Исследования электрических полей постоянного тока в системах со сложными геометрическими параметрами

/ L. Wang, J. Jatskewich, C. Wang, P. Li. // IEEE TRANSCTIONS ON POWER SYSTEMS. - VOL. 23.

- № 3. - AUGUST 2008. - P. 1226-1238.

References

1. Butyrin P.A. Modelirovanie i mashinnyj raschet jelektricheskih cepej: Ucheb. posob. [Tekst] / P.A. Butyrin, KS. Demirchan. - M.: Vyssh. shk., 1988. -335 s.

2. Krause Paul C. Analysis of the machinery and drive systems [Text] / Paul C. Krause, Oleg Wasynczuk, Scott D. Sudhoff. - New York: IEEE PRESS. - 2002.

- 630 p.

3. Vinogradov A.B. Vektornoe upravlenie jelektroprivodami peremennogo toka [Tekst] / A.B. Vinogradov. - Ivanovo: GOUVPO «Ivanovskij gosudarstvennyj jenergeticheskij universitet imeni V.I. Lenina», 2008. - 298 s.

4. Dommel H.W. Digital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single- and Multiphase Networks [Text] / H.W. Dommel // IEEE TRANSACTIONS ON POWER APPARATUS AND SYSTEMS. - 1969. - VOL. PAS-88. - № 4. - P. 388

- 399.

5. Watson Neville. Power System Electromagnetic Transients Simulation. London [Text] / Neville Watson, Jos Arillaga. - The Institution of Engineering and Technology. - 2007. - 621 p.

6. Chernin A.B. Raschet jelektromagnitnyh perehodnyh processov dlja relejnoj zashhity na linijah bol'shoj protjazhennosti [Tekst] / A.B. Chernin, S.B. Losev. - M. : Jenergija, 1972. - 144 s.

7. Plotnikov P.V. Osnovy chislennyh metodov [Tekst]/ P.V. Plotnikov, L.I. Turchak - M.: FIZMATLIT, 2003. - 304 s.

8. Demirchjan K.S. Teoreticheskie osnovy jelektrotehniki. V 3 tomah. T 1 [Tekst] / K.S. Demirchjan, N.V. Korovkin, L.R. Nejman, V.L. Chechurin. - SPb.: Piter, 2003. - 443 s.

9.Moskalenko V.V. Jelektricheskij privod: uchebnik dlja stud. vyssh. ucheb. zavedenij [Tekst]/ V.V. Moskalenko. - M.: Izdatel'skij centr «Akademija», 2007. - 368 s.

10. Marti J.R. Phase-domain indiction motor model for power system simulators. IEEE WESCANEX '95 PROCEEDING. - P. 276-282.

11. Wang L. Method of interfacing rotating machine models in transient simulation programs [Text] / L. Wang, J. Jatskevich, V. Dinavahi et al. // IEEE TRASACTIONS ON POWER DELIVERY. - VOL. 25.

- № 2. - APRIL 2010. - P. 891-903.

12. Wang L.A. voltage-behind-reactance induction machine model for the EMTP-type solution [Text] / L. Wang, J. Jatskewich, C. Wang, P. Li. // IEEE TRANSCTIONS ON POWER SYSTEMS. - VOL. 23.

- № 3. - AUGUST 2008. - P. 1226-1238.

АКарабельская И.В.

КагаЪеЫкауа I. V.

аспирант кафедры «Физика», доцент кафедры

«Информатика иИКТ» ФГБОУ ВО

«Уфимский государственный

университет экономики и сервиса», Россия, г. Уфа

УДК 537.3-047.37

ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА В СИСТЕМАХ СО СЛОЖНЫМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

В статье сформулирована математическая модель самосогласованной краевой задачи, описывающей электрические поля с цилиндрическими неоднородностями, электродами и изоляторами; вычислительные алгоритмы понижения размерности задачи; рассмотрены примеры, иллюстрирующие возможности использования бесконечных интегральных преобразований для понижения размерности данной краевой задачи.

Исследования электрических полей постоянного тока в системах со сложными и геометрическими

параметрами имеют важное научно-техническое и экономическое значение при геофизических поисках глубокозалегающих полезных ископаемых методом электроразведки, скважинной и межскважинной электроразведки на постоянном токе. Подобные электрические поля возникают также в электрохимических методах защиты и обработки металлов [1-12].

Постоянно растущие требования к повышению точности, надежности и оперативности результатов исследований выдвигают на первый план в качестве метода исследования - математическое моделирование и вычислительный эксперимент на базе использования информационно-вычислительных комплексов [13]. Данная методология базируется на разработке математических моделей, адекватно описывающих реальные процессы и их программно-алгоритмическое обеспечение.

В настоящее время имеет место тенденция к созданию систем автоматизированных научных исследований на основе обобщенных математических моделей, универсальных алгоритмов и пакетов прикладных программ.

Стремление к получению достоверного численного анализа математических моделей с использованием ограниченных ресурсов вычислительных средств приводит к необходимости разработки эффективных алгоритмов. Основная трудность, находящаяся на этом пути, заключается в трехмерности и многосвяз-ности расчетных областей, нелинейности математических моделей, содержащих в качестве исходных данных гладкие и разрывные функции.

Трудности решения таких задач в общем случае приводят к необходимости разработки экономичных алгоритмов для определенного класса задач. Эти алгоритмы, как правило, основаны на комбинировании различных вычислительных методов.

В данной работе предлагаются разработанные, апробированные на ЭВМ, комбинированные алгоритмы численного анализа электрических полей, описываемых трехмерными нелинейными самосогласованными краевыми задачами в неоднородной среде с цилиндрическими неоднородными включениями, изоляторами и электродами.

Этот класс моделей охватывает достаточно широкий круг теоретических задач электрических и тепловых полей, имеющих важные практические приложения.

Ключевые слова: математическая модель, самосогласованная краевая задача, исследования электрических полей постоянного тока, системы со сложными и геометрическими параметрами.

RESEARCH THE ELECTRIC FIELD OF DIRECT CURRENT SYSTEMS WITH COMPLEX GEOMETRIC PARAMETERS

The article presents a mathematical model of self-consistent boundary value problem describing the electric field with cylindrical inhomogeneities, the electrodes and insulators; computational algorithms for dimensionality reduction tasks, examples, illustrates the use of the infinite integral transform to reduce the dimensionality of the given boundary value problem.

Research the electric field of direct current systems with complex and geometric parameters has important scientific, technical and economic importance in geophysical search of deep-seated minerals method of electrical prospecting, downhole and crosshole GPR DC. Such electric fields occur in electrochemical methods of protection and processing of metals [1-12].

Ever-increasing demands to improve the accuracy, reliability and timeliness of the research results highlight as a method of research - mathematical modeling and computational experiment based on the use of information and computing systems [13]. This methodology is based on the development of mathematical models that adequately describe the real processes and their software-algorithmic software.

Currently there is a trend towards the creation of automated systems of scientific research on the basis of the generalized mathematical models, universal algorithms and software packages.

The desire to obtain accurate numerical analysis of mathematical models using the limited computational resources of funds leads to the development of effective algorithms. The main difficulty on this path is three-dimensional and mnogosvyaznoi settlement areas, non-linear mathematical models, containing the initial data is smooth and discontinuous functions.

The difficulty of solving such problems in the General case leads to the need to develop efficient algorithms for a given class of problems. These algorithms are usually based on the combination of different computational methods.

This work offers developed, tested on PC, the combined algorithms of numerical analysis of the electric fields described three-dimensional self-consistent nonlinear boundary problems in inhomogeneous media with inhomogeneous cylindrical inclusions, insulators and electrodes.

This class of models covers a rather broad theoretical problems of electric and thermal fields with important practical applications.

Key words: mathematical model, self-consistent boundary value problem, research the electric fields DC system with complex and geometric parameters.

1. Математическая постановка задач

Пусть трехмерная электрохимическая система (ЭХС) - область интегрирования Q состоит из М цилиндрических областей (сечение области Q плоскостью z = const), имеет границы раздела сред у (i = 1, 2, ... , М - 1), N - точечных источников поля с интенсивностями I (j = 1, 2, ..., N), K. - электродов с границами Sk (к = 1, 2, ..., K) и известными поляри-

зационными зависимостями плотностей тока от разности потенциалов на границе электрод/проводящая среда, Р. - электродов с заданным распределением тока или электроизоляторов.

При этих наиболее общих условиях расчет электрического поля можно получить решением граничной задачи

, N.

1 _J

Ы.2.....

м

По координате z определим линейные граничные условия вида

д2и.

ал и- - Д сг. ——* 1 i П г 8z

= vl.(x,y), cc2ui+/32ai

д2и,

dz

z=О

= v2i(x,yl

z=0

где константы «руб^а^,/^ ^"и ^>0и<0, возьмем и. ^ 0 при z ^ да.

«2+^2 - На электродах и на границах раздела сред опре-

Если Н = да, то вместо второго условия в (1.2) делим линейные граничные условия:

U, + С

к{х,у)

д и-

с-

i дп

(Pik{z), к =1,2,...,К., I =1,2,..., М

Sik

-О о- dui+ dui+1

у. ' * дп г+1 дп

О, i = 1,2,..., М-1

ri

<J,

д и.

дп

I. V

= i/fip(x, у, z), р=1,2,..., Pf, i = 1,2,..., М

О < г < Н; (х, у) е О.

В (1.1) - (1.6) 5 - дельта-функция Дирака; с к(х, у) - коэффициент удельной поляризуемо- протяженный электрод - проводящая среда.

кладки двойного электрического слоя на границе

сти k-го электрода в i-й среде;

Функции ф k (z) = ф k = const, если удельные со-

(л:,у), У)- функции распределения по- противления цилиндрических электродов и их про-

тенциала или плотности тока на плоскостях г = 0 и тяженность не велики. В этом случае падением по-

z = H;

тенциала по длине протяженного электрода можно

fik (x, y, z) - функции распределения плотности пренебречь.

тока на границе р-го электрода в >й среде (при щ. = 0

р

граница I. является электроизолятором);

Для тонких протяженных электродов функции находятся из решения интегро-

Фk (z) - распределение потенциала внешней об- дифференциального уравнения [14-16].

Slk

z ди-

I., + f dr f a-^r^ds., llr J- s, 1 dn ik ik

0

ИЛИ при P'IC= const

при краевых условиях

или при условиях Коши

ik

fyW-'ft. Vik'W-1*-

Здесь рл (е) - функции, описывающие сопротивление единицы длины к-го электрода, расположенного в 7-й среде.

Таким образом, сформулирована самосогласованная краевая задача (1.1) - (1.6), описывающая электрические поля с цилиндрическими неоднород-ностями, электродами и изоляторами.

Математическая модель (1.1) - (1.8) описывает многие задачи прикладной электрохимии, электрохимической защиты протяженных металлических сооружений от коррозии и задачи электроразведки и электрокаротажа.

2. Вычислительные алгоритмы понижения размерности задачи

Условно самосогласованную задачу (1.1) - (1.8) можно записать в операторной форме

ди I

L^u = fx (x,y,z), u\r = <p, L2q> = f2 —, l2 (p \v = a,

l у

Г

= <pk~\

к у 8u

о = f2

дп

кг

= a, k= 1,2,...

где У1 (х, у, z) - функция; и, ф - вектор-функции; а -вектор;

Ь1, Ь2, 11, 12, /2 - операторы; Г - граница расчетной области;

у - множество, состоящее из концевых точек электродов.

Задачу (2.1) удобно решать по итерационной схеме расщепления на две независимые задачи

При k = 1 и заданном ф0 = const решением задачи определяются функции u1. (x, y, z). Функции ul. (x, y, z) позволяют из (2.3) определить функции ф1. (z) и, таким образом, итерационную схему расщепления можно представить в виде

<р° -> н1-^1-»!/2-^2-»--

Наиболее простой задачей в схеме (2.4) является задача (2.3), которая относится либо к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, либо к задаче Коши для этого уравнения. Для их решения эффективны разностные схемы в сочетании с методом прогонки или, например, метод Рунге - Кутта [17]. Задача (2.2) в схеме (2.4) является краевой задачей (1.1) - (1.6) с известными функциями (z), эти функции определяются из задачи (2.1) (или (1.7), (1.8)).

Над задачей (1.1) - (1.6) совершим некоторое преобразование по переменной z:

Ai1M = A/1, Allu\p=A<p, (2.5) понижающее размерность задачи и приводящее к граничной задаче с двумя переменными х и y

д2й.

дх

+

д2й.

ду<

1 Ni

- «Ч- = -i.Z/ij S

д и-

дп

= Ч>

U.....K., i

--1,2,..., M

Sik

u. - и. л i г+1

ri

д и. д и .

О, ст. —1- + ст. —

i дп г+1 дп

= О, i =1,2,..., М-1

Гг

д ui

ст.

i дп

I. гр

Vip

u.(x, у, z) = В и^ (х, у, а), где B - оператор, обратный оператору А.

Искомые функции u. (x, y, z) находятся обратным преобразованием. Так что

и-(х, у, z) = Bu-

Рассмотрим конкретные виды преобразований

а) Пусть а = 1, в1 = 0, Н = да, тогда

__оо 2 00-

и (х,у,а) = j и(х,у,z)sinazdz, u(x,y,z)= — J u(x,y,a)sinazda,

0 * 0

_ 00

P(Z. J = sin« z.., y/iv (x, y, a) = J w. (x, y, z)sin a zdz, у и r Q "

00

ft (x, y)=-a v-^ipc, y), q>ik(a) = j z) sin azdz

б) При «j =0, Д = 1,H= oo имеем

__oo 2

U (x,y, a) = \ u(x,y,z) cos azdz, и (x,y, z)=— J u(x,y,a)cosazda 0 n 0 _ 00 P( z..) = cos a z.., у/ip (x, y, a) = J w- (x, y, z)cos azdz

У У r Q lF

v..(x,y) _ »

ff (x, у) =---^r—, <Pik(a) = J <Pik(Z) cos a zdz

в) Если a = 1, H = oo, <Tj = (7... = <т^,то

— 00 2 w

u(x,y,a)= J u(x,y,z)y/(z,a)dz, u(x,y,z) = — J u(x,y,a) ' i. da

О * 0 hr+a2

y/{z,a) = a cos ax + h sin ax, h =—, P(z,,)= y/{z..,a),

1

__oo vr

Vin (x,y, a) = j у/, (x, y, z) y/(z,a)dz, f. (x, y) = —11 ,

lP Q lP 1 y\

_

= Í <%(z) y(z,a)dz. 0 lK

Примеры a), б) и в) иллюстрируют возможности мического обеспечения численных исследований

использования бесконечных интегральных преобра- электрических полей в некоторых сложных систе-

зований для понижения размерности задачи (1.1) - мах [Текст] / В.Т. Иванов, А.М. Болотнов, Ф.Г. Га-

(1.8) с условием (1.3). дилова, Г.Я. Кильдибекова, В.Н. Кризский, И.У.

Надергулов, И.В. Карабельская // Известия ВУЗов:

Списоклитературы Электромеханика. - 1987. - № 11. - С. 21 - 26. 1. Иванов В.Т. Комплекс программно-алгорит- 2. Иванов В.Т. Комплекс программно-алгорит-

мического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах. I Всесоюзная конф. по теоретической электротехнике [Текст] / В.Т. Иванов, А.М. Болотнов, Ф.Г. Гадилова, Г.Я. Кильдибекова, В.Н. Кризский, И.У. Надергулов, И.В. Карабельская // Тез. докл. - Ташкент, 1987.- С. 34-35.

3. Болотнов А.М. Методы расчета трехмерных краевых задач для эллиптических уравнений в многосвязных областях с цилиндрическими границами [Текст] / А.М. Болотнов, В.Т. Иванов, Г.Я. Кильдибекова, И.В. Карабельская. - Деп. в ВИНИТИ 4.12.86. № 8870 - В86. - Уфа: БГУ, 1986. - 49 с.

4. Ураков А.Р. Исследования автомодельных процессов нестационарной ЭХО [Текст] / А.Р. Ураков, В.И. Карамов, И.В. Карабельская // Современная электротехнология в машиностроении: Сб. трудов Всероссийской науч.-техн. конф. - Тула, 1997. - С. 161-162.

5. Ротинян А.Л. Прикладная электрохимия [Текст] / А.Л. Ротинян. - Л.: Химия, 1974. - 536 с.

6. Иванов В.Т. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки [Текст] / В.Т. Иванов, В.Г. Гусев, А Н. Фокин. - М.: Машиностроение, 1986. - 211 с.

7. Андреев И.Н. Коррозия металлов и их защита [Текст] / И.Н. Андреев. - Казань: Татарское кн. изд-во, 1979. - 120 с.

8. Заборовский А.И. Электроразведка [Текст] / А.И. Заборовский. - М.: Гостехнефиздат, 1948.

9. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин [Текст] / В.Н. Дахнов. - М.: Недра, 1981. - 334 с.

10. Козырин А.К. Электрическая корреляция разрезов скважин [Текст] / А.К. Козырин. - М.: Недра, 1985.

11. Иванов В.Т. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа [Текст] / В.Т. Иванов, М.С. Масютина. - М.: Наука, 1983. - 143 с.

12. Иванов В.Т. Некоторые проблемы вычислительной математики применительно к расчетам электрических полей в электрохимических системах [Текст] / В.Т. Иванов; препринт докл. Президиуму БФАН СССР. - Уфа: БФАН СССР, 1983. - 39 с.

13. Самарский А.А. Проблемы применения вычислительной техники [Текст] / А.А. Самарский // Вестник АН СССР. - 1984. - № 11. - С. 17-29.

14. Иванов В.Т. [Текст] / В.Т. Иванов // Тез. докл. Всесоюзной конф. «Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами»: ч.1. - Уфа: БФАН СССР, 1976. - С. 19-20.

15. Иванов В.Т. Методы расчета трехмерных электрических полей в электролитах [Текст] / В.Т.

Иванов // Краевые задачи математической физики и их приложения. - Уфа: БФАН СССР, 1976. -С.18-53.

16. Иванов В.Т. Расчет трехмерных электрических полей в неоднородной среде с протяженными тонкими цилиндрическими электродами [Текст]/ В.Т. Иванов, Н.П. Глазов, М.М. Махмутов. - Электричество. - 1985. - № 6.- С. 48-52.

17. Самарский А.А. Введение в численные методы [Текст] / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1982. - 271 с.

References

1. Ivanov V.T. Kompleks programmno-algoritmi-cheskogo obespechenija chislennyh issledovanij je-lektricheskih polej v nekotoryh slozhnyh sistemah [Tekst] / V.T. Ivanov, A.M. Bolotnov, FG. Gadilova, G.Ja. Kil'dibekova, V.N. Krizskij, I.U. Nadergulov, I.V. Karabel'skaja // Izvestija VUZov: Jelektromehanika. -1987. - № 11. - S. 21-26.

2. Ivanov V.T. Kompleks programmno-algorit-micheskogo obespechenija chislennyh issledovanij jelektricheskih polej v nekotoryh slozhnyh sistemah. I Vsesojuznaja konf. po teoreticheskoj jelektrotehnike [Tekst] / V.T. Ivanov, A.M. Bolotnov, FG. Gadilova, G.Ja. Kil'dibekova, V.N. Krizskij, I.U. Nadergulov, I.V. Karabel'skaja // Tez. dokl. - Tashkent, 1987. - S. 34-35.

3. Bolotnov A.M. Metody rascheta trehmernyh kraevyh zadach dlja jellipticheskih uravnenij v mnogosvjaznyh oblastjah s cilindricheskimi granicami. [Tekst] / A.M. Bolotnov, V.T. Ivanov, G.Ja. Kil'dibekova, I.V. Karabel'skaja. - Dep. v VINITI 4.12.86. № 8870 -V86. - Ufa: BGU, 1986. - 49 s.

4. Urakov A.R. Issledovanija avtomodel'nyh processov nestacionarnoj JeHO [Tekst] / A.R. Urakov, V.I. Karamov, I.V. Karabel'skaja // Sovremennaja jelektrotehnologija v mashinostroenii: Sb. trudov Vserossijskoj nauch.-tehn. konf. - Tula, 1997. - S. 161162.

5. RotinjanA.L. Prikladnaja jelektrohimija [Tekst]/ A.L. Rotinjan. - L.: Himija, 1974. - 536 s.

6. Ivanov V.T. Optimizacija jelektricheskih polej, kontrol' i avtomatizacija gal'vanoobrabotki [Tekst] / V.T. Ivanov, V.G. Gusev, A.N. Fokin. - M.: Mashinostroenie, 1986. - 211 s.

7. Andreev I.N. Korrozija metallov i ih zashhita [Tekst] / I.N. Andreev. - Kazan': Tatarskoe kn. izd-vo, 1979. - 120 s.

8. Zaborovskij A.I. Jelektrorazvedka [Tekst] / A.I. Zaborovskij. - M.: Gostehnefizdat, 1948.

9. Dahnov V.N. Jelektricheskie i magnitnye metody issledovanija skvazhin [Tekst] / V.N. Dahnov. -M.: Nedra, 1981. - 334 s.

10. Kozyrin A.K. Jelektricheskaja korreljacija razrezov skvazhin [Tekst] / A.K. Kozyrin. - M.: Nedra, 1985.

11. Ivanov V.T. Metody reshenija prjamyh i obratnyh zadach jelektrokarotazha [Tekst] / V.T. Ivanov, M.S. Masjutina. - M.: Nauka, 1983. - 143 s.

12. Ivanov V.T. Nekotorye problemy vychislitel'noj matematiki primenitel'no k raschetam jelektricheskih polej v jelektrohimicheskih sistemah [Tekst] / V.T. Ivanov; preprint dokl. Prezidiumu BFAN SSSR. - Ufa: BFAN SSSR, 1983. - 39 s.

13. Samarskij A.A. Problemy primenenija vychislitel'noj tehniki [Tekst] / A.A. Samarskij // Vestnik AN SSSR. - 1984. - № 11. - S. 17-29.

14. Ivanov V.T. [Tekst] / V.T. Ivanov // Tez. dokl.

Vsesojuznoj konf. «Teorija informacionnyh sistem i sistem upravlenija s raspredelennymi parametrami» ch.1. - Ufa: BFAN SSSR, 1976. - S. 19-20.

15. Ivanov V.T. Metody rascheta trehmernyh jelektricheskih polej v jelektrolitah [Tekst] / V.T. Ivanov // Kraevye zadachi matematicheskoj fiziki i ih prilozhenija, Ufa: BFAN SSSR, 1976. - S. 18-53.

16. Ivanov V.T. Raschet trehmernyh jelektricheskih polej v neodnorodnoj srede s protjazhennymi tonkimi cilindricheskimi jelektrodami [Tekst] / V.T. Ivanov, N.P. Glazov, M.M. Mahmutov. - Jelektrichestvo. - 1985. -№ 6. - S. 48-52.

17. Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody [Tekst] / A.A. Samarskij. - M.: Nauka, 1982. - 271 s.