Общие свойства кривых релаксации в случае начальной стадии деформирования с постоянной скоростью в линейной теории наследственности

Механика

УДК 539.3

ОБЩИЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ РЕЛАКСАЦИИ В СЛУЧАЕ НАЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ В ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ

А. В. Хохлов1

Аналитически изучены качественные характеристики кривых релаксации в случае линейного по времени деформирования в начальной стадии, которые порождаются интегральным определяющим соотношением вязкоупругости с произвольной функцией релаксации: интервалы монотонности и выпуклости, скачки, изломы, асимптотика кривых, их зависимость от параметров начальной стадии деформирования и свойств функции релаксации, тип сходимости семейства кривых релаксации при стремлении длительности начальной стадии к нулю и другие свойства.

Ключевые слова: вязкоупругопластичность, кривые релаксации, влияние начальной стадии, оценки для кривых релаксации, затухание памяти, идентификация.

Basic qualitative properties of the theoretic relaxation curves at ramp strain histories generated by the linear integral constitutive equation with an arbitrary relaxation function are analytically studied. Stress and stress rates jumps, monotonicity and convexity intervals of ramp relaxation curves, their asymptotic behavior at infinity, mutual two-sided bounds for relaxation curves and modulus, dependence on initial stage parameters and relaxation modulus properties and condition of convergence to the relaxation curve at instantaneous loading with the rise-time tending to zero are analyzed.

Key words: viscoelastoplasticity, relaxation curves, rise time influence, bounds for relaxation curves, memory fading, identification.

1. Введение. Испытания на релаксацию и ползучесть — простейшие виды квазистатических испытаний вязкоупругопластичных материалов, позволяющие оценить их диссипативные свойства, скоростную чувствительность и глубину памяти, очертить область линейности их поведения, подобрать адекватное определяющее соотношение (ОС), идентифицировать материальные функции и параметры. Мгновенное деформирование до заданного уровня деформации (e(t) = eh(t), h(t) — функция Хевисайда) неосуществимо при квазистатических испытаниях материалов: на практике всегда имеется начальная стадия деформирования, как правило, стадия с (примерно) постоянной скоростью деформирования (ramp tests):

e

Влияние длительности начальной стадии t* (rise time) и других параметров на экспериментальные и теоретические кривые релаксации (КР) a(t, е, t*), на отклонение КР от идеальной КР a(t, е, 0) при мгновенном деформировании и на окно наблюдения t > to, to = kt*, необходимо учитывать при обработке опытных данных и идентификации материальных функций и параметров ОС [1-16], а также при определении области линейности материала на основе проверки независимости модуля релаксации u{t,e, t*)/e от е. По сравнению с идеальными кривыми релаксации и ползучести, которые все модели описывают адекватно при правильной настройке, испытания на релаксацию (и ползучесть) с начальной стадией нагружения позволяют уловить и обследовать разные аспекты поведения материала, собрать более богатую информацию для идентификации и верификации моделей и выявления лучшей из них.

Настоящая работа — очередной шаг в программе качественного анализа теоретических кривых одномерного линейного ОС вязкоупругости (и обобщающего его нелинейного ОС Ю.Н. Работнова) с произвольной функцией релаксации (см. [17-21] и др.). Оно связывает напряжение a(t) и деформацию e(t) при изотермических процессах в структурно-стабильных реономных материалах:

1 Хохлов Андрей Владимирович — канд. техн. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: andrey-khokhlovQya.ru.

ъ ъ

e

о о

Функции ползучести и релаксации в (2) предполагаются положительными и дифференцируемыми на (0, оо), функция П(£) — возрастающей и выпуклой вверх [19] на (0, оо) (тогда существуют конечные пределы П(0+) = infll(t) ^ 0 и П(оо)), a R(t) — убывающей и выпуклой вниз на (0, оо); функция релаксации может иметь интегрируемую особенность или ¿-сингулярность в точке t = 0. Операторы (2) взаимно обратны, и функции П(£) и R(t) связаны известным интегральным уравнением. Операторами вида (2) задаются и трехмерные ОС вязкоупругости в изотропном случае, а также зависимости между (обобщенными) нагрузками и перемещениями при испытаниях образцов на растяжение, кручение, изгиб, индентирование и т.п.

Анализ показал [17-20], что среди моделей, задаваемых ОС (2) с разными функциями ползучести и релаксации, необходимо выделять, как минимум, три основных класса, так как качественные свойства базовых квазистатических кривых (релаксации, ползучести, деформирования с постоянными скоростями нагружения или деформации и др.) моделей из этих классов, а также особенности постановки и решения краевых задач заметно различаются:

1) регулярные модели — модели, у которых П(0+) ф 0 (тогда мгновенный модуль Е = Д(0+) = 1/П(0+) конечен, П(0+)/П(0+) = — Д(0+)/Д(0+) [17,19] и уравнения (2) сводятся к уравнениям Вольтерры второго рода);

2) сингулярные модели — модели, у которых функция релаксации — сумма регулярной части (с R(0+) < оо) и слагаемого rjô(t), г] > 0 (тогда П(0+) = 0 и П(0+) = 1 /г?);

3) модели с неограниченной функцией релаксации (R(0+) = оо), не содержащей слагаемого T]ô(t), но имеющей интегрируемую особенность в точке t = 0 (у таких моделей П(0+) = 0).

Третий класс занимает промежуточное положение между первыми двумя. К нему относится, например, функция релаксации R = At~u с и € (0; 1), А > 0, задающая "фрактальный" элемент моделей с оператором дробного дифференцирования; соответствующая функция ползучести имеет вид II(t) = A~lC(u)tu, С {и) = (nu)~l sin(7ru), и обладает не только свойством П(0+) = 0, как у сингулярных моделей, но и свойством П(0+) = +оо, переходным к свойству П(0+) ф 0, характеризующему регулярные модели. Случай П(0+) = 0 приводит к уравнению Вольтерры первого рода, особенностям в нуле у кривых релаксации и касательного модуля, к наличию вертикального участка у диаграмм деформирования с постоянными скоростями, отсутствию диаграммы мгновенного деформирования и т.п. [17-20].

2. Свойства кривых релаксации с начальной стадией деформирования при постоянной скорости. Отклик ОС (2) на программу деформирования (1) имеет вид

t t ait, t*) = a J Rit — t) dr = et~l J R(u) du, t€[0;t*];

c>

ait, t*) = a J Rit — t) dr = et~1 J R(u)du, t>t*.

t-u

На отрезке [0; t*] кривая a(t, t*) совпадает с диаграммой деформирования ОС (2) при постоянной скорости а (ее свойства изучены в [17, 19]). Свойства кривых релаксации (3) несингулярных моделей собраны в следующей теореме (через R{0) обозначен предел справа R{0+)).

Теорема. Пусть функция релаксации Rit) положительна, дифференцируема, убывает, строго выпукла вниз на (0, оо) и интеграл от, Rit) по отрезку [0; 1] сходится. Тогда кривые релаксации (3), порождаемые ОС (2) при деформировании (1), обладают свойствами:

1) при t € [0;i*] функция (3) возрастает по t, выпукла вверх и убывает по t*; <j(0+,t*) = aRi0+); <7(0+,i*) = 0;

2) на луне t ^ t* кривые релаксации (3) убывают по t и выпуклы вниз; при t —> оо все кривые имеют общую горизонтальную асимптоту а = ëR{оо), не зависящую от t*: a(t,t*) —> ëR(оо);

3) в точке t = t* любая функция (3) непрерывна; ее максимальное значение a(t*,t*) убывает

по t*; а при t* —> 0 имеем a(t*,t*) —> eR(0); для, всех t* > 0 верна оценка

eR{U) < eR(0,5t*) < <r(t*,Q < 0,5ë(E(i*) + Д(0)) < ёД(0);

4) скачок производной напряжения в точке t = t* равен &(t*) = — ^(О)^"1; у моделей с неограниченной функцией релаксации &(t*) = —оо, а у всех регулярных моделей отношение углов излома кривых (3) для, различных t* = ti не зависит, от, а и R(t): à(t\)/ofo) = Î2A1;

5) у регулярных моделей начальная скорость релаксации s(t*) := |<r(t* + 0;t*)| = ei~1[-R(i*) — R(0)] конечна, убывает по t*; — eÊ(t*) < s(t*) < —eÊ(0) u s(t*) —> —eR(0) при t* —> 0; a y моделей с неограниченной функцией релаксации à(i* + 0;t*) = —00 и s(t*) = +00;

6) любая кривая релаксации (3) при t > t* оценивается через идеальную кривую релаксации a(t, 0) = ëR(t) и ее сдвиги:

eR(t) < ëR(t - 0,5U) < cr(i, i*) < 0,5ë[R(t - t*) + R(t)} < ëE(i - i*),

в частности, кривая (3) лежит выше a(t, 0) и ее сдвига, вправо на 0,5

7) функция релаксации оценивается через (регистрируемую в опытах) кривую релаксации (3);

ë-l[2o

(оценка, сверху верна при t > 0,5оценка, снизу — при всех t > 0), ширина этой "вилки" для R(t) стремится к нулю как при t —> 00, так и при t* —> 0;

8) для отклонения A(t,t*) := |a(i,i*) — a(t, 0)| кривой (3) от идеальной справедливы оценки

R(t - 0,5t*) - R(t) < A(t,Q/ë < 0,5[R(t - Q - R(t)},

-0,5 t*R(t - 0,5t*) < A (t, U)/e < -0, 5 t*R(t -t*), t > i*;

9) функции a(t,t*) и A(t,t*) возрастают no t*; т.е. с уменьшением t* кривая (3) смещается, вниз и отклонение от, идеальной кривой релаксации убывает; da(t,t*)/dt* = dA(t,t*)/dt* < |<т(М*)| =a[R(t) -R(t-U)]\

10) A (t, t*) —> 0 при t* —> 0 равномерно на лучах t ^ to с любым ¿о > 0; при t* —> 0 у регулярных моделей a(t*,t*) —> eR( 0), à(i* + 0, t*) —> eiî(0); à (t*) = —00, a y моделей с неограниченной функцией релаксации a(t*,t*) —> +оо; à(i* — 0,t*) —> +оо; à(i* + 0,t*) —> —00;

11) при t —> 00 всегда A(t,t*) —> 0 (память о начальной стадии затухает), а если R(00) > 0 ; то стремится к нулю и относительное отклонение p(t,t*) = A(t,t*)/a(t,0).

Замечания. 1) Если R(00) = 0, то при t —> 00 возможны оба случая: lim p(t, t*) = 0 (для степенной R(t)) и limp(i,i*) > 0 (для всех параллельных соединений моделей Максвелла).

2) Большинство свойств кривых релаксации (3) (см. пп. 2, 3, 5-10 теоремы) существенно опирается на требование выпуклости вниз функции релаксации (об ограничениях на выпуклость функций релаксации и ползучести часто забывают, и это порой приводит к ошибочным выводам).

Среднее арифметическое нижней и верхней оценок для R(t) из (4) дает новую приближенную формулу для, идентификации функции релаксации:

R(t) и 0,5ë"V(i + 0,5i*,i*) +2<r(t + U,U) -<r(t + l,5i*,i*)], t > 0,5i*.

Все основные свойства семейства кривых релаксации (3), установленные в теореме, сохраняются и для сингулярных моделей с R = r)ô(t) + Rr(t), где функция Rr(t) несингулярна (принадлежит классам, для которых доказана теорема). Легко убедиться, что наличие слагаемого r)ô(t) никак не влияет на кривую релаксации (3) при t > t* (она совпадает с кривой (3) для R = Rr), а все отличия свойств от указанных в теореме исчерпываются следующими двумя:

1) у кривой (3) появляются разрывы первого рода при t = 0 и t = t*: <r(0+,t*) = ar] = r/et^1 и <r(i*) = —a??; оба скачка убывают с ростом

2) при t* —> 0 начальное и наибольшее значения функции (3) неограниченно возрастают: <т(0+, U) —> +00, <r(t* — 0, U) —> +оо и à(U) —> —оо.

Аналогичные результаты получены для кривых релаксации, порождаемых нелинейным соотношением Ю.Н. Работнова с двумя материальными функциями, обобщающим ОС (2) (в англоязычных работах оно называется уравнением квазилинейной вязкоупругости QLV).

3. Заключение. Обнаруженные свойства семейств кривых релаксации (3), порожденных ОС (2) с произвольной функцией релаксации, позволяют точнее очертить арсенал возможностей ОС (2), усовершенствовать методики выбора, идентификации и настройки линейных моделей. Они могут служить индикаторами применимости (или неприменимости) линейного ОС (2), удобными для экспериментальной проверки. В частности, пп. 3, 4, 6-8 теоремы предоставляют инструменты для надежного определения функции релаксации по экспериментальным кривым релаксации <r(t,£, t*), получения точных оценок нижней границы to = kt* "окна наблюдения" функции релаксации (с целью уточнения испытательного стандарта "ten-times rule" с к = 10), анализа зависимости A;(i*/r), где т — время релаксации, и расширения "окна наблюдения" за счет минимизации величины к.

Работа выполенена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 17-08-01146.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2003.

2. Bergstrom J.S. Mechanics of Solid Polymers. Theory and Computational Modeling. N.Y.: Elsevier; William Andrew, 2015.

3. Lee S., Knauss W.G. A note on the determination of relaxation and creep data from ramp tests // Mech. Time-Dependent Mater. 2000. 4, N 1. 1-7.

4. Flory A., McKenna G.B. Finite step rate corrections in stress relaxation experiments: a comparison of two methods // Mech. Time-Dependent Mater. 2004. 8, N 1. 17-37.

5. Sorvari J., Malinen M. Determination of the relaxation modulus of a linearly viscoelastic material // Mech. Time-Dependent Mater. 2006. 10, N 2. 125-133.

6. Knauss W.G., Zhao J. Improved relaxation time coverage in ramp-strain histories // Mech. Time-Dependent Mater. 2007. 11, N 3. 199-216.

7. Хохлов А.В. Критерии разрушения при ползучести, учитывающие историю деформирования, и моделирование длительной прочности // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 4. 121-135.

8. Duenwald S.E., Vanderby R., Lakes R.S. Constitutive equations for ligament and other soft tissue: evaluation by experiment // Acta Mech. 2009. 205. 23-33.

9. Lakes R.S. Viscoelastic Materials. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009.

10. Tscharnuter D., Jerabek M., Major Z., et al. On the determination of the relaxation modulus of PP compounds from arbitrary strain histories // Mech. Time-Dependent Mater. 2011. 15, N 1. 1-14.

11. Guedes R.M., Morais J.L. A simple and effective scheme for data reduction of stress relaxation incorporating physical-aging effects: An analytical and numerical analysis // Polymer Testing. 2013. 32, N 5. 961-971.

12. Di Paola M., Fiore V., Pinnola F., Valenza A. On the influence of the initial ramp for a correct definition of the parameters of fractional viscoelastic materials // Mech. Mater. 2014. 69, N 1. 63-70.

13. Fernandes V.A., De Focatiis D.S. The role of deformation history on stress relaxation and stress memory of filled rubber // Polymer Testing. 2014. 40. 124-132.

14. Mathiesen D., Vogtmann D., Dupaix R. Characterization and constitutive modeling of stress-relaxation behavior of polymethyl methacrylate (PMMA) across the glass transition temperature // Mech. Mater. 2014. 71. 74-84.

15. Sweeneya J., Bonnerb M., Ward I. Modelling of loading, stress relaxation and stress recovery in a shape memorypolymer //J. Mech. Behav. Biomed. Mater. 2014. 37. 12-23.

16. Babaei В., Davarian A., Pryse K.M., et al. Efficient and optimized identification of generalized Maxwell viscoelastic relaxation spectra //J. Mech. Behav. Biomed. Mater. 2015. 55. 32-41.

17. Хохлов А.В. Характерные особенности семейств кривых деформирования линейных моделей вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности. 2015. 77, № 2. 139-154.

18. Хохлов А.В. Асимптотическая коммутативность кривых ползучести при ступенчатом нагружении в линейной теории наследственности // Машиностроение и инженерное образование. 2016. № 1. 70-82.

19. Хохлов А.В. Качественный анализ общих свойств теоретических кривых линейного определяющего соотношения вязкоупругости // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон, журн. 2016. № 5. 187-245. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/840650.html (дата обращения 14.06.2016).

20. Хохлов А.В. Свойства семейств кривых ползучести для нагружения с постоянной скоростью на начальной стадии, порождаемых линейным соотношением вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности. 2016. 78, № 2. 164-176.

21. Хохлов А.В. Кривые ползучести и релаксации нелинейного определяющего соотношения Ю.Н. Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Проблемы прочности и пластичности. 2016. 78, № 4. 452-466.

Поступила в редакцию 27.0i.2016