Гомоморфно устойчивые абелевы группы

С.Я. Гриншпон, Т.А. Ельцова ГОМОМОРФНО УСТОЙЧИВЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

В работе вводится понятие гомоморфно устойчивой абелевой группы и выделяются некоторые классы гомоморфно устойчивых групп.

При изучении группы гомоморфизмов абелевых групп и исследовании вполне характеристических подгрупп интерес представляет следующий вопрос: в каких случаях объединение (теоретико-множественное) гомоморфных образов абелевой группы А в абелевой группе В является подгруппой группы В. Введем следующее определение.

Абелеву группу А назовем гомоморфно устойчивой относительно группы В , если объединение гомоморфных образов группы А в группе В является подгруппой группы В, то есть если и 1т а -

аеНот^В)

подгруппа группы В.

Покажем, что класс гомоморфно устойчивых групп замкнут относительно прямых сумм.

Теорема 1. Пусть {А }ге/ - семейство абелевых

групп, каждая из которых гомоморфно устойчива относительно группы В . Тогда группа © Д также го-

¡'еI

моморфно устойчива относительно группы В .

Доказательство. Пусть А = © Д, где Д. - гомо-

¡'еI

морфно устойчива относительно группы В для любого - е I. Надо доказать, что для группы В объединение и 1т а, где а пробегает всю группу Нот (А,В), является подгруппой группы В . Рассмотрим гомоморфизмы из группы Нот (А,В). Любой гомоморфизм из этой группы представляется в виде: а = (..., а.,...), где а. - это ограничение гомоморфизма а на подгруппе Д для всякого - е I [1, теорема 43.1]. Для любого элемента а из группы А ,

(аи е А; ] = 1к X

лежат множеству

а = а. +

<1

ь = ъ. +...+Ь.

1 к

Так как каждая группа Аявляется гомоморфно устойчивой относительно группы В, то для всякого / = 1, к разность р а1 - Ьпринадлежит объединению и 1та. Следовательно, для каждого

а е Нот

/ = 1, к существуют элемент я/ е Ау и гомоморфизм еНот(Д ,В), такие, что

8,- я . =Р,-а,, -у,. Ь . Следовательно, имеем

ЧЧ Ч Ч "¡4

с - й = Ра — уь =84+... + 5,кя,к. Пусть щ - проекция прямого произведения ПНот(Д,В) на группу

' е I

Нот(А.,В). Выберем 5 из ПНот(А,В) так, что

где а = а< + . + а, ( ае А ; / = 1, к ), имеем

аа = а . а. +... + а. а. . Пусть элементы с,й принад-

11 1к 1к -1 у 1

^ 1т а, тогда существуют

а е Нот

такие гомоморфизмы р и у из Нот (А,В), что с = ра, й = уЬ , для некоторых элементов а,Ь из группы А . Представим элементы а и Ь в виде суммы своих координат (добавляя, если нужно, нулевые элементы; можно считать, что эти координаты берутся для а и Ь в одних и тех же группах А ): + а.

Чтобы доказать, что множество ^ 1т а явля-

аеНот

ется подгруппой группы В, надо показать, что элемент с - й принадлежит этому множеству. Имеем

с = Ра = р. а. +... + Р. а. и й = уЬ = у . Ь. +... + у . Ь. , и

' г 1 1 г ¡к ¡к ‘ ' 1 1 ‘ ¡к ¡к ’

значит

с - й = Ра - УЬ = (р 1а 1 -у 1Ь1) + ... + (р ,к ( - у к Ьк ) .

если / = 1, к, а для всех остальных . п.5 = 0 . По теореме 43.1 [1. С. 213] элементу 5 в силу изоморфизма Нот (© Д ,в)^П Нот (Д ,В),

/е!

соответствует гомоморфизм из группы Нот (© Д ,в),

который отождествим с 5 . Пусть я = я4 +... + я к . Имеем я е Д и с - й = 5я . 5я является элементом множества и 1та. Следовательно, группа

а е Нот

Д = © А является гомоморфно устойчивой относи-

I е I

тельно группы В .

Рассмотрим прямое произведение абелевых групп. Введем следующее определение.

Абелеву группу А назовем гомоморфно связанной с семейством групп {В.} , если для любого семейства гомоморфизмов {а.} , где а. е Нот (А, В.), и

любого семейства {я. }ге! элементов группы А существуют такие элемент я е А и семейство гомоморфизмов {5г-} (5. е Нот (А, В.)), что а.я1 =5.я для

всякого . е I.

Заметим, что всякая циклическая группа гомоморфно связана с любым семейством абелевых групп.

Теорема 2. Пусть А - абелева группа, гомоморфно связанная с семейством групп {В.} . Группа А

гомоморфно устойчива относительно группы ПВ ,

.е!

если А гомоморфно устойчива относительно каждой группы семейства {В.} .

Доказательство. Пусть А - абелева группа, гомоморфно связанная с семейством групп {В.}е, и А гомоморфно устойчива относительно каждой группы В .

Рассмотрим гомоморфизмы

( \

из

Нот

АП в

V ієІ у

группы подгруппа группы П В. . Значит группа А является

iеI

гомоморфно устойчивой относительно группы П В. .

Пусть а є Нот

. Обозначим через пІ

ДП в

V iеI у

-ю координатную проекцию П в. ^ В.. Тогда, в

силу изоморфизма Нот

iеI

' \

А, П В. = П Нот

V ге1 у iеI

[1, теорема 43.2], гомоморфизм а можно отождествить с элементом (..., а.,...) группы П Нот ( Л В ) ,

iеI

где а. = п. а (а. е Нот (А, В.)). Для всякого элемента а е А имеем п. (а а) = а,а, то есть аа = (...,а.а,...) .

Пусть элементы а, Ь принадлежат множеству ^ 1т а , тогда существуют такие гомомора е Нот| А , П В

V (е1

физмы р и у из Нот

что а = Рс , Ь = ус?

а П в

V iеI у

для некоторых элементов с, й из группы Д .

Чтобы доказать, что множество и 1т а

а є Ноті А , П В

ІЄІ

является подгруппой группы П в, , надо показать,

iеI

что элемент а - Ь принадлежит этому множеству. Имеем Рс = (..., Р,с,...), уй = (.., у,й,...), где

Р, = п,Р , У, = п,У .

Значит а -Ь = рс-уй = (..., Р,с-у,й, ...). Так как А является гомоморфно устойчивой относительно каждой группы В., то р,с -у,й е и 1т а .

а е Нот

Следовательно, для любого индекса . е I существуют гомоморфизм а. е Нот (Д, В.) и элемент я. е Д , такие, что Р,с - у.й = а. я..

Учитывая, что группа Д гомоморфно связана с семейством групп {В.} , получаем, что существуют

такие элемент я е А и семейство гомоморфизмов

{5, ^ (5, е Нот(АВ,)), для которых а,я, = 5,я .

Рассмотрим гомоморфизм 5 из группы

Нот

АП в

V ІЄІ у

, такой, что п 5 = 5І. Тогда

Ї-Ь = (...,Рі-с-у^,...) = (...,аіЯі,...) = (...,5іЯ,...) = і

Ґ

Так как 5 є Нот

Я є А

то

ДП в<

V iеI у

5яе и 1та . Следовательно, и 1та -

аєНотІ А, П В

ІЄІ

аєНотІ А, П В

ІЄІ

В [2] известное понятие вполне разложимой группы распространено с абелевых групп без кручения на произвольные абелевы группы.

Абелеву группу назовем обобщенно вполне разложимой, если она является прямой суммой групп ранга 1, то есть групп, каждая из которых изоморфна либо ненулевой подгруппе квазициклической группы

2 (рш) для некоторого простого числа р, либо ненулевой подгруппе группы Q всех рациональных чисел.

Теорема 3. Всякая обобщенно вполне разложимая группа гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы.

Доказательство. По теореме 1 нам достаточно доказать, что всякая группа ранга 1 является гомоморфно устойчивой относительно любой абелевой группы.

Пусть Д - циклическая р-группа, В - произвольная группа, а1, а2 е и 1т а. Тогда существуют

аеНот

такие гомоморфизмы р, уе Нот (А, В), что а1 =рЬ1 и а2 = уЬ2 для некоторых элементов Ь1, Ь2 е Д . Так как элементы Ь1, Ь2 принадлежат группе Д , то их можно представить в виде: Ь1 = ка, Ь2 = та , где а - образующий элемент группы Д. Рассмотрим разность а1 - а2. Имеем а1 -а2 =рЬ1 -уЬ2 =Р(ка)-у(та) = (кр-ту)(а).

Р, уе Нот (Д, В), поэтому разность (кр-ту) также принадлежит группе Нот (А,В). Обозначим эту разность через п. Тогда имеем а1 - а2 = па. Значит а1 - а2 е и 1та, поэтому Д является гомо-

аеНот

морфно устойчивой относительно любой абелевой группы.

Если Д = 2 (рш), то, учитывая локальную цикличность группы Д и проводя рассуждения, аналогичные вышеприведенным, получим, что Д - гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы.

Пусть Д - группа без кручения ранга 1; В - произвольная группа; а1, а2 е и 1т а. Тогда сущест-

аеНот

вуют такие гомоморфизмы р и у из Нот (Д,В), что а1 = рЬ1, а2 = уЬ2, для некоторых элементов Ь1, Ь2 из

группы Д . Пусть Ь - некоторый ненулевой элемент группы А . Так как Д - группа ранга 1, то существуют такие взаимно простые целые числа т и п, что тЬ = пЬ1, и существуют такие взаимно простые целые числа к и I, что кЬ = 1Ь2. Элемент Ь делится на числа п и I, то есть уравнения пх = Ь и 1х = Ь раз-

решимы в группе Д . Итак, Ь1 = т —; Ь2 = к — .

Не

умаляя общности, можно считать, что числа п и I -натуральные. Пусть наименьшее общее кратное чисел п и I равно г и П = п1; Г = 11 (п1,11 е N). Так как элемент Ь делится на п и на I, то элемент Ь делится на г. Пусть с = -. Тогда Ь1 = тп1с, Ь2 = к11е. Имеем

а1 - а2 = Р(Ь1) - у (Ь2) = Р(тп1с) - у(к/2с) = (тп1Р - к/1у )(с). Так как гомоморфизмы р и у принадлежат группе Нот (А,В), то разность тп1Р- к/1у также принадлежит этой группе. Значит а1 - а2 е ^ 1та . Следо-

аеНот

вательно, группа А является гомоморфно устойчивой относительно любой абелевой группы.

Рассмотрим теперь сепарабельные группы [3. С.7], то есть группы, в которых каждое конечное подмножество элементов содержится в некотором обобщенно вполне разложимом прямом слагаемом. С помощью теоремы 3 получаем такой результат.

Теорема 4. Всякая сепарабельная группа гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы.

Доказательство. Пусть А - сепарабельная группа, В - произвольная группа и с, ё е ^ 1та .

аеНот

Существуют такие гомоморфизмы р, уе Нот (А, В) и элементы а1, а2 е А , что с = Ра1, ё = уа2. Вкладываем элементы а1 и а2 в обобщенно вполне разложимое прямое слагаемое А1 группы А (А = А1 © А2). Пусть Р' - ограничение гомоморфизма р на А1, а у' - ограничение гомоморфизма у на А1. Имеем с = Р'а1, ё = у'а2, р', у ' е Нот (А1, В), и поэтому с, ё е ^ 1т а . Так как по теореме 3 А1 - гомо-

аеНот

морфно устойчива относительно любой абелевой группы, то с - ё е ^ 1та . Следовательно, су-

аеНот

ществуют 5е Нот (А1, В) и элемент а3 е А1, такие, что с - ё = 5а3. Рассмотрим гомоморфизм

5 'е Нот(А, В), действующий следующим образом: 5'а = 5па для всякого элемента а е А , где п - проекция группы А на прямое слагаемое А1. Имеем с - ё = 5 ' а3, и значит с - ё е ^ 1т а . Следова-

аеНот

тельно, А - гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т.1. 335 с.

2. Megibben Ch.K. Separable mixed group // Comment. Math. Unit. Carolin. 1980. V.21. P.755-768.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т.2. 416 с.

Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 9 июня 2003 г.