Устранение катастрофы Мосотти с позиций системного подхода

БИОЛОГИЧЕСКИЕ НАУКИ И ФИЗИКА

УДК 519.713 ББК 22.379

Еремин Илья Евгеньевич

кандидат физико-математических наук кафедра информационных и управляющих систем Амурский государственный университет г. Благовещенск Еремина Виктория Владимировна кандидат физико-математических наук кафедра информационных и управляющих систем Амурский государственный университет г. Благовещенск Ланина Светлана Юрьевна кандидат физико-математических наук кафедра математического анализа Благовещенский государственный педагогический университет

г. Благовещенск Eremin Ilya Evgenievich Candidate of Physics and Mathematics Assistant Professor Chair of Information and Controlling Systems Amur State University Blagoveshchensk Eremina Viktoriya Vladimirovna Candidate of Physics and Mathematics Assistant Professor Chair of Information and Controlling Systems Amur State University Blagoveshchensk Lanina Svetlana Yurievna Candidate of Physics and Mathematics Chair of Information and Controlling Systems Blagoveshchensk State Pedagogical University Blagoveshchensk

Устранение катастрофы Мосотти с позиций системного подхода Mosotti Accident Removal within Systematic Approach

В статье показано, что действительная причина негативных вычислительных свойств формулы диэлектрической проницаемости Клаузиуса-Мосотти вызвана искажением причинно-следственных связей, имеющим место при традиционном описании напряженности локального поля Лорентца. Предложено альтернативное уравнение, полученное в рамках использования методологии технической кибернетики, которое исключает данное обстоятельство.

The article reveals that the real cause of negative computing properties of Klauziusa-Mosotti dielectric permeability formula is caused by the distortion of causal-sequential links taking place at the traditional description of Lorentz’s local field intensity. The alternative equation received within the use of technical cybernetics methodology excluding the given circumstance is offered.

Ключевые слова: модель диалектической проницаемости.

Key words: dielectric permeability model.

Введение

Как известно, способность диэлектрика ослаблять приложенное к нему электрическое поле, открытая Фарадеем в первой половине XIX в., является обусловленной смещением заряженных частиц, составляющих любой материал на микроскопическом уровне. Результат такого вынужденного перераспределения зарядов приводит к индукции внутри поляризованного образца огромного количества микрополей, совокупность которых и создает дополнительное (деполяризующее) электрическое поле, направленное навстречу внешнему воздействию. Следовательно, макроскопические характеристики материала - такие как оптические показатели преломления n и поглощения х падающего на него светового излучения, изначально определяемые комплексной диэлектрической проницаемостью образца - обусловливаются его суммарной поляризованно-стью P, складывающейся из микроскопических поляризуемостей частиц, а также концентраций в единице объема. Например, оптический показатель преломления отображает, во сколько раз уменьшается скорость света при прохождении через исследуемый образец по отношению к его скорости в вакууме. При этом из уравнений Максвелла следует, что квадрат этой величины равен произведению относительной магнитной и диэлектрической проницаемости материала.

В свою очередь, относительная диэлектрическая проницаемость £ показывает, во сколько раз уменьшается напряженность Е электрического поля, эффективно действующего внутри поляризованного диэлектрика, по отношению к напряженности Е0 приложенного к нему внешнего поля. Под поляризуемостью а отдельной частицы понимается пропорциональность ее соответствующего

дипольного момента ^, индуцированного напряженностью эффективного электрического поля. Является бесспорным, что адекватное научное обоснование, а также эффективное математическое описание причинно-следственных отношений между упомянутыми физическими понятиями должно рассматриваться в качестве мощного инструмента познания природы окружающего нас мира.

Традиционные модели внутреннего поля

При рассмотрении механизмов формирования электрического поля, эффективно действующего внутри поляризованного образца, в рамках классической физики диэлектриков обычно используется целый ряд существенно различающихся трактовок, позволяющих численно выразить величину его напряженности в сильно разряженных (газообразных), а также конденсированных (кристаллических или жидких) средах.

Исторически первой попыткой описать величину электрического поля, действующего внутри поляризованного диэлектрического материала, является модель среднего макроскопического поля, базирующаяся на следующих теоретических предпосылках. А именно, в ее рамках предполагается, что диэлектрик, введенный внутрь вакуумного конденсатора, увеличивает его емкость посредством нейтрализации части зарядов, расположенных на внешних металлических обкладках. Таким образом, вытекающая макроскопическая картина деполяризующего поля может быть охарактеризована поверхностной плотностью зарядов, индуцированных приложенным к образцу электрическим полем. При этом общее поляризованное состояние материала будет представлять собой результат совместного действия наведенных дипольных цепочек, связывающих своими концами разноименные заряды на обкладках конденсатора.

Следовательно, в рамках рассматриваемой модели напряженность Еср среднего макроскопического электрического поля, эффективно действующего в поляризованном образце, оказывается равной разности напряженности внешнего поля и величины поля, вызванного общей поляризацией материала:

Р

Е = Еяд = Е0--,

Во

где е0 - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Приведенное выражение позволяет получить соотношение вида:

Е к Е к

Ед = вЕд-------Г аД. ^ Ед = --—ГаД.

В 0 . =1 В о

В свою очередь, преобразование выше приведенной математической записи, выполняемое при условии Е = Еср, дает возможность прямого вывода старейшего из уравнений диэлектрической проницаемости, называемого формулой Борна:

1 к

в=1+—Га д.

в о .=1

Необходимо отметить, что данное выражение, также как и другие анало-

гичные формулировки, традиционно используется для проведения теоретических расчетов поляризационных спектров тех или иных материалов. При этом свойственные им статичные значения поляризуемостей частиц просто заменяются соответствующими комплексными функциями. Например, сформированное подобным образом уравнение комплексной диэлектрической проницаемости Друде, напрямую вытекающее из формулы (3), имеет вид:

1к

вс/ю)=1+—Га, о;» Д,.

в о ,=1

Проанализируем вычислительные особенности разбираемых математических моделей. При этом для обеспечения наглядности результатов их оценки введем в рассмотрение некоторый параметр Р , характеризующий поляризо-ванность диэлектрического метафизического образца, изменяющуюся в определенном диапазоне положительных значений:

Р' = Г а,Д.

,=1

Естественно, что при использовании введенного параметра статичная формула Борна (2.7) примет вид следующей функциональной зависимости:

в( Р *) = 1 + — Р *.

Во

Типовой математический анализ общих свойств функции типа (6) показывает, что она является непрерывно возрастающей и положительной при любых значениях своего аргумента. Оценивания выявленное обстоятельство с качественной точки зрения, можно уверенно констатировать абсолютно правильное отражение формулой Борна физически наблюдаемого факта увеличения диэлектрической проницаемости материалов, происходящего при росте суммарной поляризуемости их частиц, что является бесспорным преимуществом классических уравнений вида (3) и (4). Однако практическое применение данных уравнений для практических расчетов поляризационных характеристик дает результаты, существенно отличающиеся от экспериментально измеряемых спектров конденсированных сред с количественной точки зрения. Сложившаяся негативная ситуация, как правило, связывается с тем, что общая картина механизмов поляризации диэлектрика, находящегося в жидком или твердом агрегатном состоянии, разбираемая на микроскопическом уровне, принципиально исключает возможность адекватного изображения такого материала в качестве непрерывной среды.

Кроме того, учет атомно-электронного строения обусловливает первоочередность рассмотрения взаимодействия каждой частицы поляризованного образца с наведенными полями окружающих ее диполей. В свою очередь, детализация линейной структуры микрополей, образуемых элементами дипольных цепочек, позволяет прийти к выводу, что поляризованное состояние ближайшего окружения молекул, произвольно выделенных в плотных диэлектрических средах, не только ослабляет, но и частично усиливает действующее на нее эффективное электрическое поле.

Фундаментальная теоретическая модель, позволяющая выделить упомянутую составляющую, впервые была разработана Лорентцем в середине XIX в. Ее базовая предпосылка основывается на возможности локализации молекулы, произвольно выбранной внутри поляризованного диэлектрика, воображаемой

микроскопической сферой, радиус которой не должен превышать нескольких десятков его межъядерных расстояний. При этом Лорентцем было предложено полагать, что все частицы, за исключением рассматриваемой, оказавшиеся внутри вводимой им локализующей сферы, могут быть мысленно изъяты из нее без какого-либо принципиального нарушения общего поляризованного состояния образца. Таким образом, результирующую величину электрического поля, эффективно действующего в любой точке поляризованного конденсированного образца и рассматриваемую в рамках разбираемой теоретической модели, можно выразить напряженностью Елок локального поля Лорентца.

Следовательно, напряженность эффективного электрического поля, оказывается возможным представить, как результат суперпозиции величины среднего макроскопического поля, а также суммарной напряженности дополнительного ряда полей, создаваемых, с одной стороны, поляризованной поверхностью локализующей сферы, с другой стороны, поляризованными молекулами, оказавшимися внутри нее:

здесь Е1 - напряженность поля, обусловленного выходами дипольных цепочек на поверхность локализующей сферы со стороны основной части образца; Е2 -напряженность поля, образованного молекулами внутри сферы.

Основным достоинством рассматриваемой модели является возможность оценивать основную составляющих эффективного поля, а именно слагаемые Еср и Е1, с макроскопической точки зрения, что существенно упрощает методику расчета его напряженности. При этом величина поля, образованного поляризованной сферой, является эквивалентной результирующему вкладу деполяризующих микрополей и рассчитывается посредством интегрирования плотности ее поверхностного заряда. Таким образом, напряженность Е1 оказывается равной:

Е еіе — Епд + Е1 + Е 2 ,

Достаточно очевидно, что практические расчеты напряженности поля, создаваемого частицами внутри сферы, требуют точных сведений о взаимном расположении молекул в ближних порядках конкретного диэлектрика и самым естественным образом вызывают существенные затруднения. Для выхода из сложившейся ситуации Мосотти предложил полагать:

Е 2 = °.

Необходимо отметить, что данное приближение чаще всего считается полностью приемлемым только для диэлектрических сред, молекулярная структура которых обуславливает подавление полей наведенных диполей за счет их взаимной симметричности или же ее абсолютного беспорядка.

Подстановка в векторную сумму (7) ее слагаемых видов (2), (8) и (9) дает соотношение:

Е к Е к

Ет =—, ТгЕа Д, Га Д.

в о

Достаточно простое преобразование представленной записи, выполненное при условии Е = Елок, приводит к выводу еще одного уравнения диэлектрической проницаемости, называемого формулой Клаузиуса-Мосотти:

в-1 1 к Ш

-----=---/ аД,.

в + 2 3в о ,=1

В свою очередь, прямая замена скалярных значений а, на их комплексные аналоги дает уравнение комплексной диэлектрической проницаемости Лоренц-Лорентца:

в(ую) -1 1 к /  ЧЛГ

(  ) + 2 = / а, (Ую)Д.

в

Проанализируем вычислительные особенности разбираемых математиче-

*

ских моделей. Для чего, используя ранее введенный параметр Р , представим уравнение (2.15) в виде эквивалентной функциональной зависимости:

.. 1 + 2Р*/3в0 1 Р */вп

в(Р ) =----------= 1 + - *, .

1 - Р /3в0 1 - Р /3в0

Математический анализ общих свойств функции типа (13), показывает, что она является возрастающей, но терпящей разрыв второго рода при асимптоти*

ческом условии Р = 3в0. Таким образом, приняв во внимание структуру разбираемого выражения, можно прийти к выводу, что формула Клаузиуса-Мосотти, оказывается практически приемлемой только при рассмотрении материалов, текущая поляризованность которых не превышает 3во. Данное, хорошо известное обстоятельство носит название «4^ катастрофы» или «катастрофы Мосот-ти», поскольку вызывающая его причина традиционно объясняется неадекватностью приближения (9) реальному состоянию активно поляризуемых сред.

Общепринятые методы устранения катастрофы Мосотти

Возможность расширения областей практического применения формулы (11) связывается с вполне объективной необходимостью изменения ее математической структуры. При этом в описание локального поля вида (10) чаще всего вводятся традиционные поправки к или у, призванные отразить величину напряженности Е2, специфическую для каждого конкретного материала, т.е. предназначенные для субъективной компенсации негативных вычислительных качеств уравнения Клаузиуса-Мосотти:

Е** — Р (р_ 1)+ 3Г + К Е^а'н>;

р 0(р 1) І—1 ^3р 0 ) і—1

Е к Е к

Ет =—-------ГГ/« гНг +Т^— /а .

в 0

В свою очередь, необходимость количественного учета напряженности Е2 в жидких средах общепринято объясняется существованием сильных добавочных полей, создаваемых взаимодействием полярных молекул, которые находятся на достаточно близких расстояниях друг от друга. При этом считается, что любая полярная молекула, с одной стороны, ориентирует свое ближайшее окружения, а с другой, сама подвержена действию сил, создаваемых своими ближайшими соседями. Например, теоретическая модель, разработанная Онза-гером, исходит из допущения, что каждая молекула полярной жидкости может

быть представлена в виде некоторой полой сферы радиуса г, в центре которой размещается точечный диполь с индуцированным электрическим моментом, складывающегося из собственного дипольного момента молекулы и момента, обусловленного поляризацией ее смещения:

Ц = Ц о +а DE,

где ав - суммарная деформационная поляризуемость молекулы. Далее предполагается, что полая сфера с расположенным в ее центре точечным диполем находится в непрерывной макроскопической среде, обладающей конкретной диэлектрической проницаемостью в.

Подобная трактовка позволяет прийти к выводу о том, что любая молекула полярной жидкости в условии существования внешнего электрического воздействия подвержена влиянию напряженностей двух полей - реактивного поля Ереак, а также поля, создаваемого ее собственной сферической полостью Епол. При расчете величины Ереак используется решение уравнения Лапласа для потенциала дипольного момента ^, обладающего определенные граничными условиями, что в результате дает:

Е = 2

В свою очередь, напряженность поля, создаваемого моделируемой сферической полостью, отличается от величины среднего макроскопического поля вследствие искажения, вносимого ею в картину общего поляризованного состояния образца. Вычисление Епол проводится аналогично расчету напряженности реактивного поля, с учетом того, что вдали от молекулярной полости эффективное поле не испытывает искривлений. Найденное в результате значение оказывается равным:

3в

е. =______Е

11ё -| нд / щщ X

2в +1

Таким образом, в рамках теории Онзагера, напряженность электрического поля, эффективно действующего в полярных жидкостях, зависит от целого ряда факторов - реальной диэлектрической проницаемости рассматриваемой среды,

геометрических размеров ее молекул, а также характерных параметров их упругих видов поляризации:

Е = Л- Ед + ^ -А

2в +1 нд 2в +1 г3

Помимо выше изложенной модельной теории, существует ряд ее усложненных вариаций, например, статистическая теория Кирквуда. При этом все аналогичные теоретические модели, чаще всего, оказываются излишне сложными и отнюдь не универсальными в использовании.

В заключение текущего раздела отметим, что в ряде фундаментальных трудов по теории поляризации говориться о косвенном обстоятельстве учета вклада величины Е2 при расчете общей напряженности локального поля, т.к. принципиальная трактовка сферы Лорентца подразумевает возможность виртуального удаления образующих их частиц без изменения общего поляризованного состояния образца. Следовательно, приближение Мосотти должно быть эффективным в любом случае.

Кибернетическая модель диэлектрической проницаемости

Как было показано выше, подавляющее большинство математических выражений, традиционно применяемых для расчета характеристик поляризационных процессов, представляют собой достаточно простые уравнения. При этом основная часть разобранных функций и формул оказываются выведенными на базе классического (индуктивного) подхода, по своей сути рассматривающего любую физическую систему путем перехода от частного к общему и генерирующего ее описание за счет слияния отдельно синтезируемых компонент. В качестве примера, можно отметить типичную процедуру вывода уравнений комплексной диэлектрической проницаемости Друде и Лоренц-Лорентца, формируемых за счет замены скалярных значений поляризуемостей частиц, присутствующих в статичных формулах Борна и Клаузиуса-Мосотти, на их независимо полученные аналоги <а(/ю).

В то же самое время, все большую популярность для решения изучаемых задач приобретает возможность использования весьма практичных математических методов теории управления, естественное слияние которых с трактовками, общепринятыми в традиционной физике, лежит в основе нового научного направления, условно называемого «кибернетической физикой». При этом коренное отличие кибернетического способа описания характеристик физических систем заключается в том, что для построения управленческих моделей всегда реализуется основной принцип системного (дедуктивного) подхода, заключающийся в осуществлении последовательного перехода от общего к частному, в рамках которого исследуемый объект виртуально выделяется из окружающей его среды. Кроме того, при кибернетическом описании любой изучаемой системы в обязательном порядке выявляются все входы и выходы, имеющие место, как для всей системы в целом, так и для ее каждого структурного элемента.

Рассмотрим общую последовательность типовых математических преобразований, наиболее характерных для теории управления, позволяющих получить кибернетическую модель комплексной диэлектрической проницаемости конденсированного образца [1], непосредственно вытекающую на базе системного рассмотрения совокупности исходных соотношений, изначально сформированных в рамках использования только традиционных положений теории поляризации диэлектриков.

Отправной точкой для вывода описываемого выражения является относительно бесспорная ратификация того, что любой поляризационный процесс, вызванный переменным электромагнитным полем малой амплитудой, достаточно адекватно описывается линейным уравнением вынужденных гармонических колебаний с трением. Таким образом, первичная динамическая модель, характеризующая изменение общего поляризованного состояния образца, рассматриваемого в качестве системы взаимодействующих заряженных частиц, может быть представлена следующим выражением:

а2ц(х) + (0 , „2 .. „ч — чк

ах1 вк ах

2 + 20к-^ + <Ц (О — —Е(х), к — 1, К,

где цк(г) - наведенные дипольные моменты частиц определенной к-ой разновидности, общее число которых равно к.

В свою очередь, учитывая соотношения, участвующие в описании механизма формирования локального поля Лорентца, функция напряженности эффективного поля Е(г) может быть воспроизведена в виде:

2 к

Е(г) = Е,(г) - — /ц(г) N.

3во <=1

Следовательно, вполне обоснованная модель общей совокупности описываемых процессов может быть отражена как:

^ + 2р^ + и=кцк (г) = ^Е(г), к = 1Гк,

аг аг шк

2 к

Е(г) = Е0(г) - — / Ц г (г)^г .

3в 0 г=1

Оценивая полученную математическую структуру с кибернетической точки зрения, можно заметить, что она представляет собой типичное описание некоторой замкнутой линейной системы управления, обладающей внутренней обратной связью. Поэтому для вывода конечных комплексных уравнений поляризационных характеристик, как отдельно разбираемых частиц, так и всего диэлектрического образца в целом, оказывается целесообразным использовать математический аппарат передаточных функций и их частотных аналогов.

Реализация прямого интегрального преобразования Лапласа для системы линейных дифференциальных уравнений (21) позволяет представить ее в эквивалентной форме записи через передаточные функции Ж^) и Же(*):

Цк (*) = Жк (*)Е(*), Жк (*) = 2 2 , к =

5 2 + 2Р к* + 0к

Е(5) = Жв (5)Ео(5), Жв (5) = - 1

2 К

1 + 7- £ жі (*) N

3ро і—1

где £ _ комплексная переменная; цЦУ), Е(б) и Е0(£) _ изображения по Лапласу временных функций цк(Х), Е(Х), Е0(Х).

Проанализировав физическую сущность передаточных функций Жк(*), отражающих динамику течения элементарных процессов, можно заметить, что их частотные аналоги Жк(/ю) являются строгими эквивалентами комплексных поляризуемостей частиц оО/Ю). В свою очередь, можно отметить, что частотный аналог передаточной функции Же(*), описывающей рассогласование внешнего и внутреннего полей, в физике не рассматривается, т.к. используется обратное ему понятие комплексной диэлектрической проницаемости. Однако, учитывая, что числитель частотной передаточной функции по рассогласованию Жв(/ю) равен единице, оказывается возможным рассматривать ее знаменатель в качестве эквивалента в/ю):

2 к

в(/Ю) = 1 + — / « г (/Ю)Nг .

3в 0 г=1

При статичном рассмотрении данного уравнения оно принимает вид:

2 к

в = 1 +-/аN .

гг

3в 0 г=1

Оценим вычислительные особенности приведенных уравнений. Для чего, используя апробированную ранее методику, интерпретируем исследуемую модель как:

в(Р*) = 1 + — Р *.

3во

Математический анализ общих свойств функции типа (25) показывает, что она является непрерывно возрастающей и положительной при любых значениях своего аргумента. Полученные результаты позволяют фактически констатировать, что непосредственная математическая структура кибернетической модели диэлектрической проницаемости конденсированного образца, вытекающей на базе общего теоретического представления напряженности локального поля Лорентца, использующего, в свою очередь, приближение вида (9), объективно нейтрализует любую возможность проявления обстоятельства катастрофы Мосотти.

Заключение

Проведенное авторами исследование достаточно объективно доказывает, что выражение диэлектрической проницаемости вида (24), полученное за счет уточнения причинно-следственных отношений между элементами общепринятого описания совокупности электрических полей, действующих в поляризованном диэлектрике, обладает всеми позитивными качествами, свойственными аналогичным уравнениям (3) и (11). При этом оно полностью исключает их традиционно отмечаемые недостатки. Следует отметить, что в настоящий момент кибернетическая модель комплексной диэлектрической проницаемости конденсированного образца весьма успешно применяется для расчетов частотных поляризационных характеристик, как ионных кристаллов, так и типичных полярных жидкостей [2-4].

Библиографический список

1. Костюков Н.С., Еремин И.Е. Кибернетическая модель процесса упругой электронной поляризации диэлектрика // Электричество. - 2004. - № 1. - С. 50-54.

2. Костюков Н.С., Еремин И.Е., Оверчук В.А. Системная модель упругой электронной поляризации кристалла фторида лития // Перспективные материалы. - 2006. - № 2.- С. 33-38.

3. Костюков Н.С.. Еремина В.В., Тюрина СЮ. Построение оптимальной модели процесса упругой электронной поляризации воды // Перспективные материалы. - 2006. - № 6. -С. 27-33.

4. Костюков НС. Еремин И.Е. Моделирование диэлектрического спектра кварца в области установления процессов электронной поляризации // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2008. - Т. 51, № 11. - С. 32-38.

Bibliography

1. Kostyukov, N.S., Егешт, I.E. Cybernetic Model of the Nonrigid Electronic Polarization Process of Dielectric / N.S. Kostyukov, I.E. Егешт // Electricity. - 2004. - № 1. - P. 50-54.

2. Kostyukov, N.S., Eremin I.E., Overchuk, V.A. System Model of the Nonrigid Electronic Polarization of Lithium Fluoride Crystal / N.S. Kostyukov, I.E. Егешт, V.A. Overchuk // Perspective Materials. - 2006. - № 2. - P. 33-38.

3. Kostyukov, N.S., Eremina, V.V., Tyurina, S. Yu. Model Construction of the Optimum Nonrigid Electronic Polarization Process of Water / N.S. Kostyukov, V.V. Егсш^, S. Yu. Tyurina // Perspective Materials. - 2006. - № 6. - P. 27-33.

4. Kostyukov, N.S., Eremin, I.E. Modeling of Dielectric Quartz Spectrum in the Field of Electronic Polarization Identification Processes // News of Higher Educational Establishments. Physics. - 2008. - Vol. 51, № 11. - P. 32-38.