Численное моделирование трехмерного течения около осциллирующего круглого цилиндра

УДК 532.517

А. Н. Нуриев, О. Н. Зайцева, Е. E. Мощева, А. И. Юнусова

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО ОСЦИЛЛИРУЮЩЕГО КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА

Ключевые слова: осциллирующий цилиндр, вязкая жидкость, трехмерная неустойчивость, силы сопротивления, прямое

численное моделирование, OpenFOAM.

В работе проводятся исследования течения вокруг круглого цилиндра, совершающего высокочастотные малоамплитудные гармонические колебания в покоящейся вязкой жидкости. Изучается зона развития трехмерной неустойчивости в пограничном слое цилиндра. Рассматривается процесс формирования трехмерного течения. Анализируется влияние трехмерных структур на силы, действующие на цилиндр.

Keywords: oscillating cylinder, viscous fluid, three-dimensional instability, drag forces, direct numerical simulation, OpenFOAM.

In the paper the study the flow around a drmlar сylinder performing high-frequency low-amplitude harmonic oscillations in a viscous fluid at rest are carried out. The zone of the three-dimensional instability in the boundary layer of the cylinder is considered. The process of the formation of the three-dimensional flow are investigated. The influence of three-dimensional structures on the forces acting on the cylinder are analysed.

Введение

Задача об обтекании вязкой несжимаемой жидкостью круглого цилиндра, совершающего гармонические колебания, является предметом исследования классической гидромеханики начиная еще с работы Стокса 1851 года, но до сих пор сохраняет теоретическую и практическую актуальность. Морское и гражданское строительство, авиационно-космическое

проектирование, робототехника - это лишь некоторые из областей, в которых задача имеет практическое приложение [1-5]. С теоретической точки зрения эта задача является ключом к пониманию множества физических процессов и явлений, включая механизмы вихреобразования, бифуркации системы, вторичные течения, развитие турбулентности и т.д. (см. работы [6-20]). Современные тенденции исследования задачи во многом связаны с изучением трехмерных течений. Широкие возможности в данном направлении дает огромная экспериментальная база результатов, и доступные на сегодняшний день вычислительные ресурсы для моделирования.

Первые экспериментальные наблюдения трехмерной неустойчивости течения вокруг осциллирующего цилиндра были представлены более 30 лет назад в работе Хони [6]. Хони были впервые описаны трехмерные структуры, возникающие в пограничном слое цилиндра, в окрестности границы потери устойчивости. Позднее асимптотическое численное исследование трехмерной неустойчивости было проведено в работе Холла [7]. В предположение больших значений числа Стокса и малых

значений числа Кейлигана-Карпентера

{КС=П 0Т / Б)

Холлом была получена зависимость критического числа КС от в:

KCh = 5.778р~1/4 (1 + 0.205В ~1/4 +...

которая в широком диапазоне в совпадала с экспериментальными наблюдениями Хони. Сарпкая

в работах [8-10] существенно расширил область экспериментальных наблюдений для больших чисел Стокса. Используя метод лазерно-флуоресцентной визуализации, Сарпкая выделил зону формирования квазикогерентных структур, которые образуют когерентные структуры обнаруженные Хонни в [6] в окрестности линии Холла, определяемой уравнением (1). Нижняя граница этой зоны -граница абсолютной устойчивости двухмерного течения - была аппроксимирована автором следующим образом:

KC = 12.5 В сг ^

-2/5

Численные исследования трехмерных эффектов ведутся последние 10 лет. Одним из первых исследование влияния трехмерности на гидродинамические составляющие силы провел Нехари в работе [11]. Автором было выполнено несколько двухмерных и трехмерных расчетов при малых значениях в и КС. Заметные различия между результатами расчетов были отмечены только для вертикальной составляющей силы. В более поздних работах (например, [12-14]) измерение гидродинамических сил проводилось в основном для трехмерных расчетов в диапазоне умеренных чисел Стокса. Сравнение полученных в них результатов с результатами двухмерных исследований (например, с результатами в работах [15, 16]) имеет несколько противоречивый характер, так как в диапазоне умеренных чисел Стокса общий разброс имеющихся данных достаточно велик.

В настоящей работе представлены результаты двухмерного и трехмерного моделирования для случаев умеренных (в = 196, КС = 2.3) и больших (в = 1035, КС = 1.5) чисел Стокса. Обе комбинации параметров соответствуют режимам течения в зоне трехмерной неустойчивости. Рассматривается структура течения в окрестности цилиндра, а также проводится сравнение результатов двухмерных и трехмерных расчетов по силам сопротивления, действующим на цилиндр.

Все расчеты в работе проводятся на

высокопроизводительном кластере в пакете OpenFOAM (Open Source Field Operation And Manipulation) [20-22] - открытой платформе для численного моделирования.

1. Постановка задачи

Круглый цилиндр с радиусом R совершает высокочастотные, малоамплитудные гармонические колебания в горизонтальной плоскости в вязкой несжимаемой жидкости со скоростью: u = U0 cos(2nft), где U0, f - амплитуда скорости и

частота колебаний соответственно.

Нормируя пространственные координаты,

время и скорость на R, RU00, -U0 соответственно, запишем управляющую систему уравнений в декартовой системе координат как

— + U-VU = -Vp +—AU ,

-t F Re

V-U = 0,

где U = (u, v, w) - безразмерная скорость, p -безразмерное давление, Re = 2U0 R / v - число Рейнольдса. Уравнение движения цилиндра в нормированных переменных перепишется в виде

u =- cos(nt / KC). Здесь KC = U 0/(2Rf)- второй безразмерный управляющий параметр задачи - число Кейлигана-Карпентера.

Для численного решения данной задачи удобно перейти в подвижную систему координат, связанную с цилиндром. В этом случае для сохранения системы движения в форме (3) в новой неинерциальной системе координат определим давление как:

p = ~ + xsin(r t/KC)я/KC. Здесь первое слагаемое ~p - давление в неподвижной системе координат, а второе - вклад от инерциальных составляющих. На границе цилиндра в новой системе координат задаются условия прилипания:

u = v = w = 0 .

На бесконечности изменение скорости определяется по следующему гармоническому закону:

u = cos(t/KC), v = 0 , w = 0 . (6) В предположении о потенциальном течении жидкости на бесконечности из (6) можем получить условия для давления:

-p = sin( / KC)/KC ,

dx

p = x sin

Любое из условий (7) можно использовать вместо одного из первых двух граничных условий (6).

2. Численная реализация

Численное решение задачи проводится в пакете OpenFOAM. Для дискретизации расчетной области используются блочно-структурированные сетки, построенные с помощью утилиты bloсkMesh, входящей в состав OpenFOAM. Двухмерные

расчеты выполняются на сетках ml и m2, содержащих 7 -104 и 1.5 • 105 ячеек соответственно, трехмерные расчеты проводятся на сетках m1_3 и m2_3, содержащих 5.6 • 106 и 9 -106 ячеек соответственно.

Дискретизация системы уравнений движения жидкости в пакете OpenFOAM проводится по методу конечных объемов (FVM) в декартовой системе координат. Дискретные значения составляющих скорости и дискретные давления локализуются в центрах ячеек расчетных сеток. Для вычисления объемных интегралов по контрольному объему используется общая процедура Гаусса. Для аппроксимации градиента давления в расчетах применяется линейная интерполяция. Для интерполяции переменных в конвективных слагаемых используется нелинейная NVD (normalised variable diagram) схема «Gamma». В диффузионных слагаемых при дискретизации оператора Лапласа нормальные градиенты скорости на поверхности ячейки аппроксимируются с помощью симметричной схемы второго порядка с поправкой на неортогональность.

Для дискретизации системы уравнений по времени используется неявная схема Эйлера. Шаг по времени во всех расчетах выбирается из условия: максимальное число Куранта не превышает значения 0.1.

Решение дискредитированной задачи проводится на основе метода PISO [23, 24], реализованного в модуле icoFoam.

3. Умеренные числа Стокса

В зоне умеренных чисел Стокса расчеты проводились для следующей комбинации управляющих параметров: ß = 196, KC = 2.3. Появление трехмерных структур происходит после установления периодического двухмерного режима течения приблизительно на 10 периоде колебания. Характерное трехмерное течение в окрестности цилиндра устанавливается после 15 периодов.

Течение вдоль оси Oz состоит из повторяющихся вихревых элементов (см. рис. 1). В верхней и нижней части цилиндра каждый типичный элемент состоит из двух противоположно вращающихся вихревых трубок. Пары трубок располагаются через равные расстояния Я » 1.46R . Центры нижних и верхних элементов смещены относительно друг друга на Я / 2. Поэтому сходящие с цилиндра вихревые структуры перекрещиваются, т. е. сходящие с нижней части цилиндра структуры уходят в верхнюю полуплоскость, с верхней части - в нижнюю полуплоскость. Подобный вид течения был обнаружен впервые Хони [6] и назван им «streaked flow» - течение с прожилками.

Визуализация трехмерных структур в пограничном слое на верхней части цилиндра в плоскости yOz при x = 0 представлена на рисунке 2, где изображена эволюция одного вихревого элемента за полпериода колебания цилиндра. Визуализация течения выполнена с помощью

невесомых частиц. Данный метод визуализации близок к методу электролитического осаждения (е1е1го1у11с precipitation method), используемому для окрашивания жидкости при фотосъемки экспериментов. Суть метода заключается в отслеживание позиций дискретных невесомых частиц, вымываемых потоком из окрестности цилиндра. Противоположно вращающиеся вихревые трубки образуют характерную грибовидную структуру, называемую также грибом Хони («Honji mushroom»). Как видно изменение такой структуры за пол периода крайне незначительны. Более того такая структура пограничного слоя сохраняется на всем моделируемом временном отрезке.

Рис. 1 - р = 196, KC = 2.3. Трехмерное течение y-

компонента

завихренности.

о,

= -2.7,

о,

= 2.7. Верхнее изображение - общий план,

нижнее - вид сверху

Картина течения в плоскости хОу изображена на рисунке 3. Широкий шлейф частиц с правой и с левой стороны цилиндра является следствием вышеописанного перекрещивания вихревых структур, сбрасываемых с цилиндра.

Рис. 3 - р = 196, КС = 2.3. Трехмерное течение. Визуализация с помощью невесомых частиц. Картина течения в плоскости хОу. Верхнее изображение - трехмерное течение, нижнее -двухмерное

Аналогичная картина течения для двухмерного расчета имеет заметные структурные отличия. Режим течения для двухмерной модели подобен базовому (см. описания в работах 15, 20), однако здесь наблюдается слабая асимметрия относительно оси колебания. Несмотря на структурные различия течений, продольная составляющая силы для двухмерных и трехмерных расчетов имеет практически одинаковые значения. Значения коэффициентов инерции и сопротивления приведены в таблице 1.

4. Большие числа Стокса

Как и в случае предыдущего расчета, развитое трехмерное течение для данного набора параметров формируется вокруг цилиндра ближе к 15 периоду колебания. Исходно вихревые элементы равномерно распределены вдоль оси Ог. Расстояние между соседними вихревыми элементами X приблизительно равно 0.5^. Но эти трехмерные структуры оказываются неустойчивыми.

На рисунке 4 представлена эволюция грибовидных структур в течение 19 периодов колебания цилиндра (с 22 периода по 40 период). На 22 периоде вихревые структуры равномерно распределены вдоль цилиндра. Каждый «гриб» име-

Рис. 2 - Эволюция грибовидных структур за половину периода. Визуализация с помощью невесомых частиц. Картина течения в плоскости уОг. р = 196, КС = 2.3, ИТ = 38.5, 38.65, 38.75, 38.85

Рис. 4 - Эволюция грибовидных структур. Визуализация с помощью невесомых частиц. Картина течения в плоскости уОг. р = 1035, КС = 1.5, ИТ = 22, 26, 34, 40

ет свою асимметрию, связанную с историй течения. В ходе эволюции происходит слияние соседних вихревых структур.

С 22 по 33 периоды происходит первое парное слияние, на входе которого соседние «грибы» образуют новые структуры, которые неравномерно распределяются вдоль цилиндра. С 33 по 40 происходит второй этап слияния. Новые структуры, образованные на первом этапе вновь объединяются. Одновременно с этим происходит и образование новых грибовидных структур. Наблюдения подобного явления в лабораторных экспериментах отмечены в работе Сарпкая [9].

Течение, поученное в рамках двухмерного расчета, имеет периодический характер. Структура течения аналогична наблюдаемой при в = 196, КС = 2.3. Средние значения продольной составляющей силы для двухмерных и трехмерных расчетов остаются идентичными (табл. 1).

Таблица 1 - Значения коэффициентов сопротивления Сл и инерции Ст для двухмерных и трехмерных расчетов

Коэффициент Сетка ß = 196, KC = 2.3 ß = 1035, KC = 1.5

Cd ml 1.22 0.7

m2 1.23 0.7

ml 3 1.22 0.7

m2 3 1.23 0.71

C ml 2.15 2.08

m2 2.16 2.0

ml 3 2.15 2.0

m2 3 2.16 2.0

Заключение

В работе представлено исследование течения вокруг осциллирующего цилиндра, проведенное в рамках двухмерного и трехмерного численного моделирования. Основное внимание уделено изучению зоны развития трехмерной неустойчивости в пограничном слое цилиндра. Рассмотрены процессы формирования трехмерного течения с «прожилками» и его эволюции с течением времени. Показано, что появление трехмерной неустойчивости в рассматриваемом диапазоне не оказывает существенного влияния на инерциальные

силы и силы сопротивления.

Работа выполнена при поддержке РФФИ

(проект 14-01-31230 мол_а) и РНФ (проект 14-1900667).

Литература

1.T. Sarpkaya et al. Mehanics of wave forces on offshore structures, New York, Van Nostrand Reinhold, 1981, 651р.

2. N. D. P. Barltrop et al. Dynamics of fixed marine structure, Oxford, Butterworth-Heinemann, 1991, 764p.

3. E. Naudascher et al. Flow-Induced Vibrations, An Engineering Guide, Rotterdam, Balkema, 1994, 414p.

4. D.F. Liang et al., Journal of Waterway, port, Coastal and Ocean Engineering., 131, 5, 193-202 (2005).

5. А. Г. Егоров и др. Изв. вузов. Матем., 2, 57-64 (2012).

6. H. Honji. J. FluidMech., 107,509-520 (1981).

7. P. Hall. J. Fluid Mech., 146, 347-367 (1984).

8. T. Sarpkaya, J. Fluid Mech., 165, 61-71 (1986).

9. T. Sarpkaya , J. Fluid Mech, 457, 157-180 (2002).

10. T. Sarpkaya, J. Fluid Mech, 567, 281-297 (2006).

11. D. Nehari et al, J. Fluid Mech, 520, 157-186 (2004).

12. F. Rashid et al, Journal of Engineering Mathematics., 70, 1-3, 281-295 (2011). URL:http://dx.doi.org/10.1007/s10665-010-9395-7.

13. P. Suthon et al, Journal of Fluids and Structures, 27 885902 (2011).

14. P. Suthon et al, J. of Fluids and Structures, 06, 32, 27-36 (2012).

15. P. Justesen, J. Fluid Mech, 222, 157-196 (1991).

16. P. K. Stansby et al, In Proc. Eighth Intl Conf. Offshore Mech. and Arctic Eng., The Hague, The Netherlands, 2, 419426 (1989).

17. А.Г. Егоров и др, Механика композитных материалов, 50, 379-396 (2014).

18. А.Н. Нуриев, Вестн. Каз. технологического ун-та, 16, 334-336 (2011).

19. А.Н. Нуриев и др, Вестн. Каз. технологического ун-та, 4, 104-109 (2013).

20. А.Н. Нуриев и др, Вестн. Каз. технологического ун-та, 8, 116-123 (2013).

21. Open FOAM (The Open Source CFD Toolbox): User Guide Version 2.1.1, 2012 (http://www.openfoam.org/docs/).

22. H. Jasak et al, International Workshop on Coupled Methods in Numerical Dynamics., Dubrovnik, Croatia: 2007.

23 R. I. Issak, J. Comput. Phys, 62, 40-65 (1986).

24. J.H. Ferziger et al. Computational methods for fluid dynamics, Springer, Berlin, 2002, 424 p.

© А. Н. Нуриев - к. ф.-м.н., старший преподаватель кафедры информатики и прикладной математики КНИТУ, м.н.с. КазФ МСЦ РАН, nuriev_an@mail.ru; О. Н. Зайцева - к. пед.н, доцент той же кафедры, zaytseva_on@mail.ru; Е. E. Мощева -магистрант той же кафедры, katena716@gmail.com; А. И. Юнусова - магистрант той же кафедры, yunusova24@gmail.com.

© A. N. Nuriev - PhD, Assistant Professor of the Department of Informatics and Applied Mathematics of KNRTU, Junior Researcher KazF JSCC RAS, nuriev_an@mail.ru; O. N. Zaitseva - PhD, Assistant Professor of the Department of Informatics and Applied Mathematics of KNRTU, zaytseva_on@mail.ru; E. E. Moscheva - graduate student of the Department of Informatics and Applied Mathematics of KNRTU, katena716@gmail.com; A. I. Yunusova - graduate student of the Department of Informatics and Applied Mathematics of KNRTU, yunusova24@gmail.com.