К построению математической модели раскрытия солнечного паруса космического аппарата

УДК 629.7

К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСКРЫТИЯ СОЛНЕЧНОГО ПАРУСА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

В.М. Чуркин, Т.Ю. Чуркина

Предлагается математическая модель одного из фрагментов процесса раскрытия солнечного паруса космического аппарата, рассмотренного в работе В представленной модели описывается динамика фазы раскрутки паруса и маховика для варианта конструкции, при котором ротор маховика, выполненный в виде штанги, в течение этой фазы разворачивается, располагаясь перпендикулярно оси корпуса космического аппарата. Поступательное движение космического аппарата моделируется с помощью теоремы об изменении главного вектора количеств движения. При выводе уравнений относительных вращательных движений тел, составляющих космический аппарат с парусом, применяются теорема об изменении главного момента количеств движения и уравнения Лагранжа 2-го рода. Разработанная модель может быть использована совместно с моделями для других фаз раскрытия, при численных исследованиях динамики всего процесса раскрытия солнечного паруса космического аппарата.

Ключевые слова: космический аппарат, солнечный парус, ротор маховика, гиростат, математическая модель, тензор инерции, обобщенные силы, оператор Эйле-ра-Лагранжа.

В работе [1] представлена математическая модель динамики раскрытия солнечного паруса космического аппарата (КА), составленного из отражающей поверхности паруса и маховика с механизмом вращения. Процесс раскрытия паруса авторы работы [1] разделяют на четыре последовательные фазы: выдвижение барабанов с парусом и маховиком, раскрутка их в сложенном состоянии, развертывание ротора маховика и развертывание отражающей поверхности паруса. В рассмотренной конструкции исходным перед раскруткой является положение маховика, которое он занял после завершения поступательного перемещения вдоль оси корпуса КА. Перед началом фазы развертывания ротор маховика и парус имеют вид барабанов цилиндрической формы с уложенными на них тонкими однородными пленками. Под действием центробежных сил эти мягкие оболочки разворачиваются, принимая форму, близкую к плоской.

Ниже дается описание фазы раскрутки для другого варианта конструкции раскрытия солнечного паруса, которое может служить дополнением к математической модели, разработанной авторами работы [1]. Здесь предполагается, что ротор маховика, выполненный в виде штанги, в течение фазы раскрутки разворачивается, располагаясь перпендикулярно оси корпуса КА (рис. 1). Затем следует фаза развертывания отражающей поверхности паруса, построение математической модели которой подробно изложено в работе [1].

Рис.1. Схема конструкции раскрытия солнечного паруса КА на фазе раскрутки

Условимся считать, что барабан с парусом является динамически симметричным телом и при его раскрутке распределение масс КА не меняется. Это свойство учтем при составлении уравнений движения системы трех связанных тел, представляющих КА на рассматриваемой второй фазе раскрытия солнечного паруса: «несущего» тела (корпуса КА) и «носимых» тел (барабанов с парусом и маховиком) относительно «несущего» тела. Корпус КА, барабан с парусом и материальную точку с массой маховика, расположенную на корпусе КА в центре масс маховика, представим гиростатом. Связанные с корпусом КА оси координат OXYZ направим по главным осям инерции гиростата.

Для описания поступательной составляющей движения КА используем теорему об изменении главного вектора количеств движения. В проекциях на оси системы OXYZ будем иметь

жюу . жю,

М

+ ¿С

У

УС

ж ж ж

+ юу у + Ус^х - х'сЫу ) -

= я(.е):

М

'йУЛ

У

+ хс

М

Ж ж ж

Юх

Ъ-х + Ю

ЖУ,

+ УС

х

хс

У

Ж ж ж

у

+ Юх

*У'\

Я

где Ух,Уу,У2 - проекции на оси системы координат OXYZ вектора скорости точки О; Юх, Юу, Ю2 - проекции на оси системы координат OXYZ вектора угловой скорости КА; хС,уС,2с - проекции на оси системы координат OXYZ радиус-вектора центра масс системы относительно точки О.

При выводе уравнений вращательных движений тел, составляющих КА, учтем, что тензор инерции гиростата J * выражается суммой

J * = J(3) + J(1) + П J(г) + Ыг ( Е П2 - Щ)] = diag (, Jy, Jz),

г=1

а элементы матрицы тензора инерции маховика J(2 являются функциями его угла поворота ф2

J

(2) —

2 1

1 2

Здесь J(l) (г = 1,2,3) - тензоры инерции «носимых» тел и «несущего» тела, вычисленные относительно собственных центров масс; М1(1 = 1,2) - массы «носимых» тел; Е - единичный тензор; г1 - радиусы-векторы, определяющие положения центров масс «носимых» тел относительно точки О в начале второй фазы раскрытия солнечного паруса КА; г1г1 - диадные произведения векторов г; Jx, Jy, Jz - главные моменты инерции гиростата

относительно его центра масс; J22 - момент инерции маховика относительно оси OZ.

С помощью теоремы об изменении главного момента количеств движения записываем уравнение вращательного движения гиростата

J

ЖЮ _

Ь ЮХ J* ю + J(1) ^^ -юх т(1) Ю(г)д. Ю(г) х т(0ю

Ж

+ юх j(1) ю^ + ю х ^ ю +

+ ^2) жю + юх j(2) ю + j(2) ^

+ юх j(2) ю2г ) + ю2г ) х ^2) ю = ы^

Ж Ж

Здесь ю- вектор угловой скорости гиростата; Ю()(1 = 1,2) - относительные угловые скорости «носимых» тел; МСе) - вектор главного момента внешних сил, действующих на гиростат относительно его центра масс.

56

Учитывая, что в уравнении

г Жр . 2 1 Т Жц л

Jz2^т ф2 -- Jz2~ Зт2ф2

J

Жю

Жг

Жг

2 Жг

1 т Жр . _ Жа 2 Jz2-7-Sin2Ф2 + ф2

2 жг жг

Жг 2~

Жг

юх J(2) Ю=

Р 2

Jz2цг - Jz2(- 2 З1П 2ф2 + а СОЭ ф2 )г

1 ^ т^-2 а  ~ л

-^ 2Рг + ^2(РЭ1п ф2 -2З1п2ф2)г

1 2 2 2 J л о

-- Jz2Р З1п2ф2 + Jz2рц(С0З ф2 - ЭШ ф2) + Ц эт 2ф2

у 2 2

;

J

т

(2) 2 _

Жг

А л

т Жф2 р -2ч JzЭ1п2ф2 - Ц Э1П ф2)

Жг 2

г Жф2. 2 а  г. ч Jz2^г

Жг 2

2 2'

Ж 2ф2

2

; юх j(2) ю2г) =

- ^ 2"Ж"ц

Т ф2 Р

Jz 2^Т Р 0

ю2Г) Х Л<2) ю =

Жг

Г т Жф2 . Р . _ 2 ч

Jz2-;г(-- Э1п2ф2 + Ц СОЭ ф)2 Жг 2

Жф2 .. 2 а  ~ -Л2-ГТ

Ж 2

0

записываем уравнения движения гиростата в проекциях на оси системы координат ОXYZ

т Жр Жр .2 1 Жа . „ . . г тч т Жф1

Jx-T + Jzф2этф + (Jz -«/у)аг + ЦЛц-Т1 +

жг ж 2 (г у ж

1

+ /z2Г

2 ф = м(в).

Жц

2

1 Жр .

Жг

Сх

Жц 2

Jy-t + Jz 2(-~~Т7 Э1п2ф2 + СОЭ ф2) + (Jx - Jz )ГР - РJz1

Жф1

Жг

2 Жг

Жг

- Jz 2Г (Р СОЭ2 ф2 +1 ц э1п 2ф2) + Jz 2 (а э1п 2ф2 + 2 р СОЭ2 ф2)ф = мСУ; 2 Жг

Жг (2) м(

Т Мт т Мт . т _ , 1^.2 2ч - ^

¿г-Г + ¿-2~Г + ¿у - ^х + ¿-2сО$2ф2)ря¿-2(Р - Я )§1п2ф2 + ММ' 2

2 2

+ ¿.-1 ^ - ¿г 2 Ф =

м м сг

где р^,г - проекции вектора ю на оси системы координат OXYZ.

Уравнения относительного движения «носимых» тел составляем в форме уравнений Лагранжа 2-го рода [2]

Е^

где Е8 - оператор Эйлера-Лагранжа, соответствующий обобщенной координате qs; Т(г)- кинетическая энергия «носимых» тел в относительном движении; Qs - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате qs; Qsп0ст, Qsцб, Qsвр, QsKор - обобщенные силы, соответствующие силам инерции относительного движения «носимых» тел.

Выбирая в качестве обобщенных координат углы поворота барабана с парусом ф1 и маховика ф2 вокруг своих осей, заданных единичными

векторами е1 и е2, записываем выражение, определяющее кинетическую энергию «носимых» тел

Т(г)= ¿-1 ( МФ1)2 + ( МФ2)2 2 М 2 М При вычислении обобщенных сил инерции учтем, что Qsп0ст и Qsцб не зависят от обобщенных координат ф1, ф2 и, следовательно, Qsп0ст = = Qsцб = 0. Для определения Qsвр и Qsкор используем формулы

Qsвр = - М?-^; QsK0р = -ю-Е^ (К^т)),

—

где КО - вектор главного момента количеств относительного движения «носимых» тел,

К(т)= £ф J(/). К° ¿1 А61* 0 ; ¿18 - обобщенная скорость, соответствующая обобщенной координате qs; Е^ - оператор Эйлера-Лагранжа, в котором выполняется операция относительного дифференцирования по времени.

Поскольку тензоры инерции не зависят от угла ф1, для обобщенных сил инерции записываем

Мт

Qlп0ст = Qlцб = 0; Qlвр = - ¿-1 —; QГр = 0.

М

В выражении потенциальной энергии центробежных сил от угла ф2 зависит только тензор J 02), причем

д

э э

d ( J O2)) = Л ( J(2)) =

Эф2 Эф2 Эф2

А(Jz2 sin 2ф2) (-Jz2 cos 2ф2) 0^

(-Jz2 cos 2ф2) (- Jz2 sin 2ф2) 0

0 0 0

Следовательно,

1 Л

Q2п0ст = 0; Q246 = 1 w Л

2

Л ( J O ) w = 1 Jz 2(p2 - q 2)sin 2ф2 - Jz 2 pq COs2j2 .

Эф2 2

Вычисляя

d Ж(r) d -() = -( J(2) e2) = 0; dt d(&2 dt

= 0,

dq2

находим

Q2EF = J

dr

Q/^ = 0.

7 2 Ж '

Используя алгоритм уравнений Лагранжа 2-го рода, записываем уравнения движения барабана с парусом и маховика

т d 2ф1 = Q

J z1-о--Q1

dt

2

J

z1

dr dt

dr

d 2фо ^ri-1/2 2\-/-» т

Jz 2-Q2 + Jz 2[-( p - q ) sin 2ф2 - pq cos ф2 + —-].

dt2 2 dt

Обобщенные силы Q1 и Q2 имеют смысл моментов сил, приложенных к «носимым» телам относительно их осей вращения.

Уравнения (3) рассматриваются совместно с уравнениями гиростата (2). Как и в случае с первым вариантом положения маховика перед раскруткой, описанным в работе [1], для получения замкнутой системы уравнений движения они дополняются выражениями характеристик силовых устройств, создающих крутящие моменты «носимым» телам.

Список литературы

1. Синицын В.А., Чуркин В.М., Александров О. А. Математическое моделирование раскрытия солнечного паруса космического аппарата // Вестник МАИ, № 3, 2005. С. 37 - 63.

2. Лурье А.И. Аналитическая механика. М: Физматгиз, 1961. 824 с.

Чуркин Валерий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, проф., еИигапёг@,та11.ги, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

Чуркина Татьяна Юрьевна, канд. техн. наук, доц., k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт

BY BUILDING A MA THEMA TICAL MODEL OF DISCLOSURE SOLAR SAIL SPACECRAFT

V.M. Churkin, T.Y. Churkina

A mathematical model of a fragment of the discovery process of a solar sail spacecraft, discussed in [1]. In the presented model describes the dynamics of the phase of promotion of the sails and the flywheel to the embodiment in which the flywheel rotor, in the form of bars, during this phase takes place, lying perpendicular to the axis of the body of the spacecraft. The translational motion of the spacecraft is modeled using the theorem on the change of the principal vector of movement. In the derivation of the relative rotational motions of the bodies that make up the spacecraft with a sail, used to change the main theorem of angular momentum and the Lagrange equations of the 2nd kind. The developed model can be used in conjunction with models drawn up by the authors of [1] for the other phases of the disclosure, the numerical studies of the dynamics of the whole process of opening a solar sail spacecraft.

Key words: spacecraft, solar sail, rotor flywheel, gyrostat, "wearable" bodies, "carrier" of the body, mathematical model, the inertia tensor, generalized forces, the Euler-Lagrange equations.

Churkin Valerij Mihajlovich, doctor of phisical and mathematical sciences, professor, churandr@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Churkina Tatjana Jur'evna, candidate of technical sciences, docent, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute