Метод асимптотического расщепления пространственной теории слоистых пластин

Метод асимптотического расщепления пространственной теории слоистых пластин

Г.Л. Горынин, Ю.В. Немировский

Югорский государственный университет, Ханты-Мансийск, 628012, Россия Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Уравнения пространственной теории упругости изгиба слоистых пластин решаются с помощью метода асимптотического расщепления, который ранее с успехом использовался при решении задач продольно-поперечного изгиба балок. Вблизи кромки пластины используется теория пограничного слоя, разработанная авторами.

Asymptotic splitting method of spatial theory of layered plates

G.L. Gorynin and Yu.V Nemirovskii

The equations of the spatial theory of elasticity of bending of layered plates are solved with the help of an asymptotic splitting method. This method was successfully used in problems of longitudinal-transverse bend of beams. Boundary-layer theory is used to describe material behavior near the beam edges.

1. Введение

Многослойные пластинчатые материалы уже на стадии изготовления в зависимости от выбранной технологии содержат внутренние уравновешенные поля напряжений, неучет которых подчас приводит к непредвиденному разрушению изготовленных из них конструкций. Хотя на стадии изготовления такие материалы и их компоненты ведут себя как неупругие тела, моделирование их поведения осуществляется преимущественно поэтапными методами упругих решений. В связи с этим умение находить аналитические решения уравнений пространственной теории упругости для слоистых конструкций становится ключом к успеху в моделировании технологических процессов изготовления многослойных пластин. Кроме того, известны многочисленные краевые и кромочные эффекты [1], которые приводят к расслоению пластин вблизи кромки и требуют создания адекватных моделей на основе пространственной теории. В данной работе уравнения пространственной теории упругости решаются с помощью метода асимптотического расщепления, который разработан авторами и ранее с успехом использовался при решении задач продольнопоперечного изгиба балок в пространственной постановке, термоупругого деформирования слоистых стержней и балок, лежащих на упругом основании [2-6]. Основная идея метода применительно к пластинам состоит в расщеплении исходной пространственной краевой задачи на систему краевых задач, решаемых по высоте пластины, и краевой двумерной задачи в плоскости плас-

тины. Вблизи кромки пластины используется теория пограничного слоя, разработанная авторами [7].

2. Постановка задачи

Рассмотрим пластину постоянной толщины, состоящую из произвольного числа слоев, выполненных из различных упругих материалов (рис. 1). Начало координат поместим на верхней поверхности плиты. Слои нумеруем сверху вниз, i — номер текущего слоя, ^ — число слоев, и, V, w — перемещения точек в направлении осей х, у, z соответственно, А,, ц,- — упругие постоянные Ламе для каждого слоя. Пусть и — характерное значение для перемещения и, h — толщина плиты и L — ее размер вдоль оси z, А — характерное значение постоянной Ламе. Будем рассматривать только такие плиты, для которых величина е - является малым параметром. Перейдем к безразмерным переменным и функциям, для простоты не меняя их обозначения:

х О х^, у О у/Ь, z О ,

и О и/и , О w|u, V О V и,

А, О А,./А , |1; О|1,/

°а|3 Ч ~ А~

°а|3О^^> Ч О о-——.

о о h

Потребуем выполнения линейных уравнений равновесия внутри плиты и на ее верхней и нижней поверхностях:

© Горынин Г.Л., Немировский Ю.В., 2004

Рис. 1. Слоистая плита

°хх + Чх = 0 °ух = 0 °х. = 0 пРи х = 0,

°хх - Чь = 0 °ух = оХ2 = 0 ПРИ х = 1,

= 0, а є {х, у, z},

дх ду дz где чх(у, z), чь(у, z) — поперечные нагрузки на верхней и нижней поверхностях. На границе между слоями компоненты тензора напряжения оху, о^ и охх непрерывны:

(Оах)і-1 - (Оах)і = 0 аЄ К У, ^ і = 2 к , 5.

Одновременно с тем должны быть непрерывны компоненты вектора перемещения:

(и),- - (и), - 0, (V),- - (V), - 0, (w),- - (w), - 0,

, - 2, к , 5.

Считаем, что материал каждого слоя подчиняется закону Гука:

3

(°ар ), - А, 05ар + 2Ц,• еар, где е-£ ^,

у=1

А і =-

2(1 + V і )'

где еав — компоненты линейного тензора деформаций; Еі, Vі — модуль Юнга и коэффициент Пуассона для і-го слоя. Задача (1)-(5) является полукраевой [2], т.к. на боковой кромке плиты краевые условия не заданы. Примем для перемещений следующие правила аппроксимации, частный случай которых использовался для решения задачи об изгибе балки в работе [2, 3]:

Е иї. К -

д 2 ки 0П > е 2 к ду2 ку д.2 к--

/ ч ди

)=-( х - О) - Є +

ду

к+ 1

V и у д и0 є2к+1

2^1 иі, ку, к 2 к .1 ^

к=1

4,(п) = ^ Л л ^0

кг 3 2ку +^ 2к. ду у дг 2

ди

=-( х - С0) ^ Є +

+Е

д2к + 1и

Vі ТТ2 д и0 є 2 к+1

иі, ку, к 2 к , Ь

ку + к. = к

, ^ ду 2 ку д. 2 к2+1

где с0 — некоторая константа; п — номер асимптотического приближения; и0)(у, £) — функция прогиба; иаk k (х) — характеристические функции вектора перемещения. Будем считать, что функция прогиба и0п) (у, £) равняется среднему перемещению точек поперечного сечения в поперечном направлении:

5 -1 Ь+1

)(у, 2) = Е/иі"^ кв+1 = 1

і=1 к.

Цихку,к.йх = 0, к = 1,..., п,

і=1 к

где к — координата і-го слоя поперечного сечения плиты соответственно.

Вычислим компоненты линейного тензора деформации по перемещениям (6) и подставим их в закон Гука (5):

(Оух )п =Е

к=1

(о.х) п=Е

к=1

(° хх) п=Е

д2к+1и

V (т ^(2 к+1) д и 0 є 2 к+1

^ (ух )і,2ку +1,2к. ^ 2ку +и 2к

у + к. = к ду у дг 2

д 2 к+1и

V (т )(2 к+1) д и0 е 2 к+1

^ ( .х ) і ,2ку ,2к. +1 ^ 2к - 2к +1

у + к2 = к ду у д. .

д 2 ки (п) д и0 2к

Е (т )(2к) _________________

V хх)і ,2 ку ,2 к. Л 2 к^ 2 к

ку + к. = к ду у д. .

V

д 2 п+2 и

I ^ Х'' и. д и 0 е 2 п+2 ,

+ Аі Е Ті, ку, к. д 2ку д 2к +2 е +

ку + к.=п ду д.

2п+2

+я. Е и у —_______________________є 2п+2

иі, ку, к. - 2 ку + ^ 2 ^ ,

ку + к. =п ду д. .

(О уу )п =Е

д 2 ки

V (Т Л (2 к) д и 0 є 2к

^ ^ уу )і ,2 ку ,2 к. °

ку + к. = к

'л 2к^ 2к.

ду у д. .

+

д 2 п+2 и

+ (А + 2и ) Е иу _0_Є2п+2 +

Щ) Ті, к , к 2ку+2^ 2к Ь ^

ку + к.=п ду д. .

+(аі+2ці) е иуку.

д2 п+2 и

к^ л 2ку+2 л 2к. ду у д.

0 є2п+2 +

(°) п=Е

д 2 ки (п) д и0 2к

і ,2ку,2к. ^ 2к^ 2к

ку + к. = к ду у д. .

2

- к. ти ,2ко 2к7+2 ку + к.=п ду д.

д 2 п+2 и

+ (Аг. + 2Ці) Е Ч к , к к и°. , є2п+2 +

д 2 п+2 и

+ А Е иу Л__________иА_______є 2п+2

^^1 ^ иі, ку, к. - 2 ку + ^ 2 к ,

ку + к. =п ду д. .

(о у.) п =Е

д2к+2и(п) д и 0 є 2 к+2

Е (т )(2к+2) _____________________

^ ^1у.П ,2к +1,2к2 +1 ~ 2к +и 2к +1

к у + к2 = к ду у д. .

В формулах (8) использованы характеристические функции тензора напряжения, связанные с характеристическими функциями вектора перемещения следующим образом:

+

+

+

(Tzz И ,2* = (*1 + 2^ К * , > +

+ X.

иу

dUX

dx

Ui,0,0 = -(x - co),

(Tyy )(,2ky ,2kz = (Xi + 2^l )U;?ky -1, k, +

+ X,.

dU:x

dx

’ UlKA = 0, Щ -1,* = 0,

(Txx )(,2ky ,2kz = XI (U;y -1, kz + Ul,ky, i -1) +

+ (X; + 2Ц; )-

dU:x

dx

Uy 0,0 = -(x - c0)>

zxH,2k, ,2k, +1 ^1

(T )(2k+1) = u

( yx );,2ky +1, 2k, ^1

dU,

dx

-+ U x

dUy

dx

(Т уг )/, 2ку +1, 2кг +1 - (и,,ку, к, + и!,ку, к, )>

к -1, к, п, к - ку + кг.

Считаем, что нагрузки на верхней и нижней поверхностях пропорциональны между собой и представлены в виде:

Чь -кчЧи

где кч — коэффициент пропорциональности.

3. Краевые задачи по толщине пластины

Потребуем, чтобы характеристические функции удовлетворяли краевым задачам по высоте пластины:

d

dx

((Txx &) + (Т yx )(22k-),0 = 0,

-^((Txx )(20k)2k ) + (Tzx ).

dx

xx/;, 0, 2k ) + ( Тzx);,0,2k-1 = 0

—((т )( J ) + (t )(-1) + (t )( -1) = 0

dx xx );,2ky , 2kz )r(L yx )l,2ky -1,2kz ( Lzx );,2ky ,2kz -1

ky > kz e Z >

_d_

dx

—(T )(2k+1 + (T )(2k' + (T )(2k'

, (t yx )l,2ky +1, 2kz (t yy );,2ky, 2kz (t zy )l,2ky +1,2kz -1

_d_

dx

_d_

dx

(t )(2k+1 + (t )(2k^ = 0 (t yx );,2k+1,0 + (t yy );,2k,0 = °>

(T )(2k+1) + (t )(2k) = 0 ( Т zx )i,0,2k+1 + (t zz );,0,2k = U

_d_

dx

—(T )(2k+1 + (T )(2k) + (T )(2k'

, (t zx );,2ky, 2kz +1T(t zz );,2ky, 2kz (t zy )l,2ky -1, 2kz +1

ky + kz = k, k = 1, к, n, ; = 1,..., s.

На верхней и нижней поверхностях плиты

(Т ^(2k) = -q(2k) (Т ^(2 (l xx )1,2ky ,2k, ~ q2ky ,2k, > (l zx )1,:

( 2k +1) = 0,

,2ky ,2k, +1 “ °>

(T yx )l(,22kk+y‘)1,2kz = 0 ПРи x = 0,

zxJs,2ky ,2k, +1

= 0,

(tyx )S22+1+1, 2kz = 0 ПРи x = 1 на границах между слоями плиты

( 1 zx );-1, 2ky ,2k, +1 “ (l zx );,2ky ,2k, +1’

(t )(2k+1) = (t )(2k+1

( Lyx );-1, 2ky+1, 2kz ~ (yx )i, 2ky+1, 2kz

2ky ,2k “ xx );,2ky ,2k,

Uy = Uy

U ; -1, ky , k, U ;, ky , k,

(t )(2k ( xx ): -1

Ux = Ux

U;, ky, k, U;, ky, k.

U2 = U2

U; -1, ky, kz ~ U;, ky, kz ,

x = й;, ; = 2, к, s, k = 1

4. Уравнение поперечного изгиба слоистой пластины

Потребуем, чтобы функция прогиба удовлетворяла уравнению в частных производных в плоскости пластины:

(

'\2k

Ер2k (G 4(2k-1) d ц0 ,

ь (Gyx )2k -1,0 - 2k +

k=2 dy

V

+ У

^

a2kM0n)

2ky 9z 2kz

+ (G )(2k-1) + (Gzx )0,2k -1

s2ku0n) ^

dz 2k

+ q = 0,

;=1 hi-1

где q — суммарная поперечная нагрузка; (Gap)%,+) — характеристические жесткости слоистой плиты. Коэффициенты уравнения изгиба в соответствии с формулами (15) вычисляются на основе решений краевых задач (11)—(13). Наименьшее значение номера асимптотического приближения, при котором уравнение (14) имеет смысл, п = 2. В этом случае уравнение (14) совпадает с известным уравнением Софи Жермен

V

р Dy'

где V(m) — m-кратный дифференциальный оператор Лапласа; D(1) — первая цилиндрическая жесткость слоистой пластины. Для следующего приближения п = 3 уравнение (14) совпадает с уравнением Тимошенко-Доннелла [8]:

+

Ui, k , k -1 +

+

e 2pv

и

+ v

и

e4 D

D(2) = PD'

:-(Gyx )550,

где D('2) — вторая цилиндрическая жесткость; в — коэффициент связи первой и второй цилиндрических жесткостей.

Подставим формулы для перемещений и напряжений (6) и (8) в уравнения полукраевой задачи (1)—(5), тогда после сокращений и учета выполнения равенств (11)—(14), получится что уравнения полукраевой задачи (1) —(5) выполняются асимптотически с точностью 0((е)2п-2), т.е. мы построили формальное асимптотическое решение полукраевой задачи (1)—(5).

5. Краевые условия на кромке плиты

Для однозначности выбора функции прогиба из всех решений уравнения (14) следует задать краевые условия на кромке пластины. Используем обозначения для внутренних усилий в плите:

1 1 1

-{о^ х, М ар-}

0 0 0

Формулы для асимптотических приближений внутренних усилий получаются путем подстановки равенств (6) и (8) в выражения (18). По краю плиты будем задавать обычные краевые условия технической теории пластин:

шарнирное опирание — Мп = 0, и0п = 0,

жесткое защемление —

d и

^ = 0, и0п) = 0. d п

Таким образом, решение исходной задачи о поперечном изгибе в приближении с номером п распадается на последовательное решение двух задач. Первая задача связана с нахождением характеристических функций тензора напряжения слоистой плиты, являющихся функциями переменной х, с последующим нахождением жесткостных характеристик (Сар )%£+Л Во второй задаче (14), (19) определяется функция прогиба и0п\ с помощью которой могут быть определены перемещения и компоненты тензора напряжения в асимптотическом приближении с номером п для любой точки рассмотренной плиты. Перемещения и напряжения, получаемые из формул (6) и (8) на основе решения задачи (1)— (5), (19), будем называть основными перемещениями и напряжениями. При использовании интегральных краевых условий (19) основное напряженное состояние вблизи кромки пластины в некоторых случаях существенно отличается от истинного [7]. Для его уточнения введем пограничные перемещения wiш (г, е),

и,ш (г, е), V,ш (г, е), которые удовлетворяют однород-

ной полукраевой задаче (1)-(5), тогда перемещения и соответствующие им напряжения

wt (r, e) = w;(n)(r, e) + w‘nt(r, e), ut(r, e) = u(n)(r, e) + u;int(r, e), i = 1,..., s, vt (r, e) = v;(n)(r, e) + v‘nt(r, e),

Кр); = Кр)(n) + (оир)Г‘, a, pe [x, y, z]. удовлетворяют неоднородной полукраевой задаче (1)-(5). Для пограничных перемещений используем представления

w‘nt(r, e) = jrU;^p‘ntexp(-Apij),

p=1

«“

p=1

v‘nt(r, e) = yU If exp(- A£), ; = 1, к, s,

p=1

где U“pmt (x, y) — пограничные характеристические функции вектора перемещений (ae {x, y, z}), Ap — показатели, действительная часть которых больше нуля. В работе [7] получены уравнения на пограничные функции в случае цилиндрического изгиба слоистой пластины. Таким образом, формулы (20) на основе равенств (21), (6) и (8) позволяют построить пространственные компоненты тензора напряжения и вектора перемещения для произвольной точки многослойной пластины, подверженной изгибу.

Литература

1. Прикладная механика композитов / Сб. статей 1986-1988 гг. - М.:

Мир, 1989. - 358 с.

2. Немировский Ю.В., Горынин ГЛ. Асимптотическое решение крае-

вой задачи изгиба удлиненных упругих тел // Сб. трудов 5-й Все-рос. науч. конф. 29 ноября - 1 декабря 2002 г. Т. 1. Краевые задачи и математическое моделирование. - Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2002. - С. 48-54.

3. Nemirovsky U. V, Gorynin G.L. The theory of the layered beams under the action of cross loading // Advanced Studies in Mechanical Engineering. - Korea: Yeungnam University, 2002. - P. 9-16.

4. Горынин ГЛ. Расчет композитных балок на упругом основании на действие поперечной нагрузки в трехмерной постановке // Материалы III Междунар. науч.-техн. конф. «Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций», 27-29 марта 2003 г. - Волгоград: ВолГАСА, 2003. - Ч. II. - С. 35-37.

5. Горынин ГЛ., Немировский Ю.В. Аналитический метод 3-D расчета термоупругих композитных балок произвольного поперечного очертания // Сб. научных трудов VI Междунар. симп. «Современные проблемы прочности» имени В.А. Лихачева. - В. Новгород, 2003. - Т. II. - С. 138-144.

6. Горынин ГЛ., Немировский Ю.В. Поперечный изгиб многослойных

плит в трехмерной постановке // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Труды XVIII Межреспубл. конф., Кемерово, 1-3 июля 2003 г. / Под ред. В.М. Фомина. - Новосибирск: Изд-во «Нонпарель». - С. 230-244.

7. Горынин ГЛ., Немировский Ю.В. Пограничный слой в слоистом стержне // Научный вестник НГТУ. - 2004. - № 1 (16). - С. 21-36.

8. ДоннеллЛ.Г. Балки, пластины, оболочки. - М.: Наука, 1982. - 567 с.