Вероятностный подход к решению игр с неделимыми выигрышами

УДК 519.834

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 2

И. А. Старцев

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ИГР С НЕДЕЛИМЫМИ ВЫИГРЫШАМИ

1. Введение. В теории кооперативных игр изучаются ситуации, в которых агенты решают работать поодиночке, кооперироваться в группы (коалиции) или объединяться в «большую коалицию». Преимущества, которые агенты могут получить во всех этих случаях, описываются с помощью функции, называемой характеристической, сопоставляющей каждой группе агентов вещественное число (игры с трансферабельной полезностью (далее ТП-игры)) или их набор (игры с нетрансферабельной полезностью).

Однако существует целый класс проблем, которые невозможно или неудобно исследовать с помощью таких моделей. В них проще описывать коалиционные возможности агентов с помощью множеств неделимых объектов, таких как машины, дома, товары, производственное оборудование и т. д. При этом некоторые такие задачи не сводимы к играм с (не)трансферабельной полезностью. Например, распределение совместно нажитого имущества в бракоразводном процессе, распределение имущества обанкротившейся производственной компании между кредиторами и акционерами, приватизация или создание правительственной коалиции после выборов при отсутствии партии, набравшей более 50% голосов. Для моделирования подобного типа задач в [1] был введен новый класс кооперативных игр - игр с неделимыми множествами (далее НДВ-игры), ключевым отличием которых от обычных кооперативных игр является то, что значением характеристической функции являются подмножества некоторого множества Ы предметов, подлежащих распределению между агентами.

Однако оказалось [2], что для НДВ-игр не существует анонимных методов распределения (методов, в которых агенты были бы равноправны), которые распределяли бы всё предметы между агентами и при этом каждый из них достался бы только одному агенту. Иными словами, некоторые предметы, распределенные анонимными методами, окажутся в собственности сразу у нескольких агентов. Поэтому естественно рассматривать следующие два типа методов распределения. Во-первых, это эгалитарные методы, моделирующие коллективную собственность, в которых каждый предмет назначается сразу всем агентам [3]. Во-вторых, это изучаемые в данной работе вероятностные методы, в которых предметы распределяются вероятностным образом.

В данной работе определим понятие вероятностных значений НДВ-игр, установим их взаимосвязь с индексами простых ТП-игр, значения которых будем брать в качестве вероятностей, с которыми вероятностные значения НДВ-игр распределяют предметы, и докажем результат, позволяющий распространять характеризации индексов простых ТП-игр на характеризации вероятностных значений НДВ-игр.

Статья разбита на следующие разделы: в п. 2 и 3 дан обзор необходимых понятий теорий НДВ-игр и простых ТП-игр соответственно; в п. 4 введено понятие вероятностного значения НДВ-игры; в п. 5 рассмотрены свойства вероятностных значений НДВ-игр и установлена их взаимосвязь со свойствами индексов простых ТП-игр; в п. б сформулирован и доказан основной результат, связывающий характеризации индексов простых ТП-игр со значениями НДВ-игр; в п. 7 в качестве побочного результата аксиоматически охарактеризовано одно из значений НДВ-игр (индивидуально-маргинальное

© И. А. Старцев, 2006

1М-значение) и показана его взаимосвязь с индексом Дигана-Пакеля для простых ТП-игр и с вероятностным значением НДВ-игр, распределяющим предметы в соответствии с этим индексом.

2. НДВ-игры: основные определения и результаты.

Определение 2.1 [1]. Игрой с неделимыми выигрышами (НДВ-игрой) называется упорядоченная тройка {N^,11), где N - произвольное конечное множество, элементы которого называются игроками; и - произвольное множество предметов, подлежащих распределению среди игроков; у : 2ДГ —> 2й - характеристическая функция, ставящая в соответствие каждому подмножеству Б С N, называемому коалицией, подмножество элементов из Ы, на которые может претендовать эта коалиция, причем у(Б) С Ы для любой коалиции 5 С Аг и г>(0) = 0.

Кооперативной игрой с трансферабелъными полезностями (ТП-игрой) называется пара где N - конечное множество игроков, у : 2Л' —> К - характеристическая

функция.

Фиксируем произвольное множество подлежащих распределению предметов Ы. НДВ-игру

для всех коалиций Б,Т С N таких, что Б С Т С N. Поэтому, не умаляя общности, можно считать, что Ы = v(N).

Так же как и для обычных кооперативных игр, определяют понятие решения как отображения / : 0м {Ы) [2й]ставящего каждой НДВ-игре (Ат,у) € в соот-

ветствие множество вектор-функций

№,у) = (Ш,у)Ъе„с {2и)п,

где п - количество игроков (мощность множества ./V). Одноточечное решение называется значением. Его примером в НДВ-играх может быть индивидуально-маргинальное значение, определяемое [2] по формуле

1М{(М,у) У

«

зсл

для всех г £ N.

Отметим, что большинство исследованных значений НДВ-игр, как и /М-значение, носят маргинальный характер, представляя собой объединение маргинальных вкладов игрока в определенные коалиции или множества коалиций. Их обзор можно найти в [4-6].

Так же как в кооперативных играх, значения в НДВ-играх характеризуются аксиоматически: задается набор свойств значения и далее находятся среди них непротиворечивые и полные системы свойств, однозначно характеризующие эти значения. Такие системы называются аксиоматическими характеризациями значения, а свойства в аксиоматических характеризациях - аксиомами. Рассмотрим некоторые формализованные свойства значений НДВ-игр, аналогичные соответствующим свойствам значений ТП-игр.

Игроки г,] £ N называются симметричными в НДВ-игре £ {Ы), если

выполняется равенство и {г}) = у(Б и {.?'}) для всех коалиций 5 С N \ {г,

Определение 2.2. Пусть / - значение на пространстве НДВ-игр (Ы). Будем говорить, что значение / удовлетворяет:

• аксиоме эффективности (Эф), если для каждой НДВ-игры (./V,у) £ (7А(Ъ1) верно

• аксиоме симметричности (Сим), если для каждой НДВ-игры (И,у) е С1^(Ы) верно /¿(М, у) = fj(N, у) для любой пары симметричных в игре (Ат,у) игроков 1,3 € Л^;

• аксиоме полной индивидуальной маргинальной монотонности *' (ПИММ), если fi{N, у) С fi(N,w) для всех пар НДВ-игр (/V, у), (N,111) € СЛ'(И), для которых верно "(5) \ \ Ш) С ш(5) \ и,е5 ^ \ О}) для всех 5 С N и 5 Э г.

Каждая из приведенных выше аксиом является формализацией тех или иных естественных принципов справедливости и рациональности. Аксиома Эф означает, что между игроками распределяются все предметы; аксиома Сим - что выигрыш одинаковых игроков одинаков; аксиома ПИММ - что если для каждой коалиции, включающей игрока г, ее маргинальный вклад в игре и>) содержит ее маргинальный вклад в игре (Ы, у), то игрок г в игре (Л^ и>) должен получить как минимум те же элементы, которые он имеет в игре (Ат,у).

Оказалось, что /М-значение является единственным на классе монотонных НДВ-игр удовлетворяющим следующим свойствам: Сим, Эф, ПИММ [2].

Одним из ключевых недостатков НДВ-игр является не обязательное выполнение свойства разделимости, т. е.

у) П у) = 0 для всех игроков г, € Лг, г ф ],

означающее, что ни один элемент из Ы не может быть распределен более чем одному игроку. Оказывается [2], что не существует значений НДВ-игр, удовлетворяющих аксиомам Эф, Сим и свойству разделимости. Отсюда возникает следующая проблема: как игроки, получившие при распределении один и тот же элемент, должны его разделить между собой? В настоящей работе для ее решения предлагаем применить вероятностный подход, при котором игроки будут получать свой выигрыш, определяемый некоторым значением НДВ-игр, случайным образом. Для этого будем использовать индексы простых ТП-игр, значения которых будут интерпретироваться как вероятности, с которыми игроки будут получать элементы из Ы в НДВ-играх.

3. Простые ТП-игры: определения, индекс Дигана-Пакеля. Игра с транс-ферабелыюй полезностью у называется простой, если ее характеристическая функция г>(5) принимает значения только 0 и 1 для всех 5 С N и обладает свойством монотонности:

если и(5) = 1 и 5 С Т, то у(Т) = 1.

Обозначим через ¿7Д - класс кооперативных ТП-игр с фиксированным множеством игроков ЛГ, а через 5ДГ - множество всех простых игр в этом классе.

Пусть у - простая ТП-игра. Коалиция 5 называется выигрывающей в игре у, если у (Б) = 1. Она называется минимальной, если не содержит других выигрывающих коалиций. Множество минимальных выигрывающих коалиций в игре у обозначается через М{у).

Определение 3.1 [7]. Индексом называется функция Ф : —» К", которая каждой простой ТП-игре у ставит в соответствие вектор положительных чисел Ф(г>),

Так как в русско-язычной литературе не существует устоявшегося перевода некоторых терминов, то будем также приводить их английские оригиналы. Для аксиомы ПИММ - оуега.11-т<Иь{<1иа11у тпагдтаНвЫс топоЬопгсИу.

г-тая компонента которого интерпретируется как мера влияния г-го игрока, которую он может оказать на исход игры, его сила.

Для вычисления распределения силы игроков существует достаточно большое количество индексов. Первым из них является индекс Шепли-Шубика, введенный в [7]. В данной работе будем рассматривать индекс Дигана-Пакеля [8], определяемый по формуле

^¡йщЕЩ-

SEM ЯЭг

В работе [8] индекс Дигана-Пакеля был аксиоматически характеризован. Теорема 3.1 ниже содержит этот результат.

Игрок i Е N в ТП-игре v € QN называется пулевым если v(S) = v(S \ {г}) для любой коалиции S С N и S Э г.

Определение 3.2 [8]. Две простые ТП-игры v,w € SN называются объединяемыми **) , если для любых коалиций S € М(у) и Т Е M(w) верно, что S Т и T<£S.

Определение 3.3. Пусть ц> - индекс на классе простых ТП-игр SN. Будем говорить, что индекс f> удовлетворяет:

• аксиоме симметричности (Сим), если для каждой простой ТП-игры v 6 SN верно <fi{v) = tfij(v) для любой пары симметричных в игре v игроков i,j £ N;

• свойству нулевого игрока*"*^ (СНИ), если для каждой простой ТП-игры v 6 SN верно if,(v) = 0 для любого нулевого в игре v игрока i € N;

• аксиоме аддитивности для объединяемых игр (АдОИ), если для любой пары объединяемых простых ТП-игр v,w е SN верно ip(v V w) — щ^^уу(|Л/(и)|у)(и) + \М(w)\ip(w)), где (vVw)(S) = max{u(S'), w(S)} для всех 5 С TV;

• аксиоме эффективности (Эф), если для каждой простой ТП-игры v € SN верно EiewViH = 1-

Аксиома СНИ означает, что выигрыш игрока равен нулю, когда его вклад в каждую из коалиций нулевой; аксиома АдОИ - что выигрыш игрока в игре, являющейся объединением двух игр, есть взвешенная сумма его выигрышей в этих играх, причем веса определяются как отношения количества минимальных выигрышных коалиций в играх до и после их объединения. Остальные аксиомы означают то же, что и соответствующие аксиомы для значений НДВ-игр в определении 2.2.

Теорема 3.1 [8]. Индекс if : SN —> К™ является индексом Дигана-Пакеля DP тогда и только тогда, когда он удовлетворяет аксиомам Эф, Сим, СНИ и АдОИ.

4. Определение вероятностных значений НДВ-игр. Рассмотрим вспомогательное множество Е = {еа'г}а^и значений НДВ-игр GN(U), которые будем называть

i€N

элементарными. Каждое из элементарных значений еп,! назначает г-му игроку элемент а, а всем остальным игрокам - пустое множество 0. Элементарные значения не представляют особого интереса, так как не зависят от характеристической функции и будут носить исключительно вспомогательный характер.

Определение 4.1. Пару НДВ-игр (N,v),(N,w) £ GN (U) будем называть непересекающимися, если v(S) П w(S) = 0 для всех S С N.

*' Null player.

**' Mergeable games.

Null player property.

Определение 4.2. Пусть / - значение на пространстве НДВ-игр Будем говорить, что значение / удовлетворяет

• аксиоме аддитивности для непересекающихся игр (АдНИ), если /¿(Дг, у и ги) =

/¿(АГ,и) и /¿(N,10) для всех игроков г € ТУ, и всех пар непересекающихся НДВ-игр

(ад, (ад есл'(г/).

Рассмотрим произвольное значение НДВ-игр / : —> (2и)п. Пусть оно удов-

летворяет аксиоме АдНИ (в п. 6 будет показано, что в некоторых случаях такое ограничение на значение / можно будет снять). Тогда для значения / для всех г £ N можно написать /¿(А1,у) = ипем ^ ГДе Для всех о £ Ы игра (АТ,а П у), распределя-

ющая только один элемент а, определяется по правилу (а П у) (5) = а П г>(5) для всех Б С N. Поэтому исходную задачу можно упростить до задачи распределения между игроками всего лишь одного элемента а ЕЫ, и далее, там где будет более удобно, будем, не умаляя общности, полагать 1А = а.

Определение 4.3. Вектор случайных величин /р = (/р,а)ае и, значениями каждой /р'° из которых являются элементарные значения НДВ-игр, будем называть вероятностным значением.

Так как случайная величина характеризуется своим распределением, то будем отождествлять вероятностное значение с вектором независимых вероятностных распределений на множестве элементарных значений НДВ-игр Е. Таким образом, вероятностное значение есть вектор размерности \U\-n следующего вида:

где (^"(АГ, у),..., у)) - распределение случайной величины /р'а; £"(АГ, у) ^ 0 -

вероятность получения игроком г элемента о £ Ы в игре (Аг, у), причем для всех а £ Ы верно Хлелг у) = 1- Следовательно, каждый элемент а £ Ы будет распределен с вероятностями (Аг,у), ..., у) среди игроков из N и при этом достанется только

одному из них.

Каждому вероятностному значению /р соответствует единственное значение НДВ-игр / по правилу

/г(АГ,у)= у а,

а:

а каждому значению НДВ-игр / можно сопоставить множество вероятностных значений

/ _ / *Р V) ф 0 при а е Ш> V) \ (ЛЛ\

1 V №,«) = 0 при а ^ ММ,V) /' 14Л]

5. Аксиомы вероятностных значений НДВ-игр и их взаимосвязь с аксиомами индексов простых ТП-игр. Фиксируем некоторый произвольный элемент а £ и. Следуя традиции теории голосования, будем говорить, что в НДВ-игре (Аг») коалиция 5 называется выигрывающей относительно элемента а £Ы, если а £ г;(5), и проигрывающей относительно элемента а £ И, если а $ г>(5). Выигрывающая коалиция называется минимальной относительно элемента а £ и, если она не содержит других выигрывающих коалиций. Также будем говорить о выигрывающих, проигрывающих и минимальных выигрывающих коалициях, если они являются, выигрывающими, проигрывающими и минимальными выигрывающими коалициями относительно какого-либо элемента а £ Ы. Множество минимальных выигрывающих коалиций в

НДВ-игре (N,v) для элемента о будем обозначать через Ma(N,v), множество всех минимальных выигрывающих коалиций в НДВ-игре - через M(N,v) — (JaeU Ma[N,v). Будем называть игрока решающим в коалиции S относительно элемента а, если она является выигрывающей относительно элемента а, а коалиция 5 \ {¿} - нет, и решающим в коалиции S, если он - решающий в этой коалиции относительно какого-либо элемента а EU. Очевидно, что игрок, не являющийся решающим ни в одной коалиции, является нулевым. Отсюда следует тривиальное утверждение.

Утверждение 5.1. В любой НДВ-игре каждый игрок является либо решающим, либо нулевым.

Также тривиальна следующая лемма, утверждающая, что IM-значение распределяет элементы из U только среди решающих игроков.

Лемма 5.1. Для любой НДВ-игр (N,v) Е GN(U) верно, что

а Е IMi(N,v) тогда и только тогда, когда игрок г является решающим относительно элемента а;

а ^ IMi(N,v) тогда и только тогда, когда игрок г не является решающим относительно элемента а.

По аналогии с простыми ТП-играми [8] определим понятие объединяемых НДВ-игр. Определение 5.1. Две НДВ-игры (N,v),(N,w) Е GN(U) называются объединяемыми, если для каждого элемента а EU и любых коалиций S Е Ma(N,v) и Т Е Ma(N, w) верно, что S <£ Т и Т £ S.

Покажем корректность объединения более чем двух объединяемых игр. Для этого достаточно взять произвольные три попарно объединяемые НДВ-игры (N,v),(N,w),(N,u) Е GN(U). Рассмотрим произвольный элемент а EU и произвольную коалицию S Е Ma(N,v U w). Из определения 5.1 объединяемых игр следует, что либо S Е Ma(N,v), либо S Е Ma(N,w). Но, в силу попарной объединяемое™, для любых коалиций Т, R Е Ma(N,u) верно, что S Т и Т S либо S ^ й и Д ^ S, а это означает, в силу произвольности выбора коалиции 5, что игры (N, v U w) и (N, и) являются объединяемыми. Лемма доказана.

Отметим, что при объединении любых объединяемых НДВ-игр (N,v),(N,w) Е GN(U) верно следующее равенство для множеств минимальных выигрывающих коалиций:

Ma(N, v U w) = Ma(N, v) U Ma(N, w) для любого а EU. Теперь можно сформулировать для НДВ-игр аналог еще одной аксиомы решений ТП-

Определение 5.2. Пусть / - значение на пространстве НДВ-игр GN(U). Будем говорить, что значение / удовлетворяет

• аксиоме аддитивности для объединяемых игр (АдОИ), если для любой пары объединяемых НДВ-игр (N,v), (N,w) Е GN{U) верно равенство fi(N,vUw) — /¿(7V,t>)U fi(N,w) для всех игроков i Е N.

Теперь переформулируем некоторые свойства значений НДВ-игр для вероятностных значений НДВ-игр. Такие аксиомы будем называть вероятностными.

Определение 5.3. Пусть /р - вероятностное значение на пространстве НДВ-игр GN(U), (N, v),..., v))a€U - его распределение. Будем говорить, что значение /р удовлетворяет:

• аксиоме симметричности (Симр), если для любой НДВ-игры (N, v) Е GN(U) верно £?{N,v) = £j(N,v) для любой пары симметричных в игре v игроков i,j £ N и каждого элемента а Е U\

• свойству нулевого игрока (СНИР), если для любой НДВ-игры (ТУ,у) € Сы(Ы) и каждого элемента а £ и верно £(ЛГ, и) = 0 для любого нулевого игрока г € ТУ в игре (ТУ, г>);

• аксиоме эффективности (Эфр), если для любой НДВ-игры (ТУ, г;) € (¿V) и для всех элементов а € и(ЛГ) верно £?(ТУ, у) = 1;

• аксиоме аддитивности для объединяемых игр (АдОИр), если г, г> и го) = |ма(лт.циц|)[ V) + «»Ж№«>)) Для каждого игрока г £ ТУ, любого элемента а £ Ы и всех пар объединяемых НДВ-игр (ТУ, г»), (ТУ, го) £ Сы(Ы)\

• аксиоме аддитивности для непересекающихся игр (АдНИр), если £^(ТУ, V и и>) = £"(ТУ, г>) -(- £?(ТУ, го) для каждого игрока г 6 ТУ, любого элемента а £ Ы и всех пар непересекающихся НДВ-игр (ТУ, г)), (ТУ, го) £ Сы{Ы).

Эти аксиомы формализуют те же принципы справедливости и рациональности и имеют такое же обоснование, что и соответствующие аксиомы для значений НДВ-игр и индексов простых ТП-игр в определениях 2.2 и 3.3.

Лемма 5.2. На классе монотонных НДВ-игр аксиома АдОИ? влечет ак-

сиому АдНИр.

Доказательство. Рассмотрим произвольное значение /р и две произвольные непересекающиеся монотонные НДВ-игры (ТУ, г;), (ТУ, го) £ Покажем, что эти игры являются объединяемыми. Действительно, пусть для некоторого элемента а £ Ы и некоторых коалиций 5 £ Ма(ТУ,и) и Г £ Ма(ТУ, ги) верно, что 5 С Т или Т С 5. Тогда верно, а £ г»(5) С г>(ТУ) и а £ го(5) С го(ТУ), а это противоречит непересекаемости игр (ТУ,г;) и (ТУ,и»). Пусть для определенности а ^ и(ТУ) и а £ го(ТУ). Тогда для множеств минимальных выигрывающих относительно элемента а коалиций можно написать: |Ма(ТУ, и и го)| = |Ма(ТУ,го)|, откуда по аксиоме АдОИ имеем ЯЧЛГ.ии ш) = = + (ТУ,го) для любого элемента о £ Ы и каждого игрока г £ ТУ; это и означает, что значение /р удовлетворяет аксиоме АдНИр. Лемма доказана.

Как уже упоминалось в п. 4, можно полагать Ы = а. Рассмотрим произвольную НДВ-игру (ТУ, у) и определим для нее простую ТП-игру уа £ следующим образом:

а/Сч <*е/ Г 1, а £ г|(5) с

^

Очевидно, что таким образом можно каждой НДВ-игре (ТУ, г») поставить во взаимно однозначное соответствие простую ТП-игру

(ТУ, и) о уа.

В силу того, что для любой НДВ-игры (ТУ, у) £ С1^ (К) верно £"(ТУ, у) ^ 0 и J2ieN у) = 1, то можно интерпретировать как индекс простых ТП-игр для игрока г £ ТУ:

£"(ТУ, у) для всех г' £ ТУ и всех (ТУ, у) £

где простая ТП-игра уа £ SN однозначно определяется по формуле (5.1). Тем самым каждому вероятностному значению НДВ-игр /р можно поставить во взаимно однозначное соответствие индекс простых ТП-игр

/р о уЛ

Определение 5.4. Рассмотрим два произвольных набора аксиом {А;}^ (вероятностные аксиомы для вероятностных значений НДВ-игр) и (для индексов простых ТП-игр). Будем говорить, что набору аксиом {Аможно поставить во взаимно однозначное соответствие набор аксиом если для любого вероятностного значения НДВ-игр /р и взаимно однозначно соответствующего ему индекса ТП-игр значение /р удовлетворяет набору аксиом {А}^ тогда и только тогда, когда индекс удовлетворяет набору аксиом обозначая это следующим образом:

{А^и « ши 1-

Сформулируем лемму, доказательство которой непосредственно следует из определения индекса ра, вероятностных значений, соответствующих аксиом вероятностных значений и леммы 5.2.

Лемма 5.3. Следующие два набора аксиом вероятност.ных значений НДВ-игр и индексов простых ТП-игр являются взаимно однозначно соответствующими друг другу: {ЭфР, СимР, АдОИ", СНШ} и {Эф, Сим, АдОИ, СНИ}.

6. Взаимосвязь характеризаций вероятностных значений НДВ-игр и индексов простых ТП-игр. Докажем теперь теорему, позволяющую распространять аксиоматические характеризации индексов простых ТП-игр на характеризации вероятностных значений НДВ-игр. Теорема 6.1. Пусть

1) /р - аддитивное для непересекающихся игр вероятностное значение, определенное на классе мопото7шых НДВ-игр С^(^);

2) /Р<г+(рп, где 1ра - индекс простых ТП-игр\

3) {А}?=1 О {Aj},j-1 для некоторых двух наборов аксиом: {А}^=1 - вероятпностных значений НДВ-игр и {А;}'=1 - индексов простых ТП-игр\

4) значение /р удовлетворяет аксиомам {Лг}|=1.

Тогда если индекс ра характеризуется аксиомами {А>}'=1, то значение /р характеризуется аксиомами {А}£=1-

Доказательство. Достаточно показать, что вероятностное значение /р является единственным в НДВ-играх, которое удовлетворяет набору аксиом {А}?= 1. Пусть есть еще одно значение др, удовлетворяющее этим аксиомам, которому соответствует индекс простых ТП-игр -фа. Тогда, в силу взаимно однозначности наборов аксиом и следует, что индекс грп удовлетворяет набору аксиом {А,}^=1. Но существует только единственный индекс простых ТП-игр, который удовлетворяет этому набору, - индекс (ра. Отсюда вытекает, что фа = ¡ра. А тогда jp = др. Теорема доказана.

Теорема 6.1 позволяет в качестве вероятностных аналогов значений НДВ-игр использовать индексы простых ТП-игр. Необходимо только, чтобы выполнялось условие

Г е /,

означающее, что вероятностное значение /р, определяемое по формуле (4.1), является одним из вероятностных аналогов значения /. Примером пары таких значений может стать 1М-значение и вероятностное 1М-значение с выигрышами игроков, распределенными по индексу Дигана-Пакеля. Обозначать его будем через 1Мор. Условие 1Мор € 1М следует непосредственно из леммы 5.1. Действительно, индекс Дигана-Пакеля, как и /М-значение, распределяет выигрыш только среди решающих игроков, а тогда и значение 1Мор распределяет выигрыш среди них.

Следствие. IМ1'-значение является единственным аддитивным для непересекающихся НДВ-игр вероятностным значением для класса 0^(11), удовлетворяющим аксиомам Эф", СимР, СНИ1' и АдОШ.

Доказательство следует непосредственно из леммы 5.3 и теоремы 6.1.

Замечание 6.1. Пусть значение / НДВ-игр порождает множество вероятностных значений НДВ-игр /. Из выполнимости аксиомы АдОИр для любого из порожденных вероятностных значений /р Е / следует выполнимость аксиомы АдНИр для /р и соответственно аксиомы АдНИ для /. Поэтому ограничение на аддитивность для непересекающихся НДВ-игр в начале п. 4 можно снять.

Замечание 6.2. По лемме 5.2 ограничение на аддитивность в приведенном выше следствии также можно снять.

Замечание 6.3. Теорема 6.1 не позволяет сказать что-либо о независимости аксиом из набора {Лг}£=1, характеризующего вероятностное значение /р. Поэтому отдельно покажем независимость вероятностных аксиом Эфр, Симр, СНИР и АдОИр. Для этого достаточно привести четыре значения, удовлетворяющих всем аксиомам, кроме каждой из них в отдельности. Без аксиомы Эфр это значение /1 с и) = 0 для всех

(ЛГ,и) Е (и), г Е N и а Е Ы, без аксиомы Симр - значение /2(АГ,у), совпадающее на всех НДВ-играх без нулевых игроков с /1(А',у) для всех игроков, кроме 1-го, для которого £"(Л1,у) = 1 для всех а Е г>(Лг), и с 1М-значением на всех остальных НДВ-играх; без аксиомы СНИР - значение /3 с у) = 1 /п для всех (АГ, у) Е С1^ (Ы), г Е N и а Е /); без аксиомы АдОИр - значение /4 с ^"(Л^ у) = 0 для нулевых игроков i Е N и (АТ, у) — 1 /к для ненулевых игроков г € А", где к - их количество в игре (А", у), для всех (Л» € С"(Ы) и а е и(ЛГ).

7. Еще одна аксиоматическая характеризация /М-значения. В данной работе были рассмотрены четыре принципа справедливости и рациональности (свойство нулевого игрока, эффективность, симметричность, аддитивность для объединяемых игр), каждый из которых имеет свою математическую формализацию для трех различных типов значений для разных классов игр (вероятностных значений НДВ-игр, значений НДВ-игр и индексов простых ТП-игр). Потому интересно рассматривать в комплексе сразу три значения (если таковые существуют), которые бы аксиоматически характеризовались этими тремя наборами аксиом. Для таких значений будем говорить об их «аксиоматической близости». Для вероятностных значений НДВ-игр это 1Мор-значение, для простых ТП-игр - индекс Дигана-Пакеля ОР. Ниже дадим аксиоматическую характеризацию IМ-значения на основе этого же комплекта аксиом.

Приведем несколько вспомогательных определений.

Определение 7.1 [9]. Для произвольной непустой коалиции Т С N простейшей игрой, связанной с коалицией Т, называется игра (А,11т), определенная по правилу

тт 1с\ Ле! / если 5 2 Т

ит{Б) = | ^ если 81Т для всех Б С N.

Определим также понятие сужения простейшей НДВ-игры. А-сужением простейшей игры для произвольного множества элементов АСЫ называется игра (N,11^), полученная по правилу

{/#(5) =; А П £/т(5) для всех Б С N.

Теорема 7.1. Значение / : (Ы) (2и)п является 1М-значением тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет аксиомам Эф, Сим, СНИ и АдОИ.

Доказательство. Сначала покажем, что 1М-значение удовлетворяет аксиомам в условии теоремы. Свойство СНИ следует из того факта, что равенство у(Б) \ у(Б \ {г}) = у(Б \ {г}) \ у(Б \ {г}) = 0 верно для любого нулевого игрока г € N. Свойства Эф и Сим показаны в [2]. И, наконец, свойство АдОИ вытекает из следующей цепочки равенств: (у и ю)(3) \ (у и ш)(5 \ {г}) = («(5) и ш(5)) \ (г;(5 \ {г}) и ги(5 \ {г})) = (у(3) \ \ {г})) и (г»(5) \ ги(3 \ {г})), так как в силу того, что игры {N,11) и (N,11)) являются объединяемыми, невозможно, чтобы следующие коалиции были бы одновременно выигрывающими: 5 и 5 \ {г} в игре (Л^,у), 5 в играх (Аг, г^) и (ЛГ, т), 5 в игре {N,v) и Б \ {г} в игре (ЛГ, ги), 5 \ {г} в игре (ЛГ, г>) и 5 в игре (ЛГ, го), 5 \ {г} в играх и (N,10), 5 и 5\ {г} в игре (N,1»). Покажем единственность. Рассмотрим произвольное значение /, удовлетворяющее аксиомам в условии теоремы, произвольную НДВ-игру ^,у) и множество выигрывающих коалиций в ней М^,у) = {Ма№,у)}аег,(1уу Определим по ним набор сужений НДВ-игр вида (N,1У£„), где а € г>(ЛГ), 3% £'Ма(Л», к = 1,..., |Ма(ЛГ,и)|. В каждой игре (Лг, (7|а) игроки из N \ являются нулевыми, поэтому по аксиоме СНИ их выигрыш 0 = Все игроки из коалиции являются симметричными, от-

куда по аксиомам Сим и Эф имеем, что /¿(ЛГ,и$а) = а = 1М{^,у). Следовательно, и(Лг, ) = 1М,17§*) для всех г £ N.

Из определения игр (N,11^) следует, что все они попарно объединяемы. Тогда верно, что

№,у)= и и

о€и(ЛГ) к=1

откуда по аксиоме АдОИ для /М-значения и значений / имеем следующую цепочку равенств для всех игроков i Е N:

\Ма(Ы,у)\ |Л/0(Л',г))|

т,у)= и и Ш'ик)= и и =

*:=1 aev(N) к=1

Теорема доказана.

Теорема 7.2. Аксиомы Эф, Сим, СНИ и АдОИ о условии теоремы 7.1 независимы.

Доказательство. Приведем четыре значения, удовлетворяющие всем аксиомам, кроме каждой из них в отдельности:

• }1 (без аксиомы Эф), //(ЛГ, и) = 0 для всех НДВ-игр £ С1*(Ы) и всех г £ Лг;

• /2 (без аксиомы Сим), совпадающее на всех НДВ-играх (ЛГ, у) £ (Ы) без нулевых игроков с для всех игроков, кроме 1-го, для которого = у(ЛГ), и с /М-значением на всех остальных НДВ-играх;

• /3 (без аксиомы СНИ), совпадающее со значением сильного эгалитаризма [3] f?(N,v) = у(1\0 для всех НДВ-игр (N,1,) € в"(Ы) и всех г £ ЛГ;

• /4 (без аксиомы АдОИ), совпадающее на всех НДВ-играх (N,11) £ С*(Щ с для нулевых игроков, и с /3^,у) для ненулевых игроков.

Теорема доказана.

Замечание. Очевидно, что одно /М-значение порождает бесконечное множество вероятностных значений НДВ-игр IM. Очевидно, также, что среди порожденных вероятностных значений IMDP-значение является аксиоматически близким порождающему IM- значению.

В заключение еще раз отметим, что доказанная выше теорема 6.1 позволяет распространять на пространство НДВ-игр все известные индексы простых ТП-игр и с их помощью распределять элементы между игроками случайным образом, причем сохранится аксиоматическое обоснование справедливости и рациональности таких методов распределения.

Summary

Startsev I. Л. Probability approach to set games.

The article focuses on set games that simulate the situations requiring to allocate a set of items between a group of Agents. It is proposed to approach the solutions of such games probabilistically, which implies the probabilistic allocation of items to each of the agents, the probabilities of getting an item for each agent reflecting the ability of this agent to collude. Numerical values for simple transferable utility games have been suggested to be used as an estimation of such probabilities. The general theorem proved by the author allows to extrapolate axiomatic characterizations of simple games indices on additive probability values for set games.

Литература

1. Hoede C. Graphs and games // Memorandum. Faculty of Applied Mathematics, University of Twente, Enscliede, The Netherlands, 1992. N 1065. 21 p.

2. Aarts H., Funaki Y., Hoede C. A marginalistic value for monotonic set games // Intern. J. of Game Theory. 1997. Vol. 26. P. 97-111.

3. Старцев И. А. Эгалитарные значения игр с неделимыми выигрышами и понятие разрушающего игрока // Процессы управления и устойчивость: Труды 37-й Междунар. науч. конференции аспирантов и студентов. СПб., 10-13 апреля 2006 г. / Под ред. А. В. Платонова, Н. В. Смирнова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. С. 609-613.

4. Sun Н. A survey of solutions for set games // J. of Qingdao University (Natural science ed.). 2004. N 17. P. 56-59.

5. Drissen Т., Sun H. Semi-marginalistic values for set games // Intern. J. of Game Theory. 2006. Vol. 34. P. 241-258.

6. Старцев И. А. О новом значении для игр с неделимыми множествами // Процессы управления и устойчивость: Труды 36-й науч. конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, В. Н. Старкова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. С. 565-570.

7. Shapley L. S., Shubik М. A method for evaluating the distribution of power in a committee system // Amer. Political Science Review. 1954. N 48. P. 787-792.

8. Deegan J., Packet E. W. A new index of power for simple n-person games // Intern. J. of Game Theory. 1978. N 2. P. 113-123.

9. Sun H. Contributions to set game theory: Ph.D. thesis of the University of Twente, Euchede, The Netherlands, 2003. 151 p.

Статья рекомендована к публикации членом редколлегии проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 20 ноября 2006 г.