Определение изменения температуры стенки полости в твердом теле при изменении температуры движущегося в полости газа

molecular skeleton. Physics of the Solid State [Fizika tverdogo tela], 2003, vol. 45, iss. 1, pp. 189-196.

6. Goodwin L. A. New tight-binding parametrization for carbon. J. Phys. : Condens. Matter., 1991, vol. 3, pp. 3869-3878.

7. Harrison U.Elektronnaia struktura i svojstva tverdyx tel. [Electronic structure and properties of solids]. Moscow, Mir, 1983, 381 p. (in Russian).

8. Tersoff J. Modeling solid-state chemistry : Interatomic potentials for multicomponent systems. Phys. Rev. B., 1989, vol. 39, no. 8, pp. 5566-5568.

9. Brenner D. W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films. Phys. Rev. B., 1990, vol. 42, no. 15, pp. 9458-9471.

10. Stuart S. J., Tutein A. B., Harrison J. A. A reactive potential for hydrocarbons with intermolecular interactions. J. Chem. Phys., 2000, vol. 112, no. 14, pp. 6472-6486.

11.Glukhova O. E. The study of mechanical properties of carbon nanotubes cayenne-type molecular-mechanical model. Physics of wave processes and PC., 2009, vol. 12, iss. 1, pp. 69-75.(in Russian).

12. Kerdcharoen T., Liedl K. R., Rode B. M. A QM/MM simulation method applied to the solution of Li* in liquid ammonia. Chem. Phys., 1996, vol. 211, pp. 313-323.

13. Hofer T. S., Pribil A. B., Randolf B. R., Rode B. M. Structure and Dynamics of Solvated Sn(II) in Aqueous Solution : An ab Initio QM/MM MD Approach. J. Am. Chem. Soc., 2005, vol. 127, pp. 14231-14238.

14.Kerdcharoen T., Morokuma K. J. Combined QM/MM

Simulation of Ca2+/Ammonia Solution based on ONIOM-XS Method : Octahedral Coordination and Implication to Biology. Chem. Phys., 2003, vol. 118, pp. 8856-8863.

15.Kerdcharoen T., Morokuma K. ONlOM-XS : an

extension of the ONlOM method for molecular simulation in condensed phase. Chem. Phys. Lett., 2002, vol. 355, pp. 257-262.

16.Heyden A., Lin H., Truhlar D. G. Adaptive partitioning in combined quantum mechanical and multiscale simulations. J. Phys. Chem. B., 2007, vol. 111, pp. 2231-2241.

17. Glukhova O. E., Kolesnikova A. S., Kossovich E. L.,

Zhnichkov R. Y. Super strong nanoindentors for

biomedical applications based on bamboo-like nanotubes. Proc. of SPIE., 2012, vol. 8233, pp. 823311(8).

18. Stuarta S. J., Tutein A. B., Harrison J. A. A

reactive potential for hydrocarbons with intermolecular interactions. Journal of chemical physics, 2000, vol. 112, no. 14. pp. 6472-6486

19. Glukhova O. E., Slepchenkov M. M. Influence of the curvature of deformed graphene nanoribbons on their electronic and adsorptive properties : theoretical investigation based on the analysis of the local stress field for an atomic grid. Nanoscale, 2012, vol. 11, pp. 33353344.

20. Wilkinson J. X. Algebraicheskaj problema sobstvennyx znachenij [The algebraic eigenvalue problem]. Moscow, Nauka, FIZMATLIT, 1970, 564 p. (in Russian).

УДК 622.4:536.21

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ СТЕНКИ ПОЛОСТИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ДВИЖУЩЕГОСЯ В ПОЛОСТИ ГАЗА

О. И. Дударь1, Е. С. Дударь2, М. А. Осипенко3

1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, olegdudar@yandex.ru

2Кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, elendudar@yandex.ru

3Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, oma@theormech.pstu.ac.ru

Найдено изменение температуры стенки цилиндрической полости в твердом теле как отклик на изменение температуры протекающего в полости газа. Рассмотрены 3 важных частных случая изменения температуры газа со временем: температура постоянна; температура изменяется по линейному закону; температура изменяется по гармоническому закону. Представлены графики пяти «0-функций», через которые записываются решения. Графики получены с помощью квадратурной формулы Гаусса численным интегрированием несобственных интегралов, содержащих цилиндрические функции.

Ключевые слова: цилиндрическая полость, нестационарная теплопроводность, конвективный теплообмен, функции Бесселя и Неймана, несобственные интегралы.

© Дударь О. И., Дударь Е. С., Осипенко М. А., 2013

ВВЕДЕНИЕ

Одной из основных задач горной теплофизики и теплофизики подземных сооружений является задача распространения тепла в бесконечном твердом теле от цилиндрической полости, по которой движется газ (воздух). Решение этой задачи позволяет улучшить методику расчета теплового режима горных выработок и протяженных подземных сооружений (тоннелей, метрополитенов и др.). Простейшие методики по расчету теплового режима подземных сооружений основываются на решении уравнений теплового баланса и использовании коэффициента нестационарного теплообмена, с помощью которого тепло, выделяющееся из горного массива в воздух, выражается через разность средней температуры воздуха и естественной (то есть при отсутствующей полости) температуры горных пород [1-4]. Такие методики позволяют решать достаточно широкий класс инженерных задач, однако они обладают ограниченной точностью и не могут быть использованы при описании «тонких» эффектов, таких, например, как конденсация влаги на стенках горных выработок.

Поэтому получил распространение и другой подход, основанный на решении нестационарного дифференциального (в частных производных) уравнения теплопроводности, записываемого для твердого тела. Причем теплообмен с воздухом учитывается с помощью граничных условий третьего рода (закона Ньютона-Рихмана), выражающего тепловой поток на границе фаз, через разность средней температуры воздуха и температуры стенки полости. Впервые решение задачи в такой постановке получили Г. Карслоу [5], А. Н. Щербань и О. А. Кремнев [6] с помощью преобразования Лапласа для случая неизменной во времени температуры движущегося в полости газа. В работе А. С. Галицына, А. Н. Жуковского [7] и работе А. С. Галицына [8] решение было получено с использованием модифицированного преобразования Вебера при произвольном законе изменения температуры движущегося в полости газа и произвольном начальном условии. В работе [9] задача была решена в той же постановке, что и в работах [7, 8], но для решения применялся метод функций Грина в сочетании с преобразованием Лапласа. Это позволило обнаружить содержавшуюся в работе [8] ошибку в знаке. Задача распространения тепла в пространстве от цилиндрической полости с граничными условиями второго рода, записываемого для движущегося источника тепла, рассмотрена в [10].

А. Ф. Галкин и Ю. А. Хохолов [11] решали задачу численно, в сопряженной постановке, то есть одновременно для твердой и газовой фазы. В настоящее время такого рода решение несложно получить и с помощью такого программного комплекса, как SolidWorks Flow Simulation (COSMOSFloWorks), являющегося модулем газодинамического анализа в среде SolidWorks [12]. Однако такой способ анализа становится весьма трудоемким при расчете сети выработок или подземных сооружений.

Очевидно, что анализ теплового режима сети значительно упростится, если для расчета использовать аналитические выражения, приведенные в работах [5-10]. Однако проблема состоит в том, что в этих работах решение получено в виде несобственного интеграла от выражения, содержащего функции Бесселя и Неймана.

Данная статья является продолжением работы [9]. Но если в [9] выражение функции, описывающей изменение температуры воздуха в полости, не конкретизировано, то в настоящей статье рассмотрены следующие важные с точки зрения практического применения частные случаи изменения со временем температуры воздуха в горной выработке:

- температура воздуха постоянна;

- температура воздуха изменяется по линейному закону;

- температура воздуха изменяется по гармоническому закону.

Первое решение удобно применять для анализа усредненных по времени процессов (например, для анализа влияния среднегодовой температуры воздуха). Кроме того, оно входит как составная часть в два других решения. Второе решение может быть использовано для кусочно-линейной интерполяции зависимости, задающей закон изменения температуры воздуха в выработке со временем. Третье решение пригодно для приближенного анализа влияния годового колебания температуры воздуха в выработке.

Отметим, что случай постоянной температуры воздуха рассматривался в работах [5-8], и приведенное в этих работах решение совпадает с полученным в данной работе. Третий случай — гармонических колебаний температуры воздуха — исследовался в работе [6], однако записанное в этой

работе решение содержит много опечаток и неточностей, так что воспользоваться им не представляется возможным.

В данной работе для трех упомянутых выше случаев изменения температуры воздуха со временем записаны аналитические выражения изменения со временем температуры стенки цилиндрической полости. Для записи всех решений используются 3 универсальные функции 01 (Го), 02(Го), 0з(Го), где Го — число Фурье, по своему смыслу представляющее безразмерное время, и две универсальные «константы» 04 и 05. Все функции и «константы» параметрически зависят от Ы — числа Био, по своему смыслу представляющего безразмерный коэффициент теплоотдачи. Приведены выражения универсальных функций и констант через несобственные интегралы от выражений, содержащих функции Бесселя и Неймана, а также графики их зависимостей от числа Фурье и (или) числа Био, полученные численным интегрированием с использованием квадратурных формул Гаусса.

1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА ОТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ ПРИ КОНВЕКТИВНОМ ТЕПЛООБМЕНЕ

Математическая постановка данной задачи приведена в работах [5-9] с той или иной степенью общности. Здесь воспроизводится постановка из работы [9].

Будем полагать, что подземная горная выработка представляет собой цилиндрическую полость радиуса го. Задача распространения тепла в горном массиве от этой полости при движении по ней воздуха описывается следующим нестационарным уравнением теплопроводности:

при начальном условии

причем

и при граничных условиях:

дт 1 д ( зт\

ттг = а- — г— , г > Го,

дЬ г дг \ дг )

Т |*=о = То (г), г > го,

Т0 = Тго,

Ь > °,

В формулах (1)-(4): Т — температура; а — коэффициент температуропроводности твердого тела; Т^ — естественная температура горного массива (то есть температура горного массива при отсутствующей выработке).

Уравнение (5) представляет собой закон Ньютона-Рихмана, записанный с учетом закона теплопроводности Фурье. В уравнении (5): Т|Г=Г0 = Тад — температура на границе раздела фаз (температура стенки); Та — усредненная в некотором смысле по сечению полости температура воздуха; Н = а/А, где А — коэффициент теплопроводности твердого тела; а — коэффициент теплоотдачи. Очевидно, что значение коэффициента теплоотдачи а зависит от того, что понимается под средней температурой воздуха Та. В соответствии с работами [13,14] под Та будем понимать среднемассовую по поперечному сечению полости температуру воздуха.

Для определения коэффициента теплоотдачи чаще всего применяют экспериментальный метод. Но для условий горных выработок его использование связано с большими затруднениями. В то же время в некоторых случаях для коэффициента а можно получить аналитическое выражение. Например, в работах [13,15] приведено следующее выражение для коэффициента теплоотдачи а, полученное с помощью решения Лайона для цилиндрической полости (трубы):

Аа

а=

4го //г

о ™

где выражение

R w

і

f _ RdR

w

/г

I (1 + ^)Л

аа

называется интегралом Лайона. В формулах (6), (7): Л = г/го — безразмерная радиальная координата; Аа и аа — коэффициенты теплопроводности и температуропроводности воздуха соответственно, ад — коэффициент турбулентной температуропроводности воздуха; т(Л) — функция, задающая профиль скорости течения воздуха в поперечном сечении полости, а т — среднее по сечению полости значение этой скорости. Формулы (6), (7) позволяют оценить, как те или иные параметры потока влияют на величину коэффициента теплоотдачи.

В работе [9] методом функций Грина в сочетании с преобразованием Лапласа получено решение задачи (1)-(5) в виде

СЮ ( 1, \

Т(г,Ь) = Тю + (^1^ + гоЧ [ ^> [Та (т) - Тю] +

сюсю

+ . . [No

ro o

xe-“^2[To

где J (fro) = fJi (fro) + hJo (fro), N (fro) = fNi(fro) + hNo(fro), a Jo, Ji, No, Ni — функции Бесселя и Неймана с индексом нуль и один соответственно [16,17].

Если в качестве начального момента времени выбран момент прохождения шахтной выработки, то можно принять начальную температуру горного массива величиной постоянной по r и равной естественной температуре пород T^: To(r) = T^. В этом случае решение (8) принимает вид

сю ( t \

T

О I О J

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ СТЕНКИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНОВ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ВОЗДУХА В ПОЛОСТИ

В данной работе нас интересует значение температуры стенки цилиндрической полости Tw(t) = Т(ro, t). Поэтому, принимая r = ro и учитывая значение определителя Вронского [16]

2

No(x)J1(x) - Jo(x)N1 (x) = —,

nx'

получим из

t

e-“5 (t-T) [Ta (т) - Тю ] dr

"°° + П2ro J J2

0

Формула (10) позволяет определить температуру стенки полости при произвольном законе изменения температуры воздуха, протекающего по полости.

Далее рассмотрим три упомянутых выше случая изменения температуры воздуха в полости.

а. Температура воздуха постоянна: Ta(t) = Tao = const. В этом случае

ю

Tw (t)= TM + (Ta0 - TM )-^ ^ (l ea5t) d{

п2го J J2({го) + N2({го) {

о

Введем безразмерные числа Фурье и Био:

Fo = at, Bi = Лго,

го2

и обозначим

М = Сго /

Тогда температура стенки полости вычисляется по формуле

СЮ о

4Н Г

Т'ш (Го) = Тю +(Тао + Тю) / / (ы,м) -М-

о

Тад + Тао

Если в соответствии с работой [6] ввести безразмерную температуру стенки 01 = , то

Тю + Тао

получим выражение для 01, совпадающее с приведенным в [6]:

СЮ о СЮ о

4 г (1 + е-м р°) 4 г е-м ^°

01

оо

В свою очередь температура стенки для случая постоянной температуры воздуха в цилиндрической полости может быть определена через 01 по формуле

Тад

б. Температура воздуха изменяется по линейному закону:

АТ

Та (Ь) = Тао + кЬ, к =

АЬ

В этом случае из формулы (10) имеем:

о к

Т(Ь) = Т + ^7кЬ + (1 + е-<‘)(Тао+Тю + ае2) -е

“(Ь) 7 + п2го у ,72(его)+ N2(Сго) е-

о

Учитывая (11), (12), а также, определяя число Фурье, соответствующее интервалу времени АЬ, формулой

т-1 аАЬ

Го1 = ,

го2

приходим к выражению

Го ^ АТ

4 7 АТа — +

ГГ (Т? \-ГГ I 4 —о1 Го1 М2 ,

Тад (Го) = Тю + п2 Вг У / (Вг,м) ^М'

о

Обозначая

4 С

02

о

получаем формулу, позволяющую определить температуру стенки полости при линейном законе изменения температуры воздуха в этой полости

АТ1

Тад

Го1

в. Температура воздуха изменяется по гармоническому закону:

2П

Та(Ь) = Тао + АТа СОБ^Ь), ^ = —.

Ьу

В этом случае в соответствии с формулой (10) имеем:

2 ДТ 2

°°

^ ^ 4h / 1 + w2 at

Tw (t) = Tra +---2--- ------------------------тШ \ I AT2(£-----^-------------------------T '

n2ro J J2(tro) + N2(tro) c

о

W

где W 1 = at2

Учитывая (11), (12), а также, определяя число Фурье, соответствующее периоду колебания ty, формулой

at у

приходим к выражению

сю

Tw (Fo)= T. + п2в^ J

2 AT 2

где

f

Fo 2п

^ = 2п ——, м 1 =

d^.

Вводя обозначения

СЮ з

4 r e-^ Fo

03

o

Ю

04

п2Bi J

o

Ю

05

o

приходим к формуле, позволяющей определить температуру стенки полости при гармоническом законе изменения температуры воздуха в этой полости

Tw

2

r

o

o

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Согласно формулам (14), (16), (20) температура стенки полости для трех рассмотренных выше случаев определена, если известен вид функций 0 ].(Го), 02(Го), 03(Го) и значения «констант» 04 и 05. Как следует из формул (13), (15), (17)-(19), определение этих функций и «констант» сводится к вычислению несобственных интегралов. Значения интегралов определялись численно с использованием квадратурной формулы Гаусса [18].

Вид функций 0 1(Го), 02(Го) для ряда значений параметра Ы, функции 03(Го) для ряда значений параметров Ы и Го2, зависимостей 04(Вг) и 05(Вг) для ряда значений параметра Го2 приведен на рис. 1 и рис. 2.

1ё

Рис. 1. Зависимость 01 (а), ^02 (б), 0з (в) от ^(¥о):  — Вг = 1.004; А — Вг = 7.94; • — Вг = 63.00;

— Вг = 500.00

аб

Рис. 2. Зависимость 0» (г = 4, 5) от ^(Вг):  — ¥02 = 0.90; А — ¥02 = 16.94; • — ¥02 = 318.80;

— ¥02 = 6000.00

б

а

в

Из представленных результатов видно:

- во всех трех случаях изменения температуры воздуха затухающая функция 01 (Го) описывает процесс перехода температуры стенки от начального значения Т^ к постоянной составляющей температуры воздуха Та0;

- функция 02 (Го) задает отклонение закона изменения температуры стенки от линейного;

- функция 03(Го) затухает очень быстро, и влиянием слагаемого, содержащего эту функцию, в большинстве случаев можно пренебречь;

- «константы» 04 и 05 определяют изменение амплитуды и фазы колебания температуры стенки по отношению к закону колебания температуры воздуха.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ранее полученное авторами методом функций Грина в сочетании с преобразованием Лапласа решение задачи о распространении тепла в бесконечном горном массиве от протекающего в цилиндрической полости потока воздуха [9] использовано для определения температуры стенки цилиндрической полости. Рассмотрены 3 важных с точки зрения горной теплофизики и теплофизики подземных сооружений частных случая изменения температуры протекающего воздуха:

- температура воздуха постоянна;

- температура воздуха изменяется по линейному закону;

- температура воздуха изменяется по гармоническому закону.

Численным интегрированием с использованием квадратурной формулы Гаусса определен вид пяти «0-функций» числа Фурье и (или) числа Био, через которые записываются эти частные решения.

Библиографический список

1. Щербань А. Н., Кремнев О. А., Журавленко В. Я. Руководство по регулированию теплового режима шахт. М. : Недра, 1977. 359 с.

2. Воропаев А. Ф. Тепловое кондиционирование рудничного воздуха в глубоких шахтах. М. : Недра, 1979. 192 с.

3. Дядькин Ю. Д. Основы горной теплофизики для шахт и рудников Севера. М. : Недра, 1968. 256 с.

4. Гендлер С. Г. Тепловой режим подземных сооружений. Л. : Изд-во ЛГИ, 1987. 102 с.

5. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М. : Наука, 1964. 488 с.

6. Щербань А. Н, Кремнев О. А. Научные основы расчета и регулирования теплового режима глубоких шахт : в 2 т. Киев : Изд-во АН УССР, 1959. Т. 1. 425 с.

7. Галицын А. С., Жуковский А. Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев : Наук. думка, 1976. 286 с.

8. Галицын А. С. Краевые задачи теплофизики подземных сооружений. Киев : Наук. думка, 1983. 236 с.

9. Осипенко М. А., Дударь О. И., Дударь Е. С. Распространение тепла в бесконечном твердом теле от цилиндрической полости при конвективном теплообмене // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1, С. 89-93.

10. Пинскер В. А. Аналитическое решение нестационарного уравнения теплопроводности в пространстве, содержащем бесконечную круговую цилиндрическую полость с движущемся в ней источником тепла // Докл. РАН. 2000. Т. 372, № 5. С. 604-607.

11. Галкин А. Ф., Хохолов Ю. А. Теплоаккумулирующие выработки. Новосибирск : ВО «Наука», 1992. 133 с.

12. Алямовский А. А. Инженерные расчеты в SolidWorks Simulation. М. : Изд-во «ДМК-Пресс», 2010. 235 с.

13. Теория тепломассообмена / под ред. А. И. Леонтьева. М. : Высш. шк., 1979. 495 с.

14. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент : справочник / под ред. В. А. Григорьева, В. М. Зорина. М. : Энергоиздат, 1982. 512 с.

15. Дударь Е. С., Дударь О. И. Использование интеграла Лайона для решения задачи конденсации влаги из турбулентного потока бинарной смеси // Строительство и образование : сб. науч. тр. Екатеринбург : Изд-во УГТУ-УПИ, 2005. Вып. 14 (66). С. 319-322.

16. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М. : Наука, 1971. 288 с.

17. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М. : Наука, 1984. 344 с.

18. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М. : ФИЗМАТГИЗ, 1963. 660 с.

Determination of the Wall Temperature Change for a Cavity in a Solid as a Result of the Temperature Change of the Gas Flow in a Cavity

O. I. Dudar, E. S. Dudar, M. A. Osipenko

Perm National Research Politechnic University, Russia, 614990, Perm, Komsomolsky Ave., 29, olegdudar@yandex.ru, elendudar@yandex.ru, oma@theormech.pstu.ac.ru

The wall temperature change for a cylindrical cavity in a solid was found as a response to the temperature change of the gas flowing in a cavity. Three important special cases of the gas temperature dependence on time are considered: temperature is constant; temperature changes according to the linear law; temperature changes according to the harmonic law. The plots of five«9-functions» used to denote solutions are submitted. The plots are obtained by the means of the numerical integration of the Gauss quadrature formula applied to improper integrals containing cylindrical functions.

Key words: cylindrical cavity, nonstationary heat conductivity, convective heat transfer, Bessel’s and Neumann’s functions, improper integral.

References

1. Scherban’ A. N., Kremnev O. A., Zhuravlenko V. Ia. Rukovodstvo po regulirovaniiu teplovogo rezhima shakht [Manual for Heat Condition Regulation in Mines]. Moscow, Nedra Publ., 1977, 359 p. (in Russian).

2. Voropaev A. F. Teplovoe konditsionirovanie rudnichnogo vozdukha v glubokikh shakhtakh [Mine Air Thermal Conditioning in Deep Mines]. Moscow, Nedra Publ., 1979, 192 p. (in Russian).

3. Diad’kin Iu. D. Osnovy gornoi teplofiziki dlia shakht

i rudnikov Severa [Bases of Mining Thermophysics for Northern Mines]. Moscow, Nedra Publ., 1968, 256 p. (in Russian).

4. Gendler S. G. Teplovoi rezhim podzemnykh sooru-zhenii [Thermal Regimes of Underground Constructions]. Leningrad, LGI Press, 1987, 102 p. (in Russian).

5. Carslow H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids. Oxford, Clarendon Press, 1959, 450 p.

6. Scherban’ A. N., Kremnev O. A. Nauchnye osnovy rascheta i regulirovaniia teplovogo rezhima glubokikh shakht : v 2 t. [Scientific Bases of Calculation and Regulation of Thermal Regimes in Deep Mines: 2 vol.] Kiev, Acad. of Sci. Publ. House, 1959. Vol. 1. 425 p. (in Russian).

7. Galitsyn A. S.,Zhukovskii A. N. Integral’nye pre-obrazovaniia i spetsial’nye funktsii v zadachakh teploprovodnosti. [Integral Transformations and Special Functions in Heat Conduction Problems.] Kiev, Nauk. dumka Publ., 1976, 286 p. (in Russian).

8. Galtsyn A. S. Kraevye zadachi teplofiziki podzemnykh sooruzhenii [Boundary value problems in thermal physics of underground constructions]. Kiev, Nauk. dumka Publ., 1983, 236 p. (in Russian).

9. Osipenko M. A., Dudar O. I., Dudar E. S. The Heat Conductivity in the Infinite Solid of the Convection in a Cylindrical Cavity. Izv. Sarat. Univ. N. S. Ser. Math. Mech. Inform., 2012. vol. 12., iss. 1. pp. 89-93 (in Russian).

10. Pinsker V. A. Analitical Solution of the Non-stationary Heat Conductivity Equation in a Space Containing Infinite Cylindrical Cavity with a Moving Heat Source. Doklady RAN [Proc. Rus. Acad. Sci.], 2000. vol. 372, no. 5. pp. 604-607. (in Russian).

11. Galkin A. F., Khokholov Iu. A. Teploakkumuliruiu-shchie vyrabotki [Heat-retaining Workings]. Novosibirsk, VO «Nauka», 1992, 133 p. (in Russian).

12. Aliamovskii A. A. Inzhenernye raschety v SolidWorks Simulation [Engineering Calculations in SolidWorks Simulation]. Moscow, «DMK-Press» Publ., 2010, 235 p. (in Russian).

13. Teoriia teplomassoobmena [Heat and Mass Transfer Theory] / ed. A. I. Leont’ev. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 1979, 495 p. (in Russian).

14. Teplo- i massobmen. Teplotekhnicheskii eksperiment: spravochnik [Heat and Mass Transfer. Calorifics Experiment : Handbook] / Edit. V. A. Grigor’ev, V. M. Zorin. Moscow, Energoizdat Publ., 1982. 512 p. (in Russian).

15. Dudar E. S., Dudar O. I. Ispol’zovanie integrala Laiona dlia resheniia zadachi kondensatsii vlagi iz turbulentnogo potoka binarnoi smesi [Use of Lyon’s Integral for the Solution of a Problem of Wet Condensation from a Turbulent Stream of a Binary Mix] Stroitel’stvo i obrazovanie [Building and Education]. Ekaterinburg, UGTU-UPI Press, 2005, iss. 14 (66), pp. 319-322 (in Russian).

16. Korenev B. G. Vvedenie v teoriiu besselevykh funktsii [Introduction to the Theory of Bessel functions]. Moscow, Nauka Publ., 1971, 288 p. (in Russian).

17. Nikiforov A. F., Uvarov V. B. Spetsial’nye funktsii matematicheskoi fiziki. [Special Functions of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 344 p. (in Russian).

18. Demidovich B. P., Maron I. A. Osnovy vychislitel’noi matematiki [Foundations of Numerical Mathematics]. Moscow, FIZMATGIZ Publ., 1963, 660 p. (in Russian).