О полях геометрических объектов -распределения аффинного

4. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. Семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139-189.

5. Евтушик Л. Е. Уникальная школа Картана-Лаптева, ее сбережение // Дифф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2008. Вып. 39. С. 44 — 62.

6. Рыбников А. К. Об аффинных связностях второго порядка // Матем. заметки. 1981. Т. 29, вып. 2. С. 279—290.

7. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

8. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М., 1987.

9. Catuogno P. On stochastic parallel transport and prolongation of connections / / Revista de la Unión Mathemática Argentina. 1999. Vol. 41, №3. P. 107-118.

10. Emery M. An invitation to second-order stochastic differential geometry. 2007. URL: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00145073 (дата обращения: 20.03.2017).

11. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий / / Дифф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 168—177.

12. Josef Mikes et al. Differential geometry of special mappings. Olomouc, 2015.

13. Shevchenko Ju. I., Skrydlova E. V. About non-holonomicity of quotient manifold of holonomic distribution on semi-holonomic smooth manifold // Междун. конф. по алгебре, анализу и геометрии. Казань, 2016. С. 67 — 68.

Об авторе

Юрий Иванович Шевченко — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

Е-mail: ESkrydlova@kantiana.ru

About the author

Dr Yuri Shevchenko - Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

Е-mail: ESkrydlova@kantiana.ru

13

УДК 514.75

Ю. И. Попов

О ПОЛЯХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

Продолжается построение геометрических объектов гиперполосного распределения (H-распределения) аффинного пространства An в дифференциальных окрестностях 1 — 3-го порядков. В результате построены (найдены) внутренним инвариантным образом ряд новых нормализации. в смысле Нордена основных структурных подрасслоений данного H -распределения.

A creation of geometric objects of the hyperband distribution (H -distribution) of affine space An in the differential 1-3rd orders neighborhoods is continued. As a result a number of new normalization in Norden's sense of the main structural subbundles of this H -distribution are constructed (are found) internally invariantly.

© Попов Ю. И., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 2. С. 13 — 23.

Ключевые слова: геометрический объект, гиперполостное распределение, аффинное пространство, дифференциальная окрестность, подрасслоение, нормализация Нордена.

Key words: geometric object, hyperband distribution, affine space, differentia! neighborhood, subbundle, Norden's normalization.

Во всей работе использована следующая схема индексов: J, K, L = 1, n; а, р, у = m +1, n -1; i, j, k = 1, m; a, b, с = 1, n -1; a, (3, у = m +1, n.

14

Введение

1. Известно [1], что в дифференциальной окрестности 2-го порядка регулярное Н-распределение аффинного пространства А п задается относительно репера Я1 уравнениями

^n _ in L а _ д a L n _ д n Р i _ д i L

ю = л,ю ,ю- = л,ю ,ю =л -ю,ю =л ,ю ,

i iL ' i iL 'а ар 'а aL '

где функции в системе (1) удовлетворяют уравнениям

VAШ = Л"кюк, VA" = Л" Kюк, VA" = Л"кюк,

ij ijK ' га гак ' ар аРК '

а(К

VA, - лПюП - Anaю: = ЛППКюк, VA"", - Л>" = Л^юк, VA" = A j юк, VA ар + A>n = Л арк юк,

арк

VA" -Лю' -Л"рюр + An ю1 = Л1 кюк,

сш a n ар n an n аик '

а

VAa + ЛШюа = Лакюк, VAар + A>a = Ларкюк,

ij ij n г.к ' iр iр n iрк '

VAa - Aaю' -Ларюр + Л"юа = Лакюк

in ij n iр n in n тк

и соотношениям

An An + An Лр + An Ai = 0

"со/ jк] jк] Ч[/ | а|к]

Заметим, что коэффициентах в правых частях уравнений (2), (3), вообще говоря, не симметричны по нижним индексам. Геометрические объекты

Г1 = {л I, ЛI, л;}

и

г2 = (Г,, Л" ,, Л", Л", An- }

2 I 1' oL' 1^К' 1^К' ар кi

являются фундаментальными объектами соответственно 1-го и 2-го порядка регулярного Н -распределения.

Из уравнений (2) следует, что совокупность функций

(л щ, } = ( Л ш , Л По , Л" }

О полях геометрических объектов Н-распределения аффинного пространства образует тензор 1-го порядка

ул г, =л :ък к.

Для регулярного Н -распределения фундаментальные {Л:}, (Л"р},

{Л пЛ} тензоры соответственно Л-, 1-, Н-подрасслоений невырожденные [1] и потому имеют соответственно обращенные фундаментальные тензоры 1-го порядка {Л^}, {ЛРу}, (ЛГ}, компоненты которых удовлетворяют дифференциальным уравнениям

УЛ* = Л'' юк, УЛар = Л>к, УЛ«ъ = Лаъкюк и соотношениям

Л; Л=5к, Л:рЛГ=5: , Л:, ЛЛ:с=5:.

Для дальнейшего изложения приведем соотношения [2], определяющие биекции Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го

рода соответственно Н-, Ь-, Л-подрасслоений заданного Н-распределения:

V; =-л;: V: +4, V: = -л>:-Аа ,

V:=-л>р+4, va=-л>р - яа,

V:=-л: V у, V,=-л: V: -4 ,

V: +<=v:к юк, У^=V:к юк, <+< юк, Уva=vsк юк, V: +<=v:к к, у^=vIк юк.

2. Итак, продолжим построение геометрических объектов с использованием симметрических фундаментальных тензоров 1-го порядка [3]:

«:=л:+Л :), «:Р=±(Л:р+Л;: ), =1( л:, +л:«),

« = Л" +Л:), яар = !(Л«Р+Лра), ал = Л«ъ +ЛЪ:).

: 2^ : : '' : : : '' : : : '

1

По аналогии с функциями V=—Л:Л: [4] введем в рассмотрение

функции 1-го порядка

V:=т л:«:, у V;+<=^ »к.

т

Квазитензор {Т:а} позволяет найти ряд абсолютных тензоров 1-го порядка

15

16

са =Ла - Уая", Уса = с"юк,

11 11 п 11 ' 11 11К '

с; — (с-+с;), уС; = С;

к

_аг лэ V7 _аг г\

сп, = СД , Усп = О,

с«р = с«^, Усар - О.

пп пэ пк' пп

Поле квазитензора (Vе,; }(7) задает поле нормалей 1-го рода Ь-под-расслоения в окрестности 1-го порядка. В силу соответствия Бомпьяни — Пантази (5) находим охват объекта (Уа}:

Vе-; =-Лпар1/Р- А, У^^а = Vе-;

Поле объекта (V-} (9) задает поле нормалей 2-го рода Ь-подрасслоения. Таким образом, Н-распределение в дифференциальной окрестности 1-го порядка порождает внутреннюю нормализацию (Упа, Уа) Ь-подрасслоения.

Окрестность 2-го порядка

3. В дифференциальной окрестности 2-го порядка рассмотрим поле квазитензора (Щ}, где

ае£

Щ = —

п

-Л' ри"р, УЩ +юг = £'юк.

I ар п ' ~п п ~пК

1ар п ' -'п п -'пк

В биекции (6) квазитензору (10) соответствует тензор (Щг}, компоненты которого = —ЛпЩ - А удовлетворяют уравнениям

УЩг = ЩК^ .

Итак, в окрестности 2-го порядка имеем внутреннюю нормализацию (Щ, Щ) в смысле Нордена Л-подрасслоения.

Далее, следуя работе [1], введем в окрестности 2-го порядка следующие геометрические объекты Н -распределения, которые понадобятся нам для дальнейшего построения (рядом выписываются дифференциальные уравнения соответствующих функций):

Ка. = Л аО!, УЬ1 - О,

ъ* = -(V + ь,г ), УЬ? - О,

па г> V па па/' па '

Ьак = Ь^, УЬ1к - О,

Ьа р= КкЬр, , УЬ а р- О, Ьр = Ьп ср, УЬР - О,

п а п а I] ' п а '

ЬпуЬр =5Р, УЬ"у - О.

а пу а' а

Функции (11) позволяют построить невырожденный абсолютный тензор {В:р}:

Вп =-—(Ьп| Ь + ЬщЬ ) УВп = 0

ар 2 ^ а |Р Р I™'' аР _ и ввести в рассмотрение функции

^ =-(ВПа,У"р-^а), У^а = ВарШ" + V

аК Ш ,

и а =-ВаВрГ р, Уи а +Ш" =иа"К ШК.

Поле (14) квазитензора {и" } задает поле нормалей 1-го рода Ь-под-расслоения. В биекции (5) полю объекта {иа} соответствует поле тензора {и а}

и а = -А"риРп - Л ), Уи а = и аКШ ,

которое порождает поле внутренних нормалей 2-го рода Ь-подрасслое-ния. Таким образом, построена нормализация (иар, иа) Ь-подрасслое-

ния в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

Дальнейшие построения объектов проведем, используя функции апк, дифференциальные уравнения для которых получим из формул [2, (2)]:

УаПк = ЦЛ" + а"л; + а"К к.

Итак, учитывая (16) и соотношения Уапк = 0, найдем последовательно дифференциальные уравнения для следующих функций:

1

т + 2

ара, У; = агшп + 1КШК,

Ап _п \~7 Л" „п _п Б . _п Б

-1 = —а,-,ч, уА~, = а а, ш +— т, а,

г]к 3 (Ч )б п 3 ) Ш

А к =

к - т+- Ака1^ уАк = акБ< + -Гк<, т + 2 ' 3

Щк = а;-а,,~Ак),УВк = 0,

'¡¡к 1 \]к "-

Вп = ака^апВкЕп, , й 1п Вп = < + СкшК,

ь; = ап - а^, уЬ; = (апп+а^+даК.

Замечание. Симметрический тензор В'пк (19а) аполярен тензору а'п

и является аналогом обобщенного тензора Дарбу [6] для Л-подрасслое-ния. Относительный инвариант Вп (19б) в общем случае отличен от нуля (для регулярных гиперполос см.: [5]).

17

18

4. В случае Л-подрасслоения с нулевым подтензором (г; = О) тензора неголономности во второй дифференциальной окрестности рассмотрим функции

епк = <ХХс7^а, У£пк - О, 8пк = , У8пк + ьпЬр< - О,

Б. = аъаиВп.Впл, УБ- = Вкюк.

Симметрический тензор {Ву} (2О) в общем случае является невырожденным. Следовательно, для него можно ввести обратный тензор {В1}, компоненты которого удовлетворяют соотношениям

В.В1 = 51, ВлВк. = 8г

и уравнениям

УВ1- О.

По аналогии с п. 3, используя квазитензоры (Щ} (1О), {?;} [2, (31)], последовательно находим абсолютные и относительные тензоры 2-го порядка:

X. =-1-

г -л ^ га га п '' г ' ^ '

п — т—1

Щ'ПР = Л РР Р—ЩПЛ !р, УЩ-РР- О,

ЩРр = Щ'ар+ЩРа), УЩРр - О,

е п?=

^сф = 1

пг 2 пг пг ' пг х '

еа = , У£а - О,

гу пг ру ' гу '

е.. = еа еу , уе - О,

е1 = е арЩ1 У.1 - о

пг пг р пг

епк е\ = , уепк - о,

г пк г г

Ь=— 2

Замечание. В охватах (21), (22), (24) вместо квазитензоров {¿;}, {Щ'п} можно выбрать любой из квазитензоров (у-}, {у! } второго порядка [1; 3]. Отметим, что тензоры (Щпр} (22), (ер?} (24), вообще говоря, несимметрические по индексам а, р, а тензоры (Щ-р} (23), {е;р} (25) — симметрические по индексам а, р; тензор (Ц} (26) — симметрический по г, 1.

С помощью тензоров {£*} (26), ,} (21) и квазитензора {Щ} (10) составим величины

е, =-

Используя функции (26), (27), находим

Е' = -Ее., УЕ +ю" = Екюк.

п п у п п пК ч '

В биекции Бомпьяни — Пантази (6) квазитензору {Еп} соответствует тензор {Е,} 2-го порядка:

Ег = -ЛЕ - Л), УЕ = Екшк.

Поле квазитензора {Е,} (29) определяет поле внутренних нормалей 2-го рода Л-подрасслоения.

Таким образом, имеем внутреннюю нормализацию (Е'п, ) Л-под-расслоения в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

В результате исследований (п. 2 — 4) справедлива

Теорема 1. Н-распределение аффинного пространства Ап внутренним инвариантным образом порождает нормализации в смысле Нордена:

1) в дифференциальной окрестности 2-го порядка нормализации (Щ, ), (Е'п, Е,) Л-подрасслоения и нормализацию (иап, иа) Ь-подрасслоения;

2) в дифференциальной окрестности 1-го порядкаормализацию (Vап, Vа) Ь-подрасслоения.

5. Используя функции апк и [3], введем в рассмотрение охваты следующих функций по аналогии с (18) — (19):

1

Ап =— ап А = Ап аар

ару а (ару)' п - т + ^ ару п '

В" = А" - ап раА), В = аараула5?В" В,,

ару ару (ар у)' п п п п ауб р;^'

^п _ п _ п I

Ьару = аару - а( ар^у),

дифференциальные уравнения которых соответственно имеют вид

1 1

V? Л п „п ; , „п „п ; , „п * п ,

У А „ = а, „а \ ш +— г, а„ +— а пЛп ^ ,

ару ар у); п 3 ';(а^ру) п 3 ар |,|у) п'

У А у= апршр + 3 грп шр + 1 Л пушп, УВ"РУ= 0,

й 1п Вп = < + ВК шк,

Уьару =

19

20

Симметрический тензор B^y (30) аполярен тензору я™р и является аналогом обобщенного тензора Дарбу L-подрасслоения. Можно также показать, что относительный инвариант Bn в общем случае отличен от нуля.

В случае если L-подрасслоение имеет нулевой подтензор

тензора неголономности, во второй дифференциальной окрестности рассмотрим величины

С = a'W,. £1 pk., n = bnp ?уe1, B p = a^aßBn B" ,

^n- п п уСл^сф i' In а apy ni n' ap n n a-y pCS'

удовлетворяющие согласно Va^p - 0, (32), (23), (21), (25), (10) уравнениям VC - 0, Vn + b" << - 0, VB p - 0.

"=nn ' Ina apy ni n ' ap

Симметрический тензор {Bap} в общем случае является невырожденным, и для него можно ввести обратный тензор {Bap}, компонентах которого удовлетворяют условиям

B pBPy = Sy, BayBnp = 8pa, VBap - 0.

ap n a' n yp p '

Окрестность 3-го порядка

6. Теперь приступим к построению функций, ассоциированных с Л-подрасслоением в дифференциальной окрестности 3-го порядка линейного элемента H -распределения. Замыкание уравнений (17), (19б) приводит, соответственно, к уравнениям

dtк -1 L- tsK< - tsлnKtSn - a-sK< + ansЛSpK< - 0,

acK - Cl<K + Л "K < + Л PPK < = CKL<L .

Из уравнений (33), (34) при K = j получаем

VtiK = tjn + jn - ans Л'р. <+tjjK <K,

VC +Л". < =CK <.

С помощью функций ti (17), V^ (7), Va (13) и функций 3-го порядка ti. (35) составим величины

T = (t. - t t-)aj, S = — T - Vav ,

n \ ij i j/ n' n n n a'

m

удовлетворяющие согласно (35), (17), (7), (13) уравнениям dT - 2mt.< + mk roa, dS - 2t<< + 2v raa.

n in a n' n in an

Функции {Су}, полученные при дифференцировании уравнений (19б), позволяют построить геометрический объект {С'п} 3-го порядка:

С = Л С, УС1 +ю" = С \ шК,

п п у' п п пК ' V/

поле (37) которого задает поле внутренних нормалей 1-го рода Л-под-расслоения. В биекции (6) объекту {С'п} соответствует тензор {Сi} 3-го порядка:

^ =-Л^ -Л, УС, = С,КшК,

дифференциальные уравнения которого задают поле внутренних нормалей 2-го рода Л-подрасслоения. Таким образом, справедлива

Теорема 2. Нормализация (Сгп, Сг) базисного Л-подрасслоения внутренним образом порождена Н-распределением в дифференциальной окрестности 3-го порядка.

7. Построим ряд функций в третьей дифференциальной окрестности Ь-подрасслоения. Известно [3, с. 23], что функции удовлетворяют уравнениям

У^ = а>р + ^ ШК.

Продолжая уравнения (38) и (31) получим

й^аК - - Vш" - ^^< - <%рК< + «прЛрКШ = 0,

йВК - Оь шЬК + Л К ш'п + Л "к ш" = О^ш1 .

Полагая в (39), (40) К = р, имеем

^ар = ЛЯар*у; + а-аруЮп - а"уЛ+ tаркшК,

йОр+Л пХ +Л >„" = ОрК шК. Теперь вводим величины 3-го порядка

Т = а р-1 íр)аар-Лу 1 11,

п V ар а р/ п гу п п'

Б =-1-Т +£' е.,

п -I п Ъп г'

п - т -1

которые в силу (38), (41), (2), [3, (29)] и а"р = 0 удовлетворяют уравнениям

йТп = 2(п - т - 1)^уп - (п - т - 1)ф,ш1п,

йБп = 2íуЮу - 2е,<.

Функции {Оу} ((40), К = у) удовлетворяют уравнениям

21

УОу +Лп ш =ОуК шК,

22

что позволяет ввести в рассмотрение квазитензор [ТЭ'п} = {ЛЩО-}:

уо; +< = О!К к.

Уравнения (42) задают поле внутренних нормалей 1-рода Л-подрас-слоения. В биекции (6) объекту {Г)'п} соответствует тензор {О,} 3-го порядка:

О =-лп&п -А, УЦ = Ок к.

Поле квазитензора {О,} (43) определяет поле внутренних нормалей

2-го рода Л-подрасслоения.

Теорема 3. Внутренняя нормализация (О'п, й{) базисного Л-подрассло-

ения порождена Н-распределением в дифференциальной окрестности 3-го порядка.

8. Пусть квазитензор {у'п} задает произвольную нормаль 1-го рода Л-подрасслоения. Тогда функции

С р = Ср-лпруп, О р= Ор-л Пру;

согласно уравнениям Уу'п +агп = 0, (2), (41) удовлетворяют соответственно уравнениям

УСр = -Л Пр;+^рк к, уо р = -л>;+О рк юК,

а функции

Са = С Лра иа = О Лра

^п Ы ' '"И ^р1 ^п '

в силу (44) уравнениям

ус;= с;к , УО; +ю; = ик к.

В биекции (5) квазитензорам {С;}, {О;} соответствуют тензоры 3-го порядка

с = -Лп„Ср- А , Ус = с кк,

а ар п а' а ак '

Ъ = -Лпари; - А;, Уй; = йаКк.

В результате справедлива

Теорема 4. Нормализации (и;, йа), (С;, са) Ь-подрасслоения в смысле Нордена внутренним образом определены в дифференциальной окрестности 3-го порядка элемента Н-распределения.

Список литературы

1. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов гиперполосного распределения аффинного пространства / Калининградский гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ, № 6807-В87Деп., 1986.

2. Попов Ю. И. Введение в теорию регулярного гиперполостного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 49 — 56.

3. Попов Ю. И. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов 2-го порядка H-распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 2. С. 18 — 24.

4. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов H-распределения аффинного пространства // Диф. геометрия многообр. фигур. Калининград, 2013. Вып. 44. С. 113 — 125.

5. Попов Ю. И., Столяров А. В. Специальные классы регулярных гиперполос. Калининград, 1992.

6. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Московского математического общества. 1953. Т. 2. С. 275 — 382.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

About the author

Dr Juriy Popov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

23

УДК 514.76

Н. А. Рязанов

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СРАВНЕНИЯ КОМПОНЕНТ ОБЪЕКТА КРИВИЗНЫ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА

Выведены дифференциальные сравнения на компоненты объекта кривизны аффинной связности 2-го порядка. Эти сравнения показывают, что в общем случае объект кривизны 2-го порядка образует геометрический объект лишь в совокупности с объектом кривизны 1-го порядка и объектом связности 2-го порядка.

Differential comparisons for the components of the curvature object of affine connection of the second order are received. These comparisons show that, in the general case, the second-order curvature object forms a geometric object only in conjunction with the first-order curvature object and the second-order connectivity object.

Ключевые слова: структурные уравнения Лаптева, аффинная связность, объект кривизны 2-го порядка, голономное гладкое многообразие, полуголо-номное гладкое многообразие, неголономное гладкое многообразие.

Key words: Laptev structure equations, affine connection, curvature object of the second order, holonomic smooth manifold, semi-holonomic smooth manifold, non-holonomic smooth manifold.

© Рязанов Н. А., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 2. С. 23-29.