Относительные голоморфы свободных абелевых групп и их нормальные подгруппы

2015

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 4

УДК 512.541

DOI 10.17223/19988621/36/5

А.В. Разина

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОЛОМОРФЫ СВОБОДНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП И ИХ НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

Рассматриваются нормальные подгруппы относительного голоморфа абелевой группы. Доказаны некоторые свойства нормальной подгруппы относительного голоморфа. Доказывается определяемость свободной абелевой группы своим относительным голоморфом.

Ключевые слова: голоморф, относительный голоморф, свободная абелева группа, нормальная подгруппа, относительно голоморфно изоморфные группы.

При изучении голоморфов абелевых групп важное место занимает вопрос об определяемости группы своим относительным голоморфом (голоморфом).

Исследованию нормальных подгрупп голоморфов абелевых групп и определяемости абелевых групп своими голоморфами посвящен ряд работ И.Х. Беккера, И.Э. Гриншпон, С.Я. Гриншпона, В.Х. Миллса (см. например, [1-4]).

Пусть G - абелева группа и пусть Ф - некоторая подгруппа группы Aut(G) (группы её автоморфизмов).

Относительный голоморф r(G, Ф) группы G - это множество пар вида (g, с), где g - элемент группы G, с - элемент группы Ф; с операцией сложения, введенной следующим образом: (g1, с1) + (g2, с2) = (g1 + c1g2, с1с2). Для всякого элемента (g, с) исходной группы противоположным будет являться (- a4g, с-1). Элемент (g,

е), где е - тождественный автоморфизм группы G, будем обозначать просто g, а элемент (0, с), где 0 - нейтральный элемент группы G, - просто с. Согласно этой договоренности, можно считать, что G и Ф содержатся в r(G, Ф). Если Ф = Aut(G), то r(G, Ф) называется просто голоморфом и обозначается T(G).

Рассмотрим некоторые свойства нормальной подгруппы относительного голоморфа.

Лемма. Пусть S - нормальная абелева подгруппа относительного голоморфа r(G, Ф) абелевой группы G и Ф - содержит автоморфизм 0, такой, что 0g = -g, и пусть (а, с) 6 S, g 6 G . Тогда справедливы следующие утверждения:

2а е S, ст2 е S ; ста - а е S ; ст(ста - а) = ста - а ;

стпа = а + п(ста - а);

2(ста - а) = 0 .

42

А.В. Разина

Доказательство. Пусть т £ Ф. Покажем вначале, что элемент (та, тех4) принадлежит S. Это следует из нормальности подгруппы S: (0,т) + (а,с) + (-(0,т)) £ S, то есть (0, т) + (а, с) + (0, т-1) = (та, тот-1) £ S.

Так как S - абелева, то (а, с) + (та, тс т-1) = (та, тот-1) + (а, с).

То есть (а,о) + (та, тот-1) = (а + о(та), отот-1) и (та, тот-1) + (а, с) = (та + тот-1 а, тот-1о). Сравнивая первые компоненты, заключаем, что а + ста = та + тот-1а. Поэтому, если т £ Ф и та = а, то са = ста.

Полагаем, что Ф содержит автоморфизм 0 группы G, такой, что 0g = -g (то есть 0 = -е).

Заметим, что 0-1 g = -g, то есть 0 = 0-1 . Пусть X = о-10. Поскольку с £ Ф и 0 £ Ф, то автоморфизм X £ Ф. Так как 0 коммутирует с с, то ХсХ1 = с. Заменив в ранее полученном равенстве а + ста = та + тот1 а автоморфизм т на X, имеем

а + оХа = а + 0а = а - а = 0.

С другой стороны, Ха + ХоХ-1а = (о-10)а + са = о-1(0(а)) + са = о-1(-а) + са.

Значит, 0 = о-1(-а) + са. Применяя с, получаем о0 = оо-1(-а) + оса, 0 = -а + с2а,

т.е. а = с 2 а. Таким образом, заключаем, что с 2 а = а.

Покажем, что (а, с) + (0, X) +(а, с) + (- (0, X)) = (0, с 2).

Имеем (а, с) + (0, X) + (а, с) + (-(0, X)) = (а, с) + (0, X) + (а, с) + (-X-1(0), X-1) = = (а, с) + (0, о-10) + (а, с) + (0, X-1) = (а + 0, оо-10) + (а, с) + (0, 0-1о) = (а, 0) + + (а, с) + (0, 0-1о) = (а + 0а, 0с) + (0, 0-1о) = (0, 0о0-1 с) = (0, о0о0-1) = (0, о00-1о) = = (0, сес) = (0, с 2).

Так как (а, с) е S и (0, X) +(а, с) + (-(0, X)) е S, то (0, с2) е S.

Кроме того, имеем -g + (а, с) + g + (-(а, с)) = -(g, е) + (а, с) + (g, е)+ (-(а, с)) = = (-e-1g, е-1) + (а, с) + (g, е)+ (-с-1 а, с- 1) = (-g, е-1) + (а, с) + (g + е(-о-1а), ео- 1) = = (-g + е-1а, е-1о) + (g + (-о-1а), ео- 1) = (-g + а, с) + (g - о-1а, ео-1) = (-g + а + + с^ - с-1 а), со-1) = (-g + а + оg - со-1 а, е) = (-g + а + оg - а, е) = (-g + сg, е) = = -g + сg = сg - g.

Итак, сg - g е S.

Отсюда -(са - а) + 2(а, с) +(-(0, с2)) е S. Имеем -((са - а), е) + 2(а, с) +

+ (-с- 20, с- 2) = (-е-1(оа - а), е-1) + (а + са, с 2) +(0, с-2) = (-(са - а), е-1) + (а + са + + с 20, с 2с- 2) = (-са + а + е-1(а + са), е-1е) = (а + а, е) = (2а, е) = 2а.

Таким образом, установили, что (0, с2) е S, ^g - g) е S и 2а е S.

Утверждения (1) и (2) рассматриваемой леммы доказаны.

Если т е Ф, то S содержит элемент (0, т) + о - g) + (-(0, т)) = ^g - g). Тогда, так как S - абелева группа, то (а, с) коммутирует с т ^g - g), то есть

(а, с) + (^g - g), е) = (t^g - g), е) + (а, с).

Следовательно, (а + от^ - g), с) = (^g - g) + а, с). Сравнивая первые компоненты, получаем от(оg - g) = т(оg - g). Если положим в полученном равенстве, что т = е, то получим равенство о(оg - g) = сg - g, из которого, индукцией по п, следует, что спg = g + n(сg - g ).

Индукцией по п также доказывается, что п (а, ст

п(п - И ч п

па +---------(ста - а), ст'

Уп е N. Покажем это.

Ясно, что при п

1(1 -1) 2

(ста - а), ст1

(а, ст). Данное равенство

выполняется.

Относительные голоморфы свободных абелевых групп и их нормальные подгруппы

43

Пусть это равенство верно для n = к, т.е. к (a, ст) = | ka + кк—— (ста - а),стк

Проверим, выполнено ли это равенство для n = к + 1. Имеем

(к +1) (а, ст) = к (а, ст) + ( а, ст) =

= f ка + к(к—— (ста - а) +стк а, стк+1 1 = | ка + к(к—— (ста - а) + а + к (ста - а), стк+

= f (к +1) а + ^(к ^1)к + к j (ста - а), стк+1 j = f (к +1) а + (к +)к (ста - а), сткк j.

Значит формула n (а, ст

n

па +-------

2

(ста - а), стп

Vn е N верна.

Сравним равенства о2а = а и cng = g + n(og - g ). Во втором равенстве вместо элемента g рассмотрим элемент а: о2а = а + 2(оа - а). Отсюда следует, что а = а + 2(оа - а ), то есть 2(оа - а ) = 0.

Таким образом, лемма доказана.

Рассмотренные утверждения являются обобщением [4] на случай относительного голоморфа. Напомним, что в построении относительного голоморфа предполагается, что подгруппа Ф содержит автоморфизм, переводящий любой элемент группы в ему противоположный.

Напомним, что две группы называются относительно голоморфно изоморфными (голоморфно изоморфными), если относительные голоморфы (голоморфы) этих групп изоморфны. Говорят, что группа A определяется своим относительным голоморфом (голоморфом) в некотором классе групп M, если любая группа B из этого класса, относительно голоморфно (голоморфно) изоморфная группе A, изоморфна группе A.

Рассмотрим G и G' - свободные абелевы группы. Эти группы представимы в

виде G = ©

бесконечные цикли-

ческие группы. Понятно, что для любой пары а, , а^ группы G, где

ij, i2 е I, i1 Ф i2, существует автоморфизм т, такой, что та, = ai2, а на подгруппе C = © (а^ автоморфизм т действует тождественно. Начиная с этого места, все

iel i фц^2

такие автоморфизмы будем включать в группу Ф относительного голоморфа. Аналогично поступим для относительного голоморфа r(G', Ф').

Теорема. Если G и G' - свободные абелевы группы, каждая из которых изоморфна нормальной подгруппе относительного голоморфа другой группы, то G изоморфна G'.

Доказательство. Пусть G = H', G' = H, где H и H' - нормальные подгруппы голоморфов r(G, Ф) и r(G', Ф') соответственно. Полагаем, что Ф и Ф' содержат автоморфизм е. Так как G' = H и G' - группа без кручения, то H -группа без кручения. Пусть (а, о) е H (т.е. а е G и о е Ф).

Пусть ^а, о) = (0, е). Так как H - группа без кручения, то из этого равенства следует, что (а, о) = (0, е), т. е. а = 0 и о = е.

44

А.В. Разина

Так как в H обязательно существует элемент (a, с), у которого a ф 0, то рассмотрим сервантную подгруппу, порожденную элементом 2a: (2a)*. Имеем в силу утверждения (1) леммы 2a е G n H . Группа G является однородной сепарабельной группой, и поэтому, так как однородная группа сепарабельна тогда и только тогда, когда каждая её сервантная подгруппа, имеющая конечный ранг, служит для неё прямым слагаемым, подгруппа (2a)* выделяется в G прямым слагаемым [5, с. 137].

Можно считать, что для некоторого i1 е I (2a)* = ^a^. Для любого i е I(i Ф i1) существует автоморфизм Ti е Ф группы G, такой, что xiaii = ai.

Имеем

(0, хг) + (ah , e) - (0, Ti) = (0, Ti) + a , e) + (0, t-1 ) =

= (0, Ti) + (a4 , eT-1) = (r^ ,TieT-1) = ai.

Так как 2a е^a^ ^, то ri(2a) e(a. Учитывая, что 2a е H и ri (2a) = (0,ri) + + (2a, e) - (0, ri), получаем ri (2a) е H .

Итак, мы можем в H построить |I| линейно независимых элементов: {2a,т^a)}^^}. По условию H = G', т.е. |I| линейно независимых элементов можно построить ив G', поэтому | J > |I|. Аналогично получаем, |I| > |J|. Таким образом, |I| = | J|. Учитывая, что две свободные группы изоморфны тогда и только тогда, когда их ранги совпадают, получаем, что группы G и G' изоморфны.

Следствие. Если G и G' - свободные абелевы группы с изоморфными относительными голоморфами, то G изоморфна G'.

Доказательство. Так как любая абелева группа является нормальной подгруппой в своем относительном голоморфе, то, применяя предыдущую теорему, получаем утверждение следствия.

Таким образом, мы получили, что всякая свободная абелева группа определяется своим относительным голоморфом (а значит, и голоморфом) в классе всех свободных абелевых групп.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беккер И.Х. О голоморфах абелевых групп // Сиб. матем. журн. 1964. Т. 5. № 6. С. 1228-1238.

2. Гриншпон И.Э. Нормальные подгруппы голоморфов абелевых групп и почти голоморфный изоморфизм // Фундамент. и прикл. матем. Т. 13. № 3. 2007. С. 9-16.

3. Гриншпон С.Я. Почти голоморфно изоморфные абелевы группы // Труды ТГУ. Вопросы математики. Т. 220. Вып. 3. 1975. С. 78-84.

4. Mills W.H. Multiple holomorph of finitely generated abelian groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. V. 71. No. 3. P. 379-392.

5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1974. 416 с.

Статья поступила 25.05.2015 г.

Относительные голоморфы свободных абелевых групп и их нормальные подгруппы

45

Razina A. V. RELATIVE HOLOMORPHS OF FREE ABELIAN GROUPS AND THEIR INVARIANT SUBGROUPS

DOI 10.17223/19988621/36/5

This article focuses on invariant subgroups of the relative holomorph of an abelian group. Some properties of an invariant subgroup of the relative holomorph are proved. We also prove that a free abelian group is determined by its relative holomorph.

Keywords: holomorph, relative holomorph, free abelian group, invariant subgroup, relative holo-morphically isomorphic groups.

RAZINA Anastasiya Vladimirovna

E-mail: anastacie.razina@mail.ru

REFERENCES

1. Bekker I.Kh. O golomorfakh abelevykh grupp. Sib. matem. zhurn., 1964, vol. 5, no. 6, pp. 1228-1238.

2. Grinshpon I.E. Normal'nye podgruppy golomorfov abelevykh grupp i pochti golomorfnyy izomorfizm. Fundament. iprikl. matem., 2007, vol. 13, no, 3. pp. 9-16.

3. Grinshpon S.Ya. Pochti golomorfno izomorfnye abelevy gruppy. Trudy TGU. Voprosy matematiki, 1975, vol. 220, no. 3, pp. 78-84.

4. Mills W.H. Multiple holomorph of finitely generated abelian groups. Trans. Amer. Math. Soc., 1950, vol. 71, no. 3, pp. 379-392.

5. Fuks L. Beskonechnye abelevy gruppy, vol. 2. Moskow, Mir Publ., 1974. 416 p.