Мультифрактальный анализ цифровых изображений

Изв. вузов «ПНД», т. 17, № 5, 2009

УДК 528.854

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Н.Г. Макаренко, И.С. Князева

Статья содержит изложение методов микроканонического варианта мультифрактального формализма. На уровне технической строгости обсуждаются его возможности в применении к анализу и реконструкции цифровых изображений.

Ключевые слова: Фракталы, мультифрактальный анализ, цифровые изображения.

Не буду заморачивать тебя подробностями,

потому что ты можешь...

- Могу что?

- Можешь заморочиться.

Дуглас Адамс. Жизнь, Вселенная и Вообще

Введение

Фракталом называют множество, которое можно представить как композицию или коллаж своих уменьшенных копий [1]. Каждая из копий получается применением к исходному компактному множеству конечного набора линейных сжимающих отображений IFS (iterated function system), дополненных, возможно, вращениями и трансляциями. По теореме Банаха о неподвижной точке в пространстве компактов, IFS имеет единственную неподвижную «точку» или аттрактор IFS [1-4]. Если образы IFS не пересекаются, то аттрактор может быть несвязным компактным объектом с дробной размерностью, то есть фракталом. Представим себе, что каждая итерация IFS эквивалентна нанесению черной краски (массы меры) на носитель. Тогда предельным образом будет черно-белая геометрическая фигура, такая, например, как ковер Серпиньского. Предположим теперь, что каждое из IFS выбирается с фиксированной вероятностью. В этом случае раскраска аттрактора будет репродуцировать себя в шкале «уровней серого» на различных, все более уменьшающихся масштабах, следуя заданному распределению вероятностей. В результате получится единственная самоподобная инвариантная мера IFS на аттракторе в силу той же самой теоремы Банаха, но уже в пространстве борелевых мер с метрикой Монжа-Канторовича [1,2,4]. Такую меру называют мультифрактальной, потому что она состоит из фрактальных компонент разной размерности.

85

Для того чтобы описать локальную изменчивость мультифрактального узора, используют понятие регулярности функции, адаптированное к мере. Эвристическая идея измерения регулярности заключается в том, что мы исследуем локальное изменение функции в зависимости от изменения аргумента. Для «хороших» функций приращения функции и аргумента согласованы так, что их отношение равномерно ограничено |Ау|/ |Ах| ^ С в некоторой малой окрестности |Ах| = \х — х0\ ^ е точки хо положительной константой. С другой стороны, можно представить себе функцию, для которой небольшое изменение |Ах| приводит к огромному значению |Ау|, так что |Ау| / |Ах| ~ то. Альтернативой может быть непостоянная функция, которая очень слабо реагирует на изменение аргумента, то есть |Ау| / |Ах| ~ 0. Можно обобщить все эти ситуации с помощью некоторой постоянной а(хо), такой что в окрестности хо ограниченным является отношение |Ау| / |Ах|а ^ Сн. Величину а(х0) называют гельдеровским показателем регулярности функции в точке х0, а постоянную Сн иногда называют гельдеровской производной. Ее геометрическим образом в х0 является криволинейный «касательный» конус Ау |Ах|а [5].

Будем рассматривать значения функции в е-окрестности некоторой точки х Е R как количество массы [2] некоторой меры ^ (е). Ее универсальной аппроксимацией на I С R является степенной закон ^ (е) ~ еа(х), где а(х) называют гельдеровским показателем сингулярности меры. Если масса M распределена «атомарно», со значениями mi в отдельный точках х1 носителя, то а = 0 и M = ^i (х — х^). Рав-

номерному распределению массы соответствует значение а = 1 и абсолютно непрерывная мера ^ с постоянной плотностью р, так что M = рйх. Для а < 1 плотность меры расходится при е ^ 0, и такую меру называют сингулярной. Несколько неожиданным покажется то, что случай а = 2 тоже объявляют сингулярным в 1D. Для случая 2D мера сингулярна при а = 2 и т.д. Множество точек носителя, имеющих меру с сингулярностью а в общем случае образуют фрактальное множество с размерностью / (а), а пару (а,/(а)) называютмультифрактальным спектром. В случае самоподобной меры график спектра является выпуклой вверх кривой. Способы вычисления такого спектра для разных ситуаций являются одной из задач мультифрактального анализа.

Мультифрактальная техника была введена в физику в 1986 г. статьей [6], хотя обобщенные размерности Реньи использовали тремя годами раньше [7] для описания странных аттракторов. Позднее были приведены строгие обоснования метода статистических моментов для оценки спектров самоподобных мер [8, 9]. Этот подход реферируется как канонический вариант формализма [10-15]. Можно развить мультифрактальный формализм не только для мер, но и для функций [16]. Оказывается, что почти каждая функция в некоторых пространствах математической физики является мультифрактальной [17]. Грубо говоря, это означает, что гладких кривых намного меньше, чем кривых, которые можно провести не отрывая карандаш от листа бумаги.

Менее известен физикам микроканонический вариант мультифрактального формализма [18, 19]. В нем показатели сингулярности и их спектр явным образом получаются из таких фундаментальных понятий, как гельдеровская регулярность радоновых мер. Здесь мультифрактальность перестает быть прерогативой ситуаций, связанных лишь с полностью развитой турбулентностью.

86

Основной задачей нашей статьи является изложение основ этого формализма на уровне технической строгости. Теоретические основы иллюстрируются на примере цифровых изображений - объектов, для которых этот вариант формализма выглядит настолько естественным, насколько это вообще возможно. Мы описываем мультифрактальное разложение изображения на сингулярные компоненты с использованием емкостей Шоке и приводим способ восстановления оригинала по множествам максимальной сингулярности.

1. Мера и размерность Хаусдорфа

Предполагая, что читатель знаком с основными понятиями теории меры, мы приведем здесь лишь некоторые основные сведения (см. [20, 21]). Наиболее известная мера Лебега является способом приписать подмножеству из Rn неотрицательное число, имеющее смысл его «размера». Представим себе однородное распределение массы в Rn такое, что любой единичный n-мерный куб содержит единичную массу. Тогда лебегова мера ць (A) компактного множества A е Rn - это просто количество массы, которое в нем содержится. Для интервала In = [an, bn] е R эта мера - длина ць (In) = bn — an; для прямоугольника P = [ai,bi] х .... х [an,bn] - это объем ць (P) = (b1 — a1) х ... (bn — an). Для произвольного множества A е Rn мера Лебега определяется как нижняя граница мер прямоугольников, покрывающих A. При этом предполагается выполнение двух свойств:

ГО ОО

Ml

i=1 i=1

В общем случае мера на множестве X - это функция, которая приписывает каждому подмножеству A c X неотрицательное число 0 ^ ц (A) ^ то, так что выполняются условия (1). Если мера ц уже определена, то множество A е X называют ц-измеримым, если оно аддитивно «расщепляет» любое другое множество B е X, то есть ц (B) = ц (B П A) + ц (B П Ac), где Ac дополнение A в X. Иными словами, измерить множество, это значит разбить его на части с помощью эталонного множества.

Класс ц-измеримых множеств образует алгебру: дополнение к любому измеримому множеству - измеримо; счетное объединение и пересечение измеримых множеств также измеримы. Минимальную алгебру составляют так называемые борелевы множества: на R такими множествами являются обычные интервалы. Меру ц называют борелевской регулярной мерой, если для каждого множества A существует такое борелево множество B D A, которое «аппроксимирует» меру A: ц (B) = m(A). Если такая регулярная мера конечна для любого компактного множества, ее называют мерой Радона. Меры Радона в Rn получают следующим образом. Выберем фиксированный масштаб r и покроем тело F непересекающимися кубами или шарами размером г. Пусть N (r) - их минимальное число. Тогда мера - длина, площадь или объем - определяется выражением

m

87

где d = 1, 2, 3 называют емкостью или бокс-размерностью F. Формулу (2) можно рассматривать как определение d. Действительно, с точностью до нормировки

d

lim

r—>0

в предположении, что предел существует. Поскольку размерность заранее не известна, будем перебирать все возможные пробные значения d, пока не найдется такое из них, для которого m (F) в пределе r — 0 равняется конечному числу. Пусть, например, у : [0,1] — R2 - фрагмент спрямляемой кривой длиной l. Необходимое для покрытия фрагмента число r шаров составляет N (r) = l/r и мера (2) равна m (у) = lrd-1. Легко убедиться, что для d > 1 мера m (у) — 0 при r — 0 и m (y) — то, если d < 1. Между ними существует единственное «правильное» значение d = 1, которому и соответствует конечное значение меры m (y) = l. Мы будем неоднократно использовать ниже этот прием: необходимая для нас величина а должна обладать свойством «точки перехода» - для любого в > а некоторая мера равна нулю, а для любого в < а она бесконечна. Размерность, которую определяет формула (3), часто называют фрактальной.

Дальнейшее обобщение связано с заменой шаров покрытия на произвольные взаимно пересекающиеся множества [2, 20, 21]. Счетное семейство подмножеств A = {Ai} называют счетным е-покрытием множества F, если F Q (Ji Ai и для всех Ai справедливо неравенство diam Ai ^ е, diam A = sup^^A \\x — y||. Определим крупнозернистую а-мерную меру Хаусдорфа, как [2, 20, 21]

pH

AteA

где нижняя грань берется по всем счетным е-покрытиям. Предел

pH

е^-0

называют а-мерной мерой Хаусдорфа. Эта мера обладает приятными свойствами. Так, в метрическом пространстве R для конечного множества A одномерная мера Хаусдорфа совпадает с мерой Лебега: pH (A) = m (A). Если A состоит из n точек, то мера pH (A) = n. Легко понять, что вычислить меру (5) практически невозможно. Однако ее можно оценить, используя один результат из геометрической теории меры [22]. Пусть мера Радона р [Br (x)] для шара Br (x), окружающего каждую точку x Е A борелева множества A с. Rn, удовлетворяет условию

lim

r^0

Тогда существует постоянная C = C (а, n) такая, что

р

Иными словами, а-мерную меру Хаусдорфа можно аппроксимировать более доступной для измерения мерой Радона, если последняя удовлетворяет «скейлингу»

р [Br

88

Рассмотрим теперь поведение pH (F) как функции а, используя прием, описанный выше. Когда а увеличивается, мера уменьшается. Пусть F - борелево множество и 0 < а < s. Тогда, если pH (F) < ж, то pH (F) = 0. Напротив, если pH (F) > 0, то pH (F) = ж. Можно доказать, что для F существует единственное критическое значение ао Е [0, ж], такое что pH (F) = ж для всех а < а0 и pH (F) = 0 для всех а > ао. Эту величину

а0 = dimH F = sup {а |pH

и называют размерностью Хаусдорфа [2, 3, 20]. Можно показать, что если A и B -борелевы множества, то

A С B ^ dimH A ^ dimH B; dimH

2. Абстрактный мультифрактальный формализм

Пусть X С R и g : X ^ [—ж, +ж] - непрерывная функция. Проведем на графике

К ={x Е X jg

Их называют компонентами мультифрактального разложения X, так как

X = U Ка.

Термин «мультифрактальный» означает, что каждая из компонент Ка. образована конечным числом точек, так что

dimH( Ко. ) ^ 1, как для фрактала. Таким образом, X расслаивается на раз личные «фрактальные» множества относительно функции g. Целочисленную многозначную функцию, равную числу пе ресечений графика g (x) с нашей прямой

Рис. 1. Компонента мультифрактального разложения для а = —0.35 относительно графика g

N

называют индикатрисой Банаха. Для X = [a,b] она равна pH (g-1(a) П [a, b]), то есть равна нульмерной мере Хаусдорфа множества точек пересечения.

Для «измерения» каждой компоненты К. выберем монотонную функцию множества, например, размерность Хаусдорфа, fH (a) = dimH (К.), которая обладает нужным свойством (см.(10)). Пару (a, fH (а)) называют мультифрактальным спектром относительно g (x).

Наша ближайшая цель - выбор подходящей функции g (x). Мы используем для этого гельдеровский показатель регулярности функции.

89

3. Гельдеровская регулярность функций

Пусть f : R ^ R - функция, n ^ а ^ n + 1, n Е Z и хо Е R - некоторая точка. Говорят, что f Е Са(хо), если существует число 8 > 0, полином Pn степени n и постоянная C, такие что для любой точки x из 8-окрестности хо справедливо неравенство [24-27]

\f

Случай n = 0 в (14) приводит к стандартному определению липшиц-непрерывности для функции. Поточечным гельдеровским показателем (экспонентой) f в точке х0 называют величину

ар

Приведем геометрическую интерпретацию [24] этого показателя (рис. 2). Считаем, что функция f имеет показатель а в хо, если ее график {х,f (х)} в окрестности хо эквивалентен кривой х ^ f (хо) + c \х — хо\а в следующем смысле. График f для любого е > 0 ограничен в этой окрестности огибающей, состоящей из пары кривых: х ^ f (хо)+с\х — хо\а_Е и х ^ f (хо) — —с \х — хо\а_Е. Указанное свойство нарушается для любых е < 0.

Можно доказать [27], что полином Pn в (14) состоит из первых (n + 1) членов разложения функции f (х) в окрестности точки хо в ряд Тейлора

Рис. 2. Гельдеровская регулярность функции

f (х) = со + ci (х — хо) + .... + Сп (х — хо)п + С\х — хо\

а

где со = f (хо), ck = (1/k!) дk f (х) \х0 , k ^ 1 и дk f (х) = дк)‘/дхк. Усеченный до членов k-го порядка ряд Тейлора называют k-струей. Таким образом, анализ регулярности сводится к последовательному вычитанию k-струй и оценки остатка.

В общем случае, когда n ^ а ^ n + 1, функция f (х) в точке хо имеет n производных, но ее (n + 1)-я производная не ограничена. Если она ограничена, но разрывна, n-я производная не является сингулярной. Рассмотрим, например, функцию

0, х < 0,

f

( х, х ^ 0.

Ее производная является функцией Хевисайда; она разрывна, но ограничена в точке х = 0. Следовательно, f (х) не сингулярна в этой точке. Можно показать, что в этой точке а = 1 .

90

4. Микроканонический мультифрактальный формализм

Микроканонический формализм оценивает локальные масштабные свойства мультифрактальных мер геометрически, а не статистически [18, 19,28-30]. Ниже мы будем иметь дело с цифровыми изображениями, то есть с дискретным полем яркости I(x), x е Z х Z, заданным на ограниченной области А квадратной решетки. Под точкой x = (x\, x2), в зависимости от контекста, мы будем понимать либо координаты центра пиксела, либо сам пиксел. Часто удобнее работать с отклонениями от среднего значения I0 = {I(x)) уровня серого, подсчитанного для всего изображения, то есть с глобальным полем контрастности:

c

Теперь нам нужна мера р для каждого компактного множества A на изображении. Ее можно определить следующим образом [19, 31]:

р

xeA

где плотность меры для c(x) в предположении локальной гладкости изображения описывается выражением [19, 27]

dp

и частные производные понимаются в смысле их аппроксимации разделенными разностями. Заметим, что, вообще говоря, «истинного» изображения u (x) не существует. Мы всегда имеем дело с интегралом {и, ф) = fA u (x) ф (x) dx1dx2, где ф (x) -функция с компактным носителем, или сенсор-ячейка CCD-приемника или сетчатки глаза. Таким образом, описание изображений попадает в контекст теории обобщенных функций (распределений) и производные можно понимать в слабом смысле [32]. Условие {и, ф) ^ 0 эквивалентно непрерывности «обобщенного» изображения или существованию единственной меры Радона на А. Выбор меры в форме (19) связан с пространствами Соболева и понятием функций с ограниченной вариацией [31]. Напомним, что полной вариацией функции f (x) Е C1 называют величину [22, 27, 31]

Ilf11у = J \f\dx.

Если мы имеем дело с функцией y = f (x) на ограниченном интервале и {xp} - множество особых точек, в которых производная обращается в нуль, то полная вариация определяется суммой

IIf iiv = ^2 f

p

91

Наконец, если функция f не дифференцируема в обычном смысле, то используется аппроксимация

+0

llf \v = 1™ f e_1 \f

— O

Известная формула Банаха об индикатрисе утверждает, что вариация функции совпадает с суммой индикатрис по уровню [22, 27, 31]:

b +o

\\f llv = J \f\ dx = j N

a — co

Выражение (19) - это двухмерный аналог (21) и, следовательно, наша мера измеряет полную вариацию контраста в области. Ее можно оценить, используя теорему об индикатрисе. Рассмотрим, ради простоты, регулярный случай. Пусть Q £ R2 и f (x, у) £ C2 - гладкая поверхность. Тогда множество ее морсовских особых точек E = {(x,v) \Vf = 0}, по теореме Морса-Сарда, не образует связного множества, то есть pH (E) = 0. С другой стороны, множество ее уровней S = f—1 (t) П Q будет одномерным C2-многообразием почти для каждого t. Индикатрисы - это множество pH (f—1 (t) П Q), образованное длинами изолиний, полученных пересечением графика {(x, у) ,z = f (x, у)} с плоскостью z = t. Вариация \\f ||v определяется теперь так называемой формулой ко-площади, которая справедлива для всех липшицевских функций [21, 22, 31]

+о

\\f \\v = j Ph [f—1

—o

Пусть p [Br (x)] мера Радона для шара Br (x), окружающего каждую точку x £ A. Используя выражение (8) мы полагаем, что для достаточно малых окрестностей точки справедлива следующая аппроксимация [19, 29]:

p [Br

Здесь гельдеровские показатели обозначены через h(x), чтобы отличить их от общего случая (14), а o (rh(x)) обозначают члены более высокого порядка малости, нежели rh(x). Коэффициенты a (x) зависят от выбора метрики, использующейся для определения шаров и шкалы масштабов. Напротив, h(x) не зависят от метрики и дают всю информацию об эволюции меры при изменении масштаба. Они могут быть получены с помощью линейной регрессии log p(Br (x)) = h (x) log r [33]. Такой вариант получения оценок показателей реферируют как микроканонический вариант мультифрактального формализма [18, 19].

5. Емкости Шоке и многообразия максимальной сингулярности

В численных методах из-за большой вариабельности контраста обычно не удается хорошо определить градиент: при уменьшении размера окрестности последовательность оценок не меняется монотонно при уменьшении цифрового радиуса

92

окрестности. Чтобы обойти эту трудность, можно вместо обычной борелевой меры- суммы уровней серого в пикселах - использовать так называемые емкости Шоке [34]. Они удовлетворяют слабому условию аддитивности и гарантируют монотонность при изменении масштаба. Точнее, емкостью называют неубывающую функцию ю (А) множества, которая имеет два свойства. Для возрастающей последовательности вложенных подмножеств ..., С Ап С Ап+1 С ...: w([Jn Ап) = supn ю(Ап). Если {Ап} - убывающая последовательность подмножеств ..., D Ап D Ап+1 D .., то ю(Пп Ап) = infп ю(Ап).

Не останавливаясь на деталях [30, 34, 35], определим три емкости Шоке pmax, pmin и piso для области Q цифрового изображения следующим образом. Пусть Q* С Q - подмножество, в котором для любого пиксела i интенсивность или контраст p

Pmax

i€Q i€Q*

Третья емкость piso зависит от дискретизации уровней серого. Будем считать два пиксела i и j эквивалентными p&(i) ~ p&(j), если уровни серого в них не различаются с точностью до заданного фиксированного числа 8, то есть \p(i) — p(j)| < 8. Тогда

Piso = #{i е Q : p8

где G(Q) - геометрический центр Q, а # - число пикселов. Очевидно, что все три емкости монотонно изменяются с размерами окрестности. Заметим, что pmax(Q) и pmin(Q) зависят только от значений уровня серого, в то время как piSo(Q) - только от распределения уровней серого. Используя емкости Шоке, мы можем вычислить гель-деровские показатели для цифрового изображения. Затем для каждого из h мы сможем получить компоненту мультифрактального разложения Fh = {x е Q \h (x) = h } (см. раздел 2) - так называемое singular manifold (SM) [19, 28]. Размерность Ха-усдорфа duFh = D (h) можно оценить, используя бокс-размерность см. (3). Для покрытия точек Fh необходимо Nh (е) — e-D(h) боксов размером е из общего числа N (е) — е-2 боксов, покрывающих всю Q. Следовательно, вероятность наблюдать сингулярность h на масштабе е ведет себя в пределе малых е как [36]

Ре

Таким образом, для оценки мультифрактального спектра (h, D (Р))в этом варианте формализма можно использовать частотную гистограмму вычисленных показателей [18, 19, 29]. Напомним, что, чем меньше h, тем больше сингулярность соответствующей меры. Минимальным значениям показателя соответствуют так называемые most singular fractal manifolds (MSM) [28, 37]. Наиболее интересны из них те, для которых D (h) w 1 то есть Fh представляют собой контуры. Они играют особую роль при распознавании образов - мы можем узнать человека, располагая лишь контурным рисунком - шаржем. На рис. 3 приведен пример MSM для диапазона показателей 0 <h f 1.

Самое удивительное заключается в том, что MSM образует такой скелет изображения, который позволяет восстановить исходную картину с помощью простого

93

Рис. 3. Оригинал

пропагатора - оператора восстановления. Это дает возможность сохранять исходную информацию в чрезвычайно компактной форме, поскольку MSM описываются матрицами с большим количеством нулей.

Задача восстановления ставится следующим образом [37]: необходимо восстановить изображение I (x), то есть значение интенсивности в каждой точке, по информации об изменении градиента интенсивности в точках MSM, множество которых мы обозначим как F^. Для того чтобы построить пропагатор, выбираются следующие условия [30, 37].

• Пропагатор - линейная функция градиента на MSM

\VI

Fx

• Пропагатор инвариантен относительно сдвигов

VI(x) = у G (x - y) VI(y)dl(y) = у g (x - y) VI(y)dl(y), Gj = digj(x).

Fx Fx

Определим множество градиентов на MSM как v0(x) = VI(x)8fx . Тогда

I

Fx

где (о) обозначает свертку. Если в (32) перейти к фурье-представлению I*(x), добавить условия изотропности и эквивалентности спектров мощности оригинала и его

94

фурье-реконструкции, то простейшая функция g(f), удовлетворяющая всем этим свойствам, имеет вид [37]

g

В результате получается следующее выражение для фурье-реконструкции изображения:

I*

Для иллюстрации на рте. 4 приведены оригинальное изображение второго автора статьи, его гельдеровская карта, MSM и реконструкция с помощью описанного про-

Рис. 4. Реконструкция изображения по сингулярным многообразиям: а - оригинал, б - карта гельде-ровских экспонент; в - MSM, 0 < h (x) < 2; г - реконструкция

95

пагатора. Хотя для реконструкции использовалось лишь 38% показателей h (x), она визуально мало отличается от оригинала.

В заключение отметим, что описанные методы имеют чрезвычайно широкий круг применений. Действительно, современные экспериментальные данные большей частью являются матричными, то есть они представлены цифровыми изображениями. С ними приходится иметь дело в медицине, геофизике, дистанционном зондировании Земли из Космоса, астрономии и многих других областях знания. Удивительно, но практически все природные изображения с достаточно высоким пространственным разрешением - мультифрактальны, то есть имеют свойство статистической масштабной инвариантности. Как раз оно и обеспечивает эффективность методов, изложенных в статье. Кроме геометрии, изображение имеет еще и топологию (алгебраическую структуру): два фрактала могут иметь одинаковую размерность, но различаться «пористостью» меры. О методах извлечения топологии из изображений мы собираемся рассказать в нашей следующей статье.

Библиографический список

1. Barnsley M. Fractals Everywhere. N.Y.: Academic Press, 1988. 531 p.

2. Falconer K. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications. Wiley. 2003.

3. Falconer K. Techniques in Fractal Geometry. Wiley & Sons. 1997. 256 p.

4. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Мухамеджанова С.А., Князева И.С. Система итеративных функций и марковский прогноз временных рядов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. т. 14, № 6. С. 3.

5. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика // УФН . 1985. Т. 146. С. 493.

6. Halsey T.C., Jensen M.H., Kadanoff L.P., Procaccia I., Schraiman B.I. Fractal measures and their singularities: the characterization of strange sets // Phys.Rev. A. 1986. Vol. 33. P. 1141.

7. Grassberger P., Procaccia I. On the characterization of strange attractors // Phys.Rev. Lett. 1983. Vol. 50. P. 346.

8. Falconer K. J. The multifractal spectrum of statistically self-similar measures // J. Theor. Prob. 1994. Vol. 7. P.681.

9. Mach J., Mas F., Sagum F Two representations in multifractal analysis // J.Phys. A: Math.Gen. 1995. Vol. 28. P.5607.

10. Павлов А.Н., Анищенко В.С. Мультифрактальный анализ сложных сигналов // УФН. 2007. Т.177. С.859

11. Короленко П.В., Маганова М.С., Меснянкин А.В. Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет преобразования. М.: НИИЯФ, МГУ, 2004.

12. Riedi R.H. Multifractal processes // Long-range dependence: theory and applications / Eds P. Doukhan, G. Oppenheim and M.S. Taqqu. Birkhauser, 2002. P. 625.

13. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 260 с.

14. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Москва-Ижевск: РХД, 2001. 128 с.

96

15. Harte D. Multifractals: theory and applications. CRC Press, 2001. 247 p.

16. Jaffard S. Multifractal formalism for functions. Part I: Results valid for all functions // SIAM J. Math. Anal. 1997. Vol. 28. P. 944.

17. Fraysse A., Jaffard St. How smooth is almost every function in a Sobolev space? // Rev. Mat. Iberoamericana. 2006. Vol. 22. P. 663.

18. Arneodo A., Bacry E., Muzy J.F. The thermodynamics of fractals revisited with wavelets // Physica A. 1995. Vol. 213. P. 232.

19. Turiel A., Yahia H., Perez-Vicente C. J. Microcanonical multifractal formalism -a geometrical approach to multifractal systems: Part 1. Singularity analysis // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41. 015501.

20. Edgar G. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer. 2008. 268 p.

21. Morgan F. Geometric Measure Theory. A Beginner’s Guide. Academic Press. 2000.

22. Ziemer W.P. Weakly differentiable functions, Graduate Texts in Mathematics. Vol. 120, New York, Springer-Verlag, 1989. 370 p.

23. Barreira L., Pesin Y., Schmeling J. On a general concept of multifractality: Multifractal spectra for dimensions, entropies, and Lyapunov exponents. Multifractal rigidity // Chaos. 1997. Vol. 7. P. 27.

24. Barriere О., Levy Vehel J.Local Holder regularity-based modeling of RR intervals // CBMS 2008. 21th IEEE Internat. Symp. on Computer-Based Medical Systems, June 17-19, 2008, Jyvaskyla, Finland, 2008.

25. Daoudi K, Levy Vehel J., Meyer Y Construction of continuous functions with prescribed local regularity // Constructive Approximation. 1998. Vol. 014(03). P. 349.

26. Mallat St., Hwang W. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE Trans. Info. Theory. 1992. Vol. 38. P. 617.

27. Mallat St. A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press, 1999. 851 p.

28. Turiel A., Parga N. The multi-fractal structure of contrast changes in natural images: from sharp edges to textures // Neural Computation. 2000. Vol. 12. P. 763.

29. Turiel A., Perez-Vicente C.J., Grazzini J. Numerical methods for the estimation of multifractal singularity spectra: a comparative study // J. Computat. Phys. 2006. Vol. 216. P. 362.

30. Макаренко Н. Г. Геометрия изображений // Лекции по нейроинформатике. М.: МИФИ, 2009. С. 89.

31. Chan T.F., Shen J. Image processing and analysis. Variational, PDE, wavelet and stochastic methods. SIAM. 2005. 400 p.

32. Florack L.M.J. Mathematical Techniques for Image Analysis. Eindhoven University of Technology. 2008. 100 p.

33. Pont O., Turiel A., Perez-Vicente C.J.Applications of the microcanonical formalism to monofractal systems // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74. P. 061110(1).

34. Levy Vehel J., Vojak R. Multifractal analysis of Choquet capacities: Preliminary results //Advances in Applied Mathematics. 1998. Vol.20. P. 1.

35. Макаренко Н.Г., Круглун О.А., Макаренко И.Н., Каримова Л.М. Мультифрактальная сегментация данных дистанционного зондирования // Исследование Земли из Космоса. 2008, № 3. С. 18

97

36. Riedi R., Scheuring I. Conditional and relative multifractal spectra // Fractals.1997. Vol. 5. Р.153.

37. Turiel A., del Pozo A. Reconstructing images from their most singular fractal manifold // IEEE Trans. on Image Processing. 2002. Vol. 11. P. 345.

Поступила в редакцию 8.07.2009

MULTIFRACTAL ANALYSIS OF DIGITAL IMAGES

N.G. Makarenko, I.S. Knyazeva

The article is based on the lecture that was given by the first author at the school StatInfo-2009. In the first part the microcanonical variant of multifractal formalism is reviewed. Possibilities for digital image analysis and reconstruction are discussed at the level of technical strictness.

Keywords: Fractals, multifractal analysis, digital images.

Макаренко Николай Григорьевич - родился в Троицке (1945). Окончил Уральский государственный университет им. Горького (Свердловск) по специальности «Астрономия». Главный научный сотрудник ГАО РАН, д.ф.-м.н. Главный научный сотрудник, д.т.н. лаборатории Компьютерного Моделирования (Институт математики, Алма-Ата, Казахстан). Область научных интересов: фрактальная геометрия, вычислительная топология, детерминированный хаос, нейронные сети, физика Солнца. Имеет более 80 научных публикаций.

196140 Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65/1 Главная астрономическая обсерватория РАН E-mail: ng-makar@mail.ru

Князева Ирина Сергеевна, 1983 года рождения, окончила физический факультет Санкт-Петербургского государственного университета (2007), после чего поступила в аспирантуру ГАО РАН. Область научных интересов - фрактальная геометрия, анализ изображений, нейронные сети, прогноз временных рядов.

196140 Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65/1 Главная астрономическая обсерватория РАН E-mail: iknyazeva@gmail.com

98