О линейных диофантовых уравнениях и способах их решения

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 2(13). C. 18-23. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-13-2-18-23

УДК 517.91

О ЛИНЕЙНЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЯХ И СПОСОБАХ ИХ

РЕШЕНИЯ

А. Х. Кодзоков, З.О. Бесланеев, А. Л. Нагоров, М.Б. Тхамоков

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова 360004, КБР, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173 E-mail: kodzoko@mail.ru

В работе рассматриваются способы решения линейных диофантовых уравнений как в частном случае с двумя неизвестными, так и в общем случае с несколькими неизвестными. Основной результат содержится в теореме 1, в которой дается общий способ решения любого диофантова уравнения, основанный на сравнениях по подходящему модулю

Ключевые слова: линейные диофантовы уравнения, сравнения по модулю, метод алгоритма Евклида

© Кодзоков А. Х. и др., 2016

MSC 34L99

ABOUT THE LINEAR DIOPHANTINE EQUATIONS AND WAYS OF THEIR

SOLUTIONS

A. Kh. Kodzokov, Z. O. Beslaneev, A. L. Nagorov, M. B. Tkhamokov

Kabardino-Balkarian state university of H.M. Berbekov 360004, KBR, Nalchik, Chernyshevsky str., 173 E-mail: kodzoko@mail.ru

The paper discusses ways to solve linear Diophantine equations in the particular case of two unknowns, and, in general, with a few unknowns. The main result is contained in Theorem 1, which provides a general method for solving any Diophantine equation, based on a comparison of the relevant module.

Key words: linear Diophantine equations, congruence modulo, Euclidean algorithm method

© Kodzokov A. Kh. et al, 2016

Введение

Диофантовым или неопределенным уравнением называют уравнение, которое должно быть в целых числах [1]. Иначе говоря, уравнения вида:

где P(xi, x2,...,xn) - многочлен с целыми коэффициентами, которые требуется решить в целых числах, называются диофантовыми уравнениями, по имени греческого математика Диофанта (III век н.э.), изучавшего некоторые такие уравнения простейшего вида. Но и до Диофанта математики занимались такими уравнениями; так, например, Пифагор рассматривал уравнение x2 + y2 = z2, называемое его именем. Геометрический смысл этого уравнения состоит в том, что решения дают прямоугольный треугольник, длины сторон которых являются целыми числами.

Определение. Линейным диофантовым уравнением с n неизвестными называется уравнение вида:

где все коэффициенты а\,а2,...,ап,Ь - целые числа, и неизвестные могут принимать только целые значения.

Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными

Сначала будем рассматривать линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными

где а,Ь,с - целые числа, а неизвестные х,у принимают целые значения [2].

Рассмотрим свойства линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными

Предложение 1. Если правая часть уравнения (2) не делится на наибольший общий делитель й = (а,Ь) коэффициентов при неизвестных, то это уравнение не имеет решений в целых числах.

Предложение 2. Пусть й =

P (xi, x2,..., xn) = 0, n > 2,

aixi + a2x2 +... + anxn = b,

ax + by = c,

[3], [4].

ax + by = c.

Так как по условию (xo,yo) есть решение уравнения (2), то

ax о + byo = c,

Вычитая теперь почленно из (3) равенство (4), получим

Деля теперь обе части этого уравнения на й, будем иметь

а(У- х°) + Ь- (у — Уо) = О,

где коэффициенты а и Ь - целые взаимно простые числа. Из последнего равенства й й

следует делимость

Ь

d

a

d - Xo

. a Ъ\ b

Но так как —,— = 1, то тогда — d d d

^л — х0^. Отсюда следует, что (х — х0^ = Ьг

при некотором целом г, то есть х = х0 + — г, где г - любое число.

й

Далее, подставляя найденное значение х в (3), получаем

, / / / Ь \ аЬ 1 аЬ

Ьу = с — ах = с — а\х0 + — г = с — ах0 —— г = Ьу0 —— г, \ й ) й й

откуда после сокращения на число Ь будем иметь

/а

У = У0 —-г г. й

Таким образом, любое решение уравнения (2) в целых числах имеет вид

/ Ь / а

х = х0 + г, у = У0 — - г, йй

где г - любое целое число. Предложение 2 доказано.

Перейдем теперь к рассмотрению способов решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными. Нами уже получены формулы для нахождения значений неизвестных в линейном диофантовом уравнении (2), если известно какое-нибудь одно решение (х0,у0) этого уравнения.

Наша цель теперь состоит в том, чтобы рассмотреть способы нахождения частного решения уравнения (2).

Разработкой методов решения диофантовых уравнений первым начал заниматься Л. Эйлер. В «Универсальной арифметике» Эйлера изложены два способа решения в целых числах уравнения (2) с целыми коэффициентами.

Первый способ заключается в том, что неизвестное хв уравнении (2) выража-

с — Ьу

ется через у,то есть х =-, причем берутся только у > 0, х > 0. Подбираются

такие целые положительные значения у, чтобы с — Ьу > 0, то есть чтобы выполни-

с

лись неравенства 0 < у < —. Но этот способ действует только при с > й; при этом,

Ь

с

если отношение - является достаточно большим, то этот способ требует большого Ь

числа испытаний.

Второй способ (деление на наименьший коэффициент) Эйлер показывает на примере, причем он основан на алгоритме Евклида. Не нарушая общности рассуждений,

сс

будем искать частное решение уравнения (2) в следующем виде х0 = — Х0, у0 = — У0,

йй

где й = (а, Ь). Тогда уравнение (2) преобразуется к виду:

aX0 + bY0 = d.

Полученное соотношение (5) есть линейное представление НОД чисел a и b. Поэтому неизвестные Хз и Yo можно найти при помощи алгоритма Евклида, примененного к числам аи b, а значит, найдем значения и для xo и yo.

Рассмотрим на примере метод алгоритма Евклида решения линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными.

Пример. Решить с помощью алгоритма Евклида уравнение

50x - 42y = 34,

в целых числах. Здесь (50,42) = 2; причем 2| 34 и значит, что уравнение имеет решение в целых числах. Сначала найдем частное решение уравнения вида 50x — 42y = 2.

Пусть (Xo, Yo) - частное решение этого уравнения, то есть

50X0 — 42Y0 = 2.

Для этого к числам 50 и 42 применим алгоритм Евклида. Имеем следующую цепочку равенств, дающих деление с остатком:

50 = 42  1 + 8, 42 = 8  5 + 2, 8 = 4  2,

Из предпоследнего равенства имеем 2 = 42 — 8  5. Из первого равенства находим 8 = 50 — 42. Тогда для (50,42) получим:

2 = 42 — (50 — 42)  5 = 42  6 — 60  5 = 50  (—5) — 42  (—6).

Это есть линейное представление (50,42). Значит Хз = —5; Y0 = —6. Теперь получаем следующее частное решение:

с 34 с 34

Х0 = 3X0 = - (—5) = —85, У0 = cY0 = - (—6) = —102. d 2 d 2

Тогда общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

x = Х0 + bt = —85 — 42t = —85 — 21t, y = У0 — ^ = —102 — 50t = —102 — 25t, d 2 d 2

где t принимает любое целое значение.

Соответствующими преобразованиями это общее решение можно также привести к виду:

x = 20 + 21м, y = 23 + 25м,

где м принимает любое целое значение.

Более удобным, чем способ алгоритма Евклида, является способ решения линейного диофантова уравнения (2), основанный на замене данного уравнения сравнением по подходящему модулю.

Предложение 3. Если x0 удовлетворяет сравнению ax = с (mod b), то упорядоченная пара чисел ^x0,есть решение линейного диофантова уравнения (2).

Доказательство. Из ax0 = с (mod b) следует, что b| с — ax0, то есть -—-ax° есть

b

целое число. Проверим, что (х0,-—-ax° j есть решение уравнения (2).

c — axo _

В самом деле, имеем ax0 + b----= ax0 + c — ax0 = c. Это и означает, что пара

b

^x0, С ^X°^ есть решение уравнения (2). Предложение 3 доказано.

Продемонстрируем этот метод на том же уравнении, решенным с помощью алгоритма Евклида.

Пример. Решить диофантово уравнение 50x — 42y = 34 методом сравнения. Решение. Заменим это уравнение сравнением 50x = 34 (mod 42). Сокращая обе части и модуль сравнения на 2, получим 25x = 17 (mod 21) или, что то же самое 4x = 17(mod 21), то есть 4x = —4(mod 21). Сокращая обе части этого сравнения на 4, получим x = —1 (mod 21), то есть x = 20(mod 21). Значит, в силу предложения о ™ С — axp 34 — 50  20

3, x0 = 20, y0 = —-— =-—-= 23 дают частное решение данного уравнения.

b — 42

Тогда, в силу предложения 2, любое решение данного диофантова уравнения имеет вид x = 20 + 21t, y = 23 + 25t, где t принимает любое целое значение.

Линейные диофантовы уравнения с п неизвестными

Перейдем теперь к обобщению способа решения любого линейного диофантова уравнения (1). Введем обозначения:

А1 = (й\, й2,..., йп), А2 = (й2, аз,..., аП),

Ак = (йк, йк+1,..., йп) , Ап = (йп) = йп.

Уравнение (1) будет разрешено в целых числах, если А11Ь, если же А1 \ Ь, то уравнение (1) неразрешимо в целых числах. Пусть А11Ь, то есть уравнение (1) имеет решения в целых числах. Перепишем уравнение (1) в следующем виде:

й2х2 +... + йпхп = Ь — й1 х1. Тогда найдется Х1 = х1° € Z, что выполняется делимость А21Ь — й1 х1°, то есть

й1х1°) = Ь (шоё А2).

Тогда в качестве значения неизвестного х1 можно взять любое число из класса вычетов х1 = х1° (шоё А2). Обозначим

Ь2 = Ь — й1 х

и рассмотрим уравнение

й2х2 + . . . + йпхп = Ь2. Перепишем опять это уравнение в следующем виде

йзхз + ... + йпхп = Ь — й2х2.

В силу предыдущего рассуждения имеем, что найдется целое значение x1 = x10) е

^3| b2 — a2x20), то есть

a2x20) = b2 (mod А3).

Z, что выполняется делимость A31 b2 — a2x^^, то есть

Тогда в качестве значения неизвестного Х2 можно взять любое число из класса вычетов Х2 = x20) (mod A3). Продолжая этот процесс, на предпоследнем шаге получим сравнение вида

an-iX0! = bn_i (mod An).

Тогда в качестве значения неизвестного xn-i можно взять любое число из класса вычетов xn—1 = хП0)1 (mod An).

На последнем шаге получаем уравнение вида

откуда

- b

xn —

Л,

или, если обозначить bn = bn_ 1 — an_ 1хП0)1, то xn = ^.

n 1 An

Аналогично случаю предложения 3 можно показать (но на этом не будем останавливаться), что получающийся набор чисел ^x10), x20),...,хП0^ в указанном процессе действительно приводит к решению уравнения (1). Таким образом, нами получена следующая

Теорема. Любое решение линейного диофантова уравнения a1x1 + a2x2 +-----+

anxn = b, при

при 1 < k < n — 1; хП0) = |; bk определяются рекуррентными соотношениями bk =

bk—1 — ak—1хк—)1; 2 < к < n.

Пример. Найти какое-нибудь решение уравнения

12x1 + 10x2 + 6x3 + 15x4 = 18,

в целых числах.

Решение. Рассматриваем сравнение 12x1 = 18 (mod 1); здесь A2 = (10,6,5) = 1. Возьмем, например, x^ = 1.

Тогда рассмотрим новое уравнение 10x2 + 6x3 + 15x4 = 6; здесь b2 = 6. Получаем сравнение 10x2 = 6 (mod 3), здесь A3 = (6,15) = 3.

Возьмем, например, x20) = 3. Тогда составляем еще новое уравнение 6x3 + 15x4 = —24, здесь b3 = —24. Опять рассматриваем сравнение 6x3 = — 24(mod 15); здесь A4 = 15.

Возьмем x30) = 1. Тогда на последнем шаге получаем 15x4 = —30, откуда x40) = —2. Таким образом (1;3; 1; —2) есть одно из решений данного уравнения.

Список литературы

[1] Башмакова И. Г., Диофант и диофантовы уравнения, Наука, М., 1972, 68 с.

[2] Соловьев Ю.Н., "Неопределенные уравнения первой степени", Квант, 1992, №4, 42-46.

[3] Бухштаб А. А., Теория чисел, Просвещение, М., 1966, 385 с.

[4] Серпинский В., О решении уравнений в целых числах, Физматлит, М., 1961, 88 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 29.03.2016