Пространственные режимы сопряженной естественной конвекции в замкнутом кубе

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика и механика № 1

УДК 536.24

М.А. Шеремет

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РЕЖИМЫ СОПРЯЖЕННОЙ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ЗАМКНУТОМ КУБЕ1

Проведен численный анализ пространственных режимов свободно-конвективного теплопереноса в замкнутом кубе со стенками конечной толщины.

На внешних поверхностях двух противоположных граней задавалась постоянная температура, остальные границы были теплоизолированными. Математическая модель, сформулированная в безразмерных естественных переменных «скорость - давление - температура», реализована численно методом контрольного объема. В результате проведенных исследований установлены масштабы влияния температурного напора и толщины ограждающих твердых стенок на термогидродинамические характеристики.

Ключевые слова: сопряженный теплоперенос, естественная конвекция, куб, математическое моделирование, метод контрольного объема.

В последнее время наметился возросший интерес к анализу режимов конвективного теплопереноса в замкнутых объемах с учетом кондуктивной теплопередачи в твердых ограждающих стенках [1-5]. Такие исследования имеют широкие приложения связанные, например, с оптимизацией тепловых режимов в энергетических системах [6], с проектированием эффективных компоновочных элементов для электронной техники [4, 7], с созданием новых теплообменных аппаратов [6]. Применение аппарата математической физики и вычислительной математики представляется наиболее оптимальным методом исследования таких взаимосвязанных физических процессов (конвективный теплоперенос в полости и кондук-тивный теплообмен в твердых элементах).

Целью настоящей работы является математическое моделирование естественной конвекции в замкнутом кубе с теплопроводными стенками конечной толщины при наличии двух изотермических и четырех адиабатических граней.

Постановка задачи

Рассматривается краевая нестационарная задача конвективного теплопереноса в замкнутом кубе, представленном на рис 1. На внешней поверхности одной из вертикальных стенок х = 0 поддерживается постоянная температура ^, а на внешней поверхности противоположной вертикальной стенки - Тс < Ть. Остальные внешние грани теплоизолированы. Предполагалось, что теплофизические свойства материала стенок и газа не зависят от температуры. Газ считался теплопроводной ньютоновской жидкостью, удовлетворяющей приближению Буссине-ска. Предполагается, что в начальный момент времени несжимаемая жидкость, находящаяся внутри полости, и ограждающие стенки имеют постоянную и одинаковую во всех точках температуру, причем жидкость неподвижна. В такой поста-

1 Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (ГК № П357), а также при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для молодых российских ученых (грант МК-396.2010.8).

новке процесс переноса тепла описывается системой нестационарных пространственных уравнений Обербека - Буссинеска [8] в газовой полости и уравнением теплопроводности [9] в твердых стенках.

Рис. 1. Область решения: 1 - теплопроводные ограждающие стенки, 2 - газовая полость

Математическая модель формулируется в безразмерных естественных переменных «скорость - давление - температура». В качестве масштабов расстояния, времени, скорости, температуры и давления были выбраны L, ^JLgвЛT , ^$ЛТЬ , ЛT , рgвЛTL . Безразмерные переменные имеют вид

X = x|L, Y = у/Ь , г = z|L, т = гТяРЛ^Г, и = ,

к = у/^рлть, ш = , 0 = (т - т0 )/лт, р = р/ргвлть

при лт = Т, -Т, То = 0,5(т, +Тс/;

где х, у, z - координаты декартовой системы координат; X, У, X - безразмерные координаты, соответствующие координатам х, у, z; Ь - длина газовой полости; р -плотность; g - ускорение силы тяжести; в - температурный коэффициент объемного расширения; I - время; т - безразмерное время; и, у, - составляющие скорости в

проекции на оси х, у, z соответственно; и, У, Ш - безразмерные скорости, соответствующие скоростям и, у, ^; У0 = ^gвЛTL - масштаб скорости (скорость естественной конвекции); р - давление; Р - безразмерное давление; Т- температура; 0 - безразмерная температура; т0 - начальная температура области решения.

Если пренебрегать вязкой диссипацией энергии, то уравнения неразрывности, движения и энергии в газовой полости для рассматриваемой задачи будут иметь вид

ди дУ дШ = 0-дХ дY дг ~ ’

ди ди2

дт дХ

д(иУ ) д(иШ ) ' + ~д^ +

ду д(иУ) дУ2

~дт дХ ~дУ

dW d(UW) d(VW) dW2 _ дР + [p7fd2W + d2W + д2W

дт дХ dY dZ ~

2W Я2П7 Л

+ ©;

д© д(и©) d(V©) d(W©) _ 1 id2© д2© д2©Л

[дХ 2 дY 2 дZ 2j

дт дХ 3Y дZ VRa • Pr

Для элементов твердой стенки уравнение теплопроводности

д©

f д2 © д2 © д2 ©л

кдХ2 дY2 дZ2 ,

дт VRa • Pr

Здесь Ra = gP(Th - Tc )L3 /va2 - число Рэлея; Pr = v/a2 - число Прандтля; a12 = aj/a2 - относительный коэффициент температуропроводности; a\ - коэффициент температуропроводности материала твердых стенок; a2 - коэффициент температуропроводности газа; v - кинематический коэффициент вязкости.

Начальные и граничные условия для сформулированной задачи (1) - (6) имеют вид:

Начальное условие:

U (X, Y, Z ,0 ) = V (X, Y, Z ,0 ) = W (X, Y, Z ,0 ) = ©(X, Y, Z ,0 ) = 0,

за исключением изотермических граней.

Граничные условия:

- на границе X = 0 0h = 0,5;

- на границе X = 1+2h/L 0c = -0,5;

- остальные внешние грани являются адиабатическими д© / дп = 0;

- на внутренних границах раздела сред

д©2 д©,

U = V = W =0, ©, =©2, ------2 = Х12—к

дп ’ дп

Здесь Х2д = Х2/Х, - относительный коэффициент теплопроводности; X, - коэффициент теплопроводности материала твердых стенок; Х2 - коэффициент теплопроводности газа.

Сформулированная краевая задача (1)-(6) с соответствующими начальными и граничными условиями решалась методом контрольного объема [10, 11] на неравномерной структурированной сетке. Для аппроксимации конвективных слагаемых применялся степенной закон [10, 11], для диффузионных слагаемых -центральные разности. Для совместного определения полей скорости и давления применялась процедура SIMPLE [10, 11]. Разностные уравнения движения разрешались на основе итерационного метода переменных направлений. Разностные уравнения энергии как в газовой полости, так и в твердой стенке решались одновременно методом неполной факторизации Булеева [12]. Построение неравномерной структурированной сетки осуществлялось следующим образом: S+1 = Sj + а^Д [13], где S, определяет положение грани контрольного объема, Д -шаг сетки, as - параметр сгущения. Сгущение разностной сетки проводилось к стенкам в газовой полости для корректной аппроксимации градиентов искомых характеристик.

Разработанный метод решения был протестирован на модельной задаче естественной конвекции в кубической полости с двумя вертикальными изотермическими и остальными адиабатическими гранями. В качестве определяемой величи-

ны выступало среднее число Нуссельта на вертикальной изотермической грани в широком диапазоне изменения Яа (таблица). В расчетах использовалась неравномерная структурированная разностная сетка размерностью 54 х 54 х 54 .

Зависимость среднего числа Нуссельта от числа Рэлея

Яа Полученные результаты [141 [151 [161 [171 [181

104 2,0563 2,055 2,100 2,0556 2,055 2,071

105 4,3267 4,339 4,361 4,3428 4,337 4,446

106 8,3912 8,656 8,770 8,6487 8,796 9,432

Результаты, представленные в таблице, наглядно показывают, что используемый численный алгоритм решения приводит к достаточно хорошему согласованию с результатами других авторов.

Результаты численного моделирования

Численные исследования краевой задачи (1) - (6) проведены при следующих значениях безразмерных комплексов: 103 < Яа <106, Рг = 0,7, Х2>1 = 5,7-Ю-4,

к/Ь = 0,05, 0,1, 0,2. Особое внимание было уделено анализу влияния числа Рэлея, относительной толщины твердых стенок и размерности задачи как на локальные термогидродинамические характеристики (поля скорости и температуры), так и на интегральный параметр (среднее число Нуссельта на внутренних границах раздела сред) в стационарном режиме.

На рис. 2 представлены траектории движения газовых частиц, поля скорости и температуры, соответствующие различным режимам термогравитационной конвекции Яа = 104, 105, 106, при к/Ь = 0,2.

Рис. 2. Стационарные поля скорости, траектории движения и поля температуры при Яа = 104

Анализируя распределения гидродинамических параметров, можно утверждать, что увеличение температурного напора приводит к повышению интенсивности движения в полости, а также отражается на модификации структуры траекторий движения газовых объемов. При Яа = 104 (рис. 2,а) в газовой полости формируется один глобальный вихрь, характеризующий появление восходящих потоков вблизи нагреваемой стенки и нисходящих потоков около противоположной поверхности охлаждаемой твердой стенки. Траектории движения при этом представляют собой сложные трехмерные спиральные структуры, которые в центральной части вырождаются в концентрические окружности. Поле температуры отражает взаимодействие пограничных слоев со стороны вертикальных поверхностей твердых стенок. В центральной части наблюдается незначительная температурная стратификация среды. Увеличение числа Рэлея в 10 раз (рис. 2,б) приводит к сохранению единого глобального вихря, структура которого несколько изменяется. Наблюдается вертикальная деформация траекторий движения, и в центральной части ядро потока растягивается по координате х. Также заметно наличие сложных спиралевидных траекторий объемов среды, удаляемых со стороны вертикальных поверхностей адиабатических стенок. Такие поперечные течения, достигая центральной зоны полости, вовлекаются в основное циркуляционное движение, обусловленное направленным воздействием температурного градиента. Необходимо отметить более устойчивую температурную стратификацию в средней части полости, отражающую прогрев анализируемого объекта по направлению сверху вниз, вследствие взаимодействия теплых восходящих и холодных нисходящих потоков. При Яа = 106 (рис. 2,в) траектории поперечного движения газовых объемов существенно видоизменяются - шаг спиралевидной траектории значительно увеличивается по сравнению с режимами Яа = 104, 105. Поле температуры отражает уменьшение толщин тепловых пограничных слоев, что сказывается на глубине проникновения температурных волн в центре газового объема.

Проведен анализ влияния числа Рэлея, размерности задачи и относительной толщины твердых стенок на среднее число Нуссель-та на границе раздела сред

№

ау§

1+И/Ь 1+И/Ь

= \ \

И/Ь И/Ь

д

дХ

сІУсІХ .

X=И/Ь

С ростом числа Рэлея наблюдается монотонное увеличение обобщенного коэффициента теплообмена независимо от размерности задачи и толщины стенок. В случае бесконечно тонких стенок к/Ь = 0,0 трехмерная постановка задачи дает несколько меньшие значения среднего числа Нуссельта, при этом наибольшее относительное расхождение

№2° - №3°

---8 а¥8 • 100 % = 5,4 %

№

3Б

ау§

т—I I I

Яа

Рис. 3. Зависимость среднего числа Нуссельта на границе раздела сред X = к/Ь в случае плоской и пространственной постановок задачи при различных значениях числа Рэлея и относительной толщины стенки

наблюдается при Яа = 106. Введение твердых стенок при к/Ь = 0,2 приводит к существенному понижению среднего числа Нуссельта в случае как плоской, так и пространственной постановки задачи. Следует отметить, что наиболее значительное уменьшение Киауё происходит в случае трехмерной задачи, что обусловлено

наличием дополнительной ограничивающей поверхности и соответственно дополнительным направлением переноса энергии.

На рис. 4 и 5 представлены поля скорости и температуры в случае пространственной (среднее сечение по координате У, рис. 4) и плоской [19] (рис. 5) постановки задачи при Яа = 105.

Рис. 4. Стационарные поля скорости и температуры в среднем сечении по координате У в случае трехмерной задачи при Яа = 10

Рис. 5. Стационарные поля скорости и температуры в случае двумерной задачи при Яа = 105

в

Для пространственной задачи введение твердых стенок приводит к изменению конфигурации течения. При h/L = 0,0 (рис. 4, а) в газовой полости формируется гидродинамическая структура, состоящая из двух центральных конвективных ячеек, определяющих течение в направлении по часовой стрелке. Появление твердых стенок минимальной толщины h/L = 0,05 проявляется в сужении зоны двухячеистой конвективной структуры, а дальнейшее увеличение толщины ограждающих стенок приводит к вырождению двухячеистой структуры в одноячеистую при h/L = 0,2 (рис. 4, г). Изотермы также претерпевают изменения. Например, при h/L = 0,05 изотермы, соответствующие безразмерным температурам 0 = ±0,45, полностью лежат в газовой полости, за исключением верхней и нижней стенок. При h/L = 0,2 в стационарном режиме эти изотермы проходят по внутренним границам раздела сред. Такая динамика распределения линий постоянной температуры отражается и на зависимостях для среднего числа Нуссельта (рис. 3).

В случае двумерной постановки задачи (рис. 5) введение твердых стенок в большей степени отражается на модификации изотерм, при этом конфигурация линий тока сохраняется. Сравнивая результаты плоской и пространственной постановок, можно утверждать, что наличие третьей координаты вносит существенные коррективы в конфигурацию течения, при этом поля температуры изменяются незначительно.

Заключение

Проведен численный анализ пространственных стационарных режимов естественной конвекции в замкнутом кубе с теплопроводными стенками конечной толщины. В результате получены поля скорости и температуры, а также распределения среднего числа Нуссельта на внутренней границе раздела сред в широком диапазоне изменения определяющих параметров: 103 < Ra < 106, Pr = 0,7,

X2,i = 5,7-10-4, h/L = 0,05, 0,1, 0,2. Детально проанализировано влияние числа Рэлея, относительной толщины ограждающих твердых стенок и размерности задачи (двумерная и трехмерная постановки) на распределения локальных и интегральных термогидродинамических характеристик. Установлено, что рассматриваемая задача (геометрический параметр, характеризующий отношение длин сторон, равен 1) является пространственной, как вследствие формирования поперечных течений, которые в центральной части полости вовлекаются направленным градиентом температуры в основную циркуляцию, так и в результате огранивающего термического воздействия третьей координаты из-за наличия твердой стенки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Valencia L., Pallares J., Cuesta I., Grau FX. Turbulent Rayleigh-Benard convection of water in cubical cavities: A numerical and experimental study // Int. J. Heat Mass Transfer. 2007. V. 50. P. 3203-3215.

2. Kuznetsov G. V., SheremetM.A. Conjugate natural convection with radiation in an enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 2009. V. 52. P. 2215-2223.

3. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Конвекция Рэлея - Бенара в замкнутом объеме со стенками конечной толщины // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 10. С. 111122.

4. Liu Y., Phan-Thien N., Kemp R., Luo X.-L. Three-dimensional coupled conduction-convection problem for three chips mounted on a substrate in an enclosure // Numerical Heat Transfer, Part A: Applications. 1997. V. 32. P. 149-167.

5. Шеремет М.А. Математическое моделирование нестационарной сопряженной термогравитационной конвекции в замкнутом наклонном цилиндре // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4(3). С. 1272-11274.

6. Jaluria Y. Design and Optimization of Thermal Systems. New York: McGraw-Hill, 1998. 626 p.

7. Sheremet M.A. Numerical Simulation of Turbulent Natural Convection in an Electronic Enclosure // Proc. of the 11th International Conference and Seminar on Micro/Nanotechnologies and Electron Devices EDM’2010, June 30 - July 4 2010, Erlagol, Russia. P. 177-180.

8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

9. ЛыковА.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

10. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

11. Versteeg H.K., Malalasekera W. An Introduction to Computational Fluid Dynamics. The Finite Volume Method. N.Y.: Wiley, 1995. 257 p.

12. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Физматлит, 1995. 288 с.

13. Liaqat A., Baytas A.C. Conjugate natural convection in a square enclosure containing volumetric sources // Int. J. Heat Mass Transfer. 2001. V. 44. P. 3273-3280.

14. Bessonov O.A., Brailovskay V.A., Nikitin S.A., Polezhaev V.I. Three- dimensional natural convection in a cubical enclosure: a benchmark numerical solution // Proc. of Int. Symposium on Advances in Computational Heat Transfer. - Turkey, 1997. P. 157-165.

15. Fusegi T., Hyin J.M., Kuwahara K. A numerical study of 3D natural convection in a differently heated cubical enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. V. 34. P. 1543-1557.

16. Артемьев В.К., Рожков М.М. Численное моделирование трехмерной естественной конвекции в кубической полости // Труды XIII Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева «Физические основы экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках». Санкт-Петербург, 2001. Т. 1. С. 153157.

17. Гинкин В.П., Ганина С.М. Метод и программа расчета трехмерной конвекции на сетках большой размерности // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002. Т. 3. С. 49-52.

18. Kuznetsov G.V., Sheremet M.A. A numerical simulation of double-diffusive conjugate natural convection in an enclosure // Int. J. Thermal Sciences. 2011. V. 50. P. 1878-1886.

19. Шеремет М.А. Математическое моделирование естественной конвекции в замкнутой квадратной полости с теплопроводными стенками конечной толщины // Физ-Мат. 2011. № 1-2. C. 7-12.

Статья поступила 20.09.2011 г.

Sheremet M.A. 3D REGIMES OF CONJUGATE NATURAL CONVECTION IN A CLOSED CUBE. Numerical analysis of 3D regimes of natural convection in a closed cube with finite thickness walls has been carried out. The external surfaces of two opposite sides were kept at constant temperatures, while the rest were adiabatic. A mathematical model formulated in dimen-sionless primitive variables “velocity - pressure - temperature” has been solved by means of the finite volume method. The influence scales of a temperature difference and a thickness of solid walls on thermohydrodynamic parameters have been determined.

Keywords: conjugate heat transfer, natural convection, cube, mathematical simulation, finite volume method.

SHEREMET Mikhail Aleksandrovich

E-mail:sheremet@math.tsu.ru