Одновременная диагонализация кватернионных неэрмитово самосопряженных матриц

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 3 (2011), с. 23-31.

УДК 517.98

И. И. КАРПЕНКО, А.М. ГОНЧАРЕНКО

ОДНОВРЕМЕННАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ КВАТЕРНИОННЫХ НЕЭРМИТОВО САМОСОПРЯЖЕННЫХ МАТРИЦ

В работе рассматриваются задачи одновременной диагонализации пары кватернионных матриц, самосопряженных относительно неэрмитовой инволюции в вещественной алгебре кватернионов (а-самосопряженные матрицы). Получены критерии унитарной и невырожденной диагонализации таких матриц.

Ключевые слова: алгебра кватернионов, алгебра с инволюцией, матричная диа-гонализация.

Введение. Настоящая работа является непосредственным продолжением результатов, изложенных в [1]. Известно, что одни из первых постановок задач об одновременном приведении комплексных матриц к диагональному виду посредством некоторого преобразования конгруэнтности связаны с изучением "малых колеба-ний"около точки равновесия в механике. В комплексном случае для пары самосопряженных и соответственно для пары симметрических матриц получен ряд условий их одновременного приведения в диагональному виду. И если для эрмитово самосопряженных кватернионных матриц мы всегда легко получаем аналогичные результаты, то решение задачи одновременной диагонализации внутренними методами (т.е. с помощью кватернионной матрицы) для пары неэрмитово самосопряженных матриц является далеко не очевидным.

Используя особенности спектральных свойств кватернионных матриц, в работе приводятся четыре критерия одновременной диагонализации двух неэрмитово самосопряженных матриц.

1. Предварительные сведения

Пусть h — вещественная алгебра кватернионов, в которой для каждого кватерниона q = q0+q1i+q2j+q3k наряду с классической инволюцией q = q0 — q1i — q2j-q3k можно рассматривать инволюцию qf = q0 + q1i — q2j + q3k (более подробно см. [1]).

Эти инволюции алгебры h порождают инволюции (a) и (*) в вещественной алгебре Mn(h). Пусть A £ Mn(h), A = ||act||. Вводя следующие обозначения:

определим

A* := A T; Aa := AT T.

Заметим, что

Aa = —JA*J,

где J = Ej, E — единичная матрица. Инволюцию (*) называют, как правило, эрмитовой. Поэтому инволюцию (a) мы называем неэрмитовой. Композиция этих инволюций порождает автоморфизм алгебры Mn(h) :

Ac := (A*)a = (Aa)*,

где Ac = ||aStH, где acst = äsi.

Пусть A = ||act|| £ Mn(h). Матрицу A назовем неэрмитово самосопряженной (или а-самосопряженной), если A = Aa.

Ввиду равенства (1) а-самосопряженная матрица A удовлетворяет условию:

A* = — JAJ.

В работе [1] показано, что класс а-самосопряженных кватернионных матриц является аналогом класса комплексных симметрических матриц, причем для него прослеживается сохранение целого ряда свойств симметрических матриц. В частности, имеет место аналог разложения Такаги [2], которое является базовым в теории комплексных симметрических матриц:

Теорема 1. [1] Если матрица A £ Mn(h) является а-самосопряженной, то она допускает разложение вида:

A = U £Ua,

где U — унитарная матрица, столбцы которой образуют множество ортонор-мированных собственных векторов матрицы AAc, £ — неотрицательная диагональная матрица, диагональные элементы которой являются неотрицательными квадратными корнями из собственных значений матрицы AAc, соответствующих этим собственным векторам.

Пример 1. Рассмотрим обобщение ганкелевых комплексных квадратичных форм. Пусть Ь,2,Ь,3,..., Н2п — набор кватернионов, удовлетворяющих условию 1ц = Ы, £ = 2, 2п. При помощи этих чисел составим квадратичную форму от п переменных хг € Н, х = (хьх2, ...,хп)т € Нп :

п

Н

«,4=1

По аналогии с комплексным случаем (см. [3]) назовем эту квадратичную форму ганкелевой. Ей соответствует матрица

и

( h2 hз ... Лп+1 ^ hз h4 ... Л-п+2

€ мп(н),

у hn+1 hn+2 ... h2n У удовлетворяющая условию На = Н, т.е. а-самосопряженная. С учетом равенства (2) квадратичную форму Н(х, х) можно записать в векторном виде:

Н (х, х) = хаНх.

В соответствии с разложением Такаги

н = иаБи,

где и — унитарная матрица, Б = diag{d1, ...^п}, > 0. Тогда

Н (х, х) = ха и аБих = (их)аБ(их), или в новых переменных у = их

п

Н (у, у) = уаБу = ^ ^угуг.

г=1

Таким образом, разложение Такаги дает возможность приводить ганкелевы ква-тернионные квадратичные формы вида (2) к диагональному (каноническому) виду.

Здесь и ниже используется такое естественное условие конгруэнтности матриц, которое сохраняет свойство неэрмитовой самосопряженности. А именно, матрицы А и В назовем конгруэнтными, если существует невырожденная матрица Б такая, что

В = БАБа.

Еще одним приложением кватернионного разложения Такаги является простое условие конгруэнтности а-самосопряженных кватернионных матриц.

Предложение 1. а-самосопряженные матрицы А и В из Мп(н) конгруэнтны тогда и только тогда, когда гапкА = гапкВ.

Доказательство. Пусть матрица A = SBSa, где S — невырожденная матрица. Так как при умножении кватернионной матрицы на невырожденную матрицу ее ранг не меняется, то rank A = rankB.

Обратно, пусть rankA = rankB = r. Рассмотрим разложение Такаги для матрицы

A:

A = Ui SiUf,

где U1 — унитарная матрица, Si = diag{o'i , ст2,...,стг, 0,..., 0}. Заметим, что rankS i = rankA в силу невырожденности матриц Ui, Uf. Матрицу Si можно представить следующим образом:

s i = i (S i)D?,

где I(S i) = diag{1,1,..., 1, 0,..., 0}, Di = diag{^^T, ^,..., 1,1,..., 1}. Тогда

A = (UiD i )I (S i)(D iUf) = (UiD i )I (S i)(UiD i )a. Аналогично для матрицы B:

B = (U2D2K (S2)(U2D2)f. Так как rankB = rankA, то I(S2) = I(S i) и

(UiDi)- i A(UiDi )-a = (U2D2)- i B(U2D2)-f,

откуда

A = (UiDi XU2D2)-iB(U2D2)-f(UiD i )a. Следовательно, матрицы A и B конгруэнтны.

Замечание 1. Следует напомнить не совсем очевидное определение ранга кватернионной матрицы как максимального количества линейного независимых строк в левом h-модуле hn. Так как максимальное количество линейно независимых столбцов в этом модуле может быть иным, то при транспонировании, а, следовательно, и при эрмитовом сопряжении ранг матрицы может измениться. Однако можно показать, что операция неэрмитова сопряжения не меняет ранга матрицы.

2. Одновременная дилгонллизлция неэрмитово самосопряженных

МАТРИЦ

Лемма 1. (i) Матрица C £ Mn(h) является нормальной тогда и только тогда, когда Ca — нормальная матрица.

(ii) Матрица U £ Mn(h) является унитарной тогда и только тогда, когда Ua — унитарная матрица.

Доказательство. Утверждение (i) доказывается непосредственной проверкой с использованием равенства (1).

Утверждение (ii) является следствием утверждения (i).

Для более детального понимания дальнейших рассуждений приведем ряд сведений относительно спектральных свойств кватернионных матриц (см. [4], [5]).

Пусть A G Mn(h). Кватернион q G h называется собственным значением матрицы A, если существует ненулевой вектор x G hn такой, что Ax = xq.

Множество всех собственных значений матрицы A обозначим через 0"(A). При этом если q G a(A), то K(q) С a(A), где K(q) = {uqu | u G h, |u| = 1} — класс сопряженности кватерниона q. Количество классов сопряженности, составляющих спектр матрицы, всегда конечно, и каждый класс содержит ровно одну пару взаимно сопряженных чисел, принадлежащих полю c.

Матрица A G Mn(h) называется нормальной, если A*A = AA*. Нормальная ква-тернионная матрица допускает унитарную диагонализацию, причем все собственные значения в соответствующем разложении могут быть выбраны из верхней полуплоскости поля c.

Теорема 2. Пусть матрицы A, B G Mn(h), причем матрица A является a-самосопряженной и невырожденной, матрица B — a-самосопряженной, C = A-1B. Матрицы UAUa и UBUa диагональны для некоторой унитарной матрицы U G Mn(h) тогда и только тогда, когда C — нормальная матрица.

Доказательство. Пусть UAUa = S, UBUa = Л, где S, Л — диагональные a-самосопряженные матрицы. Так как A = U-1SU-a, B = U-a, то C = A-1B = Ua(E-^)U-a, где матрица Х-1Л является диагональной. Из Леммы 1 следует, что Ua — унитарная матрица, поэтому C — нормальная матрица.

Обратно, пусть C = A-1B — нормальная матрица. Тогда C унитарно диаго-нализуема посредством унитарной матрицы R G Mn(h) и диагональной матрицы Л = diag(A1,..., Лга) таких, что C = RЛR*. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что Л G Mn(c+), откуда Ла = Л.

Следовательно, BR = ARЛ и

RaBR = RaARЛ,

причем, согласно Лемме 1 Ra — также унитарная матрица.

Пусть совпадающие числа Л^ сгруппированы так, что

Л

Л о

о Лр

где Лг = € Мп4(н), ^ € {А1, ..., Ап},^ 1 < п < п, £ = 1,р и ^ = , если £ = 5.

Рассмотрим конгруэнтные матрицы В := ЕаВЕ и А := ЕаАЕ, которые также являются а-самосопряженными, причем из равенства (3) следует

В = АЛ,

или, переходя к а-сопряжению,

В = ЛА

Пусть В = [В^], А = [А^], где В8£, А3г — блоки, согласованные с блочной структурой матрицы Л, при этом В^ = В^, А^ = А^. Из равенств (4), (5) следует, что

В^ = А^Дг, В^ = Д^А^,

откуда А^д = ^А^.

Пусть а«? — произвольный элемент матрицы А^, а«-? = ж«и+у«игде ж«и, у«и € с. Тогда (ж«- + У«иj= Д^ж«- + У«иj) или

Если § = ¿, то д = д = ~Щ, откуда ж«и = у«и = 0 и А^ = 0 для любого 8 = ¿. Это означает, что матрицы и имеют блочную структуру, согласованную со

структурой матрицы Л, то есть:

В 1 01 ГА 1 д 1 0

АЛ = Е"АЕЛ =

В = =

0

В„

0

Ар

где все матрицы А4, В4 € МП(.(н), £ = 1,р, а-самосопряженные. При р = п получаем тем самым требуемое приведение. При р < п имеется блок размера п4 > 1. Применим к каждой такой матрице А4 разложение Такаги:

А* =

где £ € МП(. (н), — унитарные матрицы, а £ — вещественные диагональные матрицы с неотрицательными элементами.

Так как В4 = = А^, то для любого элемента а«и = ж«и + у«иj,

, у«и € с

матрицы А4 имеет место равенство

+ у«-;) = (ж «V

откуда (д — = 0. Следовательно, для = Д У«и = 0 и А4 — комплекс-

ная симметрическая матрица. Поэтому на (6) можно смотреть как на разложение Такаги для комплексных симметрических матриц, и матрица здесь также комплексная. Таким образом, в любом случае и для € м, и для €

В* = М^ВД") = ^Я^, I = 1"р. Положим Г 1 Г 1

5 =

0

Я =

£1

0

Як

ж

«V

0

0

где Бг = [1] при пг = 1. Полученная матрица Б также унитарная, и справедливы разложения

ЕаВЕ = Б (ХЛ)Ба, ЕаАЕ = Б ХБа,

откуда

А = [(Я-1)аБ]Х[(Я-1)аБ]а, В = [(Я-1)аБ]ХЛ[(Я-1)аБ]а. Следовательно, матрицы А, В диагонализуемы при помощи унитарной матрицы

и = (Я-1)а Б.

Аналогичными рассуждениями можно установить следующий результат.

Теорема 3. Пусть матрицы А, В € Мп(н). Матрица А является а-самосопряженной и невырожденной, матрица В — а-самосопряженной, С = А-1В. Матрицы БАБа и БВБа диагональны для некоторой невырожденной матрицы Б € Мп(н) тогда и только тогда, когда С — диагонализуема.

Лемма 2. Пусть задана матрица вида А =

ВС 00

€ Мп(н), где В €

М^(н), 1 < к < п. Матрица А — нормальная тогда и только тогда, когда матрица В является нормальной и С = 0.

Доказательство. Как показывают непосредственные вычисления,

АА* =

ВВ* + СС * 0 00

А* А =

В*В В*С

С*В С*С

Так как А — нормальная матрица, то из равенства АА* = А*А получаем условия

ВВ* + СС * = В *В, В*С = 0, С *С = 0. Следовательно, С = 0 и ВВ* = В*В.

Теорема 4. Если матрицы А и В а-самосопряженные, то необходимым и достаточным условием существования унитарной матрицы и € Мп(н) такой, что обе матрицы иАиа и иВиа диагональны, является нормальность матрицы АВ*.

Доказательство. Пусть иАиа = Л, иВиа = М, где матрицы Л, М — диагональные. Тогда А = и*Л, (иа)*В = и*М(иа)*, и

АВ* = и *Л(иа)* иам *и = и *(ЛМ *)и.

Заметим, что здесь мы использовали тот факт, что иа — унитарная матрица в силу Леммы 1(п). Следовательно, матрица АВ* унитарно диагонализуема, т.е. нормальная.

Обратно, пусть А невырожденная матрица, и матрица АВ* = (А--1)- 1В* нормальная. Тогда по теореме 2 две а-самосопряженные матрицы А-1 и В * одновременно унитарно диагонализуемы. Это означает существование унитарной матрицы и € Мп(н) и диагональных матриц М, Л € Мп(н) таких, что

А-1 = иЛиа, В * = имиа.

Тогда А = (иа)*Л-1и*, В = (иа)*М*и*, то есть А и В одновременно приводятся к диагональному виду унитарным преобразованием.

В случае вырожденности матрицы А требуются дополнительные аргументы. В силу теоремы Такаги, найдется унитарная матрица и € Мп(н), при которой матрица иАиа диагональна. Переставляя при необходимости столбцы матрицы и, приходим к представлению:

г£ 0

иАиа =

00

где £ € Мк(н), 1 < к < п, в котором матрица £ диагональная и невырожденная. Матрицу иВиа разобьем на блоки того же размера:

иВиа =

12

В11 В Ва2 В22

вц € (н), в22 € мп-й(н).

При этом подматрицы Вц и В22 также а-самосопряженные, и справедливы равенства:

(иАи а)(иВиа)* = иАВ*и * =

£0 00

В11

(Ва2)*

Б*

12

Б*

22

\ " О* \ " о* £В11 £В*2

0

0

Здесь матрица иАВ*и* нормальная, поэтому в силу Леммы 2 имеем £В*2 = 0. Матрица £ невырожденная, поэтому В12 = 0. Следовательно,

иАиа =

£0 00

иВиа =

В110

0 В22

(иАиа )(иВиа)* =

£В*1 0 00

Обращаясь к предыдущим рассуждениям для невырожденного случая, заключаем, что существует унитарная матрица V € М^(н) и диагональные матрицы Л1, Л2 € Мп(н) такие, что

£ = V Л^, Вц = У1Л2^а.

Для а-самосопряженной матрицы В22 также существуют, как известно, унитарная матрица У2 € Мп-&(н) и диагональная матрица Л3 € Мп-&(н) такие, что

и

B22 = ViAsVf1. Положим Л = Ai  0 £ M„(h), M = Л2  Л3 и V = Vi  V2. Тогда UAUa = VAVa, UBUa = VMVa. Таким образом, матрицы

A = (U *V )A(U *V )a, B = (U *V )M (U *V )a одновременно диагонализуются одним унитарным преобразованием.

Подобное обоснование позволяет получить и более общий результат для невырожденной конгруэнтности.

Теорема 5. Если матрицы A и B а-самосопряженные, то необходимым и достаточным условием существования невырожденной матрицы S £ Mn(h) такой, что обе матрицы SASa и SBSa диагональны, является диагонализуемость матрицы AB*.

Выводы

В работе получено четыре критерия одновременной диагонализации двух неэрмитово самосопряженных матриц над телом кватернионов.

Список литературы

[1] Карпенко И.И. Неэрмитово самосопряженные матрицы над телом кватернионов //Ученые записки ТНУ, серия "Физ.-мат.науки Т.23(62).2. - Симферополь, 2010. -C.78-91.

[2] Хорн З., Джонсон Ч. Матричный анализ. - Москва: Мир, 1989. - 655 C.

[3] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - Москва: Наука, 1967. - 576 C.

[4] Farenick Douglas R., Pidkowich Barbara A.F. The spectral theorem in quternions. // Linear Algebra and its Applications. - 371 (2003). - P.75-102.

[5] De Leo S., Scolarici G., Solombino L. Quaternionic eigenvalue problem // J.Math. Phys. Bd.43. - 2002. - Vol.11. - P.5815-5829.

У роботг розглядаються задачг одночасног диагонализации пари кватер-нгонних матриць, самоспряжених щодо операцгг неэрмитовой гнволюцгг в дгйснгй алгебрг кватернгонгв.

Ключов1 слова: алгебра кватернюшв, алгебри 1з шволющей, матричная диагона-лизация.

In this paper it's considered problems of simultaneous diagonaUzaUon for quaternionic matrixes wMch are a self-adjomt concernmg the non-Hermitian Evolution in the real algebra of quaternions. Some criterions of unitary and nonsingular diagonalizations for such matrixes are received.

Keywords: algebra of real quaternions, involution algebra, matrix diagonalization.