Технический анализ и фрактальные методы в исследовании финансовых рынков

УДК 519.6

М.М. Бутовский

ТЕХНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ИССЛЕДОВАНИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

В статье даётся описание основных понятий, связанных с гипотезами эффективного рынка и фрактального рынка, алгоритм R/S-анализа и V-статистики. Основным содержанием работы является доказательство эффективности и правомерности применения R/S-анализа в рамках гипотезы фрактального рынка, целью - реализация R/S-анализа и сопутствующих методов в виде программного продукта.

Ключевые слова: обработка сигналов, временной ряд, фрактал, гипотеза фрактального рынка, технический анализ, показатель Херста, фрактальная размерность.

M. M. Butovsky

THE TECHNICAL ANALYSIS AND FRACTAL METHODS IN RESEARCH OF THE FINANCIAL MARKETS

The article presents basic contents of the effective market hypothesis and fractal market hypothesis, algorithms of R/S-analysis and V-statistics. The article basically contains proof of effectiveness and appropriateness of using R/S-analysis in fractal market hypothesis. The final objective is realization of R/S-analysis and concomitant methods as a program product.

Keywords: signal processing, time series, fractal, fractal market hypothesis, technical analysis, Hurst's indicator, fractal dimension.

Введение

Уже несколько лет ряд ученых в качестве альтернативы гипотезе эффективного рынка поддерживает гипотезу фрактального рынка. Фракталы как следствие геометрии демиурга присутствуют повсеместно в нашем мире и играют существенную роль, в том числе и в структуре финансовых рынков, которые локально случайны, но глобально детерминированы, по мнению некоторых исследователей.

Современная задача по исследованию финансовых рынков в рамках данной гипотезы заключается в модернизации методов фрактального анализа рынков акций, облигаций и валют, методов различения независимого процесса, нелинейного стохастического процесса и нелинейного детерминированного процесса, а также в исследовании влияния этих различий на пользовательские инвестиционные стратегии и способности моделирования.

Существует два основных способа анализа ситуации на рынке - фундаментальный и технический. Первый занимается оценкой ситуации с точки зрения политической, экономической и финансовокредитной политики. Второй базируется на методах графического исследования и анализа, основанного на математических принципах.

В настоящее время есть множество информационных систем технического анализа, например, Windows on WallStreet, MetaStock Professional, Omega Research ProSuite, CQG. Однако все они имеют ряд недостатков (высокая цена за право использования, неполный набор постоянно обновляемого инструментария технического анализа и т.п.).

Целью работы является теоретическое исследование процессов проектирования и анализа алгоритмов, а также создание программного продукта, который будет являться блоком анализа данных для информационной системы, подобной вышеупомянутым информационным системам технического анализа.

1. Теоретические основы проблем анализа финансовых рынков.

R/S-анализ

Статистический анализ требует нормального распределения или известной колоколообразной кривой. Известно, что рыночные прибыли не подвержены нормальному распределению, но эта информация была сглажена или рационализирована за многие годы, чтобы сохранить критическое предположение о том, что рыночные прибыли следуют модели случайных блужданий.

Рис. 1. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, частотное распределение прибылей

На рис. 1 показано частотное распределение 5-дневных и 90-дневных прибылей по индексу Доу-Джонса для акций промышленных предприятий с 2 января 1888 г. по 31 декабря 1991 г., то есть приблизительно за 103 года. Для сравнения также дается нормальное распределение. Оба распределения прибылей характеризуются высоким пиком в среднем значении и более толстыми хвостами, чем нормальное распределение, кроме того, эти два распределения по индексу Доу-Джонса фактически имеют одну и ту же форму.

£

3

Г

и*

и

V. ......, і Гі м і \ ! \ V- -

\ / \ /'

V.

-3 -3 *1 0 [ 2

5(ап<1аг<і ОечіаІіоп5

Э

Рис. 2. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, 5-дневные прибыли минус нормальная частота

На рис. 2 видна разница между распределением 5-дневной прибыли и нормальным распределением. Хвосты не только толще, чем при нормальном распределении, они однородно толще. Вплоть до четырех стандартных отклонений от среднего значения мы имеем столько же наблюдений, сколько было за два стандартных отклонения от среднего значения. Даже при четырех сигмах хвосты не сходятся к нулю.

Если взглянуть на кривые различий для 1-, 10-, 20-, 30-, 90-дневых прибылей, то несложно увидеть их схожесть. Во всех случаях хвосты толще, а пики выше, чем при нормальном распределении. Фактически они все выглядят подобными друг другу. Это означает, что риск наступления большого события намного выше, чем подразумевает нормальное распределение.

Большая часть стандартного анализа рынка предполагает, что рыночный процесс, по существу, является стохастическим. При проверке гипотезы эффективного рынка (EMH) это предположение не вызывает особых проблем. Однако для гипотезы фрактального рынка (FMH) многие из стандартных проверок теряют свою силу. Это не говорит о том, что они бесполезны. Большое число исследований с использованием стандартной методологии указало на несогласованность между EMH и наблюдаемой конъюнктурой рынка. Тем не менее новые методологии также необходимы для того, чтобы пользоваться преимуществом рыночной структуры, намеченной в FMH. Для достижения этих целей разработано множество методов. Один из них - R/S-анализ. Рассмотрим его подробнее.

Пусть имеется последовательность S = (St )t >0 котировок некоторой ценной бумаги (в общем случае —

временной ряд). Образуем из данного ряда последовательность h = (ht )t>j , где ht = ln —— — логариф-

V Si-i J

мическая доходность в момент времени i.

n

Для каждого натурального n составим величины Hn = I hk и вычислим следующие числовые харак-

k=1

теристики получившейся подпоследовательности.

— 1 n

Пусть hn = — I h — среднее арифметическое элементов подпоследовательности h = (ht )П=1. n i=1

1. Размах накопленных сумм -

R.=ms (I (h - hn)) - лй (I (hi - hn));

2. Среднеквадратичное отклонение -

S-=n I (hi- h)2;

3. Нормированный размах накопленных сумм (the adjusted range of cumulative sums) -R

RSn = -4

n Sn

Вычисляя в соответствии с вышеприведенным алгоритмом значения RSk, образуем из них и соответствующих значений количества элементов n последовательность точек на плоскости (xk, yk) = (ln RSk ,ln k)'|V=1. Осталось применить метод наименьших квадратов (МНК) для определения углового коэффициента прямой, проходящей максимально близко к полученным точкам.

По известной МНК-формуле, полагая

n n n n

c1 = IA C2 = Ix; g1 = I xy, g 2 = I y,

i=1 i=1 i=1 i=1

находим коэффициент Херста:

H = ng1 - C2 g 2 nc1 — c2.

Персистентный временной ряд, определенный для 0,5 < H < 1,0, является фракталом, поскольку может быть описан как обобщенное броуновское движение. В обобщенном броуновском движении существует корреляция между событиями на временной шкале. Вследствие этого вероятность двух событий, следующих одно за другим, не 50/50. Показатель Херста H описывает такую вероятность, при которой два происходящих последовательно события могут быть одинаковыми.

Поскольку точки (события) временного ряда не равновероятны (ввиду того, что порождаются случайным блужданием), фрактальная размерность вероятностного распределения не равна 2, ее величина лежит в диапазоне от 1 до 2. Мандельброт показал, что величина, обратная H, есть фрактальная размерность. Случайное блуждание при H = 0,5 должно иметь фрактальную размерность равную 2. Если H =

0,7, фрактальная размерность равна 1/0,7 или 1,43. Заметим, что случайное блуждание в действительности двумерно и целиком заполняет плоскость.

Для некоторых технических аналитиков анализ рынков синонимичен нахождению циклов, т.е. они полагают, что существуют регулярные рыночные циклы, скрытые шумом или нерегулярными возмущениями, хотя статистические испытания, такие как спектральный анализ, находят только коррелированный шум.

Херст был первым, кто понял, что лежащий в основе периодический компонент может быть обнаружен с помощью R/S-анализа. Периодическая система соответствует предельному циклу или подобному типу аттрактора. По существу, ее портрет фазового пространства является ограниченным множеством. Например, в случае синусоидальной волны временной ряд будет ограничен ее амплитудой.

Рис. 3. R/S-анализ, функция Вейерштрасса

Для проверки на стабильность Херст использовал простую статистику, дающую более точное измерение длины цикла, которое особенно хорошо работает в присутствии шума. Эта статистика, называемая V-статистикой, определяется следующим образом:

V = (я / 5 )„/4П.

Это отношение приведет к горизонтальной линии, если R/S-статистика будет изменять масштаб пропорционально квадратному корню из времени. Другими словами, график V против log(n) будет плоским, если процесс является независимым вероятностным. С другой стороны, если процесс персистентен и R/S изменяет масштаб быстрее, чем квадратный корень из времени Щ>0,50), то график будет иметь наклон вверх. Если же, наоборот, процесс антиперсистентен Щ<0,50), график будет иметь наклон вниз. При вычерчивании V на оси Y и log(n) на оси X «разрывы» появятся, когда график V выравняется. В таких точках процесс с долговременной памятью рассеивается.

1.5

on

0-5 ----------------------------------------------------------

0-5 1 1-5 2 2_5 3 3.5 4

Log

Рис. 4. V-статистика, функция Вейерштрасса

На рис. 4 показана V-статистика для уравнения Вейерштрасса. Обратите внимание на сглаживание наклона в конце каждого периодического цикла. Исследуя максимальное значение V в каждом интервале, мы можем оценить длину цикла для каждой частоты. Из рис. 3 видно, что R/S-анализ способен опре-

делять периодические циклы, даже когда они накладываются. Однако реальной силой R/S-анализа является обнаружение непериодических циклов.

Непериодический цикл не имеет абсолютной частоты. Вместо нее у него имеется средняя частота. R/S-анализ может определить среднюю длину непериодических циклов для большого значения H. Однако многие испытания очень хорошо проходят в отсутствии шума, но при добавлении небольшого количества шума процесс терпит неудачу. Примеры включают сечения Пуанкаре и реконструкцию фазового пространства.

Существует два типа шума в динамических системах. Первый называется наблюдаемым или аддитивным. Этот шум не затрагивает систему, но создает сложности при измерении. Второй тип шума, называемый динамическим, представляет гораздо большую проблему. Когда система интерпретирует шумный выход как вход, мы имеем динамический шум, так как он вторгается в систему.

Таким образом, R/S-анализ может не только выявить персистентность, или долговременную память, во временном ряде, но и оценить длину периодических или непериодических циклов. Он также является устойчивым относительно шума. Это делает R/S-анализ особенно привлекательным для изучения естественных временных рядов, в том числе рыночных.

Необходимо упомянуть о таком понятии, как волатильность, которое очень часто неправильно истолковывается. Для широкой публики она означает турбулентность, для ученых и последователей EMH является стандартным отклонением изменений курса акций. Оказывается, что оба понятия эквивалентны таким образом, о котором основатели теории формирования инвестиционного портфеля (MPT), вероятно, и не предполагали.

Первоначально стандартное отклонение использовалось потому, что измеряло дисперсию процента измерения цен (или прибылей) распределения вероятностей. Распределение вероятностей оценивалось на основании ненормализованных эмпирических данных. Чем больше стандартное отклонение, тем выше вероятность большого изменения цены - и тем рискованнее акция. Кроме того, полагалось, что выборка прибылей осуществлялась из нормального распределения. Вероятности могли быть оценены на основании гауссовой нормы. Также предполагалось, что дисперсия была конечна; следовательно, стандартное отклонение стремилось бы к значению, которое было стандартным отклонением совокупности. Стандартное отклонение было выше, если временной ряд цен более изрезан, поэтому оно известно как мера волатильности акций. Тот факт, что акция, склонная к сильным колебаниям, будет более волатильной и рискованной, чем менее волатильная акция, кажется исключительно разумным.

Волатильность стала важной мерой сама по себе благодаря формуле опционного ценообразования Блэка-Шоулса.

Цена (европейского) опциона call:

C

dj _ aJT—t ’

d2 _ dj — (J\jT — t.

Цена (европейского) опциона put:

P(S, t) _ Ke—r (T—t) N (—d2) — SN (—d),

где C(S, t) - текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона;

S - текущая цена базисной акции;

N(x) - вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения (таким образом и ограничивается область значений для функции стандартного нормального распределения);

K - цена исполнения опциона; r - безрисковая процентная ставка;

T- t - время до истечения срока опциона (период опциона); о - вариация доходности базисной акции.

Цена опциона, определенная на основании этой формулы, чувствительна к числу дисперсии, используемому в пределах вычисления. Кроме того, дисперсия - единственная переменная, которая не известна наверняка во время торговли. Опционные трейдеры поняли это и обнаружили, что легче вычислить дисперсию, которая приравнивает текущую цену опциона к другим значениям, чем «справедливую цену». Такая подразумеваемая волатильность стала мерой текущей неуверенности на рынке. Она считалась почти прогнозом фактической волатильности.

Два антиперсистентных ряда - реализованная и подразумеваемая волатильность - имеют схожие характеристики. Антиперсистентность характеризуется более частыми изменениями направления, чем это происходит в случайной последовательности. Поэтому антиперсистентность производит 0 < H < 0,50, а это, в свою очередь, приводит к 1,5 < D < 2,0. Таким образом, антиперсистентный временной ряд ближе к заполняющей пространство фрактальной размерности плоскости (D = 2,0), чем к случайной линии (D = 1,50). Однако это не означает, что процесс является возвратным к среднему, а свидетельствует о том, что он возвратный. Антиперсистентность также подразумевает отсутствие устойчивого среднего. Нет ничего, что могло бы изменить его направление, и масштабы изменений сами по себе случайны.

2. Кластерный анализ и прогнозирование с помощью нейронных сетей

Кроме описанного выше R/S-анализа имеют место и другие методы и алгоритмы, способные адекватно анализировать и прогнозировать показатели финансовых рынков. Особое внимание стоит уделить кластерному анализу и нейропрогнозированию.

Кластерный анализ - задача разбиения заданной выборки объектов (ситуаций) на подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались. Кластерный анализ выполняет следующие основные задачи:

разработка типологии или классификации;

исследование полезных концептуальных схем группирования объектов;

порождение гипотез на основе исследования данных;

проверка гипотез или исследования для определения, действительно ли типы (группы), выделенные тем или иным способом, присутствуют в имеющихся данных.

Пусть X - множество объектов, Y - множество номеров (имён, меток) кластеров. Задана функция расстояния между объектами р(x, x'). Имеется конечная обучающая выборка объектов

X m _{x1,...,xm} с X . Требуется разбить выборку на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из объектов, близких по метрике р , а объекты разных кластеров существенно отличались. При этом каждому объекту xt е Xm приписывается номер кластера yt.

Алгоритм кластеризации - это функция a : X ^ Y, которая любому объекту x е X ставит в соответствие номер кластера y е Y . Множество Y в некоторых случаях известно заранее, однако чаще ставится задача определить оптимальное число кластеров с точки зрения того или иного критерия качества кластеризации.

Кластеризация (обучение без учителя) отличается от классификации (обучения с учителем) тем, что метки исходных объектов yi изначально не заданы и даже может быть неизвестно само множество Y.

С целью прогнозирования дальнейшего поведения цен кластеризации подвергаются торговые индексы, скользящее среднее, индексы ADX, DM+, DM-, индикатор Каири, индекс относительной силы и любые другие индикаторы.

Искусственные нейронные сети (ИНС) - это математические модели, а также их программные или аппаратные реализации, построенные по принципу организации и функционирования биологических нейронных сетей. ИНС представляют собой систему соединенных и взаимодействующих между собой простых процессоров (искусственных нейронов). Возможность обучения - одно из главных преимуществ ИНС перед традиционными алгоритмами. Технически обучение заключается в нахождении коэффициентов связей между нейронами. В его процессе нейронная сеть способна выявлять сложные зависимости между входными и выходными данными, а также выполнять обобщение.

Для работы с нейросетями предназначено множество специализированных программ, одни из которых являются более или менее универсальными, другие - узкоспециализированными. Сделаем краткий обзор некоторых программ:

1. Matlab - настольная лаборатория для математических вычислений, проектирования электрических схем и моделирования сложных систем. Имеет встроенный язык программирования и весьма богатый инструментарий для нейронных сетей - Anfis Editor (обучение, создание, тренировка и графический интерфейс), командный интерфейс для программного задания сетей, nnTool для более тонкой конфигурации сети.

2. Statistica - мощное обеспечение для анализа данных и поиска статистических закономерностей. В данном пакете работа с нейросетями представлена в модуле STATISTICA Neural Networks (сокращенно ST Neural Networks, нейронно-сетевой пакет фирмы StatSoft), представляющем собой реализацию всего набора нейросетевых методов анализа данных.

3. BrainMaker - предназначен для решения задач, для которых пока не найдены формальные методы и алгоритмы, а входные данные неполны, зашумлены и противоречивы. К таким задачам относятся биржевые и финансовые предсказания, моделирование кризисных ситуаций, распознавание образов и многие другие.

4. NeuroShell Day Trader - нейросетевая система, которая учитывает специфические нужды трейдеров и достаточно легка в использовании. Программа является узкоспециализированной и подходит для торговли, но по своей сути слишком близка к черному ящику.

3. Реализация методов анализа финансовых рынков

Чтобы наглядно увидеть результаты, которые дают методы технического анализа и рассмотренный выше R/S-анализ, с помощью пакета и языка программирования Matlab был создан программный продукт “Indicators” (рис. 5), включающий в себя расчёт/построение/отображение следующих показателей и характеристик финансовых рынков:

а) линии тренда - элемент аппарата технического анализа, используемый для выявления тенденций изменения цен на различных видах бирж.

Линии тренда представляют собой геометрическое отображение средних значений анализируемых показателей, полученное с помощью какой-либо математической функции. Выбор функции для построения линии тренда обычно определяется характером изменения данных во времени.

б) скользящая средняя - инструмент сглаживания временных рядов, применяемый главным образом для отображения изменений биржевых котировок акций, цен на сырьё и так далее. Наиболее широко используются на практике простые, взвешенные и экспоненциальные скользящие средние.

в) линии (полосы) Боллинджера - инструмент технического анализа фондовых рынков, отражающий текущие отклонения цены акции, товара или валюты.

Линии Боллинджера строятся в виде верхней и нижней границы вокруг скользящей средней, ширина полос при этом не статична, а пропорциональна среднеквадратичному отклонению от скользящей средней за анализируемый период времени. Эти две линии называются линиями сопротивления и поддержки (не путать с уровнями поддержки/сопротивления на графиках - линии Боллинджера являются плавными кривыми, а не прямыми).

г) Моментум - один из самых простых индикаторов, используемых в техническом анализе, представляет собой разницу между текущей ценой и ценой N периодов назад.

д) стохастический индикатор - индикатор технического анализа, который показывает положение текущей цены относительно диапазона цен за определенный период в прошлом. Измеряется в процентах.

е) индекс относительной силы RSI - индикатор технического анализа, определяющий силу тренда и вероятность его смены. Популярность RSI обусловлена простотой его интерпретации. Индикатор может рисовать фигуры технического анализа «голова-плечи», «вершина» и другие, которые часто анализируются наравне с графиком цены.

ж) индикатор Каири, или метод Каири, похож по построению и правилам применения на осциллятор Моментум. От Моментума его отличает то, что Каири делится еще на скользящую среднюю с тем же порядком, поэтому на выходе дается отклонение. Это отклонение затем умножается на 100% и результат представляется в процентах.

з) показатель Хёрста, получаемый в результате работы R/S-анализа.

1 .34 1 .33 1 .32 1 .31 1 .3 1 .29 1 .28 1 .27 1 .26 1 .25 - data Bollinger average - Load | Close | Hurst: 0.50 7 Average lag: ШЙЯ - 1

0.01 Momentum

-0.01

ЮО 50 Q , 1ШМЯИЯ1И1р11Р1! liiditMiUii'i Stochastic Periods: ШШШ-П

ЮО 50 О lifaiirih Mi iivtMkk mili ^ 1 :Щг- RSI

0.5 Kairi

-0.5 ПЯ Periods: 1ПЕ1=1

Рис. 5. Общий вид программного продукта Indicators v.1.0

Кроме того, Indicators версии 1.0 оснащён стандартной панелью инструментов, предоставляющих возможность масштабирования и панорамирования, что совершенно необходимо при работе с большими временными рядами (рис. 6).

Для скользящего среднего предусмотрен выбор типичных значений временного лага, для остальных индикаторов (Моментум, стохастический, RSI, KRI) - выбор количества периодов.

Данные для программного продукта Indicators можно выгружать из любых систем интернет-трейдинга, которые доступны пользователю, в виде электронных таблиц, содержащих значения, разделенные запятыми (.CSV).

Рис. 6. Представление данных в Indicators v.1.0

Заключение

Стоит отметить, что модели проектирования алгоритмов фрактальных методов анализа кривых в рамках анализа показателей финансовых рынков не обрели «идеальной» формы и требуют внимания со стороны исследователей с целью увеличения эффективности работы этих алгоритмов и реализации их как готовых к использованию программных продуктов.

Продолжается работа над расширением функционала инструмента “Indicators”, а также работа над аналитической частью этого продукта.

Литература

1. Алмазов А. А. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки. - Обнинск: Экономическая литература, 2006.

2.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

3.Вильямс Б. Торговый хаос: экспертные методики максимизации прибыли. - М.: Аналитика, 2000.

4.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике. -М.: Интернет-трейдинг, 2004.

6.Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: пер. с англ. - М.: Мир, 2000.

7.Цисарь И.Ф., Нейман В.Г. Компьютерное моделирование экономики. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2008.

Бутовский Михаил Михайлович, аспирант Института систем информатики им. акад. А.П. Ершова СО РАН, тел. +79236490467, e-mail: michaelb @mail.ru

Butovsky Mihail Mihailovich, post-graduate student of A.P. Ershov Institute of Informatics Systems