Дебаевский атом в плазме

УДК 533.9

ДЕБАЕВСКИЙ АТОМ В ПЛАЗМЕ

С. И. Яковленко

На основе уравнения Пуассона-Больцмана рассмотрены свойства дебаевского атома, т.е. заряженной пылинки, окруженной облаком электронов и ионов, распределенных по Больцману. Получены зависимости потенциала и напряженности электрического поля от расстояния до центра сферической пылинки при радиусе пылинки, много меньшем дебаевского радиуса. Аналитические выражения согласуются с численными расчетами. Вычислены зависимости радиуса дебаевского атома (определяемого как расстояние, на котором напряженность поля обращается в нуль) от заряда пылинки и других параметров плазмы.

Дебаевским атомом в работе [1] названа пылинка, окруженная облаком зарядов, распределенных по Больцману. Это понятие введено в связи с анализом экспериментов по изучению термоэмиссионной пылевой плазмы [2].

В работах [3, 1] на основе уравнения Пуассона-Больцмана рассмотрено распределение потенциала, напряженности поля и плотности электронов вокруг положительно заряженной пылинки для случая, когда положительные заряды полностью сосредоточены на пылинках. Однако интерес представляет и ситуация, когда дебаевский атом находится в плазме, образованной за счет ионизации газа, в котором находятся пылинки. Примером может служить как пылевая плазма в электрическом разряде, так и ядерно возбуждаемая пылевая плазма [4, 5]. Плоская задача, допускающая точное решение, рассмотрена в работах [6-8]. Здесь эти результаты используются при сравнении с численными расчетами для сферически симметричного случая в пределе большого радиуса пылинки.

Рассмотрение дебаевского атома в плазме представляет интерес еще и в связи с тем, что его характеристики используются при решении задачи о взаимодействии дебаев-ских атомов, т.е. при рассмотрении дебаевской молекулы [9].

Уравнение Пуассона-Болъцмана. Для нахождения распределения по пространству потенциала ф, напряженности электрического поля (—Уф) и плотности заряда р -e(Ni~ Ne) следует решить уравнение Пуассона V(—S/ф) = Апр. В уравнении Пуассона-Больцмана плотности ионов iV¿ и электронов Ne определяются распределением Больц-мана Ni = ,/Vt0exp(—еф/Т), Ne = Ne0 ехр(еф/Т), где Nt0, Ne0 - плотности ионов и электронов при потенциале, равном нулю; Т - температура электронов и ионов. Соответственно, уравнение Пуассона-Больцмана имеет вид:

Аф = 4тге

Далее длина измеряется в единицах дебаевского радиуса гд = (Т/4тге2 NeoY^2, соответствующего плотности электронов в тех точках, где потенциал равен нулю, и исполь зуются безразмерные величины:

tp = фе/T-, Е = -Уф  erD/T; пе = r3DNe = nD  ехр

где пр = rpNeо = (T/iire2Nl¿3)3^2 - величина порядка числа частиц в дебаевской сфере.

Например, в условиях экспериментов [2] Ne0 = 2.5-1010 еле-3, Т — 0.146 эВ = 1700 К средний радиус пылинок гр - 0.4л«кле, заряд пылинок Zpe = 500 е. При этом для харак терных величин имеем: гд = 0.002 см, Т/е = 0.146 В, Г/егд = 80 В/см: напряженность поля на поверхности частицы Zve/r\ = 4.5 • 104 В/см(Е0 = Е(г0) = 550); го = tv/tq = 0.02 - безразмерный радиус пылинки.

Для безразмерных величин (2) уравнение Пуассона-Больцмана (1) сводится к следующему уравнению для безразмерного потенциала <р:

А

Здесь VE = — (exp(tp) — ó  exp(-cp)); E = — Vcp; 6 = Ni0/Ne0 - параметр, характеризующий ионизацию газа, окружающего пылинки. В силу квазинейтральности системы пылинок и окружающей их плазмы 0 < 8 < 1. Здесь для конкретности предполагается, что пылинка заряжена положительно, а в плазме преобладает заряд электронов. В случае, когда пылинка заряжена отрицательно и в плазме преобладает заряд ионов, имеем 0 < <5 = Ne0/Nio < 1.

В одномерном (т.е. плоском, цилиндрически симметричном или сферически симметричном) случае уравнение (3) принимает вид:

Здесь к — 0,1,2 соответственно для плоского, цилиндрически симметричного и сферически симметричного случаев; в зависимости от геометрии г = 0 соответствует началу плоского слоя, центру цилиндра или центру сферы. Уравнение (4) допускает решение в квадратурах лишь в плоском случае к = 0 [6-8]. Ниже рассматривается сферически симметричный случай к = 2.

Граничные условия. В реальной физической задаче обычно задан заряд пылинок и их радиус гр = г0 • гд (о формировании заряда пылинки см. [10]). Следовательно, одним из граничных условий является условие на напряженность поля на поверхности пылинок, т.е. при г = Го:

-

При этом заряд частицы определяется выражением:

= —Г—^у-\т=т0, 20 = Г20Е0.

е аг

Здесь г0 - безразмерный заряд частицы, определенный с помощью величин (2). Он связан с зарядом частицы в единицах электронного заряда Zp выражением = гоГвТ/е2 = Аттпрго. Второе граничное условие задает границу дебаевского атома г = ао, на которой поле равно нулю

Нулевое значение электрического поля на границе дебаевского атома следует из его квазинейтральности.

Задача с граничными условиями (5), (7а) является краевой. В этой работе, как и в [1], она решается пристрелкой. Выбирается нулевое значение потенциала на границе атома:

¥»

Граничное условие (76) заменяет условие (5) и краевая задала переходит в задачу Коши, которая решается интегрированием от г = а0 до г = г0. Требуемое значение

заряда частицы г0 или напряженности поля на ее поверхности Е0 находится путем подбора величины а0.

Заряженная частица в облаке зарядов одного знака

Приближенные решения. Сферически симметричному случаю при 8 = 0 соответствует уравнение Пуассона-Больцмана в виде:

Оно дополняется граничными условиями (7). В ряде случаев величина а0 выбирается равной половине среднего расстояния между пылинками а0 = ар « (Л^"1/3/2 г и) [3], где Ыр - плотность пылинок. Уравнение (8) соответствует, например, термоэмиссионной плазме [2] или такой ионизации газа, когда заряд одного из знаков полностью сосредоточился на пылинках (см., например, [5]).

Далее мы основное внимание уделим рассмотрению ситуации, когда радиус частицы много меньше дебаевского радиуса: г0 <С 1. Кроме того, нас будет интересовать случай большой напряженности поля на поверхности частицы Ео 1. Это позволяет построить приближенное решение уравнения (8).

Выражение для потенциала вдали от поверхности частицы или при небольшом заряде частицы можно получить, положив ехр(<^>) = 1 в уравнении (8) [3]. В этом случае имеем:

*

Здесь г (г) - суммарный заряд (частицы и окружающего ее облака зарядов), находящийся внутри сферы радиуса г < а0.

Вблизи поверхности частицы используем решения для плоской геометрии [7]:

ф) = 21п[2Е0/

При большом заряде частицы г0 а%/3 и, соответственно, напряженности поля Ео «0/(3^0)5 на близком расстоянии от поверхности частицы (г — г0) ~ 1/Е0 справедливо приближение (10). При больших расстояниях (г — г0) 1/Е0 справедливо приближение (9).

1.105 ЫО4 1.103 100

10 1

0.1 0.01

1 10 71 100

г/г0

Рис. 1. Зависимость заряда z(r) (сплошная кривая), напряженности поля Е(г) (пунктирная кривая) и потенциала <р(г) (штриховая кривая) от расстояния до центра частицы, измеренного в единицах г0 = 0.0106. Радиус дебаевского атома а0 = /2го - О.754(а0/Го = 71) выбран для условий экспериментов [2] (Т = 1700 К, Np = 5 • 107 см~3, Ne0 = 2.5 X Ю10 см~3), 6 = 0.

Результаты расчетов. Пример численного расчета для больших значений z0 и Eq приведен на рис. 1. Видно, что приближенные выражения (9), (10) действительно совпадают с результатами численных расчетов в соответствующих областях изменения г (рис. 2).

При заданном значении г0 величина а0 не может быть сколь угодно большой. Каким бы большим ни было значение Е0 (соответственно г0), зависимости z(r), Е(г), ср(г) на расстоянии (г — Го) ~ 1 /Е0 от поверхности частицы испытывают резкое падение, и при больших значениях г описываются выражениями (9). Иначе говоря, величина а0 ограничена некоторым предельным значением а0тах = aQ(Eo —> оо) (рис. 3).

Была проведена серия расчетов с целью определения зависимости величины а^тах, от г0. Расчеты показывают (рис. 4), что при r0 < 1 толщина зарядового слоя а0тах — г0 линейно зависит от г0. При r0 1 толщина зарядового слоя выходит на постоянное значение (аотах — fo) = тг/21^2 = 2.221, вытекающее из рассмотрения плоской задачи [1, 7].

Предельная плотность электронов при нулевом потенциале. Совокупность расче-

10

z

0.1

0.01

1 1 а

А "Ч -

\ Л

\ \

\ 1

\ 1

10 100

r/r0

0.01

Рис. 2. Сопоставление результатов численного расчета суммарного заряда г(г) (частицы и окружающего ее облака зарядов), находящегося внутри сферы радиуса г с приближенными выражениями. Сплошные кривые - численный расчет; пунктир - расчет по формулам (9); штрихи - расчет по формулам (10): а) вся область изменения т; б) область скачка. Параметры расчета те же, что и на рис. 1.

тов позволяет рассмотреть величину a,Q, как функцию безразмерного радиуса пылинки г о и ее безразмерного заряда z0. Полагая а0 равным половине среднего расстояния между пылинками ар ~ (Лг~1,/3/2гд), имеем неявную зависимость плотности электронов N^q при нулевом потенциале от г0 и z0:

/ /WTVeo е a0{r0, z0j = dp, а о I гр\/---, Zp —

2 /4тгe2N,

еО

1

4Tre2iVeo

2N1'3

Величина а0 ограничена: ао(го,го со) < 7Г/21/2 (рис. 3). Это приводит к ограничению сверху плотности электронов Л^ео < отах = (тгЛГр/3Т'/2е2), находящихся на среднем расстоянии между заряженными пылинками при Zp оо. С повышением заряда пылинки возрастает плотность экранирующего заряда вблизи ее поверхности, но посередине между двумя соседними пылинками плотность экранирующего заряда не растет выше Ме0тах.

аошах

10

адшах - го

10

У

ж/л/О

/

0.1 —Л л—ilx

1

t / /

/ / /

У / У у / У /

0.1

1

МО-7 МО"6 МО-5 МО-4 МО-3 0.01 0.1 1 10

Ч

МО"5 МО-4 МО"3 0.01 1

10

Рис. 3. Зависимость максимального радиуса дебаевского атома а0тах от заряда частицы. Радиус микрочастицы г0 = 0.0223 выбран для условий экспериментов [2] (rp = QAmkm, Т = 1700 К, Ne0 — 2.5-1010 см~э). Сплошная кривая - 6 = 0/ пунктир - 6 = 0.9; штрихи - 6 = 0.99; штрих-пунктир - 6 = 0.999.

Рис. 4. Зависимость максимальной толщины зарядового слоя а0тах — г0 от радиуса микрочастицы г0. Сплошная кривая - £ = 0, пунктир - 6 = 0.999.

Распределение по радиусу. Сферически симметричному случаю при 8 ф 0 соответствует уравнение Пуассона-Больцмана

с граничными условиями (7). В этом случае величина а0 не связана со средним расстоянием между пылинками. Может рассматриваться одна изолированная пылинка в бесконечном объеме плазмы.

Если рассматривать дебаевский атом в бесконечном объеме плазмы, следует положить 8 = 1. В случае квазинейтральной системы это означает, что зарядом на пылинке можно пренебречь по сравнению с зарядом частиц плазмы. Далее мы основное внимание уделим рассмотрению малого заряда частиц 8 — 1.

При 8 — 1, у <С 1 решение уравнения (12) имеем вид:

Заряженная частица в плазме

ip(r) = zq ехр(—r)/r, Е(г) - 20ехр(—г) • (1 + г)/г2.

Оно соответствует бесконечному радиусу дебаевского атома ао —» оо. Конечный заряд частицы г0 может полностью компенсироваться квазинейтральной плазмой только при ее бесконечных размерах.

Если заряд частицы не бесконечно мал, 8 ф 1, радиус дебаевского атома конечен. Его размер определяется зарядом конечного объема, компенсирующим заряд частицы го. В случае конечного радиуса а0 даже при выполнении условий < 1 и 1 - ^ < 1 не удается найти решение, удовлетворяющее обоим граничным условиям (7). Поэтому ниже предлагаются следующие приближенные выражения:

<р{г) =

Здесь гец - эффективный заряд, который можно рассматривать как подгоночный параметр.

2

Рис. 5. Зависимость заряда г(г) (сплошная кривая), напряженности поля Е(т) (пунктирная кривая) и потенциала р(г) (штриховая кривая) от расстояния до центра частицы, измеренного в единицах г0. Радиус микрочастицы г0 = 0.0223 выбран для условий экспериментов [2] (г„  Г о = 0.4 мкм, Лео = 2-5 • Ю10 см~3), 6 = 0.999, а0/г0 = 184.

Пример численного расчета для 1 — 8 <С 1 и больших значений г0 и Е0 приведен на рис. 5. Видно (рис. 6), что при малых расстояниях (г — Го) ~ 1/Ео результаты расчета

по-прежнему хорошо описываются выражениями (10). При больших расстояниях (г — го) 1/Е0 справедливы приближенные выражения (14).

2

Рис. 6. Сопоставление результатов численного расчета суммарного заряда г(т) = Е(г) X г2 (частицы и окружающего ее облака зарядов), находящегося внутри сферы радиуса г с приближенными выражениями. Сплошные кривые - численный расчет; пунктир - расчет по формулам (14); штрихи - расчет по формулам (10): а) вся область изменения г; б) область скачка. Параметры расчета те же, что и на рис. 5, гец = 0.29.

Размеры дебаевского атома. Для того, чтобы выявить, насколько существенно влияет величина 6 на размер дебаевского атома, была проведена серия расчетов аотах = а0(Е0 — оо) при 1 — 8 <С 1. Расчеты показывают (рис. 3), что даже при 1 — 8 — 10~3 величина а0тах не очень велика, порядка нескольких единиц. Это обусловлено слабой логарифмической зависимостью радиуса дебаевского атома от величины 1 — 8 <С 1. Эта зависимость при 0.9 < 8 < 0.999 приближенно описывается выражением а0тах ~

Зависимость максимальной толщины зарядового слоя аотах — Го от радиуса микрочастицы г0 (рис. 4) при 8 ф 1 имеет качественно такой же вид, что и для случая <5 = 0. Также как и в случае 6 = 0, при Го 1 толщина зарядового слоя выходит на постоянное значение, соответствующее рассмотрению плоской задачи при соответствующем значении 8 [8].

Подведем итоги рассмотрения свойств дебаевских атомов, т.е. пылинок, окруженных зарядовыми облаками и находящихся в плазме.

1. При радиусе пылинки, много меньшем дебаевского радиуса, удается получить аналитические выражения, описывающие распределение потенциала и напряженности поля по радиусу. Эти выражения являются приближенными решениями для различных областей изменения радиуса в случае, когда зарядом частиц плазмы можно пренебречь по сравнению с зарядом пылинок. В обратном случае, когда мал заряд пылинок, удается получить аппроксимации, хорошо согласующиеся с результатами численных расчетов.

2. Радиус дебаевского атома, определяемый как расстояние, на котором напряженность поля обращается в нуль, конечен для квазинейтральной системы даже в том случае, когда заряд пылинки стремится к бесконечности. В случае, когда зарядами частиц плазмы можно пренебречь по сравнению с зарядом пылинок, радиус дебаевского атома примерно равен половине среднего расстояния между пылинками. В противоположном предельном случае, когда заряд пылинок мал по сравнению с зарядом частиц плазмы, радиус дебаевского атома логарифмически растет с уменьшением доли заряда пылинок.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Т к а ч е в А. Н., Я к о в л е н к о С. И. ЖТФ, 69, N 1, 53 (1999).

[2] Фортов В. Е., Нефедов А. П., П е т р о в О. Ф. и др. ЖЭТФ, 111, N 2, 467 (1997).

[3] G i b s о n E. G. Phys. Rev., 9, N 12, 2389 (1966).

[4] Ф о p т о в В. E., В л a д и м и p о в В. И., Д е п у т а т о в a JI. В. и др. ДАН, 336, N 2, 184 (1999).

[5] Я к о в л е н к о С. И. Письма в ЖТФ, 26, N 23, 38 (2000).

[6] D e г j a g i n В. and Landau L. Acta Physicochimica URSS, XIV, N 6, 633 (1941).

[7] Я к о в л е н к о С. И. Письма в ЖТФ, 26, N 8, 47 (2000); Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 10 (1999).

[8] Я к о в л е н к о С. И. Письма в ЖТФ, 27, N 9, 83 (2001).

[9]Гундиенков В. А., Яковленко С. И. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 12, 3 (2001).

[10] Ткачев А. Н., Я к о в л е н к о С. И. Письма в ЖТФ, 25, N 1, 52 (1999).

Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 17 января 2002 г.