Курс «Избранные главы элементарной математики (олимпиадные задачи)»

С. А. ЯРДУХИНА, А.К. ЯРДУХИН

КУРС «ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ (ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ)»

Рассматриваются некоторые вопросы подготовки будущих учителей математики к работе в профильной школе. Разобрана структура одной из дисциплин специализации по методике преподавания математики - «Избранные главы элементарной математики (олимпиадные задачи)».

Все математические дисциплины, изучаемые студентами математического факультета Чувашского государственного университета, которые планируют работать в сфере преподавания, можно разделить на две группы:

1) общие дисциплины;

2) дисциплины специализации по методике преподавания математики:

- «История и методология математики»;

- «История отечественного школьного математического образования»;

- «Содержание программ и учебников по математике»;

- «Содержание внеклассной работы по математике»;

- «Геометрические задачи на построение»;

- «Бриллианты элементарной геометрии»;

- «Избранные главы элементарной математики (олимпиадные задачи)»;

- «Методика преподавания математики»;

- «Современные педагогические технологии»;

- «Новые информационные технологии»;

- «Конструирование задач по элементарной математике».

Последние четыре предмета, в свою очередь, образуют блок дисциплин дополнительной квалификации «Преподаватель». Студентам, проходящим специализацию на других кафедрах, для получения квалификации достаточно изучить только этот блок дисциплин плюс некоторые, не рассматриваемые в данной работе курсы психолого-педагогического направления. Однако для полноценной профессиональной подготовки специалиста-педагога желательно прослушать и курсы специализации по методике преподавания математики, поэтому посещение этих курсов открыто для всех студентов математического факультета.

Особое внимание к спецкурсу «Избранные главы элементарной математики (олимпиадные задачи)» обусловлено следующими причинами:

1. Переход на профильное обучение.

Профильное обучение в нашей стране имеет исторические корни: об этом свидетельствует функционирование реальных и классических гимназий в XIX в., специализированных школ с углубленным изучением ряда предметов, специализированных классов, факультативов в 70 - 80-е годы XX в. В настоящее время утверждена Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования, в которой предусматривается профильное обучение в старших классах общеобразовательных школ.

Учителя школ Чувашской Республики отмечают, что наиболее популярными среди учеников элективными курсами предпрофильной подготовки и профильного обучения являются те, содержание которых составляют нижеперечисленные разделы школьной математики:

«прикладные» - текстовые задачи, математические методы в экономике, элементы теории вероятностей и математической статистики и т.д.;

«абитуриентские» - задачи с параметрами, функции и их свойства, методы решения уравнений и неравенств и т.д.;

© Ярдухина С.А., Ярдухин А.К., 2007

«олимпиадные» - методы решения олимииадных задач, задач повышенной трудности, логические задачи.

Следовательно, будущий учитель математики должен быть готов к работе на профильном уровне и иметь необходимую теоретическую и практическую базу для преподавания соответствующих разделов курса математики.

2. Рост популярности математических олимпиад в Чувашской Республике.

Последние несколько лет школьники Чувашии стали принимать более активное участие в различных математических соревнованиях, число которых постоянно растет. На сегодняшний день в республике регулярно проводятся следующие турниры: «Этапы Всероссийской олимпиады (8 - 11-е кл.), «Турнир юных математиков» (5 - 11-е кл.), «Юные дарования» (5 - 7-е кл.), «Турнир городов» (осенний и весенний туры, 7 - 11-е кл.), Международный конкурс «Кенгуру» (2 - 11-е кл.), городская олимпиада (7-е кл.), а также многочисленные абитуриентские олимпиады в различных вузах и их филиалах. Учителя ощущают дефицит хорошей литературы по данной тематике; многим из тех, кто хотел бы подготовить своих учеников к соревнованиям, не хватает времени на самостоятельную разработку элективных курсов, а также опыта такой работы. Значительная часть работы по методическому сопровождению этих курсов лежит именно на сотрудниках кафедры методики преподавания математики ЧГУ, а также на Чувашском республиканском институте образования (ЧРИО), в котором работают курсы повышения квалификации учителей математики.

К изучению курса большая часть студентов приходит с личным опытом участия в математических олимпиадах различного уровня (как минимум - студенческих математических боев). Общая структура подготовки будущих учителей следующая:

По учебному плану спеццисциплина «Избранные главы элементарной математики» читается в 9-м семестре (5-й курс), на нее отводится 30 часов лекций, 15 часов лабораторных занятий и 75 часов самостоятельной работы (всего 120 часов). Форма контроля -экзамен; на нем студент представляет и защищает свою разработку, где подробно рассматривается один из приемов или методов решения некоторого класса олимпиадных задач.

На первом занятии проводится тест, состоящий из 6 задач с нарастанием уровня сложности. Цель этих заданий - проверить умение студентов подбирать примеры, подтверждающие либо опровергающие некоторую гипотезу, а также умение перевести нестандартную задачу на язык элементарной математики.

Пример теста

1. Привести пример уравнения, корнями которого являются

а) только числа 2 и 3;

б) все действительные числа, кроме 2 и 3;

в) все целые числа и никакие другие;

г) все нечетные натуральные числа и никакие другие;

д) все иррациональные числа и никакие другие.

В случае, если таких уравнений не существует, необходимо это обосновать.

2. Привести примеры:

а) двух непериодических функций, сумма которых - периодическая функция;

б) двух периодических функций, сумма которых - непериодическая функция;

в) двух возрастающих функций, произведение которых - убывающая функция;

г) двух иррациональных чисел, сумма которых - рациональное число;

д) двух рациональных чисел, сумма которых - иррациональное число.

В случае, если таких функций (чисел) не существует, - обосновать это.

3. Привести примеры:

а) трех четырехугольников, которые являются одновременно вписанными в окружность и описанными около окружности;

б) четырехугольника, все стороны которого равны, но не являющегося ромбом;

в) двух четырехугольников - первый лежит внутри второго, но периметр первого больше, чем периметр второго;

г) семи цилиндров, расположенных в пространстве так, что каждый из них касается всех остальных;

д) плоской фигуры, имеющей ровно 2007 осей симметрии.

В случае, если таких фигур не существует, необходимо это обосновать.

4. Вычислить: Составить задачу, использующую

аналогичную идею решения, но не содержащую функций «логарифм» и «тангенс» (котангенс).

5. Доска для игры в «Морской бой» - квадрат 10x10 клеток.

1. Какое наибольшее количество прямоугольников размером:

а) 2x1; б) 3x1; в) 4x1

можно разместить на этой доске?

2. Ответить на вопрос 1а), если у доски вырезаны 2 противоположные угловые клетки.

3. Из доски вырезана одна произвольная клетка. Может ли при этом измениться ответ на вопрос 16) (в зависимости от того, какая именно клетка вырезана)?

6. Приведите пример задачи (решение должно быть Вам известно!), которая может быть быстро решена с помощью одной-двух нетривиальных идей.

После проведения теста начинается непосредственное изложение материала. Разбираются основные приемы решения олимпиадных задач. Основу содержания курса составляют следующие темы:

1. Математические соревнования школьников, проводимые в Чувашской Республике: виды, краткая характеристика. Организация и проведение олимпиад, проверка и критерии оценивания.

2. Логические методы решения задач: принцип Дирихле, принцип максимума информации, метод математической индукции, инварианты, идея последовательного упрощения условия задачи.

3. Решение задач с использованием методов теории чисел: сравнение по модулю, признаки делимости, элементы теории многочленов.

4. Алгебраические приемы решения задач: неполное разложение многочленов на множители, использование классических неравенств, геометрическая интерпретация.

5. Геометрические методы решения задач: неравенство треугольника, подсчет углов, площади, движения плоскости, преобразование подобия.

6. Использование свойств функций при решении задач: ограниченность, монотонность, четность, периодичность, выпуклость.

7. Комбинаторно-геометрические идеи решения задач: задачи на разбиение, на разрезание, на раскрашивание; задачи на клетчатой бумаге.

8. Применение графов при решении задач. Основные понятия теории графов.

9. Многовариантные логические задачи.

Целенаправленная подготовка студентов к решению олимпиадных задач не ограничивается рамками данного спецкурса. В частности:

- на 5-м курсе студенты уже имеют достаточное количество времени для самостоятельной работы, при этом кафедра в достаточном объеме обеспечена необходимой литературой - методическими разработками преподавателей кафедры и изданиями, в которых имеется систематизированный олимпиадный материал [1; 2; 3; 4; 5; 6; 7];

- часть материала, используемого при решении олимпиадных задач, вынесена за пределы рассматриваемого курса: большая часть геометрических методов решения рассматривается на занятиях по дисциплинам «Геометрические задачи на построение» (7-й семестр) и «Бриллианты элементарной геометрии» (9-й семестр) [8];

- студенты участвуют в подготовке материалов для курсов повышения квалификации учителей математики в ЧРИО и сами посещают эти курсы; кроме того, учителя проводят мастер-классы для студентов;

- весь пройденный материал студенты закрепляют при прохождении педагогической практики в 10-м семестре в школах г. Чебоксары с давними олимпиадными традициями (таких, как МОУ «Лицей № 3», «Гимназия № 1», «СОШ № 59» и др.), а также работая в жюри различных олимпиад, проводимых при участии кафедры методики преподавания математики.

Литература

1. Бабинская, И.Л. Задачи математических олимпиад / И.Л. Бабинская. М.: Наука, 1975.

2. Берлов, C.JI. Петербургские математические олимпиады / C.JI. Берлов, С.В. Иванов, К.П. Кохась. СПб.: Лань, 2003.

3. Генкин, С.А. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы / С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин. Киров, 1994.

4. Канель-Белов, А.Я. Как решают нестандартные задачи / А.Я. Канель-Белов, А.К. Ко-вальджи. М., 2004.

5. Муштари, Д.Х. Подготовка к математическим олимпиадам: кн. для уч-ся / Д.Х. Муш-тари. Казань: Казан, мат. о-во, 2000.

6. Супрун, В.П. Математика для старшеклассников. Нестандартные методы решения задач / В.П. Супрун. Минск, 2003.

7. Фомин, Д.В. Санкт-Петербургские математические олимпиады / Д.В. Фомин. СПб.: Политехника, 1994.

8. Ярдухин, А.К. Курс «Бриллианты элементарной геометрии» в системе подготовки будущих учителей математики / А. К. Ярдухин, С.А. Ярдухина // Современные методы физи-ко-математических наук: тр. Междунар. науч. конф. Т. 3. Орел: Изд-во ОГУ, 2006. С. 237 - 240.

Г.И. КОВАЛЕВА, Н.А. АСТАХОВА

МЕТОДИКА ВКЛЮЧЕНИЯ НЕСТАНДАРТИЗИРОВАННЫХ ЗАДАЧ В ПРОЦЕСС ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Рассматриваются место и роль нестандартизированных задач в обучении старшеклассников математике. Обсуждаются методика включения таких задач в процесс обучения, возможные трудности в решении и пути их преодоления.

По характеру условия задачи можно классифицировать на стандартизированные и нестанд артизированные.

Стандартизированные, или определенные - это задачи, содержащие в условии необходимое и достаточное количество данных для получения единственно возможного ответа.

© Ковалева Г.И., Астахова Н.А., 2007