О существовании луча собственных значений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями в критическом случае

Д. К. Потапов .

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЛУЧА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

В последние годы возрос интерес к изучению уравнений с разрывными нелинейностями. Такие уравнения возникают как в теоретических исследованиях, так и в многочисленных приложениях. Большое число задач гидродинамики, теплофизики, электрофизики, связанных с анализом процессов, меняющихся скачкообразно при некоторых значениях фазовых переменных, приводит к интегральным и дифференциальным уравнениям с разрывными нелинейностями (например, математическое моделирование отрывных течений несжимаемой жидкости [1], задача Джоуля о нагреве неоднородного проводника, помещенного в постоянное электрическое поле, в частности явление сверхпроводимости [2], задачи с препятствием и о просачивании воды через земляную плотину [3] и др.). Как правило, это так называемые задачи со свободными границами, исследование которых непросто и в каждом конкретном случае требует применения специальных аналитических средств. Потому разработка математического аппарата, обслуживающего достаточно широкий класс распределенных систем с разрывными нелинейностями, является актуальной задачей. На необходимость исследования распределенных систем с разрывной нелинейностью было указано в монографии О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и Н. Н. Уральцевой [4] в 1967 г. Основы математической теории для таких систем были заложены в докторской диссертации

В. Н. Павленко [5] в 1995 г.

Цель настоящей статьи - дальнейшее развитие теории распределенных систем с разрывными нелинейностями. Она продолжает работу [6], посвященную существованию луча положительных собственных значений для уравнений с разрывными операторами (в [6] В. Н. Павленко принадлежит постановка задач, автору - получение конкретных результатов). А именно, в вещественном рефлексивном банаховом пространстве Е рассматривается уравнение вида

Аи = ХТи

с параметром Л > 0, где А - линейный самосопряженный оператор из Е в Е*, Т : Е Е* - антимонотонное отображение, ограниченное на Е (возможно, разрывное). Заметим, что если Т(0) = 0, то очевидно наличие нулевого решения уравнения (1) при любом А. Ищутся Л, для которых уравнение (1) имеет ненулевые решения. При этом ядро оператора А может быть ненулевым.

Решение поставленной задачи для уравнений с разрывными компактными операторами представлено в [6]; в настоящей статье продолжено изучение этого вопроса для уравнений с разрывными монотонными операторами вариационным методом.

Для реализации вариационного подхода к исследованию уравнения (1) дополнительно потребуем квазипотенциальность оператора Т. Затем докажем теорему о существовании полуоси собственных значений и наличии для каждого из них собственного вектора, который является точкой радиальной непрерывности оператора Т. Полученную теорему применим к решению основных краевых задач для полулинейных

© Д. К. Потапов, 2004

уравнений эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной по фазовой переменной монотонной ограниченной нелинейностью. Установим существование луча положительных собственных значений и наличие для каждого из них собственной функции, величины которой являются почти всюду точками непрерывности нелинейности по фазовой переменной.

В случае, когда отображение Т непрерывно, структура множества собственных значений уравнения (1) изучалась топологическими методами в [7, 8], в полуупорядочен-ных пространствах - в [9, 10] и вариационным методом - в [11, 12]. Вопросу непустоты множества М упорядоченных пар - собственное значение и соответствующая собственная функция - для основных краевых задач для уравнений эллиптического типа с разрывной нелинейностью и анализу структуры этого множества посвящено значительное число публикаций, в частности проблеме существования неограниченной связной компоненты множества М. Наиболее общие результаты по данной проблеме были получены в работах [3, 6, 13]. По сравнению с [3, 13] в [6] ослаблены ограничения на множество точек разрыва нелинейности, входящей в уравнение. В данной статье, в отличие от [6], компактность оператора Т не предполагается, по сравнению с [3, 13] допускается, что исследуемые краевые задачи могут быть резонансными; в работах других авторов о нелинейных задачах на собственные значения полуправильные решения не рассматривались.

1. Предварительные сведения. В данной статье будем использовать обозначения и определения из [6], не описывая их вновь. Кроме того, потребуются следующие ниже определения и вспомогательная теорема из [14].

Определение 1. Отображение Т : Е —> Е* называется ограниченным на Е, если существует постоянная М > 0 такая, что

\\Тх\\<М УхеЕ.

Определение 2 [15]. Отображение Т : Е Е* называется монотонным на Е, если

(Тх — Ту, х — у) > 0 V х,у 6 Е.

Отображение Т : Е —> Е* называют антимонотонным, если отображение — Т монотонно.

Определение 3 [16]. Секвенциальным замыканием локально ограниченного отображения 2*1: £1 —» Е2 {Е\, Е2 - банаховы пространства) называется отображение БЕ из Е\ в Е2 (вообще говоря, многозначное), значение БЕх (х € Е±) которого совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества всех слабо предельных точек в Е2 последовательностей вида (Ехп), где хп —» х в Е±.

Теорема 1 [14]. Пусть х € Е - точка минимума квазипотенциала / локально ограниченного оператора Т : Е -> Е*. Тогда 0 6 БТх, где 5Т - секвенциальное замыкание оператора Т. Если дополнительно точки разрыва оператора Т регулярны, то х - точка радиальной непрерывности оператора Т и Тх = 0.

2. Теорема о существовании луча положительных собственных значений для уравнений с разрывными монотонными операторами. В уравнении (1) оператор А линейный и самосопряженный. Поэтому А потенциален с потенциалом \{Аи,и) [15]. Свяжем с уравнением (1) функционал /А(и) = \{Аи,и) — А/(и), где / -квазипотенциал оператора Т.

Теорема 2. Пусть

1) А - линейный самосопряженный оператор, действующий из вещественного рефлексивного банахова пространства Е в сопряженное пространство Е* ; пространство Е представляется в виде прямой суммы замкнутых подпространств Е\ = кег А и Е2, причем существует положительная постоянная а такая, что (Au, и) > аЦи||2 для каждого и G Е2]

2) отображение Т антимонотонное, квазипотенциалъное (с квазипотенциалом

/) и ограниченное на Е; /(0) =0 и для некоторого щ G Е значение f(u0) > 0; если

Ei ф {0}, то дополнительно предполагается, что lim f(u) = —00.

tt€ Е\, 11 tt| I —>+00

Тогда существует Ло > 0 такое, что для любого Л > Ло найдется и\ G Е, и\ ф 0, fx(u\) = inf fx(v), и любое такое и\ удовлетворяет включению Аи\ G XSTu\,

vEE

где ST - секвенциальное замыкание оператора Т.

Замечание 1. В отличие от теоремы 2 из [6], в теореме 2 данной работы компактность оператора Т не предполагается.

Доказательство теоремы 2. Из монотонности А и антимонотонности Т следует монотонность А — ХТ при Л > 0. Установим слабую полунепрерывность снизу на Е функционала /л для любого Л > 0.

Пусть и G Е, (ип) С Е и ип —> и при п -> оо. Для любого натурального п имеем

1

/Л(ип) - fX(u) = J{{А - ХТ)(и + t(un - и)),ип - и)dt = о

1

= J((А - \Т)(и + t(un — и)) — (А — ХТ)и, ип — u)dt + о

+ ((А — ХТ)и, ип — и)> ((А — ХТ)и, ип — и), поскольку оператор А — ХТ (Л > 0) монотонен на Е. Отсюда получим

lim fX(un) > fX(u).

n—»00

Из этого неравенства и произвольности выбора и G Е заключаем о слабой полунепре-рывности снизу функционала /л на Е для любого А > 0. .

Далее применим технику, использованную в [6]. Как и при доказательстве теоремы 2 из [6], для слабо полунепрерывного снизу функционала /Л (А > 0) в рефлексивном банаховом пространстве устанавливается существование и\ G Е, для которого выполняется условие

/Лы = inf fA

v€E

Как показано в [6], из условия 2) теоремы 2 следует существование Ао > 0 такого, что для любого А > Ао /х(щ) < 0. Поскольку /Л(0) = 0, то и\, удовлетворяющее (2), отлично от нуля при А > Ао.

В силу теоремы 1

0 G S(Au\ — XTu\) = Аи\ — XSTu\, что равносильно Au\ G ASTu\. Теорема 2 доказана полностью.

Замечание 2. Включение Аи\ Є XSTu\ означает, что и\ является обобщенным решением уравнения (1). Доказательство существования классических решений уравнения (1) потребовало дополнительных ограничений на точки разрыва оператора Т (регулярность точек разрыва оператора А — ХТ).

Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 2 и любая точка разрыва оператора Т при X > Xq > 0 регулярная для F\u = Аи — ХТи, то для X > Хо элемент и\, удовлетворяющий равенству (2), является точкой радиальной непрерывности оператора Т и решением уравнения (1).

Доказательство следствия 1. Справедливость следствия немедленно следует из теорем 1 и 2.

3. Теорема о существовании полуоси положительных собственных значений эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями в критическом случае. Рассмотрим нелинейные эллиптические краевые задачи, содержащие параметр Л и проблему существования ненулевых решений задачи

П

Lu

i,j=і

Ви\Г = 0,

в зависимости от параметра Л. Дифференциальный оператор L, область ft, граница Г, коэффициенты dij и с удовлетворяют условиям, описанным в [6]. Функция g : ft х R —У R суперпозиционно измеримая и невозрастающая по и при почти всех х Є ft, сечение g(x,-) имеет на R разрывы только первого рода, д(х,и) Є [д(х,и+),д(х,и—)] Vu Є R,

д(х,и—) = lim g(x,rj), g(x,u+) = lim g(x,rj). Граничное условие (4) имеет вид: либо

T)—¥U— Т]—*и+

условие Дирихле, либо условие Неймана с конормальной производной, либо третье краевое условие (см. [6]).

В [6] предполагается, что для почти всех xGLft |р(ж,и)| < о(х) Vu Є R, где а € L9(i)), q > ^2, фиксирована. Неравенство q > обеспечивает компактность вложения соболевского пространства Н1(П) в Lp(fi), р-1 4- q~l = 1. В данной работе рассмотрен критический случай, когда q = при дополнительном ограничении на нелинейность:

д(х, и) - невозрастающая по и. Отметим, что в этой ситуации оператор, порождаемый нелинейностью, не компактен (нет компактности вложения Н1 (П) в L 2п Г(П)). '

Как ив [6], в зависимости от вида граничного условия (4) определяется пространство X, а краевой задаче (3), (4) сопоставляется функционал Jx(u), заданный на X. Потенциал J\(u) дифференциального оператора L с граничным условием (4) также определен в [6].

Теорема 3. Пусть

1) Ji(u) > 0 для любого и Є X;

2) для почти всех х Є ft g(x, •) невозрастающая на R и для некоторой а Є L 2п^ (ft) \g(x,u)\ < а(х) Vit Є R;

3) для почти всех х Є ft точки разрыва д(х, •) лежат на плоскостях и = щ, і Є І (І - не более чем счетно), и если д(х,щ—) > д(х,щ+), то д(х,щ—)д(х,щ+) > 0 для любого і Є І;

4) найдется щ Є X, для которого

ио

J dx J g(x, s)ds > 0; п о

5) если пространство N(1/) решений задачи

Ьи = О, Ви\г = О

ненулевое (резонансный случай), то

и

lim dx g(x, s)ds = —со.

u€N(L),\\u\\-t+oo J J

Тогда существует Ао > 0 такое, что для любого А > Ао d\ = inf Jx(v) < 0, и

v£X

найдется и\ Е X, для которого

Jx

и любое и\, удовлетворяющее (5), является ненулевым полуправилъным решением задачи (3), (4).

Замечание 3. В отличие от работы [13], в теореме 3 не предполагается, что функция g : П х R+ —у R+, и допускается, что исследуемые краевые задачи могут быть резонансными.

Замечание 4. Неравенство q > обеспечивает непрерывность вложения соболевского пространства H1(fi) в Lp(f2), p-1 +g-1 = 1. Если неравенство строгое, то это вложение компактно [17]. В отличие от работы [6], в теореме 3 значение показателя q = дКрит =

Доказательство теоремы 3. Так как дифференциальный оператор L в уравнении (3) равномерно эллиптический и формально самосопряженный, а его коэффициенты aij € Cija(ii), то равенства

(и,у) 0= ^ ац(х)ихіух^х Уи,и єНІ(П),

^'=1П

(и,и)і = (и,и)0 + / и{х)у(х^х Vи, у Є Н1^) п

задают на пространствах Н* (П) и Н1 (П) соответственно скалярные произведения, причем порождаемые ими нормы эквивалентны нормам этих пространств.

Операторы Ті : X -У X*, і = 1,2, определены в доказательстве теорем 3 и 4 из [6]. Рассмотрим включение

Тій Є \ST2u

в пространстве X, где БТ^ - секвенциальное замыкание оператора Гг-Покажем антимонотонность отображения Т2 на X. Имеем

(-Т2и + Т2у, и -у) = -(Т2и, и —у) + {Т2у, и-у) =

= I (д(х, у(х)) — д(х,и(х)))(и(х) — г>(ж))гіх > 0 Уи,г> Є X, п

так как функция д(х, •) невозрастающая на R при почти всех х Є СІ.

Аналогично тому, как это сделано в [6], устанавливается факт выполнения других условий теоремы 2.

Поэтому существует Ао > 0 такое, что для любого А > Ао inf Jx(v) < 0, и найдется

v£X

и\ G X, для которого Jx(u\) = inf Jx{v), и любое такое и\ удовлетворяет (6).

ибХ

Как показано в [14],

ST2u С P*(SH)(Pu) Vu € X.

Поэтому (6) для и\ влечет включение

TlUx € \P*

Известно [14], что SH = На, где

Н°и = р| со{у = Hv : ||v - < е} -

е>0

значение выпукливания оператора Н в точке и.

Для оператора Немыцкого Н : L_2n_ —у L_an_ в [18] установлено, что

На(и) = {z : fi -у R|2; — измеримая на П и

z(x) G [д(х,и(х)+),д(х,и(х)—)] для почти всех х G i)}.

Из этого и (7) следует, что при А > Ао найдется z\ G L 2п^ (П),

2\

такая, что

В силу теорем о регулярности слабых решений основных краевых задач для равномерно эллиптических линейных уравнений [19] их € W22„ (П). Отсюда и равенства

п+2 '

(9) вытекает, что их удовлетворяет граничному условию (4) и Lux(x) = Az\(x) почти всюду на £1. Из чего с учетом (8) заключаем, что

Lux{x) € А[р

для почти всех х € Г2.

Если показать, что для почти всех х € Q значение и\(х) - точка непрерывности д(х,-), то отсюда и (10) будет вытекать, что их(х) - полуправильное решение задачи (3), (4).

Заметим, что множество х G (2, для которых их(х) - точка разрыва д(х, •), с точностью до множества меры нуль совпадает с множеством

{х G П : д(х,и\(х)~) > р(ж,ил(ж)+)}.

Последнее, в силу условия 3) теоремы 3, с точностью до множества меры нуль совпадает с множеством

(J{z е П : их(х) = щ,д(х,щ-) > д(х,щ+)}. iei

Допустим, что мера множества х Е Q, для которых и\(х) - точка разрыва д(х, •), не равна нулю. Тогда существует i 6 I такое, что отлична от нуля мера множества

= {х G Í) : и\(х) = щ,д(х,щ-) > д(х,щ+)}.

Почти всюду на этом множестве Lu\(x) = 0 [20].

Согласно условию 3) теоремы 3, почти всюду на верно неравенство д(х,щ—)д(х,щ+) > 0 и, следовательно,

0 £ \[д(х,щ+),д(х,щ-)].

Но это противоречит (10), так как Lu\{x) = 0 почти всюду на í)¿. Теорема 3 доказана полностью.

Summary

Potapov D. К. On an existence of a ray of eigenvalues for equations of elliptic type with discontinuous nonlineaxities in a critical case.

Eigenvalue problems for equations of elliptic type with both discontinuous monotonous and bounded nonlinearity are considered. Coerciveness of the lineal differential part of the equations is not supposed. The structure of the eigenvalue set is investigated. Both existence of a positive eigenvalue ray for the problems and presence for each such a value of eigenfunction which values are almost everywhere continuity points of nonlinearity with respect to a phase variable are established with the variational method.

Литература

1. Голъдштик М. А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1962. Т. 147, № 6. С. 1310-1313.

2. Kuiper Н. J. On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems // Rend. Circ.

Mat. Palermo. Ser. 2. 1971. Vol. 20, N 2-3. P. 113-138.

3. Chang K.C. Free boundary problems and the set-valued mappings // J. Differential Eq.

1983. Vol. 49, N 1. P. 1-28.

4. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уралъцева H. Я. Линейные и квазилинейные

уравнения параболического типа. М., 1967. 736 с.

5. Павленко В. Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями: Автореф. докт. дис. Екатеринбург, 1995. 35 с.

6. Павленко В. Н., Потапов Д. К. О существовании луча собственных значений для

уравнений с разрывными операторами // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 4. С. 911-919.

7. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М., 1956. 392 с.

8. Rabinowitz Р. Н. Some global results for nonlinear eigenvalue problems // J. Funct. Anal. 1971. Vol. 7. P. 487-513.

9. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М., 1962. 396 с.

10. Атапп Н. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spases // SIAM Review. 1976. Vol. 18, N 4. P. 620-709.

11. Rabinowitz P. H. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems // Indiana Univ. Math. J. 1974. Vol. 23, N 8. P. 729-754.

12. Rabinowitz P. H. A bifurcation theorem for potentional operators // J. Funct. Anal. 1977. Vol. 25. P. 412-424.

13. Maraño S. A. Elliptic eigenvalue problems with highly discontinuous nonlinearities // Proc. Amer. Math. Soc. 1997. Vol. 125, N 10. P. 2953-2961.

14. Павленко В. Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами: Учеб. пособие. Челябинск, 1997. 75 с.

15. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М., 1972. 416 с.

16. Павленко В. Н. О существовании полуправильных решений первой краевой задачи для уравнения параболического типа с разрывной немонотонной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 3. С. 520-526.

17. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1982. 336 с.

18. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. М., 1983. 272 с.

19. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М., 1989. 464 с.

20. Павленко В. Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. 1973. Л» 6.

С. 21-29.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.