К теории нестационарного отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Т о м XVIII 198 7

№ 1

УДК 532.526.5.011.7

К ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОТРЫВА И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ СО СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

И. И. Липатов, В. Я Нейланд

Исследовано влияние нестационарных возмущений, возникающих в результате колебаний аэродинамического органа управления (щитка) или пульсаций донного давления, на течение в ламинарном пограничном слое. Проведена классификация режимов течения в зависимости от частоты и амплитуды колебаний (пульсаций), числа Рейнольдса и др. Установлено асимптотическое соотношение между параметрами, отделяющее отрывные и безотрывные режимы течения. Получены аналитические и численные решения ряда краевых задач, описывающих нестационарное взаимодействие между течением в ламинарном пограничном слое и внешним сверхзвуковым течением.

1. Теория пограничного слоя Прандтля неприменима для описания течений, в которых возникает отрыв или присутствуют области с большими локальными градиентами давления. Исследование отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке [1,2] и несжимаемого течения в окрестности задней кромки пластины [3, 4] привело к формулированию теории «свободного взаимодействия». Принципиальное отличие этой теории от классической теории пограничного слоя заключается в учете индуцированного взаимодействия между внешним невязким потоком и вязким течением. Концепция индуцированного взаимодействия оказалась существенной и в теории отрыва ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности в несжимаемой жидкости [5].

Класс течений, для которых индуцированное взаимодействие является определяющим, достаточно широк, обзор решений соответствующих задач дан в работах [6—10].

Перспективным направлением развития теории взаимодействия стало изучение нестационарных течений. В одной из первых работ этого направления [11] исследованы процессы распространения слабых волн разрежения или сжатия в пограничном слое. Работа [11] представляет собой обобщение на нестационарный режим исследования [12], в котором впервые изучено слабое индуцированное взаимодействие течения в ламинарном пограничном слое с внешним сверхзвуковым потоком. Впоследствии в работах [13, 14] сформулированы краевые задачи, описывающие нелинейные процессы нестационарного индуцированного

взаимодействия, и получено решение ряда линейных задач [15—19]. Принципиальное значение имело установление факта совпадения решений уравнения Орра—Зоммерфельда (для длинноволновых возмущений) и решений, следующих из линейной теории нестационарного свободного взаимодействия [17].

Для исследования нелинейных процессов нестационарного индуцированного взаимодействия разработаны численные методы [20, 21], которые позволили описать формирование области отрыва при постепенном отклонении аэродинамического органа управления (щитка) на заданный угол в сверхзвуковом потоке. С помощью численного метода

[20] получено решение задачи, описывающей нестационарное течение, возникающее при перемещении слабого скачка уплотнения с постоянной скоростью вверх по потоку [22]. Аналогичная проблема изучена в работе [23]. Результаты этих исследований показывают, что с увеличением скорости перемещения скачка уменьшается продольный размер области возмущенного течения, а также меняется характер течения в зоне отрыва, в частности, исчезает область почти постоянного давления. Асимптотический анализ, проведенный в работе [24], показал, что в пределе, при большой, по сравнению с продольной скоростью в пристеночной области стационарного «свободного» взаимодействия, скорости перемещения скачка, распределение давления описывается стационарным уравнением Бюргерса. Процессы взаимодействия и отрыва ламинарного пограничного слоя, возникающие при перемещении скачка уплотнения вниз по потоку, численно исследованы в работе [25].

Нестационарное отрывное течение несжимаемой жидкости, в котором точка отрыва перемещается вверх по потоку с постоянной скоростью, исследовано в работах [26, 27], где выявлена структура областей отрыва и взаимодействия и сформулирована краевая задача, описывающая возмущенное течение.

Другой пример нестационарных течений с взаимодействием связан с обтеканием задней кромки пластины, угол атаки которой зависит от времени. Цель работ [28—30] заключалась в установлении аналога условия Кутта—Жуковского для нестационарных течений. Примеры решения задач, описывающих некоторые режимы нестационарного взаимодействия, даны в работах [31, 32], где исследовано течение в канале при симметричном изменении формы нижней и верхней поверхности канала по времени, а также обтекание пластины, форма участка поверхности которой, примыкающего к задней кромке, периодически меняется со временем.

Вопросам описания нестационарного течения в локальных областях отрыва, возникающего вблизи передней кромки профиля, обтекаемого несжимаемой жидкостью, посвящены работы [33, 34]. Периодическое воздействие на пограничный слой, индуцируемое изменением формы неровности, находящейся на дне ламинарного пограничного слоя в дозвуковом внешнем потоке, изучено в работах [35, 36].

Перечисленные работы не исчерпывают всего класса задач теории нестационарных течений с взаимодействием. Практическое значение имеет исследование нелинейного процесса нестационарного взаимодействия, вызываемого колебаниями аэродинамического органа управления (щитка) или пульсациями донного давления. Такой процесс проанализирован в настоящей статье с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений. В частности, исследовано влияние характерных параметров на структуру течения, выявлены параметры подобия и численно решены соответствующие краевые задачи.

Рис. 1

2. Рассматривается обтекание плоской поверхности сверхзвуковым потоком вязкого газа. Пусть в точке О (рис. 1), на расстоянии / от передней кромки расположен щиток (или находится донный срез), угол отклонения щитка меняется со временем (или меняется донное давление). Для декартовых координат, отсчитываемых вдоль поверхности и по нормали к ней, времени, компонентов вектора скорости, давления, плотности, энтальпии и динамического коэффициента вязкости приняты

следующие обозначения — xl, yl, It/Uao, UooU, UooV, роottLp, PooP , uLh/2,) ЦооЦ, индексом «оо» отмечены параметры невозмущенного невязкого потока над плоской поверхностью. Предполагается, что число Рейнольдса (Re = poo«oo//Voo) велико, но не превосходит критического значения, при котором вблизи поверхности образуются области переходного или турбулентного течений. Возмущения, вносимые колебаниями щитка или пульсациями донного давления, могут распространяться вверх по потоку и воздействовать на течение в пограничном слое. Структура течения в области распространения возмущений зависит от соотношения длины этой области Ах и толщины пограничного слоя перед щитком или донным срезом 8*~е (e = R1/2). В дальнейшем анализируются такие режимы течения, для которых отношение 6*/Ах и амплитуда отклонения щитка а (или амплитуда пульсаций донного давления Ар) малы. Если вблизи обтекаемой поверхности существует область течения, в которой распространяющиеся возмущения вызывают нелинейное изменение продольной скорости [область 3, (рис. 1)] под которой, вообще говоря, понимается та область течения, где индуцируется наибольшее изменение толщины вытеснения, тогда из уравнения продольного импульса следует оценка для величины и изменения величины продольной скорости:

Из-Ди3~

В пристеночной области невозмущенного пограничного слоя продольная скорость линейно зависит от поперечной координаты, поэтому оценка толщины области 3 имеет вид

11% s .

Условие однопорядковости влияния в области 3 нестационарных процессов и процессов конвекции приводит к следующему соотношению:

Из/Ал: ,

где т—период колебаний щитка или колебаний донного давления.

Толщина области 3 меняется в главном порядке, так как в главном порядке меняется продольная скорость (Мз~6з). Анализ уравне-

ния неразрывности показывает, что изменение толщины вытеснения основной части пограничного слоя, содержащей струйки тока с конечными скоростями (область 2 на рис. 1, 62~е, «г~1) оценивается следующим образом:

Д82 — г Ар.

Сравнение оценок (2.2) и (2.4) показывает, что основной вклад в изменение толщины вытеснения формируется в области 3. Оценка для индуцированного возмущения давления следует из линейной теории сверхзвуковых течений

Ар — АЬ3/Ах .

Используя оценки (2.1) — (2.5), можно получить соотношение, которому должны удовлетворять параметры Ар и т, для того, чтобы при е-М) реализовался режим нестационарного нелинейного взаимодействия

А р х ~ е .

Соотношение (2.6) необходимо дополнить следующим соотношением:

е т £1/2 >

определяющим диапазон изменения параметра т, при котором существует указанный режим взаимодействия. Это соотношение следует из полученных ниже оценок. Ограничение, накладываемое на параметр т сверху, связано с определением относительного влияния процессов диффузии и конвекции в области 3. Длина этой области должна превосходить толщину пограничного слоя перед областью взаимодействия, только в этом случае справедливо соотношение (2.5), что приводит к ограничению, накладываемому на параметр т снизу.

Предельный переход

5 0 , Д/7'С — е, е/х-*0, х с в112

приводит к следующим оценкам размеров области 3 и величин компонентов вектора скорости в ней 1

Дл; ~

Полученные оценки позволяют определить соотношение между изменением продольного импульса за счет конвекции и за счет нестационарное™ в области 2 и в области 1 [г/1—Ах~ {Ар)1/2х\. Оказывается, что в первом приближении течение в этих областях описывается квазиста-ционарными системами уравнений. Для определения влияния сил вязкости на течение в области 3 можно использовать (2.7) и получить следующую оценку:

ди~ д5 «з

“з-т—/е,“Г2------Ьр/% .

дх3 ду$

Анализ этой оценки и (2.6) показывает, что при Др — т — е1''2 реализуется режим нестационарного «свободного» взаимодействия [13—14], для которого в области 3 одинаковы по порядку величины изменения продольного импульса за счет конвекции и за счет вязкости. Полученные выше оценки свидетельствуют также о том, что при амплитудах дон-

ного перепада давлений, меньших по порядку величины чем (е/т), возмущение давления вызывает линейные изменения скорости (и толщины) в той области, где существенно нестационарное изменение продольного импульса. Для анализа линейного режима взаимодействия можно использовать уравнение продольного импульса и уравнение неразрывности, которые приводят к следующим выражениям

Д Ид/х

- Др/ДХ'

да.

• и3 д и3/Д х ;

‘'з 83 Д и3/и3 •

Эти выражения совместно с оценкой (2.5) дают систему оценок для функций течения и координат в области 3 для линейного режима взаимодействия

Д.?С (эх)1/2 , у3 ~ е3/2 Х_1/2 ? ^ е1/2 т- 1/2 >

Д И3 ~ £-1/2 т’/2 д^7 у ~ ,1/* X,- ^2 Д/? ,

Выражение для оценки отношения членов, характеризующих изменение продольного импульса за счет конвекции и за счет вязкости, для линейного режима взаимодействия имеет вид

ди3

дх3

да и3

dyf

г*/2/х

Следовательно, при

x~ei/2

в области 3 влияние сил вязкости существенно.

Для наглядности целесообразно представить полученные выше асимптотические соотношения между параметрами в виде графика (рис. 2), по оси ординат которого отложены значения log*Ар, а по оси абсцисс значения loget. Соотношение (2.6) изображается линией АВ, а соотношение (2.9) линией АД. Согласно полученным выше оценкам, линия ВАД отделяет области изменения параметров, соответствующие нестационарным и квазистационарным режимам течения. Линия ЕАВ отделяет области изменения параметров, соответствующие линейным и нелинейным режимам течения, условие, определяющее границу между линейными и нелинейными режимами в квазистационарных тече-

loz-hp d с

a

ниях, линия ЕА (Ар — е1/2), получено в работах [1, 2]. Тогда область / на рис. 2 соответствует линейному квазистационарному, область II — нелинейному квазистационарному, а область III — линейному нестационарному режимам течения.

Используя оценки (2.8), можно найти, что продольный и поперечный размеры области 3 становятся одинаковыми и сравнимыми с толщиной пограничного слоя при т~е (линия ВС на рис. 2). При такой же величине т оказываются одинаковыми размеры области 3 и для нелинейного режима взаимодействия (Др~1). В этом случае поперечный перепад давления в области 3 сравним с продольным перепадом давления, следовательно, возмущенное течение здесь описывается полной системой уравнений Эйлера, линеаризованной (интервал, АВ, Др<§;1) или нелинейной (точка В, Ар~ 1).

Следует отметить, что при т~е в возмущенном течении в пограничном слое становятся существенными эффекты сжимаемости, в отличие от режимов, характеризующихся большими значениями параметра х. Эти же эффекты существенны и для значений параметра т<Се (область IV на рис. 2), при которых продольный и поперечный размеры возмущенной области одинаковы по порядку величины х~у~х и малы по сравнению с толщиной пограничного слоя. В первом приближении течение вблизи источника возмущений описывается линейной (Др<^1) или нелинейной (Ар — 1) системой уравнений Эйлера, описывающей распространение звуковых волн в сносящем потоке, скорость которого равна скорости в невозмущенном пограничном слое в том месте (на том расстоянии от поверхности), где расположен источник возмущений.

В настоящей статье исследованы режимы течения, соответствующие области изменения параметров внутри контура ДАВС (область III), включая полуинтервал [АВ). Вначале изучен режим нестационарного «свободного» взаимодействия (точка А, рис. 2) далее изучен нелинейный режим .невязкого взаимодействия (интервал (АВ), рис. 2) и линейный режим невязкого взаимодействия.

3. Для амплитуды возмущений давления, равного по порядку величины 0(е1/2), и периода колебаний, равного 0(еV2), согласно теории взаимодействия в области нелинейных изменений (область 3) следует ввести следующее представление функций течения и координат:

t = [х^2а-3/2 р-»/2Т , х=1+ г3-'4^,/4 а-з/4 Р^1/2р-3'4X,

у = г™ ар^/2 р-1/4 (К 4. У^) , и==г1/4|гШа1/4р-1/2 р-1/4 и+

г, = зЗ/4[,3/4аЗ/4р-1/2р1/4( у + и ) + ... , ^

Р= Риг+ >

Р = 1/Т + е1/2 £1,1/2 ащ р-1/2 Р + ... >

где а —безразмерное напряжение трения на поверхности в невозму-

ди

щенном пограничном слое (а=^-е); Р=(М^—I)1/2; у — отношение

удельных теплоемкостей; Уиг — форма поверхности тела, записанная в переменных подобия. Подстановка (3.1) в систему уравнений Навье—

Стокса дает в результате предельного перехода Ие-»- сю и процедуры сращивания следующую краевую задачу:

дТ дХ дУ дХ дУ*

дЦ

дХ

дУ

дУ

О,

дР

дУ

= 0,

и (X ОО, У,Т)=Г, и (X, О, Т)= У(Х, О, Т) = о, и (X, У^оо, Т)= ¥ + Л (X, Т) + о (1), и{Х,У,0) = ¥, У(Х,У, 0) = 0,

Р =

дА

дУ

№

дХ

дХ

(3.2>

В настоящей статье изучен процесс взаимодействия, индуцируемый щитком, угол отклонения которого меняется по закону

°ч і'П

О, Г<0 В 8ІП ш Т,

Г>0 .

Для этой задачи функция =01(7) •Н(X), где Н(Х) — функция Хэ-

висайда. Численное решение краевой задачи (3.2) получено для значения безразмерной амплитуды отклонения щитка 6 = 2,1 и для двух значений безразмерной частоты (о = я, 2я.

Для решения использован численный метод, описанный в работе

[21]. Реализация этого метода заключается в использовании новой переменной — завихренности и аппроксимации дифференциальных

уравнений соответствующими разностными уравнениями. Для уравнения импульсов производные расписывались на новом временном слое

™ & и

по Т, конвективная производная ------ аппроксимировалась левосто-

ронней или правосторонней разностью второго порядка точности в зависимости от знака функции и. При решении систем разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу (3.2), задавалось некоторое поле завихренности и некоторое распределение завихренности на поверхности. Далее методом прогонки определялось новое поле завихренности, по которому с использованием условия взаимодействия вычислялось новое распределение завихренности на поверхности. Это распределение подвергалось релаксации, и итерации повторялись до тех пор пока отличие завихренности на поверхности, полученной в предыдущей итерации, от завихренности, полученной в данной итерации, не становилось меньше заданной величины.

Результаты численного интегрирования краевой задачи приведены на рис. 3, 4. На рис. 3 представлена зависимость напряжения поверхностного трения -Ш- от угла отклонения щитка а1 в точке Х= —0,2.

ОГф

Видно, что изменение напряжения трения отстает по фазе от изменения угла отклонения щитка. Этот факт объясняется существованием характерного времени или характерной скорости переноса информации вверх

Рис. 3

по потоку. На рис. 4 представлены результаты расчетов распределения давления Р{Х, Т) (сплошные кривые) и поверхностного трения ди/дУт (штриховые кривые). Индекс «оо» относится к решению стационарной задачи, описывающей течение около щитка, отклоненного вверх на угол ос1 = В.

Сравнительный анализ результатов показывает, что нестационарный режим взаимодействия характеризуется уменьшением продольного' размера возмущенной области течения. Практика расчетов стационарных течений показывает, что существует характерное время формирования области взаимодействия и отрыва Оказывается, что структура течения в области взаимодействия и отрыва существенно зависит от отношения период'а внешних колебаний т к величине

4. При уменьшении периода колебаний щитка т (пульсаций донного давления) и одновременном увеличении амплитуды Ар, согласно оценкам (2.7), характерный продольный размер^области 3 уменьшается, а характерный поперечный размер увеличивается. Если этот размер

меньше по порядку величины, чем толщина пограничного слоя, то краевая задача, описывающая течение в области 3, может быть получена из (3.2) в результате предельного перехода

Функции течения и координаты в области 3 можно представить в следующем виде:

Т = те-1'2 Ті , X = (Д/»)1/2хе-3/4 X,, у = (Д/7)1/2 ^ ,

У„={Ьруг>г~'И Уїхг.

и = (Д/>)1/2 Ї-1'4 Ух + (Др)3'2ТЄ-5/4их + ... , V = (Др)3/2в-3-'4 I/, + ... Р= Дрє-1/2 Р1 + ... , А - (Др)3/2 те-5/4 А1 + ...

Подстановка (4.2) в краевую задачу (3.2) дает

Начальные условия, вид функции У1и>(Х1у Т1) и граничное условие для функции А^Х 1, Г1), задаваемое ниже по течению, зависят от конкретной задачи. В результате предельного перехода (4.1) первое уравнение в задаче (4.3) принимает следующий вид

£ —> 0 , хД р/е ~ О (1) , е/х -* 0 , х/е1/2 -> 0 .

Решение можно искать в виде

Краевую задачу (4.3) запишем следующим образом

сМ, дА1 д* А, * У, *

УР

дХг дХ1 ’

А^Ху-»- оо, Т,) = О,

т. е. функция А1 удовлетворяет уравнению Бюргерса [36]. Ранее, в работе [37], показано, что уравнение Бюргерса описывает процесс нестационарного индуцированного взаимодействия, возникающий при движении слабой ударной волны вверх по потоку.

, Решение уравнения Бюргерса не удовлетворяет условию прилипания, поэтому необходимо ввести в рассмотрение дополнительную область, в которой существенно влияние сил вязкости. Толщина этой области равна по порядку величины 0(ет1/2), поэтому вводится следующее представление координат и функций течения:

Т = те-*/* Ту , Х = (Ар)У2 хе-з/4 Хх , У — (Ар)~1/2 т’/а У2 , и=Др№ тв-5/4 и, + ... , К=(Др)1/2х1;2е-1/г ...

Р= Дрв-'Р Рх+ ... , А = (Др)3'2 «~5/4 А, + ... .

Краевая задача для первых членов разложений представляет собой обычную систему уравнений несжимаемого нестационарного пограничного слоя:

В пределе при П-Ю краевая задача (4.4) сводится к линейной краевой задаче и, например, для функции =H(Xi) sin 7^ ее решение выписывается в явном виде

Соответственно линеаризуется и краевая задача (4.5), ее решение (распределение поверхностного трения) имеет в этом случае вид:

При конечных значениях параметра П решение краевых задач (4.4, 4.5) можно получить численными методами.

В качестве примера рассматривается сверхзвуковое обтекание плоской поверхности клина, на задней кромке которого задан отрицательный перепад давлений Р1(0, 0) = —Вл (Б4>0). Пусть в момент времени Т1=0 происходит скачкообразное изменение перепада давлений /МО, 71>0)=—В2. Распределение возмущения давления может быть найдено из решения следующей краевой задачи:

U2(AV0, Tx)=V2(Xy, 0, Г1) = 0, U 2 У! -» оо, Т1) = А1(Хи Г,).

J

А, = — 1/2 ехр(— ]Xi \ 2_1/2) sin (Г, -|*il 2-1/2 —и/4) .

(Хи 0, Ту) — — 1/2 exp (-|^i 2^2) sin (Т.- l^f 2-V2) .

дУ2

которая получена Из (4.3) путем замены переменных

А, = А о В\п П-1'2, Xt = Xa В- «/2 П- У\

b = 'B2/Bv

Уравнение Бюргерса, входящее в (4.6), с помощью преобразования Коула—Хопфа [38] можно свести к линейному уравнению. Решение линейного уравнения в результате обратного преобразования приводит к решению исходной задачи:

Л0 = [1 + (b- 1) г]Ц (1 - ад - (b-l)lb [eric (_ ХоРтУ2) -г]},

г = exp (-b Х0[2 + Ь* 71/4) erfc (Ь'Т\п\2 — XJ2TV2).

Соответствующее этому распределению решение краевой задачи (4.5) получено численно. В (4.5) сделана замена переменных (4.7), дополненная преобразованием поперечной координаты Уо=5Г1/2П~1/2 Уг.

На рис. 5 представлены результаты расчетов поверхностного трения -Ш* в зависимости от координаты £=(1—Х^-1/2)-1 для значения па-

0ГО№

раметра Ь = 0,36.

С помощью численного интегрирования получено также решение краевых задач (4.3), (4.5), описывающих процесс распространения воз-

мущений, вызываемых колебаниями щитка. Предполагалось, что входя-

д¥\иг

щая в (4.3) функция — имеет вид

ду1* (У тч_ I0’ /1<и

\Н(Х1)$Ы(Т1), Т,> О,

и что П=1, |1=(1—Х^-1.

Результаты расчета распределения поверхностного трения -4к-~-

представлены на рис. 6. В процессе решения данной задачи (при П = 1) не были обнаружены особенности в поведении функций, например, неограниченный рост толщины вытеснения и т. д. При достаточно больших частотах пульсаций донного давления (при П->-0) возмущения локализуются вблизи донного среза, течение описывается линейными системами уравнений, следовательно, отрыв пограничного слоя невозможен. Можно допустить, что при малых частотах пульсаций (при достаточно больших значениях параметра П) краевая задача, описывающая течение в нестационарном пограничном слое, имеет особое решение. Для описания нестационарных режимов течения, приводящих к отрыву пограничного слоя, необходимо выделение дополнительных подобластей течения и учет взаимодействия вязкого и невязкого течений в этих подобластях.

ЛИТЕРАТУРА

1. н ейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.

2. Stewartson К-, Williams-P. G. Selfinduced separation.— Proc. Roy. Soc., 1969, A312.

3. Stewartson K. On the flow near the trailing edge of a flat plate, II. Mathematika, 1969, N 16.

4. M e s s i t e r A. F. Boundary layer flow near the trailing edge of a flat plate. —SIAM J. On Appl. Math., 1970, vol. 18, № 1.

5. С ы ч e в В. В. О ламинарном отрыве. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 3.

6. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений.—Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1529.

7. Stewartson К. Multistructured boundary layers on a flat plates and related bodies. — Adv. in Appl. Mech., 1974, vol. 14.

8. С ы ч e в В. В., P у б а н А. И. Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. — Успехи механики, 1979, т. 2, вып. 4.

9. Н е й л а н д В. Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа. — Успехи механики, 1981, т. 4, вып. 2.

10. Stewartson К. Some recent studies in triple dech theory.— В сб.: Numerical and Physical aspects of aerodynamic flows. 1982, i№ 4.

11. Shneider W. Upstream propagation of unsteady disturbunces in supersonic boundary layers. — J. FI. Mech., 1974, vol. 63, pt. 3.

12. Lighthill М. T. On boundary layers and upstream influence II Supersonic flows without separation. — Proc. Roy Soc., 1953, A217.

13. Daniels P. G. The flow about the trailing edge of a supersonic oscillatory airfoil. — J. FI. Mech., 1975, vol. 72, pt. 3.

14. Рыжов О. С. Уравнение нестационарного пограничного слоя с самоиндуцированным давлением. — ДАН СССР, 1977, т. 234, № 4.

15. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением. — ПММ, 1977, т. 41, вып. 6.

16. Терентьев Е. Д. Расчет давления в линейной задаче о вибраторе в сверхзвуковом пограничном слое. — ПММ, 1979, т. 43, вып. 6.

17. Жук В. И., Рыжов О. С. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости. — ДАН СССР, 1980, т. 253, № 6.

18. Липатов И. И. К теории нестационарного пространственного свободного взаимодействия. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII № 6.

19. Huang М. К., Inger G. R. Application of unsteady laminar triple deck theory to viscous inviscid interactions from an oscillatory flap in supersonic flow. — В сб.’ Numerical and physical aspects of aerodynamic flows. II, 1982, № 4.

20. P у б а н А. И. Численное решение локальной асимптотической задачи о нестационарном отрыве ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом йотоке. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, т. 18, № 5.

21. Казаков А. В. Нестационарное обтекание пластины со щитком сверхзвуковым потоком вязкого газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. XI, № 4.

22. Ж у к В. И., Рыжов О. С. О пограничном слое с самоиндуцированным давлением на движущейся стенке.—ДАН СССР, 1979, № 2.

23. Соколов Л. А. О пограничном слое с самоиндуцированным давлением на подвижной стенке. —Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. XI, №5.

24. Крапиве кий П. Л., Нейланд В. Я. Отрыв пограничного слоя на подвижной поверхности тела в сверхзвуковом потоке газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII, № 3.

25. Жук В. И. О локальных рециркуляционных зонах в сверхзвуковом пограничном слое на движущейся поверхности. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1982, т. 22, № 5.

26. С ы ч е в Вик. В. Асимптотическая теория нестационарного отрыва.-— Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, № 6.

27. Сычев Вик. В. К асимптотической теории ламинарного отрыва на подвижной поверхности. — ПММ, 1984, т. 48, вып. 2.

28. Brown S. N., Daniels P. G. On the viscous flow about the trailing edge of a rapidly oscillatory plate. — J. FI. Mech., 1975, vol. 67, pt. 4.

29. D a n i e 1 s P. G. On the unsteady Kutta condition. Quart. — J. Mech. and Appl. Math., 1978, vol. XXXI, pt. 1.

30. Brown S. N., Chang H. K. Correlated unsteady and steady laminar trailing edge flows. — J. FI. Mech., 1981, vol. 108.

31. Duck P. W. Viscous flow through unsteady symmetric chan-

nels.—J. FI. Mech., 1979, vol. 95, pt. 3.

32. Duck P. W. The interaction between a steady laminar boundary layer and an oscillatory flap. The condenced problem. — В сб.: Numerical and physical aspects of aerodynamic flows. II, 1982, N 4.

33. Smith F. T. Concerning dynamic stall. — Aeron. Quart. 1982, N 4.

34. Рубан А. И. Об устойчивости предотрывного пограничного слоя на передней кромке тонкого профиля.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, № 6.

35. Duck P- W. Laminar flow over a small unsteady three dimensional hump. — J. of Ap.pl. Math, and Phys. (ZAMP) 1981, vol. 32.

36. Smith F. T. Theoretical aspects of steady and unsteady laminar separation. — AIAA paper, 84—1582.

37. В u r g e r s Т. M. A mathematical model Illustrating the theory of turbulence. — Adv. in Appl. Mech., 1948, vol. 1.

/Русск. перевод: Об одной математической модели, иллюстрирующей теорию турбулентности. — В сб.: Проблемы механики, М.: изд. иностр. лит., 1955.

38. Жук В. И., Рыжов О. С. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным давлением. — ДАН СССР, 1982, т. 263, № 1.

39. У из ем Дж. Линейные и нелинейные волны: — М.: Мир, 1977.

\

Рукопись поступила 8/VIII 1985