Замыкания Понселе и многообразие м(0,2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве P3. I

7. Горшанов Д.Л., Шахт Н.А., Поляков Е.В., Киселёв А.А., Канаев И.И. Предварительные результаты обработки пулковского ряда фотографических наблюдений двойной звезды 61 Лебедя, измеренного на автоматической машине “Фантазия” // Известия ГАО. 2002. № 216. С. 100.

8. Дейч А.Н., Орлова О.Н. О невидимых спутниках двойной звезды 61 Лебедя // Астрон. журн. 1977. Т. 54. №2. С. 327.

9. Киселев А.А, Кияева О.В. Определение орбиты визуально-двойной звезды методом параметров видимого движения из наблюдений на короткой дуге // Астрон. журн. 1980. Т. 57. №6. С. 1227.

10. Киселев А.А, Романенко Л.Г. Динамическое исследование девяти широких визуально-двойных звёзд в окрестностях Солнца // Астрон. журн. 1996. Т. 73. №6. С. 875.

11. Кияева О.В. Использование далёких по времени наблюдений для уточнения орбиты визуальнодвойной звезды, полученной методом параметров видимого движения по короткой дуге // Астрон. журн. 1983. Т. 60. №6. С. 1208.

12. Курс астрофизики и звёздной астрономии. Т. II. М.: Физматгиз, 1962.

13. Куто П. Наблюдения визуально-двойных звёзд. М.: Мир, 1981.

14. Мэйсон и др. (Mason B.D., Wycoff G.L., Hartkopf W.I.) Washington Double Stars Catalogue. Washington: U.S. Nav. Obs. 2001. (updated 2004).

15. Романенко Л.Г. Определение орбит широких двойных звёзд ADS 10759 (Psi Dra) и ADS 12815 (16 Cyg) методом параметров видимого движения // Астрон. журн. 1994. Т. 71. №6. С.875.

16. Теребиж В.Ю. Использование априорной информации при восстановлении изображений. Естественный предел разрешения // Астрон. журн. 1999. Т. 76. №1. С. 49.

17. Токовинин А. и др. (Tokovinin A., Balega Y. Y., Pluzhnik E. A., Shatsky N. I., Gorynya N. A., Weigelt G.) Fundamental parameters and origin of the very eccentric binary 41 Dra // Astron. and Astrophys. 2003. v. 409. p. 245.

18. ТутуковА.В. Пылевые диски около молодых звёзд в Орионе // Астрон. журн. 1995. Т. 72. №3. С. 397.

19. Тутуков А.В. Поиск планет около звёзд главной последовательности малой массы // Астрон. журн. 1995. Т. 72. №3. С. 400.

20. Тутуков А.В. Планеты и звёзды // Астрон. журн. 1998. Т. 75. №1. С. 113.

21. Харткопф, Мэйсон (Hartkopf W.I., Mason B.D.) Sixth Catalog of Orbits of Visual Binary Stars. Washington: U.S. Nav. Obs. 2003. (updated 2006).

22. Харткопф и др. (Hartkopf W.I., Mason B. D., Wycoff G. L.) Fourth Catalog of Interferometric Measurements of Binary Stars. Washington: U.S. Nav. Obs. 2001 (updated 2004).

23. Шахт Н.А. Исследование движения и определение кинематических параметров звёзд с невидимыми спутниками по наблюдениям в Пулкове. Результаты фотографических наблюдений 5 Близнецов // Известия ГАО. 1988. № 205. С. 5.

24. Шнейдер (Schneider J.). Extrasolar planets: Overview and future perspectives /Proceedings of International Conference “AstroKazan-2001” (Astronomy and geodesy in new millennium), September 24-29, 2001. Kazan State University: Publisher “DAC”, 2001. P. 313.

25. Эйткен (Aitken R.G.) The New General Catalogue of Double Stars within 120° of the North Pole. Washington: Carnegie Inst. 1932.

С.А. ТИХОМИРОВ

Замыкания Понселе и многообразие М(0,2) модулей стабильных векторных расслоений

ранга 2 на пространстве P3. I

Многообразие M(0,2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 с классами Черна ci=0 и c2=2 на P3 было впервые рассмотрено в работе Р. Хартсхорна [2]. В этой работе он доказал, используя так называемые замыкания Понселе, что M(0,2) имеет структуру расслоенного пространства со слоем — открытым подмножеством гладкой квадрики в P5 над 9-мерным многообразием так называемых регулюсов — гладких квадрик в P3 с выделенной системой образующих прямых. Дальнейшему изучению свойств пространства M(0,2) посвящена серия работ [3]-[7]. В частности, M.Нарасимхан и Г.Траутманн в статье [3] построили компактифика-

цию M(0,2) пространства M(0,2) в терминах замыканий Понселе и построили морфизм

ф: M

Рассмотрим 4-мерное векторное пространство T и его вторую внешнюю степень Н:=Л2Т и будем интерпретировать пространство P(S2Hv) = P20 как пространство квадрик в P(H) = P5. Рассмотрим многообразие A={xe P(S2Hv )| квадрика Qx^P(H) имеет ранг < 3}, где под Qx понимается квадрика в P(H), соответствующая точке в xe P(S2Hv). В работе [4] Ж. Ле Потье показал, что: 1) A изоморфно хорошему в смысле геометрической теории инвариантов фактору Lss//GL(V), где V — двумерное векторное пространство, а Lss — множество GL(V)-

полустабильных по Мамфорду точек пространства L:=Hom(H,S2Vv); 2) замыкание M (0,2) образа многообразия M(0,2) при вложении p:M(0,2) — P20 есть дивизор из линейного ряда

IO 20 (2)| A |; 3) пусть D=n-1 M(0,2), где n:Lss—A — каноническая проекция; тогда D задается уравнением пфаффиана Pfaff(x)=0 для точек xe Lss, интерпретируемых как кососимметрические гомоморфизмы x:T v 0 V—T 0 V v .

В настоящей статье устанавливается взаимосвязь между вышеуказанными результами

работ [3] и [4], а именно, мы находим точное описание многообразия M (0,2) в A как пересечения A с гиперквадрикой Понселе Ф^пс в P20, задаваемой уравнением FG=0, где квадратичная форма Fg определена ниже в (5). Отсюда вытекает связь пфаффиана Pfaff и формы FG через равенство const.Pfaff=p*FG. Эти и другие результаты собраны в теоремах 1, 2 и 3 в конце статьи.

Всюду в статье в качестве основного поля берется k=C. Пусть G:=G(1,3) — грассманиан прямых пространства P3=P(T), соответственно G:=G(2,5) — грассманиан плоскостей пространства P5=P(H), X={(P2,x)e Gх P20|P2 Sing Qx} —-—— A — стандартное детерминантное разрешение многообразия A . На G имеет место стандартная точная тройка

0—S—H 0 Og —— Wv — 0,

где S — тавтологическое подрасслоение ранга 3, а W — второе тавтологическое расслоение ранга 3 на G. Тройка (1) индуцирует точные тройки

0—K—S2H  Og /g — S2 Wv —0

0—B—S2

где К:=кег 82в и Б:=кег е, соответственно.

Естественный изоморфизм сО:Нv —-—— Л4Тv 0 Н = Н, определенный однозначно с точностью до скалярного множителя, является квадратичной формой на Нv, то есть сО £ 82Н=Н0(82Н 0 ОО). В дальнейшем будем интерпретировать произвольный слой W расслоения Ж как подпространство в Н и, тем самым, P(W) как точку в О посредством вложения

W в — Нv — Н, где в — морфизм в (1). Заметим, что эпиморфизм 82в в (2) индуцирует

вложение проективных спектров P(S2Wv )=Р^2Ж)—Р^2Н 0 Оо) = Р^2Н v) х О=Р20 х О, образ которого по построению совпадает с вышеуказанным разрешением X детерминантали А. Тем самым, р : X — Р20 х G———— G — проективное расслоение со слоем Р^^) = Р5 над произвольной точкой Р^) £ О, такое, что Ор(52жv) (1) = в* (Ор20 (1) | А ) . Отсюда следует, в частности, что эпиморфизм е в (3) совпадает с композицией

е: ^2Н)0 Оа = рт2*рт^Орго

где рг1 - проекция Р20 х G — Р20, а морфизм р определен ниже в диаграмме (10).

Рассмотрим сечение

с=Ь0

Морфизм е в (3) индуцирует гомоморфизм групп сечений ф=Ь0(е):

S2(S2H)=H0(S2(S2H) 0 ОО) —H0(S2(S2Wv )), переводящий квадратичную форму

1

2

на S2H v в сечение

ФG:=S2CG— Og 0 Og

и

Фс^с-1 с О с £ Н0^2^2Жv )).

2

(Напомним, следуя [3,§3.2], что по определению сО осО есть симметрический гомоморфизм

S2H v — S2H:x о у а аО(х о у)оО).

Пусть Ра — база семейства а-плоскостей на О и, соответственно, Р/? — база р-семейства

на О, где под а-плоскостью (соответственно, р-плоскостью) понимается плоскость, параметризующая прямые в Р3, проходящие через фиксированную точку (соответственно, лежащие в

фиксированной плоскости). Так как для произвольной плоскости P2=P(W) £ Ра3 и РЪр форма сО^ тождественно обращается в нуль, то из (6) имеем:

Р<а и Р/3 =

Будем говорить, что коника С v в двойственной к Р2 плоскости Р2 v находится в замыкании Понселе с коникой S в плоскости Р2, и называть пару ^,Сv) парой Понселе, если существует треугольник, описанный около S, вершины которого лежат на двойственной к С v конике С=(Сv)v. Как показано в [2,§3], для общей плоскости P(W) ^ Р5 и коники S=P(W)пО={Сх£P(W)|сG(x)=0} множество Ропс(Р^)^)={Сv — коника в Р^v) | ^,С v ) -пара Понселе} удовлетворяет как подмножество в Р^2^ уравнению:

Ропс

Пусть С(О) — схема Гильберта коник, лежащих в О. Рассмотрим расслоенный квадрат

X —— X

/ > ^ Р С

в котором 5:С(О) — О — раздутие О с центром в Ра3 С Р , так что Х=Р( 8 V Ж*) — С(О) — расслоение со слоем Р5, и обозначим M:={xeP(S2 Wv )|(((х)=0}. Как показано в [3], многообразие М (0,2) реализуется как дивизор в X такой, что М (0,2) =М. Отсюда с учетом (8) и (9) следует, что (1) X хх М есть объединение двух дивизоров в X :

X х;г М=С

где Y:=(рот)-1(Ра3 СРв);

(и) М(0,2) — С(О) — расслоение со слоем Ропс(Р^)^) над произвольной точкой (P(W),S) еС(О). Таким образом, предыдущая диаграмма достраивается до диаграммы, состоящей из расслоенных квадратов:

У и Л~

т > т > 8 >

М — X -—— О.

При этом упомянутый в начале статьи морфизм р: М (0,2) —Р20 строится как композиция

А~(0,2) — X —т— X — Р20 х О - — Р20 (см. [3,§2]).

Напомним, что, как доказано в [2,§9], р |М(0 2) — вложение, а значит,

р : М(0,2) — М(0,2) = р(М(0,2)) — бирациональный морфизм. Теперь заметим, что при

этом бирациональном морфизме слои проекции М (0,2) — С(О) в силу определения формы Фс (см. (6) и (7)) переходят в подмногообразия в детерминантали А в Р20 вида

{у £ Р^2^) ^ А | ФО (у) = 0}. Следовательно,

М

где QPonc — гиперквадрика в Р20 с уравнением ФО=0. Назовем QPonc гиперквадрикой Понселе.

Далее, как известно, для х£Ь“ ^ Нош(Н^2У v) 2(Тv 0 V v) определен пфаффиан

Pfaff(x):= Л 4х как элемент пространства Л 8(Тv 0 V v), и согласно Ле Потье [4, предложение

5.1], дивизор п"1 (М (0,2)) на задается уравнением Pfaff(x)=0 (здесь п:Ь“ — А =Ь87/ОЬ(У) — отображение факторизации).

Собирая вместе полученные результаты, имеем следующую теорему.

Теорема 1.

(1) Существует выделенная гиперквадрика QPonc в Р20 с уравнением РО=0 такая, что М(0,2) = АпQPonc .

(2) const.Pfaff=p*FG.

(3) Многообразие М(0,2) как дивизор в X=P(S2 Wv) х О C(О) задается равенством М(0,2) =( Ф )0, где Ф = рт2* ФО(-Д арт2 означает композицию

X — С(О) хР20 — Р20. Соответственно, OX(A~(0,2))= рт2*ОР20 (2)(^).

(4) М(0,2) есть раздутие М вдоль подсхемы 2= р~1(Ра3 С Рв ), где морфизм р X — О определен в диаграмме (10).

Естественный вопрос, возникающий в связи с описанием (12) многообразия М (0,2), состоит в том, является ли QPonc единственной гиперквадрикой в Р20, пересекающей А по многообразию М(0,2), то есть какова размерность линейного ряда 11М А (2) | . Для этого нам по-

требуется следующая лемма.

Лемма. Пусть V - тавтологическое расслоение ранга 2 на грассманниане О'= О(1,Р5). Тогда Н0(82(52У v ))=231.

Доказательство. Рассмотрим многообразие флагов Г = {(х,Р1) £ Р5 х О'| х £ Р1} с проекциями Р5 <——Г —^— О' и обозначим Н=д*ОО(1), Я=г* Ор5 (1). Как известно (см., например, [1,(5.2.2-3) и (5.11.5)]), на Г точна тройка

0 — Н 0 Я"1 — q*Уv— Я—0

и, тем самым, тройка

0 — q*Уv 0 Н 0 Я-1 — Е —— Я2 — 0,

где E:=q*S2УV. Заметим, что det q* Vv =Н, так что det Е=Н3 и имеем изоморфизмы Л2 Е = Еv 0 Н3 = Е 0 Н, поэтому разложение Е 0 Е = 52 Е  Л2Е можно переписать в виде:

Е 0 Е = 52Е Ф Е 0 Н.

Далее, тензорно умножая (13) на Я2 и соответственно (14) на Е, Я2 и Н, получаем с учетом (13) точные тройки

0 — Н2 — q* Vv 0 Н 0 Я—Н 0 Я2 — 0,

0 — q*Уv 0 Е 0 Н 0 Я-1 — Е 0 Е — — Е 0 Я2 — 0,

0 — q* Уv 0 Н 0 Я — Е 0 Я2 — — Я4 — 0,

0 — q* Уv 0 Н2 0 Я-1 — Е 0 Н — — Н 0 Я2 — 0.

Так как левые расслоения в тройках (17) и (19), будучи ограничены на слой Р1 проекции q, имеют, очевидно, нулевые когомологии, то в силу замены базы и спектральной последовательности Лере для проекции q все когомологии этих пучков зануляются, и мы получаем изоморфизмы

Иг

Далее, поскольку т*H2=S2 Ор5 (2), Я1 т*Н2=0, 1>0, из точной последовательности Эйлера и

спектральной последовательности Лере для проекции г находим: Ь0(Н2)=105, Ь1(Н2)=0, 1>0. Аналогично, Ь1(Н 0 Я2)=0, 1>0. Отсюда ввиду (16) и (20) имеем:

Ь0^^ 0Н0Я)=105+Ь0(Н0Я2)=105+Ь0(Е0Н), 0Н0Я) =0, 1>0. Последние равен-

ства вместе с (18) и (20) дают: h0(E  E)= h0(E  R2)= h0(R4)+105+h0(E  H), откуда в силу (15) и равенства h0(R4)=h0(r* Ор5 (4))= h0( Ор5 (4)) =126 получаем: h0(S2(S2 Vv ))=h0(S2E)=231. Лемма доказана.

Теперь рассмотрим многообразие флагов П = {(P1,P2) e G'xG | P1 ^ P2}с проекциями

G ^—П—v— G и обозначим H = v * Og (1), R = Og (1) . На П имеется стандартная точная

тройка расслоений: 0 — H  R-1 — A — B — 0, где обозначено A=v*Wv, B=u* Vv. Эта

тройка индуцирует точную тройку: 0 — H  R -1  A — S2 A ———— S2B — 0, которая, в свою очередь, дает две точные тройки:

0 — ker

0 — H2  R-2  S2A — ker

Нетрудно видеть, что ограничение расслоения B на произвольный слой P2 проекции v

изоморфно Тр1 (-1), а значит, ограничение на этот слой расслоения H  R—  A  S2B изоморфно C3S2Тр2 (-3). Из точной последовательности Эйлера на P2 получаем, что все когомологии последнего пучка тривиальны, а значит, в силу замены базы и спектральной последовательности Лере для проекции v все когомологии расслоения H  R 1  A  S2 B зануляются.

Аналогично зануляются все когомологии расслоения H2  R 2  S2 A. Отсюда и из (21), (22) и предыдущей леммы получаем: h0(S2(S2A))=h0(S2(S2B)). Тем самым,

h0

Сформулируем теперь следующее утверждение, подробное доказательство которого будет приведено в последующей публикации.

Теорема 2. Отображение групп сечений h0(e):S2(S2H) — H0(S2(S2Wv)) для точной тройки (3) сюръективно.

Заметим, что в силу (4) гомоморфизм h0(e) разлагается в композицию

S2(S2H)=H0( Ор20 (2)) —r—} — H0(ОР20 (2)|д ——— H0(Ор(S2W } (2))=H0(S2(S2Wv)).

Отсюда и из теоремы 2 и (23) вытекает Теорема 3. Отображение групп сечений

н0(Ор20 (2)) —r—) — H0(Ор20 (2)|д ——— H0(Ор(S2W } (2))= H0(S2(S2Wv)) —

изоморфизм. Тем самым, гиперквадрика Понселе QPonc — единственная гиперквадрика в р20, высекающая многообразие M(0,2) из детерминантали Д.

Библиографический список

1. 1.Altman A.B., Kleiman S.L. Foundations of the theory of Fano schemes. // Compositio Math. 34 (1977), 347.

2. Hartshorne R. Stable vector bundles of rank 2 on P3.//Math. Ann., 238 (1978), 229-280.

3. Narasimhan M.S., Trautmann G. Compactification ofM^ 0,2) and Poncelet pairs of conics.//Pacific J.

Math., 145 (1990), 255-365.

4. Le Potier J. Instantons de degre 2 et faisceaux quasi-symplectiques. Preprint, Univ. Paris VII, 1990.

5. Narasimhan M.S., Trautmann G. The Picard group of the compactification of Mр 0,2).// J. Reine Angew. Math. 422, 21-44 (1991).

6. Singhof W., Trautmann G. On the topology of the moduli space M(0,2) of stable bundles of rank 2 on P3.// Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 41, No.163, 335-358 (1990).

7. Narasimhan M.S., Trautmann G. Compactification of M(0,2). Vector bundles on algebraic varieties, Pap. Colloq., Bombay 1984, Stud. Math., Tata Inst. Fundam. Res. 11, 429-443 (1987).