Приближенный метод расчета осесимметричного взаимодействия свободно расширяюшейся струи с преградой

Том I

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

__

№ 4

УДК 533.7

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СВОБОДНО РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ СТРУИ С ПРЕГРАДОЙ

Предлагается приближенный метод решения задачи о взаимодействии сверхзвуковой недорасширенной струи с преградой. Эта задача сводится к задаче обтекания шара равномерным потоком газа. Дана методика определения числа М и радиуса шара. Результаты расчета приближенным методом сравнены с экспериментальными данными.

Задача о взаимодействии свободно расширяющейся струи газа с преградой теоретически еще мало исследована, лишь в последнее время появилось несколько численных методов ее решения. Так, в работе [1] она решается обратным методом. Эффективным оказался метод интегральных соотношений, который был применен в работах [2] и [3]. На 3-м Всесоюзном съезде механиков о решении этой задачи сделали доклад М. Р. Лебедев и К. Г. Савинов, которые применили метод установления К. И. Бабенко и В. В. Русанова. В данной статье в отличие от упомянутых выше работ предлагается метод, который не требует использования ЭЦВМ; задача осесимметричного взаимодействия сверхзвуковой струи с преградой (шар или плоскость) сводится к задаче обтекания шара равномерным потоком газа. В качестве исходных используются данные о распределении параметров в свободно расширяющейся сверхзвуковой струе и обтекании шара равномерным сверхзвуковым потоком, которые имеются, например, в работе [4].

Рассмотрим обтекание шара равномерным потоком газа (фиг. Л, а). При обтекании возникает отошедшая ударная волна и между фронтом волны и поверхностью тела образуется область АВСО дозвукового течения. В случае адиабатического течения система уравнений, описывающая движение газа, может быть записана в виде

где /? — радиус шара; и, V — составляющие скорости в направлении осей х ну; а — скорость звука; ф — функция тока; р — плотность.

Задача состоит в определении однозначного и непрерывного решения в рассматриваемой области. Ее границами, на которых ставятся соответствующие условия, являются ударная волна АВй, ось симметрии АО, контур тела ОС. Обзор методов решения этой задачи дан в работе [4].

Теперь рассмотрим обтекание шара струей газа. Здесь, как и при обтекании шара равномерным потоком, возникает отошедшая ударная волна и между

В. И. Благосклонов

ду ди 1 йх

дх ду 2 дф ’

)

,8—Ученые записки № 4

99

фронтом волны и телом образуется область дозвукового течения. Системы уравнений, описывающие движение газа, и граничные условия на оси симметрии и на поверхности шара, обтекаемого равномерным потоком и струей газа, одни и те же. Специфика задачи обтекания шара струей газа состоит в удовлетворении граничным условиям на скачке АВБ. Вдоль скачка изменяется как сама скорость набегающего потока, так и ее направление. Пусть решение задачи обтекания шара струей газа известно. Попытаемся определить, какому радиусу

Фиг. 1

•0,1

6^0,05

О 1 2 3 4 5 £ 7 В 3 10 11 х

Фиг. 2

шара и при каком числе М равномерного набегающего потока это решение больше всего соответствует.

Возьмем радиус шара, обтекаемого равномерным потоком, таким, чтобы отход ударной волны был равен отходу ударной волны шара, обтекаемого струей газа. Этот радиус шара назовем эквивалентным и обозначим

Перейдем к системе координат «г, где « — длина дуги, измеряемая вдоль контура тела, я —нормаль к нему. Области АВГ)СО и А’ВЧУС'О' будут иметь вид, представленный на фиг. 1, в, г. Если бы поставленная задача имела точ-

100

ное решение, то эти области совпали бы. В этом случае число М вдоль всего скачка должно быть постоянным и равным числу М равномерного потока, углы наклона скачка и о2 с осью х должны быть равны. Углы, образованные векторами скорости с касательной к скачку, 0! и 02 должны быть также равны. (Передним модуль скорости набегающего потока по какому-либо закону. Величину этой скорости назовем Такое осреднение слабо скажется на окончательном

V,

решении задачи, если М1 = -^-’ достаточно велико, что обычно и бывает в данной задаче, поскольку для шара, обтекаемого равномерным потоком газа, зави-

симость решения от числа М при достаточно

больших его значениях слабая. Из фиг. 1 видно, что

и1

02 = 8- -)- 2 — с2 + 83.

Из формул (2) и (3) следует,

что

Для 9 — угла наклона скорости к оси струи — аналитического выражения нет, но из анализа численного расчета струй следует, что распределение углов наклона скорости в окрестности преграды можно аппроксимировать распределением, соответствующим источнику с полюсом на оси симметрии. Расстояние от среза сопла до центра источника а! следует брать для каждого конкретного случая, используя численные расчеты струй.

При такой аппроксимации

» = агс1*£-£-,

где г — расстояние от ударной волны до преграды; = /— Ф,

I—расстояние от оси сопла до преграды. Все линейные размеры отнесены к радиусу сопла-

Подставив выражения (5) — (7) в уравнение (4), получим:

J_________!_ + _!_

/?0 ~ я 1 - е я •

Если в струе стоит пластина, то, переходя в уравнении (8) к пределу по Я, полу чим Я0 = — Е ($).

Таким образом, найден радиус шара и число М набегающего потока, т. е. приближенно решена поставленная задача.

Исходя из сказанного, можно предложить следующую методику расчета обтекания пластины или шара струей газа с достаточно большим недорасшире-нием.

1. По заданному положению пластины или шара находим центр фиктивного источника. При этом нужно пользоваться численными расчетами струй (фиг. 2).

2. Находим % по формуле К0 = Я1(1— е).

3. Строим зависимость е = г (х). При этом можно пользоваться материалом, имеющимся в работе [4], или графиком фиг. 3.

Уточняем значения й0 и М].

Строим необходимые зависимости для шара радиусом Я0 в равномерном

8*

101

Фиг. 5

потоке. Эти зависимости одновременно являются и зависимостями по пластине или шару в струе газа.

Так как для струйных задач принято давление относить к давлению на срезе сопла, то для получения такого безразмерного давления его необходимо умножить на отношение давления торможения в критической точке к давлению на срезе сопла. Имея данные расчета струи и отхода скачка от тела, это можно сделать с помощью таблиц газодинамических функций.

Для проверки правильности изложенной методики было рассчитано взаимодействие плоской пластины со струей газа, истекающей из сопла с Ма = 2 и V. = 1,4 при / = 3,9; 4,6; 5,3; 6,0;6,6; 10,0. Закон осреднения был взят таким, чтобы количество движения части струи, втекающей в дозвуковую область, до и после осреднения оставалось одинаковым.

Результаты расчета приведены на фиг. 4. На этой же фигуре нанесены точки, полученные в эксперименте. На фото фиг. 5 нанесены точки, соответствующие ударной волне, показанной на фиг. 4. Результаты расчета и эксперимента сходятся удовлетворительно. В области сверхзвукового течения с увеличением М погрешность метода возрастает. Это связано с тем, что линии равных чисел М резко разворачиваются в сторону сопла, и в этой области течение уже не сходно с обтеканием шара равномерным потоком, а приближается к течению радиальной струи из щели в среду с низким переменным давлением. Расчеты но приближенному методу рекомендуется проводить с />Зн-5 радиусов сопла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Eastman D. W., Bonnema I. P. Flowfield of a highley under-expaded impinging on surface. AIAA J., v. 4, № 7, 1966

2. Храмов H. E. Расчет взаимодействия осесимметричной сверхзвуковой недорасширенной струи с преградой. МЖГ, 1966. № 5.

3. Храмов Н. Е. Расчет обтекания сферы неравномерным потоком газа. ПММ, т. 29, вып. 1, 1965.

4. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. Сб. статей под. ред. О. М. Белоцерковского. ВЦ АН СССР, 1966.

Рукопись поступила 6)Х 1969 г