Зеркально-линзовый концентрический объектив

ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВЫИ КОНЦЕНТРИЧЕСКИМ ОБЪЕКТИВ Е.В. Ермолаева, К.Ю. Мацерук, А.А. Репин Научный руководитель - д.т.н., профессор В.А. Зверев

Исследовано влияние применения пластинки с конической преломляющей поверхностью в зеркально-линзовых объективах на поперечную сферическую аберрацию.

В простейшем случае зеркальная оптическая система состоит из одной отражающей поверхности. Схема такой системы, состоящей из сферической и плоской отражающих поверхностей, представлена на рис. 1.

Рис. 1. Пример зеркально-линзовой оптической системы

Будем считать, что центр входного зрачка системы совмещен с центром кривизны С отражающей поверхности. Параметры системы приведен в табл. 1, а остаточные аберрации в изображении, образованном рассматриваемой системой при /о'=50 мм, Б: /о'=1:1 и 2w = 2о30', приведены в табл. 2.

Фокусное расстояние в мм Диафрагменное число Угловое поле

Положение предмета относительно первой поверхности Положение изображения относительно последней поверхности Диаметр входного зрачка

Положение входного зрачка относительно первой поверхности Положение выходного зрачка относительно последней поверхности

Основная длина волны в нм Диапазон ахроматизации

50.0000 1.00000 2°30'00" Бесконечность 15.0000 50.0000 -100.000 65.0000

2600.00 1800.00 - 3200.00

Конструктивные параметры

№ пов.

1 2

Радиусы

-100.000 0.000

D

-35.00

Марки стекол

Показатели преломления 1.000000 -1.000000 1.000000

Световые диаметры

54.22 17.83

Стрелки

-3.75 0.00

Таблица 1. Паспорт оптической системы

S0 MU=0

20 2'0

-100.0 65.00 15.000 50.000 -1.000

н Д^

25.0 -1.64 0.553 -0.907 -38.8

21.7 -1.21 0.466 -0.567 -21.6

17.7 -0.800 0.371 -0.297 -9.54

12.5 -0.395 0.256 -0.101 -2.37

Таблица 2. Остаточные аберрации

По данным табл. 2 построена кривая сферической аберрации, представленная на рис. 2. Величину остаточной аберрации можно существенно уменьшить, если сместить плоскость наблюдения изображения относительно плоскости Гаусса на некоторое расстояние А'. При этом изменение величины поперечной сферической аберрации определяется соотношением вида:

ДgА' = А^о' .

Таким образом, в результате смещения плоскости наблюдения остаточная сферическая аберрация в изображении точки будет равна:

Дg'ост = 8g'-А'tgо'.

Рис. 2. Кривая сферической аберрации по данным табл. 2

Пусть при некотором значении угла о' = оА' остаточная аберрация 5g'ост = 8gА-А'tgоА- 0,

тогда

А' = 5gА' / tgоА'.

На рис. 2 величине А' соответствует тангенс угла у между линией 8g' = А^о' и осью ординат, т.е. А' = tgу. В результате получаем, что после смещения плоскости наблюдения изображения на расстояние А' кривая зависимости 8g'ост = 8g'ост(tgо') примет вид, показанный на рис. 3. Вполне очевидно, что эта кривая выходит из начала координат под углом, равным у, к оси ординат. Кривая дает наглядное представление об эффективности смещения плоскости наблюдения изображения для уменьшения остаточных аберраций. Пусть в рассматриваемой оптической системе коэффициент экраниро-

вания зрачка по диаметру п = 0,5. Введем смещение плоскости наблюдения, при котором поперечная сферическая аберрация на краю зрачка равна сферической аберрации с обратным знаком на краю экранируемой зоны зрачка. При этом при смещении Д' = -1,246 мм изображение осевой точки будет обладать сферической аберрацией, величины которой приведены в табл. 3.

- 0.5

г 0,4

\ ,3

'У7"7'У- / /

- С 2

1 ,1

/

-1,0 -0,5 0 0.5

Рис. 3. Кривая зависимости бд'ост = 5д'ост

Б0 20 ^0

-100.0 65.00 15.000 50.000 -1.000

ми=о н Д8'

25.0 -0.394 0.553 -0.218 21.1

21.7 0.0313 0.466 0.0146 23.3

17.7 0.446 0.371 0.166 20.4

12.5 0.851 0.256 0.218 12.6

Таблица 3. Остаточные аберрации при Д'=-1.246 мм

Для оптических систем с центральным экранированием зрачка в основу дальнейшего улучшения изображения могут быть положены следующие соображения. Пусть кривая поперечной сферической аберрации имеет вид, показанный на рис. 4.

Через крайнюю точку кривой А и точку В, соответствующую крайней точке экрана, проведем прямую, пересекающую ось абсцисс в точке с координатами 5§'о,0. Из рис. 4 следует

5 Я к'- 5 Я Э = 5 Я к'- 5 Я Э

^ °к'- ^ аэ' ^ ак '

Отсюда находим, что

5Яо' = 5Як' - /*к',~ • 18°к

18 а к -18 аэ

или

^ о=

5 Я Э ^ сК - 5 Я к ^ с ^ сК - 1 аэ

Рис. 4. Кривая поперечной сферической аберрации

В этом случае геометрическое изображение точки будет иметь вид кольца шириной, равной разности 5§'р - 5§'о, т.е. расстоянию между пунктирной и сплошной наклонными линиями, как показано на рисунке, при этом радиус внутренней зоны кольца равен 5§'о. Для определения положения плоскости, в которой изображение точки имеет вид узкого кольца, обратимся к рис. 5, из которого находим:

- Д' = -Д

ж

+^=-д

tg <

5 Яо' tg с'

Эти соотношения можно представить в виде Д' = 5 Як - 5 Яо ' = 5 Яэ5 Яо ' tg О tg Оэ' '

При этом в общем случае имеем

5 = 5 Яо + Д' tg с'.

Подставив соответствующие величины из табл. 2 (при п = 0,5) в формулу (6) или (7), получаем 5gо' = 0,594 мм. При этом, используя формулу (8), находим, что Д' = -2,714 мм. Величины аберраций в изображении осевой точки при б- бо' + Д'= 15,0 -2,714 = 12,286 мм, приведены в табл. 4.

Из анализа данных таблицы следует, что поперечная сферическая аберрация в изображении точки измеряется в пределах кольца от 5g' = 0,594 мм до 5g' = 0,71 мм, что можно записать в виде: 5g'ср ± 0,058 мм, где 5g'ср = 0,652 мм. Замена величины 5gо' величиной 5g'ср эквивалентна параллельному смещению наклонной линии на рис. 4; при этом наибольшее значение положительной сферической аберрации будет равно наименьшему значению отрицательной, а сохранение наклона линии определит сохранение положения плоскости наблюдения изображения. Для получения изображения точки в виде пятна, радиус которого равен 5g' = 0,058 мм, необходимо окружность радиуса 5g'ср = 0,652 мм «стянуть» в точку. Для этого применим коническую преломляющую

э

поверхность, вершину конуса которой совместим с центром кривизны С отражающей поверхности.

Дг

Рис. 5. Геометрическое изображение точки в виде кольца

Б0 20 2'0(0) Б'0(0) Р'(0) УЗР(0) Б'Л

-100.0 65.00 15.000 50.000 -1.000 12.286

ми=о н дад тес' У'(0) W(0) ЭТЛ %

25.0 1.07 0.553 0.594 91.7 0

21.7 1.50 0.466 0.699 76.2 0

17.7 1.91 0.371 0.710 55.7 0

12.5 2.32 0.256 0.594 30.3 0

Таблица 4. Остаточные аберрации

Коническая преломляющая поверхность не имеет параксиальной области, и формальная возможность ее применения не очевидна. Однако известно, что коническая поверхность представляет собой асимптотическую поверхность гиперболоида. Сечение поверхности второго порядка меридиональной плоскостью можно определить уравнением вида:

у 2 = 2у2 - (1 + Ь) z 2, где Ь = -е2, е - эксцентриситет кривой.

Тангенс угла наклона (угла с осью 02) касательной к кривой равен

2

у г - (1+Ь)^ _у - ^ _

^ё У = = = ;

а z yz yz

гу tg у = — + .

У z

При

<< 1,

>> 1 можно принять, что

tg 7 * У . z

Прямая линия, определяемая уравнением у = г • у, является образующей конуса, уравнение которого можно записать в виде

х2 + у2 = г2 • 1в2 7.

Запишем уравнение (10) в виде

ут = 2— - (1 + Ь).

Но у >> 2 г

г г

. Тогда

.2

1 + ь

У . 2 — = - ^ У.

Тогда уравнение (10) можно представить в виде

у2 = 2гг + г22 у .

В сечении меридиональной плоскости пластинки, образованной сочетанием плоской и конической преломляющих поверхностей, будем иметь два клина равной величины, но разного знака. Пусть а - угол одного из клиньев. Тогда будем иметь а+у=90°. При этом tg у = о1§ у . Угол отклонения луча клином от начального направления равен

ю =

где п - показатель преломления материала пластины. Требуемый угол отклонения параллельного пучка лучей равен

^ О

Заметим, что знак угла ю определяет знак радиуса кривизны в вершине гиперболы, описываемой уравнением (15).

Используя данные табл. 4, имеем: 8gо' = 5g'ср = 0,652 мм, а /о' = 50 мм. При этом 0,652

ю = —--= -0,01304.

50

ю =

При п=1,42053: а =-0,031; ^ а = tg у = - 32,25.

№ Радиусы Осевые Световые Марки

пов. кривизны расст. высоты стекол

Воздух

1 0.000 5.000 САБ2

2 -0.020* 100.000 Воздух

3 -100.000 -35.000 Воздух

4 0.000 Воздух

Показатели преломления

1.420526 1.416424 1.424881

* Несферическая поверхность вращения е2 = 1218.00000

ПРЕДМЕТ: Удал. размер У = 1.15000гр.мнсек Б0= 0.000дптр от вх.зрачка ИЗОБРАЖ: Близ. размер У'= 0.00000 плоск. Б1= 12.320мм от посл.пов. ДИАФР.: N0= 2 совп. с 2-й пов. ББ= 0.0000 мм передн. апертура= 25.0000 мм

Таблица 5. Конструктивные параметры оптической системы

Подставив эти значения tg у в уравнение

где в =1041. Конструктивные параметры рассматриваемой системы, дополненной пластинкой с конической поверхностью, приведены в табл. 5, а остаточные аберрации в

г

г

изображении, образованном неэкранируемой частью оптической системы, полученные при б'=12,32 мм, представлены в табл. 6.

Из сопоставления величин аберраций в табл. 2 и 6 следует, что изменение конической преломляющей поверхности позволило уменьшить величину поперечных аберраций не меньше, чем в 15 раз.

Б0 20 2'0(0) Б'0(0) Р'(0) УЗР(0) Б'Л

-100.0 65.00 15.000 50.000 -1.000 12.320

ми=о н ДБ'(0) ШС' У'(0) W(0) ЭТЛ %

25.0 -0.113 0.537 -0.0608 -26.9 0

21.7 0.103 0.452 0.0465 -26.9 0

17.7 0.170 0.357 0.0609 -28.7 0

12.5 -0.210 0.243 -0.0512 -29.3 0

Таблица 6. Остаточные аберрации

Рассмотрим систему концентрических поверхностей, две из которых образуют мениск, а две - двухзеркальную систему, при этом будем считать, что вторая поверхность мениска и вторая поверхность зеркальной системы физически представляют собой одну и ту же поверхность, как показано на рис. 6.

Такую систему поверхностей можно записать в виде: п1 = 1 г1 =

ё1 = г1 - г2 п2 = п

г2 =

ё2 = г2 - г3 п3 = 1 г3 =

ё3 = г3 - г4 = - ё2 п4 = - 1 г4 = г2 п5 = 1

Рис. 6. Пример концентрической зеркально-линзовой оптической системы

Оптическая сила концентрического мениска равна

Ф,

=

( 1 1 ^ + (п - 1)/,2 п -1 //,.

V г

г

2 У

щг2

п Чг

Для концентрической системы из двух отражающих поверхностей (при п=-1) имеем

Ф„ = —=-2^

Г3Г4

Г3Г4

Г3Г4

Поскольку центры кривизны всех поверхностей лежат в одной и той же точке, то и главные плоскости лежат в одной и той же плоскости, проходящей через общий центр кривизны поверхностей. При этом оптическая сила зеркально-линзовой системы равна

п -1 d м з

Ф зле =ф м +ф зс =---- - 2 —

п ггг2

гъг4

Но dм = г1 - г2, а dзc = г3 - г4 . Получив г4 = г2, имеем: п -1 3п -1 2

Ф злс =---+ — .

пг

пгп

г

'1 2 '3

При заданной величине оптической силы фзлс свободными параметрами остаются показатель преломления материала мениска и два из трех радиусов кривизны поверхностей.

При выборе радиусов кривизны поверхностей можно руководствоваться следующими габаритными ограничениями. Выразим задний фокальный отрезок в расстояниях ёзс между отражающими поверхностями через коэффициент к^ в виде:

4'=-к^зс = к& (г2 - гз).

При этом расстояние от главной плоскости до заднего фокуса равно:

Пс = - Г2 + 4 ' = (( - 1)г2 - к&Г3 Отсюда находим что:

г

= -г2 + 4, = ( - 1)г2 - к/з, где ~2 = Г2Фзлс . Заметив, что при к & = 1 гз = - /1Лс .

Умножив выражение (21) на Г2 и подставив соотношение (24), получаем:

г2 =

п -1 ~2 3п -1

2к& ~2

п Г2

п

1 -(( - 1)~2

Преобразуем это выражение к виду

г2 3п -1 п ~ =-+

г1

п -1 п -1

г2

1 +

2к &

1 -(( -1)~2 ~2

В рассматриваемом случае > 1. При этом из условия

г1

3п -1 п - + -

п -1 п -1

г2

1 +

2к &

1 -

> 1

находим что

1 +

2к,

1 -

>-2.

Из выражения (24) имеем 1 -1)г) = -к&

Но ~3< 0. Следовательно, 1 -(к& -1)~>> 0. Учитывая это, выражение (27) можно представить в виде:

( -1) - 3~2 - 2 < 0.

При к& Ф 1 в частном случае выражение (28) принимает вид уравнения:

г2

3

к& -1

г2

2

к& -1

= 0.

решение которого можно записать в виде ~ 3

г2 =

9

2

2(к& -4( -1)2 к& - Г

Условию г2 < 0 удовлетворяет решение:

~ 1

г2 =

2 к, -1

' - 1 + 8 ^

Из выражения (28) следует, что при к, = 1 должно соблюдаться условие Г2 > - 3.

Следовательно, в общем случае формулу (29) можно представить условием ( I—I—П

Г >

1 3

2 к, -1

1 -V1+8 ¥

Выбрав величину Г2, удовлетворяющую условию (30), и подставив в выражение (24), получаем величину

~ =-М^. (30

И, наконец, из выражения (26) находим, что

~ = —~2,

1 N

3п -1 п ~

где N =--1--Г2

п -1 п -1

2к, 1 + - 5

1 -(( -

Полученные соотношения существенно упрощаются, если принять к, = 1. При

~ ~ 2 этом выражение (31) примет вид: Г3 = -1; из выражения (28) следует, что Г2 > - 3, а в

выражении (32) величина N становится равной

N = 3п

п -1

~ 2 ~ ~ Заметим, что при Г2 > - 3 и к, = 1 величина N = 1. При этом /3 = /2, т.е. в этом

случае мениск вырождается, и остается лишь одна система из двух отражающих концентрических поверхностей.

_ 2

Пусть к, = 1. Тогда при /' = 50 мм /3= -50 мм; принимаем Г2 = - 0,65> -3, т.е

принимаем /2= -32,5 мм. При п = 1.42053 (флюорит, X =2,6 мкм) величина N = 1,169.

Следовательно, т\ = -27,8. В результате вычислений оказалось, что кривая зависимости

5§' = 5§' 0о') более линейна в неэкранируемой зоне зрачка при / = -25,6 мм,

г2 = /4= -32,1 мм, 7*3 = -50. Конструктивные параметры системы приведены в табл. 7, а

остальные аберрации - в табл. 8.

Подставив соответствующие величины из табл. 8 (при п = 0,5) в формулу (6) или (7), получаем 5§'о = 0,402 мм. При этом, применив формулу (8), находим, что Д'= - 2,633 мм. Величины аберраций в изображении осевой точки при б' = бо'+Д' = = 17,991 - 2,633 = 15,358 мм приведены в табл. 9. Из анализа величин, приведенных в таблице, следует, что поперечная сферическая аберрация в изображении точки изменяется в пределах кольца от 5§' = 0,359 мм до 5§' = 0,408 мм, что можно записать в виде: 5§' = 5§'ср ± 0,025 мм, где 5§'ср = 0,384 мм. Используя данные табл. 9, имеем 5§'о = 5§'ср = 0,384 мм. При этом при /0' = 50,091 мм угол

ю = - 0,384 = -0,007666 . 50,091

3

Фокусное расстояние в мм Диафрагменное число Угловое поле

Положение предмета относительно первой поверхности Положение изображения относительно последней поверхности Диаметр входного зрачка

Положение входного зрачка относительно первой поверхности Положение выходного зрачка относительно последней поверхности

Основная длина волны в нм Диапазон ахроматизации

50.0000 1.25000 2°30'00" бесконечность 18.0000 40.0000 4.2600 -13.4000

2600.00 1800.00 - 3200.00

Конструктивные параметры

№ Радиусы Б Марки Показатели Световые диа

пов. стекол преломления 1.000000 метры

1 -25.600 6.50 Флюорит 1.420526 40.64

2 -32.100 17.90 1.000000 45.31

3 -50.000 -17.90 1.000000 48.85

4 -32.100 1.000000 16.33

Стрелки

-10.03 -9.36 -6.37 -1.06

Таблица 7. Паспорт оптической системы

Б0 20 2'0(0) Б'0(0) Р'(0) УЗР(0) Б'Л

4.256 -13.39 17.99 50.09 0.6266 17.99

ми=0 Н ДБ'(0) ШС' У'(0) ЭТЛ %

20.0 -1.75 0.454 -0.793 -40.8 2.08

17.3 -1.70 0.383 -0.650 -25.0 2.02

14.1 -1.29 0.303 -0.389 -11.4 1.53

10.0 -0.693 0.207 -0.143 -2.84 0.824

Таблица 8. Остаточные аберрации

Б0 20 2'0(0) Б'0(0) Р'(0) УЗР(0) Б'Л

-25.60 -32.10 17.99 50.091 1.000 15.358

ми=0 Н ДБ'(0) ШС' У'(0) ЭТЛ %

20.0 0.887 0.454 0.403 49.9 0

17.3 0.936 0.383 0.359 42.1 0

14.1 1.350 0.303 0.408 32.0 0

10.0 1.940 0.207 0.401 18.1 0

Таблица 9. Остаточные аберрации в изображении осевой точки

При п = 1,42053 в соответствии с формулой (16) имеем а = - 0,01823; = tgY = - 54,856.

Подставив это значение в уравнение (15) и положив Г = - 0,01 мм, получаем уравнение поверхности

х2 + у2 = -0,02г + 3009г2.

Конструктивные параметры рассматриваемой системы, дополненной пластинкой с конической поверхностью, приведены в табл. 10, а остаточные аберрации в изображении осевой точки, образованном неэкранируемой частью оптической системы, полученные при б' = 15,358 мм, представлены в табл. 11. Схема оптической системы показана на рис. 7.

Рис. 7. Схема оптической системы по данным табл. 10

№ Радиусы Осевые Световые Марки Показатели преломления

пов. кривизны расст. высоты стекол Воздух

1 0.000 4.000 СЛБ2 1.420526 1.416424 1.424881

2 -0.010* 25.600 Воздух

3 -25.600 6.500 СЛБ2 1.420526 1.416424 1.424881

4 -32.100 17.900 Воздух

5 -50.000 -17.900 - Воздух

6 -32.100 Воздух

* Несферическая поверхность вращения е2=3010.00000

ПРЕДМЕТ: Удал. размер У = 1.15000гр.мнсек Б0= 0.000дптр от вх.зрачка ИЗОБРАЖ: Близ. размер У'= 0.00000 плоск. Б1= 15.358мм от посл.пов. ДИАФР.: N0= 2 совп. с 2-й пов. ББ= 0.0000 мм передн. апертура = 20.0000 мм

Таблица 10. Конструктивные параметры оптической системы

Б0

ми=0

20 2'0(0) Б'0(0) Р'(0) УЗР(0) Б'Л

-25.60 -32.10 17.99 50.091 1.000 15.358

н ДБ'(0) тас' У'(0) W(0) ЭТЛ %

20.0 0.0862 0.464 0.0400 -8.48 0

17.3 -0.011 0.392 -0.0043 -8.49 0

14.1 0.144 0.311 0.0447 -9.02 0

10.0 0.175 0.215 0.0375 -10.7 0

Таблица 11. Остаточные аберрации

Анализируя приведенные в таблице величины поперечной сферической аберрации, видим, что следовало бы принятую величину 5§о' увеличить на 0,0202 мм. Принимая 5§о' = 0,404, получаем ю ~ ю = -0,008069; а ~ а = -0,01919; у = -52,11. При этом уравнение конической поверхности (гиперболоида) принимает вид

Х2 + _у2 = - 0,02 г + 2700 ¿2.

Полученные при этом остаточные аберрации изображения приведены в табл. 12.

Б0 20 2'0(0) Б'0(0) Р'(0) УЗР(0) Б'Л

-25.60 -32.10 17.99 50.091 1.000 15.358

ми=0 Н ДБ'(0) ТСС' У'(0) ЭТЛ %

20.0 0.0424 0.464 0.0197 -11.8 0

17.3 -0.0627 0.393 -0.0246 -11.3 0

14.1 0.0785 0.312 0.0245 -11.3 0

10.0 0.0803 0.215 0.0173 -12.4 0

Таблица 12. Остаточные аберрации

Из сопоставления величин аберраций, приведенных в табл. 8 и 12, следует, что применение пластинки с конической преломляющей поверхностью позволило уменьшить величину поперечной сферической аберрации не менее, чем в 30 раз. Рассматриваемая оптическая система формирует изображение вполне приемлемого качества на сферической поверхности радиуса Я= - 46,5 мм в пределах углового поля 2м> = 25°. Конструктивные параметры системы приведены в табл. 13, а остаточные аберрации - в табл. 14.

№ Радиусы Осевые Световые Марки Показатели преломления

пов. кривизны расст. высоты стекол Воздух

1 0.000 4.000 СЛБ2 1.420526 1.416424 1.424881

2 -0.010* 25.600 Воздух

3 -25.600 6.500 СЛБ2 1.420526 1.416424 1.424881

4 -32.100 17.900 Воздух

5 -50.000 -17.900 - Воздух

6 -32.100 Воздух

* Несферическая поверхность вращения е2=2700.00000

ПРЕДМЕТ: Удал. размер У = 12.30000гр.мнсек Б0= 0.000дптр от вх.зрачка ИЗОБРАЖ: Близ. размер У'= 0.00000 мм ММ= -46.5000 Б1= 15.358мм от посл.пов. ДИАФР.: N0= 2 совп. с 2-й пов. ББ= 0.0000 мм передн. апертура= 20.0000 мм

Таблица 13. Конструктивные параметры оптической системы

Б0 20 2'0(0) Б'0(0) Р'(0) УЗР(0) Б'Л

-25.60 -32.10 17.99 50.091 1.000 15.358

ми=0 Н ДБ'(0) ТСС' У'(0) W(0) ЭТЛ %

20.0 0.0424 0.464 0.0197 -11.8 0

17.3 -0.0627 0.393 -0.0246 -11.3 0

14.1 0.0785 0.312 0.0245 -11.3 0

10.0 0.0803 0.215 0.0173 -12.4 0

Таблица 14. Остаточные аберрации

Высокое относительное отверстие первой отражающей поверхности, обусловленное конструкцией рассмотренной оптической системы, определяет ее сравнительно малую длину, чуть превышающую фокусное расстояние. Но именно высокая светосила первого зеркала определяет большую кривизну первого мениска, что не позволяет получить более высокое относительно отверстие, чем 1:1,25, всей системы в целом.