Реализация SD-ROM фильтра на основе концепции нечеткой логики

Рассмотрена реализация ББ-ИОМ фильтра с использованием нечеткой логики. В результате проведенного сравнительного анализа ББ-ИОМ и медианных фильтров в задачах удаления импульсного шума подтверждается превосходство ББ-ИОМ фильтрации. Применение концепции нечеткой логики при реализации ББ-ИОМ фильтров позволяет практически полностью удалить шум на изображении.

Медианный фильтр является наиболее используемым нелинейным фильтром для удаления импульсного шума. Тем не менее при его применении изображение подвергается сглаживанию, а детали изображения становятся расплывчатыми, особенно при использовании окна фильтра размером более 3 X 3. Для улучшения характеристик медианной фильтрации разработано много различных модификаций, включая центрированные и перестановочные взвешенные медианные фильтры [1]. Хотя данные модификации и превосходят обычную медианную фильтрацию по своим характеристикам, при большом уровне шума, вероятность которого превышает 0,3, данные фильтры не способны эффективно справиться с задачей его удаления с сохранением границ деталей изображения.

С целью решения поставленной задачи разработан ББ-ИОМ фильтр [2, 3], который также называют зависимым от сигнала фильтром среднего значения ранжированной последовательности.

Рассмотрим окно изображения, размером 3 X 3, в котором центральный элемент обозначим х(5). Определим вектор х(п), который состоит из элементов х(п) рассматриваемого окна, за исключением центрального элемента х(5):

где п представляет собой координаты по оси у , П2 - координаты по оси х, если рассматривать изображение в декартовых координатах.

в порядке возрастания, т.е. по рангу, при этом получим вектор ранжированной последовательности:

Введение

8Б-ИОМ фильтр

х (п) = [х{(п), х2(п), ...,х8(п)] =

[х(п - 1, п2 - 1), х(п -1, п2), х(п - 1, п2 +1);

х(п^, п2 - 1), х(п1, п2 +1); х(п + 1,п2 - 1), х(п + 1,«2), х(п + 1,п2 + 1)],

Полученные элементы вектора х'(п) можно отсортировать по величине

г(п) = [г1(п), Г2(п), ..., г8(п)],

где ^(п) < Г2 (п) < ... < Г8(п) .

После этого обозначим m(n) как среднее значение ранжированной последовательности (ROM - Rank Ordered Mean):

m(n) = ГОШ!№>. ,3,

Следует отметить, что (3) представляет собой выход простого медианного фильтра с той лишь разницей, что на его вход поступают все элементы окна за исключением центрального элемента.

Далее определим вектор d

где

\ri

[x(5) - r (n), для x(5) > m(n),

при i = 1, 2, 3, 4.

Вектор разниц представляет собой оценку вероятности воздействия шума на элемент x(5), находящийся в центре окна. Например, рассмотрим

элемент di(n): если он положителен, значит текущий элемент x(5) является либо наибольшим, либо наименьшим в рассматриваемом окне. Если значение di(n) не только положительное, но и превышает определенное пороговое значение, то вероятность того, что элемент x(5) подвержен влиянию шума, очень высока.

Таком образом, с помощью четырех элементов вектора d(n) можно

более точно оценить вероятность воздействия импульсного шума на цен-

тральный элемент даже в том случае, если в окне фильтра присутствует не один элемент, подверженный влиянию шума.

Для изображений, подверженных влиянию униполярного импульсного шума, величина которого определяется максимальным значением яркости, d} (n) принимает вид

dj

Схожим образом при униполярном шуме, величина которого определяется минимальным значением яркости, dj (n) принимает вид

dt

На рисунке 1 изображена структура SD-ROM фильтра.

Оператор определения импульса в зависимости от входной последовательности принимает одно из двух решений: если центральный элемент окна подвержен влиянию шума, то к входной последовательности применяется ROM фильтр, в противном случае выходом фильтра является исходный центральный элемент.

Рассмотрим подробно алгоритм оператора определения импульса. Данный оператор определяет x(5) как элемент, не подверженный влиянию шума, если выполняются следующие неравенства для всех i :

(п) < Т{, I = 1, 2, 3, 4, где 71, Т2, 73, Т4 - пороговые коэффициенты, причем

Т1 < Т2 < Т3 < Т4 .

Рис. 1 ББ-ИОМ фильтр

Если неравенство (8) не выполняется для всех I, рассматриваемый элемент считается подверженным влиянию шума.

Рассмотренный ББ-ИОМ фильтр также называют пороговым ББ-ИОМ фильтром, т.к. его выход определяется только вектором разниц (4) и пороговыми коэффициентами. Результаты использования данного алгоритма для удаления импульсного шума [4] позволили выделить для каждого порогового коэффициента 7 множество значений, при которых ББ-ИОМ фильтр наилучшим образом удаляет импульсный шум:

Т1 е {4, 8, 12},

Т2 е {15, 20, 25},

Т3 е {38, 40, 42},

Т4 е {47, 50, 53}.

В большинстве случаев используют следующие пороговые коэффициенты: Т = 8, Т2 = 20, Т3 = 40, Т4 = 50.

Тем не менее в некоторых приложениях требуется рассматривать пороговые коэффициенты в следующих интервалах:

5 < Т: < 15,

15 < Т2 < 25,

30 < Т3 < 50,

40 < Т4 < 60.

Процесс выбора пороговых коэффициентов, хоть и является экспериментальным, но не требует большого количества экспериментов, т.к. наблюдатель уверенно различает уровень импульсного шума.

Следует отметить существование других схем для удаления импульсного шума [5-9]. Основной особенностью этих схем, так же как и при рассмотрении порогового ББ-ИОМ фильтра, является тот факт, что выход фильтра принимает либо входное значение, либо вычисляется с использованием различных модификаций медианной фильтрации.

Рассмотренный ББ-ИОМ фильтр находит применение не только в задачах обработки изображений, но и в других приложениях, включая обработку многомерных и одномерных сигналов [10].

Так же как и в случае обычной медианной фильтрации, существуют рекурсивные ББ-ИОМ фильтры, использование которых позволяет достичь лучших результатов в сравнении с нерекурсивными. Реализация рекурсивного алгоритма подобна реализации рекурсивной взвешенной медианной фильтрации, т.е. на вход фильтра подаются как элементы исходного изображения, так и элементы предыдущего выхода фильтра.

Использование нечеткой логики в 8Б-ИОМ фильтрах

Как видно из рисунка 1, выход фильтра у(п) меняется в зависимости от переключателя (обозначен серым прямоугольником), которому подает команду на переключение оператор определения импульса. Основными данными, на основе которых оператор переключает схему, являются вектор разниц (4), пороговые коэффициенты, выход фильтра среднего значения ранжированной последовательности и вектор входных значений. Используя концепцию нечеткой логики [11], данный метод можно записать в общем виде, где у(п) представляет собой линейную комбинацию х(п) и т(п):

у

где сумма весовых коэффициентов а(ё(п)) и в(ё(п)) равна единице, т.е.

а

Заметим, что коэффициенты а (й(п)) и в (й(п)) имеют отношение только к вектору разниц й(п), а не к пороговым коэффициентам.

Данная реализация также известна как «обобщенный ББ-ИОМ фильтр» и схематично изображена на рисунке 2.

Рис. 2 Обобщенный ББ-ИОМ фильтр

Стоит отметить, что пороговый ББ-ИОМ фильтр является частным случаем обобщенного ББ-ИОМ фильтра, где а(ё(п)) может принимать только два значения: 0 и 1. Различие между двумя фильтрами можно наблюдать при сравнении функций а (ё (п)) (рис. 3, 4), где для наглядности рассматривается двухмерный вектор разниц, т.е. ё(п) = [ё1(п), ё2(п)].

а

0.5-]

-300 -200

ё

100

Рис. 3 Функция а(ё(п)) для порогового ББ-ИОМ фильтра при ё(п) е Е2

а

лея

жЛш и ЙШ ШШШ ИТи

иУжл ШгтЩтИтТн I

-300

100

Рис. 4 Функция а(ё(п)) для обобщенного ББ-ИОМ фильтра при ё(п) е Е2

При помощи нечеткой логики возможно лучшим образом обработать изображение в сравнении с пороговым ББ-ИОМ фильтром, в отличие от которого обобщенный ББ-ИОМ фильтр также эффективно удаляет гауссов

шум, а также гауссов и импульсный шум, которые одновременно воздействуют на изображение.

Значения коэффициентов а возможно получить с помощью оптимизационных алгоритмов. Полученные таким образом значения коэффициентов хранятся в памяти, а функция а(ё(п)) реализуется в виде таблицы. Но получаемая таким образом таблица имеет большой объем данных. Вследствие чего вычислительная сложность и требования к памяти становятся весьма существенными. Для решения данной задачи используется метод отображения

четырехмерного векторного пространства Е4 в М неперекрывающихся областей \, I = 1, 2, ..., М. После чего каждой области \ ставится в соответствие определенное постоянное значение а (ё (п)). На рисунке 5 изображена

2 2

данная реализация для ё(п) е Е и М = 17 , при этом исходные коэффициенты изображены на рисунке 4.

Рис. 5 Функция а(ё(п)) для обобщенного ББ-ИОМ фильтра после аппроксимации

Таким образом, каждая область Д определяется декартовым произведением четырех скалярных областей. Скалярная область определяется интервалом (д_і, д ], где д представляет собой порог, с помощью которого и осуществляется аппроксимация.

Обозначим а- и ві коэффициенты, которые получаются в результате аппроксимации коэффициентов а(ё(п)), в(ё(п)) соответственно, т.е.

аі = а

и

ві = в

где і = 1, 2, ..., М. При этом (13) примет вид

у

При реализации обычно используют М = 64 или М = 84, т.к. дальнейшее увеличение значения М несущественно влияет на конечный результат, на который главным образом воздействуют значения пороговых коэффициентов Т.

В качестве оптимизационных алгоритмов используются алгоритмы наименьших квадратов и среднеквадратичной ошибки. В настоящей работе использовался алгоритм наименьших квадратов.

Результаты применения 8Б-ИОМ фильтров

На рисунке 6 показаны результаты работы медианных и ББ-ИОМ фильтров при обработке изображения, подверженного импульсному шуму. Рассматриваемые изображения представляют собой изображения с 255 возможными уровнями серого. На рисунке 6,а дано исходное изображение, а на рисунке 6,б изображение, подверженное влиянию импульсного шума с вероятностью 0,2. Результат обработки простым медианным фильтром с маской

3 х 3 представлен на рисунке 6,в, где еще можно увидеть скопление шума. Рисунок 6,г демонстрирует работу порогового ББ-ИОМ фильтра. По сравнению с медианным фильтром ББ-ИОМ фильтр гораздо лучше справился с задачей удаления шума, т.к. визуально его практически не заметить. При использовании обобщенного ББ-ИОМ фильтра (рис. 6,д) с М = 64 получаем изображение, которое еще ближе к оригиналу. В таблице 1 для результатов обработки приведены значения средней абсолютной ошибки (МАЕ), средней квадратичной ошибки (МБЕ) и значения пикового отношения сигнал/шум (РБКИ), которое определяется:

РШИ = 10^10

У 2552

\

У [у(п) - у(п)]

п

где у(п) - первоначальное изображение.

2

У

ёВ,

Таблица 1

Алгоритм МАЕ МБЕ РБКЯ

Простой медианный фильтр с маской 3 X 3 4,31 90,4 28,6

Пороговый ББ-ИОМ фильтр 1,32 29,22 33,5

Обобщенный ББ-ИОМ фильтр с М = 64 1,33 22,30 34,6

Рассмотрим случай, когда изображение подвержено влиянию импульсного шума с вероятностью 0,4, т.е. почти каждый второй пиксель подвержен влиянию шума. Данное изображение приведено на рисунке 7,а.

Результат обработки изображения на рисунке 7,а простым медианным фильтром с маской 3 х 3 показан на рисунке 7,б. Результат обработки простым медианным фильтром с маской 5х5 изображен на рисунке 7,в. При сравнении результатов работы двух медианных фильтров видно, что фильтр с маской 5 х 5 лучше справился с задачей удаления шума, но существенно сгладил изображение.

Рис. 6 Удаление импульсного шума при использовании медианных и ББ-ИОМ фильтров

в) г)

Рис. 7 Обработка изображения, подверженного влиянию 40% шума

Результат обработки пороговым ББ-ИОМ фильтром показан на 7,г. Данный фильтр практически полностью удалил импульсный шум на изображении, при этом не наблюдается эффекта сглаживания изображения. В таблице 2 приведены значения средней абсолютной ошибки (МАЕ), средней квадратичной ошибки (МБЕ) и значения пикового отношения сигнал/шум (РБКИ) для медианной и ББ-ИОМ фильтрации, для изображений на рисунке 7.

Таблица 2

Алгоритм МАЕ МБЕ РБКЯ

Простой медианный фильтр с маской 3 X 3 9,2 834,8 19,3

Простой медианный фильтр с маской 5 X 5 6,3 164,4 25,9

Пороговый ББ-ИОМ фильтр 2,9 62,7 29,4

Заключение

Результаты исследования подтверждают тот факт, что на сегодня самым эффективным средством удаления импульсного шума считаются SD-ROM фильтры, которые также называют зависимыми от сигнала фильтрами среднего значения ранжированной последовательности. Они демонстрируют лучшие результаты в сравнении с другими медианными фильтрами, при этом пороговый SD-ROM фильтр позволяет практически полностью восстановить изображение, даже при уровне шума 40%. Реализация SD-ROM фильтров, в частности порогового, не требует больших вычислительных затрат с учетом существующих вычислительных мощностей.

Список литературы

1. Сорокин, С. В. Использование взвешенных медианных фильтров для удаления импульсного шума при обработке изображений / С. В. Сорокин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. -№ 3. - С. 50-57.

2. Abreu, E. A signal dependent rank ordered mean (SD-ROM) filter - a new approach for removal of impulses from highly corrupted images / E. Abreu, S. K. Mitra // In Proc. Intl. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal processing. - 1995. - V. 4. - P. 2371-2374.

3. Abreu, E. A new efficient approach for removal of impulse noise from highly corrupted images / E. Abreu, M. Lightstone, S. K. Mitra, K. Arakawa // IEEE Trans. Image Process., Special Issue on Nonlinear image processing. - 1996. - № 5 (6). - P. 10121025.

4. Mitra, S. Nonlinear image processing / S. Mitra, G. Sicuranza // Academic press. -2001. - 455 р.

5. Abreu, E. A new efficient approach for removal of impulse noise from highly corrupted images / E. Abreu, M. Lightstone, S. K. Mitra, K. Arakawa // IEEE Trans. Image Process., Special Issue on Nonlinear image processing. - 1996. - № 5 (6). - P. 10121025.

6. Florencio, D. A. F. Decision-based median filter using local signal statistics / D. A. F. Florencio, R. W. Schafer // In Visual Communication and image processing, Proc. SPIE. - 1994. - V. 2308. - P. 268-275.

7. Kundu, A. Applications of two-dimensional generalized mean filtering for removal of impulse noise from images / A. Kundu, S. K. Mitra, P. P. Vaidyanathan // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. - 1984. - V. 32. - P. 600-609.

8. Mitra, S. K. A new nonlinear algorithm for removal of impulse noise from highly corrupted images / S. K. Mitra, T-H. Yu // IEEE Intl. Symp. On Circuits and Systems. -1994. - V. 3. - P. 17-20.

9. Sun, T. Detail-preserving median based filters in image processing / T. Sun, Y. Neuvo // Patt. Recog. Lett. - 1994. - № 15. - P. 341-347.

10. Chandra, C. An efficient method for the removal of impulse noise from speech and audio signals / C. Chandra, M. S. Moore, S. K. Mitra // IEEE Intl. Symp. On Circuits and Systems. - 1998. - V. 4. - P. 206-209.

11. Arakawa K. A median filters based on fuzzy rules / K. Arakawa // IEICE Trans, J78-A(2). - 1995. - P. 123-131.