Числовые характеристики алгебр Лейбница-Пуассона

ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 1

УДК 512.572

DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-1-143-159

В работе приведен обзор недавних результатов о многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона, которые являются обобщениями алгебр Пуассона. Показано, что рост любого многообразия алгебр Лейбница-Пуассона над произвольным полем либо ограничен полиномом, либо не ниже экспоненциального с показателем 2. Показана конечная базируемость многообразий алгебр Лейбница-Пуассона полиномиального роста в случае основного поля нулевой характеристики. Приводится многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти полиномиального роста. В случае основного поля нулевой характеристики приводятся эквивалентные условия полиномиальности роста для многообразий алгебр Лейбница-Пуассона. Показаны все многообразия алгебр Лейбница-Пуассона почти полиномиального роста в одном классе многообразий. Исследуются многообразия алгебр Лейбница-Пуассона, идеалы тождеств которых содержат тождество {х, у}  {г,Ь} = 0, исследуется взаимосвязь таких многообразий с многообразиями алгебр Лейбница. Показано, что из любой алгебры Лейбница можно построить алгебру Лейбница-Пуассона с похожими свойствами исходной алгебры. Показано, что если идеал тождеств многообразия алгебр Лейбница-Пуассона

V не содержит ни одного тождества из свободной алгебры Лейбница, то рост многообразия V является сверхэкспоненциальным. Приводится многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти экспоненциального роста. Пусть {7п^)}п>1 — последовательность собственных коразмерностей многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V. Приводится класс минимальных многообразий алгебр Лейбница-Пуассона полиномиального роста последовательности {7п^)}„>;[, т.е. последовательность {7п^)}п>1 любого такого многообразия

V растет как полином некоторо й степени к, то последователь ность ^пС^)}^;! любого собственного подмногообразия ^ ^^^^шбразия V растет как полином строго меньшей

к

Ключевые слова: алгебра Пуассона, алгебра Лейбница, алгебра Лейбница-Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

Библиография: 31 названий.

The paper is survey of recent results of investigations on varieties of Leibniz-Poisson algebras. We show that a variety of Leibniz-Poisson algebras has either polynomial growth or growth with exponential not less than 2, the field being arbitrary. We show that every variety of Leibniz-Poisson algebras of polynomial growth over a field of characteristic zero has a finite basis for its polynomial identities. We construct a variety of Leibniz-Poisson algebras with almost polynomial growth. We give equivalent conditions of the polynomial codimension growth of a variety of Leibniz-Poisson algebras over a field of characteristic zero. We show all varieties of Leibniz-Poisson algebras with almost polynomial growth in one class of varieties. We study varieties

of Leibniz-Poisson algebras, whose ideals of identities contain the identity {x, y} • {z, t} = 0, we study an interrelation between such varieties and varieties of Leibniz algebras. We show that from any Leibniz algebra L one cm construct the Leibniz-Poisson algebra A and the properties of L are close to the properties of A. We show that if the ideal of identities of a Leibniz-Poisson variety V does not contain any Leibniz polynomial identity then V has overexponential growth of the codimensions. We construct a variety of Leibniz-Poisson algebras with almost exponential growth. Let {Yn(V)}„>i be the sequence of proper codimension growth

V

Poisson algebras of polynomial growth of the sequence {7n(V)}„>1, i.e. the sequence of proper codimensions of any such variety grows as a polynomial of some degree k, but the sequence of proper codimensions of any proper subvariety grows as a polynomial of degree strictly less than k

Keywords: Poisson algebra, Leibniz algebra Leibniz-Poisson algebra, variety of algebras, growth of variety.

Bibliography: 31 titles.

Введение

На протяжении всей работы, если это специально не оговорено, основное поле K считается произвольным.

Векторное пространство A над полем K с двумя K-билинейными операциями умножения •и {, } называется алгеброй Лейбница-Пуассона, если относительно операции • пространство A является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {, } — алгеброй Лейбница, и данные операции связаны правилами

{а • b, c} = а • {b, c} + {а, c} • b,

{c, а • b} = а • {c, b} + {c, а} • b,

где а, b, c G A. При этом алгебра Лейбница A(+, {, }, K ) над пол ем K определяется тождеством

{{x,y},z} = {{x,z},y} + {x, {y,z}}.

Заметим, что если в алгебре Лейбница выполнено тождество {x, x} = 0, то она будет являться алгеброй Ли, поэтому если данное тождество выполнено в алгебре Лейбница-Пуассона, то данная алгебра будет являться алгеброй Пуассона. Таким образом, алгебры Лейбница-Пуассона являются обобщениями алгебр Пуассона, которые возникают естественным образом в некоторых разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физике и т. д.

{, }

{{а, b}, c} = {а, b, c}.

Пусть L(X) — свободная алгебра Лейбница, где X = {xi,x2,...} — счетное множество свободных образующих. Пусть также F(X) — свободная алгебра Лейбница-Пуассона. Обозначим через Pn пространство в F(X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных xi,..., xn, а тер ез P^ пространство полилинейных элемен тов степени n в свободной алгебре Лейбница L(X).

Pn

xk1 • ... • xkr • {xii,..., xis} • ... • {xji,..., xjt К

для каждого из которых выполнены следующие условия:

(i) r > 0 ki < ... < kr;

(ii) каждая из переменных xi,... ,xn встречается в (1) ровно один раз;

(iii) каждый множитель {xil ,...,xis},..., {xjl ,...,xjt} в (1) левонормирован и имеет длину > 2;

(iv) множит ели в (1) упорядочены по длине: s < ... < t;

(v) если два соседних множителя в (1), являющиеся скобками {, }, имеют одинаковую дли,ну

... • {xpi, . . . , xPs } • {xqi, . . . , xqs } • . . . ,

то p1 < q1.

Обозначим через Гп подпространство в Pn, являющееся линейной оболочкой элементов вида

{xil , . . . , xis } • ... • {xjl , . . . , xjt s > 2, . . . , t > 2.

Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница-Пуассона (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографиях [2-4]). Пусть Id(V) —

V

Pn(V) = Pn/(Pn П Id(V)), cn(V) = dim Pn(V), rn(V) = Гп/(Гп П Id(V)), Yn(V) = dim rn(V).

1. Рост многообразий

Хорошо известно, что в случае основного поля нулевой характеристики идеал тождеств

V

V

последовательность {cn(V)}n^1, которая называется последовательностью коразмерностей V

VV

ют такие константы C и k, что для любого n выполнено неравенство cn(V) ^ Cnk. Аналогично вводится понятие экспоненциального роста,: для любого n выполнено неравенство cn(V) < Can, где C и а — некоторые константы. Если многообразие V имеет экспоненциальный рост, то введем в рассмотрение нижние и верхние экспоненты соответствующих последовательностей {cn(V)}n>;L и {Yn(V)}n>1:

Exp(V) = lim /c,n(V), Exp(V) = lim УСЩУ),

п^те п^те

Expr(V) = lim УYn(V), Expr(V) = Um VYn(V).

п^те п^те

Если Exp(V) = Exp(V), то обозначим Exp(V) = Exp(V). Аналогично и с Expr (V).

В случае многообразий ассоциативных алгебр хорошо известен следующий результат А. Ре-

V

дество степени т, удовлетворяет неравенству cn(V) ^ (т — 1)2п для любо го п. В случае основного поля нулевой характеристики М.В. Зайцев и А. Джамбруно [6] доказали гипотезу С.А. Амицура о существовании и целочисленности экспоненты произвольного многообразия ассоциативных алгебр.

В теории ассоциативных алгебр очень важную роль играет бесконечно порожденная алгебра Грассмана Л и алгебра верхнетреугольных матриц порядка 2, которую обозначим через

иТ2. Из работы А. Р. Кемера [7] следует, что в случае основного поля нулевой характеристики многообразие ассоциативных алгебр V имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда Л € V, иТ2 € V. Из этого результата следует, что существуют только два многообразия ассоциативных алгебр почти полиномиального роста: шг(Л), шг(Ц"Т2). Также из данного результата следует, что при сЛ,аг К = 0 произвольное многообразие ассоциативных алгебр V либо имеет полиномиальный рост, либо сп^) > 2п-1 для любо го п. В случае ассоциативных алгебр с единицей В. Дренски и А. Регев в работе [8] показали, что это свойство распространяется на случай произвольного поля: для, любого нетривиального многообразия ассоциативных алгебр с единицей над произвольным полем либо

(г) сп^) > 2п-1 для любо го п, либо

(гг) найдется такой многочлен f (ж) € Щх], чт,о для всех достаточно больших п будет выполнено равенство сп(У') = f (п).

В отличие от ассоциативных алгебр существуют многообразия алгебр Ли, в которых выполняются нетривиальные тождества, со сверхэкспоненциальным ростом (т. е. сверху не ограничиваются никакой экспонентой). Одним из хорошо изученных примеров таких многообразий является многообразие алгебр Ли А^, определяемое тождеством [[ж1,ж2,жз], [х4,Ж5,Жб]] = 0 (см. [9]). Для элементов последовательности |с„(АК2)}п>1 выполняется такое равенство ( [10]):

Сга(А^) = л/ПГ(1 + о(1))п,

при этом рост произвольного собственного подмногообразия в AN2 ограничен экспоненциальной функцией [9].

Алгебры Лейбница-Пуассона наследуют ряд свойств как ассоциативных алгебр, так и алгебр Ли. И в то же время данные алгебры обладают уникальными свойствами.

Лемма 2 ( [1]). Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, и пусть элементы

<(жь ... ,Жп), 8 = 1,... ,7п(У),

образуют, базис пространства Гп^); п > 0. Тогда,

(г) полилинейные элементы от, переменных ж1,..., жп вида,

жгх • ... • жгп-к • и.к (жЗ1, . . . , жЗк ),

к = 0,..., п, 8 = 1,...,7ь (V), ¿1 <...<гп-к, Л <...<3к,

будут образовывать базис пространства Рп^);

(гг) коразмерности многообразия V вычисляются по следующей формуле:

п

^ = 1 + Е СП • 7к(V), к=2

где СП — число сочетайий из п по к.

Из леммы 2 следует, что если для многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V существует одна из экспонент Ежр^) или Ежрг^), то будет существовать и другая, причем Ежр^) = Ежрг^) + 1.

Обозначим через В линейную оболочку элементов (не обязательно полилинейных) свободной алгебры Лейбница-Пуассона ^(X) вида

|жгх , . . . , жг3 } • ... • |xjl, . . . , ж Зь } 8 > 2, . . . , ^ > 2.

V

полем K. Тогда идеал тождеств Id(V) порождается элементами из множества тождеств B П Id(V). Если char K = 0; то Id(V) порождается, системой полилинейных тождеств из множества

U (Гп n Id(V)).

n> i

V

полем следующие условия эквивалентны:

(i) посл,едова,т,ел,ьност,ь {cn(V)}n>1 ограничена полиномом;

(ii) для некоторого m > 2 в V выполнены, полилинейные тождества

{xi,..., xm} = 0, {xi, yi} • ... • {xm, ym} = 0;

(iii) найдется, такое число N, что для любого n > N выполнено равенство Yn(V) = 0;

(iv) найдется, такое число N, что для любого n > N будет выполнено равенство

N

Cn(V) = 1 + £ Ckn • Yk(V). k=2

V

над произвольным полем,. Тогда, л,ибо

(i) cn(V) > 2п-х для, любо го n, либо

(ii) найдется такой многочлен f (x) G Q[x], что для всех достаточно больших n будет выполнено равенство cn(V) = f (n).

Обозначим через L>2(X) подпространство свободной алгебры Лейбница L(X), которое является линейной оболочкой элементов вида [xi1 ,...,xis], s > 2. Также обозначим через PL>2(X) подпространство свободной алгебры Лейбница-Пуассона F(X), являющееся линейной оболочкой элементов вида {xi1 ,...,xis}, s > 2. Так как алгебры Лейбница L>2(X) и PL>2(X) равны с точностью до изоморфизма алгебр Лейбница, то далее везде будет фигурировать алгебра Лейбница L>2(X).

В следующей лемме рассмотрим конструкции алгебр Лейбница-Пуассона на основе алгебр Лейбница, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Лемма 4 ( [1]). Пусть Al — некоторая ненулевая алгебра Лейбница, с умножением [, ] K

A = Al ф K,

в котором определим, операции • и {, } следующим образом:

(а + а) • (b + в) = (ва + ab) + ав, {а + a,b + в} = [a, b], a,b G AL, а, в G K. ^ '

Тогда, полученная, алгебра (A, +, •, {, }, K) будет являться алгеброй Лейбница-Пуассона, причем будут выполнены, следующие условия:

(i) Id(AL) = Id(A) П L>2(X) и в алгебре A выполнено тождество {xi,x2} • {x3,x4} = 0;

(ii) Гп(А) = PnL(A) = Pl(Al) для любого n > 2, где равенства приведены с точностью до изоморфизма векторных прост,ранет,в;

(iii) n

п

Cn(A) = 1 + £ Ck • dim pLl(Al). k=2

Рассмотрим двумерную алгебру Лейбница ¿2 над пол ем К с базисом а, & и таблицей умножения [а, &] = а, [а, а] = [&, &] = [Ь, а] = 0. Обозначим через Л2 алгебру Лейбница-Пуассона ¿2 ф К, построенную с помощью леммы 4.

Теорема 3

|ж1, ж2} • |жз, ж4} = 0, |ж1, |ж2, жз}} = О

порождают, идеал тождеств алгебры Л2; 2)

|жгх , жг2 , . . . , жгп }, г2 < . . . < ¿п

от переменны,х ж1;...; жп образуют, базис пространства Гп(Л2);

3) полилинейные элементы

{гр . гр . I . гр . . гу> .

жг1, . . . , жгв } жЗ1 . . . жзь,

8 + £ = п, 0 < 8 < п, 8 = 1, г2 <...<г8, < ... <

от переменных ж1;...; жп образуют, базис пространства Рп(Л2);

4) рост многообразия уат(Л2), порожденного алгеброй Л2; является почти полиномиаль-

п

Сп(Л2) = п • 2п-1 - п + 1.

Пусть, как и ранее, иТ2 — алгебра верхнетреугольных матриц порядка два, [иТ2] — алгебра Ли относительно операции коммутирования. Обозначим через и алгебру Пуассона [иТ2] ф К с операциями

(ж + а) • (у + в) = (вж + ау) + ав, |ж + а, у + в} = [ж, у], ж, у € [иТг], а, в € К.

Теорема 4

|ж1,ж2} • |жз, ж4} = 0, ||ж1,ж2}, |жз,ж4}} = 0 порождают, идеал тождеств алгебры Пуассона, и2;

2) п > 2 ж1 жп

|жг1, жг2 . . . , ж гп } г1 > г2 < . . . < гп

образуют, базис пространства Гп(и2);

3) ж1 жп

{Гр . Гр . Гр . I . Гр . , гр

-^гп '-^121    ) жг3 } 31 ,

32

ь311

8 + £ = п, 0 < 8 < п, 8 = 1, г1 > г2 < ... < г8, < ... <

образуют, базис пространства Рп(и2);

4) рост многообразия иат(и2), порожденного алг еброй и2; является почти полиномиальным, причем для любого п > 2 выполнено равенство сп(и2) = 2п-1 (п — 2) + 2;

Пространство Pn(V) наделено структурой левого Sn-модуля, где Sn симметрическая группа степени п. Напомним, что последовательность Л = (Ai, Л2,..., Лк) называют разбиением, числа, п и обозначают Л Ь п, если Л1 + Л2 + ... + Ak = п и Л1 ^ Л2 ^ ... ^ Лк > 0. Пусть Хх — характер неприводимого представления симметрической группы, соответствующий разбиению Л числа п. Тогда в силу вполне приводимости модуля Pn(V) в случае поля нулевой

V

Xn

Xbn

где mx(V) — степени неприводимых представлений, соответствующих разбиению Л числа п.

Обозначим через Ws многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, порожденное полилинейным тождеством

{xi,yi}  ...  {xs ,Vs} = 0.

Теорема 5 ( [12]). В случае основного поля нулевой ха,ра,кт,ери,ст,и,ки, для, многообразия

V

(i) последовательность {cn(V)}n>1 ограничена полиномом;

(ii) A2 (jj V, U2 (jj V и для некоторого s > 2 выполнено включение V С Ws;

(iii) существует такая константа C, что в сумме (3) mx(V) = 0 в случае, если выполнено условие п — Л1 > C.

Пусть NsA — многообразие алгебр Ли, определенное тождеством

[[x1,x2], . . . , [x2s+1, x2s+2]] = 0.

N2A

альный рост и является минимальным по отношению к старшему коэффициенту полинома. В работах [14,15] В.М. Петроградский, используя разработанный им так называемый метод ожерелий, доказал, что в случае произвольного поля экспоненты всех подмногообразий в var(UTs), а также подмногообразий в NsA существуют и являются целыми числами. В работах [16-19], в частности, усилены оценки роста данных многообразий и приведены эквивалентные условия для значений экспонент. В следующих двух теоремах приведены аналогичные результаты для алгебр Лейбница-Пуассона.

V

ным, полем,, идеал тождеств которого содержит полилинейные тождества

{{Х1,уг},..., {хт,ут}} = 0, {Х1,уг}- ...  {хт,ут} = 0

для некоторого числа, т. Тогда существуют т,акие константы N а, в и такое целое число (I, причем ( е {1, 2,..., в}, что для, любого п ^ N будет выполнено следующее двойное неравенство:

па(п < Сп(V) 4 пв(Т.

После выяснения того факта, чем аппроксимируется последовательность коразмерностей произвольного многообразия алгебр Лейбница-Пуассона, идеал тождеств которого содержит полилинейные тождества вида (4), закономерно возникает вопрос, с помощью каких условий

(

в какой-то степени дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема 7 ( [21]). Пусть V — многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, над полем нулевой ха,ра,кт,ерист,ики, идеал тождеств которого содержит тождества вида (4) для некоторого т. Также пусть й — некоторое неотрицательное целое число. Тогда, следующие условия эквивалентны:

(г) £жр^) < й;

(гг) £жрГ^) < й — 1;

(ггг) найдется некоторый набор чисел аа € К; ст € в котором содержится, хот,я, бы один ненулевой элемент, что для некоторого целого числа, т > 0 в многообразии V выполнены все тождества вида

Е ... Е ...а^1 ... |у1 , у2 , жа"1 (1) , жст2(1) , . . . , жстт(1) } ...

<71

... ^ уз, ^^ ^^ . . . , жстт (2) } . . . {у2^-1 , у2й, жст1 (й) , жст2 (й) , . . . , жстт (й)} = 0, г(9е вместо многоточий, находящихся, вне элементов

.. ..., |у2й-1,У2Й,.. |, }

(гу) найдется такое целое р > 0, что в многообразии V выполнены, все полилинейные тождества вида

Е ... Е ...а^1 ... |У1 , у2, ж1ст 1 (1), ж2а"2(1), . . . , жтстт(1)} ...

«7т <71

. . . |у2,уз,ж1ст1 (2), ж2СТ2(2) , . . . ,жтстт(2)} . . .

. . . |У2d-1,У2d,x1CTl(d),x2ст2(d), . . . ,жтстт(й)} = ° г(9е вместо многоточий, находящихся, вне элементов

.. ..., |У2Й-1,У2Й,.. |, }

(у) существует такая константа С, что в сумме (3) тд^) = 0 в случае, если выполнено условие п — (Л1 + Л2 + ... + Л^) > С.

2. Алгебры Лейбница^Пуассона с тождеством

|Х1,Х2} • |Ж3,Ж4} = 0

В данном параграфе исследуются многообразия алгебр Лейбница-Пуассона, идеалы тождеств которых содержат тождество |ж1,ж2} • |жз,ж4} = 0. Исследуется взаимосвязь таких многообразий с многообразиями алгебр Лейбница. Будет показано, что из любой алгебры Лейбница можно построить алгебру Лейбница-Пуассона с похожими свойствами исходной алгебры.

Обозначим через /й(|ж1,ж2} • |жз,ж4}) идеал тождеств в свободной алгебре Лейбница-Пуассона ^(X), порожденный элементом |ж1,ж2} • |жз,ж4}.

Теорема 8 ( [22]). Пусть Vl — некоторое многообразие алгебр Лейбница, над бесконеч-К

|/г = 0 | г € /, /г € ¿>2(Х)}.

Пусть также имеется совокупность элементов g, G /d({xbx2}  {ж3,ж4}); j G J |J| > 0. Пусть V — многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, определенное тождествами

{fi = 0, g = 0 | i G I, j G J}.

Тогда будут верны следующие условия:

(i) Id(VL) = Id(V) П L>2(X);

(ii) PL(V) = pL(Vl);

(iii) Cn(V) > 1 + ЕП=2 Ck  dim PL(Vl);

(iv) если |11 = ^o cn(V) > [n!  e] — n, где e = 2.71..., [ ] — целая часть числа,.

Теорема 9 ( [22]). Пусть Vl — некоторое многообразие алгебр Лейбница, над бесконечным полем K, определенное системой тождеств

{fi = 0 | i G /, fi G L>2(X)}.

V

fi = 0 i G /, u {x1,x2}  {ж3, ж4} = 0. Тогда, будут верны следующие утверждения.

1) rn(V) = Pn(V) = P^Vl) для любого n > 2; где равенства приведены с точностью до изоморфизма векторных прост,ранет,в.

2)

иП(ж1,...,жп), s = 1,...,dim P^Vl), образуют базис пространства P^ (Vl), n > 2. Тогда, полилинейные элементы

Ж1  . . .  Жп^

xil  . . .  xi„-fc  (ж,1 , . . . , ),

k = 2,..., n, s = 1,..., dim P^Vl), i1 < ... < in-k, j1 < ... < jfc; будут образовывать базис пространства Pn (V);

3) Для любого n выполнено равенство

п

Cn(V) = 1 + Е Ck- dim PfcL(VL). fc=2

4) iJc/rn существyem Exp(Vl), mo Exp(V) = Exp(Vl) + 1, более точно, если найдутся т,а,кие действительные числа, d > 0 а и fi, что для всех достаточно больших n выполнено двойное неравенство

nadn < dim P,L(Vl) < nedn,

mo найдутся т,а,кие y и 5, что для всех достаточно больших n будет выполнено такое двойное неравенство:

nY(d + 1)n < cn(V) < n5(d + 1)n

5) iJo/rn некоторая алгебра Лейбница, Al порождает, многообразие Vl, mo алгебра A = Al Ф K построенная с помощью леммы 4, будет порождать многообразие V.

6) Есл и |11 < и многообразие Vl является шпехтовым, то многообразие V также будет являться шпехтовым,.

7) Пусть W — некоторое собственное подмногообразие в V. Тогда, идеал тождеств Id(W) П L>2(X) определяет, некоторое собственное подмногообразие в Vl-

8) Многообразие Vl нильпотентно тогда и только тогда, когда рост, многообразия V ограничен полиномом.

Из теоремы 9 следует, рост многообразия w2 является сверхэкспоненциальным, причем для многообразия w2 над произвольным полем для любого п > 2 выполнено равенство

Сп^2) = [п!  е] - п.

Теорема 10 ( [22,23]). Пусть основное поле имеет нулевую характеристику и з1Ч — многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, определенное тождеством

{Х1, {Х2, {хз, Х4}}} = 0.

Тогда, многообразие w2 П 31Ч имеет почти экспоненциальный, рост.

Обозначим через n3 а многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, определенное тождеством

{{Х1,Х2}, . . . , {Х2з+1,Х2з+2}} = 0.

Теорема 11 ( [22]). Многообразие w2 П ^а над полем нулевой характеристики является шпехтовым.

Лемма 5 ( [24]). Пусть А — некоторая ассоциативная, алгебра с операцией, умножения Л над произвольным полем К. Рассмотрим векторное пространство С = А  А  К над полем К, в кот,ором, определим, операции умножения  и {, } следующим образом,:

(Х1,Х2,а)  (у1,у2,в) = (вХ1 + ау1,вХ2 + ау2,ав),

{(Х1,Х2,а), (у1,у2,в)} = ([Х1,у1],Х2 Л у1,0),

где [х1, у1] = Х1 Л у1 — у1 Л Х1; (х1, Х2, а), (у1,у2, в) е С. Тогда, полученная, алгебра С будет являться алгеброй Лейбница-Пуассона, в которой выполнено тождество {х1, х2}  {х3, х4} = 0.

Пусть Бим = Бим (К) — алгебра строго верхнетреугольных матриц порядка N над полем К, и^р = Бим  Бим  К — алгебра Лейбница-Пуассона, построенная с помощью леммы 5.

К

Лейбница-Пуассона и^р справедливы следующие утверждения: (г) полилинейные тождества

{х1, х2}  {х3,х4} = 0, {х1,х2,... ,хм} = 0

порождают идеал тождеств алгебры и^р;

(гг) для, любого натурального п базис полилинейной компоненты Рп(и^р) состоит из элементов вида

Х1  . . .  xn,

гр . . Гр . . Гр . . ^ Гр . гр . Гр . I

хч хг2 ... хгп_к {ХЛ ,х]2 ,...,х3к},

где к = 2,... ,тгп{п, N — 1} {г1,...,гп—к ,,]1,...,,]к} = {1, 2,...,п} как множества и г1 <г2 < ... < гп-ь;

(ггг) п

тгп{п,М — 1}

Сп(и^р) = 1 + £ сп  к!, к=2

где С,к — число сочетайий из п по к.

Для произвольного многообразия V определим функцию сложности

С(V, г) = £ ^гп, г е С.

п=0 !

Определим многообразия алгебр Лейбница-Пуассона Аз и Вз следующими полилинейными тождествами:

Аз : {Х1,Х2}-{Хз, Х4} = 0, {хо, {Х1,Х2},..., {Х2з— 1,Х2з}} = 0,

Вз : {Х1,Х2}  {Хз,Х4} = 0, {{Х1,Х2}, {Х3, Х4},..., {Х2з+1,Х2з+2}} = 0.

Пусть f (п) и д(п) — две функции натурального аргумента. Будем обозначать f (п) ~ д(п), если

«ш Щ = 1.

п^те д

Аз Вз

следующие равенства:

С(А3, г) = ехр(г) — ехр(г)г + ехр(г)г ^+ (г — 1)ехр(г)^ — ,

3+1 к—2 !

Сп(Аз) = 1 — п + £ кп £ Ск—1Ск—2(—1)к—гк—г—1 ( п 11)!, п > 1,

к=2 г=0 ( )!

Сп(Аз) » пз(в + 1)п—з, С(Вз, г) = ехр(г) + ехр—(1 + (г — 1)ехр(г))з — ,

(Вз) = 1 + £ кп£ Сзк—1Сг—2( —1)к—гк—г—2 ( "! , п > 1,

г — 1

з+1 к—2

С к—1Сг „(_1)к—гк—г—2

(п — г — 2)!

к=2 г=0 у у

Сп(Вз) » пз+1 (5 + 1)п—з—1, где Сп — число сочетайий из п по к.

3. Алгебры Лейбница^Пуассона с экстремальными свойствами

На сегодняшний день известны всего четыре многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста. Для однородности записи обозначим их через V1, V2, V3, Многообразие V1 определяется тождеством [х1, [х2,х3], [х4,х5]] = 0 (см. [26]). Пусть Л — бесконечномерная алгебра Грассмана с умножением Л над произвольным полем К. В векторном пространстве (С = Л  Л над пол ем К определим операцию умножения [, ]

[(Х1,Х2), (у1,у2)] = ([Х1,у1],Х2 Л у1),

где [х1,у1] = х1 Л у1 — у1 Л Х1, (х1,х2), (у1,у2) е С. Полученная алгебра (3 является алгеброй Лейбница, которая порождает многообразие V2. В работе [27] показано, что многообразие V2 порождается тождествами

[Х1, [Х2, [Х3,Х4]]] = 0, [г, [х,у], [х,у]] = 0,

и является наименьшим многообразием алгебр Лейбница, в котором не выполняется ни одно лейбницево стандартное тождество, т.е. тождества вида

Е (—1)^[жст(1),...,жст(„)] = 0.

Многообразия Vз и определяются следующим образом (см. [28]). Рассмотрим кольцо многочленов К от переменной Ь как алгебру Лейбница с нулевым умножением. Алгебру К будем считать правым Жз-модулем алгебры Гейзенберга Жз со следующим действием:

/(Ь)а = /'(*), /(Ь)Ь = Ь/(Ь), /(Ь)с = /(Ь).

Обозначим через N прямую сумму алгебр Жз и К. Умножение в N задается так:

(ж + / (Ь))(у + £(*))= жу + / (Ь)у,

где ж, у € Жз, /(Ь),$(Ь) € К. Алгебра Лейбница Ж порождает многообразие 'Уз. Зададим действие элементов двумерной метабелевой алгебры Ли М2 па элементы К:

/(Ь)е = Ь/'(Ь), /(Ь)Ь = Ь/(Ь).

Пусть М — прямая сумма алгебр Жз и К с умножением

(т-1 + / (Ь))(т2 + д(Ь)) = т1т2 + / (Ь)т2,

где т1,т2 € М2, /(¿),д(Ь) € К. Алгебра Лейбница М порождает многообразие V4.

Обозначим через С  К, Ж  К и М  К алгебры Лейбница-Пуассона с операциями (2), а через VVр и V^ — многообразия алгебр Лейбница-Пуассона, порожденные соответственно алгебрами (С К, Ж К и М К. Также обозначим через многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, порожденное тождествами

|ж1, |ж2, жз}, |ж4, жб}} = 0, |ж1, ж2} • |жз, ж4} = 0.

Теорема 14 ( [29]). Ежр^Р) = Ежр^) = Ежр^Р) = 3, Ежр^Р) = 4. Пусть V -некоторое собственное подмногообразие одного из многообразий Vр, г = 1,..., 4. Тогда, рост многообразия V либо ограничен полиномом, либо найдется такое в, что для любого п будет выполнено неравенство

2п-1 < сга^) < пв2п. Теорема 15 ( [29]). Многообразие Vр порождается тождествами

и является наименьшим многообразием алгебр Лейбница-Пуассона, в котором не выполнено ни одно лейбницево стандартное тождество.

Обозначим чрез 7 = ^^Г—1 ег,г+1 квадратную матрицу порядка к, которая па диагонали, проходящей выше главной диагонали, содержит единицы, а все остальные элементы равны нулю, ег^ — матричные единички. Рассмотрим следующую подалгебру в иТк над пол ем К, которая была введена в работе [30]:

^ = (Е, 7, 72,..., 7к-2; е12, е1з,..., е^)к,

Где е — единичная матрица. Пусть также Л2& — алгебра Грассмана с единицей и 2к образующими элементами |е1,... ,е2к}, С2к = Л2к х Л2к х К Кк = х х К — алгебры Лейбница-Пуассона, построенные с помощью леммы 5.

Важность изучения пространств Гга^) показана в лемме 3.

Теорема 16 ( [31]). В случае основного поля нулевой ха,ра,кт,ерист,ики для алгебры Лей-( 2к к > 1

1) идеал тождеств /^(С2к) порождается, тождествами

{г, {х1 ,Х2,Х3}} = 0, {г, {х,у}, {х,у}} = 0, {г, {х1, у1},..., {хк+1, ук+1}} = 0, {Х1, Х2}  {Х3, Х4} = 0;

2) для любого п > 1 полилинейные элементы от, переменных х1,... ,хп

{хт, Хгх , . . . , хгг, {х^'х , х^2 }, . . . , {х:?2а-1, х:?2а }},

г + 25 + 1 = п, г1 < г2 < ... < гг, < < ... < ^2з, 0 < в < к, г > 0,

образуют, базис пространства Гп(С2к);

3) размерности пространств Гп(С2к) вычисляются по следующей, формуле:

Г п2п—2, 1 < п < 2к + 1,

7п((2кп£к=о Сп—1, п > 2к + 1,

п > 2к + 1

) = „) + пС2к_ с-ч

п2к+1

7п(С2к) = 7п(С2к—2) + пСпк 1 - тттттг, п ^ То,

Спк п к

4) еслм " ^ некоторое собственное подм,н,огообразие в -иаг(С2к), то найдется, такой многочлен f (х) с рациональным,и коэффициентами, за висящий от что для всех дост,а,т,оч,н,о больших п выполнено нера венет во 7п(") < f (п); причем ^ед f (х) < 2к + 1.

Теорема 17 ( [31]). В случае основного поля нулевой хара,кт,ерист,ики для алгебры Лейбница-Пуассона, к > 3; верны следующие утверждения:

1) идеал тождеств /^(Як) порождается, полилинейными тождествами

{г, {Х1,Х2}, {Х3, Х4}} = 0, {г, {х1,... ,Хк}} = 0, {х1, Х2}  {Х3, Х4} = 0;

2) п > 1 Х1 Хп

} гр гр . гр . } гр . гр . гр . I

{хт, Хг1, . . . , хгг , {хл , х^2 , . . . , }},

г + в + 1 = п, г1 < г2 < ... < гг, ^ > ^ < ... < ^'з, 0 < в < к — 1, в = 1, г > 0,

образуют, базис пространства Гп(Як);

3) размерности пространств Гп(Як) вычисляются по следующей, формуле:

{п!, 1 < п < ш1п{4, к},

п(п — 3)2п—2 + 2п, 5 < п < к,

п (1 + Ек=—21(г — 1)Сп— 1) , п > к + 1,

п> к+1

к2

7п(Як) = 7п(Як—1) + п(к — 2)Сп—1 - (к — 1)!пк, п ^ то;

4) еслм " — некоторое собственное подмногообразие в -гог(Як), то найдется, такой многочлен f (х) = а0 + ... + акхк с рациональными коэффициентами, за,висящий от что для,

к—3

всех достаточно больших п выполнено неравенство 7п(") < f (п) причем ак < тт—тгг.

(к — 1)!

список цитированной литературы

1. Рацеев С. М. Коммутативные алгебры Лейбница-Пуассона полиномиального роста // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2012. Т. 94, № 3/1. С. 54-65.

2. Бахтурин, Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М. : Наука, 1985.

3. Giambruno A., Zaicev М. V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. AMS Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Providence R. I., 2005.

4. Drenskv, V. Free algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra. Singapore: SpringerVerlag, 2000.

5. Regev A. Existence of polynomial identities in A  B // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 77, № 6. P. 1067-1069.

6. Giambruno A., Zaicev M. V. Exponential codimension growth of P. I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. 1999. Vol. 142. P. 221-243.

7. Кемер A. P. Шпехтовость T-идеалов со степенным ростом коразмерностей // Сиб. матем. журнал. 1978. Т. 19, № 1. С. 54-69.

8. Drenskv V., Regev A. Exact behaviour of the codimention of some P. I. algebras // Israel J. Math. 1996. Vol. 96. P. 231-242.

9. Воличенко И. Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[X1,X2,X3], [Х4,Х5,Хб]] = 0 над полем характеристики нуль // Сиб. матем. журнал. 1984. Т. 25, № 3. С. 40-54.

10. Петроградский В. М. Рост полинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие целые функции // Матем. сборник. 1997. Т. 188, № 6. С. 119-138.

11. Рацеев С. М. Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2012. Т. 67, № 5. С. 8-13.

12. Рацеев С. М. Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница-Пуассона // Изв. вузов. Матем. 2014. № 3. С. 33-39.

13. Рацеев С. М. Об алгебрах Ли с экстремальными свойствами // Сиб. матем. журн. 2015. Т. 56,№ 2. С. 444-454.

14. Петроградский В. М. О численных характеристиках подмногообразий трех многообразий алгебр Ли // Матем. сборник. 1999. Т. 190, № 6. С. 111-126.

15. Petrogradskv V. М. Exponents of subvarieties of upper triangular matrices over arbitrary fields are integral // Serdica Math. J. 2000. Vol. 26, № 2. P. 167-176.

16. Рацеев С. M. Тождества в многообразиях, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц // Сибирский математический журнал. 2011. Т. 52, № 2. С. 416-429.

17. Рацеев С. М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2006. Т. 46, № 6/1. С. 70-77.

18. Рацеев С. М. Оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2010. Т. 78,№ 4. С. 65-72.

19. Рацеев С. М. Об экспонентах некоторых многообразий линейных алгебр // Прикладная дискретная математика. 2013. Т. 21, № 3. С. 32-34.

20. Ratseev S. M. Growth of some varieties of Leibniz-Poisson algebras // Serdica Mathematical Journal. 2011. Vol. 37, № 4. P. 331-340.

21. Рацеев С. M., Череватенко О. И. Экспоненты некоторых многообразий алгебр Лейбница-Пуассона // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2013. Т. 104,№ 3. С. 42-52.

22. Ratseev S. M. On varieties of Leibniz-Poisson algebras with the identity {x,y}  {z,t} = 0 // Журнал Сибирского федерального университета. Серия «Математика и физика». 2013. Т. 6, № 1. С. 97-104.

23. Скорая Т. В., Фролова Ю. Ю. О многообразии 3N алгебр Лейбница и его подмногообразиях // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, № 1. С. 155-185.

24. Рацеев С. \!.. Череватенко О. И. О нильпотентных алгебрах Лейбница-Пуассона // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2012. Т. 29, № 4. С. 207-211.

25. Рацеев С. \!.. Череватенко О. И. функции сложности некоторых алгебр Лейбница-Пуассона // Сиб. электрон, матем. изв. 2015. Т. 12. С. 500-507.

26. Mishchenko S., Valenti A. A Leibniz variety with almost polynomial growth //J. Pure Appl. Algebra. 2005. V. 202. № 1-3. P. 82-101.

27. Абанипа Л. E., Рацеев С. M. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2005. Т. 40, № 6. С. 36-50.

28. Абанипа Л. Е., Мищенко С. П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. Москва: Союз. 2002. С. 95-99.

29. Рацеев С. \!.. Череватенко О. И. О некоторых многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. Т. 22, № 2. С. 57-59.

30. Giambruno A., Mattina D. La., Petrogradskv V. M. Matrix algebras of polynomial codimention growth // Israel J. Math. 2007. Vol. 158. P. 367-378.

31. Рацеев С. M. О минимальных алгебрах Лейбница-Пуассона полиномиального роста // Дальневост. матем. журн. 2014. Т. 14, № 2. С. 248-256

REFERENCES

1. Ratseev S. M. 2012, "Commutative Leibniz-Poisson algebras of polynomial growth", Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnava Ser., vol. 94, no 3/1, pp. 54-65.

2. Bahturin Yu. A. 1987, "Identical relations in Lie algebras", VNU Science Press, Utrecht.

3. Giambruno A., Zaicev M. V. 2005, "Polynomial Identities and Asymptotic Methods", A MS Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Providence R. I.

158

c. m. paijeeb, o. h. hepebàtehko

4. Drenskv, V. 2000, "Free algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra", Singapore: Springer-Verlag.

5. Regev A. 1971, "Existence of polynomial identities in A  B", Bull. Amer. Math. Soc., vol. 77, no 6, pp. 1067-1069.

6. Giambruno A., Zaicev M. V. 1999, "Exponential codimension growth of P. I. algebras: an exact estimate", Adv. Math., vol. 142, pp. 221-243.

7. Kemer A. R. 1978, "T-ideals with power growth of the codimensions are Specht", Sibirsk. Mat. Jh., vol. 19, no. 1, pp. 54-69. English translation: Siberian Math. J., 1978, vol. 19, no. 1. pp. 37-48.

8. Drenskv V., Regev A. 1996, "Exact behaviour of the codimention of some P. I. algebras", Israel J. Math., vol. 96, pp. 231-242.

9. Volichenko I. B. 1984, "Varieties of Lie algebras with identity [[X^X2,X3], [X4,X5,X6]] = 0 over afield of characteristic zero", Sibirsk. Mat. Jh., vol. 25, no. 3, pp. 40-54. English translation: Siberian Math. J., 1984, vol. 25, pp. 370-382.

10. Petrogradskv, V. M. 1997, "Growth of polvnilpotent varieties of Lie algebras and rapidly growing entire functions", Mat. Sb., vol. 188, no. 6, pp. 119-138. English translation: Russian Acad. Sci. Sb. Math., 1997, vol. 188, no. 6, pp. 913-931.

11. Ratseev S. M. 2012, "Equivalent conditions of polynomial growth of a variety of Poisson algebras", Moscow Universitv Mathematics Bulletin, vol. 67, no 5-6, pp. 195-199.

12. Ratseev S. M. 2014, "Necessary and sufficient conditions of polynomial growth of varieties of Leibniz-Poisson algebras", Russian Mathematics

13. Ratseev S. M. 2015, "Lie algebras with extremal properties", Sibirsk. Mat. Jh., vol. 56, no 2, pp. 444-454. English translation: Siberian Math. J., 2015, vol. 56, no 2, pp. 358-366.

14. Petrogradskv, V. M. 1999, "On numerical characteristics of subvarities of three varieties of Lie algebras", Mat. Sb., vol. 190, no. 6, pp. 111-126. English translation: Sb. Math., vol. 190, no. 6, pp. 913-931.

15. Petrogradskv V. M. 2000, "Exponents of subvarieties of upper triangular matrices over arbitrary fields are integral", Serdica Math. J., vol. 26, no. 2, pp. 167-176.

16. Ratseev S. M. 2011, "Identities in the varieties generated by the algebras of upper triangular matrices", Siberian Mathematical Journal, vol. 52, no 2, pp. 329-339.

17. Ratseev S. M. 2006, "Growth of some varieties of leibniz algebras", Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnava Ser., vol. 46, no 6/1. pp. 70-77.

18. Ratseev S. M. 2010, "Asymptotic behavior of the codimentions growth of Leibniz algebras with a nilpotent commutator subalgebra", Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnava Ser., vol. 78, no 4, pp. 65-72.

19. Ratseev S. M. 2013, "On exponents of some varieties of linear algebras" Prikl. Diskr. Mat., vol. 21, no 3, pp. 32-34.

20. Ratseev S. M. 2011, "Growth of some varieties of Leibniz-Poisson algebras", Serdica Mathematical Journal, vol. 37, no 4, pp. 331-340.

21. Ratseev S. M., Cherevatenko O. I. 2013, "Exponents of some varieties of Leibniz-Poisson algebras", Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnava Ser., vol. 104, no 3, pp. 42-52.

22. Ratseev S. M. 2013, "On varieties of Leibniz-Poisson algebras with the identity {x, y}  {z, t} = 0", J. Sib. Fed. Univ. Math. Phvs., vol. 6, no 1, pp. 97-104.

23. Skorava T. V., Frolova Yu. Yu. 2014, "About variety 3N of Leibniz algebras and its subvarieties", Chebvshevskii Sb., vol. 15, no 1, pp. 155-185.

24. Ratseev S. M., Cherevatenko O. I. 2012, "On the nilpotent Leibniz-Poisson algebras", Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz. -Mat. Nauki., vol. 29, no 4, pp. 207-211.

25. Ratseev S. M., Cherevatenko O. I. 2015, "Complexity functions of some Leibniz-Poisson algebras", Sib. Elektron. Mat. Izv. Vol. 12, pp. 500-507.

26. Mishchenko S., Valenti A. 2005, "A Leibniz variety with almost polynomial growth", J. Pure Appl. Algebra., vol. 202, no 1-3, pp. 82-101.

27. Abanina L. E., Ratseev S. M. 2005, "Variety of Leibniz algebras connected with standard identities", Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnava Ser., vol. 40, no 6, pp. 36-50.

28. Abanina, L. E., Mishchenko S. P. 2002, "Some Leibniz varieteis", Mathematical methods and applications. Proceedings of the 14th Mathematical Readings, pp. 95-99.

29. Ratseev S. M., Cherevatenko O. I. 2013, "On some varieties of Leibniz-Poisson algebras with extreme properties", Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., vol. 22, no 2, pp. 57-59.

30. Giambruno A., Mattina D. La., Petrogradskv V. M. 2007, "Matrix algebras of polynomial codimention growth", Israel J. Math., vol. 158, pp. 367-378.

31. Ratseev S. M. 2014, "On minimal Leibniz-Poisson algebras of polynomial growth", Far Eastern Mathematical Journal, vol. 14, no 2, pp. 248-256.

Ульяновский государственный университет

Ульяновский государственный педагогический университет имени И. Получено 12.11.2016 Принято 13.03.2017

Н. Ульянова