Оценивание уравнений кривых провисания воздушных линий устойчивыми методами

№ 3 (39) 2012

В. С. Тимофеев, канд. техн. наук, доцент Новосибирского государственного технического университета В. Ю. Щеколдин, канд. техн. наук, доцент Новосибирского государственного технического университета Е. А. Хайленко, аспирант Новосибирского государственного технического университета Д. В. Харьковский, аспирант Сибирского государственного университета путей сообщения

Оценивание уравнений кривых провисания воздушных линий устойчивыми методами

При решении многих технических задач требуется обеспечить сохранение точности измерений и наблюдений при прогнозировании на основе восстановленных зависимостей. К одной из них относится задача оценивания состояния воздушных линий.

Введение

Один из подходов к изучению большинства процессов и явлений основан на построении их моделей посредством обработки данных, получаемых в ходе различных экспериментов. Современные технологии прикладного статистического анализа предоставляют исследователю широкий спектр методов и способов решения этой задачи. На практике слепое применение большинства из них может приводить к возникновению проблемы устойчивости и, как следствие, к искажению получаемых результатов и выводов. Решением этой проблемы может стать применение так называемых робастных (устойчивых) методов оценивания, программная реализация которых, как правило, недоступна для широкого круга исследователей. Поэтому задача разработки и реализации соответствующих алгоритмов оказывается одной из наиболее актуальных.

Существует большое число технических приложений, в которых требуется обеспечить сохранение точности измерений и наблюдений при прогнозировании на основе восстановленных зависимостей. Примером такой задачи является оценивание уравнений кривых провисания воздушных линий (ВЛ). При проектировании, реконструкции и проведении контроля состояния воз-

душных линий, а также при проектировании объектов, проведении строительных работ вблизи прохождения воздушных линий, особое внимание уделяется оцениванию состояния провиса. При этом производится оценка технического состояния ВЛ, включающая их паспортизацию, определение фактических параметров в части выявления отклонений от проектной документации. Наблюдаемые значения соответствующих характеристик должны удовлетворять требованиям различных ГОСТов и нормативных актов [4]. На практике состояние ВЛ существенным образом определяется не только ее техническими характеристиками (напряжение, сила тока, тип проводов и т. д.), но и неконтролируемыми (стохастическими) воздействиями, обуславливаемыми природно-климатическими условиями конкретной местности.

Цель настоящей работы состоит в построении моделей, описывающих поведение кривых провисания воздушных линий на основе робастных методов оценивания при соблюдении условия сохранения точности исходных наблюдений, полученных по результатам лазерного сканирования.

Постановка задачи

Для обработки статистических данных, получаемых в результате лазерного сканирования состояний ВЛ, воспользуемся ме-

№ 3 (39) 2012

I

! Si 1

! о

I

! со

ii <0

8 со

0 &

й

1

1

£

со &

I

S

I

5

Рис. 1. Изображение опоры ВЛ, проводов и троса

тодами регрессионного анализа. Как правило, в исследованиях подобного рода принято рассматривать несколько вариантов регрессионных моделей, в частности, модели квадратичного типа и модели типа «цепной линии» [1]. В настоящей работе ограничимся моделями первого типа, поскольку обрабатываемые данные соответствовали пролетам типовых длин не более 300 м, для которых именно такие модели наиболее адекватны.

Объектом сканирования являлась линия электропередач с напряжением 110 кВ, пересекающая железную дорогу. Исследовавшиеся пролеты содержали три пары вертикально расположенных друг относительно друга проводов В1, В2 и В3 («ближние» по пикетажному значению железнодорож-

ной линии Сочи - Адлер) и D1, D2 и D3 («дальние»), а также трос T, представляющий собой заземленный протяженный молниеотвод (рис. 1).

Для сканирования использовался лазерный сканер TRIMBLE серии GX, технические характеристики которого изложены в [2, 3]. Он обеспечивает получение данных с точностью до 0,01 м. Следовательно, результаты любых исследований, которые проводятся на основе обработки данных, полученных с помощью этого сканера, отличаются высокой степенью точности и детализации.

Сканирование проводилось в течение одного дня с 8:05 до 11:40 и с 15:40 до 18:00 при изменении температуры внешней среды с 9°С до 12°С и с 11°С до 10°С, соответственно. По данным съемки был составлен продольный профиль пересечения линии электропередачи. Получение полного набора данных заняло продолжительное время вследствие сложных геофизических условий и линейности геометрии объекта. Процесс измерений дополнительно осложнялся тем, что сканируемая ВЛ проходила рядом с жилой застройкой и пересекала железнодорожное полотно. Общие количества точек, зафиксированных в ходе сканирования указанных проводов и троса, приведены в табл. 1.

Исходные данные для регрессионного анализа представим в виде множества точек Q(0) = {(х,,yt,z,.),i = 1,n}, в пространстве R3 (N — число наблюдений). Уравнение кривой провиса будет представляться в виде квадратичной функции вида

z = е0 + ех + е2 у+е3х2 +е4 у2 +е5ху,

Таблица 1

Объемы выборок для оценивания кривых ВЛ

Название ВЛ Верхний ближний Средний ближний Нижний ближний Ве да рхний льний Сре дал дний ьний Нижний дальний Трос

Обозначение в, в2 Вз D, D2 D3 T

Число наблюдений, N 1579 2706 649 1695 1569 1351 1036

116

№ 3 (39) 2012

для любых (х,у) еО, где О = [хт|П,хтах] • • [ут|п,утах] — непрерывная область, при этом

Хт1п ,Хтах ' Ут1п , Утах — соответствующие минимумы и максимумы, определяемые по множеству О(0). При отсутствии неконтролируемых внешних воздействий на ВЛ координаты точек множества О будут точно удовлетворять уравнению (1). Однако измерения реальных ВЛ, которые находятся под влиянием таких факторов, как температура, влажность, ветер и др., будут содержать регулярные погрешности. Следовательно, для более точной идентификации кривой провиса проводов ВЛ необходимо рассматривать регрессионную модель вида

Z = Х9 + е ,

где X =

х,

У1

У2

1 XN Уы

х

х

х

У1

у2

х1У1 х2 У2

yN XNyN

— мат-

рица значений регрессоров, 7 = (z1,..., zN )т — вектор значений отклика, в качестве которого рассматривается переменная z (относительная высота провода ВЛ), 0 = (0о,...,0т-1)т — вектор из т неизвестных параметров, подлежащих оцениванию (в нашем случае т = 6), е = (е1,..., ем)т — вектор ошибок наблюдений, относительно которого предполагается выполнение условий Гаусса-Маркова [5]:

E [е] = 0, D [е] = о2IN , о2 < ~.

При этом основная задача будет состоять в оценивании параметров регрессионного уравнения (2).

Идентификация кривой ВЛ должна производиться, с одной стороны, для обеспечения наиболее точного оценивания отклика модели, сохраняя при этом точность измерений, а с другой — для выполнения вышеперечисленных условий и требований с точки зрения горизонтальных (/) и вертикальных (V) расстояний между проводами, как показано на рис. 1.

При расчете ВЛ и их элементов должны учитываться климатические условия — температура воздуха, ветровое давление, толщина стенки гололеда, степень агрессивного воздействия окружающей среды, интенсивность грозовой деятельности. Кроме того, следует принимать во внимание эффекты пляски проводов и тросов и вибрации. Наименьшие расстояния между проводами ВЛ, а также расстояния между проводами и тросами должны выбираться согласно [4, п. 2.5.87], габаритные расстояния пересечений с железными и автомобильными дорогами в населенной местности соответственно определяются в [4, п. 2.5.251, п. 2.5.258, п. 2.5.212]. При различии стрел провеса, конструкций проводов и гирлянд изоляторов в разных фазах ВЛ дополнительно должны проверяться расстояния между проводами (тросами) в пролете [4, п. 2.5.95].

Как правило, на практике для решения подобных задач используется метод наименьших квадратов (МНК), реализованный в большинстве пакетов статистического анализа. Однако известно, что МНК-оцен-ки теряют свою устойчивость при наличии в выборке даже небольшого числа грубых ошибок (выбросов) [8]. Одна из причин, приводящих к появлению выбросов, может быть связана с наличием неучтенных в модели неоднородностей условий проведения измерений, которые могут иметь место даже при высокоточном лазерном сканировании. В связи с этим для решения поставленной задачи следует привлекать специальные методы устойчивого оценивания регрессионных моделей. В работе предлагается использовать для этой цели методы, предложенные П. Дж. Рауссеу [10].

Устойчивые методы оценивания

Одним из наиболее перспективных методов устойчивого оценивания регрессионных моделей является метод LTS (least trimmed squares) [8, 10]. Его идея состоит в применении МНК не для всей совокупности исход-

Si

t Я

I

I

Я

I

t

со <u

I

CJ 00

117

№ 3 (39) 2012

ных данных, а только для наиболее информативной ее части, определяемой в процессе оценивания.

В соответствии с [10] суть указанного метода состоит в многократном повторении так называемого С-шага, алгоритм которого представлен ниже:

1) с помощью МНК вычисляется начальная оценка 0(1) вектора 0 на множестве H 1 с Н, размерность которого равна h < N, H — все множество наблюдений;

2) вычисляются остатки регрессии е( (0(1)) для всех i = 1, ..., N;

3) остатки упорядочиваются по модулю

I е.

I

i Si

и й ! о

I

!

со

ii

<0

ё со

0 &

й й

1

IS

£ со

I I

S 1

-п(1)(0 )1< I е„(2){0 )1< ... <I eфl)(0 )l, где п(/) — ранг /-го остатка в вариационном ряде;

4) в множество Н2 записываются номера первых h остатков Н2 = {п(1),...,я:^)};

5) с помощью МНК вычисляется оценка 0(2) вектора 8 на множестве Н2.

Для реализации метода в работе П. Дж. Рауссеу [10] предложен алгоритм FAST-LTS, вычислительная схема которого представлена ниже.

Шаг 1. Выбирается размер оценочного N + т +1 .

подмножества h =--- (это значение

используется по умолчанию). По рекомендациям из [10] значения h должны быть це-" N + т +1

лыми из интервала

2

-, n

что позво-

ляет варьировать размер оценочного подмножества и тем самым влиять на качество оценок.

Шаг 2. Выполняется к раз (например, в [10] предложено к = 500) следующая последовательность действий:

• случайным образом выбирается ^подмножество Н1 из множества всех наблюдений Н;

• выполняются несколько С-шагов (авторами предлагается два С-шага).

Шаг 3. Для десяти результатов с наименьшим значением суммы квадратов остатков выполняются С-шаги до сходимости.

Шаг 4. В качестве оценки 0 выбирается то значение, которое соответствует наименьшему значению суммы квадратов остатков, полученной на предыдущем шаге.

Альтернативным методом, устойчивым к выбросам, является предложенный в [10] метод наименьшей медианы остатков (LMS). Он состоит в определении оценок неизвестных параметров путем решения оптимизационной задачи:

min mede(2 (0),

где е((0), i = 1,N — остаток /-го наблюдения.

Применение LMS напрямую, путем минимизации медианы остатков, на практике невозможно, поэтому в работе [10] предложена модификация данного метода, состоящая в выполнении следующей последовательности действий.

Шаг 1. Многократно повторяются (k раз) нижеперечисленные действия:

1) случайным образом из всего множества наблюдений выбирается по m наблюдений;

2) для выбранных наблюдений находятся оценки параметров (0?,...,0т).

Шаг 2. В качестве начального приближения выбирается то значение 00, которое соответствует минимальному значению целевой функции (OBJ), OBJ = medе(2(0).

Шаг 3. Вычисляется оценка масштаба:

s0 = 1,4826 • OBJ -|1+ 5

N - m

которая имеет такой вид при нормальном распределении ошибки наблюдений.

Шаг 4. Вычисляются веса отдельных наблюдений w¡:

W; =

1, если 4-

е, (0

< 2,5,

0, в противном случае.

Шаг 5. Вычисляется оценка 0 по формуле 0 = (XTWX )-1 XTWy, где W — диагональная матрица, элементы которой равны wj.

118

№ 3 (39) 2012

Количество повторений k выбирается исходя из количества наблюдений, количества регрессоров и отношения N/m. Однако, как показано в [6, 10], этот метод, как правило, дает менее точные результаты оценивания, чем метод LTS.

Разработанные здесь алгоритмы были реализованы авторами в виде комплекса программ компьютерной обработки данных в среде Borland C и позволили получить нижеприведенные результаты.

Результаты оценивания

Прежде чем переходить непосредственно к результатам применения алгоритмов устойчивого оценивания, отметим, что для удобства сопоставления получаемых оценок целесообразно провести нормирование исходных данных путем аффинного преобразования ф: R3 ^ [0,1]3 множества О к множеству Q' с [0,1]3. Это позволяет ослабить влияние эффекта масштабирования данных.

Первый этап статистического анализа полученных данных состоял в идентификации моделей, описывающих кривые ВЛ, на основе методов оценивания МНК, LTS и LMS. При этом для обеспечения наилучшей достоверности получаемых результатов идентификация проводилась для провода B2, поскольку ему соответствует наибольший объем выборки. Оценки параметров данного провода приведены в табл. 2.

Заметим, что оценки параметров, полученных различными методами, существенно варьируются. В частности, LMS-оценка свободного члена 90 более чем в 1,5 раза меньше соответствующей LTS-оценки и в 1,5

раза больше МНК-оценки. Еще более существенны различия в оценках параметра 01, которые отличаются не только по абсолютной величине, но и по знаку, и, следовательно, будут иметь различную интерпретацию. Причинами возникновения подобных расхождений могут быть, с одной стороны, наличие целого ряда грубых погрешностей измерений в исходных данных, а с другой — неточная спецификация модели. Подобная ситуация наблюдается и для оценок параметра 03.

В связи с этим отметим, что во всех трех случаях параметр 05 оказывается незначимым, что позволяет предположить отсутствие значимого влияния регрессора xу на отклик и, следовательно, скорректировать исходную спецификацию модели. Для проведения такой коррекции воспользуемся анализом геометрии решаемой задачи, которая может оказывать существенное влияние на результаты оценивания кривых ВЛ. Поскольку изоляторы более жестко зафиксированы по отношению к проводу, предположим, что кривая должна обязательно проходить через точку соединения провода и изолятора, т. е. удовлетворять граничному условию.

Пусть кривая провода ВЛ проходит через фиксированную точку M у1, z1). Тогда число степеней свободы уравнения (1) уменьшается на единицу, что приводит к сокращению числа оцениваемых параметров на единицу. Подставим в (1) координаты точки M и выразим через них незначимый параметр 05:

^ =0о + 01x1 + 02 У1 + 0з x12 + 04 у2 + 05 x1у1,

05 =

1

-

1 §

I

Я

Ü

I я

I

t

со <u

I

Ii

ва

Таблица 2

Результаты идентификации уравнения провода B2

Метод е. 6г 03 Ö4 05

МНК 1338476,082 9,165 -74,919 -7,431E-05 8,658E-04 -7,833E-13

LTS 3225600,143 -70,960 -51,451 5,964E-04 5,937E-04 -5,212E-14

LMS 1988375,643 -18,501 -66,949 1,596E-04 7,713E-04 0,000E+00

ч 119

№ 3 (39) 2012

Обозначим Х = ——, подставим (4) в (1) и,

приведя подобные члены, получим: г — Хг1 = 00(1 — X) + 01( х - Хх1) + 02( у -Ху1) + +0з (х2 —Хх2) + 04( у2 — Ху2). Вводя новые регрессоры

г = г — Хг1, w0 = (1-Х), w1 = х — Хх1,

w2 = у — Ху1, w3 = х2 — Хх-2, w4 = у2 — Ху-,

переходим к новому уравнению ВЛ с меньшим числом параметров:

каждой точки исходных данных по соотношению

г = 0^0 + 0^ + 0^2 + 0^3 + 04w4.

I

I

и й ! о

I

!

со

I <0

8

со

0 &

й й

1

1

£

со &

I

I

и

= щ

' N — 1

1

+, N

Таким образом, для оценивания уравнения (1) при условии фиксации начальной точки необходимо оценить параметры уравнения (5), а затем подставить полученные оценки в (1), причем оценка параметра 05 определяется по (4). Результаты оценивания параметров провода В2, найденные при условии закрепления точки, приведены в табл. 3.

Сопоставление результатов, содержащихся в табл. 2 и 3, позволяет отметить, что применение разных методов оценивания приводит к различным уравнениям проводов ВЛ с точки зрения значений оцениваемых параметров, вплоть до изменения знаков (например, параметров 00 и 02). Это порождает проблему выбора «наилучшего» метода оценивания.

Для сравнения результатов, получаемых рассматриваемыми методами, можно воспользоваться так называемым расстоянием Махаланобиса МО/ [9], вычисляемым для

где Р, — диагональные элементы проекционной матрицы Р = Х(Х т X)—1X т [5].

Идея сопоставления результатов оценивания на основе расстояния Махаланобиса состоит в сравнении так называемых классификационных представлений [9] стане

дартизованных остатков г = — ^ — оцен-

S

ка среднеквадратического отклонения случайной ошибки регрессионного уравнения) с соответствующими значениями МО.. В зависимости от значений пары (г,, МО) все наблюдения могут быть разделены на четыре класса:

1) регулярные наблюдения, характеризующиеся незначительными отклонениями от среднего и определяемые из условий:

МО2 <х2кр(а,т), I г I<^(Ц — т);

2) вертикальные выбросы, для которых МО2 >х2р(а,т), I г I<^(N — т);

3) «хорошие» горизонтальные выбросы: МО2 <х2р(а,т), I г I>tкp(N — т);

4) «плохие» горизонтальные выбросы: МО2 >х2р(а,т), I г I>^(Ц — т).

Таблица 3

Результаты идентификации уравнения провода В2 с фиксированной первой точкой

Метод 80 81 82 83 84 85

МНК 1336233,437 9,252 —74,935 —7,500Е-05 8,660Е-04 —1,283Е-07

иге 3279754,950 -73,277 —50,752 6,158Е-04 5,857Е-04 —1,218Е-07

LMS 3685809,808 -90,372 —45,933 7,592Е-04 5,295Е-04 —6,770Е-08

120

№ 3 (39) 2012

Величина уровня значимости a может быть априорно задана исследователем (чаще всего 0,05). Однако в рамках решаемой задачи определение a целесообразно связать с условием сохранения точности измерений, полученных с помощью лазерного сканирования, а именно I el I<0,01. Качество результатов оценивания будет повышаться при увеличении доли наблюдений, попадающих в первый и третий классы. Сравнение используемых методов с этой точки зрения приведено в табл. 4.

Ее данные отражают тот факт, что применение МНК для оценивания кривых ВЛ приводит к уровню значимости, примерно в три раза превосходящему соответствующие значения для LTS и LMS, которые, в свою очередь, согласуются со стандартным выбором уровня значимости а = 0,05. Такой результат может быть следствием большой чувствительности МНК к наличию небольшого числа аномальных наблюдений в выборке.

Таким образом, выбор «наилучшего» метода оценивания должен быть проведен ме-

жду LTS и LMS. Для этого построим графические представления разбиений наблюдений по классам 1-4 (рис. 2).

Сравнение рис. 2а и 2б позволяет предположить, что с точки зрения LMS большая часть наблюдений оказывается вертикальными выбросами [7, 9]. Это означает, что, с одной стороны, содержащаяся в данных наблюдениях информация полностью не используется при оценивании, а с другой — что оставшаяся часть информации обеспечивает лучшую устойчивость получаемых результатов. Кроме того, заметим, что классификационное представление для LMS отличается явно выраженной горизонтальной симметрией, что связано со свойствами медианы. Естественно, исходные данные далеко не всегда обладают таким свойством. Следовательно, можно рекомендовать применение LTS как достаточно устойчивого метода, более корректно отображающего структуру исходных данных. Дополнительным аргументом в пользу выбора LTS является тот факт, что основная цель построе-

1 £

§ I

Ü I

I t

со <u

I

CJ

ва

Таблица 4

Фактически реализуемые уровни значимости

Без фиксированной точки С фиксированной точкой

Метод МНК LTS LMS МНК LTS LMS

^ (f -N - m) 1,648 2,130 2,291 1,521 2,040 1,943

а-100% 9,947 3,326 2,204 12,838 4,145 5,212

а б

Рис. 2. Классификационное представление элементов выборки: LTS

121

-ч ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 3 (39) 2012 ' -

и

I

и

! о

I

I

со

<0

8

со

0 &

й

1

1

£

со

I

1

и

5

ния регрессионного уравнения в условиях решаемой задачи — обеспечение заданной точности прогнозирования.

Рассмотрим результаты оценивания по выбранному методу иге. Как правило, при его применении возникает задача определения мощности ^ оценочного подмножества Н, имеющая самостоятельное значение [6]. В данном случае предлагается использовать уже упомянутое условие сохранения точности измерений: в множество Н должны входить те наблюдения, для которых выполняется соотношение I е1 I < 0,01. Отношение к N можно рассматривать как показатель качества X* исходной выборки в условиях решаемой задачи. При этом, чем ближе он к единице, тем более однородной является информация, содержащаяся в наблюдениях.

В таблицах 5 и 6 представлены результаты выбора размера оценочного подмножества ^ и оценки параметров регрессии для моделей различных ВЛ без закрепления (модель 1) крайней точки и с закреплением (модель 2) соответственно.

Во-первых, при анализе табл. 5 и 6 следует отметить, что величина X* для моделей типа 1 всегда больше, чем для соответствующих моделей типа 2. При этом наибольшая разница (примерно в 35%) наблюдается для проводов В1, D1 и Т, расположенных в верхней части опоры. Это объясняется тем что данные провода наиболее подверже ны влиянию перечисленных выше внешних

факторов. Во-вторых, величина X* для моделей одного типа всегда примерно одинакова, что может свидетельствовать об одинаковой точности проводимых измерений для каждого вида проводов ВЛ.

Таким образом, при оценивании кривых провиса ВЛ можно рекомендовать использовать метод иге с фиксированной точкой для линий, расположенных в верхней части опоры (В1, D1 и Т), а для остальных — метод иге без закрепления точки, который в аналитическом плане несколько проще.

Одной из основных целей оценивания кривых ВЛ является определение состояния провиса. Ранее был отмечен ряд технических характеристик, соответствующих некоторым состояниям ВЛ. Для проверки соответствия реального и требуемого стандартами расположения различных проводов ВЛ друг относительно друга следует воспользоваться полученными уравнениями проводов. В частности, требуется определить минимальное расстояние между «ближними» линиями В1 и В3, а также между «дальними» D1 и D3.

Рассмотрим расчет минимального расстояния между проводами, кривые провиса которых определяются функциями £ (1)(х1, у1) и 1 (2)( х2, у2), соответственно. Тогда необходимо решить оптимизационную задачу вида б=

- =4 (^ - *2)2 + (У1 - у2)2 + а (1)(х1,у1) - 2 (2)( х2,у2))2

^ тт.

(х1,у1)еО (х2У2)ЕП

Таблица 5

Размеры оценочного подмножества и оценки параметров регрессии по методу иге без фиксированной точки

ВЛ й* X* 9о 9, 6г 9з 94 95

B1 1435 0,909 -99402,686 80,197 -106,760 - 6,672Е-04 1,233Е-03 - 6,672Е-14

B2 2420 0,894 3225600,143 -70,960 -51,451 5,964Е-04 5,937Е-04 - 5,212Е-14

Bз 567 0,874 5175710,938 -162,158 -15,292 5,964Е-04 5,937Е-04 - 5,212Е-14

ц 1500 0,885 608326,459 50,911 -98,940 - 4,230Е-04 1,144Е-03 - 2,962Е-13

02 1360 0,867 -1325063,555 123,329 -109,653 -1,029Е-03 1,268Е-03 1,271Е-13

Озз 1115 0,825 -8445374,757 418,102 -188,361 - 3,490Е-03 2,175Е-03 -1,201Е-13

T 1010 0,974 33531286,797 -1365,507 338,575 1,141Е-02 - 3,906Е-03 - 2,269Е-13

№ 3 (39) 2012

Таблица 6

Размеры оценочного подмножества и оценки параметров регрессии по методу иге с фиксированной точкой

ВЛ г Я* 80 81 82 83 84 85

В, 1050 0,665 —97608,096 80,167 —106,801 — 6,672Е-04 1,233Е-03 6,974Е-07

В2 2310 0,854 3279754,950 —73,277 —50,752 6,158Е-04 5,857Е-04 — 1,218Е-07

В3 490 0,756 5221838,508 —164,139 —14,688 1,373Е-03 1,706Е-04 — 2,716Е-07

1115 0,658 — 2132801,871 223,504 —210,921 —3,140Е-03 2,149Е-13 3,525Е-03

1070 0,682 —13110259,628 732,358 —407,122 — 8,578Е-03 —1,242Е-13 6,805Е-03

03 1020 0,756 194488,755 83,695 —125,325 — 1,451Е-03 8,008Е-14 2,091Е-03

т 750 0,724 —119766682,698 5815,713 —2506,236 — 6,375Е-02 1,097Е-13 4,189Е-02

1 £

§ I

аа

I £

я

I

§

ё со

ео ^

и

I

со аа

Ее решение d* будет определять минимальное расстояние между проводами. В таблице 7 приведены результаты расчетов.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что для всех типов сопоставляемых ВЛ выполняются требования [4, п. 2.5.87], согласно которым минимальное расстояние между любыми парами проводов в цепи грозового перенапряжения не должно быть меньше 1,35 м. Анализ данных табл. 7 свидетельствует о том, что наиболее близки по расположению друг к другу провода О2 и О3, но даже для них упомянутое требование выполняется со значительным запасом.

Заключение

В работе проведена идентификация кривых провисания ВЛ при учете условий сохранения точности наблюдений, полученных путем лазерного сканирования, на основе МНК и методов устойчивого оценивания регрессионных моделей. Выполнено сопоставле-

ние полученных уравнений регрессии с точки зрения качества описания исследуемых зависимостей, показано, что применение МНК может приводить к серьезным искажениям получаемых выводов. На основе анализа остатков уравнений регрессии проведена классификация исходных данных, что позволило определить доли засоряющих наблюдений в выборках. В условиях решаемой задачи установлено, что применение метода медианной регрессии (LMS) позволяет получать наилучшие результаты. Осуществлено компьютерное моделирование взаимного расположения тросов ВЛ, в результате которого получены оценки минимальных расстояний между различными проводами для проверки соответствия их состояния ПУЭ. Кроме того, рассмотрен частный вариант решения задачи, основанный на использовании дополнительной информации о фиксации начальных координат ВЛ.

Знание уравнений кривых провисания позволяет более точно учитывать их располо-

Таблица 7

Оценки минимальных расстояний между парами ВЛ

Сопоставляемые ВЛ Расстояние б*, м Сопоставляемые ВЛ Расстояние б*, м

01-02 3,203 В1-В2 3,105

01-03 4,441 В1-В3 4,448

02-03 2,484 В2-В3 3,010

№ 3 (39) 2012

жение при переустройстве ВЛ, поскольку расстояния между проводами, а также между проводами и тросами выбираются по стрелам провеса, соответствующим габаритному пролету, при этом стрела провеса троса должна быть не более стрелы провеса провода. Также провес проводов учитывается при обследовании и обмерных работах на объектах, подлежащих капитальному ремонту, реконструкции, расширению и техническому перевооружению. В частности, речь может идти о разработке, формировании и оценивании состояния элементов инфраструктуры железнодорожного и автомобильного транспорта. Например, для железнодорожной линии на электрофицированном участке согласно ПУЭ установлен нормативный габарит между проводом ВЛ и головкой рельса, а на неэлектрофицированном — между проводом ВЛ и несущим проводом контактной сети. Для автомобильного транспорта соответствующий нормативный габарит | установлен для расстояний между проводом Е| ВЛ и дорожным покрытием. <5 Умение точно оценить взаимное располо-5 жение проводов ВЛ имеет особенно важное :з значение для электрических подстанций. Ц Это связано с тем, что подобные объекты £ различаются не только большим количеством пересечений проводов, но и существен-Л ными отличиями в их назначениях и характе-§ ристиках. Кроме того, решение рассмотрен-| ных в статье задач позволит осуществлять Ё^ проведение оперативного контроля состоя-§ ния проводов ВЛ в течение всего срока экс-| плуатации.

| Представленный в статье подход может § рассматриваться как методика восстановле-^ ния стохастических зависимостей по резуль-г§ татам экспериментов при наличии требова-^ ний максимально возможного сохранения точности исходных данных для построения | устойчивых прогнозов. К элементам данной Ц методики относятся: оценивание регрессией онных уравнений на основе методов LMS | и иге, определение оптимальных размеров | оценочных подмножеств в рассматриваемых <=э методах при наличии ограничений на сохра-

нение точности исходных данных, построение классификационных представлений для определения типов наблюдений исходной выборки и их степени пригодности для идентификации кривых провисания ВЛ. Для реализации данной методики авторами был разработан программный комплекс, включающий методы обработки экспериментальных данных с использованием предложенных алгоритмов.

Результаты анализа были использованы при проектировании генерального плана объектов ВОХР южного портала тоннеля № 6 и северного портала тоннеля № 7 проекта «Строительство второго сплошного пути на участке Сочи - Адлер СевероКавказской железной дороги» (улучшение инфраструктуры железнодорожной линии Туапсе - Адлер).

Список литературы

1. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965. — 856 с.

2. Геолидар [Электронный ресурс] Режим доступа: http://geolidar.dev.machaon.ru/publications/article/ electro-info (6) — 2004.

3. Интер-ГЕО [Электронный ресурс] Режим доступа: http://www.intergeo.ru/catalog.php?id=819.

4. Правила устройства электроустановок (все действующие разделы ПУЭ-6 и ПУЭ-7). Новосибирск: Сиб. универ. изд-во, 2009. — 512 с.

5. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968. — 548 с.

6. Тимофеев В. С., Вострецова Е. А. Использование алгоритмов планирования эксперимента в схеме LTS-оценивания // Научн. вестник НГТУ. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2009. № 1 (34). С. 95-106.

7. Тимофеев В. С., Фаддеенков А. В., Щекол-дин В. Ю. Эконометрика. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. — 346 с.

8. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984. — 303 с.

9. Rousseeuw P. J. Robust regression, positive breakdown. Encyclopedia of statistical sciences: update. Vol. 1. New York: John Wiley, 1997. Р. 481-495.

10. Rousseeuw P. J. Tutorial to robust statistics // Journal of Chemometrics. Vol. 5/ 1991. P. 1-20.