Применение DNS и les методов моделирования турбулентных потоков для численного исследования диффузионного пламени

УДК 536.464

ПРИМЕНЕНИЕ DNS И LES МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФУЗИОННОГО ПЛАМЕНИ

ШУМИХИН А. А., КОРОЛЕВА М. Р., ДАДИКИНА С. Ю.

Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

АННОТАЦИЯ. В работе описаны численные исследования дозвукового нестационарного турбулентного течения реагирующего газа. Моделировалось метано-воздушное диффузионное пламя. Для моделирования течения химически реагирующего газа использовались три различных подхода. Сравнение полученных результатов проводилось по величине тензора скоростей деформаций, распределению кинетической и турбулентной скоростям реакции.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: турбулентное горение, прямое численное моделирование, метод крупных вихрей, модель диссипации вихрей.

ВВЕДЕНИЕ

Исследование турбулентных реагирующих потоков на сегодняшний день является одним из приоритетных направлений развития механики жидкости и газа, в связи с его большой практической значимостью. Для теоретического решения данной задачи требуется привлечение современных численных методов позволяющих точно рассчитывать параметры турбулентного пламени. Применение таких методов обусловлено необходимостью учёта тесного взаимовлияния различных физико-химических процессов, а именно, высокой степенью взаимозависимости кинетических параметров химических реакций и пульсационных характеристик, связанных с вихревыми структурами. В настоящей работе, исследование реагирующих потоков осуществлялось с использованием методов прямого численного моделирования (Direct Numeric Simulation, DNS) [1 — 4] и метода крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) [5, 6]. В настоящее время эти методы являются наиболее перспективными математическими инструментами исследования турбулентных течений. Для моделирования пламени использовались вычислительные алгоритмы четвёртого и второго порядка точности.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для численного исследования течений реагирующего газа использовалась система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями энергии и массовых концентраций горючего и окислителя:

эе , , dFy dFz_ dPx ЭРУ

- +

Эt Эх

+

-+

где вектора

Q =

Эу Э1 Эх Эу

Э2 Эх Эу

ЭЬ„ „ „ + Sc + G,

p ï (pu Л (pv Л 'pw л

pu 2 pu puv puw

pv pvu pv2 pvw

pw , Fx = pwu , Fy = pwv , F = 2 pw

pe puh pvh pwh

Pcf pucf pvcf pwcf

V PCo ypuCo ,pvco ypwco y

ь, =

Т + Т + Т + Чх

Р

Ух,/

V Ух,о

Г о ^ Г о 1

Р о

о р

о , Ру = о

о о

о о

Vо V о ,

Ьу =

Ух

Т

уг

иТУх + VТуу + ^Туг + Чу

У

У, /

V

УО

ь. =

р

Г о ^ о

о р

о

V 0 J

Г о ^ о о о

Чс

-со

-П(0

Тгг

иТх + + + Чг

У.

О-

J

г, /

Уг,о

о о о

(Р-Ра )8 г

о 0 0

В системе уравнений (1): Q - вектор переменных; Гх, ¥у, - вектора потоков

конвективных членов; Ьх, Ьу, Ьг - вектора потоков диффузионных членов;

Рх, Ру, Рг - вектора включающие давление; £с - вектор источниковых членов, связанных с

химическими реакциями; О - вектор, учитывающий влияние гравитационных сил, х, у, г - пространственные координаты и, V, w - компоненты вектора скорости, I - время,

р - давление, р - плотность, е - энергия, к - энтальпия, cf - массовая концентрация горючего, со - массовая концентрация окислителя, Чс = Аксо - источниковый член, связанный с массовой скоростью химической реакции, Ак - теплота реакции, со - массовая скорость химической реакции, Т - тензор напряжений, ч - тепловой поток,

п - стехиометрический коэффициент. Энергия и энтальпия потока определялись с учетом

р

уравнения состояния по формулам е = к--, к =

р

2,2, 2 и + V + w

+ СТ, р = рЯТ.

2 р

Компоненты тензора напряжений, теплового потока, а также величины У вычислялись:

Тхх =т

( ди 2 Г ди дv ^ ^

2---

дх 3

+ — + дх ду дг

Тху =Тух =т

ух

JJ

Т

уу

т

( дv 2 Г ди дv дw ^

2---

ду 3

+ — + дх ду дг

JJ

г ди дv ^

— + —

ду дх

Г ди + дw V дг дху

Т

Чх

т

( дw 2 Г ди дv дw

2---

дг 3

У

х, /

У

т дк Рг дх' = т дсг 8с дх

8с дх

+ — +

дх ду дг Чу'

(

Т,

т

JJ

дv дw

— + —

дг ду

Л

У

у, /

У

т дк Рг ду ' = т дсг 8с ду

8с ду

Чг

У

г, /

У

т дк Рг дг ' = т дсг 8с дг

тдсо.

8с дг

Здесь Ср - удельная теплоемкость газа, Т - температура, /I - динамическая вязкость, Рг - число Прандтля, 8с - число Шмидта, Я - удельная газовая постоянная.

о

о

о

т

т

т

о

т

МОДЕЛЬ ГОРЕНИЯ

В настоящее время, для численных исследований протекания химических реакций в турбулентных реагирующих потоках, одной из используемых моделей, является модель Сполдинга (Eddy-Break-Up, EBU) предложенная в работе [7]. В данной работе использована модифицированная EBU модель горения, основанная на совместном использовании EBU и кинетической модели. Кинетическая скорость реакции определяется следующей формулой

= AKp2c fcox exp

где AK - коэффициент, E - энергия активации, Run - универсальная газовая постоянная. Для метано-воздушной смеси AK = 1,0 1010 м/кг• с и E = 1,53 105 Дж/моль [10].

Скорость турбулентного горения вычисляется [8-9, 11]

c f

W = AEBUР s min\cf,.

Для учета зависимости скорости реакции wt от температуры потока формула (3) была модифицирована следующим образом:

W = AebuBebuГ S|min \cf, П,

где BEBU - зависящий от температуры коэффициент [12]

Bebu = 6,386 103 exp

Скорость реакции окончательно определялась с использованием выражения аналогичного формуле Щёлкина [13]

4

w =* Iw In + w 2

DNS АЛГОРИТМ 4-ГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ

Пространственная дискретизация системы уравнений (1) проводилась с использованием класса конечно-разностных схем повышенного порядка точности, построение и апробация которых подробно описаны в работах [2, 3]. Для численного моделирования турбулентных реагирующих потоков с протекающими в них химическими реакциями применялась разностная схема четвертого порядка точности по пространству на неравномерной сетке.

Для интегрирования уравнений (1) по времени использовалась схема Рунге-Кутта 3-го порядка, содержащая два промежуточных и один основной шаг:

Q

^ ^ ^ 4 4 4 3 3 3 W

где пространственный оператор R в каждой ячейке (i, j, k) определяется согласно аппроксимационным выражениям для пространственных производных

R=-AX"

Величины f представляют собой сумму векторов потоков, соответствующих направлению дифференцирования в уравнениях

(л Цк=(рх и ,к+(р Ц ,к -(4 \± 1 ,к,

Н±- ]к

2

1±- ]к

2

х Н±- ]к' 2

к I ±1 к - (рУ 1± 1 к + (Ру)] ±1 к - (Ьу I ±1

2 2 2

у ±- к' 2

л) „к ± 1 -(рг) „к ± 1 + (Р ) к ± 1-(Ь ) к ± 1.

!ук ±-

„к ±-

г 7 „к ±-

2

Значения векторов на гранях ячеек рассчитывались по формулам, которые в

совокупности с выражением (7) обеспечивают пространственную дискретизацию четвертого

порядка точности. Для величин, определяющих конвективные слагаемые К, граничные

потоки определялись по формуле

7 1

(ри )г+1 „к-12 ((ри ^ „к+(г )„к)-12 ((г )+2„к+(г )-1 „к) •

Для получения заданного порядка точности при вычислении вторых однонаправленных и смешанных производных, входящих в диффузионные слагаемые Ь системы (1) применялись формулы, подробно исследованные в работе [3]. Так, например, для вычисления вторых производных от скорости и расчет граничных значений скорости проводился по формулам

15

и /

и.,,,0 ., -—(и.,,., - и 12^

*¿+1/2]к

( ^2, Л

Э2 и ЭхЭу

У ¿+1/2„к

¿+1 ]к 12

]к

)-12 (

и +2 ]к - и -1 ]к

) •

с эиЛ

V Эу А+1 ]к

+

с эиЛ

V ЭУ у ¿„к

1 12

с Эм ^

V Эу У Г +2 „к

+

с ЭиЛ

V Эу У-1 ;к.

где

Ау?

С Эи >

Эу

8

- 12 (и„+1к и „к

)-12 (

и„+2к и„-1к

„к

Аналогичным образом можно записать формулы для расчета параметров на других гранях ячеек расчетной сетки. После выполнения первого шага схемы (6) компоненты вектора б(1) определяли новые вектора К, Р, Ь, которые использовались для нахождения пространственного оператора Затем выполнялся второй шаг схемы Рунге-Кутта, и находился вектор б(2), а далее и оператор ^2). На последнем шаге в схему (6) вносились слагаемые искусственной вязкости, необходимые для устранения нефизических осцилляций численного решения

д"+1 -1 дп + 2 д(2)+ 2 А р(2)+ д

3

где

Б-

а

Ах,

б к, - б 1

Н— ]к

V 2

i— ]к 2 У

а,

3

с

3

+-

Ау

б к - б 1

„+-к ] V 2

„—к 2 У

+ -

а

Аг,,

б, 1 - б, 1

„к+-V 2

¿]к— 2 У

с величинами в полуцелых точках определяемых согласно формуле

б 1, =-з(а +1 ]к - б„к ^^+2 „к - б-1 „к ),

¿+- ]к

2

а также а - тах

ЭР

/Эе

ау — тах

ЭК,

ХЭб

а — тах

ЭК

хЭб

В результате, величина искусственной вязкости рассчитывалась с четвертым порядком точности по пространству, также как другие пространственные производные.

LES И DNS АЛГОРИТМЫ 2-ГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ

Численное решение системы уравнений сохранения (1), в алгоритме 2-го порядка точности, основанного на методе крупных вихрей, выполнялось с использованием метода конечных объемов. Дискретизация конвективных членов уравнений сохранения импульсов по пространству, проводилась с применением противопоточной разностной схемы QUICK. Для дискретизации диффузионных членов и члена включающего давление, использовалась центрально-разностная схема второго порядка точности. Диффузионные члены уравнения энергии и уравнений для концентраций, по пространству также дискретизировались с использованием центрально-разностной схемы второго порядка точности. В уравнении энергии и уравнениях для концентраций присутствуют источниковые члены, связанные с протеканием химических реакций. Поэтому появляется необходимость предъявить повышенные требования к монотонности и устойчивости схемы, применяемой для дискретизации конвективных членов этих уравнений. Дискретизация данных членов проводилась с использованием схемы SHARP, т.к. SHARP более устойчива и монотонна по сравнению со схемой QUICK. По времени уравнения сохранения импульсов дискретизировались с применением гибридной явно-неявной схемы второго порядка точности. Конвективные члены вычислялись по явной схеме Адамса-Бэшфорта, а диффузионные неявно, по схеме Адамса-Мултона. Описание данного алгоритма приводится в работе [12]. Описание применения метода LES для моделирования турбулентности

приводиться в работах [12, 14].

Эта же методика второго порядка точности использовалась для реализации алгоритма использующего DNS. Отличие двух алгоритмов заключалось в том, что в алгоритме, реализующем прямое численное моделирование, вихревая вязкость и изотропная часть тензора подсеточных напряжений не учитывались. Это достигалось тем, что значения параметра Смагоринского принималось равным 0. Таким образом, вихревая вязкость и изотропная часть тензора подсеточных напряжений в уравнениях сохранения также принимают нулевое значение. Это позволяет построить вычислительный алгоритм для исследования диффузионного пламени без привлечения модели турбулентности, то есть провести прямое численное моделирование.

ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

На рис. 1 приведена схема расчётной области и её геометрические размеры. Схема области, её размеры, разностная сетка, граничные и начальные условия были одинаковыми во всех трёх численных экспериментах.

На входной границе использовались следующие граничные условия. Значение продольной компоненты вектора скорости для втекающего потока горючего при z = 0 : w(х, у) = uf, х î Sf, y î Sf. Значения поперечных компонент вектора скорости на

входе принимались при z = 0: u(х, у) = v(х, у) = 0. Концентрация горючего во входном сечении при z = 0: cf (х, у) = cf 0, х î Sf, у î Sf . Температура смеси и давление во входном сечении принимались z = 0 : Т(х,у) = T0, z = 0 : p(х, у) = p0.

На верхней границе области, определяемой как выходная граница, было использовано

î ЭФ ^

граничное условие нулевого нормального градиента: z = h : -= 0, где Ф - искомая

Эп

функция (здесь все рассчитываемые переменные).

На боковых границах выставлялось граничное условие нулевого нормального

ЭФ

градиента: х = 0, х = a^, y = 0, y = ax : -= 0, где Ф - искомая функция (здесь все

Эп

рассчитываемые переменные, кроме концентрации окислителя сох). Для концентрации окислителя на боковых границах использовалось условие

х = ° х = ^ y = 0, y = ai : ^ = Соха .

Начальные распределения параметров, при t = 0, принимались: u(х,y,z) = v(х,y,z) = w(х,y,z) = 0; p(х,y,z) = p{); T(х,y,z) = T{); cf(х,y,z) = 0; c,x(х,y,z) = CoXa.

а) б)

Рис. 1. Схемы расчетной области

РЕЗУЛЬТАТЫ

Моделирование производилось при следующих параметрах потока. Скорость горючего составляла иг= 30 м/с . Температура задавалась Т0 = 294 К, давление р0 = 101320 Па,

массовые концентрации горючего (метан) и окислителя (кислород, содержащийся в воздухе), соответственно cf0 = 0,156 и соха = 0,21. При моделировании пламени в данных условиях

реализуется диффузионное горение. Размеры расчетной области принимались равными а1 = 1,0 м, а2 = 1,0 м . Размеры горелки af = 6,4 мм . Расчеты проводились с использованием

разностной сетки 100х100х200 узлов. Исходные данные для прямого численного моделирования и моделирования с использованием метода крупных вихрей были одинаковыми.

Полученные различными методами распределения величины тензора скоростей деформаций, кинетической и турбулентной массовой скоростей реакций, для момента времени I = 2,9 с представлены на рис. 2 - 3. Исследование рассматриваемых параметров горящей смеси проводился в плоскости х0 г проходящей по центру горелки.

Распределения турбулентной и кинетической массовых скоростей реакции, представлены на рис. 2. По массовым скоростям реакции можно определить реакционные зоны и нереагирующие участки расчетной области. Для всех используемых алгоритмов расчета характерно наличие стабилизированного участка пламени в области вытекания метано-воздушной смеси из горелки. По мере удаления от горелки зона реакции расширяется, и под действием пульсаций потока искривляется.

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 x, м \ -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 x, м

Рис. 2. Распределение кинетической (слева) и турбулентной (справа) массовой скорости реакции в плоскости x0z : (а) - DNS 4-го порядка, (б) - DNS 2-го порядка, (в) - LES 2-го порядка

На рис. 3, для трёх поперечных сечений приведены распределения величины тензора скоростей деформаций нормированного к максимальной величине тензора в сечении. Из графиков можно заключить, что средние значения величины тензора близки для всех трёх алгоритмов. Однако распределение, полученное с использованием алгоритма 4-го порядка, носит более пульсационный характер, чем распределения, полученные с использованием алгоритмов 2-го порядка.

\S\Z\S\max 1

0.75 0.5 0.25

-0.06 -0.03 0 0.03 0.06 х, м

^И^шах 1 "

0.75 0.5 0.25

-0.06 -0.03 0 0.03 0.06 х, м

Рис. 3. Распределение величины тензора скоростей деформаций в поперечных сечениях: сплошная линяя - DNS 4-го порядка, пунктир - DNS 2-го порядка, точки - LES 2-го порядка

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для моделирования дозвуковых турбулентных течений вязкого реагирующего газа реализованы три алгоритма, один 4-го порядка точности и два 2-го порядка. Проведены численные исследования турбулентного диффузионного пламени с использованием разработанных алгоритмов. Результаты расчетов параметров потока, полученные с использованием всех трех представленных подходов, дают примерно одинаковые осредненные результаты. Однако, распределение параметров турбулентного потока, полученных с использованием алгоритма 4-го порядка, носит более выраженный пульсационный характер, что объясняется большим порядком точности и меньшей величиной схемной вязкости данного алгоритма.

z=0.1 м

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wu X., Moin P., Adrian R. J., Baltzer J. R. Osborne Reynolds pipe flow: Direct simulation from laminar through gradual transition to fully developed turbulence // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2015, vol. 112(26), pp. 7920-7924.

2. Липанов А. М., Кисаров Ю. Ф., Ключников И. Г. Численное моделирование вязких дозвуковых

потоков при числе Рейнольдса 104 // Математическое моделирование. 1997. Т. 9, № 3. С. 3-12.

3. Липанов А. М., Кисаров Ю. Ф., Ключников И. Г. Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. 161 с.

4. Кисарова С. Ю., Королева М. Р., Габдуллин Р. Г. Прямое численное моделирование турбулентных течений и горения с использованием разностных схем высокого порядка точности // Химическая физика и мезоскопия. 2007. Т. 9, № 4. С. 362-369.

5. Ferziger J. H. Large eddy simulation // In book: Th. B. Gatski, M. Y. Hussaini, and J. L. Lumley, editors Simulation and Modelling of Turbulent Flows, ICASE/LaRC Series in Computational Science and Engineering, Oxford University Press. 1996. P. 109-154. URL: http://ua.b-ok.org/ireader/554483 (дата обращения 15 февраля 2018).

6. Коромыслов Е. В., Усанин М. В., Гомзиков Л. Ю., Синер А. А. Использование схем типа DRP высокого порядка аппроксимации и метода крупных вихрей с релаксационной фильтрацией для расчёта турбулентных течений газа на примере распада вихря Тейлора-Грина // Вычислительная механика сплошных сред. 2015. Т. 8, № 1. С. 24-34.

7. Spalding D. B. Mixing and chemical reaction in steady confined turbulent flames // Symposium (International) on Combustion, 1971, vol. 13, iss. 1, pp. 649-657.

8. Magnussen B. F., Hjertager B. H. On Mathematical Modelling of Turbulent Combustion with Special Emphasis on Soot Formation and Combustion // Symposium (International) on Combustion, 1977, vol. 16, no. 1, pp. 719-729.

9. Versteeg H. K., Malalasekera W. An introduction to Computational Fluid Dynamics. The Finite Volume Method. Longman Scientific & Technical, UK, 1995. 257 p.

10. Westbrook C. K., Dryer F. L. Simplified reaction mechanisms for the oxidation of hydrocarbon fuels in flames // Combustion Science and Technology, 1981, vol. 27, pp. 31-43.

11. Zhou L. X., Hu L. Y., Wang F. Large-eddy simulation of turbulent combustion using different combustion models // Fuel, 2008, vol. 87, no. 13-14, pp. 3123-3131.

12. Шумихин А. А., Карпов А. И. Численное моделирование турбулентного диффузионного пламени на основе метода крупных вихрей // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т. 5, № 2. С. 199-207.

13. Щёлкин К. И. Теория горения и детонации // Механика в СССР за 50 лет. М., 1970. Т. 2. С. 344-422.

14. Шумихин А. А., Королева М. Р., Дадикина С. В., Карпов А. И. Использование схемы WENO для моделирования турбулентного течения в канале с обратным уступом // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. № 3. С. 460-469.

USE DNS AND LES TURBULENCE MODELING FOR NUMERICAL ANALYSIS OF DIFFUSION FLAME

Shumikhin A. A., Koroleva M. R., Dadikina S. Yu.

Udmurt Federal Research Center, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia

SUMMARY. The numerical studies of the subsonic unsteady turbulent flow of a compressible reacting gas are described. The methane-air diffusion flame was modeled at the Reynolds number Re=13500. The three different approaches were used to modeling the flow of a reactive gas. The first approach is based on the direct numerical simulation using the high-precision approximations of spatial and temporal derivatives. Within the framework of this approach, the calculations were carried out using the scheme of the 4th order accuracy in space and the 3rd order accuracy in time without using the turbulence models. The second approach using the direct numerical simulation method based on the finite-volume discrimination of the 2nd order accuracy. In the third approach, the large vortex method was used to simulate the flow of a diffusion flame. The vortex dissipation model was used to modeling chemical reactions occurring in the flow, in all algorithms. The set of governing equations describing the mathematical models of the reacting gas flow in the all three approaches, as well as a general description of the schemes of computational algorithms, are presented. The simulation results of turbulent flame obtaining by three approaches were compared with each other. The comparison was conducted on the temperature field of the flow, the magnitude of the tensor of deformation velocities, the distribution of kinetic and turbulent reaction velocities. The differences in the character of the obtained results for the magnitude of the tensor of deformation velocities and mass rates of the reactions for the investigating approaches have been showed.

KEYWORDS: turbulent combustion, direct numerical simulation, large eddy simulation, eddy dissipation model.

REFERENCES

1. Wu X., Moin P., Adrian R. J., Baltzer J. R. Osborne Reynolds pipe flow: Direct simulation from laminar through gradual transition to fully developed turbulence. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2015, vol. 112(26), pp. 7920-7924. https://doi.org/10.1073/pnas.1509451112

2. Lipanov A. M., Kisarov Yu. F., Klyuchnikov I. G. Chislennoe modelirovanie vyazkih dozvukovyh potokov pri chisle Rejnol'dsa 104 [Numerical simulation of viscous subsonic flows at Reynolds number 104 ]. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Models and Computer Simulations], 1997, vol. 9, no. 3, pp. 3-12.

3. Lipanov A. M., Kisarov Yu. F., Klyuchnikov I. G. Chislennyi eksperiment v klassicheskoj gidromekhanike turbulentnyhpotokov [Numerical experiment in classical fluid mechanics of turbulent flows]. Yekaterinburg: UrO RAN Publ., 2001. 161 p.

4. Kisarova S. Yu., Koroleva M. R., Gabdullin R. G. Pryamoe chislennoe modelirovanie turbulentnyh techenij i goreniya s ispol'zovaniem raznostnyh skhem vysokogo poryadka tochnosti [Direct numerical simulation of turbulent flows and combustion using high-order accuracy difference schemes]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2007, vol. 9, no. 4, pp. 362-369.

5. Ferziger J.H. Large eddy simulation. In book: Th. B. Gatski, M. Y. Hussaini, and J. L. Lumley, editors Simulation and Modelling of Turbulent Flows, ICASE/LaRC Series in Computational Science and Engineering, Oxford University Press. 1996. P. 109-154. URL: http://ua.b-ok.org/ireader/554483 (accessed February 15, 2018).

6. Koromyslov E. V., Usanin M. V., Gomzikov L. Yu., Siner A. A. Ispol'zovanie skhem tipa DRP vysokogo poryadka approksimatsii i metoda krupnykh vikhrey s relaksatsionnoy fil'tratsiey dlya rascheta turbulentnykh techeniy gaza na primere raspada vikhrya Teylora-Grina [Utilization of high order DRP-type schemes and large eddy simulation based on relaxation filtering for turbulent gas flow computations in the case of Taylor-Green vortex breakdown]. Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred [Computational Continuum Mechanics], 2015, vol. 8, no. 1, pp. 24-34. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2015.8.1.3

7. Spalding D. B. Mixing and chemical reaction in steady confined turbulent flames. Symposium (International) on Combustion, 1971, vol. 13, iss. 1, pp. 649-657. https://doi.org/10.1016/S0082-0784(71)80067-X

8. Magnussen B. F., Hjertager B. H. On Mathematical Modelling of Turbulent Combustion with Special Emphasis on Soot Formation and Combustion. Symposium (International) on Combustion, 1977, vol. 16, no. 1, pp. 719-729. https://doi.org/10.1016/S0082-0784(77)80366-4

9. Versteeg H. K., Malalasekera W. An introduction to Computational Fluid Dynamics. The Finite Volume Method. Longman Scientific & Technical, UK, 1995. 257 p.

10. Westbrook C. K., Dryer F. L. Simplified reaction mechanisms for the oxidation of hydrocarbon fuels in flames. Combustion Science and Technology, 1981, vol. 27, pp. 31-43. http://doi.org/10.1080/00102208108946970

11. Zhou L. X., Hu L. Y., Wang F. Large-eddy simulation of turbulent combustion using different combustion models // Fuel, 2008, vol. 87, no. 13-14, pp. 3123-3131. http://doi.org/10.1016/j.fuel.2008.04.025

12. Shumikhin A. A., Karpov A. I. Chislennoe modelirovanie turbulentnogo diffuzionnogo plameni na osnove metoda krupnykh vikhrey [Large-Eddy Simulation of the turbulent diffusion flame]. Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred [Computational Continuum Mechanics], 2012, vol. 5, no. 2, pp. 199-207. http://dx.doi.org/10.7242/1999-6691/2012.5.2.24

13. Shchyolkin K. I. Teoriya goreniya i detonacii [Theory of combustion and detonation]. Mekhanika v SSSR za 50 let [Mechanics in the USSR for 50 years]. Moscow, 1970, vol. 2, pp. 344-422.

14. Shumikhin A. A., Koroleva M. R., Dadikina S. V., Karpov A. I. Ispol'zovanie skhemy WENO dlya modelirovaniya turbulentnogo techeniya v kanale s obratnym ustupom [Application of WENO scheme for simulation of turbulent flow in a channel with backward-facing step]. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye nauki [Bulletin Of Udmurt State University. Mathematics. Mechanics. Computer science], 2017, vol. 27, no. 3, pp. S. 460-469. https://doi.org/10.20537/vm170313

Шумихин Андрей Александрович, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Институт механики УдмФИЦ УрО РАН, тел. (3412)20-34-76, e-mail: shumihin@udman.ru

Королева Мария Равилевна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: koroleva@udman.ru

Дадикина Светлана Юрьевна, младший научный сотрудник, Институт механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: sveta-dadikina@yandeх. ru