Об одной задаче термоупругости для сплошного цилиндра

УДК 519.4

А.И. Жорник, В.А. Жорник, ПА. Савочка

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ СПЛОШНОГО

ЦИЛИНДРА

Рассматривается решение динамической задачи термоупругости для нагретого до постоянной температуры сплошного цилиндра относительно большой длины и резко охлаждаемого в среде с постоянной температурой. В механическом отношении цилиндр находится в условии плоской деформации, т.е. осевая деформация равна нулю, а цилиндри-

( ). -ется, что даже при очень интенсивном теплообмене между цилиндрической поверхностью и средой, когда температура цилиндрической поверхности мгновенно принимает температуру охлаждающей среды, динамическими эффектами можно пренебречь и рассматривать задачу как квазистатическую. Это значительно облегчает решение задачи.

Цилиндр; охлаждение; термоупругие напряжения.

A.I. Zhornik, V.A. Zhornik, P.A. Savochka ON A PROBLEM OF THERMOELASTICITY FOR A SOLID CYLINDER

In this paper we consider the solution of the dynamic problem of thermoelasticity for a heated to a constant temperature solid cylinder of a relatively large length and cooled rapidly in an environment of a constant temperature. With regard to the mechanics the cylinder is in the state of plane deformation, that is there is no axial deformation and cylindrical surface is free of load (radial stress is equal to zero). It is shown that even with very intensive heat transfer between the cylindrical surface and the environment when the temperature of the cylindrical surface immediately takes the temperature of the cooling medium, the dynamic effects might be neglected and the problem might be regarded as a quasi-static one. This considerably facilitates the solution of the problem.

Cylinder; cooling; thermoelastic stresses.

Введение. В процессе изготовления и эксплуатации детали машин и элементы конструкций, изготовленные из хрупких материалов, подвергаются резким теп.

,

характер. Задача заключается в выяснении, насколько существенны при этом динамические эффекты при резком тепловом воздействии на исследуемое тело.

В качестве модели для исследования выбирается сплошной цилиндр неограниченной длины (дайна цилиндра значительно больше его радиуса).

Аналитическое решение задачи. Рассмотрим задачу об инерционных эф-

rc (

деформация равна нулю), нагретого до постоянной температуры T0, который охлаждается в среде с постоянной температурой в путем теплообмена с коэффициентом теплообмена а В этом случае температурное поле будет радиальным и в изображении по Лапласу его решение имеет вид [1]

T

hln

f !— \

—r a

v

s

—r„ a

v

hL

у

s

~K a

v

где 5 - параметр преобразования Лапласа; /0д(х) - функции Бесселя от мнимого аргумента, первого рода нулевого и первого порядка соответственно; Н = а/Ат -

относительный коэффициент теплообмена; АТ - теплопроводность материала ци-

Ат

линдра; а = т— - ег0 температуропроводность; ру - плотность; су - удельная

русу

теплоемкость.

Радиальное перемещение иг подчиняется уравнению [2]

Э 2ы„

1 Эы„

где с -С1

Эt г Эг

Е

±1 + и Э

с\ Эt2 1 -Vі' Эг

- скорость продольной волны; Е - модуль упругости

Ру

материала цилиндра; V - его коэффициент Пуассона; ат - коэффициент линейного .

(2) ,

й ыг + 1 йыг

1

Кс1

йг2 г йг Частное решение (3) будем искать в виде

1 - V

йг

-ч, \ йТ

Ыг (г, 5 )-А—*—

йг

- .

Выражение (4) подставим в (3), получим:

- а

йг

1

V _ с? + г2

йТ

йг

1 - V

ос,,.

йг

л п й2 1 й

где Л - оператор Лапласа-\-----

йг2 г йг

,

.йТ й — 1 йТ

л—=—лт+——,

йг йг г 2 йг

а преобразование Лапласа для уравнения теплопроводности равно

аЛТ = -Т0 + яТ,

подставив (7) в правую часть (6), имеем:

лйТ

А-------

йг

йг

Подставив (8) в (5), находим постоянную А

= 1 + V аТс2

А-

1 - V

V

а

у

(3) -

1- ( \

иг

V с1 У

где В - постоянная. 64

2

с

1

Поэтому решение уравнения

-

&

Vй У

+

Постоянную В найдем из условия, что поверхность цилиндра свободна от нагрузок и поэтому радиальное напряжение на поверхности цилиндра (г = гс) равно нулю. Учитывая зависимость радиального напряжения агг от иг в [2], в изображении по Лапласу получим выражение

\йиг

(1 У

иг (гс,-) Л \ * у — = (1 * уОТ 1 сг, - Т 1 0

гс гс - - _

йг

которое подстановкой в него (11) приведем к уравнению относительно В

-

В

(1 -у)с-10

с,

у \ -

~гс

Чс1 У

-(1 - 2у)/1

у л -

~гс

с1

(1 у

От'

1 - 2у о с

Т'' 1

1 -У 1 с.

— - 5

а

й'-,

\'а У

Отсюда

В1{ \-гс \=-"

-г т ( Г- ) 1 - 2у о с [-,1 I-

-га1 -и~ той ;г-

. Чс- гс

Подставляя (14) в (11) с учетом (9), получим

(1 -у)>

-

#( ёг-) * "4 &

(1 *

-Гс 7

о --------— 1

Ыт 2 0

с1

-------

а

* 1 - 2у ос 1^1

1 -у

{ 2 Л

1 11

/ Л -

— г

/ \ -

— г

-

-н

11

ж

*

/ г~ \

-

-1,

а

—г,

\,а У

( г~ л

-

-г,

\'а У

г

г

а

и

0

с1

г

г

с

с1

а

Рассмотрим иг (гс, 5) для квазистатического случая (с: ^ с учетом того,

что при малых х 1:(х) ^ х/2. В этом случае (15) принимает вид

а

па^.\т„ -и )-----Р-------

1 -V

иг (гс,я- = 2у1+^кат (Т0-0--

л/5 + к*[а-

ґ і— \

—К а

V

У

ґ I— \

—г а

V

У

Асимптотическое решение задачи. Обратное преобразование (15) оказывается громоздким и приводит к трудно обозримым выражениям. В отличие от полупространства [3], когда волны уходят в бесконечность, в данном случае волны, возникающие при охлаждении поверхности цилиндра, не уходят в бесконечность, а отражаются от оси цилиндра и приводят к возникновению колебаний, которые для практически встречающихся условий оказываются несущественными. Поэтому вычислим иг, окружное о^ и осевое о напряжения на поверхности г = гс при малых временах г, когда еще волны не дошли до оси цилиндра, т.е. с1г << гс, или

с1і — << 1.

Используя асимптотические представления, справедливые для малых времен,

а значит, для больших 5, ^(х ) ~ д (х ) ~ _____ех, П0ЛУЧИМ, чт0 в (13) вторыми

0 1 V 2пх

гаемыми можно пренебречь по сравнению с первыми и поэтому

[ сла-

В = —

1 + у 1 - V

ат (то -0) -

Нс1

я21 о

Vе! У

—+ к \'а у

Подставив (9) и (18) в (11), имеем

1+V ^л/а

1 - V Т' 0 '1 л/5+к4а

и

(гс ,я) = -~Г^ат ((о -0-с1

2

я

4а

+ -

я

,5/2

+ ...

У

Применяя таблицу обратных преобразований [4], получим оригинал перемещения:

иг (гс , і) = -~~~ат (то - 0)с1 <

1 -V

Ґ \

1+^

ка

і____4 ^ і3/2 +

Ъ-^-Та

+

\+1

ка

к2 а

1 к

1 - е

2к4аї

4п

Окружное напряжение о^ определяется из [2]

(1 -^

ю - VO =

рр гг

Е

1 + V

-(1 + ^ат(Т -То-

и на поверхности цилиндра при г = гс

/ \ Е и

°Лгс, г) =

(,+ V, - — -т~ат [т(Гс,0- То

(1 + ^-V- гс 1-V

' ффУ с ’г / (л , \(л \ л Т ^ Ус*"/ 0

где Т(гс, г) находится из (1) с учетом таблиц обратных преобразований [4] и имеет вид 66

Г

я

Г

1

1

с

2

и

г

г

Т(, г)- Т0 = -(т0 - и)[1 - вн2аге&(нл[а)].

Подстановка (20) и (23) в (22) приводит к выражению

с,

о

(г г)=ОррР'Гс,гv) = - с1 171 + _£к\-Л

Рс, ' ЕаТ(-в) (1 -^Г^{ ка) 4

4а з4я

+

\

1+—]-|-

ка ) к а

1 - ек а{erfc(kVa7)—-т= к4а \ л

• +

1 - е

к2аг ейф

(24) .

,

Е

Г (гс , 5) Е

ат

'«.Ч'с’“/ (1 + ^(-v) гс 1 -v

(16) (1) (25) -

, , 5,

2у4а 1

\ Е / ч к4а

°Л •5)=

(1 -v)гc л/5

+1

Из (26) видно, что при малых временах (5 - велико) первым слагаемым можно пренебречь по сравнению со вторым. Таким образом, при малых временах в (25), (22),

о'„(гс, г ) = -~—ат [Т (Гс, г)-Т0 ]. 1 -V

Подстановка (23) в (27) показывает, что действительно последнее слагаемое в (24) .

Для определения осевого напряжения огг(г, г) на поверхности цилиндра для плоской деформации воспользуемся уравнением Дюамеля-Неймана

О

или в безразмерном виде

О-

ЕаТ (Т0 - в) ЕаТ (Т0 - и) Т0 -в

Подставляя (24) и (23) в (29), получим зависимость осевого напряжения на поверхности цилиндра от времени

(1 -^г

ка) 4а 34л

+

\+V

ка

к а

1 - ек а )—1= к4аг

V л

• +

1-е

к а ейфл/ог)

.

(30) , -

.

,

(26) (1) ( 5),

___________'2v24a 1

+ к4а)

О (гс, 5) = ГЕ~ат (0 -в)- к^

1 -V 5-

Г+ 1

(1 -^45

Из (31) видно, что при малых временах (8 - велико) первым слагаемым мож-

. (31) ,

ЕаТ

1 -V

1 - ек

г erfc

и

1

Из сравнения (24) и (30) видно, что вторые слагаемые (кв^истатическое решение) одинаковые, а первое слагаемое (24) больше, так как v < 0,5, и поэтому

более опасным будет окружное напряжение СГ^р^(гс,t) по сравнению с осевым <J*7Z (rc, t). В связи с этим в дальнейшем рассмотрим окружное напряжение °wirc , t).

При h ^ ^ (24) переходит в решение, полученное в [5].

Оценим влияние динамических эффектов при малых временах, которые удовлетворяют неравенству (17), рассматривая самый жесткий случай охлаждения цилиндра, полагая h ^ «>. В этом случае температура на поверхности цилиндра мгновенно принимает температуру окружающей среды 0, и при этом возникают самые большие температурные напряжения. Тогда

o'

а"(Гс-') (1 -v)r\' Га ^ J +1

(33) -

чивая инерционный член, получим:

, t)~ - — + 1

Гс

(34) , , (17), -

ческими эффектами даже при интенсивном охлаждении (h ^ «>) можно пренебречь.

.

нагретого до постоянной температуры сплошного цилиндра неограниченной длины, резко охлаждаемого в среде постоянной температуры, показало, что учет инерционных эффектов незначительно влияет на решение задачи для малых времен, когда

упругие волны еще не дошли до оси цилиндра. При таких условиях можно рассмат-

ривать задачу как квазистатическую, что значительно облегчает ее решение.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Жор ник В А., Карташов Э.М. Рост осесимметричных тре щин при механических и тепловых воздействиях. - Таганрог: Изд-во Таганрогского пединститута, 2003. - 143 с.

2. . . , -ми дефектами. - Таганрог: Изд-во Таганрогского пединститута, 2003. - 259 с.

3. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. - М.: Мир, 1964. - 517 с.

4. ., . : 2 . - .: ,

1969-1970. Т. 1: Преобразование Фурье, Лапласа, Меллина. - 1969. - 343 с.

5. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. - М.: Физматгиз, 1963. - 251 с.

Статью рекомендовал к опубликованию д.ф.-м.н. Г.В. Куповых.

Жорник Александр Иванович - Таганрогский государственный педагогический институт им. АЛ. Чехова; e-mail: Zhornik@land.ru; 347900, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48; тел.: 88634601807; д.ф.-м.н.; профессор.

Жорник Виктория Александровна - e-mail: Zhornik_Victoria@mail.ru; к.ф.-м.н.; доцент.

Савочка Петр Анатольевич - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: Savochka07@mail.ru; 347928, . , . , 44, 17 ; .: 88634360460; .

Zhornik Aleksandr Ivanovich - Taganrog State Pedagogical Institute named A.P. Chekhov; e-mail: Zhornik@land.ru; Russia, 48, Initsiativnaya street, Taganrog, 347900, Russia; phone: +78634601807; dr. of phys.-math. sc.; professor.

Zhornik Viktoriya Aleksandrovna - e-mail: Zhomik_Victoria@mail.ru; cand. of phys.-math. sc.; associate professor.

Savochka Petr Anatolievich - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: Savochka07@mail.ru; GSP 17A, 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634371603; assistant.

531.38

A.A. Илюхин, C.A. Шретер СОПОСТАВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ СТЕРЖНЕ*

Построена математическая модель эксперимента по определению параметров аэродинамических сил, действующих на абсолютно твердую пластинку, жестко прикрепленную к упругому стержню. Стержень жестко защемлен на неподвижном основании. Гибридная система помещена в поток воздуха, который воздействует только на пластинку, стержень изгибается в одной плоскости. Идея используемого в работе метода построения решения задачи состоит в сведении исходного уравнения равновесия Кирхгофа к системе уравнений более низкого порядка с соответствующей функцией гамильтонова типа. Функция Гамильтона в последующем подвергается нормализации в определенном числе

, .

Гамильтонов подход; преобразование Биркгофа; изгиб стержня; математическая модель; аэродинамические силы.

A.A. Ilyukhin, S.A. Shreter THE COMPARATIVE ANALYSIS OF VARIOUS SOLUTIONS OF THE PROBLEM FLOW PLATE ON AN ELASTIC ROD

The mathematical model of experiment by determination of parameters of the aerodynamic forces operating on absolutely firm plate, rigidly attached to an elastic core is constructed. The core is rigidly jammed on the motionless basis. The hybrid system is placed in a stream of air which influences only a plate, the core is bent in one plane. The idea of a method of construction of the decision of a task used in work consists in data of the initial equation of equilibrium of Kirchhoff to system of the equations of lower order with the corresponding function of Hamilton type. Function of Hamilton in the subsequent is exposed to normalization in a certain number of members that leads to integrated system.

Hamiltonian approach; Birkhoff transformation; bending the rod; the mathematical model; the aerodynamic forces.

. -

ских параметров в зависимости от ориентации пластинки на упругом стержне. Механическую систему помещают в набегающий поток воздуха. Нижний конец стержня жестко защемлен, к его верхнему концу жестко прикреплена абсолютно твердая пластинка. Предполагается, что поток воздействует только на пластинку, изгиб стержня происходит в одной плоскости. Начальное положение стержня определяется заданием угла наклона касательной к оси стержня 0 = щ по отношению к скоро-

*

Данная статья написана при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени АЛ. Чехова» по проекту № 1.1885.2011.