О новой концепции исследования функций в контексте фундаментализации математического образования

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 372.851:517.5

А. Д. Новиков

О НОВОЙ КОНЦЕПЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ В КОНТЕКСТЕ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Анализируя традиционный подход к исследованию функций на убывание и возрастание, автор статьи приходит к выводу о наличии в нём неустранимых противоречий. В качестве альтернативного подхода в контексте фун-даментализации математического образования предлагается новая концепция исследования функций, в основу которой положена классификация точек их области определения. Разработаны адекватный инструментарий, схема и методика исследования функций.

Ключевые слова: исследование функций на возрастание и убывание, классификация точек области определения, фундаментализация математического образования.

A. D. Novikov

A new conception of functions research in the context of fundamentalization of mathematical education

In this article it is given analysis of the traditional approach to a functions research on the decrease and increase. The author concludes that in this approach there are presented fatal contradictions. It is offered a new concept of functions research as an alternative approach in the context of the fundamentalization of mathematical education. The concept is based on the classification of points of their domain. Adequate tools, scheme and methodology of functions research are developed.

Key words: study of functions on the increase and decrease, classification of points domain of functions, fundamentalization of mathematical education.

Стремительное расширение информационного пространства, а также всемирная глобализация в современном мире и насущная потребность стран в развитии инновационных технологий всё в большей степени стимулируют наращивание научного потенциала преимущественно посредством подготовки высококвалифицированных специалистов. Однако взаимодействие образовательных систем различных стран существенно осложняется различиями образовательных стандартов, уровней образования и качества учебных программ вузов. Поэтому с целью построения единого Европейского пространства высшего образования к 2010 г. была составлена и подписана представителями 29 стран Европы Болонская декларация.

Значительная роль в этой декларации отводится формированию и устойчивому функционированию ев-

HOBIIKOB Ачександр Дмитриевич - к.п.н., доцент кафедры математического анализа Армавирского государственного педагогического университета.

E-mail: novikovnad@mail.ru

ропейской системы обеспечения качества образования. Одним из важнейших компонентов, обеспечивающих высокое качество образования, является непрерывный процесс его фундаментализации. Фупдаметпализация среднего и высшего образования - это сложный и непрерывный процесс, в основе которого лежит сближение и интеграция образовательного процесса с научными знаниями в соответствующей области специализации обучаемых. Значительную роль в этом процессе играют достижения частных методик обучения и воспитания как научных областей педагогики.

Фундаментализация математического образования в высшей школе и старших классах средней школы предполагает использование в процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин новых научных исследований и достижений математики, создание оптимальных условий для воспитания у школьников и студентов гибкого научного мышления. Существенную роль в таком образовательном процессе играют современные достижения методики обучения математике. При этом, используя методы преподавания математики, можно не только оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации матема-

тического образования находить и исправлять, а иногда и заменять те традиционные подходы к изучению конкретных тем и разделов математики, которые по тем или иным причинам начинают входить в противоречие с современным её содержанием. Основными критериями такой методической работы являются требования, предъявляемые к любой научной теории - это требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых концепций и соответствующих подходов при изучении конкретных тем и разделов математики.

Введение элементов математического анализа в школьный курс математики позволило не только существенно углубить и расширить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально проанализировать традиционные концепцию и подход к исследованию функций на убывание и возрастание. Как показано ниже, этот подход содержит неустранимые в его рамках логические противоречия. Однако, используя понятия точек убывания и возрастания функции, введённые в математику значительно позже понятий убывающей и возрастающей функций, нами разработана новая концепция, соответствующие подход и инструментарий исследования функций на убывание и возрастание, позволяющие полно и без противоречий проводить это исследование.

В современной отечественной учебно-методической литературе по математическому анализу под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание понимается определение множеств, на которых рассматриваемая функция соответственно возрастает и убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа [1] под этими множествами понимаются промежутки убывания и возрастания функций. В вузовских курсах математического анализа [2, 3] и высшей математики в ходе исследования кроме промежутков убывания и возрастания функций находят также отдельные точки возрастания и убывания функции. Рассмотрим эту ситуацию более подробно.

Прежде всего заметим, что из курса математики средней школы в конце 80-ых годов XX века понятия точек возрастания и убывания функции были вообще изъяты из учебников алгебры и начал анализа. Это привело к невозможности полноценного исследования функций на возрастание и убывание в школе, вызвало серьёзную озабоченность и справедливые нарекания учителей математики средней школы и преподавателей вузов. Ведь оптимизация курса математики средней школы не должна существенно сужать знания школьников. Однако именно это и произошло в данном случае. Следующий пример наглядно подтверждает это. Выпускник современной средней школы оказывается не в состоянии полноценно исследовать на убывание и возрастание даже следующую довольно простую функцию:

В самом деле, старшеклассники, исследовав эту функцию, придут к выводу, что она убывает на промежутках (—«», 0) и (0, +<»). При этом точку области определения функции х = 0 (точка возрастания) они вообще никак не классифицируют, поскольку не знакомы с понятиями точек убывания и возрастания функции. Как было сказано выше, эти понятия без всяких объяснений в конце 80-х годов XX века (практически сразу после ухода из жизни всемирно известного математика А. Н. Колмогорова, написавшего в соавторстве первый в России учебник по алгебре и началам анализа для средней школы) были изъяты из школьных учебников математики. И лишь студенты вузов, изучающие полные курсы математического анализа, смогут правильно классифицировать эту точку, воспользовавшись понятием 8 - окрестности точки.

Рассмотренный пример позволяет сделать однозначный вывод о необходимости возвращения в школьные учебники алгебры и анализа понятий точек убывания и возрастания функции. Но основное противоречие традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание кроется в самой постановке задачи исследования функций, а именно в нахождении множеств, на которых исследуемая функция убывает и возрастает. Подтвердим это классическим контрпримером из статьи в журнале «Математика в школе» [4].

В этой статье московский автор А. Я. Блох, отвечая на вопрос учителей о включении или нет точек экстремума в промежутки возрастания (убывания) функции, пишет " ... одна и та же экстремальная точка принадлежит сразу двум множествам: одному из промежутков возрастания и одному из промежутков убывания функции", И далее автор приводит пример исследования на

монотонность функции у = х2. По его мнению, исследование функций на монотонность сводится к нахождению их промежутков убывания и возрастания. Поэтому данная функция, как он считает, убывает на полуинтервале (—°°; О] и возрастает на полуинтервале [0; +оо).

Отнесёмся к этому выводу критически и исследуем сам процесс получения такого результата. Первая часть утверждения автора статьи получена в результате применения определения функции, убывающей на множестве, к функции у = х" с областью определения ( °°? 0]. а вторая - в результате применения определения возрастающей на множестве функции к функции у = х~ и областью определения [0;+°°). Возникает естественный вопрос, а где же исследование заявленной функции у = х” с областью определения (— «з, +°°)? Его просто нет. Ведь в ходе такого «исследования» потерян сам его объект - исследуемая функция. Дело в том, что исследованием двух, отличных от заявленной, функций нельзя заменить исследо-

вание исходной функции. В самом деле, несмотря на то, что все три функции задаются одинаковой формулой, они имеют различные области определения и, следовательно, - различны. А это значит, что результаты исследования одних функций нельзя приписывать другим.

Если же определения монотонных на множестве функций применить к функции у = х“ с областью определения (— о°, +°°). то единственный результат, который может быть получен на основе этих определений таков' функция у = х2 с областью определения (— о=, + °о) не является монотонной. И это, как показывает наш анализ, всё, что может дать исследование функции в рамках традиционного подхода. Аналогичная ситуация складывается и при исследовании любой другой функции, имеющей как точки возрастания, так и точки убывания.

Рассмотрим ещё один аспект исследования функции

у = х2, О (у) = (- °о, + °°)„ связанный с теоремой о необходимом и достаточном условиях возрастания (убывания) функции на интервале [5, с. 123].

Теорема. Для того чтобы функция была возрастающей на интервале, необходимо и достаточно, чтобы она была возрастающей в каждой точке этого интервала.

Рассмотрим точку х = 0 области определения исследуемой функции. Эта точка не является ни точкой убывания, ни точкой возрастания функции и, следовательно, по теореме, приведённой выше, не может входить ни в промежутки убывания, ни в промежутки возрастания рассматриваемой функции. Но и в школьной статье [4], а часто и в вузовской учебно-методической литературе по математическому анализу, например [2, с. 133] и [3, с. 34], эту точку включают как в промежуток убывания, так и в промежуток возрастания. Видимо из-за этого соглашения и саму теорему можно найти только в академических изданиях. И это, несомненно, отрицательный момент, подлежащий исправлению. Но в рамках традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание это невозможно, поскольку выявленное противоречие вытекает из самой постановки основной задачи исследования.

Более того, выбор инструментария исследования (определения монотонных функций и точек убывания и возрастания функции) не адекватен поставленной задаче. Действительно, пользуясь определениями возрастающей и убывающей на множестве функции, можно лишь выяснить, является ли исследуемая функция возрастающей или убывающей. И не более того, что следует из самой сути этих определений.

Сказанное выше позволяет утверждать, что существует серьёзная методическая проблема в самой концепции (постановка задачи, инструментарий) подхода к исследованию функций действительной переменной на убывание и возрастание. Поэтому именно разработке новой, полной и непротиворечивой

концепции и соответствующего подхода к исследованию функций посвящена эта работа.

Направление поиска и формирования новой концепции и подхода к исследованию функций на убывание и возрастание можно усмотреть, изучая дифференцируемые функции. Например, функция

V = — имеет производную V = — — < 0 на всей об-

х ' х"

ласти определения данной функции, т. е. для всех точек

множества 0 = 1 — °°, 0)и (О, + °°), каждая точка которого является точкой убывания этой функции. Поэтому эту область В и будем считать областью убывания

данной функции. В то же время, сама функция у —— с

х

областью определения Б (у) = (-<», 0)и(0, +°°) не является убывающей, так как не удовлетворяет соответствующему определению убывающей функции. Итак, говорить, что эта функция является убывающей на промежутках (—°°, 0) и (0, +°°) бессмысленно, поскольку тогда на самом деле речь пойдёт уже не об

этой функции, а о двух других функциях: у = — с об-

х

ластью определения /) = (— 0) и у = — с областью

х

определения (0, + °°). Поэтому найденную область убывания данной функции и будем считать результатом исследования, поскольку эта область совпадает с областью её определения.

Изложенное выше делает актуальным наше предложение исследовать функции на убывание и возрастание на основе другой, непротиворечивой системы определений, считая основной задачей такого исследования определение областей возрастания и убывания функций [6].

Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется множество точек возрастания (убывания) этой функции.

Определения точек возрастания и убывания функций приведены в [2, с. 224] и [3, с. 175] и используют понятие 8 -окрестности точки. Однако в силу симметрии 8 -окрестности относительно исследуемой точки в случае дискретных функций с её помощью далеко не всегда можно найти все точки возрастания (убывания) функции. Поясним это на следующем примере.

Пример. Пусть требуется выяснить, является ли

точка х = 1 точкой возрастания функции / (х) = х' с областью определения £>(/) = {-3; -2; -1; 0; 1; З}. Найти области возрастания и убывания данной функции.

10--

5 --

1 --

У

Рис. 1.

В этом примере (см. график на рис. 1) определение точки возрастания функции на основе понятия 8 -окрестности точки не позволяет классифицировать точку х = 1 как точку возрастания данной функции, поскольку не существует такой 8 -окрестности этой точки, в которой /(.V.) < /(х) < /(х2), где х1 6 (1 - 8; 1) И Х2 £ {1,1 + 8). В то же время видно, например, из графика данной функции, что точка х = 1 есть точка возрастания заданной функции. Этот пример позволяет сделать вывод, что определения точек возрастания и убывания функций, базирующиеся на понятии 8 -окрестности, успешно позволяют находить эти точки только при исследовании непрерывных функций и беспомощны в случае дискретных функций. Если же обобщить эти определения, заменив в них понятие 8 -окрестности точки на понятие окрестности точки, которая может быть и несимметричной относительно исследуемой точки, то точка х = 1 в рассмотренном выше примере будет классифицирована как точка возрастания функции.

Приведём далее обобщённые определения точек убывания и возрастания функции.

Определение 2. Точка х0 области определения

функции у= /(х) называется точкой убывания, если существует такая окрестность этой точки (х0 - 8., хп + 82), в которой /(х) > /(хп) при

х < х„ , хеД (/) и /(х) < /'(хп) при X > х0,

хе £>(/).

Определение 3. Точка х0 области определения

функции у = /(х) называется точкой возрастания,

если существует такая окрестность этой точки

(хп - 8Х, Хп + 82), в которой /(х) < /(х0) при

х < х0, хе £)( / ) и / (х) > ./ (х. ) при х > хп,

хе /.)(./ ).

В соответствии с этими определениями, где -0(/) -область определения функции, точка минимума функции х = 0 в примере не может быть включена ни

в область возрастания, ни в область убывания исследуемой функции. Аналогичные заключения, очевидно, будут иметь место и для точек экстремума любых других функций.

Исследуем далее точки х = —3 и х = 3 из предыдущего примера. Ясно, что поскольку функция не определена слева от точки х = —3 и справа от точки х = 3, а значит определения 2 и 3 для этих точек неприменимы. Поэтому для их классификации потребуются ещё два определения.

Определение 4. Точка хп называется точкой убывания функции у = /(х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [хп,х0+^) ((х0 — 8, хп])_, в которой

/(х) < ./ (х.) (Лх)>/(х0)) при х > х0 (х < х0 ), хе £>(/).

Определение 5. Точка х0 называется точкой возрастания функции V = /(х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [х,,, х0 + 8) ((х„ — 8. Х1, ]), в

которой / (х) > / (х0) I / (х) < / (х. ) ! при х>х0 ( X < Хд ), хе £»(/).

Применяя определения 4 и 5 соответственно к точкам х = —3 и х = 3. приходим к выводу, что точка х = —3 - это точка убывания справа, а точка х = 3 -точка возрастания слева. Следовательно, областью убывания функции из предыдущего примера является множество /)г = {— 3, — 2,— 1} а областью возрастания

-п={\, 3}.

Остановимся далее на выявлении точек, в которых функция нестрого убывает или возрастает. Для этого достаточно воспользоваться системой определений, аналогичной системе определений 2-5, заменив в функциональных неравенствах знаки <, > на знаки <, > .

Рассмотрим пример исследования такой функции, график которой изображён на рис. 2., имеет область нестрогого убывания От, = [а, с] и область нестрогого

= М1

возрастания /)м

Отсюда видно, что точки отрезка, параллельного оси (х), входят как в

область нестрогого убывания функции, так и в область нестрогого её возрастания, т. е. не классифицируются. Поэтому разумно ввести понятие области

постоянства функции

А,.

Рис. 2.

Определение 6. Областью постоянства функции называется объединение множеств точек области определения функции, каждое из которых включает в себя не менее двух точек, в которых значения функции одинаковы.

Как и для выявления точек убывания и возрастания функции в качестве инструментария выявления точек постоянства функции, используются окрестности точек (в некоторых случаях - замкнутые).

Определения 2-6 вместе с определениями точек экстремумов позволяют при исследовании функции на возрастание и убывание разбить все точки её области определения на шесть непересекающихся классов точек: область убывания, область возрастания, область постоянства, точки минимума, точки максимума и точки, не входящие в первые пять классов.

Таким образом, предлагаемый нами подход к исследованию функций на возрастание и убывание представляет собой не только полноценную и, скорее всего, безальтернативную схему, позволяющую классифицировать все точки области определения исследуемой функции (см. рис. 3).

Используя определения 2-6, нетрудно получить следующие результаты исследования функции, график которой изображён на рис. 2: область убывания /)

= [а, Ь), область постоянства 1.),. = [&, с], область возрастания Ов = (с, ¿/].

Определения нестрого возрастающих и убывающих функций, как видно из приведённого примера, не имеет смысла использовать ввиду того, что было выполнено более детальное исследование функции.

Заметим также, что при определении области убывания (возрастания) функции в качестве инструмента классификации необходимо пользоваться двусторонней окрестностью исследуемой точки. И только при классификации точек, соответствующих наимень-

Точки убывания функции

Точки постоянства функции

------7Т---------

шему и наибольшему значениям аргумента (если они существуют), используются односторонние окрестности этих точек. В качестве универсального инструмента, позволяющего найти все точки постоянства функции, следует пользоваться замкнутыми окрестностями исследуемых точек.

Важно также то, что представленная в этой статье концепция исследования функций на убывание и возрастание органично сочетается с такими основными понятиями математического анализа как непрерывность и дифференцируемость функций. В самом деле, каждое из этих понятий сначала определяется в точке, затем обобщается на интервал, отрезок, промежуток и, наконец, множество. Другими словами, наблюдается полная аналогия в последовательности обобщения этих понятий. Более того, в качестве основного и общего инструментария исследования функций на убывание (возрастание, постоянство), непрерывность и дифференцируемость используются окрестности точек.

В ходе дальнейшего изучения свойств функций важно обратить внимание на необходимость уточнения терминологии при исследовании функций на непрерывность и с помощью производных. А именно:

• при исследовании функций на непрерывность вместо термина «промежутки непрерывности» следует пользоваться термином «область непрерывности»;

• при исследовании функций на дифференцируемость действительной переменной вместо терминов «промежутки дифференцируемости» функции следует пользоваться термином «область дифференцируемости» функции;

• при исследовании функций действительной переменной на выпуклость (вогнутость) вместо терминов «промежутки выпуклости функции» и «промежутки вогнутости функции» правильно использовать термины «область выпуклости функции» и «область вогнутости

функции».

Точки возрастания функцци

Область определения функции В

Точки минимума функции

ОстальньЕ точки фу нкции

Точки максимума функцци

Таким образом, в результате детального анализа традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание в средней школе и вузе приходим к следующим выводам и предложениям:

1) традиционный подход содержит неустранимые внутренние противоречия, связанные с некорректной постановкой основной задачи и неадекватностью инструмента исследования функций на убывание и возрастание;

Рис. 3. Схема классификации точек области определения функции

2) в качестве возможного варианта преодоления этих противоречий предложены новая концепция исследования функций на убывание и возрастание, соответствующий этой концепции подход и адекватный инструментарий;

3) в рамках нового подхода сформулирована основная задача исследования функций на убывание и возрастание, разработана схема исследования функций на основе классификации точек её области определения;

4) разработаны методические рекомендации реализации нового подхода в средних школах и вузах.

Предложенные новая концепция исследования функций на убывание и возрастание и соответствующий подход в аспекте фундаментализации математического образования в средней школе и вузе будут полезны авторам учебников по математическому анализу и высшей математики, преподавателям математики, студентам и старшеклассникам.

Литература

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеоб-разоват. учреждений / А. Н. Колмогоров. А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд.; Под ред. А. Н. Колмогорова. - 14-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 384 с.

2. Ильин В. А. и др. Математический анализ. Начальный курс. В 3-х т. Т.1. / В. А. Ильин. В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. - М.: Изд-во МГУ. 1985. - 425 с.

3. Райков Д. А. Одномерный математический анализ: Учеб. пособие. - М.: Высш. школа, 1982. -415 с.

4. Блох А. Я. Возрастание функции в точке и на множестве //Математика в школе. - 1978. - № 6. - С. 21-23.

5. Математический энциклопедический словарь / га. ред. Ю. В. Прохоров. - М.: Советская энциклопедия, 1988. - 847 с.

6. Новиков А. Д. Возрастание и убывание функций на дискретных множествах //Высшее образование сегодня. -2008.-№12.-С.83-85.

УДК 378. 014 (571.56) И. С. Сивцев

МОДЕРНИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ - ВАЖНЕЙШИЙ ЭЛЕМЕНТ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНА

Раскрыто значение высшего образования в развитии общества, состояние высшей школы Якутии в сложнейший период радикальных преобразований 1990-х и реформ 2000-х гг. Изложена политика руководства Республики Саха (Якутия) в сфере высшего образования в Якутии и некоторые её итоги в разрезе модифицированного индекса развития человеческого потенциала, место образовательного процесса в РС (Я) на фоне достижений регионов России.

Ключевые слова: высшее образование, индекс развития человеческого потенциала, рейтинг, нормотворческая деятельность, инновационная программа, кадровая политика, кластерный анализ, регионы.

I S. Sivtsev

Modernization of education is an important element of a regional sustainable development

The author studied a role of higher education in the development of human dimension and conditions of higher institutes of education during a difficult period of radical changes in the 90-s of the last century and in the 2000-s in the Republic of Sakha (Yakutia).

It is analyzed the management policy of Republic of Sakha (Yakutia) towards the higher education: the results are described in the context of modified index of human potential development (MIHPD). Achievements of Russian Federation regions are considered during analysis of a role of educational process in the republic.

Key words', higher education, index of development of human potential, rating, legislation activity, innovative program, personnel selection, cluster analysis, regions.

СИВЦЕВ Иннокентий Семенович федры политологии ИФ СВФУ. E-mail: sivinsem@mail. ru

к.и.н., профессор ка-