Моделирование нелинейного развития возмущений в тонком жидком слое при волнообразовании

Физика

УДК 532.59

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО РАЗВИТИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ТОНКОМ ЖИДКОМ СЛОЕ ПРИ ВОЛНООБРАЗОВАНИИ

Л.А. Прокудина1

Представлена математическая модель волнового течения неизотермической жидкой пленки. Рассчитаны волновые характеристики течения: частота, инкремент, фазовая скорость при неоднородности поверхностного натяжения. Определены области существования волновых режимов вертикальной жидкой пленки. В рамках нелинейного параболического уравнения исследовано нелинейное развитие возмущений на свободной поверхности пленки. Показано, что в окрестности кривой нейтральной устойчивости проявляется эффект направленного переноса энергии к волнам в окрестности гармоники максимального инкремента.

Ключевые слова: жидкая пленка, неустойчивость, формы волн, нелинейное параболическое уравнение.

Изучение систем физико-химической гидродинамики с поверхностью раздела между жидкой и газовой фазами обусловлено, прежде всего, их прикладным значением [1, 2]. Технологические процессы, связанные с переносом тепла и массы через поверхность раздела, широко распространены в химической, нефтехимической, энергетической, металлургической, пищевой и других отраслях промышленности. Тепломассообменные аппараты, в которых реализуется течение тонких жидких пленок под действием силы тяжести, весьма перспективны в химической, нефтехимической технологии. В жидких пленках обеспечиваются высокие скорости переноса тепла и массы в сочетании с малой толщиной пленки, но то же время приходиться решать сложнейшие вопросы, связанные с межфазной неустойчивостью, влиянием на нее разнообразных физикохимических факторов, обусловленных, например, наличием градиентов температуры, концентрации вещества на межфазной поверхности, фазовыми переходами. Процессы течения жидких пленок, обдуваемых газовым потоком, также представляют значительный интерес для науки и проектирования современной пленочной аппаратуры.

Рассмотрим течение тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости (жидкой пленки) толщиной 8 под действием силы тяжести по твердой наклонной плоскости, сопровождающееся обдувом ее свободной поверхности парогазовым потоком. Введем прямоугольную систему координат ОХУ2, плоскость ОХ2 связана с поверхностью, по которой движется пленка, ось ОХ направлена по течению пленки, ось ОУ - по нормали в пленку жидкости (рис. 1).

1 Прокудина Людмила Александровна - профессор, доктор физико-математических наук, кафедра прикладной математики, Механико-математический факультет, Южно-Уральский государственный университет.

E-mail: prokudina-la@mail.ru

Математическая модель течения трехмерной жидкой пленки толщиной 8 по твердой наклонной поверхности под действием силы тяжести, сопровождающаяся обтеканием ее свободной поверхности парогазовым потоком произвольного направления, представляет собой систему уравнений Навье-Стокса и уравнения неразрывности с граничными условиями, учитывающими влияние процессов тепломассопереноса, имеет вид [3]:

дu+

д+

Э—+

Эt+

Эж,

+ u^

+ и.

дt+

+ u+

дu+

дx+

Эу+

дx+

Эж+

Эx+

Эu+

Эи+

Эz+

ЭP+ г, 1

--------+ Fx +--------

Эx+ Re

+

- + v+

- +

Э—+

ЭУ+

Эж,

- +

Э—+

Эz,

ЭP+ г 1

+- + Fv + — у Re

22 Э и+ Э и+

+

ЭУ

+

Эх+ Эу

Э2—+ Э2у+ Э— ^ + +—+ + +

V Эх+

Эу2

+

Эz+ ,

ЭУ+

- + w,

Эж+

Эz+

ЭР+ ~ 1

+- + Fz + —

2

Эг+

Re

2

Э w+ Э w+ Э w+

—+ + —+ + - + V Эх+

ЭУ

Эг

+

Эи+ Эу+ Эж+

+

+

V = 0:

V = З:

Эх+ Эу+ Эг+ Re

= 0,

и+ = w+ = 0, —+ = Уо;

2

Эи+ЭЗ+ 2 Эу+ЭЗ

ґ Э—+ Эи+ ^ ЭЗ+ (Эи+ Эw+Л

Эх+ Эх+ Эу+ Эх+ I Эх+ Эу

+ -

+

—+ + —+

V Эг+ Эх+ у

+

+М ^+ + N Эх,

(~\2 ~\2

Э и+ Э w+

—++—+

Эх2 Эх+Эг+

+ Т = 0 ;

у

_1_

Re

2 Эw+ ЭЗ+ 2 Эу+ ЭЗ+ (Эw+ . Э—+ V ЭЗ+ (Эи+ . Э— ^

Эг+ Эг+

'+. + ?*+

Эу+ Эг+ V Эу+ Эг.

+ ^+ +

Д,,ЭЗ+ ./ Э 2 ж.

+М—+ + N

+

+ у

Эх+

Р+ =і

Эг+

Э—+ ЭЗ+^ Эи++Э—+

ЭУ+ Эх+ IЭУ+ Эх+ у

+Р0 - sign АТ

к Эг+ Эх+Эг+у

Л'

—+ + —+

V Эг+ Эх+ у

+ Т = 0;

+

ЭЗ+

Эг,

эз эз эз

- = —, - и,--------------—-------------+

V ЭУ+ Эг+ у

А -1

Р2______________1_

(Re • Рг • Ки )2 З2 1

-а+

( Э2З+ Э2З ^

Эх+

+

Эг+ у

+

Эt±

Эх+

Эг+ Re • Рг • Ки З

Безразмерные величины в (1-6): и+ = —, —+ = —, ж+ = — - проекции скорости на соответст-

вующие оси координат; t+ = -

t • —Л

V ~

- время; х+ = —, у+ = —, г+ =— - переменные; З+ =— -

З

ёу50

и З З

толщина жидкой пленки; Re = 0 0— - число Рейнольдса; Fx = ^х 0 , Fv = - 2 . 2

т и^ и^ и^

^ г, Р лт к + е

проекции числа Фруда на соответствующие оси координат; Р+ = —- - давление; N = —2—

—и0 — З0 и0

параметр поверхностной вязкости; тх =-

- т.

Ри0

2

Ри0

М = МТ + МК - параметр Марангони: МТ =

Эа

ЭТ0

ЭУ

проекции касательного напряжения;

1 Л/Г Эа ЭК 1 и рсрь —, М^ =———-; Рг = - р

V=з

ри0

К ЭК ЭЗ —0

и

+

1

и

и

и

0

0

0

т

х

число Прандтля; Ku =

Cp AT

- число фазового перехода; s+ =

s

PuoSo

параметр поверхностного

натяжения. Здесь u0 - средняя скорость основного течения жидкой пленки, d0 - толщина пленки в невозмущенном состоянии. В процессе конденсации sign AT = 1, а в процессе испарения sign AT = -1.

Рассмотрим развитие на поверхности жидкой пленки возмущений, принадлежащих непрерывной полосе волновых чисел:

kox +Akx koz +Akz

y= J J F

ko X-Akx ko z -Akz

где k0 - центр волнового пакета; w-wr + iwf;

~“~x ^-z

A = f f F (kos+Sks) exp

Skxx + Skzz

Эо

\ Эkx j

V x Zko

Skxt-

Эо,

І Эkz j

V z /ko

Skzt-

Г 2 Л Э Г,

І Э^ jk

V x Zko

(Skx )2 t - ^

Г 2 Л Э Г,

Эк,

(Skz )21‘

z 'kn

Г2 Э Г,

І ЭkxЭkz Jko

\

SkxSkzt - є2йГ

dSkxdSkz + о

при следующих допущениях: Дк^ - ширина полосы волновых чисел Ак^ = о(е); инкремент

о =о(є2).

Г =є2Г; = о (є2

Здесь ^ (к^) - Фурье-компонента разложения, к^ - волновой вектор возмущений, кх и к2

- его проекции на оси ОХ и ОХ соответственно, е - малый параметр.

Для амплитуды А огибающей волнового пакета получено нелинейное параболическое уравнения, коэффициенты которого в явном виде выражаются через параметры волнового течения трехмерной жидкой пленки: инкремент, частоту и их производные первого и второго порядков, -

2

ЭA i Эщ ЭA i Эщ ЭA i

----+---------------+--------------------

Эt2 є Эkx Эx1 є Эк2 Эz1 2

Э 2 A

Г Э2о,

2

Э2о, Э2о

—^ + i Эк2

Эк

2

z j

Г Э2ю„

Эz1:

2

І Экx Экz

- + i -

Эк Э 2о

- + i -

. Э2о

Эк

Э 2 A

x

Эx12

Эк,.Эkz

Э2 A

—— = г, A-

ЭXl ЭZl

Нелинейное параболическое уравнение (8) для амплитуды А огибающей волнового пакета, развивающегося по времени на поверхности неизотермической жидкой пленки, относится к одной из базовых моделей нелинейных сред (типа модели Гинзбурга-Ландау). Коэффициенты уравнения учитывают фазовые переходы (конденсация, испарение) на поверхности трехмерной жидкой пленки и включают такие физико-химические факторы, как поверхностную вязкость, неоднородность поверхностного натяжения, силу тяжести, касательное напряжение на поверхности раздела газ-жидкость.

Вычислительные эксперименты, связанные с неустойчивостью жидкой пленки по отношению к возмущениям, волновой вектор которых кЕ направлен под углом а к оси ОХ:

к,

кЪ- < ^ ^ ----------

ks4к2 + kz2 , tga = ^,

проведены для диапазона чисел Рейнольдса Яе < 20. Необходимость таких исследований связана с интенсификацией процессов тепло- и массообмена в жидких пленках, повышения эффективности, экологической безопасности и надежности пленочных аппаратов.

Дисперсионное уравнение

-a10kz2 + a11ikx + a12ikz -

Г(a7kx + a9kz + i ) + a1k4 + a2k2kz2 + a3kz - a4ikl - a5ikz3 - a6kl - aSkxk.

1

Re • P, • Ku

= 0,

Akx -Akz

2

2

где О —0г + іщ, позволяет рассчитать волновые характеристики: аг - частоту, щ - инкремент,

О

фазовую скорость сг — —^ , а также производные, входящие в уравнение (8).

к

Коэффициенты дисперсионного уравнения (9) имеют вид:

Яе о

3 :

«2 — 2«1, О3 — «1, а4 —

Яе2 КхЫ 2 :

Яе2 КЫ

а ——

2

'нК — 4м + 40Яе3К (& + К), «6 — 2Яе • 81ВП АТ

С

5 2

-, о7 ——Яе Кх,

(Яе • Рг • Гм )2 24

20

Яе • К Яе •м 3

— ™Яе3КхК + ^Яе (К&х + Кх& ) , «9 — — Яе2К , «10 — «1*0 + «0

40

24

«10 — —-

3

2 40

^ЯеЪр? (& + К), «0 — 7Яе • 8І§П АТ

С

(Яе • Рг • Гм )2

^ «11 ——Яе •( Кх + & ) ,

12

— — Яе •( ^ +& ) .

Волновые характеристики (инкремент щ и фазовая скорость сг) возмущений изображены на рис. 2 и рис. 3 соответственно.

Рис. 2. Зависимость инкремента от волнового числа:

1 - = 7; 2 - = 10; 3 - = 15; 4 - = 20

На каждой кривой инкремента (рис. 2) можно отметить наличие характерных точек:

- перегиба, которому соответствует значение волнового числа кп ;

- максимального значения инкремента, который обозначим кщ ;

- соответствующих нейтральной устойчивости (щ = 0), волновые числа которых обозна-

чим к

О,- —0 •

Совокупность точек кщ=0 для исследуемого диапазона чисел Рейнольдса образует кривую нейтральной устойчивости (рис. 4, кривая щ = 0), а точек кщ - образует кривую максимального роста возмущений (рис. 4, кривая щ тах ).

Фазовая скорость (рис. 3) в области неустойчивости жидкой пленки для каждого числа Рейнольдса имеет минимальное значение (сг тЬ), которое соответствует волновому числу кщ .

Фазовая скорость сг тЬ падает с ростом числа Рейнольдса.

*

«6 —

*

0 0,1 0,2 К

Рис. 3. Зависимость фазовой скорости от волнового числа:

1 - Re = 7; 2 - Re = 10; 3 - Re = 15; 4 - Re = 20

В ходе вычислительных экспериментов найдены области существования волновых режимов жидкой пленки при свободном стекании, конденсации, испарении, а также при воздействии физико-химических факторов модели (1)-(6). На рис. 4 представлена область существования волновых режимов вертикальной жидкой пленки в процессе испарения. Для чисел Рейнольдса Яе > 10 вблизи нейтральной кривой существует область, в которой проявляется эффект направленного переноса энергии по спектру волнового пакета и его смещение в направлении гармоники максимального инкремента. В окрестности щ тах существуют стационарные монохроматические режимы волновых течений жидких пленок, что также отмечалось и в экспериментах [1,2].

д|____________________

5 10 15 Кя

Рис. 4. Области существования волновых режимов вертикальной пленки

Расчет коэффициентов Д и Д2 при нелинейном члене уравнения (8), характеризующих нелинейное затухание возмущений (Д) и зависимость фазы от амплитуды (Д2 ), позволил определить:

- нелинейное взаимодействие возмущений в окрестности щ тах (рис. 4, область 2) таково, что наблюдаются незначительные изменения коэффициентов Д, Д2 , они практически сохраняют свое значение в области 2;

- линейную зависимость фазы от амплитуды для чисел Рейнольдса Яе < 8 и нелинейную для Яе > 8 .

Для волновых пакетов в окрестности гармоники максимального инкремента свойственна самая высокая степень неустойчивости системы. В рассматриваемой окрестности повышена интенсивность формирования структуры течения в приповерхностных слоях, степень ее развитости. Формы волн вертикальной жидкой пленки воды при неоднородности поверхностного натяжения представлены на рис. 5, кривая 1.

0,5

У

0

-0,5 л

0 4 8 12 0

Рис. 5. Форма волны при Re=15:

1 - M=1, N=0; 2 - M=1, N=1

Наличие в жидкой пленке нерастворимых поверхностно-активных веществ, таких как масла, жиры (параметр N), вязкость которых больше вязкости воды и возрастает с увеличением их молекулярной массы, при движении жидкого слоя приводит к возникновению сил поверхностной вязкости, качественно влияющих на волновые характеристики течения трехмерной жидкой пленки, границу устойчивости. Пленки нерастворимых поверхностно-активных веществ, обладая большим внутренним трением, при движении тонкого слоя вязкой жидкости забирают значительную часть его энергии, что ведет к уменьшению скорости возмущенного течения и сглаживанию профиля волн (рис. 5, кривая 2).

Представим комплексную амплитуду A в виде суммы амплитуд мод

¥

A = a0 exp i0o + ^

n=1

Амплитуды гармоник (10) для исследуемой диспергирующей системы с зависимостью фазы от амплитуды в условиях формирования монохроматической волны изображены на рис. 6.

Рис. 6. Амплитуды мод

Представленная нелинейная теория волнового течения жидкой пленки позволяет исследовать характер нелинейного взаимодействия возмущений, учитывая различные условия: изменение угла наклона поверхности стекания, неоднородность поверхностного натяжения.

Литература

1. Холпанов, Л .П. Г идродинамика и тепломассообмен с поверхностью раздела / Л .П. Холпа-нов, В.Я. Шкадов. - М.: Наука, 1990. - 271 с.

2. Алексеенко, С.В. Волновое течение пленок жидкости / С.В. Алексеенко, В.Е. Накоряков, Б.Г. Покусаев. - М.: Наука, 1992. - 256 с.

3. Прокудина, Л.А. Неустойчивость неизотермической жидкой пленки / Л.А. Прокудина, Г.П. Вяткин // Доклады РАН, 1998. - Т. 362, № 6. - С. 770-772.

Поступила в редакцию 7 июня 2013 г.

Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics” ________________2014, vol. 6, no. 1, pp. 67-73

MODELLING OF NONLINEAR DEVELOPMENT OF PERTURBATIONS IN A THIN LIQUID LAYER AT WAVEFORMATION

L.A. Prokudina

The mathematical model of the wave flow of a non-isothermal liquid film is shown. Wave characteristics (frequency, increment, phase velocity) are calculated under inhomogeneity of surface tension. The areas of wave modes of liquid film are determined. Within nonlinear parabolic equation nonlinear development of perturbances is analyzed. It is shown that there is a phenomenon of directed transfer of energy to the wave in the region of maximum increment.

Keywords: liquid film, instability, wave shapes, nonlinear parabolic equation.

References

1. Kholpanov L.P., Shkadov V.Ya. Gidrodinamika i teplomassoobmen s poverkhnost'yu razdela (Hydrodynamics and heat and mass exchange with the surface of the part). Moscow, Nauka Publ., 1990. 271 p. (in Russ.).

2. Alekseenko S.V., Nakoryakov V.E., Pokusaev B.G. Volnovoe techenie plenok zhidkosti (Wave flow of liquid films). Moscow, Nauka Publ., 1992. 256 p. (in Russ.).

3. Prokudina L.A., Vyatkin G.P. Doklady RAN. 1998. Vol. 362, no. 6. pp. 770-772. (in Russ.).

Received 7 June 2013

1 Prokudina Lyudmila Alexandrovna is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Applied Mathematics Department, South Ural State University.

E-mail: prokudina-la@mail.ru