Классификация булевых алгебр с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер

Вестник Сыктывкарского университета.

Сер. 1.Вып. 3.1999

УДК 517.98

Классификация булевых алгебр с достаточным числом

(о)-НЕПРЕРЫВНЫХ КВАЗИМЕР Ю.Н.Ловягин, О.П. Матвеева

В заметке дается обзор некоторых вопросов теории булевых алгебр с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер. Приведена классификационная теорема для таких алгебр.

1. Введение

В работе [1] исследовались булевы алгебры с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер. Интерес к алгебраическим структурам, допускающим достаточное множество морфизмов, непрерывных в некоторой топологии, согласованной с алгебраической структурой, очевиден. Так, например, в функциональном анализе большое значение имеют сопряженные пространства, состоящие из непрерывных функционалов. При этом важный класс пространств образуют линейные топологические пространства, у которых сопряженное пространство разделяет точки; такие пространства, очевидно, имеют достаточное число непрерывных функционалов.

Аналогично в теории полуупорядоченных пространств [2, 3] большое внимание уделено К-пространствам с достаточным числом вполне непрерывных (=(о)-непрерывных) и регулярных функционалов. Поскольку теории К-пространств и булевых алгебр в некотором смысле параллельны, а, как легко видеть, база К-пространства с достаточным числом вполне непрерывных функционалов является (полной) булевой алгеброй с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер, то оправдан интерес к исследованию таких алгебр.

Полные булевы алгебры с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер исследовались Б. 3. Вулихом [3] стр.341,[4] (по-видимому, впервые). Ряд результатов в этом направлении получил А. Г. Порош-кин [5].

© Ловягин Ю.Н., Матвеева О.П., 1999.

С другой стороны, как отмечено в [1], теория булевых алгебр с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер и теория нормированных булевых алгебр эквивалентны с точностью до модели теории множеств в смысле [б]. В теории нормированных булевых алгебр известна теорема Д. Магарам, дающая систему инвариантов такой алгебры (см. [7, 8]). Аналогичная классификационная теорема для пространств с мерой получена А. А. Самородницким [9]. Им же [10] получено полное решение задачи существования метрически независимого дополнения правильной подалгебры полной нормированной алгебры.

В первой части настоящей работы мы докажем эквивалентность теорий булевых алгебр с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер и нормированных булевых алгебр с точностью до модели теории множеств, а во второй приведем классификационную теорему для булевых алгебр с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер, обобщающую теорему Д. Магарам.

2. Булевы алгебры, реализующиеся в подходящей булевозначной модели теории множеств как нормированные

В работах [11, 12] приведены условия, при которых пространство нормированное или метризованное посредством некоторого расширенного К-пространства, допускает правильное погружение в подходящую булевозначную модель теории множеств, превращаясь там в классическое нормированное или метрическое пространство (вещественное). При этом если исходное пространство было полным, то и соответствующее пространство внутри булевозначного универсума будет полным. Таким образом в указанных работах описан класс спусков пространств Фреше и полных метрических пространств. Такие пространства при ’’пропускании” через булевозначную модель путем операции спуск-подъем не изменяются. В этом смысле мы и понимаем правильность погружения. При этом модель, в которую погружается исходный объект, строится некоторым естественным образом. В данном конкретном случае - по базе метризующего (нормирующего) К-пространства. Условия правильности погружения, получающиеся при исследовании, равносильны замкнутости исходных объектов относительно операции перемешивания, порожденной естественной булевозначной метрикой. Подробности теории булевозначных моделей можно найти в [13, 14].

В этом параграфе мы, используя идеи и рассуждения работ [И, 12], приведем условия, при которых полная булева алгебра А представляется в подходящей модели теории множеств нормированной булевой

алгеброй, что в силу общей теории булевозначных моделей [13, 14] и смысле (о)-сходимости в К-пространстве 5RJ, - спуске множества вещественных чисел внутри VB - [15, 16] означает, что на А существует (оо)-непрерывная существенно положительная аддитивная функция со значениями в расширенном К-пространстве. При этом булева алгебра Ал I, получающаяся путем ’’протаскивания” алгебры А через бу-левозначный универсум (или циклическая оболочка алгебры А), изоморфна А. Иными словами булева алгебра А допускает правильное погружение в VB, где В - база нормирующего К-пространства.

В частности, если нормирующее К-пространство дискретно, то есть является соединением одномерных К-пространств - изоморфных, очевидно, пространству R -, то это равносильно тому, что его база также является дискретной булевой алгеброй - соединением двоеточий. При этом мы увидим, что полученные условия равносильны тому, что исходная булева алгебра А допускает достаточное число (о)-непрерывных квазимер.

В силу вышеизложенного достаточно рассмотреть полную булеву алгебру А и (оо)-непрерывную существенно положительную аддитивную функцию р : — К |, где 3? - множество вещественных чисел внутри VB (В - полная булева алгебра, изоморфная базе К-пространства üft | [16]. Такие функции мы будем называть абстрактными мерами -сокращенно АМ. Если функция р обладает свойствами аддитивности и положительности, то ее будем называть абстрактной квазимерой -АКМ, а если АКМ (оо)-непрерывна, то будем использовать сокращение (j-AKM. Если функция существенно положительна, то пишем СП.

2.1. Для каждого элемента b 6 В положим рь = ргь о р, где ргь -проекция 3? I на соответствующую компоненту.

Таким образом, функция рь (для каждого b £ В) является и-А КМ на булевой алгебре А.

Легко понять, что если а > 0, то р(а) > 0 и, следовательно, существует элемент b € В такой, чторь(а) > 0, то есть множество {рь : 6 € В} разделяет элементы А. Мы говорим, что булева алгебра А допускает достаточное число сг-АКМ.

2.2. Пусть А - полная булева алгебра с мерой (л внутри VB. Положим А = A l,p = ц I- Тогда пара < А,р > является полной булевой алгеброй с АМ р.

Пусть р(а) — 0е^, где {e¿ : ( g Е} - дизъюнктное множество

Í6H

положительных элементов

Как и в [11], положив a¿ = ae¿ -f 0e¿', получим, что [|a¿ = 0|] =

и, следовательно, {р(а^)}м = [|а^ = 0|]' = е^, то есть р(а^) = е^. В силу дизъюнктности элементов е^, элементы также дизъюнктны, а так как [|а = а^|] = е^, то есть р(а +2 й() = и а = эир = 0 а^.

£6Е

Замечания.

1. Полученное условие и есть введенное в [11] 8-условие.

2. Ясно, что множество Е не может иметь строго мощность больше, чем минимум из типов алгебр А и В.

2.3. Определим теперь для элементов 6Ь ¿2 £ В операции

РЬ\ VРб2 РЬ\УЬ2РЬ\ Л Р&2 РЬ\ЛЬ2(РЬ1) Р Р&1

Покажем, что введенные операции определяют на множестве{рь : Ье В} структуру булевой алгебры, которая посредством биекции Ь — рь изоморфна булевой алгебре В.

Достаточно проверить, что АКМ р — рь является дополнением АКМ р в решетке всех АКМ, меньших р.

Действительно, имеем рь^{р — рь) = рь^рь — рь = 0. Таким образом, Р~РЬ ДИЗЪЮНКТНО р. С другой стороны, если рсЛрб = о, ТО рс/\рь < р—рь-Следовательно, рс < р — рь- Таким образом, р — ръ является доплнением р. То есть на булевой алгебре А имеется достаточная полная булева алгебра сг-АКМ.

Теорема. Для того чтобы полная булева алгебра А допускала АМ или, что то же самое, реализовывалась в подходящей модели теории множеств как нормированная булева алгебра, необходимо и достаточно, чтобы булева алгебра А допускала достаточную полную булеву алгебру а-АКМ.

В условиях теоремы

1. Функция Р, являющаяся наибольшим элементом достаточной булевой алгебры, есть АМ со значениями в расширенном К-пространстве, надстроенным над достаточной булевой алгеброй.

2. Если Р - АМ из пункта 1, то для любого дизъюнктного множества {е^ : ( 6 Н} положительных элементов нормирующего

К-пространства и любого элемента а € А если Р{а) = 0е^, то

«ев

существует разложение а в соединение (дизъюнктных элементов) так, что Р(а^) = е^ для всех элементов £ € Е.

2.4. Пусть в условиях 1.3.1 нормирующее К-пространство дискретно. Тогда в 1.1 можно добиться того, что все компоненты являются одномерными, и, следовательно, булева алгебра А допускает достаточное число (о)-непрерывных (вещественных) квазимер. Тем самым имеет место

Теорема. Полная булева алгебра допускает достаточное число (о)-непрерывных квазимер в том и только том случае, если она нормируема в подходящей булевозначной модели теории множеств с дискретной булевой алгеброй.

Ясно, что в этом случае булева алгебра нормируется посредством дискретного К-пространства, надстроенного над алгеброй истинностных оценок соответствующей модели.

Следствие. Теория булевых алгебр с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер и теория нормированных булевых алгебр эквивалентны с точностью до модели теории множеств.

Этим и завершается первая часть работы.

3. Система инвариантов для булевой алгебры с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер

Пусть В - произвольная полная булева алгебра (п.б.а.) с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер.

Так как всякая п.б.а. с достаточным множеством (о)-непрерывных квазимер раскладывается в соединение нормированных компонент, то мы имеем следующее разложение В — ф ß7, где i?7 =< B1, //7 > -

7бЛ

полная нормированная булева алгебра, а cardA = к - мощность наименьшего достаточного множества (о)-непрерывных квазимер.

Согласно рассуждениям, проводимым для полной нормированной алгебры при классификации последних [7], i?7 можно представить в

виде следующего разложения: ß7 = 0 € ß1B1k, где B^k - однородная

к

o.a., т7* = тВ~,к, причем т7‘ ф -п/, при г ф j. Компоненты занумерованы в порядке возрастания весов, то есть т71 < г72 < — Д7 - счетное множество для каждого 7. Таким образом получаем паспорт пары

< Яу,/л7 >:

Тем самым В есть соединение нормированных (однородных) компонент, то есть

» =

7бЛ кед7

Мы можем считать множество, по которому строим соединение компонент, В-ук вполне упорядоченным.

Укрупним компоненты в разложении (*). Возможна ситуация такая, что Вьук ~ В(~<)"к • Следовательно, между этими алгебрами существует сохраняющий меру изоморфизм £, то есть, если (//)', (ц)"

- меры соответственно на В^ук и В^ук , то справедливо равенство (/*)" = £ 0 (/О'- Причем т^у = Т^'у,.

Для каждого веса т^к выберем все попарно изоморфные компоненты В~к и имеющие наименьший вес тх, затем г2 > тх. Таким образом, упорядочим веса тг < г2 < ... < ... (£ < 7) по возрастанию. Пусть

- мера алгебры с весом г^. Тогда мы можем сопоставить б.а. В паспорт вида:

/ КХ К2

Пв = I П,Т1, . . . Т2, Т2, . . .

\ цици... р2,Цг,...

При этом каждой группе изоморфных компонент соответствует кардинальное число - мощность этой группы. Ясно, ЧТО К\ + /с2 + ... + к,£ ... — А (кардинальная сумма).

По построению ясно, что если у двух п.б.а. В1 и В2 паспорта совпадают, то они изоморфны. Таким образом, мы получили инвариант п.б.а. с достаточным числм (о)-непрерывных квазимер.

Литература

1. Ловягин Ю.Н. Булевы алгебры с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер. М.Д997. Деп в ВИНИТИ №3111-В97. 24с.

2. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М. - Л.: Госте-хиздат, 1950. 546 с.

3. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

4. Вулих Б.З. О булевой мере // Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та. 1956. №25. С. 95-1Ц.

5. Порошкин А.Г. Булевы меры, комплексные полуупорядочен-ные пространства и их применение в теории нормальных операторов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ,-мат.наук. Л.: ЛГПИ им. А.И.Герцена, 1970. 82 с.

6. Ловягин Ю.Н. Об эквивалентности некоторых теорий, расма-триваемых в функциональном анализе//Теория функций. Тезисы докладов Всероссийского семинара. Сыктывкар: Сыкт. ун-т. 1993. С. 36-36.

7. Maharam D. An algebraic characterization of measure algebras // Am. Math. 1947. V.48. №1. P.154-167.

8. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. 318 с.

9. Самородницкий А.А. Теория меры. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 268 с.

10. Самородницкий А. А. Критерий существования метрически независимого дополнения. Л. Редколлегия ж. ’’Вестник Ленинградского университета; сер. математика, механика, астрономия”. 1986. Деп. в ВИНИТИ ДО386-В86.

11. Ловягин Ю.Н. Пространства с абстрактной метрикой // Упорядоченные пространства и операторные уравнения. Межвуз. сб. Сыктывкар: Сыкт. ун-т. 1989. С. 24-32.

12. Ловягин Ю.Н. К-метризуемость равномерных структур // Вопросы функционального анализа(теория меры, упорядоченные пространства, функциональны,е уравнения). Межвуз. сб. Сыктывкар: Сыкт. ун-т. 1991. С. 39~43.

13. Ловягин Ю.Н. Элементы теории моделей. Учебное пособие. Сыктывкар: Сыкт. ун-т, 1992. 99 с.

14. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартные методы в анализе. Новосибирск: Наука, 1990. 412 с.

15. Гордон Е.И. Измеримые функции и интеграл Лебега в булевозначных моделях теории множеств с нормированными булевыми алгебрами. М.: 1979, Деп. в ВИНИТИ №291-80. 60с.

16. Гордон Е.И. Вещественные числа в булевозначных моделях теории множеств и К-пространства//ДАН СССР. 1977. Т.237. Na4. С. 773-775.

Summary

Lovyagin Y.N., Matveeva O.P. Classification of the Boolean algebras with sufficient number (o)-continuous kwasimeasures

In this note, we give a review of some problems in the theory of the Boolean algebras with sufficient number (o)-continuous quasimeasures. In particular, we prove a classification theorem for such algebras.

Сыктывкарский университет. Поступила 20.09.98