О некоторых вопросах теории дзета-функции Римана

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 93-98.

УДК 511

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

РИМАНА

Ю.Ф. КОРОБЕЙНИК

Посвящается памяти профессора Игоря Федоровича Красичкова-Терновского

Аннотация. В работе вычисляются главные значения некоторых интегралов, связанных с дзета-функцией Римана. Высказывается одна, по-видимому, новая гипотеза, из которой вытекает справедливость знаменитой гипотезы Римана об отсутствии нулей дзета-функции в полуплоскости К z > 1/2, а также некоторые другие факты из теории дзета-функции. Библ. 2 назв.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, теория вычетов. Mathematics Subject Classification: 14G10

1. ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ

Эту заметку я хотел бы посвятить памяти моего давнего приятеля и выдающегося математика Игоря Федоровича Красичкова-Терновского. Судьба свела меня с ним где-то в конце 50-х - начале 60-х гг. прошлого века. В это время я, молодой еще тогда кандидат наук, во время своих многочисленных командировок в Москву, аккуратно посещал научные семинары А.Ф. Леонтьева, сначала в МЭИ, а затем в «Стекловке». После окончания еженедельного семинара А.Ф. Леонтьева (по понедельникам, с 11 часов утра), его участники, среди которых был и его аспирант, выпускник мехмата МГУ И.Ф. Красичков-Терновский, дружной гурьбой шли во главе с Алексеем Федоровичем на Ленинские горы, чтобы принять участие в работе научного семинара по ТФКП профессора А.И. Маркушевича на мехмате МГУ.

В те годы я неоднократно бывал на московских квартирах Игоря Федоровича, на Матвеевской улице и Университетском проспекте. Наше знакомство продолжалось и в Уфе, куда Игорь Федорович перебрался вслед за Алексеем Федоровичем, после успешной зашиты кандидатской диссертации. Следует отметить, что если первые ученики А.Ф. Леонтьева Ю.Н. Фролов иВ.П. Громов, защитившие свои докторские диссертации не без деятельной помощи своего научного руководителя, покинули Уфу и перебрались обратно в Москву вскоре после защит, то Игорь Федорович и после защиты своей докторской диссертации в Харькове, оставался в Уфе до конца своей активной деятельности и вернулся в Москву лишь в конце жизни, когда он серьезно занемог.

Все это время (70-е - 90-е гг. прошлого века) я неоднократно встречался с Игорем Федоровичем на различных школах, конференциях, семинарах и других математических мероприятиях во многих городах нашей необъятной Родины. Он же первым сообщил мне горестную весть о кончине в 1987 г. Алексея Федоровича Леонтьева, и я простился с Алексеем Федоровичем уже в Москве в его квартире вблизи тогдашнего МЭИ.

Yu.F. Korobeinik, On some problems in the theory of the Riemann's ZETA-FUNCTION.

© Коробейник Ю.Ф. 2015.

Поступила 12 сентября 2015 г.

Эту заметку было бы естественно написать по моей хорошо знакомой уфимцам прежней научной тематике (линейные уравнения бесконечного порядка, абсолютно представляющие системы и их приложения к уравнениям в частных производных), в которой я неоднократно использовал и цитировал глубокие результаты Игоря Федоровича. Однако после долгих раздумий я решил все-таки привести здесь результаты по теории дзета функции Римана, которой я занимаюсь (упорно, но не слишком успешно) последние 15 лет. Надеюсь, что моя заметка привлечет внимание уфимских математиков к этой, по-видимому, свежей для них тематике.

2.

О главных значениях некоторых определенных интегралов, связанных с дзета-функцией

Пусть е (0, п/2] и Г? = |г = 1 + ре'?, -то < р <

прямая, проходящая через

точку А = 1/2 под углом ^ к вещественной оси (точнее, к ее положительной полуоси). Пусть, далее, Т е (0, и Г?,Т — отрезок прямой Г? с началом в точке БТ? = I1 — Те'? |

и концом в точке Ст,? = 11 + Те'? |. Рассмотрим интеграл

т

Т,?

-Ст,

'Вт.

ш

С

взятый по сегменту Г?,т. Предположим вначале, что П —+ Те'? ) =0 (в силу известного

функционального уравнения ((г) = а(г)£(1 — г), где а(г) = г(2п)г 1 вт — Г(1 — г), тогда и

1

С ( 2 — Те'?) = 0). Пусть г1, г2,... ,гр — возможные нули ((г) на отрезке

. Тогда,

1 — Те'?,1 12 ' 2]

в силу уже упоминавшегося функционального уравнения для £ (г), 1 — г1, 1 — г2,... , 1 — гр

причем г" — нуль той же кратности, что и 1 — Zj,

нули ) на отрезке 3 = 1, 2,...,р.

-,- + Те'?

1

1

Пусть еще Г? Т — кривая с началом в точке--Те'? и концом в точке -, составленная

из полуокружностей СТ'?" радиуса г > 0 и отрезков (частей) сегмента

- — Те'?, -12 ' 2]

- — Те'?,г1 — ге'?

г1 + ге'?, г2 — ге'

гр-1 + ге'?, гр — ге

3'?

гР + —ге'?, ^

При этом число г > 0 выберем столь малым, чтобы полукружности СТ'?" не пересекались

ни друг с другом, ни с концами — — Те'? и —. Все полуокружности СТ'?" выбираем так, что их центры г" остаются слева при обходе по кривой Г?1Т (от точки--Те'? до -).

Обозначим через Г?2Т кривую, симметричную с Г?^ относительно точки —, то есть кри

11  1

-, - + Те'? 1.2 2 ]

и полуокружностей Су?", 3 = 1, 2,... ,р, с центрами в точках 1 — г" и радиусом г. При

2

вую с началом в точке — и концом в — +Те'?, составленную из частей сегмента

этом центры остаются справа при обходе по кривой Г?2Т от - к —+ Те'?. Положим

11

7-Т,? -

г т

С

+

г т

Ч2,Т с

IГ« С

22 СМ * + /

1г%

<р,т

Ш , с/(1 - -) 1-С (-) + С (1 -

0-

(как известно, независимое переменное под знаком определенного или контурного интеграла можно обозначать любой буквой). Из функционального уравнения Римана легко вывести, что если ((-) ((1 — -) —(-) = 0, то

<м+с/

С (-) + С (1 — г) —(-) •

Отсюда := [ —(—) 0- и, следовательно,

Л« —

-1+Тв^ - — -1

11ш Х^ = у.р. / 2 Щ- 0- = Г —^ 0- = — 1п — (- — Те^

г^+о Jl -Те^

2 ^ 4 ' 2

(из функционального уравнения для £ (г) следует, что —(1/2) = 1). Таким образом, Ур е (0.п/2], УТ е (0,

гI+Т^ с/(г) /1 .

у.р. / 0- = — 1п — (- — Тег^

С

В случае, когда — Тег^ = 0 (тогда и 1 + Тег^ = 0), при построении кривой Г^Т

приходится взять еще четверть окружности радиуса г > 0 с центром в точке — Тег^ . Соответствующее изменение (то есть построение четверти окружности радиуса г > 0 с центром в точке + Тег^) производится и при построении кривой Г^Т, которая окажется

- т^1) 1 т/г

симметричной с 1 относительно точки —. И здесь теми же рассуждениями приходим к формуле (1). Таким образом, доказана

Теорема 1. Если р е (0.п/2] и Т е (0, то справедлива формула (1).

Замечание 1. В исключительном случае, когда р = 0, ситуация несколько усложняется из-за наличия тривиальных простых нулей вида — 2пк, к = 1, 2,..., и простого полюса г = 1 у функции ((г), а также простых нулей 2т, т = 0,1,..., и простых полюсов 2к — 1, к =1, 2,... у функции —(г). Однако и в этом случае примерно теми же рассуждениями можно получить аналог формулы (1).

Замечание 2. Теорема 1 находит применения в теории дзета-функции Римана. Точнее, там используется главное значение несколько более общего интеграла

Г1 л( ) С/(г) Л

у.р. д(-) а—

Ц-Тв^ С

где функция (локально) аналитична в некоторой окрестности прямой Г^ и удовлетворяет соотношению Л,(-) = Л,(1 — -), У- е Г^. Это главное значение легко вычисляется при р е (0.п/2] методами, изложенными в данном разделе.

3. Об одной гипотезе из теории дзета-функции

Назовем, следуя [1], число Т из (0, (-регулярным, если ((а + ¿Т) = 0, У а е К. Напомним некоторые хорошо известные свойства дзета-функции £(-), описанные, например, в монографиях [1], [2]. Как известно, дзета-функция Римана определяется вначале

ж

\ — z

в полуплоскости С1 := {г : К г > 1} как сумма обыкновенного ряда Дирихле у п г или

П=1

как обратная величина к абсолютно сходящемуся в той же полуплоскости бесконечному произведению Эйлера-Римана. Функция £(г) допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением точки г = 1, в которой она имеет простой полюс. Наконец (это свойство ) используется в предыдущем разделе), Уг е С \ {1}

z(-) -тт-г С(-) К'(-)\

Последнее равенство имеет смысл, если Z(-) = 0. Заметим, что эти равенства справедливы и для более широких классов функций, например, для тех функций, которые являются однозначными аналитическими продолжениями либо суммы степенного ряда с отличным от нуля радиусом сходимости и вещественными тейлоровскими коэффициентами, либо

ж

суммы ряда Дирихле У ^ brae-AnZ с абсциссой абсолютной сходимости a < с веще-

n=1

ственными показателями Ап и вещественными коэффициентами bn, n > 1.

Пусть теперь ^ = п/2, h Е (0, T Е (0, и является ^-регулярным значением.

Положим В := - - iT, С := h - iT, D := h + iT, E := ^ + iT, Г := U4= Tfc, где Г1 := [В,С], Г2 := [C, D], Г3 := [D,E], Г4 := lim Г4, а спрямляемая жордановая кривая Г4 с началом

r—+0

в точке E и концом в точке B построена так, как описано в п. 2, то есть Г' состоит из полуокружностей СТ'^ (s = 1, 2) с центрами в лежащих на T^ нулях функции Z(-) и достаточно малым радиусом r > 0, а также из некоторых частей отрезка [E, В]. При этом, как показано в п. 2

v.p./ d- = lim / Ш d- = lna(I - iT).

Уг4 Z(-) '-^m^ir; Z(-) v2 '

По теореме о логарифмическом вычете

2п[Жс(Т) + ^(Т) — 1] = 3 / ^ ^ = V 3 / Ш ^ = V 37*.

•/г *=1 ^ ^) *=1

Здесь, как в [1], ^0(Т) — число всех нулей функции ) (с учетом их кратностей), принадлежащих интервалу ^, 1 + гТ, ^ , а ^1(Т) — число всех (возможных) нулей функции £(г) (также с учетом их кратностей), принадлежащих внутренности прямоугольника с вершинами Б, С, Д, Е. При этом

371 = —з /В Ш * = —з /1/2 ^ ах,

зс С

откуда следует, что 371 + 373 = 2373. Далее,

з [" * = з{/0 ^^ йт ± Г ^^ гат

Ус СМ IУ_Т С

= 2 ГТ »

Уо <№ ± гт)

Таким образом,

2п[^(Т) + ^(Т) - 1]

91п а

Отсюда

Жо(Т) + ^(Т) + 1 9 /Л ¿х =

п ./1/2 С

= 1 + ^ 91па(1- - ¿Т) + 1 Г й ¿т.

2п \2 / п У0

Перед кратким анализом полученной формулы условимся обозначать через {Тк монотонно и неограниченно возрастающую к то последовательность £-нерегулярных значений: 0 < Т1 < Т2 < • • • < Тк ^ а символом Q — открытое множество всех остальных ((-регулярных) значений из (0, +то): Q = (0, Т1) и (Т1, Т2) и ....

Правая часть формулы (3) (обозначим ее ради краткости символом ^1(Т)) определена и непрерывна на (0, и, в частности, в каждой £-нерегулярной точке Тк, к = 1, 2,.... Первые два слагаемых в формуле (3) ^0(Т) + ^1(Т) составляют функцию (в обозначениях монографии [1]) N(Т) = ^0(Т) + ^1(Т), монотонно и неограниченно возрастающую на (0, при этом N(Т) постоянна в каждом интервале (Тк, Тк+1) и имеет в любой точке Тк

скачок 1-го рода, равный ак + 2вк, где Ук > 1 ак — кратность возможного нуля £ (г) в точке

— + ¿Тк, а вк — сумма кратностей всех возможных нулей ((г) из интервала ( — + ¿Тк, к+¿Тк

2 к> « к ^ ^

1

(точнее, из промежутка ^ + ¿Тк, 1 + ¿Тк

при этом мы не учитываем и не используем

дальше известный результат Валле-Пуссена и Адамара об отсутствии нулей £ (г) на прямой й г = 1). Всегда ак + 2вк > 1, Ук > 1. Из формулы (3) видно, что функция

"2<Т):= 1 9 /' ^^ ¿х

п Л/2 С

имеет скачок 1-го рода в каждой точке Тк, равный ак + 2вк. При этом Ук > 1, Т € (Тк, Тк+1), ^2 (Т) = N (Т) — ^(Т) = N (Тк) — ^(Т). Следовательно, Ук > 1 существуют конечные односторонние пределы

^2 (Тк - 0) = N (Тк-1) - ^1(Тк), ^2 (Тк + 0) = N (Тк) - ^1(Тк).

Таким образом, функция ^2(Т) непрерывна в каждом интервале из множества Q и допускает в любой £-нерегулярной точке Тк скачок 1-го рода, равный N (Тк)-N (Тк-1) = ак + 2вк. Положим ^(Т) = ^2(Т + 0) - ^2(Т - 0). Тогда функция ^(Т) определена в интервале (0, +то), равна нулю в каждой точке из Q и равна ак + 2вк при Т = Тк, к > 1.

Теперь уже можно сформулировать одну гипотезу, которая представляется довольно правдоподобной.

Гипотеза А0. Для всех Т из (0, |^(Т)| < 2. Из этой гипотезы следует

Теорема 2. Пусть гипотеза А0 верна. Тогда

(1) гипотеза Римана об отсутствии нулей у ((г) в полуплоскости й г > 1/2 верна;

(2) все нули ((г) на прямой й г = 1/2 — простые;

(3) число ^(Т) всех (простых) нулей, лежащих на отрезке 1, ^ + ¿Т , Т € (0, +то), удовлетворяет соотношению

No(T) = ^ 3lna(1 - ¿T) +- 3

2п V2 / п

C

dx + O(1),

п Л/2 С

в котором Л — произвольное фиксированное число из (1, +то).

Утверждения

г\ ^

Z

/o Z

dT

< llnZ(h + ¿T)l + llnZ(h)l < M < +то.

Для того чтобы воспользоваться формулой (4), нужно, во-первых, установить асимптотическое представление (при Т ^ 1) функции 31п а

нетрудно, и оценить рост (при T ^ то) функции

C

2 - ¿T

что в принципе сделать

3

dx

'1/2 С

что является гораздо более трудной задачей. Напомним, что еще Бэклунд в ходе своего более простого, чем исходное, доказательства равенства фон Мангольдта (см., например, [1, стр. 211, формула (3)]) доказал, что

С

3

dx

O(ln T).

'1/2 Z

По-видимому, этот результат Бэклунда можно существенно уточнить.

Отметим, что гипотеза A0 (a с нею и теорема 2) будет опровергнута, если на прямой К z = 1/2 найдут кратный корень (их тогда будет по крайней мере два) функции Z(z) или все-таки обнаружат хотя бы один нуль Z(z) (таких корней будет по крайней мере четыре), принадлежащий объединению двух вертикальных полос 0 < К z < 1/2, 1/2 < К z < 1.

Заметим еще, что формулы (2)-(4) можно получить, используя теорему о логарифмическом вычете, для других контуров (типа прямоугольного четырехугольника и прямоугольного треугольника).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ. 1953. 406 с.

2. H.M. Edwards Riemann's zeta function Dover Publications, Inc., Mineóla, New York. 1974. 315 pp.

h

o

Юрий Федорович Коробейник,

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А,

ул. Маркуса, 22,

362027, г. Владикавказ, Россия

Южный федеральный университет,

ул. Мильчакова, 8а,

344090, г. Ростов-на-Дону, Россия

E-mail: kor@math.rsu.ru