Влияние координатных связей на устойчивость равновесия технологической системы при резании

УДК 621.9.025

Н.Н. Бородкин, канд. техн. наук, доц.,

ВЛИЯНИЕ КООРДИНАТНЫХ СВЯЗЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ РЕЗАНИИ

Проведены теоретические исследования динамики процесса резания, закономерности формирования сил во взаимосвязи с координатами состояния и траектории движения элементов станка на примере токарного резца и его державки.

Ключевые слова: резание, устойчивость, жесткость, диссипация, конструкция, инструмент и заготовка.

Процесс резания осуществляется в результате взаимодействия подсистем станка инструмента и заготовки. Это взаимодействие формирует динамическую связь, а сами подсистемы станка объединяются с ее помощью, в результате чего образуется единая динамическая система.

Динамическая система резания рассматривается как единая совокупность управляемых приводов элементов станка, несущей системы, управления, формируемого в координатах состояния, и динамической связи, образующейся в результате взаимодействия инструмента и заготовки.

Динамическая характеристика процесса резания является эволю-ционизирующей. Ее эволюция связана с траекториями работы и мощности необратимых преобразований. Текущие параметры динамической характеристики процесса резания зависят не от координат состояния, а от траекторий. Взаимодействия инструмента и заготовки анализируются не изолированно, а как подсистема. Следовательно, свойства процесса резания зависят от всей динамической системы резания.

Координаты состояния управляемой системы представляют зафиксированные в момент времени координаты, характеризующие процесс резания, упругие деформации инструмента относительно заготовки, координаты перемещений исполнительных элементов станка (координаты суппорта и угловые координаты шпинделя и т.д.).

Траектория состояния, или траектория исполнительных элементов станка, отличается от координат состояния тем, что она задана на некотором временном интервале.

Рассмотрим особенности построения моделей динамики процесса резания в виде систем дифференциальных уравнений, представленного на рисунке. Вначале остановимся на системе дифференциальных уравнений, раскрывающей динамику процесса резания в вариациях относительно точки равновесия.

Схема взаимодействия координатной связи с равновесием технологической системы резания

Будем считать точку равновесия асимптотически устойчивой в точке приложения силы

т-

Жх

Ж2 Ж

где /(?) - случайные воздействия в процессе точения; ^(х, Бр ,¥р) - вектор-функция, характеризующая динамическую модель процесса резания в вариациях относительно точки равновесия, т.е. часть изменения сил, действующих по направлениям х^ и Х2. Силы резания формируются в результате движения вершины режущего инструмента по образующей, которая отвечает пересечению идеальной геометрии обрабатываемой заготовки и режущего инструмента с учетом скорости резания и подачи.

Рассмотрим ограничение частотного диапазона в первой частотной форме колебаний:

0 <ш<Юо, х = {х1, Х2 }Т.

Если рассматриваются малые колебания инструмента, то в окрестности малых колебаний справедлива линеаризация. В результате упругих деформаций, влияния диссипативных сил в державке инструмента, а также инерционных сил движения вершины инструмента получаем три матрицы процесса резания в вариациях относительно точки равновесия:

[т]--

где т- обобщенная масса в матрице состояния (инерционных коэффициентов инструмента); И - матрица диссипации; х - матрица жесткости.

145

+ И — + Сх = ^ (х, Бр ,Ур) + / ($) ,

"т11 0 " ; [и]= " И11 И12" ; [с] = С11 С12

0 т22 _ _И21 И22 _ _С21 1 С

Обобщенная масса инструмента является заданной и представляет диагональную матрицу инерционных коэффициентов. Отметим, что под деформацией инструмента относительно заготовки понимается упругое смещение вершины инструмента относительно его значения.

Следовательно, получаем конечномерную модель с распределенными параметрами. Для первой координаты т1 и т2 получаем дифференциальное уравнение

Ш2 Х-1 ,

Щ—2Г + Ь11

т2

йх-\ , йх2 „ ( йх Л

+ ^2\~Г + С11Х1 + С21х2 _

Л

Л

Х2,

2

Л

2

+ь

Лх1

Лх

12

“7“ + Ь22~Г + С12 х1 + С22 х2 _ ^2 ш ш

х2,

Л

Лх2

й

, У

Р’г Р

, ^Р Ур

у

Л

)

у

Сила зависит от площади срезаемого слоя, деформаций Х2 в направ-л е н и и нормали к обрабатываемой детали.

Лх2

й

- запаздывающий аргумент (элемент фазовый сдвиговой).

Система уравнений (1) и (2) имеет точку равновесия, которая характеризуется тем, что все производные скорости равны нулю:

2 2 Л х1 _ йх1 _ Л х2 _ Лх2 _ о

Ж2 л ж2

л

Тогда для координаты равновесия

х* _ {х*1,х2}Т,

СПх*+ С21х*_ ^( х* ,0,8р Ур),

С12 х* + С22 х*_ ^( х* ,0, ^р ,Ур).

Согласно теории Ляпунова получим уравнения в вариациях относительно стационарной траектории движения. В данном случае под стационарной траекторией будем понимать точку равновесия.

х(1)- упругое деформационное смещение в вариации относительно точки равновесия.

х^) _ х* + х^),

х2^) _ х2 + х2 ();

Лх1 Лх2

Л 2х1 шх1

т1~2Г + Ьц—! + Ь21

Л

т

й2х1

Л _ Р1 Лх1

Л

+ С11 (х1 + х1)+ С21 (х2 + х2 ):

п * \ Лх2 0 „ л

х2 + х2 г 8р Ур

Л

2

Лх

+ Ь1^^1 + Ь21

Лх

2

Г

Л

Л

+ С11х1 + С21х2 _ Ф1

Лх1

где

Ф1(*1 = (х* + х2 ¡1 Яр у

Ж’'1” ру

я

V

* $*2 х2,—-

2 Ж

0 Яр Ур

у

Ж 2 х

, Жх

т —— + И------+ Сх = ф

Ж Ж

Ж*2^

А

х21 . V Жґ

[т] =

"т11 0 " ; [*]= " И11 И12" ; [С] = С11 С12

0 т22 _ _И21 И22 _ _С21 1 2 2 С

Ф = ІФ1

х2,

Жх2^

Ж

ґ

1Ф2

х2? ,,

V жґ

Т

Жх2^

Таким образом, получили вектор-функцию динамической характеристики процесса резания, полученной в вариациях относительно точки равновесия и обладающей следующими свойствами:

1) если %2 стремится к нулю, то фі и ф2 также стремятся к нулю;

2) следуя теории асимптотической устойчивости для определения устойчивости системы (4) в вариациях относительно точки равновесия, проанализируем линеаризованное уравнение (4), т.е. вместо фі(х) уравнение (4) должно решаться методом первого приближения:

Ф1

ф2

х2,

х2г

Жх2 Л ЭФ1

Ж у Эх2

Жх2 ^ 2 Э 1

Ж у Эх2

х2 +

ЭФ1 Жх2

Э-

Жх'

2

х2 +

I ж

ЭФ2

ж

Жх2

Э

Ср ¡+*2?)

21 21 Ж

С(р) + И р) ^.

22 *22 ж ’

3) таким образом, мы имеем следующую систему в вариациях относительно точки равновесия.

Ж 2 х

т

Ж

2

Их

+ Ит — + Ст х = 0. т Ж т

Матричное представление диссипации и жесткости в вариациях относительно точки равновесия имеет вид

»21- 4Р у,

,

22

[ит]

[СЕ]

И11

И12

С11

С12

И

*22 - И

\С21

(С22

С(р) г21

С(р С22

Исходная система (4) имеет левую часть, в которой матрица жесткости и матрица демпфирования являются симметричными и положительно определенными (формируют силы в точке равновесия).

Преобразуем матрицу жесткости :

С11; С12

+

С11 • С21

СР • С 21’

С

С 21 - С 2Р1 С 22 - С22 С12 С22

С11’С21

СР

С21

СР

С22

+

С12; С 22 - С 22 Сц; С 21 - С2р1 С12;С22

+

СР

С22

11

С21 - С

С

12

Р;

21’

С22 - С

22

[2СП; 2(С21 - С21) "0; - С121

< |_2(С21 - Ср); 2(С22 - С2Р2)_ + + С21; 0

(с,2 - 0,5С

00 - С(Р) 22 С21

+

0; - 0,5С

+ 0,5С

(Р )•

21

0

где С

С11; С12 0,5С21 ! , 0; 0,5С21

(с12 - 0,5С(Р)'1 (с

В системе (5) матрица и матрица С£ не являются симметричными за счет реакции процесса резания, более того, диагональные элементы изменяются за счет Ь22 (диссипации инструмента).

Следовательно, справедливо следующее:

Се = 4е) + 4*); Ье = 4с) + Ь*),

симметричная и кососимметричная составляющая мат-

рицы жесткости; и ; - симметричная и кососимметричная состав-

ляющая матрицы диссипации.

Из механики известно, что кососимметричная составляющая матрицы жесткости формирует так называемые циркуляционные силы, т.е. силы действия которых ортогональны упругим деформациям [2].

Именно циркуляционные силы приводят к тому, что траектория движения инструмента в установившихся колебаниях вызывает вращательное (эллипсоидное) движение инструмента.

Матрица диссипации имеет кососимметричную составляющую.

Еще 1895 году известные механики Томсон и Тэт в трудах Оксфордского университета показали, что кососимметричная составляющая матрицы диссипации формирует гироскопические силы. Гироскопические силы стабилизируют систему в точке равновесия. Подчеркнем, что циркуляци-

148

онные и гироскопические силы всегда формируются естественным образом и принципиально влияют на устойчивость системы [2].

Гироскопические силы, а также циркуляционные силы следующим образом влияют на устойчивость точки равновесия системы:

- циркуляционные силы всегда способствуют потере устойчивости, которая определяется соотношением потенциальной силы (соответствующей симметричной составляющей матрицы жесткости) и циркуляционной силы (соответствующей кососимметричной составляющей матрицы жесткости);

- если не принимать во внимание влияние запаздывающего аргу-

мента Ь22 , а учитывать Ь21 , то формирование гироскопических сил лишь

улучшает устойчивость системы [2].

При обработке резанием большое значение имеет анализ тепловых процессов. Производство тепла всегда связано с мощностью необратимых преобразований в системе резания. При этом принимается во внимание мощность необратимых преобразований, которые анализируются на основе средних сил резания, умноженная на скорость.

Приведенный анализ показывает, что ситуация существенно более сложная. В механике известно, что на виртуальных перемещениях циркуляционные силы совершают работу. Работу не совершают потенциальные силы (симметричная матрица), поэтому при определении работы необходимо дополнительно учитывать работу, совершаемую циркуляционными силами. Кроме того, известно, что диссипативные силы, формируемые симметричной матрицей диссипации, совершают работу. Однако гироскопические силы работу не совершают.

Таким образом, производство тепла имеет существенно более сложную природу, чем это традиционно рассматривается в работах по резанию.

Существуют представления о механизме потери устойчивости, связанном с так называемой кинетической характеристикой процесса резания или трения (автоколебания при трении) [1].

Тогда уравнение в вариациях относительно точки равновесия для

системы будем иметь (диссипации ) следующую матрицу:

Таким образом, принципиально кинетическая характеристика и запаздывающий аргумент влияют на диагональные элементы несимметричных составляющих матрицы диссипации (6):

Очевидно, что необходимым условием потери устойчивости системы является отрицательная определенность матрицы (7) т.е. при условии

Отсюда видно, что увеличение как , так и может привести

к нарушению требований (8), т.е. потеря устойчивости зависит от суммарной матрицы (запаздывающего элемента и коэффициента, характеризующего падающий участок зависимости силы резания от скорости).

Приведенный анализ показывает, что дополнительная связь, формируемая силами резания в координатах состояния системы, принципиально влияет на устойчивость равновесия. На устойчивость равновесия принципиально влияет и структура формирования упругих и диссипативных сил в подсистемах режущего инструмента и обрабатываемой детали.

Прежде чем переходить к конструктивным особенностям построения в подсистеме режущего инструмента, которые направлены на повышение виброустойчивости процесса обработки, необходимо рассмотреть схему формирования недиагональных элементов матрицы жесткости и матрицы диссипации.

1. Кудинов В.А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967. 359

2. Заковоротный В. Л., Флек М.Б. Динамика процесса резания. Синергетический подход. Ростов-на-Дону: Тера, 2006. 876с.

N.N. Borodkin

Influence of coordinate communications on stability of balance of technological system at cutting

The theoretical study of the dynamics of the cutting process, zakkoonomernosti force generation in relation to the coordinates of the status and trajectory of the elements of the machine for example, a lathe tool and its holder are presented.

Key words: equilibrium, stability, stiffness, damping, construction.

(h 1 - hi))(h22 - hp*)- 4 + 0,5Й12Й<1 ) > 0

Список литературы

с.

Получено 28.12.10 г.