Задача об осесимметричной деформации ортотропного сферического слоя в трехмерной постановке

2016 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1. Том 3(61). Вып. 3

МЕХАНИКА

УДК 539.3, 517.928

ЗАДАЧА ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОРТОТРОПНОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ*

С. М. Бауэр, Л. А. Венатовская, Е. Б. Воронкова, А. Л. Смирнов

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

В статье рассматривается задача о деформации упругого ортотропного сферического слоя под действием нормального давления в трехмерной постановке. Получены асимптотические решения первого приближения, описывающие поведение слоя, для которого величины модулей упругости в меридиональном и окружном направлениях близки. Представленная модель может быть использована, как для оценки влияния повышенного ВГД на изменения формы глазного яблока, так и для описания изменения напряженно-деформированного состояния внешней оболочки глаза при введении внутриглазных инъекций. Исследовано влияние модулей упругости на величину относительного изменения толщины слоя и изменение длины передне-задней оси глаза при повышении внутриглазного давления. Библиогр. 9 назв. Ил. 3.

Ключевые слова: сферический слой, задача Ламе, ортотропия.

1. Введение. В рамках трехмерной теории упругости рассматривается задача о деформации ортотропного сферического слоя, находящегося под действием нормального давления. Для изотропного сферического слоя эта задача, известная как задача Ламе, описана, например, в [1]. Для трансверсально-изотропного сферического слоя аналитическое решение было получено в [2, 3], а асимптотическое — в [4]. Напряженно-деформированное состояние двухслойного трансверсально-изотропного слоя рассмотрено в работе [5].

Известно, что в большинстве случаев миопия (близорукость) связана с тем, что модуль упругости в меридиональном направлении становится меньше, чем модуль Юнга в направлении параллели и внешняя оболочка глаза под действием внутриглазного давления (ВГД) приобретает форму вытянутого эллипсоида [6, 7]. В данной работе рассматривается ортотропная склера (внешняя оболочка глаза), близкая к трансверсально-изотропной, что позволяет получить уравнения первого приближения для нормального прогиба и меридионального перемещения точки сферического слоя под действием нормального давления. Представленная модель может быть использована как для оценки влияния повышенного ВГД на изменения формы глазного яблока (передне-задней оси и экваториальной зоны), так и для описания изменения напряженно-деформированного состояния внешней оболочки глаза при введении внутриглазных инъекций.

* Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (гранты № 16-01-00580 А и № 15-01-06311 А) и с использованием оборудования ресурсного центра Научного парка СПбГУ «Обсерватория экологической безопасности».

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

2. Уравнения равновесия в перемещениях. Рассматривается ортотропный сферический слой с внутренним радиусом и внешним — Я2, толщиной к = Я2 — Я\ (рис. 1).

Положение точки сферического слоя описывается сферическими координатами: р — радиальная координата, у — координата в меридиональном направлении, в — координата в окружном направлении. Уравнения равновесия сферического слоя имеют вид [1]

дсгрр 1 дар(р 1 дарв eos у I

др р ду pslny дв pslny ^ р ^ 1

дегур 1 davv 1 дег^е . 3 eosу

+ + --7¿T + -(r<pp + —-{V<p<p ~ (?вв) + U = О,

др р ду psiny дв р psiny

давр , 1 давг„ 1 давв , 3 2cosy

+--+ —--+ ~сгвр + —-стер + fe = О,

др р ду pslny дв р pslny

здесь арр, и авв —нормальные напряжения, арр, арв, арв —касательные напряжения, /р, /в — проекции внешних сил на соответствующие направления.

Будем рассматривать осесимметричную задачу в отсутствие внешних сил. В этом случае перемещения не зависят от угла в, а касательные напряжения арв ,арв и деформации ерв равны нулю. Таким образом, система уравнений равновесия примет вид

дорр | 1 dapíp | cosy 1

О ~г 0 Н- <3рср + рр и (рср

др р ду р siny р

Н---д--1----сгр<р + -(2орр - а^ - адв) = О,

Н---~--Н -Voy Н--:-\Р<р<р ~ cree) = 0.

дар(р 1 да^ 3 cosy

—ъ I ъ I vpcp Н : v^ipip др р ду р р siny

Перемещения точки сферического слоя задаются проекциями вектора перемещений (ш,и^) в направлениях р, у, в соответственно. Для осесимметричной задачи компонента V равна нулю. Деформации и перемещения сферического слоя связаны соотношениями [8]

дш 1 ди ш и ш 1(1 дш и ди

ерр=—, £1р1р=-— + —, £00 = 00^- + —, е =-\~-----Н —

др гг р ду р р р 2 \р ду р др

Уравнения состояния, связывающие напряжения и деформации, для ортотропного тела содержат 9 независимых упругих постоянных (Ep, Ep, Eg — модули Юнга, Vpp, vgp, Vgp —коэффициенты Пуассона, Gpp, Gpg, Gpg — модули сдвига) [8] и имеют вид

1 Vpp Vpg

£рр - ~тр~аРР - -

Ep Ep Eg

JP Vp

1

_ 'pp 1 vvg

£рр = Т=ГаРР + ~Б~(Т<Р<Р т^0"00' Ep Ep Eg

£pg =

£vg =

Jp

О" рв Gpg '

o>0 pg '

G

vgp Vgp 1

£00 - -~FTaPP - ~F^avv + ~FT

Ep Ep Eg

agg,

G

pip

pip

В силу симметрии соотношений (3) справедливы равенства

ЕфVVp = ЕрУру, Ефи^д = Едид^, Едидр = Ер^рд. Введем следующие обозначения [8]:

Vфд + ^фр^рд ф _ Vфр + Vфдидр ф _ иду + ЩрУрф

vgp

1 - VgpVpg

Увр + УвфУфр 1 VppVpp

ip

1 - VgpVpg VgpVpg

gi

ypp

1 — VpgVgp

V

1 Vpp Vpp vpe + VipdVpip

1 — Vvg Vgv

En

E

V 1 - "рв^вр - VppVpp '

E** =

Eg

1

VgpVpg — VgpVpg

причем имеют место равенства

Е*р^рф = Еф ^ф р, Еф ^ф д = EвVвф, Ее^р = Е*Р^Рд.

Подставляя (2) и (3) в (1), с учетом обозначений (5)—(7), получим уравнения равновесия в перемещениях в виде

d2w dw d2w dw c)2u du du

со^гт + Cl— + С2 — + С3-— + cAw + с5 + cq — + с7— + c8u = 0,

dp2 dp др2 др дрдр dp др

, д2 u du , д2u , du , д2w , dw , dw

«ottt + + 2тгт + «зтг- + dAu + d5 + d6 — + d7---h d8w = 0,

др2 др др2 др др др др др

где использованы обозначения

Со = 1, ci =

1G

p

С2 =

pip

2р2 E

С3 = С2 cot р,

р

С4

1 / E; + 2v;eE; + Et

7 {"р*+ щ

G

pip

С5 = -р[1/^+2Е

С6 =

cot р

=t= I

G

pip

1

С7 =

С8

Р2 V pp Ep cot р

Ei

-^a + Ke)-

G

pp

2E *

p2

g

EPVpg + Щ G p p

E *

2E *

а

- V p Vp

2

1

p

2 . 2_ Е*

о2;

<¿0 = 1, ¿1 = -, <¿2 = тт ¿3=^2 СОЬср,

Р Р2

=

Р \ ^рр ^-рр у

л 2 / \ 2соЬ<рЕ;-Е*в

7 = ^2 ( ' = ^2--^-•

Р \ ^рр / Р ^рр

3. Граничные условия. Будем рассматривать половину сферического слоя, т. е. область 0 ^ <р ^ п/2 и Дх ^ р ^ Д2.

На границе <р = 0, = п/2 полагаем

/ п \ д'ю, . ди> / п \ .

и

На границе р = Дх и р = Д2 считаем заданными значения внутреннего Рх и внешнего Р2 давлений:

Стрр

причем напряжения имеют вид

р V дР Р Р д¥ Р

1(1 дчл и ди~~ 2 \рдср р др)'

^рр &рр ^ ( о

Уравнения (8) и граничные условия (11), (12) образуют краевую задачу.

4. Ограничения на упругие постоянные. Как было отмечено выше, описание ортотропного материала включает 9 независимых упругих постоянных. В силу положительной определенности упругого потенциала его коэффициенты должны удовлетворять критерию Сильвестра, из которого следуют неравенства [8]

Ер I Ед

г^рв < \1 ,

1/рч> < \1 ~ЕГ> "Р < \ ~ЕГ> "ев < \1 г '

Ер Ер Ер

Л.

р Ер Ер

1 Л 2 Ер 2 Ер 2 Ев

. 1 Л 2 Ер 2 Ер 2 Ев\

^рОЩр <т2[1--рр^~ -ре дг - ; •

5. Ортотропный материал, близкий к трансверсально-изотропному. Метод возмущений. Рассмотрим сферический слой из ортотропного материала, для упругих постоянных которого выполнены равенства

Ер = Ех, Ер = Е, Ед = Е (1 + р), Щр = V, Vрр = vдр = VI, Е

= С + /хС? = ————- + рС} , С}пш = Срв = + рС ,

2

где р ^ 1. При р = 0 материал становится трансверсально-изотропным.

0.10

0.0

ц

1.0

Рис. 2. Поверхность, ограничивающая сверху область задания параметров (ц, V, VI) при Е/Е\ = 0.01.

Ограничения на упругие постоянные (13) становятся такими (см. рис.2):

1 Ei . f 1 1 + M — V2 \ v < -, Vi < \ —'min l.i --—--- . (14

1+М V Е ^ ' V 1 + At'Y (l+At)(2 + M + 2 v)J

Решение уравнений (8) будем искать в виде

w

Уравнение нулевого приближения для функции wo(p) совпадает с рассмотренным в [4] уравнением для трансверсально-изотропного слоя. Уравнения первого приближения таковы:

д2w1 дw1 д2w1 дw1 д2u1 д^

то-7ГТ- + mi—--h тг-т-^ + m-i—--h m4wi + m5 + m6 ——h

др2 др др2 др дрдр др

ду,1

+ т,7—--h mgui + mgrvo = 0,

др

д2u1 д^ д2u1 д^ д2w1 дw1

»OTT + »IT--Ь »OTT + "зт--Ь "4'W'l + п5 + п6—--ь

др2 др др2 др дрдр др

д-wvo

+ п7—— + ngiv п = 0. 7 др 8 o

Здесь использованы обозначения

2 G1 2 E

m о = 1, mi = -, m2 = , , т3 = т2 cot т4 =----—---,

р 2îj2Epo Р2 E1

1 ( Gi , Ev 1 ^

W5 = Лщ+ Шх^Г) ) ' =

1

E2(l-v) р0 Ei(l -v) -2Ev2'

2

n0 = 1, n i =

P

2 Л E

n4 = --^ ( 1 +

2E*

П2

" GiP2 E*

G1G1

n3 = П2 cot p,

PG1

П6

2 Л +

Givi E

n7 = --

2 cot p Ep

E* = --LL- E*

{l + v^E^l-v)-'lEvl)' PV0

щ

n i1 , 4> n8 - "

p Gi(1 + V) vip

EE1 v1

E1(1 - v) - 2Ev2'

E

рв0

E

(1 + v)(E1 (1 - v) - 2Evf)'

Граничные условия для функций первого приближения принимают вид

dwi

Ml(/9,0) = MI (р, = О,

dwi ( п Р'2

0,

alpp (Ri,p) = а1рр(R2, p) = *lv (Ri,p) = a^(R2,p) = 0

pp

pv

причем

dw i dw i

dwo

~d.7

du i

aj>P = + + + hu>o + h~+ /5М1,

du i dp

где

I2

pEi (1 - v)' Evp

I2

Ev2

(1 -z/)(£i(l - v) -2Ev\Y ¡5 = ¡4 cot(p).

3 Vi P 4 E\(l — v)p

к — — к — — к — —

1 ~ 2p ' 2 ~ ~ 2p ' 3 ~ 2 '

Таким образом, краевая задача для первого приближения состоит из уравнений (15) и граничных условий (18), (19). Заметим, что изменения модулей сдвига (G',G") не входят в уравнения и граничные условия первого приближения.

Численное решение граничной задачи, полученное методом конечных разностей, сравнивалось с решением, полученным в конечно-элементном пакете Comsol Multiphysics 5.0. В качестве примера рассматривался ортотропный слой со следующими значениями параметров: Ev = E =14 МПа, Ep = Ep = 1.26 МПа, v = 0.48, vi = 0.03, R2 = 12 мм, Ri = O.9R2 [9]. На внутренней поверхности слоя p = Ri задано давление Pi =20 х 133.3 Па. Были исследованы два случая: р = -0.3 и р = 0.3.

На рис. 3 представлены профили ортотропного слоя до и после деформации, а также распределения перемещений в слое.

Полученное численное решение позволяет по соотношению для нормального перемещения получить изменение толщины внешней облочки глаза под действием внутреннего давления, а также оценить удлинение передне-задней оси глазного яблока при увеличении внутриглазного давления.

P

о

Total displacement (цт), ц = -0.3

A 9.48

Рис. 3. Распределение перемещений в ортотропном слое после деформации при Ед/Е^ = 0.7 (р = —0.3) (слева) и Ед/Е^ = 1.3 (р = 0.3) (справа).

6. Заключение. Полученные асимптотические формулы могут быть использованы для качественного описания изменения напряженно-деформированного состояния внешней оболочки глаза при введении внутриглазных инъекций, а в некоторых случаях — для оценки соотношения модулей упругости в меридиональном направлении и направлении параллели. Решение задачи позволяет оценить изменение передне-задней оси глаза при повышении внутриглазного давления при миопии или гиперметромии, а также при таких заболеваниях, как глаукома.

Литература

1. Атанацкович Т., Гуран А. Лекции по теории упругости. С.-Петербург, 2003. 400 с.

2. Bauer S. M, Voronkova E. B. Nonclassical shell theories in ocular biomechanics // Advanced Structured Materials. 2015. Vol. 45. P. 81-97.

3. Kotliar K.A., Maier M.A., Bauer S.B., Feucht N.A., Lohmann C.A., Lanzl I. A. Effect of intravitreal injections and volume changes on intraocular pressure: clinical results and biomechanical model // Acta Ophthalmologica Scandinavica. 2007. Vol. 85, N 7. P. 777-781.

4. Bauer S. M, Smirnov A. L. Axisymmetric Deformations of the Orthotropic Spherical Layer under Normal Pressure // Vestnik St. Petersburg Univ.: Math. 2015. Vol. 48, N 1. P. 35-40.

5. Карамшина Л. А. О деформации двухслойной трансверсально-изотропной сферической оболочки // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2011. Вып. 2. С. 133138.

6. Danilov N.A., Ignatieva N.Yu, Iomdina E.N., Semenova S.A., Rudenskaya G.N., Grokhovskaya T. E, Lunin V. V. Stabilization of scleral collagen by glycerol aldehyde cross-linking // Biochimica et Biophysica Acta. 2008. Vol. 1780. P. 764-772.

7. Данилов Н.А., Игнатьева Н. Ю, Иомдина Е.Н., Арутюнян Л. Л., Гроховская Т.Е., Лунин В. В. Исследование склеры глаукомных глаз с помощью физико-химического анализа // Биофизика. М.: Наука, 2011. T. 56, № 3. C. 520-526.

8. Родионова В. А., Титаев Б. Ф, Черных К. Ф. Пpикладная теоpия анизотpопных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 278 c.

9. Иомдина Е. Н. Механические свойства тканей глаза человека // Современные проблемы биомеханики. М.: Изд-во МГУ, 2006. Вып. 11. С. 183-200.

Статья поступила в редколлегию 10 января 2016 г.

Сведения об авторах

Бауэр Светлана Михайловна — доктор физико-математических наук, профессор; s_bauer@mail.ru

Венатовская Людмила Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент; l.venatovskaya@spbu.ru

Воронкова Ева Боруховна — кандидат физико-математических наук, доцент; e.voronkova@spbu.ru

Смирнов Андрей Леонидович — кандидат физико-математических наук, доцент; a_l_smirnov@mail.ru

THREE-DIMENSIONAL PROBLEM OF AXISYMMETRIC DEFORMATIONS OF THE ORTHOTROPIC SPHERICAL LAYER

Svetlana M. Bauer, Ludmila A. Venatovskaya, Eva B. Voronkova, Andrei L. Smirnov

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation;

s_bauer@mail.ru, l.venatovskaya@spbu.ru, e.voronkova@spbu.ru, a_l_smirnov@mail.ru

The 3D problem of deformation of the elastic orthotropic spherical layer under normal pressure applied on the outer and inner surfaces is analyzed. The asymptotic solutions of the first approximation are obtained for a slightly orthotropic layer, i.e. for which the values of elastic moduli in meridional and circumferential directions are close. The obtained solutions are used in analysis of the scleral shell under intraocular pressure and may also be used in solution of the inverse problem, i. e. in analysis of the stress-strain state of a human eye under injection. The influence of elastic modulus in meridional and circumferential directions on the change of the relative layer thickness under normal pressure and length change of the anteroposterior axis of the eye due to an increase in intraocular pressure is studied. Refs 9. Figs 3.

Keywords: spherical layer, Lame problem, orthotropy. References

1. Atanackovic T. M., Guran A., "Theory of Elasticity for Scientists and Engineers" (Birkhauser, 2000).

2. Bauer S.M., Voronkova E. B., "Nonclassical shell theories in ocular biomechanics", Advanced, Structured Materials 45, 81-97 (2015).

3. Kotliar K.A., Maier M.A., Bauer S. B., Feucht N. A., Lohmann C.A., Lanzl I. A., "Effect of intravitreal injections and volume changes on intraocular pressure: clinical results and biomechanical model", Acta Ophthalmologica Scandinavica 85(7), 777-781 (2007).

4. Bauer S. M., Smirnov A. L., "Axisymmetric Deformations of the Orthotropic Spherical Layer under Normal Pressure", Vestnik St. Petersburg Univ.: Math. 48(1), 35-40 (2015).

5. Karamshina L. A., "On deformation of transversally isotropic two-layered spherical shell", Vestnik of St. Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy issue 2, 133-138 (2011).

6. Danilov N. A., Ignatieva N.Yu., Iomdina E. N., Semenova S.A., Rudenskaya G.N., Grokhovskaya T. E., Lunin V. V., "Stabilization of scleral collagen by glycerol aldehyde cross-linking", Biochimica et Biophysica Acta 1780, 764-772 (2008).

7. Danilov N. A., Ignatieva N.Yu., Iomdina E. N., Semenova S.A., Rudenskaya G.N., Grokhovskaya T.E., Lunin V. V., "Sclera of the glaucomatous eye: Physicochemical analysis", Biophysics 56(3), 520-526 (Nauka Press, Moscow, 2011) [in Russian].

8. Rodionova V. A., Titaev V. F., Chernykh K. F., Applied Theory of Anisotropic Plates and ¡Shells, (St. Petersburg Univ. Press, 1996, 278 p.) [in Russian].

9. Iomdina E. N., "Mechanical properties of the human eye tissue", Modern Problems of Biomechanics, Issue 11, 183-200 (Moscow University Press, 2006) [in Russian].

Для цитирования: Бауэр С. М., Венатовская Л. А., Воронкова Е. Б., Смирнов А. Л. Задача об осесимметричной деформации ортотропного сферического слоя в трехмерной постановке // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 3. С. 449-456. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.313

For citation: Bauer S.M., Venatovskaya L.A., Voronkova E. B., Smirnov A. L. Three-dimensional problem of axisymmetric deformations of the orthotropic spherical layer. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016, vol. 3(61), issue 3, pp. 449-456. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.313