Доказательства оценок числа шагов решения некоторых задач распознавания образов, имеющих логические описания

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 4

Т. М. Косовская

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОЦЕНОК ЧИСЛА ШАГОВ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ, ИМЕЮЩИХ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПИСАНИЯ

Введение

При разработке эффективных алгоритмов, решающих массовые задачи, на передний план все чаще выходят задачи оценки числа шагов их работы. Отсутствие для алгоритма доказательства оценки числа шагов его работы над данными рассматривается как недостаточное исследование этого алгоритма. Это особенно актуально для задач, исходные данные для которых велики, например, для алгоритмов, решающих различные задачи распознавания образов.

Основа построения эффективных алгоритмов описания и распознавания образов, использующих различные математические средства, заложена, прежде всего, в работах [1, 2]. В большинстве работ, связанных с решением задач распознавания образов, отсутствуют доказанные оценки числа шагов алгоритмов, решающих эти задачи, так как в первую очередь вставал вопрос о точности распознавания, а не о времени, необходимом для реализации алгоритма.

Кроме того, большинство подходов к решению задач распознавания образов плохо приспособлено (или вовсе не приспособлено) к решению задачи анализа сложного составного объекта, заключающейся в выделении и распознавании частей объекта, а также в определении их взаимного расположения.

При практическом использовании того или иного алгоритма важно, чтобы он имел полиномиальную верхнюю оценку числа шагов работы: ЫР-полнота или ЫР-трудность решаемой задачи означает, что полиномиальный алгоритм ее решения не известен в данный момент.

Напомним, что класс Р — это класс задач, для решения которых существует машина Тьюринга, число шагов которой не превосходит полинома от длины записи исходных данных. Класс ЫР — это класс задач, задаваемых предикатом вида 3 У Я(Х, У), для решения которых существует недетерминированная машина Тьюринга, число шагов которой не превосходит полинома от длины записи исходных данных. Задача называется ЫР-полной, если она принадлежит классу ЫР и всякая задача из класса ЫР полиномиально сводится к ней (то есть по исходным данным для любой задачи из класса ЫР можно за полином шагов от длины их записи построить такие исходные данные для этой задачи, что обе задачи одновременно имеют или не имеют решения). Проблема, имеет место Р = ЫР или Р = ЫР, является одной из сложнейших задач XXI века. Ни для одной ЫР-полной задачи в настоящее время не известен полиномиальный по времени алгоритм, и если Р = ЫР, то такой алгоритм невозможен. Задача называется ЫР-трудной, если всякая задача из класса ЫР полиномиально сводится к ней. В частности, если задача вида ЗУ (^(Х, У) («существует ли У, для которых верна формула Q(X, У)») является ЫР-полной, то соответствующая задач (?У) Q(X, У) («при каких У верна формула Q(X, У)») является ЫР-трудной.

В работе [3] предложен логико-аксиоматический подход к решению задач распозна-© Т. М. Косовская, 2007

вания образов. Одним из достоинств этого метода является возможность его применения к решению задачи анализа сложного объекта.

Рассмотрены три типа задач распознавания образов: задача идентификации, задача классификации и задача анализа сложного объекта [3]. Первые две задачи не только являются вспомогательными при решении задачи анализа сложного объекта, но и представляют самостоятельный интерес.

В настоящей работе уточняются основные понятия и постановка задач распознавания образов и доказываются оценки числа шагов алгоритмов, их решающих. В частности, доказаны полиномиальные оценки числа шагов решения задач идентификации и классификации в случае, если исходные признаки глобально характеризуют объект, то есть являются пропозициональными (булевскими) переменными.

Для случая, когда исходные признаки задают локальные свойства или отношения частей распознаваемых объектов, доказана NP-трудность задач идентификации, классификации и анализа сложного объекта в общей постановке. Доказано также, что при фиксировании одного из параметров эти задачи имеют полиномиальный алгоритм решения. Доказана оценка степени полинома, ограничивающего число шагов решения указанных задач.

1. Логико-аксиоматический подход

к решению задач распознавания образов

Пусть имеется множество Q конечных множеств ш = {ш 1,... ,At}, которые в дальнейшем будем называть

распознаваемыми объектами. Частью т объекта ш будем называть любое его подмножество (не обязательно собственное). Пусть также на частях т задан набор предикатов p1,... ,pn, характеризующих свойства и отношения между элементами объекта ш.

Пусть задано разбиение множества Q на M (возможно пересекающихся) классов Q = U fc=1 Qk.

Логическим описанием S (ш) объекта ш называется набор всех истинных постоянных атомарных формул видарДт) или APi(r), выписанных для всех возможных частей т объекта u>. Здесь и далее посредством 3% будем обозначать упорядочение конечного множества х, соответствующее перестановке П номеров его элементов. Чтобы не загромождать формулы индексами, иногда будем писать х вместо 3%.

Логическим описанием класса (OK) Qk называется такая формула AA(x), что

1) Ak(x) содержит в качестве атомарных только формулы вида Pi(y), где у C x;

2) Ak(x) не содержит кванторов;

3) если истинна формула Ak(Zo), то ш G 0%.

Описания класса всегда может быть записано в виде дизъюнкции простых конъюнкций атомарных формул.

С помощью построенных описаний предлагается решать следующие задачи распознавания образов.

Задача идентификации. Проверить, принадлежит ли объект ш или его часть классу Qk.

Эта задача в [3] сведена к доказательству выводимости формулы 3y(y C ш & Ak(y)) из описания распознаваемого объекта S (ш).

Задача классификации. Найти все такие номера классов к, что ш G Qk -

Эта задача в [3] сведена к доказательству выводимости формулы yA=iAk(u) из описания распознаваемого объекта S (ш) с указанием всех таких номеров к, для которых соответствующий дизъюнктивный член истинен на ш.

Задача анализа сложного объекта. Найти и классифицировать все части т объекта ш, для которых т G 0.

Эта задача в [3] сведена к доказательству выводимости формулы Vfc=i ~АУ(У а= си & Ak(y)) из описания распознаваемого объекта S(u) с указанием всех частей объекта ш, поддающихся классификации, и идентифицировать их.

Отметим, что задача анализа сложного объекта имеет содержательный смысл только в случае, если исходные признаки являются не пропозициональными переменными, глобально характеризующими весь объект в целом, а локально характеризуют некоторые собственные подмножества распознаваемого объекта ш и представляют собой (вообще говоря, многоместные) предикаты.

2. Доказательства оценок числа шагов алгоритмов решения

задач распознавания при глобальной характеризации объекта

В случае, если исходные признаки характеризуют весь объект целиком, а не его части, предикаты p1,... ,pn можно рассматривать как 0-местные, то есть как пропозициональные (или булевы) переменные. Тогда описанием класса является формула Ak в ДНФ с пропозициональными переменными p1,... ,pn.

При этом в задаче идентификации требуется проверить принадлежность всего объекта ш (а не его части) классу Qk. Такая задача сводится к доказательству выводимости формулы Ak из описания распознаваемого объекта S^).

Это равносильно тому, что формула Ak, задающая описание k-го класса, истинна на наборе значений пропозициональных переменных (a1,...,an), таких что SA) = (p"1,... ,pOaA). Выражение pa используется как сокращение для записи p или —p в зависимости от того, является ли а константой true или false соответственно.

Можно доказать, что существует линейный по времени алгоритм, решающий задачу идентификации. В практических применениях при решении задач распознавания образов число n является константой, а не параметром задачи.

Пусть каждая переменная pi формулы Ak кодируется словом вида pi, где i—двоичная запись числа i. Признаком конца записи переменной будет либо символ &, либо символ V, либо пустой символ в конце записи формулы Ak.

Теорема 1. Для всякого целого положительного числа n можно построить машину Тьюринга, которая по набору логических констант (а1 ,... ,ап) и формуле в ДНФ Ak, длина ,записи которой равна Nk, проверит, истинна ли эта формула при подстановке заданных констант вместо соответствующих пропозициональных переменных. При этом число шагов такой машины Тьюринга не превосходит n + Nk, то есть длины записи исходных данных.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При просмотре содержимого первых n ячеек машина Тьюринга переходит в одно из 2п состояний в зависимости от значения набора (a1,..., ап).

Запоминаем, стоит перед символом p знак отрицания или нет. Если вслед за символом p находится двоичная запись числа i и номер состояния соответствует набору констант, в котором ai = true, но перед p был записан знак отрицания или ai = false, а перед p знака отрицания не было, то посредством номера состояния запоминаем, что этот дизъюнктивный член ложен и продвигаем головку машины Тьюринга до следующего символа V или пустого символа, записанного на ленте вслед за Ak. В противном случае продолжаем просматривать дизъюнктивный член, номером состояния запомнив, что он может быть истинен. Дизъюнктивный член истинен, если в одном из таких состояний встретился символ V или пустой символ в конце записи формулы Ak . Ш

Задача классификации в случае, если исходные признаки являются пропозициональными переменными, равносильна нахождению всех таких номеров классов к, что формула, задающая описание к-го класса истинна на наборе значений пропозициональных переменных (al,. .., ап), таких что S (ш) = (p'P, .. . ,p'o) . Очевидным следствием теоремы 1 будет то, что задачу классификации можно решить с помощью линейного по времени алгоритма. Заметим, что на выписывание всех номеров к, для которых Ak истинна на заданном наборе констант, требует не более, чем M Ш log M шагов, что не превосходит суммарной длины записи всех формул A1,..., Ам.

Следствие теоремы 1. Для всякого целого положительного числа n можно построить машину Тьюринга, которая по набору логических констант (о1 ,...,ап) и набору формул в ДНФ Al,. .. ,Ам, суммарная длина ,записи которых равна N, проверит, какая из этих формул истинна при подстановке констант вместо соответствующих пропозициональных переменных. При этом число шагов такой машины Тьюринга не превосходит n + 2 Ш N, то есть линейной функции от длины ззаписи исходных данных.

В более общем случае, когда число n не зафиксировано, можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Можно построить трехленточную машину Тьюринга, которая по набору логических констант (al, .. ., а п ) и формуле в ДНФ Ak , длина ,записи которой равна Nk , проверит, истинна ли эта формула при подстановке заданных констант вместо соответствующих пропозициональных переменных. При этом число шагов такой машины Тьюринга не превосходит 4 Ш Nk Ш n, то есть квадратично от длины записи исходных данных.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть на первой ленте машины Тьюринга записана ДНФ Ak, причем каждая переменнаяА кодируется словом видаpi, где i — двоичная запись числа i. На второй ленте записан набор логических констант (ai,..., а.п).

В начале работы машина Тьюринга записывает на второй ленте число 1.

Для каждого числа i (1 < i < n), двоичная запись которого находится на третьей ленте, машина Тьюринга запоминает и стирает на второй ленте первую логическую константу и начинает просматривать слово, задающее Ak. Запоминаем, стоит перед символом p знак отрицания или нет. Если вслед за символом p находится двоичная запись числа i и a. i = true, но перед p был записан знак отрицания, или ai = false, а перед p знака отрицания не было, то стираем весь дизъюнктивный член. В противном случае продолжаем просматривать слово, задающее Ak. Учитывая шаги, затрачиваемые на стирание дизъюнктивного члена, весь просмотр слова Ak потребует не более 3  Nk шагов. Головка машины Тьюринга возвращается на первые символы первых двух лент и прибавляет i к двоичному числу, записанному на третьей ленте (еще Nk шагов).

Машина Тьюринга заканчивает работу, если вторая лента пуста. При этом если на первой ленте все символы стерты, то формула Ak ложна на заданном наборе логических констант. В противном случае формула истинна на этом наборе и можно указать те дизъюнктивные члены формулы, которые истинны.

Общее число шагов работы этой машины Тьюринга не превосходит 4 Ш Nk Ш n. U

В [4] приведено легко доказываемое утверждение, что по всякой многоленточной машине Тьюринга, число шагов которой при работе с данными, длина записи которых равна N, не превосходит T(N) , можно построить одноленточную машину Тьюринга, число шагов которой при работе с теми же данными есть O (T2 (N)). Поэтому справедливо следующее следствие.

Следствие теоремы 2. Можно построить машину Тьюринга, которая по набору логических констант (al,. . . , а п ) и формуле Ak в ДНФ, длина ззаписи которой равна Nk, проверит, истинна ли эта формула при подстановке заданных констант вместо соответствующих пропозициональных переменных. При этом число шагов такой машины Тьюринга есть O((Nk • n)2).

Оценка временной сложности работы алгоритма в терминах числа шагов работы машины Тьюринга общепринято в алгоритмической теории сложности алгоритмов, но не выглядит естественным при решении задач, предназначенных для практического программирования. Поэтому следующие две теоремы дают оценки числа шагов решения той же задачи для случаев применения метода резолюций [5] и построения вывода в секвенциальном исчислении высказываний [6].

Теорема З. Количество применений правила резолюций при использовании линейной стратегии метода резолюций для доказательства выводимости формулы Ak в ДНФ из набора формул (pA1,. .., pO,n) не превосходит количества вхождений пропозициональных переменных в формулу Ak.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При использовании линейной стратегии метода резолюций (в [7] доказана ее полнота для данной задачи), в первую очередь, правило резолюции применяется к простым дизъюнкциям минимальной длины (в данном случае к формулам из заданного набора (pA1,... ,pAT)) и простым дизъюнкциям, полученным из отрицания формулы Ak. Количество таких применений не превосходит количества вхождений пропозициональных переменных в формулу Ak.

Ш

Следствие теоремы З. Количество применений правила резолюций при использовании линейной стратегии метода резолюций для решения задачи классификации в случае, когда исходные признаки характеризуют весь объект, не превосходит суммарного количества вхождений пропозициональных переменных в формулы, задающие описания классов.

Теорема 4. Количество применений правил вывода при построении вывода секвенции pol . . .pOaA Ь Ak, где формула Ak находится в ДНФ, не превосходит количества вхождений логических связок V и & в формулу Ak.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В первую очередь применяем однопосылочное правило введения дизъюнкции в сукцедент (количество применений равно количеству вхождений связки V). Затем последовательно к первому вхождению связки & применяем двух- посылочное правило введения конъюнкции в сукцедент. В результате каждого такого применения одна из полученных секвенций содержит в сукцеденте только переменную или ее отрицание. Если эта переменная и ее отрицание входят одна в антецедент, а другое — в сукцедент, то данная секвенция не является аксиомой. В этом случае далее не рассматриваем соответствующую простую конъюнкцию. В противном случае эта секвенция является аксиомой, и мы опять применяем двухпосылочное правило введения конъюнкции в сукцедент к первому из оставшихся вхождений связки &. Количество таких применений не превосходит количества вхождений логических связок V и & в формулу Лк.

Ш

Следствие теоремы 4. Количество применений правил вывода при использовании секвенциального исчисления высказываний для решения задачи классификации в случае, когда исходные признаки характеризуют весь объект, не превосходит суммарного количества вхождений логических связок V и & в формулы, задающие описания классов.

3. Доказательство оценок числа шагов алгоритмов решения

задач распознавания при локальных описаниях частей объектов

В случае, если исходные признаки характеризуют не весь объект целиком, а его части, предикаты р1,... ,рп являются многоместными и задают свойства и отношения между частями объекта.

При этом в задаче идентификации требуется найти такую часть объекта ш, которая принадлежит классу Qk. Такая задача сводится к доказательству выводимости формулы 3у(у С т & Лк.(у)) из описания распознаваемого объекта Б(и;).

Это равносильно тому, что формула, задающая описание к-го класса, истинна при подстановке некоторых частей ш вместо соответствующих значений входящих в нее предметных переменных.

Эта задача может быть решена полным перебором с помощью последовательного выделения всех частей у С ш (его подмножеств, количество элементов в которых совпадает с количеством предметных переменных формулы Лк,(х)) и различного упорядочивания элементов у для присвоения значений этих элементов переменным, входящим в описание класса. Такой переборный алгоритм очень не эффективен и имеет высокую оценку числа шагов своей работы. А именно, пусть Ь — количество элементов в ш, ак — количество различных переменных в формуле Лк.(х) (а,к < Ь). Тогда количество частей ш равно САк, а количество перестановок элементов внутри части объекта равно ак!. Следовательно, требуется проверить истинность формулы Лк.(х) на САк  (%! наборах значений предметных переменных.

Безусловно, при решении конкретной задачи распознавания образов можно учитывать ее специфику при организации перебора и существенно сократить время работы описанного алгоритма.

В общей постановке задачи не представляется возможным существенно избавиться от экспоненциального числа шагов ее решения, если Р = ЫР, так как можно доказать ЫР-трудность задачи идентификации.

Для доказательства ЫР-трудности задачи идентификации сформулируем следующую задачу. Пусть ша обозначает множество всех упорядоченных наборов элементов из ш длины а.

Выполнимость в КОНЕЧНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ

ДАНО. Пусть заданы конечное множество объектов ш = {ш1,. .., шА и набор истинных постоянных атомарных формул вида Р1 г'Т (т), где I = 1,. .., п, т Си], СЬ]]- — логические константы. Пусть также дана бескванторная формула Л (у), представленная в виде дизъюнкции простых конъюнкций атомарных формул /у = (у1, .. ., у а) — список предметных переменных, входящих в формулу).

ВОПРОС. Существует ли набор значений для у из ива, для которого формула Л (у) истинна?

То есть верно ли, что

3у(у С ш & Л{у)).

Теорема 5. Задача выполнимость в конечной интерпретации МР-полна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Задача ВыпОЛнимОСТЬ В КОнЕчнОй инТЕрпрЕТАции принадлежит классу ЫР, так как если предъявлен набор значений переменных у, для которого известны значения всех атомарных формул, входящих в Л(у), то по следствию из теоремы 2 проверка истинности формулы Л(у) на этом наборе может быть осуществлена за полином от длины записи исходных данных шагов.

Покажем, что задача кликА из [4] полиномиально сводится к задаче выполнимость в конечной интерпретации. Пусть исходными данными для индивидуальной задачи из клика являются граф О = (V, Е) (где V = {VI,..., Vь}) и целое положительное число К (К < 1). Построим такие исходные данные для задачи выполнимость в конечной интерпретАции, что исходный граф будет иметь полный подграф, содержащий не менее К вершин, тогда и только тогда, когда соответствующая формула истинна на наборе из К значений переменных.

Множество вершин будем рассматривать в качестве множества объектов, то есть ш = {VI,..., VI;}. Используется единственный двухместный предикат, определяемый эквивалентностью р (VI, V]) А ({VI, V]} О Е).

Формула, истинная тогда и только тогда, когда исходный граф имеет полный подграф, содержащий не менее К вершин, имеет вид простой конъюнкции:

Л

При этом число шагов работы алгоритма, выписывающего все истинные атомарные формулы для всех пар объектов, а также формулу Л(у 1,... ,ук), ограничено сверху полиномом от длины записи множества ребер графа Е. и

Замечание. Задача остается ЫР-полной, если в условии задачи выполнимость в КОНЕЧНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ в качестве значений для у брать только различные значения из ш

Следствие теоремы 5. Задача идентификации ИР-трудна.

Это следует из того, что при решении задачи идентификации требуется не только проверить, существует ли часть исходного объекта, принадлежащего заданному классу с номером к, но и явно указать все такие части.

Замечание. Так как при решении конкретной задачи распознавания количество предметных переменных, входящих в формулу Ak(y), фиксировано (равно (%), задача идентификации в такой постановке может быть решена за полином от длины записи идентифицируемого объекта ш шагов, причем степень полинома равна ak.

Задача классификации равносильна определению всех таких к, для которых формула, задающая описание к-го класса, истинна при подстановке упорядоченных элементов ш вместо соответствующих значений входящих в нее предметных переменных.

Эта задача, так же как и задача идентификации, может быть решена с помощью переборного алгоритма, причем количество перебираемых упорядоченных наборов равно t!, где t — количество элементов в распознаваемом объекте.

В общей постановке можно показать NP-трудность решения задачи классификации. Для доказательства этого факта сформулируем следующую задачу.

Выполнимость HA ЗАДАННОМ МНОЖЕСТВЕ

Дано. Пусть заданы конечное множество объектов ш = {ш1,. .., шА и набор истинных постоянных атомарных формул вида Pi г'Т (т), где i = 1,. .., n, т C uj, Ctjj- — логические константы. Пусть также дана бескванторная формула A(y), представленная в виде дизъюнкции простых конъюнкций атомарных формул (у = (yi,. .., yt) — список предметных переменных, входящих в формулу).

ВОПРОС. Существует ли набор различных значений для у из LUt, для которого формула A(y) истинна?

То есть верно ли, что

3yi i,. . .,yit ({yi i, . . .,yit} = ш & A(yi i, . . .,yit)).

Теорема 6. Задача выполнимость на заданном множестве NP-полна.

Доказательство. Задача выполнимость на заданном множестве принадлежит классу NP, так как если предъявлена последовательность значений переменных Ai 1,..., шА), для которой известны значения всех атомарных формул, входящих в формулу A (y ) , то по следствию из теоремы 2 проверка истинности формулы A (y ) на этом наборе может быть осуществлена за полином от длины записи исходных данных шагов.

Покажем, что задача гамильтонов путь из [4] полиномиально сводится к задаче выполнимость на заданном множестве. Пусть исходными данными для индивидуальной задачи гамильтонов путь является граф G = (V, E) (где V = {V1,..., vt}). Построим такие исходные данные для задачи выполнимость на заданном множестве, что исходный граф будет иметь гамильтонов путь тогда и только тогда, когда соответствующая формула истинна на некоторой последовательности значений пере -менных.

Множество вершин будем рассматривать в качестве множества объектов, то есть ш = {v1,..., vt}. Используется единственный двухместный предикат, определяемый эквивалентностью p(vi,vj) a ({vi,vj} G E).

Формула, истинная тогда и только тогда, когда исходный граф имеет гамильтонов путь, имеет вид простой

конъюнкции

MyA. ..,yt> = &— p(yi,yi + 1).

При этом число шагов работы алгоритма, выписывающего все истинные атомарные формулы для всех пар объектов, а также формулу A(y 1,..., y t), ограничено сверху полиномом от длины записи множества ребер графа E. U

Замечание. Если в исходных данных задачи выполнимость на заданном мноЖЕСТВЕ вместо одной формулы A(y) имеется M формул Ai(y),... , Ам(у), то задача остается NP-полной, так как она принадлежит классу NP, а ее сужение при M = 1 NP-полно.

Следствие теоремы 6. Задача классификации NP-трудна.

Это следует из того, что при решении задачи классификации требуется не только проверить, что объект принадлежит

одному из классов, но и указать, каким именно классам он принадлежит.

Замечание. Так как при решении конкретной задачи распознавания количество предметных переменных, входящих в формулу Ak (у) фиксировано и совпадает с количеством частей распознаваемого объекта ш t, задача классификации в

такой постановке может быть решена за число шагов, равное достаточно большой константе t!.

Задача анализа сложного объекта сводится к последовательному выделению всех таких частей распознаваемого объекта ш, которые поддаются идентификации и последующей их классификации. Поэтому она может быть решена последовательным

выделением частей Cai.............Camраспознаваемого объекта ш и их классификацией.

(Здесь t —количество элементов в объекте ш, a1,..., ам —количество предметных переменных в формулах Ai(y1"),..., Ам {ум) соответственно.) Поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Задача анализа сложного объекта NP-трудна.

Замечание. При решении конкретной задачи распознавания, у которой количество предметных переменных, входящих в формулы Ak(Jfk) фиксировано, задача анализа сложного объекта может быть решена за полином от длины записи

распознаваемого объекта ш шагов, причем степень полинома не превосходит a1 + • • • + ам.

Summary

T. M. Kosovskaya. Proofs of the number of steps bounds for solving some pattern recognition problems with logical description.

In the framework of logical-axiomatical approach to the pattern recognition problems the guaranteed time effectiveness of the solving algorithms is proved by means of consideration of different variants of problems formulation including the problem of analysis of a compound object.

Литература

1. Фомин В. Н. Математическая теория обучаемых распознающих систем. Л., 1976. 235 с.

2. Журавлев Ю. И. Алгебраический подход к проблеме распознавания // Проблемы кибернетики, 1978. Вып. 33. С. 5-78.

3. Косовская Т. М., Тимофеев А. И. Об одном новом подходе к формированию логических решающих правил в задачах распознавания // Вестн. Ленингр. гос. ун-та. Сер.1, 1985, №8. С. 22-29.

4. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М.: Мир, 1982. 416 с.

5. РобинсонДж. Машинно ориентированная логика, основанная на методе резолюций // Кибернетический сборник, новая серия. М., 1970. Вып.7. С. 194-218.

6. Клини С. Математическая логика. М.: Мир, 1973. 480 с.

7. Курьеров Ю. Н. Условия полноты тактики линейного вывода // Семантические вопросы искусственного интеллекта. Киев, 1977. С. 44-45.

Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.