Асимптотика решения сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения с двумя точками поворота в комплексной плоскости

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ТОЧКАМИ ПОВОРОТА В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Турсунов Дилмурат Абдиллажанович

канд. физ.-мат. наук, доцент ОшГУ, г. Ош E-mail: dosh2012@mail.ru

ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS OF SINGULARLY PERTURBED ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH TWO TURNING POINTS

IN THE COMPLEX PLANE

Dilmurat Tursunov

candidate of physics and mathematics sciences, associate professor of Osh State

University, Osh

АННОТАЦИЯ

Целью данной работы является построить равномерную асимптотику решения обыкновенных дифференциальных уравнений с простой точкой поворота в комплексной плоскости, когда нарушается условие асимптотической устойчивости. Для оценки интегралов применяется метод стационарной фазы и метод перевалов. Построена равномерная асимптотика решения поставленной задачи. Асимптотика решения рассматриваемой задачи существенно зависит от неоднородной части рассматриваемого уравнения.

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct a uniform asymptotic solution of ordinary differential equations with a simple turning point in the complex plane when a condition of asymptotic stability is violated. The method of stationary phase and the passes method are used to evaluate the integrals. The uniform asymptotic solution of the problem was constructed. Asymptotic of the solution of the problem essentially depends on the inhomogeneous part of the equation.

Ключевые слова: асимптотика; точка поворота; условия устойчивости; стационарная фаза; точка перевала; малый параметр.

Keywords: asymptotic; turning point; stability conditions; stationary phase; passes point; small parameter.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ по проекту № 13-0190903 молиннр

Теорию запаздывания потери устойчивости в системах общего вида построены в работах А.И. Нейштадта [2]. Далее появились работы [1], [3] и др. Численными и аналитическими методами явление запаздывание потери устойчивости изучалось в системах, встречающихся в физике лазеров, химической кинетике, биофизике, в модифицированной системе Циглера и в моделировании безопасных процессов горения с максимальной температуры. Во всех этих перечисленных работах невозмущенное (предельное) уравнение имеет тривиальное, т.е. гладкое решение в рассматриваемой области. В нашем случае решение предельного уравнения имеет особенность.

Рассмотрим задачу

где: А(?) - квадратная матрица-функция второго порядка с элементами а/к(/%

Ть Пусть матрица-функция А(?) имеет комплексно-сопряженные собственные значения а>\, и /()= -я/2.

и2. Пусть/¡(-тт/2, -а)^0, /|(л/2, -а)^0, /2(-я/2,а)^0, /2(я/2,а)^0. В рассматриваемом случае каждое собственное значение имеет по две простых периодических нулей в комплексной плоскости. Исследуемая область является прямоугольником, и нули собственных значений матрицы-функции А({) находятся на вершинах этого прямоугольника. Такой случай рассматривается впервые. Требуется построить асимптотику решения задачи (1)—(2) в области £Ъ[-7г/2, я/2], при 8^0.

Для приведения Л(?) к диагональному виду выполняем следующее

преобразование: В01 где

гап С аи О \а2\ ^ а22 ^

Д)(0=

V а21 <

а21 <

, МО).

Пусть в области И выполняется неравенство с1еШ()(/)^0. Задача (1)—(2) с заменой принимает вид:

у(го, е)=/,

где В <> -Во1 <>о С У3 = Во1 <о 3°, Л <> 1 <7 С Задачу Коши для дифференциальных уравнений (3)-(4) заменим интегральным уравнением:

еЕ<,¿о,е^о + /£СТ,Е

где Е С, т, 8 3= ехр(- |£> ^ З5)-

В работе [4] нами доказана Теорема. Если для интеграла

г

о

]ЕЧ,Т,8 ,

в некоторой области О справедлива оценка

\ЕС,т,е

, где

то для решения системы интегральных уравнений

8—>0

справедлива оценка ||2(?,в)||<с8(в).

Значит, достаточно вычислить асимптотику интеграла (6), при условиях и и и2. Рассмотрим собственные значения

Ке(?ц(?1,0))=Ке(^2(*ъО))=8Н1?1; Ке(А,Ь2(/ь0))<0 - устойчивый интервал, при -п+2пк<^<2пк; Ке(?ц,2(/ь0))>0 -неустойчивый интервал, при 27г£<?1<71+271£; Б1е(?ч,2(?1,0))=0, при ?1=7гк, ЫЪ.

Отметим, что (я/2+71 А:,-а) и (л/2+л£,а), где а = 1п л1——— >0 Z, являются

\ а-1

нулями собственных значений ^(/ь^) и ^2(/|,/2) соответственно. Рассмотрим теперь функции: (0=1^1 (0^, г*2(/)=|А,2(|)с1/. Если то -сОБ^сЬ^+ЯВЬ^+гат/^Ь^+ЯсЬ^), М2(^1,?2)=

-со8?1(сЬ?2-а8Ь?2)+/в1п?1(асЬ?2-8Ь?2). Пусть м11(?1,?2)=Ке(м1(?1,?2)),

Область £>={7: мц(?ь?2)<0, м21(?ь?2)<0, |^|<л;/2} - является прямоугольником с вершинами А(-л/2,-а), Дя/2,-а), /^(я/2,а) и /71 (-л/2,а).

Решение предельной (вырожденной) системы: я (?)= -Л'1^)/^) в четырех точках А(-%/2-а), В(п/2,-а), В\(%/2,а) и /71 (-л/2,а) имеет особенность, при Кроме того это решение не удовлетворяет начальному условию х {1(,)Фх0. Таким образом, мы здесь тоже сталкиваемся с двумя сингулярностью: первое это наличие пограничного слоя, а второе — соответствующее невозмущенное (предельное) уравнение имеет особенность в точках А(-п/2,-а), В(п/2,-а), В\(%12,а) и А\(-%12,а). Каждое уравнение системы (1) имеет по две точки поворота, в целом система имеет четыре точек поворота. Поэтому рассматриваемую задачу можно называть бисингулярной. Перейдем к оценке интегралов

0

ь

и С«1 о

^, С&Iе''

'^2 2 ^^

к24;

где: Ь, Ь — пути интегрирования, соединяющие точки (—тг/2,0) и /еI). Пути интегрирования Ь, Ь симметричны относительно действительной оси. Область Б разобьём на подобласти:

Н00={Г. 0<?1+7г/2<5, 5<?2+а<2а},Яю={?:0<?1+7г/2<58у, ?2+а=5еу}, Но1={Г.-п/2+Ь<Ь, Мц(?ь?2)<(е1п8)/2, 5<|(?1-7г/2)+/(?2+а)|, ?2<а}, Я„={?:-((1-2у)81п8)/2<?2+а<58т; Ь+п/2=Ьгу}, Ни={Г. \Ь\<%/2-Ьг\ м„(?ь?2)=((1-2у)81п8)/2}, Я1з={?:-((1-2у)81п8)/2<?2+а<58т; Ь=%/2-Ьгу}, Ни={Г.~ 58у<?1-тг/2<((1-2у)81п8)/2, ?2+а=58у}, Я15={?: Мц(?ь?2)=((1-2у)81п8)/2, 58у<?2+а<2а},

Я22={?:-5л/8<?1-7г/2<0, (81п8)/2<мц(?ь?2)<0}, 0<5«1 — достаточное малое

5 2

число, 0<у<1/2, Яо=ЯооиЯо1, #,= [Ш^ , Я2= 0Н2к , />Я0иЯ|иЯ2.

£=0 £=0

Лемма 1. Если /еЯ()(), то для интеграла./(/,е) справедлива оценка

Доказательство. Путь интегрирования Ь состоит из отрезка прямой соединяющей точки (/0,0) и /еЯ()(). Так как в области Я00 имеет место условие: Ке(?ч(?1,?2))=8т?1(сЫ2+а8Ы2)<-с<(), то имеем:

-Сс-х ^ \Л,ф О<> « 11 = 0<

ь

Справедливость этой оценки также можно доказать и интегрируя по частям Д?,в). ♦

Лемма 2. Если ¿еЯю, то для интеграла .7(7,8) справедлива оценка

|Д?,8)|<св1"у, где 0<у<1/2.

Доказательство. Путь интегрирования Ь тот же что в лемме 1. Интегрируя .7(7,е) по частям имеем:

Учитывая, что ?ц(7)=0((7+71/2+/а)) и 6'87<|/ч(/)|<( '87, то следует оценка:

Рассмотрим следующий интеграл

¡е

1 <1°"1<

А

-<1 Ом1 ^

с ,

у

е

ь

ь

2

где: Ь=ЬхиЬ2иЬ3,./(/,с)=/,(7,е)+/2(/,е)+/3(/,е), Ь\ — отрезок линии Т|=—я/2, -а<т2<0; Ь2 — отрезок линии т2= -а, -я/2<Т|</|; 7>з — отрезок линии -а<Т1<?2; Вычисляя эти интегралы, получим оценки:

е 1М11 % + )

1/2 Сф

I £

-«11 2

е

1. Пусть -7г/2<^1<-7г/2+581/2, 0<?2+а<5еш, тогда |/3

2. Пусть |?1|<71/2-5еш, тогда |/3

3. Пусть тг/2-5в1/2<?1<71/2, 0<?2+а<8е1/2, тогда |/3

4. Пусть тг/2-5в1/2<?1<71/2, 8е1/2<?2+а<2а, тогда

«11 СД2 .>

|/53 <в£< с4ге 8 +£

К1 С^2

С ^2

с

л/бК1 ((,

«11 С ^ 2 . -а + л/е1е 8

Из этих оценок следует справедливость следующих лемм.

Лемма 3. Если ?еЯ20иЯ21иЯ22, то для интеграла ./(/,£) справедлива оценка:

|Д?,8)|<С81/2.

Доказательство следует из (9)—(11), (13), (14).

Лемма 4. Если ¿еЯ^иЯ^иЯ^иЯ^, то для ./(/,£) справедлива оценка:

|Д?,8)|<С81"У.

Доказательство следует из (9), (10), (12), (14). Лемма 5. Если ?еЯ0ь то для справедлива оценка: |Д?,8)|<се. Доказательство следует из (9), (10), (12), (14). Следовательно, справедлива

Теорема. Пусть выполняются условия Тогда задача (1)-(2) имеет

единственное решение и для него справедлива асимптотическая оценка:

где <,85=

8,1бе ? е Н0 п Я0,

81^,!бе Н~1,^ <7т/2+<-2у21пе,

ё,1бе ?еН2иЯ2,0<у<1/2.

Список литературы:

1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02. Жалалабат, 2001. — 203 с.

2. Нейштадт А.И. Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось // Успехи мат. наук. — 1985. — Т. 40, — Вып. 5. — С. 300— 301.

3. Турсунов Д.А. Асимптотика решений сингулярно возмущенных уравнений в случае смены устойчивости, когда собственные значения имеют n-кратный полюс: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Ош, 2005. — 110 с.

4. Турсунов Д.А. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи с периодической точкой поворота // интернет журнал ВАК КР. [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://195.38.189.154:81/jurnal/ (дата обращения 27.08.2013).