Новые формулы обращения для интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина

УДК 517.444

DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-2

Н. Н. Яремко,В. Д. Селютин, Е. Г. Журавлева

НОВЫЕ ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА, ВЕЙЕРШТРАССА И МЕЛЛИНА

Аннотация.

Актуальность и цели. Аналитические методы решения задач математической физики, в том числе интегральные преобразования, являются активно развивающимся направлением математического моделирования. Метод интегральных преобразований представляет собой один из наиболее действенных аналитических методов решения модельных задач математической физики. Помимо непосредственных приложений в физике и при решении краевых задач математической физики, интегральные преобразования возникают в технике для кодирования и фильтрации сигналов. Существующие в настоящее время формулы обращения интегральных преобразований Лапласа, Вейер-штрасса и Меллина обладают серьезным недостатком: они требуют выхода в комплексную область или содержат производные как угодно большого порядка. Оба указанных недостатка приводят к вычислительным проблемам. Для их разрешения мы доказываем новые формулы для прямого и обратного интегральных преобразований Фурье, двухстороннего интегрального преобразования Лапласа, интегральных преобразований Вейерштрасса и Меллина. Новые формулы не содержат производных и получены в виде ряда по системе ортогональных полиномов Эрмита. Найдены их приложения в теории фильтрации сигналов.

Материалы и методы. Работа основана на теоретических положениях анализа Фурье и теории рядов Эрмита; используются теоремы разложения для интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина.

Результаты. Раскладывая ядра интегрального представления в ряд по полиномам Эрмита, мы получаем новые формулы обращения для интегрального преобразования Вейерштрасса. Далее, используя формулы для связи интегральных преобразований Лапласа, Меллина и Вейерштрасса, мы устанавливаем формулы обращения для других интегральных преобразований.

Выводы. Установленные в работе новые формулы обращения интегральных преобразований открывают неизвестные ранее возможности применения классических методов интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Вейер-штрасса, Меллина в теории фильтрации сигналов и в теории обратных задач математической физики.

Ключевые слова: интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Вейер-штрасса, Меллина; многочлены Эрмита.

N. N. Yaremko,V. D. Selyutin, E. G. Zhuravleva

NEW INVERSION FORMULAS FOR THE INTEGRAL TRANSFORMATIONS OF LAPLACE, WEIERSTRASS AND MELLIN

Abstract.

Background. Analytical methods for solving problems in mathematical physics, including integral transformations, are an actively developing field of mathematical modeling. The method of integral transformations is one of the most effective ana-

lytical methods for solving model problems of mathematical physics. In addition to direct applications in physics and in solving boundary value problems of mathematical physics, integral transformations arise in technology for encoding and filtering signals. The currently available inversion formulas for the Laplace, Weierstrass, and Mellin integral transformations have a serious drawback: they require the complex domain or contain derivatives of arbitrarily large order. Both of these drawbacks lead to computational problems. To solve them, we prove new formulas for the direct and inverse integral Fourier transforms, the two-sided integral Laplace transform, the Weierstrass integral transforms, and Mellin transforms. The new formulas do not contain derivatives and are obtained in the form of a series оп the system of orthogonal Hermite polynomials. Their applications in the theory of signal filtering are found.

Materials and methods. The work is based on the theoretical positions of the Fourier analysis and Hermite series theory; the expansion theorems for the integral Laplace, Weierstrass, and Mellin transformations are used.

Results. We obtain new inversion formulas for the Weierstrass integral transformation by expanding the kernels of the integral representation in a series in the Hermite polynomials. Further, we establish inversion formulas for other integral transformations by using the formulas for the connection of the integral Laplace, Mellin, and Weierstrass transformations.

Conclusions. The new inversion formulas for integral transforms that have been established in the paper open up the previously unknown possibilities of applying the classical methods of Fourier, Laplace, Weierstrass, Mellin integral transforms in the theory of signal filtering and in the theory of inverse mathematical physics problems.

Key words: Fourier, Laplace, Weierstrass and Mellin integral transforms; Hermite polynomials.

Введение

Рассматриваются вопросы, относящиеся к теории интегральных преобразований и их приложений. Новые формулы, полученные в статье для прямого и обратного интегрального преобразований Фурье, двухстороннего интегрального преобразования Лапласа, интегральных преобразований Вейер-штрасса и Меллина, могут быть основой для создания устойчивых вычислительных алгоритмов, так как не содержат производных и представляют собой ряд по системе ортогональных полиномов Эрмита.

Известные два типа формул обращения приводят к вычислительным трудностям: в одном случае требуется выход в комплексную плоскость, а в другом - знание коэффициентов ряда Тейлора для изображения, а значит, необходимо вычислять производные любого порядка от изображения в некоторой точке. Оба известных на сегодня подхода для обращения двухстороннего интегрального преобразования Лапласа, интегральных преобразований Вейерштрасса и Меллина вызывают вычислительные затруднения различного характера: выбор контура интегрирования в первом случае и неустойчивость алгоритма во втором. Новизна полученных нами в статье формул состоит в том, что для вычисления оригиналов требуется знание коэффициентов разложения изображения по системе полиномов Эрмита. Эта особенность позволяет создать устойчивые алгоритмы вычисления оригиналов и обойти трудность с выбором контура интегрирования.

Статья имеет три раздела. В первом разделе кратко сформулированы предварительные результаты, подробное доказательство которых проведено нами в работе [1]; эти результаты облегчают понимание и служат теоретиче-

ской основой для вывода формул обращения. Второй раздел имеет три подраздела: интегральное преобразование Вейерштрасса и формулы для его обращения; обращение двухстороннего интегрального преобразования Лапласа; преобразование Меллина. В третьем разделе найдены приложения построенных преобразований Вейерштрасса в теории фильтрации сигналов.

В заключении определены место полученных результатов в теории интегральных преобразований и перспективы их развития.

1. Предварительные результаты.

Теоремы разложения для преобразования Фурье

Приведем обзор наших результатов из [1], на которые будем опираться при доказательстве основных теорем настоящей статьи. Используя классическую теорему разложения для функции / (х) в интегральной форме Фурье [2]:

f (')"i D'Xx iD_A4 f (5)d 5 ]d *

получим новые формулы обращения для интегрального преобразования Фурье.

Для этого перепишем последнюю формулу в виде

1

где Р >0 любое.

Используя производящую функцию для полиномов Эрмита [3], получим равенство

= у HW рjHi f

i—i jl J

j=0 J-

\

2S.

В соответствии с[2]

— f" e~x2peiXx (-/*) jdX 2; J-^

4P

1

-H,

f \ x

* ' ^л/^Р (^л/Р) 3 3 I 2^/р

формула обращения (2) примет вид

f (x)=2b {J*** yj D* H

-X2pe/Xx v (-'*)j

j i

j=0

Л

2sIP

f (5)d 5d X.

Затем используем формулу (3) и окончательно устанавливаем аналитическое представление для оригинала:

X2 4*

1

-H,

Г ~ Л fj

f(X) ^^л/^Р (^/р)t2,/р

jl

2

X

где

J

лОО -

f = Le2 н

f (%)d Ъ

Замечание 1. Обобщением полученной формулы являются формулы для производной функции / (х) порядка к:

f(*)(-)=±

н

f л f

j+k

2je

j!

2. Основные результаты: новые формулы обращения

2.1. Интегральное преобразование Вейерштрасса и формулы для его обращения

В математике интегральное преобразование функции /: Я ^ Я , названное в честь Карла Вейерштрасса [4], представляет собой «сглаженный» вариант функции /(х). Это «сглаживание» получено путем усреднения значений / с взвешенным Гауссианом с центром в точке х:

(•о

W [ f ](х) = F (х ) = J_

1

exp

2a2

f (l)dЪ.

Проблема обращения преобразования Вейерштрасса приводит к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода:

1

W[ f ](х) = F (х ) = —= f exp 2>jn J"<~

f (l)d Ъ

Правая часть уравнения (8) представляет собой интеграл Пуассона. Известно [2], что решением уравнения Фредгольма (8) является функция

1 ~

f (х) = 1Z ^

F

— ?и+1 л j=0 2 j!

^ Hj [f

где Hj (2многочлены Эрмита.

Соотношение (9) дает известную формулу обращения для преобразования Вейерштрасса [2]. Формула (8) содержит производные сколь угодно высокого порядка образа Вейерштрасса и не может служить основой для регу-ляризирующего вычислительного алгоритма. Следовательно, задача нахождения новых формул обращения преобразования Вейерштрасса, не содержащих производных, является актуальной.

Получим решение уравнения (8) методом интегральных преобразований Фурье [2]:

2

х

/ (х > /У2 ^ (/-У"4 Р I) Л X.

Пусть Р >0 любое, тогда

/(х 1 = -¡У^е^2е*х Г/у^рI1ЛX.

2-J—

На основании (3) получим

L (

f (x) = ,2- Ге-^ ± j Г(1 + ß)2Я

2— j—œ ^^ j! J—œ

j=0 7 •

2^/1+13

F(f)dfdk .

Изменим порядок интегрирования и вычислим внутренний интеграл относительно X . Основываясь на формуле (4), имеем

— Гœ (—ik) je—x2ßeixxdk = е 2- J—œ 2.

4ß

Я,

f \ x

2^-ß (2# )j j l 2,/ß

В результате приходим к новой формуле обращения интегрального преобразования Вейерштрасса:

f ( x) = S

4ß

f \

Я,

j=0

2,/-ß (2,/ß )j j l 2,/ß

Fl j!

где

j f /•oo —

F = J>+ß)2 Яl

i

2VTTß

F (f)d f

Замечание 2. Аналогичным образом может быть доказана формула для прямого преобразования Вейерштрасса:

I*00 1

W[f]( x) = F (x ) = J —= exp

J—œ 2V-

f (f)df =

( „2

exp

x I r°° 1 4 lJ—œ 24-

exp

( f2 I

~4

i i

i- \ ( 2 \ œ j

xÇ I „/„x x ^ xJ

expf(f)df = exp —£j•

1 il j=0 2 j !

где

f, = J f (KPj lf Idf.

2

X

2

X

2.2. Формула обращения двухстороннего интегрального преобразования Лапласа

В математике двухстороннее преобразование Лапласа является интегральным преобразованием, эквивалентным производящей функции для моментов распределения вероятностей. Двусторонние преобразования Лапласа тесно связаны с преобразованием Фурье, преобразованием Меллина и обычным или односторонним преобразованием Лапласа. Если g ) - вещественная или комплекснозначная функция вещественного переменного I, определенного для всех действительных чисел, то двустороннее преобразование Лапласа определяется интегралом [4, 5]:

L [g(£)] = G(х) = J e^g©dl

Интеграл в правой части понимается как несобственный интеграл, сходящийся тогда и только тогда, когда каждый из интегралов

J e"lxg©dl, J e*g©dl

существует.

Найдем формулу для обращения двухстороннего преобразования Лапласа. Для этого используем формулу [5], связывающую преобразование Вейерштрасса Ж и двухстороннее преобразование Лапласа Ь. Положим:

2

х

g (X) = е 4 /(X),

тогда

щ/]

В обозначениях для двухстороннего преобразования Лапласа имеем

Ж[/]

Применим формулу (10) для обращения интегрального преобразования Вейерштрасса:

X2

^ е"4Р 1 ( х \ Р,

/ (х) = X -Н Х

(Wp )3 31 ^л/Р

, =

Следовательно, оригинал двухстороннего преобразования Лапласа име-

ет вид

0

2

( \

-H,

е (х) = е 4Р Y—__

й,2^ (Wp у Ч ^VP

j !

где

J (

/•оо —

Fj_L(1+Р)2 Hj

V

-Le"^2/4G 4f |df. ^VTTp JV4re V 2 1

Выполним в последней формуле замену переменной = -2а с учетом тождества

Н (--) = (-1)3 Н] (),

получим окончательную формулу для коэффициентов Е-:

F + Р)* (-1) Fj Л

f» оо

J Hj

J —у

лД+Р

е-° G(a)da.

Замечание 3. Формула для изображения двухстороннего преобразования Лапласа получается из соотношений (11) и (12):

G (х ) = 74гё ^

(-l)j xj

j=0

j!

где

f2 У f

fj = J eTg(f)Hj [2 | Jf.

2.3. Преобразование Меллина

Интегральное преобразование Меллина можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Интегральное преобразование Меллина тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел, в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также с теорией специальных функций. Преобразование названо по имени исследовавшего его финского математика Ялмара Меллина. Прямое и обратное преобразования Меллина задаются формулами [6]:

М [/](*) = ф(*) = | X5-1/(х)йх, М-1 [ф](X) = /(X) = — | X-5ф(5).

Найдем новую формулу обращения преобразования Меллина, не требующую выхода в комплексную плоскость.

X

Двусторонний интеграл Лапласа может быть выражен через преобразование Меллина:

Ь [ / ] (= М [ / (- 1п х)] (.),

и, наоборот, преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа с помощью формулы

М [/](.) = Ь [ / (е-х) ] (*). Из последней формулы имеем

ф($) = L

f

(s).

По формуле (13) обращения двухстороннего преобразования Лапласа

имеем

2

f (e"x) = e

1

1

f

-H,

4P у

j=0^P (2# )r j

x ^ F

J j !

Выполним замену переменного е х = ^, получим оригинал

f(t) = e

ln2 x

4p

у

j=0

("1)j

Hj

2^ (2#)j j l 2^

ln x

Fl j!

где

fl =

(1+P)2

л/й

Hj

л/1+P

ф(ст)^ a.

3. Приложения преобразования Вейерштрасса в теории фильтрации сигналов

В электронике и обработке сигналов используется Гауссовский фильтр, т.е. фильтр, чья импульсная характеристика является функцией Гаусса. С точки зрения математики действие Гауссовского фильтра означает свертку входного сигнала с функцией Гаусса

1

exp

( t е\2 ^ (x

2a2

В итоге создается эффект «размытия по Гауссу». Применение Гауссов-ского фильтра равносильно выполнению интегрального преобразования Вей-ерштрасса из разд. 2.1. Доказанные в этом разделе формулы обращения (10) позволяют восстановить сигнал по «отфильтрованному» сигналу. В теории сигналов используются двумерные фильтры Гаусса с целью снижения уровня шума.

x

Двумерное интегральное преобразование Вейерштрасса имеет вид [4]:

(•О

W[f ](х,y) = F(х,y) = J—

' а2 2 л

exp

(х-f)2 +(y-л)2 2а2

f

Из формулы (14) следует, что двумерное преобразование Вейерштрасса сводится к композиции одномерных преобразований по каждой из переменных. Таким образом, достаточно уметь вычислять одномерное преобразование Вейерштрасса, чтобы выполнить фильтрацию двумерных сигналов.

Будем использовать метод фундаментальных решений [7], в качестве которых выбираются радиально-базисные функции, [8]. Пусть аппроксимация сигнала / (х, у) взвешенными суммами двумерных гауссиан имеет вид

N

1

f (х y) = 2 wk~—exP

k=1

а* 2л

( (х-fk)2 + (y)2^ 2а|

где (^, Цк) - центры гауссиан; а^ - ширина окна; Wk - веса. Применим преобразование Вейерштрасса:

N

1

F (x, y) = 2 wk- ч2„ k=1 (a + ak )22л

exp

( (х-fk)2 + (y)2^

2(a + ak )2

Таким образом, применение фильтра Гаусса приводит к той же формуле, что и вычисления аппроксимации сигнала, но с увеличением ширины окна на величину а .

Пусть теперь известна аппроксимация фильтра Гаусса, соответствующая ширине фильтра о:

N

1

F (х y)=2 wk —2—exP

k=1

ak2 2л

( (х-fk)2 + (y)2^

2ak 2

и нужно восстановить исходный сигнал / (х, у). Если подбирать аппроксимацию фильтра Гаусса с ограничением на ширину окна каждой из Гауссиан более чем о, тогда аппроксимация сигнала гауссианами будет иметь вид

N

1

f( х y)=2 wk- ч2„

k=1 (ak-a) 2л

exp

( (х-fk)2 +(y)2 ^

2(ak -a)2

Таким образом, вычисление сигнала проводится по той же формуле, что и вычисления аппроксимации фильтра Гаусса, но с уменьшением ширины окна на величину а. Регуляризация процесса восстановления происходит автоматически при удовлетворении ограничений на ширину окна Гауссиан.

Настройка весовых коэффициентов, центра и ширины окна каждой из Гауссиан для прямого и обратного двумерных преобразований Вейерштрасса осуществляется методом наименьших квадратов. Также могут быть исполь-

зованы методы: отжига [9], градиентный [10], генетический алгоритм [11], EM-метод [12], RBFNN-метод [8]. Один из вариантов нахождения аппроксимации сигнала состоит в использовании приложения Curve Fitting Toolbox из Matlab [13].

Заключение

Полученные в работе результаты расширяют возможности применения классических методов интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Вей-ерштрасса, Меллина. Доказанные формулы обращения могут применяться в теории фильтрации сигналов, для решения ретроспективных задач теории теплопроводности и краевых задач теории потенциалов. Методами, разработанными в статье, возможно проведение исследований для других интегральных преобразований: sin-, cos-преобразований Фурье [2], Бесселя [2], Мейера [4].

Библиографический список

1. Yaremko, N. N. On a New Formulas for a Direct and Inverse Cauchy Problems of Heat Equation / N. N. Yaremko, O. E. Yaremko // International Journal of Partial Differential Equations and Applications. - 2014. - Vol. 2, № 1. - P. 1-6.

2. Снеддон, И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. - М. : Изд-во иностр. лит, 1955. - 668 с.

3. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М. : Наука, 1965. - Т. 1. - 296 с.

4. Брычков, Ю. А. Интегральные преобразования обобщенных функций / Ю. А. Брычков, А. П. Прудников. - М. : Наука, 1977. - 288 c.

5. Pol, B. van der. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace / B. van der Pol, H. Bremmer. - N. Y. : Integral, 1950. - 415 p.

6. Polyanin, A. D. Handbook of integral equations / A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov. -Boca Raton : CRC press, Cop. - 1998. - 787 p.

7. Kupradze, V. D. The method of functional equations for the approximate solution of certain boundary value problems / V. D. Kupradze, M. A. Aleksidze. - USSR Com-put. Math. Math. Phys. - 1964. - Vol. 4 (4). - P. 82-126.

8. Gorbachenko, V. I. Solving Boundary Value Problems of Mathematical Physics Using Radial Basis Function / V. I. Gorbachenko , M. V. Zhukov // Networks. Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2017. - Vol. 57, № 1. - P. 145-155.

9. Кирсанов, М. Н. Maple и Maplet. Решения задач механики / М. Н. Кирсанов. -М. : Лань, 2012. - 512 c.

10. Гилл Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, М. Мюррей, М. Райт. - М. : Мир, 1985. - 509 с.

11. Емельянов, В. В. Теория и практика эволюционного моделирования / В. В. Емельянов, В. В. Курейчик, В. М. Курейчик. - М. : Физматлит, 2003. - 432 с.

12. Dempster, A. P. Maximum Likelihood from Incomplete Data via the EM Algorithm / A. P. Dempster, N. M. Laird, D. B. Rubin // Journal of the Royal Statistical Society, Series B. - 1977. - Vol. 39 (1). - P. 1-38.

13. Мэтьюз, Д. Г. Численные методы. Использование MATLAB / Джон Г. Мэть-юз, Куртис Д. Финк. - 3-е изд. - М. : Вильямс, 2001. - 720 с.

References

1. Yaremko N. N., Yaremko O. E. International Journal of Partial Differential Equations and Applications. 2014, vol. 2, no. 1, pp. 1-6.

2. Sneddon I. Preobrazovaniya Fur'e [The Fourier transform], Moscow: Izd-vo inostr. lit, 1955, 668 p.

3. Beytmen G., Erdeyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher transcendental functions]. Moscow: Nauka, 1965, vol. 1, 296 p.

4. Brychkov Yu. A., Prudnikov A. P. Integral'nye preobrazovaniya obobshchennykh funktsiy [Integral transformations of generalized functions]. Moscow: Nauka, 1977, 288 p.

5. Pol B. van der., Bremmer H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace. New York: Integral, 1950, 415 p.

6. Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Handbook of integral equations. Boca Raton: CRC press, Cop. 1998, 787 p.

7. Kupradze V. D., Aleksidze M. A. The method of functional equations for the approximate solution of certain boundary value problems. USSR Comput. Math. Math. Phys. 1964, vol. 4 (4), pp. 82-126.

8. Gorbachenko V. I., Zhukov M. V. Networks. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2017, vol. 57, no. 1, pp. 145-155.

9. Kirsanov M. N. Maple i Maplet. Resheniya zadach mekhaniki [Maple and Maplet. Problem solving in mechanics]. Moscow: Lan', 2012, 512 p.

10. Gill F., Myurrey M., Rayt M. Prakticheskaya optimizatsiya [Practical optimization]. Moscow: Mir, 1985, 509 p.

11. Emel'yanov V. V., Kureychik V. V., Kureychik V. M. Teoriya i praktika evolyutsion-nogo modelirovaniya [Theory and practice of evolutionary modeling]. Moscow: Fiz-matlit, 2003, 432 p.

12. Dempster A. P., Laird N. M., Rubin D. B. Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 1977, vol. 39 (1), pp. 1-38.

13. Met'yuz D. G., Fink K. D. Chislennye metody. Ispol'zovanie MATLAB [Numerical methods. The use of MATLAB]. 3d ed. Moscow: Vil'yams, 2001, 720 p.

Яремко Наталия Николаевна доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического образования, Пензенский государственный университет

E-mail: yaremki@yandex.ru

Yaremko Nataliya Nikolaevna Doctor of pedagogical sciences, professor, sub-department of mathematical education, Penza State University

Селютин Владимир Дмитриевич

доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и математических методов в экономике, Орловский государственный университет имени И. С. Тургенева

E-mail: selutin_v_d@mail.ru

Selyutin Vladimir Dmitrievich

Doctor of pedagogical sciences, professor,

head of sub-department of algebra

and mathematical methods in economics,

Turgenev State University of Orel

Журавлева Екатерина Геннадьевна

кандидат педагогических наук, доцент, кафедра математического образования, Пензенский государственный университет

E-mail: guravleva_eg@mail.ru

УДК 517.444 Яремко, Н. Н.

Новые формулы обращения для интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина / Н. Н. Яремко, В. Д. Селютин, Е. Г. Журавлева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 1 (45). - С. 24-35. - Б01 10.21685/2072-3040-2018-1-2.

Zhuravleva Ekaterina Gennad'evna Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of mathematical education, Penza State University