Проведение полного факторного эксперимента для характеристик модели квантового вычислителя

УДК 004.032

В.Ф. Гузик, С.М. Гушанский, В.С. Потапов

ПРОВЕДЕНИЕ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ КВАНТОВОГО ВЫЧИСЛИТЕЛЯ*

Выделены основные характеристики существующих моделей квантовых вычислителей, необходимые для их успешной работы. Также проведен и подробно описан полный факторный эксперимент для характеристик моделей с применением метода дробных реплик. В рамках эксперимента составлены матрица эксперимента, математическая модель и соответствующее им уравнение линейной регрессии. Проведена обработка экспериментальных данных с помощью регрессионного анализа, F-критерия Фишера, анализа случайных ошибок параметров a, b и коэффициента корреляции rxy, t-статистики Стьюдента и критерия Дарби-на-Уотсона, вследствие чего с помощью линейной парной корреляции rxy и детерминации R доказана достаточно высокая для 14-факторного эксперимента связность характеристик моделей квантовых вычислителей. Также проанализированы частные парные связи между характеристиками. Развитие моделирования квантовых вычислителей в квантовом мире имеет большое значение в разработке квантовых компьютеров, так как без моделирования квантового вычислителя создание прототипа модели становиться затруднительным. Рассмотрим также ряд других, не менее важных причин актуальности тематики: - разработанная квантовая модель позволит наглядно увидеть сильные и слабые стороны модели, а также усовершенствовать ее в будущее; - пока не создано квантового компьютера, единственная возможность практического изучения квантового компьютинга - моделирование квантового компьютера на классическом или использование различных элементов физики и химии в не характерных для них состояниях и направления; - в случае создания квантового компьютера моделирование его прототипа станет наглядным пособием для понимания основных процессов и явлений, благодаря которым стало возможным его создание; - разработанная квантовая модель и ее доказанные преимущества позволят легче привлечь инвестиции в физическое создание и совершенствование квантового компьютера.

Моделирование; квантовый компьютинг; модель; модуль; кубит; вычислитель; модель квантового вычислителя; открытые системы.

V.P. Guzik, S.M. Gushansky, V.S. Potapov

PERFORMANCE A FULL FACTORIAL EXPERIMENT FOR THE CHARACTERISTICS MODELS OF QUANTUM CALCULATORS

This article has highlighted the main features of the existing models of quantum calculators necessary for their successful work. Was also carried out and described in detail the full factorial experiment for the characteristics of the models using the method offractional replicas. As part of the experiment was the matrix of the experiment, the mathematical model with corresponding linear regression equation. Were treated with the experimental data by regression analysis, F-Fisher criterion, analysis of random error parameters a, b and correlation coefficient rxy, T-Student statistical criteria and the Durbin-Watson, whereby steam using linear correlation determination rxy and R2 proved high enough for a 14-factorial experiment connectivity characteristics of quantum models of calculators. We also analyzed the relationship between private twin characteristics. Development of the simulation of quantum calculators in the quantum world is a great importance in the development of quantum computers, because without quantum computer simulation prototyping model becomes difficult. We also consider a number of other equally important reasons for urgency topics: - developed quantum model will clearly see the strengths and weaknesses of the model, as well as to improve it in the future; - has not yet created a quantum computer, the only possibility of practical study of quantum computing - simulation of the quantum computer on a classical or use different elements ofphysics and chemistry in not typical for these conditions and

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № НК 15-01-01270\15. 46

directions; - in the case of a quantum computer simulation of its prototype will be a visual aid for understanding the basic processes and phenomena that have made it possible to create it; - developed quantum model and its proven benefits allow easier to attract investment in the physical creation and improvement of a quantum computer.

Modeling; quantum computing; model; module; qubit; calculator; model of quantum computer; open systems.

Введение. Планирование эксперимента [1] - комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента - достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов. Данная работа будет посвящена проведению полного факторного эксперимента моделей квантовых вычислителей, анализу их адекватности с точки зрения наличия у них определенных параметров. Также оценим связность некоторых характеристик этих моделей. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) [2] - это объединение воедино ряда измерений, которые подчиняются следующим условиям:

♦ число измерений составляет 2", где n - количество факторов, 2 - число уровней;

♦ каждый фактор принимает только два значения - верхнее и нижнее;

♦ в процессе измерения верхние и нижние значения факторов комбинируются во всех возможных сочетаниях.

Математическая модель [3] получается в результате аппроксимации этой функции какой-либо другой функцией, например, линейной

Y = ao + Q\*x\+ a2*X2+ a„*x„ ' где ai, a2,...,an - искомые параметры модели.

С помощью полученной ранее математической модели становится возможным оценить адекватность [4] самой модели квантового вычислителя [5].

Матрица эксперимента

Выделим 14 важных факторов (характеристик), влияющих на успешную работу модели квантового вычислителя. Среди описанных характеристик большое число «двоичных», то есть таких, где нет средних значений. Это происходит по причине наличия или отсутствия у определенной модели той или иной характеристики. Введем следующие обозначения: 0 - отсутствие характеристики, 1 - наличие.

Таблица 1

Факторы эксперимента

№ Факторы Значения

1 Исходное количество гейтов [6] 6-20

2 Модульная структура [7]

3 Многопоточное моделирование

4 Реализация в ОС Windows [8]

5 Реализация в ОС Linux [9]

6 Ограничение числа кубит [10] 2-32

7 Кроссплатформенность [11]

8 Реализация физических процессов

9 Динамическое добавление кубитов

10 Открытая архитектура [12]

11 Наличие квантовой схемы [13]

12 Задание входных значений кубит

13 Отображение текущих результатов

14 Отображение времени окончания расчетов

В таблице выше описаны не только факторы, но и их пограничные значения.

Рис. 1. Расположение экспериментальных точек в двухмерном факторном

пространстве

Тогда несложно написать все сочетания уровней в эксперименте с этими факторами. В планировании эксперимента сложившейся практикой является использование кодированных значений факторов: +1 и -1 (часто для простоты записи единицы опускают). Параметры эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки - это опыты, а столбцы - значения факторов. Полный факторный эксперимент полностью определяют коэффициенты [14] для линейного уравнения [15]

п

7=хь х,

'=° , при п<т.

В такой модели необходимо определить п + 1 искомых коэффициентов. Основополагающей проблемой ПФЭ является экспоненциальный рост числа экспериментов, что кардинально увеличивает масштабы всех дальнейших вычислений. В этом случае рассчитывается планирование эксперимента, который представляет собой «часть» плана ПФЭ. Такие планы называют дробными репликами [16] ПФЭ. Все правила расчетов эксперимента и требования к столбцам матрицы планирования должны соблюдаться, т.е.

п п 2 п

' ' х, х у = °, X х / ^ ^^ X! 0

!, у=1 !, у=1 ¡=1

Для обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условными обозначением 2'р. Дробные реплики особенно удобны при большом числе факторов (п > 5), так как при этом коэффициенты при факторах Ь1 - Ьп смешиваются при тройных и более высоких взаимодействиях, влияние которых существенно слабее, чем при двойных. В матрице эксперимента столбцы представляют собой значения факторов. Для упрощения матрицы будем считать 1 за 100.

Таблица 2

Матрица эксперимента

1UU

32

А9 1

20

1UU

№ опыта X3 X4 X6 X7 Xs Xp X10 Xn X12 X13 X14

1 20 1 0 1 1 2 0 0 1 0 0 1 1 0

2 6 1 0 1 0 32 0 1 1 0 1 0 0 1

3 20 0 0 1 0 32 1 0 1 0 0 1 0 1

Окончание табл. 2

4 6 0 0 1 1 2 1 1 1 0 0 1 0 1

5 20 1 1 1 0 32 0 0 0 0 0 1 1 0

6 6 1 1 1 0 32 0 1 0 0 1 1 0 1

7 20 0 1 1 1 2 1 0 0 0 0 0 1

8 6 0 1 1 0 32 1 1 0 0 0 1 0 1

9 20 1 0 0 0 32 0 0 1 1 0 1 1

10 6 1 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 0 1

11 20 0 0 0 0 32 1 0 1 1 0 1 0 1

12 6 0 0 0 0 32 1 1 1 1 0 0 1

13 20 1 1 0 1 2 0 0 0 1 0 1 1

14 6 1 1 0 0 32 0 1 0 1 1 1 0 1

15 20 0 1 0 0 32 1 0 0 1 0 1 0 1

16 6 0 1 0 1 2 1 1 0 1 0 1 0 1

Полагая, что линейная модель процесса имеет вид:

* * * *

1=00+0! х1+а2 х2+...+а13 х13+а14 х14. Построив матрицу планирования осуществляют эксперимент. Получив экспериментальные данные рассчитывают значения коэффициентов регрессии. Значение свободного члена (а0) берут как среднее арифметическое всех значений параметра оптимизации в матрице:

N

Е х]

а -= 48,3125 >

а» N

где X- - значения параметра оптимизации в--м опыте; N - число опытов в матрице. Линейные коэффициенты регрессии рассчитывают по формуле

N

Е Х]*У,,]

где Г- - кодированное значение фактора г-го в--м опыте.

Таблица 3 Линейные коэффициенты регрессии

г 1 2 3 4 5 6

X 6.125 50 50 50 37.5 18.625

У, 75 133 152 155 55 116

г 7 8 9 10 11 12 13 14

X, 50 50 50 50 25 81.2 5 25 87

Уг 172 93 125 130 42 184 95 176

Таким образом, линейная модель имеет вид

¥=48,3125+б,125*х1+50*х2+50*х3+50*х4+37,5*х5+18,625*х6+ +50 х7+50 х8+50 х9+50 х10+25 х11+81,25 х12+25 х13+87 х14.

1. Составим таблицу вспомогательных величин:

а

N

Таблица 4

Коэффициенты уравнения регрессии

i Yi X* Yi Xi2 Yi2

1 6.125 75 459.375 37.5156 5625

2 50 133 6650 2500 17689

3 50 152 7600 2500 23104

4 50 155 7750 2500 24025

5 37.5 55 2062.5 1406.25 3025

6 18.625 116 2160.5 346.8906 13456

7 50 172 8600 2500 29584

8 50 93 4650 2500 8649

9 50 125 6250 2500 15625

10 50 130 6500 2500 16900

11 25 42 1050 625 1764

12 81.25 184 14950 6601.5625 33856

13 25 95 2375 625 9025

14 87 176 15312 7569 30976

Е 630.5 1703 86369.375 34711.2188 233303

Вычислим коэффициенты и уравнения линейной регрессии по известным формулам:

XX,*Xу,-п*XX,*У1 630,5*1703-14*86369,375 , С„1С

а =---1 =-и 1,5315,

(Хх О' - П * Хх2 630,5*630,5-14*34711,2188

, X X* X х-*У, "X х' * X yi 630,5* 86369,375 - 34711,2188 * 1703

Ь =--- =-и 52,6686 .

(Е-Х ') п*Их2 630,5*630,5-14*34711,2188

Итак, искомое уравнение линейной регрессии [17] имеет вид:

у = 1,5315* х + 52,6686.

2. Сделаем общий чертёж диаграммы рассеяния [18] и графика уравнения регрессии (рис. 2).

Рис. 2. Диаграммы рассеяния. График уравнения регрессии

Постановка задачи регрессионного анализа. Регрессионный анализ [19] -метод статистического изучения зависимости одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную. С помощью регрессионного анализа определим степени детерминированности зависимой переменной, предскажем значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых) и определим вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой. Построим уравнение регрессии и оценим надежность его коэффициентов с помощью коэффициента частной корреляции. Вычислим коэффициенты линейной парной корреляции гху [20] и детерминации Я2:

п* 2 х,*у,-2 х,* 2 у,

ху

¡п* 2 х2 - (2 х/ *^п* 2 у, - (2 у,)7 14* 86369,375 - 630,5* 1703

л/14 * 34711,2188 - 630,5 * 630,5 *л/14* 233303 -1703* 1703

0,7528

следовательно, Я2= (гху)2 = 0,5667, следовательно, зависимость (связь) между переменными весьма тесная, если брать в расчет большое количество факторов и их функциональная разнородность. Для оценки значимости параметров регрессии и корреляции сначала:

_ .2 Х,_ 630,5

х:

- = 45,0357;

- найдём х среднии: п I4

- составим таблицу вспомогательных величин.

Таблица вспомогательных величин

Таблица 5

1 Х1 У1 У' Х1 - X' е1 А1 Д£1

1 6.125 75 62.0493 -38.9107 12.9507 0.1727 -

2 50 133 129.2459 4.9643 3.7541 0.0282 -9.1966

3 50 152 129.2459 4.9643 22.7541 0.1497 19

4 50 155 129.2459 4.9643 25.7541 0.1662 3

5 37.5 55 110.1016 -7.5357 -55.1016 1.0018 -80.8557

6 18.625 116 81.1936 -26.4107 34.8064 0.3001 89.9079

7 50 172 129.2459 4.9643 42.7541 0.2486 7.9477

8 50 93 129.2459 4.9643 -36.2459 0.3897 -79

9 50 125 129.2459 4.9643 -4.2459 0.034 32

10 50 130 129.2459 4.9643 0.7541 0.0058 5

11 25 42 90.9572 -20.0357 -48.9572 1.1656 -49.7113

12 81.25 184 177.1067 36.2143 6.8933 0.0375 55.8505

13 25 95 90.9572 -20.0357 4.0428 0.0426 -2.8505

14 87 176 185.9131 41.9643 -9.9131 0.0563 -13.9559

Е — — — — — 3.7987 —

3. ^-критерии Фишера [21]:

- фактический

Г

Г ху ж

факт л 2

1 - V

(п-2) = °,5667 (14-2) = 15,692; 1 - 0,5667

2

ху

- критический (табличный) Етабл = 4,7472, так как к1 = 1, к2 = п-2 = 12 и а = 0,05. 4. Случайные ошибки параметров а,Ь и коэффициента корреляции гху:

ma

Z

Г У/ - J J

11329,7199 6316,2009 * 12

i 0,3866 ,

ЕГхГх; *

^(yj - J^ Z Х'2

i 19,2514,

(n - 2 )*n* ^

m„

1 -j

xy

= 0,19.

1гху V п - 2

5. /-статистики Стьюдента [22]:

- табличная = 2,1788 так как ё/= п-2 = 12 и а = 0,05

- фактические

. = _±_ и 3,9613, и = — и 2,7358, < = -ГУ,

* а 1Ь I гху

Ша ть у Шгху

6. Критерии Дарбина-Уотсона [23]:

3,9613

d =

Z

Zsf

28222,2109 11329,7199 '

2,491 •

Теперь рассмотрим несколько примеров прямого взаимодействия/влияния двух факторов. Такой подход был рассмотрен ранее [24] и показал достаточно высокое взаимное влияние одного фактора (характеристики МКВ) на другой. Опишем еще несколько подобных комбинаций. Например, проанализируем силу взаимосвязи факторов номер 6 и 8 (ограничение по количеству кубит и реализация физических процессов [25]), составим таблицу вспомогательных величин и вычислим коэффициенты линейной парной корреляции и детерминации:

Таблица 6

Таблица линейных коэффициентов регрессии и вспомогательных величин

i Xi Yi Xi» Yi Xi2 y2

1 18.625 116 2160.5 346.8906 13456

2 50 93 4650 2500 8649

Е 68.625 209 6810.5 2846.8906 22105

3* 6810,5 - 68,625* 209

г = .—, -и 0,6539.

ху д/3 * 2846,8906 - 68,625 * 68,625 * V3 * 22105 - 29 * 29

следовательно, Я2 = 0,4275, следовательно, зависимость (связь) между переменными, что и следует из функциональной направленности этих двух характеристик МКВ.

Теперь рассмотрим другой пример. Пойдем от обратного и выберем изначально две сильно взаимосвязанные между собой характеристики Х4 и Х7 и проверим верен ли описанный ранее эксперимент. Ожидается очень тесная взаимосвязь Я2 принадлежит промежутку (0,8; 1).

Таблица 7

Таблица линейных коэффициентов регрессии и вспомогательных величин

i X Yi X» Yi Xi2 y2

1 50 155 7750 2500 24025

2 50 172 8600 2500 29584

Е 100 327 16350 5000 53609

2

2

2

2

2

3*16350-100*327

i 0,996

^ у/3*5000-100* 100 *л/3*53609-327*327

следовательно, R2 = 0,996.

Заключение. Были рассмотрены характеристики существующих моделей квантовых вычислителей. Также был проведен полный факторный эксперимент с использованием дробных реплик, составлены матрица эксперимента и математическая модель. Была проведена обработка экспериментальных данных с помощью регрессионного анализа, F-критерия Фишера, анализа случайных ошибок параметров a, b и коэффициента корреляции rxy, /-статистики Стьюдента и критерия Дарбина-Уотсона, вследствие чего было с помощью линейной парной корреляции rxy и детерминации R2 доказана достаточно высокая для 14-факторного эксперимента связность характеристик моделей квантовых вычислителей. Были также проанализированы частные парные связи между характеристиками с целью выяснения их степени связности. Расчетным путем было вычислено R2 = (rxy)2 = 0,5667, следовательно, зависимость (связь) между переменными весьма тесная, если брать в расчет большое количество факторов и их функциональная разнородность.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Планирование эксперимента // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Планирование эксперимента (дата обращения: 13.03.2015).

2. Полный факторный эксперимент // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Полный факторный эксперимент (дата обращения: 13.03.2015).

3. Mathematical model // URL: http://www.sciencedaily.com/ articles/m/mathematical_ mod-el.htm (дата обращения: 13.03.2015).

4. Адекватность модели // URL: http://samlib.rU/w/walxd_w_w/adekwatnostxmodeli.shtml (Дата обращения: 13.03.2015).

5. Models of Quantum Computation // URL: http://tph.tuwien.ac.at/~oemer/doc/quprog/ node9.html (дата обращения: 13.03.2015).

6. Quantumgate // URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_gate (дата обращения: 13.03.2015).

7. Модульная структура // URL: http://www.ngpedia.ru/id490497p1.html (дата обращения: 13.03.2015).

8. Windows // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Windows (дата обращения: 13.03.2015).

9. What is linux // URL: http://www.linuxfoundation.org/what-is-linux (дата обращения: 13.03.2015).

10. Qubit // URL: http://whatis.techtarget.com/definition/qubit (дата обращения: 13.03.2015).

11. Cross-platform // URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Cross-platform (дата обращения: 13.03.2015).

12. Open architecture // URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Open_architecture (дата обращения: 13.03.2015).

13. Quantumcircuit // URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_circuit (дата обращения: 13.03.2015).

14. Основы линейной регрессии // URL: http://www.statistica.ru/theory/osnovy-lineynoy-regressii/ (дата обращения: 13.03.2015).

15. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1965. - 283 с.

16. Хамханов К.М. Основы планирования эксперимента. Методическое пособие. - ВСГТУ, 2001. - С. 23-25.

17. Уравнение регрессии // URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/socio/4355/yPABHEH^ (дата обращения: 13.03.2015).

18. Диаграмма рассеяния // URL: https://ra.wikipedia.org/wiki/Диаграмма_рассеяния (дата обращения: 13.03.2015).

19. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. - М.: Финансы и статисти-ка,1986. - 106 с.

20. Пак Т.В., Еремеева Я.И. Эконометрика. Учебное пособие. - Владивосток: Изд-во Даль-невост. ун-та, 2009. - 70 с.

21. Fisher's linear discriminant // URL: http://compbio.soe.ucsc.edu/ genex/genexTR2html/ node12.html (дата обращения: 13.03.2015).

22. T-Критерий Стьюдента // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/T-Критерий_Стьюдента (date of access: 03.13.2015).

23. Durbin-Watson statistic // URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Durbin-Watson_statistic (дата обращения: 13.03.2015).

24. Гузик В.Ф., Гушанский С.М., Потапов В.С. Планирование эксперимента по нахождению оптимальной модели квантового вычислителя // Актуальные вопросы технических наук в современных условиях: сборник статей Международной научно-практической конференции (14 января 2015 г. 2014 г., г. Санкт-Петербург). - С. 49-53.

25. Quantum process // URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_process (дата обращения: 13.03.2015).

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор А.М. Белевцев.

Гузик Вячеслав Филиппович - Южный федеральный университет; е-mail: vfguzik@sfedu.ru; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 88634371550; кафедра вычислительной техники; зав. кафедрой; д.т.н.; профессор.

Гушанский Сергей Михайлович - e-mail: kron@pbox.ttn.ru; кафедра вычислительной техники; к.т. н.; доцент.

Потапов Виктор Сергеевич - e-mail: vitya-potapov@rambler.ru; кафедра вычислительной техники; магистрант.

Guzik Vyacheslav Filippovich - Southern Federal University; е-mail: vfguzik@sfedu.ru; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634371550; the department of computer engineering; head of department; dr. of eng. sc.; professor.

Gushansky Sergei Mikhailovich - e-mail: kron@pbox.ttn.ru; the department of computer engineering; cand. of eng. sc.; associate professor.

Potapov Victor Sergeevich - e-mail: vitya-potapov@rambler.ru; the department of computer engineering; undergraduate.

УДК 004.42

Е.Р. Мунтян, М.Ю. Поленов, А.И. Костюк

О ПОДХОДЕ К МОДЕРНИЗАЦИИ ПРОГРАММНОЙ СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ*

Рассмотрен реализованный подход по модернизации программной системы поддержки управленческих решений при организации учебного процесса в вузах. Данная система и ее дополнительные компоненты разработаны на кафедре вычислительной техники Инженерно-технологической академии Южного федерального университета (ЮФУ). Разработанная ранее система позволяет автоматизировать процесс генерации индивидуальной учебной нагрузки, представленной в ХМЬ-формате, которая может быть далее преобразована в файл Ехсе1-формата на основе списка профессорско-преподавательского состава, таблицы учебной нагрузки кафедры и индивидуальной нагрузки преподавателей. Модернизация системы была выполнена за счет добавления модуля «Материалы к расписанию», который позволяет не только автоматизировать генерацию бланка индивидуальной учебной нагрузки, но и

*Работа поддержана Минобрнауки РФ в рамках реализации базовой части госзадания 2014/174 на выполнение НИР (проект № 2336).