О разрешимости системы уравнений относительно коэффициентов Фурье–Чебышёва при решении обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышёва

2. Suslov S.K. Quantum integrals of motion for variable quadratic Hamiltonians // Ann. Phys. 2010. 325, N 9. 1884-1912.

3. Yau S.S.T. Computation of Fokker-Planck equation // Quart. Appl. Math. 2004. 62, N 4. 643-650.

4. Chechkin A.G. Explicit form of the fundamental solution to a second order parabolic operator //J. Math. Sci. 2015. 210, N 4. 545-555.

Поступила в редакцию 23.12.2016

УДК 519.622

О РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ЧЕБЫШЁВА ПРИ РЕШЕНИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ РЯДОВ ЧЕБЫШЁВА

О. Б. Арушанян1, С. Ф. Залеткин2

Приведена формулировка теоремы о разрешимости системы уравнений относительно приближенных значений коэффициентов Фурье—Чебышёва. Теорема является теоретическим обоснованием метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышёва.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы, численные методы, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышёва, квадратурные формулы Маркова.

A solvability theorem for a system of equations with respect to approximate values of Fourier-Chebyshev coefficients is formulated. This theorem is a theoretical substantiation for the numerical solution of ordinary differential equations using Chebyshev series.

Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods, numerical methods, orthogonal expansions, shifted Chebyshev series, Markov quadrature formulas.

Рассматривается задача Коши для нормальной системы M обыкновенных дифференциальных уравнений

У' = fix,у), у

при условии, что функция fix,у) непрерывна в области I) определения системы вместе с частными производными до некоторого порядка. Предполагается также, что на отрезке [жо, Жо + X] задача Коши (1) имеет единственное решение.

В работах [1, 2] предложен приближенный метод решения задачи (1), основанный на разложении правой части системы

у'{х) = /(ж,у(х)) = f(xo + ah, у(хо + ah)) = Ф(а), 0 ^ а ^ 1, h^X,

на частичном отрезке [жо, Жо + h] в ряд по смещенным многочленам Чебышёва первого рода

оо 1

Ф

Здесь штрих у знака суммы означает, что слагаемое с индексом 0 берется с дополнительным множителем 1/2, и Ti(t) — многочлен Чебышёва на отрезке [—1, 1]. Если коэффициенты этого разложения

1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arushQsrcc.msu.ru.

2 Залеткин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: irazQsrcc.msu.ru.

(коэффициенты Чебышёва) известны, то решение задачи (1) можно легко получить также в виде смещенного ряда Чебышёва:

у

í=o 0

Из допущения о гладкости правой части в (1) следует равномерная на [жо, Жо + Н\ сходимость рядов (2), (3). Замена рядов (2), (3) их частичными суммами к-го и (к + 1)-го порядка соответственно, применение формулы численного интегрирования Маркова [1] с узлами а^ = 0, (1) 1 Л (2^' — 1)тг N \ . 1

а) = — 1 + сое —;- , 7 = 1,... ,к, и весовой функцией — = для вычисления ин-

1 2 V 2к + 1 ) " л/ск

теграла а*[Ф] в (2), а также использование связи между коэффициентами Чебышёва решения и

коэффициентами Чебышёва его производной

а* [у{хо + аК)] = ^ «_![Ф] - а*+1[Ф]), г > 0,

^ ад [у

•7=2 ]

приводят к следующей системе уравнений для приближенных значений а*[Рк] ~ а*[Ф], г = 0, ... , коэффициентов Чебышёва правой части системы (1):

. к

а*[Рк] = + + ••• ХИ))1?^) г = 0, ...

\?=о

Учитывая квадратурную формулу Маркова с узлами а^ = 0, = — +со8 —-—-Л, = 1, ... , к,

2/ V к X /

= 1, соответствующую систему уравнении представим в виде к-\-1

= ^^-¿"/

Здесь два штриха у знака суммы означают, что слагаемые с индексами 0 и к + 1 берутся с до-

к+1

полнительным множителем 1/2, и [/(жо + осН] а^[Рк],  ,ак[Рк])) = а*\и\Т*(а). Коэффициенты

1=0

а* [и] приближенного решения [/(ж) вычисляются с помощью соотношения (4) при 1 = 1, ... ,к + 1 и соотношения (5) при I = 0, в левых частях которых следует у заменить на С/, а в правых частях а*[Ф] — на С1д[Рк] при д ^ к и на 0 при д > к. Обе системы (6) и (7) могут быть записаны в форме

а*[Рк] =фг{а*0[Рк},а1[Рк], ... ,а*к[Рк}), г = 0,1, ... ,к,

при этом для вектор-функции ф^ справедливо следующее соотношение: частная производная 1-й компоненты функции ф^ по п-й компоненте коэффициента а^Рк] имеет порядок относительно ¡1, д(Ь

равный ——— = О

значений модулей частных производных

, станет меньше единицы.

д ап.._

В работе [1] показано, что невязка рг, которая получается при постановке в (8) точных значений коэффициентов Чебышёва правой части Ф(а) уравнения (1) вместо а*[Рк], имеет порядок относительно ¡1, равный

рг = а*т~Фг{ат, ••• ХИ) =0{}1к+°), О,

где в = 1 ш в = 2 в зависимости от используемой квадратурной формулы Маркова, а именно: 8 = 1 для системы (6) и 8 = 2 для системы (7), при этом предполагается, что /(ж, у) имеет непрерывные частные производные по ж и у до порядка 2к + 8 включительно.

Будем рассматривать совокупность первых к + 1 коэффициентов Чебышёва сьд [Ф], • • • , ак [Ф] функции Ф(а) как точку го в М(к + 1)-мерном арифметическом пространстве цм(к+1):

«, = №], ••• ,а*к[Ф]) = («10 [Ф]) ...,а*м 0[Ф], ... ,а\к[ Ф], ... ,а*Мк[Ф]), г0 € Пм{-к+1\

Обозначим через С окрестность точки го радиуса г, т.е. множество всех точек данного пространства г = (ао,а\, ... ,ак) = (аю,  , омо,  к,  ,а>мк), % € цм(к+1); дЛЯ которых р(г,го) = ||-г — -го||оо ^ т, где г — некоторое число, от к не зависящее. Пусть г — произвольная точка области С : г € С. Обозначим через а*[и](ао, сц,    ,(1к) коэффициенты Чебышёва функции и(х) = и(хо + ак), 0 ^ а ^ 1, на [жо, жо + к], вычисляемые через величины ао,а\, ... ,ак по описанному выше правилу т.е. по формулам (4), (5), в левых частях которых следует у заменить на С/, а в правых частях а^[Ф] — на ад при 0 ^ д ^ к, а все остальные йд[Ф], <? > к, заменить нулями.

В [2] описаны два способа построения двух приближений а*^ [Рк], г = 0, ... ,к, к коэффициентам ад[Ф], ... , я£[Ф], одно из которых имеет погрешность

а*[Ф] -а*{0)[Рк] = 0

а другое — погрешность

а*[Ф] -а*

Сформулируем без доказательства следующую теорему, содержащую условия, при которых система уравнений (8) имеет единственное решение.

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

1) для всех точек г € С(р(г,го) ^ г) и для, всех к, меньших некоторого значения к\ : 0 < к ^ к\, к\ ^ X, линейные комбинации вида

к+1

и(ж) = и(х0 + ак) = ^2'а*[и](ао, ... ,ак)Т((а), 0 < а < 1, 1=0

входящие в качестве второго аргумента функции /(ж, у) в (6) и (7), принимают, на, отрезке [жо, Жо + /г] значения, принадлежащие области И определения функции /(ж, у);

2) при всех к, меньших некоторого значения ¡12 ' 0 < к ^ Л-2, норма К = ||<3||оо матрицы, С}, составленной из максимальных (в области изменения переменных) значений модулей частных

% (имеющих порядок О (К) относительно Iц1,п = 1, ... , М; г,т = 0, ... , к),

производных меньше единицы;

3) при всех к, меньших некоторого значения кз : 0 < к ^ кз, мажорантная оценка 0(кк+в) невязки рг в (9) настолько мам, что выполняется неравенство

||ф(г0) - ¿о||оо < (1 - К)г, ф(го) = (фо(го), • • • ,фк(го));

4) при всех к, меньших некоторого значения, Л4 : 0 < к ^ Л4, ма,жора,нтна,я, оценка,

погрешности начального приближения, а*^°\Рк], г = 0, ... , к, настолько мала, что выполняется неравенство

р(г0,г^) < г, = (а0{0)[Рк], ... , а*к(0) [Рк]), р(г0,г^) = шах (шах | а;, [Ф] - [Рк]\]).

Тогда, существует такое значение ко > 0, а, именно ко = тт{Л,1, Л-2, кз, ч,т,о при всех к : 0 < к ^ ко для задачи Коши (1), рассматриваемой на частичном отрезке [жо, х0 + к], система уравнений (8) относительно приближенных значений коэффициентов Чебышёва функции Ф(а) имеет единственное решение г = (а,д[Рк], ... , ак[Рк]), которое можно получить методом простых итераций как предел, посл,едова,т,ел,ьност,и

а^+1)[Рк] = Фг(а0И[Рк], • • • ,а1И[Рк]), г = 0,1, ... ,к; и = 0,1,..., исходя из начального приближения, а^°\Рк], ... ,а*^°\Рк].

Пример. Интегрируется система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

У'г

У'2

2/2(0) =

1

0 ^ ж ^ ж/, хf

Таблица!

Nh h ¿2 Nf

43 0,1 -0,22 х Ю-15 0,65 х 10~15 34468

29 0,15 0,37 х Ю-14 -0,32 х Ю-14 23254

15 0,3 -0,38 х Ю-14 0,26 х Ю-14 12040

13 0,35 -0,34 х Ю-14 0,54 х Ю-14 10738

И 0,4 0,66 х Ю-13 -0,99 х Ю-13 8836

10 0,45 -0,10 х Ю-12 0,14 х Ю-12 8260

9 0,5 -0,99 х Ю-13 0,71 х Ю-13 7234

8 0,55 0,43 х Ю-12 -0,46 х Ю-12 6608

... —, Ш(0) = 1, У2 У1

Компонента У\{х) решения имеет большую производную, так как представляет со-

2

бой быстрорастущую функцию У\{х) = ех ,

1 _ 2

а вторая компонента решения у2{х) = —е х .

Для системы (12) задавалось разбиение промежутка интегрирования [0, Ж/] на несколько частичных сегментов длиной Л, ^ ж/, и на каждом таком сегменте решение представлялось в виде (£;+1)-й частичной суммы смещенного ряда Чебышёва при к = 25. Число частичных сегментов длиной ¡г, на которые разбивался отрезок интегрирования (т.е. число шагов ЛУ, значения ¡г, относительные погрешности ¿1 и 52 приближенных значений у 1(ж/) и /); вычисленных в конце промежутка интегрирования ж а также количество вычислений Nf правой части системы (12) приведены в табл. 1.

В таблице 2 приведены резуль- Таблица2

таты интегрирования задачи (12), полученные одношаговыми методами Фельберга и Ингленда пятого порядка точности с автоматическим выбором шага и многозначным методом Гира с автоматическим выбором шага и переменным порядком (максимально допустимый порядок равен семи).

Во втором и третьем столбцах табл. 2 показаны относительные погрешности ¿1 и 52 приближенных значений компонент решения у\{х), У2(х), отвечающие наилучшей фактически достигнутой точности в точке Ж/. В четвертом и пятом столбцах дано количество выполненных шагов Л^ и число вычислений Nf правой части системы (12), использованных для достижения такой точности.

Как видно, приближенное решение задачи (12) в точке ж/ методом рядов Чебышёва получено с большей точностью за значительно меньшее число шагов и с существенно меньшим количеством вычислений правой части системы (12), чем указанными численными методами.

Метод ¿2 Nh Nf

Фельберга 0,44 х Ю-12 -0,46 х Ю-12 8432 50637

Ингленда 0,86 х ИГ12 -0,85 х 10~12 34285 211914

Гира -0,48 х Ю-12 0,51 х Ю-12 7577 15588

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Приближенное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышёва // Вычисл. методы и програм. 2016. 17. 121—131.

2. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 24-30.

Поступила в редакцию 7.02.2017

УДК 515.162.6

ПОГРУЖЕНИЯ ГРАФОВ В ПРОЕКТИВНУЮ ПЛОСКОСТЬ

М. А. Ивашковский1

Исследуются погружения графов в проективную плоскость. Получена классификация погружений с точностью до регулярной гомотопности. Построен полный инвариант погружений с точностью до регулярной гомотопности. Случай погружений графов в любую компактную поверхность, отличную от проективной плоскости, был известен.

1 Ивашковский Максим Александрович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: frankl581Qyandex.ru.