Фрактальный анализ многоканальных биомедицинских сигналов

Приведенные методы с большой эффективностью использовались при выполнении научно-исследовательских работ в соответствии с тематическим планом вуза.

Список литературы

1. Данилов, А. М. Сложные системы: идентификация, синтез, управление / А. М. Данилов, И. А. Гарькина. - Пенза : ПГУАС, 2011. - 308 с.

2. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Марон ; под ред. Б. П. Демидовича. - М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. -659 с.

3. Гарькина, И. А. Аналитические и численные методы решения уравнения и систем / И. А. Гарькина, А. М. Данилов, Н. С. Султанова ; под ред. д-ра техн. наук, проф. А. М. Данилова. - Пенза : ПГАСА, 2001. - 73 с.

УДК 004.942

ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МНОГОКАНАЛЬНЫХ БИОМЕДИЦИНСКИХ СИГНАЛОВ

А. А. Черепков, А. В. Кузьмин

Данная работа посвящена изучению многоканальных сигналов на предмет их фрактальной природы. Была выявлена зависимость результатов анализа от состояния здоровья человека. Также была разработана программа, способная самостоятельно анализировать сигналы различного происхождения для определения их фрактальной размерности.

The scientific work is devoted to studying of multichannel signals and their fraktal nature. Dependence of results of the analysis on a state of health of the person was revealed. Also the program capable independently to analyze signals of a various origin for determination of their fraktal dimension was developed.

Термин фрактал (от лат. «fractus» - дробный) был предложен Бенуа Мандельбротом в 1975 г. для обозначения нерегулярных «структур, состоящих из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [1, с. 5]. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, деревья, кровеносная система и система альвеол человека.

Однако самоподобие - это хотя и необходимое, но далеко не достаточное свойство фракталов. Главная особенность фракталов заключается в том, что их размерность не укладывается в привычные геометрические представления. Фракталам характерна геометрическая «изрезанность». Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаус-дорфом [2].

Фракталы имеют различное представление, они могут быть плоским изображением, трехмерной моделью [3], числовой последовательностью, сигналом [4]. Столь необычная природа фракталов заинтересовала не одно поколение ученых. Было решено изучить способы анализа сигналов на предмет их фрактальной размерности.

Цель работы: научиться анализировать различные типы сигналов с помощью фрактального подхода и программным образом реализовать полученный алгоритм.

Задачи исследования:

1. Изучить природу фрактальных множеств.

2. Определить способы анализа фрактальных параметров.

3. Выявить наиболее удобный и практически доступный способ анализа фрактальных параметров и адаптировать его к решению задачи анализа многоканальных биомедицинских сигналов.

4. Реализовать полученный способ в виде программы.

Методы исследования: математический анализ, математическая статистика, теория фрактальных множеств, объектно-ориентированное программирование.

В основу теоретического анализа решения поставленной задачи были положены труды «отца фрактальной геометрии» Бенуа Мандельброта. Оказалось, что на самом деле примеров фрактальных фигур огромное множество. Они встречаются в природе, технике, живописи, науке. Все фрактальные фигуры делятся на три основных вида: алгебраические, геометрические, стохастические.

Все эти фигуры обладают свойствами самоподобия и дробной «фрактальной» размерности, некоторые из них представлены на рис. 1, 2.

Рис. 1. Кривая Коха Рис. 2. Треугольник Серпинского

Также многие наблюдения природных процессов приводят к временным зависимостям или рядам изменений [5, с. 154]. Например, имеются длинные ряды измерений температуры воздуха. В них ясно прослеживаются годичные вариации. Длительное измерение температуры обнаруживает ее беспорядочной поведение как на коротких, так и на длинных временных интервалах. Временные последовательности измерений таких величин, как температура, сток рек, количество осадков или толщина колец деревьев, можно исследовать с помощью нормированного размаха, или метода Херста. Такие последовательности измерений характеризуются показателем Херста - H.

Всю жизнь Херст занимался изучением Нила и решением задач, связанных с накоплением водных ресурсов. Он открыл новый статистический метод, метод нормированного размаха (метод R/S), подробно описанный им в книге «Долговременное накопление: экспериментальное исследование». В качестве введения в этот метод рассмотрим озеро Альберт - пример, приведенный Херстом. На рис. 3 отложены измерения годового стока как функция времени.

Задача заключается в том, чтобы найти оптимальный объем резервуара по заданному набору измерений стока воды из озера. Оптимален тот резервуар, который никогда не переполняется и не пустеет. В течение каждого года t такой резервуар принимает приток £(t) и озера, в то время как регулируемый объем воды (сток) <£>т спускается из водохранилища. Отклонение от среднего притока X(t). Сколько воды должно храниться в водохранилище, чтобы каждый год из него можно было спускать объем воды, равный среднему притоку за этот период?

1 т

Средний приток за т лет равен <>т = — ^ ^(t). Это среднее должно

х 7=1

равняться объему, ежегодно спускаемому из резервуара. Пусть X(t) - нако-

X

пившееся отклонение притока £(t) от среднего <£>т : X(t,х) = ^{{(u) -(£)X}.

u=1

Для озера Альберт эта кривая показана на рис. 3. Разность максимального и минимального накопленного притока X назовем размахом R. Эта величина равна емкости, необходимой для поддержания среднего стока за выбранный период. Для достаточно большого резервуара, который никогда не переполняется и не опустошается, R представляет собой разность между максимальным и минимальными количествами воды в резервуаре. Явное выражение для R имеет вид R(x) = maxX(t, х) - min X(t, х), где t - дискретное время, принимающее цело-

1<t<X 1<t<X

численные значения, а т - длительность рассматриваемого промежутка времени. Определения этих величин иллюстрирует рис. 4. Ясно, что размах зависит от рассматриваемого периода т, и мы ожидаем, что R растет с т.

Рис. 4. Размах

Для данных по озеру Альберт в период 1905-1957 гг., приведенных на рис. 3, получаем R(53) = 91*109m3, в то время как для первых 30 лет размах составлял всего лишь R(30) = 73* 109m3.

Херст исследовал многие природные процессы, такие, как сток рек, отложение ИА и рот колец деревьев. При этом он использовал безразмерное отношение R/S, где S - стандартное отклонение, т.е. квадратный корень из дисперсии. Используя это безразмерное отношение, можно сравнивать размах для разных явлений. Стандартное отклонение можно оценить по наблюдениям:

S =

/ sV

f 2\/2

1 ¿{{(u) -  T}

t=1

Как обнаружил Херст, для многих временных рядов наблюдаемый нормированный размах R/S очень хорошо описывается эмпирическим соотношением R/S = (т/2)н. Показатель Херста H более или менее симметрично распределен вокруг среднего значения 0,73 со стационарным отклонением, равным примерно 0,09.

Следует заметить, что в случае 0,5 < H < 1 говорят о персистентном (поддерживающемся) поведении процесса либо о том, что процесс обладает длительной памятью. Другими словами, если в течение некоторого времени в прошлом наблюдались положительные приращения процесса, т.е. происходило увеличение, то и впредь в среднем будет происходить увеличение. Иначе говоря, вероятность того, что процесс на i + 1 шаге отклоняется от среднего в том же направлении, что и на i шаге, настолько велика, насколько параметр H близок к 1. Таким образом, персистентные стохастические процессы обнаруживают четко выраженные тенденции изменения при относительно малом шуме.

В случае 0 < H < 0,5 говорят об антиперсистентности процесса. Здесь высокие значения процесса следуют за низкими, и наоборот. Другими словами, вероятность того, что на i + 1 шаге процесс отклоняется от среднего в противоположном направлении (по отношению к отклонению на i шаге) настолько велика, насколько параметр H близок к 0.

При H = 0,5 отклонения процесса от среднего являются действительно случайными и не зависят от предыдущих значений.

Наиболее наглядно выглядят прямые построенные методом нормированного размаха для различных естественных процессов. По оси абсцисс указана длительность анализируемого периода т = N для следующих объектов: 1 - сток рек, К = 0,72; 2 - уровень озер, К = 0,77; 3 - уровень осадков, К = 0,70; 4 - кольца деревьев, К = 0,80; 6 - слоистые отложения озера Саки, К = 0,76.

Была выдвинута гипотеза, если большинство природных явлений поддаются фрактальному анализу, то человек, часть этой природы, который своим строением формируется из множества фракталов, что наглядно видно на рис. 7, 8, тоже может быть изучен.

Ра4л}Ьд хриоси стандартно? отклонение ) и Шап&гЬюеяъ

к

.5»

у

у *

1 • у а у

А ф г

7 10

г 1а N з }00 Ъ ¡ш

Рис. 5. Примеры показателей Херста

Рис. 6. Кровеносная система

Рис. 7. Томография мозга

Рис. 8. Модель легких

Для изучения были взяты электрокардиограммы 20 человек. 10 из них были здоровыми, у остальных же 10 был поставлен диагноз - инфаркт миокарда различных стадий и мест поражения.

Прямым результатом электрокардиографии является получение электрокардиограммы (ЭКГ) - графического представления разности потенциалов, возникающих в результате работы сердца и проводящихся на поверхность тела. На ЭКГ отражается усреднение всех векторов потенциалов действия, возникающих в определенный момент работы сердца. Пример здоровой ЭКГ приведен на рис. 9.

Рис. 9. Элекрокардиограмма

ПО ЭКГ можно определить частоты и регулярности сердечных сокращений (например, внеочередные сокращения) или выпадения отдельных сокращений - аритмии. В данной работе разработана программа вычисления коэффициента Херста.

Интерфейс программы представлен на рис. 10.

Рис. 10. Интерфейс программы

Данные, полученные в результате анализа, представлены в табл. 1, где ИМ - ЭКГ людей с инфарктом миокарда, а ЗД - здоровых людей.

Таблица 1

Результаты анализа

Файлы 1й(Л/5) Н

ИМ № 1 4,591064 3,786803 0,82482

ИМ № 2 4,591064 3,687392 0,803167

ИМ № 3 4,591064 3,970028 0,864729

ЗД № 1 4,591064 3,222076 0,701815

ЗД № 2 4,590463 3,267261 0,71175

ЗД № 3 4,591064 3,2294 0,70341

Анализировались 80 000 измерений (отведений - 12, частота - 500 Гц, амплитуда - 2000 мВ). Из полученных результатов видно, что все сигналы являются фрактальными, поскольку Н > 0,5, при этом у здоровых людей этот показатель распределен вокруг значения 0,71, а у больных - значительно больше. Данные результаты характерны и для сигналов других видов, таких как ЭЭГ - Н = 0,72.

По данным результатам были построены графики (рис. 11).

Рис. 11. Результирующие графики

В ходе работы была разработана программа определения показателя Херста для многоканальных биомедицинских данных. На данную программу была подана заявка на регистрацию, она может быть использована в учебных и исследовательских целях.

Список литературы

1.

2.

Ин-т

Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. - М. компьютерных исследований, 2002.

Кроновер, Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р. М. Кроновер. - М. : Постмаркет, 2000.

3. Бодин, О. Н. Разработка фрактального алгоритма для построения трехмерной модели сердца / О. Н. Бодин, А. В. Кузьмин // САПР и графика. - 2005. - № 3.

4. Тычков, А. Ю. Системы и алгоритмы помехозащищенной обработки кардиографической информации на основе преобразования Гильберта-Хуанга : дис. ... канд. техн. наук / Тычков А. Ю. - Пенза, 2012.

5. Федер, Е. Фракталы / Е. Федер. - М. : Мир, 1991.