Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах с неизвестными возмущениями

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Управление, вычислительная техника и информатика № 3

УДК 517.511

В.И. Смагин, С.В. Смагин

ФИЛЬТРАЦИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

Рассматривается алгоритм синтеза оптимального фильтра, определяющего оценку вектора состояния дискретной линейной нестационарной динамической системы с аддитивными возмущениями, содержащими неизвестную постоянную составляющую. Приводятся результаты вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: линейные дискретные нестационарные системы, фильтр Калмана, неизвестные возмущения.

В работах многих авторов большое внимание уделяется разработке алгоритмов калмановской фильтрации для класса систем с неизвестными аддитивными возмущениями и параметрами, которые могут использоваться в качестве моделей реальных физических систем, моделей объектов с неизвестными сбоями.

Известные методы вычисления оценок вектора состояния базируются на алгоритмах, использующих оценки неизвестного возмущения [1 - 11]. В работах [1, 2] рассматриваются алгоритмы расширения пространства состояний (к основной модели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения) и алгоритм двухэтапной фильтрации, уменьшающий вычислительные затраты за счет декомпозиции задачи. В работах [3 - 11] изучены алгоритмы рекуррентной оптимальной фильтрации, использующие оценки неизвестного возмущения, имеющие достаточно жесткие условия их разрешимости.

В настоящей работе для дискретного нестационарного объекта с неизвестной постоянной составляющей возмущений предлагается метод оптимальной фильтрации, не использующий оценки неизвестного возмущения. Метод базируется на преобразовании модели и сведении к задаче линейной калмановской фильтрации [12 - 14]. В настоящей статье обобщаются результаты [15] на случай решения задачи для нестационарного дискретного объекта.

1. Постановка задачи

Рассматривается дискретная система, которая описывается следующими разностными уравнениями:

x

где x(k) e Rn - вектор состояния; A(k) - nxn-матрица; f - неизвестный постоянный вектор; q(k) - белая гауссовская случайная последовательность с характери-

стиками

M {q

Канал наблюдений имеет вид

y

y(k) e R1 - вектор измерений; S(k) - матрица размерности l x n ; v(k) - белая гаус-

совская случайная последовательность ошибок измерений, с характеристиками:

М{у

для матриц (£(к), А(к)) выполняются условия наблюдаемости. Вектор х0 является случайным и не зависит от от процессов д(к) и у(к), при этом

М{х(0)} = хо, М {(х(0) - Хо )(х(0) - Хо)т } = Ро .

Для системы (1) и канала наблюдений (3) требуется синтезировать фильтр, вычисляющий оценку вектора состояния, не использующий оценки неизвестной постоянной составляющей возмущений.

2. Синтез фильтра

Преобразуем дискретную систему (1). Исключаем постоянную составляющую возмущений / из описания объекта посредством вычитания из уравнения (1) такого же уравнения, но со сдвигом на один такт:

х

В результате получаем следующее уравнение:

х

Расширим пространство состояний системы путем добавления к уравнению (6) тождества х(к) = х(к). Обозначим

X

Систему (1) представим в векторно-матричной форме

X

где А (к) - 2п х 2п -матрица имеет следующую блочную структуру:

-к) = ( А<кЕ+ Еп -А<0 - 0 ^. (

Случайный вектор X0 = (х^ х-1 )т имеет следующие характеристики:

М{X

где X0 = (х0т х- )т . Отметим, что здесь дополнительно вводится п-мерный вектор х-1, который является независимым от д(к) и у(к), а характеристики (10) могут быть получены по априорной информации об объекте (1).

Отметим, что в рассмотренной модели (8) процесс д (к) не является белой гауссовской последовательностью, процессы д (к) и д (к -1) будут коррелированны:

Q(k), если у = к,

Q

0, если 0 < ] < к -1,

М{д (к) д т (у)} =

где Q{k) = |'«к> + «к-1) 0), Q<k-1) =

Представим канал наблюдений для расширенной системы (8) в виде

у

где 5 (к) = (5(к) 0), v(k) - случайная последовательность ошибок измерений с характеристиками (4).

В качестве уравнения для вычисления оценки вектора состояния расширенной системы выберем уравнение, по своей структуре совпадающее с фильтром Кал-мана:

Х

Учитывая (8) и (14), получим следующее уравнение для ошибки е(к) = Х(к) - X(к):

е

В силу (11) и (15), матрица Р (к) = М{е(к )ет (к)} определится из следующего разностного уравнения:

Р(к +1) = (Л(к) - К (к)5(к +1)Л (к))Р(к)(Л(к) - К (к)5(к +1)Л (к))т +

+(К (к) 5 (к +1) - Е2п Йк)(К (к )5 (к +1) - Е2п )т + К (к) V (к +1) Кт (к) +

+(Л(к) - К (к )5 (к +1) Л(к))(К (к -1)5 (к) - Е2п) х

х0(к -1)( К (к) 5 (к +1) - Е2 п )т + (К (к )5 (к +1) - Е2п) х

х0

Оптимизируемый критерий зададим в виде

3

Оптимальные коэффициенты передачи фильтра К(к) определяются из условия

3

dK

= 0.

Учитывая (17) и правую часть уравнения (16), применяя правила матричного дифференцирования следа от матрицы [16], получим из условия (18) уравнение для определения матрицы К(к):

- Л (к) Р (к) Л(к )т 5 (к + 1)т + К (к) 5 (к +1) Л (к) Р (к) Л(к )т 5 (к + 1)т +

+К (к) 5 (к + 1)^(к )5 (к )т - &(к) 5 (к + 1)т - К (к) 5 (к + 1)0(к -1) х х5 (к )т К (к - 1)т Л(к )т 5 (к + 1)т + К (к) 5 (к + 1)0(к -1) Л(к )т 5 (к + 1)т -

-К (к) 5 (к +1) Л(к) К (к -1) 5 (к )0(к -1)5 (к + 1)т +

+К (к )5 (к +1) Л(к )0(к -1) 5 (к + 1)т + 0(к -1)5 (к )т К (к - 1)т х хЛ(к)т 5(к + 1)т - 0(к -1)Л(к)т 5(к + 1)т -Л(к)0(к -1)5(к + 1)т +

+Л

Решение последнего уравнения относительно К(к) дает следующий результат:

К

где P(к) = Л (к)P(к)Л(к)т + Q(k - 1)(E2n - S(к)т K(к - 1)т )Л(к)т +

+A

Отметим, что для вычисления коэффициентов передачи (20), в силу (21), необходимо задать начальные значения коэффициентов K(-1).

Подставив в уравнение (16) выражение для оптимального коэффициента передачи (20), получим уравнение

P

Основной результат сформулируем в виде теоремы, учитывая симметричность и блочное представление матриц P(к) и P(к):

P

IР 2

блочные структуры матриц Л(к), Q(k), Q(k), S(к) и представление матрицы K(к) в виде

k

Теорема. Пусть процесс с неизвестным постоянным возмущением определяется уравнениями (1) и канал наблюдений имеет вид (3). Тогда оптимальный алгоритм фильтрации определится следующими разностными уравнениями: x(k +1) = (A (k) + En) x(k) - Л (к -1) x(k -1) + K1 (к)(y(k +1) -

- S

с начальными условиями

x

Матрица Kx (k) в (25) определяется по формуле

K

где матрица р (к) в^гчисляется из системы уравнений

Р(к) = (Л (к) + En)р1(к)(Л (к) + En )т - Л(к -1) Р2(к)(Л (к) + En )т -

-(Л( к) + En) рТ (к) Л( к - 1)т + Л (к -1) р3(к) Л (к - 1)т + Q( к -1) S (к )т Kj(k - 1)т х х( Л (к) + En )т - Q(k -1) S (к )т K2 (к - 1)т Лт (к -1) +

+(Л( к) + En) Kj (k -1) S (k) Q( k -1) - Л( k -1) K2 (k -1) S (k) х xQ (k -1) - (Л(к) + En )Q(k -1) - Q(k -1)( Л(к) + En )T + Q(k) + Q(k -1),

Р2 (к) = #(k)(Л(к) + En )T - p2 (к)Л(к - 1)T +

+K1 (k - 1)S(k)Q(k -1) - Q(k -1), ^3 (k) = p1 (k),

Р1 (k +1) = (En - K (k)S(k +1))p (к), Р1 (0) = Р10,

Р2 (k +1) = - K 2 (k) S (k +1) P (k) + p 2 (к), Р2 (0) = Р20,

Р3 (k +1) = -K2 (k)S(k +1) p2 (к) + Р3 (к), Р3 (0) = p^ ,

K2

В (28) начальные условия р10, р2 0, р3 0, являются соответствующими блоками матрицы Р0. Отметим, что для выполнения расчетов в (28) необходимо задать начальные условия для КД-1) и К2(-1).

Замечание. Управляемый объект

х

при исключении неизвестного постоянного возмущения / объекта, необходимо преобразовать к виду, который будет отличаться от (8) одним слагаемым:

X

где матрица А(к) приведена в формуле (9), д (к) имеет характеристики (11), (12). В (30) матрица В (к) имеет вид

В

Тогда уравнения фильтра будут следующими:

Х

с начальными условиями (26), а матрица К1(к) определяется в соответствии с (27) и (28).

3. Результаты вычислительного эксперимента

Рассмотрим применение алгоритма фильтрации для модели второго порядка вида (1) и канала наблюдений (3) со следующими значениями параметров:

( 0 1 А _ (0,01 0 А ТЛ

() = ^0,05 0,925 + 0,Ыи(0,01к)) ’  = [ 0 0,02} ’ = , ’

х = (1 1); Х0 =(иР0 =(100 100} (

Вычисление оценок вектора Х(к) можно выполнить, используя двухэтапный алгоритм фильтрации [2]. Модель измерений в этом случае с учетом (1) представляется в виде

у

Рекуррентные уравнения оценивания неизвестного вектора / имеют вид /(к +1) = /(к) + К/ (к)(у(к +1) - £А(к)Х(к) - Б/(к)), Д0) = /0,

Кг (к) = Рг (к) Бт (БРГ (к) Бт + ^т + V )-1,

Р/

где М{/} = /0, М{

Оценка вектора состояния для объекта с неизвестным постоянным входом задается уравнением:

х

где матрица Кх (к) определяет коэффициенты передачи фильтра Калмана. При моделировании используем

(01 Р =Г1,0 01 ,0 ] , Л { 0 1,0 ].

/ =

Применение расширенного фильтра Калмана [1] для данного примера (в этом случае уравнение (1) расширяется путем добавления уравнения /(к+1) = /(к)) приводит к необходимости построения фильтра Калмана для дискретной системы со следующими матрицами динамики, канала наблюдений и интенсивностей аддитивных возмущений:

( Л (к) К21 ( (б 01

0 Е2

0 0

Использование в данном примере методов, описанных в работах [4, 5, 8, 9], невозможно в силу невыполнения условий существования оптимальных оценок неизвестного входного вектора [4, 5, 8, 9]:

п > т и I > т .

В [4, 5, 8, 9] неизвестное возмущение определяется в виде / = Ой, где й - неизвестный т-мерный вектор, О - п х т -известная матрица. В рассмотренном примере О = Е2, п = 2, т = 2, I = 1, а это означает, что условия (40) не выполняются.

Применение алгоритма фильтрации исследовалось также для неизвестного переменного возмущения с тремя возможными значениями компонент вектора /:

1, если 0 < к < 9,

/1(к) = /2(к) = < -1, если 9 < к < 25,

1, если 25 < к < 50.

На рис. 1 приведены реализации процессов и их оценок для трех сравниваемых фильтров. Отметим, что при реализации алгоритма фильтрации (25), начальные значения К1(-1) и К2(-1) задавались нулевые.

-10

0

10

20

30

40

-10

к 0

10

20

30

40

к

Рис. 1. Реализации процессов и оценок

На рис. 2 приведены ошибки оценивания компонент вектора состояния.

Рис. 2. Графики ошибок фильтрации

Как видно из рисунков для рассмотренного примера, качество оценок, полученных с помощью фильтра (25), лучше, чем для двухэтапного алгоритма фильтрации и расширенного фильтра Калмана, использующих оценки неизвестного возмущения. Отметим также, что для алгоритма фильтрации (25) не нужно задавать априорную информацию о характеристиках распределения начальных значений 7 и Р/0 .

Ниже, в таблице, приведены средние значения среднеквадратических ошибок оценивания для трех рассматриваемых методов, рассчитанных по 50 реализациям. Как видно из таблицы, предложенный метод фильтрации (25) обеспечивает среднюю ошибку в 3 - 4 раза меньшую, чем другие методы.

Средние значения среднеквадратических ошибок для компонент вектора состояния

Алгоритм (25) Двухэтапный алгоритм Расширенный фильтр Калмана

е1>Ср = 0,0912 е1,ср = 0,3128 Єі,ср = 0,4103

Є2,ср = 0,0945 е2,ср = 0,2917 е2,ср = 0,4296

Заключение

Разработан алгоритм синтеза дискретного оптимального нестационарного фильтра для объекта, возмущения которого содержат неизвестную постоянную составляющую. Алгоритм построен на основе расширения пространства состояния и исключения из модели неизвестной составляющей. В отличие от классического фильтра Калмана, предложенный фильтр использует рекуррентные оценки, построенные на двух предыдущих тактах. Как показали результаты вычислительного эксперимента, алгоритм может быть применен для кусочно-постоянной неизвестной аддитивной составляющей возмущений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Astrom K., EykhoffP. System identification. A survey // Automatica. 1971. V. 7. P. 123-162.

2. FriedlandB. Treatment of bias in recursive filtering // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1969. V. AC-14. P. 359-367.

3. Chen J., Patton R. J. Optimal filtering and robust fault diagnosis of stochastic systems with unknown disturbances // IEE Proc. Control Theory Appl. 1996. V. 143. P. 31-36.

4. Darouach M., Zasadzinski M. Unbiased minimum variance estimation for systems with unknown exogenous inputs // Automatica. 1997. V. 33. P. 717-719.

5. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Full-order observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1999. V. AC-39. P. 606.

6. Gillijns S., Moor B. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems // Automatica. 2007. V. 43. P. 111-116.

7. Hou M., Patton R. Optimal filtering for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1998. V. AC-43. P. 445-449.

8. Hsieh C.-S. A unified solution to unbiased minimum-variance estimation for systems with unknown inputs // Proc.17th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul. Korea. July 6 - 11, 2008. P. 14502-14509.

9. Hsieh C.-S. Robust two-stage Kalman filters for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 2000. V. AC-45. P. 2374-2378.

10. Hsieh C.-S. Extension of the optimal unbiased minimum-variance filter for systems with unknown inputs // Proc. 15th IEEE International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Tokushima. Japan. 2007. P. 217-220.

11. Hsieh C.-S. Robust parameterized minimum variance filtering for uncertain systems with unknown inputs // Proc. American control conference. New York. 2007. P. 5118-5123.

12. Kalman R.E., Busy R. A new results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME J. Basic Engr. 1961. V. 83. P. 95-108.

13. Браммер К., ЗиффлингГ. Фильтр Калмана - Бьюси. М.: Наука, 1972. 200 с.

14. Пугачев В.С., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные уравнения М.: Наука, 1990. 630 с.

15. Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. 2009. Т. 45. № 6. C. 29-37.

16. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. № 1. С. 3-15.

Смагин Валерий Иванович

Смагин Сергей Валерьевич

Томский государственный университет

E-mail: vsm@mail.tsu.ru; ssv@fpmk.tsu.ru Поступила в редакцию 6 декабря 2010 г.