СПОСОБ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕКТОРА ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА
METHOD TO MEASURE VECTOR OF HARMONIC SIGNAL

Изобретение относится к области электроизмерительной техники и может быть использовано в средствах измерений пассивных и активных комплексных электрических величин, например, в мостах и компенсаторах переменного тока или в измерителях (анализаторах) параметров электрических цепей, а также в векторных вольтметрах и спектроанализаторах.
Известен способ измерения параметров двухполюсников со сложными схемами замещения с помощью разветвленной мостовой цепи при воздействии на нее нескольких тестовых гармонических сигналов с разными частотами, разделяемых с помощью аналоговых фильтров (Шеремет Л.П. Принципы построения мостовых измерительных цепей для одновременного уравновешивания на нескольких частотах // Проблемы технической электродинамики, вып.54, Киев: Наукова думка, 1975. - С.14-19).
Данный способ позволяет производить измерения сложных объектов исследования одновременно на нескольких частотах, обеспечивая тем самым возможность получения информации о быстроизменяющихся параметрах таких объектов, а через них и о протекающих в этих объектах физических или химических процессах. Однако применяемые для разделения сигналов с разными частотами аналоговые фильтры имеют низкую избирательность, не позволяющую получить высокие помехоустойчивость и точность измерения, и обладают инерционностью, а также сложностью реализации, возрастающими по мере повышения их избирательности, что является недостатком способа.
0
m
m
0m
m
0
0
0
m
<mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1,</mn><mi>M</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo stretchy="true">¯</mo></mover></mrow>
<mrow><mi>σ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msub><mi>S</mi><mi>m</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><mo>{</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>}</mo></mrow>
<mrow><mo>{</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>"</mo></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>+</mo><mi>T</mi><mo>/</mo><mn>4</mn><mo>}</mo></mrow>
<mrow><mi>p</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>M</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></munderover><mrow><mi>σ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><mi>p</mi><mo>"</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>M</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></munderover><mrow><mi>σ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>"</mo></msubsup><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><mi>K</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">(</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>M</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></munderover><mrow><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>π</mi><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>/</mo><mi>T</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>M</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></munderover><mrow><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>π</mi><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>/</mo><mi>T</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup><msup><mo stretchy="false">]</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mstyle></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><mo>{</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>}</mo></mrow>
2
2
l/2
Известен также, принятый автором за прототип, способ измерения вектора гармонического сигнала S(t)=Asin(2πt/T+φ), действующего совместно с другими гармоническими сигналами Sm(t)Asin(2πt/T+φ), где
, в том числе помехами, имеющими, как и сигнал S(t), известные, но не кратные друг другу значения периодов (T и Т), согласно которому проекции р' и р” сигнала S(t) на два ортогональных совпадающих с измеряемым сигналом по частоте вектора опорных сигналов, связанные с А и φ, например, соотношениями А=[(р')+(р”)]и φ=arctg(p'/р”), измеряют путем выборки и суммирования дискретных отсчетов, или дискрет, суммарного сигнала
с помощью мгновенных импульсов, действующих в моменты времени, образующие множества
и
, а значения проекций р' и р” определяют по соотношениям
и
, где
- нормирующий множитель, причем
формируют с помощью пошаговой процедуры, начинающейся с произвольного начального момента t, выступающего в качестве исходного множества, и получения на первом шаге дополнительного множества путем сдвига исходного на нечетное число полупериодов первого подавляемого сигнала или гармонической помехи, и далее получения на каждом последующем шаге дополнительного множества посредством сдвига полученного на предыдущем шаге множества на нечетное число n полупериодов m-го подавляемого сигнала до тех пор, пока число шагов не станет равным М-1 (RU №2377577 С1, 27.12.2009).
Недостатком данного способа является пониженная точность измерения в тех случаях, когда вместе с измеряемым гармоническим сигналом S(t) действуют субгармонические помехи - гармонические сигналы с периодом, кратным периоду S(t), подавление которых этим способом в общем случае не обеспечивается, в чем легко убедиться уже на примере совместного действия сигнала S(t) и одной нечетной субгармонической помехи, т.е. гармонического сигнала, частота которого в нечетное число раз меньше частоты сигнала S(t).
0
m
m
0m
m
<mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1,</mn><mi>M</mi></mrow><mo stretchy="true">¯</mo></mover></mrow>
Техническим результатом изобретения является повышение точности измерения в реальном времени вектора гармонического сигнала S(t)=Asin(2πt/Т+φ) с известным периодом Т, действующего совместно с сигналами субгармонических помех Pm(t)=Asin(2πt/T+φ), где
, периоды T которых тоже известны и кратны Т.
0
m
m
m
0m
m
0
0
m
m
m
m
0
m
i
<mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1,</mn><mi>M</mi></mrow><mo stretchy="true">¯</mo></mover></mrow>
<mrow><mi>σ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>M</mi></munderover><mrow><msub><mi>P</mi><mi>m</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><mo>{</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>}</mo></mrow>
<mrow><mo>{</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>}</mo><mo>=</mo><mo>{</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>+</mo><mi>Δ</mi><mi>T</mi><mo>}</mo></mrow>
<mrow><mo>{</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>}</mo></mrow>
<mrow><mo>{</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>"</mo></msubsup><mo>}</mo></mrow>
<mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>=</mo><msub><mi>t</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>±</mo><msub><mi>n</mi><mi>i</mi></msub><mo>⋅</mo><mi>H</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow>
<mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>=</mo><msub><mi>t</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>±</mo><msub><mi>n</mi><mi>i</mi></msub><mo>⋅</mo><mi>H</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow>
<mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1,</mn><mi>H</mi></mrow><mo stretchy="true">¯</mo></mover></mrow>
<mrow><mi>p</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>H</mi></munderover><mrow><mi>σ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><mi>p</mi><mo>"</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>H</mi></munderover><mrow><mi>σ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>"</mo></msubsup><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mrow>
2
2
1/2
Технический результат достигается тем, что в предлагаемом способе измерения вектора гармонического сигнала S(t)=Asin(2πt/T+φ) с известным периодом Т, действующего совместно с сигналами гармонических помех P(t)=Asin(2πt/T+φ), где
, значения периодов T которых тоже известны, согласно которому амплитуду А и начальный фазовый сдвиг φ сигнала S(t) определяют, например, по соотношениям A=[(p')+(p”)] и φ=arctg(p'/p”), где p', p” - проекции вектора сигнала S(t) на два ортогональных вектора опорных сигналов, а значения этих проекций измеряют путем частотозависимой дискретизации суммарного сигнала
и суммирования его дискретных отсчетов, производимых с помощью мгновенных импульсов, действующих в моменты времени, образующие соответственно для р' и для р” множества
и
, где ΔТ=(2k±1)T/4, а k=0,1,2,…, при T, кратных T, когда T/T=r, где r=2,3,…, множества моментов времени
и
дискретных отсчетов сигнала σ(t) формируют согласно условию: или
, или
, где t - произвольный начальный момент отсчета времени, Н - наименьшее общее кратное множества чисел {r},
, n=0,1,2,…, а значения проекций р' и р” получают по соотношениям:
,
, где K=1/Н.
<mrow><mo>{</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo stretchy="false">]</mo></mrow>
m
m
0
Сущность изобретения состоит в том, что примененная в нем процедура формирования множества моментов времени
выборки дискретных отсчетов суммарного сигнала σ(t), позволяет точно и быстро (в реальном времени) измерять проекции p' и р” гармонического сигнала S(t) инвариантно по отношению к действующим вместе с ним М гармоническим помехам P(t) при условии, что периоды этих помех кратны периоду измеряемого сигнала S(t), т.е. исключить или минимизировать в зависимости от точности информации о периодах сигналов P(t) и S(t) влияние таких помех на точность измерения р' и р”, а значит, и на точность измерения А и φ сигнала S(t).
m
Поясним математически механизм подавления сигналов P(t), сопутствующих измеряемому, и выведем фигурирующие в формуле изобретения соотношения.
m
m
m
Рассмотрим сначала простейший случай, когда вместе с сигналом S(t) действует лишь одна субгармоническая помеха P(t). Суть механизма подавления помех заключается в том, что при кратном отношении периода P(t) к периоду S(t) в зависимости от точности информации о значениях периодов S(t) и помехи P(t) подавление последней осуществляют путем формирования множества моментов выборки дискретных отсчетов суммарного сигнала σ(t) согласно известному тригонометрическому соотношению:
<mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover><mrow><msub><mi>A</mi><mi>S</mi></msub><mi>sin</mi><mo stretchy="false">[</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><msub><mi>ϕ</mi><mrow><mn>0,</mn><mi>S</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mn>0,</mn><mtext>                                      </mtext><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mrow>
S
0,S
где n=2,3,… - число дискретных отсчетов синусоиды, а A и φ - произвольные значения амплитуды и угла начального фазового сдвига синусоиды (или косинусоиды).
S
0,S
d
d
i
i-1
i
S
0S
i
i
<mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1,</mn><mi>n</mi></mrow><mo stretchy="true">¯</mo></mover></mrow>
Соотношение (1) означает, что операция суммирования n дискретных отсчетов синусоиды Asin[2π(i-1)/n+φ], взятых через фазовые интервалы Δφ, составляющие n-ые доли ее периода, равного (в радианах) 2π, т.е. при Δφ=φ-φ=2π/n, где φ=2π(i-1)/n, позволяет «обнулить» синусоиду инвариантно по отношению к A и φ. При этом нужно отметить, что с учетом свойства периодичности синусоиды значения φ приобретают выражение общего вида: φ=2π[(i-1)/n±k], где
, a k=0,1,2,….
m
Применительно к форме записи помехи P(t), соотношение (1) имеет вид:
<mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover><mrow><msub><mi>A</mi><mi>m</mi></msub><mi>sin</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>/</mo><msub><mi>T</mi><mi>m</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>ϕ</mi><mrow><mn>0</mn><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0,</mn><mtext>                                     </mtext><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>=</mo><msub><mi>T</mi><mi>m</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mi>n</mi><mo>±</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow>
m
где
- значения моментов времени дискретизации сигнала σ(t), а n=r.
m
m
0m
m
m
m
m
m
<mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup></mrow>
В том, что соотношение (2) выполняется и помеха P(t) подавляется («обнуляется») при любых значениях A и φ, легко убедиться, приняв во внимание, что здесь T=nT=rT, т.е. n=r. После этого остается лишь убедиться в том, что сам измеряемый сигнал S(t) при этом не подавляется, для чего, с учетом эффекта подавления P(t), достаточно просуммировать при указанных значениях
дискретные отсчеты (только) S(t), так как подвергающийся дискретизации σ(t) является суммой S(t) и «обнуляемого» P(t):
<mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover><mrow><mi>A</mi><mi>sin</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>/</mo><mi>T</mi><mo>+</mo><msub><mi>ϕ</mi><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>A</mi><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mi>m</mi></msub></mrow></munderover><mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">[</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>±</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msub><mi>ϕ</mi><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>A</mi><msub><mi>r</mi><mi>m</mi></msub><mi>sin</mi><msub><mi>ϕ</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mstyle></mrow></mstyle></mrow>
.
m
0
m
m
<mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup></mrow>
<mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>−</mo><msub><mi>t</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mi>l</mi><mo>⋅</mo><mi>T</mi></mrow>
Из этого выражения следует, что в данном случае р'=KrAsinφ, т.е. значение проекции р' сигнала S(t) на опорный сигнал, в отличие от помехи P(t), не равно тождественно нулю и при этом усилено в r раз, что имеет место благодаря тому, что интервалы между моментами
выборки дискретных отсчетов S(t) кратны его периоду:
, где l - целое число.
m
<mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1,</mn><mi>M</mi></mrow><mo stretchy="true">¯</mo></mover></mrow>
<mrow><msub><mi>r</mi><mi>m</mi></msub><mo>:</mo><mi>N</mi><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∏</mo><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>M</mi></munderover><mrow><msub><mi>r</mi><mi>m</mi></msub></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>−</mo><msub><mi>t</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mi>l</mi><mo>⋅</mo><mi>T</mi></mrow>
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая. Для того чтобы имело место подавление М помех при отсутствии подавления S(t), необходимо, чтобы соотношение (2) выполнялось одновременно для всех помех P(t), т.е. при
. Осуществить это возможно, если число N дискретных отсчетов σ(t), а значит, и S(t), сделать равным произведению М чисел
при условии:
, где l - целое число.
<mrow><msub><mi>N</mi><mi>j</mi></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∏</mo><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>M</mi></munderover><mrow><msub><mi>r</mi><mi>m</mi></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>/</mo><msub><mi>r</mi><mi>j</mi></msub></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><mi>j</mi><mo>∈</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1,</mn><mi>M</mi></mrow><mo stretchy="true">¯</mo></mover></mrow>
j
j
m
С геометрической точки зрения это означает, что если имеется отрезок, длина L которого кратна Т:L=TN, то на нем можно уложить целые числа
,
любого из (одинаковых) отрезков длиной L=rT. Однако в общем случае это условие является слишком сильным, а необходимым и достаточным, согласно теории чисел, будет условие: N=Н, где Н - наименьшее общее кратное (множества) чисел r.
<mrow><mi>p</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>N</mi></munderover><mrow><mi>σ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>N</mi></munderover><mrow><mi>S</mi><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>i</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>−</mo><msub><mi>t</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mi>l</mi><mo>⋅</mo><mi>T</mi></mrow>
Что касается значения нормирующего множителя K=1/Н, то оно следует из соотношения
, а также условий: N=H и
.
Итак, все соотношения, входящие в формулу изобретения, математически обоснованы.