К вопросу о моделировании напряженно-деформированного состояния колеса вагона

К вопросу о моделировании напряженно-деформированного состояния колеса вагона

В. М. МЕЛАНИН, канд. техн. наук, доцент кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», Московский государственный университет путей сообщения

Рассматривается напряженно-деформированное состояние (НДС) колеса при движении вагона с учетом не-регулярностей контактирующих поверхностей колеса и рельса, имеющих относительно плавный характер и не вызывающих отрыва колеса от рельса. К подобным воздействиям можно отнести постоянную реакцию рельса, неравномерный прокат, пробуксовку при невысоких скоростях движения, волнообразный износ.

В качестве исходного задается закон изменения реакции от колеса во времени в виде ряда Фурье, что позволяет учесть импульс реакции любой формы.

Расчет колеса строится с применением метода конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений.

В качестве независимых функций при составлении разрешающей системы уравнений выбираются узловые перемещения: продольное и; тангенциальное (окружное) V; радиальное ю и угол поворота в в плоскости, проходящей через образующую диска и ось вращения колеса.

Расчленим исследуемую конструкцию на три основных узла:

• диск колеса, представляющий собой оболочку вращения с переменной толщиной, которая в аппроксимации представляются ступенчато-переменной;

• обод как криволинейный с круговой осью стержень постоянного сечения;

• ступицу колеса, которая вместе с подступичной частью оси препятствует любым перемещениям граничных окружностей сопряжения с диском, и учитывается в виде соответствующих граничных условий на этих окружностях.

При применении МКЭ для аппроксимации диска колеса приняты кольцевые отсеки оболочки вращения с прямолинейным меридианом. В общем случае отсеки имеют форму усеченного конуса, а вблизи обода и ступицы вырождаются в кольцевые отсеки пластины. В пределах каждого отсека геометрические характеристики полагаем постоянными, в частности пренебрегаем технологическими отверстиями в диске. Для учета обода вводится стержневой конечный элемент типа кольцевого стержня.

Галтель перехода от диска к ободу будем относить частично к диску так, чтобы для нее была применима теория оболочек, а частично — к ободу. Аналогично поступим с галтелью перехода от диска к ступице.

Методика моделирования НДС строится на следующих допущениях:

• материал колеса полагается однородным и сплошным;

• конструктивными нерегулярностя-ми в виде отверстий в диске пренебрегаем;

• диск рассматривается как оболочка вращения с применением моментной теории оболочек;

• обод рассматривается как криволинейный стержень с кольцевой осью на основе гипотезы плоских сечений;

• при рассмотрении обода не учитываются его деформации изменения кривизны из плоскости линии центров тяжести сечений;

• галтель перехода от диска к ободу частично относится к оболочке диска, а частично — к ободу;

• обод и прилегающая к нему зона диска имеют одинаковые линейные перемещения и углы поворота;

• галтель перехода от диска к ступице частично относится к диску, а частично — к ступице;

• ступица колеса вместе с подступич-ной частью оси рассматриваются как жесткая заделка (они препятствуют любым перемещениям граничных точек диска);

• диск аппроксимируется набором конических или плоских отсеков;

• при определении кинетической энергии конечных элементов не учитывается влияние поворотов сечений;

• рассматривается только установившийся процесс колебаний; возможность исключения переходного процесса колебаний в начале неровности связана с тем, что частота изменения реакции рельса много ниже частот собственных колебаний колеса;

• силы внутреннего трения в материале не учитываются, так как влияние их велико при резонансных явлениях, а они маловероятны по причине, обозначенной в предыдущем пункте.

Расчетная схема колеса при применении МКЭ приведена на рис. 1.

Геометрические соотношения в матричной форме имеют вид:

е = [й?]-Г,

где £ — вектор деформаций; [Л] — матрица-оператор преобразования перемещений в деформации; Ш — вектор перемещений, зависящий от времени.

Физические соотношения:

# = №,

где N — вектор внутренних усилий в оболочке; [В] — матрица жесткостных параметров оболочки.

I*

I

Рис. 1. Расчетная схема колеса

Для диска колеса входящие в соотношения (1), (2) величины запишем на основе моментной теории оболочек [1]. Для обода, представляемого круговым стержнем, как уже отмечалось, используем гипотезу плоских сечений.

Разрешающая система дифференциальных уравнений составляется с помощью уравнения Лагранжа второго рода [2] с учетом принятых допущений:

й (дТ Л дТ дП дА „

— I——--^ + ——--— = 0 ,

й [дЖ) дЖ дЖ дЖ

где Т = \p\-W ¿а

ская энергия системы;

— полная кинетиче-

7 *

— потенциальная энергия де-

формации системы;

А = ^<1 Ж <¿£1 — работа внешних сил; а

I — время;

Ф — вектор перемещений; [р] — матрица плотностей материала; ^ — вектор интенсивностей внешних нагрузок по направлениям соответствующих перемещений;

О — область интегрирования.

При применении МКЭ слагаемые в уравнении Лагранжа находятся путем суммирования по всем конечным элементам. Для этого рассматривается отдельно каждый элемент и вычисляется его потенциальная и кинетическая энергии, а также работа внешних сил в случае приложения к нему нагрузки. Каждая из этих величин выражается через вектор узловых перемещений конечного элемента путем аппроксимации перемещений при помощи соответствующих функций формы.

где — вектор узловых перемещений; [Ф] — матрица функций формы; т — номер гармоники.

С учетом аппроксимации (311) находятся производные величин, входящие в (3):

дп ¿(д т) - эл й

где [г] — матрица жесткости; [т] — матрица масс;

Р — вектор внешних нагрузок, зависящий от времени.

Рассмотрим правила формирования этих величин для каждого типа конечных элементов и для конструкции колеса в целом.

Для отсека оболочки принята местная система координат О§8£ с началом в левом узле. Отсеки, прилегающие к ступице и ободу и являющиеся отсеками пластины, рассматриваются как частный случай конического отсека, образующая которых направлена по радиусу (р = 90°).

Для отсека в аппроксимации перемещений (4) следует положить: ™ = \ил, ил, №л, вл, ып, ь„, тп, вп } — вектор узловых перемещений отсека;

[Ф] — матрица функций формы перемещений в виде тригонометрических рядов по окружной координате, коэффициентами которых являются полиномы от меридиональной координаты. Область интегрирования является двумерной и представляет собой срединную поверхность элемента.

Подставив аппроксимацию (4) в уравнение Лагранжа (3) и вычислив производные, получим выражения для матриц жесткости масс отсека:

I 2я

И=Ц[фГМтИМ[Ф]^;

о о

И = }2/[ФПР].[Ф]Я^.

о о

рй 0 0' где [р] = 0 рй О О 0 рй

р — плотность материала; Ь — толщина оболочки диска.

Каждая матрица распадается на блоки восьмого порядка, каждый из которых соответствует гармонике с номером т.

Стержневым конечным элементом будет обод колеса. Для обода функции формы перемещений примем в виде тригонометрических рядов с узловыми перемещениями в качестве коэффициентов. Они зависят от времени.

Для обода, как криволинейного стержня, матричные выражения потенциальной и кинетической энергии записываются с использованием исходных соотношений кругового стержня и для одномерной области интегрирования ф — окружности центров тяжести поперечных сечений обода. Тогда выражения для матрицы жесткости и матрицы масс выразятся:

о

И = 2/[ФПр][Ф]М?;

где

[р]=

рр о о о

о р^ о о

О 0 pF О

ООО pJi

Р — площадь поперечного сечения обода;

— полярный момент инерции сечения обода при скручивании его.

Матрицы жесткости и масс распадаются на отдельные блоки четвертого порядка. Каждый блок соответствует гармонике с номером т.

Полученные матрицы отсека и обода необходимо представить в общей системе координат посредством операции преобразования базиса [3].

При объединении вкладов в уравнение Лагранжа (3.9), вносимых всеми конечными элементами, разрешающая система уравнений представляется в следующем виде:

[/я]й+[г]и> = Р(0;

где [т] — матрица масс конструкции; [г] — матрица жесткости конструкции; Р(?) — вектор внешних нагрузок конструкции; й> — вектор узловых перемещений конструкции.

Матрица жесткости и матрица масс для конструкции в целом формируются из соответствующих матриц всех конечных элементов в соответствии со структурой вектора узловых перемещений конструкции.

Внешние нагрузки будем прикладывать к колесу только с наружной стороны обода (по поверхности катания или к гребню). Поэтому в векторе внешних нагрузок конструкции колеса ненулевыми могут быть только последние четыре элемента, полученные наложением вектора внешних нагрузок обода.

По характеру действия к безударным воздействиям можно отнести, во-первых, постоянную по модулю реакцию рельса (в частном случае — статическую нагрузку), а во-вторых, периодическую безударную нагрузку, вызываемую нерегулярностями поверхностей колеса и рельса

На колесо со стороны рельса действует постоянная по модулю реакция, причем при качении колеса точка контакта с рельсом перемещается по окружности катания. Данный режим можно рассматривать, полагая колесо неподвижным, а точку приложения реакции рельса — вращающейся по поверхности катания.

Действие радиальной и осевой (горизонтальной) составляющих реакции рельса учитывается через соответствующие компоненты вектора интенсив-ностей внешних нагрузок при вычислении работы внешних сил.

Реакцию можно полагать равномерно распределенной по дуге окружности ка-

тания с координатами в\ и в2. Тогда вектор внешних нагрузок обода выразится: А _

p = \qT^]Rl¡dp,

А

где q = |^и; 0; qw} — вектор интенсивностей внешних нагрузок, равномерно распределенных по дуге;

qu- интенсивность реакции рельса в осевом (боковом) направлении;

qw - интенсивность радиальной реакции рельса; Кк — радиус окружности катания.

Вследствие высокой жесткости обода реакцию от рельса можно также считать приложенной точечно, что идет в запас прочности. В этом случае:

где К = {Р; 0; К} — вектор реакций, действующих на обод;

Р — горизонтальная (боковая) реакция рельса; К — радиальная реакция рельса.

При качении колеса площадка (или точка) действия реакции перемещается по кругу катания, т. е. в функциях формы перемещений [Ф] изменяется угол в. В случае постоянной скорости движения этот закон носит периодический характер, например, для радиального перемещения:

Е„ V

соапр = 2,к ,

п п Л,

где Удв — скорость движения вагона; п — номер гармоники разложения перемещений в ряд.

Представим вектор внешних нагрузок (5) или (6) в виде аналогичного тригонометрического ряда:

_ -г. _ пК,

п "К

где рп — амплитуда вектора внешних нагрузок для гармоники п.

Вектор преобразуется к общей системе координат с помощью операции преобразования базиса [3].

Система дифференциальных уравнений для каждой гармоники п принимает вид:

= ,

Л«

Решение уравнения (9) ищется в виде:

nVd,

w = w.cos-1

Я

— t ,

где юп — вектор амплитуд узловых перемещений для гармоники с номером п.

Подставив решение (10) в уравнение (9), получим систему алгебраических уравнений отдельно для каждой гармоники возмущающей нагрузки:

i í nV¡. Y

wn - ра

Система уравнений (11) разрешается относительно вектора амплитуд узловых перемещений для каждой гармоники п. Производя суммирование по всем гармоникам, вычисляют вектор узловых перемещений в любой момент времени и с его помощью — все требуемые параметры напряженно-деформированного состояния котла.

К рассматриваемому типу воздействий будем относить неравномерный прокат на поверхности катания колеса, волнообразный износ рельса, пробуксовку и т. п. при относительно низких скоростях движения.

Для получения вектора внешних нагрузок обода можно воспользоваться соотношениями (5) или (6). При этом реакция рельса представляет собой периодически повторяющийся во времени импульс. Изменение реакции во времени представляется в виде тригонометрического ряда. Это позволяет даже для импульсов сложной формы вести расчет по каждому члену ряда отдельно, а затем суммировать полученные НДС.

где Е/ — амплитуда г'-й гармоники вектора

внешних нагрузок;

0)г — частота г'-й гармоники.

Кроме того, при качении колеса точка приложения реакции перемещается по кругу катания, т. е. в функциях формы перемещений [Ф] изменяется угол в в соответствии с законом (7). Следует отметить, что при наличии нерегулярностей на поверхности катания колеса частота изменения модуля реакции совпадает с частотой вращения колеса. В случае же нерегулярностей на поверхности рельса эти частоты различаются.

Подставив (12) в выражение для вектора внешних нагрузок, получим каждую гармонику вектора как суперпозицию двух периодических составляющих:

"Zlt

яЦ. 1 . [ пЦ. а <о,Л--í+sin а,--

" А А ,

где i — номер гармоники разложения реакции в ряд по времени;

n — номер гармоники разложения перемещений в ряд;

pn — амплитуда вектора внешних нагрузок для гармоники n, полученная исходя из значения амплитуды Ri реакции рельса.

Расчет от каждой из указанных составляющих можно вести независимо с последующим суммированием результатов. Для краткости обозначим каждый член ряда разложения вектора внешних нагрузок:

в а в

Pj = sin COjt ,

- Рш , fnVu.

где п. = £-SL ; СО, =(0,±--

2 Rk

Радиус, м

--h = 0

— - h = 3 мм, L = 1 м, V = 40 м/с

..... h = 0,2 мм, L = 0,1 м, V = 20 м/с

— h = 1 мм, L = 0,25 м, V = 40 м/с

Рис. 2. Изменение напряжения (0'11) в диске колеса по радиусу при волнообразном износе поверхности рельса

Угол, градусы

а в

»------™:- 'J^'íij-™ Ук

-1К i

/

h= 0

h = 3 мм, L = 1 м, V = 40 м/с h = 0,2 мм, L = 0,1 м, V = 20 м/с h = 1 мм, L = 0,25 м, V = 40 м/с

Рис. 3. Изменение напряжения (010 в диске колеса по окружности при волнообразном износе поверхности рельса

Для каждой гармоники (13) система дифференциальных уравнений принимает вид:

[ш]№+[/-]№=^.8тй)уг. (14) Решение уравнения (14) ищется в виде:

w-wj%m

где й — вектор амплитуд для гармоник узловых перемещений с номерами i, п.

Подставив решение (15) в уравнение (14), получим систему алгебраических уравнений отдельно для каждой гармоники возмущающей нагрузки.

Система уравнений (16) разрешается относительно вектора амплитуд узловых перемещений для каждой гармоники / Производя суммирование по всем гармоникам, вычисляют вектор узловых перемещений в любой момент времени и с его помощью — все требуемые параметры напряженно-деформированного состояния колеса.

Далее приводятся результаты расчета колеса с применением разработанной методики при различных внешних воздействиях. Рассчитывалось колесо, имеющее стандартный профиль катания.

На рис. 2, 3 приведены графики изменения напряжений о11 в диске колеса

по радиусу и по окружности при различных параметрах движения. Общий характер распределения напряжений в колесе практически одинаков при различных скоростях движения V и параметрах неровности (глубине рифлей Ь и длине волны Г).

Максимальные напряжения возникают в диске вблизи галтели перехода к ободу в сечении, проходящем через точку контакта с рельсом.

Из графиков видно, что волнообразный износ рельса вызывает существенное повышение уровня напряжений в колесе.

Например, при глубине рифлей Ь = 0,2 мм, длине волны Г = 0,1 м и ско-

рости движения V = 20 м/с максимальные напряжения (116,71 МПа) в 2,4 раза превышают максимальные напряжения в колесе при движении по прямому рельсу (48,27 МПа).

Возмущение, вызванное неравномерным прокатом на поверхности катания колеса, выражается в перемещении центра тяжести неподрессоренной массы. При относительно низких скоростях оно имеет безударный характер.

Нарис. 4,5 приведены графики изменения мгновенных напряжений в колесе по радиусу и окружности. Сплошной линией показаны кривые для случая отсутствия неравномерного проката, штриховой линией — для случая данного дефекта глубиной Ь = 10 мм.

Графики демонстрируют, что наличие неравномерного проката даже при безударном характере воздействия вызывает значительное повышение уровня напряжений. При скорости 40 м/с максимальные напряжения повышается в 3 раза по сравнению со случаем отсутствия нерегулярности (144,92 МПа при Ь = 10 мм против 48,27 МПа при Ь = 0 мм).

Максимальные напряжения возникают в диске вблизи галтели перехода к ободу на образующей, соответствующей середине дефектного участка поверхности катания. Это объясняется, с одной стороны, близостью точки приложения максимальной реакции рельса, с другой — наименьшей толщиной диска в данной зоне.

Разработанная методика была применена также для расчета колеса на штатные нагрузки, к которым будем относить воздействия со стороны рельса, не связанные с дефектами взаимодействующих поверхностей. При этом точка приложения реакции перемещается по окружности поверхности катания колеса. Вертикальная реакция рельса принималась равной 123 кН.

На рис. 6 приведена зависимость напряжения в фиксированной точке диска от круговой частоты вращения

Частота, рад/с

Рис. 6. Зависимость напряжений в диске колеса при действии радиальной нагрузки от круговой частоты

колеса. Напряжение (вдоль образующей) вычислялось на внутренней поверхности диска колеса в нижней точке окружности радиуса Я = 0,23 м. Следует отметить, что столь широкий диапазон частот вращения не может иметь места при эксплуатации вагона. Однако это было сделано, во-первых, с целью отработки методики, а во-вторых, чтобы обнаружить явление резонанса.

Как видно из графика, при частотах до 10 000 рад/с напряжения близки по значению к напряжениям при описанном выше статическом приложении внешней силы (неподвижное колесо) и незначительно уменьшаются с ростом частоты. Мгновенное распределение напряжений в колесе относительно точки приложения реакции практически совпадает со статическим распределением напряжений. Это объясняется тем, что во всем диапазоне эксплуатационных скоростей частота изменения (точки приложения) реакции существенно ниже наименьшей собственной частоты колебаний колеса.

При дальнейшем росте частоты вращения напряжения начинают возрастать, и при значении частоты около 12 000 рад/с и 14000 рад/с имеют мес-

то всплески значений напряжений, превышающих во много раз «статические» значения. Расчетами выявлено два подобных всплеска. При дальнейшем повышении круговой частоты напряжения снижаются, а со значения частоты около 20 000 рад/с начинают незначительно повышаться.

Описанный характер зависимости хорошо согласуется с теоретическими и экспериментальными данными по возникновению явления резонанса в колеблющихся системах различных классов. При относительно низких частотах силы инерции слишком малы, чтобы оказать заметное влияние на уровень напряжений. Всплески напряжений при некоторых частотах связаны с тем, что данные значения близки к значениям частот собственных колебаний объекта, т. е. с явлением резонанса. Высокие значения этих частот можно объяснить значительной жесткостью колеса.

Хотя данным расчетом выявлено лишь две подобные частоты, количество собственных частот равно количеству степеней свободы. Необходимо учесть, что из-за различия форм собственных колебаний явление резонанса при других частотах может не обнаружиться на основе значений

только данного напряжения стЦ Поэтому только на основании приведенного графика нельзя утверждать, что собственные частоты, близкие к 12 000рад/с и 14000 рад/с, являются наименьшими.

Более точное наименьшее значение собственной частоты, полученное с помощью специально разработанной методики исследования собственных колебаний, составляет 8960 рад/с. Оно существенно превышает возможные в эксплуатации вынужденные частоты, поэтому во всем диапазоне скоростей движения вагона можно пользоваться статическими значениями напряжений, принимая их в качестве мгновенных значений.

Литература:

1. Филин А. П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1975.

2. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Ч. 2. Л.; М.: ОГИЗ, 1948.

3. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Строй-издат, 1982.

4. Меланин В. М. Моделирование напряженно-деформированного состояния вагонного колеса, вызываемого ударом о головку рельса. Мир транспорта. 2010. № 3. С. 20-25.

Наш новый проект — федеральный журнал

v-! и, цпил м ^п р уиу

НАУКА „ ТРАНСПОРТ

Специализированное издание

о достижениях отечественной науки

и производства по всем видам транспорта

Целевая аудитория —

ведущие специалисты транспортного комплекса и смежных отраслей.

График выхода издания и темы номеров:

15.02.2012 Гражданская авиация

30.03.2012 Морской и речной транспорт

31.05.2012 Модернизация железнодорожного транспорта

15.11. 2012 Транспортное строительство

Тираж 7000 экз. Формат А4

Полноцветная печать

вопросап/глЬдписки и размещения рекламы обращайтесь 8 редакцию: )^-ПРЁСС^»Д190031, Санкт-Петербург, Московский пр. д.9, офис 8-149 * Тел. (812)310-40-97 www.rostransport.com