Оптимальное изменение вектора скорости при движении в однородном поле тяготения

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VI

197 5

№ 1

УДК 629.191

ОПТИМАЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ПРИ ДВИЖЕНИИ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

Брауде А. 3., Кузмак Г. Е.

Рассмотрена задача об оптимальном по расходу топлива изменении вектора скорости летательного аппарата. Основное внимание уделено оптимальному выбору продолжительности перелета. Получена универсальная зависимость между оптимальной продолжительностью перелета и взаимным расположением вектора гравитационного ускорения и разности векторов скорости в начале и в конце перелета. Рассматриваются случаи ограничений величины тяговоору-женности и величины реактивной тяги. Для последнего случая исследовано влияние, тяговооруженности и удельного расхода топлива на границы области существования решения.

Задача об оптимальном по характеристической скорости изменении вектора скорости при полете в пустоте рассматривалась

в целом ряде работ, и ее часть, состоящая в определении оптималь-

ных законов управления, решена исчерпывающим образом. Эта задача относится к типу задач, в которых существует „прямая управления которая сохраняет неизменную ориентацию в пространстве и по которой направлен вектор управляющего ускорения [1, 2]. Ориентация прямой управления определяется вектором конечного

промаха по скорости Дг»

При движении в однородном плоскопараллельном поле тяготения выражение для вектора ъ0(Т) имеет вид

Щ{Т) = ЩаЛ-ёТ,

где ^00 — начальное значение вектора скорости, £ —вектор гравитационного ускорения.

В работах [1, 2] было показано, что при оптимальном управлении, доставляющем минимум характеристической скорости, в однородных полях тяготения активный участок один, величина тяги или тяговооруженности принимает на нем свое максимальное граничное значение, и расположен он в конце траектории. Исключением является случай движения в однородном плоскопараллельном поле

тяготения. В этом случае положение активного участка не определено в силу того, что все точки на интервале [О, Т\ равнозначны в смысле величины функционала.

Для определения момента включения двигателя taKn получено^ уравнение

г

/ ЦТ, ?) #тах

*вкл

где L (Т, £)—- функция влияния, выражение для которой указано в работах [1, 2].

Для случая однородного плоскопараллельного поля тяготения, которому далее будет уделено основное внимание,

L(T, ?)= 1. (0.4>

Через атах(?) в равенстве (0.3) обозначено максимальное значение управляющего ускорения при каждом значении ?. Это равенство можно рассматривать как условие для определения момента окончания работы двигателя после того, как будет достигнуто нужное значение Дг>(7').

* Рассмотрим задачу об изменении вектора скорости для случая,

когда продолжительность (время окончания) перелета Т свободна

и целесообразна постановка вопроса об оптимальном .выборе этой величины с точки зрения минимума характеристической скорости. Решение этой задачи составляет основное содержание настоящей работы.

§ 1. ВЫБОР ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕЛЕТА В СЛУЧАЕ ПОСТОЯННОЙ ТЯГОВООРУЖЕННОСТИ

В случае аШах (?) = const для определения длительности активного участка Дta = T — tBKll в соответствии с равенствами (0.3), (0.4) получим формулу

Aw

А/а=

Очевидно, что Ма должно быть меньше, чем Т. Основываясь на этом, условие существования решения можно записать в виде

—рТ) < Т. (1.2>

#тах

Это неравенство позволяет сформулировать некоторые требования к величине продолжительности перелета Т.

Пусть значение вектора скорости в конце перелета и, не зависит от Т. Используя формулы (0.1) и (0.2), получим

^ ^v(T) = \vi~v00-^T\ = Vьvl-2(AvQg)T + g*Ti, (1.3>

где Дг>0— разность между векторами скорости в конце ив начале перелета

Д^о^! — г>о0. (1.4}

а Д^о — модуль этого вектора.

Определим интервал значений Т, в котором возможен перелет. Введем безразмерные переменные. Будем относить скорости к Дх>0, ускорения —к gt а время — к интервалу времени, равному Дг^/^.. Обозначая безразмерные переменные черточками сверху, получим

Дг»(Г) = Т' 1-гТсовф + Т2. (1.5>

Через ф здесь обозначен угол между векторами Дг;0 и можно считать, что 0<ф<;тс.

Согласно (1.2), (1.5), для определения интервала допустимых значений Т получим неравенство

_ (а2 — 1)Г2+2Тсозф— 1 >0, (1.6>

ГДе а == Йтах/й-. _

Отсюда_видно, что при а оо это неравенство выполняется при любом Т. Если а> 1, то при каждом ф решение задачи существует при условии

_ Т>Тт1а{Ь), (1.7>

где Ттт определяется по формуле

Гш1п=-со8*+У«а-»1п’* >0. (1.8>

а3 — 1

Если а= 1, то решение задачи существует лишь для '}*<тс/2, а

Ттт = 1/2созф. (1.9>

Если а< 1, решение существует при

Б1пф<а, (1.10>

поскольку управляющее ускорение при не может пре-

одолеть действия гравитационного ускорения.

При этом существует максимальная и минимальная продолжительность перелета Т:

7р ____ сое Ф —1/" а2 — БШ2 ф

* тш----------: =-------

1 —02_________

___ совф+Т/д2— в1п2 ф

* шах — ; =-------

1 — а?

Таким образом, если ф<7г/2, то

-^Т’тах',

предельная величина Гшах появляется в силу того, что при больших Т и малых а значение Аг», определяемое свободным движением {1.3), превышает значение характеристической скорости аТ, и выполнение граничных условий невозможно. Зависимости Т т т И Тт ах > подсчитанные согласно (1.9), (1.11) от ф и а, представлены на фиг. 2.

Перейдем к решению вопроса об оптимальном выборе величины продолжительности перелета. Выражение для Д7а с помощью формул (1.1) и (1.5) можно записать в виде

А = 1 — 2Гсозф + Т*.

а

Величина должна быть выбрана так, чтобы длина актив-

ного участка Д£а была минимальной.

Рассмотрим сначала эту задачу для случая, когда а> 1, а угол •ф — тупой. В этом случае гравитационное ускорение действует противоположно нужному изменению вектора скорости, а правая часть равенства (1.13) является монотонно возрастающей функцией Т. Из этого следует, что Д^а тем меньше, чем меньше Т. Значит, согласно (1.6), (1.7), Т0^ — Тт\п. Кроме того, из условия ТШт^>А^аи равенства (1.1) получим, что

А\=Тшщ.

Таким образом, в рассматриваемом случае оптимальная траектория не содержит пассивного участка. Вычислим с учетом (1.1),

(1.4) отношение размерной продолжительности перелета Д£а к До/^тах- __________

А^а — СОЭф + 'К о? 81П2 ф

&Щ1атах Ф — 1

Отметим два предельных случая. Если а -> 1 + 0, то из полученной формулы видно, что в этом случае °°-

Если же а -* оо, то в этом случае

Н”..АА- = 1

А^о/йшах

Фиг. 3

Формула (1.16), очевидно, соответствует решению задачи в импульсной постановке. Результаты расчетов величины с помощью формулы (1.15) в зависимости от величины а для различных значений угла ф представлены на фиг. 3. Из графиков, представленных на этой фигуре, а также из формулы (1.15) следует, что при 90°<ф<180° предельное значение (1.16) практически достигается при а= 10. При увеличении угла ф продолжительность активного участка увеличивается, поскольку при этом гравитационное ускорение все более препятствует нужному изменению вектора скорости.

Перейдем далее к исследованию, когда

фО/2.

Теперь гравитационное ускорение способствует изменению вектора скорости в нужную сторону. При ф<гс/2 правая часть уравнения (1.13) не является монотонно возрастающей функцией Т, а имеет при некотором Т = 7^ минимальное значение. Обозначим через д7(аор1) соответствующее этому значению Т минимальное значение Д^а-

Если ___ _

Ai[°pt)<Topt

и если при этом выполняется неравенство [см. (1.12) или (1.7)]

T'min < Г01д < Гшах при а<1, |

Tmin<Topt при а> 1, J '

то это значение Т, очевидно, является искомым оптимальным значением продолжительности перелета. В этом случае оптимальное решение задачи содержит пассивный участок, на котором изменение вектора скорости в нужную сторону происходит под воздействием силы тяжести.

Из уравнения (1.13) для 70pt и Д^,ор1) получаются следующие формулы

T’opt = COS<(>; ДС‘ = S'-^ .

Из (1.13) следует, что неравенство (1.18) выполняется, если

tg*<a.

Таким образом, решение рассматриваемой задачи содержит пассивный участок при малых значениях угла ф и больших значениях а.

Если вычислить отношение размерной продолжительности

активного участка к bv0/amtx, то получим следующий результат:

Д/°Р‘

-г—^---= sin

д1>о/«тах Т v

На фиг. 3 случай перелета с пассивными участками соответствует горизонтальным прямым линиям, построенным по уравнению (1.21). _

Если а> 1, то из неравенства

sin < я.

Однако это условие непременно выполняется, если выполняется условие (1.20). Кроме того, должны выполняться неравенства (1.19). С учетом равенств (1.11) их можно записать в виде

cos ф— у а2 — sin2^ ^ , ^сосф + Уя* — в1пгф

----1-------------1— < COS Ф < ----———=---------- .

1 — а2 г 1 — а2

Правое из этих неравенств очевидно, левое же неравенство следует из неравенства (1.20). На фиг. 2 зависимость Тор1(Ф) нанесена пунктиром.

Если условие (1.20) не выполняется, то осуществляется перелет без пассивного участка. В этом случае &ia = Tm\n определяется по формуле (1.8) или (1.14). Результаты расчетов по этой формуле для Ф<тс/2 также представлены на фиг. 2.

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕЛЕТА В СЛУЧАЕ ПОСТОЯННОЙ ТЯГИ

Рассмотрим уравнение изменения веса летательного аппарата

G = G0 —y t',

здесь G0 — начальный вес летательного аппарата, Р= const — тяга двигателя, У = const — удельный импульс двигателя.

Тогда ускорение от силы тяги — тяговооруженность — определяется, согласно (2.1), по формуле

a

1~Т*

где а0 = P/G0 — тяговооруженность в начальный момент времени.

В этом случае для определения длительности активного участка получим согласно (0.3), (2.2) уравнение

— 7ln |l — -J аЦ = Аю{Т).

Здесь J, Ata и Т отнесены к Av0jg, а модуль вектора конечного промаха по скорости Av (Т) вычисляется по формуле (1.5).

Левая часть равенства (2.3) определяет то значение Av, которое может быть выбрано на активном участке. В силу того, что запас топлива ограничен

G — — Ад/

ит— г, — j ulamax>

существует максимальное значение вектора конечного промаха, которое определяется по формуле

Д'Ип

_ ( — У In (1 — От), если Диашах < Т\ J In f 1------------у-7’), если Диашах >7',

где Т — продолжительность перелета.

Для определения оптимальной продолжительности перелета разрешим уравнение (2.3) относительно Ati:

А‘-=Ц'~е~ ' ) <2-4>

Из (2.4) видно, что ИтД4 = ~г-> т. е. в пределе полу-

«о

чаем случай постоянной тяговооруженности.

Согласно

А V

с1Мл 1 йДг» —7— с1Т -

Так же как и в случае постоянной тяговооруженности, характер зависимости Д^а (Т) зависит от величины угла ф. При 2

продолжительность перелета Т следует выбирать минимальновозможной, Т = А При Ф< 1г/2 существует оптимальное по расходу топлива значение продолжительности перелета. .

,, йД1> А

Из условия существования оптимума — с Учетом

(1.5), так же как и в случае постоянной тяговооруженности, получим Тор^соэф. Тогда

I I _81П_ф\

А^аоР1 — ~ в 3

ИЗ УСЛОВИЯ Д^аор1<7’ор1 ПОЛуЧавМ

sin ф

1 — е J

<•0^ ----ГУ1 — & I-

и ^ COS Ф \ '

При J —* оо это неравенство переходит в неравенство (1.23) для случая постоянной тяговооруженности. Из (2.5) видно, что при

заданной начальной тяговооруженности а0 и заданном удельном импульсе топлива J существует граничное значение для углов ф, при которых имеется оптимум. Уравнение (2.3) можно решить графически, если построить левую и правую его части в зависимости от времени. Схема решения приведена на фиг. 4. На этой

фигуре нанесена кривая Дг^Г), соответствующая t = <|w. При этом значении угла Ф топливо расходуется полностью и

Д^а — Т — A ta шах = —— GT.

“о

Значение фшах из уравнения (2.3) равно

1+

COS фшах == г •

2 —GT

До т

Зависимости фтах от GT, J и а0, а также зависимость запаса топлива GT(J, a0), при котором возможен перелет при любом значении угла ф, т. е. при фтах==7С, представлены на фиг. 5.

§ 3. ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЙ ПРИМЕР

Рассмотрим задачу об изменении вектора скорости для случая,

когда векторы Av0 и g ортогональны (ф = 90°).

Рассмотрим вначале случай постоянной тяговооруженности.

Согласно сказанному в § 2, при ф = 90° модуль вектора Av0 монотонно возрастает с увеличением Т и минимальное значение расхода топлива достигается при Т — Ata — Tmin. В этом случае пассивного участка нет. На основании

Д/а — Т= .

а у af—i

Отсюда видно, что перелет возможен лишь при а> 1.

Как было сказано, в задаче изменения вектора скорости вектор управляющего ускорения параллелен вектору конечного промаха по скорости

a\bto{T).

В данной задаче, где вектор Av0 горизонтален, составляющие управляющего ускорения определяются по формулам: горизонтальная —

°г “ Av(T) ’

вертикальная —

gT

aB — a Av{T)

или при использовании введенных ранее безразмерных переменных, — а — а Т

. ‘ Д у

где согласно (1.5) Av (Т)=У\Л- Т2.

С учетом (3.1) вычисляем значения составляющих управляющего ускорения

аГ = |/а2 — 1, ав = 1.

5—Ученые записки ЦАГИ № 1 65

Таким образом, если начальный вектор скорости и вектор Дг»0 лежат в горизонтальной плоскости, то траектория перелета является плоской и лежит в горизонтальной плоскости.

В случае постоянной тяги также осуществляется перелет без пассивного участка. При этом продолжительность активного участка определяется из уравнения ,

У 1п^1 —у Д*а) = У1 +

В этом случае перелет не будет плоским, даже если х>0 и Ъг лежат в горизонтальной плоскости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузмак Г. Е. О некоторых свойствах оптимального управ-

ления пространственным движением материальной точки в однородном центральном поле, тяготрявя. *Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 5, 1970. х.

2. Кузмак Г. Е,, Брауде А. 3. Приближенное исследова-

ние оптимального управления движением материальной точки в тонком сферическом слое центрального поля тяготения. „Космические исследования' № 2, 1971.' •

к С -Л'йК Ь '

1 -

' : -

Рукопись поступила 291X11 1973 г.

У '

.

: : .

/ ’ ' Я.:'} ' .

' . .

-я:.4->а ;• • • . '

• .. . . .. .; - -• .

* '

.. ' .'Л г;‘Л