Слова Штурма и несчетное множество почти нильпотентных многообразий квадратичного роста

Краткие сообщения

УДК 512.55

СЛОВА ШТУРМА И НЕСЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ КВАДРАТИЧНОГО РОСТА

С. П. Мищенко,1 Н. П. Панов2

В работе для любого бесконечного слова Штурма построено и изучено почти ниль-потентное многообразие квадратичного роста. Таким образом, построено несчетное множество различных почти нильпотентных многообразий.

Ключевые слова: многообразие линейных алгебр, тождество, нильпотентность, рост коразмерностей.

For any infinite Sturmian word we define an almost nilpotent variety of quadratic growth. Thus, an uncountable set of different almost nilpotent varieties is constructed.

Key words: variety of linear algebras, identity, nilpotency, growth of the codimensions.

В настоящей работе продолжается изучение почти нильпотентных многообразий линейных алгебр над полем нулевой характеристики. Линейной алгеброй, следуя А.Г. Курошу, будем называть векторное пространство с бинарным билинейным умножением, а многообразием — совокупность линейных алгебр, удовлетворяющих определенному набору тождеств. Многообразие является почти нилыютентным, если оно не нильпотентно, но любое его собственное подмногообразие нильпо-тентно. Для ознакомления с теорией алгебр с полиномиальными тождествами можно обратиться к монографии [1].

Простым примером почти нильпотентного многообразия является множество всех ассоциативно-коммутативных алгебр. Это единственное почти нильпотентное многообразие ассоциативных алгебр. Аналогично в классе алгебр Ли единственное почти нильпотентное многообразие образуют все алгебры, удовлетворяющие тождеству метабелевости

Все почти нильпотентные многообразия описаны в классах алгебр Лейбница [2], алгебр подэкспо-ненциального (полиномиального или промежуточного) роста с тождеством x(yz) = 0 [3], метабе-левых алгебр подэкспоненциального роста коразмерностей с тождеством коммутативности [4] или антикоммутативности [5]. В каждом указанном классе существуют ровно два почти нильпотентных многообразия полиномиального роста. Полиномиальный рост кажется естественным для почти нильпотентных многообразий, однако построено и хорошо изучено почти нильпотентное многообразие экспоненциального роста с экспонентой, равной двум [6, 7]. В ряде случаев удалось лишь установить существование почти нильпотентных многообразий. Так, доказано, что они существуют для некоторой дробной [8] и любой целой экспоненты [9]. Дополнительную информацию о данном направлении исследования можно найти в обзоре [10]. Одним из последних результатов является построение счетного множества почти нильпотентных многообразий линейного роста на основе бесконечных периодических слов в алфавите из двух символов [11]. Цель настоящей работы — анонсированное в [12] построение несчетного множества почти нильпотентных многообразий полиномиального роста.

Основное поле обозначим через Фив относительно свободной неассоциативной алгебре счетного ранга Ф(Х, V) = $(X)/Id(V) многообразия V рассмотрим подпространство полилинейных элементов Pra(V) = Рп/(Рп П Id(V)) степени п = 1,2,... от образующих х\,..., хп. Так как Ф имеет нулевую характеристику, то алгебра Ф(Х, V) полностью определяется последовательностью своих подпространств {Pn(V)}n^i, а асимптотическое поведение последовательности коразмерностей

1 Мищенко Сергей Петрович — доктор физ.-мат.наук, проф. каф. прикладной математики ф-та математики, информационных и авиационных технологий Ульянов, гос. ун-та, e-mail: mishchenkospQmail.ru.

2Панов Николай Петрович — асп. каф. прикладной математики ф-та математики, информационных и авиационных технологий Ульянов, гос. ун-та, e-mail: nppanovQyandex.ru.

сп{\1) = (ИтР^СУ), определяет рост многообразия V. Рост называют полиномиальным, если существуют такие константы а ^ 0, т ^ 0, что для любого п ^ 1 выполняется неравенство Сп(у) "С апт. При т = 2 говорят о квадратичном росте. Нилыютентным называют такое многообразие, в последовательности коразмерностей которого начиная с некоторого номера все элементы равны нулю. Хорошо известно, что пространство Рп(\), п ^ 1, является вполне приводимым модулем симметрической группы, поэтому соответствующий кохарактер ХгаС^О раскладывается в сумму неприводимых характеров ха с кратностями т\(У):

Хп(У) = ^тл( У)Хл,

Х\~п

где суммирование выполняется по всем разбиениям Л числа п, А Ь п. Так как в рассматриваемом случае ассоциативность умножения не предполагается, то пусть Т — некоторая расстановка скобок на мономах степени п. Введем обозначения Ргат(V) для соответствующего Т пространства полилинейных элементов и Хп(У') Для ег0 числовых характеристик. Очевидно, пространство Рп(У) является (необязательно прямой) суммой пространств Рп(У) для всех различных Т.

В свободной алгебре Ф(-Х") с помощью Ьх и Кх обозначим операторы левого и соответственно правого умножения на образующую х. Например, у2ЬхКх = (х(уу))х. Любую последовательность операторов Ьх, Кх длины п можно закодировать словом V = У\У2    Уп, г^ € {0,1}, в котором договоримся вместо Ьх писать 0, вместо Кх — соответственно 1. Результат обратной замены обозначим через у(х) = у\(х)у2(х) ... уп(х), у^х) € {Ь Х,НХ\. Заметим, что у(х) <Е Епс1(Ф(^Г)). Мы используем данные обозначения для представления подслов слов Штурма в виде композиций операторов умножения.

Словом Штурма называют бесконечное слово ги, в котором для любого п ^ 0 существует ровно п + 1 различных подслов яп™, г = 1,...,п + 1, длины п. Ясно, что алфавит всех таких слов состоит из двух символов. Словом Штурма, например, является слово Фибоначчи гирв = 0100101001001010010100100101001... , которое определяется так называемым морфизмом 0. Мор-физм ф действует на символах алфавита {0,1} следующим образом: 0(0) = 01,0(1) = 0, т.е. 0(0) = 01, 02(О) = 0(0)0(1) = 010 и так далее, и по определению изрв = Ип^-^оо 0га(О). В силу эквивалентного геометрического определения слов Штурма как иррациональных механических слов [13, теорема 2.1.13] каждому иррациональному числу из отрезка [0; 1] соответствует хотя бы одно слово Штурма. Мы рассматриваем континуальное множество слов Штурма, соответствующих различным иррациональным числам из отрезка [0; 1]. Из приведенного выше определения следует, что для любого и ) 0 в слове Штурма IV среди всех подслов длины п существует единственное правое специальное подслово 1 ^ ] ^ п + 1, такое, что каждое из слов и)™0 и «;™1 является подсловом и). Из определения правого специального подслова и утверждения 2.1.19 работы [13] получим, что для каждого л ^ 0 в слове IV существует единственное левое специальное подслово из'^, 1 ^ к ^ п + 1, для которого 0«;]? и 1«;]? являются подсловами «;. Прямым следствием утверждения 4.1 [14] является равномерная рекуррентность всех слов Штурма. То есть в слове IV для каждого из™, + найдется такое натуральное N>71, что любое слово из1?, 1 ^ ] ^ N + 1,

имеет своим подсловом и)™.

Результаты, полученные в настоящей работе, относятся к собственным подмногообразиям многообразия = уаг(А), определяемого однопорожденной свободной метабелевой алгеброй А [15]. Все ненулевые мономы алгебры А степени не меньше трех по единственной образующей а в силу тождества (1) имеют вид а2г>(а), где V — некоторое двоичное слово. Также известно, что для любой расстановки скобок Т кохарактер Хп(У^а), п ^ 2, имеет следующее разложение:

Хп

Зафиксируем слово Штурма «;. В алгебре А определим идеал //г, порожденный элементами вида а2у(а), где слово V не является подсловом слова «;. В фактор-алгебре Аш = А/Гш смежные классы будем обозначать с помощью своих представителей. Тогда в алгебре Аш все ненулевые мономы степени п ^ 3 будут иметь вид (аа)гу™_2(а), 1 ^ г ^ п — 1. Для каждого п ^ 3 множество всех таких расстановок скобок Т обозначим через Тп. Многообразие, порождаемое алгеброй Аш, обозначим

= уаг (Аш).

Лемма. Пусть расстановка скобок Т € Тп, п ^ 3; соответствует некотором у подслову к;™-2 слова Штурма из, тогда ^/„^(У-ш) = 1- При этом если только одно из слов Ого™-2, является

подсловом уи, то \11)) = 1, с^У«,) = п. Если одновременно 0«;™ 2 и 1-ш™ 2 являют,ся

подсловами уи, то -^(У^) = 2, = 2п — 1.

Доказательство. Многообразие V«, — собственное подмногообразие многообразия У^, поэтому из разложения (2) имеем неравенства 0 ^ т(у1)С^«>) ^ А) = 1 и 0 ^ 1)С^го) ^

-^(Уа) = 2. Так как сЬагФ = 0, то в силу эквивалентности полилинейных и соответствующих полиоднородных тождеств и по лемме 2 работы [16] кратности т^^Ущ), тгп^п_1^(^ад) равны числу линейно независимых полиоднородных элементов, построенных по таблицам Юнга диаграмм (п) и (п —1,1) соответственно. Диаграмма Юнга разбиения (п) имеет единственную стандартную таблицу и единственный полиоднородный элемент д^{х) = ж2«;™-2(ж). Так как а2«;™-2(а) ф 0 в алгебре Ат, то 9(п)(х) ф 0 и (V«,) = 1.

В слове и)™ букву на позиции к, 1 ^ к ^ п, обозначим через тогда для диаграммы Юнга (п — 1,1) Ь п все полиоднородные элементы имеют вид

9о{х 1,Ж2) = Х1Х2Ю™~2(Х1) - Х2Х^~2(Х1),

ду(х1,х2) = х1х^'^2(х1)... у^~2(х2) . . . ^~2_2(х 1) - х1х2уи'1~2(х1),

где ] = 1,    ,п — 2. Рассмотрим результаты ф(дк), к = 0, ...,п — 2, различных нетривиальных подстановок элементов алгебры Аш, где х\ = аа + а2и(а), х2 = (За + а2у(а):

гр(до) = аа~1 (а2у(а)Ьауи(а) — а2у(а)Кауи(а)) + ап~213[а2и(а)Кауи(а) — а2и(а)Ьауи(а)),

= ап~2 (За2и(а) Ьауи(а) — ап~1а2у(а)Ьауи(а),

где и(а),у(а) € Епс^Ац,), j = 1,...,п — 2. Пусть только О«;™-2 не является подсловом и), тогда многочлены д^, ] = 1 ,...,п — 2, тождественно равны нулю, линейно независимый элемент один, 1)С^"ги) = 1- Иначе если I«;™-2 не является подсловом «;, то а2и(а)Кауи(а) = а2у(а)Кауи(а) = 0, все дк, к = 0, ...,п — 2, линейно зависимы и V«,) = 1. Когда оба слова О«;™-2, I«;™-2

являются подсловами го, линейно независимых элементов два и ^(Ую) = 2. По формуле

крюков размерности неприводимых подмодулей модуля Рп^Уги) Для диаграмм (п), (п — 1,1) равны 1 и п-1 соответственно. Таким образом, в первом и втором случае с^(Ук,) = п, в последнем <£(= 2п - 1. Лемма доказана.

Теорема 1. Многообразие гс?е уи — слово Штурма, имеет квадратичный рост, сп(Уад) = п2 - 1, п ^ 3.

Доказательство. Зафиксируем п ^ 3. Из определения алгебры Ащ имеем Р^У«,) С М(Уад) для всех Т При этом в алгебре Ац, элементы а2«;™-2(а), г = 1,..., п — 1, линейно независимы в

совокупности. Так как каждому из них соответствует единственная расстановка скобок Т € Тп, то выполняется равенство

Рп

тет„

Среди всех подслов к;™-2, 1 ^ % ^ п — 1, слова уи есть только одно левое специальное, и по лемме только для одной расстановки скобок Т € Тп имеем = 2п — 1. Для оставшихся п — 2 подслов

с^(У«,) = и. Учитывая, что в разложении (3) сумма прямая, получаем равенство сга(Уад) = (п — 2)п + 2п — 1 = п2 — 1. Теорема доказана.

Теорема 2. Многообразие г<9е уи — слово Штурма, является почти нильпотентным.

Доказательство. В силу равенства сЬагФ = 0 в каждом собственном подмногообразии \¥ многообразия Уад выполнено полилинейное тождество некоторой степени п, которое не выполнено в VНильпотентность многообразия \¥ в случае п = 1 или п = 2 очевидна. Так как в алгебре Ат все ненулевые мономы степени п ^ 3 имеют вид а2«;™-2 (а), 1 ^ % ^ п — 1, то, чтобы доказать нильпотентность многообразия \¥, достаточно для некоторого Жо 1 получить систему тождеств (уг)уи^(х) =0, г = 1,... , ТУ + 1, ТУ ^ ТУо- В рассматриваемом полилинейном тождестве некоторый ненулевой моном во внутренних скобках содержит произведение г ф Подставим вместо Xi

произведение ух и отождествим все остальные образующие. Получим полиоднородное следствие вида /(х,у,г) = аг(.Уг)и}7~1(х') = 0, од € Ф, которое также не выполняется в \11).

Применим индукцию по числу ненулевых слагаемых в тождестве f(x,y,z) = 0. Пусть сначала для некоторого к, 1 ^ к ^ п, тождество имеет вид ak(yz)w^~1 (х) = 0. В силу равномерной рекуррентности слова Штурма w для подслова wJ?-1 найдется такое натуральное No > п — 1, что слова , г = 1,..., No + 1, имеют wr¡T1 своим под словом. Чтобы из исходного тождества получить систему следствий (yz)w^° (х) = 0, г = 1,..., No + 1, достаточно подходящим образом последовательно подставлять вместо yz произведение (yz)Lx или (yz)Rx и домножать слева или справа на образующую x. Ясно, что все подслова длины n > no слова w имеют какое-либо из слов , 1 ^ j ^ A^o + l, своим подсловом. Следовательно, мы доказали нильпотентность степени No + 2.

Пусть теперь в рассматриваемом тождестве f(x,y,z) = 0 для некоторых к,1, к ф I, коэффициенты oik, ai отличны от нуля. И пусть по предположению индукции если число отличных от нуля слагаемых в некотором следствии д(х, у, z) =0 из f(x, у, z) =0 меньше, чем в тождестве f(x, у, z) = 0, то из тождества д(х, у, z) =0 получаем нильпотентность многообразия W. Зафиксируем минимальное натуральное n\, при котором любое слово wf1, 1 ^ г ^ ni + 1, имеет wr¡t1 своим подсловом. Правое специальное подслово длины Ni обозначим через w^1 и с помощью рассуждений выше получим следствие

g

где w' — некоторое двоичное слово длины Ni. Если w' не является подсловом w, то (yz)w'(x) = 0 и по индукции получим требуемое. В противном случае «/ не является правым специальным подсловом и только одно из слов «/0 или w'l является подсловом w. Пусть «/0 (соответственно к/1) — подслово w, тогда домножим тождество (4) справа (соответственно слева) на образующую х и получим следствие, в котором моном с коэффициентом a¡ тождественно равен нулю. Теорема доказана.

Пусть wi, W2 — слова Штурма, соответствующие различным иррациональным числам. Тогда множества всех подслов конечной длины слов wi, W2 имеют конечное пересечение [13, утверждение 2.1.18], и по определению идеалов Id(VWl), Id(VW2) существует тождество, которое выполняется в многообразии VWl и не выполняется в VW2, и наоборот, т.е. эти почти нильпотентные многообразия различны. Таким образом, полученное множество почти нильпотентных многообразий является несчетным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods // Math. Surv. and Monogr. Vol. 122. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2005.

2. Фролова Ю.Ю., Шулежко O.B. Почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница // Прикл. дискрета. матем. Томск. 2015. № 2(28). 30-36.

3. Mishchenko S., Valenti A. On almost nilpotent varieties of subexponential growth //J. Algebra. 2015. 423. 902-915.

4. Чанг H.T.K., Фролова Ю.Ю. Почти нильпотентные коммутативные метабелевы многообразия, рост которых не выше экспоненциального // Междунар. конф. "Мальцевские чтения": тез. докл. 2014. 119.

5. Мищенко С.П., Шулежко О.В. Описание почти нильпотентных антикоммутативных метабелевых многообразий с подэкспоненциальным ростом // Междунар. конф. "Мальцевские чтения": тез. докл. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2014. 110.

6. Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Isr. J. Math. 2014. 199. 241-258.

7. Шулежко O.B. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два // Изв. Саратов, ун-та. Новая серия. Матем. Механ. Информ. 2014. 14, вып. 3. 316-320.

8. Мищенко С.П. Почти нильпотентные многообразия дробной экспоненты существуют // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 3. 42-46.

9. Мищенко С.П., Шулежко О.В. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 2. 53-57.

10. Шулежко О.В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр // Че-бышёвский сборник. 2015. 16, вып. 1. 67-88.

11. Мищенко С. П. Бесконечные периодические слова и почти нильпотентные многообразия // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 4. 62-66.

12. Мищенко С.П. Метабелевы почти нильпотентные многообразия полиномиального роста // Мат-лы междунар. конф. по алгебре, анализу и геометрии. Казань: Казан, ун-т; Изд-во Академии наук TP, 2016. 247-248.

13. Lothaire М. Algebraic combinatorics on words. Camdridge: Cambridge University Press, 2002.

14. Vuillon L. A characterization of Sturmian words by return words // Eur. J. Comb. 2001. 22, N 2. 263-275.

15. Мищенко С.П., Верёвкин А.Б. О многообразиях с тождествами однопорожденной свободной метабелевой алгебры // Чебышёвский сборник. 2016. 17, № 2(58). 21-55.

16. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Матем. заметки. 2006. 79, № 4. 553-559.

Поступила в редакцию 01.03.2017

УДК 511.3

ОБ ОДНОЙ КУБАТУРНОЙ ФОРМУЛЕ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В. Н. Чубариков1, М. Л. Шарапова2

Найдены новые многомерные кубатурные формулы для периодических функций, использующие китайскую теорему об остатках. Это позволило учесть "равноправность" всех переменных и "равномерность" распределения точек для формул численного интегрирования.

Ключевые слова: кубатурные формулы, китайская теорема об остатках, ряды Фурье.

New many-dimensional cubature formulas are obtained for periodic functions with the use of the Chinese remainder theorem. This allows us to take into account the "equality" of all variables and the "uniformness" of distribution of nodes in numerical integration formulas.

Key words: cubature formulas, Chinese remainder theorem, Fourier series.

1. Введение. Пусть x = (xi,..., xn) € Rra, m = (mi,..., mn) € Zra, (m, x) = т\Х\ + ... + mnxn, /(x) — функция, имеющая периоды по всем переменным х\,... ,хп, равные единице, и пусть /(х) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье вида

оо оо

Дх)= Е ••• Е с(т)е2-^),

mi =—оо тп =—оо

где

1 1

с(т) = /•••/ /(х)е"2^(й1'я) dx 1... dxn. о о

Заметим, что

1 1

с(0) =/(/) = J ... J f(xi,... ,хп) dxi... dxn.

о о

Пусть, далее, натуральное число N представляется в виде N = N\... Nn, где N\,..., Nn х Nl/n, (Ns,Nt) = 1 при s ф t, 1 ^ s,t ^ п. Найдем, наконец, для Ms, определяемого условием MSNS = N, вычеты M* из сравнения MSM* = 1 (modiVs), 1 ^ s ^ п (см. китайскую теорему об остатках).

Определим класс Е^ = Е%(С) периодических по каждой переменной с периодом 1 функций вида

/(х) = ^с(т)ехр2тп(т,х),

т

1 Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubariklQmech.math.msu.su, chubarik2009Qlive.ru.

2Шарапова Марина Леонидовна — ст. иреп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: msharapovaQlist .ru.