Оптимальное проектирование индуктора для поверхностной закалки цилиндрических заготовок на основе численной двумерной модели

КОМПЬЮТЕРНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

DOI: 10.24143/2072-9502-2019-1-40-50 УДК 621.785, 669.14, 519.6

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ИНДУКТОРА ДЛЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ ЗАКАЛКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗАГОТОВОК НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННОЙ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ1

Ю. Э. Плешивцева, А. В. Попов, М. А. Попова, М. Ю. Деревянов

Самарский государственный технический университет, Самара, Российская Федерация

В современном промышленном производстве широко используется индукционный нагрев заготовок перед последующими операциями пластического деформирования и в процессах их термической обработки, что обусловлено рядом существенных технологических преимуществ этого вида электротермического нагрева по сравнению с иными конкурентоспособными технологиями. Для повышения эффективности применения промышленных установок индукционного нагрева металла и совершенствования режимов их работы необходимо ориентировать исследования на углубленный поиск новых проектных решений по оптимизации конструктивных параметров нагревателей и алгоритмов управления процессами нагрева. Основной целью представленных исследований является оптимальное проектирование индукционной установки, обеспечивающей получение максимально равномерного распределения температуры в закаливаемом поверхностном слое заготовки в конце процесса нагрева. Сформулирована задача оптимального проектирования индуктора для поверхностной закалки стальных цилиндрических заготовок, которая решается на основе альтернансного метода параметрической оптимизации систем с распределенными параметрами. В качестве оптимизируемых параметров рассматриваются конструктивные параметры нагревательной системы, к которым относятся геометрические характеристики индуктора и ток источника питания. Для описания системы «индукционный нагреватель - заготовка» в программном пакете FLUX разработана численная двумерная модель взаимосвязанных электромагнитных и температурных полей в процессе индукционного нагрева. Приведены результаты численного решения задачи оптимального проектирования и их анализ.

Ключевые слова: поверхностная индукционная закалка, оптимальное проектирование индуктора, альтернансный метод, численное моделирование, температурное отклонение, процесс нагрева.

Для цитирования: Плешивцева Ю. Э., Попов А. В., Попова М. А., Деревянов М. Ю. Оптимальное проектирование индуктора для поверхностной закалки цилиндрических заготовок на основе численной двумерной модели // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 1. С. 40-50. DOI: 10.24143/2072-9502-2019-1-40-50.

Введение

Многочисленные детали машин, станков и приборов, работающие в условиях трения и значительных нагрузок (ударных, растягивающих, сжимающих, изгибающих, крутящих, контактных и пр.), должны иметь высокую твердость поверхностного слоя и достаточную пластичность сердцевины, что достигается поверхностным упрочнением деталей.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 16-08-00945, 19-08-00232).

Одним из наиболее эффективных методов поверхностной закалки стальных деталей является индукционная закалка [1, 2], состоящая из двух стадий: интенсивного нагрева поверхностного слоя заготовки током высокой частоты до температур выше точки Кюри и резкого охлаждения нагретого слоя в воде, масле или воздухе. Технология индукционной закалки позволяет получить изменения в микроструктуре металла, способствующие повышению прочности поверхностного слоя обрабатываемой детали. Индукционная закалка обеспечивает высокое качество изделий и дает наиболее стабильные результаты по сравнению с другими методами поверхностного упрочнения: большое сопротивление изнашиванию и усталостному разрушению, малые деформации, почти полное отсутствие окисления и обезуглероживания обрабатываемого металла. Эффективность индукционной закалки обусловлена рядом существенных преимуществ по сравнению с другими способами термообработки: бесконтактной передачей энергии от источника к нагреваемой заготовке; локальным нагревом заготовки; изменяемой глубиной закаливаемого слоя; возможностью управления температурным полем в процессе нагрева и охлаждения; малым временем нагрева из-за высокой мощности внутренних источников тепла; нагревом заготовки практически без окисления и обезуглероживания ввиду малого времени нагрева; меньшей хрупкостью закаленного изделия за счет формирования пластичной сердцевины (в отличие от сквозной закалки) и др. [3].

В статье рассматривается задача оптимального проектирования индукционной нагревательной установки для поверхностной закалки стальных цилиндрических заготовок, которая решается с помощью альтернансного метода оптимизации систем с распределенными параметрами.

Постановка задачи оптимального проектирования

Процесс периодического индукционного нагрева стальных цилиндрических слитков в общем случае может быть представлен взаимосвязанной системой уравнений Максвелла и Фурье, описывающей поведение электромагнитного и теплового полей [4, 5]:

сшгН = о

дГМО 1 dT(r,l,t)) д(л (тЛдГ(r,l,t)) 1 (dH(r,l,tУ2

^(T)Y(T) V ' = X(T)r dr + " X(T)~-L---"-L

dt r dr

dl

dl J

+ -

dr

J

дополняемой начальными условиями

T

и граничными условиями dH

dr

= 0; H

дТ(0,I,t) , .дТ(R,I,t) , ч/ , ч ч

= 0; X

х

Здесь Н - вектор напряженности магнитного поля; о(Т) - электрическая проводимость; Т - температура; Е - вектор напряженности электрического поля; О - вектор плотности электрического потока; t - время; В - вектор плотности магнитного потока; у(Т), с(Т), ЦТ) -плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности нагреваемого материала

соответственно; г е[0; , I е[0; L] - радиальная и продольная пространственные координаты

соответственно, где R - радиус и L - длина заготовки; а (Т) - коэффициент теплоотдачи в окружающую среду; Та - температура окружающей среды.

Задача оптимального проектирования индуктора [5] заключается в поиске вектора Р = (р1; р2,р3, ..., ры), содержащего N неизвестных значений параметров рк, k = 1,N , к которым преимущественно относятся конструктивные параметры индукционной установки или ключевые режимные параметры процесса нагрева. На каждый компонент вектора Р накладываются ограничения, которые могут быть записаны в следующем виде:

Pk min ^ Pk ^ Pk max , k = 1N •

Поскольку качество конечного изделия существенно зависит от равномерности температурного поля в закаливаемом поверхностном слое в конце стадии нагрева, в роли целевой функции в данной задаче рассматривается критерий, минимизирующий максимальное абсолютное отклонение температуры в закаливаемом поверхностном слое в конце процесса нагрева от заданного значения:

J = max

Ig [0;L]

T (r*, l, t0, P)- T

^ min,

p

где Т (г , I, ?0, Р) - температура в конце стадии нагрева на границе поверхностного слоя заготовки, имеющего толщину г*; ^ - время нагрева; Т - требуемая температура на границе

*

поверхностного слоя г = г в конце процесса нагрева.

Таким образом, задача оптимального проектирования индуктора может быть сформулирована в следующем виде: требуется отыскать такие значения оптимизируемых параметров

Р0 = (р°, р°, р°, ..., ), стесненные ограничениями (7), которые обеспечивают перевод объекта,

описываемого уравнениями (1), (2) с граничными условиями (4)-(6), из заданного начального состояния (3) в требуемое конечное состояние, соответствующее минимальному значению критерия оптимальности (8) [6].

Решение задачи оптимального проектирования на основе альтернансного метода

Сформулированная в предыдущем разделе задача была решена с помощью альтернансного метода параметрической оптимизации систем с распределенными параметрами. Данный метод опирается на установленные универсальные свойства пространственных распределений температуры по объему заготовки в конце оптимальных процессов индукционного нагрева металла, подобные известным в математике свойствам наилучших приближений заданных функций к нулю. На этой основе производится процедура точной редукции исходной задачи оптимизации к решению трансцендентных систем уравнений, замкнутых относительно всех искомых параметров [4].

В [4, 6-9] показано, что если оптимальный по критерию (8) процесс периодического индукционного нагрева с управлением по мощности внутреннего тепловыделения характеризуется совокупностью N неизвестных оптимизируемых параметров, а величина в^П представляет собой минимальное из возможных отклонений в0 температуры в закаливаемом поверхностном слое в конце процесса нагрева от заданного значения, достижимых в классе задач с N неизвестными параметрами, то отклонения в^П, j = 1, N формируют убывающий ряд неравенств

,

,

,

-W > > ^ > > р(N) > -N+D > > F(N ) = С > 0 cmin cmin cmin •• cmin ^ cmin --*••• -min °inf — 0 •

Здесь в;п£ - предельно достижимая точность нагрева в задачах с любым числом оптимизируемых параметров (нижняя граница достижимых значений в0).

Поскольку точное попадание в требуемое конечное температурное состояние, соответствующее = 0, невозможно, очевидно, что етГ < в^П • Доказано [4], что заданное число N неизвестных параметров процесса однозначным образом связано с неизвестным значением е0 следующим правилом:

N = 5 для всех е0:ет2 < е0 < е^^к-15,

определяющим по N место е0 в последовательности неравенств (9).

Оптимальным значениям параметров вектора Р0 =

от требуемого значения Т , равные е0, всегда оказывается не меньше числа N искомых оптимизируемых параметров. При этом максимально допустимые отклонения Т (г*, , Р0)- Т"

оказываются знакочередующимися в точках I°, j = 1, К, где 0 < 11° < 1° < ... < 1К < L, т. е. обладают альтернансным свойством. Причем для температурного отклонения в точках с неизвест-

I0,

т'

ными координатами 1т, т = 1, К1 <К выполняются необходимые условия экстремума

дТ

= 0.

д1

Вышеуказанные утверждения позволяют составить следующую систему уравнений:

Т(/, 10, Л Р0)-Г =(-1у j = 1, К, Р0 = (р0,р20, р0), ¥ = ±1;

N, если е!т2 < е0 < е1!1-1);

1 -2-— ^ < К = ;

0 < 1 < 120 <... < К < ЦК = Г" — тт^отт ,

N+1если е0=е т,п,

_ е(N).

I N т 1, если е0

дТI/, 10, Л р°ч

, 10, Л Р°)

= 0; т = 1, К, < К. д1 1

Система уравнений (10) оказывается замкнутой относительно всех неизвестных, включая неизвестные параметры р0,р^,р^, р°н , координаты I;0, j = 1, К и значение в^П , поэтому ее решение и будет являться решением рассматриваемой задачи оптимального проектирования [6].

Пример решения задачи оптимального проектирования альтернансным методом

Рассмотрим решение задачи оптимального проектирования на примере оптимизации конструктивных характеристик индуктора для поверхностной закалки стальных [10] цилиндрических заготовок. В качестве вектора неизвестных оптимизируемых параметров рассмотрим

вектор Р = (р1, р2, р3, I), включающий геометрические характеристики индуктора, представляющего собой 2 витка с квадратным сечением размером р1 х р1, находящихся на расстоянии р2 от поверхности заготовки и на расстояниир3 друг от друга; а также ток I источника питания (рис. 1).

pi

!Z

с«

<N

p3

l Заготовка

Иццшу

L

Рис. 1. Геометрия индукционной нагревательной системы

На искомые параметры накладываются следующие ограничения, обусловленные основными характеристиками индукционной нагревательной системы:

5 < p1 < 15; 2 < p2 < 10; 1 < p3 < 15; 500 < I < 1200.

Поскольку рассматриваемый процесс описывается сложной взаимосвязанной системой уравнений Максвелла и Фурье (1)-(2), ее решение может быть найдено только с помощью приближенных численных методов. В данной работе в качестве ПО для моделирования рассматриваемой индукционной нагревательной установки используется конечно-элементный программный пакет Altair FLUX [11, 12]. Исходные данные для построения численной модели процесса представлены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные

Параметр Значение

Материал заготовки Типовая углеродистая сталь [11]

Частота питающего тока, кГц 100

Сила тока, А 988

Время нагрева, с 10

Количество оптимизируемых параметров, N 4

Радиус заготовки, R, мм 11

Длина заготовки, Ь, мм 32,9

Толщина закаливаемого слоя, R - г*, мм 2

Требуемая температура, Т", °С 900

Общий вид FLUX-модели рассматриваемой системы «индукционная установка - заготовка» с наложенной конечно-элементной сеткой представлен на рис. 2.

Поскольку в данном случае число неизвестных параметров N = 4, то согласно общему правилу альтернансного метода в рассматриваемом сечении заготовки при г = г существуют

K = 5 точек 10, ] = 1, К с максимальным температурным отклонением от требуемого значения Т.

При этом из физических соображений понятно, что минимальные температуры будут наблюдаться в центре и в близких к торцам заготовки точках с координатами 1° и /5°, и тогда число экстремумов К1 = 5.

Рис. 2. Численная РШХ-модель индукционной нагревательной системы

Согласно (10) система уравнений альтернансного метода для данной задачи, составленная для продольного сечения, находящегося на расстоянии R - г* мм от поверхности, будет иметь следующий вид:

0 *0 рО)_Т =(_1Г е£П; / = 1,5; 0 < и < /2 < /з < /4 < /5 < Ь;

, /0, Л р°)_Т* =(_1)у / = 1,5; 0 < /1 < /2 < /3 < /4 < /5 < Ь;

\ г *, /°, г0, Р)

5ТI /, /0, Л Р0*

а/

= 0, i = 1,5.

Данная система из десяти уравнений оказывается замкнутой относительно десяти неизвестных параметров: четырех компонент вектора оптимизируемых параметров Р0, пяти координат точек экстремума /0, /2?, /30, , /50 и значения точности нагрева 8 Щ^П, что позволяет найти ее решение. Найденные значения неизвестных параметров сведены в табл. 2.

Таблица 2

Найденные значения неизвестных параметров

Параметр Р1 Р2 Р3 I /1 /2 /3 /4 /5 8 (4 ) шт

мм А мм °С

Значение 13,3 4,3 3,1 1 045,4 4,6 10,2 16,4 22,7 28,3 1,9

Температурное распределение по рассматриваемому продольному сечению при г = г = r - 2 мм показано на рис. 3.

Рис. 3. Температурное распределение по продольному сечению заготовки при г = г* по окончании процесса нагрева в индукторе с оптимальными значениями параметров

Как видно из результатов расчета, в продольном сечении наблюдаются пять точек экстремума с координатами 1°, 120, 130, 1°, 150 с максимальным температурным отклонением от требуемой

температуры 900 °С, что полностью соответствует системе уравнений (11), записанной согласно (10). Температурное поле по объему заготовки в конце процесса нагрева показано на рис. 4.

Рис. 4. Температурное поле по объему заготовки в конце процесса нагрева

Сплошной линией на рис. 4 показано рассматриваемое в процессе решения задачи продольное сечение, находящееся на расстоянии 2 мм от поверхности заготовки.

Для анализа результатов, полученных в результате решения задачи оптимального проектирования, был проведен тестовый расчет с исходными значениями оптимизируемых параметров вектора Р, представленными в табл. 3.

Таблица 3

Начальные значения оптимизируемых параметров

Параметр рь мм Р2, мм Р3, мм I, А

Значение 5 5 6,45 988,5

Остальные параметры процесса (табл. 1) остаются без изменений.

Температурное распределение по рассматриваемому сечению заготовки в конце процесса нагрева для начальных значений оптимизируемых параметров показано на рис. 5.

Рис. 5. Температурное распределение по продольному сечению заготовки при г = г по окончании процесса нагрева в индукторе с исходными значениями параметров

Анализ представленных на рис. 3 и рис. 5 температурных распределений показывает, что при проведении индукционной закалки в индукторе с исходными значениями конструктивных параметров перепад температуры на границе закаливаемого слоя при г = г составляет 150 °С, в то время как оптимизация значений конструктивных параметров позволяет сократить это значение до 3,8 °С.

Заключение

В данной работе была рассмотрена стадия нагрева процесса поверхностной индукционной закалки стальных цилиндрических заготовок. Для данного процесса, рассматриваемого в качестве объекта с распределенными параметрами, была сформулирована задача оптимального проектирования индуктора, искомыми оптимизируемыми параметрами которой являлись конструктивные характеристики нагревательной установки. Сформулированная задача была решена с помощью альтернансного метода параметрической оптимизации систем с распределенными параметрами. Найденные оптимальные значения параметров индуктора р\ = 13,3 мм, р2 = 4,3 мм, р3 = 3,1 мм, I = 1 045,4 А соответствуют максимально достижимой равномерности распределения температуры в продольном сечении заготовки при г = г , и при этом абсолютные значения отклонений

конечной температуры от заданной не превышают значения е^^ = 1,9 ° С . Данное значение

соответствует предельно достижимой точности нагрева в классе задач с N = 4 неизвестными оптимизируемыми параметрами. Анализ результатов, проведенный путем сравнения с нагревом в индукторе до оптимизации конструктивных параметров, свидетельствует о том, что использование альтернансного метода позволяет получить существенно большую равномерность температурного поля в закаливаемом слое заготовки и сократить температурный перепад со 150 до 3,8 °С.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Металлы и сплавы: справ. / под ред. Ю. П. Солнцева. СПб.: Профессионал; Мир и семья, 2003. 1066 с.

2. Rudnev V., Loveless D. Handbook of induction heating. New York, Basel: Marcel Dekker Inc., 2003. 797 p.

3. Kozulina T., Galunin S., Nikanorov A., Nacke B. Numerical simulation and optimization of induction surface hardening systems with rotating workpiece // Proceedings of the XVIII International UIE-Congress on Electrotechnol-ogies for Material Processing (Hannover, June 6-9). Hannover, Germany: Leibniz Universität, 2017. P. 514-519.

4. Рапопорт Э. Я., Плешивцева Ю. Э. Оптимальное управление температурными режимами индукционного нагрева. М.: Наука, 2012. 309 с.

5. Pleshivtseva Yu., Rapoport E., Popov A., Nacke B., Nikanorov A. Designing of induction heating systems based on three-criteria numerical optimization // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: тр. XIX Междунар. конф. (Самара, 12-15 сентября 2017 г.) / под ред. акад. Е. А. Федосова, акад. Н. А. Кузнецова, проф. В. А. Виттиха. Самара: Офорт, 2017. 616 с.

6. Плешивцева Ю. Э., Деревянов М. Ю., Попов А. В., Попова М. А. Оптимальное проектирование нагревательной установки для индукционной поверхностной закалки // Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. Междунар. науч. конф.: в 12 т. / под общ. ред. А. А. Большакова. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. Т. 2. С. 3-9.

7. Рапопорт Э. Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993. 279 с.

8. Рапопорт Э. Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. М.: Высш. шк., 2009. 678 с.

9. Рапопорт Э. Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука, 2000. 336 с.

10. Чиркин В. С. Теплофизические свойства материалов. М.: Физматгиз, 1959. 356 с.

11. Altair FLUX. URL: http://hyperview.eu/product/Flux (дата обращения: 01.04.2018).

12. Шарапова О. Ю. Численное моделирование процесса периодического индукционного нагрева на базе конечно-элементного программного пакета FLUX // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Технические науки. 2011. № 7 (28). С. 180-185.

Статья поступила в редакцию 09.11.2018

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Плешивцева Юлия Эдгаровна - Россия, 443100, Самара; Самарский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры управления и системного анализа теплоэнергетических и социотехнических комплексов; yulia_pl@mail.ru.

Попов Антон Валерьевич - Россия, 443100, Самара; Самарский государственный технический университет; аспирант кафедры управления и системного анализа теплоэнергетических и социотехнических комплексов; antonsam93@mail.ru.

Попова Мария Александровна - Россия, 443100, Самара; Самарский государственный технический университет; младший научный сотрудник кафедры химии и технологии органических соединений азота; m.a.lomova@mail.ru.

Деревянов Максим Юрьевич — Россия, 443100, Самара; Самарский государственный технический университет; канд. техн. наук; доцент кафедры управления и системного анализа теплоэнергетических и социотехнических комплексов; mder2007@mail.ru.

OPTIMAL INDUCTOR DESIGN FOR SURFACE HARDENING OF CYLINDRICAL BILLETS BASED ON NUMERICAL TWO-DIMENSIONAL MODEL

Yu. E. Pleshivtseva, A. V. Popov, M. A. Popova, M. Yu. Derevyanov

Samara State Technical University, Samara, Russian Federation

Abstract. Contemporary industrial production widely uses induction heating prior to the plastic deformation and heat treatment operations due to the benefits it provides in comparison with other types of heating technologies. In order to increase the efficiency of induction heating units and

develop their operation mode, the research should be directed towards new design solutions in optimizing constructive parameters of inductors and control algorithms of heating processes. The main goal of the research is developing the best inductor design, which provides maximum temperature uniformity in the surface layer of the billet at the end of heating time. There has been formulated the problem of the inductor unit optimal design with respect to steel cylindrical billets, which can be solved by using the alternance method of parametric optimization of the systems with distributed parameters. Design parameters of the induction heating installation that include the geometry features and the current of power supply are considered as optimized parameters. Software package FLUX was used for developing 2D numerical model of interrelated magnetic and temperature fields in the process of induction heating to describe the system 'induction heater -billet'. The results of numeric solution of the problem of optimal design have been analyzed.

Key words: surface induction hardening, optimal inductor design, alternance method, numerical simulation, temperature deviation, heating process.

For citation: Pleshivtseva Yu. E., Popov A. V., Popova M. A., Derevyanov M. Yu. Optimal inductor design for surface hardening of cylindrical billets based on numerical two-dimensional model. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, Computer Science and Informatics. 2019;1:40-50. (In Russ.) DOI: 10.24143/2072-9502-2019-1-40-50.

REFERENSES

1. Metally i splavy: spravochnik [Metalls and alloys: reference book]. Pod redaktsiei Iu. P. Solntseva. Saint-Petersburg, Professional Publ., Mir i sem'ia Publ., 2003. 1066 p.

2. Rudnev V., Loveless D. Handbook of induction heating. New York, Basel, Marcel Dekker Inc., 2003. 797 p.

3. Kozulina T., Galunin S., Nikanorov A., Nacke B. Numerical simulation and optimization of induction surface hardening systems with rotating workpiece. Proceedings of the XVIII International UIE-Congress on Electrotechnolo-gies for Material Processing (Hannover, June 6-9, 2017). Hannover, Germany, Leibniz Universität. Pp. 514-519.

4. Rapoport E. Ia., Pleshivtseva Iu. E. Optimal'noe upravlenie temperaturnymi rezhimami induktsionnogo nagreva [Optimal control of temperature modes of induction heating]. Moscow, Nauka Publ., 2012. 309 p.

5. Pleshivtseva Yu., Rapoport E., Popov A., Nacke B., Nikanorov A. Designing of induction heating systems based on three-criteria numerical optimization. Problemy upravleniia i modelirovaniia v slozhnykh sistemakh: trudy XIX Mezhdunarodnoi konferentsii (Samara, 12-15 sentiabria 2017 g.). Pod redaktsiei akademika E. A. Fedosova, akademika N. A. Kuznetsova, professora V. A. Vittikha. Samara, Ofort Publ., 2017. 616 p.

6. Pleshivtseva Yu. E., Derevyanov M. Yu., Popov A. V., Popova M. A. Optimal'noe projektirovaniye nagrevatel'noy ustanovki dlya poverkhnostnoy induktcionnoy zakalki [Optimal installation design for surface induction hardening]. Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiiakh: sbornik trudov Mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii: v 121. Pod obshchei redaktsiei A. A. Bol'shakova. Saint-Petersburg, Izd-vo Politekhn. un-ta, 2018. Vol. 2. Pp. 3-9.

7. Rapoport E. Ia. Optimizatsiia protsessov induktsionnogo nagreva metalla [Optimization processes of metal induction heating]. Moscow, Metallurgiia Publ., 1993. 279 p.

8. Rapoport E. Ia. Optimal'noe upravlenie sistemami s raspredelennymi parametrami [Optimal control over the systems with distributed parameters]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 2009. 678 p.

9. Rapoport E. Ia. Al'ternansnyi metod v prikladnykh zadachakh optimizatsii [Alternance method in applied optimization problems]. Moscow, Nauka Publ., 2000. 336 p.

10. Chirkin V. S. Teplofizicheskie svoistva materialov [Thermophysical properties of materials]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1959. 356 p.

11. AltairFLUX. Available at: http://hyperview.eu/product/Flux

12. Sharapova O. Iu. Chislennoe modelirovanie protsessa periodicheskogo induktsionnogo nagreva na baze konechno-elementnogo programmnogo paketa FLUX [Numerical simulating of intermittent heating process based on final-element software package FLUX]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo univer-siteta. Seriia: Tekhnicheskie nauki, 2011, no. 7 (28), pp. 180-185.

The article submitted to the editors 09.11.2018

INFORMATION ABOÜT THE AUTHORS

Pleshivtseva YuHya Edgarovna — Russia, 443100, Samara; Samara State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Heat-and-Power Engineering; yulia_pl@mail.ru.

Popov Anton Valerjevich — Russia, 443100, Samara; Samara State Technical University; Postgraduate Student of the Department of Heat-and-Power Engineering; antonsam93@mail.ru.

Popova Mariya Aleksandrovna — Russia, 443100, Samara; Samara State Technical University; Junior Researcher of the Department of Chemistry and Technology of Organic Nitrogen Compounds; m.a.lomova@mail.ru.

Derevyanov Maxim Yurjevich — Russia, 443100, Samara; Samara State Technical University; Candidate of Technical Sciences; Assistant Professor of the Department of Heat-and-Power Engineering; mder2007@mail.ru.