Исследование модуляции сигнала в телекоммуникационных системах и сетях средствами математического моделирования

Исследование модуляции сигнала в телекоммуникационных системах и сетях средствами математического моделирования

Предложен универсальный подход к исследованию модуляции сигнала в телекоммуникационных системах и сетях передачи данных средствами математического моделирования. Такой подход позволяет исследовать как известные, так и новые разновидности модуляции сигнала, а также их комбинации. На основе предложенного подхода разработаны алгоритмы и программы в среде Ма!ЬСДО, позволяющие выполнять исследование модуляции сигнала без необходимости практической реализации телекоммуникационных систем или сетей, что способствует уменьшению времени при выборе необходимого метода модуляции сигнала и уменьшению финансовых затрат на проектные работы. С помощью предложенного подхода, разработанных алгоритмов и программ исследована информационная эффективность некоторых современных известных и новых предложенных разновидностей модуляции сигнала. Приведен пример нахождения с их использованием оптимального сигнального созвездия модулированного сигнала при осуществлении предложенной амплитудной модуляции многих составляющих (АММС). Показано, что информационная эффективность предложенной разновидности модуляции 16-АММС выше известной широко используемой в современных телекоммуникационных системах и сетях разновидности квадратурной амплитудной модуляции 16-КАМ. Предложенный подход, алгоритмы и программы целесообразно использовать при проектировании новых и модернизации существующих телекоммуникационных систем и сетей передачи данных с целью повышения их эффективности.

Ключевые слова: информационная эффективность, телекоммуникационная система, телекоммуникационная сеть, квадратурная амплитудная модуляция, амплитудная модуляция многих составляющих.

Горбатый И.В.,

к.т.н, доцент, докторант, кафедра телекоммуникаций, Национальный университет".Львовская политехника", giv@polynet. Iviv. ua

Введение

В телекоммуникационных системах и сетях для передачи информации используют электрические сигналы. Информационные сигналы, поступающие от источника информации, как правило невозможно непосредственно передать через канал электросвязи. Источник информации следует согласовать с таким каналом. Для этого осуществляют корректирующее кодирование и модуляцию несущего колебания модулирующим сигналом, сформированным под действием информационного сигнала.

В современном мире постоянно растут объемы информации, которую необходимо передавать телекоммуникационными системами и сетями. Поэтому возникает потребность повышать скорость передачи и эффективность таких систем и сетей. Одним с путей повышения их эффективности является совершенствование известных или разработка новых высокоэффективных методов корректирующего кодирования и модуляции сигнала.

Исследованию высокоэффективных разновидностей модуляции сигнала посвящено значительное количество публикаций. В [1-3] рассмотрены разновидности модуляции, используемые в современных телекоммуникационных системах и сетях. В [4, 5] описана новая предложенная автором разновидность амплитудно-фазовой модуляции — амплитудная модуляция многих составляющих (АММС, Amplitude Modulation of Many Components - АММС), характеризуемая высшей эффективностью по сравнению с известной квадратурной амплитудной модуляцией (КАМ).

Актуальным вопросом остается исследование разнообразных известных и новых разновидностей модуляции с целью выявления среди них наиболее эффективных на основе единых критериев оценивания. В качестве такого критерия при сравнении разновидностей модуляции целесообразно применять понятие информационной эффективности.

Следует отметить, что исследование разновидностей модуляции возможно теоретическими методами с использованием соответствующих математических моделей, алгоритмов, программ и средств вычислительной техники или экспериментальными методами с применением изготовленных модуляторов, демодуляторов, определенных методик измерений и средств измерительной техники. Каждая группа методов имеет свои преимущества и недостатки. Существенным преимуществом теоретических методов является возможность проводить исследование процессов модуляции и демодуляции без практической реализации устройств для их осуществления, что сокращает финансовые расходы во время научных и проектных работ. Также посредством математических моделей возможно имитировать разнообразные условия работы исследуемых устройств в составе телекоммуникационной системы или сети, что позволяет оценить качество и эффективность проектируемой системы или сети с применением избранной разновидности модуляции в приближенных к реальным условиях.

В связи с этим актуальной задачей является исследование модуляции сигнала средствами математического моделирования, позволяющее определить характеристики эффективности избранной разновидности модуляции.

Целью статьи является исследование современных известных и предложенных новых разновидностей модуляции сигнала в телекоммуникационных системах и сетях средствами математического моделирования для выявления среди них наиболее эффективной.

1. Информационная эффективность модуляции сигнала

К современным широко используемым разновидностям модуляции сигнала принадлежит КАМ. КАМ-сигнал может быть представлен в виде суммы его двух ортогональных по фазе составляющих таким образом:

"дли (')= и0°!ит1 (')««(«О* + Фо )+)сО^О)0/ + ф0 - ~ | ’

где и0, о)о, фо - амплитуда, угловая частота и начальная фаза несущего колебания; а/ , ад - коэффициенты пропорциональности для синфазного / и квадратурного (9 каналов модулятора; и,„/(/), м/и^(/) - модулирующие сигналы на

синфазном / и квадратурном () входах модулятора.

Перспективной для применения в современных телекоммуникационных системах и сетях является новая предложенная автором АММС, при использовании которой модулированный сигнал формируют в виде суммы его N модулированных по амплитуде составляющих, отличающихся начальными фазами ф;, и имеет вид [4, 5]:

/V

иАММс(г) = Х^Оа/ит, ('^(^(«о' + Фо +ФД 1=1

где — коэффициенты пропорциональности для / -ых канатов модулятора; ит (/) - модулирующие сигналы на /-

ых входах модулятора.

Интересным с практической точки зрения является АММС-сигнал (2), при формировании которого используют составляющие с начальными фазами ср(-, сдвинутые между

собой на фазовые углы Аф:

|Ф/| = Фо* + Т7 ’ Дф = и/Л^.

N

1-2 1 -

0\

32-КАМ), а также АММС с непрямоугольным сигнальным созвездием.

При применении всех модификаций КАМ и АММС с произвольным количеством использованных сигнальных точек сигнального созвездия (символов М) автором

предложено использовать следующую формулу для вычисления вероятности символьной ошибки:

F'svmAMMC — fbi ‘ Q\

KE-log2 (Мщд)ш

umid

2Nn

где nn - коэффициент, равный среднему количеству соседних сигнальных точек, находящихся вокруг одной из сигнальных точек сигнального созвездия; Кр - коэффициент, равный отношению минимально возможной энергии разницы A£mjn двух символов, отвечающих соседним сигнальным точкам, к средней энергии всех символов,

- "'mid

отвечающих неповторным сигнальным точкам; Meff - эффективное количество символов.

Важным показателем модуляции сигнала, примененной в телекоммуникационной системе или сети передачи данных, является информационная эффективность г|/;), что показывает,

насколько скорость передачи данных при применении избранной разновидности модуляции меньше пропускной способности телекоммуникационной системы (сети), и равна [6]:

Пт =7т/1о82

(у '

I2L+1

Р *

где ф(ь. - некоторая начальная фаза.

В процессе формирования модулированных сигналов (1) и (2) применяют дискретные модулирующие сигналы в виде последовательности прямоугольных импульсов с определенным ограниченным количеством уровней амплитуды.

Для вычисления вероятности символьной ошибки в системе с КАМ целесообразно использовать такую формулу [2]:

I ( |31°82№„„

где (.у) - функция плотности вероятности гауссовой случайной величины; Ей — средняя энергия одного бита

итШ

информации; | М - количество символов; /У0 - спектральная плотность мощности белого шума в канале электросвязи (системе или сети).

Формула (4) обеспечивает точный результат вычислений лишь при использовании КАМ с прямоугольным сигнальным созвездием с М - 2* (к четное) возможными символами и равномерно отдаленными уровнями амплитуды модулирующих сигналов на входах обоих каналов / и Q модулятора, поэтому она непригодна при исследовании КАМ при использовании не всех сигнальных точек (например.

где ут - частотная эффективность разновидности модуляции; [5,„ — энергетическая эффективность разновидности модуляции.

При определенном значении вероятности ошибки, которая может быть вычислена для определенной рассмотренной выше разновидности модуляции согласно (4) или (5), энергетическая эффективность составляет

Р П1=М0/ЕЬ,

где - энергия одного бита информации, необходимая

для обеспечения заданного допустимого значения вероятности ошибки.

Частотная эффективность равна

Ут=УЬ/АР5,

где V/, - скорость передачи информации; А^ - ширина спектра сигнала (принимают, что спектр сигнала занимает всю полосу пропускания канала электросвязи АГС, системы

или сети Л/\„).

Таким образом, выбор оптимальной разновидности модуляции сигнала при данных условиях использования телекоммуникационной системы или сети передачи данных позволяет обеспечить наивысшую возможную информационную эффективность.

2. Исследование модуляции сигнала средствами

математического моделирования

Использование определенной разновидности модуляции или комбинации из нескольких разновидностей, различных модулирующих сигналов, использование всех или лишь части сигнальных точек сигнального созвездия, применение

определенных методов обработки сигналов в процессе модуляции и демодуляции позволяют получить большое количество возможных модулированных сигналов, отличающихся энергетической, частотной, а поэтому и информационной эффективностью. Для выявления модуляции сигнала с максимальной информационной эффективностью предложен универсальный подход к исследованию модуляции сигнала в телекоммуникационных системах и сетях передачи данных средствами математического моделирования, базирующийся на использовании процедур кодирования источника информации, предварительной обработки данных и формирования входного пакета символов, методики оптимизации и построения сигнального созвездия исследуемой разновидности модуляции, алгоритма формирования модулирующих информационных сигналов, методики исследования энергетических и спектральных характеристик исследуемой разновидности модуляции, процедур осуществления избранной разновидности модуляции сигнала, учета влияния помех, осуществления демодуляции сигнала, алгоритма распознавания символов решающим устройством, методик определения отношения средней энергии £/ одного бита инфор-

итШ

мации к энергетической спектральной плотности шума в канале электросвязи (системе или сети) и статистической вероятности символьной ошибки Ркхт при таком отношении, процедур определения статистической вероятности битовой ошибки Л,, обработки данных после демодуляции

с учетом ее ВЛИЯНИЯ на вероятность СИМВОЛЬНОЙ РВут и

битовой Р/, ошибки, формирования информационных сигналов для получателя информации, методики вычисления энергетической (3, частотной у и информационной г| эффективности исследуемой системы или сети, алгоритма сравнения характеристик нескольких исследуемых разновидностей модуляции и выявления оптимальной модуляции по критерию максимальной информационной эффективности. На основании предложенного подхода для его осуществления разработано программное обеспечение в среде МаЛСАО [7].

Рассмотрим применение предложенного подхода для исследования известной разновидности модуляции сигнала без учета процедур кодирования источника информации, предварительной обработки данных и формирования входного пакета символов, обработки данных после демодуляции и формирования информационных сигналов для получателя информации. Для формирования модулированного сигнала (1) или (2) необходимо задать входные данные: количество составляющих N модулированного сигнала, количество уровней амплитуды Ь модулирующих сигналов на входах модулятора, матрицу начальных фаз ф составляющих модулированного сигнала. Если количество составляющих модулированного сигнала не превышает 6, возможные уровни амплитуды иа| равномерно отдалены, а начальные фазы ф| сдвинуты между собой на одинаковые фазовые углы Дф соответственно (3), тогда матрицы амплитуд 11а0 и начальных фаз ф получают так:

UaO :=

for ie0..L -1

2-i-L+l

Uai Uao *

L -1 1 if L = 1

for ie 0..5

Ф1 <— Дф-i if i < N Ф1 <— 0 otherwise

В этом случае возможно получить такое количество модулированных сигналов, отличающихся амплитудой или начальной фазой:

Ма„=1?.

Для последующих исследований необходимо пронормировать амплитуды всех модулирующих сигналов таким образом, чтобы мощность максимального сигнала равнялась 1 Вт на нагрузке 1 Ом. Для этого перебирают все возможные модулирующие сигналы и находят коэффициент К, на который нужно умножить значение полученных раньше уровней амплитуды модулирующих сигналов, чтобы мощность максимального сигнала равнялась 1 Вт. При последующих исследованиях применяют матрицу нормированных амплитуд На модулирующих сигналов, полученную так: иа:= Кэг1еО..Ь-1

Ua,

2-i-L

L- 1

1 1

К.

if L = 1

Следующим шагом является вычисление абсцисс, ординат, амплитуд и фаз всех сигнальных точек на сигнальной плоскости, соответствующих возможным модулированным сигналам, с занесением этих данных в матрицу 8(Ь). Эту матрицу используют при построении сигнального созвездия на сигнальной плоскости для исследуемого модулированного сигнала. Пример полученного согласно рассмотренных процедур сигнального созвездия 16-КАМ-сигнала с минимально возможными расстояниями с! между соседними сигнальными точками приведен на рис. 1.

п/2

Зя/2

Рис. 1. Сигнальное созвездие 16-КАМ-сигнала

Совокупность возможных модулированных сигналов используют при имитации средствами математического моделирования процесса формирования модулированного сигнала под действием входного пакета символов, учета влияния помех, осуществления демодуляции сигнала, распознавания символов решающим устройством, определения отношения Ей / N0 в канале электросвязи (системе или сети) и ста-

ит'н1

тистической вероятности символьной ошибки Р5.,т в исследуемой системе или сети при таком отношении. Осуществление моделирования при различных значениях мощности шума позволяет получить экспериментальную зависимость вероятности символьной ошибки от отношения Е[, ; / Л'о при применении избранной разновидности моду-

У

ляции, используемую для определения энергетической эффективности телекоммуникационной системы или сети. С учетом полученной экспериментально энергетической эффективности (7) и полученной экспериментально или вычисленной согласно (8) частотной эффективности находят информационную эффективность (6) такой системы или сети.

Разработанное программное обеспечение также позволяет исследовать теоретически вероятность символьной ошибки при применении избранной разновидности модуляции с эффективным количеством символов МеГГ в телекоммуникационной системе или сети согласно (5), для чего вычисляют коэффициенты пп и К /г. При этом используют матрицы Хе1Т и У'еН' с координатами сигнальных точек на сигнальной плоскости. Значение коэффициента пп (в программном модуле обозначен как N11) вычисляют посредством следующего программного модуля:

Ып:=

Ып«- О

Гог і є 0.. МеА" - 1 Км- j є 0.. Ме

к <-------ІГ

МеАГ

(ХеїГі - Хе(Т])2 + (УеГГ; - УеП^)2

< ДРтіп-1.02

Ып <- N11 + к ІГ ] * і к <— О

Ып

Коэффициент К/ (в профаммном модуле обозначен как КЕ) в формуле (5) в конкретной реализации программы вычисляют как отношение минимально возможной мощности разницы \Pmin двух символов, отвечающих соседним сигнальным точкам, к средней мощности Р$упиш<1 всех МеГГ символов:

_ ДРтш Рзутггис!

При этом минимально возможную мощность разницы ДРтш двух символов вычисляют так:

ДРшіп :=

ДРшіп <— 2 йзг і є 0.. МеАГ - 1 й>г j є 0.. Меії - 1

ДРшіп 1

(ХеАГі - Хе^)2 + (УеІТ, - УеА^)2

ДРпип «— ДРггап1 1Г ДРгпш1 < ДРпип л {j ДРтш

Среднюю мощность всех МеГГ символов находят с учетом мощности РеГГ| отдельных символов так:

Ряуттісі :=

Рвутіпісі <— О Гог і є 0.. Мей- - 1

Рвуттісі <— Рвуттісі +

РеІТі

МеІТ

3. Алгоритмы оптимизации сигнальных созвездий и их программная реализация

В ряде случаев возникает задача нахождения оптимального расположения сигнальных точек на сигнальной плоскости - задача оптимизации сигнального созвездия модулированного сигнала по критерию максимальной информацион-

ной эффективности телекоммуникационной системы или сети. Известно, что наивысшей эффективностью характеризуются модулированные сигналы, сигнальные созвездия которых содержат точки, заполняющие круг единичной мощности и равномерно отдаленные между собой. Это возможно достичь использованием определенных разновидностей модуляции и исключением части сигнальных точек в местах их скопления. АММС является одной из разновидностей модуляции, при использовании которой возможно получить оптимальное сигнальное созвездие. Это объясняется тем, что сигнальные точки АММС-сигнала при применении равноудаленных уровней амплитуды модулирующих сигналов и начальных фазах N составляющих, отвечающих (3), заполняют правильный 2Ы -угольник, поэтому такое сигнальное созвездие лучше вписывается в круг единичной мощности по сравнению с квадратным сигнальным созвездием КАМ-сигнала.

Для иллюстрации применения предложенной методики оптимизации и построения сигнального созвездия исследуемой разновидности модуляции рассмотрим процесс оптимизации сигнального созвездия 19-АММС-сигнала, образованного путем суммирования шести составляющих с двумя возможными уровнями амплитуды и начальными фазами, сдвинутыми между собой на углы л/6. При этом согласно (9) сигнальное созвездие будет содержать 64 сигнальные точки. После нормирования амплитуд всех модулирующих сигналов сигнальное созвездие будет иметь вид, как это показано на рис. 2, а. Как видно из рис. 2, а, сигнальные точки заполняют правильный 12-угольник, но расстояния между отдельными соседними точками являются неодинаковыми, а 15 точек наложены одна на другую, поэтому необходимо устранить часть точек в местах их скопления.

л/2

л/2

• / • • « т • • •• >>ч •• • • 1 р • -

• • ( 1 • • •• * 1 • \ ,

О Л

/ • • \ а \ (о

\ • ^ 7 • /

Зя/2

а)

Зя/2

б)

л/2

О Л

• • У а У\ 0 • і

У • • • /

Зя/2

і

Рис. 2. Сигнальные созвездия: а) АММС-сигнала 6 составляющих до оптимизации; б) 19-АММС-сигнала 6 составляющих; в) 19-АММС-сигнала 3 составляющих; г) 16-АММС-сигнала 3 составляющих со сдвигом

Для осуществления оптимизации созвездия выполняют сортировку сигнальных точек по мощности, после чего заносят их координаты относительно осей абсцисс и ординат в матрицы Xsort и Ysort соответственно. Потом из общего количества точек Mall посредством предложенного алгоритма оптимизации сигнального созвездия (рис. 3) выбирают лишь те, которые отдалены от соседних на расстояние не меньше определенной заданной величины AU. Номера этих точек записывают в матрицу Ieff.

Рис. 3. Алгоритм оптимизации сигнального созвездия Программная реализация предложенного алгоритма такая:

Ieff :=

m О

к <- О Ieffo *— О for і є 1.. Mall - 1 for j є Ieff

Д *- ^(Xsortj - Xsortj)^ + (Ysortj - Ysortj)^ к <- 1 if Д < AU m <— m + 1 if к = 0 Ieffm <— і if к = 0 k<—0 Ieff

По результатам оптимизации получено сигнальное созвездие 19-АММС-сигнала 6 составляющих (рис. 2,6), содержащее 19 равномерно отдаленных сигнальных точек. Такой сигнал характеризуется информационной эффективностью г| = 0,624 и минимально возможной мощностью

разницы двух символов А/>т[п =0,134 Вт, что больше по

сравнению с информационной эффективностью г| = 0,582

(А/^р =9,6 10_3 Вт) АММС-сигнала 6 составляющих (рис. 2,а) без 15 точек, наложенных одна на другую, а также широко употребляемого 16-КАМ-сигнала с информационной эффективностью г| = 0,599 (АРт|п = 0,111 Вт). Лучших результатов получено в результате оптимизации сигнального созвездия 19-АММС-сигнала 3 составляющих (рис. 2,в), содержащего 19 равномерно отдаленных сигнальных точек и характеризующегося информационной эффективностью г| = 0,630 (ДРт;п = 0,125 Вг). Из созвездия 19-АММС-сигнала 3 составляющих возможно получить созвездие 16-АММС-сигнала со сдвигом уровней амплитуды модулирующих сигналов (рис. 2,г) путем исключения трех точек с максимальной амплитудой сигнала. При этом сигнальная эффективность 16-АММС-сигнала со сдвигом равна г| = 0,613 (&Ртт =0,137 Вт), что выше по сравнению с 16-АММС-сигналом с таким же количеством сигнальных точек. Преимущество АММС-сигпалов по информационной эффективности по сравнению с КАМ-сигналами получено как за счет увеличения расстояния между сигнальным точками сигнального созвездия (повышения энергетической эффективности), гак и за счет увеличения количества сигнальных точек (повышения частотной эффективности).

4. Преимущества предложенного подхода,

алгоритмов и программ

По результатам исследований разновидностей модуляции сигнала, используемых в телекоммуникационных системах и сетях передачи данных, выявлены следующие преимущества предложенного подхода, алгоритмов и программ:

• универсальность, позволяющая исследовать как известные, так и новые разновидности модуляции сигнала, а также их комбинации;

• возможность осуществления оптимизации сигнального созвездия модуляции сиг нала, позволяющая обеспечить наивысшую эффективность телекоммуникационной системы или сети передачи данных;

• уменьшение времени при оптимизации сигнального созвездия модуляции сигнала;

• возможность сравнения ряда известных и новых разновидностей модуляции сигнала на основании единых подходов, условий и критериев.

Выводы

Предложен универсальный подход к исследованию модуляции сигнала в телекоммуникационных системах и сетях передачи данных средствами математического моделирования. Разработаны алгоритмы и программы, позволяющие выполнять исследование модуляции сигнала без необходимости практической реализации телекоммуникационных систем или сетей, что способствует уменьшению времени при выборе необходимого метода модуляции сигнала и уменьшению финансовых затрат на проектные работы.

С помощью предложенного подхода, разработанных алгоритмов и программ исследована информационная эффективность некоторых современных известных и новых предложенных разновидностей модуляции сигнала. В частности показано, что информационная эффективность предложенной разновидности модуляции 16-АММС выше известной широко используемой в современных телекоммуникационных системах и сетях разновидности модуляции 16-КАМ.

Предложенный подход, алгоритмы и программы целесообразно использовать при проектировании новых и модернизации существующих телекоммуникационных систем и сетей передачи данных с целью повышения их эффект ивности.

I. Simon M.K. Bandwidth-efficient digital modulation with application to deep-spase communications: Monograph / Editor-in-chief Joseph

H. Yuen. - California: Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, 2001. - 228 p.

2. Прокис Дж. Цифровая связь. Пер. с англ. / Под ред. Д.Д. Кловского. - М. : Радио и связь, 2000. - 800 с.

3. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2-е, испр. : Пер. с англ. - М.: Издательский дом “Вильямс”, 2004. - 1104 с.

4. Горбатий І.В. Амплітудна модуляція багатьох складових // 36. наук. пр. (Ін-т проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України). - Київ, 2009. - Вип. 50. -С. 186-190.

5. Патент №91950 Україна, МПК (2009) Н04Ь27/34, Н04Ь27/20, ПОЗ03/00, Н04Ь5/00. Пристрій для передавання даних за допомогою інформаційного сигналу, сформованого на основі амплітудної модуляції багатьох складових / І.В. Горбатий. - №а200909567; заявл. 18.09.2009; опубл. 10.09.2010, Бюл. №17. - 12 с.

6. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Коржик В.И., Назаров М.В. Теория электрической связи: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1999. -432 с.

7. Дьяконов В. МтІїсагі 2001: специальный справочник. — СПб.: Питер, 2002. - 832 с.

Литература

Research of signal modulation in the telecommunication systems and networks by facilities of mathematical modeling

Gorbatyy I.V., PhD, associate professor, associate DSc,

Telecommunication Department, Lviv Polytechnic National University, giv@polynet.lviv.ua

Abstract

An universal approach for research of signal modulation in the data transmission telecommunication systems and networks by facilities of mathematical modelling is offered. Such approach allows to explore the both known and new varieties of signal modulation, and also their combinations. On the basis of offered approach the algorithms and programs in environment of MathCAD are developed. They allowing to execute research of signal modulation without necessity of practical realization of the telecommunication systems or networks, that promotes to decrease of time in case of choice of necessary method of signal modulation and decrease of financial expenditures on the project works. An informative efficiency of some modern known and new offered varieties of signal modulation is explored by the offered approach, developed algorithms and programs. An example of finding with their use of optimum signal constellation of modulated signal during realization of offered amplitude modulation of many components (AMMC) is led. It is shown, that informative efficiency of offered variety of modulation 16-AMMC is higher from known variety of quadrature amplitude modulation 16-KAM which widely used in the modern telecommunication systems and networks.

KayWoidx informative efficiency, telecommunication system, telecommunication network, quadrature amplitude modulation, amplttude modulation of many components.

References

1. Simon M.K. Bandwidth-efficient digital modulation with applica-tion to deep-spase communications: Monograph / Editor-in-chief Joseph H. Yuen. - California: Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, 2001. 228 p.

2. Prokis J. Digital communications. Moscow, 2000. 800 p.

3. B. Sklar Digital Communication. Theoretical basis and practical application. Moscow, 2004. 1104 p.

4. Gorbaty I.B. Amplitude modulation of many components // Coll. sciences. pr (Institute of Modelling in Energy University. G.E. Pukhov National Academy of Sciences of Ukraine). Kyiv, 2009. V50. P 186-190.

5. Patent number 91950 Ukraine, IPC (2009) N04L27/34, N04L27/20, N03D3/00, N04L5/00. An apparatus for transmitting data using information signal generated based on amplitude modulation of many components / IV Humpback. Number a200909567, appl. 18.09.2009, publ. 10.09.2010, Bull. Number 17. 12 p.

6. Zyuko A.G., Klovskyy D.D., Korzhik VI, NazarovM.V. Theory of electro communications : Moscow, 1999. 432 p.

7. Dyakonov V! Mathcad 2001: Special Directory. St. Petersburg, 2002. 832 p.