Оптимальное управление инвестициями в динамических моделях дуополии

ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИЙ

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИЯМИ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ДУОПОЛИИ

Аннотация. Рассмотрены задачи максимизации прибыли за счет оптимального распределения ресурсов в трех динамических моделях дуополии. Сначала строится модель, которая характеризует оптимальный выпуск продукции, фондовооруженность труда в конкурирующих фирмах при равновесии спроса и предложения. Затем оптимизация выпуска происходит при неравновесной цене, и в третьей модели учитывается возможность оптимального использования кредита. Ключевые слова: оптимальное управление инвестициями, оптимальное использование кредитов, дуополия, прибыль, оптимизация.

OPTIMAL CONTROL OF INVESTMENTS IN A DYNAMIC MODELS OF DUOPOLY

Annotation. The paper studies profit maximization in three dynamic models of duopoly. The first one describes the dynamics of production and capital-labor ratio with equilibrium price, the second - the same problem with non-equilibrium price and the third one analyzes the optimal external financing of capital expenditures and working capital.

Keywords: optimal control of investments, optimal external financing, duopoly, profit, optimization.

Оптимальное управление производством в современных условиях предполагает разработку количественных средств анализа динамики развития конкурентной среды, и в частности, динамики дуополии. В отличие от задач оптимального управления в моделях монополии, где рассматривался единственный скалярный критерий максимума прибыли, в динамических моделях дуополии мы рассматриваем соответствующие задачи с векторным критерием и методику их приближенного решения. Приводимые ниже обозначения переменных и допущения, в основном, соответствуют принятым обозначениям и предположениям в статье автора [2].

1. Оптимальное управление в равновесной модели дуополии.

2. Обозначения переменных и основные допущения модели:

1) известен спрос D в момент времени t календарного периода 0 < t < T на продукцию Y (t) >0;Y2 (t) >0 конкурирующих фирм в количестве D = Y (t) + Y> (t) единиц;

2) функция полных издержек Ct каждой фирмы - квадратичная функция выпуска

C = mtYi2 + nY + С с положительными параметрами щ, и., ci. Здесь и далее i = 1,2 ;

3) объем производимой продукции описывается производственной функцией Кобба -Дугласа: Y = АД^'Ц1-^, 0 < а. < 1, где K = Ki(t) - затраты капитала; Ц = Ц(t) - затраты труда; Ai -положительный параметр; аг - коэффициент эластичности выпуска по капиталу [1; 2; 5; 6];

© Аганин Ю.И., 2017

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 1606-00280).

УДК 330.4 (075) Ю.И. Аганин

Yuri Aganin

4) равновесная цена р; р > 0 задается равенством р = а — ¿(¥ + ¥2), где а > 0, Ь > 0 - параметры. Прибыль каждой фирмы выражается равенством: лг.(¥¥) = (а — ¿(У\ + ¥2)¥ — С ;

5) прибыль используется для капитальных вложений I = ^ П (¥; ¥ ) и для стимулирования труда = (1 — 5. )п (¥; ¥2 ), 0 - ^ -1. Переменные ^ - свободные параметры (управления);

6) динамика использования трудовых ресурсов задается дифференциальными уравнениями А = А., где /. = т. (1 — л; )л. (^, К,) — /ч,. А ; точка над переменной величиной - символ производной по времени, положительные параметры т - коэффициенты стимулирования труда; - коэффициенты, отражающие уменьшение производительности труда при увеличении числа занятых;

7) динамика основных производственных фондов (капитала) К задаются дифференциальными уравнениями К = I — \1гКг. где и. - коэффициент выбытия капитала;

8) динамика фондовооруженности х = К/Ь. описывается уравнениями [1; 2]:

х, = 1-1)

9) из равенств = Да Да' К1 + Д (1 - аг )К1а- ЬГа- Ц, /' = 1; 2 получим, учитывая (1.1), систему четырех нелинейных дифференциальных уравнений:

^ + ^) ¥);

У, = алг4 V'-1 - (ш + \ ) У, ) + ; I = 1; 2.

Постановка задачи.

Для системы (1.2) рассматривается задача многокритериальной оптимизации: выбрать ограниченные кусочно-непрерывные управления ^ (X, X ,¥ ¥)' 0-Ц-1 из условия максимума по Парето векторного критерия [3; 4].

(Т Т 1

10 0 ]

Задаются положительные начальные условия xi (0) = х0, ¥(0) = ¥>*• Граничные значения х* фондовооруженности xi (Т) , ¥ * > 0 выпуска ¥ (Т) - координаты точки покоя (положения равновесия) системы (1.2) при ^ =Щ'; ,¥2) >0. Предлагается Парето - оптимальная страте-

гия, состоящая в максимизации интегрального критерия:

1 ( Т Т \

' т;* | п (¥ (0, ¥2 Ц))Л + ¥*п2 (¥ (0, ¥2 (Г))Л

4 0 0 у

П =

К+¥2*

В этом критерии учитывается долевое участие фирм на конкурентном рынке в положении равновесия.

Многие результаты теории оптимизации связаны с возможностью аналитического решения неоднородных линейных систем [3; 4]. Линеаризация используется для формирования приближенных решений соответствующих нелинейных задач. Пусть система (1.2) имеет точку покоя М*. В этой точке выполняются условия, обозначенные в системе уравнений (1.5).

, п, 01, У2) Ахг а-1 -( ^ + X, (х,, 11, У2) )У = 0; т, (1 - ^ К (11,12) = ^1/Ада';, = 1;2

Для вычисления координат точки М * сначала находим стационарные значения фондовооруженности х* = Х0гаг/цгтг (1 — а); , = 1;2 . Соответствующие значения выпуска (У;У2) -решение системы алгебраических уравнений (1.5) при найденных х*, г = 1;2 . Введем малые отклонения фазовых координат и управляющих параметров от их стационарных значений хг. = х - х*; у1. = Г - У*; = - аг, / = 1;2. тогда щ (У, У2) = щ (У* + у, У* + у2). Обозначим п* = п(У*, У*); п' = дпг/ду = а — п — 2(Ь+т)У*— ЬУ* , учтем, что дп,./ЗУ. = — ЬУ1 * . Линеаризуем систему (1.2) в окрестности точки М*:

аЛ0,(У*)2, У%

х. --

4(х;г+1 ' 4(х^)с

где /; =

+

(х;)2-' д.^г1 ,

п А Л ( А

—т (1-а )У* (-ЪУ*)у .+  (х ) ' ) 1

( 1 * Л

X.. + _ ц _ т (1 _ а у у + -Ц*-

л

+ Т.У

ч

л%, / = 1;2;

Ограниченные кусочно-непрерывные управления .у. = .V. (х,, х2, ух, у2 ) выбираем из условия максимума интегрального критерия прибыли (1.6), записанного в переменных у,у2 •

. 1

п =

( Т

У*+У*

л

у; | л! (у;+уц\ у;+у2 +^ (У*+й (о, у,*+& см

V 0 о у

Задачу (1.6) - (1.7) решаем при начальных условиях хг (0) = х0г — х*, у1 (О) = — У* и граничных условиях (/ ) = у 1 (/ ) = О.

Пример. Если выбраны значения параметров

А = 1; т = 0,8; п = 10; с = 2000; а = 240;

Ь = 0,2; ^ = 0,2; а = 0,5; V = 0,2; т = 5 40; А = 2; т = 0,5; щ = 10; с = 3250;

ц2 = 0,3; а = 0,4; Х02 = 0,3; т2 = 3-10—55,

то координаты одной из точек покоя М*(х*; х*;У*; У ):

1 2 1 2 '

* 1 ^5 . тг*

х* = 104 ; У = 100; х* = 105 ; У2 = 150

Для значений параметров (1.8) и точки покоя (1.9) система (1.6) имеет вид:

= -О, ЗХ! - 5у2 +12000^ ; ¿2 = -0,13х2 +38^ +38,8887^2 + 54166,7£2;

у1=-5-10"4 X, - 0,2у - 0,075у2 + 20^; у2 = 0,057 • 10~3 х2 - 0,0582й - 0,20167^ - 23,75^2;

Ее характеристический многочлен Р(Я) = X4 + 0,83167^3 + 0,24547^2 + 0,030331^+0,0016342 удовлетворяет условию устойчивости Рауса-Гурвица.

V

Возможна приближенная стратегия, состоящая в минимизации времени достижения точки равновесия Курно и стабилизации этого состояния за счет надлежащего выбора управляющих воздействий [6]. При значениях параметров (1.8) М" - точка Курно, так как в этой точке выполняются равенства ^л/дУ{ = 0; 1 = 1;2. В рассматриваемой окрестности точки М* в линейном приближении управление релейное: величины я принимают граничные значения, и после конечного числа переключений система приходит к устойчивому стационарному состоянию М*, при котором .у. =0, т.е. = а, / = 1;2.

3. Оптимальное управление в условиях развивающегося рынка.

Рассмотрим модель дуополии, которая учитывает возможное превышение спроса над предложением. Предположим, что в каждый момент времени товар в количестве = ¥ + ¥ поступает

на рынок. Спрос ¥(д) = (а — р)/Ь - линейная функция цены р, динамика изменения которой описывается дифференциальным уравнением р = $(а — р — Ь(УХ + Г2))> где |3,а,Ь - положительные параметры, рЬ - коэффициент адаптации цены. Предположим, что спрос не меньше предложения: (а—р)/Ь > ¥ + ¥. Уравнение динамики цены дополняет систему (1.2), описывающую равновесную модель, в которой не рассматривалась возможность отклонения цены от ее равновесного значения. Прибыль п, - функция аргументов ¥, р:

щ,-

В отличие от равновесной модели зависимость прибыли каждой фирмы от выпуска конкурента задается неявно, учитывается динамика ценообразования. Динамика затрат труда задается дифференциальным уравнением Ц=\{Ц, где Х11=Х11{хп1пр)={11{\-51)ж1Дпр)-Хй111 Ах^). Таким образом,

динамическая модель дуополии в условиях развивающегося рынка описывается пятью дифференциальными уравнениями:

г х. = ^ (V ~1 - + К) ¥);

¥ = а,  щАхГ1 + КУ<-,

р = Р(а-р-Ь(Г1+Г2)>, / = 1;2.

Для системы (2.2) рассматривается задача многокритериальной оптимизации: выбрать ограниченные кусочно-непрерывные управления ^ (X, X ,¥ ,¥, р) , -1 из условия максимума по Паре-то векторного критерия

(т Т Л

10 0 ]

Задаются положительные начальные условия х. (0) = х0;, ¥(0) = ¥ , р(0) = ; ро <а и граничные условия: при t = Т: 5 = Щ; хХ = а^./щт,. (1 — щ), 1 = 1;2, ¥*=¥(Т), ¥2*=¥2(Т), р* = р(Т) = а — Ь(¥* + ¥,*) . Если выбраны величины параметров (1.8), то при t = Т; =Щ граничные значения х*; х*; ¥1 *; ¥,* определены равенствами (1.9). Обозначим точку покоя

М** = (х*; х*;¥1*;¥*; р* ) . Величина прибыли П, (¥, р) в точке М ** принимает равновесное значе-

ние пг (У*, Р*) = П • Введем малые отклонения фазовых координат и управляющих параметров от их стационарных значений х. = х-х*;у.=У-У*; р = р-р*\ ^. .-а,., / = 1;2. Обозначим: я1г=дп1г- /дУ = РР — — п , учтем, что дЛь/дУу = 0; дЛь/др = У *. Линеаризуем систему (2.2) в окрестности точки М ** при условии (а — р)/Ь > У + У2 •

где

____, аД0Д*)2 ~ '

Я = и/, <Л^ (+

т.(1-а,.)7У, - .

Д '' ' " Д.(х,)а

^ = -Р^С^! + А),

у^Д-аЖУр-^Х

Га,(а,-1КД. ЮЧО

4(х;г+

( 1 * Л

сут[4_ _ _ _ .

^»у-а, Л Л г) г г д^у

+

^-^г— т(1—а)У ^

(х*)1—' ''

у;р+

\

. ? +т.У.

"у

70,., /' = 1:2.

В линейном приближении оптимальный по быстродействию переход к равновесному состоянию в окрестности точкиМ** осуществляется под воздействием релейного управления: величины si принимают граничные значения, и после конечного числа переключений система приходит к

стационарному состоянию, при котором .у. =0; /7 = 0. т.е. sj = аг , р = р*.

4. Оптимальное управление и кредит в условиях развивающегося рынка.

Рассмотрим динамическую модель дуополии, в которой развитие производства 7-й фирмы

Т

связано с необходимостью привлечения кредита Mi (Т) = | г (г) У (г)^г, где Mi (Т) - сумма кредита,

щ (¿)У (^) - интенсивность использования кредита. Переменные задаются дифференциальными

О - константы, параметры у. учиты-

(а - р)У

уравнениями ¿г = вггг (————^ — у{У{), / = 1; 2 , где е /

Ь

вают погашение кредита уMг (Т), (^ > 1; (у,- — 1) '100% - банковский процент, в общем случае у ^ у ). В модели кредитования функция полных издержек задана выражением Си = тУ12 + пу + с + У г . Поток кредитов г У = + (1 — ^ ) распределяется

между капиталом и трудом (1 — ^ )ггУ в той же пропорции, как прибыль, выражение ко-

торой учитывает дополнительные издержки по возврату кредита:

гс2г(У, г, р) =п1г(у, р) — уг г У. Капитальные вложения выражаются равенствами

I =от2г(У,г,р) + 5г-гУ, а инвестиции в труд - равенствами ^ = (1 — ь)жъ(У,г,Р) + (1 — ^)2У • Предполагается, что рост рабочей силы зависит не только от величины выпуска, но и от доли кредита, используемой для стимулирования труда, поэтому изменяются выражения коэффициентов X. в уравнениях динамики затрат труда: X,. = Х2. (x¡, У, г, р) = Т (1 — Хп, (У, г, р) + 2 У) — Х0,- У/Ах?). Урав-

V

У

0

нение динамики цены р = р(а—Ь( У] + У2) + г. У] + г2 У2 — р) учитывает интенсивность использования кредита: цена растет при увеличении использования кредита. Как и в предыдущей модели, спрос не меньше предложения: (а — р)/Ь > у + У2 Динамика рынка описывается системой семи дифференциальных уравнений:

_1

У

У, = а,.

р = р(а - Ъ(УХ + У2 ) + ^ + г2Г2 - р)-Ставится задача: выбрать кусочно-непрерывные управления 5 (X, X 'У 'У, г, 22, Р), , = 1;2 из

условия максимума по Парето векторного критерия:

Гт т Л

п2 = Лт^ЗД^Хр^))^; \п22У

1о 0 ]

Заданы положительные начальные условия: хг(0) = хш, У (О) = У г , Р(0) = р; Ро < а и

граничные условия х* = аЛ,/ц,т, (1 — а,.), , = 1;2, У^У^Т), У* =У2(Т), р" = р(Т) = а—ЬУ + 72*), р* > 0; г* = г(Т) = 0 . Если выбраны величины параметров (1.8), то при г = Т; 5 = а; г* = г(Т) = 0 граничные значения х*; х*; у*; У* определены равенствами (1.9). Обозначим точку покоя М  = (х*; х*; У *; У*; 2*; ; р* ) . Одна из оптимальных стратегий Парето состоит в максимизации интегрального критерия (1.4), в котором выражения щ, п2 заменены л21, п22 .

В линейном приближении оптимальный по быстродействию переход к равновесному состоянию самофинансирования М  осуществляется под воздействием релейного управления: величины si принимают граничные значения, и после конечного числа переключений система приходит к

равновесному состоянию, при котором 5 = а,; г = 0; р = р*.

Заключение. Рассмотрены модели дуополии, в которых выпуск каждой фирмы задан производственной функцией Кобба-Дугласа. Поставлена задача оптимального распределения прибыли между трудом и капиталом. Динамика фондовооруженности фирм описывается дифференциальными уравнениями, аналогичными уравнению Солоу [6; 7; 8]. В уравнениях динамики затрат труда учитываются уменьшение производительности труда при увеличении числа занятых, и материальное стимулирование труда. Предложен алгоритм приближенного решения задачи максимизации по Парето векторного критерия прибыли, использующий линеаризацию уравнений динамики и линейную свертку критериев. Сделан вывод о релейном характере управления в малой окрестности состояния равновесия. Приведен пример.

Библиографический список

1. Аганин, Ю. И. Влияние фондовооруженности на устойчивость движения в динамической модели дуополии / Ю. И. Аганин // Вестник Университета (Государственный университет управления). - 2013. -№ 16. - С. 120-126.

2. Аганин, Ю. И. Оптимальное управление в динамических моделях монополии / Ю. И. Аганин // Вестник Университета (Государственный университет управления). - 2016. - № 3. - С. 190-194.

3. Айзекс, Р. Дифференциальные игры / Р. Айзекс. - М. : Мир, 1967. - 480 с.

4. Вайсборд, Э. М. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения / Э. М. Вайсборд, В. И. Жуковский. -М. : Советское радио, 1980. - 304 с.

5. Лебедев, В. В. Математическое и компьютерное моделирование экономики / В. В. Лебедев, К. В. Лебедев. - М. : НВТ-Дизайн, 2002. - 256 с.

6. Лебедев, В. В. Математическое моделирование нестационарных экономических процессов / В. В. Лебедев, К. В. Лебедев. - М. : ООО «Тест», 2011. - 336 с.

7. Chiang, Alpha C. Fundamental methods of mathematical economics / Alpha C. Chiang. - 2d ed. - New York : McGraw Hill Book Company, 1974. - P. 784.

8. Shone, R. Economic Dynamics. Phase Diagrams and their Economic Applications / R. Shone. - 2d ed. - Cambridge University Press, 2002. - Р. 708.