Применение полиномов Чебышева 1-го рода для описания устойчивых состояний металла при постоянных и переменных нагрузках

титана при комнатной температуре от ориентировки кристаллов. Так, модуль нормальной упругости E титана в зависимости от ориентировки кристаллов изменяется от 1,02*1011 до 1,45*1011 Па.

Модуль сдвига чистого поликристаллического титана равен 0,40*1011 Па при E = 1,06*1011 Па и соответственно коэффициент Пуассона 0,34.

Машиностроители Зауралья имеют некоторый опыт работы с титаном и его сплавами. Так Курганский завод химического машиностроения изготовлял из титанового сплава ВТ6 маятниковые подвесные центрифуги ФМБ-633Т для витаминных производств (Уфимский витаминный завод и витаминный завод в г. Йошкар-Ола), по отдельным заказам изготовлял и изготовляет трубчатые теплообменники из титановых сплавов [5]. Некоторый опыт работы с титановыми сплавами имеет опытный завод по изготовлению медицинского оборудования РНЦ «ВТО» им. акад. Г.А. Илизарова и машиностроительное предприятие «Сенсор».

В настоящее время в Курганском государственном университете на кафедре «Механика машин и основы проектирования» намечается начать работы по исследованию влияния холодной пластической деформации на физические и механические свойства титана и его сплавов. Работу планируется вести в содружестве с предприятием «Сенсор» и опытным заводом РНЦ «ВТО» им. Г.А. Илизарова.

Список литературы

1 Менделеев Д. И. Основы химии. СПб. : Типолитография М. П. Фроловой, 1906.

2. Горынин И. В., Чечулин Б. Б. Титан в машиностроении. М. : Машиностроение, 1990. 400 с.

3 Томашов Н.Д. Титан и коррозионно-стойкие сплавы на его основе. М. : Металлургия, 1985. 81с.

4 Чечулин Б. Б. Циклическая и коррозионная прочность титановых сплавов. М. : Металлургия, 1987. 206 с.

5. Бубнов В. А. Маятниковые титановые центрифуги. Химическое и нефтяное машиностроение. 1992. №12. С.11-12.

УДК 621.86.065.4+531

С.В. Марфицын, В.П. Марфицын Курганский государственный университет

ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА 1-ГО РОДА ДЛЯ ОПИСАНИЯ УСТОЙЧИВЫХ СОСТОЯНИЙ МЕТАЛЛА ПРИ ПОСТОЯННЫХ И ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ

Аннотация. Статья посвящена вопросу об энтропийных и восстановительных процессах в металле при его нагружении. Показана возможность применения полиномов Чебышева 1-го рода к сопротивлению материалов.

Кл ючевые слова: энтропи й н ые процессы , 96 -

восстановительные процессы, устойчивое состояние металла, полиномы Чебышева.

S.V. Marfitsyn, V.P. Marfitsyn Kurgan State University

THE USE OF CHEBYSHEV'S POLYNOMIALS OF THE FIRST TYPE FOR A DESCRIPTION OF THE STEADY-STATE CONDITIONS OF METAL UNDER CONSTANT AND VARIABLE LOADING

Annotation. The article is devoted to the entropy and regenerative processes in a metal under loading. It is shown the possibility of use of Chebyshev's polynomials of the first type to the strength of materials.

Keywords: entropy processes, regenerative processes, the steady-state condition of metal, the Chebyshev polynomials

Полиномы Чебышева 1-го рода являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения:

2\ d2ш d(ß I 2

(1 - Z2 )-7 - Z-+ П2 Z = 0

Решением данного уравнения является:

Tn (z) = cos (n arccos z) = 1[(z + i Vl - z2) n + (z - i Vl - z2) n ],

где z=x} +ix2 - комплексная переменная.

С целью применения полиномов Чебышева 1-го рода в сопротивлении материалов используется вероятностная логика, то есть «логика исследующая высказывания, принимающая не только два значения истинности (истина или ложь), а множество степеней правдоподобия, то есть высказывания, истинное значение которых заключены между истиной и ложью» [3]. Универсальность такого вероятностного подхода состоит в том, что он, отвлекаясь от конкретных проявлений, тем не менее является действенным при установлении истинности явлений, отражает процессы, происходящие в металлах при их нагружении.

Полиномы Чебышева 1-го рода построены по принципу изменения аргумента Х от нуля до единицы по законам вероятностной логики. За Х принимаем относительное напряжение отношение

/ °т

где ст - текущее напряжение;

стт - напряжение предела текучести.

Применительно к сопротивлению материалов полином ы Ч еб ыше ва в ыражают по вед е н и е м е-

Вестник КГУ, 2016. № 3

талла при обычных условиях и условиях, приближенных к экстремальным. Таким как возможное появление трещин или, например, прочность при многоцикловых нагрузках [2].

Полиномы Чебышева показаны на рисунке 1 [2]. Из кривых, представленных на рисунке 1 видно, что у них, как и в металле при нагружении проходит чередование энтропийных и восстановительных процессов. Причем восстановительные процессы возникают одновременно с энтропийными и когда они по знаку противоположны (+) или (-) , а по величине равны, то происходит устойчивое состояние в металле. Знак (-) характеризует восстановительные процессы, знак (+) - энтропийные.

Рисунок 1 - Полиномы Чебышева

В промежутках от 0 до 1 в металле происходят как энтропийные, так и восстановительные процессы. По оси ординат откладываем предельное вероятностное состояние металла. «В металлах еще до начала микропластической деформации (на упругом участке кривой напряжение-деформация) возможны неупругие явления такие как:

а) движение дислокаций;

б) движение точечных дефектов;

в) перемещение атомов в области границ зерен и т.д.

Эти явления, сопровождающиеся местными пластическими деформациями, наблюдаются при низких напряжениях, а также имеют важное практическое значение» [3].Особенно при реализации второй стадии ползучести, когда «при постоянном напряжении и температуре в каком-то интервале времени пластические деформации на второй стадии ползучести аппроксимируются в виде прямой линии» [10]. С первых мгновений нагрузки в металле кристаллической решетки возникают упругие волны - фононы, которые распространяются в металлесо скоростью звука с частотой которая возрастает с увеличением нагрузки [5]. Полиномы Чебышева подтверждают минимальные напряжения начала образования трещин равное 0,2398 ат [6], описанное кривой .

Атомный механизм зарождения трещин качественно одинаков при хрупком и вязком разрушении. Считается, что микротрещины в момент зарождения имеют длину = 10-4мм [2]. Это является минимальным напряжением образования трещин

и близко к значению =0,2314. Это энтропийный вклад в реальный энергетический минимум [1].«С другой стороны темным лесом остается предел выносливости при симметричном цикле а Есть догадки, что это предел пропорциональности, но никто не отважился об этом сказать прямо». Ответ на этот вопрос дают полиномы Чебышева 1-го рода (кривая T9). Кривая T9 Чебышева 1-го рода

а/

имеет минимум при значении /ат =0,5, то есть это наиболее благоприятное значение, соответствующее максимуму восстановительных свойств материала. Поэтому мы считаем, что значение допускаемого напряжения в американском стандарте ASME, равное 2/3 ат не соответствует условием безопасности устьевого оборудования при цикли-ческомнагружении участка скважины для добычи нефти и газа. Это подтверждает авария нефтяной скважины в Карибском море в 2010 году.

«Проблема так же в том, что даже самый высокопрочный материал обладает так называемой усталостью. Это значит, что при длительном воздействии колоссально пластового давления, усугубленного гидродинамическими ударами, как от работы перекрывающей заслонки, так и от турбинных «срывов» самого нефтяного потока, материал, обладающий даже самыми высокими прочностными характеристиками «устает» [7], а [а] = 2/3 ат не учитывает колебательную нагрузку в металле.

В документах Российской Федерации по вопросу многоцикловой усталости это учтено. Предельное напряжение усталости в документе РД 50-694-90 принято равным 0,5 ат (Кривая T9) [8].

Особенно важный вывод позволяют сделать полиномы Чебышева в области определения предела текучести сталей. «Само понятие предела текучести является противоречивым. Существуют пределы текучести а02 и а005. Какой принять за

расчетный? Между тем в металлах происходят жестко связанные соотношения между упругими и пластическими деформациями, связанные общими и глубокими закономерностями, опирающимися на вероятностные соотношения Л. Больцмана» [4]. Последнее устойчивое состояние металла находится в точке 0,82.

По закону Гука = Е с, где с - относительное удлинение; Е -модуль упругости 1-го рода. Отсюда с = а /Е.

В начале неупругости с1 = а02 /Е В конце с0 = а /Е

^ 2 ост

«Интересно знать, что представляет собой ан (с1 = аостЕ = 0,7686). Очевидно она должна отражать момент начала необратимых физических процессов» [9].

ат

ат = 1,301 ан, отсюда ан = 1,301= 0,7686 П ос кол ьку ат = 1 п о п олин ам Чебь I ш е в а 1-го т 97

СЕРИЯ «ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ», ВЫПУСК 11

рода, то ан = 1,301= 0,7686

82 _ аостЕ _ 0,82

= 1,06687

Отношение 81 аостЕ 0,7686 .

Если принять за единицуточку с которой начинается остаточная деформация, то 0,0667 будет остаточная деформация перед переходом в неустойчивое состояние. Поэтому за предел текучести предпочтительно принимать напряжение с некоторым запасом по относительному удлинению, а именно 0,05.

В работе [9] показано, что неупругие проявления начинаются при о =0,7686ат, а заканчиваются при о =0,82ат, чтосогласуется с полиномами Чебышева, описанными кривой. В этой точке восстановительные и энтропийные процессы уравновешиваются. Вероятность энтропийных процессов равна (+1), а восстановительных (-1). Покажем это аналитически:

Т= 16Х2 - 20Х3+ 5Х;

=чл>

Т5(082)= 16 0,825 - 20 0,823+ 5* 0,82;

Тктяо = 5,93186- 11,027 + 4,1;

Т5(082)= 10,318 - 11,027 = - 0,9904 « - 1;

В свою очередь в этой точке Т10(0 82)= + 1.

Одна из кривых Чебышева в процессе нагру-жения металла находится постоянно в восстановительной зоне. Это кривая Т3(Х). Ее назначение в постоянном противодействии энтропийнымпрцес-сам. Затем она выходит из нее в энтропийную зону при значении Т3(Х) =0. Определим относительное напряжение Х, при этом

Т3(Х) = 4Х3 - 3Х = 0; Х = 0,865.

3

То есть 0,865 это относительное напряжение, при котором восстановительным процессам ничто не противодействует и это значение можно также считать в какой-то мере началом текучести. То есть, когда способность с остатками упругой сопротивляемости свелась к нулю. Начинаются пластические деформации. При этом 0,865

с = 0,7686 = 1,07338.

И еще одно соображение по вопросу определения предела текучести: кривая Т9 (рисунок 2) принимает значение (-1), то есть максимальное значение восстановительной вероятности при относительном напряжении 0,94. Отсюда 0,94/0,7686 равно 1,2230. Поэтому 1,223 - 1 = 0,223, то есть имеет место значение предела текучести а022 или а02 как принято в справочниках сталей.

Физический смысл предела текучести состоит в том, что при значении полиномов Чебышева 1-го рода равном 0,94 наиболее преобладают восстановительные процессы. При этом значении нагрузки все упомянутые выше процессы упорядочиваются и приходят к единому согласованному движению, сливаются в единый поток. Таким об-

разом, определение предела текучести зависит от того, что взять за критерий: последнее устойчивое состояние металла когда относительное напряжение равно 0,82 или когда восстановительные процессы максимальны, а энтропийное противодействие незначительно.

Рисунок 2 - Определение предела текучести

Вывод: применение полиномов Чебышева 1-го рода позволяет описать объективные закономерности материального мира. Результаты применение полиномов Чебышева 1го рода к сопротивлению материалов согласуютсяс документами по стандартизации Российской Федерации.

Список литературы

1 Марфицын В. П., Коротовских В. К. Энтропийные и восстановительные процессы в металле в условиях реального энергетического минимума // Вестник Курганского госуниверситета. Серия технические науки. Вып. 1. 2005. №4. С.90.

2 Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М. : Физматгиз, 1977. С 142.

3 Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. 2- изд., исп. и доп. М. : Наука 1975. С. 82.

4 Золоторевский В. С. Механические свойства металлов. М. : Металлургия, 1983, С. 40, 43.

5 Брандт Н. Б., Чудинов С. М. Электроны и фононы в металлах. М. : Издательство Московского университета. 1990. С. 203.

6 Марфицын С. В., Марфицын В. П. О мерах, препятствующих появлению трещин в фонтанной арматуре. Курган : Изд-во Курганского гос. ун-та, 2013. С. 90.

7 Фридрихсон А., Катыкина М. Не ворошите земное нутро // Наука и жизнь. 2010. № 10. С.54.

8 Методические указания «Надежность в технике. Вероятностный метод расчета на усталость сварных конструкций. РД 50-694-90. Государственный комитет по стандартам СССР по управлению качеством продукции и стандартов. М., 1991. С. 3.

9 Макаров В. И., Марфицын А. В., Марфицын С. В. и др. Использование энтропийной вероятностной зависимости при рассмотрении некоторых констант материалов. ВИНИТИ РАН № 2303-В97. С. 4.

10 К вопросу вероятностной оценки ресурса сосудов под давлением и арматуры с использованием энтропийно-энергетических критериев / В. И. Макаров,

В. П. Марфицын, А. В. Марфицын, С. В. Марфицын. Курган : Изд-во Курганского гос. ун-та, 1996. 7 с.

98

Вестник КГУ, 2016. № 3