Расширение области определения оператора истинности на ограниченную область символьных выражений

С.А.Павлов

РАСШИРЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА ИСТИННОСТИ НА ОГРАНИЧЕННУЮ ОБЛАСТЬ СИМВОЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ*

Abstract. Generalization of logic on the domain of symbolic expressions is realized. Quantifiers are introduced for symbolic expressions variables.

Целью этой работы является построение языка логики, в котором область определения операторов истинности и ложности расширяется на область символьных выражений языка и вводятся кванторы по этим символьным выражениям. Символьным выражением некоторого языка L называется любая конечная линейная последовательность (упорядоченная n-ка) символов из алфавита этого языка L. Синонимом символьного выражения являются слово, выражение или строка в алфавите [4].

В [3] сформулирована логика, обогащенная операторами истинности и ложности, а также связкой полной эквивалентности = . Затем эта логика расширена на область нестандартных формул. Следующий шаг состоит в квантификации по символьным выражения языка этой логики.

1. Расширение пропозициональной логики на область нестандартных формул

Приведем кратко содержательные положения, на которых основывается расширение пропозициональной логики на область нестандартных формул.

В дополнение к множеству правильно построенных формул рассмотрим множество неправильно построенных формул. Относительно последних можно утверждать две вещи: 1) что они бессмысленны и 2) что они ни истинны, ни ложны. В стандартном языке пропозициональной логики невыразим тот факт, что они ни истинны и ни ложны. Однако в языке с операторами истинности и ложности утверждения о неистинности и неложности формул, являющихся неправильно построенными, можно выразить следующим образом:

* Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 02-03-18287.

(~ | (Nonsense & — (Nonsense)), где словом «Nonsense» обозначено имя некоторой неправильно построенной формулы, | и - операторы истинности и ложности соответственно.

В качестве исходных неправильно построенных формул возьмем символы = логических констант (импликации и полной эквивалентности соответственно). Это ограничение не снизит общности рассмотрения. В этом частном случае будем называть их для определенности нестандартными формулами (нф).

В дополнение к метапеременным A, B, C для ппф введем новую метапеременную N, соответствующую нестандартным формулам, зададим дополнительные правила образования и сформулируем дополнительную аксиому для нф, которая будет аналогична вышеприведенному положению

(-| N л - - N).

Также введем метапеременные E, Eb E2, ... для любых формул, как правильно построенных, так и нестандартных, то есть для ппф и нф одновременно.

Для формул (как правильно построенных, так и нестандартных) принцип двузначности не имеет места, но остается справедливым закон противоречия в семантической форме

- (|E л - E).

Назовем полученное исчисление TC3N(=) и приведем его формулировку.

2. Формулировка логики с оператором истинности, обогащенной связкой полной эквивалентности

Язык исчисления TC3N

Алфавит TC3N(=):

s, sb s2, ... пропозициональные переменные; e, eb e2, ... переменные для символьных выражений языка (экспрессиональные переменные); = , V логические константы;

| символ оператора истинности; ( , ) технические символы.

Правила образования формул

(i) Всякая пропозициональная переменная есть правильно построенная формула (ппф).

(ii) Если A, B есть ппф, то (|A), (A ^ B), (A = B) есть ппф.

(iii) Символы логических констант = есть нестандартные формулы (сокращенно нф).

(гу) Если A есть ппф или нф, или экспрессиональная переменная,

то A есть формула. (v) Если A есть формула, B есть нф, то (А ^ B), (B ^ A), есть нф.

(у^ Если A, B есть формула, то (|А), (A = B) есть ппф. (vii) Если A есть формула, x есть пропозициональная или экспрессиональная переменная, то Vx (|А) есть ппф. (уш) Ничто иное не является ппф и нф. Метапеременные: А, В, С, ... для ппф, N для нф,

Е, Бь Е2, ... для формул. Принимаем стандартные соглашения относительно опускания скобок.

Введем следующие сокращения для формул.

Определим формулу 0, являющуюся тождественно ложной, которая будет играть роль константы "ложь".

Б1.1.1. 0 =а£ Vs | 8

Определим отрицание Б1.1.2. -А =

Высказывание о ложности предложения А рассматривается как сокращение для высказывания об истинности отрицания предложения А. Определим оператор ложности. Б1.2.1. -А |~А

Для высказывания о строгой истинности предложения А: ' Г ' содержательно означает 'есть истинно и неложно'.

Б1.2.2. Га -

Определим Б-импликацию з, которая фигурирует в правиле вывода.

Б1.2.3.

Определим конъюнкцию, дизъюнкцию и эквиваленцию о. Б1.3.1.

Из всего класса формул выделим подкласс, который образован из префиксированных операторами истинности или ложности формул (называемых далее Т.Б.-формулами (Т.Б.-ф.)). ^х) Если А, В есть формулы, то (|А), (А = В) есть Т.Б.-ф.

(х) Если Рь Р2 есть Т.Б.-ф., х есть пропозициональная или экс-прессиональная переменная, то (Р1 ^ Р2) и Ух Р, есть Т.Б.-ф. Метапеременные: Р, Р1, Р2, ... для Т.Б.-ф.,

х, х1, х2, ... для пропозициональных или экспрессиональных переменных.

01.4.1. (Р1 л Р2) - (Р1 з -Р2) Б1.4.2. (Р1 V Р2) (-Р1 з Р2) 01.4.3. (Р1 - Р2) ^ (Р1 з Р2) л (Р2 з Р1) Б1.4.4. (Р1 V Р2) - (Р1 - Р2) Б1.4.5. Зх Р(х) -Ух -Р(х) Схемы аксиом

Имеем следующие группы аксиом:

1) аксиомы классической логики для Т.Б.-формул:

А1.1.

А1.2.

и также

А1.4. |Р - Р

А1.5. Ух Р(х) з Р(Е), если формула Е свободна для х в Р(х).

А1.6. Ух (Р1 з Р2) з (Р1 з Ух Р2)), если Р1 не содержит свободных вхождений х.

2) аксиомы, выражающие условия истинности для импликации: А2.1. | (Е1 ^ Е2) - (-Е1 V | Е2),

А2.2. -( Е1 ^ Е2) - (|Е1 л - Е2).

3) аксиома, выражающая принцип двузначности для ппф:

А3. (|А V - А).

А также добавим аксиому, задающую свойства связки полной эквивалентности =:

А4. (Е1 = Е2) - (|Е1 о | Е2) л (-Е1 о - Е2).

Аксиома, выражающая закон противоречия в семантической форме.

А5. - ( | Е1 л - Е1).

Аксиома, утверждающая ни истинность, ни ложность нестандартных формул.

А6.

Правила вывода

Е1,

МР, ---Оеи.

Е2 Ух Р

Интерпретация:

Таблицы истинности ниже.

0 / 1

0 1 1 1

/ / / 1

1 0 / 1

= 0 / 1

0 1 0 0

/ 0 1 0

1 0 0 1

0 0 1

/ 0 0

1 1 0

Пропозициональная часть исчисления ТС3^=) эквивалентна сильной логике Клини [1], обогащенной клиниевской же связкой полной эквивалентности, а также трехзначной логике Лукасевича. Последнее может быть понято при учете того, что при построении этого исчисления ослаблялся именно принцип двузначности, что являлось для Лукасевича [2] отправной точкой в построении им трехзначной логики.

Аналогично тому, как Черч [6] показывает эквивалентность расширенного пропозиционального исчисления (с кванторами по пропозициональным переменным) Лукасевича-Тарского, Рассела классическому пропозициональному исчислению, можно показать эквивалентность построенного исчисления ТС3^=) трехзначной логике ложности ЕЬ3№

В заключение приведем ряд теорем, имеющих несколько непривычный вид. Т1.1. Ь -Ух | (х ^ х) Т1.2. Ь - | (^ ^ Т2.1. Ь Ух (х = х) Т2.2. Ь (^ = Т2.3. Ь (= = =).

ЛИТЕРАТУРА

1. Клини С.К. Введение в метаматематику М., 1957.

2. Лукасевич Я. О детерминизме // Логические исследования. Вып. 2. М., 1993. С. 190-205.

3. Павлов С.А. Новый подход к построению и обобщению классической логики // Логические исследования. Выпуск 10, М., 2003, С. 150-157.

4. Смальян Р. Теория формальных систем. М., 1981.

5. Тарский А. Понятие истины в языках дедуктивных наук // Философия и логика Львовско-Варшавской школы. М., 1999. С. 19-156.

6. Чёрч А. Введение в математическую логику. М., 1960.