Геометрическое кодирование цветных изображений

Математика

УДК 511

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ КОДИРОВАНИЕ ЦВЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ Г. В. Носовский1

Формальный анализ и распознавание цветных цифровых изображений — важный раздел современной компьютерной геометрии. Существующие для этой цели методы, несмотря на их многолетнее развитие, не вполне удовлетворительны и заведомо не могут сравниться по эффективности с теми неизвестными нам алгоритмами, которые наш мозг использует для анализа зрительной информации. Почти все известные алгоритмы не используют цвета, они обрабатывают изображения, переведенные в оттенки серого. Однако цветовая информация важна и не должна быть исключена из обработки. В настоящей статье предлагается принципиально новый метод кодирования и анализа цветных цифровых изображений. Основная идея метода заключается в том, что полноцветное цифровое изображение кодируется с помощью специальной двумерной поверхности в трехмерном пространстве, после чего анализируется методами дифференциальной геометрии, а не традиционными градиентными методами, такими, как SIFT, GLOH, SURF, оператор Кэнни (Canny) и др.

Ключевые слова: распознавание образов, геометрическое кодирование, кодирующая поверхность, контурный анализ, распознавание контуров, компьютерное зрение, обработка изображений, склейка изображений.

Formal analysis and computer recognition of 2D color images is an important branch of modern computer geometry. However, existing algorithms, although they are highly developed, are not quite satisfactory and seem to be much worse than (unknown) algorithms, which our brain uses to analyze eye information. Almost all existing algorithms omit colors and deal with grayscale transformations only. But in many cases color information is important. In this paper a fundamentally new method of coding and analyzing color digital images is proposed. The main point of this method is that a full-color digital image is represented without dropping colors by a special 2D surface in 3D space, after which it is analyzed by methods of differential geometry rather than traditional gradient-based or Hessian-based methods (like SIFT, GLOH, SURF, Canny operator, and many other algorithms).

Key words: pattern recognition, geometrical coding, coding surface, contour analysis, edge detection, computer vision, image processing, image stitching.

1. Введение. В настоящее время распознавание цифровых изображениий основано на ограниченном числе методов, разработанных за последние 40 лет, таких, как оператор Кэнни (Canny) для обнаружения границ, SIFT, SURF и различные модификации SIFT-метода (см. [1-8]). Большинство этих методов использует один и тот же базовый подход: 1) изображение преобразуется в оттенки серого; 2) обесцвеченное изображение сглаживается, как правило, гауссовыми фильтрами, иногда сглаживание применяется несколько раз с увеличением радиуса [8]; 3) с помощью сглаженных значений в каждой точке (пикселе) изображения вычисляются характеристики типа градиента или гессиана; 4) на основе этих характеристик принимается решение, является ли данная точка ключевой (kevpoint), т.е. существенной для нас, или же она должна быть исключена из дальнейшего рассмотрения; 5) для каждой ключевой точки рассчитывается ряд дескрипторов, которые используются для окончательной классификации или сравнения ключевых точек. Например, при обнаружении границ ищутся ключевые точки, принадлежащие границам, для сшивки различных проекций одного и того же объекта — точки на разных проекциях, которые отражают одну и ту же точку объекта [9, 10] и т.д.

Несмотря на то что за последние десятилетия были потрачены большие усилия на усовершенствование подобных методов, они по-прежнему представляются недостаточно эффективными, особенно если учесть, что наш мозг обрабатывает визуальную информацию, полученную с сетчатки глаз, намного быстрее и лучше. Трудно предположить, что громоздкий и весьма искусственный гра-

1 Носове кий Глеб Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gleb.nosovskiyQgmail.com.

диентный локальный анализ изображений действительно может быть реализован нейронами мозга. По-видимому, мозг использует совсем другие алгоритмы.

В настоящей работе предпринята попытка геометрического подхода к проблеме. Цветное плоское изображение без потери информации кодируется с помощью специальной двумерной поверхности в трехмерном пространстве — кодирующей поверхности, после чего анализ изображения производится не классическими средствами математического анализа, а методами дифференциальной геометрии на основе метрических деформаций и кривизн кодирующей поверхности.

Не исключено, что наш мозг, являясь трехмерным телом, может делать что-то похожее: создавать внутри себя аналоговую 2В-поверхность, воздействовать на нее в соответствии со зрительной информацией и чувствовать напряжения, возникающие на ней вдоль контуров изображения. Конечно, это всего лишь умозрительная идея и настоящая статья отнюдь не претендует на то, чтобы объяснить, как в действительности мозг обрабатывает зрительную информацию. Однако эта идея оказалась неожиданно продуктивной для компьютерного анализа изображений.

2. Геометрическое кодирование цветных изображений.

2.1. Кодирующая поверхность. Без потери общности будем считать, что цифровое цветное изображение представлено в формате RGB. Цветовое пространство RGB с учетом интенсивности можно рассматривать как куб {0 ^ х ^ 1,0 ^ у ^ 1,0 ^ z ^ 1} в R3. Каждый вектор в этом кубе отображает конкретные значения цвета и интенсивности, при этом цвету отвечает направление вектора, а интенсивности — его длина. (При желании можно преобразовать этот куб в октант

х2 + у2 + z2 ^ 1} единичного шара в R3. Тогда длина каждого вектора будет непосредственно представлять интенсивность в масштабе от 0 до 1.) Мы будем обозначать этот куб CIS (color-intensity space).

Представим себе копию куба CIS, помещенную в каждую точку изображения таким образом, чтобы диагональ куба, концы которой соответствуют черному и белому цветам, была ортогональна плоскости изображения, белый конец этой диагонали находился бы в плоскости изображения, а черный — выше этой плоскости. Тогда в каждой точке (X, Y) плоскости изображения возникает приложенный к ней однозначно определенный вектор v € CIS, кодирующий значения цвета и интенсивности в этой точке.

Радиус-вектор кодирующей поверхности, соответствующий точке (X, Y) исходного изображения, определим формулой r(X, Y) = (X, Y) + v.

При этом необходимо выбрать масштабный коэффициент kcis, равный отношению стороны куба CIS к стороне квадратной ячейки, которую представляет собой точка (пиксель) цифрового изображения. В наших расчетах мы пробовали разные значения kcis от 1 до 50; оказалось, что значения в пределах 10-40 дают хорошие результаты.

Для изображения в градациях серого его кодирующая поверхность будет совпадать с графиком интенсивности. Для однородного по цвету и интенсивности фона кодирующая поверхность будет частью плоскости.

2.2. Сглаживание поверхностями Безье. Реальные цветные цифровые изображения обычно содержат значительное количество шума, для подавления которого их необходимо сглаживать перед обработкой. В методе кодирующей поверхности сглаживание производится автоматически путем замены каждого рассматриваемого участка кодирующей поверхности его приближением Безье или Бета-приближением (NURBS). Чтобы выполнить сглаживание, мы просто рассматриваем точки r(X,Y) на поверхности кодирования, соответствующие точкам нашего изображения (X,Y), как контрольные точки поверхности Безье или Бета-поверхности [11, 12]. Поверхности Безье имеют ряд преимуществ: они проще, не требуют задания параметров и сильнее сглаживают, чем Бета-приближения, лучше подавляя шум. Степень сглаживания с помощью поверхности Безье определяется числом контрольных точек, т.е. размером участка поверхности, который мы приближаем (чем больше размер, тем сильнее сглаживание). Поэтому при вычислении локальных харатеристик кодирующей поверхности в заданной точке необходимо строить ее локальные приближения Безье соответствующего размера, а не рассматривать участки полной поверхности Безье, которая может быть слишком сильно сглаженной. В наших расчетах мы брали локальные участки кодирующей поверхности размера (5 х 5) — (9 х 9) — обычно 7x7.

3. Распознавание контуров изображения с помощью геометрического кодирования. Кодирующая поверхность может быть использована для различных задач анализа и распознавания цветных цифровых изображений. Рассмотрим ее применение для одной из наиболее важных задач — обнаружения контуров.

Контуры представляют собой линии, разделяющие области изображения с различными значениями цвета или интенсивности. На кодирующей поверхности контуры можно распознавать, основываясь на значениях метрического тензора и главных кривизн поверхности. А именно резкое изменение радиуса-вектора кодирующей поверхности, возникающее из-за перепада цвета и/или ин-тесивности на различных берегах контура, приводит к тому, что вдоль контура кодирующая поверхность резко растягивается или сжимается по отношению к плоскости изображения, а ее главные кривизны становятся существенно различными по абсолютной величине: модуль кривизны вдоль контура меньше модуля кривизны в поперечном направлении. Поэтому для обнаружения контуров на кодирующей поверхности поступим следующим образом.

1. Выберем скалярную функцию /(ж) = /(А^ж), Аг(ж)) ^ 0 на кодирующей поверхности ¿>, зависящую от двух главных кривизн (А^ж), А2(ж)) в точке ж € ¿>, таким образом, чтобы значение / возрастало при увеличении разницы между абсолютными величинами главных кривизн.

2. Рассмотрим множество точек А С 5 на поверхности ¿>, определяемое условием А = {ж : /(ж) > а}, где а некоторый порог.

Тогда при подходящем выборе функции / и порога а множество А будет образовывать карту складок на поверхности кодирования, а на исходном изображении картину контуров (рис. 1).

а Ъ с

Рис. 1. Цветное изображение (о), его кодирующая поверхность (6) и картина контуров по складкам

кодирующей поверхности

Линии, вдоль которых возникает сжатие или растяжение кодирующей поверхности, ищутся аналогично, только вместо функций /, зависящих от главных кривизн поверхности, берутся функции /г, зависящие от значений собственных чисел матрицы С метрического тензора, отнесенной к координатам (ж, у) декартовым координатам плоскости изображения.

Таким образом, функции /-типа вычисляются по значениям первой и второй фундаментальных форм кодирующей поверхности, а функии /г,-типа по значению лишь первой фундаментальной формы.

Вот несколько примеров функций на кодирующей поверхности, которые были использованы для распознавания контуров изображения:

/1(АЬ А2) = А,„ах А2

щи'

/2(Аь А2) = с(А1 - А2)2 = с(Н2 - 4А), /з(Аь А2) = с(А2 - А2)2 = сН2(Н2 - 4*0,

/.(Ль^^м-м^!^-^ ГИп

I сН , если А < 0,

/5(АЬ А2) = = Я2(Я2 - 4К)/К2 = | + | - 2,

,,, (|А1|-|А2|)2 ¡(1-4К/Н2), если 0;

/б(Аь Л2] - -772- - <

II 1, если А < 0,

hi = с х detG,

h2(G) =

j(detG-l)2, detG^l;

hs{G) = —;—;-, где k\, 1ъ2 — собственные значения матрицы G.

kik2

Здесь G — матрица первой фундаментальной формы (метрического тензора); II = (Ai + Л2) -средняя кривизна, К = (Ai х Аг) — гауссова кривизна; Amaxj ^min — максимальное и минимальное по модулю значения главных кривизн Ai, Аг-

Заметим, что, поскольку функции /2, /з, /4, /5, /б, /7 определяются рациональными выражениями от Н и К, их вычисление не требует расчета главных кривизн, так как Н и К являются рациональными функциями матричных элементов первой и второй фундаментальных форм. Для вычисления главных кривизн необходимо извлечение квадратного корня, а это более затратная вычислительная операция, функция /7 ведет себя подобно f\. Действительно, если Amjn намного меньше Amaxj то Ai + А2 = Amax + \nin ~ Amax и, следовательно, fj(Ai, А2) ~ /i(Ai, А2). При этом /7 вычисляется быстрее, чем /1, поэтому вместо f\ предпочтительнее использовать /7.

Функции /5,/б являются однородными функциями по Al, Л2, поэтому для их вычисления нет необходимости нормализовать длину ортогонального вектора к поверхности. Для поверхности Безье это означает, что /5, /б являются рациональными выражениями от исходных данных — координат контрольных точек.

Вычисления упрощаются тем, что матричные элементы первой и второй фундаментальных форм для поверхности Безье являются простыми линейными выражениями от координат шести контрольных точек (трех точек для первой и еще трех точек для второй формы) поверхности Безье, полученной с помощью деления исходной поверхности Безье в заданной точке [11, 12].

4. Примеры распознавания контуров с помощью геометрического кодирования. Приведем несколько примеров распознавания контуров на цифровых изображениях с помощью геометрического кодирования и различных функций /(Ai, Л2) и h(G)2.

Цель приводимых здесь примеров — показать принципиальные возможности метода геометрического кодирования, поэтому все результаты представлены в их исходном виде, без какой-либо дополнительной обработки. В частности, не применялись никакие методы утонынения контуров, как, например, в алгоритме Кэнни.

Начнем со стандартного примера, взятого из статьи Википедии, посвященной детектору контуров Кэнни3 На рис. 2, а, Ъ изображения были взяты из упомянутой статьи; на рис. 2, с, d изображения являются результатом обработки алгоритмом геометрического кодирования с функциями f\ и /о соответственно. Детектор контуров Кэнни включает постобработку для устранения двойных контуров, что делает их более тонкими, результаты нашего алгоритма не улучшались. Из этого примера видно, насколько подробную информацию о контурах исходного изображения содержит геометрия кодирующей поверхности.

На рис. 3 представлено довольно сложное цветное изображение — сделанный в полумраке снимок, содержащий как четкие, так и и размытые формы. Алгоритм Кэнни хорошо работает на четких краях, но плохо обнаруживает размытые отражения и предметы на темном асфальте. В частности, практически потеряны основания столбиков на переднем плане, хотя на исходном цветном снимке они видны очень хорошо. В то же время метод геометрического кодирования удовлетворительно работает во всех частях снимка.

Хотя метод геометрического кодирования был создан специально для цветных изображений, он хорошо работает также и для изображений в оттенках серого, когда кодирующая поверхность сводится к графику интенсивности. На рис. 4 представлено сравнение между методом геометрического кодирования, оператором Кэнни, оператором Собеля-Фельдмана и несколькими другими современными методами обнаружения контуров на изображениях в оттенках серого. Пример взят

2Все примеры были рассчитаны с помощью компьютерной программы, написанной на СН—Ь аспирантом А. Чеку-новым и студентом С. Подлипаевым (МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет).

3En.wikipedia.org, "Canny edge detector", 10.03.2017.

Рис. 2. Исходное цветное изображение (о); результат работы детектора контуров Кэнни (6): контуры, полученные методом геометрического кодирования с функцией /1 (с); контуры, полученные методом

геометрического кодирования с функцей /о

из Викиисдии4 и дополнен контурами, полученными методом геометрического кодирования. Очевидно, что метод геометрического кодирования дает один из лучших результатов в этом примере.

а Ъ с

Рис. 3. Исходное цветное изображение

4Еп.wikipedia.org, "всЬе! орега<:ог", 10.03.2017.

4 ВМУ, математика, механика, № 1

Наш последний пример цветная цифровая фотография человеческого .лица. Быстрое и эффективное распознавание контуров человеческого лица в разнообразных ситуациях является сложной задачей современной компьютерной геометрии, особенно если лицо снято анфас. А. Чекунов, аспирант МГУ, в качестве примера обработал методом Кэнни и методом геометрического кодирования свою собственную фотографию, сделанную в обычных условиях с помощью сотового телефона. Результаты представлены на рис. 5. Метод Кэнни дает смазанную картину контуров, в то время как метод геометрического кодирования работает в данном случае хорошо.

Рис. 4. Исходное изображение в оттенках серого (о); контуры, полученные методом: Собеля Фельдмана (Sobel Feldman) (6): Р. Кросса (R. Cross) (с); Шарра (Scharr) (d); Превитта (Prowitt) (e); Кэнни (/):

геометрического кодирования с функцией fr

5. Применение метода геометрического кодирования к геометрии множественных проекций. Обнаружение контуров методом геометрического кодирования благодаря его быстроте может быть использовано в алгоритмах сшивки различных проекций одного и того же объекта в реальном времени. Одной из основных задач в этих алгоритмах является быстрое распознавание сопряженных точек на обеих проекциях, т.е. таких пар точек, которые отражают одну и ту же точку на рассматриваемом объекте [9, 10, 12, 13]. Поиск сопряженных точек можно значительно ускорить, перейдя от исходных изображений к их контурам.

6. Вычислительная сложность метода геометрического кодирования. Опорные точки для построения локальных аппроксимаций кодирующей поверхности поверхностями Безье, которые используются в дальнейших вычислениях, определяются непосредственно исходными данными и требуют лишь нескольких сложений и умножений на пиксель.

Далее, в случае однородной функции /(Ai, А2) необходимо вычислить (с точностью до множителя) шесть матричных элементов первой и второй фундаментальных форм поверхности. В самом деле, обе формы задаются симметричными матрицами 2x2, поэтому достаточно вычислить три ска-

лярных элемента в каждой из них всего шесть скаляров. Из дифференциальной геометрии известно, что все они выражаются через скалярные и векторные произведения пяти производных первого и второго порядка ги,гг,,гии,гиг,,ггп, трехмерного радиуса-вектора г рассматриваемой поверхности. В общем случае на это требуется около 40 сложений и умножений на пиксель при расчете обеих фундаментальных форм (но производным ги,г\,,гии,гш,,ггп!) и около 15 сложений и умножений на пиксель при расчете только первой фундаментальной формы (но производным ги,г\,).

Рис. 5. Распознавание; контуров лица: а исходный снимок: Ь детектор контуров Кэнни: с контуры, полученные методом геометрического кодирования с функцией /1; с1 контуры, полученные методом геометрического кодирования с функцией /?з

Векторы производных ru,rv,ruu,ruv,rvv в произвольной точке поверхности Безье выражаются через шесть опорных точек правой верхней части этой поверхности, образовавшейся после ее деления в рассматриваемой точке (сама рассматриваемая точка становится при этом угловой точкой Роо). Обозначим эти шесть опорных точек через Poo,Poi,Po'2,Pio,Pii,P'20, тогда искомые производные вычисляются но формулам (см., например, [12, с. 210] или [11]):

ru = (d- 1)(рю - Poo); rv = (d- l)(p0i - Poo)] Гии = {d-l){d- 2){р2о - 2рю + Poo); rvv = {d-l){d- 2)(po2 - 2poi +Poo); r-uv = {d~ lf{pu ~Pio ~Poi Poo)-

Напомним, что каждая контрольная точка p¿j, 0 ^ i,j ^ (d — 1), верхней правой части разделенной поверхности Безье размера d х d выражается в виде линейной функции (d — г) х (d — j) контрольных точек исходной локальной поверхности Безье [11,12], координаты которых были получены непосредственно из исходных данных. Нетрудно подсчитать, что для вычисления шести требуемых контрольных точек P00,P0i,P02,Pi0,Pn,P20 необходимо d х d + 2(d — 1 )d + 2(d — 2)d + {d — 1 ){d — 1) = (6d? — 4d — 3) сложений и умножений на каждую из трех координат вектора, т.е. (18d2 — 12d — 9) сложений и умножений на пиксель для всех шести векторов pij.

Итоговая вычислительная сложность составляет 18d2 — 12d — 9 + N сложений и умножений на пиксель. Здесь N ~ 40, a d х d — размер области, используемой для локального приближения Безье.

Для d = 7, чего обычно достаточно, общий объем вычислений составляет около 830 сложений и умножений на пиксель в случае однородной функции /(Ai, А2). Аналогично вычисление функции h\(G), зависящей лишь от первой фундаментальной формы, потребует 3(d х d + 2(d — 1 )d) + 15 = 9d2 — 6d + 15 сложений и умножений на пиксель, что составляет около 420 сложений и умножений в случае d = 7.

Если участвующая в вычислениях локальная поверхность Безье уже имеет рассматриваемую точку своим левым нижним углом, то не нужно делить эту поверхность. В этом случае, если взять d = 3, общее количество сложений и умножений на пиксель будет около 40 для однородных функций /(Ai, А2) и около 20 для функций h(G), основанных только на первой фундаментальной форме.

Для неоднородной функции /(Ai, А2) в случае, если она может быть выражена через среднюю и гауссову кривизны Н и К, необходимо дополнительно вычислить один обратный квадратный корень на пиксель изображения, чтобы нормализовать ортогональный вектор к поверхности.

В случае неоднородной функции /(Ai,A2), которая не может быть выражена через II и К. необходимо выполнить еще одно извлечение квадратного корня на пиксель для вычисления Ai, А2.

Итоговая сложность вычисления контуров методом геометрического кодирования линейна по отношению к числу пикселей, участвующих в вычислении (иногда достаточно произвести вычисления не для всех точек изображения, а только в некоторой области). Сложность вычислений на один пиксель составляет от 40 сложений и умножений в простейшем случае d = 3 до примерно 830 сложений и умножений для d = 7, если используются функции /(Ai,A2), зависящие от обеих фундаментальных форм. В случае использования функций h(G), зависящих только от первой фундаментальной формы, сложность составляет примерно от 20 до 420 сложений и умножений на пиксель. Для некоторых функций /(Ai,A2) необходимо добавить одно или два извлечения квадратного корня (один из которых — обратный) на пиксель. Эти значения могут быть уменьшены за счет применения более быстрых алгоритмов вычисления производных, но мы не будем на этом останавливаться, поскольку это не имеет отношения к сути метода.

7. Выводы. Геометрическое кодирование — новый перспективный подход к распознаванию цветных цифровых изображений, открывающий большие возможности для анализа полноцветных изображений без преобразования их в оттенки серого. Метод имеет линейную вычислительную сложность по отношению к объему изображения. По скорости вычислений и качеству получаемого результата метод геометрического кодирования уже на первоначальном этапе своего развития сопоставим с традиционными алгоритмами, а иногда даже превосходит их. В работе изложены основные принципы метода геометрического кодирования и приведен ряд иллюстрирующих его примеров.

Работа выполнена при поддержке НШ, грант № 7962.2016.1-01.200.1 17236, и РФФИ, грант № 16-01-00378.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bay Н., Ess A., Tuytelaars Т., Gool L. V. SURF: Speeded Up Robust Features // Comput. Vision and Image Understanding (CVIU). 2008. 110, N 3. 346-359.

2. Canny J. A computational approach for edge detection // IEEE Trans. Pattern Anal, and Machine Intell. 1986. 8, N 6. 679-698.

3. Lowe D.G. Object recognition from local scale-invariant features // Proc. Inter. Conf. on Computer Vision. Corfu, 1999. 1150-1157.

4. Bets J., Lowe D.G. Shape indexing using approximate nearest-neighbor search in high-dimensional spaces // Conf. Computer Vision and Pattern Recognition. Puerto Rico, 1997. 1000-1006.

5. Mikolajezyk K., Schmid C. A performance evaluation of local descriptors // IEEE Trans. Pattern Anal, and Machine Intell. 2005. 10, N 27. 1615-1630.

6. Bay H., Tuytelaars Т., Gool L.V. SURF: Speeded Up Robust Features // Proc. Nineth Europ. Conf. on Computer Vision. Graz, Austria, May 2006.

7. Lindeberg T. Image matching using generalized scale-space interest points //J. Math. Imaging and Vision. 2015. 52, N 1. 3-36.

8. Ives R.-O., Delbraeio M. Anatomy of the SIFT method // Image Processing On Line. 2014. 2014-12-22.

9. Nosovskiy G. V. Computer gluing of 2D projective images // Proc. Workshop "Contemporary Geometry and Related Topics". Belgrade, Yougoslavia, 15-21 May 2002. New Jersey; London; Singapore: World Scientific, 2004. 319-334.

10. Hartley R., Zisserman A. Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000.

11. Hosaka M. Modelling of Curves and Surfaces in CAD/CAM. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1992.

12. Голованов H.H., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Фоменко А. Т. Компьютерная геометрия. М.: Академия, 2006.

13. Nosovskiy G. V., Skripka E.S. Error estimation for the direct algorithm of projective mapping calculation in multiple view geometry // Proc. Workshop "Contemporary Geometry and Related Topics". Belgrade, Serbia and Montenegro, June 26-July 2, 2005. Belgrade: University of Belgrade, Faculty of Mathematics, 2006. 399-408.

Поступила в редакцию 03.04.2017

УДК 517.52

ОБОБЩЕННЫЕ ДВОЙНЫЕ СИНУС-РЯДЫ ФУРЬЕ

К. А. Оганесян1

Работа посвящена изучению связи интегрируемости функции двух переменных вблизи нуля с поведением ее обобщенных синус-коэффициентов Фурье. Данная задача имеет прямое отношение к вопросам асимптотического поведения рядов Фурье с монотонными коэффициентами в окрестности нуля.

Ключевые слова: функции двух переменных, неинтегрируемые функции, обобщенные ряды Фурье.

The paper is focused on studies of connections between the integrability of two-variable function near the origin and the behavior of its generalized Fourier sine-series. This problem has direct relevance to the issues of asymptotic behavior of Fourier series with monotone coefficients in a neighborhood of zero.

Key words: functions of two variables, nonintegrable functions, generalized Fourier series.

Первые результаты в исследовании вопросов связи интегрируемости функции вблизи нуля с поведением ее обобщенных синус-коэффициентов в одномерном случае были получены Р. П. Боасом fl], М. И. Дьяченко [2]. Проблемам асимптотического поведения рядов Фурье с монотонными коэффициентами в окрестности нуля посвящены работы Р. Салема [3, гл. 10, § 7], А.Ю. Попова [4], С. А. Теляковского [5, 6] в одномерном случае, а в многомерном — статья А. Ж. Ыдырыс [7]. Похожие вопросы для обобщенных тригонометрических рядов функций, имеющих точки неинтегрируемости, рассматривал К. С. Казарян [8].

Мы будем предполагать, что 2-/г-периодическая по каждой переменной функция f(x, у) такова, что xyf(x,y) € L(0,7r)2. Тогда для нее можно рассмотреть обобщенные синус-коэффициенты Фурье

1 Оганесян Кристина Артаковна — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oganchrisQgmail.com.