Открытая одноканальная система массового обслуживания с отказами и неограниченной очередью

А. П. Кирпичников, А. С. Титовцев ОТКРЫТАЯ ОДНОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ И НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ

Рассмотрена математическая модель принципиально новой открытой одноканальной системы массового обслуживания (СМО), являющейся обобщением двух других ранее известных СМО: одноканальной классической СМО (М/М/1) и одноканальной СМО с ограниченной очередью (М/М/1/Е). Авторами была проведена математическая формализация данной модели, исследован характер поведения её вероятностных, числовых и временных характеристик. Математическая формулировка модели и результаты исследований приведены ниже.

В данной СМО действует следующая дисциплина обслуживания. Входящий поток требований, поступающих на обслуживание, содержит заявки двух типов: «нетерпеливые» и «терпеливые». «Нетерпеливые» заявки становятся в очередь до тех пор, пока число заявок, находящихся в очереди не достигнет определённого значения Е. Если же длина очереди больше Е, «нетерпеливая» заявка автоматически получает отказ и уходит не обслуженной. «Терпеливые» заявки становятся в очередь в любом случае и ждут до тех пор, пока не будут обслужены.

Пусть її - интенсивность потока «нетерпеливых» заявок, 1 - интенсивность потока «терпеливых» заявок, тогда І1+І2 =1 - интенсивность входного потока заявок до Е+1-го состояния (рис.1), т - интенсивность потока обслуженных заявок. Обозначим 1-і

р1 = - приведённая интенсивность потока «нетерпеливых» заявок;

р2 = 12 - приведённая интенсивность потока «терпеливых» заявок, она же приведенная интенсивность входного потока после Е+1-го состояния;

р _ 11 +І2 _ 1 _ рї + р2 - приведённая интенсивность входного потока до Е+1-го состояния.

Считаем, что входной и выходной потоки заявок являются простейшими [1]. Выделяя состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе, получим марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, т. е. процесс гибели и размножения, граф состояний которого имеет вид, представленный на рис. 1.

Рис. 1 - Граф состояний открытой одноканальной СМО с отказами и неограниченной очередью

По данному графу запишем систему уравнений Колмогорова для вероятностей равновесных состояний СМО [2].

Po1 = PiM-P11 + P# = Po1 + Р2Ц Р21 + P 2м = Pi1 + P3M • Pe+11 + Pe+im = Pe1 + Pe+2м Pe+21 + Pe+2Ц = Pe+11 2 + Pe+зМ-

Откуда с учётом условия нормировки X Р| = 1 получим формулы для вероятностей ста-

1=0

ционарных состояний системы Р|:

Рг

(1 -р)0-Р2 ).

(;~p)(i~pE2+)Pk. k£e+1 1 р2 р1р

(1 -p)(1 -PEL)pE+1p2-E-i, k > E +1

1 -р2 -р1рЕ+1 |

1 -Р2 -Р1Р

Числовые характеристики установившегося режима

1. Вероятности ожидания и вероятность отказа.

Обозначим

РоЖ1 - вероятность ожидания для «нетерпеливой» заявки (1);

Рож 2 - вероятность ожидания для «терпеливой» заявки ( );

Ротк - вероятность отказа (только для «нетерпеливых» заявок).

-1-1 = (1 -Р2 )Р(1 -PE ).

E+1

Po>k1 = P1 + P2 + * + Pe = Pop Г1 + p + * +PE1] = ^--------

L J 1 -p2-p1p

p(1 -p2 -p1pE ).

'ож 2

P1 + P2 + * + Pe + Pe+1 + * = 1 - Po

Pe+1 + Pe+2 + *

)E+1Po ё1 + p2 +p2 + * ]= 1

1 -p2 -p1pE+1 (1 -p)pE+1

p2 p1p

E+1

2. Среднее число требований, находящихся под обслуживанием.

- ^ , p

n = oPo + 1P1 + 1P2 + * + 1PE+1 + * = 1 - Po = ^-----------Ё+Л = Рож2

1 p2 p1p

Дисперсия этой величины:

On

= n2 - n2 = o2Po + 12P1 + * + 12Pe+1 + * - n2 = Po (1 - Po)= PoPok2-

Если поток обслуживания является простейшим (пуассоновским), то вероятность того, что за время t системой будет обслужено k заявок, определяется формулой [3]:

Вк (1 ) = ^ є-«;

тогда функция распределения времени обслуживания одной заявки

Робел (0 = 1 - е"И

и плотность распределения

і обел (і ) = те-т ' 1.

Среднее время обслуживания одной заявки в системе

1

U™ = l tf o6ct (t )dt = ml te-mtdt

m

а его дисперсия

2

Oo6ot

1 1

toбcл ^бл ml t Є m dt 2 2

o mm

3. Среднее число заявок в очереди ( средняя длина очереди ).

\ = 0Ро + 0Р1 + 1р 2 + 2Рз + • + Ере+1 + (Е +1) Ре+2 + <

Ер1

1-P

ож1

+

P2_____________

1 -P2 1 -P.

Дисперсия этой величины

P

2 — |2 ;2. S = І - І ;

2

Ol =

(1-p)'

:[(1 + p) Рсж1 - E (1 -P2 )(E (1 -P) + 2) Po„]

+

+p2

E2 +

2E

1 + p2

1 -P2 (1 -P2 )2

+

1 -P

^ж1

+

P2 EP1

1 -P2 1 -P

Найдём функцию распределения времени ожидания обслуживания одной заявки. По определению

F (t ) = p (' < t).

где t - время ожидания обслуживания (случайная величина), но тогда

F (t ) = 1 - Р (t > t),

где P(t > t) - вероятность того, что время ожидания в очереди для одной заявки больше некоторого наперёд заданного времени t. А это, в свою очередь, может быть, во-первых, в том случае, если эта заявка, поступив в систему, нашла обслуживающее устройство (прибор) занятым, и за время t предыдущая заявка не была обслужена; во-вторых, в том случае, когда поступившая заявка находит занятым обслуживающее устройство и ещё одну заявку, ожидающую обслуживания в очереди, а за время t либо не было обслужено ни одной, либо была обслужена только одна заявка; в-третьих, если заявка находит занятое устройство и две заявки в очереди, а за время t прибор либо не успевает обслужить ни одной за-

S9

явки, либо обслуживает одну, либо две заявки и так далее. По формуле полной вероятности в этом случае имеем

1 - Рожид (1 )= Р1В0 (1) + Р 2 [Во (1) + Ві( 1)] + Рз [Во (1) + Ві( 1) + В2 (1)] +Ре+1 [Во (1) + Ві(1)+ • + Ве (1)] + Ре+2 [Во (1) + ВіМ+ • + Ве+і (1)]

= е-Й

Рі + Р2

1 + — 1!

+Р3

1+М 1! 2!

+ • +1 2 Л

+ • +

+ • + + • =

/

+Р

Е+2

Е+1 Л

1+й+и_+• +М л

1! 2! (Е +1)!

+ <

= в ^ [Р1 + Р2в1 (М*) + Рзв2 (ц!)+ • + Ре+1Эе (М*)+ * ]

( т (т)2 (т)т

где вт (u.t) = 1 +--------------------------------------------1-+ * +-неполная экспонента,

т^; 1! 2! т!

Рожид (t)= 1 - в-И [Р1 + Р2в1(т) + Рзв2 (М*)+ * + РЕ+1вЕ Н)+ * ]

тогда

Плотность распределения времени ожидания обслуживания одной заявки:

с1Р (t) ...ви . ..-Е+1

Рожид

іожид

сК

ІРоЄ-т1ЄЕ-1 (11) + Рое-(м-12>1 - ЙГ^РоЄ-т-'еЕ-1 (-,* ) •

е

Р2

Р2

Среднее время ожидания обслуживания одной заявки в очереди:

1 Ер1

1 = Г Ц (1 )^ = Рож1 +

Іожид Л Ч ожиді/,/ , ~

о ц-1

Й-12 Й-1

Осреднённый квадрат этой величины:

1

ожид

Дисперсия времени ожидания заявки в очереди: 2Рож1

-2 = 12

Фожид

ожид ожид

1;

й2(1-р)‘

2Е (1 Р2) + Е (Е + 1}р, 2

(1-Р)2

Р ож1

2Е

йО-Р)

+

1 ЕР1

1 -р2 1 -р

4. Среднее число требований, находящихся в системе в целом (как в очереди, так и под обслуживанием).

к = 0Ро + 1Р1 + 2Р 2 + 3Рз +....+ (Е + 1) Ре+1 + (Е + 2) Ре+2 + * =

о

Рожі Е (1 Р2 ) Рс

1 -Р

Дисперсия этой величины

/

+ Е +

V

-2.

к

1 Р2

1

О2 = --"2 |(1 + р) Рожі - Е (1 р2 )(Е (1 -р) + 2) Ротк 1 +

2 2Е 1 + Р2

Е2 +-----------+---------—2

1 Р2 (1 -Р2)2

Р стк

Рож1 - Е (1 -р2 )Рс

1-Р

+

Е +

1

1 р2

Среднее время пребывания одной заявки в системе:

Ро + Р

ож1

т-1

+

1 (Е + 1)Р1

т-12 т-1

Дисперсия времени пребывания заявки в системе: _ 2

а;

т2(1-Р)2

2 (Е +1)(1 -Р2_) + (Е + 1)(Е + 2 )Р1

Ро + Рож1

т

2 2

1 -Р

т

+

1

(Е + 1)Р1

1

р2 1 -р

Далее исследуем характер поведения характеристик рассматриваемой СМО. С этой целью для каждой из функций построим семейство кривых, полученных при нескольких значениях максимальной длины очереди Е. Приведённая интенсивность Р1 может принимать значения от 0 до П > 1, поскольку в случае переполнения очереди «нетерпеливая» заявка получает отказ, а Р2 всегда должно быть меньше 1, иначе очередь будет бесконечной.

Придавая переменной Р2 конкретные значения, получим функции от одной переменной Р1. Представленная модель массового обслуживания обобщает две известные и описанные

в литературе модели: одноканальную классическую СМО (модель М/М/1) [1] и СМО с ограниченной очередью (модель М/М/1/Е) [2].

Как видно (рис. 2), при значениях интенсивности Р2, отличных от 0, начальные значения вероятности ожидания для «нетерпеливой» заявки (при Р1 _ 0 ) также отличны от 0. Это связано с тем, что даже при отсутствии «нетерпеливых» заявок, обслуживающий аппарат может быть занят «терпеливой» заявкой, и вновь поступившей в систему «нетерпеливой» заявке придётся ждать до тех пор, пока предшествующая «терпеливая» заявка не будет обслужена. Наличие экстремума объясняется тем, что при суммарной интенсивности входного потока требований Р1 +Р2 > 1, в силу ограниченности числа мест в очереди (для «нетерпеливых» заявок), наблюдается увеличение отказов в обслуживании «нетерпеливым» заявкам, поэтому при превышении интенсивностью Р1 определённого предела веро-

т

Рис. 2 - Зависимость вероятности ожидания для «нетерпеливой» заявки от приведённой интенсивности потока «нетерпеливых» заявок р1 при фиксированных значениях интенсивности Р2 и длины очереди Е

ятность ожидания для «нетерпеливой» заявки постепенно снижается. При повышении интенсивности Р2 наблюдается смещение точек экстремума влево, возрастает вероятность ожидания при Р1 = 0 , а при значениях Р2, близких к единице, вероятность ожидания для «нетерпеливой» заявки носит монотонно убывающий характер и при увеличении Р1 ассимптотически стремится к нулю. При Р2 = 0 данная модель вырождается в модель М/М/1/Е (рис. 3).

Начальное значение для среднего числа заявок, находящихся под обслуживанием, при Р1 = 0 равно значению интенсивности Р2. С увеличением интенсивности Р1 наблюдается монотонное возрастание среднего числа обслуживаемых заявок, при этом увеличение интенсивности Р2 способствует более резкому возрастанию последнего при незначительном изменении Р1 . При большем увеличении интенсивности Р1 среднее число обслуживаемых заявок возрастает более плавно и ассимптотически стремится к единице. Это объясняется тем, что рассматриваемая система является одноканальной и не способна одновременно обслуживать более одной заявки (рис. 4).

Рис. 3 - Зависимость среднего числа заявок, находящихся под обслуживанием, от приведённой интенсивности потока «нетерпеливых» заявок р1 при фиксированных значениях интенсивности р2 и длины очереди Е

Рис. 4 - Зависимость среднего числа заявок, находящихся в очереди, от приведённой интенсивности потока «нетерпеливых» заявок Рі при фиксированных значениях интенсивности Р2 и длины очереди Е

С увеличением интенсивности Р2 стремительное возрастание средней длины очереди начинается при меньших значениях интенсивности Р1 , при дальнейшем увеличении Р1 среднее число заявок, ожидающих обслуживания, ассимптотически стремится к определённому значению, которое может превышать значение Е. Данное обстоятельство связано с тем, что согласно дисциплине обслуживания, принятой в данной СМО, ограничение на длину очереди распространяется только на «нетерпеливые» заявки. «Терпеливые» заявки становятся в очередь в любом случае. Разница между предельным значением длины очереди и соответствующим значением Е тем больше, чем больше интенсивность Р2. При значениях Р2, близких к единице средняя длина очереди значительно отличается от той, что была при меньших Р2. Это означает, что использование подобной системы при интенсивных потоках «терпеливых» заявок нежелательно, а использование её при Р2 > 1 приведёт к переполнению очереди.

Среднее число заявок, находящихся в системе в целом, имеет аналогичный характер поведения.

Литература

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.

2. КлейнрокЛ. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979. 432 с.

3. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982. 256 с.

© А. П. Кирпичников - д-р техн. наук, проф., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КГТУ; А. С. Титовцев — асп. той же кафедры.