Об одном аспекте преподавания теории пределов

An aspect of the teaching of the theory of limits Matycina T. , Gladkova E.

Об одном аспекте преподавания теории пределов Матыцина Т. Н. , Гладкова Е. А.

Матыцина Татьяна Николаевна /Matycina Tat'jana - кандидат физико-математических наук, доцент;

2Гладкова Екатерина Александровна / Gladkova Ekaterina - студент, кафедра высшей математики, институт физико-математических и естественных наук,

Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова, г. Кострома

Аннотация: статья посвящена вопросам преподавания теории пределов в школе и в ВУЗе. Особая актуальность этой тематики связана с фактическим отсутствием этой теории в школьном курсе, несмотря на ее применение в дальнейшем. Рассмотрены некоторые методические аспекты разных подходов к преподаванию теории пределов.

Abstract: paper refers to the teaching of the theory of limits in school and at university. The special relevance of this topic is related to the actual absence of this theory in the school course in spite of its application in the future. Certain methodological aspects of different approaches to the teaching of the theory of limits.

Ключевые слова: определение предела, формализм Коши, предел по Гейне, основание натурального логарифма.

Keywords: definition of the limit, formalism Cauchy, limit of Heine, the base of the natural logarithm.

Тексты, связанные с физико-математическими науками (да и с любыми другими тоже) можно разделить на два типа.

Первые (см., напр., [1], [2], [3] или [4]) являются узкоспециальными, «научными» в самом строгом смысле этого слова. Их отличают общие специфические термины, понятные лишь специалистам в той области, которой посвящен текст. В частности, в математических работах это, как правило, строгие математические определения и большое количество формульных вставок. Иной раз текст состоит на 60-70 процентов из формул; это понятно, поскольку формулы - краткий и емкий способ фиксации информации.

Второй тип текстов - научно-популярные ([5], [6]). Они не содержат сложной, непонятной научной терминологии, поэтому доступны; однако их недостатком зачастую является поверхностное освещение вопроса, именно в силу популярности.

Некой «золотой серединой» между этими двумя крайностями должны быть обучающие тексты. В самом деле, учебник должен, начиная с самого легкого, популярного уровня, все более и более углубленно вводить читателя в курс дела, сочетая с математической строгостью некую «изюминку», поддерживающую в читателе интерес данной теме.

В этой статье речь пойдет о теории переделов. Вообще говоря, эта теория «скользит по краю» школьного курса алгебры и начал анализа, однако, не дается в полной мере. В то же время в ВУЗах, особенно технических, теория пределов - это первая серьезная тема математического анализа. При этом в разных ВУЗах преподавание этой теории различно - некоторые начинают с предела последовательности, другие -сразу с предела функции. Разность подходов, разумеется, связана с их плюсами и минусами в каждом конкретном случае и, не в последнюю очередь, со временем, отведенным на изучение этой темы. Так, при достаточном времени, кажется, более удобно начинать с предела последовательности, и только потом, введя основание натурального логарифма, перейти через определение по Гейне к пределу функции. Если же теория пределов воспринимается как «промежуточная» перед дифференциальным исчислением, то, как правило, сразу дается понятие предела функции по Коши, а пределы последовательности вообще всплывают только в разделе «Ряды».

Надо сказать, что вообще понятие предела можно (и нужно!) вводить в школе, но, конечно, не в обязательной программе, а факультативно, для тех, кто будет в дальнейшем сталкиваться с высшей математикой. Именно объяснение этого факта, что «чем ближе х к а, тем ближе значение f(x) к А», и является задачей преподавателя. В ВУЗе же логично строить строгую теорию пределов. Стоит, кстати, заметить, что понимания, что такое предел, особо не наблюдается и у студентов. Сложность «формализма Коши» объясняется еще и тем, что не сталкивающиеся с пределами школьники (или сталкивающиеся на уровне «есть такая вещь») не готовы к языку строгой математики, а ведь «формализм Коши» - язык не только математического анализа, но и куда более серьезных современных математических областей.

Но как бы то ни было, именно в ВУЗах изучается теория пределов, причем достаточно строго излагаемая. Фактически любой бакалавр технического, экономического, естественно-научного и, конечно, математического направления, должен свободно владеть теорий пределов в ее классическом виде.

Но на этом преподавание теории пределов не заканчивается. Такой раздел, как «предел по базе», обычно опускаемый в дисциплинах бакалавриата, можно порекомендовать изучить магистрам указанных выше направлений, особенно математикам. Это тем более логично, что само понятие предела по базе неявно используется при определении интеграла Римана как предела интегральных сумм при стремлении к нулю мелкости разбиения отрезка интегрирования. Особенностью этого определения является то, что

интегральные суммы не зависят явно от мелкости, и поэтому студенты не вполне ясно понимают, почему в данном случае применяется предел. Введение предела по базе расставит и «все точки над и», закруглит теорию пределов, сделает ее «предельно» логичной и в то же время подведет к пониманию применения это замечательного математического объекта - предела.

Литература

1. Мохнина Н. В., Юрова Н. В. Об одном доказательстве теоремы Ферма-Эйлера. // Наука, техника и образование, 2014, № 1, С. 6-7.

2. Ширяев К. Е. Об интегральной разделенности функций. // Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова, 2014, № 4, С. 8.

3. Марголина Н. Л. О формулах показателей равномерной устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений. // Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова 2014, № 4, С. 10.

4. Матыцина Т. Н. Вычисление экспоненциала некоторых матриц. // Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова, 2014, № 7, С. 29.

5. Матыцина Т. Н. Об одной форме проведения контрольных мероприятий. // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественных дисциплин: материалы IX Всерос. науч.-метод. конф. -Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015 г, С. 83.

6. Ширяев К. Е. Об универсальном подходе к оценке уровня компетенций, формируемых математическими дисциплинами. // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественных дисциплин: материалы IX Всерос. науч.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015 г., С. 99.