МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОНАПРЯЖЕНИЙ В КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧКАХ НА ОСНОВЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ. ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК

УДК 539.3

БОТ: 10.18698/2309-3684-2020-4-84110

Моделирование термонапряжений в композитных оболочках на основе асимптотической теории. Часть 1. Общая теория оболочек

© Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, А.Е. Пичугина МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Предложена асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных оболочек, вывод основных уравнений которой основан на асимптотическом разложении по малому геометрическому параметру трехмерных уравнений термоупругости. Данный метод был ранее разработан авторами для тонких композитных пластин, и в настоящей статье применен для тонкостенных оболочек произвольной формы. Согласно разработанному методу исходная трехмерная задача термоупругости распадается на рекуррентную последователь одномерных локальных задач термоупругости и осредненную двумерную задачу тонких оболочек. Для локальных задач термоупругости получены аналитические решения, которые позволяют замкнуть осредненную постановку задачу теории оболочек относительно 5 неизвестных функций: продольных перемещений, прогиба и двух перерезывающих сил. Показано, что осредненная задача для многослойных оболочек совпадает с классической системой уравнений оболочек Кирхгофа-Лява, однако она является более обоснованной, так как в основе асимптотической теории не содержится никаких допущений относительно характера распределения перемещений и напряжений по толщине. Кроме того, асимптотическая теория позволяет вычислить все напряжения в оболочке, без решения каких-либо дополнительных задач, а только лишь дифференцируя осредненные перемещения.

Ключевые слова: асимптотическая теория, уравнения термоупругости, многослойные оболочки, композиты, тензор напряжений, оболочки типа Кирхгофа-Лява

Введение. Расчеты тонкостенных конструкций на прочность в настоящее время чаще всего выполняются на основе двумерных теорий пластин и оболочек, или одномерных теорий стержней [1-8]. Это обусловлено значительной вычислительной эффективностью, которая достигается при использовании теорий этого типа по сравнению с использованием общих 3-мерных уравнений механики деформируемого твердого тела. Однако классические проблемы, которые характерны для двумерных и одномерных уравнений механики тонкостенных конструкций: обоснованность гипотез [9], лежащих в основе этих теорий; точность расчета всех компонент напряжений являются причинами постоянного появления новых теорий пластин и оболочек.

В настоящее время большое внимание уделяется асимптотическим теориям тонких конструкций, в которых содержится минимальное число допущений, и отсутствуют допущения относительно характера распределения перемещений и напряжений по толщине пластин и оболочек [10-13]. В работах [13-20] был разработан оригинальный

вариант асимптотических теорий пластин, в которых формулируются специальные последовательности локальных задач механики, с помощью решения которых замыкается общая рекуррентная последовательность асимптотических разложений осредненных задач механики тонкостенных конструкций. В результате обоснованность всех основных уравнений теории тонкостенных конструкций получается существенно боле высокой. В [13] показано, что точность расчета напряжений с помощью предложенного асимптотического метода также очень высокая. В работах [16-18] этот метод применен для построения теории тонких упругих оболочек. Целью настоящей работы является построение асимптотической теории термоупругости многослойных оболочек.

Следует отметить, что для ряда задач, к которым относятся задачи термоупругости многослойных композитных конструкций при нестационарном неравномерном нагреве, важную роль играют межслойные и поперечные напряжения, которые могут приводить к расслоению оболочек. С этой точки зрения необходимость достижения высокой точности при анализе термонапряжений в слоях оболочек является важной задачей и с практической точки зрения.

Геометрическая модель тонкой оболочки. Следуя [21], рассмотрим оболочку, как трехмерное тело, представляющее собой окрестность V срединной поверхности Е0, параметрическое уравнение которой имеет вид

X = X

где X — декартовы координаты точек в ортонормированном (декартов) базисе е , а X1 — параметрические координаты срединной поверхности. Здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквами

I, J, К, Ь, М, принимают значения 1, 2, а индексы I, у, к, I —

значения 1, 2, 3. Все координаты X и X1 будем полагать безразмерными, отнесенными к характерной длине Ь — диаметру поверхности Е0.

Радиус-вектор точки М , принадлежащей срединной поверхности оболочки, обозначим как:

р

Векторы локального базиса для срединной поверхности, метрическую матрицу срединной поверхности и вектор нормали к Е0 вводим стандартным образом [21]:

Ф _ 1 ...

где £ - ск^^,, ). Радиус-вектор точек М', принадлежащих оболочке V , представим следующим образом [21]:

х

V, = {XI-1 < X3 < |, X1 еЕ0},

где обозначен малый параметр

¡г

а? = -  1,

Ь

здесь к — толщина оболочки, а X3 — нормальная безразмерная координата, по которой отсчитывается толщина оболочки. Оболочку, для которой введено допущение (6), называют тонкой [21].

Вводим локальные базисы и метрическую матрицу оболочки

дх

Г =^Т, §у = Г' •Г;.

Криволинейные координаты X' оболочки полагаем ортогональными, так что метрические матрицы и gij являются диагональными и можно ввести

Аа=^а> а = 1,2; Ha=л¡gZ, а =1,2,3

— коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности и коэффициенты Ламе оболочки — все являются безразмерными. Введем ортонормированный базис [21]

г

еа = -Г, « = 1,2,3,

На

а также введем локальную £ координату по толщине оболочки:

£ = X3/г,

которая, согласно (5) изменяется для оболочки в промежутке -0,5 <£<0,5.

Все функции, являющиеся решением задачи термоупругости, будем рассматривать как зависящие от двумерных координат X1 и локальной координаты £:

П = П

Согласно общей концепции асимптотических методов, основанных на введении двух масштабов изменения решений дифференциальных уравнений в частных производных [12, 19], будем полагать выполненным следующее правило дифференцирования функций вида (11), которое вытекает из (10):

дм 1 ды.

дХ3 х дд

Для тонких оболочек примем следующие допущения [22]: И3, На = Аа (1 + хка{) » Аа, а = 1,2,

^ = 0, Н = ХАа3, Аа3 = Аака, а = 1,2,

дд дд

дН

= Аа,Р +х(Аака),р ~ Аа,р,

здесь ка — безразмерные кривизны срединной поверхности Е0 оболочки.

Введем обозначения

1 1

Пд =—, аа=-, Оа=-= —, а = 1,2, О = 0102.

/3 дд а дХа а НаАа 1 2

Система 3-х мерных уравнений термоупругости для многослойной оболочки. Рассмотрим для оболочки V квазистатическую задачу 3 -х мерной линейной теории термоупругости, состоящую из системы уравнений термоупругости при малых деформациях [22] и уравнений нестационарной теплопроводности [21]. В компонентной форме в криволинейных координатах X1, д с учетом допущений (13) о тонкостенности оболочки и правил дифференцирования (12), эта система может быть записана в следующем виде:

—А Аст а3/3

1 2°а3/3 + ( Ар°аа ) а + ( АаСТар ) р + Аа,р° ар - Ар,аСТ рр +Ар Аа3°а3 + А1 А2ра = 0 « = 1,22 — А14,^33/3 +(А2ст13 ^ +( А1ст23 )2 --А А13°Л - А1А23СТ22 + А1А2р3 = 0

уравнения равновесия;

£аа = ОаЩа,а + O1O2 АафЩр + °а Аа3Щ3 ,

£33 Щ/3, г

= А1О2 (Щ101 ) 2 + АО1 (Щ2°2 ) 1 ,

2е а = — и „ + О

а3 а/3 а \ 3,а а3 а }

г 4 , у

— соотношения Коши;

Р^ дв_ ( . АА л

г2Бо0 дг

=—орг

АЧц + А&2 2 + #3/3

г

— уравнение теплопроводности;

аи = С1Ж1 (^кь — £К1 ) + Си33 (^33 — £33 ) ,

3 = 2С13К 3£к 3,

^33 = C33KL

— соотношения термоупругости;

—Ч1 =ЛиШи, — ^3 =^33&

— закон Фурье;

1 дй

8а= Оайа, а = 1,2, ^ = - —

г д£

— выражения для градиента температуры;

Е3±: ав=-р±5в, с/,=±с/с,

: Щ = Щег, : = гпег, = 0

^. : [а ] = 0, [щ ] = 0, Ы = 0, [й] = 0,

г = 0: й = 1

— граничные на внешней и внутренней поверхностях Е3+ = {£ = ±0,5}, на торцевых поверхностях ЪТ = {—0,5 < £ < 0,5, X1 е дЕ0}, и на поверхностях раздела слоев Е5 = {£ = £}, 5 = 1,...,N—1, где N — число

слоев в оболочке, а также начальное условие.

В (13)-(21) обозначены безразмерные компоненты векторов и тензоров в базисе ег: а — тензор напряжений (отнесен к

характерному значению модуля упругости Е0), — тензор малых деформаций, е^ =аг> (6 —60) — тензор тепловых деформаций, аг> — тензор теплового расширения, Сщ — тензор модулей упругости (отнесен к Е0), щ — вектор перемещений (отнесен к Ь ), ^ — тензор

теплопроводности (отнесен к характерному значению теплопроводности \ ), дг — вектор теплового потока (отнесен к Ь), ^ —

градиент температуры (отнесен к 60/ Ь ), I — вектор плотности массовых сил (отнесен к Е0/(р0Ь)), ще — заданный вектор перемещений, ¿иег. — вектор напряжений, заданный на торцевой части поверхности (отнесенный к Е0), щ — вектор нормали. Введены также обозначения для: р — плотности (отнесена к характерному значению р0), С — удельной теплоемкости (отнесена к характерному значению с0), ( — времени (отнесено к характерному времени ), 6 — температуры (отнесена к начальному значению температуры 60), де± — заданного теплового потока на поверхностях оболочки, р+ — давления, заданного на внешней и внутренней поверхностях Е+ оболочки, Щ ] — скачка функций.

Введен также безразмерный параметр Фурье

Ро = Лл/

Основные допущения модели. Кроме допущения (8) о тонко-стенности оболочки, введем также допущения об условиях нагрева

Еа = х2Ео0, де+=1 ^

х

где Ео0 и д(-1) — величины, порядка 1. Это допущение означает, что нагрев рассматривается на относительно коротких временах, когда распределение температурного поля по толщине оболочки является существенно неравномерным.

Введем также допущение [10,12], которое заключается в том, что давление р+ на внутренней и внешней поверхностях имеет порядок

малости 0(х3) т.е.

р±=звър±.

Слои оболочки далее полагаем моноклинными материалами [21], с главным базисом осей анизотропии, совпадающим с еа, тогда определяющие соотношения для тонкой оболочки имеют вид (18), (19).

Асимптотические разложения решения задачи для тонкой оболочки. Уравнения (15)-(24) содержат малый параметр х, будем искать их решение в виде асимптотических разложений по параметру х в виде функций (11), зависящих от глобальных и локальной координат:

щ =и^{Ха) + зеи(1\Ха ,£) + зе2и^{Ха ,£) + ..., в = вт ^ + ^о) ^ + ^20(2) (Ха, %,{) + ...

Подставим разложения (28) в соотношения Коши (16) и определяющие соотношения (18), (19), тогда получим асимптотические разложения для деформаций, напряжений, градиента температуры и вектора теплового потока

е^ер+зее^+зе2ер+...,

^=40)+х*;>+х^+...,

Я, =1+ «Т + х^ + х2 ^ +...,

х

ч =1 ч

х

Формулировка локальных задач для тонких оболочек. Подставляя разложения (28)—(32) в уравнения (15)—(17) и граничные условия (21), (24), после приравнивания в уравнениях равновесия (15) и в уравнении теплопроводности (17) членов при отрицательных степенях х к нулю, а при остальных степенях х — к некоторым величинам

, Н1, Н-2,... и , Н1, к[2',... не зависящим от £, получим рекуррентную последовательность локальных задач термоупругости.

Локальная задача термоупругости нулевого приближения при п = 0 имеет вид:

^ Т = -"»•

Бо0 дt

-ч3-1) =Лзя3-1) =

<т™ = 0,

г3/3

/т

ии СШ1ЬК1 ^ Си33Ь33 Сиыьк1 ,

ст(0) = 2С е(0) и13 2С13К3ек3 ,

33 С33КЬеКЬ ^ С3333е33 С33ЫЬЫ ,

а=Оаыаа+¿«лощ-р+Ааъ0аыъ

2е12 = А102(ы10)01),2 + А201(ы20)02),1, 40) = ы(1),

2е

а3 а/3 а 3,а а3 а а '

£3± СТ = 0,

: [ст

< ыг

Е3± : ¿Г1 =±Яе± •

Для высших приближений при п = 1,2,... получаем следующие локальные задачи

рсу дв

+ 002

сг

SJ = 3 & 3 = 6/

0

/3

А4^/3 + (Арст^-1) \а + (АаСТр1 \Р+ Аа,рСТар-1) - Ар,аар;-1) + +Ар Аа3СТ(а71} + А А2/ап-1) = Иап-1\

А1А2СТ33/3 + (А2СТ13 ^ ) , + (А1СТ23 11 К - А2 А13СТП 11 - АА23СТ22 ^ +

4 /д 4 Л2

+А!"-1) = Л3п-1),

_

ии СиКЬЬКЬ ^ СиКЬЬ33 Сиыьы ,

3 2С/3К 3еК 3,

гг

33 С33КЬеКЬ ^ С3333е33 С33к1ЬЫ ,

а = 0аЫ(аа + Кр0РЩр + Аа30аы3п), 24п) = 02ы11")+0щ2") -002( лщп)+Л2Лы2n)),

р

е33 Ы3/3 ,

9е

2еа3 = Ыа/3 + 0аЫ3,а Аа30аЫа ,

£3± : ст^) = ^),

Е : [ст3 = 0, [¿Г1' ] = 0, [д33 = 0, [б ] = 0,

< +1) >= 0, <в{пп >= 0,

2з± : ч3п-1) = 0,

ЪТ : ч{Г2)Щ = 0.

Здесь обозначена операция осреднения по толщине оболочки

0,5

>= } и

< и ,(п) >=

-0,5

а также обозначены функции граничных условий и массовых сил

^ = 0, если п = 1,2,4,5,..., = -р. 8, если п = 3,

г ± У± г3

/(п) = 0, если п = 1,2,3,4,5,..., ^п) =Р/,, если п = 0.

Уравнения равновесия (15) после введения функций Н0, Н1, Н\2, принимают вид:

ад

£ хпНп) =Нг

п=0

Решением локальной задачи термоупругости в нулевом приближении (33)—(41)являются функции #(0), и(1), Су0), а^0), они зависят от локальной координаты £ и входных данных этой задачи — перемещений и(0) (Xа). Решением задачи термоупругости п — го приближения (42)-(52) являются функции в(п), и(п+1), £(п), <т^п), а

/3

а , и) , с„ , ^ в этой задаче — входные данные.

] У

Решение локальной задачи нулевого приближения. Решение уравнений равновесия (35) с граничными условиями (38) в локальной задаче нулевого приближения имеет вид

о-

Подставив (56) во вторую и третью группу определяющих соотношений в системе (36), получаем, что в нулевом приближении деформации межслойного сдвига во всех слоях являются нулевыми, а поперечная деформация — ненулевая

Л°) = 0 С

С К з 0, С33 2 зш„ы 23КЬСКЬ ,

где обозначено

^КЬ _ С3333С33КЬ , ^ЪЫ _ С3333С33к/ .

Подставив в (57) выражения для деформаций е^], е^0 , из (37), с учетом (40), находим перемещения ыг(1):

ы(1) =-Ю (ы(0) -А Зы(0)),

а Ъ а V 3,а а3 а

ы3) и3КьеК1 + и3°,

где обозначено

ШЬ = - < ^3КЬ >д, иТ

В (60) введено обозначение для следующей операции:

</>е=] < 1 > •

-0,5 -0,5

Подставив выражения (57) в первую группу определяющих соотношений системы (36), находим напряжения ст^:

_

и = СиКЬеКЬ СШ1ЬЫ ,

где обозначено

С\им = Сиы-Си 33^3к/ .

Решение локальных задач Ьп высших приближений. Решим шения равновесия (44), (45) относительно ст^з и ст^ъ •

оОНг = -0102 ((Арста"а-1)) + ( А«ст«р 1)) + Аа,рст%1) -

« ,р

-АрУ/;-1) + АрАа3стаг)) + 0102 (И«п-1) - Ар/ап-1)),

ст3(3п/)3 = -0102 ((Аст^ ), + (Аст^п-1) )2 - А АСТ-1) -

л ,2

АЛ23ст2п-1))+0102 (И3(п-1) - А А/?-1) ).

Проинтегрируем обе части этих уравнений по д, принимая во внимание, что А, 0, И? 1, /а" 1) не зависят от д. Подставим полученные выражения в граничные условия

Н—Т1 = А А/п—1) + < (А^\а + (Ааа%—1) I +

+ А п-{п—1) — А гт(п—1) + А А гт(п—1) >

+ Аа,раар Ар,аарр + Ар Аа3°а3 >,

й(п—1) = АА (А^3(п) + /3( п—1)) + < (А ^з—1) ^ +

+ ( До^ 1) )2 — А2 А13^П 1) — А1 А23а<П 1) >,

где обозначено Д£3(п) = ^ — Введем оператор

<г

{/

Тогда, подставляя выражения (66) и (67) в (64) и (65), получим

< = —О А {(Ар^ )а + (Д,^1)) _ + Аа,ра1;—1) —

— А <т(п—1) + А А ^(п—1)\

Ар,аарр + Ар Аа3аа3 }£ ,

причем

т^ = (£ + 0.5) + ^ — ОО {(А2^1(Г1) X +

+

п = 1,2,...

Д^ = ^3+) — ^ = —Др8гз8пз, Др = р+-р .

Из определяющих соотношений системы

,.

и3/3 = С3333и33 ^3КЬ£КЬ + ^зы£ы ,

и!"/+1) = С—3, з^

Проинтегрируем обе части этих соотношений и используем условие нормировки: < и\п+1) >= 0, тогда получим

и3 ) =< С3333СТ33 ) >£ < ^3КЬ£КЬ >£ + < %3Ы£Т1

и—+1) = 2<с—,з*(п) >£ —О„ <и31 >£ + АаЪОа <и— >£,

п = 1,2,...

Выражение решения первого приближения через нулевое приближение. Выразим деформации с первого приближения через

0,5

деформации и перемещения нулевого приближения. Для этого запишем выражения для еп) из системы (47) при п = 1:

е«а = 0«ы«а + 002А«,^ + ц А«30а,

2е = Л102

Подставим в эти формулы выражения (65) для ы(1) и ы(1), тогда получим

еи =&и +ФТи

где обозначены деформации искривлений срединной поверхности оболочки

-V«« = 0а(0а(ыа - Лагыа0))),а + 0,0,0р А«,р (ы^ - А^), -2^12 = Л1O2(O12(ыг01) - А13ы1(0))),2 + A2O1(O22(ыг02) - А23«20))),1, а также введены обозначения

ааКЬ = Ла30аиъКь , ^12КЬ = 0,

фТ (1) = ТТТ 0) а 0 фТ (1) = 0 ^аа = Т3 Ла30а, ^12 =

Выразим напряжения первого приближения стп через деформации нулевого приближения , используя формулы (69) и (70) при п = 1 имеем:

ст(1) = -

ст «3

0{( АрСТ«« )«+(Ластр )р+ Аарстар- А«СТ^

ст3(3) = 0{ А 4(^1 ) + А1

Здесь учтено, что стп' = 0. Подставляя формулы (62) в (81), получаем

СТ«3 = -°( {СааКЬ }д (¿р^КЬ ) а + {С(«0?Кь }д (¿а^КЬ ) ^ +

,{С(0) } а е(0) -{С(0) } А е(0)) +

С«рКЬ) д Аа,реКЬ I СррКЬ) д Ар,аеКЬ / 1

+0(( Ар{Са°а)к1екТ1 (0)}д ) ^ + ( Аа{Са°/зк1£кТ1 (0)}д ) +

+ А {С

^Аа,р IС«рк1ек1 уд Ар,а\Сррк1ек1 >д/5 ст3(3) = (01 А13{с1(1кКь}д + 02А23{С<2^>КЬ}дд)е^1Ь -

-

\01 А13 I С11к1ек1 02 А23\С22ЫеЫ уд)'

Введем обозначения

с

са3КЬ О\ ХУааКЬ сррКЬ ) £ Ар,а + 2 ХУарКЬ) £ Аа,р/1

^=о

с (!) = О А {с (0) } + О А {с (0) }

с33КЬ О1А13 1с11К^ £ + О2 а23 1с22КЬ ) £ ,

а также обозначим тепловые напряжения первого приближения

°а з1)=—о(( Ар{с1аш£ы (о)}£ ) а+(Аа{сааррк1£1т1 (о)}£) +

+Аа,р{с1рк\£Т

оТ

о33 \О1 А13\с11Ы£Ы )£+ О2 А23\с22Ш£Ы }£}'

Тогда формулы (82) можно записать так

гт

оа3 са3КЬ£КЬ RаШJ£lKЬJ о а3 ,

о

о33 с33КЬ£КЬ о33 .

Выразим напряжения о\] первого приближения через деформации нулевого приближения. Для этого запишем определяющие соотношения из системы (46) при п = 1:

гт

ии = сиКЬ£КЬ + сиКЬ£33 сии£и .

Подставим в это выражение для деформаций £3(1 из формул (46) для п = 1. Тогда с учетом обозначений (63) и формул (85), получаем

_(1)_/-(0) Д1)., Г(1) г-(°)_Я:Г(1) (9.1Л

ии ^икь£кь'гу^икь£кь ии ' >)

где обозначено

гг<У) -7 г(1) л-Т(\) _г(0) т(\) 7 т( 1) /88ч

^икь ЗЫ ЗЗКЬ5 ии ~т^зиизз

Подставим теперь соотношение (83) в (87), тогда получим итоговое выражение для напряжений оО1 первого приближения через деформации нулевого приближения:

<$ = с^Пь + СШЬ „КЬ — о*1), (89) где введены обозначения

С

^икь имм^^ммкь икь5 ^икь^кь  1 )

Найдем перемещения второго приближения ы(2). Для этого запишем формулы (74), (75) при п =1 :

. .

ыг < с2222ст22 >д < 7гкьекь >д^< 72ыеы >д,

ы« =< С-(к(СТ^ >д + Лаг0a < ы« >д -0а < ы(«а >д .

Подставим в эти выражения формулы (85), (78) и (59), тогда получим

ы.

(2) _ _Т „ , Т г(2) „(0) , т тТ(2) 3 и ЗКЬ'/КЬ ^ Т3КЬеКЬ ^ Т 3 ,

ы«2) =-<д>д 4,з0О

Т «КЬеКЬ К аКЬи еКЬ ,и ^ Та ,

где введены обозначения:

изкь =< гзкьд >д,

и(2) =<с-1 с(1) > -<7 Ф > и(2) =<С-1 С(1) >

тзкь < сззззсззкь >д < 7зиФиКЬ >д, и «кь < С«3! зС1 зкь >д,

К-Кьи =< С-З!зЯКи >д +0« < и

ттТ (2) _ _ п-1 ГГТ(1) - 7 (ЪТ(1) ^ 7 рТ (1) Тз < сззззстзз >д < 7зкьФи >д^< 7зыеы >д,

иТ (2) = - < С-1 СТТ (1) > - 0 < иТ(1) >

Та < СаЗК3СТК3 >д 0а < Т 3,а >д .

Выражение решения второго приближения через нулевое при-

-

«3 и стзз

ближение. Выразим напряжения второго приближения ст

через деформации и искривления т]и нулевого приближения. Для

этого запишем формулы (69) и (70) при п = 2 :

ст«?=-0{(Арст«аа \а+(л-ст-р+Ласт -

-АрСТ + Ар А«зст«1з)}д,

-0{( а2ст1(1) ^ +(Л1ст23) )2 -л лст?- а Л2зст22)}

ст3з2) = - 0

Подставим выражения (85) и (89) для напряжений первого при ближения ст(() и ст(з, ст в формулы (94), и приведем подобные в по лучившихся выражениях, тогда получим

ст

ст «3 С«3КЬ°КЬ 1 а3КЬие КЬ,и 1 аЗКЬ'КЬ у «ЗКЫ'/КЬи ст «3 ,

^-(2^/^(2) /?(2) <г(0) I Г(2) ,.(0) , \[(2) „ _ -¡Г(2) (

ст33 С33КЬеКЬ ^ Я33КиеКЬ,и ^ Е33КЬиМеКЬ,иМ ^ 1 ЗЗКЬ'/КЬ ст33 .

Здесь введены обозначения

с(2) = о({с(1) —С(1) } А + 2{с(1) } А -

са3КЬ О \ Xе ааКЬ С ррКЬ ) £ Ар,а + 2 IС арКЬ) £ Аа,р

-{с

1са3КЬ) £ Ар Аа3/1

о(2) = о({с(1) } А 8 +{с(1) } А 8 -

1ка3КЫ О V Xе ааКЬ) £ AрuаJ + \СарКЬ) £ Аа8 рJ -{1аКи }£ АрАа3),

N = О ({(с (°) —с(0) )£} А + 2{с(0) £} А ^

а3КЬ О И (сааКЬ с ррКЬ )££ Ар,а + 2 IсарКЬ£ £ Аа,р I, ^а3КЬ1 = О ({С—х—КЬ^}£ Aр8аJ + {с<арКЬ£}£ Аа8рJ ),

с3ЗКЬ = о

+{С11КЬ }£ А2 А13 + {С22КЬ }£ А1 А23),

о(2) = о( {с(1) } А 8 +{с(1) } А 8 +

1У33КЬ1 О\ 1с13К^ £А2ии + \с23КЬ) £A1U2J +

+{11(кь/ }£ аа21 + {1>Ки }£ А12 ),

Е3ЪКиМ = О ({11(_кь/ }£А281М + {12.Ки }£ А182М ) , ^3КЬ = О ({спкь£}£А2 А13 + {с20КЬ£}£А1 А23 ) ,

а также обозначения для тепловых напряжений 2-го приближения

0—Т32) = -О{(АрОаТа1}),а + (ДОПр + АО ~

-Ар—оТр1 + Ар АазОаТЬ,

-О{( А^ ) +( До™ ) -А А1з01Т1(1) - А Аз02Т2(1)}£.

О(2) =

Озз

Выразим из системы (91) при п = 2 : деформации второго приближения через деформации и перемещения нулевого приближения

а=о—и—аа+А,.АОи?+А—зО—и?,

С = АО2(и(2)О1),2 + А2О1(и22)О2),1.

Подставим сюда выражения (92) для и(2) и и(2) и приведем подобные, тогда получим

р

£БР < Ь >£ 'БР ЬБРКЬ' КЬ ^БРКЬ£КЬ в SPKЬJ£ KЬ,J (Г\(Х\

—К

К8РКЫМ£ КЬ, Ш + ФБР ,

где обозначены кривизны второго приближения оболочки:

+

а

-п

1аа а ^ «3 аУ 3,« «3 а /)

+0102А«,рАрз0р(ы3р - Арзыр }),

-2^((2) = Л(02 (А(з0(3(ы30() - А(зы1(0))) 2 + +Л20( (Л2302 (ы2,2) - А23ы2 ^^ ,

а также введены обозначения:

г(2) = А 0 и Ь(2) = 0

Ьа«КЬ А«30аи3КЬ, "42КЬ 0, ФС2«КЬ = 0аТ«КЬ,а + 0(02 Аа,р!ркЬ - А«30о!^ЗКЬ, Ва«КЬи = 0а!«КЬ8«и + 0 аК «КЬи,а + 0(02Аа,рКрки ,

к(2) = 0 К 8

к ааКЬиМ 0акаКЫ8«М,

2Ф(2Кь = А(02(!^Ь0(),2 + Л20((!2КЬ02),(,

оо^,) = 0!(2)8 , А0 0 К + 0К +

2В(2КЬи 02!(КЬ82и ^ а1020(2к(КЬи ^ 02к(КЬи,2 ^

+0(!2КЬ8^и + Л20(02(К

2 КЬи + 0(К2 КЬи,(,

о ¡к(2) — о V х л. Г) К Я ЗK12кьим = 02К(КЬи82М ^ 0(К2Кии(М ,

ФК? = ОиТ2 + Аа,рО(Оир(2) + А«зО«иТз (2), 2ФТ(2) = А(02(и((2)0(),2 + А20((и22)02),(.

Выразим напряжения ст(2) второго приближения через деформации е^ нулевого приближения. Из определяющих соотношений системы (46) при п = 2 получим

2еК2 = С/зк з^з',

о(2) — *-(2) + 7 ^Т(2) п гт

е22 с2222ст22 73КЬеКЬ ^ 73к1ек1 ,

^-(2) — 0(2),^ с^-Г1 ^(2) Л ГШ

СиКЬеКЬ т Си22е22 Сик1еЫ .

Подставляя (103) в (104), получаем:

ст/у) = СикьеаЬ + гзист^з) -Сш£ы^ ^

С учетом формул (99) для и (95) для ст(2) формула (105) может быть записана следующим образом:

сти = Сикь <д >д 1кь - Сикьекъ - , ч

-Я

"иКЬМ°КЬ,М иКЬМ1 КЬ М1 иКЬЧКЬ ии 5

где введены обозначения:

/'"42) _г

сиКЬ БРКЬ 23ис33КЬ,

(2) (0) (2) (2) яШЬМ си5РВ5РКЬМ 23и1133КЬМ,

Е = с

EIJKЬMN CIJSPKSPKЬMN 73иЕ33КЬШ,

N = с

1уиКЬ сШРЬБРКЬ 73и1у33КЬ, (2) (0) (2) (2) (0) (2) = сиКЬФКЬ + 23и°33 + СШ£к1 .

Выражение решения третьего приближения через нулевое приближение. Выразим напряжение третьего приближения о^ через деформации „Ц и искривления ' нулевого приближения. Из выражения (70) при п = 3 получим:

о =—Др (£ + 0,5) — р — —

—о{

Подставляя в (108) выражения (106) для о^2 и выражения (95) для о^2?, получим:

о =—(Др (£ + 0,5) + р — ) + с?3кь£КЬ + +

+Е

+Е33КЬ/М£КЬ,/М + 1У33КЬЧКЬ + у ззКЬМ'/КЬМ +

+и

+и ззКЬШ'КЬМ + Г'К1'/К1 озз ,

где введены обозначения

с(з) = О(А {С(2) } + А {с(2) } +

с33КЬ О\А2,1 Iс13КЬ ) £ + А2 Iс13КЬ,1£ +

+А {с

+А1,2 Iс23КЬ) £+ А1 Iс23КЬ,2) £ А2 А13 Iс11К^ £ А1А23 Iс22КЬ ) £/5 ^Ьзки = 0(А2,1{113ККЬ/ }£ + А2{с13КЬ }£81 / + А2{Я13КЬ/,1 }£ +

+ А {я(2) } + А {с(2) } 8 + А {я(2) } —

+А12 I1123КЬ/ ) £ + А1 Iс23КЬ ) £ и2/ + А1 11123КЬ/,2) £ —А2 А13{111Ки }£ — А1А23 {12^'КЬ1 } £),

Е(з) = О(а {Я(2) } 8 + А {я(2) } 8 -

Е33КЬ/М = ОЧА2 Iя113КЬ/ ) £и1М + А1 11 23КЫ ) £и2М —А2 А13{Е11КЬ/М }£ — А1А23 {ее22 КЫМ }£), N3(33Kь = О( А2,1{^3КЬ}£ + А2{^3КЬ,1}£ + А1,2{^3КЬ}£ +

/ г _ / г _ / г ^

+А1 {N23КЬ,2 }£ А2 А13 {^1КЬ }£ А1А23 {^2КЬ }£ )

Уззкш = 0( А2,1 {V13KLM }% + А2 {^3К£}% 81М +

+А2 {V13KLM ,1}% + А1,2 {^23К1М }% + А1 {^3К£}% 81М + А1 {^23К£М ,2}%Х и33КЬМЫ ~ 0( А {^3К£М }% + А1 {^23К!М }% 82N ) ,

ж = о( а А13{с^ <%>%}% +а ^{СК < % >%}%), а(3) = —о{( А<(2) )д+(О9 - а2А13^[1(2) - А1А23^2т2(2)}%.

Выражение для компонент полного тензора напряжений.

В работах [12, 13, 17] было установлено, что для достижения приемлемой инженерной точности вычислений напряжений аи в многослойных пластинах достаточно ограничиться только нулевым и первым приближением, для сдвиговых напряжений оаЪ — нулевым, первым и вторым приближением, а для компонент а33 — третьим приближением. Применим этот же подход для вычисления компонент полного тензора напряжений с точки зрения сохранения минимально необходимого числа членов в асимптотических разложениях. Тогда для компонент аи получим, сохраняя члены ряда (28) до первого приближения, включительно, получим:

аи = < + аа«.

Выражения для а^ и сг(}) были получены в формулах (62) и (89). Подставим их в выражение для аи, тогда получим искомое выражение для компонент аи тензора напряжений:

аи ~ Сшь5<Кь + СЫКЬ%71КЬ — аи,

где обозначены:

с (1) -Г,(°) +деГ'(1) С (0) =;*>Г'(0) *1 = <0) +

Для сдвиговых компонент аа3 сохраним члены ряда (28) до второго приближения:

а„3 =0°) + аа% + а2а!>

Выражения для а(0°}, и а(2) были получены в формулах (56), (85) и (95). Подставим их в выражение (114), тогда получим искомое выражение для компонент оаЪ тензора напряжений:

оа3 са3КЬ£КЬ + Яа3КЬ/£КЬ/ + NаЪКьПкЬ + Уа3КЬПКЬ, / + от 3,

где введены обозначения:

С(2) =деГ'(1) +де2Г<2) Ь(2) = де»(1) + ~2 п(2) са3КЬ а3КЬ + ^ са3КЬ' яа3КЬ/ ^яаКЬ/ + ^ яа3КЬ/ '

N =х2 N V = Зе2 V

а3КЬ 1У а3КЬ' у а3КЬ/ ^ у а3КЬ/'

(1) 2 (2) от 3 = хоа3) + х оТ 3 ).

Для компонент о33 сохраним члены асимптотического ряда до третьего приближения:

о = о

Выражения для о^, о, а^ и о^3 были получены в формулах (56), (85), (95), (109). Подставим их в выражение (117), тогда получим явное выражение для компонент о33 тензора напряжений:

озз = —х3 (Др (£+0,5)+р —)+сзкс+Яз/К/ +

+Е33КЬ/М£КЬ,/М + N33 КЬПКЬ +

+у (3) п + и(3) п + ж (3У2) —оТ

+у ззКЬМ'КЬМ + и ззкшы'!кь,ш + "КЬ '¡КЬ о 33 ,

33КЬМ'/КЬ,М

где введены обозначения:

Ь

с33КЬ °^с33КЬ + ^ с33КЬ + ^ с33КЬ ,

я(3) = х2 я(2) + х3 я(3) я^33Ки ^ я33КЬ/ + ^ я^ззки,

Е

Е33КЬ1М Е33К/М Е33КЬ1М,

#з

V

у ззКЬМ ^ у ззКЬМ ,

и

и ззКЬМЫ ^ и33КЬМЫ, "кь ^ "кь ,

о3 = хо3Т3(1) + х 2о3Т3(2) + х3о3т3(3).

В итоге получены выражения для полного тензора напряжений через деформации и кривизны, которые, в свою очередь, выражаются через перемещения нулевого приближения.

Осредненные уравнения равновесия многослойных оболочек.

Из результатов построения асимптотического решения уравнений равновесия тонкой оболочки следует, что эти уравнения принимают вид (55). Подставим в эти уравнения выражения (66) и (67) для функций Н(0), й(1), й(2), тогда получим

(

арЕ

V п=0

ап <а(") >

Л (

АаЕ

V п=0

ап < а1 >

Л

а/3

+А/Еап <аЦ > — А/аЕап <О/ > +

п=0 п=0

ад

+А/Аа3 Е ап < <03 > + А1А2 < р/а >= 0,

А Е

V п= 0

ап < <п) >

Л г +

У

А Е

ап < >

1 V п=0

А А13 Е

ап < а1(1п) > —

А1А23 Е

У,2

ап < <22п) > +

+АА (< Р/ > 'а2Лр) = 0.

Введем обозначения для усилий Тц, моментов М/у и перерезывающих сил в оболочке:

Ти =<<и >=Е ап < о(и) >,

п=0 ад

Ми = а <%<и >=Е ап+1 <%<и) >,

п=0 ад

& =<<3 >=Е ап <0п) >

п=0

и осредненных массовых сил, действующих на оболочку

Р,=<Р/ >, / = 1,2,3.

Тогда уравнения (120) и (121) можно записать в следующем виде

(А/Таа ) а + (АаТа/ ) ^ + Аа,рТар

—А„аТ„+ АрАа&а+ 44 ^ = 0, ( А& )д+( А02 )2— А А^! — —А1А3Т22+А А(рз —Лр) = 0,

где обозначено Лр = а2Лр.

Для вывода уравнения моментов оболочки рассмотрим исходные уравнения равновесия (13) при а = 1,2. Домножим эти уравнения на %а, проинтегрируем по толщине, применим граничные условия (а«з )±о 5 = 0, тогда получим следующие уравнения

п=0

44а + х ( A < >)_в + х ( Аа < ^ >)_^ +

+&Аар < frap > Ара < fcрр > +œАА2 <pfa >= 0

Используя определение (122) моментов, получаем окончательно уравнение моментов оболочки

(ApMaa ),а + ( АаМ ар),р + Аа, рМар - Ар,aMрр - ^

- А А2(аа- ma) - 0.

Здесь обозначены моменты внешних массовых сил

ma-<pfa>.

Эти уравнения (124) и (126) формально совпадают с классическими осредненными уравнениями теории оболочек Кирхгофа-Лява [1] и Тимошенко [3], однако они выведены с помощью асимптотической теории.

Осредненные определяющие соотношения теории оболочек.

Подставляя выражения (112) для напряжений аи в формулы (122), получим следующие выражения для усилий и моментов

T — C r(0) + B n - TT

T1J ClJKLaKL + BlJKLnKL t1J,

M1J - B1JKL4L + JnKL -

где обозначены средние функции — тензоры мембранных жесткостей, изгибных жесткостей и смешанных жесткостей оболочки

C -< C(°) >+œ < С(1) > Я - œ <FC(0) >

1JKL 1JKL ^ 1JKL ? ^IJKL а ^Ъ 1JKL ^

Викь — х < £Сикь > +х < %Сикь >, ^икь — де <^> Сикь >, а также тепловые усилия и моменты в оболочке

ТТ —< ати >, ми - х <&ти >.

Осредненная система уравнений термоупругости для многослойных оболочек. Соберем вместе кинематические соотношения, описывающие деформации срединной поверхности оболочки (шестая и седьмая группы соотношений в (47) при п — 0 ):

— оЛ++ла3оаи3°\

240) — О2и1(02) + -О1О2(Л1,2и1(0) + Л^),

и соотношения (79) для деформаций искривления г]и срединной поверхности оболочки

-1аа = Оа

-2^ = А1О2(О12(м3°1) - А1ЗМ1(0)}},2 + А2О1(О22(и3°2) - 4зи20)))д.

Тогда, после подстановки (131) и (132) в (128), и далее — в систему (124), (126), получаем итоговую систему 5 уравнений теории оболочек относительно 5 неизвестных функций: и(0), и(0) и а. Эта

система имеет 4-й порядок производных относительно прогиба и^. Уравнения равновесия (124), (126) и кинематические соотношения (131), (132) с точностью до обозначений совпадают с соответствующими уравнениями теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява [1]. Определяющие соотношения термоупругости (128) также соответ-свуют известным соотношениям теории анизотропных многослойных оболочек. Однако предложенный метод построения этой теории многослойных оболочек является внутренне непротиворечивым, в отличие от классических теорий, в которых вначале делаются допущения о малости поперечных напряжений и линейном характере распределения продольных перемещений по толщине, что приводит к линейному распределению касательных напряжений по толщине, а затем напряжения вычисляются интегрированием уравнений равновесия по толщине, в результате распределения касательных напряжений по толщине оказываются параболического типа.

В разработанной асимптотической теории термоупругости оболочек, никаких допущений о характере распределения перемещений и напряжений не делается. После решения осредненной системы уравнений с соответствующими граничными условиями, все 6 компонент тензора напряжений могут быть вычислены по формулам (112), (115) и (118) без решения дополнительных задач, а только по аналитическим соотношениям.

Для определения температуры 6^ необходимо решить задачу теплопроводности (33), (34), (41) в нулевом приближении

РЧ __(-() Го0 дг 43,3 ,

- ч3-

Е, : [?3-()] = 0, [б(0)] = 0, Ез± : ^ =±де±, г = 0: 6(0) =6.

Для вычисления температуры в более высоких приближениях

^+ ^2 (A ^ir2) + A^) 0,

J0

-q("-2) -q3gn-1),

gJn-2) -^Л g3n-1)

Es : [q3n-1)] - 0, n)] = 0,

Z3± : q(n-1) - 0, < в{n) >- 0, t - 0: 6{n) - 0.

Выводы. С использованием метода асимптотических разложений по малому геометрическому параметру из общей трехмерной системы уравнений термоупругости выведены замкнутые уравнения тонких многослойных оболочек общего вида. Построенная теория тонких многослойных анизотропных оболочек не содержит никаких допущений относительно характера распределения напряжений, деформаций или перемещений по толщине оболочки. Как и для построенных ранее асимптотических теорий пластин с помощью метода асимптотических разложений сформулированы и решены локальные задачи теории упругости нулевого, первого, второго и третьего приближений. На основе решений этих задач выведены аналитические выражения для вычисления всех шести компонент напряжений как функций поперечной и продольных координат.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ляв А. Математическая теория упругости. Москва, ОНТИ, 1935, 674 с.

[2] Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Москва, Наука, 1966, 635 с.

[3] Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. Москва, Машиностроение, 1988, 271 с.

[4] Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Обобщенная модель механики тонкостенных конструкций из композитных материалов. Механика композитных материалов, 1988, № 4, с. 698-704.

[5] Kohn R.V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness. International Journal of Solids and Structures, 1984, vol. 20, iss. 4, pp. 333-350.

[6] Gruttmann F., Wagner W. Shear correction factors in Timoshenko's beam theory for arbitrary shaped cross-sections. Computational Mechanics, 2001, vol. 27, iss. 3, pp. 199-207.

[7] Ghugal Y.M., Shmipi R.P. A review of refined shear deformation theories for isotropic and anisotropic laminated beams. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2001, vol. 20, no. 3, pp. 255-272.

[8] Tornabene F. Free vibrations of laminated composite doubly-curved shells and panels of revolution via the GDQ method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, vol. 200, iss. 9-12, pp. 931-952.

[9] Зверяев Е.М., Макаров Г.И. Общий метод построения теорий типа Тимошенко. Прикладная математика и механика, 2008, т. 72, вып. 2, с. 308-321.

[10] Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин. Известия РАН. Механика твердого тела, 2006, № 6, с. 71-79.

[11] Назаров С.А., Свирс Г.Х., Слуцкий А.С. Осреднение тонкой пластины, усиленной периодическими семействами жестких стержней. Математический сборник, 2011, т. 202, № 8, с. 41-80.

[12] Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных пластин. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3, с. 86-99.

[13] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин. Механика композиционных материалов и конструкций, 2014, т. 20, № 2, с. 260-282.

[14] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Юрин Ю.В. Асимптотическая теория термоползучести многослойных тонких пластин. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 4, c. 18-36.

[15] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, c. 36-56.

[16] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Пичугина А.Е. Моделирование напряжений в тонких композитных цилиндрических оболочках на основе асимптотической теории. Математическое моделирование и численные методы, 2018, № 3, с. 114-132.

[17] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Юрин Ю.В. Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках на основе метода асимптотической гомогенизации. Инженерный журнал: наука и инновации, 2016, № 12 (60), с. 1-25.

[18] Dimitrienko Y.I., Gubareva E.A., Pichugina A.E. Theory of the multilayer thin anisotropic shells, based on the asymptotic analysis of the general equations for the elasticity theory. Journal of Physics: Conference Series, 2018, vol. 1141, art no. 012097. DOI: 10.1088/1742-6596/1141/1/012097

[19] Dimitrienko Y.I., Dimitrienko I.D., Sborschikov S.V. Multiscale hierarchical modeling of fiber reinforced composites by asymptotic homogenization method. Applied Mathematical Sciences, 2015, vol. 9. iss. 145-148, pp. 7211-7220.

[20] Dimitrienko Y.I., Dimitrienko I.D. Modeling of thin composite laminates with general anisotropy under harmonic vibrations by the asymptotic homogenization method. International Journal for Multiscale Computational Engineering, 2017, vol. 15, iss. 3, pp. 219-237.

[21] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 1. Тензорный анализ. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 367 с.

[22] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4. Основы механики твердых сред. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 624 с.

Статья поступила в редакцию 12.11.2020

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Пичугина А.Е. Моделирование термонапряжений в композитных оболочках на основе асимптотической теории. Часть 1. Общая теория оболочек. Математическое моделирование и численные методы, 2020, № 4, с. 84-110.

Димитриенко Юрий Иванович — д-р физ.-мат. наук, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, директор Научно-образовательного центра «Суперкомпьютерное инженерное моделирование и разработка программных комплексов» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Губарева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент, заместитель заведующего кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: elena.a.gubareva@yandex.ru

Пичугина Анна Евгеньевна — ассистент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: a.e.pichugina@gmail.com

Thermal stress modeling in composite shells based on asymptotic theory. Part 1. General shell theory

© Yu.I. Dimitrienko, E.A.Gubareva, A.E. Pichugina Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

An asymptotic theory of thermoelasticity of multilayer composite shells is proposed, the derivation of the basic equations of which is based on the asymptotic expansion in terms of a small geometric parameter of three-dimensional thermoelasticity equations. This method was previously developed by the authors for thin composite plates, and in this article it is applied to thin-walled shells of an arbitrary frame. According to the developed method, the original three-dimensional problem of thermoelasticity decomposes into a recurrent successor of one-dimensional local problems of thermoelasticity and an averaged two-dimensional problem of thin shells. For local problems of thermoelasticity, analytical solutions are obtained, which make it possible to close the averaged formulation of the problem of the theory of shells with respect to 5 unknown functions: longitudinal displacements, deflection, and two shear forces. It is shown that the averaged problem for multilayer shells coincides with the classical system of equations for Kirchhoff-Love shells, however, it is more substantiated, since the asymptotic theory does not contain any assumptions regarding the pattern of the distribution ofpermutations and stresses over thickness. In addition, the asymptotic theory makes it possible to calculate all the stresses in the shell, without solving any additional problems, but only by differentiating the averaged displacements.

Keywords: asymptotic theory, thermoelasticity equations, multilayer shells, composites, stress tensor, Kirchhoff - Love shells

REFERENCES

[1] Lyav A. Matematicheskaya teoriya uprugosti [Mathematical theory of elasticity]. Moscow, ONTI Publ., 1935, 674 p.

[2] Timoshenko S.P., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. New York, McGrawHill Publ., 1959, 595 p.

[3] Vasiliev V.V. Mekhanika konstrukcii iz kompozicionnyh materialov [Mechanics of structures made of composite materials]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1988, 271 p.

[4] Grigolyuk E.I., Kulikov G.M. Generalized model of the mechanics of thin-walled structures made of composite materials. Mechanics of Composite Materials, 1989, no. 4, pp. 537-543.

[5] Kohn R.V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness. International Journal of Solids and Structures, 1984, vol. 20, iss. 4, pp. 333-350.

[6] Gruttmann F., Wagner W. Shear correction factors in Timoshenko's beam theory for arbitrary shaped cross-sections. Computational Mechanics, 2001, vol. 27, iss. 3, pp. 199-207.

[7] Ghugal Y.M., Shmipi R.P. A review of refined shear deformation theories for isotropic and anisotropic laminated beams. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2001, vol. 20, no. 3, pp. 255-272.

[8] Tornabene F. Free vibrations of laminated composite doubly-curved shells and panels of revolution via the GDQ method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, vol. 200, iss. 9-12, pp. 931-952.

[9] Zveryayev Ye.M., Makarov G.I. A general method for constructing Timoshenko-type theories. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2008, vol. 72, no. 2, pp. 197-207.

[10] Sheshenin S.V. Asymptotic analysis of plates with periodic cross-sections. Mechanics of Solids, 2006, vol. 41, iss. 6, pp. 57-63.

[11] Nazarov S.A., Sweers G.H., Slutskij A.S. Homogenization of a thin plate reinforced with periodic families of rigid rods. Sbornik: Mathematics, 2011, vol. 202, no. 8, pp. 1127-1168.

[12] Dimitrienko Yu.I. Asymptotic theory of multilayer thin plates. Herald of the Bau-man Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2012, no. 3, pp. 86-99.

[13] Dimitrienko Yu.I., Yakovlev D.O. The asymptotic theory of thermoelasticity of multilayer composite plates. Composites: Mechanics, Computations, Applications, 2015, vol. 6. iss. 1, pp. 13-51.

[14] Dimitrienko Y.I., Gubareva E.A., Yurin Y.V. Asymptotic theory of thermocreep for multilayer thin plates. Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 4, pp. 18-36.

[15] Dimitrienko Y.I., Gubareva E.A., Sborschikov S.V. Asymptotic theory of con-structive-orthotropic plates with two-periodic structures. Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 1, pp. 36-56.

[16] Dimitrienko Y. I. Gubareva E.A., Pichugina A.E. Modeling of the stresses in thin composite cylindrical shells based on the asymptotic theory. Mathematical Modeling and Computational Methods, 2018, no. 3, pp. 114-132.

[17] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Yurin Yu.V. Explicit formulas for the calculation of the complete tensor of the stresses in the monoclinic thin composite shells based on the asymptotic homogenization method. Engineering Journal: Science and Innovation: Electronic Science and Engineering Publication, 2016, no. 12 (60), pp. 1-25.

[18] Dimitrienko Y.I., Gubareva E.A., Pichugina A.E. Theory of the multilayer thin anisotropic shells, based on the asymptotic analysis of the general equations for the elasticity theory. Journal of Physics: Conference Series, 2018, vol. 1141, art no. 012097. DOI: 10.1088/1742-6596/1141/1/012097

[19] Dimitrienko Y.I., Dimitrienko I.D., Sborschikov S.V. Multiscale hierarchical modeling of fiber reinforced composites by asymptotic homogenization method. Applied Mathematical Sciences, 2015, vol. 9. iss. 145-148, pp. 7211-7220.

[20] Dimitrienko Y.I., Dimitrienko I.D. Modeling of thin composite laminates with general anisotropy under harmonic vibrations by the asymptotic homogenization method. International Journal for Multiscale Computational Engineering, 2017, vol. 15, iss. 3, pp. 219-237.

[21] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoj sredy. T. 1. Tenzornyj analiz [Continuum Mechanics. Vol. 1. Tensor analysis]. Moscow, BMSTU Publ., 2011, 367 p.

[22] Dimitrienko Yu. I. Mekhanika sploshnoy sredy. Tom 4. Osnovy mekhaniki tver-dogo tela [Continuum Mechanics. Vol. 4. Fundamentals of solid mechanics]. Moscow, BMSTU Publ., 2013, 624 p.

Dimitrienko Yu. I., Dr. Sci. (Phys. — Math.), Professor, Head of Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University, Director of Research and Education Center Scientific and Educational Centre of Supercomputer Engineering Modeling and Software Packages (Simplex), Bauman Moscow State Technical University. e-mail: dimit.bmtstu@gmail.com

Gubareva E.A., Cand. Sc. (Phys. — Math.), Assoc. Professor, Deputy Head of Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: elena.a.gubareva@yandex.ru

Pichugjna A.E., Assistant Prof. of Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: a.e.pichugina@gmail.com