К определению частотных характеристик канала воздухозаборника

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И ТомУ/ 1975

№ 6

УДК 532.552

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КАНАЛА ВОЗДУХОЗАБОРНИКА

Т. Д. Важенина, В. Т. Гринь, А. Н. Крайко

Изложен приближенный метод построения частотных характеристик воздухозаборника. Метод основан на линеаризации одномерных уравнений и соотношений на замыкающем скачке, которые описывают одномерное нестационарное течение в канале с переменной площадью сечения. Приведены примеры построения частотных характеристик при гармоническом изменении давления в выходном сечении воздухозаборника. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием предложенного метода, с результатами, найденными путем численного интегрирования исходных нелинейных уравнений. Это сравнение показало, что в широком диапазоне безразмерных частот приближенный метод дает не только правильную качественную, но и вполне удовлетворительную количественную информацию о требуемых частотных характеристиках. :

1. При проектировании систем автоматического регулирования, призванных обеспечивать устойчивую работу воздушно-реактивного двигателя, важно знать реакцию воздухозаборника на различного рода внешние (по отношению к воздухозаборнику) возмущения. Теоретическое исследование реакции может быть выполнено различными способами.

В работе [1] воздухозаборник заменяется цилиндрическим каналом, а поток считается слабо отличающимся от исходного стационарного течения. При этом исследовалось два случая. В первом случае на стационарном режиме вблизи входа в канал располагается замыкающий скачок уплотнения, а на выходе из канала имеется сопло, в котором поток разгоняется до сверхзвуковой скорости.

Во втором случае течение в канале полностью дозвуковое, причем давление в сечении выхода считается заданным. Роль внешних воздействий в работе [1] выполняли вдув и отсос газа через две последовательно расположенные щели, в первом случае — еще степень сужения сопла, а во втором — давление в сечении выхода. Использовался линейный подход, пригодный для квазицилиндри-

ческих (или цилиндрических) каналов, причем подробное рассмотрение течения в сопле заменялось постановкой некоторого граничного условия на его входе (приближение „короткого" сопла).

В работе [2] рассмотрено нестационарное течение в воздухозаборнике с замыкающим скачком, которое возникает при гармоническом изменении давления по времени в сечении выхода. При этом канал с переменной площадью сечения заменялся последовательностью цилиндрических участков, на каждом из которых использовались уравнения акустики равномерного течения. В качестве условий стыковки в сечениях соединения цилиндрических участков выставлялись требования непрерывности потоков массы, полной энтальпии и энтропии. В результате исследования обнаружено явление резонанса в перемещении замыкающего скачка при изменении частоты гармонических возмущений давления в сечении выхода при постоянной амплитуде указанных возмущений.

В последние годы в связи с развитием численных методов эти методы все шире применяются и к решению задач о динамике течения в каналах. В качестве примеров приведем ссылки на работы [3—6J, в которых было получено численное решение ряда задач, включая задачи с сильными возмущениями, приходящими на вход или выход воздухозаборника, и задачи о динамике течения в каналах, частично разделенных продольными перегородками. В работе [4] были определены частотные характеристики воздухозаборника, в частности подтверждено явление резонанса, обнаруженное в работе [2]. Хотя по мере роста быстродействия ЭЦВМ подобный путь построения частотных характеристик будет находить все более широкое распространение, проведение расчетов, необходимых для его реализации в настоящее время сопряжено с большими затратами машинного времени. Дело в том, что каждая точка частотной характеристики определяется в процессе установления по в'ремени, причем с ростом частоты требуемое по точности количество расчетных ячеек и время счета возрастают [7]. Это оправдывает создание различных приближенных методов, возможность разработки которых облегчается тем, что обычно частотные характеристики используются при анализе явлений, для которых возмущения параметров потока сравнительно невелики. В этих случаях допустима линеаризация уравнений течения.

В рассматриваемой задаче зависимость возмущающего фактора (приращения давления на выходе из канала) от времени t задается в форме expiwt, где ш — заданная частота. Поскольку коэффициенты линеаризованных уравнений от времени не зависят (невозмущенный поток стационарен), то возмущения всех параметров в любой точке канала также изменяются во времени, как ехргм^, если исследуемое течение устойчиво. При использовании одномерного приближения зависимости комплексных амплитуд возмущений от координаты х, отсчитываемой вдоль канала, определяются из решения некоторой краевой задачи для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Граничные условия указанной задачи линейны и ставятся в сечении выхода и в сечении стационарного положения скачка. Изменение координаты скачка происходит во времени также по гармоническому закону (как ехр Ш).

Впервые описанный выше линейный подход в задачах о нестационарных течениях в каналах был предложен в работе [8] и получил дальнейшее развитие в [9] при решении задачи об отражении

плоских акустических волн от дозвуковой части сопла Лаваля. Выполненная в работе [7] численная проверка подхода, развитого в [8, 9], показала, что в широком диапазоне безразмерных частота* линейная теория дает не только верное качественное, но и хорошее количественное описание явления отражения. Оценку порядка величины частоты to, ограничивающей сверху область применимости линейной теории, можно привести по формулам, полученным в работе [4] из анализа зарождения и эволюции скачков уплотнения в непрерывных волнах сжатия.

Прежде чем переходить к обобщению подхода, предложенного в работах [8, 9], на случай течения в воздухозаборнике и к проверке точности получающихся с его помощью результатов путем сравнения с численным решением полной системы нелинейных уравнений, сделаем несколько общих замечаний.

Существование стационарного, гармонического решения при гармонических возмущениях еще не означает его реализации в действительности. Ответ на этот вопрос требует анализа устойчивости стационарного колебательного режима. Можно, однако, показать, что в линейном приближении достаточно анализа устойчивости исходного стационарного потока. Устойчивость последнего обеспечивает существование гармонического колебательного режима при гармоническом внешнем воздействии.

2. Итак, рассмотрим течение в канале, площадь поперечного сечения которого F — известная функция х, р - давление, р —плотность, i — удельная энтальпия, а— скорость звука и и — х-ком-понент скорости потока, совпадающий в данном приближении с модулем скорости. Термодинамические величины, т. е. i и а — известные функции р ир. Для совершенного газа с постоянным показателем адиабаты х, для которого проводится дальнейшее рассмотрение, имеем

i = %pj{y. — 1) р, а = (у-р/р)112.

Все переменные будем считать безразмерными. Если I — длина канала, /%.— характерная площадь, а ^ и р*— критические скорость и плотность потока на входе в канал, то приведение к безразмерному виду достигается отнесением продольной координаты к I, площади поперечного сечения канала —к /%,, времени — к //«*;, скорости потока и скорости звука — к и*, плотности — к р*, давления — к р* и\ и удельной энтальпии — к В одномерном приближении характерная размерная площадь не зависит от I. В то же время в точной постановке

Одномерные нестационарные течения идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа в канале описываются следующей системой уравнений:

Уравнения (2.1) выполняются в областях непрерывности параметров. На поверхностях разрыва, из которых в дальнейшем рассматриваются только нормальные к оси скачки уплотнения, законы сохранения массы, импульса и энергии запишем в форме

[р {и — п)] = 0, [р + р

здесь квадратные скобки означают разности соответствующих ком-, бинаций параметров с двух сторон от скачка, а га — п{р) — скорость скачка.

Если х — х8{{)— уравнение движения скачка, то

п = х$

где точкой обозначена производная по времени.

Ограничимся случаем, когда течение на входе в воздухозаборник (л: = 0) сверхзвуковое, на выходе {х — 1) — дозвуковое, а переход через скорость звука осуществляется в замыкающем скачке уплотнения. На стационарном режиме положение скачка при фиксированных параметрах на входе определяется заданием давления в сечении выхода. Кроме того, предполагается, что исходное стационарное течение устойчиво. Укажем, что согласно имеющимся в настоящее время данным для достаточно широкого класса граничных условий (при х=1) течения с замыкающим скачком в расширяющейся части канала устойчивы, а в сужающейся — неустойчивы.

3. При линеаризации любой параметр потока представим в виде Ф (х) {1 + <р (х, /)}, где большой буквой обозначена соответствующая стационарная величина, а для относительного возмущения сохранено то же обозначение, что и для исходного параметра. Исключение составляет скорость скачка (при стационарном режиме скачок покоится), для которой используется представление: U-n.it), где £Л_— стационарное значение скорости перед скачком в его стационарном положении. Подстановка соответствующих представлений в (2.1) и приравнивание членов одинакового порядка приводит к системе:

<Ш и <Лп Т7 йР __ ит й\пр

йх М2 — 1 йх ’ йх 1 — М2 йх '

<т йх = 1 - М2 й\ пГ йх ' ± | д1 ^ II +

да + г,ди Р др дх 4 Яи дх = (р- о ^ ли -р-2“)лГ’

д д( + иш) (Р~* Р) = 0, (М = и\А)\

здесь М = М(х) — число М стационарного потока, малыми буквами в согласии со сказанным выше обозначены относительные возмущения соответствующих параметров. Первые три уравнения системы (3.1) суть уравнения одномерного стационарного течения. Относительные возмущения, определяемые последними тремя уравнениями той же системы, на поверхности замыкающегося скачка терпят разрыв, но удовлетворяют связям, вытекающим из соотношений (2.2). В рамках линейного анализу эти связи записываются не на движущемся скачке, т. е. не при х — х5Ц), а в сечении его стационарного положения (при х = х$е). Линеаризация соотношений (2.2) и последующий перенос в сечение х = х8е осуществляются

3— Ученые записки ЦАГИ № 6

зз

с использованием выражений для производных стационарных параметров из (3.1) и дополнительного предположения о малости производных по х от относительных возмущений. Последнее предположение является одной из причин, которые ограничивают справедливость последующего анализа диапазоном не очень больших частот. О других нелинейных эффектах, играющих ту же роль, уже говорилось выше.

Далее считается, что поток в сечении входа невозмущен. Тогда в силу сверхзвукового характера течения во входном участке канала, возмущения параметров равны нулю всюду слева от замыкающего скачка (газ течет слева направо). В этом случае линеаризованные соотношения на скачке, получающиеся из (2.2) и (2.3), имеют вид

м+ ~Ь Р+ Ч- (1—' К) п — 0; 2 и+ -(- (1/х М+) р+ -(-

+ Р+ + (/С— 1)Д1п^ = 0; р+ — Ы?+ + ЯД1п/^0; = Ц- и; Д 1п = 1п Г (х,) - 1п Т7 (х,е) = У (*, — х$е)\

К -

Е =

и_

ы-

2 4-(х- 1)Л/М М_

1

(х

К)(м2+

м1_)

-х + 2 г.М1_ ’

у = (аХпр\

I Лх )х=л

здесь и далее нижний индекс минус (плюс) приписан параметрам до (после) замыкающего скачка при х = хзе.

Система (3.2) связывает шесть величин: Д1п/^, ха, п и три

возмущения параметров потока и+ , р+ и р±, причем из пяти соотношений указанной системы одно (предпоследнее) дифференциальное, а прочие — линейные алгебраические. Ясно, что этих соотношений недостаточно для определения всех перечисленных величин. Недостающее соотношение получается в процессе решения системы (3.1) с использованием еще одного граничного условия, которое в этом случае должно ставиться на выходе из канала (напомним, что справа от скачка поток дозвуковой).

Рассмотрим частный класс решений, имеющих вид

и(х, 0 = их(-*)ехр М, р (х, 0 =рх (х) ехр и, | р (х, *) = рх(*)ехрл£, х^) = **,-}- ДхехрХ*, |

где >- —константа (в общем случае — комплексная). Функции «х (х), ... и константа Дх при такой записи решения также комплексные.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих функции от х в (3.3), получается подстановкой соответствующих представлений в три последних уравнения системы (3.1) и сокращения на ехр М. В итоге получим

и (йх рх) -(- ^рх — 0, и их + (Ррк (^ + 2 и') их —

— и'рх + и' рх = 0, и(р'х - хр!) + Х(рх — хрх) = 0; (3.4>

здесь и далее штрихами обозначены производные по х.

Последнее уравнение данной системы можно после интегрирования переписать в форме

-• Отметим, что, так как X — комплексное число, а и\(х), . . . — комплексные функции, то система (3.4) есть система шести действительных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, которая определяет действительные функции «хг, и-х/, .... Индексы г и г в дальнейшем приписываются действительным и мнимым частям соответствующих функций.

Условия на замыкающем скачке, вернее, при х = хзе, которым должны удовлетворять искомые решения, получаются в результате подстановки (3.3) в (3.2) и сводятся к трем комплексным линейным связям

Эти связи сводятся к шести линейным алгебраическим уравнениям между восемью действительными величинами. Заметим, что уравнения и условия, совпадающие или эквивалентные (3.4) и (3.6), использовались ранее, например, при исследовании устойчивости течения в канале с замыкающим скачком уплотнения

4. Пусть давление в сечении выхода из канала колеблется по гармоническому закону. Это означает, что при х = \ имеем следующее граничное условие:

где, как и в предыдущем пункте, р(х, Ь) — относительное возмущение давления. В (4 1) Л — заданное комплексное число, модуль

а <о — также заданная действительная константа — безразмерная частота. Заметим, что если м* взята в м/с, а /— в м, то переход от ш к размерной частоте / (в Гц) осуществляется по формуле

/— ШИ%/2 к1.

В

X

Г йх

Р\(Х) — хрх (х) = (/>х+ - хрх+)ехрА ]

£/_ («х+ + Рх+) + (1 - К) ХДх = 0;

2 их+ + (1/х М\) рх+ + Рх+ + (К — 1) ГДХ = 0; рх+ — Ыр\+ + £УДх == 0.

(см. [10]).

р (х, ^) = А ехр

которого \А\ — Ул*-\-А21 характеризует амплитуду возмущения,

р'г = 2 (Рп  ) = Т/Г^-ДГ (2иг —Рг+?г) + <» (Р1 - *«г)};

р'г=4-2 - - *р*); =4-2 +~ш (Рг - *Р|) •

Для изэнтропического случая система, аналогичная (4.2), впервые получена в работе [8] (см. также работы [7] и [9]). В указанном случае из-за отсутствия возмущений энтропии: р ,=рг/х,

и> следовательно, отпадает необходимость в использовании уравнений для р, и рг из (4.2). В общем неизэнтропическом случае два последних уравнения системы (4.2) после преобразования с учетом двух первых уравнений той же системы можно проинтегрировать. К получающимся в результате интегралам

Рг (•*) - *РГ С*) = (рг — *Pr)+ COS со/— (рг — xPi)+ sin со/;

Pi (х) — Хрг (X) = (рг — *?,)+ sin со/ + (/>, — хрг)+ cos со/;

можно прийти и непосредственно от интеграла (3.5).

Соотношения (3.6) в сечении х = хзе также сводятся к шести действительным линейным связям:

U-(Ur+ + Рг+) — р>(1 — К) Д/ = 0; t/_ (Ui+ + рг+) -f- ш(1 — К.) Дг --= 0;

2«г+ +(1 /*М2+)рг+ + рг+ + (К- 1)УД, = 0;

2 ul+ + (l/*M2+)pi+ + Р/+ + (К— 1)УД,. = 0; pr + — N?r+ + EY&.r=Q, р/+— A/pi + +£УД, = 0

между восемью действительными величинами, подлежащими определению.

Наконец, условие (4.1) на выходе из канала (при х = 1) дает два действительных соотношения:

ргЩ = А„ р1

Построение каждой точки частотной характеристики воздухозаборника состоит в решении при фиксированном <о краевой задачи для системы (4.2) на интервале при граничных

условиях (4.3) на его левом конце и (4.4)—на правом. В силу линейности этой задачи все искомые функции .пропорциональны |/1|. Поэтому, как и в случае любой линейной задачи, отношения р] =р1/\ А\, Р°г=рг/\ А | и т. д. не зависят от |Л|. Без ограничения общности можно считать А действительным числом, что эквивалентно сдвигу начала отсчета времени. При этом вместо (4.4) получим

р]

В то же время прочие уравнения и условия для величин с верхним индексом „градус" получаются из (4.2) и (4.3) просто добавлением указанного индекса к известным функциям.

Линейность краевой задачи (4.2), (4.3) и (4.5) позволяет свести ее к задаче Коши с начальными данными в сечении лг = л^е. С этой

целью положим: Дго = 1 и Дго = 0 и определим затем из шести уравнений (4.3) шесть оставшихся параметров в сечении скачка. Далее проинтегрируем при этих условиях систему (4.2) от х = х„ до х= 1 и в итоге найдем все искомые функции на выходе из канала. Полученные таким путем значения р*г0 (1) и р°10 (1) в общем случае не будут удовлетворять условиям (4.5). Пусть А и 8—модуль и фаза комплексного числа р°0 (1). Умножим все вычисленные функции на Л_1ехр(— г'8). Нетрудно видеть, что полученные после умножения функции удовлетворяют не только уравнениям (4.2) и условиям (4.3), но и условиям (4.5) и, таким образом, дают решение исходной краевой задачи. Проведя подобные расчеты для разных со, можно построить зависимости различных возмущений (вернее их амплитуд и фаз) от частоты, т. е. все необходимые частотные характеристики воздухозаборника. Естественно, что аналогичным образом можно найти отклик воздухозаборника (т. е. соответствующие частотные характеристики) на возмущения, приходящие на его вход. При этом, конечно, изменяются граничные условия и соотношения в сечении замыкающего скачка.

5. Алгоритм, составленный в соответствии с приведенной выше процедурой построения решения, был опробован на получении частотных характеристик различных воздухозаборников и оказался весьма эффективным. Так, при использовании ЭЦВМ типа М-220 расчет одной точки частотной характеристики требует не более 5 — 10 с машинного времени. Проводилось сравнение характеристик, найденных по описанному методу, с аналогичными характеристиками, построенными на основе численного интегрирования нелинейных уравнений нестационарной газовой динамики в соответствии с процедурой, описанной в работе [4] с учетом рекомендаций работы [7]. Некоторые результаты выполненных расчетов приведены ниже.

На фиг. 1, а изображено меридиональное сечение осесимметричного сужающегося-расширяющегося воздухозаборника с центральным телом, частотные характеристики которого изображены на последующих фигурах. Как видно из фигуры, канал имеет цилиндрическую верхнюю стенку, причем и характерная длина = для обезразмеривания ординаты выбраны так, что

верхняя стенка—прямая: у= 1. Участок центрального тела до минимального сечения обеспечивает поджатие канала по площади в 1,37 раза. От этого сечения (.* = 0,15) до сечения х = 1 площадь канала увеличивается в 2,6 раза. Рассчитывался случай, для которого £/(0)=1,6 и /? (1) = 0,9. Стационарное распределение давления р=р(х), которое реализуется при этом, изображено на фиг. 1, б сплошной кривой. Наряду с этой кривой, представляющей точное решение одномерных стационарных уравнений, на фиг. 1,0 штрихами нанесено распределение давления, полученное в процессе установления по времени при помощи разностной схемы С. К. Годунова, как это описано в работе [4]. Так как указанная схема является сквозной, то замыкающий скачок несколько размазан.

Некоторые результаты расчетов для

Фиг. 1

канала, изображенного на фиг. 1, а, представлены на последующих фигурах. При этом штрихами, как и на фиг. 1, б, даны кривые» полученные численным интегрированием полной нелинейной системы. Указанные кривые будем называть „точными,,. В то же время результаты, полученные в согласии с описанным выше линейным подходом и изображенные сплошными кривыми, будем называть „приближенными".

На фиг. 2 изображена зависимость от <» амплитуды колебаний скачка, вернее отношения х = | Д (и)/Д (0) | = | Д° (<а)/Д° (0) |. В рассмотренном диапазоне частот совпадение точной и приближенной кривых вполне удовлетворительное, причем обе они дают немонотонное („резонансное1*) протекание зависимости х = х(со)- Важно под-

0 0,2 0,4 со

Фиг. 2

0 0,2 0,4

Фиг. 4

черкнуть хорошее совпадение высоты и положения первых „резо-нансных11 пиков, найденных обоими методами. Конечность „резо-нансной“ амплитуды, вычисленной по линейной теории, объясняется

0 0,2 0,4 (о

Фиг. 5

тем, что эта теория учитывает потери, связанные с колебаниями скачка и выражающиеся в образовании энтропийных волн. Сравнение зависимости от о> фазы колебаний скачка <р = — 8, представленное на фиг. 3, также свидетельствует о хорошем совпадении точных и приближенных результатов.

Частотная характеристика канала сильно зависит от стационарного положения замыкающего скачка, которое, в частности, влияет на величину У— ((і \пР^х)х=хзе, фигурирующую в условиях (4.3). Это подтверждают результаты, представленные на фиг. 4, на которой для трех положений скачка (на фиг. 4 и 5 цифры около кривых — значения хзе) приведены зависимости | Д° | от (». Как следует из фигуры, при расположении замыкающего скачка в сечении, где канал незначительно отличается от цилиндрического (х1е = 0,19), амплитуда перемещения скачка в области малых частот весьма велика. При этом с ростом ш амплитуда колебаний скачка быстро уменьшается. Резонанс появляется при некотором достаточно большом значении У, а затем при перемещении скачка вправо, в участок канала, близкий к цилиндрическому в окрестности сечения выхода, вновь исчезает. Отметим, что такое поведение частотной характеристики качественно согласуется с приближенной моделью, предложенной в работе [4] для объяснения резонанса в колебании скачка. Зависимость от ш и от х5е амплитуды возмущения давления в сечении скачка (см. фиг. 5) согласуется с кривыми фиг. 4 — большим амплитудам скачка отвечают большие амплитуды колебания давления. Наконец, частотные характеристики канала в форме диаграмм в плоскости хг, х» изоб-

Фиг. 6

ражены на фиг. 6. Кривым /, 2 и 3 на этой фигуре соответствуют значения х^е=0,19, 0,35 и 0,70, а цифрам около точек—значения ».

В заключение авторы благодарят Л. Е. Ольштейна за полезное обсуждение работы, а А. М. Конкину и Л. П. Фролову—за помощь в работе.

1. Ц ы и к о в а О. Э. Движение газа в каналах конечной длины при переменном противодавлении. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1959, № 3.

2. W a s s е г b а и е г J. F., W i 11 о h R. G. Experimental and analytical investigation of the dynamic response of a supersonic mixed — comp-

ression inlet. AIAA Paper N 651, 1968.

3. M a у s R. A. Inlet dynamics and compessor surge. AIAA Paper N 484,1969.

4. Гринь В. Т., Иванов М. Я., К р а й к о А. Н. Исследование динамики течения торможения идеального газа с замыкающим скачком уплотнения „Изв. АН СССР, МЖГ,“ 1970, № 4.

5. Г р и н ь В. Т., И в а н о в М. Я. К исследованию нестационар-

ного течения в канале при внезапном изменении условий в выходном сечении. „Изв АН СССР, МЖГ‘, 1971, № 4.

6. Гринь В. Т., Иванов М. Я., Князева Н. Н., К о р-

з у н А. П., К р а й к о А. Н. К исследованию динамики течения торможения сверхзвукового потока идеального газа в каналах с продольными перегородками. „Ученые записки ЦАГИ", т. II, № 4. 1971.

7. Крайко А. Н., Осипов А. А. Исследование отражения возмущений от дозвуковой части сопла Лаваля. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1973, № 1.

8. Tsien Н. S. Transfer functions of rocket nozzles. ARS journal

(Jet Propulsion), 1952, vol. 22, N 13. •

9. КроккоЛ., Чжен Синь-и. Теория неустойчивости горения в жидкостных ракетных двигателях. М., Изд-во иностр. лит., 1958.

10. Слободкина •!>. А. Об устойчивости скачка уплотнения в магнитогазодинамических каналах. ПМТФ, 1970, № 1.

Рукопись поступила 8/Х 1974