Об уточнении граничных условий для нематического жидкого кристалла в одноконстантном приближении

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чубариков В.Н., Шарапова М.Л. Об аналоге квадратуры Гаусса для периодических функций // Вестн. кибернетики. 2017. 28, № 2. 60-65.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987.

4. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: МНИМО. 2004.

5. Hua L.-K. Selected Papers. N.Y.: Springer-Verlag, 1983.

6. Wang Y. Selected Papers. Bejing, 1999.

7. Воронин С.M. Избранные труды. M.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006.

8. Архипов Г.И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орлов, гос. ун-та, 2013.

9. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N., Karatsuba A.A. Trigonometrie sums in number theory and analysis. De Gruyter expositions in mathematics. Vol. 39. Berlin; N.Y., 2004.

10. Чубариков В.H. Показатель сходимости среднего значения полных рациональных арифметических сумм // Чебышёвский сборник. 2015. 16, № 4(56). 303-318.

11. Чубариков В.Н. Арифметические суммы от значений полинома // Докл. РАН. 2016. 466, № 2. 152-153.

12. Чубариков В.Н. Полные рациональные арифметические суммы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 1. 60-61.

13. Виноградов Н.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1980.

14. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: Гостехиздат, 1950.

Поступила в редакцию 13.03.2017

УДК 532.6

ОБ УТОЧНЕНИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА В ОДНОКОНСТАНТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

А. Г. Калугин1

Рассматриваются краевые условия в модели слабого сцепления вектора ориентации с ограничивающей средой для нематического жидкого кристалла в случае общего положения и для одноконстантного приближения энергии Франка упругих искажений поля директора. Показано, что применение одноконстантного приближения является корректным только в одномерном случае, а для двух- и трехмерных задач оно существенным образом упрощает граничные условия и меняет тип краевой задачи.

Ключевые слова: нематические жидкие кристаллы, граничные условия, одноконстант-ное приближение.

The boundary conditions are studied for a nematic liquid crystal in the case of weak anchoring. The cases of the general expression and one-constant approximation are considered for the Frank energy. It is shown that the one-constant approximation is correct for one-dimensional problems only and, for two- and three-dimensional problems, this model significantly simplifies the boundary conditions and changes their type.

Key words: nematic liquid crystals, boundary conditions, one-constant approximation.

1. Нематический жидкий кристалл (НЖК) — среда, молекулы или структурные единицы которой, как правило, имеют сильновытянутую форму и в жидкокристаллическом состоянии их длинные оси в частице сплошной среды располагаются в среднем в одном направлении. Это направление описывается единичным вектором |п| = 1 [1]. С учетом свойств симметрии нематика [2] и гипотезы об эквивалентности направлений п и —n [1, 2] в разложении внутренней энергии Франка упругих

1 Калугин Алексей Георгиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kalugïnQmech. math, msu.su.

искажений поля директора Fy = C^^ViiijVкЩ имеется 10 независимых коэффициентов Сг^к1 [3]. Тождества пг\/¿щ = 0 и n%J\/i пк = — [n, rot п]к, выполняющиеся для единичного вектора, позволяют привести выражение для энергии Франка к виду, в котором присутствуют только четыре независимых коэффициента при производных:

2 Fv = Ki

Во многих случаях для нематиков рассматривается одноконстантное приближение, когда полагаются равными объемные коэффициенты в энергии Франка К\ = К2 = = К, обычно близкие по величине для типичных представителей НЖК [2]; слагаемое с К2^ при этом не учитывается:

2Fy = KVi rijV1 nj + K244i{nkVk ri - ri div n).

В ранних работах по жидким кристаллам в качестве краевых условий для директора обычно использовалось условие жесткого сцепления, когда ориентация на границе считалась заданной. Это также позволяло отбросить дивергентное слагаемое, не дающее вклад в уравнения внутри объема. В работе [4] предложена модель слабого сцепления, в которой направление вектора ориентации на границе находилось из условия минимума поверхностной энергии. В этом случае граничные условия,

полученные, например, на основе применения вариационного принципа, можно записать в виде [5]

+

где уравнение (3) спроектировано на нормаль к п для исключения неопределенного множителя Лагранжа, возникающего из-за постоянства длины директора.

2. Выпишем граничные условия общего вида для трех наиболее часто встречающихся случаев, когда директор направлен вдоль границы (планарная ориентация) или перпендикулярно границе (гомеотропная), а свободная энергия Fy задана выражением (1). Пусть НЖК занимает область г ^ 0 в декартовых координатах (x,y,z), а компоненты директора зависят от переменных х и z, тогда краевые условия для указанных случаев принимают вид

1) n = (1, 0, 0), Кг(п1 + nsz) - K2Anlx = fs , K2nl = 0;

2) п = (0,1,0), К2{п\ -п3х) + К24п3х = 0, Ki(nl +nlx) - К2Ап1х = /<?;

3)п = (0,0,1), Къп\ + K2Anl = fs , K3n2z = 0.

Здесь fs — поверхностная сила, которая определяется из поверхностной энергии и в качестве которой можно взять, например, выражение 2Fs = 27 + W{ 1 — (n, m)2) [4], где m — единичный вектор, составляющий заданный угол с нормалью к границе. При этом он может вращаться по конусу вокруг нормали. В качестве примера использования таких условий можно указать работы [6-10].

Аналогичные граничные условия для одноконстантного приближения (2) принимают следующий вид:

1) Кп\ = fs, n2z = 0; 2) Кп\ = 0, Кп\ = /<?; 3) Кп\ = fs, Kn2z = 0.

Из этих соотношений видно, что применение одноконстантного приближения допустимо для одномерных задач, когда все зависит только от одной переменной z. Для двумерных и трехмерных задач это приближение является некорректным, поскольку может менять тип граничных условий в случае пренебрежения слагаемым с коэффициентом К2^. При учете дивергентного слагаемого для одноконстантного приближения (см., например, [11-13]) вид граничных условий не меняется по сравнению с общим случаем, однако оценка величины К2^, полученная из этих условий, будет отличаться от неодноконстантного приближения. При этом можно привести примеры работ, где в двумерной задаче при одноконстантном приближении в граничные условия входят касательные производные [14], и работ, где эти производные отсутствуют [15-17].

Таким образом, корректное применение одноконстантного приближения для неодномерных задач возможно только в случае жесткого сцепления директора с границей. В случае слабого сцепления такая модель меняет тип граничных условий, поскольку не учитываются касательные к границе производные директора. Это упрощение, например, не допускает класс периодических решений, рассмотренных в работах [6-12] и ряде других. При этом в некоторых случаях удается применять одноконстантное приближение, выделяя дивергентное слагаемое в энергии Франка с собственным коэффициентом, что сохраняет тип граничных условий, однако такой подход дает возможность получать только качественные решения и не позволяет делать правильные оценки физических величин.

Работа поддержана РФФИ, грант № 15-01-00361.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Leslie F.M. Theory of flow phenomena in liquid crystals // Advances in liquid crystals. Vol. 4 / Ed. by G.H. Brown. N.Y.: Academic Press, 1979. 1-82.

2. Сонин A.C. Введение в физику жидких кристаллов. М.: Наука, 1983.

3. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // Прикл. матем. и механ. 1963. 27, № 3. 393-417.

4. Papini A., Papoular М. Distorsión d'une lamelle nematique sous champ magnertique conditions d'ancrage aux parois //J. Phys. (Paris) Colloq. 1969. 30 (C4). 54-58.

5. Калугин А.Г., Голубятников A.H. О равновесной форме капли нематического жидкого кристалла // Тр. Матем. ин-та РАН. 1998. 223. 171-177.

6. Kini U.D. Magnetic and electric field induced periodic deformations in planar oriented nematics // Liquid Crystals. 1998. 24. 177-199.

7. Pergamenshehik V.M. Spontaneous deformations of the uniform director ground state induced by the surfacelike elastic terms in a thin planar nematic layer // Phys. Rev. E. 2000. 61. 3936-3941.

8. Rey A.D. Young-Laplace equation for liquid crystal interfaces //J. Chem. Phys. 2000. 113. 10820-10823.

9. Alexe-Ioneseu A.L., Barbero G., Lelidis I. Periodic deformations in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2002. 66. 061705-1-10.

10. Barbero G., Evangelista L.R., Lelidis I. Spontaneous periodic distortions in nematic liquid crystals: Dependence on the tilt angle // Phys. Rev. E. 2003. 67. 051708-1-4.

11. Голубятников A.H., Калугин А.Г. О коротких поверхностных волнах в анизотропных жидкостях // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 1. 42-43.

12. Kralj S., Rosso R., Virga E.G. Periodic saddle-splay Freedericksz transition in nematic liquid crystals // Eur. Phys. J. E. 2005. 17. 37-44.

13. Калугин А.Г. О равновесии слоя нематического жидкого кристалла с неоднородной границей // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2015. № 2. 3-7.

14. Sparavigna A., Lavrentovieh O.D., Strigazzi A. Magnetic field effect on periodic stripe domains in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 1995. 51, N 1. 792-796.

15. Pikin S., Rysehenkow G., Urbaeh W. On new type of electrohydrodynamics instability in tilted nematic layers // J. Phys. France. 1976. 37. 241-244.

16. Ignes-Mullol J., Baudry J., Lejeek L., Oswald P. Formation of disclination lines near a free nematic interface // Phys. Rev. E. 1999. 59. 568-577.

17. Manyúhina O. V. Shaping thin nematic films with competing boundary conditions // Eur. Phys. J. E. 2014. 37 (6). 1-5.

Поступила в редакцию 23.11.2016

УДК 539.3

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ОБЪЕКТИВНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГОРДОНА-ШОУОЛТЕРА ДЛЯ ОПИСАНИЯ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ

Е. Д. Мартынова1, Н. С. Стеценко2

В работе рассмотрено определяющее соотношение для вязкоупругих материалов при конечных деформациях, построенное с использованием однопараметрического семейства объективных производных Гордона-Шоуолтера и обобщающее элементарную модель Максвелла. Показано, что данное определяющее соотношение при любых параметрах модели

1 Мартынова Елена Дмитриевна — канд. фнз.-мат. наук, доцент каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: elemartaQmail.ru.

2 Стеценко Нина Сергеевна — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: stetsenkoninaQmail.ru.