Деятельность учителя по формированию понятия «Неравенство» в начальном курсе математики

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барсуков А.Н. Алгебра: учебник для 6-8 классов. М.: Учпедгиз, 1964.

2. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие. Ростов н/Д.: Феникс, 2005. 252 с.

3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных: учебник для 8 кл. общеобр. учреждений / под ред. Г.В. Дорофеева. М.: Просвещение, 2005. 355 с.

4. Колмогоров А.Н. Алгебра и начало анализа: учеб. пособие для 9 и 10 классов средней школы. М.: Просвещение, 1985.

5. Макарченко М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике // Известия Российского государственного университета имени А.И. Герцена. № 11(71): Общественные и гуманитарные науки (философия, языкознание, литературоведение, культурология, экономика, право, история, социология, педагогика, психология). СПб., 2008. С. 268-275.

6. Методика и технология обучения математике: курс лекций / под науч. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подхо-довой. М.: Дрофа, 2005. 416с.: ил.

7. Методика и технология обучения математике: лабораторный практикум для студ. матем. факультетов пед. ун-тов / под науч. ред. В.В. Орлова. М.: Дрофа, 2007. 320 с.

8. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / С.А Гастева и др.; под общ. ред. С.Е. Ляпина. М.: Просвещение, 1965. С. 377-423, 445-471.

9. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики: учеб. пособие для студ. физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1977. С. 111-145.

10. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студ. пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. 416 с.

11. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл.: в 2 ч.: учебник для общеобразоват. учреждений. 8-е изд. М.: Мнемозина, 2005. Ч. 1. 160 с.

12. Пидкасистый П.И. Организация учебно-познавательной деятельности студентов: учеб. пособие. М.: Педагогическое общество России, 2004.

А. В. Тихоненко, С. Л. Налесная

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЯ «НЕРАВЕНСТВО» В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Основная роль рассмотрения элементов алгебры в курсе математики начальной школы состоит в формировании обобщенных представлений о числе, смысле арифметических действий. В частности, знакомство младших школьников с базовыми алгебраическими понятиями позитивно влияет на осознание учащимися соответствующих знаний и практических умений в старших классах.

Важно отметить, что включение заданий алгебраического характера в начальный курс математики является не самоцелью, а средством обучения, которое способствует:

- обсуждению найденного решения;

- поиску других способов решения;

- выявлению условий применения тех или иных приемов решения;

- закреплению в памяти ранее используемых приемов решения.

Работа с заданиями алгебраического характера создает предпосылки для формирования и развития предметных ключевых компетенций и является базой последующего обучения в школе.

Одним из ключевых алгебраических понятий, с которым знакомятся младшие школьники, является понятие «неравенство». Выполнение первых заданий в рамках данной темы ставит задачу формирования у младших школьников отношений «больше - меньше», что соответствует положениям теории математики о неравносильных множествах. Логика развертывания предложенного в начальной школе учебного материала заключается:

- в рассмотрении двух предметных множеств;

- в численном сравнении конкретных множеств;

- в осознании количественных характеристик каждого из предметных множеств;

- в фиксации способа выражения количественной характеристики предметного множества числом;

- в сравнении числовых характеристик каждого множества (сравнение чисел), обобщении результата сравнения.

Для этой цели сначала предлагаются задания, в основе которых лежит житейский опыт учащихся. Рассматривая картинки, на одной из которых изображено одно яблоко, а на другой -корзина яблок (много), учащиеся знакомятся с понятиями «один» и «много» и легко устанавливают, где яблок больше, а где меньше.

В этот же период происходит процесс сравнивания не только по количеству предметов, содержащихся в том или ином из рассматриваемых множеств, но и по другим признакам. Так, предлагая ученику взять в руку сначала книгу, а затем тетрадь, учащиеся устанавливают отношения «тяжелее - легче».

Выставив рядом самого высокого и самого низкого ученика класса, младшие школьники реально видят соотношение их роста и формулируют установленное отношение словами: «Миша выше Коли, а Коля ниже Миши», осознавая, таким образом, отношения «выше - ниже». В этих упражнениях важно добиваться грамматически правильной замены одного суждения двойственным ему: «Каменный дом выше деревянного, значит, деревянный дом ниже каменного».

Так, постепенно на уроках математики выполняя логические задачи, преследуется цель:

- научить пользоваться противоположными понятиями (отец старше сына, сын моложе отца; книга шире тетради, тетрадь уже книги и др.);

- развивать математическую речь;

- выражать выявленные отношения с помощью соответствующих слов, перевода их в дальнейшем на языке математических отношений соответствующими символами „<", „>".

На следующем этапе учащиеся самостоятельно устанавливают другие признаки, по которым можно сравнивать те или иные множества предметов. Учитель выставляет две коробки (они разного цвета - красная и белая):

- По каким признакам можно сравнивать данные предметы?

- Сравните коробки по массе?

- Как точнее выразить данную мысль? Что можно сказать о массе белой коробки по отношению к массе коробки?

- Что значит тяжелее, легче?

Аналогичная работа проводится и в случаях сравнения предметов по другим признакам, что позволяет учащимся прийти к выводу о том, что слова "длиннее - короче", "тяжелее - легче", «выше - ниже» указывают на признак, по которому сравниваются те или иные объекты.

Следующий этап формирования отношений неравенства рассматривается на конкретных множествах объектов. Так, устанавливая, кого в классе больше - девочек или мальчиков, учитель предлагает выполнить сравнение данных множеств разными способами. Предугадывая попытку младших школьников ответить на вопрос путем подсчета количество тех и других, учитель просит доказать, что девочек в классе больше, чем мальчиков. Это задание позволяет впервые познакомить учащихся со способом сравнения предметных (объектных) множеств с помощью установления взаимно однозначного соответствия между элементами рассматриваемых множеств. Способ установления взаимно однозначного соответствия в дальнейшем будет ведущим в работе с аналогичными заданиями.

Решение последующего задания предполагает такие способы сравнения множеств:

- установление взаимно однозначного соответствия между элементами сравниваемых множеств;

- непосредственное восприятие количества объектов каждого из предложенных множеств с последующим сравнением чисел, являющихся количественной характеристикой каждого из множеств.

В основе выполнения заданий лежит практическая деятельность: сравнение один к одному реального количества учебников, находящихся в двух пачках, реального количества яблок, находящихся в двух корзинах и др.

Приведем фрагмент урока, иллюстрирующий использование рассматриваемых способов в процессе выполнения задания на сравнение двух множеств. (На столе находятся учебники, разложенные на две стопки).

- Как вы думаете, в какой стопке учебников больше? Почему?

- Все согласны с данным мнением?

- Как проверить наше предположение, используя какой-либо другой способ.

- Как выполнить предложенное действие?

- Мы нашли правильный выход из создавшейся ситуации. Но в реальной жизни не всегда можно визуально определить, где больше предметов, а где меньше. Поэтому для получения правильного ответа на поставленный вопрос следует использовать способ образования пар предметов. (Важно, чтобы при выполнении аналогичных заданий ученики предлагали и использовали различные способы сравнения групп предметов).

Следующий этап работы предполагает переход от сравнения предметных множеств к сравнению чисел, являющихся их количественной характеристикой. Поэтому в этот период предлагаются задания, иллюстрирующие способ сравнения множеств на основе сравнения чисел, который собственно приводит к тому, что для сравнения чисел используются предметные множества, а предметные множества можно сравнивать с помощью чисел, являющихся количественными характеристиками рассматриваемых множеств.

Приведем фрагмент урока, показывающий деятельность учителя по формированию понятий «равенство», «неравенство», представив анализ некоторых этапов данного урока.

Тема урока: «Равенства. Неравенства».

В ходе этапа ознакомления с новым материалом работа строится следующим образом:

На доске выставлены две группы одинаковых кругов (6 и 8). Круги расположены хаотично, что затрудняет их пересчет.

Учитель предлагает сюжет:

- Мама попросила Медвежонка, собрать в лесу сладких ягод для пирожков. Но идти одному в лес скучно. Что можно посоветовать Медвежонку?

- Взяли друзья две корзины и стали складывать собранные каждым ягоды: одну ягодку в корзинку Лисенка; одновременно с этим Медвежонок кладет собранную им ягоду в свою корзину.

В результате проверки, у Лисенка оказалось на 2 круга (ягодки) больше, чем у Медвежонка.

На данном этапе урока четко прослеживается воспитывающий эффект в освоении нравственных норм, в желании продолжить общение и совместную учебную деятельность, создается основа для формирования положительных эмоций в отношении предстоящей деятельности.

Введение в ход урока персонажей помогает не только заинтересовать учеников в решении поставленной учебной задачи, но и обогатить их чувственно-эмоциональный опыт путем развития мышления в плане осознания себя и своего места в мире природы и людей.

- Ну вот, - сказал Медвежонок, - ты сосчитал, сколько у тебя ягод?

Учитель обращается к учащимся класса: « А вы посчитали?»

- Я тоже не считал, - сказал Медвежонок, - но думаю, что у тебя больше на 2 ягоды.

- Почему так решил Медвежонок? Прав он или нет?

Введение проблемного вопроса позволяет развернуть дискуссию. В процессе обсуждения происходит столкновение различных точек зрения и важно учитывать тот факт, что параллельно с работой над непосредственным учебным заданием формируется благоприятная коммуникативная среда: выработка правил сотрудничества, уважение к мнению другого и т.д.

После дискуссии устанавливается способ сравнения: если в каждую корзину клали по одной ягодке одновременно, значит, в них должно быть ягод поровну. Две оставшиеся в корзине ягоды означают, что у одного из друзей ягод больше, чем у другого, так как для них не нашлось пары. Работа на данном этапе позволяет учитывать принцип доступности обучения и принцип индивидуализации обучения. Учителю важно убедиться, что каждый из учеников усвоил учебный материал.

Далее результат работы проверяется пересчетом количества ягод, собранных каждым и сравнением полученных в результате пересчета чисел. Устанавливается: 6 меньше, чем 8. Учитель продолжает рассказ:

- Лисенок не верит Медвежонку. Расположите круги на доске так, чтобы было видно, что у Медвежонка ягод меньше на 2. Как вы расставите круги?

Л оооооооо М о о о о о о

Рис. 1

- В каком ряду кругов больше? Меньше? На сколько больше в верхнем ряду? На сколько меньше в нижнем ряду?

- Что надо сделать, чтобы медвежонку было не обидно?

Продолжается работа, заданная нравственной линией урока, проверяется понимание нравственно-этических норм поведения с близкими.

На этапе закрепления нового материала рассматривают все варианты уравнивания количества кругов, что позволяет развивать нестандартное мышление младших школьников:

а) два круга добавить в нижний ряд;

б) два круга убрать из верхнего ряда;

в) один круг из верхнего ряда переставить в нижний ряд.

Заключительным этапом предложенной работы является подведение учащихся к выводу:

- если сравнивать два множества по количеству предметов, то всегда можно установить: будут ли данные множества равны или неравны (в одном из множеств предметов больше или меньше, чем в другом);

- отношения сравнения множеств предметов можно перевести на язык математики с помощью особых знаков "=" и "не равно";

- для удобства записи отношений «не равно» между числами люди договорились использовать знаки "<" (меньше) и ">" (больше).

Для закрепления умения правильно использовать знаки отношений "<", ">" и записи результата сравнения предлагаются различные задания, предполагающие выбор нужного знака в определенной ситуации. Полезно предлагать и "обратные" задания - по написанным знакам отношений (">" или "<") подбирать множества различных предметов, сравнение которых удовлетворяет указанным отношениям - круги, квадраты, треугольники, бруски и др. Предлагаем систему примерных заданий для работы в данный период обучения:

1) Петя и Коля начали собирать марки. У одного из них было 9 марок, у другого - 5 марок. У Коли меньше марок, чем у Пети. Сколько марок у Коли? Сколько марок у Пети? Запишите неравенство, в котором слева поставьте число, обозначающее количество марок Пети.

2) Сравните числа:

6...4 2...2 5...9

5...5 3...6 2...1

4... 2 9... 4 6... 6

Выберите из данных математических записей одно равенство и два неравенства и подтвердите их верность с помощью иллюстрации.

3) Сравните числа, обозначающее количество вишен на левой и средней ветках; на средней и правой ветках. Запишите соответствующие равенства или неравенства. Какие объекты, представленные на данных рисунках, еще можно сравнить? Составьте все возможные математические записи, позволяющие отобразить отношения равенства или неравенства количества листьев на разных ветках [1, 65].

Рис. 2

4) Запишите сколько котят в каждой корзинке. Перепишите получившиеся числа в порядке их возрастания. Перепишите получившиеся числа в порядке их убывания.

Рис. 3

Сравните числа, обозначающие количество котят в крайних корзинах. Запишите равенство или неравенство, поставив справа число, обозначающее количество котят в левой корзине.

Сравните числа, обозначающие количество котят в корзинах, соседних со средней корзиной. Запишите равенство или неравенство, начиная с числа, обозначающего количество котят в корзине, расположенной слева от средней корзины.

На сколько котят в одной из этих двух корзин больше, чем в другой?

Сравните общее число котят в двух крайних корзинах с общим числом котят в корзинах между ними.

Запишите к данному рисунку другие равенства и неравенства: сравните количество котят с разным окрасом.

Итак, впервые с понятием «неравенство» ученики знакомятся в первом классе. В течение первых двух лет обучения младшие школьники овладевают умением читать и записывать неравенства вида:

а > в, а < в; а + в > с, а + в < с или а - в < с, а - в > с и т.п., а также подбирать натуральные решения для неравенств вида * > ё , * < ё.

В этот период младшим школьникам необходимо систематически выполнять задания, направленные на:

- овладение умением работать с неравенствами;

- развитие логического мышления на материале работы с неравенствами;

- формирование умения аргументировано обосновывать свой вариант решения;

- развитие математической речи и др.

С этой целью рассматриваются задания типа: 1. Поставьте знак сравнения в выражениях, в которых а - натуральное число [2, 13]. а...10 + а 7 - а...7 а...0

87 + а...а + 87 68 - а...58 - а 35 + а...а + 15

29 + а...43 + а а - 17...а - 7 а + а....а

2. В каждом неравенстве оба выражения должны быть или суммами или разностями. Во всех возможных случаях поставьте знаки действий так, чтобы получилось верное неравенство.

47...12 > 47...1 56...33 < 56...23

43...41 > 43...3 74...13 > 86...13

65...2 > 35...5 20...20 < 50...20

Подчеркните неравенства, в которых знак действия можно заменить другим и снова получатся верные неравенства.

3. Поставьте знаки сравнения таким образом, чтобы получились верные неравенства:

* ... ** 2* ... 26 99 ... *8 *2 ... *4

В процессе выполнения задания первого столбика учащиеся рассуждают, примерно, так:

любое однозначное число меньше любого двузначного числа и в случае *...** следует поставить знак «меньше», то есть * < ** .

Размышляя над нахождением решения для второго случая, учащиеся рассуждают так: наибольшее двузначное число в натуральном ряду чисел это число 99. Значит, оно больше любого другого двузначного числа и, следовательно, 99 > *8.

Осуществляя выбор нужного знака отношения для третьего случая, младшие школьники приходят к выводу: цифра, закрытая звездочкой, в значительной степени влияет на выбор знака сравнения. Поэтому, в случае 2*...26 нельзя поставить знака сравнения. Если в случае 2*...26 вместо звездочки стоит цифра большая, чем 6, то следует использовать знак ">", а если вместо звездочки стоит цифра 6, то следует поставить знак равенства. Знак "<" следует поставить, когда звездочка скрывает одну из цифр 0,1,2,3,4,5.

Аналогичное объяснение возможно для случая: *2...*4. На основе полученных знаний в третьем классе происходит:

- знакомство с решением неравенств с переменной величиной;

- рассматривается поиск общих решений двух простых неравенств с одной и той же переменной (система неравенств);

- происходит знакомство с двойными неравенствами.

Сначала младшие школьники сталкиваются с неравенствами, у которых одна часть представлена выражением с переменной. Выполняя такие задания, учащиеся устанавливают разницу между решениями такого неравенства и похожего на него неравенства вида: а>30.

В процессе этой работы происходит знакомство с одним из способов решения неравенства -на основе решения соответствующего ему уравнения. Выбор именно этого способа продиктован тем, что он не требует смены знака отношения между частями неравенства в случаях, когда переменная является вычитаемым или делителем.

Решение неравенств через решение соответствующих уравнений состоит из двух этапов:

- определение значения переменной, при котором левая часть его равна правой (решение уравнения);

- определение множества чисел, при которых данное неравенство верно.

Второй этап может быть выполнен разными способами. Учащиеся либо используют полученные к этому времени знания об изменении значений выражений при изменении одного из компонентов арифметических действий, либо практически определяют произвольные числа - большие корня уравнения и меньшие него. Подставив выбранные числа в неравенство, устанавливают верность выбора.

Рассмотрим оба способа на примере неравенства, решение которого приведено [1, 45]:

1. Как найти решения неравенства х - 12 > 17, не используя более простое неравенство х > 17.

2. Какие числа можно подобрать вместо переменной?

3. Выберите несколько чисел больших 29 и проверьте правильность своего выбора. Затем проверьте несколько чисел, меньших, чем 2. Возможно, ли в этом случае получить верные равенства?

Первый способ решения. х - 12 = 17

х = 17 + 12 х = 29

При х = 29 левая часть неравенства равна правой, а она должна быть больше нее. Так как переменная является уменьшаемым, то значение разности увеличивается при его увеличении. Значит, переменная должна быть больше числа 29.

Второй способ решения:

Возьмем, например, числа 20 < 29 и 30 > 29 и подставим каждое из них в неравенство. 20 - 12 = 8 - получили число, меньшее 17. Значит, числа, меньшие 29, не подходят. Далее находим, что 30 - 12 = 18 - получили число, большее числа 17. Значит, числа, большие 29, являются решениями неравенства.

Другой линией расширения знаний о неравенствах является установление общих решений двух неравенств. То есть знакомство с системами неравенств[1,53], которое происходит в процессе рассмотрения заданий типа:

1) Запишите подряд не меньше 5 натуральных чисел, которые будут решениями каждого неравенства:

х > 15, х < 19.

2) Проверьте, у вас получилась такая запись:

Для х > 15 х = 16,17,18,19,20____

Для х < 19 х = 18,17,16,15.14____

3) Найдите и подчеркните в рядах одинаковые числа. Можно сказать, что это общие решения данных неравенств?

4) Рассмотрите системы неравенств. Найдите натуральные числа, которые будут являться решениями данных неравенств.

а < 20 в > 26

а > 17 в < 29

Заметим, что введение в начальный курс математики алгебраического материала способствует:

- более полному раскрытию арифметических действий, что позволяет усваивать новые математические факты;

- овладению математическими методами решения алгебраических задач;

- накоплению определенного опыта в решении равенств и неравенств;

- освоению эвристических приемов рассуждений и интеллектуальных умений, связанных с выбором стратегии решения;

- расширению и уточнению представлений об окружающем мире средствами учебного предмета « Математика»;

- формированию умения самостоятельного, творческого применения полученных знаний в повседневной жизни.

Таким образом, в результате рассмотрения алгебраического материала учащиеся должны:

- уметь различать знаки отношений;

- сравнивать числа и числовые выражения, выражения с переменной;

- читать числовые выражения и выражения с переменной;

- находить значения числовых и буквенных выражений;

- решать простейшие уравнения, как методом подбора, так и на основе зависимости между компонентами и результатом арифметических действий и др. [3, 184].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика. 3 класс. Самара, 2008.

2. Бененсон Е.П., Итина Л.С. Математика. Тетрадь для второго класса. Самара, 2010.

3. Теоретические и методические основы изучения математики в начальной школе / под ред. А.В. Тихоненко, М.М. Русиновой и др. Ростов н/Д., 2008.