Групповая скорость волнового пакета, образованного двумя частицами с фиксированными скоростями

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Показано, что расчет температур фазовых переходов первого рода для металлов по впервые полученной авторами формуле более прост и точен, чем по уравнению Клайперона-Клаузиуса. Проведен анализ зависимости температуры фазового перехода от давления. Дальнейшие исследования, позволяющие увеличить точность расчетов, вероятнее всего должны быть направлены на выяснение связи координационного числа и давления.

Список литературы

1 Зуев А. А., Савельев В. А. Расчет температур фазового

перехода твердое тело - жидкость в активных добавках к твердой смазке // Вестник Курганского государственного университета. - Серия «Технические науки». - 2013. - Вып. 8. - С. 21-22.

2 Теплотехнический справочник / под ред. Б. И. Бахмачевс-

кого. - М. : Энергия, 1996. - 894 с.

3 Тонков Е. Ю. Фазовые диаграммы элементов при высоком

давлении. - М. : Наука, 1989. - 192 с.

4 Фазовые превращения, металлография. Физическое

металловедение / под ред. Р. Кана. - М. : Мир, 1988. -490 с.

parameters of harmonics.

Keywords: angular frequency, wave number, Planck's constant, phase velocity.

ВВЕДЕНИЕ

В ряде задач рассматриваются квантовые системы, состоящие из двух частиц. При движении частиц с неравными фиксированными скоростями частоты волн де Бройля образуют дискретный спектр, в связи с чем для определения групповой скорости волнового пакета формула

_ d ш

Vg = ~dk '

где ш - циклическая частота, k - волновое число, не подходит, поскольку предполагает, по крайней мере, кусочно-непрерывную зависимость ш(к).

Задача, таким образом, заключается в отыскании формулы групповой скорости для дискретных значений ш и k.

УДК 530.145.65 И.П. Попов

Департамент экономического развития, торговли и труда Курганской области

ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА, ОБРАЗОВАННОГО ДВУМЯ ЧАСТИЦАМИ С ФИКСИРОВАННЫМИ СКОРОСТЯМИ

Аннотация. Доказаны две теоремы, связывающие групповую скорость волнового пакета, образованного двумя свободными идентичными частицами с разными нерелятивистскими скоростями, с параметрами гармоник.

Ключевые слова: циклическая частота, волновое число, постоянная Планка, фазовая скорость.

I.P. Popov

Department of Economic Development, Trade and Labor of Kurgan Oblast

THE GROUP VELOCITY OF THE WAVE PACKET, FORMED BY TWO PARTICLES WITH FIXED VELOCITIES

Abstract. We prove two theorems relating the group velocity of the wave packet, formed by two identical free particles with different non-relativistic velocities, to the

Групповая скорость волнового пакета

Пусть две частицы образуют квантовую систему в трехмерном эвклидовом пространстве, имеют одинаковые массы т и движутся с фиксированными нерелятивистскими скоростями и у2. В начальный

момент координаты частиц совпадают. Соответствующий им волновой пакет имеет вид:

W( x, t ) = Ce

= Ce~i

+ Ce

i(2t—kjl

где C определяется из условий нормировки волновой функции.

При этом

ш =

mv

2 h '

k =

mv

ш

V • = k '

где % - постоянная Планка [1-4], - фазовая

скорость [5-7].

Для названных условий имеют место две теоремы, первую из которых предваряет следующая. Лемма. Справедлива формула:

eiZl + eiz2 = 2 cos

z2 - zi L 2

Доказательство.

eiZl + e1Z2 = cos z1 + i sin z1 + cos z2 + i sin z2 = cos z1 + cos z2 + i ( sin z1 + sin z2 ) =

СЕРИЯ «ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ», ВЫПУСК 7

53

^ - г ) ( г, + I соб

го ] . I I г ^ sin I

2с08

I г, + г2 ] . . I г, + г2 соб I —:-2 1 + г бш I —-2

к,к2 (ш2 — ш,) = шк (к2 — к,) + а2к, (к2 — к,),

ш2 -Ш = Шк2 +ю2к1 = Ш + Ш2 к2 к, кк к, к 2 Или с учетом

г

2СОБ I I е2

Лемма доказана.

Теорема 1. Групповая скорость волнового пакета (1) определяется выражением:

* я =

Ш2 —ш, к2 — к,

Доказательство. В соответствии с леммой выражение (1) приводится к виду:

х, г ) = 2С

соб

ш —ш

к^ — к.

2 2 Модуль волновой функции

г —х I е 2

—-[(ш, + Ш2 )г—(к, +¿2

= 2С

соб [Ш^Ш г — к-2—^ х

Групповая скорость - это скорость перемещения максимума модуля, который достигается при условии

ш2 — ш, к2 —к, —2—1 г —2—- х = о 2 2

За время максимум модуля перемещается на расстояние х. Таким образом, его скорость или групповая скорость

*я = — = —-, .

г к 2 к,

Теорема доказана.

Связь между групповой и фазовыми скоростями Теорема 2. Групповая скорость волнового пакета (1) равна сумме фазовых скоростей его гармоник

* я = *ф, + *ф2 = — + —.

Л, «2

Доказательство. Очевидно тождество

ш*х т*2

2т2*2 2т2*2 .

В соответствии с (2) и (3) оно приводится к виду:

ЙШ, _ ЙШ2

^ к, Й

2/2

* Я = * Ф, + * ф2 .

Теорема доказана. В [8-10] показано, что

ш =

т*

Й

При этом вместо (6) следует записать

Йш, _ ЙШ2 2Й2к,2 = 2Й2к22

Дальнейшие рассуждения не изменяются и теорема 2 справедлива также при условии (7).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1 Групповая скорость волнового пакета (1) определяется выражением (5).

2 Групповая скорость волнового пакета (1) равна сумме фазовых скоростей его гармоник.

Список литературы

1 Попов И. П. Об электромагнитной системе единиц //

Вестник Челябинского государственного университета. Физика. - 2010. - Выпуск 7. - №12(193). - С. 78-79.

2 Попов И. П. Электромагнитное представление квантовых

величин // Вестник Курганского государственного университета. Естественные науки. - 2010. - Вып. 3. -№2(18). - С. 59-62.

3 Попов И. П. Сопоставление квантового и макро-описания

магнитного потока // Сборник научных трудов аспирантов и соискателей Курганского государственного университета. - 2011. - Вып. XIII. - С. 26.

4 Патент 49245 ^и). Система представления структуры

постоянной Планка/Попов И. П. //Б.И.П.М. - 2005. - № 31.

5 Попов И. П. Оценка верхней границы вероятных значений

фазовой скорости волн де Бройля // Международный научно-исследовательский журнал. - 2013. - № 11(18). -Ч. 1. - С. 37-38.

6 Попов И. П. Определение скорости при равномерном

прямолинейном движении // Инновационное развитие современной науки : сборник статей Международной научно-практической конференции (31.01.2014 г.). Т.33. в 10 ч. Ч.8. - С. 205.

7 Попов И. П. Об одном соотношении скоростей // Есте-

ственные и технические науки. - 2013. - № 6(68). -С. 46-48.

8 Попов И. П. Об одном проявлении инертности // Есте-

ственные и технические науки. - 2013. - № 3(65). -С. 23-24.

9 Попов И. П. О влиянии инертности частицы на ее волно-

вое представление // Вестник Забайкальского государственного университета. - 2013. - № 04(95). - С. 90-94.

10 Попов И. П. О волновой энергии инертной частицы //

Зауральский научный вестник. - 2013. - № 1(3). - С. 60-61.

Ш^2 —Ш2к,2 = 0 , ш2к,к2 — ш^к = -ш2к2 + ш2к,к2 — ш,^^,

54

ВЕСТНИК КГУ, 2015. №1