Индексы власти и парадоксы власти в Читинской Областной Думе

A. M. Калугина

ИНДЕКСЫ ВЛАСТИ И ПАРАДОКСЫ ВЛАСТИ В ЧИТИНСКОЙ

ОБЛАСТНОЙ ДУМЕ

Работа представлена лабораторией математической кибернетики Института прикладных математических исследований КарНЦ РАН. Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В. В. Мазалов

В статье рассматривается применение индексов власти в анализе правящих структур разного уровня (индекс Банзафа, индекс Пенроуза - Банзафа, Дигана - Пакела, индекс Холера), понятие парадоксов власти. Используется два подхода к построению индекса власти. Найдены значения индексов власти, исследовано появление парадоксов власти для Читинской Областной Думы 3-го и 4-го созывов.

The article considers the indexes of power application to the analysis of the ruling structures of different levels (Banzhaf index, Penrose-Banzhaf index, Deegan-Packel index, Holer index) and the concept of paradoxes of power. The two approaches to constructing an index of power are used. The values of indexes of power are found; the occurrence of paradoxes of power in the Chita Regional Duma of 3rd and 4th convocations is investigated.

При анализе голосования возникает важный вопрос: кто играет решающую роль в голосовании и как измерить эту меру влияния. В течение последних 50 лет было предложено много так называемых индексов власти. Наиболее важные из тех, которые представлены в литературе, - индекс Шепли - Шубика, нормализованный индекс Банзафа, индекс Пенроуза - Банзафа, индекс Дигана - Паккела и индекс Холера1.

Индексы власти находят широкое применение в анализе принятия решений правящих структур, состоящих из политических партий. Такую правящую структуру можно представить в виде игры, в которой игроками являются политические партии, принимающие решения путем голосования. Число членов данной партии определяет вес данного игрока. Индексы власти в таком голосовании оценивают распределение власти между партиями. Мы проанализируем структуру Читинской Областной Думы.

Определим игру голосования. Обозначим через N={1, 2, ..., «}непустой конечный набор игроков. Любой поднабор на-

зовем коалицией. Игра голосования О определяется парой О=(Ы, Ж), где Ж - набор коалиций, который удовлетворяет следующим предположениям:

1) ЖФ0,

2) Ж,

3)если Б^Т и Бе Ж, тогда Те Ж.

Элемент Ж называется выигрывающей

коалицией. Набор всех коалиций, не принадлежащих Ж, обозначим Ь. Элемент Ь называется проигрывающей коалицией. Коалиция блокирования - это такая проигрывающая коалиция, что ее дополнение также является проигрывающей коалицией.

Игра голосования называется надлежащей, если дополнение любой выигрывающей коалиции - проигрывающая коалиция, и сильной, если дополнение любой проигрывающей коалиции - выигрывающая коалиция. Игра голосования называется решающей, если она одновременно является надлежащей и сильной.

Пусть Б - выигрывающая коалиция. Игрок кеБ называется основным, если его удаление превращает Б в проигрывающую коалицию. Выигрывающая коалиция, в которой все игроки являются основными, на-

5 3

зывается минимальном выигрывающей коалицией. Другими словами, минимальная выигрывающая коалиция - это такая выигрывающая коалиция, что любой ее под-набор - проигрывающая коалиция. Болваном называется игрок, который не принадлежит никакой минимальной выигрывающей коалиции. Игрок-вето - это игрок, принадлежащий каждой минимальной выигрывающей коалиции. Наконец, если один игрок составляет единственную минимальную выигрывающую коалицию, то он диктатор. В такой игре диктатор может быть охарактеризован как единственный игрок, который не болван.

Важным классом игр голосования являются игры, в которых вес распределен на каждого игрока и указывает его силу в этой игре.

Используем обозначение [д; w1, ..., wn], где д - доля, необходимая для коалиции, чтобы выиграть, и wk— вес игрока (к=1, ..., п). Доля д и вес голосов w ..., wn - положительные целые числа,

0 < д <£

w¡,.

Коалиция выигрывает, если и только если сумма веса ее членов, по крайней мере, такого размера д, как, т. е.

5ежwk >д.

ке.5

Индекс власти - это функция (р, которая связывает с каждой игрой (Ы, Ж) вектор (р=((рх, ..., (рп), где (рк- неотрицательное число - мера влияния, с которой игрок кеЫ может повлиять на результат.

В данной статье мы рассмотрим применение следующих индексов:

• Нормализованный индекс Банзафа для игры голосования 0=(Ы, Ж) - это вектор Б2(0)=(Б21(0),..., Б2(0)), определен -ный как

О ,

где г)к - число выигрывающих коалиций, в которых игрок к является основным.

• Индекс Пенроуза - Банзафа, также называемый ненормализованным индексом Банзафа или абсолютным индексом Банзафа, - это вектор РБ2(0)=(РБ2(О), ..., РБ2п(0)), определенный как

РБ?к

где (5к обозначает общее количество коалиций, содержащих игрока к.

• Индекс Дигана - Пакела для игры голосования 0=(Ы,Ж) вектор 0Р(0)=(0Р/0),., ВР (О)), определенный как

т {ЯеМ ;ке5} 5

где М набор всех минимальных выигрывающих коалиций, т - общее количество минимальных выигрывающих коалиций, и 5 - число игроков в 5.

• Индекс Холера, также называемый индексом Холера - Пакела или общественно хорошим индексом власти, - это вектор Н(0)=(Н 1(0),..., Нп(0)), определенный как

т,

11г — I г1 ™ I

Н (О ) =

I.

т

ЧеЫ ]

где тк обозначает число минимальных выигрывающих коалиций, содержащих игрока к.

Рассмотрим ситуацию в Читинской Областной Думе. По данным на октябрь 2001 г. (выборы - 2001) и май 2005 г. (выборы - 2005) принадлежность к партиям выглядела следующим образом:

Наименование партии 2001 2005

СПС 3 -

Единая Россия 9 21

КПРФ 4 9

Аграрная Партия 3 4

ЛДПР - 3

не определились (Нигде) 19 3

Итого партий 5

членов 38 40

Рассмотрим два варианта подсчета индексов власти в Читинской Областной Думе. С одной стороны, членов Думы, не

к=1

Индексы власти и парадоксы власти в Читинской Областной Думе

примкнувших ни к какой партии, можно рассматривать как единую и неделимую партию; в этом случае число партий будет равно 5 (ив 2001 г., и в 2005 г.). Если же этих членов Думы рассматривать как само-

Применив индексы власти к нашим данным, в первом случае (2001 г.) получим, что партия «Нигде» имеет самый большой вес; остальные партии поровну поделили оставшееся влияние, несмотря на то что их численность неодинакова. При этом следует отметить, что самая многочисленная партия входит в выигрывающие коалиции всегда, но не во всех случаях это дает ненулевой результат при подсчете составляю-

стоятельные партии, состоящие из одного человека, то общее число партий будет равно 23 в 2001 г. и 7 - в 2005 г.

Составим таблицу индексов власти для Читинской Областной Думы:

щих индекса власти, следовательно, партия «Нигде» является игроком-вето, но не диктатором. Здесь остальные партии весьма малочисленны по сравнению с «Нигде», но ни одна из них не является болваном, так как хотя бы один раз входит в минимальную выигрывающую коалицию.

Во втором случае (2001 г.), т. е., когда имеется 23 партии, из которых 19 состоят из 1 члена, расчеты приводят к другим ре-

Партия

Индекс Год Нигде Единая Россия КПРФ

2001 0,789473684 0,052631579 0,052631579

Банзафа 0,025134408 0,296271227 0,087749442

2005 0 1 0

0 1 0

2001 0,9375 0,625 0,625

Пенроуза-Банзафа 0,05706811 0,672688961 0,199236631

2005 0 1 0

0 1 0

2001 0,5 0,125 0,125

Дигана - Пакела 0,044956 0,064735 0,03828

2005 0 1 0

0 1 0

2001 0,5 0,125 0,125

Холера 0,04359 0,0533 0,03747

2005 0 1 0

0 1 0

Партия

Индекс Год СПС/ЛДПР Аграрная Партия

2001 0,052631579 0,052631579

Банзафа 0,069212789 0,069212789

2005 0 0

0 0

2001 0,625 0,625

Пенроуза - Банзафа 0,157148838 0,157148838

2005 0 0

0 0

2001 0,125 0,125

Дигана - Пакела 0,042066 0,042066

2005 0 0

0 0

2001 0,125 0,125

Холера 0,0405 0,0405

2005 0 0

0 0

зультатам. Здесь у партий, число членов которых одинаково, вес один и тот же, партия, имеющая меньшее число членов, имеет меньший вес, партия, имеющая большее число членов, имеет больший вес.

Пользуясь таблицей, можно сделать вывод, что для 2005 г. в обоих случаях партия Единая Россия, по численности составляющая больше половины от всего количества членов Думы, является диктатором, что и отражается на наших результатах.

Теперь рассмотрим понятия парадоксов власти.

• Парадокс перераспределения. Этот парадокс появляется, когда вес партии в голосовании уменьшается и в то же самое время индекс власти увеличивается.

Пусть О=[#; м1, ..., мп] и О' = [д; w'1,... , -две игры голосования такие, что

Еп К /

м , = > м , .

4=1 к ^.uk=1 к

Парадокс перераспределения означает, что для некоторых к, < и ф1

• Парадокс новых членов. Этот парадокс появляется, когда новая партия присоединяется к собранию и, по крайней мере, одна «старая» партия имеет большую власть в голосовании в этой новой ситуации, чем раньше.

Пусть О=[д; м1, ..., м] - игра голосования, и О' = [д'; м 1 ,... , мп , мп+1 ] - новая игра с новой партией. Парадокс новых членов означает, что

для некоторых к е N, фк

В определении парадокса перераспределения требуется, чтобы численность членов правящей структуры при перевыборах не изменялась, что в Читинской Областной Думе не происходит. Условие существова-ния парадокса новых членов также не выполняется, так как при перевыборах веса

всех «старых» партий меняются, а определение требует, чтобы они сохранялись. Таким образом, в результате перевыборов Читинской Областной Думы такие парадоксы не наблюдаются.

• Измененный парадокс перераспределения. Пусть м~( - это вес партии, а -индекс власти партии в году t. Индекс власти ф показывает измененный парадокс перераспределения, если выполнено одно из

следующих условий: (р): ^ >

(Р2 ) : <

• Измененный парадокс новых членов. Пусть м ( - вес партии, - индекс власти и Г - набор всех партий в году г. Индекс власти ф показывает измененный парадокс новых членов, если выполнено следующее условие:

Используя определения измененных парадокса перераспределения и парадокса новых членов, можно сделать вывод, что в Читинской Областной Думе наблюдается только парадокс перераспределения. Парадокс новых членов не имеет места, так как в нашей ситуации появляется «новая» партия, но при этом одна из «старых» партий исчезает. Это отображено в таблице.

Индекс Нигде Единая Россия КПРФ СПС/ЛДПР Аграрная Партия

Банзафа - - Р1 - Р1

- - Р1 - Р1

Пенроуза -Банзафа - - Р1 - Р1

- - Р1 - Р1

Дигана -Пакела - - Р1 - Р1

- - Р1 - Р1

Холера - - Р1 - Р1

- - Р1 - Р1

и ф{< ф1+ и ф{> фи

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Rusinowska A., van Deemen A. The redistribution paradox and the Paradox of new members in the German parliament. Nova Science Publishers, 2004; Петросян Л. А. и др. Теория игр: Учебное пособие для университетов. М.: Высшая школа, Книжный дом «Университет», 1998; Taxa, Хэмди А. Введение в исследование операций. 6-е изд. Перевод с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2001.