Анализ качества выбора и настройки автоматического регулятора уровня жидкости

УДК 681.52.01

АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ВЫБОРА И НАСТРОЙКИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА УРОВНЯ ЖИДКОСТИ

С.В. Панферов, А.И. Телегин

ANALYSIS OF CHOICE QUALITY AND ADJUSTMENT OF THE AUTOMATIC FLUID LEVEL CONTROLLER

S.V. Panferov, A.I. Telegin

Рассматривается задача структурно-параметрического синтеза системы автоматического регулирования уровня жидкости. Приводится структура и параметры настройки квазиоптимального регулятора. Анализируются устойчивость системы и качество переходных процессов в ней.

Ключевые слова: автоматический регулятор, уровень жидкости, структура, параметры настройки, устойчивость, качество переходных процессов.

The problem of structurally-parametrical synthesis of system of automatic control of level of a liquid is considered. The structure and adjustment parameters a regulator is resulted. Stability of system and quality of transients in it are analyzed.

Keywords: automatic regulator, liquid level, structure, adjustment parameters, stability, quality of transients.

В настоящее время в системах теплоснабжения для автоматического регулирования различных переменных технологических процессов широко используются ПИД-регуляторы и их частные варианты. Накоплен огромнейший опыт применения таких регуляторов, в частности, разработаны и апробированы различные способы их настройки. Вместе с тем, как неоднократно отмечает В.Я. Ро-тач в своем сравнительно недавно изданном учебнике [1], П-, ПИ- и ПИД- «...алгоритмы были получены чисто эвристическим путем» [1, с. 82 и др.] и что «...достаточно убедительное формальное доказательство целесообразности их применения... до сих пор получить не удалось» [1, с. 24].

В работах [2, 3], как нам представляется, удалось получить некоторое формальное обоснование целесообразности применения ПИД-регуляторов, здесь задача решалась методом «подгонки» передаточной функции замкнутой системы к некоторому достаточно разумному и практически достижимому виду. Найдены эталонные структуры и настройки регуляторов для типовых динамических характеристик промышленных объектов управления, при этом установлено, что все эти регуляторы принадлежат ПИД-семейству. Казалось бы, что поставленная цель достигнута, однако для полноты исследования проблемы необходимо рассмотреть вопрос о качестве переходных процессов в таких системах и о грубости этих структур и настроек, данная задача и решается в настоящей работе.

Рассмотрим объект управления с передаточной функцией вида

^обО?)=-^~_ехР

ТобР

где Гоб, тоб - соответственно постоянная времени и время запаздывания объекта, р- комплексная переменная. Такими передаточными функциями описываются различные объекты регулирования уровня жидкостей в системах теплоснабжения: конденсаторы, деаэраторы, расширительные баки, выполняющие роль гидростатических стабилизаторов давления в заданных точках тепловой сети, и др.

Как известно [2, 3], близким к идеальному для такого объекта является П-регулятор с коэффици-Т

ентом передачи к = ———, где 0 - достаточно

*об+6

малая постоянная времени. Для анализа переходных процессов в системе с объектом управления данного типа разработаны две компьютерные программы: одна для анализа переходных процессов при возмущении по заданию, а другая - при возмущении со стороны регулирующего органа. В каждой из разработанных программ предусмотрен ввод Гоб, тоб и коэффициента передачи П-регулятора, каждая из программ осуществляет не только построение графика переходного процесса, но и определяет перерегулирование а и время регулирования /р , а также вычисляет значения следующих критериев:

/,= |\Щ&,

о

Инженерное оборудование зданий и сооружений

*к

I2=\z\t)dt,

О

где в(/)=jc3 (0—jc(i) - ошибка регулирования (рассогласование), jc3 (/) и x(t) - соответственно заданное и действительное значение регулируемой величины, t - время, tK - конечное время оценки переходного процесса. Здесь время регулирования t? определялось как время, по истечении которого отклонение регулируемой величины от задания не будет превышать 5 %.

В процессе численных вычислений установ-

Т

лено, что во всех случаях, когда к = —— (пара-

*об

метр 0 полагается равным нулю), дифференциальное уравнение замкнутой системы автоматического регулирования (САР) будет иметь вид:

тоб^^ + *

at

Решая уравнение (4) для единичного ступенчатого воздействия, нашли, что во всех этих случаях а=49%. Если численное значение кр отли-

Т

чается от величины —^ (0^0), то изменяется и

Тоб

величина перерегулирования. Полученные значения показателей качества переходного процесса, например, для случая, когда Гоб = 15 с, тоб = 5 с , а кр принимает различные значения в окрестности

/ Тл . % хода ИМ

точки кр = —^ =3--------------приведены в табл. 1.

F тоб ед. per. вел.

Провели исследование качества переходных процессов и для других значений параметров объекта регулирования, в частности, для Гоб = 30 с,

*0б =10сидля Т0б =15с, тоб = 3с.

Анализируя полученные данные, можно отметить следующее: при эталонном (базовом) значении

Т

коэффициента передачи П-регулятора кр =

*об

перерегулирование и в рассматриваемых САР

при различных значениях Тоб, тоб получается практически одинаковым и равным «47-^49%. Время регулирования при прочих равных условиях растет прямо пропорционально росту (Гоб + тоб) и

Т

обратно пропорционально величине kD = —. Ба-

тоб

т

зовая настройка П-регулятора кр = —является

^об

достаточно грубой (робастной), поскольку суще-

Т

ствует заметная окрестность точки к = —, в

*об

которой сохраняются приемлемое качество и запас устойчивости системы (заметим, что о запасе устойчивости можно судить непосредственно по семейству кривых переходного процесса, полученных при различных настройках регулятора). Настройки П-регулятора, оптимальные по критериям (2) и (3) не совпадают как между собой, так и каждая с базовой настройкой. Так, например, в случае табл. 1 базовое значение коэффициента

7 Тоб % хода ИМ

передачи равно к = =3------------, вместе с тем

F Тоб еД* Рег*вел*

оптимальное по минимуму критерия 1г значение равно 7 % хода ИМ

кр= 1,75-------------, а оптимальное по минимуму

у ед. per. вел.

_ , _ _ % хода ИМ

критерия /2 значение равно кр - 2,5----------------.

у ед. per. вел.

Причем настройки, найденные из условия минимума критерия /2 заметно ближе к базовой настройке, в некоторых случаях их различие можно считать достаточно малым. Очевидно, что все это объясняется как существом рассматриваемого метода синтеза САР, так и определенной погрешностью выкладок при его реализации.

Показатели качества переходных процессов в САР при возмущении по нагрузке (со стороны регулирующего органа), например, для случая табл. 1 приведены в табл. 2.

В целом, анализ полученных результатов показал, что величина перерегулирования а при

Таблица 1

Показатели качества переходных процессов для Гоб = 15 с, тоб = 5 с при возмущении по заданию

, %хода ИМ кр>—* ед. per. вел. 0,5 1,0 1 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

а,% 0 0 3,43 9,30 16,3 31,79 49 64,4 80,7

/р,с 79 32,4 17 25,4 24,8 33,2 42,2 69,8 99,8

/|,(ед. per. вел.)-с 29,47 14,99 10,71 10,32 10,40 11,47 13,79 18,16 26,99

/2,(ед.рег.вел.)2 - с 88,34 52,30 41,67 39,27 37,97 37,88 41,09 49,38 70,36

Таблица 2

Показатели качества переходных процессов для Гоб =15 с, тоб = 5 с при возмущении по нагрузке

, %хода ИМ V ед. рег. вел. 0,5 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

ст, % 0 0 3,43 9,30 16,3 31,79 47,9 64,4 80,7

íp, с 17,6 13,6 12,4 12,0 11,8 11,4 11,2 11,0 19,8

/],(ед. рег. вел.)-с 0,391 0,199 0,143 0,137 0,138 0,153 0,184 0,241 0,354

Vio2, (ед. рег. вел.)2 с 1,570 0,929 0,741 0,698 0,675 0,673 0,731 0,877 1,248

одинаковых настройках регулятора остается практически одной и той же как при возмущении по заданию, так и при возмущении со стороны регулирующего органа, несмотря на то, что сг в этих случаях вычисляется вообще-то по-разному [4, 5]. Кроме того, координаты точек минимума функций 1Х = (кР) и /2 =/2{кр) , вычисленных для случая возмущения по нагрузке, также удивительным образом совпадают с аналогичными координатами в случае возмущения по заданию. По-видимому, данные обстоятельства подтверждают известное высказывание о том, что если САР оптимизирована для отработки возмущений по заданию, то одновременно достигается оптимум и при отработке возмущений по нагрузке [6].

Время регулирования tp при прочих равных условиях при возмущении со стороны регулирующего органа меньше, чем в случае возмущения по заданию, что, в общем-то, достаточно объяснимо.

Если робастность рассматривать как грубость системы по отношению к изменениям параметров объекта управления, то можно привести следующие результаты. В принципе все вышеизложенное можно интерпретировать и как анализ для данного случая, здесь нужно только считать, что, якобы, регулятор настроен по параметрам объекта управления, имевшим место в недалеком прошлом, а в данный момент времени объект управления имеет те значения параметров, которые указаны в заголовках таблиц.

Если постоянная времени и время запаздывания объекта изменятся соответственно на ДГоб и на Атоб, а регулятор будет иметь настройку, найденную по предыдущим значениям его параметров

1

об

Р тоб+0

то передаточная функция разомкну-

той системы будет иметь вид

ш , V ехрС-'Грб р) ехр(-Лтобр) рС (+тоб )Р (1 + АГоб/7’об)' Используя критерий устойчивости Найквиста для систем с запаздыванием [7], нашли, что в этом случае критическая частота сокр будет равна

• Юкр (е + т^ХІ+ДГ^/Гоб)' поэтому условие устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования (САР) в общем случае запишется так:

На координатной плоскости «АТоб/Тоб -Лтоб/тоб» граница области устойчивости будет представляться следующей прямой (см. рисунок):

Атрб я(тоб+9) АГоб 2т„ "

1об ^ 1об 1 об

На рисунке область устойчивости - это область, расположенная правее своей границы

ется, т.к. (—^------------1) - точка пересечения

2т

об

прямой (3) с осью ординат « Атоб / тоб » с увеличе-

нием 0 «ползет» вверх, а (

2тоб -7TUnfi — 710

об "

- ) - точ-

я-Сг0б+е)

ка пересечения прямой (6) с осью абсцисс «АТоб/Тоб» перемещается влево. При 0=0 область устойчивости будет иметь наименьший размер, однако при этом начало координат будет располагаться все-таки правее ее границы. Следовательно, при 0=0 САР имеет некоторый запас устойчивости относительно вариаций параметров Атоб и ЛГоб, с увеличением 0 робастность устойчивости [8] повышается.

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию будет равна

цг (р) =___________ехрНХб+ЛТоб)/?]____________

(0+Тоб XI + ЛГоб /7^+ехрКТоб + ЛТоб)р]' Отсюда следует, что дифференциальное уравнение САР будет иметь вид:

= U{t-i0б-АТоб),

dx

dt

+ х(/_-соб ~Лт0б) =

Инженерное оборудование зданий и сооружений

Рис. 1. Область устойчивости САР

где х - выходная (регулируемая) величина объекта, и - заданное значение регулируемой величины. Из (5) и из решения дифференциального уравнения (7) следует, что при ЛГоб > 0 влияние этого параметра на устойчивость (робастность устойчивости) и качество (робастность качества) САР аналогично влиянию параметра 0 [2, 3], т. е. колебательность переходной функции уменьшается с ростом А Тоб, переходный процесс все в большей степени приобретает апериодический характер.

Для примера в табл. 3 приведены показатели качества переходных процессов в САР для случая, когда

Тсб=15с,хо5=5с, кр = -^

об

=0,

Тоб ед. per. вел.

а ДГоб принимает различные как положительные, так и отрицательные значения.

Аналогичные результаты получаются и при Атоб <0, т. е. с увеличением |Атоб| демпфирован-ность системы растет. Если же Лтоб >0, то с увеличением Дтоб перерегулирование возрастает, ухудшаются как качество переходного процесса, так и запас устойчивости системы. В табл. 4 приведены показатели качества переходных процессов в САР для случая, когда Гоб = 15 с, тоб = 5 с ,

кп

Тоб % хода ИМ

_оо_ =3-----------, АТоб =0, а Дтоб прини-

^ тоб ед. per. вел.

мает различные как положительные, так и отрицательные значения.

Выполненные расчеты показали, что если параметры объекта управления определены точно, то при 0=0 с перерегулирование в данной САР будет равно а=49% . Если же время запаздывания

Таблица 3

Показатели качества переходных процессов для = 15 с, = 5 с при возмущении

по заданию при различных значениях АГоб

+1 +3 +5 -1 -3 -5

а, % 41,89 31,79 23,89 55,02 72,49 97,04

ip , с 42 33,2 32,2 51,6 88,6 157

Таблица 4

Показатели качества переходных процессов для Гоб = 15 с, тоб = 5 с при возмущении по заданию при различных значениях Ат^

Л^об.с +1 +2 +3 -1 -2 -3

а, % 67,99 87,99 расходящийся переходный процесс 28,22 9,98 0,0005

ip , с 85 195,6 расходящийся переходный процесс 26,4 15 9,8

Панферов С.Б., Телегин AM

модели объекта управления тоб (эта величина используется при вычислении настройки регулятора Т

kD = ——— ) меньше времени запаздывания, имею-

Р *об+9

щего место на реальном объекте (тоб+Дтоб), то перерегулирование возрастает. Так, например, если тоб =4 с, а Лтоб =1 с, то a=72 %. САР в такой ситуации, когда из-за погрешности параметрической идентификации получилось, что тоб < (тоб +Атоб), может и потерять устойчивость. В самом деле, если структура математической модели объекта и все ее параметры, кроме времени запаздывания, определены достаточно точно, то передаточная функция разомкнутой системы получается равной

^рс (Р) =

ехрИ^об +^06)^1

, поэтому САР будет

(0 + ^об )Р

устойчива лишь при удовлетворении следующего неравенства: (тоб + Атоб ) / (0+тоб ) < п / 2 . В случае табл. 4, при Атоб=Зс получили расходящийся переходный процесс, т. е. система потеряла устойчивость, что и следовало ожидать, т. к.

(тоб + Дтоб)/(в+Гоб ) = (5 + 3)/5> тг/2 .

При отработке единичного ступенчатого задания 1/(0= 1(0 при Г-»оо х->1, т. е. САР астатическая по задающему воздействию. Передаточная функция системы по каналу «возмущение со стороны регулирующего органа - ошибка регулирования»

(Тоб +9)-ехрНтоб +Ато6)/>]

И£(р):

(+тоб Х^об + A7V)p+7V expKv, +^тоб)р]

при р—>0, следова-

поэтому lim W^c° (р) = Т°б

1об

тельно, по данному каналу САР статическая, причем ошибка регулирования тем меньше, чем больше

Т

коэффициент передачи П-регулятора к = —— .

И т+0

Вьюоды. Проведенный анализ показал, что рассматриваемый метод синтеза, позволяющий од-

нозначно выбрать как структуру, так и параметры настройки регулятора уровня жидкостей, обеспечивает приемлемое качество переходных процессов и достаточный запас устойчивости системы при довольно заметных по размерам вариациях параметров объекта управления и погрешностях задания настроек регулятора. Поэтому данный метод синтеза можно достаточно уверенно рекомендовать для практического использования.

Литература

1. Ротач, В.Я. Теория автоматического управления: учеб. для вузов / В.Я. Ротач. - М.: Изд-во МЭИ; 2004. - 400 с.

2. Панферов, В.И. Об одном подходе к решению задачи выбора и настройки автоматических регуляторов / В. И. Панферов // Известия Челябинского научного центра. - 2004. - Вып. 4 (26). -С. 139-144.

3. Панферов, В.И Выбор и настройки автоматических регуляторов в системах теплоснабжения / В.И. Панферов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». - 2005. - Вып. 3 -№ 13 (53). - С. 81-84.

4. Копелович, А.П. Инженерные методы расчета при выборе автоматических регуляторов / А.П. Копелович. -М.: Металлургиздат, 1960. -190 с.

5. Проектирование систем контроля и автоматического регулирования металлургических процессов / Г. М. Глинков, В.А. Маковский, С.Л. Лот-мая, М. Р. Шапировский; под ред. Г М. Глинкова. -М.: Металлургия, 1986. - 352 с.

6. Фрер, Ф. Введение в электронную технику регулирования: пер. с нем. / Ф. Фрер, Ф Орттен-бургер. - М. : Энергия, 1973. - 190 с.

7. Воронов, A.A. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем / A.A. Воронов. -М.: Энергия, 1980. - 312 с.

8. Дорф, Р. Современные системы управления: пер. с англ. / Р. Дорф, Р. Бишоп. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832 с.

Поступила в редакцию 17 марта 2009 г.

Панферов Сергей Владимирович, аспирант кафедры «Системы управления и математическое моделирование» Миасского филиала ЮУрГУ.

Обласп» научных интересов: моделирование процессов в сложных системах управления.

Контактный телефон: 267-91-44.

Panferov Sergey Vladimirovich. Post-graduate student of the Control Systems and Mathematical Simulation department of the Miass branch of SUSU.

Scientific interests: simulation of processes in difficult control systems.

Contact phone: 267-91-44.

Телегин Александр Иванович, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой «Системы управления и математическое моделирование» Миасского филиала ЮУрГУ.

Область научных интересов: моделирование процессов в системах управления механическими и энергетическими объектами.

Контактный телефон: 8 (3513) 53-22-61.

Telegin Alexander Ivanovich. Doctor of physical and mathematical science, professor, the head of the Control Systems and Mathematical Simulation department of the Miass branch of SUSU.

Scientific interests: simulation of processes in control systems of mechanical and power objects.

Contact phone: 8 (3513) 53-22-61.