Управление и логико-вероятностные модели риска с группами несовместных событий

А

нализ и синтез систем управления

УДК 574;519.862.6

УПРАВЛЕНИЕ И ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ РИСКА С ГРУППАМИ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ

H.A. Махутов

(1) Институт машиноведения РАН, г, Москва;

(2) Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург

Рассмотрена связь статистических данных, управления, эффективности и риска на основе логико-вероятностной (ЛВ) теории риска с группами несовместных событий (ГНС). Выполнены систематизации и обобщения по ЛВ-моделям риска с ГНС в разных приложениях. Сделан акцент на логические основы теории риска, переход от базы данных к базе знаний. Описаны области приложений, достоинства, отличия, типы моделей и особенности ЛВ-теории риска с ГНС.

ВВЕДЕНИЕ

Вероятностная (В) логика Дж. фон Неймана и логико-вероятностное исчисление И.А. Рябинина для решения прямых задач риска появились в 1950—1960 гг. независимо друг от друга для разных приложений [1, 2]. В принципе, можно было использовать один термин, считая ЛВ-исчисление развитием В-логики. Однако ЛВ-исчисление породило целое научное направление и стало основой ЛВ-теории риска. Решение обратных задач риска с оценкой вероятностей по набору логических (Л) суждений впервые рассмотрел Нильс Нилссон, но аналитическое решение удалось получить только для простейших случаев. Обратные задачи риска без каких-либо ограничений успешно решаются в ЛВ-теории риска с группами несовместных событий (ГНС) [2, 3].

Основы ЛВ-теории риска с ГНС для целей управления создавались в течение 10 лет [2—4]. Она применялась для решения важных экономических проблем классификации (кредитные риски, рейтинги, мониторинг), инвестирования (портфель ценных бумаг), эффективности (управление социальными процессами), менеджмента (управление риском неуспеха по функциям, предметным об-

ластям, достижению целей и качеству функционирования), коррупции и взяток (выявление взяток по статистике параметров функционирования учреждения, поведения чиновников, обслуживания), управления развитием и испытаниями (организационные и экономические системы, сложные машины и технологии). В процессе решения выявились ее достоинства в сравнении с другими теориями: в два раза большая точность в распознавании «плохих» и «хороших» объектов; в семь раз большая робастность (стабильность) в распознавании объектов; абсолютная прозрачность в оценке и анализе риска; возможность решения новых задач анализа риска объектов; возможность управлять риском и эффективностью и др.

Логико-вероятностная теория риска с ГНС отличается видом используемой информации, типом связей между переменными, законами распределений переменных, методами решения обратных задач, использованием комбинированных моделей риска и др. (табл. 1).

ЛВ-теория риска с ГНС имеет следующие атрибуты: классификатор научной области — управление и эконометрика, проблема — управление риском в сложных системах, идея — введение в табличную БД конечных множеств, что позволяет

—1£

Таблица 1

Отличия ЛВ-теории риска с ГНС

В ЛВ-теории риска используются В других теориях используются

Несколько уровней значений параметров Два уровня значений параметров

Базы знаний

Логические зависимости между переменными Функциональные и корреляционные зависимости между переменными

Дискретные табличные распределения Нормальное и аналитические распределения

Алгоритмические итеративные методы решения обратных и оптимизационных задач Аналитические методы решения обратных и оптимизационных задач

Л-функции любой сложности с любым числом объектов в статистике, параметров и градаций параметров Функции ограниченной сложности с небольшим числом объектов, параметров и градаций параметров

Статические и динамические модели риска Статические модели риска

Оценки по статистическим данным Экспертные оценки

Комбинированные Л-модели риска Отдельные модели риска

Управление по вкладам инициирующих событий в риск и эффективность Управление по значениям риска и эффективности

Логика и дискретная математика Теория статистики и непрерывная математика

получить систему Л-уравнений или базу знаний (БЗ), использовать ЛВ-исчисление и решать задачи риска, эффективности и управления.

1. ПЕРЕХОД ОТ БАЗЫ ДАННЫХ К БАЗЕ ЗНАНИЙ

Общим при решении перечисленных во Введении проблем является одинаковое табличное представление статистических данных (базы данных) [2, 3].

База данных (БД) табличного типа (табл. 2) содержит статистическую информацию об однородных объектах (кредитах) или состояниях одного объекта в разные моменты времени (портфель ценных бумаг). В таблице БД число столбцов может достигать нескольких десятков, а число строк — нескольких сотен. В БД значения параметра могут иметь бесконечное множество рациональных значений.

База данных —

В ячейках таблицы — значения параметров объекта. Для их измерения используются шкалы: логическая, качественная, числовая и др. Последний столбец таблицы — параметр эффективности. Параметры объекта обозначим строчными буквами 1Х, ..., / ..., 1п, а параметр эффективности — строчной буквой у., i = 1, 2, ..., N. В клетках табл. 2 — значения параметров zh, и в последнем

]/

столбце — параметра у..

База знаний. Поскольку «статистика знает все», то она и есть само знание. Нужно только умело ставить вопросы и избавиться от проклятия «бесконечно большого числа значений», которое плохо воспринимается и мало пригодно для вычислений.

Изменим исходное представление БД, заменив значения параметров на их градации (нумерованные интервалы) (табл. 3). В сценариях и ЛВ-моде-

Таблица 2

и значения параметров

Объекты Параметр 1 *1 Параметр j * Параметр п *п Параметр эффективности, у

1 гЯ *П1 У

і Уі

N Чы г]Ы гпЫ Уы

Таблица 3

База знаний — объекты и градации параметров

Объекты Параметр 1 Zi Параметр j Z Параметр n Zn Параметр эффективности Y

1 Z11 Z1 Zn1 Y1

r Z1, Zr Yr

N Z1N Zn ZnN YN

лях риска при решении проблем классификации, инвестирования, эффективности, менеджмента, взяток и управления имеется большое число N объектов (до 1000 и более), событий-параметров п (до 20 и более) и событий-градаций в каждом событии-параметре (от 2 до 40).

Таким образом, в табл. 3 для каждого параметра введены множества с конечным числом элементов (градаций). Если в табл. 2 параметры могли принимать несчетное множество разных значений, то теперь параметр имеет конечное число элементов.

Теперь параметры объекта будем называть событиями-параметрами и логическими переменными и обозначать прописными буквами Z1, ..., 2/, ..., 2п, а параметр эффективности объекта — событием-параметром эффективности и обозначать буквой У В клетках табл. 3 находятся события-градации , j = 1, 2, ..., п; г = 1, 2, ..., N параметров

Z. В последнем столбце — события-градации у., г = 1, 2, ..., N параметра эффективности У.

Для проблемы классификации получим систему Л-уравнений риска:

Систему Л-уравнений (1) после ее ортогонали-зации можно преобразовать в следующую систему вероятностных полиномов:

Pi r, + P\r2 (1 - P\ r, ) +

+ Pl3

+

= P1

+ P2

"1 r, 1 P2r2 (1 P1 r, ) +

+ P^

+ ... = Pi

P* + P?r2 (1 - Pi, ) +

+ P3N (1 - P* )(1 - PNlrl) + ... = PNy.

В ЛВ-теории риска с ГНС события-параметры связаны Л-операциями AND, OR, NOT и имеются циклы. В общем случае получим другие записи уравнений (1) и (2). Событиям-параметрам соответствуют Л-переменные, которые могут быть зависимыми потому, что они содержатся в Л-фор-муле, которая и определяет зависимость между ними. События-градации для каждого параметра являются зависимыми и образуют ГНС [2—4].

Z1

Z 1r,

r

V ... V Zi

iri

Z1

Zjrj

ryN ryN ryN VN

Zir v ... v Zjr v ... v Znr = Yr ,

1r, jrj nrn Г )

.. v zi, = у1 ,

= УІ

n; rj є Nj; ry є Ny.

где i = 1, 2, ..., N j = 1, 2,

Систему Л-уравнений типа (1) и будем называть базой знаний, а также рассматривать как систему Л-высказываний и использовать для получения новых знаний. С каждой Л-переменной свяжем вероятность ее истинности. Обозначим для события-параметра: р — вероятность неуспеха; q = 1 — р — вероятность успеха.

2. ВЕРОЯТНОСТИ В ГРУППАХ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ

Запишем для объекта таблицы в общем виде Л-функцию риска и В-функцию риска

У = Y(Z, Z2, ..., Z„);

Pi{y = 0|Z(i)} = P(Pi, ..., Pj, ..., Pn), i = 1, 2,

N,

где У = 0 — неуспех, У = 1 — успех.

Для события-градации в ГНС рассматривают три вероятности (рис. 1): Р2/> — частотная вероятность градации г в у-ГНС по статистике; Р/ — нормированная вероятность неуспеха объекта от градации г (сумма вероятностей в ГНС равна 1); Р/г — вероятность неуспеха от градации г, подставляемая в В-функцию риска вместо Р. для собы-

У

У

v

v ... v

v

v

nr

n

У

тия-параметра j. Определим эти вероятности для j-й ГНС:

N

Р2]г = РЩГ = г}; X р2]г = 1; г = 1, 2,

N;

г = 1

N

Р 1]г = Р{У = 0|^г = Г}; X Р1]г = 1;

г = 1

г = 1, 2, ..., Л];

Р]г = Р{У = 0^г = Г}; г = 1, 2, ..., Л],

где п — число признаков, N — число градаций в у-признаке (или обозначение множества).

Средние значения для градаций в ГНС:

Средние значения вероятностей Р2 г, Р1 г и Р г

Р 2]т = УЩ Р]т = X ] Р2г;

г = 1

N

Р1 = Р1 Р2 .

]т Х ]г ]г. г = 1

Вероятности Р/г будем оценивать при алгоритмической итеративной идентификации В-модели риска по статистическим данным. Вначале нужно определить вероятности Р1/г, удовлетворяющие выражению (3), и перейти от вероятностей Р/ к вероятностям Р/г. Число независимых вероятнос-

3. ЛОГИЧЕСКИЕ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ БАЗЫ ЗНАНИЙ

Объект-событие в табл. 3, описываемый Л-пе-ременными 2Х, ..., 2, определяется следующей

Л-функцией (конъюнкцией) [2, 3]:

Уі = Zl Л ^2 л

л Z і л

Неуспех объекта-события определяется следующей Л-функцией:

У, = Z1 V Z2 V Z3 V ... V Z.

2 12 3 П

Вместо Л-переменных 2Х, 22, ..., 2п в Л-выра-жения (6) и (7) следует подставить Л-переменные для градаций этих переменных. Из Л-функций (6) и (7) получают В-полиномы. В-функция (полином) для Л-функции (6):

Р{У1 = 1} = q1q2q3•...•qn.

Для перехода от Л-функции (7) к В-функции нужно в общем случае (когда Л-функция представляет собой сложное выражение) выполнить ее ор-тогонализацию:

У2 = Zl V Z Zl V Z3 Zl Z1 V

Тогда В-полином запишется в виде

тей ^ = X N - п.

/= 1

Вероятности Р/г, Р1/г, Р1/т и Р/т, вычисляемые по соотношениям (3)—(5), связаны по формуле Байеса для случая ограниченного количества информации [2—4]:

Р1 Р

р = ' ] гА ]т .

г Р 1

т

г = 1, 2,

Ni; і = 1, 2,

п.

Рис. 1. Вероятности в группе несовместных событий

Р{У = 0} = р1 + р2(1 - р1) +

+ р3

Приведенные Л-функции просты (последовательное соединение для успеха и параллельное для неуспеха), и вместо вида (8) часто используют другое выражение для В-полинома:

Р{У = 1} = 1 - д1д2 X ... х д

Арифметика В-модели риска такова, что риск по формулам (8) и (9) находится в интервале {0, 1} при любых значениях вероятностей инициирующих событий.

В соответствии с табл. 3 строятся системы (1) и (2) из N уравнений. Наибольшее число возможных разных объектов (логических уравнений) равно

^ = NN - ... * N - ... *

где N1,

N

N — число градаций в событи-

ях-параметрах. Если число параметров п = 20 и каждый из них имеет N = 5 градаций, то число возможных разных объектов равно астрономичес-

кому числу Лтах = 5

20

что объясняет вычислительные трудности задач риска.

П

Таблица 4

Типы ЛВ-моделей риска с ГНС

Типы ЛВ-моделей риска Содержание

С полным числом событий Л-функция риска в совершенной дизъюнктивной нормальной форме

С ограниченным числом событий Л-функция риска в виде: кратчайших путей успеха, минимальных сечений неуспеха и ограниченного (сценарием) числа событий

Динамические С изменяющимися вероятностями событий и временем — параметром

Комбинированные С логическим объединением связями OR, AND и NOT отдельных сценариев и Л-функций риска

У1 v У2 v

.. v у v ... v

lN>

где каждый объект определяется Л-функцией (6) со всеми Л-переменными. В табл. 3 каждая Л-пе-ременная в выражении (6) принимает разные значения по числу градаций, на которые она разбита. Л-функции для двух разных объектов, например,

У- — Z1 л Z2 л

л

Ук Z1 Л Z2 Л ... Л ^г + 1 л ... Л Ъ

ортогональны Уі л Ук = 0, так как Z]r л Z]r + 1 = 0, ибо Z]r и Z]r + 1 принадлежат одной ГНС.

Свойство ортогональности Л-слагаемых Л-фун-кции риска (10) позволяет перейти от Л-функций к алгебраическим выражениям для вероятностей, т. е. Л-переменные заменить на вероятности и знаки «V» на знаки «+».

Исходя из изложенного и обобщений по разным приложениям [2—7], используются следующие типы ЛВ-моделей риска с ГНС (табл. 4).

5. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛВ-МОДЕЛИ РИСКА С ГРУППАМИ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ

Задача идентификации В-модели риска по статистическим данным — обратная оптимизационная задача и является основной и сложной в исследованиях проблем риска [2, 3]. Для ее решения систему логических уравнений (1) заменяют на систему алгебраических уравнений (В-полиномов) (2). Вероятности в левой части системы уравнений

неизвестны. Задачу идентификации решают алгоритмическими итеративными методами.

Предложена следующая схема решения задачи. Пусть известны в первом приближении вероятности для градаций Р'.г, / = 1, 2, ..., Щ У = 1, 2, ..., п и вычислены риски Р, i = 1, ..., N для объектов в статистике из ^ «хороших» и Ыь «плохих» объектов. Определим допустимый риск Рай так (рис. 2), чтобы принятое расчетное число «хороших» объектов Nс имело риск меньше Раа и число «плохих» объектов = N — N имело риск больше Р

ad’

jr’

На шаге оптимизации изменим вероятности р г = 1, 2, ..., Ы; ] = 1, 2, ..., п, так, чтобы число корректно распознаваемых объектов увеличилось. Переменные Рай и N связаны однозначно. В алгоритме удобнее задавать N и определять Рай.

Условие Р. 1 Рай выделяет следующие типы объектов: ^ — «хорошие» по модели и статисти-

Запишем Л-функцию для всех объектов в табл. 3

ке; N

ь — «хорошие» по модели и «плохие» по статистике; — «плохие» по модели и «хорошие» по статистике; Ыьь — «плохие» по модели и статистике. Риски объектов , N ь, и Ыьь перемеща-

ются относительно Рай при изменении Рг. При переходе одних объектов вправо от Рай (см. рис. 2) такое же число объектов переходит влево. Оптимально такое изменение / которое переводит объекты и через точку Ра<1 навстречу друг другу.

Задача идентификации В-модели риска сформулирована следующим образом [2, 3].

Заданы: статистика по объектам, имеющая N «хороших» и Иь «плохих» объектов, и В-модель риска типа (8).

Требуется определить: вероятности Р^, у = 1, 2, ..., п; г = 1, 2, ..., N., событий-градаций и допустимый риск Рас1, разделяющий объекты на «хорошие» и «плохие».

Критерий оптимизации: максимизация числа корректно классифицируемых объектов:

F — Nbb + Naa ^ max.

bb  Pjr

Хорошие кредиты III 1 Плохие кредиты 1 1

0 Pmin Pa Pb Pad 1 I P 1 max

Рис. 2. Схема классификации объектов

n

Важно, что, в отличие от скоринговых методик, используется прямой прозрачный целочисленный критерий оптимизации.

Из выражения (11) следует, что точность В-мо-дели риска в классификации «хороших» Е. и «плохих» объектов Еь и в целом Ет определяется как

Е' = ^ь/^; Еь = VЛь; Ет =

Ограничения:

— вероятности Р.г должны удовлетворять усло-

вию

0 < Р. < 1, У = 1, 2, ..., п; г = 1, 2, ..., N;

— средние риски объектов по В-модели риска и статистике должны быть равны; при обучении В-модели риска будем корректировать вероятности Р/г на шаге итеративного процесса идентификации по формуле

/ = РДРаЛ); У = 1 2 ..., п; г = 1 2 ..., N,

где Рау = — средний риск по статистике, Рт —

средний риск по модели;

— допустимый риск РаЛ определяется при заданном коэффициенте асимметрии распознавания «хороших» и «плохих» объектов, равном

ЕЬ = ^ь/М^;

потери неэквивалентны при ошибочном распознавании «хорошего» и «плохого» объектов.

Формула для итеративной алгоритмической идентификации ЛВ-модели риска

N - N AP1Jr = K1PPP—V K3P1Jr,

opt

j = 1, 2, ..., n; r = 1, 2, ..., N,

где Kx ~ 0,05; Nopt и Nv — число оптимизаций и номер текущей оптимизации, К3 — случайное число в интервале [—1, +1]. При итеративной алгоритмической оптимизации величина APj стремится к нулю. Формула (13) обеспечивает простое задание максимальных приращений вероятностей, сходимость оптимизации и определение точности оценки вероятностей по их приращениям на последней оптимизации. Риск нового объекта оценивают на В-модели риска при известных вероятностях Ру

Алгоритмический итеративный метод идентификации ЛВ-модели риска с ГНС позволяет извлекать из БЗ или системы Л-уравнений новые знания (вероятности и вклады событий-градаций, допустимый риск, асимметрию распознавания и др.) при любой сложности ЛВ-функции риска и большом числе объектов в статистике.

Идентификация ЛВ-модели риска с ГНС по статистическим данным отличается высокой вычислительной сложностью и необходимы специально разработанные программные средства [2, 3].

5. АНАЛИЗ РИСКА

Пусть В-модель риска идентифицирована по статистическим данным и известны вероятности Pjr. Определим вклады событий-параметров и событий-градаций в риск объекта, средний риск множества объектов и в точность ЛВ-модели риска. Для этого вычислим разности между значениями названных характеристик после идентификации и при условии придания вероятностям событий-признаков нулевых значений [2, 3].

Вклад признака (всех градаций признака) в риск объекта i

ДР. = Р

]

Вклад признака в средний риск Рт множества объектов

AP = P - P I

шJm jm fJm\p, = 0 ,

j = 1, 2, ..., n.

Вклад признака в целевую функцию Fmax

AFJ Fmax FIp. = 0 , j 1 2

n.

Вычисление вкладов градаций ДР/гт и ДР. по предложенной схеме было бы некорректно, ибо не ясно, как корректировать частоты других градаций Р2/г в ГНС, если одной из них придается нулевое значение. Поэтому вместо вкладов ДИ . будем вычислять ошибки классификации объектов по каждому событию-градации:

EJrg (NJrg NJrgg)/NJrg;

EJrb (NJrb ^'Jrbb^ J

rb

EJrm (NJr NJrgg NJrbb)/ NJr,

rbb rb

r

rgg

rbb

r

где N.., N .гЬ и N. — соответственно числа «хороших», «плохих» и всех объектов с градацией; и К/ГЬЬ — число «хороших» и число «плохих» объектов с корректной классификацией.

6. УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ

Из системы Л-уравнений и соответствующей системы В-полиномов получают методом алгоритмической итеративной идентификации новые зна-

N ; n; r =

ния: вероятности pr, j = 1, 2,

n; r = 1, 2,

вклады событий-градаций Zjr, j = 1, 2

= 1, 2, ..., N  в риск каждого объекта, всего мно-

ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 2 • 2000

7

жества объектов и точность ЛВ-модели риска (14)—(17); допустимый риск Pad.

Атрибуты риска события-градации: вероятность неуспеха для объекта, относительная вероятность неуспеха среди градаций события-параметра, вероятность-частота в множестве объектов, вклад в точность модели.

Атрибуты риска события-параметра: вероятность неуспеха для объекта, структурный вес и значимость в модели риска, вклад в средний риск множества объектов.

Атрибуты риска объекта: риск неуспеха, возможные потери, цена за риск, вклад в риск множества объектов.

Атрибуты риска множества объектов: допустимый риск, средний риск, средние потери, допустимые потери, асимметрия распознавания хороших и плохих объектов, число объектов, число опасных объектов, энтропия рисков.

В ЛВ-теории риска с ГНС используется активное управление риском и эффективностью, исходя из атрибутов риска объектов, объекта, параметров объекта и градаций параметров. Управлять — значит знать, что и насколько изменить для достижения допустимого риска или эффективности. Управляют принятием очевидного решения.

Кредитным риском управляют, исходя из количественных значений описанных атрибутов. Цель управления состоит в снижении финансовых потерь банка и повышении точности распознавания плохих и хороших кредитов. Параметры управления риском кредита и кредитной деятельностью банка — риск кредита, который сравнивают с допустимым риском и принимают решение о выдаче кредита; коэффициент асимметрии распознавания хороших и плохих кредитов; цена за кредит, зависящая от риска кредита и допустимого риска; число параметров, описывающих кредит; число градаций для каждого параметра; ширина интервалов при выделении градаций для таких параметров, как сумма и срок кредита, возраст клиента и др.

В работах [2—4] приведены результаты идентификации ЛВ-модели кредитных рисков по реальным статистическим данным банка. Имелось N = 1000 кредитов, из которых 700 было «хороших» и 300 «плохих». Оценивались 94 вероятности Pjr и допустимый риск Pad. ЛВ-модель кредитного риска с ГНС показала в два раза большую точность и в семь раз большую робастность, чем известные методики, а также абсолютную прозрачность в распознавании плохих и хороших кредитов.

Логико-вероятностную модель кредитного риска используют для оценки риска новых кредитов по выражению (8), в которое для конкретного кредита подставляют вероятности событий-градаций

параметров. Вклады в риск кредита пропорциональны значениям этих вероятностей. По значению риска кредита устанавливают, «хороший» это или «плохой» кредит, какие градации и насколько влияют на это. Такую модель используют также для управления кредитной деятельностью банка. Приведем примеры.

Пример 1. Выполним оценку одного кредита по данным анкеты на его получение с помощью программного комплекса для лабораторных работ. Кредиты описываются следующими параметрами: 21 — сумма счета в банке (4 градации), 22 — срок займа (10 гр.), 23 — кредитная история о возвращении займов (5 гр.), 24 — назначение займа (11 гр.), 25 — сумма займа (10 гр.), 2^ — счета по ценным бумагам (5 гр.), 27 — продолжительность работы (5 гр.), 28 — взнос в частичное погашение (4 гр.), 29 — семейное положение и пол (4 гр.), 210 — совместные обязательства или поручитель (3 гр.), 211 — время проживания в данной местности (4 гр.), 212 — вид гарантии (4 гр.), 213 — возраст (5 гр.), 214 — наличие других займов (3 гр.), 215 — наличие жилой площади (3 гр.), 216 — число зай-

Таблица 5

Параметры кредита

Параметр Градация Вероятность Pjr

1 4 0,004997

2 З 0,0З6728

З 2 0,0З5466

4 7 0,047464

5 7 0,01224З

6 4 0,002746

7 З 0,019102

8 2 0,012З60

9 2 0,0167З0

10 1 0,0З8З48

11 2 0,021220

12 2 0,020З09

1З 2 0,020840

14 1 0,020590

15 1 0,024678

16 З 0,017928

17 4 0,021060

18 1 0,017080

19 2 0,016З27

20 1 0,018892

8

CONTROL SCIENCES № 2 • 2000

мов с банком, включая новый заем (4 гр.), 217 — профессия (4 гр.), 218 — число родственников на иждивении (2 гр.), 219 — наличие телефона (2 гр.), 220— иностранный или местный житель (2 гр.).

Конкретный кредит имел параметры, представленные в табл. 5. Вероятности Р/г получены решением задачи идентификации по статистическим данным банка. Кредит получил следующие оценки: риск равен 0,350070 и больше допустимого риска РаЛ = 0,306274; кредит плохой, но его можно дать под 18 % (вместо 10 % при Рай) Риск кредита получен по формуле (8). Вклады признаков и градаций в риск кредита пропорциональны значениям Р/г.

Пример 2. Оптимальное число параметров для описания кредита [2]. Для каждого параметра у после обучения модели риска определялись: средние значения вероятностей Р1/т и Р.т (5), а также уменьшение числа корректно распознанных хороших и плохих кредитов при исключении этого параметра из модели риска (16). Модель после этого переобучалась. Наибольший вклад в точность распознавания кредитов вносят события-параметры 21, 22, 23, 24, 25, 2б, 213. Нулевой вклад вносят события-параметры 211, 212, 217, 218, 219 Их можно исключить из описания кредита.

Пример 3. Оптимальное число событий-градаций N. в параметре. Зависимость точности ЛВ-модели риска от числа градаций в параметре исследовалась для срока кредита, который в исходном варианте имеет 10 градаций. После переобучения модели риска получены следующие результаты: при отсутствии параметра Ртях = 800; при двух градациях в параметре Ртях = 812; при четырех градациях — Ртах = 816; при десяти градациях — Ртах = 824; при ста градациях — Ртях = 828. Для каждого параметра кредита для каждого банка имеется оптимальное число градаций.

7. ПРИЛОЖЕНИЯ ЛВ-М0ДЕЛЕЙ РИСКА С ГРУППАМИ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ

Объектами исследования были структурносложные, многокомпонентные и многоуровневые системы: технические, банковские, экономические и организационные [5]. Дадим краткое описание приложений ЛВ-моделей риска с ГНС: кредитные риски, инвестирование, эффективность, менеджмент, взятки и управление развитием [2—4].

Кредитные риски. Использовались статистические данные одного западного и двух российских банков [2—4]. В статистиках было от 500 до

1000 кредитов. Логико-вероятностные модели риска показали в два раза большую точность в распознавании хороших и плохих кредитов; в семь раз большую устойчивость в классификации кредитов, абсолютную прозрачность в оценке и анализе риска и модели риска. Для западного банка кредитный риск уменьшался с 28 до 17 %. Для российских банков кредитный риск уменьшался примерно вдвое.

Инвестирование. Разработана ЛВ-модель риска инвестиций в портфель ценных бумаг. В этой модели, в отличие от теорий Марковица и Value-at-Risk (VaR) (стоимость под риском), не используется допущение о нормальности законов распределения доходности ценных бумаг и всего портфеля. Используется переход от табличной БД по доходностям акций портфеля к БЗ в виде системы Л-уравнений. Для этого диапазон изменения доходности каждой акции и портфеля разбивается на интервалы (события-градации). Наряду с допустимой доходностью портфеля Yad и риском портфеля Risk, вводятся понятия числа опасных состояний Nad и энтропии Had рисков опасных состояний в «хвосте» распределения доходности портфеля. Это позволяет анализировать риск и эффективность (доходность) портфеля и управлять ими [2, 3].

Эффективность. Разработана ЛВ-модель риска эффективности социальных процессов, в которой оцениваются весомости инициирующих случайных процессов для итогового случайного процесса параметра эффективности. Используется переход от статистической БД значений влияющих параметров и итогового параметра эффективности к БЗ в виде системы Л-уравнений. Для этого диапазоны изменения влияющих и итогового параметров разбиваются на интервалы (события-градации). Для параметра эффективности вводятся понятия допустимого значения Yad> риска Risk, числа опасных состояний Nad и энтропии Had рисков опасных состояний в «хвосте» распределения параметра эффективности. Это позволяет анализировать риск и эффективность и управлять ими. В отличие от работ лауреата Нобелевской премии Джеймса Хекмана, задача решается при произвольных распределениях влияющих параметров и параметра эффективности [2, 3].

Менеджмент. Разработаны ЛВ-модели риска неуспеха менеджмента компании по функциям, по направлениям деятельности, по управлению компанией как сложным объектом, по достижению одной и группы целей, по качеству функционирования. В рассмотренных моделях статистические данные не используются и не осуществляется переход от БД к БЗ. Демонстрируются построение и

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

I

Таблица 6

Особенности ЛВ-теории риска с ГНС

Особенности Содержание

Объекты исследования Структурно-сложные, многокомпонентные и многоуровневые системы: банковские, экономические и организационные

ЛВ-модели риска с ГНС С полным числом событий, с ограниченным числом событий, комплексные модели риска, динамические модели риска

Области применения Проблемы классификации, инвестирования, эффективности, менеджмента, взяток и коррупции, управления развитием

Решаемые задачи Количественная оценка и анализ риска объекта и множества объектов, управление риском, управление риском и доходностью портфеля, моделирование риска неуспеха менеджмента, выявление взяток

Методические основы ЛВ-теории риска с ГНС Логика, теории множеств и вероятностей, комбинаторика, дискретная математика, ЛВ-исчисление с логическими связями элементов OR, AND, NOT и циклами

Переход от базы данных к базе знаний Вводят ГНС или конечные множества и преобразуют статистическую БД в БЗ в виде системы Л-уравнений, что позволяет использовать ЛВ-исчисление и решать задачи риска, эффективности и управления

Определение риска Вводится допустимый риск, разделяющий объекты на «плохие» и «хорошие». Риск каждого уровня определяется своими атрибутами

Критерии качества Л-моде-ли риска Точность (ошибки классификации), робастность, прозрачность результатов и анализа риска и модели риска

Распределения переменных Дискретные табличные распределения случайных переменных

Связанность и зависимость переменных Л-переменные зависимы, но не изначально, а только потому, что они содержатся в определенной Л-формуле, определяющей зависимость между ними. События-градации для каждого параметра зависимы и рассматриваются как ГНС

Тип вычислений Алгоритмические интерактивные методы. Обратная оптимизационная задача решается независимо от числа объектов в БД, числа параметров в объекте, и числа градаций в каждом параметре, Л-сложности модели риска

Построение модели риска Сценарий, граф-модель риска, Л-функция риска, ортогональная Л-функция, В-функ-ция риска, идентификация В-функции риска

Идентификация ЛВ-моде-ли риска Идентификация В-модели риска по статистическим данным выполняется путем решения задачи оптимизации алгоритмическими итеративными методами, использующими формулу Байеса

Логические разности На каждом шаге оптимизации нужно определить приращение каждой вероятности. При этом следует нормировать вероятности в ГНС, т. е. их сумма должна равняться 1

Анализ риска Вычисляют вклады в риск объекта, множества объектов и целевую функцию событий-параметров и событий-градаций. Эти вклады — атрибуты риска — и позволяют управлять риском и эффективностью

Управление риском Активное управление риском по вкладам событий-признаков и событий-градаций в риск и эффективность

Программные средства Специальные программные обеспечения для идентификации В-модели риска, выбора портфеля ценных бумаг, структурно-логического моделирования

использование комплексных ЛВ-моделей риска, построенных из частных моделей. На необходимость разработки моделей риска для управления менеджментом указывал в своих работах выдающийся американский экономист Питер Друкер [2].

Взятки. Разработаны следующие ЛВ-модели риска взяток: учреждения по параметрам его функционирования; чиновника по параметрам его поведения; учреждения и чиновника по параметрам обслуживания; Л-сложения первых перечисленных моделей. Приведены примеры этих ЛВ-моде-лей риска взяток, в том числе по выявлению риска взяток по реальным данным приема в детский садик. Параметром обслуживания было принято время ожидания ребенка в очереди. Для построения названных ЛВ-моделей риска применяется переход от табличных статистических БД к БЗ в виде системы Л-уравнений. Данные модели предназначены для департамента «Экономические преступления» города, служб внутренней безопасности компаний и банков и для разработки стандартов на параметры обслуживания [6].

Управление развитием организационных и экономических систем, сложных машин и технологий осуществляется по критериям риска и эффективности. Процесс развития рассматривается как процесс управления сложным объектом с движением к заданному конечному состоянию из начального по выбранной траектории и с коррекцией в случае отклонения от нее. Приведены примеры построения сценариев и моделей риска, программ развития. Анализ процессов доводочных испытаний многих машин и систем показал, что КПД процесса доводки (отношение времени испытаний к календарному времени) равен 5—12 %. Предложенная технология управления процессом развития существенно повышает его эффективность [7].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе изложенного и результатов работ [2—7] в табл. 6 в качестве обобщения сформулированы особенности ЛВ-теории риска с ГНС. Именно эти особенности определяют достоинства и области приложений.

Отметим также, что исследование проблем риска в экономике, технике и экологии, государственной и национальной безопасности невозможно без построения сценариев, логических и вероятност-

ных моделей риска, количественного моделирования и анализа риска и эффективности, обеспечивающих возможность управления.

Развитие работ и исследований по ЛВ-теории риска для целей управления риском и эффективностью, по нашему мнению, должно заключаться в следующем:

— разработка ЛВ-моделей риска с ГНС для других приложений;

— разработка учебного курса по ЛВ-теории риска с ГНС;

— совершенствование методик и алгоритмов вычислений, а также программных средств для ЛВ-моделирования и управления риском и эффективностью;

— экспертиза и сертификация ЛВ-моделей риска и программных средств.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. — СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 2007. — 276 с.

2. Соложенцев Е.Д. Сценарное логико-вероятностное управление риском в бизнесе и технике. 2-е изд. — СПб.: Бизнес-пресса, 2006. — 560 с.

3. Solojentsev E.D. Scenario Logic and Probabilistic Management of Risk in Business and Engineering. — Springer, 2004. — 391 p.

4. Соложенцев Е.Д., Степанова Н.В., Карасев В.В. Прозрачность методик оценки кредитных рисков и рейтингов. — СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 2005. — 197 с.

5. Соложенцев Е.Д., Махутов Н.А. Логико-вероятностные модели риска в многокомпонентных системах с группами несовместных событий для задач классификации, инвестирования, эффективности и менеджмента // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. — 2006. — № 3. — С. 30—52.

6. Соложенцев Е.Д. Сценарные логико-вероятностные модели риска взяток // Финансы и бизнес. —2007. — № 1. — С. 125—138.

7. Махутов Н.А., Соложенцев Е.Д. Управление риском при испытаниях сложных машин, систем и технологий // Проблемы машиностроения и автоматизации. — 2008. — № 1.

8 (812) 321-47-66,  (812) 321-47-71,

e-mail: risk@sapr.ipme.ru, safety@imash.ru

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Б.Г. Воликом.

Читайте в следующем номере статью

Пономаренко В.С., Листрового С.В. Метод решения задачи о минимальном покрытии как средство планирования в GRID