Применение методов дискретной математики при решении логических задач

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014

Н. Н. ЗЕПНОВА О. В. КУЗЬМИН

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет

Иркутский государственный университет

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ ПРИ РЕШЕНИИ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Статья посвящена вопросам решения логических задач. Рассматриваются методы решения различных задач с применением методов теории множеств, математической логики, теории графов. Статья может быть полезна студентам, изучающим дискретную математику и начинающим преподавателям.

Ключевые слова: логические задачи, дискретная математика, математическая логика, теория множеств, теория графов.

УДК 519.107.58

%

Решение задач математической логики зачастую сопряжено для студентов и школьников с большими трудностями. Это обусловлено, на наш взгляд, падением уровня не только абстрактного, логического мышления учащихся, но и уровня математического образования вообще.

Собственный опыт преподавательской работы в вузе, ознакомление с мнениями других преподавателей в прессе и в сети Интернет, позволяют сделать вывод о крайне слабой математической подготовке большинства абитуриентов, поступающих в технические вузы и их нежелании ликвидировать пробелы в своем образовании.

К сожалению, приходится констатировать, что в силу целого ряда причин у студентов не формируется системного представления о фундаментальных основах математики, методах математического анализа, алгебры, геометрии. Год за годом отмечается снижение уровня логического, абстрактного мышления, что, в свою очередь, не позволяет большинству студентов в достаточном объеме овладеть такими важным для будущих инженеров дисциплинами, как математика, начертательная геометрия, физики и другие точные науки.

Для повышения интереса к изучению математики вообще, и математической логики в частности, мы постарались в курсе дискретной математики, преподаваемом в НИ ИрГТУ, подобрать нестандартные практические задачи, иллюстрирующие применение основных методов дискретной математики в реальной жизни [1]. Решение подобных задач, на наш взгляд, вызывает у студентов интерес к изучению различных разделов дискретной математики, позволяет лучше усвоить ее основные законы и методы.

Приведем примеры подобных задач и методы их решения.

Применение диаграмм Эйлера-Венна. Метод Эйлера (круги Эйлера) широко применяется в решении задач, связанных с теорией множеств. Понятие множества является фундаментальным неопределяемым понятием. Интуитивно под множеством понимают совокупность дискретных (т.е. отдельных) объектов, обладающих общим признаком и составляющим вместе единое целое [2]. При этом природа объектов может быть самая разная.

Множества удобно изображать в виде областей на плоскости, ограниченных замкнутыми кривыми (обычно — кругов), включающих все элементы множества [3]. Отношения между множествами изображают в виде диаграмм, называемых диаграммами Эйлера — Венна. Универсальное множество (включающее в себя множество всех множеств, о которых идет речь в задаче) изображают в виде прямоугольника, внутри которого помещают круги, изображающие множества.

Например, изображение универсального множества, включающего различные подмножества множества десятичных цифр: 0={0}, четных чисел Р={2, 4, 6, 8}, нечетных чисел 0={1, 3, 5, 7, 9} и простых чисел Д = {1, 2, 3, 5, 7} представлено на рис. 1. Здесь и — множество всех подмножеств, образованных из элементов множества десятичных цифр. Как видим, некоторые элементы множества десятичных цифр и входят сразу в несколько подмножеств.

Применение диаграмм Эйлера — Венна облегчает решение задач на нахождение числа элементов некоторого множества или его подмножества.

Задача 1. Среди 100 работников одной из фирм Иркутска 80 % владеют акциями «Иркутскэнерго», а 55 % — акциями общества «Электросвязь». Сколько работников фирмы владеют акциями обоих названных обществ, если каждый работник владеет акциями хотя бы одной компании?

Решение:

По условию, акциями только общества «Электросвязь» владеет 100 % — 80 % = 20 % работников, а акциями только общества «Иркутскэнерго» — 100 % — — 55% = 45% работников. Таким образом, акциями только одной из компаний владеет 20 % + 45 % = 65 %

)\9 / 1 \ / \ 4 '

( 5,3 2 6

\ V 7 / V / 8

Рис. 2

работников. Значит, акциями обеих компаний владеет 100 % — 65 % = 35 % работников. А поскольку работников всего 100 человек, то акциями обеих компаний владеют 35 работников. Диаграмма Эйлера — Венна для данных условий приведена на рис. 2.

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача 2. В классе 42 ученика. Из них 16 занимаются легкой атлетикой, 24 — футболом, 15 — шахматами; 11 человек одновременно занимаются легкой атлетикой и футболом, 8 — легкой атлетикой и шахматами, 12 — футболом и шахматами, а 6 участвуют во всех трех спортивных секциях. Остальные не занимаются спортом. Сколько человек не занимается спортом?

Решение:

Решение этой задачи удобно изобразить на диаграмме Эйлера — Венна (рис. 3). Заполнение диаграммы начинают «с середины»: поскольку известно, что всеми тремя видами спорта занимаются 6 человек, сразу заполняем область пересечения всех трех множеств. Так как шахматами и футболом занимаются 12 человек, из которых 6 уже учтены, то на область пересечения множеств «Шахматы» и «Футбол» без «Легкой атлетики» приходится 12—6 = 6 человек. Аналогично рассуждая, заполняем области пересечения множеств «Шахматы» и «Легкая атлетика», и «Футбол» и «Легкая атлетика». Затем определяем количество человек, занимающихся только шахматами: из 15 исключаем тех, кого уже посчитали (то есть тех, кто кроме шахмат занимается еще каким-либо другим видом спорта): 15—(6 + 6 + 2) = 1. Аналогично заполняем оставшиеся области. После этого складываем все числа внутри диаграммы и вычитаем полученное число из общего количества учеников в классе. Таким образом, не занимаются спортом 12 человек. Очевидно, путем простых вычислений или логических умозаключений решить такую задачу гораздо сложнее.

Применение методов алгебры логики. Рассмотрим несколько примеров практического применения законов алгебры логики. Математическая логика (логика высказываний) — разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения

Шахматы ґ~\

1 у

/ V6 лГ V, /б\ У \ Не занимаются \ спортом

у 7 V5/ 3

Футбол Легкая атлетика

с точки зрения их формального строения. В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л [4].

С помощью логических связок из простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя их союзами «и» (конъюнкция), «или» (дизъюнкция), «не» (инверсия или отрицание), «следует» (импликация), «тогда и только тогда» (эквиваленция). Аксиомы логических операций (или логических связок) представляются обычно в виде таблиц истинности. Они известны каждому школьнику, поэтому мы не будем подробно останавливаться на них, напомним лишь, что при нахождении значений формул на каждом наборе переменных операции алгебры логики выполняются в следующем порядке: инверсия, конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквиваленция. Если требуется нарушить данный порядок — ставят скобки, и тогда в первую очередь выполняется действие в скобках.

Рассмотрим задачу о проверке истинности сложных высказываний с применением законов алгебры логики.

Задача 3. На вопрос: «Кто из трех студентов изучал дискретную математику? » получен верный ответ: «Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал дискретную математику?

Решение:

Обозначим логическими переменными следующие высказывания:

А — «Первый студент изучал дискретную математику»;

В — «Второй студент изучал дискретную математику»;

С — «Третий студент изучал дискретную математику».

Составим формулы для высказываний:

«Если изучал первый, то изучал и третий»: А^С

«Если изучал второй, то изучал и третий»: В^С

«Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий»:

Составим таблицу истинности для полученных логических формул (табл. 1).

Очевидно, что истинные значения данное высказывание принимает в том случае, когда первый студент изучал дискретную математику, а второй и третий — нет, или второй изучал, а первый и третий — нет.

Часто возникает необходимость в составлении расписания занятий, экзаменов, и т.п., согласованных с различными условиями: пожеланиями преподавателей, требованиями деканата и т.д. Решить эту задачу также помогает алгебра логики.

Задача 4. Составить расписание пяти уроков в одном и том же классе, если все предметы должны быть различны, а преподаватели высказали следующие пожелания: преподаватель истории (И) — 1, или 4, или 5 урок; литературы (Л) — 1 или 2 урок; физики (Ф)— 2 или 3 урок; математики (М) — 2 или 5 урок; химии (X) — любой урок, кроме 1 и 5.

Решение:

Составим логические формулы, соответствующие заявкам учителей. Для этого обозначим приписывание каждого предмета к конкретному уроку соответствующей буквой с индексом. Например, И1 означает, что урок истории стоит в расписании первым. Тогда заявке преподавателя истории будет соответствовать формула: Фи= И1уИ4у И5. Заявке

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014

Таблица истинности к задаче 3

а в с а^с в^с ^

л л л И И л л

л л И И И л л

л И л И л И И

л И И И И л л

И л л л И л И

И л И И И л л

И И л л л И л

И И И И И л л

преподавателя литературы соответствует формула Фд= Л1уЛ2 , заявке физика: фф = Ф2уФ3 , математика: фм = М2уМ5 , преподавателя химии: фх= Х2уХ3уХ4. Поскольку все заявки должны быть учтены, составим конъюнкцию этих формул:

(И1уИ4уИ5)&(Л1уЛ2)&(Ф2уФ3)&(М2уМ5)&(Х2уХ3уХ4) и проведем последовательные преобразования, учитывая, что на один урок не могут претендовать два предмета, то есть конъюнкция И4 & Х4 ложна. В результате получим следующую дизъюнкцию: Л1&Ф2&Хз&И4&М5уЛ1&Х2&Ф3&И4&М5 уИ1&Л2&Ф3 &Х4&М5уЛ1&М2&Ф3&Х4&И5.

Таким образом, получилось четыре варианта расписаний.

Еще один пример практического применения алгебры логики — задача о подборе экипажа космического корабля, или подводной лодки, или других объектов, на которых предусматривается длительное совместное пребывание людей в замкнутом пространстве. Например, для космического полета составляют экипаж из трех человек: командир, инженер и врач. На должность командира претендуют четыре человека: А1, А2 ,А3, А4; на должность инженера — три человека: В1, В2, В3; на должность врача — тоже трое: С1, С2, С3. Сколько существует способов составления экипажа? Казалось бы, что может быть проще: 4'3'3 = 36. Но люди — не роботы, их нельзя переставлять как угодно. Необходимо учитывать еще вопрос психологической совместимости.

Задача 5. Составить возможные экипажи для полета на космическом корабле, если известно, что инженер В1 несовместим с врачом С3, инженер В2 — с врачом С1, а инженер В3 — с врачом С2. Кроме того, командир

А1 совместим с инженерами В1, В3 и врачами С2, С3;

А2 совместим с инженерами В1, В2 и всеми врачами;

Аз совместим с инженерами В1, В2 и врачами С1, С3;

А4 совместим со всеми инженерами и одним врачом Сз

Составим формулы, соответствующие последним четырем высказываниям:

Ф1=А1&(В1уВ3)&(С2уС3);

Ф2 = А2&(В1уВ2)8і(С1уС2уС3);

Ф3 = А3&(В1х/В2)&(С1\'С3);

(Ф4 = А4&(В1уВ2]Вз)&С^з Составим теперь дизъюнкцию этих формул: А(&(В(уВ3)&(С2уС3)уА2&(В(уВ2)&(С(уС2уС3)уА3&(В(уВ2) &(С(уС3)уА4&(В(уВ2уВ3)&С3 и проведем преобразования (раскроем скобки). Получим: А(&В(&С(

V А(&В (&Сз V А (& В з&С2 V А(&Вз&Сз V А2&В (&С (

V А2&В (&С2 V А2&В (&С3 V А2&В2&С (V А 2 & В 2 & С 2

V А2&В2&Сз V А3&В (&С ( V А3&В ( & С 3 V Аз&В2&С ( /Аз&В2&;Сз /А4&13(&Сз /А4&Вз«&Сз /А4&В;&С; Однако не все из полученных конъюнкций возможны. Например, комбинация А(&В(&С3 не может быть реализована, поскольку инженер В( не совместим с врачом С3. Тогда, с учетом условий несовместимости, остаются следующие конъюнкции: А(&В(&С(/А(&В3

&Сз/Аз&В (&С(/Аз&В і&Сз/Аз&Вз&Сз^Аз^&Вз&С;

/А3&В (&С3/А3&Вз& С3/А4&Вз&С3/А4&В3&С3

3( 332 3423433

Получили 20 возможных составов экипажа. Применение теории графов. Часто при решении особого класса задач, связанных с наливанием определенного количества жидкости с помощью двух (иногда трех) пустых сосудов, применяются методы теории графов [5].

В общем случае граф G (X, Е) — это множество элементов — точек X, определенным образом соединенных между собой линиями, необязательно прямыми. Точки множества X называются вершинами графа G. Соединяющие их линии — ребра представляют множество Е. Вершины графа обычно нумеруют.

На рис. 4 изображен граф, построенный на пяти вершинах и имеющий шесть ребер. Рассмотрим следующую задачу (задача Тартальи):

Задача 6. Имеется 8-литровый сосуд, до краев наполненный водой, и два пустых объемом 3 и 5 литров. Требуется разлить воду поровну в два больших сосуда.

Решение:

Выберем на плоскости систему координат (необязательно прямоугольную). На одной оси отложим

А Е (2; 3) К В

О I7 0) О С

Рис. 6

отрезок ОС, равный 5 единицам масштаба, на другой — отрезок ОА, равный 3 единицам. Построим параллелограмм ОАВС (рис. 5). Отметим на его сторонах точки с целочисленными координатами — это вершины графа. Соединим точки (0; 1) и (1; 0) отрезком и проведем параллельно ему отрезки, соединяющие отмеченные точки. Кроме того, соединим вершины графа, лежащие на противоположных сторонах параллелограмма, отрезками, параллельными координатным осям. Все эти отрезки являются ребрами построенного графа.

Сопоставим рассмотренный граф с задачей о переливании. Точка О соответствует тому состоянию, когда 5-литровый и 3-литровый сосуды пустые. Перемещение по ребру ОС отвечает наполнению 5-литрового сосуда, а по ребру ОА — наполнению З-лит-рового. На сосудах нет никаких меток, поэтому процесс наливания заканчивается тогда, когда сосуд наполнен. Этому процессу соответствует движение по ребрам графа, параллельным координатным осям до границы параллелограмма ОАВС. Но можно часть воды перелить из одного сосуда в другой, либо вылить остаток из одного сосуда, либо долить другой сосуд до краев — этим операциям соответствует перемещение из одной вершины графа в другую по диагональным ребрам.

Приведем решение задачи Тартальи с помощью графа. Нужно выделить в данном графе маршрут, ведущий из вершины О в вершину D (рис. 6). Искомый маршрут отмечен сплошной линией. Прокомментируем его.

Ребро ОС изображает наполнение 5-литрового сосуда (точка С имеет координаты (5; 0));

СЕ: из 5-литрового вода переливается в З-литро-вый (точка Е имеет координаты (2; З), то есть в 5-литровом осталось 2 л воды, а З-литровый налит до краев);

EF: из З-литрового вода переливается в 8-литровый ^ имеет координаты (2;0));

FG: 2 л, находящиеся в 5-литровом, переливаются в З-литровый;

GH: наполняется вновь 5-литровый;

НК: из 5-литрового доливается недостающая часть в З-литровый, в 5-литровом остается 4 л воды;

KD: из З-литрового вода выливается в 8-литровый.

Для облегчения построения маршрута можно воспользоваться методом бильярдного шара. Для этого возьмем угол АОС нашего параллелограмма рав-

ным 60° и будем считать, что бильярдный стол выполнен в форме такого параллелограмма. Если учесть, что при ударе шара по бортику стола он продолжает движение по принципу: угол падения равен углу отражения, то шар, выпущенный из точки О вдоль одной из сторон стола, воспроизведет требуемый маршрут. Он будет двигаться по пути, изображенному на рис. 6 , если будет выпущен вдоль стороны ОС.

Можно выбрать другой маршрут: начать движение по ребру ОА (то есть сначала наполнить З-лит-ровый сосуд). Этот маршрут менее экономичен, он требует на одно переливание больше, чем в приведенном решении.

Приведенные нами рассуждения верны лишь при условии, что третий сосуд, изначально наполненный, имеет вместимость, большую или равную, чем суммарная вместимость пустых сосудов. Метод бильярдного шара позволяет решать аналогичную задачу и для четырех сосудов. Но в этом случае уже потребуется аналогичный пространственный граф.

Как показывает практика преподавания дискретной математики в НИ ИрГТУ, подобные логические задачи, связанные с практическими ситуациями, но решаемые с помощью методов дискретной математики, вызывают неподдельный интерес у студентов и способствуют лучшему усвоению основных разделов дискретной математики.

Библиографический список

1. Зепнова, Н. Н. Особенности преподавания курса дискретной математики во втузе / Н. Н. Зепнова, О. В. Кузьмин// Омский научный вестник. — 2011. — № 1 (95). — С. 160— 164.

2. Судоплатов, С. В. Элементы дискретной математики: учебник / С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова. — М. : ИНФРА-М, Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2002. — 280 с.

3. Мельников, О. И. Обучение дискретной математике / О. И. Мельников. — М. : Изд-во ЛКИ, 2008. — 224 с.

4. Горбатов, В. А. Дискретная математика: учеб. для студентов втузов / В. А. Горбатов, А. В. Горбатов, А. В. Горбатова. — М. : АСТ : Астрель, 200З. - 447 с.

5. Кузьмин, О. В. Комбинаторные методы решения логических задач: учеб. пособие / О. В. Кузьмин. — М. : Дрофа, 2006. — 187 с.

ЗЕПНОВА Наталья Николаевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики Национального исследовательского Иркутского государственного технического университета.

КУЗЬМИН Олег Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории вероятностей и дискретной математики Иркутского государственного университета.

Адрес для переписки: zepnova.nat@mail.ru

Статья поступила в редакцию 26.03.2014 г.

© Н. Н. Зепнова, О. В. Кузьмин

Книжная полка

51/М22

Мамыкина, Л. А. Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его приложения: учеб. электрон. изд. локального распространения : учеб. пособие / Л. А. Мамыкина ; ОмГТУ. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2013. — 1 о=эл. опт. диск (CD-ROM).

Рассматривается теоретический материал с задачами практического содержания по дифференциальному исчислению функций одной переменной, а также даны типовые расчеты для самостоятельной работы. Предназначено для студентов-заочников всех факультетов технического вуза.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ