Об использовании параллельных вычислений в задачах оптимального параметрического синтеза

Абрамов О.В. ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА

Рассматривается проблема оптимального синтеза технических систем с учетом закономерностей случайных производственных и эксплуатационных изменений их параметров. Для решения возникающих при этом задач предложены некоторые пути и средства создания эффективных параллельных алгоритмов многовариантного анализа и многомерной поисковой оптимизации.

Проблема оптимального параметрического синтеза технических устройств и систем с учетом стохастических закономерностей изменения их параметров и требований надежности связана с необходимостью решения задач высокой вычислительной сложности. Суть ее состоит в поиске таких начальных (номинальных) значений параметров элементов системы (внутренних параметров), при которых обеспечивается максимальная вероятность выполнения условий работоспособности в течение заданного времени эксплуатации. При этом предполагается, что структура (топология) проектируемой системы и ее математическая модель известны.

Функции, описывающие проектируемую систему, обычно имеют сложный нелинейный характер, что не позволяет получить оптимальное решение в аналитической форме с помощью классических методов дифференциального и вариационного исчисления. Поэтому для решения задачи оптимального параметрического синтеза (ОПС) необходимо использовать поисковые методы.

Стохастический характер критерия оптимальности, многомерность пространства поиска, необходимость решения задачи глобальной оптимизации заставляют искать пути создания эффективных численных методов решения задач ОПС. Одним из наиболее радикальных путей решения задач высокой вычислительной сложности является распараллеливание процесса поиска решения. Идея создания эффективных параллельных методов многовариантного анализа и поисковой оптимизации, ориентированных на решение задач ОПС, рассматривается в данной работе.

Общая постановка задачи оптимального параметрического синтеза имеет следующий вид [1,2]. Найти

номинальные значения внутренних параметров исследуемой системы хН0М[х1Н0М?---?хпН0м) ' обеспечивающие максимум вероятности ее безотказной работы в течение заданного времени

хном = а^тах р{ X

где X (хНом, /) - случайный процесс изменения параметров; - область работоспособности; Т -

заданное время эксплуатации системы.

Область допустимых вариаций внутренних параметров О , как правило, неизвестна, поэтому условия работоспособности обычно задаются системой неравенств:

а- -У

где у = {у- т - вектор выходных параметров системы, причем у = ^ (^,,хп) , а ^ (•) - извест-

ный оператор, зависящий от топологии исследуемой системы.

В качестве количественного показателя надежности принимается вероятность: Р{У^ОуУ1ф,Т]=Р

Практически единственным конструктивным методом расчета параметрической надежности (вероятности нахождения параметров системы в области допустимых значений в течение заданного времени) является метод статистического моделирования (Монте-Карло).

В общем виде алгоритм получения оценки искомой вероятности методом Монте-Карло выглядит следующим образом. Моделируется множество N реализаций случайного процесса изменения параметров системы. Для каждой реализации осуществляется проверка ее нахождения в области допустимых значений О в течение заданного времени Т. Если таких реализаций N+, то оценка искомой вероятности безотказной работы находится по формуле

N

Р

N

Оценка (4) является случайной величиной и подчиняется биноминальному закону распределению вероятностей. Она обладает желаемым свойством несмещенности, т.е. ожидаемое (асимптотическое) значение оценки Р в точности равно истинному значению вероятности Р (Т).

Объем выборки N зависит от требуемой точности оценки. Доверительный интервал для получаемой оценки вероятности зависит от l/'\/— . Следовательно, для удвоения точности нашей оценки приходится вчетверо увеличивать объем выборки. Вместе с тем, важно заметить, что объем выборки не зависит от числа внутренних параметров, а получаемые результаты не зависят от любых допущений о форме области допустимых значений параметров Ох .

Высокая вычислительная трудоемкость многовариантного анализа, лежащего в основе метода статистических испытаний и особенно стохастической оптимизации, связана с тем, что область допустимых значений внутренних параметров Ох обычно неизвестна. В этом случае для выделения реализаций,

принадлежащих множеству N+ , приходится проводить анализ исследуемой системы, т.е. вычислять значения выходных параметров у = {у- —1 и проверять выполнение условий работоспособности для значений

выходных параметров (2). Оптимизация (выбор оптимальных значений номиналов внутренних параметров) требует вычисления вероятности выполнения условий работоспособности для большого числа различных номинальных значений параметров х . Таким образом, для решения задачи ОПС необходимо проанализировать Я=NM вариантов. Здесь N - количество испытаний, необходимое для нахождения оценки стохастической целевой функции с заданной точностью методом Монте-Карло, а М - число шагов алгоритма поиска экстремума.

Представим программную среду для решения задач ОПС в виде набора взаимосвязанных программноалгоритмических модулей.

Модуль ввода описания проектируемой системы в вычислительную среду.

Модуль преобразования описания системы в математическую модель. В их основе процедуры составления, формирования уравнений, образующих описание процессов функционирования системы.

Модуль детерминированного анализа. Для выбранной структуры (топологии) и заданных значений

внутренних параметров ^Ном(х1ном’***’Л>шом) здесь происходит вычисление значений выходных параметров

системы y = {yj }m=1 , yj —Fj (#1 ,•••, xn) и проверка выполнения условий работоспособности. Этот этап, по

сути, состоит в решении систем уравнений, при этом может возникнуть необходимость выбора метода решения и параметров вычислительного алгоритма (шага интегрирования, параметров остановки, и т.д.).

Модуль статистического анализа. Он включает в себя алгоритмические и программные средства генерации случайных процессов изменения внутренних параметров X(t) и вычисления целевой функции (3) методом статистических испытаний (Монте-Карло).

Модуль оптимизации. Он включает в себя набор алгоритмических и программных средств поиска номинальных значений параметров ^Ном(х1ном’'”’Л>шом) ' доставляющих максимум целевой функции (3).

Эффективным средством преодоления вычислительной трудоемкости (временных затрат) решения задач оптимального параметрического синтеза (ОПС) может стать использование современных технологий параллельных и распределенных вычислений.

При программной реализации параллельных алгоритмов представляется целесообразным использование возможностей как современных многопроцессорных вычислительных систем, так и распределенных многомашинных комплексов, связанных локальной сетью. Реализация подобных алгоритмов на многопроцессорных машинах, работающих под управлением операционных систем, поддерживающих многопоточность, не вызывает принципиальных затруднений. В то же время, в распределенных гетерогенных средах, необходимо самостоятельно реализовать механизмы загрузки данных, синхронизации процессов и балансировки вычислительной нагрузки между компонентами комплекса. Главным критерием качества распараллеливания вычислений является сокращение общего времени решения задачи. Возможности для распараллеливания вычислений ограничиваются не только числом имеющихся процессоров, но и особенностями вычислительного алгоритма, который может оказаться принципиально последовательным. В задачах ОПС целесообразно использовать модель передачи сообщений и, так называемая, master-slave парадигма параллельного программирования. Один из процессоров назначается главным (master), он производит динамическую балансировку загрузки, рассылает задания остальным подчиненным процессорам (slave), формирует результаты. Распараллеливание базируется на декомпозиции последовательного алгоритма вычислений, а в качестве единицы параллелизма выступает задача однократного расчета модели системы (моделирования системы).

Можно предложить несколько вариантов стратегии ОПС с использованием технологии параллельных вычислений.

В основе первой из стратегий лежит идея создания параллельных методов расчета целевой функции и оптимизации.

Создание и реализация параллельного аналога метода статистических испытаний (Монте-Карло) не вызывает принципиальных затруднений. Использование параллельных вычислений в этом методе является вполне логичным, поскольку идея параллелизма - повторения некоторого типового процесса с различными наборами данных - заложена в самой структуре метода. Интуитивно понятно, что использование к независимых процессоров и распределение между ними независимых испытаний, уменьшит трудоемкость статистического моделирования почти в к раз, поскольку затраты на заключительное суммирование и осреднение результатов практически несущественны.

Дальнейшее уменьшение времени решения задачи ОПС может быть достигнуто за счет сокращения числа шагов M алгоритма поиска экстремума или распараллеливания алгоритма поиска.

Простейшим из прямых методов поиска, обладающих свойством потенциального параллелелизма, является метод сканирования.

Сущность метода заключается в том, что вся допустимая область пространства параметров разбивается на элементарные ячейки, в каждой из которых по определенному алгоритму выбирается точка: в

центре ячейки, на ребрах или вершинах. В каждой ячейке осуществляется последовательный просмотр значений целевой функции и нахождение среди них экстремального значения. Точность метода, естественно, определяется тем, насколько плотно располагаются выбранные точки в области поиска.

Основным достоинством метода сканирования является то, что при его использовании с достаточно густым расположением точек всегда гарантируется отыскание глобального экстремума. Однако для этого в данном методе требуется значительный объем вычислений, снизить который можно путем распараллеливания алгоритма.

В простейшем случае нахождение решения этих задач сводится к полному перебору элементов множе-

1~\вн

ства возможных значений номиналов внутренних параметров DH , для каждого из которых осуществляется расчет соответствующей целевой функции. Учитывая цикличность процедуры вычисления целевой функции, несложно применить параллелизм по данным.

Сформируем дискретное множество номиналов внутренних параметров

Двн г вн 0 1 10 _ -1

н = { хи : a < xt < b , xi€nomi, i = 1, n },

в каждой точке xвН которого необходимо найти значение целевой функции.

к

Множество D^H разбивается на непересекающиеся подмножества D™ =\^{D^i,

/=1

при этом каждому j-

му процессору назначается своё подмножество исходных данных. Таким образом, каждый ^-й про-

цессор осуществляет расчет целевой функции для всех элементов множества D<BlJ и находит оптимальный вектор номиналов параметров для своей подобласти. Результаты передаются главному процессору, который производит выбор оптимального вектора номиналов по всей области . Такое разбиение

всего множества поиска на непересекающиеся подмножества составляют суть блока диспетчеризации параллельного распределенного процесса.

Для симметричного вычислительного кластера, состоящего из к равных по мощности вычислительных узлов, общее число точек разбивается на равные количества для каждого из подчиненных процессов. В случае несимметричного кластера необходимо провести предварительную процедуру оценки трудоемкости типовой процедуры метода оптимизации, в качестве которой выступает однократное моделирование работы системы, проверка условий работоспособности и вычисление значений критерия оптимальности.

При этом вычислительная нагрузка делится между компонентами комплекса пропорционально их производительности.

По окончании работы программы диспетчеризации вычислительного процесса каждому вычислительному компоненту комплекса рассылаются границы его подмножества О™ j исходных данных. По окончании счета главный процессор получает результаты от подчиненных и проводит формирование окончательных

т-^вН

результатов дискретной оптимизации на всем множестве О .

Другим методом поиска, обладающим свойством потенциального параллелелизма, является метод случайного поиска.

При использовании этого метода также необходимо, прежде всего, задать область поиска в пространстве внутренних параметров В. Далее по случайному закону генерируется совокупность номинальных точек области поиска, для которых вычисляются значения целевой функции. Номинальную точку, доставляющую наибольшее значение целевой функции, выбирают в качестве оптимального решения задачи параметрического синтеза. Достоинством метода является возможность его использования для поиска глобального экстремума.

Число испытаний (шагов поиска) М, необходимое для нахождения экстремума с заданной точностью, можно оценить, исходя из следующих соображений. Пусть р - вероятность того, что при М испытаниях точка приближенного значения глобального экстремума будет определена с точностью а. Под точностью а будем понимать объем л-мерного параллелепипеда, выраженный в долях от общего объема области В. Тогда величину а можно интерпретировать как вероятность попадания каждого испытания в желаемую

подобласть. После М испытаний вероятность того, что одно из них попадет в а, будет р = 1 - (1 - а)м .

Откуда

М = ^(1 -р)\^(1 - а) .

Параллельный аналог метода случайного поиска включает генерацию выборки номинальных значений

внутренних параметров х

Мк = —

ном(Л1ном’***’Л:пном) объема М и формирование расчетных модулей. Для симметричной вычислительной сети (или кластера с однородными процессорами) каждый модуль будет содержать

М к

элементов. Здесь к - число процессоров (клиентских ЭВМ). Осуществляется рассылка расчетных модулей по вычислительным элементам. Каждый ^-й вычислительный элемент (процессор, клиент вычислительной сети) осуществляет расчет целевой функции для всех элементов своего расчетного модуля

(множества О • ) и находит оптимальный вектор номиналов параметров для своей части выборки. Результаты передаются главному процессору, который производит выбор оптимального вектора номиналов по всей выборке объема М.

Другая возможная стратегия ОПС основана на построении области допустимых значений внутренних параметров (области работоспособности) Dx.

Привлекательность этой стратегии в определенной мере связана с возможностью декомпозиции общей задачи ОПС на две подзадачи.

Первая из них состоит в построении, анализе и аппроксимации области Dx . Это задача высокой вычислительной трудоемкости, поскольку ее решение связано с необходимостью многократного вычисления значений выходных параметров системы (обращения к модулю детерминированного анализа).

Вторая подзадача включает вычисление целевой функции и нахождение оптимальных значений номиналов параметров. Получение решений в этом случае не связано с необходимостью обращения к модулю детерминированного анализа, что значительно уменьшает трудоемкость параметрического синтеза.

Таким образом, стратегия ОПС в этом случае будет состоять из двух этапов, первый из которых связан с построением области допустимых вариаций параметров Dx. К наиболее известным методам ее построения относятся метод матричных испытаний [3,4]. Его основная идея состоит в том, что диапазон возможных изменений каждого из внутренних параметров разбивается на равные интервалы, называемые квантами. В качестве представителя кванта выбирается значение параметра, лежащее в середине кванта. Можно составить матрицу несовместных ситуаций, понимая под ситуацией такое состояние исследуемой системы, когда каждый из его внутренних параметров принимает значение, соответствующее представителю определенного кванта.

Для каждого элемента матрицы несовместных ситуаций проводится моделирование системы (вычисление выходных параметров) и проверяется выполнение условий работоспособности. Множество ситуаций, соответствующих работоспособному состоянию системы, можно рассматривать как аппроксимацию области допустимых значений параметров Dx.

Достоинством метода матричных испытаний является возможность достаточно точного определения границ Dx, обнаружение разрывов внутри области и нахождение всех областей, если их больше одной. К его недостаткам относятся необходимость перебора большого количества сочетаний изменяемых параметров, что обусловливает низкое быстродействие метода, дополнительные накладные расходы на составление, хранение и расшифровку матрицы ситуаций.

Уменьшение трудоемкости нахождения области работоспособности можно обеспечить путем распараллеливания процесса матричных испытаний. Параллельный аналог метода матричных испытаний описан в работе [5].

На втором этапе осуществляется поиск оптимальных решений. При известной области работоспособности трудоемкость вычисления значений целевой функции и поиска экстремума существенно уменьшается. Теперь при проведении испытаний нет необходимости вычислять значения выходных параметров системы (обращаться к модулю детерминированного анализа).

Дальнейшее сокращение вычислительных затрат может быть достигнуто путем использования параллельных аналогов методов поисковой оптимизации, некоторые из которых были рассмотрены выше.

Таким образом, при использовании стратегии ОПС, основанной на построении областей работоспособности, решение поставленной задачи осуществляется в два этап, первый из которых можно считать подготовительным (построение области Dx), а второй - основным. Эффективность каждого из этапов обеспечивается на основе использования технологии параллельных или распределенных вычислений.

Сравнить эффективность использования рассмотренных двух стратегий ОПС довольно сложно. Каждая из них имеет свои достоинства и недостатки, причем результат сравнения будет во многом зависеть как от программной реализации используемых алгоритмов, так и от особенностей конкретных исследуемых систем. Можно только отметить, что априори первая из стратегий является потенциально более

точной, так как при реализации стратегии, основанной на построении области допустимых вариаций внутренних параметров, приходится использовать не истинную область работоспособности, а некоторую ее аппроксимацию.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ДВО РАН 0 9-!-П2-03 в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 2 «Интеллектуальные информационные технологии, математическое моделирование, системный анализ и автоматизация».

Литература

1. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. -

М.: Наука. 1992.

2. Абрамов О.В. Методы и алгоритмы параметрического синтеза стохастических систем. //Проблемы

управления, № 4, 2006. С. 3-8.

3. Васильев Б.В., Козлов Б.А., Ткаченко Л.Г. Надежность и эффективность радиоэлектронных устройств. - М.: Советское радио, 1964.

4. Смагин Ю.Е. Матричные испытания радиоэлектронных устройств с помощью ЭВМ. - М.: Энергия,

197 9.

5 Абрамов О.В., Диго Г.Б., Диго Н.Б., Катуева Я.В. Параллельные алгоритмы построения области

работоспособности. //Информатика и системы управления, № 2, 2004. С. 121-133.