Методологический принцип геометризации классической физики

УДК 1:001 Никонов Олег Александрович

кандидат философских наук,

доцент кафедры физики

Мурманского государственного технического

университета

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ГЕОМЕТРИЗАЦИИ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Nikonov Oleg Aleksandrovich

PhD,

Assistant Professor, Physics Department, Murmansk State Technical University

THE METHODOLOGICAL PRINCIPLE OF GEOMETRIZATION OF CLASSICAL PHYSICS

Аннотация:

В статье в историческом плане рассматриваются некоторые философские вопросы геометризации физических теорий. Позиция автора заключается в том, что единство математического аппарата физической теории и ее интерпретации является отражением принципа единства физической картины мира. На современном этапе развития естествознания, геометризация выступает как методологический принцип. Актуальность темы статьи обусловлена быстрым развитием представлений о физическом вакууме и темной материи в астрофизике.

Ключевые слова:

геометризация механики, векторы, тензоры, гиперболическая геометрия, дифференциальное многообразие, квадратичные формы, принцип относительности, скорость света, многомерное про-странство, конфигурационное пространство, функция Гамильтона.

Summary:

From the historical perspective the article discusses some philosophical questions concerned with ge-ometrization of physical theories. The author substantiates the position that the unity of the mathematical apparatus of physical theory and its interpretation is a reflection of the principle of unity of the physical picture of the world. At the present stage of natural science development, the geometrization acts as methodological principle. The topicality of the article is determined by the rapid development of ideas about the physical vacuum and the dark material in the astrophysics.

Keywords:

geometric mechanics, vectors, tensors, hyperbolic geometry, differential diversity, quadratic form, the principle of relativity, the speed of light, multidimensional space, configuration space, the Hamiltonian function.

Математический аппарат физической теории в процессе ее развития становится важной, неотъемлемой ее частью. Развитие физической интерпретации стимулирует становление и развитие математического аппарата.

В процессе развития классической механики на базе аналитической геометрии возникает векторное исчисление, которое развивается по пути от векторной алгебры к векторному анализу, послужившему, в свою очередь, фундаментом для тензорного исчисления.

Задание сил, скоростей и ускорений тройками чисел ведет свое начало от «Аналитической механики» Ж. Лагранжа. «Только через сто лет после Лагранжа математики и физики, особенно под влиянием развивавшейся тогда теории электричества, начали широко рассматривать общую теорию таких отрезков, имеющих определенную длину и направление. Такие отрезки были названы векторами.

Теория векторов имеет большое значение в механике, физике и технике, а ее алгебраическая часть, так называемая алгебра векторов (в отличие от векторного анализа), является сейчас существенной составной частью аналитической геометрии» [1, т. 1, с. 208].

И.Б. Погребысский [2, с. 253] отмечает, что в последние десятилетия XIX в. выявляются некоторые новые особенности развития механики. Одна из них - геометризация механики. Во второй половине XIX в. во взаимодействиях механики и геометрии стали выявляться новые грани этих наук. Это стало возможно как благодаря достижениям геометрии, так и вследствие совершенствования аналитического аппарата механики.

Построение Н.И. Лобачевским и Я. Бояи геометрической системы (гиперболической геометрии), логически равноправной с геометрией Евклида, имело глубоко принципиальное значение для всего естествознания. На этом этапе развития науки по-новому была поставлена проблема взаимоотношения «геометрия - физика». Вопрос о природе пространства стал вопросом физики.

Большое значение для механики имело другое выдающееся достижение геометрической мысли - многомерная геометрия. Впервые идея обобщения геометрических представлений на пространства четырех и большего, даже произвольного числа измерений возникла в аналитической механике. Лагранж считал, что механику можно трактовать как геометрию четырех измерений, считая четвертым измерением время [3, т. 1, с. 12].

Благодаря работам Лобачевского, многомерная геометрия утверждается как признанная область математики. Она была необходима для геометризации механики. Важным для механики оказалось направление геометрических исследований, в которых создавалась и развивалось внутренняя геометрия поверхности. Исходным пунктом в этом направлении считают мемуар Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях» [4, с. 123-151], он положил начало развитию дифференциальной геометрии как самостоятельной научной дисциплины.

Сущность метода Гаусса заключалась в том, что поверхность, рассматриваемая как двумерное дифференцируемое многообразие, вкладывалась в пространство более высокого числа измерений. Фундаментальной оказалась формула для квадрата расстояния между сколь угодно близкими точками. Гауссу же принадлежит и введение понятия полной кривизны поверхности и доказательство инвариантности этой кривизны при деформации изгибания поверхности.

Следующий шаг по пути геометризации физики был сделан Б. Риманом. Он развил метод Гаусса в дифференциальной геометрии, поставил вопрос о взаимодействии свойств пространства и материи в форме, допускающей дальнейшую математическую разработку, и существенно продвинулся по этому пути. Связывая геометрию и механику, он показал, что только наличием материи можно объяснить «искривление» реального пространства и что, только если материя везде воздействует одинаковым образом, кривизна пространства постоянна. Иными словами, материя и метрика связаны друг с другом.

Подобная ситуация сложилась и в электродинамике, где тензорное исчисление явилось основной частью ее математического аппарата. Тензорное исчисление можно рассматривать как развитие и обобщение векторного исчисления и теории матриц. Тензорное исчисление было подготовлено в XIX в. развитием теории алгебраических форм, с одной стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм - с другой. Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм и были непосредственно связаны с дифференциальной геометрией поверхностей и с геометрией многомерных метрических пространств. «Введенное Риманом в первой части его сочинения понятие «п-мерного многообразия» по существу вполне отвечает современному понятию «области в л-мерном пространстве»: достаточно представить себе какую угодно систему, «различные состояния» (или «точки») которой определяются совокупностью числовых значений и независимых параметров, или координат, способных меняться в заранее заданных пределах, и тогда совокупность всех этих «состояний» уже образует л-мерное многообразие» [5, с. 282]. Современную форму тензорному исчислению придал Г. Риччи-Курбастро, поэтому эту область математики иногда называют исчислением Риччи. Интерес к этим идеям резко возрос в связи с возникновением теории относительности. Специальная теория относительности выполнила важную объединительную функцию, связав на основе принципа относительности и постулата о постоянстве скорости света, механику и электродинамику в единое целое.

Развитие аналитической механики Лагранжа - Гамильтона привело к разработке метода обобщенных координат. Оказалось, что для описания движения системы удобно перейти в пространство переменных, характеризующих состояние системы и его изменение со временем. Это пространство в механике называется конфигурационным пространством. Независимые переменные конфигурационного пространства называются обобщенными координатами. Затем вводятся обобщенные скорости и обобщенные импульсы. Введение конфигурационного пространства позволяет описать движение сложной системы как движение точки в многомерном пространстве. Реальное движение такой точки происходит по такой траектории в конфигурационном пространстве, которая соответствует принципу экстремального действия.

Если в качестве независимых переменных выбрать обобщенные координаты и обобщенные импульсы, то движение системы можно представить в фазовом пространстве, используя для получения динамических уравнений функцию Гамильтона.

Фазовое пространство относится к классу неметрических пространств неевклидовой геометрии. Общее понятие «пространство» сложилось в математике в результате постепенного, все более широкого обобщения и видоизменения понятий геометрии евклидова пространства. Общее понятие о математическом пространстве было выдвинуто Риманом [6, с. 208]; оно обобщалось, уточнялось и конкретизировались в разных направлениях. Речь идет о различных формах действительности, которые, не являясь пространственными в обычном смысле, оказываются пространственно-подобными по своей структуре. В этом смысле ньютоновская механика и классическая электродинамика являются эмпирическим базисом постевклидовой геометрии.

Таким образом, принцип геометризация физической теории на всех этапах ее развития играет ключевою роль наряду с такими, как принцип единства физической картины мира, соответствия, дополнительности, математизации, и другими. Рассмотренный принцип, как и другие, фиксирует состояние физической теории и является своего рода правилом построения физической теории.

Ссылки:

1. Делоне Б.Н. Аналитическая геометрия // Математика, ее содержание, методы и значение. В 3 т. Т.

2. Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века. М., 1966.

3. Лагранж Ж. Аналитическая механика. В 2 т. Т. 1. 2-е изд. М.-Л., 1950.

4. Гаусс К. Ф. Общие исследования о кривых поверхностях // Норден А.П. Об основаниях геометрии : ческих работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956.

5. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии. Сочинения. М.-Л., 1948.

6. Гончаров В. Л. О научных работах Римана // Риман Б. Сочинения. М.-Л., 1948.

1. М., 1956. сборник класси-