Форма субъективного пространства как геометрическая основа нелинейной перспективы

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

УДК 518.5

С.В. Бородулина, М.К. Решетников

ФОРМА СУБЪЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА КАК ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОСНОВА НЕЛИНЕЙНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ

Изложены некоторые сведения по физиологии зрительного восприятия. Обосновывается необходимость учета, при построении перспективных изображений, корректирующей деятельности мозга в формировании зрительного образа пространства с натуры и по плоской картине. Описывается геометрическая модель воспринимаемого зрителем образа субъективного пространства. Статья содержит теоретические основы нелинейной перспективы.

Нелинейная перспектива, геометрическая модель субъективного пространства, топологическое преобразование, аппарат проецирования, константность восприятия

S.V.Borodulina, M.K. Resetnikov

FORM SUBJECTIVE SPACE AS THE GEOMETRIC BASIS OF THE NONLINEAR PERSPEKTIVE

The article presents some information on the physiology of visual perception. The necessity of taking into account, in the construction of perspective images, correction of brain activity in the formation of the visual image of the space with nature and a flat picture. A geometrical model of the perceived image viewer subjective space. The paper contains the theoretical foundations of nonlinear perspective.

Nonlinear perspective, the geometric model of subjective space, topological transformation unit projection constancy of perception

Нас окружает реальное пространство, за геометрическую модель которого примем евклидово пространство. Зрительно воспринимаемый образ части реального пространства возникает в сознании человека в результате двух противоположно направленных процессов: анализа и синтеза, и в силу этого он субъективен.

Анализ экспериментальных данных, приведенных в работах [1, 2, 3, 5, 6], и наших опытов, показывает, что воспринимаемые сознанием человека расстояния до точек и между точками реального пространства уменьшаются. Чем дальше расположен предмет, тем меньших размеров мы его видим. Если расстояние до предмета нам заранее не известно, то воспринимается оно меньшим, чем есть на самом деле. Степень такой недооценки возрастает с увеличением расстояния, нелинейно и зависит от индивидуальных особенностей человека (возраста, наблюдательного опыта и т. д.). При восприятии пространства происходит его визуальная деформация, которая сводится к его центральному сжатию и искривлению прямоугольных элементов, что свидетельствует о нелинейном характере сжатия пространства. Следовательно, субъективное пространство является сжатым пространством, а сжатие - нелинейным.

Рассмотрим субъективное сжатое пространство, которое замыкается линией горизонта и содержит, как сжатое отображение, одну и притом единственную неподвижную точку, центр сжатого пространства. Если принять при этом, что при сжатии, как движении к центру сжатия, сохраняется принадлежность точек прямолинейным лучам центральной связки, то наложение естественного требования сохранения непрерывности и принадлежности не вступит в противоречие ни со свойствами исходного реального пространства, ни с характером преобразования. При нелинейно-сжатом преобразовании пространства не сохранятся длины линий, величины углов, площади и объемы, но сохранятся непрерывность и принадлежность, следовательно, это топологическое преобразование [4].

Вестник СГТУ. 2014. № 2

Очевидно, что образ подмножества субъективного пространства на любой стадии сжатия можно определить как совокупность образов точек, а их положение - центральными лучами и числами, характеризующими расстояния от центра до образов точек. Если ввести понятие коэффициента сжатия Т], под которым понимать отношение расстояния от центра сжатия до образа точки а к расстоянию до точки в реальном пространстве Ь, то

Т]=а/Ь

Положение образа любой точки однозначно определится центральным лучом, расстоянием до точки в реальном пространстве и коэффициентом сжатия. В общем случае можно записать:

Т=Р

С целью получения представления о форме сжатого пространства, отождествляемого с субъективным пространством, рассмотрим поведение параллельных прямых при преобразовании реального пространства в субъективное. При построении сжатого образа пучка параллельных прямых исходим из того, что инвариантами преобразования являются принадлежность, непрерывность, прямолинейность лучей центральной связки и форма сферических поверхностей с центром в точке Б - центре сжатия.

Пусть на горизонтальной плоскости (рис. 1) с центром сжатия Б (точка стояния наблюдателя) расположены два семейства параллельных прямых I, т, п, / и g, для построения сжатого субъективного образа этих прямых построим ряд сфер с центрами в точке Б и радиусами 2, 4, 6, 8, и 10 км. Так как форма сферы, в соответствии с принятыми условиями преобразования, не изменится, а только уменьшится ее радиус, построим воспринимаемые образы сфер, для чего воспользуемся данными экспериментов по восприятию расстояний Короева Ю.И. и Федорова М.В. [2, 3].. В соответствии с полученным ими графиком зависимости расстояния от удаления расстояние в 2 км будет восприниматься как 870 м, 4 км - как 1520 м, 6 км - как 2060 м, 8 км - как 3000 м. Используя эти цифры, легко построить сжатые образы выбранных сфер. На рис.1. сферы показаны тонкой сплошной линией, а их образы - пунктирной. Цифрами обозначены величины радиусов этих сфер. Пусть прямая т в точках А пересечет сферу радиусом 6 км. Соединим прямой линией точку А с центром Б. Там, где прямая пересечет сжатый образ сферы радиусом 6 км, получим точку А1.

Через точку А1 и аналогичные ей точки проходит кривая т1 - субъективный образ прямой т.

По аналогии с кривой т1 построим кривые П1,11 /1 и gl - субъективные образы прямых т, I, g. и/

Прямая п расположена симметрично прямой т относительно линии БС. Точки, определяющие положение образов прямых т и п, с увеличением длины этих прямых интенсивно приближаются к линии БС. Следовательно, можно ожидать, что образы бесконечно удаленных (несобственных точек) прямых т и п расположатся на линии БС, а в силу симметрии совпадут в районе точки В, которую, по аналогии с теорией перспективы, назовем точкой схода.

Расстояние БВ до точки схода связки образов параллельных прямых I, т и п определено приблизительно по криволинейной сходимости кривых т1 и п1.

По аналогии с линиями 11, т1 и п1 построены образы параллельных прямых / и g. Из расположения точек, определяющих положение кривых/1 и g1, видно, что они с увеличением длины прямых/ и g приближаются друг к другу и сходятся в районе точки ¥. Расстояние до этой точки схода БЕ нет основания считать отличным от расстояния БВ, так как ни одно из направлений взгляда при плоской предметной плоскости не имеет преимуществ и все точки схода расположатся на линии Ь - линии горизонта, имеющей форму окружности и представляющей собой образ несобственной прямой - геометрического места несобственных точек прямых, расположенных на предметной плоскости

Рис.1. Геометрическая модель субъективного пространства

Рассматривая построение точки схода B можно увидеть, что направление взгляда SB на эту точку параллельно прямым, образы которых сходятся в данной точке. Положение прямых f и g взято произвольным, однако и в этом случае сохраняется параллельность направления взгляда SF на точку схода F, заданной связки прямых. Из чертежа также видно, что криволинейный образ прямой симметричен относительно перпендикуляра к истинному направлению прямой. Ось симметрии SN кривой m1 (нижняя часть прямой не построена) перпендикулярна к прямой m так же, как и ось симметрии SD кривой fi перпендикулярна к прямой f.

Анализ рис. 1 позволяет сделать следующие выводы о субъективном сжатом пространстве:

1. Форма сжатого отображения прямых непостоянна. С удалением прямой от точки наблюдения и отклонением ее направления от направления луча зрения кривизна образа прямой возрастает.

2. Прямые, проходящие через центр сжатия - точку S, сохраняют коллинеарность.

3. Образы параллельных прямых имеют криволинейную сходимость.

4. Образы прямых, входящих в отображаемое подмножество евклидова пространства, принимают форму, симметричную относительно нормали, проведенной через точку наблюдения к самим прямым.

5. Прямая, удаленная от центра сжатия на неограниченное расстояние (несобственная прямая), в сжатом отображении принимает форму полуокружности, очерченной линией горизонта.

6. Прямые, проходящие в непосредственной близости от центра сжатия, в точке симметрии почти сохраняют свою прямолинейность, что является следствием отсутствия сжатия в окрестностях центра.

7. Образы прямолинейных отрезков небольшой протяженности или близко расположенные к наблюдателю и охватываемые углом зрения 15-20°, имеют незначительную кривизну и могут быть восприняты без искривления.

Исследования формы и свойств субъективного пространства позволили определить его как нелинейно-сжатое. Преобразование реального пространства в субъективное является топологическим. При определении методик создания изображения образа субъективного пространства на плоскости и выбора аппарата проецирования будем исходить из того, что преобразования, выполняемые таким аппаратом проецирования, должны быть взаимно-однозначными и взаимно-непрерывными. Математической базой нелинейной перспективы является не проективная геометрия, а топология.

Метод построения нелинейного перспективного изображения должен основываться на центральном проецировании из одного центра, так как только в этом случае сохранится непрерывность пространственных образов, с использованием поверхности-посредника, форма которой зависит от степени сжатия пространства, с последующим перепроецированием.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов В.С., Зайцев Ю.А. Наглядные изображения. Саратов: СГТУ, 1994. 160 с.

2. Короев Ю.И., Федоров М.В. Архитектура и особенности зрительного восприятия. М.: Гос. изд-во лит. по строительству и архитектуре, 1954. 134 с.

3. Короев Ю.И., Федоров М.В. Объемно-пространственная композиция в проекте и в натуре. М.: Гос. изд-во лит. по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1961. 138 с.

4. Николаевский Г.К. Топологические преобразования в начертательной геометрии // Вопросы начертательной геометрии и ее приложения: Сб. статей. Харьков: ХАДИ, 1961. С. 97-107.

5. Раушенбах Б.Г. Геометрия картины и зрительное восприятие. М.: Интерпранс, 1994. 216 с.

6. Раушенбах Б.Г. Системы перспективы в изобразительном искусстве. Общая теория перспективы. М.: Наука, 1986. 254 с.

Бородулина Светлана Владимировна - Svetlana V. Вог]йиНпа -

кандидат технических наук, доцент кафедры Ph.D., Associate Professor

«Инженерная геометрия и промышленный of the Department Engineering Geometry

дизайн» Саратовского государственного and Industrial Design

технического университета имени Гагарина Ю.А. Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Решетников Михаил Константинович - Mikhail K. Resetnikov -

доктор технических наук, заведующий кафедрой Dr.Sc.

«Инженерная геометрия и промышленный Head of the Department Engineering Geometry and

дизайн» Саратовского государственного Industrial Design

технического университета имени Гагарина Ю.А. Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 12.03.14, принята к опубликованию 20.06.14