решение, условиями, определяющими предельную внешнею нагрузку, будут следующие:

С

С (Ь,ду(Ь)) _ду(Ь) = £Шс.

Численными расчетами найдены усилия в связях, размеры концевых зон и сдвиг противоположных берегов концевых зон трещин от параметра нагружения ту°. На рис. 2 представлены графики зависимости относительной длины концевой зоны трещины = (Ь* — Ь) /Л от

безразмерного значения внешнего нагружения /т* для различных

значений радиуса отверстий: Л = 0, 2 ^ 0, 5 (кривые 1-4).

А

/ //

/ '/

4 \ /у 2V /

/ // 7/ - 1

/ / 7

0 0,3 0,6

Рис. 2. Зависимость относительной длины концевой зоны трещины

На рис. 3 приведена зависимость усилий в связях qy/т^у от относительного размера ё* для различных значений радиуса отверстий Л = 0, 2 ^ 0, 5 (кривые 1-4).

Чу/Ту

1 2\

4^0\

0 0,05 0,10 0,15

Рис. 3. Зависимость касательных напряжений в связях qy/т^ от относительного размера ё* концевой зоны для различных значений радиуса отверстий Л = 0, 2 ^ 0, 5

Расчеты показывают, что при линейном законе деформирования связей усилия в связях всегда имеют максимальные значения на краю концевой зоны. Аналогичная картина наблюдается и для величины сдвига берегов трещины. А именно, сдвиг берегов трещины на краю концевой зоны имеет максимум при линейном и нелинейном законах деформирования, причем с увеличением относительной податливости связей возрастает сдвиг берегов трещины.

Совместное решение объединенной алгебраической системы и условий

(19) дает возможность (при заданных характеристиках трещиностойкости материала) определить критическую величину внешней нагрузки, размеры концевых зон для состояния предельного равновесия, при которых происходит рост трещины.

На рис. 4 построены графики зависимости критической нагрузки т* = = Ту°/т* от расстояния а* = а\ — Л для обоих концов трещины (кривая 1 соответствует левому концу) при Л = 0, 3.

4. Заключение. Анализ предельно-равновесного состояния составного тела с периодической системой жестких включений и прямолинейных трещин со связями между берегами в концевых зонах при продольном сдвиге сводится к параметрическому исследованию объединенной алгебраической системы (12), (13), (17), (18) и деформационного критерия разрушения (19) при различных законах деформирования межчастичных связей материала,

г

\l 2\ \ а*

0 0,1 0,2

Рис. 4. Зависимости критической нагрузки т* = ту°/т* от расстояния a* = ai — А для обоих концов трещины (кривая 1 - соответствует левому

концу) при А = 0, 3

упругих постоянных и геометрических характеристиках составного тела. Непосредственно из решения полученных алгебраических систем определяются усилия в связях и сдвиг берегов с концевыми зонами.

Модель когезионной трещины позволяет исследовать основные закономерности распределения усилий в связях при различных законах деформирования, проводить анализ предельного равновесия составного тела с учетом деформационного условия разрушения, оценивать критическую внешнюю нагрузку и трещиностойкость материала.

Список литературы

1. The special issue: Cohesive models // Eng. Fract. Mech. 2003. V. 70. № 14. P. 1741-1987.

2. Mirsalimov V.M., Rustamov B.E. Effect of Damages on Crack-visible of the Cavity Opening Displacement in Burning Solid Fuel // Inter. J. of Damage mechanics. 2012. V. 21. № 3. P. 373-389.

3. Mirsalimov V.M., Rustamov B.E. Interaction of prefracture zones and crack-visible cavity in a burning solid with mixed boundary conditions // Acta Mechanica. 2012. V. 223. № 3. P. 627-643.

4. Панасюк В.В. Деформационные критерии в механике разрушения // ФХММ. 1986. Т. 22. № 1. С. 7-17.

5. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1991. 416 с.

6. Мирсалимов В.М. Разрушение упругих и упругопластических тел с трещинами. Баку: Элм, 1984. 124 с.

7. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. 304 с.

8. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи М.: Наука, 1987. 256 с.

9. Ильюшин А.А. Пластичность М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. 376 с.

10. Биргер И.А. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, пластичности и ползучести // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 51-73.

Мирсалимов Вагиф Мирахмедович (mir-vagif@mail.ru), д.ф.-м.н, профессор, Азербайджанский технический университет, Баку, Азербайджан.

Гасанов Фуад Фазиль оглы (hff74@mail.ru), к.т.н., доцент, Азербайджанский технический университет, Баку, Азербайджан.

Solution of a problem of rigid inclusions and cohesive cracks interaction in isotropic medium at longitudinal shear

V. M. Mirsalimov, F. F. Hasanov

Abstract. The model of fracture composite materials with the periodic structure, based on consideration of a zone of process of fracture formed near the crack tip. It is accepted, that the zone of process of fracture represents a layer of finite length containing a material with in part broken bonds between its separate structural elements (the end zone), considered as a part of a crack. The interaction of crack surfaces is modelled by applying cohesive forces caused by bonds to crack surfaces. The analysis of limit equilibrium cohesive cracks at longitudinal shear is carried out on the basis of criterion of limit shear of bond of a material.

Keywords: isotropic medium, periodic system of circular holes, rigid inclusions, bridged cracks, cohesive forces, longitudinal shear.

Mirsalimov Vagif (mir-vagif@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, Azerbaijan Technical University, Baku, Azerbaijan.

Hasanov Fuad (hff74@mail.ru), candidate of technical sciences, associate professor, Azerbaijan Technical University, Baku, Azerbaijan.

Поступила 23.01.2014