Геометрия, расчет и применение оболочек в форме эллиптических параболоидов

ГЕОМЕТРИЯ, РАСЧЕТ И ПРИМЕНЕНИЕ ОБОЛОЧЕК В ФОРМЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПАРАБОЛОИДОВ

С.Н. КРИВОШАПКО, д-р техн. наук, профессор Российский университет дружбы народов, г. Москва

Тонкостенные конструкции оболочечного типа нашли широкое применение во всех отраслях народного хозяйства. Велико разнообразие форм, предлагаемых геометрами для внедрения в практику. Например, на кафедре сопротивления материалов Российского университета дружбы народов (г. Москва) создан банк поверхностей, который насчитывает более 500 наименований аналитических поверхностей [1]. Однако реальное применение нашли чуть более 5% существующих форм. Имеются развернутые обзоры по расчету, проектированию и применению оболочек в форме цилиндрических оболочек некругового очертания (Soldâtes K.P.), в форме гиперболических параболоидов (И.А. Петропавловская), коноидов, винтовых, торсовых (С.Н. Кривошапко) и сферических (В .В. Пикуль, Pietraszkiewicz W.) поверхностей, в форме трехосных эллипсоидов и эллипсоидов вращения, параболоидов вращения, в форме однополостного гиперболоида (С.Н. Кривошапко). Указанные оболочки нашли применение в строительстве, машиностроении, судо- и самолетостроении.

Предлагаемые к рассмотрению оболочки в форме эллиптических параболоидов, по-видимому, применяются только в строительстве. В качестве примера их применения в машиностроении можно привести задачу о давлении на упругое тело штампа в форме эллиптического параболоида. В некоторых экспериментах по теоретической физике фрагменты эллиптического параболоида образовывают фокусирующие зеркала резонатора.

1. О геометрии эллиптических параболоидов

В явном виде поверхность эллиптического параболоида задается уравнением: X2 /р + у2 lq = 2z (рис. 1), (1) где р, q> 0 (каноническое уравнение). Если принять р = q, то эллиптический параболоид выродится в параболоид вращения. Конструкции в форме параболоидов вращения в настоящем обзоре рассматриваться не будут. Они подробно описаны в статье [2]. Сечения эллиптического параболоида плоскостями у = 0 и X = 0 есть соответственно главные параболы х2 = 2pz, у = 0 и у2 = 2qz, х = 0 параболоида. Эллиптический параболоид не содержит ни одной прямой.

Эллиптический параболоид может быть задан также уравнением:

z = h-h

где h - стрела подъема поверхности или параметрическими уравнениями

jc = х

Коэффициенты основных квадратичных форм для этой формы задания А2 = /?cos2v + gsin2v + w2, F = usm2v(q-p)/2, В2 = u2{psm2v + qcos2v),

Рис. 1

Рис.2

L =

= ujpq.

M = 0, N = u2L, К = u*pq/(A2B2 - F2 J > 0

4A2B2-F2'

показывают, что криволинейные координаты и, v являются неортогональными (F*о), но сопряженными (М = 0). Каноническое уравнение поверхности (1) можно преобразовать в параметрические уравнения (рис. 1):

х = х, у = у, z = z

Эти параметрические уравнения показывают, что эллиптический параболоид - поверхность прямого переноса, то есть образовывается движением одной главной параболы по другой. Для исследования поверхности эллиптического параболоида можно использовать векторное уравнение

г = г

Поверхность отнесена к изотермическим сопряженным координатам a, v (L = N; M = 0). Параметрические уравнения эллиптического параболоида в линиях кривизн и и v имеют вид:

_ bz(b¿ -u)(b

-v)

У

с2

2

о -с

z - -

u + v-b -с'

с -о

с2 <u<b2 <v, b2=p, с2 = q.

Проблемы, возникающие при формообразовании поверхности в виде эллиптического параболоида методом бегущего контакта, привлекли внимание Ю.С. Степанова, А.Е. Белкина [3].

Аффинно-минимальная поверхность - это поверхность, средняя аффинная кривизна которой равна нулю. В отличие от обычных минимальных поверхностей, состоящих лишь из седловых точек, аффинно-минимальная поверхность может содержать эллиптические точки. Так, эллиптический параболоид состоит целиком из эллиптических точек, но является аффинно- минимальной поверхностью.

Иногда, используя метод построения поверхностей диагонального переноса, можно получить уже хорошо известные поверхности. Например, если взять в качестве плоского контура эллипс, в качестве диагонали - ось эллипса, а в качестве подвижной образующей кривой - квадратную параболу, то получим эллиптический параболоид.

Волнистая цепь с эллиптическими сечениями, ограниченная эллиптическим параболоидом, задается параметрическими уравнениями: z = z(v) = tv2

х = х{и, v) = [а + bdv cos pv] cos и, у = y(u, v) = [a + cdv sin p\\ sin u,

где a, b, c, p, t, d - константы (рис. 3). Более подробно об этих поверхностях можно узнать в справочнике [1].

Дополнительные сведения по геометрии эллиптических параболоидов приводятся в статье И.Е. Хатискаци [4], где дается методика построения линии пересечения эллиптического параболоида и цилиндра.

а = 0; 6 = 2; с = 1; 0áv<15; / = 0,5; = л/5; 1 Рис. 3

Оптимизация геометрических размеров поверхности оболочек

Задачу оптимизации оболочки - покрытия можно сформулировать следующим образом: 1) получить проект оболочки с наибольшей несущей способностью при заданной стоимости либо 2) получить проект оболочки с заданной несущей способностью при минимальных затратах. Вторая постановка задачи представляет наибольший практический интерес, так как исходными данными при проектировании являются сведения о нагрузках. Оптимизация путем перераспределения материала в скорлупе позволяет уменьшить расход арматуры в 8 раз, однако ввиду низкого содержания арматуры в оболочках общий эффект оптимизации не превышает в среднем 15-20%. Оптимальное подкрепление оболочек ребрами - малоэффективно, поскольку промежуточные ребра нужны главным образом для транспортировки и монтажа сборных элементов. Варвак М.Ш., Дехтярь A.C. и Шапиро A.B. [5] рассматривают задачу оптимизации геометрических размеров оболочек, прямоугольных в плане, работающих в пластической стадии, при действии равномерной поверхностной нагрузки. На основании расчетов установлено, что 1) необходимо учитывать эксплуатационные расходы и 2) наиболее удобна для расчетов оболочка в форме эллиптического параболоида.

2. Методы определения напряженно-деформированного состояния оболочек в форме эллиптических параболоидов

В начальный период исследования тонких оболочек, в основном, применялась безмоментная теория расчета. Dulacska Е. (Венгрия) утверждает, что результаты безмоментной теории расчета оболочек в форме эллиптического параболоида на действие равномерно распределенной горизонтальной симметричной и обратносимметричной нагрузки могут быть применены к оболочкам, подкрепленным по краям бортовыми элементами, жесткими на изгиб и кручение.

Оболочки на прямоугольном плане Одним из распространенных решений системы линейных дифференциальных уравнений пологих оболочек на прямоугольном плане является метод двойных тригонометрических рядов. Основные его положения, применительно к пологой оболочке в виде эллиптического параболоида, приведены в справочнике [6]. Предполагается, что оболочка имеет шарнирно-подвижное закрепление по контуру и находится под действием равномерно распределенной нагрузки. Jira Josef [7] для расчета оболочки, шарнирно опертой по контуру и эксцентрично усиленной ребрами, также применил двойные тригонометрические ряды. Изгиб упругой оболочки в виде эллиптического параболоида, опертого на ребра, изучался К.Г. Змиевским [8]. Он использовал техническую теорию пологих оболочек и применил метод конечных интегральных преобразований Фурье. Для числового примера взята оболочка, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой. Многоволновое покрытие, состоящее из эллиптических параболоидов, изучалось JI.C. Гараниным. Состояние изгиба эллиптической пологой

оболочки определялось уравнением £>V2V2w + Cw = где D - цилиндрическая жесткость оболочки на изгиб, С = EWÉ. Коэффициент Пуассона брался равным нулю. В расчетах учитывались 3 типа граничных условий в зависимости от по-

ложения оболочки в системе многоволнового покрытия. Решение искалось в виде одинарного степенного ряда. Поверхность задавалась в декартовых координатах.

Аналитическое решение в одинарных тригонометрических рядах применялось при расчете пологой оболочки переноса, опирающейся на двух противоположных краях на тонкие стенки и на упругое основание типа Винклера [9].

Василенко А.Т. [10] привел решение задачи о напряженном состоянии ор-тотропной толстой пологой оболочки в форме эллиптического параболоида. Для прямоугольной в плане оболочки, торцы которой не смещаются в своей плоскости и свободны от нормальной нагрузки, был применен метод разделения переменных, после чего проблема свелась к одномерной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами, которая решается численным методом.

Точечное опирание оболочек

Гамбарова П. и Карини А. [11] с помощью двух совершенно различных подходов провели анализ мембранных и изгибных напряжений в равномерно загруженной оболочке в форме эллиптического параболоида на прямоугольном плане с шарнирным опиранием в углах. Оптимальное опирание оболочек на 4 угловые точки на основе результатов кинематического метода теории предельного равновесия предложено A.C. Дехтярем.

Оболочки на эллиптическом плане

Многие авторы для расчета оболочек применяли асимптотический метод малого параметра. На практике, как правило, малый параметр выбирают так, чтобы первое приближение имело точное решение. Тогда все последующие приближения можно рассматривать как уточнения к первому. Впервые метод малого параметра для расчета эллиптических параболоидов был применен У. Нэшем (W. Nash). Но его работу следует рассматривать как постановочную из-за ее краткости и некоторых неточностей. А.Т. Козлов [12] провел расчет пологой оболочки на эллиптическом плане, принимая за малый параметр /л безразмерную величину ц = f/a, где / - стрела подъема оболочки, а - малая полуось опорного эллипса. Срединная поверхность оболочки задана в явном виде:

Z = (Ш

(г г \ Х

V

а2 Ъ2

Из условия пологости / ^ 2а/5 получается, что 0 < ц < 0,4. Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности приняты равными А = В = 1,^=0.

Асимптотический метод в первом приближении применен для расчета купола из армированного бетона высотой около 7 м, с опорным эллипсом размером 45 х 63 м в плане и усиленного по основанию эллиптическим опорным кольцом (Faraggiana в.). И.Н. Слезингер и С.Я. Барская исследовали влияние неоднородности на НДС пологой оболочки. Задача рассматривалась в геометрически нелинейной постановке.

Численные методы расчета

Достижения в области вычислительной техники обеспечили возможность исследования многих проблем численными методами. Одним из таких методов

является моделирование сплошной поверхности оболочки при помощи эквивалентной сетки соединенных друг с другом отдельных жестких стержневых элементов [13]. К числу методов, ставших особенно популярными при расчете эллиптических параболоидов, относятся метод сеток [14], вариационно-разностный [15] и метод конечных элементов [16]. Апраксина Т.И. [16] провела сравнительное исследование напряженного состояния оболочки в форме эллиптического параболоида по теории пологих и непологих оболочек.

3. Проблемы устойчивости оболочек

Алгоритм численного определения критической поверхностной нагрузки для пологой оболочки на прямоугольном плане 20 х Юм приводится в статье Nagy Т. Здесь система геометрически нелинейных уравнений преобразуется к форме удобной для численного интегрирования итерационным методом с применением конечных разностей. Устойчивость ортотропного эллиптического параболоида с жестко закрепленным контуром, нагруженного внешним давлением, можно исследовать методом Койтера, что было показано в статье Jira Josef. Уравнения равновесия, полученные вариационным путем, решаются методом Бубнова - Галеркина. В качестве примера рассмотрена слоистая оболочка, для которой оценивается влияние структуры оболочки и ее подъемистости на устойчивость.

Применение моделей для исследовательских работ является полезным дополнением для лучшего понимания поведения тонкостенных конструкций. Установка для исследования закритических деформаций пологих эллиптически параболоидальных жестко закрепленных вдоль эллиптического края оболочек при внешнем давлении предложена В.И. Бабенко, В.М. Кошелевым и В.Ш. Аведяном. Роу Р.Э. описал испытания модели оболочки в масштабе 1:10 (1,45x1,45м, толщина 0,64см) в форме эллиптического параболоида. Эта модель представляла собою часть покрытия гаража в г. Линкольне. Модель пологой оболочки для покрытия птичьего рынка в Смитфилде использовалась в первую очередь для получения характеристик местной потери устойчивости (Ahm Р., Perry E.J. and Jones L.L., Base L.D). Оболочка имеет размеры в плане 68,6x40м и стрелу подъема 9,1м. Модель изготовлялась в масштабе 1:12 (5,22x3,25м). Г. Франс описал испытания моделей оболочек толщиной Змм из нескольких слоев стекловолокна и тиксотропной эпоксидной смолы.

4. Собственные и вынужденные колебания оболочек Собственные колебания пологого эллиптического параболоида на эллиптическом плане рассматривались А.Т. Козловым в 1972 году. Уравнение поверхности принималось в явном виде. Для записи функционала применялся принцип Остроградского - Гамильтона, с дальнейшим использованием метода Ритца. Fan Jiashen [17] рассмотрел задачу о динамическом поведении пологой оболочки на упругом винклеровом основании при действии вертикальной нестационарной нагрузки. Предложенная им методика может быть применена для исследования поведения оболочек при сейсмической нагрузке.

5. Примеры возведенных оболочек Е. Фызи подчеркивает, что внутренний объем крытого теннисного корта в Будапеште (Венгрия) требовалось выбрать так, чтобы он лучше всего отвечал

27

условиям игры в теннис. Это привело к решению о применении покрытия в виде эллиптического параболоида. Покрытие в виде эллиптического параболоида для актового зала корпуса изящных искусств Уткалского университета в Бхубанесваре (Индия, штат Орисса) имеет размеры в плане 24,83 х 21,6 м. Толщина оболочки равна 88,9 мм и увеличивается к краям до 127 мм. Края опираются на гибкие железобетонные арки с затяжками. Оболочка над зданием ярмарки штата Оклахома в Оклахома-Сити (США) представляет собой вогнутый эллиптический параболоид размером 400x320 фут (121,9x97,54 м) в плане. Оболочка построена в 1965 году. Она запроектирована из сборного предварительно напряженного железобетона с натяжением арматуры на бетон.

Железобетонное купольное покрытие рынка «Смитфилд» в Лондоне (Англия) выполнено в форме эллиптического параболоида с размерами в плане 68x32,5 м, стрела подъема -9 м, толщина -7,5 см, в углах - 20 см. Предварительно напряженные бортовые элементы опираются на колонны. Купол забетонирован на опалубке из стандартных трапециевидных фанерных щитов одинарной кривизны.

В конкурсе архитекторов на строительство нового здания оперы, объявленном в 1954 году в Сиднее (Австралия), приняли участие 233 специалиста из 32 стран. Победителем оказался датчанин Йорг Утцон, который в первоначальном варианте предложил форму «больших парусов» в виде эллиптических параболоидов. Здание занимает площадь в 2,2 гектара, паруса крыши весят 161000 тонн и в высоту достигают 67 метров.

Знаменитый архитектор и инженер Э. Торроха говорит: «Лучшим сооружением является то, надежность которого обеспечивается главным образом за счет его формы, а не за счет прочности его материала. Последнее достигается просто, тогда как первое, наоборот, с большим трудом. В этом заключается прелесть поисков и удовлетворение от открытий». У Э. Торрохи - много последователей. Приведенный обзор исследований показывает, что эллиптический параболоид несмотря на кажущуюся простоту формы привлекает довольно большое внимание архитекторов, и как следствие, инженеров-расчетчиков. Эти оболочки, с точки зрения прочности, устойчивости и динамики, хорошо изучены. Но, как показывают последние работы, еще есть темы для дальнейших исследований. Например, Л.Н. Фомица и Л.А. Цыганенко предложили в качестве срединной поверхности железобетонной оболочки брать поверхность 4-го порядка, характерной особенностью которой является уменьшение кривизны от максимума в центре пролета до нуля в месте примыкания к бортовым элементам. Они показали, что такая оболочка по сравнению с эллиптическим параболоидом менее деформативна, а при одинаковых прогибах она выдерживает нагрузку большую в 1,84 раза.

Литература*

1. Кривошапко С. Н., Иванов В. Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности. Материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек. - М.: «Наука», 2006. - 544 с.

2. Кривошапко С.Н. Параболические оболочки вращения// Монтажные и специальные работы в строительстве. - 1999. -№ 12. - С. 5-12 (библ.: 63 назв.).

3. Степанов Ю.С., Белкин А.Е. Формообразование поверхности в форме эллиптического параболоида методом бегущего контакта// Режущие инструменты и метрологические аспекты их производства: Сб. науч. тр. - Тула: ТулГУ, 1995.

4. Хатискаци И.Е. Построение линии пересечения эллиптического параболоида и цилиндра, составляющих корпус машиностроительного изделия// Тракторы и сельскохозяйственные машины. - 2006. -№ 3. - С. 36.

5. Варвак М.Ш., Дехтяръ А.С., Шапиро А.В. Оптимальная поверхность оболочек - покрытий// Строительная механика и расчет сооружений. - 1972. - № 1. -С. 58-61 (библ.: 6 назв.).

6. Варвак П.М., Рябов А.Ф. Справочник по теории упругости. - Киев: Изд-во «Буд1вельник», 1971.-418 с.

7. Jira Josef. Analysis of a shallow elliptic paraboloid eccentrically reinforced with ribs// Acta techn. CSAV. - 1978. - 23, № 6. - P. 723-731.

8. Zmijewski Krzysztof Henryk. Zginanie sprezystej powloki w ksztalcie parabo-loidy eliptycznej podpartej na zebrach// Mech. teor. i stosow., 1980, 18, № 1. - C. 87-106 (польск., библ.: 12 назв.).

9. Fareed Adel, Dawoud R.H. Elliptical parabolic shell of equal curvatures resting on an elastic foundation// Int. Symp. "Innov. Appl. Shells and Spat. Forms", Bangalore, Nov. 21-25, 1988: Proc. Vol. 1. - Rotterdam, 1989. - P. 239-251 (библ.: 7 назв.).

10. Василенко A.T. Напряженное состояние ортотропных слоистых толстостенных пологих оболочек// Доповщ АН УРСР. - 1975. - № 6. - С. 513-516 (укр., библ.: 9 назв.).

11. Гамбарова Пиетро, Карини Аниело. Об изгибном поведении точечно-подпертых тонкостенных оболочек// Теория и экспериментальные исследования пространств, конструкций. Применение оболочек в инж. сооружениях.: Межд. конгр., М., 23-28 сент. 1985. - Т. 1. - С. 221-244.

12. Козлов А.Т. К расчету пологого эллиптического параболоида// Строительная механика: Сб. статей. - Том LXXI, Вып. 8. - М.: УДН, 1974. - С.119-133 (библ.: 11 назв.).

13. Mohraz В., Schnobich W.C. The analysis of shallow shell structures by a discrete element system// Civil Engineering Studies, Structural Research Series, №304, Univ. of Illinois, Urbano, Illinois, March, 1966.

14. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. - М.: Стройиздат, 1977. - 154 с.

15. Novak Otakar. A note on the approximative solution of thin shallow shells// Acta techn. CSAV. - 1978. - 23, № 5. - P. 557-568.

16. Апраксина Т.И. Сравнительное исследование напряженного состояния оболочки в форме эллиптического параболоида по теории пологих и непологих оболочек// Волг, инж.-стр. ин-т. - Волгоград, 1983. - 14 с. - Рук. деп. в ВИНИТИ 5 апр. 1984 г., № 1961-84Деп., библ.: 8 назв.

17. Fan Jiashen. Analytical solution of shallow shell on elastic half space under vertical seismic forces// Дичжэнь яньцзю = J. Seismol. Res. - 1990. - 13, №4. - P. 435-442 (англ., библ.: 4 назв.).

* Полный список имеющейся литературы по теме обзора, содержащий 70 наименований, может быть получен у автора.