Вириальный подход к решению задачи о глобальной динамике Земли

Вириальный подход к решению задачи о глобальной динамике Земли

Ферронский В.И.

Институт водных проблем Российской академии наук

С времен Ньютона и Клеро считают, что Земля является инертным телом, ее вращательное движение происходит под действием сил инерции, а динамические эффекты определяет лунно-солнечный потенциал сил [5]. Идея инерционного вращения Земли появилась при рассмотрении задачи о фигуре планеты как о вращающемся сферическом теле, заполненном жидкостью и находящемся в гидростатическом равновесии в однородном силовом поле Солнца. Эта идея основывалась на представлении о том, что сумма внутренних сил взаимодействующих масс и вращающих моментов планеты равна нулю. Такое представление пришло из задачи двух тел, где последние в рамках оговоренных допущений были приняты за точечные массы, из которых, по Ньютону, исходили силы их притяжения, образуя центральное поле. В результате, в геодинамике утвердилось и до сих пор остается умозрительное представление о гидростатическом равновесии масс планеты и ее инерционном вращении. Что касается наблюдающихся эффектов прецессии и нутации оси вращения при движении Земли, то их объясняют возмущением Луны и Солнца, связанным с возможным избытком массы в зоне экватора из-за эллиптичности планеты.

Современные наблюдательные факты свидетельствуют о том, что идея гидростатического равновесия Земли не подтверждается. По результатам анализа большого числа измерений зональных и тессеральных гравитационных моментов, выполненных в последние десятилетия с помощью геодезических искусственных спутников при исследовании гравитационного поля Земли, установлено, что планета не находится в состоянии гидростатического равновесия. Ее фигура отклоняется от нормального эллипсоида вращения на величину квадрата сжатия, т.е. ~(1/300)2 [1, 3, 6]. Как отмечает Мельхиор [6], теперь есть доказательство того, что Земля не находится в гидростатическом равновесии и это вызывает трудности в интерпретации распределения плотности на основе сейсмических измерений. Однако, добавляет он, мы вынуждены использовать это условия, поскольку нет ничего лучшего. Следует отметить, что в модели инерционного вращения Земли значение ее потенциальной энергии оказывается на три порядка выше кинетической энергии, что противоречит

фундаментальному условию теоремы о вириале сил, согласно которому потенциальная энергия здесь должна быть равна удвоенному значению кинетической энергии.

Проблема вращения Земли обсуждалась на недавнем семинаре НАТО [14]. Было отмечено, что две задачи этой проблемы остаются неразрешенными. Ими являются вариации продолжительности суток и наблюдаемое Чандлеровское движение полюсов с периодом 14 месяцев против 10 месяцев, которые дает модель твердого тела Эйлера. Отмеченные факты, а также наблюдаемое изменение гравитационного поля, неравномерности угловой скорости вращения Земли, тектоника литосферных блоков и плит и глубинные геотектонические процессы свидетельствуют о необходимости развития новых физических подходов в решении задач динамики планеты.

Земля является самогравитирующим телом. Силы гравитационного взаимодействия его масс, а равно и силы инерции являются объемными величинами, действующими в пространстве 4п. Объемные по природе силы тяжести и силы инерции тела нельзя привести к векторной равнодействующей по определению. Как будет показано ниже, такие силы приводятся к равнодействующему давлению сил, распределенных по поверхности сфероида или эллипсоида. Собственное объемное силовое поле, которое генерируется в результате гравитационного взаимодействия масс тела, вызывает объемное движение и объемные деформации тех же масс. Силовое же поле Солнца и Луны лишь возмущает вращательное и колебательное движение Земли. Эти физические предпосылки использованы ниже для новой постановки и решения задачи о динамике Земли в собственном силовом поле. Задача решается методом моментов в рамках классической механики консервативных (однородных по плотности) и диссипативных (неоднородных) сплошных сред.

Приведение сил тяжести и инерции к равнодействующему сфероиду (эллипсоиду) силового давления

Будем исследовать задачу о динамике Земли как самогравитирующего одномерного шара с однородным и неоднородным распределением плотности массы, непрерывно распределенной по его объему. Движение шара будет относительным и происходит в собственном силовом поле и в силовом поле Солнца.

Из теоретической механики известно, что движение всякого тела слагается из поступательного (орбитального) движения его центра масс (центра инерции), из вращательного движения вокруг центра инерции и из движения масс тела, связанного с

изменением его формы и структуры [2]. В задаче двух тел об орбитальном движении тела последними двумя эффектами пренебрегают из-за их малости.

Для рассмотрения движения одномерного шара в собственном силовом поле его поступательное (орбитальное) движение относительно фиксированной точки (Солнца) нужно отделить от двух других составляющих движения. После чего можно рассматривать как вращение тела относительно центра масс под действием собственного поля сил, так и движение, связанное с изменением структуры и формы. Такого отделения требует лишь момент инерции шара, который зависит от выбора системы координат. Силовая же функция, определяемая как эффект взаимодействия всех пар частиц массы шара, не зависит от ее выбора [2]. Момент инерции шара относительно солнечной системы отсчета необходимо разложить на момент инерции его центра масс относительно той же системы отсчета и на момент инерции планеты, взятый в собственной системе отсчета. Чтобы сохранить условия инерциальности собственной системы отсчета, совместим ее с геометрическим центром масс.

Итак, примем абсолютную декартову систему координат Ос^т]С с началом в геометрическом центре Солнца и перенесем ее параллельно осям в геометрический центр симметрии масс шара, обозначив эту систему через Оху2 (рис.1). Момент инерции шара как инертного тела относительно солнечной системы отсчета будет

1С = £ щ*,

где т1 - инертная частица массы шара в солнечной системе отсчета; * - ее расстояние от начала солнечной системы координат.

Для разделения момента инерции (1) воспользуемся методом Лагранжа, который основан на его же алгебраическом тождестве вида

Ч< 1 <п ' М< 1 <п ' М< 1 <п ' 2 1<г<п 1<,<п

где а и Ъ - какие угодно величины; п - любое целое положительное число.

Математическое преобразование, связанное с разделением момента инерции п взаимодействующих материальных частиц относительно любой системы координат на две алгебраические суммы впервые было выполнено Якоби в его "Лекциях по динамике" [2, 10, 15]. Якоби было показано, что если ввести обозначения

& = X + А; п = у + В; о = z + С;

£ щ = М; £ тг&= МА; £ тЛ= МВ; т£г = МС,

где А, В, С - координаты центра масс в абсолютной системе отсчета,

то на основе тождества (2) получим

Е тгГ = Е +Е щп2 +Е Щ-С2 = Е тхХ +2 АЕ Щ-М2 Е Щ + +Е щ-У? +2 ВЕ тгуг + в Е т + Е + 2СЕ тг + с2 Е т.

Поскольку

М А = Е т-£ = Е тгХг + ЕЩА = Е тгХг + Ш ,

то

Е ЩХ1 = 0, а также Е ЩУ = 0, Е Щг = 0 . Теперь момент инерции (1) принимает форму

Е = М

где

М

Ет

М - масса шара; ЯЩ и гЩ - радиусы инерции шара, описывающие сферические поверхности с сосредоточенной и распределенной массой, которые определяют момент ее инерции в солнечной и собственной инерциальной системе отсчета.

Таким образом, момент инерции вращающейся вокруг Солнца массы шара в инерциальной системе отсчета мы разложили на два алгебраических слагаемых. Первое (5) представляет момент инерции шара в солнечной системе отсчета Ос^т]С. Второе слагаемое (6) представляет момент инертной массы шара в собственной системе отсчета Охуг. Этот момент инерции может определяться в любой системе отсчета с началом в центре масс О. Учитывая симметрию одномерного шара, примем полярную систему отсчета с началом в центре О. Тогда выражение (6) для полярного момента инерции шара 1Р примет вид

1р = Е т ( Хг2 + Уг2 + гг2 ) = Е Щ Гг2 = М Гт2. Откуда радиус инерции гЩ , описывающий сферическую поверхность, будет Е т г2

Гт2 .

М

Здесь М = Е Щ - масса шара относительно собственной системы отсчета.

При сферической симметрии шара выражение (8) можно записать в виде

Я л Т>2 К

-11 г 24п 2р

2

Г 2

М 0 мя 0

или

R

4п| г 4 р(г

........ = в,

4п1 = _0_= в МК3

4П2 MR2 МК2

откуда

Гт2=02&,

где р(г)- закон радиального распределения плотности массы шара; R - его радиус; в -безразмерный численный коэффициент, представляющий отношение поверхностей оболочек с приведенным радиусом сфероида инерции гт и шара радиусом R.

Значение в в зависимости от закона распределения плотности р(г) изменяется в пределах 1 > в >0. Этот коэффициент мы ранее назвали структурным форм-фактором момента инерции [15].

Аналогичным образом получим выражение для приведенного радиуса сфероида сил тяжести гё как отношение момента сил гравитационного взаимодействия масс оболочек шара с радиальной плотностью р(г), к моменту сил взаимодействия массы шара, распределенной по его внешней оболочке с радиусом R, т.е.

2 4ПО [ гр(г)т(г)ёг а ОМ 2

^ = —2-=

4п R2 ОМ^ ОМ

>2 г>2

К К

Выражение для радиуса тяготения, записанное через силовую функцию, будет

2 ОМ2

л

2 4пО\гр(г)т(г)ёг а-

= ^0-2-=-^ = а2,

4п R2 ОМ2 ОМ2

R R

г

где в соотношениях (11) и (12) т(г) = 4п| г2 р(г )dr.

0

Безразмерный коэффициент оО = rg/R2 есть отношение площадей поверхности сфероида сил тяжести с приведенным радиусом и радиусом шара R. Его значение зависит от закона распределения плотности р(г) и изменяется в пределах 1 > оО >0. Ранее [15] коэффициент оО был назван структурным форм-фактором силовой функции.

Численные значения безразмерных структурных коэффициентов оО и в для некоторых законов радиального распределения плотности р(г), полученные путем интегрирования выражений (10) и (12) для полярного момента инерции и силовой

функции, представлены в табл. 1 [15]. Заметим, что значения полярного 1Р и осевого 1а моментов инерции одномерного шара связаны соотношением 1Р=3/21а .

Таблица 1. Численные значения форм-факторов а и в 2 для радиального распределения плотности массы и политропных моделей шара

Закон распределения а2 Р2х в2

Индекс политропы

P(r) = Ро

P

p(r) = Рс(1 - r2/R2),

p

Радиальное распределение плотности массы

0.6 0,4

0.74 0.27

0.71 0.29

0.16k 2

p

p

0 1

1,5 2 3

3,5

8/k 1/k

0.5 0.67 Политропные модели

0.6 0.4

0.75 0.26

0.87 0.20

1.0 0.15

1.5 0.08

2.0 0.045

0.6 0.4 0.42 12/ k2

1.5/k

1.0

0.6

0.38

0.30

0.23

0.12

0.07

Из таблицы видно, что для однородного шара, где p(r)=const., приведенные радиусы инерции и тяготения совпадают. Их безразмерные структурные коэффициенты а и в численно равны 3/5, вращательные моменты сил тяжести и инерции уравновешиваются и поэтому вращение масс отсутствует. Так что

r2 Г2 3

-m- = = -

R2 R2 5'

откуда

rm = rg = V3/5R2 = 0,7745966R.

Для неоднородного по плотности шара при p(r) ^ const из (10)-(12) имеем

Из неравенства (15) и табл.1 видно, что у неоднородного шара по сравнению с однородным при возрастании плотности к центру радиус инерции уменьшается, а радиус тяготения увеличивается. Так как гЩ и гЩ< 0,77К < гё , то между объемными силами взаимодействия масс оболочек шара и силами их инерции появляется неуравновешенный вращающий момент. Теперь из соотношения (15) следует, что

твердотельным, а оболочечным и асинхронным. При возрастании плотности масс к поверхности знаки в выражениях (15) и (16) изменятся на обратные. Это замечание имеет важный физический смысл, поскольку характер распределения плотности определяет прямое и обратное направление вращение тела.

Основной вывод, который следует из приведенного выше рассмотрения состоит в том, что поле сил самогравитирующего тела приводится не к равнодействующей силе, проходящей через геометрический центр симметрии масс, а к давлению сил по замкнутой поверхности сфероида (эллипсоида). В случае однородного тела приведенные радиусы гравитации и инерции совпадают, а моменты вращения гравитационных и инерционных сил уравновешиваются. У неоднородного по плотности тела приведенные радиусы инерции и гравитации не совпадает. Между силами взаимодействия и инерции образуются неуравновешенные момент вращения и возникает сжатие оболочек. В приводимом ниже аналитическом рассмотрении задачи мы определим некоторые параметры той и другой системы.

Динамическое равновесие движения и уравнения вращения и колебания

В небесной механике и геофизике для выражения силовой функции и момента инерции неоднородного шара и эллипсоида вращения обычно прибегают к разложения этих величин в ряд по сферическим и эллиптическим функциям. Анализ результатов измерения гравитационных моментов Земли с помощью искусственных спутников показал, что все четные моменты в разложении потенциала по сферическим функциям, кроме второго, содержат член, равный квадрату сжатия планеты [3]. Соотношения (15)-(16) выражают ту же идею. Больше того, они говорят о том, что для решения задачи о динамике неоднородного самогравитирующего шара его силовую функцию и

гщ гто и гg гgo + ^гgt >

где индексы 0 и t относятся к однородному и неоднородному шару. Согласно (15) и (16) вращение оболочек одномерного

шара будет не

полярный момент инерции можно разложить на составляющие, которые соответствуют однородной по массе плотности и ее неоднородностям. Эти составляющие согласно принципу суперпозиции определяют нормальные и тангенциальные динамические эффекты неоднородного тела. Такое разложение для безразмерных структурных коэффициентов оО и в 2 было выполнено Гарсия Ламбасом с соавторами [17] в нашей физической интерпретации [15]. Для разложения использована вспомогательная функция относительного радиального изменения плотности шара вида

s )=г чх,

о р0

где ^ = г/К - отношение текущего к полному радиусу; р0 - средняя плотность шара радиусом г ; рг - радиальная плотность неоднородного шара; х - текущая координата;

К

значение (рг - р0) удовлетворяет условию | (рг - р0 )г2ёг = 0, а функция Ч/(1)=0.

Видно, что функция *F( s ) выражает радиальное изменение плотности массы неоднородного шара относительно ее среднего значения на расстоянии r/R. После замены переменных с помощью этой функции выражения потенциальной U и кинетической энергии K=Jpa 2 неоднородного самогравитирующего шара разлагаются в форме [16, 17]

U= а

GM2

9 1

R

K= ß2 MR V =

5 + —Jyxdx + 2J' ^

dx

— - 6 J ц/xdx

x

MR2©2.

GM2

R

или после соответствующего приведения

2 2 2 GM2 U=(a2o + ort + ос у)-

R

K=(ßo2-2ßt2)MR2V,

где ооо = во и 2Оt = в, а индексы о, t, у означают радиальную, тангенциальную и диссипативную компоненты рассматриваемых величин.

Поскольку потенциальная и кинетическая энергии однородного шара равны между собой (о02=в=3/5) , то

ио = Ко,

Ео = ио + Ко = 2и0.

Для выражения динамического равновесия между потенциальной и кинетической энергией взаимодействия неоднородностей с однородной массой из (17)-(18) имеем

2

2Ut = Kt,

Et = Ut + Kt =3Ut,

где E0, Et ,Uo, K0, Ut, Kt - полная потенциальная и кинетическая энергия колебания и вращения соответственно.

Уравнения (21)-(24) представляют выражения усредненной теоремы вириала для самогравитирующей однородной и неоднородной систем, которые определяют условия их динамического равновесия [4]. Потенциальная энергия UY взаимодействия самих неоднородностей теряется с граничной поверхности тела в виде излучения и является механизмом эволюционных процессов, которые непрерывно происходят.

Из эффектов взаимодействия однородной и неоднородной по плотности массы находим, что, как и следует из классической механики для диссипативных систем, вращательный момент сил N неоднородной гравитирующей системы относительно ее центра масс не равен нулю, угловой момент L системы не является постоянной во времени величиной, а энергия непрерывно расходуется при движении системы во внешнем поле на преодоление сопротивления трения и на поддержание равновесия в пространстве, т.е.

N = — ф 0, L Ф const., E Ф const. >0.

Система физически не может быть консервативной, если в ней присутствует трение или иные диссипативные процессы, поскольку из-за них величина Fds будет всегда положительной, а интеграл не может исчезнуть, т.е. [19]

Теперь, после того как найдено, что результирующая внутреннего гравитационного поля не равна нулю и что динамическое равновесие системы определяется вириальным соотношением между потенциальной и кинетической энергией, могут быть записаны уравнения движения самогравитирующего тела.

Ранее для описания и исследования движения однородного и неоднородного самогравитирующего шара нами использовалось вириальное уравнение Якоби [10, 15, 18]. Якоби (1884) вывел его из уравнений движения Ньютона для системы п взаимодействующих точечных масс и свел задачу многих тел к ее частному случаю - к задаче одного тела с двумя независимыми переменными вида [2,15]

где Ф=1/21 - функция Якоби; I - полярный момент инерции; Е = и + К - полная энергия; и и К - потенциальная и кинетическая энергия системы.

dt

| F • ds > 0

Ф = 2 E - U,

Уравнение (25) выражает закон сохранения энергии системы и описывает ее поведение в скалярных интегральных характеристиках U и Ф. Было показано, что кроме уравнений Ньютона, оно также выводится из уравнений движения Эйлера для сплошной среды, а также из уравнений Гамильтона, Эйнштейна и квантовой механики [15]. В русской литературе уравнение (25) известно как уравнение Лагранжа-Якоби, поскольку при его выводе Якоби использовал тождество Лагранжа (2) для разделения движения системы n материальных точек на движение их центра инерции и относительного движения тех же точек вокруг него. При усреднении движения по времени, когда Ф =0, уравнение (25) принимает форму и содержание уравнения теоремы о вириале сил Клаузиуса. Как известно, Клаузиус выводил эту теорему в приложении к термодинамической задаче кинетической теории газов и, в частности, применительно к условиям появившихся в то время машин Карно, которые реально работали во внешнем для этих машин поле сил тяжести Земли. В этой связи, для кинетической энергии системы газ - камера сгорания машины в выражение для кинетической энергии был введен коэффициент 1/2. Так что при обозначении суммарной кинетической энергии, которую тогда называли "живой силой", появился коэффициент 1/2, т.е.

K = 1V ту2.

2 / * г г

Как отмечал сам Якоби [10], смысл этого коэффициента состоит в том. что у машины Карно учитывалась только та работа кинетической энергии, которая оплачивалась, т. е. работа, совершаемая машиной, а не силой тяжести Земли. Например, при работе парового молота для забивки свай в машине учитывалась и оплачивалась только кинетическая энергия, необходимая для подъема молота, а энергия его падение происходила за счет силы тяжести в поле Земли и она не оплачивалась. Выше в (21)-(22) было показано, что в случае движения тела в собственном силовом поле коэффициент 1/2 исчезает, поскольку в этом случае тело движется только за счет собственной энергии.

Нами было найдено приближенное решение уравнения (25) для неоднородных гравитирующих систем с высокой симметрией распределения плотности массы, для

которых UVO = const. [15]. Теперь, после разложения силовой функции и момента инерции тела, при UY= 0 мы получим строгое решение уравнения движения (25), записав с учетом (22) и (24) два уравнения для радиальной и тангенциальной составляющей в виде

ф 0 = 2 Е(> - и 0-

Ф t = 1 Е< - и.

Учитывая найденную строгую связь (21) и (23) между потенциальной энергией и моментом инерции через структурные коэффициенты оо = Ро и 2о t = Рг2,

уравнения (26) и (27) приводятся к уравнению с одной неизвестной вида

В

Ф = - А +

где А и В - постоянные величины.

Общим решением уравнения (28) в полярной системе отсчета будет [17] В,

4Ф = — [1 - 8СС^- ф ) ] А1

t =

4 В

[ - 8 ( - ф ) ],

(2 А)3/2

где 8 и ф - постоянные интегрирования, зависящие от начальных значений функции Якоби Ф и ее первой производной Ф в момент времени го ; £ -вспомогательная независимая переменная; А = Ао = -1/2 Ео >0, В = Во = ио^ф0 для

радиальных колебаний; и А = Аг = -1/3 Ег>о , В =Вг =игу1ф для вращения.

Выражения для функции Якоби и ее первой производной в явном виде получим после соответствующих преобразований в форме рядов Лагранжа [15]

Ф =

В2

1 + 3 82 + 2

-зЛ

- 28 + -

cos Ь - — cos 2Ь - — cos 3Ь +. 2 4

Ф = 8В А

1 82 ( 2 2 \

sinЬ + — 8sm2Ь +--sinЬ12cos Ь - sin Ь1+...

2 2 у '

Частота колебания сог и угловая скорость сс оболочки на радиусе г будут [15]

СОог =

(2 Ар)3/2 4В0

Шо

о2огОМг

4

Jo

Р2г 3

г ог

П°р0

Сгг =

3/2

2и.

2о2ОМг

4

кег =л\-П° р00гкег

РРг3 ег V 3

4Вг V 3,

где иог и иг - радиальная и тангенциальная компоненты силовой функции (потенциальной энергии); 3ог и 3гг = 2/33ог - полярный и осевой момент инерции/

2

4

г

3

р0г = — \р(г; р(г) - закон радиального распределения плотности; рог - среднее

^г уг

значение плотности шара радиусом г; ¥г- объем шара радиусом г; 2а2 № вГ ; кег -безразмерный коэффициент, учитывающий эффект динамического сжатия оболочек.

Выражения (29)-(32) представляют законы движения Кеплера. При однородном распределении плотности массы частота колебания всех оболочек шара будет единой.

Вращение каждой оболочки зависит от ее плотности и приливного трения со стороны внутренней массы, определяемого коэффициентом кег . Его значение для внешней оболочки определится из выражений (31) - (32) и будет равно отношению

частоты радиального колебания к угловой скорости, т. е.

2 2 к = 1 =

е „2 4

0ц

3

0 -я&р0

По наблюдательным данным не трудно найти, что значения ке для тел Солнечной системы соответствуют величинам динамического сжатия этих тел.

Найдено, что безразмерный коэффициент ке е[0,1] в случае трехосного эллипсоида с осями а, Ь, с для эллипсоидального закона распределения плотности равен [15] F(ф,/) /а2 + Ь2 + с2

кг =

sinф / 3а2

• а2 - с2 где р = arcsmJ--— , f =

а' - Ь2 ~ й й

, а г(ф,г) - неполный эллиптический интеграл

2 2 а - с

первого рода в нормальной форме Лежандра.

Колебание и вращение Земли

Итак, в дополнение к уже полученному ранее решению о радиальных колебаниях Земли [15], теперь мы имеем строгое решение о ее вращении. Из формулы (31) видно, что радиальное колебание оболочек тела не зависит от фазового состояния массы и определяется ее средней плотностью. Корректность выражения (31) подтверждается результатами наблюдений. Так, период радиальных колебаний внешней оболочки Земли по формуле (31) и по нашим измерениями равен ~1.4часа [8, 9, 15], а Солнца по формуле (31) и по измерениям - ~2.8 часа [7].

Период вращения внешней оболочки Земли по формуле (32) равен ~ 24 часам. Здесь коэффициент геодинамического сжатия кег = 1/289.37 принят по данным измерения гравитационных моментов с ИЗС [6].

Отклонение оси вращения от нормали к плоскости орбиты планеты определим из отношения сумм вращательных моментов сил тяжести (потенциальной энергии) однородного (уравновешенно) и неоднородного (неуравновешенного) тела

Со^^Д^ = и= а =-06-= 0.918, 0 = 23.50 ,

Е и

а

0.66-а.

р

где ар - поправка на солнечно-лунное возмущение в третьем знаке, которую принимаем раной 0.006.

Для выявления природы прецессии и нутации оси Земли необходимо иметь сведения об условиях формирования ее оболочек, которые рассмотрим ниже.

Дифференциация массы Земли по плотности

Из сейсмических наблюдений известно, что Земля состоит из оболочек, имеющих разную плотность. Чтобы понять физику гравитационной дифференциации массы Земли по плотности во времени, а также выявить природу сил Архимеда и Кориолиса, рассмотрим эффекты взаимодействия оболочек разной плотности.

Как известно из теоремы Ньютона о гравитационном взаимодействии материальной точки и шарового слоя, последний в силу условий симметрии не оказывает никакого силового воздействия на точку, находящуюся внутри этого слоя. Напротив, материальная точка, находящаяся за пределами шарового слоя, подвергается с его стороны силовому воздействию. На этой теореме основана приливная динамика известного французского астронома Роша. Его подход состоит в следующем [16].

Два тела с массами М и т взаимодействуют по закону притяжения Ньютона (рис.2а). Пусть М>>т и Я>>г, где г - радиус тела т, а Я - расстояние между телами М и т. Полагая, что масса тела М равномерно распределена в пределах сферы радиусом Я, запишем выражения для ускорений точек А и В тела т в виде

= ОМ _ От = ОМ От

Чл = (Я - г)2 - г2 ' Чв = (Я + г)2 + г2 •

Относительное приливное ускорение точек А и В будет выражаться

М М 2т

ЧЛБ = О

=

(Я - г)2 (Я + г) 4 Яг

2

РмЯ—--2 - 2Ртг

8ПОГ

4 3 4 3

Здесь рМ = М /— пК и рт = т /— пг выражают средние значения плотности

распределения массы сфер радиусом К и г. Критерий Роша говорит, что тело массой т устойчиво против приливной силы тела М, если средняя плотность тела т вдвое превосходит среднюю плотность сферы радиусом К.

Теперь с помощью динамики Роша оценим приливную устойчивость сферического слоя радиусом К и толщиной г = КВ - КА (рис.2Ь). На слой массой т и средней плотностью рт = т / 4пК2А г в точке А действует приливная сила от сферы

4

радиусом КА. Масса сферы равна М, а средняя плотность рм = М / — пКъл

Приливную силу в точке В генерирует сфера радиусом К+ г и массой М+ т. Тогда ускорения в точках А и В будут

ОМ О

дА = и ч— =7К—2.

Ка

Относительное приливное ускорение в точках А и В запишется как

От

( + г )2 =

Чл— = ОМ

К

л

'2

= I 3Прм - 4пОрт) г = 4пОг рМ - ,

рт) ,

Выражения (34) и (35) позволяют понять природу геодинамических эффектов реальной Земли. Из приведенного выше рассмотрения задачи о приливном ускорении внешнего неоднородного сферического слоя шара следует, что при рМ -ф- рт соотношение (35) определяет эффект гравитационной дифференциации масс шара по плотности. В частности, при рм < рт оболочка погружается (притягивается) до уровня, где рм=рт . Если р >рт , то оболочка всплывает (отталкивается) до уровня рм=рт-, При рм >2/3рт оболочка становится самогравитирующей. Отсюда находим, что в случае возрастания плотности от поверхности к центру, как это наблюдается у Земли, каждый вышележащий слой находится во взвешенном состоянии и "плывет" на подстилающем слое за счет "выталкивания" силами Архимеда, которые физически представляют радиальную компоненту сил гравитационного взаимодействия масс.

Эффект гравитационной дифференциации масс объясняет природу формирования земной коры и океанов, геотектонических, орогенных и сейсмических процессов, включая землетрясения. Все эти процессы являются следствием непрерывно продолжающегося процесса разделения планетной массы по плотности. Очевидно,

данный эффект был одним из определяющих при образовании Земли и Солнечной системы в целом. Например, теперь значение средней плотности Луны менее 2/3 средней плотности Земли, т.е. рМ < 2/3рт. Если предположить, что такое соотношение плотностей сохранялось на стадии формирования двух тел, то, согласно уравнению (35), Луна стала самогравитирующим телом на ранней стадии дифференциации исходной массы Земли. Формирования самого тела из выделявшейся оболочки могло происходить с помощью механизма циклонических вихрей, который в свое время предлагал Декарт и который, как теперь становится ясно, был незаслуженно отвергнут. Если учесть появление тангенциальных сил взаимодействия, возникающих в неоднородных по плотности массах, то такой механизм является вполне реальным [16].

На основе анализа орбит ИСЗ найдено значение структурного коэффициента осевого момента инерции, равное = 0,3315 [3]. Тогда из выражений

полярный радиус инерции равен гш=3/2 г1^ л/1.5 • 0.3315Я2 = 0,70516Я=4.493'106м, а

радиус тяготения будет гё = л1а2 Я2 = 0,8164Я= 5,201 106м. В этой связи известная интерпретация радиального распределения плотности по данным сейсмического зондирования, которую дал Буллен [6], требует пересмотра. Оценим возможный характер усредненного непрерывного радиального распределения плотности, опираясь на спутниковые и сейсмические данные.

Радиальное распределение плотности Земли

Как известно, основой современного представления о радиальном распределении плотности являются опытные данные о скорости распространения продольных и поперечных сейсмических волн. В интерпретации Буллена [3, 6] сейсмические данные дают следующую картину. Плотность земной коры равна 2.7-2.8 г/cм3 и возрастает по некоторой кривой к центру планеты до ~13.0 г/см3 со скачками значений на границе Мохоровичича, между верхней и нижней мантией и на границах внешнего и внутреннего ядра. Буллен ввел скачки плотности после неудачной, как он решил, аппроксимации сейсмических данных параболической кривой, при которой получалось, что плотность ядра к центру должна падать. Буллен, естественно, не предполагал, что радиус инерции и радиус тяготения тела не находится в его центре масс, а поэтому там не находится и максимум плотности. Теперь. когда наши представления об этих величинах изменились, задача о радиальном распределении плотности требует нового рассмотрения.

Для поиска возможных путей решения такой задачи нами рассчитано и проанализировано ряд формальных кривых радиального распределения плотности, изменяющейся по параболическому закону вида рг = ро(ах2+ Ьх + с) ( где х=г/Я; а, Ь, с - численные коэффициенты; р0 - средняя плотность тела). Численные коэффициенты подбирались при различных заданных значениях плотности поверхностной оболочки рц и таким образом, чтобы масса планеты оставалась постоянной, т.е.

Я Я г2 г 4 3 3

М=4п| г 2р(г )йт = 4п| г 2р0(-а— + Ь— + с)йг = —пр0Я 3(— а + — Ь + с),

0 0 Я Я 3 54

33

где член -—а +—Ь + с = 1 позволяет вычислять и строить кривые в безразмерной

форме. На рис.3 показан спектр этих кривых от линейной зависимости 1 с максимумом в центре шара, до линейной зависимости 7 с максимумом на его поверхности. Кривые 1-7 пересекают оболочку 10 со средней плотностью и радиусом инерции гт=0.775Я, который здесь совпадает с радиусом тяготения гё. Спектр кривых распределения плотности дает принципиальную картину ее перераспределения в результате гравитационной дифференциации за историю Земли. Находим, что начальная кривая распределения плотности находилась в районе кривых 7-8 со значением плотности ~7-8 г/см3. Кривая плотности современного этапа эволюции находится около кривых 5-6 с плотностью ~ 2-3 г/см3 (или меньше) на поверхности, ~1-4 г/см3 в геометрическом центре и 7-8 г/см3 между оболочками гт и гё. Эти величины кривой плотности соответствуют найденным по орбитам ИСЗ значениям структурных форм-факторов р2 = 0.49725 и = 0.3315 и форм-фактора а=0.6601 силовой функции.

Распределение гравитационного потенциала и силы тяжести Земли

На основе принятого параболического закона радиального распределения плотности массы для приведенных на рис.3 кривых были рассчитаны и кривые радиального распределения гравитационного потенциала и силы тяжести (рис.4а, 4Ь) для пробной массы т=1, взаимодействующей с массой шара М. Расчеты выполнены по известным уравнениям теории притяжения [15]

.4

ТТ, . 4лОгг 2 , .. , "г , ^ ОМ 3 г4 1 г3 1 г1 3 ь 3 !

и(г) = — | г р(г№ + 4пО| гр(гКг = — —- 4ЬЯ - 2сЯ2 ~ 4а + Ь + 2с],

/ 1 4лО \ 2 ^ ОМ\

ч

т* •>

г2 Я2

0

3 г3 3 г2 г —а— + — Ь—т + с—

5 Я 3 4 Я 2 Я

Для построения графиков в безразмерной форме значения потенциала Иг отнесены к ик=ОМ/Я, а значения силы тяжести qr к дя=ОМ/Я2.

Как видно из рисунков 4а и 4Ь, при любом законе распределения плотности массы гравитационный потенциал в центре тела имеет положительный знак и его численное значение выше, чем на поверхности тела. Это означает, что в центре тела имеет место не гидростатическое давление вышележащих масс, как это считается в механике однородных консервативных систем, а давление излучения.

Для дальнейшего анализа возможного закона распределения плотности нами выбраны четыре из 10 приведенных выше парабол с уточненными численными коэффициентами (рис.5). Они удовлетворяют условию равенства относительного радиуса осевого момента инерции значению = 0,3315, найденному по данным анализа орбит ИСЗ, и соответствуют значению форм-фактора полярного момента инерции в2 =3/2р' '± = 0,49725. Численные значения параметров этих кривых представлены в табл. 2.

Таблица 2. Физические и динамические характеристики Земли для кривых радиального распределения плотности, представленных на рис.П.5.

N° кривой

1

2

3

4

Ps, г/см3 2.76 2.08 1.65 1.03224

рс, г/см3 13.8 10.455 6.315 1.6284

Р!^, г/см3/ км 13.8 / 0 10.455 / 0 8.26 / 2096 8.57 / 3122

р2х 0.33(3) 0.3315 0.3315 0.3315238

р2 0.50 0.49725 0.49725 0.49725858

р^ 0.10 0.10275 0.102752 0.10 2714

а 0.6607142 0.6607374 0.6607374 0.660143

аt 0.05 0.05 0.0513714 0.0513571

ау 0.0107142 0.009366 0.009366 0.0087859

г§ , км 5178.6 5178.7 5178.6 5176.4

Гш , км 4504.9 4492.6 4492.6 4492.7

Обозначения: р^ рс, р^-плотность поверхностная, в центре планеты и максимальная ;

р2 , Р^ -форм-факторы осевой, полярной и тангенциальной компонент радиуса инерции; а, а^ , ау - форм-факторы радиальной, тангенциальной и диссипативной составляющих силовой функции; ^ , гш - радиусы тяготения и инерции.

С учетом условия (35) приливной устойчивости при образовании планеты и очевидного процесса дифференциации массы по плотности, из представленных в табл. 2 данных находим, что ее наиболее вероятным динамическим параметрам отвечает кривая 4 или близкая к ней зависимость радиального распределения плотности. В этом случае положение радиуса инерции Земли приходится на нижнюю мантию, а положение радиуса тяготения попадает на верхнюю мантию. На нижнюю мантию приходится и максимум плотности. Эта оболочка вероятно сформировалась в процессе плотностной дифференциации масс. Наблюдаемые параметры вращения Земли относятся только к ее верхней оболочке (литосфере).

Прецессия и нутация оси вращения

По сейсмическим данным скачки плотности планеты наблюдаются на границах между литосферой и верхней мантией (~350-400 км), верхней и нижней мантией (~1000 км), нижней мантией и внешним ядром (~2700-2900 км) и между внешним и внутренним ядром (~5400 км). Из условия, определяемого выражением (32), эти границы можно рассматривать как поверхности изменения угловых скоростей вращения оболочек Земли и их динамического сжатия. Согласно выражению (33), интегральный эффект вращения всех оболочек и изменение формы приведенных эллипсоидов сил инерции и тяжести демонстрирует прецессия земной оси. Но вклад в этот эффект каждой из оболочек будет разный. Наблюдаемое суточное вращение Земли очевидно относится в к ее верхней оболочке, ограниченной поверхностью Мохоровичича (350 км), где обнаружен первый разрыв плотности. Верхняя и нижняя мантия составляют большую часть массы планеты. Они вносят основной вклад в этот эффект. Учитывая известные из наблюдений значения периодов прецессии и климатических ледниковых и межледниковых эпох, можно предположить, что средний период вращения верхней мантии может быть примерно вдвое меньше (~ 13000 тыс. лет), чем период нижней (~26000 тыс. лет). Внешнее ядро должно иметь весьма малый коэффициент динамического сжатия и его период вращения велик, а угловая скорость мала. Внутреннее ядро с нулевой скоростью поперечных волн не имеет вращения и скорее всего представляет жидкое или газообразное образование с низкой плотностью и низким давлением (~1.5 бар).

На внешней оболочке Земли "плавают" во взвешенном состоянии и имеют иную собственную угловую скорость твердая кора и океаны. Согласно уравнениям (29)-(32) вращение оболочек происходит по третьему закону Кеплера. Это означает, что при

каждом обороте оболочки ее угловая скорость пол-оборота ускоряется и вторые полоборота замедляется. При этом кора и океаны за счет инерции массы, будучи во взвешенном состоянии, при ускорении оболочки тормозят, а при замедлении -ускоряют ее движение. Эти эффекты инерции движения коры и океанов мы наблюдаем в форме суточных и полусуточных нутаций. Аналогичный эффект имеем при движении Луны. Силовое поле Земли ускоряет и замедляет движение Луна по орбите и вызывает месячные и полумесячные нутации верхней оболочки (оси) Земли. Тот же эффект наблюдается при движении Земли по орбите вокруг Солнца. Он дает не только годовую и полугодовую нутацию, но и Чандлеровскую составляющую качания оси с периодом 420 дней. Последний эффект пропорционален 27 дневному периоду вращения Луны и Солнца и составляет 365/27 = 14 мес.

Инерционное качания земной коры и океанов с их реверсивным ускорением и торможением вращательного движения верхней оболочки известно в геофизике как эффект Кориолиса. Кроме нутации оси он объясняет природу таких важных геодинамических процессов, как тектоника плит, океанические течения, неравномерность вращения Земли и продолжительности суток, короткопериодные изменения погоды и климата и синхронность качания с лунными приливами.

Можно с полной определенностью считать, что Луна и Солнце являются неоднородными (оболочечными) телами. Их оболочки вращаются по тем же законам с разной угловой скоростью. По этой причине оси вращения их верхних оболочек также прецессируют с соответствующими периодами и имеют инерционное качание. Эффект прецессии оси верхней оболочки Луны наблюдается в главной нутации земной оси с периодом 18.6 лет, а прецессия оси верхней оболочки Солнца проявляется во вращения орбит планет. Качание верхней оболочки Луны может объяснить ее либрацию и нарушение условия Ньютона при орбитальном вращении вокруг Земли.

Такова природа прецессии и нутации оси Земли, вытекающая из рассмотрения ее динамики как самогравитирующего тела.

Заключение

Мы получили принципиально новое решение задачи о вращении и колебании небесного тела в собственном силовом поле, которое генерируется самим телом, представляющем как консервативную, так и диссипативную систему. Из рассмотрения этой задачи следует, что двухкомпонентная модель плотности массы Мак-Миллана [20] для объяснения природы потенциальной энергии взаимодействия и подход Коимми

[11-13] для потока Хаббла при взаимодействии однородной среды и для получения углового момента при взаимодействии неоднородностей с однородной массой находят успешное приложение в динамике небесного тела и геофизике в рамках дальнейшего развития и решения задач методами классической механики.

Решение задачи о динамике самогравитирующего тела может найти множество новых приложений в астрономии, науках о Земле и о природных изменениях окружающей среды обитания.

Литература

1. Грушинский Н.П. Теория фигуры Земли. М.: Наука, 1976. 512 с.

2. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука,1975. 800 с.

3. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука, 1978. 192 с.

4. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Курс физики, Т.1. (Перев. с англ). М.: Наука, 1971. 480 с.

5. Клеро А.К. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. (Перевод с франц.). М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. 288 с.

6. Мельхиор П. Физика и динамика планет. (Перевод с франц.). М: Мир. 1976. 411 с.

7. Северный А.Б. Некоторые проблемы физики Солнца. М.: Наука, 1988. 222 с.

8. Ферронский С.В. // Физика атмосферы и океана. 1984. Т. 20. С. 922.-928.

9. Ферронский В.И., Денисик С. А.,Ферронский С.В. // Физика атмосферы и океана.

1984. Т. 20. С. 802-809

10. Якоби К. Лекции по динамике. (Перевод с нем.). М.-Л.: Техлитиздат, 1936. 252 с.

11. Caimmi R. // Astron. Nachr. 1992. V. 313. P.165-182.

12. Caimmi R. Private communication. 1997.

13. Caimmi R, Secco L. // Astron., Astrophys. 1990. V. 237. P. 336-344.

14. Сazenave A. (Ed.). Earth Rotation: Solved and Unsolved Problems. Proc. NATO Advanced Research Workshop. Dordrecht: Reidel, 1986. 320 p.

15. Ferronsky V.I.,Denisik S.A.,Ferronsky S.V. Jacobi Dynamics. Dordrecht: Reidel, 1987.366 p.

16. Ferronsky V.I., Denisik S.A., Ferronsky S.V. // Celest. Mech. & Dynam. Astron. 1996. V.64. P.

167-183.

17. Garcia Lambas D., Mosconi M.B., Sersic J.L. // Astroph. & Space Sci. 1985.V. 113. P. 89-98.

18. Giordano C.M., Plastino A.R. // Celest. Mech. & Dynam. Astron. 1999. V. 75. P.165-183.

19. Goldstein H. Classical Mechanics, 2nd Ed. Reading-Massachusetts: Addison-Wesley, 1980. 642 P.

20. Mac Millan W.D. The theory of the Potential. New York: Dover, 1930. 260 P.

21. Whitteker E. T., A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies.

Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1937. 420 P.

Подписи к рисункам

Рис.1. Отделение момента инерции Земли в собственной инерциальной системе отсчета при ее относительном движении в силовом поле Солнца.

Рис. 2. Приливная гравитационная устойчивость тела (а) и шарового слоя (Ь) по Рошу.

Рис.3. Спектр кривых радиального распределения плотности массы Земли по параболическому закону в безразмерной форме.

Рис. 4. Спектр кривых радиального распределения силовой функции (а) и силы тяжести (Ь) Земли для пробной массы при параболическом законе распределения плотности массы в безразмерной форм.

Рис.5. Возможный спектр непрерывного распределения плотности массы Земли при значении структурного коэффициента Р^2 = 0.3315, найденного на основе анализа траекторий ИСЗ.

О

Ос Рис. 1

Рг /р0

0.5 Рис. 3

1.0 г/Я

Я

м

иг /ио

А рт 7 В

Рис. 2

0.5 Рис. 4 а

1.0 г/Я

Яг /40

Р 12.0

8.0

4.0

0.5

1.0 г/Я

0.5 1.0 г/Я

Рис. 4Ь

Рис. 5

г

С

0

0

0

0

0