Нейроноподобная модель на основе системы фазовой автоподстройки частоты

Теория колебаний

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (3), с. 279-282

УДК 537.86

НЕЙРОНОПОДОБНАЯ МОДЕЛЬ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ

© 2011 г. М.А. Мищенко

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

mischenko@neuro.nnov.ru

Поступила в редакцию 08.06.2011

Проблема коллективной динамики нелинейных объектов является одной из ключевых в современной радиофизике. Сложные динамические режимы нейронных систем - один из примеров такой задачи. Рассмотрена система фазовой автоподстройки частоты, которая может демонстрировать динамику, схожую с некоторыми режимами изменения мембранного потенциала нейрона. Преимуществом данной модели является наличие аппаратной реализации.

Ключевые слова: модель нейрона, фазовая автоподстройка частоты.

На сегодняшний день известно большое количество различных типов нейронов - электрических клеток мозга. Каждый из этих типов имеет свои особенности электрической активности, важнейшим показателем которой является мембранный потенциал. Одной из наиболее важных черт реальных нейронов является способность генерировать потенциал действия.

Для теоретического изучения и численного исследования динамики мембранного потенциала существует большое количество моделей различной степени детализации, описывающих необходимые динамические режимы [1]. Классической моделью нейрона, демонстрирующей, в том числе, возникновение потенциала действия, является модель Ходжкина-Хаксли. Однако в силу большого количества динамических переменных и параметров эта модель довольно сложна для анализа. Для изучения больших ансамблей нейронов часто используются более простые точечные модели фазовых осцилляторов, к которым сводятся системы общего вида с периодическим поведением и слабыми парными связями [1]:

^ = в, \

] = 1

где 0г- - фаза колебаний /-го элемента, юг- - частота колебаний, #у(0г, 0;) - матрица взаимодействий элементов. Однако область применения таких фазовых моделей нейронов очень ограничена, поскольку кроме регулярных периодических колебаний, описываемых такими моделями, в реальных нейронах встречаются и более сложные режимы: нерегулярные колебания и пачечные разряды. Для описания таких режи-

мов можно предложить более сложный вариант фазовой модели нейрона на базе схемы автогенератора с фазовым управлением - системы фазовой автоподстройки частоты (ФАП).

Системы фазовой автоподстройки частоты (ФАП) получили широкое распространение в радиотехнике и близких отраслях науки. Эти системы изначально разрабатывались для решения задач синхронизации, стабилизации частоты, управления частотой и фазой радиоколебаний, фильтрации, демодуляции, формирования и обработки сигналов, а также ряда других задач. К настоящему времени теория систем ФАП достаточно хорошо развита.

Математическая модель такой системы ФАП (называемая иногда базовой) может быть представлена следующим уравнением:

^ + К

где ф - текущая разность фаз подстраиваемого и опорного генераторов, р=ШЖ - оператор дифференцирования, О - максимальная расстройка по частоте, которую может скомпенсировать цепь управления, у=Он/О, -

начальная частотная расстройка колебаний, К(р) - коэффициент передачи фильтра в операторной форме, ^(ф) - нормированная характеристика фазового дискриминатора. Нелинейные свойства уравнения (1) определяются нелинейной характеристикой фазового дискриминатора, а инерционные зависят от фильтра в цепи управления, который подбирается исходя из обеспечения желаемых свойств динамических процессов. Для любого конкретного фильтра с коэффициентом передачи К(р) от

Рис. 1. Проекция фазового портрета системы (2) в случае пачечной активности

Рис. 2а. Осциллограмма переменной у в случае па- Рис. 2б. Пачечная

символической записи модели (1) можно перейти к модели ФАП в форме конкретного дифференциального уравнения, порядок которого определяется типом фильтра К(р).

В работе [2] была рассмотрена система фазовой автоподстройки частоты с фильтрами нижних и верхних частот в цепи управления. В такой системе отсутствует состояние равновесия (режим синхронизации), но существует предельный цикл (режим биений). При определённых параметрах предельный цикл может трансформироваться в хаотический аттрактор [3], и реализующиеся в такой системе режимы могут демонстрировать динамику, схожую с некоторыми режимами изменения мембранного потенциала нейрона. В частности, в данной системе могут существовать квазирегулярные колебания или пачечные разряды, разделяемые промежутками медленного изменения. Рассмотрим подобную динамику подробнее.

Динамические процессы рассматриваемой системы описываются следующими уравнениями [2]:

Зф

3%

Зу

3%

= У

8102------= У“ (^1 + 82)2 - (1 + &! СО 8ф)у,

3%

определёнными в цилиндрическом фазовом пространстве (ф,у,^). Здесь 81 и 82 - безразмерные параметры фильтров.

Применительно к динамике нейрона переменную у можно интерпретировать как мембранный потенциал, изменение величины у оказывает действие, схожее с изменением внешнего тока в модели Ходжкина-Хаксли. Проекция фазового портрета системы (2) в случае пачечной активности на плоскость (ф, у) представлена на рис. 1. Пример осциллограммы у(т) для переменной у в этом случае приведён на рис. 2а.

Из рис. 2а можно сделать вывод, что в системе (2) присутствуют два временных масштаба, которые позволяют демонстрировать поведение, качественно похожее на типичную для

Рис. 3. Проекция фазового портрета системы (2) в случае квазирегулярной активности

Рис. 4а. Осциллограмма переменной y в случае квази-регулярной активности

Рис. 4б. Квазирегулярные колебания мембранного потенциала нейрона

реальных нейронов пачечную или спайк-бёр-стовую активность (рис. 2б).

При увеличении параметра у система может демонстрировать квазирегулярные колебания, проекция фазового портрета (ф,у) и осциллограмма у(т) которых изображены на рис. 3 и рис. 4а соответственно.

Как следует из рис. 4а, в системе (2) существуют квазирегулярные колебания, которые качественно похожи на регулярные колебания мембранного потенциала в реальных нейронах, изображённые на рис. 4б.

Таким образом, предложенная модель при изменении параметров у, є і и є2 может демонстрировать различные режимы колебаний, аналогичные режимам, присущим реальным нейронам. Дальнейший анализ характерных особенностей этих режимов, областей параметров, соответствующих различным режимам, может дать полезную информацию о преимуществах и перспективности этой модели нейрона. Однако уже на данном этапе ясно, что важным преимуществом данной модели

является наличие аппаратной реализации, что в принципе позволяет считать вполне реальным создание радиотехнических моделей нейронов для экспериментального изучения коллективной динамики.

Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009— 2013 гг. (контракт №14.740.11.0075).

Список литературы

1. Rabinovich M.I. et al. // Reviews of Modem Physics. 2006. V. 78. №4. P. 1213-1265.

2. Шалфеев В.Д. // Известия вузов. Радиофизика. 1968. №3. С. 397-406.

3. Бакунов Г.М., Матросов В.В. // Труды Тринадцатой научной конференции по радиофизике, посвященной 85-летию со дня рождения М.А. Миллера. 2009. С. 65-67.

4. Eugene M. Izhikevich. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. Cambrige: MIT Press, 2007.

NEURAL MODEL BASED ON A PHASE-LOCKED LOOP M.A. Mishchenko

The collective dynamics of nonlinear objects is one of the key problems in modem radiophysics. The complex dynamic modes of neural systems are an example of such a problem. We consider a phase-locked loop that can demonstrate the dynamics similar to some modes of neuron membrane potential changes. The advantage of the model is an existing hardware implementation.

Keywords: neuron model, phase-locked loop.