Бездифракционные пучки Ломмеля

БЕЗДИФРАКЦИОННЫЕ ПУЧКИ ЛОММЕЛЯ

Ковалёв А.А., Котляр В .В.

Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва

Аннотация

Рассмотрено непараксиальное семейство бездифракционных лазерных пучков, комплексная амплитуда которых пропорциональна функции Ломмеля двух переменных л-го порядка. Поэтому они названы пучками Ломмеля (Л-пучки). Получены явные аналитические выражения для углового спектра плоских волн и орбитального углового момента для Л-пучков. Поперечная интенсивность Л-пучков обладает зеркальной симметрией по отношению к осям декартовых координат. Так как Л-пучки сохраняют поперечную интенсивность при распространении, то они являются модами свободного пространства (Л-моды). Чётные (л = 2р) и нечётные (л = 2р + 1) Л-моды взаимно ортогональны. При определённом параметре Л-моды переходят в обычные моды Бесселя.

Ключевые слова: бездифракционный лазерный пучок, мода Бесселя, мода Ломмеля двух переменных, орбитальный угловой момент.

Введение

Среди известных лазерных пучков особое место занимают бездифракционные пучки. Структура распределения их комплексной амплитуды в поперечном сечении такова, что, несмотря на дифракцию, она сохраняется при прохождении произвольного расстояния вдоль оптической оси. Известно, что в трёхмерном пространстве свободны от дифракции моды Бесселя [1], а в двумерном - пучки Эйри [2]. Также бездифракционные пучки обобщались на случай более высокой размерности пространства [3]. Известно также, что в трёхмерном пространстве бездифракционным является световой пучок, для которого угловой спектр плоских волн является бесконечно тонкой окружностью. Так, в [4] рассмотрены бездифракционные пучки, описываемые в виде линейной комбинации мод Бесселя. Комплексная амплитуда таких пучков описывается функцией Матье. В [5] рассмотрены асимметричные моды Бесселя, распределение интенсивности которых в поперечном сечении имеет вид полумесяца, а в [6] рассмотрено обобщение этого семейства путём введения дополнительного параметра, позволяющего управлять асимметрией поперечного распределения интенсивности. Бездифракционные пучки устойчивы при распространении в турбулентной атмосфере [7] и фемтосекундные Бесселевы импульсы сохраняют форму при распространении [8].

В данной работе рассматривается линейная комбинация мод Бесселя с такими коэффициентами, что комплексная амплитуда пучка описывается функцией Лом-меля двух переменных, одна из которых комплексная. Функции Ломмеля двух переменных встречаются в оптике не впервые. Так, в [9] (§ 8.8) рассмотрено трёхмерное распределение света вблизи фокуса для сферической монохроматической волны, выходящей из круглого отверстия и сходящейся в осевой фокальной точке. Для получения этого распределения в [9] используется интеграл Френеля, выраженный через функции Ломме-ля двух переменных [10]. В работе [11] с помощью этих функций описана фокусировка с помощью линзы вихревого лазерного пучка Лагерра-Гаусса с нулевым радиальным индексом, ограниченного круглой диафраг-

мой. В отличие от традиционных мод Бесселя [1] распределение интенсивности моды Ломмеля (Л-моды) не обладает радиально-симметричной формой в виде набора световых колец, а в отличие от асимметричных мод из [5, 6] оно обладает симметрией относительно не одной, а обеих декартовых осей. В работе точно рассчитан орбитальный угловой момент Л-пучков. Он превышает момент Бесселевой моды, входящей в линейную комбинацию с наименьшим топологическим зарядом. Л-моды, как и все бездифракционные пучки, обладают бесконечной энергией, и поэтому на практике могут быть реализованы только приближенно. Мы называем пучки Ломмеля по аналогии с пучками Бесселя. Но так как пучки Бесселя являются модами, то мы и пучки Ломме-ля иногда называем модами Ломмеля.

1. Комплексная амплитуда пучков Ломмеля

Рассмотрим световой пучок, угловой спектр плоских волн которого имеет следующий вид:

' ^8 ("-7) *

х£ с2р ехр [1

р=0

=

где (р, е) - полярные координаты в спектральной плоскости, 8(х) - дельта-функция Дирака, к = 2я/1 -волновое число света с длиной волны 1, а параметры а, с и л, как будет показано ниже, характеризуют соответственно масштаб пучка, асимметрию его формы и орбитальный угловой момент. Заметим, что в отличие от асимметричных мод Бесселя из [5, 6] параметр асимметрии с у Л-пучков не может быть произвольным, а должен быть по модулю меньше единицы, иначе ряд (2) будет расходящимся. Из (1) видно, что модуль амплитуды спектра меняется вдоль кольца с радиусом р = а /к: при вещественных значениях с максимальное значение имеет место при е = 0, я, а

минимальное - при 0 = ±р / 2 . Комплексная амплитуда Л-пучка находится как преобразование Фурье от углового спектра (1) и равна

Еп (г,ф, *) = ехр2 - а2 )х х]Г(-1) V р ехр [1 (п + 2 р )ф] р (аг ) =

р=0

= с

1 ехр (к2 - а2) ил [ саг ехр (i'ф), аг], где и(у?9 *) - функция Ломмеля двух переменных [10]:

ип (* ) = X (-1)р (^ / * )п+2 рл+2 р ( *) .

р=0

В (2) параметр а входит в аргумент функций Бесселя, поэтому он характеризует масштаб (ширину светового кольца) пучка Ломмеля.

С помощью (2) нетрудно показать, что

Еп (АФ, *)| = \Еп (лф *)| = \Еп (г,p-ф, *)| =

ехР [_1 ( п + 2 р )ф] Уп+2 р (аг) .

X

р=0

V р'

Из (4) следует, что, в отличие от асимметричных пучков Бесселя из [5, 6], распределение интенсивности в поперечном сечении Л-пучков (2) симметрично не только относительно горизонтальной плоскости Охг; но и относительно вертикальной плоскости Оуг.

При с = 0 в (2) остаётся только одно слагаемое и Л-пучок преобразуется в традиционный пучок Бесселя:

Еп (г, ф, *) = ехр (^к2 - а2 + 1пф) ]п (аг).

На рис. 1 показаны распределения интенсивности и фазы (при г = 0) в поперечной плоскости для Л-пуч-ков со следующими параметрами: длина волны 1 = 532 нм, топологический заряд п = 4, масштабирующий множитель а = к/3, параметр асимметрии с = 0,51 (рис. 1а, б) и с = 0,91 (рис. 1в, г). На рис. 1 интенсивность показана в области -201 < х, у< 201. Рис. 1 был получен путём расчёта по формуле (2).

Как видно из рис. 1, при небольших по модулю значениях параметра с дифракционная картина похожа на картину моды Бесселя, но вытянутую вдоль одной декартовой координаты (оси х). При двумерной реализации таких пучков (т.е. распространяющихся в плоскости Ох*) их форма будет похожа на форму ускоряющихся эллиптических мод, рассмотренных в [12].

Далее с ростом параметра с возрастает асимметрия Л-пучка, и он в поперечном сечении имеет вид двух полумесяцев с нулевой интенсивностью в центре. В оптическом микроманипулировании такое распределение удобно для задачи удерживания на месте микрообъекта по одной координате [13].

Без ограничения общности параметр с можно считать вещественным положительным. В противном случае дифракционная картина поворачивается на угол, соответствующий аргументу параметра с. Так,

для рис. 1 параметр с чисто мнимый, поэтому полумесяцы разнесены по оси х.

С ростом параметра с не только возрастает асимметрия поперечного распределения интенсивности, но и меняется характер распределения интенсивности в боковых лепестках. Это хорошо заметно из рис. 2, рассчитанного также по формуле (2) для тех же параметров, что и рис. 1.

а)

в)

г)\

Рис. 1. Распределения интенсивности (негатив) (а, в) и фазы (б, г) в поперечной плоскости для пучков Ломмеля:

с = 0,51

Из рис. 2 видно, что если при с = 0,51 максимальная интенсивность в горизонтальной плоскости превышает максимальную интенсивность в вертикальной плоскости примерно в полтора раза, то при с = 0,91 это соотношение составляет уже 3,5. Причём в вертикальной плоскости боковые лепестки превышают главные центральные максимумы.

2. Орбитальный угловой момент пучков Ломмеля

Орбитальный угловой момент (ОУМ) X (проекция ОУМ на оптическую ось) и суммарная интенсивность I светового пучка в плоскости, поперечной оптической оси, определяются по следующим формулам [14]:

X = 1т ^ Е ф г аг Сф} =

Е 2р ^е { 1 г Сг ^

= 1т <Ит

аес

Е 2р

I = Ц ЕЕг аг аф = Нт е¥ 11 ЕЕг аг аф.

Подставив в (5), (6) комплексную амплитуду (2), получим ОУМ и суммарную интенсивность пучка Ломмеля:

X = 2р НтЕ¥ X

р=0 0 ¥ Е

X (сс* )2 р 1 Л, р (аг) г Сг.

I = 2р Нт^

р=0

к

00

Е

0

а)

0,20' I, отн.ед.

0,16

0,12

0,08

0,04 0- \/\ аааЛЛДДАА ЛЛ ЛЛЛЛЛлл^

-20 -15 -10 I, отн.ед.

10 15 20

,$/к

-20 -15 -10 -5 11, отн.ед.

20

в)

0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 О

-20 -15 -10 I, отн.ед.

у/к

г) -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Рис. 2. Сечения интенсивности при у = 0 (а, в) и х = 0 (б, г) для пучков Ломмеля: c = 0,5i (а, б); c = 0,9i (в, г).

По горизонтальной оси отложены длины волн, а по вертикальной - интенсивность в произвольных единицах

Интегралы в этих выражениях описаны в [15] (выражение 5.54.2):

| /1р (аг) г &г =

2

= у [(аг)-Л-1 (аг)]+х (аг)].

Используя асимптотику функции Бесселя при больших значениях аргумента (выражение 9.2.1 в [16]), получим, что все интегралы в (7) и (8) не зависят от порядка функции Бесселя и равны Л"/(яа). Тогда, используя числовые ряды 0.246.1 и 0.246.2 из [15] и разделив (7) на (8), получим выражение для ОУМ, нормированного на интенсивность:

У (сс* )2р (п + 2р) . .

л = Р=о1 ' у р = „, 21С

= п+-

УК)

Р=0

*\2 Р

1 -IС4

Из (10) следует, что при возрастании параметра асимметрии с < 1 ОУМ возрастает. На рис. 1а (п = 4) для с = 0,51 нормированный ОУМ равен ]2/1~4,1, а на рис. 1в для с = 0,91 он равен ]г/1~ 7,8.

3. Ортогональность комплексных амплитуд пучков Ломмеля

Подобно тому, как в предыдущем разделе был вычислен орбитальный угловой момент, можно вычислить скалярное произведение двух пучков Ломмеля, имеющих соответственно топологические заряды п и т, масштабирующие множители а и р, параметры асимметрии с и С:

( Епас, Етрс ) = Л Епа.сЕтРСГ^=

К2

' т)/2 5 (а-Р) (С*)п-т

2л(-1)'

а

2я

1 -(сС * )2 если (т + п) чётно и п > т, (п-т)/2 5(а-р) ст-п

а 1 - (сС*)2 если (т + п) чётно и п < т,

если (т + п) нечётно.

Из (11) видно, что комплексные амплитуды Л-пучков, подобно традиционным и асимметричным пучкам Бесселя, ортогональны по масштабирующему множителю. Из (11) также видно, что в отличие от асимметричных пучков Бесселя из [5, 6] Л-пучки распадаются на два класса с чётным и нечётным топологическим зарядом. Комплексные амплитуды пучков из двух разных классов ортогональны между собой.

Заключение

В работе получены следующие результаты:

- получено новое решение уравнения Гельмгольца, описывающее трёхпараметрическое семейство бездифракционных непараксиальных пучков Лом-меля; комплексная амплитуда этих пучков описывается функциями Ломмеля двух переменных, первая из которых комплексная (уравнение (2));

- с ростом параметра асимметрии у пучков Ломмеля интенсивность боковых лепестков возрастает вдоль одной декартовой координаты и спадает вдоль другой координаты;

- пучки Ломмеля, как и любые другие бездифракционные трёхмерные пучки, имеют кольцевой угловой спектр плоских волн, зависящий только от угловой полярной координаты (уравнение (1));

- пучки Ломмеля имеют ОУМ, который растёт линейно с ростом номера моды п и нелинейно с ростом параметра асимметрии с (уравнение (10));

- функции, описывающие комплексные амплитуды пучков Ломмеля, ортогональны по масштабирующему множителю а и не ортогональны по па-

0

4

раметру асимметрии с; по номеру моды n пучки ортогональны в случае разной чётности.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-

3970.2014.9) и молодого доктора наук (МД-

1929.2013.2), а также грантов РФФИ 13-07-97008 и

14-07-31092.

Литература

1. Durnin, J. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory // Journal of the Optical Society of America A.

- 1987. - V. 4(4). - P. 651-654.

2. Berry, M.V. Nonspreading wave packets / M.V. Berry, N.L. Balazs // American Journal of Physics. - 1979. -V. 47(3). - P. 264-267.

3. Lu, J. Diffraction-limited beams and their applications for ultrasonic imaging and tissue characterization / J. Lu, J. Greenleaf // Proc. SPIE - 1992. - V. 1733. - P. 92-119.

4. Dennis, M.R. Propagation-invariant beams with quantum pendulum spectra: from Bessel beams to Gaussian beam-beams / M.R. Dennis, J.D. Ring // Optics Letters. - 2013. -V. 38(17). - P. 3325-3328.

5. Котляр, В. В. Бездифракционные асимметричные элегантные пучки Бесселя c дробным орбитальным угловым моментом / В.В. Котляр, А.А. Ковалёв, В.А. Сойфер // Компьютерная оптика - 2014. - Т. 38, № 1. - С. 4-10.

6. Kotlyar, V.V. Asymmetric Bessel modes / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, V.A. Soifer // Optics Letters. - 2014. -V. 39(8). - P. 2395-2398.

7. Nelson, W. Propagation of Bessel and Airy beams through atmospheric turbulence / W. Nelson, J.P. Palastro, C.C. Davis, P. Sprangle // Journal of the Optical Society of America A. - 2014. - V. 31(3). - P. 603-609.

8. Froehly, L. Spatiotemporal structure of femtosecond bessel beams from spatial light modulators / L. Froehly, M. Jac-quot, P.A. Lacourt, J.M. Dudley, F. Courvoisier // Journal of the Optical Society of America A. - 2014. - V. 31(4). -P. 790-793.

9. Борн, М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. - 2-е изд.

- М.: Наука, 1973.

10. Watson, G.N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions / G.N. Watson. - 2nd ed. - Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966. - P. 537-550. - (§16.5-16.59).

11. Sheppard, C.J.R. Focusing of vortex beams: Lommel treatment // Journal of the Optical Society of America A. -2014. - V. 31(3). - P. 644-651.

12. Aleahmad, P. Fully Vectorial Accelerating Diffraction-Free Helmholtz Beams / P. Aleahmad, M.-A. Miri, M.S. Mills, I. Kaminer, M. Segev, D.N. Christodoulides // Physical Review Letters. - 2012. - V. 109. - P. 203902.

13. Скиданов, Р.В. Дифракционные оптические элементы для формирования комбинаций вихревых пучков в задаче манипулирования микрообъектами / Р.В. Скиданов, С.В. Ганчевская // Компьютерная оптика - 2014. -Т. 38, № 1. - С. 65-71.

14. Kotlyar, V.V. Hermite-Gaussian modal laser beams with orbital angular momentum / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // Journal of the Optical Society of America A. - 2014. -V. 31(2). - P. 274-282.

15. Gradshteyn, I.S. Table of Integrals, Series, and Products / I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik. - New York: Academic, 1965.

16. Abramovitz, M. Handbook of mathematical functions / M. Abramovitz, I.A. Stegun. - Dover Publications, 1965.

References

1. Durnin, J. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory // Journal of the Optical Society of America A.

- 1987. - V. 4(4). - P. 651-654.

2. Berry, M.V. Nonspreading wave packets / M.V. Berry, N.L. Balazs // American Journal of Physics. - 1979. -V. 47(3). - P. 264-267.

3. Lu, J. Diffraction-limited beams and their applications for ultrasonic imaging and tissue characterization / J. Lu, J. Greenleaf // Proc. SPIE - 1992. - V. 1733. - P. 92-119.

4. Dennis, M.R. Propagation-invariant beams with quantum pendulum spectra: from Bessel beams to Gaussian beam-beams / M.R. Dennis, J.D. Ring // Optics Letters. - 2013. -V. 38(17). - P. 3325-3328.

5. Kotlyar, V.V. Diffraction-free asymmetric elegant Bessel beams with fractional orbital angular momentum / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, V.A. Soifer // Computer Optics. - 2014.

- V. 38(1). - P. 4-10.

6. Kotlyar, V.V. Asymmetric Bessel modes / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, V.A. Soifer // Opt. Lett. - 2014. - Vol. 39. -No. 8. - P. 2395-2398.

7. Nelson, W. Propagation of Bessel and Airy beams through atmospheric turbulence / W. Nelson, J.P. Palastro, C.C. Davis, P. Sprangle // Journal of the Optical Society of America A. - 2014. - V. 31(3). - P. 603-609.

8. Froehly, L. Spatiotemporal structure of femtosecond bessel beams from spatial light modulators / L. Froehly, M. Jac-quot, P.A. Lacourt, J.M. Dudley, F. Courvoisier // Journal of the Optical Society of America A. - 2014. - V. 31(4). -P. 790-793.

9. Born, M. Principles of Optics / M. Born, E. Wolf. - 6-th ed.

- Pergamon, 1986.

10. Watson, G.N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions / G.N. Watson. - 2nd ed. - Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966. - P. 537-550. - (§16.5-16.59).

11. Sheppard, C.J.R. Focusing of vortex beams: Lommel treatment // Journal of the Optical Society of America A. -2014. - V. 31(3). - P. 644-651.

12. Aleahmad, P. Fully Vectorial Accelerating Diffraction-Free Helmholtz Beams / P. Aleahmad, M.-A. Miri, M.S. Mills, I. Kaminer, M. Segev, D.N. Christodoulides // Physical Review Letters. - 2012. - V. 109. - P. 203902.

13. Skidanov, R.V. Diffractive optical elements for the formation of combinations of vortex beams in the problem manipulation of microobjects / R.V. Skidanov, S.V. Ganchev-skaya // Computer Optics. - 2014. - V. 38(1). - P. 65-71.

14. Kotlyar, V.V. Hermite-Gaussian modal laser beams with orbital angular momentum / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // Journal of the Optical Society of America A. - 2014. -V. 31(2). - P. 274-282.

15. Gradshteyn, I.S. Table of Integrals, Series, and Products / I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik. - New York: Academic, 1965.

16. Abramovitz, M. Handbook of mathematical functions / M. Abramovitz, I.A. Stegun. - Dover Publications, 1965.

DIFFRACTION-FREE LOMMEL BEAMS

A.A. Kovalev, V. V. Kotlyar Image Processing Systems Institute, Russian Academy of Sciences, Samara State Aerospace University

Abstract

We consider a new family of nonparaxial diffraction-free laser beams with their complex amplitude being proportional to the n-th order Lommel function of two variables. Therefore, these beams are called Lommel beams (L-beams). We obtained explicit analytical expressions for the angular spectrum of plane waves and for the orbital angular momentum of the L-beams. Transverse intensity of the L-beams has a reflective symmetry with respect to both Cartesian coordinate axes. Since transverse intensity distribution of L-beams does not change upon propagation, L-beams are modes of free space (L-modes). Functions of complex amplitudes of even (n = 2p) and odd (n=2p + 1) L-modes are mutually orthogonal. For certain parameter, L-modes become traditional Bessel modes.

Key words: diffraction-free laser beam, Bessel mode, Lommel mode of two variables, orbital angular momentum.

Сведения об авторах

Сведения об авторах Котляр Виктор Викторович и Ковалёв Алексей Андреевич см. стр. 169 этого номера.

Поступила в редакцию 21 марта 2014 г.