Применение теории обобщенной электрической машины к трехфазному асинхронному двигателю

УДК 621.313.32

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАШИНЫ К ТРЕХФАЗНОМУ АСИНХРОННОМУ ДВИГАТЕЛЮ

В.Г. МАКАРОВ

Казанский государственный технологический университет

Алгоритмы управления частотно-регулируемого электропривода строятся с широким привлечением математических моделей обобщенной электрической машины. Переход от реальной электрической машины к обобщенной неразрывно связан с вопросами преобразования координат, которое в ряде случаев выполняется формально без сохранения величины магнитного потока, приходящегося на один полюс. Предлагается методика преобразования координат, позволяющая сохранить неизменными результирующие магнитодвижущие силы, а также эффективное количество витков фаз обмоток. С помощью компьютерного моделирования подтверждено соблюдение принципа инвариантности мгновенной мощности, позволяющего судить о корректности выполненных преобразований.

Ключевые слова: трехфазный асинхронный двигатель, математическая модель, преобразование координат, система координат й, q, результирующая магнитодвижущая сила, эффективное количество витков фаз обмоток, принцип инвариантности мгновенной мощности.

Введение

В системах векторного управления скоростью асинхронного двигателя, обеспечивающих эффективное энергосбережение средствами электропривода, широко используется преобразование координат, позволяющее перейти от системы дифференциальных уравнений в фазных осях, содержащей переменные коэффициенты, к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, например, в осях й, q, 0. Преобразование координат неразрывно связано с вопросами теории обобщенной электрической машины. Существуют различные варианты преобразования координат, некоторые из них выполняются формально без сохранения величины магнитного потока, приходящегося на один полюс. При этом основное внимание уделяется преобразованию токов и напряжений [1, 2]. В данной статье предлагается методика, позволяющая в ходе преобразования координат сохранить неизменными результирующие МДС обмоток, а также эффективное количество витков фаз обмоток.

Методика исследования

На рис. 1, а представлена пространственная модель трехфазной асинхронной электрической машины, где оси фаз статора обозначены А1, В1, С1, а оси фаз ротора - А2, В2, С2. Система координат ротора вращается относительно системы координат статора с угловой скоростью ю , их взаимное расположение характеризуется электрическим углом а между одноименными осями.

Известная линейная математическая модель асинхронного двигателя (АД) в фазных осях [1, 2, 3] строится на базе уравнений электрического равновесия фаз обмоток, при записи которых, как правило, вводятся следующие допущения:

© В. Г. Макаров

Проблемы энергетики, 2009, № 11-12

1) статор и ротор собраны из тонких листов высококачественной электротехнической стали, вследствие чего потерями на гистерезис и вихревые токи пренебрегаем;

2) магнитная система двигателя не насыщена;

3) параметры обмотки ротора приведены к числу витков и количеству фаз статора;

4) фазы обмоток статора и ротора смещены в пространстве на угол 2п / 3 эл. рад и симметричны в электрическом и магнитном отношении;

5) воздушный зазор равномерный.

\

Н Л , [ы

[«1 ] ' к ] [0]' [1 ] ' [/1] М12 ] / й "[[1 ] ' й ] М12] ' "[[1 ]'

>2 ] _ ,[о] [2 ] Ь ] . + _М21 ] [[2 ] йг \ .[2 ] . +— йг [М21 ] [/2 ] Л "['2 ] '

Рис. 1. Пространственные модели: а - трехфазного АД; б - обобщенной электрической машины

Указанная модель в работе [1] представлена системой дифференциальных уравнений в векторно-матричной форме:

,

где [«1 ], [1 ] - векторы напряжений и токов фаз статора; [^1 ], [/4 ] - матрицы активных сопротивлений и индуктивностей статора; [«2 ], [2 ] - векторы напряжений и токов фаз ротора; [^2 ], [/2 ] - матрицы активных сопротивлений и индуктивностей ротора; [о] - нулевая матрица; \Му2 ] - матрица взаимных индуктивностей статора и ротора; [М21 ] - матрица взаимных индуктивностей ротора и статора.

Запишем векторы и матрицы трехфазного АД с короткозамкнутым ротором, входящие в выражение (1):

[«1 ]=

«1А ; [«2 ]= 0 ; [1]= г1А ; [2]= г*2 А

«1В 0 г1В 12 В

«1С 0 г1С г2С

Л1р 0 0 ; Ы= Т1р - 0,5Mm - 0,5 Mm

0 Л1р 0 - 0,5 Mm Т1р - 0,5Mm

0 0 Л1р - 0,5Mm - 0,5Mm Т1р

Л2р 0 0 ; [!*]= Т2р - 0,5Mm - 0,5 M m

0 Л2р 0 - 0,5 Mm Т2р - 0,5 M m

0 0 Л2р - 0,5Mm - 0,5 Mm Т2р

[M 12 ] =

Mm cos(a) Mm cos ( 2n> a + — l 3 j Mm cos ( 4nï a + — l 3 J

Mm cos ( a + — l 3 J Mm cos(a) Mm cos ( 2n ï a + — l 3 j

Mm cos

[M21 ]=[M12]] ,

где индексы, 1А, 1В, 1С указывают на принадлежность параметра соответствующей фазе статора, а индексы 2 А, 2В, 2С - на принадлежность параметра соответствующей фазе ротора; , - активное сопротивление и

индуктивность фазы статора реальной машины; Л2р, ¿2р - активное сопротивление и индуктивность фазы ротора реальной машины; индекс р указывает на принадлежность параметра реальной машине и вводится здесь в связи с тем, что далее будут использоваться также параметры обобщенной машины; Mm - максимальное значение взаимной индуктивности, которое имеет место при совпадении осей фаз обмоток; T - знак транспонирования матрицы. Собственные индуктивности фаз статора и ротора запишем в виде:

Т1р = Т1ар + Т1ор ; L2р = L2ар + Т2ор ,

где индексами а обозначены индуктивности от потоков рассеяния; а индексами о - индуктивности от основного потока.

Для приведенного АД индуктивности статора и ротора от основного потока совпадают по величине с максимальным значением взаимной индуктивности Mm , т.е. выполняется равенство:

Т1ор = Т2ор = Mm.

Электрический угол поворота ротора определяют из уравнения t

a(t) = а(0) + |ffl(t)dt. 0

Выполняя дифференцирование матрицы индуктивностей АД, можем записать:

й_

йг

/] [М 12 ]

[М 21 ] [[2 ]

йа йг

д[/ ] д[м|2 ]

да да

д[М 21 ] д[/ ]

= а

[0]

д[М12 ]

да

д[М12 ] да

[0]

да да

Взяв частные производные от элементов матриц [М12] и [М21 ] по углу поворота ротора а , получим

д[Мц ]

да

- Мт $1п

4п

- Мт вш| а + "у

- Мт зт

а + -

2п

- Мт зт| а +

2п

- Мт зЦа)

- Мт зт

а+

4п

- Мт зт

а+

- Мт зт

а+

2п

- Мт зт

д[М 21 ] д[М 12 ]

да да

Запишем уравнение электромагнитного момента трехфазного АД:

мэ = 1 ^[Ь1

э 2й даг 2

[1 ] [2 ]

Т д

[/1] [м12 ] [М21 ] [[2 ]

да г

[1 ] [2 ]

где [] - вектор токов трехфазного АД; [/] - матрица индуктивностей трехфазного АД; аг - геометрический угол поворота ротора.

Перемножив векторы и матрицы, входящие в уравнение (2), получим аналитическое выражение электромагнитного момента трехфазного АД:

Мэ = Рп М„

/ \

п

зт а + —

1 3)

((2С + г1Вг'2 А + 11С12В )-

- «¡п

где рп - число пар полюсов.

Запишем уравнение движения

Jz йа=Рп (мэ - мс ),

где - суммарный момент инерции подвижных частей; Мс - статический момент.

Анализ матриц М12 ] и [М21 ] показывает, что они содержат в себе коэффициенты, являющиеся функциями угла а и не являющиеся функциями токов. Поэтому система (1) относится к классу систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Чтобы получить систему © Проблемы энергетики, 2009, № 11-12

3

3

3

3

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, введем вращающуюся с угловой скоростью ©1 систему координат й, q, 0. Оси й, q показаны на рис. 1, а.

В процессе преобразования координат от реальной трехфазной машины переходим к обобщенной электрической машине, для которой традиционно вводятся следующие допущения:

1) число пар полюсов рп равно единице;

2) число фаз обмоток статора т1 и ротора т2 равно двум;

3) каждая фаза обмоток имеет синусоидальное распределение витков вдоль воздушного зазора;

4) магнитная индукция распределена вдоль расточки статора по синусоидальному закону;

5) магнитные потери в магнитопроводах статора и ротора отсутствуют;

6) магнитопроводы статора и ротора являются гладкими, то есть не учитывается зубчатость статора и ротора.

Ось й обобщенной машины находится под углом а1 по отношению к оси и под углом а2 по отношению к оси ^2. Система координат й, q, 0 вращается относительно системы координат статора со скоростью ©1, а относительно системы координат ротора - со скоростью ©2. Разность скоростей ©1 и ю будем рассматривать как скорость скольжения Ш2, а разность углов а1 и а - как угол скольжения а2 . При этом скольжение ротора определяется отношением

_ ©2 _ ©1 -ю

©1 Ю1

Переход от неподвижной системы координат статора к вращающейся системе координат й, q, 0 осуществляется с помощью матриц преобразования токов \Сц ] и напряжений [1« ] статора. Существуют различные критерии выбора матрицы преобразования токов, в некоторых случаях она выбирается произвольно, однако матрица преобразования напряжений выбирается исходя из принципа инвариантности мгновенной мощности. В данном случае матрицу преобразования токов статора \Сц ] выбираем, исходя из следующих принципов:

1) эффективное число витков фазы обмотки обобщенной машины равно эффективному числу витков фазы обмотки реальной машины;

2) результирующая МДС, создаваемая двухфазной обмоткой обобщенной машины, должна быть равна результирующей МДС, создаваемой трехфазной обмоткой реальной машины;

3) ток нулевой последовательности обобщенной машины определяется как ток в нейтральном проводе реальной машины.

Для матриц преобразования выполняется условие

^1« ] \Сц ]_ 1.

Запишем преобразования токов и напряжений обмотки статора:

[0 ]=

¿1й ¿Ц

Чо

= [Сц ] ]=[с1г]

¿1А Г 1 и1й и1А

¿1В u1q = [С1и 1и1 ]=[С1и. и1В ;

¿1С и10 и1С

[Си ] =

С0«(а1) ( 2л! "Т1 -Т, С03 2пЛ а1 + — < 3 У

- зт(а! ) - зт ( 2* а1 -Т Ч - зш ( 2* а1 + ~Т Ч 3

1 1 1

С0з(а1) С03 ( 2^ а1 -Т Ч ° У С03 Ч а1+Т ]

[С1и ]= | х - $1п(а1) . ( 2* - зт| а1-- Ч 1 3, - зш ( а1 +~Т Ч 3 У

1 1 1

2 2 2

[ ]' к] -

где машины.

векторы токов и напряжений фаз обмотки статора обобщенной

Аналогично с помощью матриц преобразования токов [с21 ] и напряжений [с2и ] ротора выполняется переход от вращающейся со скоростью ю системы координат ротора к системе координат й, q, 0. Указанные матрицы могут быть записаны на основе матриц \Сц ] и [Сци ] путем замены угла ац на угол скольжения а2 :

[о ]=

¿2й

¿2q

12о

= [С 2/] ]=[С 2/ ]

¿2А Г 1 и2й

¿2В u2q

¿2С и20

= [С 2и 1и2 ]=[С 2и ]

и2 А

и2В

и2С

где

[ ] , [и2] -

векторы напряжений и токов фаз обмотки ротора обобщенной

машины.

В ходе преобразования координат появляются составляющие нулевой последовательности токов ¿10 и напряжений иц0 статора, а также составляющие

нулевой последовательности токов ¿20 и напряжений и20 ротора, которые в

электромагнитном преобразовании энергии не участвуют, а при отсутствии нейтрального провода статора и короткозамкнутом роторе обращаются в ноль.

Обратный переход от токов /ц^, ¿ц, ¿10 и напряжений ицй, и^, иц0 к

токам ¿1А , ¿цв , /1С и напряжениям ица , ицв, ицС осуществляется с помощью

обратных матриц преобразования \Сц ]-1 = [Сци , [Сци ]-1 = \Сц ]. Соотношения между токами и напряжениями, параметрами фаз обмоток, а также обратный

переход для токов и напряжении, аналогичные рассмотренным для статора, справедливы и для ротора.

Основные результаты

1. Соотношение между параметрами реального АД и обобщенной машины.

Наряду с векторами токов и напряжений преобразованию подлежат матрицы активных сопротивлений и индуктивности фаз статора и ротора, а также матрицы взаимных индуктивностей:

к ]

*1й 0 0

0 *ц 0

0 0 *1о

[С1и 1*1 \Сц I-1

-3 *р 0 0

0 0

0 0 1 *р

т1й 0 0

0 0

0 0 Т1о

= [с1и 1ТС ]-1 =

2 Т М 3 Мстр + Мт 0 0

0 2 М 3 Мстр + Мт 0

0 0 1т з т1стр

[12 ]"[„ [ 121^1,- --1 =

Мт 0 0

0 Мт 0

0 0 0

к ]=

*2й 0 0

0 *2q 0

0 0 *2о

= [С 2и 1*2 -С 21 ] =

3 *2р 0 0

0 1 *2р 0

0 0 1 *2р

[2 ]=

Т2й 0 0

0 0

0 0 т2о

= [С 2и -21С 21 ]-1 =

2 г - ¿2стр + мт 0 0

0 2 3 ¿2стр + мт 0

0 0 -3 ¿2<гр

[ °1 ]=[ 2и [ 211С 2,- ]-1 = [^1°] , ]

Мт 0 0

0 Мт 0

0 0 0

где [^и , - матрицы активных сопротивлений и индуктивностей статора

обобщенной машины; [м°2 ] - матрица взаимных индуктивностей статора и ротора обобщенной машины; [й° ] , [т? ] - матрицы активных сопротивлений и

индуктивностей ротора обобщенной машины; М21 ] - матрица взаимных

индуктивностей ротора и статора обобщенной машины.

2. Математическая модель АД с позиций теории обобщенной машины. Уравнения системы (1), записанные в осях й, 0 с использованием матриц преобразования координат, приобретают вид

[ ]=[С1и С ]-1 ]+ ^ [[¿1С ]-1 ]+[М12С ]-1 [2°]

[ ]=[С 2и ([*21С 2- ]-1[2° ]+ | ([М 211С 2-Н"? ]+[¿2 ] 211"1 [2°]

Продифференцируем матрицу \Сц ]-1:

й[Си ]"1 й[СЦ ]"1 йщ © й[СЦ ]"1 —I;— = —;--;г = 1—;-=

зт(ос1) е°«(а1) 0

2 . Г 2п] Г 2п ) 0

— ©1 X 3 1 мм Г" Т ] а1 "Т

Г 2*1 0

мм «1 +-3 V 3 ^ е°з [а1+т]

Аналогично осуществляется дифференцирование матрицы [С2,]"1.

Продифференцировав матрицы \Сц ]-1 и С^ ]-1, можем записать систему (2) в виде

1

1

[ ]=[С1и ]Т[«1С I"1 [ ]+[А1С1, ]-1 ^+[«121С1. ]-1 ^ +

+Ю1 [-1 ]й1Са/]1 [[ ]+ю1[м12 ]]|[йаг]1 [-2° ]]) .

[ ]=[С 2и ]][«2 ^ 2, Н20 ]+[« 21 ] 2/Г ^ + [-2 ^ 2, Г +

+»2 [« 21 ]-IC^ [ ]]Ю2 [-2 ^ [ ]]

Анализ матриц [«0 ] , [¿1 ] , [«2 ] , [¿2 ] позволяет записать следующие равенства:

«1 = «1- = ; ¿1 = ¿1й = ¿Ц;

«2 = «2- = «2г ; ¿2 = ¿2й = ¿2г .

Тогда, перемножив матрицы и векторы в системе (4), и, пренебрегая составляющими нулевой последовательности, получим следующую систему уравнений обобщенной машины:

и1й = ^¿и + ¿1 + «т^Цй^ + )

u1q = «1*1* + ¿1 -1- + + Ю1

0 = Й2/2- + ¿2 ^ + Мт--Г - ю 2

0 = + ¿2 ^ + «т-^ + Ю2

Пространственная модель обобщенной машины показана на рис. 1, б. Чтобы получить уравнение электромагнитного момента обобщенной машины, запишем выражение потребляемой мощности в осях -, г:

^потр = и1-г1- + и1гг1г .

Подставим в (6) вместо и^ и иц первое и второе выражения системы (5):

Ж 1" Ж 1Л"

+ «т

о (-2 2 ^ , (—1й- -1Г •

^потр = «1 + 11г) + ¿11 ча + ЧГ

¿1- + --Г ¿1Г ) - ю 1«т

Первое слагаемое в правой части выражения (7) представляет собой мощность электрических потерь в обмотке статора, сумма второго и третьего -мощность энергии, запасаемой в магнитном поле статора, четвертое -электромагнитную мощность. Тогда выражение электромагнитной мощности будет иметь вид

Рэм = © 1мт ((2й " ) .

Для определения электромагнитного момента обобщенной машины выражение электромагнитной мощности необходимо поделить на ©1, в результате получим

МЭ = Мт

Э

В обобщенной машине геометрическая частота вращения магнитного поля ©1г равна угловой частоте питающего напряжения ©1, поэтому, переходя к геометрической частоте вращения и электромагнитному моменту реальной машины, можем записать:

© 1г = ; МЭ = РпМт (,Ц-2й " i1di2q ) .

Таким образом, при условии сохранения неизменными результирующих МДС обмоток и эффективного количества витков фаз, получены соотношения между параметрами обмоток реального АД и обобщенной электрической машины, с использованием которых записаны уравнения электрического равновесия обобщенной машины для мгновенных значений, не содержащие в себе переменных коэффициентов, а также выражение электромагнитного момента обобщенной машины.

3. Результаты компьютерного моделирования. Анализ корректности выполненных преобразований.

С использованием математического описания АД в фазных осях, а также математического описания обобщенной электрической машины в осях й, q проведено компьютерное моделирование переходных процессов двигателя типа АИР80А6У2. Результаты моделирования представлены на рис. 2, 3.

Обсуждение результатов

Из рис. 3 видно, что токи фаз обобщенной машины представляют собой достаточно плавно изменяющиеся функции, которые в установившемся режиме можно рассматривать как сигналы постоянного тока. Токи фаз реального АД, представленные на рис. 2, изменяются по более сложным законам, а в установившемся режиме представляют собой гармонические функции. Сопоставить такие функции можно только в том случае, если к величинам одной из систем применить преобразование координат. Однако основным принципом преобразования координат является принцип инвариантности мгновенной мощности, поэтому вывод о корректности выполненных преобразований можно сделать на основании сравнения кривых потребляемой мгновенной мощности. Для обобщенной электрической машины указанная мощность определяется выражением (6). В случае использования трехфазных переменных статора реального АД получим выражение вида

рпотр = и1ЛЧ Л + и1Б11Б + и1С-1С

Рис. 2. Кривые переходных процессов двигателя АИР80А6У2 при моделировании в фазных осях: а - ток фазы статора; б - ток фазы ротора; в - мгновенная потребляемая мощность, электромагнитный момент и скорость ротора

Рис. 3. Кривые переходных процессов обобщенной машины на базе двигателя АИР80А6У2: а -токи фаз статора; б -токи фаз ротора; в - мгновенная потребляемая мощность, электромагнитный момент и скорость ротора

Временные диаграммы мгновенной потребляемой мощности, рассчитанной на основании выражений (6) и (8), приводятся на рис. 2, в и рис. 3, в соответственно. Сопоставив кривые мгновенной потребляемой мощности ^потр ('), электромагнитного момента Мэ), скорости ротора и(Ь), (рис. 2, в и

рис. 3, в), видим их полное совпадение. В таблице приводятся значения величин и параметров, полученные с помощью каждой из рассматриваемых математических моделей. Сравнивая эти величины и параметры, видим, что они достаточно близки.

Таблица

Сравнительный анализ результатов компьютерного моделирования

Наименование параметров, единицы измерения Обозначение Значения параметров, полученные с помощью математического описания

в фазных осях в осях 4 ц

Параметры пускового режима

Пусковой ток статора, А /1п 7,640 -

Параметры критического режима

Критический момент, Н  м M2кр 16,475 16,475

Критическая частота вращения, об/мин пкр 725,321 725,321

Критическое скольжение, о.е. 5кр 0,275 0,275

Параметры номинального режима

Ток статора, А II 1,673 1,673

Активная мощность, потребляемая статором, Вт P1 913,699 913,545

Коэффициент мощности, о.е. СО« ф 0,828 -

Мощность на валу, Вт P2 750,399 750,398

Коэффициент полезного действия, о.е. П 0,821 0,821

Частота вращения, об/мин п 937,406 937,395

Момент на валу, Н  м M2 7,644 7,644

Скольжение, о.е. 5 0,063 0,063

Таким образом, на основании проведенного анализа можно сделать вывод о корректности выполненного преобразования координат и соблюдении основного принципа инвариантности мощности. Отметим также, что сохранить физическую сущность реальных процессов позволяет то обстоятельство, что результирующая МДС, приходящаяся на все полюсы реальной машины, равна результирующей МДС, приходящейся на два полюса обобщенной машины. Подобный подход позволит в дальнейшем, при аппроксимации кривой намагничивания, без особых сложностей учитывать нелинейность магнитопровода АД, что позволит строить более точные математические модели и разрабатывать энергосберегающие алгоритмы управления частотно-регулируемого электропривода с АД.

Выводы

1. Система дифференциальных уравнений трехфазного АД в фазных осях содержит в себе переменные коэффициенты, поэтому при реализации алгоритмов управления частотно-регулируемыми электроприводами широко используется математическое описание обобщенной электрической машины.

2. Переход от реального трехфазного АД к обобщенной машине неразрывно связан с вопросами преобразования координат, которое в ряде случаев выполняется формально без сохранения величины магнитного потока, приходящегося на один полюс.

3. Предлагается выполнять преобразование координат при условии равенства эффективного числа витков фазы обмотки обобщенной машины эффективному числу витков фазы обмотки реальной машины и сохранении результирующих МДС, создаваемых двухфазной обмоткой обобщенной машины и

трехфазной обмоткой реального АД. Подобный подход позволит в дальнейшем без особых сложностей учитывать нелинейность магнитопровода АД.

4. В процессе преобразования координат, выполненного с использованием перечисленных принципов, получены соотношения между такими параметрами реального АД и обобщенной машины, как активные сопротивления и индуктивности фаз обмоток статора и ротора, а также взаимная индуктивность. С использованием перечисленных параметров записаны уравнения электрического равновесия фаз обмоток обобщенной машины, не содержащие переменных коэффициентов, а также получено уравнение электромагнитного момента обобщенной машины.

5. Компьютерное моделирование, проведенное с использованием математического описания трехфазного АД и описания обобщенной электрической машины, позволяет сделать вывод о корректности выполненного преобразования координат и соблюдении принципа инвариантности мощности.

Summary

Mathematical models of the common electrical machine are widely used to control of variable frequency drives. The ransformation procedure from a real to a common electrical machine is connected with a change of coordinates which, in some situations, are made without keeping of the quantity of magnetic stream. The coordinate formation technique, allowing to keep the total magnetomotive forces invariable and the effective number of coils of phases of windings. The computer simulation has proved the principle of the instantaneous power of the invariance, showing correctness of the transformation.

Key words: Asynchronous Three-Phase Motor, Mathematical model, Transformation coordinates, System of coordinates d-q, resultant magnetomotive forces, the effective number of coils of phases of windings, principle of the instantaneous power of the invariance.

Литература

1. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. М. - Л.: Энергия, 1964. 528 с.

2. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. М.: Высшая школа, 2001. 327 с.

3. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. М.: Энергия, 1980. 928 с.

Поступила в редакцию 09 апреля 2009 г.

Макаров Валерий Геннадьевич - канд. техн. наук, доцент кафедры Электропривода и электротехники (ЭЭ) Казанского государственного технологического университета (КГТУ). Тел. 8 (843) 231-41-27. E-mail: electroprivod@list.ru.