Операторы обобщенного дифференцирования в вычислительном методе оценки поля скорости ветра в атмосфере на основе векторного уравнения Навье-Стокса

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», № 3, 2013

УДК 519.5 Наац И. Э. [Naats I. E.],

Рыскаленко Р. А. [Ryskalenko R. A.]

ОПЕРАТОРЫ ОБОБЩЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ МЕТОДЕ ОЦЕНКИ ПОЛЯ СКОРОСТИ ВЕТРА В АТМОСФЕРЕ НА ОСНОВЕ ВЕКТОРНОГО УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА

The operators of the generalized differentiation of the functions in the calculation method of stating the value of wind velocity field in the atmosphere, which is based on the Navie-Stoks vector equation

Рассматривается векторное уравнение Навье-Стокса и для него выполняется построение вычислительного алгоритма на основе операторов обобщенного дифференцирования функций, соответствующих эмпирическим данным задачи, с помощью которого возможно оценить поле скорости ветра с учетом в нем членов, определяемых турбулентным состоянием пограничного слоя атмосферы.

Ключевые слова: оператор обобщенного дифференцирования, векторное уравнение Навье - Стокса, вычислительный алгоритм.

The Navie - Stoks vector equation is considered and for it creation computing algorithm on the basis of operators of the generalized differentiation of the functions corresponding to empirical data of a task, with the help of that may be state the value of wind velocity field consideration terms in it, which are formed of turbulent viscosity in the frontier layer of the atmosphere.

Key words: the operator of the generalized differentiation of the functions, the Navie-Stoks vector equation, computing algorithm.

Известно, что для изучения пространственно-временной изменчивости поля концентрации загрязняющих веществ в проблеме охраны окружающей среды в пределах пограничного слоя атмосферы и оперативного прогноза экологических ситуаций требуется знание поля скоростей воздушных масс. Одним из способов получения подобной

информации в виде численных оценок характеристик векторных полей скорости ветра может быть вычислительный алгоритм и соответствующее программное обеспечение для решения уравнений аэродинамики при условии приближенного задания соответствующих исходных данных. Подобные данные могут формироваться на основе сопутствующих стандартных метеонаблюдений в пределах контролируемого региона. Эта концепция экологического мониторинга воздушного бассейна выдвигалась и обосновывалась ранее авторами в работах [1, 4]. В представленной работе более подробно излагаются вопросы алгоритмизации и разработки соответствующих вычислительных технологий с учетом приближенного характера имеющейся исходной информации о характеристиках векторных полей. Конкретно речь идет о разработке вычислительных алгоритмов решения уравнений аэродинамики на основе так называемых операторов обобщенного дифференцирования, введенных ранее авторами в работах [4-8] для задач переноса и рассеяния загрязняющих веществ в системе «атмосфера - подстилающая поверхность».

Известно, что основным уравнением, описывающим векторное поле V(Р,Ь), где Р = (х1,х2,х3) и Ь € Ц = [Ь0,Т] в пространственно-временной области О = Ц хЦ, является уравнение Навье-Стокса [1-3]

— +

дЬ р

где ^ - силовое поле, Ур - так называемый бариметрический градиент и т - коэффициент вязкости среды.

В координатной форме для компонент V, У2 и У3 исходного поля V уравнение (1), например для У1, записывается в виде

дУ дУ дУ дУ 1 др 2 ,

—1+ У—1 + У—1+ У—1 = ~(К- — + ^2У). (2) 1 1 1 1 1

дъ дх1 дх2 дх3 р дх1

Аналогичные выражения можно записать и для остальных компонент V2 и V [1-4]. Исходными данными для уравнения (1) служит множество В = {Р, Ур, т} с учетом начальных и граничных значений искомого поля V(Р, Ь). Особо подчеркивается, что функции, входящие во множество В, не обязательно являются непрерывными и тем более дифференцируемыми. В большинстве приложений исходные данные представляются дискретными массивами приближенных числовых данных, для которых естественной допустимой операцией является суммирование

с некими весовыми коэффициентами. Что же касается операций дифференцирования функций, требуемых в силу задания исходных математических моделей в форме дифференциальных уравнений, то в силу их неопределенности на приближенных данных, их следует заменить операциями, так называемого обобщенного дифференцирования. Остановимся кратко на основных положениях теории обобщенного дифференцирования функций применительно к построению алгоритмов численного решения уравнений типа (1).

Одним из эффективных подходов к построению операторов обобщенного дифференцирования приближенно заданных функций могут служить их так называемые сингулярные интегралы (то же представление исследуемой функции в виде соответствующего сингулярного интеграла). В частности, если речь идет о некоторой функции, скажем и(Р, Ь), где (Р, Ь) € О = Ох хО(, то ее представление сингулярным интегралом выглядит следующим образом:

/ 1¥п

п* ,

11т пп

где \¥п (Р, Р') - ядра соответствующих интегральных операторов \¥п(Р, Р'), определенных формально на СЕ(О), п = 1,2.... Последовательность интегральных операторов {^} преобразует исследуемую функцию в последовательность функций {ип (Р)} для которой и является предельным элементом. При определенных ограничениях на систему функций {№п(Р,Р')} элементы последовательности {ип(Р, могут быть непрерывными (дифференцируемыми) функциями, в то время как исходная функция и(Р) является лишь суммируемой. Этот момент теории является центральным для исследующих приложении излагаемого аппарата в разработке устойчивых алгоритмов (более полно о теории представления суммируемых функций сингулярными интегралами можно найти в работах [6, 7]).

Если допустить, что исследуемая функция и(Р, Ь) задается соответствующим дифференциальным уравнением, как это имеет место в рассматриваемой задаче, и требуется найти представление ее частных производных по пространственным переменным х., г = 1,2,3, то можно использовать аналогичные интегралы. В соответствии с (3), в частности,

имеем

/ Wn

n. ' ' ' .

lim

n i In i

Применим к интегралу в последнем выражении формулу интегрирования по частям. В результате получим следующее соотношение:

f

где через yni (P, t, и) обозначен поверхностный интеграл по границе Н^ по переменным x \ , где к = 1,2,3, k ^ i, от функции [Wn (P, Pt)u(Pt)].

Если на границе u(P, t) принимает нулевые значения, то Уп. (P , t, и) ° 0 . При записи (5) использовано соотношение (w) = (—W', выполняемое для ядер указанного типа. Кстати, заметим, что вполне приемлемым ядром в представлениях (4) и (5) для уравнений параболического типа может быть функция

W(P, P', t) = -П=exp J-

4at

3

n2

E X - хП)

I4atJ,

где n = 1,2... и a - некая константа. Функция (6) называется ядром Вейер-штрасса - Гаусса. Уместно указать основные аналитические свойства данного ядра, определяющие правомерность соотношений типа (4). К последним относится прежде всего равенство

lim Г W (P, P', t)dn(P') = 1,

а также условия Wn(P,P', t) = Wn(| r(P) - r(P')|, t) ^ 0 при | r (P) — r (P') те и Wn (P, Pt) > 0 всюду в области своего определения, где r (P) - радиус-вектор точки P .

В дальнейшем без ограничения общности полагаем, что W - брус в

R3 (0 = 1Л Пх , dü(p') = dx'• dx' • dx3 = dX) и u(P, t) при P еП (тоже

фп.(P,t,и) = 0). Поскольку lim(u' ) (P,t) = u' (P,t), то (5) можно интер' П—V i / n i

претировать как отображение u ^ ux , осуществляемое интегральным оператором (Dx о Wn), ядром которого является функция (Dx Wn)(P, P', t) = (W') (P, P', t). В силу этого оператор (D oWn) можно рассматривать в качестве некоторого аналога оператора взятия частной производной от исходной функции по переменной x.. Формально он оп-

=1

ределен на множестве суммируемых функций, в связи с чем и используется термин «оператор обобщенного дифференцирования». Используя соотношение (4), нетрудно показать справедливость предельного равенства оШп) = Бх для класса дифференцируемых функций.

Прежде чем обратится к приложениям изложенной выше теории обобщенного дифференцирования к построению решающего алгоритма для исходной задачи (1), преобразуем это уравнение в систему двух уравнений на основе так называемого метода пофакторного расщепления в пределах элементарного временного интервала ДЬ = t.+1 — Ь. (] = 1,2...) [1]. С этой целью введем в рассмотрение два оператора:

АР) = V + Р дт + Р ^], А = ,

дх1 дх2 дх3 которые позволяют (2) представить в виде

* 1 дР

V + Л^Ж + ЛА^- = Г- = -

р дх-

Последующее применение метода расщепления к уравнению (7) по операторам А1 и А2 приведет к следующей вычислительной схеме:

V и + АКК = ,

_ VР,0), ] _ 0, р ейх

уп(р,Ь) _^^,2(Р,^), . _ 1,2... ,

у1(р, г,) _ у( р, г,) при р ей х

V12 - Л

Кр I.) = У}l(p, 1]+1) при р еОх,

[У12(Р,) = У1(Р,г.) при р ео , ,

Ь <г < ^ »1 + » =1,

У^Р, Ь) = У12

При Аг ^ 0 решение У1{Р, , определяемое схемой (810), сколь угодно мало отличается от так называемого точного решении

уравнения (7) при заданных операторах \У1) и А . В рамках изложенного подхода последнее означает, что значения У2(Р,) и У3{Р,^) были предварительно определены ранее. Ясно, что аналогичные вычислительные схемы могут быть составлены и для остальных компонент скорости ветра V(Р, Ь). Используя приближение (5) в соответствии с которым

д

ихЧрг)

дУ1

(Р, £) при условии У1(Р, £ ) = 0, приходим к следующе-

дх:

му интегральному аналогу оператора А1 (V):

,, N г дУ ду дУлл

А1(У)У1 =[У1-1 + У2-1 + У-^

дх1 дх2 дх3

г1(р, о / ж \л(р, р \ тр \ (р')+

«х

+У2

+г3

Ох

/ <$п) (р, р', г, У(Р, г) V (р', £ )^П(Р').

= J <

П

Выражение (11) позволяет ввести в рассмотрение интегральный оператор Я'(п> (V), действующий на первую компоненту У1 (Р, í). Его ядром является функция

в{п )

Теперь исходное уравнение в схеме (8) примет вид

^ (р,г) + /<*(р,рг.,у(р,г.))уп(рь)йпх(р') = ш^р,г), (13) при ь. < £ < г.+1.

В указанных пределах изменения переменной t уравнение (13) - это линейное интегро-дифференциальное уравнение (эволюционное уравнение с интегральным оператором по пространственным координатам). Численное решение (13) можно отнести к стандартным вычислительным задачам, реализуемым средствами соответствующего программного обеспечения.

Аналогично осуществляется построение интегрального аналога и для оператора А2 в схеме (8-9). В этом случае исходной формулой является выражение:

/

где Нт(«1 )„(Р *) = п1 (Р, í) .

При и(Р, Ь) ° 0 и й'х (Р, Ь) = 0, когда Р , функция (Р, Ь, и, й'х), связанная с двукратным применением формулы интегрирования по частям к интегралу §№^,хх (Р,РЬ)пх,х,(Р', (Р'), принимает нулевые значения. К тому же^ледует заметить, что | 0 при п ^ ж во всех точках Р . В итоге для схемы (9) введение оператора обобщенного дифференцирования второго порядка (Р{2) ° ^п) согласно (14) приведет к выражению

^ д2У

(АУЖ *) = 1ЕддУг р *) =

п 3 д

= » I (Е^ (Р, Р ' 0Ж2(Р' № (Р') =

I = дх

= 1 /

В итоге вычислительная схема (8-10), связанная с вычислением компонент У1(Р, ¿) в интервале , Ь.+1], при условии, что V(Р, £) известен, примет вид

пх

V11

^(Р 3) =

к(Р,0),з = 0,Р еО 3 [^(Р, 3), з = 1,2... ^ Уи(Р,з) = Уг(Р,3) при Р еО

Уи

[у12(р, .) = ^(р при Р ;

К2(Р.) = ^(Р, ь) при Р еО ;

о

Уг{Р, £) = ^2(Р, £), га = 1,2... .

В процессе построения вычислительной схемы (16-17) на основе операторов обобщенного дифференцирования (Бх оШп) и (Б^ оШп) осуществлена локальная линеаризация исходного уравнения (1). В связи с этим последующей итоговой операцией является построение последовательности приближенных решений интегро-дифференци-альных уравнений вида и = —Б(п)и + ф , га = 1,2.... Используя конечно-разностную аппроксимацию оператора , приходим в простейшем варианте к рекурсивной схеме

М

= -Б3^+1 + ^ + ф3,

или

и'+1

и

п3+1 =

Рекурсивная схема (18) сходится при з = 1,2..., если гарантированно выполнение условия || Т3 ||< 1 для Уз = 1. Свойства оператора В в (18) естественно определяются операторами (Бх о Щ) и (Б(2) оШп). Исследование их свойств в связи с условием || Т3 11< 1 выходит за рамки настоящей работы. Укажем лишь на справедливость следующего утверждения: операторы (Бх оШп) и (Б(2) оWn) ограничены по норме

Ь1(0,х) для всех пар (х, и) при п < ж . Последнее следует из формулы (5) и (14) (подробнее в работе авторов [6-8]).

В заключение сделаем несколько замечаний относительно практического применения изложенной выше теории и соответствующих вычислительных схем в задачах математического моделирования физических явлений, описываемых дифференциальными уравнениями. Напомним, что расчетные данные, получаемые с помощью рекурсивных схем типа (18), представляются дискретными массивами в виде последовательности {Уп (Ру, ^)} , сходящейся в слабом смысле при п ^ ж к «точному» решению уравнения (1). При математическом моделировании физических явлений, включая и векторные поля, каким является поле V (Р, £, возникает задача оценки степени влияния тех или иных факторов на их характеристики.

В частности, для поля V(Р, Ь) важным является определение векторной характеристики гоЬУ(Р,Ь) и ее вариации при изменении таких факторов, как Р, Ар и т . Поскольку поле V(Р, ¿), получаемое на основе сеточных моделей, представлено дискретными значениями, то для оценки значений матрицы {дК/дх.}, г, ] = 1,2,3 должны использоваться соответствующие интегральные представления исследуемых функций, о чем речь уже и шла выше (соотношение (5)). Используя квадратурные формулы, интегралы )(Р, Ь) и ((о^ о шп )у{)(р, /), аппроксимирующие Vi(Р,¿) и (дУ^дх.)(Р,Ь) можно свести к соответствующим суммаци-онным аналогам вида

т I \

*) = £У

V=1

т , ч

*) = £у

»=1

где "'} и [ф^'}, V = 1,-т (т £ п) - базисные функции

для разложения

V(Р,Ь) и (дУ/дхз) в ряды типа (19) и (20).

Ясно, что суммационные аналоги устойчивы к малым нерегулярным возмущениям в исходных значениях У (Ру, 0, и потому операция «дифференцирования» У,(Р,0 по пространственным переменным х1, х2, х3 на основе ряда (20) вполне корректна в математическом отношении. Ряды типа (Р,£У), где к - порядок дифференцирования в исходной модели (1), являются рабочим аппаратом изложенной выше теории. Они лежат в основе решающих алгоритмов и соответствующего программного обеспечения.

ЛИТЕРАТУРА 1.

4.

5.

6.

Наац В. И., Наац И. Э. Математические модели и численные методы в задачах экологического мониторинга атмосферы: монография. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 328 с.

Каргин И. И., Рыскаленко Р. А. Применение вариационных методов в вычислительной модели уравнения Навье - Стокса. // Вестник СевКавГТУ. Ставрополь: Изд-во СевКавГТУ. 2006. № 3(7). С. 22-26. Каргин И. И., Рыскаленко Р. А. Многочлены Бернштейна и метод наименьших квадратов в вычислительной модели уравнения Навье - Стокса // Известия вузов. Сев.-Кав. Региона. Естеств. науки. 2007. № 6. Ростов-н/Д, 2007. С. 3-11.

Каргин Н. И., Рыскаленко Р. А. Вычислительные модели для расчета векторных характеристик поля скорости ветра в атмосфере// Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 14. Выпуск 4. М., 2007. С. 715.

Рыскаленко Р. А., Черкасова И. В. Интегральные представления функций в численных методах решения нестационарных задач переноса // Вестник СКФУ. 2013. № 1 (34). Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2013. С. 30-34.

Рыскаленко Р. А., Чемеригина М. С. Операторы обобщенного дифференцирования в численных методах решения нелинейного уравнения переноса с приближенными данными // Вестник СКФУ 2013. № 1 (34). Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2013. С. 35-38. Наац И. Э., Рыскаленко Р. А. Сингулярные интегралы функций в задаче нахождения ротора поля скорости ветра в приземном слое атмосферы. // Инновационные методы и средства исследований в области физики атмосферы, гидрометеорологии, экологии и изменения климата: материалы Международной научной конференции (23-26 сентября 2013 г, Ставрополь.) Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2013. С. 76-80.

Наац И. Э., Артемов С. В. Итерационные алгоритмы для численного решения уравнения переноса на основе операторов обобщенного дифференцирования // Вестник СКФУ 2013. № 1 (34). Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2013. С. 21-26.

2

ОБ АВТОРАХ Наац Игорь Эдуардович, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник института повышения квалификации и научно-педагогических кадров СКФУ, тел. (8-652) 35-21-10,

Е-mail: VINaac@yandex.ru.

Рыскаленко Роман Андреевич, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Е-mail: risc-roman@yandex.ru.

Naats Igor E., North-Caucasian Federal University, doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor and consultant to the Department of Applied Mathematics and Computer Science Faculty of Mathematics and Physics.

Ryskalenko Roman A., North-Caucasian Federal University, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of mathematical analysis.