Относительные размерности Реньи

Проблемы анализа

Том 1(19), №1, 2012

Issues of Analysis

Vol. 1(19), №1, 2012

УДК 511,514.8,530.1

Н. Ю. Светова

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ РЕНЬИ

Аннотация. В работе вводятся понятия относительных размерностей Реньи для покрытий, упаковок и разбиений, а также устанавливаются некоторые связи между ними.

Ключевые слова: мультифракталы, относительная размерность Реньи, разбиения, покрытия, упаковки.

В последнее время активно обсуждается вопрос использования методов фрактальной геометрии [5] для сравнения распределений различных мер. Однако в практических приложениях сравнение распределений путем сравнения вычисленных мультифрактальных спектров может вызывать затруднения. Часто случается, что совершенно различные распределения мер могут дать слабоуловимые или совсем неуловимые различия в спектрах. Для разрешения этой проблемы рядом авторов [4, 10] предлагаются различные методы прямого сравнения распределений. Эти методы являются обобщениями классического мультифрактального анализа, развитого в работах Л. Олсеном [9], К.-С. Ло, С.-М. Нгаи [8] и другими.

На основе идеи взаимного мультифрактального анализа [1, 2] мы предлагаем рассмотреть относительные размерности Реньи для покрытий, упаковок и разбиений. Стоит отметить, что эти размерности оказались математически строгими аналогами «нового относительного мультифрактального спектра размерностей», предложенного для сугубо практических целей Р. Дансеро и В. Кинсером [6].

Проводя параллель с концепцией вероятностной модели сравнения А. Д. Лантермана и др. [7], Р. Дансеро и В. Кинсер предложили использовать в практических приложениях новый мультифракталь-ный спектр, служащий, по их мнению, мерой различия между двумя

© Светова Н. Ю. , 2012

геометрическими объектами. Основная идея модели сравнения базируется на том, что распределение вероятностей рггие всех случайных событий, описывающих некоторое оригинальное явление, и распределение Рто4 случайных событий, описывающих модель этого явления, могут быть сравнимы с помощью расстояния Кульбака-Лейблера

где расстояние Кульбака-Лейблера Л(и\\у) для распределений вероятностей и(х) и у(х) определяется с помощью формулы

В работе [6] высказано предположение о том, что форма относительного сравнения распределений может быть расширена и до обобщенной энтропии Реньи, и введено понятие «относительной» энтропии Реньи

и «нового относительного» мультифрактального спектра размерностей Реньи

Дадим определения наших относительных размерностей Реньи.

ские меры /1 и V с общим носителем Е С X. Замкнутый шар радиуса г с центром в точке х Е Е обозначим Вг (х).

Для любого г > 0 под центрированным покрытием множества Е здесь будем понимать такое счетное или конечное семейство {Вг (хг)} шаров фиксированного радиуса г, что Е С иВг (хг) и хг Е Е. Конечное или счетное семейство {Вг(хг)}г дизъюнктных шаров с центрами

0(рггпе\\Р то ^ В{рігие \\_Ptrue) О,

хЄх

ЯВд (-и\\г>) = Ііт

т^0

^2 Г

Пусть в пространстве X С К заданы две вероятностные борелев-

из множества Е и с фиксированным радиусом г будем называть центрированной упаковкой множества Е.

Пусть {Br (х,)}, - центрированная упаковка Е шарами одинакового фиксированного радиуса г. Для д Е К \ {1} определим

Ц.:,г (Е) = вир 1£(рВг (х,)У (VВг (х,))1-’| ,

где точная верхняя грань берется по всем возможным центрированным упаковкам {Вг(х,)}, множества Е.

Относительные размерности Реньи Р_^ и (д), Р^,и (д) для упаковок определим следующим образом

1 1п ЬI „ г

Рц,V (д) = ---1 Н™, —^п-----, д = 1;

д — 1 г^о+ — 1п г

1 Іп ЬI и г

, V (я) = -----------------------------1 Ііт вир--, я = 1-

д — 1 г^о+ — 1п г

Для вещественного числа д = 1 определим

N1 „г (Е) = 1П^ Ц(рВг (х,))’^Вг (х;))1-^ ,

где точная верхняя грань берется по всем возможным центрированным покрытиям {Вг (х,)}, множества Е шарами одинакового фиксированного радиуса г.

Относительные размерности Реньи „ (Е), С^ и (Е) для покры-

тий определим следующим образом

1 1п N4 , г

, и (д) = —1 и™,1п£ —----------, д = 1;

д — 1 г^о+ — 1п г

1 1п N4 .. г

Сц,V (я) =-------1 Ііт вир-----------------, д = 1.

д — 1 г^0+ — 1п г

Для любого натурального числа п рассмотрим разбиение Рп пространства X уровня п. Под элементами разбиения будем понимать ячейки вида

Л г1к 1к + 1'.

к ', где 11,...,ЇЛ Є Z.

к=1

2п 2п

Для множества Е, вероятностных борелевских мер ц, V и вещественного д = 1 положим

М1„п(Е ) = Ш I £ (^С, Г (уС,)1-<1, Е ^ С,,

: О^Е= ,е1 )

где точная нижняя грань берется по всем возможным разбиениям метрического пространства X.

1

1п МЩ-

Б-и.к(д) = ——г %, ^------------------------------‘‘С' ', д = 1;

д — 1 г^о+

(д) =

Нш вир

д — 1 г^о+

— 1п г

1п М‘]и,г

1п г

Теорема 1. Для относительных размерностей Реньи имеют место следующие утверждения.

1. Если д > 1, то

С‘,и (д) < Р‘,V (д), С‘,V (д) < Р‘,V (д)-

2. Если д < 1, то

С(д) > Р‘,и(д), С‘V(д) > Р(д)-

3. Если д > 1, то

(д) < Р‘V(д), (д) < Р‘V(д)•

4. Если д Е (0,1), то

Р‘,„ (д) = (д), Р ‘V (д) = (д)•

Доказательство. Доказательство пунктов 1 и 2 сводится к проверке

неравенства N‘^vr(Е) < Ь‘,и,г(Е).

Пусть {Вг(х,)},£1 — центрированное покрытие множества Е замкнутыми шарами фиксированного радиуса г. Из теоремы Безикови-ча о покрытии [3] следует, что обязательно найдется £ подсемейств А1, • • •, А% покрытия {Вг (х,)} ,£1, для которых выполнены условия:

?

• множество Е является подмножеством и и ВГ (х,);

3 = 1 Б'г X )еАз

1

для любого 2 = 1, . . . , £ множество А] состоит из попарно дизъюнктных множеств.

Тогда

K.v.r(E) < ^£(xi))q(vBr(li))1-^ <

<£ £ (B(Xi))q (vB'r(xi))1 q <£ LIv»,r(E) = ( • Ll:,r(E).

j—1 BGAj

j—1

3. Пусть параметр q > 1. Выберем разбиение Vn пространства X уровня n на ячейки Cj, j Е J. Зададим центрированную упаковку

\fd

{Br (xi)}i£i множества E шарами с таким радиусом г, чтобы ---------- <

2

Vd .

г < ——. Для каждого центра Xi, г Е I , шара упаковки рассмотрим 2п 1 семейство ячеек

Ai = [Cik Е Vn : Cik П Br (xi) = 0},

покрывающих шар Br(xi). Очевидно, что любой шар упаковки можно покрыть конечным набором ячеек, поэтому card Ai < N для любого i Е I. Поскольку радиус элементов упаковки превосходит 2П., то найдется такая ячейка C*, которая целиком будем располагаться в заданном шаре, т. е. C* С Br (xi) С Ai.

Напомним хорошо известное неравенство. Пусть 0 < ai < 1. Тогда для любого q > 0 найдется такая константа K, зависящая от q и количества слагаемых N, что верно

N

N \q

£оП < K (q,N)£

a

vi—1

i—1

Если q Е (0; 1), то K(q,N) = 1. Тогда

y^JjiBr(xi))q(vBr(xi))1 q <

V I U Cik

<

£feVCik(vBr(xi))^’ <

. Oi, GAi

(vBr(xi))1 q <

q

<

< K (q, card Ai) I X>Cit yj(vC;y^<

*'(«)£ (£(C П (vC*)1-q < K’(q) Y.Ys^Cik )q (vCik )1-q,

i \ k J i k

где K'(q) = max{K(q, card Ai)}. i

Выберем теперь произвольную ячейку Cj разбиения Pn и рассмотрим множество Dj пересекающих ее всевозможных шаров упаковки, т. е.

Dj = {Br(xs) : Br(xs) П Cj = 0}.

Очевидно, существует конечное число M такое, что card Dj < M для любого j. Поэтому, продолжая цепочку неравенств, получим

K

i k j : EnCj=0

Отсюда следует, что

Llvr(E) < Ml,v,n(E).

Переходя к соответствующим переделам и деля обе части на q — І, получим

, v (q) < Pi, v (q), Di, v (q) < Pi, v (q)-

4. Пусть q Є (G, І), задано {Br(xi)}i^I - центрированная упаковка множества E шарами радиуса r. Подберем n таким, чтобы ^п+г К

Кг < —. Для любого элемента упаковки Br (xi) можно выбрать ячей-

2

ки Ci разбиения Рп пространства X, пересекающие выбранный шар. Рассмотрим семейство Сі таких ячеек для каждого Br

Сі = {Cik Є Pn : Cik П Br (xi) = 0}.

Очевидно, что элементов семейства Сі не более 3d. Тогда, используя неравенство (1), будем иметь

1-q

Y^(pBr(xi))q(vBr(xi))1-q <521 £ C I I J] vCik 1 <

ieI ieI\Cik cCi J \Cik cCi

<Е( Е (»Ci.k)q j - ( Е (vCik)1-q

ieI \o\k cCi J \C\k cCi

= ЕЕ Е (C )q (vCn )1-q < а -Е Е (C )q (vCik )1-q,

ieI Cik cCi Cil cCi i£ICik cCi

где А - константа, удовлетворяющая условию

Е Е (C )q(vCii )1-q < А - Е (C )q(vCik )1-q

Cik cCi Cil cCi Cik cCi

Для каждой ячейки Cj разбиения Pn, имеющей непустое пересечение с множеством E, можно выбрать множество замкнутых шаров B'r (xi), пересекающихся с ячейкой Cj. Пусть максимальное число таких шаров равно D, тогда

А - ЕЕ (C )q (vCik )1-q < А - D - Е (»Cj )q (vCj )1-q.

ieI Cik cCi j:Cj nE=0

Отсюда следует, что для q Є (G, І) выполнены неравенства

Pi, v (q) > , v (q), Pi, v (q) > Di, v (q).

Докажем неравенства в обратную сторону. Допустим, что дано произвольное разбиение Pn пространства X на ячейки с длиной стороны . Для каждой ячейки Ci этого разбиения, пересекающейся с множеством E, можно выбрать точку Xi Є Ci П E и построить замкнутый шар с центром в точке Xi радиуса r = \fdj2n-1. Все построенные таким образом шары объединим в одно семейство

A0 = \ B Vd (xi ) f .

I 2n—1 JieI

Оно, очевидно, является покрытием множества E.

Из всех элементов семейства Ao выберем шар B yd (xi1), длякото-

2n— 1

рого произведение fiB vd (xi1) - vB ^d (xi1) является максимальным.

2"— 1 2"— 1

Положим

A1 = Ao \ B yd (xi1).

2"—1

Из А1 выберем второй шар В ^ (хг2), не пересекающийся с первым,

2"— 1

для которого верно

лВ(хг2) • иВ(хг2) = шах{^В(хг)  иВ(хг)}.

2П—1 2П—1 2П—1 2П—1

Далее, действуя по описанному алгоритму, построим семейство

В = { В^±_

[ 2"—1 J

дизъюнктных шаров. Заметим, что для зафиксированного шара

В ^ (х*.) семейства В количество элементов семейства Ао, пересе-

2п — 1

кающих этот шар, будет не превосходить некоторой константы С, зависящей от размерности ё пространства X.

Для любой упаковки {Вг(х,)},е1 множества Е шарами радиуса \/д,

г= 1 получим

2

Ы1„г(Е) >£(рВ,(х,))"(иВ,-(х,))1- >

Л

> £ (ЛВг (хгк ))9 (В (хгк )) — >

Вг (Хгк )еБ

> С £ (В (хг))" (иВг (хг ))- > С Е(лС;)9 (иСг ) — >

Вг (xi )£Ло г^1

> ±т£ £(»С'гУ(^)1-

С I п . т

г£1

Следовательно,

Ч„,„ (Е) > (Е),

что в свою очередь для д Е (0, 1) влечет

,V(я) < В,^(я), Р^,V(д) < ^(я)-о

Список литературы

[1] Светова Н. Ю. Взаимные мультифрактальные спектры I. Точные спектры // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. Математика. Вып. 11. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ. 2004. С. 4247.

[2] Светова Н. Ю. Взаимные мультифрактальные спектры II. Спектры Лежандра, Хентшель — Прокачиа и спектры, определенные для разбиений // Труды ПетрГУ. Сер. Математика. 2004. Вып. 11. С. 47-56.

[3] Besicovich A. S. A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions / A. S. Besicovich // Proc. Cambridge Philos. Soc. Vol. 41, 1945. P. 103-110.

[4] Cole J. Relative multifractal analysis / J. Cole // Chaos, solitons & fractals. 2000. № 11. P. 2233-2250.

[5] Falconer K. J. Fractal geometry. Mathematical Foundations and Applications / K. J. Falconer. John Wiley & Sons. New York, 1990. 337 p.

[6] Dansereau R. New relative multifractal dimension measures / R. Dansereau, W. Kinser // 26th International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP’2001). Salt Lake City. Utah. May 7-11. 2001. 4 p.

[7] Lanterman A. D. Kullback-Leibler distances for quatifying clutter and models / A. D. Lanterman, J. A. O’Sullivan, M. I. Miller // Optical engineering. 1999. vol. 38. № 2. P. 2134-2146.

[8] Lau K.-S. Multifractal measures and a weak separation condition / K.-

S. Lau, S.-M. Ngai // Advances in mathematics. 1999. № 141. P. 45-96.

[9] Olsen L. A multifractal formalism / L. Olsen // Advances in mathematics. 1995. № 116. P. 82-195.

[10] Riedi R. H. Conditional and relative multifractal spectra / R. H. Riedi,

I. Scheuring // Fractals. 1997. vol. 5. № 1. P. 153-168.

Петрозаводский государственный университет,

математический факультет

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33.