Применение пакетов символьных вычислений к исследованию спектра оператора кривизны на метрических группах Ли

УДК 514.765

О.П. Гладунова, Д.Н. Оскорбин

Применение пакетов символьных вычислений к исследованию спектра оператора кривизны на метрических группах Ли*

O.P. Gladunova, D.N. Oskorbin

An Application of Symbolic Computation Packages to the Investigation of the Curvature Operator Spectrum on the Metric Lie Groups

Спектр различных операторов на многообразиях изучался многими математиками. В общем случае эта задача достаточно сложна. Поэтому приходится накладывать ограничения на класс рассматриваемых многообразий или их размерность. Если размерность многообразия конечна, то представляется возможным применение систем аналитических вычислений. В настоящей работе с помошью пакета Maple проведено исследование спектра оператора кривизны групп Ли размерности З и 4 с конформно полуплоскими левоинвариантными римановыми метриками.

Ключевые слова: пакеты символьных вычислений, алгебры Ли, оператор кривизны.

The spectrum of different operators on manifolds was studied by many mathematicians. In general case, this problem is quite difficult. Therefore it is necessary to impose restrictions either on the class of manifolds or on their dimension. An application of analytical calculations systems is possible if the dimension is finite. In this paper, the spectrum of the curvature operator of 3- and 4-dimensional Lie groups with half conformally flat left-invariant Riemannian metrics was investigated with Maple.

Key words: symbolic computation packages, Lie algebras, curvature operator.

1. Обозначения и факты. Пусть (М, д) -ориентированное риманово многообразие размерности п; X, У, Z, V - векторные поля на М. Обозначим через V связность Леви-Чивита и через Я - тензор кривизны Римана. Разделим тензор кривизны Я на метрический тензор д в смысле произведения Кулкарни-Номидзу, получим тензор Вейля Ш и тензор одномерной кривизны А (см. подробнее [1]):

Я = Ш + А@ д.

Матрицу оператора кривизны ^ относительно разложения (2) можно представить в блочном виде [2]:

К=

К ^ Z' Ш- + ± и ) ’

*Работа выполнена при поддержке программы стратегического развития ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» на 2012—2016 гг. «Развитие Алтайского государственного университета в целях модернизации экономики и социальной сферы Алтайского края и регионов Сибири», Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ—921.2012.1), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0457) и гранта ФЦПК (соглашение №8206, заявка №2012-1.1-12-000-1003014).

где W + и W- — матрицы автодуальной и ан-тиавтодуальной составляющих тензора W.

Если размерность многообразия dim M = 4, то риманова метрика g индуцирует скалярное произведение (•, •) в слоях пространства расслоения Л2M по правилу (Xi Л X2 ,Yi Л Y2 )x =

det(gx(Xi,Yj)). Оператор Ходжа * : Л2rM ^ №xM, задаваемый соотношением (*а, в) vol = а Л в для любых а, в Є Л2XM, x Є M), где vol — форма объема на M, обладает тем свойством, что *2 = Id. Отсюда

ЛXM = Л+  Л-,

где Л+ и Л- обозначают соответственно собственные пространства, отвечающие собственным значениям +1 и —1 оператора *. При этом любой ортонормированный базис ei, e2, єз, e4 пространства TXM определяет ортонормированный базис

—(ei Л e2 і єз Л e4), — (ei Л єз ± e4 Л e2), —(ei Л e4іе2Лєз) пространства Л±M (см., например: [1]).

Риманову тензору кривизны R в любой точке многообразия M можно поставить в соответствие оператор R : ЛXM ^ ЛXM, определяемый равенством

где Rx (X, Y, T, V) = gx (R(X, Y)T,V).

Лемма 1. [3] Пусть [еі, е2,..., еп} - орто-

базис, в котором диагонализируемы матрицы операторов Риччи \\rij У и одномерной кривизны \\Aij||. Тогда в базисе [ві А в^}і<2, при условии Ш = 0, диагонализируема матрица оператора кривизны К : Л2М ^ Л2М, при/чем спектр оператора К есть [Кі2}і<2, где К^ = Ка(еі А в^).

Лемма 2. [4] Пусть О - вещественная 4-мерная группа Ли с левоинвариантной римано-вой метрикой. Тогда 1) Ш + = 0 в том и только том случае, если Ш = 0; 2) Ш- =0 в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий: либо Ш = 0, либо алгебра Ли группы О есть одна из алгебр следующего списка: алгебра Ли А4 9 с набором структурных констант е\ 4 = 2А, 02,3 = с2,4 = с3,4 = А > 0, в = 1 или с}4 = 02,3 = 2А, о2,4 = о3,4 = А > 0, в = 1; алгебра Ли А“ п (а > 0) с набором структурных констант с} 4 = 2Аа, с\ 3 = о2 4 = 03 4 = Аа, с2,4 = —с3 ,4 = -А, А > 0 или с[,4 = с2 ,3 = 2Аа, с2 4 = с3 4 = Аа, с3 4 = —С3 4 = —А, А > 0.

2. Основные алгоритмы. В решении задачи о нахождении спектра оператора кривизны можно выделить следующие основные этапы:

1) отыскание компонент тензора кривизны;

2) нахождение оператора кривизны;

3) определение собственных значений (спектра) оператора кривизны.

Решение задачи на каждом этапе проводилось по следующему алгоритму. Первоначально строилась удобная для вычислительной работы модель исследуемого объекта. Далее создавалась программа для реализации в системе аналитических расчетов Маріє. Следующий шаг был посвящен анализу и истолкованию полученных результатов. После чего делался вывод о структуре изучаемого объекта и о возможности уточнения модели.

Таким образом, для нахождения спектра оператора кривизны конечномерных групп Ли с левоинвариантной (псевдо) римановой метрикой необходимо реализовать следующую схему:

Задача:

найти компоненты тензора кривизны (Я^кг) левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на конечномерной группе Ли

Математическая модель:

Яіікг = ^ Гяй , г — г^ Гія , г + Г^к г^ , г = Гу ,к дкі Гі2,к 2

сі2і сЇ2 gks,

где ск - структурные константы алгебры Ли, ді2 - компоненты метрического тензора, Г^}к - символы Кристоффеля первого рода,

- символы Кристоффеля второго рода, дкі - компоненты кометрического тензора, Яіікг - компоненты тензора Римана, п - размерность группы Ли

Применение систем компьютерной математики:

1) пишем процедуру для отыскания компонент тензора кривизны;

2) задаем массив структурных констант (ск), метрический тензор (д^) и находим компоненты тензора кривизны

Задача:

найти компоненты оператора кривизны конечномерных групп Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой

I

I

I

К25 = 2(Я1313 — Я2424)?

К-26 = 2 (Яі314 — Яі323 + Я4214 + Я4223), К-33 = 2 (Яі414 + 2Яі423 + Я2323),

К-34 = ^(Яі214 + Яі223 — Я3414 — Я3423),

К-35 = ^ (Яі314 + Я1323 — Я4214 — Я4223),

К-36 = ^ (Яі414 — Я2323),

^-44 = 2(Яі212 — 2Яі234 + Я3434),

К-45 = 2(Яі213 — Яі242 — Я3413 + Я3442),

К-46 = 2(Яі214 — Яі223 — Я3414 + Я3423),

К-55 = 2(Яі313 + 2Яі324 + Я2424),

К56 = 2 (Я1314 — Я1323 — Я4214 + Я4223), К66 = 2 (Я1414 — 2Я1423 + Я2323)?

Я^ы — компоненты тензора Римана, Кгі —компоненты оператора кривизны

Применение систем компьютерной математики:

используя встроенную процедуру СКМ, находим собственные значения (элементы спектра) оператора кривизны

Кроме того, в работе потребуется определить компоненты секционной кривизны, используя следующую схему

Задача:

найти секционную кривизну конечномерных групп Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой

I

Применение систем компьютерной математики:

1) пишем процедуру для отыскания компонент оператора кривизны в пространстве расслоения бивекторов;

2) используя найденные выше компоненты тензора кривизны, находим оператор кривизны

КА П) =

Математическая модель:

Янктз ЄпкїтП

(днтдкі — дні дкт)£нпк

К (С ^ п) — секционная кривизна в направлении двумерной площадки ортогональных векторов С, п

I

I

I

Задача:

найти спектр оператора кривизны конечномерных групп Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой

I

Применение систем компьютерной математики:

1) пишем процедуру для отыскания компонент тензора кривизны;

2) задаем массив компонент тензора кривизны (Яіікг) и метрический тензор (діі);

3) находим секционную кривизну

3. Спектр оператора кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой. При помощи описанных алгоритмов и пакета символьных вычислений среды Maple вычислен и исследован спектр оператора кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

Теорема 1. Пусть G — трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой (-, •), {ei_,e2,e3} - ортонормированный базис Милнора. Тогда оператор кривизны R в базисе {e2 Л e3, e3 Л el, el Л e2} имеет диагональный вид, и его спектр есть {aij}i<j, где aij = K(ei Л ej) — секционные кривизны в направлениях (eiЛej). Более того, в случае унимодулярной группы спектр оператора R имеет вид:

Ст12 = —(2A2A3 + 2A1A3 - 2A1A2 - 3A3 + A2 + A2),

023 = -(2A1A2 + 2A1A3 - 2A2A3 - 3Al + A2 + A|),

031 = 4(2AiA2 - 2A1A3 + 2A2A3 - 3A2 + A2 + A§),

где Ai Є R — структурные константы алгебры Ли группы G, i = І, 2, 3; в случае неунимодуляр-ной группы:

012 = -І - С2 P - 2СP,

°3l = -І - с2P + 2CP,

023 = -І + C2P,

где С > О, P > І; С, P — структурные константы алгебры Ли группы G.

Доказательство. Истинность теоремы следует из леммы 1, свойств тензора кривизны и результатов работы [5].

Рассмотрим отображение F : (A1,A2,A3) ^ (012,023,031) в областях

П1 = {О < A1 < A2 < A3, A1 + A2 < A3} и

П1 = {О < A1 < A2 < A3, A1 + A2 > A3}.

Лемма 3. Отображение F инъективно в каждой из областей П1, Пі .

Доказательство. Найдем матрицу Якоби отображения F и его якобиан, применяя пакет аналитических расчетов Maple:

J = -1 ((A1 + A2 - A3)(A2 + A3 - Al)(A3 + A1 - A2).

В области Пі выполнено J > О, в области П1: J < О.

Отображение F : R3 ^ R3, F = (F",F2, F3), где Fi (i = І, 2, 3) — многочлены степени не выше 2 со знакоопределенным якобианом J, в выпуклой области П инъективно. Действительно, при указанных ограничениях F(y) - F(x) = J()(y -x), x, y Є П.

Аналогичным образом нетрудно определить все области, в которых отображение F инъек-тивно, соответственно, имеет обратное. Используя

полученные результаты об областях обратимости отображения, получаем критерий существования трехмерной группы Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой. Эти результаты обобщаются на случай локально однородных трехмерных рима-новых многообразий (см. подробнее: [3]).

Лемма 4. Локально однородное трехмерное риманово многообразие (М, д) с главными значениями оператора кривизны (023, 013, 012) существует в том и только в том случае, если числа

(с точностью до перестановок) удовлетворяют хотя бы одному (возможно, нескольким) из условий:

1. Два числа равны нулю.

2. (012 + 02з)(02з + озі)(озі + 012) > 0 (А), или по крайней мере два из чисел о12 + о23, о23 + 031,031 + 012 нули.

3. 031012 < о2з < ()2 , < 023.

4. Спектр оператора кривизны четырехмерных конформно полуплоских групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой

Теорема 2. Пусть 0 — вещественная 4-мерная алгебра Ли группы Ли О с левоинвариантной римановой метрикой и автодуальной компонентой Ш- = 0 тензора Вейля. Тогда существует базис внешних форм пространства Л±О, в матрице оператора кривизны на главной диагонали стоят секционные кривизны.

Доказательство. Для алгебры Ав 9 зафиксируем набор структурных констант с]; 4 = 2Н, с2 3 = с2 4 = с3 4 = Н > 0, в = 1 и, применяя алгоритмы, приведенные в разделе 2, определим компоненты оператора кривизны Я

/ 7и2

' 8

О

7И 2

О

ОО

И о

О О

8

3И 2

8

О

О

О

31H2

8

О

О

9H 2

3H2 ' 8 О

О

15H2

3И 2 8

О

О

15H2

8

О

О

О

9и2

О

О

15и2

( О 2 я 1 - 4 я2 -4я2

-4 я2 О - 4 я2 -я2

-4 я2 2 я 1 О -я2

4я2 -я2 -я2 О

и оператора секционной кривизны

K=

Переходя к базису внешних форм vi = єі Л e2,V2 = el Л e3,V3 = el Л e4,V4 = e2 Л e3,V5 = e2 Л e4, V6 = єз Л e4 и используя встроенные процедуры пакета Maple, замечаем, что матрица оператора кривизны R в базисе внешних форм примет

О

8

8

8

8

вид

( K12 О О О О Rl234N'

О Кіз О О Rl324 О

О О Kl4 Rl423 О О

О О Rl423 К to со О О

О Rl324 О О 4 2 О

\Rl234 О О О О К34 J

где компоненты секционной кривизны Кі8 определены выше, а компоненты тензора кривизны имеют вид: Й1234 = 1 Н2, Й1324 = - 2 Н2, #1423 =

-И2.

Теперь для алгебры Ли А4 9 фиксируем набор структурных констант с^ 4 = с2 3 = 2Н, с2 4 = с| 4 = Н > 0, в = 1 и, применяя алгоритмы, приведенные в разделе 2, определим компоненты оператора кривизны Я

\

О О О О О О

О О О О О О

О О -6H2 О О О

О О О -2H2 О О

О О О О -2H2 О

О О О О О -2H

оператора секционной кривизны

/ О -H2 -H2 -4H 2\

H2 О 4H2 -H2

К H2 4H2 О -H2

- 4H2 -H2 -H2 О

Переходя к базису внешних форм и используя встроенные процедуры пакета Maple, замечаем, что матрица оператора кривизны R в базисе внешних форм примет вид

( К12 О О О О -Кі2^

О К13 О О Кіз О

О О К14 Rl423 О О

О О Rl423 К23 О О

О Кіз О О 4 2 К О

^ К12 О О О О К34

При этом секционные кривизны К12 =

К34, К13 = К24,К14 = К23 и определяются (4), а компотента тензора кривизны Д1423 = 2 (К12 +

К13 + К24 + К34).

Аналогично рассматривается случай алгебры Ли А4 11, а > 0. Теорема доказана.

Заметим, что алгоритмы раздела 2 позволяют определить спектр оператора кривизны. В силу теоремы 2 в записи спектра оператора кривизны участвуют лишь секционные кривизны и компоненты Д1423, ^1234, ^1324 тензора кривизны.

2

Библиографический список

1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: пер. с англ.: в 2 т. - М., 1990.

2. Singer I.M., Thorpe J.A. The curvature of 4-dimensional Einstein spaces // Global Analisis, Papers in Honour of K. Kodarira, Univ. - Tokyo, 1969.

3. Математическое моделирование в социальноэкономических и естественных науках / О.П. Гла-дунова, М.В. Куркина, Д.Н. Оскорбин, И.В. Поно-

марев, Е.Д. Родионов, В.В. Славский. - Барнаул, 2012.

4. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О конформно полуплоских 4-мерных группах Ли jj Владикавказский математический журнал. - 2011. - Т. 13, вып. 3.

5. Nikonorov Y.G., Rodionov E.D., Slavskii V.V. jj Journal of Mathematical Sciences. - 2007. -V. 146, №6.