Определение вероятности безотказной работы конструкций из полимерных материалов

Определение вероятности безотказной работы конструкций из полимерных материалов

С.А. Бочкарева, Б.А. Люкшин1, А.И. Реутов

Томский университет систем управления и радиоэлектроники, Томск, 634050, Россия 1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе при моделировании и анализе напряженно-деформированного состояния конструкций из полимерных композитных материалов применяется вероятностный подход, отражающий тот факт, что для реальных материалов всегда существует известный разброс количественных характеристик их свойств, для конструкций — отклонения размеров от их номинальных значений, для нагрузок — отклонения от средних эксплуатационных значений. С помощью методов теории вероятности и математической статистики ниже проводится обработка параметров напряженно-деформированного состояния конструкций, полученных в результате численных и натурных экспериментов, когда учитывается разброс свойств материала. На основе этих данных построены поля вероятностей безотказной работы для конкретной конструкции.

Determination of probability of non-failure operation of polymer constructions

S.A. Bochkareva, B.A. Lyukshin, and A.I. Reutov

In the paper for analysis and simulation of stress-strain state of polymer constructions a probabilistic approach is used, which reflects the fact that for real materials a deviation of their property values always exists, for constructions — a deviation of dimensions from their nominal values, for loads — a deviation from average exploitation values. Using methods of the probability theory and mathematical statistics the analysis of stress-strain state parameters of constructions gained from numerical and natural experiments with material property deviation is carried out. On the basis of these data probability fields of non-failure operation of a certain construction are obtained.

1. Введение

При анализе параметров напряженно-деформированного состояния конструкций и оценке их работоспособности традиционным является подход, который можно назвать детерминистским. В соответствии с ним принимается, что все параметры, которыми определяется напряженно-деформированное состояние конструкции, являются определенными с известной точностью величинами. В действительности все характеристики в той или иной степени носят случайный характер, а конкретные их величины, задаваемые в детерминистском подходе, являются, как правило, некоторыми средними приближенными значениями. Реально существующий разброс параметров и их отклонение от средних значений учитываются введением коэффициента запаса прочности. Можно говорить, что величина коэффициента запаса прочности — это характеристика уровня знания (вернее, незнания) проектировщиком точных значений этих параметров.

Для конкретной конструкции с использованием тех или иных критериев прочности оценка возможности

разрушения изделия в детерминистском подходе получается в виде «да - нет» или «0 - 1». На самом деле эта оценка носит вероятностный характер, и в зависимости от вида и уровня напряженно-деформированного состояния должна характеризоваться соответствующими количественными критериями. Статистический (вероятностный) характер имеют и критерии разрушения, поскольку они представляют собой не что иное, как обработку некоторого массива экспериментальных данных. Таким образом, при оценке возможности разрушения или вероятности безотказной работы необходимо сопоставлять расчетные или экспериментальные данные о напряженно-деформированном состоянии конструкции во всех ее точках, имеющие вероятностный характер, с критериями прочности, имеющими такой же смысл. Подобные подходы разрабатываются, например, в [1]. Отличительные особенности предлагаемой работы заключаются в учете разброса параметров материала не только от опыта к опыту, но и по самим конструкциям, что связано с технологическими особенностями их изготовления.

© Бочкарева С.А., Люкшин Б.А., Реутов А.И., 2004

Рис. 1. Плотность распределения интенсивности деформаций (кривые 2, 3) и предельных (кривая 1) деформаций

2. Физическая и математическая постановка

В подавляющем большинстве случаев операция изготовления полимерного композиционного материала и изделия из него технологически совмещаются. Деформационно-прочностные свойства изделий и их геометрические размеры меняются от наблюдения к наблюдению и поэтому не являются детерминированными значениями, а определяются как функции случайных величин. Случайными величинами в реальных условиях эксплуатации могут оказываться и внешние воздействия, например, снеговая или ветровая нагрузка, скачки давления в трубопроводе при срабатывании запорной арматуры или при включении и выключении насосов и т.д. Для описания поведения конструкций при действии эксплуатационных нагрузок расчет их надежности основывается на аппарате математической статистики и теории вероятностей. Всем прочностным, геометрическим характеристикам конструкций, а также внешним воздействиям в общем случае придается вероятностный характер, а сами они представляются в виде случайных величин или процессов.

Ниже для построения полей вероятностей безотказной работы конструкций из полимерных композиционных материалов с учетом нестабильности свойств материала строятся кривые распределения значений эквивалентных деформаций по конструкции, которые сравниваются с экспериментально полученными предельными величинами, имеющими также вероятностный характер. Область «перекрытия» (рис. 1), полученная в результате сопоставления кривых распределения эквивалентных деформаций, является областью вероятного отказа работы конструкции [2].

Одним из параметров, определяющих напряженно-деформированное состояние изделия, является модуль упругости материала. Экспериментально установлено, что от наблюдения к наблюдению значения модуля упругости отличаются от его среднего значения в пределах 20 %. При математическом моделировании изменение модуля упругости от наблюдению к наблюдению задается с помощью датчика псевдослучайных чисел [3]. Согласно экспериментальным данным это изменение подчиняется нормальному закону распределения. Слу-

Рис. 2. Расчетная область

чайные отклонения модуля упругости приводят соответственно к случайному распределению деформационно-прочностных величин. В качестве характеристики, по которой можно судить о работоспособности материала, принимается интенсивность деформаций.

В качестве внешних нагрузок принимаются одновременно приложенное внутреннее давление и осевое сжатие, имитирующие реальную работу участка конструкции в виде трубы. Для упругой трубы под действием внутреннего давления известно решение Ламе [4], которое в данном случае служит для тестирования программы.

Расчетная область показана на рис. 2. В каждой точке контура области ставятся по два граничных условия, т.к. задача является двумерной по пространственным переменным. Задается вектор напряжений, вектор перемещений или одна из разнонаправленных компонент этих векторов.

3. Метод решения и определение вероятностей безотказной работы конструкции

Численная реализация задачи определения параметров напряженно-деформированного состояния конструкции проводится методом конечных элементов.

Задача сводится к определению характеристик случайных величин — математического ожидания и среднеквадратичного отклонения — и распределения вероятности безотказной работы, полученного на основе экспериментальных и расчетных значений. Математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение оцениваются для значений интенсивности деформации в каждой конечно-элементной ячейке расчетной сетки по соответствующим формулам теории вероятностей.

Плотность нормального распределения интенсивности деформаций л имеет вид [2]:

/л (л)=-

1

ехр

/ \ 2

1 Л -Ц Л

2 а Л

V Л )

-го < Л < гс,

а

а плотность нормального распределения предельных деформаций 5 имеет вид

Таблица 1

/» ) = -

1

ехр

—го < » < го,

где Ц — математическое ожидание интенсивности деформаций; аЛ — среднее квадратичное отклонение интенсивности деформаций; Ц5 — математическое ожидание предельных деформаций; а 5 — среднее квадратичное отклонение предельных деформаций.

Введем случайную величину у = 5 - л. Принимаем, что случайная величина у имеет нормальное распределение с математическим ожиданием

Цу= Ц5-ЦЛ и средним квадратичным отклонением

{с

Тогда вероятность безотказной работы можно выразить через у как

R =

р(У > °) = }--------ехР

о ау V2п

dy.

Если г = (у - Ц у у а у , то а yd г = d у. При у = 0 нижний предел случайной величины г имеет вид

7а5

+ а„

а при у ^ +го верхний предел г ^ +го. Следовательно,

R =

—М.,

2/2

d г.

і

Ясно, что г = (у — ц у у а у является нормированной случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Следовательно, вероятность безотказной работы можно найти с помощью таблиц функции нормального распределения.

Соотношение (3), используемое для определения нижнего предела нормированной случайной величины г, распределенной по нормальному закону, обычно называется уравнением связи.

Формулу (4) можно записать как:

R = 1 — Ф

і

+ <х

г • 10 1, м Кр

0.4013 0.97558000

0.4079 0.98778000

0.4129 0.99324400

0.4179 0.99631900

0.4229 0.99807400

0.4279 0.99899900

0.4329 0.99949910

0.4379 0.99975850

0.4429 0.99987870

0.4479 0.99994331

Функция плотности распределения вероятностей экспериментальных значений интенсивности деформаций приведена на рис. 1 (кривая 1). Кривые 2 и 3 соответствуют распределению интенсивности деформаций на внутренней и внешней поверхностях трубы, остальные кривые относятся к промежуточным значениям радиусов трубы. Область пересечения этих функций является «областью отказа». Определив значения г, можно с помощью таблицы нормального нормированного распределения определить величину, которая и является вероятностью безотказной работы конструкции.

4. Результаты расчетов

Сопоставляя полученные деформации с экспериментальными значениями, имеющими также случайное распределение, с характеристиками Ц 5 = 0.02, а5 = = 0.001, получаем в каждой точке г значение функции вероятности безотказной работы Rp материала конструкции. Из анализа решения следует, что наибольшие деформации получаются на внутренней стенке трубы, и вероятность отказа в этих точках становится наибольшей (табл. 1), г — радиус центра элемента.

Полученные оценки вероятности безотказной работы при заданных характеристиках материала позволяют сделать обоснованные оценки допусков на геометрические размеры, в частности, на толщину стенки трубы заданного диаметра при известном уровне нагрузок. Это позволяет снизить расход материала и стоимость трубопроводов строительного и технологического назначения.

Литература

1. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. - М.: Машиностроение, 1990. - 448 с.

2. Капур К., Ламберсон Л. Надежность и проектирование систем. -М.: Мир, 1980. - 351 с.

3. Теннант-Смит Дж. Бейсик для статистиков. - М.: Мир, 1988. -208 с.

4. Любошиц М.И., Ицкович ГМ. Справочник по сопротивлению материалов. - Минск: Изд-во «Высшая школа», 1969. - 460 с.

а

а

а