Базисная логика и примитивно рекурсивная реализуемость

Д.А.Витер

БАЗИСНАЯ ЛОГИКА И ПРИМИТИВНО РЕКУРСИВНАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ

Abstract. We introduce a primitive recursive (PR-) realizability for predicate formulas, based on PR-realizability for arithmetic formulas, introduced by S.Salehi in 2000. The different cases from Kleene's recursive realizability are — and V, in which the recursive functions associated with, are restricted to primitive recursive. It is proved, that the set of PR-realizable predicate formulas are non-arithmetic. The similar results obtained for sets of PR-non-refutable and PR-realizable sequences.

Введение

Работа посвящена исследованию некоторых вопросов конструктивной математической логики.

В конструктивной логике (как и в клиниевском определении реализуемости) интуиционистское понятие эффективности уточняется с помощью частично-рекурсивных функций. В математике рассматриваются также другие, более узкие классы вычислимых функций, например, примитивно рекурсивные функции.

В 2000 году иранский математик С.Салехи [9] предложил понятие реализуемости для замкнутых арифметических формул, основанное на клиниевской рекурсивной реализуемости, ограниченное использованием только примитивно рекурсивных функций. Автором было введено аналогичное понятие реализуемости для замкнутых предикатных формул и была доказана неарифме-тичность множества всех предикатных формул, реализуемых в этом смысле.

Результаты этой статьи частично изложены в работе [10].

Базисная логика

Для доказательства результатов настоящей работы использованы методы исследования так называемой базисной логики (Basic Logic). Развитие этого направления конструктивной математической логики в 80-х годах ХХ века в работах А.Виссера [4], В.Руйтенбурга [7], М.Ардешира [8], С.Салехи [9]1 связано с критическим пересмотром интуиционистских взглядов на природу

1 Определения и утверждения, приведенные в этом параграфе, принадлежат перечисленным авторам.

«доказательства» и, в частности, с интерпретацией связки Л—Б. В отличие от интерпретации BHK2, где под доказательством того, что Л—Б, подразумевается некоторая конструкция, которая преобразует доказательство Л в доказательство Б, в новой интерпретации под доказательством того, что Л—Б, подразумевается некоторая конструкция, которая использует предположение Л для построения доказательства Б.

Чтобы проиллюстрировать этот подход, приведем цитату из работы В.Руйтенбурга [7]: «Использование предположения Л, а не доказательства Л, для получения доказательства Б позволяет избежать преобразования доказательств, как в интерпретации БНК. Доказать Б стало сложнее, так как дано меньше информации. Можно сравнить предположения с закрытыми "ящиками", на которых написано, что в них содержится. Мы предполагаем, что в ящиках содержится именно то, что на них написано, от нас не требуется "открыть" их и использовать содержимое ящиков для построения доказательств... Из предположения Л легко следует, что доказательство Л получается из некоторого очевидного предположения. Поэтому справедливо Л—(Т—Л), а также Л—Л. Но Л не следует из Т—Л, так как доказательство (Т—^Л) —^Л есть некоторая конструкция p, которая использует предположение о том, что существует конструкция q, которая позволяет получить доказательство Л, для того чтобы получить доказательство Л. Лишь предполагается, что конструкция q существует, она не дана. Таким образом, мы не сможем построить p без доказательства предположения Т— Л. Пользуясь аналогией с "ящиками", нам потребовалось бы "открыть" ящик Т—Л».

Следствием такого подхода является то, что формулы Л—(Б—C) и Б—(Л—C) не эквивалентны и существенно слабее, чем (ЛлБ)—C. Это явилось основанием для изменения самого понятия формулы, в частности, изменилась форма квантора всеобщности. Новый квантор всеобщности записывается в виде Ух:Л.В, что фактически означает Ух(Л—Б).

Указанная интерпретация доказательства явилась основой для аксиоматизации секвенциального исчисления базисной логики предикатов BQC ^asic Predicate Calculus3). Исчисление BQC строится в языке логики предикатов с равенством. В язык входят предметные переменные, предикатные символы, логические символы л, v, —, V, 3, логические константы Т и Выражение —Л

2 Бгои%гег-Неуй^-Ко1ш^огоу

3 Буква Q в аббревиатуре BQC обозначает "Quantifier".

есть сокращенная запись для Л—±. Как только что было сказано, понятие формулы несколько отличается от понятия формулы, использовавшегося в интуиционистской логике предикатов IQC (Intuitionistic Predicate Calculus), а именно отличается случай с квантором всеобщности: если Л и B - формулы, x - список переменных, то Vx:A.B - формула. Аксиоматика BQC приведена в работах [7], [8].

На основе BQC строится секвенциальное исчисление базисной арифметики BA (Basic Arithmetic) (см. аксиоматику в [9]). Как и язык HA, язык BA содержит функциональные символы для всех примитивно рекурсивных функций. В исчислении BA, как и в HA, любой примитивно рекурсивный предикат выражается атомарной формулой.

Формулы базисной арифметики допускают интерпретацию в стандартной модели арифметики, где ее связки и кванторы понимаются в классическом смысле. Очевидно, что если секвенция выводима в BA, то ее формульный образ истинен в стандартной модели арифметики. Таким образом, базисная арифметика корректна относительно классической семантики.

Пусть A - формула в языке BQC. Обозначим через Ai формулу, полученную из A путем замены каждой ее подформулы вида Vx:B.C на Vx(B—C). Очевидно, что формула Ai является теперь формулой в языке IQC. Обратно, пусть A - формула языка IQC, и Ab обозначает формулу языка BQC, полученную из A заменой любого вхождения подформулы вида VxG(x) на Vx:T.G(x).

Введем понятие «n-ослабления» (A)n и «n-усиления» (A)n для формул в языке BQC4 (см. [8]). Рекурсивно определяем для любой формулы A: T0A==A, Tn+1A==T—TnA5.

Для каждого натурального n положим:

«n-ослабление»:

(p)n==Tnp для атомарных p;

(AAB)n==AnABn;

(AvB)n==Tn(AnvBn);

(A—B)n==An—Bn;

(3xA(x))n==Tn3x(A(x))n;

(Vx:A(x).B(x))n==Vx:(A(x))n.(B(x))n;

(T)n==T;

4 Будем опускать скобки в тех местах, где это не приводит к разночтениям, т.е. записывая просто Ап и Ап.

5 Под символом «длинного равенства» == здесь и далее понимаем «равенство по определению»

(±)П==ТП±; (Л^Б)п==Лп^Бп

«п-усиление»:

(р)п==р для атомарных р;

(ЛлБ)п==ЛплБп;

(AvB)n==AnvBn;

(Л^Б)п==Лп^Бп;

(ЗхЛ(х))п==Зх(Л(х))п;

(Ух:Л(х).Б(х))п==Ух:(Л(х))п.(Б(х))п;

(Т)п==Т;

(1)п==1;

(Л^Б)п==Лп^Бп. Нами будет использовано утверждение 1) из теоремы Арде-шира о «переводе из ^С в BQC»:

Теорема 1. Для любой секвенции Л^Б

1) существует натуральное число т такое, что для всех п таких, что п>т, если ЩС |-Л^Б, то БQC |-(Ль^Бь)п;

2) если для некоторого числа п верно BQC |-(Л^Б)п, то ЩС ^Л^Б1).

Доказательство. [8, Теорема 3.14].

Примитивно рекурсивная реализуемость

В дальнейшем нам понадобятся обозначения для следующих примитивно рекурсивных функций: 8х - операция прибавления единицы к х;

sg

(0)==0; {^х)==х eq(x,0)==1-sg(x), eq(x,Sy)=sg(x)eq(f*(x),y). Введем обозначение ~х=у == eq(x,y)=0.

Отметим, что ВА|-х =ул~х=у^ _1_, однако неверно, что ВА|х=ул(х=у^±)^± (см. [9]).

Пусть £^п)(х0,.,хп-1) есть п-местная частично-рекурсивная функция. Мы можем рассматривать ее как одноместную частично-рекурсивную функцию f с аргументом х, кодирующим конечную

последовательность чисел х0,...,хп_ь т.е. :(х)==:п)(х0,...,хп_1), где х=(х0,...,хп_1) определяется по формуле (1).

Клини (см. [1]) использует так называемую систему равенств для задания и геделевской нумерации частично-рекурсивных функций. Мы же для задания частично-рекурсивных функций, как и в работе [6], используем слова в алфавите 0, Гт (т=1,2,..., 1< I < т), С, Я, М, которые строятся по следующим правилам:

1) 0 есть 0-местный функциональный символ;

2) 8 есть одноместный функциональный символ;

3) Гт есть т-местный функциональный символ (т=1,2,..., 1< I < т);

4) если : есть т-местный функциональный символ (т> 1), а §1,.,§т суть п-местные функциональные символы (п> 0), то Cfg 1,.,§т есть п-местный функциональный символ;

5) если : есть п-местный функциональный символ, а g есть (п+2)-местный функциональный символ (п> 0), то Rfg есть (п+1)-местный функциональный символ;

6) если : есть (п+1)-местный функциональный символ (п> 1), то М: есть п-местный функциональный символ.

Символы 0, 8 и Гт считаются обозначениями соответствующих исходных примитивно рекурсивных функций. Запись вида Cfgl,...,gm - это обозначение функции, полученной суперпозицией из функций, обозначенных посредством Функциональ-

ный символ Rfg есть обозначение для функции, полученной рекурсией из функций, обозначенных через : и g. Функциональный символ М: есть обозначение для функции, полученной операцией минимизации из функции £ Если оператор минимизации не использовался (т.е. буква М не входит в состав «кодирующего» слова), то выражаемая таким словом частично-рекурсивная функция является примитивно рекурсивной.

Можно ввести фиксированную геделевскую нумерацию таких слов и соответствующую ей нумерацию частично-рекурсивных функций. Аналогично построим нумерацию примитивно рекурсивных функций. Для этого зафиксируем геделевскую нумерацию слов, кодирующих частично-рекурсивные функции, не содержащих символа М, т.е. кодирующих примитивно рекурсивные функции. Такая кодировка примитивно рекурсивных функций допускает чисто синтаксический перевод в клиниевскую систему равенств, поэтому существует примитивно рекурсивная функция ф, такая, что если х - геделевский номер примитивно рекурсивной функции в нашей записи, то ф(х) - геделевский номер той же функции в «клиниевской» записи. Обозначим частично-рекурсивную функцию с геделевским номером п через фп, имея в виду

«клиниевский» способ нумерации, и через уп, имея в виду наш способ нумерации. Тогда

^=фф.

Пусть Т(х,у,г)==1;(х,у,2)=0, где 1 - трехместная примитивно рекурсивная функция, представляющая клиниевский предикат Т1(х,у,2). Таким образом, 1(х,у,г)=0 тогда и только тогда, когда г есть геделевский номер протокола вычисления частично-рекурсивной функции с «клиниевским» геделевским номером х на аргументе у. Одноместная примитивно рекурсивная функция и выделяет результат вычисления, т.е. И(х)=у, если у есть результат вычисления частично-рекурсивной функции, протокол вычисления которого имеет геделевский номер х. Тогда

фх(у)=2==Зи(Т(х,у,и)лИ(и)=2).

По (2),

V х(у)=2==Зи(Т(ф(х),у,и)лИ(и)=г).

Лемма 1. Функция ^(х)==ух(0) не является примитивно рекурсивной.

Доказательство. Пусть даны произвольные натуральные числа т и п. Положим ^х)==х+т. Композиция Су^ есть примитивно рекурсивная функция уп(х+т). Ее геделевский номер к вычисляется по типе помощью примитивно рекурсивной функции к(т,п). Тогда ук(т,п)(х)=уп(х+т), значит, Ук(т,п)(0)=Уп(т). Но ук(тп)(0)=^(к(т,п)). Тогда, если функция примитивно рекурсивна, то W==C^k есть двуместная примитивно рекурсивная функция, являющаяся универсальной для класса всех одноместных примитивно рекурсивных функций:

W(m,n)=C^k(m,n)=^(k(m,n))=у к(т,п) (0)=уп(т).

Однако такой универсальной функции не существует. Действительно, пусть р - номер примитивно рекурсивной функции W(x,x)+1 относительно универсальной функции W, т.е. W(x,x)+1=W(p,x) для любого х. В частности, W(p,p)+1=W(p,p). Противоречие.

Введем понятие примитивно рекурсивной (сокращенно: РЯ) реализуемости для арифметических формул, несколько модифицированное по сравнению с определением С.Салехи из [9], однако эквивалентное ему.

Определение 1. Формулу хг^Л определяем индукцией по построению арифметической формулы Л языка базисной арифметики:

1. xrpгp==p для атомарных p и p= Т, _1_;

2. хгрт(ЛлБ)==(л! (х) г^Л^я 2 (x)гpгБ);

3. хгрг^В)==(л 1 (х)=0лл2(х)гргАМ~л ^х^лл^х)^);

4. хгрг(А^В)==Уу(угргА^-ух(у)гргВ);

5. хгргЭгА(7)==тс2(х)гргА(я1(х));

6. хгргУг:(А(г).В(г))==Уу,г(угргА(г)^ух(<у,г))гргВ(г)). Определение 2. Секвенцию хгрг(А(г)^В(г)) определяем следующим образом:

7. хгрг(А(г)^В(г))==угргА(г)^ух«у,г))гргВ(г), причем кортеж г может быть пустым.

Определение 3. Замкнутая арифметическая формула А называется PR-реализуемой (запись: гргА), если существует такое число х (называемое PR-реализацией формулы А), что арифметическая формула хгргА истинна в стандартной интерпретации арифметики.

Каждой секвенции сопоставляется формула - формульный образ данной секвенции. А именно, если дана секвенция вида

АЬ...,Ап^ВЬ...,Вт,

то ей сопоставляется формула

ТлА1л...лАп^В1 v...vBmv±.

Определение 4. Секвенцию А^В, где А и В - замкнутые арифметические формулы, будем называть PR-реализуемой (запись: грг(А^В)), если существует такое число х (называемое PR-реали-зацией секвенции А^В), что формульный образ секвенции хгрг(А^В) истинен в стандартной интерпретации арифметики при любом значении свободной переменной.

С.Салехи доказал теорему о корректности базисной арифметики ВА относительно РЯ-реализуемости:

Теорема 2. Если ВА |-А^В, то ВА |-пгрг(А^В) для некоторого натурального числа п. Доказательство. См. [9].

Заметим, что применить понятие PR-реализуемости к арифметической формуле, записанной в обычном языке арифметики, нельзя, так как не сформулировано понятие PR-реализуемости для формул вида Ух А, где формула А имеет вид, отличный от импликации.

Можно дать другое определение РЯ-реализуемости для арифметических формул в обычном языке арифметики. Будем называть такую РЯ-реализуемость PR-реализуемостью «по Клини» в отличие от введенной нами ранее РЯ-реализуемости «по Салехи»:

6*. хгрУ А(г)==У2(ух(2)гргА(2)) (все прочие пункты определения совпадают с определением 1 РЯ-реализуемости «по Салехи»). Такую РЯ-реализуемость будем обо-

значать через хг^щЛ. Напомним, что для любого х функция ух является примитивно рекурсивной.

Связь между двумя определениями РЯ-реализуемости для арифметических формул устанавливает

Теорема 3. Пусть Р(хь...,хп) - арифметическая формула в обычном языке, не содержащая параметров, отличных от хь...,хп. Тогда существуют (п+1)-местные примитивно рекурсивные функции аР и вР такие, что каковы бы ни были числа кь...,кп, выполняется:

1) если erpгкlF(kь...,kn), то аF(e,kь...,kn)rpгFb(kь...,kn);

2)если er ^(кь.^кп), то вF(e,kь...,kn) rpгкlF(kь...,kn).

В частности, замкнутая арифметическая формула F РЯ-реали-зуема «по Клини» тогда и только тогда, когда ее перевод Fb РЯ-реализуем «по Салехи».

Доказательство. См. [10].

Пример 1. Неверно, что гртУх:Т.Зу(ух(0)=у). Однако верно, что г^Ух^Зу^^^)).

Доказательство. Покажем, что формула Ух:Т.Зу(ух(0)=у) не является РЯ-реализуемой «по Салехи». Действительно, если для некоторого натурального числа e формула eгpгУx:T.Зy(уx(0)=y) истинна в стандартной интерпретации арифметики, то, по определению 1, формула Уи,х(игртТ^-у Д^х^г^Зу^ х(0)=у)) истинна в стандартной интерпретации арифметики. Это справедливо тогда и только тогда, когда формула Уx(T^уe*(x)гpгЗy(уx(0)=y)) истинна в стандартной интерпретации арифметики. Здесь e* обозначает номер примитивно рекурсивной функции, такой, что уe*(x1,x2,.,xl)=уe(0,x1,x2,.,xl), т.е. изъят один не влияющий на результат параметр, соответствующий РЯ-реализации истины Т. Значит, для любого числа х формула у^х^Зу^^^у) истинна в стандартной интерпретации арифметики. Значит, формула п2(уe*(x))гpг(уx(0)=п1(уe*(x))) истинна в стандартной интерпретации арифметики, т.е. существует примитивно рекурсивная функция такая, что Cп1уe*(x)=уx(0). Противоречие с леммой 1.

В то же время верно, что г^иУх(Т^Зу(ух(0)=у)). Действительно, для того чтобы формула Ух(Т^Зу(у х(0)=у)) была РЯ-реа-лизуемой по Клини, нам требуется по данному х найти номер примитивно рекурсивной функции, отображающей любое число в РЯ-реализацию формулы Зу(ух(0)=у). Таким номером будет число Л!.^^,^!)^). Здесь 0 обозначает тождественно равную нулю примитивно рекурсивную функцию. Подчеркиваем, что нам не потребовалось искать значение Cуx0(t), а потребовалось лишь

указать способ ее вычисления (так как у х0(1;) является примитивно рекурсивной, то полученная функция примитивно рекурсивна, как композиция примитивно рекурсивных функций).

Будем называть арифметическую формулу негативной, если она не содержит связки дизъюнкции V и квантора существования 3.

Следующая лемма справедлива как для РЯ-реализуемости «по Салехи», так и для РЯ-реализуемости «по Клини».

Лемма 2. Пусть А(хь...,хп) - негативная арифметическая формула, не содержащая параметров, отличных от хь...,хп. Тогда, каковы бы ни были числа кь...,кп, формула А(кь...,кп) PR-реали-зуема тогда и только тогда, когда она классически истинна в стандартной интерпретации языка арифметики. В частности, если А - замкнутая негативная арифметическая формула, то формула А PR-реализуема тогда и только тогда, когда она классически истинна.

Доказательство. Проводим рассуждения для РЯ-реализуемости «по Салехи» индукцией по построению негативной формулы А(х1,.,хп). При этом будем иметь в виду, что в некоторых подформулах формулы А некоторые переменные из списка хь...,хп могут и не встречаться. Параллельно с доказательством леммы 2 мы для каждой негативной формулы А(х1,.,хп) будем строить п-местную примитивно рекурсивную функцию gA такую, что каковы бы ни были натуральные числа кь...,кп, если формула А(кь...,кп) РЯ-реализуема, то

gA(kь...,kn)rPГA(kь...,kn).

В частности, если А - замкнутая формула, то gA(0,...,0) есть такое число, что если формула А РЯ-реализуема, то gA(0,.,0)rpгA.

Приведем здесь доказательство для случая, когда А - атомарная формула (в частности, Т или _1_). В этом случае, по определению 1, каковы бы ни были натуральные числа к1,.,кп,

хг^А.^ 1,.,кп)=А(к 1,.,кп).

По определению 3 формула А(кь...,кп) РЯ-реализуема тогда и только тогда, когда формула А(кь...,кп) является классически истинной в стандартной интерпретации языка арифметики.

gA(kь...,kn)==0.

Доказав лемму 2 для РЯ-реализуемости «по Салехи», с помощью теоремы 3 получаем доказательство и для РЯ-реализуемости «по Клини», так как преобразование ( )ь не меняет классической истинности формулы в стандартной интерпретации языка арифметики.

Неарифметичность логики предикатов

Арифметическим примером предикатной формулы Б будем называть арифметическую формулу Р(_Ф_|), где Ф - ряд арифметических формул, допустимый для подстановки в Б, а результат подстановки арифметических формул из ряда Ф вместо предикатных букв Б.

Определение 5. Будем говорить, что замкнутая предикатная формула Б PR-реализуема «по Салехи» («по Клини»), если любой ее замкнутый арифметический пример РЯ-реализуем «по Салехи» («по Клини»). Обозначение: грТ (г^щБ).

Теорема 4. Пусть Б есть замкнутая предикатная формула языка ВдС. Тогда, если ВдС р^Б, то грТ.

Доказательство. Пусть BQC р^Б, т.е. существует какой-то вывод секвенции Т^Б в системе BQC. Если Ф есть ряд арифметических формул, допустимый для подстановки в Б, то, заменяя каждую формулу в этом выводе на ее арифметический пример, получим вывод секвенции

в системе ВА. Значит, по теореме 2, существует число п такое, что Следова-

тельно, ВА рТ^уп(0)грТ(_Ф|), значит формульный образ секвенции Т^уп(0)грТ(_Ф_|) классически истинен, следовательно, формула уп(0)грТ(_Ф_|) классически истинна, поэтому арифметический пример Б(_Ф]) РЯ-реализуем. По определению 5, справедливо грТ.

В работе В.Е.Плиско [2] (см. также [3, 5, 6]) доказано, что множество всех реализуемых предикатных формул (т.е. реализуемых по Клини) неарифметично. Аналогичный результат справедлив и для РЯ-реализуемости:

Теорема 5. Множество всех замкнутых PR-реализуемых предикатных формул неарифметично.

Доказательство теоремы 5, однако, не является прямым следствием результатов из [2]. Укажем общую схему доказательства.

Как и в [6], через Т2 обозначим некоторое расширение формальной системы интуиционистской арифметики НА (в работе [5] вместо обозначения Т2 использовалось обозначение СНА2). Т2 содержит как бы «два набора арифметики» - саму систему НА и систему, которая получается из нее заменой каждого (скажем, п-местного) функционального символа : на (п+1)-местный предикатный символ Р: Описанную операцию, превращающую арифметическую формулу в предикатную, будем обозначать через Б', а обратную ей - через (подробнее о системе Т2 см. [5], [6]).

Система Т2 непротиворечива относительно НА.

Теорема 6. Для негативных замкнутых арифметических формул Г справедливо Т2 |- F=F\

Доказательство. [5, Теорема 7].

Пусть F - замкнутая негативная арифметическая формула в языке НЛ. По теореме 6 имеем Т2 |- F=F\ Этот вывод содержит конечное число аксиом теории Т2. Обозначим конъюнкцию этого множества аксиом через EqлArлIndлQ, где Лг - конъюнкция аксиом в чистом языке арифметики НЛ без аксиом индукции, Q -конъюнкция аксиом в чисто предикатном языке без аксиом индукции, Eq - конъюнкция аксиом равенства для предикатных символов, - конъюнкция примеров аксиом индукции. Получаем, что в секвенциальном интуиционистском исчислении предикатов выводима формула EqлЛrлIndлFлQ^F'. По теореме Ардешира (теорема 1) получаем

^вQc(EqbnлArbnлIndbnлFbnлQbn)^F'bn для всех достаточно больших чисел п. По теореме о корректности базисной арифметики (теорема 2) получаем

^^([ф^ллг^ф^лш^ф^п^ф^л

лQbn(LфJ)^F'bn(LфJ)) (3) где Ф - произвольный ряд арифметических формул Ф, допустимых для подстановки в формулы Лгьп, Indbn, F'bn и Qbn. Используя лемму 2, можно доказать, что РЯ-реализуемы формулы Лгьп (Ф), Q°bn(Ф), Fbn(Ф). Доказывается, что по РЯ-реализации формулы Qbn примитивно рекурсивным способом можно найти РЯ-реализации формул ШЬп(ф) и Eqbn(Ф).

Пусть F*==QЬn . Используя (3), можно доказать следующую лемму:

Лемма 3. Если формула F является замкнутой негативной арифметической формулой, то для достаточно больших натуральных чисел п справедливо, что г^Г1 тогда и только тогда, когда ^Т*.

Очевидно, что любая арифметическая формула классически эквивалентна некоторой негативной арифметической формуле. Тогда, в силу теоремы Тарского, множество всех замкнутых классически истинных негативных арифметических формул неариф-метично. По лемме 2 это множество совпадает с множеством всех замкнутых РЯ-реализуемых негативных арифметических формул. Поэтому множество РЯ-реализуемых негативных арифметических формул неарифметично. По лемме 3, множество РЯ-реализуемых негативных арифметических формул 1 -1 сводится к множеству РЯ-реализуемых предикатных формул. Следовательно, множество РЯ-реализуемых предикатных формул неарифметично.

Введем определения PR-неопровержимой предикатной формулы и PR-неопровержимой секвенции.

Пусть A - предикатная формула языка BQC. Пусть Pb...,Pk -набор входящих в нее предикатных символов Pi(xi,...,xn¡). Вместо A будем тогда писать A(P ь.. ,,Pk).

Определение 6. Будем говорить, что система арифметических формул Ф 1(х,х),_,Фk(x,x) является PR-опровержением формулы A, если арифметическая формула Ух:Т.А(Фь...,Фк) не PR-реализуема. Если у формулы A нет PR-опровержения, то она называется PR-неопровержимой.

Теорема 7. Множество всех замкнутых PR-неопровержимых предикатных формул неарифметично.

Пусть A^B - секвенция, где A, B - предикатные формулы языка BQC. Пусть Pb...,Pk - набор входящих в них предикатных символов P1(x1,.,xni ). Вместо A^B будем тогда писать A(Pi,...,Pk)^B(Pb...,Pk).

Определение 7. Будем говорить, что система арифметических формул Ф^x^),...^^^) является PR-опровержением секвенции A^B, если для любого числа x и любых значений параметров x секвенция A^^x),...^k(x,x))^B^^x),...^k(x,x)) не PR-реализуема. Если у секвенции A^B нет PR-опровержения, то она называется PR-неопровержимой.

Лемма 4. Замкнутая предикатная формула A(Pb...,Pk) PR-неоп-ровержима тогда и только тогда, когда секвенция T^A(P 1,.,Pk) PR-неопровержима.

Теорема 8. Множество всех PR-неопровержимых секвенций неарифметично.

Доказательство. По лемме 4, множество PR-неопровержимых предикатных формул 1-1 сводится к множеству PR-неопровержи-мых секвенций (1-1 сводящей функцией является функция f(A)==T^A). По теореме 5 множество всех PR-неопровержимых предикатных формул неарифметично. Следовательно, множество всех PR-неопровержимых секвенций неарифметично.

В заключение приведем пример интуиционистски выводимой секвенции, которая является PR-опровержимой.

Рассмотрим интуиционистски выводимую секвенцию (T^P)^P, где P - некоторый предикатный символ. Укажем арифметическую формулу F(x), которая будет PR-опровержением секвенции (T^P)^P.

Пусть F(x)==3y(yx(0)=y). Покажем, что формула F(x) является PR-опровержением секвенции (T^P)^P, т.е. секвенция

не PR-реализуема. Действительно, допустим, что число e PR-реа-лизует секвенцию (4). Это значит, что каково бы ни было число x, если arpr(T^3y(yx(0)=y)), то у е (<a,x))rpr3y(yx(0)=y). Как и в примере 1, имеем, что ЛЦСуДгХО^СГ^Зу^x(0)=y)) (здесь 0(t) обозначает тождественно равную нулю примитивно рекурсивную функцию). Значит, уе (<At.<Cyx0(t),0),x))rpr3y(y x(0)=y). Получили примитивно рекурсивный способ вычисления yx(0) по x, что противоречит лемме 1.

Итак, интуиционистски выводимая секвенция (T^P)^P, где P есть некоторый предикатный символ, является PR-опровержимой.

Автор благодарит своего научного руководителя В.Е.Плиско за постановку задачи и ценные обсуждения, а также А.В.Чагрова и В.Х.Хаханяна за полезные критические замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Клини С.К. Введение в метаматематику. Москва: ИЛ, 1957.

2. Плиско В.Е. О реализуемых предикатных формулах // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, № 3. С. 553-556.

3. Плиско В.Е. Неарифметичность класса реализуемых предикатных формул // Известия АН СССР. 1977. Т. 41, № 3. С. 483-502.

4. Visser A. A propositional logic with explicit fixed points // Studia Logica. 1981. Vol. 40. P. 155-175.

5. Плиско В.Е. Конструктивная формализация теоремы Тенненбаума и ее применения // Математические заметки. 1990. Т. 48, № 3. С. 108-118.

6. Плиско В.Е. Формализация теоремы Тенненбаума и ее применения // Депонировано в ВИНИТИ. 1992. № 1853-B92.

7. Ruitenburg W.Basic Logic and Fregean set theory // H.Barendregt, M.Bezem, J.W.Klop (eds). Dirk Van Dalen Festschrift, Quaestions Infinitae. Department of Philosopy. Utrecht University, 1993, vol. 5. P. 122142.

8. ArdeshirM. A Translation of Intuitionistic Predicate Logic into Basic Predicate Logic // Studia Logica. 1999. Vol. 62. P. 341-352.

9. Salehi S. Primitive Recursive Realizability and Basic Arithmetic // The Bulletin of Symbolic Logic. 2001. Vol. 7. № 1. P. 147-148.

10.Витер Д.А. Примитивно рекурсивная реализуемость и логика предикатов // Рукопись депонирована в ВИНИТИ. 06.08.2001. № 1830-В2001. 86 с.