«В теории вероятностей он совершал крупные открытия каждые два года»

В этом году исполняется 120 лет со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова — одного из самых крупных и значимых математиков ХХ века. Мировая известность в 19 лет, 40-километровые лыжные походы, мыслящие машины и всеобъемлющая теория сложности: о своем великом учителе рассказал математик, заслуженный профессор МГУ Владимир Тихомиров.

Андрей Колмогоров был не только великим математиком, но и организатором сети физико-математических школ

Фото: Фото Тимура Сабирова (фоторепродукции снимков из архива ученика А. Н. Колмогорова, академика А. Н. Ш

Взлет Андрея Колмогорова начался в очень раннем возрасте. Он поступил в Московский университет в 1920 году. В то время там работал самый крупный учитель всех времен — Николай Лузин, который принял в свой круг талантливого студента.

Чудо в научном мире

Еще в начале ХХ века московская математика не могла называться наукой международного уровня. В это время великие математические школы существовали во Франции и Германии, были известны школы Польши, Венгрии и Чехословакии (эти страны обрели независимость в 1918 году). В Москве же своей математической школы не было, работало только несколько достаточно крупных математиков, один из них — Дмитрий Егоров — учитель Николая Лузина. Именно он отправил Лузина в командировку во Францию, где тот познакомился с идеологом французской школы Анри Лебегом. У них с Николаем Лузиным сложились совершенно замечательные отношения ученика и учителя.

И Лузин воспринял новую идеологию. После того как Лузин приехал в Москву, он основал свою математическую школу, и произошло чудо: на протяжении буквально трех-пяти лет еще до революции московская математическая школа стала сопоставима с немецкой и французской. Именно к ней с самого начала принадлежал и Андрей Колмогоров. В 1922 году, будучи 19-летним студентом, он построил знаменитый пример ряда Фурье, расходящегося почти всюду. Этот результат принес ему известность во всем мире, и на протяжении многих лет имя Колмогорова было связано именно с этим примером.

— Но все-таки самые знаменитые работы Колмогорова касаются теории вероятностей? Прежде в мире были высоко оценены достижения Чебышева в науке «о случае»…

— Да, где-то в 1928 году Андрей Колмогоров начал заниматься новой областью исследований — теорией вероятностей, в которой потом занял лидирующее положение и где на протяжении 20 лет каждые два года совершал огромные открытия. Одна из важных работ здесь связана с именем Альберта Эйнштейна. В 1905 году Эйнштейн написал четыре величайшие работы, которые заложили основы всей физики ХХ века. Одна из этих работ была посвящена броуновскому движению, которое является случайным процессом. Андрей Николаевич первым дал ясное описание того, что же такое «случайный процесс». Он получил множество дополнений к тому, что было известно до него.

В 1930-е годы Андрей Николаевич написал величайшую книгу, одну из классических книг в истории науки, «Основные понятия теории вероятностей». Собственно говоря, в ней впервые теория вероятностей приобрела характер математической науки. В начальный период развития теории она применялась для описания карточных игр, бросания игральных костей и тому подобного. Здесь тоже были свои классики: Паскаль, Ферма, Лаплас, но само это знание не воспринималось как точная математическая наука.

Скажем, Пафнутий Чебышев, основатель петербургской математической школы, и его ученик Андрей Марков-старший занимались теорией вероятности, внесли огромный вклад в теорию случайных процессов, но они не имели точного представления о том, как теория вероятности может быть определена.

«Нужна гениальность Колмогорова»

— Примерно то же самое произошло с теорией турбулентности? Когда он начал заниматься ею?

— Еще до войны, в начале 1940-х годов. Здесь Андрей Николаевич сделал, быть может, самое выдающееся достижение в области естествознания и стал классиком в теории турбулентности. Теория турбулентности — это теория завихрений. Мы знаем, что завихрения происходят постоянно — в воздухе, в жидкости…. И если бы их не было, жидкость двигалась бы как единое целое. Например, Волга бы двигалась со страшной скоростью, сопоставимой со скоростью самых современных автомобилей. Привычная нам скорость течения реки 5–6 км/ч получается именно из-за явления турбулентности. Оно было описано Колмогоровым, и в этой области науки он тоже стал абсолютным лидером и признанным классиком. По идее, он должен был получить за это Нобелевскую премию.

— Но не получил, как и многие русские ученые того времени. Насколько быстро успехи Колмогорова становились известны за рубежом? Удавалось ли преодолевать изоляционизм?

— Чтобы ответить на этот вопрос, приведу пример, как раз связанный с турбулентностью. В этой науке в то время было два великих имени: Теодор Карман и Джон Тейлор. Особенно выдающимся был Тейлор — один из самых крупных английских ученых того времени, классик теории турбулентности. Андрей Николаевич перед самой войной успел опубликовать в «Докладах Академии наук» несколько ничтожных по размерам текстов, посвященных турбулентности. И каким-то невероятным образом Тейлор о них узнал в Англии. Он прочитал резюме о заметках и пригласил своего ученика Бетчелора для того, чтобы тот попробовал с этим разобраться. Бетчелор — тоже выдающийся математик — потратил огромные усилия и действительно разобрался в трудах Андрея Николаевича, а затем написал огромную статью, благодаря которой работы Колмогорова стали известны всему миру. Однажды мы общались с Бетчелором в Новосибирске, и он рассказал об интересной детали. Как-то он спросил своего учителя Тейлора, почему тот не догадался о тех законах, которые придумал Колмогоров. На это Тейлор, один из величайших ученых Англии, сказал: «Для этого нужна была гениальность Колмогорова».

Трое суток на открытие

— Математиков принято делить на тех, кто придумывает новые задачи, и тех, кто решает уже поставленные. К какому типу относился Андрей Николаевич?

— К обоим типам. Он решал великие проблемы и при этом создавал новые главы, новые понятия, новые разделы науки. В частности, он, как я уже говорил, создал теорию вероятности. Вообще говоря, ученый работает в одной области, реже в двух, еще реже в трех. Андрей Николаевич работал, может быть, в двадцати областях, в каждую из которых внес непреходящий вклад.

— В загородном доме Андрея Николаевича в Комаровке сохранилось расписание, согласно которому он работал только до обеда, а всю вторую половину дня посвящал прогулкам, размышлениям, общению, слушанию музыки… Насколько тяжело ему давались все эти многочисленные открытия?

— Различаются два типа исследователей: одни стайеры, а другие спринтеры. Андрей Николаевич был спринтером и умел с огромной интенсивностью сосредотачиваться. Как-то он рассказывал, что во время своего первого открытия расходящегося ряда на протяжении трех суток не ел, не пил, а только думал, думал, думал с неслыханным упрямством и упорством, то строя пример противоречий, то строя какую-то конструкцию. Наконец произошло рождение этого великого открытия.

Другой пример связан с более поздними временами и с другой задачей, которая берет свое начало от Ньютона и называется проблемой трех тел. Она подразумевает описание поведения небесных тел, взаимно притягивающихся друг к другу в трехмерном пространстве. Центральный вопрос астрономии состоит в том, могут ли три тела, уравновешенные гравитацией, вращаться вечно?

Андрей Николаевич думал над этим еще с 1920-х годов, но решение пришло спустя тридцать лет. Произошло это так: в 1954 году должен был состояться Международный математический конгресс в Амстердаме. Неожиданно пришло известие о том, что туда едет советская делегация из четырех человек. Тогда выезд советских ученых за рубеж был редчайшим случаем. Сам Колмогоров в последний раз выезжал за границу в 1930-е годы. Андрей Николаевич начал готовиться к этому конгрессу и вспомнил, что когда-то он интересовался задачей трех тел, и, сконцентрировавшись на ней, действительно придумал некоторую идею, чтобы сдвинуть эту проблему с мертвой точки. В итоге на конгрессе свои доклады прочитали два величайших математика ХХ века: Джон фон Нейман — на открытии, а Колмогоров — в заключении конгресса.

Затем Андрей Николаевич сделал целый цикл работ о том, что происходит при движении трех тел, и эта тематика была полностью разрешена. Там оказалось десять возможных мыслимых случаев, и все десять мыслимых случаев были реализованы. В частности, удалось доказать, что существует вечная большая масса вечно существующих планетных систем. Эта задача, повторюсь, входила в круг интересов Ньютона, Лапласа и Пуанкаре. Так что речь идет о крупнейшем математическом открытии ХХ века.

— А каким образом он решил задачу из списка самых сложных математических проблем, составленных Гильбертом?

— Это величайшее открытие имело забавное начало. Однажды Андрей Николаевич решил взять школьный кружок и привлек туда замечательного математика Андрея Александровича Гончара. Они провели пару занятий, во время которых Андрей Николаевич сказал детям, что кружок будет заниматься его темой: номографией. Это такая ушедшая в бесконечную даль наука, которая позволяет заменять некоторые явления всякими кривыми. А затем продолжил, что в будущем, может быть, мы решим заняться 13-й проблемой Гильберта (Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных?) — это как раз проблема о том, существует ли функция многих переменных. При этом 13-я проблема Гильберта являлась одной из великих нерешенных проблем, над которой не один десяток лет бились многие лучшие умы. Затем Андрею Николаевичу нужно было уехать за границу, так что он оставил кружок на Гончара. Сам же, по его рассказам, вдруг с неслыханной силой сосредоточился на этой проблеме. В итоге меньше чем через неделю у него появилось озарение.

— Другой великий математик — Яков Григорьевич Синай в интервью тоже рассказывал, что математические открытия — это что-то сродни озарению.

— Когда мы говорим об озарении, то, конечно, оно возникает не на пустом месте. У Андрея Николаевича была подготовлена почва. Например, к тому времени, в начале 1950-х, фактически он один знал содержание всех заметок, которые появлялись в «Докладах Академии наук». Он изучал все статьи, в частности, работы Александра Кронрода и Анатолия Витушкина, и здесь у него неожиданным образом все соединилось в одну картину, и он почти решил 13-ю проблему Гильберта, предоставив получить окончательное решение своим ученикам. И это окончательное решение получил его студент «Дима» Арнольд, впоследствии один из самых выдающихся ученых нашего времени Владимир Игоревич Арнольд.

Новый компьютерный мир

Андрей Колмогоров (слева) со своим учеником Владимиром Тихомировым

Фото: Фото Тимура Сабирова (фоторепродукции снимков из архива ученика А. Н. Колмогорова, академика А. Н. Ш

— В шестидесятые годы интересы Андрея Николаевича сконцентрировались на стыке теории алгоритмов, теории информации и теории вероятностей. С чего началась его работа в этом направлении?

— Теория информации, как известно, была создана замечательной личностью, гениальным ученым Клодом Шенноном. А затем ее интенсивно подхватил Андрей Николаевич. Он очень широко распространил идею Шеннона об энтропии и емкости и ввел понятия эпсилон-энтропии и эпсилон-емкости, занялся энтропией случайных процессов и случайных явлений. На самом деле это было частью грандиозного замысла Колмогорова, который он оставил в самом начале его формирования. Речь идет о связи всех основных направлений, которые он развивал: математического анализа, теории вероятностей, математической логики и теории информации. Все это составило теорию сложности, которую Андрей Николаевич создал в самом конце своего блистательного периода. Эта сложность по Колмогорову продолжает исследоваться до сих пор и является одним из самых основных понятий, связанных с его именем.

Кстати, тогда же в середине 1960-х годов Колмогоров очень много выступал публично. В частности, у него была речь «Может ли машина мыслить?». Она оказала огромное влияние на все тогдашнее математическое окружение. Это была некая комбинация Норберта Винера (отца кибернетики) и Шеннона. В пику устоявшейся идее, что машина мыслить не может, Колмогоров доказывал, что это возможно. Сейчас это стало общим местом: машины могут жить независимой жизнью, не заложенной алгоритмами, так что Андрей Николаевич замечательным образом пропагандировал возможности совершенно нового компьютерного мира.

— Андрей Николаевич встречался с Шенноном лично, тот ведь приезжал в Москву?

— Нет, Шеннон в целом во время пребывания в Советском Союзе вел себя очень замкнуто и ни с кем не искал встреч. В то же время Винер, наоборот, искал общения с Андреем Николаевичем, но тот почему-то на это не пошел. В их отношениях был интересный момент. Во время войны Колмогоров сделал работу по прогнозированию случайных процессов. Скажем, как спрогнозировать, где окажется летящий самолет в тот момент, когда его поразит снаряд? Это было блестящее приложение самой что ни на есть фундаментальной математики. Винер опубликовал похожие результаты сразу после войны, и ему, возможно, потом было неловко, что он не ознакомился с работами Колмогорова, опубликованными на русском языке. Винер писал, что «мы наступали друг другу на пятки», на что Андрей Николаевич улыбался: он-то ни на какие пятки никому не наступал, он сделал работу раньше!

Сорок километров математики

— Расскажите, пожалуйста, как вы стали учеником Колмогорова. Ведь он к тому времени уже был величайшим ученым, всемирной знаменитостью.

— Андрей Николаевич был Учителем, который, собственно, предопределил всю мою жизнь. Вообще-то я не предполагал занятия математикой. Я осознавал, что, несмотря на то что был отличником все четыре курса, особых успехов в математике у меня не было. А Андрей Николаевич действительно в то время был такой неслыханной вершиной, что мне даже не приходило в голову просто так к нему подойти и заговорить. Иногда я, будучи тогда секретарем комсомольской организации курса, пересекался с ним по общественной линии. И вот в 1956 году он вдруг неожиданно подошел ко мне и сказал: «У меня сейчас много свободной энергии, не хотите ли вы стать моим учеником?» Разумеется, я только захлопал глазами и ответил, что сейчас занимаюсь с Юрием Васильевичем Прохоровым. «Я с ним уже договорился»,— последовал ответ. Так что, по сути, у меня не оставалось выхода. Андрей Николаевич пригласил меня в Комаровку и в кратчайшей беседе, которую он вел со мной — четверокурсником, набросал широчайший план, который до сих пор не реализован. Там были и понятия «энтропии», и Шеннон, и сложности — всякое такое. Он предложил мне задачу, которую я удивительно быстро и легко решил. Собственно, это предопределило всю мою дальнейшую судьбу. Я стал математиком.

— Многие ученики называют загородную дачу Колмогорова — Комаровку — одним из интеллектуальных центров Москвы того времени. Как строилось это дачное общение?

— Он регулярно приглашал своих учеников на дачу, иногда просто на короткое время: днем приехал в Комаровку, а вечером уехал; иногда это было приглашение с ночевкой. В таком случае утром после завтрака совершалась какая-нибудь длительная прогулка на лыжах или пешком. Причем очень интересно, что Андрей Николаевич не был сторонником обязательного выполнения своего замысла. Когда он начинал путешествие, то планировал одно, а потом по ходу дела предлагал идти совсем в другую сторону. Эти по-настоящему замечательные путешествия иногда длились по шесть часов, и мы за это время проходили по сорок километров. По возвращении мы обедали, а потом Андрей Николаевич устраивал музыкальный вечер. Так что происходило обучение не только самой математике, но и человеческой культуре.

Сеятель

Заслуженный профессор МГУ Владимир Тихомиров

Фото: Евгений Гурко

— Кажется, что похожую систему Колмогоров создавал и в знаменитых математических школах, которые стали известны далеко за пределами СССР. Эта идея воспитания молодых математических талантов, видимо, была ему очень близка?

— Андрей Николаевич всегда был сторонником того, что должны быть специализированные математические школы. Но эта идея пробивала себе дорогу очень непросто, потому что господствовала ровно обратная идеология: никакой элиты быть не должно, все должны учиться одинаково. Тем не менее Колмогоров вместе с замечательным физиком Исааком Константиновичем Кикоиным все-таки решили организовать специальные физико-математические школы. Началось с того, что они организовали интернаты: в Москве, Новосибирске, Киеве и Ленинграде. Идеологию московского интерната формировал Андрей Николаевич Колмогоров. Он считал, что туда нужно принимать не москвичей, а людей из провинции, для того чтобы после окончания интерната они возвращались к себе на родину и там развивали математическую науку. Андрей Николаевич принял огромное участие в работе этого интерната. Это было нечто совершенно фантастическое. И там была огромная культурная программа, большая спортивная программа. Совершенно необычайная математическая научная программа. В частности, эту программу осуществлял сам Андрей Николаевич: он прочитал массу оригинальных неповторимых курсов. Интернат первых лет — это совершенно выдающееся явление, оттуда вышло много замечательных ученых, профессоров, кандидатов наук.

— Кажется, что это отсылка чуть ли не к древнегреческой традиции целостного воспитания личности.

— В принципе это действительно так. Сам Андрей Николаевич был очень глубоким и разносторонним человеком. Он прекрасно разбирался в музыке, живописи, скульптуре, поэзии. Если говорить о литературе, то Андрей Николаевич был очень интересным и вдумчивым читателем. Французскую и немецкую литературу он читал в оригинале. Английский он освоил для чтения математических текстов, но художественную литературу читать не мог.

— У него были любимые писатели?

— Среди величайших писателей ХХ века он называл двоих: Анатоля Франса и Томаса Манна. Он читал достаточно много художественной литературы, даже в последние годы, когда был загружен математической и общественной деятельностью.

— С поэзией у него была еще более тесная взаимосвязь.

— Да, Андрей Николаевич был высоким ценителем поэзии, при этом не только ценителем, но и исследователем. Довольно большую долю своей жизни он посвятил исследованию поэзии, и эти работы составили целый том в собрании его сочинений. Можно сказать, что Колмогоров провел статистическую обработку ритма русского стиха. При этом он исследовал очень многих русских поэтов. Безусловно, очень ценил Пушкина, Лермонтова, любил Блока, Ахматову, Есенина, Маяковского. Из современных авторов особенно выделял Евтушенко.

По отношению к музыке у него происходило некоторое движение назад к истокам: одним из самых любимых композиторов у Андрея Николаевича был Чайковский, позже часто звучали Шуман и Шуберт, а в более поздние времена — Бетховен и Бах.

Про живопись важно сказать, что Андрей Николаевич был необыкновенным ценителем иконописи. Именно от него в то время, когда о религии никто вообще не упоминал, я услышал размышления о том, что Андрей Рублев — это художник одного уровня с Леонардо да Винчи. Был ли сам Андрей Николаевич религиозен, этого я сказать не могу. Он иногда говорил о себе как об атеисте. Но, конечно, на самом деле какая-то глубинная идея того, что существует Нечто непостижимо великое, которое зародило все это, безусловно, была близка Андрею Николаевичу.

— Почему Андрей Николаевич в какой-то момент оставил математику?

— Это загадка в биографии Андрея Николаевича. Его математическое творчество длилось чуть больше сорока лет, хотя, например, тот же Никольский активно работал 70 лет, Гельфанд — 60 лет.

Как это объяснить? Я не нашел возможности спросить об этом Андрея Николаевича. Но действительно так вышло, что сразу после своего 60-летия он вдруг стал заниматься совсем другими вещами: педагогикой, поэтикой, энтропией языка… У него всегда было очень много идей и планов. Если характеризовать Андрея Николаевича глобально, то он был сеятелем. В Комаровке он растил сад, и все, что он сажал, всходило, все приживалось. В науке он был таким же сеятелем. Он никого особенно не учил, он рассеивал идеи, которые теперь приносят плоды по всему миру.