Численное моделирование поля техногенных напряжений с учетом давления газа в углепородном геомассиве

© А.Б. Цветков, 2013

УДК 622:519.635.4

А.Б. Цветков

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЯ ТЕХНОГЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЙ С УЧЕТОМ ДАВЛЕНИЯ ГАЗА В УГЛЕПОРОДНОМ ГЕОМАССИВЕ*

Представлена математическая модель учета проявлений давления газа в углепо-родном геомассиве с целью исследования полей техногенных напряжений. Для изучения модели разработан комплекс проблемно-ориентированных программ на основе метода конечных элементов.

Ключевые слова: математическая модель, геомассив, структурный блок, угольный пласт, вмещающие породы, краевая задача, теория упругости, численное моделирование, вычислительный эксперимент, синтез, gas, гравитация.

В работе представлена математическая модель для изучения параметров напряженного состояния упругого геомассива с учетом совместного воздействия давления газа и собственного веса пород. Ранее автором была разработана математическая модель полей напряжений, создаваемых совместно гравитацией и воздействием внутренних давлений флюидов в упругом блочном углепородном массиве в виде системы краевых задач, которая изучалась на регулярной сетке методом конечных разностей [5]. Для построения структурной модели реального горного массива необходимо использовать нерегулярную сетку. В этой связи актуальна разработка системы компьютерного моделирования, которая основана на модели с нерегулярной сеткой, учитывающей интегральные гравитационные и газовые проявления в горном массиве. Это позволит исследовать в окрестности горных выработок опасные области по выбросам угля и газа. С целью перехода к нерегулярным сеткам в данной работе модель совместного проявления гравитации и давления газа была адаптирована для метода конечных элементов. Приведены результаты моделирования параметров полей напряжений, вызванных воздействием давления газа и собственным весом пород в горном массиве, включающем пласт угля с заданным углом падения, выработку и пласт-спутник. Математическая модель была исследована с помощью метода конечных элементов на нерегулярной сетке.

В вариационной постановке краевая задача теории упругости сводится к нахождению вектора смещения и из условия минимума квадратичного функционала П полной потенциальной энергии [3]

где е - вектор упругой деформации, первый интеграл - потенциальная энергия, второй - работа массовых сил.

*Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки по контракту №5.3832.2011.

Вектор) массовых сил Г включает собственный вес пород и давление газа:

F = F

gas >

где Fg = (0, pg) - силы гравитации, р - плотность, g - гравитационная постоянная, Fgss = (yxp(x, y)X, yyp(x, у)'у) - воздействие давления газа, ух = (2р.а + Л(а + в)) , уу = (+ Л(а + в)) - коэффициенты, полученные автором в работе [5], = аp(х,у), ep = вp(х,у) - деформации, вызванные давлением газа [5], а, в - коэффициенты, определяющие свойства среды, p( х, у) - давление газа.

Краевая задача на плоскости решена методом конечных элементов [3]. В качестве конечного элемента выбран четырехугольник с квадратичной аппроксимацией вектора перемещений - рис. 1.

Как было показано в работе [4] решение краевой задачи теории упругости для горизонтально-слоистой прямоугольной области имеет порядок не ниже второго. Этим обоснован выбор квадратичной аппроксимации.

Алгоритм решения краевой задачи (1) на плоскости реализован в виде комплекса проблемно-ориентированных программ. В качестве примера для изучения параметров напряженного состояния разработана модель массива горных пород, которая представляет собой область Q прямоугольной формы длиной L3 и глубиной Н5. Вмещающая толща на глубине Н3 включает пласт угля прямоугольной формы, насыщенный газом под давлением рпл, выработку и на глубине Н1 пласт-спутник, содержащий газ под давлением рпр. Угол падения пласта и пласта-спутника составлял ат. Структурная модель исследуемого участка представлена на рис. 2.

Каждый элемент исследуемого участка геомассива в модели рассмотрен как подобласть. В соответствии с горно-геологическими условиями в геометрической модели было выделено пять подобластей Qb Q=£Qb i=1..5. Пласт угля рабочей мощности m1 представлен Q4, пласт-спутник мощностью m2 - Q2. Породы вмещающей толщи Q1, Q3, Q5 представлены аргиллитами. В подобласти Q2 задано давления газа величиной рпр, а в Q4 - рпл.

В работе применялись следующие обозначения: u(х, у) , х, у), <сх, ау -

горизонтальные, вертикальные перемещения и напряжения соответственно. Зависимости для компонент тензора напряжений с учетом давления газа

Рис. 1. Конечный элемент

Tgas .

r-gas .

Гху = ^7ху ,

сс = с°

с = cg

где

< -ГуР

вызванные давления

ОТ = -УР

а

аву =

- напряжения,

воздействием газа [5], а

X = 2цех + л(вх + £у) ,

-У  + *у) - СОб-

ственным весом пород [2,5]. Физико-механические свойства подобластей определялись величинами: рь , где - постоянные Ламе и ^ - плотность

В математической модели (1) давление газа представлено функцией. В данной работе вид функции был выбран исходя из теоретических представлений о распределении газа в окрестности пласта и выработки. Согласно (2) давление газа р(х, у) - дифференцируемая функция. При решении задач исследовательского характера предусмотрена возможность выбрать вид р(х, у) исходя из теоретических гипотез.

Для практических задач функция р( х, у) является решением краевой задачи газовой динамики.

Пусть давление газа р( х, у) задано на нерегулярной сетке дифференцируемой функцией

х'у) ы „ „ i л = е-Кх-02-С2(у-])2

Рис. 2. Расчетная область О

Р( х, у) =

Я( х, у)'

д( х, у, ]) = е

т п

х, у) = XX] х' у ]), К( х' у) = XX я( х> у ]),

'=1 и 1=1 ]=1

где С1, С2, а^ - заданные постоянные, т, п - число узлов сетки по осям ОХ и ОУ.

Постоянные а], были найдены из решения системы уравнений, составленной из (4) с учетом заданных величин давлений газа в узлах конечных элементов.

Для расчетной области, представленной на рис. 2, рассмотрена краевая задача теории упругости с учетом давления газа (1). Задача решалась при условии, что массовые силы, вызванные собственным весом пород, направлены вдоль оси ОУ. При проведении вычислительного эксперимента выбраны следующие структурные параметры модели в метрах: а=0, Ь=400, с=0, d=300, Н1 = 118, Н2 =120, Н3 =207, Н4 =210, Н5 =300, Ь1=150, Ь2=250, Ь3=400, т1=Н4-Н3, т2=Н2-Н1. Физико-механические свойства задавались такие:

р1=2600 кг/м3, Е1=5,2-104 МПа,

v1=0,17, р2=1380 кг/м3, Е2=0,3-104 МПа,

V2=0,34, р3=2600 кг/м3, Е3=5,2-104 МПа, vз=0,17, Р4=1380 кг/м3, Е4=0,3-10ч

и

МПа, V4=0,34, р5=2600 кг/м3, Е5=5,2-104 МПа, V5=0,17, Рпр=0.2 МПа, Рпл= 0,3 МПа, ат=3°, ух=0,3, уу=1, С1 =С2=0,05, т=101, п=101.

Разработаны программные модули для решения задачи (1), которые включены в пакет проблемно-ориентированных программ. Вычислительный эксперимент проводился при 50000 конечных элементов. Результаты численного решения приведены на рис. 3. По вертикальной оси отложена глубина, а горизонтальной -протяженность моделируемого участка.

На рис. 3, а приведено распределение давлений газа в окрестности угольного пласта и пласта-спутника. Сплошной тонкой линией изображены изолинии, соответствующие распределению давлений газа. Числа на линиях отражают величины давлений в МПа. Из рис. 3 видно, что давление газа убывает при отдалении от пласта и пласта-спутника. Воздействие газа ограничено их окрестностью.

На рис. 3, б для наглядности совмещены величины вертикальных напряжений, возникающих под воздействием только сил гравитации и с учетом давления газа. Сплошная тонкая линия соответствует воздействию только собственного веса пород. Пунктирная линия - совместному действию гравитационных сил и давления газа. Числа на линиях отражают величины напряжений в МПа. Знак минус определяет сжимающие напряжения. Кривыми изображены линии уровня вертикальной компоненты тензора напряжений. Из рис. 3, б видно, что учет давления газа приводит к изменению напряжений в окрестности пласта и пласта-спутника. Это подтверждено расхождением сплошной и пунктирной линий уровня, которые соответствуют величинам напряжений -3МПа в окрестности пласта-спутника и -7МПа у боковых границ выработки. Таким образом, синтезированная математическая модель позволяет исследовать парамет-

100

б

Рис. 3. Результаты моделирования МПа: а - давление газа, б - вертикальные напряжения, сплошная линия - только гравитационное поле напряжений, пунктирная -с учетом давления газа

ры напряженного состояния с учетом давления газа в наклонных пластах с выработками, в окрестности которых расположены угольные пласты-спутники, насыщенные газом.

Возможность совместного учета в математической модели сил гравитации и давления газа позволит исследовать в окрестности выработок параметры природных и техногенных полей напряжений при наличии газовых ловушек и областей аномального давления с учетом реальных геологических условий.

Практическое значение комплекса проблемно-ориентированных программ состоит в возможности прогноза выбросов угля и газа при разработке паспортов креплений выработок.

Выводы

В статье предложена математическая модель для исследования напряженного состояния, создаваемого совместно гравитацией и воздействием внутренних давлений флюидов в упругом углепородном массиве, которая в отличие от приведенной в работе [5] адаптирована для нерегулярных сеток.

Модифицированная математическая модель напряженно-деформированного состояния углепородного геомассива позволяет учитывать давление газа с помощью заданной функции на нерегулярной сетке.

Проведенное исследование относится к одному из этапов разработки системы компьютерного моделирования на основе комплекса проблемно-ориентированных программ, предназначенного для исследования взаимодействия геомеханических и газодинамических процессов в массиве горных пород с системой подземных выработок.

1. Динник А.Н. Статьи по горному делу. [Текст] / А.Н. Динник - М.: Углетехиздат, 1957. - 193 с.

2. Ершов Л. В. Математические основы физики горных пород. [Текст] / Л.В. Ершов, В.А. Максимов - М.: МГИ, 1968. - 293 с.

3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. [Текст] / О. Зенкевич - М.: Мир, 1975.

4. Цветков А. Б. Синтез краевой задачи теории упругости и статического давления для математического моделирования напряженно-деформированного состояния в

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

многослойном кусочно-однородном массиве при действии гравитации [Текст] / А.Б. Цветков, В.Н. Фрянов //Горный информационно-аналитический бюллетень. - М.: Горная книга, 2013. - №2. - С. 141-146.

5. Цветков А. Б. Математическое моделирование проявлений давления газа в геомассиве [Текст] / А.Б. Цветков //Горный информационно-аналитический бюллетень. - М.: Горная книга, 2013. - №9 (в печати).

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -

Цветков Андрей Борисович - кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики, Сибирский государственный индустриальный университет, atsvet@mail.ru