Сопровождение студентов нематематических специальностей в процессе обучения математике средствами визуального информационного поля в курсе аналитической геометрии

УДК 001.891.57

В. Г. Шантаренко

СОПРОВОЖДЕНИЕ СТУДЕНТОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ СРЕДСТВАМИ ВИЗУАЛЬНОГО ИНФОРМАЦИОННОГО ПОЛЯ В КУРСЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Стратегия модернизации Российской высшей школы среди первостепенных задач выдвигает задачу повышения качества профессионального образования посредством формирования соответствующей запросам современного общества профессиональной компетентности будущего специалиста средствами всех учебных дисциплин. Математика является одной из ключевых дисциплин в системе профессиональной подготовки студентов нематематических специальностей. Это связано с особой ролью математики в современном информационном обществе, для которого характерно повсеместное применение математических методов и моделей в различных областях познания и практики. Кроме того в процессе обучения математике вырабатываются важнейшие качества личности, которые имеют универсальный характер, самое главное формируется способность оперировать информацией и применять ее для решения теоретических и практических задач, то есть переводить информацию из пассивной формы в активную или осуществлять активизацию знания. В теории и методике обучения студентов математике в вузе поставлена задача разработки и внедрения активных методов обучения, формирующих профессиональную компетентность будущих специалистов. Одним из таких методов представляется технология сопровождения студентов нематематических специальностей в процессе обучения математике средствами визуального информационного поля, в основе которой лежит моделирование в визуальном информационном поле в рамках системного подхода. В предлагаемой работе рассмотрены основные положения указанного метода и показана их реализация в процессе изучения курса аналитической геометрии.

В преподавании математики в начале XXI в. произошло осознание того, что традиционный подход, при котором основной упор делается на абстрактно-логическое мышление, не отвечает новым задачам. Исследования психологов выявили, что левое и правое полушария головного мозга человека выполняют в процессе мышления различные функции и особым образом связаны друг с другом: левое специализируется на вербально-символических функциях, а правое - на пространственно-синтетических. В процессе оперирования образами правым полушарием часть связей функционирует на неосознаваемом уровне, и включение этих связей в контекст может способствовать их осознанию, при этом происходит то, что мы называем озарением,

инсайтом, интуицией, в результате чего неосознаваемые связи переводятся на язык сознания, вербализируются.

В связи с указанными закономерностями в настоящее время получило широкое распространение понятие «визуальное мышление», то есть зрительно-наглядное, или мышление посредством зрительных (визуальных) операций. Его основная функция состоит в способности упорядочивать значения образов, создании образов, делающих знание видимым. Визуальное мышление носит явно выраженный наглядный характер. Невозможно обойтись без наглядности, оперируя абстрактными математическими объектами. Наглядность визуального мышления состоит в умозрительном репродуцировании конкретных, прежде неизвестных образов.

Затруднения, связанные с преподаванием математики традиционным способом, опирающимся на абстрактно-логическое мышление (левополушарный крен), преодолеваются посредством когнитивно-визуального (познавательно-зрительного) подхода, который снимает приоритет логического компонента мышления и обеспечивает сбалансированную работу головного мозга, разумно сочетая логический и образный компоненты мышления. Одним из способов реализации когнитивно-визуального подхода является указанный выше метод. Важную роль в его реализации играет системный подход.

Под системой обычно понимают совокупность элементов, связанных между собой определенными отношениями, которая выступает как единое целое во взаимодействиях с окружающей средой и носит целевой характер. Так как в принципе любой объект можно рассматривать как некоторую систему, то системность окружающего мира приобретает универсальный характер. Под системным подходом понимаем такой принцип познания и социальной практики, который выражается в требовании рассматривать, исследовать изучать и конструировать объекты как некоторые системы. Если рассматривать мышление как информационный процесс, то системный подход выступает средством упорядочения информации об объекте, потому что он организует информацию в виде системы, включает систему в иерархию систем в качестве подсистемы и в качестве надсистемы. Это упорядочение играет важную роль в процессе обучения.

В современном обществе широкое распространение получило понятие модели, которое выражает следующие отношения между объектами А и В: установлено отображение из А в В, которое является следствием некоторой аналогии между А и В, тогда А называем оригиналом, а В - моделью А. С гносеологической точки зрения модель является информационным заместителем оригинала и носит целевой характер, так как модельное соответствие опосредовано некоторой целью и разным целям будут соответствовать разные модели. Ценные качества модели обусловили ее широкое применение и появление моделирования как метода познания объектов при помощи их моделей. Моделирование можно рассматривать в качестве способа реализации системного подхода к мыслительной деятельности, потому что система

требует некоторого представления в виде образа системы, или отображения системы в виде некоторой ее модели, причем разные способы отображения могут давать разные модели одной системы. Моделирование это сложный вид деятельности, которая происходит в определенной информационнокультурной среде и использует как научные методы исследования, так и различные эвристические методы, приемы, способы. Субъект моделирования должен обладать не только глубокими знаниями в различных областях, но и рядом личностных качеств, таких как изобретательность, находчивость, оригинальность мышления, творческие способности, интуиция. Вместе с тем, моделирование развивает личные качества субъекта, его способности. Системный подход в познавательной деятельности и в социальной практике реализуется в форме моделирования, в ходе которого строятся подходящие модели систем, которые затем используются для реализации поставленной цели. Традиционно в теории и методике обучения математике системный подход применяется как способ исследования объектов и явлений и средство построения педагогических систем. В нашем методе системный подход выступает в роли инструмента самого процесса обучения.

Сталкиваясь со сложными объектами, которые описываются сложными системами, мы стремимся представить их в форме, доступной для зрительного восприятия, то есть в виде моделей визуального информационного поля. Это связано с тем, что зрение является, с одной стороны, важнейшим информационным каналом, по которому в мозг поступает более 80% информации об окружающем мире, а с другой стороны, особой ролью зрения в процессе мышления. Визуальное информационное поле - это такая форма представления информации, которая воспринимается субъектом через зрительный (визуальный) канал и может быть помещена в поле зрения человека для непосредственного восприятия информации. Основными видами реализации визуального информационного поля являются изображения на листе бумаги, на учебной доске и на экране монитора.

Способы представление информации в визуальном информационном поле можно классифицировать как следующие виды моделей. Текстовая модель (знаково-текстовая) - описание с помощью письменности естественного языка (русского, английского, немецкого и т. п.). Знаковая модель (знаково-символическая) - описание с помощью знаков как реализация некоторой специальной знаковой системы, в частности знаковая математическая модель. Образно-знаковая модель - описание с помощью конструкции, построенной из графических образов и знаков. Образная модель - описание с помощью графических образов.

В конструировании визуального информационного поля участвуют три основных инструмента деятельности человека: мозг (левое и правое полушария), зрение и рука (правая или ведущая). Тем самым активизируются разные виды мышления: абстрактно-логическое (текстовая и знаковая модели), наглядно-образное и визуальное (образно-знаковая и знаковая модели); наглядно-действенное (действия руки). Используя одновременно все виды

моделей визуального информационного поля в процессе моделирования, мы организуем гармоничное взаимодействие левого и правого полушарий головного мозга, и тем самым включаем визуальное мышление, которое участвует в создании визуальных образов и оперировании ими. Сопровождение студентов нематематических специальностей в процессе обучения математике средствами визуального информационного поля видится эффективным методом в силу особенностей математического знания и специфики его освоения субъектами, для которых математика не является основной дисциплиной. Математические объекты допускают возможность одновременного применения всех видов моделей визуального информационного поля, что позволяет активизировать все виды мышления, реализовать функции наглядности математических объектов. Сложность математических объектов и систем требует такого их представления, которое было бы доступным для человека, не являющегося профессиональным математиком. В процессе сопровождения происходит формирование профессиональной компетентности будущих специалистов посредством решения следующих дидактических задач. Активное преобразование знания: перерабатывает, фильтрует, организует и компактно, структурировано, образно представляет информацию. Активизация знания: делает информацию наглядной, доступной для восприятия, упрощаются процессы понимания и усвоения, становится возможным применение знания. Организация процесса информационной деятельности: разрабатывает модели систем в теоретических исследованиях и на их основе модели решения практических задач. Формирование и развитие личности: вырабатывает активное отношение к воспринимаемой информации как к материалу, который необходимо переработать, организовать и использовать в теоретической и практической деятельности; формирует активный подход к исследованию объектов и решению проблем; вырабатывает умения и навыки самостоятельной работы; закладывает основы самообучения и саморазвития; развивает все виды мышления (наглядно-действенное, наглядно-образное и визуальное, абстрактно-логическое), эвристические и творческие способности.

Освоенные студентами принципы и способы действий найдут применение в трех основных областях любой профессиональной деятельности: в информационной области - как основной инструмент информационной деятельности; в области принятия решений - как инструмент построения модели выбора; в области межличностного взаимодействия - как универсальный язык межличностного общения экспертов, математиков, специалистов и лиц, принимающих решения.

Выбор курса аналитической геометрии для рассмотрения работы средств визуального информационного поля связан с особенностями этого раздела математики с точки зрения содержательной реализации указанных выше видов общих моделей. Дело в том, что информационное поле, из которого извлекаются необходимые для построения содержательных моделей знания, образовано известными студентам из школьных наук общими знаниями и

прежде всего знаниями из курса школьной математики: по евклидовой геометрии, по векторному исчислению и по координатному методу. Кроме того, полученных в школе умений и навыков достаточно для овладения способами построения необходимых моделей. Однако при изучении аналитической геометрии большинство студентов испытывает затруднения, связанные, прежде всего, с необходимостью оперировать одновременно несколькими способами представления информации: геометрическим (геометрические объекты и их элементы), алгебраическим (объекты векторной алгебры) и аналитическим (координатные объекты и координатный метод). При традиционном подходе в обучении все три вида представлений, как правило, смешаны в общем описании, а при моделировании в визуальном информационном поле они выделены как особые виды моделей, каждая из которых играет свою роль.

Рассмотрим те виды моделей, которые будем использовать в аналитической геометрии. Мт - текстовая модель: она служит для хранения и передачи информации, содержит элементы геометрического языка, языка векторной алгебры и координатного языка. Мг - геометрическая модель: это образнознаковая модель, ее образная составляющая строится из образов известных геометрических объектов и их элементов, образов геометрических векторов и образов декартовой системы координат на плоскости и в пространстве. Ее знаковая составляющая строится из знаковых обозначений элементов образов и текстовых пояснений. Эта модель играет важнейшую роль, так как она наглядно показывает устройство описываемой системы, которая имеет геометрическую природу и допускает такое описание, она выделяет геометрическую составляющую информации о системе. Мв - векторная модель: это знаковая модель, ее основу составляют знаковые выражения на языке векторной алгебры, записи отношений и связей между векторными объектами, использующие специальные знаки отношений и операций между векторами и текстовые пояснения. Эта модель играет роль связующего звена между геометрическим и координатным описаниями системы, в силу двойственной природы вектора с одной стороны как геометрического объекта, с другой стороны как алгебраического объекта, допускающего кроме того координатное описание. Она выделяет алгебраическую составляющую информации о системе, переводит информацию с языка геометрии на язык алгебры и делает возможным ее дальнейший перевод на язык координат. Мк - координатная модель: это тоже знаковая модель, как и Мв, она представляет информацию о системе в координатной форме и строится при помощи координат точек и координат векторов, как в пространстве, так и на плоскости. При ее построении используются знаки для обозначения координат в буквенном и числовом выражениях, отношения между объектами в координатном виде, представленные соотношениями между координатами в виде различных форм связей: алгебраических уравнений и систем уравнений, пропорций и формул. Используются в ней и текстовые пояснения. Эта модель играет роль аналитического инструмента исследования системы,

позволяющего в сжатом виде записать информацию и производить вычисления и преобразования.

Возьмем для примера как объект незакрепленный геометрический вектор и рассмотрим его как некоторую систему с целью получения определения, выделив его основные части и вычленив связи между ними, представив систему как единое целое во взаимодействии с соответствующей информационной средой, и опишем результаты наших изысканий с помощью указанных моделей. Мт: вектор это направленный отрезок прямой, имеющий точки начала и конца, которые задают направление и определяют длину вектора, причем направление сохраняется при параллельном переносе и при равной длине и одинаковом направлении векторы считаются равными. Видно, что в этой модели определение громоздкое и его и восприятие затруднено. Мг: здесь вектор представлен стрелкой, у которой обозначены буквами концевые точки, над стрелкой обозначение буквой с верхней чертой, можно показать параллельный перенос стрелки, указав другие концевые точки и то же обозначение над стрелкой, возможны пояснения в виде указания начала и конца, параллельного переноса, длины. Получим наглядное представление об устройстве вектора как некоторой системы, которое легко воспринимается. Мв: здесь вектор это буква с верхней чертой, можно ввести обозначения длины и направления, пояснить, что направление сохраняется при параллельном переносе, обозначить концевые точки и ввести обозначение вектора по точкам. Мк: вектор представлен упорядоченной парой или тройкой чисел, либо заменяющих их букв или букв с индексами.

Рассмотрим вопрос о том, как описывать геометрические объекты (ГО) при помощи указанных моделей. На основе геометрической информации об объекте конструируется система с целью выделения из множества всех точек плоскости или пространства тех и только тех, которые образуют ГО. Мт: ГО это геометрическое место точек, удовлетворяющих характеристическому свойству, вводим понятие произвольной точки ГО как любой его точки, удовлетворяющей характеристическому свойству, описываем отношения и связи произвольной точки с выделенными геометрическими объектами, соответствующие характеристическому свойству. Мг: строим изображения ГО и необходимых геометрических элементов, выделяем произвольную точку и другие необходимые точки и записываем геометрические отношения и связи произвольной точки с другими элементами. Для перехода к Мв делаем дополнительные построения в Мг: вводим некоторую декартову систему координат и выделенным точкам сопоставляем их радиус-векторы. Мв: на смену произвольной точке пришел ее радиус-вектор, описываем его отношения с другими векторными объектами, переводя при помощи средств векторной алгебры геометрические отношения и связи произвольной точки в отношения и связи для ее радиус-вектора. Если такие связи выражаются векторным равенством, то его называют векторным уравнением ГО. Для перехода к Мк вводим координаты радиус-векторов или соответствующих им точек в указанной декартовой системе координат и координаты других

векторов из Мв. Мк: теперь на смену радиус-вектору приходят его координаты, описываем их отношения и связи с другими координатными объектами посредством перевода с языка векторов на язык координат средствами векторной алгебры. Обычно полученные связи выражаются в форме алгебраических уравнений или их систем, а также в виде пропорций и других форм соотношений. В аналитической геометрии такие представления ГО на языке координат называют уравнениями ГО. Понятие уравнения играет одну из ключевых ролей в аналитической геометрии, так как позволяет перевести геометрию на аналитический язык и производить действия с ГО как с аналитическими объектами. В частности специальные виды уравнений ГО получены в результате тождественных преобразований уравнений, построенных на основе геометрических описаний.

Любая задача аналитической геометрии формулируется в виде некоторого текстового описания ее условия, которое можем рассматривать как модель Мт для системы задачи, включающую описание известных частей, связей и характеристик системы, взаимодействий системы с другими информационными объектами, а также описание требования о нахождении неизвестной информации о системе. Такое описание может содержать элементы геометрического, векторного и координатного языков и представлять информацию общего характера, указывающую на известные объекты и отношения, а также информацию частного характера, содержащую параметры данной конкретной системы. Решение задачи строится путем моделирования в визуальном информационном поле на основе общих знаний субъекта моделирования и информации из условия задачи.

Классифицируя виды задач аналитической геометрии с точки зрения моделирования в визуальном информационном поле, выделим две основные задачи: прямую и обратную. Прямая задача требует построения уравнения ГО по описанию его геометрических свойств, ее решение строится путем последовательного конструирования цепочки моделей Мг, Мв, Мк исходя из условия Мт. При это осуществляется перекодирование информации о системе задачи с текстового языка условия последовательно на геометрический, векторный и координатный языки. Обратная задача требует восстановления геометрических свойств ГО по заданному его уравнению, она решается последовательным конструированием цепочки моделей Мк, Мв, Мг, обратной по сравнению с прямой задачей, и переходом к описанию геометрического устройства ГО с помощью Мт. Кроме основных задач могут быть промежуточные задачи, в условии которых отсутствует информация на каком-нибудь из языков. Ее решение может сводиться к усеченной цепочке моделей, не содержащей некоторую модель, или к оперированию информацией в рамках одной из моделей. Например, задача преобразования уравнения в рамках Мк или задача, в которой не заданы координаты и решение ведется в моделях Мг и Мв.

Перекодирования информации или переходы от одной модели к другой имеют свою специфику для разных пар моделей. Рассмотрим основные пере-

ходы. Переход от Мт к Мг состоит в преобразовании текста условия задачи в систему образов и знаков, описывающих систему задачи. Для этого необходимо построить графические изображения указанных в условии геометрических объектов и их элементов, дать им соответствующие текстовые пояснения и ввести знаковые обозначения элементов и характеристик системы, то есть произвести параметризацию. При этом субъект моделирования должен не только владеть геометрическими знаниями, но и обладать творческими способностями самостоятельного конструирования в рамках модели Мг, осуществлять взаимодействие между общими знаниями о геометрических объектах и частными знаниями из условия задачи. После начального этапа по переводу текста условия на язык образов и знаков наступает этап поиска дополнительных отношений и связей, которые не указаны в условии, но необходимы для решения задачи. Здесь на помощь приходит наглядность образно-знаковой модели. Исследуя уже построенные элементы образов и ассоциируя их с имеющейся во внутреннем информационном поле образами, субъект достраивает недостающие элементы и находит необходимые связи между ними на языке геометрии.

Для перехода от Мг к Мв требуется произвести дополнительные построения в Мг, связанные с переходом от геометрических элементов к подходящим векторным элементам как геометрическим векторам и переводом полученных геометрических отношений и связей на векторный язык. Для этого вводим некоторую декартову систему координат и относительно нее строим радиус-векторы для точек, в частности для произвольной точки, вводим дополнительные геометрические векторы, нужные для перевода полученных в рамках Мг геометрических отношений и связей на язык векторов. Полученное образное представление системы задачи в векторной форме и известные нам знания из векторной алгебры, которые позволяют записывать основные геометрические характеристики и связи на языке абстрактных векторов, дают возможность перейти к Мв. При этом полученные ранее в Мг геометрические отношения и связи переводим на язык абстрактных векторов как алгебраических объектов и получаем описание системы задачи в форме Мв. Этот переход еще содержит творческие элементы поиска подходящих геометрических векторов в рамках Мг, но уже во многом является техническим в связи с совершением определенных технических операций и переписыванием полученных геометрических отношений и связей в векторную их форму по правилам векторной алгебры.

Переход от Мв к Мк еще в большей степени является техническим, так как он требует ввести координаты векторов и радиус-векторов точек из Мв и переписать векторные отношения и связи на язык координат с помощью векторной алгебры. Полученные координатные соотношения в Мк можем подвергать аналитическим преобразованиям для получения требуемых форм представления, например для получения специальных видов уравнений геометрических объектов.

Векторная алгебра играет очень важную роль в курсе аналитической геометрии, поэтому мы рассматриваем ее как вводную часть к этому курсу. При этом изложение векторной алгебры ведется на языках тех же самых моделей Мт, Мг, Мв и Мк. Векторные операции рассматриваются по следующей схеме. Определение операции строится в рамках Мг, свойства операции выражаются на языке Мв, представление операции в декартовых координатах дается в Мк. Применение операции в аналитической геометрии осуществляется как переход по схеме Мт, Мг, Мв, Мк и получение соответствующих формул.

Все задачи аналитической геометрии можно разбить на два класса стандартных и нестандартных задач. Стандартными задачами считаем те, которые полностью разобраны в ходе изложения теоретической части курса и демонстрируют образцы эталонных действий с моделями разных видов при решении прямых и обратных задач, а также дополнительных задач. Все остальные задачи считаем нестандартными. Количество стандартных задач невелико и они охватывают основные типы задач классического курса аналитической геометрии. Например, для прямой на плоскости это прямые задачи нахождения уравнений по двум точкам, по точке и направляющему вектору, по точке и вектору нормали, дополнительные задачи построения специальных уравнений: общего, нормального, параметрического, в отрезках, с угловым коэффициентом, обратная задача восстановления геометрии прямой по ее общему уравнению. В практической части курса решение студентом теоретической задачи сводится к ее идентификации среди набора стандартных, параметризации исходных числовых данных в соответствии с эталонным решением и подстановке в готовый результат эталона числовых данных условия в соответствии с параметризацией. Такие задачи большинство студентов решает успешно при условиях знания стандартных задач и умения осуществлять параметризацию. Решение нестандартных задач гораздо труднее дается студентам в силу того, что оно требует дополнительно способности находить недостающие элементы и связи в системе задачи в процессе взаимодействия между информацией из условия и общими знаниями. Возможны два пути решения нестандартной задачи. Первый сводится к непосредственному моделированию по аналогии со стандартными задачами. Второй осуществляется посредством сведения нестандартной задачи к последовательности стандартных или к одной из них и использованию результатов решения стандартных задач. Для этого при решении прямой задачи из условия Мт переходим к Мг и в ней осуществляем поиск дополнительных элементов и связей, приводящих к стандартным задачам, после чего решаем ее как стандартную. При решении обратной задачи исходное уравнение сводим преобразованиями в Мк к уравнению из стандартной обратной задачи и решаем далее задачу как стандартную.

Таким образом, решение задачи реализуется как процесс построения в визуальном информационном поле соответствующих цепочек, составленных из некоторых моделей, описывающих систему задачи на разных

языках. Эти модели являются содержательными реализациями четырех общих моделей Мт, Мг, Мв и Мк. Их конструирование реализует системный подход, так как в свою очередь каждая такая модель является содержательной реализацией общей модели «белый ящик», описывающей систему в целом. Эта модель строится путем объединения следующих общих моделей системы: модели состава, описывающей элементы и части системы; модели структуры, описывающей совокупность отношений и связей между частями; модели «черный ящик», описывающей взаимодействие системы с окружающей средой. В процессе моделирования вырабатываются модели деятельности по решению задач или общие алгоритмы действий по шагам. Они формируют основу самостоятельного решения студентами теоретических и практических задач в курсе аналитической геометрии.

Опыт сопровождения студентов в процессе обучения математике средствами визуального информационного поля в курсе аналитической геометрии показывает, что в результате возрастает эффективность труда как студентов, так и преподавателей, повышается качество усвоения материала студентами, растет уровень их компетентности в области аналитической геометрии. Таким образом, можно рассматривать указанный метод как один из методов активного обучения математике студентов нематематических специальностей.

Библиографический список

1. Далингер, В. А. Теоретические основы когнитивно-визуального подхода к обучению математике [Текст]: монография / В. А. Далингер. - Омск: Издательство ОмГПУ, 2006. - 144 с.

2. Перегудов, Ф. И. Введение в системный анализ [Текст] / Ф. И. Перегудов, Ф. П. Тарасенко. - М.: Высшая школа, 1989. - 340 с.

3. Штофф, В. А. Моделирование и философия [Текст] / В. А. Штофф. - М.: Наука, 1966. - 250 с.