Мультифрактальная модель телекоммуникационного трафика, основанная на каскадах

УДК 621.396.67

Мультифрактальная модель телекоммуникационного трафика, основанная на каскадах

О.И. Шелухин, Я.М. Разумов

Рассмотрен метод описания и моделирования трафика с помощью бинарных мультипликативных мультифрактальных каскадов.

Methodology of the description and simulation for traffic with the help of binary multiplicative multifractal cascades is considered.

Постановка задачи

Результаты исследований подтверждают что телекоммуникационный трафик, как правило, является мультифрактальным [1,2]. Поведение сетевого трафика на малых масштабах времени (от микросекунд до миллисекунд) может быть обусловлено системными аппаратными средствами и программным обеспечением (например, размеры пакета, продолжительность обработки прерывания, сетевые интерфейсы, скорость связи), в то время как поведение сетевого трафика на средних масштабах времени (от миллисекунд до секунд) может быть обусловлено сетевыми протоколами (например, время прохода туда и обратно, скопление трафика управления потоком данных, обратная связь). И, наконец, поведение трафика на больших масштабах времени (от секунд до часов) обусловлено поведением пользователей (например, передача файла, время на принятие решения, прикладное программное обеспечение). Проблема описания и моделирования подобного трафика до настоящего времени не решена.

К числу возможных способов описания и моделирования мультифрактального случайного процесса можно отнести модели, основанные на свойствах бинарных мультипликативных мультифрак-тальных каскадов.

Очевидно, что модель одновременно должна обладать двумя качествами: быть достаточно простой (для возможного быстрого синтеза) и численно стабильной в алгоритмическом смысле. В случае моделирования процессов мультипликативных каскадов основной задачей является оценка распределения множителей, которые выбираются для генерирования каскада. Метод оценки распределения множителей заключается в их генерации с последующей оценкой параметров этого распределения. Затем должна быть сделана параметризация модели. Хорошая модель включает в себя немного

параметров, что делает анализ простым. Также необходимо исследовать и устойчивость модели с небольшими возмущениями параметров.

Структура модели

Бинарная структура каскада используется из-за ее относительной простоты. При моделировании необходимо соблюдение следующих условий:

1) данные должны всегда быть положительными;

2) данные должны иметь негауссовское распределение (тяжелые хвосты).

Эти условия очевидны, поскольку данные, которые требуется моделировать (время между прибытиями), не могут принимать отрицательных значений. На рисунке отображен принцип моделирования, учитывающий эти условия.

Рисунок. Структура бинарного каскадного процесса

Как видно из этого рисунка, первичная мера делится на две составляющие путем умножения на коэффициенты г и (1 - г). Множитель г является случайной переменной, выбранной из распределения вероятностей /И] (г), 0 < г < 1, где ] - этап кас-

када. Этот процесс повторяется на каждом этапе, приводя к мультипликативному каскаду.

Основные параметры, которые нужно оценить, это параметры распределения множителя уК/(г). Допустим, что //г) симметрично относительно г, так что г и (1 - г) имеют одно распределение вероятности. Пусть ХгЫ, г = 1, ... , 2 - обозначение процесса, полученного в результате вышеуказанной конструкции на этапе N. Каждая точка в последовательности Х,ы может быть записана как продукт перемножения нескольких случайных переменных - и\Ы2...иЫ, где щ (/=1,...Ы) -либо г, либо (1 - г), который является множителем нау-м этапе. Алгоритм оценки параметров распределения множителя следующий.

Данные на Ы-м этапе будут ХгЫ , г =1,...,2Ы, (с временным разрешением 2Ы), данные на (Ы - 1)-м этапе получаются группировкой последовательных величин этапа N по неперекрывающимся блокам размера 2. Аналогично, задавая данные на более грубой шкале (Ы - у), ХгЫ -1 , г = 1,..., 2Ы - }, получаем данные на (Ы-у-1)-м этапе (меньшее разрешение), добавляя последовательные величины на каждом /-м этапе по неперекрывающимся блокам размера 2:

хЫ:1-1 = хЫ:

Процедура заканчивается, когда составные значения формируют одну точку на более грубой шкале.

Оценку множителей для перехода с 1-го этапа на (/+1)-й этап можно получить как

ХЫ-1

' — для г = 1,...,2Ы'1'1.

х

N : ]-

2г—1

Будем рассматривать (г/, г=1,..., 2 "1" } как выборки распределения множителя /Яг(г) на у-м этапе. Распределение множителя на шкале у можно получить из гистограммы г/г). Суммируя данные, получаем распределения множителя для различных шкал.

Исследования показывают, что множители можно моделировать, используя гауссовские распределенные случайные числа. Из распределений, полученных на каждом этапе, можно оценить изменение каскада на любом из соответствующих этапов. Недостатком такой модели генерации каскада является следующее: распределения не параметризуются и не связаны, даже если все они принадлежат одному семейству. Изменение дисперсий распределения множителя параметризуются путем аппроксимации зависимости а2(к), где

к - шкала моделируемого процесса. Параметризованное изменение дисперсии на каждом этапе, накладываемое на фактическую дисперсию, меняется в течение этапа.

Алгоритм синтеза

Синтез начинают с самого грубого значения множества путем умножения его на значение множителя, выбранного из распределений Гаусса с дисперсиями, оцененными на фазе оценки. Алгоритм синтеза трасс следующий:

Шаг 1 . Начнем с начальной (самой грубой) величины множества, полученной в фазе оценки.

Ш а г 2 . На г-м этапе генерируем случайные числа из N(0,5, а,2), где аг2- дисперсия на г-м этапе.

Шаг 3 . Умножаем начальную величину множества на множители, сгенерированные на каждом этапе из распределений, упомянутых ранее, для получения мультипликативного каскада.

Тест на устойчивость параметрической модели

Поскольку параметрическая модель доступна, устойчивость исполнения модели с изменением дисперсии следует протестировать. Для этого обычно задают верхние и нижние 10%-ные пределы изменения отдельных дисперсий. Мультифрак-тальный спектр у(а) может оцениваться с помощью процедур, рассмотренных в [2]. Обычно изменение нижнего предела не сильно воздействует на спектр, тогда как верхний предел четко показывает намного большее изменение спектра в области а > 1. Это особенно важно, поскольку диапазон величин в области а < 1 вносит вклад в пульсации, возникающие в процессе. Поскольку устойчивость модели доказана, можно приступить к нахождению дисперсии, изменяющейся в процессе синтеза каскада, которая максимально влияет на отклонение от величины а. Для этого надо поочередно изменить дисперсии на 10% вверх и вниз и сгенерировать процесс. Мультифрактальные спектры вычисляются для каждой полученной трассы и сравниваются между собой. Интервал от ат1П до атах показывает, в каких приемлемых пределах сохраняется заданный процент ошибок при изменении дисперсии.

Пусть g(i) и С(г) - обозначения параметров сгенерированных и эталонных данных. Тогда можно вычислить ошибку е(г), применив формулу

е(г) =

g

С

•100%.

Статистика обработки мультипликативного каскада

Оценим выражения для статистики бинарного каскада. Допустим, что все множители выбраны из одного распределения /К(г) на каждом этапе процесса конструирования каскада. Поскольку рассматривается бинарный каскад, на конечном Ы-м

этапе найдется 2 точек ^, где каждая точка может быть представлена как

^ = г1г2 ,

где тг, г=1,...,Ы - множители на каждом этапе, которые независимы и идентично распределены со средним значением, равным 1/2, и вторым центральным моментом ^2.

При этом

] = Е[^ - (М[wn])2)] = М[w2] -

и I 1 I = I 1 I

= М[(гг •••гы)2]— |^ =£ — ^.

Выражение для дисперсии в (6) справедливо для случая, когда каскад создан множителями, имеющими одну и ту же дисперсию на каждом этапе. Вторые моменты на каждом г-м этапе связаны степенной зависимостью

М[г2] = С{М[г2]} = С

где С - константа; /л2 - второй момент распределения множителя на 1-м этапе.

Предполагая независимость сомножителей, можно записать выражение

1

а[М>п] = М[(г1г2 •••г„)]-| 2 I =

= С' (ъ)М-I1

где М = 1+2+ ... +Ы.

Моменты группировок можно получить следующим образом:

1т 1т

мАч)=—£^=_£

т г=1 т г=1

где - д-й момент распределения множителя.

Выражение (9) используется в том случае, когда распределения множителя остаются постоянными на каждом этапе генерации каскада. Если д-й момент меняется с номером этапа по степенной зависимости как

м,= С

где С - константа; - д-й момент распределения

множителя на 1-м этапе, то выражение для Ме(д) принимает вид

МДд) = Сы

где М = 1+2 + ... +Ы.

Глобальный параметр масштабирования

Хотя мультифракталы и связаны с локальными законами масштабирования и локальными показателями Холдера [1,2] , их также можно связать с глобальным законом масштабирования. Это существенно упрощает анализ систем, в которых наблюдаются мультифрактальные процессы, подобно исследованию заполнения очередей с мультифрак-тальными процессами. Воспользуемся результатами теории самоподобных процессов, приведенными в [2]. Пусть Х(0 - самоподобный процесс с параметром Херста Н, нулевым средним и дисперсией а, для которого хорошо выполняется следующее отношение:

X

где распределение равномерное.

Процесс Х(і) может иметь функцию ковариации, задаваемую соотношением

2

М [X

Определим новый процесс У(і) = Х(і) - Х(і - 1), который является процессом приращения соответствующего Х(і), выбранного для каждого целого момента. Характеристики долгосрочной зависимости процесса приращения можно получить из анализа процесса ковариации У(і). Суммарный процесс У(і) также имеет свойство самоподобия. Это можно установить следующим образом, воспользовавшись равенством распределений:

у=т 1у ° ^2 (т)+.+у (1)}=

ІІ 1 І

= - 2Х (т ) - Х (т - 1)) +... + (Х С1)- Х (0 ))} =

т

=1 {Х (т)- Х (0)}=тН-1 {Х (1) - Х (0)}=

т

=тН-1У (1).

Статистика суммированных данных выражается в виде

М [У ] = М\тН -1У (1)] = 0,

а

[Y]- М (—H-1Y (l))2

- —

2М

Y С1)1

м„2 H-2^2

- — а .

Соотношения (15) и (16) являются важными, поскольку показывают изменение дисперсии как функцию параметра агрегирования т. Линейную регрессию между ними можно получить по логарифмической шкале как

1с^2 {а2

Заметим, что параметр Херста Н присутствует и в (17).

Получим аналогичное отношение для мультипликативного каскадного процесса, после чего, сравнив его с (17), получим выражения для глобального показателя масштабирования Неіі в случае каскадного процесса.

Пусть агрегированный процесс ^т) определяется как

W(—) -

1 к—

1 I

— (к-1)-+

W,

(к-1)—+1

и пусть т=2к такое, что Жт) - масштабированный коэффициент каскада на (Ы - к)-м этапе:

W(—> - 2-kw

(N-k)'

Вариация агрегированного процесса Ж'т) находится следующим образом:

а2 (ж (т)) = а2 (2—'^к)) =

- М

{(2 - W -к))-М (-‘W„-Ч)}2

{2

- М {2-к w.

2

>-к)}

-М2 [2-kW( N-к)] .

Используя статистические свойства каскада, можно упростить (20), преобразуя его к следующему виду:

. 2

а

(w(—))- 2-2k (м2)N-k - 2-2k 111 j

где Кх= -1о§2(4^2); К2=\о^2(И21Ы).

Сравнивая (17) и (20), можно увидеть аналогию между составляющими:

К ~ (2Н — 2) => — 1о82 (4м2 ) ~ (2Н — 2) .

Аналогично параметру Херста в монофракталь-ном случае процесс мультипликативного каскада может рассматриваться как имеющий глобальный параметр масштабирования, соответствующий параметру Херста Нед, заданный выражением

Н е*~1—

Отметим, что рассматривался случай, когда второй момент множителей остается постоянным на всех этапах процесса генерации каскада. Подобные результаты можно получить и для случая, когда второй момент (или дисперсия) меняется на каждом этапе генерации каскада [1]. Пусть второй момент на г-м этапе определяется вторым моментом на 1-м этапе отношением

М [щ2 ] = С

где ^2 - второй момент на 1-м этапе.

Определим агрегированный процесс Ж'т) как

-] гт

Ж

т к=(г —1)т+1

Пусть т=2к прежний, так что Жт) = 2-к W(Д_k), где W(N_k), - каскадный коэффициент на (Ы - к)-м этапе:

ст2 {ж<т)} = а2 {2—^

V(N-к)}

- М | {2-kwt

}2

- М2

2-kw,

- 2-2 N -

= МЫ (4М2 ) — 2—2Ы =

= МЫ

В случае, когда Ы (число этапов генерации каскада) очень большое, то элемент 2"2ДГ можно не принимать во внимание. Рассмотрим случай, когда значение Ы очень большое. Тогда, взяв логарифм, получаем:

1ое2 (ж (т))} = 1оЕ2 МЫ — 1оИ2 т {1оИ2 (4М2)} =

= К 1оя2 т + К2,

= 4-kM [( ...uN )2

= 4-kM [u2 ]... M [u^-k ]-2-2 N =

= 4-kCN-k (M2)Ml - 2-2N, где Mi = l +... + (N - k) = M - VN i.

V ' Z—n=N-k+1

Пусть m = 2 , тогда k = log2m. Как и в предыдущем случае, элемент 2-2N можно не учитывать, поскольку число этапов генерации каскада очень велико. Сделав замену в (26) и прологарифмировав обе стороны, получим:

log2 {<г2 (W(m))} =

= {-log2 m} 2 +

Заменой К1= -log2(4Q и K2=log2( ju2f C) выражение (27) можно упростить и записать как

log2 {a2

Сравнивая (17), (22) и (28), можно записать:

К =

Это означает, что параметр, подобный параметру Херста для самоподобного процесса, для процессов мультипликативных каскадов, созданных из распределений, где вторые моменты (или дисперсии) изменяются на каждом этапе заданным способом, - глобальный коэффициент масштабирования Heff - может быть записан так:

1

Hе* ~1 — log2 4C .

2

Таким образом, можно видеть, что для муль-тифрактальных процессов, созданных мультипликативными каскадами посредством модели гауссовского множителя с переменной дисперсией, существует глобальный параметр масштабирования Heff, который подобен параметру Херста H для мо-нофрактального процесса. Этот результат можно использовать, например, при анализе очереди в случае мультифрактального трафика.

Можно оценить характер распределения для данных, синтезированных с помощью мультипликативного каскада. Поскольку данные после N этапов конструирования каскада состоят из произведения N множителей, полученных из независимых распределений Гаусса, то согласно (4) можно записать выражение

N

z = log wN = V log Г ,

i=1

которое является суммой случайных переменных 1пгг. Используя центральную предельную теорему, для большого Ы распределение wN=eZ будет логарифмически нормальным. Гистограмма данных также показывает, что трафик, синтезированный с помощью каскадов, и трафик, измеренный на более тонком интервале, действительно обладают распределениями с тяжелыми хвостами.

Таким образом, мультипликативные каскадные процессы могут рассматриваться как процессы, обладающие глобальным показателем масштабирования ИеК, сходным с монофрактальными процессами. Вследствие этого известные результаты анализа организации очереди в случае монофракталь-ного трафика могут быть обобщены до мультиф-рактального случая. Хотя это грубая аппроксимация, которая не отражает всей сложной структуры масштабирования, присутствующей в мультифрак-тальном процессе, однако она может использоваться для оценки различных параметров организации очереди. Этот параметр помогает распространить теорию очередей, разработанную для монофрак-тальных процессов, на процессы бинарных каскадов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях/ Под ред. О.И. Шелухина. - М.: Радиотехника, 2003.

2. Sheluhin O.I., Smolskiy S.M., Osin A.V. Self-similar processes in telecommunications. - John Wiley & Sons, 2007.

Поступила 17. 01. 2007 г.