Исследование возникновенияколебаний в квазигармонической модели автоколебательной среды, находящейся под действием мультипликативного шума

Прикладные задачи

^^^^^^^^^^»нелинейной теории колебаний и вслн

Изв. вузов «ПНД», т. 20, № 5, 2012 УДК 530.182, 537.86

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В КВАЗИГАРМОНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СРЕДЫ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ШУМА

Т. Е. Вадивасова, А. В. Слепнев

Исследуется влияние мультипликативного шума на автоколебательную среду у порога возникновения генерации. В качестве простейшей модели автоколебательной среды рассматривается цепочка идентичных квазигармонических генераторов с периодическими граничными условиями. Параметры генераторов промодулированы гауссовым белым шумом. Анализируются стохастические бифуркации для случая пространственно однородного и пространственно некоррелированного шума.

Ключевые слова: Автоколебательная среда, квазигармоническое приближение, стохастическая бифуркация, влияние шума.

Введение

Исследование влияния шума на активные распределенные системы и среды является на сегодняшний день актуальной задачей нелинейной динамики. Вопросам влияния шума на распределенные системы посвящена монография [1], а также ряд статей, в которых рассматриваются те или иные вызванные шумом эффекты. Среди этих статей можно указать работы, посвященные явлениям когерентного резонанса в возбудимых средах и стохастического резонанса в бистабильных средах, а также связанный с ними эффект фазовой синхронизации стохастических колебаний [2-4]. Имеются работы, в которых исследуется воздействие шума на неоднородную автоколебательную среду в режиме частотных кластеров и показан эффект разрушения кластеров, сопровождающийся возникновением индуцированного шумом хаоса [5,6]. В работах [7,8] обнаружен эффект индуцированных шумом переключений мультистабильных режимов в кольце автогенераторов и автоколебательной среде, приводящие к установлению моды, соответствующей отсутствию фазового сдвига колебаний в среднем на длине системы. Вызванные шумом эффекты в таких сложных нелинейных системах, какими являются активные среды и их пространственно

дискретные модели (цепочки и решетки из активных элементов) могут быть чрезвычайно разнообразны. В целом этот круг проблем еще сравнительно мало исследован. В то же время, важность анализа влияния случайных сил очевидна, поскольку случайные воздействия присутствуют в любой реальной системе и никогда не могут быть полностью устранены.

Одним из важных направлений исследования роли шума в динамических системах является анализ стохастических бифуркаций, то есть бифуркаций, протекающих в присутствии шума, в том числе вызванных изменениями шумовых параметров [9,10]. Влияние шума на бифуркационные явления в распределенных системах всё еще мало изучено. В настоящей работе исследуется качественная модель динамики зашумленной квазигармонической автоколебательной среды, представляющая собой кольцо из конечного числа диссипативно связанных квазигармонических автогенераторов. Анализируется влияние мультипликативного шума на режим возникновения генерации в случаях пространственно некоррелированного и пространственно однородного шума.

1. Исследуемая модель среды

Среда моделировалась с помощью конечной цепочки локально взаимодействующих генераторов, соединенной в кольцо. Такие простые пространственно дискретные модели позволяют выявить многие качественные закономерности, присущие непрерывным средам. В исходных переменных цепочка генераторов описывается уравнениями в безразмерных переменных

Х —

с граничными условиями хт+1 = х1, хст+1 = хс 1, где т - число элементов цепочки. Все генераторы полагаются идентичными. Их режим управляется параметром генерации е. Собственная частота всех генераторов одинакова и в квазигармоническом режиме равна параметру шо. Соседние генераторы взаимодействуют резистивно (диффузионное взаимодействие элементов среды). Степень взаимосвязи определяется параметром у. В проведенных расчетах полагалось, что ш0 = 1 и у = 0.01. На элементы цепочки действует параметрический шум, модулирующий собственную частоту генераторов. В случае пространственно неоднородного шума его воздействие в разных генераторах задается статистически независимыми нормированными белыми гауссовыми источниками и] (Ь): {и] (Ь) Пк (Ь + т)) = Ь]кЬ(т), где Ь^к - символ Кронеккера, Ь(т) - функция Дирака. Все источники шума характеризуются одной и той же интенсивностью, задаваемой константой В. Пространственно однородный шум означает, что все генераторы находятся под действием одной и той же случайной силы: и] (Ь) = п(Ь).

В рамках квазигармонического приближения от системы (1) можно перейти к усредненным уравнениям для амплитуд и фаз генераторов, используя замену переменных

X] = а]

где мгновенные амплитуды а] (Ь) и фазы фз- (Ь) генераторов предполагаются медленными функциями времени по сравнению с периодом То = 2п/шо = 2п. Произво-

дится усреднение за период То и преобразование источников шума. В результате приходим к следующим стохастическим уравнениям Стратоновича для мгновенных амплитуд и фаз колебаний парциальных генераторов

^з = 2 + ^ - | +

+ сов

фЗ = З ^ + У (81п(Фз+1 - Фз) - ^(Фз - Фз-0

2 'З 1 < V а,- ч'з-и I >

] = 1, 2, ...т

^п(2)(+) + ,,(аЗ+1 о!п(ф Ф ) аЗ-1

----•  - — •--в111(ФЗ - Фз-1) I

] = 1, 2, ...т

с периодическими граничными условиями ат+1 = а1, фт+1 = ф1. Здесь пЗ (¿) и

п (¿) - преобразованные источники шума. Они являются нормированными гауссовыми источниками белого шума, причем для любого значения дискретной координаты ] источники пЗ1^) и nj2^(í) независимы: (п^(£) nj2^(í + т)) = 0.

В проведенных исследованиях численно интегрировались стохастические уравнения (3). Начальные условия выбирались случайным образом в окрестности нуля. По полученным достаточно длинным зависимостям амплитуд и фаз от времени строились стационарные распределения вероятности переменных хз (¿) = аз (¿) х х сов(£ + Фз(¿)) для некоторых выбранных элементов цепочки. Рассчитывались также распределения разности колебаний ] -го и первого элементов (хз- - х1), то есть при вычислении вероятностных характеристик восстанавливались исходные динамические переменные. Использование укороченных уравнений объясняется тем, что для одного отдельного генератора с параметрическим шумом амплитудно-фазовое приближение позволяет получить аналитическое выражения для стационарного распределения [11, 12]. Тогда результаты, полученные численно, для цепочки можно сравнивать с теоретическими результатами для отдельного генератора. Кроме того, в случае пространственно однородного шума (п^'2^) = п(1'2)(^), используя укороченные стохастические уравнения, можно аналитически получить условие устойчивости однородного решения аз = 0, которое соответствует отсутствию стохастических колебаний.

2. Возникновение стохастических колебаний и эволюция стационарного распределения в одиночном генераторе

Укороченные стохастические уравнения для отдельного генераторы имеют вид

а = 2 (е + § - а2 +

Ф = ^п

где п(1) (¿) и п(2)(£) - статистически независимые нормированные гауссовы источники белого шума. Очевидно, первое и второе уравнения системы (4) являются независимыми.

Устойчивость состояния равновесия генератора (х = 0, у = 0) легко проанализировать, используя линейное уравнение для малых отклонений амплитуды от нулевого значения а = 0

Р = р (е + В + ^Ви

Показатель Ляпунова для решения а = 0 есть средняя скорость экспоненциального изменения возмущения р

>»=«=( !Н (е+•

Таким образом, получаем условие устойчивости равновесия

2е <-В.

При 2е = —В происходит бифуркация, а при 2е > —В равновесие становится неустойчивым и возникают стохастические колебания. Они вызываются действием шума в подпороговом режиме и их следует отличать от автоколебаний, существующих при положительных значениях параметра е.

Воспользовавшись независимостью амплитуды и фазы колебаний в модели (4), легко получить аналитические выражения для стационарной плотности вероятности амплитуды и ограниченной фазы ф € [0, 2п], где ф = ф ± 2пк, к = 0,1, 2,...

р(а) = Ыа2а+1 ехр | — 2В | ,

2е

В'

Р(ф) = 2П,

где нормировочная константа

N =

! а2а+1 ехр | — у da _о

1

Рис. 1. Графики стационарного распределения переменной х, полученные с использованием аналитического результата (7) для Б = 0.05 и различных значений параметра е

Соответственно, переходя к переменным х и у = X, получаем аналитически выражение для распределение р

Р

где С = N/2^,. Стационарное распределение существует как в области стохастических колебаний при е < 0, В > —2е, так и в области автогенерации при е > 0, однако с изменением параметров е и В оно претерпевает качественные изменения, что позволяет говорить о феноменологических бифуркациях [10-12]. На рис. 1 приведены

а

графики стационарного распределения переменной х, полученные с использованием аналитического результата (7) и соотношения

те

р(х) = J р(х,у)йу.

— те

Интегрирование и расчет нормировочного множителя проводились численно.

3. Модель среды с пространственно однородным шумом

Рассмотрим, как влияет на среду пространственно однородный шум. В этом случае положим, что на каждый генератор в модели (1) действует один и тот же источник шума. Тогда в (3) имеем nj1'2^) = n(1'2)(t).

Для анализа устойчивости однородного решения aj = a0 = const, ф? = фо = = const запишем линейные уравнения для малых возмущений pj (t) = aj (t) — ao, % = Ф? — Фо- При условии, что нас интересует равновесие в нуле (a0 = 0), получаем

pj = pj [£ + D + ^Dn(1)(t)) + Y(pj+1 + pj—1 — 2p?),

% = Y

Используя пространственную периодичность системы (3), раскладываем возмущения по пространственным гармоникам:

m-1 nk

pj = Rk cos m(j — 1/2)' k=0

m— 1 ,

% = £>kcos —

^ m

k=0

где Rk, Фк - амплитуды пространственных гармоник. Подставляя (9) в (8), получаем уравнения для амплитуд гармоник

Rk = R^ (е + D — 4ysin2 - + VDn(1\t)) 2 2 m

Фk = —4YФk sin2 —.

m

Условия невозрастания возмущений есть

/ SRkk\ < о, /^\ < о. \dRk/- ' \SФk/-

Из (10) получаем

О пк

е <- —+4у 8т2 —, к = 0,1, 2,...т - 1.

2т

При увеличении параметра е первой начинает возрастать пространственно однородная компонента возмущения (к = 0). Таким образом, приходим к условию (5), которое соответствует условию устойчивости точки равновесия в одиночном генераторе.

р 1

3.0^

2.0 -j

£=-0.0075 -0.0025 +0.0225

1.0-=

Рис. 2. Графики стационарного распределения переменной хз, ] = 1, полученные численно для модели (3) в случае однородного шума с интенсивностью Б = 0.05 и различных значений параметра е

Р

При е > —В/2 численно строились распределения р(х^). Они совпадали для различных з с точностью до численных погрешностей, при этом разность колебаний двух генераторов (xj — хг) у порога генерации всегда оставалась вблизи нуля. Таким образом, стохастические колебания всех генераторов цепочки при однородном шуме полностью идентичны. Фазовая мульти-стабильность, которая может возникать в кольце идентичных автогенераторов [7,8] в области исследованных значений е не наблюдается. На рис. 2 приведены графики плотности вероятности р(х\), полученные в цепочке с пространственно однородным шумом при В = 0.05 и различных значениях е. При е > —В/2 с ростом е имеет место эволюция распределения p(xj), в результате которой резкий пик в окрестности нуля сменяется пологим максимумом. При е > 0 возникает бимодальное распределение, характерное для режима зашумленных квазигармонических автоколебаний.

Рассчитанные для цепочки (3) распределения количественно достаточно точно совпадают с теоретическими кривыми, полученными для одного генератора. Сравнение результатов приведено на рис. 3. Можно отметить, что в окрестности нуля координат имеется некоторое расхождение результатов, связанное, по-видимому, с недостаточностью длины реализации процесса Хj (¿), используемой при численном построении распределения.

3.0

2.0 -

1.0 Н

0 J

1 численный

I счет

1 ..... теория

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 х

Рис. 3. Сравнение стационарного распределения, полученного для первого генератора цепочки

4. Модель среды с пространственно неоднородным шумом

Рассмотрим модель среды (3) с пространственно неоднородным шумом. В этом случае на генераторы действуют идентичные по своим характеристикам, но статистически независимые случайные силы nj. В этом случае устойчивость равновесия в нуле координат исследовалась численно с использованием линеаризованных уравнений, задающих эволюцию возмущений амплитуд pj относительно нулевого решения а =

pj = у (е + В + ^Вп{-)(1]\ + + — 2pj), з = 1,2, ...т.

0.005 0.010 0.015 0.020

Рис. 4. Зависимость старшего ляпуновского показателя Х1 решения а^ = 0 от интенсивности шума Б, полученная при е = —0.01 в случае неоднородного шума

Теперь, в отличие от (8), каждое уравнение содержит независимый источник белого гауссова шума тпЗ1 (¿). Интенсивность всех источников полагается одинаковой и равной О. Зависимость от интенсивности шумов О старшего ляпуновского показателя А.1, характеризующего изменение длины вектора амплитудных возмущений во времени, приведена на рис. 4. Как можно видеть из представленных на рис. 4 графиков, в случае однородного шума старший ля-пуновский показатель решения аз = 0 (кривая 2) становится положительным в окрестности значения О = -2е, что соответствует теоретическим результатам. Некоторые колебания значения А.1 вблизи нуля, наблюдающиеся для случая однородного шума, объясняются численными погрешностями. Значительные погрешности возникают в результате того, что на каждый элемент среды действует одна и та же случайная сила, в результате чего случайная составляющая в поведении вектора возмущения оказывается более существенной, чем в случае неоднородного шума, когда воздействия на разные элементы некоррелированы. Для неоднородного шума решение аз = 0 становится неустойчивым раньше, при заметно меньшей интенсивности шума (кривая 1). Соответственно область стохастических колебаний в модели (3) в подпороговом режиме генерации будет в этом случае шире. Та же закономерность наблюдается и при других значениях параметра е.

При неоднородном шуме стохастические колебания различных элементов среды уже не будут идентичными. Типичный вид мгновенного пространственного распределения значений хз представлен на рис. 5, а. Так как источники шума пз(¿) некоррелированы, колебания различных генераторов имеют слабую взаимосвязь.

Рис. 5. Иллюстрация слабой пространственной взаимосвязи колебаний в среде с неоднородным шумом: а - мгновенное пространственное распределение значений х^ при у = 0.01, Б = 0.05 и е = 0.0225; б - зависимости коэффициента взаимной корреляции от параметра е при Б = 0.05 для элементов с номерами г = 1, ] =2

Рассмотрим коэффициент взаимной корреляции колебаний г-го и ] -го генераторов в один момент времени

= ((хг — (хг))(хз — {Хз ))) ^ л/((Хг -(Хг))2)((Хз — (Х3 ))2) '

Кг3 = У23 " , •

Угловые скобки (•••) означают усреднение по ансамблю реализаций, которое, в предположении эргодичности процессов хз (Ь), при проведении численных расчетов заменялось на усреднение по времени. Случаю Хг = хз соответствует максимальное значение коэффициента корреляции Егз = 1. Если хг и хз независимы, то Егз = 0. На рис. 5, б приведены зависимости коэффициента взаимной корреляции от параметра е двух соседних элементов (г = 1, ] = 2) и двух удаленных элементов (г = 1, ] = 50). Можно видеть, что даже для двух соседних элементов корреляция колебаний не слишком велика. Можно отметить тенденцию незначительного роста коэффициента К12 с увеличением е. Для удаленных генераторов (г = 1, ] = 50) корреляция еще меньше. При некоторых значениях е наблюдается антикорреляция (К\ 50 < 0), что соответствует различным знакам переменных Х1 и х50 . Тенденция к росту взаимной корреляции при увеличении е не наблюдается.

Численно были получены графики плотности вероятности р(хз) при различных значениях В и е, и выделена граница возникновения бимодального распределения. Примеры графиков распределения р(х1), полученных для цепочки с пространственно неоднородным шумом при В = 0-05 и различных значениях е, приведены на рис. 6, а. Можно отметить, что в случае пространственно неоднородного шума бимодальное распределение р(хз) наблюдается уже при слабо отрицательных значениях параметра е. Для других элементов цепочки распределения совпадают с р(х1) в пределах точности вычислений, однако разности колебаний двух генераторов (хз — Хг) отличны от нуля и имеют распределения, представленные на рис. 6, б. С ростом параметра е распределение разностных колебаний становится заметно шире, оставаясь при этом унимодальным с максимумом в начале координат.

На рис. 7 приведены графики спектральной плотности мощности колебаний первого генератора х1(Ь), рассчитанные для модели (3) в случае однородного и неоднородного шума. Как в режиме чисто стохастических колебаний (рис. 7, а), так и в режиме зашумленной генерации (рис. 7, б) спектры имеют одну и ту же форму. С ростом параметра е мощность всех спектральных компонент возрастает. Можно отметить, что спектры, полученные в случае неоднородного и однородного шума,

Рис. 6. Графики стационарного распределения переменной х^, ] = 1 (а) и (х^ — Хг), ] = 1, г = 50 (б), полученные численно для модели (3) в случае неоднородного шума с интенсивностью Б = 0.05 и различных значений параметра е

Рис. 7. Спектры мощности колебаний х1(Ь), рассчитанные с использованием модели (3) при е = —0.015 (а) и е = 0.0225 (б). Спектры даны в логарифмическом представлении и не нормированы (для удобства сравнения). Интенсивность шума фиксировалась Б = 0.05

почти не отличаются друг от друга. Заметно лишь, что для модели с неоднородным шумом спектральная линия на частоте генерации выглядит чуть-чуть уже, а пьедестал спектра расположен чуть-чуть ниже. Однако эти различия очень незначительны. Таким образом, вероятностные распределения оказываются наиболее чувствительным инструментом в диагностике различий поведения модели среды с различным типом шума.

Границы областей различных режимов в модели среды (3) при однородном и неоднородном шуме приведены нарис. 8.

0.08

: \ Стохастические ^ \ колебания "У

ГхV' \ \ ч \ ч \  ч N ч - Устойчивая \ 1 \ > Зашумленные автоколебания

> \ > 1 Х-3

\ * \ 1 ч \ \

неподвижная точка

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 е

Рис. 8. Границы областей различных режимов в модели среды (3) при однородном и неоднородном шуме: линии 1 и 2 - границы возникновения стохастических колебаний, линии 3 и 4 - границы возникновения бимодального распределения для однородного и неоднородного шума, соответственно

Выводы

Проведенные исследования показали, что эффекты, связанные с влиянием параметрического шума на автоколебательную среду, у порога генерации в целом аналогичны эффектам, наблюдаемым в конечномерном генераторе, являющимся элементом среды. С ростом управляющего параметра при фиксированном уровне шума сначала наблюдается стохастическая бифуркация, в результате которой состояние равновесия в начале координат перестает быть устойчивым и возникают стохастические колебания, затем происходит качественное изменение характера вероятностного распределения колебаний, связанное с возникновением автоколебательного режима. Имеется заметное различие в поведении модели среды в случае пространственно однородного и неоднородного шума. В случае однородного шума границы возникновения стохастических колебаний и режима зашумленной автогенерации соответствуют бифуркациям в отдельно взятом генераторе. В случае неоднородного шума граница возникновения стохастических колебаний смещается в сторону меньших

значений параметра возбуждения и область стохастических колебаний расширяется. Возникновение бимодального распределения p(xj), с которым обычно связывают переход к режиму генерации, в случае неоднородного шума также происходит раньше и наблюдается уже при отрицательных значениях параметра генерации е. Однако утверждать, что бимодальное распределение p(xj) однозначно связано с режимом генерации и, что таким образом неоднородный шум приводит к переходу автоколебательной среды в режим генерации уже при отрицательных значениях е, на наш взгляд, было бы преждевременно. Здесь возможны численные ошибки, которые особенно значительны при расчете плотности вероятности в окрестности нуля. Кроме того, для более обоснованных утверждений требуется рассчитывать совместные плотности вероятностей двух переменных Xj и yj, что существенно сложнее. Таким образом, вопрос о границе автоколебательного режима остается открытым и требует дальнейших исследований.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, гос. контракты № 14.740.11.0074 и 14.B37.21.0751.

Библиографический список

1. Garcia-Ojalvo J., Sancho J.M. Noise in spatially extended systems. New York: Springer, 1999.

2. Neiman A., Schimansky-Geier L., Cornell-Bell A., Moss F. Noise-enhanced phase synchronization in excitable media // Phys.Rev.Lett. 1999. Vol. 83, № 23. P. 4896.

3. Hu B., Zhou Ch. Phase synchronization in coupled nonidentical excitable systems and array-enhanced coherence resonance // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61, № 2. P. R1001(1-4).

4. Lindner J.F., Chandramouli S., Bulsara A.R., Locher M., Ditto W.L. Noise enhanced propagation // Phys.Rev.Lett. Vol.81(23). P. 5048.

5. Vadivasova T.E, Strelkova G.I, Anishchenko VS. Phase-frequency synchronization in a chain of periodic oscillators in the presence of noise and harmonic forcings // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. P. 036225(1-8).

6. Anishchenko VS., Akopov A.A., Vadivasova T.E., Strelkova G.I. Mechanisms of chaos onset in an inhomogeneous medium under cluster synchronization destruction // New Journal of Physics. 2006. Vol. 8. P. 84(1-11).

7. Shabunin A.V., Feudel U., Astakhov V.V. Phase multistability and phase synchronization in an array of locally coupled period-doubling oscillators // Physical Review E. 2009. Vol. 80, № 2. P. 026211.

8. Слепнев А.В., Вадивасова Т.Е. Бифуркации удвоения периода и эффекты шумового воздействия в мультистабильной автоколебательной среде // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19, № 4. С. 53.

9. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987.

10. Arnold L. Random dynamical systems. Chapter 9. Bifurcation theory. Spriger, 2003.

11. Arnold L., Sri Namachchivaya N., Schenk-Hoppe K.R. Toward an undestanding of

stochastic Hopf bifurcation: A case study // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6. P. 1947.

12. Вадивасова Т.Е., Анищенко В.С. Стохастические бифуркации // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17, № 5. С. 3.

Саратовский госуниверситет Поступила в редакцию 8.02.2012

им. Н.Г. Чернышевского После доработки 5.09.2012

THE STUDIES OF THE ARISING OF OSCILLATIONS IN THE QUASI-HARMONIC MODEL OF THE SELF-SUSTAINED OSCILLATORY MEDIUM UNDER MULTIPLICATIVE NOISE EXCITATION

T. E. Vadivasova, A. V. Slepnev

The multiplicative noise influence on the self-sustained oscillatory medium near the oscillation threshold is studied. The chain of the identical quasi-harmonic self-sustained oscillators with the periodic boundary conditions is taken as a simplest model of the oscillatory medium. The parameters of the oscillators are modulated with the white Gaussian noise. The stochastic bifurcations are analyzed for the cases of homogenous and spatially-nonhomogenous noise.

Keywords: Self-oscillatory medium, quasi-harmonic approximation, stochastic bifurcation, noise influence.

Вадивасова Татьяна Евгеньевна - родилась в 1958 году. Окончила физический факультет Саратовского государственного университета (1981), доктор физико-математических наук. В настоящее время - профессор кафедры радиофизики и нелинейной динамики физического факультета СГУ. Научные интересы сосредоточены в области нелинейной динамики: эффекты синхронизации в ансамблях хаотических осцилляторов, явление фазовой мультистабильности взаимодействующих хаотических систем, свойства различных типов нерегулярных аттракторов, статистические характеристики динамического хаоса, роль флуктуаций в нелинейных системах и др. Автор более 60 публикаций в отечественной и зарубежной печати, включая 3 монографии. 410012 Саратов, Астраханская, 83

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: vadivasovate@yandex.ru

Слепнев Андрей Вячеславович - родился в 1987 году в Саратове, окончил физический факультет Саратовского государственного университета по специальности «радиофизика и электроника» (2009). В 2011 году получил в СГУ степень магистра физики по направлению «Физика». Аспирант кафедры радиофизики и нелинейной динамики. Научные интересы: динамика распределенных систем, пространственные структуры, влияние случайного воздействия на динамику нелинейных систем.

410012 Саратов, ул. Астраханская, 83

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: a.v.slepnev@gmail.com