О полунепрерывных снизу счетно-полуаддитивных функционалах на топологической группе

УДК 517.9

Е. А. Зубова, Е. И. Смирнов О полунепрерывных снизу счетно-полуаддитивных функционалах на топологической группе

В настоящей статье даны условия полунепрерывности снизу счетно-полуаддитивных функционалов на топологической группе. Рассматриваются приложения к идеально выпуклым множествам и задаче об уравновешенном базисе топологической векторной группы.

Ключевые слова: топологическая группа, счетно-полуаддитивный функционал, полунепрерывность снизу, лебеговы множества.

E. A. Zubova, Е. I. Smirnov

About Semi-Continuous from Below Calculating and Semi-Additive Functionals

on the Topological Group

In this paper, we present conditions for the lower semicontinuity countably semi-additive functionals on a topological group. Are considered applications to the ideal convex sets and the problem of a balanced basis of the topological vector group.

Keywords: a topological group, calculating and semi-additive functional, semi-continuity from below, Lebesgue sets. Пусть X - топологическая группа (ТГ) в аддитивной записи и ц = ц ( x ) - действительнозначный функционал на х такой, что ц (о) = о , способный принимать, вообще говоря, значения +ж и —ж . Как известно, с функционалом можно ассоциировать функционалы:

л'(x) = lim л(y) и (x) = lim л(у)•

y ^ x y ^ x

Нетрудно видеть, что справедливы соотношения

Л* ( x) = supinf ¡( x + w) и ц, ( x ) = inf sup ц( x + w),

U weW U weW

где и - базис симметричных открытых окрестностей нуля в ТГ х, причем функционалы ¡л и ц являются соответственно полунепрерывными снизу и сверху на х, и имеет место неравенство

ц (x) < ц(x) < ц, (x) (x e X)• Лебеговы множества V, = {x e X : ц (x) < s} замкнуты в х и содержат замыкания соответствующих лебеговых множеств V функционала ц ; лебеговы множества U S = {x e X : ц, ( x ) < s} открыты и содержатся во внутренности соответствующих лебеговых множеств и s функционала ц. Таким образом, имеет место цепочка включений

US Œ U S Œ U S Œ V Œ V Œ V '

, s У s s

(черта, как обычно, обозначает замыкание, а кружок - внутренность множества).

Напомним [5], что неотрицательный функционал ц называется счетно-полуаддитивным на х,

если из сходимости ряда x = ^ xn вытекает ц(x) ц(xn ). При некоторых ограничениях

счетно-полуаддитивные функционалы оказываются непрерывными.

Теорема 1 [1]. Пусть ц - счетно-полуаддитивный функционал на метрическом векторном пространстве (МВП) х, и /й непрерывен. Тогда ц = ц .

В качестве следствий теоремы 1 могут быть получены теоремы о замкнутом графике и теорема Банаха - Штейнгауза о равномерной ограниченности, теорема о несплющенности воспроизводящего

© Зубова Е. А.,Смирнов Е. И., 2012

конуса и теорема существования базиса Шаудера. Установим более общее, чем теорема 1, утверждение для метрических групп.

Теорема 2. Пусть [ - счетно-полуаддитивный функционал на МГ X и для каждого е > 0

внутренность множества V непуста. Тогда [ = [ (в частности, V = V * (е > 0)) •

е е

Доказательство. Так как для МГ имеем соотношение [U(х) = inf — lim [(х), то очевид-

n n—> зд

*

но, что для справедливости равенства [ = [ достаточно установить выполнение неравенства [(х) < ¡л (х)(х е X) . Пусть d=d(x) - неотрицательный, симметричный полуаддитивный функционал,

определяющий топологию МГ х; пусть х0 е X , е > 0 и ¡и* (х0) < . Так как V * ^ 0 , то най-

е/2

дутся элементы z\ е V£/2 и х'х е X такие, что

d (х0 - х\) < 1, [(z\ + (х0 - х\)) U( х\) <[( х0) +е.

При таком выборе точек [(z '1) < _, поэтому подберем Zl е V * , х1 е X так, что

2 е/2

е е

U (zi) <е, [ (Z + (х0 - Xi)) < —, d (х0 - Xi) < 1, <[ (Х0) + 2

Аналогично, для внутренности множества У*/2г найдется элемент г'2 е V*/2г , а затем и г2 е V * 2

такой, что ¡(г2) <е, а также найдется элемент х2 е X такой, что

* е 1

М (г2 + (х0 — х1 — х2 )) — "^Г"' ^ (Х0 — х1 — х2 ) < 2'

е

М(X2 - ¿¡) —М (г + (Хо - + — .

Продолжая этот процесс, получим последовательности элементов х е X, г е V *

п е/2п

гакие, что х0 = Е хп в МГ х, м( ¿п) — е/ 2п-1 и для каждого п = 1, 2,... выполнены неравенства (¿о = 0):

и* ( Zn + (х 0 -Ё Xk )) < TT ' U( Xn - Zn-1) < и* (Zn-1 + х 0 - Ё Xk ) + Т7 • k=1 2 k=1 2

Так как

Е 1=1 м

* / \ V ^ * / V ^ п-1 . ^ ч да . .

<л

<М* (хо) + 4е,

то в силу счетной полуаддитивности функционала л получим

да

М(хо) < Е М(х„) < М*(хо) + 4е.

п =1

Но е > о было выбрано произвольно, поэтому ¡(хо) < м* (хо), тем самым м = М • Теорема доказана.

Из теоремы следует, что л - полунепрерывный снизу функционал на х, следовательно, может быть получен ряд новых утверждений, особенно для несимметричных функционалов.

В работе [3] Е. А. Лифшиц ввел в рассмотрение так называемые идеально выпуклые множества в банаховом пространстве E. Напомним, что множество м с Е идеально выпукло, если для произвольной ограниченной последовательности х± еМ(' = 1,2,...) и последовательности неотрицательных

чисел ai > 0(' = 1,2,.) с суммой ^ а = 1 элемент ^ аixi принадлежит м. Если теперь взять

идеально выпуклое множество м так, что о е м (это возможно в силу инвариантности идеальной выпуклости относительно сдвигов) и обозначить через рм функционал Минковского множества м

Г 1пГ[е > 0: х е м} (х е К(м)),

Рм (х) = |+да (х е в \ км )),

то нетрудно видеть, что рм - неотрицательный полуаддитивный функционал на Е и, более того, обладающий свойством счетной полуаддитивности. Если, к тому же, заметить, что наличие непустой

внутренности лебеговых множеств V* функционала рм не зависит от е>0, то в силу теоремы 1 получим такое следствие.

Следствие 1 [2]. Пусть м - идеально выпуклое множество, лежащее в банаховом пространстве

Е. Тогда м = м

Для сублинейного функционала л получим следующее утверждение.

Следствие 2. Пусть л - счетно-полуаддитивный, сублинейный функционал на МГ х. Тогда

V V ' ( е > 0).

Доказательство. Прежде всего, ясно, что наличие непустой внутренности V не зависит от 5 > 0 . Поэтому если V =0 , то V V * ( е > 0). Если же V * ^ 0 для некоторого е0 >0, то в

е е е &0

силу теоремы 1 получим равенство л = ¡л и, тем самым, равенство V =V * ( е > 0) . Очевидно, ра-

8 8

о о О о

венство V =V * может быть заменено V = V

Последнее следствие можно применить к теории пространств Лоренца. Пусть (X ,|| -||) - идеальное пространство в пространстве £ всех измеримых почти всюду конечных функций на измеримом пространстве ( , V , т ) с конечной мерой т (эквивалентные функции отождествляются), топология которого определяется квазинормой

=г ат.

"г"£ ь 1+|р(*)|

Известно, что х непрерывно вложено в £ и норма

хп ^ х-

п ^ОТ

где хп ^ х в £ , определяет векторное пространство X = {х е £ :|| х ||*<<х>}, которое называют пространством Лоренца, построенным по пространству х [2]. Если (Х,г) - топологическое пространство £ , то ясно, что ¡л* =||-||* построен в топологии Т по неотрицательному сублинейному функционалу л =| |. 11 . В силу полноты х функционал л счетно-полуаддитивен на х, поэтому в соответствии со следствием 2 получим V = V (е > 0). Если т |х ^||.||, то V = 0= V ит <||.||*; если же

е е е е

т |х =||.||, то V ^ 0(е > 0) и л = Л* в силу следствия 2. Последнее означает, что идеальное простран-

е

ство х является пространством Лоренца.

Однако интерес представляет ситуация, когда для ц в МГ х V Ф 0 (е > о), и тем не менее имеет

8

о о

место равенство ие = ие •

Теорема 3. Пусть и ( г ) - плюрисубгармоническая непрерывная функция в области ОССп. Тогда

для лебеговых множеств и е имеет место равенство ие = и е (е > о) (черта означает замыкание в О ) .

Доказательство. Очевидно, без ограничения общности можно считать, что о е О и и (о) = о. Положив л (г) = и (г)(г е О ) и ц(г) = +да(г е Сп \О) , получим полунепрерывный сверху функционал на МГ сп в обычной топологии с теми же лебеговыми множествами ие(е > о), что и у функции и (г)(г е О )• Кроме того, ясно, что доказательство достаточно провести для случая МГ С и субгармонической функции.

Установим теперь каноническую открытость лебеговых множеств и е субгармонической функции и (г) . Прежде всего, ясно, что ие(е> о) - открытые множества в силу полунепрерывности

сверху функционала ц (г) и открытости области О в С . Предположим, что ие = ие ф ие с Ve. Тогда найдется го е дие и открытый круг £(го, го) такие, что

5 (г о, Го) с и е и ц( г о) < [%(г о + гв'в) ёв (о < Г < Го).

2По

Так как граница д и е является замкнутым и тощим множеством, то найдется круг 5 *= 5 (г *,8) с 5 (го, го) такой, что 5 *с и е и, следовательно, ц( г) <е( г е 5 *). Пусть | го - г * |= г * < го, и выберем в1 ,в2 такие, что о < в1 < в2 < 2п и го + г *в" е 5 * для г е [в1 ,в2]. Тогда получим

е<[

< П0 и(Z0 + г"e-) dt

MI ¡(z0 + г V) dt + П ¡(z0 + гV) dt

Jff1 J[0,2n]\[61 ,в2\

< 27 (ßi - 3)е + £ [2п - (в2 - 0,)]е = е. Противоречие. Значит, Uе - канонически открытое множество (е > 0) . Теорема доказана. В качестве следствия теоремы 3 может быть получена обобщенная теорема Гарнака [4].

Библиографический список

1. Владимиров, В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных [Текст] / В. С. Владимиров.

- М. : Наука, 1964. - 412 с. - C. 94.

2. Забрейко, П. П. Идеальные пространства функций, 1 [Текст] / П. П. Забрейко // Вестник Ярославского университета. - 1974. - C. 8-52.

3. Лифшиц, Е. А. Идеально выпуклые множества [Текст] / Е. А. Лифшиц // Функц. анализ и его приложения.

- 1970. - T. 4, № 4. - C. 76-77.

4. Смирнов, Е. И. Геометрические свойства конусов функций [Текст] / Е. И. Смирнов, Е. И. Бережной, Ю. В. Бондаренко. - Германия : Изд-во «Ламберт», 2012. - 140 с.

5. Смирнов, Е. И. О непрерывности полуаддитивных функционалов [Текст] / Е. И. Смирнов // Math. Notes. -1976. - Т. 19, № 4. - P. 541-548.

6. Smirnov E. I. Hausdorff spectra in functional analysis. Springer-Verlag, London, 2002. 209 p.