Структура (строение) математического знания

УДК 1:001 001.8

Н.М. Охлопков

СТРУКТУРА (СТРОЕНИЕ) МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ

Рассматривается развитие структуры математического знания в историческом плане. Тенденции развития современной математики - усиление практической направленности математического знания. Центральным ядром организации математического знания является построение математических моделей конкретных наук. Структурообразующими элементами современной математики стали потребности науки как производительной силы общества.

Ключевые слова: структура, математическая структура, математические теории, математические концепции, аксиоматический метод, математические направления, вычислительные методы, алгоритмизация, математическая модель, ядро математики.

Динамику развития структуры математического знания рассмотрим в историческом аспекте.

Структура математического знания античной Греции истолковывалась как дихотомическая классификация, представленная в общем виде на рис. 1 [1]:

Прокл Диадок (410-485 гг. н.э.) пишет, что пифагорейцы делили математику на две части: числа (1) и простран-

ство (2), и каждая часть состоит из двух частей. Числа существуют сами по себе или по отношению к другому, а пространственная величина или покоится или движется. Таким образом, пифагорейская структура математики состоит из арифметики (1.1), музыки (1.2), геометрии (2.1) и сферики (2.2). Сферика включает в себя небесную механику (2.2.2) и астрономию (2.2.1.) (рис. 2) [2, 1].

Варіант 2

Рис. 1. Варианты дихотомической классификации

Рис. 2. Структура математики пифагорейцев

По Гемину предмет математики состоит из двух частей: воображаемое (1) и чувственное (2). В свою очередь, первая часть (воображаемое) состоит из арифметики (1.1) с учениями о линейных (1.1.1), плоских (1.1.2) и пространственных (1.1.3) числах и геометрии (1.2),

которая подразделяется на планиметрию (1.2.1) и стереометрию (1.2.2). Вторая часть (чувственное) состоит из механики (2.1), астрономии (2.2), оптики (2.3), геодезии (2.4), каноники (2.5) и логистики (2.6), (рис. 3) [3, 4, 1].

ОХЛОПКОВ Николай Михайлович - к.ф.-м.н., доцент ИМИ ЯГУ.

E-mail: unir@sitc.ru

Рис. 3. Структура математики по Гемину

Довольно долго сохранялась структура математики античности. Только в 1566 г. у Петра Рамуса (1515-1572) появляются два дихотомических представления структуры математики (рис. 4). Дисциплина делится на арифметику (1.1), геометрию (1.2), астрономию (2.1) и музыку

(2.2). Из них только арифметика (1.1) и геометрия (1.2) образуют чистую (1) математику. Впервые даются определения арифметики, геометрии, алгебры.

1. Арифметика есть учение о правильном счете.

2. В арифметике есть две части: простая (1.1.1) и сравнительная (1.1.2).

3. Простая «рассматривает природу простого числа», а сравнительная «производит сравнение чисел по количеству и качеству».

Далее даются определения алгебры: «1. Алгебра есть часть арифметики, где из чисел, соответствующих значениям фигур, собственное исчисление. 2. В алгебре (1.1.3) две части: счисление (1.1.3.1) и уравнение (1.1.3.2)». Геометрия определяется как учение о правильном измерении [1, с. 13-14], [5].

Рис. 4. Структура математики по Рамусу

Структура математики в Новое время усложняется в связи с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Ж.Даламбер (1717-1783) и Д.Дидро (1713-1784) в «Энциклопедии» [1] с учетом нетрадиционных разделов математики, таких как дифференциального и интегрального исчисления, анализа случайностей, аналитической геометрии, дают более развернутую картину состояния математики того времени. Математика делится ими на чистую и смешанную (рис. 5).

Чистая математика (1) состоит из арифметики (1.1) и геометрии (1.2). Геометрия состоит из элементарной

(1.2.1) и трансцендентной (1.2.2) (теория кривых). Арифметика делится на численную (1.1.1) и алгебру (1.1.2). Алгебра делится на элементарную (1.1.2.1) и алгебру бесконечно малого (1.1.2.2), которая состоит из двух частей - дифференциального (1.1.2.2.1) и интегрального

(1.1.2.2.2) исчислений.

Смешанная математика (2) делится на: оптику (2.1) (собственно оптику (2.1.1), диоптрику с перспективой

(2.1.2), катроптику (2.1.3), акустику (2.1.4), пневмони-ку (2.1.5), искусство угадывать (2.1.6) (зародыш теории вероятностей)); геометрическую астрономию (хроноло-

гию

(1.1.2.2.1),

Рис. 5. Структура математики «Энциклопедии» века Просвещения

В процессе развития математики возникали новые разделы и изменялись ранги некоторых разделов в сторону снижения (классическая геометрия) и повышения (дифференциальное исчисление). Некоторые разделы выходили за пределы математики (навигация, гидравлика, картография, биометрика и т.д.) и происходило их слияние, например, математический анализ объединил метод флюксий Ньютона и метод дифференциалов Лейбница, которые синтезировали методы, разработанные в XVII веке, - неделимых Кавальери, максимумов и минимумов Ферма, нахождение касательных, объемов и центров тяжести. Происходило отмирание некоторых частей математики, не выдержавших конкуренцию с более развитой математикой греческой традиции. Примером тому может служить Wasan, японская национальная математика [1].

Из рис. 5 видно, что структуру математического знания середины XVIII века можно описать как пятиуровневую классификацию с числом разделов каждого уровня - (2, 5, 15, 10, 4).

С начала нового времени приблизительное равновесие (усложнение и упрощение) структуры математики нарушилось. Тенденция к ее усложнению окончательно берет верх. Этот темп можно охарактеризовать следующими показателями [1]: классификация «Энциклопедии» Дидро и Даламбера (XVIII в.) имеет пятиуровневую схему с числом разделов каждого уровня (2, 5, 15, 10, 4); универсальная десятичная классификация (УДК), применявшаяся в библиотеках СССР для систематизации публикаций по математике (30-е годы XX в.), изданная в 1962 г., имеет трехуровневую схему

с числом разделов каждого уровня (25, 128, 468); вышедшая в 1979 г. схема систематического указателя РЖ Математика (ССУ) отражает структуру математики 50-х годов XX в., имеет трехуровневую схему с числом разделов каждого уровня (19, 107, 1600); более современная классификация (MSC), опубликованная в 1979 г., используется с 1980 г., имеет трехуровневую схему с числом разделов каждого уровня 60 (основных областей), 467 (разделов), 2950 (тем).

Концепция уровневого строения математики середины XX века представлена в статье Н. Бурбаки «Архитектура математики» [6]. Математическое знание сравнивается с городом, где главные дороги (порождающие) структуры - алгебраические, порядковые и топологические - образуют «центр города». На периферии возникают новые области математики, прекрасные теории, подобно строительству новых кварталов и сооружений. Архитектура математики требует обновления старых теорий новыми методами на прочном фундаменте обновленной математики.

Математику часто уподобляют большому могучему ветвистому дереву, каждая ветвь которого представляет определенную область математики со своими разделами [7]. Оба сравнения достаточно хорошо передают современную тенденцию развития математики и ее классификацию. Невозможно дать полный образ грандиозного математического знания, поэтому Н. Бурбаки ограничивается интуитивным сравнением математики с городом.

Отсчет развития современной математики берет свое начало с возникновения Геттингенской школы Клейна-

Гильберта (1896-1933 гг.). В это время математика принимает новое качество: теперь самые универсальные математические умы оказываются специалистами только в некоторых разделах математики. Разрабатываемые математиками темы становятся разнообразными, что охватить его одному человеку и даже коллективу математиков становится физически невозможным. На рис. 6 приведена структура математики по Н. Бурбаки [6], где более крупные овалы соответствуют более общим математическим структурам, а ядра - частным теориям. Математические теории становятся разнообразными и сложными, и связь между ними становится все более опосредованной и непредсказуемой.

Определение математической структуры включает в себя: 1) задание одного или нескольких отношений, в которых находятся элементы множества М; 2) данные отношения удовлетворяют некоторым условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры. Н. Бурбаки пишет: «Построить аксиоматическую теорию данной структуры - это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их природы)» [8, с. 251].

Концепция математической структуры возникла на базе аксиоматического подхода, у истоков которого стояли Аристотель и Евклид. Неевклидова геометрия Н.И. Лобачевского, Я. Бойяи, К. Гаусса, Б. Римана и труды Д. Гильберта по основаниям геометрии [10] дали мощный импульс к развитию этого метода. Данный метод вместе с концепцией математической структуры способствовал бурному развитию математической логики, синтез которой с алгеброй осуществил А.И. Мальцев [11]. Вся история развития математики показывает, что новые структуры появляются обычно вследствие «социального заказа» или на «стыках» различных дисциплин. В настоящее время выделились основные типы структур, комбинации которых обслуживают любую дисциплину. Н. Бурбаки выделяет три типа структур: алгебраические структуры, структуру порядка, топологические структуры [6, 8, 9].

Рис. 6. Структура математики по Н. Бурбаки

Для математики Средних веков основная проблема - это проблема практики, которая определяет развитие математического знания. Это знание реализуется вычислительно-алгоритмическим путем. Поэтому характерным выражением математики Средних веков является ее арифметико-алгебраическая направленность. Для практической математики структурообразующими элементами выступают потребности практической деятельности, вокруг которых группируются типы задач. Практическая математика не обладает самостоятельностью, она подчинена практической деятельности.

Тенденция развития современной математики - усиление практической направленности математического знания, которое наблюдается в расширении влияния вычислительно-алгоритмического направления с применением ЭВМ. Происходит постепенный процесс переоценки традиционного, четко выраженного Д. Гильбертом понимания доказательства как дедуктивного вывода [10]. Наблюдается постепенное сближение теоретических и прикладных исследований, которое сопровождается отходом от сложившихся стандартов доказательности к простоте, наглядности, доступности.

С середины XX века происходит постепенный отход от аксиоматического построения математических теорий и начинает преобладать конструктивное направление математических теорий. Это особенно заметно в прикладной и вычислительной математике в связи с массовым использованием ЭВМ во всех сферах человеческой деятельности, включая и теоретическую математику.

С 20-х годов XX века небывалого расцвета достигла алгебра, произошла алгебраизация математики. Современный успех развития алгебры в большей степени определяется повсеместным использованием ЭВМ и компьютеризацией человеческой деятельности. Все эти факторы требуют алгоритмизации математики. Общая схема изучения многих объектов, порой очень далеких от алгебры, состоит в построении алгебраических систем, хорошо отражающих поведение изучаемых объектов. Алгоритмизация знания дает возможность переноса из одной области в другую не только результатов научного исследования, но и методов, приемов их изучения в той или иной науке. Отсюда один путь к алгоритмической интеграции, к практической ориентации математического знания, к арифметико-алгебраическому его строению, к повышению роли вычислительных методов. Процесс алгоритмизации математического знания делает его более доступным широкому кругу научных работников. Центральным ядром организации математического знания является построение математических моделей конкретных наук, соединяющих вместе различные ветви математического знания. Таким образом, ядром современной математики становится математическая модель, вокруг которой разворачиваются и теоретические и прикладные исследования (рис. 7).

Рис. 7. Математическая модель - ядро современной математики,

где РО - реальный объект, КН - конкретные науки, ПМ - прикладная математика, ММ - математическая модель, АО - абстрактный объект, МС - математические структуры, ТМ - теоретическая математика

Математические модели исследуются как теоретические конструкции аксиоматического типа. Выявляются общие методы, заложенные в структуре математических моделей.

Особое внимание уделяется разработке вычислительных алгоритмов, удовлетворяющих современным требованиям вычислительной математики. Построение математических моделей соединяет вместе различные отрасли теоретической математики. Теперь главными «заказчиками» для математики выступают в первую очередь конкретные науки. Отныне они выступают как структурообразующие элементы прикладной математики, вокруг которых группируются математические модели, и ориентация на практику проявляется в виде ориентации на другие науки, а теоретической математики - иерархия математических структур. Тем самым теоретические и прикладные исследования проводятся вокруг математи-

ческих моделей конкретных наук. Таким образом, структурообразующими элементами современной математики стали потребности науки как производительной силы общества. Сейчас математика, охватывая своими понятиями и методами всю сумму представлений о мире и его преобразовании, приобретает онтологический смысл, становится учением о мире.

Тенденция сближения теоретической и прикладной математики сопровождается перестройкой учебного процесса. Обучение закрепляет целостность математического знания, устраняет методологические расхождения теоретической и прикладной математики и ведет к объединению в единую и неделимую математику.

Л и т е р а т у р а

1. Барабашев А.Г. Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования. - М. : Изд-во МГУ, 1991. - 160 с.

2. Procli Diadochi. Commentarii. Eol. Barozzi Patavii, 1560.

3. Proclus Diadochus. Euklid - Kommentar. Hall, 1945. P. 189190.

4. Моров В.Г. История математики эпохи позднего эллинизма : дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М., 1989. Гл. 1. § 3.

5. Rami P. Arithmeticae Libri Duo: Geometricae et Viginti. P

190.

6. Бурбаки Н. Архитектура математики : Сер. «Математика, кибернетика». - 1972. - № 1. - С. 4-18.

7. Гнеденко Б.В. Математика - наука древняя и молодая // Архитектура математики : Сер. «Математика, кибернетика». -1972. - № 1. - C. 19-32.

8. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М., 1963. - 292 с.

9. Бурбаки Н. Теория множеств. - М. : Мир, 1965. - 455 с.

10. Гильберт Д. Основания геометрии. - М., 1948. - С. 339.

11. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В.Прохоров. - М. : Советская энциклопедия, 1988. - 848 с.

N.M. Okhlopkov

structure of mathematical knowledge

The article presents development of mathematical knowledge structure in terms of history. Nowadays tendencies of modern mathematics are to develop the practical part of mathematical knowledge. The central target of mathematical knowledge is to create mathematical models for certain sciences. Modern mathematics founds its structure and elements according to demands of modern science- the productive force of a society.

Key-words: structure, mathematical structure, mathematical theories, mathematical concepts, axiomatic method, mathematical trends, computing methods, algorythmic method, mathematical model, core of mathematics

--------4MM*------------------