К теории «Псевдоскачка» на входном участке канала

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том III

1972

№ 3

УДК 629.7.015.3.036:533.697.2

К ТЕОРИИ «ПСЕВДОСКАЧКА» НА ВХОДНОМ УЧАСТКЕ КАНАЛА

В. Г. Гурылев, С. Н. Елисеев

Рассмотрена модель течения в „псевдоскачке“, образующемся в канале с параллельными стенками при торможении сверхзвукового потока. При различных предположениях о распределении чисел М по сечению канала показано, как с увеличением статического давления по длине псевдоскачка происходит выравнивание профилей скорости и полного давления. При больших числах М потока (М > 2) течение в начале псевдоскачка приобретает отрывный характер, что соответствует полученным экспериментальным данным.

1. Торможение сверхзвукового потока до дозвуковых скоростей в канале при его дросселировании происходит с помощью так называемого псевдоскачка, который обычно образуется при числах М>1,5. Псевдоскачок представляет собой цепь Х-образ-ных или Х-образных скачков, за которой следует область дозвукового течения с дальнейшим возрастанием статического давления по длине канала в результате интенсивного турбулентного перемешивания. Образование псевдоскачка связано с наличием пограничного слоя на стенках. В соответствии с работами [1, 2] протяженность псевдоскачка для канала с постоянной площадью сечения составляет 10—13 калибров и зависит от числа М на входе.

Для описания течения в псевдоскачке Л. Крокко [1] предложил бесскачковую модель двухслойного потока с постоянным по сечению статическим давлением и изэнтропическим течением в ядре (фиг. 1, а). Сила трения и теплопередача на стенках канала не учитывались. Параметры в ядре потока и в зоне пониженных скоростей были получены в зависимости от ¡л — отношения расхода газа т в зоне пониженных скоростей к расходу т1 входя-

Обобщим модель Крокко на случай течения, показанного на фиг. 1, б. В соответствии с [1] представим течение в псевдоскачке состоящим из двух слоев — ядра потока и зоны пониженных скоростей у стенок. Однако в отличие от [1] будем полагать тече-

МОДЕЛЬ ДВУХСЛОЙНОГО ПОТОКА

щего потока

ниє в ядре потока неизэнтропическим. Это предположение больше соответствует результатам экспериментальных исследований (см., например, [2]). В качестве основного параметра задачи вместо у рассмотрим относительное давление рэ1р\ (где рэ и рх — статические давления потока соответственно в сечениях Э—Э и 1—1). Величина РзіРі изменяется по длине канала и, в отличие от (х, легко определяется из эксперимента по измерениям статического давления на стенке.

Рассмотрим течение во входном участке простейшего плоского канала с параллельными стенками длиной I (фиг. 1, б) при сверхзвуковой скорости потока на входе. Сечение Э—Э предполагается расположенным на таком расстоянии от входа, что можно принять статическое давление в ядре потока рэ и в зоне пониженных скоростей р’э одинаковыми: рэ = рэ =рэ- По аналогии с моделью Крокко будем полагать, что параметры потока в ядре , Vэ) и параметры потока в зоне пониженных скоростей (Х3 , v5) постоянны.

При постоянных значениях критической скорости звука (а* = = const) и отношения удельных теплоемкостей (к = const) без учета сил трения и теплопередачи получим на основании уравнений сохранения расхода, количества движения и условия р'э = р"э = рэ следующие соотношения для массы газа, заключенной между сечениями I—I и Э—Э (фиг. 1,6):

Р01 нии Э—Э.

Здесь через ( )' обозначены параметры в ядре потока, ( )"—

параметры в зоне пониженных скоростей; X — приведенная скорость; р(Ц,г(к), у (к)— известные газодинамические функции [3]. В уравнениях (1)—(4) считаются заданными параметры Рэ1Р\,

Й2/А1, Vэ. Неизвестными ЯВЛЯЮТСЯ величины Хз, Хз , Чд,

В этом случае система уравнений (1) —(4) замкнута и решается численным путем. Параметр ¡х определяется по формуле р =

-1Ш Х"3’ где

В достаточно удаленном сечении 2—2 канала поток выравнивается не только по статическому давлению, но и по скорости. Средние параметры потока в этом сечении определяются из системы уравнений (1)—(4), записанной для этого случая в виде

Уравнение (6) имеет два корня: Х2>1 и Х2<1, поэтому средние параметры потока в сечении 2—2 (в горле) воздухозаборника

I____________________________________I : Л 1 .

У 0-э) z (Хэ) — у (к'э) z (Хэ) ’

h

где

А

уэ = коэффициент восстановления полного давления в сече-

г

могут быть определены при сверхзвуковой и дозвуковой скорости. Условие Х2>1 позволяет оценить максимальную величину параметра ч'э Шах при 0>О.

Для канала с параллельными стенками (фиг. 1, а) имеем Ь2—к1, 0 = 0. Уравнения (1) и (2) упрощаются, а величина Если

в результате прикрытия дросселя на входе образуется головная

волна, то, очевидно, ^ = ч"э = >пр ск— ^ • Псевдоскачок вырождается в головную волну, и его протяженность Цкх равна нулю, тогда как в канале ¿//г, = 10-т- 13 (см. [1, 2]). Можно ожидать, что длина псевдоскачка зависит не только от числа М! потока на входе, но и от степени дросселирования канала.

у"А"

0,6

0,7

0,6

05

о,:*

0,3 0,2 О,V 0.

А.'

1

! А У 1

Г

\ У

\ /

V X 1 У

\ / / к. Л

\ / /

1,0 \ 1 /' / г *

\ / /, /\ У

/ ч А Г/

/ <

( А

0,5 V

!х% / Г

/ и /

1 А /

У V }>в -— 1А37 1 .1 ....

1:

ъ”

"у'

6 Р,!Р,

V

//>//

\,кз

0,в 0,7 0,6 0,5 0Л 0,3 0,2 0,' о,

X'

16 1 I

1

/

-1,0 /. 1

ч N \ ( ' у

% '

у

у

0,5 з У / У \

Л //

/

1/ ✓ ! Л

Av;= 1+053 0,6

1 у ✓

3 4 5 6 р^/р,

Фиг. 2

2. Результаты решения системы уравнений (1) — (4) при 0=0 представлены на фиг. 2. Учитывая приближенный характер бес-скачковой модели двухслойного течения, отметим основные качественные результаты расчета. С увеличением относительного давления рд/р 1 по длине канала происходит выравнивание параметров потока и увеличение относительной массы газа ц в зоне пониженных скоростей. Эти результаты хорошо согласуются с экспериментом [2]. При Рэ = Ръ получаем — Хд = Х2 и р=1. Однако

2, как и в работе [1]. С увеличением рэ/р1 и уменьшением >м течение в ядре потока становится дозвуковым (см. фиг. 2). Область изменения относительного давления рэ\рх=\ +-ръ!рх резко уменьшается с уменьшением X! и, как показывают расчеты, слабо зависит от угла 0 и На фиг. 2 показаны результаты расчета при

^ = 0,6 (пунктир) и при линейном изменении коэффициента ^ ОТ единицы до V прямого скачка, равного 0,53 (сплошные линии), в диапазоне рэ!рх — 1 Рг!Р\- Видна существенная зависимость параметров потока от коэффициента . Величины ц. и Уэ в случае ^<1 обращаются в нуль при рэ/р1'^>\ (пунктир), тогда как для ^=1 они обращаются в нуль при рэ!рх = \-

3. Исследуем область существования решений системы уравнений (1) — (4). Для упрощения примем — 6 = 0(см. фиг. 1, а).

Для модели Крокко в ядре потока Уэ—1 и решение уравнений^)—(4) существует во всей области рэ!рх = \ ^ Рч1Ру Условие ^<1 приводит к ограничению области существования псевдоскачка по диапазону относительных давлений. В частности, в рамках рассматриваемой модели двухслойного течения не удается получить

Фиг. з

решения системы уравнений (1) —(4), соответствующего течению в псевдоскачке с < 0. Нижней границей области существований решений при двухслойном течении в псевдоскачке является зависимость рэ!р1 от vэ, определяемая условием Хэ = 0. В этом случае в уравнениях (1) —(4) величина Хэ=0 известна, следовательно, к неизвестным величинам вместо \"э можно отнести коэффициент ч'э

и определять его из уравнений, а не задавать в качестве параметра задачи. Тогда из уравнений (1) —(4) получим

Рэ

Р1

21э (х + 1) Мэ

р (*-э) Чэ

Р

Я

я

Уравнение (8) можно получить непосредственно из уравнений расхода и количества движения, записанных для течения с отрывом потока (см. фиг. 1, а, пунктир).

Задаваясь и рэ/ри находим неизвестные ч'д и },'э. Таким образом получаем искомую зависимость между относительным давлением рэ/рх и коэффициентом восстановления полного давления -*'э.

При этом из уравнения (1) при Хэ=0 определяется также величина Аэ/А^.Аэ/А 1>0. Условия Хэ = 0 и Аэ/А^О соответствуют течению с отрывом от стенок (см. фиг. 1, а, пунктир). Рассмат-

Е*

Р,

в

7

6

5

*

3

2

1,

ЫР,

1 >

Л,-/- д

1

]р2/рг

1.В V V л

к У I

\ У Г ¿1-2

\ Л1 \1

\\ Л Ы/Р,

V I

N

Упр. с«

9 у

Фиг. 4

10 V'

ривается протяженный по длине отрыв потока (фиг. 3, а, б), а не локальные зоны отрыва, которые образуются на стенках канала в передней части псевдоскачка. На фиг. 4 зависимости рэ\рх от соответствующие границе отрывного течения для 0 = 0, нанесены сплошными линиями для Ах = А2. Эти кривые вместе с линиями максимального относительного давления рэ1р1 = Рч/Рг =

.УМ " *

= у» соответствующего прямому скачку, ограничивают об-

ласть существования решения, для которого 0. Результаты расчета для 0 = 15° показаны на фиг. 4 пунктиром.

С увеличением рэ1р1 возрастает приведенная скорость в зоне пониженных скоростей (см. фиг. 2) и происходит переход к тече-

нию без отрыва потока Хэ>0. Этот результат хорошо согласуется с экспериментальными данными для больших X, (фиг. 3, б, в). Для небольших величин приведенной скорости Х,^1,4 максимальная высота зоны отрыва составляет по расчету не более 10% от высоты канала (фиг. 5). В этих случаях в эксперименте не наблюдается четко выраженного отрыва потока большой протяженности в начале псевдоскачка.

ТЕЧЕНИЕ С ОТРЫВОМ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА

Течение в начале псевдоскачка при больших числах М (М! > 1,5) будем рассматривать как течение с отрывом потока (фиг. 3, а, б). В рамках принятой модели такое течение можно рассчитать как частный случай решения уравнений (1) и (2) при Хэ = 0. Предполагается, что на входе в канал поток сверхзвуковой и на входной кромке (см. фиг. 1, б) образуется косой скачок уплотнения. Течение с отрывом потока ранее рассматривалось в работе [4] для воздухозаборников с головной волной на входе. Экспериментальные исследования проводились также И. С. Симоновым, Н. А. Юден-ковым и др. В отличие от [4] нами рассматривается течение сверхзвукового потока на входе без головной волны. Это течение приближенно описывается с помощью уравнений (8) и (9). Заметим, что здесь предположение о постоянстве статического давления по сечению является грубым и выполняется, как показывают экспериментальные исследования, только при длинах канала />4/г2 и больших относительных давлениях рэ!рх.

Результаты численного расчета по формулам (8) и (9) показаны на фиг. 5. Относительная площадь сечения основного потока Лэ/Лх

находилась из уравнения расхода ^ гг-, • Характерной осо-

Я уэ

бенностью рассматриваемого течения является существование минимума у зависимостей к'э от ч'э или от рэ1рх. С учетом однозначной связи коэффициента ч'э с рэ1рх (см. фиг. 4) получается, что при увеличении Рд/Рх площадь сечения потока к'э вначале уменьшается, а затем возрастает. Зависимости от ^ или от

Рэ!Рх слева и справа ограничены условием Кэ — кх для 6 = 0 и Лэ = /г2 для 9>0. При (кэ = Л2) имеем обычные средние па-

раметры потока в канале, соответствующие уравнениям (5) —(7).

ТЕЧЕНИЕ СО СТЕПЕННЫМ ПРОФИЛЕМ ЧИСЕЛ М

На основании экспериментальных исследований [2] профиль чисел М в сечениях по длине канала в псевдоскачке можно представить в виде степенной зависимости.

Пусть профиль чисел М имеет следующую форму:

М = Мэ —

На оси потока (/г = 0) число М = М=> и й М/£Й = 0 (при «>1). На стенке канала (А=1) число М = ЬАЭ .

В этом случае (при х= 1,4 и а* = const) уравнения сохранения расхода и количества движения, записанные для сечений 1—1 и Э — Э (см. фиг. 1, в, г), имеют вид

ЧП)

= jy

или, учитывая (10),

м"

У('Ч)_________I

\э — тэ м

i ^м)й/м;-м- <13>

У Мэ-Мэ м!,

.У

/№ Мэ — Мэ м' '

¿7

Предполагается, что величина рэ\рх постоянна в рассматриваемом сечении Э —Э. При решении системы уравнений (13) и (14) в качестве исходного параметра вместо рэ!рх удобнее взять М^ . Исключив рэ1рх из уравнений (13) и (14), получим

кэ

. С у (М) г (М) й VМэ — М

где

1+1

3;(М)2(М)=^—2—) (1 + хМ2);

<у(М)=.у(Х); г(М) = г(Х) = Х.+-1-.

Уравнение (15) однозначно связывает величины Мэ и Мэ и, таким образом, не требует произвола в задании ч’э, как для двухслойного потока с Хэ>0. При п= 1 (линейный профиль чисел М) интегралы, входящие в уравнение (15), определяются в квадратурах, и уравнение (15) приобретает вид

Для я = 2 и 3 интегралы, входящие в уравнение (15), также могут быть получены в квадратурах, однако при вычислениях, проще определять эти интегралы численно. '

При расчете для заданных чисел Мэ из уравнения (15) определялись соответствующие им числа Мэ. После этого определялись относительные давления рэ1рх и коэффициенты восстановлено формулам

ния полного давления и уэ

Рэ

Р1

^(М/Мэ-Мз'

| у{Ж)йУМэ-М

м.

Рэ

V = Рг

уэ

Р

Р

Рэ

Р\

Р(Ю

р

а также профили чисел М по уравнению (10) и профили коэффициента по уравнению (18), в котором Мэ заменено на М.

Расчет проводился для профилей чисел М с показателем п=1 (линейный профиль), п = 2 (квадратичный профиль) и п = 3 (кубичный профиль) в диапазоне чисел Х1 = 1,437 -ч- 1,8.

На фиг. 6 приводятся зависимости чисел Мэ и Мэ и коэффициентов у'э и ч"э от относительного давления рэ/рх для Х! = ],8, Увеличение давления приводит к выравниванию параметров потока в поперечном сечении канала независимо от формы профиля чисел М. При уменьшении давления число Мэ на стенке канала уменьшается и становится даже отрицательным, что свидетельствует об отрывном течении в канале. Зависимости ч'э от рэ1рх близки к линейным. Физический смысл имеют только те решения,

3—Ученые записки № 3

33

для которых На фиг. 7 приводится область существования

решений в переменных рэ/р1 и V Сверху эта область ограничена величиной р21ри а снизу — зависимостями рэ!ръ соответствующими величине ^=1 для различных форм заданного профиля чисел М.

Области существования решений с я = 2 'и 3 близки между собой и значительно шире, чем область существования при л = 1. Для п — 2 и 3 значительную часть области существования занимают решения С отрывным профилем чисел М. При увеличении область существования отрывных решений увеличивается. Зависимости ч'э(рэ1р1) для ^=1,8 при я=1 и 2 нанесены на область существования решений для модели двухслойного течения (см. фиг. 4).

Отрывной характер течения в начале псевдоскачка при больших числах М1^>2 подтверждается экспериментом (фиг. 3, а—в). В плоском канале (30x175 мм) с прозрачными стенками, выступающими за плоскость входа, наблюдался отрыв потока большой протяженности с несимметричными зонами отрыва на верхней и нижней стенках канала. В ряде случаев отмечались скачкообразные перемещения зоны отрыва при дросселировании канала.

На фиг. 8 приводятся профили чисел М в поперечных сечениях в области псевдоскачка в зависимости от относительного давления рэ1рх для Хх = 1,8 и 1,437. Сопоставление профилей показывает, что с увеличением Х1 возрастают поперечные размеры отрывной зоны. При больших ^ в значительном диапазоне изменения рэ1рг

число Мэ на оси канала в псевдоскачке остается сверхзвуковым.

На фиг. 8 для = 1,437 проводится сопоставление расчетных профилей чисел М с экспериментальными, полученными в работе [2] при исследовании псевдоскачка в плоском канале с поперечным сечением ки высотой 40 мм и шириной 50 мм. В этой работе установлено, что псевдоскачок имеет протяженность £ 10^ и уже

при /.//*! =1,5 наступает выравнивание статического давления в поперечном сечении. Видна хорошая сходимость экспериментальных и расчетных профилей скорости при л = 2 и 3 в области тече-

1,0 PJPl- e,t JJ3 ем 5,25

f /

1-Ь

h r / /

п= 1 ! /

0/ /

/

А

t 7

OJ V 1,5 М 0,5 0 0,5

А

w ¿/»Г 1,5 7 3 2

р31р,--2,0Ч 1

1-h I

-расчет авторов 1 /

О зхслеримент [2] /

0,5 расчет [/J /

к

—

Lss

1

10 pjpr6,st 6,335,256Щ25J,if7 2,7

I п

1-Ь I

0,5 м- Г г И

Г|' Н‘ у / -4-- I

и i s' I

I I

/ I

~05

05

1,0

15 М

\РЭ/Рг2,55 п-3 2 1

/

Ь /

И

А и

-у

г

1'

У, 4

l/h,-7,5’, P3/Pf2j0 п=3 21

Ъ 1

1

1

г J

Vi

Фиг. 8

ния, где Мэ< 1. Расчетные профили полных давлений в этом случае также качественно соответствуют экспериментальным данным.

На фиг. 8 для сравнения приводятся также результаты расчетов по работе [1].

Если учесть толщину потери импульса пограничного слоя на стенках перед псевдоскачком и трение в псевдоскачке, то величины Рг1Рх и ч2 получаются ниже, чем в прямом скачке. Как показали расчеты, профили скорости в псевдоскачке при этом заметно изменяются и отрывной характер течения соответствует меньшим величинам рэ1ри чем было получено выше.

ЛИТЕРАТУРА

1. К р о к к о Л. Ударные волны и псевдоударные волны в каналах. В сб. „Основы газовой динамики“. М., Изд. иностр. лит., 1963.

2. Tamaki Т., Tomita Y., Yamane R. A study of pseudo-shock. Bulletin of the JSME, 1970, No 55.

3. Христианович С. А., Гальперин В. Г., Миллионщиков М. Д., Симонов Л. А. Прикладная газовая динамика, ч. I, Изд. ЦАГИ, 1948.

4. Николаев А. В. Течение на входном участке канала сверхзвукового диффузора при отрыве пограничного слоя головной волной. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1970.

Рукопись поступила 9/VI 1971 г.