О влиянии вращения на вибрационную конвекцию в плоском слое

Конвективные течения..., 2003

О ВЛИЯНИИ ВРАЩЕНИЯ НА ВИБРАЦИОННУЮ КОНВЕКЦИЮ В ПЛОСКОМ СЛОЕ

В.Г. Козлов

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, Королева, 1

Теоретически изучается устойчивость квазиравновесия в горизонтальном плоском слое с изотермическими границами разной температуры, совершающем круговые вибрации и одновременное вращение вокруг вертикальной оси. Рассматривается случай высокочастотных вибраций и сравнительно медленного вращения. Показано, что вращение оказывает на виброконвективную устойчивость сильное стабилизирующее действие, полностью аналогичное известному из гравитационной конвекции.

Задача о тепловой конвекции во вращающихся системах является актуальной с точки зрения различных практических, например, геофизических приложений. В посвященных этому вопросу работах рассматриваются задачи, когда во вращающейся системе силовое поле остается неизменным (см. [1, 2]). Классическим примером является вращение полости вокруг вертикальной оси. До сих пор слабо изученным остается случай, когда вращение полости сопровождается осцилляциями силового поля в системе отсчета полости, в то время как последнее при неоднородности плотности жидкости приводит к нетривиальным нелинейным явлениям - вибрационной тепловой конвекции. Такое возможно, например, при одновременном вибрационном воздействии и вращении. Другим примером является вращение полости с неизотермической жидкостью в поле силы тяжести вокруг не вертикальной, а, например, горизонтальной оси [3]. При этом изменение силового поля в системе отсчета полости происходит с частотой вращения, а роль осциллирующей в системе отсчета полости силы играет статическая (в лабораторной системе отсчета) сила тяжести. В равномерно вращающейся вокруг

© Козлов В.Г., 2003

горизонтальной оси полости с неизотермической жидкостью в [4, 5] экспериментально обнаружено возбуждение осредненной тепловой конвекции.

Рис. 1. Постановка задачи

В настоящей работе теоретически исследуется возбуждение тепловой вибрационной конвекции в горизонтальном плоском слое, совершающем круговые поступательные вибрации при одновременном вращении вокруг вертикальной оси. В отличие от осредненной тепловой конвекции, возбуждаемой круговыми поступательными вибрациями (вращающимся силовым полем) [6], в рассматриваемой задаче важную роль играет сила Кориолиса. Теоретическое описание дается на основании уравнений вибрационной тепловой конвекции во вращающихся полостях [7].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть полость вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси п и одновременно совершает высокочастотные круговые вибрации в горизонтальной плоскости (рис. 1). Введем связанную с полостью систему координат с осью г , совпадающей с осью вращения. В выбранной неинерциальной системе отсчета на жидкость действуют сила тяжести (вектор ускорения свободного падения g) и инерционное силовое поле

gv = bWv (cos Wv t i + sin Wv t j), равномерно вращающееся в плоскости xy .

Здесь Ь и Wv - амплитуда и циклическая частота круговых вибраций.

Рассмотрим случай высоких частот вибраций Wv h11 v >> 1 (h -характерный размер полости) и низкой по сравнению с частотой вибраций частотой вращения Wr << Wv. При выполнении последнего условия сила Кориолиса не оказывает влияния на колебания неизотермической жидкости, вызываемые вращающимся силовым полем, и уравнения вибрационной тепловой конвекции при вращении [7] принимают сравнительно простой вид:

Эv 1

----I--(vV)v - Rv(w1i + w 2j)VT = -Vp + Av + RaTk + 2w(v xk) ,

Эt Pr

ЭT

Pr — + vVT = AT ; divv = 0; divw1 = 0; divw2 = 0;

Э^ 1 2

rot w1 =VT x i; rot w 2 =VT x j.

Уравнения записаны в безразмерной форме в пренебрежении центробежными силами. Помимо давления p , температуры T и вектора осредненной скорости v в уравнениях присутствуют дополнительные векторные переменные w1 и w 2, которые характеризуют пульсации скорости, вызванные в неизотермической жидкости вращающимся силовым полем. В условиях сделанных приближений система (1.1), за исключением дополнительного члена, характеризующего действие силы Кориолиса, совпадает с уравнениями вибрационной тепловой конвекции при круговых вибрациях [б] (с точностью до формы записи и после ряда упрощений последних, связанных с исключением слагаемых, учитывающих непоступательные вибрации).

Система (1.1) описывает осредненное движение неизотермической жидкости в полости, равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси, и содержит четыре безразмерных параметра: число

Рэлея Ra = gfiQh31 v%, число Прандтля Pr = vI% , вибрационный параметр Rv = (bWvbh)2I2 v% и безразмерную частоту

0)°ИгН2 /п (здесь 0 - характерная разность температур, остальные обозначения - обычные).

Используя систему уравнений (1.1), проведем анализ устойчивости квазиравновесия неизотермической жидкости в плоском слое, расположенном в плоскости ху (рис. 1). Границы слоя имеют координаты г = + 0.5 и постоянные значения температуры Т0 = ±0.5 . Выпишем краевую задачу для монотонных возмущений:

ДДу - (Яа + Яу)к2Т - Яук2w' - 2оЕ' = 0 , ДТ + у = 0, ДЕ + 2т'= 0, Т' + Дw = 0,

Д°4 - к2, '

дг ді

с граничными условиями:

г = ±1/2: V = у' = w = Т = Г = 0.

Здесь V и Г - у -компоненты вектора возмущения скорости и его ротора.

Отметим, что в рассматриваемом случае, как и при круговых вибрациях в отсутствие вращения [6], в краевую задачу входит только квадрат волнового вектора, а соотношение компонент волнового вектора остается произвольным, т.е. наблюдается вырождение по форме возмущений.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Рассмотрим случай отсутствия статического поля силы тяжести Яа = 0 . Краевая задача (1.2) решается1 методом Рунге-Кутта. По-

роговое значение вибрационного параметра Яу (рис. 2) и волновое число к возмущения, соответствующего минимуму устойчивости (рис. 3), согласуются с результатами [6] в предельном случае о = 0 (ЯУ = 2129, к * = 3.23) и монотонно возрастают с частотой.

1 Расчеты проводились с использованием программы, любезно предоставленной А.В. Люшниным.

10 100 w 1000

Рис. 2. Граница вибрационной конвекции в зависимости от частоты вращения W в отсутствие статических полей: I - теоретическая граница, точки 1-3 - экспериментальный порог из [5]

Рис. 3. Зависимость волнового числа в пороге от безразмерной частоты вращения

В области высоких частот о > 100 параметр ЯУ возрастает по

закону, близкому Я* = 18 о4 3, а соответствующее минимуму устойчивости волновое число связано с частотой соотношением к * = 1.4о1/3.

При наличии статического поля силы тяжести проявляются оба механизма тепловой конвекции, гравитационный и вибрационный, определяемые параметрами Яа и Яу . Из решения (1.2) следует, что при фиксированных значениях безразмерной частоты пороговые кривые на плоскости параметров Яа , Яу близки по форме прямым.

В отсутствие вращения о = 0 пороговая кривая пересекает оси в точках Яа = 1708 и Яу = 2129 . С ростом стабилизирующего действия гравитационного поля в области больших отрицательных значений числа Рэлея |Яа| > 105 наблюдается монотонное смещение

минимума нейтральной кривой устойчивости в область коротких длин волн. При этом угол наклона пороговой кривой на плоскости Яа , Яу уменьшается и приближается к 45 0.

С повышением частоты вращения порог устойчивости возрастает. В области частот о> 100 наклон пороговых прямых на плоскости Яа, Яу близок к 45 0, кривые пересекают оси в точках

* 4/3 * 4/3

Яа »18о и Яу »18о . Таким образом, порог устойчивости

квазиравновесия, т.е. порог возникновения вибрационно-

гравитационной конвекции определяется критическим значением суммы указанных параметров (Яа + Я*)* » 18о4 3.

3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

В задаче о возбуждении осредненной тепловой конвекции в равномерно вращающемся плоском слое, когда участвуют одновременно два механизма, гравитационный и вибрационный, в предельных случаях результаты хорошо согласуются с уже известными. В отсутствие вращения о= 0 результаты согласуются с теоретическим порогом возбуждения вибрационно-гравитационной конвекции при круговых вибрациях полости [6], в отсутствие вибраций

Я* = 0 - с результатами [1, 2], где исследуется влияние вращения на гравитационную конвекцию.

Отметим тот факт, что Я*(о) и Яа(о) имеют одинаковый вид, когда термовибрационная и рэлеевская конвекции проявляются независимо. Это свидетельствует об общности столь различных по своей природе конвективных механизмов. Подобно гравитационной конвекции вращение при вибрационной конвекции приводит к стабилизации устойчивости, законы возрастания порога устойчивости и критического значения волнового числа возмущений в обоих случаях оказываются идентичными.

В рассматриваемой задаче частота вибраций значительно превосходит частоту вращения полости, при этом направление вращения силового поля по отношению к вращению полости не играет роли, поскольку вращение не сказывается на пульсационной компоненте скорости, и силы инерции действуют только на осреднен-ное движение. Интересным оказывается сравнение настоящих теоретических результатов с экспериментальными данными [4, 5], полученными в случае, когда частота вращения полости совпадает по величине с частотой круговых вибраций, а направление вращения противоположно вращению силового поля (в системе отсчета полости). При такой постановке вращающееся в полости поле оказывается стационарным в лабораторной системе отсчета. Практически это соответствует равномерному вращению полости с неизотермической жидкостью в стационарном силовом поле, например в поле силы тяжести, вокруг не вертикальной оси. При этом продольная (осевая) компонента силы тяжести играет роль статического (в системе полости) поля, а нормальная оси компонента вращается относительно полости, т. е. действует подобно круговым вибрациям.

В [4, 5] исследуется осредненная конвекция в вертикальном плоском слое, равномерно вращающемся вокруг перпендикулярной ему горизонтальной оси. При горизонтальном положении оси статическая компонента поля в полости отсутствует, т.е. условия соответствуют невесомости Яа = 0 . Несмотря на различное соотношение частот (вращения и вибраций) в указанных экспериментах и настоящем исследовании, сравнение результатов оказывается возможным. Экспериментальные пороговые значения Яу (возбуждение осредненной тепловой конвекции) в зависимости от безразмерной частоты о представлены на рис. 2 точками. Преобразование задачи об осредненной конвекции во вращающейся в поле силы тяжести полости в задачу о конвекции при круговых вибрациях с одновременным вращением достигается введением модифициро-

ванного вибрационного параметра Яу = ^ 00 К)1 /2 % и воз-

можно в приближении высоких частот вращения [5].

Виброконвективные структуры имеют вид расположенных в гексагональном порядке ячеек с периодом 1 (расстояние между центрами соседних гексагональных ячеек), неподвижных относительно полости. На рис. 3 точками представлены значения безразмерного волнового числа к = 4лк /1 конвективных структур в надкритической области в зависимости от частоты.

Как следует из сравнения, в области высоких частот о > 100 экспериментальные и теоретические результаты согласуются, и не только по виду закона изменения пороговых значений вибрационного параметра и волнового числа с частотой, но и по величине. С частотой граница устойчивости монотонно повышается, волновое число конвективных структур растет.

В области частот о < 100 с уменьшением о экспериментальный порог устойчивости Я* резко возрастает (рис. 2). При этом, как следует из [5], конвективные ячейки увеличиваются в размере и теряют правильную шестигранную форму, принимая форму подковы. Изменение зависимости Я* (о) в области низких частот вращения представляется естественным, поскольку описываемые осред-ненные эффекты генерируются высокочастотными осциллирующими полями, а в рассматриваемом случае частота осцилляций и частота вращения совпадают.

Заключение. Теоретически исследовано влияние вращения на порог возбуждения термовибрационной конвекции в горизонтальном слое, совершающем высокочастотные круговые вибрации. Показано стабилизирующее действие вращения, подобное влиянию вращения на гравитационную конвекцию. Обнаружено, что в области высоких частот пороговые значения вибрационного параметра и волнового числа связаны с частотой вращения соотношениями

* 4/3 * 1/3

Яу = 18 о и к = 1.4о . Сделан вывод о важности результатов

исследования в развитии вибрационных методов управления теп-ломассопереносом в условиях микрогравитации.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (03-0100552).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

2. Яворская И.М., Беляев Ю.Н. Конвективные течения во вращающихся слоях // Итоги науки и техники. Серия МЖГ. М.: ВИНИТИ, 1984. Т. 17. С. 3-85.

3. Герценштейн С.Я., Рахманов А.И. Конвекция в плоском слое жидкости, вращающемся вокруг горизонтальной оси // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 561-564.

4. Kozlov V.G., Rilova V.V. Vibrational convection excitement in cavity rotating in force field // Abstr. VIIIth Europ. Symp. on Materials and Fluid Sciences in Microgravity. Brussels, 1992. P. 86-88.

5. Иванова А.А., Козлов В.Г., Рылова В.В. Тепловая конвекция в плоском слое, вращающемся вокруг горизонтальной оси // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 1. С. 12-21.

6. Козлов В.Г. О вибрационной конвекции в полости, совершающей пространственные маятниковые качания // Конвективные течения / Под ред. ЕМ. Жуховицкого. Пермь, 1989. С. 19-27 (Переведено: Heat Transfer - Soviet Research, 1991. V. 23. № 7. P. 999-1008).

7. Козлов В.Г. Вибрационная тепловая конвекция во вращающихся полостях // Изв. РАН. МЖГ (в печати).

ABOUT THE INFLUENCE OF ROTATION ON VIBRATIONAL CONVECTION IN PLANE LAYER

V.G. Kozlov

Abstract. The stability of quasiequilibrium of horizontal plane layer with boundaries kept at different temperatures, subject simultaneously to circular translational vibration and rotation is investigated theoretically. The case of high frequency vibration and relatively low rotation is studied. The strong stabilizing effect of rotation on excitement of vibrational convection, analogous to the case of gravitational convection, is demonstrated.