Использование последовательного уточнения позиций системы частиц для моделирования динамики упругих тканей глаза

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.688

В.А. Бездельников

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор В.А. Кузнецов

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО УТОЧНЕНИЯ ПОЗИЦИЙ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ТКАНЕЙ ГЛАЗА

В статье рассматриваются проблемы моделирования упругих тел, возникающие при реализации хирургических симуляторов реального времени. Описаны алгоритмы расчета динамики моделей упругих отделов глаза с помощью системы частиц, позволяющей адекватно моделировать ткани глаза при проведении операции капсулорексиса. В работе предложена модель расчета реакции внутреннего объема упругого тела при моделировании разреза внешней оболочки.

Метод частиц, офтальмологический симулятор, симуляция упругого тела.

The paper considers the problems of simulating elastic bodies, arising at implementation of surgical simulators of real time. The algorithms of dynamics of the models of the eye’s elastic parts are described with the help of the particle method. The method allows modeling the tissues of the eye at carrying out the capsulorhexis operation. The paper suggests the calculation model of the internal volume of the elastic body at modeling the incision of outer sheath.

Particle method, ophthalmological simulator, elastic body simulation.

Введение. Компьютерные симуляторы занимают достойное место в последипломной подготовке спе-циалистов-медиков. Использование таких симуляторов со специальными моделями и устройствами, имитирующими реакцию тканей и органов человека, обеспечивает адекватный и гибкий подход к организации учебного процесса. Эффект таких систем во многом зависит от качества математических моделей симулятора [3]. Обучение врача-микрохирурга с использованием компьютерного симулятора не может быть полным без качественной симуляции взаимодействия врача с моделью глаза. Визуализация модели глаза и движений виртуального инструмента во многом определяется степенью симуляции физики поведения тканей глаза в ответ на действия хирурга.

Необходимость исследования физических моделей отделов глаза обусловлена сложностью моделирования этих объектов, на которые действует большое количество сил разной природы. Природа моделируемых объектов также очень разнообразна: от тонких пленок, до вязко-эластичных сред внутренних камер глаза. На сегодняшний день существуют несколько библиотек для различных языков программирования и платформ [9, с. 2], которые реализуют алгоритмы моделирования тонких тканей, упругих тел и жидкостей. Однако особенность задачи создания медицинского симулятора микрохирурга глаза требует разработки новых алгоритмов для моделирования объектов глаза. Например, для моделирования этапа капсулорексиса [8] операции удаления катаракты необходимо адекватно визуализировать скручивание капсулы хрусталика при разрезе.

Основная сложность моделирования в области микрохирургии обусловлена необходимостью расчета динамики поведения эластичных отделов глаза

под влиянием внешнего вмешательства. Хорошие результаты в этой области показаны авторами предыдущих работ [10], [11], [13]. При разработке тренажера микрохирурга глаза Петрозаводского государственного университета используется новая платформа, обеспечивающая новые возможности визуализации, включая отображение модели с использованием 3Б-монитора. Это позволяет увидеть процесс операции и внутри глаза, и насквозь (что невозможно в обычных условиях). Становится возможным просмотр действий обучаемого посредством изменения оптической плотности фактически непрозрачных или малопрозрачных тканей [2].

Симуляция действий микрохирурга во время операции сводится к выполнению последовательности определенных сценариев, которые позволяют использовать различные эвристики в процедурах расчета адекватной реакции физической модели глаза. Конкретные условия использования сценариев обеспечивают приемлемые результаты численного моделирования, сравнимые по результатам с точным решением дифференциальных уравнений, моделирующих процессы деформации объектов.

Использование системы частиц

для моделирования тканей глаза

Удобно использовать систему частиц для моделирования сложных физических систем, которые сложно воспроизвести с помощью стандартных средств визуализации [7]. Свяжем моделируемые объект с системой частиц (; уг-; ), I е¥ , имеющих дополнительные атрибуты (скорость, массу, текущую позицию), и связями между ними

и = (¡, /) е Е, / е V, у е V . Текущие позиции частиц определяют геометрию поверхности моделируемого объекта, а связи между ними - характер деформации при воздействии внешних сил. Для моделирования динамики деформации объекта будем последовательно уточнять позиции системы частиц, используя следующий алгоритм:

1. Найти равнодействующую всех внешних сил, действующих на каждую из частиц.

2. Вычислить новые позиции частиц после перемещения за время Д/ под действием равнодействующей сил, действующих на частицу.

3. Уточнить положения тех частиц, для которых не выполняются ограничения, накладываемые связями между частицами.

4. Повторить вычисления с шага 1 для нового интервала Д/.

Сложность алгоритма будет зависеть от реализации шагов 2 и 3. Для расчета следующего положения каждой из частиц применим метод интегрирования Верле [12]:

х' = 2 х - х* + аАі2,

*

х = х,

здесь х *, х и х - предыдущая, текущая и следующая позиции частиц соответственно, а ускорение а рассчитывается с использованием Второго закона Ньютона Е = та . Этот метод обладает большей устойчивостью по сравнению с методом интегрирования Эйлера [1], поскольку явно не содержит скорость частицы. Процедура алгоритма, описанная выше, повторяется с шагом, определяемым приращением по времени Д/ в формуле (1).

Реализация шага 3 зависит от конкретных ограничений, накладываемых на систему частиц. Допустим, некоторые из частиц соединены нерастяжимой связью. Рассмотрим пару частиц х1 и х2 системы. Связь между частицами означает, что расстояние между ними - константа, т.е. |х1 - х21 = а12.

Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц х1 и х2. Для этой системы новые позиции частиц, определяемые на шаге 3 алгоритма последовательного уточнения положения частиц, определяются по формулам [4]:

= |х1 - х21,

1 а,, -

согг =-----------,

2

К =-

к = т2_________

2 тт + т™7

х1 = х1 - (х2 - х1) • согг  к1, х2 = х2 + (х2 - х1) • согг • к2,

где х1, х2 - новые позиции частиц, рассчитанные с помощью интегрирования Верле на шаге 2, х[ , х2 -

уточненные позиции частиц, - расстояние меж-

ду частицами, согг - коррекция расстояния между частицами для выполнения ограничения |х1 -х2\ = а12, тП - величины, обратные массе частиц.

Модифицируем формулу (2), чтобы рассчитывать уточненную позицию частиц, соединенных упругой связью. Пусть к е (0,1] - параметр, определяющий жесткость связи между частицами хь х2. Если к = 1, то уточненные позиции частиц определяются по формуле (2). В случае упругой связи между частицами х1, х2 коэффициенты к1 и к2 рассчитываются следующим образом:

К1 = к-

к2 = к - к1.

Таким образом, формула (2) является частным случаем (3), когда к =1 .

Для системы, содержащей более двух частиц, требуется решение системы нелинейных уравнений

для выполнения всех ограничений вида \х1 - ху| = ау

на шаге 3 алгоритма последовательного уточнения позиций. Повысить эффективность расчета уточненных позиций частиц можно, повторив несколько раз расчет новых позиций каждой из частиц системы по формулам (2), (3) вместо точного решения системы уравнений.

Использованный алгоритм последовательного уточнения позиций системы частиц учитывает упругие связи между частицами и действие внешних сил на частицы. Алгоритм позволяет легко моделировать такие объекты как упругие ткани. Кроме того, эмпирические формулы для пересчета ограничений позволяют динамически менять жесткость связей.

Моделирование объемных тел

Элементы модели глаза представляют собой сложные системы, взаимодействующие друг с другом. Моделирование разреза пленки капсулы хрусталика невозможно без учета реакции самого хрусталика в ответ на действия хирурга. Силы упругости, индуцированные связями между частицами оболочки хрусталика, могут быть реализованы с помощью метода последовательного уточнения позиций частиц в процедуре расчета новых позиций частиц. Сила

реакции внутреннего объема р1’1ГКГ на деформацию оболочки моделируемого объекта учитывается при расчете равнодействующей сил, действующих на частицу.

Пусть V¡ с V - множество частиц, связанных с частицей ¡, i еV. В качестве направления действия

-¡—'¡ппег

силы Е- возьмем нормаль к плоскости, проходящей через частицы V¡. Сила р'гтег определяется равнодействующей сил, индуцированных деформацией всех внутренних слоев моделируемого объекта.

х

2

2

Удобно использовать приближенную величину силы

ГГШПвг Г"< ггшпвг

Е . Свяжем действие силы Е на частицу поверхности i с величиной телесного угла между узлом i и узлами V¡. Сила реакции внутреннего объ-

т—г ¡ППРг

ема г. определяется следующей квадратичной зависимостью:

у+ ё2 +о+ё, ё > 0 у-ё2 -о-ё, ё < 0’

где ё - это мера отклонения узла от положения равновесия, у± и с± - некоторые вещественные числовые параметры, определяющие характер силы упругости. В качестве меры силы реакции тела примем величину изменения телесного угла /, где -начальная величина телесного угла при узле ¡.

Пусть ¿1,...,¿п - единичные вектора, направленные вдоль связей узла i и узлов V¡. Телесный угол при вершине будет определяться формулой [6]:

п

Ь = 2р-аг§ П{( ¿у-^ ¿у )( ^ , ¿у+1 )-

у=1

-(^-1, ^+1) + ¡(^-1, ¿у, ¿у+0 }•

Теперь мы можем определить значение силы реакции внутреннего объема, используя формулу

Е (/ (Л¿п) - Ь), где / (sl,., ¿п) - Ь1 - мера отклонения узла от начального положения.

Литература

1. Бабенко, К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко - М.; Ижевск, 2002. - С. 420 - 423.

2. Балашевич, Л.И. Опыт практической реализации офтальмологического виртуального симулятора / Л.И. Балашевич, О.Г. Лексунов, В.А. Кузнецов, В.А. Бездельников // Врач и информационные технологии. - 2012. - № 5. -С. 36 - 44.

3. Созинов, А.С. Виртуальный больной - взгляд в будущее или игрушка для интеллектуалов? / А.С. Созинов, С.А. Булатов // Виртуальные технологии в медицине. -2010. - № 1 (3). - С. 19 - 24.

4. Advanced Character Physics. January 21 2003. / T. Ja-

kobsen. - URL: http://graphics.cs.cmu.edu/nsp/course/15-

869/2006/papers/jakobsen.htm

5. Bullet Collision Detection and Physics library. - URL: http://www.bulletphysics.org/mediawiki-1.5.8/index.php?title= Features

6. Mazonka, O. Solid Angle of Conical Surfaces, Polyhedral Cones, and Intersecting Spherical Caps / Cornell University Library Archive / O. Mazonka. - 2012.

7. Particle system - URL: http://en.wikipedia.org/wiki/ Particle_system

8. Phacoemulsification. Principles and techniques. Second Edition / L. Buratto, L. Werner, M. Zanini, D. Apple. - Milano, 2003. - P. 100 - 125.

9. PhysX Features (2.X). - URL: https://developer.nvidia. com/physx-features-2x

10. Rossi, J.V. Virtual Vitreoretinal Surgical Simulator As A Training Tool / Rossi J.V., Verma D., Fujii G.Y., Lakhanpal R.R., Wu S.L., Humayun M.S. / Retina. - 2004 (April). -24(2). - P. 231 - 236.

11. SOFA::Eye. Simulation of Ophthalmic Procedures. -URL: http://www.sofa-framework.org/projects/ophtalmo/ cata-ract.html

12. Verlet Integration. - URL: http://en.wikipedia.org/ wiki/Verlet_integration

13. Verma, D. Virtual reality simulator for vitreoretinal surgery / D. Verma, D. Wills, M. Verma // Eye. - 2003. - 17. - P. 71 - 73.

УДК 658.012

И А. Варфоломеев, Е.В. Ершов

ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫМ ТЕПЛОВЫМ ОБЪЕКТОМ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В статье представлены результаты исследований в области создания интеллектуальной системы управления многосвязным тепловым объектом на основе нечетких динамических моделей. Приведено описание структуры нечеткой динамической модели печи агрегата полимерных покрытий. Представлены результаты моделирования режимов управления процессом полимеризации горячеоцинкованного листа.

Многосвязный тепловой объект, нечеткая динамическая модель, лингвистическая переменная, идентификация модели, полимерное покрытие.

The article presents the results of the research in the field of intelligent control system of multilinked thermal objects based on fuzzy dynamic models. The paper describes the structure of the fuzzy dynamic model, created for the furnace unit of polymer coatings. The paper presents the simulation results of the control modes of polymerization process of the galvanized sheet.

Multilinked thermal object, fuzzy dynamic model, linguistic variable, model identification, polymer coating.

В металлургическом производстве широко ис- ние которых возможно на основе нечеткого модели-

пользуются многосвязные тепловые объекты, описа- рования в условиях неопределенности. В данных