Универсальный алгебраический синтез преобразователей на переключаемых конденсаторах, основанный на обобщенных числах Фибоначчи

УДК 004.383.4:51-74:621.314.1

А. Д. КУШНЕРОВ Ш. БЕН-ЯАКОВ

Лаборатория силовой электроники, Университет Бен-Гуриона в Негеве, г. Беэр-Шева, Израиль

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ НА ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫХ КОНДЕНСАТОРАХ, ОСНОВАННЫЙ НА ОБОБЩЕННЫХ ЧИСЛАХ ФИБОНАЧЧИ

Разработан универсальный алгебраический подход к синтезу преобразователей на переключаемых конденсаторах (ППК). Предложенный подход снижает потери мощности за счет увеличения числа целевых напряжений. Показано, что ППК, основанные на двоичной и Фибоначчи системах счисления, являются частными случаями предложенного подхода. Более того, данный ППК построен на основе такой же переключательной схемы, как двоичный и Фибоначчи ППК. Эта особенность позволяет задавать различные целевые напряжения и увеличить тем самым резолюцию достижимых коэффициентов преобразования. Для случая трех переключаемых конденсаторов были введены шесть новых коэффициентов преобразования в дополнение к тринадцати уже имеющимся. Теоретические результаты были подтверждены экспериментально.

Ключевые слова: КПД, преобразователи постоянного тока, схемы на переключаемых конденсаторах, топологии в схемах.

I. Введение. Преобразователи на переключаемых конденсаторах (ППК) применяются в устройствах малой мощности и могут быть реализованы на кристалле. Они не содержат магнитных элементов, что способствует снижению помех. Преобразователи имеют относительно высокий КПД при условии, что их выходное напряжение Уо близко к целевому напряжению УТЯС = М^У.п, где М — это коэффициент преобразования на холостом ходу. КПД преобразователей может быть найден приблизительно как п = У„/УТЯС и уменьшается, когда ППК нагружен. Снижение КПД происходит из-за характерных потерь мощности, представленных схемой замещения на рис. 1. Она содержит источник целевого напряжения УТЯС и эквивалентный резистор Я^, который отражает потери в сопротивлениях ключей и ЕБЯ конденсаторов [ 1 — 2]. Упрощённая модель на рис. 1 не принимает в расчёт потери, связанные с управлением транзисторами, токами утечки и другими паразитными эффектами, которые не рассматриваются в данной работе.

Если пренебречь паразитными эффектами, высокий КПД получается при низком Я^, поскольку тогда Уо будет очень близким к УТЯС. Часто есть необходимость поддерживать постоянное выходное напряжение при колебаниях входного или иметь различные выходные напряжения для разных режимов работы системы. Такое управление выходным напряжением может быть реализовано подстройкой или М, или обоих [3]. Наибольший КПД получается, если Я^ поддерживается низким, насколько

возможно, а М изменяет значения с маленьким шагом. Последнее, однако, является сложной задачей, поскольку М зависит от топологий ППК. Попытки ввести несколько значений для М приводили до сих пор к схемам с большим числом конденсаторов и ключей, что увеличивает потери.

Эффективный способ получить большое количество целевых напряжений — комбинация двоичного [4 — 5] и Фибоначчи ППК [6 — 7]. Поведение этой комбинации показано непрерывной линией на рис. 2, где значения по оси X — это достижимые коэффициенты преобразования. Целью этого исследования было ввести дополнительные целевые напряжения в комбинированный ППК без добавления конденсаторов или ключей. Пунктирная линия на рис. 2 показывает дополнительные пики КПД, которые получаются вставкой новых, полученных из обобщённых чисел Фибоначчи, целевых напряжений между существующими.

II. Обобщённое Фибоначчи представление со знаком (SGF). Предлагаемый алгебраический синтез обобщённого Фибоначчи ППК основан на новой системе счисления, описываемой в этом разделе. Обобщённые (Л, к)-числа Фибоначчи [8—10] определяются для I > 2 и Л < к < Л +1 как:

^ = ^ + ^ + (к - к),

где начальные значе ния Г2]1 = Р3_к =... = Рд = (Л—к +1), а ^=1. Для Л < к < 3 первые восемь (Л, к)-чисел Фибоначчи при ведены в табл. 1. Заметим, что

Рис. 1. Схема замещения ППК

1/8 1/5 \ 1/з %2/5 \ %% % % % 7/а Утнс/Уы

Рис. 2. Ожидаемый общий КПД

Таблица 1

Обобщённые числа Фибоначчи

Л к Выражение 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 Р, = 2Р-1 1 2 4 8 16 32 64 128

1 2 Р, = Р,-1+Р,-2+1 1 2 4 7 12 20 33 54

2 2 Р. = РМ + Р.-2 1 2 3 5 8 13 21 55

2 3 Р, = Р,-1+Р,-3+1 1 2 3 5 8 12 18 27

3 3 Р. = Рм + Р.-3 1 2 3 4 6 9 13 19

Таблица 2 (1, 2)-веса Фибоначчи для п=6

] 0 1 2 3 4 5 6

Р , 33 20 12 7 4 2 1

п ]+1

N =) АИп-1+1 1=0

0 1 0М 10 1 0 0

к-1 к-1

Определим тепьрь (я дробей Мп= Nn/Рn+¡, лежащих в диапазоне (0, 1), обобщённое Фибоначчи представление со знаком (8С1) следующим образом. Для начала нор мализуем выражение (2) к наибольшему (Л, к)-иисиу Фибонкччи Рп+1, а затем позволим А. ] > 1) псиаимата лдна лз туех значений 0, 1 или —1, как было сдеиано в [12]. Коэффициент А0 в БОБ представлении, как и прежде, будет равен либо 0, либо 1. Таким обр азом,

Мп = б0 л) б

1=1

Пн о'л!

первая и третья строки — это двоичная и Фибоначчи последовательности соответственно.

Согласно теореме Дайкина [8—10], любое целое число Р. < Мп < Р. + 1 может быть однозначно представлено как сумма различных (Л, А)-чисел Фибоначчи:

где п — это резолюцин, а коэффициенты А. принимают значения 0 или 1. Инкрементируя индекс ], мы получим наибольшее (Л, £)-чбсло Фибоначчи Рп+1 в крайней левой позиции, как показано в табл. 2, для Л = 1, к = 2 и л = 6.

Поскольку теоре0а Дайким фактачхски обобщает теорему Цекендорфа [11], далее разложение Дайкина будет называться у2^-коу. лха отличие Б2-кода от двоичнос0 — л то то, чао сю асх уомбина-ции «0» и «1» разрешены.

В частности, две единицы должны быть разделены, по крайней мере, к—1 нулями, с единственным исключением для двух крайних единиц справа, которые могут быть разделены Л —1 нулями. Например, если Л = 2 и к = 3, то каждая пара единиц в Б2-коде разделена, по крайней мере, двумя нулями, за исключением крайней пары справа, которая разделена, по крайней мере, одним нулем и может продолжаться строкой из нулей. Эти две разрешенные комбинации битов показаны в (3).

где п — это рез слюция. Из-за того что А. принимает дополнительнс0 знлчеуис — 1, оунх и то же Мп может быть представлена л азаилными ас? кодами, например: с

4/7 = 1 - Б(4/7) + 0^(2/7) + Б(1/7) ^ {1 -1 0 1} 4/7 = 1 - Б(4/7) + Б(2/7) - Б(1/7) ^ {1 -1 1 -1} (5) 4/7 = 1 + 0^(4/7) - Б(2/7) - Б(1/7) ^ {1 0 -1 -1}

Эти коды получаются в соответствии с правилом, которое основано на тождестве 2Р. = Р.+1 + Р.-1 — — Р._к+1 + Р._к. Фактически это тождество говорит о том, что сложение двух единиц в Б2-коде вызывает, в общем случае, четыре переноса. Первый перенос идет на один бит влево, второй — на один бит вправо, а третий и четвертый идут на к—1 и к бит вправо соответственно. Заметим, что для к=1 приведенное выше тождество сокращается до правила сложения двоичных чисел 2Р. = Р.+1, тогда как для к=2 оно сокращается до правила сложения чисел Фибоначчи 2Р = Р + Р .

I г+1 1—2

Правило для получения SGF кодов:

Эта итеративная процедура начинается с Б2-кода Мп. Пропуская нули слева, добавим «1» к первому А. = 1. Это превратит А. в «0» и вызовет четыре переноса. Для того чтобы сохранить исходное значение Мп, добавим « — 1» к полученному А. = 0, что даст новый БСБ код. Описанная выше процедура повторяется для всех А. = 1 в исходном коде и для всех А. = 1 в каждом новом БСБ коде.

Следствие 1: Минимальное количество БСБ кодов для данного Мп с резолюцией п равно п + 1.

Это объясняется тем, что каждая единица в Б2-коде с резолюцией п дает новый БСБ код и четыре переноса. В следующих итерациях эти переносы распространяются так, что каждый ноль в Б2-коде превращается в единицу, которая затем используется для получения нового кода. Таким образом,

SGF коды для дробей M3, h = 1, k = 2

Таблица 3

M3=1/7 M3 = 2/7 M3 = 3/7 M3 = 4/7 M3 = 5/7 M3 = 6/7

А0 А, А2 А3 А А2 А3 А0 А2 А3 А0 А2 А3 А0 А2 А3 А А2 А3

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0

0 0 1 -1 0 1 -1 0 0 1 -1 1 1 -1 0 1 1 -1 1 0 1 -1 1 1

0 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 0 0 1 -1 1 -1 1 0 -1 0 1 0 -1 1

1 -1 -1 0 1 -1 0 -1 0 1 0 -1 1 0 -1 -1 0 1 1 -1 1 0 0 -1

1 4/7 2/7 1/7 1 4/7 2/7 1/7 1 4/ 2/ 1/ '7 '7 '7

0 0 11 0 +1 1 -11 0 +1 1 -1 1 +1

0 10 1 1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 -1

0 1 -11 1 -10 0 0 1 0 -1

Рис. 3. Получение SGF кодов для M3=3/7 из EZ-кода {0 0 1 1}

Рис. 4. Топологии обобщённого понижающего Фибоначчи ППК с коэффициентом преобразования M3=3/7

минимальное количество кодов — это исходный код плюс n, т.е. n +1.

Следствие 2: Каждый А. = 1 в EZ-коде или в полученном SGF коде дает, по крайней мере, один А. = — 1 в той же самой позиции ] другого SGF кода. Это объясняется тем, что в процедуре получения кодов происходит замена «1» на «—1».

Пример получения трёх различных SGF кодов для M3 = 3/7 из (1, 2)-EZ-кода {0 0 1 1} представлен на рис. 3. Поскольку k = 2, применяется сокращенное правило 2F.=F +F . Заметим, что F0 = 0, и поэтому переполнения за LSB можно не учитывать. SGF коды для других M3, h=1, k = 2 приведены в табл. 3.

III. Перевод SGF кодов в топологии ППК. Правила для перевода SGF кодов в топологии ППК совпадают с правилами, приведенными в [4 — 7] для двоичного и Фибоначчи ППК. Рассмотрим понижающий ППК, который подключен к источнику входного напряжения V. и содержит набор из n пере-

Рис. 5. Система переключателей обобщённого Фибоначчи ППК

ключаемых конденсаторов С, а также выходной конденсатор С, подключенный параллельно с нагрузкой К. Соединения между У.п, С. и С. для заданного М осуществляются по следующим правилам:

1) если А0 = 1, то У.п подключен и заряжает схему;

2) если А0 = 0, то У п не подключен;

3) если А. = —1, то С. заряжается вместе с нагрузкой;

4) если А. = 0, то С. не подключен;

5) если А. = 1, то С. разряжается на нагрузку.

Результат применения этих правил показан

на рис. 4, где БСБ коды для М3 = 3/7 переведены в топологии ППК.

Топологии на рис. 4 переключаются циклически, и через некоторое время напряжение на выходном конденсаторе достигает целевого. Предположим, что ППК раб отает в установившемся режиме и все конденсаторы в топологиях на рис. 4 заряжены до постоянных, но неизвестных напряжений V, У2, У3 и V. Чтобы натти эти напряжения, мы применим второй закон Кирхгофа к каждой топологии, что проводит к следую щей системе из четырех линейных уравнений:

0. yin + 0 V +1V +1. V = Vo

о v +1. v -1 • V +1. V = V 1V-1 v + о. v2 + о. V3 = v 0.V. +1.V + 0. V -1.V = V

Решая (6), мы получим целевое и (1, 2)-Фибоначчи напряжения: Уо=(3/7)У.п; У1 = (4/7)У.п; У2=(2/7)У.п; У3=(1/7) V п на выходном и трёх переключаемых конденсаторах соответственно. Учитывая тот факт, что система (6) имеет единственное решение, оно также должно быть, если поменять местами У.п и У. Это означает, что, подключив источник

8.0 7.0 6.0 Б.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0

1

1 4i.fi И 5/, ;

' I""**' ! ;

y7 ft ^Ti 1

V,

/3 Ы / 5 U

Conversion ratio, М

а)

Conversion ratio,, б)

Рис. 6. Выходное напряжение (а) и КПД (б) экспериментального ППК. Верхний и нижний графики на (а), так же как ромбы и квадраты на (б), получены для R =3000 и R =1000 соответственно. Точки, обозначенные «X» на (б), оценивают минимальный КПД при регулировке между целевыми напряжениями

напряжения к выходу, а нагрузку ко входу, можно превратить понижающий ППК в повышающий. Целевое напряжение в этом случае будет обратным, Vo=(7/3)Vn. Для n переключаемых конденсаторов и h=k = 2 наибольший коэффициент преобразования равен обычному числу Фибоначчи Fn+2. Этот случай имеет практическое значение при необходимости построить специальный умножитель напряжения и рассматривается в [6 — 7].

Таким образом, для такого же числа переключаемых конденсаторов (n = 3) удалось получить шесть новых (1, 2)-Фибоначчи коэффициентов преобразования, а именно: {1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7} в дополнение к тринадцати уже имеющимся в двоичном и Фибоначчи ППК: {1/8, 1/5, 1/4, 1/3, 3/8, 2/5, 1/2, 3/5, 5/8, 2/3, 3/4, 4/5, 7/8}, что должно улучшить КПД, как показано на рис. 2.

IV. Эксперементальные результаты. Экспериментальный ППК построен на основе разработанной ранее [4 — 7] переключательной схемы (рис. 5). В ней используются двунаправленные КМОП ключи MAX4678 с сопротивлением 1,2Q. Конденсаторы C1 = C2 = C3 = 4,7/iF, Co = 470/iF, а V.n = 8V. Интервал времени, выделенный для каждой топологии, равен 5^s. Выходное напряжение было измерено для R = 300Q и R = 100Q и представлено на рис. 6а) непрерывной и пунктирной линиями соответственно. КПД преобразователя представлен на рис. 6(б) для Ro = 300Q (ромбы) и Ro=100Q (квадраты).

Из рис. 6б видно, что для низких коэффициентов преобразования M получен низкий КПД. Это объясняется тем, что в реальном ППК есть некоторые постоянные потери, влияние которых существенно при низких Mn. Ещё одно свидетельство постоянных потерь — это низкий КПД для тех же Mn при слабой нагрузке.

V. Выводы и обсуждение. На основе теоремы Дайкина разработано новое SGF представление, которое затем было использовано для алгебраического синтеза обобщённого Фибоначчи ППК. Этот, новый, класс ППК позволяет снизить потери мощности путём увеличения числа целевых напряжений и совместим с разработанными ранее двоичным и Фибоначчи ППК. Это позволяет увеличить плотность пиков КПД путём переключения между соседними целевыми напряжениями, которые расположены достаточно близко. Большое число различных целевых напряжений полезно как в случае нерегулируемого ППК, так и в случае регулируемого, в котором выходное напряжение поддержива-

ется постоянным при изменениях нагрузки и/или входного напряжения. В рассматриваемом ППК с тремя переключаемыми конденсаторами введены шесть новых коэффициентов преобразования в дополнение к тринадцати уже реализованным. Предложенный ППК может рассматриваться как устройство, которое решает систему линейных уравнений итерационным методом. Максимальный КПД в точках целевых напряжений ограничен эквивалентным резистором, т.е. потерями мощности. Для большинства коэффициентов преобразования экспериментальный ППК демонстрирует КПД выше 90 %. Регулировка между целевыми напряжения может осуществляться с помощью подстройки частоты и/или ШИМ, но за счёт увеличения потерь [1—3], что означает снижение КПД. Учитывая, однако, близкое расстояние между целевыми напряжениями ожидаемое снижение КПД довольно незначительно. Регулировка между 1/7 и 1/5 (рис. 6б) происходит с наибольшими потерями. Из соотношения П = Vo/VmG минимальный КПД (перед достижением 1/7) равен 71,4 %. Для этого же интервала минимальный КПД Фибоначчи ППК [6, 7] будет 62,5 %. Следовательно, достигнуто значительное улучшение даже при очень низких коэффициентах преобразования. Минимальный КПД для высоких коэффициентов преобразования значительно выше. Таким образом, предложенное обобщение улучшает производительность ППК. Важно отметить, что это улучшение получено без увеличения стоимости схемы, поскольку нет необходимости в дополнительных ключах и/или конденсаторах.

Благодарности. Первый автор хотел бы поблагодарить д-ра Моше Шварца (университет Бен-Гуриона) за популярную интерпретацию результатов Дайкина. Эта работа была выполнена при поддержке Израильского научного фонда (ISF), грант № 476/08 и № 517/11.

Библиографический список

1. S. Ben-Yaakov and M. Evzelman, Generic and unified model of switched capacitor converters, IEEE Energy Conversion Congress and Expo. (ECCE) 2009, pp. 3501-3508.

2. S. Ben-Yaakov, On the influence of switch resistances on switched capacitor converter losses, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 59, no.1, 2012, pp. 638-640.

3. S. Ben-Yaakov and A. Kushnerov, Analysis and implementation of output voltage regulation in multi-phase switched capacitor converters, IEEE Energy Conversion Congress and Expo. (ECCE) 2011, pp. 3350-3353.

4. S. Ben-Yaakov and A. Kushnerov, Algebraic foundation of self-adjusting switched capacitor converters, IEEE Energy Conversion Congress and Expo. (ECCE) 2009, pp.1582—1589.

5. A. Kushnerov, High-efficiency self-adjusting switched capacitor DC-DC converter with binary resolution, M.Sc. thesis, Ben-Gurion University of the Negev, 2009, 115 p.

6. A. Kushnerov and S. Ben-Yaakov, Algebraic synthesis of Fibonacci switched capacitor converters, IEEE Conference on Microwaves, Communications, Antennas and Electronics Systems (COMCAS) 2011, pp. 1-4.

7. A. Kushnerov and S. Ben-Yaakov, The best of both worlds: Fibonacci and binary switched capacitor converters combined, IET Power Electronics, Machines and Drives Conference (PEMD) 2012, pp. 1-5.

8. D. E. Daykin, Representation of natural numbers as sums of generalised Fibonacci numbers, J. London Math. Soc., 35, 1960, pp. 143-160.

9. D. E. Daykin, Representation of natural numbers as sums of generalized Fibonacci numbers — II, The Fibonacci Quarterly, Vol. 7, no. 5, 1969, pp. 494-509.

10. V. Laohakosol and J. Chalermchai, Representing natural numbers as unique sums of positive integers, J. Korea Soc. Math. Edu. Ser. B, Vol. 11, no. 1, 2004, pp. 63-72.

11. J. L. Brown, Zeckendorf's theorem and some applications, Fibonacci Quarterly, Vol. 2, no. 3, 1964, pp. 163-168.

12. P. Ligomenides and R. Newcomb, Multilevel Fibonacci conversion and addition, Fibonacci Quarterly, Vol. 22, no. 3, 1984, pp. 196-203.

КУШНЕРОВ Александр Дмитриевич, аспирант. ШМУЭЛЬ Бен-Яаков, PhD, профессор. Адрес для переписки: kushnero@ee.bgu.ac.il

Статья поступила в редакцию 27.06.2016 г. © А. Д. Кушнеров, Ш. Бен-Яаков

УДК 004.9

А. С. ЩЁГОЛЕВА Е. Т. ГЕГЕЧКОРИ

Омский государственный технический университет

РОЛЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПРОВЕДЕНИИ РЕИНЖИНИРИНГА

БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ_

Рассмотрены вопросы выбора адекватных информационных средств, используемых в реинжиниринге бизнес-процессов. Предложены общие подходы к анализу этой проблематики, переосмыслена роль ключевых факторов успеха реинжиниринга, выделены три категории изменений, которые обеспечивают использование информационных технологий, подтверждена необходимость визуализации процесса при его проектировании и внедрении. Предложенные подходы позволили расставить четкие приоритеты в процессах реинжиниринга.

Ключевые слова: реинжиниринг, процессный подход, бизнес-процессы, проект.

Термин «реинжиниринг» был введен Майклом Хаммером. Реинжиниринг — это фундаментальное переосмысление и радикальное перепроектирование деловых процессов для достижения резких, скачкообразных улучшений главных современных показателей деятельности компании, таких как стоимость, качество, сервис и темпы.

Реинжиниринг подразумевает перепроектирование процессов, которое позволяет перевести предприятие в более эффективный режим работы. На самом деле понятие «реинжиниринг» трактуется его основателями как комплексное и кардинальное преобразование всего бизнеса, создание совершенно новых, более эффективных бизнес-процессов без учета того, что было раньше. Реинжиниринг бизнес-процессов использует большое количество инструментов и методов внутри обычной струк-

туры, но его фокус, прежде всего, направлен на объединение функций на макроорганизационном уровне. Это означает, что субпроцессы могут содержаться в рамках одной функции или подразделения, и к ним тоже возможно применить реинжиниринг бизнес-процессов [1].

Бизнес-процесс (БП) — это совокупность взаимосвязанных операций по изготовлению готовой продукции или выполнению услуг на основе потребления ресурсов. Управлять бизнес-процессами — значит, качественно обслуживать потребителей или клиентов. Все финансовые, материальные, и информационные потоки в ходе управления бизнес-процессами всегда рассматриваются во взаимодействии.

Особо важным моментом является то, что объектом реинжиниринга являются сами процессы,