Описание одночервячного экструдера как объекта управления с распределенными параметрами

УДК 621.315

В. Н. Митрошин

ОПИСАНИЕ ОДНОЧЕРВЯЧНОГО ЭКСТРУДЕРА КАК ОБЪЕКТА

УПРАВЛЕНИЯ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ1

Решена задача математического описания температурного поля полимера в шнеке экструдера как функции пространственно-временного распределения температур нагревательных элементов цилиндра экструдера. Это позволило получить структурную схему процесса как объекта управления с распределенными параметрами для последующего синтеза системы управления наложением термопластичной кабельной изоляции на одночервячном экструдере.

Введение

Важнейшей технологической операцией производства кабелей связи с пластмассовой изоляцией, на которой формируются основные параметры качества кабеля как канала связи, является операция изолирования. Наложение изоляции кабеля из термопластичных материалов, таких как полиэтилен низкой плотности (ПЭНП - наиболее широко используемый при изготовлении кабелей связи материал), осуществляется на экструзионных линиях, содержащих одночервячные экструдеры. При этом одночервячный экструдер обычно рассматривается как объект управления с сосредоточенными параметрами [1]. И это несмотря на то, что на технологической линии изолирования конструктивно предусмотрено распределенное управление температурой зон нагрева цилиндра экструдера. Даже с учетом хорошей гомогенизации расплава полимера в зоне дозирования экструдера температурное поле расплава изоляции значительно изменяется вдоль продольной (осевой) координаты червяка экструдера.

Для управления процессом наложения кабельной изоляции (температурным полем расплава полимера) на одночервячном пластицирующем экструдере нам необходимо иметь его математическое описание как объекта управления с распределенными параметрами (ОРП).

В данной работе предпринята попытка математического описания процесса формирования кабельной изоляции, накладываемой на одночервячном экструдере как объекта управления с распределенными параметрами.

1. Описания процессов тепломассопереноса в прямоугольном канале пластицирующего экструдера

Для описания процессов тепломассопереноса в прямоугольном канале пластицирующего экструдера, у которого отношение глубины винтового канала Н к внутреннему диаметру цилиндра экструдера Б значительно меньше единицы, обычно пренебрегают кривизной канала, разворачивают его на плоскость и обращают движение, считая шнек неподвижным, а корпус -вращающимся в обратную сторону относительно реального направления вращения шнека [2]. Это допущение, справедливое для большинства экструдеров, позволяет пренебречь кривизной канала и дает возможность использовать описывающие процессы дифференциальные уравнения, записанные в декартовых координатах.

1 Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 06-08-00041-а). 162

На рисунке 1 приведена развернутая на плоскость модель канала шнека пластифицирующего экструдера.

Рис. 1 Развернутая на плоскость модель канала шнека пластифицирующего экструдера

На рисунке 1 х, y, z - координатные оси; ш - ширина канала; h - глубина канала; ф - угол захода шнека экструдера; - толщина цилиндра экструде-

ра; L - длина шнека вдоль оси канала экструдера; та/h ~ 17:1 >> 1 ; Vz - средняя скорость движения расплава полимера вдоль канала шнека; Vx ,Vz - циркуляционная и поступательная составляющие линейной скорости Vq перемещения поверхности цилиндра относительно червяка; N - обороты шнека,

Vx = Vq sin ф; Vz = Vq cos ф; Vq = nDN.

С учетом сказанного можно ограничиться рассмотрением движения пластмассы в неподвижном прямоугольном канале под действием ограничивающей канал сверху плоскости, движущейся к продольной оси z канала под углом ф .

Средняя скорость движения расплава полимера вдоль канала шнека Vz может быть найдена следующим образом. Массовая производительность на выходе экструдера Q3 может быть определена следующим образом:

Q =pvП

где р - плотность сплошной пластмассы (ПЭНП); V - скорость изолирования; DH3 - диаметр изготавливаемой кабельной жилы по изоляции; dnp - диаметр проводника.

Массовая производительность зоны дозирования экструдера 2д может быть рассчитана по формуле

Qд = ppVzhra,

где Рр - плотность расплавленной пластмассы (ПЭНП).

Из необходимого условия равенства весовой производительности зоны дозирования и производительности на выходе экструдера (массы изоляции на единицу длины проводника) получаем выражение для средней скорости движения расплава полимера вдоль канала шнека:

V = прУ 17^2 2

4 рр Нш

В случае если изготавливается кабель с пенопластовой изоляцией, имеющей степень пористости изоляции 8 , можно записать:

5 = -^ = 1 -Рпп,

Упп р

где р - плотность сплошной пластмассы; рпп - плотность пенопластовой изоляции; Уь - объем воздушных включений; Упп - объем пенопласта.

Полученная формула связывает плотность пенопластовой изоляции со степенью пористости.

Тогда формула (4) с учетом (5) принимает вид

- =пру (1 -8) , о л\ = Прппу {п2

У. =

-

г 4 рр Нш \Биз йпр/ 4 ррНш \Биз ^.

Средняя скорость течения расплава полимера в зоне дозирования экструдера МЕ-90 фирмы МаШв/вг, на котором изготавливается изолированная жила кабеля ВКПАП с пенопластовой изоляцией, для У = 22 м/мин; ш = 68,4 мм; Н = 4,05 мм; Биз = 9,7 мм; апр = 2,14 мм; 8 = 0,5;

рр = 0,7 г/см3 ; р = 0,922 г/см3 составила У. = 6,4 см/с.

Для указанных технологических режимов согласно (1) величина максимальной скорости циркуляционного течения Ух в зоне дозирования экструдера при N = 24 об/мин, Б = 80 мм она оказалась равна Ух = 30,65 мм/с . Для приведенных размеров ш и Н канала шнека время полного оборота Тц расплава пластмассы за счет циркуляционного течения составит

2

Тц =—У--------1 = 4,7 с.

Ух

Наличие циркуляционного течения в зоне дозирования шнека экструдера и незначительное время полного оборота пластмассы свидетельствует о выравнивании температурного поля расплава полимера как по глубине, так и по ширине канала шнека. Следовательно, температура полимера существенно изменяется в канале экструдера лишь вдоль его осевой координаты.

Так как ширина канала шнека экструдера много больше его глубины ш/Н ~ 17:1 >> 1, то при описании тепловых процессов в полимере его можно рассматривать как бесконечную пластину толщиной Н, движущуюся относи-

тельно корпуса шнека - также бесконечной пластины, толщина которой равна Я - Н . Здесь Я - внутренний радиус цилиндра экструдера.

Развернутая на плоскость модель канала шнека пластифицирующего экструдера, соответствующая данному допущению, показана на рисунке 2.

Рис. 2 Модель канала шнека пластифицирующего экструдера:

1 - пластмасса; 2 - корпус шнека; 3 - цилиндр экструдера

Уравнение энергетического баланса в прямоугольных координатах для описания процессов тепломассопереноса в канале пластицирующего экструдера имеет вид [2]

рС

дТ_

дг

дТ_

дх

+ их — + и у

дТ дТ

+ и.

д?

дЦх + дцу + дЪ, дх ду д?

- Т

дР_

дг

ди

Эи х ди у Эи

л

дх ду

Эи,

а хх^- + а уу'

у

дх

ду

+ а

д?

Эи

д?

+а

ху

дих Эиу Л

- +

ду дх

+ ах

Эи Эи Л —- + — I + а ..7

д? дх ) у

+

Л

+

АЭи

Эи,

д? ду

где Т - температура полимера; С - удельная теплоемкость полимера; р -плотность полимера; х, у, г - координаты шнека экструдера; их, и у - циркуляционная скорость расплава полимера по осям х и у ; иг - поступательная скорость расплава полимера по оси г; t - время; <5^ (г, ( = х, у, г)- тензоры напряжений; Р - давление,

где X - коэффициент теплопроводности полимера.

Для построения аналитической модели, значительно упрощающей описание процессов тепломассопереноса в канале червяка экструдера, но не искажающей существенно их характер, сделаем следующие допущения:

1. Поля скоростей изменяются вдоль оси г намного меньше, чем по двум другим осям.

2. Течение в направлении оси у существует только в непосредственной близости к стенкам канала. В остальной части сечения канала течение в направлении оси у отсутствует (у = о).

3. Вследствие большого отношения ширины винтового канала ш к его глубине h с учетом предыдущего допущения можно предположить, что на некотором расстоянии от стенок канала скорости их и не зависят от x.

С учетом сделанных допущений, а также отмеченного факта, что температура полимера изменяется лишь по оси г , имеем

дих х = 0 дих |. х = о- диу = 0' диг г = о- диг = о , диу =

д х ’ д г ’ д у д г д х ; д г

ди у дх = 0; дТ дх = о; дТ = ду о;

Тогда уравнение теплового баланса принимает вид

рС

дТ - дТ .

— + У7— I = х

дг г дг

д 2Т

дг

2

дЦх

ду

- + а

уг

ди±

ду

Связь между компонентами тензора напряжений Оу и тензора скоро стей деформации определяется выражением [2]

°1] =Па 2Ц; ( у = X y, г);

ди ди = \ —- + —-д ] д і

;(і,] = х, у, г),

где па - эффективная вязкость расплава полимера.

С учетом вышесказанного уравнение (11) преобразуется к виду

\2"

рС

дТ

дТ

— + V,— | = к дг г дг

д 2Т

дг

+ ПС

2

дих

ду

+

диг

ду

В качестве реологического уравнения, описывающего свойства расплава полиэтилена, обладающего аномалией вязкости, используем обобщенный степенной закон [3, 4]:

Па = №

-ь

І2

2

п-1

2п

где ^о - ньютоновская вязкость (значение эффективной вязкости при І2 = 1); п - индекс течения; Ь - температурный коэффициент вязкости; Т - абсолютная текущая температура; То - температура приведения; І2 - квадратичный инвариант тензора скоростей деформации.

В прямоугольных координатах для нашего случая І2 с учетом сделанных ранее допущений определяется выражением 166

12 = 2

Тогда (14) принимает вид рС

Л2

ду

2

д^ ч дУ у

гдТ - дТ

— + V.— | = х

dt z dz

д 2Т dz 2

+ Ф

где Ф - функция диссипации, являющаяся внутренним источником тепла и определяемая выражением

3п-1

ф* = Мю exP [-b (Т - Т0 )]

С 'л Л2

ч дУ у

fди.

ч дУ у

2п

Как отмечается в [2], скорость циркуляционного течения их(у), если

пренебречь утечками, не зависит от давления в кабельной головке, полностью определяется размерами канала и скоростью вращения червяка, и как функция от безразмерной глубины канала может быть аппроксимирована выражением

U x = Vx

Ґ \2 1

3 1 у 1 - у

1 h. ) h

где у - координата по глубине канала.

*

Скорость поступательного течения зависит от коэффициента а , по физическому смыслу представляющего собой отношение расхода противопо-тока к расходу вынужденного потока в экструдере, и также является функцией безразмерной глубины канала [2]:

и

z —

У

Vz h

ґ

* * У

1 - 3a + 3a • — h

С учетом (19) и (20) выражение (18) преобразуется к виду

3п-1

ф* = ^0exP_-b(Т-Т0)]• [h) п х

2 2 / * * \ 2 ф-

3n-1

sin2

или

Ф* = Kexp [-b(T - T0 )].

Если процесс экструдирования осуществляется с подводом тепла извне от внешних нагревателей (что обычно и происходит), в уравнение (17) дол-

жен быть добавлен соответствующий член. В этом случае уравнение принимает вид

дТ(г,г) д2Т(г,г) - дТ (г,г) 1 *, . а Г , ч

^-+ра:Ф

0 < г < Ь,

где а - коэффициент температуропроводности полимера; Тц - температура

цилиндра экструдера; а - коэффициент теплоотдачи между полимером и цилиндром; Ь - общая длина экструдера вдоль канала шнека,

Ь = Ь*Аеф ,

*

где Ь - общая длина экструдера вдоль его оси.

Так как температура вдоль экструдера изменяется практически линейно [2], то членом уравнения (23), соответствующим теплопередаче полимера

д2Т

вдоль оси шнека-----—, можно вполне обоснованно пренебречь. Тогда урав-

д г

нение (23) принимает вид

дТ(г,г) - дТ(г,г) 1 *, , а Г / \

*+РС' Ф (Т>+РаТ(,г)-Т(г,')]; 1251

0 < г < Ь.

Нагрев полимера в канале шнека пластицирующего экструдера происходит как за счет внутреннего тепловыделения вследствие диссипации энергии (из-за вязкого трения перерабатываемого полимера), так и за счет тепла, подводимого от внешних ленточных нагревателей. Зависимость внутреннего тепловыделения является нелинейной функцией температуры полимера (18).

Итак, ОРП описывается нелинейным уравнением теплопроводности (25) для температурного поля Т (г, г) перерабатываемого полимера с краевыми условиями

Т

2. Структурное моделирование процесса наложения термопластичной кабельной изоляции на одночервячном экструдере

Вопросы моделирования нелинейных распределенных объектов рассмотрены в [5]. В случаях, когда дифференциальные уравнения ОРП оказываются существенно нелинейными, как в нашем случае, приходится учитывать соответствующие нелинейности для описания моделей объекта с приемлемой точностью.

Для нелинейного блока в достаточно общем случае функция состояния объекта может быть представлена в виде нелинейного интегрального оператора [5, 6]

г Ь

Т

00

с ядром Р(г,^,г,т,w), являющимся заданной нелинейной функцией входного воздействия w(^,т). Если, в частности, ядро Р оператора (27) образуется произведением

Р

где сомножитель 5 играет в сравнении с линейными распределенными блоками роль аналога функции Грина относительно нелинейной функции п от

входного воздействия w(^,т), то нелинейный оператор (27) приводится к

пространственно-временной композиции [5]:

г Ь

Т(г,г)= ||5(г,£,г,т) п(£,т,w)d^dт = 5(г,£,г,т)°п(£,т,w),

00

где значок о обозначает пространственно-временную композицию.

Такой нелинейный распределенный блок называется нелинейным блоком Гаммерштейна и изображается в виде, представленном на рисунке 3.

Рис. 3 Нелинейный распределенный блок Гаммерштейна

Блок Гаммерштейна представляется последовательным соединением линейного распределенного блока, характеризуемого «функцией Грина» S(z,г,т) и блока с нелинейностью п , который чаще всего оказывается статическим, если п не зависит от временного аргумента т . Тем самым осуществляется выделение в нелинейном блоке линейной динамической части, подобно тому, как это делается в теории нелинейных систем с сосредоточенными параметрами [5].

Представим структуру объекта управления с распределенными параметрами, описываемого нелинейным уравнением теплопроводности в форме линейного стационарного блока с функцией Грина О (, ^, г -т), охваченного

обратной связью в виде нелинейного блока Гаммерштейна, учитывающего нелинейную зависимость от его входного сигнала по температурному распределению (рис. 4).

Рис. 4 ОРП с нелинейной распределенной обратной связью

Очевидно, что в качестве выходного сигнала g(z,г) нелинейной обратной связи по температуре Т(z,г) можно рассматривать функцию диссипации Ф (Т) в форме (22), а функция Грина О (z, ^, г -т) характеризует свойства линейного блока, описываемого линейным уравнением теплопроводности (25), при Ф* (Т ) = 0 с краевыми условиями (26).

Функция Грина такого блока может быть получена, например, либо с использованием метода конечных интегральных преобразований, либо взята готовой для подобного ОРП. В [7] для ОРП, описываемого уравнениями ,дТ

- + cT (z, t ) = f (z, t );

dt dz

0 < z < L; t > 0; a Ф 0; b Ф 0;

T (z,0) = To (z ); T ( L,t ) = gi (t ); T (0,t ) = go (t ), соответствующими (25) при Ф (Т) = 0, функция Грина имеет вид

G (z, S, t ) = -1 -1(£-z )• exp b

•5

t - -b

Применительно к нашему ОРП получаем

l

G (z, S, t ) = -=-• 1(S- z )• exp

V-

а

pChVz

tt

•5

t - !-s)

В соответствии с

g

Так как exp [ -b (T - To ) = exp (-bT )• exp (bTo ), а exp (bTo ) = const, то

выражение (ЗЗ) преобразуется к виду

g

где K * = K exp (bTo ).

Используя свойства 5 -функции, выражение (ЗЗ) можно представить в виде

t L

g

00

и, следовательно, нелинейный блок в обратной связи на рисунке 4 является, согласно (28), блоком Гаммерштейна, для которого в нашем случае

S (z, s, t, t) = K *S(z - S)5(t -t); n(S, т, Т ) = exp [-bT (S, t)] .

При этом структура (рис. 4) объекта управления, описываемого нелинейным уравнением теплопроводности (25), может быть представлена в следующем виде (рис. 5).

Рис. 5 Структура объекта управления, описываемого нелинейным уравнением теплопроводности

При этом согласно

7 «, т)=РНТ"(5'т);

и тогда стандартизирующая функция на входе ОРП определяется следующим выражением:

а

w

Как показано в [5], функция состояния рассматриваемого нелинейного

объекта может быть определена из следующего интегрального уравнения:

г Ь г Ь

Т

оо оо

где

г Ь

М

00

Вычисляя функцию М в (41) с учетом (36) и (37), имеем

г Ь

М (г, £, г, т, Т) = ехр(-ЬТ) [ [о(г, є, г ^)К*8(є-£)8( -т^єdv =

00

= К * ехр (-ЬТ )0 (г, £, г -т).

Подставляя полученный результат в (40), получим основное интегральное уравнение, связывающее вход Тц (^,т) и выход Т (г,г) рассматриваемого нелинейного объекта с распределенными параметрами:

г Ь

Т(г, г) = |(г, £, г - т)-^Тц ( т)d^т +

, 00 Р

г Ь

+ Яо ( 5. г -т)* ехр[-ЬТ (, т)]d^т.

Решение этого уравнения можно найти известными численными методами, что позволит определить температурное поле полимера в шнеке экструдера как функцию пространственного распределения температур нагревательных элементов цилиндра экструдера.

Если в качестве выхода ОРП рассматриваются достаточно малые отклонения функции состояния объекта от некоторого стационарного режима, вызванные, соответственно, малыми вариациями внешних воздействий, то при гладких функциональных зависимостях, описывающих нелинейные эффекты объекта, при его моделировании можно применить широко используемый в теории управления прием линеаризации [5]. Он сводится к разложению нелинейных зависимостей в ряд Тейлора около стационарного режима с последующим учетом только его линейных членов в силу высшего порядка малости отбрасываемого остатка ряда. В результате получаем линейное уравнение, в первом приближении с удовлетворительной точностью моделирующее поведение нелинейного объекта управления в указанных условиях. Затем можно использовать известные способы описания линейных ОРП применительно к линеаризованной модели.

Используя разложение нелинейного члена в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами ряда, получаем

exp

С учетом (44) линеаризованное уравнение (25) примет вид

dT(z,t) - dT(z,t) 1 *r , ,а г / \ / \i

—dpi^Vz-L-L + — K [1 -bT

dz pC

pCh1

0 < z < L,

или

dT(z,t) + у dT(z,t) + J

dt z dz

pC

bK+!]'T<z,'>=pCh[T»(z,'>] 1461

0 < г < Ь.

При этом структура объекта управления, описываемого линеаризованным уравнением теплопроводности (46), может быть представлена в следующем виде (рис. 6).

'(i

G

T

Рис. 6 Структурное представление объекта управления, описываемого линеаризованным уравнением теплопроводности

По аналогии с (29)-(32) согласно [7] для рассматриваемого линейного ОРП функция Грина имеет вид (47), подобный (32), а передаточная функция W(г,^,р) определяется выражением (48):

1

G (z, S, t ) = -=- -1(^- z ) * exp

V.

bK h + а / „ ч

------^

pChVz v '

•5

1

t-ir

V-

W (г, р ) = --^-1(£- г )ехр

V

Стандартизирующая функция в задаче моделирования рассматриваемого линейного ОРП была определена в соответствии с методикой, предлагаемой в [5]. Решение краевой задачи (30), (46) представляется в виде

г Ь

Т (г, г )= ЦЪ (г, £, г-х)м/ (£, т)^т =

00

г Ь

=11«(-5. г-х)[5(х)Го (£) + щ (£, т)-Wo (£, т) + / (, т, м (£, т)) ^ т.

00

Здесь

щ0 (^т) = - Уг5(^)' 80 (т) ;

щ1 (^т) = - К5(- Ь) 81 (т).

Тогда

щ

Как отмечается в [5], применение преобразования Лапласа по временному аргументу г к вход-выходным соотношениям вида (49) для линейных стационарных блоков позволяет распространить на системы с распределенными параметрами важнейшее понятие передаточной функции и использовать для ее определения методы структурного подхода, широко применяемые в теории управления линейными сосредоточенными системами.

При этом в терминах передаточных функций графическое изображение линейного распределенного блока показано на рисунке 7, где щ (р) и

Т(г,р) - изображения по Лапласу соответственно щ (^,г) и Т(г,г).

'

W (г, і

Рис. 7 Структурное представление линейного распределенного блока в терминах передаточных функций

Заключение

Получено математическое описание температурного поля полимера в шнеке пластицирующего экструдера как функции пространственно-временного распределения температур нагревательных элементов цилиндра экструдера. Это позволило осуществить структурное моделирование процесса наложения изоляции на одночервячном экструдере как объекта управления с распределенными параметрами для последующего синтеза системы управления.

Список литературы

1. Laurich, K. Untersuchung einer Zweigroßenregelstrecke an einer kabelummantelungsanlage / K. Laurich, G. Muller, B. Bluckler, H. Wallau. - Mess. -Steuern - Regeln, 1979. V. 22. - № 1. - S. 28-31.

2. Торнер, Р. В. Теоретические основы переработки полимеров / Р. В. Торнер. -М. : Химия, 1977. - 464 с.

3. Виноградов, Г. В. Реология полимеров / Г. В. Виноградов, А. Я. Малкин. -М. : Химия, 1977. - 256 с.

4. Mitsoulis, E. Finite element analysis of wire coating / E. Mitsoulis // Polymer Engineering and Science. - 1986. - V. 26. - № 2. - Р. 171-186.

5. Рапопорт, Э. Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами / Э. Я. Рапопорт. - М. : Высш. шк., 2003. - 299 с.

6. Бутковский, А. Г. Структурная теория распределенных систем / А. Г. Бут-ковский. - М. : Наука, 1977. - 320 с.

7. Бутковский, А. Г. Характеристики систем с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. - М. : Наука, 1979. - 224 с.