Моделирование напряженно-деформированного состояния в слоистых ортотропных пластинах

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2015. Том 22, №2

УДК 539.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В СЛОИСТЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИНАХ Ю. М. Волчков, Е. Н. Полтавская

Аннотация. С использованием модифицированных уравнений упругого слоя построены уравнения слоистых ортотропных пластин. Выполнено численное моделирование напряженно-деформированного состояния в однослойной, двуслойной и трехслойной пластинах. Проведено сравнение полученных в работе численных решений с аналитическими решениями.

Ключевые слова: слоистые ортотропные пластины, модифицированные уравнения упругого слоя.

Yu. M. Volchkov, E. N. Poltavskaia. Simulation of stress-strain state in layered orthotropic plates.

Abstract: In this paper, using the modified equations of elastic layer equations of ortotropic layered plates are constructed The numerical simulation of stress-strain state in a single-layer, two-layer and three-layer plates are fullfiled. A comparison of the numerical solutions with analytical solutions is presented.

Keywords: layered orthotropic plates, modified equations of the elastic layer.

Введение. При сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной (теории оболочек) либо используются гипотезы кинематического и силового характера [1], либо применяются разложения решений уравнений теории упругости по некоторой полной системе функций [2-6]. Гипотезы кинематического и силового характера накладывают достаточно сильные ограничения на напряженно-деформированное состояние и поэтому, как правило, с использованием таких гипотез уравнения теории оболочек строятся для случая, когда на лицевых поверхностях оболочки заданы напряжения. Решение контактных задач на основе таких уравнений зачастую приводит к эффектам нефизического характера. Применение разложений решений уравнений теории упругости по некоторой полной системе функций позволяет построить уравнения оболочек в различных приближениях. При этом одним из основных вопросов является следующий: на основе каких дополнительных предположений строится то или иное приближение; а именно, сколько членов в разложениях нужно удерживать при построении данного приближения? Поскольку полиномы Лежандра образуют полную систему функций в пространстве L2[-1,1], именно эта система функций обычно используется при построении уравнений теории оболочек.

© 2015 Волчков Ю. М., Полтавская Е. Н.

В данной работе на основе подходов, изложенных в работах [4-13], построены дифференциальные уравнения ортотропных слоистых оболочек.

1. Уравнения плоской задачи теории упругости. При записи уравнений задачи будем использовать прямоугольную декартову систему координат х1;х2,хз. В дальнейшем индексы 1, 2, 3 соответствуют координатам х1;х2,хз.

В плоской задаче искомыми функциями являются: компоненты тензора напряжений <т11; <г12, <г22, компоненты тензора деформаций е11;е12,е22, компоненты вектора перемещений и1; и2. Компоненты тензора напряжений а1з, <г2з и компоненты тензора деформаций е1з, е2з полагаются равными нулю. Все искомые величины являются функциями независимых переменных х1; х2. В задаче о плоском напряженном состоянии компонента тензора напряжений <гзз полагается равной нулю, а компонента тензора деформаций £зз может быть найдена после решения задачи. Выпишем уравнения плоской задачи теории упругости.

Уравнения равновесия бесконечно малого элемента записываются в следующем виде:

дсти(ж1,ж2) до-12(Ж1,Ж2) , , , _ ,.. ,

дХ1 + дХ2 +Л

до-21(ж1,Ж2) , д&22 (Ж1,Ж2) , , , _

-я--1--я--Ь/2

дх1 дх2

Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений по соотношениям Коши:

ди1 дп1 ди2 ди2 , .

е11 — я-1 е12 — я--ь я-1 е22 — я-•

дх1 дх2 дх1 дх2

В данной работе исследуется напряженно-деформированное состояние пластин из ортотропного материала. Материал, у которого имеются три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, называется ортогонально анизотропным или ортотропным. Ортотропными материалами, используемыми в промышленности, являются, например, натуральная древесина, прокатный листовой бетон, металл и др. [14]. Ортотропными являются некоторые типы композитных материалов. В частности, углепластик является ортотропным материалом. Углепластики — это полимерные композиционные материалы из углеродных волокон, симметрично расположенных в матрице из полимерных, например, эпоксидных смол. Такие материалы имеют высокую прочность, жесткость и малую массу. Они прочнее стали, но намного легче ее. Благодаря таким свойствам углепластики широко используются во многих отраслях промышленности.

В случае плоского напряженного состояния соотношения закона Гука для ортотропного материала записываются в следующем виде [14]:

/ди1(хьх2) ди2(хьх2)\ _ ,

ац

.12

где

Е-,

Ео

Ы\ =

1 - ^12^21

ао =

1 - ^12^21

71 = ^12, 72 = ^21.

В соотношения (3а)—(3с) входят следующие независимые постоянные материала: Е1 — модуль упругости в направлении 1, Е2 — модуль упругости в направлении 2, ^12 — коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие при растяжении в направлении 1. Еще две постоянные входят в выражение для деформации £33, если ее определять после решения задачи о плоском напряженном состоянии. Краевую задачу будем решать в прямоугольной области (слое) О : [0 < х1 < I, —Н < х2 < +Н].

На границе области ставятся следующие краевые условия.

На боковых поверхностях слоя:

а^

а2П2

С2И2

ф±ь

Таким образом, ставится следующая задача: найти функции о11, о12, о22, £11, £12, £22, и1, и2, удовлетворяющие в области О уравнениям (1а), (1Ь), (2), (3а)—(3с) и краевым условиям (4), (5).

2. Переход к безразмерным величинам. Введем следующие безразмерные величины:

£ =

х1 Т:

с =

х2

(011,012,022) =

<711 <712 <722 оо ' оо ' оо

и1

И1 = 7Г'

и2 г ЛН

и2 = ~Г, ¡1 = -,

Н оо

оо

где оо — некоторое характерное напряжение.

Запишем уравнения задачи в безразмерных переменных. Для простоты записи уравнений в безразмерных переменных символ «"» опущен. Уравнения равновесия в безразмерных переменных:

дстп(С, С) , д*12(£,С) п

"—ас— + —ЭС— + с) = '

до21(£,0 , до22(£,0

V-

+

+ /2(£,0=0.

д£ дС

Соотношения закона Гука в безразмерных переменных:

он С) - «1 —--

0-22(4,0 - "2 1 -Щ--1" 717?

С) - 912 ( -^- + ??

дС ди2

= 0,

¡

¡

0

0

0-21

Соотношения (8с) и (8d) в силу симметричности тензора напряжений представляют собой одно и то же соотношение. Однако такая запись целесообразна для дальнейшего изложения.

Соотношения Коши:

дих дих ди2 ди2

£12 = ^с+Г1^' 622 =

3. Аппроксимация напряжений и смещений отрезками полиномов Лежандра. При построении уравнений плоского слоя уравнения равновесия элемента, бесконечно малого в направлениях жх,ж2 и единичной ширины в направлении жз (7а)—(7Ь), заменим уравнениями равновесия элемента, бесконечно малого в направлении жх, конечной ширины в направлении ж2 и единичной ширины в направлении жз: 1

+ + =

+

х

х

+

-х

Напряжения и смещения будем аппроксимировать отрезками полиномов Лежандра. В соответствии с уравнениями (10)—(12) напряжения и массовые силы аппроксимируются следующими отрезками полиномов Лежандра:

*хх

*22&С) = ¿2

^2«, С) = *х2

*2х

/х

В (13)—(18) Рх(С), Р2(0 — полиномы Лежандра, образующие полную орто-нормированную систему функций на отрезке [-1,1].

Напряжения <гх2 и <г2х аппроксимируются различными отрезками полиномов, так как в уравнения равновесия входят производные от этих функций по различным координатам. Такая аппроксимация учитывает различную изменяемость напряженно-деформированного состояния по пространственным координатам в тонкостенных конструкциях.

Аппроксимации для смещений выбираются так, чтобы выражения, содержащиеся в круглых скобках в соотношениях (8a)—(8d) имели тот же порядок

-х

х

аппроксимации по £, что и напряжения. Поэтому аппроксимируем соотношения

(9) следующим образом:

£11—17-^т-, ¿£12 ----1-т/-—-, £22

дС

дС

где

и!(£,С )= ^(0 + и1(£)Р1(С), <(0 О = ^(0 + и1(£)Р1(С) + и?(£)Р2(С) + и3(£)Рз(С), и2(£,С ) = и°(0, и2'(£, 0 = и°(£) + и1(£)Р1(0 + и2(£)Р2(С).

Для смещений и1 и2 используются по две аппроксимации. Это обусловлено тем, что в соотношения Коши входят производные от этих функций как по так и по С-

С учетом введенных аппроксимаций для напряжений и смещений соотношения (8а)-(8а) заменяются следующими соотношениями:

1

J (°п(0С) — п

+ 72

дС

Ро(С) ¿С = 0,

J (0С) — п

-1 1

У ^22 (С, С) д(,

ди^Х) ди2

---^ 72

дС

1-+

1

J (°22 (0С) — а2

{ди2

+ 71??'

V дС

{дт&О ди2

+ Г]

/ (-12«, С)" 512 ( ^ , , ^

-1 1

1 ГС) " 512 зГ"

! (°21(0С) — 012 (

+ Г]

дС

Р1(С) ^ = 0, Ро(С) ¿С = 0, Р1(С) ¿С = 0, Ро(С) ¿С = 0, Р1(С) ¿С = 0, Р2(С) ¿С = 0.

Краевые условия на лицевых поверхностях (5) для коэффициентов отрезков полиномов Лежандра принимают следующий вид:

С1

и°(0 ± и2(£) + и2(0) + ¿2(42(0 ± Ш2(0) = <±ь(0.

1

-1

1

1

-1

Уравнения (10)-(12), (24a)-(24g), (25), (26) представляют собой систему дифференциальных и конечных уравнений относительно коэффициентов отрезков полиномов Лежандра для напряжений и смещений:

^'х + тх2 + 9х0 = 0, Пто'х + 3гх2 + 9хх = 0, П^ + т2 + 920 = 0, ах(72«х + пИо) - ¿х = 0, ах (372^2 + п^!) - тх = 0,

«2(«х + 7хпи0) - ¿2 = 0, «2(3^2 + 7хпи/х) - то2 = 0, дх2(их + Из + п«0) - ¿х2 = 0, тх2 - 3дх2И2 = 0, гх2 - 5дх2Из = 0, = ¿2 ± т2, = ± и2 + и2, = ¿х2 ± тх2 + Г х2, и± = и0 ± ^х + и^ ± и3,

где , ст±2,и± — заданные функции; штрих обозначает производную по

переменной £.

Уравнения (27а)-(271) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций и0(£), их(£), г>0(£), 4 хх(£), т хх(£), 4х2(£). Если ввести вектор

Ъ = [и0, и х, «0, 4 х х, тх х, 4х2]Т,

то систему дифференциальных уравнений ортотропного слоя можно записать в матричной форме:

Ъ' = Я^ +

где Ъ = [и0, и х, «0, 4 х х, т х х, Iх 2]Т, Н — квадратная матрица 6 х 6, Е — вектор из шести компонент.

Из краевых условий на торцах поверхностей слоя (4) следуют краевые условия при £ = £0 и £ = £ х для системы (28), которые можно записать в следующем виде:

АХ + БУ = С,

где

и0 *х х

Х= и х , У = т

«0 *х 2

А, Б — заданные матрицы порядка 3 х 3 и С — заданный вектор с тремя компонентами. Матрица Н и вектор Е зависят от вида краевых условий на лицевых поверхностях слоя. Компоненты вектора Ъ имеют следующий физический

Рис. 1. а) зависимость прогиба в середине балки от параметра 1/К; б) распределение касательных напряжений в торцевом сечении балки; в) распределение нормальных напряжений в среднем сечении балки; г) однослойная балка; сплошные линии и точки — решение по уравнениям слоя, штриховые линии — аналитическое решение.

смысл: и0 — осредненное по толщине слоя продольное перемещение, и1 — поворот поперечного сечения, Уо — осредненное по толщине слоя поперечное перемещение, ¿1 — продольная сила, £12 — перерезающая сила, т1 — изгибающий момент.

4. Алгоритм вычисления напряженно-деформированных состояний в слоистых пластинах. Основным преимуществом построенных уравнений упругого ортотропного слоя является то, что они допускают постановку условий на лицевых поверхностях как в смещениях, так и в напряжениях, при этом порядок системы дифференциальных уравнений не меняется. Это позволяет построить уравнения слоистых пластин. В каждом слое используется система уравнений (28). На границах между слоями ставятся условия сопряжения — условия непрерывности нормальных напряжений и смещений на границах между слоями.

Так, например, для трехслойной пластины получим систему дифференциальных уравнений 18-го порядка. Матрицы И в каждом слое будут различными, так как условия на лицевых поверхностях слоев будут различных типов. Для решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений 18-го порядка в данной работе использовался метод ортогональной прогонки.

Рис. 2. а) зависимость прогиба в середине балки от параметра 1/Н; б) распределение касательных напряжений в торцевом сечении балки; в) распределение нормальных напряжений в среднем сечении балки; г) двухслойнаяя балка; сплошные линии и точки - решение по уравнениям слоя, штриховые линии — аналитическое решение.

5. Сравнение численного решения задачи о напряженно-деформированном состоянии слоистых ортотропных пластин с аналитическими решениями. В работах [15-17] построены аналитические решения задач о цилиндрическом изгибе многослойных балок, состоящих из ортотропных слоев. Рассмотрим задачу о цилиндрическом изгибе балки с шарнирно закрепленными торцами, на которую действует внешняя нагрузка 9(х) = 90 в1п(пх//), где 90 — интенсивность нагрузки, Ь — длина балки.

Балка состоит углепластиковых монослоев со следующими характеристиками (ось х совпадает с направлением армирования): Ец = 1, 724 • 105 МПа; Е22 = 6895 МПа; = 3448 МПа; С2з = 1379 МПа; ^ = 0, 25 МПа.

На рис. 1 представлены результаты расчетов для однослойной балки (направление армирования слоя совпадает с осью балки х).

На рис. 2 представлены результаты расчетов для двухслойной балки (направление армирования первого слоя совпадает с осью балки х, а направление армирования второго слоя перпендикулярно оси балки: Е^ = Ец, = Сх2,

----------- 0.5 /Л й слой _ / м =

2- й слой с

-80 -40 40 80

1-й слой

Рис. 3. а) зависимость прогиба в середине балки от параметра 1/Н; б) распределение касательных напряжений в торцевом сечении балки; в) распределение нормальных напряжений в среднем сечении балки; г) трехслойнаяя балка; сплошные линии и точки - решение по уравнениям слоя, штриховые линии — аналитическое решение.

ЕХ = Е22, = С23).

На рис. 3 представлены результаты расчетов для трехслойной балки (направление армирования первого и третьего слоев совпадает с осью балки х, а направление армирования второго слоя перпендикулярно оси балки: ЕХ = Е11,

= ^12 (к = 1> 3); ЕХ = Е22, С2хг = С23).

Интенсивность нагрузки до = 0, 6895 МПа. На рисунках результаты представлены в следующих безразмерных переменных:

Но(1/2,0) =

ШЕ22Ь3Ш

и =

Е22и

&13 =

Тхх

^3 =

**

до I4 до I4 до до

Для различных значений параметра Н/1 (Н — толщина балки, I — ее длина) на рисунках приведены распределения смещений и напряжений в некоторых характерных точках и сечениях балки. Максимальная погрешность при вычислении напряжений с использованием построенных уравнений не превышает 3%.

Заключение. С использованием модифицированных уравнений упругого слоя построены дифференциальные уравнения слоистых ортотропных пластин. Проведено сравнение численных решений о напряженно-деформированном состоянии однослойной, двухслойной и трехслойной ортотропных балок с аналитическими решениями соответствующих задач. Из результатов сравнения следует, что с использованием модифицированных уравнений упругого слоя можно построить уравнения слоистых пластин, позволяющие определить напряженно-деформированное состояние в слоистых пластинах с достаточной для технических приложений точностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966.

2. Солер А. Теории высшего порядка анализа конструкций, основанные на разложениях по полиномам Лежандра // Тр. Амер. о-ва инженеров механиков. сер. Е. Прикл. механика. 1969. Т. 36, № 4. С. 107-112.

3. Иванов Г. В. Решение плоской смешанной задачи теории упругости в виде рядов по полиномам Лежандра // Прикл. механика техн. физика. 1976. № 6. С. 126-137.

4. Иванов Г. В. Теория пластин и оболочек. Новосибирск: НГУ, 1980.

5. Пелех Б. Л., Лазько В. А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев: Наук. думка, 1982.

6. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А. Решение задач упругого слоя по приближенным уравнениям и сравнение с решениями теории упругости // Динамика сплошной среды. 1977. № 28. С. 43-54.

7. Vajeva D. V., Volchkov Yu. M. The equations for determination of stress-deformed state of multilayered shells // Proc. 9th Russian-Korean Intern. Symp. on Sci. and Technol. Novosibirsk, 26 June-2 July 2005. Novosibirsk: Novosib. State Univ., 2005. P. 547-550.

8. Волчков Ю. М. Конечные элементы с условиями сопряжения на их гранях // Динамика сплошной среды. 2000. № 116. С. 175-180.

9. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А., Иванов Г. В. Численное моделирование напряженных состояний в плоских задачах упругости методом слоев // Прикл. механика техн. физика. 1994. Т. 35, № 6. С. 129-135.

10. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А. Краевые эффекты в напряженном состоянии тонкой упругой прослойки // Прикл. механика техн. физика. 1999. Т. 40, № 2. С. 189-195.

11. Алексеев А. Е., Алeхин В. В., Аннин Б. Д. Плоская задача теории упругости для неоднородного слоистого тела // Прикл. механика техн. физика. 2001. Т. 42, № 6. С. 136-141.

12. Алексеев А. Е., Аннин Б. Д. Уравнения деформирования упругого неоднородного слоистого тела вращения // Прикл. механика техн. физика. 2003. Т. 44, № 3. С. 157-163.

13. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А. Уравнения упругого анизотропного слоя // Прикл. механика техн. физика. 2004. Т. 45, № 2. С. 188-198.

14. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физматгиз, 1961.

15. Pagano N. J. Exact solutions for composite laminates in cylindrical bending // J. Composite Materials. 1969. V. 3, N 4. P. 398-409.

16. Pagano N. J. Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates // J. Composite Materials. 1970. V. 4, N 1. P. 20-34.

17. Pagano N. J. Elastic behavior of multilayered bidirectional composites // J. Composite Materials. 1972. V. 10, N 7. P. 931-933.

Статья поступила 2 сентября 201-5 г.

Волчков Юрий Матвеевич, Полтавская Екатерина Николаевна Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН пр. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090 volk@hydro.nsc.ru