Сходимость метода Галеркина в задаче дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов

УДК 517.3

DOI 10.21685/2072-3040-2016-2-7

Ю. Г. Смирнов, М. А. Москалева

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА СИСТЕМЕ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ ТЕЛ И ЭКРАНОВ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Математическое моделирование процесса дифракции электромагнитных волн на плоских экранах и неоднородных анизотропных телах различных форм является важным аспектом в современной электродинамике. Целью данной работы является доказательство сходимости метода Галеркина для решения задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов.

Материалы и методы. Рассматривается постановка задачи дифракции электромагнитной волны на системе тел и экранов сложных форм. Поставленная задача дифракции представлена в виде системы интегродифференциаль-ных уравнений, для исследования которой применяются элементы теории псевдодифференциальных операторов.

Результаты. Сформулирована постановка задачи дифракции; краевая задача сведена к системе интегродифференциальных уравнений. Для решения полученной системы предложен численный метод Галеркина с выбором финитных базисных функций. Доказана сходимость метода Галеркина.

Выводы. Получен результат о сходимости численного метода Галеркина для системы, состоящей из плоского экрана и неоднородного анизотропного тела, важный для дальнейшего теоретического и численного исследования поставленной задачи.

Ключевые слова: задача дифракции, система интегродифференциальных уравнений, метод Галеркина, базисные функции, эллиптический оператор.

Yu. G. Smirnov, M. A. Moskaleva

CONVERGENCE OF THE GALERKIN METHOD IN THE ELECTROMAGNETIC WAVES DIFFRACTION PROBLEM ON A SYSTEM OF ARBITRARY LOCATED BODIES AND SCREENS

Abstract.

Background. Mathematical modeling of electromagnetic waves diffraction on screen and bodies of various forms is an important aspect in modern electrodynamics. The objective of this work is to prove the convergence of the Galerkin method for solving the electromagnetic waves diffraction problem on a system of arbitrary located bodies and screens.

Material and methods. The statement of the electromagnetic waves diffraction problem on the system of bodies and screens of irregular shapes is considered. The stated problem of diffraction is presented as a system of integral-differential equations; properties of the system are studied using pseudodifferential calculus in Sobolev spaces.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (грант в рамках Госзадания № 2.1102.2014^).

Results: The problem of diffraction is formulated; the boundary value problem is reduced to a system of integral-differential equations. To solve the system the authors suggest the numerical method of Galerkin with finite basis functions. The convergence of the Galerkin method is proved.

Conclusions:: The results of convergence of the Galerkin method for a system consisting of a plane screen and inhomogeneous anisotropic body are obtaned; they are important for further theoretical and numerical studies of the problem.

Key words: diffraction problem, system of integral-differential equations, the Galerkin method, the basis functions, elliptic operator.

1. Постановка задачи

Рассмотрим в пространстве R задачу дифракции электромагнитных волн на системе непересекающихся тел Qi и экранов Q j

(i = 1,..., I ; j = 1,..., J ). Пример подобной системы показан на рис. 1.

Рис. 1. Задача дифракции электромагнитных волн на системе тел и экранов

Обозначим объединение конечного числа экранов Оу следующим образом:

о = у О у.

у

При этом О у представляют собой связные ориентируемые

в R3. * * *

Граница дО у := О у \ О у поверхности О у есть кусочно-гладкая кривая,

состоящая из конечного числа простых дуг класса Сбез точек самопересечения, сходящихся под углами, отличных от нулевого; дО := у дО у

. Предполагаем, что экраны являются идеально проводящими.

у

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Определим также трубчатые окрестности ЭП§ края экрана:

ЭП6 := {х е Ж3 : сИзг(х, Эй) < 6}.

Предполагаем, что Qi - ограниченные области, границы которых дQi = Qi \ Qi - кусочно-гладкие замкнутые ориентируемые поверхности,

состоящие из конечного числа поверхностей класса С1. Определим Q := \\Qi , дQ := \дQi . Будем полагать, что тела Qi имеют диэлектриче-

i I

скую проницаемость е(х).

Рассмотрим задачу дифракции электромагнитной волны Eo, Ho

с гармонической зависимостью от времени вида в~1т на системе тел и экранов. Источником падающего поля может быть, например, ток jo е .

Требуется определить полное электромагнитное поле (E, Щ, удовлетворяющее уравнениям Максвелла:

' rotH = -/roeE + jo e rotE = /гоц 0H

условиям непрерывности касательных компонент на границе области неоднородности:

[ET ]|3q =[HT ]|3q =0;

краевым условиям на поверхности экрана Q (за исключением точек края экрана):

условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства:

E,Hе L2M

условиям Сильвера - Мюллера [1]:

Es, Hs = o(1/ r), Imk >0,

Hs xer - Es = o

Es, Hs = O (1/ r), Im k = 0,

для рассеянного поля Es = E - E0, Hs = H - H0 ( r = |x|, er = x / r ).

Описание свойств уравнений электрического поля подробно представлено в [2].

2. Система интегродифференциальных уравнений

Перейдем к системе интегродифференциальных уравнений электрического поля сформулированной задачи дифракции. Согласно формулам из [3] получаем следующую систему:

J-(kg + graddiv) J G (x, y )J (y )dy

Q

-(ko + graddivT) JG(x,y)u(y)d.sy = E0(x), xe Q,

Q

-(k^ + graddiv) J G (x, y )J (y )dy -

Q

-(ko + graddiv T) J G (x, y )u (y )ds}

Q

H

где

g

-1

= ?,

e

E = J, G (x, y ) =

= Eo,t

- извест-

£о ] " |_ £о ] .....4п |х - у\

ная функция Грина; Ео т (x) - касательная составляющая падающего поля на экране О.

Перепишем систему (6) в операторном виде:

LV = Г ,

где V = (»1,и), а правая часть есть вектор Г = (Ео ^, Ео т), где Ео Q - сужение падающего поля Q . Матричный оператор L имеет вид

f A 0 > f o Ki ^

L = Li + L2 = +

v 0 S j V K2 o J

Здесь операторы A, S и Ki определяются равенствами

AJ := у (x) - + вгаааху) x, у ж у ^у,

Q

Su :=

k + graddiv) JG( x, y)u( y )dsy Q

Kiu := -(k^ + graddiv) Jg(x,y)u(y)ds

/т

Q

K2J :=

-k + graddiv) JG( x, y )J (y)dy

Q

/т

и рассматриваются как отображения в следующих пространствах: AJ := 1^(2) ^ L2(Q), Яи := W(О) ^ ^(О),

K1u := W(Q) ^ L2(Q), K2J := ^(Q) ^ W'(Q).

3

Определим также пространство P = L2Q) X W(Q) и антидвойственное

к нему P' = L2(Q) X W'(Q).

Ниже описан численный метод решения этой системы уравнений.

3. Численный метод решения задачи

Для того чтобы перейти от системы интегродифференциальных уравнений (7) к СЛАУ будем использовать численный метод Галеркина.

Пусть X - гильбертово пространство, оператор L : X ^ X - ограни-

3

ченный инъективный оператор (в нашей задаче X = ^(Q) X W (Q)). Обозначим Xn с X последовательность подпространств размерности n, un е Xn будет являться приближенным решением уравнения Lu = f тогда и только тогда, когда выполняется условие

где (•,•) есть скалярное произведение в пространстве X .

Этот проекционный метод называется сходящимся [4] для оператора L если существует число N такое, что для каждого f е Im L приближенное уравнение (9) имеет единственное решение un е Xn для всех n > N, и если эти решения сходятся un ^ u при n ^^ к единственному решению u уравнения Lu = f .

Замечание. Для того чтобы метод Галеркина сходился, необходимо выполнение условия аппроксимации: для любого фе W верна оценка

^Xn

В качестве базисных функций на экране будем использовать базисные функции rooftop [5] (рис. 2), которые определяются для пар смежных прямоугольных ячеек сетки, разбитой на прямоугольники, как изложено ниже.

/

Рис. 2. Базисная функция rooftop

Данная функция фг- (Х1, Х2, Х3), отвечающая ребру i, определяется по правилу

фу (хъ Х2, Хз) =

(x1 - x1,i-1, х2 - x2,i-1, х3 - x3,i-1) S+ (x1,i+1 - x1, x2,i+1 - x2, x3,i+1 - x3)S-

в p;

в Pi

где ¡1 является длиной ребра У; S + и S- есть площади Р + и Р- соответственно. Функции фу(Х2,Х3) являются кусочно-постоянными, нормирование функций выполнено таким образом, что нормальная составляющая (к ребру) этих функций в середине ребра равна 1, а на границе носителя нормальные составляющие функции фу (XI, х2, Х3) равны нулю.

На теле введем базисные функции-«крышки» [6] (рис. 3).

Рис. 3. Базисная функция-«крышка»

Пусть И :=| Х1 к - Х1 к-1 |, У = 1, . ,3, тогда получим формулы для

¥klm ( x) =

1--- | x, - x;

i,k

0,

x e nklm, x * nklm •

Данные функции являются кусочно-постоянными по двум направлениям и кусочно-линейными по третьему направлению.

Рассмотрим сходимость метода Галеркина для решения системы инте-гродифференциальных уравнений, отвечающей задаче дифракции электромагнитных волн системе, состоящей из плоского экрана и тела. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Метод Галеркина (9) для системы уравнений (7) сходится.

Доказательство.

1. Покажем сначала, что в выбранных пространствах выполняется условие аппроксимации. Хп представим в виде прямого произведения

Хп = 8раи{^1,...,уп}х8рал{ф1,...,фп}. Так как для базисных функций и

ф у условие аппроксимации выполняется в пространствах ) [7] и Ж (П) [8]

соответственно, то подпространства Хп являются предельно плотными в Х .

2. Теперь достаточно показать, что оператор Ь является обратимым эллиптическим оператором.

2.1. Рассмотрим оператор S разложения (8). Согласно [9] будем называть данный оператор S: X ^ X' коэрцитивным, если существует константа C (> 0) такая, что выполняется условие

для любого ф е X . Оператор S: X ^ X' будем называть эллиптическим, если сущетсвует компактный оператор K: X ^ X' такой, что S + K -коэрцитивный. В работах [9, 10] показано, что при Imk0 > 0 оператор S является эллиптическим обратимым оператором в W(Q), а метод Галеркина для него является сходящимся.

Оператор A является эллиптическим в L2 (Q) [11] при следующих условиях:

det (s -1) 0, х е Q,

3 _

Л(х ) = det (I + a (s -1 ))= ^ cos ai cos aJeij -Ф- 0, £j =eij- (х), х е Q .

i, J=1

Таким образом, оператор L1 : P ^ P' является эллиптическим оператором.

2.2. Так как тела и экраны не имеют общих точек (точнее, Q nQ = 0), то ядра операторов K1 и K2 являются бесконечно гладкими ограниченными функциями в QXQ и, следовательно, эти операторы компактны. Имеем: оператор L2 : P ^ P' компактен. Из эллиптичности L1 и компактности L2 следует эллиптичность оператора L .

Более того, он является непрерывно обратимым. Действительно, оператор L фредгольмов. Покажем, что он инъективен. Рассмотрим однородное уравнение LV = 0. Оно имеет лишь тривиальное решение, так как однородное интегродифференциальное уравнение (7) эквивалентно однородной краевой задаче для системы уравнений Максвелла, а последняя имеет (см. [12]) только трививальное решение.

Окончательно получим, что L : P ^ P' - эллиптический непрерывно обратимый оператор, для которого метод Галеркина с выбранными базисными функциями сходится. Теорема доказана.

Заключение

Рассмотрена задача дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов. Применение теории потенциала и псевдодифференциальных операторов позволило доказать важную теорему о сходимости метода Галеркина, которая играет существенную роль для дальнейшего теоретического и численного исследования поставленной задачи.

Список литературы

1. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния : пер. с англ. / Д. Колтон, Р. Кресс. - М. : Мир, 1987.

2. Smirnov, Yu. G. Integrodifferential Equations of the Vector Problem of Electromagnetic Wave Diffraction by a System of Nonintersecting Screens and Inhomogene-ous Bodies / Yu. G. Smirnov, A. A. Tsupak // Advances in Mathematical Physics. -2015. - Vol. Article ID 945965, 6 p. DOI: 10.1155/2015/945965.

3. Максимова, М. А. Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на системе тел и экранов / М. А. Максимова, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3 (31). - С. 114-133.

4. Смирнов, Ю. Г. Проекционные методы : метод. указания / Ю. Г. Смирнов. -Пенза, 1997.

5. Hanninen, I. Singularity subtraction integral formulae for surface integral equations with RWG, rooftop and hybrid basis functions / I. Hanninen, M. Taskinen, and J. Sar-vas // Prog. Electromagn. Res. PIER. - 2006. - Vol. 63. - P. 243-278.

6. Смирнов, Ю. Г. Существование и единственность решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче дифракции / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2004. - Т. 44, № 12. - С. 2264-2274.

7. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1976.

8. Медведик, М. Ю. Применение функций крышек для решения задачи дифракции электромагнитных волн на экранах сложной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 3 (23). - С. 84-98.

9. Медведик,М. Ю. Эллиптичность интегрального уравнения электрического поля для поглощающих сред и сходимость метода Рао - Уилтона - Глиссона / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 1. - С. 105-113.

10. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : Радиотехника, 1996.

11. Валовик, Д. В. Метод псевдодифференциальных операторов для исследования объемного сингулярного интегрального уравнения электрического поля / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 70-84.

12. Smirnov, Yu. G. Existence and uniqueness theorems in electromagnetic diffraction on systems of lossless dielectrics and perfectly conducting screens / Yu. G. Smirnov, A. A. Tsupak // Applicable Analysis. - 2016. - Vol. 2016. DOI: 10.1080/ 00036811.2016.1188289.

References

1. Kolton D., Kress R. Metody integral'nykh uravneniy v teorii rasseyaniya: per. s angl. [Methods of integral equations in the scattering theory: translation from English]. Moscow: Mir, 1987.

2. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Advances in Mathematical Physics. 2015, vol. Article ID 945965, 6 p. DOI: 10.1155/2015/945965.

3. Maksimova M. A., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [ University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 3 (31), pp. 114-133.

4. Smirnov Yu. G. Proektsionnye metody: metod. ukazaniya [Projection methods: teaching suggestions]. Penza, 1997.

5. Hanninen I., Taskinen M. and Sarvas J. Prog. Electromagn. Res. PIER. 2006, vol. 63, pp. 243-278.

6. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2004, vol. 44, no. 12, pp. 2264-2274.

7. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementy teorii funktsiy i funktsional'nogo analiza [Elements of the theory of functions and functional analysis]. Moscow: Nauka, 1976.

8. Medvedik M. Yu. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 3 (23), pp. 84-98.

9. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2014, vol. 54, no. 1, ' pp. 105-113.

10. Il'inskiy A. S., Smirnov Yu. G. Difraktsiya elektromagnitnykh voln na provodyashchikh tonkikh ekranakh [Electromagnetic waves diffraction on conducting thin screens]. Moscow: Radiotekhnika, 1996.

11. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2009, no. 4 (12), pp. 70-84.

12. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Applicable Analysis. 2016, vol. 2016. DOI: 10.1080/00036811.2016.1188289.

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Москалева Марина Александровна младший научный сотрудник, Научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет

E-mail: m.a.moskaleva1@gmail.com

Smirnov Yuriy Gennad'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Moskaleva Marina Aleksandrovna Junior researcher, Research Center "Supercomputer modeling in electrodynamics", Penza State University

УДК 517.3 Смирнов, Ю. Г.

Сходимость метода Галеркина в задаче дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов /

Ю. Г. Смирнов, М. А. Москалева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 2 (38). -С. 78-86. DOI 10.21685/2072-3040-2016-2-7