О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к разностным

2003 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 4

МАТЕМАТИКА

УДК 517.962.2

А. Ю. Александров, А. П. Жабко

О СОХРАНЕНИИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К РАЗНОСТНЫМ

Введение. В настоящей работе рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая описывает движение механической системы, находящейся под действием потенциальных и диссипативных сил. Предполагается, что система имеет асимптотически устойчивое положение равновесия, известны оценки скорости затухания переходных процессов в рассматриваемых уравнениях, а также условия, при выполнении которых возмущения не нарушают асимптотической устойчивости положения равновесия. Цель статьи — построить для изучаемых дифференциальных уравнений разностную систему, обладающую аналогичными свойствами. Иными словами, требуется построить консервативный метод численного интегрирования, т.е. такой метод, который учитывает специфику рассматриваемой системы и сохраняет ее качественные характеристики.

Проблеме построения консервативных численных методов посвящено большое количество работ (см., например, [1-5]). Особенно хорошо исследована задача о сохранении интегралов движнения при численном интегрировании дифференциальных уравнений. Были разработаны модификации известных разностных схем [2, 3, 5-8]. Указанные модификации осуществляются путем введения управлений в процессе вычислений. При этом значения управляющих параметров на каждом шаге интегрирования определяются из условий сохранения заданных интегралов.

Для решения поставленной задачи наряду с исходной системой дифференциальных уравнений рассмотрим вспомогательную систему, имеющую первый интеграл специального вида. Тогда модификацию разностной схемы для вспомогательной системы, сохраняющую этот интеграл, можно провести с помощью одного из известных консервативных численных методов. Далее найденное таким образом управление используем при построении разностной системы, соответствующей исходным уравнениям. Покажем, что описанный подход обеспечивает требуемую согласованность между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле устойчивости нулевого решения.

© А. Ю. Александров, А. П. Жабко, 2003

1. Рассмотрим механическую систему, движение которой описывается уравнениями

дШ дС

Здесь q — п-мерный вектор, Ши С^) — непрерывно дифференцируемые положительно-определенные однородные функции порядка V +1 и ц +1 соответственно, V > 1, 1 > 1-

Уравнения (1) эквивалентны системе

дШ дС

Ч = Р'

Известно [9, с. 97-99], что нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво, причем для функции Ляпунова

ПЧ,р)=С

выполнены требования теоремы Барбашина—Красовского. В работах [10, 11] получены оценки скорости стремления решений системы (2) к началу координат, а также определены условия, при выполнении которых возмущения не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения.

Рассмотрим соответствующую уравнениям (2) разностную систему

х(к + 1) = х(к) + Ну(к),

построенную методом Эйлера. Здесь х(к) и у(к) — п-мерные векторы, Н — шаг дискретизации (Н > 0), целочисленный аргумент к принимает значения к = 0,1,...

Пусть ¡л = 1, а функция С^) представляет собой квадратичную форму: С^) = q* Сq, где С — постоянная симметричная положительно-определенная матрица. Тогда собственные числа матрицы системы линейного приближения для уравнений (4) имеют вид 1 ± Ну?—2А:)-, ] = 1,...,«.. Здесь А^- — собственные числа матрицы С. Применяя теорему о неустойчивости по линейному приближению [12, с. 94-96], получаем, что при всех к > 0 нулевое решение системы (4) неустойчиво. С помощью функции Ляпунова (3) нетрудно показать, что нулевое решение разностных уравнений (4) может быть неустойчивым и при ¡л > 1. Значит, для любого сколь угодно малого шага дискретизации асимптотически устойчивой системе дифференциальных уравнений (2) может соответствовать неустойчивая разностная система.

Таким образом, возникает необходимость коррекции вычислительной схемы (4) для того чтобы обеспечить сохранение асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к разностным. Для решения этой задачи наряду с системой (2) рассмотрим вспомогательную систему

дС

Ч = Р'

Функция (3) является первым интегралом системы (5). Построим численный метод интегрирования уравнений (5), сохраняющий данный интеграл.

Модификацию разностной схемы будем проводить на основе метода, разработанного В.И.Зубовым [3, 6]. Имеем

х(Л + 1) = х(Л) + ку{к) + и(1г, х(Л), у(к))дС^к)\

94 (6) у(Л + 1) = у(Л) - ^Ё^Ш! + х(Л), у(к))у(к).

В этой системе скалярное управление и(Н, х(к), у (к)) на каждом шаге интегрирования определяется из условия V(х(к + 1),у(к + 1)) = V(х(к),у(к)). Таким образом, приходим к уравнению

сад)

дq

-/г—^--Ьмр

дq

2

- ЭД-

* дЭД / ; дад\ п

/ф + и—^ -я^+С и+йр + и-^ =0,

у с^ у дq у

которому должна удовлетворять функция и(Н, q, р). Здесь || • || — евклидова норма вектора.

Зафиксируем произвольным образом выбранное положительное число 6. Если |^|| + ||р|| = 0, то, применяя теорему о неявной функции [13, с. 453, 454], получаем, что существуют числа Но > 0 и ио > 0 такие, что в области 0 < |^|| + ||р|| <6, Н € [0, Но], |и| < ио уравнение (7) однозначным образом задает функцию и(Н, q, р). Эта функция непрерывна при 0 < |^|| + ||р|| <6, Н € [0, Но] и удовлетворяет неравенству

1и(Н, q, р)| < НЬ

НЫ2» + е

где Ь — положительная постоянная, а неотрицательная функция е(Н) стремится к нулю при Н ^ 0.

Далее с помощью найденного управления проводим коррекцию разностной схемы (4), соответствующей уравнениям (2). Имеем

х(Л + 1) =х(Л) + ку{к) + и(1г, х(Л),

дq

+ и(Н, х(к), у(к))у(к).

Теорема 1. При достаточно .малом Н нулевое решение системы (8) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Функцию Ляпунова строим в виде

VI р) = ад + 1- р*р +

где ^ > 0, в > 1. Рассмотрим ее приращение на решениях уравнений (8). Получаем Д^ = -Н(» + 1)^(у(к)) - 7Н(М + 1)С(х(к))|х(к)|^-1 +

2

и

к2

+т

дШ

др

+ 7 к

дС{к{к)) дq

- у(к) ) (х(к)||х(к)||в-1-

- х

дС

+и

дС

+и

дq

дС

дq

р-1^

в-1

дq

+ 7

х(к) + ку(к)+

х(к) + ку(к)+

и(к, х(к), у(к))у(к)-

-к™2)* (х(А) + кУ(.) + „(к, х(А), У(^))«) •

Из положительной определенности и однородности функций С^) и Ш(р) следует, что при 0 < к < ко, ||х(к)|| + ||у(к)|| < 6 справедлива оценка

АУ < -кЬ^7Ух(к)Ув+^ + ||у(к)Г+1) + 62к2(||х(к)|П|у(к)Г+ + ||у(к)Г + ||у(к)Г+1) + 7&эГУу(к)У + к||х(к)И(к||у(к)|| +

в-1

+

где 61, 62, Ь3, 64 > 0. Пусть

V 2

Тогда для достаточно малых значений 7 и к найдется число 61, 0 <61 < 6, такое, что при всех ||х(к)|| + ||у(к)|| < 61 будут выполнены соотношения

и+1

Здесь о,1 и а2 — положительные постоянные.

Значит, функция У1(ц, р) удовлетворяет требованиям теоремы об асимптотической устойчивости [14, с. 27-30].

Таким образом, рассмотренная модификация разностной схемы обеспечивает согласованность между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле устойчивости нулевого решения. При этом и(к, q, р)/к ^ 0 при к ^ 0 равномерно по q и р в области |^|| + ||р|| < 6, т.е. корректирующие слагаемые имеют более высокий порядок относительно шага дискретизации по сравнению с функциями, входящими в правые части уравнений (4).

2

*

в

Замечание 1. При построении разностной системы (4), соответствующей уравнениям (2), использовался метод Эйлера. Предложенный в [3, 6] способ модификации известных численных методов позволяет проводить аналогичную коррекцию вычислительных схем и добиваться согласованности между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле устойчивости нулевого решения и в случае, когда первоначальная разностная система построена методом Рунге—Кутта или Адамса.

2. Далее в настоящей работе считаем, что S и h являются фиксированными параметрами, причем величина h выбрана так, чтобы функция u(h, q, p) была определена при всех ||q|| + ||p|| < S и чтобы, по крайней мере, для достаточно малых значений ||x(k)|| и ||y(k)|| выполнялось неравенство (12).

Оценим скорость стремления к началу координат решений уравнений (8). Из доказательства теоремы 1 следует существование числа Д > 0 такого, что если

то при всех k > ko имеем

Vi

Здесь (x* (k), y*(k))* — решение системы (8), проходящее при k = ko через точку (x*,y*)*, число в определяется по формуле (10), a — положительная постоянная, не зависящая от начальных данных рассматриваемого решения.

Лемма. Пусть для членов последовательности {Vk} выполнены неравенства 0 < Vk+1 < Vk — avg, k = 0, 1,..., где a > 0, A > 1, vo > 0, aAvg-1 < 1. Тогда при всех k = 0,1, ... справедлива оценка

vk <v0

Доказательство. Применяем метод математической индукции. При k = 0 неравенство (15) верно. Предположим, что оно имеет место для всех k < l. Тогда vi < vo, откуда следует, что aAvg-1 < 1. Функция vi — avg монотонно возрастает на промежутке [0, (aA)-1/(g-1)j. Значит, справедливы соотношения

^ < ««(1" -Г) < «о(1 + ziy^ (i - (A_D(1 + z0

i

Л — 1

v0(l + z(Z + l)) Ф).

Здесь z = a(A — 1) vg 1,

ф)= U + TTTT U-

1

Л-1

1 + V (л - !)(! +г1),

Заметим теперь, что у>(0) = 1 и при этом функция монотонно убывает на

промежутке [0, Следовательно, неравенство (15) выполняется и при к = I +1.

Применяя к соотношениям (14) доказанную лемму и используя неравенства (11), получаем, что имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Если а(в + ¡¡) (а2(Дм+1 +Д2))1)/(м+1) < ^ + 1, то для решений (х* (к), у* (к))* системы (8) с начальными данными (х* (ко), у* (ко))* = (х*, у*)*, удовлетворяющими условиям (13), при всех к > ко справедливы оценки

z

(0-1 . _и±1

Замечание 2. Аналогичным образом можно показать, что если число Д достаточно мало, то для решений системы (8), начинающихся при к = ко в Д-окрестности точки , р*)* = (0*, 0*)*, при всех к > ко выполнены неравенства

Здесь С1 и С2 — положительные постоянные.

Замечание 3. Найденные оценки для решений разностной системы (8) согласуются с оценками, полученными в работе [10] для решений системы дифференциальных уравнений (2).

3. Рассмотрим теперь возмущенную систему

х(Л + 1) =х(Л) + ку(к) + и(1г, х(Л), у(к))дС^к)\

oq

+ п(к, х(к), у(к))у(к) + Щк, х(к), у(к)).

Здесь векторная функция И.(к, q, р) определена при к = 0,1,..., |^|| + ||р|| < 5, непрерывна по переменным q, р и удовлетворяет неравенству

где с, п, & — положительные постоянные. Таким образом, система (16) также имеет решение (х* (к), у* (к))* = (0*, 0*)*. Исследуем вопрос, при каких условиях возмущения не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения. Теорема 3. При выполнении неравенств

( и(и +1)1 . .

г] > тах < ¡л] ~~^^—-}, а > 1У

нулевое решение системы (16) асимптотически устойчиво.

Доказательство. В качестве функции Ляпунова для возмущенной системы выбираем функцию (9), причем по-прежнему считаем, что 7 — достаточно малая положительная постоянная, а число в определяется по формуле (10).

Приращение функции V р) на решениях уравнений (16) можно представить в виде

ДУ = У(х(к + 1), у(к+1))- У(х(к), у(к)) =

= *(х(*)>У(*)) + КЧМ(*),у(*))(у(*) - _

+п(Н, х(к), у(к))у(к)] + 7И* (к, х(к), у(к))(х(к) + ку(к)+

^ x(k) + hy(k)+

dG(x(k)) dq

Здесь Ф(х(к), у(к)) — приращение VIр) на решениях системы (8). Используя оценки (12) и (17), получаем, что при достаточно малых значениях ||х(к)|| и ||у(к)|| и для всех к = 0,1,... справедливо соотношение

где &1, 62, Ьз — положительные постоянные.

Если выполнены неравенства (18), то существует ¿1 > 0 такое, что при к = 0,1,..., ||х(к)|| + ||у(к)|| < ¿1 имеет место оценка

Таким образом, функция Vl(q, р) удовлетворяет требованиям теоремы об асимптотической устойчивости [14, с. 27-30].

Замечание 4. Найденные условия асимптотической устойчивости нулевого решения разностной системы (16) совпадают с полученными в работах [10, 11] условиями сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения при воздействии возмущений на систему дифференциальных уравнений (2).

A. Yu. Aleksandrov, A. P. Zhabko. On the maintainance of the asymptotic stability while passing from differential to difference equations.

The method of difference schemes construction for a certain class of nonlinear oscillatory systems is suggested. The proposed approach provides a true correlation between differential and difference equations in view of the zero solution stability.

Литература

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1966. 724 c.

2. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге—Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М., 1988. 334 c.

3. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. Л., 1980. 253 c.

4. Sanz-Serna J. M. Symplectic integrators for Hamiltonian problems: an overview // Acta Numer. 1992. Vol. 354. P. 243-286.

5. Kinoshita H., Yoshida H., Nakai H. Symplectic integrators and their application in dynamical astronomy // Cel. Mech. Dyn. Ast. 1991. Vol. 50. P. 59-71.

6. Зубов В. И. Консервативные численные методы интегрирования дифференциальных уравнений в нелинейной механике // Докл. РАН. 1997. Т. 354, № 4. C. 446-448.

7. Yoshida H. Construction of higher order symplectic integrators // Phys. Lett. 1990. A 150. P. 262-268.

8. Wisdom J., Holman M. Symplectic maps for the Ж-body problem // Astron. J. 1991. Vol. 102. P. 1520-1538.

9. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М., 1980.

Summary

300 c.

10. Александров А. Ю. Об устойчивости положения равновесия неавтономных механических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 3. С. 27-31.

11. Александров А. Ю. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, № 6. С. 1203-1210.

12. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М., 1967. 324 с.

13. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М., 1969. 608 с.

14. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М., 1971. 312 с. Статья поступила в редакцию 15 октября 2002 г.