К вопросу о соотношении фундаментализации и инноваций в вузовском курсе алгебры

5.Никитина Н.Н. Основы профессионально-педагогической деятельности: учеб. пособие для студ. учреждений среднего проф. образования/ Н.Н. Никитина, О.М. Железнякова, М.А. Петухов. - М.: Мастерство, 2002. - 288 с.

6.Новые педагогические и информационные технологии в системе образования [Текст]: учеб. пособие для студ. пед. вузов и системы повышения квалификации пед. кадров/ Е.С. Полат и др.; под ред. Е.С. Полат. - М.: Академия, 2001. - 272 с.

7.Павлуцкая Н.М. Организация продуктивной познавательной деятельности учащихся при обучении решению физических задач [Текст]: дис. ... канд. пед. наук / Н.М. Павлуцкая. - М., 2007. - 222 с.

8.Павлуцкая Н.М. Организация продуктивной познавательной деятельности учащихся в процессе решения экспериментальных задач по физике / Н.М. Павлуцкая, Л.В. Скокова // Физика в школе и вузе: сб. науч. ст. [Текст] -СПб., 2007. - Вып. 6. 264 с.

9.Подласый И.П. Продуктивная педагогика [Текст]: кн. для учителя/ И.П. Подласый. - М.: Народное образование, 2003. - 496 с.

10. Сенаторова Н.Р. Принципы формирования продуктивных творческих задач на примере изучения физики [Текст] / Н.Р. Сенаторова; под ред. В.Я. Ляудис // Инновационное обучение: стратегия и практика: Материалы I на-уч.-практ. семинара психологов и организаторов школьного образования. Сочи, 3-10 октября 1993 г. - М., 1994.203с.

References

1.Gladysheva N.K., Nurminskiy I.I. Methodical questions of teaching physics [Text] / Edited by Yu.I. Dik, A.V. Khutor-skoy // On the way to 12 years study school: Collection of scientific works. - M., 2000. - 368 p.

2.Secondary school didactics: Some problems of present day didactics [Text]: Textbook / Edited by M.N. Skatkina. - 2nd edition, revised and updated. - M.: Prosveschenie, 1982. - 319 p.

3.Zagvyazinskiy V.I. Teaching theory: Present-day interpretation: Textbook for higher pedagogical institutions. - M.: Academia, 2001. - 192 p.

4.Makhmutov M.I. Organization of problem teaching at school [Text]: Teachers’ book. - M.: Prosveschenie, 1977. -240 p.

5.Nikitina N.N., Zheleznyakova O.M., Petukhov M.A. Fundamentals of professional pedagogical activity: Textbook. -M.: Masterstvo, 2002. - 288 p.

6.New pedagogical and information technologies in education system [Text]: Textbook / Е^. Polat and others. Edited by Е^. Polat. - M.: Academia, 2001. - 272 p.

7.Pavlutskaya N.M. Organization of effective cognitive activity of learners in teaching to solve physical tasks [Text]: dis. ... cand. of pedagogy. - M., 2007. - 222 p.

8.Pavlutskaya N.M., Skokova L.V. Organization of effective cognitive activity of learners in the process of solving experimental tasks on physics // Physics at school and higher educational institution. Edition 6. International collection of scientific articles [Text]. - StPetersbоurg, 2007. - 264 p.

9.Podlasiy I.P. Productive pedagogy [Text]: Тeacher’s book. - M.: Narodnoe obrazovanie, 2003. - 496 p.

10. Senatorova N.R. Principles of forming productive creative tasks in the study of physics [Text] / Edited by V.Ya. Lyaudis // Innovational teaching: strategy and practice Materials of the First scientific practical seminar of psychologists and educators. Sochi, October 3-10, 1993. - M., 1994. - 203 p.

УДК 378.016:512 Ц 932

Л.Х. Цыбикова

Бурятский государственный университет Россия, 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а. Е-mail: cibikova@rambler.ru

К вопросу о соотношении фундаментализации и инноваций в вузовском курсе алгебры

В статье рассматривается возможность введения инноваций - изменения содержания и технологии преподавания вузовского курса алгебры за счет использования системы компьютерной математики Maple. Это позволит усилить фундаментализацию алгебраического образования студентов-математиков.

L.Kh. Tsybikova

Buryat State University Russia, 670000, Ulan-Ude, Smolin str.,24a. E-mail: cibikova@rambler.ru

To a problem on a relation fundamentalization and innovations in a high school course of algebra

In article the opportunity of introduction of innovations - changes of the maintenance and technology of teaching of a high school course of algebra due to use of system of computer mathematics Maple is considered. It will allow to strengthen fundamentalization algebraic education of students-mathematicians.

В условиях лавинообразного нарастания информации возникает проблема поиска новой формы отбора и синтеза знаний. Учитывая, что сущность образования во многом определяется фундаментальностью, целостностью и направленностью на удовлетворение интересов личности, а также то, что динамизм современного общества требует необходимости многократной переориентации выпускников вуза, необходимо усиление фундаментализации образования через внедрение инноваций. Возникающая в связи с этим проблема интенсификации обучения состоит в тесной связи с совершенствованием технологий обучения, которые опираются на научные результаты конкретных наук, психологические исследования и современные компьютерные технологии.

Сегодня имеются новые технические и педагогические возможности, средства, которые позволяют реализовать практически любые новые технологии и новое содержание образовательного процесса и которые дают возможность решить проблему адаптации образования к изменяющейся ситуации в науке, к новым потребностям в обществе.

В настоящее время стремительное развитие получили информационные технологии и, в частности, компьютерная математика. Разработка систем компьютерной математики с элементами символьных (аналитических) вычислений, их обычно называют системами компьютерной алгебры (СКА), стала высочайшим достижением компьютерного «интеллекта».

Широко используется ряд систем компьютерной алгебры: Reduce, Mathcad, Derive, Maple, Mathematica, MATLAB и др. Из них бесспорными лидерами являются пакеты Mathematica и Maple.

В данной статье мы рассмотрим возможности использования пакета Maple в процессе обучения алгебре в вузе. Пакет Maple воплощает новейшую технологию символьных вычислений, и, по данным сайта www.aladjev.newmail.ru, в настоящее время этот пакет используют более 5 миллионов студентов, ученых, специалистов и исследователей практически каждого ведущего университета и научно-исследовательского института в мире, включая такие, как Cambridge, Stanford, Oxford и др.

Для курса вузовской алгебры характерно наличие сильной алгоритмической содержательнометодической линии. Заметим, что для большего числа задач, решаемых по определенному алгоритму, в Maple имеются соответствующие программы. Поэтому технология процесса обучения алгоритмической составляющей курса алгебры может быть, например, следующей: определение понятия, выявление и обсуждение алгоритма его применения, решение задач с привлечением Maple, а далее уделить большее внимание решению частично-поисковых и исследовательских задач из этой же темы. Тогда студенты могут сконцентрироваться на важных концепциях, а не на чаще всего громоздких алгебраических вычислениях и преобразованиях.

Давайте проанализируем, что, например, должен знать студент о понятии определитель, кроме определения, - несколько свойств и несколько способов его вычисления. Сколько вместе с тем аудиторного и внеаудиторного времени уходит на вычисление определителя? Не проще ли, вычислив определитель один или два раза вручную и усвоив алгоритмы его нахождения, вычислять в дальнейшем определитель, используя Maple? Рассмотрим, например, следующую задачу -№12.2 [2]:

5 a 2 -1

4 b 4 - 3

2 c 3 - 2

4 d 5 -4

Вычислить определитель:

> LinearAlgebra ’.-Determinant (1);

-Sb-\-c-\-5d-\-2a.

Далее, реализуя дидактические идеи Пойа о том, что главная задача обучения математике -в развитии мыслительных способностей человека, процесс изучения определителя должен состоять из задач, подобных, например, такой: "Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, у которого два элемента равны 5, а остальные равны +1 или -1". Затем можно предложить такую задачу: нельзя ли изменить условие, рассмотреть определитель четвертого порядка и проанализировать, насколько усложнится процесс решения и изменится ответ при этом, т.е. исследовать, насколько в этой задаче существенно то, что порядок определителя равен трем?

Аналогично можно поступить с решением системы линейных уравнений, с использованием как метода Гаусса, так и правила Крамера. Ведь метод Гаусса проходит сквозной линией по всему курсу алгебры первого семестра начиная с решения системы линейных уравнений, вычисления ранга матрицы, нахождения базиса пространства, поиска фундаментальной системы решений однородной системы уравнений, и даже при нахождении жордановой нормальной формы матрицы мы используем метод Гаусса, тогда как идейно такие задачи на вычисления достаточно просты. Поэтому задачи такого вида нужно, видимо, решать с использованием систем компьютерной алгебры.

Рассмотрим следующие два примера (№35.15 и №8.2(и) из [2]), показывающие, как можно использовать Maple для нахождения базисов суммы и пересечения линейных оболочек, натянутых на данные системы векторов, и также для исследования системы линейных уравнений, содержащих параметр.

Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек ах = (1,2,1), а 2 = (1,1,-1), а 3 = (1,3,3);

b = (1,2,2,), b2 = (2,3,-1), b3 = (1,1,-3).

al vector( [1,2, 1 ]); a2 vector{ [ 1, 1, -1 ]); a3 = vector( [ 1, 3, 3]); bl = vector{ [ 1, 2, 2]); b2

•— vector( [2, 3,-1]); ЪЗ — vector{ [1, 1,-3]);

< aj, a2, a3 > < bl, b2, b3 >

al

-[i 2 i]

(3,5,1).

a2:=[ 1 1 -1 ]

a3 := [ 1 3 3 ] bl := [ 1 2 2 ] b2:=[ 2 3 -1 ]

Ы:=[ 1 1 -3 ]

Найдем один из базисов суммы этих подпространств:

> sumbasis( {al, a2, a3}, {bl, Ь2, ЪЗ})",

{аЗ, bl, b2}

Базис пересечения этих подпространств состоит из одного вектора

> intbasis ({al, а2, аЗ), {bl, Ь2, Ь3})‘,

{[351]}.

Решение следующей задачи на Maple будет несколько сложнее, но, овладев этой технологией, можно использовать шаблон ее решения в дальнейшем.

Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от параметра

(1 + 1) Х1 + Х2 + Х3 = 1 +1,

Х1 + (1 + 1) Х2 + Х3 = 1 + 1 ,

Х1 + Х2 + (1 +1) x^ = 1 +1 ;

Запишем основную матрицу этой системы уравнений:

1 + X 1 1

>

С = 1 1 + X 1

1 1 1 + X

Далее укажем столбец свободных членов:

> d = vector ([ А,2 + 3 X, Я3 + 3 Я,2, Я,4 + 3 А3 ]);

т 2 3 2 4 3

d:= X +ЗХХ +ЗХ X +ЗХ

>

Решим эту систему:

> х := linsolve{C, ^5V, /);

х :=

А,2+ 221-1 2А,2-1+Х3-А,

Если в векторе не ясно, где какие координаты, то можно попросить Maple записать вектор в столбец.

> х ••= convert (х, matrix)',

-Х2 + 2 х:= 2Х-1

2 X2 - 1 + X3 - X

При таком способе решения системы линейных уравнений особые случаи не выявлены. Поэтому выпишем расширенную матрицу данной системы:

> L = concat(C, d);

L:=

Х+ 1 1

1 X + 1 1

1 X + 3 X

1 х3 + з х2

і а. +1 хА + з х3

Приведем эту матрицу к ступенчатому виду, причем не используя деления на выражения, содержащие параметр:

> CI = ffgausselim {L);

1 Х+ 1 1

CI - О -Л, X

о о X3 + 3 X2 -4 X3 - 3 X2 + 5 А5 + 5 X4 + X6 j

Необходимо теперь разложить выражения, содержащие Л, на множители:

> CI = evalm (тар (factor, CI))',

X3 + 3 х2 X4 + 2 X3 - З X2

СІ :=

1 А + 1 О -х

1

X

X

X2

о о X2

л = 0 и Л = -3

Мы видим, что особые случаи - это

Подставив эти значения ний:

> (pi = х —> eval(x, А,=-3) ; ф1 :=х—

Х= -3

> CI1 = evalm(map(<pl, CI) );

1-2 10

CI1 := 0 3-3 0

0 0 0 0

Т1 = submatrix(CI1, 1 ..3, 1 ..3); dl := convert (submatrix (CI1, 1 ..3, 4..4), vector)',

найдем соответствующие решения исходной системы уравне-

Т1 :=

-2 1 3 -3 0 0

dl := [ 0 0 0 ]

> х = linsolve(Tl, dl,'r', t);

х :=

tl h tl

> (p2 '= x^eval(x, A, = 0); ф2 :=x—*x

X = 0

> CI2 = evalm(map(<p2, Cl) ); 1110

CI2 :=

0 0 0 0 0 0 0 0

>

T2 = submatrix(CI2, 1 ..3, 1 ..3); d2

= convert (submatrix (Cl 1, 1 ..3, 4..4), vector)',

1 1 1 72:= 0 0 0 0 0 0

d2:=[ 0 0 0 ]

> x = linsolve(T2, d2,'r', t)\

x :=

fi h h

Таким образом, данная система линейных уравнений имеет при

3 „

Л Ф -3, Л Ф 0

единственное

х :=

-X2 + 2 2 Я - 1 2 Я2

решение:

При 1 где t1- свободная переменная.

3 х:=

система имеет решение:

При Л= 0 система неопределенна

*1 tl tx

и имеет следующее множество решений:

х :=

где t1 и t2 - свободные переменные.

Итак, использование пакета Maple, сокращая вычислительную составляющую курса алгебры, вернее громоздкие алгебраические вычисления и преобразования, повышает уровень изучения дисциплины, поскольку

• говоря о вычислениях, В.И. Арнольд подчеркивает, что "сила математики - не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам" [1, c.28];

• за счет высвободившегося времени и усилий большее внимание уделяется концептуальным, идейно и методологически важным вопросам, что ведет к усилению фундаментализации процесса обучения алгебре;

• использование компьютерных технологий позволяет повысить компьютерную грамотность студента и овладеть базисными квалификациями, которые являются одним из аспектов фундаментализации образования;

• обращаясь к истории, можно заметить, что уменьшение вычислительной составляющей наблюдалось и в школьном курсе алгебры. Не так давно при изучении логарифма числа пред-

Л.Х.Цыбикова, Л.В. Абашеев, И.И. Баглаев, Т.П. Батомункуева. Особенности процесса обучения в летнем профильном лагере

log b ,

лагалось решить достаточно много задач вида: вычислить для конкретных чисел а и b,

для этого использовалась даже логарифмическая линейка. В настоящее время в связи с усилением функциональной линии задач такого вида практически нет в школьных учебниках, кроме,

„ log b b = 1b = a, b = an

может быть, типа: найти a при или .

Литература

1. Арнольд В.И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели / В.И. Арнольд. - М.: МЦНМО, 2000. - 32 с.

2. Сборник задач по алгебре: учеб. пособие / под ред. А.И. Кострикина. - М., 2001. - 464 с.

References

1. Arnold V.I. «Hard» and ‘soft’ mathematical models. Moscow, 2000. - 32 p.

2. Collection of algebra tasks: Textbook / Edited by A.I. Kostrikina. M., 2001. - 464 p.

УДК 371.336.5+371.016:51 Ц 932

Л.Х.Цыбикова, Л.В. Абашеев, И.И. Баглаев

Бурятский государственный университет Россия, 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а. Е-mail: cibikova@rambler.ru, math@bsu.ru, bii@bsu.ru.

Т.П. Батомункуева Министерство образования и науки Республики Бурятия Россия, Улан-Удэ. Е-mail: vaska67 @mail.ru

Особенности процесса обучения в летнем профильном лагере

В статье подводится итог почти десятилетней работы в летнем профильном лагере, рассматриваются особенности образовательной программы.

L.Kh. Tsybikova, L. V. Abasheev, I.I. Baglaev

Buryat State University

Russia, 670000, Ulan-Ude, Smolin str., 24a. E-mail: cibikova@rambler.ru, math@bsu.ru, bii@bsu.ru

T.P. Batomunkueva Ministry of education and science of the Republic of Buryatia Е-mail: vaska67@mail.ru

Features of process of studying in summer profile camp

In article is summed up almost ten years' work in summer profile camp, features of educational program are considered.

Известный математик А.Н. Колмогоров писал: «Помимо кружков большое значение должны иметь летние лагерные сборы учащихся по интересам. Мне приходилось не раз выступать с описанием организации таких летних школ для любителей математики. Разумная их организация требует очень большого количества педагогического труда, который в значительной мере, однако, может быть возложен на студенческую молодежь. Не следует и совсем скидывать со счета и работу старших школьников с младшими» [2, с.137]. Необходимость учебы в летнее время отмечают и психологи. Так, можно привести слова доктора психологических наук Т. Тарасовой: «... летние каникулы старших школьников необходимо "дробить"». Месяц посвятить отдыху, две-три недели учебе (тематические лагеря будут очень уместны)» [3].

В течение почти 10 лет работает Республиканский профильный лагерь естественноматематического цикла для одаренных детей «Сигма» на базе одной из школ села Аршан Тун-кинского района. Поскольку лагерь расположен в одном из отдаленных сельских районов Республики Бурятия, то контингент лагеря, в основном, составляют ученики не элитарных физикоматематических школ, а дети из отдаленных сел Тункинского и Окинского районов, часть из которых являются социально незащищенными или учатся в малокомплектных школах. Но, как правило, это учащиеся глубоко мотивированные, креативно мыслящие, которые являются лидерами в своих школах. Все эти годы преподавательский коллектив был почти постоянным.