К теореме направленности

УДК 510.22

Г.Г. ПЕСТОВ, С.Р. ХУСАЙНОВА

К ТЕОРЕМЕ НАПРАВЛЕННОСТИ

Установлены точные условия, при которых в модели нестандартного анализа Робинсона-Закона выполнен принцип направленности для всех направленных отношений, определенных на данном множестве, а также выяснены условия выполнения принципа направленности для всех направленных отношений в данной суперструктуре.

1. Фильтры и направленные отношения

В этой статье мы придерживаемся теоретико-множественной модели Робинсона-Закона [1]. Несмотря на разработку различных версий нестандартного анализа [2, 3], эта модель остается удобным орудием исследования в различных областях математики [4].

В модели Робинсона-Закона принцип направленности играет существенную роль, аналогичную роли аксиомы идеализации в теории внутренних множеств Нельсона [5]. Нашей целью является формулировка и доказательство необходимых и достаточных условий выполнения принципа направленности (в слабой форме) в модели Робинсона-Закона дня всех направленных отношений, определенных на заданном множестве, а также необходимых и достаточных условий выполнения принципа направленности для всех направленных отношений в данной суперструктуре. Подробное обсуждение принципа направленности, как и других принципов нестандартного анализа содержится в

[2]. Мы лишь бегло перечислим используемые нами обозначения, относящиеся к рассматриваемой модели.

Пусть S есть бесконечное множество. Положим:

Vo (sy=s,...,v^ (S)=vn (sVP(y. (5)),

K(S) = IK(S)-

n=\

Будем называть V^S) n-м этажем суперструктуры V(S).

Пусть F есть свободный ультрафильтр (будем называть его базисным фильтром). Для каждого л натурального через *V„(S) обозначим ультрастепень множества Vn(S) по F. Наконец, обозначим:

*K(S)=0*K„(S).

Множество * V£S) назовем л-м этажом универсума * V(S).

Пусть Ае K(s), Нх, у) есть ^-направленное бинарное отношение на АхА. Тогда г следующим образом порождает фильтр на А. Для каждого хеА определим множество Ах={уеА | г(х, у)}. Нетрудно видеть, что это семейство центр ированно, и, следовательно, порождает некоторый фильтр над А. Обозначим этот фильтр через Fr Фильтр F над множеством Т называется а-регулярньгм, если существует такое подмножество £с£, что каждое te Т принадлежит лишь конечному числу множеств ееЕ, и мощность Е равна а [6].

Теорема 1.1. Пусть А - множество мощности а. Тогда на АхЛ существует Л-направленное отношение го, такое что порожденный этим отношением фильтр а-регулярен.

Доказательство. Обозначим через В множество всех конечных подмножеств множества А. Пусть теВ. Положим: B-r{t| тс/}. Множество £={£, |теВ} центрировано, поэтому оно порождает некоторый фильтр Sa(B). С другой

стороны, для каждого беВ имеем ОеВ, если, и только если тсб. Следовательно, 6eBt лишь для конечного числа множеств В,. Наконец, мощность Е равна а, поэтому фильтр 5Ю(В) а-регулярен.

Зададим на А бинарное отношение г0.

Множество В равномощно А. Рассмотрим биекцию Ф:В-*А. Для х,уеА положим:

го(*. У)г 1 оф(д:)сф(у).

Нетрудно видеть, что отношение г0 центрировано. Фильтр F^, индуцированный этим отношением, являет-

ся образом фильтра Sm(B), следовательно, а-регулярен.

Введем в классе фильтров отношение порядка по Рудину-Кейслеру. Пусть фильтры F и Ф заданы на А и В соответственно. Говорят, что F тоньше Ф, F<Ф, если существует такое отображение *Р^->В, что для каждого £еФ имеем 'irl(E)eF.

Определение 1.1. Пусть A, Be V(S), г есть бинарное В-направленное отношение на АхВ. Будем говорить, что принцип направленности выполнен для отношения г, если существует такое уо£*В, что для всех хеА имеем: *г(*х,уо)=1-

Замечание. Каждому отношению г, определенному на АхВ, сопоставим отношение р, определенное на СхС, где C=A\JB. Положим

к*.и-{р

(хе А,уеВ), (х е Av у е В).

Легко видеть, что В-направленности отношения г эквивалентна С-направленность отношения р. В то же время, принцип направленности выполнен для р тогда и только тогда, когда он выполнен для г В дальнейшем мы рассматриваем только направленные отношения, заданные на декартовом квадрате, ^-направленное отношение, заданное наАхА, будем называть просто направленным.

Теорема 1.2. Пусть F есть свободный ультрафильтр над множеством Т* К(5) есть ограниченная ультрастепень суперструктуры V(S) по ультрафильтру F', г есть направленное бинарное отношение на множестве АхА. Тогда для выполнения принципа направленности для г необходимо и достаточно, чтобы F?-Fr Доказательство.

а) Достаточность. Пусть F>Fr. Это означает, что существует сюръекция ф:Т-*А такая, что

VBeFR

Обозначим класс эквивалентности по фильтру F, содержащий ф, через <р. По определению внутренне-

го универсума *V(S), имеем ф е *V(S). Погажем, что для всех хеА имеет место *r(х*, ф) = 1.

Действительно,

*г(дс*,ф) = 1 о {/ е Г| r(xMt)) = \}eF. (2) По определению г(х, ф(/))=1<»ф(/)еАх. Поэтому

60

*r(*x,<p)=lo{ ГеТ|ф(г)еЛг }eFo

Оф-'К)^.

Так как по построению Fy, AxeFy, то, в силу (1) <р~l(AxeF). Поэтому из (2) и (3) следует: *г(х*, ф) = 1.

б) Необходимость. Пусть принцип направленности для г имеет место, т.е. существует уо^*А такое, что г(*х, у0)=1 для всех хеА. Выберем в классе эквивалентности у0 некоторую функцию q>:T-*A.

Пусть хеА. Имеем: {te т\ г(х, ф(/))= 1} eF.

Далее:

ф-'(^)={/б ТI ф(0еЛ,}={/€ Т\г{х, Ф(0)=1} eF.

Итак, для всех хеА имеем ф \AJeF. Т.к. фильтр Fy порожден семейством {Ах\хеА}, то и для каждого AeFy имеем: y'{A)eF, а это и означает, что fWy

2. Выполнение

принципа направленности для отношений, определенных на данном множестве

Теорема 2.1. Пусть А е К(5), card(/4)=a. Тогда для того чтобы для каждого направленного отношения, определенного на А, выполнялся принцип направленности, необходимо и достаточно, чтобы основной ультрафильтр F был а-регулярен.

Доказательство.

а) Необходимость. Пусть принцип направленности выполняется для всех направленных отношений, определенных на АхА.

Пусть 0 есть множество всех конечных подмножеств множества А. Так как мощность 0 равна мощности А, то существует биекция ф:Л->0.

Зададим на АхА бинарное отношение г0(х, у)= =(<р(х)с(р(у)). Это отношение - направленное.

i

В самом деле, пустьхь...,х*б/4. Множество Д = Уф

/=!

есть конечное подмножество множества А, следовательно, Вед. Положим у1=ф"'(В). Теперь г0(х,^|)=1 для всех 1 <i<k.

По теореме 1.1 существует такое бинарное отношение го, определенное на АхА, что фильтр Fro a-регулярен. В силу теоремы 1.2 принцип направленности для г0 выполнен тогда и только тогда, когда F> F . Поскольку F^ a-регулярен, то и Fa-регулярен.

б) Достаточность Пусть F a-регулярен, г - направленное отношение, заданное на A, csrAdA=a. Покажем, что принцип направленности д ля г выполнен.

Так как фильтр F a-регулярен, то найдется такое £cF, card£=a, и каждое / из Е принадлежит лишь конечному числу множеств из Е. Множества Е и А равномощны, поэтому существует биекция ф:Е-*А. Зададим на индексном множестве I функцию у0 следующим образом. Пусть iel. По построению Е существует лишь конечное множество таких еь .... е* из Е, которые содержат /. Обозначим: х7=ф(е;), 1 <j<k

В силу направленности г, существует непустое множество Ah такое что из yeAt следует: Нх„ у)=1 для 1</^А. Таким образом, имеется множество непустых мно-

жеств {А,},е]. По аксиоме выбора, выберем в каждом из этих множеств Ai элементу,.

Положим: уо(1)=у,- Обозначим через у0 тот класс эквивалентности по фильтру F, который содержит у0-

Пусть х0еА. Имеем:

(R(*Xо, Т0)=1)«

о{/е/1 R

С другой стороны,

{/е/|г(*хо(/),уо(0)=1}=

={/€/1 R

Но ф_1(^о)е£, значит, ф \x0)eF. Поэтому, в силу (4), (5), *г(*х0, у0 )=1, что и требовалось.

3. Достаточное условие регулярности фильтра

Теорема 3.1. Пусть {а, |ге7} есть множество кардиналов, такое что:

1) в этом множестве нет наибольшего кардинала;

2) cardFca, где a=supa,;

itT

3) фильтр F при всех te Т а,-регулярен.

Тогда фильтр F а-регулярен.

Доказательство. В условиях теоремы найдется такое те Г, что cardr<a,. Так как F а,-регулярен, то он и cardT-регулярен. Обозначим множество, на котором задан фильтр F, через /.

Существует такое множество H<zF, H{h, \ te Т), что каждое iel принадлежит лишь конечному числу множеств из Н.

Точно так же, для каждого teT существует такое множество EfzF, что card£,=a, и каждое iel принадлежит лишь конечному числу множеств из £,. Рассмотрим множество £={епА | Эte T{eeEt, h=h,)}.

Имеем: card£=a и £cF, поскольку каждое множество из £ есть пересечение двух множеств из F.

Пусть iel. По определению Н существует конечное число множеств А,( , которым принадлежит/.

В свою очередь, при каждом tj в Etj существует лишь конечное число множеств е;1 , содержащих/.По-

этому х принадлежит лишь множествам Atjr\ejs, где

1</<£, и при каждом j выполнено неравенство l<s<Jr

Итак, / принадлежит конечному числу множеств из £, следовательно, фильтр F а-регулярен.

4. Условие выполнимости принципа направленности

Теорема 4.1. Пусть * V(S) есть ограниченная ультрастепень суперструктуры S по ультрафильтру F и cardP(5)=a. Тогда принцип направленности выполнен в *V(S) для всех направленных отношений из V(S), если и только если ультрафильтр Fa-регулярен.

Доказательство, а) Необходимость. Пусть принцип направленности выполнен для каждого направленного отношения из V(S). Обозначим a„=cardK„(£), где VJ.S) есть л-й этаж суперструктуры ИЗ), a=supa „. По теореме 1.1 суще-

neN

ствует такое направленное отношение г„ на VJ.S), что ин-

61

Аудированный им фильтр Fr< является а„-регулярным.

Так как принцип направленности выполнен для каждого направленного отношения на Vj[S), то, по теореме 1.2 F >- F^ F а„-регулярен для всех neN. a=cardV(S)=

=supa„ и по теореме 3.1 Fявляется а-регулярным.

N

б) Достаточность. Пусть ультрафильтр F а-регу-лярен, А е K(S), г - бинарное направленное отношение на АхА. Из a-регулярности F следует, что F является и саг(14-регулярным. По теореме 2.1 заключаем, что для отношения г выполнен принцип направленности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Robiruon A. and Zakon Е. A set-theoretical characterization of enlargements, in 'Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability / W. A. J. Luxemburg (ed.), Holt, Rinehart and Winstone (New York, 1969), P. 109-122.

2. Кусраев А.Г., Кутателадзе C.C. Нестандартные методы анализа. Новосибирск Наука, 1990.

3. Mattes J. Axiomatic approaches to nonstandard analysis. Jahrbuch der Kurt Gudel Geselschaft 1992,61-79.

4. Альбеверио С, Фенстад Й, Хеэг-Крон, Линдстрем T. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир, 1990.

5. Nelson Е. Internal set theory. A new approach to nonstandard analysis Bull. Amer. Math. Soc. 1977. V. 83, №. 6, P. 1165-1198.

6. Chang C.C. and Keisler H.G. Model theory, 3rd edn. North-Holland, Amsterdam, 1990.

Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 10 декабря 1999 г.

62