Исследование нелинейных волновых процессов на поверхности жидкости в электрическом поле

Исследование нелинейных волновых процессов на поверхности жидкости в электрическом поле

Э.Н.Егерева, А.Н.Охлопков

ФГБОУ ВО «НИУМосковский государственный строительный университет»

Аннотация: Описывается зависимость величин, характеризующих распространение нелинейных волн на поверхности жидкого проводника, от напряженности электрического поля и от длины волны. Исследованы электрогидродинамические волны, а именно рассмотрено движение капель, конвективное движение жидкости, деформация капель и пузырьков в приложенном электрическом поле, распространение поверхностных волн в линейном приближении. Составлена математическая модель распространения нелинейных волн на заряженной поверхности жидкого проводника. Построены графики зависимостей частоты колебаний волны от напряженности электрического поля и фазовой скорости от длины волны.

Ключевые слова: Нелинейные поверхностные волны, жидкий проводник, диэлектрическая проницаемость, фазовая скорость, напряженность магнитного поля, поверхностный заряд.

Введение. Поверхностные волны в средах, взаимодействующих с электрическим полем, имеют большое значение для таких природных процессов, как геофизические, метеорологические и другие. Электрическое поле, что существует вблизи поверхности Земли, взаимодействует с потоками воздуха. Этим оно оказывает огромное влияние на метеорологические процессы. В грозовых облаках также возникают электрические поля, влияющие на движение потоков воздуха. Исследование волновых процессов, протекающих на поверхности жидкости в приложенном электрическом поле, показывает интерес и с точки зрения технического использования электропроводящих струй. Однако струи имеют свойство разрушаться, поэтому важно предотвратить это и создать способы их стабилизации. В работе [1] подробно разобрано исследование струйных течений. В статье [2] рассматривается численное решение задачи о распространении поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании. В статье [3] составлена и исследована математическая модель распространения волн на поверхности слоя электропроводной жидкости с

:

поверхностным электрическим зарядом, находящейся на слое пористои среды. В работе [4] исследуется распространение волн на заряженной поверхности слоя жидкого проводника, находящегося в зазоре конденсатора, создающего вертикальное электрическое поле. В статье [5] решена задача о распространении нелинейных поверхностных волн в намагничивающейся жидкости бесконечной глубины. В статье [6] Рассмотрены исследования нелинейных явлений на заряженной поверхности жидкого водорода. Показано, что возбуждение поверхности низкочастотным электрическим полем переменного тока приводит к образованию капиллярных волн в высокочастотной области, причем последние проявляют турбулентность.

Постановка задачи. Рассматривается распространение волн по заряженной поверхности слоя жидкого электропроводника, толщину которого устремляем в бесконечность. Плотность однородной жидкости принимаем постоянной. Жидкость граничит с атмосферой пренебрежимо малой плотности. Предполагается, что она несжимаема и однородна. В работе [7] решена задача о волнах на поверхности жидкого проводника в линейном приближении.

Система уравнений движения жидкости имеет вид [8,9,10]

дУ

Р

+ (v *V*)v *

_ * dt

Р +Pg ; divv = 0

где p- плотность жидкости, v - скорость, p - давление, g - ускорение силы тяжести. Учтем отсутствие в проводнике электрического поля. В атмосфере уравнения, которые показывают наличие электрического поля имеют вид

rot *E * = 0, div *D * = 0,

здесь D = sE , s = const - диэлектрическая проницаемость среды. На границах раздела поверхностных сред имеем: [9,10]

*

J

V,

Vn = 0, ET = E - nE„ = 0, D„ = 4яа

p ninj + p = -a

f1 1л

V

Ri R

* * (, sEi E j sE

pu =-p атм8и +---S„

2 J

4n

8n

где СГ - поверхностная плотность электрического заряда, p атм - давление в атмосфере. Для скорости жидкости существует кинематическое условие. Оно состоит в том, что в связи с непрерывностью движения, частица, которая находится на поверхности, будет все время оставаться на ней. Тогда нормальная компонента скорости должна быть равна нормальной скорости

движения поверхности Vn. D = sE; R1, R2 - главные радиусы кривизны; а -коэффициент поверхностного натяжения; п - единичный вектор нормали, направленный из области 1 в 2.

Обезразмериваем переменные и величины данной математической модели [11,9,10]

* —»•* -* * j x = k(x- - ct'), z = kz', f = ^, v = ^, E = Ehr, 9 = k9

S

* f * cS SE0 ' SE0 '

p =

pw pp - p0*

Spc Spc '

p0 =-Pgz + pa

sEn

8n '

i * где k=2n/X - волновое число, X - длина волны E0 =

En

, где

p0 = const (z* = 0). При z* ф 0 к p0 надо прибавить гидростатическое

давление, равное - pgz*, выражение которого следует из уравнения (1) при

* * *

v = 0: -dp0 / dz* - pg = 0. Отсюда находим p0 =-pgz + const. Выражение p0

отмечает, что электрическое поле образует на заряженной поверхности

проводника «отрицательное давление». Оно направленно к его поверхности

*2

по внешней нормали, так как знак перед sE0 /8п противоположен знаку

*

2

*

*

*

J

*

перед p атм. Для искривленной поверхности отрицательное давление равно

* 2

-sEn /8п.

Плотность поверхностного заряда в безразмерном виде запишем:

* *

c = cw / S<r0 = 4ncw / SsE0z и получаем

< = E7-SeA-^

z x dx 2 dx 2 dx У '

iAJx lAJv 1ЛЛ-

Безразмерные условия на бесконечности

lim v = 0 • lim E = 0

Учитывается то, что волна при движении является периодичной и

симметричной относительно вертикали, которая проходит через вершину

*

волны, и то, что x лежит на невозмущенной поверхности жидкости [7,14,15]

2п

f

0

Рассматривается математическая модель нелинейной краевой задачи для нахождения величин v,p,y,Eиз уравнения (5) с учетом граничных условий (6) и ограничений (7).

Переходим к исследованию нелинейной задачи (5)-(7). Решение задачи ищем в форме рядов по малому параметру [8,14,15]

Ю ОТ да ОТ да

i = Z; 7 = ZSvk; р = ZS4 ,v = ; E = YsSEt.

k=0 k=0 k=0 k=0 k=0

k , v = vn

k=0

1 + ^Skek

k=1

Для перенесения граничных условий с поверхности я = х) на поверхность 2=0, необходимо разложить величины в ряды Тейлора в окрестности 2=0.

Исследование волнового движения жидкости. Выражение для фазовой скорости имеет вид [14,15]:

с = Л *(1 - ^ 1,

где

0

3ПС

2 8(1 - 2 ПС) 16 16

3 1 ( 18ПС + 18ПС 2 огт

С С- + 2 ПС + 5)

Л

V

1 - 2П

С

/{1 - ПЕ + Пс }+

л

+ -

64

15 ПС 11

-— + —

,1 - 2Пс 2 л

/{1 - Пе + ПС }.

Здесь введем безразмерные параметры ПС, ПЕ, которые сравнивают величины капиллярных и электрических сил с гравитационными силами

^ сЛ ak2

П = —!— =-

Пе =

ес к екEl,

g р ё 4ёпР

Дисперсионное уравнение, которое представляет связь частоты с = сk с волновым числом, следующее

со = ^ gk + 2 -ес^

( 1

2 (1 -182в2 2 2

Л

Фазовую скорость и частоту волны рассчитаем для жидкого натрия при температуре 249 °С, когда плотность его соответствует значению р = 0,89

3 2

г/см , а также а=200 дин/см, а g=981 г/см .

2

Рис. 1. Зависимость фазовой скорости от длины волны при 5=0 На Рис.1 показана зависимость фазовой скорости с от длины волны X при постоянном значении малого параметра (5 =0). Цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 обозначены изменения фазовой скорости при величине напряженности электрического поля Е0*=0, 35, 55, 85 и 95 БОБЕ масштаба. По графику видно, что наименьшее значение фазовой скорости достигается при наибольшем Е0*, когда зафиксировано X. При дальнейшем увеличении длины волны фазовая скорость также увеличивается.

Рис. 2. Зависимость фазовой скорости от длины волны при 5=0,1.

На Рис.2 показана зависимость фазовой скорости от длины волны X при 5= 0,1. Цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 показаны кривые при величине напряженности электрического поля Е0*=0, 35, 55, 85 и 95 БОБЕ масштаба. Из графика видно, что фазовая скорость быстрее возрастает с увеличением X при большем значении Е0*.

Рис.3. Связь частоты волны и напряженности электрического поля при 5=0 На Рис.3 составлена связь частоты волны с напряженностью электрического поля при постоянном значении малого параметра 5 =0. Исследуя график, можно сделать вывод о том, что для каждой величины X

* Л

существует такое значение Е0 , при котором с = 0, и чем меньше X, тем круче

*

он опускается с ростом Е0 .

На Рис.4 составлена зависимость частоты волны от напряженности электрического поля, при 5 =0 и разных X, от напряженности электрического поля. Из графиков 3 и 4 можно сделать вывод, что в электрическом поле частота волны уменьшается.

Установлено, что при распространении волн на заряженной поверхности жидкого проводника с ростом электрического поля скорость и частота волны уменьшаются. Причем, для каждой длины волны существует такая напряженность электрического поля, при которой ю=0.

ш, рад/с 45

40

35

30

25

20

15

t

Eo*

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

Рис.4. Связь частоты волны с напряженностью электрического поля.

Литература

1. Taylor G. Electrically driven jets//Proc. Roy. Soc. Lond. - 1969 - №3, pp. 453-475

2. Егерева Э.Н., Идиятов Р. А. Исследование частоты колебаний волны в слое жидкости на пористом основании // Инженерный вестник Дона. 2018. №2. ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2018/4871

3. Тактаров Н.Г., Миронова С.М. Моделирование поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, №4, C. 1163.

4. Тактаров Н.Г., Егерева Э.Н. Поверхностные гравитационные электрокапиллярные волны на слое жидкого проводника // Современные наукоемкие технологии № 5, 2004. С. 10-15.

5. Егерева Э.Н., Зотова Ю.С., Пьянзина А.Е. Исследование нелинейных волн на поверхности намагничивающейся жидкости бесконечной глубины //

Инженерный вестник Дона. 2018. №2.

ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4873

6. Kolmakov G.V., Brazhnikov M.YU. Nonstationary nonlinear phenomena on the charged surface of liquid hydrogen // JOURNAL OF LOW TEMPERATURE PHYSICS. 2006. №1-4. pp. 311-335.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред // Наука. - 1982.- 624 с.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика // Наука. - 1986.- 735 c.

9. Извекова Т. А. Математическое моделирование электрогидродинамических поверхностных волн: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Саранск, 1998. 17 с.

10. Тактаров Н.Г. Поверхностные гравитационные электрокапиллярные волны // Успехи современного естествознания. 2004. №6. С. 16-20.

11. Баринов В.А., Тактаров Н.Г. Математическое моделирование магнитогидродинамических поверхностных волн. // Издательство Мордовского университета - 1991 - С. 96

12. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: ГИМФД - 1959 -700 с.

13. Мелчер Дж. Электрогидродинамика // Магнитная гидродинамика -1974, №2 - С. 3-30

14. Алешков Ю.З. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. //Издательство Ленинградского университета - 1981 - 196 с.

15. Алешков Ю.З. О распространении нелинейных магнитогидродинамических поверхностных волн // Магнитная гидродинамика - 1989- №4 - С.79-86

References

1. Taylor G. Proc. Roy. Soc. Lond. 1969 №3 pp. 453-475

2. Egereva E'.N, Idiyatov R.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2018. №2 ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2018/4871

3. Taktarov N.G., Mironova S.M. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo, 2011, №4, P. 1163.

4. Taktarov N.G., Egereva E\N. Sovremenny'e naukoemkie texnologii № 5, 2004. pp. 10-15

5. Egereva E'.N, Zotova Yu.S., Pyanzina A.E. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2018. №2. ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4873

6. Kolmakov G.V., Brazhnikov M.YU. Journal of low temperature physics. 2006. №1-4. pp. 311-335.

7. Landau L.D., Lifshicz E.M. E' lektrodinamika sploshnyx sred [Continuum electrodynamics]. Nauka, 1982. 624 p.

8. Landau L.D., Lifshicz E.M. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Nauka, 1986. 735 p.

9. Izvekova T.A. Matematicheskoe modelirovanie e'lektrogidrodnnamicheskix poverxnostnyx voln [Mathematical modeling of electrohydrodynamic surface waves]: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk: 05.13.18. Saransk, 1998. 17 p.

10. Taktarov N.G. Uspexi sovremennogo estestvoznaniya. 2004. №6. pp. 16-20.

11. Barinov V.A., Taktarov N.G. Matematicheskoe modelirovanie magnitogidrodinamicheskix poverxnostnyx voln. Izdatelstvo Mordovskogo universiteta, 1991. p. 96

12. Levich V.G. Fiziko-ximicheskaya gidrodinamika [Physico-chemical hydrodynamics]. M.: GIMFD. 1959. 700 p.

13. Melcher Dzh. E'lektrogidrodinamika. Magnitnaya gidrodinamika. 1974. №2 - pp. 3-30

14. Aleshkov Yu.Z. Teoriya voln na poverxnosti tyazheloj zhidkosti [Theory of waves on the surface of a heavy liquid] Yu.Z.AleshkovIzdatelstvo Leningradskogo universiteta. 1981. 196 p.

15. Aleshkov Уи.7. О гавргоБ1гапеп11 пеНпе^у'х magnitogidrodinamicheskix poverxnostny,x volnMagnitnaya gidrodinamika. 1989. №4 рр.79-86