Исследование нелинейных многосвязных систем автоматического управления с запзадыванием

Список литературы

1. Козлов В.Н. Управление частотой и перетоками активной мощности электроэнергетических объединений с учетом энергетической безопасности // Известия РАН. «Энергетика», № 3, 2012.

2. Козлов В.Н, Г.А. Рябов, А.А. Ефремов, И.У. Тросько. Структурно-инвариантные уравнения энергообъединений для синтеза систем ограничения перетоков и регулирования напряжений. Сборник научных трудов XIX Международной научно-практической конференции, СПб.: Политехн. ун-т, 2015.

3. Ефремов А.А. Модифицированная структурно-инвариантная модель электроэнергетических объединений. Сборник научных трудов XXI Международной научно-практической конференции, СПб.: Политехн. ун-т, 2017.

4. Горев А.А. Переходные процессы синхронной машины. Автор: Александр Александрович Горев. Л. - М.: Госэнергоиздат, 1950.

5. Андерсон П., Фуад А. Управление энергосистемами и устойчивость: М. -Энергия, 1980.

6. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: - Высш. шк., 1985.

7. Козлов В. Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. Изд-во Политехн. ун-та. 2012. 177 с.

8. Козлов В.Н., Тросько И.У. Регулярная и хаотическая динамика крупных энергообъединений. Изв. РАН- серия «Энергетика». 2016 г., № 1. С. 1-6.

9. Козлов В.Н, А.А. Ефремов, И.У. Тросько. Спектральный метод аналитза хаои-ческих режимов динамических систем. Труды ХХ11 Международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении». СПб.: 2018.

10. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза оптимальных ограниченных управлений динамических систем. Межвузовская издательская ассоциация. СПб.: 2018.140 с.

УДК 681.5

Саитова Гузель Асхатовна1,

доцент, канд. техн. наук, доцент, Елизарова Анастасия Валерьевна , инженер каф. АСУ

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПЗАДЫВАНИЕМ

Россия, Уфа, Уфимский государственный авиационный технический университет,

1 saitova@bk.ru elizarovaanastasia@gmail.com

Аннотация. Задача управления объектами с запаздыванием довольно непростая. Наличие задержки в контуре управления приводит к возрастанию фазового сдвига, что способна спровоцировать неустойчивость системы. В работе предлагается исследование нелинейной многосвязной системы автоматического управления

объектом с запаздываниями (по управлению и выходу) частотными методами, на основе метода гармонической линеаризации и системного описания характеристик МСАУ. Рассматривается МСАУ с нелинейным элементом и запаздыванием в прямых каналах, при условии, что данная МСАУ состоит из множества идентичных сепаратных подсистем, взаимные связи между подсистемами однократные. Используя частотные методы определены параметры ПД в нелинейных однотипных МСАУ и оценена их устойчивость. В работе приведены примеры, наглядно демонстрирующие использование предложенных методик для оценки устойчивости МСАУ и нахождения параметров ПД. Результаты исследования подтверждены путем моделирования с использованием пакета MATLAB SIMULINK.

Ключевые слова: многосвязная система автоматического управления, запаздывание, нелинейный элемент, периодические движения, частотный метод, устойчивость, прямые каналы.

Guzel A. Saitova1,

Associate Professor, Candidate of Technical Sciences,

Anastasia V. Elizarova 2, Engineer of the department of ACS

INVESTIGATION OF NONLINEAR MULTI-CONNECTED SYSTEMS OF AUTOMATIC CONTROL WITH DELAY

Russia, Ufa, Ufa State Aviation Technical University,

1 saitova@bk.ru elizarovaanstasia@gmail.com

Abstract. The problem of controlling objects with time delay is quite complicated. The presence of a delay in the control loop leads to an increase in the phase shift, which can provoke instability of the system. The paper proposes a study of a nonlinear multi-connected system of automatic control (MSAC) of an object with a delay by frequency methods, based on the method of harmonic linearization and a system description of the characteristics of a multi-connected automatic control system. A nonlinear multi-connected automatic control system with delay in direct channels is considered. The nonlinear multi-connected automatic control system with delay consists of a set of identical separate subsystems and mutual connections between subsystems are single. With the help of frequency methods, the parameters of periodic motions (PM) in nonlinear homogeneous multi-connected automatic control systems with delay (amplitude and frequency of self-oscillations) are determined and their stability is estimated according to the proposed criteria. The paper presents examples that demonstrate the use of the proposed techniques to assess the stability of a nonlinear multi-connected system of automatic control of the object with delay both in direct communication channels and cross and finding the parameters (amplitude and frequency) of periodic movements. The results of the study were confirmed by simulation using MATLAB SIMULINK package.

Keywords: multi-connected systems of automatic control, delay, nonlinear element, periodic motion, frequency method, stability, direct channels.

Во многих современных технических объектах управления (ОУ) можно наблюдать явление запаздывания, заключающееся в том, что с началом изменения сигнала на входе ОУ сигнал на выходе объекта начинает изменяться только через некоторый интервал времени. Примером объектов с запаздываниями по управлению могут служить реактивные двигатели в переходных режимах, ленточные транспортеры, прокатные станы, процессы сушки и горения, по состоянию - процессы с рециклом, в частности, процессы в измельчительных машинах или процессы в химических реакторах, по выходу - объекты управления с более инерционными датчиками измерения, чем сам объект [1,7].

Как правило, влияние запаздываний на процессы управления негативно. Поэтому методы исследования систем управления для вышеперечисленных объектов, не учитывающие фактор запаздывания, оказываются малоэффективными. Проблема конструирования подобных систем управления еще более усложняется в случае, если объект управления является многосвязным и нелинейным.

Известно большое количество работ, посвященных исследованию систем автоматического управления (САУ) с запаздыванием по управлению с одним входом и одним выходом. Многомерным (многосвязным) системам управления с запаздываниями посвящено небольшое количество научных работ.

В работе предлагается исследование многосвязной нелинейной системы автоматического управления объектом с запаздываниями (по управлению и выходу) частотными методами, на основе метода гармонической линеаризации и системного описания характеристик МСАУ

[3].

1. Постановка задачи

Будем считать в дальнейшем, что данный класс многосвязных систем состоит из множества идентичных сепаратных и взаимные связи между подсистемами однократные (рис.1).

Рис. 1. Структура нелинейной однотипной МСАУ с запаздыванием

Для систем с нелинейностями в прямых каналах сепаратных подсистем) в качестве локальной характеристики гармонически линеаризованной г-ой подсистемы можно рассмотреть ее передаточную функцию Фг^,а) в режиме управления:

Ф

л ^ 1+Яш [д (а),д/ (а)]ВДе-га ' где г[дг(а),д/(а)] - передаточная функция гармонически линеаризованного нелинейного элемента .-ой сепаратной подсистемы; д(а), д/ (а) - коэффициенты гармонической линеаризации; ^^-^е-7 в - передаточные функции линейного многомерного объекта с запаздыванием 7 по ,-му каналу и регулятора .-ой сепаратной подсистемы [6].

Для класса нелинейных однотипных МСАУ справедлива гипотеза идентичности динамических характеристик гармонически линеаризованных подсистем, содержащих в своем составе идентичные нелинейные элементы:

Ф1[д1(а),д1/(а)„у]=Ф2[д2(а),д2/(а)„у]=...= Ф[д(а),д7(а),^].

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной однотипной МСАУ можно записать в следующей форме [2]:

1+к2Ф2[д

где к. ( .= 2, п) - обобщенные числовые характеристики многомерных элементов связи между сепаратными подсистемами, вычисляемые по формулам, предложенным в [2].

Ведем в рассмотрение алгебраическое уравнение связи относительно некоторой переменной х= Ф[д(а),д7(а),^], полученное из (2):

1 +к2х2+ к3х3+...+ кхп =0

{х.} - множество корней уравнения (3), где .=1,2 ..п

По частотному критерию: условием наличия в данной системе периодических движений (ПД) является прохождение локальной амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФХ) Ф(аую) гармонически линеаризованной подсистемы через один из корней множества {х.}, играющих роль критических точек.

При изменении 0<а<¥ деформируется форма годографа Ф(а,/ю). В общем случае критической точкой будет корень х ра-уР., через которую проходит АФХ Ф(а,/ю). Тогда справедливо равенство

Ф . , Ян.[д. (а),д/(аЩи(^)е'78 *

Ф

1+ЯЩ/ [д. (а), д/ (аШи С?)е"78

Рассмотрим нелинейную однотипную МСАУ с запаздыванием в перекрестных связях. Тогда в характеристическом уравнении (2) для полной МСАУ, состоящей из п подсистем, характеристика связи (ХС) в

* det pW (s) y¡¡ 1 общем виде между k подсистемами имеет вид: h* (s) = •

lj Jkxk

det[W„ (s)84

;o, ¡=j, . ri, ¡=j, — — -

Tj = i e-, ¡^ 5j = {o, ¿9t j,k=¡=^ j =^,

а локальная характеристика гармонически линеаризованном i-ои подсис-

W .

темы Ф1 (s, a) = —н-¡¡-. Наличие ПД в нелинейной МСАУ с запаз-

1 1 + WH¡ (a)W¡¡ (s) M

дыванием в перекрестных связях выполнение условия:

Ф1

Л ' 1 + W„. (a)W¡i (s) л 7 W

Таким образом, на основе равенства (4) и (5) можно, используя

* *

частотные методы, определить параметры амплитуды а* и частоты ПД в нелинейных однотипных МСАУ с запаздыванием и оценить их устойчивость [3].

2. Определение параметров периодических движений Определяем параметры, амплитуду а* и частоту о|, периодических движений. Выделим линейные и нелинейные характеристики разомкнутой подсистемы из уравнения (4):

Wн

1- Ф

где Wн(a) = q (a) + jq' (a),

W3 (jw =)W (jw)e-jw = (U (w) + jV (w))(cos wt - j sin wt) = = (U (w)cos wt- V (w)sin wt) + j (V (w)cos wt- U (w)sin wt) = = U3 (w) + jV3 (w).

Подставляем x*¡ вместо Ф(а, jw) в уравнение (6):

*

x

W^a^Oto^-S- = c+jd.

1-x.

i

Для решения уравнения (7) выделим линейные части системы и воспользуемся двумя скалярными уравнениями:

а^Яз( /и) = а^ (е1 + ) - а^ Ян (а);

или можно записать

^з2

Vе2+

I

д2

Ул(а) , ч

апС^--агС£(ю?)= arctg

Ш

( 4 л

V е у

- arctg

г д/а ^

д

* *

Решив систему из двух уравнений, найдем значения а и ю

2

3. Анализ устойчивости периодических движений в нелинейной МСАУ

Для определения параметров ПД и анализа их устойчивости можно воспользоваться графоаналитическим методом, состоящим из следующих этапов:

1. Найдем корни Х1 уравнения связи (3);

2. Из уравнения (7) выделим линейную и нелинейную части системы

^^зО'ю^ где Zш*(ja)=-^-4 = .

Я,

3. Построим на комплексной плоскости Яз(/ю) и Zш*(ja);

4. Определим параметры а* и и* периодических движений по точке пересечения характеристик Яз(/ю) и Zш*(ja);

5. Оценить устойчивость периодических движений по частотному критерию [5].

Периодические движения в нелинейной однотипной МСАУ будут устойчивыми, если при увеличении (уменьшении) амплитуды а* на Аа в точке, соответствующей пересечению годографов Яз(/ю) и Zш (/а), АФХ Яз(/ю) не охватывает новую точку а=а +Аа, в противном случае ПД будет неустойчивым [3,4].

Пример 1. Исследуем двухсвязную систему (рис. 1) на наличие автоколебаний при наличии нелинейного элемента типа «насыщения» (рис. 2) и запаздываний в подсистемах.

Рис.2. Нелинейный элемент типа «насыщение»

Коэффициенты гармонической линеаризации для характеристики F(z) типа «насыщение» равны:

q(a)=

2k

г

п

. Ь Ь агс8т — + — а а

V

II

1

Ь2

а

при а>Ь; Ь=1

q(a)=k при а<Ь; q/(a)=0.

Передаточная функция двухмерного объекта с запаздыванием

W¿7<s)=

+1)

1 -2 21

, ¿=/=1,2; т=1.

Рассмотрим решение этой задачи поэтапно.

1. Передаточные функции Фг(э,а), ¿=1,2 сепаратных каналов в режиме управления

И>Ш£)£1 = «а)е- .

1 + WнW(s)et э2 + 5 + q (а )е -Характеристическое уравнение системы

-тач 2

1+й2Ф(а,/о>, е)2=0, где к2=4.

Уравнение связи

1+4х2=0

Корни уравнения связи равны х1=+ /0.5, х2= -/0.5.

2. Выделим линейную и нелинейную части системы

-/ЮГ

Ж/) = , е 2 . ; Zш*(ja)= *2

1

(/ю) + /ю

1 - *2 Wн

- 0.2 - 0.4 /

q

3. Построим на комплексной плоскости годографы Wз(jю) и Zн (/а) (рис. 3).

4. Из рисунка 3 видно, что в системе присутствуют ПД. В точке 1 пересекаются годографы Wз(jю) и Zн (/а) при запаздывание т=1 с

е

параметрами ПД ^=11.8, ю=0.23 (рис. 4), в точке 2 при запаздывание т=0 с параметрами ПД а=4.9, ю=0.5. (рис. 5).

5. Оценим устойчивость периодических движений по частотному критерию [5].

6. Периодические движения в исследуемой системе устойчивые, т.к. при увеличении амплитуды а* на Аа в точках 1 и 2, соответствующей пересечению годографов Wз(j&) и Ж(/ю) с годографом (¡а), АФХ Wз(¡ю) и W(¡ю) не охватывают новую точку а=а +Аа.

7. Результаты подтверждают переходные процессы (рис. 4, 5), полученные путем моделирования исходной системы.

/ ц Щ Ю)

3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Рис. 3. Пересечение годографов Wз

Рис. 5. ПД в системе без запаздывания (точке 2) с параметрами a=11.8, ю=0.23

Таким образом, в работе предложен подход, сформированный на базе частотных методов и метода гармонической линеаризации, позволяющий оценить параметры и устойчивость периодических движений в однотипной нелинейной МСАУ с нелинейностями и запаздыванием в прямых каналах.

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 18-08-00702 А, 17-48-020956 р_а).

Список литературы

1. Бесекерский В. А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - СПб, Изд-во «Профессия», 2014. - 752 с.

2. Ерофеев, А.А. Теория автоматического управления: Учебник для вузов / А.А. Ерофеев. - СПб.: Политехника, 2008. - 302 с.

3. Ильясов Б.Г., Кабальнов Ю.С. Исследование устойчивости однотипных многосвязных систем автоматического управления с гомономными связями между подсистемами //Автоматика и телемеханика. - 1995. - №7.-С.82-90.

4. Ильясов Б.Г., Саитова Г.А. Анализ устойчивости динамических систем, представленных в полиномиальной векторно-матричной форме // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2018, № 2. С. 3-10.

5. Ильясов Б.Г., Саитова Г.А., Системный подход к исследованию многосвязных систем автоматического управления на основе частотных методов. Автоматика и телемеханика. 2013. № 3. с. 173-191.

6. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Том 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. - М.: Физматлит, 2016. - 441 с.

7. Филимонов А. Б. Спектральная декомпозиция систем с запаздываниями. Компенсация запаздываний. М.: Изд-во физ.-мат. Лит-ры, 2002. 288 с.