Стохастическая модель начального периода функционирования страховой компании с учетом риска разорения

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Студенческая наука

№ 150

УДК 339.724.4

СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАЧАЛЬНОГО ПЕРИОДА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ С УЧЕТОМ РИСКА РАЗОРЕНИЯ

В.А. БАХМАЧ, Е.С. КУНАК, М.А. РАДЬКОВА

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Статья подготовлена под руководством доктора технических наук, профессора Кузнецова В.Л.

Построена стохастическая математическая модель функционирования страховой компании на начальном этапе ее работы с учетом риска разорения. Поток страховых случаев смоделирован неоднородным пуассоновским потоком. Найдено выражение для вероятности разорения страховой компании. Описан способ построения имитационной модели.

Введение

В практической деятельности человека часто встречаются ситуации с возможными негативными исходами, именуемыми рисками. Существование рисков для жизни, собственности, окружающей среды и т.д. породило необходимость создания индустрии страхования, которая обеспечивает финансовое покрытие возможных потерь. Решение задач страхования базируется на применении законов теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов. К числу подобных задач относятся задачи, связанные с построением различных моделей деятельности страховых компаний.

Страховая компания представляет собой обособленную структуру, осуществляющую заключение договоров страхования и их обслуживание. Клиенты страховой компании, страхователи уплачивают страховые премии, таким образом, у компании появляются денежные средства и одновременно обязательства перед страхователями - возместить ущерб по страховым случаям (страховое возмещение).

В последнее время в нашей стране начал активно развиваться страховой бизнес. В силу этого актуальными становятся расчеты величин страховых премий, стартового капитала и других параметров функционирования страховой компании на начальном этапе ее работы.

Данная статья посвящена разработке математической модели начала функционирования страховой компании с учетом рисков разорения.

1. Постановка задачи

Рассмотрим страховую компанию, которая начинает функционировать в некоторый момент времени I = = 0 с начальным капиталом . В базовой модели мы не будем учитывать эффек-

ты, связанные с динамикой популярности компании, затратами на аренду помещений, выплачиваемой заработной платой сотрудникам компании и налоговыми отчислениями. Характеристики потока клиентов страховой компании будем считать известными. Необходимо определить вероятность возможного разорения компании к моменту времени t > t0 как функцию величин начального капитала £0, страховой премии X и страхового возмещения ).

Эти параметры и являются управляемыми параметрами модели. Их следует (по возможности) выбирать так, чтобы вероятность разорения компании была мала.

2. Основные приближения модели

При анализе деятельности страховой компании будем использовать следующие приближения:

1. Портфель рисков, принимаемых на себя страховой компанией, минимален, т.е. страхованию подлежит лишь один риск.

2. Поток страхователей является однородным пуассоновским.

3. Страховая премия вносится одноразово в момент заключения страхового договора, продолжительность договора - Т одинакова для всех и является параметром задачи. При этом рассматриваемый интервал времени меньше продолжительности договора.

4. При наступлении страхового случая, независимо от его тяжести, выплачивается вся оговоренная сумма.

5. Интенсивность наступления страховых случаев значительно ниже интенсивности заключения договоров страхования и зависит лишь от количества застраховавшихся в данный момент времени t и от особенностей страхуемого риска.

6. Страховые выплаты производятся в момент наступления страхового случая, т.е. не учитывается реальная задержка с выплатами.

7. Модель не учитывает перестрахования, т.е. возможности передачи на согласованных условиях части ответственности по рискам другим страховщикам с целью создания по возможности сбалансированного страхового портфеля, обеспечения финансовой устойчивости и рентабельности страховых операций.

3. Построение математической модели функционирования страховой компании

3.1. Моделирование входных потоков страхователей и страховых случаев на начальном этапе работы компании

Пусть компания в начальный момент времени t0 = 0 имеет начальный капитал S0 > 0. Тогда случайная величина S(t), описывающая капитал компании к моменту времени t > t0, принимает значение:

S (t ) = S0 +X'ni{t )-h- n2 (t) , (1) где n1 (t) - случайное число застраховавшихся на интервале (0, t) ;

n2(t) - случайное число наступивших страховых случаев на интервале (0,t) ;

X =const - величина страховой премии, вносимая при заключении договора;

h =const - величина страхового возмещения.

Компания объявляется «банкротом», если в момент времени t S(t) = 0 (т.е. если размер выплат по страховым случаям превысит размер взносов и капитал компании):

hn2

Неравенство (2) - это математическая запись условия банкротства компании.

Приход клиентов в компанию моделируется пуассоновским потоком, т.е. n1 (t) - случайная величина, распределенная по закону Пуассона. Это означает: вероятность того, что на интервале времени (0, t) застрахуется к клиентов, равна [1]:

P

где l = const - параметр пуассоновского потока (интенсивность прихода клиентов).

Среднее число страхователей можно определить как < п >= ^ п1 • Р(п1) и с помощью не

сложных вычислений получить, что:

< п1 >= 1.

Наступление страховых случаев будем описывать неоднородным пуассоновским потоком, интенсивность которого 1(1) зависит от числа страхователей (неоднородность будет показана далее).

Для упрощения дальнейших выкладок положим, что 12 является функцией от среднего количества страхователей - 12 = /(< п1 >).

Будем предполагать, что интенсивность наступления страховых случаев 12 = 1 < п1 >. Учитывая равенство (4), получаем: 12 = 11.

Покажем, что в этом случае интенсивность потока страховых случаев является неоднородным пуассоновским процессом. Для этого рассмотрим описание процесса наступления страховых случаев как частный случай процесса рождения-гибели с интенсивностью процессов гибели, равной нулю.

Запишем систему уравнений Колмогорова для данного процесса [1]:

Р0 = -Мр0 Р =(Ро -Р)11‘

Р. = (Р-1 - Р. її

где: р - дифференцирование по времени і.

її2

Решение первого уравнения системы (5) имеет вид: Р0 (I) = е 2 .

Последующие уравнения системы (5) являются линейными однородными дифференциальными уравнениями первого порядка, общий вид которых у + а( х) у = Ь( х). Их решение можно представить в виде [2]:

При этом, поскольку:

у( х) = €е~1* ^ + е'1 * *)‘" • | Ь( х).

Г0, при і ф 0

р (0) = 11 Р • 0 ^ с = 0

11, при і = 0

I а(x)dx

7*

і є N.

В итоге получаем:

Р

їіїі2 2

Р(і ):

їїі

2 її2

2

Р2 (< ):

2Ч2 ї1їі2

2

2 8 В приведенных соотношениях просматривается общий вид зависимости:

2\ п 112

Р. (і):

(їїі2)" и!-2и

Докажем его справедливость методом математической индукции. Действительно, положим:

2

Є

2 )

n!2n

2 \ n

Воспользуемся уравнением для Рп+1^). Представим его в виде:

+р, л=е *

Ж 1 и!-2

Его решение можно записать следующим образом:

-ll- (lit2)n+1

(n +1)! • 2n

что совпадает по форме с (6).

Поскольку из предположения о справедливости (6) для п следует справедливость вида зависимости для п+1, то согласно методам математической индукции (6) истинно.

3.2. Вероятность разорения страховой компании

Рассмотрим следующий случайный процесс. Он равен 0, если компания продолжает работать на страховом рынке и равен 1, если компания разорилась. Реализация этого случайного процесса представлена на рис.1. Нетрудно убедиться в том, что это Марковский процесс, т.е. процесс, эволюция которого после любого заданного значения временного параметра I не зависит от эволюции, предшествовавшей I при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано.

Пусть Рп(0 - вероятность того, что до момента времени I страховая компания продолжает работать на страховом рынке, Р1 (^) - вероятность противоположного события. Очевидно, что:

роО)+р0) = 1.

Эволюция этих вероятностей описывается уравнениями Колмогорова, которые в данном случае имеют вид [1]:

dt= ~m(‘ )Р

at

dP

dt

где /л(1) - плотность вероятности перехода системы из состояния «функционирование» в состояние «разорение», определяемое формулой [3]:

Р

m

lim

Dt ——0

Dt

Начальные условия для такой задачи имеют вид:

Ро(0) = 1; р(0) = 0.

Решив систему уравнений (7), получаем:

t

- ¡М(^)Жт

р

Из уравнения (8) видно, что с ростом t вероятность разорения растет. Однако в (8) параметр ц(1) еще не определен.

Обсудим возможный способ вычисления Ц($) .

Условную вероятность можно выразить следующим образом:

2

е

е

, , , , (Вероятность того, ^

р(# + Л0 = 1 --(О = 0) = ДО,* что „—л «—» >^ <9>

^ ч# #'/ ^ /АI ^ /А/ ^ О ^

где / (5, ^ |50)^5 - вероятность того, что 5 находится в промежутке от 5 до 5 + Л5;

Лл^) и Лл2^) - независимые случайные величины, описывающие число вновь застрахованных и страховых случаев соответственно за время Лt.

В (9) капитал компании 5 фиксирован, мы же должны учесть все 5, поэтому наше соотношение примет следующий вид:

P

2 P

Причем нужно суммировать по таким парам (Ал 1з Ап2), которые удовлетворяют условию банкротства компании h Ап2 -X Ап1 > S . При суммировании необходимо оставить только такие члены, величины которых пропорциональны At.

Рассмотрим отдельно условие, налагаемое на пары (Ап1, Ап2) . Пары (Ап1, Ап2), которые лежат

выше прямой Ал2 =1 (S + X Ап1) на плоскости Ап1 х Ап2, соответствуют условию банкротства. h

Поскольку Ап1 (t) и Ап2 (t) - пуассоновские процессы, то в силу их ординарности мы можем записать следующее [3]:

• вероятность появления одного события за малое время At (т.е. прихода одного клиента либо наступления одного страхового случая):

Рпн =1At + o(At), С. =1At+o(At);

• вероятность появления двух или более событий:

РД.= o(At), Р*.= o(At);

• вероятность не появления события:

Р:„ =[1 -1At] + o(t), P*, =[1 -1At]+o(t).

Отбросим все пары (Ап1, Ап2), вероятность появления которых пропорциональна o(At).

Пару (1,1) исключим, т.к. совместное появление этих событий будет пропорционально (At )2. Из оставшихся вариантов мы получаем следующие три пары: (1,0), (0,1), (0,0).

Пары (1,0) и (0,0) не могут соответствовать условию банкротства, т.к. они не приводят к уменьшению капитала компании. Представляет интерес только вариант (0,1).

Итак, разорение компании за малое время At может произойти только, если за это время произойдет один страховой случай. При этом верхний предел в интеграле (10) можно заменить на hи записать (10) в виде:

h

P(z(t + At) = 11 z(t) = 0) = JdSf (S,t| S„)[Рп2 (1)P' (0)].

0

Плотность вероятности перехода компании в состояние банкротства будет иметь следующий вид:

h

1 Ч Ч

т) = — I М/ (5, 11 So)(Д2Лt )(1 ) = 11 / (5, 115о )<« •

— о о

Учитывая равенство (4), окончательная формула для ) примет вид:

0

m(t)=ijt- J f (S, 11 so)ds.

Таким образом, наша задача сводится к вычислению /(£, Ї | £0), что возможно сделать с помощью имитационной модели.

3.3. Методика построения имитационной модели для расчета функции распределения капитала компании

К моменту времени I значение случайной величины капитала компании £ определяется формулой:

£ ( +Х'П1</ )-7- П2 Ь ) ,

где и1(^) и п2(^) - случайные величины, которые следует смоделировать в эксперименте.

В пункте 3.1 были получены распределения случайных величин пх{1) и п2{1) . При каждой реализации случайного процесса к моменту времени I в компании страхуются п1 клиентов с

вероятностью P(n,) =

= (ML-it

стью P(n2) =

= (lit 2)n

n1!

jit2

е 1 , и с п2 клиентами происходит страховой случай с вероятно-

П2! -2n

Для генерации величин п1 и п2 воспользуемся следующим приемом. Определим их законы распределения в соответствии с выражениями:

F (n,) = t1--e

-1t F(П2) = e

1ї1і2

2

к=0 к! к=0 к !2

Качественный вид зависимости этих распределений представлен на рис.2.

Зафиксируем промежуток времени (0, ґ1) и реализуем случайный процесс. Для этого с помощью генератора случайных чисел выбираем числа ц є [0;1] и Д є [0;1] и определяем п|г) и п2) ,соответственно, по законам распределения (рис.За, 3б).

0

2

2

e

Тогда S(г> в данной реализации будет равен S(г> = S0 + £ • (t) - h • n20(t) .

Разобьем множество значений S на N полуинтервалов и зафиксируем номер интервала, в который попал результат первого эксперимента. Повторим описанную процедуру 106 раз. Ограничение числа экспериментов определяется периодичностью квазислучайной последовательности датчика случайных чисел [4], [5].

Суммируя число результатов испытаний, попавших в каждый полуинтервал на S, можно построить гистограмму. Выбирая сплайновую аппроксимацию полученной гистограммы, находим вид зависимости функции плотности вероятности f (S, 11 S0) . Чтобы проследить эволюцию гистограмм, описанный эксперимент необходимо провести на интервалах времени (0, t2), (0, t3), ... при этом 0 < t1 < t2 < t3 < ...

Заключение

В работе построена стохастическая модель начального периода функционирования страховой компании с учетом риска разорения. Получены аналитические формулы для описания потока страховых случаев (неоднородного пуассоновского потока) на начальном (нестационарном) этапе ее работы. На основе Марковской модели страховой компании получено выражение для вероятности ее разорения к моменту времени t. Предложен подход к построению имитационной модели, дающий гистограммы распределения капитала компании в каждый момент времени t.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерное приложение. - М.: Высшая школа, 2000.

2. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

3. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977.

4. Журбейко И.Г. Анализ стационарных и однородных случайных систем. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1987.

5. Ермакова С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. - М.: Наука, 1982.

STOCHASTIC MODEL OF THE INITIAL STAGE OF FUNCTIONING OF THE INSURANCE COMPANY TAKING INTO ACCOUNT RISK OF RUIN

Bakhmach V.A., Kunak E.S., Radkova M.A.

The stochastic mathematical model of functioning of the insurance company at the initial stage of its work taking into account risk of ruin is constructed. The stream of insurance cases is simulated by inhomogeneous Poisson process. Expression for the ruin probability of the insurance company is obtained. The method for constructing the simulation model is described.

Сведения об авторах

Бахмач Виктория Анатольевна, студентка факультета прикладной математики и вычислительной техники МГТУ ГА, область научных интересов - актуарная математика, страхование, математическое моделирование.

Кунак Елена Сергеевна, студентка факультета прикладной математики и вычислительной техники МГТУ ГА, область научных интересов - актуарная математика, страхование, математическое моделирование.

Радькова Мария Александровна, студентка факультета прикладной математики и вычислительной техники МГТУ ГА, область научных интересов - актуарная математика, страхование, математическое моделирование.