Динамика упругого тела под действием нагрузки, характерной для удара струи жидкости

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1597-1599

1597

УДК 532.5.296:534.12

ДИНАМИКА УПРУГОГО ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ НАГРУЗКИ, ХАРАКТЕРНОЙ ДЛЯ УДАРА СТРУИ ЖИДКОСТИ

© 2011 г. В.Г. Малахов, Н.А. Хисматуллина

Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН

nailya_hism@mail.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Изучается динамика линейно-упругого полупространства под действием неравномерного давления, приложенного к малой площадке его граничной плоскости. При выборе профиля давления за основу взято решение задачи об ударе высокоскоростной капли по недеформируемой стенке. Показано, что наибольшие напряжения в теле могут возникать как на граничной плоскости, так и на удалении от нее на расстояние порядка линейного размера области приложения нагрузки.

Ключевые слова: кавитационное разрушение, кавитационная эрозия, численное моделирование гидроупругого взаимодействия, ударное воздействие струи.

Введение

Постановка задачи

Цель настоящей работы - исследование напряженного состояния упругого тела при ударе струи жидкости по его граничной поверхности. В [1] приведено решение задачи о силовом воздействии струи на линейно-упругое полупространство при осевой симметрии. Движение жидкости описывалось моделью линейной акустики. Однако такая модель линейной акустики не учитывает растекание жидкости по поверхности тела, и поэтому давление на поверхность тела определялось с погрешностью, увеличивающейся со временем по мере искажения первоначально цилиндрической формы струи.

В [2] приведено решение задачи удара высокоскоростной капли с учетом растекания жидкости, но по недеформируемой граничной поверхности полупространства.

Следует отметить, что задача об ударе струи жидкости по деформируемой поверхности в случае использования уравнений динамики жидкости весьма сложна. Поэтому возникает вопрос об оценке напряженного состояния в упругом теле при характерном давлении, оказываемом струей на его поверхность.

В настоящем исследовании рассмотрены задачи динамики упругого полупространства при мгновенно приложенном к его границе и далее не меняющемся по времени давлении. При задании распределения давления по радиальной координате за основу взяты законы, приведенные в [2].

Динамика линейно-упругого изотропного тела описывается уравнениями [3]:

du Эс„ Эт„  + -

Р dt dr

dz

+

Cr -Сф

dv Эт rz Эс

г^ +

Рз7 =

dr

_Z + rz

dz r

dcr . . du

—r = + 2ц)— + ^

dt dr

Эсz . .dv , Р-Т- = + 2ц)— + ^

dt dz

\

Эс

dt

du dv

dv u +

Kdz rz

du u +

ydr r

= X — + — +

dr dz j

dTrz (du dvл —— = ц —+—

dt ^ dz dr

u

Здесь ^ - время; и, V - радиальная и осевая компоненты скорости; Ог, Оф — нормальные напряжения вдоль соответствующих осей; т — касательное напряжение на площадках с нормалями по осям г или z; р — плотность материала тела; X, | - коэффициенты Ламе.

На оси г = 0 ставятся условия симметрии и = 0, т^ = 0, на граничной плоскости z = 0 -статические граничные условия т = 0, О = -р, где р = р(г) - давление на границу полупространства. Считается, что в начальный момент времени деформации в радиальном и окружном направлениях отсутствуют. При этом в упругой среде ре-

r

r

1598

В.Г. Малахов, Н.А. Хисматуллина

ализуется статическое напряженное состояние ,0 „0

о0 =

Р0> т0

а Г = аф = -АД + 2ц) ро,

= 0,

u0 = v0 = 0,

1 -

-2

-Г" -1

z/R 0

б)

r/R

Поля максимальных по времени значений интенсивности напряжений для нагрузки с плоским профилем (а) и кубической параболы (б) представлены на рис. 2.

где р0 — давление на граничную плоскость в начальный момент времени.

Задача решается численно методом Годунова первого порядка точности. При этом упругое полупространство моделируется прямым круговым цилиндром с линейными размерами, существенно большими размеров круговой площадки, по которой приложено давление. На введенных таким образом искусственных границах расчетной области ставятся неотражающие граничные условия [4].

Результаты расчетов

Взяты следующие данные: р = 8-103 кг/м3, с1 = 5742.9 м/с, с2 = 3069.7 м/с, р0 = 0.1 МПа, Я = = 20 мкм; Я — радиус кольцевой площадки; с1, с2 скорости звука в продольном и поперечном направлениях. При расчетах использовались два профиля давления при г < Я: р(г) = р* (плоский профиль) и р(г) = 0.25р*(6 г3/Я3 + 1) (кубическая

парабола). Здесь р* — параметр, имеющий размерность давления.

Результаты расчетов в виде распределений максимальных по времени значений интенсивности напряжений 5. представлены на рис. 1 (а — вдоль оси симметрии, б — в приповерхностном слое вдоль радиальной координаты). Кривые 1 получены для нагрузки с плоским профилем, 2 — для кубической параболы. Точками отмечены значения < в точке г = 0.

+

Рис. 1

Рис. 2

Видно, что в случае как плоского профиля, так и кубической параболы локальный максимум интенсивности напряжений наблюдается в теле на оси симметрии на удалении от поверхности тела на расстояние 0.75 R - 0.8 R. Второй локальный максимум достигается вблизи граничной поверхности на линии разрыва профиля нагрузки. Для обоих максимумов а. доминирующими являются осевые напряжения. Резкий рост величины а. наблюдается также в окрестности точки r = 0, z = 0, этот рост обусловлен преобладанием радиальных напряжений Or.

Таким образом, показано, что для обоих рассмотренных профилей нагрузки наибольшие напряжения в теле могут возникать как на поверхности тела, так и на удалении от нее порядка радиуса круговой области нагружения. В обоих случаях качественные картины полей напряжений являются близкими, имеются лишь количественные различия.

Работа выполнена в рамках Программы РАН и при поддержке РФФИ.

Список литературы

1. Аганин А. А., Малахов В.Г., Халитова Т.Ф., Хисматуллина Н. А. // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Труды Второй междунар. конф. Казань, 8-11 декабря 2009 г Казань: Казан. гос. ун-т, 2009. С. 20-24.

2. Haller K.K. et al. // J. App. Phys. 2002. V. 92, No 5. P. 2821-2828.

Динамика упругого тела под действием нагрузки, характерной для удара струи жидкости

1599

3. Чебан В.Г., Навал И.К., Сабодаш П.Ф., Черед- 4. Ильгамов М.А., Гильманов А.Н. Неотражающие

ниченко Р. А. Численные методы решения динамичес- условия на границах расчетной области. М.: Наука. ких задач упругости. Кишинев: Штиинца, 1976. 225 с. Физматлит, 2003. 240 с.

DYNAMICS OF AN ELASTIC BODY UNDER THE LOADING TYPICAL OF A LIQUID JET IMPACT

V.G. Malakhov, N.A. Khismatullina

Dynamics of linearly elastic semi-space under the action of non-uniform pressure applied to a small area of its boundary surface is considered. The pressure profile is chosen on the basis of the solution of the problem of high-velocity droplet impact on a rigid substrate. It has been shown that most stressed domains in the body can arise on its surface as well as inside the body at a distance from the body surface by about linear scale of the loaded domain.

Keywords: cavitation destruction, cavitation erosion, numerical simulation of hydro-elastic interaction, jet impact.