Модальное управление одной запаздывающей системой

ТРУДЫ БГТУ. 2013. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 3-7

3

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА

УДК 517.977

А. А. Якименко, кандидат физико-математических наук, доцент

МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ СИСТЕМОЙ

Рассматривается задача модального управления для линейных стационарных динамических систем с запаздывающим аргументом второго порядка с двумя соизмеримыми запаздываниями по состоянию. Показано, что при выполнении определенного условия такая система эквивалентна системе с запаздывающим аргументом нейтрального типа второго порядка с одним запаздыванием по состоянию. Эти системы подробно изучены автором в его диссертационной работе и полученные там результаты распространены на рассматриваемую систему.

The problems of modal control for second order linear time-invariant and time-delay dynamic systems with two commensurate constant delays is considered. It is shown that under certain conditions, such kind of system is equivalent to a second order linear dynamic time-delay system of neutral type with single delay. Such kind of systems are studied in detail by author in his master's thesis.

Введение. Задача модального управления для линейных стационарных систем с одним входом впервые была рассмотрена Ф. М. Кирилловой [1] в 1961 г., для многовходных систем - М. Уонэмом [2] в 1967 г. С тех пор данная задача изучалась многими авторами и для систем без запаздывания теория модального управления близка к своему завершению. Для систем с запаздыванием изучение этой задачи существенно усложняется, что обусловлено тем, что пространство состояний таких систем, как правило, бесконечномерно. Модальное управление запаздывающими системами исследовалось многими авторами (см., например, [3]-[8]), однако вопросы до сих пор остаются открытыми.

Основная часть. Рассмотрим двумерную линейную стационарную систему с запаздывающим аргументом с одним входом и двумя соизмеримыми запаздываниями вида

_Х1

где к > 0 - постоянное запаздывание. Предполагается, что выполнено условие с12 Ф 0. В этом случае равенство нулю элемента с и не ограничивает общность системы (1).

Характеристический квазиполином системы (1) имеет вид

2 4-2/

Ца^,

/=0 у=0

где агу е

- числа, зависящие от коэффициентов системы (1), а20 = 1. Задача модального управления состоит в том, чтобы для любых наперед заданных чисел Ру, где / = 0, 1, 2, у = 0, ..., 4 - 2/, р20 = 1, найти такой линейный регулятор, что система (1), замкнутая этим регулятором, имеет характеристический квазиполином вида

2 4-2/

x

1

Х2

a

a

12

a

21

a.

22

IIP^'

i„ - рл

i=0 j=0

Регулятор будем искать в форме

+ " b11 b12 " X1 (t - h)!

\ К b22 _ _X2 (t - h)_

0 C12 X1 ( 2h )"

C21 C22 _ _ X2 ( t- 2h) 1

L N

I I

i =0 j=1

<

и

0

+ j q'(s)x(t

1ijx

\t - jh )

где д^ е М2, штрих (•) означает транспонирование, Ь, N е К, х (X) = [х1 (X) х2 (X)]',

х<"(0-^ х,0'О-х(•).

Представим регулятор и (X) в (1) в виде

" Х1 (X)]

и (X) = [«21 -«22] + [21 -К\ + [-С21 -С22 ]

Х.

х1

х1

<1 ()-

Замыкая этим регулятором систему (1), приходим к системе вида

х1 ( X)! " «11 «12 " " х ( X )"

х2 ( X )_ 0 0 _ х2 (X)_

+ ~ь11 Ь12 " х1 (X - к)] +

0 0 _х2 (X - к)_

_0 С12" х1 (X - 2к ) _1_ "0"

0 0 х2 (X - 2к) 1

Пусть Ь11 Ф 0. Тогда сделаем в системе (3) замену переменных х = Т1 (т) у :

х

1 - 1Г т

Ь11

0

1

у (У

У 2

где т - оператор сдвига (т yi (X ) = yi (X - к), / = 1,2).

С новыми переменными система (3) перепишется в виде

" У(X)] «11 «12 " У1(X)_

_У2 (X)_ 0 0 _У2 (X)_

Ьц 0

Ь11Ь12-«11Ч2

Ь11 0

У

У 2

+

-й-и1

В операторной форме система (4) примет вид

71 (Х)] = Г[«11 «12

_72 (X) 0 0

+ т

"11 0

Ь11Ь12-«11С12 Ь11

0

7

т

42

Ц

где X - оператор дифференцирования, 7 (X), 72 (X), и1 (X) - изображения по Лапласу функций у1 (X), у2 (X), и1 (X) соответственно; т - оператор сдвига. Умножим обе части системы (5) слева на невырожденную для всех т е С матрицу:

Т2 (т ) =

1 тС2

0 1

Тогда система (5) примет вид

X

+ т

1 -тЬ2

Ь11

1

71 (^

?2

(

12

Ь11Ь12-«11С12 Ь11

7

Ц (X).

Последнюю систему перепишем в виде

X

7

11 0

+ т

Ьц 0

Ь11Ь12-«11С12 Ь11

+

+ mX

12 0

С12 Ь11

71

и (X).

Получившаяся система в пространстве состояний есть система с запаздывающим аргументом нейтрального типа с одним запаздыванием вида

" У(X)_ «11 «12 " У1(X )_

+ _У2 ()_ 0 0 _У2 ()_

Ьц 0

Ь11Ь12-«11С12 Ь11

У

У2

0 тг

ЬЦ

0 0

У1

У2

'1

Вопрос модальной управляемости для системы (6) подробно исследован в диссертационной работе автора [9]. Система (6) соответствует общециклическому случаю. Приведем условия модальной управляемости.

Пусть е С - корни уравнения

^2 + Ь11Ь12 - 2а11С12 Я + а12Ь11 - а11Ь11Ь12 - а11С12 = 0

12

"12

Задача модального управления для системы (6) разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия

)ф 0, / = 1,2,

где ) = а11 + Ьпе~'як, / = 1,2. В зависимости от того, равны ли между собой и или нет, построены регуляторы вида (2), решающие задачу модального управления для системы (6), с коэффициентами в виде элементарных функций параметров системы (6). Пусть

[ я(1У

О^ У 2 ) = [1 (•) 42 ()]

У2 (1),

регулятор, решающий задачу модального управления для системы (6), где 41 (•), 42 (•) -соответствующие операторы. Тогда, поскольку

Я

1 - Ь2- т

Ьц

Х1

1 Ь2 т 0 1

Х1

Регулятор

щ (^ х2 ) = [4! (•) 42 (•)]

1 £11.

1 Ьц

0 1

т

х1

решает задачу модального управления для системы (3), а регулятор

г(х1, Х2 )_[ а21 а22 ]

К [С2

-Ь22] -С22 ]

П х1

-а 22 ]

х2

х1

х2

х1

х2

;

[41 () 42 0]

1 ^ т

Ьц

0

1

х1

решает задачу модального управления для системы (1).

Таким образом доказана теорема. Для того чтобы система (1) в случае с12 Ф 0, Ь11 Ф 0 была модально управляема регулятором вида (2), необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие (7). При этом регулятор, решающий задачу модального управления, имеет вид (8).

Замечание. Предложенный метод построения регуляторов для решения задачи модального управления ставит достаточно жесткие условия на начальные данные задачи (1), поскольку в регуляторе участвуют производные вплоть до третьего порядка от функций Х\(1) и х2(1). Однако искомые регуляторы получаются в явном виде как элементарные функции параметров системы (1), что при достаточной гладкости начальных условий позволяет их использовать.

Если задача модального управления разрешима, то полученные регуляторы можно применить для решения, например, задачи стабилизации. Эта задача заключается в нахождении такого регулятора вида (2), чтобы замкнутая этим регулятором система (1) имела все собственные числа с отрицательными действительными частями. Приведем для системы (1) пример регулятора, который ее стабилизирует.

Пример 1. Пусть для параметров системы (6) выполнены условия:

Ь11Ь12 2а11С12

> 0;

а12Ь11 а11Ь11Ь12 а11С12 > 0 С12

Замкнем систему (6) регулятором

С^ Я ) =

Ь11 а11С12 - Ь11Ь2

Я

Тогда характеристическое уравнение замкнутой этим регулятором системы (6) имеет вид

а11 + Ь11е-Я

- Ьй.

С12

а12 + Ь"Ь'2 - а"С'2 е-х" + ^Хе-хк С12

£1

Ьи

а11С12 Ь11Ь12 - Я

12

= Я2 | Ь11Ь12 2а11С12 Я | а12Ь11 а11Ь11Ь12 а11С12

"12

12

Очевидно, что при выполнении условий (8) последний многочлен будет устойчивым, т. е.

С

12

будет иметь два корня с отрицательными действительными частями. Тогда, возвращаясь к системе (1), стабилизирующий регулятор будет иметь вид

l(xx, x2 )—[ a21 a22 ]

-R

-[2

-b2l\ —C22 ]

a22 ] X1 _ X2

X1 (t - к)!

X2 ( - к)_

X1 (t - к)!

X2 ( - к)_

Xl (t)' S(t).

ai1C12 b11b2

1 b2 m

bii

0

1

Xi

Заметим, что построенный регулятор не имеет производных функций х1 (X) и х2 (X), то

есть он не выводит систему (1) из класса запаздывающих систем.

Приведем еще один пример решения задачи стабилизации для системы (1).

Пример 2. Пусть выполнено одно из условий:

1) -«и > Ы;

2) -Ьп > \ап\, к < к", (10) где значение кк может быть вычислено по формуле

к* —

1

7 2 2

f b11 - a11

arccos

( a ^ "b„

В работе [9] показано, что при выполнении одного из условий (10) квазиполином

а11 + Ьпв-Л -X

имеет корни Хк е С, у которых Яе Хк < 0. В качестве регулятора и (х) в системе (1) возьмем регулятор

" х (х)"

<(t) — u (X1, X2) —[-a21 -a22 ]

:

[-c

[0 -1]

b22 ] C22 ]

x1

x2

X1 t -h)

X2

c12

m

Замкнутая этим регулятором система (1) примет вид

" X (t)" a11 a12 " X1 (t )"

_X2 (t)_ 0 -1 _X2 (t)_

+

+

bn b12 " X1

0 0 X2 (t - к )_

"0 C12 X1 't - 2к)

0 0 _ X2

Характеристическое уравнение данной замкнутой системы будет следующим:

det

a11 + b11e Хк-X a12 + b12e

-Хк . -2Хк + C12e

= - a,

-bne

-Хк

-1 -X

-x)(x +1) — 0.

При выполнении одного из условий (10) очевидно, что характеристическое уравнение имеет все корни с отрицательными действительными частями, то есть устойчиво. Задача стабилизации решена, причем указано предельное запаздывание, при котором в случае выполнения условия (2) работает построенный регулятор.

Заключение. В данной работе предложен метод построения линейных регуляторов вида (2), которые решают задачу модального управления для системы (1). При этом система (1) с двумя кратными запаздываниями при помощи невырожденных преобразований сводится к системе с запаздывающим аргументом нейтрального типа с одним запаздыванием вида (6). Исчерпывающие результаты для такой системы были получены в диссертационной работе автора [9]. И хотя предложенные там регуляторы выводят систему (1) из класса запаздывающих систем, при достаточной гладкости начальных условий удается решить задачу модального управления. При этом регуляторы получаются в явном виде и являются элементарными функциями параметров системы (1).

Литература

1. Кириллова, Ф. М. К задаче об аналитическом конструировании регуляторов / Ф. М. Кириллова // Прикл. мат. и мех. - 1961. - № 3. -С. 433-439.

2. Wonham, W. M. On pole assignment in multi-input controllable systems / W. M. Wonham // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1967. - Vol. AC-12, No. 6. - P. 660-665.

3. Марченко, В. М. О проблеме модального управления в линейных системах с запаздыва-

нием / В. М. Марченко // Докл. АН БССР. -1978.- № 5. - С. 401-404.

4. Асмыкович, И. К. К теории модального управления систем с запаздыванием / И. К. Асмыкович, В. М. Марченко // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1979. - № 3. -С.200-206.

5. Задачи управления конечномерными системами / И. К. Асмыкович [и др.] // Автоматика и телемеханика. - 1986. - № 11. - С. 5-29.

6. Марченко, В. М. Модальное управление в системах с последействием / В. М. Марченко //АиТ. - 1988. - № 11. - С. 73-83.

7. Марченко, В. М. О модальном управлении многовходных систем с запаздывающим

аргументом нейтрального типа / В. М. Марченко, А. А. Якименко // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 11. - С. 1534-1543.

8. Марченко, В. М. Модальное управление в системах с распределенным запаздыванием нейтрального типа / В. М. Марченко, А. А. Якименко // Проблемы управления и информатики. -2002. - № 5. - С. 45-51.

9. Якименко, А. А. Управление динамическими системами с запаздывающим аргументом нейтрального типа воздействием линейной обратной связи: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А. А. Якименко. - Минск, 2008. -113 л.

Поступила 09.03.2013