О свойствах дисперсионного множества для неоднородного цилиндрического волновода

Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 1, С. 50-60

УДК 517.9; 539.3

О СВОЙСТВАХ ДИСПЕРСИОННОГО МНОЖЕСТВА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА

А. О. Ватульян, В. О. Юров

На основе анализа операторного спектрального пучка с двумя параметрами исследованы дисперсионные соотношения для цилиндрического неоднородного по радиальной координате волновода с импедансными граничными условиями на внешней границе. Граничные условия позволяют моделировать условия свободной и жестко закрепленной внешней границы, а также промежуточные варианты, где напряжения и перемещения границы линейно связаны с помощью двух параметров. В осесимметричной постановке сформулирована спектральная задача в виде матричного дифференциального оператора 4 порядка относительно компонент векторов напряжений и смещений. Изучен ряд свойств, описывающих общую структуру дисперсионного множества. Сформулированы две спектральные задачи, из точек спектра которых аналитически продолжаются два семейства дисперсионных кривых, отличающиеся собственными функциями. Получены формулы, отражающие связь точек спектра с параметрами, входящими в граничные условия на внешней границе. На основе метода возмущений исследована структура кривых этих семейств. Доказанное в статье свойство разрешимости неоднородной задачи применено для построения асимптотического приближения компонент дисперсионного множества в области длинных волн. В низкочастотном диапазоне в частном случае построена явная зависимость угла наклона линейного участка первой дисперсионной кривой от одного из параметров граничных условий. При этом даже слабая связь касательных напряжений и продольных перемещений приводит к изменениям, при которых асимптотика не справедлива. Изложены схемы численного построения компонент дисперсионных кривых на основе метода пристрелки. Представлены результаты вычислительных экспериментов для двух видов радиальной неоднородности. Выявлены точки дисперсионного множества, не меняющие своего положения в зависимости от параметров в граничных условиях.

Б01: 10.23671/У]МС. 2018.1.11397.

Ключевые слова: дисперсионные соотношения, цилиндрический волновод, импедансные граничные условия, неоднородность.

1. Введение

Исследование распространения волн в неоднородных волноводах, погруженных в упругую среду, имеет приложения к акустическим методам диагностики конструкций ответственного назначения и также к биомеханике крупных кровеносных сосудов. Задачи о волнах сводятся к отысканию нетривиальных решений краевых задач с двумя спектральными параметрами, которые образуют дисперсионное множество. Для однородных волноводов это множество подробно изучено в литературе. В частности, для цилиндрического однородного волновода дисперсионное уравнение строится в явном виде через цилиндрические функции [1, 2]. Особенности строения дисперсионного множества в случае неоднородного волновода изучены в меньшей степени и опираются как на теорию операторных спектральных пучков [3-5], так и на численные и асимптотические методы [5]. Полиномиальные операторные пучки с общих позиций изучались в [6].

© 2018 Ватульян А. О., Юров В. О.

Погруженные в среду волноводы часто изучаются с применением конечноэлемент-ных (КЭ) пакетов. Так, в работе [7] изучается распространение волн в полом цилиндре, погруженном в бесконечную среду, которая моделируется комбинацией цилиндрического слоя из конечных элементов и цилиндрического слоя элементов, задающих поведение искомых функций на бесконечности. Получены дисперсионные кривые как осесимметрич-ных, так и неосесимметричных волновых форм, достаточно внимания уделено вопросам КЭ-сходимости. В [8] для моделирования внешней среды, контактирующей с волноводом произвольного сечения, используется поглощающая область, в которой поглощение растет с удалением от волновода. В частности, поглощающая область обладает той же массой и упругими свойствами, что и окружающая среда, но мнимые части ее комплексных модулей постепенно увеличиваются.

2. Постановка задачи

Рассмотрим волны в неоднородном по радиальной координате полом цилиндрическом волноводе в условиях осесимметричного деформирования. Внутренняя граница волновода r = a свободна от нагрузок, на внешней r = b сформулированы импеданс-ные граничные условия, моделирующие контакт с упругой средой: bar (b) + ciur (b) = 0,

bUrz (b) + C2Uz (b) = 0.

Осесимметричная форма уравнений движения в цилиндрической системе координат имеет вид

_Г. I darz I оу-оу _ d2ur

dr dz г г Qt2 ' \

__I daz I (У Г Z _ d2uz

dr "Г" dz "Г" г — fJ ~W'

Определяющие соотношения в изотропном случае задаются следующими формулами:

n — II I Êlh-) ^

<Jrz — H \ dr ^ dz y>

_ \ ( dur I ur I duz \ I о,, duz

- A vw + — + —) + ¿ß—-

Здесь ur, uz — компоненты вектора перемещений, ar, arz, az — компоненты тензора напряжений Коши, Л, ß — параметры Ламе, которые зависят от радиальной координаты. Будем искать решение уравнений (1)-(2) в полом цилиндре со свободной внутренней границей и с описанными выше импедансными граничными условиями на внешней границе (они связывают радиальные и касательные напряжения на внешней границе с ее перемещениями) в виде бегущих волн с частотой ш и волновым числом к, это означает, что все компоненты физических полей пропорциональны множителю exp (i (kz — ut)).

Введем следующие безразмерные параметры и переменные: £о = f — обезразмерен-ный внутренний радиус, ßo = (1 — £о)-1 ß(x) dx — осредненный по толщине стенки

цилиндра модуль сдвига, ur = bU\, uz = ibUs, ar = ßoT\, arz = ißoTs, к2 = , 7 = kb, Л = ßogi, ß = ßo92, gi + 2g2 = G.

С целью исследования произвольной неоднородности, связанной с переменностью упругих свойств, сформулируем краевую задачу относительно амплитуд и представим возникающую спектральную задачу в виде матричного дифференциального уравнения первого порядка

X' =

Т (&) = 0, Т (1) = -аи (1), а ^ 0, Тз (&) = 0, Тз (1) = -виз (1), в ^ 0.

Матрица коэффициентов оператора (3) представлена в виде квадратичного пучка от спектральных параметров к, 7) гДе

/

Л,

с —

-91 хС 0

4^2 {91+92) хЩ 0

0 0

0 0

х

с

0

292 хС 0

0 х

92 0

1

х

\

Л

с1 —

0000 0000 1000 0100

Л

1—

/ 0 91 С 0 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 , Л2 — 0 0 0 0

0 29291 хС 0 0 1 0 0 0 0

V 29291 хС 91 С 0 0 (91+92) С 0 0

Отметим, что выбранные в качестве неизвестных в векторном уравнении физические величины позволяют получить систему с вещественной матрицей, с компонентами, не содержащими производных от материальных функций $1 (ж), (ж). Это позволяет анализировать с единых позиций непрерывные и кусочно-разрывные законы неоднородности. Задача состоит в нахождении таких соотношений (дисперсионных) между спектральными параметрами к, 7) ПРИ которых существуют нетривиальные решения спектральной

а—в—0

ница) исследован ранее (однородный случай в [1, 2], где дисперсионные соотношения строятся явно через цилиндрические функции), случай переменных свойств изучен в [9], где составлен алгоритм исследования неоднородного по радиальной координате волновода со свободными границами и получена асимптотика дисперсионной кривой, выходящей из начала координат. Подобным образом исследованы волновые процессы в предварительно напряженном цилиндре в [10].

3. Общая структура дисперсионного множества

При помощи анализа спектральной задачи (3), (4) сформулируем следующие свойства.

1. При к — 0 7 — 0 существует счетный набор комплексных корней, которые располагаются четверками: 7, —7, 7) —7 на комплексной плоскости Ие (7), 1т (7).

2. При 7 — 0 существует счетный набор нетривиальных решений, задача разделяется на две подзадачи, различающиеся кинематикой нетривиальных (однородных) решений.

Задача 1.

У3 -да"1^

Тз (Ы — 0, Тз (1) — -виз (1).

Задача 2.

с

и\ - + ¿ть Т[ - у-^1 ~ ¿щ Т (Ы — 0, Т1 (1) — -аи (1).

91

-к

-

^92 гр . хС -11'

Нетрудно заметить, что задачи (5), (6) всегда имеют тривиальные решения. Пусть К1 есть множество собственных значений к ^ 0 задачи (5), при которых она имеет нетривиальное решение, и К2 есть множество собственных значений К2 ^ 0 задачи (6) соответственно. Введем множество К — К1 иК^. Заметим, что у множеств К1, К2 могут быть

одинаковые элементы, которые порождают кратные корни (в дальнейшем этот случай не рассматривается, поскольку кратные ситуации легко разрушаются шевелением параметров задачи).

Ниже отметим свойства введенных множеств.

Свойство 1. Если в — 0, то К1 содержит нулевой элемент.

< Действительно, задача (5) при в — 0 к — 0 имеет ненулевое решение Тз — 0, из — 1. >

Свойство 2. Если к1 £ Щи Цз, Тз — нетривиальные решения зад ачи (5), то Цз, Тз удовлетворяют следующему соотношению:

, 1 ч 1

«1 = ( (1) + I <1х 111 хи! <1х.

~3 ёх)/ I хи!

< Запишем второе уравнение из (5) в следующем виде: ^Т'\= Далее умножим обе его части на Цзж и проинтегрируем по отрезку [£с, 1]- Интегрируя по частям и заменяя Ц выражением го первого уравнения в (5), получим соотношение (7). >

Следствие 1. Пусть к1 £ К^. Тогда к1 > 0 при в — 0.

Свойство 3. Если к2 £ К2 и Т1 — нетривиальные решения зад ачи (6), то Т1 удовлетворяют следующему соотношению:

1 1 1

4 = ^ + 1 492 ^ и! + <1x1 хЩ <1х.

¿0 ¿0 ¿0

< Умножим второе уравнение в (6) на Ц1Ж и проинтегрируем по о трезку [£с, 1]- Интегрируя по частям и заменяя Ц выражением из (6), получим

11 1 1

-аи1 (1) "/ ^ ^ +/ (§ + ^ " 1) ^ = / 452 ^а92^! <1х-$1 XVI <*г.

¿0 ¿0 ¿0 ¿0

Учитывая, что третье слагаемое в левой части этого равенства равно нулю, получим >

Следствие 2. Пусть к2 £ К2. Тогда к2 > 0 для любого а.

< Предположим противное, т. е. что К2 — 0 и К2 £ К^. Но при К2 — 0 задача (6) для любого а имеет только тривиальное решение и, следовательно, К2 / К2. >

Свойство 4. Пусть к1 £ К1 и к2 £ К2. Тогда из то чек (к — «1, 7 — 0) (к — к2,

7 — 0) аналитически продолжаются вещественные кривые дисперсионного множества. В монографии [4] это свойство доказано для слоя путем построения разложений в ряды, а в рассмотренном случае обоснование аналогично. Свойство 5. Для неоднородной задачи (9), (10):

X' — АХ + Е, где Л — Лс - к2Лс1 + 7Л1 + 72Л2;

|Т1 (£с) — 0, Т1 (1) + аЦ (1) + #1 (1) —0, а ^ 0; [Тз (ес) — 0, Тз (1) + виз (1) + #з (1) —0, в ^ 0,

которая при Д (1) =0 Дз (1) = 0 и Е = 0 вырождается в задачу (3), (4), имеет место условие разрешимости (11), где и3, Т15 Т3 — решения задачи (3), (4):

1

¿0

< Пусть X  V — обычное скалярное произведение векторов. Введем

1

¿0

Умножим векторное уравнение (9) на пробный вектор V справа, используя введенное умножение, а затем в левой части осуществим интегрирование по частям:

1

¿0

Потребуем, чтобы вектор V являлся решением сопряженного уравнения

- = жАтV.

Для формулировки соответствующих граничных условий для V рассмотрим первое слагаемое в (12) с учетом граничных условий (10):

- (1) У"з (1) - Дз (1) П (1)1 - Гих (Ы У1 (&) + из (Ы ^2 (&) £о

Подчиним V следующим граничным условиям (14), для которых при Д (1) = 0, Дз (1) = 0 и Е = 0 справедливо равенство (X  V) ж|^0 = (Е, V),

^

Заметим, что решение задачи (13), (14) связано с решением (3), (4) следующим образом:

У1 (ж) = -Т1 (ж), У2 (ж) = -Тз (ж), У"з (ж) = и (ж), У4 (ж) = и (ж).

С учетом вышеизложенного перепишем (12) и получим условие разрешимости (11). > Свойство 6. При любом фиксированном 7 > 0 и > 0.

< Докажем первое утверждение. Продифференцируем задачу (3), (4) по в ПРИ фиксированном параметре 7, получим неоднородную краевую задачу относительно Щ^-,

Щ^-, Щ^-. Используя свойство 5 и учитывая вид правых частей /3 = /4 = — ^щ^ъ-,

Из (1) = [/3 (1), К\ (1) = 0, получим, что = [/| (1) (ж[/2+ж[/|(¿ж) 1. Аналогичным

образом получим, что -д^-

= и12 (1Н /¿0 жи12 + жиз2¿ж) • Правые части в этих соотношениях являются строго положительными величинами, что и доказывает свойство 6. >

Асимптотический анализ. Исследуем структуру дисперсионных кривых в окрестности линии 7 = 0. Пусть ко € К и не является кратным собственным значением, т. е. не принадлежит одновременно К1 и К2. Будем искать разложение вида к2 = к2 + Й17 + 0272 + ..., а решение задачи (3), (4) будем отыскивать в виде регулярного разложения по 7:

X = Xо + 7X1 + 7^2 + о

Сформируем задачи при одинаковых степенях 7:

X'о =

X' 1 =

X'2 =

Отметим, что задача (16) с точностью до индексов описывается (5), (6), системы (17), (18) как и (16) разделяются на две подсистемы и определены тем же дифференциальным оператором Ь = ^ — Ао + КдАсц и имеют правые части. Вектор ^ = (/н,/2«,/з»,/4г)Т зависит от решений предыдущих задач.

Свойство Т. Задачи (17), (18) имеют решение, если выполнены условия разрешимости:

1

J [/4гЦзо - /2гТзо] ж ^ж = 0, если Ко € К1,

¿0

1

J [/зг^ю - /нТю] ж ^ж = 0, если Ко € К2.

¿0

< Доказательство основано на использовании (11) применительно к (17), (18). >

Используем условия разрешимости (19), (20) к задачам при 71, для этого определим правые части в (17):

fn — Uao, /31 — —^хСГ ^ ~~ а1^10' /21 = —Uio, fn = —~~ ~~ а1^зо-

Подставляя

/12 = U31, /32 =--^ ~~ ~~ а2^ю,

/22 = —Un, /42 =--U11 ~~ ~ а1^31 ~~ а2^30 H---— U3 о-

Подставим (22) в условия (19), (20) и получим выражения (23), (24) для коэффициентов разложений 02 для семейств задач 1 и 2 соответственно:

a2 = Ьз J &

тт rp 29I92 тт тт 91 „ тт .452(51+52) 2 и 11-1-30--—-Q - Уциго — -Q Jn^30 H---Q-L/30

xdx,

а2 = &Л

^31^10--^77^ ^31^10 — 77 и31Т10

жС С

-1

ж ^ж

ъ =

Ц^ж ¿ж

Чо 7 Чо

Отметим, что знак а2 определяет случай нормальной (а2 > 0) и аномальной (а2 < 0) дисперсии [4].

Низкочастотная асимптотика. В случае в = 0 удается установить наличие нетривиального решения в окрестности точки к = 7 = 0. Получим формулу наклона дисперсионной кривой, выходящей из начала координат. Нетривиальное решение задачи при 70 имеет вид Цю (ж) = Т1о (ж) = Т30 (ж) = 0 Цзо (ж) = 1 и позволяет упростить формулу (23) до следующего вида:

2

а2 =

1 - £0

Чо

4^2 (91+92) 29192 тт 91 „

-о---^и11~оТп

ж ¿ж

В случае постоянных #1, #2 можно построить точное решение для Цц, Тц:

1 #1

Цц (ж) =

2ж 2

Т11 (ж) =

1

#1#о а

ж2

2

а формула (25) принимает следующий вид:

а2 = I

АО [2 (3#1 #о + 2#0) (£0 - 1) - ((3#1 + 2#о) £0 + #1 + 2#о) а;

2

а

Формула (27) определяет монотонно возрастающую функцию ¿(а) = л/0,2(01). Например, при £о = 0.76, #1 = 1.5 #2 = 1 область значений функции ¿(а) лежит в достаточно узком диапазоне [1.612,1.723], а £ [0, то).

Численный анализ. С помощью метода пристрелки произведен численный анализ дисперсионного множества. Исходная задача (3), (4) сведена к решению двух вспомогательных задач Коши (3), (28) и (3), (29), которые не содержат параметров граничных условий а, в:

Ц

Ц

Искомое решение разыскивается в виде линейной комбинации (30) решений задач (3), (28) и (3), (29):

X = Р1Х1 + роХо.

Решение (30) удовлетворяет граничным условиям на внутренней границе, а при удовлетворении граничным условиям на внешней границе получаем линейную алгебраическую систему (31) относительно пристрелочных параметров р1, ро

Р1 (т(1) + аЦ(1)) + ро (Т(2) + аЦ(2)) = 0, Р1 (Тз(1) + вЦз(1)) + Ро (Тз(2) + вЦз(2)) =0.

1

1

1

Решением дисперсионного уравнения D (к, 7) = 0 будем считать набор спектральных параметров (к, 7), обращающих определитель пристрелочной системы (31) в нуль. При группировке определителя системы (31) для произвольных параметров а, ß прослеживается структура дисперсионного множества (32), причем при а, ß = 0 условия (4) означают свободную внешнюю границу, случай а, ß = те означает жесткую заделку внешней границы волновода, а случай а = те, ß = 0 соответствует волноводу, находящемуся в жесткой обойме без трения:

D

So = (if T3(2) - T(2)T3(1)) , Sa = (и(1)t(2) - U(2)Г3(1Г

Sß =

Произведем моделирование различных неоднородностей в упрощенном виде, принимая коэффициент Пуассона постоянным: V = 0.3 и принимая д1(х) = 1.5з(х), д2(х) =

з(х). Рассмотрим далее несколько законов неоднородности, выбранных таким образом, )-1

чтобы (1 - ^о) 1 // s(x) dx = 1. Таковыми, например, являются

5

=

где s1 (ж) соответствует однородному матерпалу, s2 (ж) — возрастающему модулю упругости.

На рис. 1 изображена общая структура компонент дисперсионного множества в случаях а в = 0 а, в = 10 и а, в = ^ 5(х) = 51 (х). Численный анализ показывает, что при увеличении а в все компоненты дисперсионного множества сдвигаются вправо вдоль частотной оси в соответствии со свойством 6.

Рис. 2.

На рисунках 2 и 3 проведено сравнение численно полученных дисперсионных ветвей (сплошная линия) с квадратичным приближением ветвей вида к2 = Кд + о272 (пунктир). Расчеты проведены при следующем наборе параметров 5(ж) = 52 (ж) = 0.76, а = в = 1 Для апробации формул (23) и (24) выбраны такие собственные значения задач (5) и (6), из которых можно продолжить дисперсионные кривые, проявляющие нормальную и аномальную дисперсию; сравнение результатов показало их практическое совпадение в окрестности 7 = 0 в соответствии с (23) и (24).

Рис. 3.

Заключение. Исследована структура дисперсионного множества в зависимости от

ав

ав

приближения дисперсионного множества при малом 7, которые позволяют анализировать стержневые моды, различать случаи нормальной и аномальной дисперсии. Проведена серия расчетов, проведено сравнение с асимптотиками.

Литература

1. Pochhammer L. Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder // J. Reine Angew. Math.—1876.—Vol. 81.—P. 324-336.

2. Chree C. Longitudinal vibrations of a circular bar // J. Quart. Pure Appl. Math.—1886.—Vol. 21.— P. 287-298.

3. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи // Функцион. анализ и его прилож.—1983.—Т. 17, вып. 2.—С. 38-61.

4. Ворович И. И., Вабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей.—М.: Наука, 1979.—320 с.

5. Гетман И. П., Устинов К). А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов.— Ростов н/Д.: РГУ, 1993.-144 с.

6. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков Кишинев: Штиинца, 1986.—260 с.

7. Jia Н., Jing М., Rose J. L. Guided wave propagation in single and double layer hollow cylinders embedded in infinite media // J. Acoust. Soc. Am—2011—Vol. 129, № 2.-P. 691-700. DOI: 10.1121/1.3531807.

8. Castaings M., Lowe M. Finite element model for waves guided along solid systems of arbitrary section coupled to infinite solid media // J. Acoust. Soc. Am.-2008.-Vol. 123, № 2.-P. 696-708. DOI: 10.1121/1.2821973.

9. Ватулъян А. О., Моргунова А. В. Исследование дисперсионных свойств цилиндрических волноводов с переменными свойствами // Акуст. журн.—2015.—№ 3.—С. 295-301.

10. Ватулъян А. О., Юров В. О. Волновые процессы в полом цилиндре в поле неоднородных предварительных напряжений // Прикл. математика и теор. физика.—2016.—Т. 57, № 4.—С. 182-191.

Статья поступила 11 июля 2017 г.

Ватулъян Александр Ованесович Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, заведующий отделом дифференциальных уравнений РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Южный федеральный университет, заведующий кафедрой теории упругости РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: vatulyan@math.rsu.ru;

Юров Виктор Олегович

Южный федеральный университет,

магистрант кафедры теории упругости

РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а

E-mail: vitja.jurov@yandex.ru

ON THE PROPERTIES OF THE DISPERSION SET FOR AN IXHOMOGENEOUS CYLINDRICAL WAVEGUIDE

Vatulyan A. O., Yurov V. O.

On the basis of the analysis of an operator spectral beam with two parameters, the dispersion relations for a cylindrical waveguide, inhomogeneous in the radial coordinate, with impedance boundary conditions on the external boundary are investigated. This boundary conditions permit to simulate free and clamped external boundary conditions as well as intermediate options. The stresses and displacements on the boundary are linearly related by means of two parameters. In the axisymmetric formulation, the spectral problem in the form of matrix differential operator of the 4th order with respect to the stress and displacement vectors components is formulated. A number of properties describing the general structure of the dispersion set are studied. Two spectral problems are formulated with two families of dispersion curves which are analytically continued from the points of the spectrum and differing by their eigenfunctions. Formulae reflecting the connection of the spectrum points with parameters entering the

boundary conditions at the outer boundary are obtained. Based on the perturbation method, the structure of the curves of families considered is investigated. The property of solvability of the inhomogeneous problem proved in the article was used to construct an asymptotic approximation of the dispersion set components in the region of long waves. In the low-frequency range, in the particular case, the explicit dependence of the first dispersion curve slope angle on one of the parameters of the boundary conditions is constructed. At that, even a weak relationship between shear stresses and longitudinal displacements leads to changes for which the asymptotic behavior is not valid. On the basis of the shooting method, the schemes of constructing the dispersion curves components are stated. The results of the computational experiments for two kinds of radial inhomogeneity are presented. The dispersion set points that do not change their position depending on the boundary conditions parameters are revealed.

Key words: dispersion relations, cylindrical waveguide, inhomogeneity, impedance boundary conditions.

References

1. Pochhammer L. liber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder, J. Reine Angew. Math., 1876, vol. 81, pp. 324-336.

2. Chree C. Longitudinal vibrations of a circular bar, J. Quart. Pure Appl. Math., 1886, vol. 21, pp. 287298.

3. Kostyuchenko A. G., Shkalikov A. A. Self-adjoint quadratic operator pencils and elliptic problems, Fund. Anal. Appl, 1983, vol. 17, pp. 109-128. DOI: 10.1007/BF01083136.

4. Vorovich I. I., Babeshko V. A. Dinarnicheskie smeshannye zadachi teorii uprugosti dlya neklassicheskikh oblastej [Dynamic Mixed Elastic Problems for Nonclassical Regions], Moscow, Nauka, 1979, 320 p. (in Russian).

5. Getman I. P., Ustinov Yu. A. Matematicheskaya teoriya neregulyarnykh tverdykh volnovodov [Mathematical Theory of Irregular Solid Waveguides], Rostov-on-Don, Izdat. RGU, 1993, 144 p. (in Russian).

6. Markus A. S. Vvedenie v spektral'nuyu teoriyu polinomial'nykh operatornykh puchkov [Introduction to the Spectral Theory of Polynomial Operator Sheaf], Kishinev, Shtiintsa, 1986, 260 p. (in Russian).

7. Jia H., Jing M., Rose J. L. Guided wave propagation in single and double layer hollow cylinders embedded in infinite media, The Journal of the Acoustical Society of America, 2011, vol. 129, pp. 691700. DOI: 10.1121/1.3531807.

8. Castaiags M., Lowe M. Finite element model for waves guided along solid systems of arbitrary section coupled to infinite solid media, The Journal of the Acoustical Society of America, 2008, vol. 123, pp. 696708. DOI: 10.1121/1.2821973.

9. Vatul'yaa A. O., Morgunova A. V. Study of the dispersion properties of cylindrical waveguides with variable properties, Acoust. Phys., 2015, vol. 61, pp. 265. DOI: 10.1134/S1063771015020141.

10. Vatul'yaa A. O., Yurov V. O. Wave processes in a hollow cylinder in an inhomogeneous prestress field, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2016, vol. 57, pp. 731-739. DOI: 10.1134/S0021894416040180.

Received, Jule 11, 2017

Vatulyan Alexandr Ovanesovich

Southern Mathematical Institute — the Affiliate

of Vladikavkaz Science Center of the RAS,

The Head of the Department of Differential Equations

22 Markus Street, Vladikavkaz, 362027, Russia;

Southern Federal University,

The Head of the Department of Elasticity Theory

8a Mil'chakova Str., Rostov-on-Don, 344090, Russia

E-mail: vatulyanOmath .rsu.ru

ORCID: 0000-0003-0444-4496

Yurov Victor Olegovich Southern Federal University

Post-Graduate Student of the Department of Elasticity Theory 8a Mil'chakova Str., Rostov-on-Don, 344090, Russia E-mail: vitja.jurov@yandex.ru ORCID: 0000-0002-4689-4068