О задаче идентификации двух коэффициентов параболического полулинейного уравнения с условиями переопределения, заданными на гладкой кривой

Вычислительные технологии

Том 11, часть 1, Специальный выпуск, 2006

О ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДВУХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С УСЛОВИЯМИ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ, ЗАДАННЫМИ НА ГЛАДКОЙ КРИВОЙ

Ю.Я. Белов, И. В. Фроленков Красноярский государственный университет, Россия e-mail: belov@lan.krasu.ru, fiv@krw.ru

A problem of identification of two coefficients — in front of a nonlinear term and in the right hand side of the semi-linear parabolic equation with quite generic nonlinearity is studied. These coefficients depend on time only. Problem is supposed to be overdetermined, boundary conditions are defined on a smooth parametrieally defined curve.

Введение

Рассматривается задача идентификации двух коэффициентов, зависящих только от временной переменной, при нелинейном члене и правой части для полулинейного параболического уравнения с нелинейностью достаточно общего вида. Условия переопределения задаются на гладкой кривой, заданной в параметрическом виде.

При доказательстве разрешимости задачи Коши для вспомогательной нелинейной задачи, содержащей следы решения, к которой приводится исходная задача, используется метод расщепления на дифференциальном уровне, предложенный H.H. Яненко и названный им методом слабой аппроксимации [1]. Данный метод в настоящее время с успехом используется при исследовании задач идентификации коэффициентов дифференциальных уравнений [2-6].

В настоящей работе в случае задачи Коши доказана однозначная классическая разрешимость указанной задачи в "малом" интервале по времени в классе достаточно гладких функций, ограниченных вместе с соответствующими производными. Доказана также однозначная разрешимость первой краевой задачи. Задача, когда коэффициенты зависят от временной и пространственных переменных, а условия переопределения задаются на фиксированной гиперплоскости, рассмотрена в [6].

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.

1. Задача Коши

Рассмотрим в области С[0,т] = {(^ х, г) | 0 < t < Т, х € Еп, г € Е} задачу Коши

г) = Ьж

и

Обозначим

п к=1

где ск(t) € С[0, Т]; функции М(t, у) и0(х, г) /(t, х, г) действительнозначные и заданы соответственно в Е2, Еп+1 и С[0)т]

Функции Л1 Л2(t) подлежат определению одновременно с решением х, г) задачи (1), (2), удовлетворяющим условиям переопределения

а^), 6ф) = щ

где а^) = (а^), а2(^,ап(^)), и условиям согласования

д

ио

Относительно функции М(^ у) также предполагаем, что она достаточно гладкая, имеет все непрерывные производные, входящие в соотношение

дк

8?mV)

< M0

д

Здесь М0 — постоянная; р — фиксированное натуральное число; =

дк ду

к > 1 _ целое; М(0) (t, у) = М(^ у).

Пусть при всех t € [0, Т] выполняется соотношение

Приведем задачу (1)-(3) к некоторой вспомогательной задаче. Положив х = а^), г = 6^) в (1), получим

ut(t, a(t), b(t)) = J] ck(t)uxkxk(t, a(t), b(t)) + uzz(t, a(t), b(t))+ k=1

+Ai(t)M(t, ^i) + A2(t)/(t, a(t), b(t)).

Из (3) получим

d n

—u

k=1

n

= ut(t, a(t), b(t)) + £ uxk(t, a(t), 6(t))a'k(t) + ^(t)6'(t) = ^l(t), k=1

n

n

u,(t,a(t),b(t)) = ^l(t) -J] uxk (t,a(t),b(t))a/ (t) - ^(t)b' (t),

/=i

nn

^l(t) - J] uxk(t, a(t), b(t))a/(t) - ^(t)b'(t) = ^ c/(tK№(t, a(t), b(t))+ / =l / =l

Продифференцируем (1) по z, положим x = a(t), z = b(t), учитывая (3), получим

utz(t, a(t), b(t)) = c/(t)uxkxkz(t, a(t), b(t))+ /=i

+uzzz(t, a(t), b(t)) + Ai(t)M(1)(t, ^1)^2 + A2(t, x)/z(t, a(t), b(t)). Из (3) получим d n

—a(t), 6(i)) = a(t), b(t)) + a(t), b(t))a'k(t) + a(t), b(t))b'(t) = <p'2(t),

/=i

n

utz(t, a(t), b(t)) = ^2(t) - J] uxkz(t, a(t), 6(t)K(t) - uzz(t, a(t), b(t))6'(t),

/ =i

n

- uzz(t, a(t), 0(t))b (t) = ^ c/(t)ux / =i / =i

^2(t) - ^ uxkz(t, a(t), b(t))a/(t) - uzz(t, a(t), b(t))b'(t) = J] cfc(t)uxfcXkz(t, a(t), b(t))+

+uzzz

Из (7), (8) находим

K

Ai(t) =

D

i^2

D

A2(Î) =

[^2

D

[^i

D

Здесь

n

Ki (t) = ^ c/(t)uxkXk (t, a(t), b(t)) + Uxk (t, a(t), b(t))a/(t), / =i

K2(t) = Y, c/ (t)uxkXk z (t, a(t), b(t)) + Uxkz (t, a(t), b(t))a/ (t),

/ =i

D(t) = M (t, ^ (t))/z (t, a(t), b(t)) - M(i) (t, ^ (t))^(t)/(t, a(t), b(t));

n

n

Перепишем Ài(t), À2 (t) в следующем виде:

Ài(t) = Ai(t) + A2(t)Ki(t) + Aa(t) [K(t) + Uzzz(t, a(t), b(t))] + A4(t)uzz(t, a(t), b(t)),

À2(t) = Bi(t) + B2(t)Ki (t) + Ba(t) [K2(t) + Uzzz(t, a(t), b(t))] + B4(t)uzz(t, a(t), b(t)).

Здесь

Mt) Щ '

= -fz

D(t) ' ^ D(t) '

b'

A4 (t) =

m

5i(i) =

=-щ-' Вз{ь) = —щ—'

т) =-Щ)-

— известные, непрерывные, достаточно гладкие функции.

Учитывая выражения для коэффициентов А^), А2(£), приходим к следующей прямой

3 9)^9)4 6

и = ¿*(и) + и22 + (А^) + ^(г)*^) + Аз(*) [Кг(*) + и***(*, а(^), 6(*))] +

+А4(¿)и**(*, а(^), 6(*))) М(*, и)+ + (Ч (*) + Д^)*^) + Вз(^) [К2(¿) + и***(*, а(^), &(£))] +

+ Д^К*

и

Ниже докажем классическую однозначную разрешимость задачи (1), (12), Для доказательства существования решения прямой задачи применим метод слабой

аппроксимации [1, 2], Расщепим задачу и линеаризуем ее сдвигом по времени на — — ^ на втором дробном шаге в нелинейных членах:

= 2Дс

< = 2Ят1

ит^=0 = и0

Здесь n = 0,1,..., N — 1; tN = T; uT = uT(t) = uT(t, x, z),

R

+Aa

J] Ck(t)uTXkXk (t - T-, a(t), b(tj) + uTXk (t - T-, a(t), 6(i)) a'fe(*) k=i

J] Ck(t)uTXkXkZ (t - a(t), 6(i)) + (t-^, a(t), 6(i)) a'fe(i)+ k=i

+ <4* (i " a(t), b(t)) + A4(î)«L (î " a(t), b(t)) ,

+

r

+

Ck

k=i

+B3(t) J2ck(.t)<Xkz (t-^,a(t),b(t)^j+uTXkZ (i-^fl(i),6(i)) k=i

+ <4* (i " "(t), b(t)) + B4(t)uTzz (t - T-, a(t), b(tj) .

Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в соотношения (16), (17), и удовлетворяют этим соотношениям:

dz'

mD>o{x,z)

+

mD:.f

dz'

(t, x, z) G G[0;T], C — постоянные

< C, |a| < 4, m = 0,1,..., 5,

Доказаны равномерные по t при (t, x, z) G G[0)i»j априорные оценки, гарантирующие компактность семейства решений {uT(t, x, z)} задачи (13)—(15) в классе непрерывных функций:

дк

~~ " < С при |а| = 0,1,..., 4, к = 0,1,..., 5;

dzkD>T

д дк

—D*—uT

dt xdzk

< C, где k = 0,1,2 , 3, |a| < 2.

Здесь Ь* - некоторая постоя иная (0 < Ь* < Т), зависящая от 8 и констант Стк из (16), (17) и не зависящая от т.

В силу теоремы Арцела [7] о компактности некоторая подпоследовательность иТк (Ь, х, г) последовательпости ит(Ь, х, г) решений задачи (13)—(15) сходится вместе с производными по хк до второго и по г до третьего порядка включительно к функции и(Ь, х, г) С

0 2 3 / \

СX X (^[0]) По теореме метода слабой аппроксимации [2] данная функция является решением задачи (1), (12), причем и(Ь, х, г) € С^(^р ¿*]), где

СЦ3ЛС{0it.]) = ^ /(*, x, z) | /, /t, DZj^f E C(G[0;i*]), m = 0,1, 2, 3, M < 2

д

n

n

Используя все доказанные оценки, получим, что тройка функций и(£, х,г) А^) А2(£) принадлежит классу

X(Г) = (и(;,х,,г) А1 (¿), А2(¿) | и е СД3^-]), А1 (¿), А2(¿) е С([0,Г

и удовлетворяет неравенствам

3

ЕЕ

а дт

< С,

На основании этих оценок в работе доказано выполнение условий переопределения (3), Доказана также теорема единственности решения и(£, х,г) А1 (£) А2(£) Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть выполняются условия (4)-(6), (16) (17). Тогда существует решение и(£, х, г) А^) А2(£) задачи, (1)-(3) е классе X(£*) удовлетворяющее соотношениям (20) (21).

Теорема 2. Решение и(£, х, г) А1 (£) А2(£) задачи, (1)-(6) удовлетворяющее соотношениям (20) (21) единственно в классе X(£*).

ственно решение и

2. Первая краевая задача

Рассмотрим в области С[о,т] = {(¿, х, г) | 0 < £ < Т, х = ..., х„) 0 < < 7г, к = 1, п, 0 < г < п} первую краевую задачу

и*

и

и|хк=о = и|хк=п = 0, к = 1,..., п;

и|^=о = = 0.

Здесь

п

Аи(г,х,г) = ^ иХкХк(¿,х,г), к=1

функции М(£, у) и0(х,г) /(£, х, г) действительнозначные и заданы в Е2, Еп+1 и С[0)Т] соответственно.

Функции А1 (£) А2(£) подлежат определению одновременно с решением и(£, х, г) задачи (22)—(25), удовлетворяющим условиям переопределения (3) и условиям согласования (4). Относительно функции М(£, у) предполагаем выполнение условий (5).

Пусть при всех t G [0,T] выполняется соотношение (6), Относительно входных данных предполагаем, что выполнены условия (16), (17) и функции f (t, x, z) и u0(x,z) нечетным образом продолжаются по переменным xk, z на En+1:

те

u0

k=0

те

f

k=0

Также предполагаем, что при (t, x,z) G G*0 T] справедливо условие

те

M

k=0

для любых v(t,x), таких что

те

v(t, x) = ^^ vk (t) sin kx1 sin kx2 ... sin kxn sin kz. k=0

Здесь коэффициенты Mk

Выражение неизвестных коэффициентов через решение u(t, x, z) имеет вид (9), (10), где cfe(t) = 1.

Рассмотрим в Gj0T] теперь прямую задачу Коши (1), (12), которая получается из (22), (23) подстановкой выражений для A1(t) A2(t) и заменой функций f (t, x, z) и u0(x, z) на их продолжения нечетным образом на все пространство по x1,..., xk, z (обозначения оставим прежними).

Расщепим прямую задачу и линеаризуем сдвигом по времени на (t — т/2) на втором дробном шаге в нелинейных членах (см. (13)—(15)). Для решения uT(t, x, z) доказаны равномерные по т оценки (18), (19) при (t, x, z) G G*0 t*y

Рассмотрим уравнение (13) с начальным условием (15). В силу (26) решение данной

задачи при te ( 0, ^

представимо в виде

uT

(t, x, z) = ^^ ake 2(n+1)k2f sin kx1 sin kx2 ... sin kxn sin kz,

k=0

следовательно,

uT|xk=0 = UT|xk=n = 0, k = 1,..., n, uT\z=o = UT\Z=7T = 0 при í G (o, ^ . Рассмотрим теперь уравнение (13) с начальным условием

те

ит(—,х, z) = ^^ a¡fce~(-"'+1')fc r sin кх\ sin кж2 ... sin кхп sin kz. k=0

Проинтегрируем уравнение (13) по временной переменной по отрезку (28) решение на временном отрезке £ Е ^—, т

, В силу (27),

представимо в виде

ит(£, х, г) =

те

Е

к=0

ак е

— (п+1)к2т

+ 2Д[(0)Мк(0) + 2Я2(0)вк^

х

Следовательно,

и

0, к

х вт кх1 вт кх2 ... вт кхп вт кг.

1.....п,

иТ к=0

ит|^=0 = ит= 0 при г € (0, т] . Аналогично рассуждая на следующем целом шаге по времени, получим, что

ит|хк=0 = ит |хк=п = 0, к = 1,..., п, ит|^=0 = ит = о при г € (0, 2т] .

Через конечное число шагов получим, что

ит |хк=0 = ит |хк=п = 0, к = 1,..., п, ит|^=0 = ит= 0 при г € (0, г*] .

В силу доказанных равномерных оценок и теоремы Арцела [7] о компактности некоторая подпоследовательность итк (г, х, г) последовательности ит(г, х, г) решений задачи (13)-(15) сходится вместе с производными по хк до второго и по г до третьего порядка включительно к функции и(г, х, г) € С0^^* 4»]) По теореме метода слабой аппроксимации [2] данная функция является решением прямой задачи (1), (12), причем и(£, х, г) € С,4»]) и справедливы соотношения (20) (21). В силу (29) для функции и(£, х, г) выполняется

и|хк=0 = и|хк=п = 0, к = 1,..., п, и 1^=0 = и|^=п = 0 при г € (0, г*] ,

и, следовательно, в качестве решения краевой задачи можно взять сужения на С[0^»] решения задачи Коши в С*0 4»] для уравнения (22) с начальными данными и правой частью, являющимися указанными в (26), (27) продолжениями функций и0(х, г) f (г, х, г) и условиями переопределения (3).

Единственность решения исходной краевой задачи следует из теоремы единственности, доказанной для задачи Коши. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4. Пусть выполняются условия

Теорема 5. Решение и(г, х, г) А1(г) А2(г) задачи, (22)-(25) (3)-(6) удовлетворяющее соотношениям (20) (21) единственно в классе X(г*).

Теорема 6. Пусть выполняются условия (4)-(6) (16) (17) (26)-(28) Тогда существует и единственно решение и(г, х, г) А1 (г) А2(г) задачи, (22)-(25) (3) в клас се X (г*) удовлетворяющее соотношениям (20) (21).

4

2

Список литературы

[1] Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, 1967.

[2] Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации. Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 1999.

[3] Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations. VSP, Utrecht, The Netherlands, 2002. 211 p.

[4] Полынцева С.В. О задаче идентификации двух старших коэффициентов параболического уравнения с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях // Вест. КрасГУ: физико-мат. науки. Красноярск, 2004. Вып. 3. С. 107-112.

[5] Баранов С.Н. О задаче идентификации трех коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, ч. 4. С. 92-102.

[6] Белов Ю.Я., Фроленков И.В. О задаче идентификации двух коэффициентов параболического полулинейного уравнения // Вест. КрасГУ: физико-мат. науки. Красноярск: КрасГУ, 2004. Вып. 1. С. 140-149.

[7] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М., 1982.

Поступила в редакцию 4 апреля 2006 г.