Решение стационарной задачи сопряженного теплообмена для плоской пластины

Том XXXVIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 7

№ 1 — 2

УДК 532.526.011.6

РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ

В. А. БАШКИН, В. В. ПАФНУТЬЕВ, Е. Н. СМОТРИНА

Разработанный ранее аналитический подход к решению задач сложного теплообмена на плоской пластине при ламинарном режиме течения газа в пограничном слое распространен на случай сопряженного теплообмена для тонкой плоской теплопроводной пластины конечной длины. Сформулированная задача реализована в программе применительно к ПК,

и на частных примерах изучена сходимость решения в зависимости от параметров подобия.

Показано влияние параметров подобия на температурный режим плоской теплопроводной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком (М = 3) совершенного газа.

Ламинарный пограничный слой при нулевом градиенте давления реализуется на поверхности острых тел простой конфигурации (плоская пластина, клин и круговой конус), обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Эту задачу часто удается свести к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, что, естественно, упрощает ее численный анализ.

Одной из интересных задач этого класса является развитие ламинарного пограничного слоя на неизотермической поверхности. Первые работы этого направления [1 — 4] относятся к 50-м годам прошлого столетия, в них рассматривался пограничный слой на плоской пластине при нулевом угле атаки. В предположении, что газ совершенный и произведение плотности на динамическую вязкость постоянно поперек пограничного слоя, система уравнений Прандтля расщепляется, и уравнения импульсов и энергии решаются по отдельности. Решение уравнения импульсов сводится к задаче Блазиуса, после ее решения рассматривается уравнение энергии, интегрирование которого при определенных условиях также сводится к численному анализу обыкновенных дифференциальных уравнений. На частных примерах изучено влияние учета неизотермичности поверхности пластины на тепловой поток и ее температурный режим. Так, например, в [4] показано, что не учет неизотермичности, т. е. решение задачи в квазиизотермическом приближении, может приводить не только к количественно, но даже и к качественно неверным результатам.

В [5] при аналогичных предположениях исследовано поведение пограничного слоя в переменных Крокко [6] на неизотермической плоской пластине, когда распределение относительной температуры (энтальпии) вдоль поверхности задается в виде степенного ряда. В качестве примера рассмотрена задача о расчете радиационно-равновесной температуры абсолютно нетеплопроводной поверхности. Расчеты показали, что получающиеся степенные ряды являются расходящимися; для получения искомой информации использована аппроксимация Паде [7].

В настоящей работе этот подход применен для решения стационарной задачи сопряженного теплообмена для тонкой плоской теплопроводной пластины конечной длины. Указанная задача не является новой, и она интенсивно исследовалась разными учеными. При ее решении обычно используется предположение о постоянстве температуры в поперечном сечении пластины, что равносильно предположению о теплоизолированности внутренней поверхности пластины.

Тонкая теплопроводная пластина с внутренними непрерывно распределенными источниками тепла и излучением с внешней поверхности, которая обтекается потоком несжимаемой

жидкости, исследована в [8]. При решении этой задачи использована интегральная связь между местным тепловым потоком и распределением температуры; результаты расчетов в пределах 5% согласуются с расчетными данными работы [9]. В аналогичной постановке, но с использованием другой интегральной связи между местным тепловым потоком и распределением температуры эта задача была численно изучена в [10], результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными автора.

Влияние излучения и теплопроводности материала на температурный режим тонкой пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком совершенного газа под нулевым углом атаки, было исследовано в [1]. С точки зрения теплопроводящих свойств материала пластины было рассмотрено три случая:

1) абсолютно теплопроводная пластина (изотермическая поверхность);

2) абсолютно нетеплопроводная пластина (неизотермическая поверхность);

3) пластина конечной теплопроводности.

Оценка максимальной температуры плоской пластины (окрестность передней кромки) с учетом теплопроводности материала стенки и излучения как с внешней, так и с внутренней ее поверхности при ряде упрощающих предположений была проведена в [11]. Результаты расчетов показали, что теплопроводность понижает максимальную температуру по сравнению с температурой восстановления, в особенности на больших высотах полета.

Обтекание полубесконечной тонкой плоской пластины ламинарным потоком совершенного, оптически прозрачного газа при наличии излучения тепловой энергии с поверхности по закону Стефана — Больцмана рассмотрено в [12]. Для решения задачи использовано уравнение локального баланса тепла и интегральная связь между местным конвективным тепловым потоком и распределением температуры вдоль пластины, установленная Лайтхиллом для нетеплопроводной пластины. В аналогичной постановке эта задача была рассмотрена также в [13]; в силу сделанных предположений она сводится к интегрированию уравнения энергии с использованием уравнения локального баланса тепла в качестве внутреннего граничного условия.

Из краткого обзора литературы, посвященной исследованию задачи сопряженного теплообмена для тонкой плоской пластины, можно заключить, что в целом известно влияние теплопроводности материала пластины на ее температурный режим. В качественном отношении оно сводится к уменьшению неравномерности в распределении температуры вдоль пластины, т. е.

к снижению максимального и возрастанию минимального значений температуры. Поэтому основной целью нашей работы является разработка метода аналитического решения указанной задачи и апробация его на ряде частных случаев.

1. Задача о движении газа в ламинарном пограничном слое при нулевом градиенте давления рассматривается в переменных Крокко [6] при следующих предположениях: 1) газ является совершенным и имеет постоянные удельные теплоемкости (показатель адиабаты у = 1.4),

постоянное число Прандтля Pr = const и динамическую вязкость ц*, зависящую только от

температуры; 2) произведение р*ц* постоянно поперек пограничного слоя, т. е. р*ц* = Xтреце.

Здесь р* — плотность газа; Xт — постоянная Чепмена — Рубезина, значение которой

определяется как точное значение произведения р*ц* при некоторой определяющей температуре; индекс «е» обозначает параметры потока на внешней границе пограничного слоя, верхняя звездочка — размерную величину. При этих условиях система уравнений Прандтля в безразмерных переменных преобразуется к следующему виду [5]:

РоР0+ 0.5м = 0,

Р2Р4 +

1 + 2 ] ^

с граничными условиями

Р0

Здесь введены обозначения: и* = иие — продольный компонент вектора скорости; х* = Е,Ь — продольная координата, отсчитываемая от острой передней кромки или вершины; Ь —

характерный линейный размер; т = реи2 ----])в0(и) — напряжение трения; Н*=Р4Не —

\ Яех

полная энтальпия; а0 = и2/(2Не), Яех = реиех*/це — число Рейнольдса. Значение параметра] =

0 соответствует плоскому, а ] = 1 — осесимметричному течению; индекс «*» обозначает значения газодинамических переменных на поверхности тела; штрих — дифференцирование по переменной и.

Пусть распределение относительной энтальпии (температуры) задано в виде степенного ряда

Н* = К + Е .

п>0

Тогда решение уравнения энергии можно искать в виде разложения

Н

п>0

Определение неизвестных функций сводится к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:

Р0 В0 +

В0(0) = к>, В0(1) = 1,

в2В'П +

1 + 2 ]

Вп (0) = 1, Вп (1) = 0.

При этом решение краевой задачи (1.6) соответствует решению задачи для изотермической пластины, а решение краевой задачи (1.7) определяет вклад неизотермичности обтекаемой поверхности на процессы теплообмена в пограничном слое. Параметрические расчеты краевой задачи (1.7) выполнены в [5], там же получено асимптотическое решение при п ^ да, приведены в

виде таблицы значения Вп (0), необходимые для расчета конвективного теплового потока,

и указаны асимптотические формулы для вычисления Вп (0) при больших значениях п.

По результатам численного анализа вычисляются местные коэффициенты сопротивления трения и теплопередачи [14]:

ог = —^ = 2 — т А + 2 ]) Р0

1 0.5реи2 V Яе х

Ч* _ С1

)

^ (1) вп (0),

Н* Л = НК + 1К (1+-^р) ^

п>0 Г1

HR = 1 -а0(1 -г), во(0) = рг.

о

Здесь г — коэффициент восстановления температуры (энтальпии), 0(1) — коэффициент аналогии Рейнольдса, в силу сделанных предположений обе эти величины зависят только от числа Прандтля.

Полученные «универсальные» решения Вп (и) можно рассматривать как собственные функции уравнения энергии. Это позволяет в принципе решать разнообразные задачи простого и сопряженного теплообмена аналитическим методом.

2. Распределение температуры в двумерном теплопроводном теле определяется уравнением теплопроводности, записанным в декартовой системе координат:

* * дГ

P с --------

дt *

** ^x + дЪ дx ду

_д_

дx*

^ ^ ГТІ* А

А

дx*

_д_

ду*

ду*

где А* и с* — коэффициент теплопроводности и удельная теплоемкость материала тела

лт^ /“.Л7-7*

* л * дТ * л * дТ „

соответственно; = -А —— и ду = -А —*------удельные тепловые потоки в направлении осей

дх* ду*

абсцисс и ординат соответственно. В случае стационарного режима (дТ * / дt * = 0) задача сводится к решению уравнения Лапласа

_д_

дx*

^ *57*^ дx*

_д_

ду*

ду

= 0.

У

Пусть необходимо определить стационарное распределение температуры в прямоугольной области; она имеет два характерных линейных масштаба, один из которых связан с длиной Ь, а другой — с толщиной к расчетной области.

Для решения задачи вводятся безразмерные переменные:

* * л * ГТ1 *

е х у А Т

Ь = —, П= , А = — , Т = — .

Ь к А* Т*

Здесь А* и Т* — характерные значения коэффициента теплопроводности и температуры материала стенки. Тогда уравнение (2.1) преобразуется к виду:

2 " С дT Л'

А----

А—

L У д^ І д£, ) дп ^ дп

= 0 .

Если к /Ь = 0(1), то в уравнении (2.2) оба слагаемых имеют одинаковый порядок и приходится решать двумерную задачу теплопроводности. Если к/Ь << 1, то в уравнении (2.2) первым слагаемым можно пренебречь по сравнению со вторым. В результате получается уравнение:

(

дT

Л

А—

дп І дп

= 0.

в которое координата £, входит в качестве параметра и решение которого при А = const имеет вид:

T = с2 +—п . 2 А

Следовательно, для тонкого тела в каждом его сечении £, = const температура изменяется по линейному закону; значения коэффициентов c2(^) определяются

граничными условиями на нижней и верхней границах тела. Если одна из границ теплоизолирована (dT / dn = 0), то c1 = 0 и, следовательно, в каждом сечении £, = const температура постоянна (Т = c2(^) = const).

3. Рассмотрим задачу сопряженного теплообмена для плоской j = 0) тонкой пластины

конечной длины (к*/L << 1), обтекаемой сверхзвуковым потоком совершенного газа, в

предположении, что ее нижняя и торцевые поверхности являются теплоизолированными, а на верхней обтекаемой поверхности имеет место сложный теплообмен.

Выделим бесконечно малый элемент dx* (рис. 1) и запишем для него уравнение локального баланса тепла

У dx

qxh Я , , d(qxh) qh+ dx dx h

0 i X

Рис. 1. Теплопроводная пластина

* 7 * * * 7 *

qwdx + qc = qraddx

где qw

конвективный тепловой поток; qc

малый элемент за счет теплопроводности; qrad определяется соотношением:

количество тепла, подведенное в бесконечно - радиационный тепловой поток. Величина д*

(

qc = qx

д(чХк*)(

dx* ‘

Л

d(q*xk*) ( dx* ‘

_5_

dx*

( дт* ^

Х*к*-------

dx*

dx * .

Здесь к* — толщина пластины, которая в общем случае зависит от продольной координаты. Тогда уравнение локального баланса тепла запишется в виде:

* d /л*/* dT* *

lw + ^ТТ (Я ^ ) = qrad.

dx dx

Уравнение (3.1) должно выполняться в каждой точке поверхности тела.

Для аналитического решения задачи распределение температуры (энтальпии) вдоль пластины задается в виде ряда

ГГ\% jf jf ^

Hw = Tf = ТГ =Ё кк/ £к/2, Т0 H 0 к=0

или после введения новой переменной z =

то

л

Hw = h +Хкк/2zk .

k=1

Преобразуем по отдельности слагаемые уравнения (3.1). Конвективный поток тепла согласно (1.9) запишется таким образом:

= РвиеНвЧм> ~РеиеНв 2 \ (1) [ Н^ е£Г —

где

HR f = HR + I

\ s

1 +---------------

k>0

Pr

Hr fff - Hw = Hr - ho + SP^ I hk/2B'kj2(0)zk .

k=1

Тогда с учетом (1.8) будем иметь:

qW = PeUeHe

Яm

Rf L

S

Hr - ho

ho + SDI hk/ 2 Bk/ 2(0) zk

k=1

Кондуктивный приток тепла определяется соотношением

)

дx*

ах дх

\ /

После введения безразмерных переменных по соотношениям

Я = Я*Д*, Т = Т */Т0, £ = х7Ь, к = к*/Ь

будем иметь

)* Я*?0

4L

д

дг

I khk/2 zk 3 + ЯhI k(k - 2)hkj2z

k-4

k=1

k=1

Здесь T — температура торможения невозмущенного потока.

Если величина Я к = const = 5 , то формула (3.4) упрощается и принимает вид:

) * _ A-*To 1 п _k-4

4L

-SIk(k - 2)hk/2Zk

k=1

Излучение тепловой энергии с обтекаемой поверхности происходит согласно закону Стефана — Больцмана, и в предположении об оптической прозрачности движущейся среды радиационный поток тепла вычисляется по формуле

С = вс(Т*4 - Т*4) = То4ва(Я,4 - Т4),

где с — постоянная Стефана — Больцмана, в — степень черноты поверхности.

С учетом (3.2) выполняются следующие преобразования:

H,2, =

I hk/ 2 Z

V k=0 у

= Iа kz , а0 = h0, а1 = 2h0h1/2, ak = I hpl 2 h(k - p)/2

p=0

k=0

hW =

Iakzk =ITkzk, Tk = I

a „a

p k - p

V k=0 у

k=o

p=0

* гГ'4

Ягай = Т0 8а

'і

к=1

к т^4 Т/,N -

гг4

-Т0ео

(То -Т„4) + ІХк^к

к=1

Используя выражения (3.3), (3.5) и (3.6), уравнение локального баланса тепла (3.1) преобразуем к следующему виду:

НК ко

м

Рг

Р

ікк/2Б'к/2(0)2к +-Кік(к - 2)кк/2/-3 = РЕ

к=1

где

БК =-

всТ4

БК =

к=1

^*Т0 ЯП и

8 , б = РеиеНе

(То -Т„4) + ІТк^

к=1

0 ^ а а 'У ЯеЬ 5

Собирая члены при одинаковых степенях г, получим выражения для последовательного определения неизвестных коэффициентов:

к1/2 = 0,

3/2

4 НК-

3 Р

'к+3

(к + 3)( к +1) РК

К

РК тк-1

Рк (То - Тд4) 2Р

К

м

Рг

кк12 Б'к/ 2

, (к > 2).

Рекуррентные формулы (3.8) позволяют последовательно рассчитать все коэффициенты ряда за исключением к0) и \, для определения которых используются граничные условия на торцевых поверхностях пластины. Из условия теплоизолированности переднего торца

следует, что \ = 0 . В результате удовлетворения граничного условия на задней определяется значение коэффициента ко .

( дТ Л

О II

N N О

( дТ л

О II

N 1

кромке пластины

В заключение отметим, что согласно уравнению (3.7) решение задачи при заданной модели движущейся среды зависит от трех параметров подобия: числа Ме на внешней границе пограничного слоя; параметра Бя, пропорционального соотношению характерных масштабов радиационного и конвективного потоков тепла; параметра Бк, пропорционального соотношению характерных масштабов кондуктивного и конвективного потоков тепла.

4. Изложенный выше аналитический подход к решению задачи сопряженного теплообмена для плоской пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком совершенного газа, был реализован в комплексе программ на ПК. С его помощью были проведены исследования свойств аналитического решения при числах Ме = 3 и Рг = 1 в широком диапазоне изменения параметров подобия: 0 < < 3 и 0 < Бк < 2.

Сначала была изучена сходимость решения в зависимости от числа N учитываемых членов ряда. Расчеты показали, что при определенных значениях параметров Бя и Бк решение задачи в зависимости от N либо сходится, либо расходится. Характер сходимости для некоторых частных случаев приведен на рис. 2 в виде зависимости погрешности 5 = 1 -Т№ (1, N)/ Тм, (1, N,1) от числа N. Здесь Т№(1, N — значение температуры на задней кромке пластины при текущем значении числа N, Т№(1, N) — точное значение температуры на задней кромке пластины, под которым понимается то ее значение, которое не зависит от последующего увеличения N > N.

По результатам этих расчетов установлены области сходимости и расходимости решения в плоскости параметров — Бк (рис. 3). Граница, разделяющая эти области, близка к линейной

2

2

и аппроксимируется выражением Ок = 0.133 + 0.167ВД . Отсюда следует, что в расчетной точке (В, Ок) аналитическое решение сходится, если значение параметра Д = В к - 0.133 - 0.167ВД > 0 , и расходится, если Д<0 . Для того чтобы получить более четкое представление о свойствах аналитического решения, в таблице приведены значения коэффициентов ряда как на режиме сходимости, так и на режиме расходимости. Можно видеть, что на режиме сходимости значения коэффициентов ряда по мере увеличения индекса к в целом уменьшаются по модулю, хотя очень медленно и слабо немонотонно. Этим объясняется необходимость учета большого числа членов ряда для получения решения с заданной степенью точности. На режиме расходимости значения коэффициентов ряда по мере увеличения индекса к изменяются сильно немонотонным образом, при этом максимальное значение по модулю возрастает.

Более наглядная и информативная картина об условиях сходимости получается, если результаты исследования изобразить в параметрическом пространстве - Бк - Ы* (рис. 4); отсюда видно, что в области сходимости по мере приближения к ее границе резко возрастает число членов ряда Ы*, а на самой границе Ы* ^ да.

о 15 —

5

-----О-------Дс=0.25

_ _ а_ _ о.з

10 20 30 40 50 N 6С

= 0.5

0 08 —

б

0.06 —

0 04 —

0 02 —

0

10

15

20

25

N

30

Бк = 0.4

Рис. 2. Сходимость решения для некоторых частных случаев в зависимости от числа членов ряда N при числах Ме = 3 и Рг = 1

С <одится

Расходится

10 "

1 1 1 0.2 04 0 6 0 8 1 1 12 1.4 1 6 1 1 1 1 8 2 2.2 24 2 1 6 2.8 3

а,

Рис. 3. Области сходимости и расходимости аналитического решения в плоскости параметров Бк - Бк при числах М = 3 и Рг = 1, прямая линия соответствует аппроксимационной зависимости Бк = 0.133 + 0.167БЯ

Коэффициенты Нк/2 для сходящегося и расходящегося рядов

к ВК = 1, Бк = 1 .3 0. = к = к =1 к =1 .3 0. = к =

0 7.707Е-01 7.102Е-01 15 -1.050Е-03 -1.193Е+00

1 0.000Е+00 0.000Е+00 16 1.240Е-03 8.269Е-01

2 0.000Е+00 0.000Е+00 17 1.384Е-04 7.224Е-01

3 -1.657Е-01 -8.212Е-01 18 -3.405Е-04 2.426Е-02

4 1.683Е-01 7.940Е-01 19 -2.362Е-04 -1.744Е+00

5 0.000Е+00 0.000Е+00 20 2.836Е-04 9.900Е-01

6 -6.387Е-02 -1.055Е+00 21 3.155Е—05 8.989Е-01

7 1.369Е-02 -1.360Е-01 22 -8.126Е-05 1.156Е—01

8 2.568Е-02 6.321Е-01 23 -4.506Е-05 -1.957Е+00

9 -1.154Е-02 -6.355Е-01 24 5.341Е-05 5.101Е—01

10 1.089Е-03 1.086Е-01 25 1.144Е-05 1.156Е+00

11 -3.786Е-03 -8.504Е-01 26 —1.501Е—05 9.316Е—01

12 3.689Е-03 3.970Е-01 27 —1.395Е—05 -2.796Е+00

13 1.228Е-03 5.486Е-01 28 1.193Е-05 1.063Е—01

14 -1.455Е-03 -1.812Е-01 29 4.058Е-06 1.454Е+00

Рис. 4. Области сходимости и расходимости аналитического решения в пространстве параметров - Бк - N при числах М = 3 и Pг = 1

Рис. 5. Влияние параметра Бк на распределение температуры Тк = Т^ / Т0 вдоль пластины при = 1

Рис. 6. То же, что и на рис. 5, но при = 3

Рис. 7. Влияние параметра Вк на распределение температуры Тк = Тк /Т0 вдоль пластины при Бк = 0.2

Рис. 8. То же, что и на рис. 7, но при Бк = 1

Следует отметить, что при решении задачи о температурном режиме абсолютно нетеплопроводной пластины [5] аналитическое решение расходится практически при всех значениях параметра Dr. Поэтому для получения сходимости использовалась аппроксимация Паде. В случае решения задачи сопряженного теплообмена существует обширная область в плоскости параметров Dr - Dk, в которой имеет место сходимость аналитического решения. В области расходимости необходимо применять специальные меры для получения искомого решения задачи.

Полученные результаты расчетов для области сходимости аналитического решения позволяют рассмотреть влияние параметров подобия Dr и Dk на температурный режим пластины при числе Ме = 3. При этом на всех рассмотренных режимах распределение температуры вдоль пластины является монотонно убывающей функцией с максимумом в передней кромке и минимумом на задней кромке.

На рис. 5 и 6 показано влияние параметра Dk (влияние теплопроводности материала пластины) при Dr = const на распределение температуры в продольном направлении. Увеличение параметра Dk (увеличение теплопроводности) приводит к уменьшению неравномерности в распределении температуры вдоль пластины, при этом максимум температуры снижается, а минимум температуры возрастает. Можно видеть, что зависимости при различных значениях Dk пересекаются между собой примерно в одной точке, расположенной вблизи середины пластины, с температурой Tw* & 0.747 для Dr = 1 и Tw*& 0.651 для Dr = 3. Указанные температуры примерно соответствуют температурам изотермической абсолютно теплопроводной пластины ( Dk ^ да, максимальное проявление сопряженности), значения которых должны определяться из уравнения глобального баланса тепла. Разность температур AT = Tw - Tw* указывает на ослабление роли сопряженности для пластины с конечной теплопроводностью и на усиление роли неизотермичности обтекаемой поверхности.

На рис. 7 и 8 показано влияние параметра Dr (влияние излучения тепловой энергии) при Dk = const на распределение температуры вдоль пластины. Увеличение параметра Dr (увеличение относительной роли радиационного теплообмена) приводит к снижению уровня температуры и возрастанию неравномерности в ее распределении вдоль пластины, поскольку максимум температуры уменьшается на меньшую величину по сравнению со снижением минимума температуры.

Заключение. Аналитический подход [5] к решению задач сложного теплообмена в рамках уравнений ламинарного пограничного слоя при нулевом градиенте давления применен для решения задачи сопряженного теплообмена для тонкой плоской теплопроводной пластины конечной длины. Сформулированная задача реализована в программе применительно к ПК. На частных примерах изучена сходимость решения в зависимости от параметров подобия и установлены области сходимости аналитического решения. Показано влияние параметров подобия на температурный режим плоской теплопроводной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком (Ме = 3) совершенного газа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соколова И. Н. Температура пластинки в сверхзвуковом потоке с учетом излучения // Труды ЦАГИ. — 1949 (Сборник теоретических работ по аэродинамике. — М.:

Оборонгиз. — 1957).

2. Chapman D., Rubesin H. Temperature and velocity profiles in the compressible laminar boundary layer with arbitrary distribution of surface temperature // J. Aeronaut. Sci. —

1949. Vol. 16, N 9.

3. Schlichting H. Die Warmeubergang an einer langsangestromten eben Platte mit veranderlicher Wandtemperatur // Forschung auf dem Gebiete des Ingeneurwesens. — 1951, N 1. B. 17.

4. Башкин В. А., Солодкин Е. Е. Расчет ламинарного пограничного слоя при отсутствии продольного градиента давления и в окрестности критической точки при переменной температуре поверхности // Труды ЦАГИ. — 1961. Вып. 825.

5. Башкин В. А., Диканский Е. А. Решение уравнений Прандтля при нулевом градиенте давления на неизотермической поверхности // Ученые записки ЦАГИ. — 2000.

Том XXXI, № 3 — 4.

6. Crocco L. Lo strato limite laminare nei gas//Associazione Culturale Aeronautika. Roma. — 1946.

7. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. — М.: Мир. — 1986.

8. Sohal М. S., Howell J. R. Determination of plate temperature in gase of combined conduction, convection and radiation heat exchange // J. Heat Mass Transfer. — 1973. Vol. 16, N 11.

9. Sparrow E. М., Lin S. H. Boundary layers with prescribed heat flux-application to simultaneous convection and radiation // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1965. Vol. 8.

10. Karvinen R. Some new results for conjugated heat transfer in a flat plate // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1978. Vol. 21, N 9.

11. Nonweiler T. Surface conduction of the heat transfered from a boundary layer // The colledge of aeronautic. — Cranfield. — 1952, Rep. N 59.

12. Кумар И. Дж., Бартман А. Б. Сопряженная задача теплопереноса в ламинарном пограничном слое сжимаемого газа с излучением // Тепло- и массоперенос. — 1968.

T. 9. Минск.

13. Дунин И. Л., Иванов В. В. Сопряженная задача теплообмена с учетом излучения с поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1974, № 4.

14. Башкин В. А., Солодкин Е. Е. Об определении коэффициента теплопередачи // ПМТФ. — 1961, № 3.

Рукопись поступила 15/II2005 г.