О численном решении задач устойчивости плоских колец

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м XX 1989

№ 3

УДК 629.7.015.4.023

О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКИХ КОЛЕЦ

Р. А. Мирошник

Приводится метод численного решения задач устойчивости для замкнутых плоских колец, нагруженных в своей плоскости произвольными распределенными и сосредоточенными нагрузками, фиксированными, либо следящими. Рассматривается потеря устойчивости кольца как с выходом из его плоскости, так и без выхода из нее.

Рассматриваются различные числовые примеры решения задач устойчивости для колец на упругом основании, нагруженных постоянным давлением.

Полученные результаты согласуются для частных случаев с известными в литературе

1. В статье приводится метод численного решения задач устойчивости для замкнутых колец, осевая линия которых до нагружения есть плоская кривая.

Рассматривается потеря устойчивости кольца как с выходом из его плоскости, так и без выхода из нее, при этом кольцо в своей плоскости может быть нагружено произвольными распределенными и сосредоточенными нагрузками, а также иметь переменные по длине жесткости. Кольцо может иметь произвольное число промежуточных упругих, либо жестких опор. Силы и моменты, нагружающие кольцо, могут быть как фиксированными, т. е. сохраняющими после потери устойчивости свои направления относительно неподвижных осей, так и следящими, т. е. сохраняющими свои направления в связанных осях. Кроме этого, внешние силы могут зависеть от перемещения точек осевой линии кольца и от их производных.

Среди известных методов исследования устойчивости такого рода систем [1, 4, 6] наиболее распространены энергетические методы, однако эти методы эффективны при условии задания с достаточной точностью форм потери устойчивости, что не всегда возможно.

Изложенный в статье метод связан с численным интегрированием линейных дифференциальных уравнений равновесия [3] с помощью метода Ньютона [2, 7].

При выводе уравнений равновесия кольца после потери устойчивости предполагается, что форма кольца в критическом состоянии мало отличается от его формы в обычном состоянии. Критическое состояние кольца — это его неустойчивое напряженно-деформированное состояние, предшествующее потере устойчивости, когда осевая линия кольца еще остается плоской кривой.

Из общих уравнений равновесия пространственно-криволинейного стержня [5] для частного случая плоского кольца получены дифференциальные уравнения равновесия кольца после потери устойчивости в безразмерной форме. В связанной системе

координат (е1г е2, е3), где в качестве независимой переменной взят угол ф, эти уравнения имеют следующий вид:

+ <?!,-да.

Q2 = Q\l* М3 + Qi — APt,

М$ — Qz Ат3,

з ~ Мъ «2 = — и1> и\ = ы2„

<?3 = — <?$ Af, + <?£> м2 - Др3,

Afj= Af2 — М3, Л1а — Дт1»

М2=

»; = ра#, + »2,

«3 = — *2-

Здесь Qj, Mj, ft у и Uj (/=1, 2, 3)—соответственно безразмерные внутренние силы, моменты, углы поворота связанных осей и перемещения точек осевой линии после потери устойчивости, Api, Am.j — безразмерные приращения приложенных к кольцу нагрузок при его переходе в новое равновесное состояние. Величины со звездочкой Q$, О2*'1 ^1**’ @2*' ^3*— компоненты безразмерных векторов внутренних

сил и моментов, соответствующих критическому состоянию кольца. Компоненты со звездочкой в рассматриваемом случае предполагаются известными из решения соответствующей линейной задачи статики для кольца.

Безразмерные величины связаны с размерными (с индексом р) зависимостями:

Qi = QipM2x2, — Q2pjAg х2, Q3 = Q3plA3 *2>

Мх = MlpjA2 х, М2 = М2 Р1А3 х, М3 — Мзр1А3 х,

Uj=Ujp-%, APl = Дptр!А2 Др2 = bp2pIA2 х2, Ар3 = Ар3р\Аз х2, Ату = Атхр/Л3 х Ат2 = Ат2р1А3х, Ат3 = Am3pjA2x, р = A2/At

Oil* = Qi*„/4> х2, Q$ = ОздМз xs, ‘ '

Qf*1 = QuplA4 *3> Qf* = Q2*plA2 x2,

где x = 1/p, p — радиус кривизны кольца, Л2, Л3 — крутильная и изгибные жесткости стержня.

Рассмотрим случай, когда приращения внешних нагрузок, входящие в уравнения (1.1), не зависят от неизвестных функций, входящих в уравнения (1.2) и наоборот приращения нагрузок из уравнений (1.2) не зависят от функций уравнения (1.1). В этом случае система плоско-пространственных уравнений равновесия кольца распадается на две независимые системы уравнений (1.1) и (1.2), причем первая из них служит для определения критических нагрузок без выхода кольца из плоскости, а вторая — при нахождении критических нагрузок с выходом кольца из плоскости.

Критические нагрузки для указанных случаев находятся из решения соответствующих краевых задач для неоднородной системы уравнений путем движения по параметру нагрузки [3]. Если исходная система дифференциальных уравнений однородна, она искусственно превращается в неоднородную путем приложения малой допол-

нительной нагрузки в направлении потери устойчивости так, чтобы решение исследуемой системы уравнений всегда было отличным от тривиального.

Для замкнутого кольца условия периодичности решений имеют вид соответственно для систем уравнений (1.1) и (1.2);

<?, (0) = <?, (271), <?2 (0) = <?2 (2*), Мй (0) = М3 (2те) 93 (0) = »3 (2 л), и, (0) = щ (2 те), ы2 (0) = и2 (2 л).

(?з (0) = <?3 (2х), Л*! (0) = М, (2т.), Л12 (0) = М2 (2я), (0) = »і (2те), й2 (0) = (2те), и3 (0) = а3 (2 те).

/м

Ф1 = Ф.8

Фи

Ф.і

\Фір

Векторы невязок Фі и Ф2 соответственно для систем (1.1) и (1.2) равны

<?і(0)-<гі(2^

Фз

М3{0)-М3

»з (0) — ^з (2 я) н, (0) — Ц] (2 л) і И2 (0) — И2 (2 те) /

/Ф2Д / Сїз(0)-(?3(2г.) \

ф22 Мх

Ф23 Л*2

Ф24 »і

і*! »2

\Ф2в/ ' «з (0) — и3 (2 те) у

Векторы начальных параметров К1 и К2, удовлетворяющие условиям периодичности (1.3) или (1.4) для исследуемых систем уравнений

Г,=

находятся из зависимостей

<2і

»з

1 и2

Угі' / 0з

у22 \ / АГж

У 23 М2

У'и

У 25 / \ МО)

Уж/ \ «з (0),

У^УЇ+КгЧГг)-*!^), Г2=У° + ^2-1(1^)-Ф2(К°),

где Кр Кд—произвольные векторы начальных параметров, задаваемые в нача-ле численного решения задачи, №Г1(К), ИМ^г) — якобианы, вычисляемые численно с помощью разностных формул и равные

имк?) =

' дуп '  ’ йуі6

\ ду1Х ' ' ' д;у]6

, (Г°) =

ЙФ21 дФ2і

Зу2і дУ2в

д$2в дФ2б

дЪх дУж

Для формирования матриц (1.8) каждая из систем уравнений (1.1) и (1.2) должна быть проинтегрирована семь раз.

Критические нагрузки находятся путем увеличения внешних нагрузок, от

которых линейно зависят компоненты С?2*'> ^1*)> Фг**» ^з*> от нуля Д° зна*

чений, при которых решения уравнений (1.1) или (1.2) резко возрастают [3].

2. В качестве примера рассмотрим задачу об устойчивости плоской формы кругового шпангоута, радиуса показанного на рис. 1. В рассматриваемом случае критические нагрузки находятся из системы уравнений (1.2) с условиями периодичности (1.4). Шпангоут, подкрепляющий оболочку 3, на которую Действует внешнее давление Рр, состоит из нетонкостенного свободного пояса 2, тонкой стенки 1 и связанного с оболочкой пояса 4. Пунктиром на рисунке показана форма потери устойчивости (опрокидывания) шпангоута. Свободный пояс 2 рассмотрим как кольцо, лежащее на упругом основании с известными линейной жесткостью кир и угловой жесткостью Наличие упругого основания приводит к появлению слагаемых — кииг и — £<>81

А-А

Рис. 1

в

50

100

150 . П.

Рис. 2

соответственно в величинах Ар3 и Ami в уравнениях (1.2), где ku = kUpR3/A3, kfr = k$ R/A3. Компоненты внутренних сцловых факторов в критическом состоянии, р

входящие в уравнения, равны

= -Р, = М3* = 0 (р = Рр ЩА3).

На рис. 2 показаны зависимости критического безразмерного давления р от упругости основания k (для стенки 1 постоянной толщины принято k = ku, ku= *&/3).

Кривая 1 построена для следящей нагрузки рр (для различных значений |3 все кривые совпадают с ней). Кривые 2 и 3 соответствуют {5=0 и оо для фиксированной нагрузки, когда

Ap3 = — ku иъ — р\.

Всем промежуточным значениям 0<р<°о соответствуют кривые, располагаю щиеся между кривыми 2 и 3.

Из расчетов получено, что при k = 0 значения критического давления совпадают с известными зависимостями [4] для круговых колец: ркр = 3 для следящей нагрузки и р„р=9/(4 + р) для мертвой нагрузки.

При вычислении критического давления для кольца без упругого основания (k = 0) для того, чтобы якобиан W2 (был невырожденным, необходимо исключить возможность смещения и поворота кольца как жесткого целого. Для этого надо вычислять критическое давление при малой жесткости упругого основания (/г > 0), что практически не меняет искомую величину критического давления.

Для превращения исходной системы (1,2) в неоднородную, необходимо загрузить кольцо самоуравновешенной нагрузкой

<?з = .Д sin 2 ?,

где А — малая величина.

Предлагаемый алгоритм численного решения задач устойчивости позволяет находить критические нагрузки для плоских колец при произвольном законе изменения внутренних силовых факторов в критическом состоянии.

ЛИТЕРАТУРА

1. А л футов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем.— М.: Наука, 1978.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.— М.: Наука, 1960.

3. Мирошник Р. А. О численном решении задач устойчивости прямых стержней с упругими опорами. — Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. 19 № 1.

4. Прочность, устойчивость колебания. Т. 1. — /Под редакцией Биргера И. А. и Паповко Я. Г. — М: 1968.

5. СветлицКий В. А. Нелинейные задачи статической устойчивости стержней. Расчеты на прочность. — М.: 1986. вып. 27.

6. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем.— М.; 1946.

7. Шаманский В. Е. Методы решения нелинейных краевых задач на ЭЦВМ.— Киев.: Наукова думка, 1966.

Рукопись поступила 10/VI 1987