Математическое моделирование манипулятора типа трипод на базе бесштоковых пневматических приводов

Расчет и конструирование

машин

УДК: 621.541.1

Математическое моделирование манипулятора типа трипод на базе бесштоковых пневматических приводов

A.M. Грибков, Д.В. Шилин

Статья посвящена разработке математической модели трехкоорди-натного пневматического манипулятора для проведения комплекса работ поиска алгоритмов управления пневматическими приводами. Показана зона достижимости манипулятора. Описана динамическая модель бесштокового пневмопривода.

Ключевые слова: бесштоковый пневмопривод; кинематическая схема типа трипод; динамическая модель пневмопривода.

The work is devoted to the development of a mathematical model of three-coordinate air handler to perform a complex of works to search the pneumatic actuators control algorithms. The reachability area of the manipulator has been shown. The dynamic model of stockless actuator has been described.

Keywords: rodless pneumatic actuator, tripod type kinematics, dynamic model of pneumatic actuator.

I I невматические приводы нашли широкое применение в автоматизации производственных процессов. Пневмоустройства используются в качестве приводов зажимных и транспортирующих механизмов, в контрольно-измерительных приборах, для автоматизации машин и устройств, работающих в агрессивных средах, в условиях по-

ГРИБКОВ Александр Михайлович

кандидат технических наук,

доцент, зав. кафедрой «Гидромеханика и гидравлические машины»

(Московский энергетический институт

ШИЛИН Денис Викторович

аспирант кафедры «Гидромеханика и гидравлические машины»

жаро- и взрывоопасности, радиации, при значительных вибрациях и высоких температурах. Однако пневматические приводы имеют и недостатки: при равных габаритах с гидравлическими они развивают меньшие усилия, утечки воздуха понижают их КПД, заданные законы движения не могут быть ими выполнены с достаточной точностью.

Несмотря на эти недостатки, пневмоприводы с успехом применяют в тех случаях, когда наиболее существенное значения имеют их преимущества.

Развитие автоматизации производственных процессов, прогресс в области науки и техники обусловили существенное усложнение пневматических систем. Часто при обслуживании одной машины используется несколько пневматических приводов, которые могут составлять систему приводов, если связаны друг с другом функционально. Как правило, эти системы обладают очень сложной кинематикой, и решение задач управления усложняется.

В статье приведены решения задач кинематики на примере кинематической схемы типа

трипод и описана математическая модель пропорционального пневматического привода.

Тяги, соединяющие каретки с подвижной платформой, расположены парами и параллельны друг другу. За счет такой конструкции плоскость подвижной платформы всегда параллельна плоскости неподвижного основания (рис. 1). Расчетная кинематическая схема манипулятора изображена на рис. 2.

По расчетной схеме (см. рис. 2.) принимаем:

А1А2 = А2А3 = А1А3 = Ь — длина стороны неподвижного основания манипулятора;

В1С1 = В2С2 = В3С3 = I — длина тяги;

Б1,Б2,Б3 — перемещение кареток пневмопривода (А1В1 = Б1, А2В2 = Б2, А3В3 = Б3);

у — угол между неподвижным основанием манипулятора и бесштоковым пневмоприводом.

Благодаря особой конструкции подвижная платформа С1С2С3 всегда параллельна плоскости неподвижного основания. Уравнения связей механизма имеют следующий вид:

Рис. 1. Общий вид манипулятора:

1 — пневматический привод; 2 — каретка; 3 — неподвижное основание, 4 — подвижная платформа; 5 — тяга

Рис. 2. Расчетная кинематическая схема манипулятора

Z А А2

XA2 --

xA -

a2

x. -

Xr

ZA2 ; ZA3 ;

xA¡ = const; xA¡ = const; xA¡ = const; xA¡ = const;

—(xAj "" xA2 "" xA3

Ус

Zc =

3

-

3

-

где

xA¡ = S1 cos y +l cos a 1 cos в1 + a; yAí = lcos a 1 sin в1; zA¡ = S1 sin y +l sin a 1;

xA =-S 2 cos y sin

— I — lcos a 2 sin 6

в 2 + — | — a sin

Уа2 = —S2 cos y cos zA = S2 sin y +1 sin a 2;

— | — l cos a 2 cos

в 2 + — | — a cos

п 6 j

П

6 j

: — S3 cos y sin

yA =— S3 cos y cos

П | —lcos a, sin

— | — l cos a 3 cos 6

-a sin —

/

п

-a cos

16

ZAj = sin y +1 sin a 3.

Решение системы уравнений (1) проводилось в программе Matlab методом Ньютона. Множеством решений данной системы уравнений является область достижимости манипулятора, представленная на рис. 3 [1].

Перемещение в пространстве подвижной платформы манипулятора обеспечивается путем перемещения кареток пневматических приводов, поршни которых двигаются под действием сил давления, создаваемого сжатым воздухом.

Типовой бесштоковый линейный пневмопривод двустороннего действия схематично изображен на рис. 4.

Движение любой точки поршня можно описать, используя второй закон Ньютона:

ma

= F(Pi - Р2 )- FTp - Fb

где а — ускорение, с которым перемещается поршень пневмопривода, а = / &; т — суммарная масса поршня, штока и присоединенных к штоку инструментов либо элементов конструкции; р1 — давление воздуха в левой полости; р2 — давление воздуха в правой полости; ¥ — площадь поршня; — суммарная сила сопротивления, возникающая внутри привода при начале движения и в процессе движения поршня; ¥вс — сила внешнего сопротивления, возникающая при работе привода [2].

Следует отметить, что сила трения ¥р — это сила трения манжеты поршня пневмопривода о гильзу и сила сопротивления деформации герметизирующей ленты, отделяющей внутреннюю полость привода от окружающего пространства. Для упрощения записи дифференциального уравнения будем рассматривать сумму этих сил как зависимость ¥ (V).

3

Для измерения величины силы Г был разработан стенд с числовым программным управлением.

Сила трения измеряется с помощью тензо-метрического датчика, закрепленного между

Рис. 3. Область достижимости манипулятора

кареткой бесштокового пневмопривода и ка-

F

Л i у Pi

V

Рис. 4. Бесштоковый линейный пневмопривод двустороннего действия:

1 — поршень; 2 — каретка; 3 — корпус пневмопривода

реткой механического преобразователя вращательного движения электродвигателя. Сигнал с датчика передается на преобразователь сигналов. Выходной электрический сигнал преобразователя (±10 В), соответствующий значению измеренной силы приходит на ПЛК Siemens CPU 313C-2DP. При заданной постоянной скорости накапливается выборка значений, далее осредненные результаты измерений фиксируются в блоке базы данных контроллера и выводятся на экран компьютера при помощи SCADA-системы WinCC flexible. Управление синхронным двигателем осуществляется с помощью СПК Siemens.

На данном стенде было произведено измерение силы трения страгивания поршня бес-штокового пневмопривода серии DGPIL. Был

измерен момент МЕ, развиваемый синхронным двигателем, необходимый для преодоления суммарной силы трения в пневмоприводе Мпц и механическом преобразователе движения Мм.п, а также момент, необходимый для преодоления сил сопротивления только в механическом преобразователе движения Мм.п. Таким образом, был найден момент необходимый для страгивания каретки пневмопривода Мпц.

По формуле пересчета для шарико-винто-вой передачи было найдено линейное усилие, необходимое для страгивания каретки бесшто-кового пневмопривода серии БОРТЬ:

T =

стр

2пПр Mп D

где Тстр — усилие, необходимое для страгива-ния каретки бесштокового пневмопривода; Пр — КПД шарико-винтовой передачи; Б — диаметр вала механического преобразователя движения.

По полученным данным был построен график зависимости силы трения от скорости перемещения каретки пневмопривода (рис. 5).

Аналитическое выражение зависимости силы трения от скорости перемещения каретки пневмопривода используется при динамическом моделировании системы.

Из уравнения (2) следует, что управлять движением поршня можно, изменяя давление в полостях двигателя. Регулирование давления осуществляется путем изменения объема воздуха в полостях. Отсюда следует, что в модель должны войти уравнения, которые описывают связь между изменением объема воздуха в каждой полости и давления в полостях.

Объем воздуха в полости меняется за счет поступления в нее нового воздуха из магистрали, либо за счет истечения воздуха в атмосферу. Наполнение сжатым воздухом рабочей полости двигателя объемом V1 происходит из источника питания, давление в котором принимаем постоянным (pм = const).

Все процессы рассматриваем как квазистационарные, т.е. такие, при которых во всех точках объема полости предлагаются одинаковые параметры (давление, температура и плот-

Скорость V, м/с

Рис. 5. Зависимость силы трения от скорости перемещения каретки пневмопривода

ность). Для упрощения задачи сначала пренебрегаем теплообменом с окружающей средой. Принимаем, что рабочая полость имеет индекс «1».

Согласно первому закону термодинамики, вся подведенная с газом тепловая энергия расходуется на изменение внутренней энергии йих и работу расширения газа с1Ь1. Запишем уравнение энергетического баланса:

йй№ = и + йЦ.

Учитывая, что количество подведенной тепловой энергии, поступившей в полость с газом, равно произведению его массы на удельную энтальпию йОи = /мйтм, а изменение внутренней энергии газа в полости и совершаемая им работа соответственно равны йи1 = й(и1т1) и

с1Ь1 = р1 йУ1. Отсюда получаем следующее выражение для тепловой энергии подведенной с воздухом из магистрали:

¡и йт м = и1йт1 + т1йи1 + р1йУ1,

где их — удельная внутренняя энергия.

Выразим в уравнении (4) значения энтальпии и внутренней энергии через произведение температуры на теплоемкость соответственно при постоянных давлении си объеме сУ:

ерТм йтш = СуТх йтх + сутх ¡Т + рх у.

Рассматривая воздух как идеальный газ, молекулярными силами сцепления которого можно пренебречь, опишем его состояние с помощью уравнения Клапейрона:

рУ = тЯТ

где Я — газовая постоянная, Я = 287 Дж / (кг • К) для воздуха при Тм = 293 К.

Записав уравнение (6) в приращениях, получим следующее выражение:

р1йУ1 + У1 йр1 = Яйт1 Т + Ят1йТ1.

Из формулы (7) выразим т1 йТ1:

т1 йТ = РЯ1 + ^Я1 - йтхТх,

или

кЯТ№ йт№ = кр1 + У^,

где к = — и Я = ср - сУ.

Заменим в уравнении (9) массу сжатого воздуха йтм, поступающего в полость У! в течение времени Л, соответствующим значением Ом = йтш / <И массового расхода:

йтш = Ои И

и решим уравнение (9) относительно давления:

квмЯТ Я йУ,

Фм м 1 1

1 =-¡7--кр1

У1

У1

Расход воздуха из неограниченного объема (магистрали) определяют чаще всего по формуле Сен-Венана — Ванцеля:

Ом = Ц1 /1 р*

2к 1 (/0 2 к [р^ к+1 "

к-1 ЯТм рм рм

где ц — коэффициент расхода; / — площадь открытия рабочей щели распределителя; Тм — температура воздуха в магистрали.

Представим формулу (12) расхода воздуха из магистрали в более удобном виде:

ц 1/1 рм ) К

О„ =

где

л/ЯТй ^ЯТм

^ 1/1 рмф

К=

функция расхода

ф(° 1) =

2к к-1;

к+1

к

Будем считать данный процесс адиабатным к = 1,4. Полагая температуру воздуха в магистрали постоянной Тм = 293 К, уравнение (13) примет следующий вид:

Ом = 0,00912ц 1 /1 р м ф(а1).

Эксперименты проведенные Сен-Венаном и Ванцелем, впоследствии неоднократно под-

с

2

твержденные другими учеными, показали что в надкритической зоне расходная функция имеет постоянное значение. Таким образом можно выделить две зоны: подкритическую, когда вид расходной функции определяется уравнением (15) при а > а , и надкритическую, где имеет место максимальный критический расход воздуха Ом кр при а < а кр.

Критический расход при к = 1,4 будет определяться по формуле

К

=

л/^гм

^1fpмф

Подставив в уравнение (11) значение Оы из формулы (13), а также представив объем полости в виде произведения площади поршня ¥ на длину полости (с учетом координаты х^) получим уравнение для определения давления в полости в общем виде:

dPi dt

кц i fv

2k

к-1

.л/RT м Ф

F (x

кр1 dx (x 01 + x) dt '

Здесь

2 к+1

ф(а 1 ) = \ а к - а 1 к при 0,528 < а <1; ф(а кр ) = 0,259 при 0 < а < 0,528,

где х01 — начальная координата поршня, х01 = ¥01 / ¥; ¥01 — начальный объем рабочей полости; ¥ — площадь поршня.

При перемещении поршня 1 в пневмоприводе давление сжатого воздуха в выхлопной полости 2 (см. рис. 4) может повышаться вследствие уменьшения ее объема. В этом случае происходит истечение воздуха в атмосферу. Здесь также может быть применен первый закон термодинамики, но в этом уравнении следует поставить знак «—» в левой части, так как происходит истечение воздуха, т.е. отвод тепловой энергии, расходующейся на изменение внутренней энергии йи2 и работу газа с1Ь2:

-dQ2 = dU 2 + dL 2.

Соответственно, изменяем индекс «1», относящийся к рабочей полости, на индекс «2» выхлопной полости.

Далее выкладки будут аналогичны приведенным выше (формулы (3)—(9)). Остановимся на выражении (9) и запишем его для процесса истечения сжатого воздуха из полости пнев-моцилиндра:

-kRT2dm2 = кр 2dV2 + V2dp 2. Имея в виду, что

dm2 = -d

\02 )

-

0 2

получаем 02dp2 — кр2d02 = 0 или после интегрирования и потенцирования этого выражения —P20к = const — уравнение адиабаты.

Расход воздуха из ограниченного объема V2 в атмосферу описывается формулой Сен-Вена-на — Ванцеля:

2 к+1 1

+x) (18) G2 = Ц 2 f2 P 2^ 2к 1 к [Рм^ к

к — 1RT2 [Р 2 ) КР 2)

0,156Ц 2 f2P2Ф

^

G2 =

2 )

лГ2

Подставив в уравнение (20) с1т2 = 02& и 02 из формулы (21), получим уравнение для определения давления в выхлопной полости, соединенной с атмосферой:

dP 2

dt +

2к

кЦ 2 fn\к—1Р

^

Ф

2 )

кР 2

F (s + Х 02 — Х) dx

+

(s + x 02 — x) dt'

где

1

Ф1

а к — a

к+1

IT

^a

при 0,528 < a <1; ф(акр ) = 0,259 при 0 < а < 0,528;

рм

р 2

Температура Т2 из уравнения (22) может быть выражена через давление р2 на основании уравнения адиабаты:

А

р м

к \

Т^ к-1 Т

Тогда выражение (22) примет следующий вид:

¡Р 2

¡г +

кц 2 /2

2к ,_

1\

ф

2 )

Г(я + х 02 - х) р

к-3 ~2к

+

кр 2

йх

+ х 02 - х) И

Давление будет изменяться по уравнению (24), в котором вместо — следует подставить

а-

а„

—так как истечение будет происходить в ат-а2

мосферу пропорционально отношению давлений:

р_о_ =

р2 а 2'

ра р 2

где а а =—, а 2 = —

а р м 2 р м

Отсюда

Ф 2

<и +

кц 2 /2

2к

к-1

р 2

3к-1

2к

^ЯТм

а\

ф

\а2 )

г (^+х 02 - х) р

к-3 ~2к

+

кр 2

йх

+ х02- х) а'

где Б — толщина поршня [2].

Приведенные выше уравнения равновесного состояния, подвода и истечения воздуха из полостей пневмопривода вошли в математическое описание системы.

Выводы

1. Полученная область достижимости манипулятора имеет симметричный характер относительно пневмоприводов.

2. Рассмотренные вопросы в данной работе позволят существенно упростить поиск алгоритмов управления данным манипулятором.

3. С помощью разработанной программы предоставляется возможность исследования кинематики аналогичных расчетных схем с различными габаритами.

Литература

1. Егоров О.Д., Подураев Ю.В. Конструирование меха-тронных модулей. М.: ИЦ МГТУ «СТАНКИН», 2004. 360 с.

2. Герц Е.В. Динамика пневматических систем машиностроения. М.: Машиностроение, 1975. 272 с.

Статья поступила в редакцию 19.08.2011 г.

0 2 =