Математическая модель динамики шпиндельного узла для процесса плоского шлифования

УДК 621.9.06

Математическая модель динамики шпиндельного узла для процесса плоского шлифования

А. В. Шафранов, А. Е. Кобитянский, Т. В. Смышляева

В работе представлена математическая модель динамики шпиндельного узла для процесса плоского шлифования. Показано, что математическое моделирование динамических процессов шпиндельныхузлов, позволяющее выявить и численно оценить наиболее важные факторы, влияющие на точности обработки деталей. В процессе моделирования выявлены особенности функционирования шпиндельныхузлов станка модели 3В642. Проведен анализ влияния конструктивно-технологических параметров на спектральные и вибрационные характеристики элементов шпиндельных узлов.

Ключевые слова: шпиндельные узлы, математическая модель, динамика, составная модель.

Введение

Динамические процессы металлорежущих станков играют значительную роль в обеспечении точности обработки деталей машин и надежности оборудования. Наиболее ответственными узлами, оказывающими непосредственное влияние на точность обработки и жесткость станка в целом, являются шпиндельные узлы (ШУ). Описанию моделей динамики ШУ и их изучению посвящено значительное количество исследований [1], однако из-за сложностей явлений, протекающих при резании, нелинейности и параметричности упруго-дисси-пативных характеристик ряд вопросов изучен недостаточно. Таким образом, математическое моделирование динамических процессов ШУ, позволяющее выявить и численно оценить наиболее важные факторы, влияющие на точность обработки деталей, является актуальной задачей при эксплуатации и совершенствовании технологического оборудования.

Основная часть

Построение математической модели ШУ основано на принципе составной модели [1], учитывающей совместно приводной электродвигатель, передаточный механизм, шпиндель-

ный вал, его опоры и режущий инструмент. На рис. 1 представлена расчетная схема ШУ для процесса плоского шлифования периферией круга.

Электродвигатель замещается эквивалентной массой, а его механическая характеристика представляется в форме зависимости движущего момента от угловой скорости ротора ю: Мд = f (ю). Связь вала шпинделя с двигателем, осуществляемая передаточным механизмом при его наличии, замещается упругим элементом, характеризуемым приведенным коэффициентом жесткости С3. В качестве передаточных механизмов могут применяться зубчатые, ременные и другие типы передач. Система двигатель - передаточный механизм имитируется блоком 1 (рис. 1).

В качестве опор шпиндельного узла рассматриваются подшипники качения как наиболее распространенные в практике мирового станкостроения [1]. Они представляются в виде эквивалентных упругодиссипативных элементов (рис. 1).

Упругие характеристики опор качения обладают нелинейностью и параметричностью, так как их изменение при вращении обусловлено изменением расположения тел качения относительно линии действия радиальной составляющей нагрузки, и зависят от числа тел качения, нагрузки и зазора. Значения коэффи-

[18

№ 3(87)/2015

МЕТАЛЛООБ

.РАБОТКА

Рис. 1. Расчетная схема ШУ для процесса плоского шлифования периферией круга

циентов жесткости в вертикальной и поперечной плоскостях [2]:

к

т-1

Сх = Кп X

1=0

т-1

Сг = Кп X (я + хcosпг + гsinпг)п 1sin2пг,

г=0

где К — коэффициент, зависящий от кривизны колец и упругих постоянных материала; п — показатель степени (шарикоподшипники — 3/2, роликоподшипники — 10/9); т — количество тел качения в подшипнике; я — предварительный радиальный натяг; х, г — смещение подвижного кольца подшипника соответственно в направлении действия радиальной нагрузки и перпендикулярном к нему направлении; Пг — угол между линией действия радиальной нагрузки и радиусом, проходящим через центр г-го тела качения подшипника.

Значения коэффициентов демпфирования опор качения получены на основе известных результатов решения дифференциального уравнения Рейнольдса для давления и центральной толщины масляной пленки. Коэффициенты полного сопротивления по вертикальному и поперечному направлениям [2]:

т-1

демпф г 4 4

а4 а4

ш ш

= 2 X —Г,-ч3~ "" .-Гз*п п,

2 I=1 <в

где ^ — коэффициент вязкости масла; агв (агн) — радиус площадки контакта тела качения с внутренним (наружным) кольцом подшипника в 1-м контакте; Н0гв (^щ) — начальная толщина смазочного слоя между телом качения и внутренним (наружным) кольцом подшипника в 1-м контакте; (8^) — сближение тела качения с внутренним (наружным) кольцом подшипника в г-м контакте.

Для оценки кинематического возбуждения колебаний в опорах, вызванного погрешностями изготовления деталей подшипников, учитываются неровности желобов колец. Предполагается недеформируемость тел качения и колец подшипников. Тогда с учетом вертикального и поперечного направлений функции неровностей:

Н  =

-X Ак [к (фс + 1у) + ак ] +

V к=1

X вк sin [к (Сфс -гу) + Рк ]

к=1

^ Пг;

Н

т-1

=2

I = 1 ~№

демпф х ~

< ОН

1 <

^еоя п;

Нгг =

п

-Х Ак sin [к (Фс +гУ) + ак ] +

V к=1

+ Х вк sin [к (Сфс - гу) + вк ]

к=1

Sin Пг

+

МЕШПООБМБОТК|»

где п — количество гармонических составляющих; Л^ Bk — амплитуды к-й гармоники соответственно для контуров наружного и внутреннего колец; Ок, вк — сдвиг фазы к-й гармоники для тех же контуров; с — коэффициент, учитывающий разность углов поворота внутреннего кольца и сепаратора.

На рис. 1 также введены следующие параметры: Свала — приведенная крутильная жесткость шпинделя; 1с, /^в и /шп+инстр — момент инерции вала шпинделя, приведенные моменты инерции ротора двигателя и системы шпиндель—инструмент; М^ — приведенный движущий момент, развиваемый на валу электродвигателя.

На динамику шпиндельного узла существенное влияние оказывают внешние факторы, к которым в первую очередь следует отнести силу резания, возникающую в процессе обработки детали. Для случая плоского шлифования силы резания представляются аналитическими зависимостями, позволяющими в явной форме учесть основные параметры процесса резания в виде [2]:

P = k P •

x "ш г'

0,185U Kb d-

P=

x

K

¥

(2 a 1 1 1

V

11+V

2+V

-sv2

X

мые через несущую систему станка, в математической модели представляются разложением в ряд Фурье.

С учетом перечисленных выше особенностей, математическая модель динамики шпиндельного узла в вертикально-поперечной плоскости имеет вид

[A][Y] + [B (Y, f)][Y] + + [C][Y] + [F(Y, f)] = [Q(Y, f)],

4n+V+6 n+0,5

xt-40+ry-

где Рх и Рг — соответственно радиальная и тангенциальная составляющие силы резания; кш — коэффициент шлифования, кш = 1 - 3; и, V, X, а — коэффициенты, зависящие от характеристики обрабатываемого материала; 1, Кь, К§, у, п, п — коэффициенты, зависящие от характеристики шлифовального круга; Бкр — диаметр шлифовального круга; 8 — поперечная подача; vд — скорость перемещения детали; т — глубина шлифования; vкр — скорость абразивного резания; И(£) — радиальный износ рабочей поверхности круга во времени.

Внешние (по отношению к шпиндельному узлу) динамические возмущения, передавае-

где [A] — матрица постоянных инерционных коэффициентов; [B] — матрица коэффициентов демпфирования; [C] — матрица коэффициентов жесткостей системы; [F] — вектор-столбец параметрических и нелинейных составляющих коэффициентов жесткостей правой и левой опоры шпинделя; [Q] — вектор-столбец обобщенных сил.

Следует отметить, что вектор [Q] формируется с учетом заданной схемы резания (подвод инструмента, врезание и т. д.).

В качестве обобщенных координат приняты следующие параметры (рис. 1): Х1, Х2 и Z1, г2 — соответственно вертикальные и поперечные перемещения шпинделя в левом и правом подшипниках; Х3, Х4 и Z3, Z4 — вертикальные и поперечные перемещения шкива шпинделя и инструмента; ф^, Фшк и Финстр — угловые перемещения ротора двигателя, шкива шпинделя и инструмента.

Математическая модель является параметрической и нелинейной из-за периодических изменений и нелинейности коэффициентов жесткостей и демпфирования опор качения.

Расчет динамических характеристик системы (9) реализуется в виде программного комплекса SpindelDinamic 6.6020 [2, 3] средствами языка программирования C# в среде Visual Studio.NET. В основу решения положен метод Рунге—Кутта с автоматическим выбором шага.

Моделирование влияния конструктивно-технологических факторов процесса плоского шлифования периферией круга на виброактивность ШУ осуществлялось на примере станка 3В642. Процедура моделирования заключалась в варьировании определенных конструктивных параметров ШУ и режимов резания при неизменных остальных. Фрагмент графического представления результатов одного из расчетов дан на рис. 2.

1

Xi, мкм

Max = 1,13123t = 14,67 Min = 1,17464t = 15,22

T

t, мс

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Рис. 2. Фрагмент вертикальных виброперемещений шпинделя в левой опоре при пшп = 2000 об/мин

Форма полученных кривых (рис. 2) характерна для биений, когда частота одной из компонент незначительно отличается от другой. Проведенные исследования показали, что, например, для левой опоры колебания, образовавшие биения, находятся в фазе по косинусу. Высота горба (сумма амплитуд) £>1 + 52 = 1,2 мкм, высота талии (разность амплитуд) - $1 = 0,24 мкм, отсюда 5>1 = 0,48 мкм, 52 = 0,72 мкм; период биений Тб = 0,0084 с, следовательно, частота биений v6 = v2 - v1 = 1/ Тб = 119,048 Гц.

Частота заполнения (видимая частота колебаний за одно биение), равная частоте гармоники с наибольшей амплитудой, V2 = 5 / 0,0084 = = 595,238 Гц (пять периодов за 0,0084 с). Из двух последних выражений получается: V1 = = v2 - v6 = 595,238 - 119,048 = 476,19 Гц. Так как расстояние между вершинами в талии меньше, чем расстояние в горбе, то более высокая частота V2 = 595,238 Гц действительно относится к колебанию с большей амплитудой $2 = 0,72 мкм. Таким образом, из анализа следует, что сигнал является результатом сложения двух колебаний: $1 = 0,48 cos (952,38nt) и $2 = 0,72 cos (1190,47nt), где произведен переход к угловым частотам: Ю1 = 2 nV1 = 952,38п; Ю2 = 2nV2 = 1190,476п . Частоты двух компонент, составляющих биение, значительно превосходят частоту вращения шпинделя юшп = = 209 рад/с, из чего следует вывод, что в данном режиме работы шпиндельного узла не возникает явления резонанса.

Аналогично проведен гармонический анализ ряда других графических иллюстраций результатов расчета.

Для оценки влияния типоразмеров и погрешностей беговых дорожек подшипниковых опор качения проведены расчеты в соответствии с формулами (5) и (6) при фиксированных режимах обработки. Установлено, что при уве-

личении количества тел качения подшипников с 10 для серии 66408 до 16 для серии 46108 при пшп = 2000 об/мин виброперемещения инструмента уменьшаются в вертикальном направлении на 6,5 %, в поперечном — на 10,7 %.

При низких частотах вращения точностные возможности шпиндельных узлов обусловлены в значительной степени параметрами точности их подшипников. Неровности вводили в виде дефектов волнистости и гранности дорожек качения [1]. Ряд численных расчетов проведен в диапазоне изменения параметров дефектов: наружные кольца: высота волнистости 0,5— 3,0 мкм; шаг волнистости 1,5—10 мм; высота гранности 0,5—2,5 мкм; шаг гранности 6—12 мм; внутренние кольца: высота волнистости 0,5— 4,8 мкм; шаг волнистости 1,0—10 мм; высота гранности 2,0-6,0 мкм; шаг гранности 14-24 мм.

Фрагмент результатов одного из расчетов дан на рис. 3. Временной сигнал на рис. 3 можно представить как результат сложения трех гармонических компонент. Первые две компоненты имеют частоты, незначительно отличающиеся друг от друга, приводящие к биениям (см. рис. 2).

Третья компонента, со значительно более низкой частотой, является рузультатом введения в математическую модель функции погрешностей беговых дорожек подшипника качения. Действие третьей компоненты состоит только в том, что она смещает по высоте точки суммарной кривой, т. е появляется длинная волна.

Из проведенных расчетов следует, что при увеличении частоты вращения шпинделя с 2000 до 4000 об/мин независимо от формы и размеров дефектов колец максимальные виброперемещения инструмента увеличиваются. В зависимости от параметров неровностей беговых дорожек разница может достигать до 60 %.

J u

Х2, МКМ

5,12

Max = 4,22419 t = 28,24 Min = 1,27388 t = 6,92

t, мс

0

-1,28

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Рис. 3. Фрагмент графика виброперемещения шпинделя в правой опоре в вертикальном направлении с учетом волнистости внутренней дорожки качения подшипников высотой В = 2 мкм

В результате моделирования динамики ШУ установлено, что картина протекания динамических процессов шпиндельного узла при учете параметричности и нелинейности характеристик опор существенно отличается от случая постоянных значений жесткостных и демпфирующих параметров опор.

Показано, что увеличение скорости перемещения заготовки, поперечной подачи, глубины шлифования приводит к значительному росту виброперемещений на инструменте, повышение частоты вращения шпинделя — к уменьшению. При варьировании режимов резания наибольшее влияние на вибропремещения инструмента оказывает скорость перемещения заготовки.

На основе преобразования Фурье в диапазоне 40-2000 Гц определен частотный спектр системы. Наблюдается кратность частот, что характерно для параметрических колебаний. Основная частота колебаний — 206,5 Гц.

Для подтверждения правомерности предложенной модели (9) проведен натурный эксперимент. Динамические характеристики элементов ШУ в процессе плоского шлифования (рис. 4, а) при различных режимах резания определе-

a)

б)

ны системой вибрационного мониторинга и диагностики роторных машин ОАО ВАСТ («Виброакустические системы и технологии», Санкт-Петербург). Скорость электродвигателя регулировалась с помощью инвертера SJ200-015NFEF/NFU фирмы Hitachi [2] (рис. 4, б).

Обрабатывалась деталь из конструкционной стали 12Х2Н4А посредством электрокорундового шлифовального круга типа 1-250 х 40 х 75 24А25НСМ26К5. Частота вращения шпинделя варьировалась с шагом 500 об/мин в диапазоне 500-4500 об/мин.

Замеры проведены пьезоэлектрическими датчиками прибора СД-11 (рис. 4, в) по 10 линейным усреднениям для каждого опыта, что гарантирует надежность измерений. В каждом замере определены характеристики общего уровня виброперемещения, виброскорости, виброускорения типа «пик», «пик-пик» и среднеквадратичное отклонение «скз», а также усредненный спектр указанных характеристик. На основе проведенных измерений отслежены величины вибрации на выбранной частоте по имеющемуся спектру анализатором СД-11 и на персональном компьютере — после передачи данных со сборщика.

в)

Рис. 4. Проведение эксперимента: а — ШУ станка; б — преобразователь частоты; в — сборщик данных СД-11

и шагом Нв = 2 мм

ЕТАПЛООБРАБОТК]

а)

Xl, мкм 4,5

4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5

0

I

б) Xl, мкм 4,4

4,0

3,6

3,2

2,8

2,4 2,0 1,6 1,2 0,8 0,4 О

1

,1 , «У ... 1 к

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 f, Гц

О 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 /, Гц

Рис. 5. Вертикальные колебания шпинделя в левой опоре при частоте вращения 2000 об/мин: а — спектр частот, полученный при моделировании — 212; 649,5; 833,5 Гц; б — спектр частот, полученный из эксперимента — 236; 632; 794 Гц

Сравнение частотных спектров на основе преобразования Фурье при моделировании с результатами экспериментальных замеров автоспектров динамических характеристик показало точность 15 %. Фрагменты результатов теоретических и экспериментальных исследований для левой опоры шпинделя в вертикальном направлении представлены рис. 5.

Результаты эксперимента подтверждают параметрический характер изменения динамических характеристик в процессе функционирования шпиндельного узла. Таким образом, проведенные натурные испытания подтверждают правомерность использования предложенных в работе моделей.

Выводы

1. Разработаны расчетная схема и математическая модель ШУ на опорах качения в вертикально-поперечной плоскости с учетом динамической взаимосвязи между приводным электродвигателем, валом шпинделя и инструментом. Предложенная математическая модель учитывает нелинейность и параметричность опор качения шпинделя, что оказывает существенное влияние на характер динамических явлений, протекающих в процессе функционирования ШУ.

2. Разработан и реализован программный комплекс по моделированию на ЭВМ динамики ШУ, позволяющий эффективно производить количественные и качественные оценки пока-

зателей функционирующих и проектируемых ШУ металлорежущих станков.

3. В процессе моделирования выявлены особенности функционирования ШУ станка 3В642. Проведен анализ влияния конструктивно-технологических параметров на спектральные и вибрационные характеристики элементов ШУ.

4. Установлено, что при определенных режимах обработки динамические характеристики инструмента могут достигать больших значений, оказывая неблагоприятное влияние на качество обрабатываемых деталей.

5. Натурные испытания подтвердили результаты теоретических исследований динамики ШУ на основе математического моделирования.

6. Основные положения работы без существенных доработок могут быть использованы при исследовании динамики ШУ и других технологических машин.

Литература

1. Пуш А. В., Зверев И. А. Шпиндельные узлы. Проектирование и исследование. М.: Станкин, 2000. 197 с.

2. Ханов А. М., Шафранов А. В., Кобитянский А. Е. Моделирование динамики и натурные испытания шпиндельного узла // СТИН. 2009. № 12. С. 2-5.

3. Ханов А. М., Кобитянский А. Е., Шафранов А. В. Исследование динамики шпиндельных узлов станков на основе математического моделирования // Изв. Самарского научного центра Российской академии наук. 2012. Т. 14, № 1 (2). С. 439-447.

№ 3(87)/2015