Один способ учета ошибки линеаризации при синтезе релейной следящей системы

УДК 623.438.45:623.465

В.В. Воробьев, канд. техн. наук, доц.,

ОДИН СПОСОБ УЧЕТА ОШИБКИ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ПРИ СИНТЕЗЕ РЕЛЕЙНОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрен один подход к учету ошибки линеаризации при синтезе релейной следящей системы на классе сигналов. Основу подхода составляют метод предельных отклонений и использование специальных тест-сигналов.

Ключевые слова: ошибка линеаризации, следящая система, синтез, оптимизация, класс сигналов, предельное отклонение, тест-сигнал.

Актуальность проблемы

Релейные следящие системы (РСС) широко используются в высокоточных управляемых комплексах. Их достоинствами являются простота конструкции, настройки и эксплуатации, надежность, робастность. Во многих случаях РСС позволяют получить высокие динамические характеристики, в том числе по точности воспроизведения полезных входных сигналов. Рабочими режимами слежения могут быть скользящий, автоколебательный, режим захватывания (принудительной синхронизации), стохастический режим (в условиях помех с широким спектром). Для синтеза РСС традиционно используют приближенную линейную модель режима слежения, которую получают методом вибрационной линеаризации по полезному, медленно меняющемуся сигналу. При этом применяют методы гармонического баланса, фазового годографа, статистической линеаризации, эквивалентного управления [1].

В технической системе всегда имеются неидеальности (структурнопараметрические неопределенности). К ним относятся малые инерционности, запаздывания в измерительных и дифференцирующих устройствах, гистерезис реле, нелинейности элементов типа ограничения (насыщения), люфта, трения, нелинейности датчиков, дискретизация по времени и уровню и др. Отметим также, что управление на выходе импульсного усилителя мощности РСС помимо предельных значений (полок реле) может принимать и промежуточные. Неидеальностями часто пренебрегают при линеаризации системы по полезному сигналу. Кроме того, сама процедура линеаризации предусматривает переход от нелинейной функции смещения к ее линейной модели (эквивалентному коэффициенту передачи). Причем такую модель используют не только в малой окрестности установившегося режима, но и во всей рабочей области изменения переменных. Режим слежения в реальной системе может существенно отличаться от идеального, рассчитанного по линейной модели. В связи с этим актуальным является разработка прикладной методики синтеза оптимальной РСС с контролем

ошибки линеаризации (аппроксимации линейной моделью) в условиях неопределенностей на классе сигналов.

Традиционные методы идентификации/аппроксимации как детерминированных, так и стохастических систем базируются на интегральном среднеквадратичном критерии близости оригинала и модели. Такой критерий применяется как во временной, так и в частотной областях исследования [1]. Недостатком указанных методов является то, что они не позволяют оценивать диапазон мгновенной ошибки. Это не является критическим для систем общетехнического назначения. Однако в задачах синтеза СС, входящих в состав высокоточных управляемых комплексов, контроль диапазона значений ошибки является необходимым. Это связано с тем, что даже кратковременное, но значительное увеличение текущей ошибки может привести к промаху либо срыву наведения высокоскоростной ракеты, потере маневренной цели и т.д. При этом интегральная среднеквадратичная ошибка может иметь весьма малое, приемлемое значение.

Простой и в то же время гибкий способ оценки предельной ошибки слежения на классе входных сигналов V дает метод гарантированной точности (ГТ). В настоящее время он хорошо разработан для синтеза регуляторов линейных систем. Критерий ГТ имеет ясный содержательный смысл - наибольшая ошибка слежения, которая может возникнуть на отрезке времени [0, T] в условиях воздействия на систему сигналов из класса V.

Для одной стационарной нелинейной (гладкой) СС в работе [2] предложен подход к синтезу регулятора с оценкой предельной ошибки на классе сигналов. Рассмотрена задача о накоплении системой динамической ошибки в конечный момент времени. При этом для фиксированного вектора параметров регулятора задача о накоплении ошибки решается методом замороженных траекторий, имеющим итерационный характер. Недостатками данного подхода являются вычислительная трудоемкость и проблема сходимости для негладких систем, в том числе разрывных.

Точность линеаризации РСС в режиме слежения в существенной мере зависит от класса V. В данной работе предлагается экспериментальный подход к оценке при синтезе РСС предельных динамических ошибок слежения и аппроксимации. Для этой цели разработано семейство виртуальных стендов и программ тест-испытаний. Оптимизацию на классе V вектора корректируемых параметров c = (с1; с2,..., ck) предлагается производить по критерию минимума обобщенного критерия качества, который содержит как ГТ слежения G (вычисляется по линейной модели), так и оценку АО предельной ошибки линеаризации системы по полезному сигналу

3(с) = м О(с) + м АО(с) = тт ^ ^,

где м, М - коэффициенты веса (неотрицательные вещественные числа).

Стенд для оценки предельной ошибки слежения

В качестве примера РСС рассмотрим релейный электропривод (ЭП) наведения вертикального канала автоматической системы сопровождения воздушной цели. Полагаем, без потери общности, что привод реализован на базе двигателя постоянного тока с независимым возбуждением и работает в скользящем режиме (СР). Задающим сигналом для привода является угол поворота входного вала (вала сельсина-датчика). Объектом управления (ОУ) в этом случае является силовая подсистема, т.е. двигатель, вращающий инерционную нагрузку.

Рассмотрим ЭП с линейным ОУ и линейными безынерционными обратными связями. Для такой системы разработана методика оптимизации регулятора на классе V по критерию минимума ГТ с контролем условий существования СР [3]. Для вычисления ГТ используется расширенная стационарная линейная система, функционирующая при нулевых начальных условиях. Назовём эту систему виртуальным стендом S1 (рис. 1). Стенд содержит задающее устройство (ЗУ) и линейную модель (обозначенную далее как М1) идеального СР, полученную, например, методом эквивалентного управления. Вход ЗУ (скаляр) ограничен по уровню, иЗУ (t)< 1 Vt е [0, Т]. ЗУ формирует класс V полезных сигналов.

Рис. 1. Схема стенда S1 для расчета ГТ линейной системы

На рис. 1 обозначено: 6^) - дельта-функция Дирака; V - вектор состояния задающего воздействия размерности I (координатами этого вектора могут быть, например, само воздействие и его производные по времени); х - вектор состояния размерности п; г, у - задающий сигнал и регулируемая величина (скаляры); С1, С2 - векторы размерностей п и I, соответственно; е - ошибка; Г - гарантированная точность. В S1 воздействие дельта-функции воспроизводится единичным начальным условием на первом интеграторе ЗУ.

Таким образом, этапами синтеза регулятора ЭП являются: 1) расчет критерия ГТ по линейной М1; 2) сравнительный анализ на классе сигналов

режимов слежения М1 и релейной модели привода (обозначенной далее как М2) и вычисление оценки предельной ошибки аппроксимации. При этом в М2 могут учитываться всевозможные неидеальности (гистерезис релейного элемента, инерционность датчиков, статические нелинейности датчиков и ОУ и т.д.).

В качестве детерминированного входного сигнала ЭП рассматривался маневр самолета типа «пике с горкой». На основе моделирования динамики цели была рассчитана область достижимости D в координатах скорость ю — ускорение 8 (рис. 2) [4]. В качестве ЗУ выбрано звено третьего порядка, представляющее собой последовательное соединение колебательного звена с интегратором. Рассчитаны параметры ЗУ: К = 0.186 рад; Т = 0.997 с; £, = 0.119. Набор точек границы области D , контролируемых в процессе испытаний в стенде, задается, например, с помощью направления (угол а) на эти точки из начала координат.

Рис. 2. Вид области достижимости ЗУ

Далее для экспериментальной оценки качества упрощённой М1 будут использоваться специфические входные сигналы ЗУ, которые назовем тест-сигналами. В частности, такие сигналы могут соответствовать точкам границы области D , т.е. предельной динамике цели.

Стенд для оценки ошибки линеаризации.

Задача аппроксимации с помощью линейной М1 некоторой нелинейной М2 (далее представляемой также как оригинал) ставится как оптимизационная. При этом как синтез регулятора, так и аппроксимация привода линейной моделью производятся на едином классе V, который формируется с помощью ЗУ. На рис. 3,а представлена схема виртуального стенда для вычисления оценки предельной ошибки аппроксимации на классе V [5]. Вход ЗУ ограничен по модулю |иЗУ (ї) < 1 Уt є [0, Т ].

Рассмотрим вначале частную задачу, когда стенд содержит только линейные системы М1 (модель) и М2 (оригинал), различающиеся, напри-

мер, порядком (рис. 3, б). Заметим, что аппроксимация на классе сигналов сложной линейной М2 с помощью более простой М1 является самостоятельной задачей, решение которой упрощает синтез СС.

а б

Рис. 3. Схемы стенда: а - функциональная; б - структурная;

Полагаем, что порядок числителя передаточной функции (ПФ) сопоставляемых систем меньше порядка её знаменателя, и что корни знаменателей ПФ имеют отрицательные действительные части (системы устойчивы). Сформулированная задача имеет точное решение. Предельная на классе V ошибка аппроксимации определяется аналитическим выражением

^ = 0 \™АЫ

где (^) - весовая функция от входа расширенной системы ЫЗУ до выхо-

да по невязке А . Длительность испытания ^ допустимо ограничить временем затухания функции . Экстремальный сигнал, при подаче которого на вход ЗУ достигается в момент ^ ^ ошибка (1), имеет вид

иА

Настройка параметров М1 осуществляется по критерию минимума критерия АG с использованием алгоритма конечномерной оптимизации. Ввиду неясного характера критерия наиболее часто применяют методы направленного поиска (например, метод деформируемого многогранника, покоординатный спуск), либо случайный поиск.

В случае, когда М2 - нелинейная стационарная СС, отсутствуют точные методы формирования экстремального сигнала, максимизирующего на классе V ошибку аппроксимации в конечный момент времени. Рассмотрим один экспериментальный подход к оценке с помощью стенда ошибки линеаризации РСС по полезному сигналу на классе V . В основу положен тот факт, что точность идентификации тем выше, чем более интенсивное воздействие прикладывается к входам оригинала и модели в стенде. Предлагается в стенде на вход ЗУ подавать разгоняющие тест-сигналы, при которых скорость и ускорение, развиваемые оригиналом и

моделью, приближаются к предельным на классе V . Последние определяются областью достижимости D , граница которой соответствует предельной динамике цели.

Рассмотрим формирование тест-сигналов и диапазонов переменных в стенде. На рис. 4,а представлена схема модифицированного стенда S1, который эквивалентен исходному линейному стенду (см. рис. 3,б). Схема S1 иллюстрирует преобразование задачи аппроксимации в задачу воспроизведения с помощью М2 сигналов из некоторого нового класса У1. Данный класс формирует ЗУ1 в виде соединения исходного ЗУ и М1. Коррекция М2 в стенде производится с помощью блока компенсации (БК) с ПФ Ж1~!(p). Причем реализация БК не вызывает трудностей, т.к. точные значения всех п производных ( п - порядок М1) задающего сигнала ) є V1 получаются в ЗУ1 путем реализации Ж1 (р) на интеграторах.

В случае, когда М1 - линейная система, а оригинал М2 - нелинейная система стенд S1 имеет вид, аналогичный рассмотренному, т.к. схема

S1 получается путем эквивалентного преобразования в линейной части исходного стенда (см. рис. 3,а).

а б

Рис. 4. Структурные схемы: а - стенд S1; б - стенд S2

Очевидно, что V является более узким, чем исходный класс V, У1 с V . Причем, чем выше точность воспроизведения входных сигналов вариантом М1, имеющим ПФ W1 (р), тем ближе границы областей достижимости классов V и V на плоскости «скорость - ускорение». Это означает, что в процессе поисковой оптимизации регулятора классы У1 и V для высокоточных вариантов коррекции оказываются близкими. При этом чем более точно решается задача аппроксимации М1, тем соответственно ближе уровни скорости и ускорения в М2 к расчетным, задаваемым областью D . При идеальной идентификации (аппроксимации), т.е. при тождественности операторов оригинала и модели в режиме слежения имеет место полная инвариантность М2 к сигналам из класса V. При этом в высокоточных М1 и М2 уровни скорости и ускорения близки к предельным на классе V. Это свидетельствует об адекватности предлагаемого подхода.

Заметим, что класс У1 и потребное время наблюдения не фиксированы. Они изменяются в процессе настройки М1 в зависимости от корректируемых параметров регулятора.

В качестве скалярной оценки АО близости линейной М1 и нелинейной М2 на классе У1 предлагается использовать критерий равномерной близости границ областей достижимости ЗУ1 и М2, соответственно, DЗУ1 и DM2 на плоскости «скорость - ускорение». В качестве АО будем использовать максимальную на дискретном множестве точек А невязку границ областей. Причем, поскольку область достижимости симметрична относительно начала координат, то достаточно рассмотреть ее в верхней полуплоскости. Определим набор контрольных точек границы области достижимости ЗУ1, соответствующих углу направления а на эти точки из начала координат, например, в виде (см. рис. 2):

. . Г _ п п п 2п 5п ]

а є А; А = ^0,—,—,—, п\

1 6 3 2 3 6.

Определим максимальное отклонение линейного ЗУ1 по скорости:

т

О = 1 Ки

0

где ж,и (t) - весовая функция ЗУ 1 от входа до выхода по скорости.

Экстремальный тест-сигнал, при воздействии которого достигается в момент t = Т1 предельная скорость (4), имеет вид

и*

Предельные отклонения ЗУ1 по ускорению, по взвешенной сумме £ЗУ1 скорости и ускорения, а также соответствующие им экстремальные

тест-сигналы определяются аналогично. С геометрической точки зрения предельное отклонение по £ЗУ1 вычисляется вдоль направления, задаваемого углом, £зу! = £зу^а), ае А. Рассмотрим дискретный критерий равномерной близости границ областей DЗУ1 и DM2. В S1 при фиксированных параметрах регулятора относительная оценка ошибки аппроксимации имеет вид

£ЗУ1

=

ЗУ1 *

2 зУі

^ 3,

“'ЗУІ Vа )

Здесь: Sl - положительная постоянная, характеризующая требование к

*

точности аппроксимации; а определяется в результате решения задачи

2ЗУ1(а) — 2M2 (а) ^ max ^а*

Таким образом, в S1 контроль точности аппроксимации производится с помощью набора U3yi из семи тест-сигналов, подаваемых на вход

ЗУ1 и разгоняющих его до предельных значений координаты £ЗУ1 (см.

рис. 4,а). Программа испытаний в S1 при фиксированных параметрах регулятора:

1) расчет весовых функций ЗУ1 по координате £ЗУ1 на множестве

А;

2) формирование множества и ЗУ1 тест-сигналов;

3) тест-испытания для всех иЗУ = иЗУ1 е изУ1 и определение контрольных точек границ областей DЗУ1 и DM2;

4) оценка равномерной близости границ областей DЗУ1 и DM2 с помощью критерия (6).

Скалярный критерий (6) зависит от вектора корректируемых параметров с и на каждом шаге поисковой оптимизации ЭП служит приближенной оценкой АСЗУ1 точности аппроксимации на классе сигналов. Заметим, что задача оптимизации регулятора может ставиться как условная по критерию минимума G при ограничении АG < 51. Пусть в результате оптимизации ЭП локализован оптимум с = с0. Рассмотрим способ уточнения значения ошибки аппроксимации в S1. В методе ГТ для стационарной системы, начинающей движение из положения равновесия, достаточно исследовать ошибку только в конечный момент времени [2]. Полагаем, что в S1 при с = с0;а = а* сформирован тест-сигнал и0, который характеризуется

множеством моментов времени переключения Т ° = } . Рассмотрим за-

V )q

дачу формирования на базе и0 экстремального сигнала и *, который разгоняет S1 до максимальной невязки А = Атах в конечный момент времени ^ = Тк. Метод факторных испытаний позволяет параметризировать данную задачу следующим образом [6]. В качестве независимых управляемых факторов рассматриваются смещения {Аtj} относительно моментов Т °.

С помощью гладкой регрессионной модели А = F(А^, А?2,..., А^г) оценива-

Н4 { \ * *

ются оптимальные параметры Т = {А^-} , задающие релейный сигнал и , который доставляет максимум ошибке аппроксимации в конечный момент Тк.

Модифицированный стенд для оценки ошибки линеаризации

В S1 эффективность алгоритма параметрической аппроксимации может быть повышена за счет использования тест-сигналов, которые отвечают границе области достижимости D , т.е. предельной динамике цели. Для этого класс V расширяется до исходного класса V . Это соответствует переходу от S1 к его модификации - стенду S2 (рис. 5, б). Такой прием позволяет существенно снизить трудоемкость и улучшить сходимость алго-

ритма поисковой аппроксимации. Причем в S2 завышения требования к точности аппроксимации нет, либо оно незначительно.

Важно, что в S2 уровень невязки А увеличивается по сравнению с S1. Это положительно сказывается на характере функции качества и сходимости алгоритма оптимизации. Программа испытаний в S2 аналогична S1. Однако вычислительная трудоемкость (потребный объем испытаний) в

S2 значительно меньше. Это объясняется тем, что в S1 множество тест-сигналов изУ1 необходимо пересчитывать для каждого нового варианта регулятора. В S2 анализ точности аппроксимации выполняется с помощью однократно рассчитанных на предварительном этапе для области D набора изУ тест-сигналов и соответствующего набора предельных отклонений по координате £ЗУ(а), а е А. Реализация БК в S2 не вызывает трудностей.

Для этого с помощью известной весовой функции ЗУ как соединения типовых звеньев аналитически определяются точные значения п ее производных.

В S2 при фиксированном векторе с относительная оценка ошибки аппроксимации определяется по выражению

£ ЗУ

ДG =

< ё,.

£ЗУ<а )

Здесь а - определяется в результате решения задачи

£ЗУ (а) — £ М2 (а) ^ тах ^ а*

Отметим, что в S2 при анализе вариантов коррекции воспроизводятся большие, чем в S1 диапазоны скорости и ускорения в М2. Причем они адекватно соответствуют классу V . Это важно для приложений, т.е. для нелинейных систем с ограниченной линейной зоной. Рассмотрим практически важную задачу идентификации модели силовой подсистемы привода. В этом случае инерционность сопоставляемых М1 и М2 значительна. При этом в S2 диапазоны переменных М2 превышают соответствующие диапазоны переменных в S1 на десятки процентов. В связи с этим для идентификации систем с ограниченной линейной зоной рекомендуется использовать S2. Модель М2 электропривода в данном случае включает нелинейности типа насыщения и ограничителей. Например, это могут быть ограничения по напряжению и по скважности (для систем с ШИМ), насыщение магнитопровода, схемы отсечки тока, механические упоры. Для других типов приводов - это могут быть насыщение по расходу в газо- и гидрораспределителях, предохранительные клапаны в гидравлических магистралях и т.д. Для подобных систем использование S2 повышает надежность оценки влияния на точность идентификации ограниченности диапазонов переменных (тока, давления, момента, скорости и т.д.) на классе V .

68

Отметим, что в тех случаях, когда уровни сигналов в М2 выходят за расчетные для ЗУ, следует в S2 последовательно к ЗУ подключить звено с ПФ Ж1(p), т.е. перейти к S1. Данная ситуация может иметь место, когда система обладает не только высокой инерционностью, но и высокой колебательностью.

Стенд для статистических испытаний

Рассмотренные детерминированные тест-сигналы являются близкими к оптимальным по точности аппроксимации на классе V . Для повышения надежности оценок при точной настройке М1 в малой окрестности минимума критерия качества системы / предлагается расширить программу испытаний. Для этого в S1 на основе регулярного тест-сигнала u* формируется стохастический центрированный стационарный эргодиче-ский тест-сигнал. Сигналу u* соответствует некоторое среднее значение тс интервала постоянства сигнала. Параметр тС используется для формирования стохастических тест-сигналов релейной формы, а также тест-сигналов в виде т.н. «типового входного сигнала СС» [5] (рис. 5).

В первом случае длительности интервалов постоянства сигнала, а во втором ещё и уровни постоянства сигнала представляют собой последовательности независимых случайных величин. Закон распределения длительности интервалов постоянства является экспоненциальным, а уровни постоянства распределены равномерно. Параметр тС определяет вид спектральной плотности и корреляционной функции тест-сигналов.

Рис. 5. Виды реализаций стохастических тест-сигналов: слева - релейной формы; справа - типовой для СС формы

С помощью предложенных тест-сигналов проводятся статистические испытания в S1 на достаточно большом интервале времени с контролем максимальной за время наблюдения ошибки аппроксимации.

Разработанные стенды и программы тест-испытаний позволяют реализовывать близкую к оптимальной процедуру аппроксимации на классе сигналов V . Введение в техническое задание (ТЗ) показателя АО позволяет учесть при синтезе регулятора требование к ошибке линеаризации.

Методика синтеза оптимального регулятора

Предлагается методика синтеза регулятора РСС на классе сигналов с оценкой точности линеаризации. Она включает следующие этапы.

1. Изучение класса сигналов V , построение ЗУ и расчет области D.

3. Разработка семейства стендов для оценки предельных на классе V динамических ошибок слежения и аппроксимации.

4. Формирование тест-сигналов и программ испытаний.

5. Выбор структуры и вектора с параметров регулятора.

6. Формирование обобщенного критерия точности J(с).

7. Оптимизация вектора с по критерию минимума J в условиях ограничений на динамические показатели (быстродействия, колебательности и т.д.).

8. Проведение динамических испытаний в виртуальном и полуна-турном стендах с контролем выполнения ТЗ.

Методика применима как для детерминированных, так и для стохастических СС. Отличие состоит лишь в способе формирования ЗУ. Разработано математическое обеспечение методики в среде Matlab, включающее Simulink-схемы стендов и m-файлы тест-сигналов и программ испытаний.

Заключение

На основе сквозного использования методов предельных отклонений и тест-испытаний разработана прикладная методика синтеза CC с контролем ошибок слежения и аппроксимации на классе сигналов в условиях неопределенностей. Предложен способ экспериментальной оценки на классе сигналов ошибки линеаризации по полезному сигналу, который является достаточно универсальным, применимым для разных типов нелинейных СС. Результатами методики кроме собственно регулятора является линейная модель, отражающая процессы управления, а также стенды, тестирующие сигналы и программы точностных испытаний. Полученные результаты могут быть использованы на этапах НИР, ОКР и испытаний высокоточных СС, для которых важен диапазон значений ошибки, а не только ее усредненное значение.

Список литературы

1. Методы классической и современной теории автоматического управления. Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления/ под. ред. Н. Д. Егупова: учебник в 5 т. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 725 c.

2. Макаров Н. Н. Метод гарантированной точности следящих систем // Мехатроника, автоматизация, управление. №11. 2006. С. 24 - 30.

3. Воробьев В.В., Макаров Н.Н., Макарова Н.Н. О применении метода гарантированной точности к расчету следящих систем, работающих в

скользящем режиме // Изв. ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. 2001. Вып. 4. С. 81 - 85.

4. Макаров Н.Н., Семашкин В.Е. О формировании задающего устройства для метода гарантированной точности // Изв. ТулГУ. Системы управления. 2005. Вып. 3. С. 132-139.

5. Воробьев В.В., Макаров Н.Н. Идентификация стохастических систем управления по критерию гарантированной точности // Изв. ТулГУ. Вып. 3. Управление. 2001. С. 38 - 46.

6. Воробьев В.В. Методика экспериментальной отработки высокоточных следящих систем с использованием тест - сигналов // Вестник ТулГУ. Сер. Системы управления. 2009. Вып. 1. С. 17 - 29.

V.V. Vorobyev

ONE METHOD OF STOCKTAKING OF ERROR LINEARIZATION FOR RELAY FOLLOW-UP SYSTEM SYNTHESIS

One method of stocktaking of error linearization when in use synthesis of relay follow-up system on the class signal is offered. The technique of acting based on joint use instrumentality of marginal deviation method and special test-signals.

Key words: error linearization, follow-up system, synthesis, optimization, signal class, marginal deviation, test-signal.

Получено 30.11.11

УДК 533.1

О.О. Морозов, канд. техн. наук, доц., omo@sau.tsu.tula.ru, 8

МЕТОД СИНТЕЗА ВЫСОКОТОЧНОГО СИЛОВОГО ПРИВОДА

Рассматривается подход к определению структуры и параметров позиционирующего привода, ориентированного на функционирование в составе многомерного многосвязного объекта программного управления с конечной длительностью заданного закона управления. Задача сформулирована в терминах теории обратных задач динамики.

Ключевые слова: обратная задача динамики, синтез программного управления, следящая система, корректирующий фильтр.

Постановка задачи

Весьма часто в технике встречается задача реализации некоторого набора {3}, / = 1, п физических величин в точном соответствии с некоторой

заранее заданной произвольной закономерностью {3 = 3^ (^)}, называемой программой изменения величины. При этом указанный набор величин является в общем случае частью пространства-состояния некоторой дина-