Особенности сопротивления тел вращения со степенной формой образующей

Том ХЬН

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 2

УДК 629.735.33.015.3:533.695

ОСОБЕННОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ СО СТЕПЕННОЙ ФОРМОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ

А. Н. КРАВЦОВ

Приводятся результаты численного исследования сопротивления тел вращения со степенной формой образующей при сверхзвуковых скоростях набегающего потока. Рассматриваются качественные особенности сверхзвукового обтекания, связанные с сопротивлением оптимальных осесимметричных аэродинамических конфигураций. В классе степенных тел вращения при сверхзвуковом обтекании выявлены особенности возникновения минимума зависимости коэффициента сопротивления от показателя степени образующей. Показано, что коэффициент волнового сопротивления по длине оптимального степенного тела вращения нарастает по зависимости, близкой к линейной.

Ключевые слова: тела вращения со степенной формой образующей, сверхзвуковые течения, волновое сопротивление, сопротивление трения.

Фюзеляжи сверхзвуковых летательных аппаратов (ЛА) представляют собой тела с плавными контурами поверхности. На практике встречается большое разнообразие фюзеляжей, однако корпус ЛА во многих случаях представляет собой тело вращения. Носовая часть корпуса, в которой имеет место наиболее сильное изменение формы сверхзвукового ЛА, оказывает большое влияние на аэродинамические нагрузки и суммарные аэродинамические характеристики ЛА в целом. Поэтому для достижения наибольших сверхзвуковых скоростей или максимальной дальности полета сверхзвукового ЛА его корпус должен иметь форму образующей с наименьшим сопротивлением носовой части. Построение осесимметричной носовой части (при заданных ограничениях на габариты), обеспечивающей минимум сопротивления, — задача Ньютона, представляет собой классическую проблему сверхзвуковой аэродинамики. Одним из оптимальных аэродинамических тел по сопротивлению является степенная форма образующей носовой части. Использование носовых частей в виде тел вращения со степенной формой образующей позволяет в значительной мере снизить лобовое сопротивление ЛА при сверхзвуковых скоростях.

В работе приведены результаты численного исследования сопротивления тел вращения со степенной формой образующей у = х" (0 < п < 1) при сверхзвуковых скоростях. Проведен анализ возникновения минимума сопротивления в классе степенных тел вращения. Особое внимание обращено на физику обтекания рассматриваемых конфигураций и выяснение механизмов получения минимума сопротивления тел вращения со степенной формой образующей. Результаты расчетного исследования аэродинамических характеристик тел вращения степенной формы сопоставлены с экспериментальными данными. Закономерности при обеспечении минимума сопротивления оптимальных тел вращения со степенной формой образующей сопоставлены также с результатами исследований оптимальных остроконечных двухпараметрических контуров, полученных в рамках уравнений Эйлера в результате прямого численного метода построения [1]. Остроконечные

КРАВЦОВ Александр Никифорович

кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ

контуры, близкие к оптимальным по волновому сопротивлению, построенные в работе [1], хорошо аппроксимируются двухпараметрической степенной функцией. Параметрами двухпараметрической степенной функции являются геометрические значения производных радиуса остроконечного контура в носке и хвостовом сечении.

Известно, что если образующая тела вращения описывается степенной функцией, то при 0 < n < 1 носовая часть тела затуплена, что соответствует классической теории оптимальных осесимметричных тел при сверхзвуковых скоростях [2], предписывающей обязательное наличие носового торца или малого радиуса затупления. Экспериментальные исследования (см., например, [3, 4]) подтверждают результаты классической теории Ньютона — Буземана о близости оптимальной аэродинамической конфигурации при сверхзвуковых скоростях к телу вращения со степенной формой образующей {п ~ 0.7).

В настоящей работе расчетное исследование аэродинамических характеристик тел вращения со степенной формой образующей выполнено с использованием уравнений Эйлера в соответствии с [5]. Поверхность головной ударной волны выделялась явным образом. Интегрирование уравнений Эйлера осуществлялось с использованием явной конечно-разностной схемы МакКормака. Учет сил трения проводился на основании методики работы [6]. При этом значения коэффициента сопротивления трения определялись с учетом локальных параметров потока (значений местных чисел Маха и местного скоростного напора) на внешней границе пограничного слоя. Переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный соответствовал достижению значения местного числа Re = 106. При этом числа Re определялись по параметрам набегающего потока и характерному линейному размеру, равному диаметру донного среза тела вращения. В качестве характерных параметров при вычислении коэффициентов сопротивления тел вращения со степенной формой образующей использовались значения скоростного напора набегающего потока и площадь миделя тела вращения с удлинением X = 6.63. При обработке результатов численных расчетов донное давление полагалось равным давлению невозмущенного потока.

Применение явного стационарного маршевого конечно-разностного метода Мак-Кормака для интегрирования системы уравнений Эйлера ограничивает диапазон решаемых задач классом сверхзвуковых течений. Предполагается, что во всем поле течения компонента скорости вдоль маршевой координаты является сверхзвуковой. Таким образом, в общем случае расчет течений с дозвуковыми зонами в программе работы [5] недоступен.

Однако в программе [5] предусмотрена процедура построения решения около затупления тела вращения. Технология расчета обтекания затупления состоит в следующем. Программа имеет базу данных, где хранятся результаты расчетов обтекания конфигурации «сфера — конус» (рис. 1) по методике [7] при различных числах Маха набегающего потока Мда, углах атаки а и углах раствора 9 конуса в виде таблицы. Для произвольного набора значений Мю, а, 9 данные в плоскости х = const, где число Маха вдоль маршевой координаты Мт > 1 (см. рис. 1), находятся интерполяцией по базовым табличным значениям. Эти значения используются в качестве исходных данных для начала работы стандартного блока конечно-разностного алгоритма расчета задачи сверхзвукового обтекания. Данная технология позволила провести численный расчет обтекания тел вращения со степенной формой образующей.

Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными работы [8] для степенных тел вращения с удлинением Х = 6.63 (общая длина модели составляла 35.56 см) при числе Маха набегающего потока М.т = 6 дано на рис. 2 в виде зависимости лобового сопротивления cx0 тел вращения степенной формы от показателя степени образующей n. Сопротивление тел вращения представляет собой сумму волнового сопротивления и сопротивления трения. Имеет место согласование результатов численных расчетов с экспериментальными данными [8].

В классе степенных тел, как это следует из решения Ньютона [9], минимальное сопротивление имеет тело с показателем n = 0.75. В рамках теории

Рис. 2. Зависимость коэффициента лобового сопротивления степенного тела вращения от показателя степени образующей п

Буземана показатель степени образующей тела минимального сопротивления « = 2/3 [10]. Значение показателя степени оптимального контура, полученное Г. Л. Гродзовским [11] на основе автомодельных решений движения газа и закона плоских сечений Хейза — Ильюшина для совершенного газа ($ = 1.4), равно примерно 0.7. Результаты представленного расчетного исследования и экспериментальные данные [8] показывают, что минимальный коэффициент лобового сопротивления имеет тело вращения с показателем степени образующей п — 2/3 « 0.667 (см. рис. 2).

Выше было отмечено, что экспериментальные исследования [3, 4] также подтверждают вывод о близости показателя степени образующей контура оптимального тела вращения к значению 0.7.

Распределение безразмерного статического давления р/рж (р,, — статическое давление в набегающем потоке) на поверхности и в поперечных сечениях оптимального тела вращения степенной формы с показателем степени образующей п = 0.667 приведено на рис. 3. Шкала изменения безразмерного давления р/рх для всего поля течения (на поверхности и в поперечных сечениях оптимального тела вращения при п = 0.667) выбрана одна и та же. Распределение безразмерного статического давления р/рж на поверхности тела вращения, совмещенное с полем течения в поперечных сечениях, представляет собой наглядную и при этом достаточно подробную и полную картину течения около рассматриваемой конфигурации. Отличительной особенностью поля течения около оптимальной конфигурации при п = 0.667 является локализация области по-

Рис. 3. Поле течения (распределение безразмерного статического давления р/рю на поверхности и в поперечных сечениях) возле оптимального степенного тела вращения с показателем степени

образующей п = 0.667

вышенного давления, возникающей при обтекании затупленной носовой части, в окрестности вершины тела вращения, а также образование при 34.3 <х<35.56 небольшой по протяженности зоны разрежения по длине тела со значением безразмерного статического давления р/ р,г »0.8 (см. рис. 3).

Особенности возникновения минимума сопротивления тел вращения целесообразно рассмотреть на основе анализа результатов расчетного исследования при числе Маха набегающего потока Мг =6 и угле атаки ос = 0 обтекания тел вращения с удлинением /. = 6.63 (рис. 4) со степенной формой образующей при п = 0.25, 0.5, 0.667, 1. На рисунке дано распределение безразмерного статического давления р/рт и нарастание коэффициента волнового сопротивления схъ

по длине тел вращения с указанными выше показателями степени образующей. Здесь же приведены контуры рассматриваемых тел вращения степенной формы.

Вследствие того, что величина производной образующей степенного тела вращения в вершине в диапазоне изменения значений 0<п< 1 обращается в бесконечность б/у/б/х | () =да , передняя часть рассматриваемой конфигурации, как отмечалось выше, имеет затупление. При этом радиус затупления /^,а| носовой части тела вращения степенной формы при 0 < п < 0 .5 стремится

к бесконечности 11,т —»оо . Для показателя степени образующей в диапазоне изменения 0.5 <п< 1 радиус затупления носовой части тела вращения степенной формы стремится к нулю 11,1и —> 0 . При п = 1 для степенного тела вращения становится конечной величина производной

образующей в вершине б/у/б/х| , значение которой определяется удлинением носовой части.

При п = 0.5 конечное по величине значение принимает радиус затупления носовой части, также зависящий от удлинения тела вращения. Таким образом, в зависимости от величины параметра п (О <п < 1) тело вращения со степенной образующей имеет два типа переднего затупления. Для показателя степени образующей в диапазоне значений 0 <п < 0.5 (радиус затупления носовой части /^.,а| —> со) половина угла при вершине стремится к прямому углу (условно конфигурация

с носовым торцем), в то время как при 0.5 <п< 1 II—>0 степенное тело вращения имеет «острую» конфигурацию со скругленной вершиной. При п = 1 тело вращения со степенной образующей переходит в острый конус с полууглом раствора, зависящим от удлинения носовой час-

Рис. 4. Расчетное исследование сверхзвукового обтекания тел вращения степенной формы

ти. Рассмотренные в окрестности вершины геометрические особенности носовой части тела вращения со степенной формой образующей оказывают свое непосредственное влияние на поведение безразмерного статического давления р/рх исследуемых аэродинамических конфигураций.

Для тела с показателем степени образующей п = 0.25, имеющего сильное затупление носовой части и самый интенсивный характер нарастания образующей в окрестности вершины из рассмотренных конфигураций, происходят и самые сильные изменения в значениях безразмерного статического давления р/ ру . Область повышенного давления сосредоточена непосредственно в окрестности носовой части рассматриваемой конфигурации. Сильное затупление в вершине тела вращения с показателем степени п =0.25 в сочетании с интенсивным характером изменения образующей в носовой части приводит к тому, что нарастание коэффициента волнового сопротивления схв происходит фактически на небольшом участке в области затупления вершины. При

дальнейшем продвижении по длине тела давление выходит на постоянное близкое к параметрам невозмущенного потока значение р/рт~ 1 и величина коэффициента волнового сопротивления схв конфигурации практически не изменяется. Следует особо отметить, что для рассматриваемой образующей тела вращения (п =0.25) график изменения волнового сопротивления по длине конфигурации сх в х имеет «гиперболический» характер с выпуклостью вверх (см. рис. 4).

Зависимость безразмерного статического давления р/рг по длине тела вращения с п = 0.5 качественно аналогична случаю п = 0.25. Однако конечный радиус затупления носовой части и более плавный характер нарастания образующей по длине конфигурации приводит к не столь интенсивному увеличению безразмерного статического давления р/рт в окрестности вершины тела. При близком к линейному распределению безразмерного статического давления р/ рг в центральной и кормовой частях рассматриваемой конфигурации и при достаточно плавном характере нарастания образующей по длине указанных участков степенного тела вращения происходит практически линейное нарастание коэффициента волнового сопротивления сх в в центральной и кормовой частях тела вращения при п = 0.5. В целом нарастание волнового сопротивления схв х по длине степенного тела вращения с показателем п = 0.5 носит «параболический»

характер с выпуклостью вверх (см. рис. 4).

При обтекании тела вращения с удлинением /. = 6.63 и показателем степени образующей п = 1 (острый конус с полууглом раствора 0 ~ 4.3°), как и следовало ожидать, по всей длине тела безразмерное статическое давление р/ ру постоянно р/ ру_ ~ 1.43 . При таком распределении безразмерного статического давления р/р00 и для рассматриваемой формы тела вращения нарастание коэффициента волнового сопротивления с по длине тела происходит по квадратичному закону. Таким образом, в случае острого конуса график нарастания волнового сопротивления от длины имеет параболический характер, но уже с «выпуклостью» вниз (см. рис. 4).

Для конфигурации оптимального степенного тела вращения с показателем п = 0.667 зависимость безразмерного статического давления р/ ру по длине качественно аналогична рассмотренным выше случаям при п = 0.25 и 0.5. Однако плавный характер нарастания образующей по длине степенного тела с п = 0.667 по сравнению с конфигурациями с показателями степени п = 0.25 и 0.5 приводит к еще более интенсивной локализации высокого давления в непосредственной окрестности вершины тела вращения. Рассматриваемая локальная зона повышенного давления невелика по длине, расположена в окрестности вершины конфигурации и практически не оказывает существенного влияния на характер нарастания коэффициента волнового сопротивления схв по длине тела вращения с показателем степени п = 0.667. При таком распределении

безразмерного статического давления р/ р., и для рассматриваемой оптимальной формы тела вращения нарастание коэффициента волнового сопротивления сх в х носит близкий к линейному характер зависимости от длины конфигурации (см. рис. 4).

На рис. 5 дано сопоставление оптимального степенного тела и остроконечного контура [12], близкого к оптимальному по волновому сопротивлению, полученного Таковицким С. А. в рамках

Оптимальные остроконечные Результаты расчета осесимметричные тепа

Мм =6, Х = ЬЫ, п = 0.661 Мте = 2, Х=2

Рис. 5. Сравнение оптимальных аэродинамических форм

уравнений Эйлера в результате применения прямого численного метода построения [1]. Показано распределение безразмерного статического давления р/рж и нарастание коэффициента волнового сопротивления с по длине оптимального степенного тела вращения с удлинением а. = 6.63 и показателем п =0.667 при числе Маха набегающего потока Мда = 6 и оптимального остроконечного тела вращения [12] с удлинением Х = 2 при Му =2, полученного в результате прямого численного построения [1] в рамках уравнений Эйлера. Обращает на себя внимание тот факт, что для двух рассмотренных случаев оптимальных при сверхзвуковых скоростях аэродинамических форм нарастание коэффициента волнового сопротивления с по длине имеет характер достаточно близкий к линейному. Несмотря на различие в числах Маха набегающего потока, удлинений (X) и способов нахождения оптимальных аэродинамических форм (прямой численный метод построения [1] двухпараметрического оптимального остроконечного контура и данное численное исследование тел вращения со степенной формой образующей), наблюдается одинаковая закономерность нарастания коэффициента волнового сопротивления сх в по длине

полученных оптимальных аэродинамических конфигураций. Представляется, что найденная особенность носит общий характер и является отличительным признаком оптимальных осесимметричных аэродинамических конфигураций при сверхзвуковых скоростях.

В заключение следует отметить, что в классе степенных тел вращения при сверхзвуковом обтекании изучены особенности возникновения минимума коэффициента сопротивления в зависимости от показателя степени образующей. Выявлен близкий к линейному характер нарастания коэффициента волнового сопротивления схв по длине оптимального степенного тела и оптимального остроконечного двухпараметрического тела вращения, полученного в результате прямого численного построения в рамках уравнений Эйлера. Полученные результаты представляют теоретический интерес и имеют практическое значение при выборе форм образующих носовых частей ЛА.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00208-а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Таковицкий С. А. Остроконечные двухпараметрические степенные головные части минимального волнового сопротивления // ПММ. 2003. Т. 67, вып. 5, с. 829—835.

2. Крайко А. Н., Пудовиков Д. Е., Пьянков К. С., Тилляева Н. И. Осесимметричные головные части заданного удлинения, оптимальные или близкие к оптимальным по волновому сопротивлению // ПММ. 2003. Т. 67, вып. 5, с. 795—828.

3. Spenser B., Fox C. H. Hypersonic aerodynamic performance of minimum wave drag bodies // NASA TR R-250. 1966, 50 p.

4. Peckham D. H. Measurements of pressure distribution and shock wave shape on power law bodies at a Mach number of 6.8 // ARC CP. 1967. N 871, 33 p.

5. Жилин Ю. Л., Коваленко В. В. О связывании ближнего и дальнего полей в задаче о звуковом ударе // Ученые записки ЦАГИ. 1998. Т. XXIX, № 3 —4, с. 111 —122.

6. Воротников П. П. Расчет коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи пластины, конуса и тупоносого тела при турбулентном течении в пограничном слое //

Труды ЦАГИ. 1964, вып. 937.

7. А н т о н е ц А. В. Расчет пространственного сверхзвукового обтекания затупленных тел с изломами образующей с учетом равновесного и замороженного состояния газа в ударном слое // Изв. АН СССР, МЖГ. 1970. № 2, с. 178—181.

8. Ashby G. C. Longitudinal aerodynamic performance of a series of power-law and minimum-wave drag bodies at Mach 6 and several Reynolds numbers // NASA TM X-2713. 1974, 27 p.

9. Н ь ю т о н И. Математические начала натуральной философии / Пер. с лат. и комментарии А. Н. Крылова // М.: Наука. 1989, 688 с.

10. Cole J. Newtonian flow theory for slender bodies // JAS. 1957. V. 24, N 6, p. 448 —455.

11. Аэромеханика сверхзвукового обтекания тел вращения степенной формы // Под ред. Г. Л. Гродзовского. — М.: Машиностроение, 1975, 183 c.

12. Кравцов А. Н., Таковицкий С. А. Построение остроконечных осесимметричных носовых частей на основе критериев заметности и аэродинамического совершенства // Ученые записки ЦАГИ. 2008. Т. 39, № 3, с. 21 — 25.

Рукопись поступила 9/IV 2010 г.