Движение вязкой жидкости, вызванное поступательно-колебательным движением плоского слоя пористой среды

УДК 532.628

DOI 10.21685/2072-3040-2017-3-7

Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова, Н. А. Храмова

ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ВЫЗВАННОЕ ПОСТУПАТЕЛЬНО-КОЛЕБАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ПЛОСКОГО СЛОЯ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

Аннотация.

Актуальность и цели. Изучение движения жидкостей через пористые среды представляет значительный интерес для исследования природных явлений, а также технологических процессов. Рассматривается движение вязкой жидкости, контактирующей с плоским слоем пористой среды. Слой пористой среды совершает гармоническое поступательно-колебательное движение в направлении, параллельном непроницаемой плоскости, ограничивающей этот слой снизу и движущейся со скоростью слоя.

Материалы и методы. Для описания движения жидкости в пористой среде используется нестационарное уравнение Бринкмана, а свободной жидкости вне пористой среды - уравнение Навье - Стокса. При формулировании граничных условий учитывается возможное скольжение жидкости относительно непроницаемой поверхности, ограничивающей пористую среду. На поверхности раздела пористой среды и свободной жидкости берется условие непрерывности скорости жидкости, а скачок касательных напряжений в жидкости предполагается пропорциональным относительной скорости жидкости на поверхности раздела (в частном случае эти напряжения могут быть непрерывными).

Результаты. Определено движение вязкой жидкости внутри и вне слоя пористой среды. Получены точные аналитические решения нестационарного уравнения Бринкмана в области пористого слоя и уравнения Навье - Стокса вне слоя.

Выводы. Показано существование внутренних поперечных волн в жидкости, в которых скорость перпендикулярна направлению распространения волны. Внутри и вне пористого слоя имеются плоские поверхности, на которых скорость обращается в нуль. В промежутках между этими поверхностями жидкость движется с попарно противоположными по направлению скоростями.

Ключевые слова: вязкая жидкость, пористая среда, нестационарное уравнение Бринкмана, поперечные волны.

N. G. Taktarov, O. A. Runova, N. A. Khramova

VISCOUS FLUID FLOW INDUCED BY TRANSLATIONAL-OSCILLATORY MOTION OF A PLANE LAYER OF POROUS MEDIUM

Abstract.

Background. The study of fluid motion through porous media is of significant interest for investigation of natural phenomena and technological processes. In the paper we consider the motion of viscous fluid that contacts a plane layer of porous medium. The porous medium layer is executing harmonic translational-oscillatory motion in direction parallel to the non-penetrable plane constraining this layer from below and moving at velocity of the layer.

Materials and methods. To describe fluid flow in porous medium we used a time-dependent Brinkman equation, for fluid flow outside porous medium - Navier-

Stokes equations. When formulating the boundary conditions we took into account a no-slip condition on the non-penetrable surface that bounds the porous medium. At the interface of porous medium and free fluid we took the condition of continuity of fluid velocity and the jump of tangential stresses was assumed proportional to the relative fluid velocity at the interface (in the special case these stresses can be continuous).

Results. The motion of viscous fluid inside and outside the layer of porous medium has been determined. The exact solutions have been obtained for the unsteady Brinkman equations inside the porous layer and for the Navier-Stokes equations outside.

Conclusions. The existence of intrinsic transverse waves was deduced. In such waves the velocity is perpendicular to the direction of their propagation. Inside and outside the porous layer there are plane surfaces, on which the velocity equals zero. In gaps between those surfaces liquid flows at velocities of pairwise opposite directions.

Key words: viscous fluid, porous medium, unsteady Brinkman equation, transverse waves.

Введение

Теория движения жидкостей через пористые среды интенсивно развивается в последнее время в связи с разнообразными приложениями в технологических процессах, а также при изучении природных явлений. В числе этих приложений можно привести: удаление загрязняющих примесей из интегральных схем при изготовлении компьютеров, извлечение и хранение радионуклидов из отходов отработанных ядерных материалов. Пористая среда имеет большое количество пустот - пор, в связи с этим внутренняя поверхность пор, приходящаяся на единицу объема среды (удельная поверхность), может достигать очень больших значений. При течении жидкости через пористую среду она контактирует с твердой поверхностью на большой площади, что особенно важно, например, в химической промышленности, поскольку с увеличением площади контакта усиливается массообмен при химических реакциях.

Все эти приложения стимулируют исследование течения жидкостей внутри и вне пористых тел, ограниченных различными поверхностями. Простейшими среди таких поверхностей являются плоскость, цилиндрическая и сферическая поверхности. Для случая этих поверхностей часто удается получить и проанализировать точные аналитические решения соответствующих задач.

В работе [1] решена задача об обтекании жидкостью неподвижного пористого шара, находящегося в другой пористой среде. В работе [2] рассмотрена задача об обтекании неподвижной пористой сферической оболочки. Задачи о течении жидкости в пористой среде вокруг сплошного цилиндра и сферы решены в [3]. Движение жидкости, вызванное вращательно-колебате-льным движением пористого шара вокруг стационарной оси вращения, проходящей через центр шара, исследовано в [4].

Движение жидкости в объеме определяется условиями на ограничивающих ее поверхностях и называемых граничными условиями. Классическое граничное условие к уравнениям движения жидкости, контактирующей с твердой поверхностью, состоит в равенстве скоростей жидкости и твердой поверхности (условие прилипания).

Однако, как показали многочисленные эксперименты и теоретические исследования последнего времени, классическое граничное условие для скорости жидкости в некоторых случаях нуждается в определенных усложнениях. Например, на так называемых супергидрофобных поверхностях, как существующих в природных условиях, так и созданных искусственно, жидкость проскальзывает, не прилипая к твердой поверхности [5-7].

Граничные условия на поверхности раздела пористой среды (матрицы) и насыщающей ее жидкости в случае, когда течение жидкости описывается уравнением Бринкмана [8], также отличаются от классического [9, 10].

Вывод уравнений движения вязкой жидкости через пористую среду методом локального объемного усреднения приведен, например, в [9-12].

1. Постановка задачи

Рассматривается колебательное движение вязкой жидкости, контактирующей с плоским слоем пористой среды. Пористый слой совершает поступательно-колебательное движение по гармоническому закону с частотой ю в направлении, параллельном непроницаемой плоскости, ограничивающей этот слой снизу и движущейся со скоростью слоя.

Пористая среда далее предполагается недеформируемой, однородной и изотропной. Предполагается также, что пористая среда имеет достаточно большую пористость и высокую проницаемость. При таких свойствах пористой среды в ней могут возникать колебательные движения жидкости, в которых скорость жидкости будет заметно отличаться от скорости пористой среды.

Система координат выбрана так, что поверхность раздела пористой

* *

среды и жидкости совпадает с плоскостью у , г ; пористая среда занимает

**

область: -Н1 < х < 0, а области жидкости соответствует 0 < х < Н2 . Плос-

*

кость х = Н2 совпадает со свободной поверхностью жидкости. Непроница-

*

емая плоская поверхность х = —Н ограничивает снизу слой пористой среды

*

и движется вместе с ней. Ось у выбирается параллельно направлению колебаний пористого слоя и плоскости х = —Н . Знаком «*» здесь и далее обозначаются размерные переменные (но не размерные параметры), чтобы отличать их от соответствующих безразмерных, обозначаемых теми же буквами. Величины, относящиеся к пористой среде и свободной жидкости, обозначаются в необходимых случаях индексами 1 и 2 соответственно.

Скорость поступательно-колебательного движения пористого слоя и

ограничивающей его плоскости вдоль оси у* запишем в виде функции от

*

времени ^ :

* *

и = ио ехр(—/Ю ),

где ио - действительная постоянная.

В окончательных результатах вычислений везде подразумеваются действительные части соответствующих комплексных выражений.

Систему уравнений нестационарного движения жидкости в пористой среде (модель Бринкмана) запишем в виде [5, 7-10]:

*

1 ОШ 1** . *2 * 1* * *

_L = __V p +v'V2Ul +-F, V-Ul = 0,

ГЭг P P

*

здесь p - плотность жидкости; Г - пористость (Г = const); U1 - макроскопи-

* * *

ческая скорость фильтрации (U1 =Г V, V - средняя по объему пор скорость

жидкости); p* - среднее по объему пор давление; v' = ^' / р, - эффективная вязкость жидкости в порах, v = ^ / р, ^ - вязкость свободной жидкости

* * *

вне пористой среды; F = -(^ / K)(u1 - Ги ) - плотность силы сопротивления пористой среды, где K - коэффициент проницаемости пористой среды.

При K ^ 0 (непроницаемая для жидкости среда) из (1) следует

* *

U1 =Ги , т.е. жидкость будет двигаться как целое вместе с пористой средой.

* *

Если и = 0, то F принимает известный вид силы Дарси.

Уравнения движения свободной жидкости имеют обычный вид [13]:

*

Эио 1 * * *2 * * *

+

0t P

Из соображений симметрии следует, что все переменные величины будут функциями только от вертикальной координаты x и времени t . А со**

гласно уравнениям непрерывности (1), (2) u1x = const, u2x = const, где обе

**

эти постоянные следует принять равными нулю, поскольку u1x = 0 и u2x = 0

1x " 2x

. * * * на поверхностях x = -H1 и x = H2 . Поэтому = 0, u2x = 0 всюду. Кроме того, (и* -V)u j = 0 (j = 1, 2). Таким образом, вследствие симметрии нелинейные слагаемые выпадают из уравнений движения (1), (2). Из соображений

**

симметрии следует также, что скорости U1 , U2 направлены всюду парал-

*

лельно оси y .

Предполагая, что пористый слой расположен горизонтально, и проеци-

* * *

руя уравнения (1), (2) на ось x , находим, что давления p1 и p2 будут функ-

**

циями только от координаты x и времени t . Вид этих функций, очевидно, не влияет на характер движения жидкости в горизонтальном направлении.

Поэтому без потери общности можно не рассматривать влияние силы тяже**

сти на течение жидкости и принять p1 = const, p2 = const.

* * * *

Вводя обозначения u^ = u , u2y = u2 , получим из (1) и (2):

* 2 * 1 ,Э u1 v * *

--L = v-^1 - —

Г 0t* Ox*2 K

* 2 *

Ou2 Э u2

* v *2 .

Ot Ox 2

Граничные условия к этим двум уравнениям [3, 4, 9, 10] имеют вид:

* * * дщ

х =-Щ : щ -Ги0ехр(-/ю/ ) = В—*,

дх

*

х = 0

Л

х = 0 : u* = U2,

= Л(и* - и*);

^ ,9ui

Л

Эх

Л

Эи2 ^ Эх

х = Н

2

Эи* = 0.

Эх

Здесь 5 и Л - постоянные с размерностью длины, зависящие от свойств пористой среды и жидкости. В первом условии (4) учитывается возможное скольжение жидкости относительно непроницаемой поверхности, контактирующей с пористой средой. При В = 0 получается обычное условие прилипа-

* *

ния щ = ГЦУо ехр(-/ю/ ). В более простой модели фильтрации Дарси возможное наличие скольжения неявно учитывается тем, что на скорость жидкости накладывается только условие непротекания в нормальном к твердой поверхности направлении, а скорость скольжения жидкости вдоль этой поверхности остается неопределенной. Второе условие (4) выражает непрерывность

*

скорости на поверхности раздела пористой среды и жидкости (х = 0 ). Третье условие (4) связывает скачок касательных напряжений на поверхности

*

х = 0 с касательной скоростью жидкости; при Л ^ да оно переходит в условие непрерывности касательных напряжений, а при Л = 0 - в условие прилипания на поверхности пористой среды. Четвертое - это условие отсутствия касательных напряжений на свободной поверхности жидкости.

2. Решение задачи

Введем безразмерные переменные:

х = х*/Н (Н = Н1 + Н2), t = ю/*, * * *

и = / и0, = / и0, и = и / и0 = ехр(-7/) . Уравнения (3) в безразмерном виде:

юН2 Эщ = v' Э2щ - Н vr Эг v Эх2 К

(щ -Ги),

22 юН ди2 _ д и2

V д/ дх2 '

Граничные условия (4) в безразмерном виде:

, ^ „ дщ

х = -/«: щ - Ги = р—-, дх

x = 0 : U1 = «2,

(

x = 0 : X

V a

1 O«2

2 Ox Ox

Л

= U1 - u

1 Эм2 „ х = «2 : —- = 0 . Эх

Здесь Ъ1 = Н1/Н, «2 = Н2 /Н, |3 = В /Н , А = Л/Н, а2 = л / л'. Безразмерные скорости м, ^2 будем искать в виде

М (х, I) = (х) ехр(-/^), М2 (х, I) = (х) ехр(-Я). Из уравнений (5) следует

d F1 т 2

—21 =-2a

dx

(н V

d 2 F2 dx2

-Й F = 0,

здесь

,2 2a

S2 =

' H

v §1 ,

' H

- J

v §2 ,

, ^2 =-2J

(н v

V §2;

§1=f • §2 =2v

Общие решения уравнений (8):

(х) = Лц ехр ^х + В ехр(-^х) + С. ^2 (х) = Л2 ехр ^2х + В2 ехр(-^2х),

„ aH 11

1 J§

\

§ 82,

^2 = (1 - J) H, С =--

§2 1 - J

_L=_L — _L

2' s2 =§2+vs4+§4.

Коэффициенты Лу, Ву (у = 1, 2) в (9), определяемые с помощью граничных условий (6), имеют вид

Л = А В = г-с___А

1 Е2' 1 (1 + Р^)ехр ^(1 + Р^1)ехр2^1Й/

Л =

D1D5 + d2 d

4

52 =

о ,

2 D2(1 + Р^)(1 + exp2 ^ ¿2)exp ^

d1d5 + d2 d4

D2(1 + P^1)[1 + exp(-2^2h2)]exp ^ ' D1 = (Г-С) + a2D3D4 - a2(1 + ) exp ^:

D2 = - а2DзD5, Dз = 1 - ^2Л ^, D4 =Г- С + C (1 + р^1) ехр 11Н1, D5 = 28Ь ^ + 2р^ еЬ ^, D6 = 2еЬ^1й1 +

При в ^ 0, X ^ да эти коэффициенты принимают значительно более простой вид.

Решения вида (7), (9) описывают поперечные стоячие волны, в которых скорости щ (х, t), и2 (х, t), направленные параллельно оси у, перпендикулярны направлению распространения волны вдоль оси х.

В пределе Н1 ^ 0 (Н1 ^ 0), Л ^ 0 (X ^ 0), К ^ 0 (81 ^ 0), соответ-

ствующем замене пористого слоя непроницаемой плоскостью х = 0 , совер-

* *

шающей колебательное движение со скоростью и = и0 ехр(-/ю/ ), решения (9) принимают вид

еЬ ^

Fi = 1, F2( х) = -

ch ^2 h2

В соответствии с этим в области 2 в размерном виде будем иметь поле скоростей:

• ( 1 + i >

cos ^2

U2

cos k2 H 2

k2 =

v

Это выражение совпадает с результатом [13, §24].

В пределе Г ^ 1, K ^ да (81 ^^), р ^ 0 насыщенная жидкостью пористая среда заменяется свободной жидкостью, поле скоростей которой определяется выражением (10), в котором вместо Н2 должно стоять в этом случае Н.

В пределе ю ^ 0 (82 ^^) получается поле скоростей жидкости в областях 1 и 2 для случая равномерного движения слоя пористой среды со ско-

*

ростью U = U0 .

Записывая F^) в виде F (х) = F r (х) + iFj (х), для действительной части Re F (х) exp(-it) будем иметь

Re F(х) exp(-it) = Fr (х) cos t + F (х^т t.

3. Анализ решения

Результаты анализа решения задачи приведены на рис. 1-8. Следуя [9, 10, 12], при построении всех графиков принимаем а2 = л / л' = Г . На всех графиках приведены зависимости действительной части Re(u1,и^) от х, т.е. Re u от х (-h < х < 0) и Re u2 от х (0 < х < ^ ) для значения пористости Г = 0,9. Эти графики показывают профиль скорости фильтрации и скорости свободной жидкости в областях 1 и 2 соответственно в момент времени t = 0 (вследствие нестационарности движения поле скоростей изменяется со вре-

менем). Как в пористой среде, так и в свободной жидкости имеются слои со встречными направлениями скоростей, в которых значения Яе(и1,п2) отличаются друг от друга знаками.

На рис. 1 приведены графики зависимости Яе(и1,п2) от х в промежутке -0,8 < х < 0,2, когда толщина слоя пористой среды больше толщины слоя жидкости. Величина Н / 81 = 0,5 зафиксирована, а Н / 82 принимает несколько значений. При этом бралось в = 0, X ^ да. Видно, что скорость фильтрации быстро затухает по мере удаления от поверхности х = -0,8 . В соответствии с графиками 1-3 (рис. 1) движение жидкости проникает из области 1 (пористый слой) в область 2 (свободная жидкость). Согласно графику 4 движение жидкости в этом случае полностью сосредоточено в области 1, в которой имеются два слоя жидкости с противоположными направлениями скоростей. Для всех графиков Яе(и1,п^) = Г при х = —/. Области 1 и 2 на всех рисунках определяются неравенствами —/ < х и 0 < х < / соответственно.

11е(ш, 1/2}

0;б 0.4

- 0,8 -0,6 —0,2 0 ^ Рис. 1. Зависимость Яе(м1,и2) от х е (-0,8; 0,2): X ^ да, в = 0, Г = 0,9, Н / 8! = 0,5, Н / 82 = 1; 3; 5; 8

На рис. 2 графики построены при тех же значениях параметров, что и на рис. 1, кроме в = 1. Видно, что в случае в = 1, Яе(п1,П2) Ф Г при х = —/21. Это объясняется эффектом скольжения жидкости на поверхности х = —// . Согласно графикам 1 и 2 (рис. 2) движение жидкости проникает из области 1 в область 2.

Графики на рис. 3 построены при тех же значениях параметров, что и на рис. 1, кроме X = 0,5.

Видно, что при X = 0,5 профиль скорости претерпевает излом на поверхности раздела пористой среды и свободной жидкости (х = 0). В слое пористой среды при этом могут существовать несколько слоев жидкости со встречными направлениями движения. На плоских поверхностях раздела этих

2

слоев скорость обращается в нуль. Следует отметить, что, поскольку а Ф 1, профиль скорости будут претерпевать излом на поверхности х = 0 и при X ^ да, как это следует из третьего граничного условия (6). При увеличении X излом профиля скорости уменьшается.

Re

0,3

0.2

\2

- 0.8 - 0;б - 0.2 0

Рис. 2. Зависимость Яе^, и2) от х е (-0,8; 0,2): X ^ да, в = 1, Г = 0,9, Н / 8! = 0,5, Н / 82 = 1; 3; 5; 8

Рис. 3. Зависимость Яе(и1, и2) от х е (-0,8; 0,2): X = 0,5, в = 0, Г = 0,9, Н / 8! = 0,5, Н / 82 = 1; 3; 5; 8

На рис. 4 профили скорости построены для симметричного промежутка -0,5 < х < 0,5 при Н / 81 = 5 и нескольких значений Н / 82 . Здесь бралось

в = 0, X = 0,5. Для всех графиков Ие(и^ = Г при х = — . Излом графиков при (х = 0) отчетливо заметен только на графиках 1-3. Согласно графикам 1-6 движение жидкости проникает из области 1 в область 2.

Рис. 4. Зависимость Ие^,и^) от х е (-0,5; 0,5): X = 0,5, в = 0, Г = 0,9, Н / 81 = 5, Н / 82 = 0,8; 1; 1,5; 2; 3; 4

Графики на рис. 5 построены при в = 1, X ^ да. Согласно графикам 1-3 движение жидкости проникает из области 1 в область 2. Здесь Ие(и1,и2) ФГ при х = -!\.

Re

0,3

0.2

2

3 \

- 0.4 0 0,4

Рис. 5. Зависимость Ие^,и2) от х е (-0,5; 0,5): X ^ да, в = 1, Г = 0,9, Н / §! = 0,5, Н / 82 = 1; 3; 5; 8

На рис. 6-8 приведены соответствующие графики для промежутка -0,2 < х < 0,8, когда толщина слоя пористой среды меньше толщины слоя жидкости.

Рис. 6. Зависимость Яе

Рис. 7. Зависимость Яе^, и2) от х е (-0,2; 0,8): X = 0,1, в = 0, Г = 0,9, Н / 8! = 0,5, Н / 82 = 2; 3; 5; 8

На рис. 6 графики 1-3 построены при в = 0, X = 0,5, фиксированном Н / 81 = 5 и разных значениях Н / 82 . Графики 4 и 5 построены при в = 1 и 3

соответственно; в этом случае Яе(и1,Ф Г при х = —1\. На рис. 7 графики построены при в = 0, X = 0,1, фиксированном Н / = 5 и разных значениях Н / 82 . На всех четырех графиках виден излом при х = 0. При этом величина |Яе(м1, ^2 )| при х = 0 увеличивается с увеличением Н / 82 .

Ие{щ, ад) 0,3

0,1

О

-0,2 0 <М li

Рис. 8. Зависимость Re(Mj,м2) от х е (-0,2; 0,8): I ^ в = 1, Г = 0,9, H/§! = 0,5, H/S2 = 1; 3; 5; 8

Графики на рис. 8 построены при в =1, X ^ да, фиксированном H / 81 = 5 и разных значениях H / 82 . Согласно графикам на рис. 8 движение жидкости проникает из пористой среды в слой свободной жидкости.

Заключение

Решена задача о движении вязкой жидкости, вызванном поступательно-колебательным движением плоского слоя пористой среды, контактирующего с вязкой жидкостью. Движение жидкости в пористой среде описывается нестационарным уравнением Бринкмана, а свободной жидкости вне пористой среды - уравнением Навье - Стокса. Найдены нестационарные поля скоростей жидкости в пористом слое и слое вне пористой среды. Показано существование стоячих поперечных волн, в которых скорость жидкости перпендикулярна направлению их распространения. В пористой среде скорость жидкости отлична от нуля, но сильно затухает в слое свободной жидкости по мере удаления от поверхности пористой среды.

Библиографический список

1. Grosan, T. Brinkman flow of a viscous fluid through a spherical porous medium embedded in another porous medium / T. Grosan, A. Postelnicu, I. Pop // Transport in Porous Media. - 2010. - Vol. 81. - P. 89-103.

2. Rajvanshi, S. C. Slow extensional flow past a non-homogeneous porous spherical shell / S. C. Rajvanshi, S. Wasu // Int. J. of Applied Mechanics and Engineering. - 2013. -Vol. 18. - P. 491-502.

3. Леонтьев, Н. Е. Течения в пористой среде вокруг цилиндра и сферы в рамках уравнения Бринкмана с граничным условием Навье / Н. Е. Леонтьев // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2014. - № 4. - С. 107-112.

4. Тактаров, Н. Г. Движение вязкой жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением пористого шара / Н. Г. Тактаров // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2016. - № 5. - С. 133-138.

5. Cassie, A. B. D. Wettability of porous surfaces / A. B. D. Cassie, S. Baxter // Trans. Faraday Soc. - 1944. - Vol. 40. - P. 546-551.

6. Lafuma, A. Superhydrophobic states / A. Lafuma, D. Querre // Nature Materials. -2003. - Vol. 2. - P. 457-463.

7. Rothstein, J. P. Slip on superhydrophobic surfaces / J. P. Rothstein // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2010. - Vol. 42. - P. 89-102.

8. Brinkman, H. C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles / H. C. Brinkman // Appl. Sci. Res. - 1947. - Vol. 1. -P. 27-34.

9. Ochoa-Tapia, J. A. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid. - I. Theoretical development / J. A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 1995. - Vol. 38. - P. 2635-2646.

10. Ochoa-Tapia, J. A. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid. - II. Comparison with experiment / J. A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 1995. - Vol. 38. - P. 2647-2655.

11. Тактаров, Н. Г. Конвекция намагничивающихся жидкостей в пористых средах / Н. Г. Тактаров // Магнитная гидродинамика. - 1981. - № 4. - С. 33-35.

12. Tilton, N. Linear stability analysis of pressure-driven flows in channels with porous walls / N. Tilton, L. Cortelezzi // J. Fluid Mech. - 2008. - Vol. 604. - P. 411-445.

13. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Физмат-лит, 2006. - 736 с.

References

1. Grosan T., Postelnicu A., Pop I. Transport in Porous Media. 2010, vol. 81, pp. 89-103.

2. Rajvanshi S. C., Wasu S. Int. J. of Applied Mechanics and Engineering. 2013, vol. 18, pp. 491-502.

3. Leont'ev N. E. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of RAS. Liquid and gas mechanics]. 2014, no. 4, pp. 107-112.

4. Taktarov N. G. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of RAS. Liquid and gas mechanics]. 2016, no. 5, pp. 133-138.

5. Cassie A. B. D., Baxter S. Trans. Faraday Soc. 1944, vol. 40, pp. 546-551.

6. Lafuma A., Querre D. Nature Materials. 2003, vol. 2, pp. 457-463.

7. Rothstein J. P. Annu. Rev. Fluid Mech. 2010, vol. 42, pp. 89-102.

8. Brinkman H. C. Appl. Sci. Res. 1947, vol. 1, pp. 27-34.

9. Ochoa-Tapia J. A., Whitaker S. Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1995, vol. 38, pp. 2635-2646.

10. Ochoa-Tapia J. A., Whitaker S. Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1995, vol. 38, pp. 2647-2655.

11. Taktarov N. G. Magnitnaya gidrodinamika [Magnetic hydrodynamics]. 1981, no. 4, pp. 33-35.

12. Tilton N., Cortelezzi L. J. Fluid Mech. 2008, vol. 604, pp. 411-445.

13. Landau L. D., Lifshits E. M. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow: Fizmatlit, 2006, 736 p.

Тактаров Николай Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: n.g.taktarov@mail.ru

Рунова Ольга Александровна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: runova.olga@list.ru

Храмова Надежда Александровна аспирант, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: nadegdalem@mail.ru

Taktarov Nikolay Grigor'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-departament of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

Runova Ol'ga Aleksandrovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-departament of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

Khramova Nadezhda Aleksandrovna Postgraduate student, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

УДК 532.628 Тактаров, Н. Г.

Движение вязкой жидкости, вызванное поступательно-колебательным движением плоского слоя пористой среды / Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова, Н. А. Храмова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 3 (43). - С. 73-86. Б01 10.21685/2072-3040-2017-3-7