Математические модели для инженерных расчетов летательных аппаратов мультироторного типа (часть 2). Задачи маршрутизации

УДК 519.6

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ МУЛЬТИРОТОРНОГО ТИПА (ЧАСТЬ 2). ЗАДАЧИ МАРШРУТИЗАЦИИ

© А.А. Арзамасцев

Ключевые слова: математическая модель; мультироторный летательный аппарат; квадрокоптер; расчет параметров; информационная система; маршрутизация.

Рассматриваются математические модели маршрутизации, которые могут быть полезными для прокладки оптимальных маршрутов мультироторных летательных аппаратов (МРЛА) и позволяют экономно расходовать энергию аккумуляторных батарей или выполнять задачи за наименьшее время.

В работе [1] авторы предложили несколько методик для инженерных расчетов мультироторных летательных аппаратов (МРЛА). Там же в общем виде впервые сформулированы и задачи маршрутизации для них.

Некоторые модели современных МРЛА могут быть запрограммированы для облета замкнутого маршрута по точкам, имеющим три заранее заданных координаты, две из которых являются координатами на карте местности, а третья - высотой. Такая возможность имеется, например, у квадрокоптера DJI Phantom 2 Vision + V3.0. Очевидно, что энергозатраты МРЛА на его перемещения по горизонтали, по вертикали вверх, по вертикали вниз и висение на месте различаются весьма существенно. Поскольку наиболее существенным в смысле энергопотребления является перемещение МРЛА вверх, то оптимальный в смысле энергопотребления план обхода точек маршрута может существенно отличаться от интуитивно предложенного.

Поскольку информационная система МРЛА обычно работает таким образом, что координаты точек и параметры их обхода вводятся вручную, было бы желательно разработать программу, которая определяла бы оптимальный маршрут обхода данных точек таким образом, чтобы наиболее экономно расходовать энергию (заряд) аккумулятора (задача 1) или осуществлять обход за минимальное время (задача 2). При этом каждая точка маршрута должна быть пройдена только один раз. В каждой точке обхода МРЛА должен выполнять некоторую задачу. Поэтому необходимо предусмотреть определенное время, необходимое для ее выполнения.

В данной постановке указанная проблема представляет собой классическую задачу коммивояжера (Travelling salesman problem, сокращенно TSP) асси-метричного замкнутого типа [2].

Известно [2-3], что данная задача относится к числу трансвычислительных: уже при относительно небольшом числе точек маршрута (100 и более) она не может быть решена методом перебора вариантов никакими компьютерами за разумное время. Оптимизационная постановка задачи относится к классу NP-трудных задач [2].

Математическая формулировка проблемы. Задано конечное множество X и целевая функция и (х) на этом множестве. Необходимо найти такие х* Е X, что У(х*) является наименьшим, т. е. и(х*) < < и (х) для всех х Е X. В данной случае в качестве множества X возьмем 5„ - множество перестановок п-элементного множества, а в качестве целевой функции У(х) - суммарные энергозатраты перемещения МРЛА вдоль ломаной линии, проходящей через п заданных точек в порядке, заданной перестановкой х Е X (задача 1), и суммарное время облета маршрута МРЛА вдоль ломаной линии, проходящей через п заданных точек в порядке, заданной перестановкой х Е X (задача 2) .

Переборные задачи, нацеленные на поиск оптимального варианта, называют задачами комбинаторной оптимизации [3]. Для их решения могут быть использованы: метод ветвей и границ, метод эластичной сети, метод имитации отжига и др.

Отметим также, что при небольших п (например, п = 5-10) задача может быть решена за ограниченное время на «обычном» современном компьютере методом полного перебора вариантов (М = п!, при п = 10, например, имеем N = 3628800 вариантов). Поскольку при полете МРЛА наиболее часто приходится осуществлять облет 5-7 точек маршрута, решение задачи коммивояжера одним из указанных методов может привести к существенной экономии энергии источника питания или сокращению времени облета точек маршрута.

Таким образом, основной идеей данной работы является использование решения задачи коммивояжера ассиметричного замкнутого типа для оптимизации маршрута облета точек МРЛА. Указанная задача применительно к предметной области названа нами задачей маршрутизации МРЛА.

Необходимо отметить, что разработка такой программы является целью нашего проекта «Разработка информационной системы беспилотного летательного аппарата для мониторинга городской и природной среды», выполняемого по договору с Фондом содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, по программе У.М.Н.И.К. Договор № 5011ГУ1/2014 от 25 декабря 2014 г.

Таблица 1

Основные характеристики МРЛА

Наименование характеристики Числовое значение Размерность

Геометрические размеры (длина х ширина х высота) 0,98x0,98x0,33 м

Масса пустого 1,4 кг

Масса с батареей 5000 mAh 1,74 кг

Расстояние между центрами винтов 0,54 м

Максимальная поднимаемая масса 1 кг

Скорость горизонтальная 8 м/с

Скорость вертикальная (подъема) 3,5 м/с

Скорость вертикальная (спуска) 2,4 м/с

Максимальная паспортная мощность одного двигателя 200 Вт

Суммарная расходуемая мощность при горизонтальном полете 257 Вт

Суммарная расходуемая мощность при наборе высоты 340 Вт

Суммарная расходуемая мощность при снижении 50 Вт

Суммарная расходуемая мощность при висении 160 Вт

Пример расчета, подтверждающий перспективность данной идеи. В качестве примера рассмотрим различные планы полета квадрокоптера, собранного из комплектующих различных производителей (аппаратура радиоуправления Futaba, контроллер Naza (DJI), курсовая камера Sony, силовая установка (шасси) и двигатели RCTimer) в лаборатории технического моделирования ТГУ им. Г.Р. Державина, имеющего следующие технические характеристики (табл. 1).

Данные таблицы 1 являются избыточными, но могут оказаться полезными для других оценок.

Пусть имеется n пунктов (в нашем примере n = 6), в которых МРЛА должен совершить некоторые действия. Все пункты сосредоточены на площадке 0 < x < < 500 м, 0 < y < 500 м (рис. 1-3). Для каждого из n пунктов известна также высота, на которой МРЛА должен совершать свои действия (на рис. 1-3 это третья координата каждой точки). Характерной особенностью задачи является тот факт, что данные высоты различаются весьма существенно 10 < z < 350 м.

При перемещении МРЛА одновременно по горизонтали и вертикали расход энергии будем считать суммой энергий на перемещение в этих направлениях.

Рис. 2. Оптимальный обход пунктов назначения, обеспечивающий минимальное энергопотребление

Рис. 1. Интуитивный обход пунктов назначения

Рис. 3. Оптимальный обход пунктов назначения, обеспечивающий минимальное время

В каждом пункте маршрута МРЛА должен решить определенную задачу, для чего он должен пробыть в этой точке в состоянии висения время т. В наших расчетах принято т = 0, но к общим энергозатратам добавлена постоянная величина 1600 Дж или ее эквивалент для трехбаночной батареи 0,04 Ач, что соответствует 10 с висения.

Задачи 1 и 2 решали методом полного перебора и методом ветвей и границ. В табл. 2 представлена матрица энергозатрат МРЛА и времен его перемещения из одной точки маршрута в другую.

Интуитивное решение задачи маршрутизации. Вначале задача облета маршрута решалась интуитивно, так, как ее выполнило бы большинство пилотов МРЛА. Схема облета такого маршрута показана на рис. 1.

При этом общий расход энергии аккумуляторных батарей и время в полете составили:

Затраты энергии аккумуляторной батареи (Ач) =

= 0,95 + 0,45 + 1,08 + 0,35 + 0,69 + 0,45 + 0,04 = 4,01 Ач

Затраты энергии (кДж) = 38,4 + 18,4 + 43,7 + 14,0 + + 28,1 + 18,4 + 1,6 = 162,6 кДж

Время облета маршрута (с) = 105,7 + 112,3 + 126,6 + + 111 + 83,1 + 67,1 + 10 = 615,8 с.

Задача 1. Минимизация энергопотребления при облете маршрута. На втором этапе задачу облета маршрута вначале решали как оптимизационную. Целевой функцией при этом являлись суммарные энергозатраты на маршруте. При этом выбирали такой маршрут, который соответствует минимальному значению целевой функции на множестве всех возможных замкнутых путей, проходящих через каждую точку по одному разу. При этом оптимальным оказался маршрут, показанный на рис. 2.

Общий расход энергии аккумуляторных батарей и время в полете составили:

Затраты энергии аккумуляторной батареи (Ач) =

= 0,95 + 0,59 + 0,44 + 0,25 + 0,31 + 0,41 + 0,04 = 2,99 Ач

Затраты энергии (кДж) = 38,4 + 23,8 + 17,9 + 10,3 + + 12,6 + 16,7 + 1,6 = 121,3 кДж

Время облета маршрута (с) = 105,7 + 85,1 + 72,9 + + 68,1 + 60,4 + 67,9 + 10 = 470,1 с.

Задача 2. Минимизация времени облета маршрута. На третьем этапе задачу облета маршрута также решали как оптимизационную. Однако целевой функцией в этом случае являлось время прохождения маршрута. Выбирали такой маршрут, который соответствует минимальному значению целевой функции на множестве всех возможных замкнутых путей, проходящих через каждую точку по одному разу. При этом оптимальным оказался маршрут, показанный на рис. 3.

Общий расход энергии аккумуляторных батарей и время в полете составили:

Затраты энергии аккумуляторной батареи (Ач) =

= 0,41+ 0,31 + 1,0 + 0,59 + 0,44 + 0,45 + 0,04 = 3,24 Ач

Затраты энергии (кДж) = 16,6 + 12,6 + 40,7 + 23,8 + + 17,9 + 18,4 + 1,6 = 131,6 кДж

Время облета маршрута (с) = 64,9 + 60,4 + 102,3 + + 85,1 + 72,9 + 67,1 + 10 = 462,7 с.

Результаты всех проведенных расчетов интегрированы в табл. 3. Из нее следует, что для данного маршрута:

- при решении задачи минимизации энергопотребления обеспечивается экономия около 25 % энергетических ресурсов МРЛА, при этом также снижается на 23,7 % время облета точек маршрута по сравнению с «интуитивным» планом;

Таблица 2

Матрица энергозатрат МРЛА и времен его перемещения из одной точки маршрута в другую

Исходный пункт

1 2 3 4 5 6

11,9 16,7 25,0 14,6 18,4

1 - 0,29 0,41 0,62 0,36 0,45

95,7 67,9 110,0 59,9 67,1

38,4 40,7 18,1 41,3 26,6

2 0,95 - 1,0 0,45 1,02 0,66

105,7 102,3 75,1 101,7 73,1

яни 20,8 18,4 15,7 12,6 20,5

не еча 3 0,51 0,45 - 0,39 0,31 0,51

на нза н 87,9 112,3 126,6 60,4 83,7

57,2 23,8 43,7 44,3 30,36

т нкПу 4 1,41 0,59 1,08 - 1,09 0,75

130,0 85,1 126,6 126,0 72,9

16,6 16,8 10,4 14,0 10,3

5 0,41 0,42 0,26 0,35 - 0,25

64,9 96,7 45,4 111,0 68,1

38,2 19,9 36,1 17,9 28,1

6 0,94 0,49 0,89 0,44 0,69 -

87,1 83,1 83,7 72,9 83,1

Примечание: Энергозатраты (кДж) - первая строка; использованная емкость трехбаночной ЫРо батареи (Ач) - вторая строка; время полета (с) МРЛА из исходного пункта в пункт назначения - третья строка.

Таблица 3

Результаты оптимальной маршрутизации МРЛА в сравнении с «интуитивным» вариантом облета маршрута

«Интуитивный» облет маршрута Задача 1. Минимизация энергопотребления при облете маршрута Задача 2. Минимизация времени облета маршрута

Затраты энергии аккумуляторной батареи, Ач 4,01 2,99 3,24

Затраты энергии, кДж 162,6 121,3 131,6

Время облета маршрута, с 615,8 470,1 462,7

- при решении задачи минимизации времени время облета точек снижается на 24,8 %, при этом энергетические ресурсы МРЛА снижаются на 19,2 % по сравнению с «интуитивным» планом;

- в результате решения задач минимизации энергопотребления и времени облета маршрута получаются значения, различающиеся весьма существенно; так, затраты энергии в этих случаях различаются на 7,7 %, а время облета - на 1,7 %; такие различия связаны с ассиметричным характером задач 1 и 2, вызванным разными затратами на перемещение по вертикали вверх и вниз.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, показано, что при облете МРЛА точек маршрута, имеющих разные высоты, различия «интуитивного» и оптимального вариантов могут составлять до 25 %. Эти различия будут тем существеннее, чем большая разница высот наблюдается в точках обхода.

При облете маршрута на одной высоте задача становится симметричной, т. е. решения задачи 1 и задачи 2 должны совпадать.

С практической точки зрения решение задачи 1 может использоваться в случае, если имеется необхо-

димость экономии энергетических источников МРЛА для решения какой-либо другой проблемы. Решение задачи 1 необходимо в случае, когда имеется потребность в наискорейшем прохождении маршрута.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арзамасцев А.А., Крючков А.А. Математические модели для инженерных расчетов летательных аппаратов мультироторного типа (Часть 1) // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. Вып. 6. С. 18211828.

2. Задача коммивояжера. URL: Ьир8://ги.ш1к1реё1а.о^/ш1к1/Задача_ коммивояжера (дата обращения: 15.03.2015).

3. Швец А.Н. Perl. Примеры программ. URL: http://mech.math. msu.su/~shvetz/54/inf/perl-problems/chCommisVoyageur.xhtml (дата обращения: 17.03.2015).

Поступила в редакцию 2 апреля 2015 г.

Arzamastsev A.A. MATHEMATICAL MODELS FOR ENGINEER CALCULATIONS OF AIRCRAFT OF MULTIROTOR TYPE (PART 2). THE AIMS OF ROUTING

Mathematical models for routing, which can be beneficial for making optimal route of multi-rotor aircrafts (MRAC) and let economical use of energy of battery-driven or fulfill the aims for a little amount of time are reviewed.

Key words: mathematical model; multi-rotor aircraft; qua-drocopter; parameters accounting; informational system; routing.

Арзамасцев Александр Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой компьютерного и математического моделирования, e-mail: arz_sci@mail.ru

Arzamastsev Aleksander Anatolyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of Computer and Mathematical Modeling Department, e-mail: arz_sci@mail.ru