Преобразование электромагнитного излучения слоистым композитом с тонкими проводящими периодическими включениями

И. Е. Плещинская, Н. Б. Плещинский

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ СЛОИСТЫМ КОМПОЗИТОМ С ТОНКИМИ ПРОВОДЯЩИМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Ключевые слова: дифракция, слоистый диэлектрик, периодическая решетка.

Исследована задача дифракции электромагнитной волны на слоистом композите с периодической проводящей решеткой. Построен алгоритм вычисления потоков энергии гармоник Флоке.

Keywords: diffraction, layered dielectric, periodical grating.

The electromagnetic wave diffraction problem on the layered composite with the periodical conducting grating is considered. The calculating algorithm for fluxes of Floquet harmonics is constructed.

Новые композиционные материалы широко применяются в радиотехнических устройствах СВЧ электроники и микроволновой антенной техники. Тонкие проводящие периодические решетки, размещенные в многослойных полимерных средах, используются как преобразователи волновых полей, в том числе при селекции и фильтрации сигналов миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов.

Математические методы исследования периодических волноводных структур выбираются в зависимости от требуемой рабочей полосы частот. Наиболее сложным является случай, когда длина волны соизмерима с величиной периода. Если период решетки мал по сравнению с геометрическими размерами тела, то при решении соответствующих уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами, как правило, эффективно используется асимптотический метод осреднения [1], [2], [3].

Физические (оптико-механические) свойства металлполимерных композиций исследованы в работах [4], [5].

В данной работе изложен строгий метод расчета дифракционных решеток, погруженных в слоистый диэлектрик, значения параметров которых лежат на границе области применимости метода усреднения. Предполагается, что все геометрические размеры периодической структуры соизмеримы с длиной падающей на нее гармонически зависящей от времени электромагнитной волны.

Задача дифракции электромагнитной волны на периодической проводящей решетке привлекала внимание многих исследователей. Существенный прогресс при разработке методов расчета таких решеток, в том числе и многослойных, связан с появлением метода задачи Римана-Г ильберта [6]. В некоторых случаях хорошие результаты дает метод интегральных уравнений, но он приводит к слишком сложным вычислительным схемам (как, впрочем, и метод задачи Римана-Гильберта) при увеличении числа элементов решетки в полосе периода [7].

Свободен от ограничений такого рода метод регуляризации парных функциональных уравнений задачи дифракции, основанный на интегральных тождествах, полученных

при решении вспомогательной переопределенной граничной задачи в частичных областях

[8], [9].

Рассмотрим двумерную задачу дифракции ТЕ-поляризованной плоской электромагнитной волны на двухслойной диэлектрической пластине, на границе раздела сред которой расположена периодическая решетка из бесконечно тонких идеально проводящих лент (рис. 1).

Л ' Слой 1

м Слой + X

° N Слой -

-Л 2 Слой 2

Рис. 1 - Слоистый композит с периодическими включениями

Электромагнитное поле в каждой из частичных областей однозначно определяет потенциальная функция и(х, 2) - решение уравнения Гельмгольца.

На границе раздела сред должны быть непрерывны значения потенциальных функций и их производных по координате 2 (касательные составляющие электрического и магнитного векторов), а на металлическом включении потенциальные функции должны обращаться в нуль.

Пусть и°(х, 2) - потенциальная функция волны, падающей на слоистое тело сверху. Целесообразно искать все потенциальные функции в виде суммы и(х, 2) + V(х, 2), где и(х, 2) - решение задачи об отражении и преломлении волны и°(х, 2) на многослойном диэлектрике без проводящей решетки, а дополнительное слагаемое V(х, 2) - влияние этой решетки. Тогда задача дифракции сводится к двум задачам сопряжения:

ди+

и ° + и1 = и+,

и = и

и

и = и2,

V = V

ди ° ди1

+ -

дг д2

ди+ ди-

д2 д2

ди - ди2

д2 д2

дv1 дv+

дг д2

-и- на м,

при 2 = Л1,

д2

при 2=°, при 2 = -Л2

при 2 = Л1,

дv + = дv-д2 д2

на N при 2 = °,

+

+

_ 2 ду ду2 ,

V = V2, -----=------ при г = _п2.

дг дг

Здесь обозначены через М (металл) и N (не металл) части прямой г = 0, соответствующие лентам периодической решетки и щелям между ними.

Предположим, что все четыре слоя "1", "+", "-" и "2" имеют одну и ту же магнитную проницаемость и вещественные диэлектрические проницаемости є1, є+, є_, є2. Будем искать потенциальные функции поля в задаче (1) в виде

и1(х, г) = віах ^апві/п(г п)в>1пх, и+ (х, г) = віах ^ [а++віг"г + Ь+в /пг]вііпх

и (х,г) = віах ^[апві/пІ + Ьпв і/пІ]вііпх, и2(х,г) = віах ^Ьпв

-іУп (г+П2)в^пх

где

ті = д/к2 _ (^п + а)2, кі = коєє, І =1 +, _, 2

к0 - волновое число вакуума, L = 2л / б, б - период решетки, а - параметр Флоке. Условимся вычислять значения у!п так, чтобы или ^еу*п > 0 , или \ту1п > 0 . Пусть параметры композита такие, что ни одно из чисел у1п не равно нулю. Предположим, что е = е2 = 8, тогда = к2 = к и у] =угп =уп .

В силу условий излучения в функциях и1(X, 2) и и2(X, 2) содержатся только уходящие на бесконечность волны.

Если на слоистую структуру падает сверху плоская электромагнитная волна

и 0( х 2) = 0 - 'к втб-х- !к совОх

то а = -к в1п 0. При этом у0 = к соэО.

Из условий сопряжения полей при 2 = I!1 следует, что

а+ =

1 +

/п_

/+;

в

-/++П

ап, Ь+ =

1 _

/+;

и

а+ =

2

1 +

/

т0

ао +

1_

в

~і/ оП1

в

-і/оП

Ь+ =

2

1 _

/

/0

ао +

1+

/

/<+

в

-і/оП

в/оП\

Аналогично, из условий сопряжения при 2 = -Ь2 для всех п получим

1

ап= — п 2

в 1/пП2 Ь Ь _= —

с ит ип 2

1 + Т /п ,

в

'/пП2

Ьп .

В случае задачи (1) из условий сопряжения полей при 2 = 0 следует, что

аП + Ь++ = а- + Ь-, у+

Тогда из уравнений (4) - (7) легко получить, что при п ^ 0 все коэффициенты Флоке равны нулю, а ненулевые значения а0 и Ь0 определяются из системы уравнений

(СОБ/+ п _і/ впп/ п)ао + (СОБ/+ п Ї\п/++П1)в_г°п = (СОБ/П - і — Б\П/оП2 )Ьо,

/о

/о

/о

п = -<Х)

п=_ад

п=_ад

п=_ад

1

1

{СОБГ0)ҐІ1 -І ^БіПу+ҐІ^ - {СОБГ0)ҐІ1 + ІУоБ'\Пу+ Ь1)в~'Го>'1 = (-собу-Ь2 + іУ°Б\пу-ґі2)Ьо.

У о Уо Уо

После того, как решение системы уравнений (8) будет получено, обозначим

д = ао + Ьо = (собу+^-ІУ эту^а + (соэу+Ь + іУв\пу0+ Ь^е^.

Уо Уо

Теперь будем искать решение задачи сопряжения (2) в том же виде (3). Связи (4) и (6) между коэффициентами разложений потенциальных функций сохраняются, причем равенства (4) теперь справедливы и при - = о .

Так как V+ = V- на М и на М, то ап+ + Ь+ = а- + Ьп, п = о, ± 1, ... Отсюда следует,

что

У - У -

р-а- = Я-Ь-, где р- = собу-ґіі-і эпу-^, цп = соэу-Ьг-іэпу-^.

Уп Уп

Из двух других условий задачи (2) при 2 = о

2 (а- + Ь- Є-* =-д на М ,

Ё Уп (аП — ЬП^ = Ё Уп (а— — Ьп )е>1пх на N

П=—ю П=—ю

исключим неизвестные ЬП с помощью формул (9) и получим парное сумматорное функциональное уравнение

Ё °пеЬпх =—д на м ,

Z^-C-eiLnx = 0 на N ,

здесь Cn = pnan - новые неизвестные,

( г о Л

rn S

5П = Уп — + — , r- = cosy-h-iys\ny+-hb

V pn qn )

yn

- У -

sn = cosy--h2 -i ^s\ny--h2, n = 0, ± 1, ...

Уп

Парное уравнение (10) сводится к регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ). Легко проверить, что справедливо интегрально-сумматорное тождество

+ад d f +ад If 1 1 I

£cne>Lnx = j| ZcnSneILnt I d Z Te>Lm

n = -ад o V n = -ад )

Обозначим

V d m=-ад ^m )

Ik = J eILkxdx, Jk = J eiLkxdx.

M

n = -ад

n = -ад

n = -ад

Эти интегралы вычисляются явно; легко видеть, что 1к = бЯк0 - 1к (здесь 5щ - символ Кро-некера).

Следовательно, при х е М имеем

Ё Спв1ипх = -д,

л

1

Н = ^Ё °п5п Ё

1

У п~ п Я

Н п=-» т=-ю От

Итх

а при х е N

VI

Ё Опв‘-пх =/( Ё IУ Ё-тв1”

п=-<» м V п=-<» /V Н ”=-<» Ят

Умножим на е-£кх обе части парного равенства и проинтегрируем по [0, б]. Тогда получим

бск =-д|е-,1кхух + - Ё СпЯп Ё Яд/п-тI М Н п=-х т=-ю От N

е

И(т-

к} хбх

и окончательно

1 +» +» 1 НСк - У Ё СпЯп Ё ~Т д'п-т^т-к = ~д1-к, к = 0 ± 1

Н п=-^ т=-ю &т

Приближенное решение БСЛАУ (12) может быть найдено методом усечения - в суммах нужно учитывать только конечное число слагаемых. В системе линейных уравнений

1 N М у

Нск - У Ё СпЯп Ё Яп-т^т-к = -д1-к, к = 0 ± 1

п=-N

т=-М Ят

содержится два параметра усечения: М и N. Хотя при доказательстве сходимости алгоритма обычно требуется, чтобы было М > N, но на практике эти значения могут быть равны. Более того, при существенно различных значениях этих параметров часто возникает неустойчивость алгоритма.

Если расчет проведен правильно, то должен выполняться закон сохранения энергии (необходимое, но, к сожалению, не достаточное условие). Сколько энергии приносит на слоистый композит волна от внешнего источника, столько же энергии уходит от него в сумме вверх и вниз. Для двумерной ТЕ-поляризованной волны средняя по периоду времени плотность потока энергии вычисляется как 2-компонента вектора Пойнтинга

Н 1 с ( ди

П 7 =------------------Ке| Iи -

2т/и0^

дг

Для заданной плоской волны

По = - к сое в° 2ю/л0^

Для волны, уходящей вверх, на плоскости г = 11^

1 1 ( +» +<

Пг = —Ё ае"х  Ё 1тх

^Ш/лоЦ V п=-» т=-<ю

Аналогичная формула имеет место в случае волны, уходящей вниз. Тогда, после интегрирования по полосе периода [0, У], для относительных потоков энергии должно выполняться равенство

Ё1 ап ? - + Ё.\ Ь» \2 - = 1

-о -о

,2 -п _

п=-ад

здесь суммирование проводится только по тем гармоникам, для которых числа -п - вещественные.

Вычислительный эксперимент показал, что слоистый диэлектрик с периодической решеткой может использоваться для преобразования заданной плоской волны в сумму гармоник Флоке, уходящих от волноводной структуры как вверх, так и вниз. Если решетка отсутствует, то в решении задачи дифракции содержатся только нулевые гармоники, амплитуды которых - решение системы уравнений (8).

При исходных данных 1 = 1,3; Ь2 = 1,3; У = 2,7; а+ = 2,1; а = 1,5; в =0,5; N = М = 41 получено следующее перераспределение энергии плоской волны:

Таблица 1 - Потоки энергии гармоник Флоке

Номер моды Поток энергии вверх Поток энергии вниз

-3 0 0

-2 0.00015 0.00017

-1 4.20e-5 2.07e-5

0 0.22379 0.76705

1 l.06e-5 l.53e-5

2 l.29e-5 2.0le-5

При этом сумма относительных потоков энергии равна 0.97.

Если слои диэлектрика имеют одинаковые свойства, то, как и следует ожидать, потоки энергии ненулевых гармоник одинаковы.

При проектировании многослойных структур с периодическими включениями особое значение имеет задача синтеза - подбор параметров композита, обеспечивающих требуемое разделение энергии электромагнитной волны по гармоникам Флоке.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и АНРТ (проект 09-01-97009-р-поволжье-а).

Литература

1. Бардзокас, Д.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры / Д.И. Бардзокас, А.И. Зобнин. - М.: Едиториал УРСС, 2003.

- 376 с.

2. Бахвалов, Н.С. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов / Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко - М.: Наука, 1984. - 352 с.

3. Sanchez-Palencia, E. Non-homogeneous media and vibration theory / E. Sanchez-Palencia - Lecture Notes in Physics. - Berlin: Springer-Verlag, 1980. Vol. 127. - 398 pp.

4. Гараев, М.М. Влияние механохимической обработки на свойства металлполимерных композиций / М.М. Гараев, Е.Г. Белов, А.М. Коробков, С.В. Михайлов // Вестник Казанского гос. технол. ун-та. - 2009. - № 6. - С. 173-177.

5. Улитин, Н.В. Равновесные и релаксационные оптико-механические свойства густосетчатых полимеров. I. Прикладные основы математической модели а-перехода / Н.В. Улитин, М.Б. Зуев,

Т.Р. Дебердеев, Р.Я. Дебердеев, Т.А. Вахонина, Н.В. Иванова // Вестник Казанского гос. технол. ун-та. - 2008. - № 6. - С. 94-100.

6. Шестопалов, В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн / В.П. Шестопалов. - Харьков: Харьк. ун-т, 1971. - 400 с.

7. Плещинская, И.Е. К решению задачи дифракции электромагнитных волн на периодической решетке методом интегральных уравнений / И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский // Исслед. по прикладной матем. - 1984. Вып. 11, ч.2. - С. 61-78.

8. Плещинская, И.Е. Переопределенные граничные задачи для эллиптических уравнений с частными производными и их применение в теории дифракции волн / И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский // Ученые записки Казанского гос. ун-та. - 2005. - Т.147, кн. 3. - С. 4-32.

9. Плещинский, Н.Б. Модели и методы волноводной электродинамики / Н.Б. Плещинский. - Казань: Казан. гос. ун-т, 2008. - 104 с.

© И. Е. Плещинская - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КГТУ, plant_flower@mail.ru; Н. Б. Плещинский - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной математики Казанского (Приволжского) федер. ун-та, pnb@kzn.ru.