Вариационные условия единственности и устойчивости равновесных состояний и процессов упругопластического деформирования

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 179-192 Механика

УДК 539.3

Вариационные условия единственности и устойчивости равновесных состояний и процессов упругопластического деформирования

А. А. Маркин

Аннотация. Рассмотрены две вариационные инвариантные формы условий единственности равновесных состояний деформированного тела, выраженные через несимметричный и симметричный тензоры напряжений Пиолы-Кирхгоффа. Показано, что второе условие сводится к виду, предложенному Л.А. Толоконниковым. Исходя из условия равноактивной бифуркации, получены вариационные уравнения единственности и устойчивости процессов равновесного деформирования, представленные через скорости несимметричного и симметричного тензоров напряжений относительно отсчетной конфигурации.

Ключевые слова: единственность, устойчивость, вариационные условия, равновесные состояния, процессы равновесного деформирования.

Введение. Основное направление развития механики деформируемого твердого тела со второй половины XX века связано с постановкой и решением нелинейных задач. Это вызвано, с одной стороны, потребностями практики, обусловленными необходимостью учета свойств материалов, существенно отличных от линейных (пластичность), а также с расчетом элементов конструкций испытывающих большие деформации, перемещения, повороты.

С другой стороны, развитие МДТТ как науки требовало выхода за рамки классической линейной теории упругости. Наряду с академиком В.В. Новожиловым одним из основоположников нелинейной теории упругости в нашей стране является Леонид Александрович Толоконников. Основные достижения и проблемы нелинейной теории упругости были изложены В.В. Новожиловым, Л.А. Толоконниковым и К.Ф. Черныхом в третьем томе сборника «Механика в СССР за 50 лет» [1].

Переход к нелинейным задачам приводит к необходимости введения и определения понятий неединственности и устойчивости равновесных состояний и процессов деформирования. Л.А. Толоконниковым в его работах

[2, 3] и докторской диссертации [4] был развит вариационный подход к рассмотрению проблемы неединственности, получено общее вариационное условие существования сколь угодно близких к основному, но отличных от него равновесных состояний деформированного тела.

В работе [2] Л.А. Толоконниковым дано следующее определение понятия устойчивости: «Под потерей устойчивости мы будем понимать самопроизвольный без изменения внешних сил переход тела из основного состояния в возможное напряженное и деформированное состояние». Ключевой в данном определении является фраза «. . . без изменения внешних сил ...», она позволяет отделить устойчивые бифуркации от неустойчивых. Дальнейшее развитие теории процессов в работах А.А. Ильюшина — учителя Л.А. Толоконникова — и В.Г. Зубчанинова — ученика Толоконникова — показало фундаментальность различия понятий устойчивости состояний и неединственности упругопластических процессов [5, 6]. В работах [7-9] на основе предложенного вариационного соотношения сформулированы вариационные условия равноактивной бифуркации и условие неединственности процессов конечного деформирования. Данные условия записаны относительно текущей материальной конфигурации с использованием объективных производных типа Яуманна от тензора истинных напряжений.

В данной статье вариационные условия достижения критических в смысле устойчивости и единственности равновесных состояний записаны относительно недеформированной конфигурации с использованием несимметричного и симметричного тензоров напряжений Пиолы-Кирхгоффа и их абсолютных производных по времени. Показано, что условие потери устойчивости равновесного состояния совпадает с вариационным уравнением Л.А. Толоконникова [4]. Для упругого тела установлено достаточное условие независимости критического состояния от скорости изменения внешней нагрузки.

1. Общая форма вариационного условия неединственности равновесных состояний относительно начальной конфигурации. Положение точек деформируемого тела в начальном ненапряженном состоянии определяется радиус-векторами х. Пусть в результате внешних поверхностных воздействий тело переходит в равновесное состояние. При этом точки тела совершают перемещения щ (х), движение окрестностей материальных точек характеризуется полем аффиноров деформаций:

О

Ф = Е + V и0, ~ о ~

О

где Е — единичный тензор; V = — набла-оператор в начальной

(отсчетной) конфигурации с координатами х* и базисом е*.

Напряженное состояние задаем несимметричным Р (х) и симметричным

~ 0

Т (х) тензорами Пиолы-Кирхгоффа, связанными между собой

~ 0

выражениями [10]

Р = Т

~ 0 ~ 0

Е + V и0

Внешнее воздействие на тело задается векторами внешних напряжений

Ро, отнесенными к начальной площади. Поле напряжений Р

~ о

тождественно удовлетворяет условию равновесия:

VP = 0.

~ 0

На части недеформированной поверхности с единичными нормалями п и площадью тождественно выполняется связь между тензором Р и

вектором Р0.

П  Р = Р0 (хе) . 0

На части начальной поверхности с площадью задаются перемещения.

Предположим, что наряду с основным равновесным состоянием Йо

существует такое равновесное состояние с полем перемещений Й1 которому

соответствует поле внешних напряжений Р1 (х^), заданное на той же части

начальной поверхности Хр.

Будем говорить, что основное состояние не единственно, если существует

равновесное распределение напряжений Р (х), отличное от Р (х), но

~ 1 ~ о

удовлетворяющее тем же граничным условиям

п  Р = Рх = Р0 1

= и0

Е = ЕГ

Введем обозначение

аи = — и0,

где а — действительно число.

Вектор аи трактуем как перемещение точки тела из состояния ио в состояние Йь Запишем условия равновесия состояний ио и и1 в вариационном виде, используя принцип возможных перемещений. Так как состояние ио полагается известным, то 5ио = 0, а

8и1 = аёи.

О

О

Состояние ио априори является равновесным, поэтому в силу требований (2) и (3) выполняются условия

J Ро  бй VdV = у Р о  бЙЛХ.

V £р

Для равновесия состояния й1 необходимо и достаточно, чтобы

IР1  бй VdV = ! Ро  бйdХ.

V £р

Отметим, что вариационные уравнения (7), (8) явно не зависят

от величины параметра а. Вычитая из уравнения (8) уравнение (7),

получим вариационное условие неединственности равновесных состояний в следующем виде:

I АР  бй VdV = 0,

V

где АР = Р — Р — разность между напряженными состояниями йо и й1.

~ ~ 1 ~ о

Условие (9) также не зависит от величины а и следовательно рассмотренные состояния могут вообще говоря существенно различаться. Представим условие неединственности (9) через симметричный тензор Т.

Из выражения (1) имеем

Р = Т  \Е + V йЛ = (т + АТ^ ( Е + V йо + а V гП ,

1 1 о

тогда

АР = аТ V и + АТ  ^Е + V Йо + й^ ,

где АТ = Т — Т .

~ ~ 1 ~ о

Используя представление (10), находим производную от тензора Р по параметру а:

, АР — , / — \

Р = Иш1о^ = Т ^ йо + Т Л Е + V йо) >

о а^о а о о \ )

. АХ

где Т = Нш —.

~о а^о а

При сколь угодно малой близости основного и побочного состояний условие (9) принимает вид

IР'  бйVdV = 0.

V

О

В результате вариационное условие неединственности, выраженное

через энергетический тензор, получается подстановкой в условие

представления

J

V

Покажем, что условие (13) приводится к форме предложенной Л.А. Толоконниковым [2-4]. Для этого используем выражения, введенные в указанных статьях Леонида Александровича:

О О 1

э = V и  и V; е = 2

В силу симметрии тензора Т' имеем

О

Т'  5и V = Т'  бе.

Преобразуем условие

/ О \ О

Т дэ + Т' де + Т'  V ио 5и V ЗУ = 0.

Го ~ ~ ~ ~ )

V

С точностью до обозначений и использования инвариантной формы записи условие (16) совпадает с условием неединственности, получаемым из уравнения Л.А. Толоконникова при обращении работы дополнительных внешних сил в ноль.

2.Условие неустойчивости равновесного состояния.

Для того, чтобы судить об устойчивости или неустойчивости состояния равновесия, необходимо внешним воздействием вывести тело из состояния равновесия. Если при этом сообщаемая частицам тела кинетическая энергия То убывает на последующем интервале времени Ат, то считаем исходное состояние устойчивым относительно заданных возмущений, если же кинетическая энергия возрастает, то исходное состояние неустойчиво.

Получим формальные представления данных условий, полагая, что на временном отрезке Ьо ^ Ь ^ Ьо + Ат или 0 ^ АЬ ^ Ат перемещение изменяется по закону

и

, , — скорость, сообщаемая частицам в момент Ь = Ьо.

Ь = Ьо

Векторы внешней нагрузки и поле несимметричных тензоров напряжений изменяются со временем по законам:

Р = Ро + РАЬ,

где V = §

Р(Х,і) = Р (X) + Р(х)Аі.

о

Изменение кинетической энергии равно работе внешних и внутренних сил на отрезке Ат. Определим работу внешних напряжений, используя законы (17) и (19):

Дт

Ат 2

А'А

Находим работу внутренних напряжений [10]

Дт

ЯО г _◦ Ат 2 Г О

Р У V йійУ = -Ат Р (X) У V йУ----— Р   йУ.

V о V V

Изменение кинетической энергии за время Ат представим в виде

1

АТ = Т0 - Т = АтТ + - Ат2Т"

2

где

Т, = йТ Т = йі

1

. . ; -Ат2Т" = А'Т

і = і 2

— остаточный член ряда. Из выражения

А'А(е) + А'А^ = АТ, используя представление (20)-(22), получим

Ат

/

\2Р

Ро  УойХ - у Ро  - То

V

/

2

\

Р

\2Р

-Ат 2Т". 2

В момент Ьо теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме имеет вид

Ж0(е) + Ж0(г) = Т^, пних и внутр

В нашем случае (24) принимает форму

Аг

где N , N — мощность внешних и внутренних сил.

Ер о

Е

Е

р

р

J Ро  УойХ “У Ро У V йУ = Т'.

V

Следовательно, коэффициент при Ат в левой части (23) обращается в ноль. С учетом выражения (25) уравнение (23) принимает вид

( \

Ат2

А' Т.

I Р  УйХ - Р У V (IV

и и

\?р V )

Из выражения (26) следуют условия устойчивости и неустойчивости равновесного состояния относительно поля скоростей У) (х). Состояние устойчиво, если А'Т < 0, тогда

J Р  У V ЗУ > ^ Р  УйХ.

V Ер

Состояние ио неустойчиво, если А'Т > 0, тогда

[Р УйХ >/р V ЗУ.

Ер V

Условие (27) означает, что состояние устойчиво, если дополнительная мощность внутренних сил больше дополнительной мощности внешних сил, в противном случае равновесное состояние неустойчиво.

Запишем условия (27), (28) через энергетический тензор напряжений. Скорости симметричного и несимметричного тензоров напряжений связаны следующим из формулы (1) выражением

£ = Т

Подставляя связь (29) в условия (27) и (28), получаем представление условий устойчивости и неустойчивости через энергетический тензор напряжений. Состояние устойчиво, если

О \ О \ О /* .

Т

V Ер

Состояние неустойчиво, если

Jp УйХ > !

Ер V

Ер

Отметим, что условия (27)—(31) соответствуют высказанному А.А. Ильюшиным утверждению [6]: «Я считаю, что решать задачу

нужно с помощью энергетического критерия. Надо потребовать, чтобы для устойчивости работа внутренних сил на любом возможном пути перехода из состояния «А» в состояние «Б» была больше работы правильно определяемых внешних сил. При этом следует иметь ввиду, что сами внешние силы зависят от пути перехода. Это не просто, но это фундаментально».

Будем считать, что равновесное состояние является критическим в смысле устойчивости, если при нулевой скорости внешних напряжений

(Р0 = 0) поле скоростей удовлетворяет уравнению

Через энергетический тензор напряжений критическое условие с учетом (29) примет вид:

3. Неединственность и неустойчивость процессов равновесного деформирования относительно начальной конфигурации.

Несмотря на то, что условие неединственности равновесных состояний в форме (13) не зависит от соотношений, определяющих свойства материала, оно представляется естественным для упругих тел, в которых напряженное состояние определяется значением тензора деформаций в данном состоянии. В случае упругопластического деформирования напряженное состояние может зависеть от истории деформирования, поэтому непосредственное использование (13) не адекватно таким процессам. В работах [7-9] были получены вариационные соотношения равновесного деформирования в скоростях относительно текущей конфигурации. На основании этих соотношений сформулированы вариационные условия неединственности и неустойчивости упругопластических процессов относительно текущей конфигурации с использованием тензора истинных напряжений и его объективных производных по времени. Получим аналогичные условия рассматривая течение равновесных процессов относительно начальной конфигурации. При этом процесс нагружения описывает несимметричным и симметричным тензорами напряжений Пиолы-Кирхгоффа и их абсолютными производным. Вариационное условие равновесности примем в виде [11]

/

О

Р  -V V дУ = 0.

JPбУ V йУ = у Р  5УйХ.

V Ер

Пусть два равновесных процесса и (х, і) и и і (х, і) тождественны до

момента і = іо, то есть и (х, і) = и1 (х, і) при 0 ^ і < іо • В момент £ = іо

рассмотрим два возможных продолжения: основное с полем скоростей Уо (х) и побочное с полем уі (х). При этом побочное продолжение полагается не ограниченным связями, наложенными на основное продолжение, поэтому поле уі включает у0:

у1 = уо + у и б уі = б уо + б у.

Запишем в момент і = іо соотношение (34) для двух взаимных продолжений процесса. Подчеркнем, что в данный момент варьируются только скорости, а перемещения не варьируются.

IР  б уо VйУ = У Ро  б уойХ,

V Ер

IР1  б уі VйУ ^ у Рі  б уйХ.

V Ер

В соответствии с определением [7] будем называть продолжения уо и уі равноактивными, если выполняется условие

У Руо  б уойХ ^ у Рі  б уйХ.

Ер Ер

Это условие означает равенство возможных дополнительных мощностей внешних напряжений для основного и побочного продолжений.

Вычитая из условия (37) соотношение (36) с учетом условия (38) и

независимости вариаций основного и побочного продолжений получим

следующую систему уравнений:

Р - Р 1  б уо V йУ = 0,

~ і ~ о/

V

У Р1 б уо V й У = 0.

V

Уравнения (39) и (40) представляют вариационные условия нарушения единственности процесса равновесного деформирования.

О

Положим активность внешнего нагружения при основном продолжении

нулевой, при этом Ро = 0, тогда условие равноактивности (38) принимает вид

У Ро  = У Р  б^йХр = 0.

Полагаем правые части в уравнениях (36) и (37) в соответствии с условием (41) равными нулю, тогда система (39), (40) принимает вид

У Р1  -бЙ) V ^ = 0,

V

У Р1  -бу V ^ = 0.

V

В результате сложения левых частей отсюда следует уравнение

ур 1 --б у1 V йV = 0.

V

По аналогии с условием (32) побочное продолжение Р, удовлетворяющее

уравнению (42), будем называть критическим в смысле устойчивости процесса.

Запишем систему (39), (40) через энергетический тензор напряжений. Используя связь между скоростями тензоров (29), получим представления скоростей несимметричного тензоров через скорости симметричного тензора

Р = Т (Е + VЙо) + Т

0 0 ) ^ I 0 ^

Р = Т  Е + Vйо | + Т  Уу1.

1 1 о

Отметим, что значения перемещений и напряжений при Ь = Ьо в формулах

(43) совпадают по определению. Подставляя формулы (43) в систему (39), (40) получим условия неединственности в виде

У

V

Т1

Система (44), (45) переходит в критическое условие устойчивости при неизменной внешней нагрузке, соответствующей основному продолжению

Ро = 0, тогда выполняется условие нулевой равноактивности (41). В этом случае уравнение (36) принимает вид:

То

V

С учетом условия (46) уравнение (44) принимает вид

Т1  ^Е + V Йо) + То  V й)  -буо = 0.

V

Если сложить уравнения (45) и (47), то полученное критическое уравнение устойчивости (33) с заменой действительного поля скоростей на возможное:

Т1  ^Е + V Й^ + То -V ••бVl V ^ = 0.

V

Таким образом, система (44), (45) описывает как возможную

неединственность равновесного процесса при изменении основного внешнего

нагружения, когда Ро = 0, так и переход к побочному процессу при

неизменной внешней нагрузки, когда Ро = 0. Известно, что в случае упругопластических процессов моменты бифуркации и потери устойчивости не совпадают [5, 6]. Данное обстоятельство отражается вариационными уравнениями (44), (45), (47). При рассмотрении упругих тел, как правило, полагают, что момент неединственности (бифуркации) равновесного процесса является критическим в смысле его устойчивости. Если при этом считается, что внешняя нагрузка не изменяется, то действительно приходим к условию устойчивости в виде (48). Возникает вопрос, в каких случаях для упругих тел момент неединственности совпадает с моментом

неустойчивости и при изменяющейся внешней нагрузке, когда Ро = 0? Пусть упругий материал задается зависимостью энергетического тензора от тензора деформации Коши-Грина:

Т = Т

где

е=1 (V Й + ЙV + V Й  Й V

О

о

о

Дифференцируя соотношение (49) по времени, получим связь между скоростями тензоров, которую представим в следующем виде:

Г = Ь •• ¥,

<іТ ◦ d^^

где Ь = d7 — тензор 4-го порядка; ¥ = — тензор скоростей деформации.

Используя связь

О \ О \ О

Ь  Ш\ •

У \ \ '(0) 0

где

О \ О \ О

Ь •• ¥ I

У \ \ '

Ь = Ь

~ (0) ~

ОО

ё = ё

Пусть основной процесс является однородной деформацией, тогда

О

тензоры Ь , V ио, Т не зависят от координат х\ Потребуем,

~о

~

О

чтобы компоненты тензора-градиента возмущения поля скоростей V V удовлетворяли условию

У/йУ = 0.

У

При выполнении условия (53) уравнение (51) удовлетворяется, а уравнение (52) примет вид

О \ О \ О

Ь •• ^1 •

у \ \ ' (о) 0

Сравнивая уравнения (48) и (54), приходим к выводу, что при однородности основного процесса и равенстве нулю интегралов от компонент градиента возмущения поля скоростей по объему, условия неединственности переходят в критические условия устойчивости независимо от скорости внешнего воздействия на поверхность упругого тела.

О

О

Заметим, что подобные условия получены в работе [7] при рассмотрении условий единственности и устойчивости относительно текущей конфигурации.

Список литературы

1. Механика в СССР за 50 лет: сб. науч. тр. Т. 3. М.: Наука, 1972. 480 с.

2. Толоконников Л.А. Вариационное уравнение задачи устойчивости состояния равновесия // Сб. научн. тр. / Тульский горный ин-т. Тула: Госгортехиздат, 1961. Вып. 3. С. 27-37.

3. Толоконников Л.А. Потеря устойчивости пластинок при упруго-пластических деформациях // Ученые записки Ростовского гос. ун-та. 1955. Т. 32. Вып. 4. С. 105-130.

4. Толоконников Л.А. Некоторые вопросы нелинейной теории упругости: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Москва: МГУ, 1958. 220 с.

5. Ильюшин А.А., Зубчанинов В.Г. Пластичность и устойчивость // Механика деформируемого твердого тела // Сб. научн. тр. / Тульский политехн. ин-т. Тула: Изд-во ТулПИ, 1983. С. 6-21.

6. Ильюшин А.А. Общая характеристика проблемы неупругой устойчивости в механике деформируемого твердого тела // Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: матер. Всесоюзн. симп. Калинин: Изд-во КГУ. 1981. С. 4-11.

7. Маркин А.А. Равновесное нагружение и устойчивость в процессах конечного деформирования // Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: матер. Всесоюзн. симп. Калинин: Изд-во КГУ. 1986. С. 62-63.

8. Маркин А.А., Адамов В.И. Неединственность и устойчивость в процессах конечного упругопластического деформирования // Матер. Всероссийской конф. по чистой и прикладной математике. Тула: ТулПИ, 1988. С. 18-23.

9. Маркин А.А. Вариант определяющих соотношений и постановка граничных задач при конечных деформациях: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Москва: МГУ, 1988. 249 с.

10. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. 64 с.

11. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. 92 с.

Маркин Алексей Александрович (markin@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Variational conditions of uniqueness and stability of equilibrium states and processes of elastic-plastic deformation

A. A. Markin

Abstract. Two variational forms of uniqueness conditions are considerd. Symmetric and nonsymmetric stress tensors are used. It is shown that the second condition reduces to the condition of L.A. Tolokonnikov. Variational conditions of uniqueness and stability are obtained from requirement of equally activity bifurcations.

Keywords: uniqueness, stability, variation conditions, equilibrium states, process of equilibrium deformation.

Markin Alexey (markin@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 10.02.2013