Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских многозвенных механизмов

The application of an analytical method in kinematic analysis of planar multi-link mechanisms Gorshkov A. , Primostka V.

Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских

многозвенных механизмов

Горшков А. Д. , Примостка В. Е.

1 Горшков Александр Деомидович / Gorshkov Aleksandr - кандидат технических наук, доцент;

2Примостка Валентина Ефремовна /Primostka Valentina - преподаватель, кафедра общеинженерных дисциплин,

Пермский военный институт внутренних войск, г. Пермь

Аннотация: в статье предложен аналитический метод решения векторных уравнений [1]-[5], применение которого проиллюстрировано на примере расчета скоростей и ускорений плоского многозвенного механизма. Проведено сравнение результатов, полученных графоаналитическим методом и предложенным аналитическим методом.

Abstract: this article proposes an analytical method for solving vector equations [1], [5], the use of which is illustrated on the example of calculation of standard deviation-rosta and acceleration of planar multilink mechanism. Conducted a comparison of the results obtained by analytical method and the analytical method.

Ключевые слова: механизм, кинематическая пара, скорость, ускорение.

Keywords: mechanism, kinematic pair, speed, acceleration.

Рис. 1. Кинематическая схема механизма

Исходные данные

Примем для определенности следующие данные для расчетов:

1ОЛ = 0,1716 м, Iqa = 0,5895 м, lGB = 0,8342 м, 1ВС = 0,5179 м, 1ВЕ = 0,54 м, 1ш = 0,3013 м,

(рх = 38,1170, = 0 с-2, а1 = 4 с-1.

Координаты кинематической пары О (0,0).

Координаты кинематической пары F (0.8727,0).

Структурный анализ и план положения многозвенного механизма

Примем масштабный коэффициент pt = 0,01 м/мм. План положения и группы Ассура представлены на Рис. 2. Степень подвижности механизма определим по формуле Чебышева:

W = 3n - 2p5 - p4 = 3 • 7 - 2-10 - 0 = 1,

где р5=10 - количество кинематических пар пятого класса; п=7 - количество звеньев;

р4=0 - количество кинематических пар четвертого класса. Входное звено - 1.

Формула строения механизма: I ^ IIъ ^ II2 ^ IIX.

Определение положения кинематических пар

Определим координаты кинематических пар и углы, приведенные на Рис. 3, в глобальной системе координат.

Рис. 3. Вычисляемые углы

Координаты кинематической пары А( lOA • cos ф, lOA • sin ф) = A(0,135;0,106).

Л

Угол ф = arcsin

— sinl —Уф

VlGA V 2 у/

Л

(

= arcsin

0,1716 . (я

sinl —Уф V0,5895 V 2

= 13,237°.

Угол ф=п/2-ф- ф2=38,664°.

Координаты кинематической пары B(lBG • sin ф, /ш • cos ф - l^) = В(0,191;0,344).

ОВ = ^(вл )2 + (В12 )2 =40,1912 + 0,3442 = 0,394 м.

Угол ф = arccos

( В, ^

V OB /

= 60,962°; угол ф = arcsin

(В л

V 1bc /

= 41,640.

Угол ф6=п- ф4- ф =77,398°. Координаты кинематической пары В=

f 1  \

lBC • sln ф6 0

= (0,578,0).

V sin ф4 /

Угол щ=ф5.

Вычисление координат кинематической пары Е:

- коэффициенты уравнений:

P = 4 -В) -(В,2) = 0,542 -0,1912 -0,3442 = 0,137 .

b = Fu -Ви = О,8725-0,191 =-1 1 Руг - Ву2 0 - 0,344

P = lip -(Fi) -(fi2) = 0,30132 -0,87252 -0 = -0,67

0,137 -

a =

P - P 1 1 1 2

1 2

= -1,173

b • Вц -Bu -a • b1 (-1,98)-0,344-0,191 -(-1,173)-(-1,98) = _QMg

1 + ы

1 + (-1,98)2

q =

_a2 - 2a1 • B12 - P _ (-1 , 73)2 - 2 • (-1 , 73) • 0,344 - 0,173 _

= 0,416

1 + Ы 1 + (-1,98)2

- координаты пары:

Eu = -pk + 4pk2 - q = -(- 0,649) ^/(- 0,649)2 - 0,416 = 0,725 m.

E12 = a - Ы • E11=-1,173-(-l,98)0,725=0,263 m.

Угол 8 = arcsin

V lEF /

= arcsin

0,263

= 60,66°.

(

В - E

B1,2 E1,2

Л

h

Угол у = arcsin

V lBE /

Структурная группа 2-3

0,3013

0,344 - 0,263

= arcsin

0,54

= 8,677°

План положения, план скоростей и план ускорений построены на Рис. 3. В одной геометрической точке, совпадающей с центром шарнира А, в качестве элементов кинематических пар находятся кинематические точки А;, А2, А3, которые перемещаются со звеньями 1, 2, 3 соответственно. Численное значение скорости и ускорения точки А1 определим из выражений:

VA = щ • lOA = 4 • 0,1716 = 0,6864 м/c а л = = 42 • 0,1716 = 2,7456 м/c2

Векторное уравнение для определения скорости точки А3 имеет вид:

V = V + V

V A V A + V aa

Направления векторов и численные значения скоростей, полученные графоаналитическим способом, приведены на Рис. 4. Решим векторное уравнение (1) аналитическим способом.

Рис. 4. Планы положения, скоростей и ускорений для структурной группы 2-3 Проекции вектора Ум:

VAlx= УЛ1 cos(y-K/2)=0,686cos(38,1170-90°)=0,424,

Ул1у= VA1 sm(q-K/2)=0,686cos(38,n70-90°)=-0,54.

Система уравнений имеет вид:

^cos(n —) sin (V лх Л (— Viv Л (— 0,973 0,229Л (V лх Л (— 0,424Л

VA3 VA1x

= или

V v A3A1У — V VA1yУ

sin(n —) cos^2y

Решение системы дает VA3=0,536 м/c, VA1A3=0,429 м/c. Угловая скорость щ = Va3 = 0,536 = 0,909 1/c.

v 0,229 0,973

V

V A3A1У

0,54

l

GA

0,5895

Векторное уравнение для определения ускорения точки А3 имеет вид:

aA3 = aA1 + a32k + a32r или — aA3 + aA1 + a32k + a32r = 0

Учитывая, что aA3 = aA3n + aA3t,

окончательно запишем:

— aA3n — aA3t + aA1 + a32k + a32r = 0 Решим это уравнение аналитическим методом.

Величина кориолисова ускорения:

a32£ = 2 • щ • VAiAi = 2 • 0,909 • 0,429 = 0,780 м/c2, при этом a32t A AB. Угол вектора с осьюX ак = 2 • п — фг . Проекции вектора а32к на оси координат:

a32kx = a32i • cos ак = 0,78 • cos 346,761° = 0,759 a32ky = a32k • sin ak = 0,78 • sin 346,761° = —0,179

Вектор нормального ускорения точки А3 численно равен:

а3и = о3 • = 0,9092 • 0,5859 = 0,487 м/с2

и направлен вдоль AG от А к G.

Угол вектора с осьюX а3п = ж/2 — (р2 = 76,761°. Проекции вектора а3п на оси координат: аЪпх = а3п • cos а3и = 0,487 • cos 76,761° = 0,112 апу = а3п • sin а3и = 0,487 • sin 76,761° = 0,474

Вектор касательного ускорения точки А3 а3( направлен перпендикулярно П3и, численное значение

неизвестно, угол с осью X равен aA3t = —ф2 = —13,329°.

Вектор нормального ускорения точки А1 численно равен:

«Л1 = • 1оа = 42 • 0,1716 = 2,746

м/с

и направлен вдоль АО от А к О.

Угол вектора с осьюX ам = ж + ф = 218,117°. Проекции вектора А1и на оси координат:

аА1х = аА1 • cos ам = 2,746 • cos 218,117° = —2,16 аА1у = аА1 • sin а = 2,746 • sin 218,117° = —1,695

Вектор относительного ускорения точки А а32г направлен вдоль АВ от А кВ, численное значение неизвестно, угол с осью X равен а32г =Ж — р2 = 76,761°.

Сумма проекций векторов на ось X:

Prx = ахх + азпХ + азш = —2,16 + 0,112 + 0,759 = —1,289

Сумма проекций векторов на ось Y:

Pr7 = а17 + а3и7 + азш = —1,695 + 0,474 — 0,179 = —1,399

Система уравнений:

cos(aA3t) sin(a32r)Л (ал^Л (— P^ Л

sin

(aA3t ) cos(a32r );

V а32г

— Pr

V PrY У

Решение системы аА32 = 9,934 м/с2, а32г = 1,657 м/с2.

Угловое ускорение S3

= 1,584 1/с2.

l

lGA

Ускорение а A3 численно равно:

аА3

7а33МаА3У = V0,9342 + 0,4872

1,054 м/с2.

Угол с осьюX а = ж + arccos(аА3-) — ф„ = 180° + arccosf 0,934 | —13,239° = 194,316°.

аАЪ V 1,054 J

Структурная группа 4-5

План положения, план скоростей и план ускорений построены на Рис. 5.

Рис. 5. Планы положения, скоростей и ускорений для структурной группы 4-5

Скорость точки В3 равна VB3 = о3 • lBG = 0,909 • 0,8342 = 0,758 м/с. Векторное уравнение для определения скорости VС имеет вид:

Vc = VB3 + VCB.

Решим это уравнение аналитическим методом.

Проекции вектора VB3 на оси координат равны:

VB3x= VB3cos(-y2)=0J58cos(-13,239°)=0,738, VB3y= VB3-sm(-v2)=0,758cos(-13,2390)=-0,174.

Система уравнений:

^cos(^ - 0) sin уЛ( Vn Л (V ^

sin(^- 0) cosy Решение системы будет таким Vc=0,893 м/с, VCB=0,232 м/с.

V

V CB у

V

VB3у у

Угловая скорость со, =

CB

CB

0,232

0,5179

= 0,448 1/с.

Векторное уравнение для определения ускорения точки А3 имеет вид:

аС = аВ + aCBn + aCBt или aC + aB + aCBn + aCBt = 0

Решим это уравнение аналитическим методом. Данные о векторах, входящих в данное уравнение, сведем в таблицу 1.

Таблица 1. Величины и направления векторов ускорений для определения вектора аСВ

Вектор Направление Величина (м/с2) Угол с осью Х Проекция Х Проекция Y

аВ В сторону аА3 1,491 194,316° -1,445 -0,349

аСВи Вдоль ВС от В к С 0,104 л — щ = 138,36° -0,078 0,069

аСВг aCBt ^ aCBn неизвестна aCBt =л/2 — щ = = 48,36° неизвестна неизвестна

аа От С к F неизвестна Для (—ас) aАС = 0 неизвестна неизвестна

Сумма проекций векторов на ось X:

Ргх = авх + аСВт = _1,445 — 0,079 = —1,522

Сумма проекций векторов на ось Y:

Рг7 = аш + aCBnY = —0,349 + 0,069 = —0,28

Система уравнений:

(cos(«CBt) sin (a AC^ (a \ aCBt

v sin(aCBt) cos(aAC )У V aC У

Решение системы aca = 1,096 м/с2, ac = 1,256 м/с2.

Ускорение асв численно равно:

(— Рг °i

— РГ

V PrY У

аСВ =7 (асв, )2 +(aCSn )2 = 41,0962 + 0,1042 = 1,01

м/с2.

Структурная группа 6-7

План положения, план скоростей и план ускорений построены на Рис. 6, 7.

Рис. 6. План положения структурной группы 6-7

Скорости

Ш=95 мм, V£f =0,95 м/с,

Ш=63мм, V[B=0,63 м/с,

ы6=У[ВА=0,63/0,5И17 1/с ы7АА=0,95/0,3=3,17 1/с

План ускорений р„=о,обоь м/Шс!!

Ускорения

(а„)=77 мм, а„/65 м/с2;

(От!=82 ММ, От,=5,80 м/с2;

Ы=96 мм, а=4,65м/с2, ав=\55 м/с2, Ы=26 мм; ат=ш6%£=1,172-0М=0,74 м/с f Ы=12 мм, аЛ=ш20=3,17?-0,3=3,02м/с2, (aj=50мм

Рис. 7. Планы скорости и ускорения для структурной группы 6-7

Векторное уравнение для определения скорости УЕ имеет вид:

VE = VB3+Vm.

Решим это уравнение аналитическим методом.

Проекции вектора VB3 на оси координат равны:

Уюх= VB3-cos(-y2)=0,758-cos(-13,2390)=0,738, VB3y= Vm-sm(-y2)=0,758cos(-13,2390)=-0,174.

Система уравнений:

fcos(K/2-у) sin(^/2 + 8 Л fVEBЛ f-VB3xл

vsin(^/2-у) cosу/(л/2 + 8) ^ Ve ) V-VB3y, Решение системы будет таким: VEB=0,621 м/c, VE=0,932м/c.

Угловые скорости со =

EB

°'232 = us 1* *,= i=-2.222 = 3.093 м.

0.5179

0.3013

1 BE ’ lEF

Векторное уравнение для определения ускорения точки А3 имеет вид:

aE = aB + aEBn + aEBt или — aE + aB + aEBn + aEBt = 0 aE = aF + aEFn + aEFt или aB + aEBn + aEBt = aE = aF + aEFn + aEFt •

aB + aEBn + aEBt — aF — aEFn - aEFt = 0

Решим это уравнение аналитическим методом. Данные о векторах, входящих в данное уравнение, сведем в таблицу 2.

Таблица 2. Величины и направления векторов ускорений для определения вектора аЕ

Вектор Направление Величина (м/с2) Угол с осью Х Проекция Х Проекция Y

аf - 0. - - -

аEFn Вдоль EF от E к F 2,883 л-8 = 119.34° -1,413 2,513

аEFt aEFt ^ aEFn неизвестна aEPt = л /2 -8 = = 29.34° неизвестна неизвестна

аВ в сторону ускорения а3 1,491 ав = 194.316° -1,445 -0,369

аEBn Вдоль BE от E к В 0,714 л-у = 171.323° -0,706 0,108

аEBt ^ aбвп неизвестна aEBt = 3Л/2 -У = = 261.323° неизвестна неизвестна

Сумма проекций векторов на ось X:

РГХ = aBX + aEFnx + aEBnx

Сумма проекций векторов на ось Y:

PrT = aBY + aEFnY + aEBnY

1.445 -1.413 - 0.706 =

-0.369 + 2.513 + 0.108

Система уравнений:

^cos(«£Bt ) Sin(«EFt ^ fa Л aEBt

V sin

Решение системы aEBt = 4.708 м/c2. aEPt = 4.924 м/c2.

Ускорение a численно равно:

f- Pr Л

PrX

- Pr

V PrY )

3.563

2.252

a

E

<J(aEPt )2 +(aEPn )2 =^14.9242 + 2.8832

5.706 м/c2.

Заключение

Сравнение изложенных методов позволяет утверждать, что аналитический метод решения векторных уравнений может быть использован для расчета кинематических параметров многозвенных механизмов.

Литература

1. Горшков А. Д. Силовой расчет многозвенных механизмов: Учебное пособие. - Пермь: ПВИ ВВ МВД России, 2012. - 32 с.: 9 илл.

2. Горшков А. Д. Использование графоаналитического метода в кинематическом анализе многозвенных механизмов: Учебное пособие. - Пермь: ПВИ ВВ МВД России, 2014. - 24 с.: 6 илл.

3. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов // International scientific review. / Международное научное обозрение проблем и перспектив точных и технических наук: Сборник материалов 1-ой междунар. науч.-практ. конф.: 26-27 марта 2015 г. -Новосибирск: изд. «Проблемы науки», 2015 - С. 4-15.

4. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов // International scientific review. / Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физико-математических и технических наук в XXI веке». Россия, г. Москва, 27-28.03.2015 - С. 16-19.

5. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в силовом анализе плоских механизмов // International scientific review. / Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физикоматематических и технических наук в XXI веке». Россия, г. Москва, 27-28.03.2015 - С. 19-22.