Исследование управляемого движения прыгающего миниробота

УДК 621.864.8

ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ ПРЫГАЮЩЕГО

МИНИРОБОТА

© 2011 г. С.Ф. Яцун, И.В. Лупехина, А.Н. Рукавицын

Юго-Западный государственный South West State

университет, г. Курск University, Kursk

Рассмотрена динамическая модель миниробота, способного перемещаться по твердой шероховатой поверхности с отрывом от нее. Получены дифференциальные уравнения, описывающие движение робота в фазе полета и в фазе нахождения на опорной поверхности.

Ключевые слова: миниробот; дебалансный привод; математическая модель; динамические характеристики.

In article the dynamic model of the vibrating minirobot, capable to move on a firm rough surface with a separation from it is considered. The differential equations describing movement of the robot in a phase of flight and in a phase of a finding on a basic surface are received.

Keywords: the minirobot; debalance drive; mathematical model; dynamic characteristics.

Мобильные транспортные устройства, движущиеся с отрывом от опорной поверхности (прыгающие роботы), являются объектами исследования многих ученых, поскольку при движении по сильно пересеченной местности скачкообразный способ перемещения удобнее скольжения или качения. Естественным подходом при создании подобных устройств является копирование движения небольших животных, способных медленно накапливать энергию в мышцах и затем, во время прыжка, быстро её высвобождать. Такие устройства представлены в работах [1—3]. Подскок подобного робота обеспечивается пружинным приводом, содержащим механизм взвода пружин. Полет начинается тогда, когда накопленная в пружине потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию корпуса.

Другой подход основан на применении подвижных внутренних масс, встраиваемых в корпус робота. Механизмы этого типа могут перемещаться по поверхности без отрыва, особенности их движения освещаются в работах Ф.Л. Черноусько [4, 5], а также в работах [6—9].

В [10, 11] представлены мобильные устройства, двигающиеся с отрывом от поверхности за счет периодического движения внутренней массы. Отличием таких аппаратов от роботов с пружинными приводами является то, что в качестве источника движения используется не потенциаль-

ная энергия пружины, а кинетическая энергия движущихся масс, которая преобразуется в кинетическую энергию прыгающего корпуса. Это позволяет осуществлять управление движением за счет изменения одного параметра — угловой скорости вращения дебаланса.

В то же время методы расчета систем, использующих для движения кинетическую энергию внутренних масс, разработаны недостаточно. Поэтому целью данной работы является разработка математической модели движения прыгающего робота нового типа, содержащего одну вращающуюся массу, и изучение основных закономерностей управляемого движения.

Рассматриваемый прыгающий миниробот представляет собой механическую систему, состоящую из двух твердых тел, одно из которых— цилиндрический корпус массой т1 — периодически контактирует с шероховатой поверхностью, а второе — дебаланс массой т2 — равномерно вращается относительно корпуса (рис. 1).

На схеме точка 01 — центр тяжести корпуса, через точку 02 проходит ось вращения де-баланса. Центр масс робота — точка С. Управляющим параметром в рассматриваемой системе выступает частота вращения дебаланса ю, а управляемыми — высота, длина прыжка и средняя скорость движения робота. Отношение масс элементов системы X =т2/(т1+т2) является варьируемым параметром.

Будем рассматривать движение в неподвижной системе координат Охуг. Жестко свяжем со звеньями робота две подвижные системы координат: систему О^у^, оси которой являются главными центральными осями инерции корпуса, и систему О2х2у2г2, одна из осей которой проходит через точку, моделирующую дебаланс.

Рис. 1. Расчетная схема движения прыгающего миниробота

Если допустить, что все точки системы движутся в параллельных вертикальных плоскостях, а это возможно, если плоскость относительного вращения дебаланса совпадает с плоскостью материальной симметрии корпуса, и выбирая ось абсцисс неподвижной системы параллельной движению, то достаточно рассмотреть движение проекции робота в плоскости Oxy.

Допуская, что все точки системы движутся в параллельных вертикальных плоскостях (это возможно, если плоскость относительного вращения дебаланса совпадает с плоскостью материальной симметрии корпуса) и выбирая ось абсцисс неподвижной системы параллельной движению, рассмотрим перемещение проекции робота в плоскости Oxy.

Относительное движение дебаланса является заданным, оно происходит с постоянной угловой скоростью ю = const, причем угол поворота можно представить в виде ф2 = ю?.

Введем в рассмотрение радиус-векторы r\, ?2 , rc, определяющие в абсолютной системе координаты центров тяжести корпуса и дебаланса, а также координаты центра масс С всей системы [12] (рис. 2).

7 7 7 7 7 7 7 7 7 Z

Рис. 2. Схема определения положения точек вибрационной системы в плоскости движения

Система дифференциальных уравнений движения прыгающего миниробота имеет вид:

ф =

Aa sin at

ф+2 a i;

B + A cos at - D <^(I1I2 sin ф +1 sin^ + at)) = = D(ф + a)21 cos^ + at) + Dф2I1I2 cos ф; у + D ф^^ cos ф + I cos^ + at)) = = D (a + ф)21 sin^ + at) + D ф2 I1I2 sin ф - g,

где постоянные коэффициенты выражены через параметры системы

А = 2т1т2 ОА • I;

mi + Ш2

B = I,

ZiZi

+ Jmm^(O1O22 + 12 );

mi + Ш2

D=

m2

Ш1 + Ш2

Система трех дифференциальных уравнений (1) описывает движение робота в полете, т.е., при выполняющемся при совпадении центра симметрии корпуса с центром масс условии у1>Я, где Я — радиус корпуса.

Для полного описания прыжкообразного движения систему (1) необходимо дополнить уравнениями движения робота по опорной поверхности, а также определить изменение параметров движения при посадке и отрыве. Аналитическим условием движения по плоской опорной поверхности служит равенство у1=Я.

Заметим, что уравнения движения по поверхности можно получить с помощью теорем динамики об изменении количества движения и момента количества движения системы, учитывая, что к действующим на систему силам тяжести добавляются нормальная реакция N, сила сухого кулонова трения Ffr и момент сопротивления качению Mr (см. рис. 1). Если допустить

отсутствие качения корпуса, то количество уравнений сократится до двух:

I (mi + m2 )xi = mja2! cos raí + Ffr;

[0 = m2ra2l sin raí + N - (m1 + m2 )g.

Сила сухого трения определяется в соответствии с аналитической моделью:

f =

- foNsign(x), x * 0;

-Fo, x = 0,|Fo| < foN;

- fo Nsign(Fo), x = 0, Fol > foN,

где — проекция равнодействующей всех приложенных к конструкции робота сил, кроме силы сухого трения; / — коэффициент сухого трения;

N — нормальная реакция поверхности; х — скорость робота вдоль оси Ох.

В момент приземления скорость точки касания меняет направление, т.е. система испытывает удар. В рамках данного исследования ограничимся случаем, когда кинетическая энергия системы, за исключением энергии собственного вращения дебаланса, при ударе теряется. Это значит, что в результате приземления робота скорость точки касания и угловая скорость корпуса получат нулевые значения, которые будем принимать в качестве начальных при рассмотрении следующей фазы движения.

Изучим влияние управляющего параметра на характеристики движения робота. Обратимся к полученной системе дифференциальных уравнений движения робота в воздухе. Первое уравнение — уравнение вращения — как уравнение первого порядка относительно скорости имеет очевидное аналитическое решение, которое при нулевых начальных условиях приобретает вид:

га , A + B 1Ч

Ф = —

2 B + A cos rat

Таким образом, ясно, что изменение скорости вращения во времени представлено периодической ограниченной непрерывной функцией, частота которой совпадает с частотой вращения дебаланса. Кроме того, выражение (2) не изменяет своего знака. Действительно, для наимень-

шего значения знаменателя дроби, находящейся в скобках, имеем

min{B + A cos rat | t e R} =

= B - A = I7? +

ад

-^^MOA -i)2 > o,

mi + m2

т.е. знаменатель положителен. Но, так как A+B > B+ A cos rat > 0, то знак угловой скорости, очевидно, будет совпадать по знаку со скоростью вращения дебаланса.

Рассмотрим полет точки, происходящий за счет действия силы F переменного направления (рис. 3). Начальные условия такого движения определяются состоянием точки в момент отрыва от поверхности, а именно: нулевой скоростью и некоторым ненулевым углом наклона а вектора силы.

У

Т777777У77777Т

mg

Рис. 3. Схема сил, действующих на материальную точку

В случае отрыва нормальная реакция равна 0, т.е. выполняется равенство

sin(rat) = mumi. _s_

m2 ra2l

Очевидно, что, в зависимости от параметров системы уравнение (3) может не иметь решений, иметь единственное решение или множество решений. Так, если значения параметров удовлет-

т1 + т2 g 1

воряют неравенству —:-2 • > 1, то (3) не

т2 ю21

имеет решений, точка не отрывается от поверхности. Во втором случае, когда для значений

т1 + т2 g 1 ...

выполняется равенство---^ = 1,

т2 ю21

имеет единственное решение. Тем не менее дальнейшего подъема точки в данном случае не произойдет, поскольку ее ускорение не достигнет необходимого положительного значения. В третьем случае область значений параметров системы определяется неравенством

Ш1 + Ш2 Ш2

a2l

< 1.

В этом случае реакция обращается в нуль при значении угла наклона вектора силы

а = ю?отр = тт{- arcsin(т1 + т2 + п;

Ш2 a2 Г

arcsin(т1 + т2  = arcsin(т1 + т2

т2 ю2/ т2 ю2/

Согласно определению обратных тригонометрических функций угол отрыва лежит в интер-

вале ае

t \ 0; П 2

V /

Далее рассмотрим вертикальное движение корпуса, пренебрегая его вращением. Если начало отсчета времени связать с моментом отрыва, то движение центра масс корпуса будет описываться дифференциальным уравнением:

у = -g + —т— ю2/ зт(ю? + а). (5) т1 + т2

Покажем, что существует промежуток времени в начале движения, на котором ускорение точки положительно. Действительно, если преобразовать (5) в произведение:

у«) = ю2/(яп(ю* + а) - ^^  ^ =

т1 + т2 т2

a2 Г

= 2-

—2— a2/ • cos(—) sin(— + а),

Ш1 + Ш2

то очевидно, что на временном интервале

t е

0; ^ a

V /

ускорение больше нуля, благодаря

чему точка после отрыва продолжит движение вверх.

Проинтегрировав дважды последнее уравнение с учетом нулевых начальных условий, получим, что координату у можно представить в виде суммы

у(1) = ) + у2(0 ,

t2 m2

где J1(t) = - g — +-2—

2 m1 + m2

a/ cos а • t + - огра

ниченная

сверху

g a2

значением

= 1 ( ш22ю212 g ) yimax = ^(~ + ~2) монотонно убываю-

2 (m1 + m2)2g ю2

щая на интервале t е (—m2— ю1 cos а;+^) квадра-mi + m2

тичная функция времени;

у2() =--—2— / sm(юí + а) — ограниченная пери-

т1 + т2

одическая функция.

Это позволяет утверждать, что координата ограничена сверху. Характер изменения функции у1(?) говорит о том, что точка непременно упадет и коснется поверхности.

Аналогично, учитывая нулевые начальные условия, из дифференциального уравнения

х =

-т2—- ю2/ cos(юí + а) получаем закон изме-

т1 + т2

нения абсциссы, которая также представима в виде суммы бесконечно убывающей линейной функции

X1(t) = -

—m2— la sin а • t = - — t m1 + m2 a

и ограниченной периодической функции

X2(t) = -

m2

m1 + m2

- l[cos(at + а) - cos а]

Поэтому очевидно, что с некоторого момента времени координата будет принимать значения, противоположные по знаку угловой скорости вращения дебаланса.

Полученные в данной работе аналитические зависимости для координат исследовались дополнительно, при численном моделировании движения миниробота.

Рассмотрим поведение системы для различных значений управляющего параметра ю. Приведем некоторые результаты численного моделирования движения робота. При расчетах были приняты следующие значения параметров системы: т1=0,05 кг, т2=0,01 кг, /=0,01 м, 0102=0 м. Величина угловой скорости вращения дебаланса изменялась для получения различных траекторий. Заметим, что из неравенства (4) следует, что для отрыва робота от поверхности угловая скорость дебаланса не может быть ниже 80 с-1.

На рис. 4 приведены траектории движения робота при трех различных значениях скоростей вращения дебаланса. Очевидны следующие закономерности. Во-первых, как и предполагалось ранее, направление движения робота противоположно по знаку направлению вращения дебаланса. Во-вторых, с ростом угловой частоты дебаланса траектория движения в воздухе усложняется, на ней появляются точки самопересечения, количество которых растет с увеличением частоты. В-третьих, вместе с частотой увеличивается максимальная высота подъема робота от поверхности, длина шага — расстояние на поверхности между точками отрыва и последующего приземления.

Y, мм 1

0.5

г\

Y, мм ю

5 О

-175 -15.5 -135 -115 -95 -7.5 -5.5 -35

а

Y, мм

X, мм

\

/ > , 7/7 =

20 15 -10 б X, мм

X, мм

Рис. 4. Траектория движения миниробота: а — ю =100 с-1; б — ю =300 с-1; в — ю =600 с-1

Зависимость координаты у от времени представлена суммой двух функций: квадратичной у() и гармонической у2(0.

Рассмотрим ординату вершины как функцию параметров системы:

.2,2 _ +4),

v - 1 О? ^

y1max - (X -

2 g

ю

где безразмерный параметр X =

m2

, Хе

т1 + т2

равен отношению массы дебаланса к общей массе миниробота.

На основании (6) были построены графики аналитических зависимостей максимальной высоты подъема от угловой частоты дебаланса У1тах(ю) (рис. 5 а) и от отношения масс у1тах(^) (рис. 5 б), а также результаты численного определения зависимости высоты подъема от часто-

Y

отр, м

0.75 0.5 025

Л

\ ж>

\ -<

1000 1500

а

ю

ты, полученные для трех различных величин соотношения масс (рис. 5 в).

Как видно из графиков, увеличение соотношения масс приводит к быстрому росту максимальной высоты подъема робота. К такому же заключению можно прийти, анализируя свойства функции (6). Здесь также очевидна аналогичная связь высоты и приведенной длины дебаланса I.

Таким образом, в данной работе рассмотрена схема мобильной двухмассовой механической системы, способной перемещаться по твердой шероховатой поверхности с отрывом от нее. Разработанные математическая модель и дифференциальные уравнения, позволяют описать движение робота в фазе полета и в фазе нахождения на опорной поверхности. Анализ полученных уравнений показал, что высота и длина прыжка являются монотонно возрастающими функциями управляющей частоты вращения. В результате

Y

отр, 1.5 1

0.5

у

л >

\ < --II

• j -И >

Y

X =0,5 \ X =0,35

\ + =| ¿7 . *

)0 1000 1500 2000 ю ,

Рис. 5. Динамические характеристики движения прыгающего миниробота

вычислений установлено, что форма траектории центра корпуса зависит от величины управляющего параметра, а также от частоты вращения и отношения масс системы.

Работа выполнена в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по проблеме «Разработка и исследование прыгающего миниробота для перемещения по поверхностям со сложным рельефом» (гос. регистр. № П699, шифр НК-617П-4).

Литература

1. A hopping mobility concept for a rough terrain search and rescue robot / S.Kesner, J.-S.Plante, S.Dubovsky, P.Boston // Advances in Climbing and Walking Robots. Proceedings of 10th International Conference (CLAWAR 2007). Singapore. Pp. 271-280.

2. Miyazaki M., Hirai S. Jumping via robot body deformation— Mechanics and mechanism for higher jumping // Advances in Mobile robotics. Proceedings of the 11 International Conference on Climbing and Walking Robots and the Support Technologies for Mobile Machines. Coimbra. Portugal, 2008. P. 373—380.

3. Larin V.B., Matiyasevich V.M. Concerning the designing of the hopping apparatus // Proceedings of the Fifth International Conference on Climbing and Walking Robots and their Supporting Technologies CLAWAR 2002. P. 365—372.

4. Черноусько Ф. Л. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу // Докл. РАН. 2005. Т. 405, № 1. С. 1—5.

5. Черноусько Ф. Л. Анализ и оптимизация движения тела, управляемого посредством подвижной внутренней массы // ПММ. 2006. Т. 70.

6. Динамика управляемых движений вибрационных систем / Н. Н. Болотник, И. М. Зейдис, К. Циммерманы, С. Ф. Яцун // Изв. РАН. ТиСУ. 2006. №5. С. 157—167.

7. Vartholomeos P., Papadopoulos E. Dynamics, Design and Simulation of Novel Microrobotic Platform Employing vibration Microactuators // Journal of Dynamics System, Measurement and Control. 2006. Vol. 128. March. P. 122—133.

8. Bolotnik N.N., Yatsun S.F., Cherepanov A.A. Automatically controlled vibration-driven // Proc. Intern. Conf of mechatronics ICM2006. Budapest, 2006. P. 438—441.

9. Mobile vibrating robots / N.N. Bolotnik, I.M. Zeidis, K. Zimmermann, S.F. Yatsun // Proceeding of the CLAWAR2006. Brussels, Belgium, 2006. P. 558—563.

10. Yatsun S., Dyshenko V., Yatsun A. Study of vibration driven hopping robot // Advances in Mobile robotics. Proceedings of the 11 International conference on Climbing and Walking Robots. Coimbra. Portugal, 2008. P. 893—901.

11. Modelling of Robots Motion by Use of Vibration of Internal Masses / S. Yatsun, V. Dyshenko, A. Yatsun, A. Malchikov // Proceedings of EUCOMES 08. P. 267—274.

12. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М., 2001. 320 с.

Поступила в редакцию 29 сентября 2010 г.

Яцун Сергей Федорович — д-р техн. наук, профессор, Юго-Западный государственный университет. Тел. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@_mail.ru

Лупехина Ирина Владимировна — аспирант, Юго-Западный государственный университет. Тел. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@_mail.ru

Рукавицын Александр Николаевич — канд. техн. наук, доцент, Юго-Западный государственный университет. Тел. (4712) 52-38-07. E-mail: alruk75@mail.ru

Yatsun Sergei Fedorovich — Doctor of Technical Sciences, professor, South West State University . Tel. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@_mail.ru

Lupehina Irina Vladimirovna — post-graduate student, South West State University. Tel. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@_mail.ru

Rukavitsyn Aleksandr Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, assistant professor, South West State University. Tel. (4712) 52-38-07. E-mail: alruk75@mail.ru