Точное аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения для случая малых колебаний физического маятника

Точное аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения для случая малых колебаний физического маятника

о ы

а

а

«

а б

Галимбеков Айрат Дамирович,

доктор физико-математических наук, доцент, кафедра «Теплоэнергетики и физики», ФГБОУ ВО «Башкирский государственный аграрный университет», airbek@yandex.ru

В данной работе найдено точное аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения для случая малых колебаний физического маятника. При решении нелинейного дифференциального уравнения автор использовал собственно разработанный им метод. В статье проведен анализ полученного решения и сделаны выводы. В частности, практически во всех работах, где рассматривается решение приближенными методами, делается вывод, что колебания являются неизохронными (то есть их частота и период зависит от амплитуды колебания). В статье из точного аналитического решения для малых колебаний физического маятника следует, что эти выводы не верны, и колебания являются изохронными, то есть, нелинейность не влияет на частоту и период колебаний. Основной вклад нелинейности приходится на форму движения физического маятника: вершины становятся более плоскими. Ключевые слова: физический маятник, нелинейные колебания, нелинейное дифференциальное уравнение.

Решение нелинейных дифференциальных уравнений является довольно сложной и трудоемкой задачей. Для многих, даже простейших нелинейных дифференциальных уравнений до сих пор не найдены точные аналитические решения. Это объясняется тем, что в обход нахождения точных аналитических решений разработаны другие приближенные методы, например, метод последовательных приближений [1, с.112-116], метод возмущения [2, с.224], метод разложения в ряд по параметру нелинейности, метод Линштедта-Пуанкаре [3, с.136-139], а также численные методы исследования с помощью вычислительной техники, которые позволяют найти приближенные решения нелинейных дифференциальных уравнений и проанализировать общие закономерности, связанные с нелинейностью. Но эти методы обладают теми или иными недостатками, и поэтому поиск точных решений является актуальной задачей, так как позволяют глубже проанализировать эффекты, связанные с нелинейностью.

В данной работе найдено точное аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения для малых колебаний физического маятника и проведен анализ полученных решений.

Как известно свободные колебания физического маятника описываются дифференциальным уравнением вида [4, с.257]:

а + 02 Бта = 0,

где а-угол отклонения маятника от положения равновесия; а>0-собственная круговая частота колебаний физического маятника:

а0 =,

, т-масса тела, g-ускорение сво-

бодного падения, I - расстояние от точки подвеса до центра масс тела, J -момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Точка означает производную по времени ^ т.е.

а = -

Са

С а

а =

Сг Сг2

В случае малых колебаний, когда угол отклонения а удовлетворяет условиям |а| < 1, тогда синус можно разложить по малому параметру а:

• 1 3 1 5 81иа « а--а +--а -...

6 120

Учитывая два первых члена разложения, получим нелинейное дифференциальное уравнение для физического маятника в виде:

<а + сс2 а--— а3 = 0.

0 6

В работах [2, с. 224-227], [3, с.136-139] решение дифференциального уравнения (1) получено приближенными методами (методом возмущения, методом разложения в ряд по параметру нелинейности, методом Линштедта-Пуанкаре), и показано, что нелинейность влияет на круговую частоту и период колебаний и являются неизохронными (то есть их период зависит от амплитуды колебания). Из полученного нами точного аналитического решения дифференциального уравнения (1) следует, что эти выводы не верны, и колебания являются изохронными, то есть, нелинейность не влияет на частоту и период колебаний, а влияет только на форму колебаний.

Приступим к решению. Умножим (1) на дифференциал Са :

с2

а Са + с0а Са--— а3Са = 0 ,

06 Далее учтем, что сСа = а Сг, откуда

, где учтено, что

^2 Л

V 2 У

а Са = аа Сг = а Са = С ёа = а Сг. Так же учтем, что а Са = С а3 Са = С

! Л

V 2 У

! Л

V 4 у

откуда

С

^2 Л

V 2 У

+ с0 С

^ а2 Л

V 2 у

с

2 Г

С

а

V 4 у

= 0,

или

с

Са + с0 Са--Са = 0,

12

интегрируя, имеем

с

а2 + с0а--а4 + С = 0 ,

0 12

где С -постоянная интегрирования, положим С = 0 , откуда имеем

а2 +с02а211 - — а2 ) = 0 .

0 V 12 У

Данное уравнение можно представить в

виде:

(

а + ¡ю0а л 11--а

12

1

"V

а - 1юпа , 11 —— а 12

Л

= 0,

V /V

где I = V-! - мнимая единица. Таким образом, получаем два уравнения

( I-;-Л

V Г

а - гт0а л 1 - — а 0 V 12

= 0,

У

Л

а + гсо0а л 1--а2

0 V 12

=0.

Решим уравнение (2) ,

Са I 1 2

-= гс0ал 1--а

Сг 0 V 12

Са

ал 1--а'

= с0 Сг,

V 12 интегрируя, получим

Са

I —. - = с0г + с ,

ал 1--а2

М 12

где С -постоянная интегрирования.

Са

Рассмотрим интеграл: I— -, де-

ал 1--а2

V 12

лая замену у = Л\~а , преобразуем интеграл к виду

Са

Су

а. 1--а'

у

л/1

у

12

Данный интеграл найден в работах [5, с. 935], [6, с. 49]:

Сх

хл!а2 ± х~

и, таким образом, (4) перепишется в виде: 1

= = ^ 2а

х

а + л/ а

л/а^

х

1п

а

1 + , 1 - — а2

V 12

= гс0г + С.

О 55 I» £

55 П П Н

2

2

2

I

I

6

о ы

а

В правой части уравнения стоит комплексное число, поэтому появляется необходимость обобщения натурального логарифма на область комплексных чисел. Для этого рассмотрим логарифмическую функцию у = 1п х , где х и у являются комплексными числами, т.е. х = Яе х +11т х, у = Яе у +11т у . Для определения свойств воспользуемся формулой Эйлера:

х = ехр(у) = ехр(Яе у +11т у) =

= ехр(Яе у )ехр( 1т у) = ехр(Яе у )(со8(1т у) +18т(1т у)) откуда

Яе х = ехр(Яе у )сов(1т у), 1т х = ехр(Яе у )т(1т у), таким образом, область определения х

- ехр(Яе у) < Яе х < ехр{Яе у},

- ехр(Яе у) < 1т х < ехр{Яе у}, где было учтено, что

-1 < соБ^т у) < 1, -1 < Б1п(1т у) < 1. Таким образом, в уравнении (5), в случае комплексных чисел в натуральном логарифме нет необходимости накладывать, какие либо, ограничения на область определения для комплексного числа х, поэтому убираем знак модуля и перепишем уравнение (5) в виде: ( ГГ Л

1п

а

1 + , 11 - — а2 12

= ш01 + 1п С1,

где приняли С = 1пС1, далее потенцируя, получим

/ г^—

(

л

а

1 + „ 11 - — а2 12

= С1 ехр(/ю0 ?),

постоянную найдем из начальных условий: в начальный момент времени при t=0 маятник был отклонен на начальный угол а = а 0 :

( пт Л

а

1 + , 11 - — а02

12

= С,,

откуда получим трансцендентное уравнение:

а0 ехр

а

а

«

а б

1 + „Д - — а2 1 + ,|1 - — а02 12 V 12 0

преобразуем к виду:

1+, п -112 а02

а =

1 + , 11 -—а2 12

"А

а0 ех

Делаем замену

1

2 = 1 ——а2, 12

откуда с учетом замены

а = 4124Т-2,

имеем

)

1 + „ И - — а2 12 0

Л/Т2Л/Т—2 =

Учитывая, что

1 - г =

1

1 -42

а0 ех

1 + 42 4Т2

1 + , 1 -— «0

12

Обозначим

1 а0 ехр

1 + л 1--а

V V 12 0 У

Л '

Тогда

Л

1 -л/г = р, М2= р2

1+42 ' 1+42 1 -42 = р2 (1+42),

1 -р =4-у (1), 2=( ьр

2 Л

2

а

С учетом замены

-( 2р Л

=712

(

1 -

1 -Р

2 у

= л/Т2

1+Р

2а0 ехр

1 + р 2

(

1 + "1 - Та

V

1 + 1 а1 ехр^Ию^)

12 (

1 + «11 -—а2 12

/ у

и, таким образом, решение уравнения (2) имеет вид:

а„ exi

а1 =-т

p

1 + а„2 (exp(2/^„t)-1) 1 + 24 -1

i+, И -— а„2

/ у

Проводя аналогичные расчеты, находим решение уравнения (3):

а2 exp

2 í

\

1 + а1

24 - I-

1 + „ 1 — а2

12

у J

то есть, а1 = (звездочка означает операцию комплексного сопряжения) решения являются комплексно сопряженными и, таким образом, реальные части обоих решений совпадают. Далее выделим реальную часть

* * . а1 +а1 а2 +а2

2

а2 exp

2

1

а9

1 а„ exp

v 24 -1)24 -1 +iRK;

а„ exp

1 а„ exp

24

1+f¥2 ] 24 f1 ^i17!^

Обозначим

s = 1 --

а2

24

1 + * 11 - I^a2

d =

1

a2

, причем s + d = 1, тогда

24 Г, 1 1 2

1 + . 1--a 2

( V 12 2y

a2

'Л

2 + 2sd cos(2»„t)+ d2

где учтено, что

CQS>

(»t) =

exi

p

и t)= exp(2i^t) + exp(-2i^t), s + d

\ 2 ) 2 '

Рассмотрим знаменатель

= 1

1 а

s2 + 2sd cos(2»„í)+ d2 = 1--T 2

° ' 12 -

fH I24f--Я

f-íRI 24 ('+fr;a

V 12

= 1 - _L_ a„2 12 -

+fF " (+Я

1 + , ft - -а„„

1 + ^1 24 (1 + fi

1 + , ft -12 a2

(1 - wos(2«0i)) =

2

где учтено, что

и, таким образом, окончательное решение имеем в виде:

а0 со8

1

а

1 + "11 -12 а°

л

1 -

1

а

24

1 + "1 -12 а„2

sin2

.

Проанализируем полученное решение. Для анализа введем обозначение

- л

B =17

1 + л !1 - 12 а„

1 -

1

24

1 + , 1 ~а„2

12

тогда (9) перепишем в виде:

а„ cos

1 - В sin2 (»„t) найдем экстремальные точки

da d

f

а„ cosí

Л

а„ sin

d

+ 2а„ B sin

(1 - B sin2 (»„t ))2

= а„ sin(»„t)( - B sin2 (»„t) - 2B cos2 (»„t)) =

(1 - B sin2 (»„ t ))2

а„ sin(»„t)( - B - B cos2 (»„t)) (

(1 - B sin2 (»„ t)) откуда имеем два уравнения определяющие точки экстремума:

sin(»„t) = „, причем »„t = тт , где n=0,1,2,... и

= „

cos

»t ) =

1 - B B

О R U

£

R п fi H

1 а

+

1 а

1 а

1 а

+

12

24

1а

1а

1а

= 1 -

6

а

1

2

6

а

+

2

2

а

а

„

„

2

1

и

а

s

о ы

а

1 - В

которое не имеет решений, если 1__ >—, ков

гда 0 < В <1

2

1 - В

и имеет решения, если 0 <-< 1, когда

В

— < В < 1.

2

1.5 ал

0,5 «„ 0

-0,5 а0

^NNI

m

\.Ъя у До1-

I V 1 1 0,25 л: V0'75^ я 1,25тгУ 1,75п

-1,5 «с Рисунок 1.

На рисунке 1, изображены кривые 1, 2 и 3,

где по оси абсцисс - фаза колебаний о/, а по

оси ординат - угол отклонения маятника а .

Кривая 1 - соответствует случаю, когда

0 < В < — и для определенности взято

2

В = 0,4. Кривая имеет максимумы в точках а,/ = тт, где п=0,2,4... и минимумы в точках

= тт , где т=1,3,5.Кривая 1 описывает периодические колебания частота и период ко-

С

2л

5

«

а

6

торых соответственно равны v = — и Т =—.

2л с0

Кривая 2 - соответствует случаю, когда

1 < В < 1 и для определенности взято В=0,75.

2

На кривой появляются дополнительные максимумы и минимумы из решения уравнения

cos2 (c0t) = 1з. Понятно, что кривая 2 не имеет

физического смысла, действительно, при начальном отклонении физического маятника на начальный угол а0 маятнику не хватит потенциальной энергии, чтобы дополнительно подняться на более высокий максимум. Действительно, оценка параметра B , определяемого выражением (10) показывает, что максимальное значение, которое он имеет при максимальном допустимом угле отклонения а0 = 1 равно

Вмах = 0,0885, то есть удовлетворяет условию

0 < Вмах < и, таким образом, случай описываемый кривой 2 для малых колебаний не реализуется.

Кривая 3-соответсвует линейному физическому маятнику, который описывается уравнением: а + с02а = 0 , когда учитывается только первый член разложения синуса, и решение имеет вид а = а0 cos(с01). Для того, чтобы нагляднее продемонстрировать, как нелинейность влияет на характер движения, сравним кривые 1 и 3. Откуда видим, что нелинейность влияет, только на форму движения маятника (вершины становятся более плоскими), а на частоту и период не влияет. Следует также отметить, что для кривой 2,

для определенности выбран параметр В = 0,4 , что намного больше максимально допустимого значения Вмах = 0,0885, и если сравнивать

кривую 3 с кривой с параметром Вмах = 0,0885,

то кривые несущественно отличаются друг от друга .

Таким образом, делаем выводы, что в случае малых колебаний |а| < 1:

1. Нелинейность не влияет на частоту

2л

у = — и на период колебаний Т =—, и яв-

2т а0

ляются изохронными.

2. Нелинейность влияет только на форму движения маятника.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.. Теоретическая физика: Учебное пособие. - В 10-и т. Т. 1. Механика. - 4-е изд., испр.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-216 с.

2. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика (Берклиевский курс физики, т. 1), М., Наука, 1971. - 480 с.

3. Кузнецов А.И., Кузнецов С.И., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания: Учеб. пособие для вузов. - М: Издательство физико-математической литературы, 2002. - 292 с.

4. Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие для вузов.-11-е изд. стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2006.-560 с.

5. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.- 800 с.

6. Г. В. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.- М.: Наука. Главная

редакция физико-математической литературы, 1978.- 228 с.

The exact analytical solution of the nonlinear differential equation for the case of small fluctuations of the physical pendulum

Galimbekov A.D.

Bashkir state agricultural university

In this work the exact analytical solution of the nonlinear differential equation for a case of small fluctuations of the physical pendulum is found. At the solution of the nonlinear differential equation the author used the method which is actually developed by him. In article the analysis of the received decision is carried out and conclusions are drawn. In particular, practically in all works where the decision is considered by approximate methods, the conclusion is drawn that fluctuations are not isochronous (that is their frequency and the period depends on fluctuation amplitude). In article for small fluctuations of the physical pendulum follows from the exact analytical decision that these conclusions aren't right, and fluctuations are isochronous, that is, nonlinearity doesn't influence the frequency and the period of fluctuations. The main contribution of nonlinearity is the share of form of motion of the physical pendulum: tops become more flat.

Keywords: physical pendulum, nonlinear fluctuations, nonlinear differential equation.

References

1. Landau L.D., Lifshits E.M. theoretical physics: Manual. - In 10

t. T. 1. Mechanics. - 4 prod., ucnp. - M.: Science. Hl. physical edition. - a mat. litas., 1988.-216 pages.

2. Single-breasted coat Ch., Knight U., Ruderman M. Mechanics

(Berkliyevsky course of physics, t. 1), M., Science, 1971. -480 pages.

3. Kuznetsov A.I., Kuznetsov S.I., Ryskin N.M. Nonlinear fluctuations: Studies. a grant for higher education institutions. - IVI: Publishing house of physical and mathematical literature, 2002. - 292 pages.

4. Trofimova T.I. Physics course: manual for higher education

institutions. - the 11th prod. I have erased. - M.: Publishing center "Akademiya", 2006.-560 pages.

5. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integrals and

ranks. - M.: Science. Main edition of physical and mathematical literature, 1981. - 800 pages.

6. G.V. Dvayt. Tables of integrals and other mathematical formulas. - M.: Science. Main edition of physical and mathematical literature, 1978. - 228 pages.