Проекционное отображение с использованием изометрии

ПРОЕКЦИОННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ИЗОМЕТРИИ

PROJECTIVE DISPLAY WITH ISOMETRY USE

Ю.О.Полежаев, А.Ю.Борисова J.O. Polezhaev, A.J. Borisova

МГСУ

В статье рассматриваются способы построения изометрических монопроекций. На основе родственного преобразования моделируется построение проекции объекта, для которого выполняются условия изометричности.

This article is considered to the ways of isometric monoprojection constructing. On the basis of related transformation is modeled the construction of the object projection for which isometric conditions are satisfied listen

При необходимости построения монопроекции объекта часто используют в качестве аппарата отображения связку параллельных лучей. Геометрически смоделированные, такие монопроекции имеют широкое применение, однако, если встаёт вопрос о соответствии таких проекций визуальным образом, заметим, что обнаруживается в ряде случаев существенная разница между ними.

Интересен вариант, когда объект отображения, помещённый в габаритный куб условно, изображён художником. Соответственные рёбра куба, далее, принимаются за оси метрического репера, и выполняют в отношении их условия изометрии. При этом получается несоответствие изображения с теоретической моделью изометрической проекции, но некоторое приближение свойств изображения к визуальному образу.

Практическая целесообразность изометрических монопроекций, моделирующих трехмерные объекты, - весьма высока с учетом простоты построений «вручную» и «автоматически». «Urbis et orbi» известно также, что среди различных типов параллельных монопроекций, исходные данные которых заданы на метрическом эпюре, - изометрия достаточно эффективна для визуальных оценок.

Начнем обсуждение с отображения окружности лежащей в плоскости (H) метрического эпюра (0,x,y,z). Зададим радиальный луч диагонали квадратуры круга (0;ai), пересекающий в ней окружность, принятую в дальнейшем за «базовую» (Рис.1). Произвольно взятая позиция точки (ai) на луче соответствует позиции точки (а) на оси (x) в качестве конца большой полуоси эллипса.

Позиции концов малой оси (±b) определятся на (у) ломанной (а1; 1R; b1) и, далее, дугой (b1;±b). При этом точка эллипса (1э), тождественно соответствующая базовой точке (1R), определена понятными из чертежа построениями (Рис.1). Таким образом, если базовая окружность задана, то вспомогательные окружности большой и малой оси взаимосвязаны и определяются. Если необходимо использовать хорошо известный вариант соотношения осей эллипса (1,22 x 0,7), то величину (1,22R) нужно

поместить на отрезок (0;1,22R) и т.д., а в дальнейшем определить позицию точки (0,7R), которую повернуть далее на ось (у) в позицию (-Ь ). Таким образом, точки чертежа (а ;2 ;-Ь ) принадлежат кривой искомого эллипса; точка (2 ) лежит на прямой (0,2 ) под углом (30°) к оси (х); отрезок (0;2 ) равен - т.е. отображение находится в изометрическом соответствии к оригиналу.

Когда исходными данными для построения эллипса являются (Рис.2) его концевые точки полуосей (а) и (Ь), базовую окружность (0^) получим через биссектор квадратуры (0;111) и точку (73) инциденции базовой окружности (0^) с полигоном (73;7;8). Аналогично, для произвольного радиального луча его точка (53), инцидентная базовой окружности, корреспондируется с точкой (5) эллипса. Заметим, что указанные точки эллиптических соответствий (73^-7) и (53—^5) отнесены на геометрографическую композицию родства (Рис.1) через сжатие-растяжение относительно базовых точек в направлениях (х) и (у). В итоге, направление (0;7) принимается за ось (1Р) родства. Так называемое «направление» родства (Бр) может определяться из рассмотрения касательных к базовой окружности и эллипса в точке (7). Впрочем, этот способ не является единственным. Например, диагональ (Ь2а2) в (0;Ь;12;а), - также направление (2Ор). Рассуждая в обратном порядке, для заданных: базовой окружности и производной фигуры эллипса, определив позиции их инциденции (7) или (1^), можем (Рис.1) принять линию (0;7) за ось родства (21Р).

Определим позицию точки пересечения медиальной окружности и дуги эллипса (Рис.2). Вначале прямой (4;2а) зафиксируем на (е) точку (13), через которую пройдет общая касательная эллипса и медиальной окружности. Далее, на окружности (11а) определим, соответственную найденной (13), точку (13я), используя инциденцию дуг (Яа; Я^) и точку (х^. Затем на касательной (13; х^ найдем точку (11), построив дугу с радиусом ((0; х4); 2). В свою очередь, величина (0; 1) есть искомый радиус медиальной окружности, которая определяет на эллипсе точку (М2) и направление оси родства (/) через точки (0; М2).

В случае других исходных данных, когда окружности (Ка;КЬ) заданы предварительно и базовая окружность на произвольном радиальном луче определяется произвольно избранной точкой (1я), лежащей между окружностями (Яа) и (ЯЬ), сам луч (0;1я) может быть принят за направление родства (Ор), а симметричный ему к оси (х) луч (0;1Р) - за ось родства. При этом сохраняется величина (0;а) эллипса, но меняется его малая полуось (0;Ь); т.е. в отличие от предыдущего, «новый» эллипс получит другое значение не только (Ь), но изменится и его базовая окружность. Бегущая точка эллипса в совокупности с родственно-симметричной на своём направлении родства точкой определяются двумя его отрезками; первым - от базовой окружности до оси (у), а вторым - от оси (у) до базовой окружности в противоположном направлении. Первый отрезок, построенный противоположно от оси (х), определит одну точку эллипса; второй отрезок, построенный от оси (х) в другую сторону, определит другую точку эллипса. Здесь используется свойство равенства вложенных хорд и эллипса в определённых для подобных случаев родственных отношений. Разумеется, полные хорды базовой, «рабочей», окружности и

соответственного ей эллипса также равны и вложены в одно направление родства (Рис.3). Например, (2К;ЗК=2р;Зр).

Рис. 3

Можно заметить, рассматриваемый случай родственного преобразования вполне соответствует «разбиению на два слагаемых»:

1) сжатию окружности вдоль (у) от (уЛ) до (0;Ь), при этом (уЛ) переходит в (а1) на оси (х);

2) растяжения эллипса с полуосями (Ь1;а1) в фигуру с полуосями (Ь2;а2).

Построения такой композиции представлены (Рис.3). На первом этапе получены

ось (11() и направление (1Ог) родства в прямоугольнике (11;П1;Ш1;1У1), на втором этапе (2/) и (2БГ) при (12;112;1112;1У2) для соответственных (1Х) и (2Х).

Модели родства с совмещенными центрами дополнены, случаем разных позиций центров исходного и искомого объектов. Две предложенные выше геометрические модели родства имеют общий центр (0), который незначительно упрощает сами фигурации преобразований в сравнении с отнесением его вместе с осью родства (1р) по направлению родства (Бр) на иные определенные расстояния. Именно последний случай предпочтителен при построениях параллельных монопроекций на учебных и производственных чертежах (Рис.3). Поэтому, если задавать (А.р), равное величине (-1 х п), будем иметь родственные отображения в нужных дистанциях от исходного плана объекта по направлению (Ор). При этом вариативность отношения большой и малой эллиптических осей значительно повышает возможность достижения более реальных визуальных оценок изометрической монопроекции объекта. Подразумевается, что вариационный ряд изображений включает также и стандартизованный случай, который с (А=+1) был рассмотрен выше.

Итак, пусть центр данной окружности и (О) - центр искомого эллипса. Будем

назначать (О) на некотором произвольном направлении под острым углом (ф) к оси (х).

В свою очередь, диагональ (Q;0) фиксируем прямоугольник со сторонами на (-x) и (y). Направление (Q;0) есть (D), вторая диагональ является осью (J) родства. Таким образом, (y) - переходит в (хэ), a (x) - в ось (уэ). Тем самым выполнено условие сохранения горизонтально - вертикальных осей объектов. При этом две орто-диагонали окружности (1;2) и (3;4) преобразуются в оси изометрии (0;5) и (0;6). Однако, учитывая симметрию эллипса к (у), введём изображение пары также симметричных осей (0;5Э) и (0;7Э). Это -косоугольные симметричные оси эллипса, которым в исходной окружности соответствуют оси (Q;1) и (Q;7). Координации родственных точек (rev) и (rev3) связывает направление (D), а также соответственные координаты названных косоугольных осей (Q; 10) и (Q;103). Оси эти параллельны. Парные координаты ревизионной точки (Q;9) и (Q;93). Изометричные оси эллипса симметричны к (у), косоугольные оси окружности симметричны оси (x). Здесь также выполняется свойство соответственно вложенных хорд.

Эволюция данной тематики в трёхмерное пространство имеет определённую связь с сопряженными в системе поверхностей: конус, цилиндр, сфера. Отношение метрик таких сечений, в свою очередь, моделируют взаимные преобразования конических, цилиндрических и сферических координат.

В заключение отметим, что к данной модели изометрической проекции плана исходного объекта вносится условие константы реальной единицы длины по (z). В свою очередь, это можно было бы расценивать двояко. Per prima cosa, при соблюдении идентичности трёх шкал (x;y;z), отображённых на картину, имеем формальный признак изометрии. E ancora, соблюдая те же условия, но пользуясь вариациями родства при отображении планов, представляется возможность выбора для изображения варианта параллельной монопроекции объекта; подобно тому, как это практикуется для центральных проекций с историческим опытом около пяти столетий. Имеются в виду изображённые на квадратуре (Рис.1) для окружности (R/2) конусы, его разные фигуры при задании изменённых параметров родства. Среди вариантов: вид с верху, стандартизованный случай, вариант с использованием «золотой пропорции» и др.

Понятно, что приведённые варианты есть частные избранные случаи среди вариаций изометрического моделирования 3М-объектов на плоскости чертежа средствами преобразований в планиметрии.

Литература

1. Кондратьева Т.М., Полежаев Ю.О. Частные вопросы геометрографнн применительно к системе «Поле-метр» и квадратуре круга. «Вестник МГСУ» - М.: МГСУ, 2007, стр.73

The literature

1. Kondrateva T.M., Polezhaev J.O. private questions geometrografi with reference to system "Field-metre" and a circle quadrature. «Bulletin MGSU » - M: MGSU, 2007, p. 165

Ключевые слова: изометрические монопроекции, родственные преобразования, репер, квадратура круга, биссектор квадратуры, инциденция, полигоном, «направление» родства, планиметрия изображения.

Keywords: isometric monoprojections, related transformations, a reference point, a circle quadrature, bisector quadratures, incidency, range, relationship "direction", planimetry images.

e-mail автора: grafika@mgsu.ru

Рецензент: Логвинов Г.Н., кандидат технических наук, профессор, начальник кафедры «Теоретическая механика и техническое черчение» Тульский АИИ