О различных технологиях формирования понятий у учащихся при обучении математике в общеобразовательной школе

Антонова Ирина Владимировна, Демченкова Наталья Анатольевна и др. О РАЗЛИЧНЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИИ ...

УДК 372.851

О РАЗЛИЧНЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ У УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ

© 2016

Антонова Ирина Владимировна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Алгебра и геометрия» Демченкова Наталья Анатольевна, кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры «Алгебра и геометрия» Аблеева Анастасия Андреевна, магистр направления подготовки «Педагогическое образование», магистерской программы «Математическое образование», учитель математики МБУ «Школа №72»

Тольяттинский государственный университет, Тольятти (Россия) Аннотация. Работа посвящена проблеме формирования понятий у учащихся общеобразовательной школы при обучении математике, которая во все времена существования отечественной школы была одной из актуальных проблем теории и методики обучения. Исследования, посвященные данной проблеме, были рассмотрены в аспекте мыслительной деятельности; системы задач; моделирования; современных технических средства обучения; активизации познавательной деятельности и использования житейского опыта; логического компонента понятия; теории деятельностного подхода; дифференцированной работы учителя математики; формирования целостного представления о понятии; теоретических основ и технологии формирования систем понятий в обучении математике. Установлено, что формирование математических понятий - сложный и длительный мыслительный процесс, не ограничивающийся определением понятия. В статье определено, что при формировании понятий в общеобразовательной школе можно использовать различные технологии, что связано с дидактическими и методическими задачами, которые ставит перед собой учитель, с его педагогическим опытом. В работе описаны различные технологии формирования понятий у учащихся при обучении математике, а именно: на основе использования объектной и логико-информативной модели математического понятия; генетического подхода к формированию математических понятий; использования комплекса эвристических методов и приемов; целостного подхода к обучению математике и др. Непременным условием математической подготовки учащихся в общеобразовательной школе в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом (ФГОС) среднего (полного) общего образования является качественное усвоение учащимися математических понятий, повышение уровня их сформированности.

Ключевые слова: технология формирования понятий у учащихся при обучении математике; формирование понятий у учащихся в общеобразовательной школе; технология обучения; математические понятия.

ABOUT VARIOUS TECHNOLOGIES OF CONCEPTS FORMATION WHILE TRAINING PUPILS IN MATHEMATICS IN SECONDARY SCHOOL

© 2016

Antonova Irina Vladimirovna, candidate of pedagogical sciences, associate professor of the department "Algebra and geometry" Demchenkova Natalia Anatolievna, candidate of pedagogical sciences, associate professor, associate professor of the department "Algebra and geometry" Ableeva Anastasiya Andreevna, master of the direction of preparation "Pedagogical education" and program "Mathematical Education", teacher of mathematics in MBE «School №72» Togliatti State University, Togliatti

Abstract. The paper is devoted to the concepts formation of pupils in secondary schools while teaching mathematics. That was one of the topical problems of theory and methodology of training at all times the existence of the national school. Studies of this problem were reviewed in the aspect of mental activity; system of tasks; modeling; technical training; enhancing cognitive activities and the use of life experience; logical component of the concept; theory of the activity approach; differentiated work, teacher of mathematics; the formation of a holistic understanding of the concept; theoretical foundations and technology in the formation of concepts in mathematics. It is established that the formation of mathematical concepts is a long and complicated thinking process, not limited to the definition of the concept. The article defines that while forming various concepts in secondary schools you can use various technologies, which are associated with the didactic and methodological problems posed by a teacher, and are connected with his teaching experience. The paper describes various technologies of formation of concepts in students when learning mathematics, namely through the use of object and logic-informative models of mathematical concepts; genetic approach to the formation of mathematical concepts; the use of a combination of heuristic methods and techniques; a holistic approach for teaching mathematics. Prerequisite mathematical training of pupils in a secondary school in accordance with Federal state educational standard (FSES) of secondary (complete) General education is the quality of mastering by students of mathematical concepts increasing the level of their formation.

Keywords: technology of concepts formation of pupils while teaching mathematics; the formation of pupils' concepts in secondary schools; technology of teaching; mathematical concepts.

Развитие личности средствами математики невозможно без овладения ею определённой системой научных знаний, одной из главных составляющих которой являются понятия. Не оперируя понятиями нельзя сформулировать ни один закон и, следовательно, создать научную теорию. Это обуславливает ведущую роль понятий при формировании у учащихся понятийного мышления в соответствующей научной области [1].

В Федеральном государственном образовательном стандарте

понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий; б) сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа; в) владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием.

Антонова Ирина Владимировна, Демченкова Наталья Анатольевна и др. О РАЗЛИЧНЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИИ ...

Проблема формирования математических понятий во все времена существования отечественной школы была одной из актуальных проблем теории и методики обучения.

Психолого-педагогические основы формирования понятий в процессе обучения разработаны ведущими российскими учеными: Л.С.Выготским, П.Я.Гальпериным, В.А.Крутецким, Н.А.Менчинской, С.Л.Рубенштейном, Г.И.Саранцевым, З.И.Слепкань, Н.Ф.Талызиной, М.А.Холодной, А.В.Усовой, Ж.Пиаже и др.

Теоретическим основам формирования понятий в процессе обучения математике посвящены исследования Л.В.Виноградовой, М.Б.Воловича, В.А.Далингера, О.Б.Епишевой, Т.А.Ивановой, Е.И.Лященко, Ю.М.Коля-гина, В.И.Мишина, Н.С.Подходовой, А.М.Пышкало, Г.И.Саранцева, Н.Л.Стойловой и др.

Методические аспекты формирования понятий в школьном курсе математики нашли отражение в работах В.И.Крупича, А.С.Крыговской, В.В.Крючковой, В.К.Матыщук, Н.М.Рогановского, А.А.Столяра, В.А.Усовой, Р.А.Утеевой, И.Яглома и др.

Анализ ранее выполненных диссертационных работ, посвященных проблеме формирования понятий у учащихся при обучении математике, показал, что они были рассмотрены в аспекте:

- мыслительной деятельности (В.В.Крючкова, 1984; Е.В.Малеева, 1999);

- системы задач (А.А.Ундуск, 1971; О.А.Креславская, 1998; Е.Е.Тульчинская, 1999; Е.Ю.Миганова, 2000);

- моделирования (Л.Г.Петерсон, 1984 и др.);

- современных технических средства обучения (КонХоль Хенрык (Польша), 1998; Л.А.Страбыкина, 2003);

- активизации познавательной деятельности и использования житейского опыта (А.С.Аскеров, 1999);

- логического компонента понятия (Е.К.Попова, 1990);

- теории деятельностного подхода (О.А.Бибина, 2000: формирования геометрических понятий учащихся с отклонениями в интеллектуальном развитии, ею уточнены этапы формирования понятий с индивидуальными особенностями школьников и их реализацией посредством специальных упражнений; И.В.Ситникова, 2000: единства логики образования понятий, психологических воззрений о роли мотивации и деятельности в процессе формирования понятий и методических положений; и др.);

8) дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы путем соотнесения каждому этапу формирования понятия соответствующих мыслительных действий учащихся и уровней дифференциации (И.В.Антонова, 2004);

9) формирования целостного представления о понятии, а именно: формирования межпредметных понятий при обучении математике в основной школе (О.А.Василенко, 2007), ей выделены два направления формирования понятий: интеграции понятий различных учебных предметов и интеграции математического понятия и житейского представления о нем; требования к разработке методики формирования понятий на основе метаметодического подхода и психологических условий формирования понятия в сознании человека; приемы к каждому этапу процесса формирования целостного представления о понятии;

10) теории системного и деятельностного подходов: теоретических основ и технологии формирования систем понятий в обучении математике (Л.А.Токарева, 2010), ей выполнен логико-гносеологический и методологический анализы содержания общего математического образования; разработана и реализована концепция продуктивного формирования фундаментальных математических понятий и их систем в современном обуче-

нии, основу которой также составляют диалектический метод обучения и учебного познания - восхождения от абстрактного к конкретному.

Эффективность обучения математике во многом определяется системой работы учителя, одним из важных компонентов которой является технология формирования основных математических понятий.

Целью данного исследования является выявление различных технологий формирования математических понятий у учащихся при обучении математике и методических особенностей их применения в общеобразовательной школе.

Одной из технологий формирования понятий у учащихся, описанных достаточно подробно в методической литературе, является технология целостного подхода (Л.С.Капкаева [3]; Н.И.Таратынова [4]; Н.С.Подходова, М.В.Солдаева [5;6]), согласно которой целостное усвоение отдельных видов знаний достигается только тогда, когда ученики знают структурно-логические схемы описания этих видов знаний и им дается достаточная и необходимая информация о каждой их сущностной характеристике.

М.В.Солдаева суть данного подхода видит во взаимосвязи философского, психолого-педагогического, методического и исторического аспектов. Автор отмечает, что в школьном курсе математики к трактовке понятия используется логический подход, где любое понятие может быть охарактеризовано термином (имя, языковое выражение, знак понятия), смыслом (способ, которым может быть задано понятие) и значением (тот реальный предмет, который обозначен термином понятия).

Исходя из связей, устанавливаемых между характеристиками понятия, Н.С.Подходова, М.В.Солдаева разделили математические задачи, направленные на формирование целостного представления о понятии, на три группы. Задачи, при решении которых требуется установить: а) хотя бы одну из связей «имя - значение» или «имя - смысл» относятся к первой группе; б) связи «имя - значение» или «имя - смысл», или «смысл - значение»; при этом для задач 1 и 2 групп не требуется перевод характеристик понятия из одного способа представления в другой - ко второй группе; в) всевозможные связи между всеми характеристиками понятия, представленными различными способами - к третьей группе.

Н.И.Таратынова представила целостный подход к формированию математических понятий в условиях единства алгебраических и геометрических методов, где в качестве интеграции алгебраического и геометрического методов используется трактовка Л.С.Капкаевой, представленная как процесс сочетания или связи (слияния) данных методов (приемов), осуществляемых учеником (самостоятельно или под руководством учителя), путем перевода учебной информации с алгебраического языка на геометрический или с геометрического языка на алгебраический и обратно.

Кроме того, автор предлагает формирование понятий осуществлять поэтапно: 1) одновременная трактовка понятия на алгебраическом (буквенно-символическом) и геометрическом языках; 2) распознавание объектов, принадлежащих понятию и представленных как в алгебраической, так и в геометрической формах; 3) выведение следствий из факта принадлежности объекта данному понятию, в случае если этот объект представлен в геометрической и алгебраической формах; 4) решение задач и упражнений на применение данного понятия параллельно алгебраическим и геометрическим образами данного понятия и его алгебраической трактовки.

Также в научно-методической литературе представлена технология формирования научных понятий на основе использования комплекса эвристических методов и приемов.

Н.В.Залесова [7] разработала интегративную модель формирования понятий на основе использования комплекса эвристических методов и приемов, которая

Антонова Ирина Владимировна, Демченкова Наталья Анатольевна и др. О РАЗЛИЧНЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ ..

включает определенные блоки: мотивационно-ценност-ный, где проявляются потребности, мотивы, интересы, обеспечивающие включение школьников в процесс эвристической деятельности; когнитивный, который направлен на запоминание и воспроизведение изучаемого материала; предполагает умение использовать изученный материал в конкретных условиях и в новых ситуациях; организационно-проектировочный - на стимулирование творческой активности учащихся на уроках, в процессе самообразования; рефлексивный, который выполняет задачи развития умений учащихся прогнозировать результаты эвристической деятельности по формированию понятий, а также самоконтроля и саморегуляции эвристической деятельности, самооценки деятельности.

Вместе с этим, отметим, что под эвристическими методами автор понимает способы управления умственной деятельностью учащихся и стимулирования их интуитивного мышления с целью оптимального выбора идей и решения творческих задач в процессе формирования научных понятий. При формировании понятий Н.В.Залесова исследует эвристические методы, рассмотренные В.Н.Введенским: 1) метод коллективного поиска оригинальных идей: прямой поиск; массовый поиск; 2) метод эвристических вопросов; 3) метод многомерных матриц; 4) метод эмпатии (метод личной аналогии); 5) метод синектики [8], а также - такие эвристические приемы, как: варьирование, абстрагирование, индукцию, дедукцию, аналогию, сравнение, гности-ко-эвристические приемы.

Одной из технологий формирования понятий у учащихся является технология генетического подхода к формированию математических понятий у учащихся (В.И.Игошин, С.Р.Когаловский, А.Г.Мордкович, М.Нугмонов и др.).

Под генетическим подходом к обучению учащихся в научно-методической литературе понимают такой подход, при котором: а) понимание предмета приходит через прослеживание возникновения, принципа становления и развития его внутренней структуры (Э.Х.Галямова, [9]); б) методика обучения предмету должна опираться (по мере возможности) на естественные пути и методы познания, присущие соответствующей науке, то есть обучение должно следовать путям происхождения знания (И.С.Сафуанов, [10, С.119]).

Так, Э.Х.Галямова описывает этапы формирования понятий на основе генетического подхода. Автором указано, что мотивационный этап в данном случае реализуется через построение проблемной ситуации и постановку естественно возникающих вопросов; выделению существенных свойств геометрических понятий способствует рассмотрение различных комбинаций уже изученных фигур; составление родословных необходимо рассматривать по ходу или после конструирования определения понятия, которое должно осуществляться самими учащимися; пути конструирования определений имеют следующие виды: после выполненных последовательно конкретных действий при разрешении проблемной ситуации или при поиске ответов на естественно возникшие вопросы; по готовому чертежу, отражающему результат конструирования модели; с выбором фрагментов утверждения из предложенных вариантов; в процессе исправлений утверждений, высказанных учащимися; на этапе усвоения логической структуры определения необходимо проводить его понятийно-структурный анализ; на этапе развития приложений можно использовать различные практические и внутриматема-тические приложения, где среди упражнений включать упражнения на варьирование свойств понятий, на включение понятий в новые связи и контексты, на различные преобразования изучаемых объектов.

Отметим, что в методической литературе ранее уже определялся генетический (например, С.Р. Когаловский [11], В.И. Игошин [12]) или диалектический (например,

А.Г. Мордкович [13], М. Нугмонов [14]) подход к формированию сложных математических понятий, который характеризуется, прежде всего, тем, что строгое общее понятие вводится в рассмотрение не по средством его формального определения, а процессом его формирования. Процесс формирования понятия становится предметом изучения. Точнее говоря, формальное определение понятия представляет собой итог процесса формирования понятия и как начало процесса раскрытия работоспособности этого определения [15, С. 96-97].

Также в научно-методической литературе представлена технология формирования понятий на основе использования объектной и логико-информативной модели математического понятия (С.А.Владимирцева, [16-17]).

Автор отмечает, что в соответствии с объектной парадигмой, вводя новое понятие, учитель, как правило, представляет ученикам ряд объектов из объема данного понятия и предлагает назвать их общие свойства. Объектная модель категории понятия характеризуется следующими положениями: 1) термин понятие применяется для обозначения мысленного класса объектов реальной действительности и нашего сознания; 2) понятие образуется на основе выделения существенных свойств объектов некоторого класса и отвлечения от несущественных свойств этих объектов; 3) содержание понятия составляют существенные свойства объектов, объем понятия - сами объекты.

В большей мере отражает логическую структуру математического понятия логико-информативная модель, с точки зрения которой: а) понятие - это и слово, и смысл, и знак, и представленная в свернутом виде вся та информация, которая накапливается в науке в процессе изучения соответствующего математического объекта; б) информация составляет содержание понятия, содержание понятия потенциально бесконечно; в) объем понятия состоит из понятий, которые уже данного; г) понятия объективно и однозначно, оно мыслится одинаково всеми, кто им владеет [16].

Автор приводит иерархию уровней усвоения математического понятия с точки зрения логико-информативной модели; в статье [17] описывает схему изучения определения математического объекта.

Кроме того, одной из технологий формирования понятий у учащихся является информационно-коммутационная технология (Ю.А.Лучко; Н.Василас; Е.А.Руденко; Г.М.Коджаспирова, К.В.Петров; И.В.Воинова).

Так, Е.А.Руденко [18] при формировании понятий у учащихся предлагает применять различные формы и методы использования компьютерной графики и диалоговых возможностей компьютеров: исследование графических моделей; наглядную иллюстрацию понятий, демонстрацию чертежей и рисунков; «активный диалог» в работе учащихся с графическими моделями; И.В.Воинова [19] - офисные технологии как одно из самых доступных современных средств ИКТ, так как на их основе можно разрабатывать средства наглядности и контроля (в форме таблиц, схем, диаграмм), тренажеры для отработки понятий и предметных умений.

Ю.А.Лучко и Н.Василас особое внимание уделяют формированию геометрических понятий с использованием компьютера: визуализации изучаемых объектов; использованию достижений в развитии систем искусственного интеллекта, в частности баз знаний и экспертных систем [20]; представлению связей между геометрическими понятиями [21].

И.В.Антоновой при формировании математических понятий в общеобразовательной школе используется концепция дифференцированной работы учителя математики, которая базируется на технологии дифференцированной работы учителя и технологии генетического подхода, которая построена на основе концепции уровне-вой дифференциации обучения математике Р.А.Утеевой [22], индуктивной теории формирования научных по-

Антонова Ирина Владимировна, Демченкова Наталья Анатольевна и др. О РАЗЛИЧНЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ ...

нятий (С.Р. Когаловский, Н.П. Поспелов [23] и др.), типологии мыслительных операций (Г.П.Антонова [24], Л.И.Румянцева [25]). Данная концепция подразумевает учет типологических особенностей учащихся в процессе формирования у них математических понятий, основывается на применении определенной системы дифференцированных заданий при обучении понятиям в школьном курсе математики. Значительное место в ней отводится дифференцированным заданиям, разработанным с учетом соответствующей модели дифференцированной работы учителя математики при формировании понятий. Данные дифференцированные задания способствуют формированию у учащихся основных действий, адекватных формируемому понятию, формированию навыков концентрации внимания и запоминанию учебного материала, с их помощью происходит развитие познавательных процессов школьников (мышления, речи, памяти и др.), повышается интерес к изучаемым понятиям.

Таким образом, нами выявлены различные технологии формирования понятий при обучении математике у учащихся общеобразовательных школ: на основе использования объектной и логико-информативной модели понятия; генетического подхода к формированию понятий; комплекса эвристических методов и приемов; целостного подхода к обучению математике и др., описаны методические особенности их применения.

Установлено, что формирование математических понятий - сложный и длительный мыслительный процесс, который не ограничивается определением понятия и в ходе которого необходимо учитывать исторические аспекты формирования понятий и их развития в науке. При формировании понятий в общеобразовательной школе можно использовать различные технологии, что связано с дидактическими и методическими задачами, которые ставит перед собой сам учитель. Формирование понятий у учащихся общеобразовательной школы при обучении математике с помощью различных технологий должно способствовать качественному усвоению математических понятий согласно ФГОС, повышению уровня сформированности математических понятий, повышению качества математической подготовки учащихся в целом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Ситникова И.В. Формирование математических понятий в средней школе: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. Киров, 2000. 18 с.

2. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего

3. Капкаева Л.С. Интеграция алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании: Автореф. дис. ... докт. пед. наук. Саранск, 2004. 287 с.

4. Таратынова Н.И. Особенности формирования математических понятий у школьников в условии интеграции алгебраического и геометрического методов// Интеграция образования. 2009. №1. С. 53-58.

5. Солдаева М.В. Формирование математических понятий на основе целостного подхода // Гуманитарные и социальные науки. 2013. №5. С. 129-132.

6. Солдаева М.В. Типология задач, направленных на формирование целостного представления о математических понятиях/ М.В. Солдаева, Н.С. Подходова // Письма в Эмильсия. Оффлайн: Электронный журнал. 2013. № 12. С. 2103-2106.

7. Залясова Н.В. Технология формирования научных понятий на основе использования комплекса эвристических методов и приемов // Вестник Костромского Государственного Университета им. Н.А. Некрасова. 2008. №1. Том 14. С. 294-298._

8. Введенский В.Н. Формирование эвристической деятельности старшеклассников в процессе обучения: Дис. ... канд. пед. наук. Новосибирск, 1999. 174 с.

9. Галямова Э.Х. Генетический подход к формированию геометрических понятий у учащихся средней школы // Экономические и гуманитарные исследования регионов. 2011. №2. С. 59-64.

10. Сафуанов И.С. Генетический подход к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе: дис. ... докт. пед. наук. Набережные Челны, 2000. 410 с.

11. Когаловский С.Р. Путь к понятию. (От интуитивных представлений к строгому понятию) / С.Р. Когаловский, Е.А. Шмелева, О.В. Герасимова. Иваново, 1998. 208 с.

12. Игошин В.И. Развивающее обучение математике и роль логики и индукции в нем / Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении: Сб. научн. тр. и метод. работ, представленных на регион. науч.- практ. конф. / Арзамас. гос. пед. ин-т. Арзамас, 2002. с. 46-53.

13. Мордкович А.Г. Алгебра. 7-9 кл.: Методическое пособие для учителя. М.: Мнемозина, 2000. 143 с.

14. Нугмонов М. Введение в методику обучения математике (методоло-гический аспект). М.: Прометей, 1998. 153 с.

15. Антонова И.В. Дифференцированная работа учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы: Дис. ... канд. пед. наук. Тольятти, 2003. 185 с.

16. Владимирцева С.А. Новая методология теории формирования математических понятий в школе // Сибирский педагогический журнал. 2008. №4. С.256-265.

17. Владимирцева С.А. О школьных математических определениях // Сибирский педагогический журнал. 2008. №1. С. 379-389.

18. Руденко Е.А. Формирование наглядных образов математических понятий // Концепт. 2013. №34. Том 4. С. 2171-2175.

19. Воинова И.В. Использование офисных технологий при формировании математических понятий // Учебный эксперимент в образовании. 2014. №2(70). С. 31-39.

20. Лучко Ю.А. Совершенствование процесса формирования геометрических понятий с использованием информационных технологий// Альманах современной науки и образования. 2008. № 7(14). С. 115-117.

21. Василас Н. Обучение доказательству теорем геометрии с использованием компьютера: Дис... канд. пед. наук. М., 1997. 183 с.

22. Утеева Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: дис. . докт. пед. наук. Москва, 1998. 363 с.

23. Поспелов Н.П. Как готовить учащихся к выполнению домашних заданий. М.: Просвещение, 1979. 96 с.

24. Антонова Г.П. Различия в мыслительной деятельности школьников при решении задач / Типические особенности умственной деятельности младших школьников. Под ред. С.Ф. Жуйкова. М.: Просвещение, 1968. С. 71-124.

25. Румянцева Л.И. Особенности сравнения у младших школьников / Типические особенности умственной деятельности младших школьников. Под ред. С.Ф. Жуйкова. М.: Просвещение, 1968. С. 12-70.