Поперечная неустойчивость плоской гексагональной пылевой решетки

УДК 533.9

ПОПЕРЕЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ ПЫЛЕВОЙ РЕШЕТКИ

Н. Г. Гусейн-заде, Д. Н. Клочков

Рассматривается поперечная неустойчивость плоского двухмерного пылевого кристалла, решетка которого имеет плотную гексагональную структуру, в предположении произвольного изотропного парного потенциала взаимодействия, зависящего только от расстояния между частицами У(г). Получено дисперсионное соотношение и критерий неустойчивости (критерий плавления кристалла).

В последние десятилетия проводятся многочисленные экспериментальные исследования двухмерных пылевых структур [1 - 3]. Эти эксперименты включают дисперсионный анализ и исследование распространения волн в кристалле, исследование дефектов кристаллической решетки и многое другое.

Из-за наличия силы тяжести монослойные кристаллы могут формироваться лишь в очень узком интервале масс пылинок. Это обусловлено балансом сил в вертикаль ном направлении. Кроме этого, для образования больших систем необходимо, чтобы эквипотенциальные поверхности электрического поля, удерживающего пылинки в подвешенном состоянии, были достаточно протяженными в горизонтальном направлении. Этому требованию наилучшим образом удовлетворяют ВЧ- и индуктивные разряды плазменных устройств [4]. Так, например, в типичных экспериментах [1 - 3] наблюдается формирование двухмерных кулоновских кристаллов в лабораторной пылевой плазме, когда заряженные частицы пыли левитируют в узкой области плазменного В Ч-разряда над горизонтально расположенным электродом. В результате пылинки накапливаются в приэлектродном слое. При большом числе пылинок N » 1 образуется слой, в котором частицы, как правило, упорядочены в гексагональную структуру, т.е. возникает двухмерный кристалл. При большой концентрации пылинок, когда среднее расстояние

между частицами становится меньше критического значения, происходит плавление кпиг.талла: ттллтиттяят <Ъог>мипгтят>.г.я втотюй слой пыли.

-^ -А.---------------------1 ----1 А

Монослой пылинок слабо влияет на электронную и ионную компоненты плазмы, поэтому плазменная и пылевая подсистемы могут рассматриваться раздельно. Влияние плазменной компоненты на пылевую подсистему учитывается только через форму межчастичного потенциала взаимодействия пылинок.

Общий внешний потенциал (гравитационный плюс электрический) в узкой области локализации кристалла, как показали эксперименты [5, 6], хорошо аппроксимируется параболической формой

Здесь г - координата вертикального направления, а. - параболический коэффициент.

При определенных условиях удерживающего внешнего потенциала (1) оказывается недостаточно и происходит разрушение плоскости кристалла. Такие структурные фазовые переходы для плазменного кристалла были исследованы теоретически [6, 7] для юкавовского потенциала взаимодействия. В работе [8] было получено дисперсионное соотношение для плотной гексагональной решетки при юкавовском потенциале взаи модействия. Там же было получено численное решение этого уравнения для частного случая и показана возможность развития продольной неустойчивости.

Тем не менее известно, что взаимодействие между частицами пыли не ограничива ется только юкавовским (в частном случае кулоновским) потенциалом [9]. Поэтому в данной работе, обобщая полученные ранее результаты, рассматривается поперечная неустойчивость пылевого кристалла для произвольного изотропного парного потенциала взаимодействия, зависящего только от расстояния между частицами У(г), и находятся условия ее развития.

Рассмотрим плоский двухмерный кристалл плотной гексагональной бесконечной решетки, ориентированной в плоскости XY и имеющей следующие вектора прямой решетки ai = 1,0) и а2 = ¿(0,1,0). Решетка переходит в себя при трансляции a(n) = niai + п2а2, где гц,П2 G Z, (n) = {ni,n2} - мультииндекс, нумерующий элементарные ячейки. Наименьшее расстояние между частицами положим равным d.

Пусть потенциал парного взаимодействия между частицами одинаковой массы m является функцией расстояния между ними, т.е. V = У(|гп—г^|) = V(£nk), где = |гп— rjt|. Кроме внутреннего взаимодействия имеется внешний удерживающий потенциал (1 ). Уравнение движения для к-й частицы имеет вид:

тгк = - ¿^ V \^пк)—7---д—• 1,2;

Здесь суммирование проводится по всем частицам.

Пусть равновесному состоянию системы соответствует положение всех частиц в плоскости г = О (т.е. все = 0) в узлах решетки г° £ ХУ. Из уравнения (2) получаем условие равновесия

£^7^

пфк ъпк

которое выполняется всегда в силу симметрии решетки для любого потенциала.

Рассмотрим малые колебания вблизи положения равновесия. Пусть бгк - малые возмущения, т.е. г к = г^+ога;. Линеаризуя уравнения движения (2) по малым возмущениям, получим

тбгк = -^2

пфк

"т/Ч/0 ^

^¿(8гк-6гп)+ к

дУ^г

+

дг к

Так как вектор — лежит в плоскости г = 0, то данное векторное уравнение расщепляется на два независимых уравнения, описывающих чисто продольные и поперечные колебания. Представим вектор возмущения в виде ¿г* = ¿г^ц + -г*е2, где ег = (0,0,1) - вектор единичной нормали к плоскости решетки.

В дальнейшем нас будут интересовать поперечные колебания и поперечная неустойчивость кристалла, т.е. мы будем рассматривать только проекцию уравнения

(4) на ось г:

т= , (п., у п&Л _ у у(Ск)г _п (Г.,

тпгк + I а + -75-] *к ~~ То-= ' 5>

\ пфк ?пк ) пфк ^пк

Полученное уравнение является дискретным аналогом на пространстве решетки однородному интегродифференциальному уравнению с симметричным ядром в непрерывном пространстве. Плотная гексагональная решетка является простой, так как на элементарную ячейку приходится одна частица г° = а(п). Поэтому общее решение уравнения

(5) ищем в виде плоской волны на дискретном пространстве решетки [10]

Рис. 1. Плотная гексагональная решетка.

Рис. 2. Развитие поперечной неустойчивости гексагональной решетки. Белым и черным цветом показаны относительные направления отклонений частиц от положения равновесия.

гп =

которое, в свою очередь, является аналогом разложения в интеграл Фурье. Если заменить q на я' = д + Ь(а), где Ь(5) = ^Ьа + д2Ъ2 (Ь15 Ь2 - вектора обратной решетки), то получим ч'а(п) = ча(п) + 2тг£ (здесь к = + п2у2 ~ целое число). Это означает, что волновой вектор q 27г-периодичен по векторам обратной решетки; в качестве главного значения области изменения выберем первую зону Бриллюэна: — 7г < < 7Г, (г = 1,2). Таким образом решения (6) удовлетворяют трансляционной симметрии задачи. Подстановка решения (6) в уравнение (5) дает дисперсионную зависимость

ы2

т

где

Здесь расстояние определяется выражением = |а(п)| = + П\П2 + п2.

Сделаем интегральную оценку суммы

ОО 2-7Г ., „ , , оо

ОД = р/I - е'чг)т-^ = 2жр |

в. о в.

Здесь средняя плотность частиц равна р = 2/(^/Зd2). В результате дисперсионное уравнение принимает вид

"2(q) = -

m

оо

а + 2жр J(\ - J0(qr))V'(r)dr d

Квадрат частоты ^2{q) достигает своего минимума при q = qmax = 27г/ci, что соответствует векторам q = ^

min{a>2

принимает вид

J [l - Jo

d

Здесь мы имеем коротковолновую неустойчивость, которая ломает плоскость кристалла, превращая его в "стиральную доску". Вектор трансляции возмущений равен э_1 + а2. Это совпадает с результатами численного анализа, проведенного в работе [8] для юкавовского потенциала. На рис. 2 белым и черным цветом показаны относительные направления отклонений частиц от положения равновесия. Развитие неустойчивости приводит к спонтанному нарушению симметрии. Волна возмущений может распространяться в одном из трех направлений. Два других направления получаются из изображенного на рисунке поворотами на 120 градусов.

Данная работа была выполнена при частичной поддержке РФФИ-05-02-16796-а и NWO-047-016-020.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Т h о m a s H., M о г f i 1 1 G. Е., D e m m e 1 V., et al. Phys. Rev. Lett., 73, 652 (1994).

[2] Chu J. H. and I L. Phys. Rev. Lett., 72, 4009 (1994).

[3] Н а у a s h i Y. and T а с h i b a n a K. Jpn. J. Appl. Phys., Part 2, 33, L804 (1994).

[4] T о m а с В. X., M о p ф и л л Г. Е., Ц ы т о в и ч В. Н. Физика плазмы, 29, 963 (2003).

[5] Т о m m е Е. В., Law D. A., A n п а г a t о п е В. М., and Allen J. Е. Phys. Rev. Lett., 85, 2518 (2000).

[6] T о t s u j i H., К i s h i m о t о Т., and T о t s u j i C. Phys. Rev. Lett., 78, 3113 (1997).

[7] T о t s u j i Hiroo, T о t s u j i Chieko, Tsuruta Kenji. Phys. Rev. E, 64, 066402 (2001).

[8] Q i а о К. and Hyde T. W. Phys. Rev. E, 68, 046403 (2003).

[9] Игнатов A. M. Физика плазмы, 31, 52 (2005).

Г1 Ol 4 п г <> п I. и А Г/Г Rm=>rrf»TiT*i=> и трппнтп ггг>плггтг>гтптттттп^г>п М ГТял/ь-я 1 Q78

— ------ ~ — -- ~ ---Jt---——V"!------------— - —--J — —, -J-

Институт общей физики

им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 25 января 2006 г.