Неустойчивость конденсационной моды в тепловыделяющем слабоионизированном газе в магнитном поле

УДК 533.951

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КОНДЕНСАЦИОННОЙ МОДЫ В ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕМ СЛАБОИОНИЗИРОВАННОМ ГАЗЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Д. И. Завершинский1,2, Н.Е. Молевич1,2, С.Ю. Пичугин1, Д. С. Рящиков1,2

Получены линейные уравнения и дисперсионные соотношения, описывающие конденсационную моду в слабоио-низованной плазме с тепловыделением, находящейся во внешнем магнитном поле. Найдены условия возникновения неустойчивости конденсационной моды ионной компоненты.

Ключевые слова: слабоионизованная плазма, тепловая неустойчивость, конденсационная мода.

Тепловые неустойчивости играют важную роль в образовании различных пространственно-временных структур в хромосфере и короне Солнца, межзвёздном газе и планетарных туманностях. В данных средах присутствуют неадиабатические процессы нагрева и охлаждения, связанные с радиационным охлаждением, химическими реакциями, и т.п. Ранее было показано [1], что в таких средах могут реали-зовываться три типа тепловых неустойчивостей: изоэнтропическая, изобарическая и изохорическая. Первая из них ответственна за усиление распространяющихся в среде акустических волн (акустическая мода). Изобарическая неустойчивость отвечает за рост конденсаций в среде (конденсационная мода), а изохорическая - за возникновение конвективных потоков. В некоторых средах, например, солнечной короне, помимо процессов тепловыделения присутствует внешнее магнитное поле, а сама среда является проводящей (плазма). Структура и свойства газодинамических возмущений в плазме описываются системой уравнений магнитной гидродинамики. В подобных средах могут распространяться магнитоакустические (МА) волны. Магнитное поле также будет оказывать влияние на развитие тепловых неустойчивостей в плазме. Для астрофизических приложений представляет интерес исследование МА волн и тепловой неустойчивости в

1 Самарский филиал ФИАН, 443011 Россия, Самара, ул. Ново-Садовая, 221; e-mail: molevich@fian.smr.ru.

2 Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское ш., 34.

частично ионизированной плазме [2-5]. При этом широко используется так называемая двухжидкостная модель, в которой плазма может быть представлена как смесь двух компонент - ионной и нейтральной, причем ионная компонента объединяет электроны и ионы [2]. В настоящей работе двухжидкостная модель используется для вывода линейных уравнений и дисперсионных соотношений, описывающих конденсационную неустойчивость в тепловыделяющей слабоионизованной плазме при произвольном направлении вектора индукции внешнего магнитного поля.

Система магнитогазодинамических уравнений для ионной компоненты в частично ионизированном газе с источником тепловыделения выглядит следующим образом

[2, 5]:

Щ = гс^У х В]; СУВ = 0; Щ-VУ^ = -VРг - Ри^М - К) - ^В х гс1 В;

Ж + ^^ = 0 ^ ( + УгУТг) - ^ (^ + УгУ Рг = -ргШг(Рг,Тг) + У(КУТ) Рг ^^

тг

Эту систему необходимо дополнить газодинамическими уравнениями для нейтральной компоненты:

Ри{^^т^т + УгУУ^ = -УРи - Рп^и,г(Уп - V); + У(РиУп) = 0;

п (дТп , V У7ГГ \ квТп (дРп , V У7 Су^пРп I -г^- + ЙпУ1п\--[-7^ + УпУРп

= -Рп^п

тп

В (1)-(2) переменные с индексом "г" - это параметры ионной компоненты, а переменные с индексом "п" - параметры нейтральной компоненты; Р,Т, Р - плотность, температура и давление соответственно; У, В - вектора скорости и индукции магнитного поля; к в - постоянная Больцмана; Су г, Су - высокочастотные теплоёмкости при постоянном объёме соответственно ионной и нейтральной компоненты; тг,тп - средние молекулярные массы ионной и нейтральной компоненты, ип,г - частота нейтрально-ионных столкновений, причем ип,г = &п,гРг(&п,г = {аи)/(тг + тп) - константа скорости соударений на единицу массы; а - сечение ионно-нейтральных столкновений; и - относительная

скорость между частицами ионной и нейтральной компоненты) K¿, Kn - коэффициенты теплопроводности; Wi(pi,T), Wn(pn,Tn) - функции, описывающие тепловые потери для ионной и нейтральной компоненты, при этом W(p,T) = L(p,T) — Q(p,T). При записи уравнений (1)-(2) пренебрегалось влиянием диссипативных процессов, обусловленных наличием вязкости и конечной проводимости, а также влиянием теплопередачи между нейтральной и ионной компонентами.

В настоящей работе проводятся исследования для случая слабоионизованной плазмы: pi/pn ~ е ^ 1. При этом будем решать уравнения (1)-(2), используя методы теории возмущений. Предполагаем, что в начальный момент среда не движется. Запишем следующие разложения:

pi = pió + pi, pn = p nó + pn, Vi = Vi, Vn = Vn,

Ti — Tin + Ti, Tn — Tn0 + Tn, P — Pin + Pn — Pn0 + Pn, В — Во + в

Coo n

in

где Pi,n/Pi0,n0 ~ Ti,n/Ti0,n0 ~ Pi,n/Pi0,n0 ~ |Vinl/o^i^n ~ |B|/|Bо| ~ б < 1,0, высокочастотные скорости звука (см. ниже).

Будем проводить исследования в декартовой системе координат x,y,z. При этом будем считать, что вектор индукции стационарного внешнего магнитного поля находится в плоскости x, z (т.е. В0 — Bx0x0 + Bz0Zz0 — В0 sin ax0 + В0 cos azO, где B0 - абсолютное значение вектора В0,а• - угол наклона между стационарным магнитным полем и осью z,x0,Zz0 - единичные вектора). Мы будем исследовать поведение возмущений, распространяющихся вдоль оси z. Таким образом, зависимостями от x и y можно пренебречь (д/дх — д/ду — 0). Также учтем, что в стационарных условиях для обеих компонент отток энергии уравновешен притоком тепла (т.е. Wi(pi0,Ti0) — 0, Wn(pn0,Tn0) — 0). После подстановки (3) в уравнения (1)-(2) получаем, пренебрегая величинами второго порядка малости:

дВх Вхо

д Вх 2 2 д Вх — o„ cos а-

дг2

-"a

дх2

+ Pn0 0 n

TC д

'icv mi дг

д^р дг2

i _ 2 + 0 дРо.

0ооi а ..2 + pn0on,i qл

дz2

дг

дг

+ CV0i

д 2 pi + о др а,2 + pn0on,i п.

pió \ дг2 дг

tfv

дг2

i 02 0

д 2 pi + о др! oí дz2 + pnó0n,i дг

KióTi д2 pió дz2

д2 pi кв Tío д2 pi + о др

<1,9 по + pnó 0n,i n,

дг2 m,¡ дz2 дг

В

xó

4п

TíC

iCVooi

д 3Вх дгдz2

+ C

д2Вх KióTi д4Вх

V 0i-

дz2 pi0 дz4

д

TnCVооп

д2р.

dt2

п _ c2

д2рп

1 dz2

+ CV 0п

д2р.

t2

п c2 — С

д2рп

'0п dz2

Kn0Tn д

рп0 dz2

д2р kBТп0 д2рп

t2

тп

z2

где c2 =

B2 ,

4крг0 '

kB Тго 2

Y"oo , Сос

mi

кв Тп

Yo

B Тп0 2

к в Ti

С

тп

0i

Y0i-

B Ti0 2

С

mi

Оп

kB Тп0 Yon-, Ti

кя Тп

тп

B Т пО

Cv

mnQn0

kB Wotí

Yo =

C,

Pooi

C,

Рооп

-, Y0i

CP

P 0i

V 0i

C¡

y-i y-i 1 y-i

CV oo i CV осп CV 0i

kB

Y0n =

тп CP 0п

kB Ti0

miQio'

mi

P 0i

CV

CV 0п kB Woтп

mi

V 0п

mп

n kB (Wot- - Wopg) w Tío fдWЛ рго ( &Wi

Сроп = -, Wotí = 1 ) , Wopi =

mn

WO

Тп

п0

0Тп =

д^п

~дТп.

qío v дтг / о рпо

Qío\ др.

Wo

Qn0 V дТп ) о рп Qn0 \ дрп / о

Здесь величины СРоог = CVooг + kB/mi} СРооп = Cvоп + kB/mn - высокочастотные теплоёмкости ионной и нейтральной компоненты при постоянном давлении; Cvог,Срог и Cv0п, Ср0п - эффективные низкочастотные теплоёмкости ионной и нейтральной компоненты при постоянном объеме и давлении в тепловыделяющей среде [6-8]. Также введены обозначения для скоростей волн: cог,соп - высокочастотные скорости звука в ионной и нейтральной компоненте, соответственно, ca - скорость альфвеновских волн. Величины тг и тп - характерные времена нагрева ионной и нейтральной компоненты, при расчете которых считается Qío = Qí^oí^oí), Qn0 = Qn^on,^). В (5)-(6) Кпо = Кп(Тп = Тпо), Кго = Кгр(Тго) cos2 а + Кш(Тго) sin2 а, где Kíp, Кш - коэффициенты теплопроводности ионной компоненты в направлениях, параллельном и перпендикулярном вектору магнитного поля, соответственно. Уравнение (6) описывает распространение возмущений в нейтральной компоненте слабоионизованной плазмы. Условия возникновения тепловых неустойчивостей в этой компоненте подробно исследованы [1, 7]. Уравнения (4), (5) описывают возмущения в ионной компоненте среды.

Подстановка в (4)-(5) выражений Bx = Bx exp(-iuit + ikz) и рг = рг exp(-iuit + ikz) позволяет получить следующее дисперсионное соотношение, описывающее как МА моды, так и конденсационную моду ионной компоненты:

дWn

ш k

2 2 Ш Л . .рпо^г

ca cos2 а — — 1 + i-

a k2 ш

1 + i

рп0Q п

ш

ш

Са — k2[ 1 + i

п

ш

2

c

0

2

Г1 Г1 I KioTi ¡ 2

, rp CP0i _ гшп Up mi +--k

~2 _ kB Ti0_Pi0

mi ^ . ^ KioTi j 2

CV 0i _ I^Ti CV mi +--k

Poi

Для исследуемой в настоящей работе конденсационной моды ионной компоненты, для которой справедливо ш = т, где п - временной декремент/инкремент, соотношение (7) преобразуется к виду:

П2 + Пр,п0^п,г =

Cp 0i + UTiCp mi +

KioTik

2

_ квTío ^pm ' ,u,i^pmi 1 pio k2c2a cos2 a + n2 + up,no^n,i ^

mi Koí Tik2 k2c2a + n2 + npno^n,i ' CV oí + nTiCV mi +--

Pio

Далее подробно исследуем случай, когда вектор индукции магнитного поля Bo перпендикулярен оси z (a _ п/2, cos a _ 0). Соотношение (8) при a _ п/2 можно записать в следующем виде:

2 , Vn,i,o . , 2 2^ /Г1 I Г1 I KioTik \ .

n + n--+ k ca) Cvoí + nTiCV mi +--+

X J \ pio J

+—4»

Ym V Pio J

где x _ Pio/pno, vn,i,,o _ Qn,i,pio. Выражение (9) имеет гораздо более простой вид по сравнению с дисперсионным соотношением для конденсационной моды в слабоионизованной плазме, выведенным ранее в [5] для этого частного случая a _ п/2.

Используя (9), выясним, при каких условиях возникает неустойчивость конденсационной моды ионной компоненты. Для этого найдем значение k2 > 0, при котором временной инкремент конденсационной моды равен нулю. Полагая в (9) n _ 0, получаем:

k2(n _ 0) _ _ ( Cpoi + CvoiYm^t) /— í1 + Ym4~

c i io c i

Находим отсюда условие возникновения неустойчивых возмущений ионной компоненты плазмы вдоль направления, перпендикулярного вектору индукции магнитного поля В0:

c2a

cpoí < _cvoíYm —?r~.

c2

i

При Су о > 0(д^/дТ > 0) тепловая неустойчивость появляется только при отрицательных значениях СР0; (изобарическая неустойчивость). При этом величина В0 должна быть меньше значения (—4пР;0СР0; / Су0;)1/2, т.е. возрастание индукции внешнего магнитного поля приводит к уменьшению и исчезновению (при В2 ^ —4п70; Р;0) пространственных неустойчивых возмущений ионной компоненты.

Нами были проведены расчеты зависимостей нормализованного временного инкремента конденсационной моды п* = п/(с^пкр) от величины нормализованного волнового числа к * = к/кр при различных значениях и В0, где кр = (7^ — 1)(Су0; — Ср0; )/(квт). С этой целью решалось уравнение (9) при различных к и выбирался действительный корень, равный временному инкременту п неустойчивых возмущений ионной компоненты. Для определенности, расчеты проводились для тех же условий, при которых были проведены вычисления в разделе 3.2 работы [5]: X = 0.01, = 5/3, Ш; = шп/2, кт = Ш;(7^ — 1)Су0г/(квс^гТ = кр/2 (или Ср0г = —Cvоi), Шг(7^ — 1)К;0кр/(кв) = 0.01, = ТП0. На рис. 1^) представлены полученные нами зависимости п* от к* для трех значений нормализованной частоты нейтрально-ионных столкновений /(с^пкр). Полученная нами зависимость п* от к * при /(с^п кр) = 0.03 (кривая 2 на рис. 1(я)) практически не отличается от соответствующей зависимости для ионной компоненты, рассчитанной в [5].

Рис. 1: Зависимость нормализованного инкремента конденсационной моды ионной компоненты от нормализованного волнового числа: (о) для са/с^п = 0.6 при различных значениях частоты нейтрально-ионных столкновений /(стопкр): 0 (кривая 1), 0.03(2) и 0.3(3); (Ь) для /(стопкр) = 0.03 при са/с^п = 0 (кривая 1), Са/с^п = 0.5 (2), са/с^п = 1 (3) и са/с^п = 1.5 (4).

Из рис. 1(а) видно, что увеличение частоты нейтрально-ионных столкновений приводит к уменьшению временного инкремента конденсационной моды ионной компоненты, но не изменяет область неустойчивости. Увеличение магнитного поля на развитие конденсационной моды в ионной компоненте влияет по-другому. На рис. 1(Ь) приведены расчетные зависимости п* от к* при (соопкр) = 0.03 для различных значений величины В0 вектора индукции внешнего магнитного поля. Как видно из рис. 1(Ь), увеличение В0 приводит к уменьшению как величины п, так и интервала значений к, при которых конденсационная мода ионной компоненты неустойчива (п > 0). Для исследуемых условий (Срон = -Суог,^0г = -1), как следует из (10), при Са/Стп < 1.1 всюду п < 0.

Таким образом, в настоящей работе проведено исследование изобарической (конденсационной) неустойчивости в частично ионизированном тепловыделяющем газе, находящемся в магнитном поле. Были получены линейные уравнения, описывающие, в том числе, тепловую неустойчивость в слабоионизованной плазме, и найдено дисперсионное соотношение для конденсационной моды ионной компоненты при произвольном направлении вектора индукции внешнего магнитного поля. С использованием данного соотношения найдены условия возникновения неустойчивости конденсационной моды ионной компоненты.

Работа частично поддержана Минобрнауки РФ в рамках Программы повышения конкурентоспособности СГАУ на 2013-2020 гг. и Государственного задания вузам и научным организациям в сфере научной деятельности, проект № 3.1158.2017/ПЧ, и грантом РФФИ № 17-42-630224 р-а.

ЛИТЕРАТУРА

[1] G. B. Field, Astrophysical Journal 142, 531 (1965).

[2] T. V. Zagarashvili, M. L. Khodachenko, and H. O. Rucker, Astron. & Astrophys. 529, А82 (2011).

[3] R. Soler, M. Carbonell, and J. L. Ballester, Astrophysical Journal. Supplement series 209, 16 (2013).

[4] R. Soler, A. J. Diaz, J. L. Ballester, and M. Goossens, Astron. & Astrophys. 551, A86 (2013).

[5] T. Fukue and H. Kamaya, Astrophysical Journal 669, 363 (2007).

[6] N. E. Molevich, D. I. Zavershinsky, R. N. Galimov, and V. G. Makaryan, Astrophysics and Space Science 334, 35 (2011).

[7] N. E. Molevich, D. I. Zavershinskiy, and D. S. Ryashchikov, Magnetohydrodynamics 52, 191 (2016).

[8] N. E. Molevich, D. S. Ryashchikov, and D. I. Zavershinskiy, Magnetohydrodynamics 52, 199 (2016).

Поступила в редакцию 26 июля 2017 г.