Исследование устойчивости состояния равновесия негладких динамических систем

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2011, том 54, №10____________

МАТЕМАТИКА

УДК 519.63

И.Д.Нуров, М.Ш.Халилова

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕГЛАДКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Институт математики АН Республики Таджикистан

Исследуется задача об устойчивости состояния равновесия негладкой динамической системы. Получены новые условия возникновения малых периодических решений в окрестности состояния равновесия.

Ключевые слова: бифуркация - негладкие динамические системы - устойчивость - якобиан - нелинейность - разрывность - стационарность - дифференциальные уравнения.

Математические модели многих динамических систем приводят к дифференциальным или разностным уравнениям, содержащим негладкие, разрывные или многозначные функции [1,2]. Таковыми являются системы, содержащие нелинейности типа идеальных или неидеальных реле, гистере-зисные звенья различных видов, системы с зонами нечувствительности или насыщения, ударные механизмы и др. К указанным моделям приводят многие задачи механики, физики, биологии, экологии, экономики и т.д. При этом негладкость может присутствовать и как возмущения исходной гладкой системы, и как принципиальный элемент модели. В данной статье для простоты такие модели называются негладкими динамическими системами (НДС). Обычно эти НДС вышеприведённых процессов зависят от параметров.

Важную для разнообразных приложений играют роль такие значения параметров, при изменении которых происходит «качественная перестройка» системы. Такие значения параметров обычно называют либо критическими, либо бифуркационными, либо точками ветвления. Классическими примерами задач, в которых наблюдается «качественная перестройка» системы при малых изменениях параметров, являются известная задача Эйлера о формах потери устойчивости упругих систем, задачи о возникновении волн, задачи Андронова-Хопфа о рождении автоколебательных режимов из состояния равновесия при потере устойчивости этого состояния равновесия [1].

Настоящая статья посвящена исследованию нелинейного дифференциального уравнения вида

где характеристика нелинейности имеет вид р(х; Л) = оАх ^ Ы ^ 0, X - скалярный параметр.

Адрес для корреспонденции: Нуров Исхокбой Джумаевич. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E- mail: nid1@mail.ru

1. Эффект негладкости двумерных систем

В работе [3] исследовано уравнение (1) с постоянными коэффициентами для случая, когда нелинейная добавка (р(х; Л) = 0.

Согласно определению, модульная разность имеет вид

Ы-А = \ х'-Л- Х'>Д.

1 1 |- (х'-Л), х'<Л

Введём в рассмотрение следующие условия

ах (Л0) = с(Л0) = 0, а[(Л0) = с'(Л0) ф 0, а2 (Л0) > 0.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (2). Пусть х е П0, П0 = {х,(х,Ь0) = 0}, тогда Л0

яв-

ляется точкой бифуркации стационарных решений.

Схема доказательства теоремы (1) приведена в работе [4].

Так как Л — скалярный параметр, то при исследования уравнения (1) возникают различные ситуации:

у > Л; Л < О

у > Л; Л < О .

у < Л; Л > О

у < Л; Л < 0

На данном этапе рассмотрим первый случай формулы (3). Имеем

х = у

[у ' = ~ах (Л)у - а2 (Л)х - с(Л)(у - Л) - р(х; Л)'

Тогда состоянию равновесия системы соответствует

у = 0

или

у = 0

I - а2 (Л)х + Лс(Л) -р(х;Л) = 0 I а2 (Л)х - Лс(Л) + р(х;Л) = 0

Обозначим решение второго уравнения

0

- этому соответствует следующая геометрическая картина

* (Л) ------

м (Л') = Рис. 1.

Предположим, что нелинейность в состоянии равновесии (4) имеет квадратичный вид, то есть является чётной. Тогда <р(х; Л) = х2.

Рассмотрим следующее уравнение х2 + а2 (X)х — Лс(Л) = 0 .

Пусть Л0 = 0 корни данного уравнения в плоскости имеют вид:

а

Х1,2 =

2

Отсюда

х*(о)=—аМ±аМ=о, х*(о) = — а2(0^— а2(0)=—2аМ=—^ да,

2

2

2

Этому соответствует сдвиг решений на левую часть оси X (рис. 2).

У

X

Рис. 2.

2. Устойчивость

Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости X (Л) стационарных решений уравнения (1).

Явление бифуркации обычно связано с изменением характера устойчивости стационарных состояний системы (4). В различных природных явлениях особую роль играют значения параметров. При одних параметрах система может функционировать устойчиво, а при других фазовая картина системы может кардинально меняться.

В данном разделе исследуем устойчивость стационарных решений уравнения (1). Пусть выполняется первое условие формулы (3).

Имеем:

I у' = —%

, где £(Л) = а1 (Л) + с(Л).

Введём в рассмотрение матрицу Якоби из вышеприведенной системы

АЛ =

0

1

— а2

здесь х (Л) - решение второго уравнения системы (4).

Пусть ¥(х; Л) = а2 (Л)х — Лс(Л) + р(х; Л) = 0. Тогда

ёе1(А(Л) — /и1) = — ц(—£(Л) — /и) + аг (Л) + р} х = 0 или ¡и + ¡и^(Л) + а2 (Л) + р х (х; Л) = 0. Согласно определению устойчивости [5], для двумерных систем получим

£(Л) > 0, а2(Л) + рх (х;Л) > 0

Теорема 2. Пусть выполнено условие (5). Тогда состояние равновесия (4) уравнения (1) является устойчивым.

3. Бифуркации в разрывных системах

В этом разделе статьи уравнение (1) исследуется в ином виде

х' '+а (Л)х'+а2 (Л)х + с(Я)^і^п(х'—Л) + <р(х; Л) = О .

Имеем

з1§п( х'—Л) =

1, х' > Л

О,

х' = Л х’ < Л

С учётом (7) уравнение (6) исследуется в следующих вариантах

х''+а (Л)х'+а (Л)х + с(Л) + ср(х; Л) = О, х' > Л

х''+а (Л)х'+а (Л)х + ср(х; Л) = О, х' = Л

х''+а (Л)х'+а (Л)х — с(Л) + ср(х; Л) = О, х' < Л

Согласно условиям (2), все три уравнения системы (8) при Л = Л0 примут вид: х' '+а2 (Л ) х + р( х; Л ) = 0

Опять, как и в предыдущих разделах, предположим, что р( х; Л) = х2 и рассмотрим

X'+а2 (Л ) х + х2 = 0.

Для решения уравнения (10) делаем замену

йх ,, йу йу йх йу йу , „ ч 2 л

V = х =-------, х = — ------— = V —, у-+ а2 (Л )х + х = 0,

а а ах а ах йх

1 йу2

2

= —а (Л )х — х , йу =—2а2 (Л )хйх — 2х йх, у = — а2 (Л )х----------х + С

2 йх 3

так как V2 > 0 ; а с другой стороны, у2 = — х2

Ч 2 а2(Л0) +- х

+ С;

<

3

а2 (Л )х + — х

— — х

< 0 при 0 < х| < 30 .

2

а2 (Л ) + ~ х > 0 при |х| < 30 , где <50 = ^

3а(Л0) >0

Противоречие, которое означает, что у системы

х = у у' = — а2 (Л ) х — х2

нет интегральных кривых, входящих в особую точку х(0) = 0, у(0) = 0, кроме самого равновесного решения х = 0, у = 0, у2 = С — х21 а2 (Л ) + ^х 1, С У 0; обозначим С = Я2, а2 (Л ) = а2 У 0 .

Тогда

2

2

V = ±л Я — х (а2(Л0) +-х) = +л Я — х (а +-----------х) или же

3

3

у = ±у/Я2 — х2 а2(х) ,

^ ^ 2

где введено обозначение а (х) = а + — х > 0 при малом по модулю 2

х. Так как если |х| мало, то 2 |х| < а2 . Пусть выполнена следующая оценка

3 I I

2

О < а 0 < а + — х < а х

тогда при достаточно малом |х|, а , а2 - некоторые положительные числа. Рассмотрим

у+ (х) = у1 я 2 — а1 х 2 ; у+ (х) = ^К2 — а2(х)х 2 ; уз+ (х) = у/Я2 — а0х2

где по построению

у+

Соответственно

у—

(х) = —7Я 2 — а2 х2 ; у2 (х) = —д/К 2 — а 2(х)х 2 ; уз (х) = —^Я2 — а20 х2 ;

уз (х) < у2 (х) < у1 (х) .

2

у2 = —а 2(х)х2 + Я2; у2 = —х 2(а2Л>) + - х) + Я2;

кривые у2 =—а2х2 + Я2 о у2 + а2х2 = Я2 и у2 = —а02х2 + Я2 о у2 + а02х2 = Я2

являются эллипсами, окружающими особую точку х0 = 0, y0 = v0 = 0. y^ (x), y1 (x) и

у+ (х), у3 (х) это полуэллипсы, расположенные соответственно в верхней и нижней полуплоскости. В силу (13), (14) кривые

- это замкнутые кривые, расположенные между этими эллипсами при любом заданном Я (рис 3).

Вывод. Особая точка устойчива, и уравнение (10) при Л0 У 0 имеет устойчивое периодическое решение.

Теорема 3. Пусть выполнено условие (12), тогда уравнение (10) имеет устойчивые периодические решения.

траекторий системы (11). Отсюда следует, что при Л0 > 0 имеются периодические устойчивые решения уравнения (9).

1. Андронов А.А., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959, 913 с.

2. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной частью. - Матем. сборник, 1966, №51, РЖМат, 960, 317 с.

3. Leine R.I.,Van Campen D.H. - European Journal of Mechanigs A/Solids 2006 №25, рр. 595-616.

4. Nurov I.,Yumagulov M. - Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, 2003, №13, рр. 71-81.

5. Нуров И.Д., Халилова М.Ш. - ДАН РТ, 2010, №10, с. 752-758.

Y

Рис. 3.

Таким образом, особая точка х0 = 0 , у0 = 0. При Л0 > 0 окружается семейством замкнутых

Поступило 22.08.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

И.Ч,.Нуров, М.Ш.Халилова ТАДКИКИ УСТУВОРИИ ДОЛАТИ ОРОМИИ СИСТЕМАМИ ДИНАМИКИИ ГАЙРИСУФТА

Институти математикаи Академияи илмхои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола муаллифон хдлх,ои бифуркатсиониро дар системаи динамикии гайрисуфта омухтаанд. Инчунин устувории х,олати оромии ин системах,о тадкики худро ёфтааст.

Калима^ои калиди: бифуркасия - системауои динамики гайрисуфта - устувори - якобиан -гайрихаттй - каниш - долати ороми - муодилауои дифференсиали.

I.J.Nurov, M.Sh.Khalilova THE STABLE OF STATIONAR STATE THE NON-SMOOTH DYNAMICAL SYSTEMS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

The authors constructed in this article the solution’s bifurcation in non-smooth dynamical systems. There a research stable near at the stationary equilibrium of the systems.

Key words: bifurcation - non-smooth dynamical systems - stable - state - nonlinear - Jacobian - discontinuous -periodical - differential equation.