О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ

УДК 531.391

И. П. Попов

О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ

Поступила в редакцию 28.01.2021 г.

Рецензия от 26.02.2021 г.

Для исследования резонансных и околорезонансных явлений использован символический (комплексный) метод, позволяющий существенно повысить продуктивность, упростить и формализовать математические преобразования. Рассмотрены параллельное и последовательное соединения элементов механической системы с источником силы либо источником скорости в качестве источника внешнего механического гармонического воздействия. Описаны четыре режима - резонансы и антирезонансы сил и скоростей. Использование символического (комплексного) метода существенно упростило исследование резонансных и околорезонансных явлений, в частности позволило глубоко унифицировать и формализовать рассмотрение различных механических систем. Громоздкие и трудоемкие операции, связанные с составлением и решением дифференциальных уравнений, заменены простыми алгебраическими преобразованиями. В основе метода лежит механический аналог закона Ома в комплексном представлении и понятие о механических реактансе, резистансе, импедансе, сассептансе, кондактансе и адмитансе.

To study resonance and near-resonance phenomena, a symbolic (complex) method was used, which makes it possible to significantly increase productivity, simplify and formalize mathematical transformations. Parallel and sequential connections of elements of a mechanical system with a source of force or a source of speed as a source of external mechanical harmonic action are considered. Four modes are described - resonances and antiresonances of forces and velocities. The use of the symbolic (complex) method has significantly simplified the study of resonance and near-resonance phenomena, in particular, it has made it possible to deeply unify and formalize the consideration of various mechanical systems. The cumbersome and time-consuming operations associated with the preparation and solution of differential equations have been replaced by simple algebraic transformations. The method is based on the mechanical analogue of Ohm's law in a complex representation and the concept of mechanical reactance, resistance, impedance, susceptance, conductance and admittance.

Ключевые слова: реактанс, резистанс, импеданс, сассептанс, кондактанс, адмитанс

Keywords: reactance, resistivity, impedance, susceptance, conductance, admittance

Введение

В установившемся режиме при гармонических воздействиях удобно использовать комплексное представление величин [1 — 3]. При этом символический (комплексный) метод существенно упрощает исследо-

79

© Попов И. П., 2021

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2021. № 2. С. 79—94.

вание резонансных и околорезонансных явлений [4—11]. В отличие от классического метода здесь не возникает необходимости в составлении и решении дифференциальных уравнений [12].

По аналогии с электротехникой гармоническую величину можно представить в виде

a = Asrn(roi + ф) = Im [Ae'(т'+ф) ] ,

4 '

где Ae — вращающийся в комплексной плоскости вектор, w — циклическая частота, ф — начальная фаза.

Векторы в комплексной плоскости принято изображать для нулевого момента времени. При этом величина Ae' (т0+ф) = Ae'p = A называется комплексной амплитудой.

В основе исследования механических систем лежит дуально-инверсный аналог закона Ома для участка электрической цепи

V = F = Fy,

Z -

• •

где V и F — комплексные амплитуды скорости и силы, z и y — механические импеданс (impedance) и адмитанс (admittance) в комплексном представлении [1 — 3].

Над комплексными величинами, не являющимися изображениями синусоиды, точка не ставится, такие величины подчеркиваются.

Далее рассматриваются параллельное (рис. 1) и последовательное (рис. 2) соединения элементов механической системы [1; 2].

а

f v

(

1 J m

$—==r_wvw\^

Рис. 1. Параллельное соединение

f, v

Рис. 2. Последовательное соединение

r

т

Аналитические описания резонанса в курсах теоретической механики соответствуют параллельному соединению.

Источниками внешнего механического гармонического воздействия на систему выступают либо источник силы, либо источник скорости.

Существуют устройства, в удовлетворительном приближении способные выполнять функции источников силы и источников скорости. Источником гармонической скорости может выступать привод с криво-шипно-кулисным механизмом и маховиком с большим моментом инерции. Источником гармонической силы может выступать шток пневмо-цилиндра, полость которого сообщается с полостью другого пневмоци-линдра, диаметр которого неизмеримо выше, чем у первого, а поршень совершает гармонические колебания.

Источник силы характеризуется комплексной амплитудой силы

F = Fe'0.

Источник скорости характеризуется комплексной амплитудой скорости

V = Ve'0.

Механические гармонические воздействия, описываемые в курсах теоретической механики, соответствуют источнику силы.

Параллельное соединение характеризуется следующими величинами [1; 2].

Инертный реактанс (reactance) —

xт = юте1"!2 = xme1"'2,

где m — масса.

Упругий реактанс —

k

xk = e = xke , (5) ю

где k — коэффициент упругости.

Механический резистанс (resistance) —

r = re10 = r ,

где г — коэффициент вязкого сопротивления. Механический импеданс —

% = Ъе'р, где Ъ = ^г2 +

Последовательное соединение характеризуется следующими величинами [1; 2].

Инертный сассептанс (susceptance) —

81

L, =— e""'2 = bme "'/2 ют т

82

Упругий сассептанс —

k = kei^2 = bkei/2.

k

Механический кондактанс (conductance) —

g = gei0 = g.

Для элемента (инертного, упругого, резистивного), рассматриваемого вне связи с другими механическими элементами, bm = 1/xm , bk = Vx , g = 1/r . В системе, включающей несколько элементов, соотношения

иные [1; 3].

Механический адмитанс —

y = Yeip, где Y = Jg2 +

g

1. Параллельное соединение и источник силы. Резонанс сил.

Комплексная амплитуда скорости (см. (1)) —

• F F

V = - =—e-ip = Ve-ip .

z z

Комплексная амплитуда инертной силы —

Fm = x^V = xmVei

Комплексная амплитуда упругой силы —

Fk = xkV = xkVe-i

Комплексная амплитуда резистивной силы —

Fr = r_V = rVe-ip= Fre-ip.

Разумеется,

Fm + Fk + Fr = F .

Из закона Гука, (12) и (5) следует выражение для комплексной амплитуды отклонения

F г Ve-i(/2+р) kVe-i(/2+p) V . ,

X = £L = xkVe_= kVe_= —e-i

k k ak a

Из второго закона Ньютона, (11) и (4) следует выражение для комплексной амплитуды ускорения

• Р х УР (ж!2-Р) атУр(ж!2-Р) , ,

А = = ХтУр-= -= У Ч2-р) = АеР2-р .

т т т

Разумеется, А = аУ = а2X .

Из (10) — (16) и (4) —(6) следуют амплитудно-частотные характеристики

Fk (ю) =

kF

, Х(ю) = -

F

Fr (ю) =

Fm (ю) =

Разумеется,

W r2 + (ют - k/ ю) ю r2 +(ют - k/ю)2

rF ч F

, ^ V(ю) = , 2 ,

Jr2 +

ют-F .. , юF

I 2 , А(ю) = I 2 .

Jr2 +

f=VFMF^Fm7.

Графики функций Х(а), У (а), А(а) ведут себя качественно так же, как соответственно Рк(а), Рг(а), Рт(а).

Частота ак, на которой функции Х(а) и Рк(а) имеют максимум, определяется из условия

d \ —< ю dю [

(kю 1 - тюю + r2

1/2

= 0.

Решение этого уравнения: k

юк

= J= ю^1 -r7(2x2) =ю^1 -d72 ,

где xw =4km — волновое сопротивление (системах), d = r/xw — затухание (системы) (по аналогии с электротехникой).

Fk max = Fk (ю. ) = , Q , F , = Х(ю. ) = = , X0 ,

д/1 - d2/4 '

71 - d 74 k ,/1 - d 74

где Q = 1/й — добротность (системах) (по аналогии с электротехникой), Х0 = Х(0) = рк — статическое отклонение.

Частота аг, на которой функции У (а) и / (а) имеют максимум, очевидным образом равна аг = ^к/т = а0.

83

£

^ = £

г

Частота ат, на которой функции А(а) и £т (а) имеют максимум, определяется из условия

d Г

-< a

da у

2 -|-1/2 ] {ka- - ma) + r2 ! = 0

Решение этого уравнения:

am = , II . 1 = =,

--Vm^/1 - r 7(2 km) - d2/2

Fm max = Fm

- d ¡4 ^/1 - d ¡4 m - d2/4

где A0 = A(0) = F/m — постоянное ускорение (при нулевой частоте).

При d2/2 > 1 функции X(a), A(a), Fk(a), Fm(a) не имеют максимумов в вещественном диапазоне частот. Примечательно, что

akam = a ,

F = F 24)

k max m max f '

Amax =02 Xmax,

A V

max max - = akXmax = -¡=П= .

am y]1 - d ¡4

Другие характерные точки:

F

- d ¡4 yj1 - d ¡4

Fk

- d ¡4 y]1 - d ¡4

Fm a) = QF , A

J1 - d 2/2

Fr (ak) = Fr (am) = V ' F,

V1 - d 74

V

,/1 - d 74 r д/1 - d /4

Характерные отношения:

Рк а) = Р, (а,) = Рк а) = Р, а) = Х(ак) = А(ат) = 1 Р, а) Рк (ат) Рк а) Р, а) Х(ат) А(ак) 1 - й1 ¡2'

рк К) = (ат) = <2 Б К) Б (ат) ^~2 '

Ек^аА=Б^а!=.

К (т) Е (а*) ^

На рисунке 3 представлены подлинные резонансные кривые для системы с параметрами Р=100 Н, т = 10 кг, к=40 кг-с-2, г = 10 кг-с-1.

Е

85

Рис. 3. Резонанс сил

На том основании, что амплитуда отклонения Х имеет максимум на частоте ак (ак <а0), она (ак, а не а0) считается резонансной частотой

[13].

Это было бы сильным решением, если бы Х был единственным значимым кинематическим параметром. Однако не менее значимыми па-

0

86

раметрами являются амплитуды скорости V и ускорения А. При этом первая имеет максимум на частоте а0, а вторая — на частоте ат (ат > а0). Таким образом, ак ничем не лучше, чем а0 и ат . Единственным аргументом при выборе резонансной частоты остается соображение симметрии (усиленное выражением (23)), в соответствии с которым резонансная частота — а0.

Этот выбор становится еще более очевидным, если обратиться к силам.

Амплитуда упругой силы Рк имеет максимум на частоте ак, амплитуда инертной силы Ет — на частоте ат . Отдать предпочтение той или другой частоте невозможно. Однако именно на частоте ю0 имеет место резонанс сил, при котором реактивные силы ¥к и Рт равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю [14; 15].

С другой стороны, величина импеданса механической системы

Ъ = ^г2 + (хт - хк )2 , характеризующего ее свойство оказывать сопротивление приводу, понуждающему ее совершать колебания, имеет минимальное значение на частоте а0. Другими словами, именно на частоте а0 система оказывает приводу минимальное сопротивление.

Таким образом, резонансной частотой является исключительно а0.

2. Параллельное соединение и источник скорости. Антирезонанс сил.

Комплексная амплитуда инертной силы —

£ = хт^ = ху*'2 = Рте'"'2.

Комплексная амплитуда упругой силы —

Рк = ^ = х^е-" = Рке-"2.

Комплексная амплитуда резистивной силы —

£ = XV = XVе'0 = Р„ег0.

Разумеется, Рт + Рк + Рг = £ . Комплексная амплитуда отклонения —

Р х Ve-i"'2 к\/е-1"'2 V , ,

X = рк_ = ЧУ!-= ^-= —е-"2 = Хе-"2.

к к ак а

Комплексная амплитуда ускорения —

А = Рт = ХУ! = ОУ! = а\/е{"'1 = Ае'"2.

т т т

Комплексная амплитуда силы (см. (1)) — Р = V х = VzelV = Рещ

Амплитудно-частотная характеристика

Р(ю) = У^т2 +(юш - к/ю) .

При ю ^ 0 и ю ^ да кривая Р(а) устремляется в бесконечность. При сверхмалых частотах условие (3) порождает чрезмерные деформации упругого элемента (34), сопровождаемые, соответственно, чрезмерными силами упругости. При сверхвысоких частотах условие (3) порождает чрезмерные ускорения (35) и чрезмерные инерционные силы.

При ю0 график проходит через минимум Ртп = Р(ю0) = Ут = Рт. Имеет место антирезонанс сил, при котором реактивные силы Рк и Рш равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю.

Для антирезонанса разночтений со смещением антирезонансной частоты (она же резонансная) не возникает.

На рисунке 4 представлена подлинная антирезонансная кривая для системы, отличающейся от первой тем, что У =10 м-с-1.

F

87

0

ю

Рис. 4. Антирезонанс сил

88

3. Последовательное соединение и источник скорости. Резонанс скоростей.

Порядок рассуждений такой же, как в п. 1. Комплексная амплитуда силы (см. (1)) —

• V V

Р = — = — е-*= Ре-ир.

у У

Комплексная амплитуда скорости инертного элемента —

Vm = ЬтР = ЬтРе

Комплексная амплитуда скорости изменения длины упругого элемента —

Vk = ЬкР = ЬкРе'

Комплексная амплитуда скорости изменения длины резистивного элемента —

V, = £Р = %Ре-1*= Ке-г* .

Разумеется,

V.,+V*+Vr = V.

Из (37) следует выражение для комплексной амплитуды импульса —

Р = mVm = тЬтРе-'("'2+р) = т—Ре-1("2+р) = —е-1("2+р) = Ре-1("2+р). (41) т т ат а

Из (38) следует выражение для комплексной амплитуды производной силы (специального названия не имеет, приводится здесь как дуальный аналог преобразования (16)) —

В = Щ = кЬкРе1

к

Это соответствует преобразованию

к„ = к^Х = ^ = а = В .

йЬ йЬ йЬ

Разумеется,

В =оР = — Р.

Из (36) — (42) и (7), (8), (9) следуют амплитудно-частотные характеристики

Vm

ату/1/ г2 +[а/к - 1/(ат)] а—1/ X2 +[а/к - 1/(ат)]

Ут (ю) =

Ук (ю) =

^У

, Р(ю) = -

У

^1/т2 + [ю/к- 1/(юш)]2 ' У ' ^1/т2 + [-1/(юш)]2 '

юУ юУ - =, В(ю) = =

Ц1/ т2 + [ю/к - 1/(юш)]] ^1/ т2 +[ю/к- 1(юш)]2

Разумеется,

У=у1 У2 + (Ук-Уш)2.

Графики функций Р(ю), Р(ю), В(ю) ведут себя качественно так же, как соответственно Уш (ю), Ут (ю), Ук(ю).

Частота юш, на которой функции Р(ю) и Уш (ю) имеют максимум, определяется из условия

А

йю

ю

(к ю-ш 1) + т

-1/2

= 0.

Решение этого уравнения:

1- шк/

У = У (ю ) =

ш тах ш \ ш /

У, Р = Р

штах ш V ш /

й Уш = , й Р0,

^1- 0 74 х/1-074

где Р0 = Р(0) = Уш — постоянный импульс (при нулевой частоте).

Частота ют, на которой функции Р(ю) и Ут(ю) имеют максимум, очевидным образом равна

к

ют = 4(— =ю0. ш

Ут тах = Ут ю) = У , ^тах = Р(ю„) = У .

Я

Частота юк, на которой функции В(ю) и Ук(ю) имеют максимум, определяется из условия

А

йю

(к 1ю-ш гю 1) + т

-1/2

= 0.

Решение этого уравнения:

Гк

ш V1 -кш/(2т2) 71-072

89

90

Vkmax = Vk

71-074 71-074 71-074

где В0 = В(0) = Vk — постоянная производная силы (при нулевой частоте).

При 0 72 > 1 функции Р(а), В(а), Vm (а), Vk (а) не имеют максимумов в вещественном диапазоне частот. Примечательно, что

ак—т = —о ,

V, = V ,

к тах т тах ' \ /

Втах =—02 Рпах,

В Р

— = —тРтах ="Н^ ''

ак 71 - 074

Другие характерные точки:

Vm

71 - 0/4 71-074

Vk

71-074 N/1-074 0

Vm

71 - 072

V, (—к ) = V, (—т) V

71 - 074

Р

Р

71-074 £ 71-074

Характерные отношения:

Vk (—к ) = Vm (—т ) = Vk (—к ) = Vm От ) = Р(—т ) = В— ) = 1

Vm (—к ) Vk К ) Vk (—т ) V (—к ) Р— ) В— ) 1 - й

V, (—к ) = Vm (—т ) = й

Vr (—к ) V, (—т ) 7Т-072'

//o\=yа)=й^-0л~2.

V-

Амплитуда импульса Р имеет максимум на частоте ат (ат < а0), амплитуда силы Р — на частоте а0, амплитуда производной силы В — на частоте ак (ак > о0).

Амплитуда скорости инертного элемента Уш имеет максимум на частоте юш, амплитуда скорости изменения длины упругого элемента Ук — на частоте юк.

На частоте ю0 имеет место резонанс скоростей, при котором (реактивные) скорости и Ук равны и противоположны, а их сумма соответственно равна нулю [14; 15].

Величина адмитанса механической системы У = ^я2 + (Ьк -Ьш )2 ,

характеризующего ее свойство не оказывать сопротивление приводу, понуждающему ее совершать колебания, имеет минимальное значение на частоте ю0. Другими словами, именно на частоте ю0 система оказывает приводу максимальное сопротивление.

Таким образом, резонансной частотой является исключительно ю0.

Для системы с параметрами, отличающимися от параметров второй тем, что т=40 кг-с-1, подлинные резонансные кривые полностью совпадают с изображенными на рисунке 3 при заменах — ^ Уш, —ш ^ Ук, —т ^ Ут, юк ^ юш , юш ^ юк .

4. Последовательное соединение и источник силы. Антирезонанс скоростей.

Порядок рассуждений такой же, как в п. 2.

Комплексная амплитуда скорости инертного элемента —

Уш = Ьш — = Ьш—е-'*'2 = Уше-'*'2.

Комплексная амплитуда скорости изменения длины упругого элемента —

Ук = к — = Ьк—е*2 = Уке-*2.

Комплексная амплитуда скорости изменения длины резистивного элемента —

У = ^ = 8¥е'0 = У/0.

Разумеется, Уш + Ук + Ут = У.

Комплексная амплитуда импульса —

Р = шУш = шЬ—-'*'2 = ш——е-'*2 = —в-42 = Ре42.

юш ю

Комплексная амплитуда производной силы —

В = кУк = кЬ—е*2 = кв*2 = ю—е'*2 = Ве'*2.

к

91

Комплексная амплитуда скорости (см. (1)) — У = —у = —уещ = Уещ.

92

Амплитудно-частотная характеристика —

У(ю) = 2 +(ю/к- 1/(юш))2 .

При ю —> 0 и ю — да кривая У(ю) устремляется в бесконечность. При сверхмалых частотах условие (2) порождает чрезмерный импульс (65), сопровождаемый, соответственно, чрезмерной скоростью инертного элемента. При сверхвысоких частотах условие (2) порождает чрезмерную производную силы (66) и чрезмерную скорость изменения длины упругого элемента. При ю0 график проходит через минимум Ущт = У(ю0) = —Я = Ут. Имеет место антирезонанс скоростей, при котором (реактивные) скорости Уш и Ук равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю.

Для системы, отличающейся от третьей тем, что —=100 Н, подлинная антирезонансная кривая полностью совпадает с изображенной на рисунке 4 при замене — — У.

Заключение

Использование символического (комплексного) метода существенно упростило исследование резонансных и околорезонансных явлений, в частности позволило глубоко унифицировать и формализовать рассмотрение различных механических систем (п. 1 и 3, 2 и 4 являются дуально инверсными). Громоздкие и трудоемкие операции, связанные с составлением и решением дифференциальных уравнений, заменены простыми алгебраическими преобразованиями.

В основе метода лежит механический аналог закона Ома в комплексном представлении (1) и понятие о механических реактансе, резистансе, импедансе, сассептансе, кондактансе и адмитансе. С помощью этого метода получены новые результаты, в том числе (14), (17) — (33), (40) — (64).

В дополнение к классическому методу рассмотрены последовательное соединение механических элементов и источник скоростей.

Классическое рассмотрение доставляет одну амплитудно-частотную характеристику, символический (комплексный) метод — восемь при значительно большем числе характерных точек и характерных отношений.

Установлено, что вопреки классическому подходу резонансной частотой является исключительно ю0 (а не юк). Другими словами, резонансная частота не сдвигается от частоты свободных колебаний. Это обусловлено тем, что при классическом рассмотрении не установлена симметрия частот (23), (54), а при символическом она очевидна.

Определены резонанс и антирезонанс сил, резонанс и антирезонанс скоростей, которые не были определены классическим методом. Резо-нансы возникают при сочетаниях параллельного соединения элемен-

тов и источника силы либо последовательного соединения и источника скорости. Антирезонансы возникают при сочетаниях параллельного соединения и источника скорости либо последовательного соединения и источника силы.

Для всех описанных случаев фазо-частотные характеристики особой оригинальностью не отличаются и поэтому не рассматриваются.

Список литературы

1. Попов И. П. Применение символического (комплексного) метода для расчета сложных механических систем при гармонических воздействиях // Прикладная физика и математика. 2019. № 4. С. 14 — 24. doi: 10.25791/pfim.04.2019. 828.

2. Попов И. П. Импедансы и адмитансы механических систем // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2020. № 5 (343). С. 3 — 11. doi: 10.33979/2073-7408-2020-343-5-3-11.

3. Попов И. П. Алгебраические методы расчета разветвленных механических систем при вынужденных колебаниях // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2020. № 5 (343). С. 12 — 20. doi: 10.33979/ 2073- 7408-2020-343-5-12-20.

4. Кужелев А. А., Пониматкин В. Е., Шпилевая С. Г., Попов А. А. К вопросу об увеличении диапазонных свойств несимметричного вибратора // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2020. № 2. С. 95 — 103.

5. Шабловский О. Н. Колебания, резонансы и волны в нелокальной среде с источниками // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 4. С. 5—14.

6. Великанов Н.Л., Наумов В. А., Корягин С. И. Внутреннее трение при продольных колебаниях троса // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 3. С. 84—92.

7. Пониматкин В. Е., Шпилевой А. А., Кужелев А. А. К вопросу об увеличении диапазонных свойств несимметричного вибратора // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 2. С. 69 — 77.

8. Popov I. P. Free harmonie oscillations in systems with homogeneous elements / / Journal of Applied Mathematies and Mechanics. 2012. Vol. 76, iss. 4. P. 393 — 395. doi: 10.1016/j. jappmathmech.2012.09.005.

9. Popov I. P. Theory of a Multi-Inert Oscillator // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2020. Vol. 49, iss. 8. P. 16—20. doi: 10.3103/S105261882 0080105.

10. Попов И. П. Теоретические предпосылки создания мультиинертного осциллятора // Оборонный комплекс — научно-техническому прогрессу России. 2020. № 1 (145). С. 15—19.

11. Попов И. П., Родионов С. С., Мошкин В. И. Повышение энергоэффективности приводов решетных сортировальных вибромашин. Курган, 2019.

12. Попов И. П. Дифференциальные уравнения двух механических резонан-сов // Прикладная физика и математика. 2019. № 2. С. 37—40. doi: 10.25791/ pfim.02.2019.599.

13. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. М., 1980.

93

14. Попов И. П. Антирезонанс — резонанс скоростей // Мехатроника, автоматизация, управление. 2019. Т. 20, №6. С. 362 — 366. https://doi.org/10. 17587/таи.20.362-366.

15. Попов И. П. Разновидности резонансов в механике // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2019. Т. 51, № 1. С. 88—85. doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-1-88-95.

Об авторе

Игорь Павлович Попов — канд. техн. наук, ст. преп., Курганский государственный университет, Россия.

__E-mail: ip.popow@yandex.ru

94

--The author

Dr Igor P. Popov, Assistant Professor, Kurgan State University, Russia. E-mail: ip.popow@yandex.ru