Теоретическое исследование электронной структуры золотых нанотрубок (8,0) в модели Хаббарда

ФИЗИКА

УДК 538.911

Б01 10.21685/2072-3040-2019-2-5

Г. И. Миронов, А. Д. Семенов

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОЙ СТРУКТУРЫ ЗОЛОТЫХ НАНОТРУБОК (8,0) В МОДЕЛИ ХАББАРДА

Аннотация.

Актуальность и цели. Проведено теоретическое исследование энергетического спектра золотых нанотрубок (8,0) в рамках модели Хаббарда в узельном представлении, вывод уравнения на химпотенциал, корреляционных функций, характеризующих перескоки электронов с узла наносистемы на соседний узел, вероятности нахождения на одном узле двух ^-электронов с противоположно ориентированными проекциями спина и энергии основного состояния. Проведен сравнительный анализ характеристик золотых нанотрубок, содержащих различное число атомов золота. Приведены антикоммутаторные функции Грина, построены энергетические спектры и плотность электронных состояний.

Материалы и методы. Для описания свойств золотых нанотрубок мы построили модель, в рамках которой считаем, что основной вклад в физико-химические свойства золотых нанотрубок вносят ^-электроны, поскольку уровни энергии ¿--электронов золота находятся ниже уровней энергии ^-электронов, по этой причине основные физико-химические свойства нанотрубок из атомов золота определяются ^-электронами. Электронная система ^-электронов является системой с сильными корреляциями, поэтому помимо переноса электронов от одного узла к соседнему узлу необходимо учитывать энергию отталкивания двух ^-электронов с разными проекциями спинов, оказавшихся из-за перескоков электронов на одном узле нанотрубки. Поэтому реальный атом золота представим в виде ^-электрона, движущегося вокруг положительно заряженного иона, составленного из ядра и остальных электронов атома золота. Такая модель описывается хорошо известным гамильтонианом Хаббарда.

Результаты. Определена антикоммутаторная функция Грина, построен и проанализирован энергетический спектр золотых нанотрубок хиральности (8,0), содержащих различное число атомов, определен графический вид уравнения на химический потенциал, вычислены корреляционные функции, приведены энергия основного состояния и плотность электронных состояний.

Выводы. Анализ исследования изменения электронной структуры золотой нанотрубки показал, что с увеличением количества атомов увеличивается ширина нижней (аналога валентной зоны) и верхней (аналога зоны проводимости) хаббардовских подзон. Ширина запрещенной зоны между хаббардовски-

© Миронов Г. И., Семенов А. Д., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

ми подзонами уменьшается с ростом нанотрубки, это говорит о том, что нано-трубки ведут себя как полупроводники, при числе атомов золота в нанотрубке 128 наблюдается переход полупроводник-металл. Увеличение количества атомов в нанотрубке приводит к разглаживанию графика зависимости энергии основного состояния от отношения кулоновского потенциала к интегралу перескока. Это связано с тем, что при увеличении размеров нанотрубки электроны периферийных атомов начинают все меньше влиять на электроны в центре рассматриваемой структуры. Также с увеличением количества атомов в нанотрубке разглаживаются и плотности электронных состояний. Пики плотности электронных состояний соответствуют сингулярностям Ван Хова.

Ключевые слова: золотая нанотрубка, гамильтониан Хаббарда, функции Грина, фурье-образ антикоммутаторной функции Грина, энергетический спектр, химический потенциал, энергия основного состояния, энергия ионизации, энергия сродства к электрону, плотность электронных состояний.

G. I. Mironov, A. D. Semenov

A THEORETICAL STUDY OF THE ELECTRONIC STRUCTURE OF GOLD NANOTUBES (8,0) WITHIN THE HUBBARD MODEL

Abstract.

Background. A theoretical study was conducted of the energy spectrum of gold nanotubes (8.0) within the framework of the Hubbard model in a node representation, the derivation of the equation for the chemical potential, correlation functions characterizing the electron hopping from the nanosystem node to the next node, the probability of finding two on one node d electrons with oppositely oriented projections of the spin and the ground state energy. A comparative analysis of the characteristics of gold nanotubes containing different numbers of gold atoms has been carried out. The anticommutator Green functions are given, the energy spectra and the density of electronic states are constructed.

Materials and methods. To describe the properties of gold nanotubes, we built a model in which we believe that the main contribution to the physicochemical properties of gold nanotubes is made by d-electrons, since the energy levels of the s-electrons of gold are lower than the energy levels of d-electrons; The main physico-chemical properties of nanotubes made of gold atoms are determined by d-electrons. The electron system of d-electrons is a system with strong correlations; therefore, in addition to transferring electrons from one node to a neighboring node, we take into account the repulsion energy of two d-electrons with different spin projections, which are found due to electron hops on one nanotube node. Therefore, we represent the real gold atom in the form of a d-electron moving around a positively charged ion made up of the nucleus and the rest of the electrons of the gold atom. Such a model is described by the well-known Hubbard Hamiltonian.

Results. The anticommutator Green function was determined, the energy spectrum of gold nanotubes of chirality (8.0) containing different numbers of atoms was constructed and analyzed, the graphic form of the equation for the chemical potential was determined, the correlation functions were calculated, the ground state energy and the density of electronic states are given.

Conclusions. An analysis of the study of the change in the electronic structure of a gold nanotube showed that with an increase in the number of atoms, the width of the lower (analogous valence band) and upper (analogous conduction band) Hub-bard subbands increases. The width of the band gap between Hubbard pollens decreases with the growth of a nanotube, which suggests that nanotubes behave like

semiconductors, with the number of gold atoms in a nanotube 128, asemiconductor-metal transition occurs. An increase in the number of atoms in a nanotube leads to a smoothing of the graph of the dependence of the ground-state energy on the ratio of the Coulomb potential to the hopping integral. This is due to the fact that as the nanotube size increases, the electrons of the peripheral atoms begin to less and less influence the electrons in the center of the structure under consideration. Also, with an increase in the number of atoms in a nanotube, the densities of electronic states are smoothed. The peaks of the density of electronic states correspond to the Van Hove singularities.

Keywords: gold nanotube, Hubbard Hamiltonian, Green functions, Fourier transform of the anticommutator Green function, energy spectrum, chemical potential, ground state energy, ionization energy, electron affinity energy, density of electronic states.

Введение

Выраженный интерес к теоретическому исследованию нанотрубок, состоящих из атомов золота Au, вызван перспективой их применения в лечении раковых заболеваний [1], в качестве контактов между элементами молекулярной электроники [2], в качестве катализатора при протекании некоторых химических реакций [3]. Физико-химические свойства золота уникальны [4]. Отметим, что их свойства сильно отличаются от свойств объемных образцов металла: так, если обычное золото является диамагнетиком, то наночастицы золота ведут себя как ферромагнитные частицы. Наночастицы золота, введенные в организм больного, «прилипают» к опухолевым клеткам [1], поэтому место локализации опухолевых клеток можно легко обнаружить с помощью современных средств диагностики [5]. Исследование наночастиц золота в настоящее время является актуальной задачей как физики, так и химии.

Для возможности проведения исследования реальную золотую нано-трубку мы должны заменить теоретической моделью, которая могла бы объяснить большую часть физико-химических свойств золотых нанотрубок и предсказать новые свойства этих наночастиц золота. Будем исходить из того, что в нанотрубках из атомов золота определяющую роль играют J-электроны [4], так как уровни энергии s-электронов золота находятся ниже уровней энергии J-электронов, по этой причине транспортные свойства нанотрубок определяются J-электронами. Электронная система J-электронов является системой с сильными корреляциями, поэтому помимо переноса электронов от одного узла к соседнему узлу необходимо учитывать энергию отталкивания двух J-электронов с разными проекциями спинов, оказавшихся из-за перескоков электронов на одном узле нанотрубки. Поэтому реальный атом золота представим в виде J-электрона, движущегося вокруг положительно заряженного иона, составленного из ядра и остальных электронов атома золота. Такая модель представляет собой микроскопическую модель Хаббарда [6]. Отметим, что за 30 лет до появления работы Хаббарда была предложена более общая модель Шубина - Вонсовского [7], модель Хаббарда является ее частным случаем. В рамках гамильтониана Хаббарда удается объяснить наиболее существенные свойства переходных металлов [8], а также наноструктур [9, 10].

Модель Хаббарда - это приближение, которое используется в физике конденсированного состояния для описания перехода между проводящим и диэлектрическим состояниями. Названа она в честь Джона Хаббарда, являет-

ся простейшей моделью, описывающем взаимодеиствие частиц в решетке. Ее гамильтониан содержит собственную энергию электронов, кинетический член, соответствующий туннелированию («перескокам») частиц между узлами решетки, и слагаемое, описывающее кулоновское отталкивание двух электронов с противоположно ориентированными проекциями спинов, оказавшихся на одном узле нанотрубки. Гамильтониан модели Хаббарда имеет вид [6]:

N N N

Н = еЕ(п/Т+п/ 4) + В^(а/ о, а/о+а/о, а+о) + и ТП/ Т п/ 4,

/ / /

где е - собственная энергия ^-электронов; В - интеграл перескока электрона с узла на соседний узел; и - кулоновский потенциал или энергия кулоновско-

го отталкивания двух электронов на одном узле нанотрубки; а/о, а/о -

операторы рождения и уничтожения электрона на узле / с проекцией спина о; / - индекс, нумерует узлы кристаллической решетки, о - проекция спина (Т или |);

Решение

Рассмотрим модель золотой нанотрубки (8,0), содержащей 40 атомов Аи [11], а затем содержащей 112, 200, 224 атомов Аи. Энергетический спектр определяется полюсами функций Грина. При построении энергетического спектра будем исходить из следующих значений параметров рассматриваемой модели для атомов золота: интеграл перескока В = -1 еУ, а кулоновский потенциал и = 8,85 еУ, значение собственной энергии определим из решения уравнения на химпотенциал.

Написав уравнение движения для операторов рождения электронов на всех узлах нанотрубки, решив получившуюся систему уравнений в приближении статических флуктуаций [12], можем вычислить фурье-образ антикоммутаторной функции Грина для золотой нанотрубки (8.0). В случае нано-трубки из 40 атомов Аи получим следующее выражение для атома в центре нанотрубки:

+ , / Д, Г 0,0208 0,0208 0,0208

а +„/к= — > \---+---+---+

20Т1 I e-е -5,4645 E-£а + 1,464В E-еа- 1,999В

0,0624 0,0416 0,0416 0,0416 +-'-+-'-+-'-+-'-+

E -еа + 2 В E-еа-1,414В E-еа-2,44В E-еа+1,786В

0,0416 0,0416 0,0416 +-'-+-'-+-'-+

E-еа-4,614В E-еа +0,088В E-еа+ В

0,0416 0,0416 0,0416 1 +---+---+ -

E -еа + 2,739В E-еа + 1,414В E-еа+2,44В]

I еа = е при а = 1, где еа =\

[еа =е + U при а = 2.

Полюса функции Грина описывают энергетический спектр золотой нанотрубки. Числители определяют вероятности нахождения электронов на

0,0208

соответствующих уровнях энергии. Например, выражение -

Е -еа -5,464В

говорит о том, что электрон с вероятностью 0,0208 находится на уровне энергии Е =£а+ 5,464В .

При построении энергетического спектра для 40 атомов золота будем исходить из того, что гамильтониан Хаббарда характеризуется следующими параметрами: е = -3,06 еУ, В = -1 еУ, и = 8,85 еУ. Энергетический спектр приведен на рис. 1.

8

6

4

2

О

2

4

6

8

Рис. 1. Энергетический спектр золотой нанотрубки, состоящий из 40 атомов золота, при значениях параметров и = 8,85 еУ, В = -1 еУ, е = -3,06 еУ

Энергетический спектр Аи(40) показывает, что ширина нижней и верхней хаббардовской подзон В = 8,204 еУ. Ширина запрещенной зоны между подзонами принимает значение А = 0,596 еУ. Нанотрубка (8,0) из 40 атомов благородного металла ведет себя как обычный полупроводник.

В энергетическом спектре Аи(112) Ширина нижней и верхней хаббардовской подзоны В = 8,8 еУ. Ширина запрещенной зоны между подзонами А = 0,02 еУ - нанотрубка из 112 атомов золота представляет собой узкощелевой полупроводник (рис. 2).

В энергетическом спектре Аи(200) ширина нижней и верхней хаббар-довской подзон В = 8,85 еУ, аналоги валентной зоны и зоны проводимости перекрываются, наносистема из 200 атомов золота находится в металлическом состоянии (рис. 3).

В энергетическом спектре Аи(224) ширина нижней и верхней хаббар-довской подзон В = 8,912 еУ, перекрытие хаббардовских подзон происходит

в большей степени по сравнению с нанотрубкой из 200 атомов Аи. Система находится в металлическом состоянии (рис. 4).

Рис. 2. Энергетический спектр золотой нанотрубки, состоящий из 112 атомов золота, при значениях параметров U = 8,85 eV, В = -1 eV, е = -4,3 eV

Рис. 3. Энергетический спектр золотой нанотрубки, состоящий из 200 атомов золота, при значениях параметров U = 8,85 eV, В = -1 eV, е = -2,95 eV

Рис. 4. Энергетический спектр золотой нанотрубки, состоящий из 224 атомов золота, при значениях параметров и = 8,85 еУ, В = -1 еУ, & = -2,95 еУ

В итоге мы получили график зависимости величины ширины хаббар-довской подзоны от числа атомов в золотой нанотрубке (рис. 5); из анализа этого графика зависимости следует, что при увеличении количества атомов в золотой нанотрубке ширина хаббардовских подзон увеличивается. А на другом графике (рис. 6) представлена зависимость величины ширины запрещенной зоны от числа атомов в золотой нанотрубке, из анализа рис. 6 следует, что при увеличении числа атомов Аи в нанотрубке уменьшается ширина запрещенной зоны энергии.

При небольшом количестве атомов в [13] было показано, что одностен-ная золотая нанотрубка (SWGN) ведет себя как полупроводник, наша работа подтверждает этот вывод, но при большем количестве атомов, как показывает наше исследование, нанотрубка ведет себя как металл. Увеличение числа атомов золота в составе нанотрубки ведет как к увеличению числа уровней энергии в спектре, так и увеличению ширины валентной зоны и зоны проводимости. Ширина щели между верхней и нижней хаббардовскими подзонами, играющей роль зоны запрещенных энергий заметно сужается от Аи(24) к Аи(128) по мере увеличения количества атомов в золотой нанотрубке (8,0) и при числе атомов 128 система переходит в металлическое состояние. Таким образом, при указанных значениях параметров рассматриваемой квантовой системы мы наблюдаем переход полупроводник-металл. В работе [13] было получено, что имеет место осцилляция полупроводник-металл-полупроводник-металл по мере увеличения количества атомов в нанотрубке из атомов Аи, хотя никаких видимых причин для такой осцилляции нет. Гипотеза о су-

ществовании осцилляции полупроводник-металл-полупроводник-металл была подвергнута сомнению при исследовании хиральных нанотрубок (5,3) и (5,0) из атомов золота [14]. Наше исследование показывает, что при увеличении числа атомов золота по мере роста нанотрубок в действительности происходит только переход полупроводник-металл без осцилляции полупроводник-металл-полупроводник-металл.

1,6 л

1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 О

Рис. 5. График зависимости ширины хаббардовской подзоны от числа атомов в золотой нанотрубке

1,475

>¿>,2

^---_ 0,043 0,02 о ---*--- N

24 40 56 72 88 112 128

Рис. 6. График зависимости ширины запрещенной зоны от числа атомов в золотой нанотрубке

После получения фурье-образа антикоммутаторной функции Грина напишем уравнение на химпотенциал при 112 атомах Аи, графическое представление этого уравнения показано на рис. 7.

the equation for the chemical potential

rl20

4

г

-110

-100

-90

-6

-5

-4

-3

-2

8

Рис. 7. Химический потенциал одностенной золотой нанотрубки, состоящий из 112 атомов золота при значениях параметров и = 8,85 еУ, В = -1 еУ

Это уравнение позволяет получить значения собственной энергии е в случае как электронейтральной нанотрубки, когда число электронов, отложенное по оси ординат, совпадает с числом узлов нанотрубки 112, так и в

случае отрицательно заряженной нанотрубки Аи-12, когда число электронов равно 112 (выделено на графике) и в случае положительно заряженной нанотрубки Аи+12, когда количество электронов равно 111 (выделено на графике). Отметим, что если в случае обычной модели Хаббарда е = -и/2, то в случае золотых нанотрубок эта зависимость не выполняется, значение собственной энергии определяется из графического решения уравнения на химпотен-циал.

На рис. 8 показана зависимость корреляционной функции (термодинамического среднего), характеризующей вероятность обнаружения на одном узле нанотрубки двух электронов с противоположно ориентированными проекциями спинов при 112 атомах золота в нанотрубке. Штриховой график соответствует 111 электронам при числе узлов 112, из анализа графиков зависимостей следует, что вероятность обнаружения пары электронов в случае

иона Аи1+12 меньше по сравнению другими приведенными на рис. 8 случаями, поскольку даже в основном состоянии один узел из 112 всегда свободен. Этот график соответствует расчету рассматриваемой корреляционной функции при значении собственной энергии электрона 8Ш = -4,12 еУ. Сплошной график, занимающий промежуточное положение, соответствует Аиц2 со 112 электронами на 112 узлах нанотрубки, собственная энергия электрона в этом случае, как следует из анализа уравнения на химпотенциал на рис. 7, определяется равенством еш = -4,3 еУ. График в виде пунктиров характеризует

нанотрубку Аиц2 со 112 электронами на 112 узлах. При вычислении этой корреляционной функции собственную энергию электрона положили равной виз = -4,45 еУ. Наличие одного «лишнего» электрона приводит к увеличению вероятности обнаружения двух электронов на одном узле нанотрубки. Это существенным образом сказывается не только в случае сильной связи.

correlation function of detection of two electrons with oppositely oriented projections of spins at one site

Рис. 8. Корреляционная функция, характеризующая вероятность обнаружения на одном узле нанотрубки двух электронов с противоположно ориентированными проекциями спинов при собственной энергии электрона

£ш = -4,12 еУв случае иона Аи+12 (штриховая линия), при значении в112 = -4,3 еУ в случае электронейтральной нанотрубки Аиц2 (сплошная линия),

при значении е113 = -4,45 еУв случае иона Аи-12 (пунктирная линия), кулоновском потенциале и = 8,85 еУ, х = -П/Б

На рис. 9 корреляционная функция, характеризующая вероятность перескока с одного узла на соседний в случае 112 электронов на 112 узлах, имеет в области сильной связи минимальное значение по сравнению с другими случаями. В случае 111 электронов по сравнению с 113 электронами вероятность перескока больше, потому что меньше вероятность занять узел, где уже есть электрон, испытав при этом кулоновское отталкивание.

Вычислены для Аи(40)-Аи(72)-Аи(112) энергии основного состояния (рис. 10-12).

На представленных рисунках три разные линии, штриховой график, расположенный ближе к оси X, несет в себе информацию отсутствия одного электрона в золотой нанотрубке (положительно заряженная золотая нано-трубка). Пунктирный график, расположенный дальше от оси X, - наоборот, когда у нанотрубки появился один электрон (отрицательно заряженная нанотрубка). Сплошная линия, расположенная в середине, характеризует

нейтральное состояние. Энергия ионизации уменьшается с ростом нанотруб-ки, а энергия сродства, наоборот, увеличивается.

correlation probability function of jumping from one node to a neighboring node

\

6 7 S 9 10 11 12

Рис. 9. Корреляционная функция, характеризующая вероятность перескока с одного узла на соседний при собственной энергии электрона Ещ = -4,12 еУ

в случае иона Аи+12 (штриховая линия), при значении е112 = -4,3 еУ в случае

электронейтральной нанотрубки Аиц2 (сплошная линия), при значении

е113 = -4,45 еУ в случае иона Аи-12 (пунктирная линия), кулоновском потенциале П = 8,85 еУ, х = -П/Б

Рис. 10. Энергия основного состояния для Аи(40) при собственной энергии электрона е39 = -2,75 еУ (Аи-о), е40 = -3,06 еУ (Аи40), е41 = -3,82 еУ (Аи+о), интеграле перескока Б = -П/х еУ и кулоновском потенциале и = 8,85 еУ

Рис. 11. Энергия основного состояния для Au(72) при собственной энергии электрона £71= -2,87 eV (Au-2), £72 = -2,96 eV (Au72), £73 = -3,35 eV (Au+2), интеграле перескока B = -U/x eV и кулоновском потенциале U = 8,85 eV

energy of the ground State 8 9 10 11 12

-4,1 -4,2

-4,3-4,4-4,5 -4,6

Рис. 12. Энергия основного состояния для Au(112) при собственной энергии электрона £ш = -4,12 eV (Au-12), £112 = -4,3 eV (Au112), £113 = -4,45 eV (Au+12), интеграле перескока B = -U/x eV и кулоновском потенциале U = 8,85 eV

На рисунках 13-16 показана плотность электронных состояний золотой нанотрубки (8,0) в произвольных единицах при значениях параметров U = 8,85 eV, В = -1 eV и при собственном значении энергии с 40 атомов £ = -3,06 eV по 224 атомов £ = -2,95 eV [15]. Пики плотности электронных состояний соответствуют сингулярностям Ван Хова. Имея эти зависимости,

можно определить спектр оптического поглощения в случае рассматриваемой наносистемы.

electronic state density

10 -5 0 5 10

Е

Рис. 13. Плотность электронных состояний для 40 атомов золота при значениях параметров и = 8,85 еУ, В = -1 еУ, е = -3,06 еУ

electronic state density

of /1

¡4,2- Г 1

Лл/ 0,1- Lyw/ ^

10 -5 0 5 10

Е

Рис. 14. Плотность электронных состояний для 112 атомов золота при значениях параметров и = 8,85 еУ, В =-1 еУ, е = -4,3 еУ

Заключение

В данной работе мы исследовали энергетические спектры золотых нанотрубок, содержащих 40, 112, 200 и 224 атомов, определили графический вид уравнения на химпотенциал; вычислили энергии основного состояния и плотность электронных состояний.

С учетом вышесказанного можно сделать следующие выводы:

• С увеличением количества атомов увеличивается ширина нижней и верхней хаббардовских подзон.

• Ширина запрещенной зоны между хаббардовскими подзонами уменьшается с ростом нанотрубки, это говорит о том, что нанотрубки ведут

себя как полупроводники до числа атомов в нанотрубке 128 при числе узлов 128 происходит переход полупроводник-металл.

electronic state density

10 -5 0 5 10

Е

Рис. 15. Плотность электронных состояний для 200 атомов золота при значениях параметров и = 8,85 еУ, В = -1 еУ, е = -2,95 еУ

electronic state density

0,' -

oí

fo,2-

/V/ 0,1 "

10 -5 0 5 10

Е

Рис. 16. Плотность электронных состояний для 224 атомах золота при значениях параметров U = 8,85 eV, В = -1 eV, е = -2,95 eV

• Корреляционная функция, характеризующая вероятность перескока электрона с узла на узел, имеет максимальное значение при минимальном значении электронов на узел, потому что меньше вероятность того, что соседний узел уже занят электроном.

• Чем больше приходится электронов, тем больше собственная энергия электронов при одинаковом числе узлов.

Библиографический список

1. Zharov, V. Golden Nanotubes Detect Tumor Cells, Map Sentinel Lymph Nodes / Vladimir Zharov, Jin-Woo Kim et al. // Nature Nanotechnology. - 2009. - Vol. 4. -Р. 688-694.

2. Yarzhemsky, V. G. The Structure of Gold Nanoparticles and Au Based Thiol Self -Organized Monolayers / V. G. Yarzhemsky, C. Battocchio // Russ. J. Inorgan. Chem. -

2011. - Vol. 14. - P. 2147-2159.

3. One-step fabrication of hollow-channel gold nanoflowers with excellent catalytic performance and large single-particle SERS activity / Sunjie Ye, Felix Benz, May C. Wheeler, Joseph Oram, Jeremy J. Baumberg, Oscar Cespedes, Hugo K. Christenson, Patricia Louise Coletta, Lars J. C. Jeuken, Alexander F. Markham, Kevin Critchleya and Stephen D. Evans // Nanoscale. - 2016. - Vol. 8, № 32. - P.14911-15088.

4. Дьячков, П. Н. Электронное строение золотой нанотрубки / П. Н. Дьячков // Журнал неорганической химии. - 2015. - Т. 60, № 8. - C. 1045.

5. Engineering gold nanotubes with controlled length and near-infrared absorption for Theranostic applications / Sunjie Ye, Gemma Marston, James R. McLaughlan, Daniel O. Sigle , Nicola Ingram, Steven Freear, Jeremy J. Baumberg, Richard J. Bushby, Alexander F. Markham, Kevin Critchley, Patricia Louise Coletta and Stephen D. Evans // Adv. Funct. Mater. - 2015. - Vol. 25 (14). - Р. 2117-2127.

6. Hubbard, J. Electron Correlations in Narrow Energy Bands / J. Hubbard // Proc. Roy. Soc. - 1963. - Vol. 276, iss. 1365. - Р.238.

7. Shubin, S. P. On the electron theory of metalls / S. P. Shubin, S. V. Wonsovskii // Proc. Roy. Soc. - 1934. - Vol. 145. - P. 159-180.

8. Миронов, Г. И. Исследование фуллерена Au16 в модели Хаббарда / Г. И. Миронов // Физика твердого тела. - 2008. - Т. 50, № 1. - С. 182-188.

9. Миронов, Г. И. Исследование золотых нанотрубок хиральностей (4,3) и (5,3) в модели Хаббарда / Г. И. Миронов, Е. Р. Филиппова // Физика твердого тела. -

2012. - Т. 54, № 8. - С. 1600-1605.

10. Миронов, Г. И. Исследование структурных элементов золотых нанотрубок в модели Хаббарда / Г. И. Миронов, Е. Р. Филиппова // Физика металлов и металловедение. - 2012. - Т. 113, № 1. - С. 11.

11. Миронов, Г. И. Электронная структура золотых нанотрубок (8,0) в модели Хаббарда / Г. И. Миронов, А. Д. Семенов // Структура и динамика молекулярных систем : сб. ст. / под ред. А. А. Щербиной. - Вып. XXV. - Москва : ИФХЭРАН, 2018. - 177 с.

12. Миронов, Г. И. Энергия основного состояния в B-B'-V модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / Г. И. Миронов // Физика твердого тела. -2002. - Т. 44, № 2. - С. 209-214.

13. Yang, X. P. Geometrical and electronic structures of the (5, 3) single-walled gold nanotube from first-principles calculations / X. P. Yang // Phys. Rev. B. - 2005. -Vol. 71. - P. 233, 403.

14. Миронов, Г. И. Электронные свойства золотых нанотрубок (5, 3) и (5, 0) в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / Г. И. Миронов,

E. Р. Созыкина // Физика низких температур. - 2019. - Т. 45, № 1. - C. 128-133.

15. Семенов, А. Д. Исследование электронной структуры кластеров золотой нанотрубки (8,0) в модели Хаббарда / А. Д. Семенов // Студенческая наука и XXI век. - 2018. - Т. 15, № 2(17). - Ч. 1. - С. 141-144.

References

1. Zharov V., Jin-Woo Kim et al. Nature Nanotechnology. 2009, vol. 4, pp. 688-694.

2. Yarzhemsky V. G., Battocchio C. Russ. J. Inorgan. Chem. 2011, vol. 14, pp. 21472159.

3. Sunjie Ye, Felix Benz, May C. Wheeler, Joseph Oram, Jeremy J. Baumberg, Oscar Cespedes, Hugo K. Christenson, Patricia Louise Coletta, Lars J. C. Jeuken, Alexander

F. Markham, Kevin Critchleya and Stephen D. Evans Nanoscale. 2016, vol. 8, no. 32, pp.14911-15088.

4. D'yachkov P. N. Zhurnal neorganicheskoy khimii [Journal of non-organic chemistry]. 2015, vol. 60, no. 8, p. 1045. [In Russian]

5. Sunjie Ye, Gemma Marston, James R. McLaughlan, Daniel O. Sigle, Nicola Ingram, Steven Freear, Jeremy J. Baumberg, Richard J. Bushby, Alex-ander F. Markham, Kevin Critchley, Patricia Louise Coletta and Stephen D. Evans Adv. Funct. Mater. 2015, vol. 25 (14), pp. 2117-2127.

6. Hubbard J. Proc. Roy. Soc. 1963, vol. 276, iss. 1365, p. 238.

7. Shubin S. P., Wonsovskii S. V. Proc. Roy. Soc. 1934, vol. 145, pp. 159-180.

8. Mironov G. I. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2008, vol. 50, no. 1, pp. 182188. [In Russian]

9. Mironov G. I., Filippova E. R. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2012, vol. 54, no. 8, pp. 1600-1605. [In Russian]

10. Mironov G. I., Filippova E. R. Fizika metallov i metallovedenie [Physics of metals and physical metallurgy]. 2012, vol. 113, no. 1, p. 11. [In Russian]

11. Mironov G. I., Semenov A. D. Struktura i dinamika molekulyarnykh sistem: sb. st. [Structure and dynamics of molecular systems: collected articles]. Issue XXV. Moscow: IFKhERAN, 2018, 177 p. [In Russian]

12. Mironov G. I. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2002, vol. 44, no. 2, pp. 209214. [In Russian]

13. Yang X. P. Phys. Rev. B. 2005, vol. 71, pp. 233, 403.

14. Mironov G. I., Sozykina E. R. Fizika nizkikh temperatur [Physics of low temperatures]. 2019, vol. 45, no. 1, pp. 128-133 [In Russian]

15. Semenov A. D. Studencheskaya nauka i XXI vek [Student research and the XXI century]. 2018, vol. 15, no. 2(17), part 1, pp. 141-144. [In Russian]

Миронов Геннадий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра физики и материаловедения, Марийский государственный университет

E-mail: mirgi@marsu.ru

Mironov Gennadiy Ivanovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of physics and materials science, Mari State University

Семенов Алексей Дмитриевич

магистрант, Марийский государственный университет

E-mail: Richman-aleks@mail.ru

Semenov Aleksey Dmitrievich

Master's degree student, Mari State University

Образец цитирования:

Миронов, Г. И. Теоретическое исследование электронной структуры золотых нанотрубок (8,0) в модели Хаббарда / Г. И. Миронов, А. Д. Семенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. - № 2 (50). - С. 44-59. - Б01 10.21685/2072-30402019-2-5.