Перенос и рассеяние воздушным потоком тяжелого газа, эмитированного точечным источником

М.Г. Бояршинов, Д.С. Балабанов

Пермский государственный технический университет

ПЕРЕНОС И РАССЕЯНИЕ ВОЗДУШНЫМ ПОТОКОМ ТЯЖЕЛОГО ГАЗА, ЭМИТИРОВАННОГО ТОЧЕЧНЫМ ИСТОЧНИКОМ

Для моделирования переноса и рассеяния выхлопных газов автомобильного транспорта используется система дифференциальные уравнения Эйлера (неразрывности, движения, энергии и состояния) в частных производных с соответствующими краевыми условиями. Численное решение поставленной задачи основано на методе крупных частиц (методе Давыдова). Учет плавучести отработанных газов ведется в рамках приближения Буссинеска.

Ключевые слова: газовая динамика, численные методы, приближение Буссинеска.

Возрастание интенсивности транспортных потоков приводит к росту объемов выбросов отработанных газов двигателей автомобильного транспорта. Для оценки уровня загрязнения атмосферного воздуха отработанными газами над территорией современного города требуется решить ряд связанных между собой задач.

В настоящей работе рассматривается задача о движении автомобиля, моделируемого как точечный источник, эмитирующий поток газа с интенсивностью т и мощностью 8, содержащий загрязняющую воздух пассивную газовую примесь ( д = 0,1 т , то есть 10 % эмитируемой массы). Решение такой задачи обусловлено необходимостью исследования переноса и рассеяния отработанных газов от потока транспортных средств, моделируемого как множество отдельных подвижных точечных источников загрязняющей примеси различной интенсивности в произвольной пространственной области со сложной геометрией.

Использование численных методов в настоящее время является основным способом построения решений краевых задач газовой динамики. При исследовании подобных задач большее внимание уделяется конечно-разностным методам [1-4], требующим относительно малых вычислительных ресурсов. Значительный интерес вызывают схемы факторизации эволюционных дифференциальных уравнений [5, 6], по-

зволяющие «расщеплять» многомерные задачи на последовательности одномерных задач, что приводит к существенному повышению эффективности вычислительных алгоритмов. В ряде исследований [7-13] для решения задач движения сплошной среды используются методы конечных и граничных элементов с различными видами аппроксимации полей скорости, перемещения, плотности, давления, температуры и других характеристик.

Для решения прикладных задач механики сплошных сред интенсивно развивается и успешно применяется метод крупных частиц (метод Давыдова), позволяющий выполнять расчеты вихревых структур с учетом отрывных явлений, исследовать фильтрационные и струйные [14] течения, газо- и гидродинамические потоки с большими перемещениями и соударяющимися поверхностями раздела, движение многокомпонентных [15, 16], сыпучих и деформируемых сред [17], течения сквозь проницаемые объекты [18] и многие другие процессы. С использованием системы уравнений Эйлера построены трехмерные вычислительные модели взаимодействия струй с поперечными потоками [19, 20], истечения газа из отверстий и каналов [21, 22], воздействия ударных волн на препятствия и границы раздела сред [23, 24, 25], влияния локализованных источников энергии и массы на газодинамические характеристики газовых потоков [26, 27].

Для моделирования движения газовоздушной смеси используется система дифференциальных уравнений Эйлера (в дивергентной форме [17, 18, 29]), описывающая движение сплошной среды в рассматриваемой области, включающая эволюционные уравнения неразрывности

движения

полной удельной энергии

состояния

р( к -1)(^ - V • V/2)-Р = 0

и концентрации (в рамках дифференциального приближения [28]) г)Г

—+ У

Здесь р - плотность газовоздушной смеси; V - вектор скорости потока с компонентами ¥х, ¥у , У2; и - полная удельная энергия; Р - давление; С - концентрация загрязняющей примеси; к - показатель адиабаты; 5() - дельта-функция Дирака; - радиус-вектор положения то-

чечного источника; X - коэффициент диффузии; д - интенсивность выброса смеси отработанных газов; дс02 - интенсивность выброса диоксида углерода; ¥д - скорость выброса смеси отработанных газов из

выхлопной трубы.

Точечный источник с координатами х8, у8, 2$ моделирует положение отверстия выхлопной трубы автомобиля в расчетной области Є (рис. 1).

д01

Рис. 1. Схема расчетной области и обозначения ее границ

В начальный момент времени в области Б известны распределения компонент вектора скорости, плотности, энергии, концентрации и давления:

Ух (0, х, у, 2) = Г0, Уу (0, х, у, 2) = 0, (0, х, у, 2) = 0, С (0,х,у, 2) = 0,

р(0,х,у,2) = р0, и(0,х,у,2) = и0, Р(0,х,у,2) = Р0 х,у,2 € Б .

Граничные условия имеют следующий вид:

Ух = 0, Уу = 0, У2 = 0, др/д2 = 0, ди/д2 = 0,5С/& = 0, х, у, 2 еЭБ1; дУх/д2 = 0 , дУу!д2 = 0 , дУ2 /д2 = 0, др/д2 = 0, ди/д2 = 0,

дС/д2 = 0 , х, у, 2 е дС2;

Ух = У0, дУу Iдх = 0, дУ2/дх = 0 , р = р0, и = и0, С = 0, х, у, 2 е дС3; дУх/дх = 0, дУу /дх = 0, дУ2/дх = 0 , др/дх = 0, ди/дх = 0, дС/д2 = 0 , х, у, 2 е дС4;

дУх/ду = 0, Уу = 0 , дУ2/ду = 0, др/ду = 0 , ди/ду = 0 , дС/д2 = 0 , х, у, 2 е дС5; дУх/ду = 0, дУу /ду = 0, дУ2 /ду = 0, др/ду = 0 , ди/ду = 0 , дС/д2 = 0 , х, у, 2 е дС6.

Для учета плавучести загрязняющей газовой примеси используется приближение Буссинеска [0], согласно которому в предположении о малости концентрации С используется представление плотности газовоздушной смеси в виде

р

где р0 =р(С0); а = р'С (С0) - концентрационный коэффициент плотности; начальная концентрация загрязняющей примеси отсутствует, то есть С0 = 0 .

Пусть в некотором объеме & содержатся воздух, имеющий плотность р 0, и пассивная газовая примесь с плотностью рп, занимающая объем Оп. Массы воздуха и примеси соответственно равны т0 =р0 (О-Оп) и тп =рпОп. Плотность газовоздушной смеси в рассматриваемом объеме О определяется выражением

т0 + тп =р 0 (О-° п ) ! рпО п =р р 0 р пО п + С =

О О О 0 рп О

г \

= р0-^° С + С = р0 +

рп

1 р 0

рп

С,

где С - концентрация примеси в объеме О. Сравнение полученного выражения и соотношения (7) позволяет определить величину концентрационного коэффициента плотности:

Для корректного учета скоростных граничных условий целесообразно полное давление газо-воздушной смеси Р в уравнениях (2)-(4) представить в виде суммы гидростатического давления Рг и отклонения р давления от гидростатического,

причем Рг = Р0 - р^2, Р0 - давление воздуха на уровне поверхности

земли; g - ускорение свободного падения.

С учетом приближения выражений (7) и (8) уравнения движения (2), полной удельной энергии (3) и состояния (4) принимают вид

В соответствии с идеей метода крупных частиц система уравнений (1), (5), (9)-( 11) расщепляется по физическим процессам. Расчет каждого временного слоя разбивается на три этапа. Для реализации первого (эйлерова) этапа считается, что изменяются лишь величины, относящиеся к ячейке в целом, а сплошная среда предполагается заторможенной. Система уравнений (1), (3), (5) и (11) представляется в виде

Уравнения этой системы записываются в виде явных конечноразностных схем:

Р = Рг + р,

д(ри) + У(рЦУ ) + У( рУ ) = -У( Рг V), р( к - 1)(и - У • У/2)-р = Рг.

р = еош^ С = еош^

- (рУ ) + Ур = аCg,

дд (ри )+у( рУ )=-у(Рг у).

Vxijk Vxijk (pi+1/2 jk pi-1/2 jk Pijkhx ’

Vyijk Vyijk (p ij+1/2k p j'-1/2k ) ^ jPijkhy ’

Vzijk - Vzijk -(pijk+1/2 - pijk-1/2 )^/P jkhz -aCijkS^ / pijk

11 ijk - Uijk — At

ij-1/2k

(pVz )ijk+1/2 (pVz )ii,

z /ijk—1/2

V 1 y)ij+1/2k V 1 y)ij

ij-1/2k

/hy +

( PrVx ) i+1/2 jk ( pVx ) i—1/2 jk

(PV )jk+1/2 — (PV )jk-1/2

P ijk '

В приведенных соотношениях величины с дробными индексами определяются как

Л i+1/2 jk - (Л ijk + Л i+1 jk )/2 ’ Л j'+1/2k - (Л ijk + Л j'+1k )/2 ,

Л

ijk+1/2

-(л jk +Л ijk+1)/2

где Л принимает значения р,рУх,рУу,рУ2РгУх, РгУу, РгУ2 .

На втором (лагранжевом) этапе вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку. Определяются потоки массы за время & через границы эйлеровых ячеек. Для учета направления движения сплошной среды потоки массы, импульса и полной удельной энергии определяются выражениями

i +1/ 2 jk

ЛijkVxi+1/2jk 5 Vxi+1/2jk — 0 Лi+1 jkVxi+1/2 jk 5 Vxi+1/2 jk <

i—1/2 jk

Лi-1 jkVxi-1/2 jk -ЛijkVxi-1/2 jk 5

Vxi-1/2 jk — 0 Vxi-1/2 jk <

к)

ij+1/2k

j'-1/2k

ЛijkVyij-+1/2k 5 Vvii+1/2k — 0

yij+1/2k

Л/j+1 kVyij+1/2k 5 Vyij+1/2k <

Л ij-1kVyj-1/2k5 Vyij-1/2k — 0

Л jk Vyi/ -1/2k5 Vyj —1/2k <

h

К)

іук+1/2

іук-1/2

Л1]к^21]к+1/2’ ^гіук+1/2 ~ 0

Лук+1^гіук+1/2’ ^гук+1/2 ^ 0;

Лу-1кУг/к-1/2’ ^гук-1/2 ~ 0

Лук^гук-1/2’ ^гук-1/2 ^ 0>

В этих выражениях Л принимает значения р, р¥х, рГу, рГ2, рС,

С’ СГх ’ СГу ’ сг2.

На третьем, заключительном, этапе окончательные значения массы, импульса и энергии в момент времени і = і + Аі определяются законами сохранения массы, импульса и энергии, записанными с учетом промежуточных значений параметров потока:

Эр

ді

- + у(ру ) = 0,

ді

(рУ ) + у(рУУ ) = 0,

(рС )+у(рСу ) = о,

С + У(СУ ) = У(ЛУС).

Разностная аппроксимация уравнений приводит к системе разрешающих соотношений

р ук р ук

-Аі

(р ^ 1+1/2ук (р ^ 1-1/2ук /Ь +

(р^У )гу+1/2к (р^У )у-1,

у -1/2к

/ку +

(р ^ ) гук+12 (р ^ ) ук-1,

ук-1/2

ук ^хук ру'к/ру'к Аі

(р )і+1/2ук (р^х^х ) 1-1/2ук _/ріук^х +

к

г

ИЛ Им-ил)

гу-1/2к

№2 )т+12-(р*?х>?2 ),,

ук-12

Ууук Уу ук ру'к/р {/к

(рУуУх );+12/к (рУИ )м/2;к _/рукЙ

Ил)„+12к-ИЛ )„

у -1/2к

ИУ )„к+12-(р'7-'72 )„,

{/к -12

У2 ук У2 ук ру'к/ру'к &

(рУУх)г-+12ук (рУУх){

^-V2/k

)„+„* -

у-1/2к

ук -12

и ук - и ук рук/ р ук &

4/2]к^

№),+12к -ИУ.),

у'-1/2к

ук-12

С,ук - Сук - &

И),+1/2ук-(СУ'х >,12^ ]/*х + [К )у.+12к "К ),

/у-1/2к

/ (

,( СУ2 )„к+12 -( СУ2 )„к-12 ] * > + м \ \ХУС),+12к -(^УС),-1/2Д ]

к +

^УС),+12ук -(№С),-1/2ук]/*. +[(№С),+12ук- -(1УС),-12ук]/*

В последнем выражении использованы обозначения

(^УС ) ,+12 ук -И+>Д + ^к )( С+1 ук - Ст У2*х • (*УС)ы/у И<* + )(С,ук - СМД )/2кх •

2

2

х

2

х

2

к

(^УС ),у+1/2к -(^ ,+1ук „к )(С+1ук - Сук )/2к, .

(^УС)у-1/2к -(V +^,-1Д )(Ск -С-у )/2ку •

(^УС)„к+1/2 - (^,+1ук ,ук ХС,+1ук - Ск V2*» •

(^УСу-1/2 - (Чк ,-у)(Ст -С-у)/2*2 .

Поле давления вычисляется из уравнения состояния

Рк -(к - 1)р е1(ие1 - 0,5{Гх]к + Уу + Уу +

р,ук

>-

По окончании третьего этапа в ячейке, где расположен точечный источник, в соответствии с уравнениями (1), (5) и (10) пересчитываются значения плотности, энергии и концентрации с учетом заданных величин д, дСОг и Уд:

Ухук (?) - Ухук + ЧУдх&1 рук*х*ук2 , рук (*) - рук + 4&^*хкук2 >

Сук (?) - Сук + дСО2 &^1*х*у*2 •

С использованием описанного алгоритма разработан комплекс программ для численного исследования пространственного переноса и рассеяния примесей, выбрасываемых точечным источником. Тестирование программного комплекса выполнено с использованием точного решения частной задачи об эмиссии сжимаемого газа точечным источником [31].

Для выполнения вычислительных экспериментов принято: интенсивность источника отработанных газов д = 1,2 г/с; интенсивность эмиссии диоксида углерода дСО^ = 0,12 г/с; скорость Уд = 10 м/с; показатель адиабаты к = 1,67; плотность воздуха р0 = 1,29 кг/м , плотность диоксида углерода (содержание в отработанных газах автотранспорта достигает 10 %, [0]) рп = 1,98 кг/м . Вычислительный эксперимент выполнялся с учетом ветра, изменяющегося по высоте рассматриваемой области линейно от 0 до 1 м/с (см. рис. 1).

а

б

г

Рис. 2. Распределение концентрации диоксида углерода

На рис. 2 показаны распределения концентрации загрязняющего вещества в плоскости у - 0,5 м после 1, 1,25, 1,5 и 1,75 секунд после начала рассматриваемого процесса. Приведенные на рисунке распределения концентраций показывают, что за счет силы тяжести относительно тяжелая примесь диоксида углерода опускается вниз, нарушая симметричное первоначальное распределение загрязняющего вещества в составе отработанных газов автомобильного транспорта.

Получено численное решение задачи о переносе и рассеянии в трехмерной области тяжелого газа, эмитируемого подвижным точечным источником (на примере диоксида углерода). Для интегрирования системы уравнений Эйлера использован модифицированный вариант метод Давыдова (метода крупных частиц), учитывающий плавучесть газа с помощью приближения Буссинеска. Вычислительный эксперимент позволил определить поля скорости, плотности, концентрации, давления и удельной внутренней энергии для каждого момента времени рассматриваемого процесса. Распределение концентраций показывает опускание относительно тяжелой газовой примеси под действием силы тяжести.

Библиографический список

1. Давыдов Ю.М. Дифференциальные приближения и представления разностных схем. - М.: Изд-во МФТИ, 1981. - 131 с.

2. Пирумов У .Г. Обратная задача теории сопла. - М.: Машиностроение, 1988. - 237 с.

3. Численный эксперимент в теории РДТТ / А.М. Липанов [и др.] -Екатеринбург: Наука, 1994. - 301 с.

4. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. - Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. - 228 с.

5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980. - 536 с.

6. Кучер Н.А. Некоторые замечания о схемах расщепления для уравнений газовой динамики, используемых в методе «крупных частиц» // Вычисл. технол. - 2006. - № 11. - С. 94-108.

7. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. - Л.: Судостроение, 1979. - 264 с.

8. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980. -

616 с.

9. Флетчер К. Вычислительные методы в механике жидкостей: в 2 т. - М.: Мир, 1991. - 1056 с.

10. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986. - 318 с.

11. Бреббия К, Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987. - 524 с.

12. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. - М.: Мир, 1987. - 328 с.

13. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1986. - 296 с.

14. Давыдов Ю.М. Численное исследование течения со струями, направленными навстречу потоку // Тр. ВВИА им. Н.Е. Жуковского. -1971. - Вып. 1301. - С. 70-82.

15. Давыдов Ю.М. Образование зоны повышенной концентрации частиц при сфокусированном вдуве в двухфазной среде // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 315, № 4. - C. 813-815.

16. Давыдов Ю.М., Нигматулин Р.И. Расчет внешнего обтекания затупленных тел гетерогенным потоком газа с каплями или частицами // Докл. АН СССР. - 1981. - Т. 259, № 1. - С. 57-60.

17. Численное исследование актуальных проблем машиностроения и механики сплошных и сыпучих сред методом крупных частиц: в 5 т. / Ю.М. Давыдов [и др.]; под. ред. Ю. М. Давыдова; Национальная академия прикладных наук. - М., 1995. - 1658 с.

18. Давыдов Ю.М. Аэродинамика, гидроупругость и устойчивость полета парашютных систем / НАПН РФ, НИИ парашютострое-ния. - М., 2001. - 306 с.

19. Галактионов А.Ю. Численное моделирование пространственного взаимодействия боковой струи со сверхзвуковым потоком // Ракетнокосмическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы: тр. 2-й Междунар. науч. конф. - М.: Изд-во МГТУ, 2005. - Ч. 1. - С. 183.

20. Simutations of starting gas jets at low Mach numbers / I. Iglesias [et al.] // Phys. Fluids. - 2005. - Vol. 17, No. 3. - P. 038105/1-038105/4.

21. Мордвинцев Г.Г. Численное исследование структур течения, возникающих в процессе взаимодействия блочных струй с прилегающей поверхностью при их истечении в вакуум // Космонавт. и раке-тостр. - 2007. - № 1. - С. 80-85.

22. Азарова О.А., Колесниченко Ю.Ф. Воздействие тонкого разреженного канала на сверхзвуковое обтекание цилиндрического тела с полостью // Математическое моделирование. - 2008. - Т. 20, № 4. -С.27-39.

23. Боровиков С.Н., Иванов И.Э., Крюков И.А. Моделирование пространственных течений идеального газа с использованием тетраэдрических сеток // Математическое моделирование. - 2006. - Т. 18, № 8. - С. 37-48.

24. Дмитриев О.А., Лебо И.Г. Расчеты трехмерных вихревых сверхзвуковых течений многокомпонентных газов на параллельном суперкомпьютере МВС-15000 // 55-я научно-техническая конференция МИРЭА: Физико-математические науки. - М., 2006. - Ч 2. - С. 14-18.

25. Tai Chang-Hsien, Teng Jyh-Tong, Lo Shi-Wei, Liu Chia-Wei. A three-dimensional numerical investigation into the interaction of blast waves with bomb shelters // JSME Int. J. В. - 2005. - Vol. 48, No. 4. -P. 820-829.

26. Левин В.А., Георгиевский П.Ю. Газодинамика передних отрывных течений в условиях локального энерговклада в набегающий на тело поток // Проблемы современной механики: к 85-летию со дня рождения академика Г.Г. Черного. - М.: Изд-во МГУ: Омега-Л, 2008. -С.222-239.

27. Гарифуллин А.Р. Пример сферически симметричного движения сжимаемой жидкости // Сиб. ж-л индустр. мат. - 2007. - Т. 10, № 2. -С. 45-52.

28. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1978. - 736 с.

29. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. - 296 с.

30. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. - М.: Наука, 1989. - 320 с.

31. Бояршинов М.Г., Балабанов Д.С. Вычислительное моделирование движения сжимаемой среды, генерируемой точечным источником // Вычислительная механика сплошных сред / Институт механики сплошных сред УрО РАН. - Пермь, 2010. - Т. 3, № 3. - С. 18-31.

32. Бояршинов М.Г. Модели переноса и рассеяния примесей в растительном массиве / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2000. - 142 с.

Получено 10.11.2010