О некоторых подходах к математическому описанию демографических процессов

УДК 519.8:314

О НЕКОТОРЫХ ПОДХОДАХ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОПИСАНИЮ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ © Г.А. Тырыгина

Ключевые слова: демографическая ситуация; прогнозирование, модель.

Известно, что социально-экономическое планирование требует хорошо обоснованного демографического прогнозирования. Последнее может быть осуществлено с помощью математических моделей. В настоящей работе дается краткий обзор некоторых мате-матичеких моделей, используемых в демографическом прогнозировании.

Для социально-экономического планирования необходимы обоснованные демографические прогнозы. Для решения этой задачи используются разнообразные математические модели как детерминированные, так и стохастические. Приведем краткий обзор некоторых интересных подходов, предложенных в отечественных исследованиях, к изучению демографических процессов.

Начало исследований, связанных с изучением населения, восходит к Мальтусу. Далее исследовались модели стабильного населения. Построены и исследованы модели естественного движения населения в дискретном и непрерывном виде, учитывающие миграцию населения, его половую структуру, а также смертность, миграционные явления [1]. В конце прошлого века для изучения демографических процессов был предложен подход, рассматривающий все человечество как единую самоорганизующуюся и саморазвивающуюся сложную систему. При синергетическом подходе выделяются параметры порядка, характеризующие изучаемые процессы и подчиняющие себе все остальные процессы. Используя этот подход в качестве параметра порядка, С. П. Капица выбрал общую численность населения Земли N в качестве величины, которой подчиняются все остальные переменные. В основе математической модели, предложенной им [2], лежит обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной N. Решением этого уравнения является гиперболический закон роста (режим с обострением). Опираясь на эту модель, С.П. Капица изучил природу гиперболического роста народонаселения (неизбежность его прекращения и стабилизации, т. е. стремление этой численности к постоянному значению), установил связь основных экономических эпох с общей численностью населения.

С помощью этой модели нельзя описать циклический характер эволюции человечества, изучить изменение пространственного распределения людей и пространственного развития антропогенной среды в процессе эволюции. Это возможно в рамках распределенной модели, описывающей эволюцию пространственных структур. Иерархическим расширением модели С.П. Капицы является математическая модель, предложенная С.П. Курдюмовым [3, 4]. Он, опираясь на аналогию между процессами горения нелинейной среды, приводящим к образованию и распаду сложных пространственных структур, и историческими процессами с образованием и распадом империй, предложил для моделирования эволюции человеческого сообщества использовать квазилинейное уравнение теплопроводности с источником относительно изменения плотности населения и(М, ¿) с параметрами по рядка в, 6 :

ди,

— = сИу(хои^гаёи) + д0ив,Ь > 0,

где М —точка на плоскости с коорд инатами (х,у); £ —время; Хо, 9о, 6> 0, в>6 +

+ 1 — параметры модели.

В правой части первое слагаемое — оператор диффузии, описывающий диссипативные процессы в системе, распространение информации и миграцию населения, второе представляет собой нелинейный объемный источник и описывает кумулятивные процессы, умножение информации и рост плотности населения. Было установлено, что в зависимости от геометрии рассматриваемой области параметры порядка должны удовлетворять соотношениям:

0 <5 < 1, в > 5 + 1,

2в = 5 + 3 или 3в = 5 + 5.

Существенным недостатком моделей линейного, экспоненциального и гиперболического роста и других является невозможность прогнозирования на длительные периоды времени. Построение математических моделей более адекватных реальным демографическим процессам невозможно без учета случайности. В [2] для описания демографического процесса используются цепи Маркова. В [5] предлагается использовать модели теории массового обслуживания (СМО). В частности, автономную, немарковскую систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов, в которой:

— каждая заявка входящего потока в момент своего поступления занимает свободный прибор и находится в нем в течение всего времени обслуживания;

— продолжительность обслуживания т каждой заявки складывается из продолжительностей конечного числа фаз

т = Т1 + Т2 + ... + ти,

где Тг — продолжительНОСТЬ % -Й фаЗЫ обслуживания. Величины Тг являются незывисимы-ми эспоненциально распределенными случайными величинами с параметром ц, который одинаков для всех % = 1, 2,... ,и;

— обслуживание каждой новой заявки начинается на первой фазе;

— заявка, завершив обслуживание на % -й фазе обслуживания, с вероятностью тг переходит к обслуживанию на (%+1) -ю фазу, а с вероятностью 1-Гг завершает свое обслуживание и покидает систему;

— заявка, находящаяся на %-й фазе обслуживания, с интесивностью Ъг(1) = Ъ(%/^,1) генерирует новые требования.

Число V фаз обслуживания определяется достижением из первого состояния нулевого состояния цепью Маркова.

Случайный процесс и(С) = {и(1,1),и(2,1),...}т, где и(%,1) —число заявок, обслуживаемых в момент времени £ на % -й фазе, является многомерной цепью Маркова с непрерывным временем. Для распределения вероятностей

Р(П1,П2, ...,£)= Р [щ(г) = и1 ,П2^) = П2,.. }

система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид

д

— {Р (П1,П2,...^)} =

= -Р (П1,П2, ...^) Щ(Ц + Ъг(г))^ + Р(Щ - 1,П2,...,^ |(Щ - 1)Ъ^) + ^ ЩЪ¿(¿) | +

п

+^ Е (иг + 1){Р(и1,П2,.. .,иг,иг+1,.. .,Ь)(1-п)+Р(пьП2,.. .,и0г + 1,иг+1 -1, Щ+2,..., £)тг}.

г=1

С помощью этой СМО исследуется процесс изменения численности женского населения. При этом подразумевается следующее: обслуживаемая заявка — женщина, время обслуживания заявки — продолжительность жизни этой женщины, фаза — стохастический эквивалент возраста женщины, функция bi(t) — интенсивность рождения девочек у женщины i -й фазы жизни в году t. Входящим потоком заявок является процесс рождаемости девочек, т. е. последовательность моментов рождения девочек от всей совокупности женщин.

ЛИТЕРАТУРА

1. Староверов О.В. Азы математической демографиию. М.: Наука, 1967.

2. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Эдитория УРСС, 2001.

3. Белавин В.А., Капица С.П., Курдюмов С.П. Математическая модель демографических процессов с учетом пространственного распределения // Вычислительная математика и математическая физика. 1988. Т. 38. № 6. С. 885-902.

4. Белавин В.А., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в демографической системе. Сценарий усиления нелинейности // Вычислительная математика и математическая физика. 2000. Т. 40. № 2. С. 238-251.

5. Назаров А.А., Носова М.Г. Математическая модель процесса изменения демографической ситуации и ее исследование // Доклады ТУСУРа. 2009. № 2 (20).

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Tyrygina G.A. About approaches to mathematical description of demographic processes. It is known that socio-economic planning requires well-grounded demographic prognostication. The latter may be effected through the use of mathematical modeling method. The present paper gives a brief overview of some mathematical model employed in demographic prognostication.

Key words: demographic situation; prognostication, model.

Тырыгина Галина Алексеевна, Тольяттинский государственный университет, Тольятти, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, заведующий секцией, e-mail: tygalex@yandex.ru.

УДК 517.977

ДЕФЕКТ ИНВАРИАНТНОСТИ МНОЖЕСТВ ОТНОСИТЕЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

© В.Н. Ушаков, А.А. Зимовец

Ключевые слова: управляемая система; дифференциальное включение; инвариантность; дефект инвариантности.

Рассматривается дифференциальное включение, порожденное управляемой системой на конечном промежутке времени. Используется свойство инвариантности множеств, содержащихся в пространстве позиций системы, относительно дифференциального включения. Введено понятие дефекта инвариантности относительно дифференциального включения для множества, не обладающего свойством инвариантности.