Комплексная оценка алгоритмов фильтрации- сегментации изображений

УДК 681.3.01

Е.А. Самойлин

КОМПЛЕКСНАЯ ОЦЕНКА АЛГОРИТМОВ ФИЛЬТРАЦИИ СЕГМЕНТАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Для математически строгой оценки эффективности различных методов и алгоритмов фильтрации-сегментации при обработке изображений, предлагается использовать универсальный комплексный целевой функционал, учитывающий различные факторы возникновения шумов и формы описания изображений.

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, обработка изображений в различных информационных системах осуществляется в два основных этапа: предварительная обработка и непосредственно распознавание. На предварительном этапе обработки решаются такие задачи как фильтрация, т. е. подавление шумов, помех и сегментация, т. е. выделение контурных линий и информативных признаков.

К настоящему времени разработано достаточно много алгоритмов и методов фильтрации-сегментации изображений [1-11]. Такое их многообразие обусловлено различными факторами возникновения шумов и помех, а также формами представления изображений. Например, известно [2, 3], что для фильтрации белого гауссовского шума наиболее подходит линейная или нелинейная медианная фильтрация, для подавления низкочастотной составляющей шума эффективны спектральные методы и вейвлет-преобразования [2], для фильтрации высокочастотной составляющей - цифровые фильтры [1], фильтрации фона -согласованные и винеровские фильтры [4] и т. д.

Анализ последних работ в области фильтрации и сегментации изображений [1-10] показывает, что модификации различных алгоритмов вызывают появление новых свойств фильтров, которые по-разному влияют на подавление шумов и помех разных факторов. Например, проведенный в работе [5] вычислительный эксперимент показывает, что алгоритм медианной фильтрации, функционирующий в режиме рекурсивного формирования апертуры, обладает существенно более выраженной способностью к сглаживанию низкочастотной составляющей, т. е. приближается к спектральным методам.

С другой стороны, при всем многообразии новых алгоритмов и методов фильтрации-сегментации, возникает проблема выбора решения для конкретной задачи, так как в большинстве случаев алгоритмы моделируются на простейших тестовых изображениях и оценка их проводиться визуально, т. е. «на глаз». Например, в [5] представлены результаты модифицированной медианной фильтрации на примере тестовых геометрических фигур, пятен произвольной формы, а также карт облачности, но нет строгой количественной оценки полученных результатов. В работе [6] приведены результаты модели-

рования пространственной фильтрации-сегментации без их математической оценки. В [7] также графически приведены результаты фильтрации-сегментации простейших тестовых изображений однослойной нейронной сетью без численного анализа. Строгая математическая оценка результатов обработки по предлагаемым алгоритмам отсутствует и в [8-10].

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в настоящее время, при всём многообразии новых методов и алгоритмов фильтрации-сегментации изображений, отсутствует строгий математический аппарат оценки их эффективности.

Цель работы - обоснование необходимости введения и выбор универсального целевого функционала для строгой математической оценки эффективности алгоритмов фильтрации и сегментации изображений.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается задача поиска комплексного целевого функционала для расчета многокритериального показателя, объективно отражающего качество принципиально различных методов и алгоритмов фильтрации-сегментации изображений.

Количество критериев оценки должно соответствовать факторам возникновения шумов и помех, которые перечислены выше, а также основным формам представления и описания изображений. Наиболее общими способами описания являются векторно-матричное представление и представление с использованием детерминированных или стохастических функций, а также на их основе структурное, признаковое и множественное представления [11].

Качество различных методов и алгоритмов целесообразно оценивать мерой близости (схожести) вектора изображения в ¿-мерном пространстве после фильтрации-сегментации с некоторым идеализированным (эталонным) вектором, который должен быть получен в результате «идеального» алгоритма. Размерность пространства к = т х п, где т, п - соответственно число строк и столбцов изображения. Эталонный вектор изображения должен содержать только компоненты, относящиеся к контурным линиям (идеальная сегментация) и не содержать шумов (идеальная фильтрация).

2 ВЫБОР КОМПЛЕКСНОГО ЦЕЛЕВОГО

ФУНКЦИОНАЛА

Как было отмечено, шумы и помехи на изображениях могут быть отнесены к одному из факторов возникно-

вения, кроме того, сами изображения характеризуются многообразием форм их представления и описания. Например, в работе [11] предложено классифицировать методы обработки изображений в соответствии с законом описания их характеристик.

Исходя из этого, искомый комплексный целевой функционал может быть записан в виде матрицы определённой размерности, число элементов вектор-столбцов которой будут соответствовать количеству оцениваемых методов обработки, а число элементов вектор-строк -количеству целевых функций (для расчета отдельных критериев) в зависимости от факторов возникновения шумов и способов описания изображений.

Оценить эффективность фильтрации-сегментации в условиях белого гауссовского шума, для векторно-мат-ричного представления изображений, можно путем определения дисперсии многомерных векторов изображений в к-мерном пространстве [3]. При этом вектор-столбец (транспонированная вектор-строка) дисперсии векторов изображений будет иметь вид

ро

<0,1,...,N

I тп

м |уу(/ - я )2

/ 1 / 1 \ т ,п т, п /

где =

¿=1 ц=1

(равна единице); = -

¿=1 ¡=1

I т п /

м!уу( - я )2

/ , / , \ т,п т,п /

ГТ° -тодов; =

¿=1 ¡=1

бражений, оптимальным будет определение величины расстояния в к-мерном пространстве непрерывных функций с квадратичной метрикой. При этом второй вектор-столбец (строка) функционала примет вид:

(0,1,..., м) ро М N I ,

Л ( (¿, ¡)- я(, ц))2 ¿¿с

где р? =

1

Л 2

нормированное

I }}(/((,¡)-Я((,М

V о о

на себя расстояние между исходным и эталонным к -мерными векторами изображений (единица); р =

т п

Ц(р1 (, Ц )-я (, Ц ))2 ¿ИсЦ

К о о_

^ т п л

Ц(/(г, Ц)-я(¿, Ц))2 ¿¿¿Ц

нормированное рас-

нормированная

М^ £(( - Ят,п )2 |

на себя дисперсия исходного изображения с эталонным

I т п , ,1

М]]Г £

стояние изображения, полученного обработкой исходного по первому из оцениваемых методов от эталонного;

т п Л 2

{{(((,Ц)-Я(,Ц))2) '

уо о =-

нормированное

т п

{{(/(, Ц)-Я(, Ц ))2 ¿¿Ц

М Щ ^(/т, - Ят,п )2 |

нормированная дисперсия изображения, полученного обработкой исходного по первому из оцениваемых ме-

нормированная

м - я„,п )21

дисперсия изображения, обработанного последним (Ы-м) из оцениваемых методов; Т - оператор транспонирования; 1т,п - исходное изображение (до обработки) раз-

1

мерности т х п; Ят,п - эталонное изображение; Рт п -изображение после обработки первым оцениваемым методом; Р^т п - изображение после обработки Ы-м методом. Эталонный вектор изображения Ятп является требуемым, т. е. который должен быть получен в результате работы «идеального» метода.

Для оценки в условиях фильтрации низкочастотного шума, которая осуществляется спектральными методами, приведением к нулю постоянной составляющей в ограниченном скользящем окне, либо вейвлет-преобра-зованием [2] и детерминированным представлением изо-

расстояние изображения, обработанного последним (Ы-м) методом от эталонного; 1(1,]) - непрерывная функция

исходного изображения; Л(г,/) - эталонного; р1( г, у), рМ (

г, у) - непрерывные функции после преобразования 1-м и Ы-м алгоритмом.

Фильтрация-сегментация при высокочастотном шуме, которая осуществляется цифровыми фильтрами [2], как правило, в векторно-матричной форме изображений, оценима нахождением величины евклидова расстояния и угла между интересуемыми векторами в к-мерном пространстве. Вектор-столбец (строка) евклидовых расстояний будет [12]

Л;о,1,...,=|Л ',

Е

где =

1

тп

уу(( - я )2

т ,п т,п

¿=1 Ц=1

тп

уу(7 - я )2

т ,п т,п

нормированное на

¿=1 Ц=1

себя евклидово расстояние между исходным и эталонным к-мерными векторами изображений (единица);

2

/ _

Г" =

1

т п . ,

Г Г ( _ Я )2

/ 1 / 1 \ т,п т,п}

1=\ у=1

нормированное ев-

т п

Гу(г _ Я )2

/ у / у V т,п т,п )

1=\ у =1

клидово расстояние изображения, полученного обработкой исходного по первому из оцениваемых алгоритмов

от эталонного; Vе =

\

т п . , ГГ(ры _я )2

/ 1 / 1 \ т,п т,п /

1=1 ]=1

нормиро-

п

ГГР _я )2

/ у / у V т,п т,п '

1=1 у =1

ванное евклидово расстояние изображения, обработанного последним (М-м) методом от эталонного.

Вектор-столбец (строка) угла между векторами примет вид [12]:

рв рв\Т г<о,1,.., и) = |Го Г1 Ги / ,

где Гв =

1 _

тп

,пЯт,п )

• =1 У =1

= 1 _

I т п , . I т п

ГГГ р1п) ГГГ

| ¿=1 у=1 у • =1 у=1

нор-

где ^ = 1 - (К[ 1Щ пКщ п]) - обратная взаимная корреляция исходного с эталонным вектором; = 1 -1

- (К[Рт п^т п]) - обратная взаимная корреляция вектора на выходе первого алгоритма с эталонным; = 1 -

- (К[Рт п^т п]) - обратная взаимная корреляция изображения, обработанного последним (М-м) методом с эталонным.

Таким образом, полный вид комплексного целевого функционала будет:

,-,(О ,Е,в,К) _ 0,1,..., И) =

ГО Vе Гв ГК 1 о 1 о 1 о 1 о 1 о

ГО Ге Гв ГК 1 1 1 1 1 1 1 1 1

ГО Ге Гв ГК

нор-

КГ. ,п )) ГГ

I ¿=1 у =1 \| ¿=1 у=1

мированный на себя синус угла между исходным и эталонным к-мерными векторами изображений (единица);

мированный синус угла между вектором изображения, полученным обработкой исходного по пер-

Г9

вому из оцениваемых методов и эталонным; =

3 ОЦЕНКА АЛГОРИТМОВ ФИЛЬТРАЦИИ-

СЕГМЕНТАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В качестве примера, с использованием выбранного комплексного целевого функционала, оценена эффективность двух различных алгоритмов фильтрации-сегментации полутоновых изображений, т. е. N =2. Первый является классической медианной фильтрацией, которая достаточно эффективна при сглаживании белого гауссовского шума [3]. Второй базируется на применении однослойной нейронной сети, сущность которого изложена в [7].

Указанными алгоритмами производилась обработка исходного тестового изображения размерностью 150 х 200 элементов, показанного на рис. 1а, с «зашумленной» буквой «А».

Эталонным изображением для тестового (рис. 1а) будет являться показанное на рис. 16, той же размерности.

Изображение, полученное обработкой по алгоритму медианной фильтрации [3], показано на рис. 2а, а изображение, полученное на выходе однослойной нейронной сети [7] - на рис. 26.

т п / \

Г Г

/ ^ / л V т , п т , п /

1 _

• = 1 у = 1

* / т п . . I т п_

¡гг г

| ^ V •=1 у=1 V •=1 у=1

норми-

рованный синус угла между изображением, обработанным последним (М-м) методом и эталонным.

0ценка алгоритмов при фильтрации текстурных помех и представлении изображений стохастическими функциями, осуществима определением степени тесноты линейной зависимости между функциями, что возможно путем вычисления коэффициента взаимной корреляции случайных векторов. Вектор-столбец (строка) будет определяться в соответствии с выражением:

ГК =

(о,1,..., и) I-1 о

ГоКГ1К... ГК)Т,

а)

Ю

Рисунок 1 - Исходное (а) и соответствующее ему эталонное (Ь) изображения

а)

Ь)

Рисунок 2 — Результат медианной (а) и нейросетевой (Ь) обработок

2

2

Для оценки эффективности алгоритмов, в соответствии с выражениями (1-5), проведен расчет комплексного целевого функционала. Результаты приведены в форме (6) ниже:

F,

{D,S,E,9,K) _

1 1 1 0.662 0.79

0.914 0.85 0.933 0.868 0.71 3.966х10-4 0.129 0.431 0.562 0.669

Первая вектор-строка матрицы представляет собой нормированные на себя критериальные показатели (1-5), т. е. несоответствие исходного изображения (рис. 1а) с эталонным (рис. 16); вторая - критериальные показатели ошибки медианной фильтрации-сегментации [3] исходного изображения (рис. 2а); третья - показатели ошибки нейросетевого алгоритма [7] фильтрации-сегментации (рис. 26). Для удобства анализа результатов оценки двух алгоритмов, представим матрицу его значений графически (рис. 3).

обработки, и более сильное - после нейросетевой, то данный показывает увеличение ошибки (по сравнению с нормированной) при обработке медианой, и уменьшение при нейросетевой (рис. 3). Согласно расчетам коэффициента взаимной корреляции векторов по выражению (5), эффективность двух алгоритмов обработки изображений является практически одинаковой, при этом ошибка снижается незначительно (рис. 3).

Таким образом, в соответствии с выбранными критериями комплексного целевого функционала, можно сделать вывод о том, что фильтрация белого гаус-совского шума и фона в совокупности с сегментацией, успешно реализуется медианным фильтром, и особенно эффективно нейронной сетью. Низкочастотный шум несколько более успешно фильтруется медианой и менее эффективно нейронной сетью по сравнению с белым; а высокочастотный - увеличивается после медианы. Текстурные помехи сравниваемые алгоритмы уменьшают практически одинаково незначительно.

0,1,2

1.2 1

о.8 о.6 о.4 о.2 о

1 2 3 4 5

1 - Ошибка исходного изображения

2 - Ошибка медианной обработки

3 - Ошибка нейросетевой обработки

Рисунок 3 — Зависимость ошибки двух алгоритмов от критериев оценки

На рис. 3 по оси аргументов 1 соответствует дисперсии, т. е. выражению (1); 2 - расстоянию в пространстве непрерывных квадратичных функций (2); 3 -евклидову расстоянию (3); 4 - синусу угла между векторами (4); 5 - обратной взаимной корреляции векторов в соответствии с (5). Из рис. 3 видно, что различные критерии оценки двух алгоритмов дают разные их величины. Например, в первом случае, при медианной фильтрации-сегментации, происходит незначительное снижение дисперсии (с 1 до 0.914) а при нейросетевой - спад практически до нуля, т. е. кажущаяся «идеальность» последней. Расстояние между векторами в пространстве квадратичных функций после преобразования медианой, снижается (до 0.85), а после нейронной сети - до значения 0.129 (рис. 3). Расхождение векторов в евклидовом пространстве для медианной обработки практически соответствует дисперсии, а для нейронной сети -уже 0.431. Интересным является зависимость угла между обрабатываемыми векторами в ^-мерном пространстве от алгоритмов (4). Если предыдущие критерии обеспечивали некоторое снижение ошибки после медианной

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный универсальный комплексный целевой функционал позволяет проводить строгую многокритериальную оценку эффективности самых различных алгоритмов и методов фильтрации-сегментации изображений. Согласно комплексной математической оценке, даже единственный алгоритм фильтрации-сегментации характеризуется различной эффективностью по отношению к факторам возникновения шумов и формам представления изображений.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов. / Под ред. Я.А. Фурмана. - М.: Физматлит, 2002. - 592 с.

2. Панин C.B., Шакиров И.В., Сырямкин В.И., Светланов A.A. Применение вейвлет-анализа изображений поверхности для изучения процессов пластической деформации и разрушения на мезомасштабном уровне // Автометрия. 2003. Том 39. № 1. С. 37-53.

3. T. S. Huang (ed.), J. - O. Eklundh, B. I. Justusson, H. J. Nussbaumer, S. G. Tyan, S. Zohar: Two-Dimensional Digital Signal Processing II: Transforms and Median Filters (Sprinder-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1981).

4. Касперович A.H. Фильтрация, обнаружение и локализация малоразмерных объектов, полученных при круговом субписельном сканировании изображений // Автометрия. 2002. Том 38. № 5. С. 17-29.

5. Воскобойников Ю.Е., Колкер A.B. Адаптивный алгоритм фильтрации и преобразование изображений в векторный формат // Автометрия. 2002. Том 38. № 4. С. 3-11.

6. Клочко В.К., Ермаков А.А. Алгоритмы фильтрации и сегментации трёхмерных радиолокационных изображений поверхности // Автометрия. 2002. Том 38. № 4. С. 41-48.

7. Серпенинов О.В., Самойлин Е.А. Предварительная нейрооб-работка изображений в условиях шумов // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. 2003. № 1. С. 111-114.

8. Вессарабов И.И. Использование ориентационной сегментации контуров с целью описания объектов на изображении в терминах отрезков // Автометрия. 2002. № 2. С. 67-71.

9. Злобин В.К., Еремеев В.В., Васильев В.М. Стохастическая модель спутниковых изображений и ее исполь-

1

, 2

3

и *

*

зование для сегментации природных объектов // Автометрия. 2001. № 2. С. 41-50.

10. Васюков В.Н., Голещихин Д.В. Восстановление полутоновых изображений на основе гиббсовского описания // Автометрия. 2002. № 2. С. 58-66.

11. Соломатин И.И. Обзор методов предварительной обработки тоновых изображений для распознавания искусственных объектов // Изв. Вузов. Приборостроение. 1996. Т. 39. № 7. С. 5-12.

12. Куринной Г.Ч. Математика: Справочник. - Харьков: Фолио; Ростов н/Д: Феникс, 1997. - 463 с.

Надшшла 10.11.2003 Шсля доробки 21.05.2004

Для математично точноЧ ощнки ефективностг ргзних Memodie та алгоритм1в ф1лътрацп-сегментацп при обробщ зображень пропонуетъся використовувати утверсалъний ком-плексний щлъовий функщонал, що враховуе рiзнi фактори виникнення шумiв i форми опису зображень.

For mathematical of a strict estimation of efficiency of various methods and algorithms of a filtration-segmentation at processing the images, it is offered to use universal complex target function, taking into account the various factors of occurrence of noise and form of the description of the images.