Математическая модель интегрированной системы поставок и сбыта продукции

УДК 656.135.073

А.Ю. Тюрин

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНТЕГРИРОВАННОМ СИСТЕМЫ ПОСТАВОК И СБЫТА ПРОДУКЦИИ

Применение принципов логистики на предприятиях становится необходимым условием производственной деятельности на современном этапе. Сокращение собственных затрат с сохранением уровня сервисного обслуживания потребителей возможно только при рассмотрении цепи «поставщик - транспорт - производство - транспорт -потребитель» как интегрированной системы, где транспорт является связующим звеном в этой системе, ритм его работы зависит от ритма закупок, производства и сбыта продукции. При этом на выбор вида транспорта влияют физико-

химические свойства грузов, его объемномассовые характеристики, нормы естественной убыли, тип тары и упаковки и требования по сохранению качества товара в процессе доставки.

Учитывая перечисленное, рассмотрим математическую модель интегрированной системы поставок и сбыта продукции. Исследование будем вести в течение года с интервалом в один месяц (для систем с быстрым изменением уровня производства и спроса период наблюдения и интервал могут быть меньшими, например, месяц и сутки соответственно). При рассмотрении системы будем учитывать экономические и технологические особенности, такие как изменение уровня цен и тарифов во времени, скидки с покупки, емкость складской площади, период задержки поставок, производственная мощность предприятия, тип (грузоподъемность) транспортного средства и т.д.

Так как исследование системы ведется в течение некоторого периода времени и в ней возможны существенные изменения, то в качестве прототипа лучше выбрать динамическую модель. Весь процесс управления в динамической интегрированной системе разбивается на 3 этапа:

на основе динамики спроса определение производственной программы выпуска продукции (определение необходимой производственной мощности по периодам);

на основе спроса и производственной мощности с учетом ограничений складской площади формирование графика поставок сырья на предприятие;

на основе спроса и принципа быстрого реагирования определение графиков доставки готовой продукции конечным потребителям.

Проведем анализ этапов более подробно.

Определение производственной программы выпуска продукции

Рассмотрим следующую ситуацию: на производственное предприятие согласно графику (например, ежемесячно) поступают требования на производство продукции (спрос).

Так как спрос колеблется по месяцам, то возникает задача расчета таких месячных производственных программ, чтобы переменный спрос на продукцию был удовлетворен и суммарные затраты при этом были минимальными. В этой ситуации возможны два варианта: 1) установить постоянный средний уровень производства и тогда максимальная потребность будет удовлетворяться за счет производства в данном месяце и части продукции, не использованной в месяцы с пониженным спросом; 2) установить переменный уровень производства, совпадающий с месячной потребностью в продукции.

В первом варианте, на протяжении планируемого периода, изменений в выпуске продукции происходить не будет. Но переменный спрос при таком постоянном среднем уровне производства приведет к тому, что в отдельные месяцы (с пониженным спросом) производство будет превышать потребности и в результате будут создаваться запасы, хранение которых потребует дополнительных издержек.

При втором варианте разрыв между уровнями спроса и потребления устраняется и в образовании запасов нужда отпадает, но такой режим производства потребует больших затрат, связанных с наращиванием производственной мощности в месяцы максимального спроса и недоиспользованием ее в месяцы с пониженным спросом.

Соответственно, требуется выбрать компромиссный вариант, при котором достигается минимум затрат, связанных с хранением запасов продукции и с колебаниями уровня производства.

Обозначим через Гк спрос и через гк производительность предприятия на к -м шаге (в к-м месяце), к=1,Ы . Так как для своевременного обслуживания потребителей требуется, чтобы спрос всегда удовлетворялся, то гк > Гк , к=1,Ы.

Введем две функции

- §к(?к - Гк) - убытки на к -м шаге из-за избытка производственной мощности и возникновения запасов гк > Гк , к=1,Ы;

-Ик (гк - гк-1) - убытки на к -м шаге из-за изменения уровня производства 2к ^ 2к-1 , к=1,Ы.

Отсюда для минимизации суммарных издержек целевая функция определяется выражением

Цг1,г2,...,гм) =

N

= Т[ёк(гк -Гк) + Ик(гк -гк-1)\—т™ к=1

при ограничениях

гк > Гк , к=1М.

Данная задача может быть решена методом динамического программирования [1]. Обозначим через /к(гк-1') суммарные издержки при оптимальной производственной программе за N^+1 шагов, начиная с к-го до ^го включительно. Тогда оптимальное решение можно получить с помощью рекуррентных соотношений

/к(гк-1) = ¡8к(гк -Гк) + Ик(гк -гк-1)] к к = 1^

= min

Zfc >rfc У + fk+l

где

rk-1 < zk -1 ^ maxrk, к = 1,N, (4) к

rk < zk ^ max гк, к = 1,N.

к

Естественно принять

fN+1(zN) = 0 , ro=°.

Рассмотрим пример для длительности в один год с интервалом в месяц, т.е. N=12. Спрос за год представлен в табл. 1.

Издержки из-за переизбытка производственной мощности и возникновения запасов принимаются равными 2400 р. на 1 т при 2к > Гк .

Затраты на увеличение производительности предполагают равными 3200 р. на 1 т при ?к > 2к-1 , а затраты на уменьшение производительности - равными 1200 р. на 1 т при 2к < 2к-1 . Решение рекуррентных уравнений (3) с учетом ограничений (4-5) дает производственную программу за год, представленную в табл. 2. Общие издержки составят 65200 р.

Формирование графика поставок сырья на предприятие

Для производства товара используется сырье, потребность в котором определяется спросом на конечную продукцию. Выбор вида транспорта производится на основании минимальных совокупных затрат в процессе товародвижения, типа груза и требований, предъявляемых к нему, срочности и надежности поставки. Для выбора моментов предъявления заказов на пополнение сырьем производителей выбирают динамическую модель

в виде процесса с периодом, равным году и временным интервалом в один месяц, и возможностью учета динамики расходования сырья и изменения стоимостных параметров во времени.

Обозначим через t индекс месяца, отстоящего на t шагов до конца ^шагового процесса ( 1=1 соответствует последнему шагу, а t=N - первому). Обозначим через qt - объем поставки сырья в первом из t моментов времени, т; у( - расход данного вида сырья на складе на отрезке времени [^+1], т; О(д) - затраты на доставку заказа размером ^, р.; 8Хр): - затраты на хранение единицы запаса на складе на отрезке времени [^+1], р./т;

Ст - стоимость 1 т груза, р.; 5^ (до - удельные затраты на проведение погрузочно-разгрузочных операций, включая затраты на использование погрузочно-разгрузочных механизмов, р./т.

Тогда суммарные затраты Ь( д 1Д2,---,дк ),

которые необходимо свести к минимуму, определяются из выражения:

ид1,Ч2,-,дк) = к = X Оt(qt) + 5хр1 х(Ь + qt - yt) + t=1

+ Cmtqt + Snpt (qt) x qt + SnP(t+t’) (qt) x qt

при ограничениях:

• на вместимость хранилищ склада

I,

стр

^ It + qt - yt ^ V> t =1,k;

• по загрузке транспортных средств

qt < gN, t = 1,к;

• на неотрицательность переменных

qt > 0, t = 1,к;

где I - текущий уровень запасов сырья на складе потребителя на начало месяца (этапа) t, т; V- максимальный запас (вместимость хранилища), т;

1стр - минимальный (страховой) уровень запасов для обеспечения бесперебойной работы предприятия на случай возможной задержки поставки, т; g

- вместимость одного автомобиля заданной грузоподъемности для доставки сырья потребителю, т;

Таблица 1

Динамика спроса за год

к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Гк,т 21 14 12 18 21 21 19 9 14 15 15 10

Таблица 2

Производственная программа за год

к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2к,т 21 14 14 18 21 21 19 14 14 15 15 10

N количество автомобилей для перевозки сырья потребителю.

В модели предполагается разделение затрат на проведение погрузочных и разгрузочных операций, а именно учет затрат на осуществление разгрузочных операций только после доставки сырья потребителю.

Поэтому в модели введены следующие обозначения : $прг (Чі) х Чі - затраты на погрузочные операции на этапе і; Бпр^+і,) (чі) х чі - затраты на разгрузочные операции после доставки сырья на этапе і+і’.

Здесь і’ - время доставки сырья потребителю. Перевозка заказанного сырья производится целыми единицами транспорта, т.е. целым количеством автомобилей, чтобы снизить затраты на доставку. В модели учитывают и скидки с цены на продукцию, зависящие от объемов поставки.

Обозначим через Ж(ч) затраты на приобретение, погрузку, транспортировку потребителю и хранение сырья на этапе і, а через Wі+і(qі) -

затраты на разгрузочные операции на этапе і+і’:

Щ(чі) = 0і(чі) + Сті Чі +

;

+ $пр{ (чі) х Чі + $хрі х Іі;

^

Данная задача может быть решена методом динамического программирования. Обозначим

через /і(іі+1) суммарные затраты за периоды

с 1 по і при заданной величине запаса Іі+1 на

конец этапа і и при оптимальной политике поставок сырья. Тогда оптимальное решение можно получить с помощью рекуррентных соотношений

Чі є Аі п В, і = 1,к\

1 +

/і(Іі+1) =

= тіп &(Чі) + №(і+і' )(Чі)-

0<Чі < Уі + Іі+1

+ Іі—1

где

і' к ________________

І1 у? ; 0 < Іі+1 < І у^ і =1,к;

5 = 1 ? = і +1+і'

Аі є[0;тіп \у(і+і') + Іі+1; V }] і = 1,к;

В е[о,^Ы].

Для решения задачи также используем выражения /о(І1) = 0 .

Рассмотрим контрольный пример. Потребность в сырье за год зависит от спроса на конечную продукцию, представленного в табл. 1. Для доставки сырья используются автомобили грузоподъемностью £=8 т. Максимальное количество автомобилей для перевозки сырья потребителю в месяц N принимают равным 4. Емкость склада V принимают равной 400 т. Текущий запас на складе на момент начала наблюдения Іі , страховой запас Істр и время задержки поставки і’ принимаем равными 0. Исходные данные по транспортным тарифам Gі, стоимости товара Сті, затратам на

хранение $хр и погрузочно-разгрузочные опе-

хРі

рации $прг приведены в табл. 3.

Кроме

того,

затраты на разгрузку

$пР(і+г') БпРі +100.

Система скидок выглядит следующим образом: при закупках сырья в объеме от 4 до 10 т поставщик делает скидку в 2 %, от 11 до 25 т - 3 %, от 26 до 40 т - 5 %, от 41 до 80 т - 7 %, свыше 80 т

- 10 %.

Используя перечисленные выше экономические и технологические параметры, определим оптимальные объемы поставок сырья в течение года. Результаты расчетов при оптимальной политике поставок сырья в сравнении со спросом отражены на рисунке. Движение расходов по месяцам по различным элементам затрат (погрузка, хранение, транспортировка, приобретение и разгрузка) при оптимальной политике поставок представлено в табл. 4.

Анализируя результаты, представленные на рисунке, можно сделать вывод, что поставки сырья осуществляются автомобилями в количестве 16 т в 4 месяц, в количестве 24 т - в 1 месяц, в количестве 32 т - во 2 и с 5 по 8 месяц. Таким образом формируют от 2 до 4 поставок в месяц автомобилями грузоподъемностью 8 т.

Таблица 3

Исходные данные за год

і 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

01 р. 650 650 780 780 1170 1170 1560 1560 1820 1820 1950 1950

Сті,р./кг 7,5 7 7 6 4 3 3,5 4,5 6 6,5 7 7,5

$хрі ,р./т 40 40 40 50 50 50 60 60 60 70 70 70

$прг ,р./т 11,25 11,25 11,25 11,25 13,75 13,75 13,75 13,75 18,75 18,75 18,75 18,75

Определение графиков доставки готовой продукции конечным потребителям. Рассмотрим логистическую систему сбыта готовой продукции.

Процесс сбыта определяется соотношением между количеством подготовленных отгрузочных партий и наличием транспортных средств. В случае ограниченного режима работы транспортных средств на складе экспедиции накапливается запас готовой продукции, который необходимо вы- Соотношение между спросом и поставками за год

везти в течение небольшого периода времени. Иначе могут исчерпаться ресурсы складской площади в связи с поступлением новой продукции.

Быстрое реагирование на предъявленный спрос и доставка свежей продукции позволят поддержать объем продаж на достигнутом уровне, а задержка поставки, скорее всего, приведет к снижению спроса потребителей.

Таким образом, выбор оптимальных режимов взаимодействия в сбытовых системах должен происходить с учетом технологических особенностей производства и потребления, режимов работы транспорта на основе общих логистических издержек и возможных потерь вследствие неучета рассмотренных выше факторов.

Обозначим через Ху - количество готовой продукции, отправляемое от поставщика в /-й период времени в ]-й пункт потребления, ед.; N общее количество потребителей.

Тогда суммарные затраты, которые необходимо свести к минимуму, определяются из выраже-

Таблица 4

Движение расходов по месяцам__________________________________

( Затраты на разгрузку, р. Затраты на погрузку, р. Расходы на транспортировку, р. Расходы на хранение, р. Расходы на товар, р. Общие расходы, р.

1 370 270 1950 120 174600 177310

2 460 360 2600 840 212800 217060

3 0 0 0 280 0 280

4 280 180 1560 250 93120 95390

5 540 440 4680 800 121600 128060

6 540 440 4680 1350 91200 98210

7 540 440 6240 2400 106400 116020

8 540 440 6240 3480 136800 147500

9 0 0 0 2640 0 2640

10 0 0 0 2030 0 2030

11 0 0 0 980 0 980

12 0 0 0 280 0 280

Сумма затрат 3270 2570 27950 15450 936520 985760

Ц хцх21х12,х22,->хШ ,x2N ) =

2 N = І І і=1]=1

2С?І 1І пЄі] + СіЄ (51ПР — хІІ ) +

+ ] + Сі]

іІ/1

при ограничениях

х1] + х2] = ri, І =1^;

0 < х1і < х1, І = 1^;

0 < х2] < x2, І = 1^;

N N

х1 + х2 ^ ІГ] ; 0 < х1 < І гі І=1 І=1

^ тіп

-т

где С-? - транспортные расходы по доставке про-

V

ния

дукции на расстояние lj от поставщика в i-й пери- мальное реагирование на гоменяющийся спрос.

од времени в.-й пункт потребления, р./км; пе,. -

Ч

количество ездок (рейсов), совершаемое автомобилем в .-й период времени в .-й пункт потребления; Сед - штраф за задержку поставки 1 ед.

и

груза в .-й период времени в .-й пункт потребле-. спр

ния, р./ед.; 8/.- - спрос на готовую продукцию в

/-й период времени в.-м пункте, ед.; Сорг - организационные сборы на доставку продукции (уведомление о прибытии, оформление документов, канцелярские расходы и т.д.) в /-й период времени в.-й пункт потребления, р.; усв - запас свежей продукции, предназначенный для первоочередного вывоза в 1 период времени, ед.; С3 -

и

штраф за задержку вывоза запаса свежей продукции усв от поставщика в /-й период времени в.-й пункт, р./ед.; г. - спрос на готовую продукцию в.-м пункте потребления, ед.; Х1,Х2 - производственная программа выпуска готовой продукции в 1 и 2 период времени соответственно, ед.

Количество ездок пе. определяют делением Х. на грузоподъемность автомобиля и округления полученной величины до целого числа в

большую сторону. Организационные сборы Сорг

У

равны нулю, если Х. =0 , и равны постоянной ., если Х. >0 . Штраф С.

равен нулю при

и равен

С. (8с.пр - Х/.) , если 8 сР - Ху > 0 , и способствует завозу продукции потребителям в соответствии со спросом, т.е. обеспечивается макси-

Штраф Сз (усв /N - Ху) равен нулю, если

Усв/N - xij * 0, равен С-у(усв / N - ху),

если усв / N — Ху > 0 и регламентирует вывоз

запаса свежей продукции от поставщика, равномерно распределенного по N потребителям.

Обозначим через gjj(x¡у) общие потери

(затраты и штрафы), связанные с доставкой готовой продукции в размере Ху и отправляемой от поставщика в первый период времени в j-й пункт потребления, а через g2(rj-xlj) - общие потери,

связанные с доставкой готовой продукции в размере Х2у =Гу- Xij и отправляемой от поставщика во 2-й период времени в j-й пункт потребления.

Тогда

2N

L(xU,X2l,-’Xm,X2N ) = Z Z gim(xim)-

i=¡m=1

Обозначим через fj(xi) суммарные затраты при использовании оптимальной политики обслуживания j потребителей. Тогда оптимальное решение можно получить с помощью рекуррентных соотношений

f( . .\glj(xlj) + g2j(rj — xlj) +1 fj( xi) = mini

xij{fj—l(xl — xlj) j = iN,

где Х1. удовлетворяет условиям

0 < Х1. < Х1, у = 1,Ы;

N ____

0 < г. - Х1. < X г. -Х1, ] = 1^.

.=1

Областью изменения переменной Х1 в

Таблица 5

Распределение спроса по завозам в течение месяца для 10 потребителей, %

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 завоз 35% 79% 65% 40% 68% 14% 54% 45% 93% 66%

2 завоз 65% 21% 35% 60% 32% 86% 46% 55% 7% 34%

Таблица 6

Распределение спроса по завозам в течение месяца для 10 потребителей, ед. _________

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 завоз 9 13 10 9 18 4 13 5 16 16

2 завоз 17 4 5 14 8 22 11 6 1 9

Таблица 7

Расстояния до потребителей_______________________________________

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

lj , км 8 14 3 11 6 4 3 8 6 7

служит

N

0, I rj

j=1

Решая (19) с учетом ограни-

чений (20)-(21), получим оптимальное количество продукции, которое нужно доставить в 1-й период времени ву-й пункт потребления.

Рассмотрим пример практической реализации модели. Готовую продукцию доставляют потребителям грузовыми единицами равными 100 кг. Перевозку груза осуществляют на автомобиле грузоподъемностью 1 т или 10 ед. Завоз продукции происходит 2 раза в месяц. Распределение спроса по завозам представлено в табл. 5 и 6. В качестве периода исследования берут месяц с максимальным спросом из табл. 1 и выбирают производительность (производственную программу выпуска), соответствующую этому месяцу, из табл. 2. Для нашего случая это первый месяц со спросом Г1=21 т и производственной программой выпуска 2}=21 т. За месяц обслуживают 10 потребителей, т.е. N=10. Так как размер грузовой единицы составляет 100 кг, то всего необходимо доставить потребителям 210 ед. Отсюда спрос разбивают по

2 завозам согласно табл. 5 в соотношении 56 : 44 и выбирают производственную программу Х1=210-0.56=118 ед.. Запас свежей продукции усе составляет 50 % от Х1 и равен 59 ед.

Дополнительно примем следующие значения экономических параметров:

ст =10 р./км, сед =64 р./ед., С°рг = 15 р., ч и у

С^- =45 р./ед. , с 2 у =90 р./ед.

Расстояния от отправителя до потребителей представлены в табл. 7.

В результате получаем оптимальное распределение завоза продукции потребителям по периодам времени, которое представлено в табл. 8, и на заключительном этапе формируем маршруты доставки грузов известными методами [2-4] с учетом ограничения на грузоподъемность.

Рассмотрение системы поставок и сбыта продукции как интегрированной системы с учетом ограничений, технологических и экономических особенностей позволяет оптимально распределить ресурсы по элементам системы, по различным

Таблица 8

Оптимальное распределение готовой продукции

№ потребителя 1 завоз, ед. 2 завоз, ед. Месячная потребность, ед.

1 9 17 26

2 10 7 17

3 9 6 15

4 9 14 23

5 17 9 26

6 6 20 26

7 12 12 24

8 5 6 11

9 10 7 17

10 16 9 25

Сумма 103 107 210

периодам времени.

Использование транспорта как связующего элемента интегрированной системы приводит к формированию оптимального графика его работы как на стадии закупок, так и на стадии сбыта. Учет требований на срочность и надежность позволяет правильно закрепить транспортные средства за направлениями перевозок, определить их необходимый количественный состав, а также рационально сформировать структуру парка подвижного состава. Учет неравномерности работы транспорта и колебаний уровня транспортных тарифов позволит выработать политику по использованию собственного и привлекаемого транспорта.

Очевидно, что при использовании рассмотренной выше модели интегрированной системы поставок и сбыта продукции в прикладных целях необходим учет особенностей конкретного производства.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования: Пер. с англ. /Под ред. А.А. Первозванского. - М.: Наука , 1965. - 460 с.

2. Житков В.А. Планирование автомобильных перевозок грузов мелкими партиями. - М.: Транспорт , 1976. - 112 с.

3. Геронимус Б.Л., Царфин Л.В. Экономико-математические методы в планировании на автомобильном транспорте. - М.: Транспорт , 1988. - 192 с.

4. Корягин М.Е, Тюрин А.Ю. Планирование автомобильных перевозок в торговой сети. // Вестн. КузГТУ. - 2000. - №1. - С.43-45.

Автор статьи:

Тюрин Алексей Юрьевич

- канд. экон. наук, доцент каф. автомобильных перевозок.