Теоретический аналитический метод решения задачи процесса вакуумного замораживания жидкости в спокойном состоянии

УДК 621.565.9 DOI: 10.12737/22051

И.Е. Лобанов

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРОЦЕССА ВАКУУМНОГО ЗАМОРАЖИВАНИЯ ЖИДКОСТИ В СПОКОЙНОМ СОСТОЯНИИ

Получено обобщённое аналитическое решение задачи о процессе вакуумного замораживания жидкости в спокойном состоянии относительно толщины слоя намораживания Рассмотрено ре-

шение задачи образования тонкого слоя водного льда в герметичной вакуумируемой полости.

Ключевые слова: теплообмен, вакуумное замораживание, охлаждение, жидкость, аналитический метод.

I.E. Lobanov

THEORETICAL ANALYTICAL METHOD IN PROBLEM SOLUTION OF LIQUID VACUUM FREEZING IN QUIET STATE

A generalized closed analytical solution of the problem of a quasi-stationary process in liquid vacuum freezing in a quiet state with regard to the thickness of the frosting layer 4 whereas heretofore numerical solutions of this problem occurred. The advantage of the analytical solutions obtained of the problem of a quasi-stationary vacuum freezing of moisture in a fine-dispersion state over existing numerical ones consists

in the identification of an immanent tie between defining and determined parameters regarding a thickness of the frosting layer 4. It is also possible to use them directly at the computation without resorting to the help of computers.

Key words: heat exchange, vacuum freezing, cooling, liquid, analytical method.

Введение. Основные аспекты применения ках

В настоящее время в холодильных парокомпрессионных установках в качестве хладагентов применяют в основном хладоны и аммиак, термодинамические свойства которых позволяют осуществлять производство холода в широком диапазоне низких температур и, в большинстве случаев, при системном давлении больше атмосферного [1-3].

При давлениях, близких к атмосферному, возможна генерация внештатных режимов работы испарителя холодильной установки, которые опасны для всей холодильной установки, так как возможно проникновение в систему атмосферного воздуха.

При понижении давления на всасывании вплоть до атмосферного давления часто предусматривается отключение компрессора за счёт схемы автоматизации.

Общая энергетическая эффективность и коэффициент подачи компрессора

умной техники в холодильных установ-

при работе холодильной установки в вакуумном режиме существенно снижаются.

Существующие в настоящее время хладагенты не могут полностью обеспечить выполнение экологических, токсикологических, санитарных, экономических требований.

Альтернативными рабочими веществами для холодильных парокомпресси-онных установок могут служить вещества низкого давления, а именно: вода, рассолы, спирты, эфиры.

Использование воды как хладагента при рабочих давлениях ниже атмосферного реализуется в пароэжекторных холодильных установках с пароструйными вакуумными насосами, которые, особенно при малой производительности, могут не удовлетворять требованиям по компактности, мобильности и т.п.

Следовательно, использование вакуумных насосов, отличных от струйных принципом действия, обусловливает гене-

рацию мобильных холодильных установок на воде или водяном паре.

Исчерпывающий аналитический обзор средств вакуумной откачки приведён в [1-3].

Вышесказанное обусловливает актуальность математического моделирования процесса вакуумного замораживания жидкостей в спокойном состоянии.

Математическая модель процесса вакуумного состоянии

Постановка задачи исследования выглядит следующим образом.

Рассматривается замкнутая герметичная полость; внутри полости находится жидкость, например вода, в спокойном состоянии при температуре, близкой к 0°С. Предположительно при подаче воды в ва-куумируемую полость расход воды таков, что при подлёте капель к днищу полости они охлаждаются примерно до 0°С.

Вакуумирование полости происходит со скоростью £, которая остаётся неизменной в диапазоне давления при образовании массива льда, что обосновано с физической точки зрения при спецподборе средств вакуумной откачки для конкретных свойств замораживаемой жидкости.

Граничное условие на границе лёд -паровая полость выглядит следующим образом:

А—I — 5"р"(£ г) —

где X — коэффициент теплопроводности льда в состоянии таяния; Т — температура; £ — эффективная скорость откачки на единицу площади сечения вакуумируемой полости; р" — плотность насыщенных паров воды; Ь — теплота замерзания; г — теплота испарения; т — масса; т — время; х — координата, отсчитываемая от внешней поверхности ледяного массива, имеющего глубину промерзания в сторону замораживаемой жидкости.

Граничное условие на границе лёд -вода выглядит следующим образом:

,

сГт 1

где рл — плотность льда жидкости.

замораживания жидкости в спокойном

В дальнейшем моделирование квазистационарного вакуумного замораживания влаги в мелкодисперсном состоянии будем проводить методом Лейбензона, успешно использованным автором для аналитического решения задачи намораживания на поверхностях различной кривизны [4-20], на основании которого следует принять распределение температуры в плоском слое льда как стационарное распределение температуры.

Стационарное распределение температуры в полом ледяном шаре выглядит следующим образом:

Т

где Т1 — температура замерзания; Т0 — температура поверхности льда на границе раздела лёд - паровая полость.

Плотность паров влаги выразим через давление насыщенных паров р, переменную температуру поверхности замораживания Т0, универсальную газовую постоянную ЯГ:

%

Применим граничное условие на границе лёд - паровая полость для принятого распределения температур (1), а также выражение для плотности паров влаги р" (2):

= 3'

.

В дальнейшем применим граничное условие на границе лёд - вода для принятого распределения температур (1):

6х

_

.

Разделим в уравнении (6) переменные и проинтегрируем в соответствующих пределах, после чего получим выражение, связывающее толщину слоя намораживания с временем т:

5

2 т

Левые части выражений (3) и (5) равны, поэтому равны и их правые части:

Л _ 1££л

г„Яг а х

Для решения уравнения (6) необходимо выразить с приемлемой точностью давление насыщенного пара надо льдом р в интересующем диапазоне температур 0...12 °С:

р = АГ0 - В

где ^=35 Па/К, 5=8940 Па — константы.

Подставим давление из выражения (7) в уравнение (6):

г)

Га*Г

.

2 т 4 '

Основное уравнение относительно толщины слоя намораживания и времени т получим, подставив соотношение для Т0 из уравнения (5) в уравнение (8):

2 Ат

.

После упрощений оно примет окончательный вид:

в

мл I №)/

Аналитическое решение уравнения (9) относительно толщины слоя намораживания также получается посредством ре-

шения уравнения третьей степени относительно (один корень - действительный, два - комплексно-сопряжённые). В общем виде решение довольно громоздко, поэтому следует переписать уравнение (9) в следующем виде:

где а =

Ъ =

11 аРи)злг •

Действительное решение уравнения (10) выглядит следующим образом:

-ЗбЬа- 10 3с-3аэ + + 12

¡1 V

- - . (11) -\-5ibac + 81с2 + 12са3

Выражения (10) и (11) являются обобщёнными замкнутыми аналитическими решениями задачи о квазистационарном процессе вакуумного замораживания жидкости в спокойном состоянии относительно времени намораживания т и толщины слоя намораживания соответственно.

Преимущество точных аналитических решений перед существующими численными состоит в выявлении имманентной связи между определяющими и определяемыми параметрами, а также о том, что ими можно непосредственно воспользоваться при расчёте, не прибегая к помощи диаграмм (номограмм) или вычислительной техники.

Заключение

В исследовании было получено обобщённое замкнутое аналитическое решение задачи о квазистационарном процессе вакуумного замораживания жидкости в спокойном состоянии, в то время как до этого имели место числен-ные решения данной задачи.

Преимущество полученных аналитических решений задачи о квазистационар-

ном вакуумном замораживании влаги в мелкодисперсном состоянии перед существующими численными состоит в выявлении имманентной связи между определяющими и определяемыми параметрами. Ими можно непосредственно воспользоваться при расчёте, не прибегая к помощи вычислительной техники.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Маринюк, Б.Т. Теплообменные аппараты ТНТ. Конструктивные схемы и расчёт / Б.Т. Маринюк. - М.: Энергоатомиздат, 2009. - 200 с.

2. Маринюк, Б.Т. Вакуумно-испарительные холодильные установки, теплообменники и газификаторы техники низких температур / Б.Т. Маринюк. - М.: Энергоатомиздат, 2003. - 208 с.

3. Маринюк, Б.Т. Аппараты холодильных машин (теория и расчёт) / Б.Т. Маринюк. - М.: Энергоатомиздат, 1995. - 160 с.

4. Моделирование эксплуатационных процессов в технических системах / А. В. Абрамов,

A.Ю.Албагачиев, С.М.Белобородов, С.А.Быков,

B.П.Иванов, А.В.Киричек, И.Е.Лобанов, А.В.Морозова, М.В.Родичева; под ред. А.В.Киричека. - М.: Спектр, 2014. - 240 с.

5. Лобанов, И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании на сферической поверхности (квазистационарная задача Сте-фана) /И.Е. Лобанов // Альманах современной науки и образования. - Тамбов: Грамота, 2011. - № 12 (55). - С. 50-53.

6. Лобанов, И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании (задачи Стефана) на внешней и внутренней сферической по-верхности / И.Е. Лобанов // Московское научное обозрение. - 2012. - № 1. - С. 813.

7. Лобанов, И.Е. Обобщенная аналитическая теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями I рода на внешней поверхности / И. Е. Лобанов // Московское научное обозрение. - 2012. - № 6. - С. 10-14.

8. Лобанов, И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями I рода на внутренней поверхности / И. Е. Лобанов // Отраслевые аспекты технических наук. - 2012. - № 6. - С. 9-13.

9. Лобанов, И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживания на сфе-

рической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями III рода на внешней поверхности / И.Е. Лобанов // Московское научное обозрение. - 2012. - № 7. - Т. 1. -С. 9-14.

10. Лобанов, И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживанияна сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями III рода на внутренней поверхности / И. Е. Лобанов // Отраслевые аспекты технических наук. - 2012. - № 7. - С. 10-15.

11. Лобанов, И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании (задачи Стефана) на внешней цилиндрической поверхности при нулевой криоскопической температуре и граничных условиях I рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности / И.Е. Лобанов // Московское научное обозрение. - 2012. - № 9. - С. 14-20.

12. Лобанов, И.Е. Теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности применительно к аккумуляторам холода / И.Е. Лобанов, Б.Р. Айтикеев // Проблемы усовершенствования холодильной техники и технологии: сб. науч. тр. V науч.-практ. конф. с между-нар. участием / отв. ред. Б.С. Бабакин. - М.: Изд. комплекс МГУПП, 2012. — С. 111—117.

13. Лобанов, И.Е., Низовитин А.А. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на плоской поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание с граничными условиями III рода на поверхности стенки и граничными условиями III рода на поверхности намораживания / И.Е. Лобанов, А. А. низовитин // Отраслевые аспекты технических наук. - 2013. -№ 5. - С. 9-14.

14. Лобанов, И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании (задачи Стефана) на внутренней цилиндрической поверхности при нулевой криоскопической температуре и граничных условиях I рода на внешней поверхности и III рода на внутренней

поверхности / И.Е. Лобанов // Московское научное обозрение. - 2012. - № 10. - Т. 1. - С. 20-26.

15. Лобанов, И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): наморажи-вание на внутренней поверхности с граничными условиями I рода на внешней поверхности и III рода на внутренней поверхности / И. Е. Лобанов // Отраслевые аспекты технических наук. - 2012. - № 12. - С. 8-15.

16. Лобанов, И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефа-на): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями I рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности / И.Е. Лобанов // Отраслевые аспекты технических наук. - 2013. - № 2. - С. 1421.

17. Лобанов, И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями III рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности

1. Marinyuk, B.T. Heat-Exchange Devices TNT. Design Circuits and Computation / B.T. Marinyuk. -M.: EnergoAtom Publishing House, 2009. - pp. 200.

2. Marinyuk, B.T. Vacuum-Evaporator Refrigerating Plants, Heat Exchangers and Gasifiers of Low-Temperature Equipment / B.T. Marinyuk. - M.: EnergoAtom Publishing House, 2003. - pp. 208.

3. Marinyuk, B.T. Devices of Freezing Equipment (Theory and Computation) / B.T. Marinyuk. - M.: EnergoAtom Publishing House, 1995. - pp. 160.

4. Modeling of Operation Processes in Engineering Systems / A.V. Abramov, A.Yu. Albagachiev, S.M. Beloborodov, S.A.Bykov, V.P. Ivanov, A.V. Ki-richek, I.E. Lobanov, A.V. Morozova, M.V. Rodicheva; under the editorship of A.V. Kirichek. -M.: Spectrum, 2014. - pp. 240.

5. Lobanov, I.E. Precise analytical solution of quasi-stationary problem of frosting upon spherical surface (Stephan quasi-stationary problem) /I.E. Lobanov // Almanac of Modern Science and Education. - Tambov: Gramota, 2011. - № 12 (55). - pp. 50-53.

6. Lobanov, I.E. Precise analytical solution of quasi-stationary problem of frosting (Stephan problems) on external and internal spherical surface/ I.E. Lobanov // Moscow Scientific Review. - 2012. - № 1. - pp. 8-13.

7. Lobanov, I.E. Generalized analytical theory of quasi-stationary frosting on spherical surface (Stephan quasi-stationary problem): frosting on internal surfaces with boundary conditions of the 1st type on external surface / I.E. Lobanov // Moscow Scientific Review. - 2012. - № 6. - pp. 10-14.

/ И.Е. Лобанов // Отраслевые аспекты технических наук. - 2013. - № 3. - С. 8-15.

18. Лобанов, И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями III рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности / И.Е. Лобанов // Московское научное обозрение. - 2013. - № 3. - С. 19-26.

19. Лобанов, И.Е. Обобщённая численная теория квазистационарного одномерного намораживания на поверхности переменной кривизны (квазистационарная задача Стефана) / И.Е. Лобанов // Отраслевые аспекты технических наук. - 2013. - № 4. - С. 5-11.

20. Лобанов, И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на плоской поверхности (квазистационарная задача Стефа-на):намораживание с граничными условиями I рода на поверхности стенки и граничными условиями III рода на поверхности намораживания / И.Е. Лобанов // Московское научное обозрение. - 2013. - № 4. - С. 12-16.

8. Lobanov, I.E. Generalized analytical theory of quasi-stationary frosting on spherical surface (Stephan quasi-stationary problem): frosting on external surface with boundary conditions of the 1-st type on inner surface / I.E. Lobanov // Branch Aspects of Engineering Sciences. - 2012. - № 6. - pp. 9-13.

9. Lobanov, I.E. Generalized analytical theory of quasi-stationary frosting on spherical surfaces (Stephan quasi-stationary problem): frosting on inner surface with boundary conditions of the III-d type on external surface / I.E. Lobanov // Moscow Scientific Review. - 2012. - № 7. - Vol. 1. - pp. 9-14.

10. Lobanov, I.E. Generalized analytical theory of quasi-stationary frosting on spherical surface (Stephan quasi-stationary problem): frosting on external surface with boundary conditions of the III-d type on inner surface / I.E. Lobanov // Branch Aspects of Engineering Sciences. - 2012. - № 7. - pp. 10-15.

11. Lobanov, I.E. Precise analytical solution of quasi-stationary problem of frosting (Stephan problems) on external cylindrical surface at zero cryoscopic temperature and boundary conditions of the I-st type on inner surface and the III-d type on external surface / I.E. Lobanov // Moscow Scientific Review.

- 2012. - № 9. - pp. 14-20.

12. Lobanov, I.E. Theory of quasi-stationary frosting on spherical surface as applied to accumulators of cold / I.E. Lobanov, B.R. Aitikeyev // Problems in Refrigeration Equipment and Techniques Updating: Proceedings of the V-th Scientific-Practical Conf. with Inter. Participation/ executive editor B.S. Ba-bakin. - M.: Publishing Complex of MSUPP, 2012.

— pp. 111—117.

13. Lobanov, I.E., Nizovitin A.A. Analytical theory of quasi-stationary frosting on flat surface (Stephan

quasi-stationary problem): frosting with boundary conditions of the IlI-d type on wall surfaces and boundary conditions of the IlI-d type on surface of frosting / I.E. Lobanov, A.A. Nizovitin // Branch Aspects of Engineering Sciences. - 2013. - № 5. -pp. 9-14.

14. Lobanov, I.E. Precise analytical solution of quasi-stationary problem of frosting (Stephan problems) on inner cylindrical surface at zero cryoscopic temperature and boundary conditions of the I-st type on external surface and the III-d type on inner surface / I.E. Lobanov // Moscow Scientific Review. - 2012. - № 10. - Vol. 1. - pp. 20-26.

15. Lobanov, I.E. Analytical theory of quasi-stationary frosting on cylindrical surface (Stephan quasi-stationary problem): frosting on inner surface with boundary conditions of the I-st type on external surface and the III-d type on inner surface / I.E. Lobanov // Branch Aspects of Engineering Sciences. - 2012. - № 12. - pp. 8-15.

16. Lobanov, I.E. Generalized analytical theory of quasi-stationary frosting on cylindrical surface (Stephan quasi-stationary problem): frosting on external surface with boundary conditions of the I-st type on inner surface and the III-d type on external surface / I.E. lobanov // Branch Aspects of Engineering Sciences. - 2013. - № 2. - pp. 14-21.

17. Lobanov, I.E. Analytical theory of quasi-stationary frosting on cylindrical surface (Stephan quasi-stationary problem): frosting on external surface with boundary conditions of the III-d type on inner surface and the III-d type on external surface / I.E. Lobanov // Branch Aspects of Engineering sciences. - 2013. - № 3. - pp. 8-15.

18. Lobanov, I.E. Analytical theory of quasi-stationary frosting on cylindrical surface (Stephan quasi-stationary problem): frosting on inner surface with boundary conditions of the III-d type on inner surface and the III-d type on external surface / I.E. Lobanov // Moscow Scientific Review. - 2013. - № 3. - pp. 19-26.

19. Lobanov, I.E. Generalized numerical theory of quasi-stationary one-dimensional (1D) frosting on surface with curvature variable (Stephan quasi-stationary problem) / I.E. Lobanov // Branch Aspects of Engineering Sciences. - 2013. - № 4. - pp. 5-11.

20. Lobanov, I. E. Analytical theory of quasi-stationary frosting on flat surface (Stephan quasi-stationary problem): frosting with boundary conditions of the I-st type on wall surface and boundary conditions of the III-d type on surface of frosting / I.E. Лобанов // Moscow Scientific Review. - 2013. - № 4. - pp. 12-16.

Статья поступила в редакцию 19.04.2016 г.

Рецензент: д.т.н., профессор МАИ Мякочин А. С.

Сведения об авторах:

Лобанов Игорь Евгеньевич, д.т.н., вед. науч. со- Lobanov Igor Evgenievich, D.Eng., Leading re-

трудник Московского авиационного института searcher of Moscow Aircraft Institute (national Re-

(национальный исследовательский технический search Technical University), е-mail: lloobbaan-

университет), е-mail: lloobbaannooff@live.ru. nooff@live.ru.