Статистические функции спроса-предложения в векторных задачах моделирования рынка

Математическое моделирование

Ю.К. МАШУНИН

Статистические функции спроса-предложения в векторных задачах моделирования рынка

Представлен новый подход к моделированию развития рынка на основе статистических функций спроса и предложения. Математическая модель спроса и предложения рассматривается в виде оптимизационных задач, а модель рынка в виде векторной задачи математического (нелинейного) программирования.

Проблема моделирования развития рынка является одной из важнейших в системе управления экономикой региона и государства в целом. В настоящее время имеются определенные успехи в области эконометрики [1], создано программное обеспечение, решающее основные задачи эконометрики [2]. И, естественно, встает вопрос об использовании результатов эконометрического анализа в исследовании и моделировании развития рынка. В [3] представлена модель рынка, учитывающая баланс совокупного спроса и предложения для различных рыночных структур и целенаправленность участников рынка (производителей и потребителей). Настоящая работа является дальнейшим развитием этих идей, наряду с моделью векторной оптимизации в ней используется статистическая информация о рыночных процессах.

Общую функцию спроса на товар х можно записать в следующем виде:

0х = ^сх, су, Ьх, Их),

где 0х - количество приобретенного товара х, сх - цена товара х, су -цена взаимозаменяющего товара у, Ьх - доход (бюджетные ограничения), Нх - значение любой другой переменной, влияющей на спрос (это могут быть затраты на рекламу, численность населения, качество продукции, транспортные расходы и другие потребительские ожидания) [1].

Функциональная зависимость (1) может быть как нелинейной, так и линейной.

В линейной функции спрос на анализируемый товар задается зависимостью от цен, дохода и других переменных, влияющих на спрос, следующего вида:

0 ХХ = ао' + ахсх + аусу + аьЬх + аиИх,

где а0', ах, ау, аЬ, а* - фиксированные коэффициенты, значения которых могут быть получены на основе исследования статистических данных реализации товара с использованием регрессионного анализа: ах определяет линейную зависимость количества приобретенного товара 0 ХХ от цены на этот товар; аналогично ау - от цены взаимозаме-няющего товара; аЬ - от бюджетных ограничений; а* - от других переменных, влияющих на спрос.

Преобразуем это выражение, предполагая, что факторы су, Ьх, Ъх не изменяются, а 0 Лх представляет сумму объемов продуктов, купленных 1-м потребителем у всех производителей:

е

0 Х = I хч1(1), VI еЬ,

9=1

в итоге получим:

е

сх = ао + ач I х^), VI е Ь,

9=1

где ао = -(ао' +аусу + аЬЬХ +а^х) / ах, а9 = 1/аХ, хд1(£) - объемы продукта, купленные 1-м потребителем у 9-го производителя, 9 = 1, е,

I = 1,X за конечный период времени 1еТ, е, X - количество (множество) производителей и потребителей этого продукта соответственно.

Перенесем все (е + 1) переменные равенства (2) в левую часть и приведем его к стандартному виду:

е

с - I ачхЧ1

9=1

где с = сх, а9= а9, ЬХ = а0. В итоге получили линейную функцию спроса, определяющую функциональную зависимость стоимости продукта от его объемов, купленных у различных производителей. Используя преобразования (2) и (3), при необходимости можно построить и нелинейную функцию спроса.

Цель любого потребителя - купить необходимый объем товара по наиболее низкой цене с приемлемым набором характеристик. Эта целенаправленность сформулирована в виде задачи математического программирования (1)-(2) в [3]. С учетом формулы (3) она примет вид нелинейной задачи оптимизации:

VI еЬ, шт ^

9=1

при ограничениях

е

с - I а^ф = Ь ,

9=1

Ь Щ” < I с х^) < Ь Шах, хЧ1

9=1

где/\(Х(1)) - целевая функция (критерий), Х^) = {х91(0, 9 = 1,е, I = 1,Ь} -вектор переменных, величины с, х91(0, 9 = 1, е, V/еЬ - управляющие переменные, (5) - ограничения по спросу на данном рынке, (6) -бюджетные ограничения - ЬЩ™, ЬЩ^, V/еЬ - минимальный и максимальный объем финансовых средств, которые потребитель может выделить на покупку продукта от разных фирм.

Задача (4)-(6) является моделью поведения любого 1еЬ потребителя на конечный период времени 1еТ, которая учитывает функцию спроса.

Функцию предложения на товар х можно представить в следующем виде:

0 х = с«т, р, Их),

где 0 х - количество требуемого товара х, сх - цена этого товара, с* -цена исходных ресурсов, необходимых для производства (например, цена на сырье, заработную плату основных производственных рабочих и т.д.), рг - цена технологически однородных товаров, Нх - значение любой другой переменной, влияющей на предложение товара на рынке (например, доступность технологий, число конкурентов на рынке, размер налогов или ожидания производителей).

Эта зависимость может быть как линейной, так и нелинейной.

В линейной функции предложение на анализируемый товар задается зависимостью от цен, дохода и других переменных, влияющих на это предложение, в виде:

0 х = во' + вхсх + Ри^и + РгРг + РьИх,

где ро', рх, в*,, рг, Р* - фиксированные коэффициенты, величины которых могут быть получены на основе исследования статистических данных реализации товара с использованием регрессионного анализа [1].

Преобразуем это выражение, предполагая, что факторы с*, рг, Ьх

Ь

не изменяются, а 0 х = I хч1(1:), VqеQ, в итоге получим:

1=1

Сх = Po + Pi Z xqi

/=1

где во = -(во' + PwCw + PrPr + Phhx) / Px, Pi = 1/px.

Перенесем в (8) все (¿+1) переменные в левую часть и приведем равенство к стандартному виду:

с - Z aixqi

/=1

где с = сх, ai = Pi, bs = po.

Цель любого производителя - продать как можно больше товара по возможно более высокой цене с тем, чтобы получить по возможности наиболее высокую прибыль1. Эту целенаправленность можно представить в виде задачи математического программирования:

VqeQ max fq

l=1

при ограничениях

с - Z ai xqi

l = 1

Z aqxqi

l=1

гдеfq(X(t)) - целевая функция (критерий), X(t) = {xqi(t), q = 1, Q, / = 1,L} -вектор переменных, определяющий объемы продукции, произведенные в q-й фирме и проданные /-му потребителю за некоторый конечный период времени teT (t в дальнейшем опускаем); pq = (с - aq) -прибыль, получаемая при производстве единицы продукции q-м производителем; с, xqi, VqeQ - управляющие переменные, которые представлены в задаче произведением, а отсюда задача оптимизации (10)-(12) нелинейна, в ней производитель максимизирует свою прибыль за счет изменения стоимости и объема продаж; (11) - ограничения по предложению на рынке (функция предложения); (12) -ограничения по ресурсным возможностям q-го производителя, bq - финансовые возможности фирмы при производстве продукта, q = 1, Q, на планируемый период времени, а также ограничения, во-первых, определяющие неотрицательность покупаемого товара, во-вторых, неотрицательность прибыли pq = с - aq > 0. При этом стоимость с не должна превышать cmax - максимальной цены, выше которой ни

1 В настоящее время имеется несколько альтернативных моделей поведения фирм: максимизации прибыли, максимизации продаж, максимизации роста, управленческого поведения, максимизации добавленной стоимости (японская модель) [6].

один покупатель не приобретет выпускаемую продукцию, т.е. aq < с < cmax.

Математическая модель рынка, решающая вопросы целенаправленности участников рынка в совокупности, сформулирована в виде векторной задачи математического программирования (5)-(8) в [2]. Возьмем ее за основу, добавив функции спроса (2) и предложения (9).

С учетом этого требования, а также функций спроса (2) и предложения (9) математическую модель рынка представим в виде векторной задачи математического программирования (ВЗМП):

opt F

/=1

F2

л Q Л 0,9b < с - £ aqXql

0,9bs < с - £ ai Xqi

. Q i min i max i 17- b; < £ c Xqi < b; , i = 1, L, q=1

£ aqXqi

aq < с < cmaX, Xqi

где ^(Х(£)) - векторная целевая функция (векторный критерий), Х({) = [хд\((), q = 1,Q, I = 1,Ь} - вектор переменных, определяющий объемы продукта, купленные 1-м потребителем у q-го производителя (фирмы), вф, Хф, q = 1, Q, I = 1,Ь - управляющие переменные, которые представлены в задаче произведением, а отсюда задача векторной оптимизации (13)-(19) - нелинейна, в ней К = QuL - множество критериев - потребителей и производителей соответственно, (13) - критерии Q производителей, максимизирующих свою прибыль, р(} = (с - ад) - прибыль, получаемая при производстве единицы продукции q-м производителем, (14) - критерии Ь потребителей, минимизирующие свои затраты за счет стоимости покупаемой продукции; (15), (16) - функции спроса и предложения, взятые из (2) и (9) соответственно; (17) - ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям Ь потребителей, (18) - ограничения по производственным мощностям Q производителей, (19) - ограничения, связанные с неотрицательностью прибыли, объемов произведенной и проданной продукции.

Задача (13)-(19) представляет модель однопродуктового рынка, учитывающую функции спроса и предложения за период £еГ.

Для решения векторной задачи линейного программирования (13)-(19) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, которые дают возможность решать задачи при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия [3-5]. В результате решения задачи (13)-(19) модели однопродуктового рынка при равнозначных критериях получим:

• точку оптимума Х° = {со, x°ql, q = 1,Q, / = 1L}, которая складывается из двух составляющих: x°ql - объема продуктов, произведенного и проданного каждым производителем каждому потребителю, и со - стоимости, по которой осуществляются продажи в период времени teT;

• величины целевых функций fq(X°), q = 1, Q определяют доходы

каждого производителя; qi(X°), l = 1L определяют затраты каждого покупателя;

• суммарный объем продаж всех производителей и финансовых затрат всех потребителей, которые равны между собой;

• нормализованные величины целевых функций Лк(Х°) = (fk(X°) -

f°) / (ft - fk), k = 1, K, где f* - наилучшее решение по keK критерию, f°° - наихудшее соответственно, K = QuL - множество критериев;

• максимальную относительную оценку Я°, которая является максимальным нижним уровнем, до которого подняты обоюдные интересы всех производителей и потребителей в относительных оценках Лк(Х°), другими словами, Л° является гарантированным результатом в относительных единицах, который гарантирует, что в полученной оптимальной точке Х° все критерии (оценки производителей и потребителей) равны или лучше Л°:

Л° < Лк

Любое увеличение интересов (критерия) какого-либо производителя или потребителя приводит к ухудшению положения оставшихся участников рынка (производителей и потребителей).

Литература

1. Байе М.Р. Управленческая экономика и стратегия бизнеса / М.Р. Байе. - М.: ИНИТИ-ДАНА, 1999. - 743 с.

2. Вуколов Э.Н. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов Statistica и EXcei: учеб. пособие / Э.Н. Вуколов. -М.: ФОРУМЖ ИНФА-М, 2004. - 464 с.

3. Машунин Ю.К. Информационные технологии моделирования развития рынка / Ю.К. Машунин // Информационные технологии. 2005. № 2. С. 20-27.

4. Машунин Ю.К. Информационные технологии моделирования технических систем на базе методов векторной оптимизации / Ю.К. Машунин // Информационные технологии. 2001. № 9. С. 14-21.

5. Машунин Ю.К. Теоретические основы и методы векторной оптимизации в управлении экономическими системами / Ю.К. Машунин. - М.: Логос, 2001. - 256 с.

6. Сио К.К. Управленческая экономика: пер. с англ. / К.К. Сио. -М.: ИНФА-М, 2000. - 671 с.

© Машунин Ю.К., 2007 г.