Математическое моделирование прохождения терагерцового излучения через монослой графена

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Физика

УДК 535.32

Г. С. Макеева, О. А. Голованов, В. В. Вареница, Д. В. Артамонов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ТЕРАГЕРЦОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ МОНОСЛОЙ ГРАФЕНА1

Аннотация.

Актуальность и цели. Графен обладает уникальными электронными и оптическими свойствами для применений в широком диапазоне рабочих частот, перекрывающих спектр от радиочастот, микроволн до оптического диапазона. Целью данной работы является теоретическое исследование прохождения и взаимодействия терагерцового (ТГц) излучения с монослоями графена на основе математического моделирования, базирующегося на решении уравнений Максвелла совместно с материальным уравнением среды (графена).

Материалы и методы. С использованием разработанного вычислительного алгоритма на основе автономных блоков с каналами Флоке разработана математическая модель прохождения и взаимодействия терагерцового излучения с электродинамическими структурами на основе графена, базирующаяся на решении краевой задачи для уравнений Максвелла, где поверхностная проводимость графена включена как параметр и определяется формулой Кубо.

Результаты. Получены результаты электродинамического расчета коэффициентов отражения и прохождения ТЕМ-волны через монослой графена при изменении химического потенциала (напряженности внешнего постоянного электрического поля) в микроволновом, терагерцовом, инфракрасном диапазонах.

Выводы. Полученные в работе результаты демонстрируют, что коэффициенты прохождения и отражения электромагнитной волны от монослоя графена могут управляться внешним электрическим полем от микроволнового до оптического диапазона. Результаты указывают, что монослои графена чрезвычайно перспективны для создания широкого класса устройств терагерцового диапазона на основе графена.

Ключевые слова: монослой графена, формула Кубо, коэффициент отражения, коэффициент прохождения, микроволновый, терагерцовый, инфракрасный диапазон, автономные блоки, каналы Флоке.

G. S. Makeeva, O. A. Golovanov, V. V. Varenitsa, D. V. Artamonov

МАТИЕМАТІСЛЬ MODELING OF TERAHERZ RADIATION TRANSMISSION THROUGH THE GRAPHENE MONOLAYERS

Abstract.

Background. Graphene exhibits the unique optical and electronic properties over a broad range of applications and operating frequencies, covering the spectrum from the radiofrequency (RF), the microwave up to the optical region. The aim of the present work is to theoretically research the transmission and interaction of teraherz (THz) radiation with graphene monolayers, using mathematical modeling by solving the Maxwell's equations, complemented by the constitutive law for grapheme.

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований грант № 12-02-97025-р_поволжье_а.

Physics and mathematics sciences. Mathematics

145

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Materials and methods. Using the computational algorithm on autonomous blocks with Floquet channels (FABs) the mathematical model of transmission and interaction of THz radiation with electrodynamic grapheme-based structures was developed by solving the Maxwell boundary value problem, where the graphene electron surface conductivity is included as a parameter and determined from the Kubo formalism.

Results. The results of electrodynamic calculation of the real and imaginary parts of complex transmission and reflection coefficients for the TEM mode through the graphene monolayer depending on the frequency were obtained for different values of chemical potential (the external electric field intensity) at the microwave, THz , infrared frequency ranges .

Conclusions. This work demonstrates that the transmission and reflection coefficients for the electromagnetic waves through the graphene monolayer can be tuned by the external electric field through the microwave up to the optical region. These results show that graphene monolayers turn out to be extremely interesting solutions for a wide variety of electronic devices and circuits at terahertz frequency range.

Key words: graphene monolayer, Kubo formula, transmission coefficient, reflection coefficient, microwave, teraherz, infrared frequency range, autonomous blocks, Floquet channels.

Введение

Освоение терагерцового (ТГц) диапазона (от 0,1 до 10 ТГц, диапазон длин волн 3-0,03 мм соответственно) необходимо для увеличения объема передаваемой информации в высокоскоростных системах связи (спутниковая, мобильная связь, Интернет сети), в системах локации, в том числе промышленных и автомобильных, для применения в системах безопасности, медицине, метрологии, оптоэлектронике, наноплазмонике.

Графен обладает уникальными физическими, электронными и оптическими свойствами в широком диапазоне частот, которые позволяют создать на его основе управляемые электрическим полем устройства ТГц диапазона (детекторы, выпрямители, умножители частоты, фильтры, поляризаторы, переключатели).

Графен способен концентрировать электромагнитную энергию в малых объемах, управлять излучением ТГц и ближнего инфракрасного диапазонов. Графен очень прочен и гибок, его можно легко растягивать и изгибать. Использование графена в качестве основы компонентной базы будущей наноэлектронике позволит преодолеть ограничения, свойственные традиционной кремниевой электронике и касающиеся степени миниатюризации и энергопотребления устройств.

Графен - это слой, состоящий из атомов углерода, связанных между собой и образующих решетку (рис. 1). Расстояние между ближайшими атомами углерода в графене составляет около 0,14 нм. Кристаллическая решетка графена представляет собой плоскость, состоящую из шестиугольных ячеек, т.е. является 2Б-гексагональной кристаллической решеткой [1]. В элементарной ячейке кристалла находятся два атома.

Теоретическое исследование графена началось задолго до получения реальных образцов материала. В 2004 г. совместными усилиями ученых Манчестерского университета (Великобритания) под руководством А. Гейма и Российского Института проблем технологии микроэлектроники и особо чистых металлов в Черноголовке под руководством К. Новоселова удалось получить и воспроизвести структуру графена [2]. За открытие графена и опыты

146

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Физика

с 2Б-материалом А. К. Гейму и К. С. Новоселову присуждена Нобелевская премия по физике за 2010 г. [1].

Рис. 1. Графен - плоская, толщиной в один атом, гексагональная 2Б-структура углерода [1]

Графен обладает уникальными электронно-оптическими свойствами в широкой полосе частот от СВЧ до оптического диапазона, такими как управляемость электрическим полем в зависимости от концентрации носителей заряда и возможность ограничивать электромагнитную энергию в очень малых объемах, а также исключительными механическими свойствами: гибкость, прочность, стабильность к условиям окружающей среды [2, 3].

Наноматериалы на основе графена перспективны для применения в ТГц диапазоне для создания высокоскоростных электрически управляемых сверхмикроминиатюрных устройств и антенн [4], что и определяет актуальность задачи.

1. Уравнения электродинамики для структур на основе графена

Математическая модель волновых процессов в электродинамических структурах на основе графена базируется на решении краевой задачи дифракции для системы уравнений Максвелла

г-, ч dD

rotH(t)=---- + J(t), rotE(t) =----,

dt dt

divD

совместно с материальными уравнениями среды (графена):

D (t) = є0єЕ (t), B (t) = MoMH (t), J(t) =cE (t),

и дополненной электродинамическими граничными условиями. Здесь E(t), H (t) - векторы напряженностей электрического и магнитного полей;

Physics and mathematics sciences. Mathematics

147

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

D(t), B(t) - векторы электрической и магнитной индукций; J(t) - плотность тока; є, ц - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; а - объемная удельная проводимость (электропроводность) среды; р - объемная плотность электрического заряда; Єд, М-о - электрическая и магнитная постоянные.

Монослой графена характеризуется поверхностной проводимостью as , определяемой формулой Кубо [5]:

а5

-ie^kfrT пй2

_Мс

kbT

• + 2ln

exp

-ц,

kbT

\ ^ +1

(

2 «I exP

іе2(ю-і2Г) Л

пй2 '

Ч-Мс

kbT

Л V1 ( (

+1

exp

^-Мс ^ ^

-1

V kbT J

+1

(ю-і2Г)2

2^

-d £,

-iq -23

где е = 1,6 10 к - заряд электрона; kb = 1,38 10 Дж / к - постоянная Больцмана; й = 1,054 1 0-34 Дж • с - постоянная Планка; T = 300 К - температура; Г = 10 1/ с - скорость релаксации; цс = 0 -1 эВ - химический потенциал (1эВ = 1,602 10-19 Дж); ю = 2п/ - частота.

В уравнения Максвелла (1) входит объемная удельная проводимость а, которую необходимо выразить через поверхностную проводимость as .

Для монослоя графена вводится комплексная диэлектрическая проницаемость [6]:

іа

є

Є0 wd

где d - эффективная толщина монослоя графена.

Введем эффективную толщину графена d = 1 10 9 м и установим связь между поверхностной as и объемной а проводимостями: а = as / d .

Тогда уравнения Максвелла (1) для электродинамических структур на основе графена запишутся в виде

rot H (t )=Є0Єь ^ + oL£ (t), dt d

^ dH

rot E (t ) = - M0Mb ^—,

где є = Єь , Ц = Mb - диэлектрическая и магнитная проницаемости графена, которые считаем скалярными величинами; нескомпенсированный электрический заряд отсутствует [7].

148

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Физика

С учетом (3) запишем уравнения Максвелла (4) для гармонических колебаний в виде

rot Н = ію£0£ ь (ю, цс )Е,

rot E = - 7ЮЦ0МьН.

2. Проводимость и комплексная диэлектрическая проницаемость графена в терагерцовом и инфракрасном диапазонах частот

Зависимости поверхностной проводимости os графена от частоты в СВЧ, терагерцовом (ТГц) и инфракрасном (ИК) диапазонах (0,001-1000 ТГц) показаны на рис. 2. Расчет проведен по формуле Кубо (2).

0,001

0,01

0,1

10

100 1000 f, ТГц

Рис. 2. Частотные зависимости действительной и мнимой частей поверхностной проводимости графена в СВЧ, ТГц и ИК диапазонах при различных значениях химического потенциала; кривые: 1 - рс = 0,0 эВ; 2 - рс = 0,15 эВ;

3 - рс = 0,5 эВ ; 4 - рс = 1,0 эВ

Поверхностная проводимость os графена является комплексной величиной с положительной действительной частью o's и отрицательной мнимой частью o"s (мнимая часть проводимости o"s на графике в логарифмическом масштабе показана как положительная величина). В диапазоне частот от 0,001 до 0,1 ТГц действительная часть o's комплексной проводимости графена является постоянной величиной.

Проводимость графена в ТГц диапазоне определяется согласно модели Кубо (2) химическим потенциалом, который можно изменять, например, приложенным внешним электрическим полем [5]. Так, при изменении химического потенциала от 0 до 1 эВ поверхностная проводимость графена Os увеличивается почти в 20 раз (рис. 2). Изменение химического потенциала осу-

Physics and mathematics sciences. Mathematics

149

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

ществляется составляющей вектора напряженности внешнего электрического поля Eq , нормальной к плоскости графена [6] (рис. 3).

Е.

Ї

Оs = О,

Графен

Рис. 3. Схема управления проводимостью графена при изменении химического потенциала приложенным внешним электрическим полем Eq

Вводя зависимость химического потенциала Vc от внешнего электрического поля Eq , формулу (2) для поверхностной проводимости графена запишем в виде

°s

-ie2kb>T

f

пЙ2

Vc

kbT

+ 2ln

( ( Vc(Ео)^ ^

exp

kbT

+1

2 «I exP

іе2(ю-і2Г) Л

ПЙ2 J

4-Vc(Ео) khT

^ V1 ( (t .. ГГ \\ V1

+1

J

J

exp

V v

£>-Vc(Еo) kbT

+1

(-і2Г)2-I

-dK

Нормальная к плоскости графена составляющая вектора электрической индукции равна [7]:

D0 =ЧЕ0 =ens /2,

где £ь - диэлектрическая проницаемость графена (=£q); ns - 2Б-поверх-ностная плотность электрического заряда.

Поверхностная плотность заряда ns определяется выражением [7, 8]:

ns =-----г——

s ъ.2.,2

пЙ vF

j e(d(е) - fd (e + 2Vc ) )d Є,

где fd(Є) =

( (e-Vc > ї

-1

exp

V kbT J

+1

Є - энергия электрона; Vf

- функция распределения Ферми - Дирака; 3Yob

2Й

(Yo = 2,7 эВ, b = 0,142 нм).

Из (7), (8) получаем выражение, связывающее между собой напряженность внешнего электрического поля Eq и химический потенциал Vc :

Eq <2 2

пЙ Vfeb 0

je(d (e) - fd (e + 2Vc ) )de .

150

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Физика

Зависимость химического потенциала р,с от напряженности внешнего постоянного электрического поля Ео, рассчитанная по формуле (9), показана на рис. 4.

Рис. 4. Зависимость химического потенциала рс от напряженности внешнего постоянного электрического поля Ео

Зависимости поверхностной проводимости графена от напряженности внешнего постоянного электрического поля Ео , рассчитанные по формуле (6) с учетом (9), для различных частот ТГц диапазона приведены на рис. 5, 6.

1

2

3

4

5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Е0, В/нм

Рис. 5. Зависимость действительной и мнимой частей поверхностной проводимости графена от напряженности внешнего постоянного электрического поля Ео; кривые: 1 - f = 1 ТГц; 2 - 1,25 ТГц; 3 - 1,5 ТГц ; 4 - 1,75 ТГц; 5 - 2 ТГц

Re Gs

0006

0.005'

0.004'

0.003"

— — —

Physics and mathematics sciences. Mathematics

151

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Рис. 5. Окончание

Кривые являются симметричными и нелинейными, особенно сильно нелинейность проявляется вблизи точки Eq = 0.

Е0, В/нм

Рис. 6. Зависимость действительной и мнимой частей поверхностной проводимости графена от напряженности внешнего постоянного электрического поля Eq', кривые: 1 - f = 10ТГц;

2 - 15 ТГц;3 - 20ТГц;4 - 25 ТГц;5 - 30 ТГц

152

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Физика

Рис. 6. Окончание

Расчетные зависимости действительной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости (3) графена от частоты в СВЧ и ТГц диапазонах при различных значениях химического потенциала приведены на рис. 7. В диапазоне частот от 0,1 ГГц до 100 ТГц действительные и мнимые части диэлектрической проницаемости имеют отрицательные значения (на графике показаны положительными величинами, так как используется логарифмическая шкала).

Рис. 7. Зависимости действительной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости графена от частоты в СВ и ТГц диапазонах при различных значениях химического потенциала

Physics and mathematics sciences. Mathematics

153

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Из графиков на рис. 7 видно, что на частотах до 0,1 ТГц графен ведет себя как металл, выше - как диэлектрик с потерями. Начиная с частоты 2 ТГц и выше мнимой частью диэлектрической проницаемости графена можно пренебречь.

На рис. 8 показаны расчетные зависимости действительной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости графена от частоты в ИК диапазоне от 200 до 1000 ТГц при различных значениях химического потенциала.

Рис. 8. Зависимости действительной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости графена от частоты в ИК диапазоне при различных значениях химического потенциала

154

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Физика

Из графиков на рис. 8 следует, что при различных значениях химического потенциала действительная часть комплексной диэлектрической проницаемости меняет знак с «-» на «+» и стремится к единице. При этом мнимая часть диэлектрической проницаемости знака не меняет.

3. Результаты электродинамического расчета коэффициентов отражения и прохождения ТЕМ-волны через монослой графена в ТГц диапазоне

Методом автономных блоков с каналами Флоке (ФАБ) [9] проведен электродинамический расчет коэффициента прохождения ТЕМ-волны через монослой графена.

Расчетная модель на основе ФАБ дифракции ТЕМ-волны на монослое графена представлена на рис. 9.

Диэлектрик

..../Л....

ТЕМ-волна

k

Графен -

Канал Флоке

Рис. 9. Расчетная модель на основе ФАБ дифракции ТЕМ-волны на монослое графена

Результаты электродинамического расчета коэффициентов отражения KI и прохождения |.^2i | ТЕМ-волны через монослой графена при изменении химического потенциала рс (внешнего электрического поля) представлены на рис. 10.

При увеличении химического потенциала Дс поверхностная проводимость (6) графена возрастает, что приводит к увеличению коэффициента отражения |^1J и уменьшению коэффициента прохождения 1^1 (рис. 10). Как следует из результатов расчетов (рис. i0), с увеличением частоты коэффициент прохождения 1^1 возрастает, а коэффициент отражения |_Rn| уменьшается в ТГц диапазоне, и на частотах, выше 50 ТГц, монослой графена для электромагнитной волны становится оптически прозрачным.

Заключение

Построена математическая дифракции и взаимодействия электромагнитных волн со структурами на основе графена в ТГц диапазоне, отличающаяся от известных электродинамическим уровнем строгости (решение уравнений Максвелла совместно с материальным уравнением, включающем проводимость графена, определяемую формулой Кубо), с электродинамическими граничными условиями и разработаны реализующие их вычислительные алгоритмы.

Physics and mathematics sciences. Mathematics

155

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Рис. 10. Частотные зависимости коэффициентов отражения |^п| и прохождения |^211 ТЕМ-волны через монослой графена при изменении химического потенциала gc (внешнего электрического поля); кривые: 1 - рс = 0 эВ ;

2 - рс = 0,15 эВ; 3 - рс = 0,3 эВ; 4 - рс = 0,6 эВ ; 5 - рс = 1 эВ

Результаты электродинамического расчета могут быть использованы для создания устройств ТГц диапазона на основе графена: поляризаторов, быстро перестраиваемых оптических фильтров и сверхбыстрых пространственных модуляторов с управляемой электрическим полем широкой полосой частот, которые в перспективе будут работать и в ближнем ИК диапазоне.

Список литературы

1. Graphene. Scientific Background on the Nobel Prize in Physics. Royal Swedish Academy of Sciences. - Revised Nov. - 2010. - Vol. 29.

2. Novoselov, K. S. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in grapheme / K. S. Novoselov et al. // Nature. - 2005. - Vol. 438. - Р. 197.

3. Морозов, С. В. Электронный транспорт в графене / С. В. Морозов, К. С. Новоселов, А. К. Гейм // Успехи физических наук. - 2008. - Т. 178, № 7. - С. 776780.

4. Gao, W. Excitation of Plasmonic Waves in Graphene by Guided-Mode Resonances / W. Gao, J. Shu, C. Qiu, and Q. Xu // ACS Nano. - 2012. - Vol. 6 (9). - P. 7806-7813.

5. Hanson, G. W. Dyadic Green’s functions and guided surface waves for a surface conductivity model of grapheme / G. W. Hanson // J. of Appl. Phys. - 2008. - Vol. 103. -P. 064302.

6. Bolotin, K. I. Ultrahigh electron mobility in suspended grapheme / K. I. Bolotin, K. J. Sikes, Z. Jiang, M. Klima, G. Fudenberg, J. Hone, P. Kim, and H. L. Stormer // Solid State Commun. - 2008. - Vol. 146. - Р. 351-355.

156

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Физика

7. Ryzhii, V. Plasma waves in two-dimensional electron-hole system in gated graphene heterostructures / V. Ryzhii, A. Satou, and T. Otsuji // J. Appl. Phys. - 2007. -Vol. 101. - P. 024509 (1-5).

8. Falkovsky, L. A. Unusual field and temperature dependence of the Hall effect in grapheme / L. A. Falkovsky // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 75. - P. 033409 (1-4).

9. Голованов, О. А. Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их применение для решения прикладных задач электродинамики / О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 2006. - Т. 51, № 12. - С. 1423-1430.

References

1. Graphene. Scientific Background on the Nobel Prize in Physics. Royal Swedish Academy of Sciences. Revised Nov. 2010, vol. 29.

2. Novoselov K. S. et al. Nature. 2005, vol. 438, p. 197.

3. Morozov S. V., Novoselov K. S., Geym A. K. Uspekhi fizicheskikh nauk [Progress of physical sciences]. 2008, vol. 178, no. 7, pp. 776-780.

4. Gao W., Shu J., Qiu C. and Xu Q. ACS Nano. 2012, vol. 6 (9), pp. 7806-7813.

5. Hanson G. W. J. of Appl. Phys. 2008, vol. 103, p. 064302.

6. Bolotin K. I., Sikes K. J., Jiang Z., Klima M., Fudenberg G., Hone J., Kim P. and Stormer H. L. Solid State Commun. 2008, vol. 146, pp. 351-355.

7. Ryzhii V., Satou A. and Otsuji T. J. Appl. Phys. 2007, vol. 101, p. 024509 (1-5).

8. Falkovsky L. A. Phys. Rev. B. 2007, vol. 75, p. 033409 (1-4).

9. Golovanov O. A. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 2006, vol. 51, no. 12, pp. 1423-1430.

Макеева Галина Степановна

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет

E-mail: radiotech@pnzgu.ru

Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра общепрофессиональных дисциплин, Пензенский филиал Военной академии материально-технического обеспечения

E-mail: golovanovol@mail.ru

Вареница Виталий Викторович

директор департамента аудита кода и сертификации, Научнопроизводственное объединение «Эшелон»

E-mail: v.varenitsa@cnpo.ru

Makeeva Galina Stepanovna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of radio engineering and radio electronic systems, Penza State University

Golovanov Oleg Aleksandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of general professional disciplines, Penza branch of the Military Academy of Maintenance Supplies

Varenitsa Vitaliy Viktorovich Director of the department of code audit and certification, Research and production association “Eshelon”

(24 Electrozavodskaya street,

Moscow, Russia)

Physics and mathematics sciences. Mathematics

157

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Артамонов Дмитрий Владимирович

доктор технических наук, профессор, кафедра автономных информационных и управляющих систем, Пензенский государственный университет

Artamonov Dmitriy Vladimirovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of autonomous information and control systems, Penza State University

E-mail: aius@pnzgu.ru

УДК 535.32 Макеева, Г. С.

Математическое моделирование прохождения терагерцового излучения через монослой графена / Г. С. Макеева, О. А. Голованов, В. В. Варе-ница, Д. В. Артамонов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3 (31). - С. 145-158.

158

University proceedings. Volga region