Идентификация нестационарной осесимметричной нагрузки, воздействующей на цилиндрическую оболочку

УДК 539.3

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКИ, ВОЗДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ

Е.Г. Янютин, профессор, д.т.н., С.И. Поваляев, доцент, ХНАДУ

Аннотация. Предложен способ идентификации нестационарной поверхностной нагрузки, воздействующей на шарнирно опертую цилиндрическую оболочку. Способ идентификации основан на применении метода конечных разностей (МКР).

Ключевые слова: оболочка, деформирование, метод конечных разностей, идентификация, нагрузка.

Введение

Решение обратных задач для различных механических систем является актуальным направлением исследований в различных областях науки и в механике деформируемого твердого тела, в частности.

Анализ публикаций

Теория обратных задач основана на фундаментальных работах в области вычислительной математики [1-3], в основу которой легло понятие регуляризирующего алгоритма.

В области решения обратных задач механики деформируемого твердого тела особо следует отметить работы [4-6], в которых разработаны способы решения обратных задач по идентификации нестационарных нагрузок для различных деформируемых механических объектов на основе интегральных уравнений и методов регуляризации.

Цель и постановка задачи

Цель данной работы заключается в разработке способа идентификации нестационарной нагрузки, воздействующей на цилиндрическую оболочку, с помощью МКР [7, 8] - одного из наиболее известных численных методов, которые используются при расчете различных элементов конструкций.

Идентификация нагрузки, воздействующей на оболочку

Рассмотрим воздействие на круговую шар-нирно опертую цилиндрическую оболочку толщиной И, длиной I и радиусом срединной поверхности а нестационарной поверхностной нагрузки (рис. 1).

N<3

«3 1 1

Х1 Х2 хп ¡я» ч X

/

Рис. 1. Исследуемая механическая система

Реакция оболочки средней толщины типа теории Тимошенко на осесимметричную поперечную нагрузку моделируется системой линейных дифференциальных уравнений [9]:

д 2и \1 дм д 2и о д52 а д5 да2 = ' -2 ( д2 м ду^| /2

\

д^2 д5

VI ди д2м

а2 ^ а д5 дЛ2

2 \ /2

(1 -V) /

ей

-ч (5,л);

2 д2у -2(,дм ,2^ И2 д2у -- к /— + у/ т

д5

12 д5

12 дл'

= 0,

где 5 = х//; к = (1 ^)к2/2; л - безразмерное время; и, м, у - перемещения серединной поверхности оболочки и угол поворота нормали к срединной поверхности, соответственно; V, Е - упругие постоянные материала; р - плотность материала оболочки; к -коэффициент сдвига; ч(5,Л) - заданная нестационарная нагрузка.

Граничные условия для рассматриваемой механической системы (рис. 1) имеют вид

Ых

5=1 5=1 5=1

С помощью аппроксимирующих выражений для частных производных согласно МКР [7, 8] запишем конечно-разностный аналог системы уравнений (1) в виде ДЛ 2

и;+1 =Д52(и;+1 - 2и; + и™1> +

+а2Д5 (м;+1 - +2и; - и;-1; —2 2 _2 2 < = кДДг (мр+1 - 2<+<ч)+^ х

-уР-1) -^ < — (и" - и") +

а 2Д5

+2м; - мГ1 -(1 ^^ ;

р р Л2

Д52

ей

Дл

УР+1 =-ГГ7 (УР+1 - 2ур +УГ-1) -

12к /ДЛ2 2Д5И2

х(мР+1 -мР-1)- 12кИ1Д2 УР + 2ур -у;-1,

И

где ; =0, 1, ..., М- количество шагов по времени с интервалом ДЛ, р =0, 1, ..., Р - количество шагов по координате с интервалом Д5.

Начальные и граничные условия в конечно-разностной форме имеют вид

л. ; ;

0 0 0 п т 4и1 - и2

ир = мр =Ур =0; и0 =—1—-

3

4и;, - и

Р-1 Р-2 . _

= = 0;

У; = ^; уР = 0.

Идентификация производилась по значениям прогиба (как функции времени) оболочки в К ее точках. На основании этих значений была определена приближенная функция, описывающая пространственно-временное распределение прогиба оболочки, в виде разложения в К - частичную сумму ряда Фурье вида

к

м

к=1

где ак(Л) - неизвестные коэффициенты разложения (функции времени).

Естественно предположить, что аппроксимация прогиба с точностью, соответствующей К удерживаемых членов ряда, возможна по функциям времени прогиба в К не совпадающих точках оболочки. Функция, описывающая пространственно-временное распределение прогиба оболочки, позволяет приближенно определить прогиб каждой точки оболочки в любой момент времени.

Для получения решения задачи идентификации нестационарной равномерно распределенной нагрузки воспользуемся выражением

чт+1 =

ЕИ

(1 -V2) /2 ДЛ2

к /ДЛ

к ДЛ2 /2ДЛ2

+-Дг «1 - +<-\) - ^^ -

\1 Дл ^ ;+1 „,т+1 \ . л„,,т+1 „,,т „,,т+2

а 2Д5

/„,т+{ „.т+1 \ I Л-,,т+1

т I

(ир1+1- ир1-1) + 2мр1 - мр1- мр1

Укажем, что соотношение (6) вытекает из второго уравнения системы (3) при т=т+1.

При численных расчетах была рассмотрена стальная цилиндрическая оболочка, имеющая следующие параметры: длина /=1,5 м; радиус серединной поверхности а=0,3 м, толщина И=0,043 м; модуль Юнга Е=2,1-10п Па, коэффициент Пуассона v=0,3; коэффициент сдвига к=0,833.

х

Идентификация нагрузки производилась по прогибу, полученному в результате решения прямой задачи. Точки регистрации прогиба ^=0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3; 0,35; 0,4; 0,45; 0,5; 0,55; 0,6; 0,65; 0,7; 0,75; 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Результаты идентификации пространственно-временного распределения искомой нагрузки представлены на рис. 2.

В заключение следует отметить, что результаты, приведенные в данной статье, свидетельствуют о том, что применение численных методов (МКР, в частности) при решении обратных задач механики деформируемого твердого тела позволяет строить эффективные алгоритмы решения определенного класса обратных задач.

I

ь; 5.00E+04 «

Я

О

4 , 1

F.I» IV v , t * * ч * 1

\ ^ | • ¡v. * "  л-----

* V J » * ' *

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001

Время t, с

£

£ 5.00E+04

Я

О

А,/' i / k л

; V • / V 1

1 Г ; •

\J V

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Координата Е, б

Рис. 2. Результаты идентификации: 1 - внешняя нагрузка, действующая на оболочку; 2 - идентифицированная нагрузка; а -как функции времени, б - как функции координаты

Выводы

В процессе исследований установлено, что на точность идентификации в значительной степени влияет величина «шага» по времени. При получении результатов, отображенных на рис. 2, применяется прием, когда при решении прямой и обратной задачи использовались разные «шаги» по времени, отличающиеся между собой в 25 раз (при решении обратной задачи величина «шага» больше).

Литература

1. Апарцин А. С. Неклассические интегральные уравнения Вольтерра I-го рода: теория и численные методы. - Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1999. - 193 с.

2. Сергеев В.О. Регуляризация уравнений Вольтерра первого рода. - ДАН СССР/ -1971, 197/ - №3. - C. 531 - 534.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач.

- М.: Наука, 1979. - 286 с.

4. Янютин Е.Г., Янчевский И.В., Воро-пай А.В., Шарапата А.С. Задачи импульсного деформирования элементов конструкций. - Харьков: ХНАДУ, 2004.

- 392 с.

5. Ng T.Y., He X.Q., Liew KM. Finite element modeling of active control of functionally graded shells in frequency domain via piezoelectric sensors and actuators. Comput. Mech. - 2002. 28. - № 1. - С. 1-9.

6. Yasuda Kimihiko, Kamiya Keisuke. Identification of a nonlinear beam (proposition of an identification technique). - JSME Int. J . S er. 3 , 1 990, 3 3 . - Р . 5 3 5 - 540.

7. Рихтмаер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. - 262 с.

8. Самарский А. А. Теория разностных схем. - 3-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 616 с.

9. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. - М.: ВИНИТИ, 1973. -272 с.

Рецензент: А.Г. Кислов, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 21 октября 2008 г.

а