Динамика сильного поля светового импульса из малого числа колебаний в диэлектрической среде

ДИНАМИКА СИЛЬНОГО ПОЛЯ СВЕТОВОГО ИМПУЛЬСА ИЗ МАЛОГО ЧИСЛА КОЛЕБАНИЙ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ

СРЕДЕ

С.А. Штумпф, А.А. Королев, С.А. Козлов

В работе дан теоретический анализ условий доминирования различных физических факторов в самовоздействии поля световых импульсов из малого числа колебаний в диэлектриках в зависимости от интенсивности, длительности и спектрального состава излучения. Показано, что влияние плазменной нелинейности тем сильнее, чем больше длительность импульса и меньше центральная частота излучения, и для кварцевого стекла в поле импульсов длительностью 10 фс и центральной длиной волны 750 нм оно становится основным при интенсивностях, больших 3-1013 Вт/см2..

Введение

Интерес к теоретическим исследованиям поведения вещества в поле высокоинтенсивных импульсов из малого числа колебаний светового поля связан с появлением в целом ряде научных лабораторий лазеров, генерирующих такие предельно короткие импульсы (ПКИ) [1].

При теоретическом изучении распространения ПКИ применение традиционного для нелинейной оптики метода медленно меняющейся огибающей светового импульса становится неплодотворным, так как понятие огибающей для них теряет свое физическое содержание. К настоящему времени в значительном числе работ самовоздействие ПКИ рассматривается на основе новых уравнений динамики непосредственно поля излучения [2-4].

Для ПКИ оптического диапазона интенсивность поля излучения, при которой за время прохождения импульса еще не происходит оптический пробой вещества, может превышать 1013Вт/см2 [5]. В этой ситуации необходим анализ новых механизмов нелинейности вещества, не наблюдавшихся в поле длинных импульсов такой интенсивности из-за его разрушения.

В работе [4] нами выведено уравнение динамики сильного поля ПКИ в диэлектрической среде, которое учитывает электронную нелинейность, обусловленную изменением населенностей высоковозбужденных энергетических состояний и движением электронов в свободном состоянии. Показано, что оно в пределе переходит в известное уравнение для огибающих фемтосекундных импульсов, которое описывает плазменную нелинейность диэлектриков в квазимонохроматическом приближении [6]. В настоящей работе проведена нормировка выведенного в [4] полевого уравнения дан анализ условий доминирования различных физических факторов, влияющих на динамику сильного поля ПКИ в диэлектрических средах. Приведены иллюстрации полей доминирования плазменной нелинейности в кварцевом стекле в зависимости от интенсивности, длительности и спектрального состава излучения.

Уравнение динамики поля и его нормировка

Вывод уравнения динамики сильного поля в диэлектрической среде в [4] потребовал детального обсуждения природы и инерционности нелинейного отклика диэлектрика, которое было проведено на основе формализма матрицы плотности в приближении трехуровневой модели среды [7, 8]. Первый эффективный энергетический уровень этой модели соответствует основному состоянию оптических электронов (в твердом теле - валентной зоне), второй и третий отвечают группам их возбужденных состояний с одинаковой четностью (подзонам зоны проводимости). Для описания плазменной нелинейности, наблюдаемой в экспериментах с интенсивными фемтосекундными импульсами, третье энергетическое состояние рассматривается как зона квазисвободного движения электронов. Такое расширение не противоречит трехуровневому приближе-

нию, используемому при описании кубичной нелинейности поляризованности диэлектрических сред в работах [7, 8], так как они не делают предположений относительно структуры третьего уровня.

Как показано в [1], в приближении однонаправленного распространения волновое уравнение для самовоздействия ПКИ в изотропной диэлектрической среде, которое учитывает дисперсию линейного показателя преломления, безынерционную кубическую нелинейность, инерционность электронной нелинейности, обусловленную изменением населенностей и движением свободных электронов, имеет в сопровождающей системе координат вид:

дЕ д3Е Ж3 _(1) д(Ж^Е) д

--а—г+g3-+&з —"+—

дг дт дт дт дт

'^32)Е (|Т + ^33)Е2 д

2пдРпл Л +--= 0

С дт

д^н , -К гин + т12

дт

д2рпл дрпл

дт2 -+а-

дт

-1,72

21

= Е3

где Е - электрическое поле ПКИ, Ж™ - медленно меняющаяся компонента населенности второго эффективного уровня, Рпл - поляризационный отклик подсистемы свобод-

п0

ных электронов в поле ПКИ, т = /--г - время, г - пространственная координата в

С

сопровождающей системе, щ,- линейный показатель преломления вещества, с - ско-

рость света в вакууме, g3 =

2п

.(1) = п Х3

.

3с

g3 =

сп0 а

g32) =

2п Х3

СП0 °21

gз(3) =

2п х3

Сп0 °21

2 1

п0 _1 2 (0) „ а = —--, а = —. Здесь щ - нелинейный показатель преломления в низкочастотном

2

8жко

21

пределе при невысоких интенсивностях, Е& = ко21 соответствует ширине запрещенной зоны диэлектрика, е - заряд, те - масса электрона, тС - среднее время столкновительной релаксации свободных электронов, которое в диэлектриках имеет порядок десятков фем-

тосекунд. <р = —X = N " "

Ьщ2 Й2]

Х2 = N0 №

О

м

О

7-0

^ О0 О О )

, х(3) = ^

5 Л3

N0

+ 1 р2

2

\2 1

о

о

_6 + °21 _ 3031 °21

о

о

31 )1

21 31

N'0 - населенность основного состояния в отсутствие поля (концентрация поляризуемых частиц); р и о ^ - дипольные моменты и частоты, соответствующие переходам между уровнями ¡^ ] ; Т21, т12 - времена поперечной релаксации и релаксации насе-

ленностей

паре

уровней

(1,

2);

|2 = (П02 _ 1)Й02

8пЖ0

,2 _ 2п0п20)Й021Й031 (п02 _ 1)Йо21

3

8п<

что дает оценки, хорошо соответствующие приве-

денным в [9]: |р12|2 = 2.6-10_18 ед. СГСЭ, |р23|2 = 7.5-10_18 ед. СГСЭ.

в

23

В первом уравнении системы (1) второе слагаемое описывает дисперсию линейного показателя преломления, третье - кубичную по полю безынерционную поляризацию, четвертое - вклад в поляризацию возрастания населенности возбужденного состояния, пятое - дисперсию нелинейного показателя преломления, шестое - плазменную нелинейность. Второе уравнение системы (1) описывает динамику населенности возбужденного состояния, третье - поляризационный отклик подсистемы свободных электронов.

Пренебрегая релаксационными процессами с характерными временами в десятки и сотни фемтосекунд, что допустимо при рассмотрении ПКИ длительностью в несколько фемтосекунд, мы приводим систему (1) к виду волнового уравнения, описывающего самовоздействие ПКИ в диэлектрической среде:

д E

д 3 E

+ g3 Т g31} E3 + gf дЕ IE2 Т

лт пт

dE

- a-

dz дт

дт

дт

т0

+ g33) E 2

дТ

(1) 2п ^3 где g3> =--3

g51E3dz'I E2dT = 0 4n acp

T0

T0

cn,

T21

g5 =

cn0 T21

Т - момент начала взаимодействия импульса со сре-

дой. Из уравнения (2) видно, что плазменная нелинейность является эффектом пятого порядка по полю. Однако последний член является существенно инерционным, т.е. «отслеживает» историю изменения поля на сравнительно большом временном промежутке, а не мгновенную динамику поля. Поэтому описываемый им процесс можно интерпретировать как кубичную по полю динамику мгновенной поляризации, наложенную на процесс медленного изменения параметров среды - населенностей эффективных энергетических уровней. Те же соображения можно применить для пятого слагаемого уравнения (2), которое описывает динамику линейной поляризации, сопровождаемую медленным изменением условий взаимодействия поля и вещества.

Уравнение (2) описывает взаимодействие линейно поляризованной плоской волны с широкозонными изотропными диэлектрическими средами, когда спектр излучения полностью лежит в диапазоне прозрачности среды. Интенсивность излучения лежит в пределах I = 11012-51014 Вт/см2 . Временная продолжительность ПКИ составляет несколько фемто-секунд, что позволяет рассматривать только электронную нелинейность вещества, пренебрегая прочими механизмами нелинейности оптических сред из-за их инерционности.

Обозначим максимальную амплитуду электрического поля импульса на входе в

среду

En

и

определим центральную частоту спектра импульса как

() = (а)ёа |G(а)ёа , где О(о) - начальная спектральная плотность импульса,

0 / 0

нормированные амплитуду Ё = Е/Е0, временную Т = и пространственную

2 = а 3 2 координаты, длительность импульса Т = т1 -т0, где т0 - время начала, а т1

- окончания импульса. Подставляя введенные обозначения в (2), получим нормированное уравнение:

дБ д& '

_ дE3

(

дт

+ g^^ + g

.

дт

E + T

^дE

т/Т

л

дт

I E2(Tr')dr'

tJT

д 'дт

(

g32) E

f дE^

кдТ;

+ g3 E

д2E

дт2

т/Т

+g5 I E3(Tr')dr' I E2(TT)dT = 0

T T

TT

2п Ё0 _(!) 2п Х ) Ё0 ~(2) Л /-1 о \ Ё0 ~(3) ~(2

где 83 = —^ =---, .?3) =-т(1 -3$) — , 8() = $§3

Л3 , >2 ' £>3 гр , >3 ' <53 2 V

сп0 а (а) СП0 Т21 а (а) са^ а

4пар ИЕ1 г=£)

гр г' / \5 ' 5 (3

сп0 Т21 а (а х3

85 = "* ^ р-, $ = ^73-, выражение п2(а) = п(20) + Ла2 аппроксимирует экспери-

птл Т7 л/

выражения Ё, ^ и т.п. имеют порядок единицы, коэффициент при слагаемом,

ментальную зависимость нелинейного показателя преломления от частоты (см. [10]),

дЁ дЁ Т' ~д¥2

описывающем линейную дисперсию, равен 1, интегрирование производится по единичному промежутку.

Анализ влияния характеристик импульса на его самовоздействие в кварцевом

стекле

Нормированное уравнение (3) позволяет оценить соотношение слагаемых, описывающих линейную и нелинейную поляризацию, в зависимости от свойств среды и импульса: линейного и нелинейного показателя преломления среды, спектра и интенсивности импульса на входе в среду. Данное соотношение диктует необходимость учета вклада определенного эффекта в конкретной физической ситуации или позволяет обоснованно пренебречь им.

Определим значения коэффициентов уравнения (3) для случая распространения в кварцевом стекле импульса с интенсивностью I = 1-1013 Вт/см2, центральной длиной волны Х = 390 нм и временной длительностью Г=100 фс (соответствующей приблизительно 8 колебаниям). Для параметров линейной и нелинейной дисперсии кварцевого стекла используем экспериментальные и теоретически обоснованные значения, приведенные в работах [9-14]. В этой ситуации значения коэффициентов составят: для кубичной безынерционной нелинейности 83 = 1.3 -10-1; для динамики населенности возбужденного состояния: 831) = 0.19-10-2, 7£30) = 0.14 -10-1; для дисперсии нелинейного показателя преломления: 83(2) = 0 67 -10-1, 833) =-0.23 -10-1; для плазменного компонента 85 = 0.13 -10-1. В рассмотренной ситуации эффект изменения нелинейного показателя преломления с ростом частоты значителен, что подтверждается экспериментальными данными [10].

Рис. 1 иллюстрирует зависимость компонент нелинейного показателя преломления от центральной длины волны импульса Х = 2п < а >-1 при указанной интенсивности.

Интерес представляет также картина соотношения между коэффициентом безынерционной кубичной нелинейности и коэффициентом плазменной нелинейности в зависимости от длительности импульса, частоты и интенсивности излучения. Рис. 2 иллюстрирует изменение соотношения указанных коэффициентов при интенсивности I = 1-1013 Вт/см2 в оптическом диапазоне при изменении длительности от 5 до 25 фс.

Рис. 3 и 4 отражают картину соотношения коэффициентов в конце импульса фиксированной длительности (10 и 40 фс соответственно) также в оптическом диапазоне при изменении интенсивности в пределах I = 1013-1014 Вт/см2 в первом случае и I = 1012-1013 Вт/см2 во втором. Но следует отметить, что степень участия плазменных явлений в самовоздействии импульса во многом определяет его пространственно-временной профиль, в особенности, если характерный масштаб его изменения сопоставим с размерами импульса в целом.

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Я,нм

Рис. 1. Зависимость компонент нелинейного показателя преломления от центральной длины волны импульса

390 Í40 690 840 980 1140 Л, нм

Рис. 2. Соотношение коэффициентов безынерционной кубичной и плазменной нелинейности в зависимости от длины волны и длительности импульса

390 540 690 840 980 1140 Л, нм

Рис. 3. Соотношение коэффициентов безынерционной кубичной плазменной нелинейности в зависимости от интенсивности и длины волны излучения

390 ?40 690 840 980 1140 Л, HM

Рис. 4. Соотношение коэффициентов безынерционной кубичной и плазменной нелинейности в зависимости от интенсивности и длины волны излучения

Таким образом, при распространении в изотропной диэлектрической среде ПКИ с интенсивностью I = 1012-1014 Вт/см2 и центральной частотой, лежащей в оптическом диапазоне, вклад ионизационных и плазменных механизмов нелинейности может оказаться значительным по сравнению с безынерционной кубичной нелинейностью, что обусловливает необходимость его учета при моделировании самовоздействия излучения. Нормированное волновое уравнение (3) позволяет ранжировать компоненты нелинейной поляризации и сделать заключение о необходимости их учета в каждой конкретной ситуации, а также упрощает численное моделирование распространения импульса в среде.

Работа поддержана грантом РФФИ № 05-02-16556.

Литература

1. Brabec Th., Krausz F. // Rev. Mod. Phys. 2000. 72. №2. 545-591

2. Беспалов В.Г., Козлов С.А., Шполянский Ю.А.// Опт. журн. 2000. 67. №4. 5-11.

3. Bespalov V.G., Kozlov S.A., et al. // Phys. Rev. A. 2002. 66. 0138111.

4. Штумпф С.А., Королев А.А., Козлов С.А. // Известия РАН. 2006. 70. №1. 124-130.

5. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. М.: Наука, 2004. 657 с.

6. Sudrie L., Couairon A. et al.. // Phys. Rev. Lett. 2002. 89. №18. 186601.

7. Orr B.J., Ward J.F. // Mol. Phys. 1971. 20. №3. 513-518.

8. Bloembergen N., Lotem H., Lynch R. T. // Ind. J. of Pure & Appl. Phys. 1978. 16. 151158.

9. Kozlov S.A., Sazonov S.V. // JETP. 1997. 111. 404-418.

10. Santran S., Canioni L., Sarger L., Cardinal T., Fargin E. // J. Opt. Soc. Am. B. 2004. 21.

11. Agrawal G. // Nonlinear fiber optics. М.: Мир, 1996. 324 с.

12. Boling N.L., Glass J.A., Owyoung A. // IEEE J. Quant. Electron. 1978.

13. Ross I.N., Toner W.T., Hooker C.J., Barr J.R.M., Coffiy I. // J. Modern. Opt. 1990. 3?. 555-573.

14. Adair L., Chase L.L., Payne S.A. // J. Opt. Soc. Am. B. 1987. 4. 875-881.