Об особенностях применения многомерных ядер Вольтерра для исследования динамики нелинейных систем

вы. Приложение к журналу "Информационные технологии". 2004 г. №2.

4. Андреев В.В., Батищев С.В., Виттих В.А. и др. Методы и средства создания открытых мультиагентных систем для поддержки процессов принятия решений /Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2003. №1. С.126-137.

Волков Н. В., Колесников А. С.

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПРИМЕНЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЯДЕР ВОЛЬТЕРРА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ

МГТУ «Станкин», г. Москва

Создание и применение в промышленности все более сложных промышленных динамических систем, рост интенсивности их использования и повышение требований к их надежности усиливают значимость задачи диагностирования состояния объектов. При этом одной из важнейших является проблема описания диагностируемой системы соответствующей математической моделью, для успешного решения которой требуются априорные сведения.

Особую актуальность для установления причинно-следственных зависимостей между входной и выходной информацией приобретает развитие методов идентификации, базирующихся на оценивании структуры и параметров математической модели диагностируемого объекта по экспериментальным данным [1,4].

При исследовании динамики сложных производственных систем следует учитывать, что характер их поведения подчиняется сложным нелинейным законам, а процессы, протекающие в них, очень часто оказываются случайными или трудно предсказуемыми. Очевидно, что классические приемы построения математических моделей таких объектов оказываются трудно применимыми, поскольку большая размерность решаемых задач, принципиально различающиеся свойства изучаемых процессов не позволяют в полной мере использовать мощный аппарат теории дифференциальных уравнений для построения математических моделей надлежащей точности, тем более, что априорная информация о структуре математической модели оказывается неполной или неточной, что в свою очередь порождает дополнительные сложности с решением второй важной задачи изучения динамики объекта -оценивания параметров в выбранной математической модели. Таким образом, некорректное решение первой задачи - выбора структуры математической модели - естественным образом предопределяет неуспех решения всей задачи в целом. С другой стороны, процессы технической диагностики предполагают целенаправленный и соответствующим образом организованный сбор экспериментальных данных о функционировании исследуемого объекта в различных режимах эксплуатации. Поэтому целесообразным оказывается использования такой математической модели, которая исключала бы решение ненужных промежуточных задач и позволяла бы применять ее для различных режимов работы изучаемого объекта и для различных объектов в це-

лом. При этом процесс построения математической модели должен производиться предпочтительно только по экспериментальным данным и, что существенно, структура модели должна быть универсальной для достаточно широкого класса объектов.

В теории систем известен математический аппарат для моделирования систем по экспериментальным данным, основанный на применении функциональных рядов Вольтера. Этот аппарат позволяет при корректно организованной обработке информации формировать универсальные математические модели технических систем широкого назначения. Структура таких моделей предопределяется структурой функционального ряда, а решение задачи идентификации (диагностики) заключается в определении динамических характеристик, являющихся по сути «коэффициентами» разложения реакции технической системы в функциональный ряд при произвольном входном воздействии. Следует отметить, что принципиально характеристики модели определяются для входных процессов, имеющих случайный характер, и процедура приведения ориентирована на применение многомерного корреляционного анализа.

Однако, несмотря на длинную историю и популярность в теоретическом изучении рядов Вольтерра, относительно мало исследователей пытались применить данный математический аппарат на практике. Одна из главных причин - это значительная сложность, связанная с реализацией функционалов Вольтерра. При расчете ядер функционалов возникает проблема хранения и использования данных, так как объем памяти ЭВМ и количество операций, необходимых для решения проблемы увеличиваются экспоненциально с увеличением порядка ядра.

Объем памяти (в байтах), который потребуется для хранения одного ядра можно оценить следующим образом:

M = NP • С ,

где M - объем памяти в байтах, N - количество точек в которых определяется ядро, P - порядок ядра, С = const - количество байт необходимых для хранения одного значения. Например, при расчете ядра четвертого порядка в 128 точках, при использовании значений в 8 байт (double - вещественное с двойной точностью) потребуется 2 Гб памяти.

Таким образом, главной задачей данной работы является поиск эффективных алгоритмов для вычисления и использования ядер Вольтерра.

Рассмотрим нелинейную стационарную систему, заданную рядом Вольтерра [2,3]

N. i

y

i=1 E+ r=1

Пусть x(t) - это детерминированный входной сигнал, имеющий преобразование Лапласа.

Сопоставим интегралу (2) свертку от i переменных

N г

) = 2 | — )П Х

1=1 Е+ г=1

Применим многомерное преобразование Лапласа, учитывая теоремы о свертке и произведении оригиналов [4]. Изображение каждого из ядер будет представлено в виде:

7

г =1

где обозначено:

7

Иг

Изображение ядра Иг(т1,к,тг) является обычно дробно-рациональной функцией от г переменных с действительными коэффициентами, то есть

т т

Иг

2-к-2  к  5?

? =0 ^ =0

Однородная система (2) степени г будет устойчивой, то есть

IЬ

Е+

тогда и только тогда, когда, во-первых, степень числителя изображения ядра по каждой переменной (^к 5i) будет меньше или равна степени знаменателя по той же переменной (условие физической реализуемости), и, во-вторых, все корни характеристического уравнения

Яг ) = 2  к-¿^Г 111  к  Я? = 0

? =0 г1 =0

имеют отрицательные действительные части. Для проверки устойчивости системы можно воспользоваться критерием Гурвица [4].

Применяя к (5) и (6) теорему о переходе к одной переменной (ассоциации переменных) в комплексной области, получим выражение для определения одномерного изображения выходного сигнала

N N Г г Л *

7

1=1 1=1 I J

Нг

где { }* - оператор перехода к одной переменной.

Пусть в частности х(г) = 8 (г). Тогда X(5) = 1, и с учетом (11) формула (10) принимает вид

N N

7

Теперь полиномиальной нелинейной системе (2) может быть сопоставлено выражение в комплексной области (12). Изображения ядер Hi(^к) полностью характеризуют систему (по этой причине изображения ядер

г =1

г =1

Н{ э) называют [4] многомерными передаточными функциями) (2) точно так же, как передаточная функция является исчерпывающей характеристикой линейной стационарной системы в нулевом начальном состоянии. Перейдя к одной переменной, мы получим компактную формулу (12), где каждое из слагаемых соответствует конкретному ядру Вольтерра во временной области. Применив обратное преобразование Лапласа, мы получим оригинал одномерной весовой функции во временной области к * (г).

Окончательно:

у

Таким образом, для вычисления реакции системы необходимо предварительно рассчитать многомерные весовые функции во временной области, провести преобразования (4) - (12) и использовать для дальнейших расчетов формулу (13).

Объем памяти, необходимой для хранения данных, линейно зависит от количества точек отсчета. Выигрыш составит

¿^ • с

р-1

i=1

K = = ZN раз-

N • C i=0

Например, при расчете функционала четвертого порядка в 128 точках, при использовании значений в 8 байт (double - вещественное с двойной точностью) получим выигрыш в » 221 раз.

Список использованных источников

1. Волков Н.В. Функциональные ряды в задачах динамики автоматизированных систем. М.: Янус-К., 2001. - 100 с.

2. Мармарелис П., Мармарелис В. Анализ физиологических систем. Метод белого шума. М: Мир, 1982. - 480 с.

3. Пугачев В.С. Основы автоматического управления. М.: Наука, 1974. - 720 с.

4. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. - 448 с.

Ивлева Н.А., Кравец О.Я.

ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СРЕДСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БАНКОВСКОГО ПРОДУКТА ПО ФИЛИАЛЬНОЙ СЕТИ БАНКА

Воронежский экономико-правовой институт Воронежский государственный технический университет

Введение

На сегодняшний день существует множество готовых нейросетевых пакетов и программных комплексов, включающих в свой состав элементы для разработки нейронных сетей. Они значительно различаются как по цене, так и по своим функциональным возможностям, однако недорогие решения не обладают достаточной функциональностью, а все полнофункциональные приложения для реализации мощных и эффективных нейронных сетей для