Проблемы применения математических моделей в педагогическом эксперименте

А. Е. Упшинская

ПРОБЛЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Ключевые слова: педагогический эксперимент, математическое моделирование, структурные/функциональные модели, детерминированные/стохастические модели, проблемы применения математических моделей.

Математическое моделирование в педагогике в настоящее время находится в центре внимания методологии образования. Математические модели являются одним из инструментов для понимания тонкостей образовательных явлений. Однако, они не могут играть ту же роль, в качестве средства для выражения фундаментальных концепций в образовании, как в естественных науках. В статье рассматривается характер и принципы математического моделирования при его использовании в педагогическом эксперименте, с целью избежать методологических ошибок.

Key words: pedagogical experiment, math modeling, structural/function models,

deterministic/stochastic models, problems of application of math models.

Math modeling is currently at the focus of educational methodologists' attention. Math models are actually one of the power tools for understanding the intricacies of educational phenomena. However, they cannot play the same role as a vehicle for expressing fundamental concepts in educational sciences as they do in the natural sciences. The main purpose of this article is to explore the nature and principles of math modeling and to examine its application in educational in oder to avoid methodological fallacies in educational research.

Педагогический эксперимент это исследовательская деятельность, позволяющая определить причинно-следственные связи в педагогических явлениях и предполагающая опытное моделирование педагогического явления и условий его протекания; активное воздействие исследователя на педагогическое явление; измерение результатов педагогического воздействия и взаимодействия. Однако на первом этапе экспериментатор сталкивается именно с процессом моделирования. Несмотря на потребность в применении математического моделирования в педагогике, специалисты в области математики отмечают, что применение математических методов в социальных и гуманитарных науках связано с большими трудностями, так как выделение однородного качества и его математическое изучение затруднены тем, что при этом приходится учитывать много субъективных факторов. Основная трудность в этом случае состоит в построении качественной теории процессов. Если не учитывать этого, возникает опасность увлечения формулами и математическим аппаратом, за которыми исследователи перестают видеть реальное содержание изучаемых процессов. Фактически речь идет об опасности узкого подхода к сложнейшим, многофакторным педагогическим явлениям. Математические модели широко используются в научной и практической деятельности, поскольку они позволяют точно фиксировать структурные изменения любой системы и отражать их в количественной форме. Начало их использования в педагогической психологии можно датировать 1885г., когда Г.Эббингауз построил математическую модель «кривой забывания», описывающую связь между временем сохранения и процентом

сохранившегося в памяти материала, которая была обнаружена им в его экспериментах, а также работами А.Щукарева (1907) и Т.Робертсона (1908). Ими были осуществлены первые попытки построить эмпирические «кривые обучения», т.е. модели количественной зависимости между числом упражнений, (или повторений) и объемом (или качеством) усвоения знаний (или навыков).

В нашу задачу не входит рассмотрение математического моделирования как дидактического средства, используемого для лучшего понимания содержания обучения. Мы рассматриваем применение математических моделей к педагогическим объектам и процессам в педагогическом эксперименте. Такие модели необходимы для анализа эффективности функционирования образовательных систем, прогнозирования и проектирования их развития, подтверждения выдвинутых гипотез. Для того чтобы некоторое теоретическое описание являлось математической моделью, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующей совокупности требований: а) по форме было символическим (знаковым); б) по характеру являлось дедуктивной системой; в) по содержанию допускало интерпретацию в математических понятиях; г) по структуре было изоморфно отношениям изучаемых объектов.

Процесс моделирования состоит из пяти основных этапов:

1. Наблюдение явления, выделение проблемной ситуации присущей явлению важных факторов (переменных / параметров), которые влияют на проблему и результат.

2. Выдвижение предположений об отношениях между факторами и их математическая интерпретация с целью построения модели явления.

3. Применение математического анализа для модели.

4. Получение результатов и интерпретация их в контексте явления, выводы.

5. Тестирование и уточнение модели.

Существует два основных вида математических моделей: структурные и

функциональные. Структурные (неметрические) модели фиксируют разнообразные структурные отношения между величинами и компонентами, но не отображают чисто количественные зависимости между ними (модель образовательного кластера, модель профессиональной подготовки студента). Функциональные (метрические) модели применяются для описания динамики исследуемых процессов, предсказания происходящих в них изменений. Такие модели ещё называют прогностическими (трендовыми). Они описывают различные взаимосвязи между величинами с помощью функций и предназначены для изучения не структуры систем, а характера их поведения.

В процессе использования в педагогическом эксперименте такие модели способны выполнять разнообразные функции: описательную, управленческую, исследовательскую и прогностическую (таблица). К типичным недостаткам структурного моделирования относят неопределенность критериев, в соответствии с которыми упорядочиваются взаимосвязи; обилие второстепенных связей, в результате чего главные «ускользают»; усложнение изучение предмета исследования; отсутствие полноты и иерархии связей, присущих оригиналу; громоздкость и сложность моделей для восприятия и практического применения. Меньшая востребованность функциональных моделей в педагогике объясняется тем, что класс педагогических явлений, которые могут быть описаны с помощью таких моделей, гораздо уже. В педагогической системе взаимодействуют множество субъектов и для построения функциональной модели этого взаимодействия необходимо определить основные параметры, отражающие состояние каждого субъекта, выявить их взаимовлияние, количественно измерить и описать с помощью подходящей

функциональной зависимости, что сопряжено с трудностями по причине слабой формализуемости педагогических систем и проблем, описанных ниже.

Таблица 1 - Содержание функций математических моделей

Функция Содержание

Описательная рассмотрение предмета изучения в виде модели для выделения в нем существенных свойств и отношений, отражающих его главное содержание. Это позволяет понять, как устроен объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром.

Управленческая фиксирование в модели закономерностей процесса служит ориентиром для принятия экспериментатором научно обоснованных решений по его совершенствованию.

Исследовательская модель выступает в роли предмета или средства исследования. Наиболее ярко эта роль проявляется в результате постановки педагогического эксперимента.

Прогностическая зафиксированные в модели количественные или структурные соотношения открывают возможности планирования деятельности, построения перспектив развития педагогической системы с учетом условий, для которых построена модель. Реализация прогностической функции конкретной математической модели связана с экстраполяцией тенденций на основе статистических критериев с использованием различных методов прогнозирования.

Простейшей формой функциональной модели является модель «черного ящика». Ее суть заключается в том, что информация, поступающая на входе, находится в распоряжении исследователя, и поэтому ее характеристики рассматриваются как независимые переменные. Характеристика информации, полученной на выходе, считается зависимой переменной. Целью моделирования в этом случае будет поиск соответствующей функциональной зависимости. Эта модель используется во многих науках. В педагогике на основе принципа «черного ящика» построена модель оптимизации самостоятельной работы студентов (В.И.Михеев, С.И. Архангельский): внутреннее

строение системы неизвестно, наблюдается лишь движение информации на входе и выходе объекта, рассматриваются потоки информации и конечные состояния системы управления.

При данном моделировании возникает проблема: постулируя некоторую структуру отношений «входа - выхода», как исходную, данные модели закрывают путь к изучению и объяснению тех внутренних психических механизмов, которые обусловливают и порождают эти внешние отношения. Такое сведение модели к операционной схеме преобразования отношений «входа — выхода» лишает модель признаков необходимости, делает ее произвольной, а границы ее применимости — весьма узкими. И действительно, анализ показывает, что во всех случаях уже при небольшом расширении сферы применения модели за пределы эмпирических отношений, из которых она была индуцирована, любая из рассмотренных моделей оказывается несостоятельной.

С точки зрения математической логики математические модели, применяемые в педагогике модно классифицировать как детерминированные и стохастические.

Детерминированные модели. В детерминированных процессах считается возможным определить будущее состояние, если мы знаем текущее состояние процесса

через дифференциал (или разность) уравнений. Приверженцы данного подхода пренебрегают изменчивостью человеческого поведения, которое в природе своей независимо и логически различно. Образовательные процессы в данном случае изображаются как состоящие из набора этих переменных, которые по описанию эквивалентны. Эта эквивалентность действует во времени и месте. Связь между этими переменных причинная и линейная. В этом случае предшествующие условия понимаются как эффективные предпосылки / причины человеческого поведения. Если образовательные явления охарактеризовать таким образом, то намерения, убеждения для действий человека не отличаются от деятельности химических веществ. Это означает, что можно развивать науку человеческого поведения, которая позволяет предсказать что будет. Яркими представителями такого подхода являются Blossfeld, Rohwer (1995), Scott (2000).

Стохастические модели. В стохастической модели будущее состояние может быть получено из настоящего только с некоторой вероятностью. Этот подход работает на основе нечеткой логики, и не описывает систему как таковую, поскольку встроено понятие вероятности, но позволяет бороться со случайными факторами. Исторически сложилось так, что стохастические модели используются чаще, чем детерминированные.

Большинство разработанных моделей, несомненно, совершенствуют образовательную практику, однако они огрубляют описание процесса или оказываются применимы только в отдельных ситуациях. Некоторые имеют сложную математическую форму, оперировать которой не только трудно в реальной практике обучения, но и без специальной математической подготовки почти невозможно. Поэтому большинство моделей не получили широкого распространения в массовой педагогической практике.

Являясь одним из инструментов власти для понимания тонкостей образовательных явлений, математические модели, однако, не могут играть в педагогике ту же роль, в качестве средства для выражения фундаментальных концепций, как в естественных науках. Математика может играть эвристическую, а не основную роль в исследовании образовательных явлений. Анализ зарубежной литературы показал, что существуют три важных проблемы, касающихся применения математического моделирования в педагогических исследованиях, на которые необходимо обратить внимание.

Одной из них является применение вида системы, с которой исследователь вынужден работать. Другими словами, основные различия между естественными и гуманитарными науками заключается в работе в замкнутых и открытых системах соответственно (Bhaskar, 1991, Sayer, 1992, Арчер, 1995). Закрытые системы работают при двух условиях: действия последовательны и внешние воздействия остаются

постоянными. Когда выполняются оба этих условия, можно говорить о причинности отношений. Исследователи в области образования, в целом, работают с открытыми системами, в которых эти два условия замкнутой системы нарушены. Люди поступают обычно непоследовательно, они меняют свои привычки и поведение; внешние условия для осуществления причинности также постоянно изменяются, поскольку обеспечиваются людьми. Таким образом, вполне вероятно, что с течением времени и в разных местах, проявления причин различны.

Вторая проблема заключается во взаимоотношениях зависимости и причинности. Зависимость может быть построена между точно определенными переменными. Эти переменные должны четко диагностироваться в ходе наблюдения. Они также не могут быть частью других переменных, т. е. необходимо исключить автокорреляцию. Это необходимо учитывать в процессе введения переменных в действие. Если предположить, что Мир состоит из постоянного суммирования события, то это неизбежно приводит к

суммированию зависимостей и причинно-следственных связей. А в случае открытых систем, где невозможно однозначное измерение переменных, а причинно-следственные связи имеют латентных характер, установить однозначные зависимости и причинноследственные связи невозможно, а их сумма обладает новыми свойствами.

Третья проблема связана с тем, что в моделях объекты должны быть экстенсиональными (обладать в точности одними и теми же свойствами, быть взаимозаменяемыми). Например, в естественных науках, рассматривая жидкость, мы используем взаимодействие молекул, предполагая их одинаковыми. В случае образовательных систем предположение об одинаковости элементов, приводит к исключению индивидуальности педагога, студента. Это сильно искажает зависимости внутри системы и возможный результат воздействия. Extentionalism это термин, который исходит из факта, что стандартная логика удовлетворяет принципу объемности. В стандартном логике, любые положения, которые верны для одинаковых объектов, т. е. один из них может быть заменен на другой, верны для расширенного объема подобных объектов, при этом истинность положений не изменится.

Таким образом, мы показали, что каждая из проблем использования математических моделей в педагогическом эксперименте приводит к ряду заблуждений:

Применение закрытых систем приводит к ошибке однородности и детерминирования (пренебрежению к человеческому намерению и творчеству).

Определение зависимостей является основой для заблуждений о причинах явления и их последствиях. Возможно, мы можем объяснить, что произошло, но не сможем сказать, что будет. Предположение об экстенсиональности элементов исключает ценность каждого из них.

В заключении подведем итог. Основное препятствие, которое возникает при попытках применения математических моделей применительно к педагогике, заключается в недоступности многих существенных переменных, участвующих в педагогических процессах, непосредственному наблюдению и количественной характеристике, особенности описания открытых систем и необходимость пренебрегать индивидуальными характеристиками отдельных элементов внутри системы. Одной из причин этого является то, что образовательные явления по своей природе являются открытыми системами. Кроме того, не исключено, что найденные зависимости не имеют причинности. Действительно, педагогическая наука не может настаивать на экстенсиональном описании, не отказываясь от природы своих явлений. Поэтому все рассмотренные типы моделей оказываются применимы для описания педагогических процессов лишь в определенных, сугубо экспериментальных условиях, где можно искусственно создать ограничения, обеспечивающие выполнимость принятых моделью допущений.

Литература

1. Bakhtian shabani Varaki Math modeling educational research: an approach to methodological fallacies //Australian Journal to Teacher Education. - 2006. -T.31. - № 2. - Р.29-35.

2. Ительсон, Л.Б. Математические методы в педагогике и педагогической психологии: Автореферат дисс.... докт. пед. наук. - М., 1965. - 36с.

© А. Е. Упшинская - канд. пед. наук, доцент каф. химической кибернетики КГТУ, cppkp@mail.ru.