Адаптивное управление динамической сетью с линейными подсистемами

УДК 519.7

И. Б. Фуртат

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СЕТЬЮ С ЛИНЕЙНЫМИ ПОДСИСТЕМАМИ1

I. B. Furtat

ADAPTIVE CONTROL OF A DYNAMIC NETWORK WITH LINEAR SUBSYSTEMS

Решена задача адаптивного управления динамической сетью, где каждый ее узел описан параметрически неопределенным линейным дифференциальным уравнением. При решении предполагается, что измерению доступны только скалярные выходы локальных подсистем. Задается орграф, где каждая его вершина ассоциирована с соответствующей подсистемой сети.

Для управления динамической сетью используется модифицированный алгоритм адаптации высокого порядка. Полученная система управления обеспечивает синхронизацию сети с требуемой точностью. Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие работоспособность системы управления.

Ключевые слова: адаптивное управление, динамическая сеть, синхронизация, модифицированный алгоритм адаптации высокого порядка.

The problem of adaptive control of a dynamic network, where each node is parametrically described by means of an uncertain linear differential equation, is solved in the paper. It is assumed that only scalar outputs of local subsystems are available to measurement. A directed graph is given, where each vertex is associated with the corresponding subsystem of the network. A modified algorithm of high-order adaptation is used to control the dynamic network. The received control system provides synchronization of the network with the required accuracy. Simulation results illustrating the efficiency of the control system are shown.

Key words: adaptive control, dynamic network, synchronization, modified algorithm of high-order adaptation.

Введение

В последнее время наблюдается повышенный интерес к проблеме управления мульти-агентными системами [1-6]. Кооперативное управление различного рода объектами привлекало внимание исследователей, работающих во многих областях науки: биология, физика, робототехника, телекоммуникационные сети и т. п. Одним из способов управления динамической сетью является синхронизация сети, цель которой состоит в поиске управляющего устройства, способного синхронизировать подсистемы сети.

В [1] для обеспечения синхронизации сети в мультиагентных системах с измеряемым вектором состояния локальных объектов предложен статический закон управления. При измерении векторного выхода вводится наблюдатель, на базе оценок которого формируется динамический закон регулирования. Получены условия расчета настраиваемых параметров в регуляторе, учитывающие топологию графа и орграфа сети. В [2], на базе подхода Н“-оптимизации, предложен способ синхронизации сети в предположении, что измерению доступны векторные входы и выходы каждой подсистемы. Однако для расчета регулятора необходимо решить матричное уравнение Риккати, зависящее от параметров параметрически неопределенных локальных объектов. Впервые статическое управление по выходу локальными объектами произвольного порядка было исследовано в [3]. Для решения задачи использовалась теорема о пассификации [7] и результаты работы [1]. В [4, 5] консенсус в сети, состоящей из интеграторов или устойчивых линейных дифференциальных уравнений, осуществляется с использованием статического закона регулирования и в предположении, что граф сети сбалансированный. В [6] предложено решение для сети интеграторов при условии, что орграф, ассоциированный с сетью, содержит ориенти-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (№ 09-08-00237, 10-08-90707) и федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., реализуемой в Российском государственном университете нефти и газа им. И. М. Губкина (г. Москва).

рованное остовное дерево. Под ориентированным остовным деревом понимается ориентированное дерево, составленное из ребер орграфа и такое, что в нем существует путь из корня в любую другую вершину [6, 8]. Следует отметить, что многие результаты, касающиеся свойств орграфа с ориентированным остовным деревом, предложенные в [6], были получены ранее в [8].

В статье предложено адаптивное управление динамической сетью, где каждый ее узел описан параметрически неопределенным линейным дифференциальным уравнением. При решении предполагается, что измерению доступны только скалярные выходы локальных подсистем. Задается орграф, где каждая его вершина ассоциирована с соответствующей подсистемой сети. Для управления динамической сетью используется подход [9], обобщенный на класс структурно-неопределенных объектов в [10], объекты с запаздывающим входом в [11, 12] и объекты с неизвестным знаком высокочастотного коэффициента усиления [13, 14]. Полученная система управления обеспечивает синхронизацию сети с требуемой точностью.

Постановка задачи. Рассмотрим орграф Г = (V, Е), ассоциированный с сетью 8, где каждой вершине орграфа Г соответствуют подсистемы 8у, / = 1, .., к и подсистема лидера 8Ь,

V = {VI, ..., ук, - множество вершин, Е{ с VX V - множество ребер. Пусть С = (Су), 8 = (я,ь) -

матрицы смежности орграфа Г такие, что Су = 1 и = 1, если ] е И]Ь, иначе Су = 0 и = 0, = {V] е V: (V, V') , (V;, VI) е Е} - множество смежных вершин для узла V;. Запись

(V, V') , (V', VI) е Е означает, что информация поступает от подсистемы 8 к подсистеме 8] и от подсистемы лидера 8Ь к 8- [15].

Рассмотрим подсистему 8, соответствующую '-й вершине орграфа Г сети 8, динамические процессы в которой описываются следующим уравнением:

Qi

где уг(0 е ^ - измеряемая регулируемая переменная; ы() е ^ - сигнал управления; Qi(p), Я,(р) -линейные дифференциальные операторы, deg Qi(p) = п, deg Я,(р) = т, у = п - т > 1, к, > 0, к - количество подсистем сети.

Ведущая подсистема 8Ь, соответствующая Ь-й вершине орграфа Гг сети 8, задается уравнением

QL

Здесь уЬ(0 е ^ - измеряемый выход; г(0 е ^ - ограниченное задающее воздействие; QL(p) и кЬ > 0 - известный оператор и высокочастотный коэффициент усиления, deg QL(p) = у.

Цель управления состоит в обеспечении е-синхронизации [16] сети 8 с заданной точностью:

У

где Т - время, по истечении которого с начала работы системы должно выполняться неравенство (3); е - заданное число. Решим сформулированную задачу при следующих ограничениях.

Предположения

1. Орграф Г содержит ориентированное остовное дерево, в корне которого находится ведущая подсистема (2).

2. Неизвестные коэффициенты операторов Qi(p), Я,(р) и число к, > 0 зависят от некоторого вектора неизвестных параметров Ф е X, X - известное множество. Известны порядки операторов Qi(p), Я,(р).

3. Подсистемы сети (1) минимально фазовые.

Метод решения

Представим линейные операторы Qi(p), Я,(р) (1) в виде суммы:

й-

где Qm(s), Ятів) - гурвицевы многочлены и такие, что Qm(s) / Ят(в) = <2і(5), deg Qm(p) = п, deg Ят(р) = т; AQi(p) и АЯ,(р) - линейные дифференциальные операторы; в - комплексная переменная. Порядки линейных операторов AQi(p) и АЯ,(р) не превосходят п и т соответственно. Тогда, учитывая (4), перепишем (1) в виде

&(Р) У, (0 = к,

АЯ

и, (і) + >, (О - „ \У, (О

Ят

к,Ят (Р)-

Принимая по внимание (2) и (5), составим уравнение ошибки

е, (і) = Е °,} ( у, (і) - У] (і))+в,ь ( у, (і) - Уь (і) ) в виде

І^ь

^(рИ (і)=к, Е

и, (і) +

Щ

Ят

1

+5

и

и,(і) +

АЯг'

и,

к,Ят (р) к,

\

\

+

Ят

Введем закон управления в виде

и, (і)-

АЙ

к„

-У,

к,Ят (рГ к,

и, (і) =

1

с, + 5ь

-Тір)у,(і), V,.(і) = оі (і)м>,(і), , = 1, 2,..., к,

где Т ( р) - линейный дифференциальный оператор порядка у; ^ (^) - оценка вспомогательного управляющего воздействия vi (^); с, (^) - вектор настраиваемых параметров;

(() = (С] + % )Уь (*X (С] + % У1 ^ С1}ё] ^ с,]У] ^ ) - вектор PегPессии, 1 =12,..., к,

] е , сформированный с помощью фильтров:

V- (Г) = ¥уХ1 (^) + (г),

У^2, (') = ^ (Г) + Ьу1 (Г),

У?] (г) = ^] (г) + Ьу] (г), gJ (г) = ЬУ3] (г),

У4 (г ) = ^3 У4 (0 + Ьг (Г), ^) = ЬУ4 (г),

] є N

, = 1,2,..., к.

В уравнениях (8): Уь-(і)є ^т , У2і(і)є ^п, У3(і)є ^, У4(і)є ^ - векторы состояния (8); ^1, ^2, ^з, - матрицы в форме Фробениуса с характеристическими многочленами Ят(в), Т (в)Ят (в) и Т (в) соответственно; Ь = [0, ..., 0, 1]Т, 1 = [1, 0, ..., 0]. Тогда уравнение (6) преобразуем к форме

^

]^ь

Здесь % =

(С] + в,ь ) $1,, (с, + 5ь ) ^02,',с,] -1, с, Ь ^

метров, где

Щ(р) ___________

Ят

1, Р, ..., р

т-1

к,

AQІ і р)

к/ ,ь к,

вектор неизвестных пара-

^02,'

кТ

1, р, ... , р

п-1

Для реализации закона управления (7) воспользуемся наблюдателем

х,(і) = С0Х,(і)+А,(V-(і)-V(і)), V(і)=ьх,(і), , = 1,2,...,к,

г

с

Т

к

т

где Х,'(0 є ^ ; параметры в (10) выбираются согласно [17]: G0 =

0 V! 0 0

Д0 = -[й^т ь, й^т 2, ..., ^Ут-у1]Т; коэффициенты й?2, •••, ^у1 выбираются так, чтобы матрица О = G0 - ДЬ была гурвицевой, Д = [а?ь а?2, •, ^у]Т, т > 0 - достаточно малая величина.

Рассмотрим вектор ц, (0 = Д_15, (^ , где Д = diag {ту - ь, тУ - 2, ..., т, 1}. Найдем полную

производную по времени от л, (^) с учетом (10):

л - (()=т-1ол (г)+ь у) (г), д, (г)=ту-1ьц1 ^).

Преобразуем предпоследнее уравнение в эквивалентное относительно выхода Д, (^):

л

Г ; л1 (0 =л1 (

Принимая во внимание (11), преобразуем (9) к форме

Здесь л,(0 є Ж7 ; Г|,- (і) = Л,- (і) - первые компоненты векторов л,(0 и Л, (і), Ь = [1, 0, ., 0] .

,

]'є"д

Теорема. Пусть выполнены предположения и система управления состоит из закона управления (7), фильтров (8), наблюдателя (10) и алгоритма адаптации

с, (і ) = -:

а,

1 + и*,

-иі (і)еі (і) , , = 1, 2,..., к ,

где а, > 0 и Р,- > 0 . Тогда для чисел а, > 0 , Р, > 0 и т0 > 0 система управления при т < т0 обеспечивает выполнение условия синхронизации (3).

Доказательство теоремы. Перепишем уравнения (11) и (12) в виде

е

ДьТ! - (0 = Ол, (() + м-2*т>1- ((),

где т-1 = т2 = то, и воспользуемся леммой [18].

Выберем функцию Ляпунова для уравнений (14) в виде

V = VI + У2,

к т к

где У = Е (с, (і) - с0,) (с, (і) - с0,); У2 = Е ЛТ (і)РЛ, (і); матрица Р = РТ > 0 определяется

,=1

,=1

из решения уравнения ОТ Р + Р Є= - Q, Q = QT > 0. Возьмем от функции У полную производную

по времени вдоль траекторий (13) и (14) при т = 0:

к

к

У = 2Е сТ (і ) (с(і) - с0 ) = -2Е

= -2Е

ч , кс(і) - с,

,=1

к а, к,

а,е,

Т

-и,

-и,

=11 + и,

ТТ

(і) (с(і) - с0 ) =

^ Т,. (і) (с, (і) - с0, ) Е (с, (і) - с0, ) (і) £

=11 + (і)и, (і) ^

2Е Е

ак

, , и (і) ( с, (і) - с0, ) ( с, (і) - с0, ) и, (і) £ 0,

1 + ит

,=1 ІєИл^

1к

У2 =— Е лТ (О0л,- (і ) £ 0.

е

Следовательно, с^) и л,(0 ограничены. Из (16) следует, что С(^) ограничен и причем

Нш С^) = 0 . Покажем теперь, что  0 при t  ¥ . Так как у ^) < 0, то Нш у ^) = у (^) < ¥ .

t¥ t¥

С учетом этого рассмотрим следующий несобственный интеграл:

Значит,

~ к

ІЕ Е г

0 ,=1 ]єН„ 1

а, к

0 і=1 ієИ„ 1 + иі

Щ

£

£

-1У1 (і)&

0,5

£[У1(0) - У1(¥)]0,5 <¥.

1іт2Е Е

і¥

{"а ^т1 т"1

і і и (і) (сі (і) - с0і ) (с, (і) - с0і ) иі (і) = 0,

і=1 ієИ^ 1 + иТ

т. е. liш (С1 ^) - С01 ) ^) = 0, а из (14) следует Нш е, (0 = 0 при т2 = 0 . Тогда, в силу ограничен-

t¥ t¥

ности г^) и Уь (t), функции у, ^), вместе с вектор-функциями У2, (t) и У4^), также ограничены. Далее, рассмотрим уравнение

У- ^) = РУм ^) + Ч- (t) =

= (+ (сі] + в,ь)ЬСш, )У1і (і) + Ь0 (сі (і) - с0і )Т иі (і) +

+Ь

к,

к

к,

, /

Матрица ^ + Ь, С01,- имеет характеристический многочлен Я,(в), который, в соответствии с предположением 3, гурвицев, значит и Уц (і ) - ограниченный вектор. Значит, весь вектор и (і) ограничен, а из (8) следует ограниченность Щ (і).

Таким образом, при т2 = 0 получаем асимптотически устойчивую систему уравнений (14).

Пусть в (14) = т2 = т0. Возьмем снова функцию Ляпунова (15) и вычислим теперь

полную производную по времени от нее вдоль траекторий (13) и (14) с учетом результатов (16):

у=-2Е Е

аік,

-и,

=1 ]єМл 1 + и

-2^ Е аікі

т

(і) (с, (і) - %) (с, (і) - %) и, (і) -

,=1 ]єМл 1 + и

к к .-1^~Т /.ч ,

и, (і) (с, (і) - % )т01ьл, (і) -

-то"1 Е лТ (і)ОЛі (і) + 2Е лТ (і)РЬ^- (і).

і=1

і=1

Рассмотрим оценку

-2Е Е

а,к,

ілі

і=1 ієИ„ 1 + иі

(і ) (с, (і ) - с0, К1цл, (і ) £

£ 2Е

К а,т0lN]ік,

£

0

V

<

2£ T i=1l + w

w (t) (ci(t) - c0i) (ci(t) - c0i) wi(t) + 2mokV:

где

Vi = max sup^ JL' hi(t)1!Щ(t)!

i t |l + wt

k _ k __________________________

2£ hi (t) PbVi (t) < 2m-1 £ hf (t)PbbTPhi (t)+2moky:

i=1

i=1

где

y2 = max sup{v2(t)j.

Тогда, с учетом оценки, производную функции Ляпунова (17) перепишем в виде

a,k,

1 -m0-1NjL

i=1 jenjl 1 + wi

(c(t) - co) (ci(t) - coi) wi(t)wi(t)'

-m01 £ hi (t) (Q - 2Pbb tp )hi (t)+2mo k y,

i=1

где у = + у2 . Обозначим Я = Q - 2|10 мРЬЬ ТР . Очевидно, что существует такое число т0,

что Я > 0, следовательно, целевое условие (3) будет выполнено.

Замечание. Предположим, что динамическая сеть состоит из локальных подсистем (1), у которых одинаковые характеристические многочлены. Предположим также, что в сети отсутствует лидер (2), причем орграф, ассоциированный с динамической сетью, имеет ориентированное остовное дерево. Тогда справедливы условия теоремы и в системе управления будет выполнено условие

у (0 - У] ^)| <е.

Пример 1. Рассмотрим орграф Г (рис. 1), описывающий информационные связи сети 8, которая состоит из четырех подсистем 8,, , = 1, ., 4 и лидера 8Ь.

Пусть Si подсистема (1) описывается следующим уравнением:

(<?3iP3 + 42iP2 + %Р + %i)У(t) = kiui(t) , i =1 2 3 4.

Класс неопределенности x задан неравенствами: q3i = 1, |qJi| < 1o, j = o, 1, 2o < ki < 1o. Сформируем уравнение лидера (2) в виде

(p + 3p 2 + 3p +1) yL (t) = 1 + sin t.

k

Цель управления состоит в обеспечении условия е-синхронизации (3).

Пусть Т(р) = (р +1)3 . Согласно (8) сформируем уравнения фильтров в виде:

у, ^), У21 (0) = 0,

" 0 1 0 " "0"

У2,(І) = 0 0 1 У2і(і) + 0

-1 -3 -3 1

"0 1 0" "0"

У3] (і) = 0 0 1 У3] (і) + 0

-1 -3 -3 1

У] (і), (і) = [1,0]У3 ] (і), У3, (0) = 0,

" 0 1 0 " "0"

У4ІІ) = 0 0 1 У4 (і) + 0

-1 -3 -3 1

г ^), 2^) = [1,0]У4(0, У41 (0) = 0, , = 1, 2, 3,4.

Фильтр У1; (t) отсутствует, т. к. Ят (р) = 1. Вектор регрессии сформируем как

Щ ^) = [( С] + % ) У21 (X С1] gJ (X С1]У] (X Э-ь^)] .

Пусть в (10) Д, = [3, 3, 1]Т и т = 0,01. Тогда уравнения наблюдателей производных сигнала vi(t) примут вид:

-2,*\ т ш2|

Х1 (і ) = Х2(і) - 3 • 102 (х1 (і ) - V- (і )), Х2(і ) = Х3(0 - 3 •Ю4 (х1 (і ) - V- (і )), Х3(і) = -106 (х1 (і) - V- (і) ), Х, (0) = [0,0,0]Т , і = 1, 2, 3, 4.

Зададим а = 1. Тогда закон управления (7) и алгоритмы адаптации можно сформировать следующим образом:

и, (і ) = Х3 (і ) + 3Х3 (і ) + 3Х2 (і ) + Х1 (і ), V, (і ) = сТ (і )щ (і ),

1

сі (і ) =

1 +

-иі (і)еі (і), і = 1,2,3,4.

Проверим работоспособность системы управления при следующих параметрах в каждой локальной подсистеме (18):

- 8!: 43! = 1, 421 = 1, 411 = -5, 401 = -5, к = 5, ум(0) = 1, Ум(0) = 0, Ум(0) = 1;

- 82: Ч32 = 1, Ч22 = 1, Ч12 = -3, Ч02 = -3, к2 = 1,У2(0) = -1, у2(0) = 0, у2(0) = 2;

- 83: 433 = 1, 423 = -5, 413 = -2, 403 = -7, к3 = 3, у3(0) = 1, у3(0) = -1, у3(0) = 2;

- 84: 434 = 1, 424 = 1, 414 = 5, 404 = -5, кЛ = 1, у4(0) = 1, у4(0) =-1, у4(0) = 2.

На рис. 2-5 приведены результаты переходных процессов по ошибкам ум(0 = у^) - уЬ(0, У2 (t) = У2(0 - УL(t), У3 (t) = Уз(t) - УL(t) и у4 (0 = у4(0 - УL(t) соответственно.

Рис. 2. Переходные процессы по у (?) 4

2

и? т t, с

3 2 1 0 -1 -2

0 12 3

Рис. 4. Переходные процессы по у3

Рис. 3. Переходные процессы по у2(0

1,

р-

t, с

0 0,5 1 1,5 2

Рис. 5. Переходные процессы по у4(0

Пример 2. Рассмотрим теперь динамическую сеть без лидера. Орграф Г (рис. 6) описывает информационные связи сети 8, которая состоит из четырех подсистем 8,, / = 1, ..., 4, описываемых уравнениями (18).

Рис. 6. Орграф Г сети 8

Положим, что система управления состоит из фильтров (19), наблюдателя (20) и закона управления (21).

Пусть в локальных подсистемах д3г- = 1, = 1, д1г- = -5, д0г- = -5, I = 1, 2, 3, 4. Проверим

работоспособность системы управления при следующих дополнительных параметрах в каждой локальной подсистеме (19):

- 81: к = 1,у1(0) = 1, у(0) = 0, у1(0) = 1;

- 82: к2 = 2, у2(0) = -1, У2(0) = 0, У 2 (0) = 2;

- 83: кз = 3, уз(0) = 1, Уз(0) =-1, Уз(0) = 2;

- 84: к4 = 1,5, у4(0) = 1, у4(0) =-1, у4(0) = 2.

На рис. 7-10 приведены результаты переходных процессов по ошибкам уД?) = у 1(0 - УьО, .У2 (?) = У2(?) - УД?), .У3 (?) = У3(?) -Уь(?) и .у4 (?) = У4(?) -уД?) соответственно.

Рис. 7. Переходные процессы по УКО Рис. 8. Переходные процессы по y2

Рис. 9. Переходные процессы по y3

Результаты моделирования в примерах 1 и 2 показали, что предложенная система управления обеспечивает условие e-синхронизации (3) с заданной точностью. Следует отметить, что с уменьшением числа m уменьшается значение e в целевом условии (3), что подтверждает результаты аналитических расчетов.

Заключение

Рассмотрена схема адаптивного управления динамической сетью, где каждая ее подсистема задана линейным параметрически неопределенным дифференциальным уравнением. Предполагалось, что измерению доступны только скалярные выходы локальных подсистем. При решении рассматривался орграф, вершины которого ассоциированы с соответствующими подсистемами сети. Предложен алгоритм, позволяющий обеспечить синхронизацию сети с заданной точностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Yoshioka C., Namerikawa T. Observed-based consensus control strategy for multi-agent system with communication time delay // 17th IEEE International Conf. on Control Applications. San Antonio, 2008. -P. 1037-1042.

2. Dynamic output feedback control for consensus of multi-agent systems: an H¥ approach / Y. Liu, Y. J. Jia, Du, Y. Shiying // American Control Conf. St. Louis. - 2009. - P. 4470-4475.

3. Джунусов И. А., Фрадков А. Л. Синхронизация по выходам в сетях линейных объектов // Сб. докл. XI Междунар. конф. «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» / ИПУ им. В. А. Трапезникова. - М., 2010. - С. 1-2.

4. Scardovi L., Sepulchre R. Synchronization in networks of identical linear systems // Automatica. - 2009. -Vol. 45. - P. 2557-2562.

5. Consensus in networked multi-agent systems via sampled control: switching topology case / G. Xie, H. Liu, L. Wang, Y. Jia // American Control Conf. St. Louis. - 2009. - P. 4525-4530.

6. Ren W., Beard R. W. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies // IEEE Trans. on Automatic Control. - 2005. - Vol. 50, N 5. - P. 655-661.

7. Фрадков А. Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта // Сибир. мат. журнал. - 1976. - № 2. - С. 436-446.

8. Агаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Матрица максимальных исходящих лесов орграфа и ее применения // Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 9. - С. 15-43.

9. Цыкунов А. М. Модифицированный адаптивный алгоритм высокого порядка для управления линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 8. - С. 143-153.

10. Фуртат И. Б., Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с неизвестной относительной степенью // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 6. - С. 109-118.

11. Фуртат И. Б., Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с запаздыванием по выходу // Известия вузов. Приборостроение. - 2005. - № 7. - С. 15-19.

12. Фуртат И. Б., Цыкунов А. М. Синтез адаптивного управления по выходу для систем с запаздыванием на основе модифицированного алгоритма высокого порядка // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2006. - № 8. - С. 15-17.

13. Фуртат И. Б., Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с неопределенной постоянной структурой и неизвестным знаком высокочастотного коэффициента усиления // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 11. - С. 2-7.

14. Фуртат И. Б., Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с неопределенностью знака коэффициента передачи // Известия вузов. Приборостроение. - 2009. - № 5. - С. 21-26.

15. Godsil C., Royle G. Algebraic graph theory. - N. Y.: Springer-Verlag, 2001. - 268 p.

16. Фрадков А. Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. - СПб.: Наука, 2003. - 208 с.

17. Atassi A. N., Khalil H. K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. 1672-1687.

18. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно возмущенных адаптивных систем. 1 // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.

Статья поступила в редакцию 26.05.2011

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Фуртат Игорь Борисович - Астраханский государственный технический университет; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Математика в инженерном образовании»; cainenash@mail.ru.

Furtat Igor Borisovich - Astrakhan State Technical University; Candidate of Technical Science, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department "Mathematics in Engineering Education"; cainenash@mail.ru.