Гениальное наследие Софуса Ли

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 151, кн. 4 Физико-математические пауки 2009

УДК 514.7

ГЕНИАЛЬНОЕ НАСЛЕДИЕ СОФУСА ЛИ

М. Рахула

Аннотация

Описываются этажи ТкЫ, сектор-расслоения и теория секторных форм по Уайту. Итерацией касательного функтора Т строятся касательные группы ТкО. Изучаются инварианты групповых операторов, их преобразование при симметриях и устойчивость. Используемым в работе аппаратом является исчисление Ли Картапа.

Ключевые слова: струп, касательный функтор, этаж, касательная группа, устойчивость инвариантов.

Введение

Имеются два подхода к математическому описанию мира. Это объясняется двойственностью объекта исследования и двойственностью самой природы. А. Пуанкаре, комментируя дискуссию, состоявшуюся между Ньютоном и Лейбницем, писал1: «Современным математикам трудно понять противоречия, волновавшие наших предшественников при создании инфинитезималыгого исчисления. Можно ли понять, почему два великих геометра, которые владели этим аппаратом более искусно, чем кто-либо до них, впадали в мистику и замешательство? Нам представляется, что подходы Ныотона и Лейбница совпадают, а если говорить

о различиях, то они, скорее всего, сводятся лишь к различным обозначениям в их методе». На самом деле противоречия существуют объективно. Теперь, спустя три столетия, мы понимаем, что действительная причина заключается в дуальности структур. Одно и то же дифференциальное уравнение (ДУ) может быть истолковано двояко. Например, ДУ r'' + r = 0, где r - радиус-вектор точки, описывает в репере (r, r') эллиптическую траекторию rt = r cos t + r' sin t, в то время как это же ДУ f'' + f = 0, где f - скалярное (тензорное) поле и штрих означает производную Ли относительно векторного поля X, описывает пульсацию поля ft = f cos t + f' sin t. В одном истолковании имеем траекторию частицы, а в другом состояние поля. Подобные ситуации встречаются часто, и ныне их можно свести в единое исчисление Ли Картина. Эли Картан строил геометрию с помощью дифференциальных форм и внешнего дифференцирования2, в то время как в теории Софуса Ли преобладает идея линеаризации процесса. Поток в сплошной среде характеризуется векторным полем или, по терминологии Ли, ин-финитезимальным преобразованием3. «Софус Ли заложил основы общей теории непрерывных групп с иифииитезималыгой точки зрения и показал ее важность многочисленными приложениями к геометрическим вопросам и к дифференциальным уравнениям», - пишет Г. Вейль4. Что касается линеаризации, то теперь мы имеем весьма общую, но простую схему5: сущность дифференциальных продолжений раскрывается в структуре многократных расслоений и итерациях касательного

1См. [1], Приложение, гл. 2.

2Метод Картана описан, например, в книгах [2, 3].

3Теория Ли и приложения были достаточно полно изложены в [4].

4См. в книге [5, с. 47].

5 Имеется литература [б 12].

функтора Т. При итерациях функтора Т многообразию M ставятся в соответствие его этажи ТkM, а отображению f : M1 ^ M2 - морфизмы этажей Тkf : тkM1 ^ ТkM2, k =1, 2,... Элемент этажа ТkM, касательный вектор к этажу Тk-1M, трактуется как стоп-кадр движения k-ro порядка. Этот подход перспективен. если исследуется взаимодействие потоков, когда один поток увлекается другим потоком, затем результат подвергается преобразованию третьим потоком и т. д. В основе такого исследования лежит двойственность. Подобно тому, как ньютоновская механика соединятся с дифференциалами Лейбница, здесь мы говорим

о дифференциальных уравнениях с производными Ли и симметриях операторов в сочетании с формами Картана.

В настоящей работе показывается, как можно ориентироваться в этажах и как следует работать с касательным функтором6. Линеаризация приводит к матрицам и линейным группам, и в частности, к калибровочным группам. На примерах линейных групп GL(n, R), n = 2, 3, будет показано, в чем заключается устойчивость инвариантов и какова при этом роль возникающих сизигий.

1. Этажи

Каждый раз, поднимаясь с очередного этажа на следующий, получаем удвоение размерности:

dim M = n ^ dimТkM = 2kn, k = 1, 2,...

Для элементов этажей вводим обозначения по следующему правилу:

u G M, (u, U1) G TM,

(u, U1, U2, U12, U3, U13, U23, U123) G T3M,...

Элемент (u,u1) G TM - это пара, состоящая из точки u G M и касательного к многообразию M вектора u1 в этой точке. Далее, каждый раз, поднимаясь этажом выше, мы к символам, обозначающим точку этажа Тk-1M, добавляем те же сим-

k

к Тk-1M вектор в этой точке, k = 2, 3,...

Для описания структуры этажей как многократных векторных расслоений предлагаемая индексация удобна. Естественные проекции

п, : Т lM ^ Т l-1M, / = 1, 2, ...k,

с учетом их дифференциалов определяют k различных проекций с этажа ТkM на этаж Тk-1M:

Тk-1nb Тk-2n2, ..., Tnk-1, nk.

При /-й проекции из рада (2) символы с индексом / изымаются, а символы, которые остаются, определяют результат - точку этажа Тk-1M. Так, чтобы спуститься

с третьего этажа на второй, имеем три проекции, и наше правило показывает:

L Т2П1 1тп2 дпз

6B сравнении с книгами [8] и [11] наш подход намного проще и поэтому удобнее в применении.

Вообще, для того чтобы спуститься с этажа ТкМ вниз та многообразие М, существует к! различных способов7.

Далее, каждой гладкой функции Ф с этаж а Т к-1М можно сопоставить па этаже ТкМ тару (Фопк, СФ) - саму функцию, поднятую па к-й этаж, и ее дифференциал. Согласно этому принципу в итеративном процессе каждой гладкой функции /, заданной на многообразии М, на этаже Т кМ сопоставится 2к различных функций:

/ — (/ о П1,/) — (/ о П1П2, С/ о П2, С(/ о П1),Й2/) — ...

Введем для этих функций обозначения, используя ту же индексацию, что для элементов этажей:

/ -

—

— (/ /1; /2, /12, /3, /13, /23, /123) — • • •

В анализе говорят просто о дифференциалах /, С2/, С3/,..., что, с нашей точки зрения, не вполне корректно, так как у нас эти функции определяются на разных этажах8.

1.1. Секторы, сектор-расслоения и сектор-формы. По тому же принципу (3) координатные функции и4, заданные та окрестности и С М, индуцируют на окрестностях Тки С ТкМ координатные функции

и4

(Ъ Ъ Ъ Ъ

и , и1, и2> и 12У

(Ъ Ъ Ъ Ъ Ъ Ъ Ъ

и ; и1; и21 и12! и31 и13! и23! и123) — • • •

Координаты с нижним индексом I являются для 1-й проекции (2) слоевыми,

остальные - базисными, I = 1, 2,..., к. Точка к-го этажа определяется 2кп ко-

ординатами.

/ Тк М

в координатах следующим образом:

/1 = /Хь /2 = /ъЦ, /3 = /*и3,...

/12 = /уиХ + /кик2, /13 = /у'иЩ + /кик3, /23 = /уи2и3 + /кик3,...

./*123 = /Ъ,ки1и2из+ /Ъ, (и1и23 + и2и13 + и3и12) + /ки 123; - - - ;

, _ д/ д2/

ГДО / ъ — ., / ъ, —

диЪ ’ у дигдиу ’

7Структура ТкМ описывается коммутативной диаграммой в виде к-мерного куба, и сквозных проекций от ТкМ до М то ребрам этого куба, действительно, имеется к!

8Правда, равенством проекций (2) можно в этаже ТкМ выделить (к + 1)п-мерное подрассло-ение, являющееся эквивалентом касательного составного многообразия порядка к по В.В. Ваг-

кМ

В случае п = 1, к = 2 это напоминает ситуацию, когда па параболоиде х = ху равенством х = у высекается парабола. Говорить о структуре многократного векторного расслоения в таком

случае, естественно, не приходится.

Все эти дифференциалы линейные функции на слоях соответствующих рас/123

и индекс 1 (соответственно 2 и 3) представлен в каждом слагаемом один и толь/123

Т2пьТп2 и П3.

Если в этих формулах частные производные /Ъ, /Ъ,, /Ъ,к,... заменить произвольными скалярными коэффициентами, то получим следующий общий случай.

ТкМ

вается к-секторной формой то Уайту [11]. При этом элементы этажа ТкМ называются к-сектощми, асам этаж Т кМ - к-секторным расслоением.

Теория секторных форм Уайта является намного более общей, чем теория внешних форм Картана. которую она включает как частный случай. Например. 1-форма Ф М ТМ

циалом СФ. В координатах на Т2и имеем:

Ф = ^Ъи1_ — СФ = д,и1_и2 + ^кик2.

Если производные д, проальтернировать и просимметрировать по индексам:

д, = д[,+ д(,, то в выражении СФ выделится внешний дифференциал этой

формы д[, у>4] и^и^. Таким образом в структуре сектор-расслоений (этажей) и на секторных формах трактуются любые операции с внешними формами.

1.2. Обобщенная формула Лейбница. Гладкое отображение А : V х V ^

Ш, где V, V и Ш - гладкие многообразия, имеет касательное отображение ТА:

А : V х V ^ Ш : (и, V) ^ ад.

ТА : ((и,и1), («,«1^ ^ (ад,ад1).

Отображение А сопоставляет паре точек и € V и V € V точку ад € Ш, которую обозначим и • V. Определим отображения

/и : V ^ Ш : V ^ и • V, : V ^ Ш : и ^ и • V.

Касательным векторам и^ и V! к V и V в точках и и V сопоставляется вектор и>1, касательный к Ш в точке ад, - сумма образов9 Тг^(и1) и Т/и^). Обозначим их соответственно и1 -V и и^. Получаем формулы, правая из которых - обобщенная формула Лейбница:

ад = и • V, ад1 = и1 • V + и •

1.2.1. Производные Ли. Пользуясь формулой (4), можно вывести все вычислительные формулы для производных Ли. Так, из равенства (У/)' = У'/ + У/' выводим производную Ли10 £хУ = У' = ХУ — УХ, разрешая, по сути, уравнение ад1 = и1 • V + и • Vl относительно и1. Из (Ф(У))' = Ф7(У) + Ф(У7) получаем соотношение Ф = Ф7 • Зная, что тепзорпое поле S типа (1,2) является линейной функцией

Ф

9 В координатах это соотношение имеет вид

д\а д\а

= Ха(и, V), = -<1й +--------^

дпъ Эуа

10 Если известно, что дифференцирование производится относительно определенного векторного поля X, производную Ли обозначаем просто штрихом.

полей) Y и Z, применяя ту же формулу Лейбница к выражению £(Ф, Y, Z), получаем производную Ли S' = Lx S. № равенства Yf = df (Y) выводим соотношение (df)' = d(f'), означающее что производная Ли коммутирует с дифференциалом d. Равенство [Y, Z]' = [Y', Z] + [Y, Z'], в котором применено правило Лейбница, дает тождество Якоби для векторных полей и т. д.

1.2.2. Деривационные формулы базиса. Если па многообразии11 M векторные поля Д* образуют поле реперов, а 1 -формы wj - поле дуальных кореперов,

i, j = 1, 2,..., n = dimM, то будем говорить, что на M задан неголономный базис (Д, w). Дуальность реперов и кореперов выражается равенством wj (Д*) = Jj или, короче, w(R) = E, гДе E - единичная матрица. Базис (Д, w) обладает объектом неголономности Cj:

[Ri,Rj ] = Rfcckj., dw* = -1 cjfc wj A wk.

Потоком векторного поля X = Pjx* базис (Д, w) увлекается. Инфинитезимальное

преобразование этого базиса в потоке X определяется деривационными формула-1 2

лш12

Д' = -ДС, w' = Cw,

где штрихом обозначены производные Ли относительно X, и матрица С имеет следующий вид:

С =

Формулы (6) упрощают вычисления. Например, производные Ли векторного поля Y, 1-формы Ф и аффпнорного поля A в потоке X вычисляются по схеме:

Y = Ду ^ Y' = Д(у' - Су),

Ф = <^>w ^ Ф' = (у/ + y>C)w.

A = ДА w ^ A' = Д(А' - СА + АС)w.

В случае голономного базиса (d*, duj) имеем хорошо известные формулы в координатах, где С = (djxj). В случае, когда коэффициенты cjk - константы, формулы (6) удобно применять в теории групп Ли.

Эквивалентность формул (6) доказывается посредством применения к равенству w^) = E формулы Лейбница (4): w'^) + w^') = 0.

2. Касательные группы

2.1. Группы TfcG. Пусть G - группа Ли с законом умножения13

Y : G х G ^ G : (a, b) ^ c = ab.

Первый этаж TG становится группой Ли с законом умножения T7. Ситуация описывается формулами

c = ab, С1 = a1b + ab1.

11 Предполагается, что многообразия M и все рассматриваемые на M поля являются гладкими.

12Эти формулы, как и последующие, записаны в матричном виде.

13Точку между перемножаемыми элементами группы не пишем.

Векторы a1 G TaG и b1 G TbG го точек a G G и b £ G переносятся соответственно правым сдвигом гь и левым сдвигом /a (точнее, их дифференциалами) в точку c G G, где сумма их образов a1b = Trb(a1^ и ab1 = T/a(b1) образует вектор c1 G G TcG. Так перемножаются векторы a1 и b1 в группе TG. Правую формулу (8) можно представить в виде c1 = a(a-1a1 + b1 b-1 )b, что интерпретируется следующим образом: a^ и ^переносятся в TeG в векторы a-1a1 и b1b 1, эти векторы они складываются, а затем их сумма отображением T(/а о гь) переносится в TcG.

Единицей группы TG является нулевой вектор в TeG, где e — единица груи-G TG

Далее, произвольный вектор e1 G TeM левым и правым сдвигами переносится в TaG, a G G, в два вектора ae1 и e1^, и та группе G в целом определяются два векторных поля: левоинвариантное векторное поле ae1 и правоинвариантное век-e1 a

поле становится правоинвариантным, а правоинвариантное, наоборот, левоинвариантным:

(ae1)-1 = -e1a-1, (e1a)-1 = -a-1e1.

На центре Z С G эти поля совпадают, ae1 = e^, a G Z. Разность e1a - ae15 как увидим ниже, определяет оператор присоединенного представления.

Если at - 1-параметрическая подгрупп а группы G, то правые сдиги rat и левые сдвиги /at индуцируют на G соответственно левоинвариантное векторное поле X и правоинвариантное векторное поле X. Это объясняется тем, что левые и правые сдвиги на G взаимно коммутируют14. При этом внутренние автоморфизмы Aat = = /at о г-1 индуцируют разность полей X - X:

rat = exptX, /at = exptX, Aat = expt

Все сказанное будет верно и для fc-ro этажа TfcG, который становится груп-

пой Ли с законом умножения TК примеру, в группу T2G формулы (8) и (9) продолжаются следующим образом:

c = ab, c1 = a1b + ab1,

c2 = a2b + ab2,

c12 = a12b + a1b2 + a2b1 + ab12,

a 'W a 1, a1 w- —a 1a1a 1,

a2 w- —a 1a2a 1,

a12 w- —a 1(a12 — a1a 1a2 — a2a 1a1)a 1.

Произведение элементов (a, a1, a2, a12) и (b, b1,b2,b12) в T2G определяется формулами (11). Формулы (12), соответственно, определяют обращение элемента (a, a1, a2, a12) лиза:

/1\' u' 1 А'' — u''u + 2(u')2

\u/ u2’ \u/ u3

14 По этой же причине все левоинвариантные и правоинвариантные векторные ноля взаимно коммутируют.

M

G A TA

G M TG TM

A і M x G ^ M, (u, a) ^ v = u • a,

/ л

TA і ((u, ui), (a, ai)) ^ (v, vi), vi = ui • a + u • ai.

Для каждого a Є G отображение Aa і M ^ M, u ^ v = u • a - диффеомор-

физм. При этом a ^ Aa - гомоморфизм груипы G в группу диффеоморфизмов многообразия M, Aab = Ab о Aa . Отображение

A„ і G ^ M, a ^ v = u • a

определяет в M орбиту A„(G) С M точки u Є M, и отображение T„A переносит

TG

TA„ і TG ^ TM,

Равенство (14). называемое определяющим. соотношением данного представления15, выводится непосредственно из (13),

ui =0 ^ vi = u • ai = (u • a) • (a-1ai) = v • a-1ai.

Фиксированный вектор a-1a1 Є TeG переносится в TM, образуя на M оператор группы, G, касательное к орбитам векторное поле v1 = v • a-1a^ v Є M. Векторный базис (репер) из TeG переносится та многообразие M в систему операторов. Их линейная оболочка представляет собой интегрируемое распределение с интегральными поверхностями орбитами группы.

G

себя внутренними автоморфизмами (присоединенное представление),

Aa = 1a о r-1 і G ^ G, b ^ b = aba-1.

Определяющее соотношение (14) выводится из (13) при ui = 0 с учетом u = v • a-1. Здесь правило Лейбница применяется к b = aba-1 (см. также (9)):

bi = aiba-1 + abia-1 + ab(—a-1aia-1).

b1 = 0 b =

= a-1ba, получаем определяющее соотношение:

bi = (aia-1)b — b(aia-1), aia-1 Є TeG, b Є G.

Переходя к прежним обозначениям b ^ a и a1a-1 ^ e1, заключаем, что оператор присоединенного представления определяется как разность левоинвариантного и правоинвариантного векторных полей eia — aei. Это вполне согласуется и с выводом (10).

По принципу (10) на группе G определяются левопнвариантный базис (й, w) и правоинвариантный базис (і?, w). В обоих случаях структурные константы Сд7,

16 В координата оно записывается в ви де системы dva = , где 5“ _ компоненты групповых

операторов па орбите, шг - левоинвариантные формы на группе G.

а, в, Y =1, 2,..., г = dim G, с точностью до знака16 определяют объекты неголо-номности этих базисов:

[Да,Дв ] = RycZe, dwa = -1 c^7 we A wY,

[Ra,R0 ] = -Ryc, d^“ = 1 c^y we A wY.

Впрочем, из (15) и (16) следует, что операторы присоединенного представления Ya = Ra — Ra имеют такую ж таблицу коммутаторов, что и операторы Ra:

[Ya, Ye] = [Xa,Xe] + [Xa,Xe] = -?c .

Переход от базиса (R, w) к базису (R, 2) осуществляется некоторой матрицей A = = A(a), a G G:

R = RA-1, w = Aw.

Тем самым определяется гомоморфизм £ группы G в линейную группу GL(r, R) с центром Z С G в качестве ядра:

£ : G ^ GL

Подгруппа Ad(G) = £(G) С GL(r, R), изоморфная фактор-группе G/Z, называет-

G

2.2. Группы Tk(GL(2, R)).

2.2.1. Присоединенная группа группы GL(2, R). Все вышесказанное переносится на линейную группу GL(2, R) и ее касательную группу T(GL(2, R)). Элементом группы GL(2, R) является регулярная матрица A. Пусть вектор, касательный к GL(2, R) в точке A, определяется матрицей C, так что

A = fa1 a^ , C = fc1 c^ , (A, C) G T (GL(2,

a3 a4 c3 c4

Координаты a* та группе GL(2,R) определяют натуральный базис (dj,daj), где d

d* = ——, i, j = 1, 2,3,4. Базис в единице E G GL(2, R) разносится на всю dai

группу, порождая два базиса17 - левопнвариантный (Xj,wj) и правоинвариантный (Xj,wJ):

X1 X2A = fa1 a3\ ^ /д1 д2

X3 X^ ^2 a^ удз д4

w1 w2\ / a1 a^ 1 / da1 da2

w3 w4y I a3 aJ I da3 da4

X?1 = f d1 d2A f a1 a3

X3 X4 ] = \д3 d^ ya2 a4

da1 da^\ f a1 a^

da3 daW \ a3 a4

16Так как к : а ^ а-1, то ТкХ = — X, ТкХ = — X, и отображение Тк переводит формулы (15) в формулы (16) и наоборот.

17Левоинварпантный корепер определяется формулой ш = A—1dA, а правоинвариантный — формулой ш = (dA)A—1. Дуальные реперы задаются соответственно обратными матрицами.

?3 w4

Присоединенное представление задается формулой

1

Xi X2

кХз X4

ai a3

a2 a4

X1 X2

X3 X4

ai a3

a2 a4

а точнее, отображением £ (18) и матрицами вида

Л:

aia4 — a2a3

f aia4 a3a4

2

42

—aia3 —a3

у a2a3 —a3a4

—aia2 —a2a3N'

2

—a22 — a2 a4

22

ai aia3

a1 a2 a1 a4

Є GL(4,

Если матрицу Л дифференцировать по принципу А = (ЛА/Л)|(=о = С в единице группы СЬ(2, М), получим элемент присоединенной алгебры Ли:

C=

( о сз —с2 о

с2 с4 — с1 о — с2

—сз о с1 — с4 сз

\ о —сз с2 о

Є g1(4, М).

Операторы присоединенного представления Yj = Xj — Xj имеют вид

Y1 Y2

Y3 Y4

di d2

дз д4

ai a3

a2 a4

ai a3

a2 a4

д1

дз

д2

д4

и задаются матрицами вида

B

( о a3 —a2 о

a2 a4 — a1 о —a2

—a3 о a1 — a4 a3

\ о —a3 a2 о

Є GL(4,

B B/ = C C

X

C

X?

X = C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4,

X = C1X1 + C2XL2 + C3X3 + C4X4.

Потоки at = exp tX и at = exp tX определяются одной и той же однопараметрической подгруппой eCt группы GL(2, Д). Ее левые классы смежности являются X X?

a, ^ A/ — AC a, ^ A/ = CA

A, = AeCt,

At

sCtA.

Деривационные формулы (6) для левоинвариантного базиса (X*, ) в потоке поля

X записываются в виде:

X1 X2

Хз X4

ci сз

с2 с4

X1 X2

Хз Х4

Xi ХЛ /ci сз Хз Xj I С2 С4

ш1 ш2\ А^1 1^2\ /с1 еА /с1

(^4у \^3 (^4у усз С4у усз с^ \^3

Роль, которую играет матрица С в формулах (6), в настоящих рассуждениях играет матрица С (19). Телица коммутаторов [Х*,Х^] отсюда может быть получена следующим образом. Производная Х^- = [X, Х^-] определяет ^'-ю строку таблицы, а именно: при коэффициенте с* расположен г-й элемент ^’-й строки :

? : Xi X2 X3 X4

Xi : 0 —X2 X3 0

X2 : X2 0 X4 — Xi —X2

X3 : —X3 Xi — X4 0 X3

X4 : 0 X2 —X3 0

Операторы присоединенного представления Y = Xj — Xj линейно зависимы. Действительно, из строения столбцов матрицы B следует, что

Yi + Y4 = 0, aiYi + 02 Y + з^з + a4Y = 0.

Их линейная оболочка (Y) определяет на GL(2, Д) (вне центра Z) двумерное интегрируемое распределение. Интегралами распределения (Yj) являются след и определитель матрицы A:

tr A = ai + 04, det A = 0104 — 0203, что вытекает из равенств d(tr A) = 0i и d(det A) = (det A)02, где

1 1 О Q A 1 О -"*•*' Q /1

0 = 0iU + &3W + &2U + &4U = ttiC^ + &3W + 02^ + 046! ,

02 = wi + w4 = wi + U4.

Формы 0i и 02 аннулируются распределением (Yj).

Общий оператор присоедииеииого представления является линейной комбинацией операторов Yj с коэффициентами с:

Y = ciYi + C2Y2 + C3Y3 + С4У4.

Поток оператора Y определяется 1 -параметрической подгруппой группы внутренних автоморфизмов:

A' = CA — AC ^ At = eCtAe-Ct.

Операторы Yj допускают инфинитезпмальную симметрию P, указанную ниже. Интегралы распределения (Y), то есть tr A и det A, в потоке поля P преобразуются, но остаются интегралами этого распределения. Возникает вопрос о наличии общего инварианта операторов Yj и толя P. Таковым является дискриминант Д. Имеем:

P = di + d4, exptP : A ^ At = A + tE,

(trA)t = trA + 2t,

(det A)t = det A + trA • t +12,

Д = tr2A — 4 det A, Д4 = Д.

Инвариант Д определяет сизигию - связь между инвариантами ^ А, det А операторов У и инвариантами а і — а4, а2, аз толя Р:

Для прояснения геометрического смысла этой сизигии введем отображения х и £, проектирующие четырехмерное многообразие СЬ(2, М) соответственно на некоторые пространство переменных ж, у, г и плоскость переменных и, и':

Проекция х осуществляется вдоль траекторий поля Р. На гиперквадрике det А = d = со^ определяется характеристика Р (det А) = tr А = 0, проектирующаяся па пространство переменных ж, у, г в гиперболоид Д = —4d, где

Огибающая семейства det А( = ^ уравнением Д = —4d. Дву-

мерное распределение (1^) = (11,12) проектируется в двумерное распределение (Тх^1, Тх12)) для которого функция Д является интегралом. Гиперболоиды - поверхности уровня функции Д - являются орбитами двумерно го потока ад о , где ад = ехр в(Тх11^ и = ехр4(Тх12)-

При проекции £ цилиндр Д = —4(^ отображается в параболу Д = —4d, где

Оператор Р при отображении ТС переходит в векторное поле Т£Р. Дискриминант Д квадратичной функции и является инвариантем поля Т(Р. Линии уровня Д = со^ представляют собой семейство парабол на плоскости мм'. Сизигия порождает коммутативную диаграмму:

Д = (аі + а2)2 — 4(аіа4 — а2аз) = (аі — а4)2 + 4а2аз.

При этом

У2 ^

ж = х + 2^е-я, у = уея — хі — гі2е-я,

Ж =

{м4 = м + м'і + і2, м£ = м' + 2і.

Д = х2 + 4уг ^ Д = Д о х.

Д = (м')2 — 4м ^ Д = Д о £.

А

Д = Д о х

К

Д = Д о с

Обозначим символом |Д} цилиндр с уравнением Д = — 4^, а символами {Д} и {Д} - гиперболоид с уравнением Д = —4(^ и параболу с уравнением Д = —4d (d -произвольная константа). Тогда

{Д} = {Д} х {Д}.

Формула (21) означает, что цилиндр Д = —4d есть прямое произведение гиперболоида Д = —4(^ и параболы Д = —4d18. В групповых терминах имеем факторгруппы

{Д}«{Д}/{Д}, {Д}«{Д}/{Д}.

2.2.2. Калибровочные группы. Касательная группа линейной группы СЬ(п, М) вкладывается моиоморфпо в линейную группу СЬ(2п, М):

Т(СЬ(п

СЬ(2п,]

(А,А1

А0

А1 А

(В, В1) соответствует произведение матриц:

А0

А1 А

В 0 В1 В

АВ 0

А1В + АВ1 АВ I

А0

0А

Е

( А, А1

А0

А1 А

ЧА-1А1 + В1В-1

обратная матрица:

-1 х А-1 0

—А-1А1А-1 А-1

В0

0В

к = 1, 2,...

Таков первый шаг итеративного процесса

Тй(СЬ(п, М)) ^ СЬ(2Йп, I Вторая касательная группа Т2(СЬ(п, М)) вкладывается в группу СЬ(4п, ]

(А, А1, А2, А12) -

Здесь выполняются соотношения (11) и (12):

А 0 0 0

А1 А 0 0

А2 0 А 0

А12 А2 А1 А

А 0 0

А1 А 0

А2 0 А

А12 А2 А1

0 0 0

А

В

В1

В2

В12

0 0 0 С 0 0 0

В 0 0 С1 С 0 0

0 В 0 С2 0 С 0

В2 В1 В С12 С2 С1 С

С = АВ,

С1 = А1В + АВ1;

С2 = А2В + АВ2,

С12 = А12В + А2В1 + А1В2 + АВ12.

8Цилиндр — прямое произведение направляющей и прямолинейной образующей.

Полагая, что в результате умножения получилась единичная матрица, находим формулы для вычисления обратного элемента:

В = А-1, Вт = -А-:%А-1, -А-1А2А-1, -А-1(А12 - А1А-1А2 - А2А-1А1)А-1,

В2

В12

В ходе последовательных вложений получаем калибровочные группы,.

В калибровочной теории центральным вопросом является нахождение для точки пространства представления подгруппы ее стационарности в группе преобразований. На этажах ТкМ группа диффеоморфизмов 0 многообразия М действует иоструйно. Это следует из вида матриц Якоби диффеоморфизмов а, Та, Т2а,...:

А

А

Аі

А 0 0 0

Аі А 0 0

А2 0 А 0 ....

А12 А2 А1 А

-5с «3 , А12 = Ці м1м2 + и12

где А = (а*), А1 = (а*к«1), А2 = (а*й«2), А12 = (а^,+ а}*.«12),-•• Группа обратимых струй порядка к отображается в группу СЬ(2кп, М) гомоморфно. При этом ядром гомоморфизма является стационарная подгруппа элемента эта-Т1 М Т1 М

группы д.

3. Проблема устойчивости инвариантов

Если векторное поле увлекается потоком другого векторного поля, то его инварианты подвергаются воздействию и возникает проблема их устойчивости. Операторы линейной группы обладают алгебраическими инвариантами, и проблема сводится к отысканию соответствующих сизигий. Продемонстрируем сказанное на примере группы СЬ(3, М).

произвольные матри-

3.1. Группа СЬ(3, М). Линейная группа СЬ(3, М) является 9-мерным многообразием, а ее алгебра Ли #1(3, М) - 9-мерным векторным пространством, касательным к СЬ(3, М) в точке Е Є СЬ(3, М). Элементами группы СЬ(3, М) являются регулярные матрицы А, а элементами алгебры Ли #1(3, цы С :

(«1 «2 аз

а4 Я5 ад «7 а8 ад

Так же, как и в случае группы СЬ(2, инвариантный репер

С

на группе СЬ(3, М) определяются лево-

Х4

,Х7

Х2

Х5

Х8

Хз

Хд

Хд .

«і а4 «7\ м 52 д

а2 а5 а8 1 • ( 54 д5 5

аз ад ад/ 58 5

и правоинвариантныи репер

/Хті Х2 Хтз’

Х4 Х^5 ХТд \ХТ7 ХТ8 Хд,

ді 52 5з\ /аі а4 а7

54 д5 5д I ( а2 а5 а8

57 58 5д/ аз ад ад

3.1.1. Инварианты (а,а', а'). Определяются операторы присоединенного представления У = Xi — Xi :

Yi = ^2 $2 + аз дз — 04 д4 — 07 $7,

Y = а4 (di — $5) — (ai — 05) $2 + ав дз — 07 $8,

Y = 07 ($1 — дд) + 08 $2 — (ai — ад) дз — 04 дв,

Y = —02 ($1 — $5) + (01 — 05) $4 + 03 дв — 08 $7,

Y = —02 $2 + 04 $4 + 06 дв — 08 $8,

Y = —02 дз + 07 $4 + 08 ($5 — дд) — (05 — 0д) дв,

Y7 = —0з $1 — 0в $4 + (01 — 0д) $7 + 02 $8 + 0з дд,

У8 = —0з $2 — 0в ($5 — дд) + 04 $7 + (05 — 0д) $8.

Уд = —0з дз — 0в дв + 07 $7 + 08 $8,

связанные линейными соотношениями

Y + Y + Y =0,

01 Y1 + 02 Y + 0з Уз + 04 Y + 05 Y + 0в Y + 07 Y + 08 Y + 0д Уд = 0,

01 Y1 + 02 Y + 0з Y + 04 Y + 05 Y + 0в Y + 07 Y + 08 Y + 0д Y =0,

где Si - элементы матрицы А-1. Линейная оболочка oneраторов У имеет размер-1д

ность не выше шести1”:

dim(Y} < 6.

Yi

1

а = -6

01 02 0з

04 05 0в

07 08 0д

01 02 + 01 0з + 05 0б

04 05 07 0д 08 0д

а =3 (01 + 05 + 0д).

Yi

Y1 Y2 Уз Y4 Y5 Ув Y7 У8 Уд

Y1 0 —Y2 —Уз Y4 0 0 У7 0 0

Y2 Y2 0 0 Уд —Y2 — Уз У8 0 0

Уз Уз 0 0 Ув 0 0 —У5 — У2 —Уз

Y4 —Y4 —Уд —Yg 0 Y4 0 0 У7 0

Y5 0 Y2 0 —Y4 0 —Уб 0 У8 0

Ув 0 Уз 0 0 Ув 0 —У4 У1 —Уб

Y7 —Y7 —Y8 Y5 0 0 Уо 0 0 Y7

Y8 0 0 Y2 —Y7 —Y8 —Y1 0 0 У8

Уд 0 0 Уз 0 0 Уб —У7 — У8 0

19 Так, равенства Y3 = 0 и dim(Yi) = 5 имеют место на пятимерной подгруппе матриц

0-10-5 = 0,

&2

05

0

а на центре ^, то есть на 1-параметрической подгруппе матриц £Е, вся оболочка состоит из нуля, и Шт(Уг) = 0 •

1

Три оператора УъУ и Уд играют особую роль. Они коммутируют между собой

и. кроме того, являются инфинитезимальными симметриями для каждого оператора У;. Линейная обол очка (Ух, У5, Уд) - интегрируемое распределение размерности < 2. На его интегральных поверхностях определяется действие аддитивной группы М3:

а2 аз / al a2es t азе8—

а5 ае 1 1 a4et—s а5 аее/—“

as ад/ (s,t,«) \are“—s ,u—t age ад

где s, t и u - параметры операторов Y1, Y5 и Уд соответственно. По сути, речь идет

о внутренних автоморфизмах А ^ UAU-1 под действием группы диагональных матриц

^es 0 0'

0 0 eu

3.1.2. Более устойчивые инварианты (i0, i1). Рассмотрим oneратор20

Р = $1 + $5 + дд.

а, а а

а ' = Ра, а '' = Р2а, а '" = Рза = 1.

Это значит, что оператор Р отображением Z : А ^ (а, а ', а '') переводится в векторное поле Р = TCP:

— д д д

Р = а'да+а ''да + да-

а поток = exp tP : А ^ At = А + tE преобразуется в поток:

' "t2 ta

а4 = а + а t + а------|---,

^ 2 6 '

t2

а! = а ' + а ^ :

а!' = а '' + t.

at = exp tP : (а, а /,а ") ^ <

Соответствие

at = exp tP ^ at = exp t

выражается коммутативной диаграммой

at

Каноническим параметром для оператора Р и для поля Р является величина

в = 3 С = а ".

ЭИ здесь удобно пользоваться параметрами (s,t), но теперь в другом значении.

Следовательно, подстановка t = — s в матрицу At дает нам инварианты21 оператора P:

A-s = A — sE =

1--- \ al-tr A a2 аз

3 1 „

a4 a5----tr A a6

31

у a7 as a9 — 3^ A у

и та же подстановка в величины а£ и а" дает нам два общих для операторов

P и Y инварианта22 (третий, равный нулю, опускаем):

[*0 = а— = а - а 'а 77 + ^

[*1 = а-8 = а ' — ^(а ' ')2.

Инварианты *0 и *i, естественно, выразятся через базисные инварианты A_s. Получаем две сизигии.

3.1.3. Наиболее устойчивый инвариант /. С помощью инвариантов *0 и *1 составляется известный дискриминант кубической функции, в данном случае для функции а4 :

I =

Дискриминант I обладает свойством:

а = а ' = 0 ^ I = 0.

Это означает, что равенство I = 0 является алгебраическим следствием равенств а=0 а =0

Пусть Ao - поверхность а = 0, то есть множество матриц с нулевым определителем. В потоке at на поверхностп А0 определяется стратификация23

Ao D Ai D А2,

где A1 - характеристика, высекаемая па А0 уравнением а ' = 0, а А2 - характеристика, высекаемая на Ai уравнением а '' = 0. Уравнение I = 0 определяет цилиндрическую поверхность с прямолинейными образующими траекториями поля P. Этот цилиндр содержит характеристики A1 и A2, причем в точках Ai цилиндр касается поверхности A0, а в точках A2 - характеристики A1.

При отображении С : R9 ^ R3 страты (29) отображаются в страты плоскость -пряльая точка

С

причем страты (29) и (30) увлекаются одновременно потоками at = exp tX и at = = exptX (см. (26)):

С : at(A0) D at(A1) D at(A2) ^ at(C(A0)) D at(C(A1)) D at(C(A2))-

21У матрицы А—девять элементов, но А—3 = 0, отсюда следует, что имеется восемь инвариантов.

22Знак = употребляем, когда вводятся новые обозначения.

23 При освещении поверхности Ао вдоль траекторий ноля Р появляются особенности: складка А1 и сборка А2 (см. [15]).

Уравнением I = 0 в пространстве М3 определяется развертывающаяся поверхность (торс) - огибающая семейства плоскостей а4(С(А0}) • Ребром возврата торса является (дискриминантная) кривая а4(С(А2}). Страты (30) при изменении параметра £ приходят в движение: точка а4(^(А2^) перемещается по дискриминантной кривой, а вместе с ней перемещаются касательная а4(((А1)) и соприкасающаяся плоскости а4(£(Ао}) к дискриминантной кривой.

Таким образом, в пространстве М3, где заданы координаты (а, а ',а ''}, плоскость а = 0, увлекаясь пот оком а4, образует семейство плоскостей, которое огибается торсом I = 0. Дискриминантная кривая, или ребро возврата торса, - это кубическая парабола

Торс разбивает пространство М3 на две области: область между створками торса

I > 0, куда при отображении А ^ £ (А) попадают матр ицы А с тремя действительными различными собственными значениями, и область вне створок I > 0, куда

А

На поверхность торса I = 0 попадают матр ицы А, у которых не все собственные значения различны, то есть такие, у которых хотя бы два из них совпадают, а на

А

Точка (<7(, а£, ^) > перемещаясь то своей траектории, доходит до плоскости а'' = = 0, где становится точкой (а_ап, а_ст„, 0). Тор с I = 0 в пересечении с плоскостью а " = 0 определяет полукубическую параболу

М3

болы (31) устанавливается биективное соответствие

а именно: касательная к дискриминантной кривой в точке М1 пересекается с плоскостью а " = 0 в точке полукубической параболы М2. При этом соприкасающаяся плоскость к дискриминантной кривой в точке М1 пересекается с плоскостью а " = = 0 то касательной к полукубической параболе в точке М2.

Таким образом, смысл подстановки Чиригауза и известной номограммы для определения действительных корней приведенного кубического уравнения состоит в следующем. Подстановка Чирнгауза £ = т — в, где в = а ", приводит кубическое уравнение а4 = 0 к гаду ат_8 = 0, где отсутствует член с т2:

При этом если £ - корень кубического уравнения а4 = 0, то т - корень приведенного уравнения, н наоборот. Нахождение действительного корня уравнения а4 = 0 сводится к проведению из точки (а, а ',а''} соприкасающейся плоскости к дискриминантной кривой и определению па пей точки соприкосновения М1, что на плоскости аа' равносильно про ведению из точки (а_8,а-я) касательной к полукубической параболе и определению на ней точки касания М2.

(3а)2 + (2а ' )3 =0.

Мі <— М2,

і = т — и

//

6

Спроектируем пространство М3 та плоскость инвариантов (г0, *1) оператора Р (см. (25) и (27)):

в : М3 ^ М2, (а, а -а /7) ^ (*о, *1),

т$ 11 -а " (а '/)2 - а 'л

Оператор Р при отображении Тв аннулируется, так как проектирование осуществляется вдоль траекторий этого оператора, а^цза векторных поля, являющиеся

инфинитезимальными симметриями оператора Р, проектируются в естественный М2

Тв:

Общая пнфинитезпмальная симметрия оператора Р имеет вид

д / д // д Р = мда + м да + м да/’

где - не выше, чем вторая первообразная некоторого инварианта оператора Р, то ^зсть либо либо ^ /, либо ^ " - инвариант Р. При этом ^ / = и ^ " =

= Р2,«. Коэффициент ^ называется производящей функцией инфинитезимальной симметрии Р. Между инфинитезимальными симметриями и их производящими функциями устанавливается биективное соответствие ^ Р. Действительно, если ^ — коэффициент с указанными свойствами, то инфинитезимальная симметрия Р этим определена, и, наоборот, если Р - инфинитезимальная симметрия, то ее производящая функция определяется однозначно как производная ^ = Ра. В частности, для иифииитезимальиых симметрий из левой части соотношения

а

Р М2

репере из правой части соотношения (32) инвариантные коэффициенты.

Инварианты а0 и а1 допускают первообразные д и Н 3-го и 2-го порядков соответственно:

д = аа/а // — а2 — 9 (а /)3, д = —11 (а / )2а " + а(а ")2 — аа /,

д// = 1 а /(а //)2 + аа " — 4 (а /)2’

д " / = а — а /а " + 1(а / /)3 = *о,

3

Н = - аа // — (а /)2,

2 у ’

Н/ - 1 / "

Н =2 а — 2а а ’

Н / / = а / — 1(а / 02 = *1,

то есть ц"' = *о и Н'' = *1. Следовательно, функциям Н1, Н и ц ", ц ' соответствуют нетривиальные инфинитезимальные симметрии24, которые обозначим 2, 5, Т, и соответственно. В матричной записи эти инфинитезимальные симметрии имеют следующий вид:

д д д да да ' да ''

Ы Ы ч" ч'

*1 Ы *0 Ч''

0 *1 0 *0

( д д

К д*0 д*1 Р) •

І0 —2*2 - 3 *1 -2*0*1''

" — 4 *2

3 *1

*0

0 *1

2*0 *0 0

При выводе этого соотношения использовалась следующая формула, связывающая два репера в пространстве М3:

——=(——— ^ Го аа,,/'

д*0 д*і ) Vда да' да"У 10 о °і

Существенными являются симметрии ^ ^^^и проекции оператор

Р аннулируется и симметрии и и 5, то существу, совпадают с симметриями 2 и Т, то есть та плоскости М2 имеем:

4 2

2 = — *1и, Т =- 5.

3 1 ’ 3

Операторы 2 и Т то коммутируют, но 2 является инфинитезимальной симметрией для Т:

[ 2, Т ] = - Т.

Дискриминант I в потоке Т инвариантен, ТI = 0, а в потоке 2 он увлекается по

закону

21 = I ^ I* = !е‘.

Инвариантом векторного поля 2 является величина *0 : *1 • Общий инвариант

2 Т М2

Заключение

Общая ситуация такова. В сплошной среде некоторая система подвергается возмущениям. Сначала система увлекается некоторым потоком. Поток линеаризуется якобиевой матрицей А подобно касательному вектору к траектории движущейся точки. При одном возмущении преобразуется матрица А ^ иАи-1 (действуют операторы ), при другом - изменяется ее диагональ А ^ А + іЕ (действует оператор Р). При каждом возмущении выявляются инварианты. Операции коммутируют: и (А + іЕ)и-1 = иАи-1 + іЕ (Р - симметрия операторов 1І), что говорит о

*0, *1

связь между теми и другими инвариантами. Общий инвариант более устойчив, чем инварианты, которые снзнгней связываются. Однако и общие инварианты можно

Функциям Ы' и ц" ' соответствуют операторы і і---------- и ад

діо діо

«расшевелить» (действуют операторы T и Q). Процедура завершается нахождением наиболее устойчивого инварианта25 (дискриминанта /),

^ A ^ (а,а —а ';) ^ (iо, i 1) ^ I-

Последний инвариант I можно возмутить (в потоке Q), то та плоскости R2 это ие приводит к новому, еще более устойчивому инварианту.

То самое же происходит с общей матрицей порядка n. При этом можно сравнить коэффициенты полиномов н соответствующие дискриминанты с начальными и центральными моментами в теории вероятностей, с которыми они в точности совпадают (см. [16]). Таким образом, при отыскании инвариантов и установлением сизигий на самом деле исследуется устойчивость данной системы при соответствующем возмущении.

Summary

М. Rahula. The Great Heritage of Soplius Lie.

In the paper, we describe the floors Tk M, sector-bundles, and the theory of sector forms according to J.T. White. Using iterations of the tangent functor T, we construct tangent groups Tk G. Using the Lie-Cartan calculus, we study invariants of the group operators, their transformations under symmetries and stability.

Key words: jets, tangent functor, floor, tangent group, stability of invariants.

Литература

1. Poincare H. Dernieres pensees. Faris: Ernest Flammarion, 1913.

2. Ivey T.A., Landsberg J.M. Cart.au for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Differential Systems. Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 2003. 378 p.

3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картапа в дифференциальной геометрии. М.. I.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.

4. Lie S., Engel F. Tlieorie der Transformat.ionsgruppen: 3 Bd. Leipzig: Teubner, 1888 1893.

5. Weyl H. The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Princeton, N. J.:

Princeton Univ. Press, 1939. 314 p.

6. Abraham R., Marsden J.E. Foundations of Mechanics. Reading, MA: Benjamin/Cummings Publ. Comp., 1978. 806 p.

7. Amauacuy P., Балан В., Врыт ей Н., Рахула М. Касательные структуры, векторные

поля и движения. М.: Из-во ЛКИ, 2009. 592 с.

8. Bertram W. Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces over General Base

Fields and Rings. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 2008. 211 p.

9. Godbillon C. Geometric Different.ielle et. Mecanique Analit.ique. Paris: Hermann Publ.,

1969. 184 p.

10. Rahula M. New Problems in Differential Geometry. WSP, 1993. 172 p.

11. White J.E, The Method of Iterated Tangents with Applications in Local Riemannian

Geometry. Boston, Mass.-London: Pitman Publ., 1982. 272 p.

12. Yano K., Ishihara S. Tangent and Cotangent Bundles. N. Y.: Marcel Dekker Inc., 1973. 423 p.

26B n. 2.2.1 эта процедура заканчивалась нахождением дискриминанта А.

13. Баннер В.В. Теория дифференциальных объектов и основы дифференциальной геометрии // Веблеп О., Уайтхед Дж., Основания дифференциальной геометрии. М.: Иностр. лит.. 1949. С. 135 223.

14. Атаиасиу Г., Рахула М. Новые аспекты дифференциальной геометрии второго порядка. К теории связностей. Тарту: Tartu Univ. Press, 2007. 211 с.

15. Brocker Th., Lander L. Differentiable Germs and Catastrophes. Cambridge: Cambridge.

Univ. Press, 1975. 179 p. = Брекер Т., JIaudep JI. Дифференцируемые ростки и

катастрофы. М.: Мир, 1977. 208 с.

16. Rahula М. Les invariants des mouvement.s // Balkan Society of Geometry Proc. 2007. V. 14. P. 145 153.

Поступила в редакцию 27.05.09

Рахула Майдо доктор физико-математических паук, профессор-эмеритус Тартуского университета, Эстония.

E-mail: rahula Gut. ее