Задача Стефана для адиабатического намораживания воды холодом гранул

УДК 630.658.012.011.56.621 Ю.М. Ельдештейн, О.В. Болотов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАКРОЛОГИСТИКИ В ЛЕСНОМ КОМПЛЕКСЕ

Данная работа посвящена разработке комплекса моделей и методик, с помощью которых решаются задачи оптимизации величины расчетной лесосеки с учетом динамики лесного фонда, автоматизированного проектирования сети лесных дорог с одновременным определением экономической доступности участков лесного фонда. Приведена структурная схема системного подхода к решению задачи оптимизации лесопользования в системе лесного комплекса.

Лесозаготовительное производство в системе лесного комплекса России имеет свои характерные особенности. Рубки главного пользования, хотя и являются в первую очередь процессом заготовки древесины для дальнейшей переработки, одновременно представляют собой элемент комплекса лесохозяйственных мероприятий в сложной системе организации устойчивого управления лесами. Такая постановка задачи предопределяет необходимость рассмотрения всех вопросов, связанных с лесопользованием в рамках специальной лесопромышленной логистики.

В число основных задач макрологистики входит решение проблем взаимосвязи работы отдельных подсистем для оптимизации функционирования всей системы в целом. Рассмотрим эти подсистемы лесопромышленного комплекса в отдельности.

Лесной комплекс, с достаточно узкой точки зрения, можно представить в виде совокупности основных подсистем: лесное хозяйство и лесная промышленность. Лесное хозяйство, в свою очередь, состоит из подсистем, обеспечивающих сохранение и усиление всех природных свойств лесов, многоцелевое, непрерывное и неистощительное пользование (ННПЛ) лесным фондом, воспроизводство, повышение продуктивности, охрану и защиту лесов, сохранение биологического разнообразия и др. Лесная промышленность и ее подсистемы должны органически вписываться в вышеуказанные подсистемы лесного хозяйства. Это достаточно очевидно с учетом хотя бы того, что первой ее задачей является соблюдение принципа ННПЛ и других лесохозяйственных требований. Более того, у всех без исключения подсистем лесного комплекса общий, незаменимый и важнейший для биосферы объект природопользования - лесные экосистемы различного уровня и основанные на них хозяйственные единицы.

Переход на принципы рыночной экономики, исключительная неразвитость транспортной инфраструктуры, ориентирование на временный характер главного пользования большинства лесопромышленных предприятий привели к глубокому социально-экономическому кризису лесного комплекса России. Отсутствие лесной национальной политики, несовершенство нормативно-правовой базы, слабое государственное регулирование не дают возможности устранить эти проблемы в ближайшей перспективе.

Значительная часть ошибок при планировании объема лесопользования связана с отсутствием системного подхода к решению этой проблемы. При определении величины расчетной лесосеки недостаточно учитываются такие факторы, как экономическая доступность отдельных участков леса, финансовое состояние лесозаготовительных предприятий, их техническая оснащенность, состояние лесного фонда, процессы лесовосстановления и прочие аспекты.

Ранее нами было показано, что оптимизация величины расчетной лесосеки должна производиться не по площади, а по запасам древесины, а также не по отдельно взятой хозяйственной секции, а по их группе [1-3]. В результате нами разработана математическая модель, учитывающая динамику лесного фонда, процессы лесопользования и лесовосстановления для всего лесного фонда, включенного в расчет:

Р Р ---- ----

X X-.:, - X X,,:, г 0,

р=1 р=1

Хт+1;р - Хт;р ~ 0

Xk;p — g-k +1;pMg-k +1;pS g-k +1;p + a^g-k +1;pMg-k +1;pS g-m;p

k=1 k=1

m-g

SXi;p -apPpXd-g+1-p -Pp SXj;p - 'Yng-k+1-,pVg-k+1-pSlp; i=1 j=1 i=1

SZpXp - R •

f = SSХ,лСр ^ MAX,

p=1 k =1

где p - номер хозяйственной секции;

P - число хозяйственных секций;

X. - расчетная лесосека /'-го десятилетия p-й хозяйственной секции;

S — площадь лесосеки /-й возрастной градации p-й хозсекции;

о min - „

Sp - минимально допустимая с экологической точки зрения площадь спелых лесов р-й хозяйственной

секции;

Ср- товарная продукция, которая может быть получена с 1 га р-й хозяйственной секции;

а - коэффициент, характеризующий интенсивность перехода лесов из одной возрастной градации в другую;

в - коэффициент лесовосстановления;

q и у - коэффициенты, учитывающие вероятность риска потерь, связанных с пожарами, и от лесных вредителей;

Zp - затраты на 1 га лесосеки в j-м десятилетии;

R - финансовые возможности предприятия.

Здесь ограничение (1) характеризует требование общей неубываемости лесопользования, а ограничение (2) применяется только к лесосекам с хозяйственно ценными породами древесины, неубываемость которых с экономической и экологической точек зрения является весьма актуальной.

Для сохранения разнообразия видов необходимо исключить всякую возможность исчезновения некоторых пород в результате естественной или искусственной их смены, поэтому модель дополнена системой ограничений (5). В полученной модели в качестве целевой функции (7) принято требование не максимизации суммарной площади рубок, характерное для экстенсивного способа освоения природных ресурсов, а требование максимизации товарной продукции, более соответствующее интенсивному развитию и современным экономическим условиям.

Анализ динамики лесовосстановления характеризуется коэффициентом в и основывается на результатах статистических исследований таких параметров, как что, где, когда и сколько вырублено, и как что, где, когда и сколько леса восстановилось после рубок. На этих данных основывается прогнозирование динамики лесного фонда, что должно являться необходимой составляющей математической модели величины оптимальной лесосеки.

Такой подход является одним из основных факторов, определяющих экономическую доступность лесосек. Поэтому решение задачи прогнозирования запасов весьма актуально и является непременным условием реального соблюдения принципа непрерывного неистощительного лесопользования [4-6].

g

m

Для решения этой задачи экспериментально-аналитическими методами нами выведены специальные формулы:

для хвойных

Z = (Ztt2m)/(2tmti - tf) - (38,06 - 0,539t + 0,0189t2) - 5,55 * 10-3 exp N - 20,6/ N + 7,21; (8) для лиственных

Z =

где Z - прогнозируемый запас древесины на момент рубки;

Zt - запас древесины на лесоучастке по таксационным данным;

tm - возраст рубки;

t - возраст древостоя на лесоучастке;

N - ранг породы.

Они позволяют для любого лесоучастка, при известном возрасте древостоев, только по одному измерению среднего фактического запаса древесины (при любом породном его составе и бонитете) прогнозировать этот запас к моменту рубки. Испытание этой формулы по таблицам хода роста дало положительные результаты.

Величина расчетной лесосеки должна определяться по прогнозируемым запасам древесины и с учетом имеющихся и проектируемых транспортных путей, что практически отсутствует в современной практике. Ее расчет [2-6] без учета экономической и транспортной доступности участков лесного фонда приводит к получению значительно завышенных результатов. В частности, по некоторым оценкам, около половины эксплуатационных лесов Сибири являются недоступными по экономическим показателям. По Красноярскому краю доступными являются только около 30-50% лесов.

С другой стороны, оптимизация величины расчетной лесосеки должна производиться в тесной взаимосвязи с задачей оптимизации дорожно-транспортной схемы сети лесных дорог, с учетом очередности введения в эксплуатацию отдельных ее участков. В то же время интенсивность строительства дорог определяется финансовыми возможностями предприятия, напрямую зависящими от величины прибыли, которая может быть получена от реализации лесопродукции.

Нами разработана графоаналитическая модель построения оптимальной транспортной схемы, основанная на теории графов. Каждый участок леса в ней представляется в виде одной из вершин графа, а все возможные дороги, соединяющие эти участки леса, - ребра графа. В основу этой модели положен алгоритм построения минимального покрывающего дерева. Данная модель позволяет учитывать наличие имеющихся дорог, топографические особенности местности (наличие рек, озер, болот, гор и пр.), экономическую доступность отдельных участков лесного фонда.

На рисунке 1 приведен упрощенный пример оптимальной транспортной схемы, полученной с помощью ЭВМ на базе вышеуказанной графоаналитической модели.

Рис. 1. Пример оптимальной транспортной схемы

Здесь приняты следующие обозначения:

дороги, ведущие к спелым и перестойным лесам (ввод в эксплуатацию этих дорог может понадобиться в первом двадцатилетии);

дороги, ведущие к приспевающим лесам (ввод в эксплуатацию этих дорог может понадобиться во втором двадцатилетии);

дороги, ведущие к средневозрастным лесам второй группы (ввод в эксплуатацию может понадобиться в третьем двадцатилетии);

дороги, ведущие к средневозрастным лесам первой группы (ввод в эксплуатацию может понадобиться в четвертом двадцатилетии);

дороги, ведущие к молоднякам второй группы (ввод в эксплуатацию может понадобиться в пятом двадцатилетии);

------------ дороги, ведущие к молоднякам первой группы (ввод в эксплуатацию может понадобиться в

шестом двадцатилетии).

На рисунке кружками с цифрами указаны условные участки леса. 19-й и 23-й участки леса не связаны с другими дорогой, так как в силу ряда причин (большая удаленность, небольшие запасы древесины, ее низкое качество и пр.) их разработка экономически нецелесообразна. Данная схема составлена только с учетом распределения насаждений по возрастным градациям, без учета величины расчетной лесосеки. Как видно из схемы, в данном случае преобладают спелые и перестойные леса, что весьма характерно для условий Ангаро-Енисейского лесного региона. Для простоты будем считать, что все лесосеки, охваченные транспортной схемой, равноценны по своему количественному и качественному составу. Пусть, например, расчетная лесосека позволяет освоить в первое двадцатилетие не более четырех участков леса. Естественно предположить, что с экономической точки зрения осваивать следует в первую очередь ближайшие участки леса - 1, 2, 4, 7-й или 1, 2, 5, 8-й. Таким образом, даже в таком простом примере уже на первом этапе появляется два альтернативных варианта.

Критерием оптимальности этой подзадачи должно являться требование получения максимальной прибыли, т.е. строить нужно ту дорогу, которая принесет больший экономический эффект, так как это в следующий временной промежуток позволит интенсифицировать процесс создания необходимой транспортной сети. Однако при этом необходимо учитывать и перспективность выбираемого направления. В данном примере дорога 1-2-5-8 совершенно необходима для дальнейшего освоения больших лесных массивов, в то время как дорога 1-4 позволит освоить только участки леса 6, 7 и 11-й, причем 11-й понадобится только в весьма отдаленном будущем, так как насаждения на нем достигнут возраста рубки только через 100-120 лет.

Следует отметить, что экономическая недоступность отдельных лесосек может быть временной, так как при увеличении возраста древостоев за пределы возраста рубки процесс увеличения запасов древесины продолжается, хотя прирост и замедляется. Это, в свою очередь, невозможно без решения задачи прогнозирования динамики лесного фонда. Следовательно, если при первоначальном расчете разработка некоторых лесосек оказывается нерентабельной, то это не означает, что они должны быть исключены из дальнейших расчетов. Очевидно, их следует перевести в категорию "резервных" лесов. Совершенно очевидно, что уменьшение в результате этого реальных запасов лесного фонда на величину экономически недоступных участков леса требует перерасчета величины годичной лесосеки.

Таким образом, как было показано выше, решение задач прогнозирования запасов древесины на лесоучастках, оптимизации величины расчетной лесосеки и оптимизации транспортной схемы освоения лесосырьевой базы необходимо производить комплексно, т.е. в тесной связи друг с другом.

На рисунке 2 приведена структурная схема организации системного подхода к решению задачи оптимизации лесопользования. Сложность и разветвленность этой схемы отражает сложность и многогранность поставленной задачи.

Динамика лесопользования определяется стабильностью финансового состояния лесозаготовительного предприятия и также оказывает весьма существенное влияние на фактические возможности освоения лесосырьевой базы в каждых конкретных условиях.

Оптимизация транспортной схемы неразрывно связана с расчетом оптимальной лесосеки, определением экономической доступности отдельных участков леса и финансовым состоянием предприятия. При этом она должна сопровождаться определением качества дорожного покрытия на всей ее протяженности и выбором мест расположения грузосборочных участков (ГСУ).

Экономическая доступность отдельных участков леса определяется рентабельностью, которая, как известно, определяется отношением прибыли, которая может быть получена от их разработки, к суммарным затратам.

Рис. 2 Структурная схема системного подхода к решению задачи оптимизации лесопользования

Анализ внешних данных включает в себя исследование рынка, прогнозирование изменения цен, девальвации валют, изменения экологической ситуации и пр. и позволяет соответствующим образом корректировать финансовую политику фирмы.

Только объективная научно обоснованная и всесторонняя оценка сложившейся ситуации, определение стратегии и тактики развития лесного сектора на основе системного анализа и перспективных прогнозов позволят решать конкретные задачи, связанные с принятием оптимальных управленческих решений.

Решения должны охватывать весь комплекс проблем ведения лесного хозяйства и лесопользования: законодательных, социально-экономических, технико-технологических, управленческих и других аспектов планирования и организации устойчивого управления лесным комплексом России. Это характерно для современного этапа развития логистики в развитых странах. Этот этап называется принципом общей ответственности.

Комплексные испытания полученных моделей были произведены на целом ряде конкретных арендных участках Ангаро-Енисейского региона и дали положительные результаты.

Литература

1. Оптимизация величины расчетной лесосеки для группы хозяйственных секций / Ю.М. Ельдештейн,

О.В. Болотов, А.И. Привалихин [и др.] // Лесоэксплуатация: межвуз. сб. науч. тр. - Красноярск, 1998. -С. 33-38.

2. Комков, В.В. Оптимизация воспроизводства лесных ресурсов / В.В. Комков, Н.А. Моисеев. - М: Лесн. пром-сть, 1987. - 248 с.

3. Соколов, В.А. Основы управления лесами Сибири / В.А. Соколов. - Красноярск: Изд-во СО РАН, 1997. -308 с.

4. Ельдештейн, Ю.М. Комплексное решение задач прогнозирования запасов древесины, оптимизации величины расчетной лесосеки и дорожно-транспортной сети / Ю.М. Ельдештейн, О.В. Болотов, А.С. Болотова // Вестн. СибГТУ. - Красноярск, 2001. - С. 52-57.

5. Болотов, О.В. Моделирование и оптимизация размеров главного пользования лесом / О.В. Болотов, Ю.М. Ельдештейн, А.С. Болотова. - Красноярск, 2004. - 80 с.

6. Основы расчета и планирования устойчивого управления лесопользованием: моногр. / О.В. Болотов [и др.]. - Красноярск: Изд-во СибГТУ, 2005. - 183 с.

----------♦--------------

УДК 621.12.11 А.С. Ащеулова, А.А. Храпов, В.В. Рагулин, В.И. Полтавцев

ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО НАМОРАЖИВАНИЯ ВОДЫ ХОЛОДОМ ГРАНУЛ

В работе рассматривается фазовое превращение с участием двух фаз: вода - лед. Поставлена математическая модель в виде задачи Стефана с наличием подвижной, заранее неизвестной границы фазового перехода. Модель решена численным методом. Показана методика выполнения лабораторного эксперимента. Полученные результаты применимы для расчета процесса получения гранулированного льда, который используется для строительства ледовых переправ.

Россия является мировым лидером по ледовым переправам: они многочисленны и повсеместны. Оценить протяженность ежегодно строящихся и стихийно используемых ледовых переправ не представляется возможным. Только в Приморье насчитывается 29 тысяч рек и речек и зимой на большинстве из них организованы санкционированные и несанкционированные ледовые переправы. Длина последних вообще не поддается учету, причем на некоторых из них по переправе проходит 1-2 вида транспорта в день, а на некоторых - сотни машин в час.

Ледовые переправы являются нестабильными объектами, подверженными массе отрицательных воздействий: температурный перепад воздуха (большой минус низкой температуры атмосферного мороза) и воды (нулевой градус нижней поверхности льда), приводящий к растрескиванию и короблению льда; ветровая нагрузка, вызывающая подвижку и торошение льдов; тепловое и динамическое воздействие, в ре-

Рис. 1. Поверхность области раздела фаз

зультате которого проявляются промоины и разрывы льда; нестабильность погоды с резкими и слабыми потеплениями, меняющими прочность ледяного покрытия. Отсюда грузоподъемность льда постоянно меняется, непредсказуемо появляются дефекты. Но, в силу огромных просторов, неисчислимого количества рек и речек, нужно каждый год строить ледовые переправы.

Для ускорения строительства ледовых переправ требуется гранулированный лед, исследование процесса намораживания которого выполнено в работе.

В процессе намораживания воды на гранулы льда возникает подвижная граница раздела фаз, которая моделируется с помощью задачи Стефана.

Основная предпосылка при моделировании фазовых превращений состоит в том, что фазовый переход происходит при заданной постоянной температуре фазового перехода Т* Пусть фазовый переход происходит на границе раздела фаз, которую мы обозначим S = S(t). Эта граница разделяет расчетную область Q на две подобласти. Область Q-(t) занята твердой фазой, где температура превышает температуру фазового перехода. Q (t) = {(x, У, z,)|(x, у, z) e Q, T(x, y, z, t) > T *}. Соответственно область Q+ (t) занята жидкой фазой, Q+ (t) = {(x, y, z,)|(x, y, z) eQ, T(x, y, z, t) < T *}. Аналогичные обозначения используем и для теплофизических величин в каждой отдельной фазе (рис.1).

Пусть имеется гранула льда сферической формы радиуса R0,

температуры T0 = const < 0. Такую каплю помещаем в воду,

температура которой равна 0С.

Пусть U(r,t) функция, описывающая распределение температуры в грануле в любой момент времени. Таким образом, получаем начальные условия.

U (r,0) =

|T0, если r < R0,

Рис. 2. Схема изменения радиуса гранулы льда

[U (R, t),

Всегда должно выполняться уравнение баланса внутри:

0, если г > Я0.

Рассмотрим процесс намораживания льда за некоторый промежуток времени А? (рис.2).

и (Я, ?), Г = Я < Я(*) - лед,

Г > Я(?) - вода.

U (r, t) =

r +AR

t +At

I срх (и(в, і + М) - и(в, і))4пв2йв = 14пв2Шв(в, т)\^йт;

г і

д = -kgгadU = -Шг - поток тепла по закону Фурье.

Сделаем замену V (в, і) = ви (в, і) ^ и (в, і) = ^ (ві), тогда

Ув= U

в

Ve- U

в в в2

Уравнение баланса (1) сократим на 4п и перепишем в следующем виде:

R+AR

t+At

Jср1в(у(в, t + At) - V(в, t)^в = J kfr

f V^_ V >

V в в2 J

R+AR

t+At

dT= J k(увв- VIR+MdT.

R

R

Из последнего вытекает, что

К+АК г+Аг г+Аг К+АК

Кг г К

тогда

г +АК г+Аг

г г

Следовательно подынтегральное выражение равно 0. Таким образом, приходим к следующему уравнению:

к

V, =—Увв, 0 < Г < К

Р

Уравнение (3) описывает закон, по которому меняется температура внутри гранулы льда.

Для завершения построения математической модели процесса намораживания воды на гранулу льда сферической формы необходимо рассмотреть процессы, протекающие на неизвестной (свободной) границе

И = К(г).

Рассмотрим уравнение баланса на границе:

К(/) 4

Q(г) = [ -щсвУ(в, г)йв,

* л

0 3

К (г+Аг) -

Q(г + Аг) = [ -жрхсвУ(в, г + Аг)йв.

•* л

0 3

АQ = Q(г + Аг) - Q(г) - тепло, которое израсходуется на процесс кристаллизации, то есть

(К(г+Аг) К(г) Л -

АQ = 4прс [вУ(в,г + Аг)йв- [вУ(в,г)йв = -джр2(Къ(г + Аг)-К3(г)),

V 0 0 ) 3

или

3р Г К (г+Аг) К(г) Л

К3 (г + Аг) - К3 (г) = I [вУ (в, г + Аг)йв- [вУ (в, г)йв .

ЧР2 1 0 0 )

Выражение

К

[вУ (в, г + Аг )йв- [вУ (в, г )йв = [вУ (в, г + Аг )йв + [ [У (в, г + Аг) - У (в, г )]вв,

0 0 0 0

тогда

А К (г+Аг) К (г) Л

}3^ , Л^\ р3^\ _ 3р1с

К (г + Аг) - К3(г) =

( к (г) Л

У (К(г), г) К (г) + [ У(Мв Аг.

0 )

[вУ (в,г + А г )йв + [ [У (в, г + Аг) - У (в, г)]Шв

+ I [У (в, г + Аг) - У (в, г

V 0 0 )

к

Представим Уг из (3) в виде Уг = КУвв, К =----------, подставим в последнее выражение

СР1

>3^ , Л^ч Е>3^\ _ 3р1с

Кл

ЧРг дв

К

( К(г) Л

У (Я(г),г) К(г) + [ КУввШ

V 0

А г.

0Увв = (вУв) в - Ув=—(вУв- У) ^

К

IК (вУв - У )вйв = К (вУе - У )|К = к (кУи I -

К "‘"У! У

0 V Г1г=К(г) 1г=К(г)>

На границе раздела фаз выполнено условие V|г=д ) = 0, поэтому

Я

IК (&Ув- V )в йв = К№г

или

Я* (і + Аі) - Я3(і) =

_ 3Ріс

дР2

КЯУг Я() Аі.

г\г=К

Разделим на Аі, и Аі ^ 0, тогда

3Я2 (і)— =

йЯ _ 3р1с

йі

KЯVr

йЯ

йі

г=Я

дР2

РіС 1

др2 Я

г=Я (і)’

\г=Я(і)’

но К

ері

, следовательно

йЯ

йі

к 1

г=Я (і)’

і > 0.

г=Я(і) дР2 Я

Уравнение (4) связывает скорость движения свободной границы и поток тепла через границу. Таким образом, мы пришли к следующей краевой задаче:

к

к ” 0 < г < Я(і), і > 0,

V =— Vвв, еРі

Я = Я0,

Іі=0

V =

Іі=0

[и0г, 0 < г < Я0 ]0, г > Я,

V Я( ) = 0, і > 0,

г=Я

VI Я( ) = 0, і> 0,

г>Я

Я

йі

г=Я

——^ I ,

ЧРг Я г|г=Я

і > 0.

Поставленная математическая модель решена численным методом. Для сравнения теоретического решения и экспериментальных данных проведен эксперимент.

Предложен способ получения гранул льда шарообразной формы, отличающийся большей производительностью, основной операцией которого является изготовление ледяных полусфер. Полусферы льда отливаются в пластиковые формы с шарообразным основанием (рис.3), обеспечивающих малую шероховатость поверхности и легкость извлечения. Заполненные формы, в которые медицинским шприцем дозировали воду, устанавливали в специальные подставки и выставляли вне здания на мороз.

Лед из формочек извлекается просто, достаточно погреть их в руках, перевернуть и слегка ударить по жесткой поверхности.

Верхняя поверхность полусфер в процессе заморозки искривлялась. Поэтому ее выравнивали с помощью наждачной бумаги и смыкали полусферы с образование прочной ледяной гранулы. На грани одной из полусфер (для потая) при помощи паяльника с фигурным наконечником проделывался паз, в который укладывался отрезок проволоки, конец которой повторял форму паза.

Рис. 3. Пластиковая формочка

0

к

Рис. 4. Система подвеса гранул: 1 - основание; 2 - стержень; 3 - гранула

40

30

?20

10

1-І ! 2 < і

1 / 1 Г 1

/ 8 * / і і /

! / 0 1

0 20 30 А 0 5

и

Рис. 5. Динамика роста льда:

1 - температура окружающей среды -25еС; 2 - температура окружающей среды -41еС

С целью удобства проведения и уменьшения погрешности эксперимента сконструирована система подвеса, в которой гранулы с помощью стержней (отрезки алюминиевой проволоки) крепились к прямоугольной деревянной рамке - основанию подвеса (рис.4).

Эксперимент осуществлялся по следующей

схеме:

а) измерение начальных диаметров, охлажденных до заданной температуры гранул;

б) измерение начальной массы набора;

в) опускание гранул набора в предварительно охлажденную до 00С воду на определенный промежуток времени;

г) измерение диаметров гранул после опускания;

д) измерение массы набора после опускания;

е) обработка данных, заключающаяся в подсчете диаметров и масс гранул.

Эксперименты проводились в широком температурном диапазоне от -120С до -410С, при различном времени погружения гранул в воду от одной до 50 с.

Результаты эксперимента обобщены в виде графика зависимости прироста массы (Ат, г) от времени (^ с) (рис. 5).

Применение кипящего слоя позволяет использовать холодный воздух атмосферы при недостаточно глубоком холоде октября и ноября месяцев. Подача такого воздуха со скоростью псевдоожижения в кипящий слой позволяет быстро наращивать массу гранул, которые распределены по размерам диаметров частиц. Сюда входят: фракция мелочи, появляющаяся при трении и соударении гранул; фракция затравки, образованная подпиткой слоя затравочным материалом (либо растрескиванием гранул основной фракции при подаче теплой воды), и, наконец, фракция товарных гранул. По лабораторным данным, аппарат кипящего слоя дает более 10т гранулированного льда с 1 м3

рабочего объема установки. Лед используется в технологии получения моноблоков: объем будущего блока засыпается гранулами льда и заливается водой с температурой, близкой нулю градуса Цельсия. За счет внутреннего холода гранулы смерзаются в точках соприкосновения, образуя жесткий и достаточно прочный каркас, замерзающий в монолит быстрее, чем слой воды той же толщины.

Литература

1. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. - М.: Высш. шк., 1967. - 600 с.

2. Ащеулова, А.С. Использование холода в адиабатическом процессе получения ледяных гранул / А.С. Ащеулова // Тенденции и факторы развития агропромышленного комплекса Сибири: докл. науч.-практ. конф. - Кемерово, 2006. -275 с.

УДК 519.71 Е.А. Поддубецкий

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКСПЕРТНОЙ СОВЕТУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДОСТАВКОЙ ГРУЗОВ ГУМАНИТАРНОЙ ПОМОЩИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ

Доставка грузов гуманитарной помощи в зону чрезвычайных ситуаций (ЧС) является сложным и многоплановым процессом, от точного функционирования которого зависят жизнь, здоровье и обеспечение жизнедеятельности населения в зоне ликвидации последствий ЧС. В статье рассматривается применение ситуационного управления типа «ситуация - действие» с использованием теории нечетких множеств.

В процессе доставки грузов возможны возникновения нештатных ситуаций, таких, как: задержки при формировании маршей, поломка транспорта на марше, повреждение дорожного полотна и мостов, которые могут привести к срыву плановых сроков поставки, изменению количества потоков, их структуры и состояния.

В связи с этим становится актуальной задача оперативного управления данным процессом, а так как состояние потоков динамически изменяются, то для оперативного управления непригодна стандартная процедура. Управление процессом доставки гуманитарных грузов должно зависеть от ситуации, которая складывается на потоках.

Таким образом, для управления потока было выбрано ситуационное управление, структура которого представлена на рис. 1 [1].

___________^ Доклады с потока

БЗ, Формализация <

БД < ситуации на потоке

г

Оценка состояния

потока

Принятие и оценка

решения

^ Воздействие на поток

Рис. 1. Структура ситуационного управления

Для принятия решения в процессе оперативного управления необходимо иметь данные о состоянии потоков гуманитарной помощи в определенные моменты времени. Эта информация поступает в форме докладов.

Доклады содержат количественную и качественную информацию, значения параметров поступающих в докладах могут быть неопределенными или нечетко заданными. Информация с потока поступает с временной задержкой, что приводит к ее устареванию и, как следствие, частичной потери достоверности.

Таким образом, детерминированные методы неэффективны и непригодны, так как при расчетах практически не принимается во внимание неопределенность и нечеткость задания параметров, которые влияют на результаты принимаемого решения.

Так как доставки грузов гуманитарной помощи являются единичными событиями, и каждая из них имеет индивидуальные особенности в формировании и функционировании, то это обуславливает отсутствие выборки достаточного объема, которая позволила бы использовать методы теории вероятностей и математической статистики для формирования управленческих решений.

Поэтому для описания ситуаций, складывающих на потоках, их оценки и формирования управления потоками были выбраны методы, основанные на теоретико-множественном подходе.

Такой подход дает возможность описать функционирование потока, а управление сделать гибким и адаптивным к изменяющимся условиям функционирования потока.

Ситуация Sр на потоке описывается множеством лингвистических переменных. Sр = <Д Д в, ..., вт>, где в, ( = 1, 2, 3, ..., т) - множество лингвистических переменных.

Лингвистическая переменная [2] характеризуется набором <в, Т(в), Х>, где в - имя лингвистической переменной; Т(в) - терм-множество лингвистической переменной в которое является нечетким множеством следующего вида:

<Му))/у>,

где у - терма; Цд(у) - функция принадлежности; Х - область определения лингвистической переменной.

Например, лингвистическая переменная «скорость движения колонны» имеет термы: большая, средняя, маленькая. Область определения от 0 до 100 км/ч. Функции принадлежности будут иметь вид, представленный на рис. 2.

Так как доставка грузов гуманитарной помощи в зону ЧС является сложной и многофункциональной задачей, то для управления потоком необходимо создание экспертной советующей системы, основанной на принципах ситуационного управления [3-4].

Ситуационные советующие системы управления с нечеткой логикой делятся на два вида:

• Ситуация - действие.

• Ситуация - стратегия управления - действие.

Различие между ними заключается в методе поиска управляющего решения.

Для управления потоком воспользуемся первым, более простым методом.

В системах «ситуация - действие» управляющие решения заданы в явном виде и представляют собой нечеткую базу знаний, которая оформлена в виде таблицы решений. Вывод решения заключается в сопоставлении описания текущего состояния объекта управления со всеми эталонными ситуациями, представленными в таблице решений и поиске наиболее близкой в некотором смысле эталонной ситуации и выдаче соответствующего ей управляющего решения.

Для создания базы знаний - таблицы решений системы управления типа «ситуация - действие» - необходимо определить соответствие между всеми возможными эталонными ситуациями, для которых определены управляющие воздействия, и набором управляющих решений.

Таблица решений имеет следующий вид:

в1

в2 R2

Эп

где ^ - эталонная ситуация; ^ - управляющее решение.

Размер таблицы решений определяется числом эталонных ситуаций.

Для определения состояния объекта управления необходимо сравнить входную нечеткую ситуацию во с каждой нечеткой ситуацией из набора эталонных нечетких ситуаций S = {в1,в2,...,вп}.

В качестве меры для определения степени близости входной нечеткой ситуации во, возникшей на потоке, и $ из набора эталонных нечетких ситуаций S (в е S ( е N = {1, 2,...,п})) могут использоваться [3]:

- степень нечеткого включения входной нечеткой ситуации во в нечеткую ситуацию ^;

- степень нечеткого равенства во и в

- степень нечеткой общности во и 5, а также другие меры близости.

Выбор меры близости определяется особенностями объекта управления и организацией блока принятия решений.

Задаваясь некоторой мерой близости, мы тем самым задаем некоторые нечеткие отношения между ситуациями, в частности, между ситуациями во и в ( е I), а также между эталонными ситуациями из набора S.

В качестве меры близости используем степень включения, потому что она обладает наибольшей степенью достоверности при определении принадлежности входной нечеткой ситуации к эталонной ситуации.

Пусть в {<МУ))/У>}, в {<^(у))/у>} (у е Y) есть некоторые ситуации.

Степень включения [2] ситуации в - в ситуацию в обозначим у( в в;), что определяется выражением

V Si, $) = & у(^ (у), (у)).

уеУ

Ситуация so - нечетко включается в ситуацию Si, so если степень включения so в s, не меньше по-

рога включения Ъпа е (0,6; 1), определяемого условиями управления, т.е. у^о, Si) > Ьпс. Таким образом, ситуация sо нечетко включается в ситуацию если нечеткие значения признаков ситуации sо нечетко включаются в нечеткие значения соответствующих признаков ситуации s^

Для оптимизации поиска наиболее сходной по выбранному критерию ситуации множество S целесообразно упорядочить по включенности $ в ситуацию в Отношение нечеткого включения есть отношение нечеткого порядка и, следовательно, на множестве S нечетких ситуаций можно построить иерархию.

Для организации иерархии на множестве S строится диаграмма Хассе, в которой убираются транзитивно замыкающие дуги и все ситуации разбиваются на уровни.

Поиск наиболее сходной эталонной ситуации начинается с верхнего уровня иерархии. Далее рассматриваются ситуации нижних уровней иерархии и т.д. Поиск заканчивается, если: а) на некотором уровне иерархии в ситуацию Si не включается ни одна ситуация множества § б) для любой ситуации Sj, включающейся в ситуацию Si, выполняется условие Sо<£

В случае, если нет полного включения входной ситуации ни в одну из эталонных, то либо ситуация плохо определена, либо нет эталонной ситуации, соответствующей входной ситуации по всем признакам. В таком случае происходит доопределение ситуации или сравнение производится только по хорошо определенным признакам.

Для каждой эталонной ситуации в таблице решений существует управляющее решение. Поиск управляющего решения заключается в принятии управляющего решения, соответствующего эталонной ситуации наиболее близкой к входной ситуации.

058

Рг

0.

Р

0,

0,2

0,1

2 часа 1 час вовремя

0,4

0,3

0,3

0,2

0,

0,15

0,1

0,0

2 часа 1 час вовремя

3

4

Рис. 3. Вероятность доставки в несколько сдвинутых сроках при применении модели ситуационного управления

Рис. 4. Вероятность доставки в несколько сдвинутых сроках при применении модели терминального управления

0

4

Рис. 5. Вероятности доставки грузов не позднее планового времени

С использованием описанного подхода был разработан программный комплекс. В качестве примера взяты данные о доставке гуманитарных грузов в город Ленск в 2001 году. Анализ результатов моделирования показал, что использование описанного подхода, основанного на ситуационном управлении с нечеткой логикой, рационально. Использование дополнительных, незапланированных материальных ресурсов значительно сокращается и вероятность прибытия грузов гуманитарной помощи в зону ЧС с опозданием меньше.

Таким образом, для управления потоком грузов гуманитарной помощи в зону ЧС предлагается применять ситуационное управление типа «ситуация - действие», а для описания ситуации на потоке использовать теорию нечетких множеств. Такой подход делает оперативное управление более гибким и устойчивым к условиям функционирования. Использование теории нечетких множеств позволит сделать систему управления универсальной, способной описать ситуацию в различных условиях функционирования и принять во внимание временную задержку с получением информации с потока.

Литература

1. Поспелов, Д.А. Ситуационное управление: теория и практика / Д.А. Поспелов. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

2. Заде, Л.А Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / ЛА Заде. - М.: Мир, 1976. - 230 с.

3. Мелихов, А.Н. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой / А.Н. Мелихов, Л.С. Бернштейн, С.Я. Коровин. - М.: Наука, 1990. - 272 с.

4. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун [и др.]. - М.: Наука, 1986. - 312 с.

----------♦-------------

УДК 004. 031. 43 О.В. Корчевская

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДВУМЕРНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ УПАКОВКИ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНУЮ ПОЛОСУ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ПРОФИЛЯ

Рассматривается задача ортогональной упаковки прямоугольных предметов в по-лубесконечную полосу. Эта задача является NP-трудной. Точные методы решения ^-трудных задач сводятся к построению и перебору всего множества допустимых решений. В связи с этим особое значение при решении прикладных задач уделяется разработке приближенных методов и эвристик.

В работе представлен алгоритм однопроходного метода задачи ортогональной упаковки - метод профиля. Рассматривается несколько классов задач, для каждого из которых выполняется сравнительное тестирование. Приведены результаты численных экспериментов.

Введение. Многие практически важные задачи планирования, распределения ресурсов, конструирования, ряд задач планирования занятости и распределения производственных ресурсов сводятся к задачам дискретной оптимизации. Одной из таких задач является задача раскроя материала.

Постановка задачи двумерной ортогональной упаковки (two - dimensional bin packing problem, 2DBPP).

Имеется прямоугольная полоса заданной ширины W и неограниченной длины и набор прямоугольных предметов с размерами (w; l) , i=1,m. Горизонтальное положение каждого прямоугольника i задается вектором (x,; у) с минимальными координатами (обычно подразумевают координаты левого нижнего или правого верхнего угла прямоугольника). Набор векторов (x; у) называется прямоугольной упаковкой (RP) [2-6]. Если, кроме того, длина L прямоугольной упаковки (rectangular packing, RP) занятой части полосы достигает минимума, то RP называется оптимальной упаковкой и является решением задачи 2DBPP.

Разработки в области оптимизации RP представляют практический и теоретический интерес. Эта задача является NP-трудной. Точные методы решения NP-трудных задач сводятся к построению и перебору всего множества допустимых решений. Выявлено, что точные методы обеспечивают эффективное решение 2DBPP при числе прямоугольников m < 10 [2]. Рост объема вычислений гиперэкспоненциален. В настоящее время распространена точка зрения, что не существует точного алгоритма, позволяющего решить задачу 2DBPP за полиномиальное от m время [1].

Ввиду NP-трудности задачи 2DBPP разработка различных конкурирующих алгоритмов вряд ли может быть приостановлена. Для решения таких задач известны трудоемкие точные алгоритмы: однопроходные эвристики с априорными верхними оценками получаемых решений; проблемно-ориентированные эвристические методы и метаэвристики. Ввиду неполиномиальной сложности точных алгоритмов особое внимание уделяется приближенным методам и эвристикам.

Однопроходные методы локального поиска

В зависимости от стратегии выбора корзин выделяют стратегии Следующий подходящий и Первый подходящий.

Следующий подходящий (Next - Fit, NF). Первый предмет упаковывается в полосу, занимая нижнюю левую позицию, плотно прилегая к левой (опорной) грани полосы. Через правую сторону прямоугольника мысленно проводят вертикальную прямую. При этом выделяется блок-корзина, в которую уже уложен первый прямоугольник. Каждый следующий предмет упаковывается полностью или частично в ту же корзину, что и предыдущий, если позволяет остаточная емкость вертикальной стороны блока. В противном случае прямоугольник укладывается вниз и влево, насколько это возможно, и формируется новая корзина.

Первый подходящий (First Fit, FF). На каждом шаге текущий предмет из приоритетного списка помещается в частично заполненную по ширине блок-корзину с наименьшим порядковым номером. Если ни одна корзина не удовлетворяет условиям упаковки, предмет упаковывается в новую корзину.

Метод профиля

В данной работе предлагается подход, позволяющий запоминать не координаты каждой «открытой» корзины, как предложено в работах [4-5], а «профиль» упакованных прямоугольников (рис. 1), для чего вводится двумерный массив В(2^), в котором в В(1 ,J) хранится высота каждого упакованного прямоугольника в текущем профиле, а в В(2^) их координаты по оси абсцисс. J - это максимальное количество прямоугольников, упакованных по высоте корзины, предположим, равное 50. Если нужно упаковать следующий прямоугольник, по высоте превосходящий остаточную часть корзины, то, согласно алгоритму, созданный профиль анализируется по данным массива В(1 ,J), а затем В(2^). Программа упаковывает новый прямоугольник как можно левее и вниз. Для чего сравнивается второй элемент массива В(1 ,J) со значением оставшейся высоты корзины w. Если он превосходит w, то сравнивается сумма элементов массива В(1^) до тех пор, пока она не будет больше или равна высоте прямоугольника, который следует разместить, иначе формируется новая корзина. Переформированный профиль упакованных прямоугольников представлен на рис. 2.

Таким образом, программа, анализируя координаты нового прямоугольника, добавляет или удаляет элементы из массивов В(1 ,J), В(2^).

Рис. 1. Прямоугольники, упакованные Рис. 2. Добавление нового прямоугольника

в корзину

Численный эксперимент

Рассматривается несколько классов задач, для каждого из которых выполняется сравнительное тестирование методов решения, реализованных в работе [6], и с помощью предлагаемого метода профиля. При проведении эксперимента генерировалось по 50 заданий для каждого класса задач. В таблице представлены средние коэффициенты раскроев для классов задач, участвовавших в эксперименте. Коэффициенты рассмотрены в процентах.

Метод Класс

1-й 2-й 3-й 4-й 7-й 10-й 12-й

Послойный [6] 86,46 89,55 76,67 90,43 91,03 91,10 83,26

Рекурсивный [6] 88,42 91,91 79,92 93,11 93,55 93,69 89,28

Поиск пустых корзин [6] 89,47 92,46 83,07 94,80 96,19 96,51 87,10

Имитация отжига [6] 92,44 95,62 84,16 96,35 - - -

Поиск с запретами [6] 89,94 93,67 81,61 94,14 - - -

Профиля 89,15 93,38 79,29 97,35 98,53 98,63 96,81

Класс 1: т = 5,Ь, = 4;7;= 0Ж;0,5№;I, = 0,3^;0,6№ .

Класс 2: т = 10, Ь = 516; = 0,15^ ;0,3№; I, = 0,15^ ;0,3^.

Класс 3: т = 10, Ь = 5Ц0; ъ>, = 0,4W ;0,8№; = 0,4^ ;0Ж.

Класс 4: т = 20;25,Ь = Щ2; = 0,2W;0,5W; I, = 0,3W;0,6W .

Класс 7: т = 20;25, Ь = 50;80; ; I, = 0^ ;0,6W.

Класс 10: т = 20;25, Ь = 500;800; = 0,2W ;0,5W; I, = 0,3W ;0^.

Класс 12: т = 20;25,Ь = 5;8; = 0,2W;0,5W;I, = 0,3W;0,6W .

Метод имитации отжига показывает лучшие результаты для классов задач с небольшой размерностью. Для классов задач с большой размерностью использовались только однопроходные эвристики, в которых лучшие результаты показал метод профиля.

Заключение

В статье представлен новый однопроходный метод - метод профиля. Проведены численные эксперименты. Для задач с небольшим числом заготовок лучшие результаты дает метаэвристика имитации отжига, что совпадает с результатами эксперимента, проведенного в [6]. Для большого числа деталей рекомендуется применение простых эвристик, в частности, лучшие результаты показал предлагаемый автором метод профиля.

Литература

1. Гери, М.П. Вычислительные машины и трудноразрешимые задачи / М.П. Гери, Д.С. Джонсон. - М.: Мир, 1982. - 416 с.

2. Мухачева, А.С. Конструирование алгоритмов локального поиска оптимума прямоугольной упаковки на базе двойственных задач линейного раскроя / А.С. Мухачева, Э.А. Мухачева // Информационные технологии. - 2002. - №6. - С. 25-30.

3. Норенков, И.П. Эвристики и их комбинации в генетических методах дискретной оптимизации / И.П. Норенков // Информационные технологии. - 1999. - № 1. - С. 2-7.

4. Задачи двумерной упаковки: развитие генетических алгоритмов на базе смешанных процедур локального поиска оптимального решения / А.С Мухачева [и др.] // Прил. к журн. «Информационные технологии». - 2001. - № 11. - С. 1-24.

5. Сиразетдинов, Т.М. Проектирование гильотинного раскроя листового и рулонного материала с использованием послойных алгоритмов: автореф. дис. ... канд. техн. наук / Т.М. Сиразетдинов. - Уфа, 2004. -16 с.

6. Комплекс алгоритмов и программ расчета гильотинного раскроя / Э.А. Мухачева [и др.] // Информационные технологии. - 2004. - № 8. - С. 18-25.

----------♦'------------

УДК 519.7 М.А. Шарков

СИНТЕЗ И АНАЛИЗ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В УСЛОВИХ МАЛЫХ ВЫБОРОК

На основе непараметрической оценки плотности вероятности в условиях малых выборок разработаны методы анализа выборок в задачах распознавания образов и восстановления стохастических зависимостей. Исследованы асимптотические свойства статистик.

Пусть имеется исходная выборка У=(х, /=1П) статистически независимых наблюдений случайной величины хе R1 с неизвестной плотностью вероятности р(х). Объем данной выборки п считается малым и не позволяет обосновано применять методы непараметрической статистики. Используя методы имитационного моделирования, увеличим объем исходных данных. Для этого проведем вычислительный эксперимент в в-окрестности каждой /-й точки исходной выборки и получим дополнительно т значений знакопеременной случайной величины х с плотностью вероятности Ра(Ха).

По результатам моделирования сформируем статистическую выборку х'+ха 1, ]=1т, 1=1,п с законом распределения, соответствующим смеси плотностей вероятности:

Р

п =

Нетрудно заметить, что непараметрическая оценка (1) имеет вид

__ п т х_ Х _ х 7

р

!=1 ] =1

с

где Ф(•) - ядерная функция, удовлетворяющая условиям нормированности, симметричности; с - параметр ее размытости.

В многомерном случае хе Rk оценка плотности вероятности имеет вид

р(х) = (пт) 'XXП(Х—Х ХД~).

г=1 7=1 у=1 Су Су

к

т

Непараметрический алгоритм распознавания образов

Известно, что оптимальное решающее правило в двуальтернативной задаче распознавания образов имеет вид

I X е П1 , если /12 (х) > 0,

т(х): <

[ х е П 2 , если /12 (х) < 0,

где ^п(х)= Р1 р1(х) - Р2 Р2(х) - уравнение разделяющей поверхности между классами П1, П2 ;

Р1(х), Р2(х) - условные плотности вероятности х еП1, х е П2;

Р1(х), Рг(х) - априорные вероятности появления ситуаций первого и второго классов.

Для построения решающего правила воспользуемся оценкой плотности вероятности типа (2).

Пусть П1 и П2- количество ситуаций обучающей выборки (х', о(1), I = 1, п), принадлежащих первому и второму классам. Тогда

/12 (х) = Р1 Я(х) - Р 2 р 2 (х) = Ф(х-х^) - П2— ЕЕ Ф(х-х^) =

п пте^ ]=1 С п птсЫ1г ,=1 С

птс=1 ,=1 с

11, если хе П,,

где а(1) = 15

[-1,если хе П2,

11,12 - множество номеров ситуаций из обучающей выборки, принадлежащих первому и второму классам.

Асимптотические свойства Теорема 1. Пусть 1) р(х), рд(хд)ограничены и непрерывны со всеми своими производными, причем V)( х)|| < ^ Ух, Ук, ядерные функции Ф() и коэффициенты размытости с1 I = 1, к удовлетворя-

ют условиям Н:

ф(и)> 0, |ф(и )йи = 1, Ф(и) = ф(- и), |иуФ(и) < те, у > 2,

Ф(и2) > Ф(и1), У |и2| < Щ, |и2Ф(и) = 1,

С > 0 Иш c(n) = 0 , Иш СП = те , п — те , m — те ;

П——те п——те

2) (х)йх2,1 — 0 , У > 2 .

Тогда непараметрическая оценка уравнения разделяющей поверхности /12( х) является асимптотически несмещенной и состоятельной оценкой.

Доказательство.

Асимптотическая несмещенность:

М{/ 12(х) - /12(х)} = М{р1 рДх) - Р2 рг(х) - Р1Р1 (х) + Р2 Р2 (х) } =

М{р1 Р1(х) - Рд(х)}- М{р2 Р2(х) - Р2 Р2(х)} =

М{р1 р1(х) - Р Р1(х) + Р1 Р1(х) - Рд(х)}-М{Р2 рг(х) - Р2 рг(х) + Р2 рг(х) - Р Р2 (х)} =

М{р1(х)(Р1 - Р1) + Р( Р1(х) - Р1(х))}-М^р2(х)(Р2 - Р2) + Р>( рг(х) - Р2 (х))} =

аМ{Р1 - Р} + РМ{р1

Рассмотрим выражение м{р(х)-р(х)}= М{р(х)}- р(х) = | р(х,х1,хд, )р(х;)р(хд,)^х;^хд, - р(х).

Не загромождая расчетов, здесь и в дальнейшем, область интегрирования, которая определяется П(х;, хд,), опускается.

Подставляя формулу оценки р (•) (1), распишем интеграл:

),

k 1 С x _ x,-, _ x*,, ^ ' ' .

J p(x, Xi . XДJ )p( Xi ) Pд (xДJ =

= -Lt t JП1 ф[p(Xi)PД(XДJ )dXidx mn tf jlJ c, V c j

Так как случайные величины xt, i = 1. n имеют один и тот же закон распределения p(t), а случайные величины x., J = 1. m - закон pд (^), то выражение (4) можно записать в виде

M{p

V cl У

Далее производя замену переменных в кратном интеграле (5) ul =

С Xl _ tl _ tД.l ^

V cl У

, получим

м{Р(х)}= І Ра (^Д){Пф(иі)Р(х1 - *Д 1 - М1С1.х - *дд - ис К^д;

і=і

разложим р( ) в ряд Тейлора в точке х - ґА, с учетом таких условий: |и]ф(иі ) = 0 при нечетном V, после несложных преобразований имеем

м{р(х)}= ІРа(а) Р(х-0 +?XР//(х-гд)с*21и?ф(и*+ о(с4) *д

|_ 2 і=1 _

После повторного разложения р( ) в ряд Тейлора в точке х, считая статистически независимыми компоненты вектора ґА, нетрудно получить

м {р

В конечном итоге, принимая во внимание условия 1) теоремы, получим:

к \ к к ///// \ к ///// \

М {р(х)-р(х )}= + с,-)+ £ +«’ с? )+0(/).

,=1 2! ,=1 , ,=1

Подставив значение выражения М {р(х)- р(х)} в выражение (3), после несложных преобразований получим, что непараметрическая оценка уравнения разделяющей поверхности является асимптотически несмещенной и состоятельной.

Сходимость.

Для упрощения вычислений рассмотрим случай Р^= Р2.

По определению

М {

Рассмотрим член М {р2 (х)} :

М {р 2 (х)}= —21т Е Е П~т | П ф( х—-——1 р(х, )рд (х2, }&, ^д, +

т2п2 ,=1 , с; { с, )

4г Е е е п-Н п 4х^^^ ]-ф[ х - ^ - х* | р(х,) р д(х, )р д(х Л к, д+

т п ,=1 ,=1 5=1 I = 1 с, 1=1 ^ с- с-

1 п т т т к 1 к (у

т !-г ЕЕЕЕ П 4-/ Пф( -

т п ,=1 ,=1 5=1 к=1 I=1 с, I=1 1

Ф[^Х 1 Х‘Є Хт jР(хі )р(хі )рА (хАк )Р А (хА ^А/Хдк .

Так как случайные величины х*, і = 1, п имеют один и тот же закон распределения р(г), хі, І = 1,п - р(ґ1), а случайные величины хА, і = 1,т закон Рд^2 ) . хДк , к = 1, т - закон Рд(^з)  то

x _ x _ x

предыдущее выражение можно переписать в виде

м {р2 (х)}=- гП^ і П ф 2 Іхі - *і - ^

тп *=! сі J і=1

р() рА(*2 )йгйгг +

т - - П-И П фр

тп 7=1 с,

^ П сИ П ф

п і=1 сі і =1 1

сі ) V сі

х. — * і — *2 і і і х> — *і і — *з

*=1 с і=1 у сі ) V сі

п - 1-А 1 - *

с,

с,

Р( )р(*1 )Ра(*2 )Рд(*3 ЦЛ^Лз.

Нетрудно заметить, что кратный интеграл в третьем слагаемом представляет собой выражение

П с? (м {р2 (х

*=1

1П ф

х) , а кратный интеграл во втором слагаемом можно записать в виде

Л Л2

хі - *,і - *2, і

с

Р()Ра(*2 )^2

і )

, тогда выражение (6) можно переписать как:

)

М {р (х

і і"і с—I П ф

тп і=1 сі і=1

* С х — * — * ^

хі 'і * 2,і

с

Р(*)Ра(*2 )**2 +

т -1 Пт _1

тп с і

* I

IП ф

і=1 '

хі - *і - *2,і

сі

і ) і

V

рА(* 2 )& 2 ^ п—1М {р (х )}2.

) п

Производя замену переменных и, = х—-—— и разлагая плотности вероятности в ряд Тейлора,

с.

получим

М {Р2 (х)}=—іП1

тп с

I р(х - *2 )Ра(*2 )^2 IПф2 (и* ^ +

*=1

і к . , — I Р

+

т -1

тп

р

V *=1

+

к,Эр

1=1 дх* Эр

X“ГП Iг*РА

*=1

+

**

X Х^Ч IггрД

*=1 ;=1 дх*дх: V *=1

+^

п

Учитывая условия 1), 2) теоремы и то, что если

Му = |х1,рд(х)ЛхА>, — 0, у > 2, то |х]рд№х — 0 и |хурд(х)рд(х)^х — 0, пользую теорему Лагранжа о среднем значении можно записать

|х]рд(х^х = рд(^)[х]рд№х и | х] рд(х) рд(х )^х = р"-(в)[ х] рд(х )^х, получим:

т — 1

тп і=1 сі

2

м {р2 (х)}=— П — р(х)! Пф 2 (и* +

2!

* * , .. X с*21 Пф 2

і=1 *=1

Р(х/| Р А (г № +1 р д(г )р "д (г с— +о(с 4)!

+ (М {р (x'}}}А.

п

Подставляя полученный результат в (2) и М{р(х)}~ р(х):

+

М {

тп і=1 сі _ *=1 2! *=1

Р

+

т-1

р

+ -

что и доказывает вторую часть теоремы.

Непараметрическая регрессия

Оптимальным решающим правилом в смысле среднеквадратического отклонения в задаче восстановления стохастической зависимости является оценка условного математического ожидания

У (х) = | У (х) р (У (х) / х) Лу .

Проведем его преобразование, подставив значение оценки плотности вероятности (2):

у

п т

ІХХ уф(

х — х — хд1 _ у — у1 — Уд1

р

-)Ф(-

)йу

-ХХФ(

х — х — хд

ХХ ф(-

Л 1

)| У - ф(-

птс1 *=1 1=1

1

х- х — хд „ у 1 ф,у—у_—у^)Лу ХХ(у' + уд)ф(

х - х - х.

1 и » х - х - хд

—ХХ ф

ХХ ф(

*=1 1=1

х - х - х

Пусть плотности вероятностей р(х) и рА(х) случайных величин х в исходной выборке и х А, полученных в результате вычислительного эксперимента, известны. Тогда непараметрическая оценка регрессии принимает вид

1п т х — х — х 1 1 пт х — х — х 1 пт х — х — х 1

X—їх—\ • • Л Л Лд | ———. . Л Л Лд ———. . Л Л Л д

у=фх) =-— ХХ( у* + удД )ф(--------- ) =-----т(ХХ( у* )ф(------- )+ХХ( удД )ф(------- )).

птср(х)'

=1 1=1

с

птсрх)

=1 1 =1

с

=1 1 =1

с

Теорема 2. Пусть 1) р(х), рд(хд)ограничены и непрерывны со всеми своими производными, причем 1|р(к)( х)|| < те Ух, У к, ядерные функции Ф( ) и коэффициенты размытости с1 I = 1, к удовлетворя-

ют условиям Н:

ф(и )> 0 , | ф(и )Ли = 1, ф(и ) = ф(- и ), | иу ф(и ) < те , у > 2 ,

ф(и2 ) > ф(и1 ), У |и2| < |и 2ф(и ) = 1,

с > 0 Иш с(п) = 0 , Иш сп = те , п — те , т — те ;

п—те п—те

2) = | х2У,г р2 (х)Лх2,, — 0 , У > 2 .

Тогда непараметрическая оценка непараметрической регрессии у(х) является асимптотически несмещенной и состоятельной оценкой.

Асимптотическая несмещенность у( х).

Исследуем отклонение М(р(х) - р(х)), где М - знак математического ожидания.

Определим условия, при которых М (р(х)-р(х )) = 0, т.е. М (р(х)) = р(х).

М1 (^(х)) = М

1

птс р(х) *=1 1=1

ХХ у*ф

х - х - хд

А і

))

1

птср(х) *=1 ;=1

ХХ М

х - х - хд

А і

))

Представим математическое ожидание в интегральной форме

п

п

1

с

с

2

)

с

1

)

с

с

с

2

2

)

с

с

с

М (^(х)) =

1

птср(х) *=1 1=1 -

п т +х+х+х

ХХ III у*ф

і х - х1 - х 1

X—X—X

— 1 р(х , у* )р(хА 1) йх йу йхд

Так как (хг',У,, = 1,п) наблюдения одной и той же случайной величины (г, у),

то

р (х1 у1)= ••• = р (-Л уп )= Р(*> у)  А Р (хд1 )=••• = Р (хдт )= Р(* д) Тогда

1 77' у т( х - * - *

М Ых)) =

п т +Х+Х+Х /

ХХ III уф

р(*, у) р(*а )дгйуйід

птс р(х) ;-1 V с

г \ / I—1 J —1 —те—те—те V -•

Распишем совместную плотность вероятности р(г, у) в виде произведения

= р( У/

р(г> У) = р(У/{) р(г).

+те

Учитывая, что р(г) = | 1

у рі у. | йу - оптимальное решающее правило, получим

п т +х+х

М (*х))=сры Х ХІИ ф с

х — * — *

р(*) р(* а) дгйг д

Проведем замену переменных и =

, г = х - си - *А, й = -с йи и получим

1 —х+х

М(^(х)) = —рт Г Г ^(х - си - ^ф^) р(х - си - *А)(- с йи)р(*А )ййА = ср(х) * *

с р(х

1 +те +те

= ( ) | р(гд) |р(х - си - гд)ф(и) р(х - си - гд) ЛиЛгд.

.р(х ) —те —те

Разложим р(х - си - гд) и р(х - си - гд) в ряд Тейлора в точке х.

Тогда после несложных преобразований

М1

X

йий*.

Р

-Л) У р(* А )+Хф(и ) Р(х ) р(х )— (си + * А ) р(1)(х )^(х)+ (си +А*А ) р(2)(х Мх ) —

і V / —х —х _

- (си + *д)р(х)^(х)+ (си + *д)2 р^(х) ^(х)- (си + *А) р(2)(х)^(1)(х) +

+

р

+х

4

+х

йий*.

Учитывая, |ит Ф(и) Ли = 0 при нечетном значении т и |и2 ф(и) Ли = 1, а также то, что

по

определению I *А

I * д р ( * А ) й* А = 0 , I * А2 р(*д ) й*А =^д2 ,

д р(гд) игд = ид , после сокращений получаем

с

А

с

—оо

—оо

сю

— оо

М

где А,(х)= р(2)(х )^Л') + ) + •

А2

р

+х

^2^(х) р^2)(х) |и4ф(и)йи

2> 4 Р

Аналогичную процедуру необходимо проделать с членом

*1

пт

м  Л Л •'"V А

ХХ

*=1 1=1 с

В конечном итоге, после подстановки получим, что условие несмещенности оценки регрессии зависит

от значений ад и с. Отсюда следует, что непараметрическая оценка регрессии в асимптотике (п — те) стремится к оптимальному решающему правилу (условному математическому ожиданию) при

Пт с (п) = 0 и Иш ад2 (п) = 0.

п——те п—те

Сходимость в среднеквадратическом Пт М(ф(х)-ф(х)) = 0 доказывается по процедуре, анало-

п—те

гичной доказательству в теореме 1, поэтому упускается.

Заключение

Доказана асимптотическая несмещенность и состоятельность оценок уравнения разделяющей поверхности и непараметрической регрессии в условиях малых выборок. Возможность улучшения качества восстановления стохастических зависимостей и распознавания образов в условиях малых выборок путем применения методов имитационного моделирования для «обхода» проблемы недостатка информации позволяет обосновано применять процедуру увеличения объема исходной выборки для задач распознавания образов и восстановления стохастических зависимостей.

♦