Об асимптотике решения краевой задачи в области, перфорированной вдоль границы

ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТИ, ПЕРФОРИРОВАННОЙ ВДОЛЬ ГРАНИЦЫ*

Рассматривается задача Пуассона в модельной области, периодически перфорированной вдоль границы. Предполагается, что на внешней границе выставлено однородное условие Неймана, а на границе полостей — однородное условие Дирихле. Строится и обосновывается асимптотическое разложение решения этой задачи.

Ключевые слова: оператор Лапласа, перфорированная область, малый параметр, усреднение, асимптотика.

Введение

Вопросам усреднения задач в областях, перфорированных вдоль границы, посвящено достаточно много работ (см., например, [1; 2; 5], [8—10],[13—16], [18-20]). В работе [1] (см. также краткое сообщение [2]) рассматривались задачи в областях в предположении, что диаметр отверстий много меньше, чем расстояние между ними. В частности, была доказана теорема усреднения для краевой задачи с граничными условиями Неймана на внешней границе и условием Дирихле на границе полостей, построен первый член теории возмущения и получены оценки отклонения первых членов асимптотического разложения от решения исходной задачи. Кроме того, исследованы спектральные свойства краевых задач такого рода и получены оценки близости собственных элементов исходных и усредненных задач. В статье [8] рассмотрена вырожденная квазилинейная задача Дирихле в области с непериодическими полостями около границы. В частности, найдены условия существования предельной задачи и доказана слабая сходимость в Ь2. В [9, гл. I, § 3] рассмотрена задача в области, перфорированной вдоль замкнутой кривой. Доказано, что решения исходной задачи сходятся равномерно к решениям предельной задачи в компактных подобластях, не включающих кривую. В работе [10] рассмотрена задача Дирихле в области с непериодическими полостями, частным случаем которой может служить и перфорация вдоль границы. Доказана слабая сходимость решений в Ь2 в терминах сходимости гармонической емкости полостей. В работе [13] (см. также краткое сообщение [15]) изучается асимптотическое поведение решения в области, случайно перфорированной вдоль границы. Доказана слабая сходимость в соболевском пространстве Н1 решения исходной задачи со случайной структурой к решению неслучайной задачи с усредненными краевыми условиями на границе области. В работах [16] и [20] рассматриваются решения краевых задач в области, разделенной перфорированной поверхностью с различной толщиной на две части. Например, доказана

*Работа первого автора выполнена при поддержке грантов РФФИ (11-01-006790), Президента России для ведущих научных школ (НШ-6249.2010.1) и ФЦП (02.740.110612). Работа второго и третьего авторов поддержана грантом РФФИ (09-01-00353).

слабая сходимость в Ь2 решений исходной задачи к решениям двух независимых задач в областях, разделенных этой поверхностью. В [18] исследуется асимптотическое поведение решений краевой задачи в области, перфорированной вдоль многообразия с различными краевыми условиями на границе полостей. Рассмотрен случай, когда перфорация в пределе не дает вклада в задачу. В работе [19] изучается задача со случайной перфорацией, образованной объединением случайно разбросанных шаров фиксированного радиуса, умноженного на малый параметр. Также рассмотрен случай перфорации вдоль кривой. Доказана сходимость собственных значений в случае, когда перфорация исчезает в пределе.

В настоящей работе мы рассматриваем задачу Пуассона в области, периодически перфорированной вдоль границы в случае, когда диаметр полостей и расстояние между ними имеют одинаковый порядок малости и полости имеют произвольную симметричную относительно вертикальной оси форму. Предполагаем, что на границах полостей выставлено граничное условие Дирихле. В настоящей работе построены и обоснованы первые два члена асимптотического разложения решения задачи и получена оценка скорости сходимости. Асимптотическое разложение для аналогичной спектральной задачи было построено и обосновано в [6].

1. Постановка задачи и формулировка основного утверждения

Обозначим через П область в К2, лежащую в верхней полуплоскости, граница которой Г является кусочно-гладкой и состоит из двух частей: Г = Г! и Г2, где Г1 — отрезок [— 2; 1] на оси абсцисс, Г2 — гладкая и в окрестности концов

Т1 11

отрезка 1 1 совпадает с прямыми Х1 = — ^ и Х1 = ^ соответственно.

Пусть В — произвольная двумерная область с гладкой границей, симметричная относительно оси ординат и лежащая в круге К радиуса а < 1 с центром в точке (0, 2) (см. рисунок).

'8

Структура области

Всюду далее малый параметр е определяется как е = 2д1+1, где N ^ 1 —

натуральное число. Обозначим В£ = {х € П : е-1(х1 — j,x2) € В}, j € Ъ,

В£ = У В£, Г£ = ЗВ£. Определим область П£ как П \ В£. з

Рассмотрим следующую краевую задачу:

-Ди£ = f в П£, пє = 0 на Гє, на Г,

где f Є ¿2(П), V — вектор внешней нормали. Решение пє Є Н 1(ПЄ, Гє) понимается в обобщенном смысле, где Н1 (Пє, Гє) — множество функций из Н 1(Пє) с нулевым следом на Гє.

В [5] доказано, что краевая задача

—Дпо = f в П,

по = 0

дио = о ои

на Г1 , на Г \ Г1

является усредненной (предельной) для краевой задачи (1). В частности, было показано, что при е ^ 0 для решений имеет место сходимость в норме соболевского пространства Н 1(П) (функции из Н 1(П£, Г£), продолженные нулем в В£, отождествляются с функциями из Н 1(П)).

Нашей целью является построение двучленной асимптотики решения краевой задачи (1) при е ^ 0. Для упрощения изложения всюду далее будем предполагать, что

у € Сте(П), f (х) = 0 в окрестности Г1.

Из этого условия, в частности, следует, что «0, «£ € Сте(П).

Пусть П = {£ : — 2 < ^1 < 1, £2 > 0} — полуполоса, 7 £2 = 0}. В [6] доказана следующая лемма.

Лемма 1. Краевая задача

(С : — 2 <6 < 1,

Д? X =

X = 0

дх = 0

дХ = 0 1^1 0

в П\В, на дВ, на 7, при С1 =

±1

имеет четное по С1 решение с асимптотикой

X(£) = £2 + С(в) + 0(в-2п«2) при С2 ^ +^,

где

с(в)=у \^у\2^ + \в| > 0, у(С) = X(С) — С2.

п\в

0

Для периодического продолжения функции X(£) сохраним то же самое обозначение. Тогда X € С^(ж2 ^ 0) в силу краевой задачи (4).

Пусть х(£) — бесконечно дифференцируемая срезающая функция, тождественно равная нулю при £ < 1 и единице при £ > 2, хв(х2) = X (Хз) , 0 < в < 1Основным содержанием настоящей работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема. Пусть п0 — решение краевой задачи (2). Тогда асимптотика решения п£ краевой задачи (1) имеет вид

(X \ з

+ о

в норме Н:(П£) для любого ^ > 0, где п — решение краевой задачи

—Ап =0 в П, дП1 =0 на Г2,

dv д

ui = С(B) If0 на Гi,

Vi(£; xi) = dx0 (xi>0)X (^)-

u0

Заметим, что в силу краевой задачи (2) и условия (3) справедливо равенство

0

где

1 = дпо ^ с^

ао

дХ2

и

Ж2=0

1 1 2 ’ 2

d2j+iai / . 1

±о =0, j = 0, 1, 2,....

dxij+i V 2,

В свою очередь, и ui 6 Сте(П) в силу (8), (9) и краевой задачи (6).

2. Доказательство теоремы

Для построения асимптотик мы воспользуемся методом согласования асимптотических разложений (см. [7], а также [17], [3], [4], [11] и [12]).

Т. к. задача (2) является предельной для задачи (1), асимптотику решения вне малой окрестности участка границы ri (внешнее разложение) естественно искать в виде

u£

Подставим правую часть (10) в (1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е до второго порядка включительно, в результате получаем следующие задачи для ui(x) и u2(x) :

—Aui =0 в П,

5ui

dv

ui = ai на ri

— Au2 =0 в П,

0 на Г2,

du2

dv

u2 = «0 на ri,

где а^(х1), а2(х1) € С[— 2, |] — пока неизвестные (произвольные) функции (поскольку внешним разложением (10) мы будем пользоваться вне некоторой малой окрестности Г1 , граничные условия на Г1 выбираются пока произвольными, для удобства в виде граничных условий Дирихле).

Существование и единственность решений задач (11), (12) в Н 1(П) следуют из общей теории эллиптических уравнений. Если, к тому же,

dxij+i V 2

±- =0, j = 0, 1, 2,...,

то п1, п2 € Сте(П) в силу краевых задач (11), (12). В этом случае очевидно, что

п1(х) = а1(х1) + «1(х1)х2 + 0(х2),

u2

при x2 ^ 0, где «i 6 C^ [— 2, 2] и

d2j+iai

dx2j+i V 2

±o =0, j = 0, 1, 2,....

Отсюда, если справедливы равенства (13), то из (10), (11) и (12) следует, что м£ 6 Сте(П) удовлетворяет задаче

—Am£ = f в П, д«£ 0 Г

=0 на 12.

dv

Поскольку функция M£(x) не удовлетворяет требуемым в (1) граничным

условиям на ri и Г£, то в малой окрестности участка границы ri будем строить

другое приближение функции u£ (внутреннее разложение).

Из (10), (7) и (14) следует, что

w£(x) = ai(xi)x2 + e(a0(xi) + ai(xi)x2) + e2a°0(xi) +

+ O(x2 + ex2 + e2x2) при x2 ^ 0.

Сделав в этом равенстве замену £2 = —, получаем, что

«£(x) = eVi(^2; xi) + e2V2(^2; xi)+

+ O(x2 + ex2 + e2x2) при e£2 ^ 0, где 1 0

Vi(6; xi) = a0(xi)^2 + a0(xi),

^2(6; xi) = ai(xi)^2 + a0(xi).

Следуя методу согласования асимптотических разложений, заключаем, что внутреннее разложение должно иметь структуру

где £ = X,

мг(х) ^ ^(х) = єг’і (£; Хі) + є2г-2 (£; Хі),

(£; Хі) ~ К,(£2; Хі) при £2 ^ +^-

Здесь х1 — «медленная» переменная, а £ — «быстрая» переменная. В переменных (£; х1) уравнение задачи (1) имеет вид

д 2и

5хі5£і дхі

є£2

д/

дх2

+ ...

Ж2=0

граничное условие на участках Гі

^ = 0,

9£2 ’

а граничные условия на прямолинейных участках Г2, соответственно, в окрест ности левого конца Г1

дп _1дп£ дп

д^

в окрестности правого конца Гі

дм£

є

і

д£і дхі

дмє дмє

є + є

0,

д£і дхі

граничное условие на Гі

диє _і дмє дмє

37 = —є

д£2 дх2

0.

Замечание. В дальнейшем мы будем строить члены внутреннего разложения

(19) в виде 1-периодических по £і функций (для каждого фиксированного значения Хі ).

Переписав уравнение и граничные условия в координатах £ (см. (21) — (24)), подставив внутреннее разложение (19) в задачу (1), собираем члены с одинаковыми степенями є (в уравнении — с є9-і, а в граничных условиях — с є9, q ^ 1). С учетом (20), (18) и замечания получаем задачи на г\.

гі = 0 в П\В, гі = 0 на дВ,

дгі 0

— = 0 на 7, д£2

д|(£; ±2) =0 при£і

„ гі ~ V при £2 ^

0

и на —2:

д 2 —1 —

—Д“2=2дх4 в ЩВ-

—2 = 0 на дВ,

д“2 = 0 на 7,

д£2

д“2 (£ , 1) д“1 (£^1) £ = +1

д£1(£; 2) дх1(£; 2) при £1 2,

к “2 ~ >2 при £2 ^ +ТО.

В силу краевых задач (25) и (26) получаем справедливость следующего утверждения.

Лемма 2. Если задачи (25) и (26) разрешимы и 1-периодически по £1; то для г£, определенной равенством (19), и достаточно малого к > 0 справедливы равенства

—Дг£ = г в П£ П {х2 < к},

где

дг£

д^

дг£

дх1

= — £

г£ = 0 на Г£,

0 на Г1 , д“

£2на Г2 П {х2 < к}, дх

1

д2-1 , 2 д2—2

дх2 +2

дх1д£]

— £

>д2—2 дх1

Исследуем разрешимость краевых задач (25), (26), а заодно определим функцию а0(х1). В силу леммы 1 при

а0

функция —1(£;х1) = а1 (х1)Х(£) является решением задачи (25), причем

—1

Заметим, что из (29) и (9) следуют равенства (13) для т = 1, а значит,

и равенства (15). Отметим также, что в силу (11), (29) и (8) функция п1 является

решением краевой задачи (6).

Перейдем к краевой задаче (26). В [6] было доказано, что при

а2

существует периодическое решение краевой задачи (26), причем,

—2

и

Следовательно, из (33) и (27) получаем

дг / х \

; х^ =0 на Г1 и Г2 П {х2 < к}.

Заметим, что из (31) и (15) следуют равенства (13) для т = 2.

Таким образом, формальное построение асимптотически согласованных приближений закончено. Перейдем к строгому обоснованию построенных приближений.

Из леммы 2 и равенств (30), (32) и (18) вытекает справедливость следующего утверждения.

Лемма 3. Пусть 0 < в < 1- Тогда для функции , определенной равенством (28), справедлива оценка

г = О

В свою очередь, из равенств (17), (30) и (32) вытекает справедливость сле-

дующего утверждения.

Лемма 4. Пусть 0 < в < 1- Тогда при £в < х2 < 2ев (ев-1 < £2 < 2ев-1) справедливы следующие оценки:

д

г — г = О(£3в), — (г — г) = О(£2в).

дх2

Обозначим

г

Лемма 5. Пусть 0 < в < 1 Тогда

11 ^£ — п£|я!

Доказательство. В силу (16), (34), (1) и (3) функция г£ = и£ — п£ является

решением краевой задачи

Г—Д^£ = £ в ^£,

< г£ = 0 на Г£,

[ = 0 на Г,

где

£ = 11 —12,

11 = (1 — Хв )г,

^ ^2 ^ д

12 = (г£ — “£> ¿х|хв + 2 ¿х2хв дх2<г* — п‘£ > =

=£-2в х" (х| | № — “£) +2£-в х (х? | ¿2 № — Й£) •

а функция г определяется равенством (28).

Из (35) следует, что

Учитывая, что носитель 12 лежит в полосе £в < х2 < 2ев, в силу леммы 4 получаем, что ( |

Следовательно,

II^£Пячад ^ с^(ад•

Из (40) и (39) следует оценка (37).

Из определения (36) функции и£ (х) и оценки (37) вытекает справедливость утверждения теоремы.

Список литературы

1. Беляев, А. Г. О сингулярно возмущенных краевых задачах : дис. ...канд. физ.-мат. наук / А. Г. Беляев. — М., 1990.

2. Беляев, А. Г. Усреднение смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона в области, перфорированной вдоль границы / А. Г. Беляев // Успехи мат. наук. — 1990. — Т. 45, вып. 4. — С. 123.

3. Гадыльшин, Р. Р. О краевой задаче для лапласиана с быстро осциллирующими граничными условиями / Р. Р. Гадыльшин // Докл. РАН. — 1998. — Т. 362, № 4. — С. 456-459.

4. Гадыльшин, Р. Р. Об асимптотке собственных значений для периодически закрепленной мембраны / Р. Р. Гадыльшин // Алгебра и анализ. — 1998. — Т. 10, № 1. — С. 3-19.

5. Гадыльшин, Р. Р. О сходимости решений и собственных элементов краевой задачи в области, перфорированной вдоль границы / Р. Р. Гадыльшин, Ю. О. Королёва, Г. А. Чечкин // Дифференц. уравнения. — 2010. — Т. 45, № 5. — С. 665-677.

6. Гадыльшин, Р. Р. Об асимптотике простого собственного значения краевой задачи в области, перфорированной вдоль границы / Р. Р. Гадыльшин, Ю. О. Королёва, Г. А. Чечкин // Дифференц. уравнения. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 819-828.

7. Ильин, А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. — М. : Наука, 1989.

8. Ларин, Д. В. Вырожденная квазилинейная задача Дирихле для областей с мелкозернистой границей. Случай поверхностного распределения «зёрен» / Д. В. Ларин // Моделирование непрерывных и дискретных систем : тр. Ин-та приклад. математики и механики. — 1998. — Т. 2. — С. 104-115.

9. Марченко, В. А. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей / В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов. — Киев : Наук. думка, 1974.

10. Михайленко, В. Г. Краевые задачи с мелко зернистой границей для эллиптического дифференциального оператора второго порядка. I & II / В. Г. Михайленко // Теория функций, функц. анализ и приложения. — 1968. — Вып. 6. — С. 93-110; 1969. — Вып. 9. — С. 75-84.

11. Чечкин, Г. А. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций эллиптического оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе «легких» концентрированнух масс. Двумерный случай / Г. А. Чечкин // Изв. РАН. Сер. мат. — 2005. — T. 69, № 4. — С. 161-204.

12. Amirat, Y. Asymptotics of simple eigenvalues and eigenfunctions for the Laplace operator in a domain with oscillating boundary / Y. Amirat, G.A. Chechkin, R.R. Gadyl’shin // Comp. Math. Math. Phys. — 2006. — Vol. 46, № 1. — P. 97-110.

13. Chechkin, G. A. Homogenization in Domains Randomly Perforated Along the Boundary / G. A. Chechkin [et al.] // Descrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. B (DCDS-B). — 2009. — Vol. 12, № 4. — P. 713-730.

14. Chechkin, G. A. On the Friedrichs inequality in a domain perforated nonperiodically along the boundary. Homogenization procedure. Asymptotics in parabolic problems / G.A. Chechkin [et al.] // Russ. J. Math. Phys. — 2009. — Vol. 16, № 1. — P. 1-16.

15. Chechkin, G. A. On Behaviour of a Body Randomly Perforated Along the Boundary / G.A. Chechkin, E.L. Ostrovskaya // Abstracts of the International Conference «Differential Equations and Related Topics» dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii (XX Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Society) (May 22-27, 2001, Moscow, Russia). — M. : Moscow University Press, 2001, P. 88.

16. Del Vecchio, T. The thick Neumann’s Sieve / T. Del Vecchio // Ann. Mat. Pura Appl. — 1987. — Vol. 147, № 4. — P. 363-402.

17. Gadyl’shin, R. R. Asymptotics of the minimum egenvalue for a circle with fast oscillating boundary conditions / R.R. Gadyl’shin // C.R.Acad.Sei. Paris. Ser. I. — 1996. — Vol. 323, № 3. — P. 319-323.

18. Lobo, M. On Homogenization of Solutions of Boundary Value Problems in Domains, Perforated Along Manifolds / M. Lobo [et al.] // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze. 4-e serie. — 1997. — Vol. 25, № 3-4. — P. 611-629.

19. Ozawa, S. Approximation of Green’s Function in a Region with Many Obstacles: Geometry and Analysis of Manifolds (Katata/Kyoto, 1987) / S. Ozawa. — Lect. notes in Math. Vol. 1339. — Berlin : Springer Verlag, 1988. — P. 212-225.

20. Sanchez—Palencia, E. Boundary value problems in domains containing perforated walls. Nonlinear partial differential equations and their applications. College de France Seminar, Vol. III (Paris, 1980/1981) / E. Sanchez-Palencia. — Res. Notes in Math. — Vol. 70. Boston ; Mass.-London : Pitman, 1982. — P. 309-325.