Комбинированный метод численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

УДК 519.622

В.Н. Бирюков

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматриваются свойства численного метода решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, полученного комбинацией полностью неявного метода Рунге-Кутты 2-го порядка и метода трапеций. Показано, что комбинированный метод имеет 3-й порядок точности, А- и Ь2-устойчив.

Рунге-Кутта; А-устойчивостъ; Ь-устойчивостъ.

V.N. Biryukov SINGLE-STEP METHOD FOR TIME-DOMAIN SIMULATION OF RF CIRCUITS

This paper presents an approach to the accurate time-domain simulation of nonlinear circuits that employs a novel miscellaneous 3-d-order implicit Runge-Kutta formula composed of trapezoidal rule and 2-d-order fully implicit Runge-Kutta formula. The properties of stability and accuracy of this RK method are reviewed.

Index Terms - Time-domain simulation; RF-circuits; implicit Runge-Kutta.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) радиотехнических цепей в ряде случаев обладают настолько высокой жесткостью, что для численного их решения становится целесообразным использование полностью неявных методов Рунге-Кутты, обладающих высокой Ь-устойчивостью [1, 2]. Основным недостатком последних является их высокая арифметическая сложность, поскольку размерность системы разностных (адгебраических) уравнений этих методов, определяющая время решения, превосходит размерность СОДУ. Известно, что в многошаговых методах ,

цепей, можно получить весьма полезные результаты, если в классические разностные схемы ввести избыточность [3]. Очевидно, что подобную избыточность можно ввести и в одношаговые методы. Ниже анализируются основные свойства - точность, устойчивость и сложность - нового ^-устойчивого мето, -ности: неявного метода трапеций (НМТ) и полностью неявного метода Рунге-( ). , 2- -ляет в ряде случаев получить решение с более высокой точностью, чем каждый из вложенных методов в отдельности, фактически без увеличения ариф.

, 2- -

гов, первый из которых соответствует НМТ, а второй - НМРК2 в виде

x n + а = x n + (ah/2)[ f (x, tn )+f (x n + a, tn + a)],

Известия ЮФУ. Технические науки

х п + 1 = X п + а + И/(х („ + а)/2, ^ + (1 + а) И/ 2), х п + 1 = х (п + а) / 2 + [(1 - а) И/ 2] / (х п + і, іп + И),

где 0 < а < 1 - весовой коэффициент. Поскольку оба исходных метода ^-устойчивы, то и комбинированный метод ^-устойчив. В то же время, благодаря разному знаку главного члена асимптотической погрешности НМТ и НМРК, локальная погрешность комбинированного метода (1) оказывается , ,

известных методов второго порядка. Отметим, что асимптотическая локальная погрешность комбинированного двухстадийного И-устойчивого метода НМТ-ФДН, используемая в программе МЛТЬЛБ (процедура ode23tb), превышает на порядок соответствующую погрешность НМТ.

Высокая арифметическая сложность ^-устойчивых полностью неявных ме-- -. -(1) ,

- . , -(1) .

(1) , , позволяет получить новые свойства по сравнению с каждым из вложенных методов в отдельности. На рис. 1 приведена зависимость от шага локальной погрешности Д = | х 1 - х (к ) | задачи ду/й1 = о у, t е [0, Т], у(0) = 1 для НМРК (кривые 1) и комбинированного метода НМТ-НМРК (1) при а = 0,5 (кривые 2). Штриховыми линиями показаны зависимости при двух равных частичных шагах. Из рисунка следует, что комбинированный метод является экспоненциаль-

-

2 , значением локальной погрешности по сравнению с НМРК. Таким образом,

, 2- -/ -, , поскольку порядок 1-устойчивости методов одинаков.

0.001 0.01 0.1

10 к

Рис. 1

Рис. 2

В классическом методе локальной подгонки, комбинирующем неявные методы Эйлера и трапеций [4], но не обладающем в отличие от (1) избыточностью, весовой коэффициент выбирается из условий компромисса между точностью и устойчивостью численного решения и поэтому может варьироваться в широком . (1) а также меняются слабо, однако одно значение а является особенным: при а = 0,557506665975 главные члены локальных погрешностей НМТ и НМРК2, , (1) методом 3-го порядка (естественно, только для однородных задач).

Для подтверждения высокой устойчивости комбинированного метода в области больших шагов на рис. 2 приведены зависимости от шага глобальной

(интервальной) погрешности Д = | xN - x(tN )| сравниваемых методов для

задачи dy/dt = - y, t е [0, T], y(t0) = 1, T = tN = 2 16. Знаком + на рисунке отмечены результаты, полученные для НМТ,  - для НМРК 2-го порядка, X и о - для метода (1) при а = 0,5 и а = 0,557506665975 соответственно. Из ри, (1) -

2,

(1) -

фициента может быть равным как двум, так и трем.

а > 0,1. На рис. 3 приведена граница области устойчивости в верхней комплексной полуплоскости (область симметрична относительно вещественной оси) при а ~ 0,5575. Отметим, что граница области метода (1) расположена , 2, моделировании автономных осцилляторов.

, - -ти больших шагов близок по своим свойствам к £2-устойчивому полностью

- 2- , погрешность настолько мала, что позволяет сравнивать его по производительности с диагональными £1-устойчивыми мето дами Рунге-Кутт ы. Отметим, что неклассичес кие методы Рунге-Кутты могут быть получены и путем создания нелинейных разностных схем на основе методов разных порядков точности [5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Maffezoni P., D’Amore D. Time-domain simulation of nonlinear circuits through implicit Runge-Kutta methods // IEEE transactions on circuits and systems. - 2007. - Vol. 54. - № 2. - P. 391-400.

2. . . // моделирование. - 1995. - T. 7. № 5. - C. 8-11.

3. . .

// Доклады академии наук. - 2005. - Т. 404. № 1. - С. 11-13.

4. -нений / Дж. Холл и Дж. Уатт. - М.: Мир, 1979. - 312 с.

5. . . ,

комбинирующий А- и L-устойчивые методы различных порядков точности // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2008. № 6. - С. 36-38.

.

Бирюков Вадим Николаевич

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: biryukov@users.tsure.ru.

З47922, г. Таганрог, пер. 1-й Крепостной, З4-162.

Тел.: 8(8бЗ4)Зб0-204.

Кафедра теоретических основ радиотехники.

Biryukov Vadim Nikolaevich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: biryukov@users.tsure.ru.

З4-162, 1-st Krepostnoi street, Taganrog, З47922, Russia.

Phone: 8(8бЗ4)Зб0-204.

Department of Radio Engineering.

УДК 681.518.54

. . , . .

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИ СТОХАСТИЧЕСКОМ КОДИРОВАНИИ СИГНАЛОВ

Приведена оценка погрешности представления случайной величины в результате реализации алгоритма одноразрядного квантования, ориентированного на классификацию сложных сигналов с непараметрической априор-

.

; ; ; -; ; .

G.G. Galustov, D.V. Mirvoda ERROR ESTIMATION AT STOCHASTIC CODING OF SIGNALS

The estimation of an error of representation of a random variable as a result of realisation of algorithm of the one-digit quantization focused on classification of difficult signals with nonparametric aprioristic uncertainty is resulted.

A random variable; a population mean; a dispersion; stochastic coding; an error; basic process.

При реализации алгоритма стохастического кодирования сигналов [1, 2], ориентированного на классификацию сложных сигналов с непараметрической априорной неопределенностью особый интерес представляет связь статистических характеристик классифицируемого процесса X(t) с процессом z(t), полученного в результате сравнения с опорным процессом (сигналом) l)(t). При этом наибольший интерес представляет случай, когда процесс T)(t) имеет