Об аппроксимируемости групп Баумслага Солитэра

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 512.543

ОБ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ ГРУПП БАУМСЛАГА - СОЛИТЭРА

Д. И. Молдаванский

ON THE RESIDUALLITY OF BAUMSLAG - SOLITAR GROUPS

D. I. Moldavanskii

Аннотация

Приведен обзор полученных к настоящему времени результатов об аппроксимируемости групп Баумслага - Солитэра некоторыми классами конечных групп относительно предикатов равенства и сопряженности.

The survey of results on residuallity and conjugacy separability in some classes of finite groups of Baumslag - Solitar groups that have received up to now is given.

Группами Баумслага - Солитэра называют группы вида

G(m, и) = (a, b; a-1bma = bn),

где m и и — ненулевые целые числа. Отметим сразу же, что поскольку группы G(m, и), G(u, m) и G(-m, -и) попарно изоморфны, без потери общности можно считать, что параметры m и и, определяющие группу G(m, и) удовлетворяют условию \и\ ^ m > 0; в тех случаях, когда это удобно для формулировок, мы будем предполагать это условие выполненным.

Семейство групп G(m, и) было введено в рассмотрение в статье Г. Баумслага и Д. Солитэра [1]. Именно в этом семействе авторы обнаружили первый пример группы с одним определяющим соотношением, не являющейся хопфовой (т. е. изоморфной некоторой своей истинной фактор-группе); было показано, что группа G(2, 3) является нехопфовой. Тем самым оказалось опровергнутым

предположение о том, что произвольная группа, определяемая одним соотношением, является хопфовой и даже финитно аппроксимируемой. Это предположение разделялось в то время рядом математиков и основывалось, по-видимому, на чисто формальной близости групп с одним определяющим соотношением к свободным группам. Тот же пример позволил ответить и на вопрос Б. Неймана [2], может ли нехопфова группа, порождаемая двумя элементами, определяться конечным множеством соотношений.

В течение ряда лет свойства групп Баумслага - Солитэра привлекали внимание многих математиков, в частности и потому, что ряд естественных вопросов о строении и свойствах групп с одним определяющим соотношением в случае групп Баумслага - Солитэра получают более определенные, чем в общем случае, ответы. Например, проблема изоморфизма для групп этого семейства оказывается тривиальной, благодаря следующему результату (см. [3]): группы G(m,H) и G(m',и'), где \и\ ^ m> 0 и \и'\ ^ m' > 0 изоморфны тогда и только m = m и = и

проблем, связанных с аппроксимируемостью групп. Обзор полученных к настоящему времени результатов об аппроксимируемости групп G(m, и) некоторыми классами конечных групп относительно предикатов равенства и сопряженности и является целью данного сообщения.

Напомним, что если К — некоторый класс групп, то группа G называется К-аппроксимируемой (К-аппроксимируемой относительно сопряженности),

a

и b существует гомоморфизм группы G на некоторую группу X го класса К, при котором образы этих элементов различны (соответственно, не сопряжены в группе X). Очевидно, что произвольная К-аппроксимируемая относительно сопряженности группа является К-аппроксимируемой.

Через F будет обозначаться класс всех конечных групп, и для некоторого простого числа р и некоторого множества п простых чисел символы Fp и

будут обозначать соответственно класс всех конечных р-групп и класс всех конечных п-групп. Ясно, что свойство F-аппроксимируемости (относительно сопряженности) совпадает с классическим свойством финитной аппроксимируемости (относительно сопряженности).

Попытка в статье [1] указать достаточное условие F-аппроксимируемости групп G(m, и) была уточнена в работе С. Мескина [4] следующим образом:

Теорема 1. Группа G(m,v,) F-аппроксимируема тогда и только тогда, когда, (при условии \и\ ^ m> 0) ил и m = 1 ил, и \и\ = m.

В работе [5] доказана

Теорема 2. Для любого простого числа, р группа G(m,v,) (где снова, предполагается, что \и\ ^ m > 0) является, Fp-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда, или m = 1 и и = 1 (mod р), или \и\ = m = pr для, некоторого r ^ 0, причем, еели и = —m, то р =2.

Теоремы 1 и 2 могут быть обобщены следующим образом.

Для некоторого класса групп К и произвольной группы С через а к (С) будем обозначать пересечение всех нормальных подгрупп группы С, факторгруппы по которым принадлежат классу К. Очевидно, что группа С является К-аппроксимируемой в точности тогда, когда ак (С) совпадает с единичной подгруппой; более того, а к (С) является наименьшей из нормальных подгрупп группы С, фактор-группы по которым К-аппроксимируемы.

В случае, когда К совпадает с классом Т всех конечных групп, вместо а к (С) будем писать и (С), и есл и К совпадает с классом Тр всех конечн ых р-групп, вместо а к (С) договоримся пи сать аР(С).

Имеют место следующие утверждения:

Теорема 3. ( [6, теорема 1]) Пусть d = (т,п) — наибольший общий делитель чисел, т и п. Подгруппа а (С(т, п)) совпадает с нормальным замыканием, в группе С(т,п) множества всех коммутаторов \акЪла-к, Ь^, где к принимает всевозможные целочисленные значения.

Теорема 4. (см. [7]) Пусть р — простое число. Запишем числа, типе виде т = ргт1 и п = р3п1} где г, в ^ 0 и каждое из чисел, т1 и п1 взаимно просто с р. Обозначим также через ^ ^^^ий делитель чисел, т1

и п1 и запиш,ем, т1 = du и п1 = dv. Тогда

если г = в или если числа, т\ и щ не сравнимы по модулю р, то подгруппа ар(С(т,п)) совпадает с нормальным замыканием, в группе С(т,п) элемента ЪР , где Ь = тт{г, в};

есл,и г = вит 1 = п1 (mod р), то подгруппа аР(С(т,п)) совпадает с нормальным замыканием в группе С(т, п) множества, состоящего из элемента а-1ЪрГиаЪ-рГ'° и всевозможных коммутаторов вида, \акЬ^га-к,Ъ] (к Е Z).

Следует подчеркнуть, что в доказательствах теорем 3 и 4 критерии Т-аппроксимируемости и ТР-аппроксимируемости группы С(т,п), доставляемые теоремами 1 и 2, не используется и, наоборот, могут быть получены соответственно из теорем 3 и 4 достаточно простыми рассуждениями.

Другое направление обобщений теорем 1 и 2 состоит в изучении условий Т^-аппроксимируемости групп С(т, п) для некоторого (непустого) множества простых чисел п. В статье [8] доказана

Теорема 5. Пусть п — произвольное множество простых чисел. Группа С(1, п) ТП-аппроксимируема тогда и только тогда ,когда, существует п-число в > 1, взаимно простое с п, порядок по модулю которого числа, п также яв-п

Из теоремы 2 следует, разумеется, что группа С(1, п) является ТП-аппрокси-мируемой, если множество п содержит хотя бы один делитель числа п — 1. Существование множества п, те содержащего делителей п — 1 и такого, что группа С(1,п) Тп-аппроксимируема, гарантируется следующим утверждением, вытекающим из теоремы 5:

Следствие. Если \п\ > 1, то для любого простого числа, р, не делящего

число и — 1, существует простое число q, не делящее и — 1 и такое, что группа G(1,u) -аппроксимируема при п = {p,q}-

Для групп вида G(m, и), где \и\ = m, общий критерий ^-аппроксимируемости допускает более прозрачную формулировку:

Теорема 6. Для любого множества простых чисел, п группа, G(m,m) является, аппроксимируемой тогда и только тогда, когда, m является, п-числом, а, группа G(m, —m) является, -аппроксимируемой тогда и только m п п 2

Перейдем теперь к результатам об аппроксимируемости групп G(m, и) относительно сопряженности.

Утверждение об F-аппроксимируемости относительно сопряженности групп G(1,u), доказанное в [9], вытекает и из полученного в [10] более общего результата об F-аппроксимируемости относительно сопряженности любого нисходящего HNN-расширения конечно порожденной абелевой группы. F-аппроксимируемость относительно сопряженности групп G(m, и), где \и\ = m, может быть выведена из результата работы [11] или из его обобщения, полученного в [12]. Впрочем, более простое и непосредственное доказательство этого факта можно получить, следуя идеям статьи М. И. Каргаполова [13].

С другой стороны, в работе [14] было показано, что для любого целого числа и, отличного от 0 и ±^, и для любого множества п, состоящего ИЗ двух простых чисел р и q, группа G(1, и) те является F^-аппроксимируемой относительно сопряженности. Отсюда и из следствия из теоремы 5 вытекает, таким образом, что для некоторых 2-элементных множеств п группа G(1,u) может быть ^-аппроксимируемой и не быть ^--аппроксимируемой относительно сопряженности. Для групп вида G(m, и), где \и\ = m, ситуация оказывается противоположной :

Теорема 7. Если группа G(m,u), где \и\ = m, ТП-аппроксимируема, то она, является, и ТП-аппроксимируемой относительно сопряженности.

Теоремы 6 и 7 получены недавно И. А. Варламовой и Д. И. Молдаванским; статья принята к печати в Вестнике Ивановского государственного университета.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Baumslag G., Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. Vol. 68. P. 199 - 201.

[2] Neumann В. H. An assay on free products of groups with amalgamations // Phil. Trans. Royal Soc. of London. 1954. Vol. 246. P. 503 - 554.

[3] Молдаванский Д. И. Изоморфизм групп Баумслага - Солитэра // Укр. мате,м. жури. 1991. Т. 43. № 12. С. 1684 - 1686.

[4] Meskin S. Nonresidually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 164. P. 105 - 114.

[5] Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р группами HNN-расширений // Вести. Иван. гос. ун-та. 2000. Вып. 3. С. 129 - 140.

[6] Молдаванский Д. И. О пересечении подгрупп конечного индекса в группах Баумслага - Солитэра // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 1. С. 92 - 100.

[7] Молдаванский Д. И. О пересечении подгрупп конечного р-индекса в группах Баумслага - Солитэра // Вести. Иван. гос. ун-та. Сер. Естеств., обществ, науки. 2010. Вып. 2. С. 106 - 111.

п

группами некоторых групп с одним определяющим соотношением // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 6. Иваново. 2008. С. 51 - 58.

[9] Молдаванский Д. И., Кравченко Л. В., Фролова Е. Н. // Финитная аппроксимируемость относительно сопряженности некоторых групп с одним определяющим соотношением / / Алгоритмич. проблемы теории групп и полугрупп. Тула: Тул. гос. пед. инст. 1986, С. 81 - 91

[10] Соколов Е. В. Финитная аппроксимируемость относительно сопряженности нисходящих HNN-расширений конечно порожденных абелевых групп // Матем. заметки. 2005. Т. 78, вып. 5, С. 748 - 762.

HNN

Algebra Colloquium 5:1. 1998. P. 25-31.

[12] Сенкевич О. Е. Финитная аппроксимируемость относительно сопряженно-

HNN

Биология. Химия. Физика. Математика. 2006, Вып. 3. С. 133 - 146.

[13] Каргаполов М. И. Финитная аппроксимируемость сверхразрешимых групп относительно сопряжённости // Алгебра и логика. 1967. Т. 6, № 1. С. 63 -68.

[14] Иванова Е. А., Молдаванский Д. И. Об аппроксимируемости относительно сопряженности конечными группами разрешимых групп Баумслага - Солитэра // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. Естественные, общественные науки. 2011, Вып. 2. С. 129 - 136

Ивановский государственный университет Получено 16.05.2012