Гиперцентральная структура группы унитреугольных автоморфизмов свободной метабелевой алгебры Ли

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2006. № 4. С. 5-5. © А. Н. Кабанов, 2006

ГИПЕРЦЕНТРАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ГРУППЫ УНИТРЕУГОЛЬНЫХ АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНОЙ МЕТАБЕЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ

А. Н. Кабанов

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, кафедра информационных систем 644077, Омск, пр. Мира, 55а

Получена 26 июля 2006 г.

The hypercentral structure of the group Un of all unitriangular automorphisms is described for a free metabelian Lie algebra Mn of rank n. It follows, that Un doesn't admit any faithful representation by matrices for n > 4.

1. Введение. Отправной точкой для настоящей работы послужила статья В. А. Романь-кова, И. В. Чиркова и М. А. Шевелина [1], в которой показана матричная непредставимость групп автоморфизмов следующих четырех типов свободных алгебр: свободных алгебр Ли, свободных ассоциативных алгебр, абсолютно свободных алгебр и алгебр многочленов при условии, что мощность множества свободных порождающих не меньше 4, а основное поле имеет нулевую характеристику. Во всех указанных случаях в группе автоморфизмов выделялась подгруппа унитреугольных автоморфизмов, которая оказывалась разрешимой, но не представимой матрицами.

В статье Ю. В. Сосновского [2] описывалось гиперцентральное строение этой подгруппы, но только для алгебры многочленов, зато без ограничения на характеристику поля и с понижением минимального числа порождающих с 4 до 3.

В настоящей работе дано описание строения гиперцентральной серии группы унитреугольных автоморфизмов свободной метабелевой алгебры Ли. Как следствие из описания гиперцентрального строения получается матричная непредставимость этой группы.

Рассмотрим свободную метабелеву алгебру Ли М = Мп над полем с множеством свободных порождающих А" = {.гх, ...,.г„} (п > 3). Будем считать, что на А" определена линейная упорядоченность: Х1 > х-2 > ... > хп.

Определим левонормированное произведение .Гг1.Гг2....Ггт ИНДуКЦИеЙ ПО Т11, полагая ,Гг1.Гг2....Ггт = при т > 1. При т = 1 имеем

просто х^ . Более того, полагаем у х^х = ухт . В

т

дальнейшем будем рассматривать только элементы с левонормированной расстановкой скобок.

Согласно [3], базис свободной метабелевой алгебры состоит из всевозможных одночленов вида Xl-^X'l^ . . . X'l^ , ГДе X'lj (z A, ;r¿1 X'l2 ^ • • • ^ ^'ik ' Будем говорить, что элемент алгебры М имеет канонический вид, если он представлен в виде линейной комбинации базисных элементов.

Выделим в группе AutM подгруппу Un, порожденную автоморфизмами вида: Ti (уi) = {.r¿ —> Xi + Уг, Xj —> Xj, j ^ ¡\. где I/. принадлежит подалгебре, порожденной .r¿+i,..., хп . Такая подгруппа называется группой унитреугольных автоморфизмов алгебры М, она состоит из всех автоморфизмов вида: <р = (xi —> xi + /i(.r2, ...,хп),х-2 х2 + /2(^3, ...,.г„), ...,;г„ —>

хп). Для краткости будем обозначать такой автоморфизм, как: (р = (xi + fi(x2, ,хп),Х2 +

f'2 (<^31 • • • i Хп) i • • • i Хп) .

2. Основные результаты. Введем на алгебре М функцию ytt, полагая для одночлена

h = xn_i1xn_i0xn_i3...xn_ik в каноническом виде fj,(h) = max(ii, ¿2). Если h = xn-i, то fj,(h) = i. Максимум ¿t-показателей одночленов, входящих в состав канонической записи многочлена, будем называть ¿¿-показателем этого многочлена.

Кроме этого, введем функцию А, положив для одночлена указанного вида А (/г) = г\ + . Аналогично, A-показателем многочлена будем называть максимум А-показателей его одночленов, а -показателем — максимум А-показателей одночленов, для которых fj, = к.

6

А. Н. Кабанов

Обозначив через /(/) линейную часть многочлена /, выделим в группе ип следующие подгруппы:

¿1 = {<р = (;Г1+/1(;г2,...,;г„),;г2,...,;г„)|/г(/1) <

1, А1(Л)<1, М*(Л))=о},

% а = & = ,Хп),Х2, ...,.Г„)|^(/1) <

1, МЛ) < а}, 1 < а < 1},

= {>+> = (^1 +Л(.Г2, ...,;Г„),;Г2 + /2(х3, ..., ;Г„),;Г3,...,;Г„)|/г(/1) < 2, Л2(/1) < а + 1, А«(/2) <

1, М/г) <<*, г(/2) = 0}, 0<а<с^,

;Г„),;Г3,...,;Г„)|/г(/1) < 2, ¿{(/2) < 1, /(/2) = 0}, ' ' ' ?

= = (^1 + Л(х2, ...,;Г„),...,;ГЙ;_1 +

0, ¿>1},

+ а = = (^1 + ,Хп),Хк +

) I МЛ) < * -* +

1, < к - г + а, /(/, ) =0, ^ > 1},

• • • ?

= = (^1 + - + = 0, ^ > 1},

/п-2(ж«—1, ) ) < а+ 1 - г, 1 <

г < а + 2, г(/д) = 0, ^ >а + 2},

^(и-2)ш + и-2 = ип , ГДе /г — произвольные многочлены алгебры М от указанных переменных.

Теорема 1. При п > 3 группа унитреуголь-ных автоморфизмов ип свободной метабелевой алгебры Ли гиперцентральна длины (п — 2) со + п — 2, и члены ее гиперцентрального ряда Са(ип) совпадают с подгруппами Za, 1 < а < (п — 2)со + п- 2.

;г„_1;г„;г^_1,..., хп) появится несократимый одночлен с большим А-показателем при достаточно большом р. Значит, ¿«(/1) < 1.

Пусть А(/х) = ] > 1. Выберем в канонической записи /1 одночлен с максимальным А-показателем, он имеет вид ;г„_1;г„...;г^1;г^2. Используя автоморфизм 'фqq+1 = ('Г1 1 1 получим, что в разности /1(^2,..., хп)— /1(^2,..., хд ¿Тд_|_1,..., х„) содержится несократимый элемент ;г„_1;г„ ' А-показатель которого равен ] >0. Следовательно, А(Л) < 1.

Если /(/1) содержит ;г„_1, то, взяв автоморфизм 4'п-1п. , получим, ЧТО В разности /1 (^2, •••, Гп) - л(х2, ...,х„_1 +;Г„,;Г„) присутствует одночлен х„. Откуда 1)) = 0.

Это означает, что М^п ) ^ . Таким образом, М^п) = •

Далее допустим, что Са(ип) = Доказательство ТОГО, ЧТО Са+1(^п) = Za+l ПрОВОДИТСЯ по схеме, аналогичной случаю а = 1.

Теорема 2. При п > 4 группа унитреуголь-ных автоморфизмов ип свободной метабелевой алгебры Ли не представпма матрицами ни над каким полем.

Доказательство. Согласно [4], для любой подгруппы С группы СЬп(Р), где - произвольное поле, существует такая функция х(п), стремящаяся к бесконечности при п, стремящемся к бесконечности, что гиперцентральная длина подгруппы С не превосходит со+х(п)  При п > 4 это противоречит теореме 1.

Теорема доказана.

Работа выполнена под руководством профессора, В. А. Романъкова.

Приведем схему доказательства, оно проводится индукцией по а. Пусть а = 1. Возьмем произвольные автоморфизмы (р € и ф € . Вычислив (р о ф и ф о (р. убеждаемся, что эти композиции равны, т. е. Z\ С .

Теперь предположим, что (р € М^п) и докажем, что (р £ Z\. Взяв автоморфизм фи =

(;Г1 + .Гг, ;Г2, ..., Хп ) , ПОЛучИМ, ЧТО Х!^'1^^ = ;Г1 +

/¿(•£¿+11 хп) • Но [фц,ф\ = гс1, следовательно 1г(Хг+1,...,Хп) = 0 при г > 1.

Заметим, что если ф = (,Г1,...,.Гг + ...,

^п ) т ) •< ТО Х]^ ^ ,...,Х.П)

/1 (^2 1 •• • т ^г ^ т  7 ) 1  7 ) •

Предположим, что /¿(/1) = ] > 1. Выберем в /1 одночлен максимальной длины с ¡1-показателем, равным ] . Используя автоморфизм

ф = (хь ...,хп-э + Хи-^ГиХ^!, ...,;Г„), получаем, что в разности /1(х2,..., хп) — /1(х2,..., х^ +

[1] Романьков В. А., Чирков И. В., Шевелин М. А. Матричная непредставимость групп автоморфизмов некоторых свободных алгебр. Сибирский математический журнал. Т. 45. № 5 (2004). С. 1184-1188.

[2] Сосновский Ю.В. Описание гиперцентрального строения группы унитреугольных автоморфизмов алгебры многочленов. Готовится к публикации в Сибирском математическом журнале.

[3] Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

[4] Gruenberg К. Ж The hypercenter of linear groups // J. Algebra. 1968. T. 8. № 1. P. 34-40.