Физический смысл принципа наименьшего действия

УДК 531.314: 530.145

Б. В. Яковлев

Физический смысл принципа наименьшего действия

СВФУ им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия

Аннотация. Принцип наименьшего действия используется во многих областях теоретической физики - в теоретической механике, в электродинамике, в общей теории относительности, в квантовой механике. В начале XX века М. Планк открыл квант действия. Однако до сих пор действие и принцип наименьшего действия не имеют единого физического смысла. Целью настоящей работы является интерпретация принципа наименьшего действия на примере моделирования локализации и движения свободной частицы. При моделировании использована идея проявления реальности в результате наложения систем. Движение частицы в пространстве Минковского моделировано наложением независимых подсистем. Введено однородное пространство возможных состояний (или возможных подсистем), где возможные подсистемы не пересекаются (не наложены), а расположены последовательно относительно друг друга. Показано, что движение свободной частицы в пространстве Минковского можно рассматривать как распространение плоской волны в пространстве возможных подсистем с определенной фазовой скоростью. При этом в нерелятивистском приближении волна совпадает с волной де Бройля, где фазовая скорость равна скорости частицы в пространстве Минковского. В случае учета конечной скорости распространения взаимодействия релятивистские эффекты отчетливо проявляются в пространстве возможных подсистем. На основе предложенного подхода из квантовых представлений движения частицы выведены основные уравнения релятивистской динамики. Дана интерпретация фазовой скорости движения частицы, с которой связано отрицательное значение лагранжиана свободной частицы. Выявлена связь между действием свободной частицы в релятивистской динамике и действием волны де Бройля. Рассмотрена возможность обобщения принципа наименьшего действия в пространстве возможных подсистем, из которого следуют принцип Ферма и принцип Мопертюи. Предлагаемое представление не противоречит таким популярным в настоящее время фундаментальным принципам, как квантовая запутанность и квантовая нелокальность, а, наоборот, предполагает наличие этих феноменов.

Ключевые слова: нелокальность, возможные состояния, квантовая теория, волновая функция, запутанные состояния, фазовая скорость, волна де Бройля, релятивистская динамика, лагранжиан, принцип наименьшего действия.

DOI 10.25587/SVFU.2019.70.28404

ЯКОВЛЕВ Борис Васильевич - д. ф.-м. н., Физико-технический институт Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова. E-mail: b-yakovlev@mail.ru

YAKOVLEV Boris Vasilievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.

B. V. Yakovlev

The Physical Meaning of the Principle of Least Action

M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia

Abstract. The principle of least action is used in many areas of theoretical physics - in theoretical mechanics, in electrodynamics, in the general theory of relativity, in quantum mechanics. At the beginning of the twentieth century Max Planck discovered the quantum of action. However, so far the action and the principle of least action do not have a single physical meaning. The purpose of this paper is to interpret the principle of least action on the example of modeling the localization and movement of a free particle. The modelling used the idea of the manifestation of reality as a result of the imposition of systems. The particle motion in Minkowski space is modeled by the imposition of independent subsystems. Introduced a homogeneous space of possible states (or possible subsystems), where possible subsystems do not intersect (not superimposed), but are arranged sequentially relative to each other. It is shown that the motion of a free particle in Minkowski space can be considered as the propagation of a plane wave in the space of possible subsystems with a certain phase velocity. In this case, in the nonrelativistic approximation, the wave coincides with the de Broglie wave, where the phase velocity is equal to the velocity of a particle in Minkowski space. In the case of taking into account the finite velocity of propagation of the interaction, the relativistic effects are clearly manifested in the space of possible subsystems. The basic equations of relativistic dynamics are derived from the quantum representations of particle motion, on the basis of the proposed approach. An interpretation is given of the phase velocity of a particle, with which the negative value of the free particle Lagrangian is associated. The connection between the action for a free particle in relativistic dynamics and the action for a de Broglie wave is revealed. The possibility of generalizing the principle of least action in the space of possible subsystems, from which the Fermat principle and the Maupertuis principle follow, is considered. The proposed presentation does not contradict such currently popular fundamental principles as quantum entanglement and quantum nonlocality, but, on the contrary, suggests the existence of these phenomena.

Keywords: nonlocality, possible state, quantum theory, wave function, entangled state, phase speed, de Broglie wave, relativistic dynamics, Lagrange function, a principle of the least action.

Введение

Одним из основных принципов теоретической физики является принцип наименьшего действия. Этот принцип используется во всех разделах теоретической физики [1, 2]. Но до сих пор остается неясным физический смысл не только принципа наименьшего действия, но и самого понятия действия, хотя квант действия был открыт в начале хх в. М. Планком [3]. Поэтому попытка выяснения физического смысла принципа наименьшего действия является актуальной задачей современной физики.

Эксперименты Аспека, Цайлингера [4-6] показали, что квантово запутанные частицы нарушают принцип локальности [7, 8]. Это означает, что каждая частица связана с окружением, т. е. находится с ним в запутанном состоянии. Поэтому при моделировании локализованной частицы и ее движения, на наш взгляд, нужен подход, который учитывал бы нелокальную природу реальности. В настоящей работе используется тот подход, где реальность проявляется при наложении систем [9-11]. Целью работы является интерпретация действия и принципа наименьшего действия на примере моделирования локализации и движения свободной частицы. Движение частицы в пространстве

Минковского проявляется в результате наложения (суперпозиции) независимых подсистем. Независимость подсистем обусловлена тем, что в бесконечной системе не отрицается существование замкнутых, изолированных подсистем, которые могут быть рассмотрены как независимые элементы системы [10, 11].

Волна в пространстве возможных подсистем. Фазовая скорость

Рассмотрим движение свободной частицы. При моделировании движения свободной частицы получается плоская волна, представляющая волну де Бройля:

¥ = а  ехр [/(кх - Ш)] = а  ехр

-

где к = — - волновое число, Е = —ю - энергия частицы.

—

Из (1) следует, что фазовая скорость волны равна

_

^ ~ ~к ~

Е_ Р

Введем пространство возможных подсистем. В этом пространстве возможные состояния частицы моделируются совокупностью независимых возможных подсистем.

Движение частицы в пространстве возможных подсистем можно представить следующим образом (рис. 1).

Рис. 1. Частица в пространстве возможных подсистем

Длина волны А — г0, поэтому скорость частицы совпадает с фазовой скоростью волны

V/ = V.

А теперь будем учитывать конечную скорость распространения взаимодействий. Для этого введем воображаемую сферу с радиусом с (с - расстояние, равное распространению взаимодействий за единицу времени). Центр сферы совпадает в каждую секунду с точкой, где находится частица. Движение частицы в пространстве Минковского можно описать наложением таких сфер (рис. 2). За одну секунду поле частицы действует только внутри сферы радиуса с м.

Рис. 2. Движение частицы представлено в виде наложений подсистем

В пространстве Минковского частица со скоростью v за время / проходит расстояние с метров.

Рис. 3. Возможные состояния частицы в пространстве возможных подсистем

Введем пространство возможных подсистем - частный вид фазового пространства при p = Const. Для этого расправляем наложение, изображенное на рис. 2. То есть располагаем сферы последовательно друг за другом вдоль оси х. Тогда получаем картину, изображенную на рис. 3. За две секунды частица в пространстве Минковского смещается на 2v м. За то же время воображаемая сфера радиуса с в пространстве возможных подсистем смещается на 2с м. Количество таких переходов за время t равно n = c / 2v и t = 2n . То есть один переход в пространстве Минковского будет соответствовать 2n переходам в пространстве возможных подсистем. При этом радиус каждой подсистемы будет равен с метрам. Тогда количество переходов за время t в этом пространстве равняется N = 2n • n, а путь -X = N • 2c = 4n c . При этом количество всех возможных состояний частицы за время t равно

2n2 + n = n

Таким образом, скорость частицы в пространстве возможных подсистем или фазовая скорость будет равна

X X 4n2c 2 2 c c2

vf = — = — =-= 2n • c = 2c--= —

t 2n 2n 2v v

Из соотношения (5) видно, что чем меньше скорость частицы, тем больше фазовая скорость. Отметим, что в пространстве Минковского скорость частицы всегда меньше скорости света, а значит фазовая скорость всегда больше скорости света. Они могут быть равны только в двух случаях, если

Vf = v = с,

т. е. когда рассматривается движение фотона и когда не учитывается конечность скорости взаимодействия (волна де Бройля), как в нерелятивистской квантовой теории (3). В последнем случае фазовая скорость, которая равна скорости частицы, всегда меньше скорости света. Можно сказать, что теория де Бройля и нерелятивистская квантовая механика являются частными случаями более общей фундаментальной теории, основанной на пространстве возможных подсистем.

Принцип наименьшего действия и его физический смысл

Вся совокупность множества возможных подсистем является дискретным пространством. Рассмотрим движение свободной частицы в этом пространстве. При этом движение частицы будем рассматривать как переходы из одного состояния в другое, т. е. как переходы из одной подсистемы в другую. За время dt частица переходит через dN подсистем. Пространство возможных подсистем рассматриваем как скалярное поле, тогда субстанциональная скорость [12] изменения количества подсистем (или состояний),

через которые переходит частица (т. е. скорость изменения состояний относительно рассматриваемой частицы, которая движется в пространстве возможных подсистем), равна

ддN ч

*=ЪЛ+в

дЫ ,

где -т - изменение количества подсистем относительно неподвижной точки в

д м дИ дИ ^ дИ ,

пространстве подсистем в течение времени ш , —--d (X + х) =-dX =-dx

д(Х + х) дХ дх

- разность количества подсистем в двух точках пространства возможных подсистем,

разделенных расстоянием d(X + х), или в двух точках пространства Минковского, разделенных расстоянием dx (рис. 4). На рис. 4 представлено движение частицы в пространстве возможных подсистем, за время dt частица пробегает dN состояний подсистем. В начальный момент времени частица в пространстве возможных подсистем находится в точке 1, соответственно, эта же частица в тот же момент времени в пространстве Минковского находится в точке 2. За промежуток времени dt чица в пространстве возможных подсистем совершает путь X, т. е. проходит через -dt возможных подсистем, а в пространстве Минковского - путь X, т. е. проходит

д дЫ , через -dx состояний.

дх

г

1 X

к_

1 дN 1 ——сгг ' дг 1 \ \ дх 1

/ 2 3

Рис. 4. Возможные состояния частицы в пространстве Минковского и в пространстве возможных подсистем

Умножаем соотношение (7) на квант действия И и получаем уравнение относительно функции действия

,0 дБ , дБ ч дБ , дS .

аЬ = — Ш +—-:-т а

дt д

где

5 = hN.

Изменение по времени количества возможных подсистем в данной точке пространства

ды дS дИ , „ ^ дм 1

есть частота -= у , поэтому — = Н-= т = Е - энергия частицы, =-= —

дt дt дt дИ h дх X

- количество подсистем в единице длины пути частицы, VS = h-= — = р - импульс

дх X

частицы (1). Подставляя эти значения энергии и импульса в (8) получаем

dS = Edt + pdx.

Переходим в систему отсчета рассматриваемой подсистемы, т. е. совершаем переход в пространство Минковского (в точку 2 на рис. 4). Тогда первое слагаемое в (10) будет отрицательной величиной

или лагранжиан

dS = -Edt + pdx

т dS E +

L = — = - E + p  v, dt

dS

где V = dx / dt - скорость частицы в пространстве Минковского, — = —Е.

dt

dL

Из однородности пространства Минковского следует, что вектор — сохраняется и

является импульсом частицы p [13]. Поэтому

dv

8L д (

Е с2

С учетом — = Vг = — из (13) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

р V

р (V) - зависимости импульса от скорости

относительно

pip

„2М

v--

V

v

J

которое решается методом разделения переменных.

2 ЛУ2

dp + c

2 v2

= 0.

Решением уравнения (15) является

Отсюда

+ C.

P =

av

"V1 - 7

где а - константа интегрирования.

Из выражения для фазовой скорости Е = — определяем энергию частицы

р V

E =

ас

V'- 7

Из (18) видно, что частица имеет энергию покоя. Обозначим ее через Е0. Е0

Тогда а = —, формулы для импульса и энергии принимают вид

с

Р =

Eov

1 -

2

2

2

2

c

2

С

Е =

Еп

1 -

Лагранжиан частицы согласно (12) равен

Из соотношения (12) следует

г dS

L = — = р dt

Е

--+ V

Р

Р + v),

/

т. е. отрицательное значение лагранжиана связано с отрицательным значением фазовой скорости частицы в пространстве Минковского. Она направлена против оси х, а значит против скорости частицы и импульса. При этом количество состояний за некоторый промежуток времени, которое испытывает частица в фазовом пространстве, 2 п раза больше, чем в пространстве Минковского (4). Поэтому лагранжиан в пространстве Минковского имеет отрицательное значение.

Рис. 5. Скорость частицы и ее фазовая скорость

В пространстве возможных подсистем, наоборот, действие согласно (7) и (10) -положительная величина. Действие прямо пропорционально количеству возможных состояний (возможных подсистем), которые испытывает частица при переходе из одного положения в другое.

Физический смысл принципа наименьшего действия можно сформулировать следующим образом: при переходе из одного положения в другое частица стремится перейти по тому пути, который содержит экстремальное количество возможных подсистем, т. е. состояний в пространстве возможных подсистем.

Если скорость частицы равняется скорости света V = с, то согласно (5) и (22) лагранжиан в пространстве Минковского равняется нулю. В этом случае принцип наименьшего действия не имеет смысла. Лагранжиан системы также равняется нулю, если не учитывается конечность скорости распространения взаимодействий, как это делается в квантовой теории. Но в пространстве возможных подсистем, как видно из (7), лагранжиан не равняется нулю и является положительной величиной.

Умножая соотношение (7) на квант действия h в пространстве возможных подсистем имеем

h h

ds = hdn = hvdt + — dx = —(ху + у )dt. Я Я

При равенстве скорости частицы к фазовой скорости Vf — Яу для действия получаем

выражение

2

2

С

dS = 2Ьу& = — X

В случае фотона получаем

£ = 12hvdt ^ тт,

т. е. принцип Ферма.

А в случае частицы при условии, что не учитывается конечная скорость взаимодействия, из (24) получаем выражение

что совпадает с принципом Мопертюи, т. е. эти принципы являются частными случаями более общего принципа.

Поэтому наиболее фундаментальным принципом, чем принцип наименьшего действия, можно считать принцип стационарности возможных состояний

Частица движется таким образом, чтобы количество состояний, которое она пробегает в пространстве возможных подсистем, было экстремальным.

Заключение

В классической физике, когда предполагается локализованная частица, априори вводится понятие пространства, которое согласно современной парадигме не может существовать без материи, что приводит к противоречию. Если даже мысленно представляем частицу, локализованную в одной точке, то тем самым уже вводим понятие пространства. На наш взгляд, вместе с локализацией частицы должны быть введены и понятия пространства и времени. Другими словами, при моделировании локализации и движения частицы в пространстве Минковского должен быть использован тот подход, где учитывается нелокальная природа реальности, а именно подход, основанный на наложении подсистем.

В данной работе рассмотрено движение свободной частицы. При этом процесс локализации частицы и ее движения сопровождался введением однородного, изотропного пространства и однородного времени. Эти свойства связаны с параметрами системы, которые сохраняются (импульс, момент импульса и энергия системы), т. е. вводится пространство Минковского. Оно обусловлено однородностью пространства возможных подсистем. Наложение возможных подсистем локализует частицу. Если рассматривается несколько систем, то полученная составная система находится в запутанном состоянии. Хотя задача намного усложняется, но для этой системы также можно ввести волновую функцию. Поэтому предложенный подход позволяет сказать, что наложение возможных подсистем и самосогласованные переходы из одной возможной подсистемы в другую могут локализовать объекты нашего пространства посредством декогеренции. Наложением подсистем обоснованы основные принципы квантовой механики, такие, как принцип неопределенности Гейзенберга и принцип суперпозиции. В этом случае скорость частицы равна фазовой скорости волны, что предполагает нерелятивистское приближение.

Если учитывается конечная скорость взаимодействия, то фаза волны намного увеличивается, и фазовая скорость частицы интерпретируется как скорость волны в пространстве возможных подсистем. Моделирование локализации и движения частицы на основе наложения возможных подсистем позволяет из квантовых представлений о

движении свободной частицы получить основные уравнения релятивистской динамики и дать обоснование принципу наименьшего действия.

Л и т е р а т у р а

1. Полак Л. С. Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике. М: Либроком, 2010. - 600 с.

2. Терехович В. Э. Философские и научные проблемы принципа наименьшего действия / Исторические, философские, политические и юридические науки, культурология и искусствоведение. Вопросы теории и практики. - Тамбов: Грамота, 2013. - 1-1(27). - с. 179-183.

3. Steiner R. History and progress on accurate measurements of the Planck constant // Reports on Progress in Physics, 2013. - Vol.76. - P. 016101.

4. Aspect A., Grangier P. and Roger G. Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A new violation of Bell's inequalities // Phys. Rev. - Lett. 49, 91. - 1982.

5. Greenberger D. M., Horne M. A. and Zeilinger A. In Bell's Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe, edited by M. Kafatos, Kluwer, Dordrecht. - 1989.

6. Zeilinger A. Quantum teleportation, onwards and upwards. // Nat. Phys. - 14. - 3. - 2018.

7. Richens J. G., Selby J. H., Al-Safi S. W. Entanglement is Necessary for Emergent Classicality in All Physical Theories. // Phys. Rev. - Lett. 119. - 080503. - 2017.

8. Musser G. Spooky Action at a Distance: The Phenomenon that Reimagines Space and Time-and what it Means for Black Holes, the Big Bang, and Theories of Everything. - Scientific American. - Farrar, Straus and Giroux. - New York. - 2015.

9. Яковлев Б. В. К обоснованию фундаментальных принципов квантовой механики и теории относительности (статья депонирована в ВИНИТИ № 27-B2017 от 03.03.2017).

10. Яковлев Б. В. Условие замкнутости системы // Вестник СВФУ. - 2018. - №5(67). - С. 65-71.

11. Yakovlev B. V., and Nikiforova L. V. Finiteness of propagation speed of interactions as condition of system closedness // AIP Conference Proceedings 2041. - 050010 (2018); doi: 10.1063/1.5079379.

12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. - Т.6. - Гидродинамика. - М.: Физматлит, 2017. - 736 с.

13. Величко С. П., Герасимова Т. Ю., Иваний В. С., Мороз И. А. Методика построения релятивистской механики на основе принципа наименьшего действия в системе подготовки учителя физики. / ФЭН-НАУКА (Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Серия: Познание). - 6(45). - 2015. - С. 34-38.

R e f e r e n c e s

1. Polak L. S. Variacionnye principy mekhaniki, ih razvitie i primenenie v fizike. M: Librokom, 2010. - 600 s.

2. Terekhovich V. EH. Filosofskie i nauchnye problemy principa naimen'shego dejstviya / Istoricheskie, filosofskie, politicheskie i yuridicheskie nauki, kul'turologiya i iskusstvovedenie. Voprosy teorii i praktiki. -Tambov: Gramota, 2013. - 1-1(27). - s. 179-183.

3. Steiner R. History and progress on accurate measurements of the Planck constant // Reports on Progress in Physics, 2013. - Vol.76. - P. 016101.

4. Aspect A., Grangier P. and Roger G. Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A new violation of Bell's inequalities // Phys. Rev. - Lett. 49, 91, - 1982.

5. Greenberger D. M., Horne M. A. and Zeilinger A. In Bell's Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe, edited by M. Kafatos, Kluwer, Dordrecht. - 1989.

6. Zeilinger A. Quantum teleportation, onwards and upwards. // Nat. Phys. - 14. - 3. - 2018.

7. Richens J. G., Selby J. H., Al-Safi S. W. Entanglement is Necessary for Emergent Classicality in All Physical Theories. // Phys. Rev. - Lett. 119. - 080503. - 2017.

8. Musser G. Spooky Action at a Distance: The Phenomenon that Reimagines Space and Time-and what it Means for Black Holes, the Big Bang, and Theories of Everything. - Scientific American. - Farrar, Straus and Giroux. - New York. - 2015.

9. YAkovlev B. V. K obosnovaniyu fundamental'nyh principov kvantovoj mekhaniki i teorii otnositel'nosti (stat'ya deponirovana v VINITI № 27-B2017 ot 03.03.2017).

10. YAkovlev B. V. Uslovie zamknutosti sistemy // Vestnik SVFU. - 2018. - №5(67). - S. 65-71.

11. Yakovlev B. V., and Nikiforova L. V. Finiteness of propagation speed of interactions as condition of system closedness // AIP Conference Proceedings 2041. - 050010 (2018); doi: 10.1063/1.5079379.

12. Landau L. D., Lifshic E. M. Teoreticheskaya fizika. - T.6. - Gidrodinamika. - M.: Fizmatlit, 2017. - 736 s.

13. Velichko S. P., Gerasimova T. YU., Ivanij V. S., Moroz I. A. Metodika postroeniya relyativistskoj mekhaniki na osnove principa naimen'shego dejstviya v sisteme podgotovki uchitelya fiziki. / F9N-NAUKA (Sovremennaya nauka: aktual'nye problemy teorii i praktiki. Seriya: Poznanie). - 6(45). - 2015. - S. 34-38.

^MSr^Sr

ООО МИП «Арктик-Бур»

Организация, которая отвечает за качественное выполнение инженерных изысканий.

В настоящее время предприятие имеет необходимый опыт, хорошую приборную и производственную базы, испытательный буровой стенд на базе бурового станка СКБ-4, климатическую камеру типа КХТВ объемом 3000 литров и лабораторию комплексного исследования грунтов и горных пород для выполнения научно-исследовательских работ и инженерных изысканий.

Телефон: +7 (914) 264-27-25, 752-666.

E-mail: titrykt@rambler.ru.

Адрес: Республика Саха (Якутия), г. Якутск, ул. Кулаковского, 50, каб. 104-4.