Об изучении алгебраических структур в школьном курсе математики

Думается, в этих прекрасных словах и заключается главная задача, которая стоит сегодня перед преподавателями нашей республики: помочь подрастающим поколениям овладеть искусством слова.

9 февраля 2017 года исполнится 576 лет со дня рождения великого узбекского поэта - Алишера Навои - гуманиста, мыслителя, государственного деятеля, основателя узбекского литературного языка, оставившего потомкам богатое литературно-духовное наследие. Его имя - это символ прогресса своей эпохи для народов всего мира.

На занятиях, посвященных изучению жизни и творчества писателей и поэтов, целесообразно обращаться к высказываниям и отзывам о писателе современников, других писателей и критиков; материалу, раскрывающему личные и творческие связи писателя с его современниками, показывающему общественную деятельность писателя, объясняющую его мировоззрение и определяющую место писателя в русской, узбекской и зарубежной литературе; эпистолярному наследию, литературным портретам, заметкам и воспоминаниям, а также произведениям самого писателя. Такое «погружение» в атмосферу детства и взросления А. Навои и осмысление основных вех жизненного и творческого пути поэта способствует углублению чувства национальной гордости за огромное поэтическое и научное наследие, оставленное народу основателем узбекского литературного языка.

О творчестве А. Навои высказывались не только современники А. Навои, но и другие поэты и писатели. К примеру, известный азербайджанский поэт Физули признавал Алишера Навои царем стиха, учился у него мастерству слова.

Кишвари в XVI веке свидетельствовал, что величие и благородство творчества Навои дружески сблизили народы земли.

Великий Абай причислил его к самым первым поэтам Востока.

Каракалпакский классик Бердах назвал его в своих стихах владыкой мысли.

Все выдающиеся поэты Востока называли его своим учителем и наставником. А мы, потомки Алишера Навои, гордимся его бессмертным творчеством, потому что оно учит мудрости жизни, призывает к добру и торжеству просвещения.

Список литературы

1. Алишер Навои. Хамса: поэма «Смятение праведных», глава XIV. О слове, 1996.

ОБ ИЗУЧЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУР В

ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 1 2 Алексеенко А.С. , Лихачева М.В.

1Алексеенко Анна Станиславовна - старший преподаватель, кафедра естественнонаучных дисциплин, Московский технологический институт; 2Лихачева Мария Владимировна - учитель математики, Государственное бюджетное образовательное учреждение Школа № 72,

г. Москва

Аннотация: в статье рассматриваются методические особенности изучения алгебраических структур в школьном курсе математики.

Ключевые слова: методика преподавания математики, алгебраические структуры, среднее общее образование.

Согласно требованиям ФГОС среднего общего образования [1]: «... требования к предметным результатам освоения базового курса математики должны отражать: 1) сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира; 2) сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; ...».

Одна из проблем, с которыми в настоящее время сталкиваются преподаватели математических дисциплин в вузах, — это недостаточно глубокие знания о числах у выпускников школ. Слабо развиты представления о том, почему появлялись новые виды чисел в ходе развития математики, как соотносятся различные числовые множества, что такое иррациональные числа, действительные числа, и т. д. Понятие числа является фундаментальным понятием математики, без его понимания невозможно осмысленное изучение математических дисциплин. Знания, полученные учащимися при изучении математики, часто представляют собой набор слабо связанных между собой сведений, а материал школьной программы не складывается в систему знаний [2, 3].

Как отмечает В.А. Тестов в [4]: «Преодолеть разобщенность различных математических дисциплин, изолированность отдельных тем и разделов, обеспечить целостность и единство в обучении математике возможно лишь на основе выделения в ней наиболее существенных, основных стержней. Такими стержнями, как отмечали А.Н. Колмогоров и другие крупнейшие ученые, являются математические структуры...». Включение алгебраических структур в школьную программу поддерживал П.С. Александров, эта идея получила свое развитие и в трудах современных педагогов [4-7].

Изучение алгебраических структур в школе будет способствовать формированию у учащихся представления о математических понятиях, развитию умений: логически мыслить, делать верные выводы, сравнивать, обобщать, абстрагироваться — умений, необходимых не только ученикам профильных классов или изучающим математику углубленно, но и тем, кто осваивает базовый курс математики.

Рассмотрим разделы школьных математических дисциплин, где обращение к алгебраическим структурам будет наиболее органичным и наглядным.

Расширение понятия числа

Включение понятия группы в изучаемый материал помогает осознать замкнутость числовых множеств относительно заданных на них операций. Это понятие не является сложным для понимания, оно основано на свойствах операций над числами, которые изучаются в школьном курсе.

Для введения понятия группы можно рассмотреть множество целых чисел с операцией сложения: {2, +). Вместе с учащимися следует проверить выполнимость аксиом группы: ассоциативность, существование нейтрального элемента, существование противоположного элемента для каждого целого числа.

Далее полезно отметить, что для натуральных чисел, которые изучались ранее, не существовало обратных элементов относительно сложения, а, значит, натуральные числа с этой операцией не являются группой. Следует обратить внимание учащихся на то, что целые числа — один из первых примеров расширения знаний о числах: к уже известным натуральным числам добавляются им противоположные и ноль; операция вычитания, которую не всегда можно было выполнить на множестве натуральных чисел, теперь всегда определена.

Здесь же можно рассмотреть множество целых чисел с операцией умножения {2, •). После того, как выяснится, что обратные элементы относительно операции умножения не принадлежат множеству целых чисел, можно подвести ребят к мысли о необходимости появления новых чисел (рациональных чисел).

Следует учесть, что целые числа изучаются, как правило, когда ученики еще формально не знакомы с понятиями: «множество», «элемент множества», «элемент принадлежит множеству». В соответствии с этим теоретический материал и практические задания должны быть сформулированы в понятных школьникам терминах, например, утверждение: «множество целых чисел замкнуто относительно сложения» следует заменить утверждением: «сумма целых чисел — целое число».

Далее к определению группы можно обратиться при изучении темы «Рациональные числа» — доказать, что рациональные числа с операцией сложения +) также образуют группу. В качестве дополнительных заданий можно доказать, что:

- рациональные числа с операцией умножения •) не являются группой (в силу отсутствия обратного элемента для 0);

- рациональные числа без нуля с операцией умножения (£/{0},•) являются группой.

Позднее, в 7-9 классах, когда школьники уже освоили выражения, записанные с помощью букв, познакомились с понятиями «множество», «элемент множества» и др., можно формализовать определение группы, записав его в общем виде.

Перед началом изучения действительных чисел в старших классах необходимо повторение информации об изученных ранее числах (натуральных, целых, рациональных). В материал для повторения полезно включить задания на определение замкнутости операции на множестве — это напомнит учащимся о причинах возникновения новых видов чисел. Следует напомнить:

- в какой последовательности изучались различные числовые множества;

- что появление целых чисел позволило определить операцию вычитания для любой пары чисел (операция вычитания замкнута на множестве целых чисел);

- что при появлении рациональных чисел операция деления стала всюду определенной, исключая деление на 0, (операция деления замкнута на множестве целых чисел).

Соответственно появление новых чисел — действительных следует связать с тем, что замкнутой становится операция извлечения корня из неотрицательного числа.

Логическим завершением изучения числовых множеств в школьном курсе математики может являться изучение множества комплексных чисел, в котором содержатся все ранее изученные числа. Для школьников, не изучающих математику углубленно и в профильных классах, знакомство с комплексными числами можно ограничить изучением их алгебраического и геометрического представления, а также действиями над ними [9].

Функции

Программы дисциплины «Алгебра» предусматривают изучение элементарных функций в средней школе (7-9 классы). В рамках изучения функций можно рассмотреть следующие группы с операцией сложения:

- множество функций, определенных на отрезке [а; Ь];

- множество функций принимающих значение 0 в точке х0 .

Этот материал можно связать с темой «Сложение графиков функций», иллюстрируя примеры сложения функций графически.

Векторы

Изучение темы «Векторы» начинается в курсе геометрии (планиметрия) средней школы. Множество векторов плоскости с операцией сложения образует группу с

нейтральным элементом 0 и обратным элементом - а для каждого а. Выполнимость свойств группы для множества векторов с операцией сложения можно проверить, используя свойства векторов и используя свойства рациональных чисел

(для векторов, заданных координатами). Аналогичным образом можно определить группу векторов пространства в курсе стереометрии в старших классах. Подобие фигур

При изучении подобных фигур в курсе геометрии (планиметрия) можно рассмотреть группу с операцией «композиция подобий». Композиция подобий с

коэффициентами к и к2 также является подобием с коэффициентом к • к2.

Нейтральным элементом в этой группе является подобие с коэффициентом к = 1.

Для каждого элемента группы — преобразования подобия с коэффициентом к

1

существует обратный элемент — преобразование подобия с коэффициентом —.

к

Также наглядным примером для иллюстрации будет группа гомотетий с общим фиксированным центром и операцией композиции на плоскости.

В отличие от предыдущих примеров групп (групп чисел, векторов, многочленов), в данном случае множество, на котором определена группа подобий, представляет собой не просто множество объектов, которые можно представить, записать, изобразить, а множество «процессов» — преобразований плоскости. Изучение группы подобий на плоскости будет способствовать развитию у учащихся умения абстрагироваться, выработке взгляда «сверху» на изучаемые объекты. Движения на плоскости

В программу школьного курса геометрии (планиметрия) включены следующие движения на плоскости: параллельный перенос, повороты вокруг точки на угол, осевая симметрия. В качестве алгебраических структур в рамках изучения данной темы следует рассмотреть:

- группу параллельных переносов с операцией композиции (композиция

параллельного переноса на вектор т и параллельного переноса на вектор п — параллельный перенос на вектор {т + п)). Нейтральным элементом в этой группе

является перенос на вектор 0 , а обратным для каждого элемента — параллельный перенос на противоположный вектор;

- группу поворотов вокруг данной точки на угол (композиция поворотов вокруг данной точки на угол а и на угол Р — это поворот вокруг данной точки на угол

а + Р . Нейтральным элементом здесь является поворот на угол 0о, обратным для поворота на угол а является поворот на угол — а .

В книге «Введение в теорию групп» П.С. Александрова содержатся следующие наглядные примеры движений: повороты правильного треугольника, четырехугольника, многоугольника на плоскости [10]. Теоретический материал о движениях на плоскости (в т.ч. о свойствах групп движений), представленный доступно для учащихся, содержится, например, в учебном пособии [11].

Полезным будет доказательство того факта, что множество осевых симметрий плоскости с операцией композиция не будет являться группой, т. к. множество осевых симметрий не замкнуто относительно операции композиции (в зависимости от взаимного расположения осей симметрии композиция осевых симметрий будет представлять собой параллельный перенос или поворот на угол).

Следует отметить, что включение понятия группы в содержание математических дисциплин общеобразовательных школ не потребует дополнительно значительного числа учебных часов в силу естественности этого понятия в определенных разделах дисциплин, наглядности и доступности материала [4-7]. В классах с углубленным изучением математики помимо понятия группы также можно ввести и изучать на примерах понятия кольца и поля.

Включение материала об алгебраических структурах в разделы математических дисциплин общеобразовательной школы, решение соответствующих практических заданий будет способствовать упорядочению, систематизации знаний учеников, формированию логической связи между различными разделами предмета, между школьными дисциплинами, закреплению многих понятий и свойств (свойства алгебраических действий над числами, свойства операций над векторами и др.). К понятию группы следует возвращаться на протяжении всего курса математики средней школы (при этом каждый раз на более сложном уровне), этот материал будет связывать пройденное ранее и новые темы, помогать обобщению и систематизации знаний.

Список литературы

1. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования. Утвержден Приказом от 6 октября 2009 г. № 413. Министерства образования и науки Российской Федерации.

2. Атапина И.Н. Проблемы преподавания математики при внедрении ФГОС в основной школе // Проблемы педагогики, 2016. № 1 (12). С. 13-15.

3. Рябцева Н.А. Современные подходы к организации процесса обучения как необходимое условие реализации ФГОС // Проблемы современной науки и образования, 2016. № 3 (45). С. 200-203.

4. Тестов В.А. Основные дидактические принципы при изучении математических понятий // Траектория науки. Электронный научный журнал, 2016. № 1 (6).

5. Имайкин В.М. Из опыта изучения элементов теории групп в непрофильных старших классах средней школы. Матем. обр., 2009. Выпуск 3 (51), C. 17-26.

6. Арсентьева И.В. Интеграция науки и образования в процессе изучения алгебраических структур школьного курса математики // Интеграция образования, 2007. № 1.

7. Кочетова И.В. Теория и методика формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики. Дисс. ... канд. пед. наук. Саранск, 2008.

8. Ивков В.А. К вопросу об обучении математике // Наука, техника и образование, 2015. № 9 (105). С. 73-75.

9. Алексеенко А.С., Лихачева М.В. Дидактические особенности изучения действительных чисел в школьном курсе математики // Социально-гуманитарные исследования и технологии. № 1, 2017.

10. Александров П.С. Введение в теорию групп. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. 144 с.

11. Заславский А.А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2004. 86 с.

12. Лихачева М.В., Алексеенко А.С. О содержании математических дисциплин образовательных программ среднего и высшего образования / Сб. трудов межд. конф. «Прикладные исследования и технологии ART2016». Изд-во: МТИ. С. 171-172.