Специальная теория относительности и механика силовых линий

- Физика -

УДК 537.8; 530.12:531.18 Г.Ф. Крымский

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА СИЛОВЫХ ЛИНИЙ

Освещены основные понятия специальной теории относительности (СТО) и электродинамики. С помощью простой гидродинамической модели показано, что уравнения Максвелла можно истолковать как следствие механики силовых линий.

Ключевые слова: специальная теория относительности, уравнения Максвелла, механика силовых линий, электрическое поле, плотность потока энергии.

Введение

Замедление времени

Уравнения Максвелла, управляющие поведением электромагнитного поля, совместимы с представлением

о механике силовых линий. Силовые линии при этом выступают в качестве упругой среды, подвергаемой деформациям. Нами сделана попытка построить такую механическую модель.

Вначале получены основные формулы специальной теории относительности. С самого начала вводится и используется понятие быстроты как основной кинематической характеристики движения. Затем вводится понятие электрических силовых линий, подсчитываются плотность энергии и давление электрического поля. Рассматривается движение силовых линий в отсутствие ускорений и выделяется эффект, который может быть истолкован как действие магнитного поля. Далее с помощью гидродинамической модели находятся выражения для плотности импульса и плотности потока энергии электрического поля, а с их использованием - уравнения Максвелла.

При рассмотрении механики силовых линий мы убедимся, что волновые процессы с их участием протекают с предельно большой скоростью. При таких движениях перемещения в поперечных направлениях предстают сильно замедленными. Это означает, что все движения становятся фактически одномерными. Поэтому мы будем, в основном, пользоваться представлениями одномерной механики.

Основной эффект теории относительности - замедление времени в движущейся системе отсчета. Мысленный опыт состоит в том, что наблюдатель движется параллельно плоскому зеркалу со скоростью и на расстоянии d от него. Он испускает световой сигнал, который спустя 2d

время 2t0 = — возвращается к нему после отражения c

от зеркала. Здесь о - скорость света, которую мы будем в дальнейшем полагать равной 1 путем выбора подходящей системы единиц.

Неподвижный наблюдатель видит более длинный путь светового сигнала 2s и время его прохождения 2s

21 = . Из простых геометрических соображений имеем

о

s — д/d +

После подстановки

d2 + (ut)2 = tc

находим

Величина

t=

d

Г-2 2

yc _ u

= toY •

Y =

КРЫМСКИЙ Гермоген Филиппович - д.ф.-м.н., академик РАН, советник РАН, Институт космофизических исследований и аэрономии ЯФ СО РАН.

E-mail: krymsky@ikfia. ysn.ru

называемая лоренц-фактором, играет ключевую роль в специальной теории относительности.

Мы видим, что для неподвижного наблюдателя время, затраченное на опыт, в у раз больше. Следовательно, он должен сделать заключение, что время, измеряемое часами движущегося наблюдателя, замедлено в у раз.

Измеряя взаимную скорость и, оба наблюдателя в соответствии с принципом относительности должны полу-

1

2

чать одно то же значение. Это возможно лишь потому, что движущемуся наблюдателю проходимое им расстояние представляется сокращенным в у раз.

Таким образом, движущиеся часы замедляют свой ход, а движущиеся стержни сокращают длину в направлении своего движения. Это сокращение называют ло-ренцевым.

Равномерно ускоренное тело

Подвергнем тело постоянному ускорению а0. В лабораторной (неподвижной) системе отсчета его ускорение будет уменьшаться со временем вследствие того, что проходимые телом расстояния в этой системе представляются сокращенными, а время - замедленным.

Поскольку ускорение пропорционально расстоянию и обратно пропорционально квадрату времени, получаем для лабораторной системы

а =

ап

У3

Полученное соотношение представляет собой дифференциальное уравнение

йи . 2 \3/

— = ап (1 — и ) 2 , йг 0

решением которого является

и =

аг

л/1 + (а</) 2

Спустя время Д/ ускоряемая система получит приращение скорости а0 Д/0 и такое же приращение быстроты

Ау = а0 А 0.

Это же приращение быстроты увидит наблюдатель в лабораторной системе (в силу аддитивности быстроты), но в промежуток своего времени Д/0 = уД/0. Следовательно, быстрота ускоряемой системы относительно лабораторной будет меняться по закону

йи

йу = йг у

Используя полученное ранее выражение для , заменим йи на ёу: йг

йг йи

йу = йу а0 йг йи у3

Сравнивая это равенство с предыдущим, устанавливаем связь между у и и

1

кот ая дает

или

Как видим, вначале скорость растет линейно, а затем асимптотически приближается к скорости света.

Быстрота

йу 2

—:- = у 2 =-----------------

йи 1 — и

1 . 1 + и

у = — 1п-----------

2 1 — и

Для лоренц-фактора имеем

У = ^ у.

Известный закон сложения скоростей, когда скорость тела в лабораторной системе является суммой его скорости в движущейся системе и скорости самой системы, справедлив только при малых скоростях и < 1. Причиной нарушения закона является ограничение скорости.

Желательно иметь такую характеристику движения, которая обладала бы указанным свойством аддитивности и при больших скоростях. Такая характеристика, называемая быстротой, существует и она очень удобна при переходах из одной системы отсчета в другую. Быстроту у естественно определить так, чтобы для медленно движущихся систем она совпадала со скоростью. В отличие от скорости она может неограниченно возрастать, если система ускоряется.

Снова рассмотрим систему, испытывающую постоянное ускорение а. В некоторый момент времени, когда она достигла скорости и, рассмотрим ее движение в инерциальной системе отсчета, тоже движущейся со скоростью и.

Энергия и импульс

Тело, движущееся под действием силы, меняет свои энергию и импульс. В разных системах отсчета продольная сила имеет одно и то же значение. В частности, она одинакова в системе отсчета, скорость которой совпадает со скоростью тела, и в лабораторной системе. Инвариантность силы необходима для соблюдения третьего закона Ньютона, который в применении к взаимодействующим телам, движущимся с разной скоростью, устанавливает сохранение суммарного импульса.

Инвариантность продольной силы очевидна в частном случае заряда, движущегося вдоль силовых линий электрического поля.

Для равномерно ускоренного тела массы т выполняются очевидные соотношения для энергии Е и импульса р:

йр

йг

= тап

йЕ

йг

= та 0 и

Как уже было установлено, элемент времени выражается через приращение быстроты как

йг = — у йу = а0 ^ у йу. а0

Отсюда, принимая во внимание , находим интегралы

р = т sh у, Е = т ^ у.

В выражение для Е, вообще говоря, должна быть добавлена постоянная интегрирования. Специальная теория относительности утверждает, что эта постоянная равна нулю и тело при у = 0 обладает энергией покоя Е0=т. Это утверждение имеет надежное экспериментальное обоснование. В частности, это подтверждается дефектом массы и выходом энергии в ядерных реакциях.

Формулы для р и Е приводят к хорошо известным соотношениям

Е2 = р2 + т2 , р = иЕ.

Преобразования систем отсчета

Если система 1 имеет быстроту у1 относительно системы 2, быстрота которой относительно лабораторной равна у2, то быстрота системы 1 относительно лабораторной

у = у + у 2

Аналогично

а скорость

u = th y =

sh yi ch y2 + sh y2 ch ^ ch yi ch y2 + sh yi sh y2

u

u1 + u 2 + и и •

У = У iY 2 +VУ i2 _ WУ 2 _1

p = У 0

Разделив числитель и знаменатель на оhy1оhu2 и подставив и1, и2, находим известную формулу «сложения скоростей»:

Последнее равенство относится к продольному импульсу. Поперечный импульс является инвариантом

pL =const

Это легко установить, если подействовать силой ^на движущееся тело. Продольный импульс будет изменяться, а поперечный останется прежним, так как F± = 0. То же самое будет наблюдаться при переходе в другую систему со скоростью И ||.

Энергия электрического поля

Чтобы подсчитать энергию, заключенную в электрическом поле, будем сжимать заряженную сферу. При этом производится работа против электрических сил, которая расходуется на увеличение энергии электрического поля. Пусть радиус сферы r мы уменьшили на dr. Работа, произведенная при сжатии, равна

E

dA = Q—dr ,

2

где Q - заряд сферы, Е - напряженность электрического поля вблизи поверхности сферы.

Половинное поле берется потому, что внутри оболочки оно равно нулю. При сжатии сферы электрическое поле Е появилось в слое объемом dV = 4пг2йг. Соответственно плотность энергии составляет

ж = = QE = Е 2 .

dV Snr

Sn

Используя формулу для гиперболического косинуса суммы, находим также закон «перемножения лоренц-факторов»:

где знак « + «берется в случае, если система 1 движется в ту же сторону, что и система 2 по отношению к лабораторной системе.

Энергию Е и импульс р в лабораторной системе легко выразить через энергию Е’ и импульс р тела в системе, имеющей скорость и0 и лоренц-фактор у0. Обозначив соответствующие быстроты как у, у’ и у запишем

У = у'+Уо.

Далее

Е = т ^(у'+Уо )= Е' ^ Уо + р sh Уо = у о (Е'+р щ) .

Поскольку плотность энергии не зависит от конкретных параметров сферы, а выражается лишь через Е, этот результат применим к любому статическому полю.

Электрическое поле оказывает давление в направлениях, перпендикулярных к силовым линиям. Так как плотность энергии жгута силовых линий пропорциональна квадрату их плотности, электрическое поле ведет себя как упругая среда с показателем политропы, равным 2. В такой среде давление Р = Ж и, следовательно,

Е2 Р = Е .

8п

Движущееся электрическое поле

Однородное электрическое поле Е0 приведем в движение со скоростью и в направлении, перпендикулярном к силовым линиям. Напряженность поля можно рассматривать как плотность силовых линий - их количество в единичном поперечном сечении. Поэтому напряжен-

ность движущегося поля в лабораторной системе в силу лоренцевого сокращения (с фактором уц) будет больше, чем напряженность в собственной системе отсчета:

Е 1аЬ = У и Ео

Поместим в поле частицу с электрическим зарядом е, движущуюся со скоростью V в том же направлении, в котором движется поле. В системе отсчета частицы (р) быстрота силовых линий

Ур< = Уv - Уи , а напряженность поля

Ері = Ео сЬ Урі.

Сила, действующая на частицу в поперечном к ее движению направлении, в ее собственной системе, следовательно, равна

Fpt = еЕо сЬ У

рі

Так как поперечный импульс частицы р± во всех трех системах один и тот же, то сила F = р± зависит от замедления времени и в лабораторной системе равна

ЕЬЬ = Е'р /сЬ Уv .

С другой стороны, электрическое поле в лабораторной системе действует на частицу с силой

Ее1ео = еЕо сЬ У и .

Мы видим, что существует дополнительная сила

ДЕ = Е - Е

^ 1 1аЬ 1 еіес ,

зависящая от движения частицы. Заменяя напряженность Ео ее выражением через напряженность в лабораторной системе Еаь и подставляя выражение для сЬ у находим

Е1аЬ = еЕ1аЬ(СЬ У и СЬ Уv - ^ У и ^ Уv )/сЬ У и сЬ Уv .

Е = еЕ

еіес ІаЬ .

Соответственно

Энергия и импульс движущегося электрического поля

Для того, чтобы составить уравнения динамики для движущегося электрического поля, необходимо определить его основные величины - плотность энергии Ж и плотность импульса Р. Эти величины должны зависеть, естественно, от выбора системы отсчета.

В системе, где поле покоится, Ж = Е2 / 8п , а Р = 0. В общем случае найдем Ж и Р с помощью мысленного эксперимента с гидродинамической моделью.

Гидродинамическая модель

Пусть упругая среда заключена между двумя параллельными стенками. Начнем сжимать ее, приведя в движение одну из стенок. От нее в сторону другой стенки побежит волна сжатия. Фронт волны будет разделять вещество, движущееся вместе со стенкой, и неподвижное вещество. После достижения неподвижной стенки фронт волны сжатия отразится от нее и начнет распространяться в обратном направлении. В этом случае вещество позади фронта останавливается и продолжает оставаться неподвижным, а перед фронтом - движется со скоростью подвижной стенки навстречу фронту. Схема описанного течения представлена на рисунке.

ДЕ = -е ^ У и & У^Е1аЬ = -еи^Е1аЬ .

Мы видим, что дополнительная сила пропорциональна скорости движения силовых линий и скорости частицы. Ее можно истолковать как воздействие некоторого поля

Н = иЕ1аЬ ,

которое называют магнитным полем. Так как дополнительная сила параллельна Е и, следовательно, перпендикулярна к скорости частицы V , ее выражают как векторное произведение ]^Н , где вектор Н , в свою очередь, определяется как векторное п, оизведение

Н =\сЕ,ь\

Рис. Гидродинамическая модель течения вещества. Изображен профиль плотности вещества между стенками. Верхняя часть рисунка - прямая волна сжатия, нижняя - обратная (отраженная) волна; V - скорость прямого фронта,

V' - скорость обратного фронта

Если в качестве упругой среды поместить однородное электрическое поле, параллельное стенкам, то аналогичные явления должны происходить и в нем. Оценим скорость звука в такой среде:

сзв =

л/2Р / р,

Л (У / - Ур Е / = * У / Е(

Выражая Еп, последовательно через Ео /, Е1 ,, Е

и Е , найдем

і /

уі р

Е =

оі

/ - Ур )

Е

Раскрывая гиперболический синус и производя деление числителя и знаменателя на вЬ у/ эЬур, получаем после замены гиперболических тангенс» скоростями:

/7 - У~11 Р

Еоі .

V

Плотность импульса и скорость фронта

скоростью V - и. Обозначив как р плотность импульса поля в лабораторной системе отсчета, получаем

Р =

(Р - Ро) ^ - и) .

где Р = Е2 / 8п , Р = Е / 8пс . Множитель 2 в формуле - казатель политропы электрического поля. Получаем Сзв = у[2с  то есть сверхсветовую скорость.

Отсюда вытекает, что механику такой среды надо рассматривать в рамках теории относительности.

Кинематика поля

Пусть скорость «поршня» равна и, его быстрота ур, а неизвестная пока скорость фронта равна V и быстрота фронта у у/ . Поле перед и за фронтом обозначим как Ео и Е. Будем измерять это поле в трех системах отсчета: лабораторной («1»), поршня («р») и фронта («Г). За счет явлений лоренцевого сжатия имеем

Ео/ = Еоі сЬ У/ , Ео р = Еоі сЬ У р , Еіі = Е1 рсЬУр, Е1 / = Е1 р сЬ

Кроме того, баланс силовых линий на фронте (плотности потока втекающих и вытекающих силовых линий) дает

После того, как фронт отразится от неподвижной стенки и будет двигаться в обратном направлении, получим аналогичную картину, если перейдем в систему «р». Здесь поршень превращается в неподвижную стенку, а неподвижная стенка приобретает скорость, по величине равную и.

Соответственно относительный скачок давления будет таким же, как скачок давления в случае движения прямого фронта:

Р Р

Р Р

1 1 1 о

Разность давлений

Р

р2 - Р =(Р - Ро и .

Рс

Теперь скачок давления будет уменьшать импульс поля в лабораторной системе. Этому соответствует сокращение со временем размера области, занятой движущимся полем. Скорость сокращения V1 + и, и получаем еще одно равенство

0 f

Здесь через гиперболические тангенсы соответствующих быстрот выражены скорости движения линий относительно фронта.

Р =

где V1 = ——— - скорость обратного фронта в лабора-

1 — vu торной системе отсчета.

Поделив два выражения для р одно на другое, получим равенство

Р =!

Р V — и , и после подстановки Р0, Р1, V' оно примет вид:

(у - и) у( - и2) = 1

у2

Отсюда следует

Давление, оказываемое полем на неподвижную и подвижную стенки, равно соответственно

Е2 Е2

Ро = ^ р =

8п , р 8п .

Эти величины не зависят от системы отсчета. Разница давлений обеспечивает рост импульса поля. Размер области, занятой движущимся полем, увеличивается со

и, таким образом,

1------= 1 - ыу ,

V = 1

Мы установили, что фронт распространяется со скоростью света, что и следовало ожидать.

Для плотности импульса в лабораторной системе отсчета теперь имеем

V

E2 P = ——u 4п

d — = ——VP dt E E

Плотность энергии и плотность потока энергии

Плотность энергии получаем из уравнения баланса

Е2

Р = Е^и ,

4п

в котором левая часть представляет собой сумму энергии в заметаемом поршнем объеме и производимой им работы в единицу времени, а в правой записан рост энергии в окрестности фронта (Р0 - плотность энергии неподвижного поля). Все величины отнесены к единичной площадке поршня и фронта. Подстановка Р0, Р1 и и дает

Е2 ^ ч

Ж = (1 + и2).

8п 4 '

Плотность потока энергии равна

Е2

П = Wu + Ри = ——и •

1 4п

В единицах, где с = 1, плотность потока энергии и плотность импульса численно равны.

Уравнение динамики

Получим уравнение динамики для силовых линий электрического поля, направленных вдоль одной из осей со ^ршающих движение со скоростью и. Полагаем, что и • Е = 0 . Для этого выделим элемент объема А У , импульс которого

где

Ap = PAV 1

-E 2й 4п

Подставив сюда выражения для р и Р и переходя к частной производной по времени, будем иметь

д

дt

дх

1 _д_

2E дх

(E2 (—u2)) •

Раскрываем производные по x и получаем в конце

концов

д(йE)= дE

дt

дх

Уравнения Максвелла

Запишем полученное уравнение динамики в векторном виде:

|-(Е<0=¥ Е.

д

Умножая е ) векторно на единичный вектор электрического поля Е , находим

/Е

дН

дt

= — rot E,

На этот элемент действует сила, обусловленная градиентом давления,

AF = -(VP )AV

Здесь давление определяется квадратом поля в собственной системе отсчета и, следовательно,

P = — E2

8л V 7

Так как поле скоростей одномерное, элемент объема можно представить как AS±А/, где А/ не меняется со временем.

Поскольку А/ • E = const, то протяженность элемента А/| пропорциональна l, и уравнение динамики

E

можно представить в виде, снормированном на E:

Нами получено одно из уравнений Максвелла. Взяв от него дивергенцию, получим сохраняющийся интеграл

div Й = 0,

для выполнения которого необходимо, чтобы он существовал в начальный момент времени. Последнее требование - отсутствие магнитных зарядов в природе. Если они будут обнаружены, то это уравнение Максвелла будет нарушено.

Наличие электрических зарядов приводит к еще одному уравнению Максвелла

div Е = 4пр,

где р - плотность электрического заряда.

Справедливость этого уравнения вытекает из закона Кулона и определения дивергенции. Взяв изолированный сферический элемент объема Д V с плотностью р, будем иметь поле АУр на расстоянии г от него и поток

/г 2

вектора Е через сферу радиуса г, равный 4пАУр и не зависящий от радиуса сферы, если он больше радиуса элемента объема. Отсюда и получается это уравнение.

Последнее уравнение Максвелла получим, если рассмотрим уравнение непрерывности для силовых линий. При произвольном поле скоростей это уравнение в проекции на произвольную ось г имеет вид:

dE

" =— EzV±u± + E±V±uz •

dt

Здесь значок ^ указывает на двумерность вектора (оператора). Смысл первого члена в правой части полностью соответствует смыслу скалярного уравнения непрерывности. Что касается второго члена, то он описывает генерацию г-компоненты электрического поля сдвиговым течением вдоль оси г. Такое течение производит разворот электрического вектора, лежащего в плоскости х, у и тем самым порождает Е. Вычитая из первого члена и

добавляя во второй выражение E

дu

dt

/д.z

получим

= —E„ Vu + EVu „ •

Так как ось г была выбрана произвольно, восстанавливаем векторную форму уравнения:

— = -ЕЧи + (еу) .

Ж ^ Г

Переход к частной производной дает

дЕ

dt

rot[/E]-udivE •

Возвращая постоянную с, получаем систему

- l дЕ 4л -

rot H =---------1----/,

с dt с

+ r l dH

rot E =---------,

с dt

div E = 4лр ,

div H = 0.

Заключительные замечания

Для вывода одного из этих уравнений мы использовали уравнение баланса импульса. Тот же результат можно получить с помощью уравнения баланса энергии

dW = div П .

Здесь принято во внимание, что

rot [iE ]= uvE - Evu + (v) -(uv)E.

ж как div E = 4лР , то, обозначая плотность тока как j = pu, имеем уравнение

dE - -

— = rot H - 4л/ . dt

Как видим, последнее из выведенных нами уравнений имеет чисто кинематический смысл.

дг

Магнитное поле мы ввели как поле сил, зависящих от скорости пробной частицы. Однако полученный результат «уравнивает в правах» поля Е и Й, так как приводит к симметричным выражениям. Симметрия нарушается лишь отсутствием магнитных зарядов.

В принятом подходе мы имеем всегда Й < Е. Однако нетрудно сконструировать ситуацию, когда будет Е < Й, а

также Е • Й Ф 0. Для этого нужно представить несколько по-разному движущихся электрических полей. Подбирая напряженности и скорости, можно получить нужные свойства уже в случае 1вух полей.

Если Й > Е и Й • Е = 0, то можно также говорить о магнитных силовых линиях, движущихся со скоростью, по величине равной •

Таким образом, уравнения Максвелла можно согласовать с представлениями механики упругой жидкости (гидродинамики) в применении к силовым линиям. При этом механика должна базироваться на специальной теории относительности.

Автор благодарен В.А. Рубакову за критические замечания.

G.F. Krymskiy

Special theory of relativity and mechnics of field lines

Main definitions of special theory of relativity and electrodynamics are covered in the article. With the help of simple hydrodynamic model it is showed that Maxwell equations can be interpreted as the consequence of field lines mechanics.

Key words: special theory of relativity, Maxwell equations, field lines mechanics, electric field, power flow density.