Вариация энтропии как аналог функции Ляпунова в статистическом анализе функциональной устойчивости

УДК 621.318

М.В. Семеняк, В.К. Федоров

ВАРИАЦИЯ ЭНТРОПИИ КАК АНАЛОГ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

В данной статье рассмотрены условия функционирования системы. Кроме того, описан критерий абсолютной устойчивости, а также методы для получения условий функциональной устойчивости. Рассчитано уравнение для второй вариации энтропии.

Ключевые слова: показатели качества, вариация, вероятность, математическая модель, устойчивость системы.

Качество функционирования СЭОУ в большой степени зависит от чувствительности показателей качества (ПК) к изменениям параметров СЭОУ. Такого рода чувствительность определяет поведение СЭОУ в условиях нежелательной вариации ее параметров, и высокая чувствительность становится причиной того, что СЭОУ оказывается функционально неустойчивой.

Если считать, что ПК представляет собой непрерывную функцию параметров СЭОУ и параметров режима, то функциональная устойчивость связана с приспособляемостью СЭОУ к изменениям условий функционирования, при этом решающее значение имеет осуществление СЭОУ необходимых изменений в своей структуре за определенное время Д t.

При вероятностном описании СЭОУ важно иметь свой критерий функциональной устойчивости, являющийся аналогом функций Ляпунова при детерминировании описания СЭОУ. Значение отыскания такого критерия состоит в том, что открываются новые теоретические возможности в исследовании функциональной устойчивости. Вместе с тем, получение критериев функциональной устойчивости имеет практическое значение.

Итак, будем полагать, что СЭОУ описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями вида:

dx

-¿- + f1

dt

где x-{xl,...,xi,...,xnf- отклонения параметров режима от установившихся значений; Т -знак транспортирования, у = (у1,..., уг.,..., уп )т - случайные величины времени типа белых шумов с матрицей спектральных плотностей S — |,V;(! Sik — const; f, - характеристики СЭОУ,

относительно которых в дальнейшем используются различные предположения; t - текущее время.

Относительно х = (xt,..., хп)т принимается, что это процессы с ограниченной дисперсией D = {Dl,...,Di,...,Dn)<M. Текущая плотность вероятности p(x,t) в пространстве параметров режима x(t) подчиняется уравнению диффузии вероятностей [1]:

= = (2) dt T^dXj ^u^i dXidXj

dP

причем величины P,P-ft,— исчезают на бесконечности: если х—»-оо, то РО,

dx

dP —

P-f, ->0,--> О, i = \,n.

dx

© Семеняк М.В., Федоров В.К., 2012

Математическая модель СЭОУ, включающая в себя уравнения (1), (2), применялась для исследования функциональной устойчивости отклонений частоты, причем имело место «хорошее» совпадение полученных теоретическим путем статистических характеристик отклонений частоты с характеристиками заранее известных экспериментальных исследований.

Критерий абсолютной функциональной устойчивости:

**- = оА = о.

сЖ8 с/Н>:

Утверждается, что если приращения энтропии Н при изменении параметра СЭОУ ?  не происходит, иначе говоря, если корреляционный момент г между ьм и j-м параметрами режима как функция от имеет допустимый минимум или вообще не зависит от , то СЭОУ абсолютно функционально устойчива по , £ = 1, т .

Для реально существующих СЭОУ трудно ожидать точного выполнения критерия абсолютной устойчивости. Наиболее целесообразным критерием функциональной устойчивости представляется такой, выполнение которого обеспечит функционирование СЭОУ с максимальной энтропией Н —> Нтах и минимальной скоростью изменения энтропии с1Н

V =--> Гтт. Заметим, что указанные условия Н —» #тах, V —» Утт существования критерия функциональной устойчивости являются прямыми следствиями критерия абсолютной функциональной устойчивости (3).

Условие Н —» Нтах с необходимостью приводит к первому критерию функциональной

устойчивости: первая вариация энтропии 5Н равна нулю, а вторая вариация 82Н меньше нуля.

8Н -^0,ё2Н <0.

с1Н

Условие--> Утт совместно с 52Н < 0 приводит ко второму критерию функцио-

Л

нальной устойчивости: скорость изменения во времени — (д2Н) больше нуля или равна нулю в предельном случае:

^-{32н)> 0.

м

Выражения (4) и (5) представляют необходимое и достаточное условие функциональной устойчивости.

В последнее время в связи с интенсивным развитием статистической теории динамических систем появилось много работ, анализирующих функциональную устойчивость. При исследовании этой проблемы используются два основных метода: метод функций Ляпунова и метод априорных интегральных оценок [2, 3]. Оба метода позволяют получить только достаточные условия функциональной устойчивости в пространстве параметров системы. Как следствие, область функциональной устойчивости получается уже истинной, при этом происходит сужение области допустимых значений параметров и ухудшение динамической системы. А для повышения функциональной устойчивости динамических систем требуется увеличить пределы допустимых значений параметров. В этом отношении критерии функциональной устойчивости (4), (5) выгодно отличаются от критериев, полученных в [2].

В качестве аналога функции Ляпунова применяется вторая вариация энтропии 32Н. Этот выбор оправдан. Вторая вариация энтропии д1 Н указывает на нарастание или убыва-

ние энтропии и тем самым указывает на функциональную устойчивость или неустойчивость СЭОУ.

Имеется еще одна причина, из которой следует, что теория функциональной устойчивости должна исходить из свойств д2Н. Вторая вариация д Н энтропии непосредственно связана со статистической теорией флуктуаций. Вероятность р возникновения флуктуаций ПК функционирования СЭОУ выражается формулой [4]

р«ехр

где АН - отклонение энтропии Н от Нтах.

Выражение (6) было использовано для отыскания распределения вероятностей мощности СЭОУ, содержащей управляемые вентильные преобразователи.

1

АН « 8Н + — 8Н,

2

1 9

р к, ехр

учитывая для изолированной СЭОУ 8Н = 0, имеем

О-

Для функциональной устойчивости необходимо 82Н < 0. Поэтому теорию функциональной устойчивости следует строить на основе функции 82Н как аналога функции Ляпунова в том смысле, как она была определена в [3].

Переход между функциональной устойчивостью и функциональной неустойчивостью

зависит от нарушения неравенства —(82Н) > 0 для критического ПК функционирования и

(к

связанного о ним значения параметра СЭОУ. Вне предела допустимых значений параметра

неравенство —(82Н) > 0 не выполняется, флуктуации растут. В рамках линейных уравне-ск

ний (1) следует ожидать, что флуктуации нарастают бесконечно. В реальности флуктуации ПК будут ограничены под влиянием нелинейных членов, которыми пренебрегли при линеаризации уравнений (1).

Само существование флуктуаций ПК функционирования СЭОУ является следствием того, что СЭОУ состоит из большого числа элементов (генерирующие агрегаты, потребители и так далее). Когда СЭОУ функционально устойчива, флуктуации ПК не играют важной роли. Они влияют только на усредненное значение статистических шумов. Положение радикально меняется, когда возникает функциональная неустойчивость.

Тогда флуктуации ПК функционирования СЭОУ нарастают и достигают вненормиро-ванных значений. Функциональная неустойчивость может приводить к самым различным новым режимам функционирования. Статистический аспект временной эволюции СЭОУ остается существенным, так как характер нового устойчивого состояния зависит от начальной флуктуации ПК. Таким образом, временную эволюцию СЭОУ можно понять, пользуясь вероятностными и детерминированными методами одновременно (уравнения (1), (2)). Поэтому один из наиболее привлекательных аспектов теории функциональной устойчивости СЭОУ, построенной на пользовании второй вариации энтропии, - это промежуточное положение между вероятностными и детерминированными описаниями функциональной устойчивости.

Из определения устойчивости следует, что функциональная устойчивость СЭОУ будет находиться под угрозой, как только появятся процессы, дающие отрицательный вклад в избыток продукции энтропии, то есть —(82Н) < 0. В терминах теории флуктуаций механизм

(к

функциональной неустойчивости такой: если начать с 82Н < 0 около некоторого исходного состояния, то СЭОУ будет всегда стремиться к наиболее вероятному состоянию до тех пор,

пока — (д2Н) > 0. Для — (д2Н) < 0 возможность достижения наиболее вероятного состоя-сИ Ж

ния уменьшается, а затем СЭОУ будет эволюционировать к новому вероятному состоянию;

если в некоторой точке Якр пространства параметров СЭОУ — (82Н) может стать отрицала

тельной, то функциональная устойчивость нарушается, и СЭОУ переходит в новое состояние.

Представляет интерес определение класса распределений вероятностей Р( х, г), которые обеспечивают функциональную устойчивость СЭОУ, с использованием критериев 5Н —» 0 ,

82Н < 0, —(д2Н) > 0. Предположим, что после некоторого начального возмущения, СЭОУ Л

эволюционирует от произвольного распределения вероятностей Р(х, г) к стационарному (асимптотическому) распределений вероятностей (х). Опираясь на определение энтропии, получаем:

Н = - [>

РЛх)

С использованием методов вариационного исчисления находят первую 5Н и вторую д2Н вариации энтропии Н:

Р(ХЛ , 14 ^ А Р(ХЛ

Ш = - 1Г7Т +• 0 - Т7Т'

РЛ*) РЛ*)

2 \Р

2 Р2 (х) • Р(х,

-йх.

Вторая вариация энтропии получается в виде знакоопределений квадратичной формы.

Для определения функционала —(82Н) используется возможность перестановочности опе-

(к

а 2

раций — и 5 . Скорость изменения энтропии Н равна [5]:

Л

Л Л Рх(х) Ж

йР

Анализируя в формуле (12) выражение для — из уравнения (2) и интегрируя по час-

йг

тям, получаем:

ли 00 1 00

^ = 1 ...Л ^Р

йг 1 йХ 2 1,

с1х<

Применяя к выражению (13) операцию 3 , получаем:

1

= 2Л-м

1

р{х^)<±!(1 ...<Лхп —

с \

йр{х,

/Л-М)

дх,

где М - операция математического ожидания.

Для отклонений параметров режима х(^, имеющих ограниченные дисперсии, решение

/Х-*, О уравнения диффузии вероятностей (2) обладает йН —> 0,с12Н < О,— (б2Н) > 0, то-

Ж

гда, когда р(л,/) является гауссовым распределением вероятностей:

х

р(х, 0 рх (х) = А • ехр(- —),

где А, Б - константы.

Следовательно, если СЭОУ адекватно описывается уравнениями (1), (2) и действующие ограничения на отклонения параметров режима таковы, что приводят р{х, I ) —» р.А (х) к гаус-совскому, или близких к нему, распределению вероятностей, то СЭОУ функционально устойчивы (асимптотически устойчивы). В противном случае есть большая вероятность возникновения в СЭОУ функциональной неустойчивости.

Таким образом, начинает выясняться в количественной форме значение статистического элемента (энтропия состояния Н, вторая вариация энтропии д2Н, класс распределения вероятностей /С>(х, в анализе функциональной устойчивости СЭОУ. Кроме детерминированных (каузальных) уравнений состояния, необходимо знать класс распределения вероятностей параметров режима, при которых СЭОУ остается функционально устойчивой или, наоборот, становится функционально неустойчивой. Принадлежность к тому или иному классу распределений вероятностей параметров режима будет определять последующую эволюцию СЭОУ, отбирая одну «траекторию движения» из некоторого множества потенциально возможных «траекторий».

Использование свойств первой и второй вариаций позволило получить критерии функциональной устойчивости СЭОУ. Определен класс распределений вероятности параметров режима, при котором СЭОУ обладает функциональной устойчивостью.

Список литературы

1. ГОСТ 24.701-86 ЕСС АСУ. Надежность автоматизированных систем управления. Основные положения. - М. : Изд-во стандартов, 1987. - 20 с.

2. Конюхова, Е.А. Электроснабжение объектов / Е.А. Конюхова. - М. : Академия, 2004. - 320 с.

3. СНиП 23-05-95. Естественное и искусственное освещение. Строительные нормы и правила // Светотехника. - № 2. - Москва, 2003.

4. ГОСТ 16703-79. Приборы световые. Термины и определения. - М. : Изд-во стандартов, 2005. - 19 с.

5. РД Автоматизированная система диспетчерского управления наружным освещением для предприятия ОАО «ГЭС» г. Мегион.

SUMMARY

M.V. Semenjak, V.K. Fyodorov

The entropy variation as analogue of function of Lyapunov in the statistical analysis

of functional stability

In this article system operating conditions are considered. Besides, here the criterion of absolute stability is described. In article methods for receiving conditions of functional stability are described. Here calculated the equation for the second variation of entropy.

Key words: quality indicators, variation, probability, mathematical model, stability of system.

УДК 664.34.68 И.А. Ивкова

УЛУЧШЕНИЕ КАЧЕСТВА И ПОВЫШЕНИЕ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ ПИЩЕВЫХ ПРОДУКТОВ НА ЖИРОВОЙ ОСНОВЕ

Разработаны рецептуры, проведена производственная проверка и утверждена НТД (ТУ и ТИ) на кондитерскую продукцию (печенье) с заменой основного жирового сырья (маргарина) на растительные жиры.

Ключевые слова: растительные жиры, кондитерские изделия, показатели качества, расширение ассортимента, экономический эффект.

Введение

В современных экономических условиях, когда на российский рынок поступает большое количество импортных товаров, улучшение потребительских свойств отечественных кондитерских изделий, вывод их на уровень конкурентоспособной продукции, создание высокоэффективных технологий, быстро реагирующих на спрос рынка, - основополагающие задачи отраслевой науки.

Пути завоевания рынка - повышение качества и увеличение сроков годности готовых изделий. С целью улучшить качество в состав мучных кондитерских изделий взамен применяемого маргарина вводят растительные жиры. Растительные жиры, поставляемые на российский рынок различными компаниями, специально разработаны для стабилизации и улучшения качества кондитерских изделий в процессе хранения. Они, в отличие от маргарина, обезвожены и стабильны по качеству, не окисляются, имеют срок годности до 24 месяцев, не содержат холестерина, хорошо усваиваются организмом человека.

Кроме того, использование растительных жиров имеет следующие преимущества при переработке:

- жиры технологичны на стадии приготовления эмульсий и полуфабрикатов;

- не требуют большого количества складских помещений;

- улучшают культуру производства;

- улучшают качество и продляют срок годности готовых изделий;

- удешевляют рецептуру и снижают себестоимость готовых изделий.

Объекты и методы

В соответствии с договором о научном сотрудничестве между Институтом ветеринарной медицины и биотехнологии Омского государственного аграрного университета имени П.А. Столыпина и кондитерской фабрикой ИП Курцаева, сотрудниками кафедры товарове-

© Ивкова И.А., 2012