Учет влияния топографических масс при вычислении возмущающего потенциала

Геодезия

УДК 528.2 Ю.В. Дементьев СГГ А, Новосибирск

УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ МАСС

ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА

В середине прошлого века М.С. Молоденским разработана теория изучения фигуры Земли по наземным результатам измерений. В этой теории в измеренные значения силы тяжести должны вводится поправки за учет влияния всех топографических масс Земли. До настоящего времени полностью это условие не соблюдалось. Вводились лишь поправки за рельеф, вычисляемые для ограниченной территории.

В данной работе предложено учитывать все топографические массы Земли, расположенные выше уровенного эллипсоида. При этом, для соблюдения условия равенства масс заданного эллипсоида и масс Земли, предложено вводить поправку в нормальное значение силы тяжести, компенсирующую «удаление» топографических масс.

фигура Земли, возмущающий потенциал, уровенный эллипсоид, квазигеоид, аномалии силы тяжести, промежуточный (топографический) слой.

Yu. V. Dementyev SSGA, Novosibirsk

TAKING INTO ACCOUNT THE TOPOGRAPHIC MASS ENFLUENCE DURING THE CALCULATION OF PERTURBED POTENTIAL

In the middle of the previous century M.S. Mlodensky developed the theory of Earth's figure study with the help of the results of ground-based measurements . According to this theory, all measured gravity forces should be corrected, taking into account all Earth's topographic masses. So far, this demand was not completely followed. Only some corrections, taking into account the limited area relief data, were introduced.

In our work we suggest to take into account all topographic earth's masses, located above the level of reference ellipsoid. For the conservation of condition of given ellipsoid and Earth masses parity it is suggested to correct for normal gravity force which compensates “the withdrawal” of topographic masses.

shape of the Earth, perturbed potential, reference ellipsoid, quasigeoid, gravity force anomaly, intermediate (topographic) layer.

Одним из основных научных направлений высшей геодезии является изучение фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля в единой системе координат. Эта задача сводится к определению координат точек, связанных с реальной Землей. С фигурой Земли часто отождествляют нормальный сфероид, отсчетный эллипсоид, геоид, физическую поверхность Земли [1]. В настоящее время под фигурой Земли понимается последнее из перечисленных определение.

Проблема изучения фигуры Земли непосредственно связана с задачей определения возмущающего потенциала Т, поскольку составляющие уклонения отвеса в плоскости меридиана £ и первого вертикала п, а также аномалии вы-

44

Геодезия

сот Z, вычисленные через возмущающий потенциал, позволяют получить геодезические координаты B, L и H всех пунктов наблюдений относительно принятого уровенного эллипсоида. Связь отмеченных выше составляющих гравитационного поля Земли имеет вид:

п

Z

_ 1 дТ

ур дВ

_ 1 дТ >

ypcosB dL Т

У

где у - нормальное значение силы тяжести в точке наблюдений; р - расстояние от точки наблюдений до центра масс Земли.

Поставим следующие условия.

1. Масса заданного уровенного эллипсоида равна массе Земли.

2. Нормальный потенциал на поверхности эллипсоида равен действительному потенциалу в начальной точке.

3. Центры масс Земли и уровенного эллипсоида совпадают.

Тогда возмущающий потенциал определяется по известной формуле [2, 3]:

т=R л(g _у) g(¥ ^dw,

где R = Va2b - средний радиус Земли, определенный по большой а и малой b полуосям земного эллипсоида; (g _ у) - аномалии силы тяжести; у - угол между радиусами векторами точки наблюдений и текущей точкой сферы; dm - элемент поверхности сферы радиуса R; G(y) - функция Хотина-Коха [3], если используются «чистые» аномалии (у рассчитывается с использованием геодезической высоты):

( \

G

- _ ln 1 +

• У sin —

2 V

1

• У sin —

2 )

Если в уравнении (2) задействованы «смешанные» аномалии (у рассчитывается с использованием нормальной высоты), то G(y)_ есть функция Стокса

[1, 2]:

G

—1------6 sin

• У sin —

2

2

+ 1 _ 5cos у

(

3cos У ln

V

. у

sin — + sin 2

2 у

2

Л

)

45

Геодезия

При использовании формулы (2) необходимо, чтобы аномалии силы тяжести представляли граничные условия на геоиде, а это означает следующее:

- измеренная сила тяжести g на поверхности Земли должна быть отнесена к геоиду (редукционная задача);

- вне геоида не должно быть никаких масс.

Как известно, сложность проблемы редуцирования состоит в том, что при переносе силы тяжести с физической поверхности Земли на поверхность относимости, в данном случае геоида, необходимо знать распределение масс вдоль линии переноса или изменения аномального вертикального градиента силы тяжести по высоте, что в настоящее время весьма проблематично.

В середине прошлого века М.С. Молоденским [1] разработана теория изучения фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля по наземным результатам измерений, в которой отпадает необходимость пересчета силы тяжести на какую-либо поверхность. При этом поверхность геоида заменяется близкой к ней поверхностью, названной квазигеоидом.

Возмущающий потенциал, согласно этой теории, вычисляется последовательными приближениями, в которых нулевое приближение определяется выражением (2), а формула первого приближения для общего земного эллипсоида имеет вид

где Sgi - поправка в аномалию силы тяжести, учитывающая влияние топографических масс. Формулы нулевого приближения дают удовлетворительную точность только для пунктов, расположенных на равнине. Для горных районов необходимо исключить из аномалий силы тяжести влияние топографических масс и все вычисления (высот квазигеоида Z, уклонений отвеса п) произво-

дить в поле остаточных аномалий. Затем следует восстановить влияние исключенных масс [2].

В работе [4] Л.П. Пеллинен вывел формулы вычисления характеристик гравитационного поля (Z, п) в первом приближении М.С. Молоденского. Так, для расчета высот квазигеоида получено выражение

где (g - у)нтр - аномалии силы тяжести в неполной топографической редукции (влияние топографических масс учитывается только до определенного радиуса исследуемой области от точки наблюдений); f - гравитационная постоянная; <70 - средняя плотность топографических масс; ДСр - поправка за «восстановление» исключенных масс, которая вычисляется по формуле:

Я[(g - Y)н.т.р. + 2nnf0Hу + 3g"]S(v)dw + ACp ,

н.т. р.

46

Геодезия

AZ

р

fa 0 R 2

7

f

Я In

m V

r + h ro

h_ '

r0 у

dm;

h и r - соответственно разность нормальных высот и расстояние между текущей и результативной точками; Го - расстояние между их проекциями на от-

счетную поверхность; dg" - поправка за аномальный вертикальный градиент силы тяжести:

dg" = -h

d

dH

н.т.р. _ hR2 JJ[(g У) (g У)0]н . т.р.dm

2п

m

'0

Отсюда, с учетом (1) величину возмущающего потенциала можно представить в виде

Т = R JJI[(g - У) нт.р. + 2п f 0H У + Sg ”] S(V) + 4п fa0R

у , , 'N

ln r + h - h_

V r0 r0 У

•dm.

Следует заметить, что в приближениях М.С. Молоденского поправка dg^

имеет смысл в полной топографической редукции (учтены все топографические массы Земли). Формулы Л.П. Пеллинена удовлетворяют этому условию с точностью (g - у)H / R [4].

В настоящее время с развитием GPS-технологий стало возможным определять геодезические высоты H непосредственно из измерений и, следовательно, вычислять «чистые» аномалии силы тяжести. Пусть совокупность геодезических высот описывает цифровую модель рельефа Земли. Тогда можно рассчитать поправки SgA за промежуточный (топографический) слой с постоянным значением плотности а 0, ограниченный сверху физической поверхностью Земли, снизу - уровенным эллипсоидом в заданных точках земной поверхности. При этом не представляет трудности вычисление объема Vt учитываемого промежуточного слоя. Тогда, по аналогии с выражением (4) можно написать:

Т = R № -

где поправка дут обусловлена «восстановлением» равенства масс реальной

Земли и уровенного эллипсоида. Нормальное значение силы тяжести Ут = У - дУт можно рассчитать, используя геоцентрическую гравитационную постоянную fMт с дополнительными массами аqVt , т. е.

fMT = fM fa0VT .

47

Геодезия

Рассчитаем примерную величину поправки дут . Выполненные расчеты показали, что объем топографических масс над уровенным эллипсоидом примерно составляет 2,5 х 1017 м3 . Величина fMравняется 398 600,5 х 10+9 м3с-2 .

Тогда fMт = 398556,5х 10+9 м3с-2 . С учетом этой константы поправка дут на

поверхности уровенного эллипсоида (WGS-84) имеет значения: дут = 108,524 мГал на экваторе; дут = 108,159 мГал на полюсе.

Полученные значения показывают, что поправка за «восстановление» достаточно значима.

Таким образом, формула (6) представляет уточнение первого приближения Л.П. Пеллинена. Очевидно, что при таком подходе к расчету возмущающего потенциала, объем вычислений значительно возрастет, однако, при современном состоянии вычислительной техники эта задача вполне разрешима.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Молоденский, М.С. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли [Текст] / М.С. Молоденский, В.Ф. Еремеев, М.И. Юркина // Тр. ЦНИИГАиК, вып. 131. -М.: Геодезиздат, 1960. - 264 с.

2. Шимбирев, Б.П. Теория фигуры Земли [Текст]: учебник / Б.П. Шимбирев. - М.: Недра, 1975. - 432 с.

3. Гофман-Велленгоф, Б. Физическая геодезия [Текст]: учебник / Б. Гофман-Велленгоф, Г. Мориц; пер. с англ. Ю.М. Неймана, Л.С. Сугаиповой. - М.: МИИГАиК, 2007. - 426 с.: илл.

4. Пеллинен, Л.П. Влияние топографических масс на вывод характеристик гравитационного поля Земли [Текст] / Л.П. Пеллинен // Тр. ЦНИИГАиК, вып. 145. - М.: Геодезиздат, 1962. - С. 23-42.

Получено 05.07.2010

© Ю.В. Дементьев, 2010

48