Уравнение свёртки на вещественной прямой в пространстве функций, суммируемых с экспоненциальными весами. Часть 1

УДК 517.9

Уравнение свёртки на вещественной прямой в пространстве функций, суммируемых с экспоненциальными весами.

Часть 1

В. Б. Дыбин

Кафедра алгебры и дискретной математики Южный федеральный университет Б. Садовая, д. 105, Ростов-на-Дону, 344006, Россия

В этой работе (части 1 и 2) рассмотрена теория односторонней обратимости оператора свёртки на К в пространстве функций, суммируемых с экспоненциальными весами. В части 1 представлены результаты об ограниченности оператора свёртки, теорема деления в алгебре аналитических функций в полосе, связанной с рассматриваемым оператором, и критерий фредгольмовости оператора Винера-Хопфа в изучаемом пространстве.

Ключевые слова: оператор свёртки, символ, весовое пространство, фредгольмо-вость.

1. Введение

Всюду ниже под символом Е будем понимать одно из следующих пространств: ЬР(И), 1 < р < то, С0(И), С (И,). В этой работе рассматривается уравнение

V

в пространстве {а,Ь}Е функций вида

/

где а и Ь — произвольные вещественные числа, а функции /± (ж) е Е и имеют носители, сосредоточенные соответственно на полупрямых И+ = (0, +то) и И— = (0, -то). В дальнейшем для краткости пространство {о>,Ъ}е в случае Е = ЬР(И), 1 ^ р ^ то будем обозначать {а, Ъ}р. Аналогичный смысл имеют обозначения {а, Ь}с0 и {а, Ъ}с в случае пространств Е = С0(И) и Е = С (И).

Внимание к рассматриваемой задаче связано с классической работой Н. Винера и Е. Хопфа [1], в которой к аналогичному уравнению на полупрямой И+ был впервые применён метод факторизации «символа» уравнения — функции

К(х) = Л + (Ек)(г), где Е — преобразование Фурье, получивший впоследствии название метода Винера-Хопфа. Через четверть века этот метод был обобщён в работах М.Г. Крейна и И.Ц. Гохберга [2,3] на широкие классы скалярных уравнений типа свёртки в безвесовых банаховых пространствах функций и последовательностей вида Е, а в работе [3] фактически была поставлена задача развития построенной теории на пространствах функций и последовательностей, суммируемых с экспоненциальными весами.

Приведём краткий обзор основных результатов в данном направлении.

В монографии Е. Титчмарша [4], опубликованной в 1937 г. (русский перевод в 1948 г.), рассмотрены частные случаи уравнения (1) в пространствах типа {а,Ь}2, в частности, найдено общее решение однородного уравнения в пространстве {а, -а}2, а > 0. В монографии Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [5] (1978г.) уравнение (1) в числе ряда других скалярных уравнений типа свёртки решено

Статья поступила в редакцию 19 ноября 2010 г.

методом граничных задач теории аналитических функций в пространстве, связанном с пространством {а, Ь}2 при а > Ь.

Несколько раньше (1964-1971 г.г.) И.А. Фельдман построил Ф-теорию широких классов уравнений типа свёртки в пространстве {а, -о}е, а > 0, содержащих уравнение (1), вычислил индексы операторов и нашёл асимптотические разложения решений однородных уравнений (см. Добавление в монографии [6]). После этого, несмотря на то, что проблема, поставленная М.Г. Крейном и И.Ц. Гохбер-гом, оставалась нерешённой, исследования в рассматриваемом направлении фактически остановились. Как выяснилось впоследствии, причина этой остановки состояла в том, что решение рассматриваемой задачи лежало на пересечении не только построенной к тому времени так называемой эллиптической теории уравнений типа свёртки (теории уравнений с невырожденными символами) [2,3,6], но и недостаточно разработанной на тот момент неэллиптической теории этих уравнений [7] и, более того, фактически отсутствовавшей тогда теории сингулярных уравнений и уравнений типа свёртки с бесконечным индексом. Понадобилось почти три десятилетия для того, чтобы подтянулся фронт соответствующих исследований [8-12] и появились предпосылки для решения обсуждаемой задачи.

Настоящая работа была выполнена десять лет тому назад и легла в стол. Но её перспективы оказались столь обнадёживающими, что в период с 2001 по 2003 годы автору вместе со своей ученицей С.Б. Джиргаловой удалось построить конструктивную теорию обратимости (двусторонней, односторонней и обобщённой) скалярных операторов свёртки, Винера-Хопфа, парного и транспонированного парному в дискретном случае [13-15]. Эти статьи содержат решение проблемы М.Г. Крейна-И.Ц. Гохберга в дискретном варианте. Необходимость в отложенной работе появилась в последние годы и связана с возрастающим интересом выпускников Южного Федерального Университета к продолжению обучения в магистратуре и аспирантуре [16]. В связи с этим автор счёл необходимым ознакомить научную общественность с содержанием этой работы, полное изложение которой депонировано в ВИНИТИ [17].

В первой части работы рассмотрены пространства {а,Ъ}в, доказаны теоремы об ограниченности в этих пространствах оператора С(К)порождаемого левой частью уравнения (1), получена теорема деления в алгебре символов, являющихся аналитическими функциями в соответствующей полосе, и получены критерии фредгольмовости оператора Винера-Хопфа и ему двойственного оператора в пространствах Р± ({а, Ь}е).

Дискретный вариант данной задачи рассмотрен в работе [13].

2. Пространства {а, Ь}е

Пусть а,Ь G R, 1 < р < то. Через {а,Ь}Е обозначим комплексное линейное пространство функций f (х), определённых почти всюду на R и имеющих вид (2), где

J±(ж) G Е± = Р±(Е), (P±f )(х) = 2(1 ± signx)f (х).

Введём операторы Ма и Va,b,

Maf

и заметим, что оператор Va,b осуществляет алгебраический изоморфизм пространства Е на пространство {о>,Ъ}е, причём

V-,1 = M-aP+ + M-bP- = V-a,-b.

Поэтому введение в {a, Ь} е нормы

1/р

(У\}|р ёж)1 Р, 1 < Р< то,

= I R

supess\f |, р = то,

превращает его в банахово пространство, изометрически изоморфное пространству Е. Заметим, что пространства {а,Ь}с0 и {а,Ь}с являются подпространствами в пространстве {а,Ь}ж. Поэтому норма во всех трёх пространствах берётся одинаковой.

Введём следующие обозначения:

{а, то}е = П {а,у}Е, {-то,а}Е = П {у,о}е, {а} е = {а,а}Е,

уб[а,ж) уб(—Ж,а]

и рассмотрим ряд свойств пространств {о,,Ь}е.

1. Р+ {а}Е С Р+{а, то}е, Р-{а} е С Р—{-то,о,}е.

2. oi > а ^ P+{ai}E С p+{u}e, 61 < b ^ р—{ь^е С р-{ъ}е. Следствие.

г) Р+ {а} е П Р+ {а1} е = P+{min(a, a1)}E для Va, a1 G R. ii) P-{b} е П P-{b1} е = P-{max(6,&1 )}е для Vb, 61 G R.

3. {a, b}E П {a1, b1} E = {min(a, a1), max(6, b1 )}E.

n

4. У2 {aj ,bj }E = {max aj, min bj }E. j=1 j j

5. {a1, b1}е Q {a, b} E  a1 < a, b1 > b.

6. ({a,b}p)* = {-a, -b} q, q = p/(p - 1), 1 <p< то; ({a,^)* = {-a, -b}^. Доказательства свойств 1-6 опущены ввиду их элементарности.

3. Свёртка

В этом разделе даётся уточнение и обобщение двух теорем Ю.И. Черского [5, гл. IV, 12.3], выделившего достаточные условия существования свёртки функций, обладающих экспоненциальным ростом или убыванием на бесконечности. Пусть

ж

k * f = (Cf )(х) = -j= J к(х - t)f (t) dt, ж G R.

—ж

Теорема 1. Если f G {a,b}E, a < b, к G {a, ft}1, a < ft и [a,b] П [a, ft] = 0, тогда Cf G {c, d} E, где с = max(a, a), d = min(6, ft) и

№f I{c,d}E < COnS^fe^^ У/У {a,b|E .

Доказательство. Будем опираться на известную оценку (см., например, [2, лемма 6.1]) для оператора С, если к G L1(R), f G Е, то

y^IICf IIе < Цк1ШIIЕ.

В условиях теоремы а - с < 0, ft - с > 0, а - с < 0, b - с > 0, а - d < 0, b - d > 0, ft - d ^ 0, a - d ^ 0. Поэтому учитывая, что

к(х) = еаХк+(х) + е/хк—(х), к±(х) G h(R),

а f(x) имеет вид (3), используя оценку (5), получаем, что

V2^||C7\\{c,d}E = V^\\V-c-dcf \\Е

<

k+(x - t)e(a-c)(x-t) f+ (t)e(a-c)t dt

R

+

+

+

+

+

P+ k+(x - t)e(a-c)(x-t) f-(t)e(b-c)t dt

P+ J k-(x - t)e(l3-c)(x-t) f+(t)e(a-c)t dt

R

P- jk+(x - t)e(a-d)(x-t) f-(t)e(b-d)t dt

R

P- ( k— (x - t)e(l3-d)(x-t) f+(t)e(a-d)t dt

E

+

E

+

E

+

E

+

E

+

J k—(x - t)e(l3-d)(x-t) f— (t)e(b-d)t dt R

k+(x) e(a-c)x k+(x) e(a-d)x

<

E,

k+(x) e(a-c)x

f+(x)e

(a—c)x

+

E

+ +

f-(x) e(b-c)x +\ k-(x) e(P-c)x f+(x) e(a-c)x +

1 E 1 E

f-(x) e(b-d)x +\ k—(x) e(l3-d)x f+(x) e(a-d)x +

1 E 1 E

+

k— (x) e(P—d)x

f—(x)e

(b—d)x

<

< \M\i(IIи\\E+f—\hIf+\\E+\\k+ 111f—\\EIIU\\E+\\f—\\E) <

< const \\k |L • \ f\L = const WkW r • \\ f\\r , . ^ II И У WE II \\{а,Р}х IK 11{а,Ь}Е

Перейдём к общему случаю.

Теорема 2. Пусть f G {а, Ъ]е, k G {а,Р}1 и а < Ь, f > а. Тогда справедливы все утверждения теоремы 1.

Доказательство. Доказательство этой теоремы в существенной части не отличается от доказательства Ю.И. Черского [5, гл. IV, стр. 116].

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 2. Для того, чтобы C G End {а, Ъ}е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

а < min(a, b), f > max(a, b).

Доказательство. При выполнении условий (6) с = max( а, а) = а, d = min(6, f) b. Откуда по теореме 2 C G End {а, Ъ}е. Вместе с тем, если потребовать, чтобы в условиях теоремы 2 с = max^, а) = а, d = min(6, f) = b, что равносильно условиям а ^ а, f ^ Ь, то ввиду условий теоремы 2 неравенства (6) являются необходимыми для того, чтобы C G End {а, Ъ}е.

1

1

Следствие 2. В условиях теоремы 2 и следствия 1 класс { a, b }i, а = min(a, b),

b = max(a, b), является максимально широким (k G { a,b}i) для того, чтобы С G End {a, b}e.

Доказательство. В силу свойства 5 пространств {a, b} e при выполнении условия (6) {а,Ь}1 С { а,Ь}1.

Следствие 3. Пусть а < Ь, тогда С G End {а, Ь}1,

и, следовательно, {a, b}i является свёрточной коммутативной банаховой алгеброй без единицы над полем комплексных чисел.

4. Алгебра W(n^), а < b

Пусть k G {а}ь тогда определено комплексное преобразование Фурье

ж

Fzк = К

v2 к J

—ж

Действительно, функция

ж ж

К(z) = —L [ eatк(t)e—ateiх 1 dt = —L f к(t)eix 1 dt \/2ж J J

принадлежит алгебре Винера Ш(И), так как к (¿) € 1а (И).

Поскольку для к1,к2 € {а}1 и г = х + 1аР*(к1 * к2) = Р*к1  Р*к2, то множество ({а}1) образует коммутативную банахову алгебру Ш(Иа) функций, определённых на прямой Яа = = х + %а,х € И.} и представимых абсолютно сходящимся интегралом Фурье вида (7). При этом норма в алгебре Ш(Иа) определяется равенством | | К| | = | | к 11 {а}г, а алгебра Ш(Иа) изометрически изоморфна свёрточной алгебре {а}ь Заметим, что Ш(И0) = Ш(И).

Пусть теперь к € {а,Ь}1, где а < Ь. Так как для любого у € [а,Ь] е—у 1 к^) =

е(а-у)к+^) + е(Ь—у)гfc-(í) € Ь1(И), {а,Ь}1 С {у}1. Поэтому для каждой функции к € {а,Ь}1 существует комплексное преобразование Фурье К (г) = Р* к, являющееся функцией, определённой в полосе Па = € И, у € [а, 6]} и при каждом фиксированном у из [а, Ь] представимой в виде абсолютно сходящегося интеграла Фурье. При этом функция К (г) аналитическая в полосе Па = € И, у € (а, Ь)} тГь

и непрерывна в П а.

Действительно, во-первых, функция

ж ж 0

^^ = у *1 <и = -= У te(а—у)к+(г)е*х 1 У te(ь—у)гк-(*)е*х 1 <И

— ж 0 —ж

существует для любых г € Па, так как интегралы в правой части последнего равенства сходятся абсолютно для любого у € (а,Ь), а во-вторых, за счёт выбора М,М > 0,

V2^\K(z)-К(х + ш)| < J lk(t)(e-yt - e-at)l dt ^f lk (i)|(1 - e(a-y)t)dt+

-те 0

те N 1

+ У e(b-y)tlk(i)|(1 - e(y-a)t)dt < 2 + (y - a)^j lk(i)|i Je(a-y)tTdrdt+

2 — a)

00 0 0

+ У ltk(t) le(b-y)t Je(a-y)tTdr di j < 2 + 2 = e -N -1

при надлежащем выборе у. Откуда следует, что

lim К (х + iy) = К (х + ia), х G R.

у^а

Аналогично доказывается, что

lim К(х + iy) = К(х + ib), у G (a, Ь), х G R.

у^Ъ

Алгебру Fz (^{a, b}^, где z = х + iу, у G [a, b], х G R, всех функций, аналитических в Пд, непрерывных в Па и представимых в виде абсолютно сходящихся

интегралов Фурье на любой прямой Ry, у G [ a, b], обозначим через W(n^). Вводя норму \\К|| = ||кУ{а,б}1, превращаем её в коммутативную банахову алгебру, изометрически изоморфную алгебре { a, }1.

Пусть a G R, П+ = {zly > a}, Па = {zly < a}. Через W(n±) обозначим алгебры функций, аналитических соответственно в полуплоскостях П±, непрерывных

в П± и представимых в виде абсолютно сходящихся интегралов Фурье на любой прямой Ry, Ry С П±. Легко заметить, что W(n±) = F^P±({a}1)^, где y^a

и у ^ a соответственно для верхних и нижних знаков. Справедливы следующие равенства

W(n+) + W(n-) = W(Ra), W(n+) n W(n-) = {0}.

Обозначим

W

и заметим, что введение в последней алгебре нормы

\\К\\ = \\\ + К\\ = |A| + \\k\\{aMi = |A| + \\V-a,-bk\\i превращает её в банахову алгебру изоморфную алгебре

{a, b}i = {A<5(х)} + {a, 6}i,

где A G C, 5(х) — ¿-функция Дирака. Пространством максимальных идеалов алгебры W(Па) является бикомпакт Па, представляющий из себя полосу Па, компактифицированную одной бесконечно удалённой точкой, гомеоморфный плоскому кольцу, перевязанному в одной точке. Следующая теорема является стандартным следствием для алгебры W(Па) из теории коммутативных банаховых алгебр.

ходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Теорема 3. Пусть К (г) € № (Па). Для того, чтобы [К (г)} 1 € № (Па), необ-

Ы 1К

Если К (г) = Л + Е* к € № (Па) и выполнено условие (8), тогда существует функция д € {а,Ь}1 такая,, что

[К

Нашей ближайшей задачей является описание всех функций из алгебры И'(Па), для которых условие (8) нарушается только во внутренних точках полосы Па, то есть тех функций из алгебры И'(Па), для которых выполнено условие

гп/ \К

*€дПъа

Прежде всего заметим, что функция К (г), принадлежащая алгебре № (Па) и удовлетворяющая условию (10), будучи аналитической в полосе Па, не может в ней иметь ни нулей бесконечного порядка, ни бесконечного числа нулей. В последнем случае при нарушении отмеченного условия множество нулей этой функции

будет иметь предельную точку на границе бикомпакта П а, что приводит к нарушению условия (10). Следовательно, при выполнении условия (10) функция

К(£) либо не обращается в Па в нуль, либо имеет вырождение полиномиального характера, то есть существует конечное множество {г^ }ш[=1 С Пъа такое, что

ш

к (*) = п ^ - ъ г ад,

3=1

где пз € К, а функция С(х) является аналитической в Па и С(х) = 0, г € Па.

Имеет место следующий аналог теоремы деления Ф. Рисса в пространстве И [18, гл.11, теорема 2.3] для алгебры №(Па).

Теорема 4. Пусть К (г) € № (Па), выполнено условие (10) и К (^) = 0, ] €

ш

1,т, гз € Па. Тогда найдутся такие натуральные числа п^€ 1,т, п = ^ П3,

=1

что для любой точки х0,х0 € Па,

К

где

П

Доказательству теоремы 4 предшествует следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть а < Ь, / € {а, Ь}1, Р(х) = Рг/, хо € П^. Тогда оператор

Т — Ж

ограничен в пространстве {а, Ь}1, а

Р

Доказательство. Из равенства (13) следует, что

е~1х°г = е-™о1+Уо1 = е(у0+£)ге +1x01 е+£1 + е(у°+Ф е1£* € {у0 + е, у0 - е}1 для любого £ > 0. Так так

/+ € {а, ж}1, /-€{-<х>, Ь}1, е+го4 = Р+е€{у0 + £, <х>}и

0

то выполнено условие существования свёрток в равенстве (15) и по теореме 1 * /+(1) € {а, Уо -е}и е+*/-(1 ) € {Уо + £, Ъ}ъ

Но тогда из равенства (15) следует, что М/ € {а, Ь}1. Переходя к доказательству равенства (14), получаем, что для г = х + г у € П

е~_гхо1 = Р-е~гго1 €{-<х>, Уо -е}ъ Уо € [а, Ь],

Р (г) — Р (го) _ 1 Г, илеш- — г

ОО

. — «о --т! ^-7-ютЛ = т^УтлЧ=

—Ж — Ж о

СЮ СЮ 0 Т

г ' е}гтёт[еТ"0Т !' е}гоТ/(¿) ё£) - -= /ёт(е""0Т ¡'е^0Т/(¿) ё).

0 т — Ж — Ж

При этом проведённая перемена порядка интегрирования обеспечивается абсолютной сходимостью повторных интегралов, вытекающей из следующих оценок,

Р

г — го

< У Iише(а~Уо)11 е(У—Уо)тётё£+

о о

0 т Ж

+ [|/~(<)|е(ъ~Уо)1 [е(у—у0)тётЫ < [ |/(¿)| ё,

так как при о € ( а, ), € [ а, ] и > 0

{¿е( а-уо)1, при Уо ^у^ Ь,

1е(а-у)ь, при а < у < Уо,

—1—, при у = а, Уо — а' Р У

Т

Т

а при Ь < 0

1

пРи У = ь,

е(Ь—уо)' Iе(у0—у)тёт ^ -у)г, при У0 < у < Ь,

-ге(ъ—уо)г, при а < у < У0.

Доказательство. Доказательство теоремы 4 достаточно провести в случае

ного нуля Л = -К ы

одного нуля г = 21. Пусть К (г) = Л + К (г) € № (Па), ^ € Па и К (¿л) = 0. Тогда

~ .г-^ (^ - ^){К(г) ~КЫ) .г-^-К (г) = К (г) - К (¿1) = ^-Ь-= ^ ОД, где

4 ' 4 ' 4 ' г — го г — г1 г — го

(г1 -г 0)( К ( г) - К(

ОД = ( К (г) - К (^1) + ^--^ ) € ^ (П а),

так как в силу утверждения 1

€* (Па).

5. Оператор Винера—Хопфа

Наряду с оператором

ж

с

символ которого имеет вид

2и _

— ОО

ж

К

\/2тТ }

будем рассматривать оператор Винера-Хопфа Ш+(К) в пространстве Р+{а,Ъ} е и двойственный ему оператор Ш—(К) в пространстве Р—{а,Ь}Е,

Ж±

Теория операторов Ш± (К) является более простой по сравнению с теорией

оператора С (К), поскольку операторы Ш±(К) подобны классическому оператору Винера-Хопфа в пространстве Р+Е.

Введём инволюцию //(ж) = f (-х), х € И, и отметим следующие её свойства,

——у / \ ——у п ——✓ ——✓ П ——✓ П ——✓ ——✓ П

I [{а,Ь}Е) = {-Ь, -а}Е ,1С

Теорема 5. Пусть К(z) е W(П). Тогда W±(K) е EndP±{a,b}E и

M-aW+

где Кa(z) = К(z + ia) е W(П аа-a), W+(Kа) е EndР+Е,

M-bW-

где Кb(z) = К(z + ib) е W(П a-\), W- (Кь) е End Р-Е.

Доказательство. Доказательство теоремы сводится к элементарному применению формул (19) к операторам С (К) вида (16) и W±(K) вида (18).

Теорема 6. Пусть К(z) е W(Пa). 1) Для того, чтобы оператор W+(K) вида (18) был Ф — оператором в пространстве Р+{а,Ь} E, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

К

При выполнении этого условия ind W+(K) = — ind К(z).

zeRa

2) Для того, чтобы оператор W-(K) вида (18) был Ф-оператором в пространстве Р-{а,Ь}e, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

К

При выполнении этого условия ind W-(K) = — ind К(z).

zeRb

Доказательство. Справедливость первой части этой теоремы вытекает из

равенства (20) и соответствующих результатов для оператора W+(Ka) в пространстве Р+Е ( [6, гл. I, § 8]. Справедливость второй части теоремы является

следствием операторного равенства W-(K) = IW+( IK) I.

6. Заключение

Представленные выше результаты составляют базу для построения теории фредгольмовости (односторонней обратимости) рассматриваемого здесь оператора свёртки. Эта теория будет изложена в части 2, в которой будут также предъявлены конструкции обратных операторов и описаны дефектные подпространства.

Литература

1. Wiener N., Hopf E. Über eine Klasse singularer Integralgleichungen // Sitz. Acad. Wiss. Berlin. — 1931. — Pp. 696-706.

2. Krein M. G. Integral Equations on the Half-Line with a Kernel Depending on the Difference of the Arguments. — 1962. — Vol. 2, No 22. — Pp. 163-288.

3. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Парное интегральное уравнение и его транспонированное // Теоретическая и прикладная математика. — 1958. — № 1. —

С. 58-81. [Gokhberg I. C., Kreyjn M. G. Parnoe integraljnoe uravnenie i ego transponirovannoe // Teoreticheskaya i prikladnaya matematika. — 1958. — No 1. — S. 58-81.]

4. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.-Л.: Гостехиздат, 1948. [Titchmarsh E. Vvedenie v teoriyu integralov Furje. — M.-L.: Gostekhizdat, 1948.]

5. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свёртки. — М.: Наука, 1978. — 296 с. [Gakhov F. D., Cherskiyj Yu. I. Uravneniya tipa svyortki. — M.: Nauka, 1978. — 296 s.]

6. Gohberg I., Feldman I. A. Convolution Equations and Projection Methods for Their Solution. Translations of Mathematical Monographs. — Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1974. — Vol. 41.

7. Prossdorf S. Einige Klassen Singularer Gleichungen. — Birkhauser, Basel and Stuttgart, 1974.

8. Дыбин В. Б. Корректные задачи для сингулярных интегральных уравнений. — Ростов на Дону: Изд. РГУ, 1988. — 160 с. [Dihbin V. B. Korrektnihe zadachi dlya singulyarnihkh integraljnihkh uravneniyj. — Rostov na Donu: Izd. RGU, 1988. — 160 s.]

9. Dybin V. B. One-Dimensional Singular Integral Equations with Coefficients that Vanish on Countable Sets // Math. USSR-Izv. — 1988. — Vol. 31, No 2. — Pp. 245271. — Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. — Vol. 51, № 5. — 1987. — Pp. 936-961 (Russian).

10. Dybin V. B. The Wiener-Hopf Equation and the Blaschke Product // Math. USSR-Sb. — 1991. — Vol. 70, No 1. — Pp. 205-230. — Mat. Sb. — Vol. 181, № 6. — 1990. — Pp. 779-803 (Russian).

11. Пасенчук А. Э. Абстрактные сингулярные операторы. — Новочеркасск: Изд. НПИ, 1993. — 216 с. [Pasenchuk A. Eh. Abstraktnihe singulyarnihe operatorih. — Novocherkassk: Izd. NPI, 1993. — 216 s.]

12. Dybin V. B, Grudsky S. M. Introduction to the Theory of Toeplitz Operators with Infinite Index // Operator Theory: Advances and Applications. — 137. BaselBoston-Berlin: Birkhauser, 2002. — No 137. — 312 p.

13. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Оператор дискретной свёртки в пространстве {а,Р}р, 1 < р < то // Известия вузов, Северо-Кавказский регион, Ест. науки, Приложение. — 2003. — № 9. — С. 3-16. [Dihbin V. B, Dzhirgalova S. B. Operator diskretnoyj svyortki v prostranstve {а,Р}р, 1 < p < то // Izvestiya vuzov, Severo-Kavkazskiyj region, Est. nauki, Prilozhenie. — 2003. — No 9. — S. 3-16.]

14. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Скалярные составные дискретные свёртки в пространстве {а,Р}р, 1 < р < то. Односторонняя обратимость // Известия вузов, Северо-Кавказский регион, Ест. науки, Спецвыпуск, Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. — 2005. — С. 56-63. [Dihbin V. B., Dzhirgalova S. B. Skalyarnihe sostavnihe diskretnihe svyortki v prostranstve {а,Р}р, 1 < p < то. Odnostoronnyaya obratimostj // Izvestiya vuzov, Severo-Kavkazskiyj region, Est. nauki, Specvihpusk, Psevdodifferencialjnihe uravneniya i nekotorihe problemih matematicheskoyj fiziki. — 2005. — S. 56-63.]

15. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Составные дискретные свёртки в пространстве {а,Р}р, 1 < р < то, Часть 2 // РГУ Ростов-на-Дону, Деп. в ВИНИТИ 12.11.03. — 2003. — № 49. [Dihbin V. B, Dzhirgalova S. B. Sostavnihe diskretnihe svyortki v prostranstve {а,Р}р, 1 < p < то, Chastj 2 // RGU Rostov-na-Donu, Dep. v VINITI 12.11.03. — 2003. — No 49.]

16. Дыбин В. Б., Бредихин И. Н. Об одном разностном уравнении в пространстве {а, Ь} р, 1 < р < то // ЮФУ-Ростов-на-Дону, Деп. в ВИНИТИ 10.06.10. — 2010. — № 357-В2010. [Dihbin V. B., Bredikhin I. N. Ob odnom raznostnom uravnenii v prostranstve {а, Ь}р, 1 < p < то // YuFU-Rostov-na-Donu, Dep. v

VINITI 10.06.10. — 2010. — No 357-V2010.]

17. Дыбин В. Б. Уравнение свёртки на вещественной прямой в пространстве функций, суммируемых с экспоненциальными весами // ЮФУ-Ростов-на-Дону-Деп. в ВИНИТИ 19.01.10. — 2010. — № 12-В2010. [Dihbm V. B. Uravnenie svyortki na vethestvennoyj pryamoyj v prostranstve funkciyj, summiruemihkh s ehksponencialjnihmi vesami // YuFU-Rostov-na-Donu-Dep. v VINITI 19.01.10. — 2010. — No 12-V2010.]

18. Garnett J. Bounded Analytic Functions. Pure and Applied Mathematics. — New York and London: Academic Press, Inc., 1981. — Vol. 96.

UDC 517.9

The Convolution Type Equation on R in Space of Functions those are Summed with Exponential Weights. Part 1

V. B. Dybin

Chair Algebra and Disscrete Mathematics Southern Federal University 105/42, Bolshaya Sadovaya Str., Rostov-on-Don, 344006, Russia

In this paper (parts 1 and 2) the theory of one-sided invertibility of the convolution operator on R in space of functions those are summed with exponential weights is considered. In part 1 we present results on the boundedness of the convolution operator, the division theorem in the algebra of the analytic functions in the band and a Fredholm problem for Wiener-Hopf operator in studying space.

Key words and phrases: convolution operator, symbol, weight space, Fredholm property.