Робастная устойчивость параметрически возмущенного маятника

Изв. вузов «ПНД», т. 13, № 3, 2005 УДК 62-50

РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОГО МАЯТНИКА

Д.В. Баландин, М.М. Коган

Для параметрически возмущенного маятника получены условия робастной устойчивости в терминах линейных матричных неравенств. Приведены численные результаты оценки радиуса робастной устойчивости.

К 85-летию профессора Ю.И. Неймарка

Введение

Для надежного функционирования технических систем важна не только их устойчивость, но и сохранение устойчивости при возможных изменениях параметров. Это требование в более общей форме было сформулировано А.А. Андроновым как требование грубости системы или ее робастной устойчивости. Проблема робастной устойчивости в современном понимании связана с нахождением условий асимптотической устойчивости любой системы из заданного класса, определяемого на основе априорной информации о системе. В монографии Ю.И. Неймарка «Устойчивость линеаризованных систем» [1] на основе предложенного им метода ^-разбиения была поставлена и решена задача о нахождении областей устойчивости линейных систем по двум параметрам. В работах [2-7] этот подход был распространен им на случай многих параметров, введено понятие меры робастной устойчивости и рассмотрен случай периодических возмущений параметров линейных систем. Теме робастной устойчивости посвящена обширная литература (ссылки можно найти, например, в [8]).

В настоящей работе на примере параметрически возмущенного маятника рассмотрена проблема робастной устойчивости при произвольных ограниченных нестационарных возмущениях параметров. В основе предлагаемого подхода лежат современные методы теории управления, такие как И^-оптимизация и оптимизация выпуклых функций при ограничениях, задаваемых линейными матричными неравенствами [9].

1. Постановка задачи

Рассмотрим параметрически возмущенный маятник

ф + 8[1 + /iQi

где 6 > 0, ю0 = 0, /i (i = 1, 2) - заданные параметры. Функции Q1 (t) и Q2(t) определяют параметрические возмущения и удовлетворяют условиям

где n > 0 - в зависимости от постановки задачи либо заданный параметр, либо неизвестный параметр, подлежащий определению.

Если в (1) функция Q1(t) = 0, а Q2 (t) = sin t, то это уравнение переходит в уравнение Матье с трением. Традиционно в теории колебаний исследуются области параметрического резонанса в плоскости параметров /2 и юо, в которых тривиальное решение этого уравнения неустойчиво.

Целью настоящей работы является исследование асимптотической устойчивости тривиального решения дифференциального уравнения (1) при всех допустимых параметрических возмущениях, удовлетворяющих (2). В теории устойчивости такая задача относится к проблеме робастной устойчивости. В статье будут рассмотрены две задачи: получение условий робастной устойчивости и оценка радиуса робастной устойчивости, то есть максимально возможного значения величины n, при которой рассматриваемая система робастно устойчива.

2. Робастная устойчивость и линейные матричные неравенства

Обозначив Ж1 = ( и Х2 = ф, запишем уравнение (1) в виде системы

X1 = Х2

Х 2 = -ю2 (1 + /2Ü2(t))X1 - 6(1 + /1 Ü1(t))X2 , которая представима в матричной форме

Х = Áx, А = А + F1Ü1

где Х = col (x1; x2),

Е1 = (0 - 6), Е2 = (-ю§ 0). Введем матрицы F = (F1 F2) и Ет = (Е^ Е^).

Наряду с неопределенной системой (3) рассмотрим вспомогательную систему

x = Ах + Fifi + F2v2 ,

в которой допустимое возмущение v = col (vi, V2) удовлетворяет условию

vTSv < n2xTETSEx ,

где S - положительно определенная диагональная матрица с диагональными элементами si, i = 1, 2. В частном случае, когда

v1 = Q1(í)E1x, v2 = Q2(t)E2x ,

уравнения (3) и (4) совпадают. Кроме того, из условия (2) в этом случае следует неравенство (5). Следовательно, исходная неопределенная система «погружена» во вспомогательную систему (4), (5).

Пусть существует положительно определенная квадратичная функция V(x) = xTXx (Х = Хт > 0), для которой в силу уравнения (4) справедливо неравенство

V = 2xTX

при всех x, v, удовлетворяющих условию (5). Вместо неравенств (6), (5) рассмотрим одно неравенство

2xTX

где т > 0 - некоторый параметр. Очевидно, что из последнего неравенства следует выполнение неравенства (6) для x,v, удовлетворяющих (5). В [10] показано, что верно также и обратное утверждение, называемое неущербностью S-процедуры при одном ограничении: из выполнения неравенства (6) для x, v, удовлетворяющих (5), следует справедливость неравенства (7) при некотором т > 0. Так как нас будет интересовать вопрос о существовании матриц X и S, при которых выполняется неравенство (7), то, не умаляя общности, положим т = 1. Выражение в левой части неравенства (7) представляет собой отрицательно определенную квадратичную функцию относительно переменных x, v и, следовательно, это неравенство при т = 1 эквивалентно следующему матричному неравенству

( ATX + XA + n2ETSE XF \

T < 0 • (8) V FTX -S J

Итак, если линейное матричное неравенство (8) при заданном значении п разрешимо относительно неизвестных матриц X > 0 и S > 0, то неравенство (6) выполнено для всех x, v, удовлетворяющих (5). С учетом погружения исходной неопределенной системы в вспомогательную систему это будет означать, что V (x) является функцией Ляпунова, обеспечивающей асимптотическую устойчивость исходной неопределенной системы.

Отметим, что условия разрешимости линейного матричного неравенства определяют лишь достаточные условия робастной устойчивости. Поэтому, если при некотором п неравенство (8) не имеет требуемого решения, то это не означает, что система не является робастно устойчивой.

Таким образом, проблема робастной устойчивости сводится к вопросу разрешимости линейного матричного неравенства. Следует заметить, что в последнее десятилетие был достигнут значительный прогресс в разработке эффективных численных методов решения линейных матричных неравенств на основе сведения этой задачи к задаче выпуклой оптимизации. Алгоритмы решения линейных матричных неравенств реализованы в пакете прикладных программ MATLAB (LMI toolbox) [11].

При п = 0.15 линейное матричное неравенство (8) разрешимо, и одно из решений этого неравенства таково

Максимальное значение п, для которого неравенство (8) разрешимо, оказалось равным 0.18. Таким образом, рассматриваемый параметрически возмущенный маятник будет асимптотически устойчивым при всех допустимых возмущениях, удовлетворяющих (2) при п = 0.18.

Численное моделирование показало, что для !(£) = —ц, = Ц8т2ш0£ в

системе (1) возникает параметрический резонанс при ц = 0.32. С учетом этого вычислительного эксперимента можно указать двусторонние оценки радиуса робастной устойчивости рассматриваемой системы:

На примере параметрически возмущенного маятника показано, что решение проблемы робастной устойчивости сводится к задаче разрешимости линейных матричных неравенств. Описанный подход применим к исследованию робастной устойчивости линейных систем, а также к синтезу стабилизирующих регуляторов и регуляторов, обеспечивающих оптимальное гашение внешних возмущений [12-14].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 04-01-00222, 05-01-00123 и 04-01-81009 Бел 2004а), программы «Университеты России» (проект УР.03.01.172) и INTAS (проект 03-515547).

3. Оценка радиуса робастной устойчивости

Расчет проводился при следующих значениях параметров маятника:

Юс = 10 , 6 = 1, fi = ¡2 = 0.5 .

0.18 < п < 0.32 .

Заключение

Библиографический список

1. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. Ленинград: ЛКВВИА, 1949.

2. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость линейных систем // Доклады АН СССР. 1991. Т. 319. № 3. C. 578.

3. Неймарк Ю.И. Мера робастной устойчивости и модальности линейных систем // Доклады АН СССР. 1992. Т. 325. № 2. C. 247.

4. Неймарк Ю.И. Область робастной устойчивости и робастность по нелинейным параметрам // Доклады АН СССР. 1992. Т. 325. № 3. C. 438.

5. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость и ^-разбиение // Автоматика и телемеханика. 1992. № 7. C. 10.

6. Неймарк Ю.И.Робастная устойчивость при периодических возмущениях // Автоматика и телемеханика. 1992. № 12. C. 51.

7. Неймарк Ю.И.Робастная интервальная матричная устойчивость // Автоматика и телемеханика. 1994. № 7. C. 132.

8. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

9. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia. SIAM, 1994.

10. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

11. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A., Chilali M. LMI Control Toolbox. For Use with MATLAB. The Math Works Inc, 1995.

12. Баландин Д.В., Коган М.М. Об условиях разрешимости задачи робастного H^,-управления по выходу // Доклады РАН. 2004. Т. 396. № 1. С. 32.

13. Баландин Д.В., Коган М.М. Линейные матричные неравенства в задаче робастного H^-управления по выходу // Доклады РАН. 2004. Т. 396. № 6. С. 759.

14. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаимнообратных матриц // Автоматика и телемеханика. 2005. № 1. С. 82.

Нижегородскиий государственный Поступила в редакцию 28.06.2005

университет им.Н.И.Лобачевского Нижегородскиий архитектурно-строительный университет

ROBUST STABILITY OF A PARAMETRICALLY DISTURBED PENDULUM

D.V. Balandin, M.M. Kogan

Robust stability conditions in terms of linear matrix inequalities for a parametrically disturbed pendulum are obtained. Numerical results for estimating radius of robust stability are given.

Баландин Дмитрий Владимирович - родился в 1957 году в Горьком, окончил радиофизический факультет Горьковского государственного университета в 1979 году. Защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в МГУ в 1998 году. Заведующий кафедрой численного и функционального анализа Нижегородского государственного университета. Область научных интересов - теоретическая механика и теория управления. Автор более 100 научных публикаций, соавтор монографии «Optimal Protection from Shock, Impact, and Vibration», изданной «Gordon and Breach Publishers» в 2001 году. Лауреат премии РАН им. А.А. Андронова за 2003 год. E-mail: ba-landin@pmk.unn.runnet.ru

Коган Марк Михайлович - родился в 1951 году в Горьком, окончил факультет ВМиК Горьковского государственного университета в 1973 году. Защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в 1998 году в Институте проблем управления РАН. Заведующий кафедрой высшей математики Нижегородского архитектурно-строительного университета, профессор. Автор более 100 научных публикаций в российских и международных изданиях в области теории управления. E-mail: mkogan@nngasu.ru