Численное исследование конструкций из гетерогенных сред на основе метода конечных элементов

УДК 001.891.573; 519.6

Н. А. Тарануха, А. С. Васильев

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В работе применяется новый нелинейный конечный элемент для расчёта конструкций из гетерогенных сред. Учтено изменение механических характеристик материалов в составе гетерогенной среды конечного элемента. Используя данный конечный элемент и численные методы решения нелинейных задач, можно осуществлять расчёт конструкций из неоднородной гетерогенной среды, в области их предельных состояний.

Решение поставленных задач осуществляется при помощи разработанных автором программ. Эти программы реализуют предложенную математическую модель на основе МКЭ. Все программы зарегистрированы, получены свидетельства о государственной регистрации.

Выполнено тестирование и практическая апробация математической модели и программного комплекса. Сформулирована новая методика исследования композитных материалов. Выполнены практические расчёты конкретных конструкций. Получены конкретные результаты. Численное исследование конструкций из гетерогенной среды выполнено на примере железобетонных конструкций. Получены результаты в форме перемещений, напряжений. Показаны зоны разрушения конструкций. В докладе даны рисунки, численные результаты и пояснения.

В первом примере выполняется расчёт статически-определимой балки, с армирующими элементами в её растянутой зоне. Во второй задаче рассмотрена статически-определимая балка из железобетона с предварительным напряжением. Приводятся сопоставления результатов расчёта автора с другими расчётами и данными экспериментов. В третьей задаче выполняется исследование статически-неопределимой рамы на трёх опорах. Выполнено сопоставление расчёта с использованием программного комплекса автора с результатами расчёта в программном комплексе ANSYS и ПК ЛИРА. Значимость результатов определяется двумя факторами. Первый фактор — разработка новой методики исследования конструкций из гетерогенных сред. Второй фактор — практическая реализация новой идеи комбинирования объёмов. Результаты оригинальные.

Ключевые слова: численное исследование; гетерогенная среда; конечный элемент; матрица жёсткости; математическая модель; метод конечных элементов; предельное состояние.

Введение

Численным исследованиям конструкций из гетерогенных материалов посвящено много работ. В настоящее время такие материалы актив-

Тарануха Николай Алексеевич — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой кораблестроения (Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре); e-mail: taranukha@knastu.ru.

Васильев Алексей Сергеевич — кандидат технических наук, старший преподаватель (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан); e-mail: vasil-grunt@mail.ru.

© Тарануха Н. А. Васильев А. С., 2017

90

но используют в различных современных отраслях промышленности: строительстве, автомобилестроении и кораблестроении. Большая распространённость композитов требует изучения их свойств, влияющих на жёсткость и несущую способность конструкций на разных этапах их работы под нагрузкой. Существуют различные подходы для учёта совместной работы нескольких материалов в составе одного при изменении механических характеристик этих материалов под нагрузкой.

Теории и модели разрушения композитов наиболее полно представлены в изданиях [9, 10, 11]. Микромеханический подход учитывает геометрию и расположение материалов в составе композита и помогает предсказать поведение гетерогенного материала на основании поведения его отдельных составляющих и их расположения [9]. Макромехани-ческий подход предполагает рассмотрение гетерогенных материалов как анизотропных [11], имеющих различные механические характеристики по различным направлениям. При этом построение модели осуществляется в глобальных осях координат, расположение отдельных материалов внутри гетерогенной среды игнорируется. Большое распространение получил структурно-феноменологический подход для исследования гетерогенных сред [3, 4, 10].

Типичным и наиболее распространённым гетерогенным материалом, сочетающим в себе совместную работу бетона и стальной арматуры, является железобетон. Поведение конструкций из железобетона регламентируется нормативными документами по двум группам предельных состояний. Однако такие методы зачастую учитывают лишь характерные стадии напряжённо-деформированного состояния работы конструкции, а расчёты всех видов сооружений сводят к линейным (стержневым), балочным элементам. При этом необходимо рассматривать конструкции из гетерогенных материалов как плоские или пространственные, в которых трудно выделить характерные стадии работы. В таких случаях обычно выполняется моделирование методом конечных элементов (МКЭ).

Математическая модель для гетерогенного материала

При решении физически-нелинейных задач зависимость между деформациями и напряжениями можно учесть при помощи диаграмм деформирования материалов при кратковременном нагружении. В данной работе использованы зависимости, которые связывают относительные деформации с напряжениями (е - а) при одноосном сжатии и растяжении, которые могут быть получены экспериментально либо аппроксимированы согласно [8]. При этом в качестве типового материала, характеризующего гетерогенную среду, будет использован железобетон как наиболее распространённый и изученный гетерогенный, неоднородный материал. Получение бетона с заданными характеристиками рассмотрено в работе [7].

91

Взаимодействие нескольких материалов осуществляется за счёт перехода к гетерогенному конечному элементу и расчёту его матрицы жёсткости. Для определения приведённых механических характеристик матрицы жёсткости гетерогенного конечного элемента используется идея комбинирования объёмов [1]:

р _E(sx )V + E(ex )2V2 +... + E(ex) „V„ „ _ (") V + (") V +... + ) XV„

Ehet t? , t? . . t? "het ~

V + V2 +... + Vn - V + V2 +... + Vn

,

где Е1, Е2, ... Еп — нелинейные модули упругости материалов в составе композитного КЭ; VI, У2, ...Уп — объёмы каждого из материалов в составе композитного КЭ (где п может быть достаточно большим); (ц\)х, и (цп)х — коэффициенты Пуассона для каждого материала в композитном КЭ.

В качестве метода решения нелинейных задач был использован метод последовательных приближений [3]:

[к^Ь-Ш,

где п — номер этапа приближения.

Расчёты автора выполняются на основе разработанных и зарегистрированных программ для ЭВМ [5, 6].

Численное исследование статически-определимых конструкций из гетерогенных сред

Рассмотрим железобетонную балку прямоугольного сечения, исследованную в работе [3]. Расчётная схема и дискретная модель балки изображены на рисунке 1.

I

Рис. 1. Модель балки: а — расчётная схема и конструкция железобетонной балки, б — схема разбивки на конечные элементы

92

Начиная с первой ступени, нагружение осуществлялось вертикальными силами по АР = 10 кН. Исходные характеристики материалов: связующее (бетон) Rb = 20 МПа, Rbt = 1,75 МПа, Eb = 30000 МПа, ц = 0,2, £b_max = 0,002, £bt_max = 0,0001; армирующий элемент (арматура) Rs = 400 МПа, Es = 200000 МПа. Критерием прочности железобетонной балки является появление текучести в армирующих элементах в растянутой зоне балки.

На рисунке 2а показано изменение максимальных перемещений в балке на различных этапах нагружения в сравнении с расчётом C. Ф. Клованича по МКЭ [3]. При потере несущей способности нормальные напряжения в верхних слоях балки составили — 20 МПа. Рисунок 2б иллюстрирует сравнение отдельных эпюр между расчётом автора и ПК Concord.

а) б)

Рис. 2. Сравнение результатов расчёта: a — сравнение изменений прогибов под нагрузкой; б — сравнение некоторых эпюр нормальных напряжений в поперечном сечении середины пролёта балки

В таблицах 1 и 2 приводятся сопоставление результатов расчётов: прогибов под нагрузкой в момент разрушения и предельной нагрузки на конструкцию.

Таблица 1

№ Максимальный прогиб Погрешность результатов от расчёта Concord

Расчёт Concord Расчёт автора СНиП Расчёт автора СНиП

А, мм А, мм А, мм % %

1 9,62 8,34 9,3 13,31 3,32

93

Таблица 2

№ Разрушающая нагрузка Погрешность результатов от расчёта Concord

Расчёт Concord Расчёт автора СНиП Расчёт автора СНиП

P, кН P, кН P, кН % %

1 240 190 200 20,83 16,67

В следующем примере рассматривается сравнение расчёта автора с экспериментальными исследованиями статически-определимой балки из гетерогенного материала с предварительным напряжением, исследованной в работе [4].

На первой ступени имела место горизонтальная нагрузка, моделирующая предварительное напряжение. Начиная со второй ступени, нагружение осуществлялось вертикальными силами по ДР = 5 кН. Исходные характеристики материалов соответствуют опытным значениям и принимались равными: связующее (бетон) — ЯЬ = 43,5 МПа, т = 2,5 МПа, ЕЬ = 36000 МПа, ц = 0,2, а^™* = 0,002, еы_твх = 0,00014, армирующий элемент (арматура) Яэ = 400 МПа, Еэ = 200000 МПа.

Рис. 3. Сравнение результатов расчёта: а — сравнение изменений прогибов под нагрузкой; б — сравнение некоторые кривыгх нормальных напряжений в поперечном сечении в середине балки

При этом, как видно на рисунке 3а, при расчёте по модели автора знаки перемещения до приложения вертикальной нагрузки отрицательны. При отсутствии вертикальной нагрузки прогиб балки составил — 0,696 мм. Среднее отклонение верхних точек кривыых нормальных напряжений, полученных автором (рис. 3б), от аналогичных точек, полученных Клованичем по МКЭ [4], составило 13,69 %. В таблицах 3 и 4 приводится сопоставление расчётов и данных эксперимента.

94

Таблица 3

№ Максимальный прогиб Отклонение результатов расчётов от эксперимента

Эксперимент Расчёт МКЭ Расчёт автора Расчёт МКЭ Расчёт автора

А, мм А, мм А, мм % %

1 12,6 13,4 12,3 - 6,35 2,3

Таблица 4

№ Разрушающая нагрузка Отклонение результатов расчётов от эксперимента

Эксперимент Расчёт МКЭ Расчёт автора Расчёт МКЭ Эксперимент

P, кН P, кН P, кН % %

1 65 65 65 0 0

Рисунок 4 иллюстрирует процесс разрушения в балке и исключение конечных элементов из модели. При исключении конечного элемента из характерного слоя напряжения в этом слое также отсутствуют, что подтверждается эпюрами нормальных напряжений по высоте сечения балки на каждой стадии нагружения.

Рис. 4. Разрушение конечных элементов балки на различных стадиях нагружения

Численное исследование статически-неопределимой рамы из гетерогенного материала.

Расчёт двухпролётной железобетонной рамы осуществлялся по МКЭ с использованием разработанных автором программ, а также сравнивался с расчётами в ПК ЛИРА [2] и ANSYS [12].

Характеристики материалов: связующее (бетон) Rb = 20 МПа, Rbt = 1,75 МПа, начальный Eb = 30000 МПа, ß = 0,2, a_max = 0,002, £bt_max = 0,0001; армирующие элементы (арматура) класса AIII: Rs = 400 МПа, Es = 200000 МПа. ÄP = 50 кН. Шаг нагрузки 50 кН. По достижении нагрузки в 550 кН, ÄP = 10 кН. Расчётная схема и схема армирования конструкции приведены на рисунке 5. Основания стоек рамы жёстко защемлены, перемещения там запрещены.

95

р

__5Ш1

Рис. 5. Расчётная схема двухпролётной рамы

Формы искривления рамы на различных этапах нагружения показывают, как происходило разрушение и выыходили из строя конечные элементы конструкции, а также несимметричность разрушения рамы, обусловленную перераспределением усилий (рис. 6).

а

б

Рис. 6. Формы искривления двухпролётной рамы: а — при Р = 560 кН;

б — при разрушающей нагрузке Р = 570 кН

96

Упругие линии на рисунке 7а показывают, что на стадии, близкой к разрушению, перемещения по длине пролёта распределяются несимметрично. При этом перемещения на разных стадиях работы конструкции изменяются нелинейно, с течением нагружения скорость их изменения увеличивается на каждом шаге. Эпюры нормальных напряжений на рисунке 7б также показывают несимметричность распределения напряжений по длине пролёта.

Рис. 7. Результаты расчётов автора на верхней границе нагружаемого пролёта рамы: а — упругие линии вертикальных перемещений, б — эпюры нормальных напряжений нагружаемого пролёта

На рисунке 8 показаны формы искривления рамы и градиенты перемещений при нагрузке перед разрушением и при разрушающей нагрузке. Под разрушением рамы понимается резкий скачок перемещений нагружаемого пролёта, свидетельствующий о потере несущей способности данного пролёта. На рисунке 9 представлены напряжения в арматуре на стадиях перед разрушением конструкции.

Эпюры нормальных напряжений в арматуре на рисунке 10а также несимметричны по длине нагружаемого пролёта рамы. При нагрузке 150 кН армирующие элементы и связующие работают совместно, напряжения в конечном элементе распределяются между ними равномерно. При нагрузке 350 кН виден горизонтальный выброс напряжений, параллельный оси ОХ. При нагрузке 560 кН на стадии, близкой к разрушению, армирующие элементы в растянутой зоне постепенно приближаются к своему пределу текучести. Напряжения в ней в этот момент составили 338,90 кН. На следующем этапе, при нагрузке 570 кН, арматура достигла предела текучести. Из графиков на рисунке 10б видно, что полученные результаты хорошо коррелируют между собой.

97

fc5t«icShuc«ural

Total Deformation

Рис. 8. Формы искривления и градиенты перемещений, полученные в ПК ANSYS: а — при нагрузке перед разрушением Р = 580 кН; б — при разрушающей нагрузке P = 590 кН

а

Рис. 9. Результаты расчёта напряжений армирующих элементов композитного материала в ПК ANSYS: а — при нагрузке P = 570 кН;

б — при нагрузке перед разрушением P = 580 кН

а

б

98

-ох нижней арматуры при Р=150кН

ох нижней арматуры при Р=350 кН

с

s

-450

а

= 250

— - -ох нижней арматуры при Р=5б0кН

0.2 0.4 0.6 0.8

12 1.4

Длина пролета, м

У S

// Расчет в П К ЛИРА 2-х пролетной рамы

t" -- Расчет Апзуз 2-х пролетной рамы

/ /

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 <

Прогиб, ГЛМ

Рис. 10. Результаты расчётов автора: а — нормальные напряжения в нижней арматуре нагружаемого пролёта при нагрузках 150 кН, 350 кН, 560 кН; б — максимальные прогибы нагружаемого пролёта рамы на разных этапах нагружения при расчёте автора, расчёте в ПК ЛИРА, ANSYS

Таблица 5

а

б

№ Максимальный прогиб, мм Отклонение от результатов расчёта ANSYS, %

1 Расчёт автора ПК ЛИРА ANSYS автора ПК ЛИРА

2,52 2,98 2,83 10,95 -5,30

№ Разрушающая нагрузка, кН Отклонение от результатов расчёта ANSYS, %

2 Расчёт автора ПК ЛИРА ANSYS автора ПК ЛИРА

570 600 590 5 1,69

№ Напряжения в арматуре перед разрушением, МПа Отклонение от результатов расчёта ANSYS, %

3 Расчёт автора

338,9 302 -12,23 %

99

Заключение

Разработана математическая модель определения напряженно-деформированного состояния конструкций из гетерогенных материалов на различных этапах нагружения, включая предельные. При этом можно учитывать достаточно большое количество составляющих внутри конечного элемента. Предложенную математическую модель возможно применять:

- для установления разрушающей нагрузки и максимальных перемещений и деформаций при разрушении конструкций из композитных материалов при простых напряжённых состояниях. Данные предельные состояния рассматриваемых в работе конструкций (балок и рам) возникают в результате превышения предела текучести армирующих элементов в растянутой зоне;

- для исследования напряжённо-деформированного состояния, установления перемещений, напряжений и деформаций на каждом этапе нагружения конструкции. Предельное состояние конструкции может наступать при разрушении связующего в поперечном сечении конструкции;

- для установления опасных зон и зон разрушения конструкции на различных этапах нагружения, включая предельные;

- для расчётов композитов, имеющих в своём составе инородные включения, газовые пузыри, технологические отверстия. При этом можно учитывать любое количество составляющих внутри композита в пределах конечного элемента.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Васильев А. С., Тарануха Н. А. Разработка алгоритмов численного исследования конструкций из неоднородной среды методом конечных элементов / / Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом-Алейхема. 2016. № 1(22). С. 78 - 88.

2. Гензерский Ю. В. ЛИРА-САПР 2011: учеб. пособие / Ю. В. Гензерский, Д В. Мед-ведеко, О. И. Палиенко, В. П. Титок. К.: Электронное издание, 2011. 396 с.

3. Клованич С. Ф., Безушко Д. И. Метод конечных элементов в расчетах пространственных железобетонных конструкций. Одесса: Изд-во ОНМУ, 2009. 89 с.

4. Клованич С. Ф., Мироненко И. Н. Метод конечных элементов в механике железобетона. Одесса, 2007. 111 с.

5. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ 2015610761. Composit: программное обеспечение для расчета перемещений в конструкциях из композитных материалов методом конечных элементов / Васильев А. С., Тарануха Н. А.; правообладатель ФГБОУ ВПО «КнАГТУ». № 2014661694; заявл. 19.11.2014; опубл. 20.02.2015, Бюл. № 2.

6. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ 2015610762. Strength: программное обеспечение для исследования напряженно-деформированного состояния объектов на различных стадиях нагружения / Васильев А. С., Тарануха Н. А.; правообладатель ФГБОУ ВПО «КнАГТУ». № 2014661692; заявл.

100

19.11.2014; опубл. 20.02.2015, Бюл. № 2.

7. Тарануха Н. А., Васильев А. С. Алгоритмы и модели при численном проектировании композитных сред на заданные характеристики для морских сооружений / / Учёные записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. 2015. Т. 1. № 1(21). С. 81—86.

8. Тарануха Н. А., Васильев А. С. Численное исследование предельной несущей способности конструкций из композитных материалов / / Морские интеллектуальные технологии. 2015. Т. 2. № 3(29). C. 27—32.

9. Aboudi J., Arnold S. M., Bednarcyk B. A. Micromechanics of Composite Materials. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2012. 984 p.

10. Balan T. A., Spacone E., Kwon M. 3D hypoplastic model for cyclic analysis of concrete structures / / Engineering Structures. 2001. № 23. P. 333—342.

11. Dvorak G. J. Micromechanics of Composite Materials. Dordrecht Heidelberg, New York, London: Springer Science+Business Media, 2013. 454 p.

12. Lee H. H. Finite Element Simulations with ANSYS Workbench 14. Theory, Applications, Case Studies. SDC Publications, 2012. 608 p. URL : https://www.sdcpublications. com/ Textbooks/Finite-Element-Simulations-ANSYS-Workbench/ ISBN/978-1-58503-725-4/

•Jc -Jc -Jc

Taranukha Nikolay A.,Vasiliev Alexei S. NUMERICAL RESEARCH THE CONSTRUCTION OF A HETEROGENEOUS ENVIRONMENT BASED ON THE FINITE ELEMENT METHOD

The paper is used a new nonlinear finite element for analysis of structural of heterogeneous media. Taken into account change in the mechanical properties of materials as part of a heterogeneous media of finite element. Using this finite element and numerical methods for solving nonlinear problems, can be carried out structural analysis of a heterogeneous media, in their limit states.

Solution of tasks carried out by means of programs developed by the author. These programs implement the proposed mathematical model based on the finite element method. All of these programs are registered, received the certificate on State registration.

Carried out testing and practical approbation of mathematical models and software. Formulated a new method of research of composite materials. Completed practical calculations specific structures. Concrete results obtained. Numerical research of constructions of heterogeneous media performed on an example of reinforced concrete structures. The results obtained in the form of displacements, stresses. Showing of constructions fracture zone. The paper given to the drawings, the numerical results and explanations.

The first example calculates statically determinate beams, with reinforcements in its tensile zone. In the second problem considered statically determinate beam of reinforced concrete with prestressed. Comparisons of the results of calculations of the author with other calculations and experimental data presented. In the third example, you research a statically indeterminate frame on three supports. The comparison of the calculation using the software package to the author, with the results of the calculation in the software package ANSYS and PC LIRA. The significance of the results is determined by two factors. The first factor — the development of new methods of investigation the composite materials and structures. The second factor — the practical realization the new idea of combining volumes. The results original

Keywords: numerical research; heterogeneous media; finite element; the stiffness matrix; a mathematical model; finite element method; limit state.

101

References

1. Vasil'ev A. S., Taranukha N. A. Development of algorithms of numerical investigation of structures made of inhomogeneous media by finite element method [Raz-rabotka algoritmov chislennogo issledovaniya konstruktsiy iz neodnorodnoy sredy metodom konechnykh elementov], Vestnik Priamurskogo gosudarstvennogo universi-teta im. Sholom-Aleykhema, 2016, no. 1(22), pp. 78 — 88.

2. Genzerskij Ju. V., Medvedeko D. V., Palienko O. I., Titok V. P. LIRA-SAPR 2011 (LIRA — CAD 2011), Textbook, Kiev, Jelektronnoe izdanie Publ., 2011. 396 p.

3. Klovanich S. F., Bezushko D. I. Metod konechnykh elementov v raschetakh prostranstven-nykh zhelezobetonnykh konstruktsiy (Finite Element Method nonlinear analysis of spatial reinforced concrete structures), Odessa, ONMU Publ., 2009. 89 p.

4. Klovanich S. F., Mironenko I. N. Metod konechnykh elementov v mekhanike zhelezo-betona (Finite Element Method in the mechanics of reinforced concrete), Odessa, 2007. 111 p.

5. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Svidetel'stvo o registratsii programmy dlya EVM

2015610761. Composit: programmnoe obespechenie dlya rascheta peremeshcheniy v kon-struktsiyakh iz kompozitnykh materialov metodom konechnykh elementov (The certificate of registration of a computer program no. 2015610761. Composit: Software for the calculation displacements in structures made of composite materials using finite element method), published on 20.02.2015, Bulletin no. 2.

6. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Svidetel'stvo o registratsii programmy dlya EVM

2015610762. Strength: programmnoe obespechenie dlya issledovaniya napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya ob"ektov na razlichnykh stadiyakh nagruzheniya (The certificate of registration of a computer program no. 2015610762. Strength: Software for the study stress-strain state of objects at various stages of loading), published on 20.02.2015, Bulletin no. 2.

7. Taranukha N. A., Vasil'ev A. S. Algorithms and models for numerical designing composite media to the specified characteristics for marine structures [Algoritmy i modeli pri chislennom proektirovanii kompozitnykh sred na zadannye kharakteris-tiki dlya morskikh sooruzheniy], Uchenye zapiski Komsomol'skogo-na-Amure gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2015, vol. 1, no. 1(21), pp. 81—86.

8. Taranukha N. A., Vasil'ev A. S. Numerical research of the limit bearing capacity of constructions from composite materials [Chislennoe issledovanie predel'noy nesushchey sposobnosti konstruktsiy iz kompozitnykh materialov], Morskie intel-lektual'nye tekhnologii: Korablestroenie, informatika, vychislitel'naya tekhnika i uprav-lenie, 2015, no. 3(29), vol. 2, pp. 27—32.

9. Aboudi J., Arnold S. M., Bednarcyk B. A. Micromechanics of Composite Materials. Oxford, Butterworth-Heinemann, 2012. 984 p.

10. Balan T. A., Spacone E., Kwon M. 3D hypoplastic model for cyclic analysis of concrete structures, Engineering Structures, 2001, no. 23, pp. 333 — 342.

11. Dvorak G. J. Micromechanics of Composite Materials. Dordrecht Heidelberg, New York London, Springer Science+Business Media, 2013. 454 p.

12. Lee H. H. Finite Element Simulations with ANSYS Workbench 14. Theory, Applications, Case Studies. SDC Publications, 2012. 608 p. Available at: https://www.sdcpublications.com/ Textbooks / Finite-Element-Simulations-ANSYS-Workbench/ ISBN/978-1-58503-725-4/

•Jc -Jc -Jc

102