Исчисления частичных предикатов Хао Вана и их расширения, допускающие итерацию импликации

М.Н.Бежанишвили

ИСЧИСЛЕНИЯ ЧАСТИЧНЫХ ПРЕДИКАТОВ ХАО ВАНА И ИХ РАСШИРЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ИТЕРАЦИЮ ИМПЛИКАЦИИ

Abstract. Hao Wang [10] suggested two extensions of predicate calculus permitting partially defined predicates. He formulated two calculi of partial predicates PP and EP. Interpretation of implication of these calculi depends on the relations between all possible values of its parts. Therefore, the notion of a formula is restricted in PP and EP as implication is not iterating in them. A.Rose [9] constructed an independent system of axioms for propositional fragment of PP with finite number of axioms and proved its completeness by means of a syntactic criterion of provability in it. N.M.Ermolaeva [4] has done the same for propositional fragment of EP applying semantical criterion of the validity. In the present article we give the Rose style proof of completeness of the propositional fragment of EP introducing a syntactic criterion of provability in it, and on the ground of a modified relational semantics we formulate extensions of PP and EP permitting iteration of implication.

Введение

При исследовании различных версий исчисления предикатов и теории множеств обычно ограничиваются рассмотрением полностью определенных предикатов и множеств. Для того чтобы естественным образом обобщить такой подход, некоторые логики считают целесообразным привлечение к рассмотрению частично определенных предикатов и множеств. В разные периоды своей деятельности такой обобщенный подход разрабатывали Т.Скулем, Г.Беман, Д.Бочвар, В.Аккерман, К.Шютте, Ф.Фитч, С.Феферман и др. (ссылки на их работы можно найти в [10] и [8]). Схожими способами они стремились без использования типовых ограничений устранить антиномии логики и теории множеств и в этом направлении достигли определенных успехов. Но несмотря на общность цели, они пришли к существенно различным построениям. Это свидетельствует, что до конца еще не выяснено, как следует трактовать такую обобщенную точку зрения на логику. Один из альтернативных подходов был предложен Хао Ваном в [10].

Исчисления частичных предикатов Хао Вана

Алфавит исчисления частичных предикатов Хао Вана PP содержит логические связки для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации: —, л, v и кванторы всеобщности и

существования: V и 3, неограниченные множества: индивидных переменных (Ind), n-арных функциональных знаков (Fun; n>0), n-арных предикатных букв (Prl; n>0). Он может также содержать конкретные функциональные и предикатные знаки.

Термы (Trm) и атомарные формулы (Atm) определяются обычно. Формулы (Frm) образуют наименьшее множество такое, что AtmcFrm и если xeInd, а A и B - не содержащие знака ^ формулы, то —A, AaB, AvB, A^B, VxA(x), 3xA(x)eFrm. Заметим, что, согласно этому определению, ни в одной формуле не допускается итерация знака

Инт ерпрет ация PP. Моделью исчисления частичных предикатов Хао Вана PP является пара (D, V), где D - любое непустое множество индивидов, а V - означивающая функция из Prl в {t,u,f}, такая, что если Pn - пропозициональная переменная (n=0), V(Pn)=t или u или f, а если Pn - n-арная предикатная буква (n>0), V(Pn)=(R, S), где (R,S) есть пара, такая, что RnS=0 и R,ScDn, где Dn - n-кратное декартово произведение D на себя.

Если задана модель для PP, то с помощью индукции по строению формул мы сможем определить значение любой формулы A при данном сопоставлении свободным индивидным переменным xb...,xn формулы A элементов a b--,an из D.

Если P - пропозициональная переменная, то V(P) уже задано моделью. V(Pn(xi,...,xn))=t при данном сопоставлении свободным индивидным переменным x b...,xn формулы Pn(xi, ...,xn) элементов a 1 ,...,aneD, если n-ка (ab...,an)eQ, V(Pn(xi,..., xn))=f, если (a 1,..., an)eS, в противном случае^^1^,...^))^.

Оценка формул, в которые входят только знаки: —1, a и v, осуществляется согласно трехзначным таблицам Лукасевича: V(—A)=t, если V(A)=f; V(—A)=f, если V(A)=t; в противном случае, V(—A)=u.

V(AAB)=min(V(A),V(B)) и V(AvB)=max(V(A),V(B)), предполагая, что t>u>f.

Кванторы V и 3 трактуются как обобщения связок a и v: V(VyA(xi,...,xn,y)=t при сопоставлении свободным индивидным переменным x 1,.,xn формулы VyA(x1,.,xn,y) элементов a1,. ,an из D, если при том же сопоставлении V(A(x1, ... ,xn,y))=t, когда значением y является любой элемент b из D; V(VyA(x1,.,xn,y)=f при сопоставлении свободным индивидным переменным x 1,.,xn формулы VyA(xb...,xn,y) элементов a 1 ,...,an из D, если при том же сопоставлении V(A(x1,., xn,y))=f, когда значением y является хотя бы один элемент b из D; в противном случае, V(A(xb...,xn,y))=u. Оценка формул вида 3yA(xb...,xn,y) производится двойственным образом.

Импликация является связкой более высокого уровня. Поэтому Хао Ван определяет не истинность формулы вида А^В в модели, а ее общезначимость по отношению к множеству означиваний.

Формула вида А^В общезначима в РР тогда и только тогда, когда для всякого означивания V, всякий раз, когда У^)^, то и

У(БИ.

Отметим, что ни одна не содержащая знака ^ формула не является общезначимой.

Аксиомы РР имеют вид А^В, где А и В - такие бескванторные формулы, что для всякого означивания V, если У(А)=:, то и У(В)=!

Правила вывода РР.

Правила для введения кванторов: из А^В(у) следует А^ ^УхВ(х); из А^-В^) следует А^ЗхВ(х); из В(у)^А следует ЗхВ(х)^А и из следует УхВ(х)^А, где А,ВеЕгш, х,

yeInd, 8еТгш и у не входит свободно в А.

Правила для сокращения ст орон из АлАлВ^С следует АлВ^С; из A^BvBvC следует А^^С, где А,В,СеЕгш;

Правила для протаскивания кванторов: пусть А,В,С,БеЕгш, xeInd и х не входит свободно в В, а С«Б означает, что замена подформулы С на Б или Б на С из нижеследующего списка формул в любую теорему РР вновь дает нам теорему РР:

А Ух-А(х) « -ЗхА(х), Зх-А(х) « -УхА(х),

Ух(А(х)лВ) « УхА(х)лВ, Зх(А(х)лВ) « ЗхА(х)лВ, Уx(A(x)vB) « УхА(х^ В, Зx(A(x)v В) « ЗхА(х^ В.

Хао Ван в [10] показал что РР является корректным и полным (т.е. А^В является теоремой РР тогда и только тогда, когда для всякого V, если У(А)=:, то У(В)=:). Он также установил, что сечение является допустимым правилом РР и исследовал отношение РР с классической логикой. Кроме того, Хао Ван построил альтернативное по отношению к РР исчисление ЕР, которое отличается от РР лишь толкованием импликации: У(А^В)= в ЕР тогда и только тогда, когда для всякого означивания V, если У(А)=:, то У(ВИ и если V(A)=u, то V(B)f

Язык, интерпретация (с только что указанным единственным отличием) и правила вывода для ЕР те же самые, что и для РР, а ограничительное условие аксиом ЕР соответствует интерпретации знака ^ в ЕР.

В [3] и [2] было показано, что аналоги интерполяционной теоремы Крейга справедливы для исчислений частичных предикатов Хао Вана РР и ЕР.

Пропозициональные фрагменты исчислений РР и ЕР

Пропозициональные фрагменты исчислений частичных предикатов Хао Вана РР и ЕР в дальнейшем соответственно будем обозначать через РРз и ЕР^. Очевидно, что атомарными формулами в них будут только пропозициональные переменные.

А.Роуз сформулировал независимую и полную систему аксиом для РРд, которая содержит нижеследующие аксиомы Л1-Л12 и правила вывода Я1-Я4: Л1. Р^^, Л2. PvQ^QvP, Л3. PлQ^P, Л4. PлQ^QлP, Л5. ——P^P, Л6. P,

Л7. Pл(QvR)^(PлQ)v(PлR), Л8. —(PлQ)^(—Pv—Q), Л9. (—Pv—Q) ^-(PлQ), Л10. —(PvQ)^(—Pл—Q), Л11. (—Pл—Q) ^-(PvQ), Л12. (Pл-P)^Q.

R1. Из Л^-С и Б^-С следует ЛvB^C; R2. Из Л^Б и Л^С следует Л^БлС;

R3. Из Л^Б и Б^С следует Л^С, где Л,Б,С - не содержащие знака ^ формулы.

R4. Пусть P - пропозициональная переменная, входящая в формулу Л, формула Б - не содержит знака а С получается из Л в результате замены всех вхождений P в Л на Б; тогда из Л следует С.

А.Роуз установил также необходимое и достаточное условие доказуемости формул в РРд, с его помощью доказал полноту РР8 и сформулировал независимую и полную систему аксиом для той версии пропозиционального фрагмента РР, которая в качестве исходных логических связок содержит лишь — и v (см. [9]).

Н.М.Ермолаева в [4] исследовала все возможные пропозициональные исчисления типа Хао Вана, получающиеся при варьировании аксиомы Л12 и для соответствующих логик ввела особые обозначения: Ь1 совпадает с РРз (т.е. с пропозициональным фрагментом РР), Ьи получается из Ь1, если в ней Л12 будет заменена более слабой аксиомой Л12'. Pл—P^Qv—Q. При этом, она характеризует Ьи как фрагмент трехзначной логики Лукасевича. Хотя на самом деле, логику Ьи можно точнее описать, как пропозициональный фрагмент альтернативного исчисления Хао Вана ЕР, т.е.

как ЕРя. Логика Ьш двойственна к Ь1 (к РРя) и получается из Ь1, если в ней А12 будет заменена новой аксиомой: P^Qv—Q. А Ь^ является логикой де Моргана и получается из Ь1 опусканием аксиомы А12. В [4] также указывается семантический критерий истинности одноимпликативных формул и с его помощью доказывается теорема полноты для Ьи (=ЕРя). Ниже мы приведем другое доказательство этой теоремы, использующее синтаксический критерий доказуемости формул в ЕРя. По своему характеру оно, на наш взгляд, ближе к способу, который А.Роуз использовал для установления полноты РРя.

Замечание. Автору было известно, что в [4] исследуются пропозициональные логики типа Хао Вана, но, к сожалению, содержание этой работы до последнего времени для него оставалось неизвестным. Лишь этим следует объяснить, что ни в [3] и ни в [2], где описывается система аксиом для ЕРя и дается набросок доказательства полноты ЕРя, не упоминается работа [4], в которой эти факты были установлены значительно раньше.

В [4] также рассматриваются классическая логика К (она получается присоединением P^Qv—Q к аксиомам Ь/) и противоречивая логика Ь0 (в которой верны все формулы); описывается точная модель логики Ь/у, далее, по включению упорядочиваются все перечисленные выше логики:

Ь/у с Ь//, Ьц с Ь/, Ь// сЬш, Ь/еК, Ьш еК, КсЬо, и доказывается интересный факт о том, что между каждыми двумя соседними логиками этого списка нет промежуточных логик.

В [5] В.К.Финн показал, что Ь/ (=РРя) есть одноимпликатив-ный фрагмент трехзначной логики Лукасевича , а в [1] предложено предикатное расширение Ь// (=ЕРя) и установлено, что оно в некотором смысле эквивалентно секвенциальному исчислению Дж.Клива (ср. [1] и [7]).

Конечные конъюнкции (дизъюнкции) произвольных формул в дальнейшем будем обозначать через Пкт (Хк<п). Пусть А и В конечные конъюнкции (дизъюнкции) формул. Будем говорить, что В является подконъюнкцией (поддизъюнкцией) А, если каждый конъюнктивный (дизъюнктивный) член формулы В также является конъюнктивным (дизъюнктивным) членом формулы А.

Отметим некоторые очевидные особенности исчислений РРя и ЕРя:

(1) Если А - конечная конъюнкция формул и В является подконъюнкцией А, то формула А^В доказуема в ЕРя;

(2) Если В - конечная дизъюнкция формул и А является поддизъюнкцией В, то формула А^В доказуема в ЕРя;

(3) Если формулы: Л1^Л2, Л2^Л3,...,Лп-1^-Лп доказуемы в ЕРя, то формула Л1 ^Лп также доказуема в ЕРя;

(4) Если формулы: Л^БЬ Л^Б2,...,Л^Бп доказуемы в ЕРя, то формула Л^Б1 лБ2 л...лБп также доказуема в ЕРя;

(5) Если формулы: Л1^Б, Л 2^Б,...,Лп^Б доказуемы в ЕРя, то формула Л1 vЛ 2 v...vЛn^•Б также доказуема в EPs. Отметим еще некоторые легко устанавливаемые особенности исчислений РРя и EPs. Пусть в С# обозначает конъюнктивную нормальную форму (КНФ) формулы С, а С° - дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) формулы С, тогда

(6) Формула вида Л^Б доказуема в РРя (в ЕРя) тогда и только тогда, когда Л°^Б° доказуема в РРя (в ЕРя) тогда и только тогда, когда Л°^Б# доказуема в РРя (в ЕРя) тогда и только тогда, когда Л#^Б° доказуема в РРя (в ЕРя).

(7) Если формулы Л и Б не содержат знака то замена Л на Б или Б на Л в любую теорему РРя допустима тогда и только тогда, когда в РРя доказуемы формулы: Л^Б, Б^Л, —Л ^ —Б и —Б ^ —Л [9].

(8)Формула вида Л^Б доказуема в ЕРя тогда и только тогда, когда в РРя доказуемы формулы: Л^Б и —Б ^ —Л [4].

Из (7) и (8) сразу следует

(9)Замена не содержащих знака ^ формул Л на Б или Б на Л в любую теорему ЕРя допустима тогда и только тогда, когда в ЕРя доказуемы формулы: Л^Б и Б^Л.

Критерии доказуемости формул в РРя и ЕРя

Пусть 2¡<тС; есть ДНФ формулы Л, 2к<пОк - ДНФ формулы Б, Пг<яЕг - КНФ формулы Б и пусть для каждого !<т 2к<пЕк получается из 2к<пОк вычеркиванием тех конъюнктивных членов из каждого Бк (к<п), которые являются также конъюнктивными членами С!.

Синт аксический крит ерий доказуемост и формул в РРя. Будем говорить, что формула Л^Б удовлетворяет синтаксическому критерию доказуемости формул в РРя, если для каждого такого дизъюнктивного члена С! ДНФ 2ктС формулы Л, который в качестве конъюнктивных членов не содержит ни одной пропозициональной переменной вместе с ее отрицанием, существует такой дизъюнктивный член Бк ДНФ 2 к<пОк формулы Б, что Бк является подконъюнкцией С! (крит ерий Роуза).

Семантический крит ерий доказуемост и формул в ЕРя. Для того чтобы С^2к<гЛ была общезначимой, необходимо и доста-

точно, чтобы V(2k<nFk) ^ для всякого означивания V (критерий Ермолаевой).

Синт аксический крит ерий доказуемост и формул в ЕРя. Будем говорить, что формула А^В удовлетворяет синтаксическому критерию доказуемости формул в ЕРя, если а) каждый дизъюнктивный член С; ДНФ 2;<тС; формулы А, который в качестве конъюнктов не содержит ни одну пропозициональную переменную вместе с ее отрицанием, удовлетворяет критерию Роуза для РРя, и б) для каждого дизъюнктивного члена С! ДНФ 2¡<тС; формулы А, который в качестве конъюнктивных членов содержит по крайней мере одну пропозициональную переменную вместе с ее отрицанием, каждый конъюнктивный член Ег КНФ формулы В является классической тавтологией (т.е. содержит некоторую пропозициональную переменную вместе с ее отрицанием) или в качестве дизъюнктивного члена содержит хотя бы один конъюнктивный член, входящий в указанный дизъюнктивный член С! ДНФ 2 ¡<тС; формулы А.

Лемма 1. Если формула А^В не удовлетворяет синт аксическому крит ерию доказуемост и формул в ЕРя, т о формула А^ В не общезначима.

Доказательство. Предположим, что условие леммы выполняется. Тогда существует такое число !<т, что а) если дизъюнктивный член С; ДНФ 2¡<тС! формулы А в качестве конъюнктов не содержит ни одной пропозициональной переменной вместе с ее отрицанием, то ни для какого к<п дизъюнктивный член Бк ДНФ 2к<пБк формулы В не является подконъюнкцией С;, или б) если дизъюнктивный член С! ДНФ 2¡<тС! формулы А в качестве конъюнктов содержит по крайней мере одну пропозициональную переменную вместе с ее отрицанием, то существует число к такое, что конъюнктивный член Ег КНФ Пг<кЕг формулы В не является классической тавтологией (т.е. не содержит ни одной пропозициональной переменной вместе с ее отрицанием), а также ни один дизъюнктивный член Ег КНФ П г<кЕг формулы В в то же время не является конъюнктивным членом С;.

Рассмотрим случай а). Определим Vo следующим образом: пусть V0 (Р)= для всякой пропозициональной переменной Р, входящей в С; без знака отрицания. Пусть, далее, V0 ^^ для всякой пропозициональной переменной Q, входящей в С; со знаком отрицания, и пусть V0 (Я)=и для всех таких пропозициональных переменных Я, которые являются конъюнктами Бк, но не являются конъюнктами С;. Остальные пропозициональные переменные могут принимать любые значения.

Очевидно, что в таком случае V0

В случае б) мы зададим V0 следующим образом: пусть V0 ^)=и для всякой пропозициональной переменной P, входящей в С!. V0для всякой пропозициональной переменной Q, входящей в Ег без знака отрицания, и, наконец, пусть V0 для всех пропозициональных переменных R, входящей в Ег со знаком отрицания. Остальным переменным можно придать любые значения.

В таком случае мы легко убедимся, что V0(C!)=u, V0 (Пг<яЕг)= =У0 (Ег)=1", V0(2 !<тС!)=и или, возможно, 1, в зависимости от того, какие значения получат при означивании V0 отличные от С! дизъюнктивные члены С ДНФ 2!<тС! формулы Л (Кт, 1^).

Лемма 2. Если формула Л^Б удовлетворяет синтаксическому критерию доказуемости формул в ЕРя, то Л^ Б доказуема в ЕРя.

Доказательство. Пусть Л^Б удовлетворяет условию леммы. В таком случае мы будем иметь всего две возможности:

а). Дизъюнктивный член С! ДНФ 2!<тС! формулы Л не содержит ни одной пропозициональной переменной вместе с ее отрицанием и существует дизъюнктивный член Dk ДНФ 2 к<^к формулы Б, являющийся подконъюнкцией формулы Л. Но тогда, согласно свойству (1), в ЕРя доказуема C!^Dk, откуда в силу свойства (2) следует, что С^2 к<^к также доказуема в ЕРя.

б). Дизъюнктивный член С! ДНФ 2 !<тС! формулы Л содержит некоторую пропозициональную переменную P вместе с ее отрицанием —P и каждый конъюнктивный член Ег КФН Пг<8Ег формулы Б является либо классической тавтологией (т.е. содержит некоторую пропозициональную переменную Q вместе с ее отрицанием —Q), либо конъюнктивный член Ег КФН Пг<8Ег в качестве дизъюнкта содержит О, являющийся в то же время конъюнктом дизъюнктивного члена С! ДНФ 2 !<тС! формулы Л.

В первом случае, согласно свойству (1), в ЕРя доказуема формула C!^Pv—P. Кроме того, в силу аксиомы Л12' мы имеем Pл—P^Qv—Q, а согласно свойству (2) в ЕРя доказуема формула Qv—Q^Eг. Из этих формул, используя свойство (3), мы сразу выведем формулу С^Ег.

Во втором случае конъюнктивный член Ек КФН Пг<8Ег формулы Б хоть и не является классической тавтологией, но содержит некоторый дизъюнктивный член О, являющийся также конъюнктом дизъюнктивного члена С! ДНФ 2!<тС! формулы Л. Опять согласно (1) мы сначала выводим в ЕРя формулу С!^О. Затем, в силу свойства (2) устанавливаем доказуемость О^Ег в ЕРя и с помощью (3) убеждаемся, что в ЕРя также доказуема С^Ег.

В обоих случаях мы показали, что для любого к в ЕРя доказуема С;^Ег, но тогда согласно свойству (4) в ЕРя также доказуема формула С^П г<кЕг и, следовательно, С; ^2к<пБк, в силу свойства (6).

Мы рассмотрели обе возможности а) и б) выполнения критерия доказуемости формул в ЕРя и установили, что в каждой из них для любого !<т в ЕРя доказуемы все формулы вида С;^2к<пБк, но тогда, согласно свойству (5), в ЕРя также доказуема формула 2;<тС;^2 к<пБк.

Теорема 1. Пропозициональное исчисление ЕРя являет ся полным (Ермолаева, 1973).

Доказательство прямо следует из контрапозиции леммы 1 и из леммы 2.

Расширение исчислений частичных предикатов Хао Вана

Как только мы попытаемся обобщить понятие формулы, допустив итерацию знака ^ в формулах РР и ЕР, сразу же возникнут трудности при оценке формул, содержащих более одного вхождения знака Как уже было отмечено, в исчислениях Хао Вана истинность формулы вида А^В зависит не от того, какие конкретные значения принимают А и В при данном означивании, а от определенного отношения между совокупностями значений А и В. Если формулу вида Р^^^Р) мы все же сможем разумно оценить как (PлQ)^P, то обязательно столкнемся с трудностью при оценке формулы (—P^P)^P, так как для каждого заданного значения P мы не сумеем определять конкретное значение антецедента —P^P этой формулы (мы сможем установить лишь то, что антецедент этой формулы не общезначим; см.[10]). Этим и отличается импликация Вана от импликаций трехзначных логик, скажем, Лукасевича или Клини. Поэтому несмотря на то обстоятельство, что РРя является фрагментом трехзначной логики Лукасевича (о чем упоминалось выше, см. [5]), последнюю не следует считать расширением РРя, сохраняющим своеобразие импликации Вана, так как в трехзначной логике Лукасевича значение импликации зависит от конкретных значений ее антецедента и консек-вента, а не от совокупности их значений.

Если мы хотим так расширить РР и ЕР, чтобы итерация знака ^ была в них допустима, мы обязаны сохранить вышеуказанное свойство импликации Хао Вана.

Это можно, например, осуществить с помощью реляционной семантики (модифицированной для трехзначного случая)1.

Мы можем следующим образом построить расширения РР* и ЕР* исчислений Хао Вана РР и ЕР. Понятие формулы РР* (ЕР*) определяется обычно (с итерациями знака а оценка формул осуществляется в следующей реляционной семантике.

РР*(ЕР*)--фрейм является упорядоченной тройкой Ег=(Н, Я, Б), где Н^0, ЯсНхН, причем Я рефлексивно и транзитивно в Н, Б - функция областей, определенная на Н, такая, что для всякого V из Н, Б(у)^0 и если ^,у)еК, то Б^)сБ(у), -№,уеН. Пусть, далее, Рг1 - множество всех предикатных букв. РР*(ЕР*)-модель есть пара <Гг, V), где Ег - РР*(ЕР*)-фрейм, а V - частичная функция из Рг1хН в {1,и,Я}, такая, что если P - пропозициональная переменная, V(P,w)=t или и или Я, а если P - п-арная предикатная буква, то V(P,w)=(Q,S), где (0,8) есть пара, такая, что Оп8=0 и 0,8с[Б^)]п, где [Б^)]п - п-кратное декартово произведение Б^) на себя. Теперь при сопоставлении переменным хь...,хп элементов аь...,ап из и=иБ(у), уеН, V(Pn(xl,...,xn),w)=t, если (а1,...,ап)е0, V(Pn(xl,...,Xn),w)=f, если (аь...,ап)е8, в противном случае, V(Pn(xl, ...,xn),w)=u. Условия оценки для —, л, v, V и 3 такие же, как в РР и ЕР. Наконец, V(A^B,w)=t в РР*, если для всякого у, такого, что ^,у)еК, если ^Л,у)=1, то V(Б,v)=t. А для ЕР*, кроме того, требуется выполнение условия: если V(A,w)=u, то V(B,v)^f. В противном случае V(A^B,w)=f в РР*, соответственно в ЕР*.

Легко можно показать, что РР* (ЕР*) является консервативным расширением РР (ЕР) в следующем смысле: формула А общезначима в РР тогда и только тогда, когда А общезначима в классе фреймов РР* (ЕР*).

Связь с эпистемической логикой

В [6] было сформулировано табличное исчисление частично интерпретируемой эпистемической модальной логики Е4. Логика Е4 интересна и тем, что в ней можно осуществить переводы формул РР* и ЕР*.

1 На последних смирновских чтениях, в мае 2001 г., Н.Н.Непейвода сообщил автору, что он ранее исследовал возможности расширения исчислений частичных предикатов Хао Вана, допускающие итерацию импликации, без использования реляционной сумантики. К сожалению, эта работа для автора остается недоступной.

Алфавит Е4 отличается от алфавита РР* и ЕР* лишь тем, что вместо импликации Вана ^ он содержит эпистемический модальный оператор знания  (читается: «известно, чт о»».

Понятие формулы Е4 обычное. Фреймы и модели Е4 совпадают с РР*- и ЕР*-фреймами и моделями, а условия истинности для —, л, v, V и 3 в Е4 соответственно совпадают с условиями их истинности в РР* и ЕР*. Наконец, ^ПА^^: в Е4, если V(A,v)=t для всякого V, такого, что В противном случае (т.е. если

существует такой V, что и V(A,v)#t), V(A,w)=f.

Заметим, что в Е4 общезначимой не является ни одна такая формула, которая не содержит .

Теперь следующим образом определим функцию т, соответственно т', перевода формул РР*, соответственно ЕР*, в Е4: т(А) = А, если А не содержит знака т(А^В) = — Пт(А^Пт(В),

учитывая свойство (9), соответственно будем иметь т'(А) = т(А), если А не содержит знака т'(А^В) = т(А^В)лт(—В^—А).

Используя правила построения таблиц для Е4 (см.[6]), можно показать, что справедлива следующая

Теорема 2. Формула А общезначима в классе фреймов РР*, соот -вет ст венно ЕР*, т огда и т олько т огда, когда т(А), соот вет ст -венно т'(А), доказуема в Е4.

Мы можем расширить исчисление РР*, не прибегнув к типовым ограничениям, допуская появление пропозициональных и предикатных букв на местах связанных переменных и разрешая появление формул на местах свободных переменных. Но основная задача при привлечении к рассмотрению частично определенных предикатов и множеств заключается в выяснении того, способна ли такая логика без порождения антиномий справиться с теми проблемами, для решения которых и было первоначально построено расширенное классическое исчисление предикатов, сразу же отвергнутое из-за его противоречивости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аншаков О.М, Финн В. К Так называемые нечеткие логики и одно-импликативные исчисления // Семиотика и информатика, вып.17. 1981. С. 71-89.

2. Беж анишвили М.Н. Об одном исчислении частичных предикатов Хао Вана // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке / Материалы VI Общероссийской научной конференции 22-24 июня 2000 г. Изд-во Санкт-Петербургского университета. 2000. С.156-158.

3. Бежанишвили МН. Интерполяционная теорема для исчислений частичных предикатов Хао Вана // Логические исследования, вып.7. М.: Наука, 2000. С.148-158.

4. Ермолааева Н.М О логиках, родственных исчислению Хао Вана // Научно-техническая информация, сер.2. №8. 1973. С.34-37.

5. Финн В. К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений и их алгебр // Философия в современном мире / Философия и логика. М.: Наука. 1974. С.398-438.

6. Bezhanishvili M. A partially interpreted modal tableau calculus // Multiple-Valued Logic. 5. 2000. P.103-116.

7. Cleave J.P. The notion of logical consequence in the logic of inexact predicates // Zeitschr. fuer math. Logik und Grundlagen d. Math. 20. 1974. P.307-324.

8. Feferman S. Toward useful type-free theories. I // JSL. 49. 1984. P.75-111.

9. Rose A., A formalization of the propositional calculus corresponding to Wangs calculus of partial predicates // Zeitschr. fuer math. Logik und Grundlagen d. Math. 9. 1963. P.177-198.

10. Wang H., The calculus of partial predicates and its extension to set theory. I // Zeitschr. fuer math. Logik und Grundlagen d. Math. 7. 1961. P.283-288.