Аппроксимация вероятностных распределений в моделях массового обслуживания

Эффективность использования пропускной способности гетерогенных каналов (для значений пропускной способности 4 Мбит/с, 10 Мбит/с, 20 Мбит/с) алгоритмом RoundRobin слишком низка, чтобы обслужить имеющийся входящий поток требований. Алгоритм RateBalance позволяет сохранить условие эргодичности системы, однако среднее время пребывания требования в системе вдвое больше по сравнению с алгоритмом DPB.

Заключение

Предложен алгоритм распределения кадров по резервированным каналам, производящий оптимальную фрагментацию пакета перед отправкой, что позволяет сократить среднее время пребывания требования в системе. Построена имитационная модель стационарного процесса передачи в вычислительной сети для алгоритмов RoundRobin, RateBalance и DPB, подтверждающая преимущества алгоритма DPB в случае стационарности процесса передачи.

Литература

1. Олифер В.Г., Олифер Н.А. Компьютерные сети. Принципы, технологии, протоколы. - СПб: Питер,

2010. - 944 с.

2. Таненбаум Э. Компьютерные сети. - 5-е изд. - СПб: Питер, 2012. - 960 с.

3. Tunnel provisioning with link aggregation: United States Patent Application Publication, Inventor: Ronen Solomon. - Pub. Date: Oct. 27, 2011. - Pub. No.: US 2011/0261829 A1.

4. McLean I., Christensen K. Reducing Energy Use: A Dual-Channel Link // IEEE Communications Letters. -2012. - V. 16. - № 3. - P. 411-413.

5. Богатырев В.А. К управлению взаимосвязью при резервировании неполносвязных магистралей локальной сети // Электронное моделирование. - 1998. - № 4. - С. 28-32.

6. Богатырев В.А. Комбинаторный метод оценки отказоустойчивости многомагистрального канала // Методы менеджмента качества. - 2000. - № 4. - С. 30-35.

7. Богатырев B.A. Оценка надежности резервированного канала с межмагистральной ретрансляцией кадров // Автоматизация и современные технологии. - 2000. - № 4. - С. 2-4.

8. Богатырев В.А. Оценка вероятности полной связности локальных сетей при неполнодоступности резервированных магистралей // Электронное моделирование. - 1999. - № 5. - С. 102-112.

9. Богатырев В.А., Евлахова А.В., Котельникова Е.Ю., Богатырев С.В., Осипов А.В. Организация межмашинного обмена при резервировании магистралей // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. -

2011. - № 2 (72) - С. 171.

10. Осипов А.В., Богатырев В.А. Варианты объединения разнотипных каналов вычислительной сети // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. - № 2 (78). -С. 145.

11. Поляков А.Ю. Адаптивный подход к распределению информационных блоков по каналам передачи данных // Электросвязь. - 2009. - № 6. - С. 32-35.

12. Осипов А.В., Фролова Н.И. Задача оптимизации при сегментации пакетов в беспроводных сетях // Сборник трудов молодых ученых и сотрудников кафедры ВТ. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2012. - Вып. 3. - С. 44-46.

Осипов Андрей Владимирович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, osipov-andrey@mail.ru

УДК 519.872

АППРОКСИМАЦИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В МОДЕЛЯХ

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Т.И. Алиев

Для вероятностных распределений с коэффициентами вариации, отличными от единицы, получены математические зависимости для аппроксимации по двум заданным моментам распределения с использованием мультиэкспоненци-альных распределений. Для аппроксимации распределений с коэффициентами вариации меньше единицы предлагается использовать гипоэкспоненциальное распределение, которое, в отличие от распределения Эрланга, имеющего дискретные значения коэффициента вариации, позволяет формировать случайные величины с любым значением коэффициента вариации в интервале (0; 1).

Ключевые слова: вероятностное распределение, коэффициент вариации, аппроксимация, гипоэкспоненциальное распределение, гиперэкспоненциальное распределение, распределение Эрланга.

Введение

В качестве моделей вычислительных систем и сетей широкое применение находят математические модели массового обслуживания, позволяющие проводить анализ эффективности их функционирования и

решать задачи системотехнического проектирования [1, 2]. При этом наибольшее распространение получили так называемые экспоненциальные модели, в которых протекающие в исследуемых системах процессы описываются случайными величинами, распределенными по экспоненциальному закону, обладающему свойством отсутствия последействия. Это замечательное свойство экспоненциального распределения используется при построении моделей в терминах марковских процессов, представляющих собой особый класс случайных процессов, развитие которых не зависит от предыстории процесса [3]. Благодаря этому для многих моделей массового обслуживания удается достаточно просто получить конечные результаты, в том числе в явном виде и в аналитической форме, для расчета характеристик исследуемой системы. Исходя из этого, часто при исследовании систем, в которых временные процессы отличаются от экспоненциальных, стремятся свести эти процессы к экспоненциальному представлению.

Для экспоненциального закона распределения случайных величин, определенных в области положительных значений, коэффициент вариации, описывающий разброс значений случайной величины, равен единице. Если реальные временные интервалы имеют значения коэффициента вариации, отличающиеся от единицы, использование экспоненциального распределения может привести к значительным погрешностям конечных результатов. В этих случаях в качестве аппроксимирующих функций законов распределений могут использоваться мультиэкспоненциальные распределения, представляющие собой композицию экспоненциальных распределений, а именно: распределение Эрланга, когда коэффициент вариации временного интервала меньше единицы, 0 < V < 1, и гиперэкспоненциальное распределение, когда коэффициент вариации временного интервала больше единицы, V > 1 [3]. При этом аппроксимация реального распределения в простейшем случае может выполняться по двум первым моментам распределения — математическому ожиданию и коэффициенту вариации.

Аппроксимация распределений с коэффициентом вариации 0< V <1

Положим, что математическое ожидание и коэффициент вариации некоторой случайной величины т , определенной в положительной области действительных чисел, соответственно равны t и V, причем 0 < V < 1. Для аппроксимации закона распределения такой случайной величины в теории массового обслуживания обычно используют распределение Эрланга [3]. Случайная величина, распределенная по закону Эрланга к-го порядка Ек, представляет собой сумму к экспоненциально распределенных случайных величин (фаз) с одинаковым математическим ожиданием М [т].

Математическое ожидание и коэффициент вариации случайной величины, распределенной по закону Эрланга к-го порядка, равны соотвтственно

МЕк = кМ[т]; VЕк '

где к = 1, 2,... - параметр распределения Эрланга, принимающий целочисленные значения.

Тогда для заданных реальных (измеренных) значений математического ожидания t и коэффициента вариации V (0 < V < 1) некоторой случайной величины т , определенной в положительной области действительных чисел, параметры аппроксимирующего распределения Эрланга будут определяться следующим образом:

.2

к =

М [т] = у ,

к

_ V

где ]х[ означает ближайшее целое, большее х. Нетрудно убедиться, что распределение Эрланга позволяет аппроксимировать только те реальные распределения, коэффициенты вариации которых имеют следующие значения: 0,707 (при к = 2); 0,577 (при к = 3); 0,5 (при к = 4) и т.д.

Для аппроксимации распределений с любым значением коэффициента вариации, находящимся в интервале (0; 1), рассмотрим многофазное распределение с разными значениями математического ожидания экспоненциальных распределений в разных фазах: = М1 [т] (' = 1, к), которое будем называть гипоэкспоненциальным распределением.

Проанализируем свойства гипоэкспоненциального распределения на примере двухфазного распределения, математическое ожидание и второй начальный момент которого будут равны

Мкг = у + У2; а^ = 2(у2 + + У2), откуда коэффициент вариации vh2

=л/Уг+У[ /(а + о.

На рис. 1 показана зависимость коэффициента вариации гипоэкспоненциального распределения 2-го порядка от отношения / У2 параметров экспоненциальных составляющих. Как видно из графика, коэффициент вариации гипоэкспоненциального распределения изменяется в пределах от 1 до 0,7, точнее, до значения 0,707, т.е. коэффициента вариации распределения Эрланга 2-го порядка, когда параметры экспоненциальных составляющих равны между собой, = У2.

0,05

0,25

0,85

1,00

0,45 0,65 Отношение /1//'2 Рис. 1. Зависимость коэффициента вариации от отношения

Очевидно, что для увеличения интервала изменения коэффициента вариации гипоэкспоненциаль-ного распределения необходимо вместо двухфазного использовать многофазное (к-фазное, к > 2) представление. Математическое ожидание и коэффициент вариации гипоэкспоненциального распределения к-го порядка будут равны

мк =1 и;

=Л * Iи..

Коэффициент вариации гипоэкспоненциального распределения к-го порядка лежит в интервале (1/4к; 1), причем с увеличением порядка к левая граница этого интервала приближается к нулю

(к = 2, 3, ...).

Рассмотрим теперь задачу аппроксимации реального распределения с коэффициентом вариации 0 < V < 1 гипоэкспоненциальным распределением к-го порядка. Положим, что известны математическое ожидание г и коэффициент вариации V (причем 0 < V < 1) некоторой случайной величины т , определенной в положительной области действительных чисел. Для простоты без потери общности положим, что аппроксимирующее гипоэкспоненциальное распределение к-го порядка содержит только два типа экспоненциальных фаз: к1 фаз с параметром а1 = 1/ г1 и к2 = к - к1 фаз с параметром а2 = 1/12, где г1 и t2 - математические ожидания экспоненциально распределенных случайных величин в фазах первого и второго типов соответственно. Тогда из (1) следует, что математическое ожидание и коэффициент вариации будут равны

МК = к1 г1 + к2 и2; vhk = ^¡кХ+кХ /к г1 + к2 и2),

причем к1 + к2 = к .

Таким образом, для аппроксимации по двум моментам необходимо, чтобы выполнялись следующие два условия:

к1 г1 + к2 г2 = V;

^к1 г[ + к2 г2

к1 г1 + к2 г2

= V

где г и V - соответственно математическое ожидание и коэффициент вариации аппроксимируемого (реального) распределения. Полагая, что значения к1 и к2 известны, решим полученную систему уравнений относительно неизвестных г1 и г2. Из первого уравнения системы следует, что

¿2 ="

к.

Подставляя это выражение во второе уравнение, после некоторых преобразований получим квад ратное уравнение с одним неизвестным г1:

к1(к1 + к2)¿12 - 2к1 гг1 + (г2 - к2V2г2) = 0 . Решая это квадратное уравнение, получим: г

и =-

1 +

где к = к1 + к2.

В качестве решения могут использоваться оба корня квадратного уравнения. Для того чтобы в (3) под знаком квадратного корня была неотрицательная величина, необходимо выполнение условия

к ^

которое определяет минимальное количество фаз в аппроксимирующем гипоэкспоненциальном распределении, т.е. порядок распределения. Для того чтобы второе решение со знаком минус перед квадратным корнем давало > 0 , дополнительно необходимо выполнение условия

V

к2 <-

Объединив условия (4) и (5), окончательно получим вполне очевидное условие

к2 < \ < к . V

Подставим теперь (3) в (2) и найдем г2: г

г2 =-

1 т 'к'

для которого получим условие, аналогичное условию (6):

к, <—у < к . V

Окончательно имеем следующие выражения для аппроксимации гипоэкспоненциальным распределением к-го порядка законов распределения случайных величин с коэффициентом вариации 0 < V < 1 :

к >т-;

г'= к

У2 = к

1 ^ 1 ^^^

или

г'= к

У2 = к

1

1

Алгоритм аппроксимации реального распределения с коэффициентом вариации 0 < V < 1 гипоэкспоненциальным распределением к-го порядка при заданных значениях математического ожидания г и коэффициента вариации V случайной величины т , определенной в положительной области действительных чисел, формулируется следующим образом:

1. на основе выражения (7) по заданному значению коэффициента вариации V определяется минимально необходимое число экспоненциальных фаз к в аппроксимирующем распределении как ближайшее большее целое по отношению к 1/ V2 ;

2. выбирается значение к1 < к и рассчитывается к2 = к - к1;

3. на основе (8) рассчитываются значения и г2.

Результаты аппроксимации на основе выражений (7) и (8) при разных значениях к1 и к2 = к - к1 различаются значениями третьего и более высоких моментов распределения, учет которых при аппроксимации реальных распределений не вызывает принципиальных трудностей, но сопровождается более громоздкими математическими выкладками. К тому же, во многих случаях влияние этих моментов на конечные результаты исследований оказывается незначительным.

Пример 1. Пусть математическое ожидание и коэффициент вариации аппроксимируемого выражения соответственно равны г = 10 и V = 0,4.

В соответствии с изложенным выше алгоритмом:

1. минимально необходимое число экспоненциальных фаз к в аппроксимирующем распределении к = 7 (к > 1/0,16 = 6,25);

2. выберем значение к1 = 3, тогда к2 = 7 - 3 = 4 ;

3. на основе (8) рассчитываются значения = 2 и г2 = 1.

Таким образом, в качестве аппроксимирующего распределения выбираем гипоэкспоненциальное распределение 7-го порядка, в котором 3 экспоненциальные фазы имеют математическое ожидание, равное 2, и 4 фазы - математическое ожидание, равное 1.

Аппроксимация распределений с коэффициентом вариации V >1

Положим, что математическое ожидание и коэффициент вариации некоторой случайной величины т , определенной в положительной области действительных чисел, соответственно равны г и V , причем

V > 1. В этом случае для аппроксимации закона распределения в теории массового обслуживания используют гиперэкспоненциальное распределение [3], представляющее собой композицию экспоненциальных распределений.

Случайная величина, распределенная по гиперэкспоненциальному закону, представляет собой совокупность случайных величин (фаз), распределенных по г разным экспоненциальным законам, причем появление случайной величины, принадлежащей /-ой фазе, происходит с вероятностью

__г

ъ (/ =1 г X I ъ =1.

/=1

В простейшем случае гиперэкспоненциальное распределение может быть представлено в виде двух экспоненциальных распределений (рис. 2).

Рис. 2. Двухфазное гиперэкспоненциальное распределение

Параметрами такого распределения являются: и1 и /2 - математические ожидания экспоненциальных распределений; д - вероятность формирования случайной величины по первой экспоненте. Полученное таким образом распределение является трехпараметрическим. Это означает, что аппроксимация может выполняться по трем числовым моментам. Выбор значений параметров /1, /2 и д гиперэкспоненциального распределения по двум моментам предполагает наличие некоторого произвола.

Таким образом, задача аппроксимации гиперэкспоненциальным распределением сводится к определению значений параметров и1, и2 и д в зависимости от известных значений математического ожидания г и коэффициента вариации V аппроксимируемого закона распределения случайной величины т .

Математическое ожидание и второй начальный момент гиперэкспоненциального распределения соответственно равны

и = ^ +

г(2) = 2[ + (1 - д) гЦ

Тогда коэффициент вариации гиперэкспоненциального распределения

2 = 2[д^ + (1 - д) г2] _ 1

откуда

2д2 + (1-д)г2] = г2 (^2). Из (9) имеем:

г2 =

г - дг1

7-7

Подставив последнее выражение в (10), после некоторых преобразований получим квадратное уравнение

2дг12 -4д Ц + [1 + д-(1 -д^2 ]г2 = 0 .

Решая это квадратное уравнение относительно г1, получим:

г1 = г

1 ±.

2д

Для того чтобы гарантировать г1 > 0, в качестве решения выберем корень уравнения со знаком плюс перед знаком радикала:

А =

1 +

^(V2 -1) 2д

г.

г

Подставим (13) в (11) и найдем г2

г~ : 1

г2 =

-

г.

2

Потребуем, чтобы г2 > 0, т.е. 2

д

2

(V2 -1) < 1. Отсюда

д <

1 + V2

Выражения (13)-(15) можно использовать для аппроксимации любого закона распределения с коэффициентом вариации V > 1 двухфазным гиперэкспоненциальным распределением, для чего достаточно выбрать значение вероятности д из условия (15) и рассчитать значения и г2 в соответствии с (13) и

2

(14). В частном случае, когда д =--, с использованием (13) и (14) получим:

1 + V2

V2 +1

г1 =-г;

г2 = 0.

Последние выражения соответствуют однофазному представлению гиперэкспоненциального распределения, которое является частным случаем так называемого распределения Кокса. Пример 2. Пусть V = 3 , тогда в соответствии с (15) д < 0,2 .

Выберем д = 0,1, тогда в соответствии с (13) и (14) г1 = 7 г; г2 = 3 г.

2. Выберем д = 0,2 , тогда в соответствии с (16) = 5 г; г2 = 0 .

Заметим, что полученные для и г2 выражения (13) и (14) симметричны. Можно показать, что если выбрать в качестве решения квадратного уравнения (12) второй корень со знаком минус перед знаком радикала и потребовать, чтобы выражение в квадратных скобках не было отрицательным, то получим:

г1 = г

1 -

1 - д

V 2д

г2 = г

1+

2

а условие для выбора значения д примет вид д >

V2 -1 V 2 +1

что равносильно перестановке

экспоненциальных фаз (рис. 2) гиперэкспоненциального распределения.

Заключение

Полученные соотношения позволяют выполнить на основе заданных двух моментов вероятностного распределения точный расчет параметров гипо- и гиперэкспоненциальных распределений, используемых для аппроксимации распределений случайных величин, определенных в положительной области действительных чисел и имеющих отличный от единицы коэффициент вариации. Благодаря этому процессы, протекающие, например, в неэкспоненциальных сетях массового обслуживания и системах с приоритетами, могут быть представлены в терминах марковского процесса. Использование гипоэкспоненциального распределения вместо распределения Эрланга позволяет выполнить аппроксимацию распределений с любым значением коэффициента вариации в интервале (0; 1), что повышает точность результатов расчета характеристик функционирования таких систем. Кроме того, предлагаемая аппроксимация по двум заданным моментам вероятностного распределения может использоваться для формирования случайных величин, распределенных по произвольному закону, при проведении имитационных экспериментов.

Литература

1. Алиев Т.И., Муравьева-Витковская Л. А. Приоритетные стратегии управления трафиком в мульти-сервисных компьютерных сетях // Изв. вузов. Приборостроение. - 2011. - Т. 54. - № 6. - С. 44-49.

2. Алиев Т.И. Задачи синтеза систем с потерями // Изв. вузов. Приборостроение. - 2012. - Т. 55. - № 10. - С. 57-63.

3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания: Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

Алиев Тауфик Измайлович

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, :аНеу@(11.Ишо.ги