Математическое описание колебательной системы “вибрационный рабочий орган - грунт”

Орлов Александр Андреевич - студент. Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный университет путей сообщения», электромеханический факультет, кафедра «Электроснабжение железно-

дорожного транспорта». Основные направления научной деятельности - Исследование изнашивания элементов контактных пар устройств токо-съема.Общее количество опубликованных работ:

2. e-mail: alex2009.95@mail.ru.

УДК.625.084

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ “ВИБРАЦИОННЫЙ РАБОЧИЙ ОРГАН - ГРУНТ”

Г. И. Шабанова, С. В. Савельев, Г. Г. Бурый

Аннотация. В данной статье рассмотрено применение математического решения для описания колебательной системы “вибрационный рабочий орган - грунт”, при уплотнении грунта металлическим вальцом вибрационного катка. Найдены параметры характеризующие колебательное движение.

Ключевые слова: математическое описание, уплотнение, колебательная система, виброускорение, грунт.

Введение

В транспортном строительстве для уплотнения грунтов получили большое распространение вибрационные машины. Совершая колебательные движения, эти машины вводят также в состояние колебаний и расположенные под ними массы грунта. [4]

Машины для вибрационного уплотнения делятся на вибрационные плиты и катки. Причем катки получили гораздо большее распространение вследствие большой универсальности и многотипности рабочих органов. [3]

Основная часть

Настройка режимов работы вибрационной машины является одним из основных факторов, влияющих на эффективность процесса уплотнения. Одним из основных критериев эффективности виброуплотнения являются виброускорения в уплотняемом слое.

На рисунке 1 показана схема взаимодействия рабочего органа вибрационного катка с уплотняемой средой.

На рисунке 2 показана динамическая модель колебательной системы «рабочий орган грунт».

Рис. 1 . Взаимодействие рабочего органа вибрационного катка с уплотняемой средой

г

Х2

Х1

ЇЇІ2

Ь2 -\ Ц - С2

ГПі

bi —\ < - О

Pit/

7777

7777

Рис. 2. Динамическая модель колебательной системы «рабочий орган - грунт»

Модель включает параллельно соединенные элементы жесткости и вязкости, где Ь1 и Ь -коэффициенты вязкого трения грунта и рабочего органа, а с1 и с2 - коэффициенты жесткости грунта и рабочего органа. На модели показано взаимодействие колеблющихся масс т2 - рабочего органа и т1 - грунта в зоне активного действия вибрации. Колебание массы т2 происходит под действием вынуждающей силы Р. Под воздействием колебаний, массы получают относительные перемещения х1 и х2, которые прямо пропорциональны виброускорениям системы. Вращение эксцентрика происходит с угловой частотой о , рад/с.

Математическое описание системы колебаний двух масс “вибрационный рабочий орган - уплотняемая среда” имеет вид [5]

|m2 х2 + b2 (х2 - х1) + с2 (х2 - х1) - m2 • g = Pcosrat;

|m1 х, + b1 х, + b2

х1= х 1

Решения системы удовлетворяют начальным данным

х1(0)=0, х1(0) = 0 ;

хг

Решим задачу Коши (1) - (4) при средних значениях параметров.

Почленно сложим уравнения системы (1),

••

(2) и выразим х 2 (t) через х1 (t) и производные этой функции.

• • •• •

m2 х2 + m1 xi + bj xi + с1 х1 = Р cos cot + (m1 + m2 )g

m1 •• b1 • c1 P cosot m1 + m2

x 2 —--------------x1-------------x1-------------x. +

m

m

m

m

m

g

Полезно вычислить x 2

m1 b1 с1 P

x 2 —-------------x 1--------------x1------------x1-----------о sin ot .

b1 •• c1 • P

m

m

m

m

2 '"2 '"2 '"2

Продифференцируем второе уравнение системы дважды

ГУ ••• f ••• ••• \ •• /•• •• \

m1 x 1 + b1 x 1 + b21 x 1 - x 2 I + c1 x 1 + с21 x 1 - x2 I — 0

и преобразуем его с помощью равенств (5),

(6) в дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно функции Xх (ґ).

V т1

А

т.

1 +

т1 + т2

т

X 1 +

Ь1 Ь2 + "1 + ~2

V т1 т2

т

с

т

т1 + т2 т

С1 Ь2 + Ь1 С2

V т1 т2

Л •

Р с-,

21 Р Ь

Х1 +

Ст С2 Р С2 Р Ь2

Х1 + —----------— х1 =----------------— COS 0)1------------------— 0) Sin 0)1 +

т1 т2

т

т1 + т2 т

£

т1 т2

т1 т2

По теореме о структуре решения дифференциальных уравнений со специальным видом правой части [1] х1 ) = X 10 ()+хГ(^),

где х°^) - общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего (7), а х*(^) - частное решение (7).

Определим х10 ^). Для однородного уравнения

х 1 + Ах 1 + Вх1 + Сх1 + Dx1 = 0 составим характеристическое уравнение

F

- Ь Ь2 т1 + т2

А = — + —----------1-------

т1 т

2

т

т

т

т

С = С1 Ь2 + Ь1 С2 .

D = ^ ^. т1 т2

Многочлен четвертой степени

г4 + Ar3 + В г2 + С г + D имеет два действительных различных и два комплексных сопряженных корня.

Уравнение (9)представим в равносильном виде

„() D 14 А з В 2

г = f (г )=-----— г г г

С С С С

Применим метод итераций. В качестве первого приближения корня возьмем

.

D

= -—. Последующие приближения

С

вычислим по формуле

г}"1 = У (г|(“-,)).

Из [2] известно, что если функция ^г) определена и дифференцируема на отрезке [а,

Ь] и \/' (г )| Р 1 при а Р г Р Ь , то процесс

итерации

(п) = у (г1(п-1)), п=1,2,...,

г1 ' =

симо от начального значения г, '7 е |а.

сходится незави-(1) е [а,ь]

и

является

предельное значение м -„Ш11

единственным корнем уравнения г = / (г) на отрезке [а, Ь].

Уточнение корней не имеет практического

значения, т.к. при г1 = г1(1) +а частное решение уравнения (8) имеет вид

X

х(1)(< )=

= еп1 = е(г(1)+а) =

г(1)1 а г(1)1

=ег •еа =ег

, а

- бесконечно малая величина. Теперь правую часть уравнения (9) разложим по формуле Тейлора в окрестности точки

г1(1) . Получим уравнение в новом виде.

с

2

т1 т2

т1 т2

т1 т2

Полагая F(г/^)» 0, разделим (10) на г - г1(1) , полученный многочлен приведем к виду.

У (г ) = г 3 + А г 2 + В г + С = 0 ,

где А, В, С - коэффициенты многочлена получаемые при приведении (10) к стандартной форме.

Рассмотрим случай, когда многочлен имеет один действительный и 2 комплексных сопряженных корня.

Корни полученного уравнения удовлетворяют соотношениям

r2 + Гз + Г4 — - A

r2 (r3 + r4 ) + r3r4 — B

r2 • r3 • r4 — - С

При значениях корней г2 , г34 = х ± iy

Учитывая результаты, полученные выше, запишем общее решение уравнения

<0 (t) — C1er'|1t + C2er2t + С3

ext cos(yt) +

Подберем частное решение x* (t), соответствующее правой части уравнения (7).

x*

Подставим (13) и производные x1 (t) до четвертого порядка в (7). Получим уравнение

Мо4 cosat + Na4 sinat + AMa3 sinat - ANa3 cosat -BMa2 cosat -BNa2 sinat - CMasinat + C Nacosat + DM cosat + DN sinat + LD —

P с.

- cosat--

Pb

2 с2 m1 + m2

2 a sin at + ——1---------------------------2

m1 m2

m1 m2

m

m

с2 m1 + m2 g — d • cosat + n • sin at + ——1---- g;

m

m

P с

d —--------—; n —-— a ; n — n(a).

m1 m2

m1 m2

Из сравнения тригонометрических многочленов в полученном соотношении следует,

С т, + т0

что

LD — •

"2 "П

m

m

-g .

Неизвестные коэффициенты М и N удовлетворяют системе двух линейных уравнений

МІ a4 - Во2 + D I + N1 -Ло3 + С a I — d

М ff А a3 - С a j + N |a4 - Во2 + D j — n

По формулам Крамера находим

М — А^; N — А^. АА

А—

°4 - Во2 + D -fAa3 -N a I

Ло3 - С a a - Aa + D

a4-Aa2+ D I +| Aa3 -Naj f О

А м =

о

А =

П о4-Во2 +D со4 - Во2 + D v А о3 - Со П

= w о4 - Во2 + D | + п| Аоо - Со |,

xi (t) = г1(1) • C1e1'1 1 + r2 • C2er2t

- М • о • sin ot + N • о • cos ot

= По - Во + D | - w| А о - Со |.

М, N, L подставим в (12).

Константы интегрирования определим в соответствие с начальными условиями и подставим в общее решение уравнения. По смыслу задачи С3=С4=0.

Общее решение уравнения (7) имеет вид

х1

Вычислим вибрационные ускорения xi

и x2(t). Для этого продифференцируем (14) дважды.

r(1)t -л t

ЛЛ (1)2 п r^t 2 п r2t X 1(t )= r|; • C1e 1 + Г2 • C2e 2 -

22

- М •о • cos о! - N •о • sin о!

••

x2

Заключение

В результате моделирования получены зависимости позволяющие определить виброускорения массы грунта и рабочего органа, определить рациональные, с точки зрения эффективности передачи вибрации, параметры колебательной системы, назначать эффективные режимы работы уплотнителя.

Для проверки адекватности математического описания, было рассмотрено вибрационное уплотнение суглинистого грунта влажностью 14%, плотностью 1900 кг/м3, катком ДУ-107. Для расчета виброускорений были взяты следующие исходные данные: Ь-|=2,9-Ш6Н*с/м;

Ь>2=1Н*с/м; с-|=2,7-106Н*с/м; с2=4,0-т10Н*с/м; т1=113кг; т2=500кг; ш=0-380рад/с; Р=0-6,2кН. Наибольшие виброускорения получены на частоте приблизительно в 30Гц и составили

х1 = 5,5 м/с2. Характеристики процесса виброуплотнения, полученные при данном математическом описании, подтверждаются экспериментальными исследованиями .

Библиографический список

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 2. Издательство “Наука”. Москва. 1972. - 576 с.

2. Демидович Г. П. , И. А. Марон. Основы вычислительной математики. Издательство “Наука”. Москва. 1966. - 664 с.

3. Савельев С. В. Уплотнение грунтов катками с адаптивными рабочими органами: монография. -Омск: СибАДИ, 2010. - 122 с.

4. Хархута Н. Я., Васильев Ю. М. Прочность, устойчивость и уплотнение грунтов земляного полотна автомобильных дорог. Москва. “Транспорт”, 1975, 288 с.

5. Закирзаков Г. Г. Экспериментальнотеоретическое определение параметров двухмассовой колебательной системы/ Г. Г. Закирзаков, М. И.Капустин/ Рабочие процессы и динамика машин для разработки, уплотнения и вибрационного формирования изделий: Межвуз. сб. научн. тр. - Ярославль, 1986. -105с.

MATHEMATICAL DESCRIPTION OF THE OSCILLATING SYSTEM "VIBRATING WORKING BODY - THE GROUND"

G. I. Shabanova, S. V. Saveliev, G. G. Buriy

This article discusses the use of a mathematical solution to describe the oscillating system "vibrating working body - the ground" when compacting soil metal drum vibratory roller. The parameters characterizing the oscillatory motion.

Шабанова Галина Ивановна - доцент кафедры “Высшая математика” Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ). Основные направления научной деятельности - Обратные задачи математической физики. Общее количество опубликованных работ: 21. e-mail: karaseva_rb@mail.ru.

Савельев Сергей Валерьевич - кандидат технических наук, доцент кафедры “Эксплуатация и сер-вис транспортно-технологических машин и комплексов в строительстве” Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ). Основные направления научной деятельности -Повышение эффективности уплотнения дорожностроительных материалов, развитие теории интенсификации уплотнения упруго-вязких сред. Общее количество опубликованных работ: 50, e-mail: saveliev_sergval@mail. ru.

Бурый Григорий Геннадьевич - аспирант кафедры “Эксплуатация и сервис транспортнотехнологических машин и комплексов в строительстве” Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ). Основные направления научной деятельности - Повышение

эффективности уплотнения дорожностроительных материалов, развитие теории интенсификации уплотнения упруго-вязких сред. Общее количество опубликованных работ: 13. е-таИ: coshperovsky@mail.ru.

УДК 621.86/.87

АЛГОРИТМ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ КРЮКОВОЙ ОБОЙМЫ ГРУЗОПОДЪЕМНОГО КРАНА

В. С. Щербаков, М. С. Корытов, А. Н. Шабалин

Аннотация. Предложен алгоритм процесса управления положением крюковой обоймы грузоподъемного крана-трубоукладчика в поперечной вертикальной плоскости, образованной линией гравитационной вертикали и линией, перпендикулярной оси траншеи. Приращения угла наклона стрелы и длины грузового каната позволяют обеспечить требуемый угол отклонения грузового каната крана-трубоукладчика от вертикали в поперечной плоскости при заданных значениях координат крюковой обоймы с грузом.

Ключевые слова: кран-трубоукладчик, крюковая обойма, координаты, грузоподъемный, грузовой канат, угол отклонения каната.

Введение

Проблема обеспечения эффективной и безопасной работы колонны из нескольких грузоподъемных кранов-трубоукладчиков (КТ) как сложной динамической системы при производстве строительно-монтажных, подъемно-транспортных и сварочных работ является актуальной. При этом необходимым условием выступает исключение ситуации потери устойчивости или опрокидывания отдельного КТ в составе трубоукладочной колонны. В то же время, нескольким КТ необходимо переместить в пространстве трубу большой или условно неограниченной длины, упруго деформируя ее ограниченный участок.

То есть в процессе движения трубоукладочной колонны необходимо непрерывное решение двух задач: 1) основная - не допустить превышения опрокидывающего момента на отдельных КТ (определяемого как произведение силы, приложенной к крюку отдельного КТ со стороны трубы на текущий вылет). 2) вспомогательная - обеспечить нужное расположение грузовых канатов отдельных КТ относительно гравитационной вертикали, вызывающее требуемую для перемещения трубы упругую деформацию ее ограниченного участка [1,2].

Указанные две задачи взаимосвязаны: первая выступает в качестве ограничения при решении второй. Если первая задача решается применением ограничителей грузоподъемности

КТ, то решению второй задачи до сих пор не было уделено значительного внимания.

Машинист КТ в настоящее время визуально определяет угол наклона грузового каната, вручную осуществляет подъем и опускание стрелы, корректирует смещение грузового каната от вертикали. Процесс этот достаточно трудоемок для ручного управления. Поэтому целесообразно использование системы автоматического управления (САУ) для решения задачи коррекции угла отклонения от вертикали грузового каната КТ. Создание САУ коррекции угла каната невозможно без изучения геометрических и кинематических характеристик рабочего оборудования КТ [1].

Коррекцию угла отклонения грузового каната КТ от гравитационной вертикали в продольной вертикальной плоскости, образованной линией гравитационной вертикали и осью траншеи, целесообразно осуществлять регулировкой скорости движения КТ вдоль траншеи и изменением длины грузового каната. Коррекцию угла отклонения грузового каната КТ от гравитационной вертикали в поперечной вертикальной плоскости, образованной линией гравитационной вертикали и линией, перпендикулярной оси траншеи, необходимо реализовать по более сложному алгоритму.

Описание алгоритма процесса управления положением крюковой обоймы грузоподъемного крана

В качестве параметров управления для САУ коррекции угла отклонения грузового ка-