Системы управления преобразователями для солнечных модулей на базе инверторов с ШИМ

УДК 621.314.58 ББК 31.15

Г.В. МАЛИНИН, ГА. БЕЛОВ

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ ДЛЯ СОЛНЕЧНЫХ МОДУЛЕЙ НА БАЗЕ ИНВЕРТОРОВ С ШИМ*

Ключевые слова: фотоэлектрический преобразователь, солнечная энергия, точка максимальной мощности, инвертор, система управления, широтно-импульсная модуляция (ШИМ).

Рассмотрены принципы построения систем управления преобразователями на базе инверторов с ШИМ, приведены примеры реализации узлов управления инвертором и некоторые расчетные соотношения. Дан пример алгоритма слежения за точкой максимальной мощности фотопреобразователя. Проанализированы две схемы управления транзисторами инвертора с ШИМ: с отдельным ШИМ для каждой стойки мостовой схемы инвертора и с одним ШИМ при несимметричном управлении транзисторами. В первой схеме частота импульсов выходного напряжения инвертора оказывается в два раза больше, чем во второй. Преимущество второй схемы состоит в уменьшении потерь мощности на переключения транзисторов. Отмечены особенности передачи активной и реактивной мощности от инвертора в сеть переменного тока и фильтрации высших гармоник, генерируемых инвертором. Передаваемая активная мощность пропорциональна синусу угла, на который вектор напряжения сети отстает от вектора первой гармоники выходного напряжения инвертора, и обратно пропорциональна сопротивлению цепи между выходом инвертора и сетью.

G. MALININ, G. BELOV CONVERTERS CONTROL SYSTEMS FOR SOLAR MODULES BASED ON PWM INVERTER

Key words: photovoltaic inverter, solar power, maximum power point, grid tie inverter, control system, pulse-width modulation (PWM).

The authors regard the principles of constructing the converter control systems based on PWM inverters, and provide the instantiations of inverter control units, as well as some calculated ratios. They worked out an algorithm for tracking the maximum power point of a photovoltaic inverter and analysed two control circuits for the PWM inverter transistors: the first - with a separate PWM for each half-bridge of the inverter, and the second - with a single PWM for asymmetric control transistors. In the first circuit, the pulse frequency of the inverter output voltage turned out to be twice higher than in the second one. The advantage of the second circuit lies in the possibility to reduce loss of power while switching transistors. The analysis showed the peculiarities of transferring active and reactive power from the inverter to AC network, as well as of filtering higher harmonics generated by the inverter. The transferred active power is proportional to the sine of the angle by which the grid voltage vector falls behind the inverter output voltage first harmonic vector, and inversely proportional to the resistance of the circuit between the output of the inverter and the grid.

Построение систем управления преобразователями для солнечных модулей на базе инверторов с ШИМ освещено недостаточно и особенно слабо - в отечественных публикациях. В то же самое время в связи с освоением производства солнечных модулей на отечественных предприятиях актуальность темы существенно возросла. В статье дан обзор состояния вопроса по материалам зарубежных публикаций.

Для любой интегрированной с сетью системы солнечных модулей - фотопреобразователей (ФП) - инвертор является важнейшей частью оборудования, преобразующего энергию постоянного тока массива ФП в энергию переменного тока промышленной сети. Для повышения эффективности преобразования по-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 15-48-02189-р_поволжье_а.

стоянного тока в переменный должно осуществляться отслеживание точки максимальной мощности ФП системы, необходимо обеспечить низкий уровень гармонических искажений выходного напряжения вместе с малым излучением электромагнитных помех и высоким коэффициентом мощности (КМ) [11]. Вот некоторые зарубежные стандарты, которым должен удовлетворять инвертор: IEEE 929-2000 и UL 1741 в США, EN 61727 в ЕС и международный стандарт МЭК 60364-7-712. Коэффициент гармонических искажений (КГИ) инвертора регламентируется международным стандартом IEC 61000-3-21 (отечественный стандарт - ГОСТ Р 51317.3.2-20062). Он требует, чтобы КГИ полного тока был менее 5%, а КГИ напряжения - менее 2% для гармонического спектра вплоть до 49 гармоники. Разработанные на сегодняшний день структуры инверторов совмещают в себе высокий КМ и низкий КГИ (менее 3-5%) [6].

Существуют различные альтернативные структуры фотопреобразовательных систем, генерирующих и передающих электроэнергию в сеть [2]: 1) централизованные преобразователи сравнительно большой мощности, которые питаются от большого числа ФП, образующих параллельное соединение цепочек, каждая из которых состоит из определенного числа последовательно соединенных ФП; в такой структуре содержится один преобразователь постоянного напряжения (ППН) и инвертор, работающий на сеть переменного тока; 2) структура с раздельными цепочками, в которой каждая цепочка последовательно соединенных ФП работает на свой инвертор, передающий энергию в сеть переменного тока; 3) многоцепочечная структура, в которой каждая цепочка работает на свой преобразователь постоянного напряжения (ППН), а каждый ППН присоединяется к общему для всех цепочек инвертору; 4) структура с отдельным инвертором для каждого модуля.

На рис. 1 представлен преобразователь солнечной энергии с двумя ступенями преобразования, содержащий повышающий ППН и однофазный инвертор, интегрированный с сетью (рис. 1).

Рис. 1. Схема силовой части инвертора

1 IEC 61000-3-2 Electromagnetic compatibility (EMC) - Part 3-2: Limits - Limits for harmonic current emissions (equipment input current < 16 A per phase).

2 ГОСТ Р 51317.3.2-2006 (МЭК 61000-3-2:2005). Совместимость технических средств электромагнитная. Эмиссия гармонических составляющих тока техническими средствами с потребляемым током не более 16 А (в одной фазе). Нормы и методы испытаний.

Модель ФП. ФП состоит из полупроводниковых /»-«-переходов, преобразующих солнечный свет в электричество. Существует несколько математических моделей для описания поведения солнечного модуля. Например, в работе [12] приведено следующее выражение для вольт-амперной характеристики ФП:

i =

1 - e -1ь

( {_и_

1 - glьих.

_1 ^ ь

где и - напряжение на зажимах ФП; /кз - ток короткого замыкания при стандартных условиях испытания (25оС, мощность солнечного излучения 1000 Вт/м2); их.х - напряжение холостого хода при стандартных условиях испытания; Ь - характеристическая константа ФП, которая может быть определена из уравнения

Ьи+1 =

U

U х

- 1

ln

1 -

Um1 к.з

P - P e

1 max 1 maxc

± \

bn

в котором ит - напряжение, соответствующее точке максимальной мощности ФП Ртах, измеренной при стандартных условиях испытания; Ьп и Ьп+1 - значения константы Ь, полученные в результате п-й и п+1-й итераций. Мощность ФП с учетом выражения для вольт-амперной характеристики определяется выражением

p = ui =

uI к

f

1 - e-1ь

1 - e

ьи х

_ 1 ^ ь

Слежение за точкой максимальной мощности (СТММ). Существует несколько алгоритмов СТММ: возмущения и наблюдения (также этот метод упоминается как метод восхождения), возрастающей проводимости, постоянного напряжения, короткого замыкания [3].

Метод возрастающей проводимости [3] основывается на том, что согласно рис. 2, а слева от точки максимума Um производная dp/du положительна, а справа - отрицательна. Так как

d

'4 + u-

М

dp „ , л . ы

— = —{иг ) = г + и — ~ I + и , du du du Аи

то в точке максимальной мощности Аг/Аи = —г/и, Аг/Аи > —г/и слева от точки максимальной мощности и Аг/Аи < —г/и справа от точки максимальной мощности. На рис. 2, б показана блок-схема алгоритма СТММ рассмотренным методом. Здесь иоп - опорное (желаемое) напряжение ФП, сравниваемое с входным напряжением и ППН; в точке максимальной мощности выполняется равенство иоп = ит. Алгоритм уменьшает или увеличивает желаемое напряжение ФП, отслеживая точку максимальной мощности (ТММ).

После достижения ТММ ФП начинает работать около этой точки, если не происходит изменения освещенности ФП. Алгоритм поиска ТММ можно реализовать в две стадии, на первой из которых рабочая точка оказывается вблизи ТММ, а на второй стадии она уточняется. При правильном регулировании силовой частью начальная рабочая точка устанавливается так, чтобы

к.з

1

u

сопротивление нагрузки было пропорционально отношению напряжения холостого хода ФП к его току короткого замыкания.

Рис. 2. Зависимость мощности ФП от напряжения на его зажимах

Ошибка метода е = Ни + йНйи стремится к нулю в ТММ, что обычно достигается с помощью ПИ-регулятора.

Схемы и алгоритмы управления инвертором. Для получения переменного напряжения на выходе фотопреобразовательной системы требуется такая система управления инвертором, в которой могли бы регулироваться как амплитуда, так и частота выходного напряжения. Для этого находят применение инверторы с синусоидальной ШИМ (СШИМ), позволяющей регулировать выходное напряжение по синусоидальному закону.

В одном из алгоритмов СШИМ, реализованном в схеме на рис. 3, используются отдельные широтно-импульсные модуляторы для каждой стойки моста (рис. 1) при одинаковом несущем колебании ит и противофазных опор-

ных сигналах. Соотношение между частотами треугольного / и синусоидального / напряжений должно быть целым числом N

N _ /т/ /е.

Тогда число импульсов выходного напряжения модулятора за полпериода синусоидального напряжения будет равно N. В работе [9] отмечается, что при таком соотношении частот, если амплитуда синусоидального опорного напряжения меньше половины амплитуды треугольного напряжения, гармоники напряжения с номерами, меньшими, чем 2N, будут устранены из выходного напряжения модулятора. Для более высоких значений амплитуды опорного напряжения синусоидальной формы в спектре выходного напряжения модулятора появляются высшие гармоники с номерами до 2N.

для каждой стойки инвертора

Для оценки гармонического состава выходного напряжения в схеме инвертора с СТТТИМ используются следующие параметры: - процент отдельных гармоник выходного напряжения

ивых (и) _( 4 N ( ,у+1

-I /-£(-1) гая ирг 1x100%,

ивх V И%Ы 2 г_1 )

где и - номер гармоники; ивых(и) - действующее значение и-гармоники напряжения на выходе инвертора; ивх - входное напряжение инвертора; рг- -моменты пересечения треугольного и синусоидального сигналов СШИМ, 0 < Р1 < Р2 < ... < < п/2;

- коэффициент гармонических искажений

Кги _

УП 2

-¿-^ вых

и_2

и вых

Схема управления силовыми транзисторами инвертора, представленная на рис. 3, состоит из: 1) генератора несущего напряжения ит треугольной формы на операционных усилителях (ОУ) DA1 и DA2; 2) генератора синусоидального опорного напряжения с частотой сети/с, собранного на ОУ DA3; 3) компараторов DA4, DA6; 4) логических инверторов на ОУ DA5, DA7, DA8.

Выбор параметров генератора треугольного напряжения осуществляется из равенства R3C1 = иогр/(4ипор/т), где ипор и иогр - пороговое напряжение и

напряжение ограничения регенеративного компаратора на ОУ DA1; сопротивление R3 задается с учетом параметров ОУ так, чтобы практически исключить ошибки интегратора, вызванные разностью входных токов и смещением нуля.

Генератор синусоидального напряжения построен по схеме с положительной обратной связью через неполный мост Вина [13]. Частота квазирезонанса RC-цепи при R7 = R8 = R, C2 = C3 = C определяется по формуле ю0 = 1/(RC). Делитель на резисторах R4, R5, R6 и ограничитель амплитуды на стабилитронах VD1, VD2 служат для автоматического регулирования коэффициента усиления ОУ DA3. В начале самовозбуждения генератора, когда напряжение на его выходе мало, стабилитроны VD1 и VD2 закрыты, коэффициент усиления для не-инвертирующего входа DA3 равен 1 + (R4 + R5)/R6, чем обеспечивается глубокая положительная обратная связь. В установившемся режиме генератора его выходное напряжение вызывает отпирание стабилитронов VD1 и VD2, шунтирующих резистор R4, и упомянутый коэффициент усиления уменьшается до значения 1 + R5/R6, незначительно превышающего 1. Это обеспечивает незначительное искажение синусоиды выходного напряжения генератора.

Временные диаграммы, поясняющие работу схемы на рис. 3, представлены на рис. 4.

Транзисторы каждой из стоек инвертора на рис. 1 (VT1, VT2 и VT3, VT4) переключаются в противофазе с частотой сигнала ит. Модуляция длительности включенного состояния транзистора VT1 осуществляется компаратором DA4 (см. рис. 3), на входах которого сравниваются несущий сигнал треугольной формы ит и опорный синусоидальный сигнал ис. Импульс на выходе компаратора uvri, подаваемый затем на драйвер затвора транзистора VT1, формируется на интервалах времени, когда ис > ит. На рис. 4 отмечены моменты начала а1 и окончания а2 одного из этих импульсов. Импульсы uVT2, подаваемые на драйвер, формирующий импульсы управления транзистором VT2 (рис. 1), получаются на выходе инвертора, собранного на ОУ DA7 (рис. 3). Как видно на рис. 4, при увеличении амплитуды синусоидального напряжения ис длительности импульсов uVT1, формируемых в положительные полупериоды сигнала ис, увеличиваются, а длительности импульсов uVT1, формируемых в отрицательные полупериоды сигнала ис, уменьшаются. Это в конечном счете вызывает рост амплитуды основной гармоники на выходе силовой части инвертора.

Модуляция длительности включенного состояния транзистора VT3 второй стойки инвертора осуществляется компаратором DA6, на вход которого подаются тот же сигнал треугольной формы ит, но пропущенный через инвертор на ОУ DA5, и опорный синусоидальный сигнал ис, обозначенный на

рис. 4 как ис , где отмечены моменты начала а3 и окончания а4 одного из вы-

ходных импульсов Мутз компаратора БЛб. Как видно из рисунка, при увеличении амплитуды сигнала ис длительности импульсов мутз, формируемых в положительные полупериоды сигнала ис, уменьшаются, а в отрицательные полупериоды сигнала ис увеличиваются.

Рис. 4. Временные диаграммы, поясняющие формирование выходного напряжения инвертора со схемой управления, показанной на рис. 3

Согласно рис. 1 и 4, положительные импульсы иАВ на выходе моста формируются на интервалах времени, когда одновременно открыты силовые транзисторы УТ1 и УТ4, а отрицательные импульсы - при одновременном отпирании силовых транзисторов УТ2 и УТ3. На интервалах времени, когда одновременно открыты транзисторы УТ1, УТ3 и УТ2, УТ4, выходные зажимы инвертора закорачиваются через открытые транзисторы. Например, на интервале (а1, а3) открыты транзисторы УТ1, УТ4, выходное напряжение инвертора иАВ = ивх.и; на интервале (а3, а4) остается открытым транзистор УТ1 и открывается транзистор УТ3, ток дросселя Ь1 выходного фильтра замыкается в прямом направлении через транзистор УТ1 и в обратном направле-

нии через транзистор УТ3, шунтируя выход моста, иАВ = 0. На интервале (а4, а2) снова открыты транзистор УТ1, УТ4 и иАВ = ивх.и; в момент а2 транзистор УТ1 закрывается, но отпирается транзистор УТ2 при остающемся в открытом состоянии транзисторе УТ4, иАВ = 0.

Обратим внимание на то, что частота импульсов иАВ, формируемых на выходе инверторного моста, оказывается в два раза больше частоты несущего колебания ит. Недостатком рассмотренной схемы управления является то, что все четыре силовых транзистора инвертора переключаются с высокой частотой несущего колебания.

На рис. 5 представлена структурная схема управления силовыми транзисторами инвертора с общим ШИМ, собранным на компараторе БЛ1. Схемы генераторов сигналов ит и ис и драйверы затворов силовых транзисторов не показаны. Схема реализует алгоритм управления, при котором только два транзистора УТ1 и УТ3 переключаются с частотой /т, а два других транзистора - с низкой частотой/с. Сигнал им, как показано на рис. 6, представляет собой последовательность прямоугольных импульсов длительностью, равной периоду выпрямленного сигнала ис, причем в другой период им=0. Например, на интервале времен (а1, а2), на котором ис > ит, формируется импульс управления иУТ1, поскольку на оба входа элемента И ББ2 подаются сигналы логической 1. Точно так же на интервале (а3, а4) формируется сигнал управления иУТ3, поскольку на оба входа элемента И ББ3 подаются сигналы логической 1, один - с выхода компаратора БЛ1, другой - с выхода инвертора ББ1 [8, 10].

Рис. 5. Структурная схема управления транзисторами инвертора с одним ШИМ

Как видно на рис. 6, при использовании рассматриваемой схемы управления (рис. 5) на выходе инвертора (рис. 1) формируются импульсы иАВ с частотой несущего сигнала ит, причем длительность положительных импульсов напряжения иАВ без учета задержек, создаваемых драйверами затворов силовых транзисторов, совпадают с длительностью импульсов управления иУТ1, а длительность отрицательных импульсов иАВ - с длительностью управляющих импульсов иУТ3.

Синхронная работа с сетью. Для сопряжения инвертора с сетью должен быть выполнен ряд условий [5, 7]:

1) частота выходного напряжения инвертора должна совпадать с частотой сети (50 Гц);

2) выходное напряжение инвертора и его фаза должны быть согласованы с аналогичными параметрами сети.

Надо заметить, что цепь передачи мощности от инвертора до сети обладает индуктивным сопротивлением Хь= юсР, которое учитывает и индуктивность фильтра.

Рис. 6. Временные диаграммы, поясняющие формирование выходного напряжения инвертора со схемой управления, показанной на рис. 5

Пусть

ТТ _ и 11 _ и е-

^ инв ^ инв ; ^ с ^ сс ?

где иинв - действующее значение первой гармоники выходного напряжения инвертора, ис - действующее значение напряжения сети, ф - угол, на который вектор и с отстает от вектора и инв (рис. 7). Тогда средние за период сети активная Р и реактивная Q мощности, передаваемые в сеть, определяются выражениями [1]:

Рс = Яе(й /|, Qc = ¡ш^с 1*),

где I - величина, комплексно-сопряженная по отношению к вектору

• 11 -11

1 _ ^ инв ^ с

= ]Хь '

а б

Рис. 7. Эквивалентная схема цепи «выход инвертора - сеть переменного тока»

Тогда при введенных выше допущениях имеем

* _ U с sin ф + jU инв - U с cos ф

X,

X,

Комплексная мощность

S _ Uс Í _

U и

Uс sin ф Uи - + J—

вUс cos ф- Uс2

X

X,

Следовательно, получаем выражения

p _ UИHвUс sin ф ; Q UHmUс cos ф- Uс2

•; бс

X^ ^ XL

приведенные в [2].

Аналогично комплексная мощность, генерируемая инвертором:

о _ U Í _ UинвUс sin ф + .Щнв - UинвUс c0s ф

^ TTXJD ^^ TTXJD ' J

XL

XL

LL L

и, соответственно, активная и реактивная мощности, генерируемые инвертором:

P _ UинвUс sin ф ; Q _ инв ' А^инв

Uи2нв - Uи

вU сc0sф

X

X,

Разность реактивных мощностей QL= бинв - Qe , равная

Ql _

Uи2нв + Uс2 - 2UинвЦс cos ф

X, :

накапливается в индуктивности Ь.

Из анализа активной мощности видно, что для передачи в сеть максимальной активной мощности фазовый угол ф должен быть 90°. Практически для обеспечения устойчивой передачи энергии от источника энергии (инвертора) в сеть фазовый угол должен быть меньше чем 90° [4].

На рис. 8 представлена упрощенная структурная схема регулирования выходного тока инвертора. Задающий сигнал /з контура регулирования тока инвертора /и формируется в результате умножения выпрямленной синусоиды |8тю</| на заданное амплитудное значение. При этом сигнал 8тю</ получается из напряжения сети, снимаемого, например, с помощью маломощного трансформатора, а значение 1т - в результате поиска ТММ [3].

Рис. 8. Структурная схема регулирования выходного тока инвертора: И - инвертор, ПИ - пропорционально-интегральный регулятор, ФНЧ - фильтр нижних частот

Фильтрация высших гармоник. Использование СШИМ уменьшает содержание многих высших гармоник на выходе инвертора, и амплитуды гармоник уменьшаются с увеличением числа импульсов модулятора на половине периода сети. Использование ХС-фильтр нижних частот (ФНЧ) (рис. 1) позволяет получить дополнительное ослабление амплитуд гармонических составляющих выходного напряжения инвертора с ростом частоты. Резонансная частота ХС-фильтра должна быть меньше самой низкой частоты высших гармоник. При выборе значений Х и С необходимо учесть их влияние на коэффициент мощности на выходе инвертора [9].

Чтобы получить «чистое» выходное синусоидальное напряжение или напряжение с очень низким КГИ из импульсного напряжения иАВ, требуется ФНЧ с очень высокой крутизной частотной характеристики на переходном участке. В то же время для подавления низкочастотных гармонических составляющих, особенно третьей и пятой гармоник, потребуется ХС-фильтр больших габаритов. Модуляция с очень высокой несущей частотой сдвигает гармонические составляющие в область более высоких частот, что упрощает их фильтрацию с помощью ХС-фильтра с небольшими размерами дросселя и конденсатора с удовлетворительными частотными характеристиками, для которых резкий переход от полосы пропускания к полосе задерживания не так уже необходим.

Значение индуктивности рассчитывается таким образом, чтобы падение напряжения на катушке индуктивности составляло менее 3% от выходного напряжения инвертора, совпадающего с напряжением сети ис, в соответствии со следующим неравенством [13]:

сХ1 н.тах < 0,03ис.тах ,

где /нтах - максимальное действующее значение тока нагрузки, а юс=2л/с -частота выходного напряжения, /с =50Гц. Емкость фильтрующего конденсатора можно определить из выражения для резонансной частоты фильтра:

/хс = ^ШС

Выводы. 1. Для повышения эффективности фотопреобразовательной системы, интегрированной с сетью промышленной частоты, необходимо отслеживать точку максимальной мощности ФП путем изменения выходного

тока инвертора, что вызывает также изменение тока, потребляемого от ФП. Алгоритм СТММ иллюстрируется граф-схемой реализации метода возрастающей проводимости.

2. Анализ двух схем управления транзисторами однофазного мостового инвертора с синусоидальной ШИМ показал, что в схеме с отдельными ШИМ для каждой стойки инвертора частота выходных импульсов инвертора оказывается в два раза больше частоты переключений транзисторов, преимущество второй схемы с общим ШИМ и несимметричным управлением транзисторами состоит в уменьшении потерь мощности на переключения транзисторов.

3. Активная мощность фотопреобразовательной системы, передаваемая в сеть промышленной частоты, пропорциональна синусу угла, на который вектор напряжения сети отстает от вектора первой гармоники выходного напряжения инвертора, и обратно пропорциональна сопротивлению цепи между выходом инвертора и сетью.

Литература

1. Баскаков С.И. Лекции по теории цепей. М.: Изд-во МЭИ, 1991. 224 с.

2. Chowdhury A.S.K., Abdur Razzak M. Single phase grid-connected photovoltaic inverter for residential application with maximum power point tracking. Proc. of Int. Conf. «Informatics, Electronics & Vision (ICIEV)», 2013, pp. 1-6. doi: 10.1109/ICIEV.2013.6572648.

3. Govinthasamy NR., Velevan R., Kumar Chinnaiyan V. Analysis and implementation of energy harvesting technique for PV system using multilevel inverter. Green Computing Communication and Electrical Engineering (ICGCCEE), 2014, pp. 1-7. doi: 10.1109/ICGCCEE.2014.6922448.

4. Hingorani N.G., Gyugyi L. Understanding FACTS: Concepts and technology of flexible AC transmission systems. IEEE Press-Wiley, 2000, 428 p.

5. Kjaer S., Pedersen J., and Blaabjerg F. A review of single-phase grid-connected inverters for photovoltaic modules. Industry Applications. IEEE Transactions, 2005, vol. 41, no. 5, pp. 12921306. doi: 10.1109/TIA.2005.853371.

6. Koutroulis E., Chatzakis J., Kalaitzakis K., Voulgaris N.C. A bidirectional sinusoidal high frequency inverter design. IEE Proc-Electr. Power Appl., 2001, vol. 148, no. 4, pp. 315-321. doi: 10.1049/ip-epa:20010351.

7. Kwang T.K., Masri S. Single phase grid tie inverter for photovoltaic application. Proc. IEEE Sustainable Utilization and Development in Engineering and Technology Conf., 2010, pp. 23-28. doi: 10.1109/STUDENT.2010.5686988.

8. Mohan N., Undeland T.M., Robbins W. Power electronics: Converters, applications, and design. John Wiley & Sons, Inc., 2006, 824 p.

9. Rajashekara K.S., Vithayathill J. Harmonics in the voltage source PWM inverters. Int. J. Electronics, 1981, vol. 50, no. 5, pp. 325-337.

10. Rashid M.H. Power electronics: circuits, devices and applications. New Delhi, Prentice-Hall of India Private Limited, 2007, 912 p.

11. Roshan A. A dq rotating frame controller for single phase full bridge inverters used in small distributed generation system. Faculty of Virginia Polytechnique institute and State University, 2006, 124 p.

12. Santiago-Gonzalez J.A., Cruz-Colon J., Otero-de-Leon R., Lopez-Santiago V., Ortiz-Rivera E.I. Three phase induction motor drive using flyback converter and PWM inverter fed from a single photovoltaic panel. Proc. IEEE PES General Meeting, 2011, pp. 1-6. doi: 10.1109/PES.2011.6039808.

13. Shahriar Muttalib A.Z.M., Ferdous S.M., Saleque A.M., Nawjif Md. Anamul Hasan. Design and simulation of an inverter with high frequency sinusoidal PWM switching technique for harmonic reduction in a standalone/ utility grid synchronized photovoltaic system. EEE/OSA/IAPR International Conference on Informatics, Electronics & Vision, 2012, pp. 11681173. doi: 10.1109/ICIEV.2012.6317533.

References

1. Baskakov S.I. Lektsii po teorii tsepei [Lectures on the theory of signals]. Moscow, MEI Publ., 1991, 224 p.

2. Chowdhury A.S.K., Abdur Razzak M. Single phase grid-connected photovoltaic inverter for residential application with maximum power point tracking. Proc. of Int. Conf. «Informatics, Electronics & Vision (ICIEV)», 2013, pp. 1-6. doi: 10.1109/ICIEV.2013.6572648.

3. Govinthasamy N.R., Velevan R., Kumar Chinnaiyan V. Analysis and implementation of energy harvesting technique for PV system using multilevel inverter. Green Computing Communication and Electrical Engineering (ICGCCEE), 2014, pp. 1-7. doi: 10.1109/ICGCCEE.2014.6922448.

4. Hingorani N.G., Gyugyi L. Understanding FACTS: Concepts and technology of flexible AC transmission systems. IEEE Press-Wiley, 2000, 428 p.

5. Kjaer S., Pedersen J., and Blaabjerg F. A review of single-phase grid-connected inverters for photovoltaic modules. Industry Applications. IEEE Transactions, 2005, vol. 41, no. 5, pp. 12921306. doi: 10.1109/TIA.2005.853371.

6. Koutroulis E., Chatzakis J., Kalaitzakis K., Voulgaris N.C. A bidirectional sinusoidal high frequency inverter design. IEE Proc-Electr. Power Appl., 2001, vol. 148, no. 4, pp. 315-321. doi: 10.1049/ip-epa:20010351.

7. Kwang T.K., Masri S. Single phase grid tie inverter for photovoltaic application. Proc. IEEE Sustainable Utilization and Development in Engineering and Technology Conf., 2010, pp. 23-28. doi: 10.1109/STUDENT.2010.5686988.

8. Mohan N., Undeland T.M., Robbins W. Power electronics: Converters, applications, and design. John Wiley & Sons, Inc., 2006, 824 p.

9. Rajashekara K.S., Vithayathill J. Harmonics in the voltage source PWM inverters. Int. J. Electronics, 1981, vol. 50, no. 5, pp. 325-337.

10. Rashid M.H. Power electronics: circuits, devices and applications. New Delhi, Prentice-Hall of India Private Limited, 2007, 912 p.

11. Roshan A. A dq rotating frame controller for single phase full bridge inverters used in small distributed generation system. Faculty of Virginia Polytechnique institute and State University, 2006, 124 p.

12. Santiago-Gonzalez J.A., Cruz-Colon J., Otero-de-Leon R., Lopez-Santiago V., Ortiz-Rivera E.I. Three phase induction motor drive using flyback converter and PWM inverter fed from a single photovoltaic panel. Proc. IEEE PES General Meeting, 2011, pp. 1-6. doi: 10.1109/PES.2011.6039808.

13. Shahriar Muttalib A.Z.M., Ferdous S.M., Saleque A.M., Nawjif Md. Anamul Hasan. Design and simulation of an inverter with high frequency sinusoidal PWM switching technique for harmonic reduction in a standalone/ utility grid synchronized photovoltaic system. EEE/OSA/IAPR International Conference on Informatics, Electronics & Vision, 2012, pp. 1168-1173. doi: 10.1109/ICIEV.2012.6317533.

МАЛИНИН ГРИГОРИЙ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры промышленной электроники, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (malgrig6@mail.ru).

MALININ GRIGORIY - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Industrial Electronics Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.

БЕЛОВ ГЕННАДИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ - доктор технических наук, заведующий кафедрой промышленной электроники, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (belovga_chuvsu@rambler.ru).

BELOV GENNADIY - Doctor of Technical Sciences, Head of Industrial Electronics Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.