Математическое моделирование потоков через POS-терминалы

УДК 681.3.06

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКОВ ЧЕРЕЗ POS-ТЕРМИНАЛЫ

© С.М. Сергеев

Ключевые слова: моделирование; POS; сеть; обслуживание; коммерция.

Рассмотрены проблемы организации обслуживания клиентов узла ритейлерской сети. Составлена математическая модель, получены аналитические выражения параметров обслуживания.

ВВЕДЕНИЕ

В современной российской экономике значительную роль играют развивающиеся региональные коммерческие сети. Данный вид деятельности весьма привлекателен для банков, и эти компании имеют реальную возможность заимствовать под умеренный процент привлечением облигационных займов, выходом на IPO, использованием иных финансовых инструментов. В свою очередь, ритейл - это один из немногих секторов экономики, который стабильно маржинален и в меру прозрачен и контролируем. В связи с этим необходимо решать проблемы, связанные с тиражированием бизнеса на территории России, где имеются сложности, причем не только из-за дефицита инфраструктуры и логистики, но и отсутствия научно обоснованных методик расчета. Надо отметить, что достоинством такого вида организации бизнеса является возможность проведения единой маркетинговой и дистрибьюторской политики. Это облегчает задачу разработки математических моделей [1], необходимых не только для анализа деятельности отдельного коммерческого предприятия, входящего в сетевую структуру, но и для целей системного управления, прогнозирования и перехода на опережающие экономические показатели [2-3]. Решение данной проблемы позволит обоснованно привлекать кредиты на развитие бизнеса. В данной работе изложены результаты моделирования потоков в отдельном подразделении сети ритейлера и решения встречной задачи восстановления характеристик коммерческого объекта по срезу операционных данных.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Представим в агрегированном виде аддитивный поток, составленный из С - входящего (customer) потока, R - выходного необслуженного (refused) потока, S - выходного обслуженного (served) потока, D -входящего (delivery) товарного потока, Sold - выходного потока. Очевидно, что в i -й день по результатам деятельности должны удовлетворяться соотношения:

С = R, + S, + A,; D, + W,_1 = W + Б,,

где с, - число потребителей, посетивших подразделение; Ri - число необслуженных потребителей; Si -

число обслуженных потребителей; At - число аккомпанирующих обслуженным потребителям; Dj - объем доставки; Wj - объем товара на складе и экспозиции; Bj - приобретенный объем. Такое представление необходимо по причине того, что в отдельно взятый день, вообще говоря Dt Ф Bj. Отметим, что стратификация не изменит сути подхода, просто увеличится число параметров модели. Интенсивность X входящего потока зависит от многих факторов, но можно выделить ряд периодов в течение времени работы подразделения, когда X можно считать постоянным. Также существует зависимость интенсивности X от дня недели и сезонная зависимость [4]. Моделирование потоков в течение выбранного периода позволит решить ряд проблем, определяющих величину финансовых показателей. В их числе разумный баланс между эмержент-ными складскими, экспозиционными площадями и количеством POS (point of sale) терминалов. Отсюда вытекают связанные показатели степени организации обслуживания, загруженности персонала, HR структуры, емкости, алгоритма и эффективности работы складов в условиях трафика, необходимого для поддержания темпа работы. Необходимо составить математическую модель движения производственных потоков в подразделении ритейлера. Исходными данными будут служить характеристики потоков C, D, A , начальное состояние в момент t = 0 . В результате расчета необходимо получить количественные характеристики потоков R, S, Sold , а также изменение во времени загрузки POS-терминалов.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ

Период работы разделен на отрезки времени, где можно считать постоянной интенсивность входящих потоков. Далее полагается, что в течение периода работы имеются данные о предельной величине очереди на обслуживание и предельном времени, которое клиент согласен потратить. Решение указанной задачи необходимо представить таким образом, чтобы результаты моделирования были применимы для нахождения баланса между расходами на содержание обслуживающего персонала и POS-терминалов (включая влияние

уменьшения экспозиции) и неполученным доходом, который складывается из неосуществленных покупок, потери клиентов от утраты репутации и снижения уровня лояльности.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Количество потребителей С в течение дня распределяется неравномерно. Характеристика интенсивности X может определяться различными способами (процесс измерения может быть автоматизирован снятием показаний с емкостных датчиков, обработки данных с камер). Данные выходного обслуженного потока £г- определяются с сервера POS-терминалов, что сразу даст интенсивность потока обслуживания. Необслу-женный поток складывается из Я — части посетителей, отказавшихся совершать покупку, и Д — аккомпанирующего потока, который можно учесть, разложив входной поток. Считаем, что все операторы POS-терминалов имеют схожую квалификацию, таким образом, близкое среднее время обслуживания. Соответственно значение показателя интенсивности ц потока на выходе также поддается измерению.

Применение классических формул стационарного режима, полученных из системы уравнений Колмогорова [5], некорректно ввиду того, что время выхода на установившийся режим может оказаться одного порядка с периодом изменения показателей случайного процесса (интенсивности).

Разделив время работы подразделения на несколько периодов, запишем для любого из них систему дифференциальных уравнений относительно вероятностей состояний. Разумеется, параметр X относится только к рассматриваемому периоду. Для этого используем символику Кендалла: М /М /п / Q , где первая буква дает информацию о законе поступления требований в систему, причем М — означает пуассоновский поток требований. Вторая обозначает закон поступления требований в систему, в рассматриваемом случае М — экспоненциальное обслуживание, п — число параллельно функционирующих каналов обслуживания (POS-терминалов), Q — допустимое число требований в системе, т. е. сумма числа покупателей в очереди 9 и числа клиентов, принятых на обслуживание. Поскольку производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния, имеем:

—P = —ХрО + ^1 dt

dP

-P = XPn—1 — (X + n^) Pn + nMPn+1 dt

Перепишем систему в матричном виде: Р = ОР , где Р - вектор вероятности состояний, Р = (Р0 (/), —, Рд (/)) ; матрица О размерности

(2 +1)(0 +1) имеет следующий вид:

D =

—X ц О О О

X —(Х+ц) 2ц О О

О X — (X + 2ц) • О О

О

О О О X 1 n ц

—pq

— = XPQ — 1 — n^PQ

Данная система описывает происходящий во времени процесс функционирования заданного числа POS-терминалов при известных характеристиках загрузки ритейлерского узла, данных о структуре потоков на входах терминалов, предельных значений числа ожидающих клиентов в очереди, интенсивности обслуживания.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

Решением системы (1) при заданных начальных условиях P = (P0 (0), р (0), • • •, р (0)) является вектор-

функция P = (P0 (t), р (t), •, р (t)) . Нас интересует, прежде всего, P (t) . Данное значение позволит рассчитать число необслуженных посетителей. Систему (1) можно интегрировать и получить решение в явном виде как матричную экспоненту. В данной работе для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE) были применены численные методы. Для этого использовался пакет MATLAB, в котором реализованы специальные функции-решатели; в данном случае воспользуемся функцией ode23. Далее, выполнив общий порядок программирования, создадим М-функцию с описанием правых частей дифференциальных уравнений и М-сценарий с выбранным решателем. Кроме графического представления результатов в программе предусматривается вывод ассоциированного с Libre-Office файла, содержащего массив вероятностей P .

Результаты расчета системы форматов М/М/6/14 , M/М/18/25 , типичных для средней величины сетевого подразделения, подтвердили ряд предположений относительно характера поведения решения. Во-первых, стало очевидно, что система выходит на стационарное решение через достаточно большой промежуток времени, сравнимый с периодом, на котором можно допускать постоянство интенсивности входящего потока. Во-вторых, сравнение с проведенным расчетом вероятностей P* в установившемся режиме по известным формулам Эрланга [6] дало исходные данные для анализа модели. Это позволило отметить участок интенсивного роста величины PZ (t) , заканчивающийся на уровне 0,8...0,85, от горизонтальной асимптоты, совпадающей со значениями P* . В программу был введен дополнительный модуль, информирующий о достижении заранее заданного уровня

от P* . Это дает возможность моделировать систему

принятия решений заблаговременно до неблагоприятного насыщения линий POS-терминалов.

Другим важным результатом можно считать, что моделирование данной системы в МЛТЪАВ и обработка полученных данных позволяют сделать вывод о возможности применения аппроксимации вида

Р<3 (^) = У ~ Р (^ + ^)_1 при условиях вида:

n Ґ \Q—n

аn I а^

Y=

n! I n

а^ + аn Q—nГ а “ k! n! n

k=0 s=1 4

5 = —Y-------------1*,

Pq

P =

4PQ (t*) ц

t * удовлетворяет соотношению Pg (t *) = —, где у -

стационарная вероятность из решения системы уравнений (1), определяемая по формулам Эрланга [6].

Моделирование обслуживания M / M /n/Q с ограничением нахождения в очереди, определяемым значением v -интенсивности ухода, и применение аппроксимации, сходной с (3), также позволяет перейти к аналитическому исследованию процессов в подразделении.

Таким образом, получена эффективная модель, описывающая поток через сетевое предприятие. Решая данную систему для набора X , что соответствует изменению интенсивности посещения, когда выходные данные одного решения являются начальными для следующего, получаем полную картину процесса для рабочего дня.

Полученное представление результатов в виде простых соотношений дает возможность строить приближенные расчеты для оценок параметров сетевого подразделения. Моделирование потока товаров производится аналогично. При этом исходными данными являются: объем доставки Di, наличный запас Wi, уход

Bj . В этом случае в уравнениях вида (1) параметры интерпретируются как количество пунктов приема-выдачи склада, интенсивность обслуживания.

В данной задаче наибольший интерес представляет решение обратной задачи: по характеристикам потоков восстановить показатели процесса. Имея аналитические выражения (3) и зная плотность входящего потока, степень его разрежения, зная 9 и ц, найти такие значения n , чтобы доля необслуженных клиентов не превышала некоторого значения L (lost). Причем должна удовлетворяться связь: F(L, n, 9, ц, b, e) > 0 -функция, связывающая изменение n - числа POS с доходом от изменения совершенных покупок через

величину среднего чека b и издержками e на содержание терминалов, персонала, а также вызванными уменьшением площади экспозиции. В простейшем случае рассматривались соотношения вида: T-X-Pq(X,ц,9,n)• b -n • e > 0, где T - нормирующий коэффициент - зависит от выбранных единиц измерения. Данная проблема также решается использованием вышеприведенного математического аппарата.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленная в данной работе математическая модель (1)-(3) позволяет проводить расчет потоков в сетевом подразделении. Результаты решения такой задачи могут использоваться как при проектировании коммерческих торговых предприятий, так и при расчете эмержентного объема промежуточных товарных складов. Знание характеристик потоков дает возможность определять более рациональную структуру его организации и, кроме того, сформировать комплекс мер по расчету основных экономических характеристик. На основе полученных данных вычисляются операционные характеристики системы коммерческих предприятий, имеющей сетевую структуру [3], что позволило спроектировать экспертную систему оценки параметров сетевого подразделения. Реализация математически обоснованного подхода необходима, в первую очередь, в прогнозе экономических показателей. Другим приложением изложенной методики решения прямой и обратной задач может быть расчет бизнес-планов, что является важным аргументом для привлечения банковских кредитов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сергеев С.М. Математическое моделирование сети торговых предприятий // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 1. С. 66-71.

2. Сергеев С.М. О моделировании опережающих показателей торгово-экономических процессов // Современные метод теории краевых задач: материалы ВВМШ. Воронеж: ВГУ, 2010. С. 199-201.

3. Борисоглебская Л.Н., Сергеев С.М. Моделирование динамических процессов в сетевых объектах с саморегулируемыми экономическими связями // Математика и ее приложения. Иваново: ЖИМО, 2012. С. 7-15.

4. Сергеев С.М., ПаничеваМ.З. Аппроксимация линий спроса рядами Фурье в задаче прогнозирования торговой деятельности // Понтря-гинские чтения - XXII: материалы Воронежской весенней математической школы. Воронеж: ВГУ, 2011. С. 171-173.

5. Афонин В.В., Мурюмин С.М., Федосин С.А Основы анализа систем массового обслуживания. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2003. 236 с.

6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. 2-е изд. М.: Высшая школа, 2000. 383 с.

Поступила в редакцию 26 ноября 2012 г.

Sergeev S.M. MATHEMATICAL MODELING OF FLOWS THROUGH POS-TERMINALS

The problems of organization of customer service chain stores are considered. The mathematical model is developed; the analytical expressions of parameters of service are obtained.

Key words: modeling; POS; network; service; commerce.

s

2

Y