О распределении приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов по классам вычетов

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 2

УДК 511.512

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРИВЕДЕННЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ С УСЛОВИЕМ

ДЕЛИМОСТИ ПЕРВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПО КЛАССАМ ВЫЧЕТОВ

У. М. Пачев

Аннотация

Обобщены некоторые результаты Б.Ф. Скубенко и автора об асимптотическом распределении целочисленных приведенных неопределенных бинар-ных квадратичных форм, получаемые с помощью дискретного эр-годического метода.

Ключевые слова: асимптотическое распределение, бинарная квадратичная форма, вектор-матрица второго порядка, дискретный эргодиче-ский метод.

ON THE DISTRIBUTION OF REDUCED INDEFINITE BINARY QUADRATIC FORMS WITH THE CONDITION OF FIRST COEFFICIENTS DIVISIBILITY IN RESIDUE

CLASSES

U. M. Pachev

Abstract

In this paper we generalize some B.F. Skubenko and autor results on the asymptotic distribution of integer indefinite binary quadratic forms obtained with the discrete ergodic method.

Keywords: asymptotic distribution of binary quadratic form, vector-matrix of the second order discrete ergodic method.

1. Введение. Формулировки результатов

В этой работе мы продолжаем исследование по асимптотическому подсчету числа приведенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых квадратичных коэффициентов, начатые Ю. В. Линником [1] в связи с приложениями разработанного им дискретного эргодического метода (далее ДЭМ) к аналитической арифметике неопределенных тернарных квадратичных форм. Исследования Ю. В. Линника были продолжены Б. Ф. Скубенко, А. В. Малышевым и автором в ряде работ (см. [2], [3]).

Обобщая результаты работ [2], [3] на случай распределения указанных форм по классам вычетов по заданному модулю, мы с помощью ДЭМ доказываем следующие предложения (обзор этого метода и результатов его применения см. [4], [5]), при этом результаты из [6] мы переносим на случай неопределенных бинарных квадратичных форм.

Теорема 1. . Пусть m < 0 - целое число; —m £ Q; q и g - нечетные

числа, взаимно простые с m; и - целое число, для которого

и2 + m = 0

Для произвольной примитивной матрицы Q второго порядка нормы q обозначим через r(m; g; Q,u) число приведенных собственно примитивных вектор-

матриц L нормы m < 0, для которых

L = L0 (modg), Q\u + L

где L0 - целая вектор-.мат,рица с условием N(L0) = m (modg).

Тогда при m ^ —ж

r

ao

где ~ - знак асимптотической эквивалентности; T(m) - число целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм определителя m; a0(q) - число неассоциированных слева примитивных матриц нормы q; p(g,m) - число решений сравнения

x\x3 — x2 = m (modg).

На теорему 1, имеющую самостоятельный интерес, опирается доказательство следующего результата.

Теорема 2. . Пусть m < 0 - целое число; —m £ Q; q > 0 и g - целые нечетные числа, взаимно простые с m и символ Лежандра = 1 для всех

простых p | q. Обозначим через T\(m; g; q) число приведенных неопределенных

собственно примитивных бинарных квадратичных форм определителя т, коэффициенты которых лежат в заданном классе вычетов по модулю д, причем первые их коэффициенты делятся на д.

Тогда при т ^ —ж

2

Ті(т; д; д)-------------- Т(т),

ао

где V(д) - число различных простых делителей числа д.

Теорема 2 обобщает результаты [2], [3], относящиеся только к случаю д = 1.

2. Сведения из аналитической арифметики матриц второго порядка и ключевая лемма ДЭМ

При изучении с помощью ДЭМ вопроса о распределении целочисленных приведенных бинарных квадратичных форм (или что то же самое, соответствующих им целых точек на гиперболоидах) наиболее удобным вспомогательным аппаратом является аналитическая арифметика матриц второго порядка (см. [7]). Поэтому приведем необходимые для дальнейшего изложения определения и предложения из арифметики целых матриц второго порядка.

Наряду с этим будем рассматривать также целочисленную бинарную квадратичную форму

Ф = ф

с целыми коэффициентами а,Ь,с Е Z; при этом й = й(ф) = ас — Ь2 - ее определитель. Форму (3) будем коротко записывать в виде ф = (а,Ь,с), учитывая при этом, что такая запись более соответствует тому, что в ДЭМ форме (3) сопоставляется точка (а, Ь, с) Е Z3 на поверхности простейшего гиперболоида ас — Ь2 = й.

Говорим, что форма ф является неопределенной, если ее определитель й(ф) < 0.

Неопределенную форму (3) определителя й называем приведенной, если для ее коэффициентов выполняются неравенства

0 < Ь < \—й, \[—й — Ь < |а| < + Ь.

Две целочисленные формы ф и ф называются эквивалентными, если каждая из них переходит в другую целочисленной линейной подстановкой переменных. Отношение эквивалентности разбивает формы заданного определителя на классы форм, число которых конечно.

В случае неопределенных форм имеется (см. [8], гл.1У) конечное число приведенных форм

эквивалентных какой-нибудь форме ф; они образуют цикл (период) приведенных форм; при этом элементы цикла (4) упорядочены так, что фг и фг+1 -соседние формы (см. [8], гл.1У).

Число этих циклов равно числу классов неопределенных бинарных квадратичных форм заданного определителя й < 0.

Приведем теперь необходимые сведения из арифметики матриц второго порядка, используемые в ДЭМ.

Мы рассматриваем квадратные целые матрицы второго порядка над кольцом целых чисел

Нормой N (А) матрицы А называем det А, т.е. N (А) = det А (в тех случаях, когда N (А) < 0, в качестве нормы матрицы А в вопросах делимости матриц берут N(А)|).

Следом матрицы А называем число Бр(А) = а11 + а22. Если Бр(А) = 0, то А называем вектор-матрицей.

Мы будем пользоваться тем, что любую матрицу А можно представить единственным образом в виде А = I + Ь, где I = 2 Бр(А) отождествляется со скалярной матрицей 1Е, а Ь - вектор-матрица. В используемом нами ДЭМ вектор-матрица

вектор-матрице, а также о приведенной вектор-матрице в понятном смысле.

Говорим, что матрица (5) примитивна, если НОД(а11, а12, а21, а22) = 1. Число Ь = Ь(А) = НОД(а11, а12, а21 ,а22) называется числовым делителем матрицы А. Если Ь(А) = 1 то матрица А называется примитивной. Если для некоторого

примитивной по модулю д.

В кольце M2(Z) определяем ассоциированность матриц слева и справа. Матрицу А1 называем ассоциированной с матрицей А Є M2(Z) слева, если найдется и Є M2(Z) с нормой N (и) = ±1, что А1 = иА (аналогично определяется ассоциированность матриц справа).

Определим также понятие делимости матриц справа и слева. Пусть А, В Є M2(Z), причем N (В) = 0. Будем говорить, что А делится справа на В и записывать А/В, если АВ-1 Є M2(Z). Аналогично, А делится слева на В и записывается А/В, если В-1 А Є M2(Z).

взаимно однозначно сопоставляется с бинарной квадратичной формой ф = ах2+ 2Ьху+су2. В связи с этим можно говорить о положительной или неопределенной

целого числа д > 0 делитель Ь(А) взаимно прост с д, то матрица А называется

Важную роль в ДЭМ играет следующий матричный аналог основной теоремы арифметики.

Предложение 1. . Пусть А - целая примитивная матрица из кольца М2^) нормы N (А) = а = 0 и пусть а = Ьс, где Ь,с - целые числа. Тогда найдутся такие матрицы В,С Е М2^), что А = ВС, N (В) = Ь, N (С) = с. При этом, если А = В1С1, где В1,С1 Е Ы2^), N(В1) = Ь, N(С1) = с, то В1

ассоциирована справа с В.

Доказательство см. в [7], §2.

Предложение 1 используется в разложениях матриц и в преобразованиях подобия вектор-матриц.

При применении ДЭМ наибольшую трудность доставляет случай неопределенных форм, требующий отдельного рассмотрения некоторых дополнительных сведений по сравнению со случаем положительных форм.

Как ив [1], [9], введем в рассмотрение матрицы

Е<«. /1 о), Е„ = а -л Гк, -л 1

г = 1,..., 2п, к]_,... ,к, - целые числа, так что

Е(г)-1 ЬЕ= Ьг,

где 2п - длина цикла вектор-матрицы Ь.

Для целых вектор-матриц Ь и Ь' найдется (см. [7]) целая матрица А с условием А-1ЬА = Ь' (такое свойство относится к теории поворотов вектор-матриц).

Обозначим Еъ = Ь — иЬ, где Ь,и - наименьшее целое положительное решение уравнения Пелля

Ь2 + ши2 = 1, т = N (Ь).

Следуя [9], определим матрицу £ь(Еп)яЕ(г), где к Е Z, к = 2щ + г, 0 ^ г <

2п. Тогда

А-1Ьк Ак = Ь', Ак = Ек А

где Ек - целочисленная унимодулярная матрица второго порядка.

Среди матриц Ак = £кА, ассоциированных слева с матрицей А и переводящих одну из вектор-матриц Ьк цикла {Ь = Ь1, Ь2,..., Ь2п} в вектор-матрицу Ь' по формуле (6), можно подобрать матрицу, играющую особую роль при применении ДЭМ к неопределенным бинарным формам (существование такой матрицы гарантирует следующее предложение).

Предложение 2. . Если Ь и Ь' - приведенные неопределенные вектор-матрицы и А - целая матрица с условием А-1ЬА = Ь', N (А) > 0, то найдется

такая матрица А' = ЕА = ^, ассоциированная слева к А, для которой

вектор-матрица Ь'' = (А')-1ЬА' = Е-1Ь'Е приведена, причем а'в'у'$' < 0, где Е - целочисленная унимодулярная матрица.

Доказательство этого предложения см. в [2] и [1], лемма 6.2.3.

Матрицу А из предложения 2 будем называть, следуя [9], полупримарной (а по терминологии [2] - удобной).

Предложение 3. (ключевая лемма ДЭМ для вектор-матриц). Пусть Ь1, Ь2, ..., Ьп, г = г(п) - все приведенные целые неопределенные вектор-матрицы второго порядка нормы т < 0. Пусть среди матричных равенств I + Ьг = BiUiN(В,) (г = 1,...,г) произвольно выбрано г' ^ Ш12— равенств (для лю-

Т 1о§ Н

log q

0 < т < 1; Bi - целая

бого £ > 0), где l2 + m = 0 (modqs), s примитивная матрица; Ui - целая матрица.

Тогда существует постоянная с> 0, зависящая от £, такая, что количество w попарно неассоциированных справа матриц Bi, которые встречаются в этих Г равенствах, при m ^ ж удовлетворяет неравенству

w ^ clmlT~£.

Доказательство этого предложения см.в [10], где изложение ведется сразу для обоих случаев: двуполостного и однополостного гиперболоидов.

Следующее предложение будет использовано в доказательстве теоремы 1.

Предложение 4. (о делимости матриц большой нормы). Пусть q > 1 -нечетное число; g - нечетное число, взаимно простое с m; t ^ 1 - целое число; B - целая матрица с условием

N(B) = qt (modg).

Пусть Ai и A2 - примитивные матрицы нормы q. Через a0(qt; g, B; Ai, A2) обозначим число целых матриц M £ M2(Z) нормы qt, для которых M = B (modg), Ai\M, M\A2.

Тогда при t ^ —ж

ao

^(д,д*)(^о(д))2’

где ь(д, д*) - число различных по модулю д, примитивных по модулю д матриц В, удовлетворяющих сравнению

N (В) = т (modg).

Доказательство см. в [7], где оно дается в более общем виде и с остаточным членом.

3. Доказательство теоремы 1

1°. Фиксируем число Т из ключевой леммы, 0 < Т < i, и рассмотрим целые числа

т log m

si

Ssi,

log q \

где 8 - некоторое целое число, выбираемое в дальнейшем.

Подберем целое число l так, чтобы

{l2 + mm \

l = и

Возможность такого выбора следует из условия (1). В силу (7) для всех приведенных собственно примитивных неопределенных вектор-матриц

Liy..., LT, T = T

нормы m имеем

N(l + Li) = l2 + m = 0 (modqs) (i = 1,..., T).

Но тогда, по предложению 1, имеем следующие матричные разложения

l + Li = BiXi

где Bi = Qii • ... • Qis - примитивные матрицы нормы qs; Qj - примитивные матрицы нормы q; Xi - целые матрицы. Разложения (8) соответствуют рассмотрению делимости матриц слева и поворотов вида A-iLiA. Следуя [1], [2], в разложениях (8), в силу предложения 2, будем выбирать матрицы Li так, чтобы Tij были полупримарными и T- 1LiTij - приведенными вектор-матрицами нормы m < 0. Будем считать что в равенствах (8) уже произведен указанный выбор матриц Tij для всех i = 1 , . . . , T.

Из разложений (8), считая, что в них выполнены указанные требования произвольным образом выбираем T' > T(m) • lml~v равенств

l + La = BaXa (i = 1 > ... , T') ,

где Ba = Qai • ... • Qas; n - сколь угодно малое положительное число.

20 тт г

°. Пусть L0 , . . . , L0 - представители всех классов вычетов целых вектор-

матриц (modg) с условием

N (Lo^ = m (mod g) (j = 1,..., p(g, m)).

Для данного целого положительного числа t сопоставим каждому классу

вычетов Lj (modg) совокупность Yj = Yклассов целых матриц S (modg),

L0

для которых

L

где Ь2 Ь1 где Ь = \Ьз Ь2,

В каждой совокупности Ь(\^ (у = 1,... ,р(д,т)) имеется одинаковое число

Ь0

классов вычетов 5' (modg), а именно

#4 = д П

р\д \ )

(см. [11], ч.2, гл.7).

Ввиду соотношений (9) и (10) приводимые рассуждения проходят и в случае НОД (д,д) = 1. Разобьем теперь множество Т(ш) всех собственно примитивных приведенных вектор-матриц Ь нормы ш на р(д,ш) множеств

относя к Zj все те L, для которых L = Lj (modg). Ясно, что

p(g,m) rj = T (m). j=i

Соответственно, матричные равенства (8), отвечающие всем La можно сгруппировать следующим образом

l + Lj = B

( j) ( j) ( j) где Li £ Zj, Bi ,Xi - целые примитивные матрицы, причем

N^P) = qs, НОД (n (b^ NX1')) = 1 tif' = Qj),...,Qj).

3°. Дальнейшее доказательство базируется на следующем утверждении, равносильном теореме перемешивания в ДЭМ.

Предложение 5. (R). Пусть Vj,t (1 ^ t0 ^ s — 1) - число индексов i (i = 1,... ,rj) в равенствах (11) с условиями:

Bi = Qj •... • Qj £ Y?\ Q\Q(iln,

где Q - любая матрица из полного набора неассоциированных слева матриц

нормы q. Тогда найдется такой индекс t0, 1 ^ t0 ^ s — 1, что

T (m) log lml

или

Tj <

Yj,t — -г • —-гтrj, m ^ —ж,

1

р(д,т) оо(д)‘

где у = 1,..., р(д,т). Постоянные, входящие в асимптотическую формулу (13), зависят только от д, д и не зависят от т.

4°. Предложение (И,) доказываем от противного. Обозначим для краткости в = р(дт.  . Если (И) не имеет места, т.е. не выполняются (12) и (13), то для

некоторого числа ^ > 0 найдется бесконечная последовательность чисел т, удовлетворяющих условиям теоремы 1, так что для каждого т имеется индекс ]0, для которого

Т

гзо > ; З* — вго1 ^ 1вг30

Неравенства (14), в частности, справедливы для Ь = 8, 28,... , ^8 = в — 1, причем для в2 ^ 1 в1 индексов выполняются неравенства

Yjo,t < (1 — Y)er.

JO

или

1зо,г ^ (1 + Y)вгjо.

Из равенств (18) выбираем г' = г^0 равенств

I + Ь«о) = В^'ХЗ

для которых

# { Ьп 11 < п«в2, вз е з', < (1 — 2) рв2.

Как и в случае положительных вектор-матриц, доказывается, что

г' > ке1т12-£,

где постоянная к£ > 0 зависит только от q, g и £.

5°. Пусть w' - число неассоциированных справа примитивных матриц B(j0 нормы qs в равенствах (15), и значит

w' ^ w,

где w - общее число неассоциированных справа примитивных матриц B(i) = Q^ •... • Q^ нормы qs, (i = 1,..., w); Qj, (j = 1,... , s) - примитивные матрицы

нормы q, причем для каждого фиксированного индекса i = 1,... ,w

# {tn l 1 ^ n ^ s2, Btn £ Y

здесь в(П = Q[i) •... • Фп.

В силу предложения 4 и неравенства (17) получаем

w < o,Ms)(1+ £)s2 £ Vjs—Vnв’(1 — в)«-’.

v4,(i-2 )/3s2

Рассуждая как и в [3], т.е. произведя оценку сверху правой части неравенства (27), получим, что

ш 1т1т-в,

где в = в(д) > 0 - некоторая постоянная, зависящая только от д.

С другой стороны, в силу ключевой леммы, для любого £ > 0

ш » 1т1т-£.

Полагая £ = |, получаем, что ввиду (9) при достаточно больших 1ш1 оценки

(18) и (19) противоречат друг другу, что и доказывает предложение (И).

Применяя теперь предложение (И) к области приведения Дт найдем постоянную к > 0 (зависящую от только от д,д) и Ь0 (1 ^ Ь0 ^ в) такие, что при

достаточно больших 1ш1 для любого 1 ^ ^ р(д,ш) выполняются неравенства:

гз <

или

1

Т

^ ш1 1

р(д,ш) оо(д)‘

ъ*о < (1 + к1)^—^  —гггз.

Тогда

р(д,т) р(д,т) ( т/ \ л

1 Т

г(ш; д; ч,и) < V з*о < 1(1 + к1><-------^—гггз +1—п г <

7=1 7=1 I Р(д,ш)ао(д) log Н]

11

7=1 7=1

<

р

при некоторой постоянной к+ > 0, зависящей от к1. Аналогично устанавливается, что

г(ш; д; Я,и) > (1 — к ) , 1 ч  Т(ш).

р

Обе эти оценки при 1ш1 ^ ж равносильны асимптотической формуле (2) и теорема 1 доказана.

4. Доказательство теоремы 2

Пусть Ф(ш) = \^ф1,...,фт(т)} - множество всех приведенных собственно примитивных неопределенных бинарных квадратичных форм определителя ш < 0, так что для

ф

имеем

a,b,c £ Z, НОД (a, 2b, c) = 1, и выполняются условия приведенности

0 ^ b ^ V—m, y/—m — b < lal < V—m + b.

Обозначим через Фд(m, q) совокупность форм ф(а, b, с) £ Ф^), для которых

а = 0

и

где a0,b0,c0 - некоторые фиксированные целые числа; НОД (g, 2qm) = 1.

Из (20) следует, что

b2 + m = 0

Тогда сравнение x2 + m = 0 (modq) имеет 2V решений, где v = v(q) - число различных простых делителей числа q. Поэтому, если ui). . . ,u2v - полная

система решений (modq) этого сравнения и верно (21), то в силу (22) имеем, что

b = —ui0

либо

b = ui0 (modq),

где 1 ^ i0 ^ 2v.

Тем самым, множество Фд (m,q) разбивается на попарно непересекающиеся множества Фд (m, q, ui), где каждое Фд (m, q, ui) есть множество тех ф = (a, b, c) £ Ф^), которые удовлетворяют (23).

Берем теперь в теореме 1 примитивную матрицу вида q0 01 . Тогда, в силу

(19) и (33), имеем

Q\

Обратно, если имеет место (24), то выполняются (20), (21) и (22). Поэтому

#Фд

Тогда, учитывая, что Ti(m; g; q) = #Фд(m; q), в силу теоремы 1 и равенства (25) получаем

QV QV

2 2 2 1

Ti(m; g; q) = V #фд(m; q, u) = V r(m; g; q, u)-------^ ----гT(m).

i=i j=i ao

Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. ЛинникЮ. В. Эргодические свойства алгебраических полей. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1967.

2. СкубенкоБ.Ф. Асимптотическое распределение целых точек на однополостных гиперболоидах и эргодические теоремы // Известия АН СССР. Сер. Математика. 1962. Т. 26, № 5. С. 721—752.

3. Пачев У. М. О числе приведенных целочисленных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Чебышевский сборник. 2003. Т. 4, № 3(7). С. 92—105.

4. ЛинникЮ. В. Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции. Л.: Наука, 1979.

5. Пачев У. М. Обзор исследований по дискретному эргодическому методу в теории чисел // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, № 1(33). С. 217—233.

6. Пачев У. М. О распределении приведенных положительных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов по классам вычетов // Ученые зап. Орловского гос. ун-та. 2012. № 6(50). С. 177—182.

7. Малышев А. В., Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1980. Т. 93. С. 43—86.

8. Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М. ; Л.: ОНТИ, 1937.

9. Малышев А. В., Нгуен Нгор Гой. О распределении целых точек на некоторых однополостных гиперболоидах // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1983. Т. 121. С. 83—93.

10. Малышев А. В., Широков Б. М. Новое доказательство ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка // Вестн. Ленинград. ун-та. 1991. Серия 1, вып. 2. С. 34—40.

11. Bachman P. Die Arithmetik der quadratischen Formen. Leipzig: Teubner, 1898.

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова

Поступило 29.05.2013