Тарификация договора страхования на основе обобщенного актуарного базиса

УДК 336.012.24

О.Ю. Рыжков, Л.К. Бобров

ТАРИФИКАЦИЯ ДОГОВОРА СТРАХОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОГО

АКТУАРНОГО БАЗИСА

Предложен численный алгоритм определения размера страхового тарифа по договору страхования на основе обобщенного актуарного базиса. При помощи компьютерного моделирования установлено, что, по крайней мере, для некоторых

типичных страховых рисков как в страховании жизни, так и в страховании ином, чем страхование жизни, результаты, полученные с применением предложенного алгоритма, согласуются с результатами, полученными при помощи общепринятых методик.

Страховые тарифы, актуарные расчеты, моделирование, алгоритмизация

O.Yu. Ryzhkov, L.K. Bobrov

PRICING INSURANCE USING THE GENERALIZED ACTUARIAL RATE

The article offers a numerical algorithm for the premium determination of the insurance contract based on the generalized actuarial rate. Using the computer simulation it was established that, at least, for some typical insurance risks both in life insurance and other types of insurance, the results received by means of the offered algorithm, perfectly agree with the results received using the standard techniques.

Insurance tariffs, actuarial calculations, modeling, algorithmization

Постановка задачи

Как показано в [1, 2], между договорами страхования жизни и договорами страхования иного, чем страхование жизни («общее страхование», страхование «не-жизни», non-life insurance - в дальнейшем будем именовать его общим страхованием), не существует принципиальных правовых и экономических различий, что делает возможным синтез актуарных подходов, применяемых к этим классам договоров. В [1, 2] предложен обобщенный актуарный базис договора страхования, который применим для описания обоих классов договоров страхования.

Практическое значение всякого актуарного базиса, очевидно, заключается в том, что на его основе с применением актуарных методов рассчитыва.тся страховая премия по договору страхования, страховые резервы, дается оценка финансовой устойчивости и определяется потребность в собственных средствах для обеспечения требуемой вероятности неразорения, рассчитывается бюджет страховщика [3]. Ключевой задачей при этом, без сомнения, является определение суммы страховой премии (тарификация договора страхования).

Существующие подходы к определению страховой премии в страховании жизни и в общем страховании значительно различаются между собой [4-6], и их адаптация к обобщенному актуарному базису вряд ли возможна. Таким образом, возникает задача разработки самостоятельного подхода к тарификации договоров страхования на основе обобщенного актуарного базиса.

Потребуем, чтобы разработанный подход основывался на обобщенном актуарном базисе, обеспечивал тарификацию договоров как страхования жизни, так и общего страхования, и при этом полностью и с наименьшими искажениями использовалась бы информация, содержащаяся в актуарном базисе. Последнее особенно важно, если учесть, что известные подходы к тарификации зачастую используют аппроксимацию закона распределения суммы убытка, а также его редукцию к моментам распределения, не учитывают вариации сумм расходов на ведение дела и т.п.

В данной статье мы будем рассматривать задачу формирования базовой страховой премии, то есть страховой премии без учета деления риска. Задача учета деления риска в страховой премии достаточно обширна, имеет самостоятельное значение и потому является темой отдельного исследования. Аналогично в настоящей статье не рассматривается проблема оценивания показателей, составляющих обобщенный актуарный базис. Указанные аспекты ранее частично нашли отражение в [7].

Алгоритм тарификации на основе обобщенного актуарного базиса

Задача заключается в том, чтобы при определенных выше условиях договора страхования найти сумму страховой премии V, которая с заданной вероятностью ^не превысит сумму страховых выплат и прямых расходов по портфелю из N договоров с учетом изменения стоимости денег во времени. Такая постановка задачи, как можно видеть, является обобщением стандартных постановок задачи определения страховой премии для договора страхования жизни и для договора общего страхования.

Поскольку многие функции и законы распределения в составе обобщенного актуарного базиса заранее неизвестны и, по существу, могут оказаться любыми, то универсальным будет являться решение, основанное на применении численных методов.

Решение строится с учетом принципа эквивалентности и использует приведение потоков денежных средств к одному моменту времени, в качестве которого предлагается рассматривать момент

330

заключения договора страхования. Выбор момента заключения договора страхования в качестве точки отсчета продиктован содержательными соображениями. Все существенные условия договора должны быть согласованы сторонами при заключении договора, поэтому для целей анализа условий договора как страховщиком, так и страхователем необходимы модели, представляющие условия договора страхования на момент его заключения. Для расчета будем использовать стационарный страховой портфель, то есть такой портфель, количество договоров в котором не изменяется с течением времени. Модель стационарного страхового портфеля используется, например, в [6]. В перспективе предложенный алгоритм после некоторых усовершенствований может быть использован для тарификации нестационарного страхового портфеля.

Введем понятие приведенной страховой премии:

v

^

t=tl

Здесь y(^r) - приведенная страховая премия по r-му договору из q-го портфеля; V(?r)t -страховой взнос по r-му договору из q-го портфеля в t-м периоде, рассчитываемый по функции страховых взносов, заданной в актуарном базисе^4^ = £t=tl V(?r)t; [tl; t2] - период уплаты страховых взносов, заданный актуарным базисом; і - ставка доходности, заданная актуарным базисом.

Соответственно, сумму страховой премии V без учета фактора времени будем именовать номинальной.

Будем полагать, что существует обратная функция, позволяющая определить V(?r) по известному y(^r): V(?r) = y-l(y(4r) ti t2 і^...). Для практически применимых случаев линейной зависимости v(?r)t от V(?r) такая обратная функция, очевидно, существует.

Например, при наиболее распространенном в практике случае равномерной функции страховых взносов (k взносов с периодичностью 1 взнос вp периодов, v(?r)t = V(?r)/k = const):

V(nr) V(4r) I І V(«r) І І-(І + і))*

V = k 1 (І + іУі+0'-1)р = k (І + іуі+(*-1)р І - (І + і)Р

(=i

Отсюда очевидно:

,(„r) ^(4r) І І - (І + і)р*

V = k (І + і)^+(*-1)р І - (І + і)Р

Если выполнено условие существования указанной обратной функции, то задача сводится к нахождению приведенной страховой премии и определению на ее основе номинальной страховой премии.

Приведенная страховая премия находится из уравнения эквивалентности:

y(qr) = i^(qr) ^ |)(qr).

„( ) mlnjr+c(lr) + 5(lr);t5] 5(123)t

Здесь ?(4r) = ZTZ lcr) — - приведенная сумма страховых выплат (аналогич-

t = T+C )

но приведенной страховой премии), в которой т- период, в котором наступил страховой случай; c(4r) - период отсрочки страховой выплаты для договора, определенный в соответствии с актуарным базисом; 5(4r)-период рассрочки страховой выплаты для договора, определенный в соответствии с актуарным базисом; t5

- период, в котором заканчивается срок действия договора страхования, определенный с учетом вероятного наступления отменительного события; S(4rT)t - денежный платеж страховщика в t-м периоде по наступившему в момент т страховому случаю, определяемый исходя из убытка ,(чгт) по r-му договору из q-го портфеля в т-м периоде в соответствии с функцией платежей по страховым выплатам, заданной актуарным базисом; убыток S(^rT) генерируется по методу Монте-Карло на основе функции распределения индивидуального убытка A = B5 (t , C Z ...), заданной актуарным базисом; наступление страхового случая в момент т определяется по методу Монте-Карло на основе интенсивности наступления страховых случаев

Я, заданной актуарным базисом; D(?r) = Xt=0T—- приведенные расходы страховщика по r-му дого-

вору из q-го портфеля; D(?r)t - расходы страховщика по договору в t-м периоде, определяемые с помощью функции расходов, заданной актуарным базисом.

Вычисление последней из названных величин по методу Монте-Карло сопряжено с определенными трудностями. Практика страхования такова, что заметная часть расходов (в частности, агентское вознаграждение и взносы на социальное страхование с него, плата за инкассацию и перечисление страховых взносов,

ЗЗ1

прибыль, нормируемая от суммы страховой премии) зависит от номинальной величины страховой премии, которая на момент вычисления по предлагаемому методу расчета еще не известна. Использование же рекурсивных алгоритмов существенно увеличит время расчета. Разработка соответствующего вычислительного алгоритма представляет собой отдельную исследовательскую задачу.

Для обеспечения практической применимости алгоритма до решения этой задачи потребуется модифицировать обобщенный актуарный базис [1] следующим образом. Все слагаемые .(„г)(;, в которых участвует у(„г), выделяются в самостоятельную группу. На эту группу налагаются следующие ограничения. Во-первых, слагаемые по этой группе должны зависеть не от номинальной страховой премии у(„г), а от У(„г) - страховой премии, приведенной к моменту вступления в силу договора страхования. Такое требование представляется вполне уместным, поскольку при планировании расходов их всегда целесообразно сопоставлять к величиной единовременной страховой премии, а она и есть У(„г). Во-вторых, слагаемые расходов по этой группе должны быть связаны с У(„г) не произвольной, а исключительно прямо пропорциональной зависимостью. Именно такого рода зависимость наиболее распространена в практике страхования (хотя, конечно же, существуют ступенчатые и иные нелинейные схемы вознаграждения агентов). В актуарном базисе указывается формула не общей суммы расходов по данной группе, а уровня расходов на единицу приведенной страховой премии.

Иными словами, в результате указанной модификации должны быть выделены группа 1 (расходы, не зависящие от у(„г)) и группа 2 (расходы, зависящие от у(„г)), причем

где (^

.(„^ = (.1„г)) + (.2^) = (.1^ + (4^ • у(„г),

2„г)) - уровень расходов группы 2 в ?-м периоде на единицу приведенной страховой премии. Отсюда

^ф?г)) +

п

у (1 + г)* у (1 + г)* + у (1 + г)* _ 1 + 2

г=о г=о г=о

или

Тогда условие эквивалентности примет вид:

у(Чг) _ ^ + .1чг) + ^

_ ) ,

у

1 - ^

Из условия однородности страховых портфелей следует, что общая сумма приведенных страховых премий по каждому портфелю одинакова и равна V. просуммировав правую часть по г (то есть по договорам, включенным в портфель), то получим уравнение эквивалентности в следующем виде:

V _ (К(„).

Здесь _2?=1К(„Г), где Я - общее число договоров в портфеле.

Но величина К(ч) является случайной. Поэтому, поскольку страховая премия должна обеспечить достаточность средств страховщика с надежностью м, то:

V _ К(„)*|[Р(К(„)*) _ м]

Блок-схема численного алгоритма для нахождения закона распределения случайной величины К(ч) в табличной форме представлена на рис. 1. После того, как установлен закон распределения, правая часть уравнения находится линейной интерполяцией.

Если распределение К(ч)хорошо аппроксимируется нормальным законом с параметрами т и ст, то величина V может быть найдена в аналитической форме:

V _ т + Ф_1(м) • ст,

где Ф_1(0 - обратная функция нормированного нормального распределения в интегральной форме.

Страховой тариф, соответственно, будет равен и _ ^Со, где Уо - средняя совокупная страховая сумма по портфелю. Страховая премия по одному договору составит V _ V/Р. Таким образом, задача сводится к нахождению закона распределения приведенных страховых выплат К(ч).

Сфг} 5 (чг]

Рассчитать убытки и расходы: 5Стг'1, й^Т , <12

&

Раггчшать

~<5

Путал хрудшфОЕКн {б полнить интегральный закон распределения е дискретной форме

Вывести р е гулътаты

С

Конец

Рис. 1. Блок-схема алгоритма нахождения закона распределения приведенных выплат

В достаточно простых случаях предложенный алгоритм может быть приведен к уравнениям в аналитической форме. Вообще говоря, по мнению автора, аналитическое решение задач тарификации имеет скорее теоретическое значение (хотя и немалое), помогая формированию ясного представления о влиянии различных параметров на формирование страхового тарифа. Однако с развитием компьютерных технологий технически проще выполнять расчеты на ЭВМ. Здесь напрашивается аналогия с арифметическими действиями: правила арифметики и технику вычислений изучают все, но для практических расчетов всё же пользуются калькулятором.

Апробация

Для расчета страховых тарифов по предложенной методике разработано программное обеспечение на платформе 1С 8.2 [8]. Выбор платформы обусловлен необходимостью дальнейшей интеграции предлагаемой методики тарификации в систему учета и планирования деятельности страховой компании, а также достаточной степенью приспособленности платформы 1С 8.2 для решения сложных вычислительных задач. Разумеется, предлагаемый алгоритм может быть реализован и в любой другой программной среде.

Разработанная конфигурация 1С 8.2 поддерживает ввод и хранение данных обобщенного актуарного базиса, поддерживает как табличное, так и аналитическое задание функций. С использованием разработанной конфигурации выполнен расчет страховых тарифов по следующим страховым рискам:

1. Страхование жизни:

— «Дожитие»;

— «Смерть»;

— «Выплата страховой ренты»;

2. Иное страхование:

— «Пожар»;

— «Повреждение транспортного средства».

Целью расчета являлось сравнение страховых тарифов по классической [4, 6] и предложенной методикам как в страховании жизни, так и в общем страховании. Поэтому тарифный базис выбран достаточно простым и не содержит условий, которые не могут быть учтены в расчете страховых тарифов по классическим методикам.

Подробное описание актуарного базиса и промежуточных результатов расчетов является достаточно громоздким и не может быть приведено в настоящей статье из-за недостатка места. Соответствующая информация представлена в сети Интернет на сайте http://www.ryzhkov-insur.ucoz.ru.

Для перечисленных выше страховых рисков произведено сравнение страховых тарифов, полученных по классической и предлагаемой методикам. Для этого с использованием метода Монте-Карло по описанному выше алгоритму, на основе актуарного базиса были сгенерированы 100 новых страховых портфелей по 100 договоров страхования в каждом, по каждому портфелю была определена общая сумма дисконтированных убытков по всем входящим в него договорам.

К каждому из страховых портфелей были последовательно применены страховые тарифы по классической и предлагаемой методикам, был рассчитан андеррайтерский результат (разность между суммой дисконтированных страховых премий и дисконтированных страховых выплат по портфелю). Вычислено математическое ожидание андеррайтерского результата.

Для страховых тарифов по классической и предлагаемой методикам определено число убыточных портфелей (портфелей с отрицательным андеррайтерским результатом), вычислена эмпирическая вероятность неразорения, равная доле портфелей, не являющихся убыточными.

Компьютерное моделирование выполнено в специальной конфигурации на платформе 1С 8.2, в разработанном для этой цели документе «Сравнение тарифов», реализующем указанный здесь алгоритм. Итоговые данные представлены в табл. 1.

Сравнение страховых тарифов по классической и предложенной методикам

Страховой риск Запла- ниро- ванная гарантия безопас- ности Классическая методика Предлагаемая методика

страховой тариф, % эмпири- ческая гарантия безопас- ности математическое ожидание андеррай-терского результата по одному портфелю страховой тариф, % эмпи- риче- ская гаран- тия без- опас- ности математическое ожидание андеррай-терского результата по одному портфелю

Дожитие 0,5 36,1425 0,48 22 719 36,17 0,48 37 719

Смерть 0,5 3,78 0,54 9 971 3,76 0,54 -29

Дожитие с выплатой страховой ренты 0,5 284,41 0,46 2 545 284,63 0,5 13 545

Пожар 0,95 0,57 0,89 440 749 0,81 0,96 680 749

Повреждение транспортного средства 0,95 5,27 0,94 3 913 441 5,83 0,95 5 033 441

Для страховых рисков, относящихся к страхованию жизни, запланированная гарантия безопасности принята равной 0,5, поскольку классическая методика [6] определения страхового тарифа по страхованию жизни не предусматривает формирования рисковой надбавки.

Результаты расчетов показывают следующее:

1) во всех случаях эмпирическая гарантия безопасности, достигаемая при страховом тарифе по предлагаемой методике, не ниже, чем при страховом тарифе по классической методике;

2) в четырех случаях из пяти страховые тарифы по предлагаемой методике обеспечивают эмпирическую гарантию безопасности не ниже запланированной, тогда как классическая методика позволяет достичь соответствия эмпирической и планируемой гарантии безопасности только в трех случаях из пяти; данный факт объясняется возможностью учета в предлагаемой методике информации обо всем законе распределения, тогда как в классической методике используется только математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

Сходные результаты были получены, когда применялась более ранняя версия модели тарификации с использованием обобщенного актуарного базиса на платформе 1С 8.1 [2].

Выводы

1. Предложен численный алгоритм определения размера страхового тарифа по договору страхования на основе обобщенного актуарного базиса, который позволяет получить оценки страхового тарифа (страховой премии) как по договору страхования жизни, так и по договору иного страхования.

2. Проведенная апробация показывает, что, по крайней мере, для рассмотренных типичных страховых рисков страховые тарифы, полученные по предложенному алгоритму, согласуются с тарифами по классическим моделям. Данный факт свидетельствует в пользу корректности построения алгоритма.

Полученные результаты могут быть применены в следующих направлениях:

1. Доказательное определение страховых тарифов на основе всей информации, содержащейся в актуарном базисе, с учетом фактора времени, вероятности отменительного события, отсрочки и рассрочки страховых взносов и выплат.

2. Тарификация новых видов страхования и страховых рисков: накопительное медицинское страхование, накопительное страхование от несчастных случаев и болезней и т.д.

3. Унификация и уточнение моделей формирования страховых резервов, возможность перехода от технических резервов в ином страховании к математическим резервам.

Проведенная работа позволяет наметить следующие направления дальнейших исследований:

— разработка методики оценивания погрешности страховых тарифов, рассчитанных с применением численных методов;

— дальнейшая экспериментальная проверка страховых тарифов по страховым рискам, позволяющим использовать все возможности обобщенного актуарного базиса: нестандартные законы распределения случайных величин, изменяющиеся вероятности наступления страхового случая, отсрочки и рассрочки страховых взносов и выплат, изменяющуюся страховую сумму, отменительные события, динамические расходы и т.д.;

— моделирование нестационарного страхового портфеля.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рыжков О.Ю. Обобщенный актуарный базис страхового риска / О.Ю. Рыжков // Вестник НГУЭУ. 2011. № 2. С. 166-178.

2. Рыжков О.Ю. Обобщенный договор страхования и применение численных методов при его тарификации [Доклад на научно-практической конференции «Социально-экономическое развитие и перспективы России: исследования молодых ученых», Новосибирск, ИЭОПП, 12-14 октября 2009 г.] / О.Ю. Рыжков // Сетевой ресурс: http:// ryzhkov-insur.ucoz.ru (дата обращения 12.01.2014).

3. Рыжков О.Ю. Финансовая устойчивость страховщиков: оценка и управление: дис. ... канд. экон. наук : 08.00.10 : защищена 05.12.2008 / Рыжков Олег Юрьевич. Новосибирск: ИЭОПП, 2008.

4. Приказ Росстрахнадзора от 28 июня 1996 г. № 02-02/18 «О методике расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни».

5. Письмо Росстрахнадзора от 12 сентября 1996 г. № 08/5-71р/05 «О порядке расчета тарифов по страхованию жизни с условием выплаты страховой ренты».

6. Методики расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования (утв. распоряжением Росстрахнадзора от 8 июля 1993 г. № 02-03-36).

7. Бобров Л.К. Расчет страхового тарифа на основе обобщенного актуарного базиса с учетом деления риска / Л.К. Бобров, О.Ю. Рыжков // Вестник НГУЭУ. 2012. № 1. С. 188-196.

8. Рыжков О.Ю. Комплексная автоматизация деятельности актуария страховой организации // Сетевой ресурс: http:// ryzhkov-insur.ucoz.ru (дата обращения 12.01.2014).

Рыжков Олег Юрьевич - Oleg Yu. Ryzhkov -

кандидат экономических наук, консультант Ph. D., Consultant

Сибирской Межрегиональной Ассоциации Siberian Inter-regional Association for Insurers

Страховщиков

Бобров Леонид Куприянович - Leonid K. Bobrov -

доктор технических наук, профессор кафедры Dr. Sc., Professor

экономической информатики Новосибирского государственного университета экономики и управления

Department of Economic Informatics,

Novosibirsk State University of Economics and Management

в редакцию 17.10.2014, принята к опубликованию 10.12.13

Статья поступила