Математическая модель обработки составов с контейнерами на пограничном терминале

Р.Н. Паршина

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБРАБОТКИ СОСТАВОВ С КОНТЕЙНЕРАМИ НА ПОГРАНИЧНОМ ТЕРМИНАЛЕ

MATHEMATICAL MODEL OF PROCESSING TRAINS WITH CONTAINERS

AT THE BORDER TERMINAL

Аннотация: в данной статье рассматривается закономерность функционирования построенной математической модели обработки составов с контейнерами на пограничном терминале. Уделяется вниманию расчету среднего числа заявок, среднего времени пребывания заявки в системе, среднего числа заявок в очереди, вероятности занятости канала. Для решения поставленной задачи автор применяет уравнения Колмогорова, задачу Коши, формулу Литтла. Полученные результаты были использованы для решения задачи оптимизации инвестиций в развитие пропускной способности пограничного терминала.

Ключевые слова: система массового обслуживания (СМО), стационарный режим, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в системе, вероятность занятости канала, интенсивность потока составов, поток обслуживания, уравнения Колмогорова, задача Коши, формула Литтла, финальные вероятности, математическое ожидание, пропускная способность пограничного терминала, экономический эффект.

Abstract: this article discusses the functioning of law constructed a mathematical model of processing trains with containers at the border terminal. Attention is paid to the calculation of the average number of applications, the average residence time of the application in the system, the average number of requests in the queue, the probability of employment of the channel. To solve this problem, the author applies the Kolmogorov equation, Cauchy problem, the Little formula. The results obtained were further used to solve the problem of optimizing investment in the capacity of the border terminal.

Keywords: queuing system, steady state, the average number of customers in the system, the average residence time of the application in the system, the probability of employment channel, the flow rate of compositions, the flow of services, Kolmogorov equation, Cauchy problem, the formula Little, the final probabilities, the expectation, the capacity of border terminal The economic effect.

Изучим математическую модель обработки составов с контейнерами на пограничном терминале, построенную на основе теории массового обслуживания. Во-первых, нас интересует вопрос, выходит ли наша СМО в стационарный режим, или же очередь неограниченно растет? Этот вопрос имеет принципиальное значение, так как только стационарный случай приемлем. Бесконечное разрастание очереди говорит о том, что СМО не справляется с потоком заявок (в нашем случае - пограничный терминал не справляется с потоком прибывающих составов с контейнерами).

Во-вторых, если СМО выходит на стационарный режим, то нам хотелось бы знать важнейшие характеристики, такие как:

- среднее число заявок в системе (то есть среднее число составов на пограничном терминале),

- среднее время пребывания заявки в системе (то есть среднее время ожидания состава на пограничном терминале),

- среднее число заявок в очереди (то есть среднее число составов ожидающих обработки на пограничном терминале),

© Р.Н. Паршина, 2012

- вероятность того, что канал занят (то есть вероятность того, что терминал обрабатывает состав).

Все эти характеристики должны быть выражены через интенсивности потока заявок Я и потока обслуживаний и .

Основой изучения СМО являются уравнения Колмогорова. Это дифференциальные уравнения, описывающие вероятности нахождения СМО в каждом из ее состояний в каждый момент времени.

Обозначим через рк (:) вероятность того, что в момент времени : наша СМО

находится в состоянии 5к.

Как мы уже упоминали ранее, за достаточно малое время А: наша СМО из состояния с точностью до о(А:) перейдет с вероятностью ЯА: + о(А:) в состояние и (при I ^ 0 ) с вероятностью ¿А: + о(А:) в состояние £г-1 . С вероятностью 1 - ЯА: - ¿А: + о(А:) СМО останется в прежнем состоянии.

Это значит, что верны такие соотношения:

р0 (? + А:) = р0 (: )(1 - ЯА:) + р1 (: ) ¿А + о(А:),

р1 (: + А:) = р1 (:)(1 - ЯА: - ¿А:) + р0 (:)ЯА: + р2 (:)¿А: + о(А?), рк (: + А:) = рк (:)(1 - ЯА: - ¿А:) + рк_х (:)ЯА: + рк+1 (:¿А: + о(А:),

В самом деле, рассмотрим соотношение для рк (: + А:) . Оно значит, что с точностью до о(А:) вероятность рк (: + А:) находиться в состоянии 5к в момент времени : + А: равна сумме следующих вероятностей:

- вероятность рк (:)(1 -ЯА ¿-¿А:) того, что мы были в состоянии 5к в момент времени и остались в этом состоянии,

- вероятность рк-1(:)ЯА: того, что мы были в состоянии 5к-1 в момент

времени :, но пришла одна заявка, и мы перешли в этом состояние 5к,

- вероятность рк+1(:)иА: того, что мы были в состоянии 5к+1 в момент времени , но одна заявка была обслужена, и мы перешли в этом состояние

5к.

Перенося в этом соотношении рк (:) из правой части в левую, деля на о(А:), и переходя к пределу при А: ^ 0, мы получаем уравнения Колмогорова:

^ = иА( :) -Яр0(:), ш

^^ = Яр, ( :) + ир2 ( :) - (Я + и)р1 ( :),

ш

= Ярк_1 ( :) + ¿рк+1 ( :) - (Я + и) рк ( :),

ш

Это бесконечная система из счетного числа обыкновенных дифференциальных уравнений, причем легко видеть, что в уравнение для вероятности рк ( :) кроме нее

входят только вероятности рк-1 ( ) и рк+1 ( ) .

Для решения этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений надо добавить еще и какие-то начальные условия, чтобы получить задачу Коши. Например, можно предположить, что в начальный момент времени на нашем терминале еще нет

ни одного прибывшего состава, то есть наша СМО в момент г = 0 находится с вероятностью 1 в состоянии £0. Этому соответствуют начальные данные

Ро(0) = 1, Л(0) = 0,..., рк (0) = 0,...

Заметим, что нам не очень важны вероятности нахождения системы в каждом из состояний в каждый момент времени, поэтому мы не будем решать эту систему дифференциальных уравнений. Вместо этого заметим, что на самом деле нас интересуют характеристики «стационарного режима», в который выходит наша СМО через какое-то время. Конечно же, смысл рассуждать об этом есть только тогда, когда она выходит в стационарный режим, вполне возможна ситуация, когда очередь неограниченно растет.

Вопрос выхода в стационарный режим при г ^ да хорошо изучен в математической литературе [2, 5, 7]. Оказывается, что ситуация зависит от значения параметра:

Л

Р = —

V ,

называемого приведенной интенсивностью потока заявок. Смысл приведенной интенсивности потока заявок совершенно ясен, если вспомнить, что:

1

V = —

Т

ср .

Мы видим, что приведенная интенсивность потока заявок равна среднему количеству заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. В терминах нашей СМО, состоящей из пограничного терминала, на котором происходит перегрузка контейнеров на платформы с другой шириной колеи, р равно среднему количеству составов, прибывающих на пограничный терминал, за среднее время обработки одного состава.

В математической литературе [2, с. 113] доказывается следующее утверждение. Если р < 1, то при любых начальных вероятностях состояний рк (0) система переходит в стационарный режим. Если р> 1 , то очередь неограниченно растет и переход в стационарный режим не происходит.

Таким образом, мы получаем условие перехода в стационарный режим: р < 1 или, что то же самое, Л < / .

Стационарный режим характеризуется финальными вероятностями состояний:

Рк = Ит Рк

Чтобы найти финальные вероятности, заметим, что, так как при г ^ да

/ ч ёп,

вероятности состояний рк (г) стремятся к константам рк, то их производные —^^

ёг

стремятся к нулю. Из этого следует, что система уравнений Колмогорова, являющаяся системой обыкновенных дифференциальных уравнений, превращается в следующую

систему алгебраических уравнений:

0 = /

0=ЛР0" (л+/;> Р^

0 = ЛРк"1 +/Рк+х " (Л + /)Рк,

Заметим, что из первого уравнения следует, что:

Л

А =— Ро =РРо

V .

Подставив это выражение во второе уравнение, мы получим, что:

0 = —о + / "(Л + /)ЛРо

V ,

откуда следует после упрощений и деления на / , что:

Л2 2

Р2 =— Ро =Р Ро

и .

Продолжая эту процедуру, мы по индукции получим формулы:

— к

Рк = к Ро =Р Ро и

Чтобы найти теперь финальные вероятности, надо применить равенство единице суммы вероятностей всех состояний. Мы получим тождество:

1 = Ро + Р1 + Р2 + Рз + ... = Ро(1 + Р + Р2 +Р3 + ...).

Заметим теперь, что в скобках стоит сумма геометрической прогрессии, равная

1 . Из этого следует, что 1 = Ро ^—, откуда:

о

1 -р 1 -р

Л

Ро = 1 -Р = 1--= 1 ~ЛТср ,

V

Лк Л

Рк = рк (1 - р) = / (1 --) = Л% (1 - ЛТр). и и

Знание финальных вероятностей позволяет нам найти выражения для интересующих нас величин, упомянутых выше, после выхода на стационарный режим. Обозначим через Ьшст среднее число заявок в системе. Для нашей модели это

среднее число составов на пограничном терминале, как обрабатываемых, так и находящихся в ожидании. Это математическое ожидание случайной величины, равной количеству заявок в системе, а это количество с вероятностью Ро равно о , с

вероятностью Рх равно 1 , и вообще, с вероятностью Рк равно к . Поэтому мы получаем формулу:

ад

кист = о Ро + 1Р\ + - + кРк + - = £ кРк

к=1 .

Подставив полученные выше выражения для финальных вероятностей Рк , получаем:

4ист =Е крк

к=1 .

Чтобы найти эту сумму, проделаем следующее преобразование.

ад ад л л ад

Ь^ =Р

к=1 к=1 dp ёР к=1 .

Так как полученная сумма равна сумме геометрической прогрессии, которая известна, мы получаем следующий ответ:

г р(1 р) ё Р Р

Ьсист = Р(1 - Р)^ л- = :-

аР 1 - р 1 - Р

Эту формулу можно переписать и в терминах интенсивностей потока заявок Я и потока обслуживаний / :

Ь_ =Я

/-Я

сист

Обозначим через Шсист среднее время пребывания заявки в системе. В нашей

модели это среднее время пребывания состава на пограничном терминале.

Как несложно доказывается в математической литературе, имеет место следующая замечательная формула Литтла, справедливая для любого потока заявок и любом распределении времени обслуживания заявки [5, с. 89]:

ш =1 т

сист я сист

то есть среднее время пребывания заявки в системе равно среднему количеству заявок в системе, деленному на интенсивность входного потока.

Пользуясь формулой Литтла, мы немедленно получаем формулу

Ш = Р = 1

сист

Я(1 - р) /1-Я

Обозначим через Рзан вероятность того, что канал занят. В нашей модели это вероятность того, что терминал обрабатывает состав.

Как легко видеть, канал занят в любом состоянии кроме £ 0, поэтому:

Рзан = 1 - Р0 =Р = Я

и .

Обозначим через Ьоб среднее число одномоментно обслуживаемых заявок. В

нашей модели это среднее число одномоментно обслуживаемых составов.

Аналогично предыдущей формуле легко видеть, что имеет место формула:

Ьоб = Р .

Обозначим через Ьоч среднее число заявок, находящихся в очереди. В нашей

модели это среднее число составов, находящихся в ожидании перегрузки на пограничном терминале.

Очевидно, что имеет место формула:

Ь = Ь - Ь =Р-о = -РР-

^оч ~ сист ^об ~ , У ~ ,

1 -Р 1 -Р

откуда мы получаем формулу:

2 п2

ь - р - Л

оч

1 -р /и{р-Л)

Обозначим через Жоч среднее время пребывания заявки в очереди. В нашей

модели это среднее время пребывания составов в ожидании перегрузки.

Чтобы найти эту величину, удобно воспользоваться второй формулой Литтла, которая несложно доказывается в математической литературе:

Жоч - д Точ

Из этой формулы следует, что:

р2 - Л

-

Л

оч

Просуммируем теперь основные результаты, полученные нами при изучении нашей модели обработки составов с контейнерами на пограничном терминале.

Пусть Л равняется среднему количеству составов с контейнерами, прибывающих на пограничный терминал за единицу времени, а Тср равняется среднему

времени обработки одного состава с контейнерами на пограничном терминале. Введем величины:

—

Тср и р-Л-ЛГср.

м

Тогда верны следующие утверждения.

Обработка составов с контейнерами выходит на стационарный режим тогда и только тогда, когда р < 1. При р> 1 происходит неограниченное увеличение очереди из необработанных составов.

Если р < 1, то верны следующие формулы:

Т - Р - Л

сист л * '

1 -р // - Л Р 1

-

Л(1 - р) /- Л Р Л

Рзан -р-- ,

м

т Л

м

22 ьч - р - Л

оч

1 -р /

ж - р2 - Л , оч Л

где Тсист - среднее число составов на пограничном терминале, как обрабатываемых, так и находящихся в ожидании,

Шист - среднее время пребывания состава на пограничном терминале, Рзан - вероятность того, что терминал обрабатывает состав, Ьоб - среднее число одномоментно обслуживаемых составов, Ьоч - среднее число составов, находящихся в ожидании перегрузки

на пограничном терминале, Шоч - среднее время пребывания составов в очереди на перегрузку.

Эти результаты будут использованы для решения задачи оптимизации инвестиций в развитие пропускной способности терминала.

Решение задачи определения оптимальных объемов инвестиций в развитие пропускной способности пограничного терминала по перегрузке контейнеров на платформы с другой шириной колеи

После изучения модели обработки составов с контейнерами на пограничном терминале нам необходимо решить задачу определения оптимальной пропускной способности пограничного терминала. Очевидно, что данная задача должна учитывать бюджетные ограничения. Предположим, что максимально возможная сумма, которую мы можем потратить на развитие пропускной способности терминала, равна £ .

Пусть 5 обозначает сумму, которую мы реально потратим. В нашей модели обработки составов с контейнерами на пограничном терминале есть два параметра: интенсивность потока составов Я и интенсивность потока обслуживаний / . Параметр Я не зависит от мероприятий по увеличению пропускной способности терминала, и в нашей оптимизационной задаче это константа. Что же до параметра /, то он является обратной величиной к среднему времени обработки состава,

1

и = —

Т

ср ,

а среднее время обработки состава будет зависеть от наших капиталовложений, то есть Тср является функцией от инвестируемых средств 5,

Тср = Тср

поэтому и параметр / является функцией от инвестируемых средств 5,

/ = /(5).

Разумно предполагать, что с ростом инвестируемых средств среднее время обработки состава Тср убывает, поэтому интенсивность потока обслуживаний / = /

является неубывающей функцией.

Явный вид функции /1(5) зависит от параметров того пограничного терминала, который мы изучаем. Заметим, что нельзя предполагать, что это простая линейная функция. В типичной ситуации это довольно сложная функция, которая имеет скачки или очень быстро растет на некоторых участках. Это связано, например, с тем, что когда инвестиции достигают некоторых критических значений, возможна принципиальная реконструкция терминала, которая резко увеличивает его эффективность.

Например, если мы начинаем с инвестиций равных нулю и постепенно увеличиваем их, то сначала мы можем инвестировать только в некоторые меры по оптимизации работы (лучшая организация труда, больше средств на ремонт оборудования и так далее), что увеличивает интенсивность потока обслуживаний, но медленно [3, с. 56]. Но по достижении некоторой суммы 50, достаточной, например,

для реконструкции терминала, ситуация меняется: вложение в реконструкцию резко увеличивает интенсивность потока обслуживаний.

Это значит, что около значения ^ = функция /(я) или имеет скачок, или резко

возрастает. Пример такой ситуации изображен на рис. 1, где я0 = 1.

Величиной, которую мы хотим минимизировать, является общее время пребывания составов на пограничном терминале, включая в это как время на перегрузку, так и время ожидания. Фиксируем период времени, в течение которого нам надо окупить наши инвестиции. Пусть за это время на наш терминал прибудет N составов. Тогда суммарное время пребывания составов на терминале будет равно NWсист . Так как Жсист зависит от /(я), то это тоже функция я . Если мы выберем простейшую модель, которую мы рассматривали, то имеет место формула

1

Жсист (х) =

/) - X

Рис. 1. Пример графика функции /(я), описывающей зависимость интенсивности потока обслуживаний / от объема инвестированных средств я, со скачком при я = 1

После инвестиций величины я в развитие пропускной способности пограничного терминала суммарный выигрыш во времени, проведенном составами на пограничном терминале, будет равен

( 1 Т Л

N (Ж (0) - Ж (s)) = N

сист сист

1

/(0) — X /) -X;

Можно считать, что экономический эффект от сокращения суммарного времени пребывания составов на терминале пропорционален выигрышу во времени, но надо вычесть инвестированную сумму я . В результате мы получаем оптимизируемую функцию, равную экономическому эффекту:

I (5) = Ш

1

1

/(0) — X /— Х;

— £

где к обозначает коэффициент пропорциональности, равный финансовому выигрышу от сокращения времени, проводимого составами на пограничном терминале, на единицу времени.

Таким образом, мы приходим к одномерной задаче оптимизации с условием в виде неравенства:

I (5) = кЫ

Г 1 1 ^

/и(0) -Л -Л;

- 5 ^ тах

, 0 < 5 < $ .

Это означает, что мы стремимся максимизировать экономический эффект от инвестиции суммы, равной 5, при общем бюджете равном $ .

Решение полученной нами задачи оптимизации зависит от явного вида функции , которая зависит от конкретной ситуации. Как мы уже отмечали выше, это может быть довольно сложная функция, может быть даже разрывная. В результате и функция I(5) , равная экономическому эффекту, может быть разрывной. Пример такой ситуации приведен на рис. 2.

Рис. 2. Пример графика функции I(5), описывающей зависимость экономического эффекта I от объема инвестиций 5

Поэтому не всегда разумно пытаться найти аналитическое решение. В конкретной ситуации гораздо проще решать данную задачу численными методами оптимизации. Это несложно, учитывая одномерность нашей задачи.

Литература

1. Белов И.В., Каплан А.Б. Математические методы в планировании на железнодорожном транспорте. - М.: Транспорт, 1972. - 248 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969.

3. Волков Б. А. Экономическая эффективность инвестиций на железнодорожном транспорте в условиях рынка. - М.: Транспорт, 1996. - С. 187.

4. Дерибас А.Т., Трихунков М.Ф. Экономическая эффективность контейнерных перевозок. - М.: Транспорт, 1974. - 64 с.

5. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. - М.: Физматлит. 2005. - 300 с.

6. Институциональная экономика / под. ред. акад. Д.С.Львова. - М.: ИНФРА-М., 2001. - 318 с.

7. Канторович Л.В., Макаров В.Л. Оптимальные модели перспективного планирования // Применение математики в экономических исследованиях. Т. 3. - М.: Мысль, 1965.

8. Коцарь А. Л. Повышение экономической эффективности транспорта. - М.: Знание, 1987. - 64 с.

9. Мазо Л. А. Современные методы управления экономическими процессами на железнодорожном транспорте: Докторская диссертация. - М.: МИИТ, 2000. - 331 с.

10. Макеев В.А., Гузенко А.В., Павлов О.В. Составляющие экономической эффективности ситуационного управления развитием железной дороги // Экономика железных дорог. 2007. № 2, с. 64-74.

11. Резер С.М. Логистика экспедирования грузовых перевозок. - М.: ВИНИТИ РАН. 2002. - 472 с.

12. Терешина Н.П. Экономическое регулирование и конкурентоспособность перевозок. - М.: ЦНТБ МПС РФ, 1994. - 132 с.

Р.И. Тамов

НЕКОТОРЫЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ ТРАНСПОРТНО-ЭКСПЕДИЦИОННОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В СОВРЕМЕННОЙ РОССИИ

SOME TRENDS IN THE DEVELOPMENT OF TRANSPORT-FORWARDING SERVICES IN RUSSIA

Аннотация: в статье рассмотрены тенденции развития транспортно-экспедиционного обслуживания, его основные проблемы и пути их решения.

Ключевые слова: транспортно-экспедиционное обслуживание, перевозки, конкуренция, грузооборот.

Abstract: the article deals with trends in the development of transport-forwarding service, its main problems and their solutions.

Keywords: forwarding services, transportation, competition, turnover.

Основными тенденциями развития управления экономикой в современной России являются децентрализация и либерализация. Эти тенденции присущи и сфере транспортно-экспедиционного обслуживания, что выражается в сужении сферы жёсткого государственного регулирования в различных ее секторах. В транспортно-экспедиционной деятельности значительно сокращены сферы лицензирования, полностью прекращена обязательная сертификация услуг и работ. В совокупности с дальнейшей либерализацией налогообложения субъектов бизнеса это привело к резкому сокращению числа крупных операторов, формированию стихийного неконтролируемого рынка, в значительной степени базирующегося на услугах мелких фирм и предпринимателей, а также к росту численности единиц подвижного состава в предприятиях и организациях различных отраслей экономики.

Результатом этого стало снижение качества некоторых услуг на рынке ТЭО, что определяет необходимость поиска путей решения данной проблемы с учетом реальных условий, сложившихся в сфере транспортно-экспедиционного обслуживания. Ключевыми аспектами решения данной проблемы являются:

- государственного регулирования доступа операторов на рынок транспортно-экспедиционных услуг;

© Р.И. Тамов, 2012