Оценка устойчивости цифровой системы регулирования многосвязного объекта

ВестникВГУИТ, № 3,

Информационные технологии, моделирование и управление

УДК 681.5

Профессор В.С. Кудряшов, доцент А.В. Иванов, аспирант А. А. Гайдин, аспирант Д.А. Свиридов

(Воронеж. гос. ун-т инж. технол. ) кафедра информационных и управляющих систем, тел. (473) 255-38-75

Оценка устойчивости цифровой системы регулирования многосвязного объекта

Рассмотрен подход к оценке устойчивости цифровой системы регулирования многосвязного объекта на примере колонны синтеза аммиака на основе дискретного описания. Оценка устойчивости проводилась с использованием дискретного критерия устойчивости по матрице коэффициентов системы уравнений в пространстве состояний. Полученные результаты распространяются на класс многосвязных несимметричных объектов управления.

The algorithm for assessing the sustainability of digital object control system as an example of a multiply column for ammonia synthesis. The solution is performed using a discrete description of the regulatory system. Description of the system represented in the transfer functions of input-output. These results extend to a class of multiply connected unsymmetrical control objects.

Ключевые слова: многосвязная система регулирования, нестационарный объект управления, оценка устойчивости, синтез аммиака.

Объекты управления химической и пищевой технологии характеризуются нестационарностью динамических характеристик, которые с течением времени изменяются вследствие ухудшения работы технологического оборудования в процессе эксплуатации (изменение теплофизи-ческих свойств, активности катализатора и т.п.). Это приводит к ухудшению качественных показателей работы технологического процесса и требует перенастройки управляющей части системы автоматизации. Кроме того, большинство процессов являются объектами со взаимосвязанными параметрами, что необходимо учитывать при проектировании системы управления. Применение адаптивных систем на основе методов текущей идентификации и с использованием принципов автономно-инвариантного управления не позволяет обеспечить качество управления во всём цикле работы технологического оборудования, а во многих случаях и устойчивость работы системы. Это обусловлено высокой чувствительностью автономно-инвариантных систем даже к небольшим изменениям параметров динамики объектов. Проведение текущей идентификации

© Кудряшов В.С., Иванов А.В., Гайдин А.А., Свиридов Д.А., 2012

для многосвязных объектов является достаточно сложной и не вполне решённой задачей на сегодняшний день.

В связи с этим наиболее эффективным подходом для управления такими объектами является робастное управление, которое предусматривает устойчивую работу системы в широком диапазоне и обеспечивает достаточное качество ведения процесса [1].

Для класса технологических объектов, характеризующихся многосвязанностью и нестационарным поведением необходимо выбрать критерий, учитывающий качество регулирования и запас устойчивости системы, который в дискретной форме можно представить:

I = р{р» +УРУ mm'

где e - ошибка управления; а - весовой коэффициент, учитывающий соотношение между интегральной квадратичной оценкой и запасом ро-бастной устойчивости; ß - весовой коэффициент, учитывающий значимость критерия по каждому выходу системы; р - запас устой-------та;

35

n - число выходов системы; m - кол1 то-

чек переходного процесса.

Примером многосвязного нестационарного объекта управления является процесс получения аммиака [2]. Экзотермический синтез аммиака протекает в 4-полочном реакторе в присутствии катализатора с промежуточным охлаждением между слоями. Задачей управления процессом является поддержание температуры в каждом слое катализатора в условиях изменения активности катализатора и теплофизических свойств реактора (рис. 1).

Рис. 1. Схема системы регулирования процесса синтеза аммиака: ОУ - объект управления; у^у4 - измеряемые выходы системы (температура в слоях катализатора); уз1^уз4 - задающие воздействия; е1^е4 -ошибки регулирования; и^и4 - управляющие воздействия (степени открытия заслонок на байпасных потоках); Wр1(z) ^Wр4(z) - дискретные передаточные функции цифровых регуляторов

Взаимосвязь входов и выходов системы описывается уравнениями [3]:

У =

1 + 7 7)

у91 = ШЛ 2) у9

Ш01,2

У9 + . „,2-2 , хУ9 =

У = 2

П

1 + Ш2,2 (2)Шр2(2Г

1=1

1,2 91

= Шс1,2(2) У91 + Шс2,2(2)У9

У4 =

Шо1,4

-Ш2,4

~2-+

П

1=1

Шо3,4

Шо3,4

Уз1 +

_Шо2,4( 2 )Шр2( 2 )__

-Ш3,4

П

1=2

Ш03'4

Уз2 +

4

П

/

Ш4'4 Ш4

_0 Р у 94 =

1 + Ш04'4( 2 )Шр4( 2 )У

= Шс14

где

2"1) 1=1

0 Лк°

1

• г °° - дис-

кретная передаточная функция по основному (к=|) или перекрестному (к^) каналу ОУ, к = 1,4, у = к,4; ак,\ Ък], - параметры и число тактов запаздывания передаточной функции основного или перекрестного канала; г оператор временного сдвига;

У3 =

Шо1,3

Л

-Шо1,2

П 0+шо,1шР )

у91 +

01(2-1) X ^ •г-Ш1(г) = 0 (2 ) ^ _

%(2) Р1( 2"1) п'

передаточная

1 -X й

функция цифрового регулятора; д1, р1, - параметры передаточной функции регулятора; к1 ,

| Шо2'3( 2)Шр2( 2) 9 Шо3'3( 2)Шр3( 2) 93

-р-У9 +-Г5-^—У9 =

П

пр - порядки числителя и знаменателя передаточной функции регулятора;

= Шс1,3(2) у91 + Шс2'3 (2)у92 + Шс3'3(2) у

93

к,!

к1

ВестникВГУИТ, № 3, 202

Wckj( z) =

У ßkj- z"

Bc (z ) „"dckoJ _ Л=1

Ack,j

1" У «kj

Л=1

• z"d-kJ

дискретная передаточная функция замкнутой системы; ack,j, ßck,j, dck j - параметры и число тактов запаздывания передаточной функции замкнутой системы, k, j = 1,4.

Исходя из выбранного критерия (1), одной из первых задач, возникающих при синтезе и моделировании робастной системы, является оценка запаса устойчивости.

Учитывая дискретную форму математического описания системы, для оценки устойчивости целесообразно применить дискретный корневой критерий, который заключается в оценке положения корней характеристического многочлена системы (2)-(5), записанной в пространстве состояний:

x(k +1) = A • x(k) + b • u(k),

y(k) = cT • x(k), где x - вектор переменных состояния;А - матрица системы; b - вектор передачи управления; c - вектор наблюдения.

Для устойчивости системы регулирования необходимо, чтобы корни характеристического многочлена передаточной функции находились внутри единичного круга [4]:

|«|< 1, i = 1,2...,m,

где « - собственные значения матрицы A.

Оценка устойчивости по первому выходу системы y1 определяется по передаточной функции системы (2). Для второго и последующих выходов (y2, y3, у4) необходимо учитывать наличие перекрёстных каналов связи.

Для второго выхода системы с учётом перекрёстной связи достаточно рассмотреть корни характеристического многочлена первого слагаемого уравнения связи (3), так как знаменатель второго слагаемого входит в состав первого.

Найдём корни характеристического многочлена передаточной функции:

Wfl1,2(z) =

Wj"

В качестве дискретных моделей регуляторов и каналов объекта выбраны следующие передаточные функции:

а V1 + а 'г1 Ь1^1^'"1

"Л* - - 5+^.

где 1.] -1.2.

Численные значения параметров дискретных моделей каналов объекта и цифровых регуляторов приведены в табл. 1 [3].

Таблица 1 Параметры передаточной функции

Ка- Параметры моделей Ре- Параметры

нал ОУ гу- регуляторов

объекта ai b, %/°c 0,такг ля-тор q0 q1

Wc1,' 0,901 -0,333 10 w; -0,51 0,49

Wc^2 0,916 -0,133 16 Wр2 -0,51 0,49

Wо1,2 0,927 0,043 18 - - -

Отсюда получим

b^z"1"^ q01z"1 + q11z"1

W-(z) = 1 +

1-z"

WV^ qo1z"1 + q/z"1

_1_

, 2 2 "1"d2'2 2 "1 2 "1 V-2z 1 d qo2z 1 + q12z 1

В начале цикла работы катализатора в процессе синтеза аммиака время транспортного запаздывания по каналам не превышает 180 с, что при длительности такта квантования дискретной системы То=10 с соответствует числам тактов запаздывания ё, приведенным в табл. 1. Отсюда передаточная функция (8) примет вид

,7 B',2(z) W',2(z) = с v ' W (z) Ac',2(z)'

где B1,2(z) = b5z"23 + V"22 + b3z"21 + b2z"20 + bz"19, Ай1,2 (z) = a19z"31 + a18z"30 + a17z"29 + a16z"28 + a15z"21 + + a14z"20 + a13z"19 + a12z"18 + an z"17 + a10z~15 + a9z"14 +

+ a2z 2 + az 1 "1.

k,j

+ a„z 13 + a„z 12 + a,z 11 + a,z 5 + a,z 4 + a,z 3 +

8

7

6

4

Рис. 2. Расположение корней характеристического многочлена

По условию (7) можно сделать вывод, что система устойчива. Динамические характеристики системы, представленные на рис. 3, подтверждают полученную оценку корневого критерия.

90 1:,мин

Рис. 3. Динамические характеристики системы в начале цикла работы катализатора

В процессе работы реактора синтеза аммиака повышается инерционность по каналам объекта. В конце эксплуатационного периода катализатора величина чистого запаздывания по каналам составляет = 13, = 22, = 20 (табл. 1). Полиномы передаточной функции (9) примут вид (рис. 2):

В1,2 (г) = Ъ5г"28 + ЪХ27 + Ь32~26 + Ъ2г"25 + Ъг"24, Лй1,2(г) = а19г "38 + а18г"37 + а17г "36 + а16г "35 + а15г "25 + +а14г~24 + а13г"23 + а12г"22 + а,12~21 + а10г"18 + а9г"17 + + а8г"16 + а7г"15 + а6г"14 + а5г"5 + а4г "4 + а3г"3 + + а2г"2 + а г"1 "1.

При этом расположение корней характеристического многочлена показано на рис.4.

/Мт

к Ж

ж * %

/ *

Л к жУ

1 ^

V к ж/

\ ¥ ж*

ж ¥ жж

Я * ж

0,15

-0,15

ж

3,95

ж /

/ /

4

Яе 1»

Рис. 4. Расположение корней характеристического многочлена в конце эксплуатационного периода катализатора

Повышение инерционности по каналам объекта приводит к увеличению числа корней характеристического многочлена системы, росту их величин |атах| = 1,00181 > 1 и, как следствие, к неустойчивой работе системы, что подтверждается динамическими характеристиками на рис. 5.

Рис. 5. Динамические характеристики системы в конце цикла работы катализатора

Для оценки устойчивости в течение всего цикла работы катализатора проведено моделирование системы в различных временных интервалах работы реактора (табл. 2).

ВестникВГУИТ, № 3,

Таблица 2 Значения максимальных корней в различные периоды работы реактора

№ интервала Запаздывание по каналам объекта |amax|

dii d12 d22

1 10 18 16 0,98959

2 11 19 17 0,99472

3 12 20 18 0,99869

4 13 22 20 1,00181

5 14 24 22 1,00428

На рис. 6. показан характер изменения максимальных значений корней характеристического полинома.

0,989 ----

1 2 3 4 5

Временные интервалы цикла работы катализатора

Рис. 6. Зависимость максимальных значений корней в течение всего цикла работы катализатора

Для оценки запаса устойчивости ^ в критерии робастности (1) целесообразно воспользоваться минимальным отклонением:

П- 1-Птах!.

Для третьего (4) и четвертого (5) выходов системы оценка устойчивости проведена аналогично.

Рассмотренный подход к оценке устойчивости многосвязной системы регулирования может быть эффективно использован при синтезе робастных систем управления многомерными технологическим объектами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Поляк, Б.Т. Робастная устойчивость и управление [Текст] / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. - М.:Наука, 2002. - 303 с.

2. Ганз, С.Н. Синтез аммиака [Текст] / С.Н. Ганз. Киев: Вища школа, 1983. - 280 с.

3. Кудряшов, В. С. Идентификация каналов многосвязного нестационарного объекта [Текст] / В.С. Кудряшов, С.В. Рязанцев, А.В. Иванов // «Мехатроника, автоматизация, управление». - 2007. -№ 7. -С. 16-21.

4. Изерман, Р. Цифровые системы управления [Текст] / пер. с англ.; под ред. чл.-корр. АН СССР И.М. Макарова. - М.: Мир, 1984. -541 с.