Существование и устойчивость решения систем дифференциальных уравнений для разомкнутых моделей систем массового обслуживания

П.Б. Абрамов, А.В. Леньшин,

кандидат технических наук, доцент, доктор технических наук, доцент,

Военно-воздушная академия имени проф. Военно-воздушная академия имени проф.

Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина

СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАЗОМКНУТЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

EXISTENCE AND STABILITY OF THE DECISION OF SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR THE OPENED MODELS

OF QUEUING SYSTEMS

Рассматриваются разомкнутые модели систем массового обслуживания. Показана устойчивость решения дифференциального уравнения для одноканальной разомкнутой СМО с отказами. Для многоканальных разомкнутых СМО на основе условия Липшица и леммы Ляпунова показано существование и устойчивость решения системы дифференциальных уравнений модели. Предложены пути дальнейшего совершенствования модели.

The opened models of queuing systems are considered. Stability of the differential equation solution is shown for the one-channel queuing system with refusals. Existence and stability of the decision of the differential equations system, describing the model, is shown for multi-channel queuing systems on the basis of Lipshits's condition and Lyapunov's lemma. Ways of further improvement of model are offered.

Стремительное развитие систем и сетей передачи информации существенно усложняет анализ подобных систем, при этом в целом ряде случаев классические модели исследования операций не в полной мере отвечают постановке задачи исследования и не обеспечивают требуемой детализации предмета исследования. В частности, общеизвестные модели систем массового обслуживания (СМО) основаны на марковских моделях «гибели и размножения», что ограничивает область их применения простейшими потоками заявок. Вместе с тем, как показано в [1—3], учет фактора последействия в потоках заявок в ряде случаев играет существенную роль.

Кроме того, модели «гибели и размножения» предопределяют некоторую изолированность рассматриваемой системы от внешней среды. Поэтому на основе классических моделей СМО не представляется возможным выполнить, например, анализ потоков обслуженных заявок на выходах отдельных каналов СМО, сравнить загруженность каналов и показатели их функционирования. Стыковка различных систем массового обслуживания в рамках классической теории также представляет собой серьезную проблему.

Альтернативным подходом к моделированию систем массового обслуживания является применение открытых марковских форм, или марковских форм с незамкнутыми (внешними) потоками событий.

Основой наглядного представления модели является структурный граф системы. Для СМО с отказами граф имеет вид, приведенный на рис. 1.

X X ^ X

м

Рис.1. Структурный граф СМО с отказами

Следует особо отметить, что основой модели, в отличие от классической, являются не вероятности состояний, а потоки событий (заявок). Каждое состояние Si соответствует не состоянию системы в целом, а одному из каналов СМО. Вероятность Pi для некоторого состояния Si равна вероятности такого события, что 1-й канал занят. Несмотря на то что интенсивности потоков между состояниями Л равны между собой, действующая интенсивность входящего потока для состояния Si определится как Лi.1,i=XPi-1 и будет уменьшаться от одного канала к другому.

На вероятности состояний не налагается условие равенства их суммы единице. Напротив, для равновесного (стационарного) режима системы справедливо условие равенства входящего и суммы выходящих потоков. Выходящий поток заявок, получивших отказ в обслуживании, имеет действующую интенсивность Аотк = Я-Гп, а обслуженных — действующую интенсивность

Вместе с тем, сам факт наличия равновесного режима требует отдельного обоснования. Для этого необходимо выполнить анализ системы дифференциальных уравнений, описывающих представленную на рис. 1 модель, и доказать существование, единственность и асимптотическую устойчивость ее решения.

В качестве описания динамики системы применяются хорошо известные уравнения Колмогорова — Чепмена. Для учета входящего потока событий достаточно добавить в правой части первого из уравнений положительную постоянную Выходящие из модели вовне потоки учитываются так же, как и прочие выходящие из некоторого состояния потоки — увеличением суммарной исходящей интенсивности.

Рассмотрим модель одноканальной СМО с отказами. Структурный граф системы приведен на рис. 2.

Динамика этой системы описывается линейным дифференциальным уравнением

Известно аналитическое решение линейного дифференциального уравнения, к классу которых относится (3), приведенное в литературе [4]. В случае постоянных коэффициентов в правой части оно имеет вид

П

/ = 1

Следовательно, условие равенства интенсивностей потоков имеет вид

п

/ = 1

Рис. 2. Структурный граф одноканальной СМО с отказами

dt

Р(і) = Се

-(я+т)  і

я

1+т

где С — произвольная постоянная интегрирования, определяемая из условия

Р/0) = а , для рассматриваемой модели

а

£ 1

Данное решение асимптотически устойчиво для любых начальных условий, и все решения (4) стремятся к величине

я

І1Ш рх(і) =я----------

і я + т

что также достаточно просто получить из выражения (3), положив левую часть равной нулю для равновесного состояния.

В выражении (5) мы получили вероятность отказа в обслуживании заявки для одноканальной СМО, с учетом того факта, что отказ происходит в случае, когда канал занят. Отсюда можно получить прочие параметры СМО:

1 „ _ р _. п _ и „_„ ¿_ ¿и

; Ч гшпё

Р

1

.

1 — Р =

Л ; 1 ~ іиПЄ 1 О ; 2^ -1  - Л

я+т я+т я+т

Итак, параметры разомкнутой одноканальной СМО с отказами полностью совпадают с результатами классической теории для систем массового обслуживания. Перейдем к рассмотрению многоканальных СМО.

Для многоканальной разомкнутой СМО с отказами (рис. 1) аналитическое описание представляется в виде системы линейных дифференциальных уравнений:

С№ ї (і, Р) + ф) ,

ї(іР) =

о о ... 0 )т а вектор-функция ^1, Р) имеет вид

—(я+т)Р1 0 0 ... 0 0

яр —(я+т)Р2 0 ... 0 0

0 я —(я+т)РЪ ... 0 0

0 0 0 ... 0 0

0 0 0 ... —(я+т)Рп—1 0

_ 0 0 0 ... яРп—1 - -(я+т)Рп

Из общей теории систем дифференциальных уравнений известно, что если функция Г^д) непрерывна на некотором открытом множестве С пространства переменных (1д) и удовлетворяет условию Липшица по х на любом замкнутом ограниченном множестве, содержащемся в множестве С, то, какова бы ни была точка

(*(Ъ Уо) бб, существует решение x=ф(t) системы уравнений (7), определенное в некоторой окрестности точки ^ и удовлетворяющее условию фОо) = x0.

Покажем, что для вектор-функции (8) это условие выполняется. Рассмотрим модули частных производных

—- , где і,к = 1,2, ...,п.

дрг

Легко установить, что

Тогда, как показано в [5], для случая ограниченных сверху частных производных, имеют место соотношения:

Следовательно, условие Липшица выполнено, и решение рассматриваемой системы уравнений существует. Более того, при условии непрерывности функции Д(,Р) на некотором открытом множестве С пространства переменных (^ Р) и выполненном условии Липшица на любом замкнутом ограниченном множестве, содержащемся в множестве О, как известно, решение системы (7) не только существует, но и является единственным. Таким образом, мы пришли к выводу о том, что для предложенной модели СМО всегда существует единственное решение задачи Коши, и факт его существования не зависит от начальных условий и количества каналов п в рассматриваемой модели системы массового обслуживания.

Теперь покажем, что решение Д^, Р) системы уравнений (7) обладает свойством устойчивости.

Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений по Ляпунову (асимптотическая) достигается тогда и только тогда [6], когда является устойчивым по Ляпунову (асимптотически) тривиальное решение Р = 0 соответствую -щей однородной системы

Для доказательства устойчивости решения воспользуемся леммой Ляпунова для однородных систем. Согласно условиям леммы, правая часть системы (14) должна быть определена и непрерывна, кроме того, модуль вектора переменных Р должен быть ог-

вектора переменных следуют из физического существа задачи и метода построения модели. Действительно, каждое из состояний, рассматриваемое по отдельности, подчиняется выражениям (3)—(5). Из формулы (4) следует непрерывность и монотонность функций Рг-, а выражение (5) определяет, что каждая из переменных Рг- асимптотически стремится к величине, строго меньшей единицы. Таким образом, при начальных условиях Р[ = 0, вполне отвечающих начальному моменту функционирования СМО, условия леммы Ляпунова являются выполненными.

Условия теорем существования и единственности, как показано выше, также

выполнены. Тогда, если найдется такая неотрицательная функция V(Р) класса С1, обращающаяся в ноль только при Р = 0, что

и

С учетом (9) получим:

Полагая постоянную Липшица К _ п3/2 • (1 + и), приходим к неравенству

раничен сверху |Р| £ г, где г — некоторая произвольная постоянная. Все эти свойства

Vд¥(р)Г(Р)<п

,5 дР7 '

то решение Р ° п системы уравнений (14) устойчиво по Ляпунову. Если, кроме того,

п дУ

Е -¿Г-М Р ) <~^

7=1 дР7

где Ш(Р) — П — некоторая непрерывная функция, обращающаяся в ноль только при

Р = 0, то решение Р = 0 асимптотически устойчиво.

Вновь обращаясь к выражениям (4) и (5), приходим к выводу о том, что при начальных условиях Р7 = 0 и положительной асимптотике каждая из переменных Р7 является положительной величиной на всей области определения. Об этом же свидетельствует анализ динамики поведения этих величин. Действительно, допустим, что в некоторый момент переменная Р7(7}) примет значение Р7(7}) = 0. Тогда величина всех исходящих из состояния 87 потоков Я•Р7(7}) = ц" Р(7}) = 0. Это приведет к тому, что в последующие моменты 7 > уменьшение величины Р7 в сторону отрицательных значений невозможно.

Данные предпосылки позволяют определить функцию У(Р) в виде

п

у

7 =1

Функция У(Р) является при этом непрерывной, дифференцируемой и неотрицательной на всей области определения.

дУ( Р) = ,

Тогда, очевидно, „ = 1 и

д 7

п дУ(Р) п

Е Р) = Е и Р).

7 =1 дР7 7 =1

Следовательно, для вычисления критериальной функции в левой части выражений (15) и (16) достаточно просуммировать элементы матрицы вектор-функции (8). Легко видеть, что при суммировании каждого из столбцов матрицы члены ЯР7 встречаются как с положительным, так и с отрицательным знаком, то есть, взаимно уничтожаются. Окончательно получим:

п дУ(Р) п

2 Р) = -т  Е р, .

7 =1 дР7 7=1

Теперь в выражении (16) функция Ш (Р) может быть определена как

Ш

где ртах т-ах Р, , для любого 7;

"7е1,п

е — сколь угодно малая величина, 0 < £ < р7тах, которая в общем случае может зависеть от времени и равная нулю в момент времени ¿=0.

Поскольку справедливы утверждения (Р7(7) — 0 \ "Р е Р- и

7 ф0 — 0 ^ и

(Ш( Р)[ __ 0 = 0) . Таким образом, введенная согласно (20) функция Ш(Р) вполне отвечает требованиям, предъявляемым к ней условиями леммы Ляпунова.

На основании анализа (19) и (20) можно сделать вывод о том, что выполняются соотношения

п дУ(Р ) п

Р) =—т X Р, < — т Ргтах + £ = —Щ Р) .

7=1 дР7 7 =1

Более того, сравнение условия (16) и неравенства (21) позволяет утверждать, что величина е может быть принята даже тождественно равной нулю ( £ = 0 ), что также обеспечит выполнение условия (16), при этом для некоторых интервалов времени — по признаку равенства.

Итак, можно сделать вывод об асимптотической устойчивости решения однородной системы уравнений (14) и, как следствие, об асимптотической устойчивости решения линейной системы дифференциальных уравнений (7) для многоканальной СМО с отказами.

С учетом выражений (4) и (5) для одного из каналов СМО, определяющих асимптотическое стремление процесса к равновесному состоянию, и принимая во внимание отсутствие в графе потоков событий и состояний системы обратных связей, которые могли бы определять влияние последующих каналов системы на предыдущие, окончательно приходим к выводу об асимптотической сходимости решения системы (7) к некоторому равновесному состоянию, не зависящему от времени. Для нахождения равновесного состояния достаточно решить систему алгебраических уравнений, положив в выражении (7) левую часть равной нулю.

Подводя итог, отметим несколько направлений дальнейшего развития рассмотренной модели.

1. В отличие от классической модели СМО рассмотренная модель позволяет учесть несколько потоков заявок, воздействующих на входы различных каналов. Для этого требуется лишь изменить соответствующим образом вид вектор-функции g(t), что не влияет на существование и устойчивость решения.

2. В рамках рассмотренного подхода легко учесть различную производительность каналов обслуживания. Достаточно присвоить различные значения величинам ¡л7 для разных каналов. Более того, в случае дисциплины обслуживания заявок, отличной от марковской, для каждого канала с интенсивностью обслуживания ¡л7 возможно определение соответствующей интенсивности простейшего потока т ’» Кэ7  т на основе

метода расширения пространства состояний с учетом порядка аппроксимирующего потока Эрланга Кз7.

3. Вполне очевидно представление многофазных систем массового обслуживания на основе рассмотренной модели. Для этой цели потоки обслуженных заявок с интенсивностями ¡л7 необходимо объединить и подать поток суммарной интенсивности

1 = на вход аналогичной модели, отображающей вторую фазу обслуживания

7

СМО. Равновесное состояние для каждой фазы СМО может быть определено по отдельности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов П.Б., Леньшин А.В. Оценка параметров систем массового обслуживания при аппроксимации дисциплины обслуживания потоками Эрланга // Вестник Воронежского института МВД России. — 2012. — № 2. — С.13 — 18.

2. Абрамов П.Б., Леньшин А.В. Об одном подходе к оценке параметров многоканальных систем массового обслуживания с учетом последействия в потоках обслуженных заявок // Вестник Воронежского института МВД России. — 2012. — № 3. — С.156—162.

3. Абрамов П. Б., Леньшин А. В. Оценка параметров многоканальных систем массового обслуживания с учетом последействия в потоках обслуженных заявок // Вестник Воронежского института МВД России.— 2013. — №2. — С.130 — 135.

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1971. — 589 с.

5. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. — СПб: Изд-во СПбГУ, 1992. — 239 с.

6. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — 288 с.

REFERENCES

1. Abramov P.B., Lenshin A.V. Otsenka parametrov sistem massovogo obsluz-hivaniya pri approksimatsii distsiplinyi obsluzhivaniya potokami Erlanga // Vestnik Vo-ronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2012. — № 2. — S. 13—18.

2. Abramov P.B., Lenshin A.V. Ob odnom podhode k otsenke parametrov mnogo-kanalnyih sistem massovogo obsluzhivaniya s uchetom posledeystviya v potokah obslu-zhennyih zayavok // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2012. — № 3. — S.156—162.

3. Abramov P.B., Lenshin A.V. Otsenka parametrov mnogokanalnyih sistem massovogo obsluzhivaniya s uchetom posledeystviya v potokah obsluzhennyih zayavok // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii.— 2013. — № 2. — S. 130 — 135.

4. Kamke E. Spravochnik po obyiknovennyim differentsialnyim uravneniyam. —M.: Nauka, 1971. — 589 s.

5. Adrianova L.Ya. Vvedenie v teoriyu lineynyih sistem differentsialnyih uravneniy. — SPb: Izd-vo SPbGU, 1992. — 239 s.

6. Kartashev A.P., Rozhdestvenskiy B.L. Obyiknovennyie differentsialnyie uravneniya i osnovyi variatsionnogo ischisleniya. — 2-e izd., pererab. i dop. — M.: Nauka. Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literaturyi, 1979. — 288 s.