Кубические кристаллы с отрицательными коэффициентами Пуассона (кубические ауксетики)

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 488-489

УДК 539.22, 539.32

КУБИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПУАССОНА

© 2011 г. Д.С. Лисовенко, В.А. Городцов

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва

lisovenk@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 16.06.2011

На основе экспериментальных данных для коэффициентов упругости кубических кристаллов, собранных в справочном издании Ландолт - Бернштайна, выявлено более ста кристаллов, обнаруживающих отрицательный коэффициент Пуассона (ауксетиков). Исследован характер однопараметрического изменения вида поверхностей в пространстве углов ориентации кристаллов, отделяющих области с отрицательными и положительными значениями коэффициентов Пуассона.

Ключевые слова: кубические кристаллы, анизотропная упругость, коэффициент Пуассона, отрицательный коэффициент Пуассона, ауксетики, кубические ауксетики.

В то время как изотропные упругие среды при малых деформациях характеризуются парой постоянных упругих коэффициентов, в анизотропных кристаллах их больше и упругие свойства становятся зависящими от направления деформирования. При этом такая «техническая» характеристика, как коэффициент Пуассона, может становиться отрицательной при деформировании некоторых кристаллов в определенных направлениях.

Упругость кубических кристаллов можно ха-растеризовать тремя матричными коэффициентами податливости s11, s12, s44, и при описании ориентации растягиваемого кристаллического стержня в кристаллографической системе координат тремя углами Эйлера ф, 0, у для отношения ко -эффициента Пуассона V к модулю Юнга E можно записать:

V Л .

- E = '12 + 2 f ^ ^

3 2 2

f =—sin 20 cos у +

4

+ sin2ф sin 0 sin у- -4cos2ф sin 20 cos у

2

2Д = 2s11 - 2512 - s44, 0 < /(ф, 0, у) < 1.

Полученное отношение зависит лишь от коэф -фициента 512 и одной комбинации трех коэф -фициентов податливости Д.

Если кубический кристалл при одних углах ориентации проявляет ауксетичность (отрицательность коэффициента Пуассона) и не проявляет при других, т.е. не является «абсолютным ауксети-

ком», то уравнение поверхности v(ф, 0, у) = 0, разделяющей эти области, запишется в виде / (ф,0, у) = р = - 211 А

В это уравнение входит лишь один безразмерный параметр р, скомбинированный из трех коэф -фициентов податливости, причем оно может иметь решение в силу предыдущего только при 0 < р < 1. Неотрицательность этого параметра указывает на противоположность знаков размерных упругих характеристик 512 и А для неабсолютных ауксетиков.

Анализ экспериментальных данных, сведенных в [1], позволил выявить более ста неабсолютных кубических ауксетиков. Найдено, что разделительная поверхность v(ф, 0, у) = 0 имеет довольно сложную топологическую структуру, сильно изменяющуюся при изменении величины параметра р. На рис. 1 показаны изменения вида поверхности v(ф, 0, у) = 0 при изменении параметра р (а - р = 0.85; б -р = 0.745; в -р = 0.5).

При относительно большихр она распадается на некоторую совокупность замкнутых поверхностей, окружающих малые объемы с ауксетичес-ким поведением для материалов с 512 < 0. Для материалов с 512 > 0 эти малые объемы будут; наоборот, неауксетичными. С убываниемр такие объемы растут, а при критическом значении рс ~ 0.75 исчезают замкнутые поверхности и образуется пара «открытых» поверхностей, охватывающая при дальнейшем уменьшениир все большие объемы. Большой объем ауксетичности будет у кубических кристаллов: FePd (^12 < 0 и р = 0.684) и ТшБе (512 > 0 и р = 0.62).

Все неауксетики характеризуются либо условием р < 0, либо неравенством р > 1. Обнаружены также два абсолютных ауксетика (кристаллы 8то?5Уо25$ с р = 2.25 и Ва с р = -0.176), имеющих отрицательный коэффициент Пуассона при любых ориентациях кристалла.

Ранее в статье [2] были проанализированы ауксетики различных систем при ограничении частным случаем ф = 0. Существенные отрицательные значения коэффициента Пуассона были

С уменьшением р для материалов с ^ < 0 увеличивается область ауксетичности. Для материалов с $12 > 0 имеет место обратная тенденция.

При всех значениях р из интервала (0,1) разграничивающие кривые с учетом периодичности по у являются замкнутыми. В полном соответствии с пространственными картинами общего случая, отраженного на рис. 1, кривые на рис. 2 являются их сечениями при ф = 0 .

а)

¥

3-

2.5-

^ 2-

SS S' ¥ 16 1-

0.5-

0- St

U 0 1 2 3 4 Ь о Ф 1 4] L

0

б) Рис. 1

0

в)

U \J и и ¥ [) [] \J [) ¥

2 2

1 1

А -А А A. I) ft A ft

1 2 3 4 5 0 а) 0 1 2 3 4 5 0 б) 0

1 2 3 4 5

в)

Рис. 2

обнаружены для таких известных материалов, как медь, кальций, калий, литий, натрий, свинец и т. д.

Разграничивающие кривые у(ф = 0, 0, у) = 0, отделяющие области ауксетического поведения (су < 0) от областей неуксетического поведения (с V > 0), при различных р представлены на рис. 2 (а - р = 0.85; б - р = 0.745; в - р = 0.5).

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 22.

Список литературы

1. Landolt-Bemstein - Group III: Crystal and Solid State Physics. Vol. 29a. Second and Higher Order Constants. Berlin: Springer, 1992. 743 p.

2. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 4. С. 43-62.

¥

Ф

¥

2

1

0

0

CUBIC CRYSTALS WITH NEGATIVE POISSON’S RATIO

D.S. Lisovenko, V.A. Gorodtsov

Based on the experimental values of elastic constants, compiled in the Landolt-Bemstein book series, we identified more than a hundred of cubic crystals with negative Poisson's ratio (cubic auxetics). The character of one-parametrical changes of a kind of surfaces in a space of angles of orientation of the crystals separating areas with negative and positive values of Poisson's ratios, has been investigated.

Keywords: cubic crystals, anisotropic elasticity, Poisson's ratio, negative Poisson's ratio, auxetics, cubic auxetics.