Еще об одном применении латинских квадратов

Большакова H. С. Еще об одном применении латинских квадратов

Еще об одном применении латинских квадратов

H.С. Большакова

Мурманский государственный педагогический университет, кафедра алгебры, геометрии и прикладной математики

Аннотация. В работе показано применение латинских квадратов к вычислению числа пересечений полного l-дольного графа. Под псевдо ортогональными латинскими квадратами С, D порядка n автор подразумевает латинские квадраты, у которых любые две строки имеют в точности один общий элемент. Найдены условия существования семейств, состоящих из t псевдо ортогональных латинских квадратов порядка n. Доказано, что число пересечений полного l-дольного графа K(p1,p2,.,pl) равно n2 тогда и только тогда, когда существует семейство, состоящее из l-2 попарно псевдо ортогональных n*n латинских квадратов.

Abstract. The application of Latin squares for computation of an intersection number of complete l-partite graphs has been shown in the paper. The conditions of existence of families consisting of t pseudoorthogonal Latin squares of the n order have been found. It has been proved, that the number of complete l-partite graph K(p1,p2,.,pl) intersections equals to n2 when and only when the family consisting of l-2 mutually pseudoorthogonal n*n Latin squares exists.

I. Введение

Известно классическое применение латинских квадратов к конечным проективным плоскостям. В настоящее время латинские квадраты используются при планировании экспериментов, экономических расчетах, построении кодов, обнаруживающих и исправляющих ошибки (Чебраков, 1995). В данной работе на основе классической теории ортогональных латинских квадратов, изложенной в книге (Райзер, 1966), построена новая теория правильных латинских квадратов. Кроме того, показано новое применение правильных латинских квадратов к нахождению числа пересечений полного l-дольного графа с равными долями и числа клик, покрывающих такой граф.

2. Обозначения

Для любого конечного множества U ={ubu2,... ,ип} обозначим через 2u множество всех его подмножеств.

Упорядоченное семейство A = (A1A2,---Ar) подмножеств множества U = {иьи2,...,ип} называется упорядоченным разделяющим семейством для множества U, если для любых двух элементов множества Uнайдется множество в семействе A, содержащее только один из этих двух элементов.

Для графов используется терминология, принятая в книге (Харари, 2003).

Граф Г = Г(¥,Е) состоит из конечного множества V - множества вершин графа Г и множества неупорядоченных пар Е, называемых ребрами.

Пусть Г = Д VE) - граф с непустым множеством вершин и множеством ребер. Граф Г называется l-дольным графом, если множество его вершин V можно разбить на l непустых подмножеств D1,D2,...,Dl, называемых долями, таким образом, что каждое ребро графа Г соединяет вершины из разных долей DlrD2,.,Dl.

Если граф Г = r(V,E) содержит все ребра соединяющие доли D1,D2,.,Dl, то он называется полным l-дольным графом. Обозначим через K(p1,p2,.,pl) полный l-дольный граф, где

Pi = |Di|, p2 = |D2|,..., pl= \Dl\.

Латинским квадратом порядка п с элементами из множества U = {иьи2,...,ип} будем называть п*п-матрицу, каждая строка и столбец которой есть перестановка элементов множества U.

3. Покрытие графа полными подграфами

Подграфом графа Г называется граф, у которого все вершины и ребра принадлежат Г. Максимальный полный подграф графа Г назовем кликом. Множество полных подграфов, покрывающих все ребра и вершины графа Г, называется покрытием графа Г полными подграфами.

Граф Г называется графом пересечений множества U, если существует рис i Полный граф инъекция p:V-^2U- 0 такая, что {a,b}eE равносильно ^(a)n^(b) Ф 0 для всех пересечений Ш3 a,b е V. Инъекция ^ - кодирование графа Г, а ^(a) - код вершины a.

Определим граф Г - полный граф пересечений, т.е. граф, вершины которого кодируются всеми 2U -0, а для каждого {a,b}eE равносильно ^(a)n^(b) Ф 0, a,be V. Обозначим полный граф пересечений с п вершинами Шп. Числом пересечений графа Г называется наименьшее число п такое, что Г - порожденный подграф графаШп (Weng Liangui et al., 2000). На рис. 1 показан полный граф пересечений для п = 3.

Через тп(Г) обозначим число пересечений графа Г.

Сформулируем один из первых результатов о графах пересечений (Marczewski, 1945).

Теорема 1. (Теорема Марчевского) Любой граф есть граф пересечений.

Число пересечений графа связано с наименьшим числом некоторых полных подграфов, покрывающих граф. Следующие теоремы, показывающие эту связь, доказаны в работах (Маренич, 2000; Маренич, 2004).

Теорема 2. Пусть Г = Г(¥,Е) - граф. Число п = тп(Г) есть наименьшее натуральное число, для которого существуетп-элементное семейство а= (0\,02,...,0п) непустых подмножеств множества Vтакое, что:

1) = V;

2) ст разделяющее семейство для V;

3) подграфы, порожденные подмножествами 0\,02,...,Оп - есть полные графы;

4) порожденные подграфы образуют покрытие графа Г.

Теорема 3. Пусть граф Г = Д V,E) обладает свойством: для любых двух вершин а,Ь найдется третья вершина с такая, что или с соединена ребром с а и не соединена ребром с Ь, или с соединена ребром с Ь и не соединена ребром с а. Справедливы утверждения:

1) Число тп(Г) равно наименьшему числу полных подграфов, покрывающих граф.

2) Число тп(Г) равно наименьшему числу клик, покрывающих граф.

4. Правильные латинские квадраты

На основе классической теории ортогональных латинских квадратов, изложенной в книге (Райзер, 1966), построена теория правильных латинских квадратов.

Два латинских квадрата А = \\а]\\ и В = \\Ьд;\\ порядка п с элементами из множества и = {1,2,...,п} называются ортогональными, если при наложении квадрата А на квадрат В получается матрица С, элементами которой являются все пары принадлежащие и2. Иными словами, каждый элемент из множества и2 встречается в матрице С только один раз.

Два латинских квадрата С = \\су\\ и Б = \\ау\ порядка п с элементами из множества

и = {м1,м2,.,мп}, где п > 3, назовем правильными, если для каждой строки i квадрата С и каждой строки i' квадрата Б найдется единственный столбец ^ такой что cik = ^

Семейство {А1А2,.--А(} различных попарно правильных латинских квадратов назовем правильным. Семейство из одного латинского квадрата будем считать правильным.

Между отношением правильности и ортогональности есть следующая связь:

1) существуют латинские квадраты, являющиеся правильными и не являющиеся ортогональными (латинские квадраты А1 и А2);

2) существуют латинские квадраты, являющиеся ортогональными и не являющиеся правильными (латинские квадраты А3 и А4);

3) существуют латинские квадраты, являющиеся правильными и ортогональными (латинские квадраты А5 и Аб).

( 1 2 3 ^ ( 1 3 2 ^ ( 1 2 3 ^ ( 1 2 3 ^ ( 1 2 3 ^ ( 1 3 2 ^ АН 3 1 2 I и А2= I 2 1 3 I; А3=| 2 3 1 I и А4=| 3 1 2 I; А5=| 2 3 1 I и А6= 12 1 3 |.

I. 2 3 1 ) 3 2 1 ) 3 1 2 ) 2 3 1 ) 3 1 2 ) К 3 2 1 )

Теорема 1. Пусть дано семейство из t правильных латинских квадратов {А1;Л2,.,^(} порядка п > 2 с элементами из множества и = {1,2,.,п}. Тогда t < п - 1.

Доказательство. Переставим строки каждого латинского квадрата так, чтобы первый столбец каждого из латинских квадратов состоял из чисел 1,2,...,п именно в таком порядке. Это не нарушает правильности семейства А\,Л2,.--Ап. Рассмотрим теперь t элементов, находящихся на месте (1,2) этих латинских квадратов. Эти t элементов должны быть различными. В противном случае мы получим, что первые строки двух или более латинских квадратов содержат в пересечении два одинаковых элемента, стоящих на местах (1,1), (1,2). Это противоречит правильности семейства A1Л2,.Лn. Ни один из элементов, стоящих на месте (1,2), не равен единице. Следовательно, t < п-1.

Теорема 2. Пусть п = 5а, где 5 - простое, а а - натуральное число. Тогда для п > 2 существует множество из п-1 правильного латинского квадрата порядка п с элементами из ОЕ(^,а), где ОЕ(^,а) - поле Галуа.

Доказательство. Рассмотрим квадратные матрицы

Ае = (а,/), где ац = е] + I и е Ф 0, e,ij е ОЕ(^,а).

Докажем, что каждая матрица Ае является латинским квадратом. Если матрица Ае имеет два одинаковых элемента в одной и той же строке, т.е. е] + i = е+ i, то ] = ]'. Матрица Ае не имеет два одинаковых элемента в одной и той же строке.

Большакова Н. С. Еще об одном применении латинских квадратов

Если матрица Ае имеет два одинаковых элемента в одном и том же столбце, т.е. е] + i = е] + i' то i = i'. Матрица Ае не имеет два одинаковых элемента в одном и том же столбце.

Таким образом, каждая матрица Ае - латинский квадрат.

Докажем, что латинские квадраты А^Аь.-АпА являются правильными. Рассмотрим два квадрата Ае и Ар где/Ф е. Покажем, что /'-ая строка квадрата Ае имеет в пересечении с i 'строкой квадрата А/ единственный столбец, в котором элементы латинских квадратов Ае и А/ равны. Это равносильно уравнению е] + i = / + i' или (е -/] = i'- i. Т.к./Ф е, то/- е Ф 0 и данное уравнение имеет единственное решение.

Теорема 4. Пусть дано разложение произвольного натурального числа п по натуральным степеням а, различных простых чисел •

п = 51Ч^"2.и t = ш1п(5/а/- 1), / = 1,2,.,k.

Тогда для t >2 существует множество из t правильных латинских квадратов порядка п.

Возникает вопрос: существует ли хотя бы одна пара правильных латинских квадратов для п = 6? На языке программирования С++ была написана программа, которая показала, что для числа 6 пары правильных латинских квадратов не существует. Ведется работа по нахождению пары правильных латинских квадратов для других неясных случаев, например, для числа 10.

5. Полные /-дольные графы К(рьр2,...,р¡) с равными долями

Лемма 1. Пусть К(р\,р2,...,р1) есть полный /-дольный граф, где р\ = р2 =...= р1 = п и п > 2. Тогда справедливо следующее неравенство: тп(К(р\,р2,...,р1)) > п2.

Лемма 2. Пусть К(р1,р2,.,р/) есть полный /-дольный граф, где р\ = р2=...= р/ = п, п > 3, / > 2. Тогда равенство п/'п(К(рьр2,...,р¡)) = п2 равносильно тому, что существует семейство из /-2 правильных латинских квадратов А^^. • - А/-2 порядка п.

Пример 1. Рассмотрим семейство из 3 правильных латинских квадратов А\А2, А3 порядка 4, составленных из элементов множества и! = {1,2,3,4} и матрицу М.

(1 2 3 4^1 (1 3 4 2^1 (1 4 2 3^1 ( 1 2 3 4 ^

А]= I 2 1 4 3|, А2= I 2 4 3 1 I, А3= I 2 3 1 4 I, М =| 5 6 7 8 |.

1.4 3 2 1) и 2 1 3^ и 1 3 2^ 1.13 14 15 16^

Первая строка латинского квадрата А!(1,2,3,4) задает код первой вершины первой доли полного пятидольного графа К(4,4,4,4,4): из первого столбца матрицы М в код вершины записывается элемент матрицы М с номером 1 - это 1, из второго столбца матрицы М в код вершины записывается элемент матрицы М с номером 2 - это 6, из третьего столбца матрицы М в код вершины записывается элемент матрицы М с номером 3 - это 11, из четвертого столбца матрицы М в код вершины записывается элемент матрицы М с номером 4 - это 16. Аналогичным образом строятся остальные вершины доли

Таким образом, получаем А = {{1,6,11,16},{5,2,15,12},{9,14,3,8},{13,10,7,4}}. Аналогично строятся доли Б2 = {{1,10,15,8},{5,14,11,4},{9,2,7,16},{13,6,3,12}} и Б3 = {{1,14,7,12}, {5,10,3,16,}, {9,6,15,4}, {13,2,11,8}}. Доли Б4 = {{1,5,9,13 },{2,6,10,14,},{3,7,11,15 },{4,8,12,16}} и Б5 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8,}, {9,10,11,12},{13,14,15,16}} задаются соответственно столбцами и строками матрицы М. Таким образом, К(4,4,4,4,4) = 16.

Теорема 1. Пусть п = где • - простое, а а - натуральное числа. Тогда справедливы утверждения:

1. Для полного /-дольного графа К(р1,р2,.,р/), где р1 = р2 =...= р/ = п, п > 3 и 2 < / < t+1, выполняется п/п(К(р1,р2,...,р ¡)) = п2.

2. Для полного /-дольного графаК(р1,р2,.,р/), гдер1 = р2=...= р/ = п, п > 3 и / > п+1, выполняется п/п(К(рьр2,...,р/)) > п2.

Доказательство. 1. По теореме 2 п.4 для п = где • - простое, а а - натуральное числа, существует множество из п-1 правильного латинского квадрата порядка п и по лемме 2 п/п(К(р\,р2,..,р¡)) = п2. Если с помощью п2-элементного множества можно построить коды вершин для п+1 доли полного /дольного графа, то можно построить коды вершин и для / долей, где 2< /< t+1.

2. По теореме 1 п.4 максимальное число правильных латинских квадратов порядка п равно п-1, тогда по лемме 2 на основе п-1 правильного латинского квадрата можно построить п-1 долю полного /-дольного графа К(р1р2,.,р/) и еще две доли. Таким образом, получаем, что для кодирования полного /-дольного графа К(р1,р2,.,р/), где />п+1 не достаточно элементов множества и = {1,2,.,п2}, поэтому п/п(К(р1,р2,...,р/)) >п2.

Теорема 2. Пусть дано каноническое разложение произвольного натурального числа п по натуральным степеням а, различных простых чисел

п = ••Г152о:2...5^ и t = тт^"/- 1), / = 1,2,...Л и t > 2.

Следующие утверждения справедливы:

1. Для полного /-дольного графа K(p1,p2,.,pi), где p1 = p2 =...= Pi = n, n > 3 и 2 < i < t+2, выполняется nin(K(p1,p2,...,pi)) = n2.

2. Для полного /-дольного графа K(p1,p2,.,pi), гдеp1 = p2=...= pi = n, n > 3 и i > t+2, выполняется nin(K(pbp2,...,pi)) > n2.

Доказательство. 1. По теореме 4 п.4 существует множество из t правильных латинских квадратов порядка n, тогда по лемме 2 nin(K(p1 ,p2,...,pi)) = n2. Если с помощью ^-элементного множества можно построить коды вершин для t+2 долей полного /-дольного графа, то можно построить коды вершин и для / долей, где 2 < / < t+2.

2. По теоремы 4 п.4 максимальное число правильных латинских квадратов порядка n равно t, тогда по лемме 2 на основе t правильных латинских квадратов можно построить t долей полного /дольного графа K(p1,p2,...,pi) и еще две доли. Таким образом, получаем, что для кодирования полного /дольного графа K(p1,p2,.,p/), где / > t+2 не достаточно элементов множества U = {1,2,.,n2}, поэтому nin(K(pbp2,...,p/)) > n2.

Теорема 3. Пусть K(p1 ,p2,.,p/) есть полный /-дольный граф, где p1 = p2 =.. .= pi = n и nin(K(p1 ,p2,.,p/)) = n2, n > 3, i > 2. Тогда справедливы утверждения:

1. Наименьшее число полных подграфов, покрывающих граф K(p1,p2,.,pi), равно n2.

2. Наименьшее число клик, покрывающих граф K(p1,p2,.,p¡), равно n2.

Доказательство. 1. По теореме 2 п.3 семейство ст = (GbG2,...,Gk) непустых подмножеств множества V, обладающее свойствами 1-4, содержит n2 элементов. Подграфы, порожденные множествами GbG2,...,Gk, есть полные графы, образующие покрытие графа Г. Их число равно n2.

Любые два ребра графа K(p1,p2,.,pi), соединяющие вершины двух долей, не принадлежат одному полному подграфу, поэтому каждое из множеств G1,G2,.,Gk содержит i вершин.

2. Для графа K(pbp2,...,p) выполняется условие теоремы 3 п.3, поэтому наименьшее число клик, покрывающих граф K(p1 ,p2,.,pi), равняется nin(K(p1 ,p2,.,pi)) = n2.

Пример 2. Рассмотрим полный трехдольный граф K(2,2,2). Его можно покрыть четырьмя кликами, которые являются треугольниками (см. рис. 2).

Пример 3. Из предыдущего пункта и леммы 2 следует, что nin(K(6,6,6)) = 36, a nin(K(6,6,6,6)) > 36. Рис. 2. Полный трехдольный граф

K(2,2,2) и его покрытие кликами

5. Заключение

В работе с помощью теории правильных латинских квадратов, построенной на основе классической теории ортогональных квадратов, изложенной в книге (Райзер, 1966), найдено число пересечений nin(K(p1,p2,...,p)) полного i-дольного графаK(pbp2,...,pi) с равными долями. Если n - степень простого числа, то nin(K(p1,p2,.,p)) = n2 при 2 <i< t+1. Если n представлено в виде канонического разложения

n = s1"1s2a2.skak , t = min(s,a'- 1) и t > 2,

то nin(K(p1,p2,.,pi)) = n2 при 2 <i< t+2. На основе числа пересечений полных i-дольных графов с равными долями найдено наименьшее число полных подграфов и клик, покрывающих граф K(p1,p2,.,pi). Рассмотрен первый неясный случай для n = 6 нахождения пары правильных латинских квадратов. Была написана компьютерная программа, которая показала, что для числа 6 пары правильных латинских квадратов не существует.

Литература

Marczewski E. Sur deux properiétés des classes d'ensembles. Fund. Math., v.33, p.303-307, 1945. Weng Liangui, Gu Yueling, Yao Tianxing. The strong intersecting number of graph. J. Nanjing Univ. Math. Biquarteriy, v.17, N 2, p.288-233, 2000.

Маренич E.E. О числе пересечений графа. Сб. научных трудов "Алгебраическая комбинаторика".

Мурманск, МГПИ, с.52-58, 2000. Маренич Е.Е. О числе покрытия графа полными подграфами. Сб. "Ученые записки МГПУ". Мурманск,

МГПИ, т.2, с.45-50, 2004. Райзер Г.Дж. Комбинаторика. М., Мир, с.84-99, 1966. Харари Ф. Теория графов. М., Мир, 269 е., 2003.

Чебраков Ю.В. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. СПб, СПб. гос. техн. ун-т, 368 е., 1995.