Некоторые математические основы расчета пространственных несущих систем многоэтажных зданий в линейной постановке в рамках дискретно-континуальной модели

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ НЕСУЩИХ СИСТЕМ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ В ЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

MATHEMATICAL FUNDAMENTALS OF LINEAR THREE-DIMENSIONAL ANALYSIS

OF LOAD BEARING STRUCTURES OF MULTISTORY BUILDINGS WITH THE USE OF DISCRETE-CONTINUAL MODEL

Н.И. Сенин, П.А. Акимов

N. I. Senin, P.A. Akimov

МГСУ

Рассматриваются математические основы расчета пространственных систем многоэтажных зданий в линейной постановке в рамках дискретно-континуальной модели. Излагается метод точного аналитического решения разрешающих многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Mathematical fundamentals of linear three-dimensional analysis of load bearing structures of multistory buildings with the use of discrete-continual model are under consideration in the distinctive paper. Correct analytical solution of resolving multipoint boundary problems of structural analysis for set of second-order differential equations is presented.

1. Введение. Постановка задачи.

Как известно, несущая система многоэтажного здания образуется вертикальными несущими конструкциями, объединенными в единую пространственную систему с помощью горизонтальных несущих конструкций - перекрытий здания. Вертикальные несущие конструкции состоят из вертикальных элементов (столбы, колонны) и связей, соединяющих эти элементы по вертикальным швам (сваренных между собой закладных деталей или выпусков арматуры, бетонных шпонок, выступов перекрытий, ригелей рам с жесткими узлами, перемычек или участков перекрытий над проемами между столбами бескаркасного здания и т.п.). Эти связи являются связями сдвига, так как они препятствуют взаимному сдвигу смежных элементов по вертикальным швам [6].

Несущая система многоэтажного здания может быть схематизирована различными расчетными моделями: дискретными, континуальными и дискретно-континуальными [5-8].

Дискретные модели сохраняют дискретное расположение связей и вертикальных элементов, заданное в реальной несущей системе, но дискретизация обычно углубля-

ВЕСТНИК

_2/20ГТ_МГСУ

ется членением элементов на более мелкие, например, в рамках метода конечных элементов (МКЭ) [15] или метода сосредоточенных деформаций (МСД) [11]. Кроме того, возможна замена континуума стержневой решеткой. Расчет несущих систем в целом на основе дискретных моделей сводится на определенном этапе к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) больших порядков.

Континуальные модели рассматривают здание как сплошную многоступенчатую призматическую оболочку с вертикальной или горизонтальной осью. Эти расчетные модели находят применение главным образом при расчете ядер-стволов или объемно-блочных зданий, однако наличие проемов вынуждает прибегать к специальным мерам приведения модели к заданной системе [6].

Дискретно-континуальные модели сохраняют заданное дискретное расположение вертикальных элементов несущей системы, но сосредоточенные связи заменяются континуальными, т.е. непрерывно распределенными по высоте здания [6].

Так как обычно несущая система монотонна по высоте (в данном случае под монотонностью понимается геометрическая тождественность одноименных железобетонных элементов во всех этажах здания (частный случай регулярности), то расстояние между действительными сосредоточенными связями и жесткости этих связей равны на всех этажах. Следовательно, погонная податливость (жесткость) распределенных связей будет постоянна по высоте здания для каждого вертикального шва (при линейной постановке задачи) [6].

Для сложных несущих систем задача на определенном этапе сводится к решению системы дифференциальных уравнений, число которых (как и число функциональных неизвестных) равно количеству вертикальных швов между элементами. Переход к непрерывному распределению связей предполагает, что число этажей достаточно велико для того, чтобы сосредоточенные воздействия от перекрытий, перемычек и других связей сдвига можно было бы считать непрерывно распределенными по высоте несущих конструкций. Опыты и расчеты показали, что зачастую уже для 5-этажного здания такое предположение оправдывается [6].

Бурное развитие метода конечных элементов и широкое распространение реализующих его универсальных и специализированных программных комплексов промышленного типа предопределили существенное превалирование дискретных моделей [3]. Вместе с тем, дискретно-континуальная модель также достаточно универсальна и удобна для расчета сложных несущих систем.

Разрешающая многоточечная краевая задача для системы п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в общем случае имеет следующий вид [9]:

щ-1

У

к =1

5;Г

б;у

где хк, к = 1,...,пк - координаты граничных точек, в которых задаются пк линейных граничных условий; у = у(х) = [ у1(х) у2(х) ... уп(х)]г - искомая п -мерная вектор-функция; / = /(х) = [/1(х) /2(х) ... /(х)] - заданная п -мерная вектор-функция правых частей; А - матрица коэффициентов, квадратная п -го порядка; Б^, Б+к - заданные матрицы граничных условий, квадратные 2п -го порядка; , ^ - заданные 2п -мерные векторы правых частей граничных условий;

У = У (х) =

7

2. Корректное построение фундаментальной матрицы-функции для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Фундаментальная матрица-функция е(х) системы (1) по определению удовлетворяет следующим условиям:

' ет

г(1)(+0) -г(1)(-0) = I.

Здесь I - соответствующая единичная матрица; 3(х) - дельта-функция Дирака [14].

Фундаментальную матрицу-функцию системы (5) в соответствии с методикой, описанной в [1, 2, 9, 10], предлагается определять в следующем удобном для практической реализации аналитического решения виде:

е

где Т1 - матрица размером п х I, столбцы которой являются собственными векторами матрицы Л , соответствующими ненулевым собственным значениям; Т1 - матрица

размером I х п , столбцы которой являются собственными векторами матрицы ЛТ (согласованная с Т1); I - число ненулевых собственных значений (с учетом кратности);

- максимальный порядок жордановой клетки соответствующей нулевому собственному значению матрицы Л ; Р1 - матрица проектирования на подпространство, натянутое на собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям; Р2 - матрица проектирования на подпространство, натянутое на собственные и корневые [12, 13] векторы, соответствующие нулевым собственным значениям;

Р = Т.??)-1?,, Р2 = I - Р, причем Р2 = Р, Р22 = Р2;

х) = diag] -^=ехр

[ 2л/ А ч Л )

Хр, р = 1,2,..., I - ненулевые собственные значения матрицы Л ; Л2 - часть матрицы

Л , отвечающая нулевым (кратным и простым) собственным значениям;

Л2 = Р2Л ;

х, х > 0 ч Ш \ \ 1, х > 0

или х+ = х -в

0, х < 0 [ 0, х < 0;

в(х) - функция Хэвисайда.

3. Корректное построение точного аналитического решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Будем обозначать вектор-функцию У(х), определяемую формулой (4), на произвольном интервале (х^, х^+1) через Ук (х), т.е.

У

2/2011

ВЕСТНИК _МГСУ

В соответствии с [9,10] можем записать следующее определяющее выражение для вектор-функции Ук (х):

¥к (х) = (Е(х - хк) - Е(х - хк+1 ))Ск +е * ~/к, х е (хьк, хк+1),

е

где E( x) =

- матрица-функция типа Ганкеля;

£( x) =

S

£

Ck - вектор искомых постоянных коэффициентов 2n -го порядка; * - символ обозна-

чающий операцию свертки;

fk(x) = f(x)#(x 4 , xb+i); x x1 , xb+i) =

1, x e (xk, 4J

b b k, xk+1 > k k k , xk+1 >

0, x g (xk, xM). Введя обозначения

Ek

можем переписать (12) в виде

Yk

Подставляя (17) в граничные условия (2)-(3), с учетом соотношений

Y(xk -0) = F^ -0), k = 2,...,nk; F^ + 0) = Yk(xk + 0), k = 1,...,nk -1. (18) получаем разрешающую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов Ck, k = 1,..., nk -1:

B Екл(xk - 0)Ck+ BlEk(xk + 0)Ck =

= gl + gk+ -B-lSl_l(xk -0)-BlSk(xk + 0), k = 2,..., nk -1;

k k k k k

B,+ E, (xk + 0)C + B~ E , (x" - 0)C , =

1 1 V 1 /1 nk nk -1 V nk ' nk -1

= g1 + gk - (xk + 0) - B-kS4(xkk - 0). На основании свойств фундаментальной матрицы-функции записываем: EH(xk - 0) = E(hl - 0) - E(-0) = E(hl) - Ek_t(-0), k = 2,..., nk; Ek(xbk + 0) = E(+0) - E(0 - hbk) = E(+0) - E(-hbk), k = 1,..., nk -1,

где

К = xM "x, k = 1,...,nk -1.

Слагаемые Е(-0) и Е(+0) будем называть главными частями. Систему (19) можно переписать в матричном виде

где

K =

KC = G ;

K1,1 0 0 ...

K2,1 K2,2 0 ...

0 K3,2 K 3,3 —

0 0 0 ... K

0 0 0

nk -vnk-2

K

1, nk -1 0

K

ч -i,nnk -i,

KkM = B; Ek_1 (xk - 0); Kk,k = BlEk (xk + 0); K = Bl Ej (xk + 0); К1Л= B- Ent(xkk " 0);

0

с = [ о? О2Т ... ОтПк_хГ; С = [ С^С2Т ... си ;

О = я; + I; - В+ 0)- Б^ _х

О, = Я; + - ВкБМ - 0) - Б;Бк

В матрице коэффициентов (24) полезно выделить главную К0 и дополнительную К1 части:

К = К0

К1,

где

" К 0 0 .. .0 Кч -1

К 2,1 К20,2 0 .. 0 0

К0 = 0 К30,2 К303 .. 0 0 ;

0 0 0 . .. К0  Ч -1,4 -2 К0 Ч -1,'к -1

; к;д 0 0 .. .0 К1к -1

К 2,1 К21,2 0 ... 0 0

К1 = 0 К31,2 К31,3 ... 0 0 ;

0 0 0 . .. К 1 ' Ч -1,4 -2 К1 Ч -1,'к -1

К1кл = -Б; Ек _.

К", = б;(+0); К;.1 = -БчЕч,(-0); К1к-1 = Б; Е^); К1 = -Б;Ек ); к;,1 = -Б;ЕД-Й') ; к;л, = Б,^ж,-1).

Система (23) насчитывает 2« х (пк -1) уравнений. По своей структуре такая СЛАУ называется системой с окаймлением и для ее решения могут применяться специальные методы [4]. После решения СЛАУ (23) и нахождения искомых коэффициентов Ск, к = 1,..., пк -1 по формуле (12) определяется общее решение задачи.

4. Альтернативный подход к построению решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Возмущение матрицы коэффициентов системы (1) предполагает замену

А ^ А +

где ^ - матрица п -го порядка, заполненная случайным образом сгенерированными числами из интервала [-1, 1]; т - масштабирующий множитель.

После этой процедуры все собственные значения матрицы А будут простыми:

= 1,..., п шр = 1; шр = 1

и, таким образом,

Т = 71; Т = Т; Р1 = I,

где I - единичная матрица п -го порядка.

Выражение (6) в этой связи удобнее переписать в виде

е

ВЕСТНИК

_2/2°1]_МГСУ

где &0

Очевидно, что при использовании процедуры возмущения наблюдаются значительные алгоритмические и теоретические упрощения, однако вместе с тем теряется аналитичность в форме качественных видов получаемых решений.

Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:

1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.

2. Грант 2.3.11 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 20112013 гг.

3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (проект 2.1.2/12148).

Литература

1. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №4, т. 1, 2010, с. 24-28.

2. Акимов П.А., Золотов А.Б., Ширинский В.И. Методы точного аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики. // Вестник МГСУ, №3, 2006, с. 29-39.

3. Белостоцкий A.M. Прогнозное математическое моделирование состояния и техногенной безопасности ответственных объектов и комплексов мегаполиса. // Вестник МГСУ, 2006, №3, с. 40-61.

4. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. - М.: Мир, 2001. -

430 с.

5. Дроздов П.Ф. Конструирование и расчет несущих систем многоэтажных зданий и их элементов. - М.: Стройиздат, 1977. - 223 с.

6. Дроздов П.Ф., Додонов М.И., Паньшин Л.Л., Саруханян Р.Л. Проектирование и расчет многоэтажных гражданских зданий и их элементов. - М.: Стройиздат, 1986. - 351 с.

7. Дроздов П.Ф., Пресняков Н.И., Люблинский В.А. Программа расчета несущих систем многоэтажных зданий по дискретно-континуальной модели АВТОРЯД-ЕС. // ВНТИ Центр. фонд алгоритмов и программ Госстроя СССР, № П005825. - М., 1982.

8. Дроздов П.Ф., Сенин Н.И., Деминов П.Д., Пресняков Н.И. Расчет и конструирование высотных зданий с ядрами жесткости. Методические указания для дипломного проектирования по специальности 1202 «Промышленное и гражданское строительство». - М.: Ротапринт МИСИ им. В.В. Куйбышева, 1984. - 56 с.

9. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева МЛ. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 2010. - 336 с.

10. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева МЛ. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 336 с.

11. Каландарбеков И. Развитие метода сосредоточенных деформаций применительно к расчетам конструкций с учетом податливости соединений. Дис. на соиск. уч. ст. докт. техн. наук, 05.23.17, М.: МГСУ, 2009. - 392 с.

12. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений.- М.: Наука, 1970.-564 с.

13. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989. - 655 с.

14. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: Наука, 1965. - 327 с.

15. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.: The Finite Element Method Set, Sixth Edition. ButterworthHeinemann, 2005, 1872 p.

References

1. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of Second-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, №4, vol. 1, 2010, pp. 24-28 (in Russian).

2. Akimov P.A., Zolotov A.B., Shirinsky V.I. Analytical Methods for Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis. // Bulletin MSUSE, №3, 2006, pp. 29-39 (in Russian).

3. Belostosky A.M. Predictive Mathematical Simulation of State and Man-made Safety of Critical Projects and Complexes of Megapolis. // Bulletin MSUSE, №3, 2006, pp. 40-61 (in Russian).

4. Demmel J.W. Applied Numerical Linear Algebra. University of California, Berkeley, California, SIAM, Philadelphia, 1997, 421 p.

5. Drozdov P.F. Design and Analysis of Load Bearing Systems of Multistory Buildings and their Structural Members. Moscow, "Stroyizdat", 1977, 223 p. (in Russian).

6. Drozdov P.F., Dodonov M.I., Panshin L.L., Sarukhanyan R.L. Design and Analysis of Multistory Civil Buildings and their Structural Members. Moscow, "Stroyizdat", 1986, 351 p. (in Russian).

7. Drozdov P.F., Presnyakov N.I., Lublinsky V.A. Software for Analysis of Load Bearing Systems of Multistory Buildings within Discrete-continual Model AVTORYAD-ES. // VNTI Central Fund of Algorithms and Software of Gosstoy of USSR, №P005825, Moscow, 1982 (in Russian).

8. Drozdov P.F., Senin N.I., Deminov P.D., Presnyakov N.I. Analysis and Design of High-rise Buildings with Structural Cores. Methodological guidelines for the diploma design for specialty 1202 "Industrial and Civil Engineering". Moscow, Moscow Institute of Civil Engineering named after V.V. Kuibyshev, 1984, 56 p. (in Russian).

9. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual methods of structural analysis. Moscow, "Arkhitectura - S", 2010, 336 p. (in Russian).

10. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 p. (in Russian).

11. Kalandarbekov I. Development of the Method of Concentrated Strain Applied to Analysis of Structures with Joint Mobility. PhD Thesis, 05.23.17, Moscow State University of Civil Engineering, 2009, 392 p. (in Russian).

12. Wilkinson J.H. The Algebraic Eigenvalue Problem. Calderon Press, Oxford, 1984, 662 pages.

13. Horn A.R., Johnson C.R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, 575 p.

14. Shilov G.E. Mathematical Analysis. Second Special Course. Moscow, "Nauka", 1965, 327 p. (in Russian).

15. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.: The Finite Element Method Set, Sixth Edition. ButterworthHeinemann, 2005, 1872 p.

Ключевые слова: расчет многоэтажных зданий, дискретно-континуальная модель, система дифференциальных уравнений, точное аналитическое решение.

Keywords: structural analysis, multistory buildings, discrete-continual model, system of differential equations, correct analytical solution.

e-mail: isa@mgsu.ru. e-mail: pavel.akimov@gmail.com.

Рецензент: Первый заместитель генерального директора ОАО «Проектный институт №2, кандидат технических наук, заслуженный строитель РФ Б.Л. Аронов