Комплексная математическая модель гироскопа со сферическим шарикоподшипниковым подвесом

It is proved that the regular precession in symmetric Euler gyroscope (SEG) is not the unique type of motion, it corresponds only to well-known initial Euler angles slaving between them (formula (П.10) ). For any other initial angles arise movement different from the regular precession. For some changed in relation to them the initial angle are received formulas for irregular precession. In addition to the solutions of the Euler angles obtained the solutions in Euler - Krylov angles. The analytical results are supported by the mathematical modeling. In particular, we find conditions ("whack") when the irregular SEG precession at the Euler-Krylov angles occurs in the direction of the rotational impulse and the sign of the angular velocity of proper rotation is reversed.

Key word: symmetric Euler gyroscope, precession, Euler angles, Poisson equations, rotation, mathematical modeling, nutation, Euler-Krylov angles, angularvelocity, impact, drift.

Plotnikov Petr Kalistratovich, doctor of technical sciences, professor, sstu_office@sstu. ru, Russia, Saratov, Yuri Gagarin Saratov State Technical University

УДК 531.383-11

КОМПЛЕКСНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИРОСКОПА СО СФЕРИЧЕСКИМ ШАРИКОПОДШИПНИКОВЫМ ПОДВЕСОМ

С.И. Шепилов, В.В. Лихошерст

Рассмотрен комплексный подход к построению математической модели гироскопа со сферическим шарикоподшипниковым подвесом. Модель объединяет механическую и электромеханические системы гироскопа, пригодна для анализа функционирования прибора как единой системы и проектирования контуров управления.

Ключевые слова: математическая модель, гироскоп, шарикоподшипниковый подвес.

Современные требования по повышению точности систем ориентации приводят к необходимости уточнения вычислительных алгоритмов данных систем, замене или модернизации чувствительных элементов. С точки зрения изготовителей гироскопических приборов задача модернизации является наиболее перспективной, так как позволяет на существующей технологической базе осуществлять выпуск наиболее конкурентной продукции. Для потребителей (разработчиков систем ориентации) модернизация гироприбора при сохранении габаритных и установочных размеров с повышением точности показаний позволяет без существенной доработки повышать качество выпускаемых систем.

Модернизация прибора «Д-7» - гироскопа со сферическим шарикоподшипниковым подвесом - была обусловлена выявленным в процессе эксплуатации взаимовлиянием индукционных датчиков угла и электромагнитных датчиков момента. Данное влияние стало играть определяющую роль при повышении требований к стабильности выходного сигнала гироскопа.

Задача модернизации прибора предполагает как конструкторскую, так и исследовательскую проработку прибора. При этом задача математического моделирования гироприбора как совокупности механической, электромеханической и электронной частей потребовала создания комплексной математической модели, при разработке которой были сформулированы следующие требования:

- необходимость анализа процессов разгона ротора гироскопа;

- учет силовых характеристик датчиков угла и момента;

- возможность исследования различных схем управления и съема сигнала;

- входными параметрами всех механических частей должны являться конструктивные размеры элементов, а электромеханических наряду с конструктивными - также и электрические параметры.

Анализ требований, предъявляемых к математическому описанию, позволяет говорить о необходимости разработки комплексной математической модели гироскопа со сферическим шарикоподшипниковым подвесом.

Обозначенные требования привели к необходимости первоначальной декомпозиции гироприбора на функциональные элементы с последующим созданием математического описания, учитывающего конструктивные особенности - размеры и взаимное расположение элементов гироскопа.

При реализации декомпозиции гироприбор был разделен на следующие функциональные элементы с позиции их математического описания:

- движение ротора в направлении измерительных осей при движении основания;

- собственное вращение ротора, определяющее кинетический момент гироскопа;

- изменение электромагнитного момента в датчиках обратной связи при наличии управляющего напряжения и угловом движении ротора в направлении измерительных осей;

- изменение индукции воздушного зазора в индукционных датчиках угла при движении ротора в направлении осей чувствительности;

- образование электромагнитного момента при функционировании индукционных датчиков угла.

На основании проведенной декомпозиции разрабатываемая комплексная математическая модель должна представлять собой систему взаимосвязанных уравнений, содержащую пять описанных ранее составляющих.

Кинематическая схема рассматриваемого гироскопа приведена на рисунке [1]. В данной схеме ротор жёстко связан с внутренним кольцом-шарикоподшипникового подвеса (ШПП), а наружное кольцо - с корпусом. Кольцо ШПП, которое связано с ротором, можно называть несущим опорным элементом.

Кинематическая схема гироскопа со сферическим ротором поплавком: 1 - ротор; 2, 3 - наружное и внутреннее кольца ШПП; 4 - элемент крепления; 5 - шарик; 6 - сепаратор; 7 - корпус

Математическая модель движения ротора на неподвижном основании известна [1] и с учетом движения основания с угловыми скоростями О х , О у ,О г может быть записана в виде

Л(а + 0у) + М + т п а-Сф(0 х + Р —О 2 а) — т рв р — М а£ Л(р + ох) + Нр + тПР + Сф(0 7 Р + О у + а) + трв а — Мр^,

гдеА - экваториальный момент инерции ротора; Н - коэффициент демпфирования; тп - удельный перекрёстный момент;С - осевой момент инерции ротора; ф - угловая скорость ротора; Ма£, Мр£ - моменты управления; трв - удельный радиально-восстанавливающий момент; а, в-

обобщенные координаты движения ротора.

В качестве привода ротора в гироприборе используется синхронная электрическая машина с радиально намагниченным ротором. Электрическая машина является обращенной, в качестве источника магнитного поля ротора используется постоянный магнит.

36

Уравнение собственного вращения ротора можно записать в виде [2]

И 2

= Ми -Мп,

Иг2

где С - осевой момент инерции ротора; р- угол поворота ротора; Ма, Мп - электромагнитный момент и момент нагрузки, приведенные к

валу двигателя соответственно.

Момент нагрузки Мп складывается из двух основных составляющих: реактивного и вентиляторного моментов, пропорционального квадрату угловой скорости ротора [2]

Мп = М8г - , где М г - статический момент нагрузки; ку - коэффициент передачи вентиляторного момента; произведение позволяет воспроизвести нелинейность данного момента и сохранить направление его действия.

При описании электромагнитных процессов за независимые переменные принимались токи и напряжения. В этом случае уравнение полного напряжения в фазах статора на основании Второго закона Кирхгофа можно записать в виде [4]

ИУА

иА = ЯА1А +

Иг

ив = + % ,

Иг

и С = ВсС + ^

где и - напряжение фазы; Я - активное сопротивление фазы; / - ток фа-Иу

зы;—- - изменение потокосцепления, обусловленное изменением элек-Иг

трических и механических параметров. Индексы^, В, С соответствуют наименованиям фаз двигателя.

Изменение потокосцепления описывается зависимостью

у А = Ьа1а + кшФм1 соБ(юг);

У в = ^в^в + ^Ф^ соБ

У С = ЬсС + к01Ф^1 соБ(юг + 2.094), где Ьа , Ьв, Ьс - полные индуктивности фаз обмотки двигателя (индуктивность обмотки и взаимоиндуктивности); Ф - максимальный поток магнита (амплитуда), сцепленный сфазой, с - угловая скорость в электрических

радианах; р = С, р -число пар полюсов магнита, к01, обмоточный коР

эффициент и число витков фазы.

Исходя из того, что

CE = k01 pF W1,

где CE - коэффициент противоЭДС, запишем систему уравнений (3) с учетом (4) и (5), выразив изменение токов в обмотках:

^A =1 Ua - RiA - jCE sin (wt)); dt L

=1

dt L

dc = i(UC - RiC - jCE sin(wt + 2.094)).

V- . -C

dt L C C

Система уравнений (6) должна быть дополнена уравнениями, определяющими вращающий электромагнитный момент. Получим выражения для определения электромагнитного момента. При получении выражений полагаем, что в каждый момент времени к каждой из фаз приложено напряжение синусоидальной формы, сдвинутое по фазе на 120 электрических градусов относительно другой фазы:

мA = Cm-A sin (Pjt);

Mb = Cm-b sin (pjt - 2.094);

MC = CM-C sin

M s = MA + MB + MC где Md, Ma , Mb , M. -суммарный электромагнитный момент и моменты, развиваемые фазами; CM = 1.5CE [3]- коэффициент приведения по моменту; j- механический угол поворота ротора.

Уравнения (2) и (7), а также система уравнений (6) составляют математическую модель собственного вращения ротора.

При описании процессов, имеющих место при функционировании датчиков момента, будем рассматривать изменение тока в катушке электромагнита и формирование электромагнитной силы.

При этом на данном этапе моделирования считаем, что:

- магнитное сопротивление материала якоря (ферримагнитного кольца) и сердечника катушки не изменяются при изменении их пространственного положения относительно другдруга;

- магнитопроводы не находятся в насыщении в процессе всего времени функционирования прибора;

- изменение магнитной проводимости цепи обусловлено только изменением величины воздушного зазора;

- потоки рассеяния малы и не оказывают влияния на изменение магнитной проводимости зазора.

На основании допущений и предложенного подхода к описанию [4] запишем выражение для электромагнитной силы

1 / ч2 dG

Fel = ~(Iw) —,

2 dt

где I, w - ток в обмотке электромагнита и количество витков катушки со-

dG

ответственно;--изменение магнитнои проводимости.

dt

На основании принятых допущении можно записать

dG _ m 0 s dt ~ x2 '

где m о - магнитная проницаемость воздуха; S - площадь поперечного сечения сердечника манитопровода; x - величина воздушного зазора между элементами электромагнита.

Выражение для определения величины воздушного зазора будет иметь вид

x = хо + R

где у- угол расположения электромагнита (от 0 до 360° с шагом 45°согласно конструкции гироприбора); R - радиус расположения электромагнитов от оси вращения ротора; х0 - начальный воздушный зазор между элементами электромагнитного датчика.

С учетом (8) выражение для электромагнитной силы примет вид

Fel = -1

2 (хо + R(cos j sin a- sin j sin b cos a)) Уравнение развиваемого электромагнитного момента имеет вид

Mel = Fel • R .

Для получения полного математического описания электромагнитов уравнения (9) и (10) необходимо дополнить уравнением изменения тока в обмотке датчика. Запишем данное уравнение на основании уравнения Кирхгофа для полной цепи и разрешим его относительно старшей производной по току:

di х

dt w2i

w m0S

2

тт m Iw m0S dx

х

У

где и - напряжение питания электромагнита; Яа - активное сопротивление обмотки электромагнита, м>- количество витков обмотки.

Уравнение (11) определяет изменение тока в обмотке электромагнита, при этом закон изменения напряжения определятся схемой управления гироскопа.

Для использования уравнения (11) в составе комплексной математической модели гироприбора необходимо скорость изменения воздушного зазора представить в виде функций углов а и в:

dx

— = R

dt

rdb . daл —sin g--

v dt dt

cos a cos b-Rda sin a sin b sin g.

39

С учетом (12) уравнение (11) примет вид

dl¡ + R

x

x

Ui

dt

IiRa

w2moS

x

h

w2moS

(xo + R(cos gj sin a - sin gj sin b cos a))2

x

R

V v

db

dt

sin

gj

da л n da . • o •

cos a cos b - R—sin a sin b sin gj

dt

dt

\\

J)

где I- порядковый номер электромагнита в конструкции (/= 1 .. 8); у - угловое положение электромагнита (у = 0, 45, ... , 315°).

Конструкция индукционных датчиков угла позволяет классифицировать данный датчик как индукционный трансформаторный. При этом и схема включения обмоток, и питание их от источника тока обеспечивает постоянство полного сопротивления и увеличение линейного участка зависимости ЭДС от перемещения. Согласно описанному ранее, выражение для ЭДС наводимой во вторичной обмотке датчика угла имеет вид:

E = www Idu

1

1

R xo - L sin

Rmag + м q Rmag +

V

y

т0Брп т0Брп

где Е - наводимая ЭДС; ш - частота питающей сети; w1, количество витков первичной и вторичной обмоток датчика угла; ¡¿и - ток первичной обмотки датчика угла; БрП - площадь поперечного сечения полюсного наконечника датчика угла; - магнитное сопротивление ферримагнит-

ного кольца (якоря датчика угла).

Для индукционных датчиков, расположенных по второй оси чувствительности прибора, необходимо в выражении (14) координату азаменить на координату^.

Расчет магнитного сопротивления проводится по формуле

Кта§ '

где I - длина участка магнитопровода; т - магнитная проницаемость ферримагнитного кольца; - площадь поперечного сечения магнитопро-

вода.

В общем случае ток, протекающий по катушкам, создает электромагнитную силу. Согласно схеме включения токи в первой и во второй первичных катушках будут равны между собой. При изменении воздушно-

40

го зазора между катушками будет возникать сила, действующая в направлении меньшего зазора. При этом сила будет возникать как по оси первичной катушки, так и по оси вторичной катушки. Тяговое усилие определяется выражением

Лрйи = рйи1 - 2 ,

где Л^п - результирующее усилие; ^п1, 2 - усилие, развиваемое первой и второй катушками первичной (вторичной) обмотки датчика угла.

В результате подстановки (9) в (16), при условии расположения датчиков точно по осям чувствительности получим

Л^п (/йп-)2

с \

1 1

2

у

2

После преобразования

=-2Т "'г

2т 0$рпх0 Ь вт (а)1 х2 - (Ь Бт(а))2

Момент, развиваемый индукционными датчиками угла, будет определяться так:

Мйи = 2 -Л^п • Ь3 , где Ьз - расстояние от центра вращения ротора до центра магнитопровода индукционного датчика.

Необходимость учета противоЭДС и падения напряжения на активном сопротивлении катушек определяется допущением об идеальности источника тока.

Таким образом, составленная математическая модель гироскопа со сферическим шарикоподшипником, объединяет процессы, протекающие в механической и электромеханической частях прибора, позволяет оценивать их взаимовлияние. Использование модели целесообразно при модернизации приборов подобного типа, так как позволяет соотнести практические результаты испытаний с результатами моделирования. Данный подход позволяет осуществлять оценку принятых проектных решений и анализировать различные схемы управления гироскопом.

Список литературы

1. Распопов В.Я. Теория гироскопических систем. Инерциальные датчики. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. 256 с.

2. Овчинников И.Е. Вентильные электрические двигатели и привод на их основе (малая и средняя мощность): Курс лекций. СПб.: КОРОНА-Век, 2006. 336 с.

3. Коршунов А. Равноускоренный частотный пуск синхронного двигателя с постоянными магнитами на роторе // Силовая электрони-ка.2007. № 1. 7 с.

4. Вербицкий Д.С., Кузнецов А.А., Романов А.В. Моделирование бесконтактного электродвигателя // Электротехнические комплексы и системы управления. 2006. № 1. С. 85-87.

Шепилов Сергей Игоревич, начальник научно-исследовательской лаборатории, tgupu@yandex.ru, Россия, Мичуринск, АО «Мичуринский завод «Прогресс»,

Лихошерст Владимир Владимирович, канд. техн. наук, доц., lvv_01@inbox.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

COMPLEX MATHEMATICAL MODELGYROSCOPE WITH SPHERICAL BALL-BEARING SUSPENSION

S.I. Shepilov, V. V. Likhosherst

A complex approach to the construction of a mathematical model of a gyroscope with a spherical ball bearing suspension is considered. The model combines mechanical and electromechanical gyro systems, suitable for analyzing the functioning of the device as a single system and designing control loops.

Key words: mathematical model, gyroscope, ball-bearing suspension.

Shepilov Sergey Igorevich, head of research laboratory, info@mzp.su, Russia, Michurinsk, JSC «Michurinsk Plant «Progress»,

Likhosherst Vladimir Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, lvv_01@inbox. ru, Russia, Tula, Tula State University