Моделирование кинетики самозалечивания трещин

УДК 539.421

Моделирование кинетики самозалечивания трещин

М.Н. Перельмутер

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия

Модель трещины с концевой областью на границе соединения различных материалов и кинетическая теория формирования молекулярных связей используются для оценки эффективности самозалечивания трещин в композиционных материалах. В модели трещины со связями в концевой области полагается, что усилия, препятствующие раскрытию трещины, снижают коэффициенты интенсивности напряжений, но сингулярность напряжений в вершине трещины сохраняется. Указаны основные этапы в процессе самозалечивания трещины: 1) формирование и рост дефектов/трещин под воздействием внешних нагрузок; 2) активация механизма самозалечивания; 3) самозалечивание дефектов/трещин с частичным или полным восстановлением связей между поверхностями трещин. Цель моделирования процесса самозалечивания состоит в определении усилий в связях в процессе формирования концевой области трещины и вычислении коэффициентов интенсивности напряжений, которые являются основными характеристиками эффективности самозалечивания трещины. Указанные параметры определяются численно из решения системы сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Для оценки времени регенерации связей при формировании концевой области трещины используется кинетическая модель. Приведены результаты анализа процесса самозалечивания трещины на границе соединения материалов с адгезионным слоем с эффектом самозалечивания.

Ключевые слова: самозалечивание, трещины, концевая область, деструкция и восстановление связей, соединение материалов, коэффициенты интенсивности напряжений DOI 10.24411/1683-805X-2019-14005

Modeling of the self-healing kinetics of cracks

M.N. Perelmuter

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia

The crack self-healing efficiency in composite materials is evaluated using a model of a crack with a bridged zone at the interface between different materials and the kinetic theory of molecular bond formation. The bridged model of a crack assumes that the forces preventing crack opening reduce the stress intensity factors, but the stress singularity at the crack tip is preserved. The main crack self-healing stages are indicated: 1) defect/crack initiation and growth under external loads, 2) activation of the self-healing mechanism, and 3) self-healing of defects/cracks with partial or full restoration of bonds between the crack surfaces. The modeling of the self-healing process is aimed to determine the bonding forces during the bridged zone formation and to calculate the stress intensity factors, which are considered as the major determinants of the crack self-healing efficiency. These parameters are determined numerically by solving a system of singular integro-differential equations. The time of bond restoration during the bridged zone formation is estimated using a kinetic model. The crack self-healing process at the interface between different materials and an adhesive layer with the self-healing effect is analyzed.

Keywords: self-healing, cracks, bridged zone, destruction and restoration of bonds, material interface, stress intensity factors

1. Введение

В последние десятилетия ведутся (инициированные самовосстановлением тканей в живой природе) разработка и изучение материалов, обладающих свойством самозалечивания (автономно восстанавливающих начальные свойства при возникновении в них дефектов и трещин) [1-3]. Самозалечивание материалов особенно

важно, когда вмешательство человека затруднено при удаленной эксплуатации изделия или при экстремальных условиях эксплуатации, а также при предотвращении разрушений в недоступных частях конструкций и внутри материала. Наибольший эффект самозалечивания проявляется на начальной стадии формирования трещин, на микро- и наноуровнях.

© Перельмутер М.Н., 2019

Механизмы процессов самозалечивания зависят от типа материала. В природе понижение температуры может приводить к изменению агрегатного состояния вещества и восстановлению сплошности (залечиванию) материала (лед, например, [4]). В полимерных материалах самозалечивание трещин может происходить при соответствующих внешних воздействиях (преимущественно, нагреве), активизирующих химические или физические процессы [5]. Разработаны также композиционные материалы, содержащие специальные капсулы с «залечивающей жидкостью» (циклопентадиеном [6]) и микрокапсулы катализирующего вещества. Если в материале возникает трещина, то, распространяясь, она разрушает стенки капсулы и захватывает микрокапсулы катализатора. Происходит реакция полимеризации цик-лопентадиена, которая приводит к его затвердеванию. Другой вариант самовосстановления композиционных материалов основан на внедрении в материал системы полых волокон (по аналогии с сосудистой системой живых организмов), содержащих специальный реагент [7]. В композитах процесс самовосстановления может также инициироваться подкрепляющими волокнами с памятью формы [8]. Высокую эффективность показывает методика внедрения нанотрубок в полимерный композитный материал, который становится электропроводным. По изменению электропроводности системы нанотрубок можно определить место образования дефекта и обеспечить его самовосстановление за счет локального нагрева при пропускании электрического тока [9]. Нанотрубки, внедренные в полимерную матрицу, могут также содержать ««залечивающую жидкость». В этом случае они являются одновременно подкрепляющими волокнами, образующими нанокомпозит, и обеспечивают восстановление материала при возникновении трещины [10]. В последние годы большое внимание уделяется разработке керамических самовосстанавливающихся материалов. Для активизации процесса самовосстановления в керамических материалах используются высокотемпературные реакции окисления, а также процессы диффузии и фазовые превращения. Образующиеся в результате продукты заполняют трещину и приводят к смыканию ее поверхностей [11, 12]. Самозалечивание в металлах может быть основано на диффузии специальных примесей. Ввиду низкого коэффициента диффузии, более сильной связи атомов и высокой температуры плавления металлов, эти процессы также протекают при высокой температуре [13]. Возможно также создание в металлическом изделии (например лопатке турбины) специальных микроканалов с залечивающим материалом (это, как правило, сплав с низкой температурой плавления), который заполняет трещину при разрыве [14]. Для самовосстановления строительных материалов (в первую очередь бетонов) используются как методы, аналогичные рас-

смотренным выше для полимеров и металлов, так и специфические методы, основанные на применении специальных бактерий [15, 16]. Важным направлением является также разработка термостойких и антикоррозионных покрытий, обладающих свойством самозалечивания трещин [17].

Экспериментальное изучение процессов самозалечивания материалов (как искусственных, так и природных и биологических материалов) может быть чрезвычайно длительным и трудоемким. Моделирование этих процессов позволяет дополнить экспериментальные исследования и заполнить пробелы в эксперименте. Проблемы, связанные с моделированием процессов самозалечивания материалов, являются многопрофильными и сопряженными, включают как физико-химические, технологические, так и механические задачи. Важным направлением является развитие моделей кинетики восстановления связей и оценки времени восстановления работоспособности материала и его времени «жизни» после восстановления в зависимости от температуры процесса восстановления и условий эксплуатации.

Можно выделить три основных этапа в процессе самозалечивания дефектов и трещин при восстановлении работоспособности материалов:

1) формирование и рост дефектов/трещин под действием внешней нагрузки и агрессивных сред в ослабленных областях материала и зонах высокой концентрации напряжений;

2) инициирование процесса самозалечивания при внешнем воздействии и/или внедрении в дефект/трещину залечивающего агента;

3) самозалечивание дефекта (восстановление связей между берегами трещины), приводящее к восстановлению (частичному или полному) несущей способности материала или изделия.

Экспериментальные исследования выполнены для широкого круга указанных проблем [1, 10, 18], но механико-математические модели и расчетные методики только начинают развиваться [19-25].

В данной работе для анализа указанных выше этапов формирования и самозалечивания трещин и решения возникающих при этом задач используется модель, основанная на объединении кинетической термофлуктуа-ционной теории и модели концевой области трещины, позволяющая при анализе формирования-самозалечивания трещины соединить подходы механики, физики и химии.

2. Модель трещины со связями в концевой области

Рассмотрим прямолинейную трещину длины 21, расположенную на границе |х| < I, у = 0 (рис. 1) соедине-

* 1 «

Ць VI й У{ й

X

21

V2

Рис. 1. Трещина со связями в концевой области на границе соединения материалов

ния двух полуплоскостей из различных материалов (модель трещины в композите). На удаленной границе области приложены равномерно распределенные нормальные к плоскости трещины напряжения о0(г) = = а(г) а0, где — безразмерная функция времени. Выделим части трещины длины й1 = й2 = й (концевые области трещины, одинаковые при растяжении [26, 27]), примыкающие к ее вершинам (I - й < | х | < I, у = 0), в которых берега трещины взаимодействуют. Размер области взаимодействия является, ввиду возможности распада или восстановления связей, функцией времени d = d(t). Полагаем, что в каждый момент времени закон деформирования связей, в общем случае нелинейный, задан.

При действии внешних нормальных нагрузок в связях, соединяющих берега трещины в концевой области, возникают усилия Q(x, 0, имеющие нормальную ду (х, г) и касательную дх (х, г) составляющие (аналогичные обозначения приняты для всех функций, относящихся к границе раздела материалов):

Q

Ввиду возможного изменения свойств связей во времени усилия ду,х (х, г) являются функцией времени даже при постоянной внешней нагрузке. К берегам трещины приложены нормальные и касательные напряжения, численно равные нормальным и касательным усилиям соответственно.

При учете принципа суперпозиции граничные условия на берегах трещины для плоской задачи теории упругости запишем в виде [26, 27]

оуу (х, г) - ¡оху (х, г) = -о0(г), | х | < I - й(г),

Оуу

= (-00 (г) + ду (х, г)) - ¡дх (х, г), I - й(г) < | х| < I.

Раскрытие трещины, расположенной на границе между двумя различными материалами, можно, ввиду линейности задачи, представить в форме

и

Рис. 2. Связи между поверхностями трещины в концевой области

и (х, г) = и(х, г) + uQ (х, г), и (х, г) = иу (х, г) - ¡их (х, г),

и^(x, г) = и^ у(x, г) - ¡и^ х(х, г),

uQ (х, г) = иоу (х, г) - ¡иох (х, г),

где их (х, г) и иу (х, г) — проекции раскрытия трещины на оси координат ОХ и ОУ (рис. 2); и(х, г) — раскрытие трещины от действия напряжений -о0 (г) на берегах трещины; UQ (х, г) — раскрытие (смыкание) трещины, обусловленное напряжениями на берегах трещины в концевой области, возникающими при действии внешних нагрузок.

Уравнения (1)-(3) необходимо дополнить соотношением, связывающим компоненты раскрытия трещины и усилия в связях, которое представим в форме квазилинейной зависимости [26, 27] иу (х, г) - ¡их (х, г) = с( х, г, о) х

X

С (х, г, о) = у (х, г, о) И/Еъ,

где о = ^д2(х, г) + д^ (х, г) — модуль вектора усилий в связях; функция с(х, г, о) — эффективная податливость квазилинейных связей, зависящая от положения связи вдоль концевой области, натяжения связи и времени; у(х, г, о) — безразмерная функция, определяющая зависимость податливости связей от координаты, натяжения и времени; Н — линейный размер, пропорциональный толщине зоны неоднородности на участке соединения материалов; Еъ — эффективный модуль упругости связей.

Изменение эффективных податливостей связей во времени обусловлено термофлуктуационным разрывом

или восстановлением связей под действием внешних нагрузок.

Усилия в связях qy х (х, 1) подлежат определению из решения задачи при заданной внешней нагрузке ст0 (1) и известном законе деформирования связей. Размер концевой области d(t) не предполагается малым по сравнению с длиной трещины, и вид функций ду х (х, 1) зависит как от принятого закона деформирования связей, так и от размера концевой области.

Получим, следуя работе [27], исходя из первого выражения в (3), уравнение для определения усилий в связях Q(x, ^ в концевой области трещины. Так как рассматривается квазистатическая задача, то компоненты раскрытия трещины и^ (х, 1) при действии внешних напряжений ст0 (1), нормальных к плоскости трещины, определяются выражением для статической задачи [28]:

и^ (х, 1) = и^у (х, 1) - х ( х, 1) =

= Aao(t) jjTTX1 f—

4ch (nß) I l + x

-/ß

A _ kj+l + k2 +1 a_ + ц ß= Ina ^J ^2 Mk + M 2 2n

где kj 2 _ 3 - 4Vj 2 (плоская деформация) или k12 _ _ (3 - Vj 2 )/(1 + Vj 2) (плоское напряженное состояние), Vj 2 и ц1 2 — коэффициенты Пуассона и модули сдвига материалов подобластей 1 (Y > 0) и 2 (Y < 0) (рис. 1).

Выражения для раскрытия трещины при произвольной нагрузке Q(x, t) на ее берегах могут быть получены на основе решения для раскрытия трещины при действии сосредоточенной силы, приложенной на поверхности трещины [29]. Однако в случае кусочно-однородного тела более удобно использование выражений для производных раскрытия трещины. Дифференцируя первое равенство в (3) по x, используя соотношения (4), (5) и переходя к безразмерным переменным

х . . Чу,х

5 _7> 4y,x(s>t) _-,

I Сто

получим

Э

c0 ds [y(s > t> CT)(?y (s ,t) - l4x (s > t)) ] -

- E

duQ(s,t) _ (s,t) -= E, -

H

а -о а и0 - — >

дя дя I

где с0 — относительная податливость связей в концевой области трещины [26].

Выражения для производных, входящих в (7), совпадают с соответствующими выражениями для статической задачи. Производная раскрытия трещины при действии однородных внешних напряжений Эи^ (5,1)/дя определяется исходя из соотношения (5). Производная раскрытия (смыкания) трещины, вызванного действием напряжений, смыкающих берега трещины и обуслов-

ленных присутствием связей 3uq (s ,t)/ds, получена в [26] исходя из представления для производных перемещений берегов трещины при действии произвольных нагрузок на ее берегах [28].

Усилия в связях Q(s, t) будем искать в форме [26] Q(s,t) = qy (s , t) - iqx (s , t) =

Т - ч-гр

= >/Т-7

1 + s

Py ,x (s> {) =

Py ,x

Функции py x (s, t) (амплитуды усилий в связях) подлежат определению из решения задачи. Заметим, что при действии внешних растягивающих нагрузок функции qy (s, t), py (s, t) — четные, а qx (s, t), px (s, t) — нечетные.

Подстановка выражений Эм^(s, t)/ds и duQ(s, t)/ds в уравнение (7) и ряд преобразований (см. детали в [26]) приводят к системе интегро-дифференциальных уравнений второго рода типа Фредгольма с сингулярным ядром относительно неизвестных функций pxy (s, t):

Tj

dPj(s.t) ds

+ Wj (s) pj (s, t) +

+ ej Gj (s, n)pj (t, n)dП = 1-d/l

E l

= Zi(s, Сто,t), e = 1E77 2nH

k1 +1 + k2 + 1

Mi

M2

Здесь выражения для функций Ту (я), Wij (я), Gij (я, п), Zi (я, ст0,1) аналогичны приведенным в [26], параметр е характеризует относительную жесткость связей в концевой области трещины. Система уравнений (9) решается численно для трещины с концевой областью длиной d(t) с использованием шаговой по времени схемы при учете кинетики распада или восстановления связей. Усилия в связях ду х (я, 1) определяются после решения системы (9) согласно соотношениям (8).

Полагая, что усилия в связях изменяются с течением времени квазистатическим образом, определяем коэффициенты интенсивности напряжений К, Кп для трещины на границе соединения материалов из выражения для статического случая [30]:

K + /Ктт = Нтл/2п8>

1 11 8^0

X

( 8 ^-/ß

xy

где 8 = х -1 — расстояние до вершины трещины (х > I, у =0); стуу (8) и стху (8) — напряжения на продолжении трещины; г0 — характерный линейный размер задачи, для случая прямолинейной трещины полагаем г0 = 21 [30].

Ст

При наличии связей в концевой области трещины выражение (10) также остается справедливым, а напряжения на продолжении трещины определяются, ввиду линейности задачи, как

уу (8) + ¡о ху (8) = оуу (8) + о™1 (8) +

+ ¡(ох* (8) + ох!,4 (8)),

к, + жи = кг+кГ + ¡(К™+КГ),

где оеуу\у (8) — напряжения на продолжении трещины от действия внешней нагрузки о0 (определяются из аналитического решения [29]); о™1,^ (8) — напряжения на продолжении трещины от усилий в концевой области трещины (определяются из выражения для напряжений на продолжении трещины на границе соединения материалов при произвольном распределении нагрузок дх,у (х, г) на ее берегах [28]). Исходя из (10), (11) получаем

' ' (12) где К™ и К™ — коэффициенты интенсивности напряжений от действия внешних напряжений и от действия напряжений, приложенных к берегам трещины в концевой области.

Используя соотношения (10)-(12) и выражения для напряжений на продолжении трещины, получим (здесь дух г) — безразмерные функции) к + ¡Кц = о0л/Л/ х

1+2,р-сУлТ/Г

п -11 1 ч

х (ду (s, г) + ¡дх ^ г^

Модуль коэффициентов интенсивности напряжений не зависит от выбора характерного линейного размера задачи г0 и определяется как

къ=7к I2+к 2.

3. Кинетика деструкции и формирования концевой области трещины

Моделирование формирования дефекта-трещины в композиционном материале основано на допущении, что в начальный момент времени в материале имеется зона ослабленных связей, которая рассматривается как трещина, заполненная связями [27]. В классической модели термофлуктуационного разрыва молекулярных связей [31] полагается, что долговечность нагруженной межатомной связи экспоненциально уменьшается при возрастании внешнего напряжения, которое распределяется на все связи равномерно, и процесс разрушения происходит в материале однородно по всему объему. Фактически процесс разрушения происходит не однородно, а путем зарождения и развития отдельных трещин-дефектов. Действие внешнего напряжения уменьшает энергетический барьер разрыва связей. Ввиду

этого при моделировании разрыва связей в концевой области трещины действие внешнего напряжения учитывается в форме работы, которую выполняют усилия в связях в концевой области трещины. Полагается, что известное выражение для долговечности молекулярной связи является справедливым и для связей в концевой области трещины. При этом вклад внешнего напряжения в выражении для долговечности молекулярной связи рассматривается как работа по деформированию связей, определяемая с учетом неоднородного распределения усилий по связям и термофлуктуационного изменения плотности связей со временем. Условием образования трещины-дефекта является снижение средней плотности связей на соответствующем участке концевой области трещины до предельного значения. Время, за которое происходит указанное снижение средней плотности связей, определяет скорость деградации межфазного слоя. В рамках этой модели оценка времени формирования дефекта-трещины (деструкции концевой области трещины) на границе соединения материалов выполняется исходя из следующих допущений [27, 32]:

1) в начальный момент времени в материале существует область ослабленных связей, которая рассматривается как трещина, заполненная связями, d = I;

2) плотность связей в области ослабленных связей изменяется со временем по термофлуктуационному механизму;

3) жесткость связей пропорциональна их плотности в каждой точке концевой области трещины;

4) формирование дефекта происходит от центра области ослабленных связей;

5) условием формирования трещины-дефекта является снижение средней плотности связей на соответствующем участке области ослабленных связей до критического значения.

Рассмотрим далее процесс восстановления связей между поверхностями трещины. Полагаем, что процесс формирования трещины завершен; поверхности трещины свободны от связей полностью или частично; между поверхностями трещины, расположенной на границе различных материалов, соединенных слоем адгезива с функцией самовосстановления [33, 34], активизируется процесс самозалечивания (см. рис. 2, где d(t) — размер зоны восстановленных адгезионных связей между берегами трещины, их (х, г) — компоненты раскрытия трещины на краю концевой области).

Моделирование процесса восстановления связей между берегами трещины при полимеризации основано на следующих допущениях [35]:

1) в начальный момент времени в трещину на границе соединения материалов попадает «залечивающая» жидкость — полимер;

2) степень заполнения трещины полимером определяет размер концевой области трещины, формируемой в процессе самозалечивания d < I;

3) в трещине начинается процесс полимеризации, приводящий к образованию связей между поверхностями трещины;

4) плотность связей между поверхностями трещины является возрастающей функцией времени;

5) возрастание плотности связей между поверхностями трещины сопровождается увеличением жесткости связей.

При моделировании процесса восстановления связей будем полагать, что возрастание плотности связей пк (х, 1) между поверхностями трещины определяется кинетическим уравнением первого порядка [36]: (^ 1) = П0 - % (x, 1) dг тА (х, ст) '

где п0 — максимальная плотность связей между берегами трещины; тА (х, ст) — характеристическое время восстановления связи, определяемое как

тА

х, 1) + иу;

¥(x, ст) = х-

н

А(Т) = Т>ехр ^ ЦТ

где т0 =ак1Ш', h — постоянная Планка; к — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура; а — безразмерный коэффициент, зависящий от типа материала (полимер, металл, керамика); ст — модуль вектора усилий в связях; ик — энергия активации восстановления связей; R — универсальная газовая постоянная. Безразмерная функция ^(х, ст) в (15) определяет зависимость времени восстановления связей от расстояния до вершины трещины и внешней нагрузки; х — экспериментально определяемый параметр.

Решение уравнения (15) (при начальном условии п(х, 0) = 0) дает зависимость плотности связей, формирующихся между берегами трещины:

нк

Г г Л

Z (х, 1, ст) = 1 - ехр----- .

[

Увеличение плотности связей со временем приводит к возрастанию жесткости связей в концевой области трещины. Обозначим жесткость одной молекулярной связи (х). Тогда эффективная жесткость связей на единицу площади концевой области трещины

k

где х) = х)«0 — максимальная жесткость связей между берегами трещины в концевой области. Из выражения (18) следует, что податливость связей является убывающей функцией времени

с(х,1, ст) =

ьк0

Z

сН0(х) = с0Фа (х)-7".

Здесь ек0 (х) — податливость связей в концевой области трещины после окончания процесса самозалечивания (формирования концевой области трещины); ФА (х) — безразмерная функция, характеризующая изменение податливости связей вдоль концевой области трещины.

4. Результаты расчетов

Методика численного моделирования самозалечивания трещин в композиционных материалах, как и при анализе формирования трещин [27], основана на использовании метода сингулярных интегро-дифферен-циальных уравнений. Система уравнений (9) решается с использованием шаговой по времени схемы в предположении, что процесс формирования концевой области является квазистатическим. На каждом шаге по времени для решения системы уравнений (9) используется кол-локационная схема [26, 27].

В каждый момент времени = (' - 1)Д1 ^ > 1 — номер шага по времени) выполняется:

- решение системы уравнений (9) для определения напряжений в связях и раскрытия трещины в концевой области; если i = 1 — решение системы (9) выполняется при бесконечно малой жесткости связей, соответствующей трещине со свободными берегами;

- вычисление коэффициентов интенсивности напряжений (13) и модуля (14);

- вычисление функций тк (х, ст) и Z(x, t, ст) вдоль концевой области; если i = 1, полагается Z(x, t, ст) = 0 и

Ях, у (х,0) = 0;

- расчет плотности связей вдоль концевой области трещины (17); в начальный момент времени (;' = 1) полагается, что пк (х, 0) = 0;

- расчет податливости с(х, t, ст) вдоль концевой области; в начальный момент времени (;' = 1) податливость связей полагается бесконечно большой.

Вычисления заканчиваются при выполнении условия формирования концевой области трещины

Щ) > МС1, N

й I-й

где N (1г) — средняя плотность связей вдоль концевой области трещины в момент времени ^; — предельное значение плотности восстановленных связей.

Расчеты выполнены для состояния плоской деформации и следующих значений упругих постоянных материалов и связей (рассматривается соединение нержавеющая сталь-полимер): Е1 = 200 ГПа, Е2 = 25 ГПа, Еь = Е2, v1 = V2 = 0.30. Размер залечиваемой трещины принимался равным 21 = 10-3 м при действии постоянной внешней нагрузки ст0 = 10 МПа. Параметры модели, связанные с кинетическим процессом самозалечивания трещины, ввиду отсутствия массива эксперимен-

Рис. 3. Зависимость модуля коэффициентов интенсивности напряжений от времени при формировании связей, d = /, с0 = = 0.01

и/щ 0.75 0.500.25-

0.00

с0 = 0.1

_ - 2

....... 3 N \ \ \ ч \

----------------

-1-1-1-3

0.00

0.25

0.50

0.75

х/1

Рис. 5. Изменение раскрытия трещины в процессе формировании связей, d = /: начальное состояние

тальных данных, были выбраны следующими [37]: энергия активации процесса восстановления связей иь = = 100 кДж/моль, т0 = 10-10 с, максимальная плотность

= 10

18 ™-2 м

Температура процесса самозале-

связей

чивания Т= 310 К. Предельное значение плотности восстановленных связей, используемое как критерий окончания расчета, принималось равным Ысг = 0.95п0, экспериментально определяемые параметры в (17) а = = 1 и х = 1. Продолжительность процесса самозалечивания характеризуется безразмерным параметром t|tm, где t — время формирования концевой области трещины, tm = А (Т)/= 499 — максимально допустимое число шагов по времени при решении системы уравнений (9). Эффективность процесса самозалечивания характеризуется снижением модуля коэффициентов интенсивности напряжений при возрастании жесткости связей (формировании концевой области трещины).

В первой серии расчетов полагалось, что восстановление связей происходит вдоль всей трещины ^ = /), первоначально свободной от связей. Зависимость модуля коэффициентов интенсивности напряжений (14) от времени представлена на рис. 3 для различных значений относительной податливости связей с0, сформирован-

Рис. 4. Средняя плотность связей вдоль трещины при формировании связей, d = /, с0 = 0.01

ных в трещине после окончания процесса самозалечивания. На первом этапе формирования концевой области модуль коэффициентов интенсивности напряжений убывает практически линейно, а при t|tm > 0.3 этот параметр изменяется слабо. Таким образом, условие залечивания трещины Ысг = 0.95п0 может быть ослаблено. Зависимость средней плотности связей в концевой области трещины от времени представлена на рис. 4, где моменту времени t|tm = 0.3 соответствует средняя плотность связей Ы^) ~ 0.5п0. Эта величина может быть использована как критерий залечивания (окончания расчета при формировании концевой области трещины).

При формировании концевой области трещины в процессе самозалечивания раскрытие трещины, первоначально свободной от связей, значительно уменьшается. При выборе Ысг = 0.95п0 (выполнение этого условия достигается за 215 шагов по времени) для раскрытия трещины в ее центре ис получаем ис - 0.05и0 (рис. 5). Следующие результаты получены для относительной податливости связей после окончания процесса самозалечивания с0 = 0.1 и вариации размера концевой области трещины, формируемой в процессе самозалечивания.

т/к0 0.8 0.6 0.4 0.2

0.0

с0 = 0.1

К0 = а0^г7

*.\х

ЧЧ ' 2

3

0.0

0.2

0.4

Рис. 6. Зависимость модуля коэффициентов интенсивности напряжений от времени при формировании связей, d|l = = 0.25

g(¿/)/G о '

3-

2-

1-

1^ / / ' / y c0 = 0.1 5.

/ /

/ /

/ /

/ /

г'''

0.0

0.2

0.4

t/trr

Рис. 7. Изменение раскрытия трещины в процессе формировании связей, й = I

Рис. 8. Напряжения на краю концевой области при формировании связей, й/1 = 0.25

Эффективность самозалечивания для концевой области, занимающей четверть длины трещины, сопоставима с эффективностью этого процесса при большем заполнении трещины, = 0.50, 0.75 (рис. 6). Распределение вдоль концевой области трещины нормальных усилий в связях, формируемых в процессе самозалечивания, приведено на рис. 7. Отметим, что площадь под графиком для й/1 = 0.50 после окончания формирования концевой области (залечивание) примерно равна площади под графиком для й/1 = 0.75 при окончании формирования концевой области. Этот параметр (площадь под графиком усилий) определяет величину модуля коэффициентов интенсивности напряжений [26], что подтверждает сделанный выше вывод об эффективности процесса самозалечивания при формировании концевой области только на части трещины, примыкающей к ее вершине. Зависимость модуля вектора усилий в связях, формируемых в процессе самозалечивания, от времени дана на рис. 8. Отметим, что при меньшем размере зоны самозалечивания усилия в связях нарастают быстрее.

5. Заключение

Предложенная модель позволяет выполнять последовательное исследование физических процессов формирования, роста и самозалечивания дефектов и трещин в рамках подхода, основанного на объединении кинетической термофлуктуационной теории разрушения и модели концевой области трещины. Кинетическая теория формирования связей и модель концевой зоны трещины объединены в численном алгоритме и реализованы в форме вычислительной программы. При анализе процесса самозалечивания трещины модель позволяет определять снижение модуля коэффициентов интенсивности напряжений за счет восстановления связей с течением времени. Поскольку вычислительные результаты существенно зависят от исходных данных (что обусловлено экспоненциальной зависимостью в формуле (16)), то наибольший практический интерес при использовании этой модели представляет сравнитель-

ный анализ различных способов самозалечивания трещин при соответствующих условиях нагружения.

Модель может быть использована для анализа процессов самозалечивания трещин в разных типах материалов с различной физико-химической природой этих процессов. Характер процесса самовосстановления определяет основные параметры модели (см. (15), (16)): безразмерные параметры a и х, энергия восстановления связей Uh, зависимость времени восстановления связей от положения внутри трещины t, a), плотность связей после завершения процесса самозалечивания трещины п0 и жесткость одной молекулярной связи ks (x). Большая часть этих параметров может быть определена только экспериментально для конкретного вида процесса самозалечивания (см., например, [38]). Некоторые параметры (например жесткость молекулярной связи) можно найти на основе физического моделирования процессов самозалечивания в различных типах материалов. Определение параметров модели вместе с ее экспериментальной проверкой для различных типов материалов и процессов самозалечивания позволит применять разработанную модель для анализа этих процессов в полимерах, керамике, металлах и их соединениях.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 19-19-ОО616).

Литература

1. ReceM Advances in Smart Self-Healing Polymers and Composites / Ed. by G. Li, H. Meng. - New York: Woodhead Publishing, 2015. -426 p.

2. Cumнuкoв H.H., Xaбuбyллuнa И.А., Maщeнкo В.И., Pmaxarne P.H. Оценка перспектив применения самовосстанавливающихся материалов и технологий на их основе // Перспективные материалы. -2О18. - № 2. - С. 5-16.

3. Snoeck D., Malm F., Cnudde V., Grosse C.U., Van Tittelboom K. Validation of self-healing properties of construction materials through nondestructive and minimal invasive testing // Adv. Mater. Interfaces. -2О18. - V. 5. - No. 17. - P. 1-28.

4. Dansereau V., Weiss J., Saramito P., Lattes P. A Maxwell elasto-brittle rheology for sea ice modelling // Cryosphere. - 2О16. - V. 1О. -Р. 1339-1359.

5. Волынский А.Л., Бакеее Н.Ф. Залечивание межфазной поверхности

в полимерных системах // Высокомолекулярные соединения. А. -2009. - Т. 51. - № 10. - С. 1783-1816.

6. White S.R., Sottos N.R., Geubelle P.H., Moore J.S., Kessler M.R., Sriram S.R., Brown E.N., Viswanathan S. Autonomic healing of polymer composites // Nature. - 2001. - V. 409. - P. 794-797.

7. Toohey K.S., Sottos N.R., Lewis J.A., Moore J.S., White S.R. Self-healing materials with microvascular networks // Nature. - 2007. -No. 6. - P. 581-586.

8. Bor T.C., Warnet L., Akkerman R., de Boer A. Modeling of stress development during thermal damage healing in fiber-reinforced composite materials containing embedded shape memory alloy wires // J. Compos. Mater. - 2010. - V. 44. - No. 22. - P. 2547-2572.

9. Zhang W., Sakalkar V., Koratkara N. In situ health monitoring and repair in composites using carbon nanotube additives // Appl. Phys. Lett. - 2007. - V. 91. - P. 133100-133102.

10. Lanzara G., Yoon Y., Liu H., Peng S., Lee W.-I. Carbon nanotube reservoirs for self-healing materials // Nanotechnology. - 2009. -V. 20. - P. 335704-335707.

11. Greil P. Generic principles of crack-healing ceramics // J. Adv. Ceramics. - 2012. - V. 1. - No. 4. - P. 249-267.

12. Tavangarian F., Hui D., Li G. Crack-healing in ceramics // Compos. Eng. B. - 2018. - V. 144. - P. 56-87.

13. Zhang S., Kwakernaak C., Sloof W., Bruck E., Zwaag, S., Dijk N. Self healing of creep damage by gold precipitation in iron alloys // Adv. Eng. Mater. - 2015. - V. 17. - P. 598-603.

14. Guntur K., Amano R.S., Lucci J.M., Rohatgi P.K., Schultz B. Self-Healing Technology for Compressor and Turbine Blades // ASME Turbo Expo 2009: Power for Land, Sea, and Air, V. 4: Cycle Innovations; Industrial and Cogeneration; Manufacturing Materials and Metallurgy. - New York: ASME Press, 2009. - P. 759-763.

15. Khaliq W., Ehsan M.B. Crack healing in concrete using various bio influenced self-healing techniques // Construct. Build. Mater. Part 1. -2016. - V. 102. - P. 349-357.

16. Van Tittelboom K., de Belie N. Self-healing in cementitious materials — A review // Materials. - 2013. - V. 6. - No. 6. - P. 2182-2217.

17. Zhang F., Ju P., Pan M., Zhang D., Huang Y., Li G., Li X. Self-healing mechanisms in smart protective coatings: A review // Corros. Sci. - 2018. - V. 144. - P. 74-88. - doi 10.1016/j.corsci.2018.08.005.

18. Lucas S.S., Tapavicza M., Schmidt A.M., Bertling J., Nellesen A. Study of quantification methods in self-healing ceramics, polymers and concrete: A route towards standardization // J. Int. Mater. Syst. Struct. - 2016. - No. 1. - P. 1-22.

19. Maiti S., Shankar C., Geubelle P.H., Kieffer J. Continuum and molecular-level modeling of fatigue crack retardation in self-healing polymers // J. Eng. Mater. Technol. - 2006. - V. 128. - P. 595-602.

20. Ural A., Krishnan V.R., Papoulia K.D. A cohesive zone model for fatigue crack growth allowing for crack retardation // Int. J. Solid. Struct. - 2009. - V 46. - P. 2453-2462.

21. Mergheim J., Steinmann P. Phenomenological modeling of self-healing polymers based on integrated healing agents // Comput. Mech. -2013. - V. 52. - P. 681-692.

22. Alsheghri A.A., Abu Al-Rub R.K. Finite element implementation and application of a cohesive zone damage-healing model for self-healing materials // Eng. Fract. Mech. - 2016 - V. 163. - P. 1-22.

23. Ozaki S., Osada T., Nakao W. Finite element analysis of the damage and healing behavior of self-healing ceramic materials // Int. J. Solid. Struct. - 2016. - V. 100. - P. 307-318.

24. Ponnusami S.A., Krishnasamy J., Turteltaub S., Zwaag S. A cohesive-zone crack healing model for self-healing materials // Int. J. Solid. Struct. - 2018 - V. 134. - P. 249-263. - doi 10.1016/j.ijsolstr. 2017.11.004.

25. Javierre E. Modeling self-healing mechanisms in coatings: Approaches and perspectives // Coatings. - 2019. - V. 9. - P. 1-19. - doi 10.3390/coatings9020122.

26. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами // Изв. РАН. МТТ. -2001. - № 1. - С. 94-112.

27. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. О кинетике формирования и роста трещин на границе соединения материалов // Изв. РАН. МТТ. - 2012. - № 4. - С. 32-49.

28. СлепянЛ.И. Механика трещин. - Л.: Судостроение, 1981. - 295 c.

29. Rice J.R., Sih G.C. Plane problems of cracks in dissimilar media // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1965. - V. 32. - P. 218-224.

30. Rice J.R. Elastic fracture mechanics concepts for interfacial cracks // Trans. ASME J. Appl. Mech. - 1988. - V. 55. - P. 98-103.

31. Журкое С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел // Вест. АН СССР. - 1968. - № 3. - C. 46-52.

32. Perelmuter M. Kinetics of interfacial crack bridged zone degradation // J. Phys. Conf. Ser. - 2013. - V.451. - P. 1-8.

33. Banea M.D., da Silva L.F.M., Campilho R.D., Sato C. Smart adhesive joints: An overview of recent developments // J. Adhesion. -2014- V. 90. - P. 16-40.

34. Wu J., Zhou C, Ruan J., Weir M.D, Tay F, Sun J, Melo M.A.S., Oates T.W., Chang X., Xu H.H. Self-healing adhesive with antibacterial activity in water-aging for 12 months // Dent. Mater. - 2019. -doi 10.1016/j.dental.2019.05.004.

35. Perelmuter M. Application of the bridged crack model for evaluation of materials repairing and self-healing // J. Phys. Conf. Ser. - 2017. -V. 937. - P. 1-7.

36. Khawam A., Flanagan D.R. Solid-state kinetic models: Basics and mathematical fundamentals // J. Phys. Chem. B. - 2006. - V. 110. -P. 17315-17328.

37. Регель В.Г., Слуцкер А.И., Томашееский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. - М.: Наука, 1974. - 560 c.

38. Boatemaa L., van der Zwaag S., Sloof W.G. Self-healing of Al2O3 containing Ti microparticles // Ceramics Int. - 2018. - V. 44. -P. 11116-11126.

Поступила в редакцию 02.07.2019 г., после доработки 02.07.2019 г., принята к публикации 16.07.2019 г.

Сеедения об аеторе

Перельмутер Михаил Натанович, д.ф.-м.н., внс ИПМех РАН, perelm@ipmnet.ru