Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2017. Том 24, № 3

УДК 517.95

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА К. У. Хубиев

Аннотация. Для модельного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с нагруженным слагаемым в параболической части исследована нелокальная задача с внутреннекраевыми условиями в гиперболической части области.

БОТ 10.25587/SVFU.2018.3.10886 Ключевые слова: уравнение смешанного типа, уравнение гиперболо-параболического типа, нагруженное уравнение, задача Трикоми, нелокальная задача.

Введение

В 1969 г. А. М. Нахушев предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением [1], которые, как оказалось, тесно связаны с нагруженными дифференциальными уравнениями [2]. Также в [2] были введены определения локальных и нелокальных задач. В настоящее время теория нелокальных задач и теория нагруженных уравнений интенсивно развиваются и представляют собой важные разделы теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Задачи для уравнений с частными производными основных и смешанных типов с нелокальными условиями продолжают активно изучаться. Различные задачи для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа рассматривались в работах многих авторов (см., например, [3-10] и библиографию там). В некоторых случаях для исследования разрешимости нелокальных краевых задач весьма эффективен метод, основанный на сведении их к локальным задачам для нагруженного уравнения [11-13].

Исследованию локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений с частными производными различных типов посвящено большое количество работ (см. [11,14] и библиографию в них).

Отметим также работы [15-22], в которых исследуются локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного и гиперболического типов разных порядков в различных областях.

В данной работе для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с нагруженным слагаемым в параболической части области исследуется задача с внутреннекраевыми нелокальными условиями в гиперболической части.

© 2017 Хубиев К. У.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение смешанного гиперболо-параболического типа д2и д2-я(У)и

в области О, ограниченной отрезками ААо, В Во, АоВо прямых х = 0, х = 1, у = ^ > 0 соответственно при у > 0, и характеристиками волнового уравнения АС : х + у = 0, ВС : х — у = 1 при у < 0, где А(х, у) — заданная функция, Н(у) — функция Хевисайда. Обозначим через О+, О- параболическую и гиперболическую части области О соответственно, а через J — интервал 0 < х < 1 прямой у = 0. При у > 0 уравнение (1) представляет собой нагруженное [11] уравнение теплопроводности, а при у < 0 — волновое уравнение.

Под регулярным решением уравнения (1) будем понимать функцию и = и(х, у) из класса С (О) П С1 (О) П С2 (О-) П СХ(О+), удовлетворяющую уравнению (1) в О+ и О-, кроме того, иу (х, 0) может обращаться в бесконечность порядка меньше единицы на концах интервала J. Для уравнения (1) исследуется

Задача. Найти регулярное решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее условиям:

и

п-з

и[0о

1=1

хп-з-1 < х < хп-з, хо =0, хп = 1, j = 0,1,..., п — 1,

где ^о(у), ^1(у), фп-з (х) — заданные функции, причем ф1(0) = ^о(0), Ох; (£) — точка пересечения характеристики х — у = £ с характеристикой х + у = х^, Охо (£) = Оо, ак =0 при г = к.

Отметим, что данные задачи в гиперболической части задаются на параллельных характеристиках и при п = 1 задача совпадает с аналогом задачи Трикоми для гиперболо-параболического уравнения. Для уравнения Лаврентьева — Бицадзе в [23] исследована задача с нелокальным условием (3) в гиперболической части.

2. Полученный результат

Теорема. Если заданы функции ^о(у), (у) € С[0,Л], фк(х) € С 1[0,1] П С 2]0,1[, к = 1, 2, ...п, А(х,у) принадлежит С (ОО +) и удовлетворяет условию Гёльдера по х, А(х, 0) < 0, и выполняются условия

цт = цт ^М,

к

где ¡к = 1 — а]к =0, к = 1, 2,..., п, то задача (1)—(3) имеет, и притом един-

г=1

ственное, решение.

14

К. У Хубиев

3. Доказательство теоремы

Пусть существует решение и(ж, у) задачи (1)-(3). Обозначим т(ж) = и(ж, 0), ж е 7 Кж) = иу(ж, 0), ж е J. Тогда т(ж) е С(«/) П С 1(J), ^(ж) е С(,) П ¿(«Т) а из условия (2) следует, что

т

Переходя к пределу при у ^ +0 в уравнении (1), получим функциональное соотношение, принесенное из параболической части 0+ смешанной области О на АВ:

т''

Учитывая гладкость функций т(ж), ^(ж), решение задачи Коши для уравнения (1) в О- можно представить в виде

х-у

: \ т

х+у

Учитывая в (7) условие (3), получим

х п-]

т(ж) + т(0) - У КО ^ = Е т(ж) + т(жг) - | КО ^

0 1=1

+ 2-фп-]

жп-]-1 < ж < жп-], ] = 0,1, .. . ,п — 1.

Дифференцируя (8), получим функциональное соотношение, принесенное из гиперболической части О- смешанной области О, в виде

п-]

т'

1=1

жп-]-1 < ж < жп-], ] = 0,1, .. . ,п - 1.

к

Учитывая условие (4) теоремы и используя то, что ¡к = 1 - ак =0 для

г=1

всех к = 1, 2,..., п, окончательно получаем

т'

где

,, . 2^к(ж) ^ ,

Лж) =---> хк-1 < ж < хк, к = 1,. .. ,п,

¡к

причем /(ж) е С[0,1] П С 1]0,1[. Здесь отметим, что условие (4) теоремы обеспечивает непрерывность первых производных решения на характеристиках ж-у = ж^, г = 1, 2,..., п - 1.

Из (10) и (6) получим дифференциальное уравнение

т''

х

х

При выполнении условия теоремы A(x, 0) < 0 задача Дирихле (5) для уравнения (11) имеет единственное решение и оно представимо в виде

1

r

0

где G(x, £) — функция Грина задачи (11), (5). Заметим, что при А(х, 0) = А = const

( 8ь[м(ж-1)] sh(^) Г) < <? < Ж

G(x £) = I MshM ' " '

V /j. sh /j. ' — ^ — '

где ¡jl = a/1 — 4Л/2. Отметим, что С(ж, £) является действительнозначной функцией, зависящей от комплексного в общем случае числа

После нахождения функции т(x) функция v(x) определяется из (10), причем т(x) е C(J) n C2(J), v(x) G C 1(J).

Далее задача в О- решается как задача Коши по формуле (7), а в области О+, учитывая, что A(x,y) непрерывна и удовлетворяет по x условию Гельдера, как первая краевая задача для неоднородного уравнения теплопроводности (см., например, [24]). Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 1. С. 44—59.

2. Нахушев А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 1. С. 92—101.

3. Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 96-105.

4. Кхан М. Р. Краевые задачи со смещением для гиперболического уравнения // Диффе-ренц. уравнения. 1982. Т 18, № 6. С. 1082-1085.

5. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка // Мат. заметки. 2011. Т. 90, № 2. С. 254-268.

6. Пулькина Л. С. Краевые задачи для гиперболического уравнения для гиперболического уравнения с нелокальными условиями 1 и 2-го рода // Изв. вузов. Математика. 2012.

№ 4. С. 74-83.

7. Мамчуев М. О. Необходимые нелокальные условия для диффузионно-волнового уравнения // Вестн. Самар. гос. ун-та. 2014. № 7. С. 45-59.

8. Сабитов К. Б., Сидоров С. Н. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося пара-боло-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 3. С. 356-365.

9. Моисеев Е. И., Корзюк В. И., Козловская И. С. Классическое решение задачи с интегральным условием для одномерного волнового уравнения // Дифференц. уравнения.

2014. Т. 50, № 10. С. 1373-1385.

10. Балкизов Ж'. А. Нелокальная краевая задача для модельного уравнения параболо-ги-перболического типа третьего порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. Акад. наук.

2015. Т. 17, № 4. С. 9-20.

11. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012.

12. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 72-81.

16

К. У. Хубиев

13. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.

14. Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И. Нагруженные уравнения как возмущения дифференциальных уравнений. Алматы: Гылым, 2010.

15. Елеев В. А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядков // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 2. С. 230-237.

16. Хубиев К. У. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного типа // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Тр. VI Междунар. конф. «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 29 июня-04 июля 2008 г.). Владикавказ, 2008. С. 331-335.

17. Хубиев К. У. Внутреннекраевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа // Изв. вузов. Северо-Кавк. регион. Сер. Естеств. науки. 2008. № 6. С. 23-25.

18. Балтаева У. И., Исломов И. Б. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений гиперболического и смешанного типов третьего порядка // Уфим. мат. журн. 2011. Т. 3, № 3. С. 15-25.

19. Аттаев А. Х. Краевые задачи с внутреннекраевым смещением для уравнения колебания струны // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. Акад. наук. 2014. Т. 16, № 2. С. 17-19.

20. Сабитов К. Б. Начально-граничная задача для параболо-гиперболического уравнения с нагруженными слагаемыми // Изв. вузов. Математика. 2015. № 6. С. 31-42.

21. Абдуллаев О. Х. Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа с интегральным оператором // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2016. Т. 20, № 2. С. 220-240.

22. Хубиев К. У. Задача с интегральным условием в гиперболической части для характеристически нагруженного гиперболо-параболического уравнения // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 91-98.

23. Кхан М. Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 4. С. 710-711.

24. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995.

Статья поступила 15 февраля 2017 г. Хубиев Казбек Узеирович

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ул. Шортанова, 89А, Нальчик 360000 к1шМе¥_та"Ь11@та11 .ги

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2017. Том 24, № 3

UDC 517.95

ON A NON-LOCAL PROBLEM FOR MIXED HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATIONS K. U. Khubiev

Abstract: A non-local boundary value problem with inner boundary conditions in its hyperbolic part is studied for loaded mixed hyperbolic-parabolic equations.

DOI 10.25587/SVFU.2018.3.10886

Keywords: mixed-type equation, hyperbolic-parabolic equation, loaded equation, Tri-comi problem, nonlocal problem.

REFERENCES

1. Nakhushev A. M. "Certain boundary value problems for hyperbolic equations and equations of mixed type," Differ. Equ., 5, No. 1, 44-59 (1969).

2. Nakhushev A. M. "Nonlocal boundary value problems with shift and their connection with loaded equations," Differ. Equ., 21, No. 1, 92-101 (1985).

3. Nakhushev A. M. "Boundary value problems for loaded integro-differential equations of hyperbolic type and some of their applications to the prediction of ground moisture," Differ. Equ., 15, No. 1, 96-105 (1979).

4. Khan M. R. "Boundary value problems with displacement for a hyperbolic equation," Differ. Equ., 18, No. 6, 1082-1085 (1982).

5. Kozhanov A. I. "Solvability of some spatially nonlocal boundary value problems for second-order linear hyperbolic equations," Mat. Zam., 90, No. 2, 254-268 (2011).

6. Pul'kina L. S. "Boundary value problems for a hyperbolic equation with nonlocal conditions of the I and II kind," Russ. Math., 56, No. 4, 62-69 (2012).

7. Mamchuev M. O. "Necessary non-local conditions for a diffusion-wave equation," Vestn. Samar. Gos. Univ., Estestvennonauchn. Ser., No. 7, 45-59 (2014).

8. Sabitov K. B. and Sidorov S. N. "On a nonlocal problem for a degenerating parabolic-hyperbolic equation," Differ. Equ., 50, No. 3, 356-365 (2014).

9. Moiseev E. I., Korzyuk V. I., and Kozlovskaya I. S. "Classical solution of a problem with an integral condition for the one-dimensional wave equation," Differ. Equ., 50, No. 10, 1364-1377 (2014).

10. Balkizov G. A. "A nonlocal boundary value problem for a model parabolic-hyperbolic equation of third order," Rep. Adyghe (Circassian) Int. Acad. Sci., 17, No. 4, 9-20 (2015).

11. Nakhushev A. M., Loaded Equations and their Applications [in Russian], Nauka, Moscow (2012).

12. Nakhushev A. M. "Approximate method of solving boundary-value problems for differential equations and its application to the dynamics of ground moisture and ground water," Differ. Equ., 18, No. 1, 60-67 (1982).

13. Kozhanov A. I. and Pul'kina L. S. "On the solvability of boundary value problems with a nonlocal boundary condition of integral form for multidimensional hyperbolic equations," Differ. Equ., 42, No. 9, 1166-1179 (2006).

14. Dzhenaliyev M. T. and Ramazanov M. I., Loaded Equations as Perturbed Differential Equations [in Russian], Gylym, Almaty (2010).

© 2017 K. U. Khubiev

18

K. U. Khubiev

15. Eleev V. A. "Some boundary value problems for mixed loaded equations of second and third orders," Differ. Equ., 30, No. 2, 230-237 (1994).

16. Khubiev K. U. "On some nonlocal boundary value problem for the hyperbolic-parabolic equations," in: Research on Differential Equations and Mathematical Modeling, Proc. VI Int. Conf. "Order Analysis and Related Problems of Mathematical Modeling" (Vladikavkaz, June 29-July 04, 2008), 331-335 (2008).

17. Khubiev K. U. "Inner boundary value problems for the loaded equations of mixed type," Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Sev.-Kavk. Reg., Estestv. Nauki No. 6, 23-25 (2008).

18. Baltayeva U. I. and Islomov B. I. "Boundary value problems for the loaded third order equations of the hyperbolic and mixed types," Ufa Math. J., 3, No. 3, 15-25 (2011).

19. Attaev A. Kh. "A boundary value problems with inner shift for the string equation," Rep. Adyghe (Circassian) Int. Acad. Sci., 16, No. 2, 17-19 (2014).

20. Sabitov K. B. "Initial-boundary problem for parabolic-hyperbolic equation with loaded sum-mands," Russ. Math., 59, No. 6, 23-33 (2015).

21. Abdullayev O. Kh. "A non-local problem for a loaded mixed-type equation with an integral operator," Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 20, No. 2, 220-240 (2016).

22. Khubiev K. U. "A problem with integral condition in the hyperbolic part for a characteristically loaded hyperbolic-parabolic equation," Mat. Zamet. SVFU, 23, No. 4, 91-98 (2016).

23. Khan M. R. "A nonlocal problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation," Differ. Equ., 20, No. 4, 710-711 (1984).

24. Nakhushev A. M., Equations of Mathematical Biology [in Russian], Vysshaya Shkola, Moscow (1995).

Submitted February 15, 2017 Kazbek U. Khubiev

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS , 89A Shortanov Street, Nalchik 360000, Russian Federation khubiev_math@mail .ru