Анализ флаттера плоских слоистых композиционных панелей в сверхзвуковом потоке на основе неклассической теории пластин

УДК 539.3

АНАЛИЗ ФЛАТТЕРА ПЛОСКИХ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ ПАНЕЛЕЙ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

НА ОСНОВЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН

Ч.Н. Доан, В.В. Фирсанов, З.В. Куанг

Представлены результаты исследования флаттера плоских слоистых композиционных панелей, обтекаемых с большими сверхзвуковыми скоростями, на основе неклассической теории пластин. Перемещения панели принимаются в виде полиномов по нормальной к плоскости панели координате. Эти функции имеют степень на два порядка выше относительно используемых в классической теории пластин. На основе вариационного принципа Гамильтона получены уравнения колебаний панели. В данной работе аэродинамические нагрузки определяются с помощью соотношений поршневой теории. Даны примеры расчета собственных частот колебаний панели и критического значения аэродинамического напора. Приведены результаты параметрического анализа влияния некоторых конструкционных параметров на критические скорости потока.

Ключевые слова: флаттер; неклассическая теория пластин; вариационный принцип Гамильтона; поршневая теория; слоистая композиционная панель.

1. Введение. Задачи аэроупругости представляют исключительный интерес для авиационной и ракетной техники, а также, в меньшей мере, и для других отраслей промышленности (энергетика, строительство и др.). Аэроупругие явления (дивергенция, флаттер, бафтинг, ...), по-видимому, являются причиной ряда неудач и катастроф в авиации. Современное развитие авиации требует решения новых задач в теории аэроупругости. В настоящее время научная литература по исследованию динамического поведения упругих конструкций, находящихся под действием аэрогидродинамических нагрузок, практически необозрима. Обзор основных литературных источников по теории аэроупругости можно найти в работах [1 - 4].

Среди аэроупругих проблем большое внимание уделяется задачам устойчивости пластин и оболочек, обтекаемых потоками с большими сверхзвуковыми скоростями. Эти задачи представляют интерес в связи с вибрацией обшивки современных летательных аппаратов. Специфические трудности решения флаттерных задач возникают в связи с представлением аэродинамических сил в виде достаточно простых соотношений, описывающих возмущения обтекаемой поверхности [2, 4]. Однако в области больших сверхзвуковых скоростей возможны существенные упрощения, основанные на асимптотических свойствах сверхзвукового потока. Наиболее простой вариант известен под названием «поршневой теории» [1, 3].

С развитием техники и технологии композиционные материалы находят широкое применение, особенно в авиационной и ракетно-космической отрасли. Задачам аэроупругости композиционных конструкций типа пластин и оболочек уделяется большое внимание исследователей,

299

при этом часто используются классическая и сдвиговая теории типа Ти-мошенко-Рейсснера [5, 6]. Исследования поведения конструкций в сверхзвуковом потоке с использованием уточненной теории пластин и оболочек, учитывающий деформации и напряжения поперечного обжатия, практически не рассматриваются.

В данной работе рассматривается флаттер плоских слоистых композиционных панелей в сверхзвуковом потоке с использованием уточенной теории, представленной в [7, 8]. На основе вариационного принципа Гамильтона получены уравнения движения панелей. Рассматриваются примеры расчета собственных частот колебаний и критических скоростей аэродинамического потока, анализ влияния конструкционных параметров на критические скорости.

2. Построение головных уравнений

Рассматривается слоистая композиционная панель, находящаяся в сверхзвуковом потоке (рис. 1), где а представляет собой ширину, И -высоту, 2к, 2к_1 - координаты лицевых поверхностей к -ого слоя панели.

Рис. 1. Модель слоистых композиционных панелей в сверхзвуковом

потоке

В соответствии с [7, 8] перемещения панели представляются в виде следующих разложений:

7 7

и (х, 7, г) = и0 (х, г) + гих (х, г) + — и2 (х, г) +—из (х, г),

2 6 (1) п (х, 7, г) = ж0 (х, г) + (х, г) +—ж2 (х, г).

Соотношения (1) удовлетворяет условиям энергетической согласованности [9].

Деформации панели определяются как

Эи Эи Эп Эп

£ =-, У =--1--, £ =-.

Эх Эг Эх Эг

300

Закон Гука для к -го слоя в общей системе координат Оху2

имеет следующий вид:

Охх ^хх6 11 + ^226 13,

О = £ 0\, +£ О'ъ,

22 31 33'

^Х2 Ух26 55 ,

где 6.п определяются выражениями

611 = ОцСО^в + 622 81П4 в + 2(612 + 6бб)81П2 всовв, & = ОпСО^в + 623 ^п2 в, 631 = 6т Й3 = 622,

655 = 2(622 -623)*1П2в + 666СОВ2в.

Рис. 2. Элемент к -го слоя композита

В соотношениях (4) в представляет собой угол армирования, а коэффициенты жесткости 6у определяются через упругие параметры материала формулами

_(1 -и23и32 ) Е1 ^ _( и21 ^31^23 )Е1_ (^12 -и32и13 )Е2 611 = , 612 =

1 -и

1 -и

1 -и

_(1 -и13и31 ) Е2 ^ _( и32 ^12^31) Е2 (и23 ^21^13 ) Е3 622 1 , 623

'23 1 1 '

-и 1 -и 1 -и

666 = G12, и = и12и21 + и23и32 + и31и13.

Уравнения движения панели получаются с помощью вариационного принципа Гамильтона

'2

| (дК-ди + д¥) Ж = 0.

Здесь ди является вариацией потенциальной энергии, определяе-

мой как

ди = (оххд£ + Тх2дг + о8Е2 ) Ж2Жх,

I I V XX XX Х2 / Х2 21 21 / ?

"о _А

дК - вариация кинетической энергии, находящейся по формуле

8К = II (ри8и + рпдм?) dzdx,

"0 _И

5У - вариация работы аэродинамической нагрузки, которая имеет сле дующий вид:

' И

5У = | Ар (х )8п

"0

х,— 2

dx,

где - площадь поверхности панели в плоскости ху.

В формуле (8) Ар (х) - аэродинамическое давление, полученное с помощью поршневой теории [1, 3] в виде

Ар

2да

Р

гм2 _2 1 Эп(х,0) Эп(х,0)'

, М 2 _ 1 и '

\ оо оо

Эг Эх

/

где, М¥, и¥, ч ¥ - число Маха, скорость и динамический напор невозмущенного потока соответственно. Динамический напор ч ¥ и Р определяются как

а = -р и2, В = 4М2 _ 1.

2

Здесь р¥ представляет собой плотность невозмущенного потока. Подставляя (2), (3), (6), (7), (8) в (5), получим систему уравнений движения панели

— = / Д + щ +^ и2 +13 и3,

Эх 0 0 1 1 2 2 6 3

ЭМ

/

/

Эх

ЭМ

Эх ЭМ(3) Эх

б = /и + /2^ + ^и + "1 и3,

2

6

р

1/2 и0 +^ и +14 и2 + ^ и3

2 0 2 1 4 2 12 3

.р(2) =к и0 +1± и. + А и2 + А и3,

6 0 6 1 12 2 36 3

Эб =

/

Эх ЭР

/ 0^0 + /1^1 К +

2а

2

Р

' к + ЭК

, М2 _1 и

V оо оо

Эх

/

Я = /,Р&0 + /2Ж + -3-К2 +

Эх 10 2 1 2 2

Эр(2) / / /

др--5 = Ь. к + /3 ж + /4 К2 +

Эх 2 0 2 1 2

Ид»

Р

И2д,

г М2_2- К+ЭК

, М 2 _ 1 и

\ оо оо

2~ ГМ2 _ 2 1

4 2 4р

302

, М 2 _ 1 и

V оо ос

Эх /

К

Эх

2

Здесь используются следующие обозначения:

п Нк

п Нк

N = \\Oxd2 = Е I {Охх}кЖ2, 6 = [\_Tj2 = Е I К}кЖ2

к=1 Н-1

к=1 Лк-1

^ = 1\°22Ж1 = Е I (°22 }кЖ2 , 5 = 1А°122Ж2 = Е I (°22 ^,

Н

к=1 Ак-1 " 2 к=1 Ак-1

V3 п Ак <

м

Р(т) = I

2 3 ! к=1 Ак-1

' (2)к п \

3!

^—¿2=Е I К}к& , (т = 1,2),

к=1 Ак-1

т!

г_ . п "к .

1г = I2ар (2) Ж2 = Е I Р}к (2) Ж2 , (. = 0,1,2,...6).

2 к=1 Лк-1

2 х ~ ? 2а а3 Введя безразмерные переменные = —, £ =—, ?= —, Л = —^—,

На т /Б

гт и .-Т

и

^ ж ^

Н

и = и1, и2 = и2Н, и3 = и3Н , ж0 = -°, ж = ж ж2 = ж2А, урав-

Н

нения (9) можно переписать в виде

1 ЗN 1 Г —" —" I —" I —" ^

1 1 Н10и0 + 11и1 + ^ и2 и3

00 1 1 2Н 2 6Н2 3 ,1

а ЭХ т2

1 ЭМ

1 Г' - тт" ^ тт" 13 Тт"9 _1_ 14

а ЭХ

1 ЭМ(2) а ЭХ

1 ЭМ

6=-2 ед + 12и1 и2 +-^3

т V 2Н 6Н

.р(1) =.

т

НД—" л—"" I

I

и +^и1 + "Тл и2 + 7^ и3

2 1 2

а ЭХ

1Э6 1 '

Р (2) =.

т

4Н 2 12Н

Л

Н1 —" I —" I —"

^ и0 + ^ и1 и2 +

6 0 6 1 12Н 2 36Н

2 и3

а ЭХ т2

1 ЭР

м0ж0 + ж

Д—Л 2а„ Г м ¥ - 2 Л Эж0л

2 1 гг _Ж0 +

2Н

2

У

/

V

М2 -1 и т и а ЭХ

¥ ¥ ^

У

а ЭХ

1ЭР^ а ЭХ

Я =

1

т

1

Л

2

Н^Ж + !2ж + -3- ж2

3 = 7

Н1

2Н

I —# I

-I о ^^ ± 1

НЦ2

/

М2 - 2 Н — + Н Эж,

V М 2 -1 и„т 0 а ЭХ

2

2

4Н

н2 а

4/

М„ - 2 Н ^ + Н ЭЖ0

М2 -1 и т а ЭХ

оо оо ^

Н

Н

Н

к

1

1

Здесь используются следующие обозначения: т = а

2 \РИ

В

ЕИЪ

В = —-—1--, а штрихами «'» обозначены производные по переменной

1211 )

т.

Рассматривается панель, шарнирно опертая по граням х = 0 и х = а. Тогда краевым условиям удовлетворяют следующие выражения для перемещений:

п

и0 = Еи0т С08(тр£), и1 = Еи1т С08(тж%)е"',

т=1 т=1

п ___ _ п

и2 = Еи2т С08(трХ)е"', иъ = Еиш сов(тя%)е"',

т=1 т=1

_ _ п ___ _ п ___

Ш

К = Е ^0т (трХ) е, К = Е ^1т (трХ) , К = Е ^2т (трХ) е'

т=1 т=1 т=1

где " - собственные числа.

Интегрируя уравнение (10) по методу Бубнова-Галеркина с учетом соотношений (11), находим

,г

[К

Для того, чтобы уравнение (12) имело ненулевое решение {и у, ^ } , необходимо выполнить условие

К

Поскольку [К("))х^х ) представляет собой несимметричную

матрицу, решение уравнения (13) можно представить в виде

" = " К ± (,

где "К - действительная часть собственных чисел, а (о - безразмерная собственная частота колебаний.

Для нахождения критического значения Лкр (или Мр) используется

один из следующих критериев:

- система достигает критического состояния при совпадении двух форм колебаний;

- система устойчива при отрицательных значениях действительной части всех собственных чисел и неустойчива при положительном значении действительной части хотя бы одного из собственных чисел.

3. Параметрическое исследование флаттера слоистых композиционных панелей

Влияние аэродинамических параметров. Рассматривается слоистая композиционная панель, имеющая следующие параметры: длина а = 0,3 м, высота И = 1,92 х 10-3 м, углы армирования слоев

п

[0, - 45°, 90°, 45°] . Материалом панели является Graphite - Epoxy Composite [10], обладающий E1 = 2,206 х 1011 Н .м~2,

E2 = E3 = 6,894х109 Н.м"2, G12 = 4,826х109 Н.м"2, р = 1633 кг.м~2, u12 =u13 = 0,25, u23 = 0,4. На рис. 3 представлены результаты расчета безразмерных собственных частот колебаний панели в зависимости от скоростного напора 1. График изменения действительных частей собственных чисел в зависимости от величины 1 показан на рис. 4. Анализ полученных результатов показывает, что при безразмерном динамическом напоре 1 = 118.09 происходит совпадение двух форм колебаний (Mode 1, Mode 2) и действительная часть собственных чисел принимает положительное значение и, следовательно, критический динамический напор принимается равным 1кр = 118.09.

Рис. 3. Графики изменения безразмерных собственных частот

колебаний панели

На рис. 5 приведены графики поперечных колебаний по линии х = а/2 и их фазовый портрет при 1 = 93,47 < Льр . Очевидно, что эти колебания являются затухающими и система устойчива.

Аналогичные графики при критическом значении 1кр представлены

на рис. 6, откуда следует, что в этом случае наступит явление флаттера панели.

Рис. 5. Поперечные колебания панели и их фазовый портрет

при 1 = 93,47 < Лр

Рис. 6. Поперечные колебания панели и их фазовый портрет

при Лр = 118.09

Влияние относительной толщины на критическую скорость потока. Рассматривается слоистая композиционная панель с углами армирования слоев [-45°, 0, 90°, 45°]^. Материал панели - Graphite - Epoxy

306

Composite [10]. Графики изменения низких безразмерных собственных частот колебаний панели по динамическому напору 1 показаны на рис. 7. Анализ полученных результатов показывает, что относительная толщина панели практически не оказывает влияния на критический динамический напор. Во всех рассмотренных случаях критический динамический напор принимает значение Льр = 165.

На рис. 8 показаны графики изменения низких безразмерных собственных частот колебаний панели по скорости невозмущенного потока. Очевидно, что при увеличении относительной толщины панели значение критической скорости увеличивается.

Рис. 7. Графики изменения низких собственных частот колебаний панели по динамическому напору 1

I jr .---

J J --h/a=0.0048

/ у ..... h/a=0.0056

- h/a=0.0064

t у — h/a=0.0072

„ ^ f .-*

5 6

м

Рис. 8. Графики изменения низких собственных частот колебаний

панели по скорости потока

307

4. Выводы

На основе полученных теоретических и численных результатов, установлено следующее:

1. На основании разложения компонентов перемещений панели в полиномиальные ряды по толщине и поршневой теории определения аэродинамических нагрузок построена математическая модель флаттера слоистых композиционных плоских панелей, находящихся в сверхзвуковом потоке. С помощью вариационного принципа Гамильтона построены головные уравнения движения панели.

2. Построен аналитический метод исследования флаттера слоистых композиционных плоских панелей, находящихся в сверхзвуковом потоке.

3. Приведены результаты параметрических исследований влияния скоростного напора и толщины панели на характеристики её поперечных колебаний.

Список литературы

1. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Государственное Издательство Физико-Математической Литературы, 1961. 340 с.

2. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976. 416 с.

3. Dowell E. H. Panel flutter: a review of the aeroelastic stability of plates and shells // AIAA Journal. 1970. Vol. 8. P. 386-399.

4. Морозов В.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. М.: Издательская фирма «Физико-математическая литература», 1995. 727 с.

5. Chowdary T.V.R., Parthan S., Sinha P.K. Finite element flutter analysis of laminated composite panels // Computer & Structures. 1994. Vol. 53. № 2. P. 245-251.

6. Feng-Ming Li, Zhi-Guang Song. Aeroelastic flutter analysis for 2D Kirchhoff and Mindlin panel with diffirent boundary conditions in supersonic airflow // Acta Mechanica, 2014. Vol. 225. № 12. P. 3339-3351.

7. Фирсанов В.В., Чан Н.Д. Свободные колебания произвольных оболочек на основе неклассической теории // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. Вып. 5. С. 21 - 29.

8. Фирсанов В. В., Доан Ч. Н. Исследование статики и свободных колебаний цилиндрических оболочек на основе неклассической теории // Механика композиционных материалов и конструкций. 2014. Т. 20. № 1. С.104 - 123.

9. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассической теории пластин // Изв. АН. МТТ. 1990. № 2. С. 158-167.

308

10. Akindapo Jacob Olaitan, Johnson-Anamemena Nnaemeka, Garba Danladi King. Graphite-Epoxy Composite Design for Aircraft Wing Skin Using Computational Techniques - Part II // American Journal of Mechanical Engineering, 2017. Vol. 5. № 5. P. 175-198.

Чан Нгок Доан, канд. техн. наук, зав. кафедрой, ngocdoanmai@gmail. com, Вьетнам, Ханой, Государственный технический университет им. Ле Куи Дона,

Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Зыонг Ван Куанг, vanquangktqs a gmail.com, Вьетнам, Ханой, Государственный технический университет им. Ле Куи Дона

SUPERSONIC FLUTTER ANALYSIS OF TWO-DIMENSIONAL COMPOSITE LAMINATED PANELS BASED ON THE NON-CLASSICAL PLATE THEORY

Tr.N. Doan, V. V. Firsanov, D. V. Quang

The paper presents the result from a flutter analysis of two-dimensional composite laminated panels at large supersonic velocities using the non-classical plate theory. The displacements of the panel are received as the polynomial functions on the coordinate which is normal to the zero plane. These functions are two orders higher with respect to these of the Kirchhoff-Love theory. Based on the Hamilton's variational principle are the equations of motion obtained. In this work, aerodynamic loads are determined by the piston theory. The paper shows some examples for the calculations of natural frequencies and the critical speed. The effects of several structural parameters on the critical speed are also analyzed and given.

Key words: flutter; non-classical theory; Hamilton's variational principle; piston theory; composite laminated panel.

Tran Ngoc Doan, candidate of technical sciences, head of department, ngocdoan-maiagmail. com, Vietnam, Ha Noi, Le Quy Don Technical University,

Firsanov Valery Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, head of department 906, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Duong Van Quang, vanquangktqs@,gmail. com, Vietnam, Ha Noi, Le Quy Don Technical University.