Оптимальный размер внешнего тонкого жесткого включения в нелинейной задаче о равновесии цилиндрического тела с трещиной

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2017. Том 24, № 4

УДК 539.311

ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗМЕР ВНЕШНЕГО ТОНКОГО ЖЕСТКОГО ВКЛЮЧЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА С ТРЕЩИНОЙ Н. П. Лазарев, В. В. Эверстов

Аннотация. Изучена математическая модель о равновесии упругого цилиндрического тела с трещиной, скрепленного на внешней границе жестким тонким включением. На поверхности, задающей трещину, ставится условие непроникания в виде неравенства. Проводится анализ зависимости решений от параметра, характеризующего размер тонких жестких включений. Доказано существование решения задачи оптимального управления. Для этой задачи функционал качества определен с помощью произвольного функционала, непрерывного в пространстве решений. Параметр управления задается размером жестких тонких включений.

БС! 10.25587/SVFU.2018.4.11315

Ключевые слова: вариационное неравенство, задача оптимального управления, условие непроникания, нелинейные граничные условия, трещина.

Введение. Как известно, на практике усиление прочности некоторых конструкций достигается скреплением ребрами жесткости по внешней границе конструкций. Эффективность подобных усилений может быть заранее улучшена с помощью предварительного анализа, касающегося, например, выбора количества скрепляющих включений, их формы и расположения в конструкции. Вопросы обоснования корректности новых математических моделей и анализа наиболее точных моделей, описывающих напряженное состояние композитных тел и, в частности, упругих тел с неоднородностями в виде включений и трещин представляют собой актуальное направление научных исследований.

Математическое моделирование тел, содержащих трещины, предполагает выбор того или иного способа задания краевых условий на кривой или поверхности трещины. Известно, что в рамках классических задач теории трещин с линейными краевыми условиями в виде равенств имеются примеры, в которых модели допускают решения, противоречащие физическому смыслу [1]. Начиная с 1990-х гг. активно разрабатываются математические задачи теории трещин с условиями непроникания в виде неравенств [2-21]. В рамках этого подхода с помощью вариационных методов сформулированы и изучены различные задачи для тел с жесткими включениями (см., например, [2,4,9,10,20-25]).

© 2017 Лазарев Н. П., Эверстов В. В.

С численной реализацией задач о деформировании композитов можно ознакомится в [19, 21, 26-33]. В статье [20] с помощью функционала Гриффитса проводится анализ развития трещины в связи с формой и расположением малых включений. В рамках задач теории трещин с возможным контактом берегов задача управления формой для композитного тела с включением и трещиной изучена в [19].

В настоящей статье исследуется модель равновесия трехмерного упругого тела с трещиной, скрепленного по внешней границе тонким жестким включением цилиндрической формы. В изложении рассматриваемой модели использован термин «тонкое жесткое включение», который в рассматриваемом случае означает, что тело моделируются трехмерным объектом, а жесткое включение — поверхностью (см. [5]). Исследована зависимость модели от изменения геометрии поверхности жесткого включения, а именно, доказана разрешимость задачи оптимального управления, в которой параметр управления задает размер включения. Функционал качества задается произвольным функционалом, обладающим свойством непрерывности в соответствующем пространстве решений. Нелинейность задачи обусловлена ограничением в виде неравенства.

Формулировка математической модели. Пусть О С К2 — область с гладкой границей Г. Обозначим через О следующую цилиндрическую область (рис. 1):

О = {(х1; х2, хз) | х = (х1; х2) € 0, 0 < хз < 1}. Будем считать, что на кривой Г расположено семейство кривых {Ц}, 4 € [0,Т]:

?* = {(жь х2) | -1 < XI < х2 = д{х О}, Г(СГ Ш е [0, Т],

где д € С2(К).

Предположим, что на Г также имеется кривая £ такая, что £ С Г, теаэ(£) > 0, ГТП£ = 0.

Чтобы сформулировать математическую модель, описывающую равновесие композитного тела с трещиной, приведем некоторые пояснения. В наших рассуждениях область О7 = 0\7 будет соответствовать упругой части композитного тела

с треЩиной, к°Т°рая описывается с помощью по- рис. 1 Цилиндрическая область верхности 7. Тело предполагается закрепленным ^^ = с разрезом ^ на части границы £ = £ х [0,1]. По внешней части тело скреплено тонким жестким включением, которое моделируется с помощью цилиндрической поверхности Г = Г х [0,1], 4 € [0,Т]. При этом параметр 4 определяет размер жесткого включения. Указанные объекты подчиняются следующим условиям. Для поверхности 7 считаем, что 7 С О, 7 П Г = 0, где Г = Г х [0,1]. Кроме того, предполагаем, что область О можно разбить продолжением поверхности 7 на две подобласти О1 и О2 с липшицевыми границами ¿Ю1, сЮ2 соответственно так, что П = Г^иГ^, 7 С ¿ЮхПсЮг, теаз(<9Г^П£) > 0,

i = 1, 2. Это условие является достаточным для выполнения неравенства Корна в нелипшицевой области 07 = 0\7.

Обозначим через W = (wi, w2, W3) вектор перемещений. Тензоры, описывающие напряженно-деформированное состояние тела, выражаются формулами

£ij(W) = ^(wij +wjji), i,j = 1,2,3,

Vj(W) = cljkl£lJ (W), i,j = 1, 2, 3,

где cijki £ LTO(Q), i, j, k, l =1, 2, 3, — тензор коэффициентов упругости, удовлетворяющий свойством положительной определенности

CijkiЫ > co|C|2 V£, = j i,j = 1, 2, 3, Co = const > 0,

и симметричности cijki = Ckij = cjiki, i,j,k,l = 1, 2, 3. Поле перемещений на поверхности rt, соответствующей жесткому включению, имеет определенную структуру [2]:

R(rt) = {р = р(х) | р = (bi2X2+bi3X3+ci, -612^1 +623X3+c2, -613Ж1-623Ж2 +c3),

612,613, 623, ci,c2,c3 £ R, x £ rt>.

Пусть подпространство Hg'0(Q7) пространства Соболева H 1(07) состоит из функций, обращающихся в нуль на Введем обозначение

H (П7 )= H^0(O7 )3.

Далее пригодится следующее неравенство Корна:

J Vij

с постоянной c > 0, не зависящей от W £ H(07) [2].

Замечание. В силу неравенства (1) стандартная норма в пространстве H(07) эквивалентна норме, определяемой с помощью выражения

1/2

Vij (W)£ij (W) dx

Условие на поверхности 7, описывающее непроникание противоположных берегов трещины, имеет вид [2]

[W]v > 0 на 7,

где через v = (v1, v2, V3) обозначена нормаль к 7.

Функционал энергии тела с трещиной имеет вид

П

где F = (/ь/2,/3) G L2(Q7)3 — функция заданных внешних нагрузок [2]. Задачу о равновесии сформулируем в виде минимизации функционала энергии: требуется найти функцию Ut G Kt такую, что

П

где

Kt = {W G H(П7) | [W]v > 0 на y, W|rt = p, p G R(rt)}.

Известно, что задача (3) имеет единственное решение Ut G Kt и эквивалентна вариационному неравенству [2]

Ut G Kt, J a^

Задача оптимального управления. С целью формулировки задачи об оптимальном управлении рассмотрим произвольный непрерывный функционал G(W) : H(07) ^ R. Например, в качестве такого функционала могут быть взяты следующие функционалы:

7

где Gi характеризует отклонение от заданных перемещений W, G2 — величину раскрытия трещины. Задачу оптимального управления сформулируем в следующем виде. Требуется найти t* G [0,T] такое, что

G

te[o,T ]

где Ut является решением задачи (3).

Теорема. Задача оптимального управления (5) имеет по крайней мере одно решение.

Доказательство. Пусть {tn} — максимизирующая последовательность. Ввиду ограниченности сегмента [0,T], можно выделить сходящуюся подпоследовательность {tnk} С {tn} такую, что

tnk ^ t* при k то, t* G [0, T].

Не нарушая общности, предположим, что tnk = t* для всех достаточно больших k. В противном случае найдется подпоследовательность {tni} такая, что tni = t*, и, следовательно, J(t*) является решением задачи (5). Итак, рассмотрим случай подпоследовательности {tnk}, удовлетворяющей tnk = t* для достаточно больших k.

Принимая во внимание доказанную ниже лемму 2, выводим, что решения Uk задачи (3), соответствующие параметрам tnk, сходятся к решению Ut* сильно в H(07) при k ^ то. Это позволяет установить следующую сходимость:

J(t„fc ) ^ J(t*).

Поэтому

J(Ь* ) = 8ИР J(¿). *е[о,т ]

Теорема доказана.

Докажем две вспомогательные леммы.

Лемма 1. Пусть Ь* € [0,Т) — фиксированный параметр, последовательность чисел {¿п} С [Ь*,Т] сходится к Ь* при п ^ ж. Тогда для произвольной функции Ш € существуют подпоследовательность {¿^} = } С {¿п} и последовательность функций {Ш^} такие, что € , к € М, и ^ сильно в Н(07) при к ^ ж.

Доказательство. Пусть Ь* € [0,Т) — произвольное фиксированное число. В соответствии с произвольным положительным числом е > 0 обозначим символом Б6 открытый круг радиуса е с центром в точке (¿*, д(Ь*)) € Г и через Б6 = Ве х (0,1) — соответствующую цилиндрическую область. Пусть число А > 0 выбрано достаточно малым, таким что В\ П 7 = 0, В\ П Е = 0. Выберем гладкую срезающую функцию $(£) так, чтобы вирр С В\ и = 1 в окрестности В\/2. Очевидно, что существует достаточно малое число 6* такое, что 6* < А/2 и к тому же удовлетворяет условию (Ь* + 6, д(Ь* + 6)) € В\/2 для всех 0 < 6 < 6*. Для фиксированного 6 € [0,6*] построим координатное преобразование у = Фг(ж) с помощью следующих соотношений:

Указанная регулярность функций д и гарантирует справедливость включения Фг(ж) € Сх([0, 6*], ЩО'С^К3))2. Якобиан отображения у = Фг(ж) выражается формулой

Для малых 6 якобиан положителен, а отображение (6) взаимно однозначно переводит область 07 в себя [6].

Покажем, что функция Шг(ж), определенная равенством

принадлежит множеству . В самом деле, класс регулярности отображе-

ния Сх([0, 6*], ЩО'С^К3))2 преобразования у = Фг(ж) гарантирует, что функция Ш(Фг(ж)) принадлежит пространству Нх(07) [18]. Принимая во внимание имеющуюся регулярность функций д, легко выводим, что Шг € Н(07) для всех достаточно малых 6.

Шг(ж) = Ш(Ф5(ж)) - (Мд(ж1 - 6#(ж)) - д(ж1)),

Ь126Ь^(ж),б1з6$(ж) - &2з(д(ж1 - 60(ж)) - д(ж1))),

Покажем, что функция Жд (х) имеет подходящую структуру на поверхности Г4*+д. По построению имеем

Жд|г,*+г = Ж(х1 - 5^(ж),ж2 + д(х1 - 5^(ж)) - д(хх),жз)|г,*+г

- (612(5(^1 - 5$ (я)) - д(ж!)), Ь12Ш(ж), 6^5$ (я) - 623(5(^1 - 5$(ж)) - д(ж1)))|г4* +г

= (&12д(х1 - 5$(я)) + 613X3 + С1, -612(^1 - 5$(я)) + 623X3 + С2, - &13(ж1 - 5^(ж)) - 6235(^1 - 5^(ж)) + С3)|г4*+г

- (612(5(0:1 - 5^(ж)) - д(х1)), 612^6^(ж), 6^5$ (я) - 623(5(^1 - 5$(ж)) - д(ж1)))|г,*+г

= (6125(01) + 613X3 + С1, -612X1 + 623Ж3 + С2, -613X1 - 6235(01) + С3)|г4* +г = (612X2 + 613Ж3 + С1, -612X1 + 623Ж3 + С2, -613Ж1 - 623X2 + С3)|г4* +г.

В качестве следующего шага установим сильную сходимость Жд ^ Ж в Н

[34]. _

Плотность С(В\ П О) в Ь2(В\ П Г2) означает, в частности, что существует непрерывная функция д(ж), удовлетворяющая неравенству

1Н -ч\\щвхпп) <

Кроме того, существует достаточно малое число ¿о такое, что неравенство (|)2 < ^д выполнено для всех 0 < 5 < 5о. Таким образом, для достаточно малых 5 имеем

1/2 / \ 1/2

д(X)) - д(Фд(Ж))Г ^у К(у) - дЫ^/д-1 ¿И <

(У К(Фд (X)) - ?(Фд(ж)) |2 =(У К (у) - д(у)|2Л-1 ¿у

У КЫ-д

В силу непрерывности функции д на компакте Вд П О она равномерно непрерывна на нем. Поэтому найдется число 51 > 0 такое, что

||д(Фг(ж)) - ч(х)\\ь2{вхпп) < |

для всех 5 < 51. Отсюда следует, что для всех 5 < шш{5о, 51} выполняется

1/2 /г \ 1/2

2

/»(..(.)) - »^И2=( / К(ФдМ) - ».МР

7-У вЛпо

<

вЛпо вЛпо

íf \ х/2 + í J \q{x) - Wl{x)\2 dx\ <l + l + l<e-

Bx ПО

Аналогичными рассуждениями можно установить, что для первых производных функции wi имеет место сходимость

^ wi,¿ в L2(Q7), i = 1, 2, 3, при S ^ 0.

С учетом достаточной регулярности функций g, é это приводит к тому, что

wiá,j ^ wi,¿ в L2(Q7), i =1, 2, 3, при S ^ 0.

Следовательно, wi¿(x) сходится к функции wi(x) сильно в H 1,0(^7) при S ^ 0. Аналогичными рассуждениями можно установить, что имеют место сходимости w2(5(x) ^ w2(x), w3S(x) ^ w3(x) в Hi,0(O7) при á ^ 0. Лемма доказана.

Далее докажем лемму, которая была использована при доказательстве теоремы.

Лемма 2. Пусть t* £ [0, T] — фиксированное число. Тогда Ut ^ Ut* сильно в H(07) при t ^ t*, где Ut и Ut* —решения задачи (3), соответствующие параметрам t, t* £ [0, T].

Доказательство. Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существуют положительное число ео > 0 и последовательность {t2} С (0, T] такие, что t2 ^ t*, ||U2 — Ut* У > е0, где Un = Utn — решения задачи (3), соответствующие параметрам tn.

Поскольку х0 = 0 £ Kt для всех t £ [0, T], можно подставить W = х0 в (4) для всех t £ [0, T]. Это дает

f al3 (Ut)£ij (Ut) dx <J FUt dx Vt £ [0,T].

Отсюда, используя неравенство (1), заключаем, что для всех t £ [0,T] выполнена оценка

с постоянной c > 0, не зависящей от t. Следовательно, заменяя Un, если нужно, ее подпоследовательностью, можем считать, что Un сходится к некоторой функции U слабо в H (07).

Покажем, что U £ Kt*. В самом деле, имеем Un|rtn = р2 £ ñ(rtn). В соответствии с теоремами вложения Соболева [35] получаем, что

Un|r ^ U|г сильно в L2

При необходимости выбирая подпоследовательность, полагаем, что Un ^ U п. в. на множествах Г и y. Этот факт позволяет утверждать, что каждая из числовых последовательностей {&22}, {b™3}, {b23}, {c™}, {c^}, {c3}, определяющих структуру функции р2 на rtn, ограничена. Поэтому можно извлечь подпоследовательности (с прежними обозначениями) такие, что

b™2 ^ bi2, &23 ^ bi3, Ь23 ^ b23, c™ ^ a, i = 1, 2, 3, при n ^ ж.

Заметим, что для последовательности {£«} непременно выполняется один из двух случаев: первый — существует подпоследовательность {¿к} С {¿п} сходящаяся к слева, второй случай соответствует подпоследовательности {¿к} С {£„} такой, что ¿к > для всех к € N.

Рассмотрим сначала более простой второй случай. Для этого случая в силу соотношения Г<к Э Г4* нетрудно видеть, что следующая сильная сходимость

Цк|г4* ^

в Ь2(Г4*)3 при к ^ то имеет место. Следовательно, из (10) и (12) вытекает включение и|г4* € Д(Г4*).

Рассмотрим теперь первый случай, когда {¿к} С {¿п} сходится к слева т. е. ¿к < для всех к € N и ¿к ^ при к ^ то. В этом случае при фиксированном к' € N для соответствующего значения — ¿к', справедливо

сильно в Ь2(Г4')2 при к ^ то. Можно определить функцию = 612x2 +61зx2+с1 на Г4*. В силу (13) выводим, что и1к ^ ^ сильно в Ь2(Г^) при к ^ то. Ввиду абсолютной непрерывности интеграла Лебега для любого е > 0 можно выбрать достаточно большое число к' € N такое, что

Н^1и2(г>\г>) < л/ё, Н^Н^г,*^) < л/ё,

где значение = ¿к' соответствует к'. Далее, применяя дважды неравенство треугольника, получаем следующую цепочку соотношений:

1Кк -^Ць2(г4*\г£') < У«1кУь2(г4*\г£') + ||^?||ь2(г4*\г£') < Ци1|и2(Г4ЛГ4;) + ||и1к-й1||Ь2(Г4ЛГ4;) + ||^||Ь2(Г4ЛГ4;) < 2л/^+||и1к-й1||Ь2(г>).

Следовательно,

Принимая во внимание, что для всех достаточно больших чисел к справедливы оценки

\\uik ~ < л/б, ||и!к - < л/б,

находим, что (14) меньше, чем 10е. Значит, и1к ^ сильно в Ь2(Г4*). Опираясь на сходимость (10), выведем равенство й1|г4* = в Г4*.

Аналогично можно получить и следующие сходимости:

И2|г,* = -612X1 + 623X3 + С2, Й3|г4* = -613X1 + 623X2 + С3 п. в. на Г4*.

Поэтому включение и|г4* € Д(Г4*) выполнено. В качестве итога рассуждений по всем возможным случаям выводим, что и|г4* € Д(Г4*).

Остается показать, что и удовлетворяет неравенству [и> 0 на 7. Для следов на 7+ и 7- имеем следующие сходимости:

ип ^ и сильно в Ь2

при п ^ ж. Имея в виду последние соотношения, можно извлечь подпоследовательность со следующими свойствами: и„|7 ^ и|7 п. в. на 7±. Опираясь на эти сходимости, нетрудно перейти к пределу при п ^ ж в неравенствах

[ип]V > 0 на 7.

Предельное соотношение примет вид [и\и > 0 на 7. Таким образом, справедливо включение и £ .

Докажем, что и = и существует подпоследовательность решений, сходящаяся сильно к в пространстве Н(07). Заметим, что при ^ 4* существует либо подпоследовательность {¿„г} такая, что < 4* для всех I £ М, либо подпоследовательность }, > 4* для всех т £ N.

В качестве первого случая рассмотрим подпоследовательность {¿„г} С (0, Т] со свойством < 4* для всех I £ N. Это означает, что 4* > 0. Для удобства обозначим эту последовательность через {£„}. Поскольку < 4*, произвольная тестовая функция Ж £ также принадлежит множеству . Благодаря этому свойству, можно перейти к пределу при п ^ ж в следующих неравенствах с тестовой функцией Ж £ :

и„ £ , У сту(и„)еу(Ж - и„) ¿х > I ^(Ж - и„) ¿х, ¿„ £ (0, ¿*].

Принимая во внимания слабую сходимость {ип} к и в пространстве Н(07), предельное соотношение можно записать в виде

J сту (Ж - ) ¿х > J ^(Ж - V) ¿х УЖ £ К4*.

Произвольность Ж £ К * в последнем неравенстве означает, что оно является вариационным. Единственность его решения обеспечивает выполнение равенства и = . Отсюда для первого случая выводим, что ип ^ слабо в Н (07).

Рассмотрим второй случай. Переобозначив, если нужно, соответствующую подпоследовательность, имеем ^ 4* и >4*. Принимая во внимание результаты, полученные в начале доказательства имеем, что ип ^ и слабо в Н(07) при п ^ ж. В соответствии с леммой 1 для произвольной тестовой функции Ж £ существуют подпоследовательность {£&} = } С {£«} и соответствующая последовательность функций {Жк} такие, что Жк £ и Жк ^ Ж сильно в Н(07) при к ^ ж. Свойства, установленные выше для сходящихся последовательностей {Жк} и {ип}, позволяют перейти к пределу при к ^ ж

в следующих неравенствах, полученных из (4) для tk с тестовыми функциями

Wk, k е N:

У ^(Uk)£ij(Wk - Uk) dx > J F(Wk - Uk) dx.

В итоге имеем

У oj(U7)eij(W - f7) dx > у F(W - f7) dx VW G Kt».

Однозначная разрешимость последнего вариацонного неравенства влечет, что U = Ut». Следовательно, в каждом случае существует подпоследовательность |t„fc} С |in} такая, что tk ^ t*, Uk ^ Ut» слабо в H(07).

Чтобы завершить доказательство, достаточно установить сильную сходимость Uk ^ Ut» в H(07). С помощью подстановки тестовых функций W = 2Ut и W = 0 в вариационные неравенства (4) для t G (0,T] получаем

Ut G Kt, У

Данное равенство вместе со слабой сходимостью Uk ^ Ut» в H(07) при k ^ то позволяют вывести, что

lim / CTjj(Uk)elj(Uk) dx = lim / FUk dx = FUt» dx = (Ut»)еу-(Ut») dx.

k—^^ J k—J J J

Ввиду эквивалентности норм (см. замечание) заключаем, что Uk ^ Ut» сильно в H(07) при k ^ то. Таким образом, приходим к противоречию с предположением ||Un — Ut» || > б для всех n G N. Лемма доказана.

Заключение. Леммы устанавливают непрерывную зависимость решений задач о равновесии тел от параметра, характеризующего размер тонких жестких включений на внешней границе. Общность рассуждений при доказательстве разрешимости рассмотренной задачи оптимального управления позволяет утверждать, что аналогичный результат может быть получен и для нецилиндрического тела, скрепленного жесткими включениями при условии выполнения соответствующих предположений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

2. Хлуднев A. M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

3. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT-Press, 2000.

4. Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Europ. J. Mech. A Solids. 2012. V. 32, N 1. P. 69-75.

5. Khludnev A. M., Leugering G. R. Optimal control of cracks in elastic bodies with thin rigid inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2011. V. 91, N 2. P. 125-137.

6. Kovtunenko V. A. Shape sensitivity of curvilinear cracks on interface to non-linear perturbations // Z. Angew. Math. Phys. 2003. V. 54, N 3. P. 410-423.

7. Lazarev N. P., Itou H., Neustroeva N. V. Fictitious domain method for an equilibrium problem of the Timoshenko-type plate with a crack crossing the external boundary at zero angle // Jpn. J. Ind. Appl. Math. 2016. V. 33, N 1. P. 63-80.

8. Lazarev N. Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // Z. Angew. Math. Phys. 2015. V. 66, N 4. P. 2025-2040.

9. Lazarev N. P. Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 4. P. 509-518.

10. Khludnev A., Popova T. Junction problem for rigid and semirigid inclusions in elastic bodies // Arch. Appl. Mech. 2016. V. 86, N 9. P. 1565-1577.

11. Khludnev A. M., Popova T. S. On the mechanical interplay between Timoshenko and semirigid inclusions embedded in elastic bodies // Z. Angew. Math. Mech. 2017. V. 97, N 11. P. 14061417.

12. Khludnev A. M., Shcherbakov V. V. A note on crack propagation paths inside elastic bodies // Appl. Math. Let. 2018. V. 79. P. 80-84.

13. Shcherbakov V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2016. V. 67, N 3. N 71.

14. Shcherbakov V. Energy release rates for interfacial cracks in elastic bodies with thin semirigid inclusions // Z. Angew. Math. Phys. 2017. V. 68, N 1. N 26.

15. Pyatkina E. V. Optimal control of the shape of a layer shape in the equilibrium problem of elastic bodies with overlapping domains //J. Appl. Indust. Math. 2016. V. 10, N 3. P. 435443.

16. Knees D., Schroder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Math. Meth. Appl. Sci. 2012. V. 35, N 15. P. 1859-1884.

17. Rudoy E. Domain decomposition method for crack problems with nonpenetration condition // ESAIM-Math. Model. Num. 2016. V. 50, N 4. P. 995-1009.

18. Hintermuller M., Kovtunenko V. A. From shape variation to topological changes in constrained minimization: A velocity method-based concept // Optim. Method Softw. 2011. V. 26, N (45). P. 513-532.

19. Kovtunenko V. A., Leugering G. A shape-topological control problem for nonlinear crack-defect interaction: The antiplane variational model // SIAM. J. Control Optim. 2016. V. 54, N 3. P. 1329-1351.

20. Khludnev A., Negri M. Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks // Z. Angew. Math. und Phys. 2013. V. 64, N 1. P. 179-191.

21. Rudoy E. M. Numerical solution of an equilibrium problem for an elastic body with a thin delaminated rigid inclusion //J. Appl. Indust. Math. 2016. V. 10, N 2. P. 264-276.

22. Khludnev A. M., Faella L., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. V. 22, N 4. P. 1-14.

23. Неустроева Н. В. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину на границе жесткого включения // Сиб. журн. индустр. матем. 2015. T. 18, № 2. C. 74-84.

24. Popova T., Rogerson G. A. On the problem of a thin rigid inclusion embedded in a Maxwell material // Z. Angew. Math. Phys. 2016, V. 67, N 105.

25. Khludnev A. M. Shape control of thin rigid inclusions and cracks in elastic bodies // Archive of Applied Mechanics. 2013. V. 83, N 10. P. 1493-1509.

26. Rudoy E. M., Lazarev N. P. Domain decomposition technique for a model of an elastic body reinforced by a Timoshenko's beam // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 334. P. 18-26.

27. Rudoy E. M. On numerical solving a rigid inclusions problem in 2D elasticity // Z. Angew. Math. Phys. 2017. V. 68, N 1, P. 19.

28. Mura T. Micromechanics of defects in solids. Dordrecht: Martinus Nijhoff Publ., 1987.

29. Leugering G., Sokolowski J., Zochowski A. Control of crack propagation by shape-topological optimization // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Ser. A (DCDS-A). 2015. V. 35, N 6. P. 2625-2657.

30. Dal Corso F., Bigoni D., Gei M. The stress concentration near a rigid line inclusion in a prestressed, elastic material. Part I. Full-field solution and asymptotics //J. Mech. Phys. Solids. 2008. V. 56. P. 815-838.

31. Zohdi T. I., Wriggers P. An introduction to computational micromechanics. Heidelberg: Springer-Verl., 2008.

32. Salgado N. K., Aliabadi M. H. The application of the dual boundary element method to the analysis of cracked stiffened panels // Eng. Fract. Mech. 1996. V. 54. N 1. P. 91-105.

33. Annin B. D., Kovtunenko V. A., Sadovskii V. M. Variational and hemivariational inequalities in mechanics of elastoplastic, granular media, and quasibrittle cracks // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. 2015. V. 121. P. 49-56.

34. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

35. Maz'ya V. G. Sobolev Spaces. Berlin: Springer-Verl, 1985. (Springer Ser. Soviet Math.).

Статья поступила 15 октября 2017 г. Лазарев Нюргун Петрович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000;

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, ул. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090 nyurgunSngs . ru

Эверстов Владимир Васильевич

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 vv.everstov@s-vfu.ru

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2017. Том 24, № 4

UDC 539.311

AN OPTIMAL SIZE OF AN EXTERNAL RIGID THIN INCLUSION FOR A NONLINEAR PROBLEM DESCRIBING EQUILIBRIUM OF A THREE-DIMENSIONAL CRACKED CYLINDRICAL BODY N. P. Lazarev and V. V. Everstov

Abstract: A mathematical model describing equilibrium of cracked three-dimensional bodies with rigid thin stiffener on the outer boundary is studied. Inequality type boundary condition is imposed at the crack faces providing a mutual non-penetration between crack faces. We analyze the dependence of solutions on the size of the thin rigid stiffener reinforcing the cracked body on the outer edge. Existence of the solution to the optimal control problem is proved. For this problem the cost functional is defined by an arbitrary continuous functional, while the size parameter of the thin rigid stiffener is chosen as a control parameter.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.4.11315

Keywords: variational inequality, optimal control problem, nonpenetration, non-linear boundary conditions, crack.

REFERENCES

1. Morozov N. F., Mathematical Problems of the Theory of Cracks [in Russian], Nauka, Moscow (1984).

2. Khludnev A. M., Elasticity Problems in Nonsmooth Domains [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2010).

3. Khludnev A. M. and Kovtunenko V. A., Analysis of Cracks in Solids, WIT-Press, Southampton, Boston (2000).

4. Khludnev A. M., "Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates," Eur. J. Mech. A, Solids, 32, No. 1, 69-75 (2012).

5. Khludnev A. M. and Leugering G. R., "Optimal control of cracks in elastic bodies with thin rigid inclusions," Z. Angew. Math. Mech., 91, No. 2, 125-137 (2011).

6. Kovtunenko V. A., "Shape sensitivity of curvilinear cracks on interface to non-linear perturbations," Z. Angew. Math. Phys., 54, No. 3, 410-423 (2003).

7. Lazarev N. P., Itou H., and Neustroeva N. V., "Fictitious domain method for an equilibrium problem of the Timoshenko-type plate with a crack crossing the external boundary at zero angle," J. Ind. Appl. Math., 33, No. 1, 63-80 (2016).

8. Lazarev N., "Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion.," Z. Angew. Math. Phys., 66, No. 4, 2025-2040 (2015).

9. Lazarev N. P., "Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack," Z. Angew. Math. Mech., 96, No. 4, 509-518 (2016).

(g 2017 N. P. Lazarev and V. V. Everstov

10. Khludnev A. and Popova T., "Junction problem for rigid and semirigid inclusions in elastic bodies," Arch. Appl. Mech., 86, No. 9, 1565-1577 (2016).

11. Khludnev A. M. and Popova T. S., "On the mechanical interplay between Timoshenko and semirigid inclusions embedded in elastic bodies," Z. Angew. Math. Mech., 97, No. 11, 14061417 (2017).

12. Khludnev A. M. and Shcherbakov V. V., "A note on crack propagation paths inside elastic bodies," Appl. Math. Lett., 79, 80-84 (2018).

13. Shcherbakov V., "Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks," Z. Angew. Math. Phys., 67, No. 3, 71 (2016).

14. Shcherbakov V., "Energy release rates for interfacial cracks in elastic bodies with thin semirigid inclusions.," Z. Angew. Math. Phys., 68, No. 1, 26 (2017).

15. Pyatkina E. V., "Optimal control of the shape of a layer shape in the equilibrium problem of elastic bodies with overlapping domains," J. Appl. Ind. Math., 10, No. 3, 435-443 (2016).

16. Knees D. and Schroder A., "Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints.," Math. Meth. Appl. Sci., 35, No. 15, 1859-1884 (2012).

17. Rudoy E., "Domain decomposition method for crack problems with nonpenetration condition," ESAIM-Math. Model. Numer., 50, No. 4, 995-1009 (2016).

18. Hintermuller M. and Kovtunenko V. A., "From shape variation to topological changes in constrained minimization: A velocity method-based concept," Optim. Methods Softw., 26, No. 45, 513-532 (2011).

19. Kovtunenko V. A. and Leugering G., "A shape-topological control problem for nonlinear crack-defect interaction: The antiplane variational model," Siam. J. Control Optim., 54, No. 3, 1329-1351 (2016).

20. Khludnev A. and Negri M., "Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks," Z. Angew. Math. Phys., 64, No. 1, 179-191 (2013).

21. Rudoy E. M., "Numerical solution of an equilibrium problem for an elastic body with a thin delaminated rigid inclusion," J. Appl. Ind. Math., 10, No. 2, 264-276 (2016).

22. Khludnev A. M., Faella L., and Popova T. S., "Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies," Math. Mech. Solids, 22, No. 4, 1-14 (2017).

23. Neustroeva N. V., "An equilibrium problem for an elastic plate with an inclined crack on the boundary of a rigid inclusion," J. Appl. Ind. Math., 9, No. 3, 402-411 (2015).

24. Popova T. and Rogerson G. A., "On the problem of a thin rigid inclusion embedded in a Maxwell material," Z. Angew. Math. Phys., 67, No. 105 (2016).

25. Khludnev A. M., "Shape control of thin rigid inclusions and cracks in elastic bodies," Arch. Appl. Mech., 83, No. 10, 1493-1509 (2013).

26. Rudoy E. M. and Lazarev N. P., "Domain decomposition technique for a model of an elastic body reinforced by Timoshenko's beam," J. Comput. Appl. Math., 334, 18-26 (2018).

27. Rudoy E. M., "On numerical solving a rigid inclusions problem in 2D elasticity," Z. Angew. Math. Phys., 68, No. 1, 19 (2017).

28. Mura T., Micromechanics of Defects in Solids, Martinus Nijhoff Publ., Dordrecht (1987).

29. Leugering G., Sokolowski J., and Zochowski A., "Control of crack propagation by shape-topological optimization," Discrete Continuous Dyn. Syst., Ser. A, 35, No. 6, 2625-2657 (2015).

30. Dal Corso F., Bigoni D. and Gei M., "The stress concentration near a rigid line inclusion in a prestressed, elastic material. P. I. Full-field solution and asymptotics," J. Mech. Phys. Solids, 56, 815-838 (2008).

31. Zohdi T. I. and Wriggers P., An Introduction to Computational Micromechanics, 2nd ed., Springer-Verl., Heidelberg (2008).

32. Salgado N. K. and Aliabadi M. H., "The application of the dual boundary element method to the analysis of cracked stiffened panels," Eng. Fract. Mech., 54, No. 1, 91-105 (1996).

33. Annin B. D., Kovtunenko V. A., and Sadovskii V. M., "Variational and hemivariational inequalities in mechanics of elastoplastic, granular media, and quasibrittle cracks," Springer Proc. Math. Stat., 121, 49-56.

34. Mikhailov V. P., Partial Differential Equations [in Russian], Mir, Moscow (1978).

35. Maz'ya V. G., Sobolev Spaces, Springer-Verl., Berlin (1985).

Submitted October 15, 2017 Nyurgun P. Lazarev

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia; Lavrentiev Institute of Hydrodynamics, 15 Lavrentiev Avenue, Novosibirsk 630090, Russia nyurgunSngs.ru Vladimir V. Everstov

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia vv.everstov@s-vfu.ru