Численное решение задачи о фокусировании ударных волн, создаваемых сверхзвуковым самолетом

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983

№ 4

УДК 533.6.011.72

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ФОКУСИРОВАНИИ УДАРНЫХ ВОЛН, СОЗДАВАЕМЫХ СВЕРХЗВУКОВЫМ

САМОЛЕТОМ

А. В. Потапкин, Ю. Н. Юдинцев

В работе предлагается методика расчета параметров звукового удара при фокусировании ударных волн. Методика основана на использовании результатов квазилинейной теории в качестве начальных данных для задачи численного расчета параметров газа за фокусирующимися ударными волнами в областях, где неприменима квазилинейная теория. Алгоритм расчета фокусировки ударных волн построен на основе разностного метода С. К. Годунова с использованием подвижной разностной сетки, связанной с выделенными ударными волнами. Для задачи о звуковом ударе от тонкого тела, совершающего сверхзвуковой полет с ускорением вдоль прямолинейной траектории, показаны области применимости квазилинейной теории и получены зависимости коэффициентов усиления фокусирующихся ударных волн от режимов полета тела.

1. Распространение ударных волн от сверхзвукового самолета, совершающего маневр разворота или полет с ускорением, распространение взрывных и баллистических ударных волн через локальные неоднородности в газе или их отражение от наземных объектов может сопровождаться образованием локальных вогнутостей на фронтах ударных волн и последующей их фокусировкой. Имеющиеся экспериментальные данные [1, 2] показывают, что в зонах фокусирования интенсивность ударной волны при определенных условиях может возрастать в несколько раз, а размеры этих зон могут составлять многие километры.

Разработанная к настоящему времени квазилинейная теория звукового удара [3—5], основанная на геометрической акустике, получила хорошее экспериментальное подтверждение во многих практических задачах. Но геометрическая акустика, описываемая волновым уравнением, оказывается неприменимой в областях фокусирования, где акустические лучи пересекаются с образованием

огибающей, называемой каустикой, и где существенны нелинейные эффекты. Квазилинейная теория учитывает только нелинейные эффекты, связанные с распространением возмущений конечной интенсивности вдоль акустических лучей, и не учитывает эффекты взаимодействия возмущений на соседних лучах, которые в задачах фокусирования ударных волн могут быть существенными.

В работе [6] нелинейные эффекты поведения разрывного сигнала вблизи каустики исследованы путем численного решения релаксационным методом приближенного уравнения для потенциала, меняющего тип в окрестности акустики. В работах [7—9J численные алгоритмы, основанные на схеме „распад произвольного разрыва11 С. К. Годунова [10], использованы для исследования динамики слабых двумерных ударных волн в процессе фокусирования. Сравнение результатов численного расчета [8] с точными решениями и с данными лабораторного эксперимента [2] показывает, что указанные численные методы позволяют достаточно точно определить нелинейный характер поведения параметров ударных волн как в зонах фокусирования, так и при распространении их на большие расстояния.

В каждой конкретной задаче о звуковом ударе в поле возмущенного течения всегда можно выделить граничные области, в которых оправдано применение квазилинейной теории, и области, где эта теория неприменима, но поведение газа в которых может быть описано двумерными нестационарными уравнениями газовой динамики. В этом случае задача о звуковом ударе может быть сформулирована следующим образом: определить параметры звукового удара во всей интересующей области возмущенного течения путем выделения последовательных областей, в каждой из которых решение находится с помощью квазилинейной теории или численных методов с определением начальных данных и граничных условий для последующей области из решения в предыдущей.

Таким образом, в задаче о фокусировании ударных волн, создаваемых сверхзвуковым самолетом, необходимо выделять зоны фокусирования, где решение следует находить путем численного интегрирования уравнений газовой динамики, а начальные данные и граничные условия для этих уравнений определять по квазилинейной теории. Как показывает эксперимент [1], квазилинейная теория правильно предсказывает положение зон фокусирования, поэтому для их определения могут быть использованы условия возникновения фокусировки, полученные в работе [11).

В такой постановке появляется возможность исследовать влияние параметров движения самолета по траектории и параметров, характеризующих состояние атмосферы, на параметры звукового удара во всей интересующей области течения, включая области фокусирования. Особенности и возможности такого подхода показаны на задаче о звуковом ударе от тонкого тела вращения, совершающего ускоренный сверхзвуковой полет по прямолинейной траектории в однородной атмосфере.

2. Пусть тонкое тело вращения /? = е (/—/2), 0<!/<^1, в = = const С 1 совершает сверхзвуковой полет по прямолинейной траектории в однородной атмосфере идеального газа. Положение носика тела определим координатами fit), г— 0, где fit) — закон движения тела в направлении х (направление полета), г — радиальная координата, расстояние от траектории полета, t—время,

отсчитываемое от некоторого момента ta. Закон движения определим заданием ускорения А (^):

0,

~2'А1 [1+С05 д/ -) , 2“х <С ^ ^

Ли

~2~ Л, [ц-СОЗ^ у 'V

0, ^2 'Ч ^ ^ Ъ,

Л (*) =

где Ах — СОП5(>0.

Обозначим скорость полета и {£), тогда и0 и С12 соответствуют скорости полета до и после ускорения, а М0 и М2 — соответствующие числа М полета. Время разгона tp определим как /2—а^, включающее интервалы входа и выхода из ускорения Мх = М (рис. 1). Подобный закон изменения функции А (£) выбран лишь для того, чтобы акустические лучи пересекались достаточно далеко от траектории полета.

Для определения параметров возмущенного движения газа на акустических лучах (1) (см. рис. 1) в области потока, где применима квазилинейная теория, воспользуемся решением [4], которое является обобщением теории, разработанной в [3] на случай

неустановившегося сверхзвукового полета тела в однородной атмосфере:

_L JL — —

^ = 2 2 а02 М3 F (У \а0 М 5 - M's2] 2,

_ _1_ _5 _ J_

— <?f — 2 2 а02 М3/7^) [a0M?2s-M's2] 2.

Здесь <ря и <р/ — частные производные потенциала возмущения соответственно вдоль луча и по времени, 5 — расстояние вдоль луча от траектории, а0 — скорость звука в окружающей среде, М = __ V Ы . до/ __ А Ы . Я2 _

«о ’ <к

р2 — М2 — 1, х0 — момент времени, в который

от носика тела выпускается акустический луч. Произвольная функция определяется из геометрии тела, а Sj = const — ха-

рактеристика, уравнение которой записывается в виде:

где k

(7 + 1) М

t s/a0 + kF (tj) b (5) — ?!jlJ (t0), і _ 1 , b (s)== j s :

M's “д„ M pa

ds.

Подынтегральное выражение для b (s) есть [Л (s)] 2, Л (5) —

площадь поперечного сечения лучевой трубки.

Параметры возмущенного течения для произвольного момента времени определяются из соотношений:

Р—Р о = —РоТ/.

а — а0 =

u = fs COS а, = sin a,

7-1

2fln

где р — давление, р— плотность, а индекс 0 означает параметры невозмущенного потока; и и V — компоненты скорости возмущенного течения по направлениям х и г, а — угол наклона акустического луча.

При движении тела с заданным ускорением (1) акустические лучи на некотором удалении от траектории полета начинают пересекаться с образованием двух ветвей каустик (кривые 3 на рис. 1), одна из которых (обозначена пунктиром) определяется режимом входа в ускорение, а другая (сплошная линия) — режимом ускорения и выходом из него. Положение поверхностей каустик определяется по квазилинейной теории из условия, что на них площади лучевых трубок становятся равными нулю, тогда из выражения для Ь (я) в (3) получим расстояние 8 = вдоль луча, на котором возникает острие каустик, или tk и гк, которые в дальнейшем будем рассматривать как момент времени и радиальное расстояние, при которых фронт ударной волны достигает острия каустик.

Поскольку в окрестности каустик квазилинейная теория неприменима, то выделим область (обозначенную цифрой 5 на рис. 1), включающую поверхность каустик, где течение газа может быть

описано двумерными нестационарными уравнениями газовой динамики, записанными в цилиндрической системе координат:

cb

dt

да

дх

дЬ_

дг

где

- р - (Ж pv Р"У

ри — р Т pH2 ь — OUV - puv

р V , (1 Р г/г» , 0 — р 4- ри2 , с — OV2

- е _ _(е-{-/?) и _ -(е+р) -(е+р) V-

Система уравнений замыкается уравнением состояния политроп-ного газа:

И2 + V2

е =

Р

('і - і) Р

, е — ре + Р -

где е — удельная внутренняя энергия газа, ^ — показатель адиабаты, который в расчетах принимался равным 1,4.

Начальные и граничные условия для решения этой системы уравнений определяем из решения квазилинейной теории на некоторый момент времени по следующей схеме. Разобьем вре-

менной интервал [£0, t3\ на N — 1 интервал [тг, хг+О» например, с равномерным шагом, так, что £0 — Т1 <х2 < • •  < тдг = ^з- Тогда в соответствии с (1) определим Л„ и1 и хь на момент времени т, и по найденному значению определим наклон акустического луча а,- (г — номер луча).

Введем разбиение на оси тела

1-1 < ^2 ^ — 0 1т2 <С . . . <С — 1 ^т/гт1 <С  • • ^ щ

и в соответствии с этим разбиением определим характеристики:

(О, }<тпх\

к 1 = — р, Р!,, m^<J< тк\

' Ь ть<1<т,

где У—номер точки на теле.

По найденному значению у определим значение функции Т7,-,

О,

1

2 г.

W,

— di, т1 < У < /и.

Перепишем уравнение

t* — Vi — к\/иі — S/, і Іа0 + /г,- /=,-, у b (S/, /) = О,

где г = 1, 2, . . ., N\ j = mu ml + 1,. . , т.

Разрешая полученное уравнение относительно 5г,/, определяем из (2) и (4) параметры газа (st-, у; t*), a (sit /; t*). . . , и, вводя положение головного и хвостового скачков с помощью способа, предложенного в работе [5], получаем форму фронтов ударных волн и распределение за ними параметров возмущенного течения вдоль акустических лучей на заданный момент времени t*. Полученные начальные данные вводятся в обезразмеренном виде через

масштабные коэффициенты рт, рт, ат, Ьт так, чтобы р0 = 1, р0 =

— 1,4, а0=1, / = 1; для времени масштабный коэффициент принимается из условия, что за единицу безразмерного времени при числе М, равном единице, тело пролетает расстояние, равное своей длине.

Как видно из рис. 1, расчетная область (обозначенная цифрой 4) для систем уравнений (5), (6) определяется на момент времени £* выбором следующих границ: Г! — перед фронтом головного скачка, Г3 — за хвостовым скачком, Г2 и Г3 — отрезки акустических лучей. На границах расчетной области ставятся граничные условия: на Г1 задаются условия невозмущенной среды, на Г3 возможно использование двух типов граничных условий: а) невозмущенная среда; б) -^=0, где Ф— любой параметр газа, п—внешня

няя нормаль к Г3, на Г2 и Г4 параметры течения определяются линейной экстраполяцией параметров течения из расчетной области.

Решение системы уравнений (5), (6) с полученными начальными данными и заданными граничными условиями производится численно. Расчетный алгоритм основан на известной разностной схеме „распад произвольного разрыва11 С. К. Годунова (10) в подвижной разностной сетке, связанной с системой головной и хвостовой ударных волн, выделяемых в процессе счета с помощью точного решения задачи о распаде произвольного разрыва. Таким образом, осуществляется численный пересчет параметров звукового удара, полученных из квазилинейной теории в момент времени I*, на момент времени t'^>ik, т. е. в область фокусирования, где присутствуют поверхности каустик.

3. При заданных форме тела и законе движения (1) были выполнены расчеты с целью выяснения влияния параметров движения (начального числа М0, ускорения Аи времени разгона tp) вдоль прямолинейной траектории на интенсивность звукового удара в зоне каустик и прилегающих к ним областях.

Предварительные расчеты показали, что на точность определения параметров газа в области каустик существенное влияние оказывает выбор момента времени Ь*. Как уже отмечалось, из-за неучета квазилинейной теорией нелинейных эффектов вдоль фронта при фокусировании скачка происходит накопление ошибки, выражающейся в искажении формы фронта скачка и характера распределения давления вдоль фронта [12]. Использование таких искаженных начальных данных для численного расчета приводит к тому, что численный алгоритм не успевает сгладить ошибки квазилинейной теории до подхода ударной волны к области каустик. Опыт показывает, что оптимальные моменты времени, с которых необходимо использовать решение системы уравнений (5), (6), в данной задаче составляют 0,5—0,6^.

На рис. 2 приведены распределения коэффициентов усиления интенсивности головного скачка К под траекторией полета при фиксированных значениях: М0 = 1,1, <4, = 6-10-4, = 150 для раз-

личных расстояний г от траектории до контрольной плоскости. Здесь К = Л/?/А/70, где кр — скачок давления на фокусирующемся участке фронта, а &р0 — скачок давления при заданном М0 и Аг — 0; цифрами 1, 2 и 3 на этом и последующих рисунках обозначены результаты для г —100, 150, 200 соответственно, сплошной линией

выделены результаты расчета по предлагаемому методу, а пунктирной линией —по квазилинейной теории для указанных параметров движения. Острие каустики, по данным квазилинейной теории, удалено от траектории на 185 длин тела, поэтому кривые 1 и 2 соответствуют распределению интенсивности на фронте скачка при подходе фронта к острию каустик, а кривая 5 —при пересечении фронтом скачка поверхности каустик за их острием. Как и предсказывается квазилинейной теорией, при приближении фронта скачка к острию каустики его интенсивность растет, растут градиенты давления вдоль фронта (пунктирная кривая 2). Учет двумерных эффектов на этапе численного пересчета приводит к выравниванию давления вдоль фронта и, как следствие, к меньшей степени роста коэффициента усиления. На больших расстояниях до острия каустик (кривые 1) (г/г*, = 0,55) квазилинейная теория хорошо согласуется с численными расчетами, но уже при 2 = 150 (г/'гй = 0,83) дает значительное завышение максимальных коэффициентов усиления. Дальнейший расчет показывает, что по мере продвижения фронта скачка в область каустик его максимальный коэффициент усиления монотонно растет и достигает максимума не на острие каустик, а за ним (г/гк—1,5). При этом положение максимума на кривой коэффициента усиления совпадает с положением каустики, обусловленной режимом ускорения и выходом из него. Протяженность зоны повышенного давления вдоль трассы полета для всех трех удалений составляет величину порядка 150 длин тела. Как и в работе [6], на поверхности каустики отмечено увеличение длины профиля давления.

Влияние времени разгона, ускорения и начального числа М на величину максимального коэффициента усиления Ктах на фронте фокусирующегося скачка при различных удалениях от траектории полета показано на рис. 3—5.

По квазилинейной теории время разгона не влияет на величину максимального коэффициента усиления интенсивности скачка, а определяется местной кривизной фронта и не зависит от распределения давления вдоль фронта. Численные решения двумерных уравнений газовой динамики показали значительное влияние времени разгона на величину /Стах (рис. 3), что связано с процессом выравнивания давления вдоль фронта. Видно, что при фиксированных начальном числе М0, ускорении Ах и расстоянии от траек-

тории г увеличение приводит к росту величины максимального коэффициента усиления до некоторого предельного значения. Такой характер влияния времени разгона на /Стах сохраняется и при положениях ударной волны перед острием каустик (кривая /, г/г* = 0,8) и при пересечении ею поверхности каустик (кривые 2 и 3, для которых г/гА= 1,2 и 1,6 соответственно).

Влияние ускорения на величину максимального коэффициента усиления при М0 =1,1 и /р=150 показано на рис. 4 для тех же рассмотрений от траекторий полета, что и на предыдущих рисунках. Видно, что на расстоянии 100 длин тела (кривая 1) при ускорениях Л!<6-10-4 поведение интенсивности головного скачка правильно описывается квазилинейной теорией (пунктирная линия), поскольку фронт скачка еще далек от острия каустик (г/гк — 0,54). Для больших расстояний (г =150 и 200) квазилинейная теория дает завышенные значения /Стах, начиная с ускорений Л1 = 3-10~4 и 2-Ю-4 соответственно. Численный пересчет показывает, что с ростом ускорения до Л1 = 5-Ю-4 на эгих удалениях наблюдается почти линейный рост коэффициента усиления. Последующая немонотонность в зависимости /Стах (Л ^ обусловлена более близким расположением острия каустик к рассматриваемым удалениям от траектории полета и характером поведения давления в ее окрестности. В работе [13] показано, что для слабой ударной волны, симметричной относительно некоторой плоскости, в точке острия каустик коэффициент усиления пропорционален параметру Др-’^З2/3,

3—^Ученые записки ЦАГИ» Л° 4

33

где 5 — угол фокусирования. С ростом ускорения острие каустик перемещается к траектории полета и поведение коэффициента усиления в ее окрестности определяется двумя факторами, а именно: уменьшением коэффициента усиления из-за роста интенсивности скачка по мере уменьшения расстояния до траектории и его увеличением с ростом угла фокусирования, т. е. величины ускорения, что и Приводит К отмеченной немонотонности В зависимости /Стах (Л,). Подобный вывод следует и из результатов численного моделирования динамики фокусирующихся слабых ударных волн [8].

Таким образом, изменение коэффициента усиления с ростом ускорения на фиксированном удалении от траектории полета определяется положением фронта фокусирующейся ударной волны относительно острия каустик, этот же факт определяет зависимость коэффициента усиления от начального числа М при 2=const и А: — const (рис. 5). С уменьшением начального числа М0 острие каустик перемещается к траектории полета, что и приводит к росту коэффициента усиления. Очевидно, что при достижении фронтом волны области каустик дальнейшее поведение коэффициента усиления, как и в случае с ускорением, определяется поведением давления на поверхности каустики, т. е. до некоторого относительного положения фронта скачка и острия каустик тенденция роста коэффициента сохранится, что и отражено на рис. 5, а затем будет падать. В работе [12] показано, что максимум коэффициента усиления в окрестности каустики для исследованного диапазона чисел М0 и ускорений Лх 4-10-4 находится при г/гА > 1,5. Из приведенных на рис. 5 результатов видно также, что для рассматриваемой задачи максимальные коэффициенты усиления следует ожидать при ускорении самолета в области трансзвуковых скоростей (М0 ~ 1,0).

Приведенные на рис. 3—5 данные расчетов показывают, что можно эффективно управлять интенсивностью звукового удара и в случае явления фокусирования выбором параметров движения по траектории. Выявленные зависимости коэффициента усиления головного скачка от значений 2, М0, Ах и tp позволяют определить, в каком направлении надо изменять параметры движения с целью уменьшения интенсивности звукового удара в наперед заданной области.

На рис. 6 показано распределение интенсивности головного скачка с учетом бокового удаления на плоскости г — const при М0 =1,1, Л] = 5-10”4, £р = 150. Видно, что при 2=100 (рис. 6, а) максимальная интенсивность достигается под траекторией полета и определяется режимом установившегося полета после разгона с числом М2. Увеличение интенсивности при боковом удалении в области поверхностей каустики оказывается незначительным. На большем расстоянии от траектории полета (2 = 250) максимальная интенсивность наблюдается уже в стороне от трассы и определяется режимом ускорения и выходом из него. Здесь следует отметить, что проведенные расчеты еще раз подтвердили применимость квазилинейной теории для определения зон фокусирования ударных волн. Полученные на рис. 6 максимумы в распределении интенсивности в зоне фокусирования совпадают с положением поверхностей каустик, предсказываемых квазилинейной теорией (кривые 1 и 2).

Рис. 6. М0 =1,1, Ai = 5-10-4, tp= 150

Таким образом, приведенные выше результаты показывают, что применение численного алгоритма пересчета параметров течения из области потока, где справедлива квазилинейная теория, в области, где требуется решать уравнения газовой динамики, позволяет существенно расширить возможности исследования звукового удара.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wanner J. С., V а 1 lee J., V i v i е г С., Thery С. Theoretical and experimental studies of the focus of sonic booms. „J. Acoust.

Soc. Am.“, vol. 52, N 1 (Part 1), 1972.

2. Sturtevant B., Kulkarny V. A. The focusing of weak shock waves. „J. Fluid Mech.“, vol. 73. part 4, 1976.

3. Whit ha m Q. B. The flow pattern of a supersonic projectile. Comm, on Pure and Appl. Math., vol. 5, 1952.

4. Rao P. S. Supersonic bangs. Part 1. Aeron. Quart., vol. VII,

N 1, 1956; Part 2, Ibid, vol. VII, N 2. 1956.

5. Hayes W. D., Haefeli R. C., Kulsrud H. E. Sonic boom propogation in a stratified atmosphere, with computer program. NASA CR-1299, 1969.

6. Еременко В. А. Численное исследование поведения разрывного сигнала вблизи каустики. „Ж. вычисл. мат. и матем. физ.%

1978.

7. Parken L. W., Zalosh R. G. Godunov method and computer program to determine the pressure and flow field associated with a sonic boom focus. NASA CR-2127, 1973.

8. Потапкин А. В., Рудаков А. И., Юдинцев Ю. Н. Численное исследование фокусировки ударных волн. Сб. .Численные методы механики сплошной среды", т. 10, № 3. Новосибирск, 1979.

9. Потапкин А. В., Рудаков А. И., Юдинцев Ю. Н. Газодинамика фокусирующихся ударных волн. Сб. ИТПМ СО АН СССР. „Вопросы аэрогазодинамики сверхзвуковых пространственных течений". Новосибирск, 1979.

10. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Сб. под. ред. С. К. Годунова. М., „Наука*, 1976.

11. Жилин Ю. Л. Условия возникновения фокусировки при звуковом ударе. .Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 2, 1974.

12. Потапкин А. В. Расчет параметров звукового удара от тонкого тела, совершающего нестационарный сверхзвуковой полет по прямолинейной траектории. Препринт № 23—81. ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1981.

13. Cramer М. S., Seebass A. R. Focusing of weak shock waves at an arete. .J. Fluid Mech.“, vol. 88. Part. 2, 1978.

Рукопись поступила 8jII 1982