Математические модели сетных оболочек с квадратной и трапецеидальной структурой

_Известия ТИНРО_

2004 Том 139

ПРОМРЫБОЛОВСТВО

УДК 639.2.081

Е.Г.Норинов, Е.В.Осипов, А.Г.Желтышев, Е.А.Лапина

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЕТНЫХ ОБОЛОЧЕК С КВАДРАТНОЙ И ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

В работе рассмотрены и проанализированы существующие методы и модели описания сетных оболочек. Предлагается новая математическая модель сетных оболочек с квадратной и трапецеидальной структурой.

Norinov E.G., Osipov E.V., Zholtyshev A.G., Lapina E.A. Mathematical models of nets coating with square and trapezoidal framework // Izv. TINRO. — 2004. — Vol. 139. — P. 398-403.

A coating of rotation with trapezoidal and square frame is modeled. The coating is considered as a system of strands and their nodal bonds. The nodal bonds are described by parameters of entering (f а, q, x, y, z) and output (f0., a, qP, x0., y0, z0) ropes. The basis of intrinsic frame of nodal bonds is represented with algorithms of solution of eq uilibrium eq uations. A set of the tensions f0. and the form of initial cut of the coating have to be taken for modeling of a conic part of a trawl. The form of initial cut is described by equation of ellipse. Knots of initial mesh are located with regular intervals on perimeter of the ellipse in x , y , z .

Проектирование технических средств рыболовства, как и любое проектирование, связано с созданием прагматических моделей будущих систем с желаемыми свойствами. Класс сетных орудий лова основан на моделях оболочечных систем в виде геометрических поверхностей, а также на математических моделях силового взаимодействия в оболочках, определяющего форму этих поверхностей и их прочность в различных условиях нагружения.

В реальных условиях взаимодействия с водной средой мягкие сетные оболочки могут менять форму своей поверхности в пределах, ограниченных прочностью материалов, из которых они изготовлены. При необходимости эти пределы можно определить и учитывать их при проектировании. В большинстве же случаев разработчики пользуются лишь плоскими геометрическими фигурами, а при расчётах прочности — моделированием предельных нагрузок.

Ранее (Норинов, 1998) мы обращали внимание на то, что существующие методы раскроя сетных деталей на плоскости заведомо искажают проектируемую поверхность пространственных форм. Фактически разработчик, используя плоские модели, может только предполагать, какую форму будет иметь спроектированное им орудие лова в реальных условиях. Такая неопределённость усугубляется геометрическими и механическими свойствами ромбической структуры сетных оболочек, традиционно используемых в рыболовстве.

В достаточной степени проблема формоизменяемости сетных оболочек во взаимодействии со средой, особенно при их буксировке, решается путём приведе-

ния структуры оболочки в соответствие со структурой силового взаимодействия по всей её поверхности. Исследования показали, что такому соответствию удовлетворяют квадратная структура взаимного пересечения нитей для цилиндрических оболочек и трапецеидальная — для конических.

Проектирование сетных оболочек на основе применения моделей криволинейных поверхностей также приблизит реальный объект к желаемому результату и даст возможность работать с этим объектом на более достоверном уровне. Набор таких поверхностей, достаточно полно описанных классической геометрией, сравнительно небольшой. Для целей рыболовства вполне можно ограничиться поверхностями 2-го порядка. Это прежде всего цилиндр и конус, но можно задавать и более сложные формы, например эллиптический цилиндр, гиперболический параболоид, однополостный гиперболоид, эллипсоид.

Форма цилиндрической оболочки определяется её параллелями (направляющими) и меридианами (образующими), параллельными оси симметрии. Поверхность эллиптического цилиндра описывается уравнением

2 2

X У л

--Н — = 1

2 т. 2 ,

a b

а прямой круговой цилиндр получается при равенстве полуосей радиусу направляющей окружности a = b = R

X2 + y2 = R2.

Конус имеет вершину в начале координат, а его направляющей может быть эллипс, плоскость которого перпендикулярна оси симметрии и находится на расстоянии с от начала координат

2 2 2 х У z Л --h----= 02 /2 2 v> a b c

при равенстве полуосей эллипса a = b будем иметь прямой круговой конус.

Конические оболочки орудий лова в реальных условиях могут принимать форму гиперболического параболоида или однополостного гиперболоида, но могут быть и заданы в форме этих поверхностей в процессе проектирования. Их уравнения имеют вид соответственно

X2 У2 x2 У2 z2 ,

z = —2---2 и —гН--~---;т = 1.

a2 b2 a2 b2 c2

Не исключено, что сетная оболочка может быть задана в форме эллипсоида или его части

2 2 2 x y z --Н---1--= 1

2 т 2 2 '

ab c

При этом если a = b > c, то будем иметь сплющенный эллипсоид вращения, а если a = b < c — вытянутый. Очевидно, при равенстве полуосей получим сферу

x2 + y2 + z2 = R2.

И наконец, любая поверхность 2-го порядка в пространстве, которая может быть использована в качестве модели сетной оболочки орудия лова, есть множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

anx2 + a22 y2 + a33 z2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2 a23 yz + + 2a14 x + 2a24 y + 2 a34 z + a44 = 0.

В матричной форме это уравнение примет вид

rArT + 2arT + a44 = 0,

где

r = (x, y, z ),

A =

i 2 3

a2\a22 a23

, a = (a14, a24, a34 Xi Ф 0).

Поверхность оболочки в трёхмерном пространстве можно задать в явной, неявной, параметрической и векторной форме. Например, совокупность уравнений, записанную в параметрической форме

x = x(u,v),y = y(u,v),z = z(u,v);(u,v)e G, можно записать в векторной форме

r = r(u,v);(u,v)e G,

при этом r = xi + yj + zk будет означать радиус-вектор точки поверхности M ( x, y, z ) :

r (u, v) = x(u, v)i + y(u, v) j + z (u, v)k.

Если поверхность задана в векторной форме и u = u(t),v = v(t), то r = r(t) = r(u(t), v = (t)) представляет собой кривую на поверхности, а дифференциал длины дуги будет иметь вид

ds2 = (dr )2 = Edu2 + 2 Fdudv + Gdv2.

Правую часть этого выражения принято называть первой квадратичной формой поверхности. Если поверхность задана в виде z = z(x,y), то

E = 1 +

'dz^2

dx

F = dZ д , g dx dy

= 1 +

^2

dy

Длина дуги кривой r = r(u(t),v(t)) на поверхности между точками, соответствующими значениям параметра t0 и t, будет равна

= 1ds = 1

_ du dv J dv Л 2

+ 2 F--+ G —

dt dt dt

dt.

Согласно классической теории геометрии и механики орудий рыболовства, для расчёта сетных оболочек можно использовать как дискретные, так и континуальные модели. Предпочтение отдаётся континуальной модели по причине простоты её реализации. Кроме того, при этом можно использовать дифференциальную геометрию и безмоментную теорию, применяемую для расчёта мягких оболочек.

Для описания поверхностей сетных оболочек и пластин пользуются первой квадратичной формой, которая имеет вид

й12 = Adu2 + Bdv2.

Для равномерно растянутого прямоугольного участка сети с квадратной структурой первая квадратичная форма запишется следующим образом

dl2 = а 2^и2 + dv2).

Однако результаты исследований оболочек вращения, полученные В.Д.Кулагиным, показывают, что континуальный метод расчета можно применять, когда шаг ячеи составляет менее 20-25 % от длины сети в жгуте. Поэтому для расчета крупноячейной и канатной частей трала больше подходит дискретная модель сетной оболочки вращения, предложенная В.И.Габрюком (1995), основ-

ными элементами которой являются нити, образующие ромбическую ячею, и узел их соединения. Эта модель позволяет производить расчёты геометрических характеристик сетных оболочек орудий лова и исследовать их статику без учета течения или потока.

В данной работе решается задача создания математической модели, позволяющей производить расчет формы и натяжения оболочек вращения с трапецеидальной и квадратной структурой с учетом течения или потока (рис. 1).

Рис. 1. Структура оболочки с ячеёй трапецеидальной формы

Fig. 1. F rame of a coating with mesh the trapezoidal form

Выделим основные элементы (классы) оболочечной системы, сформированной канатами. Это будут продольные и поперечные участки канатных связей и их узловые соединения (переплетения). Каждый такой класс будет иметь внутреннюю структуру (математическая модель) и внешний интерфейс, который позволит объектам взаимодействовать в системе друг с другом.

Рассмотрим канатный элемент. Его интерфейсная часть представляет собой входные (начальные) T0,a0,%,x0,y0,z0 и выходные T1 ,a1 ,ф1,x1,y1,z1 характеристики. Внутренняя структура канатного элемента представляет собой следующие характеристики: I — длина; D — диаметр; Ш{ — линейная плотность материала; q — масса в воде 1 м. Методы, реализующие алгоритм расчета характеристик канатного элемента, построим на основе математической модели каната в потоке (Габрюк, Осипов, 2001):

T = qz sinacos^ - rxV cosa + rzV sina,

a =

ф = -(qz sin^ + ryV)/ T sina,

x = cosa, y = sinasi^, z = — sinacosф,Rx = Tcosa-T0cosa0.

Углы a и ф задают ориентацию каната (нити) между базисами основной и поточной систем координат (рис. 2).

Рис. 2. Углы а и р, задающие ориентацию нити

Fig. 2. Angles а and р, ropes assigning orientation

Для системы дифференциальных уравнений (1) решается либо задача Коши, либо краевая задача. Надо отметить, что для системы (1) выполняются условия теоремы Пикара, значит, эта система имеет единственное решение задачи Коши,

где за начальные значения берутся Т0 ,а0 ,(0, х0, у0, z0. Решение краевой задачи обычно сводится к решению задачи Коши, но при этом один из параметров варьируется до тех пор, пока не будут выполняться условия во второй точке.

Классифицируем узловые соединения для ячей квадратной и трапецеидальной формы (рис. 3).

Рис. 3. Узловое соединение для квадратной и трапецеидальной ячеи, n входных канатов и один выходной

Fig. 3. Nodal bond for square and trapezoidal mesh, n entering ropes and one output

Для узловых соединений интерфейсной частью являются характеристики входных (T,, а, ф, x,, y,, z.) и выходных (T0., a0., ф0., x0., y0., z0.) канатов, где i — количество канатов. Основу внутренней структуры узловых соединений будут представлять алгоритмы решения уравнений равновесия (Осипов, 2002):

T sin aj sin qj +.. + Tn sin an sin qn

tg( =

Tj sin aj cos( +.. + Tn sin an cos (n

tga0 = TJ sin aj COs (jj + • • + Tn siin an C(0((P,

j (Tjcosaj + •• + Tn cosan)cos(j0 ' To = Tj cosaj + •• + Tn cos an

cosa1u

гПри рассмотрении конусной части трала необходимо задаться натяжениями Т0. и формой начального сечения оболочки, которая может описываться уравнением эллипса, при этом узлы начальных ячей равномерно расположены по периметру эллипса с вычислением х0, уш, г0 (см. рис. 1). Начальные значения аы, (рш для квадратной и трапецеидальной структуры находятся из следующих соотношений (рис. 4):

(0. = ± arccos

l

а

"01 а

где к — высота, опущенная из точки соединения поперечной нити оболочки на диаметр эллипса, параллельного земле, I — расстояние между точкой соединения поперечной нити и центром эллипса.

Рис. 4. Углы а0, (р0, задающие ориентацию продольной нити в потоке

Fig. 4. Angles a0, р0, assigning orientation of a longitudinal strand

Расчет подобной системы может быть выполнен только на вычислительных машинах. Для расчета канатных элементов воспользуемся объектно-ориентированной библиотекой классов (Осипов, 2002) и расширим ее реализацией классов узловых соединений оболочки трала (2).

В программу заносятся конструктивные параметры оболочки в виде динамических массивов, содержащих характеристики канатов (длина, диаметр) и их соединений.

Литература

Габрюк В.И. Компьютерные технологии в промышленном рыболовстве. — М.: Колос, 1995. — 544 с.

Габрюк В.И., Кулагин В.Д. Механика орудий рыболовства и АРМ промысловика. — М.: Колос, 2000. — 416 с.

Габрюк В.И., Осипов Е.В. Математическое, программное и информационное обеспечения ярусного промысла: Уч. пос. — Владивосток: Дальрыбвтуз, 2001. — 77 с.

Норинов Е.Г. Геометрические преобразования в структуре сетных оболочек орудий лова // Науч. тр. Дальрыбвтуза. — Владивосток: Дальрыбвтуз, 1998. — Вып. 11.

Осипов Е.В. Моделирование канатной части трала // Рыбохозяйственные исследования Мирового океана // Тр. 2-й междунар. науч. конф. — Владивосток: Дальрыбвтуз, 2002. — С. 18-20.

Поступила в редакцию 27.07.04 г.