Генерация и эволюция точечных дефектов в кристалле при интенсивном внешнем воздействии

Генерация и эволюция точечных дефектов в кристалле при интенсивном внешнем воздействии

Е.Е. Слядников

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

При достижении критического значения внешнего воздействия взаимодействие точечных дефектов с атомами кристаллической решетки приводит к неустойчивости состояния кристалла с идеальным газом точечный дефектов относительно спонтанного образования бозе-конденсата точечных дефектов. Возникает новое состояние кристалла с конденсатом, другими словами, происходит генерация точечный дефектов, характеризуемая дополнительной (по сравнению с плотностью идеального газа точечный дефектов п0) макроскопической плотностью точечный дефектов Дп = п - п0 = Т02.

1. Введение

В кристаллическом твердом теле при интенсивных внешних воздействиях (деформации [1], лазерном и радиационном облучениях [2, 3]) одновременно происходит генерация точечных дефектов и возникают локальные статические смещения атомов из узлов решетки. Затем формируются неоднородные структуры точечных дефектов, например диски из вакансий и меж-доузельных атомов, вакансионные поры, дислокации, дислокационные петли. Наблюдается эффект ускоренного массопереноса, возможен гидродинамический, вихревой характер пластической деформации. Если плотность точечных дефектов мала, то для их описания можно использовать приближение идеального решеточного газа [4]. Однако результаты экспериментов [1-3] показывают, что плотность точечных дефектов, генерируемых при интенсивном внешнем воздействии, может быть достаточно большой. В этом случае необходимо учитывать взаимодействие между точечными дефектами, что и было сделано, например в работе [5] в рамках физической кинетики. Эти исследования показали, что в ансамбле взаимодействующих точечных дефектов могут развиваться коллективные процессы, приводящие к структурным переходам как в самой системе точечных дефектов, так и в кристаллической решетке [6]. В большинстве теоретических работ, посвященных этому вопросу, взаимодействие учитывалось феноменологически. В тоже время естественно попы-

таться построить последовательную теорию процесса генерации и эволюции точечных дефектов в кристалле при интенсивном внешнем воздействии, исходя из микроскопического механизма взаимодействия точечных дефектов и атомов кристаллической решетки. Чтобы описать генерацию точечных дефектов, формирование их неоднородных структур, возникновение локальных статических смещений атомов из узлов решетки, эффект ускоренного массопереноса, гидродинамический, вихревой характер пластической деформации, на микроуровне предлагается следующая модель.

2. Модельный гамильтониан и основные уравнения

При формулировке модели будем предполагать, что за процесс генерации точечных дефектов в твердом теле при интенсивном внешнем воздействии ответственны подсистема точечных дефектов, подсистема атомов кристаллической решетки и их взаимодействие между собой. Рассмотрим подсистему вакансий и междо-узельных атомов, которые считаются «элементарными» точечными дефектами твердого тела. По Френкелю [7] вакансия образуется в результате теплового движения атома, когда он переходит в междоузлие и удаляется на несколько межатомных расстояний так, что связь между вакансией и междоузельным атомом разрывается. Такую несвязанную между собой пару — вакансия и бли-

© Слядников Е.Е., 1999

жайший к ней междоузельный атом — будем называть точечным дефектом, а подсистему вакансий и междо-узельных атомов рассматривать как идеальный газ таких точечных дефектов. В современной теории [8] точечные дефекты рассматриваются как элементарные возбуждения («кванты»), переносящие в себе простейшие элементы, нарушающие идеальность кристаллической решетки. Точечный дефект характеризуется собственной энергией (энергией покоя и кинетической энергией), причем кинетическая энергия дефекта зависит от его скорости. Таким образом, точечному дефекту можно приписать определенный закон дисперсии & = 0.(д), где & — собственная энергия, д — волновой вектор. Для анализа динамики ансамбля точечных дефектов, в том числе процессов их рождения и уничтожения, применим хорошо разработанный аппарат вторичного квантования [8]. Тогда гамильтониан, описывающий собственную энергию точечных дефектов, можно записать в виде

Н1 = Х &

где (д), ^(д) — операторы рождения, уничтожения

точечного дефекта с волновым вектором д . Поскольку вакансии и междоузельные атомы подчиняются статистике Ферми [9], то операторы ^+(д), ^(д) можно представить в виде произведения двух фермионных операторов А+В + , ВА и тогда они удовлетворяют коммутационным соотношениям Бозе. Плотность идеального газа точечных дефектов, соответствующая заданному значению интенсивности внешнего воздействия, определяется выражением

( \

п0 = Нт

N _1 X (у+(д )) 0

то есть число всех точечных дефектов в кристалле является макроскопическим. Наоборот, плотность точечных дефектов с конкретным волновым вектором

д равна п0(д) = ^Нт (^+(д)^(д)о) = 0 , то есть

число точечных дефектов (д)^(д) с конкретным

волновым вектором д не является макроскопическим. Здесь N— число атомов в кристаллической решетке; (...)0 означает усреднение по статистическому ансамблю состояний кристалла с идеальным газом точечных дефектов. Рассмотрим подсистему атомов кристаллической решетки. Для описания поведения этой подсистемы в условиях интенсивного внешнего воздействия необходимо выйти за пределы «гармонического» приближения, где элементарными возбуждениями решетки являются фононы [8], поскольку они являются «хорошими» квазичастицами только в условиях слабого внешнего воздействия. Поэтому сразу будем рассматривать «ангармонический» кристалл,

используя идею [10], согласно которой состояние кристалла в условиях интенсивного внешнего воздействия меняется кардинальным образом. В частности, появляются дополнительные, устойчивые положения атомов вне кристаллической решетки. Такое состояние кристалла будем описывать, выбирая модельный одночастичный атомный потенциал в виде двухямного несимметричного потенциала [11], что позволяет учитывать возможные переходы атома из равновесного положения в междоузлие (локальные смещения атомов). Тогда подсистему атомов кристалла при интенсивном внешнем воздействии можно рассматривать как решетку двухуровневых атомов, гамильтониан которой будет иметь вид

Здесь е j — уровень энергии атома в положении рав-

*

новесия; е j — уровень энергии атома в междоузлии; с +, Cj и а +, aj — операторы рождения, уничтожения атома в положениях равновесия и междоузлия соответственно. Операторы с+, Cj , а +, aj удовлетворяют коммутационным соотношениям Ферми, поскольку в одном узле может находиться только один атом. Суммирование по ] идет по всем узлам кристаллической решетки. Элементарным возбуждением такой «ангармонической» решетки является локальное смещение атома, когда из-за интенсивного внешнего воздействия он совершил переход из равновесного положения в междоузлие. В кристалле при интенсивном внешнем воздействии число точечных дефектов и локально смещенных атомов может быть достаточно большим, поэтому следует учесть взаимодействие между ними. Ограничимся только таким взаимодействием между точечными дефектами и атомами кристаллической решетки, при котором аннигиляция вакансии и междоузельного атома сопровождается переходами атомов решетки из положений равновесия в междоузлия и, наоборот, рождение вакансии и междоузельного атома сопровождается переходами атомов решетки из междоузлий в положения равновесия. На языке вторичного квантования это означает, что рождение точечного дефекта сопровождается исчезновением локальных смещений атомов и, наоборот, уничтожение точечного дефекта сопровождается возникновением локальных смещений атомов. Тогда энергия взаимодействия точечных дефектов и атомов кристаллической решетки будет описываться гамильтонианом

Нз =

В выражении (3) Vj (д) — матричный элемент потенциала взаимодействия точечного дефекта с ] атомом кристаллической решетки. Полный гамильтониан кристалла при интенсивном внешнем воздействии, описы-

вающий точечные дефекты, атомы кристаллической решетки и их взаимодействие между собой имеет вид

Н = Н1 + Н2 + Н3.

Перейдем от операторов а,, с, к операторам наблюдаемых физических величин [12]: ст, = с+с, —

— а+а, — оператору поляризации заполнения равновесного и междоузельного состояний атома, = а *с,

= с+а,) — оператору рождения (уничтожения) локального смещения атома (атом-вакансионной пары). Хорошо известно, что уравнение эволюции для квантовомеханических операторов имеет вид [13] А () = [(), н] , где точка обозначает дифференцирование по времени. Тогда уравнения эволюции для операторов у(д), ст,-, й, имеют вид

гу (д) = Цд)у (д) + N 1 Е V* (д)й М, = Е,й, + Е V (д)ст, у(д),

гст, = 2Е{^

д

где Е, = е* - е, . Учитывая, что операторы ст,, ст+ и й,, коммутируют, их можно рассматривать как

классические величины. Оператор у(д), удовлетворяющий коммутационным соотношениям Бозе, можно приближенно рассматривать как классическую величину в пределе больших чисел заполнения [13]. Причиной возникновения большого числа бозонов с конкретным волновым вектором д является взаимодействие точечных дефектов с атомами кристаллической решетки. В результате чего состояние кристалла с идеальным газом точечных дефектов при критическом значении интенсивности внешнего воздействия становится неустойчивым относительно образования бозе-конденсата точечных дефектов с волновым вектором д (подобного рода неустойчивость имеет место в лазере [12]). Поэтому в качестве состояния кристалла в условиях сильного внешнего воздействия следует выбрать состояние с бозе-конденсатом точечных дефектов с волновым вектором д . Появление ненулевого параметра порядка у(д) можно представить как бозе-конденсацию точечных дефектов, приводящую к ненулевому среднему (у(д)) , где (К означает среднее по ансамблю состояний кристалла с бозе-конденсатом точечных дефектов с волновым вектором д . Тогда в квазиклассическом пределе [13] (либо в результате усреднения по состоянию с конденсатом (К) уравнения (5)-(7) могут быть переписаны в виде

у

й} = [-[ - Vй ] - гЕ V

, =УстИ -ст, ]--2г Е{

д

Здесь у у, у й, Уа — затухание поля конденсата точечных дефектов, поля локальных смещений атомов (атом-вакансионных пар), поля отклонений поляризации заполнения равновесного и междоузельного состояний от затравочного значения соответственно;

*

ст, — затравочная поляризация, отвечающая состоянию кристалла с идеальным газом точечных дефектов при заданной интенсивности внешнего воздействия. Поскольку возникновение и существование поля конденсата точечных дефектов, поля статических локальных смещений, поля отклонений поляризации от затравочного значения возможно только при непрерывной накачке энергии из внешней среды, эти величины являются сильно затухающими. Поэтому в уравнениях (8)-(10) члены, пропорциональные уу, уй, уст , явно выписаны для учета процессов диссипации энергии в системе. Обычно затухание исчезает лишь у одной полевой моды, амплитуда которой может служить параметром порядка. Эта медленно меняющаяся амплитуда подчиняет себе атомную подсистему [12], поэтому можно считать, что в уравнениях (8)-(10) переменная у меняется намного медленнее, чем й,, ст, , и адиабатически исключить атомные переменные. Тогда из (8)-(10) получим

у(д) = [(д) - Уу (д)]) -

-Ш-1 Е V,*(^/)^ (д1 )ст*^(д1 )[-г((д1) ~Е,) + у + ] х

дl, 3

х|1 + 4 У й УСТ1 Е ^ (д2 (д3 )у*(д2 Мд3 ) х

?2. ?3

(()- Е, )2 +у 2е

-1

01)

Уравнение (11) является уравнением эволюции для параметра порядка у(д), описывающего поведение бозе-конденсата точечных дефектов с волновым вектором д в кристалле при интенсивном внешнем воздействии.

3. Стационарные решения уравнения эволюции

Найдем решение уравнения (11) в случае, когда возникает однородный конденсат точечных дефектов (д = 0). Физически это означает, что происходит генерация точечных дефектов с пространственно-однородной плотностью. Пусть ст, лежит вблизи критического значения стс,, тогда у( = 0) = у можно считать малой величиной. В однородной системе ст* = ст*, V, (д = 0) = V, й, = й, Е, = Е . Тогда вблизи крити-

ческой точки стс можно разложить уравнение (11) по степеням параметра порядка у [14]:

2

« = Уу(0)+ V 2ст*уй1 + г'^(0),

в = -V 2ст*у -1у -2

где у-2 = 4V2 у-1тст1.

Рассмотрим случай сильного затухания физических полей, когда £(0)<<уу, [£2(0) - Е] << у^, а а = а1 =

в= в1 = -V 2 ст*т-1у -2

= Уу(0) + V2 ст*у-1

Тогда

у = -ЭО/Эу , где О = (оц/2)у2 + (Р^4)у4 — часть свободной энергии кристалла в условиях интенсивного внешнего воздействия, связанная с возникновением конденсата точечных дефектов. Характер стационарного состояния системы, задаваемого уравнением ЭО/ Эу = 0, определяется критическим значением стс =-ууу^V2 <0, при котором коэффициент а1 обращается в нуль. Поскольку значение поляризации стс лежит в пределах от - 1 до +1 , то накачка точечных дефектов возникает только при выполнении условия ууу^2 - 1, то есть в случае сильного взаимодействия точечных дефектов и атомов кристаллической решетки. При |ст*|>|стс устанавливается стационарный режим, характеризуемый дополнительной (по сравнению с плотностью идеального газа) плотностью точечных дефектов у2 = |а^ в1 . Таким образом, при критическом значении внешнего воздействия взаимодействие точечных дефектов с атомами кристаллической решетки приводит к неустойчивости состояния твердого тела с идеальным газом точечных дефектов относительно генерации бозе-конденсата точечных дефектов. Возникает новое устойчивое состояние кристалла с бозе-кон-денсатом, характеризуемое дополнительной макроскопической плотностью точечных дефектов с волновым вектором д = 0 . Предположим, что в окрестности д = 0 возникает неоднородный бозе-конденсат точечных дефектов. Будем считать, что взаимодействие между точечными дефектами и атомами решетки имеет

близкодействующий характер V( - Я,) = К§( - Я,). Подставляя фурье-образ потенциала взаимодействия

V, (д) = = V ехр( (Я, I в уравнение (11), получим

у(д) = [-о- сЧ2 ]у(д)-

-в Е у

д1, д2, д3

где С =

преобразование Фурье, получим

у

Используя (15), запишем свободную энергию неоднородного конденсата точечных дефектов для случая сильного затухания физических полей

О =

где С = С1 = У у . Выясним условия, при которых в области |ст*|>|стс однородное распределение точечных дефектов становится неустойчивым. Для этого рассмотрим малые отклонения параметра порядка Зу(г) от однородного значения параметра порядка у0 =

= ((1/в1) . Тогда согласно (16) изменение свободной энергии точечных дефектов, обусловленное неоднородностями в их распределении (по сравнению со свободной энергией однородного конденсата), можно записать в виде

АО = |йг (а^^Зу^))2 + (С^^УЗу^)) +

+

(в^4)бу2 (у(г))2

Разлагая отклонение параметра порядка в интеграл Фурье по концентрационным волнам

Зу(д) = (1/2л)31 йдЗу(д )ехр( гд д), получим

АО = |йдА(д)Зу(д)2, А(д) = -а1 + (С1/2)д2. (18) Условие устойчивости выполняется, когда А(д) > 0 . Если С1 > 0 , а1 = уу(0)[стс -ст*]стс < 0 в области

|ст*| > |стс , то А(д) > 0 . В этом случае однородное состояние Зу(д) = 0 отвечает минимальному значению свободной энергии. Если С1 < 0, а1 < 0 в области

|ст*| > |стс , то функция А(д) < 0 отрицательна для волновых векторов д > д0, где д0 определяется из условия а(, ст*) = 0 . Таким образом, при С1 < 0 однородное

распределение точечных дефектов при |ст*|>|стс неустойчиво относительно образования пакета концентрационных волн. Однако выживание концентрационных волн с различными д из этого пакета не является равновероятным и определяется зависимостью декремента затухания амплитуд концентрационных волн Я от волнового вектора д . Решая уравнение (15) для концентрационных неоднородностей Зу(г) , получим

8у(д, г) = 8у(д, 0) ехр(-Я(д )г),

Я(д) = -2а1 + С1д2

Из (19) видно, что при С1 > 0 в области |ст*|>|стс|

декремент затухания я(, ст*) есть положительная величина при всех значениях д . Тогда из (19) следует, что концентрационные неоднородности рассасываются со временем, так как Зу( г)^0 при г^^. Если С1 < 0 в области |ст*|>|стс , то я(, ст*)< 0 для д > д0 и концентрационные неоднородности увеличиваются со временем, а их амплитуды возрастают по экспоненциальному закону. Из (19) видно, что зависимость декремента затухания от волнового вектора д получена с точностью до д2 . Если учесть член разложения, равный D1д4 , то зависимость Я(д) = -2а1 + С1д2 + + П1д4 обнаруживает минимум при значении д*, равном д* =(-C1/2D1 )2. Причем в точке минимума функция Я(д) принимает отрицательное значение, равное тт Я(д) = я(д*) = -2а1 - |с12/4Д1) . Следовательно, в процессе эволюции быстрее всех растут амп-

г*

литуды тех волн, волновые вектора которых равны д . Поскольку кристалл, как правило, анизотропен, то при С1 < 0 потеря устойчивости однородного распределения плотности точечных дефектов осуществляется, в первую очередь, в отношении волн, волновые вектора которых лежат на определенных направлениях симметрии. Таким образом, в общем случае параметр порядка у является функцией координат и времени и имеет смысл волновой функции точечного дефекта в конденсатном состоянии, которую можно записать в виде

у

Волновая функция (20) является классической величиной, поскольку в состоянии бозе-конденсата находится макроскопически большое число точечных дефектов. Она характеризуется как амплитудой р(г, г), так и фазой ф(г, г). На классе функций вида (20) уравнение

(15) имеет также другие стационарные решения, например

у

описывающие состояние одномерного кристалла с движущимся однородным бозе-конденсатом точечных дефектов. В рамках уравнения (15) можно рассмотреть устойчивость решения (21) с заданным д . Линеаризуя уравнение (15) на фоне стационарного решения (21), для возмущений вида Зу = у ехр(юг )м можно получить уравнение

юи = С1и" + 21С1ды' - (ч!в1)ы + м*).

Его решение

и = м1 ехр(г^) + м2 ехр(-г'^) описывает две ветви колебаний с декрементами

ю = -к2С -Ад ± (2Ч + 4С12ч2к2 ) .

Отсюда следует, что решение (21) с заданным д устойчиво [15] при

д2 <(-а1/3С).

Отметим, что на границе устойчивости амплитуда решения (21) с заданным д остается конечной и составляет (2/3)12 от амплитуды простейшего решения у 0 = (а11/в1 ) (при той же надкритичности). Поэтому при уменьшении надкритичности (а1 ^ 0) движение конденсата начинает замедляться, а решение (21) перестраивается в решение у 0 = (С^/в1 ) . Причем перестройка должна происходить плавно в бесконечной системе и скачком — в конечной из-за дискретности д . Для простоты в этой работе ограничимся рассмотрением случая потенциального движения конденсата (хотя в общем случае необходимо учитывать вихревую компоненту скорости). Тогда макроскопическая скорость конденсата будет иметь вид

V =

а плотность потока бозе-конденсата равна

3 =

где т — эффективная масса точечного дефекта конденсата. Таким образом, из уравнения (15) следует, что

при |ст*|>|стс| состояние кристалла с однородным и неподвижным конденсатом становится неустойчивым относительно стационарного течения конденсата с постоянной скоростью. Если в однородном и неподвижном конденсате создать флуктуацию фазы вида ф = дг , то ее эволюция приведет к движению однородного конденсата точечных дефектов, подобному движению жидкости, со скоростью V = 2С1Ч и плотностью потока 3 = (2^/т)р2 (, г) .

4. Вихревой характер движения бозе-конденсата

Рассмотрим цилиндрический образец, к которому приложено кручение и для которого выполняется

условие |ст*|>|стс| . В этом случае бозе-конденсат точечных дефектов начинает двигаться, но не может увлекаться во вращение, так как при этом нарушалась бы потенциальность движения конденсата. Свободная энергия конденсата по отношению к вращающейся системе координат имеет вид [14]

ЗОю =АОю- Мю ,

где АОю и М — свободная энергия и момент импульса конденсата относительно неподвижной системы координат; Ю — угловая скорость кручения. Член - Мю в

этом выражении приводит (при гдостаточно больших Ю) к выгодности состояния с ЮМ > 0 по сравнению с состоянием с М = 0 . Таким образом, при увеличении кручения должно возникнуть вихревое движение конденсата точечных дефектов. Условие потенциальности движения конденсата может нарушаться только на некоторых особых линиях в распределении скорости конденсата— вихревых нитях [14]. Каждая вихревая нить характеризуется определенным значением (обозначим его 2пк) циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему эту нить,

£ VI = 2пк .

Для случая прямолинейной нити в неограниченном конденсате линии тока являются окружностями, плоскости которых перпендикулярны нити, а центры лежат на ней. Циркуляция скорости вдоль такой линии равна 2п^ , так что

V = к/г .

Квантовая природа вихревых нитей в конденсате точечных дефектов проявляется в том, что постоянная к может иметь только дискретное значение. Используя выражение для скорости V через фазу Ф волновой функции конденсата (22), получим

£ VdL =

где АФ — изменение фазы при обходе контура. Но ввиду однозначности параметра порядка изменение его фазы при возвращении в исходную точку может быть лишь целым кратным от 2п . Отсюда следует, что к = р(2С1/т) ,где р — целое число. Определим теперь критическую скорость кручения кристалла как скорость, при которой появляется вихревая нить с р = 1. Из соображений симметрии очевидно, что эта нить будет расположена вдоль оси цилиндрического образца. Изменение свободной энергии конденсата за счет появления в нем вихревой нити есть

АОЮ = (1/2)) &\у(г )2 V 2 = (1/2)у )/£ V2 2пЫг =

= /у2пк2£ dr

где / — длина образца. Интегрирование по dr должно производиться в пределах от значения порядка величины атомных расстояний г ~ а до радиуса цилиндрического образца R . Тогда

АОЮ = /пу2

Момент же импульса вращающегося конденсата равен

М = £ dr|у(д)'Vr = у2к£ & = /(2С1/т))2у2 . (30) Возникновение вихревой нити выгодно, если

ЗОю =АОю - MV < 0 , то есть если

ю>ю Kp =

Таким образом, если кручение превосходит некоторое критическое значение в движущемся конденсате точечных дефектов, возникают вихревые нити. Характерный размер вихревой нити может быть оценен без решения уравнения (15) из соображений размерности. Действительно, из коэффициентов свободной энергии

(16) можно составить единственную комбинацию, имеющую размерность длины, а именно

го —

которая и определяет порядок величины радиуса сердцевины вихря. Если принять во внимание, что у! — а1 -аc, где ас и а1 — интенсивности внешнего воздействия, при которых зарождаются конденсат и вихревая нить соответственно, то разумно предположить: у j — ц, где Ц — модуль сдвига. Тогда, вводя обозначение пуjк2= (/4п)2, получим, что изменение свободной энергии конденсата за счет появления в нем вихревой нити совпадает с затратами упругой энергии на создание винтовой дислокации с длиной l и вектором Бюргерса B, направленным вдоль оси дислокации [16],

Edis = 1(/4п)2 ln(R/a).

Следовательно, можно рассматривать возникновение вихревой нити в конденсате точечных дефектов как рождение винтовой дислокации в кристалле. Из соображений симметрии очевидно, что вихревые нити, возникающие при кручении цилиндрического образца, имеют прямолинейную форму. Движение же конденсата точечных дефектов в произвольных условиях «давление плюс сдвиг» может сопровождаться образованием замкнутых вихревых нитей — вихревых колец [14]. В противоположность прямолинейным вихревым нитям, которые покоятся относительно конденсата, вихревые кольца движутся в нем. Они имеют как целое не только определенные энергии, но и определенные импульсы и в этом смысле представляют собой особый тип элементарных возбуждений, которые можно рассматривать как дислокационные петли.

5. Решения уравнения эволюции для флуктуации параметра порядка

Решение уравнения (15) для отклонений (флуктуаций) параметра порядка Sy(r) от однородного значения у о =((Xi|/Pi R в линейном приближении имеет вид

Sy(r, t) = (1/2п)3£dqSy(, 0) exp(-((q)t + iqr), (33) R(q) = -2a1 + C1q2,

где а =уу(0)(с-ст*)стс, с<0, Зу(д,0) — фу-

рье-образ начальной флуктуации. Для простоты рассмотрим флуктуацию со сферической симметрией, когда амплитуда концентрационной волны Зу( 0) в подынтегральном выражении (33) зависит только от модуля волнового вектора д = Щ . Тогда, выполняя в (33) интегрирование по углам, получим

Sy(r, t) = (2n2r )х

х£dq8y(q, 0)qsin(qr)exp -|-2а1 + C1q2)t

где r = r . Выберем начальное возмущение параметра порядка в виде распределения Гаусса

Sy

*

где а0 — радиус возмущения; n — число, например вакансий в начальном возмущении. Подставляя фурье-образ возмущения (35) в формулу (34), получим выражение, определяющее эволюцию начальной флуктуации параметра порядка,

1/7

Sy(r, t) = (n*) (2п2rjexp(-2a1t)x

х£ dq q sin

0

Выполняя в (36) интегрирование, получим

8y(r, t) = (n*) 1 (п3a2(t)) exp -2[-(r2('a\(t) ,

где изменение текущего радиуса флуктуации а0 (t) имеет вид

а02

Анализируя выражения (37), (38), можно выделить две характерные стадии развития неустойчивости: стадию коллапса флуктуации и стадию затухания флуктуации. Стадия коллапса осуществляется, если

tk < 1/М.

Тогда при t = tk флуктуационная плотность вакансий

— |Sy(r, t)|2 становится бесконечно большой, возникает вакансионная пора. Если

tk >> V|2a1,

то флуктуация параметра порядка затухает со временем. Таким образом, если при интенсивном внешнем воздействии |ст*|>|стс| коэффициент C1 отрицателен и достаточно велик (выполняется условие (39)), то из флуктуаций плотности конденсата вакансий могут формироваться вакансионные поры. Если коэффициент C1 отрицателен и мал (выполняется условие (40)) или положителен, то флуктуации плотности конденсата затухают.

6. Ускоренный массоперенос и бозе-конденсат точечных дефектов

Хорошо известно, что при интенсивном внешнем воздействии происходит ускоренный перенос в матрицу примесных атомов, нанесенных на поверхность кристалла. К основным особенностям наблюдаемого массо-переноса следует отнести:

1. Большие глубины проникновения (десятки и сотни микрон) за времена =10-6-10-3 секунды, что свидетельствует о ярко выраженном неравновесном характере массопереноса.

2. Условием протекания ускоренного массопереноса является достижение критического значения внешнего воздействия, что говорит о пороговости процесса.

3. Пространственное распределение легирующего элемента имеет четко выраженный максимум на некотором расстоянии от поверхности, что свидетельствует о наличии дрейфовых потоков атомов легирующего элемента.

В рамках феноменологических моделей объяснение ускоренного массопереноса основывалось либо на повышенной концентрации вакансий [17], либо на захвате примесных атомов движущимися дислокациями [18]. В этом параграфе сделана попытка описать основные особенности ускоренного массопереноса на базе микроскопической модели генерации и эволюции точечных дефектов в кристалле при интенсивном внешнем воздействии, изложенной в разделах 1-4. Рассмотрим кристалл с нанесенным на его поверхность примесным элементом при интенсивном внешнем воздействии,

для которого выполняется условие |ст*|>|стс|. В этом случае возникает новое состояние кристалла с конденсатом, другими словами, происходит генерация вакансий, характеризуемая параметром порядка у(г, г). Уравнение эволюции для параметра порядка у , квадрат модуля которого равен плотности конденсата вакансий, а градиент фазы пропорционален скорости конденсата, имеет вид (15). Основным видом динамического возбуждения автоколебательной среды, описываемой уравнением (15), является фазовая волна [19]; при ее распространении в конденсате устанавливается постоянный градиент фазы УФ = У(кд) = к . В результате чего в конденсате формируется стационарный режим, которому в одномерном случае соответствует решение (21). Такому режиму соответствует стационарное состояние кристалла с конденсатом вакансий, плогтность когторого равна р2 , а скорость движения — 2С1УФ = 2С1к . Следовательно, в таком состоянии кристалла возникает стационарный поток вакансий 3 = 2С1р2к. В кристалле при интенсивном внешнем воздействии уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения количества примеси в некотором объеме, имеет вид [20]

d©/dt = V/ ,

где возникающий поток атомов примеси описывается выражением, аналогичным для случая диффузии под влиянием вынуждающей силы

] = DV© + у© .

Здесь © — концентрация движущихся атомов примеси; д — скорость дрейфа атомов примеси; D — тензор коэффициентов переноса. Возникновение дрейфа диффундирующих атомов связывается с действием на атомы движущей силы. По определению движущая сила рассматривается как некоторое воздействие, приводящее к тому, что частота скачка в одном направлении между двумя данными положениями больше, чем частота скачка между теми же двумя положениями в противоположном направлении. В различных феноменологических моделях в качестве движущих сил рассматриваются силы, обусловленные градиентами химического потенциала, температуры, напряжений. Однако возможны движущие силы и иной природы. В рамках микроскопической модели генерации вакансий в кристалле при интенсивном внешнем воздействии возникновение движущей силы связано с установлением в конденсате вакансий постоянного градиента фазы путем распространения в нем фазовой волны. Поэтому скорость дрейфа атомов примеси д можно выбрать пропорциональной скорости стационарного движения конденсата вакансий V

д = XV = Х2С1к ,

где X — коэффициент пропорциональности. Для простоты ограничимся рассмотрением одномерного случая диффузии в кристалле с кубической решеткой, описываемой уравнениями (41)-(43), при условии, что в начальный момент времени концентрация атомов примеси на поверхности (х = 0) равна ©0

©

где З(х) — дельта функция. Тогда совместное решение уравнений (41)-(44) имеет вид

©(г ) = (©0/4(п^)1/2){ ехр[-(х - дхг)2/4 Dг

-(х + дхг)2/4 ^

+ ехр

где дх — х-компонента скорости д . Характерной особенностью этого решения является наличие максимума концентрации примеси, возникающего на некоторой глубине, при условии, что

> 1.

Это значит, что скорость движения конденсата вакансий должна быть достаточно велика по сравнению с коэффициентом диффузии.

7. Заключение

Хотя предложенная модель генерации и эволюции точечных дефектов в кристалле при интенсивном внеш-

нем воздействии не претендует на количественное согласие с экспериментом, тем не менее, она позволяет построить качественную картину этих явлений и дает ряд интересных результатов, которые можно сопоставить с опытными данными. При включении интенсивного внешнего воздействия макроскопическое число атомов кристаллической решетки испытывает локальные смещения путем переходов из равновесных положений в междоузлия. Количество точечных дефектов также увеличивается по сравнению с равновесным значением, однако число точечных дефектов с конкретным волновым вектором д , по-прежнему, не является макроскопическим. При достижении критического значения внешнего воздействия (а* = ас) взаимодействие точечных дефектов с атомами кристаллической решетки приводит к неустойчивости состояния кристалла с идеальным газом точечных дефектов относительно образования бозе-конденсата точечных дефектов с волновым вектором Ч = 0 . Возникает новое состояние кристалла с конденсатом, другими словами, происходит генерация точечных дефектов [1-3], характеризуемая дополнительной (по сравнению с плотностью идеального газа точечных дефектов п0) макроскопической плотностью точечных дефектов с

г 2

волновым вектором ч = 0 Ап = п - п0 = у 0. Выпадение конденсата точечных дефектов перестраивает и поведение атомной подсистемы — возникает когерентная связь между равновесным и междоузельным состояниями атома. Образуется атом-вакансионная пара [10], которая проявляется в виде локального статического смещения атома из узла решетки [1-3] и характеризуется аномальным средним (dj) = {а+а^ )ф 0 . Так проясняется основное положение синергетической схемы [12] об управляющей роли параметра порядка у(0) по отношению к изменениям двух других величин dj, а7- : выпадение макроскопического конденсата (у(0)) = у(0) подавляет любые флуктуации в изменении dj, а7-, разрушающие когерентную связь между равновесным и междоузельным состоянием атома, обусловленную обменом конденсатными бозонами. В свою очередь, возникающие локальные статические смещения атомов (атом-вакансионные пары) становятся источниками бозе-конденсата точечных дефектов с волновым вектором д = 0 (параметра порядка у(0)), поскольку переходы атомов из положений равновесия в междоузлия коррелированы по фазе. В результате этих процессов возникает положительная обратная связь между полем конденсата точечных дефектов и атомами решетки и происходит стимулированная внешним воздействием накачка точечных дефектов. В рамках предложенной модели это означает, что кристалл при критическом значении внешнего воздействия переходит в когерентное состояние. То есть спонтанно возникает когерентность по фазе: с одной стороны, у двух-

уровневых атомов решетки, а с другой стороны, образуется когерентное состояние (выпадает бозе-конден-сат) точечных дефектов. Таким образом, не только фаза колебаний всех двухуровневых атомов идентична, но и фазы волновых функций точечных дефектов в конденсате совпадают между собой. Следовательно, для данного когерентного состояния кристалла появляется выделенное значение фазы, то есть с образованием конденсата точечных дефектов нарушается калибровочная симметрия. Поэтому происхождение когерентного состояния кристалла в условиях интенсивного внешнего воздействия — спонтанное нарушение симметрии. Благодаря когерентности движение конденсата может быть описано с помощью волновой функции единственного точечного дефекта у = |у|ехр(/Ф), где квадрат модуля волновой функции равен плотности конденсата, а градиент фазы пропорционален скорости движения. Поскольку волновая функция у приобретает, таким образом, макроскопический характер, обобщенное уравнение Гинзбурга-Ландау, которому оно подчиняется, является нелинейным. Из этого уравнения следует, при дальнейшем увеличении интенсивности внешнего воздействия состояние с однородным и неподвижным конденсатом становится неустойчивым относительно возникновения стационарного движения конденсата с постоянной скоростью. При отрицательном коэффициенте диффузии конденсата вакансий однородное состояние конденсата вакансий становится неустойчивым относительно возникновения концентрационных волн. В результате чего возможно формирование вакансионных пор путем коллапса флуктуаций плотности вакансий. Кроме этого возникновение и эволюция флуктуации параметра порядка с постоянным градиентом фазы приводит конденсат в движение, подобное течению жидкости. Это определяет гидродинамический характер пластической деформации кристалла на микроуровне. Движение конденсата в кристалле при критическом значении кручения (или при критическом значении скорости движения конденсата) сопровождается возникновением вихревых нитей, вихревых колец, вследствие чего пластическая деформация кристалла приобретает вихревой характер. Вихревые кольца (нити) обладают определенной энергией и импульсом и являются элементарными автолокализованными возбуждениями конденсата, которые можно рассматривать как дислокационные петли (винтовые дислокации). Таким образом, при критической скорости движения конденсата точечных дефектов происходит его самоорганизация, возникают автолокализованные возбуждения конденсата точечных дефектов, которые имеют характерные свойства линейных дефектов кристаллической решетки — дислокаций, вакансионных дисков и дисков из междоузельных атомов. Если предположить, что физической причиной явления ускоренного массопереноса

в кристалле при интенсивном внешнем воздействии является взаимодействие вакансий с атомами кристаллической решетки, то основные особенности ускоренного массопереноса можно объяснить следующим образом. При достижении критического значения внешнего воздействия (а* = ас) возникает неустойчивость состояния кристалла с идеальным газом вакансий относительно образования бозе-конденсата вакансий, что объясняет пороговость процесса ускоренного массопереноса. Переход кристалла из состояния с идеальным газом вакансий в состояние с конденсатом вакансий, характеризуемое макроскопической плотностью конденсата вакансий An = y0 и скоростью движения V, осуществляется путем распространения фазовой волны. После распространения фазовой волны в конденсате вакансий устанавливается постоянный градиент фазы, возникает стационарный поток конденсата вакансий, направленный к поверхности кристалла. Этот поток увлекает за собой атомы примеси, создавая дрейфовый поток атомов примеси вглубь кристалла, пропорциональный потоку конденсата вакансий. Это объясняет неравновесный характер ускоренного массопереноса и большие глубины проникновения примеси за малые времена воздействия. Установление постоянного градиента фазы параметра порядка приводит к тому, что частота скачка атома в направлении движения конденсата вакансий между двумя данными положениями меньше, чем частота скачка между теми же двумя положениями в противоположном направлении. Наличие такой вынуждающей силы, действующей на атомы примеси, приводит к тому, что пространственное распределение легирующего элемента имеет четко выраженный максимум на некотором расстоянии от поверхности, если скорость дрейфа атомов достаточно велика по сравнению с коэффициентом диффузии.

Литература

1. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985.- 229 с.

2. Янушкевич В.А. // ФизХОМ. - 1979. - № 2.- С. 47-51.

3. Norris D.I. // Radiat. Effect.- 1972.- V. 15.- No. 1/2.- P. 1-

15.

4. Дамаск А., Динс Дж. Точечные дефекты в металлах. - М.: Мир, 1961.- 267 с.

5.ДевяткоЮ.Н., ТронинВ.Н. // ДАН СССР. - 1983. - Т. 269. -№ 1.- С. 97-100.

6. Черемской Н.Г., Слезов В.В., Бетехтин В.И. Поры в твердом теле. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 243 с.

7. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. - М.: Изд-во АН CCCP, 1959.- 318 с.

8. Умэдзава X., Мацумото X., Татики М. Термополевая динамика. - М.: Мир, 1985. - 537 с.

9. Вайсбурд Д.И., Матлис С.В. // ДАН СССР. - 1979. - Т. 247. -№1.- С. 76-79.

10. Егорушкин В.Е., Панин В.Е., Савушкин Е.В., Хон Ю.А. Сильновозбужденные состояния в кристаллах // Изв. вузов. Физика. - 1987. - Т. 30.-№ 1.- С. 9-33.

11. Олемской А.И., Петрунин В.Л. // Изв. вузов. Физика. -1987.- Т. 30.- № 1.- С. 82-121.

12. Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 401 с.

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М.: Наука, 1989. - 521 с.

14. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика.

Ч. 2. - М.: Наука, 1978. - 448 с.

15. Kogelman S., DiPrima R. C. // Phys. Fluids.- 1970.- V. 13.-No. 1. - C. 29-37.

16. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - М.: Физматгиз, 1963. - 696 с.

17. Звонков С.Д., Лукьянчук Б.С., Степанов В.А. // Труды ИОФАН. - 1991. - Т. 30.- С. 83-113.

18. Гуревич М.Е., Журавлев А.Ф., Корнюшин Ю.В. // Металлофизика. - 1985. - Т. 7. - Вып. 2. - С. 114-117.

19. Kuramoto Y // Prog. Theor. Phys. - V. 63. - P. 1885-1895.

20. Слядников Е.Е., Хон Ю.А. // Изв. вузов. Физика. - 1987. -Вып. 30. - №4.- С. 83-87.