Алгоритм и методика расчета неоднородной оболочечной конструкции, взаимодействующей с нелинейно деформируемой слоистой средой

УДК 539.3

Н.А. Чекурков

АЛГОРИТМ И МЕТОДИКА РАСЧЕТА НЕОДНОРОДНОЙ ОБОЛОЧЕЧНОЙ КОНСТРУКЦИИ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С НЕЛИНЕЙНО

ДЕФОРМИРУЕМОЙ СЛОИСТОЙ СРЕДОЙ

Предлагается метод расчета оболочечных конструкций с локальной неоднородностью, взаимодействующей с многослойным основанием. Математическая модель для материала слоев основания строится на основе деформационной теории пластичности. Построен алгоритм численных исследований и приводятся результаты расчета деформации оболочечной конструкции, взаимодействующей с двухслойным основанием, с учетом неоднородности в конструкции.

N.A. Chekurkov

ALGORITHM AND METHOD OF CALCULATION OF NON-UNIFORM SHELL CONSTRCTION INTERPLAYING WITH THE NON-LINEAR DEFORMATION LAMINOSE FOUNDATION

The method of calculation of shell construction with the local heterogeneity cooperating with the multilayered basis is offered in the article.

The mathematical model for a material of layers of the basis is under construction on the basis of the deformation theory of plasticity. The algorithm of numerical researches is constructed and results of calculation of deformation of shell construction cooperating with the two-layer basis are given here, considering the heterogeneity in a design.

Разработка и внедрение эффективных методов расчета сооружений является актуальной проблемой современного строительства. В настоящее время в городах Поволжского региона наблюдается явление подтопления. Подъем грунтовых вод приводит к изменению деформационных свойств основания, модуль деформации, например, может меняться в 3 раза. На грунтовые основания могут оказываться другие воздействия техногенного характера, и все это может приводить к их неоднородности и изменению физико-механических свойств. Одно из направлений решения данной проблемы связано с разработкой новых методов прогнозирования деформаций сооружений на основаниях, физико-механические свойства которых могут изменяться в процессе эксплуатации под влиянием нагрузок и различных факторов природного и техногенного характера.

Рассмотрим неоднородную оболочечную конструкцию, взаимодействующую с нелинейно деформируемой слоистой средой (рис. 1).

В основу построения модели слоистой среды возьмем модель В.З.Власова-

Н.Н. Леонтьева [1] и с использованием теории наведенной неоднородности [2, 3] получаем разрешающие уравнения, относительно приращений перемещений, для деформаций оболочечной конструкции, взаимодействующей со слоистой средой в случае плоской деформации:

d2 (ы. + А]] . ВТ*22 -

-I

к=1

-'11

н -Е

-I

к=1

| Е33^ к Vldz

dx2 ^ dx2 ^ ^2 Д

н -Е н Е

33 Vк Vldz + I Е32< ^ - |-Г^ Vк Vl,dz - I Е23^к Vl,dz

А]/+

н

0 -х 0 0 -г 0

п \н дЕ н дЕ н

-1 \-ЕГ V к Vldz -|-721 V к Vldz -| Е22¥ к Vldz к=11_ 0 -х 0 -г 0

н

А];-

А]к =

= АР + 1

к=1

0

+1

к=1

:-л.

:-г,.

Г--5 Vк Vldz + I г32 Vк^ - IVк Vldz - I г23 Vк Vldz

0 -Х 0 0 — 0 п Гн -г н -г н

+ 1 1-г32 Vк^ -1-г2 VкVl'dz | г22VкVl'dz ]

к=1 0 -х 0 -г 0

]'+

и

к=1

А];+

+1

к=1

ж

н

-Е

н

Vк VА + IЕ32 Vк Vн^ - Нр Vк V 'А - IЕ23 Vк V Н^

_ 0 -Х 0 0 - 0 п Гн -Е н -Е н

+I Vк V н^ - I"-21 Vк V НА - IЕ22 Vк V НА

к=1 _ 0 -х 0 -г 0

н

•а];+

•А]к =

=-1

к=1

|ГззV к V н^

•];-

-I

к=1

-г

:-г

н -г -г

Я-^ Vк VН^ + |Гз2Vk VН^ -|^-ГL VкV!Н& - |Г2зVк

_ 0 -Х 0 0 - 0

п Г н -г н -г н

-1 |-^ VкVН^ VкvНdz I г22VкvНdz ]

к=1 _ 0 -Х 0 -г 0

•]/-

внешней заданной нагрузки; Ш = Е • Н3 • Ь /(12 • (1 - V2)) - изгибная жесткость.

„ _ 8 Ес (2 1

Е1 =--------------------------+ Р • I — е11----------------е3:

9 1 + V,-

3

3

+

Е

-12

11 33

3 11 3 33

9 .

Еп

-1.е + 2.е \р +___________Е__________________—с_.

3 11 3 33) Р 9.(1 -2.V) 9.(1 + vс);

Е13 = (3 . е11 - 3 . ез3 У е13 . Р;

1 ЕС а (2 1

=--------------— + р.| —. е11--------------е3

9 1 + vс

3

3

1

2

3 е11 + з е33 +

Е0

9 .

Е = —

8 Еп

^22 = ' +1-------е11 +— е33

22 9 1 + ^ I 3 11 3 33

1

Е

-Р+ Е0

, -; Е23 =(----е11 +— е33 I. е13. в;

9.(1 -2.V) 23 I 3 11 3 331 13

Е31 | 3 . е11 3 . езз |. е13 . Р ;

1

2

Е32 I з . е11 + з . е33 I. е13 . Р ; Е33

(

Еп

(

1 -

2 .V-1 Е,

\

2.(1 + vс) -

0

1 + V

с

V1 + VC 1

+ р. е,

/

Е * - Е * , ,

Е-К-Ес '1 -3.(1 + Vс).(2.V- 1)х

Е * - Е

Е

. 3.

Е* - Е*

(1 + vс). (2.V- 1).-К---------с + 2 + 2.V

-Л

V

г,2 =-:

1-

2 .V-1

V

Е Л е * - е *

1^К ^с

Е

с

0

2.(1 + Vс) -

1 + V

с

1 - 3 .(1 + vс ).(2 •v- 1)х

- * - -

с

Е

- 21

1 (

1

3 V

Е* - К Е

-0

2

1-

"Г Ч

.3.

'0 V V

Л Е *

17* 17*

ЕК - Ес —

-Л

+ 2 + 2. V г

2 .V-1 —

241+^. -,

с

0 у

Е - Е 1 + V

с

(1 - 3 .(1 + Vс ). (2 .V- 1)х

- 3.

Т7* Т7*

ЕК - Ес —

ЛЛ-1 Л

+ 2 + 2. V,-

уу

2 .V-1 Ес

2.(1 + vс) -

0

-^.11 -1 .(1 + Ус ).(2. V - 1)х

1 + ^ V з с

**

. ЕК Ес

Еп

3

(1 + Vс). (2.V-1).

** ЕК - Ес

Еп

+ 2 + 2. vс

-Л

у

г=

± 33

1-

2. V-1 Ес

2.(1 + vс) -

0

-К-Ес.. |1 -1.(1 + vс ).(2. V- 1)х

1 + ^ V з с

**

. ЕК Ес

Еп

3

(1 + Vс). (2.V-1).

** ЕК - Ес

Ег,

-Л

+ 2 + 2. vс

г = г = г = г = 0

-*-13 х23 Х31 х32 и'

2

2

1

2

2

X

X

X

22

Полученные дифференциальные уравнения позволяют приближенно определять напряженно-деформируемое состояние как слоистой среды, так и конструктивного элемента при различных воздействиях природного и техногенного характера, при этом уравнения учитывают как нелинейность среды основания, так и неоднородность, связанную со слоистостью среды.

Рассмотрим расчет деформаций неоднородной цилиндрической оболочки, взаимодействующей с нелинейно деформируемой слоистой средой.

Поставим модельную задачу - шарнирно опертая цилиндрическая оболочка, изотропная по координате 9 (в цилиндрической системе координат), нагруженная силой р=100 кН. Длина оболочки Ь=6 м, толщина стенки Но=0,5 м.

Для учета неоднородности модуля деформации материала оболочки воспользуемся известной функцией Хевисайда:

П(х - х0 ) = ^

0,

апее х < х0; апёе х > хп.

Тогда переменный модуль деформации Е(х) может быть записан в виде:

Е} (х) = Е) + (Е/ -Е\ )• 0.(х - х1).

перемещения

изгибающий момент

угол поворота

Рис. 2

Рис. 3

Коэффициент Пуассона материала оболочки ус=0,35, основания у=0,35. Толщина 1го слоя основания ^=1 м, 2-го слоя основания к2=2 м. Модуль деформации 1-го слоя основания £1=10000 кПа, 2-го слоя - Е2=20000 кПа.

Модуль деформации материала оболочки переменный, от 0 до х1 - Ё\ =18000 МПа,

от х1 до Ь - ё/ =9000 МПа, при этом х1=2 м.

Материал основания физически нелинейный. Физическая нелинейность слоев при этом характеризуется кубической диаграммой деформирования.

Рассматривая процесс нагружения, получаем графики перемещений серединной поверхности оболочки и поверхности 2-го слоя основания Щ и Ж2; угол поворота и изгибающий момент (рис. 2).

Рассмотрим аналогичную задачу, но в данном случае нагрузка увеличивается от 0 до 100 кН/м, от х=0 м до х=6 м.

Графики перемещений серединной поверхности оболочки и поверхности, угол поворота и изгибающий момент приведены на рис. 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Власов В.З. Избранные труды: в 3 т. / В.З. Власов. М.: Наука, 1964. Т. 3. 407 с.

2. Петров В. В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. Саратов: СГТУ, 1996. 312 с.

3. Петров В. В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме конструкций на неоднородном основании / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. Саратов: СГТУ, 2002. 260 с.

4. Селиванов Ф. С. Применение теории наведенной неоднородности для расчета деформаций слоистой среды на основе вариационного метода В.З. Власова: автореф. дис. ... канд. техн. наук / Ф.С. Селиванов. Саратов, 2004. 20 с.

Чекурков Николай Александрович -

аспирант кафедры «Информатика»

Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 30.10.06, принята к опубликованию 05.12.06