Анализ систем и процессов на основе нечетких полумарковских моделей

УДК 004.8

Ю.Г. Бояринов АНАЛИЗ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ ПОЛУМАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ

Предложена нечеткая полумарковская модель, в которой для задания нечетких вероятностей состояний системы и времен пребывания системы в соответствующих состояниях используются нечеткие отображения на основе нечетких продукционных или реляционных моделей. Разработан метод анализа систем и процессов на основе нечетких полумарковских моделей, позволяющий решать нечеткие оптимизационные задачи. Метод позволяет снизить трудоемкость решения оптимизационных задач за счет компактификации представления и оперирования в нечетком признаковом пространстве.

Нечеткая полумарковская модель, нечеткое отображение, нечеткая оптимизационная задача.

Y.G. Boyarinov SYSTEM AND PROCESS ANALYSIS ON THE BASE OF FUZZY SEMI-MARKOV MODEL

The paper deals with fuzzy semi-Markov model in which the fuzzy display on the base of product or relational models are used for obtaining a fuzzy state system probabilities and being in appropriate state time. The method of system analysis and process has been developed on the base of fuzzy semi-Markov models which allows to solve fuzzy optimization tasks.

Fuzzy semi-Markov model, fuzzy display, fuzzy optimization tasks.

Введение

Одним из направлений анализа систем и процессов в различных состояниях, позволяющим учесть факторы неопределенности анализируемых переменных и случайности событий, является использование полумарковских моделей. Однако вероятностный подход, традиционно применяемый для учета стохастической неопределенности, тем не менее, в по-лумарковских моделях сложных систем не всегда применим вследствие: недостатка статистики и экспертного характера большей части информации [1].

Перспективным направлением к решению указанных проблем при анализе системи процессовявляется использование нечетких полумарковских моделей [2-5]. Однако эти методы построения нечетких полумарковских моделей не учитывают наличие избыточности ресурса как необходимого условия функционирования системы; отсутствуют постановки и методы решения оптимизационных задач с использованием нечетких полумарковских моделей. В данной статье представлен метод анализа систем на основе нечетких полумарковских моделей, позволяющий решать нечеткие оптимизационные задачи.

( V \ н (

\ /

V ' \ 1 X )

/ \ /1

Рис. 1. Структура полумарковской модели процесса функционирования системы с учетом достоверности контроля & - состояние системы при отсутствии неисправностей(желаемое состояние); Б2 - состояние системы при наличии неисправностей элементов, не приводящих к отказу системы; & - состояние проверки исправной системы; - состояние проверки неисправной системы; - состояние повторной про-

верки после ложной регистрации неисправности; & - состояние восстановления исправности системы; & - состояние функционирования системы с необнаруженной неисправностью; РН - вероятность возникновения неисправности в системе в диапазоне [0, ТП], РН = FН(ТП), ГН(ТП) = Вер(?Н < ТП), ГН -функция распределения случайной величины ?Н в момент возникновения неисправности; ТП - период проверки состояния системы; й -вероятность обнаружения неисправности в системе; Г - вероятность ложной регистрации неисправности в системе

1. Использование полумарковских моделей для анализа систем и процессов

Описание процесса функционирования системы представляется полумарковской моделью, структура которой показан на рис. 1.

Полумарковский процесс задается с помощью матрицы F(г) условных функций распределения продолжительности пребывания в состояниях, матрицы W переходных вероятностей вложенной марковской цепи и начального состояния процесса, из которого он стартует.

Ж(0 =

Г 0 0

^(0

0

ад)

ад)

0

^(0 7^(0 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ад 0 0 ад

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 ад ад 0 0 0

0 0 0

0 ЗД 0 0 0 _

Компоненты матрицы Б(г) запишутся в следующем виде:

0, г < 0,

Рн

Г 0 (Тп) 1-(Тп) 0

W =

0 1-7 0 1 1 0

0 < г < т

^(г) =

Рн

1,

0, г < 0,

0

0

0

0

0

0

0,

1,

1

0

0

0

0

1

г > Т,,

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Б 1-Б 0 0

0

0

0

0

г > Т„

, 0 < г < Тп,

, ч [0, г < Тп, 7п(г) = [ п

13 11, г >Тп;

1,

731 (г) = 735 (г) = 746 (г) = 747 (г) = -

Р61(г) =

^(г) =

Г0, г < Т,

пК’

р74(г) =

(!’ г > Тпк;

0, г < Тп,

1, г > Тп

7н

г > Тп;

[0, г < Тк,

[1, г > Тк;

[0, г < Тв,

[]., г > Тв; *-'Я'

Здесь ТК - математическое ожидание продолжительности контроля; ТпК - математическое ожидание продолжительности повторного контроля в случае ложной регистрации неисправности; Тв - математическое ожидание продолжительности восстановления системы.

Безусловные функции распределения 7г(г) определятся в соответствии с выражением

7(г)=X 7 (гИ ’

7=1

где Wij - вероятность перехода вложенной марковской цепи за один шаг.

В рассматриваемом случае получим

0, г < 0,

71(г) =  7н (г), 0 < г < Тп

1, г > Т • г > Тп;

72(г) = ^(г);7з(г) = ^(г) = ЗД; 75(г) = ЗД; 76(г) = ^(г); 77(г) = ^(г).

Средние времена пребывания системы в соответствующих состояниях определяются по формуле

л

л

Тогда

т = 1[1 - Р1(г)]* = тп -1 Рн (г) ж ; т2 = Р (Т ) | Рн (тп - г) йг;

п J Н

0

2 т"ч /тт \ I Н ' П Рн

2)

0 0 *- Н\*-П/ 0

т = т4 = Т^; т4 = Т^; ш5 = ТпК; т6 = Тв; т7 = Тп.

Финальное распределение вероятностей состояний вложенной марковской цепи определяется в результате решения системы уравнений в матричном виде:

Р = PW,

где Р - вектор-строка (Ръ..., Р7).

Эта система уравнений является линейно зависимой, так как для нее выполняется условие нормировки. Для рассматриваемого случая получим:

Р5 = [1 - Рн (Тп )]РР„

Рб = [1 - Рн (Тп )]Р,

1 - Б

Р7 =— [1 - Рн (Тп )]Р,

1 = Р + Р2 + Рз + Р4 + Р5 + Р6 + Р7 .

Решения этой системы уравнений имеют вид

Р2 = Рн (Тп ) Р,

Рз = [1 - Рн (Тп )Р

Р4 =

1 - Рн (Тп ) Б

Р1,

Р1 =

1

1+

Рн (Тп ) Б

. = - • Р = Рн (Тп ) . Р = 1 - Рн (Тп ).

+ Р[1 - Рн (Тп )]

1

А'

А

А

Р4 =

1 - Рн

АБ А А АБ

В стационарном режиме распределение вероятностей состояний для полумарковского процесса в целом определяется из выражения:

Рт

IР

1=1

!т1

В соответствии с этим выражением вероятность пребывания системы в состоянии $1 рассчитывается следующим образом

Тг

ТП

I Рн (г) йг

1 - Рн (Тп ) +

+ Тпк [1 - Рн

2. Нечеткая полумарковская модель

В предлагаемой нечеткой полумарковской модели функционирования системы реализован предложенный в работе [5] способ введения нечеткости, заключающийся в следующем.

Этап 1. Задание входных нечетких параметров системы.

Этап 2. Задание нечетких переменных Р. на базовых множествах значениях вероятностей Р{ состояний системы.

Этап 3. Задание нечетких переменных тг{ на базовых множествах значениях вероятностей т1 времен пребывания системы в соответствующих состояниях.

Т

Т

Т

2

0

Значения вероятностей времен т1 пребывания системы в соответствующих состояни-яхявляются базовыми множествами, на которых определены функции принадлежности нечетких множеств нечетких переменных щ .

Этап 4. Задание отображений для нечетких переменных т1, характеризующих нечеткие вероятности времен пребывания системы в соответствующих состояниях.

В общем случае нечеткие отображения для нечетких переменных т1 задаются следующим образом:

Для рассматриваемого на рис. 1 примера в соответствии с выражениями (1) и (2) зададим следующие нечеткие отображения для нечетких переменных т{:

где фі - нечеткое отображение, заданное одним из известных способов: нечеткими продукционными правилами, нечеткими отношениями.

Этап 5. Задание отображений для нечетких переменных р, характеризующих нечеткие вероятности состояний системы.

В общем случае нечеткие отображения для нечетких переменных Р определяются следующим образом:

где ф - нечеткое отображение, реализуемое, например, на основе нечетких продукционных

моделей МКО-типа (МиШр1е1прШ^, Б^ЬОШрШз).

Этап 6. Определение значений нечетких переменных, характеризующих распределение вероятностей состояний для нечеткого полумарковского процесса.

В основе предлагаемой нечеткой полумарковской модели лежит следующее выражение, вычисляемое либо на основе нечеткого интервального метода, либо с использованием принципа расширения Л. Заде:

где П - нечеткая переменная, характеризующая распределение нечетких вероятностей состояний для нечеткого полумарковского процесса (г = 1, ..., К); т{ и Р - нечеткие переменные, задаваемые отображениями (4) и (5); ©, , / - операции нечеткого сложения, умножения и деления, соответственно [6].

Предложенная модель позволяет существенно снизить трудоемкость решения оптимизационных задач за счет, во-первых, компактификации представления и оперирования в нечетком признаковом пространстве, во-вторых, использования аппроксимационных свойств нечетких моделей в разработанной постановке.

1. Мешалкин В.П. Экспертные системы в химической технологии. Основы теории, опыт разработки и применения / В.П. Мешалкин. М.: Химия, 1995. 368 с.

2. Bhattacharyya M. Fuzzy Markovian decision process / M. Bhattacharyya // Fuzzy Sets and Systems. 1998. Vol. 99. P. 273-282.

3. Praba B., Sujatha R., Srikrishna S. Fuzzy reliability measures of fuzzy probabilistic semi-Markov model// Int. Journal of Recent Trend in Engineering, Vol. 2. No. 2. 2009. PP. 25-29.

mi =фі (Tк , Tп , Tв , Tпк , Fн (Tп i = U..M N.

ml №п)’ m2 ф2( F'н (T п))’ m3 ^^к)’ m4 ^^к)’

m5 = ^^пк )’ m6 = ^(T В )’ mi = fr(TU ).

p = ф(Tn, F, FT), D), i = 1,..., N.

6)

ЛИТЕРАТУРА

4. Praba B. A study on homogeneous fuzzy semi-Markov model / B. Praba, R. Sujatha, S. Srikrishna // Applied Mathematical Sciences, Vol. 3. No 50. 2009. PP. 2453-2467.

5. Метод построения нечеткой полумарковской модели функционирования сложной системы / Ю. Г. Бояринов, В.В. Борисов, В. И. Мищенко, М.И. Дли // Программные продукты и системы. 2010. № 3(91). С. 26-31.

6. Moore R.E. Interval analysis / R.E.Moore. New Jersey: Prentice Hall, 1966. 230 с.

Бяринов Юрий Геннадьевич -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Информатика» филиала Московского энергетического института (ТУ) в г. Смоленске

Статья поступила в редакцию 24.07.11, принята к опубликованию 8.11.11