Численные модели оценки коэффициента оперативной готовности и параметра потока восстановления многокомпонентного оборудования

Информатика, вычислительная техника и управление

изводства) // Цветные металлы. 2011. №7. С.36-38.

30. Ржечицкий Э.П., Кондратьев В.В. Регенерация фтористых соединений на алюминиевых заводах // Вестник ИрГТУ. 2011. № 2 (49). С. 158-163.

31. Кондратьев В.В., Ржечицкий Э.П. Пути решения проблемы отложений в аппаратах глиноземного производства // Вестник ИрГТУ. 2011. № 5 (52). С. 120-125.

32. Охлаждение анодных газов алюминиевых электролизеров в теплообменниках нагрева глинозема / С.Г. Шахрай и др. // Металлург. 2015. № 2. С. 29-32.

33.Повышение эффективности газоулавливания в рабочей зоне электролизеров с предварительно обожженными анодами с силой тока свыше 300 КА / С.Г. Шахрай и др. // Экология и промышленность России. 2012. № 7. С. 8-11.

34. Теория и практика прикладной гидроаэромеханики в обогащении полезных ископаемых и ме-

таллургии / К.Л. Ястребов и др. Иркутск : Изд-во ИрГТУ. 2015. 350 с.

35. Производство алюминия и сплавов на его основе: справочник металлурга / Б.И. Зельберг и др. Иркутск : Издательство ИрГТУ. 2015. 764 с.

36.Технико-экологические и правовые аспекты производства алюминия / И.А. Сысоев и др. СПб. : Изд-во МАНЭБ, 2011. 224 с.

37. Влияние коэффициентов фильтрации на достоверность прогноза изменения напряжения алюминиевого электролизера / В.Г. Камаганцев и др. // Вестник ИрГТУ. 2010. № 5 (45). С. 184-187.

38. Исследование энергетического состояния и разработка способа управления тепловым режимом электролизеров большой единичной мощности : дис. ... канд. техн. наук / И.А. Сысоев. Иркутск, 2007.

39. Способ определения концентрации глинозема в криолит-глиноземном расплаве : пат. 2467095 Рос. Федерации. № 2011118778/02 ; заявл. 10.05.11 ; опубл. 20.11.12, Бюл. 32. 10 с.

УДК 519.6:311 Краковский Юрий Мечеславович,

д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры ИС и ЗИ, Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: kum@stranzit.ru

Нго Зюи До,

аспирант кафедры информатики и математического моделирования, Иркутский государственный аграрный университет имени А. А. Ежевского, e-mail: irkndd@gmail.com

ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТА ОПЕРАТИВНОЙ ГОТОВНОСТИ И ПАРАМЕТРА ПОТОКА ВОССТАНОВЛЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Y. M. Krakovskiy, Ngo Duy Do

NUMERICAL MODEL FOR ASSESSMENT OFTHE COEFFICIENT OF OPERATIONAL READINESS ANDTHE RECOVERY FLOW PARAMETER OF MULTI-COMPONENT EQUIPMENT

Аннотация. Предложены численные модели оценки показателей надежности многокомпонентного оборудования, когда оно рассматривается как совокупность последовательно соединенных компонент. Отказ любой из компонент приводит к отказу оборудования в целом. Восстановление отказанной компоненты приводит к восстановлению оборудования. Исследован вариант, когда время восстановления учитывается. Это позволило представить итоговый процесс как альтернирующий. Для каждой компоненты оборудования известна функция распределения времени наработки и восстановления, а также значения их числовых характеристик. Созданная моделирующая программа позволяет создавать процесс восстановления многокомпонентного оборудования, а также выборки наработок, восстановления и цикла. Эти выборки в дальнейшем обрабатывается статистическими методами и предложенными численными моделями оценки показателей надежности. Показателями надежности являются: средняя наработка; коэффициент оперативной готовности; коэффициент готовности; параметр потока восстановления; функция восстановления. В качестве вероятностных моделей времени наработки и восстановления для компонент в имитационной модели выбраны нормальное, Вейбулла, гамма и другие распределения.

Ключевые слова: наработка оборудования, коэффициент оперативной готовности, коэффициент готовности, параметр потока восстановления, функция восстановления, компьютерное и имитационное моделирование.

Abstract: The article proposes model for evaluation of reliability indices of multicomponent equipment, when it is viewed as a set of serial communication component. For equipment, overall failure results from the failure of any of the components. The recovery of a failed components leads to the restoration of equipment. To explore options for when the recovery time is taken into account. It is allowed to present the final process as the alternating process. For each piece of equipment, the distribution function of the operating time and the recovery time, as well as the values of numerical characteristics are known. A simulation model makes it possible to create a conventional recovery process of multi-component equipment, as well as sample of operating time, recovery time and cycle time. The samples are further processed by the statistical methods and the proposed model for estimation of reliability indices. The Reliability indices are: mean time; coefficient of operational readiness; the recovery flow parameter; the recovering function. As the probability

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

models operating time and recovery time for the components in the simulation model, the distributions: normal, Weibull, gamma, and other distributions are chosen.

Keywords: operating time of the equipment, coefficient of operational readiness, readiness coefficient, the recovery flow parameter, the recovering function, computer simulation and modeling.

Введение

В теории надежности оборудование рассматривается как единый объект, который описывается некоторой функцией распределения времени наработки между отказами. В этом направлении проведены значительные исследования, описанные в литературе [1, 2]. Значительный интерес представляют исследования при ограниченном объеме информации, основанные на применении численного вероятностного анализа [3, 4].

Нами исследуется многокомпонентное оборудование, содержащее совокупность последовательно соединенных с точки зрения его надежности компонент: механической, электрической и т.д.

В работах [5, 6, 7] приведены результаты расчетов основных и дополнительных показателей надежности многокомпонентного оборудования, полученных с использованием компьютерного моделирования. В работах [6, 7] предполагается, что время восстановления оборудования по сравнению со временем наработки между отказами мало и им можно пренебречь. При этом рассмотрено две технологии: а) восстанавливается только отказавший компонент; б) восстанавливается отказавший компонент и проводится профилактика остальных компонентов (после восстановления оборудование с точки зрения его надежности возвращается в исходное состояние).

В данной работе предложены численные модели расчета показателей надежности многокомпонентного оборудования, когда время восстановления учитывается. При этом предполагается, что после отказа какого-то компонента восстанавливается не только он, но и проводится профилактика других компонентов.

Математическое описание задачи

В исследуемом варианте технического обслуживания оборудования учитывается время восстановление компонентов. Поэтому вместо обычного процесса восстановления используется альтернирующий процесс [1, 2]:

где Т - случайные величины, описывающие время наработки многокомпонентного оборудования в q-м цикле; У - случайные величины, описывающие время восстановления многокомпонентного оборудования в q-ом цикле. Предполагается, что величины Т имеют одинаковую плотность распределения вероятностей /(?) и математическое

ожидание ?н . Величины У так же имеют одинаковую плотность распределения вероятностей g(I) и математическое ожидание Тв. Математическое ожидание для цикла

I = I + I .

с н в V /

Плотность распределения вероятностей для цикла [5]

fc (t) = J f (x)g(t - x)dx .

Функция восстановления [4, 5]

Wc (t) = M [N(t)]; lim W(tL = 1 , (4) t tc

где M [ N (t)] — математическое ожидание случайного числа восстановлений произошедших за время от 0 до t.

Параметр потока восстановления [4, 5]:

w

(t) = fc (t) + Jwc (z)fc (t - z)dz,

lim wc (t) = -1.

t

В общем случае интегральное уравнение восстановления (5) решается аналитически, численно или с использованием преобразования Лапласа. Для всех этих методов необходимо знать плотность распределения вероятностей для цикла.

Коэффициент оперативной готовности

J P(t )dt

t„

где Р(1) - вероятность безотказной работы для многокомпонентного оборудования [5, 7].

Коэффициент оперативной готовности - это вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.

При т = 0 коэффициент оперативной готовности (6) называется коэффициентом готовности и вычисляется по формуле

t

Qo =f- .

0

0

т

c

Информатика, вычислительная техника и управление

Коэффициент готовности (7) является важнейшем показателем надежности для восстанавливаемого оборудования, так как он оценивает вероятность того, что оборудование находится в работоспособном состоянии.

Вычислительный алгоритм численной оценки коэффициента оперативной готовности и коэффициента готовности Зная значения математических ожиданий и коэффициентов вариации наработок и времени восстановления компонентов, методом моментов находятся значения параметров с учетом вида распределений [2, 8]. Алгоритмы моделирования значений случайных величин для этих распределений имеются в работах [2, 8]. Далее для каждого компонента моделируются альтернирующие процессы восстановления, а затем определяется процесс (1). В результате моделирования для оборудования получаются три вида выборочных значений: наработки, восстановления и цикла.

Воспользуемся подходом, описанным в работе [6]. Разобьем наблюдаемый интервал (0, Ь) узлами на J подинтервалов длиной:

АI = -; I = ] -А I, ] = 1, 7, = 0; = Ь.

7 ]

ведем следующие обозначения: ц - число выборочных значений, попавших в подинтервал

!, tj ) (частоты), I П] = п, п - объем выборки;

]=1

т] =

I Пг

1=1

Рг а) =

0, t > Ь

7

] + ^ - )(к] - ]) р 0 < t < Ь 1, t < 0

где tJ-1 < t < tj, ] = 1,7 .

Численная средняя наработка с учетом

t =

г

- Ь 7

|Р а= -(0,5 + Х к]).

0 7 ]=1

С учетом (6) и (11), численная модель для коэффициента оперативной готовности при

Т= ti

( _! имеет вид

Яг (t/-l) =

1=]

где tгc - численный средний цикл, который определяется по формуле

Ь

= 7 +1 кс]).

и ]=1

Здесь к - величины (9), полученные по

выборке циклов.

Численная модель для коэффициента готовности по данным компьютерного моделирования

00г = Яг

где 1г - численная средняя наработка (12), определяемая по выборке наработок; !гс - численный средний цикл (14).

Дополнительно в работе определяются точечная () и интервальная Я 2) оценки для коэффициента готовности по данным выборок. Точечная оценка:

- накопленные относительные часто-

а = ~,

ты, т7 = 1.

к] = 1 -т]; ] = 1,...,7, к = 1.

В математической статистике при обработке экспериментальных данных используется ступенчатая аппроксимация для функции распределения.

В этом случае статистическая вероятность безотказной работы:

р (0 = к], ] < t < 0, ] = V;

Рс (0) = к0 = 1; Рс (t) = 0, ^ < t < ^.

Заменим ступенчатую аппроксимацию линейной, которая широко используется в численных методах.

В этом случае численную вероятность безотказной работы получим как совокупность отрезков прямых, соединяющих точки (^, к ) [7]

где ^, ^ - точечные оценки для математических ожиданий наработки и цикла.

Интервальная оценка (доверительный интервал) [9]:

а=а +5; а=а-5,

где

5 = гу -5;

5 =

tнд 2С~0 ^нд

д=1

д=1

^ + ащ 11

сд -5--0 ^^ <

д=1

п -1

7t

сд

ч д=1 у

Здесь - квантиль нормированного нормального распределения, соответствующий доверительной вероятности у ; 5 - оценка среднеквад-ратического отклонения коэффициента готовности оборудования; ^ , ^ - выборочные значения для

выборок наработки и цикла.

п

2

п

Для проверки достоверности результатов компьютерного моделирования величина (15) должна попасть в доверительный интервал (1 7) с учетом (18).

Вычислительный алгоритм численной оценки параметра потока восстановления Введем следующие обозначения: / - номер реализаций при моделировании, 1 = 1, Ь, где Ь - число реализаций;

Ьс - максимальное значение времени цикла; j - номер интервала;

Л - число интервалов на отрезке (0, Ьс); ьс

А1С = —— длина интервала;

> '« ^ У

где хг1 - время цикла оборудования для 1-й реализации.

Если

*с, 1 -1 ^Ы < 1

, то пС = пС +1, 1 = 1, Ь . (24) Пусть т! (Iс т ) - число восстановлений за время 3 т для 1-й реализации. Это число равно:

т

(и) = 1п;,!=1Ь.

1=1

, 1 = 1 -А1 с - значение j-го узла, 1 = 1,у , где 3 т - число интервалов при моделировании, ^ > 3 с ;

т1 (?с, 1) - число восстановлений оборудования для 1-й реализации за время ?с,^ , тг (0) = 0.

Тогда объем выборки времени цикла, который создается при компьютерном моделировании

Ь Ь ут

п с = X т

1=1 1=1 1=1

Апробация вычислительных алгоритмов численной оценки показателей надежности

В табл. 1 приведены исходные данные для

при моделировании по всем реализациям

Тогда число восстановлений оборудования компьютерного моделирования выборки (1): М, Г,

Э, Р, У - компоненты (механическая, гидравлическая, электрическая, приводы, управление); Ы, ЬЫ,

Ж, Б5, G - виды функций распределения для наработки

Мс (^ ) =Х т1 (^ ), 1 = 1, У ,

а оценка функции восстановления (4) с учетом ✓ г> »¿г Г ^

^^ ^ у ' (нормальное, логнормальное, Вейбулла, Бирнбау-

~ М

Ж (I ) = М (I ) = сКс1

гс V с,] ' с V с,] '

1 Ь _

= -£ X т, (1с, 1 ), 1 = 1, У.

ма-Саундерса, гамма); - математическое ожидание наработки для ¿-го компонента; 1в, - математическое ожидание времени восстановления для ¿-го компонента; к^г- - коэффициент вариации

Так как параметр потока восстановления (5) наработки для ¿-го компонента; кв - коэффициент является производной от функции (4), то числен- вариации времени восстановления для ¿-го компонента; Qi - коэффициент готовности для ¿-го компонента; г = 1,1.

ная его оценка:

^'гс

3

_с

Подставляя в (21) оценку (20), получим:

(

w (I ) =

гс V с, / У

£ п

ХЬ

1=1 Ь

Л

У 1=У

7 'с/ ' т

Ь

где Щ = т (!с у ) - т (^-1) - частота восстановления для ^го интервала (I ._¿с .) и /-й реализа-

ции.

При увеличении 1 (I .) </с,,) ~ ~, где

~ - оценка среднего цикла оборудования.

Для вычисления частот п с необходимо моделировать процесс

Т а б л и ц а 1

сходные данные при числе компонентов I = ^ 5

Компоненты M Г Э Р У

вд N LN W W BS

I» гн, мес. 9,0 12,0 10,0 14,0 17,0

К г 0,25 0,45 0,45 0,50 0,60

G¿(t) G G G G G

,мес. 1,11 1,33 0,99 1,91 2,10

кв г 0,30 0,45 0,5 0,4 0,60

Q¿ 0,89 0,90 0,91 0,88 0,89

В табл. 2 приведены оценки исходных данных, полученные в результате компьютерного моделирования, общее число отказов (п) равно

1=1

,=1

с

Информатика, вычислительная техника и управление

20000. Качество моделирования исходных данных хорошее.

В результате проведенного моделирования, получены следующие значения точечных оценок для многокомпонентного оборудования.

Т а б л и ц а 2 Оценки исходных данных

Компоненты M Г Э P У

7 •н, мес. 9,0 12,10 10,08 13,97 17,05

7 ,в, мес. 1,110 1,336 0,991 1,911 2,087

а 0,890 0,900 0,910 0,880 0,891

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Рис. 1. Численный коэффициент оперативной готовности

На рис. 1 приведен график численного коэффициента оперативной готовности (13):

Ьс = 20,00; = 40; Ь7с = 0,5. Например: с учетом (15) (0) = 0,703 ; при t = 6, ] = 12

О.(7п) = 0,264 .

На рис. 2 представлена гистограмма цикла частот для 5-и компонентного оборудования, единица измерения времени - месяц (мес.).

a) математического ожидания и коэффициента вариации наработки: tн = 6,288 (мес.), к" = 0,353 ;

b) математического ожидания и коэффициент вариации времени восстановления: ^ = 2,660 (мес.), кв = 0,382 ;

^ математического ожидания и коэффициента вариации цикла: 7с = 8,948 (мес.), ку = 0,272 ;

d) коэффициента готовности оборудования

(16):

О = 0,703 .

Используя (17, 18), получим доверительный интервал для коэффициента готовности при ^ = 0,95 (= 1,96).

(01; 02) = (0,701; 0,705) .

По алгоритму (12), (14) найдем:

a) численную среднюю наработку:

7г = 6,289 (мес.),

b) численный средний цикл:

!гс = 8,951 (мес.).

По алгоритму (15) с учетом (28, 29), получим 00г = 0,703 . Данное значение попало в доверительный интервал (27).

Рис. 2. Гистограмма времени для цикла оборудования

Имея значения частот времени цикла, можно найти вероятность безотказной работы (Ргс ^)) типа (11), когда вместо значений к]- стоят значения кс,^.

Решая уравнение

Р.с ^) = г, г ^ Л(0,1) , получим алгоритм моделирования времени цикла

г- кс^ А, 0 < t < Ь,

tc = ^-1 +

кс,] кс,]-\ ^

]=1, ^ с

где кс,} < г < кс

Пусть

Ь = 20,00; = 40; Ь = 50000; = 80.

Используя алгоритм (30) и вычислительный алгоритм численной оценки параметра потока восстановления, найдем оценку функции восстановления (20) (рис. 3, линия 1) и оценку параметра потока восстановления (22) (рис. 4, линия 1). Алгоритм (30) моделирует значения хп в формуле (23). Объем выборки (26) ис = 241204 .

На рисунке 3 пунктирная прямая имеет уравнение t = 0,112 • t. На рисунке 4 ордината пунктирной линии равна 1/ 7с = 0,112.

По виду гистограммы (рис. 2), была выдвинута гипотеза о том, что генеральная совокупность, из которой получена выборка цикла, имеет нормальное распределение с функцией

1

Р а) = -

| ехр( -(х - tc )2/2аг^)йх

ад

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

0

0

5

10

25

30

35

15 20 ^ мес.

Рис. 3. Значения оценки функции восстановления

02 г

0

0

5

10

25

30

35

15 20 ^ мес.

Рис. 4. Значения численного и теоретического параметра потока восстановления

Оценки параметров

~ = 8,948 (мес.);<т = 2,473 (мес.) .

При этих значениях параметров и числе интервалов 40 расчетное значение критерия хи-квадрат равно 35,04. Это значение меньше критического при уровне значимости 0,05, равного 52,2. Это позволило принять гипотезу о нормальном законе.

Алгоритм моделирования времени цикла для нормального закона

К = ~ + ~ •

где г - значение нормированной нормально распределенной случайной величины. Алгоритм (31) моделирует значения хг1 в формуле (23).

Используя алгоритм (31) и вычислительный алгоритм численной оценки параметра потока восстановления, найдем оценку функции восстановления (20) (рис. 3, линия 2) и оценку параметра потока восстановления (22) (рис. 4, линия 2).

Сравнение кривых (1 и 2) на рисунках 3 и 4 позволяет сделать вывод о хорошей точности вычислительных алгоритмов оценки функции восстановления и параметра потока восстановления по результатам компьютерного моделирования.

Подчеркнем, что первый подход основной, т.к. он не требует подбора функции распределения для времени цикла.

Выводы

1. Предложен и апробирован вычислительный алгоритм численной оценки коэффициента оперативной готовности многокомпонентного оборудования по результатам компьютерного моделирования.

2. Предложен и апробирован вычислительный алгоритм численной оценки параметра потока восстановления и функции восстановления многокомпонентного оборудования, когда каждый компонент описывается альтернирующим процессом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математической подход. М : Радио и связь. 1988. 392 с.

2. Краковский Ю. М. Математические и программные средства оценки технического состояния оборудования. Новосибирск : Наука. 2006. 228 с.

3. Добронец, Б. С. Численный вероятностный анализ неопределенных данных: монография / Б. С. Добронец, О. А. Попова. Красноярск : Сиб. федер. ун-т. 2014. 167 с.

4. Попова О. А. Информационная поддержка оценки показателей надёжности для оборудования ответственного назначения // Информатизация и связь. 2015. № 3. С. 41-46.

5. Краковский Ю. М., Нго Зюи До. Имитационная модель многокомпонентного оборудования для определения закона распределения его наработки // Вестник ИрГТУ. 2015. № 7. С. 26-30.

6. Краковский Ю. М., Нго Зюи До. Вычислительный алгоритм оценки параметра потока отказов многокомпонентного оборудования // Вестник ИрГТУ. 2015. № 10. С. 16-20.

7. Краковский Ю. М., Нго Зюи До, Захарова О.А. Численные модели оценки показателей надежности многокомпонентного оборудования по результатам компьютерного моделирования // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2015. № 4 (48). С. 66-70.

8. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Спб. : Изд-во Питер. 2004. 847 с.

9. Кохрен У. Методы выборочного исследования: пер. с англ. М. : Статистика. 1976. 440 с.

5

4

3

2

0.15

0.1

0.05