Моделирование процесса управления в системах Чаплыгина

модель - демонстрационная программа [9], позволяющая более эффективно и наглядно визуализировать работу алгоритма при любом заданном импульсе. Результаты представлены на рис. 3.

Реализация подобной схемы управления позволит существенно снизить требования к классу точности систем роликовых перфузионных насосов, используемых в системах искусственного

кровообращения. Как следствие, появится возможность существенного удешевления этой техники. Предполагается, что эти факторы позволят получить возможность дальнейшего развития систем вспомогательного кровообращения в мобильных и полумобильных вариантах. Дальнейшие практические исследования должны прояснить возможности системы, а также ограничения по ее применению.

список литературы

1. Шумаков, В.И. Искусственное сердце и вспомогательное кровообращение [Текст] / В.И. Шумаков, В.Е. Толпекин, Д.В. Шумаков. -М.: Янус-К, 2003.

2. Аграненко, В.А. Принципы трансфузионной медицины [Текст] / В.А. Аграненко // Вестник службы крови России. -1998. -№ 2. -С. 5-8.

3. Salisbury, P. Philosophy of assist circulation. Mechanical devices to assist the failing heart [Текст]/ P. Salisbury // National Academy of science. -Washington D.C., 1966.

4. Кириченко, В.В. Мехатронные перфузион-ные системы [Текст] / В.В. Кириченко, К.Ю. Сенчик, В.Б. Митренин [и др.] // Мехатроника и робототехника (МиР-2007): Тр. Междунар. науч.-тех. конгресса. -СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2008. -С. 85-90.

5. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления [Текст] / Е.И. Юревич. -СПб.: БХВ-Петербург, 2008.

6. Кудрявцев, Ю.С. К вопросу о состоянии парка медицинского оборудования в государственных учреждениях здравоохранения Санкт-Петербурга и финансировании его закупок из городского бюджета в сравнении с данными по другим регионам РФ [Текст] /

Ю.С. Кудрявцев // Вестник Северо-Западного регионального отделения Академии медико-технических наук. -2003. -№ 7. -С. 69-70.

7. Официальный сайт Maquet Продуктов насосной сердечной хирургии [Электронный ресурс] = Maquet official cite. On-pump cardiac surgery products : предоставляет информацию об аппаратах искусственного кровообращения, производимых компанией - Режим доступа: : http://www.maquet.com/productPage.aspx?m1 =112599774495&m2=0&productGroupID=12111865206 8&diViSionID=-99&languageID=1

8. Кириченко, В.В. Исследование динамических характеристик полимерной магистрали как звена автоматизированной системы искусственного кровообращения [Текст] / В.В. Кириченко, В.Б. Митренин, А.В. Кузнецов [и др.] // Тр. науч.-практ. Х конф. Актуальные проблемы защиты и безопасности. -СПб.: НПО специальных материалов. - 2007. -Т. 5. -С. 247-253.

9. Митренин, В.Б. Расчетно-анимационная программа анализа динамики перфузионных насосов [Текст] / В.Б. Митренин, А.В. Полянский, Д.В. Эйс-монт // Матер. IV Всерос. науч.-техн. конф. 21.02.2006. -Вологда: ВоГТУ, 2006. -С. 238-241.

УДК 517.93, 518:512.3

Н.В. Абрамов, Р.Г. Мухарлямов, Н.В. Мотовилов моделирование процесса управления

в системах чаплыгина

Моделирование механических систем, на которые наложены голономные и неголономные связи, приводит к построению уравнений динамики с неопределенными множителями [1]. Выражения множителей Лагранжа обычно определяются из условия равенства нулю производных от уравнений связей. Подстановка их в уравнения динамики

приводит к системе дифференциальных уравнений, численное решение которой оказывается неустойчивым по отношению к уравнениям связей. Замена уравнений связей уравнениями программных связей с соответствующими уравнениями возмущений связей позволяет построить разностные схемы решения уравнений движений, не связан-

ные с накоплением погрешностей численного интегрирования. В статье предложен метод построения уравнений неголономных связей, отражающих требуемые свойства движения системы, и метод составления уравнений динамики неголономных систем с программными связями. Приведено решение задачи управления движением двухколесной тележки из произвольной точки плоскости в начало координат с обходом препятствия.

Уравнения динамики систем Чаплыгина с программными связями. Рассмотрим механическую систему, положение которой определяется обобщенными координатами ч1, ..., чп и на которую наложены неголономные связи, заданные однородными линейными относительно обобщенных скоростей Ч1, ..., Чп уравнениями:

А

А = ЦЛ ау = а Чр ), ' = 1 П - Р.

Представим систему уравнений (1.1) в виде суммы:

А

А(1) = (а.), ] = 1, ..., р, Ч(1) = (Ч1, ..., Чр), А(2) = (а..),] = р + 1, ..., п, Ч(2) = (Чр+1, ..., Чп).

Полагая, что det А(2) ф 0 скорости Ч1, ..., Чр являются произвольными, определим решение системы (1.2) относительно

Чр+1, ..., Чп

Ч

Далее, будем считать, что коэффициенты Ьк(ч) в правой части равенства (1.4) зависят только от соответствующих координат Ч\, ..., Ч . Тогда уравнения связей (1.1) можно представить в виде:

р

ЧЧн =ЕЬ» Оь ..., Чр)Чк, а = Р + 1, ..., п.

к=1

Голономные связи, наложенные на механическую систему, будем считать склерономными. Тогда кинетическая энергия системы определяется квадратичной формой относительно обобщенных скоростей:

2Т= ¿^44 .

Если наряду с коэффициентами Ь уравнений неголономных связей (1.4) коэффициенты а.. квадратичной формы (1.5) также зависят только от обобщенных координат Ч\, ..., Чр , то механи-

ческая система является системой Чаплыгина [2]. Уравнения динамики системы Чаплыгина составляют замкнутую систему р уравнений относительно независимых координат ..., д

а дт* дт* р

А дс{к Э^

» ЗТ

¿иЪк^ыКЪк Щ) )

k = 1, ..., р.

Следуя С.А. Чаплыгину, под Т * будем понимать выражение кинетической энергии, полученное заменой обобщенных скоростей Чн в выражении (1.5) правыми частями уравнения связей

(1.4):

р

2Т* = '

п п 4 у

4 = ач + 2 ^ааЬл +

А=р+1 А,г=р+1

Ввиду того, что кинетическая энергия Т является положительной функцией, матрица А* квадратичной формы Т также является положительно определенной, и ее определитель отличен от нуля.

Функции Qк в правых частях уравнений (1.6) определяют обобщенные активные силы. Функции Як в зависимости от природы связей соответствуют либо реакциям связей, ограничивающих перемещения точек системы, либо управляющим силам, призванным обеспечить выполнение уравнений дополнительно заданных связей (серво-связей). Будем считать, что силы Qk и Як также зависят только от координат ..., цп.

Определение реакций программных связей. Пусть на обобщенные координаты ..., др скорости Ч1, . ., Чр механической системы наложены дополнительные связи, определяемые уравнениями

%

V = т + 1, ..., г <р,

правые части которых удовлетворяют уравнениям возмущений связей

ац = ац(а, а', а, Ч, Ч), Ц = 1,..., т ,

а= (аl, ..., а т ^ а' = — а).

Системы уравнений (2.1) и (2.2) представляют собой уравнения программных связей (2.1) и уравнения возмущений связей (2.2). Правые части уравнений системы (2.2) составляются так, чтобы тривиальное решение ар = 0, р = 1, ..., г было асимптотически устойчиво. В [4] показано, что, полагая

а,

рц

т I —/п

н=1

, Рр,т+ц^ + ¿^ Рр,2т+как Ц=1 К=1

Р = 1, ..., г,

можно определить ограничения, накладываемые на коэффициенты р у = 1, ..., т + г, обеспечивающие выполнение необходимой точности |ау| < е соблюдения уравнений связей при численном решении уравнений динамики системы в обобщенных координатах.

Рассмотрим задачу определения сил Як, обеспечивающих выполнение уравнений программных связей (2.1) и уравнений возмущений связей (2.2). Представим уравнения (1.6) в виде, разрешенном относительно старших производных:

М=1 7=1

Функции а]к аналогичных символам Кристоф-феля второго рода в уравнениях Лагранжа.

Если программные связи (2.1) полагать идеальными, то силы Як определяются через множители Лагранжа Я,1, ..., Xг, составляющие вектор X :

Я = ¥ТX , Я = (Яр ..., Я ),

даш

р =(1 =

да, 1

, ш = 1, ..., т ,

дд1

\= т +1, ..., г , j = 1, ..., р.

Вектор неопределенных множителей Лагран-жа Х = (Х[, ..., Xг) определяется исключением вектора д из системы уравнений (2.3), записанной в векторном виде, и учетом равенства (2.4):

? + № = +

С = (а/*), г, 1, k = 1, ..., р

и векторных уравнений

+ Ч дТдЧ = а(а, а', а, д, Ц), \а'ад + а'д = а(а, а', а, д, д),

полученных дифференцированием выражений (2.1),

= (/1 ) , а'д = (/V ) ,

а т а а

= «), а] =

д Ч

да} ддк

г / V \ V ад = (а 1 ), а 1 =

да

дд1

Перепишем уравнения (2.6) в виде

Ед + w = Ъ ,

V =

Гач > ча'д У

w =

(-т Л

д а т д

дтд

а'ад

V д1 У

Ъ=

(а ^

Подстановка выражения д из (2.5) в (2.7) приводит к уравнению для определения вектора X :

SX = Ъ + V(д^д) - V(А*)-1 Q - w, 5 = V(А*)-1 ¥т .

Предполагая, что det 5 ф 0, находим X = 5_1(Ъ + V(дтОд - (А* - w).

Отметим один частный случай, когда Q = 0 и функции аV линейны относительно обобщенных скоростей:

р

а =

1=1

Тогда элементы матрицы F зависят только от координат д1, ..., д . Полагая Ъ = 0 и учиты-

' • , Р ч ^ д(,\1 . .

вая, что = т+1 , ..., У г ), Ту = ^ ад,

1,1=1 ддг

гат /т ал

V ат Яа а У

X = 5(атОЧ) - (атГд)),

X = 5^(дтОд) - w), w =

выражение

получаем

^ (У1,У , ..., У г ,У ) , Ум 1

д2а

1

г^Ч]

1 1 ддг дд д 2а

Ш = 1, ..., т

дЧг да; ' '

Так как сила Як имеет структуру и = ГТ X, то оказывается справедливым следующее утверждение.

Теорема 1. Если уравнения неголономных программных связей (2.8) линейны относительно обобщенных скоростей и внешние силы отсутствуют: Q = 0, то управление программным движением неголономной системы осуществляется обобщенной силой, представляющей квадратичную форму относительно обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от координат.

Построение уравнений неголономных связей. Для программирования движений управляе-

V

Vа У

мых механических систем может быть эффективно использован метод построения динамических систем с заданными свойствами траекторий. Рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется определить аналитические выражения управляющих воздействий, приложенных к механической системе для перемещения изображающей точки в пространстве состояний ч1, ..., Чп из произвольной точки М0 в начало координат с обходом препятствий Рг, г = 1, ..., I.

Для программирования соответствующего движения зададим 5 функций

/

обладающих непрерывными частными производными по всем переменным х1, ..., хы, определяющим состояние механической системы относительно базовой системы координат. Функци+ (3.1) определяют в некоторой области О еЯы поверхности ^ , г = 1, ..., ч , ограничивающие области Ог, в которых содержатся препятствия Р и точки Аг, г = ч +1, ., 5 . Предположим,

что

сХ,

2

к=1 '

к

= 0, если / (х) = 0 есть уравне-ф 0, когда равен-

ние поверхности, и ——

к=1 1дхк )

ство / (х) = 0 выполняется в отдельной точке А. Тогда можно построить множество систем дифференциальных уравнений

х = у

для которых поверхности ^ и точки Аг будут, соответственно, интегральными поверхностями и особыми точками.

Будем считать, что дифференциальное уравнение (3.2) имеет единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям х(?0) = х0. Тогда траектория изображающей точки, соответствующей его решению х = х^), х(?0) = х0, / (х0) ф 0, не может пересечь ни одну поверхность ^ . Если начало координат является точкой притяжения системы (3.2), то изображающая точка придет к ней, минуя все препятствия

Р , г = 1, ., I.

Выразим значения координат х1, ..., хы системы через обобщенные координаты ч-, 1 = 1, ., п:

хк = хк(ч1, ..., Чп), к = 1, ..., N. Определив про-

дхк .

—~Ч , через ч,, Ч ,, систему

. , дч,

з =1

дифференциальных уравнений (3.2) можно пред-

ставить как уравнения линейных неголоном-ных связей В(ч)Ч + Ь(ч) = 0, В = (Ъ,), Ъ = {Ък),

дх

Ъ,.=——, Ък = —ук (х( ч)), наложенных на механи-

дЧ,

ческую систему.

Покажем решение задачи построения системы (3.2) на двумерной плоскости [3]. Пусть

/(х, У) = /0/1 • • • /р/р+1 • • • /4/4+1 • • • /г/г+1 • " /5/5+1 ,

где

/0 -1, / = (и 2 + — г 2),/ = 1,..., Ч, г = 0, /= 1, ..., р, г ф 0, /= р +1,., Ч ,

и = аг1х + Ъг1 У + Сг1 , V = аг2х + Ъг2У + Сг2 , 4 = аг1Ъг2 — аг2Ъг1 Ф 0, »' = 1 Ч,

/, = а,х + Ъ-у + с,, 1 = Ч +1, ..., г,

/к = /к (х У), к = г +1, 5, /5+1 -1. Уравнения / (х, у) = 0 при /' = 1, ., р равносильны уравнениям пары прямых аг1х + Ъг1 у + + сг1 = 0, аг2 х + Ъг2 у + сг2 = 0, определяющих в пересечении точку А; при г = р + 1, ..., ч получаем эллипсы Е. и при г = ч + 1, ..., ^ - прямые Ь Будем считать, что каждая прямая Ь пересекается по крайней мере с одной прямой Ьт и не проходит через точки А , что Е также не проходят через точки А.. Равенства /к (х, у) = 0 , к = г +1, ., 5 определяют кривые , которые не имеют общих точек с кривыми Е и не проходят через точки А . Через точку А.т пересечения прямых Ь. и Ьт не проходят другие прямые.

Множество систем дифференциальных уравнений, имеющих особые точки типа фокус или центр в точках А предельные циклы Е,, особые точки типа узел или седло в точках А и сепа-

.т

ратрисы Тк , разделяющие области, заполненные траекториями разных типов, записывается в виде:

х = к (х у)Х

1

l 5 /,.«5 /

I =1 /

Л

д х

д у

, ^ 1 / —v( ^ у)^—--д-,

I=1 /(^ у) ду

у = к (x, у)Х

I =1/1

1 Г д д

- у, — + ь,—

д х ду

/ ^ 1 /

+V( X, у --д-,

1=1 / (х, у) дх

к(х,у) = Ф(х,у)./"(х,у), у(х:,у^) = ММх,у)/(х,у), Ф(х, у) = ^(х, у)/р+1 • /ч , где Г = ^ (х, у), М = М (х, у) - произвольные не-

прерывные функции, отличные от нуля в рассматриваемой области G изменения переменных х, у. Коэффициенты а1, Р,, у 1, 8, назначаются так, чтобы точки А , А и кривые Е были, соответственно,

V /т А г 7 7

особыми точками заданного типа и устойчивыми или неустойчивыми предельными циклами.

Т^ если а] = ат = 8] =8т = 0 1 ] = -Р] , 1 т =

= -Рт, а Р], Рт определяются из равенств

(M - ВФ)Д f = X ,

4 mj 1 m mj mj ^ mj mj7

(M - В.Ф. )Д. f = X. ,

jm j jm jm jm jm

где

/. -

J mj

соот-

Л . = атЪ, - а/Ът, М , Ф ., .

т/ т ] ] т? ту ту т/

ветственно значения функций М = М(х, у), Ф( х, у) = V (х, у) /р+1... /д и произведения

/1 . У/-1/] +1 . /т-1/т+1 . ^ в точке Ат то в ТОчке А будем иметь устойчивый

/т 4 А /т у т/

или неустойчивый (при X > 0, X > 0) узел или

^ 4 А /т 7 т/ '

седло (при XX < 0).

4 А jm т/

Для/ = 1, ..., р величины а., Р. + у.,8. определяются как решение системы линейных уравнений

kj

a)laj + anbfl(J3; +y7)+ bjfij = -

2апап^ + (ajlbj2 + a j2bj = Jfy + y+ y + 2b]lb]25] = 0, ^

a2j2aj+aj2bj2(pj+yj)+b%8j =

V

где к} =ф{х],у])/1(х},у^.../1_1(х],у])/]+г

х , ^)...,у;)и X/ - произвольная величина. Заметим, что определитель системы (3.5) равен Л3. ф 0 и решение ее единственно. В зависимости от знака X. система (3.3) имеет в точке А. неустойчивый фокус (X. > 0), центр (X. = 0) или устойчивый фокус (X/ < 0).

Если/ = р + 1, ..., д и величины а;-,Р;- + 8/ определены как решение системы (3.5), а величина X/ выбрана так, что

к]Р] {х, у) + qj (х, у) < -Л , < о(> Л У > о),

•  • fq /2+1 •/в*

* /\ •   /1-1/1+1  • • /]-\/]+\ • •  /,+1'

то предельный цикл Е будет асимптотически устойчивым ( X / < 0), устойчивым ( X / = 0) или

неустойчивым (X. > 0).

Управление движением двухколесной тележки. Рассмотрим задачу управления движением двухколесной тележки по шероховатой плоскости. Положение тележки на плоскости определяется координатами q1 = х, q2 = y, q3 = 9, q4 = ф^ q5 = ф2, где х и у - декартовы координаты точки М пересечения оси симметрии тележки с осью, на которые посажены колеса; 9 - угол между осью симметрии и осью Ох на плоскости; ф1 и ф2 - углы поворотов, соответственно, правого и левого колес. Условие качения без проскальзывания приводит к уравнениям трех неголономных связей [5]:

х cos 9 + y sin 9 + b9 + аф1 = 0,

х cos 9 + y sin 9- b9 + аф2 = 0,

х sin 9-y cos 9 = 0,

где а - радиус колес, b - длина полуоси.

Кинетическая энергия тележки определяется выражением [4]:

2b = m(х2 + y2) + 2m0l9(y cos 9- х sin 9) +

+ J92 + C (ф12 +ф22),

где m = m0 + 2m1 - масса всей системы; m0 -масса кузова; m1 - масса каждого колеса; l - расстояние от точки М(х, у) до центра масс тележки; J = m0k0 + 2m1b + 2A - момент инерции системы относительно вертикальной оси, проходящей через точку М(х, у); к0 - радиус инерции колеса кузова относительно той же вертикали; А - момент инерции колеса относительно диаметра; С - осевой момент инерции колеса.

Будем считать, что управление тележкой осуществляется моментами М1 и М, приложенными к колесам, и действующими так, чтобы точка М совершала переход из произвольной точки плоскости в начало координат с обходом препятствия, ограниченного кривой

(х-2)2 + 4y2 -1 = 0.

Требуемые движения тележки будут осуществляться, если координаты х,у и скорости X, у точки М удовлетворяют системе дифференциальных уравнений [5]:

х = --хкх - 2)2 + 4у2 -1)- 4ху2,

3

у = ~у((х~ 2)2 +*у2-1)+ ху{х - 2).

5 dT*i(dbhi dbhl

Фазовый портрет системы

Начало координат является особой точкой системы (4.6) типа устойчивый узел, кривая (4.5) соответствует ее сепаратрисе. Фазовый портрет системы (4.6) приведен на рисунке.

Будем считать, что управляющие моменты М и М2 зависят от координат x, y, 9 . Тогда целесообразно за независимые обобщенные координаты принять q1 = x, q2 = y, q3 = 9. Уравнения (4.1), (4.2) неголономных связей используем для исключения ф 1, ф 2:

/Фх =b4íx + b42y + b4iQ,

[ф2 - b51x + b52y + b53Q.

и -и - cos и -и - S*n

41 - "51 - > ЬА2 - ¿>52 - ,

а а

Къ = ~b53 ----

а

Приведенная кинетическая энергия системы

определяется выражением: з

2Г* = ^

a*! —m + 2d cos2 0, d — ^, a[2 = d sin 20, a

a*3 = -mo/sin0, a22 = m + 2dún2 0,

a23 ~ cos 0, азъ- J + 2 db2.

Полагая, что внешние силы отсутствуют: Fx = Fy = F9 = 0, составим уравнения Чаплыгина (1.6):

d ЭТ* дт* ----+

dt dq¡ Эq¡

q^Qi+Ri ,

hi Whi dqt dqj

i = 1, 2, 3.

Силы Q соответствуют управляющим момен-

там М1 и М2:

Ql = b41M1 + ЬзМ Q2 = +

Q3 = bM

R. - реакции связи (4.3). Для определения выражений М1, М, R. введем уравнения программных связей (2.1) с учетом равенств (4.3), (4.6):

f1 = X sin 9 - Y cos 9 = a0,

f2 = X - X = a 2, f3 = y - Y = a3.

X = -I4x- 2)2 + 4y2 -1)- 4xy2,

* = ~y((x-2)2 + V -1)+ xy(x-2).

Уравнения возмущений связей (2.2) можно представить в виде

á = Pa, a. =

Pti=Ski> k'l = 0,1,2,3. Полагая связи (4.10) идеальными, получим выражения для Ri :

- /11^ > Ri = /12^' - /13^ >

fn = j1 = -^(З*2 -8x + 3 + 16y2)sin0 +

+ ^(x + l);ycos0j,

/12 = f1= ~v sin 0- i ((x2+ 2* - 6 - 24/2) x dx 5 5

xcos©),

fn = —= Xcos0 + ysin0.

dz

Представим систему (4.9) в развернутом виде:

з з

X^j+a'=EdouJ'

j=1 j+1

j

ai - Yjhijk+hjiMj<ik

j,k=í /

liJk 2

* \

dajj | datí Эajk dqk Э qj д q¿

hjk-c±bhk

A=4

Э4, dqj

и, = —

М; +М2 а

, и2=-(М2-М1),

и-, — —.

3 3

После проведения необходимых выкладок будем иметь следующие значения функций at и коэффициентов d.:

ах - 2d yécos2 0 - iÓsin 20 - т0Ю2 cos 0,

a2 — -d jé sin 20 - 2d xQ sin2 0 - m0lQ2 sin 0,

a3— 0,

dn= cos 0, dl2= 0, du = -3 fn,

d21 = -sin0, d22=0, ¿2з = -3/12,

dM = 0, d32 =1, d33 = Xcos0-7sin0. Запишем систему

q = q2, qз), u = (uu u2, u3).

Остается определить вектор управляющих функций u . Для этого следует продифференцировать дважды функцию f и по одному разу функции f2, f3 с учетом равенств (4.11). В результате получается следующее матричное равенство:

Fq + w = Pf,

F = (fj ), W = (W^ W2 , W3), P = (Ps ^

f =(f, f, ./2, f3),

i, j = 1, 2, 3, s = 0, 1, 2, 3,

f21 = 1, f22 = 0 f23 = 0,

f31 = 1 f32 = 0, f33 = 0,

xv • •

'.M

win =-^((3jc + 4)sin0 + ycos0),

w112 =-—((x + l)cos0 + 16ysin0),

WU3 =^(x + l);ysin0-^(6;e2 -8x + 3 + 16;y2)x X cos 0 ,

64

w122 - ——Jesin0 + 32;ycos0,

W1,23=T

(x2 + 2x - 6 - 24y2 )sin 0 - ^ xy cos 0,

2 /

wi,33 = -4x + 3 + 16;y2)xsin0 + ^(jE2 +2jc - бу - 8y 2 );y cos 0,

2 1 / \ w, =—(;c + l);y;t— [x2 +2x-6-24y2)y .

3V '3

Из (4.13), (4.14) следует выражение для вектора управления:

W

Рассмотренные и смоделированные методы (метод построения уравнений неголономных связей, отражающих требуемые свойства движения системы, и метод составления уравнений динамики неголономных систем с программными связями) позволят легко просчитать их на любой компьютерной системе аналитических вычислений, в данном случае часть задачи была смоделирована в системе MathCAD, что позволит в дальнейшем использовать результаты в различных прикладных областях. Данные методы являются перспективными в развитии направления моделирования и решения задач управления.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 10-01-00381-а.

список литературы

1. Мухарлямов, Р.Г. Об уравнениях кинематики и динамики несвободных механических систем [Текст] / Р.Г. Мухарлямов // Механика твердого тела. -2000. -Вып. 30. -НАН Украины, Донецк. -С. 68-79.

2. Чаплыгин, С.А. Исследования по динамике неголономных систем [Текст] / С.А. Чаплыгин. -М. -Л.: Гостехиздат, 1949. -112 с.

3. Мухарлямов, Р.Г. К обратным задачам ка-

чественной теории дифференциальных уравнений [Текст] / Р.Г Мухарлямов // Дифференц. уравнения. -1967. -Т.3. -№ 10. -С. 1673-1681.

4. Мухарлямов, Р.Г. Уравнения движения механических систем [Текст] / Р.Г. Мухарлямов. -М.:Изд-во РУДН, 2001. -99 с .

5. Неймарк, Ю.И. Динамика неголономных систем [Текст] / Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. -М.:Наука, 1967. -519 с.