Взаимодействие плоской электромагнитной волны со слоем метаматериала. Численное моделирование

УДК 537.876.4

Романенко С. Н.1, Дмитренко В. П.2, Пулов Р. Д.3

13Канд. физ.-мат. наук, доцент Запорожского национального технического университета 2Канд. техн. наук, доцент Запорожского национального технического университета

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ СО СЛОЕМ МЕТАМАТЕРИАЛА. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Аналитически рассмотрены свойства электрофизических параметров слоя метаматериала (ег и |МГ) при взаимодействии с нормально падающей на слой плоской электромагнитной волной. Показано, что в режиме полного прохождения толщина слоя кратна целому числу полуволн в материале слоя, а при полном отражении свойства метаматериала сходны со свойствами 8КК-структур. Численное моделировании слоя метаматериала, состоящего из спиралей разнонаправленной намотки, показало, что структура обладает магнитной анизотропией и в зависимости от частоты слой может полностью отражать, полностью пропускать или отклонять падающую волну.

Ключевые слова: электромагнитная волна, метаматериал, отражение, прохождение, отклонение, анизотропия.

ВВЕДЕНИЕ

Пространственные структуры исследованных к настоящему времени метаматериалов представляют собой комбинации металлических или диэлектрических фрагментов различной формы, некоторым образом (чаще периодически) расположенных в свободном пространстве. Изменяя материал, размеры, форму и расположение фрагментов можно в достаточно широких пределах изменять электрофизические параметры таких сред. Примером использования метаматериалов являются частотно избирательные структуры, на основе которых создаются поглощающие (отражающие, отклоняющие) покрытия. В общем случае свойства таких покрытий определяются при решении соответствующих дифракционных задач; при этом одной из важнейших электродинамических характеристик покрытия является пространственное распределение энергии рассеянного электромагнитного поля, которое можно охарактеризовать диаграммой направленности (ДН), графически представляемой в разных системах координат. В частном случае, параметры покрытий можно оценить путем анализа соотношений для коэффициентов отражения и прохождения электромагнитной волны через слой вещества.

1. ПРОХОЖДЕНИЕ плоской волны через СЛОЙ МЕТАМАТЕРИАЛА

В общем случае при нормальном падении плоской электромагнитной волны на слой метаматериала с параметрами £2, М2 со стороны первой среды (ер М-1), амплитуды отраженной и прошедшей волн будут определяться свойствами границ раздела сред и толщиной ё слоя метаматериала (рис. 1).

Использование аппарата матриц рассеяния дает хорошо известные соотношения для коэффициентов отражения

-

Г12 + Г23е

—2у 2^

1 + Г12Г23е

— 2у 2^

щ

^2^2 {*3

С«

Я

Рис. 1. Взаимодействие плоской волны со слоем метаматериала

и прохождения

-

(1 + Г12)(1 + Г23)е

—у 2^

1 + Г12Г23е

-2у 2^

2 „2 — Zc1

где Гр2 = ----— - коэффициент отражения от пер-

2с2 + 2с1

2 „3 — 2 „ 2

вой границы; Г23 =---------— - коэффициент отраже-

2с3+2с2

ния от второй границы; У2 =а2 + -1^2 - постоянная рас-

пространения 2-й среды; -

Н-;

і -1,2,3 - харак-

Є:

теристическое сопротивление /-й среды; Ц/> - абсо-

лютные магнитная и диэлектрическая проницаемости -й среды.

© Романенко С. Н., Дмитренко В. П., Пулов Р. Д., 2012

Если каждая из сред 1 и 3 является свободным пространством, то, с учетом равенства Г23 = —Г^, формулы (1) и (2) приобретают вид

Rs =

ГИ (1 т Є' 2Y 2d

1 тГ?2Є- 2Y 2d

Ts =

1 т Г

12

Y2d

r¿e-2Y2d '

При этом если у метаматериала диэлектрическая £2 и магнитная М2 проницаемости одновременно принимают отрицательные значения [1], то в этом случае характеристическое сопротивление 2„2 = д/м2 /е2 не изменяет знака и, таким образом, формулы (1) и (2) остаются справедливыми.

Полному прохождению волны соответствует условие Я-£ = 0. Тогда, при отсутствии потерь в слое (а 2 = 0), из (3) очевидно

1 т Є

—2ß2d =

= 0’

откуда следует

X

d = 2, n = 1,2,3.

2

Здесь Х2 - длина волны в слое.

Таким образом, в случае полного прохождения волны сквозь слой, толщина слоя должна быть кратна целому числу полуволн в материале слоя.

В случае полного отражения волны (при этом 7^ = 0),

2

как видно из (4), должно выполняться условие 1 — Г^ = 0, из которого следует Г^2 = ±1.

2с 2 — 2 „1

При Г12 = ^^-------— = +1 (что соответствует магнит-

2с2 + 2с1

ной стенке) необходимо, чтобы выполнялось условие 2С2 ^“, которое эквивалентно М2 ^ е2 , что, в

свою очередь, возможно при:

1. М2 ^да, а е2 конечно, либо стремится к нулю.

2. М2 конечно, а £2 ^ 0.

Аналогично, при Г^ = —с2--— = —1 (что эквива-

2с2 + 2с1

лентно электрической стенке) необходимо, чтобы

что возможно при условиях:

3. М2 ^ 0, а е2 конечно, либо стремится к бесконечности.

4. М2 конечно, а е2 ^ ю .

В работе [2] показано, что свойства, аналогичные отмеченным выше, проявляет метаматериал, построенный из двойных кольцевых резонаторов с разрывами (8КЯ-структуры). Там, в частности, показано, что смена ориентации резонаторов по отношению к вектору электрического поля падающей волны изменяет параметры структуры в соответствии со свойствами 1-4.

Следует отметить, что использование 8КЯ-структур при исследовании свойств метаматериалов в зарубежной и отечественной литературе является типичным, что связано с простотой геометрии таких структур и, как следствие, простотой численного моделирования с помощью существующих пакетов прикладных программ. Как отмечают авторы (в частности, работы [2]), численное моделирование более сложных по конфигурации структур связано с большими трудностями. В значительной мере это обусловлено некоординатностью геометрии используемых элементов (например, проволочных фрагментов различной формы), построение и моделирование которых требуют специальных подходов. Необходимо также отметить, что 8КК-структуры являются сугубо резонансными и поэтому проявляют необходимые свойства в узкой полосе частот. Для работы в более широком частотном диапазоне требуются другие по форме и частотным свойствам элементы. Так, в работах [3], [4] рассматривались элементы в виде проволочных спиралей разнонаправленной намотки; такие элементы обладают большим числом «степеней свободы» при подборе необходимых электрофизических параметров в более широкой полосе частот. В то же время, анализ подобных сложных пространственных геометрических структур аналитическими методами в настоящее время авторам неизвестен, поэтому представляется актуальным проведение подробного численного моделирования для выявления частотных свойств таких структур.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

В настоящей работе проведено численное моделирование взаимодействия плоской волны со слоем метаматериала на примере структуры, предложенной в [3] и состоящей из проволочных элементов в виде спиралей разнонаправленной намотки, периодически расположенных в свободном пространстве (рис. 2). При моделировании использовалась программа для анализа проволочных структур, разработанная на основе интегрального уравнения Поклингтона. Программа вычисляет неизвестные распределения токов в проволочных элементах и далее находятся все необходимые электродинамические характеристики структуры, в частности, диаграммы направленности рассеянного поля. Тестирование программы путем сравнения результатов моделирования с экспериментом [3], посвященном проблеме преодоления дифракционного предела, подтвердило не только адекватность модели на основе уравнения Поклингтона, но и показало полное совпадение результатов расчета и эксперимента [5]. Кроме того, тщательное тестирование программы на различных примерах показало хорошую точность расчетов полей как в дальней, так и в ближней зонах.

e

Слой метаматериала располагался в плоскости Х02 и возбуждался плоской волной, распространяющейся вдоль оси У с электрическим полем, поляризованным вдоль оси

2. При моделировании использовались параметры структуры, в точности соответствующие экспериментально проверенным данным работы [3]: диаметр витка спирали 9 мм, период структуры (вдоль оси Х) 20 мм. Спираль имеет 2 витка, шаг спирали 0,16 мм, диаметр проводника 0,2 мм. Каждый виток спирали аппроксимировался 6 прямолинейными сегментами.

Проведенный в данной работе численный анализ показал, как и следует из [3], наличие резонансных явлений в структуре в окрестности частоты/а 2 ГГц и выявил ряд частотных точек, в которых поведение исследуемой структуры соответствовало рассмотренным выше свойствам. В частности, на определенных частотах выявлены эффекты полного отражения и полного прохождения

волны. Кроме того, зафиксировано явление отклонения направления распространения электромагнитной волны.

На рис. 3 показаны ДН слоя метаматериала в режимах полного отражения и полного прохождения на частотах /=2 ГГ ц и/=2,8 ГГц, соответственно, при этом поляризация отраженной и прошедшей волны сохраняется и совпадает с поляризацией падающей волны.

При изменении частоты в пределах от 2 ГГц до 2,8 ГГц диаграмма направленности деформируется и на частоте 2,39 ГГц принимает форму (рис. 4), иллюстрирующую эффект изменения направления распространения электромагнитной волны.

Эта ДН дает лишь качественное представление о пространственном распределении энергии волны. Количественную оценку можно получить из ДН в полярной системе координат, показанных на рис. 5, из которых следует, что слой метаматериала отклоняет падающую вол-

а)

б)

Рис. 2. Пространственная структура слоя метаматериала: а) - фрагмент периодической метаструктуры; б) - ячейка периодичности ПС - правая цилиндрическая спираль; ЛС - левая цилиндрическая спираль

а)

б)

Рис. 3. Пространственные ДН слоя метаматериала: а) - режим полного отражения при /=2 ГГц; б) - режим полного прохождения при /=2,8 ГГц

ну преимущественно в верхнее полупространство (в направлении оси 2). Исследование поляризационных свойств этой волны показало, что она остается линейно поляризованной, однако вектор поляризации наклонен к оси У под некоторым углом, что характерно для гирот-ропной магнитной среды.

Учитывая результаты работы [2], можно считать, что расположение спиралей на рис. 2 по отношению к выбранному направлению распространения и поляризации падающей волны соответствует случаю, когда структура проявляет преимущественно магнитные свойства. При этом диэлектрическая проницаемость слоя мало отличается от диэлектрической проницаемости свободного пространства. Тогда, если принять, что относительная диэлектрическая проницаемость слоя е г 2 а 1, то, используя соотношение (5), а также зная толщину слоя при моделировании ё = 9 мм, нетрудно рассчитать величину относительной магнитной проницаемости слоя на частоте /=2,8 ГГц для режима полного прохождения

М г 2 =( /), <*>

где с0 - скорость света в вакууме.

г

Рис. 4. Пространственная ДН слоя на частоте /=2,39 ГГц

Подстановка числовых значений в (6) дает цг2 « 35. При этом длина волны в слое равна X 2 «1,8 см, а в свободном пространстве Хо «10,7 см.

Необходимо отметить, что при повороте вектора поляризации возбуждающего поля на 90о (поляризация вдоль оси Х) рассмотренные выше эффекты исчезают; при этом в диапазоне частот от 1 ГГц до 5 ГГц пространственная ДН структуры имеет вид, сходный с представленным на рис. 6.

Анализ полученных результатов показывает, что рассмотренная структура слоя метаматериала обладает частотно зависимой анизотропией, которая на определенных частотах приводит к эффектам полного отражения, полного прохождения или отклонения электромагнитной волны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе аналитически рассмотрены свойства электрофизических параметров слоя метаматериала (ег и цг) при взаимодействии с нормально падающей на слой плоской электромагнитной волной. При этом показано, что в режимах полного прохождения и полного отражения волны свойства метаматериала сходны со свойства-

2

Рис. 6. Пространственная ДН слоя на частоте /=2 ГГц при поляризации вдоль оси Х

Рис. 5. ДН слоя в полярной системе координат на частоте /=2,39 ГГц: слева - ДН по азимуту, справа - ДН по углу места

ми SRR-структур. Кроме того показано, что при полном прохождении толщина слоя кратна целому числу полуволн в материале слоя.

Проведено численное моделирование слоя метаматериала, структура которого представляет собой периодически расположенные в свободном пространстве проволочные спирали разнонаправленной намотки. Моделирование показало, что при выбранных размерах спиралей, их взаимном расположении и ориентации относительно направления распространения и поляризации падающей волны слой метаматериала на частоте /=2 ГГ ц полностью отражает падающую на него волну, а на частоте/=2,8 ГГц волна без отражения проходит сквозь слой. На частоте/=2,39 ГГц структура отклоняет падающую волну преимущественно в верхнее полупространство; при этом поляризация рассеянной волны остается линейной, но вектор поляризации наклонен к оси Y под некоторым углом, что характерно для гиротропной магнитной среды. С учетом выявленных магнитных свойств рассмотренного метаматериала, произведена оценка относительной магнитной проницаемости слоя в режиме полного прохождения волны.

Анализ результатов численных экспериментов показал, что исследуемый слой метаматериала обладает частотно зависимой магнитной анизотропией, однако при повороте вектора поляризации возбуждающего поля на 90° эффекты анизотропии исчезают.

Одно из направлений дальнейших исследований связано с разработкой эффективных методов непосредственного расчета электрофизических параметров метасред, построенных из проволочных элементов произвольной формы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Veselago, V G. The Electrodynamics of Substances with Simultaneously Negative Values of є and Ц / Veselago V. G. // Sov. Phys. Usp. - 1968. - vol. 10. - P. 509.

2. Smith, D. R. Homogenization of metamaterials by field averaging / D. R. Smith, J. B. Pendry // J. Opt. Soc. Am. B. -2006. - vol. 23, No 3. - P. 391-403.

3. Lagarkov, A. N. Numerical and experimental investigation of the superresolution in a focusing system based on a plate of «left-handed» material / A. N. Lagarkov, V. N. Kissel // Electromagnetic materials. Proc. of Symp. F, ICMAT 2003. -World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2003. - P 157-160.

4. Кисель, В. Н. Электродинамические модели сложных электрофизических объектов и эффективные методы расчета их полей рассеяния [Текст]: дисс. ...д-ра физ.-мат. наук. Москва, 2004. - 339 с.

5. Поверхностные волны на границах раздела метасред. Моделирование эффектов сверхразрешения [Текст] / С. Н. Романенко, Л. М. Карпуков, В. А. Борисенко, А. С. Львов // Радіоелектроніка, інформатика, управління. - 2011. - № 2. - С. 7-13.

Стаття надійшла до редакції 24.09.2011.

Після доробки 01.11.2012.

Романенко С. М., Дмитренко В. П., Пулов Р Д.

ВЗАЄМОДІЯ ПЛОСКОЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ ХВИЛІ З ШАРОМ МЕТАМАТЕРІАЛА. ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

Аналітично розглянуто властивості електрофізичних параметрів шару метаматеріалу (sr та |а r) при взаємодії з нормально падаючою на шар плоскою електромагнітною хвилею. Показано, що в режимі повного проходження товщина шару є кратною цілому числу півхвиль в матеріалі шару, а при повному відбитті властивості метаматеріалу схожі з властивостями SRR-структур. Чисельне моделювання шару метаматеріалу, що складається зі спіралей різноспрямованого намотування, показало, що структура володіє анізотропією і, в залежності від частоти, шар може повністю відбивати, повністю пропускати або відхиляти падаючу хвилю.

Ключові слова: електромагнітна хвиля, метаматеріал, відбивання, проходження, відхилення, анізотропія.

Romanenko S. N., Dmitrenko V. P., Pulov R. D.

INTERACTION OF A PLANE ELECTROMAGNETIC WAVE WITH A LAYER OF METAMATERIAL. NUMERICAL SIMULATION

It is shown analytically that in the regime of full transmission in the interaction of a plane linearly polarized electromagnetic wave with a layer of a metamaterial the thickness of the layer is equal to an integer number of half wavelengths in the material layer. Numerical simulation of the metamaterial layer consisting of helices wound in different directions showed that with the chosen size of helices and their relative positions the metamaterial layer reflects the incident wave of the frequency f = 2 GHz fully while a wave with the frequency f = 2,8 GHz passes through the layer without reflection. At the frequency f = 2,39 GHz the structure deflects the incident wave mostly in the upper halfspace. The simulation also showed that at the selected orientation of helices relative to the direction of propagation and polarization of the incident wave the structure exhibits anisotropic and magnetic properties similar to those of SRR-structures. Based on this and using the properties of the halfwave layer the relative permeability of the metamaterial layer was estimated.

Key words: electromagnetic wave, polarization, metamaterials, reflection, transmission, deflection, anisotropy, permeability.

REFERENCES

Veselago V. G. The Electrodynamics of Substances with Simultaneously Negative Values of e and M , Sov. Phys. Usp, 1968, vol. 10, P. 509.

Smith D. R, Pendry J. B. Homogenization of metamaterials by field averaging // J. Opt. Soc. Am. B. 2006. vol. 23, No 3. P. 391-403.

Lagarkov A. N., Kissel V. N. Numerical and experimental investigation of the superresolution in a focusing system based on a plate of «left-handed» material, Electromagnetic materials. Proc. of Symp. F, ICMAT 2003, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2003, P. 157-160.

Kisel’ V. N. E’lektrodinamicheskie modeli slozhny’x e’lektrofizicheskix ob”ektov i e’ffektivny’e metody’ raschyota ix polej rasseyaniya, diss. dokt. fiz.-mat. nauk, Moscow, 2004, 339 p.

Romanenko S. N., Karpukov L. M., Borisenko V! A., L’vov A. S. Poverxnostny’e volny’ na graniczax razdela metasred. Modelirovanie e’ffektov sverxrazresheniya, Radioelektronika, informatika. upravlinnya, 2011, No. 2, pp. 7-13.

3

4

5