Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы - i

2016 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1. Том 3(61). Вып. 2

МАТЕМАТИКА

УДК 517.925

ДВУМЕРНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: КЛАССИФИКАЦИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ —I

В. В. Басов

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

Настоящая работа является первой в цикле работ, посвященном классификации двумерных однородных кубических систем, основанной на разбиении систем на классы линейной эквивалентности. Разрабатываются принципы, позволяющие конструктивно выделять в каждом классе структуру самой простой системы и каноническое множество, определяющее допустимые значения, которые могут принимать ее коэффициенты. Векторный многочлен в правой части такой системы, отождествляемый с (2х4)-матрицей, будем называть канонической формой (КФ), а саму систему — кубической нормальной формой.

Одна из основных задач цикла заключается в том, чтобы максимально облегчить сведение системы с однородным кубическим многочленом в невозмущенной части к различным структурам обобщенной нормальной формы (ОНФ). Под ОНФ подразумевается система, возмущенная часть которой имеет в том или ином смысле самый простой вид. Конструктивная реализация процесса нормализации зависит от возможности в явном виде указать условия совместности и всевозможные решения так называемой связующей системы, под которой понимается счетное множество линейных алгебраических систем уравнений, определяющих нормализующие преобразования возмущенной системы. Упомянутые принципы основываются на идее максимально возможного упрощения связующей системы. Это позволяет сначала линейной обратимой заменой переменных сводить исходную систему к системе с какой-либо КФ в невозмущенной части, а затем полученную систему, оптимальную для нормализации, почти тождественными заменами сводить к различным структурам ОНФ.

В данной работе: 1) ставится общая задача, а также формулируются близкие по постановке задачи с описанием имеющихся результатов; 2) выводится связующая система, позволяющая установить эквивалентность двух любых возмущенных систем с одинаковой однородной кубической частью, и обсуждаются возможности ее упрощения, а также определяется ОНФ и приводится метод резонансных уравнений, позволяющий конструктивно получать все ее структуры; 3) вводятся специальные формы записи однородных кубических систем при наличии в их правых частях однородного общего множителя, имеющего степень от единицы до трех; исследуется линейная эквивалентность таких систем, а также систем, не имеющих общего множителя; выделяются основные линейные инварианты. Библиогр. 20 назв.

Ключевые слова: однородная кубическая система, нормальная форма, каноническая форма.

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016 БОТ: 10.21638/11701/зрЬи01.2016.201

1. Введение. 1.1. Постановка задачи. В предлагаемом цикле работ рассматривается вещественная двумерная невырожденная однородная кубическая система ОДУ

х = P

где х = (xi,x2), P = (Pi(х), P2 (х)), Pi = aiх3 + bix2Х2 + cxix| + dix2,, Pi, P2 ф 0.

Пусть вещественная неособая линейная замена

х = Ly

преобразует (1.1) в систему

y = P

Перечислим основные задачи, которые будут поставлены и решены в цикле.

1. Осуществить классификацию множества систем (1.1) путем разбиения векторных многочленов P(х) на классы линейной эквивалентности.

2. Для каждого класса разработать структурные и нормировочные принципы, позволяющие вполне упорядочить многочлены P, которые получаются в результате замены (1.2).

3. На основе выбранных принципов выделить в каждом классе образующую — самый простой многочлен P, называемый канонической формой (КФ).

Будет показано, что любую КФ можно отождествить с (2 х 4)-матрицей коэффициентов многочлена P, расположение нулевых элементов в которой фиксировано, а для ненулевых элементов указаны канонические множества, описывающие все их допустимые значения.

Систему с КФ в правой части естественно назвать кубической нормальной формой.

Наряду с основными задачами будут решены также четыре дополняющие их технические вычислительные задачи, позволяющие эффективно использовать разработанную классификацию на практике. Для каждой КФ в явном виде будут выписаны:

a) условия на коэффициенты векторного многочлена P(х);

b) замена (1.2), преобразующая P(х) при указанных условиях в выбранную КФ;

c) получаемые при этом значения элементов КФ из канонического множества;

d) минимальное каноническое множество, в котором отсутствуют те значения элементов, от которых можно избавиться при помощи замен (1.2), сохраняющих структуру КФ.

Результаты работы помимо самостоятельного значения, связанного с разработкой классификации однородных кубических систем, в первую очередь предназначаются для облегчения нормализации возмущенных систем посредством предварительного сведения их невозмущенной части заменами (1.2) к каноническим формам, а затем уже нормализации возмущений в полученных системах.

Именно эта цель будет положена в основу принципов, позволяющих выделять КФ.

Отметим, что большое число символьных вычислений, связанных со всевозможными линейными преобразованиями однородных кубических систем, их нормировкой и выделением общего множителя различных степеней, а также решений различных алгебраических систем и уравнений невозможно без применения символьной математики. Для этих целей используется аналитический пакет Maple. Написан набор

стандартных процедур, на основе которых для доказательства практически каждого утверждения созданы пакеты программ в Maple.

1.2. Формальная эквивалентность возмущенных систем. Рассмотрим двумерную вещественную возмущенную формальную (аналитическую в нуле) систему

xi = Pi

где многочлены Pi берутся из системы (1.1), Xi = X(p\x) —возмущения. Здесь

г?(р) 1 \ V^P rzisp-s) s p-s

и в дальнейшем Zi '(z) s=0 Zi z^zj —однородный многочлен порядка p. Пусть вещественная формальная почти тождественная замена переменных

xi = yi + hi

с hi = ^<^=l hbf\y) преобразует (1.4) в структурно аналогичную ей систему

yi = Pi

Продифференцировав по t замену (1.5) в силу систем (1.4) и (1.6) и положив Hi(y, h) = Pi(h) + J2j=i yj dPi(h)/dhj (i = 1, 2), получаем два тождества

£ - + вд - ад+Л)+ад, h) - ± д-^гЛу).

Выделяя в них для всякого p > 4 однородные многочлены порядка p, установим,

u

что однородные многочлены hj и Yi удовлетворяют рекуррентным тождествам

dh{P-j) dh{P-j {aiy\ + biyly2 + ciyiyl + dxyl) —--Ь {а2у\ + Ъ2у\у2 + c2yryl + c%|) —--

- (За^ + 2biyiy2 + ayj) h[p-l) - (hyl + 2aym + 3diyj) h{p-l) + y(p) = Yi(p),

в которых Y(p) = {Xi(y + h) + Hi(y, h) - Yi dhi/dyi - Yj 3hi/3yi}{p) (i = 1, 2).

Очевидно, что при последовательном относительно p > 4 определении h(p 2 и Y^p) однородные многочлены Y(\y) становятся известными, так как зависят только от h(r-l) и Y(r) с 2 < r < p - 1 (j = 1, 2).

Приравнивая коэффициенты при у\ур s (р > 4, s = 0,р), получаем линейную связующую систему 2p + 2 уравнений с 2p - 2 неизвестными h(0'p l),..., hf l'0) :

ai(p - s + 1)h[s-3,p-s+1) + (ai(s - 2) + bj(p - s) - 3ai)h[s-l,p-s) +

+ (bi(s - 1) + ci(p - s - 1) - 2bi)h[s-i'p-s-i) + (cis + dj(p - s - 2) - ci)h[s'p-s-l) +

+ di(s + 1)h[s+i'p-s-3) - bihjs-l'p-s) - 2cihjs-i'p-s-i) - 3dihjs'p-s-l) = Y(s'p-s),

ai(p - s + 1)h(s-3'p-s+i) + (ai(s - 2)+ bj(p - s) - b2)h(s-l'p-s) +

+ (bi(s - 1) + ci(p - s - 1) - 2ci)hjs-i'p-s-i) + (cis + dj(p - s - 2) - 3di)hjs'p-s-l) +

+ di(s + 1)hjs+i'p-s-3) - 3aih[s-l'p-s) - 2bih[s-i'p-s-i) - cih[s'p-s-l) = Y.(s'p-s),

в которой Y(s'p-s) = Yis'p-s) - Yis'p-s) (i = 1, 2).

Таким образом, системы (1.4) и (1.6) эквивалентны, если найдется замена (1.5), коэффициенты которой удовлетворят связующей системе (1.7).

Очевидно, что связующая система (4) в [1] является частным случаем (1.7).

1.3. Метод резонансных уравнений, определение ОНФ. Условия совместности связующей системы для Vр > 4 записываются в виде пр линейно независимых линейных уравнений (np > 4), связывающих коэффициенты многочленов системы (1.6) и называемых резонансными:

£ {*%Y(s'— + ß^'-) = £ + ß^'-) (^ = 1,...,пр).

s=0 s=0

При этом два счетных набора постоянных векторов apß и ßp, задающих уравнения (1.8), определяются только коэффициентами P(x) и не зависят от возмущений. Они позволяют установить наличие формальной эквивалентности между любыми двумя системами с одинаковой невозмущенной частью.

Изложим кратко для системы (1.4) введенные ранее (см. библиографию в [1]) понятие резонансного набора, определение обобщенной нормальной формы (ОНФ) и теорему о ее существовании.

Определение 1.1. Коэффициенты многочленов Y(p) из (1.6), входящие хотя бы в одно из уравнений (1.8), и коэффициенты многочленов h(p 2) из (1.8), остающиеся свободными при решении системы (1.7), будем называть резонансными, а остальные коэффициенты — нерезонансными.

Любым np различным резонансным коэффициентам Yp,k = Y ..s 'р sk однородных полиномов Y^p\Y2P\ где к = l,np, ii~ G {1,2}, 0 < s^ < р, сопоставим матрицу

множителей Tp = ^J^Ui, в кот°р°й vPpk = {аР^к при ik = ßPpsk при ik = 2}.

Определение 1.2. Для всякого p > 4 семейство резонансных коэффициентов Ур = {YP}n=1 будем называть резонансным р-набором, если det Yp = 0.

Таким образом, при любом р > 4 резонансные уравнения однозначно разрешимы относительно коэффициентов из любого Ур.

Определение 1.3. Для любых У4, У5,... семейство У = |J^=4 Ур будем называть резонансным набором.

Определение 1.4. Систему (1.6) будем называть ОНФ, если при любом р > 4 все коэффициенты Y.как резонансные, так и нерезонансные, равны нулю, кроме коэффициентов из какого-либо резонансного р-набора Ур, имеющих произвольные значения.

Тем самым, структуру любой ОНФ порождает какой-либо резонансный набор У.

Знание резонансных уравнений (1.8) делает очевидными следующие теоремы.

Теорема 1.1. Для того чтобы система (1.6) была формально эквивалентна исходной системе (1.4), необходимо и достаточно, чтобы для V к > 2 коэффициенты ее однородных многочленов Y^kk ,Y2k удовлетворяли резонансным уравнениям (1.8).

Теорема 1.2. Для любой системы (1.4) и для любого выбранного по ее невозмущенной части резонансного набора У существует почти тождественная замена, преобразующая (1.4) в ОНФ (1.6), структура которой порождена У.

Отметим, что имеются различные определения ОНФ (см., напр., [2-5]), зависящие как от выбора членов, относимых к невозмущенной части исходной системы, так

и от требуемой степени ее упрощения. При этом далеко не все определения являются конструктивными, и требуются серьезные усилия для доказательства их корректности и установления самого вида ОНФ. Так, нетривиальный пример полной нормальной формы Белицкого появился в [4] спустя двадцать лет после определения этой ОНФ в [2]. Приведенное в настоящей работе определение ОНФ соответствует определению ОНФ первого порядка из [3].

Понятно, что конструктивное использование вышеизложенного метода получения в явном виде всех возможных структур ОНФ для системы (1.4), называемого автором методом резонансных уравнений, зависит исключительно от возможности выписать условия совместности связующей системы, задающие для каждого порядка р число пр резонансных уравнений (1.8), и, что значительно сложнее, в явном виде найти векторы ар и вр для (1.8), позволяющие выписать все резонансные наборы.

Для успешного решения этой задачи связующая система должна оказаться как можно более простой, для чего векторный многочлен Р должен иметь как можно больше нулевых коэффициентов, расположенных, по-возможности, на оптимальных местах, а ненулевые коэффициенты должны быть оптимально нормированы. Поэтому КФ и будут далее введены так, чтобы максимально соответствовать перечисленным требованиям.

1-4- О возможностях упрощения связующей системы. Матрица линейной связующей системы (1.7) определяется восемью коэффициентами многочленов Р\ и Р2 системы (1.4). От того, какие из них равны нулю и в каком количестве, зависит число и вид связей на правые части системы (1.7), описываемых резонансными уравнениями (1.8), и сама возможность эти связи конструктивно найти.

Поэтому изучим структуру связующей системы, чтобы иметь возможность правильно сформулировать принципы выбора тех коэффициентов Р, которые линейной неособой заменой переменных следует попытаться сделать нулевыми в первую очередь.

Примем за основу принцип максимальности числа нулевых коэффициентов в векторном многочлене Р и рассмотрим их различные расстановки, например, в (1.71).

Наличие нулевого коэффициента 0,1 на структуру связующей системы практически не влияет. А наиболее благоприятная ситуация возникает, когда 61, С1, ¿1 = 0. Тогда (1.71) является независимой линейной системой, имеющей в худшем случае че-тырехдиагональную матрицу. После исследования ее совместности, нахождения коэффициентов многочлена и подстановки их в (1.72) снова возникнет линейная система с матрицей, имеющей не более четырех диагоналей, доступная для исследования.

Принципиально новые проблемы не возникают и в том случае, когда только один из коэффициентов 61,01, ¿1 отличен от нуля.

Пусть, например, 61 = С1 =0, а ¿1 = 0. Тогда опять можно ограничиться решением линейных систем с диагональными матрицами, число диагоналей которых ограничено. Действительно, для всякого р > 2 подсистема (1.71) разрешима относительно коэффициентов многочлена к^, подставляя которые в (1.72), получаем линейную систему относительно коэффициентов к^ с не зависящим от р числом диагоналей.

В то же время, если только один из коэффициентов 61,01, ¿1 равен нулю, попытка разрешить подсистему (1.71) относительно коэффициентов к2р) с их последующей подстановкой в (1.72) приводит к потере диагональной структуры получаемой матрицы, делая невозможным конструктивное решение связующей системы.

Поэтому при исследовании совместности (1.7) существенно выполнение или невыполнение следующего условия на коэффициенты невозмущенной части системы (1.4):

При выполнении этого условия только один из коэффициентов 61,01, ¿1 или 02,62, С2 может быть отличен от нуля.

Помимо условия (1.9), приведем еще ряд соображений, касающихся упрощения исследования совместности и решения связующей системы.

1. Чем более слабосвязаны уравнения невозмущенной системы, т.е. чем меньше максимальная степень переменной Х2 в Р1, а Х1 в Р2, тем меньше диагоналей будет иметь матрица связующей системы.

2. Если возможно выбрать только один нулевой коэффициент, система (1.7) максимально упрощается при ¿1 =0 (02 = 0), так как в этом случае в левой части (1.71) исчезнет два слагаемых, а в (1.72) — одно.

3. Если же возможно выбирать два нулевых коэффициента, лучше, чтобы ими были пары 01, ¿2 или 01,62. Это дает тот же эффект, что достигается при ¿1 = 0. Наиболее оптимально, если 61 = 02 = 0, тогда в каждом уравнении системы (1.7) исчезает по два слагаемых.

Приведенные соображения положены в основу иерархических структурных принципов, которые позволяют разбить множество невозмущенных частей системы (1.4) на классы эквивалентности относительно замен (1.2) с выделением в каждом классе наилучшего представителя —канонической формы — в целях изначального сведения произвольной системы (1.4) линейной неособой заменой к системе (1.6) с КФ в невозмущенной части, а затем уже сведения (1.6) почти тождественной заменой к обобщенной нормальной форме, что дает гораздо больше возможностей конструктивно найти резонансные члены каждого порядка и выписать все резонансные наборы.

1.5. Обзор имеющихся результатов при более общей постановке задачи. Предлагаемый цикл работ завершает решение значительно более общей задачи: выделить все невырожденные КФ, степень которых не превосходит трех и, по возможности, конструктивно получить все ОНФ систем с этими КФ в невозмущенных частях.

При степенях невозмущенной части больших трех технические трудности не позволяют за редким исключением (см., напр., [6, 7]) решать задачу в той же общности.

Итак, рассмотрим, что сделано для вещественной формальной системы

Х1 = Я1]

в которой Q(l) —однородный многочлен степени I и Q(k) (х) ,Q<2n) (х) = 0, а все члены возмущения X имеют степени в определенном смысле большие, чем Q =

1. Случай (к,т) = (1,1). Тогда Q(x) = Ах и канонической формой является многочлен .г, где . — жорданова форма А. Наиболее полно теория нормальных форм для систем (1.10) произвольной размерности при условии, что не все собственные числа А равны нулю, изложена А. Д. Брюно в [8].

Вид канонической формы существенно усложнится, если предположить, что невозмущенная часть Ах системы (1.10) произвольной размерности гамильтонова

(см. [9]). Нормализация гамильтоновых систем с простейшими КФ в невозмущенной части встречается уже в [10].

Канонические формы контактных систем, которые в известном смысле можно считать обобщением гамильтоновых, получены В. В. Лычагиным в [11, гл. 3, §2].

2. Случай (к, т) = (2, 2). Тогда Qi = а^х2 + 2Ь^х\х2 + сх\ (г = 1, 2). В работе [12] сначала множество однородных квадратичных систем было разбито на девятнадцать классов эквивалентности относительно линейных неособых замен. В каждом классе на основе принципов, позволяющих в дальнейшем получать максимально простую связующую систему, выделена своя КФ и указаны допустимые границы изменения ее элементов. Затем для каждой КФ были явно указаны условия на шесть коэффициентов многочлена Q и замена (1.2), преобразующая Q в выбранную КФ. Наконец, в работах [13-15] для систем (1.10) с одиннадцатью различными КФ в невозмущенной части были в явном виде найдены все структуры ОНФ.

С линейными инвариантами, выделение которых основано на иных принципах, можно ознакомиться в [16].

3. Случай (к,т) = (3, 3). Этот случай, очевидно, является темой настоящего исследования, которое в известном смысле продолжает и развивает идеи и методы, использовавшиеся для исследования случая (к, т) = (2, 2).

Применение разрабатываемой теории уже имеется. В [1] в качестве Р выбрана КФ (х3, —х3), при которой система (1.1) консервативна, и методом резонансных уравнений получены все структуры ОНФ, формально эквивалентных возмущенной системе (1.4).

Соглашение 1.1. Невозмущенную систему с какой-либо КФ в правой части в случаях 1-3 естественно называть линейной, квадратичной или кубической нормальными формами соответственно.

В случаях, когда к < т, выделение канонических форм для невозмущенной системы Х = Q(x) в прежнем понимании возможно не всегда, а только при тех значениях коэффициентов, при которых Q удается записать в виде нормированного квазиоднородного многочлена, имеющего определенную обобщенную степень и вес переменных и называемого канонической квазиоднородной формой (ККФ).

4. Случай (к,т) = (1,2). В работе 8 из библиогр. [12] выделены две ККФ и для систем (1.10) с каждой из них в невозмущенной части найдены все возможные структуры ОНФ.

5. Случай (к,т) = (1, 3). В работах 1, 2 из библиогр. [6] выделены две ККФ и для каждой решены те же задачи.

6. Случай (к,т) = (2, 3). В [17] выделены семь ККФ и для каждой решены те же задачи.

Особое место занимает нормализация систем с вырожденной невозмущенной частью, когда, скажем, в системе (1.10) имеем = 0. Первые серьезные результаты по этой теме были получены в [18, 19]. В [12] выделены пять квадратичных вырожденных КФ и для систем с каждой из них в невозмущенной части выписаны все ОНФ, которые можно получить почти тождественными формальными заменами. А кубические вырожденные КФ выделены и исследованы в настоящей работе.

2. Линейная эквивалентность однородных кубических систем. 2.1. За-

пись системы и результант. Рассмотрим вещественную двумерную однород-

ную кубическую систему (1.1), записанную в виде

x = P(x) или x = Aq[3](x),

где P

ci С2

di d2

/aix3 + 6ix1 X2 + cixi x2 + dix3\ = /AA = iai b1 \a2xf + b2x\X2 + C2Xi x2 + d2x3/ Va2 b2

x = colon (xi, x2), q[3] (x) = colon (x3, x2x2, xix2, x3), причем Ai,A2 = 0.

Соглашение 2.1. В дальнейшем для краткости .матрицу коэффициентов A будем отождествлять с системой (2.1) или говорить, что матрица A порождает систему (2.1).

Матрицу A, как и систему (2.1), при желании можно называть невырожденной, так как предполагается, что обе ее строки ненулевые и Ai,A2 =0  Pi(x), P2(x) ф 0.

Определение 2.1. Любой однородный многочлен с вещественными коэффициентами, являющийся общим множителем Pi и P2, будем обозначать Pq. Общий множитель P0 максимальной степени l (l = 1, 2, 3) будем обозначать Pq . При отсутствии общего множителя будем считать, что l = 0.

ri

«i

ri Г2

«i «2

= ri«2 - Г2«i.

Для векторов г = ( 1 ), s = ( "М введем функцию 5Г8 = \ГУ \аУ

Установить наличие или отсутствие общего множителя любых двух многочленов позволяет функция К = К(Р1 ,Р2), называемая результантом:

R

ai bi ci di 0 0

0 ai bi ci di 0

0 0 ai bi ci di

a2 b2 c2 d2 0 0

0 a2 b2 c2 d2 0

0 0 a2 b2 c2 d2

= + Scd + Sab^bd — 2SabSadScd — SabSbcScd — SacSadSbd.

Утверждение 2.1. Многочлены Р1 ,Р2 имеют вещественный общий множитель Р0 ненулевой степени тогда и только тогда, когда К(Р1 ,Р2) = 0 (см. в [20, §50]).

2.2. Линейные преобразования системы. Для упрощения системы (2.1) будем использовать линейные неособые замены

xi = riyi + «iy2, I x2 = r2yi + «2У2

или

Ly, L

ri «i r2 «2

S = det L = 0.

Пусть замена (2.2) преобразует систему (2.1) к виду

y = Р(у) или y = A q[3] (y),

где P

bi b2

ci С2

di d2

Р1 \ = (Й1У3 + &1У2У2 + С1уу + <ку2\ а = (Й1 ХР2) \а2У? + Ь2у2у2 + С2У1У2 + ¿2У|/ , \а2 Для многочленов Р1, Р2 по аналогии с К введем результант К = К(р1, Р2). Дифференцируя (2.2) в силу систем (2.1) и (2.3), получаем Р(Ьу) = ЬР(у) или

Р(у) = L-iP (Ly) = L-iAq[3](Ly).

Отсюда имеем

x

f a i yf + b iy ly2 + с i y iyl + di y%\ = i

\а,2У3 + b2y 2y2 + C2y iy\ + <d,2 y3) \-Sar -5br -$ст -5dr,

X colon ((riyi + Siy2)3, (r 1 у 1 + SiУ2)2(т2У 1 + S2y2), (r 1 y 1 + siУ2)(г2У 1 + й2У2)2 ,

(r2У1 + S2y2)3) .

Приравнивая в этом тождестве коэффициенты при y\y3~s (s = 0, 3) и осуществляя должную перегруппировку слагаемых, получаем восемь равенств, записанных в матричном виде:

( SP(r)s S-iSapjr) + S2Sap(r) r-iSaPis) + Г2(5эр(.) SPrs\Л

A = ¿-1 эг-i s 8Г2 s asi s as2 /2 5)

\-dp(r)r -SjSapjr) r - S2Sap(r) r -rjSapjs) r - r2Sap(s) r ~Sp(s)r ) '

где, например, в 62 имеем выражение (5эрм = {др\{г\г2)/дг{)г2 — {др2{г1,г2)/дг1)г1 =

т

(За1г2 + 2Ь1т1Г2 + с\Т2 )г2 - (За,г2 + '2Ь2Г1Т2 +С2т'2)т1, ав ¿2 — 53,2 = -¿"^(а^3 +Ь1в2в2 + с 1в 1в2 + ¿133)г2 - (а2Я3 + Ь2в2в2 + С2в 1^2 + ¿2в2)г 1).

Утверждение 2.2. Для систем (2.1) и (2.3) справедлива формула К = 56К. Таким образом, знак результанта инвариантен по отношению к любой линейной неособой замене.

Среди замен (2.2), преобразующих (2.1) в (2.3), выделим две специальные замены:

Т1 0\ - ( а1 г2 Ь1Т1 ¿2 сЛя\ ¿1^з1гЛ ,

^ ^ —нормировка, А = Ь2г\ 02^2 <12*2, ) ;

0 Л 4 (<2 22 Ь2 а2\

! о) — перенумерация, А = С1 ы ал)

Замечание 2.1. Нормировка (2.6) имеет следующие особенности:

1) назовем а2,Ь1,С2,<1 элементами нечетного зигзага, а1,Ь2,С1,<2 —четного, тогда можно одновременно изменить знаки всех элементов нечетного зигзага, а знак любого элемента четного зигзага изменить нельзя;

2) любое из отношений а,1/Ь2, Ь1/с2, С1/3, на диагоналях изменить нельзя.

Замечание 2.2. Если в системе, полученной после замены Ь = (г, в), потребуется перенумерация, нужно в исходной системе сразу сделать замену Ь = (в, г).

В то же время перенумерация (2.7) позволяет договориться о следующем.

Соглашение 2.2. В дальнейшем, не уменьшая общности, будем считать, что в системе (2.1) при I > 1, т. е. при наличии общего множителя, имеем

а\ + а, = 0, если а2 + а2 + + ¿2 = 0.

2.3. Запись и линейная эквивалентность систем при I = 1. Для системы (2.1) вида х = Р(х) имеем + = 0 при I = 1 согласно соглашению 2.2, иначе Ро = Х1Х2 и I > 2, поэтому она может быть записана в виде

х = Р1

где Р1 = Х1 + ¡3x2 (в е К1), О

= ео1оп(х2, х1 х2, х2). При этом

(Р1 41 ¿1 [^2 42 ¿2,

имеем р2 + р2 =0, ¿2 + ¿2 = 0, иначе I > 1, а построенный по многочленам Ргг2 + дгг+¿г (г = 1, 2) результант не равен нулю, т. е. К2 = 5р)1 — 5рч5Ч1 = 0 (см., напр., [20, § 50]). Число в и элементы Н системы (2.9) однозначно выражаются через элементы А (р1 д1 + вР1 ¿1 + в^Л _ (а1 С1 ¿^

из равенства

Р2 42 + вР2 ¿2 + вЧ2 вЬ

0,2 &2 С2 ¿2

(при о2 + о2 = 0):

в = О*, Рг = аг, дг = Ьг — агв*, ¿г = сг — Ьгв* + агв2

где О* е К1 —общий нуль многочленов Р(1\в) = агО3 — ЬгО2 + сгО — ¿г =0 (г = 1, 2).

Вещественный общий нуль многочленов Р1(1), Р2(1) существует и единственен, так как он является нулем Р1,Р2, а любой нуль Рг, взятый с обратным знаком, будет нулем Рг .

Теорема 2.1. При I = 1 замена (2.2) вида х = Ьу преобразует систему (2.1), записанную в виде (2.9) с Рд1 = ах1 + вх2, в систему (2.3) вида

у = Р1(у) Од[2](у).

Здесь общий множитель ро(у) = ау1 + ву2, матрица О р*

Р1 <?1 ¿1

0(у) — ау 1 + вУ2, матрица о — I _ _ ~

\Р2 д2 ¿2

тант К2 = 51* — 5**5*1 вычисляются по следующим формулам:

и резуль-

г2 2г1в1 в2

(а, в) = (а, в)Ь = 0, (О = Ь-1ОМ, М = ( г1 г2 5*

г2 2г2 в2 «2

5* = г1в2 + г2в1, det М = 53;

К?2 = 5 К2 =0 или а = аг1 + вг 2, в = ав1 + вв2,

5(О = /г125р8 + п + г2 5^ 2г1в^ + 5*5д8 + 2^25^ sl5ps + в1в25д8 + в2 5ьз

г^р + г1г25гд + г25гг + 5*5гд + 2г2в25гг в^р + в1в25гд + .

Доказательство. Покажем сначала, что справедлива формула

4[2](Ьу) = Мд[2] (у).

Так, имеем

/(пу1 + в 1 у2)2 \ ! г2 2г1в1

у12

у22

д[2](Ьу) = ( (г1 у1 + в1у2)(г2у1 + в2у2) I = ( г1 г2 5* в1в2 I ( у1у2 I = Мд[2](у).

\(г2у1 + «2у2)2 / \ г2 2г2в2 в2

Теперь формула (2.11) вытекает из следующей цепочки равенств:

^

(2=3) ((а,в)Ьу) Ь-1 ОМд[2] (у) (=2) (а, в) у Од[2] (у).

2-4- Запись и линейная эквивалентность систем при l = 2. Система (2.1) вида x = P(x) при l = 2 с учетом соглашения 2.2 может быть записана в виде

x = P02

где H = iPi ^М и det H = Spq = 0, вещественный общий множитель P° = ax"2 + \P2 42 J

2fixix2 + yXl = Po (x) с p2 = (a, 2fi, y) имеет дискриминант Dq = в2 — aj, причем либо a = 1 (Dq = в2 — Y), либо a,Y = 0, 2в = 1 (Dq = 1), так как условие (2.8) позволяет исключить случай a = 0, y = 0 (замена (2.7) сводит pq к (y, 2в, a)).

Действительно, строка p° и элементы H в (2.14) однозначно выражаются через 'api aqi +2вР1 2вЯ1 + YPi Y4i\ _ fai bi ci di

элементы А из равенства

\ар2 ац2 + 2рр2 2рд2 + YР2 YЯ2) \а2 Ь2 С2 а2 по формулам:

1) а1 = 0, а,2 = 0, тогда 5аЬ = 0, Р(2)(в,) = Р(2)(в,) = 0, где Р(2\в) = а2в3 - 2аАв2 + (сна + Ь2)в + а< - Ьа (г = 1, 2), 29, = , и а =1, 2в = в,,

Y = в2 - (Ьгв, - Сг)а-1, рг = аг, с = Ьг - агв

2) а1 =0, а, = 0, тогда Ь, = 0,Р(2\в,) = 0, в2 - (Ьв - С1)а-1 = ¿2Ь-1, где в, = 22Ь-1, и а = 1, 2в = в,, Y = ¿2Ь-\ р1 = а1, С1 = Ь1 - а1в,, р2 =0, с, = Ь2;

3) а1 =0, а2 = 0, тогда все аналогично случаю 2 со сменой нижних индексов;

4) а1 =0, а2 =0, тогда 31 =0, 32 =0, 5ьс =0, а = 0, в =1/2, Y = 0, Рг = Ьг, Сг = а

Здесь в

5ьс = 5РЧ = 0.

Собственные числа Н и дискриминант характеристического полинома имеют вид

Р1 + <72 ± у/О , п п_, .2 ^ ,2

Al,2 = 2 ^ 0, D =

Теорема 2.2. При l = 2 замена (2.2) преобразует систему (2.1), записанную в виде (2.14), в систему (2.3) вида

y = P2

Здесь матрица H = (P и строка коэффициентов p2 = (a, 23, y) общего мно-

жителя P2 = ay2 + 2/3yiy2 + Yy2 = P2 q2 (y) вычисляются по следующим формулам:

pl = p20 M (M из (2.12)), H = L-1HL или a = ar2 +2firiT2 +Yr2, 3 = arisi + ¡35* + Yr2S2, Y = as2 + 2fîsis2 + ys\, (2 18) л( ri5ps + r2 5qs SlSps + S25qsX

\-nSpr - T2Sqr -SlSpr - S2SqrJ yPq Pq

При этом дискриминант I)0 = в2 — а7 связан с Б0 следующим образом:

Бо = 52 Бо,

а собственные числа Н и дискриминант р совпадают с Л1,Л2 и I.

Доказательство. Формула (2.17) вытекает из следующей цепочки равенств:

Р

(2=3) (рО Мд[2] (у)) Ь-1НЬу (2=8) рО д[2] (у) Ну.

Согласно (2.18) в2 — а3 = (аг1в1 + в5* + 7г2в2)2 — (аг2 + 2/г1г2 + 7^)^51 + 2вв1в2 + 7в2) = (в2 — а7)(г2«2 — 2г1 з1г2з2 + в2^) = (в2 — а.^)52, т. е. формула (2.19) верна.

2.5. Запись и линейная эквивалентность систем при I = 3. В системе (2.1) при I = 3 многочлены Р1,Р2 ф 0 пропорциональны, поэтому с учетом соглашения 2.2

3 * = 0: А =

Покажем, что система (2.20) может быть записана в виде

х = Р0

где Н = ( ,Р1 ,д1 ) (р2 + д2 =0, к = 0, 5рд = 0), вещественный общий множитель

Ккр1 кд1у

имеет вид Рд = х2 + 2/х1 х2 + 7х2 (Бд = в2 — 7).

Собственные числа Н и дискриминант характеристического полинома таковы:

Л1 = р1 + кд1, Л2 =0, I = Л2 > 0.

Структура системы (2.21), предложенная в случае I = 2, весьма удобна для дальнейших исследований (в этом уже можно было убедиться), поэтому для системы (2.20) используется аналогичное разложение, основанное на вынесении общего множителя Ро не максимальной, а только второй степени. Отличия заключаются в том, что в системе (2.14) det Н = 0, всегда можно получить а = 0 и имеется неоднозначность, связанная с возможностью различными способами выносить Р0 из многочлена Р1 системы (2.20).

Уточним принципы выбора квадратичного общего множителя Р0 в (2.20).

Соглашение 2.3. Будем выносить из Р1(х) в системе (2.20): 1) если возможно, то полный квадрат; 2) иначе, если возможно, такой Р0, при котором в (2.22) Л1 = 0; 3) иначе, при наличии, два линейных сомножителя с максимальными нулями.

Коэффициенты в,1 (а = 1) и элементы Р1,д1 в (2.21) однозначно выражаются через элементы (2.20) из равенств 01 = ар1, Ь1 = ад1 + 2вр1, С1 = 2вд1 + 7Р1, ¿1 = 7д1 по формулам:

1) а1 =0 ^ а = 1, 2в = О*, 7 = (01 О2 — Ь1в* + с^а-1, р1 = 01, д1 = Ь1 — а1О*, где О* е К1 — нуль Р1(2)(О) из (2.15), выбранный с учетом соглашения 2.3;

2) а1 = 0 (Ь1 =0) ^ а = 1, 2в = С1Ь-1, 7 = ¿1Ь-1, р1 =0, д1 = Ь1.

Остановимся подробнее на выборе в, в случае 1.

Наличие кратного корня многочлена Pi(2) равносильно тому, что y = ß2 при ai = 0, а значит, в± = 2(bi i dl/2)/З, где d, = b2 — 3alCl. Поэтому, если d, > 0 и

di = a-2(b3 — Зbld, ^ 2d,/2)/27, многочлен P^^) имеет нуль в± и двукратный нуль

1/2 1

(2bl id,, )/З. Если же кратных нулей нет, то выбираем в, = 1Тa- bi, если возможно,

иначе pi Т kqi = 0. И, если выбор еще остается, в, —минимальный нуль P( (в).

Возвращаясь к системе (2.21), заметим, что для нее так же, как для системы (2.14) с l = 2, справедлива теорема 2.2, в которой а =1 и det H = 0.

2. б. Основные линейные инварианты. Обобщим полученные результаты. Теорема 2.3. Степень I (I = 0, 3) общего множителя введенного для системы (2.1) в определении 2.1, инвариантна относительно линейных неособых замен. При этом, если l = 1, инвариантен знак результанта R2 (R2 = 0) матрицы G системы (2.9), а если l = 2 или l = З, инвариантны знаки дискриминанта квадратичного общего множителя Po и дискриминанта корней характеристического полинома матрицы H систем (2.14) или (2.21).

Следствие 2.1. В случае l = 2 или l = З квадратичный общий множитель Po, выносимый из многочленов P1,P2 системы (2.1), и полученный в результате замены (2.2) общий множитель Po, выносимый из многочленов P1,P2 системы (2.17), одновременно раскладываются или не раскладываются на линейные множители с вещественными коэффициентами и полные квадраты для них сохраняются.

В заключение отметим, что дальнейшая работа в конечном итоге будет связана с исследованием совместности, различными упрощениями, разбиениями на частные случаи и решением системы (2.5). При этом (2.5) следует трактовать, как систему восьми уравнений с четырьмя неизвестными ri,r2,si,s2 —коэффициентами замены (2.2), имеющую следующую структуру: левая часть является однородным многочленом четвертого порядка относительно ri,r ,si,S2 с коэффициентами, являющимися линейными комбинациями восьми коэффициентов исходной системы (2.1), а вектор правой части образуют восемь коэффициентов системы (2.17), умноженные на определитель линейной неособой замены (2.2).

Литература

1. Басов В. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность систем дифференциальных уравнений с нулевым приближением (x2, -xf) // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, №8. С. 1011-1022.

2. Белицкий Г. Р. Нормальные формы относительно фильтрующегося действия группы // Труды ММО. 1979. Т. 40. С. 2-46.

3. Kokubu H., Oka H., Wang D. Linear grading function and further redaction of normal forms // J. Diff. Eq. 1996. Vol. 132. P. 293-318.

4. Брюно А. Д., Петрович В.Ю. Нормальные формы системы ОДУ // Препринт ИПМ РАН. 2000. № 18. 24 с.

5. Baider A., Sanders J. Further reduction of the Takens—Bogdanov normal form // J. Diff. Eq. 1992. Vol. 99, N 2, P. 205-244.

6. Басов В. В., Михлин Л. С. Обобщенные нормальные формы систем ОДУ с невозмущенной частью (x2, ±xxin-1) // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2015. Т. 2 (60), вып. 1. С. 14-22.

7. Vaganyan A. S. Generalized normal forms of infinitesimal symplectic and contact transformations in the neighbourhood of a singular point // arXiv:1212.4947. 2013. URL: http://arxiv.org/abs/1212.4947.

8. Брюно А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды ММО. 1971. Т. 25. С. 119-262; 1972, Т. 26. С. 199-238.

9. Брюно А. Д. Нормальная форма системы Гамильтона // УМН. 1988. Т. 43, вып. 1(259). С.23-56.

10. Birkhoff G.D. Dynamical Systems // Amer. Math. Soc., Providence, Colloquium Publications. 1927. Vol. 9. P. xii+305.

11. Лычагин В. В. Локальная классификация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // УМН. 1975. Т.30, вып. 1(181). С. 101-171.

12. Басов В. В., Федорова Е. В. Двумерные вещественные системы ОДУ с квадратичной невозмущенной частью: классификация и вырожденные обобщенные НФ // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2010. №4. С.49-85. URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal.

13. Басов В. В., Скитович А. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевыми квадратичным приближением. I, II // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, №8. С. 1016-1029; 2005. Т.41, №8. С. 1011-1022.

14. Басов В. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевыми квадратичным приближением. III // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, №3. С. 308-319.

15. Басов В. В., Федорова Е. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевыми квадратичным приближением. IV // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, №3. С. 297-313.

16. Сибирский К. С. Введение в алгебраическую теорию инвариантов дифференциальных уравнений. Кишинев: «Штиинца», 1982. 168 с.

17. Басов В. В., Петрова С. Е. Обобщенные нормальные формы систем ОДУ с квадратично-кубической невозмущенной частью // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2012. № 2. С. 154-217. URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal.

18. Takens F. Singularities of vector fields // IHES. 1974. Vol.43, N2. P.47-100.

19. Белицкий Г. Р. Нормальные формы формальных рядов и ростков C^-отображений относительно действия группы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, №4. С. 855-868.

20. Окунев Л. Я. Высшая алгебра. М.; Л.: Гос. изд-во тех.-теор. лит-ры, 1949. 434 c.

Статья поступила в редакцию 17 декабря 2015 г. Сведения об авторе

Басов Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент; vlvlbasov@rambler.ru

TWO-DIMENSIONAL HOMOGENEOUS CUBIC SYSTEMS: CLASSIFICATION AND NORMAL FORMS — I

Vladimir V. Basov

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; vlvlbasov@rambler.ru

This work is the first in a series of papers devoted to the classification of two-dimensional homogeneous cubic systems based on the partition into classes of linear equivalence. Principles are developed to constructively distinguish the structure of the simplest system in each class and canonical set that defines the permissible values that can take its coefficients. The polynomial vector in the right part of such system identified with (2 X 4)-matrix is called the canonical form (CF) and the system itself—the normal cubic form.

One of the main objectives of the series is to simplify the reduction of a system with a homogeneous cubic polynomial in the unperturbed part to the various structures of the generalized normal form (GNF). Under GNF we mean a system, perturbed part of which is in some sense the simplest form. Constructive implementation of the normalization process depends on the ability to explicitly specify the conditions of compatibility and possible solutions of so-called connective system which is understood as a countable set of linear algebraic equations systems that determine the normalizing transformation of the perturbed system. The principles mentioned above are based on the idea of the greatest possible simplification of the connective system. This will allow to reduce the initial perturbed system by an invertible linear substitution to the system with some CF in the unperturbed part, and then reduce the resulting system, optimal for normalization, by almost identical substitutions to various structures of the GNF.

In this paper: 1) the general problem is set, the other problems close to it are formulated with the description of the existing results; 2) the connective system is derived, which determines the equivalence of any two perturbed systems with the same homogeneous cubic part, the possibilities of its simplification are

discussed, also the GNF is defined and the method of resonant equations which allows to constructively obtain all of its structures is given; 3) special recording forms of homogeneous cubic systems in the presence of the common homogeneous factor in their right-hand parts having a power from one to three are introduced; the linear equivalence of such systems as well as systems without a common factor is studied; the key linear invariants are offered. Refs 20.

Keywords: homogeneous cubic system, normal form, canonical form.

References

1. Basov V.V., "The generalized normal form and formal equivalence of systems of differential equations with zero approximation (xf, —xf)", Differentia! Equations 40(8), 1073—1085 (2004).

2. Belickii G.R., "Normal forms in relation to the filtering action of the group", Trudy Mosk. Mat. Obshch. 40, 2-46 (1979) [in Russian].

3. Kokubu H., Oka H., Wang D., "Linear grading function and further redaction of normal forms", J. of Differential Equations 132, 293-318 (1996).

4. Bruno A. D., Petrovich V. Yu., "Normal forms of system of ODE", Preprint Inst. Prikl. Mat. RAN (18), (Moscow, 2000) [in Russian].

5. Baider A., Sanders J., "Further reduction of the Takens—Bogdanov normal form", Journal of Differential Equations 99(2), 205-244 (1992).

6. Basov V. V., Mikhlin L. S., "Generalized normal forms of ODE systems with unperturbed part (x2, ±x2—1)", Vestnik of Saint-Petersburg University. Ser. 1 2(60), Issue 1, 14-22 (2015) [in Russian].

7. Vaganyan A. S., "Generalized normal forms of infinitesimal symplectic and contact transformations in the neighbourhood of a singular point", arXiv:1212.4947 (2013), URL: http://arxiv.org/abs/1212.4947.

8. Bruno A. D., "An analytical form of differential equations", Trudy Mosk. Mat. Obshch. 25, 119-262 (1971); 26, 199-238 (1972) [in Russian].

9. Bruno A.D., "The normal form of a Hamiltonian system", Russian Mathematical Surveys 43, Issue 1, 25-66 (1988).

10 Birkhoff G.D., "Dynamical Systems", Amer. Math. Soc., Providence, Colloquium Publications 9, xii+305 (1927).

11. Lychagin V.V., "Lokal classification of non-lineral first order partial differential equations", Russian Mathematical Surveys 30, Issue 1, 105-175 (1975).

12. Basov V. V., Fedorova E. V., "Two-dimensional real systems of ODE with quadratic unperturbed parts: classification and degenerate generalized normal forms", Differential equations and control processes (4), 49-85 (2010). URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal.

13. Basov V. V., Skitovich A. V., "A generalized normal form and formal equivalence of two-dimensional systems with quadratic zero approximation: I, II", Differential Equations 39(8), 1067—1081 (2003); 41(8), 1061—1074 (2005).

14. Basov V. V., "A generalized normal form and formal equivalence of two-dimensional systems with quadratic zero approximation: III", Differential Equations 42(3), 327—339 (2006).

15. Basov V. V., Fedorova E. V., "A generalized normal form and formal equivalence of two-dimensional systems with quadratic zero approximation: IV", Differential Equations 45(3), 305—322 (2009).

16. Sibirskii K.S., An introduction to the algebraic theory of invariants of differential equations (Izd. Shtiintsa, Kishinev, 1982, 168 p.) [in Russian].

17. Basov V. V., Petrova S. E., "Generalized normal forms of systems of ODE with quadratic-cubic unperturbed parts", Differential equations and control processes (2), 154-217 (2012) URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal [in Russian].

18. Takens F., "Singularities of vector fields", IHES 43(2), 47-100 (1974).

19. Belickii G.R., "Normal forms for formal series and germs of C^-mappings with respect to the action of a group", Mathematics of the USSR-Izvestiya 10(4), 809-821 (1976).

20. Okunev L. Ya., Higher algebra (Gos. izdat. teh.-teor. lit., Moscow, 1949, 434 p.) [in Russian].