Моделирование процесса спекания изделий из низкотемпературной керамики, формируемых аддитивными технологиями

УДК 666.3-186, 666.3.015.4

Моделирование процесса спекания изделий из низкотемпературной керамики, формируемых аддитивными технологиями

В.Н. Лейцин1, С.В. Пономарев2, М.А. Дмитриева1, И.В. Ивонин2, И.М. Тырышкин2

1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград, 236016, Россия 2 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

Методами компьютерного моделирования исследуются процессы синтеза низкотемпературной керамики, соответствующие технологическим режимам производства. При моделировании использованы порошки от микро- до наноразмера с различной морфологией. Синтезируемая композитная среда имеет характеристики (толщину микрослоев, относительный объем пор и т.п.), отражающие начальные несовершенства исходной дисперсной системы. Предложенная модель позволяет исследовать определяющие факторы физико-химических процессов синтеза низкотемпературной керамики.

Ключевые слова: низкотемпературная керамика, компьютерное моделирование, аддитивные технологии, процессы спекания

Simulation of sintering of low-temperature ceramic products formed by additive technology

V.N. Leitsin1, S.V. Ponomarev2, M.A. Dmitrieva1, I.V. Ivonin2, and I.M. Tyryshkin2

1 Immanuel Kant Baltic Federal University, Kaliningrad, 236016, Russia 2 National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia

Computer simulation methods have been applied to study the processes of low-temperature ceramics synthesis corresponding to technological processes. The simulation is performed for micron- and nano-sized powders with different morphology. The synthesized composite medium has the characteristics (microlayer thickness, pore volume fraction, etc.) that reflect imperfections in the initial dispersed system. The developed model allows one to examine the governing factors of physical and chemical processes in low-temperature ceramics synthesis.

Keywords: low-temperature cofired ceramics, computer simulation, additive technology, sintering processes

1. Введение

Низкотемпературная керамика выделяется из широкого ряда композиционных керамических материалов низкой технологической температурой ее спекания вследствие низкой температуры плавления по крайней мере одного из исходных компонентов (стекла), ответственного за консолидацию и (или) образование непрерывной фазы композиционной структуры материала. Это обстоятельство обеспечивает температурный режим синтеза изделий из керамики, не превышающий температур плавления или деструкции (диссоциации) каких-либо ответственных компонентов исходной дисперсии. Процесс консолидации изделий, удовлетворяющий указанному требованию, может представлять

технологию или составлять один из промежуточных технологических этапов производства изделий на базе композиционных керамик аддитивными технологиями. Построена модель спекаемого тела, учитывающая неоднородность процессов, протекающих в различных подобластях дисперсной среды, характеризуемых разными концентрациями исходных компонентов и пор.

К определяющему фактору поведения дисперсных систем при спекании можно отнести неоднородность в микрообъемах спекаемого пористого тела по размерам частиц и плотностям их укладки [1]. При этом всегда имеются микрообъемы спекаемого тела, в которых локальный уровень лапласовых капиллярных давлений заметно отличается от среднего значения, а значит, ис-

© Лейцин В.Н., Пономарев C.B., Дмитриева М.А., Ивонин И.В., Тырышкин И.М., 2016

следование процесса спекания, независимо от механизма течения вещества, необходимо проводить с учетом структурно-геометрических факторов.

Проблема исследования технологических режимов синтеза низкотемпературной керамики, образованной в процессе спекания слоев, сформированных из смесей порошков различных материалов, требует развития подходов компьютерного конструирования материалов с учетом иерархии реологических процессов в порошковых телах и модификации иерархически организованных структур. При этом локальные характеристики процессов и материалов моделируются на основе классических результатов. Предлагается использовать подход физической мезомеханики, объединяющий идеологию и инструменты физики твердого тела и микромеханики сред со структурой.

Исходные компакты низкотемпературной керамики при использовании аддитивных технологий формируются из слоев материала. Неоднородность размеров частиц и плотности их укладки является технологическим параметром формирования слоев после удаления связующего (шликера). К этой неоднородности следует добавить неоднородность сопряжения различных слоев и формирование межслойных интерфейсов. Адекватная модельная структура исходного компакта должна отражать общую неоднородность концентраций и размеров порошковых компонентов и пор в исходных слоях и межслойных интерфейсах. С позиций микромеханики сред со структурой гетерогенному материалу можно поставить в соответствие эффективную среду с периодической макроструктурой при выполнении естественных статистических ограничений усреднения и удовлетворении принципа трансляционной симметрии [2].

2. Моделирование связанных процессов, сопровождающих спекание

В основу построения физической модели процесса спекания положена следующая концепция дискретной системы:

1. Гетерогенная система обладает макроскопической структурой: концентрационная неоднородность исходной дискретной системы является характерной особенностью и определяет кинетику процессов синтеза и технологические режимы, характеристики продукта синтеза и анизотропию усадки. Предлагается рассматривать элемент макроскопической структуры (ячейку) в качестве представительного объема некоторой эффективной смесевой среды, рассматривая структурно-неоднородный материал как микронеоднородный композит [2].

2. Имеют место прогрев исходного пористого тела до температур, меньших температуры плавления легкоплавких частиц (стекла), происходящий от внешних микрослоев вглубь слоистой системы, спекание и консо-

лидация дискретной системы под действием термокапиллярных сил [3].

3. Значения объемных концентраций компонентов и параметров состояния спекаемого тела определяются взаимодействием иерархических субструктур смесевого тела на всех этапах синтеза.

4. Закон сохранения энергии может быть представлен краевой задачей теплопереноса с источниками и стоками [4].

5. Локальные теплофизические отклики среды, процессы конвективного тепло- и массопереноса реализуются на структурном уровне ансамблей частиц в локальных микрообъемах элементов структуры. Моделирование процессов тепло- и массопереноса в микрообъемах многофазных гетерогенных реагирующих порошковых сред может быть проведено с позиций механики зернистого слоя [5].

Каждый из микрообъемов исходной системы представляет собой многокомпонентную дисперсную смесь частиц стекла, керамики и т.д. Материал частиц одного сорта считается однородным и изотропным с заданными физическими свойствами как функциями от температуры. Локальная микроструктура материала характеризуется формой и размерами частиц и их агрегатов, их расположением, концентрацией компонентов и пористостью. Рассматривается представительный объем исходной системы, размеры которого и все характеристики макроскопической структуры отражают начальные несовершенства и характерную структуру исходной дискретной системы, используемой для производства низкотемпературной керамики.

Представительным объемом области VL с характерным размером L можно считать подобласть vl с характерным размером I << L для непрерывной всюду внутри vl функции g(r), если существует и ограничена осредненная по объему величина

ё = — I ё (г

Vlv¡

и если для любого сколь угодно малого числа 8у существует такое положительное число у (8у), что

1 J" g(r)dr - — J g(r)dr

v

<8„

VI +у1У1+У1 VI V

Чтобы представительный объем vl на физическом уровне строгости имел смысл элементарного макрообъема микронеоднородной среды, необходимо принять L >> I >> ¡к, где ¡к — характерный размер компонента порошкового тела. При выполнении указанных условий можно пренебречь влиянием масштаба осреднения I на значение усредняемой величины [6]. Композитную среду можно считать микромеханически неоднородной, если характерные размеры ¡1 ее компонентов vi много больше молекулярно-кинетических размеров и много меньше расстояний, на которых заметно изме-

няются осредненные параметры состояния. В этом случае микрообъемам компонентов или фаз среды, т.е. элементарным объемам dv, имеющим размер dl, приписывают свойства материалов компонентов или фаз.

Для процессов установления баланса тепла закон сохранения и превращения энергии выражается в виде первого начала термодинамики, которое для единицы объема движущейся среды имеет вид [7]:

+ Lvdt = р^и + d(w2/2)),

где Qv — количество тепла, вытекающего в единице объема среды за единицу времени; Lv — работа, совершаемая внешними силами над единицей объема среды за единицу времени; и — внутренняя энергия одного килограмма среды; w — скорость движения (течения) среды.

Изменение внутренней энергии связано с приростом энтальпии di: &п = <И - р/р).

Уравнение теплового баланса для объема V рассматриваемого тела, ограниченного поверхностью F, отнесенное к единице времени, имеет вид:

/ +/ qdF = / qvd V.

V F V

В задаче о моделировании физико-химического поведения смеси внутренние источники тепла qv могут возникать вследствие объемных химических реакций, работы пластического деформирования. Первый член уравнения представляет собой изменение теплосодержания рассматриваемого объема, второй член — количество тепла, ушедшее через поверхность F за счет теплопроводности, третий — количество тепла, выделенное внутренними источниками (если в теле присутствуют стоки тепла — тепловые потери на эндотермические процессы, то qv < 0).

С использованием закона Био-Фурье q = -А grad Т из выражения уравнения теплового баланса с применением формулы Гаусса-Остроградского получается зависимость = div(А gradT). Из этого уравнения после ряда преобразований можно получить дифференциальное уравнение теплового баланса

<И*Х ^Т) + ^ + Lv + ^ - Р dр =

dt р dt

di + d( w2/2) dt dt

Закон сохранения энергии для процессов установления теплового баланса в реагирующей дискретной среде задается в форме уравнения теплопереноса с переменными коэффициентами:

дТ

Pscs^— =

(

dt дх,

к dL

дх,

Л

+ qv+ + qv-,

где qv+ и qv- — источники и стоки, определяемые экзо-и эндотермическими эффектами физико-химического поведения смеси.

В приведенном уравнении стоки тепла учитывают возможность теплопотерь на фазовые переходы, а все теплофизические параметры считаются зависящими от структурных характеристик и температуры. Все коэффициенты уравнения теплопереноса рассматриваются как эффективные локальные характеристики гетерогенной среды. Уравнения теплового баланса замыкаются граничными и начальными условиями для конкретной задачи моделирования процесса спекания.

Для описания тепловых процессов, сопровождающих удаление вспомогательного компонента исходной дискретной среды (остатков пластификатора, связующего или шликера), предлагается использовать двухтем-пературные уравнения теплового баланса [4] для температур твердофазного каркаса и фильтрата. Если выполняются предпосылки фильтрации (наличия открытой пористости и градиента порового давления), то эти температуры различаются. В таком приближении температурный режим спекаемого тела определяется температурными профилями Т5 твердофазного каркаса (состоящего из твердых реагентов и продуктов синтеза) и Т1 жидкой или газовой фазы.

Для одномерного случая, отвечающего фильтрации в направлении х, двухтемпературные уравнения теплового баланса представляются в виде [4]:

(1 -п) рЛ дТ1+ (Т-Т) =

д

дх

^

дх

+ qv+ + qv-,

дТ

Пт^ "аvfT(Ts -Т) =

д

дх

ш

дх

- ciGi

дп,

дх

где р8 — эффективная плотность материала каркаса; р1 — плотность фильтруемой фазы смеси; с8 — эффективная теплоемкость материала твердофазного каркаса при отсутствии деформации; с1 — теплоемкость фильтруемого компонента при отсутствии деформации; П1 — эффективная открытая пористость каркаса; — коэффициент объемного внутреннего теплообмена между фильтруемой фазой и каркасом; — эффективный коэффициент теплопроводности материала каркаса;

— коэффициент теплопроводности фильтруемой фазы; G1 = р1 V — расход фильтруемой фазы; /т — относительная поверхность теплообмена каркаса; V — скорость движения фильтруемой фазы.

Для моделирования процесса установления теплового баланса при эндотермическом фазовом переходе допускается, что действие стоков энергии qv- инициируется при достижении температуры пороговых значений фазовых превращений и компенсирует источники тепла механической и химической природы qv+ до полного совершения работы фазовых переходов — исчер-

пания затрат на фазовый переход в каждом микрообъеме материала.

Процессы установления теплового баланса моделируются с позиций теплофизики эффективной зернистой среды.

Фундаментальное определяющее соотношение теории фильтрации связывает скорость фильтрации v(x) с градиентом давления жидкости i]iq и массовой силой g. Для изотропной среды уравнение фильтрации представляется в виде [8] -Wliq + plg = F(|v |)v/ |v где pl — плотность фильтрата.

В определяющем уравнении фильтрации функция F(| v|) описывает зависимость силы сопротивления при движении жидкости (газа) в пористой среде от скорости фильтрации. При достаточно медленном движении для вязкости ц можно использовать линейную зависимость, представляющую закон Дарси [8] F(v) = v ц/K, где константа K — проницаемость пористой среды. Поскольку в рассматриваемой модели локальный массоперенос рассмотрен для некоторого микрослоя материала, то закон Дарси можно использовать для оценки скорости фильтрации при малых числах Рейнольдса. В пористой среде с неподвижной твердой фазой обычно пренебрегают осредненным тензором вязких напряжений в фильтруемой фазе (т.е. вязкость учитывается только в силе межфазного взаимодействия), при этом, как показано в [9], можно считать пренебрежимо малыми также силы инерции, пульсационный перенос импульса и кинетическую энергию пульсационного движения.

Если считать, что фильтруемый компонент представим моделью несжимаемой жидкости (pl = const), если массовая сила потенциальна (g = VU), то ее можно включить в давление, положив ij*q = /jiq - pl^. Поэтому в последующем при рассмотрении процессов вынужденной фильтрации членом pl^ будем пренебрегать и отождествлять давление /jiq и приведенное давление /j*q. В этом случае закон сохранения импульса с учетом уравнения неразрывности представляется системой уравнений Wliq = - v ц/ K, Vv = 0.

В литературе существует много различных эмпирических выражений для коэффициента проницаемости пористой среды K. В частности, его значение мож-нооценить по формуле Кармана-Козени [10] K = = П3/(5£2), где П — пористость; S—удельная поверхность пор.

Для модельного пористого тела, состоящего из однородных твердых сферических частиц диаметром d, величина коэффициента проницаемости пористой среды оценивается соотношением [9] K = П2 d 2/(180(1 - П)2).

Градиент порового давления в каждом микрослое определяется действием внешнего давления и термокапиллярными силами. Влияние капиллярных и архимедовых сил при этом можно не учитывать в силу того, что они, как показано в [11], пренебрежимо малы по сравнению с термокапиллярными.

После удаления вспомогательного компонента дискретная система представима в рамках модели вязкого течения пористого порошкового тела. Спекание порошкового тела представляет собой кинетический процесс приближения дисперсной системы к равновесию. Главной движущей силой спекания является избыточная свободная поверхностная энергия. Спекание такой системы обеспечивается уплотнением пористого тела под действием капиллярных сил (возможно, с наложением внешнего давления) [3] при нагреве до температуры, характерной для состояния размягчения стекольной массы. Внешним проявлением процесса спекания является усадка порошкового пористого тела — макроскопический процесс объемного деформирования (течение в твердой фазе).

Описание реологического процесса уплотнения в [3] проведено с использованием общей теории деформирования Вайсенберга, исходящей из постулата равенства нулю суммы изменения в единицу времени работы внешних сил, свободной энергии системы и диссипи-рованного тепла при деформировании любого тела. Подобный подход к описанию реологии спекания был использован в [12] и по настоящее время развивается многими авторами [13-16].

Пористое тело может уплотняться за счет стремления к уменьшению свободной поверхностной энергии. Вязкое уплотнение, характеризуемое скоростью уменьшения объема пористого тела, представляется уравнением

VI Р

V = '

где V — объем тела; р — сила; £ — объемная вязкость.

Выражение для объемной вязкости было впервые получено Маккензи [16]:

е 4 1 -П

£ = I '

где По — сдвиговая вязкость; П — относительный объем пор (П < 0.5).

В отсутствие внешних сил пористое тело может уплотняться за счет стремления к уменьшению свободной поверхностной энергии. Поскольку изменение свободной энергии при всестороннем сжатии AF = рД V, эффективное давление имеет вид р - <Ш/АУ.

Для изменения свободной энергии при спекании применимо выражение [3]

= 3а х(1 -П)2

dV Г) [П+(1 -П)х]2

где а—поверхностное натяжение; г0 — радиус частиц; Х-Гр/ Г), гр — радиус пор.

Уравнение равновесия представимо в виде

\2

dn

9 а хП(1 -П)2

dt 4 По[П + (1 -П)х]2' в случае х = 1 уравнение принимает вид

9 п

^ 4 гоПо ' имеющее решение

(

П = П0 exp

9а j dt_

4ro оПо

Л

которое представляет закон постоянства относительного уменьшения пористости при спекании.

Сдвиговая вязкость дискретной смеси удовлетворительно описывается моделью Ходакова [17], учитывающей агрегируемость компонентов, а также степень связанности дисперсионной смеси в поверхностных слоях и агрегатах частиц. Согласно концепции Ходакова, определяющие факторы вязкости суспензии п (взаимодействие частиц, образование и разрушение их агрегатных и конгломератных структур, степень наполнения, дисперсность, действие ПАВ и т.п.) влияют на толщину прослоек свободной жидкости (дисперсионной среды), а толщины прослоек влияют на эффективную вязкость суспензии.

Фактическое объемное содержание твердой фазы в суспензии с учетом присоединенного объема части дисперсионной среды определяется выражением [17]

Ф = Фт/ рт + (Гт + 8)Фт/ рс

0 Фт/рт + (1 - Фт ^Iрс - (Гт + ^т8)Фт/рс ' где Гт — поглощение (связывание) дисперсионной среды единицей масс частиц; ^ — удельная поверхность сухого порошка (см2/г); 8 — толщина слоя дисперсионной среды, сорбированной поверхностью частиц (см); Фт и рт — массовое содержание и плотность порошка; рс — плотность дисперсионной среды. Для высоконаполненных систем учитываются потеря объема дисперсионной среды, заключенной в агрегатах частиц А, и извилистость их прослоек, характеризуемая параметром к (ф0) [17]:

п(Ф) =_^_

1 - [1.5(1-ф + 1+ А ]фо'

0.15 >ф0 >0.5, 5 > к(ф0) > 1,

к(ф0) = 5 при ф0 > 0.5, к(ф0) = 1 при ф0 < 0.15,

где пг =П0/ Пс — относительная вязкость; пс — вязкость дисперсионной среды.

3. Определяющие факторы анизотропии усадки

При спекании однородных порошковых компактов, форма порошковых компонентов которых близка к равноосной, наблюдается практически равная усадка во всех направлениях [18]. Анизотропия усадки при внешнем воздействии объясняется анизотропией субструктуры частиц и геометрии пор. Анизотропия усадки при спекании наблюдалась многими исследователями. Обнаружено, что сама величина параметра анизотропии определяется не столько материалом частиц, сколько структурой и формой самих частиц и может сильно

варьироваться для частиц из одного материала, но произведенных разными способами, различной дисперсности и прошедших различную обработку. Важной чертой процесса усадки при спекании, отмеченной в [18] со ссылкой на многочисленные результаты исследований, является то, что объемная усадка для различных условий спекания не зависит от внешних механических воздействий: искусственное препятствие усадке в каком-либо одном направлении приводит к уменьшению усадки в этом направлении при практически неизменном значении объемной усадки, а значит, ведет к соответствующему росту усадки в остальных направлениях. Различная линейная усадка и даже искажение формы изделия при спекании не нарушают закономерного сокращения общего объема пор [18].

Определяющим фактором анизотропии усадки является неоднородность концентраций компонентов и пористости исходного компакта: наряду со средними концентрациями исходных компонентов и пор, исходные порошковые компакты характеризуются некоторыми распределениями концентраций по представительному объему в виде ячеек периодичности модельного компакта.

4. Модельная структура исходной дисперсной системы

На рис. 1, а представлен пример структуры поперечного сечения исходной системы, сформированной из отдельных подобных слоев. Межчастичные расстояния занимают поры и некоторое связующее, обеспечивающее консолидацию отдельных частиц. Прямоугольником выделен возможный представительный объем исходного компакта, включающий представительные части отдельных слоев и межслойных интерфейсов. После выбора представительного объема (ячейки периодичности) модельная структура порошкового компакта представляется периодической системой выбранных ячеек, причем реальная форма частиц заменяется идеализированной, как это представлено на рис. 1,6. С этого момента для компьютерного моделирования процессов спекания модельное порошковое тело, представляемое регулярной структурой ячеек периодичности, рассматривается в качестве исходного. Заштрихована часть представительного объема (мезообъем ячейки периодичности), характеризуемая пониженным относительным объемом пор.

В качестве степени неоднородности концентраций удобно рассматривать среднее квадратичное отклонение ст(Сг-). Для рассматриваемого модельного двух-компонентного пористого порошкового тела исследуются одномерные распределения концентраций в направлении осиX, как это показано на рис. 1, в для модельных компактов, представленных последовательностью трех ячеек периодичности размером Ь и характеризуемых среднеквадратичными отклонениями концентраций

Хо Х\ X

Рис. 1. Порошковое тело до спекания

компонентов а = 0.04 и 0.10. В каждой ячейке наблюдаются мезообъемы с пониженной и повышенной концентрацией пор (линия С2). Границы этих мезообъемов модельной структуры, характеризуемые ступенчатым распределением концентраций исходной дискретной системы легкоплавких компонентов (линия С3), тугоплавких компонентов (линия С1) и пор, совпадают с координатами сечений представительного объема модельной структуры порошкового компакта х0, х1 и х2, приведенных на рис. 1, б.

5. Вычислительный эксперимент

Процесс спекания порошкового тела в моделируемом варианте синтеза низкотемпературной керамики запускается прогревом набора слоев с плоскости X = 0, поэтому это направление можно считать главным. Ось абсцисс на рис. 1, в, совпадающая с направлением оси X, представляет главное направление развития процесса спекания, поскольку в этом направлении формируется волна прогрева, на фронте которой происходят спекание и консолидация дискретной системы под действием термокапиллярных сил.

Интенсивность процесса спекания можно оценить величиной - Li|(^ -10), где Ц — размеры мезообъемов представительного объема в главном направлении, характеризуемых пониженной (/ = 1) и повышенной (/ = 2) концентрацией пор соответственно; tend — момент времени окончания процесса спекания рассматриваемых мезообъемов; t0 — момент достижения волной прогрева передней кромки рассматриваемых мезо-объемов (х - х0 и х= х1). Скорость процесса спекания, т.е. скорость уплотнения пористого тела под действием капиллярных сил, прямым или косвенным образом определяет интенсивность всех процессов, сопровождающих процесс синтеза изделий из низкотемпературной керамики аддитивными технологиями.

В вычислительном эксперименте использованы подход и адаптированная схема компьютерного моделирования, подробно изложенные в [19] для механохими-

чески реагирующих порошковых систем. В микрообъемах модельного тела, образованных в процессе дискретизации расчетной области, все характеристики среды рассматриваются как эффективные с учетом локальных концентраций и параметров состояния. В каждый момент времени эти характеристики уточняются итерационно.

Однородное уменьшение пористости, а вместе с ней и однородная усадка исходного компакта происходят до момента достижения относительного объема пор в мезообъемах ячеек периодичности с пониженной пористостью некоторого минимального значения. С этого момента окружение представительного объема будет препятствовать уменьшению размера ячейки Я - Д1± х х1в направлении, перпендикулярном оси X. Неизменность значения объемной усадки определяет неизбежность роста усадки А - Д1х/1 в направлении оси X.

Моделируется спекание набора слоев, сформированных из смеси компонентов а-А1203 (линия С1 на распределениях концентраций) и боросиликатного стекла (линия С3 на рис. 1, в). Размер порошковых частиц выбран 1 мкм. Все физические характеристики компонентов взяты из литературных источников. В интервале 5 > k(ф0) > 1 рассмотрена линейная зависимость k (ф0).

Результаты вычислительного эксперимента приведены на рис. 2: зависимости характеристик усадки R и А модельного компакта от значений среднеквадратичного отклонения концентраций компонентов (рис. 2, а); зависимости относительной интенсивности процесса спекания у от значений среднеквадратичного отклонения концентраций компонентов (рис. 2, б). В качестве относительной интенсивности процесса спекания рассмотрено отношение у - ги11 у0, где р0 — интенсивность спекания однородного порошкового компакта, характеризуемого среднеквадратичным отклонением концентраций компонентов а = 0. Линия 1 характеризует интенсивность спекания в мезообъеме, характеризуемом повышенной концентрацией пор [х0, хЛ,

///0

0.140.120.10"

0.08 -I-i-i-1-1-

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 а

Рис. 2. Результаты вычислительного эксперимента

линия 2 — в мезообъеме с пониженной концентрацией пор [ х^х?]'

Наблюдаются анизотропия усадки и различия ин-тенсивностей процессов спекания, увеличивающиеся с ростом степени концентрационной неоднородности исходного порошкового тела.

6. Заключение

Таким образом, учет наличия мезообъемов спекаемой композиции, характеризуемых существенно разными значениями относительного объема пор, является необходимым этапом детализации представительного объема исходного порошкового тела. Степень концентрационной неоднородности является определяющим фактором формирования размеров и структуры низкотемпературной керамики. Подобная неоднородность представительного объема определяет анизотропию усадки и анизотропию интенсивностей всех процессов, сопровождающих процесс консолидации исходной дискретной системы. Предложенная модель позволяет исследовать определяющие факторы физико-химических процессов, исследовать кинетику процессов спекания и получать прогноз физико-механических, тепло- и электрофизических характеристик синтезируемой керамики, а также геометрических размеров получаемых аддитивными технологиями керамических изделий с позиций подходов комплексной дискретно-континуальной теории гетерогенных материалов. Результаты вы-

числительных экспериментов обеспечивают оптимизацию состава и структурных параметров исходной дисперсии и технологических условий спекания изделий из низкотемпературной керамики.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, уникальный идентификатор RFMEFI57814X0027.

Литература

1. Скороход В.В., Солонин Ю.М., Уварова И.В. Химические, диффузионные и реологические процессы в технологии порошковых материалов / Под ред. И.М. Федорченко. - Киев: Наукова думка, 1990.- 248 с.

2. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.:

Наука, 1977. - 400 с.

3. Скороход В.В. Реологические основы теории спекания. - Киев: Наукова думка, 1972. - 152 с.

4. Дмитриева М.А., Лейцин В.Н. Исследование механизмов переноса

в реагирующих порошковых смесях типа TiAlN // Изв. вузов. Физика. - 1999. - № 3. - С. 57-62.

5. Голъдштик М.А. Процессы переноса в зернистом слое. - Новоси-

бирск: Институт теплофизики СО АН СССР, 1984. - 164 с.

6. Григорян С. С. Об осреднении физических величин // ДАН СССР. -

1980. - T. 254. - № 4. - С. 1081-1085.

7. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. - М.: Атомиздат,

1979. - 416 с.

8. Голъдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. - М.: Наука, 1989. - 224 с.

9. Мартыненко О.Г., Павлюкевич Н.В. Тепло- и массоперенос в пористых средах // Инженерно-физический журнал. - 1998. -Т. 7. - № 1. - С. 5-18.

10. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. - М.: Энергия, 1978. -480 с.

11. Семенов Н.Н. Тепловая теория горения и взрывов // УФН. -1940. - Т. 23. - № 3. - С. 251-292.

12. Scherer G.W Sintering of low-density glasses: I. Theory // J. Am. Ceram. Soc. - 1977. - V. 60. - No. 5. - P. 236-239.

13. Olevsky E.A. Theory of sintering: from discrete to continuum // Mater. Sci. Eng. R. - 1998. - V. 23. - P. 41-100.

14. BordiaR., Scherer G. On constrained sintering. II: Comparison of constitutive models // Acta Mater. - 1988. - V. 36. - No. 9. - P. 23992409.

15. Olevsky E.A., MollaT.T., Frandsen H.L., Bj0rkR., EspositoV., NiD.W., IlyinaA., Pryds N. Sintering of multi-layered porous structures: Part I. Constitutive models // J. Am. Ceram. Soc. - 2013. -V. 96. - No. 8. - P. 2657-2665.

16. Mackenzie J.K. The elastic constants of a solid containing spherical holes // Proc. Phys. Soc. B. - 1950. - V. 63. - P. 2-11.

17.ХодаковГ.С. Реология суспензий. Теория фазового течения и ее экспериментальное обоснование // Ж. Рос. хим. об-ва им. Д.И. Менделеева. - 2003. - Т. XLVII. - № 2. - С. 33-44.

18. Ивенсен В.А. Феноменология спекания и некоторые вопросы теории. - М.: Металлургия, 1985. - 247 с.

19. Лейцин В.Н., Дмитриева М.А., Колмакова Т.В., Кобралъ И.В. Моделирование физико-химических процессов в реагирующих порошковых материалах // Изв. вузов. Физика. - 2006. - Т. 49. -№ 11. - С. 43-48.

Поступила в редакцию 17.12.2015 г.

Сведения об авторах

Лейцин Владимир Нояхович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. БФУ им. Канта, leitsin@mail.ru Пономарев Сергей Васильевич, д.ф.-м.н., снс ТГУ, зав. лаб. НИИ ПММ ТГУ, psv@niipmm.tsu.ru Дмитриева Мария Александровна, д.ф.-м.н., доц., проф. БФУ им. Канта, dmitrieva_m@inbox.ru Ивонин Иван Варфоломеевич, д.ф.-м.н., снс, проректор ТГУ, iiv@phys.tsu.ru Тырышкин Илья Михайлович, инж.-иссл. НИИ ПММ ТГУ, tyryshkin@niipmm.tsu.ru