Анализ свойств решений краевых задач для диф- ференциальных уравнений высоких порядков

Математическое моделирование

УДК 519.624.3

Анализ свойств решений краевых задач для дифференциальных уравнений высоких порядков

И. В. Амирханов, Д. З. Музафаров, Н. Р. Саркар, И. Сархадов, З. А. Шарипов

Лаборатория информационных технологий Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри д.6, Дубна, Московская область, 141980, Россия

Релятивистское обобщение потенциальной модели кваркония приводит к решению спектральной задачи для квазипотенциального уравнения. В частном случае задача сводится к исследованию краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения конечного порядка с произвольным параметром е при старших производных. В работе предложен алгоритм исследования краевых задач для дифференциальных уравнений высоких порядков. Алгоритм реализован с использованием системы символьных вычислений MAPLE. Установлено, что при е ^ 0 некоторые решения совпадают с решением нерелятивистского уравнения Шрёдингера. Кроме этого, обнаружены, так называемые погранслойные решения; переход одного типа решения (например, решение с одним узлом) в другой (решение без узлов). Проведены исследования свойств собственных значений и собственных функций при различных значениях е.

Ключевые слова: квазипотенциальные уравнения, краевая задача, символьные вычисления, сингулярно-возмущённое уравнение.

1. Введение

Одной из актуальных задач теории элементарных частиц является построение модели для единообразного описания спектра и формфакторов взаимодействия лёгких и тяжёлых мезонов, так называемых кваркониев, рассматриваемых как связанные состояния кварка и антикварка. Тяжёлые кварконии в некотором приближении успешно описываются нерелятивистской квантовой механикой — решение уравнения Шрёдингера на собственные значения [1]. При описании лёгких мезонов возникает необходимость учёта релятивистских эффектов. Релятивистское обобщение потенциальной модели кваркония приводит к решению спектральной задачи для уравнения Бете-Солпитера и различных вариантов квазипотенциальных уравнений [2-5]. В данной работе, так же как и в предыдущих работах [6-13], мы рассматриваем квазипотенциальное уравнение [3,4]. В частном случае для 8 — волны(^ = 0), оно имеет вид

[Ее -Н£ - V(Г)] ф(Г) = 0,

2

где Е£ = -х-

л/1 + £ V - 1

2 q 2

у/1 + eV + 1!

Н£ = -2 2

ch ( i£ — ) — 1 dr

, V (г) —

кулоновский потенциал взаимодействия, е — безразмерный параметр. При е ^ 0,

а2

Ее ^ с/2, Не ^ — 2 , т. е. уравнение (1) переходит в нерелятивистское уравнение Шрёдингера

d:

— V (О + ^

ф(г) = 0.

Статья поступила в редакцию 28 ноября 2009 г.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ, № 08-01-00800-а и 10-01-00467-а.

В уравнении (1), разлагая оператор еЬ ^%е^^ в ряд, можно получить следующее дифференциальное уравнение бесконечного порядка [14]:

а2 2е2 а4 2е4 а6

Ее + I аг2 4! аг4 + 6! аг6 • • / у

ф

Если в уравнении (3) отбросить члены высших порядков, то в результате мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение конечного порядка

е + I аг2 4! аг4 + 6! аг6 •'

2

ф

где 2т — порядок уравнений (т = 1, 2, 3,..., М).

Одной из важных особенностей уравнений (3)—(4) является наличие параметра £ при старших производных, и при £ ^ 0 это есть сингулярно-возмущённые дифференциальные уравнения. При исследовании этих уравнений возникла необходимость исследования краевых задач. Особую актуальность приобретает методы поиска таких решений {ф п, ^п} (собственные функции и собственные значения), которые сохраняют свои свойства как для дифференциальных уравнений конечного порядка, так и для дифференциальных уравнений бесконечного порядка при условии, если решение поставленной задачи существует. Одной из особенностей краевых задач для дифференциальных уравнений высокого порядка (т = 1,2,3,...,М) заключается в том, что необходимо накладывать 2т краевых условий на решения задачи. Так как эти условия, как правило, налагаются в двух точках (для уравнений (3)—(4)) г = 0 и г ^ г о (или г ^ то), то количество возможных краевых задач {'фп,\п}2т с увеличением порядка уравнения 2т сильно растёт. Поэтому были исследованы краевые задачи, решения которых при е ^ 0 переходят в решение уравнения 2-го порядка (уравнения Шрёдингера), т.е.

{Ф П) /ХП }2т ^ {ФпЛп}2

для любого фиксированного п.

Тогда разность собственных значений А = |Лп,2то — А„,2| можно интерпретировать как поправки (релятивистские поправки) к решению уравнения Шрёдинге-ра. Кроме того, важно исследовать поведение решений краевых задач {фп,Хп}2т при фиксированном значении е, но при возрастании порядка уравнений 2т.

Количество возможных краевых задач {фп, Хп}2т с увеличением порядка уравнения 2т сильно растёт. Поэтому мы исследуем те краевые задачи, решения которых при £ ^ 0 переходят в решение уравнения Шрёдингера и имеют чёткие физические смысли. Однако имеются другие решения (так называемые погранс-лойные решения), которые требуют дальнейшего физического осмысления (физические интерпретации этих решений).

Задача Коши для таких систем дифференциальных уравнений была рассмотрена работах [15,16]. Краевые задачи для сингулярно-возмущённых уравнений являются предметом изучения широкого круга работ [17,18].

2. Постановка задачи

В предыдущей работе [13] была подробно исследована краевая задача для дифференциального уравнения четвёртого порядка (т = 2). В настоящей работе

проводится исследование решений краевой задачи для дифференциального уравнения (4) при т = 3,4, 5,6

2(-1)т-1£2(т-1) а2т 2е4 а6 2 £2 а4 а2 2 2^

—-—----Ъ +-------1---а2 +--

(2т)! аг2т + "' + 6! аг6 4! аг4 + аг2 а + г

со следующими граничными условиями:

Ф(0) = 0, Ф(г ^ то) = 0, Ф'(0) = 1, Ф'(г ^ то) = 0,

Ф

Ф2(т-1)(г ^то) = 0, где а2 = —Ее — собственное значение (а2 > 0).

3. Алгоритм решения задачи

Решение с п узлами ищем в виде

Ф

где к, С1, С2, Сз,..., сп — неизвестные постоянные. Подставляя это выражение в уравнение (5) и приравнивая слагаемые при одинаковых степенях , получаем уравнение для нахождения параметра к

( 1)т-1р 2(т-1) _ 4 _ 2 7

(2т — 1)! 5! 3! - +1 4 7

и уравнение для нахождения собственных значений а2

( 1)т-1р 2(т-1) _ 4 _ 2

^-к2™-1 + ... + 6-к6 — ^к4 + к2 — а2 = 0,

и систему уравнений для нахождения с^, % = 1, 2,3,... ,п. Например, для нахождения одноузлового решения (т.е. с1 = 0, с2 = 0, с3 = 0,..., сп = 0) имеем

1

£

£ 2--2^2--2 е4к4 е2к2

(— 1)т-1--1-----Ъ 1

( ) (2т — 2)! + 4! 2! +

При п = 0 — это безузловое решение, п = 1 — решение с одним узлом, п = 2 — решение с двумя узлами и т.д. Таким образом, алгоритм нахождения собственных функций и собственных значений краевой задачи (5)-(6) сводится к следующему:

1. Для заданных значений е и п ищем действительные и положительные (для удовлетворения граничному условию при г ^ то необходимо, чтобы к > 0) решения уравнения (8).

2. Подставляя найденные решения к в уравнение (9), находим собственные зна-

2

чения а2.

3. Решая систему уравнений для с^, г = 1, 2, 3,..., п, находим ненормированное решение (7), которое удовлетворит граничным условиям Ф'(0) = 1.

4. Далее будем изучать свойства нормированных решений. Для этого умножаем

функцию Ф на константу Л, которая находится из условия Ф2 ёг = 1.

При этом граничное условие Ф'(0) = 1 переходит в Ф'(0) = Л.

2

Действительные и положительные решения уравнения (1) существуют только при определённых ограничениях, накладываемых на параметр задачи е. Так как не для любого е уравнение (8) имеет действительные и положительные решения, сначала найдём ограничение на параметр е. Для этого умножаем уравнение (8) на е и перепишем в виде

/

где у = ек и

i (т,У) =

(-1}г

(2т - 1}!

у2т-1

1

1

+ ... + 5! У —т\ У + У.

3!г

Исследуем решение (11) графически. На рис. 1 представлены графики функции /(т,у) для значений т = 3,4,5,6. Для заданных значений аргументов т,у из (11), находим значение е, например,

П + 1 ч п +1 , ,

£1 = 1тш(т,уш1п), £2 = 1шах(т,ушах).

г

Из (13) следует, что е1 и е2 зависят от п,т,Е . Для кратности обозначения эти параметры явно в обозначениях £1 и £2 не указаны.

Из рис. 1 для случая т = 3, следует, что при 0 < е < е1 уравнение (8) имеет одно действительное и положительное решение; при £1 < е < £2 три таких решения и, наконец, при £2 < £ < то опять одно такое решение. Для случая т = 5, при 0 < у < у1 (0 < £ < £2), уравнение (8) имеет два действительных и положительных решения, а при у2 < у < то (0 <£< то) имеет только одно такое решение. Для случая т = 4 и т = 6 для 0 < у < у1 (0 < £ < £2) уравнение (8) имеет два действительных и положительных решения.

(а) Случай т = 3

(б) Случай т = 5

(в) Случай т = 4

(г) Случай т = 6

Рис. 1. Графики функции /

Особо следует отметить, что для т = 3,4,5,6, когда аргумент у функции f (т, у) принимает значение по разным сторонам экстремальных точек этой функции (т.е /тах(^, Утах) и /т[п(т, Утт)), свойства решений задачи (5)-(6) меняется, а именно для т = 3, это следующие интервалы: 0 < у < утах (0 < е < е2) Утах < У < Ут'т (£1 < £ < £2) и Ут\п < у < то (£1 < £ < то); для т = 5, это следующие интервалы: 0 < У < Утах (0 < £ < £2), Утах < у < У1 (0 < £ < £2) и у2 < У < то (0 <£< то); а для т = 4 и т = 6 только два интервала 0 < у < утах (0 < £ < е2), утах < у < у1 (0 < е < е2). Отметим, что для т > 6 графики функции сильно не усложняются, поэтому можно проводить анализа типов решений вышеуказанным способом.

Далее, используя полученные ограничения на параметр £ для различных значений т (т = 3,4, 5, 6), подробно рассмотрим следующие частные случаи (п = 0 — безузловое решение, п =1 — решение с одним узлом) и продемонстрируем свойства полученных решений. Но сначала отметим очень важное свойство решений краевой задачи (5)-(6). При £ ^ 0 (у ^ 0) для всех т (т = 3,4, 5, 6) решения этой задачи практически совпадают с решением уравнения Шрёдингера. Действительно, при £ ^ 0 (у ^ 0), например, т = 3 имеем: для случая решений без узлов, £ = 10-4, к = 1, 000000002, а2 = 1, 000000003, А = 2, 000000006, для случая решений с одним узлом, к = 0, 5000000002, а2 = 0, 2500000001, С1 = 0, 5000000008, А = 0, 7071067794. На рис. 2 приведены эти нормированные решения (слева) и решения Шрёдингера (справа) для сравнения. Для других т = 4,5, 6 эти решения также практически не отличаются от решения уравнения Шрёдингера. Поэтому здесь мы их не приводим.

Рис. 2. (а) — решение уравнения (5) при е ^ 0 и (б) — решение уравнения

Шрёдингера

3.1. Безузловые решения

Решение ищем в виде ф(г) = г exp(-кг). Пусть т = 3. При малых £ решение краевой задачи мы представили на рис. 2. При непрерывном увеличении £ (также и при увеличении у) параметры задачи (к, а2, А) меняются не сильно, как следствие нормированные решения тоже не сильно отличаются от решений, приведённых на рис. 2. Однако при £ ^ то (у ^ то) ситуация меняется. Например, при £ = 10 (у = 4,985560235), к = 0,4985560235, а2 = 0,1602764876, А = 0,7040458571, при £ = 100 (у = 7,126697625), к = 0,07126697625, а2 = 0,01997607525, А = 0,03805068634. На рис. 3 приведены эти нормированные решения, где Т\ max = 2, 005792635, ^imax = 0,5195083086 и f2max = 14, 03174447, ф2 max = 0,1964172744. Из рис. 3 видно, что при £ ^ то (rmax ^ то) Фтах ^ 0.

Пусть m = 5. Главное отличие от m = 3, в этом случае заключается в следующем. При £ ^ 0, у ^ у\ — 0 и у ^ у2 + 0 краевая задача имеют решения с очень необычными свойствами, а именно решения отличны от нуля в начале

Случай при е = 10 (б) Случай при е = 100

Рис. 3. Нормированные решения при е = 10 и е = 100

координат (далее эти решения мы будем называть погранслойными решениями). Действительно, при е = 10-4, у = 2, 6228883287 < уь к2 = 2622, 883287, а2 = 2, 780351305  106, Л = 2,6865717541  105, и при е = 10-4, у = 4,136388177 > у2, кз = 4136,388177; а3 = 1, 61266271  106, Лз = 5, 320616144  105. На рис. 4 приведены эти нормированные решения.

(а) Случай т = 4 (б) Случай т = 6

Рис. 4. Погранслойные решения уравнения (5) при е ^ 0

Анализ свойства решений краевой задачи (5)-(6) при т = 4, т = 6 проводим аналогично, используя рис. 1. В обоих случаях, когда меняется в интервале 0 < е < £2, краевая задача имеет два решения, а при £ — 0 и у — — 0 появляются погранслойные решения, такие же как приведённые на рис. 4.

Теперь переходим к анализу свойств решений краевой задачи (5)-(6) с одним узлом.

3.2. Решение с одним узлом

Решение ищем в виде ^(г) = г(1 — с1 г) ехр(—кг). Пусть т = 3. Как отмечалось выше при £ — 0 ( у — 0), решение практически не отличается от решения уравнения Шрёдингера (см. рис. 2). Если параметр меняется в интервале £1 < £ < £ 2 (0 < у < ушах и < у < то), то задача имеет одноузловое решение (т.е. с1 > 0). При ушах < у < решение превращается в безузловое (т.е. с1 < 0). Чтобы это демонстрировать, рассмотрим два варианта выбора .

1. При £ — £ 2 — 0 ( у ушах — 0 и у ^ ушах + 0), например, при £ = 2, 009481696, к = 0,7924597750, а2 = 0,5065024284, С1 = 31950,31088, Л = 0,00002020424997;

к = 0, 792476159, а2 = 0, 5065193692, а = —31950, 92338, А = 0, 00002020444131. На рис. 5 приведены эти нормированные решения.

Рис. 5. Графики решения уравнения

и без узлов (б).

Главная особенность решения (слева) заключается в том, что при е — е 2 — 0, - шах — 0 параметр 1 - то. Как следствие точка пересечения решения оси

г1! = — стремится к нулю (см. рис. 5.б), а в безузловом решении (справа) при

£ — £ 2 — 0, у — ушах + 0 параметр с1 — —то.

2. При £ — £1 + 0 (у — — 0 и у — уш;п + 0), например, при £ = 1, 040184269, к = 2,957514135, а2 = 4,024721473, С1 = —15364,28725, Л = 0,001130400197; к = 2, 957549364, а2 = 4, 024756701, С1 = 15364,015119, Л = 0, 001130668856. На рис. 6 приведены эти нормированные решения.

Ч'

2.0x10 -

Рис. 6. Решение уравнения (5) при т = 3 : (а) — безузловое решение; (б) — решение с одним узлом, (в) — узел в крупном масштабе.

Особенность решения (справа) заключается в том, что при £ ^ £х + 0, у ^

2/min + 0 ri = —, стремится к нулю (см. рис. 6а).

С1

Теперь приведём решения при £ ^ то и у ^ то. Например, при £ =10 к = 0,4537980941, а2 = 0,0951207082, ci = 0,05971231826, А = 0, 7541847999; ri max = 1, 918516605, Ф1 max = 0,5364111838 при £ = 100 к = 0, 06355898824, а2 = 0,008753122606, ci = 0,01024603673, А = 0,04156960011; Г2 max = 13,25980129, ^2 max = 0,2050606146. Нормированные решения приведены ниже на рис. 7. При £ ^ то, Ci стремится к нулю, как следствие точка пересечения решения

оси п = — стремится к бесконечности (см. рис. 7. в,г).

Пусть т = 5. Главное отличие при анализе свойства решений от т = 3 заключается появлением погранслойных решений при £ ^ 0, у ^ yi — 0 (безузловое), (одноузловое) у ^ у2 + 0. На рис. 8 приведены эти нормированные решения: слева — безузловое, справа — одноузловое решения (точка пересечения решения с осью ri ~ 5, поэтому на рисунке не видно).

Пг) чЧг)

Рис. 7. Нормированные решения при е ^ и у ^ <х> : (а)-при е = 10, (б)-при е = 100, (б)-узел при е = 10, (г)-узел при £ = 100

(а) Случай безузлового решения

(б) Случай одноузлового решения

Рис. 8. Нормированные решения при т = 5

При е2 < е < то и у2 < у ^ то решение ведёт себя так же, как и для т = 3.

Переходим к анализу свойств решений при т = 4, т = 6. При 0 < £ < £2 в интервале 0 < у < утах существует одноузловое решение, а в интервале утах < у < у1 — безузловое. Главная особенность в этом случае состоит в том, что при £ ^ 0 и у = у1 — 0 задача имеет погранслойные решения. На рис. 9 приведены эти нормированные решения, слева — для т = 4, справа — для т = 6.

(а) Случай т = 4 (б) Случай т = 6

Рис. 9. Нормированные решения

4. Заключение

В работе предложен алгоритм изучения свойств решений краевых задач для уравнений высокого порядка, содержащих произвольный параметр при старших производных. Алгоритм реализован с использованием системы символьных вычислений MAPLE. Установлено, что при е ^ 0 некоторые решения совпадают с решением нерелятивистского уравнения Шрёдингера. Кроме этого, обнаружены так называемые погранслойные решения; переход одного типа решения (например, решение с одним узлом) в другой (решение без узлов). Эти решения требуют глубокого анализа и дальнейшего физического осмысления (физической интерпретации), так как релятивистские поправки собственных значений А = |АП) 2т — АП)2| становятся большими.

Литература

1. Быков А. А., Дремин И. М., Леонидов А. В. Потенциальные модели квар-кония. // УФН. — 1984. — Т. 143. — С. 3-32. [Bihkov A. A., Dremin I. M, Leonidov A. V. Potencialjnihe modeli kvarkoniya. // UFN. — 1984. — T. 143. — S. 3-32.]

2. Logunov A. A, Tavkhelidze A. N. Quasi-Optical Approach in Quantum Field Theory // Nuovo Cimento. — 1963. — Vol. 29. — P. 380.

3. Kadyshevsky V. G., Mir-Kasimov R. M., Skachkov N. B. Quasi-Potential Approach and the Expansion in Relativistic Spherical Functions // Nuovo. Cimento. A. — 1968. — Vol. 55. — P. 233.

4. Кадышевский В. Г., Мир-Касымов Р. М, Скачков Н. Б. Трехмерная формулировка релятивистской проблемы двух тел. // ЭЧАЯ. — 1972. — Т. 2, № 3. — С. 637-690. [Kadihshevskiyj V. G, Mir-Kasihmov R. M., Skachkov N. B. Trekhmernaya formulirovka relyativistskoyj problemih dvukh tel. // EhChAYa. — 1972. — T. 2, No 3. — S. 637-690.]

5. Thompson R. H. Three-Dimensional Bethe-Salpeter Equation Applied to the Nucleon-Nucleon Interaction // Phys. Rev. D. — 1970. — Vol. 1. — Pp. 110-117.

6. Амирханов И. В., Жидков Е. П., Коннова С. В. Метод факторизации и частные решения релятивистского уравнения Шредингера четвертого порядка. — Дубна, 1999. [Amirkhanov I. V., Zhidkov E. P., Konnova S. V. Metod faktorizacii i chastnihe resheniya relyativistskogo uravneniya Shredingera chetvertogo poryadka. — Dubna, 1999.]

7. Амирханов И. В., Жидков Е. П., Коннова С. В. Исследование решения краевой задачи для сингулярно-возмущенного уравнения шредингера. — Дубна, 2000. [Amirkhanov I. V., Zhidkov E. P., Konnova S. V. Issledovanie resheniya

kraevoyj zadachi dlya singulyarno-vozmuthennogo uravneniya shredingera. — Dubna, 2000.]

8. Асимптотическая апроксимация решений и собственных значений краевой задачи для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера. / И. В. Амирханов, С. А. Васильев, Е. П. Жидков, И. Е. Жидкова // Дифф. Урав. — 2000. — Т. 37, № 1. — С. 83-90. [Asimptoticheskaya aproksimaciya resheniyj i sobstvennihkh znacheniyj kraevoyj zadachi dlya singulyarno vozmuthennogo relyativistskogo analoga uravneniya Shredingera. / I. V. Amirkhanov, S. A. Vasiljev, E. P. Zhidkov, I. E. Zhidkova // Diff. Urav. — 2000. — T. 37, No 1. — S. 83-90.]

9. Асимптотика собственных функций и собственных значений краевой задачи для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шре-дингера при произвольном потенциале. / И. В. Амирханов, С. А. Васильев, Е. П. Жидков, И. Е. Жидкова // Математическое моделирование. — 2003. — Т. 15, № 9. — С. 3-16. [Asimptotika sobstvennihkh funkciyj i sobstvennihkh znacheniyj kraevoyj zadachi dlya singulyarno vozmuthennogo relyativistskogo analoga uravneniya Shredingera pri proizvoljnom potenciale. / I. V. Amirkhanov, S. A. Vasiljev, E. P. Zhidkov, I. E. Zhidkova // Matematicheskoe modelirovanie. —

2003. — T. 15, No 9. — S. 3-16.]

10. Амирханов И. В. и др. Исследование краевых задач для уравнения высокого порядка с малым параметром при старших производных. — Дубна, 2004. — 22 с. [Amirkhanov I. V. и др. Issledovanie kraevihkh zadach dlya uravneniya vihsokogo poryadka s malihm parametrom pri starshikh proizvodnihkh. — Dubna,

2004. — 22 s.]

11. Исследование краевых задач для сингулярно-возмущенного дифференциального уравнения высокого порядка / И. В Амирханов, Е. П. Жидков, Д. З. Музафаров и др. // Математическое моделирование. — 2007. — Т. 19, № 11. — С. 65-79. [Issledovanie kraevihkh zadach dlya singulyarno-vozmuthennogo differencialjnogo uravneniya vihsokogo poryadka / I. V Amirkhanov, E. P. Zhidkov, D. Z. Muzafarov и др. // Matematicheskoe modelirovanie. — 2007. — T. 19, No 11. — S. 65-79.]

12. Решение краевых задач для сингулярно-возмущенного дифференциального уравнения высокого порядка / И. В Амирханов, Д. З. Музафаров,

H. Р. Саркар и др. — Дубна, 2007. — 16 с. [Reshenie kraevihkh zadach dlya singulyarno-vozmuthennogo differencialjnogo uravneniya vihsokogo poryadka /

I. V Amirkhanov, D. Z. Muzafarov, N. R. Sarkar и др. — Dubna, 2007. — 16 s.]

13. Исследование решений краевых задач для сингулярно-возмущенного дифференциального уравнения высокого порядка в поле кулоновского потенциала / И. В. Амирханов, Д. З. Музафаров, Н. Р. Саркар и др. — Дубна, 2008. — 18 с. [Issledovanie resheniyj kraevihkh zadach dlya singulyarno-vozmuthennogo differencialjnogo uravneniya vihsokogo poryadka v pole kulonovskogo potenciala / I. V. Amirkhanov, D. Z. Muzafarov, N. R. Sarkar и др. — Dubna, 2008. — 18 s.]

14. Жидков Е. П., Кадышевский В. Г., Катышев Ю. В. К вопросу о предельном переходе с ^ то в релятивистском уравнении Шредингера // ТМФ. — 1970. — Т. 3, № 2. — С. 191. [Zhidkov E. P, Kadihshevskiyj V. G, Katihshev Yu. V. K voprosu o predeljnom perekhode с ^ то v relyativistskom uravnenii Shredingera // TMF. — 1970. — T. 3, No 2. — С. 191.]

15. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. // Матем. Сбор. — 1948. — Т. 22 (64), № 2. — С. 193-204. [Tikhonov A. N. O zavisimosti resheniyj differencialjnihkh uravneniyj ot malogo parametra. // Matem. Sbor. — 1948. — T. 22 (64), No 2. — S. 193-204.]

16. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. Сбор. — 1950. — Т. 27(69), № 1. — С. 147-156. [Tikhonov A. N. O sistemakh differencialjnihkh uravneniyj, soderzhathikh parametrih // Matem. Sbor. — 1950. — T. 27(69), No 1. — S. 147-156.]

17. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. — 1957. — Т. 12, вып. 5 (77). — С. 3-122. [УгвМк И. I., Ьуиз1ет,гк Ь. A. Б^и1уагпое уШггаЬёеше 1 pogranichnihyj в1оу] ё1уа Нпеу]тЬкЬ ^АегепоаЦтЬкЬ игаупешу] 8 шаНЬш рагаше^ош // иММ. — 1957. — Т. 12, вып. 5 (77). — Я. 3-122.]

18. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990. — 208 с. [УазгЦеуа А. В., БЫшоу V. Г. Л81шр1о11сЬе8к1е ше!оёШ у 1еогп smgu1yarnihkh уozшutheniyj. — М.: УШ88Ьауа 8Ько1а, 1990. — 208 8.]

UDC 519.624.3

The Analysis of Properties of Solutions of Boundary Problems for the Differential Equations of High Orders

I. V. Amirkhanov, D.Z. Muzafarov, N. R. Sarker, I. Sarhadov,

Z.A. Sharipov

Laboratory of Information Technologies Joint Institute for Nuclear Research Joliot-Curie 6, 141980 Dubna, Moscow region, Russia

The relativistic generalization of potential model of a quarkonium leads to the solution of a spectroscopic problem for quasipotential equations. In that specific case the problem is reduced to the investigation of a boundary problem for the ordinary differential equation of the terminating order with arbitrary parameter e at the higher derivatives. In the work the algorithm of investigation of boundary problems for the differential equations of high orders is offered. The algorithm is realized with the use of system of symbolical evaluations MAPLE. It is erected, that at e ^ 0 some solutions coincide with the solution of the nonrelativistic Schrodinger equation. Besides, are found out, so-called frontier layer solutions; transition of one type of the solution (for example, the solution with one junction) in to another (the solution without junctions). Investigations of properties of eigenvalues and eigenfunctions are carried out at various values of e.

Key words and phrases: quasipotential equation, boundary problem, symbolic computing, singular-perturbated equations.