Распространение возмущений в гиперзвуковом пограничном слое в окрестности точки излома передней кромки крыла

УДК 532.526.2

Г.Н. Дудин1’2, А. В. Дедовский1’2, Я.Н. Со1

1 Московский физико-технический институт

2Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н. Е. Жуковского

Распространение возмущений в гиперзвуковом пограничном слое в окрестности точки излома передней кромки крыла

Исследовано течение в пространственном ламинарном пограничном слое на тонком крыле с изломом передней кромки на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. Давление, индуцированное толщиной вытеснения, определяется по формуле «касательного клина», обобщенной на нестационарный случай. На основе теоретического анализа уравнений пограничного слоя получено интегральное соотношение для определения характеристической поверхности, связанной с индуцированным давлением. В результате численного решения уравнений пограничного слоя определены скорости распространения возмущений и построены диаграммы направленности при различных значениях температурного фактора и углов стреловидности передних кромок.

Ключевые слова: тонкое крыло, пограничный слой, гиперзвуковые течения, сильное взаимодействие, распространение возмущений.

1. Введение

Исследование распространения возмущений в пограничном слое является не только важной задачей гидродинамической устойчивости, но и позволяет определить их влияние на аэродинамические характеристики. Развитие возмущений может приводить как к отрыву пограничного слоя, так и к более раннему ламинарно-турбулентному переходу. Как известно, уравнения Прандтля, описывающие течение в пограничном слое, являются параболическими, поэтому изменения граничных условий вниз по течению не могут оказывать влияния на течение против потока. Однако в работе Нейланда [1] было показано, что благодаря вязко-невязкому взаимодействию в сверх- и гиперзвуковых пограничных слоях существует возможность распространения возмущений вверх по потоку вплоть до передней кромки.

Для трехмерного пограничного слоя в работе Вонга [2] определены зоны влияния и зависимости с помощью исследования субхарактеристик. Показано, что для уравнений параболического типа зоны влияния и зависимости определяются не только характеристиками, как в гиперболических системах, но и субхарактеристиками. Характеристики трехмерного пограничного слоя представляют собой цилиндрические поверхности, расположенные по нормали к обтекаемому телу, и возмущения распространяются с бесконечной скоростью вдоль образующих этих поверхностей, а субхарактеристики являются линиями тока, которые переносят возмущения в потоке. В работе [3] метод субхарактеристик, разработанный для стационарного трехмерного пограничного слоя [2], обобщен на случай нестационарного двумерного течения. Результаты исследования областей влияния и зависимости были в дальнейшем применены для улучшения численных схем, используемых для расчетов отрывных течений.

Исследованию взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для пространственных и двумерных отрывных течений посвящены работы Нейланда [4-5]. В работе [4] обнаружена аналогия между трехмерным пограничным слоем и невязким внешним потоком: уравнения пограничного слоя обладают двумя семействами характеристик, которые определяют положение координаты перехода от закритического течения (в среднем сверхзвукового в пограничном слое) к докритическому (в среднем дозвуковому). На треугольных крыльях с температурой поверхности, малой по сравнению с температурой

торможения, могут образовываться области закритического течения, в которых происходит «запирание» распространения возмущений [4, 6]. Установлено, что решение уравнений пограничного слоя в общем случае не единственно и требуется дополнительное условие (например, распределение давления на задней кромке). В работе [5] сформулирована краевая задача для двумерного отрывного течения, которое на режиме сильного и умеренного взаимодействия описывается уравнениями пограничного слоя. При этом отмечено, что вблизи плоскости симметрии треугольного крыла возможно образование области локальной неприменимости уравнений пограничного слоя. Для случая ньютоновского предельного перехода (7 ^ 1) закритические и докритические течения были подробно исследованы в работе [6].

В работе Липатова [7] на основе метода анализа характеристик, предложенного Вонгом [2], были исследованы нестационарные процессы распространения возмущений в гипер-звуковом пограничном слое на полубесконечной пластине для режима сильного вязконевязкого взаимодействия. Для автомодельной системы уравнений определены скорости распространения возмущений вверх и вниз по потоку при различных значениях температурного фактора. В дальнейшем данные исследования были расширены для изучения распространения возмущений на скользящей пластине [8], течения в угле [9], турбулентного пограничного слоя [10], при различных значениях показателя адиабаты [11], но все они ограничены случаями фактически двумерных течений. Впервые определение характеристической поверхности и скорости распространения возмущений в трехмерном пограничном слое на треугольном крыле было проведено в работе Дудина и Мьинта [12].

В настоящей работе данные методы исследования распространения возмущений применены к трехмерному течению в пограничном слое на плоском крыле в окрестности точки излома передней кромки с использованием цилиндрической системы координат. Рассмотрено влияние как температурного фактора, так и формы крыла в плане на скорость распространения характеристической поверхности в пограничном слое. Введение цилиндрической системы координат позволило провести параметрические исследования влияния углов стреловидности в широком диапазоне, в том числе для крыльев с обратной стреловидностью.

2. Постановка задачи

Рассматривается гиперзвуковой поток вязкого газа, обтекающий тонкое плоское крыло с изломом передней кромки под нулевым углом атаки. Газ предполагается термодинамически совершенным С ПОСТОЯННЫМ отношением удельных теплоемкостей: 7 = Ср/Су. Исследуется режим сильного вязко-невязкого взаимодействия при условиях: ^ ж,

М^5 >> 1, где — число Маха невозмущенного потока, 5 — безразмерная толщина пограничного слоя. Число Рейнольдса И.ете = р^и^Ь/уж предполагается достаточно большим, но не превосходящим критического значения ламинарно-турбулентного перехода. Температура поверхности крыла считается постоянной и заданной. Задача решается на основе двухслойной схемы течения — внешняя область невязкого газа, описываемая уравнениями Эйлера, и стационарный ламинарный трехмерный пограничный слой. Для упрощения решения задачи распределение индуцированного давления определяется по формуле «касательного клина», обобщенной для случая нестационарного течения [7].

Форма крыла в плане (рис. 1) определяется параметрами: @ — угол между направлением набегающего потока и биссектрисой угла в точке излома, 0 — угол между биссектрисой и передними кромками крыла. Вводится цилиндрическая система координат так, что её начало (т. О) расположено в точке излома передней кромки ВОС, а безразмерные координаты: Ьг — расстояние от точки излома, 09 — угол, который отсчитывается от биссектрисы, ЬЬу — ось по нормали к поверхности крыла. Безразмерное время: ЬЬ/и^, где Ь — характерный линейный размер задачи (например, длина крыла), и— скорость невозмущенного потока. Газодинамические переменные обезразмериваются в соответствии с оценками для гиперзвукового пограничного слоя [13]: и^и — компонента вектора скорости вдоль г, Urxw — вдоль координаты в, ьП^д/ 0 — по нормали к поверхности крыла (вдоль у), Ни2/2 — полная удельная энтальпия, р<Х152р — плотность, р^и252р — дав-

ление, рор — динамический коэффициент ВЯЗКОСТИ, где ро — коэффициент вязкости при температуре торможения. Индекс ж означает параметры набегающего потока.

Рис. 1. Схема крыла в плане (вид сверху) и система координат

Система уравнений нестационарного пространственного ламинарного пограничного слоя в безразмерных переменных в цилиндрической системе координат имеет вид [14]:

др 1 д

дї + г дг + г дв + ду 0

ди ди т ди ди т2 1 др 1 д / ди\

дї + идг + г дв + У ду г р дг + р ду \ ду) 0

дт дт т дт дт uw 1 др 1 д / З'Ш \

+ 4 дг + г 90 + + г гр дв + р ду \ ду ) 0

дЯ дН wдH дН _ 1 др 1 0 Ґ /1 дЯ

+ и дг + г Ш р ді +

2

Здесь а — число Прандтля, а полная удельная энтальпия определяется по формуле

2 2 7 р и2 + 'Ш2

Я = -----г—+

2

Формула «касательного клина» в цилиндрической системе координат, обобщенная на нестационарный случай:

7 + 1 тт2

Р = Рж иж

дёе б1п(0 - Р) д8 1

С05(й _ ц) _---------------------- _ + __

Граничные условия:

у = 0: и = у = 'Ш = 0, Я = Нт,

у ^ ж : и ^ сов[0(0 — Р)], т ^ — 8т[0(0 — @)], Н ^ 1,

где — отношение энтальпии на поверхности крыла к энтальпии торможения (температурный фактор). Для определения динамического коэффициента вязкости р используется степенная зависимость от температуры: р ~ Тк.

Вводятся новые переменные с использованием преобразования А.А. Дородницына [15]:

С д\ д\ w д\

А = „іу, щ = ру + Є- + ВиЖг +-ш

2

Следует отметить, что в результате такого преобразования уравнение неразрывности уже не содержит производной по времени. Выражение для толщины вытеснения пограничного слоя с учетом (1) принимает вид

ж

х ___ Т — 1 [ / и „.2 „,.2\

д е —

J (Н — и2 — -ш2) іА.

2ур

о

Также вводятся переменные, которые позволяют учесть особенности поведения функций течения в окрестности точки излома (г = 0) и передних кромок (в = ±1) [13, 15]:

3 , -2Л, .------ ,-1/2

А* = г 1/4А, V* = <дги—^— + у$г4, г] = А* (-2—л/1—~02\

дг \7 — 1 /

= „* (1—^ /72—1 + (1 — в2) И

р* V 27 р* дв

р = г“1/2(1 — в2) 1/2р*(г, в, і), р = г_1/2р*(г, в, А*, і), ёе = г3/4(1 — в2)3/4Де(г, в, і).

В результате преобразований (2) система уравнений нестационарного пространственного пограничного слоя и граничные условия принимают вид:

ду* wв 1 — в2 ( ди дw 5 Ч

~аЦ — 2^ + ~—Г V + ав + 4е'“7 = 0'

1 — в2 ( ди ^ ди ди ^ 2Ч ди

0г——+ 0 ги——+ — (aw2 + V* — =

р* \ дЪ дг дв ) дгі

= 0^2— <* -2 — ^

1 — в2 ( дw ^ дw д-ш ^ Ч дw

0 г— + 0 ги— + ы— + 0uw ) + V*— = \ дг дг дв ) д'ц

Р

7 — 1 2 2 ( в 1 — в2 дрЛ д Ґ дw\

~2—Т(Н — и — и,)Ь* + — ~дв) +

1—«2 (0™+е™^= ЄІ—І і—»2 (я — ^—„») +

от дг дв I ди) 1Р* Р* №

9 ] N ! дН д

+ 9^ | и ^ д'ц + (СТ 1) д'ц у J ’

N =

*

22

р*=іі+1 {і1—^2^ 4Ае+)сов [0(0—^)]+

+ 0 8ІП [0(0 — Р)] (|вАе — а — ^+ г д-А (1 — 02) } ,

г] = 0: и = V* =-ш = 0, Н = Ни,,

ц ^ ж : и ^ С08 [0

Следует отметить, что в систему уравнений (3) - (9) фактически входят производные д2Ае/дг2 и д2Ае/дв2 , и, следовательно, эта система уже не параболического типа и может допускать распространение возмущений против потока.

3. Определение характеристической поверхности

Рассмотрим характеристическую поверхность /(г, в, £) = 0, которая является поверхностью слабого разрыва, то есть производная от функции давления по нормали к этой поверхности неопределенна, при этом сама функция давления непрерывна. Условие существования характеристической поверхности в пограничном слое в случае, когда распределение давления в пограничном слое заранее неизвестно и определяется в процессе решения краевой задачи, найдено для скользящей полубесконечной пластины в работе [8], а для треугольного крыла в [12].

Для определения положения поверхности /(г, в, £) =0 перейдем к новым переменным (г, в, г], t) ^ ( /(г, в, £), в, г], t) [16] и введем две функции тока Р и Ф, такие, что

дР дФ

0и =—, w = —. д д

Тогда уравнения (3) - (6) сводятся к виду:

1 — в2 ( дР дФ дР д/ дФд/ 5 Фв \

У* =--------г— + — + г—^~ + —тгт: + тР —

р* \ дг дв df дг df дв 4 2(І - в2) у

ди f dF df д Фдf \ ди 7 - 1, 2 2. др *df

Adf V df дг + df дв) drj + 0 2Тр*

dw ( dFdfd Ф df \ dw j-І 2 2ЛдР* df _ R

df V df dr + 9 fddjdr] + 27p* ( u W ) 9f дв w, ^

лдН ( д£д£ дФ df\ frH п1-Тш 2 2Л д£ _

df V df dr + df de) dr, " 7 ( U ™ )p* df dt H, ^

. df df df

A = 0r^- + 0ru^- + w^, dt dr de

dF df 5 ^ fd\du^du^du du

Bu = V+ rn +4F - 2(і - ff2)) к,- 0rat - 0т7к - wae + 0W +

+0 2-і (Я - ,,2 - - £ £) |(n|).

. ^ fe\dw^dw^„^ ^

Bw = ( r——+ -7^7- + -b - —-^ I —-0r—— 0ru—-- 0uw-

dF df 5 f в \ dw dw dw dw

Ъ.r + дв +4F - 2(І - в2)) -Щ - 0Г^Ї - 0ru^ - W^e

1 - І/и ..2 „..2\( в , І д'Р*\ , Р* 9 f at9w\

Вн = ( ^F - , "" ) - 0r^~ - 0ги^- - w^r +

-/І7 2 2^ 0 , І ФЛ , Р* 9 (ЛТ

<н - - + Р* +І-^ a^(N

27 \ 1 — в2 p* dd J 1 — в2 d'q \ dr/ J

dF dФ 5 Фв \ dH dH dH dH

~dr + ~db) +4 — 2(1 — в2)) — ~r~dt — — W~d¥

7 — 1 , 2 2x r dp* p* d ( N (dB d (и2 + w2) \

+e 1— [H — „2 — »2) ^ ^ + r^ +

Формула для определения индуцированного давления (9) принимает вид

7+1 {ж (1 -в2) (г^см [0(9 -13)] -1 siD [0(9 -13)] ^^ +

2 \ df \ dr 0 dd dt,

+

+0 sin [0(9 - «] (20A„ - (І - 92)\ + r«A(і - o2).

Для приведения к одному обыкновенному дифференциальному уравнению уравнение (12),

умноженное на 0 гскладывается с уравнением (13), умноженным на

А (0Г—д/ + V (гдРд/ + дФд/\ (0Г\ +

\ д/ дг д/ дв) \ д/ дг д/ дв) \ дг) дг дг) дв)

+&—«—^ ((0г IУ+(IЛ д/=0-£*+|д.

Вводятся обозначения:

--1 = (* IУ+(% у •«=*—«’—»2 -о=0Г £в.+%В„.

Тогда уравнение (16) принимает окончательный вид:

а™ -4а+™

Так как толщина вытеснения определяется по формуле (8):

__ СЮ ___ СЮ

А —“2—“2) ^

оо

то, дифференцируя её, можно получить выражение для производной дАе/д/, которая входит в формулу для определения давления (15):

д Ае = 7 — 1 д/ 2ур*

rl/d-1д^^Qdrl

д/ Р* д/ у

оо

Если уравнение (17) рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной П, то его решение в общем виде выражается следующим образом, что легко проверяется подстановкой:

п = —в,а-7" 1др' 1Во

I %<1г1 + Ао /

2^р* д/

оо

/

ди _ 1/ ди др * д/ \

д/ А\ дг] ~Г д/ дг + и)

= 1 (п— _гдр±д/ + и ^

д/ А V дг] д/ дв + ,

дг=А «+20гсЩ%+Виу

с = (Н — и2 — w2).

2ур*

дQ

Тогда производная ^ входящая в уравнение в (18), будет определяться из выражения

_ д ш 2 2ч _дН ди д-т

д/ = д](н — и — п,) = ~дГ " ид] " 2г"д/-

Подставляя в него соответствующие производные из (19), можно получить

Ш = + — Q% + , где ВР = вн — 2иВи — 2юВ.ш.

После подстановки (20) в соотношение (18) и последующего интегрирования определяется окончательное выражение для производной дАе/д/:

др * 7 — 1

дАе

СО СЮ

в11—-1 / ^

+

7 — 1 27^ *

% + В I*'.(21>

Подставляя (21) в (15), получаем значение производной др*/д/:

2„2

др * д/

2ТР\ 7 — 1

N(1 — в2)(/д- 008 [0(6» — Р)\ — 0 8Ш [0(6» — Р)\ ду + гд-

Здесь введены обозначения:

О О

N0 = В1 — [ Яйг],

2р* _ 7 — 1 7 + 1 27^*

0

дО +в |а, (1— 92)х

д

х (^008 [0(0—^)] — 081п [0(0—^)] +гдр)— (1 — о2)(1Ае+х

х 008 [0(0 — £)] — 0 81п [0(0 — £)] 00А — (1 — 02)дА

д

) —гдА (1 — °2).

д

Характеристическая поверхность определяется из условия неопределенности производной др*/д/, то есть при N0 = 0. С учетом введенных обозначений данное соотношение принимает вид

/д/\2 / 1 д/\ Ш +{&ш)

7 — 1

22

. 91 +и

0 \ дt + дг + Ог дО

—2

20

Для вывода скорости распространения характеристической поверхности [16] в цилиндрической системе координат рассмотрим некоторую точку —(г, в, £), расположенную на

( , , ) = 0

Обозначим через М*(г*, в*,Ь + Ь/) точку пересечения данной нормали с поверхностью, в которую переходит исходная поверхность через время Тогда скоростью перемещения рассматриваемой поверхности будет величина

а = Нш

М М*

I' ^0 У

Так как имеют место следующие соотношения [16]:

* мм * д/

г = г +

где д = уВ = ^/2 + /|, /г

0£ дг ’

д дг ’

_ _1 д/ 9 = 0г~дв

в* = 0 +

ММ * д/ д дв,

то

ММ * дf ММ * дf

/ (г*,в* ,1 + О = {(г +-------------д1,в +-------д£,г + */) =

д дг д дв

ММ*

= / (г, 0,4) + (/? + /|) + 0 + 0(ММ *2) + 0(£/2),

п

0

0

0

0

2

V д/ ту

где Л = -г;-- В результате получаем

дг

ММ * /г

а = иш —

V ^0 V д

С учетом введенных ранее обозначений выражение для скорости перемещения поверхности разрыва /(г, 0,€) = 0 и соответствующие компоненты скорости вдоль радиальной и угловой координаты с учетом угла скольжения Р имеют вид:

1 д/ 1 д/ п. д/ 1 д/

а =-----I =~Я+ =----я7 , аг = а • 008(ш — 0^ + Р) = — я ,

'Э£\2 /_1_д£^2 д4 9 дг дг д2 дг

1 д! 1 д!

ав = а • 8т(ш — 0в + Р) = —^^.

0г д0 д2 дг

а

мает вид

СЮ

7 — 1 /“

2 _ „,,2)2

У (а — и 008(ш — 00 + Р) — w 8ш(^ — 00 + Р))2

О

— J

Здесь ш — угол между рассматриваемым направлением распространения возмущений и направлением невозмущенного потока.

С помощью интегрального соотношения (23) определяется средняя скорость распространения произвольных возмущений давления в рассматриваемом направлении ш, если известны профили компонент скорости и энтальпии в пограничном слое в рассматриваемой точке над поверхностью крыла. В данной работе соответствующие профили получены численным решением автомодельной задачи для стационарного течения на плоском крыле вблизи точки излома [17].

4. Результаты

Для численного решения краевой задачи (3) - (11) используется конечно-разностный неявный метод, подробно описанный в [17]. Для течения в пространственном пограничном слое на крыльях с изломом передней кромки получены стационарные автомодельные решения, которые описывают течение вблизи точки излома и на полубесконечных треугольных крыльях, при различных формах крыла в плане и при разных значениях температурного фактора. В расчетах используются следующие значения: число Прандтля а = 0.72, показатель адиабаты 7 = 1.4 и предполагается линейная зависимость динамического коэффициента вязкости от температуры: у ~ Т (к = 1). Численное интегрирование уравнений проводится на равномерной двумерной конечно-разностной сетке размерностью 400 узлов по ц (шаг 0.02) и 60 узлов по 0.

На рис. 2 представлено влияние температурного фактора на скорость распространения возмущений вверх по потоку (ш = 180°) в плоскости симметрии (0 = 0) при симметричном обтекании (угол скольжения Р = 0°) плоских крыльев с углами полураствора 0, равными 45° и 135°. Увеличение температурного фактора от 0.1 до 0.9 приводит к росту скорости распространения возмущений вверх по потоку на порядок. Это связано с тем, что нагрев обтекаемой поверхности существенно увеличивает толщину пограничного слоя, и, соответственно, растет дозвуковая область течения, по которой передаются возмущения. На крыльях с обратной стреловидностью более быстрый рост скорости распространения возмущений объясняется большим ростом толщины области дозвукового течения.

На рис. 3 представлены диаграммы направленности для скорости распространения воз-

45°

0

(0 = 45°, @ = 0°) при температурном факторе Нш = 0.5. Данные зависимости определяют величину скорости распространения характеристической поверхности по направлению ш. При этом направление вниз по потоку {ш = 0°) соответствует па диаграмме направлению вниз. Диаграммы построены для различных точек но размаху крыла: около передней кромки {в = 0.97), при в = 0.25 и в плоскости симметрии {в = 0). В плоскости симметрии диаграмма полностью симметрична. При смещении от плоскости симметрии к передней кромке диаграмма деформируется в соответствии с направлением течения внутри пограничного слоя. Вблизи передней кромки скорость распространения возмущения в направлении нее уменьшается, но при этом наблюдается увеличение скорости в направлении носика крыла.

а

0.15—1

0.1 -

0.05-

и -|--------1-1----1-1--------1-1----1-1 »

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

Рис. 2. Влияние температурного фактора на скорость возмущений вверх по потоку

Рис. 3. Диаграммы направленности скорости распространения возмущений для различных значений 0 на треугольном крыле при 0 = 45°

На рис. 4 и 5 приведены диаграммы при тех же геометрических параметрах крыла, но при разных температурных факторах: 0.05, 0.3, 0.6, 0.9. На рис. 4 диаграммы для плоскости симметрии (в = 0), па рис. 5 — вблизи правой передней кромки (в = 0.97).

Рис. 4. Диаграммы направленности в плоскости симметрии на треугольном крыле с 0 = 45° при различных значениях температурного фактора

Рис. 5. Диаграммы направленности для различных значений температурного фактора на треугольном крыле при 0 = 45° вблизи передней кромки

Увеличение температурного фактора приводит к довольно значительному увеличению скорости распространения возмущений вверх но течению, при этом скорость вниз но потоку изменяется незначительно. Вблизи передней кромки характерно увеличение скорости в направлении точки излома при нагреве поверхности крыла. Также стоит отметить, что при малых значениях температурного фактора (Нт < 0.1) наблюдается излом в диаграмме со стороны набегающего потока, что связано с фактическим «запиранием» распространения

возмущений в данном направлении при обтекании холодного крыла. Это обстоятельство ранее отмечалось в работах [8, 12].

Рис. 6. а) Скорость распространения возмущений против потока: б) толщина пограничного слоя

На рис. 6а показано изменение скорости распространения возмущений в направлении против потока (ш = 180°) в зависимости от угловой координаты в для треугольного крыла с параметрами 0 = 45° и @ = 0°. Наблюдается увеличение скорости а при смещении от в = ±0.5 к центральной части па 15-25%, а непосредственно в окрестности плоскости симметрии происходит ее заметное понижение. При высоких значениях температурного фактора эта область в окрестности плоскости симметрии становится более широкой, а относительное повышение меньше. Для оценки относительных размеров области дозвукового течения в пограничном слое при различных значениях Нт па рис. 66 показаны безразмерная толщина пограничного слоя £° и положение звуковой линии М = 1. Толщи на 5° определяется из условия, что безразмерная суммарная скорость течения достигает значения 0.99. Данные кривые построены в автомодельных переменных (2). В физических переменных толщина пограничного слоя при приближении к передним кромкам естественным образом уменьшается до нуля, но относительные размеры дозвуковой области остаются теми же. Уменьшение скорости распространения возмущений в окрестности плоскости симметрии крыла объясняется тем, что хотя толщина пограничного слоя здесь существенно возрастает, но относительный размер области дозвукового течения становится меньше, а, следовательно, размер области сверхзвукового течения в пограничном слое увеличивается. При увеличении температурного фактора относительная толщина дозвуковой области увеличивается в 2 раза, что приводит к увеличению скорости а более чем в 10 раз (рис. 2).

Результаты, приведенные на рис. 2 6, хорошо согласуются с результатами, полученными в работе [12] при исследовании треугольного крыла с 0 = 45° в декартовой системе координат при значении числа Прандтля а = 1.

Далее представлены результаты исследования распространения возмущений для крыла с геометрическими параметрами 0 = 105° и @ = 35°. На рис. 7а показана зависимость значения скорости а против потока (ш = 180°) при различных температурных факторах. Как было показано выше, при нагреве скорость распространения возмущений вверх по потоку сильно увеличивается, однако по координате в она меняется слабо. Можно отметить только некоторое повышение скорости а только в окрестности линии, расположенной в направлении набегающего потока (9 ~ 0.32), а также вблизи передних кромок. Данное повышение скорости распространения возмущений объясняется тем, что хотя в этих областях значительно уменьшается толщина пограничного слоя (рис. 76), но область дозвукового течения

уменьшается не так сильно и ее относительная толщина становится больше. При нагреве поверхности крыла от Нт =0.1 до 0.9 относительная толщина дозвуковой области в пограничном слое увеличивается в 2 раза с 10% до 20%;.

Рис. 7. а) Скорость распространения возмущений вверх по потоку при различных значениях температурного фактора: б) толщина пограничного слоя

Рис. 8. Скорость распространения возмущений вверх по потоку для различных крыльев при Нш = 0.5

Для сравнения распределения скорости распространения возмущений против потока па рис. 8 приведены соответствующие кривые при температурном факторе Нт = 0.5 для крыльев с параметрами 1) 0 = 45°, $ = 0°, 2) 0 = 90°, $ = 0°, 3) 0 = 105°, $ = 35°, 4) 0 = 125°, Р = 35°, 5) 0 = 135°, @ = 15°. Следует отметить сильную немонотонность изменения скорости а по координате в. При этом на крыльях с 0 > 90° в непосредственной

окрестности линии, исходящей из точки излома и направленной вниз по потоку, происходит повышение скорости распространения возмущений, а при 0 < 90° скорость а уменьшается. Это связано с тем, что на крыльях с 0 > 90° в этой области происходит растекание потока, в отличие от треугольных крыльев, на которых в данной области происходит стекание.

0а

передних кромок.

5. Выводы

В результате исследования уравнений трехмерного пограничного слоя на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия получено уравнение для определения характеристической поверхности, связанной с индуцированным давлением, в цилиндрической системе координат. На основе автомодельных решений для стационарного пограничного слоя вблизи точки излома плоского крыла проведено численное исследование скорости распространения возмущений при различных значениях углов стреловидности передних кромок крыла и температурного фактора. Полученные результаты показывают, что увеличение температурного фактора приводит к росту скорости распространения вверх по потоку на порядок. При симметричном обтекании треугольного крыла с 0 = 45° отмечается увеличение скорости распространения возмущений в центральной части на 15-25% со значительным понижением её в окрестности плоскости симметрии. Для течений на крыльях с 0 > 90° скорость распространения возмущений против потока слабо меняется в зависимости от угловой координаты за исключением повышения скорости около передних кромок и в окрестности линии, исходящей из точки излома в направлении набегающего потока. Исследованы относительные размеры области дозвукового и сверхзвукового течения в пограничном слое, что позволило объяснить наблюдаемые изменения в скорости распространения возмущений вверх по потоку. Диаграммы направленности при различных значениях температурного фактора и углов стреловидности передних кромок крыла позволяют лучше понять характер распространения возмущений индуцированного давления в трехмерном пограничном слое.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 10-01-00173-а).

Литература

1. Нейланд В.Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии ги-перзвукового потока с пограничным слоем // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1970. - № 4. - С. 40-49.

2. Wang К. С. On the determination of the zones of influence and dependence for three dimensional boundary layer equations // J. Fluid Mech. — 1971. — V. 48, N2.-P. 397-404.

3. Wang K.C. Aspects of multitime initial value problem originating from boundary layer equations // Phvs. Fluids. — 1975. — V. 18, N 8. — P. 951-955.

4. Нейланд В.Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч. 1. Пространственные течения // Уч. зап. ЦАГИ. - 1974. - Т. 5, № 2. - С. 70-79.

5. Нейланд В. Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч. 2. Двумерные течения и треугольное крыло // Ученые записки ЦАГИ. — 1974. — Т. 5, N8 3. — С. 28-39.

6. Дудин Г.Н. Об образовании областей закритического течения на крыльях малого удлинения // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2005. — № 6. — С. 160-172.

7. Липатов И.И. Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях // Прикладная математика и механика. — 1996. — Т. 60, № 3. — С. 457-464.

8. Кречетников Р.В., Липатов И.И. Распространение возмущений в пространственных сверхзвуковых пограничных слоях // Прикладная математика и техническая физика.

- 1999. - Т. 40, № 3. - С. 116-127.

9. Krechetnikov R. V., Lipatov 1.1. On upstream influence in supersonic flows // Journal of. Fluid. Mechanics. - 2005. - Vol. 539. - P. 167-178.

10. Дубинский С.В., Липатов И.И. Распространение возмущений в сверхзвуковых ламинарных и турбулентных пограничных слоях // Письма в ЖТФ. — 2008. — Т. 34, вып. 2.

- С. 32-38*

11. Липатов И.И., Чжо Т.А. Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях // Труды МФТИ. - 2010. - Т. 2, № 2. - С. 107-112.

12. Дудин Г.Н., Мьинт К. Т. О распространении возмущений в трехмерном пограничном слое на треугольном крыле на режиме вязко-невязкого взаимодействия // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2010. — N8 3. — С. 91-102.

13. Хейз УД., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

14. Башкин В.А., Дудин Г.Н. Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа. — М.: Наука. Физматлит, 2000.

15. Нейланд В.Я., Боголепов В.В., Дудин Г.Н., Липатов И.И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. — М.: Физматлит, 2003.

16. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 2. — М.: Физматлит, 1963.

17. Дудин Г.Н., Ледовский А.В. Течение в окрестности точки излома передней кромки тонкого крыла на режиме сильного взаимодействия // Учёные записки ЦАГИ. — 2011.

- Т. Xl.ll. № 2. - С. 11-25.

Поступим в редакцию 15.02.2012.