Полукольца и пучки. Обзор результатов исследований за 2008-2012 гг

НАУЧНАЯ ЖИЗНЬ

УДК 512.55

Е. М. Вечтомоб

ПОЛУКОЛЬЦА И ПУЧКИ. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ за 2008-2012 гг.

В статье изложены основные результаты коллектива научной школы «Функциональная алгебра и теория полуколец», полученные в рамках грантов ВятГГУ по ведущей научной школе (2008 г.) и по тематическому плану № 1.1.5 «Полукольца и пучки» (2009-2012 гг.). Представленные результаты относятся к структурной теории полуколец и полу-тел и к теории полуколец непрерывных числовых функций на топологических пространствах.

The main results of the collective of the scientific school "The functional algebra and the theory of semirings" which were obtained with the grant VSHU for leading scientific school (2008) and scientific plan VSHU № 1.1.5 "Semirings and sheaves" (2009-2012) are stated in the article. Represented results apply to the structural theory of semirings and the theory of semirings of continuous real functions at the topological spaces.

Ключевые слова: полукольцо, полутело, решетка, топологическое пространство, непрерывная функция, пучок, функциональное представление, изоморфизм решеток подалгебр.

Keywords: semiring, semifield, lattice, topological space, continuous function, functional representation, isomorphism of lattices of subalgebras.

Введение. В 2008-2012 гг. члены научной алгебраической школы ВятГГУ «Функциональная алгебра и теория полуколец» провели исследования по общей теме «Полукольца и пучки». Результаты исследований отражены в следующих работах:

• две обзорные статьи [1],

• пять научных отчетов [2],

• три монографии [3],

• пять успешно защищенных кандидатских диссертаций [4],

• 31 публикация в рецензируемых научных изданиях [5].

Основные результаты работы докладывались на международных математических конференциях в Москве (2008, 2009, 2010), Красноярске (2009), Новосибирске (2009), Харькове (2009), Киеве (2010, 2012), Туле (2010, 2012), Казани (2011), Луганске

© Вечтомов E. M., 2013

(2011), Саратове (2О11), Чебоксарах (2О11), Волгограде (2О12), Екатеринбурге (2О12), Николаеве

(2012), Перми (2О12). Все новые результаты по теории полуколец регулярно сообщались на региональном научном алгебраическом семинаре, действующем на базе ВятГГУ (руководители -доктора физико-математических наук, профессора Е. М. Вечтомов и В. В. Чермных). В 2ОО8 г. Е. М. Вечтомов выиграл грант РФФИ на написание аналитического научного обзора «Строение полутел», проект № О8-О1-11ООО-ано (см. [6]).

В данном обзоре мы кратко опишем основные результаты наших исследований за отчетный период по структурной теории полуколец и по теории полуколец непрерывных функций. Отметим, что эти результаты отчасти реализуются в дисциплинах для магистрантов-математиков «Теория полуколец» и «Упорядоченные множества и решетки», в курсах по выбору для аспирантов-алгебраистов «Полукольца и их представления» и «Функциональная алгебра».

1. Структурная теория полуколец

1.1. Исходные понятия. В разделе 1 рассматриваются абстрактные полукольца с различными дополнительными условиями.

Полукольцом (в широком смысле) называется алгебраическая структура (S, +, •) с двумя ассоциативными бинарными операциями сложения + и умножения •, такими, что умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон (Vandiver H. S. Note on a simple type of algebras in which cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 4О. P. 914-92О). Заметим, что наиболее распространено понятие полукольца в узком смысле (Golan J. S. Semirings and their applications. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Acad. Publ., 1999), когда наряду с 4 аксиомами из определения полукольца предполагает условия коммутативности сложения, существования нуля и единицы.

Если полукольцо S имеет нейтральный элемент О по сложению (Va e S a + О = О + a = a), являющийся мультипликативным нулем (Va e S a • О = О • a = О), то S называется полукольцом с нулем. Полукольцо с коммутативным умножением само называется коммутативным. Полукольцо с нейтральным элементом 1 по умножению называется полукольцом с единицей.

Полукольцо с тождеством х + х = х (хх = х) называется аддитивно (мультипликативно) идемпотентным. Полукольцо с нулем назовем антикольцом, если оно удовлетворяет квазитождеству х + у = 0 ^ х = 0. Аддитивно идемпо-тентное и мультипликативно идемпотентное полукольцо назовем просто идемпотентным. Полутелом называется полукольцо, мультипликативная полугруппа которого будет группой. Коммутативное полутело с коммутативным сложением называется полуполем.

Отметим, что ассоциативные кольца являются полукольцами с нулем и с коммутативным сложением, дистрибутивные решетки суть коммутативные идемпотентные полукольца с коммутативным сложением, а аддитивно идемпотент-ные полутела с коммутативным сложением - это в точности решеточно упорядоченные группы.

1.2. Полутела и их пучковые представления [7]. В этом пункте все полутела предполагаются имеющими коммутативное сложение.

Неодноэлементное полукольцо с коммутативным сложением, с нулем и единицей называется делимым, если все его ненулевые элементы обратимы. Каждое делимое полукольцо либо является телом, либо удовлетворяет квазитождеству а + Ь = 0 ^ а = 0. Во втором случае делимое полукольцо будет полутелом с нулем, и если из него исключить 0, то получим полутело (и обратно).

Одноэлементное полутело будем называть тривиальным. Полутело с квазитождеством а + с = Ь + с а = Ь называется сократимым.. Ядром полутела называется класс 1 любой конгруэнции на нем. Ядра полутела и по отношению включения образуют модулярную алгебраическую решетку Сопи, множество дополняемых элементов которой является ее булевой подрешеткой В(Ц). Наименьшее ядро (и) полутела и, содержащее элемент и е и, называется главным ядром в и. Полутело и называется полутелом с образующей и, если и = (и). Полутело с образующей 2 = 1 + 1 называется ограниченным. Собственное ядро Р полутела и называется неприводимым, если А п В с Р влечет А с Р или В с Р для любых ядер А и В в и. Полутело называется би-регулярным (булевым), если все его главные ядра (все ядра) дополняемы. Полутело и называется дистрибутивным, если решетка Сопи дистрибутивна, и простым, если Сопи двухэлементна. Топологическое пространство SpU (Махи) всех неприводимых (максимальных) ядер полутела и, взятое со стоуновской топологией, называется его неприводимым (максимальным) спектром.

Теорема о неприводимых ядрах. Всякое собственное ядро полутела содержится в некотором его неприводимом ядре. Следовательно, максимальные ядра в полутелах неприводимы.

Спектральная теорема. Для полутела U эквивалентны следующие утверждения: U имеет образующую; неприводимый спектр SpU компактен; максимальный спектр MaxU компактен, и каждое собственное ядро полутела U содержится в некотором максимальном ядре.

Пучковая характеризация бирегулярных по-лутел. Полутело бирегулярно тогда и только тогда, когда оно изоморфно полутелу всех сечений некоторого пучка простых полутел и тривиальных полутел над нульмерным компактом.

Для доказательства данной характеризации применяется построенный нами для любого полутела U аналог пучка Пирса P(U) над максимальным спектром булевой решетки B(U): всякое полутело U изоморфно полутелу всех сечений пучка P(U) некоторых своих фактор-полутел над нульмерным компактом MaxB(U).

В следующей теореме используется аналог структурного ламбековского пучка L(U), существующий для всякого дистрибутивного полутела U.

Теорема Даунса - Гофмана для полутел. Аю-бое бирегулярное полутело U изоморфно полутелу всех сечений с компактными носителями хаусдорфова пучка L(U) простых полутел U/M над нульмерным локально компактным пространством MaxU. Обратно, если П - пучок простых полутел над нульмерным локально компактным пространством X, для которого носитель supp2 = {x е X: 2x * 1x} компактен, то полутело всех сечений с компактными носителями пучка П бирегулярно.

В качестве следствия получаем утверждение: Бирегулярные полутела с образующей суть, в точности до изоморфизма, полутела сечений (хаусдорфовых) пучков простых полутел над нульмерными компактами.

Структурное свойство бирегулярных полутел. Аюбое бирегулярное полутело однозначно раскладывается в прямое произведение бирегуляр-ного ограниченного полуполя и бирегулярного аддитивно идемпотентного полутела.

Строение булевых полутел. Полутело булево тогда и только тогда, когда оно изоморфно прямой сумме некоторого семейства простых по-лутел, почти все из которых идемпотентны. В частности, булевость полутела с образующей равносильна его разложимости в прямое произведение конечного числа простых полутел.

Разрабатываемый нами метод пучковых представлений и характеризаций полуколец и полу-тел перспективен. С его помощью уже доказан ряд интересных и нетривиальных свойств полуколец и полутел. Мы планируем его применение к получению более тонких свойств полутел, например, новых структурных свойств бирегуляр-ных полутел, а также к изучению конечных полуколец с заданными свойствами.

1.3. Полукольцевые объединения кольца и полутела. [8] Исследовались полукольца Я и и, являющиеся объединением некоторых двух своих под-полуколец - кольца Я и полутела с нулем и и {0}, где и - полутело с коммутативным сложением. Изучение таких полуколец сводится к ситуации Я п и = 0, которая и рассматривается далее.

Структурная теорема. Если имеет место Я и и, то кольцо Я радикально по Джекобсону и его аддитивная группа делима и без кручения, а полутело и не является зероидным, т. е. в нем невозможно равенство вида а + Ь = а.

Неединственность полукольцевого объединения. Существуют кольцо Я и полутело и, имеющие неизоморфные полукольцевые объединения Я и и.

Для произвольного незероидного полутела и строятся все кольца Я, образующие с и полукольцевое объединение Я и и. И обратно, определяются все полутела, допускающие с фиксированным подходящим кольцом полукольцевое объединение. Изучалось строение идеалов и кон-груэнций полуколец Я и и. В частности, доказаны утверждения:

Решетка конгруэнции любого полукольца Я и и модулярна.

Если решетка идеалов кольца Я и решетка конгруэнций полутела и дистрибутивны, то решетка конгруэнций полуколец Я и и также дистрибутивна.

Полукольца Я и и оказались нетривиальными и достаточно интересными. Это указывает на многообразную широту класса всех полуколец даже в узком смысле (по Голану).

1.4. Циклические полукольца. [9] Полукольцо 5 с нулем 0 и единицей 1 будем называть (мультипликативно) циклическим, если в нем существует образующий элемент а * 1, такой, что каждый ненулевой элемент из 5 является неотрицательной целой степенью элемента а (1 = а0), в обозначениях, 5 = (а). Циклические полукольца с коммутативным сложением изучались Е. М. Вечтомовым и А. С. Бестужевым, а циклические полукольца с некоммутативным сложением исследовались Е. М. Вечтомовым и И. В. Орловой (Лубягиной). Справедливы следующие утверждения:

Предложение А. Всякое конечное циклическое полукольцо 5 = (а) с нильпотентным образующим а будет цепью по сложению, причем, если а > 1, то 5: 1 < а < а2 < ... < ак-1 < ак = 0; если же а < 1, то 0 = ак < ак-1 < ... < а2 < а < 1.

Предложение Б. Любое циклическое полукольцо с обратимым образующим будет конечным циклическим полутелом или конечным полем.

Предложение В. Бесконечные циклические полукольца и циклические полукольца с некоммутативным сложением являются антикольцами.

Эти предложения позволяют рассматривать далее только циклические полукольца без нуля. Сложение в полукольце называется левым (правым), если в нем выполняется тождество X + у = X (х + у = у).

Строение бесконечных циклических полуколец. Любое бесконечное циклическое полукольцо 5 имеет вид

5 = {1, а, а2, ..., а", ...}

со сложением ат + а" = атах(т-п), либо ат + а" = ат1п{т'п), либо левым, либо правым.

Пусть 5 = {1, а, а2, ..., ат} - конечное циклическое полукольцо типа (^ п). Его мультипликативная полугруппа определяется двумя параметрами k е N и п е № ^элементное множество {1, а, а2, ..., ак-1}, если k $ 1, образует ее хвост, а п-элементное множество {ак, ак+1, ..., ак+п-1} есть ее цикл с условием ак+" = ак. При k = 0 имеем циклическое полутело, а при п=1 получаем поглощающий элемент ак.

Теорема А. Конечные циклические полукольца с коммутативным сложением обладают поглощающим элементом, то есть совпадают со своими хвостами.

Различаются случаи аддитивно идемпотентных и аддитивно неидемпотентных полуколец 5. Циклическое полукольцо 5 с идемпотентным сложением образуют решетку (с наименьшим элементом 0) относительно естественного порядка. Задача нахождения всех таких полуколец сводится к присвоению элементам решетки, представленной диаграммой Хассе, значений а1. Доказаны исходные свойства этих полуколец и описана процедура их нахождения. Строение циклических полуколец 5 с неидемпотентным сложением более сложно. Они классифицированы по четырем параметрам, позволяющим последовательно строить данные полукольца 5.

Затронем теперь конечные циклические полукольца 5 = (а) с некоммутативным сложением. Здесь также существенно различаются случаи аддитивно идемпотентных и аддитивно неидем-потентных полуколец. Строение таких полуколец с идемпотентным некоммутативным сложением, не являющимся ни левым, ни правым, фактически сведено к описанию конечных циклических полуколец с идемпотентным коммутативным сложением. Отметим следующий результат:

Теорема Б. Любое конечное циклическое полукольцо с идемпотентным некоммутативным сложением и поглощающим элементом имеет либо левое сложение, либо правое сложение.

Случай полуколец 5 = (а) типа (^ п) с некоммутативным неидемпотентным сложением требует изучения двух подслучаев: 1) хвост не длиннее цикла ^ # п); 2) хвост длиннее цикла ^ > п). Получено описание сложения в таких полукольцах 5 с условием 1); оно сводится к сло-

жению в цикле («намотке»), представляющем комбинацию левого и правого сложения. Случай 2) более сложный.

Замечание. С помощью системы Maple были найдены циклические полукольца небольшого порядка. Они весьма многочисленны. Так, циклических полуколец с неидемпотентным некоммутативным сложением типа (k, 1) существует с точностью до изоморфизма: 4 порядка 4, 28 порядка 5, 194 порядка 6.

1.5. Мультипликативно идемпотентные полукольца. [10] В настоящем пункте рассматриваются мультипликативно идемпотентные полукольца только с коммутативным сложением. Их примерами служат булевы кольца и дистрибутивные решетки. Полукольцо назовем дубль-полукольцом, если его операции сложения и умножения совпадают: x + y = xy.

Полукольцо с 0 (полукольцо с 1) S называется 0-расширением (1-расширением) полукольца A при помощи полукольца B, если на S существует такая конгруэнция р, что [0]р - A ([1]р - A) и S/p - B. Через r(S) обозначено кольцо всех аддитивно обратимых элементов полукольца S.

Аддитивно идемпотентные полукольца являются упорядоченными полукольцами относительно порядка: x # y ] x + y = y. Мультипликативно идемпотентные полукольца, как и дважды идемпотентные полукольца, с выделенным нулем 0 образуют многообразие. Класс дубль-полуколец также является многообразием, совпадающим, по сути дела, с многообразием всевозможных коммутативных полугрупп с тождеством x + x + y + z = x + y + z (в аддитивной записи). В мультипликативно идемпотентных полукольцах S выполняется тождество 4x = 2x. Если S с 1, то 1 будет единственным его обратимым элементом. В дважды идемпотентных полукольцах выполняются неравенства xy # x + y и yx # x + y.

Сформулируем основные результаты.

Теорема В. Любое мультипликативно идем-потентное полукольцо S является 0-расширени-ем булева кольца r(S) при помощи мультипликативно идемпотентного антикольца T, которое можно считать упорядочиваемым полукольцом с тождеством 3x = 2x.

Следствие. Всякое конечное мультипликативно идемпотентное полукольцо изоморфно прямому произведению конечного булева кольца и конечного мультипликативно идемпотентного антикольца.

Теорема Г. Любое идемпотентное полукольцо с 0 и 1 служит 1-расширением дубль-полукольца с единицей при помощи ограниченной дистрибутивной решетки.

Следствие. Ограниченные дистрибутивные решетки - это в точности идемпотентные

полукольца с единицей с 0 и 1, удовлетворяющие тождеству х + 1 = х.

Предложение Г. Простые идеалы коммутативного мультипликативно идемпотентного полукольца разделяют его элементы.

Предложение Д. Конечнопорожденные мультипликативно идемпотентные полукольца конечны.

Предложение Е. Свободные мультипликативно идемпотентные полукольца с некоммутативным сложением, имеющие не менее двух свободных образующих, бесконечны.

Изучались коммутативные идемпотентные полукольца с двойственным законом дистрибутивности: это класс полуколец, более широкий, чем класс дистрибутивных решеток. На таких полукольцах 5 вводятся бинарные отношения б и у: б - транзитивное замыкание отношения, заданного равенством х + у = ху; хуу означает, что х + ху = х и у + ху = у. Отношения б и у будут конгруэнциями на 5, позволяющими получить структурные свойства 5. Коммутативное идемпотентное полукольцо 5 с двойственным законом дистрибутивности назовем б-полукольцом, если конгруэнция б на 5 одноклассовая.

Теорема Д. Всякое коммутативное идемпо-тентное полукольцо с двойственным законом дистрибутивности является дистрибутивной связкой своих конечных 8-подполуколец с поглощающим элементом.

Теорема Е. Конгруэнция ( на любом коммутативном идемпотентном полукольце с двойственным законом дистрибутивности служит наименьшей конгруэнцией, факторполукольцо по которой будет дубль-полукольцом, а классы -дистрибутивными решетками.

Теорема Ж. Свободное полукольцо 5(Х) с множеством X свободных образующих в многообразии коммутативных идемпотентных полуколец с двойственным законом дистрибутивности является подпрямым произведением свободной дистрибутивной решетки 3(Х)/д и свободного идемпотентного дубль-полукольца 5(Х)/(.

Следствие. Многообразие всех коммутативных идемпотентных полуколец с двойственным законом дистрибутивности порождается двухэлементной цепью и двухэлементным дубль-полукольцом.

Описаны также мультипликативно идемпотентные полукольца 5 с 0 с дополнительными условиями: 1) аннуляторы различных элементов в 5 различны; 2) между идеалами и конгруэнциями на 5 существует каноническое взаимно однозначное соответствие. В случае 2) получаем полукольца 5, разлагаемые в прямую сумму булева кольца и обобщенной булевой решетки.

1.6. Пирсовские цепи полуколец и полумодулей [11]. Одной из важных пучковых конструк-

ций является пучок Пирса и соответствующее представление; полукольцевой вариант этого представления появился впервые в работе: Черм-ных В. В. Пучковые представления полуколец // Успехи матем. наук. 1993. Т. 48. № 5. С. 185— 186. Среди результатов теории пучковых представлений колец, использующих пучок Пирса, важную роль играет теория пирсовских цепей идеалов. Р. В. Марковым и В. В. Чермных получены базовые результаты, развивающие эту теорию для полуколец и полумодулей. Дадим соответствующее определение.

Пусть а - ординал и р* - регулярная конгруэнция на полумодуле A. Полагаем: 1) если а = 0, то Р"* = 0; 2) если а - непредельный ординал, то

(As/ /pa)sl0 - пирсовский слой полумодуля

а-1 ка-1

(A/p^/Pa-Os/p^ где Р"-1 - конгруэнция из P(S), р*"-1 - регулярная конгруэнция на As/ ; 3) если а - предельный ординал, то р* = vp<a рр. Тогда

множество Р*(.45) = {р* :0<а<у} назовем пирсов-

ской цепью полумодуля AS.

Это определение естественным образом обобщает понятие пирсовской цепи конгруэнций полукольца. Значение пирсовских цепей, как для полуколец, так и для полумодулей, во многом заключается в свойствах подъема широкого набора свойств с пирсовских слоев до свойств исходного полукольца (полумодуля). Укажем один из типичных результатов описания полумодулей в терминах пирсовских цепей.

Предложение Ж. Для правого полумодуля AS равносильны следующие условия: 1) AS - правый полумодуль Безу (т. е. полумодуль, каждый конечно порожденный подполумодуль которого является циклическим); 2) все пирсовские слои полумодуля AS - правые полумодули Безу; 3) все строго неразложимые факторполумодули полумодуля AS - правые полумодули Безу.

2. Полукольца непрерывных числовых функций

2.1. Конгруэнции на полукольцах непрерывных неотрицательных функций [12]. Рассматривается сократимое полукольцо C+(X) всех непрерывных неотрицательных действительнозначных функций, заданных на произвольном топологическом пространстве X, с поточечно определенными операциями сложения и умножения функций. Подмножество U(X) в C+(X), состоящее из всех непрерывных положительных функций, является сократимым полуполем. Если вместо обычной операции сложения функций взять операцию V = max, то получим идемпотентные полукольцо Cw(X) и полуполе Uw(X). Классическим объектом функци-

ональной алгебры является кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций на Х. Кольцо С(Х) служит кольцом разностей полукольца С+(Х) и полуполя и(Х).

Перечислим наиболее существенные наши результаты о конгруэнциях на полукольцах С+(Х), СУ(Х) и полуполях и(х), П'(Х).

Теорема о псевдодополнениях. Решетки конгруэнции СопС+(Х), СопСу(Х), Сопи(Х) и СопЦ^Х) суть решетки с псевдодополнениями, и каждый их элемент имеет не более одного дополнения.

Теорема о продолжении конгруэнций. Любая конгруэнция на полуполе Ц^(Х) или и(Х) продолжается до конгруэнции на полукольце СУ(Х) и С+(Х) соответственно.

Заметим, что всегда СопЦ^Х) с Сопи(Х), решетка СопЦ^(Х) является ретрактом решетки СопС-'(Х), а решетка Сопи(Х) есть гомоморфный образ решетки СопС+(Х). Получены новые характеризации ряда свойств произвольных топологических пространств Х.

Характеризации свойств топологических пространств:

1. и(Х) - ограниченное полуполе ] Х псевдо-компактно.

2. Равносильны следующие утверждения: 1) Сопи(Х)=СопЦу(Х); 2) полуполе и(Х) дистрибутивно; 3) Х - Б-пространство.

3. СопС+(Х) = СопСу(Х) ] Х является Р-пространством.

4. Полуполе и(Х) (как и Ц^(Х)) риккарто-во ] Х базисно несвязно.

5. Полуполе и(Х) (как и и-'(Х)) является бэ-ровским ] Х экстремально несвязно.

6. Для любого тихоновского пространства Х эквивалентны следующие утверждения: 1) полуполе и(Х) (как и и-'(Х)) бирегулярно; 2) полуполе и(Х) (как и и-'(Х)) булево; 4) Х конечно.

2.2. Структурные изоморфизмы полуколец непрерывных неотрицательных функций [13]. Изучались решетки всевозможных R+-подалгебр (как без единицы 1, так и с единицей) полуколец С+(Х). Описаны решеточные изоморфизмы полуколец С+(Х) и С+(У), то есть изоморфизмы их решеток подалгебр (сначала для случая подалгебр с 1, затем на этой основе и для случая всех подалгебр). Для этого сначала потребовалось установить определяемость произвольного хью-иттовского пространства решетками подалгебр полуколец непрерывных неотрицательных функций над ними.

Решеточная определяемость хьюиттовских пространств. Любое хьюиттовское пространство Х однозначно, с точностью до гомеоморфизма, определяется решеткой всех подалгебр (как без единицы, так и с единицей) каждого из полуколец С+(Х) и СУ(Х).

Следствие. Для любых топологических пространств X и У полукольца С+(Х) и СУ(Х) определяются решетками своих подалгебр.

Отметим, что для колец С(Х) всех непрерывных действительнозначных на X аналогичный результат установлен в статье: Вечтомов Е. М. Решетка подалгебр колец непрерывных функций и хьюиттовские пространства // Математические заметки. 1997. Т. 62. Вып. 5. С. 687-693.

Строение решеточных изоморфизмов полуколец С+(Х). Для произвольных топологических пространств X и У имеют место следующие утверждения.

1. Каждый изоморфизм решеток всех подалгебр с единицей полуколец С+(Х) и С+(У) индуцируется некоторым однозначно определенным изоморфизмом самих полуколец.

2. Если мощность одной из тихоновизаций тХ или тУ не равна 2, то любой изоморфизм решеток всех подалгебр полуколец С+(Х) и С+(У) индуцируется единственным изоморфизмом этих полуколец.

3. Если тихоновизации тХ и тУ двухточечны, то все изоморфизмы решеток всех подалгебр полуколец С+(Х) и С+(У) порождаются различными парами автоморфизмов цепи [0, 1] и двумя биекциями между тХ и тУ.

В доказательствах используется оригинальный метод однопорожденных подалгебр, а также решеточная характеризация некоторых специальных видов подалгебр полуколец С+(Х) и С^(Х).

Строение группы автоморфизмов полукольца многочленов. Группа всех автоморфизмов полукольца R+[x] многочленов от одной переменной х над полуполем R+ изоморфна мультипликативной группе всех положительных действительных чисел.

Изоморфизмы однопорожденных подалгебр с 1 полуколец С+(Х) и С+(У) описаны В. В. Сидоровым. Строение решеточных изоморфизмов аддитивно идемпотентных полуколец СУ(Х) существенно отличается от случая сократимых полуколец С+(Х).

2.3. Полукольца непрерывных функций со значениями в единичном отрезке [14]. Пусть I = [0, 1] - единичный числовой отрезок с операцией сложения V = и операцией умножения чисел, наделенный естественной топологией. Получаем компактное линейно упорядоченное коммутативное полукольцо. Множество С(Х, I) всех непрерывных 1-значных функций на топологическом пространстве Х относительно поточечно определенных операций сложения V и умножения • становится коммутативным аддитивно идемпо-тентным полукольцом с единственным обратимым элементом 1. Множество С(Х, I) является также ограниченной дистрибутивной решеткой, служащей подрешеткой полной вполне дистри-

бутивной решетки Iх всевозможных отображений X 6 I. с топологией поточечной сходимости множество Iх является тихоновской степенью |X экземпляров компакта I. Относительно операций сложения V и обычного умножения функций имеем компактное топологическое полукольцо Iх. Полукольцо C(X, I) является подполуколь-цом и подпространством в Iх. Получаем топологическое полукольцо Cp(X, I). При изучении алгебраических свойств полуколец C(X, I) можно ограничиться компактами X. Однако при исследовании тополого-алгебраических свойств топологических полуколец C(X, I) естественно брать тихоновские пространства X.

Сначала рассмотрим свойства простых идеалов полуколец C(X, I) над компактами X и дадим описание максимальных идеалов этих полуколец.

Пусть X - компакт и x е X. Обозначим:

Mx = f е C(X, I): f(x) = 0}, Ox = f е C(X, I) : f = 0 на некоторой окрестности x},

N = {f е C(X, I): f(x) < 1}, £ = {f е C(X, I) : f = 1 на некоторой окрестности x}.

В полукольце C(X, I) получаем простые идеалы Mx и Nx = C(X, I)\(1 - Mx), полупростые идеалы Ox и фильтры Ex=1 - Ox. Для простого идеала P полукольца C(X, I) определяется полупростой идеал

Op = {f е C(X, I) : fg = 0 для некоторого g е C(X, I)\P}.

В следующих двух теоремах рассматривается компакт X.

Свойства простых идеалов. Всякий простой идеал P полукольца C(X, I) обладает следующими свойствами: 1) O с OD с P для одной-единст-

' x P

венной точки x е X; 2) P с C(X, I)\£x для однозначно определенной точки x е X; 3) если Ox с P, то P с M или N с P.

xx

На простом спектре Spec C(X, I) полукольца C (X, I) существует отображение ф: Spec C(X, I) 6 X, сопоставляющее каждому простому идеалу P полукольца C(X, I) ту единственную точку x е X, для которой Ox с P. Доказывается, что непрерывность ф. Это утверждение имеет место и в случае тихоновских пространств X, но тогда ф будет непрерывным отображением на $X.

Строение максимальных идеалов. Максимальные идеалы полукольца C(X, I) суть в точности идеалы C(X, I)\(1-P) по всем (минимальным) простым идеалам P = Op.

Для функции f е C(X) пусть Zf = {x е X: f(x) = 0} и Z0(f - внутренность нуль-множества Zf); множества coz f = X\Zf называются ко-нуль-множествами на X. Точка x е X называется F-точкой, если для любых функций f, g е C(X) принадлежность x е Z0(fg) влечет x е Z0f) и Z0(g), и P-точкой, когда x е Zf) вле-

чет x е Z0(f для любой функций f е C(X). Напомним, что тихоновское пространство называется F-пространством (P-пространством), если все его точки являются F-точками (P-точками).

Характеризация F-точек. Для любой точки x е X следующие условия эквивалентны: 1) x является F-точкой; 2) идеал Ox простой;

3) C(X, I)\Ex является (максимальным) идеалом в C(X, I); 5) все простые идеалы полукольца C(X, I), содержащие Ox, равносильно Mx, образуют цепь по включению.

Характеризация F-пространств. Эквивалентны следующие условия:

1) X есть F-пространство; 2) идеалы Ox простые для всех точек x е X; 3) максимальные идеалы полукольца C(X, I) имеют вид C(X, I)\Ex;

4) максимальный спектр Max C(X, I) полукольца C(X, I) хаусдорфов; 5) каждый простой идеал полукольца C(X, I) содержится в единственном его максимальном идеале; 6) ограничение отображения ф на Max C(X, I) является гомеоморфизмом; 7) каждый простой идеал полукольца C(X, I) содержит единственный минимальный простой идеал; 8) все простые идеалы полукольца C(X, I), содержащие некоторый фиксированный простой идеал, образуют цепь.

Эти теоремы показывают принципиальное отличие теории идеалов полуколец C(X, I) от теории идеалов в полукольцах C+(X) и кольцах C(X). Так, в кольцах C(X) и полукольцах C+(X) условия 4), 5), 6) и 8) последней теоремы выполняются всегда, а условие 3) не выполняется никогда (Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. N.-J.: Springer-Verlag, 1976).

Определяемость полуколец C(X, I) решетками их идеалов и конгруэнций. Для любых топологических пространств X и Y следующие утверждения эквивалентны: 1) полукольца C(X, I) и C(Y, I) изоморфны; 2) решетки идеалов полуколец C(X, I) и C(Y, I) изоморфны; 3) решетки конгруэнций полуколец C(X, I) и C(Y, I) изоморфны.

Рассмотрим теперь, как устроены замкнутые идеалы и замкнутые конгруэнции топологических полуколец Cp(X, I). Для их описания вводится понятие sc-функции как точной верхней грани (sup) в полной решетке Iх непустого подмножества в C(X, I). Множество всех sc-функций на произвольном тихоновском пространстве X обозначим через SC(X, I). Множество SC(X, I) образует подрешетку в полной решетке Iх, оно замкнуто относительно взятия sup, но не взятия точной нижней грани (inf). Решетка SC(X, I) дистрибутивная и полная. Конгруэнция р на полукольце C(X, I) называется замкнутой, если множество пар р замкнуто в тихоновском квадрате Cp(X, I) h Cp(X, I).

Легко видеть, что для любой функции Ф е C(X, I) множество

J(n)={f e C(X, I): f # ф} будет замкнутым идеалом топологического полукольца Cp(X, I).

Строение замкнутых идеалов. Идеал J полукольца C(X, I) замкнут тогда и только тогда, когда J = J(n) для (единственной) sc-функции n на X.

Следствие. Любое тихоновское пространство X определяется топологическим полукольцом Cp(X, I).

По произвольной функции ф e Iх определим бинарное отношение р(ф) на полукольце C(X, I), положив для любых f, g e C(X, I):

/р(Ф)|Т ^ Ух e!((fv gXx) > ф) =>Д*) = g(x)).

Отношение р(ф) будет замкнутой конгруэнцией на полукольце C(X, I).

Строение замкнутых конгруэнций. Для конгруэнции р на полукольце C(X, I) эквивалентны следующие утверждения: 1) конгруэнция р замкнута; 2) все классы эквивалентности конгруэнтности r замкнуты; 3) р = р(п) для однозначно определенной sc-функции n на X.

Следствие. Для любого тихоновского пространства X и решетка всех замкнутых идеалов, и решетка всех замкнутых конгруэнций полукольца Cp(X, I) изоморфна полной дистрибутивной решетке SC(X, I) всех sc-функций на X.

Двойственность для полуколец C.(X, I). Категория топологических полуколец Cp(X, I) и их непрерывных гомоморфизмов, сохраняющих константы, антиэквивалентна (двойственна) категории всех тихоновских пространств X и их непрерывных гомоморфизмов.

Аналогичный результат верен и для категории полуколец SC(X, I).

Новые задачи. В ближайшие 5-6 лет планируются исследования по фундаментальному направлению «Полукольца и их применения». Предполагается получение результатов:

1) по структурной теории полуколец, полутел и полумодулей над ними;

2) по конечным полукольцам и их применениям;

3) построение общей теории полуколец непрерывных функций со значениями в топологическом полукольце;

4) воплощение полученных математических результатов в новых диссертациях и монографиях, в сериях статей и докладов;

5) использование материала исследований в НИРС, при написании учебных пособий и разработке новых курсов для магистрантов и аспирантов.

Примечания

1. Вечтомов Е. М, Варанкина В. И. Полукольца и пучки. I // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2010. Вып. 12.

С. 61-72; Вечтомов Е. М., Варанкина В. И. Полукольца и пучки. II // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2012. Вып. 14. С. 63-78.

2. Вечтомов Е. М, Варанкина В. И., Лукин М. А., Старостина О. В., Чермных В. В., Чупраков Д. В. Отчет о научно-исследовательской работе по теме «Полукольца и пучки» (внутренний грант ВятГГУ ведущей НШ). Киров: ВятГГУ, 2008; Вечтомов Е. М., Варанкина В. И., Сидоров В. В., Старостина О. В., Чермных В. В., Чупраков Д. В., Широков Д. В. Отчет о научно-исследовательской работе по теме «Полукольца и пучки» (тематический план ВятГГУ 2009 г., № 1.1.5). Киров: ВятГГУ, 2010; Вечтомов Е. М, Варанкина В. И, Бестужев А. С., Сидоров В. В., Чермных В. В., Чупраков Д. В. Отчет о научно-исследовательской работе по теме «Полукольца и пучки» (тематический план ВятГГУ 2010 г., № 1.1.5). Киров: ВятГГУ, 2010; Вечтомов Е. М., Варанкина В. И., Бестужев А. С., Сидоров В. В., Чермных В. В., Чупра-ков Д. В. Отчет о научно-исследовательской работе по теме «Полукольца и пучки» (тематический план ВятГГУ 2011 г., № 1.1.5). Киров: ВятГГУ, 2011; Вечтомов Е. М., Варанкина В. И., Лубягина Е. Н., Марков Р. В., Петров А. А., Сидоров В. В, Чермных В. В, Чупраков Д. В. Отчет о научно-исследовательской работе по теме «Полукольца и пучки. Полукольца и их применения» (тематический план ВятГГУ 2012 г., № 1.1.5). Киров: ВятГГУ, 2012.

3. Вечтомов Е. М, Лубягина Е. Н., Чермных В. В. Элементы теории полуколец. Киров: Радуга-ПРЕСС, 2012; Вечтомов Е. М., Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Полукольца непрерывных функций. Киров: ВятГГУ, 2011; Чермных В. В. Функциональные представления полуколец. Киров: ВятГГУ, 2010.

4. Черанева А. В. Ядра и пучки полутел: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008; Лукин М. А. Полукольцевые объединения кольца и полутела: дис. . канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2009; Чупраков Д. В. Конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций: дис. . канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2009; Сидоров В. В. Изоморфизмы решеток подалгебр полуколец непрерывных неотрицательных функций: дис. . канд. физ.-мат. наук. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011; Лубягина Е. Н. Полукольца непрерывных [0,1]-значных функций: дис. . канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2012.

5. Вечтомов Е. М., Лукин М. А. Полукольца, являющиеся объединением кольца и полутела // Успехи математических наук. 2008. Т. 63. Вып. 6. С. 159— 160. Translation: Vechtomov E. M, Lukin M. A. Semirings which are the unions of a ring and semifield // Russian Mathematical Surveys. 2008. 63:6. 1152—1153; Вечтомов Е. М, Черанева А. В. К теории полутел // Успехи математических наук. 2008. Т. 63. Вып. 2. С. 161—162. Translation: Vechtomov E. M., Cheraneva A. V. On the theory of semidivision rings // Russian Mathematical Surveys. 2008. 63:2, 391—393; Вечтомов Е. М, Черане-ва А. В. Полутела и их свойства // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14. № 5. С. 3—54. Translation: Vechtomov E. M., Cheraneva A. V. Semifields and their properties // Journal of Mathematical Sciences (New York), 2009. 163:6. 625—661; Вечтомов Е. М, Чупраков Д. В. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций и F-пространства // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Ме-

ханика. Информатика. 2008. Вып. 8. С. 15—26; Вечто-мов Е. М., Чупраков Д. В. Главные ядра полуполей непрерывных положительных функций // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14. №4. С. 87—107. Translation: Vechtomov E. M., Chuprakov D. V. The principal kernels of semifields of continuous positive functions // Journal of Mathematical Sciences (New York). 2009. 163:5. 500—514; Лукин М. А. О полукольцевых объединениях кольца и полутела // Известия вузов. Математика. 2008. № 12. С. 76—80. Translation: Lukin M. A. Semiring unions of a ring and a half-body // Russian Mathematics. 2008. 52:12, 65—68; Вечтомов Е. М. Строение полутел // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 10. С. 3—42 (аналитический научный обзор по гранту РФФИ, № 08-01-11000-ано); Вечтомов Е. М, Черанева А. В. Полутела с образующей // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 3. С. 25—33; Вечтомов Е. М., Чупра-ков Д. В. О продолжении конгруэнций на полукольцах непрерывных функций // Математические заметки. 2009. Т. 85. Вып. 6. С. 803 — 816. Translation: Vechtomov E. M., Chuprakov D. V. Extension of congruences on semirings of continuous functions // Mathematical notes. 2009. 85:6. 767—779; Вечтомов Е. М, Чупраков Д. В. Псевдодополнения в решетке конгру-энций полуколец непрерывных функций // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 9. С. 3—17; Чупраков Д. В. Условия дистрибутивности решеток конг-руэнций полуколец непрерывных функций // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 3. С. 128—134; Веч-томов Е. М. К структурной теории полуколец и по-лутел // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань: Казан. матем. о-во, 2010. С. 63—67; Вечтомов Е. М., Сидоров В. В. Определяе-мость полуколец непрерывных функций решеткой их подалгебр // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 11. С. 112—125; Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Функциональные представления полутел. Дополнение к книге // Чермных В. В. Функциональные представления полуколец. С. 164—219; Вечтомов Е. М., Сидоров В. В. Изоморфизмы решеток подалгебр полуколец непрерывных неотрицательных функций // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16. № 3. С. 63 — 103. Translation: Vechtomov E. M., Sidorov V. V. Isomorphisms of lattices of subalgebras of semirings of continuous nonnegative functions // Journal of Mathematical Sciences (New York). 2011. 177:6. 817— 846; Вечтомов Е. М. Введение в структурную теорию полуколец и полутел // Материалы XIX Международной конференции «Математика. Образование». Чебоксары: Изд-во ЧГУ, 2011. С. 56—68; Вечтомов Е. М, Лубягина Е. Н. О простых идеалах полуколец непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 12— 18; Вечтомов Е. М, Лубягина Е. Н. Решетки непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 14. С. 3—20; Сидоров В. В. Группа автоморфизмов решетки всех подалгебр полукольца многочленов над полуполем неотрицательных действительных чисел // Из-

вестия вузов. Математика. 2011. № 4. С. 104-107. Translation: Sidorov V. V. The automorphism group of the lattice of all subalgebras of the semiring of polynomials over the semifield of nonnegative real numbers // Russian Mathematics. 2011. 55:4. 87-89; Сидоров В. В. Строение решеточных изоморфизмов полуколец, порожденных одной неотрицательной функцией // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 13. С. 11-36; Вечтомов Е. М., Петров А. А. Полукольца с идемпо-тентным умножением // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 14. С. 21-32; Вечтомов Е. М, Аубя-гина Е. Н. Определяемость компактов решетками идеалов и конгруэнций полуколец непрерывных [0,1]-знач-ных функций на них // Известия вузов. Математика. 2012. № 1. С. 87-91. Translation: Vechtomov E. M., Lubyagina E. N. The determinability of compacts by lattices of ideals and congruences of semirings of continuous [0, 1]-valued functions on them // Russian Mathematics. 2012. 56:1. 79-82; Вечтомов Е. М., Аубя-гина Е. Н. Полукольца непрерывных [0, 1]-значных функций // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. Вып. 1. С. 53-82; Вечтомов Е. М, Аубягина Е. Н. О полукольцах sc-функций // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 15. С. 73-82; Веч-томов Е. М, Аубягина И. В. Циклические полукольца с идемпотентным некоммутативным сложением // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. Вып. 4. С. 33-52. Translation: Vechtomov E. M., Lybiagina I. V. Cyclic semirings with idempotent noncommutative addition // Journal of Mathematical Sciences (New York). 2012. 185:3. 367-380; Вечтомов Е. М, Петров А. А. Свойства мультипликативно идемпотентных полуколец // Труды X Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Ч. 2. С. 60-68; Марков Р. В., Чермных В. В. Пирсов-ские цепи полуколец // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 16; Орлова И. В. О конечных циклических полукольцах с неидемпотентным некоммутативным сложением // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 16; Петров А. А. Полукольца с условиями идемпотентности // Труды IX Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Чебышевский сборник. 2012. Т. XIII. Вып. 1 (41). С. 118-129; Сидоров В. В. Автоморфизмы решетки всех подалгебр полукольца многочленов от одной переменной // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. № 3. С. 8596. Translation: Sidorov V. V. Automorphisms of the lattice of all subalgebras of the semiring of polynomials in one variable // Journal of Mathematical Sciences (New York). 2012. 187:2. 169-176; Чермных В. В. Функциональные представления полуколец // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. № 3. С. 111— 227. Translation: Chermnykh V. V. Functional

representations of semirings // Journal of Mathematical Sciences (New York). 2012. 187:2. 187-267.

6. Вечтомов Е. М. Строение полутел.

7. Вечтомов Е. М., Черанева А. В. К теории полутел; Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Полутела и их свойства; Вечтомов Е. М. Строение полутел; Веч-томов Е. М., Черанева А. В. Полутела с образующей; Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Функциональные представления полутел. Дополнение к книге; Черм-ных В. В. Функциональные представления полуколец // Фундаментальная и прикладная математика.

8. Вечтомов Е. М., Аукин М. А. Полукольца, являющиеся объединением кольца и полутела; Аукин М. А. О полукольцевых объединениях кольца и полутела.

9. Вечтомов Е. М., Аубягина И. В. Циклические полукольца с идемпотентным некоммутативным сложением; Орлова И. В. О конечных циклических полукольцах с неидемпотентным некоммутативным сложением.

10. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Полукольца с идемпотентным умножением; Вечтомов Е. М., Петров А. А. Свойства мультипликативно идемпотентных полуколец; Петров А. А. Полукольца с условиями идемпотентности.

11. Марков Р. В., Чермных В. В. Пирсовские цепи полуколец; Чермных В. В. Функциональные представления полуколец // Фундаментальная и прикладная математика.

12. Вечтомов Е. М., Чупраков Д. В. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций и F-простран-ства; Вечтомов Е. М., Чупраков Д. В. Главные ядра полуполей непрерывных положительных функций; Вечтомов Е. М., Чупраков Д. В. О продолжении кон-груэнций на полукольцах непрерывных функций; Веч-томов Е. М., Чупраков Д. В. Псевдодополнения в решетке конгруэнций полуколец непрерывных функций; Чупраков Д. В. Условия дистрибутивности решеток конгруэнций полуколец непрерывных функций.

13. Вечтомов Е. М., Сидоров В. В. Определяемость полуколец непрерывных функций решеткой их подалгебр; Вечтомов Е. М., Сидоров В. В. Изоморфизмы решеток подалгебр полуколец непрерывных неотрицательных функций; Сидоров В. В. Группа автоморфизмов решетки всех подалгебр полукольца многочленов над полуполем неотрицательных действительных чисел; Сидоров В. В. Строение решеточных изоморфизмов полуколец, порожденных одной неотрицательной функцией; Сидоров В. В. Автоморфизмы решетки всех подалгебр полукольца многочленов от одной переменной.

14. Вечтомов Е. М., Аубягина Е. Н. О простых идеалах полуколец непрерывных функций со значениями в единичном отрезке; Вечтомов Е. М, Аубягина Е. Н. Решетки непрерывных функций со значениями в единичном отрезке; Вечтомов Е. М, Аубягина Е. Н. Определяемость компактов решетками идеалов и конгруэн-ций полуколец непрерывных [0,1]-значных функций на них; Вечтомов Е. М, Аубягина Е. Н. Полукольца непрерывных [0, 1]-значных функций; Вечтомов Е. М, Аубягина Е. Н. О полукольцах sc-функций.