Сжатие света в двухфотонных двухатомных моделях квантовой оптики

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 4(78).

ФИЗИКА

УДК 130.145

СЖАТИЕ СВЕТА В ДВУХФОТОННЫХ ДВУХАТОМНЫХ МОДЕЛЯХ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ1

© 2010 E.K. Башкиров, С.П. Липатова, М.С. Мастюгин2

Исследованы особенности сжатия света в системе двух двухуровневых атомов с невырожденными двухфотонными переходами и переходами рама-новского типа, резонансно взаимодействующих с двумя модами когерентного электромагнитного поля в идеальном резонаторе.

Ключевые слова: сжатые состояния, невырожденные двухфотонные переходы.

В последнее время в квантовой оптике особое внимание уделяется теоретическому и экспериментальному исследованию так называемых сжатых состояний электромагнитного поля. Впервые такие состояния были введены в работах Д. Столера [1] как обобщенные состояния, минимизирующие соотношение неопределенностей. Позднее их свойства с различных точек зрения исследовались многими авторами, которые использовали для них различные названия: двухфотон-ные когерентные, новые когерентные, коррелированные когерентные состояния и др. [2]. Термин "сжатые состояния", впервые введенный в работе [3], применяется теперь к широкому классу состояний электромагнитного поля и других бозонных полей, имеющих квантовые флуктуации ниже определенного значения, например, вакуумного.

Экспериментально сжатие света впервые реализовано в 1985 году Р.Е. Слаше-ром с соавторами [4]) в процессе четырехволнового смешения света в оптическом резонаторе. Позднее для генерации сжатых состояний электромагнитного поля использовались различные нелинейные оптические процессы [5-7]. В настоящее время выполнено более 40 различных экспериментов по наблюдению сжатых состояний света в различных нелинейных оптических средах, в том числе для пучков атомов в резонаторах. Имеются два эксперимента по генерации сжатых состояний света, испускаемых атомами в резонаторе. В эксперименте Орозко с соавторами [8] использовались пучки атомов Na, а в эксперименте X. Бэчера с соавторами [9] использовались атомные пучки Ba. Основной проблемой, препятствующей широкому использованию сжатого света в практических целях, является невысокая

1 Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 годы по лоту "Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области оптики, лазерной физики и лазерных технологий", шифр "2010—1.1—122—084" (номер государственного контракта 14.740.11.0063).

2Башкиров Евгений Константинович (bash@ssu.samara.ru), Липатова Светлана Петровна (lipatova@ssu.samara.ru), Мастюгин Михаил Сергеевич (mast12basket@rambler.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

степень сжатия, достигнутая экспериментально. В частности, в экспериментах с атомами в резонаторах максимальное уменьшение уровня шума для резонаторно-го поля составило примерно 20 %. Поэтому исследование новых схем генерации перепутанных состояний, позволяющих получать более высокую степень сжатия, является приоритетной задачей квантовой оптики. Одним из наиболее перспективных направлений в исследовании сжатых состояний является рассмотрение многофотонных процессов ввиду высокой степени корреляции испускаемых атомами фотонов [12].

Результаты экспериментов по генерации сжатого света пучками атомов в резонаторах не удается интерпретировать в рамках обычной полуклассической модели нелинейной среды, основанной на уравнениях Максвелла — Блоха [5]. Таким образом, для адекватного описания особенностей атом-полевого взаимодействия в указанных экспериментах необходим полный анализ квантовой динамики атомной и полевой подсистем. Хорошо известно, что простейшей нетривиальной моделью, позволяющей описать квантовые эффекты излучения атома в резонаторе, является модель Джейнса — Каммингса, описывающая двухуровневый атом, взаимодействующий с выделенной модой квантованного электромагнитного поля в идеальном резонаторе. В рамках этой модели и ее простейших обобщений, как оказалось, могут быть описаны практически все основные квантовые эффекты, возникающие при взаимодействии излучения с веществом, в том числе и сжатие света [7]. В настоящее время интерес к таким моделям перестал быть чисто теоретическим, поскольку реализация одноатомного однофотонного и двухфотон-ного мазера и микролазера [10, 11] предоставила возможность непосредственного исследования таких систем и экспериментальной проверки основных положений квантовой электродинамики. Модель Джейнса — Каммингса с диссипацией была реализована также на ионах в магнитных ловушках, квантовых точках и в сверхпроводящих системах [14].

Для описания результатов экспериментов по генерации сжатого света пучками атомов в резонаторах [8, 9] естественно рассмотреть многоатомную модель Джейнса — Каммингса. Сжатие света в простейшей системе двух двухуровневых атомов с однофотонными переходами в идеальном резонаторе в случае вакуумного, когерентного и теплового состояний резонаторного поля было рассмотрено в работах [15-19]. При этом для случая, когда в атомах разрешены однофотон-ные переходы, максимальная степень сжатия для двухатомной модели составляет около 20 %, что находится в качественном согласии с экспериментальными результатами. Некоторые особенности генерации сжатого света в двухатомных моделях изучались ранее также и для вырожденных двухфотонных переходов: для определенных начальных состояний атомов и когерентного поля — в работе [15] и для вакуумного начального состояния резонаторного поля — в работе [17]. Детальное исследование эффектов сжатия света в двухатомной модели Джейнса — Каммингса с вырожденными двухфотонными переходами проведено в работе [20]. При этом было показано, что такая нелинейная среда является значительно более выгодной для генерации сжатого света в сравнении с системой атомов, в которой разрешены однофотонные переходы, так как степень сжатия поля в двухфо-тонных процессах может в три раза превосходить соответствующий показатель в однофотонных процессах.

Важным обобщением модели вырожденного двухфотонного микромазера является невырожденный двухфотонный двухмодовый мазер, представляющий собой двухуровневый ридберговский атом или систему выделенных атомов, взаимодей-

ствующих посредством невырожденных двухфотонных переходов с двумя различными модами квантового электромагнитного поля в высокодобротном резонаторе. Особенностью двухмодового мазера является возможность использования одной моды поля для модуляции, усиления и контроля за интенсивностью другой моды. В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных теоретическому исследованию свойств такого мазера на основе невырожденной двухмодовой двухфотонной одно- и многоатомной модели Джейнса — Каммингса [12]. Ниже мы исследуем особенности генерации сжатых состояний поля в рамках простейшей коллективной двухатомной модели Джейнса — Каммингса с различными типами двухфотонных невырожденных переходов.

В настоящей работе нами исследовано сжатие света для двух двухатомных моделей с двухфотонными переходами: модели с невырожденными двухфотонными переходами и модели с переходами рамановского типа. Схемы разрешенных переходов в двухуровневом атоме для моделей обоих типов представлены на рис. 1.

Г

ю2 1

СО,

СО,

Рис. 1. Схема разрешенных переходов в двухуровневом атоме для моделей: а — с вырожденными двухфотонными переходами; б — с переходами рамановского

типа

Модель с двухфотонными рамановскими переходами описывает взаимодействие атома с двумя выделенными модами в следующей физической ситуации. Пусть в атоме выполняется условие точного двухфотонного резонанса для двух выделенных основных состояний Е+ и Е—: Е+ — Е- = — о>2, где и — частоты двух резонаторных мод поля. Предположим, что верхний уровень расположен много выше, чем основные уровни, вследствие чего он может быть адиабатически исключен из рассмотрения. Будем считать, что этот возбужденный уровень действует как виртуальное состояние при переходах между уровнями |+) и |—). Следовательно, рассматриваемая модель атома содержит два невырожденных состояния |+) и |—), переходы между которыми могут происходить за счет двухфотонных невырожденных процессов поглощения фотона одной моды поля и испускания фотона другой моды через виртуальный уровень. Подобную модель можно интерпретировать как резонаторную версию рамановского рассеяния света, где мода 1 представляет собой поле накачки, а мода 2 стоксовскую компоненту поля при отсутствии антистоксовской компоненты. По этой причине такую модель обычно называют моделью с двухмодовым рамановским взаимодействиемю

Эффективные двухатомные гамильтонианы, описывающие резонансное взаимодействие идентичных двухуровневых атомов с двумя выделенными резонаторны-ми модами посредством невырожденных двухфотонных переходов (НДП) и двух-

фотонных рамановских переходов (РП), в представлении вращающейся волны могут быть представлены соответственно в виде [21]

2

Нндп = %

3=1

2

Нрп = %^

3=1

Здесь а,1 (а+) — операторы уничтожения (рождения) фотонов в г-й полевой моде (г = 1, 2), Дз (Д+) - понижающий (повышающий) операторы для а'-го двухуровневого атома (а = 1, 2), д — константа взаимодействия атома с модами поля. В обоих случаях предполагается наличие двухфотонного резонанса между частотой атомного перехода и частотами мод поля.

Предполагая, что атомы в начальный момент времени находятся в суперпозиции атомных состояний, а поле — в когерентном состоянии, полная волновая функция системы "атом+поле" в обоих случаях может быть представлена в виде

где

оо оо

П1 =0 П2 = 0

является двухмодовым когерентным состоянием резонаторного поля и

п п/2

1 = Р—п/2Р1п<Р __

1 п - Р Р ,—- ,

уп!

где п - среднее число фотонов в моде поля в начальный момент времени, -фаза поля. Здесь через |+> и |-> обозначены возбужденное и основное состояния двухуровневого атома соответственно.

Точное решение уравнения Шредингера для волновой функции для заданного начального состояния (3) имеет вид

|*(*)> = £ (Ащп2 (*)| + , +> + Вт П2 Ш- -> +

П1 ,П2

+ Спт2

Здесь в случае модели с невырожденным двухфотонным взаимодействием коэффициенты

2а

Ащп2 (*) = Щ Сп1 Сп2 ((П1 +2)(П2 +2) + (п1 + 1)(П2 + 1) 008^1 г) -

щСп1+2Сп2 +2вгп2 Vх(п1 + 1) (п2 + 1) (п1 + 2) (п2 + 2) -Сп1 + 1Сп2+1вгпП1^(п1 + 1) (п2 + 1),

Впт2 (г) = -Сп1-2Сп2-2$гп2^ V7п1п2 (п1 - 1) (п2 - 1) + 2в

+ ЩСп 1 — 1 Сп2 — 1 ((п1 - 1) (п2 - 1) + щщоовПг) -

+ ^-Сп10п2 sгnfi2ÍVnIn|,

а _ в

Cnm2 (t) = -i—Cnl-iCn2-isinÜ3t^nin2 - i — Cni + iCn2+i х

Из И3

х sinQsW(ni + 1) (n2 + 1) + 2CmCn2 ((y - 5) +(y + 5) cosQt),

а _ в

Dnm (t) = -i—Cnl-iCn2-isinÜ3t^nin2 - i^-Cnl + iCn2+i х Из Из

х sinQsW (ni + 1) (n2 + 1) + 2 Cm Cn2 ((5 - Y) + (y + 5) cosQt),

где введены обозначения

Qi(ni, n2) = =

= Q2(ni +2,n2 + 2) = Qs(ni + 1,n2 + 1).

В случае модели с двухфотонным рамановским взаимодействием соответствующие коэффициенты

2а

Anm (t) = t¡-Cm Cn2 (ni +2)(n2 - 1+ n2CosQit) -Qi

- ЩCm+2Cn2-2 sin2 ^-V^ñTTÜñ^-íyñTZ^ñ -

- Cn1+iCn2-isinQityr(ñiTV)ñ22, Qi

Bnrn2 (t) = - Иаа Cn1-2Cn2+2sin2 x/ñKñ^+V^iñi-Y^J^ñ^+í) + 2в

+ ЩCn1 Cn2 ((ni - 1) (n2 + 2) + ni (n2 + 1) cosQt) -

- iY+ 5 Cni-iCn2+isinti2tVñ+T)ñ2,

И2

Cnin2 (t) = -i^Cm-iCm+isinQst^fñiiñ^+V) - i-^Cni+iC^-i х Из Из

х sinQsty^JñiTVyñ^ + 2CniCn2 ((y - 5) + (y + 5) cosQt),

Dnin2 (t) = -iaCn-iCn2+isinQ3tVñ+1)n2 - i-j^Cm+iCm-i х Из Из

х sinQsty^Jñi+Vyñ^ + 2CniCn2 ((5 - y) + (y + 5) cosQt),

где приняты обозначения

Qi(ni,n2) = ^V2ví{nlTl)n2TJnl+2){n2—l) =

= íh(ni +2,n2 - 2) = Qs(ni + 1,n2 - 1).

Точные решения для временных волновых функций могут быть использованы для расчета параметров сжатия резонаторных мод.

Для исследования полевого сжатия второго порядка введем медленно меняющиеся квадратурные компоненты для каждой из двух мод поля Xi и X2

X((i) =1-(щвш*г + a+e-1»*%

X2l) = 1

Операторы квадратурных компонент удовлетворяют коммутационному соотношению вида

[Х^Х^ г/2.

Соответственно, соотношение неопределенностей для квадратурных компонент может быть записано как

(д4° )2(д4°)2 > 1/16,

где неопределенности квадратурных компонент определяются стандартным образом: (ДХ())2 = ((Х())2) — (Х())2 (] = 1, 2). Сжатие второго порядка для квадратурных компонент поля имеет место, если для одной из неопределенностей (у = 1 или 2) выполняется неравенство

(ДХ^)2 < 1/4.

Условие сжатия для квадратурных компонент удобнее записать в виде Б^ < 0, где параметр сжатия для у-й квадратурной компоненты есть

^ = (ДХ(1^ — 1/4 = 4(ДХ^)2 — 1 а, у = 1, 2).

Степень сжатия может также измеряться в процентах, если использовать величину |Б^г)|100 %. Тогда, например, значению параметра Б(1) = —1 соответствует 100 % степень сжатия в у-й квадратурной компоненте для г-й моды поля.

В терминах фотонных операторов рождения и уничтожения мы можем переписать выражения для параметров сжатия в виде

= 2

4° = 2

Рис. 2. Временное поведение параметра сжатия первой квадратурной компоненты первой моды для модели с невырожденными двухфотонными переходами и первоначально невозбужденными атомами. Среднее число фотонов в моде: п1 = п2 = 20

Для каждой из рассматриваемых моделей нами с использованием волновой функции (4) были получены аналитические выражения для параметров сжатия квадратурных компонент каждой из резонаторных мод. Указанные выражения не приведены здесь из-за их слишком громоздкого вида. Ниже представлены результаты численного моделирования параметра сжатия в первой квадратурной

компоненте первой резонаторной моды для различных значений параметров рассматриваемых моделей. Для модели с невырожденным двухфотонным взаимодействием и невозбужденными в начальном состоянии атомами сжатие имеет место только для сильного резонаторного поля. На рис. 2 показано коротковременное поведение параметра сжатия для трех значений среднего числа фотонов в модах. Максимум сжатия достигает значения в 10 % для щ = щ = 30. На рис. 3 показано длинновременное поведение той же величины в случае, когда оба атома в начальный момент времени находятся в возбужденном состоянии. Для рассматриваемого начального состояния атомов сжатие возникает для промежуточных и высоких значений интенсивностей резонаторного поля. Параметр сжатия достигает максимального значения в 20 % при условии щ = П2 = 10.

8?»

8«

Рис. 3. Временное поведение параметра сжатия первой квадратурной компоненты первой моды для модели с невырожденными двухфотонными переходами и первоначально возбужденными атомами. Среднее число фотонов в моде:

а — п = п2 =3

Для модели с рамановским взаимодействием в случае возбужденных вначале атомов сжатие наблюдается для малых и высоких интенсивностей резонаторного поля. В случае промежуточных значений интенсивности поля сжатие отсутствует. На рис. 4 показано длинновременное поведение параметра сжатия для слабых и сильных резонаторных полей. Максимальное сжатие составляет около 8 %. В случае, когда атомы в начальный момент времени возбуждены, для рассматриваемой модели сжатие отсутствует. Заметим, для двухатомной модели с вырожденными двухфотонными переходами сжатие может достигать 60 %.

Sf

Рис. 4. Временное поведение параметра сжатия первой квадратурной компоненты первой моды для модели с рамановскими переходами и первоначально невозбужденными атомами. Среднее число фотонов в моде:

a — fi = п2 = 0.5

и fil = п2 =50

Таким образом, результаты численного моделирования параметра сжатия показали, что система атомов с двухфотонными вырожденными переходами является менее эффективной нелинейной средой для генерации сжатия излучения с высокой степенью сжатия, нежели система атомов с вырожденными двухфотонными переходами, поскольку максимальная степень сжатия мод поля не превосходит 20 %, в то время как для двухатомной модели с вырожденными двухфотонными переходами сжатие может достигать 60 %.

Литература

[1] Stoler D. Equivalence classes of minimum-uncertainty packets I, II // Phys. Rev. 1970. V. D1. № 12. P. 3217-3219; V. D4. № 4. P. 1925-1926.

[2] Dodonov V.V. 'Nonclassical' states in quantum optics: a 'squeezed' review of the first 75 years //J. Opt. B: Quant. Semiclass. Opt. 2002. V. 4. P. R1-R33.

[3] Hollenhorst J.H. Quantum limits on resonant-mass gravitational-radiation detectors // Phys. Rev. 1979. V. D19. № 6. P. 1669-1679.

[4] Observation of squeezed states generated by four-wave mixing in an optical cavity / R.E. Slusher [et al.] // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. № 22. P. 2409-2412.

[5] Bachor H.-A., Ralph T. Guide to experiments in quantum optics. Weinheim: Wiley-VCH, 2004. 420 p.

[6] Килин С.Я. Квантовая оптика: Поля и их детектирование. Минск: Навука i тэхшка, 1990. 176 с.

7] Walls D.F., Milburn G. Quantum optics. Berlin: Springer, 2008. 451 p.

8] Orozco L.A. Squeezed-state generation in optical bistability //J. Opt. Soc. Am. 1987. V. B4. № 11. P. 1490-1500.

9] The atom-cavity system as a generator of quadrature squeezed states / D.M. Hope [et al.] // Appl. Phys. 1992. V. B55. № 3. P. 210-215.

10] Realization of a two-photon maser oscillator / M. Brune [et al.] // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. № 17. P. 1899-1902.

11] Haroche S., Raimond J.-M. Exploring the Quantum. Atoms, Cavities and Photons. New York: Oxford University Press, 2006. 606 p.

12] Dell'Anno F., De Siena S., Illuminati F. Multiphoton quantum optics and quantum state engineering // Physics Reports. 2006. V. 428. P. 53-168.

13] Shore B.W., Knight P.L. On the Jaynes-Cummings model //J. Mod. Opt. 1993. V. 40. P. 1195-1238.

14] Физика квантовой информации / под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта, А. Цай-лингенра, М.: Постмаркет, 2002. 376 с.

15] Fam Le Kien, Kadantseva E.P., Shumovsky A.S. Light squeezing in the two-atom one-mode model with multi-photon transitions // Physica. 1988. V. C150. P. 445-456.

16] Mir M.R. Second-order and amplitude-squared squeezing of the two two-level atoms with superposition state preparation // Intern. Journ. Mod. Phys. 1993. V. B7. № 26. P. 4439-4450.

17] Bashkirov E.K., Shumovsky A.S. Squeezing of the square of the field amplitude in the two-atom one-mode model with multiphoton transitions // Intern. Journ. Mod. Phys. 1990. V. B4. № 9. P. 1579-1587.

18] Bashkirov E.K. Squeezing and amplitude-squared squeezing in the model of two nonidentical two-level atoms // Intern. Jour. Modern Phys. 2007. V. 21. № 2. P. 145-157.

19] Башкиров Е.К., Русакова М.С. Сжатие и статистика света в диссипативной двухатомной модели Джейнса — Каммингса // Оптика и спектроскопия. 2008. Т. 105. № 1. С. 82-88.

20] Башкиров Е.К., Липатова С.П. Сжатие света в двухатомной модели Джейнса — Каммингса с вырожденными двухфотонными переходами // Компьютерная оптика. 2009. Т. 34. С. 344-349.

21] Bashkirov E.K., Rusakova M.S. Atom-field entanglement in two-atom Jaynes — Cummings model with nondegenerate two-photon transitions // Opt. Commun. 2008. V. 281. P. 4380-4386.

Поступила в редакцию 25/Л7/2010; в окончательном варианте — 25/Л7/2010.

LIGHT SQUEEZING IN THE TWO-PHOTON TWO-ATOM MODELS OF QUANTUM OPTICS

© 2010 E.K. Bashkirov, S.P. Lipatova, M.S. Mastyugin3

The light squeezing in the system of two two-level atoms with nondegenerate two-photon transitions and raman type transition resonantly interacting with two modes of coherent field in ideal cavity has been investigated.

Key words: squeezed states, nondegenerate two-photou trausitions.

Paper received 25/1/7/2010. Paper accepted 25/777/2010.

3Bashkirov Yevgeniy Konstantinovich, (bashSssu.samara.ru), Lipatova Svetlana Petrovna (lipatovaassu.samara.ru), Mastyugin Mikhail Sergeevich (mast12basketarambler.ru), Department of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.