Теоретический семинар кафедры философии и методологии науки философского факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (доклад В. Я. Перминова «Философия математики XX века»)

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2007. № 1

НАУЧНАЯ ЖИЗНЬ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СЕМИНАР КАФЕДРЫ ФИЛОСОФИИ И МЕТОДОЛОГИИ НАУКИ ФИЛОСОФСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Я буду говорить о философии математики истекшего столетия. Этот разговор требует некоторого введения: мы должны составить себе хотя бы самое общее представление о взглядах на природу математического знания в предшествующие эпохи. Философия математики прошла несколько стадий развития. Основные из них — пифагореизм, эмпиризм, априоризм и формализм. Нельзя сказать, что указанные воззрения появлялись одно за другим в строгой хронологической последовательности. В действительности они часто сосуществовали и продолжают сосуществовать. Тем не менее эти воззрения образуют логическую и историческую последовательность в том смысле, что каждое последующее из них появлялось как преодоление трудностей, имевших место в предшествующих воззрениях, и было шагом вперед в понимании предмета математики.

Первой ясно выраженной философией математики был пифагореизм. Пифагорейцы отделяли мир чувственных предметов и явлений, в которых царит случайность, от космоса как идеальной упорядоченной и гармоничной основы мира, которая может быть понята только умозрительно. Все высказываемое о чувственном мире недостоверно, является только мнением, и лишь утверждения математики, относящиеся к космосу, являются подлинным знанием, обладающим истинностью и неопровержимостью. Пифагорейцы, таким образом, отделяли математику от других наук по предмету, а также и по методу: математические утверждения опираются не на показания чувств, а на умозрение, т.е. на сам разум, который способен, как они полагали, непосредственно (без опоры на опыт) отражать законы космоса. Пифагорейский взгляд на математику был господствующим в античной философии. Мы видим его в диалогах Платона, в особенности в «Теэтете» и «Тимее».

Аристотель выдвинул новую концепцию математики, исходящую из первичности опытного знания. По мнению Аристотеля, математические предметы не являются чем-то, существующим отдельно от вещей. Математические предметы, по его мнению,

связаны с вещами и возникают как таковые из способности отвлечения. Он считал, что метод «исследователя чисел и геометра» состоит в том, что они «рассматривают отдельно то, что отдельно не существует». Смысл этого высказывания состоит в том, что человек, воспринимая вещи во всем многообразии свойств, отвлекается от многих из них, оставляя лишь некоторые из них и исследуя их как отдельно (самостоятельно) существующие. Математик строит особый идеальный мир, основанный на отвлечениях, но этот мир не является независимым от чувственных вещей, он берется как независимый лишь условно, для ясности и простоты рассмотрения интересующих нас свойств.

Очевидно, что аристотелевская концепция математики является более обоснованной и более соответствующей логике научного мышления. Значительное число ученых и в настоящее время придерживаются аристотелевского воззрения: они считают, что математика вторична по отношению к физике, что исходные математические объекты есть в своей сути абстрактные схемы отношений, наблюдаемых в мире вещей.

Это воззрение, однако, имеет внутренние трудности. Уже давно было замечено, что математические утверждения (теоремы) не подвергаются опровержению. Доказанное в математике, доказано навсегда, в то время как в физике нет ни одного утверждения, которое не стояло бы перед опасностью пересмотра и корректировки. Мы замечаем также, что математика в обосновании своих положений не использует никаких показаний опыта. Мы замечаем, наконец, что многие математические объекты не могут быть поняты в качестве абстракций из опыта. Уже с отрицательными числами возникают затруднения: утверждение «(+5) (—5) = +25» нельзя доказать, апеллируя к какому-либо опыту или к логике абстрагирования. Еще более проблематичны в этом отношении мнимые числа и бесконечно малые величины, заведомо не имеющие коррелята в чувственном опыте.

Концепция математики, которая разрешает некоторые из этих трудностей, сформировалась в XVII—XVIII вв. и получила название априоризма. В определенной степени априоризм является возвращением к пифагорейскому делению знания на чувственное и умопостигаемое. Математика объявляется принципиально внечувственным знанием, основанным на специфической интеллектуальной интуиции. В Новое время эта идея появляется у Декарта и Лейбница. Оба этих философа отличали необходимые истины (математические и логические) от истин случайных, основанных на опыте. По мнению Лейбница, необходимые истины являются аналитическими, т.е. выводимыми из некоторой системы тавтологий. И у Декарта и у Лейбница возникновение исходных понятий математики не связывается с опытом, они

рассматриваются как покоящиеся на аподиктической очевидности и на логической необходимости.

Учение об априорности математики получило дальнейшее развитие в философии И. Канта. Кант отказался от воззрения Лейбница на аналитичность необходимых истин. Аналитичностью, с его точки зрения, обладает только логика, остальные же виды априорных истин являются синтетическими. Синтетичность математики обусловлена наличием в нашем сознании чистого созерцания, которое позволяет формулировать положения априорные (независимые от опыта) и одновременно синтетические, не сводимые к тавтологиям. Исходные положения геометрии опираются, по Канту, на чистое представление о пространстве, а истины арифметики — на чистое представление о времени. Чистые представления пространства и времени определяют, по Канту, как состав исходных принципов (аксиом) математики, так и логику математического мышления. Всякое доказательство самоочевидно в том смысле, что каждый его шаг может совершаться только на основе очевидного синтеза.

К важнейшим положениям кантовской философии математики нужно отнести его представления о конструктивном характере математических объектов. Математика, по мнению Канта, содержит два типа объектов — объекты, непосредственно данные в чистом созерцании, и объекты, данные только своим правилом конструирования. Мы не можем созерцать тысячеугольник, говорит Кант, но мы имеем самоочевидную схему построения этой фигуры, и это обстоятельство позволяет нам высказывать о ней истинные суждения, несмотря на отсутствие непосредственного зрительного образа этой фигуры.

Признание неевклидовых геометрий в XIX в. существенно поколебало истинность кантовского априоризма. Эти геометрии показывали возможность существования математических теорий, не обладающих самоочевидной системой посылок. Анализ математических понятий показывал также, что многие их них не обладают конструктивностью в кантовском смысле. Эти факты говорили о том, что кантовская теория математики также ограничена и не определяет ее истинного предмета и метода.

В конце XIX в. в связи с осмыслением статуса неевклидовых геометрий и теории множеств стала оформляться новая концепция математики, получившая название формалистской философии математики. Основные ее установки могут быть выражены в виде следующих положений:

— математика не является наукой, исследующей реальность, она представляет собой лишь метод логической трансляции опытного знания и состоит из совокупности структур, пригодных для этой цели;

— основным требованием к математической теории является ее непротиворечивость, которая необходима и достаточна для ее приложения к опытным наукам;

— к математике неприменимо понятие истинности в смысле опытного подтверждения, математическая теория сама по себе не истинна и не ложна и становится проверяемой в опыте только при эмпирической интерпретации ее понятий;

— если обоснование содержательной науки состоит в установлении ее истинности, то обоснование математической теории заключается в доказательстве ее логической непротиворечивости и строгости доказательств.

Это новое понимание сути математики и ее места в системе наук было сформулировано в работах Г. Грассмана, Г. Кантора, А. Пуанкаре, Д. Гильберта и ряда других ученых. Ясно, что, принимая этот взгляд на сущность математической теории, мы уходим от трудностей эмпирической и априористской философии математики. От математической теории не требуется больше ни наглядности, ни очевидности принципов, ни опытного происхождения понятий, ни их конструктивности. Для математической теории объявляется существенным только одно требование, а именно требование непротиворечивости. Обоснование математической теории понимается с этой точки зрения как доказательство ее непротиворечивости.

Можно сказать, что философия математики XX в. в своей основе является формалистской философией, ибо она, в отличие от всех предшествующих воззрений, подчеркивает логическую сущность математики и непротиворечивость математических теорий как коренное условие их функционирования. Современный математик не ставит математику рядом с науками, объясняющими опыт, а понимает ее как метод, созданный для логической систематизации истин, взятых из опыта. С таким пониманием природы математики соглашается и большинство современных философов.

Ясно, однако, что мы не можем рассчитывать на некую завершенную философию математики точно так же, как не можем ожидать предела в развитии самой математики. Практика показывает, что общее определение математики еще не дает нам ее полного понимания. Возникает множество вопросов, которые никак не решаются в рамках общей формалистской установки. Априорны или апостериорны исходные представления математики, достижима ли в математике окончательная строгость, в какой мере являются надежными законы логики, существуют ли окончательные (завершенные) математические доказательства, могут ли быть найдены эффективные критерии непротиворечивости математических теорий, является ли геометрическая очевидность

в той же мере надежной, как и арифметическая, являются ли математические истины открытиями или мы должны понимать их лишь в качестве изобретений — вот лишь некоторые из вопросов, на которые формалистская философия математики не дает определенного ответа. Можно поэтому утверждать, что основным истоком новых идей в философии математики XX в. является теоретическая недостаточность формалистской философии.

Другой факт, важный для понимания философии математики XX в., состоит в том, что она была нацелена на проблему обоснования математики и связанные с ней методологические вопросы. Каждая эпоха в развитии математики выдвигает на первый план методологические трудности, ориентирующие философское мышление: для XVII в. это понимание природы мнимых и иррациональных чисел; для XVIII столетия — проблема бесконечно малых и связанные с ней вопросы обоснования математического анализа, в следующем столетии содержательным центром философского мышления стали неевклидовы геометрии и актуально бесконечные множества, парадоксы теории множеств и связанная с ними проблема обоснования математики стали определяющими фактами для философии математики XX в. Без учета этого обстоятельства нельзя понять ее тематики, ее особого интереса к проблемам логики, к анализу моделей, к исследованию строгости математических доказательств.

Формалистское понимание математики как системы абстрактных структур, ограничиваемых лишь требованием непротиворечивости, привело к возрождению идеи конвенционализма. Истолкование математических утверждений как конвенций имеется уже у Юма, который утверждал в противовес Аристотелю, что математика имеет дело не с положениями, взятыми из опыта, а с выводами из принятых определений. Милль и Пуанкаре использовали эту идею для объяснения принципов геометрии. Аксиомы геометрии, по Пуанкаре, не выведены из опыта и не априорны, они, по его мнению, лишь соглашения, удобные для описания физического опыта. В различных вариантах эта идея присутствует у Б. Рассела, Л. Витгенштейна, Р. Карнапа и В. Куайна. Здесь надо особо отметить Людвига Витгенштейна, который существенно переосмыслил понятие конвенции. Хотя Юм, Милль и Пуанкаре говорили, что математика берет принципы как определенного рода соглашения, они полагали, что эти соглашения должны соответствовать реальности. У Милля, например, логический закон непротиворечия представляет собой соглашение, но это соглашение, являющееся отражением реальных противоположностей, таких, как теплое и холодное, темное и светлое и т.п.

Старая философия, таким образом, понимала под конвенцией то, что в идеальной форме отражает существующее. Пони-

мание конвенции у Витгенштейна другое. Он убежден, что сами предметы математики, с которыми математика имеет дело, придуманы, сконструированы, они ничего не отражают. Мы не оформляем нечто существующее, а создаем сущности. Основной тезис Витгенштейна состоит в том, что математик изобретает, а не открывает. Он утверждал далее, что принципы логики, используемые в доказательствах, также относительны. Юм, Милль и Пуанкаре, которые говорили об определениях и принципах как конвенциях, конечно, считали логику универсальной и независимой от этих принципов. Единственность и однозначная определенность логических принципов не подвергалась сомнению. У Витгенштейна появляется идея, что логика есть только система правил, приемлемая для данной математической теории как определенной языковой игры. Мы свободны в создании математических сущностей и свободны в установлении правил оперирования с ними. Отсюда следует однозначный и отрицательный вывод относительно возможностей обоснования математики. Математическое мышление, считает Витгенштейн, в принципе не может избежать противоречий. Математика, однако, не теряет своей продуктивности, несмотря на то что время от времени нам придется встречаться с противоречиями, убирать их и откладывать предосторожности на будущее. Гильберт, по мнению Витгенштейна, впадает в идеализм, стремясь реализовать идею абсолютной непротиворечивости, которая может быть только недостижимым идеалом математической теории.

Нетрудно видеть, что конвенционализм отрывает математику от всякого объективного основания. У математики всегда была некая база, либо космос, либо физический опыт, либо структуры сознания. Витгенштейн устраняет и то, и другое, и третье. Он абсолютизирует внутреннюю свободу математики. В качестве внешнего регулятора математического творчества остается только полезность, имеющая сугубо ситуационный характер. Но он входит здесь в противоречие с фактическим состоянием математики, с непреодолимой и однозначно навязанной интуицией математических объектов. А почему же выводы математики, и об этом говорит сам Витгенштейн, неумолимы? Какой реальности должно соответствовать наше правильное мышление? Почему люди беспрекословно подчиняются правилам, если они сами их устанавливают? Если логика установлена людьми, т.е. если она представляет собой только одну из возможных нормативных систем понятийного мышления, то почему мы отбрасываем любые рассуждения, противоречащие логике?

Некоторые философы ищут в трудах Витгенштейна основу для новой философии математики. Я думаю, что такой основы здесь нет. Идея свободной математики, отделенной от всякой

внематематической базы, несостоятельна. Несомненно, что логика нам навязана однозначно. Арифметические и геометрические интуиции остаются неизменными в течение тысячелетий, и мы никак не можем примирить их с понятием конвенции. Идея конвенции не способна объяснить внутренней необходимости математического мышления, которая есть несомненный гносеологический факт.

Другое важное направление философского мышления в математике XX столетия было связано с идеей априоризма и состояло в попытке возродить кантовское понимание математических объектов. В этом плане мы можем говорить о неоаприоризме как об одном из направлений философского и методологического мышления в математике истекшего столетия. Здесь прежде всего надо указать на Л. Брауэра, который ставил задачей понять непреложность арифметики на основе кантовской интуиции времени. Брауэр взял у Канта также идею конструктивности математических объектов, которая стала для него основным руководящим принципом в создании интуиционизма как особого направления в обосновании математики. Брауэр, однако, не принял кантов-ского положения об априорности геометрии: интуиция пространства, по его мнению, была дискредитирована появлением неевклидовых геометрий. Вся математика, по Брауэру, покоится на первичных интуициях арифметики, которые имеют априорный характер, вследствие чего она обладает абсолютной надежностью и некорректируемостью.

Идея априорности присутствует также у Д. Гильберта. Не принимая брауэровского конструктивизма, Гильберт тем не менее настаивает на том, что в основе математики лежит система априорных принципов, которая является самоочевидной и безупречной в логическом отношении. Кант, по его мнению, преувеличил роль априорного в математике и не очертил должным образом его границ. Понятие априорного в математике, считает он, может быть продуктивным для математики только в том случае, если мы можем определить его в строгих математических терминах. Он вводит с этой целью понятие финитности. С одной стороны, финитность — это математический термин, а с другой — это определение сферы априорного: финитная математика априорна, и вся априорная математика финитна. Кантовское априорное неприемлемо для Гильберта по той причине, что оно явным образом выходит за сферу финитности.

Брауэр и Гильберт не были философами и, конечно, не могли дать гносеологического обоснования априоризма. Ученый использует философскую теорию, как правило, чисто прагматически; его можно уподобить крестьянину, который кладет в основание дома большой камень, не исследуя ни его химического состава, ни его

прочности, опираясь только на опыт, который подсказывает, что камень выдержит вес дома. Гильберт был уверен, что элементарная арифметика надежна, и видел в философии Канта теоретическую основу для оправдания этой уверенности. Для ученого такая методология, несомненно, оправданна и, по-видимому, даже единственно возможна. Проблема состоит в том, насколько современная теория познания может оправдать уверенность в том, что априорная и безусловно надежная математика совпадает со сферой финитной математики.

Хотя идея априорности исходных принципов математики до сих пор остается необоснованной, она, на мой взгляд, указывает правильный путь. Конечно, в математике есть центр совершенно неколебимый, система интуиций, которая остается неизменной с глубокой древности до настоящего времени. Сама история математики говорит о наличии у нее априорного центра. Фреге говорил о принципах логики как краеугольных камнях мышления, которые мы можем увидеть и описать, но которые никогда не сможем сдвинуть. Такие вечные структуры, конечно, существуют. В своем чувстве истинного положения вещей Гильберт прав, и я думаю, что именно в этом направлении должно двигаться современное методологическое мышление в математике.

Идея априорного основания математического мышления в определенной мере принималась Г. Крайзелем, Д. Моссом, Я. Хинтиккой, Н. Хомским и рядом других математиков и философов. Однако эта идея все еще остается мало проясненной. Допущение априорных принципов в математике ставит нас перед труднейшей проблемой их гносеологического обоснования, объяснения их формирования и устойчивости.

Определенное движение в этом направлении было намечено в феноменологии Э. Гуссерля. В «Логических исследованиях» Гуссерль пытался придать понятию априорного знания максимальную объективность, освободив его от элементов антропоморфизма, имеющих место в кантовской теории: Кант связывал структуру априорного знания с природой человека и допускал, что существа иной природы могут иметь другие априорные представления. С точки зрения Гуссерля, априорные представления — это идеальные эйдетические принципы, которые не зависят ни от объекта, ни от субъекта мышления и являются совершенно одинаковыми для любого познающего существа, будь это люди, чудовища или боги. Это несомненно более правильная установка, которая раскрывает истинный статус априорных представлений. Учение об эйдосах как об идеальных объектах сознания при всех его проблемах устраняет кантовский номинализм в философии математики, связывающий априорную чувственность с созерцанием конкретных образов.

Арифметика и геометрия у Гуссерля различаются по своему статусу. Если логика, арифметика и теория множеств относятся у него к универсальной онтологии как к теории предметности вообще, то геометрия относится к физике как ее региональная онтология. Он, таким образом, поддерживает взгляд на геометрическую очевидность как на частную и не вполне надежную, которая приобрела большое влияние в философии математики XIX в. (Б. Больцано, К. Вейерштрасс и др.). Логика соединяется с арифметикой в единой системе Mathesis universalis, приобретая статус идеального теоретического знания.

Гуссерль предпринимает попытку понять механизм формирования априорных представлений, который остается за пределами кантовской теории познания. Он пытается выявить логику становления (конституирования) математических идеализаций и на этом пути найти их обоснование в качестве необходимых. Это направление исследования априорного знания является, несомненно, наиболее важной частью феноменологического метода и имеет перспективу для философии математики. Гуссерль, однако, ослабляет установки традиционного априоризма в том смысле, что он допускает эмпирическое опосредование в становления априорных представлений. Вместе с радикальными эмпириками он допускает, что арифметика и геометрия как теоретические науки не могли возникнуть иначе, как на основе счета и измерения. Становление геометрии, по его мнению, бышо бы невозможно без протогеометрии — грубой эмпирической геометрии, создаваемой на основе приближенных измерений. Если априорное у Канта независимо от опыта и в генетическом и в логическом отношении (он допускает здесь только неспецифическое влияние опыта, не определяющее содержания априорного знания), то у Гуссерля априорное знание с самого начала опосредовано потоком переживаний и является независимым от опыта только логически, в качестве сформировавшейся эйдетической структуры. Это включение опыгта в формирование априорных структур сознания сдвигает феноменологию в сторону эмпиризма и ставит ее перед проблемой объяснения интерсубъективности и стабильности этих структур.

В отличие от Брауэра и Гильберта Гуссерль подходил к проблеме априорного знания как философ, с глубоким пониманием истории философии и всех существующих здесь альтернатив. Однако надо признать, что ему также не удалось решить главную проблему, а именно указать путь к обоснованию априорного знания. Соединение традиционного априоризма и радикального эмпиризма, который он проводит в общем плане и применительно к математическим представлениям, неприемлемо. Другая ошибка Гуссерля, имеющая тяжелые последствия, — его

радикальная антиметафизическая установка. Идея конституирова-ния важна и для обоснования категорий, и для обоснования исходных математических понятий, но представляется несомненным, что логика конституирования требует рассмотрения общих целей мышления, погружения человека и человечества в контекст деятельности, учета практической ориентации субъекта, которая всегда присутствует в процессе образования понятий. Но для Гуссерля всякая телеология — метафизика, к которой нельзя прибегать без нарушения строгости философского мышления. Здесь, несомненно, заключена основная слабость феноменологии, ибо построить логику сознания из самого сознания, без анализа его функции, невозможно. Сартр справедливо заметил, что Гуссерль загнал себя в угол, из которого не мог выбраться. Влияние феноменологии на философию математики последнего столетия бесспорно, но ясно также, что она не дала твердой основы для решения трудностей, связанных с прояснением природы математики, и очевидностей, лежащих в ее основе.

В известном фрагменте «Начало геометрии» Гуссерль пытается объяснить стабильность исходных математических очевиднос-тей из логики совершенствования понятий в языке. Это, несомненно, отход от первоначальных установок, так как с точки зрения последовательного трансцендентализма категории и математические очевидности предшествуют языку, являются его предпосылкой, но никоим образом не следствием внутренних механизмов языковой активности.

Наиболее влиятельным направлением философии математики XX в. является эмпиризм, или эмпирицизм. Эмпиризм как стремление объяснить математическое мышление на основе опыта никогда не умирал, он лишь изменял свои установки на разных этапах развития математики. Если аристотелевский эмпиризм подразумевал выведение всех математических понятий из опыта, то современный эмпиризм, конечно, не может требовать ничего подобного. Развитие математики ясно показало, что внутренние определения математики диктуются не опытом, а скорее структурой самой теории и что принципы математических теорий могут не иметь никакой связи с опытом или даже устанавливаться в прямом противоречии с интуициями опыта. Современный эмпиризм, в отличие от традиционного, является методологическим в том смысле, что он видит определяющее влияние опыта не в математических определениях и принципах, а в методологии математики и в логике ее развития.

Элементы философии математического эмпиризма присутствуют в рассуждениях многих философов и математиков. Здесь можно указать на Д. Пойа, К. Поппера, В. Куайна, М. Клайна, А.Н. Колмогорова. Определенная систематизация эмпирического

воззрения на математику была дана И. Лакатосом. В «Доказательствах и опровержениях» Лакатос пытался обосновать то положение, что любое, даже самое убедительное, математическое доказательство может содержать в себе скрытые леммы, которые при их выявлении могут оказаться ложными или противоречивыми. Отсюда он делает заключение о невозможности окончательных (завершенных) доказательств и о несостоятельности проектов обоснования математических теорий, отличного от того относительного обоснования, которое получают эмпирические теории в процессе своего вызревания. Положение «основания не могут быть обоснованы», несомненно, справедливое в отношении опытных наук, он считает возможным распространить и на принципы математики. В последующих работах он настаивает на том, что развитие математики подчинено логике научно-исследовательских программ, в соответствии с которой развиваются все эмпирические теории. Математическая теория трактуется Лакатосом как вырожденный случай эмпирической теории, логика развития которой может быть понята только исходя из логики развития эмпирической теории.

Представляется, что эмпирицистская трактовка математики не имеет больших перспектив. Априористы, конечно, правы в том, что исходные интуиции математики не подлежат корректировке, и доказательства, проведенные в рамках аподиктической очевидности, не могут быть поставлены под сомнение. Законченные доказательства в математике, несомненно, существуют. Никто не допускает появления контрпримеров к простым теоремам геометрии или алгебры. Это доказывается и историей математики, которая не знает случаев, чтобы общепризнанные доказательства, вошедшие в учебники, подвергались затем сомнению и отвергались как ошибочные. Корректировка признанных доказательств содержательной математической теории может состоять только в более полной их формализации, а именно в систематизации их посылок и шагов вывода, которая никак не колеблет ни надежности доказательств, ни истинности самих теорем. Эмпирическая теория, как известно, развивается в диалектике факта и теоретической гипотезы. Но математическая теория не содержит фактов как утверждений о реальных событиях в пространстве и времени. Более детальный анализ развития математической теории показывает, что она развивается в соответствии с принципиально иной логикой, чем логика развития эмпирической теории.

Гносеологической основой лакатосовского эмпирицизма является релятивизм К. Поппера. Лакатос поставил своей задачей распространить на математику положение Поппера об отсутствии в сфере знания абсолютно некорректируемых утверждений. Надо признать, что он хорошо справился с этой задачей, так как в

процессе обоснования этого заведомо ложного тезиса он изобрел аргументы, требующие нового анализа природы математического доказательства и математического мышления в целом.

Несостоятельность эмпирицизма как философии математики определяется тем обстоятельством, что она отвлекается от специфики математического мышления, не видит особых истоков математических представлений. Сведение логики математической теории к логике эмпирических теорий, отказ от строгости математических доказательств и от программ логического обоснования математики — слишком простое решение глубоких проблем, искажающее гносеологический статус математического знания.

Конвенционализм, неоаприоризм, феноменология и эмпири-цизм — это, несомненно, основные направления в философии математики XX в. Но картина была бы неполной без рассмотрения менее известных, но тем не менее важных направлений, таких, как эволюционная эпистемология, операционализм и структурализм.

Эволюционная эпистемология в своей сути — это метод решения гносеологических проблем, основанный на использовании эволюционных представлений. Мы можем исходить здесь из представления об эволюции человеческого знания в целом, выявляя логику борьбы и выживания теорий. Теоретические системы, по Попперу, участвуют «в жесточайшей борьбе за выживание». Мы можем рассматривать также эволюцию наших познавательных способностей как совершенствующихся вместе с ростом знания и углублением человеческой практики. Этот более биологический и психологический подход к проблемам человеческого познания был выдвинут на первый план К. Лоренцем. Правомерность использования эволюционных представлений в теории познания в целом не вызывает возражений. Все дело, однако, в том, для какого типа проблем эти подходы могут быть действительно эффективными.

Подход к математике с точки зрения эволюционных теорий был намечен Г. Спенсером в «Основаниях психологии». Спенсер был убежден, что применение эволюционной теории позволяет объяснить природу логики и природу априорных принципов математики. По его мнению, априорного знания в кантовском смысле, т.е. как системы представлений, присущих разуму по его природе, не существует и не может существовать, ибо опыт — единственный источник всякого знания. Однако существуют социально унаследованные механизмы знания и принципы, связанные с этими механизмами, которые имеют абсолютное значение для индивидуального сознания. «Я смотрю на общие принципы познания, — писал Спенсер, как на данные априори для индивида и как на данные апостериори для всего того рода

индивидов, к которому он принадлежит». Первичные интуиции математики и логики априорны в этом смысле, но они не априорны в смысле Канта, так как не обладают абсолютной универсальностью и необходимостью. Спенсер не считал математическое доказательство абсолютно надежным. Он полагал, что чем сложнее математическое рассуждение, чем больше операций оно содержит, тем вероятнее то, что оно содержит уклонение от истины. Поппер в «Объективном знании» использует это соображение для обоснования релятивности всякого дедуктивного вывода.

Итак, мы видим, что Спенсер стремится обосновать надежность математики и логики, оставаясь на позициях последовательного натурализма. Кантовское априорное превращается у него в исторически приобретенное, конечно теряя при этом свою абсолютность. Логика, по Спенсеру, предельно надежна, но не абсолютно надежна, поскольку силлогизм — только продукт систематизации опыта. То же самое относится и к принципам математики. Идеи Спенсера в XX в. получили развитие в работах К. Поппера, К. Лоренца, Д. Кемпбелла, Г. Фоллмера и многих других философов. Устойчивость математических принципов все эти философы объясняют вслед за Спенсером наличием врожденных и неизменных механизмов познания и целесообразного поведения. Кантовское априорное, по мнению К. Лоренца, может быть объяснено адекватно только в рамках биологии. Формы созерцания и категории, считает он, приспособлены к внешнему миру по тем же причинам, по которым копыто лошади еще до ее рождения приспособлено к степной почве, а плавники рыбы приспособлены к воде еще до того, как они вылупятся из икринки.

Эволюционный подход к проблемам познания, конечно, бросает определенный свет на логику конкуренции и выживания научных концепций. Однако его применение к философии математики вызывает возражения. Ясно, прежде всего, что биологический поход не может помочь нам в понимании априорного знания. Различение между априорным и апостериорным у Канта — это не различение между уровнями знания по их стабильности, а различение между формой и содержанием мышления. Мы полностью теряем идею априорного знания, если не сохраняем это последнее различие. Универсальные формы человеческого мышления отражают универсальные формы бытия, его общие характеристики, выявляемые социальной практикой и продиктованные непосредственно актами деятельности, но не универсальные характеристики природного мира, полученные на основе родового опыта. Эволюционная эпистемология не объясняет априорное знание, а в действительности искажает его природу, придавая априорным принципам форму натуралистических положений.

Оригинальная концепция математики была выдвинута Ж. Пиаже в рамках его общей теории познания, которую он назвал генетической эпистемологией. Пиаже считал, что априоризм и конвенционализм лишь затемняют суть дела, когда пытаются объяснить общие категории мышления как продукт интуиции или как результат произвольных соглашений. Такого рода схоластические подходы могут быть преодолены, по его мнению, только анализом становления основных категорий мышления на основе экспериментальной психологии и через понимание человеческого знания как способа приспособления к миру.

Математика, как и любое продуктивное знание, по Пиаже, получена из опыта и в основных своих принципах отражает определенные аспекты опыта. В общем плане эмпирическая философия математики должна быть признана верной. Однако существуют два типа опыта: опыт физический (конфигуративный) и опыт логико-математический (операциональный). Когда ребенок рассматривает камешки, сравнивая их по величине, по цвету, по форме и т.п., он пребывает в сфере физического опыта и делает высказывания, относящиеся к эмпирической науке. Когда же он начинает считать эти камешки, перекладывая их из одной кучки в другую, то он отвлекается от всех физических качеств и сосредоточивает свое внимание исключительно на числе необходимых операций. Это тоже опыт, но опыт, отвлекающийся от всяких качеств вещей. Именно из этого последнего типа опыта возникают, по Пиаже, первичные математические представления. Ошибка традиционного эмпиризма в математике состояла в том, что он пытался вывести математические представления из физического опыта, чего в принципе невозможно сделать. Пиаже полагает, что логика, арифметика и евклидова геометрия — это родственные теории, отражающие различные аспекты операционального опыта». Пиаже делает попытку показать, что основные структуры современной математики, а именно структуры алгебраические, порядковые и топологические, предопределены сущностными разделениями на уровне операционального опыта.

Математика у Пиаже имеет два генетически различных уровня: первичные операциональные структуры и структуры, производные от первичных, выработанные на уровне чисто логического анализа первичных структур. Концепция Пиаже натуралистична, ибо, как и эволюционная эпистемология, она выводит исходные структуры математики из внематематических структур, данных в опыте. Основное различие с эволюционной эпистемологией состоит в том, что если логические и математические очевидности в эволюционной эпистемологии имеют родовой и врожденный характер, то у Пиаже они вырабатываются в онтогенезе на основе интериоризации и формализации операционального опыта.

Концепция математики Пиаже интересна в том смысле, что она некоторым образом возвращает нас к пониманию математики как науки, имеющей свой предмет. Этим предметом являются мыслительные операции субъекта, отражающие логику реальных операций (операционального опыта). Ф. Китчер, принимающий операциональную трактовку исходных математических понятий, считает, что предметом математики являются физические и мысленные операции, посредством которых человеческое существо осуществляет первичное и фундаментальное структурирование мира.

Философия математики Пиаже выглядит более естественной и более приемлемой для здравого смысла, чем, скажем, априоризм Гуссерля, основанный на таинственном механизме схватывания сущности. Однако в теоретическом отношении, в плане прояснения логических норм и исходных математических очевид-ностей, она также не обеспечивает сколько-нибудь существенного прогресса. Пиаже сводит логические и математические очевидности с небес априорности и придает им статус теоретических идеализаций в сфере операционального опыта. Но тем самым он становится уязвимым для всех аргументов, которые выдвигались против традиционного эмпиризма: являются ли устойчивыми принципы логики, может ли естественное углубление операционального опыта привести к опровержению или уточнению принятой арифметики или геометрии? Отвергая априорное основание математики, Пиаже заменяет его основанием теоретическим, связанным с рефлексией специфического опыта. Такое решение вопроса о природе исходных принципов математики, дающее им только относительную надежность, представляется неприемлемым.

Нужно сказать еще об одном направлении философии математики XX в., а именно о структурализме. Родоначальниками структурализма как определенного методологического подхода в гуманитарных науках считаются Ф. де Соссюр и К. Леви-Стросс. Применительно к философии математики идеология этого течения была с достаточной ясностью изложена Э. Кассирером в его «Философии символических форм». Жизнь науки, по Кассиреру, — это жизнь знаков и идеальных моделей. Каждая содержательная теория имеет интуитивную основу и структурную часть, определенное соединение ее понятий и объектов. Эта вторая часть и образует ее внутреннюю форму, или внутреннюю математику. И даже если люди совершенно не подозревают о математике, они всегда в некотором смысле математики, потому что идеализируют, создают идеальные структуры и мыслят любой предмет как соединение структур. И вот что здесь наиболее важно. Когда мы говорим об отношении математики к внешнему миру, то обычно подразумеваем, что математика прилагается к науке как нечто

7 ВМУ, философия, № 1

внешнее, существующее вне этой науки и возникшее независимо от нее. Кассирер и структуралисты хотят сказать, что математика в действительности возникает внутри содержательной науки как ее необходимая внутренняя структура. Изучая строение науки, структуру ее идеализаций и зависимость ее объектов друг от друга, мы неизбежно приходим к чисто структурным и к математическим в своей сущности идеям. С точки зрения структурализма математику нужно выводить не из строения природы и не из интуиций сознания, а из необходимого способа организации знания, из его понятийной и символической природы. Внутренняя связь заложена на уровне структуры, которая есть в любом мышлении и в самом языке.

В структуралистской философии математики надо разделить два положения: положение о том, что исходные математические структуры коррелятивны структурам содержательного мышления, и то положение, что исходные структуры математики могут быть выведены из структур содержательного мышления. Если первое положение имеет определенные основания, то второе положение представляется ошибочным. Египетские папирусы, содержащие нетривиальные математические задачи, датируются III тысячелетием до н.э., а это значит, что математика достигла определенной зрелости уже тогда, когда еще не было и зачатков теоретических представлений о природе. Математика, несомненно, первая из теоретических наук, а это значит, что ее идеализации не могут быть выведены из каких-либо иных теоретических представлений.

В последние десятилетия важное место в философии математики заняла проблема реализма, заключающаяся в определении реальной основы математических понятий и принципов. Под понятие реализма подпадают все концепции математики, стремящиеся установить связь между математическими абстракциями и отношениями реальности. Эмпиризм, операционализм, эволюционная эпистемология и структурализм в этом плане являются реалистическими концепциями. Мы говорим о платонизме как об особом типе реализма, соотносящего математические понятия с идеями или с определенного рода внечувственной реальностью.

Причина поворота к онтологии в современной философии математики в достаточной степени понятна. Математические идеализации, конечно, не могут быть объяснены наряду с физическими как навязанные опытом, но, с другой стороны, они, несомненно, не простые фикции, ибо обладают необходимостью для мышления. Мы должны, следовательно, определить некоторый модус их бытия, отличающий их как от понятий опыта, так и от фикций или произвольных конструкций. При полной ясности задачи здесь пока не достигнуто никаких более или менее ясных решений. Хотя известное утверждение К. Геделя о том, что

математика нуждается в допущении математических предметов в той же мере, в которой физика нуждается в допущении физических тел, многими воспринимается как истинное, никто пока не прояснил его приемлемого смысла. Иногда говорят о реализме как об особом направлении в современной философии математики. Это, на мой взгляд, не является правильным, так как реализм существует пока лишь как некоторое смутное стремление, как система аналогий и образов, но не как система установок, имеющих оправдание и объяснительные возможности.

Если взглянуть на философию математики последнего столетия в целом, то надо признать, что она, в отличие от двух предшествующих веков, не имела сколько-нибудь ярких прорывов, существенно расширяющих понимание математического мышления. Она не породила идей, сравнимых по своему влиянию с такими концепциями, как априоризм или формализм. Она вращалась преимущественно в кругу старых идей, и некоторые новации, которые здесь появились, типа интуиционизма Брауэра или конвенционализма Витгенштейна не выглядят гносеологически обоснованными и достаточно перспективными. Является фактом, что она почти не продвинулась в решении спорных вопросов, относящихся к пониманию сущности математики. Имеет ли математика специфический предмет или она все-таки только метод, используемый в других науках? В каком смысле математические объекты обладают реальностью? В какой мере математические истины открываются, а в какой мере они изобретаются? Мы не можем считать решенным вопрос об априорности—апостериорности математики, о ее аналитичности—синтетичности, а также и основной методологический вопрос о возможности обоснования математических теорий. Несмотря на разнообразие подходов, трудно говорить о наличии каких-то принципиальных продвижений.

Конечно, математическое мировоззрение в целом претерпело существенные изменения. В начале века многие математики и философы были убеждены в возможности редукции математики к логике. Теперь мы определенно знаем, что содержание математики выходит за пределы логических понятий. Если в начале века преобладало убеждение, что обоснование математики — дело самой математики, то теперь мы знаем, что обоснование математики средствами самой математики и логики недостижимо. Мы поняли недостижимость номиналистического и конструктивистского обоснования математики и сущностную важность для нее понятия актуальной бесконечности. Эти сдвиги в понимании математики, однако, явились скорее результатом логического анализа математических структур, чем результатом развития теории познания и углубления собственно философского понимания природы математического мышления.

Можно указать несколько причин, обусловивших слабость и непродуктивность философии математики в XX в. Это прежде всего негативное влияние позитивистской философии. Изгнание метафизики из философии привело к резкому огрублению философского и методологического мышления. Философия была заменена логикой и анализом языка, что сказалось и на философии математики. Философы стремились быть логиками и математиками, они старались говорить о том, что можно ясно сформулировать, и вообразили, что сама строгость языка и близость к научной терминологии гарантируют им успех в решении философских проблем. Не осознавалось то обстоятельство, что развитие научной теории нуждается в апелляции к вненаучным представлениям, культивирование которых и составляет задачу философского мышления. Можно говорить, я думаю, об общей деградации философского мышления в XX в. Трансцендентальная философия Канта, построенная на четком разделении типов суждений, уровней знания и на выявлении бесспорных гносеологических фактов (отблески этого стиля мышления мы видим еще в «Логических исследованиях» Гуссерля), была постепенно заменена малорефлектированной смесью эмпирических, логических, психологических и натуралистических аргументов. Адекватная философия математики не могла быть построена в рамках такого рода упрощенной теории познания.

Сравнивая изложенные концепции математики, мы можем выделить три основные дилеммы, лежащие в их основе. Это прежде всего дилемма эмпиризма и рационализма, которая в философии математики приобрела форму противостояния эмпиризма и априоризма. Это дилемма номинализма и реализма, которая выступает в философии математики как противостояние фикционалистской трактовки математических объектов и концепции отражения, рассматривающей эти объекты наряду с физическими объектами как отражение особого рода реальности. Еще одна дилемма, присутствующая в скрытом виде, это дилемма описательности и нормативности, поставленная Гуссерлем в «Логических исследованиях» и не решенная должным образом до настоящего времени.

Для того чтобы бросить некоторый взгляд на перспективы развития философии математики, я остановлюсь только на первой из указанных дилемм. Хотя эмпирическая философия математики до сих пор имеет много сторонников, представляется, что основные проблемы современной философии математики могут найти адекватное решение только на основе развития и углубления представления об априорности математики. Возражения против априористской теории познания и априористской философии математики идут от упрощенной теории познания, которая стре-

мится понять историческое развития знания исключительно в диалектике опыта и теории. В действительности основой становления и развития знания являются категориальные представления, которые имеют деятельностную основу и которые отражают не свойства предмета познания, а необходимые условия субъект-но-объектного отношения.

Человеческое мышление, будучи включено в практику, являясь подсистемой практики, подчинено безусловным требованиям практики, которые выражаются прежде всего в системе универсальных категорий и в нормах логики. Практика как целевая инстанция задает универсальные нормы мышления, которые не корректируются в сфере эмпирического знания и являются фундаментальной эвристической и нормативной основой познания. Априорное знание может быть понято в этом плане как знание универсально нормативное, представляющее собой систему ин-туиций сознания, порожденных практической ориентацией мышления. Категориальные представления внеэмпиричны, ибо они обусловлены только универсальными целями знания и по этой причине безразличны к конкретному содержанию опыта. Основное положение старого априоризма о существовании в сфере знания системы принципов, независимых от опыта и некорректируемых опытом, является безусловно верным.

Старый априоризм не был в достаточной степени обоснованным. Основной его недостаток — отсутствие понятия практики как основы и целевой установки мышления. Априорные принципы мышления либо относились к мыслительной способности человека, либо трактовались как отражение глубинной структуры реальности на основе умозрения или интеллектуальной интуиции. Ценность праксеологической теории познания состоит в том, что она обосновывает факт существования априорного знания, не используя каких-либо мистических и натуралистических доводов. Подлинное философское обоснование математического знания может быть достигнуто через обоснование того факта, что исходные интуиции математики относятся к форме мышления, что они наряду с логикой и категориями образуют саму форму мышления, господствующую над всяким познавательным актом. Это положение старо как мир, оно хорошо осознается уже Лейбницем и является главным в философии математики Канта. Наша задача состоит лишь в его обосновании в рамках деятельностной теории познания и в приложении к решению конкретных вопросов современной философии математики.

С точки зрения праксеологического априоризма мы обосновываем необходимость и универсальную значимость математических представлений, их принципиальную некорректируемость на основе опыта. Мы обосновываем необходимость и законченность

математических доказательств, доведенных до аподиктической очевидности всех своих шагов. Мы обосновываем реальность математических представлений в том смысле, что рассматриваем математические очевидности как часть категориального видения мира, имеющего статус реальности. На этой основе устраняется эмпиризм, связывающий математические интуиции с опытом, а также и конвенционализм, рассматривающий их в качестве произвольных конструкций сознания. С праксеологической точки зрения исходные математические очевидности столь же мало произвольны, как и законы логики, имеющие, несомненно, абсолютный и внеисторический характер.

Эти общие замечания могут быть поняты, разумеется, только в качестве некоторого рода предварительных гипотез. Представляется, однако, совершенно несомненным то положение, что существенный прорыв в философии математики зависит в настоящее время от сдвигов в теории познания и прежде всего от продвижения в разрешении традиционного спора между рационализмом и сенсуализмом. Именно здесь должен быть, на мой взгляд, осуществлен великий синтез, проливающий свет на основные проблемы современной философии и методологии науки. Речь идет прежде всего о необходимости соединения кантовской теории познания, опирающейся на понятие априорного знания, с марксистской теорией познания, опирающейся на понятие практики. Марксистская теория познания может быть доведена до оправдания априоризма и до решения его внутренних проблем. В этом синтезе марксистского и кантовского подходов в теории познания находится, по моему глубокому убеждению, ключ к решению основных проблем современной философии математики.

Дискуссия теоретического семинара

В.Г. Кузнецов. Спасибо. Значит, есть математики, есть математика, а понимания математики нет. Эта точка зрения не очень редкая. Такой же точки зрения придерживаются многие физики: существуют физики, существует физика, но вряд ли кто-нибудь определит, что такое физика. Прошу задавать вопросы.

Вопрос: Как тогда соотносятся логика и математика у Ви-генштейна, есть различие какое-то или это одно и то же, логика — раздел математики?

В.Я. Перминов: Для него математика — раздел логики, он следует здесь за Расселом.

Вопрос: Математика и аналитические истины — тавтология?

В.Я. Перминов: Да.

Вопрос: Но ведь все наоборот. Как Витгенштейн может следовать за Расселом, если, по Витгенштейну, математика — раздел логики, а по Расселу наоборот?

В.Я. Перминов: Рассел — основатель логицизма, основная идея которого состоит в понимании математики как раздела логики. «Наоборот» здесь быть не может.

Вопрос: Пуанкаре относится к XX в., его конвенционализм достаточно развит и, кроме того, повлиял на такую крупную математическую школу, как французская.

В.Я. Перминов: Верно, что Пуанкаре должен стоять здесь на первом месте, но я сегодня хотел рассказать о нескольких течениях в философии математики и по этой причине не мог особо говорить о Пуанкаре. Я хотел сказать лишь то, что конвенционализм в принципе несостоятелен, я не вижу здесь перспектив. Конвенционалисты высказали много интересных идей, но глубины, которая бы могла дать направление современному философскому мышлению в математике, здесь, на мой взгляд, нет.

Вопрос: Вы можете привести примеры, что законы формальной логики навязаны?

В.Я. Перминов: Примерами здесь ничего не докажешь, мы чувствуем, что мы не можем отделаться от этих законов. На примерах это не докажешь — это будет индуктивное и недостоверное доказательство. Навязанность законов логики более всего доказывается тем фактом, что и две тысячи лет назад математики умозаключали по тем же логическим схемам, по которым умозаключаем и мы. Для теоретического обоснования этого факта необходима развернутая теория априорных форм мышления.

Вопрос: Например, закон исключенного третьего навязан?

В.Я. Перминов: Безусловно.

Вопрос: Как тогда интуиционизм его избегает? Для них он не навязан?

В.Я. Перминов: Навязанность закона не означает, что мы не можем без него обходиться в некоторых ситуациях. Можно, к примеру, принять на себя обязательство не использовать в математических доказательствах также и закон непротиворечия, конечно очень сузив при этом сферу возможных доказательств. Но идея какой-то сущностной неполноценности закона исключенного третьего — чистая глупость. Этот закон родился на той же интуитивной основе, что и закон непротиворечия, и он содержит в себе ничуть не меньшую необходимость, чем закон непротиворечия. Никто его никогда не отменит в качестве необходимого закона мышления. Другое дело, что в решении некоторого класса задач он не нужен, от него можно, так сказать, абстрагироваться. Таковы конструктивные задачи. Брауэр отвергал закон исключенного третьего, так как ошибочно думал, что математика в принципе может быть сведена к конструктивным задачам. Но это его произвольная посылка, которая не была принята математиками.

Вопрос: Вы говорили, что математика ничего не открывает, она конструирует, но естественно-научные теории тоже не открываются. Где существуют теории Ньютона, чтобы их открыть? Это ведь не материк.

В.Я. Перминов: Все теории, конечно, существуют только в голове, но за физикой стоит реальность, а за математикой — нет. Это можно понять в том смысле, что возможная гибель человечества приведет к устранению всех математических конструкций, но не приведет к устранению физических закономерностей. Физика существует как система реальных закономерностей, и в этом смысле физика открывает свои объекты.

Вопрос: Бурбаки, по-Вашему, относится к формализму или Вы рассматриваете его отдельно?

В.Я. Перминов: Конечно, работы Бурбаки в основе своей методологии — это реализация формалистского направления в математике. Ставилась задача построить математику как иерархию аксиоматизированных структур.

Вопрос: Чем, по Вашему мнению, занимаются физики?

Реплика из зала: Да. Ландау говорил, что физика — это то, чем занимался Ньютон, Эйнштейн и я.

В.Я. Перминов: Я сказал, что определить, что такое математика, мы можем, а понять полностью не можем. Нечто подобное можно сказать и в отношении физики. Физика изучает определенный тип закономерностей природы, но точное определение этого типа, отделяющее физику, скажем, от химии, биологии или геологии, не является простым делом. Довольно ясно, однако, что физика принципиально отличается от математики в том смысле, что все ее внутренние конструкции нацелены на данные опыта и, в отличие от математики, она не принимает абстрактных теорий, не нацеленных на объяснение каких-то наблюдаемых фактов или закономерностей.

Вопрос: Скажите, пожалуйста, как Вы сами для себя сегодня понимаете проблему обоснования математики? Вы рассказали о проблеме обоснования в формализме и т.д., а что такое в принципе обоснование математики?

В.Я. Перминов: Я думаю, что формалистская философия математики совершенно правильно поставила проблему обоснования математики. Математическая теория действует в науке за счет своей непротиворечивости, поэтому обосновать математическую теорию — это значит привести веские свидетельства в пользу того, что она непротиворечива. Я думаю, что такая постановка проблемы обоснования является совершенно правильной. Другое дело, что реализация этой задачи в отношении конкретных теорий встречается с большими трудностями, которые не преодо-

лены до сих пор. Я, однако, не думаю, что эта проблема является в принципе неразрешимой.

Вопрос: Но Вам может быть возражение, что есть противоречивые теории, но работающие.

В.Я. Перминов: Что значит быть противоречивым? Это значит, что в теории имеется по крайней мере две теории, из одной следует «а», а из другой — «не-а». В некоторых случаях такая разорванная теория может приводить к правильным выводам, и в этом смысле она работает. Но такая работа нас не очень устраивает, ибо мы всегда находимся здесь под угрозой ложных выводов. Ценность обосновательного рассуждения состоит в том, что оно дает нам гарантию отсутствия противоречий и ложных выводов.

Вопрос: Какое практическое значение имеют все эти программы обоснования математики для математиков? Знают ли они об этом и, если будет обоснование, они об этом узнают или нет? Вопрос про эмпиризм, его позитивное обоснование: Вы только критиковали его, а что есть позитивного? Я поясню. Само понятие «эмпирическое» — это всегда нечто единичное, а математика всегда требует всеобщего. Вопрос по поводу априорного: что Вы имеете в виду под априори и что Кант имел в виду под априори? То есть в чем заключается Ваше понимание априори и кантовское понимание априори?

В.Я. Перминов: Зачем нужно для математиков обоснование? Проблема обоснования, как вы знаете, возникла в связи с появлением парадоксов. Наличие парадоксов в математической теории — это фактически ее устранение. Чтобы теория надежно работала, она должна быть непротиворечивой. Любой существенный сдвиг в проблеме обоснования математики, конечно, стал бы немедленно известен всем математикам, вовлеченным в обсуждение методологических проблем.

Вопрос: Но их открыли сами математики, а мы говорим про философию математики.

В.Я. Перминов: Прекрасно. Сами математики открыли, сами математики поставили проблему обоснования, сами наметили программы обоснования. Все это математики.

Вопрос: А философия где?

В.Я. Перминов: Каждый инструмент в оркестре начинает играть в свое время. Когда стали обсуждать обоснование математики, тогда стали обсуждать приемлемость математических понятий, таких, как актуальная бесконечность, универсальность законов логики, возник вопрос о надежности доказательств, о природе геометрической очевидности и т.п. Вот здесь, на этом этапе философ вступает в игру, т.е. тогда, когда математики начинают обсуждать методологические проблемы и когда философ видит,

что здесь затрагиваются вопросы, требующие привлечения теории познания. Если философ пытается совершенствовать физическую или математическую теорию, он занимается, конечно, не своим делом. Философ должен входить в методологию науки только тогда, когда она упирается в решение философских проблем. Обсуждение парадоксов в теории множеств, надежности логики и природы математической очевидности поставило много проблем, связанных с теорией познания, и здесь вполне законно появились философы.

Вопрос: Вы знаете, математики совершенно не страдают от того, что нет программы обоснования... Они даже саму проблему не знают.

В.Я. Перминов: Это неверно. Очень страдают. О проблеме обоснования математики в той или другой форме знают все математики независимо от их участия в ее решении. Ведь сами математики поставили эту проблему. И какой математик не знает об интуиционизме или о знаменитых теоремах Геделя, которые показали несостоятельность формалистской программы?

Реплика из зала: Там нет ни одного философа.

Вопрос: Поставили, ну и что? Математика развивается, куча журналов издается... Философия и математика никак не могут стыковаться. Кто виноват — философы или математики?

В.Я. Перминов: Философы математики сыграли определенную роль в обсуждении проблемы обоснования математики. Здесь можно назвать Витгенштейна, Карнапа, Поппера, Лакатоса и др. Нужно особо отметить тот факт, что все авторы программ обоснования исходили из идей Канта. Г. Вейль в своих обоснова-тельных рассуждениях опирался на идеи Гуссерля. Это говорит о том, что философские идеи могут быть значимыми для методологии науки. Хотя надо признать и тот факт, что основные идеи и решения в проблеме обоснования математики были выдвинуты самими математиками. Что касается связи между математикой и философией, то надо знать историю математики. Математика и философия постоянно стыковались, стыкуются и в настоящее время.

Вопрос: Что Вы понимаете под априори и что, по Вашему мнению, Кант понимал под априори?

В.Я. Перминов: Под априори Кант понимал необходимое и всеобщее знание, систему универсального и абсолютно истинного знания.

Вопрос: Но у Канта нет такой формулировки, у него есть форма мышления, форма созерцания, а про истину там нет формулировок.

В.Я. Перминов: Я рассказывал про априорное у Канта, про свое понятие априорного я почти ничего не говорил. Я сравнивал

кантовское понятие априорного и гуссерлевское. Я могу повторить, что Кант определял априорное знание как знание, обладающее универсальностью и необходимостью.

Вопрос: Ну Вы вот различаете абсолютное и относительное априорное?

В.Я. Перминов: Гуссерль в региональной онтологии вводил относительное априорное, которое отличается от абсолютного априорного.То же относится и к эволюционной эпистемологии: априорное знание, по Лоренцу, конечно, не является абсолютным, так как оно только продукт исторического приспособления, которое продолжается.

Вопрос: Хочу задать вопрос о структуре того априори, которое Вы на самом деле несколько обрисовали. Вообще, если вот из доклада судить, то контекстуальное определение, думаю, будет такое: необходимо возникающая интуиция.

В.Я. Перминов: Не совсем так.

Вопрос: Так вот, арифметика, геометрия могут быть рассмотрены как некоторая действительно предметная основа, но есть и другая точка зрения. Вот хотелось бы выяснить Ваше отношение к ней. Точка зрения такая: есть интуиции алгебраические, топологические и порядковые — эти три группы интуиции на самом деле и образуют то самое априори. Как Вы к этому относитесь?

В.Я. Перминов: В известной статье Бурбаки речь идет не об интуициях, а об основных структурах математики. Исходные принципы всех трех указанных структур самоочевидны и попадают в сферу априорного знания. Но где действительная граница априорного, как становится априорное, что лежит в его основе — либо деятельность разума, либо эволюция человека, либо предметные операции, как это у Пиаже, — это не ясно. По моему убеждению, действительная сфера априорного определяется не через указание на математические структуры, а через деятельностное обоснование априорности исходных представлений математики.

В.Г. Кузнецов: Еще вопросы есть? Нет. Спасибо за доклад, который вызвал дискуссию. Я думаю, что Вы пришли к нам не в последний раз.

В.Я. Перминов: Спасибо за внимание.