Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии

МАТЕМАТИКА

УДК 517.968, 517.983.37

DOI 10.21685/2072-3040-2017-4-1

Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ТЕЛА ДЛЯ РАННЕЙ ДИАГНОСТИКИ ЗАБОЛЕВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ МИКРОВОЛНОВОЙ ТОМОГРАФИИ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Цель работы - теоретическое и численное исследование обратной скалярной задачи дифракции на объемном теле, характеризующемся кусочно-гельдеровым показателем преломления.

Методы исследования. Краевая задача рассматривается в квазиклассической постановке; задача сводится к системе слабосингулярных интегральных уравнений, для ее исследования применяются элементы теории потенциала и преобразования Фурье.

Результаты. Обратная задача дифракции сформулирована в интегральной постановке, доказана теорема о единственности решения интегрального уравнения первого рода в классе кусочно-постоянных функций; разработан и программно реализован двухшаговый метод решения обратной задачи дифракции; проведены вычислительные эксперименты.

Выводы. Полученные результаты подтверждают эффективность предложенного алгоритма и возможность его применения к решению задач ближне-польной томографии.

Ключевые слова: обратная задача дифракции, восстановление коэффициента преломления, интегральные уравнения, единственность решения, метод коллокации.

R O. Evstigneev, M. Yu. Medvedik, Yu. G. Smirnov, A. A. Tsupak

THE INVERSE PROBLEM OF BODY'S HETEROGENEITY RECOVERY FOR EARLY DIAGNOSTICS OF DISEASES USING MICROWAVE TOMOGRAPHY

Abstract.

Background. The aim of this work is to theoretical and numerical study the inverse scalar problem of diffraction by a volume obstacle characterized by a piece-wise Hoelder-continuous function.

Material and methods. The original boundary value problem is considered in the quasiclassical formulation and then reduced to a system of weakly singular integral equations; the properties of the latter system are studied using the potential theory and Fourier transform.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Министерства образования и науки Российской федерации (соглашение № 1.894.2017/4.6).

Results. The inverse problem of diffraction is given the integral formulation; the theorem on uniqueness of a piecewise constant solution to the integral equation of the first type is proved; a new two-step algorythm for numerical solving the inverse problem is proposed and implemented; several numerical tests have been carried out.

Conclusions. The obtained theoretical and numerical results confirm high efficiency of the proposed method, which can be applied for solving problems of near-field tomography.

Key words: inverse diffraction problem, reconstruction of refractive index, integral equatons, uniqueness of solutions, integral equations, collocation method.

Введение

При решении обратных задач электродинамики и акустики возникает проблема отыскания решений с достаточной точностью по небольшому количеству измерений. Решению именно этой проблемы и посвящена данная статья.

Актуальность работы обусловлена прежде всего важными прикладными задачами, в которых могут быть применены разрабатываемые методы и алгоритмы (например, задачи ближнепольной микроволновой (СВЧ) томографии для ранней диагностики рака груди).

Существует несколько подходов к решению обратных задач электродинамики. Теоретическим аспектам исследования таких задач посвящена работа [1], содержащая обширную библиографию по этой теме. Основным подходом к численному решению обратных задач является решение гиперболической системы дифференциальных уравнений во временной области методом конечных разностей или конечных элементов с последующей минимизацией некоторых функционалов и регуляризацией по Тихонову (см. работы [2-5]).

Альтернативным подходом к решению обратных задач электродинамики может быть метод объемных интегральных уравнений, который применялся (как авторами статьи, так и другими исследователями, см. [6-13]) к решению прямых скалярных и векторных задач дифракции.

В настоящей работе метод интегральных уравнений применен для решения задачи восстановления неизвестного коэффициента преломления неоднородного препятствия Q монохроматической волны по значениям скалярного поля в некоторой области D, расположенной вне рассеивателя.

Основной материал статьи изложен в трех разделах.

В первом разделе описана прямая задача дифракции стороннего поля на теле с известным коэффициентом преломления: сформулирована квазиклассическая дифференциальная постановка задачи, получено интегральное уравнение Липпмана - Швингера. Отметим, что, в отличие от работ [10-12], где коэффициент преломления описывался бесконечно дифференцируемой функцией, в настоящей работе рассматривается случай кусочно-гельдеровой функции k(x). Все результаты работ [11, 12] остаются верными и в этом случае.

Для решения обратной задачи применяется двухшаговый метод. На

2 2

первом шаге определяется «ток» J = (k - ko )u по известным значениям поля в D. Для этого решается интегральное уравнение первого рода; его решение единственно в классе кусочно-постоянных функций.

На втором шаге искомая функция k(x) явно выражается через найденную ранее J (x). Для этого используется уравнение Липпмана - Швингера.

В ходе численных экспериментов авторами был решен ряд модельных задач, проведены анализ полученных решений и сравнение их с точными (известными изначально) функциями. Описание одного из таких экспериментов и его результатов представлено в данной статье.

1. Прямая задача дифракции на теле с кусочно-гельдеровым показателем преломления

В однородном пространстве Ж , характеризующемся волновым числом ko > 0, рассмотрим скалярную задачу дифракции на изотропном неоднородном параллелепипеде Q:

Q = {x = (х1,х2,хз):а1 < xj < а^Л < Х2 < ¿2, С1 < Х3 <

Введем на Q равномерную сетку с узлами

a2 - a b2 - b c2 - c

x1i = a1 +-i1, x2,i2 = ¿1 +-^ x3,i3 = c1 +-z3 (0 ^ h < n),

1 n 2 n 3 n

разобьем Q на элементарные параллелепипеды:

Qii3 ={x: xk,ik < xk < xk,k+1}, 0 ^ ik < n -1 и введем кусочно-постоянные функции Xi2i2i3 :

IX x e Q , Xiii

^ |0, xe q^.

Предположим, что Q характеризуется кусочно-непрерывной функцией k(x) = n(x)k0. Точнее,

k

где k^2i3 (x) непрерывны по Гельдеру:

ki1i2i3 e C' (Qi1i2i3).

Функцию k(x) в точках каждой грани dQin можно определить как предел значений k (x) в одном из смежных параллелепипедов.

Вводя мультииндекс I = (¿1/2*3), определим k(x) при каждом x e Q равенством

k(x) = Ykl (x)XI (x).

I

Пусть Eq - объединение ребер параллелепипедов Qi. Введем обозначения:

б/ = 61 \ Ед, & = б \ Ед. Поле источника, рассеянное и полное поле являются монохроматиче-

скими:

ио (х, X) = мое"'™, и, (х, X) = и^"""', и(х, X) = и о (х, X) + и, (х, X). (3) Будем рассматривать точечный источник поля:

ткг\ | х хЛ

-imt

Щ)(. x) = -

v^ Л01

г x0 £ Q.

4п | х - хо

Такое поле удовлетворяет уравнению Гельмгольца

2

и условиям излучения Зоммерфельда.

Требуется найти функцию и (х), удовлетворяющую следующей задаче:

(A + k/( x))u (x) = 0, x eQJ ;

du

(A + k(2 (x))u (x) = -8( x - x0), x el3\(Q u{x0});

Эп

= 0;

u e Hjoc (M3\{x0});

= ikQus + o | — |. Эг ^ r )

Решение, удовлетворяющее условиям гладкости

и е С1 (Ж3 \ (хо))Пс2(б/)ПС2 (Ж3 \ (& и {хо})),

называется квазиклассическим решением задачи (/1).

Задача (/1) может быть сведена к уравнению Липпмана - Швингера

и

JQJ

которое согласно определению функции к (х) можно переписать в виде

и

б

Запишем интегральное представление поля вне рассеивателя:

и

б

e

Определение 1. Под интегральной постановкой задачи дифракции будем понимать систему (/2), состоящую из уравнения (7) в 2 и представления (8) поля вне области неоднородности.

Оператор уравнения (7) обозначим через (I - А) и будем рассматривать

его как отображение в пространстве ^(О).

Используя свойства объемного потенциала, можно доказать следующее утверждение (аналогичное утверждение для случая бесконечно дифференцируемой функции приведено в [11, 12]):

Теорема 1. Пусть уравнение (7) имеет решение и е ¿2(0). Тогда для полного поля и(х), продолженного вне 0 по формуле (8), выполнены условия гладкости в (5).

Из теоремы о гладкости решения уравнения Липпмана - Швингера вытекает утверждение об эквивалентности дифференциальной и интегральной формулировок задачи дифракции. Последняя будет использована ниже для решения обратной задачи дифракции.

Теорема 2. Если и(х) является квазиклассическим решением (Р1), то и(х) удовлетворяет равенствам (7) и (8). Обратно, если и е ¿2(0) является решением уравнения (7), то функция и(х), продолженная по формуле (8), является квазиклассическим решением задачи (Р1).

Из теоремы 2, а также теоремы о единственности квазиклассического решения задачи дифракции [11, 12] вытекает утверждение об обратимости оператора интегрального уравнения.

Теорема 3. Оператор

А: ¿2 (0) ^ ¿2 (0) и фредгольмовость оператора (I - А).

Пусть ид = 0, тогда из теоремы 2 следует, что уравнение (I - А)и = 0 имеет лишь тривиальное решение.

Итак, оператор (I - А): ¿2 (0) ^ ¿2 (0) фредгольмов (с нулевым индексом) и инъективен. Следовательно, он непрерывно обратим. Теорема доказана.

2. Задача восстановления коэффициента преломления

Пусть выполнены все предположения о свойствах среды, рассеивателя 0 (с неизвестным показателем преломления п( х)) и падающего поля.

Рассмотрим ограниченную область В такую, что В п 0 = 0, в точках которой известны значения полного поля на фиксированной частоте ю:

U(x, t) = U0 (x, t) + Us (x, t), Us (x, t) = use

-irnt

Требуется восстановить функцию к(х) в области б по значениям полного поля и(х) в точках области В :

б

с учетом уравнения в б:

и

б

Введем в б функцию

J (х) = (к 2( у) - ко2)и (х),

считая, что всюду в б верно | к(х) |> к > ко. Тогда из представления поля получим уравнение первого рода для J(х):

х,у) J

б

а

\ G

k2(x) - ko Q

Двухшаговый метод состоит в следующем:

1. Считая известными поля mq(x) и u(x) в D, находим J в области Q из уравнения (12).

2. Находим k (x) в области неоднородности Q из уравнения (13). Рассмотрим вопрос о единственности кусочно-постоянного решения J

уравнения (12) (можно показать, что гладкое решение интегрального уравнения первого рода неединственное).

Предположим, что J представляет собой кусочно-постоянную функцию

J

I

с неизвестными постоянными JI .

Имеет место утверждение о единственности решения уравнения (12) в классе кусочно-постоянных функций J(x) при остаточно больших

значениях волнового числа ko .

Теорема 4. Пусть задано разбиение тела Q на n параллелепипедов Ql и пусть k0 > n4. Тогда уравнение

J G

Q

имеет не более одного кусочно-постоянного решения J (x).

Доказательство. 1. Покажем, что решение однородного уравнения

0

тривиально. Введем объемный потенциал

v

0

и отметим некоторые его свойства.

1 3

Так как по 3(х) кусочно-постоянна, то у(х) е С (Ж ) [12]. Отсюда

следует, что на границе параллелепипедов сетки выполнены условия сопряжения

^а=^ = а (18) 2

В каждом QI верно включение V е С (QI) и выполнено неоднородное уравнение Гельмгольца:

Вне 0 имеем (Д + £оМх) = 0 и V е С" (Ж3 \ 0).

з —

Так как в подобласти В с Ж \ 0 функция V тривиальна, то V = 0 и з —

всюду в Ж \ 0 согласно принципу единственного продолжения [6, с. 212].

1 3

В силу включения V е С (Ж ) имеем

_ е-^0|х-у1

2. Рассмотрим фундаментальное решение О(х,у) =- уравне-

ния Гельмгольца. Применим вторую формулу Грина к функциям V, О в областях QI:

0= \ ^(у)|- О (х,у) - 0(х,у)^(у)^у = ^ \ ШДуО(х, у) -

Э0 П П I 0!

-О(х, у)ДyV(у))ёу = (-^0 v(у)О(х, у) - О(х, у)Дyv(у))ёу +

I * I0 0!

+ | (-^0 v(у)О(х, у) - 8(х - y)v(у) - О(х, у)Ду v(у))ёу =

0ю

= -у

1 б/

Следовательно,

у

б

Вычитая последнее из (17), получим

"(х)= Г 51п(ко|х - у|) /(у)ёу = Г Оо(|х - у|)/(у)ёу - о, х е б. •> 4л | х - у | •>

б б

Для w выполнены условия сопряжения и, следовательно

Э^

эП

w^Q = =0.

Кроме того, w e C(Ж3 \ Q) удовлетворяет вне Q уравнению

2

(A + k0)w = 0 и условиям излучения Зоммерфельда. Следовательно [14], w = 0 в Ж3\ Q.

-5

3. Итак, w = 0 в Ж и, следовательно, для преобразования Фурье Fw

з

верно равенство Fw = 0 в Ж .

Введем hj =0 - 01)/ «1, =(2 -b\) / «2, ^3 = (2 - q)/ П3 и рассмотрим параллелепипед

Q0 =[01,01 + hj]x [¿1,Й1 + h2]x [С1,С1 + h3].

Все конечные элементы определим через сдвиги Q0:

QJ = Qi1i2i3 = Q0 + ffai3, где ri1i2i3 = rJ =

тогда

w(x) = Y/l j Gq(\ x - У \)dx = j G0(| x - y - rj |)dx. (25) j p0+rj j Q0

Вычислим преобразование Фурье для w с учетом (25):

Fw = Y/jF(Gq (\x - rj \) * X0 (x)) = ZJjFGo (\x - rj \))F(Xq (x)) = j j

3 -ihk k -1

= FXo

j k=1 ^k J

Следовательно, тождество Fw = 0 приводит к равенству

YJJeirj 0.

J

на сфере радиуса к0. Обозначим через 5" 1 единичные сферы в Ж" (" > 2).

4. Покажем, что функции е'Г1 линейно независимы на .

Рассмотрим матрицу Грама Г системы функций. Для элементов Гц' имеем равенства

Гя, = | ^е"^ сЬ% = к02 | ¿к°(г1 '^сЬ% = к2 | е^й^ =

52 52

= к02 J eikolrI'|юи4ds% = 2^2 Jeik°r*dt.

S2 -1

Здесь использована независимость интегралов по сфере вида J f (ro-^)ds^ от юе Sn-1 и представление [15, с. 214]:

Sn-1

1

J f

Sn-1 -1

Из (28) выводим

4 sin(k01 rir |) . ,

4лко-:-:-, 1 ф 1 ,

Г11' = j 1 rii'1

4яко2, I = I',

что влечет невырожденность матрицы Грама вследствие преобладания диагональных элементов при ко > n4. Теорема доказана.

3. Численное решение обратной задачи дифракции

Для численного решения уравнения (12) применен метод коллокации:

N

функция J ищется в виде J(x) = ^Cj%j (x), а в качестве точек коллокации

j=1

используются точки ц е D

Ниже мы опишем условия и результаты вычислительных экспериментов.

В качестве области неоднородности рассмотрен куб Q с длиной ребра 0,15 м. Частота f монохроматической волны положена равной 2 ГГц;

волновое число свободного пространства ко=-^—. Источник излучения

c

расположен за пределами тела на заданном положительном расстоянии от него. Падающая волна, отвечающая такому источнику, описывается функцией (4).

В проведенных экспериментах менялось расположение массива приемников (точек измерения полного поля), варьировалось расстояние от ближайшего приемника до рассеивателя (параметр йг) и осуществлялось «зашумление» данных. Расстояние й5 от источника падающей волны и§ до тела составляло = 0,003 м.

Представленные ниже рисунки иллюстрируют значения вещественной (под буквой (а)) и мнимой (под буквой (б)) частей искомой функции к(х).

В рассматриваемой модельной задаче область неоднородности Q характеризуется известной комплекснозначной функцией к (х). Точные значения Яе к(х), 1тк(х) показаны на рис. 1,а и 1,б соответственно. Для данной к (х) была решена прямая задача дифракции, определено поле и и «ток» 3 в Q, необходимые для моделирования падающего поля в обратной задаче.

XAxIs "6 -4 "2 0 2 4 6 XAxfe

-4 -2 0 2 4 6

YAxIS

YAxIS

XAxIs -S -4 -2 0 2 4 6 ХАхБ

б)

Рис. 1. Точное решение модельной задачи: вещественная

На рис. 2 представлено решение обратной задачи при точных входных данных (без внесения дополнительных погрешностей - шумов).

а)

б)

Рис. 2. Приближенное решение модельной задачи: ёг =0,005 м, X07 - ориентированные приемники, шумы отсутствуют

Во втором эксперименте (рис. 3) в набор входных данных привнесены погрешности. В этом случае решение задачи найдено с низкой точностью: наблюдается появление посторонних «артефактов» и пропадание «истинных» неоднородностей.

В третьем эксперименте (рис. 4) исходные данные являются «зашумленными», но изменено расположение приемников поля. Как видно из рисунков, появившиеся во тором эксперименте «артефакты» исчезли или отвечающие им значения к(х) мало отличаются от значений для фона.

Заключение

Авторами разработан и теоретически обоснован новый метод решения задачи восстановления коэффициента преломления в неоднородном теле по измерениям ближнего поля, основанный на решении линейного интегрального уравнения по области неоднородности.

YA(6

-8-6-4 -2 0 2 4 6 8

YAxIS

YAxfe

б)

Рис. 3. Приближенное решение модельной задачи: йг =0,05 м, X07 - ориентированные приемники, данные зашумлены

YAX6

УАхЬ

а)

Рис. 4. Приближенное решение модельной задачи: йг =0,05 м, X07 - ориентированные приемники, данные зашумлены

-4 -2 0 2 4 YAxt

б)

Рис. 4. Окончание

Проведенные вычислительные эксперименты подтверждают эффективность предложенного алгоритма для решения обратной задачи дифракции.

Авторы предполагают также провести ряд экспериментальных исследований

с использованием разработанного метода.

Библиографический список

1. Brown, B. M. Uniqueness for an inverse problem in electromagnetism with partial data / B. M. Brown, M. Marlett, J. M. Reyes // J. Differential Equations. - 2016. -Vol. 260. - P. 525-654.

2. Bakushinsky, A. B. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems / A. B. Bakushinsky, M. Yu. Kokurin. - New York : Springer, 2004.

3. Beilina, L. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems / L. Beilina, M. Klibanov. - New York : Springer, 2012.

4. Kabanikhin, S. I. Direct Methods of Solving Multidimensional Inverse Hyperbolic Problems / S. I. Kabanikhin, A. D. Satybaev, M. A. Shishlenin. - Utrecht, VSP, 2004.

5. Romanov, V. G. Inverse Problems of Mathematical Physics / V. G. Romanov. -Utrecht, The Netherlands : VNU, 1986.

6. Colton, D. Inverse Acoustic and Eleectromagnetic Scattering Theory / D. Colton, R. Kress. - Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 1992.

7. Самохин, А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, 1998.

8. Kobayashi, K. Investigation of electromagnetic diffraction by a dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation / K. Kobayashi, Yu. Shestopalov, Yu. Smirnov // SIAM J. Appl. Math. - 2009. - Vol. 70, № 3. -P. 969-983.

9. Costabel, M. Volume and surface integral equations for electromagnetic scattering by a dielectric body / M. Costabel, E. Darrigrand, E. H. Kone // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2010. - Vol. 234, № 6. - P. 1817-1825.

10. Smirnov, Yu. G. On the volume singular integro-differential equation approach for the electromagnetic diffraction problem / Yu. G. Smirnov, A. A. Tsupak, D. V. Valovik // Applicable Analysis. DOI: 10.1080/00036811.2015.1115839.

11. Цупак, А. А. О единственности решения задачи дифракции акустической волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 30-38.

12. Медведик, М. Ю. Скалярная задача дифракции плоской волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 8. - С. 1319-1331.

13. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -М. : Наука, 1971. - 509 с.

14. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. - М. : Мир, 1987. - 312 с.

15. Наттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер. - М. : Мир, 1990. - 288 с.

References

1. Brown B. M., Marlett M., Reyes J. M. J. Differential Equations. 2016, vol. 260, pp. 525-654.

2. Bakushinsky A. B., Kokurin M. Yu. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems. New York: Springer, 2004.

3. Beilina L., Klibanov M. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems. New York: Springer, 2012.

4. Kabanikhin S. I., Satybaev A. D., Shishlenin M. A. Direct Methods of Solving Multidimensional Inverse Hyperbolic Problems. Utrecht, VSP, 2004.

5. Romanov V. G. Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht, The Netherlands: VNU, 1986.

6. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Eleectromagnetic Scattering Theory. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1992.

7. Samokhin A. B. Integral'nye Uravneniya i Iteratsionnye Metody v Elektromagnitnom Rasseyanii [Integral equations and iterative methods in electromagnetic scattering]. Moscow: Radio i svyaz', 1998.

8. Kobayashi K., Shestopalov Yu., Smirnov Yu. SIAM J. Appl. Math. 2009, vol. 70, no. 3, pp. 969-983.

9. Costabel M., Darrigrand E., Kone E. H. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010, vol. 234, no. 6, pp. 1817-1825.

10. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A., Valovik D. V. Applicable Analysis. DOI: 10.1080/00036811.2015.1115839.

11. Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 1 (29), pp. 30-38.

12. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [The journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2014, vol. 54, no. 8, pp. 1319-1331.

13. Vladimirov V. S. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1971. 509 p.

14. Kolton D., Kress R. Metody integral'nykh uravneniy v teorii rasseyaniya [Methods of integral equations in the scattering theory]. Moscow: Mir, 1987. 312 p.

15. Natterer F. Matematicheskie aspekty komp'yuternoy tomografii [Mathematical aspects of computer tomography]. Moscow: Mir, 1990. 288 p.

Евстигнеев Роман Олегович аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: Roman_cezar@mail.ru

Evstigneev Roman Olegovich Postgraduate student, Penza State University

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Цупак Алексей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Medvedik Mikhail Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Smirnov Yuriy Gennad'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

УДК 517.968, 517.983.37 Евстигнеев, Р. О.

Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии /

Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 4 (44). - С. 3-17. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-4-1