Моделирование ионного тока на зонд с учетом ионизации и столкновений в плазме низкого давления методом крупных частиц

УДК 533.9

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИОННОГО ТОКА НА ЗОНД С УЧЕТОМ ИОНИЗАЦИИ И СТОЛКНОВЕНИЙ В ПЛАЗМЕ НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ

КРУПНЫХ ЧАСТИЦ

В.И. Сысун, А.А. Тихомиров, Е.А. Тихонов, В.С. Игнахин

В статье рассматривается модель ионного тока на зонд в плазме низкого давления с учетом ионизации, температуры ионов и столкновений с атомами на основе метода крупных частиц. Приводятся результаты расчетов ионного тока на сферические и цилиндрические зонды, которые указывают на сильную зависимость величины ионного тока от длины свободного пробега ионов, частоты ионизации и ионной температуры

Ключевые слова: плазма, метод крупных частиц, моделирование

В реальной стационарной плазме низкого давления, контролируемой диффузией, уход заряженных частиц на окружающие плазму стенки восполняется объёмной ионизацией. Между тем, в существующих теориях зондового тока при низких давлениях [1 - 5] ионизация в объеме не учитывается.1 Это требует увеличения размера области возмущения до бесконечности, на которой и формируется ионный ток на зонд при заданной функции распределения по скоростям. Очевидно, что в реальной плазме в окрестностях зонда (или пылевой частицы, которую можно рассматривать как малый зонд под плавающим потенциалом) образуется область возмущения конечных размеров. При этом частота ионизации в объеме определяется общим уходом заряженных частиц, то есть конфигурацией плазменного объема. При определении зондового тока частоту ионизации можно считать заданной, считая поверхность зонда малой по сравнению с поверхностью стенок. Размер области возмущения, с которой собираются ионы, определяется ионным током на зонд, который в свою очередь зависит от зон-дового потенциала. В работе [6] в пренебрежение ионной температурой предложена аналитическая модель радиального дрейфа с учетом ионизации и столкновений с атомами. В газоразрядной плазме низкого давления, как правило, температуры ионов Т и электронов Т

сильно различаются, при этом Т «

Те . Это

позволяет пренебрегать величиной Т и использовать приближение радиальной теории [3, 6], когда ионы движутся вдоль радиуса в поле

Сысун Валерий Иванович - ПетрГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: vsysun@psu.karelia.ru Тихомиров Александр Андреевич - ПетрГУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: sasha.82@mail.ru Тихонов Евгений Андриянович - ПетрГУ, канд. техн. наук, e-mail: vsysun@psu.karelia.ru Игнахин Владимир Станиславович - ПетрГУ, инженер, e-mail: vsysun@psu.karelia.ru

сферического или цилиндрического зонда. Между тем, даже при температурах Т ~ 300 К, орбитальный момент ионов значителен и может существенно влиять на сбор ионного тока на малые зонды. В этом случае может применяться более строгая и сложная орбитальная теория [4, 5]. Тем не менее, модель орбит критична к наличию столкновений, разрушающих орбитальное движение и даже редкие столкновения ионов с атомами разрушают орбитальное движение частиц и сильно влияют на величину ионного тока [7, 8]. Эффект увеличения собираемого тока может давать и ионизация в объеме, ввиду снижения орбитального момента при рождении иона вблизи зонда. Одновременный учет вкладов всевозможных орбит ионов в концентрацию, ион-атомных столкновений и рождения ионов вследствие ионизации в аналитической модели является предельно трудной задачей. Совместный анализ влияния всех указанных факторов может быть проведен методами численного моделирования, одним из которых является метод крупных частиц. В данной работе предложена модель ионного тока на зонд в плазме низкого давления с учетом ионизации, орбитального движения и столкновений ионов с атомами на основе метода крупных частиц.

В предлагаемой модели ионный состав плазмы заменяется крупными ионными частицами общим числом от нескольких десятков тысяч до нескольких сотен тысяч. Электронные крупные частицы не вводились, концентрация электронов принималась распределенной по больцмановскому закону вследствие отталкивающего потенциала зонда. В отдельных контрольных расчетах использовалась более точная формула, учитывающая уход электронов на зонд [9].

Для возможности использования результатов моделирования вне зависимости от

параметров плазмы для каждого конкретного случая была осуществлена нормировка переменных. Так координата и длина свободного пробега нормировалась на электронный деба-

евскии радиус: х = _ =

7^0 кТе

А

Яп

а = —^, где гз - размер зонда, пе0 - концентрация электронов на границе области возмущения г0 , Л - средняя длина свободного пробега. Нормировка потенциала следующим образом

и = , концентрации п 1 =_^ . Скорость

кТ

е0

представлялась в виде и =

{кТУ V /м

., где кТ -

V м

ионная звуковая скорость, а переменная време-

ни І/ = О,=

4кТе / М

А

где (О =

и

е п

ео

\80 М

V

ионная плазменная частота. Безразмерная ча-

7

стота ионизации а = — , плотность ионного

О

тока у=.

. Безразмерный заряд зонда

еп.

определялся выражениями: Яа

Я =

Я =

4/3ежХ п„

= 3а'

дУ

дх

Яа

4/3ежА п„

3 дУ 2 дх

- сфера,

- цилиндр,

где 413ежЛ пе0 - заряд дебаевской сферы. Общие заряды ионов и электронов в области возмущения нормировались аналогичным образом.

В качестве начального принималось невозмущенное состояние с нулевым зарядом и потенциалом зонда и однородной и равной концентрацией ионов и электронов. Радиус области возмущения разбивался на секции до нескольких тысяч с равным шагом. Ионы распределялись по секциям закономерно с плотностью, пропорциональной квадрату радиуса в сферическом случае и пропорционально радиусу в цилиндрическом. Начальные скорости ионов распределялись случайным образом в соответствие с максвелловским распределением с заданной температурой атомов. В сферическом случае получим:

Г =

где у =

и

\2кТ

М

. Безразмерная реаль-

ная скорость определяется через у :

и

и =

2Т

Т

-У •

Для устранения подбора применялось явное аналитическое выражение для у, аппроксимирующее (3) с погрешностью до 7%:

1

У =

где г - случайное число в [0;1] . Случайный угол между скоростью и радиусом в разыгрывался в соответствии с выражением:

Г = 11 $т

2

В одномерном сферическом или цилиндрическом ввиду симметрии необходимо учитывать только эти две координаты - абсолютная скорость 0 <и<ж , ее угол к радиусу 0 <д < ж. В цилиндрическом случае для этих величин получим:

у =

Уравнения движения крупных частиц и, соответственно, их решения не изменяются ввиду сохранения отношения заряда крупной и реальной частицы д / т . В изотропных сферической и цилиндрической системах координат имеется только одна координата - г , от которой зависят положения и скорости частиц. Координат скоростей необходимо учитывать две: радиальную и тангенциальную, так как обе они входят в уравнение движения по радиусу:

ди\ _ дУ + и02БІп2(^0)• х^

д1 дх х3

Движение ионов продолжается до столкновения их с зондом, которым они поглощаются. Число ушедших ионов восполняется ионизацией в объеме, которая определяется распределением по объему концентрации электронов и частотой ионизации, производимой

г

2

V

І

0

одним электроном ^ . На границе области

г

возмущения х0 устанавливался режим зеркального отражения частиц, так как в состоянии равновесия уход ионов компенсируется аналогичным приходом.

В процессе движения некоторые ионы могут перейти в режим спутника, непрерывно вращаясь вокруг зонда и, следовательно, может происходить их накопление. Населенность таких орбит определяется столкновениями [4]. Крупный ион, испытавший столкновение, останавливается и необходимо снова разыгрывать его начальную скорость, в соответствии с температурой атомов Т . Длина пробега определяется давлением газа, причем распределение длин пробега для разных ионов определяется экспоненциальным распределением с плотностью вероятности

1 ( 2 Л

Р

— ^ —)

где — = 1 - средняя длина пробега (а

' а 0

- сечение столкновения, N - концентрация атомов). Для разыгрывания длины свободного пробега в этом случае имеем:

I = -1г 1и

Электрическое поле определялось на каждом временном шаге решением уравнения Пуассона на сетке по радиусу:

8 2и

дх 2

а ди ,

+--------— = ехр(и) - п -

х дх

Где а = 1, а = 2 в случае цилиндрического и сферического зонда соответственно. Решение начиналось от внешней границы с

тт а(ди Л п

граничными условиями им = 0,1-------I = 0 и

дх

N

производилось по трехслойной схеме. Потенциал зонда иа определялся в конце счета.

По найденным градиентам потенциала в узлах сетки производилась раздача сил на ионные частицы в соответствие с их координатами. Использовалось линейное взвешивание сил вместе с линейной раздачей зарядов в узлы сетки при определении концентрации по алгоритму, позволяющему рассмотреть ближайшие узлы и предложенному в [11].

Контрольные расчеты, проведенные для Т = 0, показали соответствие результатов расчетов по рассматриваемой модели и результатов расчетов по аналитической модели радиального дрейфа с учетом ионизации и столкновений [6].

На рис. 1 представлены зависимости

безразмерной плотности тока у' =__________у

еп 0Л/ кТе / М

от потенциала зонда и = в случае А = 0.1,

кТе

Т / Т = 0.01 (сферический зонд) и различных длин свободного пробега. Видно, что ионный ток возрастает с уменьшением длины свободного пробега ионов при редких столкновениях вследствие разрушения орбитального движения частиц. На том же графике для сравнения приведена зависимость у ' (и) в приближении ограниченных орбит [10], справедливом при размере зонда а ^ 0 и отсутствии ионизации в объеме.

ка У '=

Рис. 1. Зависимости безразмерной плотности то] п-г тт _ е<Р

________ от и = —— для размера зонда

еп0Л/кТе /М кТе

а = 0.001 и разных длин свободного пробега в случае А = 0.1 (сферический зонд): 1 - ^ = 10 , 2 - ^ = 1, 3 -^ = 0.1, 4 - модель ограниченных орбит [10].

При Т / Т = 0 результаты переходили в

результаты аналитической модели [6] для «холодных» ионов. На рис. 2 приведено сравнение результатов моделирования для случая А = 0.1 при Т /Те = 0.01 и /Те = 0 [6] для и = 30 (сфе-

рический зонд). Видно, что при уменьшении длины свободного пробега ионов результаты расчетов для случая Т / Т = 001 стремятся к результатам приближения «холодных» ионов. Это свидетельствует об эффективном разрушении орбитального движения ионов, приводящем к росту ионного тока на

и

зонд.

100000 -

Рис. 2. Зависимости безразмерной плотности тока / от /. для размера зонда а = 0.001при А = 0.1 (сферический зонд): 1 - Ті /Те = 0.01, 2 - Ті /Те = 0 [6].

На рис. 3 представлены зависимости безразмерной плотности тока і' = . ^

en.

VkTe / M

еф

от потенциала зонда и = —*— для различных ча-

кТе

стот ионизации при Т1 /Те = 0.01 (сферический зонд). Увеличение частоты ионизации приводит к росту ионного тока на зонд. Это связано с уменьшением размеров области возмущения х0 и уменьшением орбитального момента ионов при постоянном значении параметра Т- /Те и увеличением прицельного угла попада-

ния

ионов

на

ка j =

-50 -45 -40 -З5 -З0 -25 -20 -15 -10 -5

us

Рис. 3. Зависимости безразмерной плотности то 1 пт тт — e(P

________ от и = —— для размера зонда

еп0Л]кГе /М Щ

а = 0.001 и частот ионизации (сферический зонд): 1 -А = 5 , 2 - А = 0.5, 3 - А = 0.05, 4 - модель ограниченных орбит [10].

На рис. 4 представлены зависимости

безразмерной плотности тока і' =. !

en.

,л/kTe / M

ep

от потенциала зонда и = ^— для частоты иони-

кТе

зации А = 5 и разной ионной температуры для

сферического зонда. Видно, что с ростом параметра Т- /Те ионный ток падает, что связано с увеличением орбитального момента ионов с ростом хаотической скоро-

сти.

Рис. 4. Зависимости безразмерной плотности то-

І a =-

І з

en.

^kTe / M

от U =

e%

kT

для a = O.OOl

l = 10 и частоты ионизации A = 5 и разной ионной температуры (сферический зонд): 1 - T / Te = 0 , 2 -

T / те = o.oi, з - t / Te = 0.1.

Следует отметить, что в типичных условиях зондовых измерений в газоразрядной плазме величина параметра l  < 1. Помимо этого, в зондовом эксперименте величина размеров зонда в таких условиях a > 1, что также снижает влияние орбитального момента ионов. С другой стороны, в пылевой плазме размеры частиц составляют a = 0.0001-н 0.05 (практически всегда это сферические частицы), но в силу первого обстоятельства влияние орбитального момента по всей видимости в этом случае также мало. Для иллюстрации этого в таблице приведены параметры плазмы типичных экспериментальных работ по плазменным кристаллам [11, 19, 20], где параметры пылевых структур и плазмы измерялись или оценивались.

Данная работа была проведена в рамках ФЦП Научные и научно-педагогические кадры Росси на 2009-2013 гг., контракт 16.740.11.0329

Литература

1. D. Bohm, E.H. S. Burhop and H.S.W. Massey. “The use of probes for plasma exploration in strong magnetic fields”. В книге: “The characteristics of electrical discharges in magnetic fields”. Ed. A. Guthric, and R.K. Wakerling, New york: Mc. Graw-Hill, 1949, ch. 2, pp. 13 - 76.

2. D. Bohm. “Minimum ionic kinetic energy for a stable sheath”. В книге: “The characteristics of electrical discharges in magnetic fields”. Ed. A. Guthric, and R.K. Wakerling, New york: Mc. Graw-Hill, 1949, ch. 3, pp. 77 - 86.

3. J.E. Allen, R.L.F. Boyd, P.Reynolds. “The collection of positive ions by a probe immersed in a plasma” // Proc. Phys. Soc., V. B70, №6, 1957, pp. 297 - 304.

4. Bernstein I.B., Rabinowitz I.N. “Theory of electrostatic probes in a Low—density plasma” // Phys. Fluid. V. 2. 1959. P. 112 - 121.

i0000

1000

100

0

00

U

5. Laframboise J.G. “The theory of spherical and cylindrical probes in a collisionless, Maxwellian plasma at rest”. Instit. for aerospace studies. Univ. of Toronto (UTIAS). Rep. 100. 1966. p. 56.

6. Сысун В.И., Игнахин В.С. Радиальная теория ионного тока на зонд в плазме низкого давления с учетом объемной ионизации и столкновений с атомами // Физика плазмы. 2011. Т. 37. № 4. С. 377-386.

7. Швейгерт В.А., Швейгерт И.В., Беданов В.М. и др. // ЖЭТФ. 1999. Т. 115. С. 877.

8. Зобнин А.В., Нефедов А.П., Синельщиков В.А., Фортов В.Е. // ЖЭТФ. 2000. Т. 118. С. 554.

9. Lam S.H. // Phys. Fluids, 1965. V.8. P.1002. P.73-

87.

10. Mott-Smith H., Langmuir I. “The theory of collection in gaseous discharges” // Phys. Rev., 28, 1926, pp. 727763.

11. Сысун А.В., Шелестов А.С. Моделирование процессов зарядки наночастиц в плазме и установления меж-частичного расстояния // Матем. моделирование, т. 20, 2008,с. 41-47.

12. Y. Watanabe, M. Shiratani // Plasma Sources Sci. Technol. 3, 286

13. Y. Hayashi, K.Tachibana // Jpn. J. Appl. Phys. 33, 1994, L809

14. J.H. Chu, I.Lin // Physical Review Letters, 72 №25, 1994,4009

15. H. Thomas, G.E. Mozfill, V. Demmel and others // Physical Review Letters 73, 1994, №5, 652

16. T. Trottenberg, A. Melzer, A. Pill // Plasma Sources Sci. Technol. 4, 1995, 450

17. V.E. Foztov, A.P. Nefedov, V.M. Torchinski and others // Physics Letters, A229, 1997, 1997, 317

18. A.D. Khahaev, L.A. Luisova, A.A. Piskunov, ets., XVI Intern. Conf. GasDiecharges and their Applice, Xian (China) v. 1. , 2006, p. 341

19. Annaratone B.M., Allen M.W. and Allen J.E. Ion currents to cylindrical probe in RF plasmas // J.phys. D: Appl. Phys. 25, 1992, pp. 417 - 424.

20. Sternovsky Z., Robertson S. and Lampe M. The contribution of charge exchange ions to cylindrical Langmuir probe current // Phys. Plasmas, V.10, No.1, 2003, pp. 300-309.

21. Annaratone B.M., Allen M.W. and Allen J.E. Ion currents to cylindrical probe in RF plasmas // J.phys. D: Appl. Phys. 25, 1992, pp. 417 - 424.

22. Sternovsky Z., Robertson S. and Lampe M. The contribution of charge exchange ions to cylindrical Langmuir probe current // Phys. Plasmas, V.10, No.1, 2003, pp. 300-309.

Параметры работ по зондовым измерениям в разреженной плазме [19, 20]

Работа n, см Te, эв А мкм Ad, мкм a, мкм

[12] 2^109 3 70 290 0,035 0,075

0,65

[13] 5^108 3 40 580 1,0 1,5

[14] 1109 3 160 400 5

[15] 5^108 3 20 580 3,5

[16] 1,110y 4,9 60 500 4,7

[17] 3 108 6,5 300 1090 26

3,5108 6 120 970 2

[18] 4^108 4 50 740 3

[19] 1-6,4-109 1,5-2,9 385 135- 320 50-500

[20] 6106-310/ 0,8-2,6 5,4-104-2,16-105 1-5-103 63-313

Петрозаводский государственный университет

SIMULATION OF ION CURRENT ON THE PROBE WITH REGARD TO IONIZATION AND COLLISIONS IN LOW PRESSURE PLASMA BY PARTICLE-IN-CELL MONTE CARLO

METHOD

V.I. Sysun, A.A. Tikhomirov, E.A. Tikhonov, V.S. Ignahin

The article is devoted to the problem of simulation of ion current on the probe with regard to ionization, ion temperature and collisions with atoms in low pressure plasma by particle-in-cell Monte Carlo method. The results of calculations of ion current on spherical and cylindrical probes which demonstrate a strong dependency of ion current value on ion free path length, ionization frequency and ion temperature are given

Key words: plasma, particle-in-cell Monte Carlo method, modeling