Оценки надежности конструкций из полимерных композитных материалов

Выводы

1. Формирование свинцовой фазы в МСОБ зависит от условий кристаллизации зерен а-фазы: измельчение зерна матрицы приводит к укрупнению свинцовых включений.

2. При повышении температуры заливки от 950 до 1250 °С укрупняются зерна матрицы до трех раз; свинцовые включения измельчаются в 1,5.. .2,2 раза.

3. Ликвация свинца снижается с увеличением температуры заливки МСОБ в указанном интервале температур при ЦБ литье.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сучков Д.И. Медь и ее сплавы. —М.: Металлургия, 1967. —248 с.

2. Чурсин В.М., Коган Л.Б. Температуры заливки оловянных бронз при изготовлении герметичных отливок // Литейное производство. —1961. — № 4. — С. 1 4.

3. Чурсин В.М. Условия получения равнопрочных отливок из медных сплавов // Литейное производство. —1963. —№ 9. —С. 6—10.

4. Медведев А.И. Особенности получения герметичных отливок из оловянных бронз типа БрОЦ и БрОЦС: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. — М.: МВМИ, 1971. —26 с.

5. Медведев А.И., Чурсин В.М. Получение герметичных отливок из оловянных бронз // Литейное производство. —1970. — № 8. — С. 14—16.

6. Юдин С.Б., Розенфельд С.Е. О некоторых особенностях кристаллизации центробежных отливок // Литейное производство. — 1959. — № 6. —С. 40—41.

7. Лошкарев Б.И. К вопросу о теории и практике центробежного способа литья // Литейное производство. —1957. —№ 8. —С. 1-6.

8. Свидетельство на ПО 2004610217 РФ. Система компьютерной обработки изображений (система КОИ) / Ю.П. Егоров, Н.В. Мартюшев / Заявлено 24.11.2003; Опубл. 19.01.2004.

9. Лошкарев Б.И. Исследование процесса заливки свинцовистых бронз центробежным способом: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. — М., 1954. —22 с.

10. Флемингс М. Процессы затвердевания. — М.: Мир, 1977. — 396 с.

УДК 539.3

ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

С.А. Бочкарева*, Б.А. Люкшин, А.И. Реутов*

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН. г. Томск E-mail: borisljuk@mail.2000.ru *Томский университет систем управления и радиоэлектроники

При анализе надежности конструкций из полимерных и полимерных композитных материалов применяется вероятностный подход, поскольку для реальных материалов всегда существует некоторый разброс количественных характеристиках их свойств, для конструкций — отклонения размеров от их номинальных значений, для нагрузок — отклонения от средних эксплуатационных значений. Обработка массива параметров напряженно-деформированного состояния конструкций, полученных в результате численных и натурных экспериментов, проводится с помощью методов теории вероятности и математической статистики.

Введение

При анализе параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций и оценке их работоспособности распространенным является подход, который можно назвать детерминистским. Принимается, что все параметры, которыми определяется НДС конструкции, являются определенными с известной точностью величинами. Для задач анализа НДС деталей и конструкций это три группы параметров. Первая из них определяет свойства материала, вторая — геометрию конструкции, третья — способ приложения и интенсивность приложенных нагрузок. Все эти характеристики в той или иной степени носят случайный характер, а конкретные их величины, задаваемые в детерминистском подходе, являются некоторыми средними приближенными значениями. Существующий разброс параметров и их отклонение от средних значений учитывается введением коэффициента запаса прочности, чем компенсируется неопреде-

ленность информации о точных значениях. Можно говорить, что величина коэффициента запаса прочности — это характеристика уровня знания (вернее, незнания) точных значений этих параметров.

Возможность разрушения изделия, таким образом, носит вероятностный характер, и она должна оцениваться соответствующими количественными характеристиками. Вероятностный характер имеют не только выше перечисленные параметры материала, конструкции и нагрузки, но и сами критерии разрушения, поскольку они представляют собой обработку некоторого массива экспериментальных данных. При оценке вероятности безотказной работы (ВБР) необходимо сопоставлять расчетные или экспериментальные данные о НДС конструкции во всех ее точках, имеющие вероятностный характер, с критериями прочности, имеющими такой же смысл. Подобные подходы разрабатываются, например, в [1, 2]. Отличительные особенности предлагаемой работы заключаются в учете разбро-

са параметров материала не только от опыта к опыту, но и по самим конструкциям, что связано с технологическими особенностями их изготовления.

Физическая и математическая постановка

Качество изделий из полимерных композитных материалов (ПКМ), получаемых различными технологическими способами, определяется свойствами его фаз, зависящими как от рецептуры, так и от режимов переработки материала. В большинстве случаев операции изготовления ПКМ и изделия из него совмещаются при использовании различных технологий изготовления изделий: свободным литьем и литьем под давлением, прессованием, экструзией и т.д. Нестабильность параметров технологических процессов приводит к тому, что деформационно-прочностные свойства изделий и их геометрические размеры являются не детерминированными, а случайными значениями. Более того, в разных точках по объему пресс-формы отличаются уровни давления, температурный режим и т.д. Случайными величинами в условиях эксплуатации являются и внешние воздействия, например, снеговая или ветровая нагрузка, скачки давления в трубопроводе при срабатывании запорной арматуры или включении и выключении насосов и т.д. Для описания поведения конструкций всем прочностным и геометрическим характеристикам, а также внешним воздействиям придается вероятностный характер.

Для построения полей ВБР конструкций из ПКМ с учетом нестабильности их свойств определяются параметры НДС конструкции, которые носят вероятностный характер, строятся кривые распределения значений эквивалентных напряжений и/или деформаций в каждой точке конструкции и сравниваются с экспериментально полученными предельными напряжениями, имеющими также вероятностный характер.

а)

б)

А!

->• *

^экв? СЭке

А!

В В

а)

А! А В!

*-экв? Чэкв

ровании НДС изделия. При численном анализе это означает проведение ряда расчетов, в которых часть параметров или все параметры, определяющие НДС конструкции, являются случайными величинами. В натурном эксперименте это означает проведение ряда испытаний одного и того же или нескольких подобных изделий. На этой же оси отрезком АД обозначим интервал эквивалентных деформаций еж*, соответствующих разрушению, или пределу текучести материала при экспериментальных исследованиях.

Тогда в случае а (рис. 1) в данной точке конструкции разрушение исключено, в случае Ь разрушение произойдет обязательно. В случае с область "перекрытия", отрезок А1В, есть не что иное, как характеристика (вероятность) разрушения (точнее, она определяется отношением А1В/АВ), а в случае й - область АВ1 (АВ1/АВ) - вероятность неразрушения.

Эти оценки справедливы, если вероятность попадания эквивалентных деформаций в данной точке конструкции в любое место внутри отрезка АВ одинакова, а уровни еж*, отвечающие разрушению материала при его испытаниях, равномерно распределены по отрезку А1В1. Экспериментально установлено, что на самом деле распределения этих параметров подчиняются нормальному закону. В этом случае для вариантов а и Ь (рис. 1) все рассуждения сохраняют свою силу, а для вариантов с и й нужно оценивать так называемую область "перекрытия" кривых распределения еже и ежв*.

Область "перекрытия" (рис. 2), полученная в результате сопоставления кривых распределения эквивалентных деформаций и их предельных значений, и является областью вероятного отказа работы конструкции [2].

Ле экв ), Л

500

250

0

экв, ^ экв

Рис. 1. Варианты распределений эквивалентных деформаций и предельных значений в точке конструкции еэкв

Рассмотрим возникающие в связи с этим варианты (рис. 1). Считаем для конкретности, что критерием, по которому можно судить о работоспособности материала, является так называемая эквивалентная деформация. На оси эквивалентных деформаций ехе отрезком АВ обозначим область, в которую попадают все эквивалентные деформации в данной точке конструкции при натурном или численном модели-

0,0!2 0,0!6 0,020

Рис. 2. Пример распределений: 1) предельной и 2) реальной эквивалентных деформаций

В работе предлагаемый подход иллюстрируется на примере построения поля вероятностей безотказной работы для конструкции в виде участка трубы, выполненной из полимерного материала на основе полипропилена, используемого для производства трубопроводов различного технологического значения - транспортировки воды, газа и т.д. Одним из значимых параметров, определяющим НДС изделия, является модуль упругости материала. Экспериментально установлено, что от наблюде-

с)

ния к наблюдению значения модуля упругости отличаются от его среднего значения в пределах 20 %. При математическом моделировании случайное изменение модуля упругости от наблюдения к наблюдению задается с помощью датчика псевдослучайных чисел [3]. Согласно экспериментальным данным, это изменение подчиняется нормальному закону распределения. В качестве эквивалентной деформации, по которой можно судить о работоспособности материала в конструкции, принимается интенсивность деформаций. В силу осевой симметрии задачи рассматривается расчетная область, представляющая собой часть осевого сечения трубы, и решается осесимметричная задача теории упругости (рис. 3).

Р2

0.045

изделия проводится методом конечных элементов с использованием разбиения расчетной области на конечные элементы треугольной формы. Метод основан на использовании соотношения:

дП

—— = [к

д{П }

где П(е) - потенциальная энергия отдельного элемента системы, {и} - узловые перемещения, {/(е)} - вектор нагрузки, [&*е)] - матрица жесткости отдельного элемента, представляющая собой объемный интеграл вида:

[к

V

Для разбиения расчетной области используются треугольные конечные элементы с шестью компонентами узловых перемещений. Для уменьшения вычислительных ошибок треугольные элементы выбираются возможно более правильной геометрической формы, без тупых углов.

Уравнения для элемента записываются в цилиндрической системе координат. Компоненты перемещения и, V аппроксимируются внутри треугольного элемента соотношениями:

и.

г, м

А 0.040 0.045 В

Рис. 3. Расчетная схема нагруженного участка трубы

В качестве внешних нагрузок принимаются одновременно приложенное внутреннее давление Р1 и осевое сжатие Р2. Для упругой трубы под действием внутреннего давления известно решение Ламе [4], которое в данном случае служит для тестирования программы.

В каждой точке контура области АВСD необходимо ставить по два условия (задача является двумерной по пространственным переменным), задаваясь вектором напряжений, вектором перемещений или по одной из разнонаправленных компонент этих векторов. В примере использованы следующие условия.

На линии АВ ставятся условия скольжения вдоль жесткой стенки:

и = 0, ат = 0,

где и - радиальное смещение, ат - касательные напряжения.

На линии ВС напряжения отсутствуют: = = 0

где оп - нормальные напряжения.

На линии СD: о„ = -Р2, ох = 0.

На линии АD: оп = -Р1, от = 0.

Метод решения

Численная реализация задачи определения параметров НДС конструкции для каждого конкретного варианта распределения его свойств по объему

N 0

0

N

М; 0 N..

0

0 0 N..

2,-1 и „

и

2 ;-1

и

и 2. и2

2 ;

Соотношение (1) содержит три функции формы, которые в линейном случае имеют вид:

N = 2а (а' + Ъ,г+с,г

где А - площадь треугольного элемента, а, Ь, с! -коэффициенты, вычисленные по значениям узловых координат.

Для осесимметричной задачи используются геометрические соотношения:

ди ду

дг дг

и ди ду = —+—.

г дг дг

Матрица упругих характеристик [$] в случае осесимметричной задачи и для изотропного материала имеет порядок 4x4:

№

1

/

Е (1 -/) 1 -/

(1 + /)(1 - 2/) /

1 -/

0

1 - / 1 - / /

1

1 -/ 1

0

0 0 0

1 - 2/

2

0

Дифференцируя (3) и используя выражения для функций формы, получим соотношения для деформаций:

{£} = [ В]-{и},

где [В] - матрица, которая содержит коэффициенты, являющиеся функциями координат. Матрица жесткости [В] для элемента представляет собой объемный интеграл и содержит коэффициенты, которые являются функциями координат г и г, и поэтому не могут быть вынесены за знак интеграла. В [5] предлагается использовать следующую формулу для матрицы жесткости:

е) ПГ г п

[к(е)] = [В 7 -[В(<

-[В 00 ]- 2п- г А,

I (О =-

1

л/2П

ехр

а

-ж < , < ж.

Аналогичному закону подчиняется плотность нормального распределения предельных деформаций £

I (* ) =

ехр

11 5 -V*

-ж < * < ж,

где [В(е)] - матрица коэффициентов, вычисленная по значениям г и г в центре элемента для строки, содержащей функции формы. Матричное уравнение для ансамбля элементов имеет вид:

[К ]-{и} =

где [К] - матрица жесткости, которая собирается из матриц жесткости элементов, {/} - глобальный вектор-столбец нагрузки.

[К] = £ [к«], = -£{I(е)}.

е=1 е= 1

Соотношение (8) представляет собой матричную форму записи системы линейных алгебраических уравнений относительно компонент вектора перемещений во всех узлах конечно-элементной сетки. Эта система линейных уравнений решается методом Гаусса. Затем деформации во всех ячейках сетки определяются по соотношению (6), а напряжения в элементах вычисляются по закону Гука {а} = [ В]{е}.

Определение вероятностей безотказной работы

конструкции

Задача вероятностного расчета сводится к многократному определению параметров НДС, которые являются случайными величинами. В результате обработки полученного массива данных определяются характеристики параметров НДС - математическое ожидание V и среднеквадратичное отклонение а,. Они оцениваются для значений интенсивности деформации в каждой конечно-элементной ячейке расчетной сетки по соответствующим формулам теории вероятностей, что позволяет построить функции плотности распределения [2].

Плотность нормального распределения интенсивности деформаций * имеет вид

где /л, - математическое ожидание интенсивности деформаций, а* - среднее квадратичное отклонение интенсивности деформаций, / £ - математическое ожидание предельных деформаций, а£ - среднее квадратичное отклонение предельных деформаций.

Введем случайную величину у=5-*. Принимаем, что случайная величина у имеет нормальное распределение с математическим ожиданием

V, = V, - V и средним квадратичным отклонением

а, =л]а'2 + а'.

Тогда ВБР можно выразить через у как

К

- Р(У > 0) = £"-"^=ехр

0 а V2п

< УV

¿у.

Если х=(у-лу)/ау, то йх=йу. При у = 0 нижний предел случайной величины х имеет вид

0-/у = V*

х = -

а,,

а при у^+ж верхний предел х^ж. Следовательно,

К =

П I

V2п

- х2/

Э /2

аX.

Ясно, что x=(y-vy)/аy является нормированной случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Следовательно, вероятность безотказной работы можно найти с помощью таблиц функции нормального распределения.

Формулу (9) можно представить в виде:

( \

V* -V

К = 1 -Ф

4

где Ф - интеграл Лапласа.

Полученная функция плотности распределения вероятностей значений интенсивности деформаций е! подчиняется нормальному распределению. Функция плотности распределения вероятностей для экспериментально полученных предельных значений интенсивности деформаций е;* имеет вид, показанный на рис. 2 (кривая 1). Область пересечения этих кривых является областью отказа. Величина вероятности отказа (безотказной работы) вычисляется по приведенной формуле (10). Определив значения х, можно с помощью таблицы нормального нормированного распределения определить величину вероятности безотказной работы конструкции.

Результаты расчетов

Сопоставляя полученные деформации с предельными экспериментальными значениями, имеющими также случайное распределение (с характеристиками ^=0,02, ст5=0,001 для ПКМ на основе полипропилена), получаем в каждой точке трубы по ее толщине значение функции Я (ВБР) материала. Из анализа решения следует, что наибольшие деформации получаются на внутренней стенке трубы, а вероятность безотказной работы ее в этих точках является наименьшей (рис. 4). Если в какой либо точке конструкций вероятность безотказной работы меньше требуемого (нормативного) значения, то можно говорить о вероятности разрушения конструкции в целом. В качестве нормативного значения вероятности безотказной работы можно принять, например, характеристику, связанную с отношением стоимости планового ремонта изделия к стоимости устранения последствий аварийного разрушения [6].

Анализ влияния трех параметров (толщины стенки трубы г, внутреннего давления Р1 и осевого сжатия Р2) на напряженно-деформированное состояние конструкции и соответственно на вероятность безотказной работы Я показывает, что наиболее значимым параметром является Дг, далее по убывающей Р1 и Р2. Это означает, что при производстве полимерных труб их толщина должна контролироваться наиболее тщательно.

R ЦЛ0"2

Рис. 4. Распределение математического ожидания интенсивности деформаций (1, 2) и вероятности безотказной работы Н (3, 4) по толщине стенки трубы г; кривые 1, 4) соответствуют уровню внутреннего давления Р = 4,5 МПа и осевого сжатия Р2 = 1 МПа, кривые 2, 3) Р = 5 МПа, Рг= 2 МПа

Таким образом, ответ на вопрос о надежности, или о возможном разрушении конструкции, при рассматриваемом подходе получается в виде вероятности разрушения (неразрушения) материала во всех точках изделия, что можно представить в виде полей распределения ВБР по всему объему конструкции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. — М.: Машиностроение, 1990. —448 с.

2. Капур К., Ламберсон Л. Надежность и проектирование систем.

— М.: Мир, 1980. —351 с.

3. Теннант-Смит Дж. Бейсик для статистиков. — М.: Мир, 1988.

— 208 с.

4. Любошиц М.И., Ицкович Г.М. Справочник по сопротивлению материалов. — Минск: Вышэйшая школа, 1969. — 460 с.

5. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979. —392 с.

6. Юдин А.В., Кучерявый В.И. Расчет надежности конструктивных элементов при растяжении с кручением // Проблемы машиностроения и надежности машин. —2001. — № 5. — С. 56—61.

УДК 539.621+674.053

СМЕЩЕНИЕ ЗОН ОТНОСИТЕЛЬНОГО ПОКОЯ В МНОГОКОНТУРНЫХ ПЕРЕДАЧАХ ГИБКОЙ СВЯЗЬЮ "ШКИВ - ГИБКИЙ РАБОЧИЙ ОРГАН - ЛЕНТОЧНАЯ ПИЛА"

А.А. Кондратюк, В.К. Шилько*

Томский политехнический университет E-mail: publish@tpu.ru *Томский государственный архитектурно-строительный университет E-mail: docent46@yandex.ru

Рассмотрены процессы и явления, происходящие в многоконтурной передаче гибкой связью "шкив — гибкий рабочий орган — ленточная пила", а также случай смещения зон относительного покоя. Приведены аналитические зависимости для определения длины зон относительного скольжения и дан их сравнительный анализ с экспериментальными данными, а также с другими типами многоконтурных передач гибкой связью.

Многоконтурные передачи гибкой связью при- от ведущего шкива к ведомому, как, например, в меняются в том случае, когда гибкая связь предназ- ременных передачах, но и для выполнения полез-начена не только для передачи крутящего момента ной работы своей тянущей (ведущей) ветвью [1].