Турбулентность и рассеяние примесей в водных потоках

ВЕСТНИК 2/2011

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И РАССЕЯНИЕ ПРИМЕСЕЙ В ВОДНЫХ ПОТОКАХ

TURBULENCE AND DIFFUZION PROCESSES IN WATER FLOW

M.A. Волынов*, Д.В. Писарев** M.A. Volynov, D.V. Pisarev

*ГНУ ВНИИГиМ им. А.Н. Костякова, **ГОУ ВПО МГСУ

Анализируется влияние турбулентности на рассеяние примесей в водных потоках. Установлена связь между масштабами турбулентности с гидравлическими характеристиками потока и коэффициентом турбулентной диффузии.

In the article presented analysis of turbulence influence on the diffusion processes in water flows. Connection between hydraulic characteristics and diffusion coefficient is established.

Практические инженерные расчеты разбавления примесей в речном потоке, основывающиеся на использовании уравнений переноса требуют знания коэффициентов диффузии (либо коэффициентов дисперсии). Эти коэффициенты определяются как кинематической структурой потока в целом [2], так и его турбулентными характеристиками и могут изменяться в десятки и сотни раз.

Коэффициент турбулентной диффузии DT определяется интенсивностью турбулентности и ее средним пространственным лагранжевым масштабом Ln:

DT ~ u'Ln ,

где u'- значение пульсационной скорости.

Поэтому для определения DT необходимо установить связи между интегральными параметрами речного потока (размерами, скоростью течения) и его турбулентными характеристиками. Имеющиеся данные по стандартам турбулентных пульсаций скорости в открытом потоке позволяют отметить весьма сильную анизотропию турбулентности. Так, стандарт продольных пульсаций скорости в 2 - 2,5 раза выше стандарта вертикальных и поперечных пульсаций.

Как известно, использование динамической скорости u* в качестве нормирующего параметра, позволяет сопоставлять норму стандарта пульсаций для различных случаев течения. Продольный эйлеров масштаб Lxx продольных пульсаций скорости в среднем соизмеримый с глубиной потока может достигать величин близких к ширине потока В [1]. Повторяемость таких инфранизкочастотных пульсаций скорости в речном потоке значительно ниже повторяемости пульсаций среднего масштаба. Продольный эйлеров масштаб вертикальных пульсаций Lyx значительно меньше масштаба Lxx. В зависимости от степени анизотропности течения их отношение может быть различным (от 1,5 -3 и более).

Лагранжев временной масштаб турбулентности рассматривается как мера наиболее длительного интервала времени, в течение которого частица в движущейся систе-

ме координат перемещается в среднем в одном направлении. Тогда пространственный лагранжев масштаб определится следующим образом:

Ь = и%

В настоящее время не имеется строго обоснованной связи между лагранжевыми и эйлеровыми масштабами. И.О.Хинце [4] считает их величинами одного порядка. Сущность проблемы перехода от эйлерового масштаба к лагранжевому можно пояснить следующим примером: пусть в потоке существует некоторая область протяженностью Ь, в пределах которой скорость несколько выше (или ниже) скорости осредненного течения и составляет

и = и + и'

Тогда в неподвижной системе координат эта область контрольный створ пройдет за время

Тэ = * ^

и + и и

Так как скорость переноса и достаточно велика, то период Тэ невелик, то можно считать, что рассматриваемый объем в течение этого периода не успевает измениться («замороженная» турбулентность).

Относительно системы координат, движущейся со скоростью и, рассматриваемая область будет перемещаться со значительно меньшей скоростью и' и временной лагранжев масштаб Тя = — будет значительно больше, чем Тэ: и

ГТ1 I I

£ = -

1 л и + и и

Таким образом, при обычной норме пульсаций Гл составит (10^20)ГЭ. По определению величина Гл характеризует время жизни вихревой области, а Ьл - длину полного смешения вихревой области с окружающей жидкостью. Оценку величины лагранже-вого масштаба произведем, считая, что в процессе своего движения рассматриваемый объем постепенно теряет начальный импульс за счет действия силы сопротивления.

Принимая условие, что размер вихревой области за период ее существования постоянен и равен Ь, силу сопротивления, действующую на эту область со стороны окружающей жидкости, запишем как

/2

= СвЬ1эри^,

где Со - коэффициент гидродинамического сопротивления

При массе жидкости т = р1Ьэ, заю замедление) создаваемое силой Г/ равно

При массе жидкости т = р1Ьэ, заключенной в вихревой области, ускорение (или

аи 1 и'2

а =-= ^^ = Со----

А т Ь, 2

Разделяя переменные и интегрируя, найдем, что

и' 2

Из начального условия г = 0, и'=и'0 находим:

-Л = тСо-^г + С

С = --1

Щ

Это начальное условие принимается в связи с тем, что рассчитывается лишь процесс торможения вихревой области.

Таким образом, уравнение изменения продольной пульсационной составляющей скорости окончательно записывается в виде

1 1 1

"7 = -7 + тСл—^

u u0 2 Lэ

Преобразуя уравнение к безразмерному виду, получим:

ы 1

% 1 +

2 D

Используя это соотношение, найдем время Г10, в течение которого величина и' уменьшится до значения 0,1 ы'0. Оставшаяся пульсационная энергия рассматриваемого жидкого объема составит при этом 1% от первоначальной:

Г«, - "С"Ы~

CDu0

Аналогично, время, в течение которого величина и' уменьшится до 0,05ы'0 (а оставшаяся пульсационная энергия составит лишь 2,5-10-3 от первоначальной) равно

Т5 = С^-

CDu0

Путь, который пройдет вихревая область за время Г10 или Т5 относительно подвижной системы отсчета определим интегрированием:

11 ^ ы0 т , т а — Сп—1

Ь = ДО = ^ I 21 Ь = С- 1п11+ 2 Спи-° т I

0 IС0и0- 0 1 +1С^ t CD У 2 L ) 2 D L 2 D L

при т . т^ Ь. М

CDu0 CD

При т = г5 = ^ «

CDu0 CD

Считая, что коэффициент гидродинамического сопротивления при обтекании потоком вихревой области Сд~1-2, найдем в рамках сделанных допущений, что отношение лагранжева масштаба к эйлерову в среднем близко к 3. Полученное соотношение между лагранжевым и эйлеровым масштабом турбулентности позволяет для определения коэффициента диффузии привлечь обширный экспериментальный материал по эйлеровским масштабам.

Как показали исследования [1], характерный эйлеров период Т сохраняется постоянным практически во всей толще потока несколько уменьшаясь лишь в непосредственной близости от его твердых границ. Значительное изменение шероховатости граничной поверхности не оказывает заметного влияния на этот характерный период

турбулентности. При этом оказалось, что безразмерный комплекс во всех иссле-

к

дованных случаях для плоских потоков оказался постоянным и равным 6,5=7 для продольных пульсаций, а для вертикальных - близким к 1. К.В. Гришанин, рассматривая диссипацию вихрей, нашел, что период чередования вихрей, соизмеримых с глубиной потока, равен:

Т = -

( С 2 ^

и

V Я ,

,1/^

Иначе это соотношение можно записать в виде:

Ти - _2

— "я1'

где X - коэффициент гидравлического сопротивления.

Это соотношение показывает, что безразмерный период чередования крупных вихрей зависит в слабой степени лишь от коэффициента гидравлического сопротивления. Ин-

Ти

тересно отметить, что при среднем значения 1=0,025 соотношение дает — = 6,75 , что

-

близко к значению аналогичного параметра ~~~~, установленному для лагранжева масштаба.

Используя установленное выше соотношение между лагранжевым и эйлеровым масштабами = 6,2 и принимая эйлеров масштаб в среднем равным -, найдем, что

Ьэ

коэффициент турбулентной диффузии равен

О = и'Ьл = 2и* • 6,2- = 12,4и*-

— ~ 12,5 (18) и*-

Это соотношение соответствует среднему значению эффективного коэффициента продольной диффузии, определенному экспериментально, который представляет собой сумму коэффициентов продольной дисперсии и турбулентной диффузии [3]. Если же

принять ЬЭ~6Ь, то значение превысит 70. Такой коэффициент рассеяния примеси

и*-

встречается, как правило, лишь в потоках с ярко выраженной пространственной неоднородностью течения [5]. Коэффициент турбулентной диффузии От по данным экспериментальных измерений имеет значительно меньшую величину, близкую к 0,24. Это позволяет установить размеры вихрей ответственных за турбулентный диффузионный перенос примеси в потоке:

— = = = 0,12-

и 2и*

— « 0,02- .

С использованием известного соотношения для микромасштаба турбулентности

1Т [4]:

1 2 <п

1 = ^

^т и 0

где Б(п) -спектральная плотность пульсаций скорости;

ВЕСТНИК МГСУ

п - текущая частота пульсации;

и полученных энергетических спектров Б(п), было установлено [1], что эйлеровские продольные микромасштабы продольных пульсаций близки к (0,15=0,25)-. Очевидно, что вихри, осуществляющие турбулентную диффузию примеси, имеют еще более мелкие масштабы. Как известно, наиболее мелкими масштабами турбулентности являются масштабы диссипации. Состояние этих вихревых структур определяется согласно гипотезе А.П.Колмогорова непосредственным действием только сил вязкости. Эти вихри находятся в состоянии локальной изотропии, т.е. вследствие малости масштабов не подвержены непосредственному влиянию осредненного течения и сдвиговых эффектов. В условиях локальной изотропии движение вихрей зависит только от одного параметра - скорости диссипации энергии £. В одномерном течении:

£ = V

/ — \2 du'l

-

Масштаб диссипации I* связан со скоростью диссипации и кинематической вязкостью следующим соотношением

( 3 У/4

* =

V

£

Подставляя приведенную выше оценку для £, находим эйлеровский масштаб диссипации:

* =

( 2,2 У/4

V П

2 и*

С учетом полученного ранее соотношения лагранжев масштаб диссипации равен:

( У/2

*=61*=6

( 2,2 Vм

у П

2 и*

и*-

Коэффициент турбулентной диффузии при этом равен:

/ \1/2

= 12

и*П

и*-

и*-

Динамическое число Рейнольдса- может изменяться в широких пределах. Для

упрощения дальнейших оценок выразим его через обычное число Рейнольдса и коэффициент гидравлического сопротивления:

и*П иП и* и-

Д

V V и V Дт1 _ 12^8 1 _ 20 1 и*П

Тогда

При среднем 1=0,02=0,03, имеем:

4/1 л/кё 41 ТКГ

коэффициента

значении

Он

и*П

50

ТКё

гидравлического сопротивления

Как известно, переход от ламинарного движения к турбулентному в трубе осуществляется при Re~2500. Согласно полученному соотношению безразмерный коэффициент турбулентной диффузии в этом случае близок к I. Обычно указываемое в

u*h

литературе [5] значение = 0,2 достигается при умеренных числах Рейнольдса

u*h

Re~5' 104, которые часто имеют место как в лабораторных, так и в натурных условиях.

Таким образом, проведенный выше анализ позволяет сделать вывод о том, что турбулентная диффузия примеси осуществляется мелкими вихрями, находящимися в интервале вязкой диссипации частотно-энергетического спектра.

Данная работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы.

Литература

1. Богомолов А.И., Боровков B.C., Майрановский Ф.Г. Высокоскоростные потоки со свободной поверхностью. М., Стройиздат, 1979.

2. Брянская Ю.В., Маркова И.М., Остякова A.B. Гидравлика водных и взвесенесущих потоков в жестких и деформируемых границах. М., АСВ, 2009.

3. Брянская Ю.В., Богомолова Т.Г., Маркова И.М. Диффузия соединений тяжелых металлов из загрязненных русловых отложений в речную воду. // Academia. Архитектура и строительство. 2010. №3, с. 538-543.

4. Хинце И.О. Турбулентность. М., государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

5. Шеренков И.А. Прикладные плановые задачи гидравлики спокойных потоков. М., Энергия, 1978.

The literature

1. Bogomolov A.I., Borovkov V.S., Mairanovsky F.G. The high speed flows with free surface. M., Stroiizdat, 1979.

2. Bryanskaya Y.V., Markova I.M., Ostyakova A.V. Hydraulics of water and suspended load flows in hard and deformation limits. M., ASV, 2009.

3. Bryanskaya Y.V., Bogomolova T.G., Markova I.M. Diffusion of hard metals from into river water. // Academia. Architecture and construction. 2010. N3, p. 538-543.

4. Hinze J.O. Turbulence. McGrow-hill series in mechanical engineering. Second edition. 1975.

5. Sherenkov I.A. Application plan problems of quiet stream hydraulics. M., Energiya, 1978.

Ключевые слова: турбулентность, масштабы турбулентности, турбулентная диффузия, перенос примесей, водный поток, пульсации скорости

Key wards: turbulence, turbulent scales, turbulent diffusion, substance transfer, water flow, velocity fluctuations

e-mail авторов: mgsu-hydraulic@yandex.ru

Рецензент: Щербаков А.О., канд. техн. наук, зав. отделом гидротехники и гидравлики ГНУ

ВНИИГиМ Россельхозакадемии