Методика использования систем задач, сконструированных методом «Снежного кома», на уроках геометрии

УДК 372. 8. 851

Г. И. Ковалева

МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СИСТЕМ ЗАДАЧ, СКОНСТРУИРОВАННЫХ МЕТОДОМ «СНЕЖНОГО КОМА», НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Рассмотрена суть одного из методов построения систем задач - метода «снежного кома», доказана эффективность использования систем задач, сконструированных методом «снежного кома», и описана методика их включения в процесс обучения на разных этапах урока геометрии.

Ключевые слова: система задач, процесс конструирования систем задач, метод «снежного кома», методика использования систем задач.

Педагогами и психологами доказано, что для эффективности достижения целей образования необходимо использовать в учебном процессе систему задач. Под системой задач будем понимать совокупность подобранных в соответствии с поставленной целью задач, действующих как одно целое, взаимосвязь и взаимодействие которых приводит к заранее намеченному результату.

Правильно сконструированная система задач по математике обеспечивает полноту представлений школьников об изучаемом объекте, облегчает математическое обобщение, способствует гибкости, глубине и осознанности знаний. Организация обучения посредством решения систем учебных задач позволяет повторить, обобщить и систематизировать ранее изученный материал, увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики, вооружить учащихся различными методами решения основных типов задач.

Описание методов конструирования циклов взаимосвязанных задач, различных по формулировке, по сюжету, но имеющих общее дидактическое назначение, служащих достижению одной цели, обобщение многочисленных приемов, используемых для их составления, - важная методическая проблема.

Одним из методов конструирования систем задач является метод «снежного кома», который предполагает при решении каждой задачи системы использование результата решения предыдущей задачи. Таким образом, последовательность задач в системе «снежного кома» строго фиксированная.

Так как результатом решения задачи могут быть как доказанный факт об объекте, так и метод, реализованный в решенной задаче, то выделим две разновидности «снежного кома».

В первом случае идет использование доказанного утверждения. Приведем примеры таких задач.

1. Докажите, что прямая, проходящая через вершину равнобокой трапеции параллельно ее боковой стороне, отсекает равнобедренный треугольник.

2. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.

3. Докажите, что у равнобокой трапеции диагонали равны.

4. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

В С

АКБ

Решение:

1. В равнобокой трапеции АВСБ прямая ВКпараллельна стороне СБ. Докажите, что треугольник АВК - равнобедренный. По определению КВСБ - параллелограмм. Тогда стороны ВК и СБ равны. А по условию стороны трапеции АВ и СБ равны. Следовательно, отрезки АВ и ВК равны и треугольник АВК -равнобедренный.

2. При решении второй задачи воспользуемся доказанным выше фактом. Для этого проведем прямую АК, параллельную стороне СБ равнобокой трапеции АВСБ.

Треугольник АВК - равнобедренный. Тогда АА = АК. А АБ = АК как соответственные при параллельных прямых ВК и СБ и секущей АБ. Следовательно, АА = АБ.

3. Чтобы доказать, что у равнобокой трапеции АВСБ диагонали АС и ВБ равны, достаточно доказать равенство треугольников АВБ и АСБ. Для этого воспользуемся результатом решения предыдущей задачи, что АА = АБ.

В С

Тогда треугольники АВБ и АСБ будут равны по двум сторонам и углу между ними.

4.

В N С

у=135°. По теореме косинусов найдем третью сторону: с2 = 32 + (2\/2)2 -2 • 3 • 2л/2 • 00845° или

с2 = 32 + (2л/2)2 - 2 • 3 • 242 • 008135° . Отсюда с = >/5

или с = л/29 .

3. Чтобы найти длину стороны ВС, достаточно знать длину БС, так как ВС = 2БС. Длину БС можно узнать как в предыдущей задаче, используя тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих:

SBD= SADC= 24-

MN и PL - средние линии треугольников ABC и ACD соответственно. Следовательно, они параллельны диагонали AC и равны ее половине. Тогда отрезки MN и PL - параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник MNPL - параллелограмм.

Чтобы доказать, что он является ромбом, достаточно показать равенство соседних сторон MN и NP. NP - средняя линия треугольника BCD. Тогда

NP = "2BD . По предыдущей задаче BD = AC .

Следовательно, MN = NP.

Вторая разновидность рассматриваемого метода предполагает повторение операции предыдущей задачи. Наращивание «снежного кома» идет за счет добавления новой операции. Система задач, построенная таким методом, имеет следующую структуру: для решения первой задачи необходимо выполнить всего одну операцию; решение второй задачи предполагает выполнение подобной операции плюс еще одной операции; в следующей задаче системы, кроме двух ранее сделанных, выполняется новая, третья, операция и т. д., пока не дойдет до достаточно сложной задачи, решение которой предполагает выполнение большого количества операций.

Например:

1. Площадь треугольника равна 100, а две его стороны равны 40 и 10. Найдите угол между этими сторонами.

2. Две стороны остроугольного треугольника равны 2^2 и 3, а площадь этого треугольника равна 3. Найдите третью сторону.

3. Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите сторону BC, если сторона AC равна 8, длина медианы AD равна 10.

Решение:

1. Воспользуемся формулой S =1 ab sin у. Имеем 100 = —10 • 40 • sin у, sin у =1, у = 30° или

2 2

у = 150°.

2. Найдем угол между известными сторонами треугольника, как это делали в предыдущей задаче:

1 л/2"

3 = — • 2V2 • 3 • sin у, sin у = ~, у=45° или

В

с

24 = —-10 • 8 • sin у, sin у = 0.6,

2 '

cos а

= -у/1 - sin2 а = 0.8.

БС2 = 102 + 82 - 2-10 • 8 • 0.8 = 36, БС = 6, ВС = 12.

Системы задач, составленные методом «снежного кома», могут быть использованы на разных этапах урока.

1. Цель этапа актуализации - выделение опорных знаний и приведение их в «боевую» готовность. Зачастую учителя в начале урока пытаются «освежить» опорные знания путем опроса учащихся. На самом же деле нельзя ограничиваться вопросами типа: «что называется», «сформулируйте правило», «каким свойством обладает» и т. п. Ведь для того чтобы хорошо усвоить материал, учащиеся должны вспомнить не только ранее изученную теорию, но и методы ее использования (методы решения, рассуждения, опровержения, доказательства). Поэтому основным средством актуализации знаний учащихся является задача. Для того чтобы выстроить иерархию внутри-предметных связей, свойственных повторяемому и изучаемому математическому содержанию, необходимо использовать систему задач, например построенную методом «снежного кома».

Приведем пример. Пусть на уроке должна изучаться теорема о суммах длин противоположных сторон описанного четырехугольника. Анализируя ее доказательство, замечаем, что в нем используется теорема о равенстве отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. Учащиеся к этому моменту могут не помнить данной теоремы, поэтому це-

лесообразно предложить им выполнить систему задач:

1. Из точки А к окружности с центром в точке О проведена касательная АВ, которая касается окружности в точке В. Найдите величину угла АВО.

2. Из точки А к окружности проведены две касательные, касающиеся окружности в точках В и С. АВ = 3. Чему равна длина АС?

3. Прямые АВ и АС касаются окружности в точках В и С. Угол ВАС равен 70°. Найдите углы АВС и АСВ.

2. Этап создания мотивации. Очень трудно создать мотивацию словесно. В методической литературе довольно часто встречается утверждение, что мотивировать изучение материала нужно с помощью постановки проблемной задачи. Этот прием наиболее удачен, но и у него есть недостатки. Для того чтобы учащиеся правильно восприняли предложенную задачу, необходимо осознание ими того, какими знаниями они уже обладают, а каких знаний еще не хватает. Здесь эффективно использование системы задач, когда решение первых задач системы не вызывает у них затруднений, а последняя задача дает четкое представление о необходимости получения новых знаний или умений.

Например, для мотивации изучения теоремы косинусов при решении треугольников можно предложить следующую систему задач.

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6, а острый угол 60°. Найдите остальные элементы треугольника.

2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12, а угол при основании 30°. Найдите основание треугольника.

3. Дан остроугольный треугольник, две стороны которого равны 4>/2 и 7, а угол между ними равен 45°. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Учащиеся без труда справляются с решением первой задачи. Проведя высоту из вершины равнобедренного треугольника, тем самым разбив его на два прямоугольных треугольника, учащиеся сводят вторую задачу к первой. Решение третьей задачи вызывает у большинства учащихся затруднение. Хотя «сильные» учащиеся и могут предложить способ решения (все-таки задача находится в системе), учитель, пользуясь затруднением большинства, подводит учащихся к осознанию проблемы: что они знают, как найти стороны прямоугольных и равнобедренных треугольников, а способ нахождения стороны произвольного треугольника еще предстоит открыть.

3. На этапе изучения нового материала целесообразно использовать систему задач, решение которых приводит к идее доказательства теоремы либо к ознакомлению с существенными признаками понятий, а также задач, в процессе решения которых учащиеся самостоятельно «открывают» и формулируют новые теоремы. Благодаря своей структуре, система

задач поможет учащимся шаг за шагом проследить все связи, закономерности и особенности материала, и это обеспечит осознанность усвоения ими новых знаний.

Например, сформулируем последнюю рассмотренную задачу в общем виде: «В треугольнике АВС , АВ = с, АС = Ь, АВАС = а. Найдите ВС» и представим ее требование как систему задач, составленную методом «снежного кома». Тогда постепенное продвижение учащихся от задачи к задаче позволит им самостоятельно открыть новое соотношение между сторонами и углами в треугольнике.

В

Найдите: 1) AD; 2) DC; 3) BD; 4) BC.

AD = c • cos a, DC = b - cos a,

BD = c • sin a, BC2 = BD2 + DC2,

BC2 = (c • sin a)2 + (b - cos a)2,

BC2 = b2 + c2 - 2bc • cos a.

4. Основное назначение системы задач на этапе формирования умений и навыков - довести знания до полного усвоения и применения их как в стандартных, так и нестандартных условиях.

Рассмотрим следующую систему:

1. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около данного треугольника окружности.

2. Докажите, что площадь треугольника можно

вычислить по формуле S = .

4R

3. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 16 см?

4. Найдите радиус описанной около трапеции окружности, если ее основания равны 10 см и 24 см, а высота 17 см.

D

Решение:

1.

Пусть AD - диаметр описанной около треугольника ABC окружности. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, угол ACD - прямой. Тог-

AC

да AD =----------- .

sin /ADC

/ABC = /ADC, как вписанные, опирающиеся на одну дугу АС.

AC

Следовательно, AD =------------.

sin /ABC

Таким образом, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около данного треугольника окружности.

2. Площадь треугольника можно вычислить по

формуле S = 1 ab sin у. По доказанному выше утверждению c = 2R, откуда sin у = -^—. Подставляя в sin у 2R

формулу площади, получим S = .

4R

3. Воспользуемся результатом решения предыдущей задачи R = a—. Площадь треугольника найдем

4S

по формуле Герона: S =,/p(p - a)(p - b)(p - c). В нашем случае S = 418 • 8 • 8 • 2 = 48 . Следовательно,

r = 10-10.16 = 81.

4 • 48 3

4. Чтобы использовать формулу, выведенную в предыдущей задаче, рассмотрим треугольник ABD. Найдем его площадь как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

SABD _ 2 • 24-17 = 204.

Лгг_ 24-10 Найдем , AK _ —-— _ 7 ,

D

АВ = у/72 +172 =7338 = 13л/2 , КБ = 24 - 7 = 17, ВБ = >/172 +172 = 1^72 .

„ 1^л/2 • 1^л/2 • 24

Тогдай=——=13.

Первая задача в системе - следствие из теоремы синусов, знание которого обязательно для всех учащихся. Решение каждой следующей задачи системы сложнее решения предыдущей. Недаром систему задач, составленную данным образом, назвали «снежным комом». Однако раскрыв перед учащимися суть конструирования системы задач, учитель дает им эвристику, подсказку, как решить каждую следующую задачу системы, тем самым активизируя их познавательную деятельность.

Вовлекая субъектов образовательного процесса в активную учебно-познавательную деятельность, системы задач, составленные методом «снежного кома», способствуют развитию познавательного интереса обучающихся учебному предмету, то есть усиливают развивающую функцию обучения.

Как видно из рассмотренных примеров, возможность индивидуальной траектории при решении таких систем задач, возрастание уровня сложности и трудности задач обеспечивают дифференциацию обучения.

Представленные системы задач, являясь сложной задачной конструкцией, соединяющей в себе несколько обыкновенных задач, можно рассматривать как одно из средств реализации концепции укрупнения дидактических единиц в обучении математике, хорошо зарекомендовавшей себя в практике общеобразовательных школ.

Таким образом, в зависимости от поставленных дидактических целей в учебном процессе на каждом этапе урока могут быть использованы системы задач, построенные методом «снежного кома».

Список литературы

1. Ковалева Г. И. и др. Теория и методика обучения математике: Конструирование систем задач. Волгоград: Изд-во ВГПУ «Перемена», 2008. 156 с.

Ковалева Г. И., кандидат педагогических наук, доцент.

Волгоградский государственный педагогический университет.

Пр. Ленина, 27, г. Волгоград, Волгоградская область, Россия, 400013.

E-mail: kovalev_kv68@mail.ru

Материал поступил в редакцию 19.11.2009

G. I. Kovaleva

METHODS OF USING TASK COMPLEX CONSTRUCTED BY «SNOWBALL» TECHNIQUE AT GEOMETRY CLASSES

The article considers «snowball» technique as one of task complex constructing methods. The efficiency of the technique is proved and the methods of using it at Geometry classes are described.

Key words: complex of tasks, process of task complex constructing, "snowball” technique, methods of using task complex.

Volgograd State Pedagogical University.

Pr. Lenina, 27, Volgograd, Volgogradskaya oblast, Russia, 400013.

E-mail: kovalev_kv68@mail.ru