ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ МЕТРИКИ НЕКОТОРЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2023. Том 30, № 4

УДК 514.765

ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ МЕТРИКИ НЕКОТОРЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ В. А. Кыров

Аннотация. Г. Г. Михайличенко была построена полная классификация двумерных геометрий максимальной подвижности, которая содержит кроме хорошо известных геометрий еще и три геометрии гельмгольцева типа (собственно гельмголь-цева, псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева). Каждая из этих геометрий задается функцией пары точек (аналог евклидова расстояния) и является геометрией локальной максимальной подвижности, т. е. допускает трехпараметрическую группу движений. Группам движений этих геометрий однозначно сопоставляются неунимодулярные матричные трехмерные группы Ли, изучению которых и посвящена данная статья.

В этой работе построены левоинвариантные метрики изучаемых матричных групп Ли, найдены связности Леви-Чивиты, а также найдена кривизна на этих группах Ли. Исследованы геодезические на таких группах Ли.

Б01: 10.25587/2411-9326-2023-4-24-36

Ключевые слова: геометрии локальной максимальной подвижности, левоинва-риантные римановы метрики, кривизна, геодезическая.

Введение

В данной работе интерес представляют следующие геометрии из списка Г. Г. Михайличенко двумерных феноменологически симметричных геометрий (двумерных геометрий локальной максимальной подвижности) [1, с. 54]: псевдогельмгольцева геометрия:

/

(Жх - Х2)в

собственно гельмгольцева геометрия:

/

дуальногельмгольцева геометрия:

vi ~ У2

/

причем а = 0, в = 0, а = ±в, 7 = 0, / — функция пары точек (аналог евклидова расстояния) плоскости К2, 1 = (жх,ух) и 2 = (ж2,у2) — точки этой плоскости.

Группы движений этих геометрий, т. е. преобразований плоскости К2, сохраняющих функции пары точек (1)—(3), являются подгруппами аффинной

© 2023 Кыров В. А.

группы плоскости и задаются соответственно следующими уравнениями [2, с. 41; 3,4]:

ж' = ea"x + 6, y' = ee"y + с;

ж' = xe-Y" cos а — ye-Y" sin a + b, y' = же-7" sin a + ye-Y" cos a + с;

x' = e"x + 6, y' = —ae"x + e"y + с,

причем а, 6, с — параметры групп движений.

1. Матричные группы Ли и их алгебры Ли

Группам движений (4)—(6) можно однозначно поставить в соответствие неунимодулярные матричные группы Ли:

G2

G

eaz 0 x

Г- ( 0 e^z y 1;

0 0 1

Yz cos z —e- Yz sin z x

~lz sin z e Yz cos z y

0 0 1

/ ez 0 x

: ( —zez ez y 1,

0 0 1

где (x, y, z) — точка группы Ли, а, в, Y — постоянные, о которых говорится во введении. Как известно автору, данные группы Ли ранее не изучались, хотя если в (7) допустить а = -1, в =1, то эта группа будет совпадать с хорошо изученной группой Sol [5-7].

Алгебры Ли групп Ли из списка (7)-(9) вычисляются просто. Приведем их образующие, которые обозначим через ei,e2 и e3 соответственно: алгебра Ли AG1:

алгебра Ли AG2:

0 1 0 0 0 ¡ a 0 0

0 01' (0 0 1 I' (0 в 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

алгебра Ли AG3:

001 000 000

000 0 0 1 000

000 001 000

—Y —1 0'

1 —y 0 0 0 0

1 0 0' —1 1 0 0 0 0,

Первое коммутационное соотношение для всех трех алгебр Ли одинаковое: [б!, е2] = 0, а остальные различные:

AGi: [е2,ез] = —ве2, [ез,ех]= aei;

AG2: [в2,еэ] = ei + 7Б2, [ез, ei] = - Yei; AG3: [е2,ез] = -е2, [e3,ei] = ei - е2.

Нетрудно доказать неизоморфность и разрешимость этих алгебр Ли [8, с. 183]. Каждая из этих трех алгебр Ли является полупрямой суммой двумерного абе-лева радикала с образующими ei, е2 и одномерной подалгебры с образующей е3 [8, с. 184]. Алгебры Ли AGi-AG3 изоморфны алгебрам Ли из классификации Бианки трехмерных вещественных алгебр Ли [9, с. 197]. Так, алгебра AGi изоморфна алгебре V/a, 0 < | а| < 1, для чего надо перейти к новому базису ei = (/2 + /3)/2, е2 = (/2 - /3)/2, е3 = a/i /(a - 1) при а и в разного знака и к базису e2 = (/2 + /3)/2, ei = (/2 - /3)/2, e3 = a/i/(a - 1) при а и в одного знака; алгебра AG2 изоморфна алгебре V//a, a > 0, что вытекает при переходе к новому базису ei = /3, e2 = /2, e3 = -/i, и ввести обозначение 7 = a; алгебра AG3 изоморфна алгебре /V, в чем легко убедиться, перейдя к базису ei = -/2,

e2 = ^ e3 = /i.

Метрика (£,n) на группе Ли G называется левоинвариантной [5; 9, с. 181], если она инвариантна относительно левых сдвигов: Lg : G —> G, h ^ gh, h G G, т. е.

Отметим, что изучение трехмерных групп Ли актуально в современной геометрии. Так, в частности, исследуются различные связности, кривизны и уравнения Эйнштейна на трехмерных группах Ли [10].

Процедура вычисления левоинвариантных метрик хорошо известна (см., например, [5]).

1. Левоинвариантная метрика группы Ли Сь Произвольный элемент и обратный к нему элемент:

м = (L;n), G ThG, g,h G G.

2. Вычисление левоинвариантных метрик

Касательный вектор к группе Gi в единице:

Тогда

Скалярное произведение в единице группы Ли Gi:

(S, S) = рХ2 + qY2 + — det

Н, S) = рХ2 + qY2 -\—-— det S = pX2 + qY2 + rZ2.

2

2

2

2

2

Легко получить, что

\д а) = ре X + де ^ У + ге ^ .

Левоинвариантная метрика для группы Ли С! принимает вид

= ре-2^ ¿х2 + де"2^ ¿у2 + ге-(а+^ ¿г2.

2. Левоинвариантная метрика группы Ли С2. Произвольный элемент и обратный к нему элемент:

; Yz cos z —е Yz sin z x g = | e-Yz sin z e-Yz cos z y 0 0 1

i

eYz cos z eYz sin z —eYz (x cos z + y sin z)" —eYz sin z eYz cos z eYz(x sin z — y cos z) 0 0 1

Касательный вектор к группе G2 в единице:

-(Г Í ;) '-с? -

Скалярное произведение в единице группы Ли G2:

(S, S) = рХ2 + qY2 + det S = рХ2 + qY2 + rZ2.

1 + Y2

Тогда

(g-1S, g-1S) = e2Yz((p cos2 z + qsin2 z)X2

+ (p — q) sin2zXY + (psin2 z + qcos2 z)Y2 + rZ2).

Левоинвариантная метрика группы Ли G2 принимает вид

ds2 = e2Yz((p cos2 z+q sin2 z) dx2 + (p—q) sin 2z dxdy+(p sin2 z+q cos2 z) dy2+r dz2).

3. Левоинвариантная метрика для группы Ли G3. Произвольный элемент и обратный к нему элемент:

/ ez 0 x\ / e-z 0

g = | —zez ez y I , g-1 = | ze-z e-z —ye-z — xze-z

V 0 0 1) \ 0 0 1

Касательный вектор к группе G3 в единице:

z °z y) íz o

"o o oj' z

Скалярное произведение в единице группы Ли G3:

(Е,Е) =рХ2 + qY2 + г det S = рХ2 + qY2 +rZ2.

g

Тогда

(д-15, д-1~) = е-2г[(р + д,г2)Х2 + 2,гдХУ + дУ2 + г^2]. Левоинвариантная метрика для группы Ли Сз будет иметь вид

= (р + д^2)е-22 ¿ж2 + 2^де-22 ¿ж^у + де-2г ¿у2 + ге-2г ¿г2. Легко установить для всех трех алгебр АС1, АС2 и АС3:

(в1 ,в1) = р, (е2,в2) = 9, (ез,ез) = г,

т. е. скалярное произведение не ортонормировано.

3. Связность Леви-Чивиты

Найдем связности на группах Ли С1, С2 и С3. Связность Леви-Чивиты в ортогональном, но не ортонормированном базисе имеет вид [5,11]

= - ^(а^г + а1кз + аць)ег, аг^к = ([ег, е^],ек), г,], к =1,2, 3. ъ

Результаты вычислений следующие: для группы С1:

Уе1 е1 = раез, Уе1 е2 = 0, Уе1 ез = -раеь Уе2 е1 = 0,

Уе2 е2 = двез, Ve2 ез = -9^2, Veз е1 = 0, Уез е2 = 0, Уез ез = 0; для группы С2:

\7е1е1 = -7ре3, Уе1е2 = -р)е3, Че1 е3 = 7рех + ^(р - д)е2,

^е2е1 = — р)ез, Ve2e2 = -7ge3, '^7е2ез = ^(р-д)е!+7де2,

= 7)(р ^езе2 =-^(р + д)еь Уезе3 = 0;

для группы Сз:

1 1 1

У^е^рез, Уе1е2 = --де3, Уб1е3 = -рех + -де2, Уе2е1 =--де3,

Ve2e2 = ge3, Ve2e3 = ^qe1-qe2, Ve3ei = -^2, Ve3e2 = Ve3e3 = 0.

Заметим, что если в группе G1 допустить а = -1, в = 1 и p = q = 1, то ее связность совпадет со связностью группы Sol [5]. Также заметим, что связность не зависит от r.

4. Геодезические на группе

Как известно, в локальных координатах геодезические в связности Леви-Чивиты задаются уравнениями [12]

Ниже используются более удобные обозначения для координат: т = т1, у = т2, ^ = х3. Для группы С1 уравнения (10) принимают следующий вид:

Решим первое уравнение разделением переменных:

Интегрируя, имеем

следовательно

х' ^ ' dt' dt

— = Cleapz. di

Аналогично поступаем и со вторым уравнением:

^У - r^pfaz dt 2 '

Найденное подставляем в третье уравнение геодезической:

z'' + apc?e2aPz + в^е2^ = 0. Умножая на z', получаем

z'z'' + (apc2e2apz + eqc2e2eqz )z' = 0.

Далее, имеем

z' dz' + (apc1e2apz + eqc2e2eqz) dz = 0,

затем интегрируем:

z'2 + c2e2aPz + с2е2^г - сз = 0,

следовательно,

z' = \jc3- c\e2aPz - c^e2!3^. В результате получаем векторное поле геодезической:

В статье [5] для группы Sol, определяемой матрицами

0 ж\

0 ez У I ,

0 0 1/

задается левоинвариантная метрика

= е2х^ж2 + е-2у ¿у2 + ¿г2.

Вычисляется связность:

Уе1 в1 = -ез, Уе1 е2 = 0, Уе1 ез = еь Уе2 ех = 0, Уе2 е2 = ез, Уе2 ез = -е2, Уез ех = 0, Уез е2 = 0, Уез ез = 0. Тогда уравнения на геодезическую принимают следующий вид:

(Рх ¿Х ¿2 Сру ¿у ¿2 Ср2 / с1х\2 / ¿у\2

~м2 + И ~<Е ~ ' 'бй2 ~ И ~<Е ~ ' + \~cit) ~

Интегрируя один раз, получаем векторные поля на геодезическую:

Сравнивая формулы (11) и (14), приходим к выводу: геодезические на группе Gx с левоинвариантной метрикой при p = — 1/а и q = 1/в совпадают с геодезическими на группе Sol с левоинвариантной метрикой (13).

5. Геодезические на группе G2

Для группы G2 уравнения (10) принимают следующий вид:

d2x dx dz dy dz d2y dx dz dy dz

d,t2 ^ dt dt ^ dt dt ' d,t2 ^ dt dt ^ dt dt '

2 / i \ 2 / , \ 2 2z

(f dy\ , dy

"7PUJ ~iq\Jt) +{q-p)MM=0-

Возможны следующие случаи.

1) Р — 9 = 0. Решая первые два уравнения, получаем

^ = е~7р2(с13трг — с2созрг), ^ = е~7р2(с1 соврг + с2 втр,г). да да

Подставляя в третье, будем иметь

№

поэтому

7^с2 + с2) e-2Ypz,

dz ~¡E

= V сз — (с? + с2) e-2Ypz.

В результате получаем векторное поле геодезической

(е_7р2(с1 втр,г — с2 соврг), е~7р2(с1 соврг + с2 втр,г), — (с2 + с|)е~2тР2

2) р — д = 0, 72 = 4рд/(р — д)2. Решая первые два уравнения, получаем ^ = д(с12 + ^ = (сг^/щг + сх + .

3) р — д = 0, О = 72(р — д)2 — 4рд > 0. Из первых двух уравнений будем иметь

— = Не-^ сЬ(л/2Хг/2 + а), от

^ = Не-4*?» Г (р^ с11(^/2 + а) + ^ вЬ(л/Лг/2 + а)) . да \ 2рд 2рд у

4) р — д = 0, А = —72(р — д)2 + 4рд > 0. Тогда

^ = Де^ч- со8(л/Лг/2 + а),

б%

Ле-^

\ 2рд 2рд

6. Геодезические на группе

Для группы С3 уравнения (10) принимают следующий вид:

А2х с1х Аг Ау Аг сру с1у Аг

(Й2 ^ (И АЬ ^ АЬ АЬ ' АЬ,2 ^ ей ей '

/¿т\ 2 /¿у\ 2 ¿т ¿у

Возможны два случая

1) Р = д. Решая первые два уравнения, получаем

Найденное подставляем в третье уравнение:

=Р{~С2 + (сз(с1 - - (С1 - с2рг)2))е2рг.

Интегрируя, имеем

— = \! — (с! — с2рг)2е2Рг — с?,е2Р2.

В результате приходим к векторному полю геодезической

((с! - с2рг)ерг, с2ерг, ^с3 - (сх - с2рг)2е2Рг - с|е2г>г). 2) Р = д. Решая первые два уравнения, получаем

Ах Ау р-д

— = сгеР + с2еч , — = с2-б

аг аг д

7. Тензор кривизны

Тензор кривизны на группе Ли связности Леви-Чивиты задается формулой

[12]

Д(Х, У= Z - Z + У[х,г

Вычисления дают следующие ненулевые результаты для компонент тензора кривизны, причем надо помнить, что по последним двум нижним индексам тензор антисимметричен: для группы Сь

д221 = рдав, Д?21 = рдав, = -ра2,

Д1з! = ра2, Д3з2 = -дв2, Я2з2 = 9в2; для группы С2:

Р121 = " -^121 = (р - д)2/4 - рдт2,

Р131 = -р3з1 = (р2 - д2)/4 - 72р + (р - д)/2,

р3 р231 = - -Р2 - р331 = = -(р + д)р7/2 + 7 (д - р)/2 + тд,

Рз р132 = - р1 = р332 = (р + д)д7/2 + 7 (д - р)/2 - тр,

Е>3 р232 = = -Р3з2 = = -(р2 - д2)/4 + (д - р)/2 - 72д;

для группы С3:

Д221 = -Л221 = д2/4 - рд, й3з1 = -л3з1 = -д2/4 - р - д/2,

Д3з1 = -Лзз1 = -др/2 + 3д/2, ^3з2 = -Д3з2 = д2/2 + д/2, Я|з2 = -Л|з2 = д2/4 - д.

8. Тензор кривизны Риччи и скалярная кривизна

Тензор кривизны Риччи определяется формулой [10]

г(Х, У) = ^ ^ Д(Х, Z)У).

Вычисления дают следующие ненулевые результаты: для группы С1:

г11 = -рдав - ра2, г22 = -рдав - дв2, г33 = -ра2 - дв2; для группы С2:

Г11 = (р - д)(р + 1)/2 - т2р(д + 1), Г22 = -(р - д)(д + 1)/2 - 72д(р + 1),

гзз = -72(p+д), г12 = 7д(р+д)/2-7р-7 (p-д), Г21 = 7р(р+д)/2+7д-7(р-д); для группы С3:

Г11 = -рд - р - д/2, г 12 = д2/2 + д/2, Г21 = -рд/2 + 3д/2,

Г22 = q2/2 - q - pq, Г33 = -p - 3q/2. Скалярная кривизна определяется формулой

S = ,

причем

/1/p O = I O 1/q OO

Вычисления дают следующие результаты: для группы G1 :

S = -qaß - a2 - paß - ß2 - pa2/r - qß2/r;

для группы G2 :

s = (P - 9) - - 72+ ? + 2) - (P + <zb2A;

для группы G3:

S = -q/2p - q/2 - p - 2 - p/r - 3q/2r. Заключение

В работе найдены левоинвариантные метрики и символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты матричных групп Ли (7)—(9), компоненты тензоров Ри-мана и Риччи, а также векторные поля геодезических. Все полученные результаты можно отнести к дважды инвариантным метрикам, если положить p = q =1, г = a2 + ß2 для G1, г = 2(1 + y)2 для G2 и г = 3 для G3. Исследования в этом направлении можно продолжить, например, изучить двумерные поверхности этих групп Ли, в частности, минимальные поверхности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайличенко Г. Г. Математические основы и результаты теории физических структур. Горно-Алтайск: Изд. ГАГУ, 2016.

2. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. М.: Наука, 1980.

3. Кыров В. А. Гельмгольцевы пространства размерности два // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №6. С. 1341-1359.

4. Богданова Р. А. Группы движений двумерных гельмгольцевых геометрий как решение функционального уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 1222.

5. Бердинский Д. А., Тайманов И. А. Поверхности в трехмерных группах Ли // Сиб. мат. журн. 2005. T. 46, № 6. С. 1248-1264.

6. Thurston W. P. Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6, N 3. P. 357-381.

7. Scott P. The geometries of 3-manifolds // Bull. Lond. Math. Soc. 1982. V. 15, N 5. P. 401-487. S. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1976. 9. Новиков С. П., Тайманов И. А. Современные геометрические структуры и поля. М.:

Наука, 2005.

10. Клепиков П. Н., Родионов Е. Д., Хромова О. П. Уравнение Эйнштейна на трехмерных локально однородных (псевдо)римановых пространствах с векторным кручением// Мат. заметки СВФУ. 2021. Т. 28, № 4. С. 30-47. DOI: 10.25587/SVFU.2021.26.84.003.

11. Milnor J. W. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups // Adv. Math. 1976. V. 21, N 3. P. 293-329.

12. Gromoll D., Klingenberg W., Meyer W. Riemannsche geometrie im grossen. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1968.

Поступила в редакцию 30 января 2023 г. После доработки 25 сентября 2023 г. Принята к публикации 30 ноября 2023 г.

Кыров Владимир Александрович Горно-Алтайский государственный университет, кафедра математика, физики и информатики, ул. Ленкина, 1, Горно-Алтайск 649000 кугоуУА@уа^ех. ги

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2023. Том 30, № 4

UDC 514.765

LEFT-INVARIANT METRICS OF SOME THREE-DIMENSIONAL LIE GROUPS V. A. Kyrov

Abstract: Mikhailichenko constructed a complete classification of two-dimensional geometries of maximum mobility, which contains, in addition to well-known geometries, also three geometries of the Helmholtz type (actually Helmholtz, pseudo-Helmholtz, and dual Helmholtz). Each of these geometries is specified by a function of a pair of points (an analogue of the Euclidean distance) and is a geometry of local maximum mobility, that is, it allows a three-parameter group of movements. The groups of motions of these geometries are uniquely associated with non-unimodular matrix three-dimensional Lie groups, the study of which is the subject of this article.

In this work, left-invariant metrics of the studied matrix Lie groups are constructed, and Levi-Civita connections are found, as well as curvature on these Lie groups. Geo-desics on such Lie groups are studied.

DOI: 10.25587/2411-9326-2023-4-24-36

Keywords: geometry of local maximum mobility, left-invariant Riemannian metrics, curvature, geodesic.

REFERENCES

1. Mikhailichenko G. G., Mathematical basics and results of the theory of physical structures [in Russian], Izdat. GASU, Gorno-Altaisk (2016).

2. Bredon G., Introduction to the theory of compact transformation groups [in Russian], Nauka, Moscow (1980).

3. Kyrov V. A., "Helmholtz spaces of dimension two [in Russian]," Sib. Math. J., 46, No. 6, 1341-1359 (2005).

4. Bogdanova R. A., "Groups of motions of two-dimensional Helmholtz geometries as a solution of a functional equation [in Russian]," Sib. J. Ind. Math., 12, No. 4, 12-22 (2009).

5. Berdinsky D. A. and Taimanov I. A., "Surfaces in three-dimensional Lie groups [in Russian]," Sib. Math. J., 46, No. 6, 1248-1264 (2005).

6. Thurston W. P., "Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry," Bull. Amer. Math. Soc., 6, No. 3, 357-381 (1982).

7. Scott P., "The geometries of 3-manifolds," Bull. Lond. Math. Soc., 15, No. 5. 401-487 (1982).

8. Ovsyannikov L. V., Group analysis of differential equations [in Russian], Nauka, Moscow (1976).

9. Novikov S.P. and Taimanov I. A., Modern geometric structures and fields [in Russian], Nauka, Moscow (2005).

10. Klepikov P. N., Rodionov E. D., and Khromova O. P., "Einstein equation on three-dimensional locally homogeneous (pseudo) Riemannian manifolds with vectorial torsion [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 28, No. 4, 30-47 (2021). DOI: https://doi.org/10.25587/SVFU.2021.26.84.003

11. Milnor J. W., "Curvatures of left invariant metrics on Lie groups," Adv. Math., 21, No. 3, 293-329 (1976).

© 2023 V. A. Kyrov

12. Gromoll D., Klingenberg W., and Meyer W., Riemannsche geometrie im grossen, Springer, Berlin; Heidelberg; New York (1968).

Submitted January 30, 2023 Revised September 25, 2023 Accepted November 30, 2023

Vladimir A. Kyrov Gorno-Altaisk State University, Lenkina st., 1, Gorno-Altaisk 649000, Russia kyrovVA@yandex.ru