Анализ устойчивости положений равновесия нелинейных механических систем с нестационарным ведущим параметром при потенциальных силах

2015 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 1

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 531.36

А. Ю. Александров, Е. Б. Александрова, А. В. Платонов

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕСТАЦИОНАРНЫМ ВЕДУЩИМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛАХ *)

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Изучаются некоторые классы нелинейных механических систем, описываемых дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода, с нестационарной эволюцией потенциальных сил, приводящей к их доминированию. Эта эволюция определяется зависящим от времени параметром при векторе потенциальных сил. Предполагается, что значение параметра неограниченно возрастает со временем. Наряду с потенциальными силами на рассматриваемые системы действуют гироскопические и существенно нелинейные диссипативные силы. Сначала предполагается, что диссипативные силы задаются однородной функцией Рэлея, а затем исследуется случай, когда диссипативные силы зависят не только от обобщенных скоростей, но и от обобщенных координат. С помощью прямого метода Ляпунова и метода дифференциальных неравенств найдены достаточные условия асимптотической устойчивости тривиального положения равновесия как по всем, так и относительно части переменных.

Кроме того, изучается случай, когда на описываемую систему не действуют диссипа-тивные силы. Показано, что предложенные подходы позволяют получить условия асимптотической устойчивости положения равновесия по отношению к обобщенным координатам. По сравнению с известными результатами эти условия расширяют типы законов эволюции потенциальных сил, для которых можно гарантировать асимптотическую устойчивость. Приведены два примера, демонстрирующие эффективность разработанных подходов. Библиогр. 23 назв.

Ключевые слова: механические системы, потенциальные силы, нестационарный параметр, асимптотическая устойчивость, функции Ляпунова.

Александров Александр Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой; e-mail: alex43102006@yandex.ru

Александрова Елена Борисовна — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: star1460@yandex.ru

Платонов Алексей Викторович — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: al-platon1@yandex.ru

Aleksandrov Alexander Yurjevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the chair; e-mail: alex43102006@yandex.ru

Aleksandrova Elena Borisovna — candidate of physical and mathematical sciences, associated professor; e-mail: star1460@yandex.ru

Platonov Alexey Viktorovich — candidate of physical and mathematical sciences, associated professor; e-mail: al-platon1@yandex.ru

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-01-00376-a) и Санкт-Петербургского государственного университета (НИР № 9.38.674.2013).

A. Yu. Aleksandrov, E. B. Aleksandrova, A. V. Platonov

STABILITY ANALYSIS OF EQUILIBRIUM POSITIONS OF NONLINEAR MECHANICAL SYSTEMS WITH NONSTATIONARY LEADING PARAMETER AT THE POTENTIAL FORCES

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

Certain classes of nonlinear mechanical systems described by the Lagrange differential equations of the second kind with nonstationary evolution of potential forces resulting in their domination are studied. This evolution is defined by a time-varying parameter at the vector of potential forces. It is assumed that the parameter value unlimitedly increases with time. Along with potential forces, gyroscopic and essentially nonlinear dissipative forces act on the examined systems. First, we assume that dissipative forces are determined by the homogeneous Rayleigh function, and after that the case when dissipative forces depend not only on generalized velocities but also on generalized coordinates is investigated. By the use of the Lyapunov direct method and the differential inequalities method, sufficient conditions of the asymptotic stability of the trivial equilibrium position both with respect to all variables and with respect to part of the variables are determined. Furthermore, we study the case when the dissipative forces do not act on the considered system. It is shown that the approaches suggested in this paper allow us to obtain conditions of the asymptotic stability of the equilibrium position with respect to the generalized cooordinates. Compared with known results, these conditions extend types of evolution laws of potential forces for which one can guarantee the asymptotic stability. Two examples are presented to demonstrate the effectiveness of the developed approaches. Bibliogr. 23.

Keywords: mechanical systems, potential forces, nonstationary parameter, asymptotic stability, Lyapunov functions.

Многие задачи механики приводят к исследованию устойчивости решений систем нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих ведущий параметр, в качестве которого может выступать или малый параметр при старшей производной, или большой параметр при некоторых компонентах действующих на систему сил [1—4]. Присутствие ведущего параметра в системе обычно позволяет существенно упростить анализ ее динамики. Для этого широко используются такие подходы как метод декомпозиции, теория сингулярных возмущений, метод усреднения, теория интегральных многообразий и др. [1-10].

В ряде случаев в математических моделях механических систем необходимо учитывать эволюцию параметра, рассматривать его как функцию времени [11, 12]. Это приводит к новым динамическим эффектам, не характерным для систем с постоянными параметрами. Например, в системах с нестационарным ведущим параметром при диссипативных силах может возникать явление передемпфирования [12].

Нестационарность ведущего параметра существенно усложняет проблему анализа устойчивости и требует разработки специальных подходов к ее решению. Такие подходы были развиты для широких классов механических систем (см. [11-19] и цитируемую там литературу). Однако следует заметить, что наиболее радикальным и мало изученным остается случай неограниченно возрастающего со временем параметра [12].

В настоящей статье рассматриваются механические системы, в которых среди действующих сил присутствуют потенциальные, имеющие устойчивые положения равновесия. Предполагается, что с течением времени потенциальные силы могут эволюционировать, а это выражается в появлении при векторе данных сил скалярного множителя h(t) > 0, заданного при всех t ^ 0 и неограниченно возрастающего при

t ^ В результате возникает вопрос о сохранении устойчивости положения равновесия механической системы при такой эволюции потенциальных сил.

На важность проблемы анализа устойчивости систем подобного рода указывалось в работе [11], при этом отмечалось, что они часто встречаются в приложениях. В [11] были найдены достаточные условия асимптотической устойчивости относительно обобщенных координат положения равновесия механической системы с монотонно возрастающим со временем коэффициентом при потенциальных силах. Полученные результаты применялись в задаче о движении тяжелого твердого тела в безграничном объеме идеальной жидкости. В [17] исследовались системы, находящиеся под воздействием линейных диссипативных сил и эволюционирующих потенциальных сил. Рассматривались случаи линейных и нелинейных однородных потенциальных сил и предполагалось, что эволюция этих сил приводит к их доминированию. Были установлены условия на скорость изменения нестационарного ведущего параметра, при выполнении которых сохраняется асимптотическая устойчивость положений равновесия.

В настоящей статье проводится дальнейшее развитие результатов, полученных в [11] и [17]. Изучаются системы, на которые действуют потенциальные силы с неограниченно возрастающим со временем параметром, гироскопические силы и существенно нелинейные диссипативные силы. Рассматриваются следующие типы диссипатив-ных сил: 1) описываемые однородной функцией Рэлея; 2) зависящие от обобщенных координат. С помощью прямого метода Ляпунова и метода дифференциальных неравенств [2] определяются достаточные условия асимптотической устойчивости положений равновесия как по всем, так и относительно части переменных. Кроме того, исследуется случай, когда на системы не действуют диссипативные силы. Для таких систем установлены условия на нестационарный ведущий параметр, гарантирующие асимптотическую устойчивость положений равновесия относительно обобщенных координат и позволяющие расширить класс допустимых законов эволюции потенциальных сил, найденный в работе [11].

Постановка задачи. Рассмотрим голономную механическую систему с не зависящими от времени связями, имеющую n степеней свободы. Векторы обобщенных координат и скоростей обозначим соответственно q и q. Кинетическая энергия такой системы представляется квадратичной формой T = T(q, q) = 1/2 qTA(q)q с симметрической положительно-определенной матрицей A(q) [20]. Будем считать, что матрица A(q) задана и непрерывно дифференцируема при \\q\\ < р (р = const > 0) и существуют положительные постоянные ai, a2, аз такие, что для всех \\q\\ < р, q G E справедливы неравенства

n

ai \\qf < T(q,q) < a2

dT

dq

Здесь и всюду далее ||  || - евклидова норма вектора. Пусть движение системы описывается уравнениями

<1дТ дТ Ш

где векторная функция Е(д, д) непрерывна при д, д € Еп и удовлетворяет условию дтВ(д, д) ^ 0; С(Ь, д, д) - непрерывная и ограниченная в области £ ^ 0, ||д|| < р, ||д|| < П (0 < п ^ кососимметрическая матрица; П(д) - непрерывно дифференцируе-

мая при всех д € Еп положительно-определенная однородная порядка р +1 функция,

2

2

^ ^ 1. Следовательно, рассматриваемая система находится под действием диссипа-тивных, гироскопических и потенциальных сил [2, 20].

Уравнения (1) имеют положение равновесия д = д = 0. Известно [2], что если диссипативные силы Е(д, д) обладают полной диссипацией, то данное положение равновесия асимптотически устойчиво.

Предположим теперь, что потенциальные силы в системе (1) эволюционируют, сохраняя при этом свою структуру. Пусть указанная эволюция выражается в появлении при векторе потенциальных сил нестационарного параметра Н(Ь). Таким образом, исследуем систему

й дТ дТ , 1 , ,дП

Будем считать, что Н(Ь) - непрерывно дифференцируемая и положительная при £ ^ 0 функция, причем

^ при £ ^

Данная ситуация соответствует радикальному случаю доминирования потенциальных сил со временем.

Основная цель статьи - получить условия на скорость изменения параметра эволюции Н(Ь), при выполнении которых сохраняется асимптотическая устойчивость положения равновесия. Для систем вида (2) с линейными диссипативными силами такие условия установлены в [17]. В настоящей работе будем предполагать, что диссипатив-ные силы существенно нелинейны.

Кроме того, найдем условия асимптотической устойчивости положения равновесия относительно обобщенных координат в случае, когда на систему (2) не действуют диссипативные силы (С(д, д) = 0).

Нелинейные однородные диссипативные силы. Пусть В(д, д) = -дЕ(д)/дд, где диссипативная функция Рэлея Е(д) задана и непрерывно дифференцируема при всех д € Еп, положительно определена и является однородной порядка V +1, V > 1. Тогда уравнения движения запишем так:

йдТ дТ дЯ

УЧ> д,д)д -

dt dq dq dq ' ' dq

Если h(t) = const > 0, то положение равновесия q = q = 0 системы (4) асимптотически устойчиво [2]. Требуется найти условия асимптотической устойчивости этого положения равновесия для случая переменного неограниченно растущего со временем параметра.

Теорема 1. Пусть п = и справедливо предельное соотношение (3). Если нестационарный параметр удовлетворяет следующим условиям:

a) h(t) ^ 0 при t ^ 0;

b) h(t) < Mh3/2(t) при t > 0 (M = const > 0),

то положение равновесия q = q = 0 системы (4) асимптотически устойчиво относительно обобщенных координат.

Доказательство. Функцию Ляпунова строим в виде

1 лт^

Здесь y > 0, а > 0, г > 1.

Дифференцируя V(г,д, д) в силу уравнений (4), получаем

=- Жт +

7

+ 1Щ{-Щ) -Тд-+

, 7 п пг-1 т (дТ П!+ л Л а^'Щ) п ||г_1 Тдт

В области г ^ 0, ||д|| < р, д € Еп справедливы оценки /?1 (1ЫГ1 + 1С"! - < V < /32 (\\дГ+1 + Ш +.7/33

ъ(г)) ъя(г)"™ |т| ' V ъ(г)) ъя(г) (7|ЫГ+М , ЫГ+1\ , ......................................., „.„пи,,,'

где вг > 0, % = 1,..., 5.

Пусть д = Ъ1/2(г)г, г = ри,

П4) < -/34 + вр) + ^ (ь^тд\П\д\\ + ЫГЧяГ + ИПЫГ),

Г 1 3 -

а = тах < 1 - -; —— ^ .

Тогда положительные числа 7, 6 и вб можно выбрать так, чтобы при г ^ 0, ||д|| < 6, ||г|| <6 выполнялись неравенства

у(1кГ+1 + 1И|2) < У(1,д,д) < 2/32(||(?Г+1 + |И|2),

^1(4) < "у (т^ФЫГ^+^ИГ1) < .

/ 4 \ -

V(t,д(t),д(t)) < V(го, до, до) I 1 + вб шГ-(го,до,до) I ъ1-я(з)с18

\ 4о

для всех г ^ . Здесь ш = (ри — 1)/(р + 1), д(г) - решение системы (4) с начальными данными д(го) = до, д(*о) = до.

Учитывая, что 1/2 ^ а < 1, имеем

4

Л-я

J Ъ1 я (8)3,8 ^ +ТО при г ^ + ГО.

4о

Значит, положение равновесия д = д = 0 системы (4) асимптотически устойчиво относительно обобщенных координат. Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть 0 < п ^ Если справедливо предельное соотношение

(3), выполнены условия а), Ь) теоремы 1 и

4

{Ь) J Ь1^17 (а)д,а —> +оо при t —> +оо, о

Г

где значение параметра а определяется по формуле (5), то положение равновесия q = q = 0 системы (4) асимптотически устойчиво по всем переменным.

Следствие 2. Пусть

h

Тогда, если п = положение равновесия q = q = 0 системы (4) асимптотиче-

ски устойчиво относительно обобщенных координат. А если 0 < п ^ то для

асимптотической устойчивости положения равновесия по всем переменным достаточно, чтобы при 1 < v ^ 2 выполнялось неравенство а(л — 1)(v +1) < 2(л + 1), а при v > 2 - неравенство a.(^v — л — 1)(v +1) < v(¡, + 1).

Замечание 1. Если функция h(t) имеет вид (6), 0 < п ^ и ¡л = 1,

1 < v ^ 2, то при любом значении а > 0 положение равновесия системы (4) будет асимптотически устойчивым по всем переменным.

Пример 1. Пусть задана система с двумя степенями свободы

0 g\  , и , ^а /% 0

«+ {—g 0)q+

Здесь g, Л1, Л2, а - положительные постоянные, q = (qi, q2)T, D(q, q) = —dR(q)/dq. Будем считать, что функция R(q) определяется по формуле

R

в которой d = const > 0. Диссипативная функция Рэлея вида (8) рассматривалась в работе [21].

Применяя следствие 2, получаем, что если а < 3/2, то положение равновесия q = q = 0 системы (7) асимптотически устойчиво по всем переменным.

Нелинейные диссипативные силы, зависящие от обобщенных координат. В теории механизмов и машин встречаются дифференциальные уравнения механических систем с диссипативными силами позиционно-вязкого трения, зависящие не только от обобщенных скоростей (линейным образом), но и от обобщенных координат [22]. Поэтому предположим теперь, что

п< Л dF(9) • E{q,q) =--Ч,

где компоненты вектора F(q) являются непрерывно дифференцируемыми при q G En однородными функциями порядка v +1, v > 0, причем для всех q G En и q G En справедливо неравенство

С = const >0.

Тогда уравнения (2) принимают вид

d dT dT dF

При h(t) = const > 0 положение равновесия q = q = 0 системы (9) асимптотически устойчиво [2]. Далее снова изучим вопрос сохранения асимптотической устойчивости положения равновесия в случае неограниченного роста со временем параметра h(t).

Приведем сначала один вспомогательный результат. Пусть задана функция

f (xi,x2) = cix™ + C2xp + сзж" x2.

Здесь xi, X2 - скалярные переменные; ci > 0, C2 > 0, C3 > 0; m, p, u, v - положительные рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями. Будем считать, что

uv — + - < 1.

mp

Рассмотрим произвольную функцию r(t,xi,x2), заданную и непрерывную в области t ^ 0, |xi| < H, |x21 < H (H > 0) и удовлетворяющую в ней неравенству

где A, к и Л - постоянные параметры: A > 0, к ^ 0, Л ^ 0.

Лемма 1 [23]. Для того чтобы функция f (xi,x2)+r(t, xi,x2) была положительно-определенной при любой функции r(t, xi, x2), удовлетворяющей ограничению (10), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

m — u p — v

к -\--A > то, AH--к > p.

vu

Вернемся теперь к исследованию механической системы (9).

Теорема 2. Пусть п = и справедливо предельное соотношение (3). Если нестационарный параметр удовлетворяет следующим условиям:

a) h(t) > 0 при t > 0,

b) h(t) < Mh3/2(t) при t > 0 (M = const > 0),

то положение равновесия q = q = 0 системы (9) асимптотически устойчиво относительно обобщенных координат.

Доказательство. Функцию Ляпунова выбираем в виде

g, g) = П(д) + щТ(д, д) - ^щЫГЧч + ^ИГ V ^

где Yi > 0; 72 > 0; s > 1; k > 1; ai > 0; 02 > 0.

Продифференцируем данную функцию в силу системы (9). Получим

Т>1 72(м + 1) п |,fc-im ч 71 и .||S+i 1 TdF(<l) •

h2(t) h^ + ^t)1^" * * h^ + ^t)"*" * dq

71 тдОМГ1'?) A-U ^ dF(q). ... hmdU(q) q --A (q)----q — G(t, g, q)q — h(t) ---h

h'i (ty dq V dq 4 V/ dq

dT ДА . dA(q)\ Д

72 (dT\T д (\\q\\k-iq) . 72 ^ i t ( dF (q). .. . dT

+ -4- - —^--q + T-^rM q--TT^q - G(t, q, q)q + „

ha2 (t) \dq J dq 1 h^(t) 11411 4 \ dq 4 K'4'4J4 dq

Здесь qi,... ,qn - компоненты вектора q.

В области г ^ 0, ||д|| < р, д € Еп справедливы оценки

в1

ЦМ+1

+

< в2

1М+1

К*)) 133 (г) 2

8 + 72

ъя2 (г)1

^ V <

+

ъ

72

+в3

71

ъя1

8 + . 72

ъя2 (г)1

+

71

ъя1 (г)1

18+1

+

ъ(гУ

+

+ в5

+

71

ъях-1/2

+

72

71

ъя1-1

\л+1\

в-1

+

ъ<"-1/2(г)"4"

72 ,,,^-1,

+

где вг > 0, % = 1,...,5. Положим

( V р + V — 1 а1 = тах | 2'

а2

Ъя2 (г) 1

р + V, 8 = 1 + шах < V.

/х + г/ - 1

Тогда, делая замену г = ъ-1/2(г)д и применяя лемму 1, получаем, что положительные числа 71, 72, 6 и вб можно выбрать так, чтобы при г ^ 0, ||д|| < 6, ||г|| < 6 выполнялись неравенства

у(1кГ+1 + 1И12) < ^ < 2/?2(|кГ+1 +1И12),

VI

IС©> 2

к+л + цг||8+^ ^ —вбV 1+Е,

в которых

е = шах

V р + V — 1

2' м+1

С помощью этих оценок нетрудно показать (см. [2]), что положение равновесия асимптотически устойчиво относительно обобщенных координат. Теорема доказана.

Следствие 3. Пусть 0 < п ^ Если справедливо предельное соотноше-

ние (3), выполнены условия а), Ь) теоремы 2 и г Ъ-е(г) ^ при г ^ где значение параметра е определяется по формуле (11), то положение равновесия д = д = 0 системы (9) асимптотически устойчиво по всем переменным.

Следствие 4. Пусть функция Ъ(г) имеет вид (6). Тогда, если п = положение равновесия д = д = 0 системы (9) асимптотически устойчиво относительно обобщенных координат. А если 0 < п ^ то для асимптотической устойчи-

вости положения равновесия по всем переменным достаточно, чтобы выполнялось неравенство а < 1/е.

Пример 2. Снова рассмотрим систему (7), в которой диссипативные силы определяются по формуле £>(</,</) = —4, где -Р(д) = ||</||2</- Применяя следствие 4, получаем, что если а < 1, то положение равновесия д = д = 0 системы (7) асимптотически устойчиво по всем переменным.

к

к

1

2

V

к

в

2

Условия устойчивости при отсутствии диссипативных сил. Далее опишем случай, когда на изучаемую систему не действуют диссипативные силы д) = 0). Тогда уравнения (2) принимают вид

d dT dT , w N dn(q) , ,

^-*=-G{t'q'q)q-h{t)*r-

Дополнительно будем предполагать, что нестационарный параметр h(t) является дважды непрерывно дифференцируемой при t ^ 0 функцией, обладающей свойством

h

Условия устойчивости положения равновесия q = q = 0 для систем вида (12) были получены в [11]. В соответствии с подходом, предложенным в указанной работе, произведем в изучаемых уравнениях замену независимой переменной по формуле

t

т = I WW.

о

Обозначая штрихом дифференцирование по т, имеем

^ = -Ф)АШ - ф[т)С{±{тиХ1^Ш) - в. (14) Здесь T*(q,q') = 1/2 (q')TA(q)q', q = h1/2(t)q', у(т) = h(t(^) / (2h3/2(t^))), ф(т) =

h-1/2(t(T)).

Из свойств функции h(t) следует, что т) ^ 0 при т ^ 0, ф(т) ^ 0 при т ^

г t(r) .

i , ,, [ h(s) , 1 (h(t(т ))\

J ^{u)du = J Ща) = 2 1П [-Щ-ПРИ Т

оо

В [11] было доказано, что, если G(t, q, q) = 0, выполнены условия (3) и (13), и для всех t ^ 0 справедливо соотношение

3

mm < т/Ч*),

то положение равновесия q = q = 0 системы (12) асимптотически устойчиво относительно обобщенных координат.

Замечание 2. Известно [11], что при этом устойчивости относительно обобщенных скоростей может и не быть.

Замечание 3. Условие (15) эквивалентно предположению о монотонном убывании функции ^(т) на промежутке [0, Учитывая неотрицательность функции р(т), находим, что она ограничена. Значит, при всех t ^ 0 выполнено неравенство

h

где M = const > 0.

Покажем, что предложенные в настоящей статье способы построения функций Ляпунова для нестационарных механических систем позволяют получить условия

устойчивости положения равновесия и в случае, когда функция у(т) не является монотонно убывающей при т G [0,

Теорема 3. Пусть п = Если для функции h(t) справедливы соотношения

(3), (13), (16) и, кроме того,

то положение равновесия q = q = 0 системы (12) асимптотически устойчиво относительно обобщенных координат.

Доказательство. Рассмотрим уравнения (14). Функцию Ляпунова для них строим в виде

дТ *

V(t, q, q') = nig) + T*(q, q') + 7¥>(т)|ЫГ V-

dq' '

Здесь 7 - положительная постоянная.

Дифференцируя V(т, q,q/) в силу системы (14), имеем

ж , ^ а, ^ , ,, м! ..и 1 тдт* , Лт д (УqУм~1q) /

/дТ* дП\

+ 7^(т)|ЫГ1дГ - <р(т)А(Я)Я' - ф(т)СЧ> - — J

Из выполнения неравенств (16) и (17) следует существование числа N > 0 такого, что (т)| ^ Nр(т) для всех т € [0, Поэтому при достаточно малых значениях

^ > 0 и 5 > 0 в области т ^ 0, < 5, |^|| < 5 будут справедливы оценки

dV

d,T

01

в которых р1,р2,вз,р4 - положительные постоянные.

Учитывая расходимость интеграла / р(т)йт, находим (см. [2]), что положение

о

равновесия q = ^ = 0 системы (14) асимптотически устойчиво. Значит, положение равновесия q = (/ = 0 системы (12) асимптотически устойчиво относительно обобщенных координат. Теорема доказана.

Замечание 4. Если функция у(т) монотонно убывает на промежутке [0, то условие (17) может представлять собой дополнительное ограничение на нестационарный параметр по сравнению с условиями асимптотической устойчивости, установленными в [11] (например, если Н(Ь) ^ 0 при £ ^ 0). Вместе с тем подход, предложенный в настоящей статье, позволяет не только получить условия асимптотической устойчивости положения равновесия в случае, когда функция у(т) не является монотонно убывающей, но и оценить время переходных процессов в системе (12).

Действительно, с помощью неравенств (18), (19) нетрудно показать существование числа ( > 0 такого, что если начальные данные решения q(t) системы (12) удовлетворяют условиям ^ 0, |^(£0)|| < |^(£0)|| < (5^1/2(£0), то при ц = 1 для всех £ ^ £0 имеет место оценка

"Ю'ЧшГ-

а при ¡1 > 1 - оценка

где ci,c2, сз - положительные постоянные, не зависящие от начальных данных рассматриваемого решения.

Литература

1. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 320 с.

2. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 384 с.

3. Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г., Новожилов И. В. О прецессионных уравнениях гироскопических систем // Прикл. математика и механика. 1976. Т. 40, вып. 2. С. 230—237.

4. Кузьмина Л. К. К решению сингулярно возмущенной задачи об устойчивости // Прикл. математика и механика. 1991. Т. 55, вып. 4. С. 594—601.

5. Хапаев М. М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М.: Высшая школа, 1988. 184 с.

6. Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. 252 с.

7. Климушев А. И., Красовский Н. Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // Прикл. математика и механика. 1961. Т. 25, вып. 4. С. 680-690.

8. Провоторов В. В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы из m струн // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Вып. 1. C. 60-69.

9. Косов А. А. Исследование устойчивости сингулярных систем методом вектор-функций Ляпунова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 3-4. C. 123-129.

10. Провоторов В. В., Гнилицкая Ю. А. Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 3. C. 112-120.

11. Козлов В. В. Об устойчивости положений равновесия в нестационарном силовом поле // Прикл. математика и механика. 1991. Т. 55, вып. 1. С. 12-19.

12. Хатвани Л. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 4. C. 725-732.

13. Sun J., Wang O. G., Zhong Q. C. A less conservative stability test for second-order linear time-varying vector differential equations // Intern. Journal of Control. 2007. Vol. 80, N 4. P. 523-526.

14. Тереки Й., Хатвани Л. Функции Ляпунова типа механической энергии // Прикл. математика и механика. 1985. Т. 49, вып. 6. C. 894-899.

15. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001. 320 с.

16. Александров А. Ю., Бузлукова О. А., Косов А. А. О сохранении устойчивости положений равновесия механических систем при эволюции диссипативных сил // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 1. C. 3-15.

17. Александров А. Ю., Косов А. А. Об асимптотической устойчивости положений равновесия механических систем с нестационарным ведущим параметром // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 3. C. 8-22.

18. Александров А. Ю. Об устойчивости положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем // Прикл. математика и механика. 2007. Т. 71, вып. 3. С. 361-376.

19. Андреев А. С. Об устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60, вып. 3. С. 388-396.

20. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

21. Агафонов С. А. Об устойчивости и стабилизации движения неконсервативных механических систем // Прикл. математика и механика. 2010. Т. 74, вып. 4. С. 560-566.

22. Вульфсон И. И. Учет нелинейных диссипативных сил при ограниченной исходной информации // Теория механизмов и машин. 2003. № 1. С. 70-77.

23. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 186 с.

References

1. Zubov V. I. Analyticheskaya dinamika giroskopicheskih sistem (Analitical dynamics of gyroscopic systems). Lenindrad: Sudostroenie, 1970, 320 p.

2. Matrosov V. M. Metod vectornyh funktsii Lyapunova: analis dinamicheskih svoistv nelineinyh sistem (The method of vector Lyapunov functions: the analysis of a dynamical properties of nonlinear systems). Moscow: Phizmatlit, 2001, 384 p.

3. Kobrin A. I., Martynenko Yu. G., Novozhilov I. V. O precessionnyh uravneniayah giroskopicheskih sistem (On precessional equations of gyroscopic systems). Prikl. matematika i mechanika, 1976, vol. 40, issue 2, pp. 230-237.

4. Kuz'mina L. K. K resheniyu singulayrno vozmush'ennoi zadachi ob ustoichivosti (On the solution of a singular pertubed problem of stability). Prikl. matematika i mechanika, 1991, vol. 55, issue 4, pp. 594601.

5. Hapaev M. M. Asimptoticheskie metody i ustoichivost' v teorii nelineinyh kolebanii (The asymptotic methods and stability in the theory of nonlinear oscillations). Moscow: Vysshaya shkola, 1988, 184 p.

6. Strygin V. V., Sobolev V. A. Razdelenie dvizhenii metodom integral'nyh mnogoobrazii (Separation of motions by the method of integral manifolds). Moscow: Nauka, 1988, 252 p.

7. Klimushev A. I., Krasovskiy N. N. Ravnomernaya asimptoticheskaya ustoichivost' sistem differencial'nyh uravnenii s malym parametrom pri proizvodnyh (Uniform asymptotic stability of systems of differential equations with small parameter at derivatives). Prikl. matematika i mechanika, 1961, vol. 25, issue 4, pp. 680-690.

8. Provotorov V. V. Postroenie granichnyh upravlenii v zadache o gashenii kolebanii sistemy iz m strun (Construction of boundary controls in the problem on slaking of oscillations of a m string system). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2012, issue 1, pp. 60-69.

9. Kosov A. A. Issledovanie ustoichivosti singulyarnyh sistem metodom vector-funktsii Lyapunova (Investigation of stability of singular systems by the vector Lyapunov functions method). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2005, issue 3-4, pp. 123-129.

10. Provotorov V. V., Gnilitskaya Yu. A. Granichnoe upravlenie volnovoi sistemoi v prostranstve obobsh'ennyh reshenii na grafe (Boundary control of a strins system in the space of general solutions on graph). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2013, issue 3, pp. 112-120.

11. Kozlov V. V. Ob ustoichivosti polozhenii ravnovesiya v nestacionarnom silovom pole (On the stability of equilibrium positions in the nonstationary force field). Prikl. matematika i mechanika, 1991, vol. 55, issue 1, pp. 12-19.

12. Hatvani L. O deistvii dempfirovaniya na svoistva ustoichivosti ravnovesii neavtonomnyh sistem (On the action of decrement on the stability properties of equilibria of nonavtonomous systems). Prikl. matematika i mechanika, 2001, vol. 65, issue 4, pp. 725-732.

13. Sun J., Wang O. G, Zhong Q. C. A less conservative stability test for second-order linear time-varying vector differential equations. Intern. Journal of Control, 2007, vol. 80, no. 4, pp. 523-526.

14. Tereki I., Hatvani L. Funkcii Lyapunova tipa mechanicheckoi energii (Lyapunov functions of the mechanical energy type). Prikl. matematika i mechanika, 1985, vol. 49, issue 6, pp. 894-899.

15. Vorotnikov V. I., Rumyantsev V. V. Ustoichivost' i upravlenie po chasti koordinat fazovogo vectora dinamicheckih sistem: teoria, metody i prilozheniya (Stability and control on a part of coordinates of phase vector of dynamical systems: theory, methods and applications). Moscow: Nauchnyi mir, 2001, 320 p.

16. Aleksandrov A. Yu., Buzlukova O. A., Kosov A. A. O sohranenii ustoichivosti polozhenii ravnovesiya mechanicheskih sistem pri evolutsii dissipativnyh sil (On the preservation of stability of equilibrium positions of mechanical systems under the evolution of dissipative forces). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2007, issue 1, pp. 3-15.

17. Aleksandrov A. Yu., Kosov A. A. Ob asimptoticheskoi ustoichivosti polozhenii ravnovesiya mechanicheskih sistem c nestacionarnym vedush'im parametrom (On the asymptotic stability of equilibrium positions of mechanical systems with nonstationary leading parameter). Izv. RAN. Teoria i systemy upravlrniya, 2008, no. 3, pp. 8-22.

18. Aleksandrov A. Yu. Ob ustoichivosti polozhenii ravnovesiya nelineinyh neavtonomnyh mechanicheskih sistem (On the stability of equilibrium positions of nonlinear nonautonomous mechanical systems). Prikl. matematika i mechanika, 2007, vol. 71, issue 3, pp. 361-376.

19. Andreev A. S. Ob ustoichivosti polozheniya ravnovesiya neavtonomnoi mechanicheskoi sistemy

(On the stability of an equilibrium position of a nonautonomous mechanical system). Prikl. matematika i mechanika, 1996, vol. 60, issue 3, pp. 388—396.

20. Chetaev N. G. Ustoichivost' dvizhenia. Raboty po analiticheskoi mechanike (Motion stability. Works on the analytical mechanics). Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1962, 535 p.

21. Agafonov S. A. Ob ustoichivosti i stabilizatsii dvizheniya nekonservativnyh mechanicheskih sistem (On the stability and stabilization of motion of nonconservative mechanical systems). Prikl. matematika i mechanika, 2010, vol. 74, issue 4, pp. 560—566.

22. Vulfson I. I. Uchet nelineinyh dissipativnyh silpri ogranichennoi ishodnoi informatsii (Accounting of nonlinear dissipative forces under restricted initial information). Teoria mechanizmov i mashin, 2003, no. 1, pp. 70-77.

23. Aleksandrov A. Yu. Ustoichivost' dvizhenii neavtonomnyh dinamicheckih sistem (Motion stability of nonautonomous dynamical systems). St. Petersburg: Izd-vo St. Petersburg University, 2004, 186 p.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 13 ноября 2014 г.