СПОСОБ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ ПРОМЫШЛЕННОЙ ЧАСТОТЫ
METHOD OF FILTERING INDUSTRIAL FREQUENCY SIGNALS

Изобретение относится к электротехнике и может быть использовано в измерительных органах релейной защиты, электрических счетчиках, устройствах телемеханики, противоаварийной автоматики и др., где необходимы оценки комплексных амплитуд токов и напряжений промышленной частоты.
Для описания синусоидальных величин в электроэнергетике применяют метод комплексных амплитуд [например, Электротехническая энциклопедия: Т1, под ред. А.Ф. Дьякова - М.: Издательство МЭИ, 2005, стр.34], например, при проведении расчетов коротких замыканий, выборе уставок и характеристик релейной защиты и др. В этом случае задается векторное отображение синусоидально изменяющихся электрических величин токов и напряжений, при котором сигналу
0
x(t)=Asin(2πft+φ)
соответствует вектор
,
0
0
0
0
равномерно вращающийся с угловой частотой ω=2πf против часовой стрелки, где f - промышленная частота. Для удобства рассмотрения и вычислений вращающийся вектор «останавливают», умножая его на . При этом любому из синусоидальных сигналов Asin(2πft+φ) соответствует неизменный во времени вектор
.
С помощью векторного отображения удобно рассматривать амплитудные и фазовые соотношения (параметры А, φ) между синусоидальными сигналами переменного тока, так как основные операции с этими сигналами (сложение, умножение и др.) достаточно просто описываются такими же операциями с векторами, соответствующими этим сигналам.
Метод комплексных амплитуд применим к дискретизированным цифровым сигналам, являющимся цифровыми выборками u(nT), i(nT) аналоговых синусоидальных сигналов переменного тока u(t), i(t)
0
u
0
i
u(nT)=Usin(2nfnT+φ); i(nT)=Isin(2πfnT+φ).
Таким образом, дискретизированные синусоидальные сигналы промышленной частоты могут быть представлены вращающимися векторами вида
;
,
x
y
x
y
где U(nT) и U(nT); I(nT) и I(nT) - квадратурные составляющие комплексных векторов напряжения и тока [например, Шнеерсон Э.М. Цифровая релейная защита - М.: Энергоатомиздат, 2007].
Квадратурные (ортогональные) составляющие сигналов токов и напряжений широко используются в электротехнической практике. Например, способ их получения лежит в основе построения цифровых измерительных органов релейной защиты и базируется на различных методах фильтрации.
Известны, например, способы фильтрации сигналов промышленной частоты, заключающиеся в получении квадратурных составляющих, на основе мгновенных значений величин и их производных; алгоритмов двух, трех выборок; четвертьпериодной выборки и др. [например, Шнеерсон Э.М. Цифровая релейная защита - М.: Энергоатомиздат, 2007. стр.50-52; Куликов А.Л., Мисриханов М.Ш. Введение в методы цифровой релейной защиты высоковольтных ЛЭП: Учеб. пособие. - М.: Энергоатомиздат, 2007, стр.105-121].
Наиболее близким техническим решением к предлагаемому изобретению является способ фильтрации сигналов промышленной частоты [Циглер Г. Цифровая дистанционная защита: принципы и применение/ Пер. с англ. под ред. А.Ф.Дьякова - М.: Энергоатомиздат, 2005, стр.305], по которому измеренные значения тока (напряжения) преобразуют в векторные величины, состоящие из квадратурных составляющих, с помощью ортогональных фильтров на основе комплексного преобразования Фурье на интервале наблюдения равным или кратным периоду промышленной частоты. Например, в практике цифровой релейной защиты [Шнеерсон Э.М. Цифровая релейная защита - М.: Энергоатомиздат, 2007, стр.56-60] используют полупериодное дискретное преобразование Фурье (ДПФ), ДПФ полного периода и др.
Структура устройства, реализующего известный способ, может быть выполнена по схеме (фиг.1) [Шнеерсон Э.М. Цифровая релейная защита - М.: Энергоатомиздат, 2007. стр.59] и состоит из двух фильтров, соответственно использующих синусные и косинусные коэффициенты комплексных экспонент. Таким образом, для получения ортогональных составляющих используются два отдельных фильтра (синусный и косинусный) с действительными коэффициентами. Для сохранения единства обозначений с фиг.2-7, на фиг.1 введена следующая нумерация: элементы задержки 2, сумматоры 3, умножители 5.
Однако известен факт двойной избыточности преобразования Фурье, связанный с Эрмитовым свойством этого преобразования [Брейсуэл Р. Преобразование Хартли: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990, стр.]. Так, например, ДПФ размерности N имеет N степеней свободы, несмотря на то, что включает 2N вещественных коэффициентов. Указанная избыточность свидетельствует о нерациональности организаций операций обработки с применением преобразования Фурье. Например, для ДПФ более рациональная организация вычислений позволяет сократить практически вдвое число операций фильтрации сигналов промышленной частоты.
Поясним примером, включающим применение дискретного преобразования Хартли (ДПХ), а также фильтров «короткого окна» (алгоритмы двух-, трех выборок, четвертьпериодной выборки и др.), позволяющих реализовать рациональные вычисления, сократив при этом практически вдвое число операций обработки и обеспечив в ряде случаев получение результата, аналогичного ДПФ. Отметим, что при этом сохраняются фильтрующие свойства устройства обработки сигналов промышленной частоты.
(i)
(0)
(1)
(N-1)
ДПХ последовательности х={х, х, …, х} отсчетов синусоидального сигнала с учетом обозначений, принятых в [Шнеерсон Э.М. Цифровая релейная защита - М.: Энергоатомиздат, 2007], определяются соотношением [Брейсуэл Р. Преобразование Хартли: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990].
, n-N+1≤i≤n,
(n)
(n)
где cas(α)=cos(α)+sin(α). Известна связь между ДПФ (F) и ДПХ (X), определяемая формулами
,
(n)
(n)
(n)
X=Re(F)-Im(F),
(-n)
(N-n)
причем X=Х.
Для реализации квадратурных фильтров в сочетании с ДПХ воспользуемся свойством:
cas(α+β)=cos(β)·cas(α)+sin(β)·cas(-α).
Выберем, например, , тогда
.
С учетом фильтрации гармоники промышленной частоты и принятых ранее обозначений ДПХ последовательности, задержанной на N/4-отсчетов, имеет вид
Принимая значения cos(π/2)=0 и sin(π/2)=1, получаем
.
Таким образом, для формирования квадратурных составляющих по алгоритму четвертьпериодной выборки необходима реализация выражений
;
.
При этом устройство фильтрации имеет вид (фиг.2).
Операции деления на два в схеме (фиг.2) реализуются простым сдвигом разрядов, носят условный характер и не требуют аппаратурно-временных затрат.
д
Несмотря на простоту схемы (фиг.2) и значительную экономию вычислений, такая фильтрация имеет существенный недостаток - дополнительное увеличение задержки в структуре фильтра на время  (где t - интервал дискретизации сигнала) по сравнению с фильтрацией посредством N-точечного ДПФ (ДПХ). Дополнительная задержка может оказаться неприемлемой при реализации быстродействующих цифровых устройств, например, релейной защиты.
В этих условиях целесообразно получение хотя и несколько усложненных, но более быстродействующих технических решений с использованием ДПХ. Реализовать возможности по построению «быстрых» процедур позволяют методы двух- и трех- выборок.
Двухвыборочный алгоритм использует два последовательных отсчета и существует в двух вариантах. Применительно к решаемой задаче учитываем, что
,
отсюда
.
Тогда, например, квадратурный фильтр может быть реализован согласно выражениям:
При этом возможные структуры устройств имеют вид (фиг.3а, 3б). Очевидно, что структуры фиг.3а и фиг.3б отличаются незначительно в быстродействии и аппаратурных затратах. Так, например, для варианта фиг.3а требуется лишь два умножения вместо трех фиг.3б, но это компенсируется дополнительными сложениями.
Отметим важный частный случай двухвыборочного алгоритма, когда задержка в структуре квадратурного фильтра составляет N/S отсчетов сигнала. При этом
.
Тогда уравнения квадратурного фильтра принимают вид
;
;
а его структура (фиг.4) существенно упрощается.
Алгоритмы трех выборок используют три последовательных отсчета для получения квадратурных составляющих.
Для формирования наиболее эффективного трехвыборочного алгоритма (с меньшим числом вычислительных операций) воспользуемся следующими соотношениями
; ;
тогда
.
(n+1)
(n-1)
(-n)
Таким образом, результат вычитания Х-Х можно использовать для получения последовательности Х, необходимой при формировании квадратурных составляющих.
Наиболее простая структура устройства фильтрации выглядит согласно фиг.5.
Отметим, что вариант построения квадратурного фильтра (фиг.5) для алгоритма трех выборок не является единственным, возможные технические решения могут быть реализованы с учетом [Куликов А.Л., Мисриханов М.Ш. Введение в методы цифровой релейной защиты высоковольтных ЛЭП: Учеб. пособие. - М.: Энергоатомиздат, 2007]. Однако представленная структура (фиг.5) обладает наименьшими вычислительными затратами.
Рассмотренные упрощенные структуры цифровых фильтров не являются единственными. Аналогичные структуры могут быть синтезированы с применением действительных синусного или косинусного преобразования. Например, для синусного преобразования квадратурные составляющие можно вычислить с использованием равенств
sin(α-β)=sin(α)·cos(β)-sin(β)·cos(α).
и конечным результатом
;
.
Структура цифрового квадратурного фильтра для полученных выражений соответствует фиг.6.
Цифровую квадратурную фильтрацию с использованием трех последовательных отсчетов (трехвыборочный алгоритм) и синусного преобразования можно реализовать, например, двумя вариантами.
Вариант 1. Воспользуемся равенством
Отсюда
;
.
Вариант 2. Основывается на соотношениях
,
тогда математическое описание квадратурного фильтра
;
.
Структурная схема фильтра, например, по варианту 2 представлена на фиг.7.
Как указывалось ранее вместо синусного преобразования при упрощенной фильтрации возможно применение косинусного преобразования с синтезом соответствующих квадратурных фильтров.
Задача изобретения - упрощение способа фильтрации сигналов промышленной частоты.
Поставленная задача достигается способом фильтрации промышленной частоты, по которому измеренные значения тока или напряжения преобразуют в векторные величины, состоящие из квадратурных составляющих, на интервале наблюдения, равном или кратном периоду промышленной частоты. Согласно предлагаемому способу преобразование измеренных значений тока или напряжения осуществляют на основе одного из действительных преобразований: Хартли, синусного преобразования, косинусного преобразования с последующим пересчетом результатов действительного преобразования в квадратурные составляющие векторных величин.
Техническая реализация предлагаемого способа фильтрации сигналов промышленной частоты может быть осуществлена цифровыми фильтрами, структуры которых представлены на фиг.2-7.
Цифровые квадратурные фильтры содержат один из блоков 1 действительного преобразования Хартли, синусного или косинусного преобразования, элементы задержки 2, сумматоры 3, делители 4 на два и умножители 5.
Цифровые квадратурные фильтры работают следующим образом.
⊥
⊥
Работа устройств фиг.2-7 аналогична. На вход цифровых квадратурных фильтров поступают действительные цифровые отсчеты x(n-N) тока (напряжения). В результате их обработки блоком 1 действительного преобразования получаются соответствующие отсчеты Х(n) преобразования Хартли (для устройств фиг.2-5), отсчеты y(n) синусного преобразования (фиг.6, 7) или отсчеты косинусного преобразования. Для получения окончательного результата в виде квадратурных составляющих комплексного вектора тока (напряжения) производится пересчет по ранее приведенным математическим выражениям результатов действительного преобразования блоком 1. В зависимости от принятого варианта фильтрации выбирается математическое выражение для пересчета с задействованием элементов задержки 2, сумматоров 3, делителей 4 на два, умножителей 5. Выходным результатом цифровой квадратурной фильтрации (фиг.2-7) являются составляющие y(n), y(n) комплексных векторов тока (напряжения).
Для обоснования преимуществ предлагаемого способа фильтрации сигналов промышленной частоты произведем сравнение вычислительных затрат для известного устройства цифровой фильтрации (фиг.1) и новых цифровых фильтров (фиг.2-7). Так, для реализации цифрового фильтра (фиг.1) с заданной размерностью N требуется:
- 2(N-1) операций сложения;
- 2N операций умножения.
Напротив, для цифровых фильтров (фиг.2-7) требуется меньшее число аналогичных операций (табл.1). Следует отметить, что делители 4 на два не требуют аппаратных затрат и дополнительного времени обработки, т.к. операция деления на два достигается простой коммутацией проводов (сдвигом разрядов).
Таблица 1
Вычислительные затраты алгоритмов с упрощенной цифровой фильтрацией
Вариант цифрового фильтра
Число операций
сложения
умножения
фиг.2
N+1
N
фиг.3а
N+1
N+4
фиг.3б
N+1
N+3
фиг.4
N
N+1
фиг.5
N+1
N+2
фиг.6
N
N+2
фиг.7
N+1
N+2
Результаты расчета выигрыша в числе операций в зависимости от размерности N за счет применения предлагаемого способа цифровой фильтрации сигналов промышленной частоты приведены в таблице 2.
Таблица 2
Выигрыш в вычислительных затратах алгоритмов цифровой фильтрации в сравнении с существующим алгоритмом ДПФ
Вариант цифрового фильтра
Выигрыш в числе операций
сложения
умножения
N=8
N=16
N=32
N=8
N=16
N=32
фиг.2
5
13
29
8
16
32
фиг.3а
5
13
29
4
12
28
фиг.3б
5
13
29
5
13
29
фиг.4
6
14
30
7
15
31
фиг.5
5
13
29
6
14
30
фиг.6
6
14
30
6
14
30
фиг.7
5
13
29
6
14
30
Анализ табл.2 показывает, что с ростом размерности N выигрыш в числе операций для предлагаемого способа фильтрации сигналов промышленной частоты возрастает.
Таким образом, предлагаемый способ является эффективным средством фильтрации сигналов промышленной частоты. Он может быть распространен на сигналы других частот и найдет также широкое применение в задачах цифровой обработки сигналов связи, радиотехники, управления и др.