Исследование влияния параметров транспортировки газа на характеристики потока

УДК 532.517+532.542 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2016. Вып. 3

Н. Н. Ермолаева

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ ТРАНСПОРТИРОВКИ ГАЗА НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОТОКА

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Представлены математические модели транспортировки смеси газов по морским газопроводам на шельфе северных морей в различных режимах. Исследованы закономерности поведения давления, скорости и температуры газа вдоль трассы при сверхвысоких давлениях. Сделанные выводы проиллюстрированы графиками распределения этих величин, построенными на основе расчетов по предложенной модели. Охарактеризовано влияние температуры на входе в газопровод на допустимую величину давления. Рассмотрены факторы, влияющие на эффективность работы морского газопровода. Библиогр. 4 назв. Ил. 4.

Ключевые слова: морские газопроводы, сверхвысокие давления, математические модели, особенности поведения скорости, температуры и плотности потока, влияние процессов теплообмена.

N. N. Ermolaeva

INVESTIGATION OF THE INFLUENCE OF GAS TRANSMISSION PARAMETERS ON FLOW CHARACTERISTICS

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

The mathematical models of a multicomponent gas mixture transmission on the shelf of the Northern Seas in different regimes are presented. Behavior regularities of the pressure, velocity and temperature along the pipeline route in the hyper-pressure range are investigated. The resulting conclusions are illustrated by the diagrams of these value distributions, which were constructed from calculations using presented model. Influence of inlet temperature on the acceptable pressure value is investigated. The factors influencing the efficiency of the sea gaspipeline are discussed. Refs 4. Figs 4.

Keywords: gas-pipelines, hyper-pressure, mathematical models, the behavioral characteristics of velocity, of temperature and of density of thermodynamic model, the influence of heat exchange processes.

Введение. В ходе предпроектных исследований освоения газоконденсатных месторождений на шельфе северных морей анализируются разные варианты доставки добываемого сырья, одним из них является транспортировка газа по морским газопроводам. Математическая модель различных режимов транспортировки газа позволяет проанализировать возможность реализации того или иного режима эксплуатации морского газопровода. В работах [1, 2] предложены математические модели установившихся и неустановившихся режимов течения газа по морским газопроводам. Установившийся режим является основным режимом эксплуатации. В настоящей статье на примере модельного морского газопровода проведен анализ установившихся режимов течения. Исследовано влияние давления pxo и температуры Txo

Ермолаева Надежда Николаевна — кандидат физико-математических наук, доцент, n.ermolaeva@spbu.ru

Ermolaeva Nadeczda Nikolaevna — PhD of physical and mathematical sciences, associate professor; n.ermolaeva@spbu.ru

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

на входе в газопровод на величину суммарного падения давления. Найдена зависимость критического давления p*xo, ниже которого транспортировка газа в выбранных условиях невозможна, от параметров режима. Кроме того, изучено влияние процессов теплообмена потока газа с окружающей средой на плотность и температуру газа и соответственно на величину суммарного падения давления.

Приняты следующие параметры модельного морского газопровода: трасса считается горизонтальной; постоянный массовый расход Q газа равен 400 кг/с; температура Т* окружающей морской воды считается неизменной вдоль трассы и равной 272 К; длина трассы Ь — 300 км; газопровод моделируется цилиндром с внутренним радиусом К = 0.5 м, имеющим два слоя обшивки; параметры первого слоя обшивки: толщина ¿1 = 0.04 м, теплопроводность Лх = 24 Вт/(м-К), параметры второго слоя: толщина ¿2 = 0.12 м, теплопроводность Л2 = 1.7 Вт/(м-К). В исследуемых режимах для температуры Т(г) газовой смеси, как показали расчеты, выполняется такое условие: Т (г) > Т* У г € [0, Ь], где Т* = 271 К — температура фазового перехода морская вода-лед. При этом условии оледенение внешней поверхности газопровода невозможно.

Запишем, следуя работе [2], одномерную нестационарную математическую модель течения смеси газов по модельному морскому газопроводу при вышеуказанных условиях:

др д(ри) дЬ дг

0,

д(ри) д . о . Лри|и|

1

Л

к 2.51 \

Ие

2д

п К р'

к =

К'

е = £ + и2/2,

Р =

сР

НрТ

1 -6р ~ (1 + 5р)Т1/2'

/ f Н = Кд/М, М = ^ пт п = 1,

г=1

г=1

6 = Ъ/М, с = а/М2, Ъ = ПьКд Тс/рс, а = Па(Кд )2Т;2'5/рс,

3 с

е = с.Т--77¥М1 + 5р).

Здесь (1) — уравнение неразрывности, (2) — уравнение движения, (3) — уравнение Коулбрука-Уайта, (4) — уравнение полной энергии, (5) — уравнение состояния Редлиха-Квонга, (6) — калорическое уравнение связи внутренней энергии с температурой и плотностью газовой смеси [3].

к

в

В системе уравнений (1)—(6) приняты следующие обозначения: и,р,р,Т — скорость, плотность, давление и температура газовой смеси соответственно, являющиеся функциями времени £ и координаты г, направленной вдоль оси газопровода; £ = е = е(г,Ь) — массовые плотности внутренней и полной энергии газа соот-

ветственно; ш — объемная плотность в единицу времени распределенных источников (стоков) внутренней энергии в потоке газа, моделирующих теплообмен с окружающей средой (выражение для ш = ш(г,£) приведено далее); Л(Ие, к) — коэффициент гидравлического сопротивления; Ие — число Рейнольдса; р, — вязкость газовой смеси, к8 — коэффициент эквивалентной равномерно-зернистой шероховатости внутренней поверхности газопровода; к — относительная шероховатость; Н, с, 6 — размерные постоянные в уравнении Редлиха—Квонга; Кд — универсальная газовая постоянная;

— молекулярный вес и доля г-й составляющей газовой смеси соответственно; ] — количество компонент газовой смеси; — числа, определяемые по задан-

ному химическому составу газовой смеси по значениям критических температуры Тс и давления рс в соответствии с таблицами, приведенными в [4]; коэффициент с в уравнении (6) — удельный коэффициент теплоемкости газовой смеси заданного химического состава, но в состоянии идеального газа.

В настоящей работе исследуются установившиеся режимы транспортировки газа. Слагаемое ш(г,£) в уравнении (4), моделирующее теплообмен потока газа с окружающей средой, для установившихся режимов может быть записано следующим образом [1]:

я» (1+ «« + ». + « (^ВД + ^ + ^М! +

где в — коэффициент теплопередачи в граничном условии третьего рода на внешней поверхности газопровода. В рамках принятой одномерной модели в является эффективным параметром, учитывающим внешние условия обтекания газопровода. В общем случае в может быть функцией г. Оценки величины в приведены в [1]. Для реальных газопроводов значение в должно находиться из решения обратной задачи.

Запишем вариант модели (1)-(6) для установившегося режима течения в виде

ри = ЯЦпЕ2),

<1и <1р Хри2 ¿г йг АК '

й , и2 р. ш ,

аг 2 р ри

при г = 0: р = рхо, Т = ТХа.

Выражения для давления, внутренней энергии и ш задаются соотношениями (5), (6), (7) соответственно. Запишем модель (8)—(11) в терминах давления, плотности и температуры. Введем характерные значения рх, Тх, рх = р(рх, Тх), 1Х, их = Q/(пR2рx) и опустим штрихи у безразмерных величин р, Т, р, г, и. В результате модель преобразуется к виду

ри, = 1,

Ф 2 Ф , /1 п\

— = тп1р —+т2р,

аг аг

г]Т тА ( р т7 \ ¿р

= + Г5 ^ +

рт р2

Р = т8---тд ——-угТН ' 15

1 — т3р (1 + т3р)Т 1/2

при г = 0: ро = Рхо/Рх, То = ТХо/Тх.

В граничном условии (16) рХо, ТХо — размерные значения плотности и температуры смеси газов на входе. В математическую модель (12)-(16) входят безразмерные комплексы т1-тд, которые выражаются через параметры задачи и характерные величины:

Рх _Л1х _ Ли21х Рх

г х х е '

ГП1 = -то2 = —, т3 = д рх, т4 = -———, то5 =

Рх их' 4К' ' 4с у КТх РхСу Тх '

то6 = 21х/ ( суН2рхих ( , 1—' т г + 1п ( 1 + ^ ) + 1п ( 1 +

в (К + ¿1 + ¿2) Л1 V К) Л2 \ К + ¿1

3сРх НРхТх сР

т7 = -т8 = -, ГПд

о/о ? "•'б --? ""9 --1/пз

2С Т3/2 Рх Р Т1/2

¿СУТх 1 х РхТх

здесь су — характерный удельный коэффициент теплоемкости при постоянном объеме для транспортируемой газовой смеси, вычисленный при плотности Рх и температуре Тх по формуле [3]

3с

Су = СУТХ + --1п(1 + 5рх).

4 ¿ТЗ/2

В модели (12)-(16) величины вязкости р и удельной теплоемкости су газовой смеси, а также коэффициент сопротивления Л считаются постоянными. При значительных изменениях плотности и температуры необходим учет изменений р, су, Л по г в зависимости от Р(г) и Т(г).

Система уравнений (12)-(15) может быть разрешена относительно производных ^ и ^. Ее решение сводится к интегрированию следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

^Р =_/2 +/1/3/г__

¿г I ./• /, ./• /:/, / ./:•/, ' 1 '

<£Г = Г (/4 + /5Х/2 + /1/3/Г) П8,

(Ь ' I I I, ./• /:/, / ./:•/, • 1 ;

р = и = 1/Р

с граничным условием (16).

Функции fp, ^, fp, f1—f5 выражаются через безразмерные комплексы т1-т9 и безразмерные плотность Р и температуру Т:

др Т р

и = — = т8 —- .N9 ~ m^

др ° (1 — тзр)2 (1 + т3р)2Т1/2 '

др р р2 }т = = т» Тл-7 + т9 '

дТ ъ (1 — тзр) 9 (1+ тзр)Т3/2 '

56 Вестник СПбГУ. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика... 2016. Вып. 3

/ Рт р2

и = т8 1--—I ~ т9

1 - тзр 9 (1 + т3р)Т V2' /1 = т1р2, /2 = т2р,

/з = т4 + Щ6(Т* - Т), р2

, Р ( Т 1

/4 = »715 -г = т5 т8 т^-;--т9

р2 — V 8 (1 - тзр)р (1 + тзр)Т1/2

/5 = т? (1 + тзр)Т1/2-

Нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений (17), (18) с граничным условием (16) решалась численно методом Рунге—Кутты 4-го порядка точности. Давление р и скорость и определялись по найденным значениям плотности р и температуры Т из равенств (19).

Для расчетов по модели (12)—(16) были выбраны следующие размерные характерные величины: рх = 138.02 кг/м3, Тх = 283.15 К, 1х = 10 км, им соответствуют характерное давление рх = р(рх, Тх) = 150 атм и характерная скорость их = Q/(пК2 рх) = 3.69 м/с.

Выбирались параметры Н, с, 6, ¡, кя, су, в, типичные для задач транспортировки по морским газопроводам в северных морях смеси газов с преобладанием метана. В результате для эталонного варианта были получены такие значения безразмерных комплексов т1— тд:

т1 = 8087.419, т2 = А1.А88, т3 = 0.253, т4 = 0.0009, т5 =0.1945,

т6 = 0.512, т7 = 0.267, т8 = 1.293, тд =0.916.

На рис. 1,1-111 представлены рассчитанные для эталонного варианта (20) зависимости размерных характеристик потока р(г), р(г), Т(г) от температуры Тхо на входе в газопровод при давлении рхо = 140 атм, на рис. 2 — распределение скорости потока и(г) в зависимости от давления рхо на входе при Тхо = 313.15 К. Из рис. 2 вытекает, что существует критическое давление р*хо на входе, при котором транспортировка газа при выбранных параметрах процесса невозможна. Это связано с тем, что с уменьшением давления снижается плотность газа, приводя к увеличению скорости и соответственно к росту гидравлического сопротивления, которое, в свою очередь, вызывает еще большие падение давления и возрастание скорости потока. Как показано на рис. 3, при критическом значении давления на входе скорость потока вдоль трассы, начиная с некоторого сечения, стремительно нарастает и приводит к нереализуемости данного режима. Расчеты по модели (12)—(16) позволяют найти зависимость критического давления р*хо от температуры Тхо на входе в газопровод. В качестве критерия того, что давление рхо является критическим, принималось выполнение условия Зг* € [0, V), при котором ^ > А. Величина А зависит от параметров процесса транспортировки газа и определяется в ходе численного эксперимента. Таким образом, для каждого набора параметров процесса транспортировки существует нижний предел р*хо допустимого давления на входе в газопровод, он зависит от температуры Тхо. Например, для Тхо = 333.15 К критическое давление на входе равно

р, атм

Рис. 1. Зависимость размерных давления смеси газов p(z) (I), плотности p(z) (II) и температуры газа T(z) (III) от температуры Txo на входе в газопровод при давлении pxo = 140 атм 1 - Txo = 303.15 K; 2 - Txo = 323.15 K.

рхо = 113 атм, а при Тхо = 303.15 К и неизменных остальных параметрах оно составляет рхо = 105 атм. На рис. 3, 4 представлены зависимости и(г) при найденных критических значениях р^хо.

и, м/с2 70 Г

0---------

О 50 100 150 200 250 300

Z, км

Рис. 2. Зависимость размерной скорости потока п(г) от давления рхо на входе в газопровод при температуре Тхо =313.15 K

1 — Рхо = 140 атм; 2 — рхо = 100 атм; 3 — рхо =88 атм.

и, м/с2 20 г

41--------

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Z, км

Рис. 3. Зависимость размерной скорости потока п(г) от температуры Тхо = 313.15 K при давлении рхо = 105 атм 1 — ТХо = 303.15 К; 2 — ТХо = 333.15 К.

Проведенные расчеты и анализ свидетельствуют (как и следовало ожидать), что рост давления pxo на входе является благоприятным фактором, который вызывает уменьшена как сопротивления, так и суммарного падения давления (pxo — Pl)• Однако допустимое повышение давления pxo имеет предел, связанный с требованиями прочности газопровода. Следует заметить, что в реальных задачах при переходе к более высоким давлениям на входе увеличивают толщину слоя стали. При этом, если существует ограничение на внешний радиус газопровода, то утолщение слоя стали ведет к соответствующему уменьшению внутреннего радиуса R. Это, в свою очередь, приводит к увеличению скорости потока. В настоящей работе принято R = const.

и, м/с2

16

12

8

4 -,-,-,-,-,-,-,-,

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Z, км

Рис. 4- Распределение размерной скорости потока u(z) при температуре Txo = 333 K и давлении pxo = 113 атм

В исследуемом диапазоне изменения давления на входе изменение R за счет утолщения слоя стали незначительно. Можно показать, что учет зависимости R(pxo) не вносит качественного изменения в сделанные выводы.

Рассмотрим влияние температуры Txo на параметры течения. При неизменном давлении pxo уменьшение температуры Txo вызывает рост плотности газа, что, как показано выше, является благоприятным фактором с гидравлической точки зрения, поскольку влечет за собой снижение скорости потока и соответственно уменьшение падения давления. Однако допустимое понижение температуры газовой смеси на входе в газопровод имеет предел, который связан с тем, что, как известно, с увеличением давления и понижением температуры газовой смеси повышается вероятность образования гидратов, их наличие может привести к аварийной ситуации. Методами борьбы с образованием гидратов в газопроводах являются подогрев газа и его глубокая осушка. Поэтому уменьшение температуры Txo допустимо лишь до определенного предела.

Из расчетов, представленных на рис. 1, II, следует, что плотность газа ведет себя немонотонно на начальном участке трассы. Такой эффект возникает в результате интенсивного теплообмена с окружающей средой при большой разности температур (T* — T(z)) на начальном участке. Эффект тем заметнее, чем больше температура Txo входа. Тем не менее, несмотря на относительно большее уменьшение скорости потока при более высоких температурах Txo, суммарное падение давления меньше при более низких температурах Txo. Например, при Txo = 323.15 K (pxo — p(z = 75 км)) = 6.94 атм, тогда как при Txo = 303.15 K (p xo — p(z = 75 км)) = 6.58 атм. Представленный анализ показывает, что на начальном участке трассы целесообразно стремиться к максимально возможному увеличению теплообмена между газом и окружающей средой. Этого можно добиться, например, за счет выбора материала обшивок с большими коэффициентами теплопроводности.

Заключение. На основе проведенного исследования закономерностей поведения давления, скорости и температуры смеси газов, транспортируемой по морскому газопроводу при сверхвысоких давлениях, предложена методика расчета величины критического давления на входе в газопровод и рассмотрена зависимость критиче-

ского давления от температуры. Расчеты по предложенной математической модели позволили выявить особенности поведения плотности и скорости газа на начальном участке газопровода и предложить пути повышения эффективности работы морского газопровода в северных морях.

Литература

1. Курбатова Г. И., Попова Е. А., Филиппов Б. В. и др. Модели морских газопроводов. СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т, 2005. 156 с.

2. Ермолаева Н. Н., Курбатова Г. И. Квазиодномерная нестационарная модель процессов в морских газопроводах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. Вып. 3. С. 55—66.

3. Ермолаева Н. Н., Курбатова Г. И. Анализ подходов к моделированию термодинамических процессов в газах при высоких давлениях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. Вып. 1. С. 35—45.

4. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей / пер. с англ.; под ред. Б. И. Соколова. 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Химия, Ленингр. отд., 1982. 592 с.

Для цитирования: Ермолаева Н. Н. Исследование влияния параметров транспортировки газа на характеристики потока // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2016. Вып. 3. С. 53—61. DOI: 10.21638/11701/ spbu10.2016.305

References

1. Kurbatova G. I., Popova E. A., Filippov B. V. et al. Modeli morskich gasoprovodov [Models of sea gas-pipelines]. Saint Petersburg, Saint Petersburg State University Publ., 2005, 156 p.

2. Ermolaeva N. N., Kurbatova G. I. Qwasiodnomernaja nestacionarnaja model processov v morskih gasoprovodah [Quasione-dimensional non-stationary model of processes in a sea gas-pipeline]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2015, issue 3, pp. 55—66.

3. Ermolaeva N. N., Kurbatova G. I. Analiz podhodov k modelirovaniju termodinamicheskih proces-sov v gasah pri visokih davlenijah [The analysis of the approaches to the modeling of thermodynamic processes in gas flow at hyperpressure]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2013, issue 1, pp. 35—45.

4. Reid R. C., Prausnitz J. M., Sherwood Th. K. The properties of gases and liquids. New York, Saint Louis, San Francisco, MeGraw — Hill Book Company Publ., 1977, 592 p.

For citation: Ermolaeva N. N. Investigation of the influence of gas transmission parameters on flow characteristics. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2016, issue 3, pp. 53-61. DOI: 10.21638/11701/spbu10.2016.305

Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым. Статья поступила в редакцию 17 апреля 2016 г. Статья принята к печати 26 мая 2016 г.