Развитие творческого потенциала школьников при изучении элементов фрактальных множеств

сского языков. Развитие компенсаторной компетентности в студентах - немаловажный аспект педагогической деятельности преподавателей вуза.

Таким образом, можно определить, что наряду с традиционными путями реализации содержания образования вообще и его национального компонента в частности - тематика текстов, лексико-грамматический материал, выявляются и перспективные пути - задания, посвященные исследованию родственных финно-угорских языков, топонимические исследования, изучение разнообразных жанров фольклора, интегративные задания (география, история, литература, музыка).

Современный учебник должен соответствовать требованиям времени и входить состав в учебно-методического комплекта по предмету, что хотя и ставит перед авторами учебника более широкий круг задач, одновременно открывает перед ними огромный спектр возможностей для

воспитания интеллектуальной, творческой и социально активной личности, осознающей вклад своего народа в мировую историю и культуру

Библиографический список

1. Калевала. Песнь пятая. - Петрозаводск: «Карелия», 1998. - С. 62.

2. Словарь вепсского языка / М.А. Зайцева, М.И. Муллонен. - Ленинград, 1972.

3. Словарь карельского языка (ливвиковский диалект) / Сост. Г.Н. Макаров. - Петрозаводск, 1990. - 495 с.

4. Новый большой финско-русский словарь / Ю.Э. Коппалева. - СПб., 2001. - 883 с.

5. Hramcova O. Suomen kansan sananlaskut. -KPY, 2005.

6. Mullonen I. Pienen kansan suuret järvet. -Carelia, Petroskoi: "Periodika", 1992.

7. Sananlaskut. - SKS, Vaasa, 1978.

В.С. Секованов, Д.П. Миронкин

РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ ФРАКТАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ

В данной статье рассматривается развитие креативности школьников при построении элементов фрактальных множеств среде LogoWriter и решения математических задач, связанных с фракталами.

Проблема творческого развития школьника является одной из самых не. отложных задач современного образования. Большую помощь в развитии творческой личности могут оказать современные информационные и коммуникационные технологии (ИКТ) при построении фракталов.

У современного школьника появляется возможность с помощью компьютера моделировать данные математические объекты, что значительно расширяет поле его деятельности, поскольку без ИКТ построить фрактал невозможно.

В качестве среды программирования для построения фракталов учителем может быть выбрана среда LogoWriter, созданная в 1967 году группой ученных во главе с профессором С. Пейпером. Ее изначально разработали для обучения школьников основам программирования и математики [3].

Среда Лого изучается в школе, начиная с начальных классов. Для многих учеников построение элементарных задач в этой среде не составляет труда [4].

Фрактальная геометрия начинает проникать в образовательный процесс школы через информатику путем построения фрактальных кривых на компьютере. Одним из доступных средств для этого может быть черепашья графика. Черепашка на экране монитора управляется простыми командами, составляющими словарь языка программирования Лого. Чтобы на Лого составить процедуру, рисующую фрактал, достаточно в рисунке, изображающем его, найти повторяющийся фрагмент и воспроизвести кривую с различными значениями масштаба.

В настоящее время тематика в научно-методической литературе, связанная с фрактальными множествами, интенсивно развивается. В частности, в статьях [1; 2] говорится об интеграции математики и информатики, в процессе построения школьниками фракталов.

Занятия с школьниками целесообразнее всего строить по следующей схеме:

1) описание построения и исследование математических свойств фракталов;

© В.С. Секованов, Д.П. Миронкин, 2008

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ Специальный выпуск, 2008

295

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

В.С. Секованов, Д.П. Миронкин

А

а)

б)

в)

г)

Рис. 1.

2) определение первого или двух первых шагов (поколений) в построении фрактальной кривой;

3) программирование и построение фрактальной кривой в среде Logo.

Рассмотрим как применима данная схема для различных фрактальных множеств.

Треугольник Серпинского

При создании рекурсивного рисунка, очень важно описать алгоритм его построения.

Это правильный треугольник, внутри каждого угла которого - такой же треугольник, но меньший исходного в два раза. Внутри каждого угла меньшего треугольника - такой же, но меньший (в два раза) треугольник и так далее (рис. 1а-1г). Для фрактала этот процесс должен продолжаться до бесконечности, но реально наши ресурсы и возможности ограничены и мы должны заранее решить, сколько шагов мы себе позволим, какой будет у нас глубина рекурсии.

Треугольник можно нарисовать, обходя его справа (используя команду поворот по часовой стрелке на 120° - RT 120) или обходя его слева (используя команду поворот против часовой стрелке на 120° - LT 120). То есть, в первом случае мы имеем «правые», а во втором - «левые» треугольники. Каким фигурам отдать предпочтение - неважно.

Исследуем математические свойства треугольника Серпинского.

Задача 1. Какова площадь выброшенных треугольников на первом и втором шагах (рис. 2)?

Решение. Площадь треугольника, выброшенного на первом шаге равна

1 2  лп 1 1 V3 S

S = —  a  sin60 =-----=-.

1 2 2 4 2 8

1 2

x

Рис. 2.

Площадь треугольника, выброшенного на втором шаге равна

5 2 = + 3* = ^ + 3 • (I • I • IД =

3

— + 3--

8 64

8 2 4 4 л/3 1Ь/3

64

Задача 2. Каков периметр выброшенных треугольников на первом и втором шагах (рис. 2)?

Решение. Периметр треугольника, выброшенного на первом шаге равен

р = з. I = 3.

1 2 2

Периметр треугольника, выброшенного на втором шаге равен

3 13 3 9

Р2 = Р + 3Р = - + 3 • (3 •-) =- + - = -.

21 2 4 2 4 4

Самостоятельно найдите площади и периметры выброшенных треугольников на третьем, четвертом шагах; на п-шаге.

Шаги построения фрактала:

1. Нарисовать наш исходный рекурсивный рисунок, но уменьшенный в два раза (:а/2) и с глубиной рекурсии на единицу меньше (:г-1) - первый фрагмент (рис. 3 а).

2. Переместить черепашку в соседнюю вершину и повернуть ее на 120 градусов.

3. Нарисовать второй фрагмент - повторить первый шаг (рис. 3б).

4. Переместиться в соседнюю вершину и повернуться на 120 градусов. Таким образом, по

0

1

КОНЕЦ

Рис. 4. a - сторона первоначального треугольника; r - шаг рекурсии

отношению к следующему (третьему) фрагменту мы опять заняли «исходную» позицию.

5. Нарисовать третий фрагмент, повторить первый и второй шаг (рис. 3в).

Интерпретация нашего алгоритма на Logo может выглядеть следующим образом:

To ser :a :r

if :r=0 [stop] Repeat 3 [ ser :a / 2 :r - 1 FD :a RT 120]

End

Если r = 0, то алгоритм заканчивает свою работу (2 элемент).

При r^0, организуем цикл с параметром (3 элемент), который выполняется 3 раза.

В теле цикла рекурсивно обращаемся к собственному алгоритму (4 элемент) и перемещаемся в соседнюю вершину(5 элемент).

Кривая и снежинка Коха

Построение фрактальных кривых начинается с простой геометрической фигуры: отрезка, треугольника, квадрата. Этот геометрический объект называется нулевым поколением фрактальной кривой.

Возьмём например единичный отрезок АВ.

Следующий шаг - поделим отрезок АВ точками C и D на три равные части (рис. 5а).

На отрезке CD, как на основании, построим правильный треугольник CDE, а потом удалим

это основание. Получим ломаную ACEDB, у которой все звенья равны (рис. 5б).

Каждое из звеньев АС, СЕ, ED, DB вновь поделим на три равные части и построим на средних отрезках правильные многоугольники. Затем удалим их основания (рис. 5в).

Продолжая этот процесс до бесконечности, получим кривую Коха.

д 0

а)

б)

в) Рис. 5.

7

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ Специальный выпуск, 2008

297

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

А.Г. Соколов

Рис. 6. a - длина первоначального отрезка; r - шаг рекурсии

Задача 3. Найти периметр кривой Коха на первом и втором шагах (рис. 5).

Решение. Периметр кривой, полученной на первом шаге (рис. 5б) равен

г. 1 1 1 1 „ 1 4

р =_ + _ + _ + _ = 4 •_ = _.

1 3 3 3 3 3 3 Периметр кривой, полученной на втором шаге (рис. 5в) равен

Л 1 1 1

1 16

P, = 4  (- + - + - + -) = 4  4  - = — 2 9 9 9 9 9 9

Найдите периметр кривой Коха на третьем,

четвертом шагах; на и-шаге.

Построение кривой Коха

Определим фрактал на нулевой стадии развития (инициатор) и правило перехода к более высокой стадии (генератор).

Инициатором кривой Коха является отрезок прямой линии (обозначим длину его через :a).

Генератор определяет правило перехода к более высокой стадии (правило вывода):

Fn

rt 60 Fn-1

Строке (1) соответствует Лого-процедура to kox :a :r

if :r=0 [fd :a stop] make "a :a / 3

kox :a :r - 1 RT 60 kox :a :r - 1 LT 120 kox :a :r - 1 RT 60 kox :a :r - 1 end

Если r = 0, то рисуем отрезок длиной а и заканчиваем алгоритм свою работу (3 элемент).

При r^0 рекурсивно обращаемся к собственному алгоритму, уменьшая первоначальную длину стороны в 3 раза (4 элемент), поворачиваем черепашку вправо на 60° (5 элемент), рекурсивно обращаемся к собственному алгоритму (6 элемент), поворачиваем черепашку влево на 120° (7 элемент), рекурсивно обращаемся к собственному алгоритму (8 элемент), поворачиваем черепашку вправо на 60° (9 элемент), рекурсивно обращаемся к собственному алгоритму (10 элемент).

Соединив ломаные кривой Коха в виде треугольника мы получим снежинку Коха: to cnkox :a :r repeat 3 [kox :a :r rt 120] end

Следует отметить, что исследование математических свойств и построение фракталов в среде Лого способствует развитию креативности учащихся.

Библиографический список

1. Секованов В.С. Геометрическая прогрессия и геометрия фракталов // Математика в шко-

3

Педагогический ресурс уроков истории и обществознания в воспитании менталитета старших подростков

ле. - 2006. - №>8. - С. 52.

2. Попов К.А. Векторы, фракталы, и компьютерное моделирование // Математика в школе. -2006. - №8. - С. 56.

3. Пейперт С. Переворот в сознании: Дети, компьютеры и плодотворные идеи: Пер. с англ. /

Под ред. А.В. Беляевой, В.В. Леонаса. - М.: Педагогика, 1989. - 224 с.

4. Юдина А.Г. Практикум по информатике в среде LogoWriter: пособие для учащихся образовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 1999. - 127 с.

А.Г. Соколов

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ РЕСУРС УРОКОВ ИСТОРИИ И ОБЩЕСТВОЗНАНИЯ В ВОСПИТАНИИ МЕНТАЛИТЕТА СТАРШИХ ПОДРОСТКОВ

В статье рассматривается потенциал уроков обществознания и истории в процессе воспитания менталитета старших подростков.

Духовное здоровье нации, положительные тенденции общественного разви-. тия во многом определяются менталитетом людей, их умонастроениями, национальным характером. В школе у учащихся закладываются основы менталитета как интегративной характеристики личности и целой нации, включающей в себя когнитивный, эмоционально-мотивационный и поведенческий компоненты. В данной статье мы рассмотрим педагогический потенциал двух гуманитарных предметов в воспитании менталитета подростков - истории и обществознания. Но прежде необходимо пояснить, почему для воспитания менталитета выбрана категория старшего подростка, и раскрыть понятие «гуманитаризация».

Подростковый возраст характеризуется неопределенностью, связанной с недалеким по времени выбором профессии, поиском подходящего вуза и факультета и т.д. Вследствие этого у него наблюдается эмоциональное напряжение и тревожность. В подростковом возрасте ребенок стремится попробовать свои силы в разных сферах деятельности, на основе которой у него формируется своя система поведения и мировоззрение, воспитывается менталитет. Если у молодого человека нет чувства удовлетворения от своих поступков, мыслей, желаний, ему очень сложно строить планы на будущее, у него наблюдается низкая самооценка в сочетании с осознанием у себя отрицательных черт характера. Задача воспитания в школе на этом этапе - научить ребенка действовать в разных жизненных ситуациях, думать о себе как о гражданине своей страны, повысить значимость собственных ценностей, общаться с людьми на уровне взрослых взаимоотношений. В силу отсутствия должного жизнен-

ного опыта подростки не всегда верно выбирают нужную для себя информацию, взятую из СМИ и окружения, вследствие чего у них формируются ложные стереотипы, поведенческие и моральные установки, а также идеалы. Не сформирована у подростков и гражданская позиция. Помочь подросткам к окончанию школы войти в нормальную взрослую жизнь с более или менее сформированной системой мировоззрения и менталитетом - задача образования и воспитания.

Сегодня российская образовательная система подвержена влиянию такого направления, как гуманитаризация. Эта тенденция в образовании не является новой: данное направление было провозглашено во времена перестройки и с тех пор о нем часто ведутся разговоры в педагогических кругах [8; 5; 3]. Однако потенциал гуманитарных предметов, как мы считаем, не реализуется в общеобразовательной школе в полную силу. Отметим, что гуманитаризация образования - система мер, направленных на приоритетное развитие общекультурных компонентов в содержании образования и, таким образом, на формирование личностной зрелости обучаемых.

Гуманитаризация образования преследует несколько целей:

- воспитание менталитета личности, стремление ее к познанию себя, окружающего мира и способность проявлять свой талант и способности в различных сферах жизни;

- знания о культуре, истории, литературе, обществе, человеческих отношениях, социальных принципах и нормах, общечеловеческих ценностях;

- преодоление привычных стереотипов, зачастую негативного характера в отношении различных наций.

© А.Г. Соколов, 2008

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ Специальный выпуск, 2008

299