Квазиоптимальные оценки времени прихода и дисперсии случайного импульсного сигнала с произвольной модулирующей функцией

Таким образом, теоретически получено аналитическое выражение для критерия обнаружения периодических сигналов малой длительности спектральным методом. Результаты численного моделирования обнаружения периодических сигналов малой длительности спектральным ме-

СПИСОКЛ

1. Дженкинс, Г. Спектральный анализ и его приложения [Текст]/Г. Дженкинс, Д. Ваттс.-М.: Мир.-1971. -Вып.1.-316 с.

2. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях [Текст]/Ж. Макс.-М.: Мир.-1983.-Т. 1.-312 с.

тодом и оконным спектрально-статистическим методом удовлетворительно согласуются с теоретическими оценками. В ходе численного моделирования спектрального и оконного спектрально-статистического методов показано, что последний имеет более высокую эффективность.

ГЕРАТУРЫ

3. Фано, Р. Передача информации. Статистическая теория связи [Текст]/Р. Фано.-М.: Мир.-1965.-438 с.

4. Останин, С.А. Корреляционный метод поиска скрытых периодичностей в кинетике генерации лазера [Текст]/С.А. Останин, Г. А. Семёнов/Научно-технические ведомости СПбГПУ-2009.-№ 3 (83).-С. 88-94.

УДК 621.391

О.В. Чернояров, А.Е. Розанов

КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ВРЕМЕНИ ПРИХОДА И ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА С ПРОИЗВОЛЬНОЙ МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИЕЙ

Под случайным импульсным сигналом с произвольной модулирующей функцией будем понимать мультипликативную комбинацию вида [1-3 и др.]:

«ьад/^/^и,-!;-

I х М * ) [0, >1/2.

Здесь 'к0 - время прихода; т - длительность; /(^ -модулирующая функция; £(?) - реализация стационарного центрированного гауссовского случайного процесса, обладающего спектральной плотностью

£2 ) у О

В - центральная частота; О - ширина полосы частот; П0 - дисперсия процесса £(?).

Полагается, что флуктуации £(?) являются «быстрыми», т. е. длительность импульса т и характерное время изменения М функции/(?) существенно превышают время корреляции процесса £(?), так что

т >> 2п/ О, М >> 2п/О.

В [3] рассмотрена задача оценки времени прихода гк0 сигнала (1), наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума и(?) с односторонней

спектральной плотностью при условии, что все остальные параметры импульса априори известны. Однако в ряде практических задач дисперсия П0 процесса £(?) может быть неизвестна. В этой связи представляет интерес найти структуру и характеристики измерителя времени прихода и дисперсии сигнала (1).

При синтезе алгоритма оценки воспользуемся методом максимального правдоподобия [4, 5]. Согласно этому методу необходимо формировать решающую статистику - логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) Ь(Х, П) - как функцию текущих значений X и П неизвестных параметров Х0 и П0 . При выполнении (3) согласно [2] имеем

П 1,2

l{x,d)=—M(X,D)-H f In

Д7 J

-1/2

1+^-f2

dt,

M(XD)-7 n^hh2(t)dt M{KD)\l2EN+Dnt-mdt'

где ц = xQ/2n, En = NQQ/2n - средняя мощность шума n(t) в полосе частот процесса £(t), а y(t)= i x(t')h(t-t')dt' - отклик фильтра, пере-

J—oo

даточная функция Н(ю) которого удовлетворяет условию |Я(ю)| 2 = /[(В - ш)/П] + /[(В + ш)/П], на реализацию наблюдаемых данных х(?) = s(t) + и(?).

Тогда оценки максимального правдоподобия (ОМП) Хт и Вт времени прихода Х0 и дисперсии В0 случайного импульса (1) определятся как положение наибольшего максимума решающей статистики ¿(Х0, В):

От = а^вирь

Нетрудно заметить, что измеритель (5) имеет многоканальную структуру, причем для точной его реализации необходимо бесконечно большое число каналов, что вряд ли возможно на практике. В этой связи представляется целесообразным поиск одноканальных квазиоптимальных алгоритмов оценивания временного и энергетического параметров сигнала (1), близких по своим точностным характеристикам к оптимальному (5).

Аналогично [4, 5] можно показать, что ОМП Xт ^ X0 в среднеквадратическом, когда ц ^ да . Тогда, согласно [6], характеристики ОМП Вт (5) асимптотически (с ростом ц) совпадают с характеристиками оценки

Вт0 = а^ир ¿

В>0

Измеритель (6) также в общем случае допускает лишь многоканальную реализацию. При этом минимальное рассеяние У^ оценки (6), определяемое формулой Крамера-Рао [4], имеет вид:

v  =-

ТП1Т1

= е2

й1

(Ю

-ь{х0,о)

о=Д,

1/2

где д0 = В0/Еы. Как отмечено в [4], рассеяние ОМП (6) асимптотически (с ростом выходного ОСШ) совпадает с (7).

Рассмотрим вместо ОМП Вт0 (6) квазиоптимальную оценку (КОО) дисперсии В?0. Синтез КОО В?0 будем проводить, исходя из критерия близости ее рассеяния к минимальному (7) при условии возможности ее технической реализации в виде одноканальных устройств. Кроме того, в некоторых предельных случаях КОО В?0 должна переходить в ОМП Вт0. В результате приходим к оценке вида

Д?0=тах[0;

Я+т0/2 1/2

м{х)= ¡у2к)ж, ^ = \г{г)с1г,

Х-т0/2 -1/2

обладающей следующими асимптотическими характеристиками

У2

-1/2

уг

//2(0л

-1/2

Здесь у(?) определяется так же, как в (4).

Согласно (7), (10) рассеяние оценки В?0 для широкого класса модулирующих функций /(?) при выполнении (3) отличается от предельно достижимого не более чем на 5 %. Если же /(?)=1, то рассеяния (7) и (10) совпадают, т. е. по мере приближения формы модулирующей функции /(?) к прямоугольной КОО (8) сходится к ОМП (6). Это позволяет рекомендовать для измерения дисперсии импульсного сигнала (1) в практических приложениях одноканальный алгоритм (8) вместо более сложного многоканального (6) без существенной потери в точности получаемой оценки.

При неизвестном параметре Х0 из (8) получаем оценку дисперсии:

^=тах[0;

где X д = ш^ир ¿(Х, В\ -

Хе[Л1,Л21

оценка времени прихода

импульса (1). Подставляя (11) в (4) и выполняя оптимизацию алгоритма оценивания, следуя [7], вместо оценки Хт (5) приходим к оценке времени прихода вида

X ч = а^ир М

Хе[Л1,Л2 ]

Оценки (11), (12) также будем называть КОО. Действительно, если /(?)=1, то КОО (11), (12) переходят в соответствующие ОМП дисперсии и времени прихода высокочастотного случайного импульса прямоугольной формы [8].

Измеритель (11), (12) временного и энергетического параметров импульсного сигнала (1) может быть реализован в виде, показанном на рис. 1. Здесь обозначено: 1 - ключ, открывающийся на время [Л1 — т/2,Л2 + т/2]; 2 - фильтр с передаточной функцией Н{в))ЦтК, (4); 3 - квадратор; 4 -интегратор; 5 - линия задержки на время т; 6 - вычитающее устройство; 7 - экстрематор, фиксирующий в качестве оценки Х? положение наибольшего максимума входного сигнала; 8 -

v<?

x{t)

-> 1 - 2

d

£

б

Т

Рис. 1. Квазиоптимальный измеритель времени прихода и дисперсии случайного импульса с произвольной модулирующей функцией

нелинейный элемент с характеристикой тах(0, х); 9 - стробирующее устройство, формирующее отсчет сигнала в момент времени t = X + т/2.

А те

Найдем характеристики оценок (11), (12). Для этого представим функционал М(Х) (9) в виде суммы сигнальной S(l) и шумовой N(1) функций [4, 5]:

М

где S

5

-1/2+шах

где А = тП0, а Е^^ определяется из

{N(1)) = 0,

; '

_ 2 р 2 Г 1/2+шш (0,гг-¡0,1г-/„) Г

И [ч/г+тахф./Но.'г-О

- 1] А + тах(о,1 - ^ - /21)| •

В процессе анализа все возможные оценки времени прихода импульса (1) разобьем на два класса: надежные и аномальные [4, 5]. Оценка 1ц q|Т является надежной, если она находится в пределах интервала Гх = [10 - 1, 10 + 1], где сигнальная функция (14) отлична от SN. Если КОО 1Ч находится вне интервала Г, т. е.

^ =г\Г, МлДД А,2 = Л12/Т,

то оценка и соответствующая ошибка оценивания называются аномальными [4, 5]. Учет аномальных ошибок необходим, если длина т = Л 2 - Л1

интервала Г возможных значений времени прихода l0 значительно больше протяженности интервала Г5 надежной оценки, т. е.

m >>1.

Согласно [4, 5] при выполнении (16) условные смещение b(lq|l0) = vq - l0) и рассеяние V(lq|l0) = = {(lq - l0)2) оценки l с учетом аномальных ошибок могут быть записаны в виде:

b(h |/„) = Р0Ь0 í \h)+ (1'" Ро) [ (Ах + Л2 )/2 -10 ],

+ (1 - Р0) [ (А] + А,А2 + А\ )/з -10 (Л, + Л2)+1¡ ].

Здесь bo(lq|lo), ^JU P0 = - l0l < 1] - соответственно условное смещение, условное рассеяние и вероятность надежной оценки l(12).

При нахождении b0(ljl0), V(ljl0) и P0 будем полагать, что выходное отношение сигнал/шум (ОСШ) z2 алгоритма (11), (12) достаточно велико, т. е.

_2_[S(I0)-SN]2 _

\[l + qj2{t)4dt

»1.

Неравенство (18) выполняется при выполнении (3) и не слишком малых ц0. Также будем считать, что /V) является четной функцией своего аргумента и не обращается в нуль в точках V = ± 1/2.

Можно показать, что с увеличением ОСШ г2 оценка I (12) сходится к истинному значению оцениваемого параметра 10 в среднеквадратиче-ском смысле [4, 5]. В результате для определения характеристик надежной оценки I при г2 >> 1 достаточно исследовать поведение функционала

M(l) (9) в малой окрестности точки l = l Обозначим А = max {l - l0|, |l2 - l0|, l - l2|}. Тогда с учетом (3) для (14), (15) при А ^ 0 справедливы асимптотические разложения

S(l) = AF2 +Sn —Af2 (1/2) \l-Ü + o(A),

(MOMO) = (^¿»{e-l-'2|-

- (l + ?o/2(0)2 -ijkixCO;/, - /0; /2-/„)-

- min(0; ^ -10; l2 - la)]}+ o(A),

где Q=¡^[l + q0f1(tjfdt.

Введем в рассмотрение разностный функционал

Здесь = ОтЩ/ц, Л 5 = [/0 - 5, 10 + 5], а 5 фиксировано и выбрано настолько малым, что при А < 5 выражения (19) можно аппроксимировать главными членами асимптотических разложений с требуемой точностью. Тогда при 2 >> 1 (18) функцию распределения -0(х|10) надежной оценки ¡ч можно представить в виде:

р0{х\10)=р[1<х]

= р

max <;(/) > max

1<х Их

SO)], 1'

хе Лх

^ =kz

Используя теорему Дуба в формулировке [9], можно показать, что процесс с;(1) на интервале Л 5 является асимптотически (при ц ^ да) гауссовским марковским случайным процессом диффузионного типа, коэффициенты сноса К1 и диффузии К2 которого при I > х определяются выражениями:

1, 1<10, -1,1>10,

К2 =[1 + (1 + 9о/2(1/2))2]/«2, * = /(1/2)М.

Здесь — рассчитывается согласно (9). Тогда на основе результатов работ [3,10] находим

У0

= 1З{1 + [1 + 9о/2(1/2)]2 }2/8ЦЧ4/8(1/2).

Точность формул (21) возрастает с увеличением ц и 2. При /(?) = 1 из (21) получаем известные выражения для условных смещения и рассеяния ОМП времени прихода случайного импульса (1) с прямоугольной модулирующей функцией без учета аномальных ошибок [10].

Из [3], (21) следует, что характеристики надежной КОО (12) совпадают с соответствующими характеристиками ОМП времени прихода сигнала (1) с априори известными остальными параметрами. Таким образом, в случае достаточно высоких выходных ОСШ алгоритм (12) может считаться эквивалентным (по точности выносимой оценки) оптимальному и быть рекомендован к использованию в практических приложениях для измерения времени прихода импульсного сигнала (1) вместо более технически сложного и требующего большего объема априорной информации МП алгоритмов (5) или [3], в т. ч., когда форма модулирующей функции импульса неизвестна.

Вычислим теперь вероятность Р0 надежной оценки I, для чего при выполнении (16) анало-

Ч

гично [3, 10] представим ее как

=

где ^ (к) = Р[Н„ /о„ < к],о ^ (к) = Р[Я5 /о5 < к], Я^ = БирМ(/), Н, =8ирМ(/) - абсолютные максимумы центрированного функционала М(1) = М{1)—8К на интервалах аномальной и надежной оценок соответственно, о2м = т2Е2и /ц, а интегрирование ведется по всем возможным значениям к. При выполнении (3), (16) вероятность -/к) можно записать следующим образом:

^(к) = РМ(0/о„<к =

= р[м{1)/с„ < к], 1е [л1л-1]^[;0+1,л2]. Здесь N(1) - асимптотически (при ц ^ да) гаус-совский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией (ЛГ(0#(/2)) = < тах(0Д-|/!-/2|). В [11] показано, что распределение числа выбросов стационарного центрированного гауссовского случайного процесса за уровень к является асимптотически пуассоновским при к ^ да. Тогда на основе результатов [5, 12] для -/к) получаем:

_2 V

РЛФ

ехр

тк

ехр

к ~2

, к>1;

0, к<1.

Точность формулы (23) возрастает с увеличением т и к.

Перейдем к определению вероятности -х(м), для чего перепишем ее как

^

Здесь ^(¡) = [М(1) - М^)]/^, к0 = №(¡0) - ^)]/ау Как следует из (19), реализации случайного про-

цесса с;0(/) с учетом его асимптотической гауссо-вости приближенно статистически независимы на интервалах [/0 - 5, /0) и [/0, /0 + 5]. Тогда для (24) имеем:

ф)=р

) = Р ?о(1) <к

_;„<;<;„+8 _

Нетрудно показать, что случайная величина к0 является асимптотически (при ц ^ да) гаус-совской случайной величиной с математическим ожиданием г (18) и единичной дисперсией. Тогда функцию распределения (25) можно представить в виде

Рз ^

причем, в силу симметрии статистических свойств функционала М(/) (9) относительно точки / = /0 ^(к) = ^2(к).

Вероятности ^(к), ^2(к) можно найти, используя марковские свойства процесса с;0(/). В результате, следуя [5, 10], для функций ^(к), ^2(к) получаем:

П^б+к

-ехр

К

Ф

2 У

1^18-к л/^2

Здесь К1 и К2 определяются из (20), а

ф(х)= (1/л/2л) /2) Ж - интеграл веро-

ятности. Подставляя (27) в (26), используя при г ^ да асимптотическое представление интеграла вероятности [5]:Ф(х)—>1 - ехр(- х2 и пренебрегая членами более высоких порядков малости по z, после выполнения операции интегрирования имеем:

-2 ехр

ф[к-г(\|/+1)]+

+ ехр[2\|^г2 +2\\1г(г-к)]ф[к-г(2\\1+1)].

Здесь ¥ = 2 к/К2 = 2<2Г (1/2)/^[1+(1 + ^0/(1/2))2].

Используя теперь аппроксимации (23), (28) в (22), для вероятности Р0 надежной КОО /^ находим

2уг

Р0=—<ехр

V*2

+щ2 |ехр

тк

Х^ехр

Ф

г ]

л/2л

ехр

V 2У

-ехр

~3у2г2 I Г 2К4] г-- Ф --г

2 к г ) г

• ¿к,

где г = ст3/сты =^. Полагая в (29) $1) = 1, получаем известное выражение для вероятности надежной оценки времени прихода прямоугольного случайного импульса [10]. Кроме того, при г > 1,5...2 вероятность (29) практически совпадает с вероятностью надежной оценки времени прихода сигнала (1) с априори известными остальными параметрами, найденной в [3]. Следовательно, измеритель (12) может быть использован вместо измерителей (5), [3] без заметной потери в точности выносимой оценки в широком диапазоне выходных ОСШ.

Найдем теперь характеристики КОО (11). С этой целью аналогично [10] запишем функцию распределения случайной величины и = [М(Х) - 8КГ]/ая как

Ри(х) = Е3(х) FN(гx),

если т >> 1, и

р,(х)=т,

если т < 1. Здесь ^Ц(х), FS(x) и г определяются из (23), (28) и (29) соответственно. Функция распределения Fq(x\D0) = Р[О? < х] оценки связана с функцией Fи(x) соотношением:

С учетом (32) для условных смещения = О-А) ирассеяния И0^) = {(О~О 0)) оценки О получаем:

=» о

У (о, | А,)- 2 _[(* - Л0) [ 1 - ^ {х\ Я0) ] еЬ + Д,2.

Выполнить интегрирование в (33) аналитически удается только для случая т < 1. Используя аппроксимацию (31) функции Fu(x), для характеристик оценки О (11) имеем:

1 + -

Ф(г)+

2

+ —¿-ехр

УР1\ у+1

[1-ф(г(¥+1))]-

- -^техр[ 2\|/г2 1) ] [ 1 - Ф(г(2¥ +1)) ]н 1

+-

ехр

г

т

-1

И», ««)="'']

х[1-ф(г(у + 1))]+

_ г2 2у2гл

1 4 2 еХР \|/г2

и ;

1 —

2\р

X ехр[2уг2 (\|/ + 1)][1-Ф(г(2\|/ +1)) ] -

z~J2к

1 —

ехр

V 2,

Точность формул (30), (32), (33) возрастает с увеличением ц, 2, т, а формул (34) - с увеличением Ц и 2.

Формулы (30), (32), (33) и (34) существенно упрощаются при весьма больших значениях ц (2), когда вероятностью Ра = Р[1 & Гя] = 1 - Р0 аномальной ошибки при оценивании времени прихода I можно пренебречь:

*№о) - 3О,/2^ - 0, КОО -

Таким образом, оценка О(11) является асимптотически условно несмещенной, а ее рассеяние согласно (10), (35) асимптотически (с ростом ц и 2) совпадает с рассеянием оценки О?0 (8).

Полагая в (30)-(34) Д?) = 1, получаем выражения для функции распределения и характеристик ОМП дисперсии случайного импульса (1) прямоугольной формы с неизвестным временем прихода [8, 10].

С целью проверки работоспособности предложенного измерителя (11), (12) и установления границ применимости асимптотически точных формул для его характеристик согласно методике, описанной в [10], было выполнено статистическое моделирование алгоритма (11), (12) на ЭВМ. Для сокращения затрат машинного времени использовалось представление отклика у(?) узкополосного фильтра с импульсной переходной функцией Ь(р) (4) через его низкочастотные квадратуры. С учетом условия узкополосности (2) это позволило формировать решающую статистику М(Х) (9) в виде суммы двух независимых случайных процессов:

М (л) = [м1 {Х)+М2 (Х)]/2,

Я.+Т/2 Х-т/2

Здесь £>

и М0 соответственно, а спектр Н0(ю) функции Ь() удовлетворяет условию: |#0(ю)|2 = Дю/Ц). В процессе моделирования с шагом Д(?) = 0,1п/Ц формировались отсчеты случайных процессов у/0, а затем для всех X е [Л 1, Л2] с шагом ДХ = 0,01т - отсчеты случайного процесса М(Х), и, согласно (12), вычислялась оценка времени прихода случайного импульса. При этом среднеквадратическая погрешность ступенчатой аппроксимации непрерывных реализаций М(Х) на основе сформированных дискретных отсчетов не превышала 10 %. Далее, по найденной оценке времени прихода рассчитывалась нормированная оценка дисперсии (11) случайного импульса (1).

Некоторые результаты статистического моделирования при 10 = (Л2 + Л1)/2, Л1 = 1/2, Л2=т + 1/2 и ^ ) = ехр (^ 2) показаны на рис. 2, 4, 6, а при ^ ) = 1 - |/4 - на рис. 3, 5, 7. Каждое экспериментальное значение получено при обработке не менее 104 реализаций М(Х). При этом границы доверительных интервалов отклоняются от экспериментальных данных не более чем на 10...15 % с вероятностью 0,9.

На рис. 2, 3 сплошными линиями нанесены зависимости нормированного условного рассеяния V¡(q0) = 12Г(/?|/0)/т2 (17) оценки времени прихода I (12) с учетом аномальных ошибок при

Ч

т = 20. Здесь же штриховыми линиями показаны аналогичные зависимости нормированного условного рассеяния Vш(д0) = 12V0(/J/0)/m2 (21) надежной оценки I (12). Кривые 1 рассчитаны для

Ч

ц = 50; 2 - 100; 3 - 200. Экспериментальные значения рассеяния V1 оценки ¡^ с учетом аномальных ошибок обозначены на рис. 2, 3 квадрата--ками, крестиками и ромбиками, а рассеяния V0¡ надежной оценки I - кружочками, треугольниками и звездочками для ц = 50, 100 и 200 соответственно.

На рис. 4, 5 нанесены теоретические зависимости (34) нормированного условного рассеяния V = v(Оq|О0)/£,J2 оценки дисперсии (11), если т = 1 (оценка Х? является надежной), а на рис. 6, 7 -аналогичные зависимости (30), (32), (33), если т = 20 (когда при оценивании времени прихода Х0 возможны аномальные ошибки). Кривые 1 со-

\\ \Ч V

\ ч

Рис. 2. Рассеяние оценки времени прихода колоколообразного случайного импульса

ответствуют ц = 50; 2 - 100; 3 - 200. Экспериментальные значения рассеяния V^ для ц = 50, 100 и 200 обозначены на рис. 4-7 квадратиками, крестиками и ромбиками.

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы.

Согласно рис. 2, 3 теоретические зависимости (17) для характеристик оценки времени прихода (12) импульсного сигнала (1) с учетом аномальных ошибок удовлетворительно аппроксимируют экспериментальные данные, по крайней мере, при т > 20, ц > 50, * > 1,5...2 и (/ -/. )/ц < 4 • 10-3.

— ' г ' — ' У/тах >/шт//г

Рис. 3. Рассеяние оценки времени прихода треугольного случайного импульса

Здесь f . и f = 1 - минимальное и максимальное

J mm J max

значения функции ft).

В случае не слишком больших ОСШ, когда z < 4,5...5,5, при оценивании времени прихода необходим учет пороговых эффектов, связанных с появлением аномальных ошибок. Это приводит

Рис. 4. Рассеяние оценки дисперсии колоколообразного случайного импульса при надежной оценке времени прихода

0,5 0,7

Рис. 5. Рассеяние оценки дисперсии треугольного случайного импульса при надежной оценке времени прихода

Рис. 6. Рассеяние оценки дисперсии колоколообразного случайного импульса с учетом аномальных ошибок при измерении времени прихода

значение параметра д0, при котором влиянием аномальных ошибок на точность оценки времени прихода еще можно пренебречь, уменьшается с увеличением ц и возрастает с увеличением т.

При 7 < 2...3 теоретические зависимости (21) для рассеяния V 01 надежной оценки (12) заметно отклоняются от экспериментальных, поскольку найдены без учета конечной длительности интервала Г Отклонение теоретических зависимостей V0(1^|10) (21), V(17) от экспериментальных значений наблюдается также и при больших ОСШ, когда д0 > 2...3. Это связано с тем, что формула (21) для рассеяния надежной оценки времени прихода получена в пренебрежении ошибками оценивания порядка времени корреляции случайного процесса Следовательно, когда нормированное рассеяние убывает до величины порядка ц-2, погрешность формул (17), (21) становится значительной.

Формулы (30), (32)-(34) для характеристик оценки дисперсии D (11) с учетом и без учета

Рис. 7. Рассеяние оценки дисперсии треугольного случайного импульса с учетом аномальных ошибок при измерении времени прихода

влияния аномальных ошибок на точность оценки времени прихода Х^ (12) удовлетворительно аппроксимируют экспериментальные данные при т > 20 или т < 1 и ц > 50, 7 >4...5. Если 7 > 5, так что вероятностью аномальной ошибки при оценивании времени прихода можно пренебречь, значения рассеяния v(Dq|D0) оценки (11), найденные с помощью (30), (32)-(34) практически совпадают. При 7 > 6 для расчета характеристик оценки дисперсии (11) без заметной потери в точности вместо (34) можно пользоваться формулами (35).

Полученные результаты позволяют сделать обоснованный выбор между предложенными и другими алгоритмами обработки высокочастотных случайных импульсных сигналов произвольной формы с неизвестным временным и энергетическим параметрами в зависимости от требований, предъявляемых к эффективности алгоритма и степени простоты его технической реализации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вопросы статистической теории радиолокации [Текст]/П.А. Бакут, И.А. Большаков, Б.М. Герасимов [и др.]; Под ред. Г.П. Тартаковского.-М.: Сов. радио, 1963.-Т. 1.-426 с.

2. Чернояров, О.В. Квазиправдоподобный обнаружитель случайного импульсного сигнала произволь-

на фоне помех [Текст]/О.В. Чернояров, А.В. Сальни-кова//Научно-технические ведомости СПбГПУ-2009. -№ 2.-С. 63-69.

3. Чернояров О.В. Оценка времени прихода узкополосного случайного импульса произвольной формы [Текст]/О.В. Чернояров//Радиотехника.-2009.

ной формы с неизвестными временными параметрами -№ 12.-С. 12-18.

4. Куликов, Е.И. Оценка параметров сигналов на фоне помех [Текст]/Е.И. Куликов, А.П. Трифонов.-М.: Сов. радио, 1978.-296 с.

5. Трифонов, А.П. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех [Текст]/ А.П. Трифонов, Ю.С. Шинаков.-М.: Радио и связь, 1986.-264 с.

6. Бассвиль, М. Обнаружение изменений свойств сигналов и динамических систем [Текст]/М. Бассвиль, А. Вилски, А. Банвентист [и др.]; Под ред. М. Бассвиль, А.М. Банвентиста.-М.: Мир, 1989.-278 с.

7. Захаров, А.В. Оптимизация алгоритма обнаружения флуктуирующего радиоимпульса с неизвестным временем прихода [Текст]/А.В. Захаров//Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика. Математи-ка.-2005.-№ 1.-С. 46-56.

8. Трифонов, А.П. Оценка дисперсии случайного импульса с неизвестным временем прихода [Текст]/А.П. Трифонов, А.В. Захаров, О.В. Черноя-

ров//Радиотехника и электроника.-1996.-Т. 41.-N°10. -С. 1207-1210.

9. Kailath, T. Some integral equations with nonrational kemals [Текст]/Т. Kailath//IEEE Trans.-1966.-Vol. IT-12.-№ 4.-P. 442-447.

10. Чернояров, О.В. Статистический анализ случайных импульсных сигналов на фоне белой и коррелированной помех с неизвестными интенсивностями [Текст]/О.В. Чернояров//Инфокоммуникационные системы и технологии: проблемы и перспективы; Под ред. А.В. Бабкина.-СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007.-С. 185-247.

11. Pickands, J. Upcrossing probabilities for stationary Gaussian process [Текст]Л. Pickands//Trans. Amer. Math. Soc.-1969.-Vol. 145.-№ 11.-P. 51-73.

12. Теория обнаружения сигналов/П.С. Акимов, П.А. Бакут, В.А. Богданович [и др.]; Под ред. П.А. Бакута.-М.: Радио и связь, 1984.-440 с