К вопросу о моделях дегра дации многокомпонентных систем различной физической природы

УДК 681.5+519.87

Г.А. Пюкке

К ВОПРОСУ О МОДЕЛЯХ ДЕГРАДАЦИИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ РАЗЛИЧНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ

Рассмотрены модели, описывающие деградацию системы произвольной физической природы, под воздействием старения составляющих ее компонент, с различной вероятностью безотказной работы. Предложенный метод предполагает построение матрицы системы на основе логического анализа процесса эволюции системы, при рассмотрении графа процесса деградации. Составлены таблицы вероятностей безотказной работы для различных периодов времени эксплуатации, на основе которых построены временные диаграммы процесса старения. Модель деградации оценивает поведение системы с течением времени и дает возможность прогнозировать техническое состояние системы в разные интервалы времени эксплуатации, то есть определять количество компонент, имеющих различную вероятность работоспособности в различных интервалах времени эксплуатации.

Построена модель деградации-восстановления системы. Построенные модели эволюции оценивают поведение системы с течением времени и дают возможность прогнозировать состояние системы в разные интервалы времени эксплуатации. Это позволяет определять количество компонент, имеющих различную вероятность работоспособности в различные интервалы времени эксплуатации, что открывает новые возможности, расширяющие круг инженерных задач по поддержанию работоспособного состояния систем и предотвращению аварийных ситуаций при их эксплуатации.

Ключевые слова: матрица, модель деградации, эволюция системы, составляющая компонента, модель деградации-восстановления, граф процесса, временные диаграммы.

G.A. Pyukke

ABOUT DEGRADATION MODELS OF MULTICOMPONENT SYSTEMS OF VARIOUS PHYSICAL NATURE

Models describing degradation of the arbitrary system of physical nature, under the influence of constituent ageing of its components, with various probability of non-failure operation are considered. The proposed method assumes construction of a system matrix on the basis of the logic analysis of system evolution, by consideration the column of degradation process. Tables of probabilities of non-failure operation for the various periods of operation time are made. On the basis of these tables the time diagrams of ageing process are constructed. The degradation model estimates the system behavior eventually and enables to predict a technical condition of the system in different intervals of operation time that is to determine the amount of components, having various probability of serviceability in various intervals of operation time.

The model of degradation-restoration of the system is constructed. The constructed models of evolution estimate the system behavior eventually and enable to predict the system condition in different intervals of operation time. It enables to determine the amount of components, having various probability of serviceability in various intervals of operation time that opens new opportunities, expanding a circle of engineering tasks on maintenance of an efficient condition of systems and prevention of emergencies at their operation.

Key words: Matrix, degradation model, system evolution, constituent of a component, model of degradation-restoration, columns of process, time diagrams.

DOI: 10.17217/2079-0333-2018-44-21-29

Введение

Важнейшей задачей, решаемой при эксплуатации многокомпонентных объектов различной физической природы, является задача оценки надежности рассматриваемой системы в различных интервалах времени эксплуатации. В качестве показателя надежности рассматривается вероятность безотказной работы, то есть вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации отказа не возникает [1].

На основе логического анализа эксплуатируемой системы можно построить модель ее деградации, а также модель деградации-восстановления при проведении профилактических работ. Для построения модели необходимо задать интервалы вероятностей безотказной работы, разделив все компоненты по группам с различной вероятностью безотказной работы. Такой подход дает возможность обнаружить дрейф параметров составляющих элементов объекта исследования после длительной его эксплуатации без нарушения его целостности.

Методика оценки базируется на задании начального вектора количества компонент с различной вероятностью безотказной работы Х(0) по группам с последующим определением количества работоспособных компонент в этих группах через Т1, Т2, Т3,.. единиц времени. Задается величина интенсивности отказов компонент и устанавливается закон развития процесса деградации во времени [1, 2].

В основе моделирования процесса деградации системы лежит итерационный процесс воздействия матрицы деградации системы на начальный и промежуточные векторы количества работоспособных компонент с различной вероятностью безотказной работы [3]. Динамику процесса деградации системы изображают графом, на основе которого составляется матрица деградации системы. Если объект диагностирования является восстанавливаемым объектом, то часть компонент может быть восстановлена вследствие профилактических работ, и вероятность их безотказной работы будет увеличена. Это дает возможность построить модель деградации-восстановления [4, 5].

Модели эволюции оценивают поведение системы с течением времени и дают возможность прогнозировать техническое состояние системы в разные интервалы времени эксплуатации, то есть определять количество компонент, имеющих различную вероятность работоспособности в различные интервалы времени эксплуатации, что открывает новые возможности, расширяющие круг инженерных задач по поддержанию работоспособного состояния систем и предотвращению аварийных ситуаций при их эксплуатации.

Модель деградации систем

Если система любой физической природы содержит определенное количество составляющих компонент с различной вероятностью безотказной работы и все компоненты в начальный момент времени эксплуатации работоспособны, то для количественной оценки надежности рассматриваемой системы в интервалах времени можно построить модель деградации системы. Для построения модели деградации системы необходимо задать интервалы вероятностей безотказной работы, разделив все компоненты по группам с различной вероятностью безотказной работы.

Если задать начальный вектор количества компонент с различной вероятностью безотказной работы Х(0) и расположить группы по убывающей вероятности безотказной работы, то можно поставить задачу разработки методики определения количества работоспособных компонент в этих подгруппах через Т1, Т2, Т3,.. единиц времени. Тогда количество работоспособных компонент в произвольный момент времени можно определить по координатам начального вектора Х(0), по величине интенсивности отказов компонент и закону развития процесса деградации во времени. Реализовать процесс деградации системы во времени, состоящей из N компонент, можно с помощью итерационного процесса воздействия матрицы деградации системы на начальный и промежуточные векторы количества работоспособных компонент с различной вероятностью безотказной работы.

Пусть Х(У) = (х! (У), х2 (У), х3 (У), х4 (0)г - количество работоспособных компонент в группах в момент времени У; Х(0) = (х! (0), х2 (0), х3 (0), х4 (0))т - количество работоспособных компонент в этих группах в начальный момент времени; группы расположим по убывающей вероятности безотказной работы Р1 > Р2 > Р3 > Р4 с интервалами:

[N1], (N2], (N3], ... ,(Щ — Р- Р2], (Р2- Рз], (Рз- Р4], (< Р4).

Интенсивность отказов можно задать, построив матрицу деградации системы. Построить матрицу деградации системы можно, выполнив логический анализ процесса деградации системы. Пусть за Т1 единиц времени часть компонент первой группы вследствие необратимых физико-химических процессов в их структурах изменят свои вероятности безотказной работы и перейдут во вторую группу с компонентами, имеющими другую, более низкую вероятность

безотказной работы. Часть компонент откажут внезапно и будут выведены из рассмотрения процесса деградации системы. Пусть, например, за 25 единиц времени во вторую группу перейдет 95% компонент из 1-й группы. Этот факт можно выразить следующим соотношением:

х2Ц + 25) = 0,95 х^).

По аналогии можно записать соотношения, интерпретирующие воздействия второй группы на третью, с коэффициентом равным, например, 0,85:

хэ(г + 25) = 0,85 х2(0.

Коэффициенты воздействия третьей и четвертой групп на четвертую группу, соответственно, равные 0,75 и 0,5:

х4(? + 20) = 0,75 хэ(0 + 0,5 х4(0.

Динамику процесса деградации системы можно изобразить графом (рис. 1). Вершины графа будут соответствовать различным группам вероятности безотказной работы. Дуги графа будут соответствовать различным переходам компонент из группы в группу.

Рис. 1. Граф процесса деградации системы

На основе полученных соотношений составляется матрица деградации системы. Матрицу будем составлять по следующему правилу: коэффициентам матрицы будут присваиваться численные значения коэффициентов воздействия. Номер строки коэффициента матрицы будет определяться номером группы, на которую воздействуют, а номер столбца будет определяться номером воздействующей группы. Так, например, коэффициент воздействия первой группы на вторую, равный 0,95, запишется во вторую строку и первый столбец. А коэффициент воздействия второй группы на третью, равный 0,85, запишется в третью строку и второй столбец и т. д. На основе сформулированного правила составляется матрица деградации системы для заданных условий.

Текущие векторы работоспособных компонент в группах за первый интервал времени будет определяться произведением A • Х(\).

А =

0 0 0 0 1

0,95 0 0 0

0 0,85 0 0

0 0 0,75 0,5у

Предположим, что исследуемая система содержит 185 • 10 составляющих компонент, при этом 100 • 102 компонент имеют наивысшую вероятность безотказной работы, принимающую значения из интервала р - Р2]; 50 • 102 компонент имеют вероятность безотказной работы, принимающую значения из интервала (Р2 - Рэ]; 25 • 102 компонент имеют вероятность безотказной работы, принимающую значения из интервала (Рэ - Р4]; 10 • 102 компонент имеют вероятность безотказной работы, принимающую значения из интервала (< Р4). Тогда количество работоспособных компонент в этих группах в начальный момент времени запишем вектором исходных состояний:

X (0) = (х,(0), х2(0), хэ(0), х4(0))г =

Г1001

50 25

V 10 у

•102

За время Т = 25 единиц времени количество работоспособных компонент в группах с различными вероятностями безотказной работы составит

+ 25) = А • ДО:

X (I + 25) =

0 0 0 0 ' '100' ( 0 '

0,95 0 0 0 50 •102 = 95

0 0,85 0 0 25 42,5

0 0 0,75 0,5у V10 V V23,75

102.

За время Т2 = 50 единиц времени количество работоспособных компонент в группах с различными вероятностями безотказной работы составит

Х^ + 50) = АХ(Г + 25) = ААХ(У) = А2Х(0:

X ^ + 50) =

0 0

0, 95 0

0 0,85

0 0

0 0 0

0 ' ( 0 ' 95 42,5 23,75

0 0

• 102 =

(0' 0

80,75 43, 75

• 102.

За время Т3 = 75 единиц времени количество работоспособных компонент в группах с различными вероятностями безотказной работы составит:

Х^ + 75) = АХ(Г + 50) = АА2Х(0 = А3Х(У):

X Ц + 75) =

(0 0 0 0

0,95 0 0 0

0 0,85 0 0

ч 0 0 0,75 0,5

0

80,75 43,75

•102 =

( 0 ' 0 0

82,43

• 102

и т. д. В итоге получаем:

Х^ + 25«) = А" Х(0,

где п = 0, 1, 2, 3, ...

Выполняя аналогичные вычисления, можно составить табл. 1 векторов работоспособных компонент в группах с различными вероятностями безотказной работы для различных периодов времени эксплуатации.

Таблица 1

Динамики отказов компонент

ч

п X! • 102 х2 • 102 х3 • 102 х4 • 102 Е

0 100 50 25 10 185 • 102

1 0 95 42,5 23,75 161,2 • 102

2 0 0 80,75 43,75 124,5 • 102

3 0 0 0 82,43 133 • 102

4 0 0 0 41,21 41,21 • 102

5 0 0 0 20,6 20,6 • 102

6 0 0 0 10,3 10,3 • 102

7 0 0 0 5,15 5,15 • 102

8 0 0 0 2,57 2,57 • 102

9 0 0 0 1,28 1,28 • 102

10 0 0 0 0,64 0,64 • 102

Зададим численные значения границ для групп вероятностей безотказной работы всей совокупности составляющих компонент:

[Л - Р2], (Р2 - Рз], (Рз - Р4], (< Р4) = [1 - 0,95], (0,95 - 0,85], (0,85 - 0,75], (<0,75).

Согласно принятому алгоритму, те компоненты, которые за 25 единиц времени не отказали, но их вероятность безотказной работы уменьшилась до величины нижней границы вероятности безотказной работы, перейдут в следующую группу. В следующий интервал времени наступит следующая итерация процесса, и т. д. (рис. 2).

Анализ содержания табл. 1 показывает, что при заданных интенсивностях отказов общее количество работоспособных компонент убывает со временем. Количество работоспособных компонент четвертой группы с меньшими вероятностями безотказной работы убывают медленнее, чем в других группах.

Результаты моделирования можно изобразить графически и по данным табл. 1 построить временные диаграммы процесса деградации системы (рис. 2). Суммарное количество работоспособных компонент, согласно данным таблицы, убывает со временем, что соответствует реальным условиям эксплуатации систем различной физической природы.

Х(/) х10

11

12 3456789 10

0

Рис. 2. Временные диаграммы процесса деградации системы

Модель деградации оценивает поведение системы с течением времени и дает возможность прогнозировать техническое состояние системы в разные интервалы времени эксплуатации, то есть определять количество компонент, имеющих различную вероятность работоспособности в различные интервалы времени эксплуатации. Сечение графика процесса вертикальной линией, построенной в одной из точек дискретного времени, позволяет получить вектор количества работоспособных компонент в данный момент времени.

Модель деградации-восстановления систем

Если объект диагностирования рассматривать как восстанавливаемый объект, то за этот же период часть компонент может быть восстановлена вследствие профилактических работ, и их вероятности безотказной работы будут увеличены, что спустя 25 единиц времени возвратит их в первую группу. Предположим, например, что возврат компонент первой группы в первую же группу составляет 0,02 от численности первой группы. Возврат компонент второй группы в первую группу составит 0,1 от ее численности второй группы. Возврат компонент третьей группы в первую группу составит 0,2 от численности третьей группы. Возврат компонент четвертой группы в первую группу составит 0,08 от численности четвертой группы. Тогда коэффициент воздействия первой, второй, третьей и четвертой групп на первую группу спустя 25 единиц времени составит

х^ + 25) = 0,02 Х1(0 + 0,1 *2(0 + 0,2 хз(0 + 0,08 х4(0.

По аналогии можно записать: коэффициент воздействия второй группы на третью равный 0,85:

+ 25) = 0,85 х2(0.

Коэффициент воздействия третьей и четвертой групп на четвертую группу, соответственно равны 0,75 и 0,5:

х4(У + 20) = 0,75 х3(0 + 0,5 х4(0.

Динамику процесса деградации-восстановления системы можно изобразить графом (рис. 3). Вершины графа будут соответствовать различным группам вероятности безотказной работы. Дуги графа будут соответствовать различным переходам компонент из группы в группу.

Рис. 3. Граф процесса деградации-восстановления

На основе полученных соотношений составляется матрица эволюции системы. Матрицу будем составлять по следующему правилу: коэффициентам матрицы будут присваиваться численные значения коэффициентов воздействия. Номер строки коэффициента матрицы будет определяться номером группы, на которую воздействуют, а номер столбца будет определяться номером воздействующей группы. Так, например, коэффициент воздействия первой группы на вторую, равный 0,95, запишется во вторую строку и первый столбец. А коэффициент воздействия первой группы на первую, равный 0,02, запишется в первую строку и первый столбец и т. д. На основе сформулированного правила составим матрицу эволюции системы для заданных условий:

А =

(0,02 0,1 0,2 0,08'

0,95 0 0 0

0 0,85 0 0

ч 0 0 0,75 0,5 у

Предположим, что исследуемая система содержит 185 • 102 составляющих компонент, при этом 100 • 102 компонент имеют наивысшую вероятность безотказной работы, принимающую значения из интервала Р - Р2]; 50 • 102 компонент имеют вероятность безотказной работы, принимающую значения из интервала (Р2 - Р3], 25 • 102 компонент имеют вероятность безотказной работы, принимающую значения из интервала (Р3 - Р4], 10 • 102 компонент имеют вероятность безотказной работы, принимающую значения из интервала (< Р4). Тогда количество работоспособных компонент в этих группах в начальный момент времени запишем вектором исходных состояний:

Х(0 = (х1 (0, Х2 (0, Х3 (0, х4 (0)Т =

(100' 50 25

ч 10 /

• 102

За время Т = 25 единиц времени количество работоспособных компонент в группах с различными вероятностями безотказной работы составит:

Х^ + 25) = AX(f).

Х ^ + 25) =

' 0,02 0,1 0,2 0,08" '100" ' 12,8 "

0,95 0 0 0 50 95

•102 =

0 0,85 0 0 25 42,5

V 0 0 0,75 0,5 у V10 V V23,75

• 102.

За время Т2 = 50 единиц времени количество работоспособных компонент в группах с различными вероятностями безотказной работы составит:

Х^ + 50) = ЛХ^ + 25) = ЛЛХ(0 = Л2Х(0.

Х ^ + 50) =

' 0,02 0,1 0,2 0,08" ' 12,8 " '20,156"

0,95 0 0 0 95 12,16

•102 =

0 0,85 0 0 42,5 80,75

V 0 0 0,75 0,5 у V23,75У V 43,75 V

• 102.

За время Т3 = 75 единиц времени количество работоспособных компонент в группах с различными вероятностями безотказной работы составит:

Х ^ + 5) =

Х^ + 75) = ЛХ^ + 50) ЛЛ2X(f) = Л3Х(0.

' 0,02 0,1 0,2 0,08" '20,156" ' 21,2691"

0,95 0 0 0 12,16 19,1482

•102 =

0 0,85 0 0 80,75 10,336

V 0 0 0,75 0,5 , V 43,75 V ч82,4375у

• 102.

и т. д. В итоге получаем:

X^ +25п) = Л" X(f),

где п = 0, 1, 2, 3, ...

Выполняя аналогичные вычисления, можно составить табл. 2 векторов работоспособных компонент в группах с различными вероятностями безотказной работы для различных периодов времени эксплуатации.

Таблица 2

Векторы работоспособных компонент

п X! • 102 х2 • 102 х3 • 102 х4 • 102 Е

0 100 50 25 10 185 • 102

1 12,8 95 42,5 23,75 174 • 102

2 20,15 12,16 80,75 43,75 156 • 102

3 21,26 19,14 10,33 82,43 133 • 102

4 11,00 20,20 16,27 48,97 96,4 • 102

5 9,41 10,45 17,17 36,69 73,7 • 102

6 7,60 8,94 8,88 31,22 56,6 • 102

7 5,32 7,22 7,60 22,27 42,4 • 102

8 4,13 5,05 6,14 16,83 32,1 • 102

9 3,16 3,92 4,29 13,02 24,3 • 102

10 2,35 3,00 3,33 9,73 18,4 • 102

11 1,79 2,23 2,55 7,36 13,9 • 102

Окончание табл. 2

п X! • 102 х2 • 102 х3 • 102 х4 • 102 Е

12 1,36 1,70 1,90 5,60 10,5 • 102

13 1,02 1,29 1,44 4,22 7,9 • 102

14 0,77 0,97 1,09 3,20 6,0 • 102

15 0,58 0,73 0,82 2,42 4,5 • 102

16 0,44 0,55 0,62 1,83 3,4 • 102

17 0,33 0,42 0,47 1,38 2,6 • 102

18 0,25 0,32 0,35 1,05 1,9 • 102

19 0,19 0,24 0,27 0,79 1,4 • 102

20 0,14 0,18 0,20 0,60 1,1 • 102

Зададим численные значения границ для групп вероятностей безотказной работы всей совокупности составляющих компонент:

[Л - Р2], (Р2 - Рз], (Рз - Р4], (< Р4) = [1 - 0,95], (0,95 - 0,85], (0,85 - 0,75], (<0,75).

Согласно принятому алгоритму, те компоненты, которые за 25 единиц времени не отказали, но их вероятность безотказной работы уменьшилась до величины нижней границы вероятности безотказной работы, перейдут в следующую группу. Одновременно часть отказавших компонент будет восстановлена и перейдет в первую группу. В следующий интервал времени наступит следующая итерация процесса, и т. д.

Анализ содержания таблицы показывает, что при заданных интенсивностях отказов и заданных интенсивностях восстановления общее количество работоспособных компонент убывает со временем. Количество работоспособных компонент четвертой группы с меньшими вероятностями безотказной работы убывают медленнее, чем в других группах.

Результаты моделирования можно изобразить графически и по данным таблицы построить временные диаграммы процесса эволюции системы (рис. 4).

Рис. 4. Временные диаграммы процесса эволюции системы

Сечение графика процесса вертикальной линией, построенной в одной из точек дискретного времени, позволяет получить вектор количества работоспособных компонент в данный момент времени (рис. 4).

Модель эволюции оценивает поведение системы с течением времени и дает возможность прогнозировать техническое состояние системы в разные интервалы времени эксплуатации, то есть определять количество компонент, имеющих различную вероятность работоспособности в различные интервалы времени эксплуатации. Это имеет необходимое существенное значение при решении задач технической диагностики различных систем.

Литература

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1965.

2. Калявин В.П., Мозгалевский А.В., Галка В.Л. Надежность и техническая диагностика. -СПб.: Элмор, 1996.

3. Калявин В.П., Малышев А.М., Мозгалевский А.В. Организация систем диагностирования судового оборудования. - Л.: Судостроение, - 1991.

4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - 4-е изд., перераб. и доп. - СПб.: Профессия 2004. - 747 с.

5. Руководство по проектированию систем автоматического управления / под ред. В.А. Бесекерского. - М.: Высшая школа, 1983. - 310 с.

Информация об авторе Information about the author

Пюкке Георгий Александрович - Камчатский государственный технический университет; 683003, Россия, Петропавловск-Камчатский; доктор технических наук, доцент; профессор кафедры систем управления; geopyukke@yandex.ru

Pyukke Georgy Aleksandrovich - Kamchatka State Technical University; 683003, Russia, Petropavlovsk-Kamchatskу; Doctor of Technical Sciences, Docent, Professor of Control Systems Chair; geopyukke@yandex.ru