Идентификация начального поля концентрации Cs137 в Черном море после Чернобыльской аварии на основе решения сопряженной задачи

УДК 551.46

С.В. Кочергин, В.С. Кочергин

137

Идентификация начального поля концентрации С8 в Черном море после Чернобыльской аварии на основе решения сопряженной задачи

При помощи метода сопряженных уравнений проводится идентификация начального поля концентрации Сз137 в Черном море после Чернобыльской аварии. Определена возможная зона выпадения радиоактивных осадков, вычислены значения концентрации Сз137 в этом районе. Показано, что результат численного моделирования с использованием полученного начального поля хорошо согласуется с данными измерений.

Ключевые слова: идентификация, сопряженная задача, модель переноса, Черное море.

При решении экологических задач, связанных с оценкой возможных последствий распространения примесей различной природы, необходим анализ полей концентрации, генерируемых вследствие воздействия природных или техногенных источников. Изучение формирования таких полей и исследование их пространственной динамики возможно на основе математического моделирования. При этом необходимо решить две взаимосвязанные задачи. Первая - построение или выбор оптимальной модели переноса примеси, учитывающей природу ее поведения в морской среде; вторая связана с заданием входных параметров модели и с использованием имеющихся данных измерений. Под входными параметрами понимаются коэффициенты уравнения переноса, поля скоростей и начальные данные.

Для решения конкретных экологических задач часто необходимо следить не за пространственной структурой поля примеси, а за значениями некоторых функционалов в интересующем нас районе. Например, это может быть средняя или суммарная концентрация какой-либо примеси в исследуемой области. Такие значения функционалов можно вычислять непосредственно по значениям концентрации в узлах расчетной сетки. При этом значения на конечный момент интегрирования ищутся путем решения задачи переноса с известными начальными данными и функциями источников загрязнения. Таким образом, задавая различные входные данные, мы получаем серию полей концентрации, для которых вычисляем необходимый функционал в указанной области. Среди таких расчетов можно выбрать наиболее оптимальный с точки зрения не превышения функционалом некоторых его допустимых значений. С другой стороны, решение подобного рода задач может быть упрощено на основе сопряженных уравнений. При этом в соответствии с [1] сопряженная задача решается один раз, и исследуемое значение функционала может быть вычислено при различных начальных полях. Экстремумы в решении сопряженной задачи указывают на то, какие районы области интегрирования

© С.В. Кочергин, В.С. Кочергин, 2011

36

ТББН 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 6

модели на выбранном интервале времени оказывают наибольшее влияние на значения рассматриваемого функционала.

В качестве модели в области D, Dt = D X [0,1 ], рассмотрим уравнение

дС + АС = 0

д1

с краевыми условиями на границе

— = 0 (2) дп

и начальными данными при 1 = 0

С = С,,

где А = ——1- ——+ —--к^—^ - АнА - оператор уравнения (1); С - кон-

ди дУ дЖ , д2

-+-+--к—2

дх ду д2 д2

центрация примеси; С0 - начальное поле концентрации; к - вертикальный коэффициент турбулентной диффузии; Ан - горизонтальный коэффициент

турбулентной диффузии; п - нормаль к границе (области интегрирования д2 д2

D); А = —- +--- - оператор Лапласа. Задача (1) решается в области интег-

дх ду

рирования D на временном интервале [0,1 ].

При численной реализации модели (1) - (3) Ан выбирался равным 3 м2/с, параметры к, и, У, Ж, рассчитанные по полной нелинейной модели гидротермодинамики Черного моря [2] на 5-километровой сетке, были предоставлены С.Г. Демышевым. Эти входные данные имелись на каждые сутки, а для промежуточных моментов времени проводилась линейная интерполяция. Пространственная структура вертикального коэффициента турбулентной диффузии в модели [2] рассчитывается аналогично известной работе [3]. При реализации гидротермодинамической модели использовались климатические данные о потоках тепла, касательном напряжении ветра, рельефе дна. В целом модель достаточно хорошо апробирована, и полученные по ней результаты согласуются с имеющимися представлениями о динамике вод в Черном море. При наличии более достоверной входной информации для модели переноса пассивной примеси результаты расчетов могут быть уточнены. При аппроксимации модели (1) - (3) по времени использовалась явная схема и интегрирование проводилось с шагом 20 мин, а при аппроксимации по пространству использовалась TУD-схема [4], которая строится как комбинация схем Лакса - Вендроффа и направленной разности.

В соответствии с [1] постановка сопряженной задачи напрямую зависит

от выбираемого функционала. Умножая (1) на С * и интегрируя по частям с учетом краевых условий, получим

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 6

37

| pCdDt +1ЪС-^ = | С0С^,

Dt D D

о есть С на нулевой момент времени; С - решение задачи

—— + А С = р

с краевыми условиями на границе

дС

л = 0 (6) Эп

и начальными данными при t = 0

C = h,

au _dv _ k а2

Эх dy dz dz2

здесь A* =—-----------k^—^ _ AHD - оператор уравнения (5), со-

пряженный оператору А уравнения (1).

Если на конечный момент времени в качестве функционала берется суммарная концентрация примеси в некоторой области О

I = JCtdW,

"t

а

тогда в левой части уравнения (4) необходимо задать условия р = 0 и

11 - в О

Ъ = \ .

I0 - вне О

В результате имеем

J CtdW= J C0C0dD,

при этом, согласно (4), решение сопряженной задачи (5) - (7) является весовой функцией при начальных данных.

Интервал времени, на котором решается поставленная задача, может быть выбран исходя из имеющихся данных измерений [5] или физических соображений [6]. В настоящей работе для иллюстрации возможностей подхода, изложенных в [1, 7], нами использовались измерения концентрации Cs137, полученные в июне 1986 г. сразу после Чернобыльской аварии. Такие данные «удобны» тем, что известна дата аварии, периоды и области выпадения осадков и время проведения измерений. Это позволяет определить интервал времени, на котором необходимо решать задачу. В данных расчетах он брался равным 40 сут. На вопрос, в каких областях Черного моря сформировались основные экстремумы в измеренном поле концентрации Cs137, можно ответить, определив соответствующие функции влияния.

38 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 6

а

D

Численные эксперименты. В измеренном поле концентрации Cs137 [8] присутствует существенный экстремум у Южного берега Крыма. Концентрация радиоактивности в области W, по данным измерений, составляет ~ 400 Бк/м3. Горизонтальные размеры W показаны на рис. 1, вертикальный размер задавался равным трем шагам расчетной сетки (10 м) в связи с тем, что измерения концентрации радиоактивного изотопа Cs137 проводились в приповерхностном слое Черного моря. Задавая h в (7) по (9) и интегрируя (5) - (7), мы получаем решение сопряженной задачи C* на нулевой момент

времени, которое входит в правую часть формулы (10). При сравнении C* (рис. 1) с зоной выпадения осадков (рис. 2) видна их хорошая корреляция. В соответствии со схемой переноса воздушных масс [8] полученная нами область расположена в зоне их передвижения в юго-восточном направлении. Анализ данных National Centers for Environmental Prediction (NCEP) о ветровой ситуации после Чернобыльской аварии показывает, что, начиная со 2 мая, воздушные массы в основном перемещались в юго-восточном направлении (рис. 3). На рис. 2 представлены данные NCEP об интенсивности осадков 5 мая. За это время воздушные массы от Чернобыля дошли до акватории Черного моря, и под воздействием сложившейся метеорологической ситуации радиоактивные изотопы с интенсивными осадками попали в его воды. Зоной интенсивного выпадения осадков является северо-восточная часть моря. При условии, что в рассчитанной области C0 = const (рис. 1), из (10) для поверхности моря можно получить C0 » 720 Бк/м3, что согласуется с результатами, изложенными в [9, 10]. Задавая такие начальные значения в указанной области в приповерхностном слое и интегрируя основную модель (1) - (3) на 40 сут, получим поле концентрации (рис. 4) с максимумом в его структуре южнее Крымского п-ова. Максимальные значения полученного поля концентрации хорошо соответствуют измерениям.

Р и с. 1. Исследуемая область А и решение сопряженной задачи при z = 2,5 м ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 6

39

п,

28° 30° 32° 34° 36° 38° 40° 6. Рис. 2. Интенсивность осадков ( 10"5 кг/м2/с) 5 мая 1986 г. по данным NCEP

ш,

Я

28° 30° 32° 34° 36° 38° 40° в.3.

Р и с. 3. Интенсивность и направление ветра (м/с) 3 мая 1986 г. по данным NCEP 40 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 6

Р и с. 4. Поле концентрации Cs137 (Бк/м3) при z = 2,5 м

Таким образом, подход, основанный на интегрировании сопряженных уравнений, может быть применен для решения различных задач экологической направленности. Он позволяет определять зоны влияния начальных полей и источников загрязнения на поле концентрации примеси в исследуемом районе. Ввиду большого объема информации в трехмерных полях скоростей и коэффициентов умозрительные заключения о возможных источниках загрязнения весьма затруднительны. При использовании сопряженных уравнений удается точно проследить все изменения в полях и указать возможные районы формирования исследуемой примеси.

Работа выполнена в рамках проекта «Стабильная экосистема».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука, 1982. - 320 с.

2. Knysh V.V., Demyshev S.G., Korotaev G.K., Sarkisyan A.S. Four-dimensional climate of seasonal Black Sea circulation // Russ. J. Numer. Analys. Math. Model. - 2001. - 16, № 5. -P. 409 - 426.

3. Pacanowsci R.C., Philander S.G.H. Parameterization of vertical mixing in numerical models of tropical oceans // J. Phys. Oceanogr. - 1981. - Ц. - P. 1443 - 1451.

4. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. -1983. - 49. - P. 357 - 393.

5. Кочергин В.С. Использование сопряженных уравнений для решения экологических задач // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. - Севастополь: ЭКОСИ-Гидрофизика, 2009. - С. 93 - 99.

6. Рябцев Ю.Н., Шапиро Н.Б. Определение начального положения обнаруженных в открытой части моря поверхностных линз пониженной солености // Там же. - С. 141 - 157.

7. Марчук Г.И., Кузин В.И., Скиба Ю.Н. Применение сопряженных уравнений в численных моделях переноса тепла в системе атмосфера - океан - континент // Материалы Советско-французского симпозиума по океанографии. - Новосибирск, 1983. - Ч. 1. -С. 4 - 15.

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн, 2011, № 6

41

8. Атлас охраны природы Черного и Азовского морей. - СПб.: ГУНиО МО РФ, 2006. -434 с.

9. Kochergin S.V., Kochergin V.S. Variational data assimilation in a transport model // Rapport du 38e Congress de la SIESM, Istanbul (Turquie). - 2007. - 38. - P. 162.

10. Еремеев В.Н., Демышев С.Г., Кочергин С.В., Кочергин В.С. Идентификация начальных данных в трехмерной модели переноса пассивной примеси в Черном море // Морской экологический журнал. - 2007. - № 3. - C. 36 - 46.

Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил

Севастополь в редакцию 21.01.10

E-mail: vskocher@gmail.com После доработки 29.06.10

АНОТАЦ1Я За допомогою методу спряжених рiвнянь проводиться щентифжащя початкового поля концентрацп Cs137 у Чорному морi тсля Чорнобильсько! аварп. Визначена можлива зона випадання радюактивних осадiв, обчислеш значення концентрацп Cs137 у цьому райош. Показано, що результат чисельного моделювання з використанням отриманого початкового поля добре узгоджуеться з даними вимiрювань.

Ключовi слова: щентифкащя, спряжена задача, модель перенесення, Чорне море.

ABSTRACT Initial field of Cs137 concentration in the Black Sea after the Chernobyl accident is identified by the adjoint method. Possible area of radioactive fallout is defined and the values of Cs137 concentration in this region are calculated. It is shown that the result of numerical modeling using the obtained initial field is in good agreement with measurement data.

Keywords: identification, dual problem, transport model, the Black Sea.

42

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 6