Анализ и синтез тонкостенных элементов робототехнических устройств с предписанным законом деформирования

ГАВРЮШИН Сергей Сергеевич

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Компьютерные системы автоматизации производства»

УДК 539.3:621.01

Анализ и синтез тонкостенных элементов робототехнических устройств с предписанным законом деформирования

С.С. Гаврюшин

Рассмотрена численная методика и практический опыт в области расчетов и проектирования нового поколения функциональных и исполнительных элементов робототехнических устройств и приводов, созданных на базе упругодеформируемых тонкостенных механических конструкций. К отличительным особенностям этих элементов следует отнести выполнение принципа управляемой деформации, позволяющего реализовать предписанный закон перемещения. Проанализированы результаты анализа и синтеза реальных конструкций.

Ключевые слова: актюатор, большие перемещения, нелинейное деформирование, робототехника, синтез конструкции, тонкостенный элемент, управляемая деформация, численный анализ.

The article considers a numerical method and a practical experience in the field of analysis and designing of a new generation of functional and executive elements of robotic devices and drives created on the basis of thin-walled mechanical structures. The distinctive features of the examined elements involve a realization of the guided deformation principle, allowing to implement the prescribed law of motion. The results of analysis and synthesis of real designs have been investigated.

Keywords: actuator, large displacements, nonlinear deformation, robotics, structures synthesis, thin-walled component, guided deformation, numerical analysis.

едущие специалисты в области робототехники и микротехнологий отмечают, что имеющийся задел в подходах к созданию подсистем для сбора информации (сенсоры) и воздействия на объект (ак-туаторы) является сегодня слабейшим звеном систем управления в микроэлектромеханических системах. Это заставляет переосмыслить традиционные подходы к разработке механической части робо-тотехнических систем и активизировать работы по созданию и внедрению новых механических функциональных устройств, в том числе устройств, использующих принцип управляемой упругой деформации. Обсуждаемые в работе устройства в определенной степени предназначены восполнить возникший пробел.

В традиционных робототехнических приводах, электродвигателях, сервоприводах, гидравлических, пневматических и других устройствах, как правило, подразумевается наличие движущих как жесткое целое узлов и деталей, что влечет сопутствующие проблемы обеспечения герметичности, уменьшения трения, смазки контактируемых поверх-

ностей и т. д. В этой связи в качестве особого класса движителей (актюаторов) можно рассматривать деформируемые конструкции, т. е. конструкции способные существенно изменять свою исходную форму без нарушения целостности. Такие элементы оказались незаменимыми при конструировании белых роботов, выводов движения в вакуум, для работы в агрессивных и сверхчистых средах, в том числе внутри человеческого организма [1—3]. Актюаторная компонента, с помощью которой осуществляется преобразование внешнего воздействия в механическое движение, наряду с логической и сенсорной компонентами, составляет триаду свойств, присущих устройству в целом, и является основой для его создания и последующей интеллектуализации.

Поскольку основное свойство актюаторов, использующих принцип управляемой деформации — реализация движения, деформационные процессы должны обеспечивать большие перемещения, т. е. перемещения, соизмеримые с характерными размерами конструкции [4]. Традиционные расчеты в рамках предположения малых перемещений, принципа неизменности начальных размеров оказываются далеко не всегда применимыми.

Известно, что в тонкостенных конструкциях большие перемещения можно реализовать за счет малых деформаций. Деформирование таких элементов может быть вызвано действием давления, температуры или происходить благодаря эффекту памяти формы. При реализации предлагаемой в статье численной методики проектирования используются конструкции, подпадающие под две, по мнению автора, весьма перспективные расчетные схемы: расчетную схему пространственного стержня и расчетную схему осесимметричной тонкостенной оболочки.

Обе схемы позволяют свести задачу анализа процесса деформирования к решению нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в обыкновенных производных. Анализ выполняется с использованием лагранжевого способа описания движения, позволяющего наглядно описывать процесс де-

формирования конструкции при больших перемещениях.

Многопараметрический подход

к исследованию процессов нелинейного деформирования тонкостенных конструкций

Для обеспечения требуемых эксплуатационных характеристик в процессе численного моделирования и проектирования деформируемого элемента требуется провести своеобразное программирование свойств будущей конструкции, при котором закладывается возможность реализации требуемых нелинейных деформационных процессов, в том числе процессов, происходящих посредством хлопков или перескоков. Для описания текущего деформированного состояния используется векторная функция состояния Х(&,4), зависящая от лагранжевой координаты S} и параметра q, имеющего смысл параметра продолжения [5-7].

Предлагаемая методика расчета и проектирования элементов с управляемой упругой деформацией базируется на идее мультипарамет-рического подхода [5] при математическом моделировании на ЭВМ существенно нелинейных процессов. Для получения релейной характеристики, реализующей дискретный отклик на монотонное измерение внешнего воздействия, в проектируемый процесс деформирования тонкостенного оболочечного элемента закладывается эффект упругого перескока.

При численном моделировании используется стратегия последовательного исследования однопараметрических нелинейных задач, принадлежащих многопараметрическому семейству, в которое погружена анализируемая задача, что позволяет выйти на решение задачи численного синтеза конструкции. Алгоритм численного исследования основан на использовании метода продолжения решения по параметру в сочетании с приемом смены подпространства управляющих параметров [5].

Переход от задачи анализа к задаче синтеза конструкции реализуется в рамках многопараметрического подхода, суть которого заключа-

ется в следующем. Представим разрешающие соотношения в операторном виде:

ДХ

Предполагается, что в общем случае, система (1), имеющая порядок m, содержит m неизвестных , являющихся внутренними параметрами, характеризующими состояние системы, и зависит от переменных, которые трактуются, как внешние параметры или параметры управления. Количество независимых внешних параметров п определяет так называемую коразмерность задачи.

Параметрами управления в отдельно взятом случае могут быть конструкторские параметры, т. е. параметры, которыми варьирует разработчик. Разделение параметров на две группы в определенной степени субъективно. Конечной целью задачи синтеза является нахождение рациональных значений параметров, а в случае наличия целевой функции — их оптимальных значений.

Исследование процессов деформирования в механике деформируемого твердого тела традиционно рассматривается как некоторый процесс, зависящий от внешнего возмущения, компоненты которого и составляют Х^. Если все компоненты функционального вектора Х(2) удается выразить только через один независимый параметр q, процесс называют однопара-метрическим или процессом с коразмерностью равной единице:

Х2) =ХЭД.

Совокупность всех решений (1) для заданного числа m+n внешних и внутренних параметров для наглядности можно интерпретировать как некоторую поверхность (гиперповерхность) равновесных состояний, построенную в эвклидовом пространстве параметров Кш+п, а каждый однопараметрический процесс (2), как некоторую траекторию, принадлежащую этой поверхности.

При анализе однопараметрических процессов управляющий параметр q удобно считать равноправным с остальными параметрами задачи, рассматривая его как ^+1)^ неизвестную расширенного вектора Хе* и записывать

систему уравнений, описывающих однопара-метрический процесс, в следующем виде:

КХ*) = 0.

Отметим, что порядок системы (3) равен m, и ее решение проводят с использованием дополнительного соотношения, содержащего независимую величину X, называемую параметром продолжения:

/Х*, X) = 0.

Известно, что в нелинейных механических системах даже при простых видах возмущения могут возникнуть сложные и трудно предсказуемые переходы. В современной математике эта проблема изучается в рамках направления, получившего название теория катастроф [8]. В случае однопараметрического семейства систем общего положения (3) могут иметь место неустранимые особенности только типа складки. Процедура реализации счета при прохождении окрестности предельных точек предложена в 1968 г. Н.В. Валишвили и известна как прием смены параметра [9]. Проблема выбора оптимального параметра для однопара-метрических задач подробно рассмотрена в работе [6].

Особенности коразмерности два и выше можно устранить посредством шевеления параметров системы, что принципиально позволяет выбрать траекторию процесса, проходящую мимо окрестностей таких особых точек. Обход выполняется с помощью приема численного счета, названного нами приемом смены подпространства управляющих параметров [5]. Суть приема заключается в следующем: при подходе к окрестности особой точки следует перейти к другой однопараметрической системе (3), для которой проекция равновесной поверхности на ось параметра управления в рассматриваемом диапазоне его изменений не имеет особенностей коразмерности выше первой. Стратегия численного исследования представляет собой кусочно-гладкий процесс продолжения решения по параметру в пространстве состояний всех систем, причем на каждом гладком участке процесса, численный анализ сводится к решению однопараметрической задачи.

Расчетная модель пространственного стержня

При анализе пространственного стержня используют соотношения, описывающие нелинейную деформацию гибкого растяжимого пространственного стержня в предположении справедливости гипотезы Эйлера — Бернулли:

^ = (1 + в) ес8(0 2)ес8(0 3); йх

йз ° йх

йз0 й01 йз

2 =-(1 + в) 8Ш(0 з);

3 =(1 + в) 8ш(0 2)ео8(0 3);

= (1 + в)(К1 - ео8(01)1£(03 )к2 +

+ ^(0^(03 )к3);

й0,

йз0 й0,

=

ео8

\

-Кп -

\

ео8

к,

3) /

йз °

йа

= (1 + в)(81п(01)к 2 + ео8(01)к 3); ° =-(1 + в^;

йз й02

15/ = -(1+ в)q 2; й03

=-(1+в)q 3;

йМ1

йз0 йМ,

= -(1 + в)(/21^3 - /31^2 + ^1);

йз0 йМ

йз °

= -(1 + в)(/3101 - /п03 + т 2);

= -(1 + в)(/п02 - /21^1 + т3).

Исследование процесса деформирования сводится к решению краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений (5), дополненной алгебраическими соотношениями (6).

Для описания движения используют две ортогональные правосторонние системы координат: глобальную систему и подвижную локальную систему, орты последней совпадают с положительным направлением касательной

к осевой линии стержня и главными осями его поперечного сечения.

В качестве неизвестных геометрических компонент векторной функции состояния, зависящей от лагранжевой координаты 5°, отсчитываемой вдоль оси стержня в недеформиро-ванном состоянии, выступают глобальные координаты центра тяжести сечения х1 и углы поворота 01, необходимые для перехода из глобальной системы координат в локальную. Используется следующая последовательность трех поворотов: 0 2 (поворот вокруг глобальной оси г2); 0 3 (поворот вокруг нового положения оси г3); 01 (поворот вокруг нового положения оси г\).

В качестве статических неизвестных используются величины внутренних усилий 0 и М моментов, заданных в глобальном базисе.

В систему (5) на правах вспомогательных неизвестных входят: величина деформации оси стержня — в и компоненты кривизн для актуального состояния — к, вычисленные в локальном базисе. В случае линейно-упругого поведения материала при постоянной температуре, вспомогательные соотношения принимают вид

в(5 0) = -^(й/ц + 0/ 21 +0г/ 31); В °

13

к * (5 0 ) = ^ 2 МЛ + (1-в)к

* Л =1

где qi и т*— проекции распределенной силовои и моментной нагрузок в глобальной системе координат, соответственно; к° — функции кривизн, задаваемые при описании недеформиро-ванного состояния стержня; В°, Въ В2, В3 — геометрические характеристики на растяжение-сжатие, кручение и изгиб относительно локальных осей, связанных с главными осями поперечного сечения, соответственно. При необходимости пересчет усилий, моментов и нагрузок в локальную систему координат осуществляется с использованием матрицы поворота [/(5 °)].

В качестве примера приведены результаты численного анализа упругого элемента микропереключателя [1°], показанного на рис. 1.

Элемент имеет достаточно сложную форму (рис. 1, а). Характерные размеры элемента: длина 10 мм, ширина 15 мм, толщина 0,3 мм. Основной эксплуатационной характеристикой элемента является его рабочая характеристика — зависимость между вертикальным усилием ¥,

Рис. 1. Анализ предварительно деформированного пространственного элемента с дискретной характеристикой переключения

приложенным в точке А, и вертикальным перемещением контакта w в точке С. Рабочая характеристика элемента формируется на стадии предварительного деформирования при сборке. На этой операции заготовку упругого элемента микропереключателя деформируют посредством изменения и последующей фиксации регулируемого зазора. Таким образом упругая характеристика элемента формируется на этапе предварительного деформирования. Упругие характеристики элемента в зависимости от величины предварительного поджатия приведены на рис. 1, б. При малых значениях предварительного поджатия и рабочая характеристика 1 не имеет особых точек, и упругий элемент прощелкивать не будет. При увеличении предварительного поджатия, рабочая характеристика 2 приобретает характерный Л-образный характер с верхней и нижней критическими точками. Деформирование упругого элемента с такой упругой характеристикой реализуется дискретно (хлопком). При достижении силой ¥ верхнего критического значения элемент прощелкивает в нижнее положение равновесия, а при снижении значений силы до нижнего критической значения силы — возвращается в верхнее положение. При дальнейшем увеличении предварительного поджатия рабочая характеристика 3 усложняется, при этом нижнее критическое значение силы может стать отрицательным, что соответствует, так называемому залипанию элемента в нижнем равновесном положении.

Задача синтеза конструкции заключается в подборе величины предварительного поджа-тия, при котором процесс переключения реализуется хлопком и без залипания. Найденное рациональное значение величины соответствует примерно 0,65 мм.

Расчетная модель осесимметричной оболочки

Для описания нелинейного деформирования использовался вариант теории тонких упругих осесимметричных оболочек [8]:

а

йи

йз

йз

— = (1 + в т °)ео8 0 - ео8 0 °;

~То = (1 + в т О^Ш 0 - ^ 0 °;

^ = (1+в )к + ^ •

йз ° (1 + в т °)к т ° + йз °;

/

— = -

и

йзс

йзс йМ

ео8 0

— = -

КХ ° + и ео8 0

и

N

X ° + и

+ qu

;

УХ ° + и

V + qv

йз °

= -

ео8 0 X ° + и

(Мт - М, )-

-и 8т 0 + V ео8 0].

Применительно к решению задачи о деформировании биметаллического купола вспомогательные величины, входящие в систему (7), определялись следующими соотношениями [11]:

1-Ц2

+ -

Е^ + Е 2^2 Т

(и ео8 0 + V 8т 0)- ц —

Хп

Е1Л + Е 2Н2 3

(Е1Н1 а1 + Е2 к2 а 2);

к=

Е1Л13 + Е 2Л2

X ° + и

Мт - X

X

0 0 °

+

X о 3Т

Xо + и X° ) 2(Е1 И? + Е2Л13) х(Е1 Л12а1 + Е2Л22а 2);

х

Е Л, + Е, Л, N. = —-+

I л 2

1-Ц

\X о

+ Цв

т О

Т

1-Ц

X

х(Е1 Л1 а1 + Е2Л2а 2); М=

Е Л + Е 2 Л3

3

X

X

X ° + и

X

0 0Г

О О

Т

X« + и X п

+ Цк

т О

2

(Е1 Л12а1 + Е2к12а 2).

Здесь з° — независимая координата, отсчитываемая вдоль дуги недеформированного мери-

диана оболочки; и, V — горизонтальная и вертикальная компоненты перемещений точки, принадлежащей срединной поверхности оболочки; 0° и 0 — угол наклона касательной к меридиану в исходном и текущем состояниях; ет0 и т° — линейные деформации и кривизны в текущей точке срединной поверхности; и, V, Мт и МI — интенсивности внутренних сил и моментов; qu и qv — компоненты внешнего давления; X0 и X — радиальные координаты текущей точки срединной поверхности в исходном и текущем состояниях; Е1, Е2, Л1, Л2 — модули упругости и толщины активного и пассивного слоев оболочки, соответственно; ц — коэффициент Пуассона. Величины, соответствующие меридиональному направлению, обозначены индексом — т, а окружному — I.

Приведенный далее пример проектирования термобиметаллического (ТБ) диска с дискретной характеристикой (рис. 2) дает представление о реализации алгоритма численного синтеза, основанного на использовании приема смены подпространства управляющих параметров.

Посредством предварительного механического нагружения, проводимого с помощью регулировочного винта (рис. 2, б), требуется выполнить настройку ТБ диска на переключение при заданном значении температуры Т*. Независимыми параметрами являются температура и усилие предварительного поджатия ТБ элемента.

В недеформируемом состоянии биметаллический купол прижимается к плоскости по внешнему периметру силой ¥, распределенной по контуру отверстия в вершине. Геометрические и физико-механические характеристики ТБ диска следующие: диаметр ТБ диска 5 мм; радиус кривизны в недеформиро-ванном состоянии 22,2 мм; толщина 0,04 мм; диаметр центрального отверстия 0,5 мм. Физико-механические характеристики материалов: ^=1,50-105 МПа; £2=1,35-105 МПа, ¡¡2=0,3; а^О-Ю-6 1/С°; а2=18,°-10—6 1/С°.

Результаты численного анализа представлены на рис. 2, а в трехмерном пространстве: температура, усилие предварительного поджа-тия, прогиб в центральной точке элемента.

Рис. 2. Синтез ТБ элемента с заданной температурой переключения

Кривая 1 соответствует процессу деформирования ТБ диска при отсутствии предварительного поджатия, кривая 2 — силовому нагружению элемента при постоянной температуре, кусочно-гладкие кривые 3 и 4 — сложному процессу деформирования. Прием смены пространства

управляющих параметров был применен в точках А и В.

Для определения усилия предварительного поджатия, обеспечивающего срабатывание при заданной температуре, использовалась следующая стратегия решения задачи синтеза.

На первой стадии процесса выполнялось на-гружение конструкции температурой вдоль кривой 1 до достижения заданной температуры Т*. В точке В менялся параметр продолжения, и дальнейшее нагружение проводилось по силе, пока не достигалась особая точка С, соответствующая предельной точке для зависимости перемещение — усилие. Усилие ¥ в этой точке соответствовало искомому усилию предварительного поджатия ¥*, обеспечивающему прощелкивание элемента при требуемой температуре Т*. Для контроля была решена задача по пути нагружения 3, которая показала идентичность полученных результатов с удовлетворительной погрешностью. Таким образом, предлагаемая методика численного синтеза позволяет научно обоснованно назначать конструктивные и технологические параметры проектируемых технических устройств.

Выводы

1. Использование элементов управляемой упругой деформации открывает перспективу создания новых типов механических и ме-хатронных устройств, исполнительных механизмов, функциональных элементов микро- и нано-систем — сенсоров и актюаторов. Конструктивные особенности элементов обеспечивают их функционирование в вакууме, в сверхчистых или в агрессивных средах, допуская при этом возможность миниатюризации.

2. Проектирование технических систем, в том числе и конструкций роботов по принципу управляемой упругой деформации, позволит повысить их функциональные возможности и выйти на новый технический уровень, отвечающий потребностям современного общества. На основе принципа управляемой упругой деформации могут быть созданы качественно новые конструкции мобильных мини- и микророботов специального назначения.

а

Литература

1. Александрова А.Т. Новые способы передачи и формирования движения в вакууме. М.: Высш. шк., 1979. 69 с.

2. Гаврюшин С.С. Элементы управляемой упругой деформации для функциональных устройств робототехниче-ского оборудования // Мехатроника. 2000. № 5. С. 16—18.

3. Патент РФ № 2218191 Эндовазальный мини-робот / Г.В. Саврасов, А.В. Покровский, С.С. Гаврюшин, О.С. На-райкин, А.С. Ющенко, В.И. Поспелов. № 200210938/14; За-явл. 11.04.2002.; Опубл. 10.12.2003, Бюл. № 34.

4. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение,1980. 326 с.

5. Гаврюшин С.С. Численное моделирование и анализ процессов нелинейного деформирования гибких оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, 1994. № 1. С. 109—119.

6. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И.Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 232 с.

7. Gavriushin S.S. Nonlinear analysis of elastic thin-walled shell structures // Communication in nonlinear science and numerical simulation. 2002. N 4. P. 223—233.

8. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.

9. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

10. Богачев М.В., Гаврюшин С.С. Вариационно-разностная методика расчета гибких пологих элементов технических устройств // Изв. вузов. Машиностроение. 1997. № 10—12. С. 14—20

11. Али Абдул Карим, Гаврюшин С.С. Численный анализ термобиметаллических элементов быстродействующих электротехнических устройств // Изв. вузов. Машиностроение. № 8. 2005. С. 17—23.

Статья поступила в редакцию 28.10.2011