О некотором проекционном итерационном методе решения нелинейных уравнений

УДК 517.988.8

О НЕКОТОРОМ ПРОЕКЦИОННОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

А.А. ФОНАРЁВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Для отыскания решения уравнения в гильбертовом пространстве с оператором, являющимся сжатием, предлагается проекционный итерационный процесс. Проекционный итерационный процесс строится с использованием проекционно-итеративного метода.

Ключевые слова: проекционный итерационный процесс, нелинейное уравнение.

Введение

Итеративные и прямые методы получили широкое применение при исследовании и построении решений различных классов уравнений. На их базе возникли методы аппроксимаци-онно-итерационного типа, к числу которых принадлежат проекционные итерационные методы, сочетающие в себе проекционный метод и итерационный процесс.

Важное место среди методов аппроксимационно-итерационного типа занимают методы проекционно-итеративного типа [1], к созданию которых привели развитие метода осреднения функциональных поправок, предложенного Соколовым Ю.Д. [2], и обобщения метода осреднения функциональных поправок.

В статье предлагается проекционный итерационный процесс, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс (т.е. проекционный итерационный метод) и построенный с использованием проекционно-итеративного метода [1; 3], для отыскания решения нелинейного уравнения

х = Тх

в гильбертовом пространстве H со скалярным произведением (х,у) и нормой ||х|| = (х, х)12 для х, у е H. И доказывается сходимость последовательности проекционного итерационного процесса к решению уравнения (1). Оператор T в уравнении (1) задаётся на шаре пространства H и является сжатием.

В исследуемом в работе проекционном итерационном методе проекционный итерационный процесс является процессом нестационарного типа.

1. Постановка и формализация задачи

Для шара с центром в нуле пространства H радиусом 8 > 0 используется обозначение Ds, т. е. D8 °{хе H : ||х|| < 8}.

Предположим, что выполняются следующие условия (I-IV).

Г 1 ^

I. Оператор T: Dr^  H является сжатием с постоянной сжатия qе 0,^=J, т.е.

для ^, у е Dr4-r

II. Оператор Т отображает шар Д^ в шар Дг.

III. и, У0 - такие замкнутые подпространства пространства Н, что пространство Н представляется в виде прямой суммы подпространств и и У0; Р, Q0 - операторы ортогонального проектирования пространства Н соответственно на подпространства и и У0.

IV. {У} и } - такие последовательности замкнутых подпространств У пространства

Н и операторов ортогонального проектирования Qi пространства Н на У (г > 1), что У с У0 для каждого г > 1 и Qix  Q0х при г  . для "х еУ0.

Замечание 1. Условие II вытекает из условия I при ||Т(0)|| < (1 - ^42) г.

Замечание 2. Если оператор В : Н  Н конечно-непрерывный по Липшицу, т. е. для любого числа г > 0 существует такое число Ь = Ь(г) > 0, что

для х,у е Дг, то для произвольного числа г > 0 существует такое число Л = Л(г) > 0, что для оператора Т = ЛВ с Ле (0,1] выполняются условия I, II.

Из условия III вытекает, что любой элемент х е Н имеет единственное представление в виде х = и + V с и еи и V еУ0. И при этом и = Рх, V = Q0 х.

Рассмотрим проекционный итерационный процесс

и = РТ (и + V-1 ) и е Дг п и, V = ЙТ (и + V! ) V е Д п У,

х = и + V 0' = 1,2,•••),

V0 е Дг П У0.

Проекционный итерационный процесс (2) содержит в себе две части: проекционную об отыскании и итерационную об отыскании vi ( > 1). При этом итерационная часть проекционного итерационного процесса (2) является нестационарной, ибо в итерационной части проекционного итерационного процесса (2) не используется, вообще говоря, стационарный оператор.

Проекционный итерационный процесс (2) строится с использованием проекционно-

итеративного метода [1], [3]. Точнее, проекционный итерационный процесс (2) строится с использованием проекционно-итеративного метода Н.С. Курпеля [3].

Если последовательности {и.}. , и {vi}. , сходятся соответственно к и* е Д п и и

и » J i=1 и » J i=1 г

V* е Дг п У, то последовательность {х1 }.= сходится к х* = и* + V* е Д^, ибо с использованием

* * / * * \ г\

ортогональности и и V имеем равенство (и V ) = 0, с использованием которого имеем

II *112 II *112 . 11 *112 ^ 2

х = г + V < 2г .

Следовательно, при г имеем равенства

и* = РТ (х*), V* = Q0T (х*).

Значит, х* является решением уравнения (1), ибо Р + Q0 - тождественный оператор в Н. Так как уравнение (1) имеет в шаре Д ^ единственное решение и оно принадлежит шару Дг, то

х* е Дг.

Далее будет показана осуществимость проекционного итерационного процесса (2) и доказана сходимость последовательности {х} проекционного итерационного процесса (2) к ре-

шению уравнения (1).

2. Основной результат

Покажем, что проекционный итерационный процесс (2) осуществим.

Для каждого г > 0 введём оператор

Р : Вг п V  Вг п V,

Ргх = V, м = РТ(и + х), ие Бг пС/, V = QІT(и + х) (хе Бг пV0).

Покажем корректность определений операторов р (г = 0,1,к).

Зафиксировав произвольный элемент х е Д. п У0, рассмотрим уравнение

и = РТ

Оператор

А : Д п С  С,

Аи = РТ(м + х) (и е Д п С) отображает множество Д пи в себя, ибо \\и + х|| < гл/2. Следовательно, в силу того, что оператор А является сжатием, уравнение (3) имеет единственное решение и е Д п и, что влечёт

корректность определений операторов р (г > 0).

Из корректности определений операторов р (г > 0) вытекает осуществимость проекционного итерационного процесса (2).

Проведём анализ операторов р (г > 0).

Зафиксировав г > 0 и взяв г1,*2 е Д п V0, для

Уке вг п ^, Ук = РТ

имеем

||У1-уЛ £ ч IIУ1-у2+*-*2II = ч (IIУ1-ул +1*-*211 ).

Следовательно,

где Ч02 е (0,1).

1 - ч

С использованием неравенства (4) и равенства

ч2

имеем

II 17 17 II2 ^ 2 II , II2 ^ 2\\ II2

- РМ £ Ч ||У1 - У 2 + *1 - Ц £ Ч0|Р1 - 2г\.

Показали, что для каждого г > 0 оператор Рг является сжатием с постоянной сжатия ч0. Следовательно, для каждого г > 0 уравнение

V = Р^

имеет единственное решение V' е Д п V,. Для каждого г > 0 имеем

У = РМ, Vг/ = ^ (хг ), х' = и + V , Щ е Д п U, Щ = РТ (хг ).

В частности, при г = 0 имеем

х0 = Т (х0),

т.е. х0 - решение уравнения (1) и х0 е Д в силу единственности решения уравнения (1) в шаре В^.

В силу условия IV уравнения (6) с г > 1 являются уравнениями проекционного типа для уравнения (6) с г = 0.

Для каждого г > 1 с использованием неравенства (4) имеем неравенство

Зафиксировав і > 1, имеем

Следовательно, зафиксировав произвольное е > 0 и используя неравенство Коши с е

2аЬ < еа2 + е_1Ь2,

справедливое для любых неотрицательных чисел а и Ь, неравенство (7) и равенство (5), для каждого г > 1 имеем

доказана сходимость последовательности решений уравнений проекционного типа (6) с г > 1 для уравнения (6) с г = 0 к решению уравнения (6) с г = 0 со скоростью сходимости (10). И при

Следовательно, последовательность {х'}г1 сходится к решению х0 уравнения (1) со скоростью сходимости

Анализ отображений (г > 0) завершён. Схема анализа отображений (г > 0) будет ис-

пользована частично при доказательстве основного результата работы.

Справедлива следующая лемма [4].

Лемма 1. Пусть

Зафиксировав теперь произвольное число

и вводя число

Так как в силу условия IV последовательность

сходится к нулю, то

является оценкой скорости сходимости последовательности {| V - 1|} к нулю. Таким образом,

этом в силу неравенств (7) последовательность {\и' - и0\} сходится к нулю со скоростью сходимости

Д+1 <ГоД +?г

с постоянной g0 е (0,1), где (Д} - последовательность неотрицательных чисел, а (t } - ог-

раниченная последовательность неотрицательных чисел. Тогда последовательность (Д} ограниченная и

lim Д < —1— lim t.

г¥ 1 _ go

В лемме 1 lim - верхний предел.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Последовательность (хг.} проекционного итерационного процесса (2) сходится

к решению х* уравнения (1).

Доказательство. Для решения х* уравнения (1) имеем равенство

х* = Рх* + Q0 х*.

Используя обозначения, применявшиеся при построении проекционного итерационного

процесса (2), равенство (11) и неравенство (4), для каждого i > 1 имеем

Зафиксировав произвольное е> 0 и используя неравенство Коши с е, равенство (11), неравенство (12) и равенство (5), для каждого i > 1 имеем

II и2 / и II II и \ 2

< (1 + е)д2 \иг + V-! - х*||2 +(1 + £- )||(Q, - Qo).х*1'2

:(1 + e)q2 (| и, - Рх-\\2 +| V-1 - Qo х*||2 ) + (1 + С-1 )||( Q, - Qo) х*||2 <

2

< (1 + £)q¡2 ||V,-1 - Qoх* || +(1 + e_1) ||(Q, - Qo)х*

Зафиксировав теперь такое произвольное число е> 0, что выполняется (8), имеем для каждого i >1 неравенство

||v - Qoх*||2 £ b|| v_i - Qoх* ||2 + (1 + e~l) ||(Qi - Qo) x*\\2 с постоянной (0,1), введённой в (9). Следовательно, с использованием леммы 1 и сходимости в силу условия IV последовательности {||(Qi - Q0) х*||} к нулю имеем

что в силу (12) влечёт

Щ - Рх* ||  0 (i  ¥).

Теорема 1 доказана.

Теорема 1 является теоремой о сходимости последовательности проекционного итерационного процесса (2) к решению уравнения (1) при выполнении условий (I-IV).

Теорема 1 - основной результат работы.

Замечание 3. Теорему 1 можно доказать с использованием решений уравнений (6). Заключение

Автором предложен проекционный итерационный процесс, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс, последовательность которого сходится к решению нели-

нейного уравнения в гильбертовом пространстве. Оператор в уравнении задаётся на шаре гильбертова пространства и является сжатием. Проекционный итерационный процесс строится с использованием проекционно-итеративного метода.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. - Киев: Наукова Думка, 1993.

2. Соколов Ю.Д. Метод осреднения функциональных поправок. - Киев: Наукова Думка, 1968.

3. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. - Киев: Наукова Думка, 1968.

4. Фонарёв А.А. О некотором проекционно-итерационном методе решения уравнений с вполне непрерывными операторами // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: межвед. сб. научн. тр. - М.: МФТИ, 1996. - С. 205-214.

ABOUT SOME PROJECTIVE ITERATIVE METHOD OF SOLUTION NONLINEAR THE EQUATIONS

Fonarev A.A.

For search of a solution of the equation in a Hilbert space with an operator, being compression, the projective repetitive process is offered. The projective repetitive process is under construction with use of a projectively-iterated method.

Key words: projective iterative process, nonlinear equation.

Сведения об авторе

Фонарёв Анатолий Афанасьевич, 1942 г.р., окончил МГУ (1972), кандидат физико-

математических наук, доцент кафедры высшей математики Московского физико-технического института, автор более 120 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения в нормированных пространствах, приближенные методы нелинейного функционального анализа.