Непрерывная логика. Основные понятия

Непрерывная логика. Основные понятия

В.И. Левин

abstract. We consider the Continuous Logic and its algebras and present the basic laws of quasiboolean algebra of continuous logic. We also discuss the difference between finite-valued logic and continuous logic.

1 Введение

В последние годы было выяснено, что математический аппарат непрерывной логики может быть с успехом применен для количественного исследования многих устройств и систем. В связи с этим в данной статье-обзоре дано общее описание непрерывной логики, ее задач и методов, и определены ее основные операции. Описана алгебра непрерывной логики, перечислены ее основные функции с 1, 2 и 3 переменными. Изложены законы этой логики, отмечено их отличие от законов дискретной двузначной логики. Представлены проблемы перечисления всех непрерывно-логических функций от заданного числа переменных и представления этих функций в стандартной форме. Показано отличие этих форм от соответствующих в двузначной логике. Описаны процедуры минимизации непрерывно-логических функций и их декомпозиции на функции с меньшим числом переменных. Отмечены особенности этих процедур по сравнению с соответствующими в двузначной логике. Даны постановки и методы решения задач анализа и синтеза непрерывно-логических функций. Изложены основы дифференциального и интегрального исчисления для непрерывной логики. Показано наличие у любой непрерывно-логической функции точек, где производная не существует. Описана проблема полноты для непрерывной логики, имеющиеся здесь результаты и их отличие от аналогичных в дискретном случае.

Непрерывная логика (НЛ) вводится как естественное обобщение дискретной логики (ДЛ). При этом большинство законов ДЛ остается в силе и для НЛ. Однако операцию отрицания НЛ нельзя определить так, чтобы она была дополнением, как, па-пример, в двузначной логике, т.е. чтобы выполнялись законы исключенного третьего и противоречия. Поэтому структурно НЛ существенно отличается от двузначной ДЛ. Это и непрерывность переменных приводит к определенным отличиям НЛ от ДЛ в номенклатуре решаемых задач и методике Pix решения. На сегодня НЛ сложилась как самостоятельная научная дисциплина, характер которой определяется потребностями ее гармоничного развития как математической дисциплины и потребностями ее многочисленных приложений, охватывающих чуть ли тте все области человеческой деятельности: математика (аппроксимация функций, геометрия, теория множеств, теория чисел, интервальный анализ); техника (расчет электрических цепей; синтез функциональных генераторов и АЦП, расчет аналоговых и цифровых устройств, моделирование формы дбтщтби, н дежпость, диагностика и техническое обслуживание); системы (теория систем обслуживания, распознавание образов и анализ сцеп, принятие решений, обработка информации, синхронизация); экономика (дискретная оптимизация, теория расписаний, моделирование экономических систем), биология (моделирование нейронных структур), социология (моделирование динамики поведения коллектива); политология (моделирование динамики общества), история (моделирование потоков исторических событий). Во всех вышеперечисленных областях применение НЛ позволило либо впервые получить аналитическое решение задачи, либо прийти к решению, существенно лучшему, чем известные, в отношении обозримости при высокой размерности задачи и/или трудоемкости ее решения.

Основными задачами НЛ являются: 1) перечисление всех функций НЛ с данным числом аргументов; 2) представление функций НЛ в стандартной форме (в т.ч. однозначное представление); 3) выделение элементарных функций НЛ; 4) минимизация рт декомпозиция функций НЛ; 5) анализ и синтез функций НЛ; 6) решение уравнений и неравенств НЛ; 7) дифференцирование рт интегрирование функций НЛ; 8) установление полноты

системы функций НЛ. Задачи 1-4 по постановке (и частично по методам решения) аналогичны соответствующим задачам ДЛ. Задачи 5-8 специфичны для НЛ.

Для получения новых результатов в НЛ используют ряд прямых методов: 1) вычисление таблицы значений логического выражения; 2) эквивалентные преобразования логических выражений; 3) сочленение частных логических выражений в общее; 4) расчленение общего логического выражения па несколько частных. Кроме того, используют метод погружения алгебры НЛ в более общую дистрибутивную структуру, с привлечением методов теории структур.

2 Общее описание непрерывной логики

Пусть C = [A, B] замкнутый интервал с серединой M = (A + B)/2. Основные операции НЛ определяются на C в виде

a V b = max(a, b) (дизъюнкция),

(1) a Л b = min(a, b) (конъюнкция),

a = 2M — a (отрицание).

Л

операции включения a D b = (a + b) Л B, импликации a ^ b = a V b, эквивалентаости (a = b) = (a V b)(a V b), неэквивалентности (a /=b) = ab V ab, Шеффера a\b = ab, Вебба a { b = a V b, противоречия (a = a) = aa, тавтологии (a = a) = a V a, запрета (a^b) = ab. Алгебры, образуемые множеством C вместе с теми или иными базовыми операциями на нем, называются алгебрами НЛ. Любая функция вида Cn ^ C, в форме суперпозиции конечного числа базовых операций данной алгебры НЛ, примененных к аргументам Ж1,...,ЖП Е C, называется функцией НЛ. Число функций НЛ конечно, хотя множество всех функций вида Cn ^ C является бесконечным.

Наиболее разработанная алгебра НЛ - квазибулева алгебра

(2) A = (C; V, Л,~).

Любая функция непрерывной логики в алгебре (2) па любом a1, ... , an

гуметттов или его отрицания. Поэтому задать такую функцию

можно таблицей значений, в которой каждому варианту упорядочения значений множества аргументов ставится в соответствие тот аргумент а или его отрицание азначение которого принимает функция. От табличного можно перейти к аналитическому представлению функции, используя метод сочленения. Обратный переход осуществляется методом расчленения.

Число Р (п) функций НЛ от п аргументов в квазибулевой алгебре растет с увеличением п весьма быстро: Р(0) = 2,Р(1) = 6, Р(2) = 84, Р(3) = 43918. Для п = 0 эти функции-константы

(3) уо = А,у1 = В.

Для п = 1 это константы Уо,У1 и еще 4 функции, существенно зависящие от аргумента х

(4) у2 = х,уз = х, у4 = х V х, у5 = хх.

п=2

одного аргумента (х1 или х2), 10 функций, зависящих от двух аргументов

У10 = х1 V х2, У11 = х1х2, У12 = (х1 V Ж2)(х V х2),

(5) У13 = х!Ж2 V Ж1х2, У14 = ЩМ, У15 = жТУж^,

У16 = Ж1 V х2, У17 = х1 V х2, У18 = У19 = х!%2,

и еще 64 функции, зависящие от 2 аргументов, получаемые суперпозицией перечисленных 20 функций, либо составлением таблицы значений функции и последующ»™ переходом к ее аттали-

п=3

все упомянутые выше функции, зависящие не более чем от 2 аргументов, и все функции, существенно зависящие от 3 аргументов. Из последних наиболее употребительны дизъюнкция и конъюнкция

(6) у = х1 V х2 V х3 = max(x1,x2,x3), у = х1х2х3 = min(x1,x2,x3),

медиана и ее отрицание

у = med(x1, x2, x3) = x1x2 V x1x3 V x2x3, у = med(x1 ,х2, х3) = х1х2 V х1х3 V х2х3,

функции Шеффера и Вебба

(8) y = X\X2X3, y = Х\ V X2 V X3,

элементарные трехместные дизъюнкция и конъюнкция

(9) y = Xi V Xi V X2 V X2 V X3 V X3,y = X1X1X2X2X3X3.

Остальные функции, су1цестветтно зависящие от 3 аргументов, можно получить суперпозицией перечисленных выпте функций либо составлением таблицы значений функции и последующим переходом к ее аналитическому представлению. Аналогично строятся множества функции НЛ от большего числа аргументов.

Заметим, что число P(n) функций НЛ от n аргументов растет при увеличении n гораздо быстрее, чем число Q(n) функций двоичной логики. Например, учитывая, что Q(0) = 2, Q(1) = 4, Q(2) = 16, Q(3) = 256, получаем

{1, n = 0, 1,5 , n = 1, 5,25, n = 2, 171,55, n = 3.

Поэтому изучать свойства функций НЛ путем их перебора, как это делается в двоичной логике, нельзя. Так что ограничиваются изучением наиболее важных типовых функций НЛ.

Основные операции НЛ впервые рассмотрел Р. Мак-Нототт. Общее описание НЛ и ее математический аппарат разработали С.А. Гинзбург, В.И. Левин, П.Н. Шимбирев. Обзор соответствующих работ приведен в [1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12].

3 Законы непрерывной логики

НЛ есть непосредственное обобщение ДЛ па случай непрерывного множества-носителя C. Поэтому большинство законов ДЛ сохраняется и в НЛ:

(10) a V a = a,aa = a (тавтология),

(11) a V b = b V a,ab = ba (переместительный),

,

,

(14) a V b = ab, ab = a V b (де Моргана),

(15) a V ab = a,a(a V b) = a (поглощение),

(16) a = a (двойное отрицание),

(17) aA = A,aB = a,a V A = a,a V B = B

,

(18) aa(b V b) = aa,aa V (b V b) = b V b

(Клини).

Однако законы противоречия и исключенного третьего ДЛ здесь не действуют и заменяются па следующие законы

(19) aa = M — \a - M|, a V a = M + \a - M\.

Так как операции НЛ применяются к непрерывным величинам, естественно Pix применение совместно с алгебраическими операциями над непрерывными величинами: сложением и умножением.

При комбинировании операций НЛ со сложением и умножением появляются новые законы - распределительный при сочетании дизъюнкции рт конъюнкции со сложением и умножением

a + (b V c) = (a + b) V (a + c), a + (b Л c) = (a + b) Л (a + c); a — (b V c) = (a — b) Л (a — c), , , a — (b Л c) = (a — b) V (a — c);

a  (b V c) = a  b V a  c, a  (b Л c) = a  b Л a  c; —a  (b V c) = (—a  b) Л (—a  c), —a  (b Л c) = (—a  b) V (—a  c); a, b, c ;

закон спуска отрицания па слагаемые (21) a + b = a — b = b — a

и др. Операции НЛ выражаются через алгебраические операции сложения и умножения при использовании нелинейных оиера-

Так, дизъюнкция и конъюнкция НЛ выражаются в виде

(22) a V b = 0, 5[a + b + \a - b\], a Л b = 0, 5[a + b -\a - b|].

Проверка законов (10)-(22) осуществляется перебором всех возможных вариантов упорядочения значений переменных и установлением для каждого варианта равенств левой и правой часта.

Возможность выражения операций НЛ через алгебраические операции (см. формулы (1), (22)) означает наличие связей между алгеброй и логикой.

Обобщая ДЛ, сама НЛ есть частный случай дистрибутивной структуры с псевдодополнением (то есть с операцией отрицания, которая тте есть дополнение, так как тте выполняются законы исключенного третьего и противоречия). Значения непрерывных переменных НЛ, принадлежащих интервалу [A,B], имеют интерпретацию, сходную с ДЛ: граничное значение X = A (x = B) считается мерой истинности абсолютно ложного (абсолютно истинного) высказывания, промежуточные значения X, A < X < B

C=

[0, 1]

С.А. Гинзбург, В.И. Левин и Е.И. Беркович. Обзор соответствующих результатов содержится в [1, 2, 4, 6, 8, 12].

4 Перечисление и стандартизация непрерывно-логических функций

Наиболее традиционными для логики задачами НЛ являются перечисление всех функций НЛ с данным числом аргументов и представление их в стандартной форме.

Перечисление всех функций НЛ в алгебре (2) требует указать для них соответствующие аналитические выражения. Для этого можно использовать двухэтаппую процедуру: 1) перечисление таблиц значений функций (таблицы для всех функций

ций - единичной функции

\ X\

имеют одинаковый порядок следования вариантов упорядочения аргументов X1,..., Xn и их отрица нпй x\,...,xn, отличаясь распределением значений функций, равных Xi или Xi, между вариантами); 2) переход от таблиц к соответствующим аналитическим выражениям методом сочленения. Однако такой подход при n ^ 3 затруднителен. Поэтому на практике ограничиваются определенными классами функций НЛ, которые выделяют по признаку сходства с соответствующими классами функций ДЛ, простоты получения формулы, важности практического применения.

В качестве стандартных форм функции НЛ в алгебре (2) принимают дизъюнктивную PI конъюнктивную нормальные формы (ДНФ pi КНФ). Otipi отличаются от аналогичных форм двузначной ДЛ тем, что Pix элементарные конъюнкции (дизъюнкции) могут вместе с аргументом Xi включать и его отрицание Xi (см., например, (9)). Переход от любого аналитического представления функции НЛ к ее ДНФ или КНФ аналогичен соответствующему для функции двузначной ДЛ. Он coctopit в случае ДНФ в: 1) спуске отрицаний па более простые выражения согласно законам (14), (16); 2) раскрытии скобок согласно 1-му закону (13), в случае КНФ - в: 1) таком же спуске отрицаний; 2) введении скобок согласно закону (13). Для упрощения получаемого представления функции используют законы (10), (15), (18).

ПРИМЕР 1. Перейдем от функции НЛ, заданной аналитически, к ее ДНФ.

(x1x2 V x2x3)x1x4 = (x1x2 V X2x3)(x1 V X4) =

= x1x2 V x1X2x3 V x1x2X4 V X2x3X4 = x1x2 V x1X2x3 V X2x3X4.

В качестве однозначных стандартных (канонических) форм функций НЛ принимают канонические ДНФ и КНФ. ДНФ однозначно представляет функцию НЛ, если она тупиковая (несократимая) дизъюнкция неразложимых элементарных конъюнкций. В свою очередь, элементарная конъюнкция неразложима в дизъюнкцию конъюнкций, если она фундаментальна, т.е. непротиворечива (не содержит одновременно Xi и Xi) или противоре-чрта, по содержит все аргументы данной функции, в прямом Xi или инверсном Xi виде. Отсюда - алгоритм приведения любой ДНФ функции НЛ к канонической ДНФ: 1) выделить в

ДНФ все фундаментальные конъюнкции; 2) каждую нефундаментальную конъюнкцию к (она противоречива и содержит не все аргументы функций) представить дизъюнкцией фундаментальных конъюнкций, для чего взять ее конъюнкцию с подходящей дизъюнкцией вида Xj V Xj (что не изменит величины к, содержащей XiXi ^ M, ибо Xj V Xj ^ M) и раскрыть скобки; 3) из каждой пары сравнимых (в отношении конъюнкций ДНФ исключить меньшую. Полученная каноническая ДНФ по смыслу (по не по форме) аналогична совершенной ДНФ булевой функции.

ПРИМЕР 2. Преобразуем функцию НЛ, з&дшнную в ДНФ, к канонической ДНФ:

y = X2X4 V X1X2X3X4 V X1X2X2X3X3.

Здесь первые две конъюнкции - фундаментальные. Третья конъюнкция - нефундаментальная, при умножении на X4 V X4 разлагается в X1 x2X2x3X3x4V Vx 1 x2X2x3X3X4. Полученные две

фундаментальные конъюнкции поглощаются первыми двумя

y

Окончательно каноническая ДНФ функции y = x2x4 V x1X2x3X4.

Любая функция непрерывной логики, отличная от фундаментальной конъюнкции, разложима, т.е. класс неразложимых (элементарных) функций НЛ в алгебре (2) состоит из одних фундаментальных конъюнкций.

Задан рте рт перечисление функций НЛ изучали K.M. Кларк, Д. Дюбуа, А. Прад, А. Капдель, В.И. Левин, М. Мукайдотто, П.Н. ПЪтмбртрев (см. обзоры [3, 5, 6, 8, 9, 10, 11J). Представление функций НЛ в стандартной форме исследовали Ф.П. Препарата, А. Капдель, Д. Дюбуа, А. Прад, В.И. Левин, П.Н. ПЪтмбртрев (см. обзоры [3, 6, 8, 9|).

5 Минимизация и декомпозиция непрерывно-логических функций

Минимизация функций НЛ преследует ту же цель, что рт минимизация функций ДЛ — приведение функций к форме с минимальным чртслом вхождений переменных.

Минимизация функций НЛ в алгебре (2) разработана лить для функций, представленных в ДНФ. Ее задана - найти ДНФ с минимальным числом вхождений всех букв хг,хг. Процедура минимизации аналогична соответствующей для булевых функций: 1) отыскание всех фундаментальных конъюнкций функции НЛ / (они играют роль элементарных конъюнкций СДНФ булевой функции) и представление / в канонической тупиковой форме; 2) отыскание всех простых импликаттт функции (как обычно, импликантой функции / считаем элементарную конъюнкцию к, такую, что к ^ /; если к не поглощается другими импликанта-ми, она называется простой); 3) нахождение минимального покрытия множества фундаментальных конъюнкций множеством простых импликаттт (например, с помощью импликатттттых таблиц). Содержание шагов 1, 2 специфично для функций НЛ. О шаге 1 сказатто выше. О шаге 2. В его осттове — понятие консенсуса элементарных конъюнкций кг'. тел и к1 = хга, к2 = хгЪ, где а,Ъ — конъюнкции других букв, то консенсус к^ и к2 — это множество таких противоречивых конъюнкций: 1) аЪ, (если она противоречива); 2) конъюнкции х^аЪ, г = 1,п (если аЪ непро-к1 , к2

при каком г, консенсус = 0.

к1

= х1х2х3, к2 =

х23 консенсус {х1х2~х2, х!х3Ж3}. Для элементарных конъюнкций к1 = х1х2х3, к2 = х2х3 консенсус {х1х2х3х3,х1х2х2,х1х1х2}.

/ хт р сдст

ленной в тупиковой ДНФ / = V кг, выполняется по такому ал-

г

горитму: 1) для некоторой пары (кг, к]) образуется консенсус; 2) к дизъюнкции V кг добавляются все конъюнкции, полученные

г

на шаге 1; 3) удаляются все конъюнкции ка, входящие в другие конъюнкции кь (т.е. ка ^ кь) Шаги 1-3 повторяются для новых пар (кг, к]) до тех пор, пока выражение функции / не перестанет изменяться. Окончательное выражение / = V кг в качестве

г

конъюнкций кг будет содержать все простые импликанты функ-/

В связи с быстрым ростом числа функций НЛ при увеличении числа их аргументов и сложностью их минимизации важттое значение имеет задача декомпозиции этих функций.

Декомпозицией функции НЛ f (х),х = (х\,... , Хп) называется представление f в виде композиции нескольких функций НЛ с меньшим числом аргументов

Если множества хг, % = 0, т не пересекаются, декомпозиция называется разделительной, в противном случае — перазделитель-ной. Представление (23) с т = 1 называется простой декомпозицией. На сегодня известен липть алгоритм поиска простой декомпозиции функции НЛ в алгебре (2).

Вопросы минимизации и декомпозиции функций непрерывной логики исследовали А. Каттдель, Д. Дюбуа, А. Прад, П.Н. Шимбирев (см. обзоры [3, 8, 9, 10]).

6 Анализ и синтез непрерывно-логических функций

Анализ и синтез функций НЛ отличаются от аналогичных задач

Пусть Ох — область значений вектора аргументов х = (х1,...,хп), Df — область значений функции НЛ f(х) и имеется взаимно-однозначное соответствие

Анализом функции f называется нахождение в соответствии с(24) области D области Df и функции f (х). Син-

тезом функции f (х) называется построение по заданным областям Dx и Df такой функции НЛ f, которая реализует соответствие (24). Основные методы анализа разработаны для частных случаев, когда f — многоместная дизъюнкция или конъюнкция, а Df — полуинтервал или интервал. Они основаны на следующих эквивалетттпостях

(23) f (х) = ^[/^(х™),...,^1),^],^ С х,% = 0, т.

1

в ДЛ.

(24) (х е Dx) & и(х) е Df).

V ^ а ) & (х1 ^ а или ... или хп ^ а);

п

V хг ^ Ь & (х1 ^ Ь, ..., хп ^ Ь);

г=п {

Л хг ^ а ) & (х1 ^ а, ..., хп ^ а);

Л хг ^ Ь I & (х1 ^ Ь или ... или хп < Ь).

В общем случае при произвольной функции НЛ f и ее области Df применяют формальные методы, разбивая Df на подобласти — полуинтервалы, решая для каждой соответствующие неравенства (см. §7) и объединяя результаты. Иногда анализ

f(X) f

стям Dx1,..., DXn для аргументов X1, ...,Xn (составляющим в совокупности область Dx) соответствующей области Df (24). Эта постановка обраттта рассматриваемой выше, а ее решение проще. Оно основано па эквивалептпостях

(a ^ X1 ^ b, c ^ X2 ^ d) & (26) (a V c ^ X1 V X2 ^ b V d, ac ^ x1x2 ^ bd), (a < X < b) & (2M — b < X < 2M — a).

Задача синтеза функции НЛ в общем случае не имеет единственного решения, а алгоритм ее точного решения неизвестен. Возможный путь отыскания решения таков: 1) отбросить требование X ^ Dx; 2) выбрать какую-либо типовую функцию f

f(X) n

X Е Dx Df

f(X) f(X) Е Df

f(X) X

C. В итоге получаем обычную задачу анализа: найти в соответ-D Df

f

Проблемами анализа и синтеза непрерывно-логических функций занимались А. Каттдель [3], А. Коффматт [о], П.И. Шимбирев [9|, В.И. Левин [13, 15J.

7 Решение уравнений и неравенств непрерывной логики

Уравнения и неравенства НЛ по смыслу аналогичны уравнениям рт неравенствам ДЛ. Однако методы Pix решения особые, в связрт с тем, что НЛ оперирует непрерывными множествами.

Уравнением (неравенством) НЛ называется уравнение (неравенство):

где — заданные различные функции НЛ, а = (а1,..., а^) —

вектор параметров, х = (х1,..., хп) — вектор неизвестных. Частным решением уравнения (неравенства) (27) называется любой х

(27), а общим решением — совокупность всех частных решений. Уравнения и неравенства НЛ классифицируются по числу неизвестных п и по сложности функций НЛ левой и правой частей, представленных в стандартной тупиковой ДНФ. Полное уравнение (неравенство) с 1 неизвестным в стандартной форме

(28) ах V а'х V Ьхх V а ^ йх V в!х V ¡хх V в.

Наибольшее число неизвестных и их отрицаний в одной элементарной конъюнкции стандартизированного уравнения (неравенства) называется его порядком I. Для (28) I = 2. Уравнения (неравенства) с I = 1 называются линейны ми, а с I ^ 2 - нелинейными. Общий вид линейного уравнения (неравенства) с п неизвестными в стандартной форме

Уравнения (неравенства) НЛ делятся па содержащие и не содержащие отрицание неизвестных. Основным методом решения уравнений (неравенств) НЛ является последовательное расчленение ртх правых и левых частей, позволяющее заменить исходное уравнение (неравенство) эквивалентным объединением систем более простых уравнений и неравенств.

ПРИМЕР 4. Рассмотрим уравнение (неравенство) вида (27), в котором последняя операция в левой части — дизъюнкция НЛ

Используя определение дизъюнкции НЛ, это уравнение (неравенство) можно расчленить, представив в виде эквивалентного объединения двух систем уравнений-неравенств

(27) f (a,x) S F(a,x),

fi(a,x) V f2(a,x) S F(a,x).

Г /1 (а,х) ^ /2(а,х) 1 ( /1(а,х) < /2(а,х) 1 I /1(а,х) ^ ^(а, х) ) \ /2(а,х) ^ ^(а,х) /'

Здесь каждое полученное уравнение (неравенство) проще исходного, так как в одной части содержит мепытте операций. Процесс упрощения можно продолжить расчленением правой части заданного уравнения (неравенства) и т.д. Этот процесс продолжается до получения нерасчлеттяемых уравнений и неравенств, дающих в совокупности решение заданного уравнения (неравенства) .

Случай, когда последняя операция в левой или правой части заданного уравнения (неравенства) есть конъюнкция НЛ, рассматривается аналогично.

Теорию и методы рептепия уравнений и неравенств НЛ разработал В.И. Левин. Наиболее полные сведения по этому вопросу содержатся в [2]. Обзорные сведения можно также найти в [4-6, 8].

8 Дифференцирование и интегрирование непрерывно-логических функций

Как известно, функции ДЛ зависят от дискретных аргументов и потому не могут дифференцироваться и интегрироваться.

Функции НЛ зависят от непрерывных аргументов и потому могут дифференцироваться и интегрироваться. Трудность дифференцирования функций НЛ в том, что они всегда содержат точки излома, где производная не существует. Назовем функцию НЛ, образованную суперпозицией операций V и Л над ар-хг

да). Точка х = (х1, '-,хп) называется полурегулярной у функции 1-го рода, если она имеет е-окрестность с постоянной упорядоченностью х1,'", хп. Точка х = (х1,х1, '",хп,хп) называется регулярной у функции 2-го рода, если она имеет е-окрестность с постоянной упорядоченностью х1,Ж1, '-,хпхп. Для полурегу-

хх точтто, чтобы ее координаты были строго упорядочены по величине. Справедливы следующие теоремы: 1) Любая функция НЛ 1-го рода имеет в каждой полурегулярпой точке единственную производную по любому аргументу со значениями из множества

{0, 1}; 2) любая функция НЛ 2-го рода имеет в каждой регулярной точке единственную производную по любому аргументу со значениями из множества {1, —1, 0}; 3) любая функция НЛ f в каждой точке существования ее производных df /dxi,i = 1,n, имеет тте более 1 производной, отличной от 0. Основным методом дифференцирования функций НЛ является их последовательное расчленение с получением совокупности более простых выражений, справедливых в соответствующих подобластях, и их дифференцированием. При необходимости используются также общие ПрсШИЛс1 дифференциального исчисления (производная суммы, произведения и т.д.). Несколько примеров производных от функций НЛ:

x'x = 1, (x)'x = —1, (x V x)'x = 1(x — M) — 1(M — x),

(30) (xx)'x = 1(M — x) — 1(x — M), x = M;

(xi V x2)'xi = 1(xi — x2), (xix2)Xi = 1(x2 — xi), xi = x2-

Здесь 1(x) — единичная функция. Условие x = M исключает x=M

указанных производных тте существуют. Дифференциальное исчисление в НЛ служит источником новых тождеств (законов). Отти появляются, в частности, при дифференцировании законов алгебры НЛ и могут рассматриваться как дифферепциальпо-разттостпые уравнения, определяющие различные функции НЛ. Например,

(31) (xi V x2)xi + (xix2)xi = 1, (xi V x2)xi • (xix2)xi = 0.

Система из двух дифференциальных уравнений (31) определяет две функции НЛ — дизъюнкцию и конъюнкцию, которые являются решениями этой системы.

При дифференцировании функций НЛ с большим числом аргументов целесообразно приведение этих функций 1С С'JL'iäiHД]^ äp'Г ттым формам, в которых дифференцируемая переметтттая выделена. От такой формы легко взять производную. Примеры выделенных форм в классе ДНФ:

(32) ax V d, bx V d.

Их производные

, , (ax V d)'x = 1(ax — d)  l(a — x), ax = d, x = a; (bx V d)'x = l(bx — d)  1(x — b), bx = d, x = b.

Для функций НЛ можно определить также производные высших порядков (2-го, 3-го и т.д.). При этом любая функция 1-го рода в каждой полурегулярпой точке и любая функция 2-го рода в каждой регулярной точке имеют производные высших порядков рт все oiiPi равны 0.

Фупкцрш НЛ, равно как pi фупктцш непрерывных переменных, можно рттттегрртровать. Для этого подынтегральную функцию последовательно расчленяют, получая совокупность более простых выражетшй, справедлртвых в cbopix подобластях, ГД6 их ртптегррфугот.

В случае ттеобходртмострт ртспользутотся также обычные пра-вртла рттегррфоватшя (рттттеграл от суммы, разбртеттрте рттттервала рттегрртроватшя pi т.д.). Получаемые рттттегралы в сртлу пепре-рывпострт футткцртй НЛ всегда существуют.

Дртффереттцртальттое pi рттттегральттое ртсчртслетше для футткцртй НЛ разработалр! pi ртсследовалрт Е.И. Берковртч pi В.И. Леврттт. Обзор Pix работ прртведетт в [10, 13, 15].

9 Проблема полноты в непрерывной логике

В НЛ, как pi в ДЛ, существует проблема полноты. Сттстема функций НЛ {f 1 ,...,fm} называется полной (базисом) в классе R, если любую функцию из R можно представить суперпозицией функций f1,..., fm. В отличие от ДЛ, где R задан, а ищутся бази-

R

известные результаты здесь таковы. 1) Система функций {V, А} есть базис для класса R1 тех функций вида Cn ^ C, которые пррпшмают значетше одного ртз аргументов; 2) Сттстема футткцртй {V, А, } есть базис для класса R2 тех функций вида Cn ^ C, которые пррпшмают значетше одного ртз аргументов ртлрт его от-ррщаттртя; 3) Системы {X1X2} и {X1 V X2} являются базисами для класса функций R^; 4) Системы {x1x2, } и {x1 V x2, } являются базртсамрт для класса R2

{V, А, D} есть базис для класса R3 тех функций вида Cn ^ C, которые представртмы в вттде

(34) y =

A V ( bo + b

n i=1

Л B, где bo, ...,bn — целые чиела.

Классы функций НЛ Ri, R2, R3 являются различными конечными подмножествами бескоттечттого мттожества всех функций НЛ. Математически эти классы достаточно узкие. Однако практически отти весьма важны, так как именно их элементарные операции НЛ (дизъюнкция, конъюнкция и др.) адекватны процессам, происходящим во многих реально существующих системах. Эта адекватность, вместе с полнотой этих операций НЛ, лежит в оеттове многочисленных применений НЛ к изучению математических, технических, экономических, социальных и других объектов.

Различные вопросы полноты систем функций НЛ изучали Р. Мак-Нотоп, Ф.П. Препарата, В.И. Левин. Обзор соответствующих результатов приведен в [5, 6, 8, 12].

Литература

[1] Гинзбург С. А. Математическая непрерывная логика и изображение функций. М.: Энергия, 1968.

[2] Левин В.И. Введение в динамическую теорию конечных автоматов. Рига: Зи-натне, 1975.

[3] Kandel A., Lee S.C. Fuzzy switching and automata. Theory and application. N.-Y.: Grain, Russak and Co, 1979.

[I] Левин В.И. Динамика логических устройств и систем. М.: Энергия, 1980.

[5] Киффмап А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.

[6] Левин В.И. Весконечнозначная логика в задачах кибернетики. М.: Радио и связь, 1982.

[7] Левин В.И. Логическая теория надежности сложных систем. М.: Энергоатом-издат, 1985.

[8] Левин В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем с применением ЭВМ. М.: ТТаука, 1987.

[9] Шгшбарев ПЛ. Гибридные непрерывно-логические устройства. М.: Энерго-атомиздат, 1990.

[10] Волгин Л.И., Левин В.И. Непрерывная логика. Теория и применения. Таллинн: АТТ Эстонии. 1990.

[II] Прикладные нечеткие системы // Под ред. Г. Тэрано, К. Асаи и М. Сугэно. М.: Мир, 1993.

[12] McNaughtou R. A theorem about infinite-valued sentential logic // J. Symb. Logic. 1951. Vol. 16. No 1. P. 1-13.

[13] Левин В.И. Непрерывная логика. Ее обобщения и применения. Т, ТТ. // Автоматика и телемеханика. 1990. No 8. С. 3-22; No 9. С. 3-26.

[11] Levin V.I. Continuous Logic. Т. Basic Concepts; ТТ. Main Generalizations // Kybernetes. The International Journal of Systems and Cybernetics. 2000. Vol. 29. No 9. P. 1231-1219; No 10. - P. 1250-1263. [15] Левин В.И. Методы непрерывной логики в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2003. No 2. С. 28-51.