О некоторых связях расщепляемости булевых функций с их алгебраическими, комбинаторными и криптографическими свойствами

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

№10 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2017

Секция 2

ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308Х/10/12

О НЕКОТОРЫХ СВЯЗЯХ РАСЩЕПЛЯЕМОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С ИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ, КОМБИНАТОРНЫМИ И КРИПТОГРАФИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

А. А. Бабуева

Получены верхняя оценка алгебраической степени аффинно-расщепляемой функции, достаточные условия аффинной расщепляемости дуальной бент-функции. Для функций, обладающих нетривиальным пространством линейных структур, получена верхняя оценка нелинейности.

Ключевые слова: булевы функции, бент-функции, аффинная расщепляемость.

Понятие сужения булевой функции активно используется как в синтезе, так и в анализе криптографических функций. В качестве основных причин исследований этого понятия можно назвать следующие:

— анализ свойств булева отображения удобно проводить, используя семейство сужений этого отображения на специальным образом подобранное множество областей;

— существует тесная связь свойств сужений и исходного булева отображения (в том числе и наследование свойств).

В работе исследованы свойства сужений бент-функций и аффинно-расщепляемых функций. Бент-функцию можно определить как функцию, которая плохо аппроксимируется аффинными функциями. В блочных и поточных шифрах бент-функции и их векторные аналоги используются для синтеза криптографических отображений, устойчивых к ряду методов криптографического анализа. Свойство аффинной рас-щепляемости по некоторому подпространству [1] говорит о том, что сужение булевой функции на любой сдвиг этого подпространства совпадает с некоторой аффинной функцией. Если криптографическая функция является аффинно-расщепляемой, то задача её исследования заметно упрощается. Поэтому исследование сужений именно бент-функций и аффинно-расщепляемых функций, а также вопрос о том, может ли бент-функция быть аффинно-расщепляемой, представляет особый интерес. В работе рассматриются такие параметры булевых функций, как нелинейность, алгебраическая степень, спектр Уолша — Адамара, нормальность, слабая нормальность. Получены следующие результаты.

1) Доказано соотношение, связывающее величины квадратов коэффициентов неполного преобразования Уолша — Адамара функции на смежных классах по подпространству с квадратами коэффициентов Уолша — Адамара исходной функции (сформулировано в [2]).

34

Прикладная дискретная математика. Приложение

Теорема 1. Пусть f — булева функция от n переменных, L — подпространство Vn размерности d, u G Vn. Тогда

2n-d , ч 2 1

E ( E (_i)f(x)<u'x>) = ^ E Wf2(y),

где v1,... , v2n-d —представители смежных классов {L ф v : v G Vn}.

2) Доказано равенство значений коэффициентов неполного преобразования Уол-ша — Адамара бент-функции и дуальной к ней функции на нулевом наборе.

Теорема 2. Пусть f — бент-функция, L — самодуальное подпространство. Тогда

(x) = ^(_i)f(x).

xGL xGL

3) Доказано, что если бент-функция нормальна (слабо нормальна), то и дуальная ей функция нормальна (слабо нормальна). Булеву функцию f от n переменных будем называть нормальной (слабо нормальной), если существует плоскость п = L ф u размерности n/2, такая, что f является константой (аффинной) на этой плоскости.

4) Получена верхняя оценка алгебраической степени аффинно-расщепляемой функции.

Теорема 3. Пусть f — аффинно-расщепляемая по подпространству L функция от n переменных, dimL = r. Тогда deg(f) ^ n — r + l.

5) Доказано, что свойство аффинной расщепляемости инвариантно относительно полной аффинной группы.

6) Получены достаточные условия аффинной расщепляемости дуальной бент-функции.

Теорема 4. Пусть f — бент-функция от n = 2k переменных и f — аффинно-рас-щепляемая по подпространству L С Vn, dim L = k. Если для полных систем представителей смежных классов {u1 ф L,... , u2 ф L} и {v1 ф Lx,... , v2 ф L±} выполнены условия

f«iL(x) = (С ,х)ф С G v1 ф Lx, G {0, l}, г = 1,..., 2k,

то дуальная бент-функция f аффинно-расщепляема по подпространству L^.

7) Получена верхняя оценка нелинейности булевой функции, обладающей нетривиальным пространством Lf линейных трансляторов (структур).

Теорема 5. Пусть булева функция f от n переменных имеет линейную структуру и dim Lf = r. Тогда

nl(f ) ^ 2n-1 — 2(n_r)/2_1. ЛИТЕРАТУРА

1. Коломеец Н. А. Бент-функции, аффинные на подпространствах, и их метрические свойства: дис. .. .канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2014. 68с.

2. Logachev O. A., Yashchenko V. V., and Denisenko M. P. Local affinity of Boolean mappings // NATO Science for Peace and Security Series — D: Information and Communication Security. V. 18. Boolean Functions in Cryptology and Information Security. IOS Press, 2008. P. 148-172.