Восстановление параметров в краевых задачах для линейных параболических уравнений четвертого порядка

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2015. Том 22, № 3

УДК 517.956

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА Л. А. Телешева

Аннотация. Доказываются теоремы существования регулярных решений краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка в случаях, когда либо граничные данные, либо правая часть содержат неизвестные параметры, зависящие лишь от временной переменной. Условиями переопределения в рассматриваемых случаях являются условия интегрального переопределения по пространственной области или же условия интегрального переопределения по границе пространственной области.

Ключевые слова: параболические уравнения, обратная задача, интегральные условия переопределения, ряд Фурье, регулярное решение, разрешимость.

L. A. Telesheva. The recovery of parameters in boundary value problems for linear parabolic equations of fourth order.

Abstract: Existence of regular solutions of boundary value problems for parabolic equations of fourth order theorems are proved in this paper. For these problems are considered special cases, when either boundary conditions or the right-hand side contain the unknown parameters that only depends on a time variable . The overdetermination in the cases under consideration are conditions override integrated in the spatial domain or the conditions for the integral rewrite on the boundary of the spatial domain. Keywords: parabolic equations, inverse problems, integral overdeterminantion, Fourier series, regular solutions, solvability.

1. Введение

В работе изучаются задачи нахождения решений параболических уравнений четвертого порядка в ситуации, когда либо граничные данные, либо правая часть уравнения являются неизвестными. Подобные задачи можно трактовать как обратные задачи — задачи, в которых вместе с решением требуется найти те или иные параметры (коэффициенты) самой задачи. Как правило, в подобных задачах предполагается, что неизвестные параметры имеют некоторый специальный вид и что помимо естественных краевых условий задаются также некоторые дополнительные условия — условия переопределения.

В настоящей работе предполагается, что неизвестные параметры являются функциями лишь от временной переменной. В качестве условий переопределения в настоящей работе предлагается использовать условия интегрального переопределения. Более точно, дополнительные условия в настоящей работе задаются как условия равенства нулю некоторых интегралов от решения по пространственной области или же по границе пространственной области.

© 2015 Телешева Л. А.

Работа состоит из двух частей и дополнения. В первой части работы изучаются обратные задачи нахождения неизвестных граничных данных, во второй — обратные задачи нахождения неизвестной правой части. Объединяет две эти части единый метод исследования.

В дополнении указываются возможные обобщения полученных результатов.

2. Восстановление граничных данных

Пусть О — ограниченная область пространства К" с гладкой (бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q — цилиндр О х (0,Т) конечной высоты Т, Б = Г х (0, Т) — боковая граница Q. Далее, пусть с(х), / (ж, ¿), Л^(ж), Л.2(ж), К (ж) и Ж(ж) — заданные функции, определенные при х £ О, £ £ [0, Т]. Пусть —

одна из пар граничных операторов 1-^и = и, и = либо 1-^и = и, и = Аи, либо 1хи = {-¿и, = ^г (здесь и далее V = (г/1,..., vn) — вектор внутренней нормали к Г в текущей точке х, А — оператор Лапласа по переменным Ж1,..., жп ).

Обратная задача I. Найти функции щ(ж,£), и д2(£) такие, что для

функции щ(ж, в цилиндре Q выполняется уравнение

щ + А2щ + с

а также условия

щ

^Цж ¿^

/Км-м* = 0, М^)* = 0, 0<(<Т. и

о о

Обратные задачи нахождения вместе с решением также неизвестных граничных данных изучались ранее в различных постановках — различных прежде всего по виду неизвестных данных и по типу условий переопределения. Ряд результатов о разрешимости таких задач можно найти в монографиях [1-3] и статьях [4-9].

С другой стороны, задачи для различных классов нестационарных дифференциальных уравнений с условиями в виде интегралов от решения (с весом) по пространственной области активно изучаются в последнее время, см. работы [10-19]. В основном эти работы (а также другие, близкие к ним) относятся к параболическим и гиперболическим уравнениям второго порядка и одномерному случаю. Вместе с тем заметим, что в работах [8,11,19,20] задачи с интегральными условиями трактовались именно как обратные задачи, но при этом рассматривались лишь некоторые специальные случаи обратной задачи I.

И еще одно замечание. По постановке изучаемая обратная задача I близка к задаче работы [8], по используемым методам — к работе [20].

Перейдем к содержательной части.

Проведем некоторые формальные построения. Определим функцию г>о(ж, как решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2), а также условиям

¿1щ

Определим функции Л;(ж), j = 1, 2, как решения задач

Д2Л; + с(ж)Л; = 0, ?кЛ;(ж)|хеГ = ¿кЛ;(ж)|хеГ, j, к =1, 2

(¿к — символ Кронекера).

Решение и(ж, 4) обратной задачи I представим следующим образом:

и

с функцией V(ж, 4), имеющей вид

V (ж, 4) = 91(^1 (ж) + ?2(4)Л2(ж),

и с функцией ад(ж, 4), являющейся решением задачи

^ + Д2ад + с(ж)ад = —д' (4)Л1(ж) — д2 (4)Л2(ж),

Пусть {ток(ж)}£=1 — ортонормированная в пространстве Ь2(0) система собственных функций задачи

Д2ад + с(ж)ад = Лад, ж € О, ?1ад(ж)|хеГ = ?2ад(ж)|хеГ = 0,

Ак, к = 1,..., — соответственно собственные числа.

Представим функции Л;(ж), j = 1, 2, рядами Фурье по системе {адк(ж)}^1:

Л; (ж) = ^ а^'к (ж). к=1

Функцию ад(ж, 4) также представим рядом Фурье:

ш

к=1

неизвестные функции Ск(4) здесь являются решениями задачи Коши

ск(4) + Лк Ск(4) = —а^д' (4) — а2к 92 (4), ск (0) = 0.

Положим

^к (4) = Ск(4) + а1к д1 (4) + а2к92(4). Потребуем, чтобы для функций д;(4), j = 1, 2, выполнялось условие

9; (0) = 0

(заметим, что это условие соответствует естественному условию согласования для решений обратной задачи I). Тогда функции ^ (4) должны быть решением задачи Коши

4 (4) + Ак4(4) = Лк (а1к 91(4) + а2к 92(4)), 4(0) = 0.

Найдя функции (¿), найдем далее функции (¿):

е-Ак(*-т^(т) ¿т + а2^ е-Ак(*-т^(т) ¿т оо

- а^д!^) - а2^^2(4).

Зная функции (¿), получаем представление функции щ(ж, ¿) через известные величины и неизвестные коэффициенты д1(4) и д2(4):

щ

й=1

+ Ё

&=1

Г г

а1^ е-Ак(Г-т)д1 (т) ¿т + а2* У е-Ак(Г-т^(т) ¿т

Введем обозначения

*«)=/ К

о о

^ = \К(жК(ж) ^ а* = /ЖжК(ж) ^ к =1, 2,..

оо

Дг,^(¿) = Ё Л^а^а^е"^4, г,= 1, 2.

&=1

Умножим равенство (7) на функцию К (ж) и проинтегрируем по области О. Учитывая (4), получим

г г

^1(*)+У Я1,1(* - тЫт) ¿т + I Д1,2(* - т)д2(т) ¿т = 0.

Аналогично, умножая равенство (7) на функцию N (ж) и интегрируя, полу-

чим соотношение

г г

^2(*)+У Я2,1(* - т)д1(т) ¿т + I Д2,2(4 - тЫт) ¿т = 0.

Равенства (8) и (9) дают систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода относительно функций д1(4) и д2(4), ее разрешимость позволит найти функцию щ(ж, ¿) — решение уравнения (1), для которого выполняются условия (2)-(4).

Обозначим через Ко матрицу с элементами (0), г,^ = 1, 2. Теорема 1. Пусть выполняются условия

с{х) е С(П), с{х) > О при х е И,

^(ж) € С(О), ЛГ(ж) € С(О), к^х) £ j = 1, 2;

Ио = 0;

числовые ряды ¿2 Акабсолютно сходятся для г, = 1, 2, р =1, 2, 3.

к=1

Тогда для любой функции / (ж, 4) такой, что / (ж, 4) € /¿(ж, 4) €

/«(ж, 4) € обратная задача Iимеет решение {и(ж, 4), 91(4), 92(4)} такое, что

и(ж,4) € Ж^), д1(4) € ^21([0,Т]), 92(4) € ЖК[0,Т]).

Доказательство. Рассмотрим систему интегральных уравнений (8), (9). Используя стандартный переход от уравнений Вольтерра первого рода к уравнениям Вольтерра второго рода (дифференцированием, что возможно), нетрудно убедиться, что при выполнении условий теоремы система (8), (9) имеет решение {д1(4), 92(4)}, при этом выполняются включения (4) € ^2([0,Т]), г = 1, 2. Очевидно теперь, что функция и(ж, 4), определенная равенством

и(ж, 4) = и0(ж, 4) + V(ж, 4) + ад(ж, 4),

в котором функции V(ж, 4) и ад(ж,4) вычисляются через найденные функции 91(4) и 92(4), будет искомым решением уравнения (1), для нее будет выполняться включение и(ж,4) € и будут выполняться условия (2)-(4).

Теорема доказана.

Сделаем несколько замечаний.

1. Сходимость рядов £ А^а^ка^ предполагает, что числа а^ или а^ (или

к=1

их произведение) быстро убывают. Искомое убывание имеет место, например, в случае, когда функции К (ж) и N (ж) гладкие и обращаются в нуль на Г вместе со своими производными нужного порядка.

2. Функции К (ж), ^ж), ^1(ж) и Л.2(ж) вполне могут зависеть и от переменной 4. Соответствующие ряды в этом случае будут уже не числовыми а функциональными, для этих рядов естественным образом возникнут условия равномерной сходимости, прочие же выкладки лишь незначительно усложнятся.

3. Восстановление правой части

Пусть функции /(ж, 4), к(х, 4), .ЙТ(ж) заданы и определены при ж £ О, 4 (Е [0, Т]. В данной части работы будем рассматривать уравнение

и + Д2и = /

Обратная задача II. Найти функции и(ж, 4), 9(4), связанные в цилиндре Q уравнением (10), при выполнении для функции и(ж, 4) однородных граничных условий следующего вида:

ди д^

дДи

= 0,

(х^ея

начального условия (2) и интегрально-граничного переопределения

У К

Обратная задача III. Найти функции u(x, t), q(t), связанные в цилиндре Q уравнением (10) при выполнении для функции u(x, t) условий (2), (11) и условия внутреннего интегрального переопределения

Jn

о

Заметим, что обратная задача II для параболических уравнений высокого порядка ранее изучалась лишь в [21]. Обратная задача III изучалась ранее многими авторами, выделим здесь монографии [22-24] и статьи [25, 26]. В нашу работу исследование разрешимости обратной задачи III внесено лишь для того, чтобы представить условия ее разрешимости в иных, нежели в указанных выше работах, терминах.

Вновь проведем некоторые формальные построения.

Представим функции h(x, t) и f (x, t), рядами Фурье по системе {wk(x)1:

Ж Ж

h(x,t) = hk(t)wk(ж), f (x,t) = ^ fk(t)wk(x).

k=1 k=1

Функцию u(x, t) также представим рядом Фурье:

ж

u(x,t) = Ck(t)wk(ж), k=1

неизвестные функции Ck(t) здесь являются решениями задачи Коши

ck

Решая данную задачу, находим

t

Ck(t)= Pk(t)+y q(r)hk(т)e-^(t-T) dr.

Подставляя полученные значения функций адк (ж) и Ск (4) в представление компоненты и(ж,4), получим

(x, t) =

.0

Введем обозначения

У fk(r)e-Äk(t-T) dr + J q(r)hk(т)e-Äk(t-T) dr

Wk

t

hk = max |hk(t)|, pk(t) = fk(r)e-Äfc(t-T) dr, pk = max |pk(t)|,

[0,T] J [0,T] 0

/ж Ж

N(x)wk (x)dsx, ^(t)=^ bkPk (t), G(t,r)=^ bkhk(r)e-Äk (t-T).

r k=1 k=1

г. Ж Ж

ßk = / N (x)wk (x) dx, n(t) = X) ßkPk (t), H (t,r ) = ^ ßkhk(r )e-^(t-T).

k=1 k=1

t

t

Умножим равенство (15) на функцию К (ж) и проинтегрируем по Г. Учитывая (12), получим

г

0(t) +У q(r)G(t, т) dr = 0.

Аналогично, умножая равенство (15) на N (ж) и интегрируя по О, учитывая (13), получим

t

n(t) + J q(r)H(t,r) dr = 0.

Уравнения (16), (17) являются интегральными уравнениями Вольтерра первого рода относительно функции д(4), их разрешимость позволит найти функцию щ(ж, ¿) — решение уравнения (10), для которого выполняются условия (2) и (11).

Теорема 2. Пусть выполняются условия

Л(ж, ¿) е С(<Э), т) е С((0,т), (0, т)), ф(4) е С1([0, т]), ф'(4) е ¿2([0,Т]);

k=1

> bo > 0 при t G [0,T];

числовые ряды , ^ , ^ ^а^аЛ сходятся абсолютно.

й=1 й=1 й=1 Тогда для любой функции /(ж,4) такой, что /(ж, ¿) е /г(ж,4) е

¿2^), существует решение {щ(ж, ¿), д(4)} обратной задачи II такое, что щ(ж,4) е

^2,4№), е ¿2((0,Т)).

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия:

л(ж,*) е Сп(4) е С 1([0,т]), п'(4) е ¿2([0,Т]), Я^,т) е С((0,Т), (0,Т));

¿0fc hk

k=1

> do > 0 при t G [0,T],

числовые ряды J2 ^ |Pfc, I] |hfcAfc сходятся абсолютно.

k=i k=i k=i Тогда для любой функции f (x,t) такой, что f (ж, t) G L2(Q), ft(x,t) G L2(Q), существует решение {u(x, t), q(t)} обратной задачи III такое, что u(x,t) G

^2,4№), е ¿2((0,Т)).

Доказательство теорем 2 и 3 сводится к доказательству разрешимости интегральных уравнений (15) и (16) соответственно. При выполнении условий теорем 1 и 2 данные уравнения разрешимы (см., например, [27]).

4. Дополнение

1. Аналогичные теоремам 1 и 2 результаты нетрудно получить и для параболических уравнений высокого порядка, например для уравнений

ut + (—1)mAmu + c(x)u = f (x, t).

Для этих уравнений будем считать, что задана система {j }m= 1 граничных операторов с коэффициентами, не зависящими от переменной t, таких, что спектральная задача

wt + ( —1)mAmw + c(x)w = Aw,

w(x)|xer = 0, j = 1, 2, ...,m,

порождает полную в пространстве W2m(0) ортонормированную в L2(0) систему собственных функций {w&1 с соответствующими неположительными собственными числами A&, k = 1, 2,....

Уточним, что для аналога обратной задачи II среди операторов 11,12,..., не должен присутствовать оператор lu = u.

2. Во всех построениях оператор A можно заменить оператором L, имеющим вид

±

i,j=1 ^ с гладкими в О коэффициентами (ж).

3. Наряду с обратными задачами II и III нетрудно изучить и задачи с точечным переопределением — именно, с заданием условия u(xo,t) = 0 при xo £ Г или xo £ О.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988..

2. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. (Университетская серия. Т. 5).

3. Алексеев Г. В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. М.: Научный мир, 2010.

4. Костин А. Б., Прилепко А.И. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 11. C. 1319— 1328.

5. Борухов В. Т., Корзюк В.И. Применение неклассических краевых задач для восстановления граничных режимов процессов переноса // Вестн. Белорус. ун-та. 1998. № 1. C. 54-57.

6. Борухов В. Т., Вабищевич П. Н., Корзюк В. И. Сведение одного класса обратных задач теплопроводности к прямым начально-краевым задачам // Вестн. Белорус. ун-та. 2000. № 4. C. 742-747.

7. Короткий А. И., Ковтунов Д.А. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции несжимаемой жидкости // Тр. ИММ ДВО АН. 2006. № 12. C. 88-97.

8. Kozhanov A. I. The problem of recovery of the boundary condition for a heat equation // Аналитические методы анализа и дифференц. уравнений (AMADE-2011): Материалы 6-й Междунар. конф., посвящ. памяти проф. А. А. Килбаса / под общ. ред. С. В. Рогозина. Минск: Изд. центр БГУ, 2012. C. 87-96.

9. Кожанов А. И. Линейные обратные задачи для некоторых классов нестационарных уравнений // Сиб. электрон. мат. изв. 2015. Т. 12. C. 264-275.

10. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1997. № 13. C. 294—304.

11. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения на плоскости // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, Ин-т математики СО РАН, 2007. С. 232-236.

12. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Мат. журн. 2009. № 9. C. 78-92.

13. Кожанов А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений. Нелинейные граничные задачи // ИПММ НАН Украины. 2010. № 20. C. 54-76.

14. Пулькина Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений // Самара: Самар. гос. ун-т, 2012.

15. Кожанов А.И., Пулькина Л. С. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений // Докл. АН. 2005. Т. 404, № 5. C. 589-592.

16. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. C. 1166-1179.

17. Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Изв. вузов. Математика. 2007. № 5. C. 312.

18. Абдрахманов А. М. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием второго рода для уравнений нечетного порядка // Мат. заметки. 2010. Т. 88, № 2. С. 163-172.

19. Кожанов А.И. Задачи с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений // Докл. АН. 2014. Т. 457. № 2. C. 152-156.

20. Кожанов А. И. Разрешимость пространственно-нелокальных задач с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 1. C. 1048-1055.

21. Кожанов А. И., Телешева Л. А. Параболические уравнения высокого порядка: обратные задачи с граничным переопределением и гранично-нелокальные задачи // Докл. АМАН. 2015. Т. 17, № 4. C. 42-60.

22. Prilepko A. I.,Orlovsky D. C., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Dekker, 1999.

23. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: WNTL Publishers, 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).

24. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

25. Камынин В. Л., Франчини Э. Об одной обратной задаче для параболического уравнения высокого порядка // Мат. заметки. 1998. Т. 64, вып.5. C. 680-691.

26. Пятков С. Г., Сафонов Е. И. О некоторых классах линейных обратных задач для параболических систем уравнений // Сиб. электрон. мат. изв. 2014. Т. 11. C. 777-799.

27. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

Статья поступила 12 сентября 2015 г.

Телешева Любовь Александровна Бурятский государственный университет, Институт математики и информатики, ул. Ранжурова, 59, Улан-Удэ 670000 love_20_09@mail.ru