Влияние неоднородности материала при расчете физически и геометрически нелинейных пологих оболочек на прочность и устойчивость

Влияние неоднородности материала при расчете физически и геометрически нелинейных пологих оболочек на прочность и устойчивость

В.В.Петров, И.В.Кривошеин

В механике деформируемого твердого тела одной из гипотез является предположение об однородности свойств материалов. Эта гипотеза позволяет не учитывать естественную неоднородность конструкционных материалов на микроуровне. Однако при расчете многих конструкций, в том числе и оболочек, приходится принимать во внимание наличие макронеоднородности по толщине оболочки в результате воздействия на нее во время эксплуатации различных природных или технологических факторов. В этом случае при расчете оболочки надо учитывать наличие в ней макронеоднородности, приводящей к существенному перераспределению напряжений по ее толщине. Учет физической нелинейности необходим при определении несущей способности оболочки, а для определения критических нагрузок, при которых происходит потеря ее устойчивости, надо учитывать геометрическую нелинейность.

Неоднородность обычно описывается структурным параметром или функцией неоднородности, которые вводятся в физические уравнения фундаментальной системы уравнений различными способами. Неоднородность свойств нелинейно-деформируемого материала проявляется в том, что в различных его точках такие интегральные характеристики, как диаграммы деформирования, различны. Поэтому функция неоднородности может быть характеристикой секущего модуля.

Функцию неоднородности вводим в физические уравнения следующим образом. Связь между девиатором тензора напряжений Ба и девиатором тензора деформаций Б записываем в виде, принятом в теории малых упругоЕ 2 , пластических деформаций, а именно: Д. - — ЕсД . Здесь

Е* = у(г)Ес, где Е* - секущий модуль неоднородного

материала, Е с - секущий модуль исходного пористого материала, ) - функция неоднородности материала. Функция ) отлична от единицы только в пределах слоя неоднородности. Материал считается несжимаемым (коэффициент Пуассона т = 0,5).

Для формулирования нелинейной краевой задачи расчета данных пологих оболочек на прочность и устойчивость полагаем, что материал оболочки по ее толщине разделен на три зоны, отделяемые фронтами неоднородности 2 = Сс г. , которые не являются концентраторами напряжений. Считаем, что в ослабленных крайних по высоте оболочки слоях прочностные характеристики неоднородного материала плавно возрастают от минимальных значений на поверхностях

оболочки до характеристик основного материала в точках фронтов неоднородности, имеющих координаты 2 = сСс . Функцию неоднородности С(7) задаем в виде:

у/(г) =

1, 0 < \г\ < \г.

о »

где т - целочисленный показатель степени, а величина коэффициента К определяется из условий на поверхностях оболочки:

у

Здесь П <1 - параметр неоднородности прочностных свойств материала, равный отношению временного сопротивления ослабленного материала на поверхностях оболочки к временному сопротивлению основного материала. Используя условия (2), определяем коэффициент К:

Решение нелинейной краевой задачи, порождаемой наличием в оболочках двух видов нелинейности, осуществляем двухшаговым методом последовательных нагружений [1, 2]. Вывод соответствующих инкрементальных уравнений можно найти в работах [2, 3].

Численная реализация линейных дифференциальных уравнений на каждом этапе нагружения осуществлялась методом конечных разностей с сеткой размером 32 х 32, выбранной в результате пробных расчетов. Для вычисления величин определенных интегралов использовалась формула Симпсона с разбивкой интервала интегрирования на 256 частей.

В статье исследуется влияние функции С^) (1) на величины критических нагрузок потери устойчивости дважды нелинейных цилиндрических панелей с размерами 2а х 2а под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки q. По контуру панели шарнирно опираются на диафрагмы, жесткие в своей плоскости и гибкие из своей плоскости.

В примерах расчета рассмотрены цилиндрические панели, изготовленные из несжимаемого нелинейно деформируемого материала с начальным модулем Е = 5088,13(МПа) и вели-

в я о

чинами СТ. = 102(МПа), £.= 0,03.

Обозначаем через 5 = к / 2 - z0 толщины ослабленных слоев, их относительная толщина 1 = 5 /к. Исследуем нелинейное поведение цилиндрических панелей в зависимости от изменения безразмерной нагрузки Р = 16цаА IЕ0к\ параме-

тра кривизны К = ку(2а)2 / к и безразмерных параметров 1 и Пдля различных значений показателя степени т в (1).

На рисунке 1 показаны кривые «нагрузка - максимальный прогиб» для цилиндрической панели с параметром кривизны К = 48 при относительной толщине к/(2а) = 1/60 для значений параметра т = 2,3,4 и величинах параметров П = 0,5, 1 = 0,5, что соответствует снижению прочностных свойств материала на поверхностях оболочки в два раза по сравнению с основным материалом. Все результаты сравниваются с решением для однородной цилиндрической панели (П = 1).Четырехконечными звездочками отмечены точки бифуркации решений, соответствующие нагрузкам бифуркации Рбиф , а пятиконечными - предельные точки св.

Величины Рбиф , Р. , а также их процентное соотношение для рассмотренных цилиндрических панелей приведены в таблице 1.

Для определения нагрузки, соответствующей точке бифуркации, в поперечную нагрузку вводилась малая не-

Р

300

200

100

/7=2

т = 3

^^ т = 2

К=48

м; тах

О

Рис.1

0,5

1,0

1,5

Таблица 1

П = 1 П = 0,5

т = 2 т = 3 т = 4

Рбиф 275,1 204,3 217,5 226,5

Р в 333,9 285,9 298,0 304,7

% 82,4% 71,5% 73,0% 74,3%

симметричная составляющая АРнес = Ац, где А - примерно 0,1% от симметричной составляющей нагрузки. При этом задача поиска точек бифуркации заменялась задачей поиска предельных точек. После выхода на нисходящую ветвь равновесных состояний несимметричная составляющая нагрузки обнулялась и при увеличении нагрузки строилась ветвь несимметричных равновесных состояний панели до пересечения ее с восходящей ветвью «симметричная нагрузка - максимальный прогиб». Точка пересечения этих ветвей является точкой бифуркации, соответствующей нагрузке Рбиф<Рв , при которой происходит потеря устойчивости оболочки по несимметричной форме.

Анализ результатов, приведенных на рисунке 1 и в таблице 1, показывает, что при снижении прочностных характеристик материала панели в ее поверхностных слоях нагрузки Р. и Р уменьшаются, как и отношение Р.. /Р . Наи-

биф. в. ^ биф. в.

большее снижение величины критической нагрузки происходит при показателе степени функции неоднородности т = 2 в (1), когда уменьшение прочностных свойств материала в направлении от фронта неоднородности к поверхности оболочки происходит наиболее быстро.

Таблица 2

П = 1 П = 0,5

т = 2 т = 3 т = 4

Рбиф 275,1 231,8 241,3 247,4

Р в 333,9 309,8 315,0 318,4

% 82,4% 74,8% 76,6% 77,7%

Таблица 3

П = 1 П = 0,75 П = 0,5 П = 0,25

Рбиф 275,1 253,7 231,8 209,4

Р в 333,9 320,4 309,8 302,8

% 82,4% 79,2% 74,8% 69,2%

Таблица 4

П = 1 П = 0,75 П = 0,5 П = 0,25

Р биф 439,4 403,3 366,8 329,6

Р в 739,2 694,1 647,9 600,6

% 59,4% 58,1% 56,6% 54,9%

Рассмотрим эту же панель, но предположим, что 1 = 0,25. В этом случае ослабленные слои материала занимают нижнюю и верхнюю четверти толщины оболочки. Результаты сведены в таблице 2.

Сравнение данных таблиц 1 и 2 показывает, что при уменьшении параметра 1 уменьшается разница между результатами расчета однородной и неоднородной цилиндрических

600

400

200

Рис. 2

П=0,75 ^ П=1___

П=0,25

' П=0,5 K=64

0 12 d с b с

m = 2 X = 0,25

deba

Рис. 3

панелей, при этом наибольшие различия наблюдаются при показателе степени т = 2 в (1).

Рассмотрим на примере этой же панели влияние изменения параметра П на нагрузки Рбиф, Р..

Данные таблицы 3 показывают значительное снижение величин нагрузок Р, .,Р , а также их отношения Р, ./Р при

1 ^ оиф. в. оиф. в. 1

уменьшении прочностных свойств материала на поверхности панели по сравнению со свойствами ее основного материала.

Аналогичные выводы могут быть сделаны при анализе результатов расчета цилиндрической панели с параметрами кривизны кх = 0, к^ = 64 при относительной толщине к / (2а) = 1/80 и параметрах 1 = 0,25, т = 2, приведенных на рисунке 2 с сохранением обозначений рисунка 1.

Величины Р6фф ,Р. , а также их процентное соотношение для цилиндрических панелей с рисунка 2 приведены в таблице 4. Анализ результатов показывает, что с ростом параметра кривизны К цилиндрической панели отношение характерных нагрузок Р(кфф/Рв значительно убывает, поэтому необходимо учитывать возможность потери устойчивости цилиндрических панелей с большими значениями параметра кривизны по несимметричной форме.

Следует также отметить, что особенности влияния величины параметра П на величины нагрузок потери устойчивости цилиндрических панелей с параметрами кривизны К= 48 и К= 64 аналогичны, однако при параметре кривизны К= 64 указанные особенности проявляются в меньшей степени из-за снижения вклада изгибных напряжений в суммарное напряженное состояние оболочки.

На рисунке 3 приведены эпюры распределения интенсивности напряжений С (МПа) по толщине цилиндрической панели с параметром кривизны К= 64 в центре четверти панели при Р = 296 , относительной толщине ослабленных слоев 1 = 0,25 и коэффициенте т = 2. Эпюры а,Ъ,е,й соответствуют определенному значению параметра П=1;0,75;0,5;0,25. При уменьшении параметра П интенсивность напряжений в ослабленных слоях уменьшается, а в исходном материале возрастает, но не превосходит максимальной величины на поверхности панели из однородного материала.

Эпюры изгибающих моментов в цилиндрической панели с параметром кривизны К = 64 являются двузначными, что свидетельствует о сложном характере изгибных деформаций, предшествующих потере устойчивости оболочки. Максимальные прогибы и изгибающие моменты расположены в четвертях плана панелей.

Таким образом, предлагаемая методика расчета неоднородных цилиндрических панелей, основанная на двухша-говом методе последовательного возмущения параметров и методе конечных разностей, позволяет исследовать НДС и находить критические значения нагрузок, при которых подъемистые цилиндрические оболочки теряют устойчивость по несимметричной форме с учетом снижения прочностных характеристик материала поверхностных слоев оболочек.

Р

Литература

1. Петров В.В. Двухшаговый метод последовательного возмущения параметров и его применение к решению нелинейных задач механики твердого деформируемого тела // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т, 2001. С. 6-12.

2. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика. М.: Инфра-Инженерия, 2014.

3. Петров В.В., Кривошеин И.В. Неоднородные пологие оболочки с двумя видами нелинейности // Academia. 2013. № 1. С. 114-117.

Literatura

1. Petrov V.V. Dvuhshagovyj metod posledovatelnogo vozmushcheniya parametrov i ego primenenije k recheniju nelineynyh zadach mehaniki tverdogo deformiryemogo tela // Problemy prochnosti elementov konstrukcij pod dejstviem nagruzok i rabochih sred. Saratov: Saratovskij gos. tehn. un-t., 2001. S. 6-12.

2. Petrov V.V. Nelinejnaya incrementalnaya stroitelnaya mehanika. M.: Infra-Inzheneriya, 2014.

3. Petrov V.V., Krivoshein I.V. Neodnorodnye pologie obolochki s dvumya vidami nelinejnosti // Academia. 2013. № 1. S. 114-117.

Influence of Material Heterogeneity in Calculating Physical and Geometrical Nonlinear Shallow Shells on Strength

and Stability.

By V.V.Petrov, I.V.Krivoshein

Based on the use of algorithms of two-step method sequence perturbation of parameters and the finite difference method the authors study of the effect of the heterogeneity of the thickness of the material properties of flexible panel-linear elastic cylindrical panels on their strength and stability. It is found that with the increase of curvature parameter of cylindrical panels the ratio of lower critical load buckling under nonsimsymmetric form to the stress buckling under the symmetric form greatly decreases. It is also found that reducing the strength properties of the material surface layers of the panels on the lower critical buckling load panels, corresponding to bifurcations loads of cation-equilibrium states, are significantly reduced.

It is proved that under the reduction of material strength of the surface layers of panels to the stress the intensity of attenuated fibers decreases and in the starting material it increases, but does not exceed the maximum value of the stress on the panel surface of a homogeneous material.

Ключевые слова: пологие оболочки, геометрическая нелинейность, физическая нелинейность, неоднородность материала по толщине, перераспределение напряжений, бифуркация форм равновесия, низшие нагрузки потери устойчивости.

Key words: shallow shell, geometric nonlinearity, physical nonlinearity, the heterogeneity of the material thickness, redeployment stress, bifurcation of equilibrium shapes, lower buckling load.