Параметрическая идентификация многомерной нелинейной стационарной динамической системы при наличии автокоррелированных помех в выходных сигналах

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

УДК 519.254

К. К. Руднев

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ АВТОКОРРЕЛИРОВАННЫХ ПОМЕХ В ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ

Аннотация.

Актуальность и цели. Для оценивания параметров нелинейных динамических систем с помехами в выходных сигналах разработано большое число методов, учитывающих особенности объектов, условия их функционирования, способ тестирования и математическую основу получаемых экспериментальных данных. В зависимости от априорной информации об объекте управления различают задачи идентификации в узком и широком смысле. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценивании параметров и состояния системы по результатам наблюдений над входными и выходными переменными, полученными в условиях функционирования объекта. Рассматривается проблема параметрической идентификации многомерных по входу и выходу нелинейных разностных уравнений с помехами в выходных сигналах.

Материалы и методы. Приведен алгоритм, который является модификацией стандартного метода наименьших квадратов для восстановления неизвестных параметров без существенного увеличения априорной информации.

Результаты и выводы. На основе модифицированного нелинейного метода наименьших квадратов доказана состоятельность матриц параметров нелинейного разностного уравнения. Реализация разработанного метода параметрической идентификации в программный продукт позволит повысить эффективность автоматизированных систем управления технологических процессов, а также математического моделирования в технических областях науки.

Ключевые слова: параметрическая идентификация, нелинейная динамическая система, состоятельная оценка, автокоррелированные помехи, помехи в выходных сигналах.

K. K. Rudnev

PARAMETRICAL IDENTIFICATION OF A MULTIDIMENSIONAL NONLINEAR STATIONARY DYNAMIC SYSTEM IN PRESENCE OF AUTOCORRELATED HINDRANCES IN OUTPUT SIGNALS

Abstract.

Background. A large number of methods considering features of objects, conditions of their functioning, ways of testing and the mathematical basis of the obtained experimental data have been developed for estimation of parameters of nonlinear dynamic systems with hindrances in output signals. Depending on the aprioristic information on theobject of management one can distinguish problems of identification in narrow and broad senses. The problem of identification in a narrow sense consists in estimation of parameters and conditions of a system by results of supervision over the entrance and output variables received in operating conditions of the object. The author considered a problem of parametrical identification of nonlinear differential equations, multidimensional in the input and output, with hindrances in output signals.

14

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

Matherials and methods. The author adduced an algorithm that is a modification of a standard MNK for restoration of unknown parameters without essential increase of aprioristic information at application of the said method.

Results and conclusions. On the basis of the modified nonlinear method of the smallest squares the solvency of matrixes of parameters of the nonlinear differential equation is proved. Realization of the developed method of parametrical identification in a software product will permit to increase efficiency of automated control systems of technological processes, and also of mathematical modeling in technical areas of science.

Key words: parametrical identification, nonlinear dynamic system, consistent estimate, autocorrelated hindrances, presences in output signals.

Введение

Для решения многих задач на железнодорожном транспорте, таких как прогнозирование расхода электроэнергии, контроль функционального состояния машинистов, прогнозирование геометрических параметров рельсовой колеи, прогнозирование расхода топлива и т.д., применяются модели на основе разностных уравнений. Многие из этих задач нелинейные, в связи с чем возникает задача построения математических моделей на основе нелинейных разностных уравнений.

1. Постановка задачи

Рассмотрим многомерную стационарную нелинейную динамическую систему с дискретным временем (i =... — 1, 0,1...), описываемую следующим уравнением:

Zi+1 = G(0)Zi + G1(1)Zi—1 +...+G(r )Zi—r +

+g2 4

3(1).

(r1 j

где П0 (xi ) =

Ш x

W\ xi

П0

n

1 гг I j — гг

n 'lx' ’ r1 \ t—r

n(r )(—r1):

Yi = Zi +S(i),

здесь Yi, Zi - наблюдаемые и ненаблюдаемые векторы выходных сигналов (,( є Rn j; Xi - наблюдаемые векторы входных сигналов ( є Rm).

Идентификация объекта сводится к процедуре определения матриц неизвестных параметров G1(1);.G^(r1 j по {Yi,Xi} при известных порядках r и r и является задачей параметрического оценивания.

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

15

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

2. Условия состоятельности оценок

В общем случае последовательность {E(i)} не является последовательностью независимых случайных векторов, поэтому представляет интерес случай аддитивных локальных автокоррелированных шумов в качестве наблюдений.

Пусть выполняются следующие условия:

10. Множество, которому априорно принадлежат истинные значения параметров устойчивой нелинейной многомерной системы, является компактом.

20. щ (xt-k ), k = 0,r не зависят от |Н(/')} .

30. Случайные последовательности {S(i)} удовлетворяют условиям:

E(E(i)/ Fi-і ) = 0 п.н.;

E(e(0)ST(0)) = D > 0;

N

п.н.

N 1 Ts(i =T (i + p) — hE(p )<<~ p = 0, n, i —^

Fi-і = {(E(i -1), ... E (0)} ; E (s(i)ST (i)/F- )< W ,

где W - случайная матрица; hE - матрица локальных автокоррелированных функций;

E(W) < п .

40. Вектор входных сигналов Xi, векторы П0 (xi)... ПГі (-Г[) и истинные параметры удовлетворяют следующему условию:

Z;

N

-1

Z,

П0

zj\-ZT-r \

— H

i —— ^

H 1 11 zz 1 Hzn

HTzn ! Hnn

nr

где H - положительно определенная матрица.

16

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

50. Пусть Ег = (T (i + 1)sT (i),...sT(i -r)) є) (r+2) xl,

N

N-1 £sr ST

п.н.

i

D! hS

hS

h S

где hs имеет размерность nxn(r +1); Hs : n(r + l)xn(r +1), Hs - положительно определенные матрицы, элементы которых n(r +1) являются значениями локальной автокоррелированной функции в различные моменты времени.

3. Доказательство состоятельности оценок

Уравнение (1) можно записать в виде

Y+1 - S(i +1) = df1 ( -E(i)) + . + df > ( -S(i -r)) +

+O20)4o

или

Yi+1 = o10)Y, +... + G1r)Yi-r + O20|4o (х,-) + ... + 02Г1|Л, (_, ) +

+s(i +1)-oj0)s(i)-...- djr )s(i - r).

Представляем уравнение (2) в виде системы уравнений (2) ( j = 1, n):

yi+1 = bf)Yi + ••• + b

+^( j (i +1) -b(0^s(ib(r>s(i -r),

+

,

;

где bj/ -j-я строка матриц G| , aj.u - j-я строка матриц G21. Уравнение (3) запишем следующим образом:

y (j) = У,+1

j - „j0)

Y-

n

+^j (+1)- a (0)s r;

r

где bj ’ =

j.

j0> ;• •• -b(r) "^3 II (0). a) ' ;- • (r) :a) '

j. j. . j. j.

Yr (i) =

YT --Y

xl • ,xl-r

n(r1)=

n0

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

17

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Введем следующую обобщенную ошибку для /-уравнения:

e(/) (., a/., i) = 3) (i +1) - bj0)Hr (i).

Из условий 3° и 5° следует, что обобщенная ошибка имеет нулевое среднее, а ее локальная дисперсия с вероятностью 1 равна

N , , , . 2 і N

lim

N -^ж N

^z(e(3 )(»i0).a/0).i)) = Nm.yS (i+1)-bi0}Er(()) =

і=0 i=1

і N f 2 T

=nS

ж i=1 ^

bj0)HE (b(0) f — 2% (b(0) f = ю(b(0)) п.н.

= a2 +b (

ров

Определим оценки

bj.: aj.

3 :a3

клонений e

неизвестных истинных значений парамет-из условия минимума суммы взвешенных квадратичных от-(bj , aj , і j с весом {bj ) [1]:

Si=1

v(/) — lb  ' a  I vi+1 \0r'ur\

min

b/^

Yr

n, (0

єВ

°2 +

bj•D

-b

Uj• JZ —r'Uj^ •

Справедливо следующее утверждение.

Пусть стационарная нелинейная динамическая система с нулевыми начальными условиями описывается уравнением (1) и помехи удовлетворяют

-0 ,0 г0 т,

условиям 2 ,3 ,5 . Кроме того, истинные значения параметров

j: aj0)

входные сигналы удовлетворяют условиям 10, 40 . Тогда оценка

bj.: a /

определяемая выражением (4), при N существует и является сильно состоятельной оценкой, т. е.

Доказательство утверждения. Рассмотрим функцию

ь,- :a, п.н. b

j. j. N ^ж j. j.

(

—UN (bj.: . ) = —

N N \ 3 3 > N

y(+j1) — |bj *: aj \

Yr

n

Y

18

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

1

N

i=1 V

Л2

1

N

T

Л

2

/

= Vi + V2 + V3;

где

?ET (i - rУ

b j. = b j. - b(0),

~

a j • = a j •- a j •;

TbT -2^(j>(i + 1)^.

Xj)

+bj.Sr (i)zTr (i)bT + bj Er(i)n(ri)TaTj,).

Тогда из условий 30 и 50 получим, что п.н.

Vi ^ о2 + bj HEbJ - 2hEj bj , V |bj : aj | є B . N

Из условия 4

0

следует, что

п.н.

V2 ^ \bj.

N ^ж

\H\b

j.:aj

VWj :aj є B .

Первые два слагаемых в V3 . в силу условий 20, 30,40 удовлетворяют условиям леммы [2] и, следовательно:

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

19

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

N п.н. N п.н.

1£(ч(/)(>'+(ij ^ о, -^(((i+і)п№4) -> о.

N г=Ґ N N i=1 N

i=l

Заметим, что

1 N _ N _

- а,5,. ()ZTrbTj. = N"1I»y.

i=1 i=1

5

• 1 5

ST,

Таким образом, (5) можно представить в виде (r +1)2 слагаемых, каждое из которых в силу предположений 2°,3°,4° по лемме [2] сходится к нулю.

Аналогично доказывается сходимость к нулю остальных слагаемых V3 ,

т.е.

п.н.

V3 ^ 0 , V|bj.:aj\ є B ,

N

и, следовательно,

1

-UN (j ^ °2 +b H-bT

N ^

N

о 2 + bj. HEbj.

~2h5jbl + |b~j. :aj\H\bj.:aj.\T = U(.,j

или

U (bj., aj. )=°-+1bj.:<

Hzz + H 5 ! H 1 ^ zn

HT 1 77 zn 1 Hnn

\bj.: j +

+

j: aj 0)

H\bj.: aj\- 2

Hz I b(0) )T + Hn( a (.0) )T + hi,-

zz\ j. j.

H2n

K: j•

Покажем, что решение задачи

min ю

-1

20

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

существует и достигается в единственной точке. Для этого вместе с задачей (6) рассмотрим функцию

V((• (0</))=°(• aj)-0<'4(. j. 0(йе «і.

V(o(j))=_min _V(bj .(j.0<j)).

' ' |bj '(j єВ ' '

тогда

V

+

b

j. j. j. j.

+

+ \bj. : (j.

Hzz + Hя - 0( j) Hя 1H \AI zn

\bj. : “A -

H zz j) + H^af) +

-2

T

\T

V j )T + Hnn((j0> )T

Дифференцируя V (j . (j . 0(j) )о =j.: aj-.| и

|bj. :aj.Г.

приравнивая производную

к нулю. получим

T

h

H + Hя -0( j)Hя

-1

X

X

Hzzbj(0)T + Hzno(0)T + (і - ©( j) )лЯ..

H TjT + H a(0)T

nzn uj. ^nn^j-

тогда

=°2

b

j. j. j. j.

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

21

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Hznf (j ) + Hnn(j)'

Нетрудно заметить, что уравнение V (o(j)) = 0

на интервале

{-<х, 1тт +1) имеет корень 0(j) = 1, если Lmin — наименьшее собственное число, определяемое положительно определенными матрицами H , H^, то ^mln > 0 [3]. Этот корень единственный, что вытекает из непрерывности

функции V (0(j)) и на (—^, Xmin), V (0^)< 0, тогда из (7) непосредственно следует (6).

В дальнейшем ход доказательства практически полностью аналогичен доказательству при условии, что n = m = 1.

Заключение

На основе данной статьи было создано прикладное программное обеспечение, которое позволит получать состоятельные оценки математических моделей прогноза потребления ресурсов на железной дороге.

Список литературы

1. Кацюба, О. А. Идентификация по методу наименьших квадратов параметров уравнений авторегрессии при аддитивных ошибках измерений / О. А. Кацюба, А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика. - 1982. - № 2. - С. 29-38.

2. Кацюба, О. А. Особенности применения МНК для оценивания линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления / О. А. Кацю-ба, А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика. - 1979. - № 8. - С. 86-95.

3. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М. : Физматлит, 2010. -576 с.

References

1. Katsyuba O. A., Zhdanov A. I. Avtomatika i telemekhanika [Automatics and remote control]. 1982, no. 2, pp. 29-38.

2. Katsyuba O. A., Zhdanov A. I. Avtomatika i telemekhanika [Automatics and remote control]. 1979, no. 8, pp. 86-95.

3. Gantmakher F. R. Teoriya matrits [The matrix theory]. Moscow: Fizmatlit, 2010. -576 p.

Руднев Кирилл Константинович

аспирант, Самарский государственный университет путей сообщения

E-mail: KiRudnev@gmail.com

Rudnev Kirill Konstantinovich Postgraduate student, Samara State University of Communication Lines

22

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

УДК 519.254 Руднев, К. К.

Параметрическая идентификация многомерной нелинейной стационарной динамической системы при наличии автокоррелированных помех в выходных сигналах / К. К. Руднев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2014. - № 3 (31). -

С.14-23.

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

23