Нелинейные деформации и устойчивость плоских криволинейных стержней

В. Л. Якушев, А. А. Мулюкин

НЕЛИНЕЙНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Статья посвящена исследованию деформаций геометрически нелинейных плоских криволинейных стержней. Получена система из шести уравнений при произвольных смещениях и углах поворота для случая введения вязкости в реологические соотношения. Численное решение системы велось пошаговым методом. На основе развитой теории можно проводить моделирование нелинейных деформаций и потери устойчивости трубопроводов и других элементов конструкций в нефтегазовой промышленности.

1. Уравнения нелинейного деформирования стержней

В системе координат х, у рассмотрим стержень, срединная линия которого определяется плоской кривой х = х(^), у = у(з) (рис. 1). Координаты срединной линии х, у, угол наклона р между касательной к срединной линии и осью х, радиус кривизны г, момент инерции сечения J относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости х, у, являются известными функциями длины дуги срединной линии 5. Соответствующие величины в начальном недеформированном состоянии обозначаются индексом «ноль». Ось г вдоль нормали к срединной линии в плоскости х , у направим так, чтобы касательная и нормаль составляли правую систему координат. В такой постановке задача деформирования стержней близка к задаче об осесимметричном нагружении оболочек вращения [1, 2].

5о

Рис. 1. Начальное и конечное состояния стержня

Деформации ар на расстоянии г по нормали от срединной линии на основании гипотез Кирхгофа — Лява равны:

1 ,11

ар = а- гк, а = — -1, к =---------------------------.

г г0

Координаты срединной линии в деформированном состоянии определяются уравнениями:

dр 1 dх dy „ . .

----= к +—, ----=

ds0 г0 ds0 ds0

В слагаемых типа 1 + а не всегда можно приближенно принимать 1 + а « 1. Это следует делать, каждый раз производя соответствующие оценки [3].

Уравнения равновесия в случае немалых смещений и углов поворота записываются для деформированного состояния следующим образом:

dsn

(

N

\

0 у

(

йф{_

\

РФ = 0,

о У

йМ

йз0

- в = 0,

где в — поперечная сила, N — продольная сила, М — изгибающий момент, р^ и рг — соответственно касательная и нормальная к срединной линии составляющие внешней распределенной нагрузки.

В случае упругих деформаций связь между силовыми факторами, деформацией и кривизной срединной линии определяется соотношениями:

N = ЕЕ є, М = - ЕЛк , 1.4)

где Е — модуль упругости.

Разрешающая система уравнений для нелинейных деформаций стержня может быть построена следующим образом. Силовые факторы N, М в уравнениях равновесия (1.3) выражаются через деформацию и кривизну из (1.4). К преобразованным таким образом уравнениям добавлены выражения (1.2). В результате получена система из шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка вида:

йФ „ „

----+ В = 0,

Жп

Ф = [0,є,к,р, х, у]Т, В = Щ

Эти уравнения должны быть дополнены граничными условиями, причем сумма последних должна быть равна шести. В ряде случаев уравнение для у

может решаться отдельно от остальных уравнений.

2. Метод реологической вязкости для исследования потери устойчивости стержней

Рассмотрим решение задач устойчивости при введении дополнительной вязкости в реологические уравнения. В этом случае удается по единому алго-

ритму без смены параметров решать нелинейные задачи деформирования и устойчивости, находить устойчивые до- и закритические состояния [3].

Простейшей моделью ползучести, позволяющей смоделировать непрерывный процесс перехода от докритического к закритическому состоянию без учета инерционных сил, является тело Фойхта:

э. = 20

где в .. и э,, — девиаторы деформаций и напряжений. Точка над переменной означает дифференцирование по времени I, а т — постоянная:

1 с 1 с ^ 1 - 2^ „ Е

а = - аг15г1, а = - аг15г1, К =---------------------------, G =-,

3 1 1 3 1 1 Е 2

где а.. и а. — соответственно компоненты тензоров деформаций и напряже-

У У

ний. При в.. = 0 получаем закон Гука.

У

При введении реологической вязкости, согласно (2.1), получаем выражения для силы и момента:

N = ЕЕ

По аналогии с (2.3) для поперечной силы Q водится величина у:

0 = ЕЕ

Величине у здесь не придается механического смысла, т. е. она не рассматривается как сдвиговая деформация. Она вводится только для перехода в первом уравнении равновесия (1.3) к дифференциальной зависимости от времени.

Построение разрешающей системы уравнений осуществлялось в такой последовательности. Выражения для сил и моментов (2.3) и (2.4) подставлялись в уравнения равновесия (1.3). В качестве примера выпишем окончательный вид первого из этих уравнений:

д2у Г, 1^

дз0дї

+

к +

г0

= 0.

Другие три уравнения были получены после дифференцирования по ї выражений для координат срединной поверхности (1.2) и последующего сложения с ними в исходной форме. Так для перемещений вдоль оси симметрии у имеем:

д2у . дє _ . др 1 Г ду . ]

-------Біпр-------

дз0дї дї дї т [дз0 ]

В результате была получена система из шести уравнений в частных производных гиперболического типа:

д2Ф дФ 1

+ А— + - =0, Ф = [у,є,к,р,х,у]Т .

дз0дї дї

Матрицы А и В размером 6*6 являются функциями элементов столбца

Ф, которые в свою очередь являются функциями времени I и координаты э0.

Части уравнений, стоящие в фигурных скобках в (2.7), есть нелинейные дифференциальные выражения типа стоящих в фигурных скобках в (2.5) и (2.6). Система

совпадает с (1.5) (с точностью до связи 0 = ЕЕ у) и дает решение статической задачи, что, как следует из (2.7), может быть только при дФlдt = 0 .

В общем случае опирания и нагружения на каждом из краев оболочки могут быть заданы три условия вида:

т = 1,2,3) являются функциями Ф и могут меняться во времени.

Краевая задача относится к задаче Гурса — Римана. Интегрирование ведется в характеристическом колодце, ограниченном снизу характеристикой ї = 0 , а по краям — характеристиками э0=0 и 50 = Ь . Предполагается, что

при ї = 0 функция Ф(?0) задана.

Скорости неизвестных могут быть приближенно заменены через отношение конечных приращений ДФ = Ф(їІ)-Ф(їм) к приращению времени

где N — количество шагов по времени до получения решения. Тогда система (2.7) может быть сведена к следующему виду:

Если при некотором t = tl известно распределение Ф вдоль э0, тогда могут быть найдены дФ1дэ0, матрицы А и В как функции от э0. По отношению к приращениям ДФ система (2.10) будет системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [3]. Производные по координате э0 аппроксимировались конечно-разностной

схемой второго порядка точности. На каждом временном слое двухточечная краевая задача решалась методом ортогональной прогонки Годунова [4]. По t использовалась схема первого порядка точности с переменным шагом. При этом для ряда точек вдоль образующей необходимо хранить в памяти ЭВМ компоненты Ф с предыдущего шага по t.

&0

50=0, Б1 • Ф + О1 =0; э0=Ь, Б2 • Ф + О2 =0.

Матрицы Б1 =[< ], О1 =[£, ]Т , О2 =[< ], О2 =[^Ґ (І = 1,..,6,

Дї = ї1 - їм , І = 1, ...Ы1, ї0 =0 :

2.9)

дї Дї '

Проблемы выбора параметра вязкости т не существует, так как может быть введено безразмерное время T = t/т, и решение будет функцией от T.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ширко И. В., Якушев В. Л. Осесимметричная деформация гибких оболочек вращения из материала со сложной реологией // Тр. IX Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин, 1973. — Л.: Судостроение, 1975.

2. Ширко И. В., Якушев В. Л. Физически и геометрически нелинейные деформации оболочек вращения // Изв. АН СССР, МТТ. — 1975. — № 6. — С. 103-109.

3. Якушев В. Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек. — М.: Наука, 2004. — (Сер. Информатика: неограниченные возможности и возможные ограничения).

4. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. — 1961. — Т. 16, вып. 3.

V. L. Yakushev, A. A. Mulyukin NON-LINEAR STRAINS AND RIGIDITY OF FLAT CURVILINEAR BARS

The article is devoted to investigation of strains in geometrically non-linear flat curvilinear bars. Obtained, a system of six equations under arbitrary shifts and turning angles for a case of introducing toughness into rheological correlations. A numerical solution of the system was done using step-by-step method. Basing on mature theory, one could simulate nonlinear strains and loss of rigidity in pipelines and other elements of constructions used in oil-and-gas industry.