Метод вычисления матрицы Хассе - Витта гиперэллиптических кривых специального вида

8. Стоян Ю, Г, Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования / Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. - К. : Наук. думка, 1986. - 268 с.

9. Яковлев С, В, Теория выпуклых продолжений функции на вершинах выпуклых многогранников... / Яковлев С. В. // ЖВМ и МФ. - 1994. - Т. 34, № 7. -С. 1112-1119.

10. Стоян Ю, Г, Построение выпуклых и вогнутых функций на перестановочном многограннике / Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. // ДАН УССР, Сер А. - 1988. - № 5. -С. 68-70.

11. Яковлев С, В, О минимизации линейной функции на вершинах перестановочного многогранника с учетом линейных ограничений / Яковлев С. В., Валуйская О. А. // Доп. НАНУ. - 1999. - № 11. - С. 103-107.

12. Гребенник И, В, Решение некоторых задач условной оптимизации линейных функций на перестановочном многограннике / Гребенник И. В. // Радиоэлектроника и информатика. - 1999. - № 1. - С. 55-59.

13. Гребенник И, В, Экстремальные свойства функций на классах композиционных образов комбинаторных множеств / Гребенник И. В., Баранов А. В. // Бионика интеллекта. - 2007. - № 1(66). - С. 99-102.

14. Гребенник И, В, Оптимизация линейных функций с линейными ограничениями на комбинаторных мно-

жествах на основе случайного поиска / Гребенник И. В., Баранов А. В. // Искусственный интеллект. - 2007. - № 1. - С. 132-137.

Надшшла 16.09.2008

Досл1джуються 3adani оптим1зацп опуклих функцш на KOMdiiamopHux множинах. Будуються ощнки Miii-MyMie опуклих функцш для клaсiв кoмбiнamopнux мно-жин пepeсmaнoвoк, з ypaxyвaнням ma без ypaxyвaння лтшних обмежень ш змшт. no6ydoea ощнок включae в себе дoдamкoвy процедуру oпmuмiзaцi'i. Haвoдяmься пpuклaдu, aнaлiзyюmься pезyльmamu oбчuслювaльнux експеpuменmiв.

The paper is devoted to the problem of convex functions optimization on combinatorial sets. Estimates of convex function minimum are constructed for different classes of combinatorial sets of permutations, with or without linear constraints on the variables. Estimates construction includes an addi-tional procedure of optimization. Examples are given; results of numerical experiments are analyzed.

УДК 681.3.06

В. И. Долгов, А. В. Неласая

МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦЫ ХАССЕ - ВИТТА ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

В статье предложен метод еычисления элементое матрицы Хассе - Витта гиперэллиптических криеых специального еида, осноеанный на использоеании формулы бинома Ньютона.

ВВЕДЕНИЕ

Двухключевая криптография основана на трудности решения определенных математических задач. На первых порах развития этого направления такими задачами рассматривались разложения большого числа на простые множители и дискретное логарифмирование в простом поле Галуа. Современные стандарты цифровой подписи и направленного шифрования основаны на использовании операций в группах точек эллиптических кривых. Они обеспечивают меньшие длины параметров и, соответственно, более высокое быстродействие при сохранении заданного уровня стойкости. В частности, ныне действующий в Украине стандарт электронной цифровой подписи ДСТУ 4145-2002 основан на преобразованиях в группе точек эллиптических кривых, определенных над расширенными конечными полями ОГ(2т).

Естественным теоретическим и практическим обобщением эллиптических кривых являются гиперэллиптические кривые. Источником абелевой группы в этом случае выступает группа классов дивизоров (якобиан) гиперэллиптической кривой. Теория диви© Долгов В. И., Неласая А. В., 2009

зоров гиперэллиптических кривых сегодня играет важную роль и при конструировании систем, основанных на спариваниях Вейля и Тейта, а также при решении задач дискретного логарифмирования на эллиптических кривых (метод спуска Вейля).

Основное преимущество при использовании гиперэллиптических кривых состоит в том, что размер основного поля, над которым определена кривая, уменьшается пропорционально роду кривой без потери стойкости, хотя сама формула группового сложения выглядит более громоздко.

Среди важных направлений совершенствования современных технологий применения гиперэллиптических кривых в криптографии можно выделить задачи, связанные с определением порядков якобианов кривых, которые и сегодня считаются вычислительно сложными [1, 2].

В этой работе предлагается метод вычисления элементов матрицы Хассе - Витта гиперэллиптической кривой, с использованием которой можно решить задачу определения порядка якобиана гиперэллиптической кривой [1, 2]. Этот метод требует для реализации существенно меньших вычислительных затрат по сравнению с известными. Он основан на использовании формулы бинома Ньютона и применим для кривых специального вида.

1 КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОРЯДКА ЯКОБИАНОВ ГЭК

Пусть Гд - конечное поле и пусть Гч - алгебраическое замыкание поля Гд. Гиперэллиптическая кривая С рода д > 1 над полем Гд представляет собой [3] набор решений (х, у) е Гд х Гд уравнения

При этом

C\y + h(х) y = f( х),

где Н(х) е Г д[х] - полином степени не более д, Дх) е е Гд[х] - нормированный полином степени 2д + 1 и не существует решений (особых точек) (х, у)е Гч х Тд, которые бы одновременно удовлетворяли уравнению (1) и уравнениям 2у + к(х) = 0 и Н'(х)у - (х) = 0. Считается, что бесконечно удаленная точка РГУЭ также принадлежит кривой.

Оператор Картера - Манина кривой, определенной над конечным полем, вместе с матрицей Хассе - Вит-та [4, 5] удобно использовать для изучения арифметических свойств якобиана кривой. Эта матрица используется как часть процедуры определения порядка якобиана, который является наиболее важным параметром для обеспечения стойкости криптосистемы на гиперэллиптических кривых [6].

Как известно, порядок якобиана гиперэллиптической кривой ограничен интервалом Хассе - Вейля.

)2д1 < # /

где д - характеристика основного поля, над которым определена кривая, д - род кривой.

В нашей работе [2] приведен общий анализ существующих методов определения порядка якобианов ГЭК. Отмечено, что порядок якобиана напрямую зависит от количества точек кривой над основным полем и его расширениями д2, ..., цъ [1]. В общем случае операция определения количества точек кривой является вычислительно сложной. Исследователями были выделены частные виды кривых (кривые Коблица, кривые Фурукавы), для которых разработаны эффективные методы определения порядка якобиана.

Основная идея большинства методов определения порядка заключается в использовании эндоморфизма Фробениуса.

Для К = д = рт это отображение вида

•х ^ х

Характеристическим полиномом эндоморфизма Фробениуса называется нормированный полином степени 2g с коэффициентами из кольца Z•

%„( T) = T2g + a1T2g 1 + ... + aTg +

#/( C/Fq) = Xq( 1).

Следовательно, для определения порядка якобиана достаточно найти коэффициенты характеристического полинома эндоморфизма Фробениуса.

Другие методы определения порядка якобиана, например такие, как ^-адические методы, использующие алгоритм КеШауа, эффективны в полях малой характеристики.

Для кривых над большими простыми полями наиболее перспективно использование метода, использующего оператор Картера - Манина и матрицу Хассе - Витта [4, 5]. Применение этого метода дает возможность определить коэффициенты характеристического полинома эндоморфизма Фробениуса по модулю характеристики основного поля, что позволяет ограничить интервал их поиска значениями, кратными характеристике основного поля.

Матрица Хассе - Витта является обобщением инварианта Хассе эллиптической кривой и определяется следующим образом.

Определение [3]. Пусть Yk - коэффициент полинома у(х) = /(х-1)72 при переменной степени 1г. Матрица Хассе - Витта - это матрица размера д х д с коэффициентами из поля Гд, заданная как

H (Jip - j)1 <

Уp - 1 Уp - 2 • • • Уp - g У'2р - 1 yr2p - 2  y~2p - g

Ygp-1 Ygp-2 •• Ygp-g

ag -1

qT

g-1

g - . g

a1q T + q .

Порядок вычисления оператора Картера - Манина Xq(T) = (-1 )gTgk(T)(modp) определяется следующей теоремой.

Теорема 1 [4]. Пусть C - ГЭК рода g, определенная над полем Fq и q = pm. Пусть H - матрица

Хассе - Витта кривой C и пусть M = H х H х ... х

zj

х H , где H - это матрица, состоящая из элементов H, возведенных в степень t. Пусть k( T) = = det(T х Ig - M) - характеристический полином матрицы M, тогда %q( T) = (-1) gTgk( T)(modp).

Основная сложность применения оператора Картера - Манина заключается в построении матрицы Хассе - Витта, а именно, в возведении полинома в большую степень

Y

Тривиальный способ вычисления необходимых коэффициентов состоит в полном возведении полинома в большую степень и выборе нужных коэффициентов их полученного результата. В этом случае для достаточно большого p, что является необходимым условием для построения стойкой криптосистемы, требуется

слишком много системных ресурсов и вычисления являются слишком медленным даже для кривых второго рода.

В работе [3] приводится оптимизированный метод определения элементов матрицы Хассе - Витта как термов линейных рекуррентных последовательностей, используя свойство формулы у( х) = /(х)( р -1)7 2:

. у(х) -р—1 •

К

к х)' • у( х) = 0.

Его сложность определяется как

О ((Км{ д) д*Гр + д3 КР (Тр))(й^( р )ц),

где Ям(з) - число операций кольца при умножении двух 5 х 5 матриц над кольцом; ЯР(з) - число операций кольца при умножении двух полиномов степени 5 над кольцом; ц - константа такая, что два В-бито-вых целых могут быть умножены за время

Изложим теперь сущность предлагаемого метода.

2 МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ

МАТРИЦЫ ХАССЕ - ВИТТА

За основу берется метод определения характеристического полинома эндоморфизма Фробениуса, основанный на теореме 1. Самой трудоемкой операцией в этом методе является возведение полинома /(х) в степень (р - 1)/2.

Заметим, однако, что для формирования матрицы Хассе - Витта необходимо лишь д х д коэффициентов полученного полинома у(х).

Как показано в [3], для значений р > 3 уравнение любой гиперэллиптической кривой несложными преобразованиями можно привести к виду

В этом случае для формирования матрицы Хассе -Витта нет необходимости полностью возводить /(х) в степень п, а можно лишь вычислить коэффициенты при необходимых членах с помощью формулы бинома Ньютона [8].

/ I 1 \п г^т п - т-,т

(а + Ь) = N Спа Ь ,

где

т

сп =

П_ = п

т!(п - т)!

т!

Для кривых (10) при к = 0 запишем формулу (11) в виде

у(х) = (х1д +1 + а)п = N С'т(х2д +1 )п т • ат =

т = 0

(2д + 1)п - й,, (2д + 1)п - й,,

(2д + 1)п )- У ; - 0 )- у ; - - 0 й

й

N

Сп

(2д + 1) „ (2д + 1) «0

а

х 0.

В (13) введена новая переменная й0 = (2д+1)( п - т) и, следовательно, показатели степени переменной й0:2 д+ 1 и

й0

= (2д + 1 )п - й 0 = - «0 т = (2 д +1) = п 2д + 1.

При к = 1 представим у(х) как

у( х) = (х1д + 1 + ах)п = [ х( х1д + а)]п.

у

т=0

(2д + 1)п - йх (2д + 1)п - й

т/ 2^п - т т п

л а •х =

(2д + 1) п

Ег 2д 2д й

с п а х ,

у = /(х) .

Будем рассматривать кривые специального вида, в которых многочлен /(х) представлен в виде суммы двух одночленов, то есть

/(х) = х

2д+ 1 . к

+ ах ,

где к может принимать любое целое значение из интервала [ 2.2д ].

При представлении (9) определению гиперэллиптической кривой (1) будут удовлетворять только кривые, для которых параметр к равен 0 или 1. Остальные кривые имеют особую точку (0, 0) и требуют более тщательного анализа. Возможность использования таких рациональных кривых рода 1 в криптографических приложениях рассматривалась в работе [7].

Обозначим п = (р - 1)/2, тогда выражение (7) можно записать в виде

у( х) = /(х)п = (х2д +1 + ах")'.

кп

где введена новая переменная й1 = 2д(п - т) + п = = (2д + 1)и - 2дт и, следовательно, для показателей степени переменной многочлена у(х) справедливо соотношение й1 - р - 1: 2д и для показателя степени т справедливо соотношение

(2д + 1 )п - йх _ п - й1

2д

= п + -

2д

Тогда в первом случае при к = 0 для значений показателя степени й0, принимающем значения й0 е е{р-1, „.,р-д, 2р-1, ..., 2р-д, ...,др-1, „.,др-д} имеем

р - 1 р - 1 р - 1 р - 2

т1 = -----2---------2---д-----+-----1-- , т2 = -----2---------2---д-----+-----1-- ,

д

2 2д + 1 '

т=0

й = 0

0

й =п

Из этих результатов нас устраивают только те, которые дают целые значения.

Для случая к = 1 по аналогии с предыдущим получаем

p-A

= pzi + _2_

-

2g

p-1 = pLzI + JL

= p -1 p -1 2 - 4 g ,

2g

= p-1 + p - 1 - 2(p - 2) = 2 + 4g ,

p - 1 = pzi + _L

2 2g

= p-1 + p - 1 - 2

= 2 + 4g ,

lg

= p-1.

p - 1

g

2g

= p-1 + p - 1 - 2g

= 2 + 4g .

Факториал любого неотрицательного числа п может быть эффективно вычислен по формуле

2 ' 3 1 ''' 1 '

n! = 2 х nk! х nk__ 1!!! х

х[пк-1 !! ! х .. . х nk-2] х [nk-2 !! ! х . .. х nk-3] х ... х

nk-2!!! nk-3!!

х[п2 !! ! х . .. х п1],

где n1 = п, ni =

, nk = 1, символом n!!! обо-

значено произведение всех нечетных чисел в интервале [ 1...п], а обозначение [ау х ... х ак] соответствует произведению всех нечетных чисел, лежащих в интервале от ау до ак.

Использование этой формулы позволило авторам усовершенствовать формулу для вычисления биномиальных коэффициентов.

Представим формулу (17) в виде

где

n! = 2s  t,

k-1 k

s = n2 + n3 + ... + n + n ,

И здесь, очевидно, берутся только целые значения.

Далее можно уже можно определять интересующие нас коэффициенты многочлена у(х), для чего необходимо вычислить соответствующие коэффициенты бинома Ньютона Ст. При этом соответствующий элемент матрицы Хассе - Витта определяется по формуле:

tni т i Yi = Cn  a (modp).

Дальнейшие вычисления состоят в применении оператора Картера - Манина к полученной матрице.

3 ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Основное время вычислений в предлагаемом авторами методе занимают вычисления биномиальных коэффициентов, а именно операция вычисления факториала длинного числа. В работе [9] приводится эффективный метод вычисления факториала. Его суть состоит в следующем.

t = nk! х nk-1!!! х [пх-1 !! . х .. . х nk3] х

х[пХ-2 !! ! х . . . х nk-3] х ... х [n2 !! ! х . .. х n1].

Тогда формулу для вычисления биномиальных коэффициентов можно переписать в виде

n!

2 n  tn

т! (n - т)!

= 2sn- (s

LmJ v^ °(n - m)J

tm  t

В табл. 1 представлено сравнение скорости вычисления биномиальных коэффициентов в специализированном математическом пакете с помощью стандартной и усовершенствованной процедур.

Таким образом, экспериментально доказана эффективность усовершенствованной формулы вычисления биномиальных коэффициентов.

Таблица 1 - Сравнение скорости процедур вычисления биномиальных коэффициентов

Длина p, бит p n = (p - 1)/2 m Время шЬ1пош1а1 (п, т, р) (предложение авторов), с Время binomial (n, m) mod p (стандартная процедура), c

10 997 498 249 меньше 0,1 меньше 0,1

14 9973 4986 2493 меньше 0,1 0,2

17 99991 49995 24997 0,1 11,6

20 999979 499989 249994 1,4 1132,4

m

2

m

nk-2

nk-3

Cm =

n

4 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР

ДЛЯ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ

ВТОРОГО РОДА

Определим порядок якобиана гиперэллиптической кривой второго рода

у2 = х5 + 3 (шоа 991).

Согласно [6]

а :=3:

шЬ1пот±а1(з, т1, Р) *алт1 mod р;

шЬ1пот±а1(в, т4, Р) *алт4 mod р;

286

676

Ср - 1 = С990 = С495 • 3297(991) = 286,

Хд

С2р - 2 = С1980 = с49з • 3"(ш°а 991) = 676,

где

и матрица Хассе - Витта имеет вид

< 4 • 4д, < 6 • д, - 2 • д| < 52 < |^52/4 + 2 • д\.

Поскольку использование оператора Картера - Ма-нина позволяет определить коэффициенты характеристического полинома только по модулю характеристики основного поля, ограничения на 51 и 52 помогут значительно сузить интервал поиска их истинных значений.

Матрица Хассе - Витта в нашем случае имеет вид:

р2р - 1 С2р - 2

Согласно предложенному методу, определим элементы матрицы путем вычисления коэффициентов бинома Ньютона при соответствующих степенях переменной х полинома

у( х) = (х5 + 3 )(991 1)7 2.

Для этого сначала надо определить, какие коэффициенты бинома Ньютона С% надо вычислить, а именно необходимо определить значения переменной т для всех элементов матрицы (22), поскольку п всегда равно (р - 1)/2 и для нашего примера равно 495. Имеем:

т1 = 495-9|0 = 297, = 495 -Ш = ^,

т3 = 495= ^, т4 = 495= 99.

Получаем два целых значения т1 = 297 и т4 = 99. Рассчитаем теперь соответствующие элементы матрицы Хассе - Витта из полинома (23) по формуле (16). Используем усовершенствованную авторами формулу расчета биномиальных коэффициентов. Следовательно,

286 0 0 676

Далее с помощью оператора Картера - Манина определим характеристический полином эндоморфизма Фробениуса по модулю характеристики основного поля:

Х991(Т) = Т4 + 29 • Т3 + 91 • Т2(ш°а 991).

Пользуясь формулой (20), восстановим полные значения коэффициентов характеристического полинома эндоморфизма Фробениуса:

Хэ91(Т) = Т4 + 29 • Т3 + (91 + £ • 991 )• Т2 + + 29 • 991 • Т + 9912.

Как видно, в полученной формуле не вполне определенным осталось только значение коэффициента 52 = (91 + £ • 991). Определим границы для 52, пользуясь формулой (21).

Ь1 = ^ТдИ! - 2 • д\ = -157 и Ь2 = |_52./4 + 2 • д] = 2192.

Отсюда возможные значения 52 и соответствующие этим значениям порядки якобиана кривой #J получаются равными

£ = 0, 52 = 91, #/ = 1010941, £ = 1, 52 = 1082, #/ = 1011932, £ = 2 , 52 = 2 0 73, #J = 1012923.

Окончательный выбор из полученных альтернатив путем умножения произвольно выбранного дивизора <х - 402, 661> на предполагаемые порядки якобиана кривой показал, что правильным в данном слу--чае является значение #J = 1010941.

Ср - 1 Ср - 2

С

С

С

С

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленный в работе метод вычисления элементов матрицы Хассе - Витта гиперэллиптических кривых, позволяет решить задачу определения якобиана гиперэллиптических кривых. Метод требует для реализации существенно меньших вычислительных затрат по сравнению с известными. Дальнейшие исследования в этом направлении заключаются в совершенствовании формул вычисления биномиальных коэффициентов по модулю большого простого числа, а также в исследовании свойств рациональных гиперэллиптических кривых, соответствующих значениям к > 1 в формуле (9).

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Colm О hEigeartaigh. A Comparison of Point Counting methods for Hyperelliptic Curves over Prime Fields and Fields of Characteristic 2 [Электронный ресурс] / Colm О hEigeartaigh: Cryptology ePrint Archive: Report 2004/241, 2004 . - P. 1-12. - Режим доступа: http://eprint.iacr.org/ 2004/241.pdf.

2. Долгов В. И. Методы определения порядка якобианов гиперэллиптических кривых / Долгов В. И., Нела-сая А. В. // Прикладная радиоэлектроника. Тематический выпуск, посвященный проблемам обеспечения безопасности информации. - ХНУРЭ, 2007. - Том 6, № 3. - C. 366-369.

3. Menezes A. An Elementary Introduction to Hyperelliptic Curves [Электронный ре-сурс] : Published as Technical Report CORR 96-19 Department of C&O University of

Waterloo: Ontario: Canada / Menezes A., Wu Y., Zuc-cherato R. - 1996. - P. 1-35. - Режим доступа: www. cacr.math.uwaterloo.ca/techreports/1997/corr96-19.ps..

4. Манин Ю. И. О матрице Хассе-Витта алгебраической кривой / Манин Ю. И. // Известия АН СССР. Серия: Математика. - 1961. - Том 25, выпуск 1. - С. 153-172.

5. Bostan A. Linear recurrences with polynomial coefficients and application to integer factorization and Carti-er-Manin operator / Bostan A., Gaudry P., Schost E. // Proceedings of Fq7, Lecture Notes in Comput. Sci. -Berlin : Springer-Verlag, 2004. - Vol. 2948. - Р. 40-58.

6. Долгов В. И. Стойкость криптографических алгоритмов на гиперэллиптических кривых / Долгов В. И., Неласая А. В. // Прикладная радиоэлектроника : тематический выпуск, посвященный проблемам обеспечения безопасности информации. - 2006. - Том 5, № 1. - С. 30-34.

7. Чевардин В. Е. Метод аутентификации данных на основе ключевого хеширования с использованием арифметики эллиптических кривых : дис. канд. техн. наук : 05.13.21 / Чевардин В. Е. - Полтава, 2006. -202 с.

8. Бронштейн И. Н. Справочник по математике / Бронштейн И. Н. Семендяев К. А. - М. : Наука, 1967. -608 с.

9. Ладиков А. В. Улучшенный алгоритм вычисления факториала / Ладиков А. В. // Математические заметки. -2008. - Т. 83, № 6. - С. 857-863.

Надшшла 16.09.2008

В cmammi пропонуеться метод обчислення елемен-mie матрищ Хассе - Bimma гтерелттичних кривих спе-щального виду, що бaзуemьcя на зacmоcуeaннi формули бтома Hьюmонa.

The method of calculation of Hasse - Witt matrix for special hyperelliptic curves is proposed. This method is based on using binomial theorem.

УДК 004.93.1

В. М. Заяць

Д0Ц1ЛЬН1СТЬ ВСТАНОВЛЕННЯ ПРИ0Р1ТЕТУ ПЕРВИННИХ ОЗНАК ПРИ П0БУД0В1 СИСТЕМ Р0ЗП1ЗНАВАННЯ ТА 1ДЕНТИФ1КАЦ11 0Б'6КТ1В I ПР0ЦЕС1В НА 0СН0В1 ДЕТЕРМ1Н0ВАНИХ ТА 1М0В1РН1СНИХ МЕТ0Д1В

Запропоновано nidxid до ecmaноeлення прiориmеmну первинних ознак при побудованоЧ cиcmеми розтзнавання кориcmуeaчie комп'юmерa на оcноei ii опису у eиглядi диcкреmно'i моделi, що рекуренmно зв'язуе чacоei 3am-римки при введет тформацп з клaeiamури комn'юmерa у диcкреmнi eiдлiки часу. Доцiльнicmь розроблених тд-xодie nроiлюcmроeaно при реaлiзaцii aemомamизоeaноi процедуру iденmифiкaцii кориcmуeaчie комn'юmерa на оcноei деmермiноeaного ma iмоeiрнicного меmодie.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ!

При створеш нових реальних пристро!в, досл1д-женш невивчених ф1зичних явищ чи процеав, побу-

© Заяць В. М., 2009

дов1 систем розтзнавання та щентифжаци, що мають бажаш характеристики шформацшного сигналу або нев1дом1 характеристики, яю тдлягають вивченню, дощльно провести комп'ютерне моделювання та ана-л1з, створивши адекватш математично! модел1 об'ек-та, що розробляеться чи вивчаеться. Такий шдхщ ви-магае значно менших часових 1 техшчних засоб1в пор1вняно з ф1зичним експериментом, особливо на попереднш стадп розробки, за в1дсутност1 достов1рно! апрюрно! шформацп

Останшм часом в нелшшнш динамщ1 широке зас-тосування знаходять дискретш модел1 систем [1-6] для яких дискретшсть закладена в природ1 самого