ИСПЫТАНИЕ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ НА СЖАТИЕ

УДК 539.3

DOI: 10.18698/2308-6033-2021-5-2079

Испытание гибкого стержня на сжатие

© А.В. Егоров МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Экспериментально и теоретически исследована конструкция стального гибкого стержня на продольную устойчивость при осевом сжатии. Стержень является плоским тонкостенным элементом, шарнирно закрепленным по торцам. Экспериментальное исследование проводилось на установке Zwick/Roell Z100 с использованием специальной оснастки, моделирующей геометрические граничные условия. В процессе нагружения автоматически строилась диаграмма деформирования реального стержня, в котором существуют начальные несовершенства формы. По диаграмме деформирования определялась экспериментальная критическая сила. Эта сила сравнивалась с критическими силами, полученным из расчетов по двум схемам: по формуле Эйлера и по методологии динамического анализа. Во второй схеме, в отличие от первой, учитывалось начальное несовершенство, установленное по замерам испытываемой конструкции. Определены погрешности расчета конструкции по обеим схемам.

Ключевые слова: гибкий стальной стержень, устойчивость, испытание, расчет, начальное несовершенство формы

Введение. Стержневые конструкции широко применяются в различных областях техники. Их надежность в значительной степени зависит от работоспособности составляющих конструкции стержневых элементов. Так как стержневые конструкции продолжают развиваться в связи с появлением новых материалов, технологий, новых сфер применения, например в космосе, то совершенствуются и методы их расчета и экспериментальных исследований. Основное внимание уделяется анализу деформативности отдельных стержневых элементов с учетом условий закрепления и нагружения. Изучалось деформирование стержней в статике [1-3], динамике [4, 5], с учетом больших деформаций и перемещений [6, 7], в составе конструкций [8]. Обзор литературы показывает, что мало опубликовано экспериментальных исследований и недостаточно изучено механическое поведение под нагрузкой гибких стержней, для которых параметр гибкости X принимает большие значения. Особенностью гибких стержней является трудность их изготовления, поскольку сложно обеспечить идеальную геометрическую форму, заявленную в конструкторской документации. Кроме того, в готовом гибком стержне, в силу малой изгибной жесткости и пластических деформаций, может нарушаться исходная геометрическая форма в процессе подготовки производства и сборки конструкции. Несовершенство формы гибкого стержня оказывает влияние на продольную устойчивость, что снижает реальные

критические силы относительно рассчитанных по формуле Эйлера. В связи с изложенным представляет интерес экспериментальная оценка критической нагрузки на стержень и сравнение ее с упругим решением Эйлера и с более точным решением методом конечных элементов. Целью данной работы является испытание реального гибкого стержня на устойчивость и установление соответствия экспериментальной критической силы с расчетными данными.

Экспериментальное исследование. В качестве объекта исследования выберем плоский гибкий стержень, выполненный механообработкой стальной заготовки (пруток), размеры которого приведены ниже:

Длина I, мм ............................................................................. 300

Ширина Ь, мм......................................................................... 10

Толщина к, мм........................................................................ 1,2

Размеры стержня выбраны так, чтобы стержень отвечал условию гибкости и потеря устойчивости происходила в заранее заданной плоскости хг (рис. 1).

Стержень шарнирно закреплен по торцам (см. рис. 1): внизу — шарнирно неподвижная опора, вверху — шарнирно подвижная опора. Поэтому коэффициент приведения длины ц = 1. Найдем гибкость X стержня:

х = = 1300 = 867, г 0,346

•2

где г — радиус инерции поперечного сечения стержня, г =—,

Ьк

г

V//////

У -х

1у =

Ьк3

Рис. 1. Схема закрепления и нагружения стержня

12

Выбранный стержень имеет высокую гибкость, он был изготовлен на высокоточном оборудовании (обрабатывающем центре с ЧПУ). Конструкция стержня усложнялась профилированием на ус (рис. 2) концевых частей длиной 5 мм для задания шарнирных креплений (см. рис. 1). Ответной деталью испытательной оснастки была толстая пластина с неглубокой продольной канавкой (см. рис. 2), в которую заходил острый по форме торец стержня. Такое конструктивное решение шарнирной опоры давало безмоментное соединение при углах поворота концов стержня ±20°, что достаточно для получения первой формы потери устойчивости стержня.

Опора

/V

Стержень ^

И

г Ф1_ 7

\ Ф2 /

Уо

Рис. 2. Контакт стержня с технологической оснасткой

Рис. 3. Перемещения стержня с начальными несовершенствами У0 при потере устойчивости Уп

Рис. 4. Испытание стержня на сжатие на установке Zwick/Roell 2100

Несмотря на геометрически точное изготовление стержня, после снятия технологической оснастки стержень деформируется под действием внутренних остаточных напряжений. Наибольшее искривление стержня определяли касанием его к жесткой плоскости (рис. 3). Получено, что амплитудное начальное отклонение У0 = 0,35 мм.

Испытание стержня проводилось на установке 2,мск/Кое11 2100 (рис. 4) кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Кинематическое нагружение осевой силой проходило со скоростью 0,5 мм/мин. Конструкция опор и плоская форма стержня однозначно задавали изгиб в плоскости Х2.

10 20 Стандартное перемещение, мм

Рис. 5. Диаграмма деформирования стержня

Диаграмма деформирования стержня (рис. 5) построена автоматически в осях нагрузка — перемещение верхнего торца стержня.

По диаграмме находим критическую нагрузку рр™ = 22 Н. Действительно, до этого значения одновременно возрастали нагрузка и перемещение, а начиная с критической силы Ркр, нагрузка стала снижаться

при значительном возрастании перемещении, что свидетельствует о потере устойчивости стержня. Получено, что форма потери устойчивости стержня соответствует одной полуволне.

После демонтажа оснастки стержень сохранил свою искривленную по одной полуволне форму, что означает появление в нем остаточных пластических деформаций. Следовательно, гибкие стержни при потере устойчивости деформируются с образованием пластических деформаций, что необходимо учитывать в расчетах.

Расчет на устойчивость. Для расчета гибкого стального стержня (см. рис. 1) на устойчивость воспользуемся подходом Эйлера [2] и методологией динамического анализа [9]. Принимаем, что стержень изготовлен из стали с механическими характеристиками, указанными ниже:

Предел текучести ст, МПа........................................... 1200

Предел прочности св, МПа.......................................... 1300

Предел пропорциональности опц, МПа...................... 900

Погрешность 5, %........................................................... 4

Подход Эйлера правомочен [2], так как стержень имеет высокую гибкость X и критическое напряжение не достигает предела текучести от и предела пропорциональности опц.

Найдем критическую силу Ркр по формуле Эйлера

_ ж2 Е

°кр _ ,2

_ 2,625 [МПа ];

Г

Ркр _ _ 31,5 [Н],

в которой положим коэффициент приведения длины ц = 1.

Отметим, что полученное значение критической силы Ркр по Эйлеру относится к стержню с идеальной геометрией, т. е. без начальных неправильностей формы, имеющих место в реальных гибких

стержнях. Сравнение Ркр и РкЭ,ксп дает погрешность

Р _ р эксп

5, -^—100 % _ 43,2 %.

1 рэксп '

кр

Большая погрешность 51 объясняется тем, что в подходе Эйлера не учитываются начальные несовершенства формы стержня.

Определим критическую силу Ркр м по методологии динамического анализа [9]. В стержне учтем пластические свойства материала и начальное несовершенство формы. Согласно методологии [10], строится 3Б конечно-элементная модель стержня, расчет осуществ-

ляется в программном комплексе ЬБ-ОУКЛ в динамической постановке. Для того чтобы учитывать пластические свойства материала стержня, в расчетах используется диаграмма упругопластического деформирования, которая строится по заданным механическим характеристикам материала. Начальное несовершенство формы стержня, связанное с технологией производства, учитывается по известной приближенной схеме [3]. По этой схеме считается, что стержень имеет начальное искривление оси по одной полуволне с амплитудным значением V (см. рис. 3). После потери устойчивости стержня амплитудное отклонение возрастает до величины Уп. Критическую силу Ркр м для стержня с начальным несовершенством формы находим по формуле [3]

где Ркр — критическая сила геометрически идеального стержня; V — дополнительный прогиб, V = Vп — V.

Для рассматриваемого гибкого стержня V = 0,3 5 мм, Vn = 1,2 мм. Величина Уп установлена из решения в программном комплексе ЬБ-ОУКЛ, в котором определяются и форма потери устойчивости, и перемещения точек стержня. Критическая сила Ркр, найденная в

ЬБ-ОУКЛ, составляет 40 Н. Тогда критическая сила Ркр м стержня с начальным несовершенством формы будет:

( 0 35V1

Ркр.м = [1 + у^] • 40 = 28 [Н].

Погрешность 82 расчетной силы Ркр м относительно экспериментального значения Ркэрксп будет:

28 — 22

82 =--100 % = 27,3 %.

2 22

Отсюда следует, что расчет стержня с учетом начального несовершенства дает меньшую погрешность, чем расчет для геометрически идеального стержня.

Заключение. Испытание шарнирно опертого гибкого стержня на продольную устойчивость проведено на установке 2,мск/Кое11 2100 с применением специальной оснастки, обеспечивающей выполнение геометрических граничных условий. Плоская форма стального стержня выбрана для однозначного задания плоскости изгиба стерж-

ня при потере устойчивости. В результате экспериментального исследования построена диаграмма деформирования реального стержня, которая важна для валидации расчетных моделей.

Проведенное испытание плоского гибкого стального стержня на осевое сжатие позволило проанализировать применяемые расчетные схемы: подхода Эйлера и методологии динамического анализа. Было получено, что оценку устойчивости реального стержня необходимо проводить с учетом начальных несовершенств.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Москва; Ленинград, ГИТТЛ, 1934, б00 с.

[2] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 1б-е изд., испр. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 201б. ISBN 978-5-7038-3874-7

[3] Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. 2-е изд., перераб. и доп. Москва, Машиностроение, 1991, ЗЗб с.

[4] Морозов Н.Ф., Беляев А.К., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Задача Ишлинско-го — Лаврентьева на начальном этапе движения. Доклады Академии наук, 2015, т. 4бЗ, № 5, с. 54З-54б. DOI: 10.7868/S0869565215230103

[5] Морозов Н. Ф., Товстик П. Е. Динамика стержня при кратковременном продольном ударе. Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2013, вып. 3, с. 131-141.

[6] Попов В.В., Сорокин Ф. Д., Иванников В.В. Разработка конечного элемента гибкого стержня с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для моделирования больших перемещений элементов конструкций летательных аппаратов. Электронный журнал «Труды МАИ», 2017, вып. № 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76832 (дата обращения 25.11.2018).

[7] Meiera C., Wall W., Popp A. Geometrically Exact Finite Element Formulations for Curved Slender Beams: Kirchhoff—Love Theory vs. Simo—Reissner Theory. Cornell University Library, 2016. URL: https://arxiv.org/abs/1609.00119 (дата обращения 19.10.2018).

[8] Ванько В.И. Очерки об устойчивости элементов конструкций. 2-е изд., испр. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015, 223 с.

ISBN 978-5-7038-4127-3

[9] Егоров А.В. Деформирование центрально-сжатого гибкого стержня. Инженерный журнал: наука и инновации, 2018, вып. 4 (76). http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2018-4-1750

[10] Egorov A.V., Egorov V.N. Buckling of the flexible rod under shock loads. In: Zingoni A., ed. Advances in Engineering Materials, Structures and Systems: Innovations, Mechanics and Applications. London, Taylor & Francis Group, 2019, pp. 879-883. ISBN 978-1-138-38696-9

Статья поступила в редакцию 18.04.2021

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Егоров А.В. Испытание гибкого стержня на сжатие. Инженерный журнал: наука и инновации, 2021, вып. 5. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2021-5-2079

Егоров Антон Витальевич — канд. техн. наук, доцент кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители», МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: antegor177@mail.ru

SPIN-код 7513-3026

ORCID iD 0000-0002-7401-5534

Flexible bar compression test

© A.V. Egorov Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The article considers experimental and theoretical research of longitudinal stability of a flexible steel bar design under axial compression. The bar is a flat thin-walled element, pivotally fixed at the ends. The experimental study was carried out on a Zwick/Roell Z100 installation using special equipment that simulates geometric boundary conditions. During the loading process, a diagram of the deformation of a real bar with initial shape imperfections was automatically constructed. The experimental critical force was determined from the deformation diagram. This force was compared with the critical forces obtained from calculations using two schemes: the Euler formula and the dynamic analysis methodology. In the second scheme, in contrast to the first one, the initial imperfection, established by the measurements of the tested structure, was taken into account. The design calculation errors for both schemes were determined.

Keywords: flexible steel bar, stability, test, calculation, initial shape imperfection

REFERENCES

[1] Euler L. A method for finding curved lines enjoying properties of maximum or minimum, or solution of isoperimetric problems in the broadest accepted sense. Lausanne & Geneva. Marcum-Michaelem Bousquet Publ., Vol. 1744, pp. 1-322. [In Russ.: Euler L. Metod nakhozhdeniya krivykh liniy, obladayushchikh svoystvami maksimuma libo minimuma ili reshenie izoperimetricheskoy zadachi, vzyatoy v samom shirokom smysle. Moscow, Leningrad, GITTL Publ., 1934, 600 p.].

[2] Feodosyev V.I. Soprotivleniye materialov [Strength of materials]. Moscow, BMSTU Publ., 2016. ISBN 978-5-7038-3874-7

[3] Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoychivost uprugikh system [The fundamentals of calculating the stability of elastic systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991, 336 p.

[4] Morozov N.F., Belyayev A.K., Tovstik P.E., Tovstik T.P. Doklady RAN — RAS Reports, 2015, vol. 463, no. 5, pp. 543-546. DOI: 10.7868/S0869565215230103

[5] Morozov N.F., Tovstik P.E. Vestnik Sankt-Peterburgskogo Universiteta — Vest-nik of Saint Petersburg University, Ser. 1, 2013, no. 3, pp. 131-141.

[6] Popov V.V., Sorokin F.D., Ivannikov V.V. Trudy MAI - Transactions of Moscow Aviation Institute, 2017, no. 92. Available at:

http://trudymai.ru/published.php?ID=76832 (accessed November 25, 2018).

[7] Meiera C., Wall W., Popp A. Geometrically Exact Finite Element Formulations for Curved Slender Beams: Kirchhoff—Love Theory vs. Simo—Reissner Theory. Cornell University Library, 2016. Available at: https://arxiv.org/abs/1609.00119 (accessed October 19, 2018).

[8] Vanko V.I. Ocherki ob ustoychivosti elementov konstruktsiy [Essays on the stability of structural elements]. Moscow, BMSTU Publ., 2015, 223 p.

ISBN 978-5-7038-4127-3

[9] Egorov A.V. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2018, iss. 4 (76). http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2018-4-1750

[10] Egorov A.V., Egorov V.N. Buckling of the flexible rod under shock loads. In: Zingoni A., ed. Advances in Engineering Materials, Structures and Systems: Innovations, Mechanics and Applications. London, Taylor & Francis Group Publ., 2019, pp. 879-883. ISBN 978-1-138-38696-9

Egorov A.V., Cand. Sc. (Eng), Assoc. Professor, Department of Spacecraft and Launch Vehicles, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: antegor177@mail.ru SPIN-code 7513-3026 ORCID iD 0000-0002-7401-5534