Решение задачи оптимального управления математической моделью сложной экономической системы

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛЬЮ СЛОЖНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

И. В. Зайцева

SOLVING OPTIMAL MANAGEMENT PROBLEM OF COMPLEX ECONOMIC SYSTEM MATHEMATICAL MODEL

Zaitseva I. V.

The appropriateness and effectiveness of matrix methods application for solving the stability problems of complex economic system mathematical models have been considered. The solution of the problem dealing with mathematical model stability is presented in general form.

Key words: a model, labor market, stability, optimization management.

Рассмотрены целесообразность и эффективность применения матричных методов для решения задач устойчивости математических моделей сложных экономических систем. Представлено решение задачи устойчивости математической модели в общем виде.

Ключевые слова: модель, рынок труда, устойчивость, оптимизация, управление.

УДК 51-77

Обращаясь к истории развития вопроса устойчивости в математике и теории управления отметим, что на ранних этапах для упрощения исследований статической устойчивости на основе оценок собственных значений матриц разрабатывались простые, требующие небольших объемов вычислительных затрат, достаточные критерии. В нашем случае, они базируются на информации о расположении собственных чисел матрицы Ж системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику перераспределения рабочей силы в «-отраслевой экономике [3].

Дело в том, что в условиях отсутствия мощных средств вычислительной техники при малых затратах труда можно было по заданным элементам исходной матрицы указать ту часть комплексной плоскости 1, в которой находятся ее собственные числа. Первая работа по определению места расположения собственных чисел некоторой квадратной матрицы А была выполнена С. А. Гершгориным [7]. Оценки Гершгорина определяются следующей теоремой: все собственные значения матрицы Ж порядка т находятся в области Q, являющейся объединением кругов

К -11 < Я,, / = 1, т ,

т

где к, =Е К

}=1

т

Таким образом, для каждого собственного значения 1,, согласно теореме Герш-

горина, найдется круг с центром wii и радиусом ^, содержащий это собственное

значение. Следовательно, все собственные значения находятся в объединении таких кругов. Достаточным условием статической устойчивости системы является расположение всей области Q в левой полуплоскости комплексного переменного 1, что будет иметь место, если

wii < 0, |wii | < ^, I = 1, т.

С другой стороны, система неустойчива, если хотя бы для одного i выполняется условие

Wгг > Кг ,

т. е. если хотя бы один круг Гершгорина целиком находится в правой полуплоскости и не связан с другими кругами, охватывающими левую полуплоскость.

Теорема Гершгорина послужила отправным пунктом для дальнейших исследований ряда авторов, завершившихся появлением обобщающей фундаментальной монографии Дж. Уилкинсона [7]. Однако в любом случае локализация собственных значений матрицы Ж системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику перераспределения рабочей силы в «-отраслевой экономике, [3] зависит от знака и преобладания ее диагональных элементов над остальными.

Таким образом, применение локализа-ционных методов наталкивается на трудности, связанные с предварительным преобразованием матрицы Ж к виду, удобному для применения приведенных неравенств. Но и тогда методы приближенного определения местонахождения всех собственных чисел дают слишком просторные границы их расположения. Поэтому указанные методы могут быть пригодны лишь для ориентировочных оценок устойчивости и динамики развития сложных экономических систем.

Целесообразность и эффективность применения матричных методов для решения задач устойчивости значительно возросли с появлением высокопроизводительных ПЭВМ, позволивших в высокой степени автоматизировать процесс вычислений и облегчить анализ динамических свойств слож-

ных экономических систем, каковой в частности является рынок труда, на основе матричного критерия. Такой критерий сформулирован в [8], а идея его построения кратко для общего случая может быть изложена следующим образом.

Пусть на плоскости комплексного переменного 1 задана некоторая область Q. Требуется найти необходимые и достаточные условия того, чтобы все собственные значения 1 исходной матрицы коэффициентов Ж системы уравнений [8] располагались внутри области Q.

Такой областью Q согласно методу первого приближения А. М. Ляпунова для устойчивости системы в малом является левая полуплоскость комплексной плоскости 1. Исходя из этого можно предложить метод, основанный на конформном отображении левой полуплоскости внутрь единичного круга и последующем определении наибольшего по модулю собственного значения матрицы преобразования. Данное конформное отображение имеет вид: 1 +1 р = л-1

При этом мнимая ось комплексной плоскости корней характеристического уравнения 1 переходит в единичную окружность на плоскости р . Далее подставим полученное из последнего выражения значение 1:

р +1

1 = -

р -1

в выражение для характеристического уравнения системы

\Ж -11\ = 0.

Тогда после несложных преобразований получим

(Ж +1 )(Ж -1)-1 + р I

0.

Последнее выражение представляется в виде характеристического уравнения

В+р I = 0,

где В = (Ж+1)(Ж -1)-1 = I + 2(Ж -1)-1.

При преобразовании матрицы Ж в матрицу В все собственные значения первой перейдут в собственные значения второй, лежащие внутри единичного круга. В этом случае критерием статической устойчивости макроэкономической системы является расположение всех собственных значений матрицы В внутри круга единичного радиуса, т. е. условие

\Ртах | < 1

Система находится на границе устойчивости, если

\Ртах | 1 ,

и неустойчива (экономический рост) при

\Ртах | > 1

Определение наибольшего по модулю собственного значения, так называемая частичная проблема, может быть решена с помощью известных вычислительных процедур [8]. Однако до этого требуется предварительно получить саму матрицу В, для чего в свою очередь необходимо вычислить матрицу (Ж — I) . Такая задача решается ¿^-разложением с последующим «-кратным применением обратного хода метода Гаусса либо с помощью сингулярного анализа.

По-видимому, можно предложить и более простое преобразование

Я = 1.

к

После его подстановки в характеристическое уравнение и умножения на к обеих частей полученного равенства имеем

где к удовлетворяет условию

2|Яе Я ,1 _

0 < к <--п л 2, , = 1,п .

(Яе Я} )2 + (1т Я} )2

Из анализа связи собственных значений матриц Ж и С следует вывод о том, что система статически устойчива при

\ тах | < 1

находится на границе устойчивости при

h max| > 1-

При этом легко может быть выполнена проверка того, находятся ли собственные числа матриц преобразования B и C внутри круга единичного радиуса. Поскольку модуль каждого собственного значения квадратной матрицы не превосходит любую из ее норм, то условие устойчивости выполнено, если

IBII < 1

или

с < 1,

h ma

и неустойчива при

= 1

где 5 и С - любая каноническая норма

матриц В и С.

Рассмотренный метод позволяет осуществить соответствующее управление моделью рынка труда, например, с целью повышения устойчивости его функционирования, то есть с целью возможного смещения макроэкономической ситуации в сторону полной занятости и сглаживания ее колебаний. При этом в качестве управляющих (настроечных, варьируемых) параметров могут быть приняты те или иные вероятности, входящие в модель. Линии равного качества в комплексной плоскости Я при конформном отображении с помощью функции

я=Г±! р—1

переходят в систему окружностей равного качества на комплексной плоскости р . Эти окружности лежат как внутри, так и вне круга единичного радиуса (последнее - для случая неустойчивого рынка) и имеют общую точку с координатой [1,0].

Вычисление наибольшего по модулю

собственного значения таХрг| матрицы В

при вариации компонент некоторого вектора управления позволяет получить траекторию

движения величины тах| р^ . По точкам

ее пересечения с окружностями равного качества переходного процесса в экономической системе можно найти точки границ областей, определяющих степень устойчивости системы. Под степенью устойчивости

(обозначим ее атах) условимся понимать

вещественную часть самого правого на комплексной плоскости корня характеристического уравнения, взятую с обратным знаком.

Формализация на ЭВМ определения оптимального вектора управления описанным способом с использованием методов численного поиска, по-видимому, не вызовет затруднений, однако поиск может быть выполнен только по критерию максимума степени устойчивости. Негладкость этого критерия приведет к досрочному завершению процесса поиска в одном из локальных экстремумов и, следовательно, к недоиспользованию возможностей оптимизационных процедур по управлению динамическими свойствами сложных экономических систем.

Для того чтобы решить задачу устойчивости в общем виде, матрицу Ж необходимо тем или иным способом привести к канонической форме Жордана, к которой может быть приведена произвольная квадратная матрица. Жорданова форма - это квазидиагональная форма, к которой приводится матрица в случае наличия кратных собственных значений. Ограничимся сообщением конечного результата для нашего случая, так как соответствующий достаточно громоздкий вывод можно найти в учебниках и монографиях по линейной алгебре.

Теорема (жорданово разложение). Пусть

тгг ^НУН ^ НУН

матрица Ж е С , где С - векторное пространство всех комплексных и у и матриц. Тогда существует такая невырожденная

X/—г НУН

е С , что X= diagJ2,..., Jk) - блочно-

диагональная матрица, в которой (1 1 0...

Ji =

0 1 1... 0

ч 0 0 0...

есть т у т.

матрица

и

т1 + т2 +... + тк = и .

Блоки Ji называют жордановыми блоками, или клетками. Число и размеры блоков связаны с собственными значениями и

их кратностью. Определяются они однозначно с точностью до порядка расположения вдоль диагонали.

Один из алгоритмов приведения матрицы Ж к форме Жордана, приведенный в [1, с. 145-149] выглядит следующим образом.

1. Для каждого к (к=0,...,и) находят наибольший общий делитель Dk(1) всех миноров k характеристической матрицы 11-Ж. Старшие коэффициенты у всех полиномов Dk(1) берут равными единице. При этом

Dн(Я)=det(AI-W), Do(1)=0.

2. Находят инвариантные многочлены Lk(1) по формулам

Я

4(1) =

Ь2(Х) =

Я Л1)'

р„-1

Я - 2(1)'

(1) = А(1) = д(1).

3. Каждый инвариантный многочлен раскладывают на элементарные делители характеристической матрицы 11-Ж или просто матрицы W. Элементарный делитель представляют в виде степени одной из разностей (1-1), где 1 - собственные значения матрицы W. Значит, Lk(1) имеет вид

Lk(1) = (1-1^(1-12)\..(1-1 у)">.

Произведение всех элементарных делителей равно произведению всех инвариантных множителей и равно DН(1).

4. С каждым элементарным делителем (1 -1 у) ' сопоставляют жорданову

клетку порядка ^ с числом 1у на главной диагонали. Таким образом, задача заключается в нахождении элементарных делителей данных клеток.

Рассмотрим общее решение системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику перераспределения рабочей силы в и-отраслевой экономике, в случае кратных корней. Пусть 1 - г-кратное собственное значение матрицы Ж. Ему соответствует некоторое количество собственных

векторов. Степень вырожденности собственного значения 1 равна максимальному числу ш(\), которое в свою очередь равно также числу клеток Жордана, соответствующих Обозначив через Ji одну из этих клеток, и учитывая, что размерность клетки Жордана Ji есть 5(ь), будем иметь

5(1) + 8(2) + ... + 8(т(.)) = Т.

Каждой клетке Жордана Ji соответствует серия векторов кг, 1=1, ... таких, что к1^0, Ак1 = 1кь Ак2 = 1к2+ к1,... , Ак(ф = 1кф)+ кф)_1.

Векторы кг, где 1=1, ... каждой серии линейно независимы между собой. Подпространство, натянутое на все векторы к, соответствующие клетке Ji, является инвариантным, циклическим и имеет размерность, равную размерности серии указанных векторов, т. е. равную 5(ь). В базисе, составленном из векторов всех серий, матрица Ж имеет жорданову форму.

Решениями уравнения (2.4) являются функции вида

1 л

Пщ (t) = Vq (t)e ' , где

Ve(t) =

t

q

q-1

h +-

t

q - 2

h2 +... + hq,

2q

,

(я - 1)! 1 (я - 2)! Ч = 1,-, 8(0

8(1) + 5(2) + ... + 8(т() = т„ Г1 + Т2 + ... + Тк = П.

При этом количество линейно независимых решений вида (1) равно п. Общее решение системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику перераспределения рабочей силы в п-отраслевой экономике, есть линейная комбинация из частных решений вида (1).

Заметим, что полная проблема собственных значений для матриц общего вида

наиболее эффективно решается с помощью алгоритмов, использующих элементарные устойчивые ортогональные или унитарные преобразования и преобразования и потому лишенных всех вышеуказанных недостатков. Это в первую очередь широко известные и отлично зарекомендовавшие себя на практике LR- и QR-алгоритмы, причем последний наиболее «заслуженный». Его универсальность, высокая точность и скорость вычислений, числовая устойчивость обусловили тот факт, что он является в настоящее время практически единственным активно использующимся средством решения полной несимметричной проблемы собственных значений. При этом одинаковые собственные числа будут располагаться рядом на главной диагонали по завершении расчетов. QR-алгоритм реализован во всех современных вычислительных математических средах, таких, как MATLAB, MathCAD, Maple. Следует отметить, что наибольший опыт в практике применения QR-алгоритма приобретен именно при решении задач устойчивости сложных систем [2, 4, 5, 6].

Таким образом, необходимость решения экономических задач для анализа устойчивости и выработке мероприятий по ее повышению на рынке труда может и должна сводиться к QR- алгоритму. Представленный метод определения устойчивости позволяет осуществить соответствующее управление моделью рынка труда, которая представлена системой дифференциальных уравнений, описывающих динамику перераспределения рабочей силы. Проанализировав полученные сведения об устойчивых и неустойчивых состояниях рынка труда для n различных отраслей экономики вполне возможно составить прогноз его состояния.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966.

2. Груздев И. А., Торопцев Е. Л., Устинов С. М. Исследование эффективности расчета корней характеристических уравнений высоких порядков при решении задач устойчивости //

Известия вузов СССР. Энергетика. - 1986. -№ 4. - С. 7-10.

3. Семенчин Е. А., Зайцева И. В. Математическая модель самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003. - Т.10. - С. 740-741.

4. Торопцев Е. Л. Моделирование процессов экономической динамики макросистем. -СПб.: Изд-во СПбГУЭФ. - 2001.

5. Торопцев Е. Л., Гурнович Т. Г. Прикладной анализ балансовых моделей В. Леонтьева. -Ставрополь: Кн. изд-во, 1999.

6. Торопцев Е. Л., Гурнович Т. Г. Численный анализ балансовых моделей и управление устойчивостью макроэкономических систем. - М.: Финансы и статистика. - 2002.

7. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970.

8. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: Физ-матгиз, 1960.

Об авторе

Зайцева Ирина Владимировна, ГОУ ВПО

«Ставропольский государственный университет», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной безопасности. Сфера научных интересов - математическое моделирование экономических процессов, теория случайных процессов, методы оптимального управления. ziki@mail.ru