Области знакоопределенной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой

УДК 514.765

О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский

Области знакоопределенной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой*

O.P. Gladunova, E.D. Rodionov, V.V. Slavsky

Sign-defined Curvature Domains on Three-dimensional Lie Groups with Left-invariant Riemannian Metrics

Исследованию связи между различными типами кривизн и топологией римановых многообразий посвящены работы многих математиков [1—4]. В [2—4] изучалось влияние кривизны Риччи и одномерной кривизны на топологию однородных ри-мановых многообразий. В данной статье исследуются области знакоопределенной кривизны Риччи и одномерной кривизны в случае трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

Ключевые слова: алгебры и группы Ли, левоинвариантные римановы метрики, кривизна Риччи, оператор одномерной кривизны.

Many mathematicians devoted their papers to the investigation of the relationship between various curvature types and the topology of the Riemannian manifolds [1—4]. An influence of the Ricci curvature and one- dimensional curvature on the topology of the homogeneous Riemannian manifolds was studied in [2—4]. In this paper the sign-defined Ricci and one- dimensional curvatures domains were studied for the case of three-dimensional Lie groups with left-invariant Riemannian metrics.

Key words: Lie groups and Lie algebras, left-invariant Riemannian metrics, Ricci curvature, onedimensional curvature operator.

1. Обозначения. Пусть G — трехмерная унимодулярная группа Ли; g — алгебра Ли группы G; (•, •) — скалярное произведение на g, соответствующее некоторой левоинвариантной римановой метрике на группе Ли G. Тогда в g существует положительно ориентированный ортобазис {ei, в2, ез}, в котором выполняются равенства [3]:

[ei, Є2] = А3Є3, [е2, ез] = Aiei,

[ез, ei] = А2Є2.

В данном базисе диагонализируемы квадратичная форма Риччи r(x) = rijxxj и квадратичная форма одномерной кривизны a(x) = ajxxj, где rj — компоненты тензора Риччи, aj — компоненты тензора одномерной кривизны, определяемые стандартным образом: rj = tr(v ^

Д(ег, v)ej)] ciij = -1^ (rtj - , где n =

3; R — тензор кривизны; s = tr(r) — скалярная кривизна; — компоненты метрического тензора.

Главные значения кривизны Риччи и одномерной кривизны, а также след в этом базисе имеют

* Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ—921.2012.1), а также ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0457).

вид:

Г1 = ^ (^1 — ^2 + Аз) (Ах + А2 — Аз), Г2 = ~ (“Ах + Аг + Аз) (Ах + А2 — Аз), 2 (2) г'з = ^ (~^1 + Аг + Аз) (А1 — А2 + Аз), в = А2А3 + А1А3 + А1А2 — — (А2 + А2 + А3); а 1 = -(5А2 — 3(Аг — А3)2 — 2А1А3 — 2А1А2),

О

о-2 = о

О

аз = — (5Аз — 3(Ах — А2)2 — 2А1А3 — 2А2А3).

О

Пусть О — трехмерная неунимодулярная группа Ли. Тогда в 0 существует положительно ориентированный ортобазис |в1, в2, ез} такой, что [3]:

[в1,в2] = ае2 + вез, [е1, ез] = 7е2 + ¿ез,

[е2, ез] = 0,

где а + 6 = 0 и «7 + в6 = 0.

Заметим, что в случае а + 6 = 2 инвариант Б = а6 — 7в определяет алгебру 0 с точностью до изоморфизма. Следуя [3], положим: а = 1 + £, в = (1 + С)п, 7 = —(1 — С)п, 6 = 1 — С, где

С > 0, п > 0. Тогда квадратичные формы Риччи и одномерной кривизны диагонализируемы в этом базисе, и их главные кривизны и след вычисляются по формулам:

Г1 = —2 — 2С2 — 2С2п2 < 0,

Г2 = —2 — 2С — 2Сп2 < 0, гз = —2 + 2С + 2Сп2,

8 = —6 — 2С2 — 2С2п2 < 0, (С > 0, п > 0);

1 3 - 3 22

0,1 = ~2 ~ 2 _ 2 <

а‘2 = -\~2£-2г1Ч+\ег12 + \е, аз = + 2£ + 2?у2е + ^£2 + ^2е2-

Ли, получаем, что структурные константы, в случае алгебры вм(2), а также кривизна Риччи удовлетворяют соотношениям:

Г1 < Г(.,.)(С) < гз,

Г1 < Г2 < гз, гз > 0, Г1 > 0,

если 0 < Л1 < Л2 < Лз < Л1 + Л2; Г2 < Г(.,.)(С) < гз,

Г2 < г1 < гз, гз > 0, г2 < 0, если 0 < Л1 < Л2 < Л1 + Л2 < Лз.

Приведем также ряд результатов, которые нам потребуются.

Критерий 1 (Дж. Милнор [3]). Связная группа Ли О допускает левоинвариантную римано-ву метрику положительной кривизны Риччи в том и только том случае, если О компактна и ее фундаментальная группа п1(О) конечна. В таком случае искомой метрикой является биинва-риантная риманова метрика.

Критерий 2 (Е.Д. Родионов, В.В. Славский [4]). Связная группа Ли О допускает левоинвариантную риманову метрику положительной одномерной кривизны в том и только том случае, если О компактна и ее фундаментальная группа п1 (О) конечна. В таком случае искомой метрикой является стандартная риманова метрика.

Заметим также, что положительность одномерной кривизны риманова многообразия влечет положительность кривизны Риччи. Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. существуют римано-вы метрики положительной кривизны Риччи и осциллирующей (принимающей значения разных знаков) одномерной кривизны (см. [4]).

2. Основные результаты. Предварительно докажем некоторые утверждения, которые нам потребуются.

Лемма 1. Пусть (О, (•, •}) — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой знакоопределенной кривизны Риччи (положительной или отрицательной). Тогда алгебра Ли 0 группы О изоморфна вм(2), а структурные константы удовлетворяют соотношениям 0 < Л1 < Л2 < Лз < Л1 + Л2

Доказательство. Пусть кривизна Риччи положительна, тогда, применяя критерий Дж. Мил-нора, а также используя классификацию трехмерных унимодулярных алгебр Ли [3], получаем, что алгебра Ли 0 группы О изоморфна ви(2).

Далее, применяя результаты работы [5], где оценивалась кривизна Риччи трехмерных групп

Для завершения доказательства леммы нам осталось заметить, что г^.,.)(С) > 0 в том и только том случае, если 0 < Л1 < Л2 < Лз < Л1 + Л2, а случай отрицательности кривизны Риччи невозможен [5]. Доказательство завершено.

Рассмотрим неунимодулярный случай, предполагая, без ограничения общности, что параметры С > 0, п > 0 [3].

Лемма 2. Пусть (О, (•, •}) — трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой знакоопределенной кривизны Риччи. Тогда параметры С и п, определяющие алгебру Ли с точностью до изоморфизма (кроме случая С = п = 0), удовлетворяют неравенствам:

0<С<

1

-, 0 < п.

Доказательство. Очевидно, что г1 < 0, г2 <

0, значит для знакоопределенности кривизны Риччи, при условии С > 0, п > 0, необходимо и достаточно выполнение неравенства гз = —2 + 2С + 2£г]2 < 0 или £ < 1^2- Доказательство завершено.

Прямым следствием доказанных лемм является

Теорема 1. Пусть (О, (•, •}) — трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда кривизна Риччи группы (О, (•, •}) знакоопределена в том и только том случае, если алгебра Ли 0 группы О содержится в таблице 1.

Исследуем случай одномерной кривизны.

Лемма 3. Пусть (О, (•, •}) — трехмерная уни-модулярная группа Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой знакоопределенной одномерной кривизны. Тогда алгебра Ли 0 группы О изоморфна вм(2), а структурные константы удовлетворяют неравенствам:

— (5А2 — 3(А2 — А3)2 — 2А1А3 — 2АхА2) > 0,

если 0 < Л1 < Л2 < Лз < Л1 + Л2.

Таблица 1

Области знакопостоянства кривизны Риччи

Алгебра Ли Кривизна Риччи Структурные константы

Унимодулярна, изоморфна ви(2) Положительна 0 < Ах < А2 < Аз < Ах -|- А2

Неунимодулярна, определяется с точностью до изоморфизма набором структурных констант Отрицательна а= 1 + £, /? = (1+£)??, 7 = -(1-0^ ¿ = 1-£, £>0, ?7>0, £<^2

Таблица 2

Области знакопостоянства одномерной кривизны

Алгебра Ли Одномерная кривизна Структурные константы

Унимодулярна, изоморфна ви( 2) Положительна |(5А2 — 3(А2 — А3)2 — 2А1А3 — 2АхА2) > 0, 0 < Ах < А2 < Аз < Ах -|- А2

Неунимодулярна, определяется с точностью до изоморфизма набором структурных констант Отрицательна « = 1+£, /3 = (1+£)??, 7 = -(1-£)??> = 1 - £, £ > 0, 77 > 0, £ < -2 + ^4 + ^

Доказательство. Предположим, что одномерная кривизна положительна, тогда, применяя критерий Родионова-Славского [4], а также используя классификацию трехмерных унимоду-лярных алгебр Ли [3], получаем, что алгебра Ли 0 группы О изоморфна вм(2). Далее, применяя результаты работы [5], получаем искомые неравенства. Нетрудно видеть, что множество решений системы (9) непусто. Так, например, набор структурных констант Ах = А 2 = Аз > 0 является решением данной системы (9). Доказательство завершено.

Лемма 4. Пусть (О, (•, •}) — трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой знакоопределенной одномерной кривизны. Тогда параметры £ и п, определяющие алгебру Ли 0 группы О с точностью до изоморфизма (кроме случая £ = п = 0), удовлетворяют неравенствам:

°-е<-2 + \/4 + ТТ^

0 < п.

т.е. системе вида (10). Доказательство завершено.

Из лемм 3 и 4 следует

Теорема 2. Пусть (О, (•, •}) — трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда одномерная кривизна группы (О, (•, •}) знакоопределена в том и только том случае, если алгебра Ли 0 группы О содержится в таблице 2.

Изучим теперь случай, когда кривизна Риччи знакоопределена, а одномерная кривизна осциллирует, т.е. принимает значения разных знаков.

Теорема 3. Пусть (О, (•, •}) — трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой знакоопределенной кривизны Риччи. Тогда одномерная кривизна группы (О, (•, •}) знакопеременна в том и только том случае, если алгебра Ли 0 группы О содержится в таблице 3.

Доказательство. Из теоремы 1 и результатов работы [5] следует утверждение теоремы в унимо-дулярном случае.

Рассмотрим неунимодулярный. В этом случае главная кривизна а1 < 0. Кривые а2 =0 и аз = 0 и гз =0 разбивают первый квадрант на области:

Доказательство. В силу того, что а1 < 0, необходимо рассмотреть систему неравенств: а2 <

0, а3 < 0, которая в силу (6) равносильна следующей

0 < £ < 2 + ^/4 +

1 + п2

0 < £ < -2+^/4 + 0 < п;

1 + п2

П1

По

Пз

П4

\ sign(al, а2, аз) = (-, -, -), |^п(г1 ,Г2, гз) = (-, -, -),

\ sign(al,a2, аз) = (-, -, +), |^п(г1 ,Г2, гз) = (-, -, -),

\ sign(al, а2, аз) = (-, -, +), |^п(г1 ,Г2, гз) = (-, -, +),

\ sign(al, а2, аз) = (-, +, +),

1 sign(г 1 ,Г2,гз) = (-, -, +),

1

1

Таблица 3

Области знакопостоянства кривизны Риччи и осциллирования одномерной кривизны

Алгебра Ли Кривизна Риччи Одномерная кривизна Структурные константы

Унимодулярна, изоморфна ви( 2) Положи- тельна Осциллирует 0 < Ai < А2 A3 < Ai -|- А2

Неунимодулярна, определяется с точностью до изоморфизма набором структурных констант Отрица- тельна Осциллирует а=1 + £, /?=(1+ О'П, 7 = -(! - О'П, <5= 1-С, £>0, г]>0, £<^2-

где sign(al,а2,аз) = ^ЦаД sign(a2), sign(aз)), sign(aj) - знак числа а*. Понятно, что в области П2 кривизна Риччи отрицательна, а одномерная

кривизна принимает значения разных знаков (осциллирует). Доказательство завершено.

Библиографический список

1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т.: пер. с англ. - М., 1990.

2. Berestovsky V.N. Homogenious Riemannian manifolds of positive Ricci curvature // Mat. Zametki. - 1995. - V. 55, № 3.

3. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics. - 1976. - V. 21.

4. Rodionov E.D., Slavsky V.V. Conformal deformation of the Riemannian metrics and homogenious Riemannian spaces // Comm. Math. Univ. Carolinae. - 2002. - V. 43, № 2.

5. Rodionov E.D., Slavskii V.V. Curvature estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups // Differential Geometry and Application. Proceeding of the 7th International Conference. - Brno, 1999.