Действие волн напряжений в породах с наличием контурной щели

УДК 622.235.5

ДЕЙСТВИЕ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ПОРОДАХ С НАЛИЧИЕМ

КОНТУРНОЙ ЩЕЛИ

© 2007 г. Л.М. Дзагоев, В.В. Агаев, В.Н. Пустобриков, A.B. Тимченко

При взаимодействии взрывных работ часто возникает необходимость снижения сейсмического воздействия взрыва на законтурный массив выработок. Одним из способов уменьшения динамических напряжений и деформаций от действия взрывных волн служит применение щелевидных экранов. Для оценки целесообразности и эффективности использования таких экранов необходимо исследовать закономерности формирования и распределения волновых полей в массиве за щелью и влияния геометрических и акустических параметров экрана на характеристики напряженно-деформированного состояния зоны неупругих деформаций.

Настоящая работа посвящена экспериментальному исследованию на моделях распределения динамических напряжений за свободной экранирующей щелью при падении на экран продольной волны от взрывного источника. Задача упругой постановки решалась так (рис. 1), чтобы оценить степень уменьшения максимальных напряжений за экраном, размеров и местоположения зоны, в которой это уменьшение наблюдается, а также геометрических размеров щели и глубины заложения выработки на указанные характеристики. При проведении экспериментов изучалось изменение максимальных напряжений вдоль направления распространения волны.

Рис. 1. Схема модели определения динамических напряжений за свободной экранирующей щелью

При взрыве происходит сотрясение пород, расположенных вокруг контура выработок. При этом контур отрыва неровный и требует большо-

го количества подчистных и оборочных работ. Возникает проблема сохранения устойчивости кровли выработки путем использования дорогостоящих «тяжелых» видов крепи (дерева, бетона, металла и др.). Качество разрушения забоя выработки зависит от наличия дополнительной обнаженной поверхности (щели). Использование щелевой разгрузки (экранирования) как способа охраны выработок обеспечивает снижение напряжений и смещений пород на контуре выработок. Разгрузочные щели могут быть образованы как динамическим (взрывным) способом, так и статическим (с использованием НРС, Н.гидроклиньев и др.). По своим размерам щель должна быть больше или равна величине упругого смещения массива. В противном случае в результате смыканий берегов щели, образующейся вдоль ряда шпуров или по линии наименьшего сопротивления (№'), разрушение массива горных пород при взаимодействии волн отражения будет неэффективным. Щель создает условие для отражения части энергии, переносимой во фронте волны напряжений, в результате возникает эффект отрыва.

При взрыве замкнутого заряда в полости его создается высокое давление газов, в результате чего в окружающей горной породе возникает волна напряжений сжатия (рис. 2).

В пределах заряда радиусом а образуется полость (в соответствии с законами гидродинамики) раздробленной горной породы, внешний радиус которой (1). Далее следует зона тре-щинообразования .т (2). Давление, развиваемое зарядом ВВ, равно Рвв. На внешней границе создается давление Р Рассмотрим осесимметрич-ную задачу теории упругости [1]. Смещение точек тела цилиндра удовлетворяет уравнению

d 2u

1

du u p

dR2 R dR R

где .=г — расстояние рассматриваемой точки от центра взрыва по оси цилиндра, м.

Учет граничных условий и использование обобщенного закона Гука [2, 3] позволяет получить зависимость радиальных <г и тангенциальных <0 напряжений от величины Р

°r ,е =

_ PpRP

R2

2 2

р} - r2 R2

Рис. 2. Схема распределения волн напряжений, исходящих от заряда ВВ при наличии

контурной щели

Величина Я расположенная на расстоянии от линии наименьшего сопротивления Ж обнаженной поверхности — щели, определяется в зависимости от угла © [4]

Ж п зп

Я- =- при 0 < © < - и при — < © < 0 ;

cos 0

2 п

3п

Я= ж при 2 < © < ~2 •

Формула (2) при условии (3) дает возможность получать зависимости распределения компонентов напряжений в массиве горных пород с учетом влияния щели

_ PpRp cos2 0 _ W2 - Rp2 cos2 0

1 m

W2 R2 cos2 0

Известно, что прочность горных пород на растяжение значительно ниже их прочности на сжатие, поэтому контур развития трещин действием взрыва определяется условием о© = опр . Подставив в уравнение (4) опр и решив его относительно Р , получим

R _

Rp^ w

^/Gn.pW2 - Rp2

где А — расстояние до внешней границы зоны развития трещин, м.

Уравнение (5) правомочно при условии А < Р т. е. для тех величин А, которые не выходят за пределы массива горных пород.

Предложенная методика учитывает влияние щели на распределение напряжений в зоне действия волн напряжений. Задаваясь функцией, описывающей траектории щели, и получив из ее решения зависимость Аг = f (©), преобразуем уравнение (4) к виду

or0 _

pprp

Jr'0_ f 2(0) - Rp2

f 2(0) R 2

откуда находится радиус зоны развития трещин.

Волна напряжения определяется следующими параметрами: скоростью распространения, скоростью смещения частиц среды, величиной смещения частиц и напряжением.

Скорость волны в любой точке массива определяется выражением [4]

V = Ci(o„- - |iO0¿) / E, м/с,

где о„-, о0г- — составляющие напряжений в любой точке массива, МПа; | — коэффициент Пуассона; E— модуль Юнга, МПа.

Радиус фронта падающей волны напряжений, м

Рф = R + Cit,

где t— время распространения волны напряжений, с.

При отражении волны напряжений от открытой поверхности (щели) образуются две волны отражения— продольная и поперечная ^фр, Rфs). Расстояние от центра взрыва до точки отражения (рис. 3), м

Я,р = W/cosвp ,

где в p — угол отражения продольной волны, равной по величине углу падения p¿, град.

Радиус фронта отраженной волны (продольной) Rфр равен радиусу фронта падающей волны. Ее мнимый центр распространения скользит по линии, проходящей через центр взрыва и его зеркальное отражение. Расстояние от мнимого центра взрыва распространения поперечной волны до точки отражения

Rs = Wtg в p/sin в5, где Ps — угол отражения поперечной волны, град.

Обнаженная поверхность

0'

ßs

Рис. 3. Схема отражения волны напряжений от обнаженной поверхности (щели) под углом,

отличным от прямого

Углы отражения продольной и поперечной волн связаны между собой и зависят от коэф-

C2

фициента Пуассона sin Ps =-^sin Pp и всегда меньше Pp, поскольку при любых значениях ц

C

2 _

1 - 2ц

Ci V 2

< 1,

где С2— скорость поперечной волны в породе, м/с; С1— скорость продольной волны, м/с. Длина волны, м

X в = С1Т ,

где Т— период колебаний, с.

Радиус фронта поперечной волны

^=+С2 - р'-.)],

где ?1— суммарное время распространения падающей (t ) и отраженной (1 ) волн, с.

у пад7 ^ у отр7 '

Время пробега волны напряжений [6], с

= t , = к к

Ч ^пад + ^отр п + п , С1 С0

где С0— скорость распространения отраженной волны, м/с.

Падающая волна от источника, обладающая

акустическим сопротивлением (рг- С1(), подходит к поверхности раздела (щели) и в большей части отражается обратно и частично проникает во вторую среду через воздушную прослойку по схеме (рис. 4).

В таблице приведены типичные значения скорости распространения, плотности и величины акустической жесткости для известняка, доломита и воздуха.

Величина рг- С. представляет собой напряжение, которое возникает в горной породе в результате падающей волны со скоростью, равной единице.

Это значит, что при прохождении ее со скоростью 1 см/с в известняках возникает внутреннее напряжение, равное 14,6105 г/см2.

По мере увеличения расстояния фронт волны становится менее крутым, максимальная деформация уменьшается и длина волны возрастает. Характер изменения радиального напряжения в расходящейся цилиндрической волне описывается экспоненциальной зависимостью (см. рис. 2).

Если падающая волна является волной сжатия и падает к поверхности щели под прямым углом (р; = 0г =0°), то отраженная волна переходит в волну растяжения с центром крутизны (точка 01) в зеркальном отражении центра заряда и в этом случае происходит образование трещин. Амплитуда отраженной (о.т) и падающей (о.ад) волн напряжений выражается следующими соотношениями

Р2С2 - PiQ G

GR - —~-~G<

Gr -

P А + P2C2 = 2P2C2 PlC1 + P2C2

в'

где о,

в

максимальные тангенциальные напряжения на поверхности щели, МПа; р 1 и р,— соответственно, плотность обеих сред, г/см3; С1 и С2— скорости распространения продольных волн для этих сред, м/с.

Акустическая жесткость воздуха в щели существенно мала по отношению акустической жесткости пород— известняка и доломита, поэтому исходя из уравнения (6) следует

от _ lGp --G

в

ß

Рис. 4. Схема прохождения и отражения волн напряжений на границе монолита и воздуха

Падающая волна отражается почти полностью, а так как о^ад = -о0 , то волна сжатия будет

отражаться в виде волн растяжения, и обратно. Схематично для комбинации «известняк—воздух» это можно представить: часть напряжения, обусловленная проходящей волной— 0,137; часть напряжения, обусловленная отраженной волной— 0,863 и знак-растяжение.

Таблица

Показатели акустической жесткости, принятые в опытах

Порода Скорость распространения продольных волн, C1, м/с Плотность, р;, г/см3 Акустическая жесткость, Cu p¡, г/см3 см/с 105

Известняк 5500 2,65 14,6

Доломит 4800 2,80 13,44

Воздух 331,4 0,00012 0,0044

Если величина тангенциальных напряжений превосходит предел прочности пород на растяжение, то на оси симметрии образуется трещина, близко перпендикулярная к поверхности щели, и, следовательно, с физической точки зрения происходит отрыв породы. Интенсивность такой трещины и глубина ее прорастания зависят от напряжений о0 и расстояния заложения источника от щели Ж

В случае, когда поверхность щели расположена не под прямым углом к падающей волне напряжения (расстояние пробега возрастает и снижается интенсивность), то в точке встречи ее с поверхностью действуют три волны (см. рис. 3): падающая продольная (1); отраженная продольная (3) и образовавшаяся волна напряжений сдвига (2). Интенсивность энергии отраженной волны зависит от коэффициента Пуассона (ц),

коэффициента отражения

(ß р), т. е.

где Ко

коэффициент отражения,

Кот =

tgßs • tg22ßs - tgß

p •

tgßs tg22ßs + tgßp

sin Ps — угол отражения волны сдвига, град, sin РрЛ/Г—2ц

sin ßs = --

>/2

На рис. 5 представлен график зависимости между коэффициентом отражения (^°т) и углом падения (Рр) для различных коэффициентов Пуассона (ц). При коэффициенте Пуассона равным нулю и значениях угла падения в диапазоне 55—85°, падающая волна не создает волны отражения. Для таких монолитных сред, как известняк или доломит, у которых коэффициент Пуассона 0,2 и более, падающая волна сжимающего напряжения образовывает растягивающую с коэффициентом отражения более 0,7. У пород с коэффициентом ц > 0,4 практически вся энергия падающей волны возвращается в продольной отраженной волне и лишь небольшая часть ее переходит в волну сдвига.

Выполненные расчеты и опыты показывают, что движущие волны напряжений, исходящих от источника, при достижении контура щели в большей части гасятся (рассеиваются), и лишь незначительная доля достигает контура основной кровли выработки.

Следовательно, представленный подход с учетом кривых качественно достаточно точно объясняет механизм разрушения горных пород.

1,0 ц=0

0,5 -

0 - И=0,2

-0,5 - \

-1,0 1 1 1 "¡1=0,4 1 1

0 20 40 60 80 90 ßp, град

Рис. 5. График зависимости между коэффициентом отражения и углом падения для различных коэффициентов Пуассона

Тангенциальные напряжения растяжению и радиальные напряжения связаны между собой на фронте волны зависимостью [7, 8], МПа

Ор =

Ц

или о0 = or(1 - 2b2),

где X =

1 -Ц

показатель степени затухания; Ь

1 -Ц

отношение скорости распространения поперечной волны к скорости распространения продольной

(при Ь=0,58 для известняка о0 = 0,32ог).

В свою очередь величина радиального напряжения

„0,251;

or = о0•e

где 00 — начальное давление на фронте волны на границе щели, МПа (кг/см2); 1— время движения фронта волны в любой точке среды, с.

Когда волна сжатия приходит в рассматриваемую точку среды, то находящиеся в этой точке частицы приходят в движение. Траектория перемещения частиц представляет эллипс, большая ось которого перпендикулярна поверхности щели. Скорость перемещения (исм/с) и напряжения (аг, МПа) связаны функциональной зависимостью

= рС^и,.

Согласно второму закону движения Ньютона, скорость перемещения частиц пород по формуле

огд

pCi '

где д— ускорение свободного падения, м/с2.

По результатам экспериментов определены три характерных участка (см. рис. 2) степени снижения (угасания) напряжений за щелью по мере удаления их в глубь массива:

— в зоне за экраном (на контуре предполагаемой сводчатой выработки) величина нарушен-ности законтурного массива достигает в точке х1=1 и в значительной степени сохранены силы сцепления между отдельностями. Незначительное нарушение величины сцепления основано вследствие раскрытия микро- и макротрещинами. Первичные свойства массива приближаются к ненарушенной среде. Напряжение на этом участке составляют приблизительно (0,21—0,25) о'0 , где о0 — напряжение в сходственной точке без щели;

— на участке х2=(2,1-2,5) I — напряжения снижаются. Эта зона характеризуется лишь незначительным раскрытием трещин, а массив обладает первичными свойствами в их естественном состоянии;

— зона естественного состояния массива (точка х3=(3,0-3,5) I — полная длина экранирования), напряжения в которой приближаются к естественному состоянию исходя из глубины заложения выработки — °(г,0) = I(Н), где Н — глубина заложения выработки, м).

Таким образом, использование контурной щели обеспечивает благоприятное распределение напряжений и деформаций в пределах разрушаемого объема массива пород выработок. Ширина щели в массиве должна быть больше, чем величина смещения поверхности, вызванного волной напряжений. Механизм взаимодействия волн на границе раздела двух сред зависит от соотношения акустической жесткости (р;С;) массива и щели.

Следует отметить, что изложение справедливо для выработок, которые не испытывают непосредственного влияния очистных работ.

Литература

1. Бойченко Г. А. Осесимметричная задача теории упругости. М., 1965.

2. Киселев В. А. Плоская задача теории упругости. М., 1976.

3. Рекач В. Г. Руководство к решению задач по теории упругости. М., 1977.

4. Фрейшиат Н. А. , Дмитриенко О. А. Исследование экранирования волн напряжений свободной щелью методом фотоупругости //Физ.-техн. проблемы разраб. полезных ископаемых. 1985. № 4. С. 31-36.

5. Райинхардт Д. С. Действие волн напряжений в горных породах / /Разрушение и механика горных пород: Сб. ст./ ИГД им. Скочинского. М., 1962. С. 456-569.

6. Баранов Е. Г. Короткозамедленное взрывание. Фрунзе, 1971.

7. Ханукаев А. Н. Энергия волн напряжений при 8. Ханукаев А. Н. Физические процессы при от-

разрушении пород взрывом. М., 1962. бойке горных пород взрывом. М.,1974.

Северо-Кавказский горно-металлургический институт, г. Владикавказ_26 октября 2006 г.

УДК 539.3:539.374

РАЦИОНАЛЬНОЕ АРМИРОВАНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО КУПОЛА С ВЫРЕЗАМИ © 2007 г. К.Ф. Исламов, Э.С. Сибгатуллин

Для определения несущей способности тонкой железобетонной полусферической оболочки с вырезами прямоугольной формы использован кинематический метод теории предельного равновесия.

Дискретизация объекта расчета осуществляется с использованием «абсолютно жестких конечных элементов»— АЖКЭ, когда разрушение оболочки происходит вдоль отдельных бесконечно тонких слоев, перпендикулярных поверхности приведения £0 оболочки, а области между ними остаются жесткими. Такой способ дискретизации не противоречит концепции жестко-пластической модели деформируемого твердого тела [1], а существование «жестких» частей при разрушении железобетонных оболочек подтверждаются результатами соответствующих экспериментов [2]. Как известно [1], кинематический метод позволяет определить верхнюю оценку разрушающей нагрузки. Для улучшения этой оценки варьируются количество линий на поверхности £0 и их положения. Для приближения к истинному механизму разрушения (которому соответствует минимальное значение верхней оценки предельной нагрузки) используем аппарат линейного программирования (ЛП). Опорные устройства включаем в число неподвижных АЖКЭ. Произвольные АЖКЭ оболочки имеют шесть степеней свободы в трехмерном пространстве. В нормальных к £0 сечениях оболочки в общем случае учитывается работа трех внутренних сил и двух внутренних моментов (момент М не является обобщенной силой для оболочек, г ± ^0). Вдоль каждой линии разрушения на £0 производится линейная аппроксимация скорости диссипации механической энергии. Соответствующие ограничения задачи ЛП, вытекающие из принципа максимума Мизеса [1] и обусловленные аппроксимацией предельной поверхности в пространстве внутренних сил и моментов вписанным многогранником, записываем в начале и в конце каждой линии разрушения.

С учетом сказанного выше, задача о несущей способности оболочки сформулирована в виде

следующей задачи ЛП: найти min , где

m "2

= 0,5£

k=1 j=1

при условии

¿

j=i

и при соблюдении ограничений вида N1k >

В выражениях (1)—(3) N1k, N2k — погонные мощности внутренних силовых факторов в начале и в конце k-й линии разрушения на S0 соответственно; lk— длина k-й линии разрушения; m — число линий разрушения; Fj0, М° — главный вектор и главный момент внешних сил, приведенных к полюсу j-го жесткого элемента (зависят от параметра ); Fj1, М^ — аналогичные величины, не зависящие от монотонно возрастающего параметра ; vj, — скорость перемещения полюса и скорость поворота вокруг полюса j-го АЖКЭ соответственно; n1, n2— коли-че тва естких элементов соответствующего типа; (R1*, M1*i )k— сила и момент, определяющие положение i-й вершины многогранника прочности (в пространстве обобщенных сил) в начале k-й линии разрушения, k4— число вершин соответствующего многогранника прочности; (R*, M2i) k5— аналогичные величины для конечной точки k-й линии разрушения; (Av1 , Av2 )k — разрывы скоростей перемещений в начале и в конце k-й линии разрушения соответственно; Afök — разрыв скоростей поворотов двух соседних АЖКЭ, общей границей которых является k-я линия разрушения.