Особенности обтекания воздухозаборника с острой кромкой обечайки при М

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XIV 1983

№ 1

УДК 629.7.015.3.036:533.697.2

ОСОБЕННОСТИ ОБТЕКАНИЯ ВОЗДУХОЗАБОРНИКА С ОСТРОЙ КРОМКОЙ ОБЕЧАЙКИ ПРИ М<1

В. О. Ашнфиев

Представлены результаты численного расчета безотрывного обтекания воздухозаборника с острой кромкой обечайки плоским потоком невязкого, несжимаемого газа. Решение задачи выполнено с использованием методов теории аналитических функций. Установлено существенное отличие поведения силы, приложенной к разделительной жидкой линии тока, и положения критической точки потока при изменении расхода воздуха для воздухозаборников, имеющих обечайку с заданным углом поднутрения 6.^-0 и 8 = 0.

Результаты расчета сопоставляются с результатами эксперимента.

Одно из основных требований, предъявляемых к воздухозаборникам,—малое внешнее сопротивление, которое, как известно, определяется величиной трения, наличием отрывов потока и местными сверхзвуковыми зонами.

Отрыв потока с кромки обечайки определяется положением на ее поверхности критической точки потока, которая при изменении расхода воздуха перемещается по поверхности обечайки. Если критическая точка расположена на внутренней поверхности обечайки, то отрыв потока с ее кромки возникает на внешней поверхности. Если критическая точка расположена на внешней поверхности обечайки, то отрыв потока с ее кромки возникает на внутренней поверхности.

В настоящее время принято считать, что исчезновение отрыва потока с острой кромки обечайки происходит при коэффициенте расхода воздуха /= км1Н0—1. В этом случае критическая точка должна находиться, согласно существующим представлениям, на кромке обечайки. Такая система взглядов на обтекание воздухозаборника с острой кромкой обечайки была целиком заимствована из задачи об обтекании воздухозаборника, выполненного в виде плоского канала без центрального тела с углом поднутрения обечайки 8 = 0, и перенесена без изменений на реальные воздухозаборники. Однако до настоящего времени, несмотря на наличие обширнейшего экспериментального материала, не существует надежного метода (основанного на принятой и изложенной выше

схеме обтекания), позволяющего определить сопротивление воздухозаборника с острой кромкой обечайки при М<1. Это наводит на мысль о несоответствии предложенной схемы течения и реального обтекания. Для подтверждения этого предположения воспользуемся расчетом, основанным на методах теории аналитических функций (см., например, [1, 2]).

1. Рассмотрим потенциальное безотрывное обтекание плоского воздухозаборника с тонкими стенками, изображенного на рис. 1, потоком невязкого, несжимаемого газа. Точки В, С, в и £) обозначают соответственно точку излома внешней поверхности обечайки, острую кромку обечайки, критическую точку потока и точку

©

Рис. 1

излома внутренней поверхности обечайки. Точки А и Е соответствуют бесконечно удаленным точкам течения. Пусть задана геометрия воздухозаборника (угол обечайки и ее длина). Решение задачи построим следующим образом. Рассмотрим поведение ком-

У00йг I V |

плексной функции 1= —~ \УГ е,,?’ где ? — угол межДУ- век'

тором скорости потока V и осью х в плоскости 2, и комплексного потенциала течения № на вспомогательной плоскости Ь (рис. 1)^ т. е. найдем функции ?(г) и №(£). Имея эти функции, перейти обратно в плоскость г будет нетрудно. Таким образом, решение задачи будет найдено.

Определим сначала функцию с(£). Следует заметить, что согласно общей теории три точки плоскости Ь можно выбрать произвольно. Пусть это будут точки 1в = 0, ¿о = 1, ЬА — оо. Ниже будет показано, что положение точек tc и ¿я определится геометрией воздухозаборника, а положение точки Ьс, — расходом воздуха через канал. Пусть для определенности точка Ьа расположена между точками Ьс и /д, как показано на рис. 1.

В окрестности точек В и С на поверхности воздухозаборника скорость потока неограниченно возрастает, поэтому в соответствующих точках плоскости t функция \ (/) имеет нули. В окрестности точек G и D на поверхности воздухозаборника скорость потока принимает сколь угодно малое значение, поэтому в соответствующих точках плоскости t функция 4(t) обладает полюсами. Сопоставляя углы разворота потока в окрестности указанных точек в плоскости z и t, можно выписать первые члены разложения в ряд функции !(£) в окрестности указанных точек в следующем виде [2]:

tc, £ (to) ~ , Е(*д)~ ’

где ¿ = 8/180. Воспользуемся выписанными представлениями функции %(t) в окрестности характерных точек для нахождения поведения функции ? (t) во всей вспомогательной плоскости t. Составим выражение для k(t) в виде

е<Н<4т

Нетрудно убедиться в справедливости такого представления. Действительно, выражение (1) обладает нулями и полюсами в указанных выше характерных точках. Кроме того, выписывая поведение i(t) на различных участках контура воздухозаборника, можно убедиться в том, что направление вектора скорости совпадает с контуром воздухозаборника. Например, на участке воздухозаборника ВС

tz=\t\ei0, t — \=\t—\\еы, t—tc=\t—tc\eiK,

t — tG = \ t— to \eiK.

Подставляя выписанные представления в (1), получим l(t) — \t\ \* \t-tc\

------- 77--Ti e~ > откуда следует, что угол между векто-

I t — 1 | ) \t~tG\

ром скорости потока V и осью л; в плоскости z составляет <р = = — тс& = 8. Аналогично можно рассмотреть поведение функции i(t) и на других участках воздухозаборника. Следует заметить, что при t —» оо функция 4(t) стремится к единице.

Найдем теперь поведение комплексного потенциала W в плоскости t. Используя интеграл Кристофеля—Шварца, функцию W (t) можно представить в виде

^

где С: и С2 — неизвестные постоянные.

Проинтегрировав (2), найдем W (t):

W

Для определения постоянной С, совершим обход в плоскости t точки te по окружности бесконечно малого радиуса с помощью выражения (3). Полученное при этом приращение функции W составит AU^ = Cj ¿тс (¿g— to). В результате обхода образа этой же точки в плоскости потенциала функция W получит приращение Д W — IVeHe, где Ve — скорость потока в канале (в точке Е), Не —

: t~tc t — tr,

(О

высота канала (в точке Е). Приравняв полученные приращения ДИ^,, найдем постоянную С{.

-П=-ГГ - (4>

Постоянную С2 в (3) нет необходимости определять, так как для окончательного решения требуется производная с1УР1(И, выражение которой с учетом (4) имеет вид

<и

^ене

*е ~ * ~~ *е

Перейти в физическую плоскость г, имея функции \{£) и йУУ/йЬ [см. (1) и (5)], можно следующим образом:

Л

•5(0 — Ли

' <и

Выражение для коэффициента давления -—— имеет вид

Яоо------

СР =1

16.

Имея соотношения (6) и (7) с учетом (1) и (5), можно утверждать, что общее решение задачи найдено в параметрическом виде. Это решение зависит от положения трех точек в плоскости ¿(¿с, ¿я и ¿а). Для их определения составим систему уравнений. Зададим длину обечайки на участке ВС (Ьвс) и £>С (¿ос). По условию задачи Ьвс = Ьос. Подставим в формулу (6) выражения (1) и (5) и проинтегрируем полученное выражение. Тогда система уравнений для определения положения точек ¿с, ¿е и ta, записанных в виде интегральных соотношений* примет следующий вид:

гв-1 \*

I

*В = О

1 )

(И —

= ¿вс >

Ур _

-ТГ=УВ.

00

Следует заметить, что в первые два уравнения системы (8) входят только и íc, т. е. первые два уравнения могут быть решены независимо от третьего. Напомним, что первые два уравнения определяют геометрию воздухозаборника, а третье—расход через канал. В выписанной системе уравнений (8) содержатся все возможные случаи обтекания воздухозаборника. В частности, в этой системе уравнений содержится такой важный частный случай, когда критическая точка б располагается на кромке обечайки С.

В этом случае ¿0 = ^:, и третье уравнение системы (8) перепишется в виде

^=Н4г- • <9>

‘я

Это выражение означает, что для заданной геометрии воздухозаборника существует единственный расход, определяемый уравнением (9), при котором критическая точка располагается на кромке обечайки. Найдем направление вектора скорости потока на кромке обечайки, если расход через канал определяется уравнением (9). Для этого воспользуемся видом функции (1). Положим to — tc и заметим, что t=\t\ei0, t — 1 = 11 — 11 eiK. Тогда (1) перепишется I \t\ \k

в виде $(0 = | J e~,Kk. Отсюда следует, что угол между век-

тором скорости потока V и осью л: на кромке обечайки при условии (9) составляет ср = — 7г& = 3. Это означает, что жидкая разделительная линия тока набегает на обечайку под нулевым углом атаки по отношению к обечайке. При этом расходе будут отсутствовать срывы потока с кромки обечайки. Отступление от этого расхода приведет к появлению отрыва потока и, как следствие, к ухудшению характеристик воздухозаборника.

Решение первых двух уравнений выписанной системы проводилось на ЭВМ методом последовательных приближений. Длина обечайки менялась в пределах L —LBc = ¿/>с = 0 —1, угол обечайки изменялся в пределах § = 0-^40°. Начальное приближение для решения указанной системы определялось путем нескольких' контрольных расчетов. Для расчета следующего варианта в качестве начального приближения выбиралось предыдущее решение. Решение считалось найденным, если погрешность в определении положения искомых двух точек (tе и tc) составляла 0,0001. Задавая расход воздуха через канал воздухозаборника (скорость Ve), из третьего уравнения системы (8) нетрудно найти положение точки tQ:

to — tB—[ts — tc) j' ^ — 1 ) ^E'

Представляет интерес знание положения критической точки G(ZKр) при различных расходах воздуха через канал. Определить ее положение относительно кромки обечайки можно следующим образом [см. (6), (1) и (5)]:

;г.

*кр 1 / tE-\ у 1 р / t yt-tc

<10>

кр Ир к 1 tp *Е LC •> \t — 1 j 1 LE

I tc \ У

Силу, приложенную к разделительной жидкой линии тока АС{СХЖ) с учетом движения критической точки G, также нетрудно определить. Для этого можно воспользоваться тем свойством, что в рамках решаемой задачи сила сопротивления, приложенная к линии тока А — G — А, разделяющей течение на внутреннее

и внешнее, равна нулю (так как рассматривается безотрывное, не-

вязкое течение несжимаемого газа). Следовательно, для определения СхЖ необходимо проинтегрировать распределение давления ср [см. (7)] от критической точки G до точки В. Результат .вычисления хкр = 2Kp cos 3 и Схж (в единицах Не) при L— 1 представлен

на рис. 2. Там же для сравнения нанесена кривая Схж для воздухозаборника в виде плоского канала без центрального тела (8 = 0). Из представленных графиков видно, что поведение Схж для случая 8количественно и качественно отличается от случая 8 = 0. Прежде всего следует отметить тот факт, что СхЖ может быть величиной отрицательной, причем обращение Схж в ноль не соответствует расположению критической точки на кромке обе-

чайки. Второй раз Схж обращается в ноль при больших расходах, когда критическая точка й переходит на участок воздухозаборника АВ (на рис. 2 не показано). Числовые значения расходов, при которых СхЖ = 0, следующие:

УЕ (8= 10°) = 5,457, 1/я(8 = 20°) = 4,942, (о = 30°) = 4,296.

Расчет Схж показывает, что увеличение угла наклона обечайки при неизменной ее длине Ь приводит к уменьшению Схж. Объяснить это можно следующим образом. Сопротивление по жидкой разделительной линии тока Схж определяется толщиной струйки воздуха, перепускаемого перед входом в воздухозаборник. Толщина этой струйки воздуха определяется как разность высоты расположения критической точки О и Если обечайку с заданной длиной Ь отклонить на больший угол 8 при неизменном расходе воздуха (постоянном кт), то толщина струйки^ воздуха, перепускаемого перед входом в воздухозаборник, уменьшится. Вследствие этого должна уменьшиться сила СхЖ.

Изменение расхода воздуха от Уя = 0 до со приводит к перемещению критической точки G по поверхности воздухозаборника EDCBA от точки Е до точки А. Следует заметить, что при положении критической точки вблизи острой кромки обечайки (zKP~0) изменение расхода воздуха приводит к очень незначительному ее смещению.

На рис. 3 приведено семейство кривых Z = const, 8 = const при условии (9). Из представленного графика видно, что критическая точка G располагается на кромке обечайки С, когда VE<^1. Коэф-

фициент расхода воздуха J = hxIH0 связан с физическим расходом

— VF

Ve соотношением /=----------—--- . Можно показать, что при выпол-

1 — L sin 8

нении условия (9) всегда имеет место соотношение /<М- Это означает, что в данном случае высота струйки тока на бесконечности А«, меньше, чем высота входа в воздухозаборник Н0. Сколь угодно малое увеличение расхода [отступление от соотношения (9)] приведет к тому, что критическая точка О переместится на верхнюю поверхность обечайки и будет располагаться вблизи ее кромки. Разделительная жидкая линия тока при этом будет набегать за обечайку сверху. Так как расход при этом практически не изменится, то разделительная жидкая линия тока будет иметь точку перегиба (см. рис. Г). В этом состоит еще одна особенность обтекания рассматриваемого воздухозаборника.

2. Указанные особенности обтекания воздухозаборника с острой Кромкой обечайки должны следующим образом проявляться при измерении его силы внешнего сопротивления, приложенной к контуру А — G — А.

Когда расход воздуха становится больше расхода, определяемого соотношением (9), критическая точка перемещается на внешнюю поверхность обечайки. В этом случае внешнее сопротивление воздухозаборника определяется только величиной трения (если отсутствуют отрывы потока и местные сверхзвуковые зоны) и при дальнейшем увеличении расхода должно оставаться постоянной величиной. Когда расход воздуха становится меньше расхода, определяемого соотношением (9), критическая точка перемещается на

внутреннюю поверхность обечайки. В этом случае должен появиться отрыв потока с ее острой кромки и, как следствие, прирост сопротивления. При дальнейшем уменьшении расхода сопротивление будет определяться поведением отрывной зоны. При этом следует напомнить, что критическая точка, находясь вблизи острой кромки обечайки, при изменении расхода смещается очень медленно' (см. рис. 2). Поэтому естественно ожидать в этом случае медленного роста сопротивления. Существенного роста сопротивления следует ожидать тогда, когда критическая точка значительно смещается в глубь канала.

Проверка изложенных выше качественных соображений осуществлялась на модели осесимметричного воздухозаборника без центрального ‘тела в диапазоне чисел М = 0,6ч-1,3. На рис. 4

1\ *

\

\ \ \

\ к Чч

\ \\

\ X

\ X

N ч . %г

»V 'V

д ч ^ч *Чх. *

ч « р" "1,0

"Ч ЙЧ*— -*(0,3

?А 1

П -и,0 ,(/,/, и,О 1 1 1 * •V

0,1 0,1 0,1 0,1 0,0 0,0В

0,3 0,4- 0,5 0,6 0,1

0,3 - 1,0 / рИС- 4

представлен результат измерения силы внешнего сопротивления модели воздухозаборника, имеющего диаметр по входу 70 мм и диаметр миделя 100 мм. Внутренний угол обечайки составлял 13°, а внешний угол—17,5°.

Из представленных графиков следует, что на испытанном воздухозаборнике рост аэродинамического сопротивления за счет возникновения местных сверхзвуковых зон начинается при М>0,8. При М<0,8 сопротивление воздухозаборника не зависит от числа М, причем при />0,8 сопротивление остается постоянным и по расчетным оценкам соответствует силе трения.

\

Согласно приведенным выше качественным рассуждениям можно, предположить, что при /^0,8 критическая точка должна находиться на кромке обечайки. При этом интересно отметить, что согласно расчетной оценке, выполненной для плоского воздухозаборника с такой же геометрией обечайки, коэффициент расхода воздуха, при котором критическая точка располагается на кромке обечайки, составляет /=0,82.

При уменьшении /<0,8 критическая точка перемещается на внутреннюю поверхность обечайки и, как следствие, наблюдается прирост сопротивления. Такое поведение экспериментальной кривой соответствует изложенным рассуждениям.

Следует отметить, что с увеличением числа М сопротивление перестает уменьшаться при большем расходе (например, при М=0,9 /=0,85), а при переходе к числам М>1 стабилизации сопротивления не наблюдается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Н. Е. Собрание сочинений. М.—Л., ГИТТЛ, т. 4, 1949.

2. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М., „Наука“, 1961.

Рукопись поступила 181VI ¡981 г.