Процесс деформирования пористой матрицы сложной физической природы с учетом двухфазной фильтрации и температурного воздействия

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 14 7, кн. 3

Физико-математические пауки

2005

УДК 539.3

ПРОЦЕСС ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОРИСТОЙ МАТРИЦЫ СЛОЖНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ С УЧЕТОМ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ТЕМПЕРАТУРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

Д.В. Бережной, А.И. Голованов, A.B. Костерии,, С.А. Малкип

Аннотация

Построена система вариационных разрешающих уравнений консолидации упруго-вязко-пластических грунтовых сред при фильтрации в них пефте-водяпой смеси при температурных воздействиях. Система получена па основе эйлерова подхода к описанию движения, рассмотрен случай квазистатического движения грунтовой среды.

Цолыо настоящей работы является моделирование процесса деформирования пористой матрицы сложной физической природы на различных этапах освоения месторождений нефтепродуктов, в частности: на этапе земляных работ, при учете фильтрационной консолидации, а также на этапе извлечения битумов при термическом воздействии.

Перед началом математического моделирования указанного выше процесса [1 6] необходимо принять некоторые макромасштабные предположения. В первую очередь будем считать, что битум является жидкой фракцией, но с очень большой вязкостью. Это позволит избежать описания в математической модели фазовых переходов. Далее рассмотрим случай квазистатического деформирования, когда инерционными слагаемыми можно пренебречь. Процесс добычи вязких углеро-дов практически всегда связан с наличием в коллекторе воды, поэтому жидкая фракция будет представлять собою нефте-водяную смесь. При макромасштабном описании фильтрации такой смеси можно считать, что поровые давления нефти и воды совпадают. Наличие газа учитывать не будем.

Первоначально получим основную систему разрешающих уравнений. В первую очередь к такой системе относятся уравнения равновесия, записанные для всего грунта в целом [7]

да А

з=0,

причем согласно принципу напряжений Терцаги [8] тотальные напряжения в грунте а А принимаются равными

„1о1 рГ г о

аА = а А - д а Р,

где Р - давление в жидкой фазе, аА - эффективные напряжения в грунте, а р осрсдненная плотность породы коллектора, определяемая как

р = т (в рш + (1 - в) р„) + (1 - т) рs

и являющаяся функцией структуры и строения коллектора. Индексы s, w, o соответствуют параметрам скелета грунта, воды и нефти, через m и s обозначаются, соответственно, пористость и содержание воды в жидкой фазе, x - глобальные декартовы координаты текущего (актуального) состояния, ij - орты глобальной декартовой системы координат, g - ускорение свободного падения

g = 9 i3-

Уравнения баланса масс [9] запишем отдельно для каждой фазы грунта. Для скелета грунта уравнение баланса масс примет вид

^ [

где vs - скорость частиц скелета грунта.

Уравнения баланса масс для жидких фаз примут аналогичный вид

д

— [m s pw] + div [т s pwvw] =0 для воды

д

— [т

dt

где vw и vo - скорости частиц воды и нефти соответственно.

Разделив уравнение баланса массы твердой фазы на ps, преобразуем уравнение (2) к виду

dt ps dt

Аналогичные преобразования уравнений (3) и (4) приведут к уравнениям д 1 d

тг{т s) + т s--+ div [т sv"1] = 0

dt pw dt

и

4- [m

dt po dt

Складывая соотношения (5) (7) и пренебрегая градиентом плотности по сравнению с градиентом скорости и пористости, после некоторых преобразований получаем

п \ 1 дРа , 1 дР™ , п \ 1 дР° ,

1 - т)--г— + т s--— + т 1 - s--г—+

ps dt pw dt po dt

+ div[vs] + div[ms

Считая, что объемные деформации минеральных частиц скелета грунта определяются давлением жидкой фазы, и учитывая слабую их сжимаемость, закон сжимаемости для минеральных частиц скелета грунта [10] можно записать в виде

1 dps _ 1 dP ps dt Ks dt '

где Ks - модуль объемного сжатия минеральных частиц скелета грунта.

С учетом слабой сжимаемости воды и нефти будут справедливы следующие соотношения

1 dpw _ 1 dP

pw dt Kw dt

1 др8 _ 1 дР р0 дЬ К0 дЬ '

где Кш и К0 - модули объемного сжатия воды и нефти соответственно. Тогда уравнение (8) примет вид

дР

/3 — + (Му Vя + <1ш[т в (уш - V8)] + <1ш[т{1 - - V8)] = О,

причем осреднеппую упругоемкость всего грунта в целом в можно записать в виде

1 — т тв т

в =

Кя

К-

К0

Закон фильтрации записывается по отношению к разности приведенных скоростей жидкости и скелета грунта в форме Дарен Герсеванова

ш — Vя

---¡ьи^гаАР - ри

аналогичное уравнение для нефти примет вид

т (1 - - Vя) =---/0(ёга<1Р -

Мо

где к - абсолютная проницаемость скелета грунта, и р0 - вязкости воды и нефти соответственно, /ш - фазовая проницаемость системы каналов, занятых водой, /0 - фазовая проницаемость системы каналов, занятых нефтью.

Подставляя уравнения фильтрации в итоговое уравнение баланса массы, получим уравнение пьезопроводиости

дР

/3 -— + сЦу Vя - сИУ дЬ

к ( + — ) gl•adP М0

+ ё1у

; I /гШ /0

«ё ( -Рш Н--Ро

р0

0

дР

/3 ——Ь сЦу Vя — gl•adP] + СИУТА^^] = О,

дЬ

где приняты обозначения

ф:

fw /о рш М0

/ш /0

V = -Рш Л--Ро-

р0

Считая отклонение температуры при термическом воздействии от начальной не слишком большим, будем считать справедливым закон теплопроводности Фурье. В предположении малости энергии диссипации при вязкопластическом деформировании уравнение теплопроводности для всего грунта в целом примет вид

д_

ш

{[(1 — т)ря Ся + т вр- с- + ш(1 — в)р0 С0] Т} +

+ ё1у {[(1 — ш)ря Ся Vя + ш вр- с- Vш + ш(1 — в)р0 С0 V0] Т} =

= ё1у {[(1 — т) Ая + т в Аш + т(1 — в) А0] gradТ} ,

где Ся, с

С0 Ая , Аш , А0

коэффициенты теплоемкости и теплопроводности

скелета грунта, воды и нефти соответственно.

Поело некоторых преобразований получаем д

— (сТ) + <ИУ {[СУЯ + т врш сш (уш - Vя) +

+ т

или

от

где средняя теплоемкость грунта записывается в виде

с = (1 - т)ря Сд + тер™ с™ + т(1 - в)р0 с0, средняя теплопроводность грунта в виде

Л = (1 - т) Ля + твЛщ + т(1 - в) Л0, а вектор Ц представляется как

Ц = сVя + тврш с™

Ц = с Vя - Фк grad Р + х

где введены обозначения

ж /ш , /о

ф = -Р и, Сш Н--Ро Со,

Мш Мо

/ш 2 , /о 2

X = -Рш сш н--Ро Со-

Мш М0

Через обозначим скорость деформаций частиц скелета грунта

^ ~ 2 V. /Лг; + //,, '

через Нп - градиент напора, через , , - части внешней поверхности расчетной области, где заданы напряжения, градиент напора и поток тепла соответственно.

Тогда вариационная форма уравнений (1), (9), (10) будет следующей

J о»¿V = У а*¿Vя + У ¿»¿V,

где

а»п» = о* на

I /3^-6Рс1У + I (г'?)д Р с!У — I кН*бРав+

V V Яо

Г дР д Г д

+ / кф— —

Ыз) (дР \ ш (дР

к- ^--Ршддг-з Щ + к- ---радЬ.1 з щ =

М- \ д%1 ) М0 \ дХг

+ к1АИНо = кН* па Знп М- р0

дР

сгг1 -Фк — +Хкдб.!з ) Т

3Т ¿У

V

дТ д

=

V

дТ

А ——щ = д* на Б„.

дхг

Поело линеаризации уравнения (11) (13) примут вид

V

Оц + ар 4 + + а.У + Рёв )в \ с1У-

— I ¿Vя в ¿У — I [&П ¿Vя + аП ¿Vя в) ¿Б + I [ае13 ¿ц + Р3в) ¿У—

V

V

— у 3Vя ¿У — у а*^я ¿Б = 0,

V

V

дР д3Р ( дР дуя + I

дхт дхт

дхт дхт

дР \ дЗР

о ^тп I о

д х/ дх

, , , 9< \ дЗР

I + ТГ—дт ТГ—

дхп дхп / дхт

¿У —

дпя

Н*5Р + Н* -^5Р ) ¿Б+

дхп

V

дР • дуя I дР д3Р

¡3 —5Р+ ^5Р + к ф— - 99т--

дЬ д х \ д х д х

¿У — у Ч*3Р ¿Б = 0,

сТ 3Т

дР

Т ( с< - /сФ——

кхд-п

дТ

дхт

дбТ

дхт

¿У + у д*3Т¿Б = 0.

«а

Запишем уравнения состояния пористой упруго-вязко-пластической среды. До-виатор скорости деформаций записывается в виде

<1'ц = — дц с1о = с1ц — —. Согласно принципу аддитивности деформаций имеем

¿13 = ¿13 + ¿3 + ¿р + ¿с,

где индексы е, Т, р и с соответствуют параметрам упругого, температурного, пластического и вязкого состояний. Тогда подобные соотношения можно записать для довиаторной и шаровой частей тензора скоростей деформаций в виде

¿3 = ¿3 + ¿3 + ¿3 + ¿3

к

0 = 0е + 0т + 0Р + (9е.

Будем считать, что соотношения для шаровых тензоров и довиаторов эффективных напряжений и скоростей деформаций независимы.

В этом случае для упругих деформаций в случае изотропного грунта определяющие соотношения примут вид

дР

«е

«У

—а,рГ 2О у '

где О - модуль сдвига грунта.

Считая, что при изменении температуры будут изменяться только линейные деформации, для температурных деформаций справедливой будет запись

¿т

= аяТ'

-7'Т

О,

где а - коэффициент теплового расширения.

Для описания вязкого поведения пористой матрицы примем модель Кельвина

Фойгта. тогда для скоростей вязких деформаций справедливы соотношения

0 с = '

«у

'е/

где по и п - соответствующие коэффициенты вязкости.

В процессе моделирования грунтов [11 14] вводят специальные характеристики прочности, которые определяют их несущую способность. К ним относятся: сцепление с*, которое характеризует прочность грунтовой среды на срез при отсутствии сжимающих напряжений; угол внутреннего трения <^>*, который характеризует повышение прочности на сдвиг при всестороннем сжатии; коэффициент дилатансии Л, который характеризует разрыхление или уплотнение грунта при де-виаторном иагружении. В этом случае соотношения для скоростей пластических деформаций будут следующими

0Р = 2Л (с* - а* tg Л,

«У = ЛаУ.

Условием возникновения предельного состояния будет являться выполнение соотношения

а? = с* - а? tg '

где

а

/еГ

2 (аеЛ)2 = а'е£ а'е£ ^ V т У ^ш^шш

девпатор тензора эффективных напряжений.

Л

1 Га"51 , А = - -^сС

Я

тРГ

+

+ & Р + V

ЭР

дхш

Те:

~ - Поао

К

— tg<p*- Ъ](т\

^ I

0

т

где

R = 2<T^.f + 2 (с* — o~qV*) A^tgip*.

Уравнения для определения зависимых параметров m, ps, pw, po и s записываются. соответственно, следующим образом: для пористости

/<9vs • Л

т = (1 - m) f ^ - f3sP - ааТ ) ;

для плотностей

ps = ps(esP + asT),

pw = P + «w T),

po = Ро(во P + «oT);

для водонасыщенностн

1 d

~s = s--"77--1---о——,

mpw dt mpw dxj

msvw = msvs — kJ-^(VP — pw g). Mw

Таким образом, в работе построена система вариационных разрешающих уравнений консолидации грунтовых сред при фильтрации в них иефте-водяиой смеси, полученная на основе эйлерова подхода к описанию движения. Связь между напряжениями в разных фазах определяется принципом напряжений Терцагн. Закон фильтрации записывается по отношению к разности приведенных скоростей жидкости и скелета грунта в форме Дарен Герсеванова. Рассмотрен случай квазиста-тнческого движения грунтовой среды, когда ускорениями частиц фильтрующей жидкости и скелета грунта можно пренебречь.

Summary

D.V. Berezhnoi, A.I. Golovanov, A.V. Kosterin, S.A. Malkin. Straining process of complex physical nature porous matrix taking into account t.wo-pliase filtration and thermal influence.

System of variation resolving equations of elastic-viscous-plastic soil media consolidation with oil-water mixture filtration under thermal influence is formulated. System is formed in terms of Euler point of view on motion description, case of quasi-static motion of soil media is considerat.ed.

Литература

1. Бережной Д.В., Голованов А.И., Костерип А.В., Малкмн С.А. Разработка теоретических основ и реализация системы анализа и прогнозирования процесса извлечения твердых нефтепродуктов. // Нетрадиционные коллекторы нефти, газа и природных битумов. Проблемы их освоения. Материалы научи, копф. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2005. С. 346 347.

2. Cheng Н., Dusseault М.В. Development and application of a fully-coupled t.wodimensional finite element approach to deformation and pressure diffusion around a bore-hole // J. Can. Pet.r. Tech. 1993. V. 32(10). P. 28 38.

3. Liu J., Liu X. Study on nonlinear seepage in low permeable rock // Cli. J. Rock Mecli. and Eng. 2003. V. 22. P. 556 561.

4. Tortike W.S., Faruuq Ali S.M. Reservoir simulation integrated with geomeclianics // J. Can. Petr. Tech. 1993. V 32(5). P. 28 37.

5. Дроботе.ико М.И., Костерин A.B. Обобщенное решение задачи фильтрационной консолидации // Докл. РАН. 1996. Т. 350, Л» 5. С. 619 621.

6. Дияхиев Р.Н., Костерин A.B., Скворцов Э.В. Фильтрация жидкости в деформируемых нефтяных пластах. Казань: Изд-во Казан, матем. о-ва, 1999. 238 с.

7. За/рецкий Ю.К. Лекции по современной механике грунтов. Ростов-па-Дону: Изд-во Ростов, ун-та, 1989. 607 с.

8. Те.рцаги К. Теоретическая механика грунтов. М.: Стройиздат. 507 с.

9. Николаевский В.Н. Геомехапика и флюидодипамика. М.: Недра, 1996. 448 с.

10. Цытоаич H.A. Механика грунтов. М.: Госстройиздат, 1963. 636 с.

11. Секаева Л.Р., Бережной Д.В., Коиоплев Ю.Г. Исследование взаимодействия деформируемых конструкций с сухими и водопасыщеппыми грунтами. // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Тр. докл. XX межд. копф. СПб., 2003. Т. III. С. 156 159.

12. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984. 232 с.

13. Фадеев A.B. Метод конечных элементов в геомехапике. М.: Недра, 1987. 221 с.

14. Бережной Д.В., Голованов А.И., Паймушии В.Н., Сидоров H.H., Клементьев Г.А. Исследование напряженно-деформированного и предельного состояния сухих и водо-пасыщеппых грунтов // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Тр. докл. XIX межд. копф. СПб., 2001. Т. II. С. 82 86.

Поступила в редакцию 03.11.05

Бережной Дмитрий Валерьевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры теоретической механики Казанского государственного университета.

Голованов Александр Иванович доктор физико-математических паук, профессор, проректор по научной работе и информатизации Казанского государственного университета.

E-mail: Alexandr.GolovanovQksu.ru

Костерин Александр Васильевич доктор физико-математических паук, профессор, главный научный сотрудник НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

E-mail: Alexander.KosterinQksu.ru

Малкин Сергей Александрович кандидат физико-математических паук, научный сотрудник НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

E-mail: smalkinQksu.ru