Замкнутые вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 2. С. 107-112.

УДК 543.123

И.В. Тихомиров, К.Н. Югай

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ЗАМКНУТЫЕ ВИХРИ АБРИКОСОВА В СВЕРХПРОВОДНИКАХ ВТОРОГО РОДА

В настоящей работе исследуются статические и динамические свойства замкнутого вихря Абрикосова. Рассматривается взаимодействие замкнутых вихрей с линейными вихрями. Исследуется состояние сверхпроводника второго рода, содержащего в себе замкнутые вихри в области температур близких к Тс.

Ключевые слова: линейные вихри Абрикосова, замкнутые вихри Абрикосова, сверхпроводимость, сверхпроводник второго рода, магнитная фазовая диаграмма сверхпроводника второго рода.

В последние годы область применимости сверхпроводников второго рода существенно расширилась, что связано с возможностью их применения в современной электронике и энергетике. В связи с этим усилились и исследования смешанного состояния сверхпроводников второго рода. Токонесущие и магнитные характеристики таких сверхпроводников, определяющие перспективы их практического использования, в значительной степени зависят от наличия в образцах вихрей и их взаимодействия с пространственными неоднородностями материала.

Открытие новых высокотемпературных сверхпроводников показало, что они относятся к сверхпроводникам второго рода. Известно, что высокотемпературные сверхпроводящие (ВТСП) материалы обладают высокой степенью анизотропии. В отличие от большинства сверхпроводников, в ВТСП тепловыми флуктуациями вблизи фазового перехода пренебрегать нельзя. До сих пор не создано последовательной теории фазового перехода в магнитном поле, которая бы учитывала все флуктуационные эффекты, возникающие в этой области. Образование замкнутых вихрей Абрикосова относится к эффектам такого рода.

Замкнутые вихри начинают влиять на сверхпроводящие свойства при значительно меньшей температуре, чем температура, при которой сверхпроводимость разрушается чисто флуктуационным образом. Немаловажно изучение взаимодействия замкнутых вихрей с линейными вихрями, изучение процессов рождения и уничтожения замкнутых вихрей. В совокупности с линейными вихрями замкнутые вихри активно участвуют в процессе разрушения сверхпроводимости, а также влияют на магнитные свойства сверхпроводника. Всё это позволяет утверждать, что замкнутый вихрь Абрикосова является не менее важным объектом исследования, чем линейный вихрь, описание которого широко распространено в литературе.

© И.В. Тихомиров, К.Н. Югай, 2009

Замкнутый вихрь представляет собой вихревую нить, в которой силовые линии магнитного поля замкнуты. Подобные одиночные вихревые структуры рассматривались ранее в работах [1-4]. Для упрощения расчетов предполагается, что магнитное поле имеет форму кольца - кольцевой вихрь. С магнитным полем одиночного замкнутого вихря взаимнооднозначно связаны круговые сверхпроводящие токи (рис. 1).

Рис. 1. Магнитное поле H , плотность тока jS и радиус замкнутого вихря RS

Радиус нормальной сердцевины замкнутого вихря, как и в случае линейных вихрей, порядка £ - длины когерентности теории Гинзбурга-Ландау. Магнитное поле и сверхпроводящие токи охватывают область вокруг нормальной сердцевины порядка Л - глубины проникновения магнитного поля. Распределение магнитного поля замкнутого вихря определяется из решения стационарного уравнения Гинзбурга-Ландау, записанного в лондонов-ском приближении

- - Ф

H + Л rot rot H = —0 rot V9.

2n

Распределение магнитного поля одиночного замкнутого вихря в общей форме может быть записано в виде

H

2Я 0 Vi+q2

Здесь р = г/ X, ^ = z/X , р5 = Я8 /X, где г, z - цилиндрические координаты, плоскость z = 0 совпадает с плоскостью кольца, магнитное поле имеет только азимутальную компоненту, (рц) - функция

Бесселя первого рода. Таким образом, магнитное поле вихря обладает симметри-

ей относительно оси Z и для произвольного азимутального угла р выполняется

соотношение Ну (р + 2п) = Ну (р). Магнитный поток, содержащийся в замкнутом вихре, определяется выражением

ф v =ф 0(i -psKi p)\

где К - модифицированная функция Ганкеля.

Замкнутый вихрь содержит в себе квант потока только при достаточно больших радиусах. Это связано с тем, что структура замкнутого вихря с большим радиусом близка к структуре линейного вихря. Магнитный поток вихря при малых радиусах гораздо меньше кванта потока Ф0. Энергия замкнутого вихря равна

w =£l = ф 0 Hv ,0) l,

v 8п

где Ь = 2лК5 , Иу (р5,0) - поле в сердцевине вихря. Время жизни одиночного замкнутого вихря будет определяться начальным радиусом вихря.

Тепловой механизм образования замкнутых вихрей, а именно образование замкнутого вихря в результате действия сильной токовой флуктуации, представлен на рисунке 2.

Рис. 2. Образование замкнутого вихря из токовой флуктуации

Полный ток, соответствующий замкнутому вихрю, будет равен току, проходящему через внутреннее отверстие кольца

Iv = C-RHv

Сравнивая полный ток замкнутого вихря с током флуктуации, можно получить условие образования замкнутого вихря и тем самым рассчитать темпера-

туру, соответствующую началу генерации замкнутых вихрей:

Т =

Ср

2 + г

где С - безразмерная константа, определяемая свойствами сверхпроводника. Полученное значение температуры лежит вблизи ТС.

Кроме этого, в сверхпроводнике существует механизм образования замкнутых вихрей из линейных вихрей. При достаточно сильном внешнем магнитном поле в сверхпроводнике одновременно могут присутствовать и замкнутые, и линейные вихри. Линейные вихри поддерживаются внешним магнитным полем, а замкнутые вихри разрушаются и появляются снова, так что их среднее число остается постоянным при заданной температуре [5]. Тепловые флуктуации приводят к искажению формы линейного вихря. Увеличение длины вихря энергетически не выгодно, поэтому вихрь стремится сжаться до первоначального размера, определяемого

толщиной образца. Однако если изгиб будет достаточно большим, кольцевые токи противоположных сторон изгиба будут взаимодействовать, что приведет к появлению дополнительной энергии. Конкуренция этих энергий приведет к тому, что изгиб не «разгладится», а замкнется в кольцо, радиус которого определится радиусом закругления изгиба (рис. 3).

Рис. 3. Образование замкнутого вихря из линейного вихря

Замкнутый вихрь, образованный таким образом, будет абсолютно идентичен замкнутому вихрю, образовавшемуся в результате сильной токовой флуктуации. Но при этом вероятность рождения замкнутого вихря из линейного будет зависеть

от числа линейных вихрей в сверхпроводнике, а значит, и от величины внешнего магнитного поля.

С повышением температуры энергетический вклад замкнутых вихрей в полную энергию сверхпроводника растет, пока не достигнет своего максимума. Дальнейшее увеличение температуры сверхпроводника приводит к тому, что число замкнутых вихрей сокращается, это связано с флуктуационным разрушением сверхпроводимости в области температур, лежащей вблизи ТС . В данной области

замкнутые вихри как явление, присущее только сверхпроводимости, существовать не могут.

Для исследования основных динамических свойств замкнутых вихрей рассмотрим нестационарное уравнение Гинзбурга-Ландау, полученное обобщением уравнения Гинзбурга-Ландау для слабонеравновесной ситуации, когда параметр порядка не совпадает со своим равновесным значением. В этом случае вариация функционала Гинзбурга-Ландау (далее -ГЛ) не равна нулю и определяет скорость возвращения величины параметра порядка к равновесному значению

-уд^ = о№ + р\М2 Т + —

д / 4т ^ с )

где у имеет смысл кинетического коэффициента, / - комплексная функция

трех координат и времени. Далее, для упрощения расчётов нормируется параметр порядка и векторный потенциал:

а - а ф

в

Ао

—о =

2жЕ,

Также вводятся безразмерные координаты и время:

х е й2 ' '

Х ^, Ь =---------Т-Т

Ь 4т а

/0

7

„г'Ф

Т—’ 1<Ф

порядка представляется в виде / = гв а также вводятся обозначения V = УФ — А и п = Г2. В итоге нестацио-

нарное уравнение ГЛ примет вид

дп (^п)2 2 - 2

— = Ап --—— + 2п - 2п - 2пУ дї 2п

дУ

дї

= V

Лу

п

где п имеет смысл концентрации сверхпроводящих носителей тока, а V - их скорости.

Эта система представляет собой четыре нелинейных дифференциальных уравнения и должна быть дополнена начальными и граничными условиями, которые определяются характеристиками конкретной задачи. В общем случае данное уравнение не поддается аналитическому решению, поэтому решение находилось численным интегрированием. Задавая цикл по времени, мы наблюдали распределение концентрации сверхпроводящих носителей тока в пространстве и времени. С течением времени концентрация стала уменьшаться на оси кольца, т. е. в сверхпроводнике появилась область в форме тора с пониженным содержанием сверхпроводящих носителей. Подобные вихревые решения наблюдались при решении нелинейного уравнения Шрёдингера, описывающего сверхтекучую жидкость [6; 7].

В сверхпроводнике между линейными и замкнутыми вихрями существует взаимодействие. Оно проявляется, когда вихри сближаются на расстояние, достаточное для перекрывания их сверхпроводящих токов, т. е. до величины глубины проникновения магнитного поля Л. При этом между вихрями появляются взаимные силы, которые изменяют их положение друг относительно друга. Энергия их взаимодействия определяется следующим выражением:

к 2п Л

где индексы 1 и 2 принадлежат замкнутому и линейному вихрю соответственно. В первом интеграле интегрирование производится по координате 22, направленной вдоль линейного вихря, во втором интеграле интегрирование производится по координате (р1, направленной вдоль керна замкнутого вихря. Это выражение можно использовать для нахождения энергии взаимодействия между замкнутым и линейным вихрями при любом их взаимном расположении. Поскольку линейный вихрь связан с внешним магнитным полем, то его положение фиксировано относительно решётки вихрей, т. е. и относительно сверхпроводника в целом. Распо-

ложение замкнутого вихря относительно линейного можно задать тремя геометрическими параметрами: расстоянием до линейного вихря и двумя углами, характеризующими вращение замкнутого вихря в пространстве относительно осей, перпендикулярной и параллельной линейному вихрю. Вариация энергии взаимодействия по углам вращения показывает, что вихрь будет стремиться развернуться в одно определённое положение, которое будет являться устойчивым. При этом магнитное поле ближнего плеча замкнутого вихря и магнитное поле линейного вихря будут параллельны и противоположно направлены. Противоположное положение, когда магнитное поле ближнего плеча замкнутого вихря и магнитное поле линейного вихря параллельны и сонаправ-лены, является неустойчивым.

Варьирование по параметру, характеризующему расстояние между вихрями, показывает, что замкнутый вихрь, развернувшись в положение, определяемое его вращением, будет притягиваться к линейному вихрю. Энергия взаимодействия отрицательна, и поглощение замкнутого вихря линейным вихрем термодинамически менее выгодно, чем состояние, в котором замкнутый вихрь находится вблизи линейного, но не поглощается им. Между этими состояниями находится энергетический барьер, по величине равный максимуму энергии взаимодействия между вихрями. В результате замкнутые вихри, появляясь в сверхпроводнике, будут сближаться с линейными, прилипая к ним и образуя «гроздья» (рис. 4).

Общая картина сверхпроводника, находящегося во внешнем магнитном поле выше ИС1 и имеющего температуру близкую к ТС , выглядит следующим образом: в

сверхпроводнике помимо решётки линейных вихрей присутствуют замкнутые вихри, которые под действием флуктуаций появляются в сверхпроводнике. За время своего существования замкнутый вихрь разворачивается определённым образом относительно решётки линейных вихрей так, чтобы направление магнитного поля ближнего плеча замкнутого вихря было параллельно и направлено против направления магнитного поля линейных вихрей. Развернувшись подобным образом, замкнутый вихрь притягивается к одному из

линейных вихрей, находящихся поблизости. Прилипая к линейным вихрям, замкнутые вихри колеблются под действием тепловых флуктуаций, при этом их энергетическая неустойчивость приводит к постепенному уменьшению их радиуса вплоть до полного уничтожения (коллапса). Но в то же время под действием тепловых флуктуаций появляются новые вихри, так что среднее число замкнутых вихрей в сверхпроводнике остается постоянным.

о

О О о о о

о 0 О о Сі

о О

о

о о 0 о

о о

Рис. 4. Общая картина взаимодействия замкнутых и линейных вихрей

При приближении к критической температуре сверхпроводника число замкнутых вихрей увеличивается, а значит, увеличивается вклад замкнутых вихрей в термодинамические величины, описывающие сверхпроводник. Вероятность образования замкнутого вихря определяется вероятностью флуктуационного появления разрыва длины ^ на линейном вихре. То есть для образования замкнутого вихря необходимо затратить энергию, по крайней мере, превышающую величину энергии £0^. Увеличение внешнего магнитного поля Н0 приводит к возрастанию числа

линейных вихрей, а значит, и к увеличению общей длины, на которой могут образовываться замкнутые вихри, т. е. общее число замкнутых вихрей будет зависеть от внешнего магнитного поля. Механизм генерации замкнутых вихрей «включается» при определённой температуре Ть, когда

теплоемкость, обусловленная замкнутыми вихрями, обращается в ноль, и имеет положительные (физичные) значения при Т > Ть и расходится при Т ^ Тс (рис. 5).

Температура Ть зависит от внешнего магнитного поля, причем увеличение поля приводит к уменьшению Ть и, следова-

тельно, к расширению области существования замкнутых вихрей.

Для сверхпроводящих параметров ВТСП фазовая кривая, определяющая область существования замкнутых вихрей на магнитной фазовой диаграмме, определяется следующим выражением:

Нь

где показатель степени V ~ 1. В экспериментальных работах [8-10] исследовались зависимости сопротивления слоистого ВТСП соединения от температуры и внешнего магнитного поля, при этом наблюдался фазовый переход, происходящий при температуре, лежащей вблизи Тс , соответствующей данному слоистому

соединению. Зависимость (10) и данные экспериментальных работ оказались близкими друг к другу (рис. 6). Это позволяет нам сделать вывод о том, что фазовый переход, полученный в эксперименте, связан с генерацией в системе замкнутых вихрей Абрикосова.

0.9

0.8

0.7

0.6

/№7

ТЬ!ТС

Сг(Т)\

0  Л о \ Су> о

0.1 0,2 0.3 0,4 0,5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Т1ТС

Рис. 5. Температурные зависимости свободной энергии и теплоемкости сверхпроводника, содержащего замкнутые вихри

\/гс

Рис. 6. Зависимость магнитного поля от температуры фазового перехода Сравнение зависимости

В итоге можно заключить, что при температурах, близких к критической, замкнутые вихри вносят вклад в свободную энергию и теплоемкость сверхпроводника, участвуя в процессе разрушения сверхпроводимости. Само появление замкнутых вихрей можно рассматривать как появление новой степени свободы и новой фазы сверхпроводимости, которая характеризуется наличием замкнутых вихрей. При этом температура, соответствующая фазовому переходу, наблюдаемому экспериментально, совпадает с температурой, при которой начинается процесс генерации замкнутых вихрей. Таким образом, замкнутые вихри участвуют практически во всех основных процессах, происходящих в сверхпроводниках второго рода [11]. Поэтому они являются не менее важным объектом исследования, чем линейные вихри, широко рассматриваемые в литературе.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Козлов В.А., Самохвалов А.В. Замкнутые вихри

Абрикосова в сверхпроводниках второго рода // Письма в ЖЭТФ. 1991. Т. 53. С. 150-153.

[2] Kozlov V.A., Samokhvalov A.V. Closed Abrikosov

vortices in a superconducting cylinder // Physica C. 1993. V. 213. P. 103.

[3] Kozlov V.A., Samokhvalov A.V. Stabilization of Toroidal Abrikosov Vortex in a Nonuniform Superconductor // Journal of Superconductivity. 1993. V. 6. № 2. P. 63.

[4] Samokhvalov A.V. Expanding vortex rings in a cur-

rent-carrying superconducting cylinder // Physica C. 1998. V. 308. P. 74.

[5] Tesanovic Z. Extreme type-II superconductors in a

magnetic field: A theory of critical fluctuations // Physical Review B. 1999. V. 59. № 9. P. 6449.

[6] Koplik J., Levine H. Vortex reconnection in super-

fluid helium // Physical Review Letters. 1993. V. 71. № 9. P. 1375.

[7] Koplik J., Levine H. Scattering of Superfluid Vortex

Rings // Physical Review Letters. 1996. V. 76. № 25. P. 4745.

[8] Kwok W.K., Fleshler S., Welp U, Vinokur V. M. et

al. Vortex lattice melting in untwinned and twinned

single crystals of YBa2Cu3O7 S // Physical Review Letters. 1992. V. 69. № 23. P. 3370.

[9] Safar H., Gammel P.L., Huse D.A., Bishop D. J.

Experimental evidence for a first-order vortex-lattice-melting transition in untwinned, single crystal YBa2Cu3O7 // Physical Review Letters. 1992.

V. 69. № 5. P. 824.

[10] Farrell D.E., Rice J.P., Ginsberg D.M. Experimental evidence for flux-lattice melting // Physical Review Letters. 1991. V. 67. № 9. P. 1165.

[11] Тихомиров И.В., Югай К.Н. Динамика замкнутых вихрей Абрикосова в сверхпроводниках II рода // Вестник НГУ. Серия: Физика. 2008. Т. 3. Вып. 1. С. 105.