Формирование результата измерения в условиях неопределенности

УДК 006.91

Н. П. Ординарцева, О. В. Фурман

ФОРМИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Аннотация. Проанализирована ситуация с формированием результата измерений и оценкой неопределенности в контексте международных норм и соглашений.

Ключевые слова: результат измерения, погрешность/неопределеенность измерения.

Abstract. The authors analyze the current situation of measurement result forming and uncertainty evaluation in the context of international norms and arrangements.

Key words: measurement result, error/uncertainty of measurement.

Введение

В настоящее время в предметной области измерений главенствующими являются две концептуальные модели:

1) концептуальная модель, основанная на погрешности измерения (классическая модель);

2) концептуальная модель, основанная на неопределенности измерения.

Последняя концептуальная модель была разработана Объединенным комитетом по руководствам в метрологии (JCGM), возглавляемым директором Международного бюро мер и весов (BIPM) и сформированным семью международными организациями. В настоящее время эта концепция неопределенности измерения одобрена международным метрологическим сообществом.

Эпоха глобального рынка ставит задачу обеспечения единства измерений в широком масштабе: методы оценки результатов измерений и выражения неопределенности должны быть глобально едиными с тем, чтобы измерения, проводимые в разных странах, были сопоставимы по единым правилам. В период вступления страны в ВТО, учитывая задачи гармонизации национальной нормативной базы при сохранении достижений отечественной метрологической школы, вопрос правильного понимания новых концептуальных представлений и понятий в рамках положений этой концепции планирования и организации измерений является особенно актуальным.

1. Сравнительный анализ концепций погрешности/ неопределенности измерения

Основополагающим понятием классической концептуальной модели является погрешность А, определяемая выражением

АХ = XИзМ -X0,

Т

X

^ дейс

где Xо и Xдейс - соответственно истинное и действительное (условно принятое истинное) значение измеряемой физической величины (ФВ); (;Xдейс )(;Xо ), 5(.) - дельта-функция Дирака.

Деление погрешностей по характеру проявления на систематические и случайные [JCGM 200:2008 (VIM) 2.19] [1, п. 3.5] приводит к внутреннему противоречию в этой модели: анализ погрешностей содержит как статистические, так и нестатистические процедуры. А из этого следует, что не существует математически корректных и общепринятых средств комбинирования систематической и случайной составляющих погрешности в одну суммарную (полную) погрешность, которая давала бы общее представление о качестве результата измерения, т.е. его близости к истинному значению физической величины. Кроме того, невозможно корректно (а не на описательном уровне) определить X0 и Xдейс - первое является только теоретическим понятием,

с его единственным и несуществующим значением, а второе «как можно ближе» (а как близко?) приближается к нему.

Преодоление указанных противоречий классической модели привело к появлению концепции неопределенности, которая согласно [JCGM 200:2008 (VIM) 2.26] [1, п. 4.2] определяется как «неотрицательный параметр, характеризующий рассеяние значений величины, приписываемых измеряемой величине на основании используемой информации» (заметим, что погрешность по знаку могла быть как положительной, так и отрицательной).

Вероятностная основа концепции неопределенности позволяет оценивать качество измерения, вычисляя и систематическую, и случайную погрешности на сравниваемой основе [1, п. 3.7]. (Соответствующие составляющие неопределенности группируются по способу оценивания в две категории -типа А [JCGM 100:2008 (GUM) 4.2, JCGM 200:2008 (VIM) 2.28] и типа B [JCGM 100:2008 (GUM) 4.3, JCGM 200:2008 (VIM) 2.29] [1, п. 4.6], и обрабатываются для получения дисперсии результата измерения в соответствии с правилами математической статистики и теории вероятностей). В том что касается случайных воздействий, новая концепция дает в сущности такие же результаты, как и анализ погрешностей, но это абсолютно не так в отношении неизвестных систематических эффектов [2]. В последнем случае результаты оценивания данных измерений признаются более приемлемыми, чем результаты анализа погрешностей.

Концепция неопределенности не отбрасывает понятие «истинное значение», оно необходимо для формулировки цели измерения, а также модели измерения, однако в интервале охвата

(x - Up < X < x + Up),

где Up - расширенная неопределенность для данной вероятности охвата p ,

лежит не одно, а множество истинных значений величины X .

Образно говоря, в первой модели (на основе погрешности А) система отсчета связана с результатом измерения, во второй модели (на основе неопределенности u (x)) - со значением измеряемой ФВ. Последнее иллюстрирует рис. 1, показывающий в метрологическом пространстве сформированных образов две нечисловые шкалы линейного порядка и получаемый проецированием на эти шкалы результат измерения в соответствии с каждой из этих концепций. Но оценка погрешности как разница между результатом измерения Xизм и референтным значением X^^ тоже имеет свою неопреде-

ленность, формируемую неопределенностями результата измерения и референтного значения [2]. Таким образом, неопределенность результата измерения является его неотъемлемым свойством, независимо от выбранной модели описания его качества, и в этом смысле термин «неопределенность результата измерения» корректен как в случае использования концепции погрешности, так и в случае обращения к концепции неопределенности.

Рис. 1. Метрологическое пространство сформированных образов, нечисловые шкалы линейного порядка и результат измерения в соответствии с концепцией погрешности/неопределенности

Определение оценки погрешности и принадлежащей этой оценке неопределенности иллюстрирует совместимость и непротиворечивость этих двух концептуальных моделей, что наилучшим образом объясняется тем, что обе модели описывают один и тот же объект измерения.

2. Цель измерения. Модель измерения

Цель измерения - достижение наилучшей оценки измеряемой величины. Само понятие измеряемой величины вводится на определенной модели объекта, которая строится для решения конкретной практической задачи и отражает существенные для решения данной задачи особенности объекта при некоторой идеализации его свойств. Изменение измерительной задачи может потребовать уточнения модели (что никак не противоречит принципу множественности моделей). Более того, такое уточнение должно происходить в процессе изучения объекта при постановке новых задач, таким образом, в процессе подготовки измерительного эксперимента необходимыми этапами

являются: выбор модели объекта исследования; определение (дефиниции) параметров модели; определение измеряемой величины, соотнесенной с параметрами модели [3].

Модель измерения [JCGM 200:2008 (VIM) 2.48] является одним из ключевых понятий новой концепции неопределенности [1, п. 3.10-3.12]. Рассмотрим вопрос ее оценивания.

3. Оценки и их виды

Методы получения оценок можно разделить на две большие группы. При использовании первой группы методов и полученных с их помощью параметрических оценок приходится оперировать функциями распределения случайных величин, причем характер функции распределения предполагается известным, а неизвестными являются лишь их некоторые числовые параметры. При использовании второй группы непараметрических методов знания функций распределения не требуется, иногда предполагается их непрерывность (непрерывность всегда предполагается в задачах измерений).

Среди методов первой группы определения оценок наиболее широкую известность получили метод максимального правдоподобия, байесовский метод получения оценок, метод условных математических ожиданий, метод моментов. Как частные случаи этих методов, выступают метод наименьших квадратов, метод наименьших положительно определенных форм, являющийся обобщением метода наименьших квадратов, метод наименьших модулей.

Полезными свойствами оценок являются свойства адаптивности и робастности. При адаптивном (или асимптотически всюду эффективном) оценивании благодаря наличию параметра формы имеется возможность для методов оценивания адаптироваться к свойствам ошибок измерений. При робастном оценивании процедуры устойчивы в окрестности выбранной параметрической модели. Робастность оказывается полезным свойством для байесовского подхода, причем не только как средство защиты от дезинформирующих отклонений в строго параметрической модели, что характерно в частотной теории, но и от изменений в априорном распределении параметров. Строгая байесовская теория требовала бы априорных распределений для всего, включая модели и полные окрестности моделей.

И, наконец, если говорить о точечных и интервальных оценках, то в силу нечисловой природы результата измерения, гомоморфности прямого отображения реального измеряемого свойства объекта измерения на нечисловую шкалу и изоморфности обратного преобразования имеем интервальную неопределенность результата [4]: в классической концепции погрешности выражаемую доверительным интервалом, а в концепции неопределенности -интервалом охвата (JCGM 200:2008 (VIM) 2.36) [1, п. 4.11; п. 5.3].

4. Оценка результата измерения на основе байесовского подхода

Рассмотрим вероятностный байесовский метод получения оценки случайной величины. Введем обозначения: g (x, x) - совместная плотность распределения x и x; g0(x|x) - плотность вероятности распределения x при условии, что уже получены наблюдения x1,x2,...,xn случайной величины x,

т.е. апостериорная вероятность х; gl (х) - априорная плотность распределения величины x; g2 (х) априорная плотность распределения X, если X является случайной величиной. Теорема Байеса представляет, по существу, математическое описание познавательного процесса [5]. Имея априорную оценку величины и располагая дополнительной информацией о ней, получаем с помощью этой теоремы соответствующую новую (апостериорную) оценку величины. Математически теорема Байеса представляет собой следствие закона умножения условных вероятностей в теории вероятности и является формальным правилом для изучения явлений, процессов, объектов на основе наблюдений. Последнее символически может быть представлено как

апостериорная ^ правдоподобие X априорная ,

где ^ - пропорциональность с точностью до множителей.

Согласно теореме умножения вероятностей правило Байеса записывается в принятых обозначениях следующим образом:

*> >=ш

Задача отыскания байесовских оценок состоит в том, чтобы при данных наблюдениях х-у,X2,...,xn случайной величины x найти такое значение х,

которое обращает в максимум апостериорную вероятность go (х| х). Но тогда

байесовский метод совпадает с методом максимального правдоподобия, так как решаем в каждом случае соответствующее уравнение

^ (х|х) = 0- дgo (х|х) = о

дх ’ дх

и имеем следующее

дg

dx dx

gl

dx

= const.

Пусть X = {xi,x2,...,xn- измеряемая ФВ с получаемыми результатами измерений xi, лежащими в диапазоне Q. Пусть I будет условным обозначением для информации любого рода, относящейся к заключению о X . Тогда вероятность (обусловленная I) гипотезы x < X < x + dx составит

Pr[x{X{x + dx|I) = )x (x|I)dx,

где fx (x|I) - функция плотности вероятности pdf для X .

Если придерживаться теории Гаусса, лучшая оценка для X дается точкой x, вокруг которой наиболее сильно концентрируется приписанная функция pdf . Эта точка определяется минимум от E(X — x)2 , т.е. лучшей оценкой для X является

x = EX

= JxfX (x|I)dx,

а соответствующим значением меры концентрации

.2,

u

(x ) = E(X-x)2 = J (x — x) fX (x|l )dx.

Это стандартное отклонение pdf принимается за стандартную неопределенность u

(из списка № 6 ГОСТ Р 54500.1-2011 «Неопределенность измерения. Часть 1. Введение в руководства по неопределенности измерения», п. 3.18). Следует отметить, что в то время, как стандартная неопределенность u (x) отражает свойство pdf для X, это не справедливо для расширенной неопределенности.

Если значение измеряемой ФВ задается функцией X = G (Xm : X1,

X2,...,Xm) и содержит m -мерную информацию, то наилучшая оценка X и

соответствующая стандартная неопределенность непосредственно получаются из m -мерных интегралов:

x = JG(x)fX (x|lm)dx,

u2 (x) = J(G(x)- x) )x (x Im)dx.

Принцип трансформирования как этапа оценивания неопределенности измерений (JCGM 101:2008 5.2) [1, п. 7.1.1] на основе имеющейся информации I позволяет использовать последнюю наиболее полным образом, что позволяет избежать недостатков, присущих параметрическим оценкам.

Заключение

В связи с актуальностью поставленного вопроса проведен сопоставительный анализ основных представлений концептуальных моделей погрешности и неопределенности измерения для решения задач оценивания данных по результатам измерений и формирования результата измерений в условиях неопределенности. Представленный в статье подход гармонизирован с международными нормативными документами, имеющими статус добровольного применения.

Список литературы

1. Введение к «Руководству по выражению неопределенности измерения» и сопутствующим документам. Оценивание данных измерений / пер. с англ. под науч. ред. д.т.н., проф. В.А. Слаева, д.т.н. А. Г. Чуновкиной. - СПб. : Профессионал, 2011. - 58 с.

2. Данилов, А. А. Планирование эксперимента в условиях неопределенности результатов измерений / А. А. Данилов, Н. П. Ординарцева // METROLOGY AND METROLOGY ASSURANCE 2012 : Proceeding of the 22th National Scientific Symposium with International Participation, September 10-14, 2012, Sozopol, - Bulgaria, Technical University of Sofia, 2012. - P. 29-34.

3. Ординарцева, Н. П. Математическая модель измерительной задачи / Н. П. Ординарцева // Известия ЮТУ. Технические науки. Тематический выпуск «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении». - 2012. № 5 (130). - С. 90-94.

4. Ординарцева, Н. П. Регрессионная модель на данных с интервальной неопределенностью / Н. П. Ординарцева // Ползуновский вестник. - 2012. - № 2/1. -С. 83-87 // иКЬ: http://mca.altsu.ru/download/M12-2_1p3.pdf

5. Вегер, В. Информация об измеряемой величине как основа формирования функции плотности вероятности / В. Вегер // Измерительная техника. - 2003. -№ 9. - С. 3-9.

Ординарцева Наталья Павловна

кандидат технических наук, доцент, кафедра метрологии и системы качества, Пензенский государственный университет

E-mail: nat@rclink.ru

Фурман Оксана Васильевна

директор, Сердобский филиал, Пензенский государственный университет

E-mail: sf.pgu@yandex.ru

Ordinartseva Natalya Pavlovna Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of metrology and quality system, Penza State University

Furman Oksana Vasilyevna Director, Serdobsk branch of Penza State University

УДК 006.91 Ординарцева, Н. П.

Формирование результата измерения в условиях неопределенности /

Н. П. Ординарцева, О. В. Фурман // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 3 (23). - С. 55-61.