О некоторых функциях, не представимых интегралом Фурье

УДК 517.518.5

И. П.. Попов

О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ, НЕ ПРЕДСТАВНМЫХ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ

Дается определение ограниченного вдоль оси абсцисс комплекснозначной периодической функции. Таковыми являются практически все периодические функции, встречающиеся в технических приложениях. Доказывается, что вопреки соответствию условиям разложимости посредством интеграла Фурье такие функции не подлежат разложению в непрерывный спектр гармоник. Показано, что функция, периодическая на всей вещественного оси, также не представима интегралом Фурье. Доказывается, что ограниченная вдоль оси абсцисс периодическая функция не имеет гармоник в области ее нулевых значений. Показано, что прямоугольная импульсная функция может быть представлена как квазипериодическая и в этой связи не подлежат разложению посредством интеграла Фурье, при этом ее спектр (если он существует) не зависит от величины виртуального периода; это заключение, в частности, распространяется на ступенчатую функцию Хевисайда. Доказывается, что прямоугольная импульсная функция не разлагается на гармоники, не считая нулевой гармоники, 'равной значенгт самой прямоугольного импульсного функции; как следствие, не разлагаются на гармоники ступенчатая функция Хевисайда и д - функция Дирака. Показано, что ограниченная вдоль оси абсцисс гармоническая функция не подлежит разложению в непрерывный спектр гармоник посредством интеграла Фурье.

Ключевые слова: интеграл Фурье, гармоники, период, дискретный спектр, разложение.

Считается, что почти любую функцию, не являющуюся периодической на протяжении всей числовой прямой, можно представить интегралом Фурье [1-3]. Таковыми являются практически все периодические функции, встречающиеся в технических приложениях, поскольку они имеют начало и конец и поэтому определены лишь на ограниченном интервале, а не на всей числовой прямой [4-7]. При решении вопроса разложимости функции в непрерывный спектр гармоник посредством интеграла Фурье, как правило, решается задача определения классов функций, для которых данное разложение возможно. В соответствии с этим подходом функции должны удовлетворять условиям, аналогичным условиям Дини и Дирихле-Жордана для рядов Фурье [8-10]. В настоящей работе использован противоположный подход — определяются виды функций, которые не могут быть представлены интегралом Фурье. Как будет показано ниже, подходы не являются равнозначными — некоторые функции, подлежавшие разложению в соответствии с первым подходом, не разлагаются в соответствии со вторым.

Теорема 1. Периодическая функция может разлагаться только на гармоники кратных дуг.

Доказательство. Для периодической функции справедливо условие:

/С) ./С-'/') /- У = (1,2,...,/), 11-/1 : X.

Для всех / можно подобрать 21 гармоник некратных дуг, удовлетворяющих 21 уравнениям:

А-=1 А-=1

Очевидно, что

* ^=1 + 1,1 + 2,...), + Т|

А-=1 А-=1

Эти рассуждения не зависят от величины /, которая может быть устремлена в бесконечность. Из этого следует, что /(/) может разлагаться только на гармоники кратных дуг. Теорема доказана.

Следствие. Любые два периода периодической функции имеют идентичные наборы гармоник.

Определение. Комплекснозначная функция

[о, д

является ограниченной вдоль оси абсцисс периодической функцией.

Теорема 2. Ограниченная вдоль оси абсцисс периодическая функция /(х) не пред ставима интегралом Фурье.

Доказательство. Пусть на отрезке [х^х,] с х-, = х, + /'. /(х) имеет гар-

моническую составляющую

ф(х) = сРе'рхР е С,/> е И Ее значение на границах отрезка:

грх1 грхп

Ф1 =сРе , Фз-о =сре ~

В силу периодичности /(х) ее значения на отрезке [х2, х3 ] с ; х3 = х2 + Т, будут такими же, как на предыдущем отрезке. В соответствии со следствием теоремы 1 на втором отрезке имеется эта же гармоническая составляющая ср, которая на

1рхп 1рх?

границах отрезка имеет значения: Фз+о - сРе " Фз - сРе При этом ср, = ср2+0, ср2 0 = фз .

Поскольку ф непрерывна, ф2_0 = ср2+0. Следовательно, ф1 = ф, „. Это означает, что на периоде Т укладывается целое число периодов любой произвольной гармоники ф.

Отсюда следует, что спектр частот гармоник, на которые может быть разложена /(х), является дискретным, в то время как у интеграла Фурье он непрерывен. Следовательно,

/(х) не может быть представлена интегралом Фурье. Теорема доказана.

Следствие. Функция, периодическая на всей вещественной оси, не представи-ма интегралом Фурье.

Считается, что для функции

[О,

представимой интегралом Фурье, ее любая гармоника существует всюду в (—со,со).

8(х) =

Теорема 3. Для ограниченной вдоль оси абсцисс периодической функции /

гармоники существуют только на отрезке |с,.С, |.

Доказательство. В соответствии с теоремой 2 любая гармоника из отрезка

|с,. с, + /-| имеет в нем целое число периодов, и, будучи распространена на отрезок |с, - '/'.с, |, имеет в последнем такое же распределение фаз относительно границ отрезка, как и на отрезке + Т]. Это вытекает из равенства отрезков. Следовательно, суммы всех гармоник на обоих отрезках будут одинаковыми, и на отрезке слева от

функция повторит форму функции справа от с,, что противоречит определению ограниченной вдоль оси абсцисс периодической функции. То же справедливо по отношению к правой границе отрезка |. Таким образом, за пределами отрезка |

/(х) гармоник не имеет. Теорема доказана.

Теорема 4. Прямоугольная импульсная функция

не представима интегралом Фурье.

Доказательство 1. Отрезок | может быть разбит на п равных отрезков

(виртуальных периодов). При этих обстоятельствах р(х) удовлетворяет определению ограниченной вдоль оси абсцисс периодической функции. В соответствии с теоремой 3 за пределами отрезка |с,.С, | ни одна из гармоник не существует, в то время как для интеграла Фурье гармоники должны существовать всюду. Теорема доказана.

Доказательство 2. Пусть р

субимпульс pj (х), соответствующий любому периоду, можно рассматривать как прямоугольную импульсную функцию, отличающуюся от исходной только продолжительностью. Поэтому так же как и для исходной функции, можно допустить, что он представим интегралом Фурье, все гармоники которого имеют периоды в п раз

меньшие, чем периоды соответствующих гармоник исходной функции р{х). В соответствии с теоремами 1 и 2 гармоники субимпульса р{(х) (если они существуют) образуют только дискретный спектр, следовательно, гармоники исходной импульсной функции (если они существуют) тоже образуют только дискретный спектр, что не совместимо с представлением интегралом Фурье. Теорема доказана.

Замечание. Спектр исходной прямоугольной импульсной функции р{х) (если он существует) не зависит от числа разбиений отрезка [с,.^]. Действительно, период

первой гармоники субимпульса п (если она существует) определяется выра-

Р = сопз1, хе

о,

жением

п

а период первой гармоники р(х) (если она существует) в п раз больше.

Следствие. Ступенчатая функция Хевисайда

Г1, прих>0, У (х) = ^ Р

[ 0, при х < О

не представима интегралом Фурье.

Ступенчатую функцию можно рассматривать как предельный случай прямоугольной функции при С, —> 00 .

Во избежание рассмотрения бесконечно больших периодов п тоже можно устремить в бесконечность, связав его определенным образом с С,. Пусть, например,

С - £ = дп + г , </./••: К . Ъ-Ъ-г

п = -—--

Ч

Тогда (виртуальный) период функции

п

Теорема 5. Прямоугольная импульсная функция не разлагается на гармоники, не считая нулевой гармоники, равной значению самой прямоугольной импульсной функции.

Доказывается прямой подстановкой в формулы для коэффициентов гармоник ряда Фурье.

Следствие 1. Ступенчатая функция не разлагается на гармоники.

Следствие 2. 8 -функция Дирака не разлагается на гармоники.

8 -функция представляет собой предельный случай прямоугольной импульсной функции с единичной площадью при стремлении продолжительности импульса к нулю.

С другой стороны, 8 -функция равна производной единичной ступенчатой функции. Если бы 8 -функция имела гармоники, то они были бы производными гармоник ступенчатой функции. Но последняя не имеет гармоник или ее гармоники всюду равны нулю. Следовательно и гармоники 8 -функции также всюду равны нулю.

Теорема 6. Ограниченная вдоль оси абсцисс периодическая функция

|Ае*\ прил-е|£.С|,ЛеС [О. при гё

\|/(.V) =

имеет на | единственную гармонику Ае'рх.

Доказывается прямой подстановкой в формулы для коэффициентов гармоник ряда Фурье.

Литература

1. Katznelson Y. An introduction to harmonic analysis. N. Y.: Dover publications, 1976.

2. Винер H. Интеграл Фурье и некоторые его применения. М.: ФМ, 1963.

3. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: ОГИЗ, 1948.

4. Popov I. P. Free harmonic oscillations in systems with homogeneous elements // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2012. Vol. 76. Iss. 4. P. 393-395.

5. Попов И. П. Свободные гармонические колебания в электрических системах с однородными реактивными элементами// Электричество. 2013. № 1. С. 57-59.

6. Попов И. П. Групповая скорость волнового пакета, образованного двумя свободными идентичными частицами с разными нерелятивистскими скоростями // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 3 (35). С. 69-72.

7. Попов И. П. Колебательные системы, состоящие только из инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 1 (21). С. 95-103.

8. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: ИЛ, 1948.

9. Толстов Г. П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980.

10. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. М.: Мир, 1985.

Об авторе

Попов Игорь Павлович — старший преподаватель кафедры «Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты», Курганский государственный университет, Россия.

E-mail: ip.popow@yandex.ru

I. Popov

ON SOME FUNCTIONS, WHICH CANNOT BE PRESENTED BY FOURIER INTEGRAL

In the paper we give the definition of the complex-periodic function limited along the x-axis. These are almost all the periodic functions one can encounter in technical applications. We prove that such functions cannot be decomposed into a continuous spectrum of harmonics via Fourier integral despite the existence of conditions, appropriate for such a decomposition. It is shown that a function, which is periodic along the whole real axis, cannot be represented via Fourier integral. It is proved, that a periodic function, limited along the x-axis, has no harmonics in its zero-value region. We show that a rectangular pulse function can be represented as a quasi-periodic function and therefore cannot be a subject for the decomposition via Fourier integral, in which connection, its spectrum (in case it exists) does not depend on the quantity of the virtual period; this conclusion, in particular, may be applied to Heaviside step function. It is proved that a rectangiilarpiilse function cannot be decomposed into harmonics, except the zero harmonic, which is equal to the value of the rectangiilarpiilse function itself: consequently, Heaviside step function and Dirac S-function cannot be decomposed into harmonics. It is shown that a harmonic function limited along the x-axis cannot be decomposed into a continuous spectrum of harmonics via Fourier integral.

Keywords: Fourier integral, harmonics, period, discrete spectrum, decomposition.

About the author

Igor' Popov — senior lecturer of the Department of Technology of Mechanical Engineering, Metal-cutting Machines and Tools, Kurgan State University, Russia E-mail: ip.popow@yandex.ru