Формирование полос локализованного сдвига в слое геосреды при разрывном сдвиге основания

УДК 539.3, 551.24

Формирование полос локализованного сдвига в слое геосреды при разрывном сдвиге основания

Ю.П. Стефанов, Р.А. Бакеев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Представлены результаты 3D-моделирования процесса деформации слоя геосреды в условиях разрывного горизонтального сдвига основания. Рассмотрены закономерности формирования полос локализованного сдвига и исследовано изменение их формы с глубиной. Получена и проанализирована пространственная структура зон локализации.

Ключевые слова: геосреда, осадочный слой, деформация, локализация, горизонтальный сдвиг, цветковые структуры, 3D численное моделирование, дилатансия

Formation of localized shear bands in a geomedium layer due to shear rupture of the base

Yu.P. Stefanov and R.A. Bakeev

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

The paper presents the results of 3D simulation of deformation of a geomedium layer due to horizontal shear rupture of the base. Mechanisms of the formation of localized shear bands are considered and variations in their shapes with depth are studied. A spatial structure of the localization zones is constructed and analyzed.

Keywords: geomedium, sedimentary layer, deformation, localization, horizontal shear, flower structures, 3D numerical simulation, dilatancy

1. Введение

Важное место при исследовании деформационных процессов в земной коре занимает изучение закономерностей формирования и развития зон нарушений, разломов и их связи с глубиной в соответствии с изменением напряженного состояния и свойств среды. В ряду задач

о развитии деформации в верхних слоях земной коры особое место занимают процессы формирования нарушений в осадочном слое, связанные с разрывным горизонтальным сдвигом более жесткого основания. Данная задача имеет большое научное и прикладное значение ввиду того, что такой характер нарушений является одним из наиболее типичных. Повсеместно в земной коре имеет место сдвиговая деформация. В зависимости от условий нагружения и свойств пород возможно формирование разрывных деформаций, формирование трещин, которые часто имеют не прямолинейный, а прерывистый или зигзагообразный характер.

До настоящего времени основным направлением изучения закономерностей формирования деформаци-

онных структур в земной коре являлись наблюдения природных объектов и экспериментальные исследования, выполненные на эквивалентных материалах, например [1-9]. Данные исследования восходят к экспериментам Риделя и проводились многими исследователями. Очевидно, что эксперименты проводятся на моделях с размерами не сопоставимыми с реальными. Это не позволяет корректно учесть особенности напряженного состояния во всем объеме среды и изменения эффективной прочности с глубиной. В работах [10, 11] на основе аналитических оценок предложены объяснение закономерности формирования структур нарушений при горизонтальном сдвиге фундамента и схема последовательности их формирования с учетом возможности перехода среды в неупругое состояние под действием силы тяжести. Несмотря на множество экспериментальных данных, их обобщений и построений схем процесса, остался ряд вопросов о строении и конфигурации зон нарушений, а также о напряженно-деформированном состоянии в толще массива, которые не могут быть

© Стефанов Ю.П., Бакеев P.A., 2012

выяснены в рамках экспериментов и аналитических оценок. Поэтому, наряду с экспериментальными и аналитическими исследованиями, требуется математическое моделирование поведения геосреды в данных условиях. Такие исследования позволяют получать необходимые количественные оценки влияния различных факторов на процесс деформации, выполнять проверку гипотез о протекающих процессах и построить структурно-геологическую модель среды.

Численное моделирование такого процесса предполагает решение трехмерной задачи. В работе [12] было выполнено численное исследование формирования структур сдвига в рамках 2D-постановки с имитацией 3D-условий на основе аналитического решения упругой задачи [10]. Несмотря на соответствие полученных результатов существующим представлениям о процессе, полноценное изучение закономерностей развития деформации и строения зон нарушений в рамках такого подхода не представляется возможным в силу его пространственного характера. Созданная с этой целью программа 3D-моделирования, наряду с разработанными моделями и алгоритмами, позволила вплотную подойти к решению поставленной задачи. Полученные в данном направлении результаты [13] дают основания для уверенности в перспективности разработанного подхода для исследований особенностей строения и механизмов формирования структур нарушений в осадочном слое земной коры в условиях сдвига фундамента.

2. Постановка задачи и метод расчета

Рассмотрим задачу о деформировании слоя среды, в основании которого имеется продольный надрез (рис. 1). Слой находится под действием силы тяжести и лежит на жестком основании. В соответствии с заданной глубиной и свойствами среды (плотностью вышележащих слоев) в состоянии упругости напряжения, обусловленные действием силы тяжести, при отсутствии дополнительных сил будут иметь вид:

г (г) = - g }р( г)&,

а х

1 - V'

где V — коэффициент Пуассона. Нагружение слоя осуществлялось путем задания смещений левой и правой половинок основания в противоположных направлениях вдоль надреза с постоянной скоростью. На торцевых (передней и задней) гранях были использованы замкнутые условия, имитирующие бесконечную протяженность слоя. На боковых гранях, параллельных плоскости надреза, рассматривались условия скольжения и условия в напряжениях, обеспечивающие отсутствие деформации под действием силы тяжести. Моделирование процесса деформации в трехмерной постановке может быть выполнено без дополнительных предположений.

Для моделирования процесса деформации слоя геосреды использован подход [14-16], который основан на решении уравнений динамики упругопластической среды по явной численной схеме [17]. Описание деформации среды за пределом упругости осуществлялось в рамках модифицированной модели Друкера-Прагера-Николаевского [18-20]. Процессы деформирования рассматривались в трехмерной постановке.

В разработанном комплексе программ 3D-модели-рования процессов деформации реализована технология параллельных вычислений для многоядерных и многопроцессорных станций, что позволяет осуществлять расчеты с достаточной детальностью. Расчеты выполнялись на с етках 240x640x45 и больших. Трещина продольного сдвига, которая развивается в основании, в общем случае описывается методом разделения расчетных узлов. В данной работе ее учет осуществлялся посредством коммуникационной библиотеки МР1. На основании предположения о том, что трещина формируется в плоскости симметрии образца, декомпозиция расчетной области проводилась таким образом, что эта плоскость является границей раздела двух подобластей. Согласно идеологии распараллеливания по технологии МР1 два соседних процессора обмениваются значениями в граничных ячейках, что позволяет поддерживать непрерывность решения для всей расчетной области. Фактически расчетные узлы, лежащие на границе раздела, принадлежат каждой из подобластей, т.е. они уже естественным образом разделены. Для описания движения берегов трещины продольного сдвига скорости в плоскости трещины рассчитываются как свободные, т.е. расчетные подобласти не обмениваются данными о напряженно-деформированном состоянии на границе, скорости, направленные перпендикулярно, обнуляются, чтобы избежать взаимопроникновения расчетных под-

Рис. 1. Схема деформирования слоя среды при разрывном сдвиге основания

а

V

областей. В результате берега трещины в основании свободно скользят относительно друг друга.

3. Основные уравнения

Система уравнений, использованная для описания процессов деформации, включает уравнения движения и неразрывности. Система уравнений замыкается определяющими соотношениями упругопластической модели.

Было принято аддитивное разложение скорости деформации на упругую и пластическую части:

&. = &е р

у у у '

Упругие напряжения определялись в соответствии с гипоупругим законом следующим образом:

-ЬТ = Ф - 3 * ^

Щу

Ьі

г = - К

V ’

где К и ц — модули сжатия и сдвига соответственно. При записи определяющих соотношений используется разложение тензора напряжений на шаровую и девиа-торную части: а у = -о8у + sij, где а = -акк/3 — среднее давление; s у — компоненты девиатора тензора напряжений; 8 у — символ Кронекера. Здесь использована коротационная производная Яуманна, которая учитывает возможность поворота элементов среды как целого. Компоненты тензора скорости деформаций еу и компоненты тензора скоростей вращения Юу определяются из соотношений

еу = 2(и- у + ИуД СО у = -2(Мг- у - ИуД

Упругое состояние среды в пространстве напряжений ограничено поверхностью предельного состояния, при достижении которого начинается процесс неупругого, пластического деформирования или разрушения. Пластическая деформация определяется в соответствии с уравнениями предельной поверхности и пластического потенциала:

/(Оу, ер) = о, g(аij, ер) = 0, ёер = ;

у

где f— уравнение поверхности (функции) нагружения; g — пластический потенциал; ер — компоненты пластической (неупругой) деформации. В качестве условия пластичности применяется условие Мизеса-Шлейхера в виде:

т-аа = Y,

где а — коэффициент внутреннего трения; Y — сдвиговая прочность материала, или сцепление; т = = ^у^у/ 2)12. Пластический потенциал для расчета

Рис. 2. Изменение сдвиговой прочности среды в процессе деформирования. У * — остаточная прочность

приращений пластической деформации запишем в виде:

g (а, т) = т-Ла,

где Л — коэффициент дилатансии. Упрочнение и разупрочнение среды будем описывать соотношением

У (ур) = Уо[1+ А( ДУр) - Дур))],

где h — коэффициент упрочнения; ёур = 2(ёер X X ёегу/2)12 — интенсивность сдвиговой пластической деформации; еу = ер -1/3 ерк8 у. Для учета упрочнения используется линейная зависимость Л(ур) = 2 ур/у* и для учета разупрочнения (накопления повреждений) — квадратичная: D(YP) = (ур/у*)2, где у* — критическая деформация, после достижения которой преобладает деградация материала. После достижения заданного уровня напряжений на этапе разупрочнения сдвиговая прочность принималась постоянной (рис. 2), соответствующей остаточной прочности материала в данных условиях.

4. Результаты расчетов

Напряженное состояние, обусловленное действием силы тяжести, задавалось в качестве предварительного, т.е. до приложения сдвиговой нагрузки. При заданных параметрах напряженное состояние слоя по всей глубине остается упругим, поэтому можно переходить к следующему этапу нагружения — сдвигу. В противном случае предварительное напряженное состояние необходимо было бы вычислять путем численного расчета. Расчеты выполнялись при параметрах, приведенных в табл. 1.

В ходе сдвига на упругой стадии деформирования напряженное состояние слоя имеет характерный для трещины продольного сдвига вид и может быть описано в рамках аналитического решения, например [10, 11].

Таблица 1

Параметры среды

р, г/см3 К, ГПа |Л, ГПа У, МПа а Л Нслош м

2.2 12.8 5.34 20-30* 0.6 0.12 4 500

: 20 МПа — на поверхности, 30 МПа — на глубине 4 км.

4 8 12 16 20

Рис. 3. Распределение интенсивности касательных напряжений в вертикальном сечении на упругой стадии деформации

При аналитических расчетах ограничение данных напряжений на основании принятого закона пластичности позволяет получить лишь предварительные оценки размеров зоны пластичности без учета влияния неоднородности развития деформации и ее локализации. Однако в процессе пластического деформирования интенсивность сдвиговых напряжений не только ограничивается сдвиговой прочностью среды, но и меняется распределение напряженного состояния. На рис. 3, где показано распределение интенсивности касательных напряжений на упругом этапе и в начале развития пластической зоны, вокруг разрыва в основании хорошо видно изменение напряженного состояния в ходе деформирования и соответствующее отличие решения от аналитического.

На рис. 4 и 5 представлены изолинии приращения напряжений в процессе сдвига после приложения силы тяжести на разных этапах развития упругопластической деформации и формирования зон локализации в поперечном сечении слоя, полученные в результате численного моделирования. В процессе деформирования возникают зоны разрежения и дополнительного сжатия. На начальном этапе с развитием пластической деформации (рис. 6, а) от вершины разрыва формируется зона с положительными (растягивающими) вертикальными компонентами приращений напряжений (рис. 4, в). После формирования зон локализации области с положительными значениями приращений напряжений хорошо выделяются и на других компонентах (рис. 4, а, в). Очевидно, что наличие областей растяжения вблизи поверхности может привести к образованию разрывов.

На рис. 6 показан характер распределения интенсивности неупругой деформации в вертикальном торцевом сечении. В связи со специфической формой развития деформации нарушения подобного типа называют

4 8 12 16 20

Рис. 4. Распределение компонент приращений напряжений в поперечном сечении слоя на упругопластической стадии деформирования в начале формирования полос локализованного сдвига

4 8 12 16 20

Рис. 5. Распределение компонент приращений напряжений в поперечном сечении слоя при развитии полос локализованного сдвига

Рис. 6. Распределение интенсивности пластической деформации в поперечном сечении слоя в начале (а) и в процессе формирования полос локализованного сдвига (б). Внешний контур 1 ограничивает зону пластической деформации. Локализация деформации наблюдается в области 2

«цветковыми» структурами горизонтального сдвига [1, 2]. На рис. 7-9, где представлены результаты расчетов в объемном виде, заметно, что вблизи основания проис-

ходит быстрое расширение зоны локализации, тогда как в средней и верхней частях слоя эта ширина меняется мало. Таким образом, несмотря на то что область, в которой имеются необратимые деформации, интенсивно расширяется по мере приближения к поверхности, формирование полос локализованного сдвига наблюдается лишь в центральной ее части.

В каждом из горизонтальных сечений можно увидеть достаточно регулярную систему полос R-сколов Риделя. Хорошо видно, что с ростом глубины сужается зона, в которой формируются полосы локализованной деформации. По мере приближения к исходному разлому (надрезу) пластическая зона вырождается в линию разрыва. Можно увидеть, что в горизонтальных сечениях с глубиной несколько меняется угол наклона полос локализации в горизонтальной плоскости. В сечениях нижней части слоя наблюдалось отклонение от прямолинейного вида концевых частей полос в направлении к боковым стенкам так, что нередко полосы имели вытянутый S-образный вид, что, вероятно, связано с ростом боковых напряжений за счет дилатансии. В верхних слоях наблюдалось искривление полос локализации в обратную сторону, т.е. во многих случаях их края постепенно вытягиваются параллельно оси сдвига.

Рис. 7. Распределение интенсивности пластической деформации в горизонтальных сечениях на разных глубинах (а-в), в вертикальных сечениях (г, д) и объемная структура зоны неупругой деформации (е). Размер расчетной области в поперечном сечении без учета толщины основания — 24x4.5 км2. Идеальная модель

Рис. 8. Распределение интенсивности пластической деформации на разных глубинах (а, б) и в вертикальном сечении (в). Размер расчетной области в поперечном сечении без учета толщины основания — 24x4.5 км2. Расчет с учетом разупрочнения

Заметим, что на конфигурацию зон локализации существенное влияние оказывают удаленность боковых границ, а точнее соотношение между толщиной и шириной слоя, а также условия на этих границах. Уменьшение ширины слоя при незначительном увеличении толщины приводит к заметному вытягиванию концевых участков полос локализации по направлению к оси сдвига в верхних слоях (рис. 9).

Следует отметить, что формирование и развитие зон локализованного сдвига происходят не в виде поэтапного распространения, подобно развитию трещины. На начальных этапах формируется область однородной пластической деформации. По мере деформирования в данной зоне образуется мелкая сеть полос, интенсивность деформации в которых мало различается, но напряженно-деформированное состояние перестает быть однородным. Постепенно, с ростом деформации локализация возрастает, формируется структура определенной периодичности и конфигурации, которая определяется параметрами в определяющих соотношениях, т.е. свойствами среды и условиями деформирования.

Дальнейшее поведение зон локализации имеет близкий к заполненным трещинам характер. Имеют место концентрация напряжений вблизи вершин протяженных зон и пониженные напряжения внутри этих зон.

Характер развития полос локализованного сдвига заметно зависит от свойств среды. В случае рассмотрения деформации материала в рамках идеальной среды, без учета упрочнения и разупрочнения, можно отметить наибольшую ширину зоны пластичности и, соответственно, области, где сосредоточены полосы локализованного сдвига (рис. 7, 9). Ширина этой зоны сопоставима с толщиной слоя. В этом случае интенсивность сдвиговой деформации в нижних слоях значительно выше, чем вблизи поверхности. И, наоборот, при рассмотрении более хрупкой среды с быстрым разупрочнением и малой остаточной прочностью (рис. 2) зона неупругой деформации, в которой заключены полосы локализованного сдвига, оказывается достаточно узкой. Формируется зигзагообразная поверхность разрушения, которая фактически разделяет слой на две части. На поверхности и в горизонтальных сечениях зона локализации выглядит

V

Л

\

ІІ

У

2.0

1.6

1.2

0.8

0.4

0.0

Рис. 9. Распределение интенсивности пластической деформации на разных глубинах (а, б) и рельеф поверхности слоя (в). Размер расчетной области в поперечном сечении без учета толщины основания — 12x5.25 км2. Идеальная модель

как разлом с оперяющими трещинами, которые в ходе дальнейшего сдвига могут сливаться и сформировать зигзагообразный разлом, аналогичный линии локализации в центральной части. В предельном случае хрупкого разрушения мы получим рост трещины продольного сдвига от основания к поверхности, от бортов которой развиваются оперяющие трещины. Заметим также, что с уменьшением остаточной прочности на отдельных участках зон локализации возрастает величина пластической деформации, ее уровень становится близким к значениям на глубине, где деформация развивается вдоль линии разрыва. В то же время, если разупрочнение мало и остаточная прочность составляет более половины от максимальной, то ширина зоны локализации также сохраняется большой, а расстояние между полосами локализации оказывается больше, чем в случае идеальной модели (рис. 8).

В вертикальных сечениях, параллельных плоскости исходного разрыва, в основании хорошо заметно искривление полос локализации (рис. 8), в нижней части они пологие, а по мере приближения к поверхности становятся почти вертикальными. Наибольшее изменение угла наклона имеет место примерно до середины толщины слоя. Таким образом, учитывая непрямолинейный характер полос в горизонтальных сечениях, можно говорить о сложной пропеллерообразной форме зон локализации — зон нарушений осадочного слоя.

Выполненные ранее исследования влияния изменения эффективной прочности материала на формирование полос локализации показали, что рост эффективной прочности приводит к увеличению расстояния между полосами локализованного сдвига [12]. Соответственно, с ростом глубины должна сохраняться такая закономерность ввиду увеличения сдвиговой прочности. Кроме того, с ростом давления возрастает внутреннее трение. Однако 3D-моделирование не показало такой особенности, что связано с тем, что развитие пластической деформации и ее локализация протекают не изолированно в слоях, а представляют собой единый процесс. Сокращение и увеличение расстояния между полосами локализации связаны с изменением угла их наклона. Вблизи трещины в основании полосы локализации на большой части своей длины оказываются «прижатыми» к ее плоскости. По мере удаления от разрыва они разделяются. Кроме того, наибольшая деформация наблюдается в полосах локализации, развивающихся с глубины. Интенсивность деформации в полосах вблизи поверхности существенно меньше и на фоне глубинных такие полосы становятся малозаметными. В то же время связь между прочностью среды и расстоянием между полосами локализованного сдвига сохраняется.

На приведенных рисунках, наряду с R-разрывами, в первую очередь, в верхних слоях, можно увидеть линии сопряженных R/-полос локализации, деформация

в которых имеет значительно меньшую интенсивность. Следует отметить, что увеличение коэффициента внутреннего трения приводит не только к изменению угла наклона полос сдвига, но и к более четкому проявлению сопряженных R/-полос, что соответствует ранее отмеченным закономерностям поведения геоматериалов [12, 14, 16]. Также их проявлению способствует приложение дополнительной боковой нагрузки.

Неоднородный характер развития неупругой деформации в слое и связанное с ней изменение объема, обусловленное дилатансией, проявляется также в деформации поверхности (рис. 9). Изменение рельефа поверхности оказываются достаточно сложным ввиду того, что наряду с образованием складок, связанным со смещениями вдоль линий локализации, заметный вклад в изменение рельефа вносит дилатансия. Развитие дилатан-сии в зоне локализации приводит к подъему поверхности. Кроме того, вокруг линий локализованного сдвига возникают приращения напряжений и деформаций разных знаков аналогично процессу вблизи наклонных трещин или трещин поперечного сдвига. Возникают зоны разрежения и избыточного сжатия, а значит опускание и подъем поверхности.

5. Заключение

Выполненные исследования позволили получить и проанализировать трехмерную структуру зон локализации деформации, формирующуюся при продольном сдвиге слоя геосреды. Получено, что в данных условиях деформирования, наряду с вертикальной поверхностью локализованного сдвига, которая разделяет область на две части, формируется пространственная система оперяющих зон локализации. Данные зоны могут иметь пропеллерообразную форму, при которой вблизи поверхности их края разворачиваются в направлении плоскости сдвига, а в глубине — отклоняются ортогонально разлому. В зоне локализации образуются области разрежения и избыточного сжатия, что частично проявляется в деформации и изменении рельефа поверхности.

Учитывая столь сложное строение зон нарушений, становится понятно, насколько непростой задачей является анализ и интерпретация экспериментальных и природных наблюдений. Поэтому основное внимание в работе уделено анализу деформационной картины. Предполагается, что полученные результаты расчетов будут полезны для интерпретации природных данных и построения кинематических схем деформирования.

Проведенные расчеты показали, что для построения целостной картины распределения напряженно-деформированного состояния, особенно если это касается процессов локализации деформации и разрушения, необходимо трехмерное моделирование. Рассмотрение изолированных двумерных сечений среды не всегда поз-

воляет построить полную картину развития деформации, в частности, проследить развитие полос локализованной деформации. Кроме того, необходимо учитывать, что развитие разрушения, полос локализованного сдвига или трещин происходит поэтапно с изменением напряженного состояния в окрестности. В то же время для получения общих представлений и первичных оценок о характере процесса могут быть полезными двумерные расчеты. Такие оценки оказываются наиболее верными вблизи источника деформации, который в значительной мере определяет процесс деформации.

Авторы выражают признательность за обсуждение работы и полезные советы Ю.Л. Ребецкому (ИФЗ РАН), Г.Н. Гогоненкову и А.И. Тимурзиеву (ЦГЭ).

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 11-05-00661-а) и интеграционного проекта СО РАН № 127.

Литература

1. Гогоненков Г.Н., Тимурзиев А.И. Сдвиговые деформации в чехле Западно-сибирской плиты и их роль при разведке месторождений нефти и газа // Геология нефти и газа. - 2010. - Т. 51. - № 3. -С. 384-400.

2. Гогоненков Г.Н., Кашик А.С., Тимурзиев А.И. Горизонтальные сдви-

ги фундамента Западной Сибири // Геология нефти и газа. - 2007. -№ 3. - С. 3-18.

3. Sylvester G. Strike-slip faults // Geol. Soc. Am. Bull. - 1988. - V. 100.-No. 31. - P. 1666-1703.

4. Katz Y., Weinberger R., Aydin A. Geometry and kinematic evolution of

Riedel shear structures, Capitol Reef National Park, Utah // J. Struct. Geol. - 2004. - V. 26. - P. 491-501.

5. Шерман С.И., Семинский К.Ж., Борняков С.А. и др. Разломообра-зование в литосфере: В 3-х т. - Новосибирск: Наука. - Т. 1. -1991. - 261 с.; - Т. 2. - 1992. - 262 с.; - Т. 3. - 1994. - 263 с.

6. Семинский К.Ж. Общие закономерности динамики структурооб-разования в крупных сдвиговых зонах // Геология и геофизика. -1990. - №4. - С. 14-23.

7. Шерман С.И., Гинтов ОБ., Борняков С.А. и др. Характер разломо-

образования в консолидированной земной коре и моделирование зон скалывания // Геофиз. журн. - 1988. - Т. 10. - № 1. - С. 13-20.

8. Бо^-няков СЛ. Количественный анализ параметров разномасштаб-

ных сдвигов // Геология и геофизика. - 1990. - М 10. - С. 34-42.

9. Бокун A.H. Закономерности образования и особенности строения зон горизонтального сдвига (по результатам физического моделирования) // Тектонофизика и актуальные вопросы наук о Земле. К 40-летию создания М.В. Гзовским лаборатории тектонофизики в ИФЗ PAtt Матер. докл. Всерос. конф., Москва, 13-17 октября 2008 г.: В 2 т. - М.: ИФЗ PA^ 2009. - Т. 1. - С. 149-161.

10. Peбeцкuй Ю.Л. Напряженное состояние слоя при продольном сдвиге // Изв. AH СССИ Физика Земли. - 1988. - М 9. - С. 29-35.

11. Peбeцкuй Ю.Л., Михайлова A.B. Pоль сил гравитации в формировании глубинной структуры сдвиговых зон // Геодинамика и текто-нофизика. - 2011. - Т. 2. - М 1. - P. 45-67.

12. Стефанов Ю.П., Бакеев P.A., Смолин И.Ю. О закономерностях локализации деформации в горизонтальных слоях среды при разрывном сдвиговом смещении основания // Физ. мезомех. - 2009. -Т. 12. - М 1. - С. 83-88.

13. Стефанов Ю.П., Бакеев P.A. Численное исследование деформации слоя геосреды при разрывном сдвиговом смещении основания // Матер. Всерос. конф. с межд. участием «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», Новосибирск, 30 мая - 4 июня 2011 г. - http://conf.nsc.ru/ niknik-90/ru/reportview/39468. - 8 с.

14. Стефанов Ю.П. Локализация деформации и разрушение в геоматериалах. Численное моделирование // Физ. мезомех. - 2002. -Т. 5. - М 5. - С. 107-118.

15. Stefanov Yu.P. Numerical investigation of deformation localization and crack formation in elastic brittle-plastic materials // Int. J. Fract. -2004. - V. 128(1). - P. 345-352.

16. Ма^^^ов ПБ., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кзнецов ПБ., T^убицын A.A., Tpyбuцынa H.B., Bopoшuлoв С.П., BopoшuлoвЯ.С. Нелинейная механика геоматериалов и геосред. - Новосибирск: Aкaдем. изд-во «Гео», 2007. - 240 с.

17. Wilkins M.L. Computer Simulation of Dynamic Phenomena. - Berlin: Springer-Verlag, 1999. - 246 p.

18. ^ywep Д., П^аге^ B. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 2. Определяющие законы механики грунтов. - М.: Мир, 1975.- С. 166-177.

19. Huколаевский B.H. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды // ПММ. - 1971. - Т. 35. - М 6. -С.1017-1029.

20. Гapaгaш И.A., Huколаевский B.H. Неассоциированные законы течения и локализации пластической деформации // Успехи механики. - 1989. - Т. 12. - М 1. - С. 131-183.

Поступила в редакцию 14.09.2011 г.

Сведения об aвmopax

Стефанов Юрий Павлович, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО PA^ stefanov@ispms.tsc.ru Бакеев Pустaм Aльфpедович, к.ф.-м.н., прогр. ИФПМ СО PA^ rustam@ispms.tsc.ru