Организация практических занятий по математике в техническом вузе с применением компьютерной среды Mathematica

Ф. А. Ихсанова

ОРГАНИЗАЦИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ СРЕДЫ

MATHEMATICA

Работа представлена кафедрой алгебры и геометрии Елабужского государственного педагогического университета.

Научный руководитель - доктор педагогических наук, профессор Т. В. Капустина

В статье рассматриваются вопросы организации практических занятий в техническом вузе с применением среды Mathematica. Перечислены методические цели применения компьютерной поддержки и ее роль в обучении. Предложена новая методика решения задач по двум темам программы по математике в техническом вузе (в частности, приемы создания и использования учебной анимации).

The article considers the questions of practical exercise organisation in a technical college using the Mathematica environment. Methodical purposes of computer support application and its role in training are listed. The author offers a new technique of problem solving on the two themes of the mathematics syllabus in a technical college (in particular, techniques of creation and use of educational animation).

Многие процессы, описываемые в науке, технике и других областях человеческой деятельности, требуют подготовки

специалистов, в совершенстве владеющих как методами проведения сложных математических расчетов, так и активно ис-

пользующих новейшие информационные технологии.

Наличие систем компьютерной математики, которые имеют большой потенциал и как педагогические программные продукты, обусловливает необходимость переориентации учебного процесса. Правильно организованное занятие с применением одной из компьютерных математических систем (KMC) может стать значительно эффективнее, если активно использовать возможности автоматического проведения трудоемких математических выкладок.

Специфика самого предмета «математика» такова, что основными в процессе обучении являются наглядно-вербальные средства в различных сочетаниях. Передача части обучающих функций техническому устройству преобразует деятельность и преподавателя, и студента, изменяя не только ее содержание и операционную структуру, но также в значительной мере систему взаимоотношений между ними. Современные системы компьютерной математики резко повышают интерес учащихся к математике, поскольку облегчают процесс ее усвоения и сочетают его с увлекательной работой с современной вычислительной техникой. Новый подход к изучению конкретных тем математики с использованием KMC, учитывающий непроизвольную тягу студентов к работе на персональном компьютере, в соответствии с требованиями жизни подводит их к самостоятельному приобретению новых знаний и умений, повышает эффективность познавательной деятельности, развивает мышление и улучшает результативность учебного процесса.

В настоящее время уделяется большое внимание компьютеризации обучения, в частности, при проведении лабораторных работ, чтении лекций и при дистанционном обучении. Как средство обучения среда Mathematica рассмотрена в работе Т. В. Капустиной0, где дано описание этой системы и методика ее применения в изучении геометрии. В диссертационной работе С. А. Дьяченко0 дается методика прове-

дения лабораторных работ с применением системы Mathematica. Е. А. Дахерп в своей диссертационной работе раскрывает возможности достижения высокого уровня усвоения знаний в экономическом вузе через лабораторные работы, введение новых форм лекционных занятий и форм дистанционного обучения.

Однако улучшающееся оснащение вузов компьютерами, необходимость подготовки квалифицированного специалиста, свободно владеющего своей профессией и ориентированного в смежных областях деятельности, вступают в противоречие с малым объемом обязательных лабораторных занятий, что приводит к необходимости регулярного проведения практических занятий по математике с применением компьютерных сред.

Таким образом, с учетом поставленной цели обучения, структуры и содержания темы, а также особенностей мыслительной деятельности студентов приходим к необходимости применения компьютерной поддержки практических занятий по математике.

Деятельность преподавателя при проведении практических занятий с применением компьютерной математической среды заключается в следующем:

1) подготовка педагогических программных продуктов по соответствующей теме:

а) подборка предметных и учебных задач, подлежащих решению по новой методике с компьютерной поддержкой;

б) разработка новой методики решения выбранных задач с компьютерной поддержкой;

в) осуществление подготовки к практическому применению новой методики;

2) инструктаж студентов по методике работы с ПК.

Признано, что внедрение новых информационных технологий сдерживается не столько вследствие недостаточной оснащенности вузов этой техникой, сколько по причине отставания методики преподава-

ния от уровня технических решении и требований учебного процесса.

В результате проводимых практических занятий с применением системы МаШешайса на компьютере нами установлено, что вычисления, проводимые на компьютере, должны периодически сочетаться с живым словом преподавателя. Основная роль на занятии отводится преподавателю, и только в отдельные моменты занятия работа в системе МаШешайса должна помочь студенту в усвоении знаний.

При изучении некоторых тем громоздкие предварительные вычисления могут вызвать уже на первой стадии работы сомнения в правильности выполняемых выкладок. Чтобы нейтрализовать возникший негативный настрой, система МаШешайса помогает в проверке проводимых построений и вычислений.

Преподаватели математики знают, что тема «Исследование функций и построение графиков» является одной из самых трудоемких в плане проведения множества вычислений; особенно это относится к функциям, заданным параметрически и в полярной системе координат. Внесение изменений в методику проведения этих занятий назрело давно. Умение строить графики функций, заданных параметрически, в полярной системе координат, доведение этого построения до уровня хороших навыков необходимо для студента по многим причинам. Хорошие навыки пригодятся ему в дальнейшем в прикладных задачах при вычислении площадей плоских фигур. При этом половина отведенного времени, а то и более тратится студентом на процесс построения фигур. Опытный преподаватель знает, что при нанесении точек графика на координатную плоскость и последующем их соединении у большинства студентов, в силу различных причин, возникают затруднения по поводу того, каким же образом соединять точки (особенно это касается сложных кривых с самопересечениями). Применение анимации в среде МаШешайса при построении графиков функций, показ

построения графиков сложных функций в динамике позволяет снять психологический барьер и ведет к приобретению устойчивых навыков построения фигур, их дальнейшего исследования.

При изучении этой темы с использованием компьютера достигаются следующие развивающие цели:

1) индивидуализация и дифференциация процесса обучения (за счет возможности поэтапного продвижения к цели);

2) осуществление самоконтроля и самокоррекции;

3) высвобождение учебного времени без ущерба качеству усвоения за счет выпол-нения трудоемких вычислений;

4) визуализация изучаемых процессов и наглядная демонстрация их динамики;

5) использование нетрадиционных форм подачи и контроля материала для оживления процесса обучения и создания тем самым непринужденной обстановки в учебной группе.

Новую методику решения задачи исследования функции, заданной параметрически, и построения ее графика (в частности, прием создания анимации) можно предложить студентам на демонстрационном примере, заранее подготовленном преподавателем .

Задача. Построить график параметрически заданной функции

|х = зг2, I у = зг - гг

при г е [- 3;3].

Решение. В данном случае вначале необходимо провести исследование некоторых ее свойств.

1. Область определения: х > 0 при любом г, линия расположена в правой полуплоскости относительно оси ординат.

2. Точки пересечения с осями координат. у = 0 о зг - г3 = о о

~г = о

о

г = ±43

х = о о г = 0;

следовательно,

М-1

y(t)>0 О 3t -13 > 0 О

3. Промежутки знакопостоянства:

г <-43 о < г <43

Следовательно, получаем, что

у > 0 О г е(-ю;-43) и (О^л/3) у < О О г е(- >/3;0) и (л/3; + да).

Методика построения графиков функций, заданных параметрически, с помощью среды МаШешайса отличается от традиционной тем, что можно провести исследование экстремумов, промежутков монотонности, выпуклости и вогнутости, точек перегиба с помощью вычислительных средств среды, тратя на это минимум времени. А правильно соединить точки графика, заданные таблицей (составленной опять-таки при помощи МаШешайса), поможет анимация, стандартная программа для которой одна и та же для всех задач по-

добного типа и заложена в демонстрационном примере.

Следует отметить, что при создании учебной анимации математических процессов необходимо учитывать, является ли процесс непрерывным или дискретным. В статье рассматривается анимация непрерывного процесса (изменения значения скалярной функции в зависимости от непрерывного изменения скалярного аргумента на заданном числовом промежутке).

В рассматриваемой задаче для экономии времени студентов при составлении таблицы значений г, х, у применим систему МаШешайса. Все эти дополнительные вычисления в демонстрационном примере можно оформить в виде гиперссылки, для получения которой ставим курсор мыши на выделенное слово и нажимаем на левую клавишу мыши. Тогда в гиперссылке студенты увидят следующие результаты вычислений (входные ячейки печатаются полужирным шрифтом, выходные - светлым):

Table [{x[t] == 3 * t2, y[t] == (3 * t -13), {t,-3,3,0.5}]

{{x[-3]=27,y[-3]=18}, {x[-2.5]=18.75, y[-2.5]=8.125}, {x[-2.]=12, y[-2.]=2.},{x[-1.5]=6.75, y[-1.5]=-1.125}, {x[-1 .]=3,y[-1 .]=-2.},{x[-0.5]=0.75,y[-0.5]=1.375}, {x[0.]= 0, y[0.]=0.}, {x[0.5]=0.75, y[0.5]=1.375},{x[1.]=3.,y[1.]=2.},{x[1.5]=6.75,y[1.5]=1.125}, {x[2.]=12.,y[2.]=-2.}, {x[2.5]=18.75,y[2.5]=-8.125},{x[3.]=27.,y[3.]=-18.}}

Отметим эти точки на координатной плоскости.

ListPlot[Table[{3t2,(3t-t3)},{t,-3,3,0.5}], PlotStyle ^ PointSize[0,02]]

Практика показывает, что, отмечая эти точки, студенты часто не знают, в какой последовательности следует их соединять. Эта неопределенность полностью исчезает с применением системы Mathematica. Последовательность соединения точек показана на рис.1:

Далее рассмотрим демонстрационный пример построения графика функции, заданной в полярной системе координат.

Задача. Построить график функции р = 2 cos (р.

Решение. Составим таблицу значений координат ф, р при е[0, 2д>] с шагом (р = я/8

Рис. 1. Последовательность соединения точек на графике

ТаЬ1е [р[ф] == 2 * {<р,0,2 * я, -}]

8

р[0] = 2, р[0.392699] = 1.84776, р[0.785398] = 1.41421,

р[1.1781] = 0.765367, р[1.5708] = 1.22461 х 10 Ч6, р[1.9635] = -0.765367,

р[2.35619] = -1.41421, р[2.74889] = -1.84776, р[3.14159] = -2., р[3.53429] = -1.84776,

р[3.92699] = -1.41421, р[4.31969] =-0.765367, р[4.71239] =-3.67382 *10 16,

р[5.10509] = 0.765367, р[5.49779] = 1.41421, р[5.89049] = 1.84776, р[6.28319] = 2.

Студенты в своих тетрадях отмечают полученные точки в полярной системе координат и соединяют их плавной кривой. Для демонстрации правильного порядка соединения точек в системе Mathematica студентам следует курсор мыши подвести под один из графиков и нажать на левую клавишу мыши. На рисунке появится в динамике построение следующего графика (рис. 2):

К одной из трудоемких тем практических занятий относится тема «Приложения определенного интеграла». Решение задачи на вычисление площади плоской фигуры состо-

ит из трех основных этапов: вначале надо построить кривые в различных системах координат и увидеть полученную кривую, следующим является нахождение точек пересечения кривых, и только после этого с помощью определенного интеграла вычисляется площадь полученной фигуры. Студент на каждом из этих этапов вычислений может проверить результат вычислений в системе Mathematica. Преподаватель в течение всего занятия должен следить за тем, чтобы:

• компьютер помогал студенту понимать математику;

• механизмы вычисления, представленные KMC, не затушевывали математическое понимание предмета;

• математическая система не ослабляла способность вычислять вручную.

Студенты знакомятся с демонстрационным примером решения одной задачи подобного типа и по этому образцу сами могут применить новую методику решения с использованием среды МаШешайса.

Задача. Найти площадь части фигуры, ограниченной линией р=2+со82д> , лежащей вне линии р=2+8тд>.

Решение.

1. Построение графиков функций.

Студенты самостоятельно рисуют фигуру, затем с помощью гиперссылки проверяют правильность своего построения:

«Graphics Graphics'

PolarPlot[{2+Cos[29],2+Sin[9]},{9,0, 2 },PlotRange {-3, 3}, PlotStyle ^ Thickness [ 0.01]]

2. Нахождение точек пересечения кривых приравнивания правых частей уравнений и Pj=2+cos2g>, p2=2+sing> производится путем нахождения из полученного уравнения:

2 + cos 2^ = 2 + 2 + sin^ ^ cos2^ -sin^ = 0 ^ cos2 (р-sin2 (р-sin^ = 0 ^ ^ 1 - sin2 (р- sin2 (р- sin^ = 0 ^ 2sin2 ф + sin^ -1 = 0

Обозначим sin (р = t, тогда имеем

2t2 + t-1 = 0 о

ti =-1

12 =-2 2

1 О

sin (p = -1

1 о

sin ф = —

2

n

rn =---h 2nn

2

n

rn = (-1)n — + ^n. 6

По условию задачи получаем

ж к 5 ж

ъ = - 2' * 2 = ' * 3 = •

Определим точки пересечения двух кривых в системе Mathematica. Студенты могут воспользоваться гиперссылкой, которая имеет вид: Solve [2 + Cos[2 *ф\ = 2 + Sin[(p\

ж ж 5 ж

{ { ^ - у} { Р ^ ^ "б-}}

3. Найдем площадь фигуры.

п

1 6 ж

2 J (А2 - Р22)Ф =J\((2 + cos2^)2 - (2 + sin p)2))d<p

6

S=2 •2

2

6 6

с б cos 4ф cos 2ф J(4 + 4cos 2<p + cos2 2ф — 4 - 4sin^ - sin2 cp)dq = J (4cos 2<p - 4sin^ л---ь

22

6/9 _ a  cos4^w ,9 . _ л . sin 44 J (—cos2^- 4sin ф л---—)dy = (—sin 2^ + 4sin ф л---—) |6Я =

2

9л/3 л/3 4л/э _ 5lV3 8 16 2 " 16

2

2

2

2

Проверим результаты вычислений площади фигуры в МаШешайса.

Затрудняющиеся студенты пользуются гиперссылкой:

п

6

|((2 + Со42<р])2 - (2 + &и[<р])2)ф

п

2

51л/э 16

Таким же образом с помощью компьютерной поддержки можно продолжить изучение данной темы (решение задач на нахождение длин дуг кривых, объемов пространственных тел и т. д.). В результате подобной организации практического занятия достигаются условия комфортности получения знаний по данной теме. Помощь системы МаЛеша^са приводит к более

быстрому усвоению, значительно увеличивается темп и эффективность занятия. Высвобождение времени вполне закономерно приводит к изменению содержания математической дисциплины в техническом вузе в сторону практического применения математики к задачам физики и техники.

Рассмотрим следующую физическую задачу, в которой для упрощения вычислений применяется разложение в ряд.

Задача. Найти период полураспада радия Яа226 если известно сколько ядер распадаются в 1 кг радия за 1 секунду.

Решение. По закону радиоактивного распада , где Ы0 - начальное число нераспавшихся ядер в момент времени ^ = 0; N - число нераспавшихся ядер в момент времени V, X - постоянная радиоактивного распада для данного вещества.

Так как для периода полураспада (Гш): N = NJ2 и t = Тт

Итак,

- = e ~ЯТ1/2 О ln 2 = АТ1/2 о! =

2 1/2

ln 2

1/2

Количество распавшихся ядер найдем из разницы:

_ jn^

AN = N0 - N = N0 • (1 - e) = N0 • (1 - e Tl/2) где х = lc.

Разложим функцию е" в ряд Маклоре-на по степеням х до 5-го порядка включительно

Series[E4,{x,0,5|]

После нажатия одновременно двух клавиш Shift+ Enter получаем

1 X X X X г -.6

1 + x + — + — + — +-+ 0[ x Г

2 6 24 120

т т 1п 2

1ак как величина - мала, то

Т

1/2

возьмем первые члены ряда разложения

1п 2 1п 2

Ш = М0  (1 -1 +-г) = М0-

T

11 /

T

-i 1 /

1/2 1/2

Число нераспавшихся ядер М0 можно найти из соотношения

т Н0 т  Ыл

— = —°- о М0 =--

м ЫА м

где т = 1 кг, М = 0.226 кг, N - постоянная Авогадро.

AN = т  Na ln2

M T1

/ 2

Из уравнения найдем Т1/2. Можно воспользоваться средой Ма1ета1тса для нахождения корня Т1/2 уравнения:

8о1уе[ аМ = *- * ^^, Т / 2 ]

м t

1/2

{{Т 1 / 2 ^

Log[2] N a M AN

}}

Ответ: Т 1/2_

Na • ln 2

M-AN

Практические занятия, проводимые с использованием системы МаЛета^са, способствуют развитию у студентов интереса к математике. Данный метод обучения способствует глубокому усвоению знаний, получению устойчивых умений и навыков. Тестирование студентов показало, что 63% студентов за применение среды МаШетайса на практических занятиях, 20% студентов считают, что не на всех практических занятиях нужен компьютер и 17% считают, что практические и лабораторные занятия надо проводить отдельно.

Будущий специалист с техническим образованием должен знать методы вычислений, а эффективность реализации этих методов зависит от того, какие средства он использует. Система МаШетйса является одним из таких эффективных средств.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Капустина Т. В. Компьютерная система МаШетаИса 3.0 для пользователей.М.: СОЛОН-Р, 1999.

2 Дьяченко С. А. Использование интегрированной символьной системы МаШетайса в процессе обучения высшей математике в вузе: Дис. на соис. учен. степени канд. пед. наук. Орел: Орловский гос. пед. ун-т. 2002.

3 Дахер Е. А. Система МаШетайса в процессе математической подготовки специалистов экономического профиля: Дис. на соис. учен. степени канд. пед. наук. М.: МГПУ, 2004.