Интуиционизм и формализм: различие и единство (сравнительный анализ)

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2012. № 5

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

В.Х. Хаханян*

ИНТУИЦИОНИЗМ И ФОРМАЛИЗМ:

РАЗЛИЧИЕ И ЕДИНСТВО (сравнительный анализ)**

В статье дается сравнительный анализ взглядов Брауэра и Гильберта, представителей главных философско-математических направлений ХХ в., предложивших программы выхода из кризиса в математике. Эти программы были признаны впоследствии наиболее удачными и оказали существенное влияние на развитие оснований математики.

Ключевые слова: интуиционизм, математика, множество, объект, рассуждение, существование, финитность.

V.Kh. Khakhanyan. Intuitionism and formalism: difference and unity

In this paper we give the comparative analysis of basic points of view of Brouwer and Gilbert, mathematicians, representatives of main philosophical and mathematical trends of ХХ century who suggested their own programs of the way out of the crisis in foundations of mathematics. These programs were recognized later as the most successful and they influenced very much the development of foundations of mathematics.

Key words: intuitionism, mathematics, set, object, reasoning, existence, finiteness.

Основные причины возникновения противоречий

в теории множеств Кантора

Известно, что предпринятое Г. Кантором развитие теории множеств (учения о множествах) привело к возникновению противоречий в математике. Оригинальную концепцию Кантора можно найти в его «трудах по теории множеств [Г. Кантор, 1985, с. 173]. Сделав попытку определить (описать в конкретных терминах) понятие множества, в дальнейшем Кантор пришел к ряду противоречий (на одно из них было указано Б. Расселом в его письме к Г. Фреге в 1902 г.).

С возможностью определения понятия множества тесно связан и вопрос о существовании множества. О множестве можно ска-

* Хаханян Валерий Христофорович — доктор философских наук, профессор, профессор МГУ ПС (МИИТ), тел.: 8 (495) 426-59-32; e-mail: valkhakhanian@gmail.com

** Автор выражает благодарность профессору В.Г. Кузнецову за ряд критических замечаний, оказавших влияние на содержание и окончательный вид статьи.

зать, что оно существует, если приведена описательная процедура, дающая возможность по каждому другому множеству (не исключая и определяемого, sic!) установить, является ли это другое множество элементом первого или нет. Именно так строилась концепция понимания множества у Кантора, что и привело к возникновению противоречий. Хотя Кантор и пытается выстроить иерархию математических понятий, подобную родовидовой иерархии, и рассмотреть все построенные так объекты как некие субстантивированные универсалии, предлагаемая им процедура выделения общих свойств имеет мало общего с абстрагированием. Как мощность, так и порядковый тип бесконечного множества нельзя определить как его собственное свойство. Оно не обладает этим свойством как субстанция своим атрибутом. Мощность бесконечного множества определяется как свойство отношения множеств. Сущности можно приписывать признак, рассматривая ее саму по себе, независимо от других сущностей. Мощность множества (как и его порядковый тип) устанавливается только для класса множеств. Поэтому подвести его представление о существовании под аристотелевское учение о сущности невозможно без серьезных натяжек, хотя сам Кантор, по-видимому, хотел именно этого.

В таких построениях налицо абстракция актуальной бесконечности, которой и пользуется Кантор. Предлагаемый им способ понимания существования множества связан с законом исключенного третьего. На этом законе основаны все доказательства от противного. Приведем пример. Одна из центральных теорем анализа утверждает, что если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. Доказательство этого факта делается в предположении, что данная последовательность не фундаментальна. Из этого предположения выводится, что последовательность и не ограничена, что противоречит условиям теоремы. На основании закона исключенного третьего получается фундаментальность рассматриваемой последовательности и наличие предела. Никаких указаний на число, могущее быть пределом последовательности, равно как и на способ его вычисления, нет ни в формулировке, ни в доказательстве теоремы. Брауэр (см. ниже) считал, что философским основанием для такого типа рассуждений является реализм (или платонизм), неправомерно перенесенный на математические объекты. Утверждая, что последовательность либо фундаментальна, либо нет, мы верим в некоторое положение дел, существующее независимо от нас в каком-то идеальном мире. Наше суждение может быть истинным или ложным, сама же реальность никак не связана с нашими действиями.

Можно ли считать правомерным использование закона исключенного третьего или возможна точка зрения, при которой матема-

тические объекты и их отношения не есть независимая от субъекта реальность, а есть продукт собственной деятельности субъекта?

Трудно отрицать, что онтологический статус предмета, определенный подобным образом, остается довольно сомнительным. Предмет, присутствие которого непосредственно не удостоверено, существует не в подлинном смысле, а существует виртуально. Установив существование с помощью закона исключенного третьего, часто имитируют указание на этот предмет, вводя для него имя, участвующее далее во всех рассуждениях.

Другой способ понимания существования предметов в математике связан скорее с предположением о возможности существования. Введение целых классов предметов происходит с помощью мыслительного хода (например, введение отрицательных или иррациональных, или комплексных чисел при решении алгебраических уравнений). В рассуждение вводится мысленный объект, который не указывается. Про него лишь говорится, что он может участвовать в различных манипуляциях с числами наравне с числами «настоящими». Для него придумывается специальный знак, который подставляется в формулы. Результатом применения к нему этих формул является определенное, вычисляемое число. Объект же отождествляется с тем знаком, который подставляется вместо него в формулу.

Что позволяет считать такие объекты существующими? Здесь хороша интерпретация существования, предложенная Пуанкаре: критерием существования является свобода от противоречия. Все формулы, в которые подставляются введенные для таких предметов знаки, не должны противоречить друг другу. Этот критерий становится ясным при обращении к аксиоматическому построению математики. Пуанкаре говорил, что если система постулатов непротиворечива (а это нужно доказать!), то можно рассматривать ее как определение тех понятий, которые фигурируют в этой системе. Другими словами: предмет существует, если он является термом в непротиворечивой теории. Такой подход к проблеме существования ставит проблему непротиворечивости и будет рассмотрен ниже (см. формализм Д. Гильберта ниже).

Каждая интерпретация определения и существования множества имеет свою солидную философско-математическую базу. Это, в первую очередь, интуиционизм и формализм. Построение такой базы требует обнаружения ряда не формулируемых явно предпосылок. Выбор таких философских предпосылок не раз предпринимался ведущими математиками. Рассмотрим взгляды Л. Брауэра и Д. Гильберта как основоположников интуиционизма (неоинтуиционизма) и формализма соответственно. Обе программы были созданы для преодоления возникших в учении о множествах Г. Кантора проти-

воречий и оказали огромное влияние на развитие математики ХХ в., являясь наиболее глобальными в вопросе обоснования непротиворечивости математики.

1. Интуиционизм (неоинтуиционизм) Брауэра

Изложим философские взгляды Л.Я.Э. Брауэра на математику. «К интуиционистам мы относим тех математиков, которые принимают следующие два принципа:

1. Математика обладает не только чисто формальным, но и содержательным значением.

2. Математические предметы непосредственно постигаются мыслящим духом, следовательно, математическое познание не зависит от опыта» [цит. по: А. Гейтинг, 1936, с. 9, 94].

Понимание существования предмета в интуиционистской математике основано на возможности непосредственно указать предмет с помощью определенной процедуры: предмет существует, если он может быть сконструирован. Но это поверхностное понимание существования, и оно нуждается в углублении.

Конструктивность математических объектов не появляется в математике интуиционистской школы как нечто само собой разумеющееся. Для Брауэра это следствие анализа когнитивной деятельности человека. Структура математического рассуждения отражает именно эту деятельность и является, по Брауэру, наиболее чистым ее выражением.

Интуиционистская математика обычно рассматривается в контексте кризиса оснований математики. В требовании конструктивности математических объектов видят попытку устранить из математики самую возможность противоречия. Но Брауэр идет дальше. В целом ряде его работ обнаруживается не столько математический, сколько философский интерес. Он озабочен не обоснованием корректности математических процедур, а исследованием когнитивной деятельности мысли как таковой. При этом налицо намерение обосновать принцип существования в математике на исходных структурах мысли. Он делает трансцендентальный анализ для обоснования основных математических понятий как производных от форм интеллектуальной деятельности.

Брауэр представляет когнитивную активность человека в виде последовательности ясно отличимых друг от друга восприятий: человек наблюдает в мире последовательности событий, причинные цепи, разворачиваемые во времени. Основным феноменом этого наблюдения является сама интуиция времени, в котором происходит повторение восприятий или действий, и эта интуиция обнаружи-

вается как последовательность моментов, разбивающих жизнь на последовательность вещей, качественно отличимых друг от друга.

Структуру мысли определяет не только восприятие. Брауэр выделяет так называемый «элементарный акт мысли», который он описывает как «разделение моментов жизни на качественно различные части, которые, будучи разделены лишь временем, могут быть снова объединены». Элементарный акт мысли состоит в различении моментов. Элементарный акт мысли производит выделение отличных друг от друга индивидов, и отличие их определяется разделяющими их промежутками времени. Брауэр говорит о качественно различимых частях или различимых вещах. В любом случае речь идет о дискретной последовательности событий, характеризующих когнитивную деятельность.

Производится организация времени, в котором, как в аморфной среде, выделяются фиксированные дискретные моменты. Это значит, что деятельность мысли определена двумя основными ин-туициями: дискретной последовательностью и непрерывной средой (линейным континуумом).

Математическое развитие этих идей содержится в теории континуума Брауэра как среды становления для свободно становящихся последовательностей. Дискретные последовательности точек, выбираемых из среды сообразно некоторому закону или согласно свободному выбору, разбивают континуум на все более мелкие части, устанавливая определенную структуру отношений между этими частями. Естественный пример — деление отрезка при нанесении на него последовательности точек. Само построение отрезка, отличимого от других отрезков, его выделение в качестве отдельного восприятия можно считать элементарным актом мысли. Но серия других элементарных актов, состоящих в делении построенного отрезка, позволяет различать в его пределах и другие части этого отрезка. Сами восприятия, будучи ограничены границами (концами отрезка), могут быть безгранично делимы. Мы полагаем, что именно это имел в виду Брауэр, когда писал: «Возможность мысленного объединения нескольких единиц, связанных некоторым промежутком, никогда не исчерпывается вставлением новых единиц» [цит. по: А. Гейтинг, 1936, с. 9, 94]. В результате процедуры деления отрезка структурируется ранее нерасчлененное единство и создается определенная дискретная последовательность в пределах непрерывной среды. Сама среда все больше определяется установлением соотношения ее частей.

Две основных интуиции мысли находятся в состоянии постоянного взаимного определения и дополнения. Дискретная последовательность моментов структурирует аморфную среду, нечто

постоянно не доопределенное, остающееся между названными моментами. Приведенный пример является парадигмальным для описания любой когнитивной деятельности. Эта деятельность состоит в различении моментов восприятий в непрерывной временной среде и расчленении и уточнении самих восприятий.

Математика представляет собой наиболее чистое и наиболее развернутое выражение такой деятельности. Френкель и Бар-Хиллел [А. Френкель, И. Бар-Хиллел, 1966, с. 251, 320—322] приводят следующее высказывание Брауэра: «Изначальная интуиция математики и всякой интеллектуальной деятельности представляет собой основу всех наблюдений за любыми изменениями, так как при этих изменениях игнорируются все качественные свойства». Отвлечение чувственного содержания дискретной последовательности различающихся актов мысли и создает представление последовательности целых чисел. При этом континуум, который Брауэр также называет основной интуицией, оказывается в подчиненном положении. Он должен быть определен в ходе развертывания дискретной числовой последовательности.

Числовая последовательность есть один из основных математических объектов. Конструирование, которое является единственным онтологически значимым для математики процессом, следует рассматривать именно как конструирование числовых последовательностей. Такое конструирование не самоцель, а способ определения непрерывного протяженного предмета. Последний не есть реальность, данная до всякого построения. Он среда, а не вещь. Существует то, что происходит в этой среде, точнее, что создается субъектом, действующим в пределах, заданных этой средой. Создается же им дискретная числовая последовательность. Главное отношение для любой последовательности — отношение «до-после». Это отражает ведущую роль интуиции времени в математике Брауэра. Структура различия, вносимая субъектом в среду, является временной структурой. Основным различением является различение во времени. Определенность предмета возникает еще при одном условии, которое и делает окончательно ясной роль конструктивности. Необходимо принять во внимание характеристику когнитивной деятельности, на которую указывает Брауэр: «Человеческое поведение включает попытку удерживать достаточно длинную цепь вещей с тем, чтобы иметь возможность перейти мысленно от последней (вещи) к более ранней. Результатом такого действия является обнаружение правила, формирующего последовательность» [А. Френкель, И. Бар-Хиллел, 1966, с. 251, 320—322].

Брауэром была реализована трансцендентальная установка, причем в том виде, в каком она была у Канта [см.: И.Кант, 1994, с. 50—58, 60, 423—430, 433—434]. К онтологической проблематике он под-

ходит со стороны анализа рассуждения и выясняет, как должен быть устроен предмет, чтобы фигурировать в рассуждении в качестве существующего. Более того, Брауэр выясняет, что предмет должен быть для этого создан в результате конструктивной деятельности, разворачиваемой во времени. Такая конструктивная деятельность сводится к созданию единой структуры. Единая структура, с другой стороны, развертывается согласно закону, устанавливаемому для ряда вещей или восприятий.

2. Гильберт и программа обоснования математики.

Философское значение результатов Гёделя

Понимание существования математического предмета в рамках формального направления в математике представляется, на первый взгляд, совершенно противоположным интуиционистскому направлению. В книге Френкеля и Бар-Хиллела [А. Френкел, И. Бар-Хиллел, 1966] утверждается, что Гильберт солидаризуется в этом вопросе с Пуанкаре, отождествляя существование со свободой от противоречия. Следующее высказывание Гильберта уточняет и подтверждает эту точку зрения. «В доказательстве непротиворечивости установленных аксиом я усматриваю вместе с тем и доказательство существования совокупности действительных чисел или, употребляя выражение Кантора, доказательство того, что система действительных чисел является "консистентным" (готовым) множеством...» [там же]. И далее: «Под множеством действительных чисел мы должны, согласно этой точке зрения, понимать не совокупность всевозможных законов, которым будут следовать элементы фундаментальных последовательностей, а скорее... систему вещей, взаимоотношения которых задаются с помощью ранее указанной конечной и замкнутой системы аксиом» [там же].

Здесь видна серьезность расхождения Гильберта с Брауэром. Гильберт недвусмысленно говорит о множестве действительных чисел как о существующем объекте. Такое допущение абсолютно невозможно для Брауэра, поскольку множество действительных чисел начисто исключается всякой интуицией и не может быть сконструировано. У Гильберта принципиально иная философская установка, выражающаяся в попытке иначе, чем основываясь на понятии конструктивности, определить онтологический статус математического объекта.

Программа обоснования математики Гильберта состояла в сведении всей математики к арифметике Пеано (РА) и, формализуя последнюю и используя полученную формализацию, в доказательстве непротиворечивости РА финитным образом. Однако полное выполнение этой программы оказалось невозможным в силу двух

широко известных (теперь и не только в математическом мире) теорем Гёделя, философское значение которых, особенно теоремы о неполноте PA, трудно переоценить. Отметим, что до сих пор еще не найдено ни одной содержательно значимой (т.е. формализующей достаточно содержательную математическую теорию) формальной теории, в которой можно было бы доказать ее собственную непротиворечивость. Не описывая историю более чем 80-летних споров вокруг результатов Гёделя, отметим, что современные варианты доказательств этих теорем были в значительной степени модернизированы и развиты, хотя еще и остаются трудно понимаемыми для значительной части студентов-математиков.

Итак, подходы Брауэра и Гильберта к построению «надежной» математики сильно отличаются друг от друга. Тем не менее не нужно глубокого проникновения в суть формальной математики Гильберта, чтобы увидеть ряд черт, сближающих ее с интуиционизмом Брауэра. Прежде всего, обращает на себя внимание слово «финитность», использованное самим Гильбертом в качестве основной характеристики своего метода рассуждения. Сам этот термин, указывающий на завершенность осуществляемых процедур (по сути, на конструктивность), мог бы быть применен и к интуиционистской математике. Если же говорить о попытках определения этого понятия, предпринимавшихся именно в рамках школы Гильберта, то они вызывают полное ощущение того, что речь идет об основных посылках интуиционизма. Френкель и Бар-Хиллел приводят, например, в качестве окончательной формулы финитного метода рассуждения следующую цитату из Ж. Эрбрана (известного математика, ученика Гильберта): «Всегда рассматривается лишь конечное и определенное число предметов и функций, функции эти точно определены, причем определение позволяет произвести однозначное вычисление их значений; никогда не утверждается существование какого-либо объекта без указания способа построения этого объекта; никогда не рассматривается (как вполне определенное) множество всех предметов какой-либо бесконечной совокупности» [цит. по: А.Френкель, И. Бар-Хиллел, 1966, с. 251, 320—322]. Любой представитель интуиционистского или конструктивного направления опознал бы в приведенном отрывке описание своего собственного метода рассуждения. Но речь идет об основных принципах формального метода. Заметим, что приведенное определение явно противоречит цитированному выше рассуждению Гильберта о существовании множества всех действительных чисел. Последнее никак не является объектом, для которого можно указать способ построения, однако Гильберт считает его существующим. Объясняется ли такое противоречие лишь тем, что приведенное здесь описание принадлежит не Гильберту, а математику, 64

который мог в чем-то расходиться со своим учителем? Или слова Эрбрана о существовании нужно понимать несколько иначе, чем те же самые слова, написанные интуиционистом?

Важным уточнением по отношению к определению Эрбрана является указание на наглядность финитного объекта. Лучшим примером, иллюстрирующим эту наглядность, является рассуждение, проводимое в формальной алгебре. Имея запас букв (переменных) и специальных знаков, мы конструируем объекты (полиномы), руководствуясь заранее заданными правилами. Начиная с простейших объектов, состоящих из одной буквы, мы можем построить множество разнообразных и весьма сложных объектов. В рамках, обусловленных правилами процедур, могут доказываться различные утверждения и устанавливаться свойства конструируемых объектов. Но каким бы ни было проводимое рассуждение, его справедливость может быть проверена наглядно, поскольку оно всегда непосредственно представлено. Узнать что-либо о предмете означает построить его, любой предмет алгебры возникает под руками исследователя, и процедура его возникновения полностью доступна наблюдению. Финитное рассуждение выше характеризуется как прямое содержательное рассуждение, совершающееся в виде мысленных экспериментов над наглядно представимыми объектами.

Если бы, занимаясь математикой, мы могли постоянно оставаться в рамках финитных рассуждений, то естественно было бы понимать существование математического объекта в смысле его конструктивности (такой философской точки зрения и придерживаются конструктивисты школы А.А. Маркова-младшего, однако здесь мы это направление не будем рассматривать [см.: А.А. Марков, 1962, т. LXVII, с. 8—14]). Но предметы математики часто не являются финитными объектами. Можно привести целый ряд примеров того, как в математике возникают предметы, которые невозможно сконструировать и которые не могут быть представлены наглядно. Уже арифметика требует использования не финитных рассуждений, прибегая, например, к 1егИиш поп ёаШг для обоснования высказываний о целых числах. Число, о свойствах которого мы судим на основании закона исключенного третьего, не представлено наглядно и может не быть доступно конструированию с помощью конечной процедуры.

Математический анализ, в его классическом изложении, практически полностью основан на рассуждениях о нефинитных предметах. Нефинитным является действительное число, определяемое через бесконечную совокупность целых чисел. Но анализ не ограничивается рассмотрением бесконечной совокупности целых чисел и обращается к предметам еще более нефинитным, рассматривая

бесконечные совокупности действительных чисел в качестве актуально данных совокупностей. Используемые при этом рассуждения никак не могут апеллировать к наглядности. Естественно, что обращение к конструктивности как критерию существования оказывается бессмысленным для математического анализа. Говоря точнее, этот критерий заставляет считать названные (нефинитные) предметы своего рода химерами, странными измышлениями математиков, которые попросту не существуют.

Такой жесткий вывод и был, собственно, сделан интуиционистской школой, реализация программы которой урезала значительную часть математического анализа и всей математики. Намерение Гильберта было прямо противоположным: обосновать корректность частей математики, для которых существенно оперирование с принципиально нефинитными объектами, и это обусловило его обращение к той интерпретации существования, которая и была в свое время предложена Пуанкаре. Разработанный Гильбертом аксиоматический подход позволял достаточно ясно сформулировать, что означает свобода от противоречия в качестве критерия существования. Доказательство существования превращалось в доказательство непротиворечивости системы аксиом. То, как Гильберт предполагал доказывать непротиворечивость, придает понятию финитности совершенно новый смысл.

Стратегия Гильберта сводилась к тому, чтобы, формализовав основные методы рассуждения в математике, установить их непротиворечивость путем анализа самого рассуждения. Объектом изучения стали не математические предметы, а рассуждения об этих предметах. Но рассуждение в математике, как и всякое человеческое рассуждение вообще, даже будучи обращенным к бесконечному предмету, само остается конечным. Поэтому наука, изучающая рассуждения и названная Гильбертом метаматематикой, по определению имеет дело только с финитными объектами.

Сама математика может сколько угодно оперировать с бесконечностью. Но ее оперирование будет всегда выражено в виде конечного текста, записанного по определенным правилам. Можно сказать, что выражение бесконечного через конечное и есть основная задача обоснования математического знания. Требование наглядности оказывается особенно важным. Можно быть уверенным в производимых математических рассуждениях, если доказана их непротиворечивость. Доказательство же непротиворечивости, производимое на метауровне, может и должно быть наглядным, непосредственно очевидным. Объект, конструируемый в ходе метарассуждения, возникает у нас на глазах, и его свойства (в частности, свойство непротиворечивости) оказываются наглядно представимыми и непосредственно проверяемыми. Здесь особую роль играет знаковая

природа математического рассуждения. В нем любой (в том числе и бесконечный) предмет представлен знаком, конечным и доступным непосредственному восприятию. Это обстоятельство специально подчеркивалось Гильбертом в его докладе, прочитанном 3 сентября 1928 г. на интернациональном математическом конгрессе в Болонье: «Кое-что уже дано в нашем представлении для применения логических выводов и для выполнения логических операций: объекты, которые имеются в созерцании до всякого мышления в качестве конкретных переживаний. Для того чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть обозримы полностью, во всех частях; их показания, их отличия, их следование, расположение одного из них наряду с другим дается непосредственно, наглядно, одновременно с другими объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведении.» [цит. по: А. Гейтинг, 1936, с. 9, 94]. И затем: «В математике предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки сами по себе, облик которых, согласно нашей установке, непосредственно ясен и может быть впоследствии узнан» [там же].

3. От Кантора через Брауэра и Гильберта к... Канту

Таким образом, по отношению к метаобъекту Гильберт предъявляет требования, пожалуй, более жесткие, чем Брауэр по отношению ко всем объектам математики. Брауэр не настаивает на наглядности. Гильберт и Бернайс характеризуют установки интуиционизма как расширение финитной установки. При этом важно, что, в конечном счете, гильбертовская математика также основывается на определенных базовых интуициях. Френкель и Бар-Хиллел указывают, что такими интуициями для Гильберта являются первичные представления о тождестве и различии, а именно о самотождественности знака, который должен быть опознан как один и тот же при разных вхождениях в формулы и при этом отличен от всякого другого знака. Действительно, всякое конструирование объекта, коль скоро оно сводится к комбинированию некоторых элементарных конфигураций, подразумевает прежде всего способность видеть различия между разными конфигурациями и уверенно узнавать одну и ту же в различных обстоятельствах. Сделаем теперь два замечания.

Во-первых, названные элементарные конфигурации, строго говоря, не являются уже знаками. Точнее, они могут быть названы знаками в силу их происхождения, поскольку именно в качестве знака выступали для математического рассуждения. В нем они действительно обозначают нечто иное: математический объект,

о котором ведется рассуждение. Но как только само математическое рассуждение превращается в объект, т.е. становится предметом метаматематического рассуждения, эти знаки уже ничего не обозначают. Они выступают лишь как первичные структурные элементы, из которых складывается, как из деталей конструктора, исследуемое математическое рассуждение.

Во-вторых, сами эти знаки оказываются объектами. Они конструируются как некоторые графические конфигурации (сравни с конструктивизмом А.А. Маркова-младшего [см.: АА Марков, 1962, т. LXVII, а 8—14]), и в качестве таковых уже сами являются предметами рассуждения. Здесь необходимо вернуться к вопросу о тождестве и различии, которые у Френкеля и Бар-Хиллела названы первичными интуициями формальной математики. Такой подход к интерпретации элементарных объектов метаматематического рассуждения был подвергнут критике, например, там, где проблема тождества и различия рассмотрена как чисто логическая и не нуждающаяся в ссылках на интуицию. Мы предпочитаем подойти к этому вопросу иначе. Различение знаков подразумевает возможность вынесения определенного суждения о тождестве или различии тех или иных элементарных графических конструкций. Знак (или комбинация знаков) становится субъектом метаматематического суждения, тогда как тождество или различие выступают его предикатом. Причем этот предикат присоединяется в суждении к субъекту в зависимости от того, как именно построена данная конфигурация. Например, суждение о том, что графические конфигурации п, находящиеся в двух различных позициях формулы ап = п, тождественны, основано на том, что оба знака построены сообразно одной и той же графической схеме.

Таким образом, вопрос о тождестве или различии конструктивных элементов математического рассуждения решается с помощью суждения, которое, впрочем, находится в жесткой корреляции с процедурой построения наглядно представимого, зримого предмета. Тот факт, что, отождествляя или различая знаки, мы, как правило, не делаем никаких суждений, не меняет ситуацию в принципе. Возможность такого суждения всегда присутствует. Акты различения или отождествления знаков не являются некоторыми первичными, неразложимыми актами. Они выражаются на логическом уровне. Первичной интуицией является здесь пространство, поскольку именно в качестве определенной пространственной конфигурации всякий знак может быть узнан и отличен от другого знака.

Похожее рассмотрение можно провести и относительно математического рассуждения (вывода, доказательства), поскольку оно есть объект метаматематики. Рассуждение, будучи конструкцией, появляющейся в результате комбинирования знаков, представляет

собой чувственно воспринимаемый объект. Он предстает в виде определенной пространственной конфигурации, определяемой как способом сочетания составляющих его знаков, так и способом начертания самих этих знаков. Как чувственно воспринимаемый объект, рассуждение выступает в качестве субъекта метаматематического суждения. Задачей метаматематики оказывается установление ряда предикатов (например, предиката непротиворечивости) для названного субъекта. Но такого рода предицирование есть выражение определенных пространственных свойств созерцаемого (создаваемого на бумаге или на доске) объекта (похожий взгляд на математику известен под названием «пангеометризм). Рассуждение (или система аксиом) обнаруживает себя как непротиворечивое(ая) в ходе его пространственного (точнее, пространственно-временного) конструирования. Суждение о непротиворечивости оказывается, таким образом, априорным и синтетическим в самом строгом кантовском смысле. Метаматематика Гильберта содержит в себе все установленные Кантом элементы знания: данный в созерцании объект, являющийся в пространстве и времени, синтетическое суждение об этом объекте и, наконец, синтез продуктивной способности воображения, в результате которого этот объект конструируется [см.: И. Кант, 1994, с. 50—58, 60, 423—430,433—434].

Таким образом, две соперничающие (с одной стороны) математические школы имеют один и тот же философский корень (с другой стороны). Можно сказать, что каждая из них сделала больший акцент на одной из двух выделенных Кантом интуиций транцен-дентальной эстетики [там же]. Если Брауэр считал исходной интуицию времени, явно утверждая вторичность и производность пространства, то Гильберт, вообще ничего не говоря о времени, явно рассматривал пространство и пространственное конструирование как основу математики. Очевидная кантианская родословная двух влиятельных философско-математических традиций требует, ко-

Г- **

нечно, более детального анализа кантовского текста .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. М.; Л., 1936.

Кант И. Критика чистого разума. М., 1994.

Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985.

Марков А.А. О конструктивной математике: Труды математического института имени В.А. Стеклова. М.; Л., 1962. Т. LXVII.

Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966.