Уравнения мгновенных и интегральных мощностей несинусоидальных 3-фазных процессов

УДК 621.31

Ю.А. Сиротин, Т.С. Иерусалимова

doi: 10.20998/2074-272X.2016.1.13

УРАВНЕНИЯ МГНОВЕННЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ МОЩНОСТЕЙ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ 3-ФАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ

Для 3-фазної схеми електропостачання розглянути несинусоїдальні режими, що класифікуються скалярною та векторною миттєвими потужностями (МП). В рамках часового та спектрального підходів теорії потужності отримані комплексні форми активної (скалярної) МП і (неактивній) векторної МП. Для 4-провідної мережі отримані рівняння потужності комплексних скалярних і комплексних векторних потужностей несинусоїдальних режимів. Рівняння потужностей узагальнюють відповідні рівняння синусоїдальних несиметричних режимів у 4-провідної мережі. Бібл. 3, рис. 3.

Ключові слова: трифазне коло, класична миттєва потужність, векторна миттєва потужність, комплексний 3-вимірний ряд Фур’є, активна і реактивна потужність, комплексна векторна потужність, повна потужність, комплексна потужність, рівняння потужності, незбалансований режим, несинусоїдальний режим, 3-вимірний комплексний коефіцієнт.

Для 3-фазной схемы электроснабжения рассмотрены несинусоидальные режимы, классифицируемые скалярной и векторной мгновенными мощностями (ММ). В рамках временного и спектрального подходов теории мощности получены комплексные формы активной (скалярной) ММ и (неактивной) векторной ММ. Для 4-проводной сети получены уравнения мощности комплексных скалярных и комплексных векторных мощностей несинусоидальных режимов. Уравнения мощностей обобщают соответствующие уравнения синусоидальных несимметричных режимов в 4-проводной сети. Библ. 3, рис. 3.

Ключевые слова: трехфазная цепь, классическая мгновенная мощность, векторная мгновенная мощность, комплексный 3-мерный ряд Фурье, активная и реактивная мощность, комплексная векторная мощность, кажущаяся мощность, комплексная мощность, уравнение мощности, несбалансированный режим, несинусоидальный режим, трехмерный комплексный коэффициент.

Введение. Неидеальная (активно-реактивная, несимметричная и нелинейная) нагрузка потребляет не только электроэнергию (ЭЭ) активной мощности, но и ЭЭ неактивных составляющих полной мощности (ПМ). Для ряда таких нагрузок потребление ЭЭ неактивных составляющих обусловлено технологическими причинами и обеспечивает долговременный нормальный режим работы неидеальной (искажающей) нагрузки. Неактивные составляющие ПМ (некачественное потребление) приводят к дополнительным потерям в энергосистеме, ухудшая качество энергоснабжения, однако не учитываются и недоплачиваются.

Эффективным решением задачи сокращения потерь и повышения точности учёта ЭЭ является совместное применение компенсирующих устройств (КУ) и средств учета ЭЭ. Существующие средства учета измеряют ЭЭ, обусловленную симметрией и линейностью элементов нагрузки. Неактивные составляющие ПМ, обусловленные несимметрией и нелинейностью активно-реактивных элементов нагрузки, не измеряются и не учитывается. Компенсация, измерение и учет составляющих ПМ - связанные, дополняющие друг друга задачи, которые с разных экономических позиций решают проблему эффективного потребления ЭЭ и должны решаться в рамках общей теории мощности (ТМ), в реальных условиях нарушения симметрии и синусоидальности режима поставки и потребления.

Постановка задачи. Растущий теоретический и практический интерес к определениям ТМ, интерпретациям понятий реактивной мощности, поиски физического смысла, неоднозначность определения полной мощности в многофазных системах, сложность задачи привели к созданию различных «школ» ТМ (частичную библиографию см. в [1]). Для несинусоидальных многофазных процессов используют два альтернативных метода исследования и анализа понятий ТМ: спектральный (Budeanu, Quade, Пухов, Emanuel, Czarnecki, Шидловский, Кузнецов, Lev-Ari и Stankovic и др.) и временной (Buchholz, Fryze, Depenbrock, Де-мирчан, Маевский, Nabae и Akagi, Willems, Watanabe и Aredes, Tolber, Тонкаль и Новосельцев и др.).

Временной метод анализа основан на специальном разложении 3-фазного тока на ортогональные составляющие. Одна из компонент такого специального разложения определяет активный ток, который после компенсации остается в цепи источника и обеспечивает поставку ЭЭ активной мощности. Временной метод использует два подхода исследования 3-фазных процессов. Первый подход рассматривает 3-фазные процессы как 3-мерные кривые на интервале усреднения, связан с обобщением на многофазные процессы метода Fryze, и использует интегральные мощности (ИМ). Второй подход основан на мгновенных энергетических характеристиках: классической (скалярной) ММ и новой векторной ММ (кросс-векторная теория). Подход имеет практическую значимость и привел к разработке так называемых активных фильтров. Однако, даже для синусоидального режима математические связи между новыми ММ и классическими (ИМ) спектрального подхода до конца не установлены [1].

Цель работы состоит в установлении связи между ММ и ИМ и получении комплексной формы скалярной и векторной ММ для классификации несинусоидальных режимов в 3-фазной 4-проводной схеме электроснабжения в терминах спектрального подхода.

Используемая методология основана на векторном подходе, который с единых позиций позволяет анализировать энергетические характеристики как для 4-проводных, так и для 3-проводных цепей, как в синусоидальном, так и несинусоидальном режиме, как во временной, так и частотной области.

Скалярная ММ. При рассмотрении 3-фазной 4-проводной цепи полагаем, что напряжения в фазах измеряются относительно нейтрали

u(t) = [ua (t) ub (t) uc (t)]x, i(t) = [ia (t) ib (t) ic (t)] , (1) здесь и дальше т - знак транспонирования.

© Ю.А. Сиротин, Т.С. Иерусалимова

ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2016. №1

69

A

Ua(t) '

B

ic(t) C 4 ‘ Ub(t) 1 1 1

1 1 ! \Uc

Рис. 1. Энергетические процессы в 4-проводной схеме электроснабжения

Определение нормы в 3-мерном арифметическом пространстве R(3) в каждый момент времени определяет норму вектора м.з. тока и напряжения

Локальное состояние энергетического режима в трехфазном сечении <A, B, C> характеризуется мгновенной мощностью

dW

P

dt

ММ определена как сумма попарных произведений м.з. тока и напряжения трех фаз и определяет скорость передачи энергии W = W

p(t) = (i,u) = i XU = [ia (t) ib (t) ic (t)]

Ua

ub

Uc

Векторная ММ и уравнение ММ. Произведение норм векторов (2) и (3) определяет кажущуюся (полную) ММ энергетического режима

s

В 3-мерном пространстве R(3) для любой пары векторов справедливо неравенство Коши-Шварца [2], что для векторов (1) дает импликацию

Векторная ММ - это вектор пространства R(3), который вводится как векторное произведение (ВП) м.з. векторов (1) токов и напряжений [1]

q

qa % qc

Определитель Грама [2], составленный из попарных СП векторов м. з. тока и напряжения, равен квадрату нормы ВП векторов м.з. токов и напряжений -скалярному квадрату векторной ММ

• X • «X

II I U

•X X

I U U U

[ix u]X[ix u] =| q(t) |2 .

q

Геометрический смысл определителя Грама: «квадрат площади параллелограмма, который образован векторами напряжения и тока» иллюстрируется на рис. 2.

Площадь такого «мгновенного» параллелограмма равна

здесь 9(t) - мгновенный угол между векторами (1) в пространстве R(3) в момент времени t.

Рис. 2. Вектор тока, вектор напряжения и векторная ММ

Площадь параллелограмма равна нулю, если образующие его вектора параллельны (коллинеарны, i || и), когда кажущая ММ равна скалярной ММ. Поэтому норму ВП тока и напряжения интерпретируется как неактивная ММ. Чтобы подчеркнуть эту интерпретацию, скалярную ММ (5) называют активной ММ. Разложение (9) инвариантно относительно перестановки векторов i и и, однако ixu = -uxi. В данной работе (как и в [1]) векторная (неактивная) ММ определяется согласно (8). Вектора i, и, ixu образуют правую тройку.

Определитель Грама в каждый момент квадратично дополняет скалярную ММ до полной

XX X 2 X

q

дает уравнение мощности для мгновенных мощностей s 2

которое иллюстрируется на рис. 3.

Рис. 3. Треугольник мгновенных мощностей

В треугольнике ММ два катета соответствуют активной и неактивной мгновенным мощностям. Если неактивная ММ обусловлена sin<p

p

s

(ІИ

cos ф

s

Угол ф(0 в треугольнике ММ равен введенному ранее углу между векторами тока и напряжения. Если активная ММ (4) характеризует эффективность энергетического режима, то векторная ММ (13) характеризует потери энергетического режима.

Установившийся неуравновешенный и несбалансированный энергетический режим. Установившийся энергетический режим в 3-фазном сечения <A, B, C> определен 3-мерными Г-периодическими кривыми процессов тока и напряжения:

u

Для Г-периодических процессов корректно определено (интегральное) среднее ММ и однозначно выделяется переменная составляющая

70

ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2016. №1

1 v+T —

P = p = T Jp

v

Если ММ не имеет переменной (пульсирующей) компоненты p(t) = 0, то режим уравновешен. В общем случае p(t) = p(t) - p Ф 0 и установившийся режим неуравновешен.

Подобно (15) в векторной ММ можно выделить векторные составляющие: постоянную и переменную

1 v+T

q = T Jq

v

Режим, при котором векторная ММ не имеет переменной составляющей p = p(t) = 0, назван сбалансированным режимом [1].

Режим реально сбалансирован, если векторная ММ (неактивная ММ) тождественно равна нулю

q

Тем самым, режим реально сбалансирован

q

Скалярная величина y(t) (имеет размерность проводимости) не обязана быть константой.

Таким образом, пара мгновенных характеристик: скалярная (5) и векторная (8) классифицирует локальный энергетический режим в сечении <A, B, C>.

Спектральный анализ периодических процессов конечной энергии. Множество 3-мерных (3-фазных) Г-периодических векторных кривых

x

с конечной интегрально-усредненной квадратичной величиной

1 v+T

T J

v

образуют гильбертово бесконечномерное пространство 3-мерных кривых «конечной энергии»

i(23)(T) = {x(t), t є (v,v + T): || x ||<то}. (21) Для 3-фазных векторных кривых x(t),

y(t) є (T) определено скалярное произведение

1 v+T 1 v+T

< x, y >= T J x

vv

как интегральное среднее СП м.з. в 3-мерном пространстве R(3). Справедливо неравенство Коши-Шварца [2]

T-периодичная кривая x(t) = x(t + T) раскладывается в функциональный ряд 3-мерных гармонических составляющих - (синусный, косинусный, комплексный и т.д.) ряд Фурье

x

Для комплексного ряда Фурье 3-мерная векторная гармоника xk (t) є 1^3) (T) к-порядка

xk

вычисляется с помощью 3-мерного комплексного коэффициента

2 v+T

xk = XL Jx

v

где xk = [Xa,k Xb,k Xck ]X - трехмерный вектор с комплексными координатами, ^e(Z) - реальная часть комплексного числа z .

Множество 3-комплексов составляют 3-мерное комплексное пространство C

с комплексным скалярным произведением [1]

* - символ комплексного сопряжения

ТО ТО

x

k=1

k=1

xk

Комплексная форма скалярной ММ. Спектральный анализ Г-периодических энергетических процессов тока и напряжения использует их представление комплексным рядом Фурье

u

i(t) = л/Шє^ s11ke

jkro t

Формула Эйлера [2] представляет компоненты разложения 3-кривых напряжения (29) и тока (30) с помощью КС 3-комплекса

ik(t)=2

,J'kro t +1*e- Jkro t ]

ejkrof+ U*e-Jkrof].

2

В силу линейности скалярного произведения, ММ равна сумме парциальных скалярных ММ векторных гармоник тока k-порядка и напряжения да-порядка.

p

k ,да

pk да

k ,да

Представления (31), (32) векторной гармоники с помощью 3-комплекса и его КС для м.з. произведения векторных гармоник тока k-порядка и напряжения да-порядка дает тождество

pk,m

Nk-да Nk+да

Если гармоники тока и напряжения одного порядка (да = k), то их скалярная ММ имеет как постоянную, так и переменную составляющие

pk

SGk N k

Скалярная ММ (4) представляется через 3-комплексы тока и напряжения как

p(t) = ^e{YJ[SOk + NkeJ2kro f ]} +

k>1

+ ^e{ ^[Nk^-^f + Nk+nlej(k+да)го t]}

k Фда

и имеет постоянную и переменную (пульсирующую) составляющую.

Постоянная составляющая

p = Y^e[SOk ] = Х Pk = P

k>1 k >1

ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2016. №1

71

равна активной (средней) мощности несинусоидального режима и представляется как реальная часть комплексной (геометрической) мощности всех гармоник

SG = Z Щ// = ZSGk = P + jQ .

k >1 k >1

SGk

Комплексная (геометрическая) мощность (38) равна сумме комплексных мощностей гармонических составляющих

SGk = ЩІІ = (Uk,Ik) = Pk + jQk,=SGk •j . (39) Комплексная мощность (39) векторной гармоники тока и напряжения k-порядка равна комплексному скалярному произведению (27) 3-комплекса напряжения и 3-комплекса тока k-порядка в комплексном 3-мерном пространстве С(3).

Мнимая часть комплексной мощности

Q=щ 4 = z^uu/] = Z Qk

k >1 k >1' Qk ’ k >1

определяет реактивную мощность несинусоидального режима 3-фазного сечения <A, B, C> и дает обобщение реактивной мощности по Будеану на 3-фазные процессы

Q=Z %m[uk 4]=Z Qk=Z SQksin Фk.

k>1' u ' k>1 k>1

Комплексные мощности пульсаций скалярной

ММ:

• гармоник k-порядка четной частоты 2km

Nk = ikUk;

• гармоник k-порядка и m-порядка суммарной и разностной частоты

Nk+m = IkUm , Nk-m = UkIm

определяют переменную (пульсирующую) составляющую скалярной ММ

~(t) = Ke{Z N kej2ka t} +

k>1

+ ЭТе{ Z[^k-mej(k-m)“f + Nik+mej(k+m)“f]}.

k Фт

Если три типа комплексных мощностей равны

нулю

Nk = Nk+m = Nk-m = 0 , ( k, т = I 2 .. ),

то режим уравновешен.

Комплексная форма скалярной ММ несинусоидального режима (36) расширяет комплексную форму скалярной ММ несимметричного синусоидального режима [1]

p(t) = ^e{,SG1 + TN1ej2k“t},

где SG1 = U^11 , N1 = I^U - комплексная (геомет-

рическая) мощность и комплексная мощность пульсаций фундаментальных гармоник тока и напряжения.

Векторная мгновенная мощность несинусоидального режима. В силу линейности векторного произведения, векторная ММ

q(t) = i х u

Z Iх 4

k,m q

qk,m

Z, qk,m

k ,m

равна сумме векторных произведений гармоник тока k-порядка и напряжения m-порядка

qkm

Dk-m Dk+m

Если гармоники тока и гармоники напряжения одного порядка m = k, то их ВП имеет как постоянную, так и переменную составляющие

qk

Комплексная форма векторной ММ представляется через 3-комплексы гармоник как

q(t) = mZ[Rk + DkeJ 2k“t ]} +

k>1

+ ^e{ Z[Dk-meJ(k-m)“t + Dk+mej(k+m)“t]}.

k ^m

3-комплексы сбалансированной мощности гармоник тока и напряжения k-порядка

Kk = Ik х U*

определяют постоянную составляющую векторной ММ.

Переменную (пульсирующую) составляющую векторной ММ определяют:

• 3-комплекс мощности небаланса гармоники тока и напряжения k-порядка удвоенной частоты 2km

Dk = Ik х Uk

• 3-комплексы мощности небаланса гармоники тока k-порядка и гармоники напряжения m-порядка суммарной и разностной частоты (k, m = 1, 2, ...):

Dk+m = Ik х Um , Dk-m = Ik х U*m .

Если 3-комплексы (49) равны нулю

Dk = Dk+m = Dk-m = 0 ,

то режим сбалансирован.

Если дополнительно к условиям (50) выполнено

KeKk =‘Re[Ik х U**] = 0

то режим реально сбалансирован.

Комплексная форма векторной мгновенной мощности несинусоидального режима (47) расширяет комплексную форму векторной ММ синусоидального несимметричного режима [1]

q(t) = Ke{K1 + D1ej2“t},

где K1 = I1 х U1* , D1 = I1 х U1 - 3-комплексы сбалансированной мощности и мощности небаланса фундаментальной гармоники тока и напряжения.

Уравнения комплексных мощностей несинусоидального режима. Для квадрата (кажущей) полной мощности справедливо равенство

ТО ТО ТО ТО

s2=

k=1 m=1 m=k m^k

Связь скалярного и векторного произведения 3-комплексов X, Y є С определено тождеством [1]

которое расширяет соответствующее тождество векторной алгебры вещественных векторов [2].

При X = Uk, Y = Im из тождества (53) следуют равенства

N k

Dk

которые при m = k дают

72

ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2016. №1

iU = I Uk |2| Ik I2 =| UkzIk* I2 +1 Uk x Ik |2.

SGk Dk

Разложение квадрата полной мощности (52) с учетом (54, 55) дает уравнение мощности для комплексных скалярных и векторных мощностей, куда входит активная (37) и реактивная (40) мощность несинусоидального режима

то то

S2 = Z

k=1 пф2

Уравнение мощности (56) обобщает уравнение мощности для синусоидального, несимметричного режима [1]

S2 = P2 + Q2 + Dj2.

В уравнение (56) входят не все комплексные скалярные и векторные мощности комплексной формы скалярной (36) и векторной ММ (47).

Если использовать пару последовательностей

{Uk }k>1, {ImW, то справедливо дополнительное уравнение для комплексных скалярных и векторных

мощностей, не вошедших в (56). При X = Uk, Y = Im из тождества (53) следуют равенства

Nk+m Dk-m

При m = k равенства (58) дают

N п

K п

Разложение квадрата полной мощности (52) с учетом (58, 59) дает дополнительное уравнение для комплексных скалярных и векторных мощностей

то то

S2 =Z

k=1 пф2

Можно показать, что для каждой гармоники справедлива импликация

Dm=0 ^ Km+Nm=рп+Qm (k=l, 2...).

Полученное уравнение мощностей (60) обобщает дополнительное уравнение для синусоидального несимметричного режима [1]

s 2 = k2+N2.

Как показано в [1] в синусоидальном режиме уравнения (57), (61) обусловлены двумя различными ортогональными разложениями 3-фазного тока. Задача построения ортогонального разложения тока в синусоидальном режиме используется для решения задачи компенсации неактивных составляющих полной мощности [3]. Построение ортогонального разложения, которое ассоциируется с уравнениями мощностей (56), (60) выходит за рамки данной работы и требует дальнейшего исследования.

Практическая ценность полученных уравнений заключается в возможности их использования для повышения, как качества поставки, так и качества потребления электроэнергии.

Выводы. Для 3-фазной 4-проводной сети с несинусоидальными (независимо от их симметрии) процессами получены комплексные формы активной (скалярной) ММ и (неактивной) векторной ММ.

Получены уравнения мощностей для комплексных скалярных и комплексных векторных мощностей несинусоидальных режимов. Уравнения мощностей обобщают уравнения мощностей для синусоидальных режимов в 4-проводной сети.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сиротин Ю.А. Векторная мгновенная мощность и энергетические режимы трехфазных цепей // Технічна електродинаміка. - 2013. - №6. - С. 57-65.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука, 1973. - 832 с.

3. Sirotin Iu.A. Non-pulsed mode of supply in a three-phase system at asymmetrical voltage // Przeglad Elektrotechniczny. -2013. - №7. - pp. 54-58.

REFERENCES

1. Sirotin Іи.А. Vectorial instantaneous power and energy modes in three-phase circuits. Tekhnichna elektrodynamka -Technical electrodynamics, 2013, no.6, pp. 57-65. (Rus).

2. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlia nauch-nykh rabotnikov i inzhenerov [Mathematical handbook for scientists and engineers]. Moscow, Nauka Publ., 1973. 832 p. (Rus).

3. Sirotin Iu.A. Non-pulsed mode of supply in a three-phase system at asymmetrical voltage. Przeglad Elektrotechniczny, 2013, no.7, pp. 54-58.

Поступила (received) 16.10.2015

Сиротин Юрий Александрович1, д.т.н., проф.,

Иерусалимова Татьяна Сергеевна1, ассистент,

1 Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт»,

61002, Харьков, ул. Фрунзе, 21,

e-mail: yuri_sirotin@ukr.net, Ierusalimovat@mail.ru

Iu.A. Sirotin1, T.S. Ierusalmova1

1 National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute», 21, Frunze Str., Kharkiv, 61002, Ukraine.

Instantaneous and integral power equations of nonsinusoidal 3-phase processes.

Purpose. To identify the mathematical relationship between the instantaneous powers (classical and vectorial) and integral powers in non-sinusoidal mode and to get complex form of instantaneous powers in 3-phase 4-wire power supply in terms of the spectral approach. Methodology. We have applied the vector approach with one voice allows you to analyze the energy characteristics of 3-phase power supply circuits (for 4-wire and 3-wire circuits) in sinusoidal and non-sinusoidal mode, both the time domain and frequency domain. We have used 3dimensional representation of the energy waveforms with the complex multi-dimensional Fourier series. Results. For 4-wire network with a non-sinusoidal (regardless of their symmetry) processes, we have developed the mathematical model onedimensional representations of the complex form for the active (scalar) instantaneous power (IP) and 3-dimensional form (inactive) vectorial IP. It is possible to obtain two dual integral power equations for complex scalar and vector integrated power of non-sinusoidal modes. The power equations generalize generalizes the equations of sinusoidal modes for 4-wire network. Originality. In addition to the classification of energy local regimes in the time domain for the first time we spent the classification of non-sinusoidal modes in the spectral region and showed the value and importance of the classification of regimes based on the instantaneous powers. Practical value. The practical value the obtained equations is the possibility of their use for mproving the quality of electricity supply and the quality electricity consumption. References 3, figures 3.

Key words: three-phase circuit, classical instantaneous power, vector instantaneous power, complex 3-dimensional Fourier series, active and reactive power, complex vector power, apparent power, complex pulsation power, power equation, unbalanced mode, non-sinusoidal mode, 3-phasor.

ISSN2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2016. №1

73