О структуре натуральных чисел на базе шести арифметических прогрессий

О структуре натуральных чисел на базе шести арифметических прогрессий.

Г. Г. Рябов, В. А. Серов

Аннотация—В статье на основании представления композиции инфинитарных структур "кратчайших к-мерных путей в п-кубе, глобального к-арного дерева и множества натуральных N "в виде шести бесконечных арифметических прогрессий развивается фундаментальное направление Дирихле о числе простых в арифметических прогрессиях и доказывается теорема о двух прогрессиях из этих шести, содержащих все простые числа. На этой же основе рассматриваются геометрико-топологическая конструкция и индуцированная на ней двумерная нумерация натуральных чисел. Приводятся примеры свойств натуральных, как следствия предложенных конструкций.

Ключевые слова—Бесконечные арифметические прогрессии, условия Дирихле, тернарное глобальное дерево, 3-кортежи, позиции натуральных в кортежах.

I. Введение

Р(> 4) —множество простых, больше 4 {5,7,11,13,...}, ^г = {г + 6т}—упорядоченное по возрастанию множество всех натуральных в арифметической прогрессии г + 6т, т е N .

III. Отображение натуральных N(> 4) на шесть

БЕСКОНЕЧНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЙ.

На основании композиции инфинитарных структур (кратчайших путей в n-кубе, k-арного глобального дерева и множества натуральных N), рассмотренной в [6]-[8] и графически представленной на рис.1, рассмотрим следующие последовательности натуральных, как членов бесконечных арифметических прогрессий в виде полос 6-полосной бесконечной трассы:

Последние годы отмечены интенсивными исследованиями в области изучения структур простых чисел с позиций числовой комбинаторики [1]-[5]. В данной статье развивается подход, рассматривающий ключевую роль шести бесконечных арифметических прогрессий, покрывающих все натуральные N(> 4) без пересечений и индуцирующих общую геометрическую конструкцию натуральных. В частности, доказывается, что две прогрессии из этих шести содержат все простые Р(> 4). На основе этих двух прогрессий проводится основная идея, которую очень грубо можно сформулировать так: все простые (не близнецы) это, в некотором смысле, не совсем удавшиеся близнецы (которым "помешали" составные в этих двух прогрессиях). Т.е. существует единая структура, как "генетическая программа" получения всех простых (и близнецов и не близнецов), действия на которой основаны на аддитивных свойствах натуральных.

II. Принятые обозначения

N — множество всех натуральных и 0, N (> 4) — множество натуральных, не меньше 4, P —множество всех простых,

Статья получена 3 марта 2016.

Г. Г. Рябов, НИВЦ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия (e-mail: gen-ryabov@yandex.ru).

В. А. Серов, НИВЦ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия.

1-ая полоса: S4 = {4 + 6m} = {4,10,16,22,28,34,40,46,52,58,64,70,76,82,88,94,100,...}

2-ая полоса: S5 = {5 + 6m} = {5,11,17,23,29,35,41,47,53,59,65,71,77,83,89,95,101,...}

3-я полоса: ^ = {6 + 6m} = {6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96,102,...}

4-ая полоса: S7 = {7 + 6m} = {7,13,19,25,31,37,43,49,55,61,67,73,79,85,91,97,103,...}

5-ая полоса: ^ = {8 + 6m} = {8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80,86,92,98,104,...}

6-ая полоса: S9 = {9 + 6m} = {9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99,105,...}

Рис.1 Глобальное тернарное дерево с нумерацией вершин, индуцированной отображенными в эти вершины троичными матрицами — биекциями кратчайших 3-путей в п-кубе между антиподальными вершинами. Спаренные 3-кортежи глобального тернарного дерева и спирали натуральных: [< 4,5,6 >< 7,8,9 >],[< 10,11,12 >< 13,14,15 >],[< 16,17,18 >< 19,20,21 >],[< 22,23,24 >< 25,26,27 >], [< 28,29,30 >< 31,32,33 >],[< 34,35,36 >< 37,38,39 >],....

Из приведенного представления очевидно: 54 и ^5 и ^6 и 57 и ^8 и S9 = N

Из соотношения: Р(> 4) с N(> 4), и следующих свойств

54, ^6, 5 и

Р(> 4) п 54 =0 (54 -четные), Р(> 4) п ^6 =0 ( 56-четные), Р(> 4) п ^ =0 ( ^8 -четные), Р(> 4) п 59 =0 ( 5 -делящиеся на 3), имеем:

N(>4)\и(54,56,58,59) = 55 и57 з Р(>4). Или, более компактно:

55 и 57 з P(> 4) Таким образом, доказана

Теорема: все простые числа, больше 4 принадлежат двум бесконечным арифметическим прогрессиям: 55 = {5 + 6т} и 57 = {7 + 6т}, т е N. При этом, 55 п 57 =0, 55 и 57 удовлетворяют условиям Дирихле: (5,6) = 1, (7,6) = 1 (т.е. 5 и 6—взаимно просты, 7 и 6— взаимно просты).

Каждому члену этих прогрессий поставим в соответствие номер (5 или 7) прогрессии и его порядковый номер в прогрессии т. В этих прогрессиях помимо простых содержатся и составные числа. Приведем вид этих множеств на начальном участке (простые отмечены более толстым шрифтом и подчеркиванием, составные—курсивом). Простые-близнецы (помеченные символом Т) имеют один номер т, но всегда принадлежат: меньший — к 55 и больший на два — к 57 :

m = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

55 = {5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89, 95, 101, 107, ...}

S7 = {7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103, 109, ...}

T T T T T T T T T

На основании свойств композиции предлагается следующий аддитивный метод последовательного вычисления составных в Б5 и Б7, как вариант решета.

Для каждого простого р е Б5 рассматривается его последовательное сложение с 4 р (результат принадлежит Б7), а затем с 2р (результат в Б5) и т.д. +4р , +2р , +4р , +2р ,... Все числа в этой последовательности—составные.

Аналогично с простыми из Б7, для которых последовательные сложения +4 р , +2 р , будут чередовать составные из Б7, Б5, Б7, Б5 . .(рис. 2). Столь тесная связь (переплетение) этих прогрессий позволяет рассматривать их как единое образование ("бипрогрессию") с двумя начальными простыми-близнецами (5 и 7).

Она напоминает спираль ДНК Крика-Уотсона,

связующими близнецы.

но

элементами являются простые числа-

Рис.2 В Б5 и Б7 простые показаны на белом фоне, составные на сером фоне (рядом с ними—их разложения на простые сомножители). В овалах значения 4р и 2р для соответствующих простых р . Эти значения показаны

только для р = 5(20,10);7(28,14);11(44,22).

Несколько простейших следствий из двумерной классификации для простых:

1. Простое р е Б5 и имеющее в десятичной системе концевую справа цифру 3 не может быть простым-близнецом. Аналогично, р е Б7 с концевой цифрой 7 не может быть простым-близнецом.

2. Места в Б5 и Б7, запретные для простых близнецов— следующие за числами с концевыми 9 и т.п.

Теперь перейдем к еще одному представлению N, в основе которого лежит отображение упорядоченных по возрастанию множеств чисел - членов арифметических прогрессий Б4 + Б9 в вершины, лежащие на ребрах бесконечной шестигранной призмы и винтовой спирали, натянутой на эту призму с шагом 6 (рис. 3). Плоская развертка этого представления есть представление (1).

Рис.3 Арифметическая топология натуральных чисел как вершин винтовой спирали на поверхности шестигранной бесконечной призмы. Множества натуральных в прогрессиях отображены на вершины вдоль ребер призмы. Все простые числа содержатся среди вершин, соответствующих прогрессиям Б5 и Б7 . Можно дать и другую интерпретацию винтовой отобразив каждое натуральное в параллелограмм со структуре натуральных на шестигранной призме,

сторонами 1 и >/37 /6 и углом а = п /2 + arcfg(1/6), и замостив грани призмы этими параллелограммами, которые образуют кусочно-плоскую винтовую структуру (рис. 4).

Рис. 4 Укладка параллелограммами граней бесконечной шестигранной призмы в соответствии с прогрессиями

54 • 5

IV. Заключение.

Свойства, следующие из двумерной нумерации натуральных (г —номер прогрессии (54 ^ 59) и т — порядковый номер числа в прогрессии), а также связей между шестью прогрессиями, как элементами групповой структуры, требуют более расширенного дальнейшего рассмотрения. Работа поддержана грантом РФФИ (проект 16-07-01071).

9

[6]

[7]

[8]

G. G. Ryabov, V. A. Serov, "On classification of k-dimension paths in n-cube," Applied Mathematics, 2014, vol. 5, no. 4, pp. 723-727. Available: http://dx.doi.org/10.4236/am.2014.54069 G.G. Ryabov, V.A. Serov, "Polymorphism of symbolic ternary matrices and genetic space of the shortest k-paths in the n-cube," International Journal of Open Information Technologies, 2015, vol. 3, no. 7, pp. 1-11. Available:

http://injoit.org/index.php/j1/article/view/214/173 Г. Г. Рябов, В. А. Серов, "Композиция инфинитарных структур," Вычислительные методы и программирование. 2015. Т. 16, №2. с.557-565. Электронный ресурс: http://num-meth.srcc.msu.ru/zhurnal/tom_2015/pdf/v16r452.pdf

Библиография

[1] Wei Sheng Zeng, Ziqi Sun, "A Simple Method for searching for Prime Pairs in the Goldbach Conjecture," arXiv:1505.01185 [math.GM], 4 May 2015. Available: http://arxiv.org/pdf/1505.01185v1

[2] Yoichi Motohashi, "The twin prime conjecture," arXiv:1401.6614v2 [math.NT], 16 Mar 2014. Available: http://arxiv.org/pdf/1401.6614v2

[3] D.H.J. Polymath, "New equidistribution estimates of Zhang type," arXiv:1402.0811v3 [math.NT], 3 Sep 2014. Available: http://arxiv.org/pdf/1402.0811v3

[4] Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard, Terence Tao, "Long gaps between primes," arXiv:1412.5029v2 [math.NT], 6 Apr 2015. Available: http://arxiv.org/pdf/1412.5029v2

[5] Janos Pintz, "Patterns of primes in arithmetic progressions," arXiv:1509.01564v2 [math.NT], 7 Sep 2015. Available: http://arxiv.org/pdf/1509.01564v2

On natural numbers structure on the basis of six arithmetical progressions.

G. G. Ryabov, V. A. Serov

Abstract—In the article the fundamental direction of Dirichlet about the number of primes in arithmetical progressions on the basis of infinitary structures composition ("k-dimensional shortest paths in n-cube, global k-ary tree and the set of natural numbers") representation in the form of six infinite arithmetic progressions is developed.

The theorem on two progressions from these six containing all prime numbers is proved.

The geometric-topological construction and the two-dimensional numbering of natural numbers induced on it are considered on the same basis.

Examples of natural numbers properties as consequences of the offered constructions are given.

Keywords—Infinite arithmetical progression, Dirichlet condition, ternary global tree, 3-tuples, natural number positions in tuples.