Нелинейная динамика преобразователей с многофазной импульсной модуляцией

УДК 621.314.2:621.382.2

А.А. Гаврилов, Г.Я. Михальченко, С.Г. Михальченко

Нелинейная динамика преобразователей с многофазной импульсной модуляцией

Рассматриваются математическая модель и результаты моделирования замкнутой системы регулирования тока на основе параллельно включенных преобразователей понижающего типа, фазы коммутации ключей которых смещены относительно друг друга. Ключевые слова: модульный принцип построения силовых преобразователей, многофазная импульсная модуляция, решение кусочно-непрерывных дифференциальных уравнений динамики, бифуркационный анализ установившихся режимов функционирования системы.

Введение

Можно выделить два основных направления развития систем промышленной электроники. Одно из них связано с созданием шкалы преобразователей требуемого диапазона мощностей, базирующихся на различных силовых полупроводниковых и электромагнитных элементах, перекрывающих, например, типовые ряды регулируемых электроприводов, компенсаторов реактивной энергии и др. Второе направление обусловлено необходимостью согласования не только уровней напряжения промышленных сетей и нагрузки, но и вида электрической энергии. Наличие трансформаторного оборудования в этом случае становится эффективным при достаточно высоких частотах преобразования. В этом случае приходится учитывать существующие физические ограничения по частотным свойствам полупроводниковых приборов и по мощности электромагнитных элементов. Другими словами, имеющаяся в распоряжении разработчиков элементная база позволяет создавать преобразователи с промежуточным звеном высокой частоты весьма ограниченной мощности - не более единиц киловатт, в то время как многие технологические процессы должны обеспечиваться мощностями, в десятки и сотни раз большими. Сложившуюся ситуацию удается разрешить модульным принципом построения преобразователей оговоренного диапазона мощностей, в основу которых положен принцип многозонной многофазной модуляции энергетического потока [1-2].

Этот вид модуляции позволяет обеспечить в одном устройстве следующие показатели: высокое качество преобразования энергии; потенциально высокую управляемость и быстродействие регулирования; высокую, недостижимую в преобразователях первого направления надежность работы системы энергообеспечения; высокий коэффициент полезного действия; способность работать во всем диапазоне изменения нагрузки - от холостого хода до короткого замыкания.

В то же время перечисленные потенциально высокие показатели многофазных преобразователей не могут быть реализованы без исследования динамических процессов функционирования замкнутых систем автоматического управления и синтеза на этой основе микропроцессорных средств управления. Базовым элементом многофазных структур является преобразовательная ячейка с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), анализу динамики которой посвящено довольно большое число публикаций [3-5]. Известные исследования параллельной работы независимых ячеек [6] посвящены изучению возможностей распределения нагрузки между модулями и не позволяют получить общую картину динамики, поскольку рассматриваемые в этой работе структуры характеризуется своими тонкими нелинейностями модуляторов, глобальными нелинейностями и постоянными времени.

Математическая модель многофазного преобразователя

Схема замещения многофазного преобразователя представлена на рис. 1, при этом приняты следующие допущения: входной источник питания Е является идеальным источником напряжения; широтно-импульсный модулятор выполнен на идеальных ключах без потерь с нулевым временем переключения; пассивные элементы преобразователя линейны; корректирующее устройство представлено пропорциональным регулятором; математическая модель рассматривается на примере двух фаз; вектор внешних возмущающих воздействий положен равным нулю. Влияние внешних возмущающих воздействий на локальную устойчивость однофазной системы регулирования рассмотрено в работе [8].

Рис. 1. Схема замещения многофазного понижающего преобразователя напряжения

и его системы управления

На схеме замещения приняты следующие обозначения: Е - источник входного напряжения; ¿1 ... Ln - катушки индуктивностей с внутренними сопротивлениями Г1 ... гп; ¿1 ... ¿п - ток индуктивностей; С - емкость конденсатора выходного фильтра; Rн - сопротивление нагрузки; Dl ... Dn - обратные диоды и ... Кп - ключевые элементы п-фазного преобразователя; ИМх ... ИМп - широтно-импульсные модуляторы соответствующих фаз; ФСУх ... ФСУп-1 - фазосдвигающие устройства для получения в совокупности с генератором развертывающего напряжения ГРН сдвинутых по фазе относительно друг друга на равную величину развертывающих напряжений ир2 ... ирп; в - масштабный коэффициент цепи обратной связи; а - коэффициент усиления корректирующего устройства; иос - сигнал обратной связи; иу - напряжение управления; иош- напряжение сигнала ошибки; ис - напряжение на конденсаторе; ^(Х, Ь) ... ^п(Х, Ь) - разностные функции обратной связи.

Показанная выше схема замещения двухфазного понижающего преобразователя напряжения описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:

аХ = А • X + В(КР1,КР2), аЬ

где вектор неизвестных и матрица системы могут быть записаны следующим образом:

X =

^

¿2 ис

А =

Г1 0 1

0 Г2 1

L2

1 1 1

с с С • Ян

Нелинейность системы (1) имеет вид разрыва первого рода и описывается разрывными функциями коммутации идеальных ключей К1 и К2. Коммутационные функции Кр1 и Кр2 этих ключей определяют следующие возможные значения вектора вынуждающих воздействий В:

B

KF2=0

0

V0,

B

^0 ^ Е

( Е Л

KF1 =0

KF2 =1

L2

v0 ,

B

KF1=1

KF2 =0

Ll 0 0

B

KF1 =1 KF2 =1

Е

L2 0

Коммутационные функции, формируемые широтно-импульсными модуляторами ИМ1 и ИМ2, выражаются следующим образом:

через разностные функции обратной связи ¡1 (Ре и ¡2 Ре , которые имеют вид

(¡1 (Ре,t) = a•(Uу -р-Ре)-Рр1 (t) ;

[¡2(Ре,t) = a•(иy -р-Ре)-Рр2(t) .

Так как ключи работают независимо друг от друга, а их развертывающие напряжения смещены одно относительно другого, то можно для каждого тактового интервала ШИМ определить, в общем случае, четыре участка постоянства структуры (на каждом из которых система (1) линейна) и соответствующие им (3) значения вектора вынуждающих воздействий В. Используя метод припасовывания, при переходе «по непрерывности X» от одного интервала постоянства структуры к другому, мы имеем возможность построить точное решение системы (1)-(5) в любой момент времени. Обозначив через Х^_1 значение вектора переменных состояния на конце одного участка непрерывности, можем построить решение X для любой точки последующего ^го интервала постоянства структуры:

Х^) = вЛ<^-1> • (Х^ + л-1 • Bk) - Л-1 • В

k.

Алгоритм построения вектора переменных состояния двухфазного понижающего преобразователя Х^) = (¿1, i2, Ре )Т основывается на последовательном построении по формуле (6) вектора неизвестных на каждом из интервалов непрерывности для каждого ^го тактового периода ШИМ. Точки, отделяющие один участок постоянства структуры от другого, называются моментами коммутации ^ и ^ и находятся из условий равенства нулю функции обратной связи ¡1 (Ре и ¡2 Ре :

¡1

Моделирование динамики системы (1) - (5) проводилось при указанных ниже исходных данных. Параметры силовой части: входное напряжение преобразователя Е = 1000 В; сопротивление нагрузки Ян = 100 В; индуктивность дросселей L = 0,2 Гн, паразитное активное сопротивление дросселей г = 10 Ом; емкость выходного фильтра С = 1 мкФ; частота коммутации силовых ключей (частота квантования) f = 10 кГц. Параметры системы управления: масштабный коэффициент цепи обратной связи в = 0,01; амплитуда развертывающего напряжения Рр = 10 В; коэффициент усиления корректирующего устройства а изменяется при расчетах от 1 до 350, а управляющее напряжение Ру - от 0,01 до 10 В.

Динамика многофазного преобразователя

Построенная таким образом методика расчета мгновенных значений вектора переменных состояния двухфазного понижающего преобразователя Х^) = (¿1, ¿2, Ре)Т позволяет проанализировать поведение системы при различных значениях параметров цепи обратной связи, силовой части преобразователя и сопоставить полученные результаты с аналогичными показателями однофазного преобразователя с широтно-импульсной модуляцией [3].

Положив в системе уравнений (1-5) число фаз п = 1, построим приведенную на рис. 2 двухпараметрическую бифуркационную диаграмму - обобщенную карту областей существования детерминированных и стохастических режимов одноячейкового преобразо-

вателя. Эта диаграмма в пространстве параметров а, изменяющегося от 1 до 250, и иу -изменяющегося от 0,01 до 10 В, позволяет оценить топологию различных областей т-циклов, определить критическое значение коэффициента усиления пропорционального регулятора.

Рис. 2. Двухпараметрическая бифуркационная диаграмма преобразователя с ШИМ

На рис. 2 штриховкой и символами Vi,j отмечены области существования различных динамических режимов (г - т-цикл, характерный для данной области, ] - номер области на карте динамических режимов). Под т-циклом будем понимать, как в [7], отношение частоты квантования f к частоте субгармонического режима. В частности, область Уц представляет собой область существования основного (т = 1) режима с проектной частотой. Символами У*1,] отмечены неодносвязные области т-циклов, границы которых обведены точечными контурами. Незаштрихованные области Vx соответствуют недетерминированным режимам функционирования преобразователя (т ^ да). Особенностью диаграммы является преобладание по всему диапазону регулирования сценария последовательных мягких удвоений периода, представляющего собой каскад бифуркационных переходов У^д - V2д - У4д - V8д - ... - Ух. Под мягким удвоением здесь понимается возникновение нового режима, амплитуда колебаний которого увеличивается плавно по мере увеличения коэффициента усиления пропорционального регулятора.

При малых значениях а периодическое решение, соответствующее области Уц, устойчиво и единственно. При а > 50 появляются области У*з 1, 2, характеризующиеся жестким возникновением соответствующих периодических режимов со скачкообразным увеличением примерно на порядок размаха переменной составляющей выходного напряжения.

Положив в системе уравнений (1)-(5) число фаз п = 2, построим двухпараметриче-скую бифуркационную диаграмму двухфазного преобразователя (рис. 3) при нулевых начальных условиях, на которой области существования различных режимов выделены тонировкой.

Область существования основного одноциклового режима У изменяется в диапазоне 0 < а < 140, т.е. расширяется, по сравнению с п = 1 (см. рис. 2), практически втрое. Проектный режим т = 1 по мере увеличения а сменяется неодносвязными областями

жестковозбуждаемых режимов Vз (при а = 170), V5 (при а = 240) и Vm (на рисунке выде-ленно светлым). При дальнейшем увеличении коэффициента петлевого усиления (а > 350) хаотический режим продолжает оставаться устойчивым.

В

о 50 100 150 200 250 300 350 «

Рис. 3. Двухпараметрическая бифуркационная диаграмма преобразователя

Сценарии переходов детерминированных динамических режимов в хаотические удобно проанализировать с помощью однопараметрических бифуркационных диаграмм. В качестве примера на рис. 4 приведена одна из таких диаграмм, построенная для Uy = 5,6 В, здесь же приведена диаграмма коэффициента пульсаций суммарного тока дросселей в зависимости от а.

Изменение коэффициента петлевого усиления а приводит к плавному увеличению суммарного тока дросселей двух фаз за счет увеличения точности стабилизации статической системы регулирования. При достижении а = 150 происходит жесткое возбуждение трехциклового режима, который при а = 180 претерпевает кризис с возвращением к исходному одноцикловому режиму. Однако уже при а = 190 жестко возбуждается трехцик-ловый режим другой топологии с каскадом удвоения периода, последующей потерей устойчивости. Этот процесс сменяется зарождением квазипериодических режимов, переходящих через сценарий удвоения периода к хаотическому движению системы.

На этом рисунке «линзой» отражен процесс чередования различных по топологии двухцикловых режимов при разных значениях петлевого коэффициента усиления.

Диаграмма эволюции коэффициента пульсаций Kп, представленная в нижней части рис. 4, позволяет классифицировать предельные значения достижимого качества преобразования электроэнергии в такого рода структурах. В частности, размах пульсаций тока при хаотизации динамических режимов в многофазных преобразователях носит узкополосный характер, в отличие от систем с п = 1.

Наблюдаемое резкое снижение коэффициента пульсаций при увеличении а в районе малых а (а < 6) объясняется тем, что в этой области с увеличением а возрастает среднее значение выходного тока при незначительном изменении абсолютной величины его пульсаций.

Размытость границ областей т-цикловых режимов на рис. 3, 4 обусловлена точностью определения периодичности того или иного режима.

Представленные диаграммы построены с допущением, что суммарный ток дросселей Ll и L2, по которому оценивалась периодичность состояний системы, может иметь разброс ^гпогр = 0,02 А при величине тока, изменяющегося в диапазоне от 1 до 9,5 А в зависимости от управляющего напряжения. Этот разброс фактически является критерием оп-

ределения периодичности того или иного режима. Точная идентификация возможна, например, с применением методов анализа устойчивости Ляпунова [8], что позволит отнести рассматриваемый режим к периодическому или квазипериодическому.

¿2, А ,

5,7

5,6 5,5 5,4

Кп 0,03

0,02 0,01

0

¡1 115 I 1 • •

7

!

• • 1« »1 ; мп и

1 1 И II

350 а

: : < ----.».»Члзд

.V

:/* : 1 :

—

0

50

100

150

200

250

300

350 а

Рис. 4. Бифуркационная диаграмма тока нагрузки двухфазного преобразователя

и его коэффициента пульсаций

г, а 6

5

0

1 1 к | 1 1 1 1 1

1 1 1 1  1 ¿1 1 1 1 1

1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1-.ц.  |__________ 1 П^ЛЛпАЛПппИИРИИт'А | 1 I шШпЩ 1 1 1 1 _________!

1 1 у 1 1 1 1 1 \ 1 1 1

1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ^2  1 1 1 1

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 t, с

Рис. 5. Мгновенные значения токов фаз: г1, г2 - токи фаз; г2 - ток нагрузки

4

3

2

1

Одной из основных задач анализа многофазных структур является исследование возможности равномерного распределения мощности между ячейками, поскольку обеспечение требуемого уровня надежности предполагает непрерывный мониторинг загруженности всех ячеек и перераспределение мощности в случае отключения какой-либо из них. На рис. 5 приведен пример автоматического перераспределения токов между ячейками при достижении того же параметра а = 250.

Можно видеть, что суммарный ток нагрузки величиной 5 А в интервале времени 0 < £ < 0,018 с равномерно распределен между двумя ячейками по 2,5 А, а затем одна

ячейка полностью разгружается при t = 0,032 с, а вторая перехватывает на себя весь ток нагрузки. Это явление неизбежно сопровождается лавинообразным развитием катастрофического отказа всей многофазной структуры преобразователя.

Для определения опасных, с этой точки зрения, параметров системы построена диаграмма существования установленного явления расхождения токов, приведенная на рис. 6. На диаграмме хорошо просматривается связь областей существования этого явления с областями существования различных режимов. В частности, области автоматического расхождения токов фаз, выделенные темным цветом, имеют место только при больших значениях коэффициента петлевого усиления а и, как правило, границы этих областей совпадают с областями хаотичных режимов, что, в общем случае, не должно влиять на функционирование преобразователя в рабочей области проектных параметров.

0 50 100 150 200 250 300 350 а

Рис. 6. Области существования режимов расхождения токов фаз

Выводы

1. Разработана численно-аналитическая модель замкнутой системы регулирования тока, выполненного из параллельно включенных преобразователей понижающего типа со смещенными относительно друг друга фазами коммутации ключей.

2. Расчеты показали, что по сравнению с n = 1 у двухфазного преобразователя (n = 2) расширяется область существования проектного режима более чем в три раза.

3. Установлен факт самопроизвольного перераспределения токов фаз при достижении значений коэффициента петлевого усиления областей существования хаотической динамики.

Полученные результаты позволяют уверенно проектировать «нормальные» [7] многофазные системы питания, не склонные к аномальным режимам функционирования.

Литература

1. Кобзев А.В. Многозонная импульсная модуляция. Теория и применение в системах преобразования электрической энергии. - Новосибирск: Наука, 1979. - 304 с.

2. Кобзев А.В. Модуляционные источники питания РЭА / А.В. Кобзев, Г.Я. Михальченко, Н.М. Музыченко. - Томск: Радио и связь, Томский отдел, 1990. - 336 с.

3. Кобзев А.В. Нелинейная динамика полупроводниковых преобразователей / А.В. Кобзев, Г.Я. Михальченко, А.А. Андриянов, С.Г. Михальченко. - Томск: Том. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2007. - 224 с.

4. Андриянов А.И. Сравнительная характеристика различных видов ШИМ по топологии областей существования периодических режимов / А.И. Андриянов, Г.Я. Михальченко // Электричество. - 2004. - № 12. - С. 46-54.

5. Андриянов А.И. Математическое моделирование импульсных преобразователей напряжения на базе однополярной реверсивной модуляции / А.И. Андриянов, Г.Я. Ми-хальченко // Мехатроника, автоматизация и управление. - 2005. - № 1.

6. Tse C.K. Flip Bifurcation and Chaos in Three-State Boost Switching Regulators // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Theory and Applications. - 1994. - Vol. CAS-41, No. 1, Jan. - P. 16-23.

7. Баушев В.С. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием/В.С. Баушев, Ж.Т. Жусубалиев // Электричество. - 1992. - № 8. - C. 47-53.

8. Алейников О.А., Исследование локальной устойчивости периодических режимов в нелинейных импульсных системах / О.А. Алейников, В.С. Баушев, А.В. Кобзев, Г.Я. Михальченко // Электричество. - 1991. - № 4. - C. 16-21.

Гаврилов Андрей Александрович

Аспирант ТУСУРа

Эл. почта: andrey_gavrilov@live.ru

Михальченко Геннадий Яковлевич

Д-р техн. наук, профессор каф. промышленной электроники ТУСУРа

директор НИИ промышленной электроники

Тел.: (382-2) 41-32-32

Эл. почта: kpe-tusur@yandex.ru

Михальченко Сергей Геннадьевич

Канд. техн. наук, доцент каф. промышленной электроники ТУСУРа

Тел.: 8-913-826-09-07

Эл. почта: msg@ie.tusur.ru

A.A. Gavrilov, G.Ya. Mikhalchenko, S.G. Mikhalchenko Nonlinear dynamics of converters with multiphase pulse modulation

The mathematical model and results of modeling of the closed system of current regulation on the basis of parallel-included converters of lowering type are considered, phases of keys switching are displaced from each other.

Keywords: a modular principle of construction of power converters, multiphase pulse modulation, the decision of the nonlinear differential equations of dynamics, bifurcational analysis of the established modes of system functioning.