Модифицированный метод прямых

ВЕСТНИК 8/2016

УДК 539.3

А.Н. Станкевич

КНУСА

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ПРЯМЫХ

Рассмотрен новый модифицированный метод прямых, который используется для понижения размерности многомерных задач строительной механики. Метод применяется для расчета толстых пластин, пластин переменной толщины, неоднородных и многослойных пластин. Предлагается конечно-разностные соотношения заменить проекционными, что расширит возможности метода прямых и позволит использовать метод в задачах динамики.

Ключевые слова: модифицированный метод прямых, проекционный метод, дифференциальные уравнения, понижение размерности, толстые пластины

Основная идея метода для решения многомерных краевых задач заключается в сведении исходных дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и формулировке граничных условий для преобразованной таким образом задачи. Такой подход на первом этапе развития метода прямых предполагал возможность решения граничных задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Это было осуществимо при использовании для понижения размерности исходных уравнений метода конечных разностей, что порождало трехди-агональные матрицы коэффициентов, для которых возможно преобразование систем обыкновенных дифференциальных уравнений в системы несвязанных уравнений. Это осуществимо только в случае уравнений с постоянными коэффициентами и затруднительно для решения динамических задач, которые в связи с этим не рассматривались. Интенсивное развитие численных методов, обусловленное применением ЭВМ в математических расчетах, существенно изменило идеологию решения многомерных задач, привело к широкому применению численных методов. Однако следует заметить, что эти нововведения в меньшей мере коснулись метода прямых. И хотя для решения одномерных по пространственным переменным граничных и начально-граничных задач разработаны эффективные и высокоточные численные методы, их применение в методе прямых несущественно. Но именно одномерные разрешающие уравнения позволяют существенно расширить возможности метода прямых и гарантировать высокую точность результатов при использовании численных методов.

На наш взгляд, все этапы метода прямых подлежат модификации. Усовершенствование этого метода следует начинать с выбора наиболее общего метода понижения размерности исходных уравнений, применяемого к максимально широкому классу задач. По сравнению с методом конечных разностей, который используется в [1, 2], таким методом является проекционный метод Бубнова-Галеркина-Петрова [3]. Именно в этом варианте метода Бубнова-Га-леркина базисные функции в случае естественных краевых условий могут не удовлетворять граничным условиям. в вариационном исчислении применяет-

ся методология сведения главных граничных условий к естественным (метод штрафов). В строительной механике эту методологию можно тактировать, используя физический смысл граничных условий.

Кроме того, алгоритм понижения размерности на основе проекционного метода позволяет существенно упростить и систематизировать вид исходных уравнений. Дело в том, что при применении метода конечных разностей для понижения размерности исходных уравнений последние принято рассматривать такими, когда производные по пространственным переменным должны быть второго порядка. В то же время проекционный метод позволяет записывать исходные уравнения относительно производных первого порядка по пространственным переменным. Это требует введения в исходные уравнения в качестве неизвестных обобщенные перемещения и соответствующие обобщенные силы. В итоге в уравнения входят все величины, которые определяют напряженно-деформированное состояние (НДС), сами уравнения не содержат смешанных производных, а в каждое слагаемое входит по одной производной по соответствующей координате [4].

Учитывая вышеизложенное, для составления разрешающих уравнений плоской задачи динамической теории упругости используем расчетную схему, приведенную на рис. 1.

Рис. 1. Плоская деформация

ds дг х

дх дг

ду да,,

дх ду

х = Р^тг ;

Y=Р^т ;

дх

сГи

де

д^ы

&2

Sv

-I

ду'

(

гху = m

Sv ди

\

дх ду

Отдельно рассматривается уравнение

.ди , ,Sv дх ду

Здесь учитывается закон парности касательных напряжений тху = т и исключены алгебраические уравнения закона Гука.

ВЕСТНИК

8/2016

Как и в классическом варианте метода прямых, на область, в пределах которой рассматривается исходная задача, наносится система параллельных прямых с шагом Ау. В направлении переменной у выбирается система базисных функций (рис. 2).

Рис. 2. Система базисных функций

Поскольку в проекционном методе используется понятие скалярного произведения в функциональном пространстве и вытекающие из этого геометрические идеи, в качестве скалярного произведения двух функций, зависящих от переменной у, будем рассматривать интеграл от произведения этих функций по их области определения Н~ < у < Ь+ :

((у )Му ))=/ / (у) г (у

С точки зрения этого скалярного произведения, система базисных функций, которые называются локально сосредоточенными, будет ортогональной, однако матрица Грама таких функций ф (у), ф. (у)} является трехдиагональ-ной, симметричной и невырожденной, следовательно, такая система функций линейно независима. Поскольку большинство элементов матрицы Грама — нули, то такую систему называют «почти ортогональной» [5]. В связи с тем, что такая базисная система является косоугольной, то по аналогии с тензорным исчислением будем рассматривать так называемый взаимный базис ф' (у), элементы которого отмечаем верхним индексом в отличие от элементов исходного (основного) базиса, которые отмечают нижним индексом. Элементы взаимного базиса описываются соотношением

где =

|1, если г = у

— символ кронекера.

[0, если г Ф у

С точки зрения тензорного исчисления матрица Грама определяет компоненты дважды ковариантного метрического тензора g . = р (у), ф. (у)). Кроме этого метрический тензор второго ранга имеет еще три вида компонент:

glJ = (ф' (у), с (у)), 5? =(ф' (у), ф. (у)), 5;; =(рр (у), р.. (у)).

+

и

По аналогии с тензорным исчислением, в связи с косоугольным характе-

будем ставить в соответ-

h~, h+

ром базиса, функции Ау) переменной у е

ствие два вида компонент: контравариантные/', которые являются коэффициентами в разложении этой функции по основному базису

/

и ковариантные, которые являются скалярными произведениями данной функции на элементы основного базиса

А =

в математике их еще называют моментами функции относительно системы базисных функций.

Здесь и далее по повторяющимся индексам в двучленных выражениях предполагается суммирование в пределах области определения индекса (соглашение Эйнштейна), в данном случае , = 1, п .

Следует отметить, что соотношения (6), (7) имеют взаимный смысл:

А (у) = А Ф (у), Г = ( А (у), Ф (у)).

Поскольку матрица компонент дважды контравариантного метрического

тензора } является обратной матрице компонент дважды ковариантного

метрического тензора {gij }, что в индексной форме записывается соотношением

=5к,

то имеют место преобразования:

V = gvvJ, V = giJvJ,

которые в тензорном анализе называются операциями опускания и поднимания индекса, соответственно. При построении уравнений будет использоваться также операция замены индекса:

V. = 5 .V,., V1 = 51' V.

Для постановки исходной начально-краевой задачи для системы уравнений (1), (2) необходимо задать начальные и граничные условия, которым должны удовлетворять неизвестные функции. Начальные условия имеют стандартный вид

при ? = 0 и

у(х, у, 0) = Уо(х, у), \>(х, у, 0) = У0(х, у).

Здесь и0 (х, у), у0 (х, у) — заданные перемещения точек пластины, а ио (х, у), Г0 (х, у) — скорости этих точек в начальный момент времени.

Примем граничные условия нетрадиционного общего вида. Будем считать, что каждая граничная точка пластины связана со смежной точкой окружающей среды двумя упругими стержнями (связями) заданной жесткости, а в случае трехмерной задачи — тремя (рис. 3).

ВЕСТНИК

8/2016

Рис. 3. Моделирование граничных условий

Заданы силовые воздействия (0, у) = д^ (у), дху (0, у) = (у), определенные в граничных точках среды, и кинематические воздействия, которые рассматриваются как известные перемещения смежных точек окружающей среды. Рассматривая равновесие приграничного участка пластины, получаем соотношения:

\Сп ( 0 , у, Г )-Ох ( 0, у, Г ) = ГхХ ЛХх ( у, Г ) + С ( у, Г), |/>(0, у, г) - Тху (0, у, г) = гХуЛу (у, г) + д0у (у, 7). Аналогично на трех других участках границы:

К" (/, у, г) + °х (( у, г) = г'хА'х (у, г) + д'ш (у, I), ((, у, г) + Ту ((, у, г) = 1 (у, г) + д'ху (у, г);

т ух (x, ^, 7 ) =г-и (х , 7)- Л-х (x, 7)- дух (x, 7),

с у ( х, Ы, 7 ) = г-уУ ( х, Ы, 7)- г- Л-у ( х, 7)- д-у ( х, 7);

ух (^ , 7) = -Гу> (x, Г, 7) + Гу+хЛ+х (x, 7) + д+ (x, 7),

с у ( х, И+, 7) = -Гу+уУ ( х, И+, 7) + Л+у ( х, 7) + д+у ( х, 7).

Построенные граничные условия являются естественными, поскольку вытекают из условий равновесия [5]. Кроме того, эти условия обобщают стандартные граничные условия: при г ^ 0 заданы напряжения, при г ^ да заданы перемещения.

При понижении размерности исходных уравнений с помощью проекционного метода, неизвестные функции ищутся в виде приближенных соотношений:

и(х, у, 7)« и' (х, 7ф(у), у(х, у, 7)« у ' (х, 7)ф,(у),

сх

при х = 0

при х = I

при у = I

при у = I

с

(х y, 7)«су (x, 7)ф(у).

или

и (х, у, г)« и, (х, г)ф'(у), V (х, у, г)« V, (x, г)ф'(у),

sx

(x, У, г (x, г )ф( у).

После подстановки соотношений (17) или (18) в уравнения (1), (2) каждое из них будет содержать ошибку. Для сведения ошибки к минимуму она должна быть ортогональной к базисным функциям.

Формально каждое из уравнений (1), (2) умножается скалярно на базисные функции ф,(у), (' = 1, п) или ф' (у), (' = 1, п) и после соответствующих математических преобразований вместо каждого из уравнений (1), (2) получаются п уравнений, зависящих от меньшего на единицу количества пространственных переменных. При этом следует различать последовательность преобразования уравнений, в которые входят первые производные по пространственным переменным от перемещений, и уравнений, в которые входят первые производные от напряжений, так как из вида уравнений (1) следует, что функции перемещений должны быть дифференцируемы как минимум один раз, а функции напряжений — два раза.

Умножая скалярно третье уравнение системы (1) на ф ,(у), имеем

х/ = ( + + (У)Ф =

дх ¡¡_ ду

ди к+ д

= ( + + ^ \ Ф; (у) ду ( Ф;(У))) =

ди А+

=(+2^)~дХ+(ф; (у)ф ] (У)аУ=

УГ

= ( + 2ц))Х + и^ =(Х + 2ц))Х + .

и ди

в приведенной цепочке равенств учтено, что <з:с, — относительно пере-

дк

менной у являются алгебраическими выражениями и поэтому после скалярного умножения на ф (у) превращаются в моменты этих функций относительно элементов основного базиса. Для вычисления интеграла функция v(x, у, г) ищется в виде разложения по основному базису, поэтому величины V] являются коэффициентами разложения по этому базису и далее преобразованы в моменты с помощью операции опускания индекса:

^ = ^ Va.

Первые производные базисных функций существуют во всех точках определения этих функций, кроме точек выбранных прямых (две для приграничных функций и три для внутренних по у), поэтому интеграл существует и дает матрицу коэффициентов

к+

ьр = ф

ВЕСТНИК 8/2016

Окончательно полученное уравнение запишем в виде

^ =--— Ь.^у +а..

ах к + 2 ц л + 2 т

Из четвертого уравнения системы (1) аналогично получаем

^ = -Ь..еуаи +1 х ..

ах 'у а т ху'

Несколько иначе следует строить редуцированные уравнения на основе первых двух уравнений системы (1). Покажем это на примере первого уравнения. Умножая это уравнение скалярно на Ф'(у), учтем алгебраический характер некоторых составляющих (здесь производные по х и по 1 рассматриваются как производные по параметрам). В результате имеем

да.., И+ дХху ^ д2и,

Ф. (у)ау+X = р

2

дх дУ ' ' д/

Интеграл преобразуем, выполняя интегрирование по частям:

да.., / , лИ И+ , дV

-+(хху Ф' (у)) ь. -|Ф; (у)ххуау

дх  у^^/И ^ ^рд/2 '

И

после чего можно использовать аппроксимацию

X ху

в результате окончательно получаем

дх+хху

Необходимо отметить, что коэффициенты разложения (22) имеют физический смысл значений функций, которые раскладываются при у = у., т.е. на прямых, поэтому для вычисления значений неизвестной функции при некотором значении переменной у0 воспользуемся следующим представлением:

Xху

(И+ ) « хху ФJ (И+ ) = х"ху, хху (И~ ) « хф.. (И~ ) = х1ху, из чего следует

(И+)ф„ (И+)*8„ хху (х, И+, /),

(И-)ф (Л-)«51 хху (х, И-, /).

Из граничных условий на прямых у = И+, у = И~ (15), (16) находим х (х, И", 1), х (х, И+, 1), в результате чего уравнение (23) будет иметь вид

в частности х

ху

х

ху

х

ху

а = -§Л< + ЬуЯуахчта -^Ха +рд.

= §1Х -8 Д хху + Ь'^ах- .

Аналогично на основе второго уравнения системы (1) получим

а х „„. д2у

ХЛ/1. Г~\ I. г/ г»». г/ -I 1 тт ^ у

ху'

х = 8.Х - 8„:аа; + Ь,ауу - ¥1 + р-^.

Покажем, что неизвестное а можно исключить из уравнения (26). Для этого воспользуемся соотношением (2). Проецируя его на базис ф; (у), (' = 1, „ ), имеем

ди ди

=х~х+

С помощью уравнения (20) исключим ди-. К окончательному виду урав-

дх

нение (26) приведем, заменяя коэффициенты перемещений и. моментами с помощью операции опускания индексов: Л т

ji- k s- i- k , + л na

= Sl.tCTyy -Ъ«-к<5yy +—---bjigJ bkegp Va

dx 1 k y "k y Х + 2ц

+ bjigJkSkaaxxa -g.aYa + pS- .

X + 2ц dt

Аналогично редуцируя второе уравнение системы (1), имеем

^ = -Ь .граи +15ах .

1 ро а 1  хуа ^ '

их т

Система редуцированных уравнений (20), (21), (28), (29) получена из исходной системы уравнений (1) в моментах разрешающих функций и. (х, t), V... (х, t), ст. (х, t), тху1 (х, t) и является связанной системой 4 х п уравнений в частных производных по одной пространственной переменной, что отвечает основной идее метода и временной переменной. Предложенная в работе идея преобразования неизвестных из коэффициентов в моменты и наоборот позволяет получить четыре вида редуцированных уравнений:

• все неизвестные записаны в моментах — это приведенные здесь уравнения;

• все неизвестные записаны в коэффициентах;

• перемещения записаны в коэффициентах, а напряжения в моментах;

• перемещения записаны в моментах, а напряжения в коэффициентах.

Поскольку переход от одного вида уравнений к другому осуществляется с

помощью алгебраических преобразований поднимания и опускания индексов, то все четыре варианта идентичны и приводят к одинаковым результатам [6].

Различие состоит в удобстве построения вычислительных алгоритмов, о чем будет сказано ниже.

Для нахождения единственного решения системы редуцированных уравнений необходимо, чтобы разрешающие функции этих уравнений удовлетворяли начальным (по временной переменной 0 и граничным (по пространственной переменной х) условиям. Если в классическом варианте метода прямых граничные условия для редуцированных уравнений получались достаточно сложным путем, а начальные вообще не рассматривались, то применение проекционного метода позволяет элементарно получить начальные и граничные условия для редуцированных уравнений из исходных. дело в том, что начальные (11) и граничные (12)—(14) условия при принятой в данной работе форме представления исходных уравнений являются линейными алгебраическими соотношениями относительно переменной у, для которой используется проекционный метод, поэтому применение к начальным условиям (11) проецирования на основной базис дает редуцированные начальные условия в моментах:

вестник 8/2016

и (х, 0) = иы (х),

у . (х, 0) = у , (х),

при 1 =0 • , тт , ч

г/.. (х, 0) = и. (х),

у. (х, 0) = Уо1 (х).

Эти условия используются для редуцированных уравнений в моментах или в смешанном виде, когда перемещения записываются в моментах.

Проецируя на элементы взаимного базиса, получаем начальные условия в коэффициентах:

и' (х, 0) = и'о (х),

, 0 у'

при 1 = 0

и' (х, 0) = ио (х),

у) ' ( х, 0) = V. (х).

данные условия используются, если редуцированные уравнения рассматриваются в коэффициентах или в смешанном виде, когда перемещения записываются в коэффициентах.

Иное дело — редуцированные граничные условия. Поскольку исходные граничные условия в принятом общем виде содержат как обобщенные перемещения и у, так и соответствующие обобщенные усилия ах, хху, т.е. все разрешающие функции исходных уравнений, то каждому из четырех вариантов редуцированных уравнений соответствуют определенные редуцированные граничные условия. Исходные граничные условия (13)-(16) в редуцированных уравнениях используются по-разному. Так, граничные условия на лицевых плоскостях у = И и у = И+ вошли в редуцированные уравнения и совместно с объемными силами X (х, у, 1) и У (х, у, 1) определяют внешние воздействия на рассматриваемый объект. оставшиеся граничные условия на торцевых плоскостях х = 0 и х = 1 используются для построений граничных условий редуцированных уравнений. для редуцированных уравнений в моментах граничные условия получаются проецированием исходных граничных условий при х = 0 и х = I на элементы основного базиса:

\г°и.(0, 0-а .(0, 0 = г°Л° .(0 + до.(1),

хх^^'/ х' \ ' / хх хх' \ / 1 ххг \ / '

| г °у. ( 0, 0-х . (0, 0 = г°Л° . (0 + в°. (1);

I ху'\ ' хУ \ ' / ху' ху' \ ' 1хУ\ /'

|г>'. (1, 1) + ах'. (1, 1) = гххЛх (1) + дГ (1),

|гг.у. (/, 1) + х . (/, 0 = г'Л . (0 + д' . (1).

^ ху' ' \ ' / ху' \ ' / ху ху' \ / 1хуг \ /

для редуцированных уравнений в коэффициентах граничные условия получаются проецированием исходных граничных условий на элементы взаимного базиса:

Гг>'(0, 1) -ах(0, 1) = г°Лхх(1) + д°(1),

\г;у'

\гу (1, 0 + ах (I, 1) = г'хх Л1 (1) + д1х (1),

|г>' (I, 1) + хху (I, 1) = < лху (1) + ду (1).

Для редуцированных уравнений в смешанном виде редуцированные граничные условия получаются из граничных условий (32) или (33) с помощью операции поднимания или опускания индексов. Так, например, если редуцированные уравнения содержат функции перемещений в коэффициентах, а функции напряжений в моментах, то соответствующие граничные условия будут иметь вид

\г0 и' (0, t) - а . (0, Л = г0 Д°'и) + .. (I),

I „ ^ ) Я ^ , ) ^ „и ЯЧ.Ь

(0, ^ - у (0, ^ = г0 д0у (t) + (I).

Аналогично выглядят граничные условия на правом конце.

Анализируя вид редуцированных граничных условий, замечаем, что граничные условия только в моментах или только в коэффициентах представляют собой системы 2п отдельных уравнений, в то время как граничные условия в смешанном виде являются системами 2п связанных уравнений, что существенно усложняет вычислительные алгоритмы решения редуцированных краевых и начально-краевых задач. Учитывая эту особенность, для практических расчетов будем использовать редуцированные уравнения и соответственно редуцированные граничные условия только в моментах или только в коэффициентах

Применение ранее предложенных простейших базисных функций не ограничивает возможности предлагаемого варианта метода прямых. Более подробно данные вопросы рассмотрены в наших работах [6-11]. Метод также может быть распространен на объекты сложной формы, которые не рассматривались в классическом варианте метода прямых [12].

В постановке плоской задачи теории упругости (плоская деформация) рассматривается толстая пластина, отнесенная к декартовой системе координат, НДС и геометрические и физические параметры которой не зависят от продольной координаты г, а поперечное сечение занимает область

h~

>[0, I] (рис. 4).

Рис. 4. Поперечное сечение толстой пластины

на область, которую занимает поперечное сечение пластины, наносим систему линий, которые являются геометрическими местами точек, делящими высоту в каждом сечении с координатой х пластины Н

ВЕСТНИК 8/2Q16

И

равных участков Dy(х) = --- (см. рис. 4). При каждом х выбирается система

финитных функций |фДх), Ф2 (х), Фз (х), ..., jn (х)}, где ф, (х) = др =

[1, если i = j, -A / /П

= < — кусочно-линейные функции (см. рис. 4).

[0, если i Ф j,

Особенностью этих функций является то, что они зависят не только от поперечной координаты у, но и от х, что несколько усложняет построение редуцированных уравнений. В основном это касается интеграла, содержащего в подынтегральном выражении производную по х. в преобразованиях, приведенных выше, знак производной можно вынести за знак интеграла, поскольку базисные функции и границы интегрирования не зависят от х. Здесь же подобное преобразование можно выполнить, используя формулу дифференцирования интеграла по параметру х, если подынтегральное выражение и границы интегрирования зависят от этого параметра:

д 1 fix, y)% (x, y) dy = Y % (x, У) dy +T f(x, У) ЩХ-11 dy +

dx,- ,- dx ,J dx

dh+ (x)rw„ , + w„ Л dhT(x)f

+

f (x, h)x, h+ )]-^ [ f (x, h- ),(x, h-)] .

дх 4 ' х дх

Дальнейшие преобразования, приводящие к построению редуцированных уравнений с учетом граничных условий на лицевых поверхностях у = к~(х) и у = Н+(х) изложены в нашей работе [10]. В случае динамических уравнений учет инерционных составляющих, редуцирование начальных и граничных условий полностью аналогичны приведенным выше.

Разработанная методика построения редуцированных уравнений легко обобщается на некоторые пространственные динамические задачи теории упругости. Так, например, для бруса прямоугольного поперечного сечения, занимающего трехмерную область евклидового пространства [0, I ]  \_К, , ] в декартовой системе координат {х, у, г}, исходные

уравнения динамической задачи теории упругости записываются относительно компонент вектора перемещений и, V, ^ и компонент тензора напряжений ах, тху, тхг, туг, а а. Эти уравнения представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по пространственным переменным. Неизвестные функции рассматриваются как непрерывные по координате х и дискретные по координатам у и г. По координатам у и г выбираются базисные функции, описанные выше, что порождает двумерные базисные функции у к (у, г) = ф; (у)фк (г), = 1, пу; к = 1, п2). Скалярное произведение в прямоугольнике

[и-, и;][и-, иу~\ (f(y, z) y,k(y, z)) = И f(y, z )y kk(y, z)dydz

и+ иу

и И-

позволяет проводить редуцирование последовательно сначала по одной координате, потом по другой и наоборот, при этом используется приведенная выше методика [9]. Предлагаемый в настоящей работе вариант метода прямых разработан для эффективного применения современных численных методов и требует незначительной модификации этих методов для построения соответствующих вычислительных алгоритмов.

Библиографический список

1. Андреев В.И., Барменкова Е.В., Матвеева А.В. Расчет плит переменной жесткости на упругом основании методом конечных разностей // Вестник МГСУ 2014. № 12. С. 31-39.

2. Габбасов Р.Ф., Хоанг Туан Ань. Расчет изгибаемых пластин средней толщины на динамические нагрузки с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей // Вестник МГСУ 2014. № 10. С. 16-23.

3. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике: 2-е изд. М. : Наука, 1970. 512 с.

4. Станкевич А.Н. История и перспективы развития одного из методов решения многомерных задач строительной механики // Вестник МГСУ 2015. № 12. С. 76-91.

5. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 416 с.

6. Станкевич А.М., Чибiряков В.К., Шкельов Л.Т., Левювський Д.В. До зниження вимiрностi граничних задач теори пружносп за методом прямих // Мютобудування та тершщиальне планування : наук.-техн. збiрник. Кшв. : КНУБА, 2010. Вип. 36. С. 413-423.

7. Станкевич А.М., Левювський Д.В. Три варiанти редукци рiвнянь плоско! задачi теори пружносп методом «прямих» // Мютобудування та територiальне планування : наук.-техн. збiрник. Кшв. : КНУБА, 2013. Вип. 49. С. 509-521.

8. Чибiряков В.К., Станкевич А.М., Левювський Д.В. Особливосп зниження ви-мiрностi рiвнянь теори пружносп узагальненим методом прямих // Мютобудування та тершщиальне планування : наук.-техн. збiрник. Кив. : КНУБА, 2012. Вип. 46. С. 613-624.

9. Chybiryakov V., StankevichA., Levkivskiy D., Melnychuk V. Application of generalized «method of lines», for solving problems of thermoelasticity of thick plates // An international journal on operation of farm and agri-food industry machinery "Motrol". Lublin, 2014. Vol. 16. No. 8. Pp. 11-20.

10. Станкевич А.М., Tiмофеев А.С. Розрахунок товстих пластин змшно! товщи-ни методом прямих при дп статичних та динамiчних навантажень // Мютобудування та територiальне планування : наук.-техн. збiрник. Ки!в. : КНУБА, 2015. Вип. 55. С. 399-406.

11. Чибiряков В.К., Станкевич А.М., Левювський Д.В., Мельничук В.Ф. Про тдвищення точносп узагальненого методу прямих // Мютобудування та територiальне планування : наук.-техн. збiрник. Кив. : КНУБА, 2014. Вип. 53. С. 565-574.

12. Фаддеева В.Н. Метод прямых в применении к некоторым краевым задачам // Сборник работ по приближенному анализу Ленинградского отделения института : тр. математического института имени В.А. Стеклова. 1949. Т. 28. С. 73-103.

Поступила в редакцию в марте 2016 г.

Об авторе: Станкевич Анатолий Николаевич — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой сопротивления материалов, Киевский национальный университет строительства и архитектуры (КНУСА), 03680, Украина, г. Киев, Воз-духофлотский пр-т, д. 31, sam@knuba.edu.ua.

ВЕСТНИК 8/2Q16

Для цитирования: СтанкевичА.Н. Модифицированный метод прямых // Вестник МГСУ 2016. № 8. С. 34-47.

A.N. Stankevich

MODIFIED METHOD OF LINES

The main idea of the method of solving multidimensional boundary problems is reduction of initial differential equations in partial derivatives to the system of ordinary differential equations. One-dimensional resolving equations allow extending the potential of the method of lines. Although efficient and highly-precise numerical methods have been developed for solution of one-dimensional and initial-boundary value problems their use is impossible in the method of lines.

The author considers a new method of lines which is used in order to reduce the dimensionality of multidimensional problems of structural mechanics. The method is used for calculation of thick plates, plates of variable thickness, heterogeneous and multilay-ered plates. It is proposed to replace finite-difference relations by projection relations which will extend the potential of the method of lines and will allow using the method in the dynamic problems.

Key words: modified method of lines, projection method, differential equations, dimensionality reduction, thick plates

References

1. Andreev V.I., Barmenkova E.V., Matveeva A.V. Raschet plit peremennoy zhestkosti na uprugom osnovanii metodom konechnykh raznostey [Calculation of Plates with Variable Rigidity on Elastic Basis by Finite Difference Method]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 12, pp. 31-39.

2. Gabbasov R.F., Hoang Tuan Anh. Raschet izgibaemykh plastin sredney tolshchiny na dinamicheskie nagruzki s ispol'zovaniem obobshchennykh uravneniy metoda konechnykh raznostey [Dynamic Load Calculation of a Bending Plate of Average Thickness Using General Equations of Finite Differences Method]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 10, pp. 16-23. (in Russian).

3. Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike [Variation Methods in Mathematical Physics]. 2nd edition. Moscow, Nauka Publ., 1970, 512 p.

4. Stankevich A.N. Istoriya i perspektivy razvitiya odnogo iz metodov resheniya mnogo-mernykh zadach stroitel'noy mekhaniki [The History and Development Prospects of One of the Methods for Solving Multidimensional Problems of Structural Mechanics]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 12, pp. 76-91.

5. Marchuk G.I., Agoshkov V.I. Vvedenie v proektsionno-setochnye metody [Introduction into Projective-Grid Approaches]. Moscow, Nauka. Glavnaya redaktsiya fiziko-matematiches-koy literatury Publ., 1981, 416 p.

6. Stankevich A.M., Chibiryakov V.K., Shkel'ov L.T., Levkivs'kiy D.V. Do znizhennya vimirnosti granichnikh zadach teorii pruzhnosti za metodom pryamikh. Mistobuduvannya ta teritorial'ne planuvannya : nauk.-tekhn. zbirnik. Kiev, KNUBA Publ., 2010, issue 36, pp. 413-423.

7. Stankevich A.M., Levkivs'kiy D.V. Tri varianti reduktsii rivnyan' ploskoi zadachi teorii pruzhnosti metodom «pryamikh». Mistobuduvannya ta teritorial>ne planuvannya : nauk.-tekhn. zbirnik. Kiev, KNUBA Publ., 2013, issue 49, pp. 509-521.

8. Chibiryakov V.K., Stankevich A.M., Levkivs'kiy D.V. Osoblivosti znizhennya vimirnosti rivnyan' teorii pruzhnosti uzagal'nenim metodom pryamikh. Mistobuduvannya ta teritorial'ne planuvannya : nauk.-tekhn. zbirnik. Kiev, KNUBA Publ., 2012, issue 46, pp. 613-624.

9. Chybiryakov V., Stankevich A., Levkivskiy D., Melnychuk V. Application of Generalized "Method of Lines", for Solving Problems of Thermoelasticity of Thick Plates. An International Journal on Operation of Farm and Agri-Food Industry Machinery "Motrol". Lublin, 2014, vol. 16, no. 8, pp. 11-20.

10. Stankevich A.M., Timofeev A.S. Rozrakhunok tovstikh plastin zminnoï tovshchi-ni metodom pryamikh pri diï statichnikh ta dinamichnikh navantazhen'. Mistobuduvannya ta teritorial'ne planuvannya : nauk.-tekhn. zbirnik. Kiev, KNUBA Publ., 2015, issue 55, pp. 399-406.

11. Chibiryakov V.K., Stankevich A.M., Levkivs'kiy D.V., Mel'nichuk V.F. Pro pidvishchennya tochnosti uzagal'nenogo metodu pryamikh. Mistobuduvannya ta teritorial'ne planuvannya : nauk.-tekhn. zbirnik. Kiev, KNUBA Publ., 2014, issue 53, pp. 565-574.

12. Faddeeva V.N. Metod pryamykh v primenenii k nekotorym kraevym zadacham [Method of Lines Applied to Some Boundary Problems]. Trudy matematicheskogo instituta imeni V.A. Steklova [Works of the Mathematical Institute Named after V.A. Steklov]. 1949, vol. XXVIII, pp. 73-103.

About the author: Stankevich Anatoliy Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, chair, Department of Strength of Materials, Kyiv National University of Construction and Architecture (KNUCA), 31 Vozdukhoflotskiy prospekt, Kiev, 03680, Ukraine; sam@knuba.edu.ua.

For citation: Stankevich A.N. Modifitsirovannyy metod pryamykh [Modified Method of Lines]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 8, pp. 34-47.