Межпарциальные связи в механических колебательных системах с двумя степенями свободы: возможности формирования динамических состояний

Оригинальная статья / Original article УДК 62.752, 621:534, 629.4.015

DOI : http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2019-4-689-698

Межпарциальные связи в механических колебательных системах с двумя степенями свободы: возможности формирования динамических состояний

С.В. Елисеев*, Н.К. Кузнецов**, А.В. Елисеев*, Выонг Куанг Чык*

*Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, Россия **Иркутский национальный исследовательский технический университет, г. Иркутск, Россия

Резюме: Цель работы заключается в развитии методологических позиций в технологиях построения математических моделей механических колебательных систем с дополнительными связями, реализуемыми различными механизмами. Рассматриваются возможные формы конструктивно -технических решений в задачах оценки и управления динамическими состояниями технологических и транспортных машин. Методы исследования построены на использовании аналитического аппарата структурного математического моделирования и теории автоматического управления. Научная новизна исследований заключается в детализации представлений об особенностях влияния межпарциальных связей на динамические свойства системы в целом. Разработан метод построения математических моделей взаимодействий на основе введения и использования передаточных функций межпарциальных связей. Приводятся новые научные результаты, отражающие особенности динамических свойств (вносимых дополнительными связями) и результаты вычислительного моделирования. Работа представляет интерес для специалистов в области машиноведения, динамики и прочности машин. Получены аналитические соотношения, определяющие особенности формирования распределений амплитуд колебаний точек «рабочих органов» по их длине.

Ключевые слова: передаточные функции, межпарциальные связи, динамическое состояние, дополнительные связи, связность движений

Информация о статье: Дата поступления 17 апреля 2019 г.; дата принятия к печати 05 июня 2019 г.; дата он-лайн-размещения 31 августа 2019 г.

Для цитирования: Елисеев С.В., Кузнецов Н.К., Елисеев А.В., Выонг Куанг Чык. Межпарциальные связи в механических колебательных системах с двумя степенями свободы: возможности формирования динамических состояний. Вестник Иркутского государственного технического университета. 2019;23(4):689-698. DOI: 10.21285/1814-3520-2019-4-689-698

Interpartial connections in mechanical oscillatory systems with two degrees of freedom: possibilities for dynamic condition formation

Sergei V. Eliseev, Nikolai K. Kuznetsov, Andrei V. Eliseev, Vuong Quang Truc

Irkutsk State Transport University, Irkutsk, Russia

Irkutsk National Research Technical University, Irkutsk, Russia

Abstract: The purpose of the work is to develop methodological positions in the technologies of building mathematical models of mechanical oscillatory systems with additional ties implemented by various mechanisms. Consideration is given to the possible forms of structural and technical solutions in the problems of evaluation and control of dynamic states of technological and transport machines. Research methods are based on the use of the analytical apparatus of structural mathematical modeling and the theory of automatic control. The scientific novelty of the research lies in the detailed description of the influence of interpartial connections on the dynamic properties of the system as a whole. The method of constructing mathematical interaction models is developed on the basis of introduction and use of transfer functions of interpartial connections. The paper presents new scientific results reflecting the features of dynamic properties introduced by additional ties and the results of computer simulation. The work is of interest to the specialists in the field of mechanical engineering, dynamics and strength of machines. Analytical relations are obtained that determine the formation features of amplitude distribution of oscillations of "working bodies" points along their length.

Keywords: transfer functions, interpartial connections, dynamic condition, additional ties, motion connectivity

Information about the article: Received April 17, 2019; accepted for publication June 05, 2019; available online August 31, 2019.

0

For citation: Eliseev S.V., Kuznetsov N.K., Eliseev A.V., Vuong Quang Truc. Interpartial connections in mechanical oscillatory systems with two degrees of freedom: possibilities for dynamic condition formation. Vestnik Irkutskogo gosudar-stvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2019;23(4):689-698. (In Russ.) DOI: 10.21285/1814-3520-2019-4-689-698

1. ВВЕДЕНИЕ

Многие технические объекты технологического назначения работают в условиях интенсивного вибрационного нагруже-ния. Обеспечение надежности функционирования и безопасности эксплуатации таких объектов требует решения задач оценки и контроля динамических состояний рабочих органов машин, их элементов и машин в целом при проектировании [1-5].

Большое значение в проведении оценочных мероприятий, связанных с определением возможностей получения необходимой для расчетов информации, имеет выбор расчетных схем, на основе которых могли бы быть получены динамические модели подобных машин. Во многих случаях, относящихся к динамике машин, в качестве таких моделей обычно выбираются механические колебательные системы с несколькими степенями свободы, типовыми элементами которых являются сосредоточенные или распределенные инерционные параметры объектов управления, демпфирующие и упругие устройства (пружины) с линейными свойствами. На предварительных этапах исследования предполагается, что исходная линейная механическая колебательная система совершает малые колебания относительно положения статического равновесия или процесса установившегося движения. Получаемые математические модели в виде системы обыкновенных дифференциальных линейных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами служат основой для построения специальных методов оценок динамических состояний технических объектов при различных внешних воздействиях и условиях работы [6-10]. Важнейшей задачей обеспечения требуемых динамических качеств технологических машин в условиях интенсивных динамических нагружений являются возможность оценки, контроля и формирования определенных динамиче-

ских состояний вибрационного поля машины путем создания и поддержания требуемого распределения амплитуд колебаний точек рабочих органов, характера динамического взаимодействия элементов, определяемых заданной связностью движений и вызывающих специфичные динамические режимы работы. Такие состояния достигаются введением в колебательные системы дополнительных связей, которые реализуются с помощью механизмов различных типов, в т.ч. шарнирных, зубчатых, винтовых, а также устройств преобразования движения (УПД) [11]. Как показано в этих работах, рациональным подходом для исследования динамических состояний подобных систем является использование метода структурного математического моделирования и аппарата передаточных функций.

В предлагаемой статье (на примере механической колебательной системы с двумя степенями свободы с дополнительными связями в виде винтового и рычажных механизмов) приведены результаты исследований влияния межпарциальных связей на динамическое состояние технологической машины, работающей в условиях интенсивных нагружений, а также определены параметры дополнительных связей, обеспечивающие формирование требуемой структуры вибрационного поля машины.

2. ОБЪЕКТ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчетную схему технологической машины с дополнительными связями представим в виде механической колебательной системы с двумя степенями свободы с рабочим органом в виде протяженного твердого тела массой M и моментом инерции J, совершающего плоские вертикальные колебательные движения (рис. 1). Рабочий орган опирается на упругие элементы в виде линейных пружин с коэффициен-

Ш

тами жесткости к1 и k2, а его центр масс (т. О) расположен на расстояниях /1 и /2 от концов. Помимо упругих элементов рабочий орган связан с опорной поверхностью посредством шарнирных двухзвенников АА1А2 и ВВ1В2 с длинами звеньев /3, 1а и /5, /6 и установочными углами ф1 и фю, ф2 и ф2о с помощью вращательных кинематических пар пятого класса А, А2 и В, В2, соответственно. Кроме того, кинематические пары А1 и В1 этих двухзвенников соединены между собой упругим элементом с коэффициентом жесткости к3 и УПД реализуемым винтовым механизмом с приведенной массой гайки-маховика ^ [12].

В качестве внешних воздействий рассматриваются силовые факторы 01 и 02 в виде синфазных гармонических функций.

Положение твердого тела определяется координатами у1, у2 и у0 и ф, связанными между собой следующими соотношениями:

где а =

h + l2

b =

l1 + l2

c = -

l1 + l2

Предполагается, что система совершает малые колебания относительно положения статического равновесия.

Для решения задач оценки, контроля и формирования требуемых распределений амплитуд колебаний точек твердого тела по его длине воспользуемся методом структурного математического моделирования [13-15]. Необходимые выражения для определения кинетической и потенциальной энергий будут иметь следующий вид:

Т = ±Myl+^J<j>20+U

П = - к\У2\ + ~ к2У2. + -кз ФгУг + Ь2У2 )2 -

2

2

2

Уо = ay- + by2, ф = c(У2 " Уl), У = Уо -1фф У 2 = Уо + 12ф

где I - приведенная масса УПД; Ь1 и Ь2 -геометрические параметры (при / = /\

(1) Ц = 3,6) и ф1 = ф2, тогда Ь1 = Ь2 = tgф1).

Уравнения движения системы (после соответствующих преобразований) запишем в операторной форме:

ß

Ö2

Рис. 1. Расчетная схема технического объекта в виде механической колебательной системы с дополнительными связями Fig. 1. Analytical model of a technical object in the form of a mechanical oscillatory system with additional ties

y

y2

l

2

где p = d/dt - оператор Лапласа; знак «-» над переменной означает ее изображение по Лапласу.

На основании (4) и (5) получим структурную математическую модель колебательной конструкции в виде схемы, эквивалентной в динамическом отношении системе автоматического управления, которая показана на рис. 2.

Структурная схема, изображенная на рис. 2, в действительности является математической моделью в виде некоторого графического аналога системы дифференциальных уравнений в операторной форме,

где p = уш (у = 4-1) является комплексной переменной. Как видно из этой схемы, связь между парциальными подсистемами определяется элементом с передаточной функцией, равной

ЩПар

которая будет зависеть не только от пара-

метров исходной колебательной системы, но и от параметров дополнительных связей к3, Ь1, Ь2 и что открывает более широкие возможности управления ее динамическим состоянием.

На основе структурной схемы введем в рассмотрение передаточные функции по внешним силовым возмущениям

0 и 02, полагая, что они связаны между

собой соотношением

02 = а' 01 ,

где а - коэффициент связности между внешними возмущениями.

Исследование динамических

свойств колебательной системы с дополнительными связями (при одновременном

действии двух силовых факторов 0 и )

может быть выполнено с помощью передаточных функций, связывающих координаты у и у2 с силовыми воздействиями:

y (Mb2 + Jc2 + LbI) p2 + k2 + къЪ2 + ct[(Jc2 - Mab - Lbfi2) p2 - k3bfi2 ]

Wi(p) = f- = -

Z1 =z2 = 0 01

A

W2( p) =

Zi = Z2 =0 01

y2 a[(Ma2 + JcL + Lb2) p2 + k + kb ] + [(Jc2 - Mab - Lbfi2) p2 - k3bp2 ]

A

в которых выражение

A( p) = [(Ma2 + Jc2 + Lb2) p2 + k + k3b? ] [(Mb2 + Jc2 + Lb2) p2 + k + k3b2] --[(Jc2 - Mab - Lbxb2) p2 - kbb ]2

(Jc2 - Mab - Lbxb2) p2

- k3b1 b2

1

(Ma2 + Jc2 + Lb2) p2 +

+k + k^2

hp

(Jc2 - Mab - LbAb2) p p

- k3b1b2

T

01

y

1

(Mb2 + Jc2 + Lb2) p2 +

+k + kb2

02

Рис. 2. Структурная математическая модель колебательной системы

Ш

является частотным характеристическим уравнением системы.

На основе выражений

найдем передаточную функцию межпарциальной связи между координатами у и у2

ф) _ У _ a[(Ma2 + Jc2 + Lb2) p2 + k + kb ] + [(Jc2 - Mab - Lbxb2) p2 - k-pbi ] _ j y (Mb2 + Jc2 + Lb\) p2 + k + k-bl + a[( Jc2 - Mab - Lbxb2) p2 - k-bbi ]

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИИ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Проведем исследование динамических свойств колебательной системы на основе полученных передаточных функций.

Из выражений (8) и (9) следует, что колебательная система по координатам у

и у2 может иметь по одному режиму динамического гашения колебаний на частотах, определяемых зависимостями:

k

=

-kib2 -ak3bxb2

Mb2 + Jc2 + Lb2 + a

2дин

a(k + k3b\ ) - k3b\b2

a(Ma + Jc

Lb2)-

Jc - Mab - L\b2

Если режим динамического гашения колебаний реализуется по координате у

на частоте (12), то распределение амплитуд колебаний по длине твердого тела (/1 + /2) будет происходить по прямой линии, которая (условно) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами у2 и (/1 + /2). Аналогичное распределение амплитуд колебаний точек протяженного твердого тела длиной /1 + /2 можно получить при динамическом гашении колебаний по координате у2 .

Частота, при которой числитель и знаменатель в выражении (11) будут равны друг другу, т.е. W12(p) = 1, определится выражением

9 ak k

g>2 =—1—2

k3

M

При частоте колебаний рабочего органа, определяемой выражением (14), амплитуды колебаний всех его точек будут равны, т.е. «узел колебаний» будет находиться в бесконечности, что означает реализацию только поступательных вертикальных колебаний рабочего органа, которые обеспечиваются набором параметров, из них наибольший интерес для настройки представляют коэффициент связности (а), коэффициент жесткости (к3) и приведенная масса (Ц) устройства преобразования движения.

Действие двух сил 0 и можно

заменить одной силой 0О, приложенной в

т. Е, как показано на рис. 3, в соответствии с выражениями:

Q1 = Qo • (а + d), Q2 = Qo • (b - d).

В этом случае коэффициент связности а определится следующим соотношением:

a =

h_h.

l2 + 10

Если т. Е будет находиться справа от т. О (т.е. 0 < /0 < /2), то коэффициент связности

a =

l1 +10 l2 - l0

На рис. 4 приведен график зависимости коэффициента связности а от расстояния /о при различных положениях точки приложения силы 0О.

Ух

Q

т. E i

\y

У 2

Рис. 3. Расчетная схема при действии одного силового фактора Q, приложенного в т. Е Fig. 3. Analytical model under the action of a single force factor Q applied to the point E

a

\

a

/

У

a b

Рис. 4. Графики зависимости коэффициента связности а от расстояния l0: a - случай, когда т. Е левее т.

Из выражения (11), к примеру, можно найти частоту для определения коэф-

фициента a и других параметров системы

<¡>2 =

akx - ik2 + k3

M

Для исследования влияния параметров дополнительных связей на коэффициент связности координат у и у2

(I = ) было проведено численное моде-

У1

лирование выражения (19) при следующих

параметрах колебательной системы: М = 1000 кг; Л = 80 кгм2; I = (10, 50) кг; /1 = 0.6 м; /2 = 0.4 м; /0 = (0.1, 0.2, 0.3) м; Ь1 = Ь2 = 1; к1 = 20000 Н/м; к2 = 15000 Н/м; кз = (10, 20, 30)  103 Н/м. Результаты моделирования представлены на рис. 5.

I

0

2

IS -7.5 0 7.5 15 -15 -7.5 0 7.5 15

Рис. 5. Графики зависимости частоты от параметра i: а - при l0 = 0.1 м, L = 10 кг, k3 = (10, 20,30)  103 Н/м; b - при l0 = 0.1 м, k3 = 10000 Н/м, L = (10, 50) кг; c - при l0 = 0.2 м, L = 10 кг, k3 = (10, 20, 30)  103 Н/м; d - при l0 = 0.2 м, k3 = 10000 Н/м, L = (10, 50) кг; e - при l0 = 0.3 м, L = 10 кг, k3 = (10, 20,30)  103 Н/м; f - при l0 = 0.3 м, k3 = 10000 Н/м, L = (10, 50) кг Fig. 5. Frequency vs parameter i graphs: a - at l0 = 0.1 m, L = 10 kg, кз = (10, 20, 30)  103 N/m; b - at lo = 0.1 m, k3 = 10000 N/m, L = (10, 50) kg; c - at lo = 0.2 m, L = 10 kg, кз = (10, 20, 30)  103 N/m; d - at h = 0.2 m, кз = 10000 N/m, L = (10, 50) kg; e - at 0 = 0.3 m, L = 10 kg, кз = (10, 20, 30)  103 N/m; f - at h = 0.3 m, k3 = 10000 N/m, L = (10, 50) kg

Приведенные графики дают представление о влиянии параметров дополнительных связей на динамическое состояние колебательной системы и их возможностях по управлению этим состоянием, в т.ч. для получения однородной структуры вибрационного поля, независящего от частоты силовых возмущений.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе метода структурного математического моделирования и аппарата передаточных функций исследовано влияние межпарциальных связей на динамические свойства механической колебательной системы с двумя степенями свободы с дополнительными связями в виде винтового и рычажных механизмов. Получены аналитические соотношения между параметрами исходной колебательной системы и вспо-

могательными связями, обеспечивающими необходимые динамические состояния технологической машины, в т.ч. и получение однородного вибрационного поля, независящего от частоты силовых возмущений. Показано, что использование дополнительных связей расширяет возможности целенаправленного формирования требуемой структуры вибрационного поля технологической машины. Численным моделированием динамики колебательной системы продемонстрировано влияние параметров добавочных связей на динамическое состояние системы и их возможности по управлению этим состоянием. Предлагаемый подход может быть использован, в частности, для определения рациональных параметров вибрационного технологического оборудования различного назначения без изготовления его опытных образцов и проведения натурных испытаний.

Библиографический список

1. Harris S.M., Piersol A.G. Shock and Vibration Handbook. New York: McGraw Hill Book Co, 2002. 1457 p.

2. Silva C.W. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, DC: CRC Press, 2000. 957 p.

3. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of vibration protection. Switzerland: Springer International Publishing, 2016. 708 p.

4. Rocard Y. Dynamique generale des vibrations. Paris: Masson, 1949. 179 p.

5. Banakh L., Kempner M. Vibrations of Mechanical Systems with Regular Structure, Berlin; Heidelberg: Springer, 2010. 262 p.

6. Блехман И.И. Теория вибрационных процессов и устройств. Вибрационная механика и вибрационная техника. СПб.: Изд. Дом «Руда и Металлы», 2013. 640 с.

7. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976. 320 с.

8. Пановко Г.Я. Динамика вибрационных технологических процессов. М.-Ижевск: НИЦ «Регуларная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных технологий, 2006. 176 с.

9. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1976. 432 с.

10. Вайсберг Л.А. Проектирование и расчет вибрационных грохотов. М.: Недра, 1986. 144 с.

11. Выонг К.Ч., Ковригина И.В., Елисеев С.В. Механизмы в структуре механической колебательной системы: возможности формирования динамических состояний // Системы. Методы. Технологии. 2018. № 3 (39). С. 13-18. DOI: 10.18324/2077-5415-2018-313-18

12. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засяд-ко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. 523 с.

13. Елисеев С.В., Артюнин А.И. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем. Новосибирск: Наука, 2016. 459 с.

14. Елисеев С.В. Прикладной системный анализ и структурное математическое моделирование (динамика транспортных и технологических машин: связность движений, вибрационные взаимодействия, рычажные связи). Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2018. 692 с.

15. Елисеев А.В., Сельвинский В.В., Елисеев С.В. Динамика вибрационных взаимодействий элементов технологических систем с учетом неудержива-ющих связей. Новосибирск: Наука, 2015. 332 с.

References

1. Harris S.M., Piersol A.G. Shock and Vibration Hand- 2. Silva C.W. Vibration. Fundamentals and Practice.

book. New York: McGraw Hill Book Co, 2002, 1457 p. Boca Raton, London, New York, Washington, DC: CRC

Press, 2000, 957 p.

3. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of vibration protection. Switzerland: Springer Interna-tional Publishing, 2016, 708 p.

4. Rocard Y. Dynamique generale des vibrations. Paris: Masson, 1949, 179 p.

5. Banakh L., Kempner M. Vibrations of Mechanical Systems with Regular Structure, Berlin; Heidelberg: Springer, 2010. 262 p.

6. Blekhman I.I. Teoriya vibratsionnykh protsessov i ustroistv. Vibratsionnaya mekhanika i vibratsionnaya tekhnika [The theory of vibration processes and devices. Vibration mechanics and vibration equipment]. Saint-Petersburg: Publishing house "Ruda i Metally", 2013, 640 p. (In Russ.).

7. Kolovsky M.Z. Avtomaticheskoe upravlenie vibro-zashchitnymi sistemami [Automatic control of vibration protection systems]. Moscow: Nauka Publ., 1976, 320 p. (In Russ.).

8. Panovko G.Ya. Dinamika vibratsionnykh tekhnolog-icheskikh protsessov [Dynamics of vibration technological processes]. Moscow-Izhevsk: Research Center "Regular and chaotic dynamics". Institute of Computer Technologies Publ., 2006, 176 p. (In Russ.).

9. Ganiev R.F. Kolebaniya tverdykh tel [Oscillations of solids]. Moscow: Nauka Publ., 1976, 432 p. (In Russ.).

10. Vaisberg L.A. Proektirovanie i raschet vi-bratsionnykh grokhotov [Design and calculation of vibrating screens]. Moscow: Nedra Publ., 1986, 144 p. (In Russ.).

11. Vuong Q.T. Kovrigina I.V., Eliseev S.V. Mechanisms in the structure of a mechanical oscillatory sys-

tem: possibilities of forming dynamic states. Systemy. Metody. Tekhnologii [Systems. Methods. Technologies], 2018, no. 3 (39), pp. 13-18. DOI: 10.18324/2077-54152018-3-13-18

12. Eliseev S.V., Reznik Yu.N., Homenko A.P., Zasyad-ko A.A. Dynamicheski syntez v obobshenyikh zadachakh vibrozashityi i vibroizolyatsii tekhnicheskikh ob'ektov [Dynamic synthesis in generalized problems of vibration protection and vibration insulation of engineering objects]. Irkutsk: Irkutsk State University Publ., 2008, 523 p. (In Russ.).

13. Eliseev S.V., Artyunin A.I. Prikladnaya teoriya kole-banii v zadachakh dynamiki lineinyikh mekhanicheskikh system [Applied oscillation theory in the problems of linear mechanical system dynamics]. Novosibirsk: Nau-ka Publ., 2016, 459 p. (In Russ.).

14. Eliseev S.V. Prikladnoj sistemnyj analiz i strukturnoe matematicheskoe modelirovanie (dinamika transportnyh i tekhnologicheskih mashin: svyaznost' dvizhenij, vibracionnye vzaimodejstviya, rychazhnye svyazi) [Applied system analysis and structural mathematical modeling (dynamics of transport and technological machines: movement connectivity, vibrational interactions, linkages)]. Irkutsk: Irkutsk State Transport University Publ., 2018, 692 p. (In Russ.).

15. Eliseev A.V., Sel'vinski V.V., Eliseev S.V. Dynamika vibratsionyikh vzaimodeistvii elementov tekhnolog-icheskikh system s uchetom neuderzhivayushikh svyazei [Dynamics of vibration interactions of technological system elements with regard to unilateral constraints]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2015, 332 p. (In Russ.).

Критерии авторства

Елисеев С.В., Кузнецов Н.К., Елисеев А.В., Выонг Куанг Чык заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Елисеев Сергей Викторович,

доктор технических наук, профессор, советник при ректорате по научной работе, Иркутский государственный университет путей сообщения,

664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, Россия; e-mail: eliseev_s@inbox.ru

Authorship criteria

Eliseev S.V., Kuznetsov N.K., Eliseev A.V., Vuong Quang True declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Sergei V. Eliseev,

Dr. Sci. (Eng.), Professor,

Advisor of the University Administration

for Scientific Research,

Irkutsk State Transport University,

15 Chernyshevsky St., Irkutsk 664074, Russia;

e-mail: eliseev_s@inbox.ru

Кузнецов Николай Константинович,

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой конструирования и стандартизации в машиностроении, Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83, Россия; e-mail: knik@istu.edu

Елисеев Андрей Владимирович,

кандидат технических наук, доцент кафедры математики, Иркутский государственный университет путей сообщения,

664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, Россия; Н e-mail: eavsh@ya.ru

Выонг Куанг Чык,

аспирант,

Иркутский государственный университет путей сообщения,

664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, Россия; e-mail: trucvq1990@gmail.com

Nikolai K. Kuznetsov,

Dr. Sci. (Eng.), Professor,

Head of the Department of Design

and Standardization in Mechanical Engineering,

Irkutsk National Research Technical University,

83 Lermontov St., Irkutsk 664074, Russia;

e-mail: knik@istu.edu

Andrei V. Eliseev,

Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor of the Department of Mathematics, Irkutsk State Transport University, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk 664074, Russia; H e-mail: e-mail: eavsh@ya.ru

Vuong Quang Truc,

Postgraduate,

Irkutsk State Transport University, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk 664074, Russia; e-mail: trucvq1990@gmail.com