Учет неоднородности канала молнии в модели её электромеханического воздействия при ударе в обшивку воздушного судна

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

УДК 629.735.33.551

УЧЕТ НЕОДНОРОДНОСТИ КАНАЛА МОЛНИИ В МОДЕЛИ ЕЁ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ПРИ УДАРЕ В ОБШИВКУ ВОЗДУШНОГО СУДНА

С.К. КАМЗОЛОВ

В статье рассмотрено влияние неоднородности в столбе электрического разряда на электромеханические процессы, развивающиеся в зоне привязки сильноточного электрического разряда к проводящей пластинке (например, при ударе молнии в обшивку воздушного судна). Проведено дальнейшее уточнение расчетной модели пондеромо-торного давления на пластинку в зоне привязки разряда, учитывающее неоднородность плотности тока в канале разряда, обусловленную пинч-эффектом и неравномерностью распределения температуры по сечению канала. Показано, что поправка к интегральной силе электромеханического воздействия на пластинку по всей площади пятна привязки разряда, связанная с неоднородностью канала, едва превышает 3%, что существенно ниже, чем приближения, используемых при расчете основных характеристик молнии.

Ключевые слова: модель молнии, обшивка воздушного судна, неоднородность канала.

Одним из поражающих факторов при сильноточном электрическом разряде, например, при ударе молнии, в проводящий элемент конструкции является его электромеханическое воздействие. Природа этого воздействия обусловлена пондеромоторным взаимодействием тока молнии с токами, растекающимися по конструкции от точки привязки разряда, а также давлением в канале разряда, связанным, главным образом, с пинч-эффектом, в основе которого лежат те же пондеромоторные силы.

Модель, описывающая механизм нагружения проводящих элементов конструкции (в первую очередь - оболочечных) при воздействии сильноточного электрического разряда, разрабатывается автором уже в течение ряда лет. Первые её приближения были получены 20 лет назад [4]. Затем в модель вносились определённые поправки, связанные с учетом влияния скин-эффекта, возникающего при растекании импульсного тока разряда по проводящей пластине, затем - с учетом термических напряжений, обусловленных градиентами температуры в зоне воздействия разряда. В последней редакции модели была предпринята попытка учета неоднородности параметров канала разряда [6]. Была учтена неоднородность плотности тока в канале разряда, связанная с неоднородностью давления в нём из-за пинч-эффекта. Но при этом не была учтена температурная неоднородность по сечению канала. Очевидно, именно это привело к несколько неожиданному результату по распределению суммарного эффективного давления канала разряда на проводящую пластинку около границы его привязки.

В данной работе рассмотрена модель электромеханического воздействия сильноточного электрического разряда на проводящую пластинку с учетом неоднородности канала разряда по давлению и температуре. Заметим при этом, что указанные неоднородности практически не влияют на величину возникающего при разряде электромеханического давления вне зоны привязки разряда [4,5]. Поэтому сосредоточимся на процессах, возникающих в пластинке непосредственно в зоне привязки.

Рассмотрим осесимметричную модель воздействия электрического разряда с силой разрядного тока I на проводящую пластинку толщиной к (рис. 1). Соответственно ток разряда растекается по пластинке симметрично: угловая составляющая плотности тока ]ф= 0. Воздействие разряда на пластинку имеет две составляющие. Первая из них связана с давлением со стороны собственно канала, которое обусловлено его пинчеванием («самосжатием»). Рассмотрим эту составляющую.

Рис. 1. Схема привязки разряда к проводящей пластине и механизм его пинчевания

Ток разряда создаёт в канале магнитное поле с индукцией В, величина которой может быть определена по теореме о циркуляции магнитного поля:

г г

В

0 г 0 Используя известное выражение для объёмной плотности пондеромоторной силы [1]:

7

из выражений (1) и (2) можно получить распределение пинчевого давления рр по каналу разряда:

го 1 г

Рр

г г 0

где г0 - радиус пятна привязки разряда к проводящей пластинке (рис.1).

Выражение (3) удобнее представить как зависимость пинчевого давления от безразмерной координаты р = г / г0:

р0 1 р'

рр

р р 0

Плотность тока j определяется напряженностью электрического поля Е и концентрацией и носителей заряда в канале разряда:

з =

где - подвижности электронов и ионов плазмы. В молниевом разряде двукратных ионов

не зарегистрировано [2]. А в однократно ионизованной плазме вследствие её квазинейтрально-

сти концентрации и величины зарядов ионов и электронов одинаковы. Т.е. уравнение (5) принимает вид:

З = пе(Я + Рг )Е .

Но и в других случаях дальнейшие построения будут справедливы, поскольку из-за относительно малой подвижности ионов основной вклад в проводимость вносят электроны.

Вследствие высоких температур плотность частиц в плазме, несмотря на высокое давление, настолько мала, что всегда можно считать справедливыми уравнения идеального газа [3]. Т.е. концентрацию зарядов можно получить, используя уравнение состояния идеального газа, связывающее давление, концентрацию и температуру:

п =

_р_

кТ

где к - постоянная Больцмана.

Полное давление в канале разряда является суммой атмосферного и пинчевого давлений:

рк = рр+рл ,

причем пинчевая составляющая, в свою очередь, определяется распределением плотности тока по каналу (см. соотношение (4)) и так далее по кругу. Следовательно, придётся идти по методу последовательных приближений. В первом приближении начнём с равномерного распределения плотности тока по каналу разряда. Заметим при этом, что такое распределение часто наблюдается в мощных электрических дугах [3].

В этом случае решение уравнения (4) весьма просто:

Рр (Р) =

4

X (1 -Г) = -тгт (1 -Р!).

4ж2 гО

где I - величина тока разряда. Если ввести, как и в предыдущих версиях модели электромеханического воздействия молнии, величину её эффективного давления на проводящую пластину на границе зоны привязки:

Ро =

V 2

о 2 2

8п г0

то выражение для пинчевои составляющей давления примет вид:

Рр(Р) = 2Ро(1 - Р2).

а полное давление в канале определится как сумма:

Рк(Р) = 2Ро(1 - Р2) + Ра

На рис. 2 представлено распределение относительного пинчевого давления в канале. определяемое соотношением (8).

Данными по распределению температуры по каналу молнии автор. к сожалению, не располагает. В литературе можно найти лишь сведения о том. что в сильноточных молниях (I ~ 105А) температура

Рис. 2. Распределение пинчевого давления по каналу разряда

2

достигает 30 000 К [2,7]. Поэтому, очевидно, придётся использовать имеющиеся данные о распределении температуры по каналу дуговых разрядов.

В источнике [3] рассматриваются два типа таких разрядов: свободно горящие дуги и дуги, стабилизированные стенкой. Несмотря на то, что молния - это свободно горящий разряд, импульсная его составляющая, продолжительность которой не превышает 100 мкс, ввиду её кратковременности ведёт себя подобно стабилизированной дуге. Об этом свидетельствуют параметры стабилизированных дуг, температура которых достигает тех же, что и в молнии 30 000 К, при сходном диаметре канала ~ 1 см [3]. Если при этом учесть, что по условиям ионизации температура на боковой границе канала разряда не должна быть ниже ~ 1000 К, то представленное в указанной работе распределение температуры по радиусу канала достаточно хорошо аппроксимируется зависимостью:

Т (р) = га - ар2).

Для величины максимальной температуры Ттах = 30 000 К коэффициент а следует принять равным 0,967.

Подставляя выражения (9) и (10) в уравнение (6), получаем распределение концентрации электронов по сечению канала молнии:

п(р) =

2Po(1 - Р2) + Ра

кТ

тах V ' '

Тогда распределение плотности тока по каналу разряда можно получить, подставив полученное выражение в соотношение (6):

*,) = А 2п

1 — ар

где параметр щ = р0/рА - относительное эффективное давление разряда на пластинку на границе зоны привязки, а величина А является комплексной характеристикой канала разряда:

РАеЕ

A =

кТ

Величина А в принципе может быть определена по уравнению (13). Однако в этом нет нужды в рассматриваемой задаче. Её проще определить из условия нормировки для функции распределения плотности тока:

Г0

^ ](т) • 2пг йг = I = пг02 ,

или

1

f з(р) р d р--

Подставив в соотношение (14) выражение (12) и проведя интегрирование, получаем распределение относительной плотности тока по каналу разряда:

Рис. 3. Распределение относительной плотности тока по сечению канала разряда

± = C 2п(1 - р2) + 1

jcp 1 - ар2

0

0

в котором константа С определяется коэффициентами а и ц:

С =

а

2п — а(2п + 1) 1п(1 — а) + 2ап

Величина А равна при этом: А = С ^ .

Для тока молнии I = 100 кА при радиусе канала разряда г0 = 0,5 см параметр щ = 63,7, а константа С = 1/120. На рис. 3 представлена зависимость относительной плотности тока (15) при этих условиях.

Как видно из рис. 3, характер распределения тока в разряде по сечению канала достаточно близок к однородному. Т.е можно обойтись первым приближением при расчете пинчевого давления в канале разряда. Об этом говорит и конечный результат расчета суммарного электромеханического воздействия молнии на пластинку в зоне пятна привязки разряда (см. ниже). Заметим лишь, что резкий спад плотности тока возле границы канала разряда, очевидно, связан со спадом давления у границы, в то время как температура ионизованного газа остаётся здесь достаточно высокой, т. е. концентрация носителей заряда быстро снижается вместе с давлением.

Рассмотрим теперь величину пондеромоторного давления на пластинку (т.е. эффективного давления электромагнитных сил за счет растекания тока разряда в проводящем материале) с учетом полученного распределения плотности тока в канале разряда.

Пондеромоторное давление имеет ту же природу, что и пинчевое давление в канале разряда. Т.е. оно обусловлено возникающей в проводнике пондеромоторной силой, объемная плотность которой в данной точке определяется плотностью тока и магнитной индукцией, рождаемой в данном случае током разряда (соотношение 2).

Рис. 4. Механизм электромеханического воздействия разряда на проводящую пластинку

Соответствующая величина давления определяется интегрированием по всей толщине пластинки, где есть радиальная составляющая растекающегося тока (рис. 4):

п

Р* (Г) = IЗг (Г’ ^ )В(г,* )(1г.

Магнитная индукция при этом также определяется по теореме о циркуляции магнитного поля [1]:

*

В(г, *) = 1 ]г (г, * ')йг' .

0

0

Тогда уравнение (17) принимает вид:

h z

Pz (r) = ^0 f j (r’ z) f jr (r’ z ')dz >dz-

Для взятия двойного интеграла используем, во-первых, условие нормировки. В данном случае оно означает, что ток, проходящий по пластинке через цилиндр радиусом г и высотой И, равен току, входящему из канала в пластинку через поверхность площадью жг2 (рис. 4):

или

hr

f jr (z) 2nrdz = f jK (r ;)2nr r dr 00

h 1 r

f jr (z)dz = - f jK (r')r dr = D(r).

0 ' 0

Плотность тока в канале разряда ]к определяется выражением (15).

Во-вторых, воспользуемся приемом изменения порядка интегрирования в уравнении (18) и получим значение пондеромоторного давления от расстояния до оси канала разряда:

1,2

Pz(r) = у D 2(r )-

Между прочим, обратим внимание на весьма интересный промежуточный результат: пондеромоторное давление разряда на пластинку под пятном его привязки не зависит от характера линий тока в этой области и распределения плотности тока по толщине пластинки.

Нормировочную функцию Б

соотношение (15) и перейдя к безразмерной

0,8

0,6

0,4

0,2

р/ро

// //

// / / / / /

/ / // // f /

/> // уу /У t

•у р

0,2

0,4

0,6

0,8

координате р = r / r0

0 •

Рис. 5. Распределение относительного пондеромоторного давления привязки разряда

D(p) = C

4nr0a

2n — a

ln

P

+ 2апр\,

где константа С определена выражением (16).

Таким образом, получено уравнение для распределения пондеромоторного давления в пластинке по радиусу под пятном привязки разряда (т.е. для г < г0 или р < 1), которое, с учетом

выражения (7), можно записать в виде:

Pz (р) = "Г

Po 2п — а(2п + 1) ln(1 — ар2) + 2апр2

2 р 2п — а(2п + 1) ln(1 — а) + 2ап

На рис. 5 приведена полученная зависимость в относительной форме. Штриховой линией обозначено распределение пондеромоторного давления, полученное по исходной модели для однородного канала разряда [4]. При этом принято, что ток молнии I = 100 кА при радиусе канала разряда г0 = 0,5 см, т.е. параметр щ = 63,7; максимальная температура в канале Т = 30 000K , т.е. параметр а = 0,967.

max J ii-<

0

0

2

Как видно из рис. 5, поправка, связанная с неоднородностью канала разряда, относительно слабо повлияла на конечный результат по сравнению с упрощенной моделью, в которой канал был принят однородным [4]. При этом следует признать ошибочной промежуточную модель [6], в которой при расчете концентрации носителей заряда в соотношении (6) учтено лишь распределение давления по каналу разряда. Учет распределения температуры весьма близкого по характеру к распределению давления в значительной степени выровнял распределение плотности тока по каналу разряда (рис. 2).

Суммарное относительное избыточное давление на пластинку в зоне привязки разряда складывается из пинчевого давления в дуге (соотношение 8) и пондеромоторного давления токов в пластинке (соотношение 22):

Ре(Р) 2п - а(2п +1) 1п(1 — аР2) + 2апР2

Ро Р 2п — а(2п + 1) 1п(1 — а) + 2ап

+ 2(1 - Р2),

где значение р0 определяется выражением (7).

На рис. 6 приведено распределение полного (суммарного) относительного электромагнитного давления рЕ / р0 по относительной координате р = г / г0 под пятном привязки разряда ( р < 1

или г < г0). Штриховой линией обозначено распределение полного давления, полученное по исходной модели для однородного канала разряда. Его выражение существенно проще [4]:

Ре

Ро

2

= 2 - Р .

2,5

1,5

На рис. 7 приведена относительная разница результатов расчета полного электромагнитного давления на пластинку в зоне привязки разряда, как с использованием модели предложенной в данной работе, так и упрощенной модели, в которой принято приближение однородного канала. Как видно из рис. 7, максимальная поправка наблюдается ближе к границе разряда, где максимально отклонение распределения плотности тока от однородного (рис. 3). Поправка к интегральной силе электромеханического воздействия молнии указанных параметров на проводящую пластинку под пятном привязки разряда с учетом осевой симметрии составляет величину чуть больше 3%. Таким образом, уровень поправки, которую вносит в расчетную модель учет неоднородности давления и температуры в канале разряда, существенно ниже, чем приближения используемых при расчете данных по таким характеристикам молнии, как максимальная температура и её распределение в канале разряда, а также его

диаметр, т.е. до тех пор, пока не появятся достаточно точные данные по указанным характеристикам молнии, сомнительны усилия по уточнению модели механизма нагружения проводящих элементов конструкции воздушных судов при электромеханическом воздействии молнии на эти элементы. Тем более, что основной вклад в величину электромеханического нагружения элементов конструкции при ударе молнии вносит пондеромоторное давление, развивающееся в конструкции вне зоны привязки разряда [5]: результирующая сила давления в пятне привязки не превышает 20 % от суммарной нагрузки на пластинку радиусом 50-60 см (а это характерные

0,5

о

рг/ро

\ х

Р

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 6. Распределение суммарного относительного давления молнии под пятном привязки разряда

2

расстояния, например, между местами крепления обшивки воздушного судна к силовым элементам его планера).

Следовательно, для расчета стойкости обо-лочечных конструкций воздушных судов к электромеханическому воздействию молнии можно с достаточной точностью использовать приближение однородного канала разряда, в котором плотность тока принимается одинаковой по всему сечению молниевого разряда. Тем более, что соотношение (24) существенно проще для аналитических расчетов, чем выражение

(23).

Рис. 7. Относительная разность результатов в зависимости от координаты

ЛИТЕРАТУРА

1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. - М.: Наука, ГРФ-МЛ, 1989.

2. Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Физика молнии и молниезащита. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

3. Финкельнбург В., Меккер Г. Электрические дуги и термическая плазма. - М.: ИИЛ, 1961.

4. Камзолов С.К., Новиков С.М. Напряжения в пластинках под действием электромагнитного давления под действием сильноточных разрядов (молний) // Электромеханика, 1989, № 2. С. 114-118.

5. Камзолов С.К. Электромеханическое воздействие сильноточных разрядов на оболочечные конструкции // Электромеханика, 1993, № 1. С. 38-46.

6. Камзолов С.К. Учет пинч-эффекта при расчете пондеромоторного давления сильноточного электрического разряда на проводящую пластинку в зоне электродного пятна // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и физика, №114, 2007. С. 84-89.

7. Фортов В., Базелян Э. Защита от молнии // Наука в России, №5, 2006.

THE IMPACT OF THE HETEROGENEITY OF THE CHANNEL OF LIGHNING IN THE MODEL OF ITS ELECTROMECHANICAL ACTION WITH THE STROKE INTO THE SKIN OF THE AIR VESSEL

Kamzolov S.K.

An influence of heterogeneity in the post of electrical discharge on the electromechanical processes, that are developing in the zone of the tying of heavy current electrical discharge to the conducting plate (e.g.,, during the lightning stroke into the hull of air vessel) is examined. A further development of the mathematical model of ponderomotive pressure on the plate in the discharge tying zone is obtained. Now it takes into account the heterogeneity of current density in the channel of discharge, caused by pinch effect and nonuniformity of the temperature distribution over a section of the channel. It is shown that the correction to the integral force of electromechanical action on the plate throughout the entire area of the discharge tying spot, caused by the heterogeneity of channel, scarcely exceeds 3%. It is substantially lower than the approximate values used for estimation of lightning fundamental characteristics.

Сведения об авторе

Камзолов Сергей Константинович, 1941 г.р., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе (1964), доктор технических наук, профессор кафедры физики МГТУ ГА, автор более 150 научных работ, область научных интересов - взаимодействие летательных аппаратов с атмосферным электричеством и их молниезащита.