Исследование схода газодинамического разрыва с кромки пластины в рамках уравнений Эйлера

______ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVIII 1987

№ I

УДК 533.6.013.2.011.3:532.582.2 532.527

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДА ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРЫВА С КРОМКИ ПЛАСТИНЫ В РАМКАХ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА

Р. Я. Тугазаков

Изучена нестационарная модельная задача о сходе газодинамического разрыва с острой кромки пластины. В рамках уравнений Эйлера для различных моментов времени вычислены поля давлений, плотности и энтропии при внезапном поперечном движении пластины. Проведен анализ влияния скоса потока на картину течения, приведены нестационарные силы, действующие на пластину в процессе развития вихревых течений. Исследован случай обтекания пластины газом при больших значениях показателя адиабаты, что в пределе соответствует обтеканию несжимаемой жидкостью.

1. В задачах дифракции ударных волн на неподвижных и движущихся телах в поле течения образуются газодинамические разрывы. При этом взаимное расположение их в поле течения различно. Они могут, в зависимости от задачи, двигаться, примыкая к поверхности тела под углом или же касаясь его. Если же на теле встречаются острые кромки, то происходит сход газодинамического разрыва и развитие его по времени. Решение такой задачи о сходе разрыва с острой кромки представляет собой большой теоретический и практический интерес. Так, для идеальной несжимаемой жидкости изучение отрывных вихревых течений началось в работах Прандтля [1]. Затем задача обтекания тела с угловой точкой получила свое решение, как теоретическое, так и численное, в работах [2—7] и в цитируемой в данных работах литературе. Решение стационарной задачи обтекания крыла сверхзвуковым потоком газа методом сквозного счета в рамках уравнений Эйлера получено в [8], где на боковой кромке прямоугольного крыла использовался алгоритм образования тангенциальных разрывов.

При решении дифракционной задачи о падении ударных волн на тела трудно изучать вопрос об эволюции разрыва, сходящего с острой кромки, из-за сложности течения во всем поле течения. Поэтому в данной статье численно рассматривается модельная задача о сходе разрыва (типа контактного разрыва) с острой кромки пластины при внезапном ее движении. В этой модельной задаче можно легко варьировать граничные и начальные условия по разные стороны пластины, вы-

числить нестационарную силу, действующую на пластину, оценить влияние показателя адиабаты на картину течения.

Задача о сходе газодинамического разрыва с острой кромки в газе сложнее, чем для несжимаемой жидкости. Решение ее возможно только численными методами. В то же время решение нестационарной модельной задачи около пластины дополняет наши знания о процессе образования вихревого слоя. Так, варьируя начальные и граничные условия, можно значительно уменьшить интенсивность образующегося вихря, как бы раскручивая его в обратную сторону и наоборот. Так как задача автомодельна, то при достаточно больших временах, когда еще не сказывается влияние границ расчетного поля, можно получить предельное стационарное обтекание конца острой пластины газом, движущимся с заданной дозвуковой скоростью.

Интересным моментом в данной задаче является то, что при увеличении показателя адиабаты можно в пределе получить картину обтекания пластины несжимаемой жидкостью. Действительно, представим уравнения движения газовой динамики в следующем виде [9]:

Д й + ур = 0, Др + р сИу и = 0, )

Д р + рс2 сИу и — 0, ]

где Д — оператор полного дифференцирования; и — вектор скорости;

о ~1Р

р — давление; р —плотность; с2= —---------скорость звука; у — показа-

р

тель адиабаты. Для политропного газа имеем

Др _1__Др_ Др Р с* ~ 7 р ~~ р .

Видно, что движение несжимаемой жидкости можно трактовать как предельное для движения политропного газа при сю.

Тогда уравнения движения для несжимаемой жидкости получают-

д р

ся из (1) формальным переходом, когда --у ->-0,

div и = 0, р Д и + у/? = 0.

(2>

Если при этом не предполагать р = const, то к (2) еще добавится условие Др = 0. Уравнения (2) вместе с последним условием описывают движение неоднородной несжимаемой жидкости.

2. Общая схема течения представлена на рис. 1. Расчетное поле АА' ВВ' включает 70x70 точек. Здесь СД — тонкая пластина, которая внезапно приводится в движение. В областях АА' СЕ и ЕС ВВ' в начальный момент ставятся граничные условия, соответствующие разрыву плотности или скорости на границе ДЕ. В следующий момент времени пластина СД начинает поперечное движение с заданной скоростью и Математически для областей 1 и 2 эти условия записываются в общем виде.

0

t>

р = Ри р = Pi. И) =0, «1 = 0, обл. 1,

р = Ри р = р2, и2=0, £ II о обл. 2;

р = Ри р = р]. Wj 1—- Исоу обл. 1,

р = Ри Р = Рг. &2 —1 Носу £ II о обл. 2.

Условия (3) означают, что на ДЕ имеются разрыв плотности Др = = Р1—р2 и скольжение вдоль пластины СД со скоростью VI. Для различных вариантов задачи эти начальные условия варьируются. На пластине СД с обеих ее сторон выполняется условие непротекания. Значения параметров газа на границе области АА' ВВ' на каждом временном шаге определяются пересылкой в граничные точки значений параметров из внутренних, близлежащих точек. Это условие в данной задаче обеспечивает наименьшее влияние границ поля на решение задачи.

Расчеты проводятся конечно-разностным методом Лакса—Вендроф-фа. Решаются уравнения Эйлера для идеального сжимаемого газа. Уравнения движения в пространстве х, у, t имеют вид

где компонентами вектора ш являются плотность р, проекции вектора количества движения на оси координат и энергия е, отнесенная к единице объема: со=(р, т, п, е), здесь т — ри, п = ру, и, у —компоненты скорости на оси х, у. __

Компоненты векторов / и § определяются следующим образом:

+ /х + ёу =

р

~^п(т2 + п2) +

Конечно-разностная схема для решения уравнений (4) представлена в [10]. Основной трудностью при использовании данной схемы яв-

ляется расчет контактных поверхностей с большими перепадами параметров. Коэффициент р, который вводится в схему для расчета разрывов, выбирался для каждого варианта задачи.

Результаты расчетов показали, что в любом случае контактная поверхность размывается на три расчетных интервала. Но в отличие от многих других схем данная схема сохраняет контактный разрыв. При достаточном количестве расчетных точек толщина контактного разрыва получается малой.

3. Рассмотрим, что происходит с газом в начальные и последующие моменты движения пластины с учетом результатов и теории численного расчета. Решение данной задачи представляет обобщенное движение газа с разрывными начальными данными. Как видно из рис. 1, в области ЛЛ' МС перед пластиной образуется ударная волна ЛЛ'. За пластиной образуется волна разрежения КК'Н'Н. Между пластиной и ударной волной, пластиной и волной разрежения образуются области с постоянными параметрами, значения которых для контроля точности счета достаточно просто вычислить с помощью формул для распада произвольного разрыва. Так, величины давления и плотности перед пластиной вычисляются в зависимости от скорости пластины и начальных параметров из области 2 по формулам:

За пластиной величины давления и плотности вычисляются по формулам:

Образовавшиеся ударная волна и волна разрежения в точке Д начинают взаимодействовать с разрывом ДЕ и, таким образом, между собой. В результате взаимодействия получется область МЛ'Д'НКЕ' с переменными параметрами, где МЛ' и Н'Н — границы возмущенной области, движущиеся с местной скоростью звука, Л'Д' — часть дифрагированной волны ЛЛ'. Граница Е'К представляет собой слабую ударную волну.

Первоначально заданный разрыв искривляется и, двигаясь вместе с потоком, занимает положение ДЕД'. В следующие моменты времени область течения с переменными параметрами продолжает расширяться. Ее границы, движущиеся со скоростью распространения возмущений, уходят из расчетного поля. Разрыв ДЕ движется со скоростью, приблизительно равной скорости потока, которая в данных расчетах взята меньше скорости звука. Число Маха невозмущенного газа равно 0,1 или 0,5. Но в точке Д, где поток совершает разворот на 360°, скорость газа существенно увеличивается. В результате этого разрыв ДЕ претерпевает более значительные деформации в окрестности точки Д, чем на границе возмущенной области.

Рз=Р2 + -(1Г4 1} Р2и\ + УТР2р2а\ +

п —О (т+ 1)Рз+ (7 — 1) Рч, Рз — ^(тг-Оа + Сг-ЬОл '

2

В области сжатия ДЛ'М у газа энтропия выше, чем в других областях. Крайняя линия тока, несущая максимальное значение энтропии, исходит из точки Л' и оканчивается в точке Т7. Если в начальный момент времени не ставить условие разрыва энтропии на ДЕ, т. е. кривая РД' отсутствует, то имеем, что зарождение вихря в точке /* обусловлено приходом высокоэнтропийного газа из области МЛ'Д практически через полосу, лежащую между концом пластины и линией тока Л'Р. На рис. 2—5 приведены результаты расчета обтекания пластины при внезапном ее движении с числом М, равным 0,5. На границе ДЕ ставились условия разрыва плотности, т. е. пластина начинала свое движение в более плотный газ. Первоначальная величина давления, так же как и

У р =2,228

Рис. 4

Рис. 5

для других вариантов задачи, равнялась 1. За единицу времени взято время, в течение которого частица с невозмущенной скоростью звука проходит длину пластины. В дальнейшем на всех фигурах точные значения величин давления, плотности и энтропии, найденные по формулам распада произвольного разрыва, приведены на графиках. Результаты численного расчета, полученные конечно-разностным методом установления, приведены на рисунках в виде изохор, изэнтроп и изобар. Они пронумерованы и соответствующие им значения приведены в тексте.

На рис. 2 приведены поля плотности и давления для момента t = = 1,1. Значения изохор на рис. 2 равны: 1 — 2,6; 2— 2,5; 3 — 2,4; 4 — 2,3; 5 — 2,2; 6 — 2; 7—1,9; 5—1,8; 9 — 1,2; /0—1,6; 11 — 1,5; 12— 1,2;

— 0,98; 14 — 0,94; 75 — 0,89; 76 — 0,85; 77 — 0,81; 18 — 0,77; 19 — 0,73; 20 — 0,69; 21 — 0,65; 22 — 0,61.

Изобарам соответствуют следующие значения: 1 — 2,15; 2—1,98; 3 — 1,82; 4— 1,65; 5—1,49; 6—1,25; 7—1,08; 8 — 0,96; 9 — 0,89; 10 — 0,82; 77 — 0,75; 12 — 0,68; /3—0,65; 74 — 0,61; 75 — 0,58; 76 — 0,54;

77 — 0,5; 78 — 0,43; 79 — 0,54; 20 — 0,58.

Анализ течения на рис. 2 показывает, что решение в областях с кусочно-постоянными параметрами находится с большой точностью. Перед пластиной образуется ударная волна, за которой энтропия незначительно возрастает. Граница Е'К (см. рис. 1) представляет собой достаточно сильную волну сжатия, которая отделяет область одномерной волны разрежения от области с сильным неоднородным течением. Волна разрежения, проникая в переднюю часть пластины, понижает давление. Контактный разрыв в области кромки пластины сильно деформируется. Видно, что он вместе с потоком закручивается. Это более наглядно просматривается на рис. 3, на котором представлены линии изэнтроп в последующие моменты времени. Значение изэнтроп на рис. 3 следующие: 7 — 0,58; 2 — 0,68; 3 — 0,78; 4 — 0,88; 5 — 0,98; 6 — 0,56; 7 — 0,57. По мере роста вихревая зона со временем увеличивается, захватывая все большее количество линий тока, закручивающихся вокруг ядра. Это видно по изэнтропе 7 на рис. 3, б.

Был проведен расчет обтекания пластины при ее внезапном движении, когда на границе ДЕ имелся разрыв касательной составляющей скорости. Здесь р1=\; Р1=1; «! = ««=; г>1 =—р2= 1; рг=1;

и2 = щ\ г>2=0; у =1,4. Характер течения во всей расчетной области, кроме прилегающей к кромке пластины, качественно мало отличается от предыдущего варианта задачи. Так как в данном случае отсутствует контактный разрыв, несущий с собой сильный разрыв энтропии, то вихревая зона за пластиной образуется только за счет затекания газа из области больших давлений в область разрежения. На рис. 4,а представлено поле энтропии для момента ( = 2. Видно, что за пластиной образуется мощное вихревое кольцо, расширяющееся в пространстве по времени. Для определения влияния вертикальной составляющей потока на образование вихревой зоны за пластиной был проведен расчет еще одного варианта задачи, где на границе ДЕ начальные условия для скорости у1 = +-^-и1. Из сравнения двух результатов расчета течения газа можно как качественно, так и количественно оценить влияние скоса потока на кромке пластины на формирование и развитие вихря. Так,

во втором случае положительная скорость v^ = ~ul способствует более быстрому распространению волны разрежения в переднюю часть пластины. Противодавление в результате этого меньше, чем в первом случае, и вихрь получается более слабый.

Сильное влияние скоса потока на образование вихревой зоны видно из анализа поля изэнтроп, приведенных на рис. 4, б, где изображено поле течения для случая 1>1 = 0, и2— —иос. Значения изэнтроп меняются от 1 (цифра 7) до 1,1 (цифра 77) с числом Д5 = 0,0058. Видно, что наличие отрицательной скорости и2 приводит к значительному уменьшению вихревой зоны. В случае же и2 = их максимальное приращение энтропии значительно больше, чем в случае отрицательных значений и2.

4. В рассматриваемых случаях в окрестности кромки пластины образуется вихревое течение. В ядре вихря имеется минимум величин давления и плотности. Энтропия принимает здесь максимальное значе-

ние. Так как величина энтропии при малой величине плотности достаточно сильно зависит от показателя адиабаты у. то в статье были проведены расчеты течений газа при значениях у=1,1, 1,4, 1,67, 2, 3, 100. Как и ожидалось, интенсивность вихря растет с увеличением показателя адиабаты, при этом качественно общая картина течения сохраняется до у = 2. При у>3 за пластиной образуется мощный вихрь. Величина А5 в ядре возрастает более чем в десять раз по сравнению с газом, имеющим y=1,4.

В п. 1 статьи было указано, что движение политропного газа при Y~>- со описывает движение несжимаемой жидкости. Для этого были проведены расчеты внезапного поперечного движения пластины в газе, имеющего показатель -у= 100, с числом М=0,01. В этом случае скорость звука в среде возрастает более чем в 8 раз. Результаты расчетов поля давления и плотности представлены на фиг. 5, а. Для момента времени t = 2 звуковые возмущения, вызванные начальным движением пластины, находятся вне границы расчетного поля. Видно, что приращение плотности в поле течения очень мало: 0,97<р< 1,01, а величина давления претерпевает большие изменения: 0,5<р<1,5. При этом поведение р и р качественно отличается от приведенных на рис. 2, 4. Изобары в окрестности пластины меняются, как функция угла поворота около конца пластины, а изохоры изменяются в радиальном направлении. Значения изобар и изохор на рис. 5, а соответствуют: 1 — 0,49; 2 —

0,63; 3 — 0,76; 4 — 0,99; 5—1,03; 6—1,17; 7—1,3; 8—1,44; 9—1,58; 7 — 0,97; 2 — 0,981; 3 — 0,987; 4 — 0,99; 5 — 0,993; 6 — 0,995; 7 — 0,999.

На рис. 5, б приведены кривые, характеризующие изменение нестационарной силы Сп, действующей на пластину с момента ее движения. Величина Сп вычислялась как разность сил, действующих на переднюю и заднюю части пластины единичной длины. Кривая 1 соответствует

обтеканию пластины при у = 3, М = 0,1, pi—1, Pi=l, 0i=-j-«i", Pz=U

P2=l, u2 = uu У2=0. Кривые 2, 3 и 4 соответствуют обтеканию пластины при у=Ы, 1,67 и у = 2 и М = 0,5. Остальные параметры такие же, как в первом случае. Эти три кривые характеризуют влияние параметра у на нестационарную силу. Кривые 5 и 6 соответствуют картинам течений данных на рис. 4, а, которые отличаются скосом потока газа. Видно, что в случае положительного скоса ^ сила Сп уменьшает-

ся почти на 10% по сравнению со случаем отрицательного скоса ^i/j =

= ----^-и^.Зтот эффект еще больше для вариантов задачи с разными

скоростями за пластиной v2 — —«1 и v2= +щ (рис. 4,6). В этих случаях безразмерные силы отличаются на 30%, принимая соответственно значения 0,8 и 1,14.

Анализ кривых рис. 5, б показывает, что в начальный момент сила, действующая на пластину, максимальная. По мере зарождения вихря и распространения возмущений от конца пластины по всей ее длине величина силы падает на 35—55% к моменту ^ = 3. После этого на пластину начинает действовать отраженная от границы АА' ударная волна, интенсивность которой сильно зависит от у.

ЛИТЕРАТУРА

1. Prandtl L. The generation of vortices in fluids of small viscosity.— The Journal of the Royal Aeronautical Society, 1924.

flows. II, 1982, N 4.

2. Никольский А. А. О «второй» форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела.—ДАН СССР, 1957, т. 116, № 2.

3. Н и к о л ь с к и й А. А., Б е т я е в С. К., Малышев И. П. О предельной форме отрывного автомодельного течения идеальной жидкости.— В кн.: «Проблемы прикладной математики и механики». — К 60-летию акад. А. А. Дородницына—М.: Наука, 1971.

4. Ильичев К. П., Постоловский С. Н. Расчетное исследование нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. —Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 2.

5. С у д а к о в Г. Г. Расчет некоторых автомодельных трехмерных отрывных течений. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. 6, № 2.

6. Белоцерковский С. М., Н и ш т М. Н. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. — М.: Наука, 1978.

7. Б е т я е в С. К., Г а й ф у л л и и А. М. Течение в окрестности центра спиральной свободной границы—Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, № 6.

8. М и и а й л о с А. Н. Расчет поля сверхзвукового течения с вихрями за тонким прямоугольным крылом. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 5.

9. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики.— М.: Наука, 1981.

10". Ту г а з а ко в Р. Я. Нестационарная задача о внезапном движении клина и конуса с до- и сверхзвуковой скоростями. — Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. 4, № 1.

Рукопись поступила 4/Х 1985