Полевые расчеты вентильно-индукторного двигателя аналитическим методом конформных отображений

УДК 621.313.323 ББК 31.291

Д.И. АХМЕТЗЯНОВ, Д.Д. ДМИТРИЕВ

ПОЛЕВЫЕ РАСЧЕТЫ ВЕНТИЛЬНО-ИНДУКТОРНОГО ДВИГАТЕЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Ключевые слова: вентильно-индукторный двигатель, конформное отображение, полевой расчет, электрические машины.

Приведен общий обзор методов полевых расчетов применительно к вентильно-индукторному двигателю. Рассмотрен метод конформного отображения зубцо-вой зоны вентильно-индукторного двигателя, необходимый для дальнейшего расчета электромагнитных характеристик машины. Показаны трудности, возникающие при конформном отображении электрических машин с малым воздушным зазором, а также результаты их частичного решения. В результате исследований установлено, что для дальнейшего решения данной задачи необходимо либо перейти к более мощной вычислительной машине с использованием класса BigDecimal, либо изменить сам механизм работы метода, отмасштабировав некоторые корни таким образом, чтобы получить корректное решение на персональном компьютере средней мощности.

D. AKHMETZYANOV, D. DMITRIEV FIELD COMPUTATIONS OF SWITCHED-RELUCTANCE MOTOR BY ANALYTICAL METHOD OF CONFORMAL MAPPING

Key words: switched-reluctance motor, conformal mapping, field computation, electrical machines.

The article presents a general review of field computations methods applicable to switch-ed-reluctance motor. It describes conformal mapping of switched-reluctance motor tooth zone, which is needed for further computation of the motor electromagnetic properties. The article also reflects the difficulties arising during conformal mapping of electric machines with small air gap, as well as shows the results of their partial solutions. The investigation results showed that to solve this task it is necessary either to switch to a more powerful computer of BigDecimal class, or to change the mechanism of the method's functioning by scaling a part of the roots in such a way as to get a correct solution on a medium-powered personal computer.

Вентильно-индукторный двигатель (ВИД) благодаря таким преимуществам, как прочность конструкции, надежность, ремонтопригодность, достаточно активно исследуется отечественными [3, 5, 7] и зарубежными [11, 13, 8] учеными. ВИД является нелинейной системой, поскольку такие характеристики, как фазные индуктивности, момент, являются нелинейными функциями как от тока фазы, так и от углового положения ротора. Поэтому для точного управления данной электрической машиной и оптимизации конструкции необходимо проводить полевые расчеты.

Полевые методы расчета, применяемые для ВИД, можно разделить на численные и аналитические. Особенностью численных методов является большая точность этих методов, что является их основным преимуществом, основным же их недостатком является сложность построения данного метода, а также длительное время вычисления. Аналитические методы менее точные, однако реализация и расчет этих методов проще и быстрее.

На данный момент основным численным методом, применяемым для ВИД, является метод конечных элементов (МКЭ). Данный метод является весьма удобным, так как существует большое количество программных

средств, разработанных для его реализации, например Ansys, FEMM, Elcut и ряд других, которые имеют удобный интерфейс, возможность импортирования двух- и трехмерных моделей. Все это позволяет достаточно быстро создать конечно-элементную модель для тех или иных целей.

Среди аналитических методов, применяемых для ВИД, можно выделить метод получения электромагнитных характеристик на основе построения кривых «Миллера» [12], нахождение магнитных характеристик с помощью схем замещения [4, 14]. Некоторые из них частично используют МКЭ [4].

Несмотря на то, что МКЭ достаточно хорошо разработан и почти повсеместно используется, по крайней мере для точных численных расчетов, существуют альтернативные подходы для более точного расчета поля, к которому относится метод конформных отображений [1]. Данный метод достаточно активно разрабатывался в советское время [2], однако на сегодняшний день исследования по этой теме ведутся в основном за рубежом, однако и там метод конформных отображений применительно к расчету полей электрических машин встречается в небольшом количестве публикаций, из них можно выделить [9, 10].

Численные методы сопряжения конформных отображений достаточно хорошо разработан. С помощью них проводились исследования вентильного двигателя [1], а также вентильно-индукторного двигателя [6]. Однако аналитический метод конформного отображения применительно к вентильно-индукторному двигателю до сих пор еще не был исследован. Поэтому в данной статье представлены результаты исследования ВИД данным методом.

Основное отличие численного метода от аналитического заключается в том, что в численном методе все пространство машины в поперечном срезе разбивается на множество элементарных участков (ЭУ) (например, прямоугольники или треугольники) (рис. 1), далее каждый ЭУ конформно отображается на верхнюю комплексную полуплоскость [1] . После этого происходит конформное сопряжение всех элементарных участков между собой.

А

Рис. 1. Разбиение расчетной области электрической машины на элементарные участки

В отличие от численной модели в аналитической происходит конформное отображение всей области без разделения ее на элементарные участки. Невоз-

можно конформно отобразить всю область поперечного среза электрической машины из-за большого количества уравнений, которое необходимо будет решить, поэтому берется только значимая часть машины. Обычно это область воздушного зазора с прилегающей зубцовой зоной статора и ротора.

Для аналитического расчета ВИД была взята область воздушного зазора с зубцом статора и ротора с двумя бесконечными полосами слева и справа (рис. 2). В связи с тем, что полуплоскость t можно отобразить саму на себя, три произвольные вершины можно принять известными в полуплоскости (. Обычно за известные координаты оси £ принимают 0, ±1, ±да. Поэтому примем а\ = -да, а6 = 0, а7 = 1.

)Г) А ©

Ротор

_/\_

Л

а2 а4 а6=0 «7=1 "в а9 "10 £

' ?

(Статор

Рис. 2. Область воздушного зазора с зубцами статора и ротора с двумя бесконечными полосами

Остальные вершины а2-а5,а8-а10 необходимо найти. Данные вершины на оси £ можно найти, решив систему уравнений Кристоффеля - Шварца [7]. Конформное соответствие в физической плоскости г с верхней комплексной полуплоскостью t задается дифференциальным уравнением Кристоффеля - Шварца

— = Х^) Ц0 = ""ад^ -аъ)

Л V

Вершины а2-а5,а8-а10 можно найти, решив систему уравнений (1) - (7). Данные уравнения составляются при обходе контура, показанного на рис. 2, против часовой стрелки. Значения Вп, п = 1, 4 необходимы для ухода от несобственности в особых точках, имеющихся у интегралов (3) - (7). В качестве

масштабирующего коэффициента С берется значение ——1—, к = 2, 5, 7, 10.

Коэффициент С зависит от наличия бесконечных полос в рассматриваемой области (рис. 2) и от А.

¡\m\dt=ьи

a з a

J\X

a8

a3 _

a2

a5 _

JA 2

a4 a8

jA3

a7 aio

A4

a9

io

Ja 4

a6 _ Д a7 _ д

JA5

a5 Л a6 Л

где

Ai(t) =\X(t)\- Di Di =

V\ t - 02 \

d2

A 2 (t) =\Mt )\- 2 D2 =-

V\ t - 05 \

D3

A3(t) =\X(t)\- . 3 . D3 =-

V\ t - 07 \

D4 ^ Д i

Д i

Л \ a2\\ Д 1

Л \ a5 \ Л/ Д i

л \ a7 \

A4(t) =]X(t)\- , 4 ,, D4 =

V\ t - aio Г 4 л \ aio \

D2 Д D3 Д

A5(t) = |X(t)| -t^f --¡-r, A 6(t) = |X(t )| --

Необходимо отметить, что в уравнениях (i) - (7) на границах определенных интегралов (например, при Ai(a2), A2(a5) и т.д.) присутствуют бесконечности. Эти бесконечности нивелируются благодаря использованию квадратурной формулы Гаусса - Кронрода, которая не использует явно граничные значения определенных интегралов. Значения bi, Ъ2, Ъ3, hi, h2, 5 являются геометрическими параметрами машины. При этом цифрой «i» обозначены параметры зубца статора, «2» - параметры зубца ротора.

В программе при задании начальных условий необходимо учесть, что a2 < a3 < a4 < a5 < a6 и a7 < a8 < a9 < aio < aii для наибольшего приближения к ожидаемому результату.

Для решения системы нелинейных уравнений был использован метод Ньютона. Для решения определенных интегралов использовался метод численного интегрирования Гаусса - Кронрода. Программа была реализована в математическом пакете Scilab.

В ходе решения было установлено, что из-за большого влияния несобственности интегралов возникает проблема сходимости численного метода интегрирования. В основном это связано с тем, что вершина А6 уходит в бесконечность. Поэтому было принято решение ввести перегородку в левой части воздушного зазора. Общий вид области воздушного зазора с зубцами статора и ротора показан на рис. 3.

Рис. 3. Область воздушного зазора с зубцами статора и ротора с одной бесконечной полосой и перегородкой

При этом для того, чтобы влияние перегородки на расчеты поля были минимальными, необходимо чтобы она была отдалена, как минимум, на расстояние, равное удвоенной ширине статора относительно края зубца ротора (Ь5 на рис. 3).

Для зубцовой зоны, изображенной на рис. 3, добавляются еще одна вершина Аи и еще одно уравнение, таким образом, общее количество уравнений становится равным 8. Уравнения имеют следующий вид:

) =— ^ - а3)^ - а4)^ - а9)^ - аю)

% V ^-а2)^-а5)

11ХЦ )| А = Ь1,

"10

}|Х^ )\А = Ь2,

а9

а3 _

| (t )А + 2 Д л1\а3-а2\ = Нх,

а2

а5 _

| Х 2 ^ )А + 202у/\а5-а4 \ = Нх,

а4 а9

а9 - а8 | =

а8 1

| Х)А + 2Р4л/| ап - а10 | = И2,

аю

ац _

| Х)А + 2Р4л/| а11 - а10 | = Н2,

10 11

| Х4(t)А + 2Р4л/| ац - аю | = И2,

а8 а11

а10 а11

где

Р д = —

А

л/Тт-атг

А

Р2 А

% V

Л-Г ^3 А

А

%

Х5(t) =| Х(t)|-

А Рб

у/й-ап л/|г-атг

Рб =

д

А А

Х 6(t) =| Х(Г )|-

А =

А =

д д

В данном варианте удалось решить задачу, связанную с несобственностью интегралов, в результате алгоритмы численного интегрирования работают корректно. Однако возникают трудности, связанные с ограниченной точностью переменной с плавающей точкой, которая используется в 8сйаЬ по умолчанию. Например, при формировании матрицы Якоби нам необходимо

%

%

найти однако если значение корня х слишком велико по сравнению с

Ах, то может возникнуть ситуация, когда х - Ах = х, т.е. точности типа с плавающей точкой в данном случае уже не хватает и программа по решению данной системы начинает работать некорректно. В табл. 1 приведены результаты последней итерации, нахождения корней методом Ньютона, после которой программа перестает исправно функционировать.

Таблица 1

Результаты вычисления вершин конформного отображения с использованием стандартных переменных с плавающей точкой

Искомые переменные Значение искомых переменных

a2 -5672994240,078303

a3 -923509371,644733

a4 -763,359933

a5 -13,992098

a8 15,893020

a9 107,375195

a10 1075421535,671645

aii 4045763238,236875

В связи с этим возникла необходимость перехода от формата числа с плавающей точкой к другому формату, который позволил бы работать с неограниченным количеством знаков после запятой. Этому условию соответствует «Длинная арифметика», которая реализована во многих универсальных языках программирования, таких как С++, Java, Perl и т.д.

Для реализации программы с использованием длинной арифметики применялся язык Java. На языке Java имеется специальный класс BigDecimal, который позволяет оперировать (складывать вычитать и т.д.) со сколь угодно большими числами. Вся программа, используемая на языке программирования scilab, была переписана на язык Java. Результаты вычислений с использованием класса Big-Decimal показали, что увеличение разрядности значительно уменьшает время вычислений (примерно в 100 и более раз). Например, при достижении этапа сходимости до корней порядка, приведенного в табл. 2, время расчета следующей итерации на компьютере с процессором Intel Core 2 Duo 2.83GHz занимает 8 ч.

Таблица 2

Результаты вычисления вершин конформного отображения с использованием переменных класса Б1§Бес1ша1

Искомые переменные Значение искомых переменных

a2 -93237978139,497631

a3 -28693371977,784528

a4 -582175,426906

a5 -5441,623394

a8 3111,616613

a9 16966,496456

a10 2843557088,777653

a„ 24022644606,834806

Таким образом, вычисление вершин конформного отображения с помощью уравнений Кристоффеля - Шварца усложняется из-за плохой сходимости численных алгоритмов интегрирования, что связано с тем, что одна из вершин лежит в бесконечности; недопустимого возрастания корней системы,

в результате чего точности машинного слова уже не хватает. Это приводит к некорректной работе программы, реализующий алгоритм Ньютона для решения системы нелинейных уравнений.

Исходя из вышеперечисленных проблем, можно выделить следующие способы их решения:

1) экстенсивный, предполагает переход с помощью операций «длинной арифметики» на более мощный компьютер и, тем самым, получить решение данной системы уравнений. Однако данный путь лишает аналитический метод конформного отображения основного преимущества, а именно: возможности относительно быстро получить результаты расчета магнитного поля;

2) интенсивный, предполагает модифицирование зубцовой зоны либо совершенствование самого метода конформного отображения таким образом, чтобы можно было отмасштабировать наиболее крупные (в частности, a2, a3, a10, a11) значения корней. Это позволит работать с числами в пределах машинной точности слова (с числом с плавающей точкой), что должно значительно увеличить скорость вычислений.

Таким образом, конформное отображение в качестве аналитического расчета поля, несмотря на все свои преимущества, имеет ряд существенных недостатков, которые мешают ему стать универсальным методом для полевых расчетов электрических машин. В частности, данный метод можно успешно применять для машин с большим воздушным зазором (более 1 мм). Однако при малых воздушных зазорах возникают трудности с конформным отображением зубцовой зоны электродвигателя.

Литература

1. Афанасьев А.А. Метод сопряжения конформных отображений в задачах электромеханики. Чебоксары: Изд-во: Чуваш. ун-та, 2011. 390 с.

2. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1950. 696 с.

3. Красовский А.Б., Кузнецов С.А. Определение параметров регулятора скорости при прямом регулировании момента вентильно-индукторного двигателя // Электричество. 2012. № 12. С. 39-45.

4. Любарский Б.В., Рябов Е.С. Моделирование электроприводов на основе реактивных индукторных двигателей в среде MATLAB SIMULINK [Электронный ресурс]. URL: http://matlab.ru/upload/resources/EDU%20Conf/pp%20404-424%20Ljubarskiy.pdf.

5. Никифоров Б.В., Пахомин С.А., Птах Г.К. Вентильно-индукторные двигатели для тяговых электроприводов // Электричество. 2007. № 2. С. 34-38.

6. Расчет магнитного поля и электромагнитного момента вентильно-индукторного двигателя / А.А. Афанасьев, В.В. Ефимов, А.М. Иванов и др. // Вестник Чувашского университета. 2012. № 3. С. 89-93.

7. Санадлов В.М., Сергеев Ю.С. Динамическая модель вентильно-индукторного вибропривода // Электротехника. 2012. № 8. С. 24-27.

8. Arumugam R., Prabhu S., Chandrasekar V. Design and Implementation of a 250W, Low Speed Switched Reluctance Hub Motor. J. of Electrical Engineering, 2012, vol. 12, pp. 167-175. doi: 10.1109/ICEES.2011.5725324.

9. Calixto W.P., Alvarenga B, da Mota J.C., da Brito L.C., Wu M, Alves A.J., Neto L.M., Antunes C.F.R. Electromagnetic Problems Solving by Conformal Mapping: A Mathematical Operator for Optimization. Mathematical Problems in Engineering, 2010, vol. 2010, pp. 1-19. doi: 10.1155/2010/742039.

10. De Alvarenga B.P., da Mota J.C., Calixto W.P. Methodology for the reduction of parameters in the inverse transformation of Schwarz-Christoffel applied to electromagnetic devices with axial geometry. International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, 2011, vol. 24, iss. 6, pp. 568-582. doi: 10.1002/jnm.804.

11. Ganji B., Carstensen C.E., Faiz J., Kasper K., de Doncker R. W. Core loss model based on finite-element method for switched reluctance motors. IET Electric Power Applications, 2009, vol. 4, iss.7, pp. 569-577. doi: 10.1049/iet-epa.2009.0041.

12. Miller T.J.E. Switched reluctance motors and their control. Oxford: Magna Physics Publishing and Clarendon Press, 1993, p. 56.

13. Molina B.B., Garcia-Amoros J., Andrada P. Modelling and simulation of a linear switched reluctance force actuator. IET Electric Power Applications, 2013, vol. 7, iss. 5, pp. 350-359. doi: 10.1049/iet-epa.2012.0391.

14. Vaithilingam C.A., Misron N., Zare M.R., Aris I., Marhaban M.H. Computation of electromagnetic torque in a double rotor switched reluctance motor using flux tube methods. Energies, 2004, no. 5, pp. 4008-4026. doi: 10.3390/en5104008.

References

1. Afanas'ev A.A. Metod sopryazheniya konformnykh otobrazhenii v zadachakh elektromekhaniki [Method of conformal mapping conjugation in electromechanical problems]. Cheboksary, 2011. 390 p.

2. Kantorovich L.V., Krylov V.I. Priblizhennye metody vysshego analiza [Approximate methods of higher analysis]. Leningrad, 1950. 696 p.

3. Krasovskii A.B., Kuznetsov S.A. Opredelenie parametrov regulyatora skorosti pri pryamom re-gulirovanii momenta ventil'no-induktornogo dvigatelya [Determination of speed controller parameters in direct control of switched-reluctance motor moment]. Elektrichestvo [Electricity], 2012, no. 12, pp. 39-45.

4. Lyubarskii B.V., Ryabov E.S. Modelirovanie elektroprivodov na osnove reaktivnykh induk-tornykh dvigatelei v srede MATLAB SIMULINK [Simulation of electric drives on the basis of reluctance motors in Matlab, Simulink environment], 2011. Available at http://matlab.ru/ upl-oad/resources/EDU%20Conf/pp%20404-424%20Ljubarskiy.pdf (accessed 28 January 2015).

5. Nikiforov B.V., Pakhomin S.A., Ptakh G.K. Ventil'no-induktornye dvigateli dlya tyagovykh elektroprivodov [Switched-reluctance motors for electric traction drives]. Elektrichestvo [Electricity], 2007, no. 2, pp. 34-38.

6. Afanas'ev A.A., Efimov V.V., Ivanov A.M., Tuigacheva I.V., Chervyakov A.M., Chikh-nyaev V.A. Raschet magnitnogo polya i elektromagnitnogo momenta ventil'no-induktornogo dvigatelya [Calculation of the magnetic field and electromagnetic torque of switched reluctance motor]. Vestnik Chuvashskogo Universiteta, 2012, no. 3, pp. 89-93.

7. Sanadlov V.M., Sergeev Yu.S. Dinamicheskaya model' ventil'no-induktornogo vibroprivoda [Dynamic model of switched-reluctance vibratory drive]. Elektrichestvo [Electricity], 2012, no. 8, pp. 24-27.

8. Arumugam R., Prabhu S., Chandrasekar V. Design and Implementation of a 250W, Low Speed Switched Reluctance Hub Motor. J. of Electrical Engineering, 2012, vol. 12, pp. 167-175. doi: 10.1109/ICEES.2011.5725324.

9. Calixto W.P., Alvarenga B., da Mota J.C., da Brito L.C., Wu M., Alves A.J., Neto L.M., Antunes C.F.R. Electromagnetic Problems Solving by Conformal Mapping: A Mathematical Operator for Optimization. Mathematical Problems in Engineering, 2010, vol. 2010, pp. 1-19. doi: 10.1155/2010/742039.

15. De Alvarenga B.P., da Mota J.C., Calixto W.P. Methodology for the reduction of parameters in the inverse transformation of Schwarz-Christoffel applied to electromagnetic devices with axial geometry. International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, 2011, vol. 24, iss. 6, pp. 568-582. doi: 10.1002/jnm.804.

16. Ganji B., Carstensen C.E., Faiz J., Kasper K., de Doncker R.W. Core loss model based on finite-element method for switched reluctance motors. IET Electric Power Applications, 2009, vol. 4, iss.7, pp. 569-577. doi: 10.1049/iet-epa.2009.0041.

17. Miller T.J.E. Switched reluctance motors and their control. Oxford: Magna Physics Publishing and Clarendon Press, 1993, p. 56.

18. Molina B.B., Garcia-Amoros J., Andrada P. Modelling and simulation of a linear switched reluctance force actuator. IET Electric Power Applications, 2013, vol. 7, iss. 5, pp. 350-359. doi: 10.1049/iet-epa.2012.0391.

10. Vaithilingam C.A., Misron N., Zare M.R., Aris I., Marhaban M.H. Computation of electromagnetic torque in a double rotor switched reluctance motor using flux tube methods. Energies, 2004, no. 5, pp. 4008-4026. doi: 10.3390/en5104008.

АХМЕТЗЯНОВ ДИНАР ИЛНУРОВИЧ См. с. 16.

ДМИТРИЕВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ - аспирант кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (3deemon@gmail.com).

DMITRIEV DMITRIY - Post-Graduate Student, Department of Information Systems Mathematical and Hardware Provision, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.