Постановка и метод решения обобщенных краевых задач электро-и тепломассопереноса в катодном узле сильноточных плазменных систем

УДК 537.523

doi: 10.18101/2304-5728-2016-1-102-112

© Б. Д. Цыдыпов, М. А. Аветян, Т. Г. Дармаев, Т. А. Чимытов

Постановка и метод решения обобщенных краевых задач электро-и тепломассопереноса в катодном узле сильноточных плазменных систем

В работе представлены постановка и метод решения стационарной электрофизической и нестационарных теплофизической и диффузионной задач для осесимметричных катодных узлов сильноточных плазменных устройств. Задачи основаны на решении двумерных уравнений непрерывности тока, теплопроводности и диффузии активаторов с нелинейными граничными условиями для системы «вставка - обойма» с анализом всех основных видов энергообмена с внешней средой. При этом учтены локальные джоулево тепловыделение в объеме электродного узла, конвективная и радиационная составляющие сложного теплообмена на его поверхности, нелинейные зависимости тепло- и электрофизических характеристик материалов конструкции от температуры.

Ключевые слова: катодный узел, сильноточная плазменная система, энергообмен, краевая задача, математическое моделирование.

© B. D. Tsydypov, M. A. Avetyan, T. G. Darmaev, T. A. Chimytov

A statement and methods of solving generalized boundary problems of electro-, heat and mass transfer in cathode assembly of high-current plasma systems

The article presents a statement and methods of solving stationary electro-physical and unsteady heat conduction and diffusion problems for axisymme-tric cathode assemblies of high-current plasma devices. The problems are based on solution of two-dimensional current continuity, heat conduction and activators diffusion equations with nonlinear boundary conditions for the "insert-framework" system and analysis of all major types of energy exchange with the environment. Herewith local Joule heat in the electrode assembly volume, convection and radiation heat components of complex heat transfer on its surface, nonlinear dependences of heat and electrophysical characteristics of construction materials from the temperature have been taken into consideration.

Введение

Теплофизическое состояние и уровень эрозии катодов сильноточных плазменных систем (СПС) определяют их функциональные параметры и работоспособность [1-3]. Наибольший ресурс катодов достигается в режиме термоэмиссии при использовании в качестве электродного материа-

ла тугоплавких металлов, активированных легирующими компонентами из окислов редкоземельных элементов с низкой работой выхода электронов [4]. Во время работы плазменного устройства в связи с испарением и выгоранием активаторов происходит деградация физико-механических свойств материала, что приводит к снижению эксплуатационных характеристик катода. Ресурс данного класса электродов зависит от интенсивности выхода легирующего элемента из объема матрицы основного металла. Поэтому для оптимизации их функциональных режимов необходимо исследование динамики процессов электро - и тепломассопереноса в объеме и на поверхности твердого тела в зависимости от внешних параметров системы, задаваемых условиями эксперимента и практики. Именно вопрос повышения ресурса работы катодов в наибольшей степени сдерживает применение СПС в инновационных энергоемких технологиях и является одним из главных практических задач фундаментальной проблемы исследования взаимодействия низкотемпературной плазмы с токонесущей стенкой - термоэмиссионным дуговым катодом.

Постановка задачи

Электродный узел с термоэмиссионным катодом в сильноточных плазменных системах (СПС) представляют собой структуру, функционирующую в экстремальных условиях в термическом и радиационном полях большой интенсивности (103 - 105 Вт/см2). Характер теплоотвода от катода определяется особенностями конструкции электродного узла. В настоящее время в СПС ввиду конструктивной простоты и многофункциональности эксплуатационных характеристик наиболее эффективными являются составные катодные узлы, состоящие из стержневого катода -вставки I из активированного вольфрама, запрессованного в интенсивно охлаждаемую медную обойму II (рис.1). Осевая симметрия физической системы «катодный узел - дуговой разряд» обеспечивает наиболее устойчивый контакт при взаимодействии прикатодной плазмы с твердым телом. При этом катодное пятно представляет собой круг диаметром d0.

&

С?

А

-1—

Л

IV

Яо'

к III

и

1с

Ьг

¿1

Рис. 1. Составной катодный узел плазменных устройств.

I - катод (вставка), II - корпус узла (обоймы), III - плазма разряда, IV - плазмообразующий газ, V - теплоотвод (жидкость) На рис.1 показаны геометрические размеры осесимметричной конструкции, где «0 - поверхность контакта "плазма - металл", «1 -неэмиттирующий торец катода, «2 - поверхность радиационно-конвективного теплообмена катода, «3 - поверхность конвективного теплообмена обоймы, «4 - охлаждаемый торец обоймы, «5, «6 -поверхности контакта "катод - обойма".

к = 0 к = М\

Р\г=М

I = .VI

в

н

к = М

¿ = 0

Мг):д0

Рис. 2. Расчетная модель катодного узла. Полуплоскость осевого сечения расчетной модели составного катодного узла представлена на рис.2. На торец стержневого катода «^(г,

0) в пределах контакта с дуговым разрядом радиуса г0 из прикатодной плазмы поступают тепловой и электрический потоки с плотностями q0(r, 0) и Л0(г, 0) соответственно (г, г - цилиндрические координаты). Значения этих параметров определяются из совместного анализа процессов на поверхности металла и в прикатодной плазме [5].

Строгий подход к обобщенной задаче электро- и тепломассопереносса состоит в совместном решении уравнений математической физики эллиптического и параболического типов с краевыми условиями, адекватными условиям функционирования катодных узлов реальных плазменных устройств. Цилиндрическая симметрия рассматриваемого электродного узла позволяет трехмерные физические поля F(x, у, г) привести к двумерным F(r, г), что в значительной степени упрощает их математическое моделирование и анализ. Таким образом, задача сводится к решению трех дифференциальных уравнений с нелинейными граничными условиями в двумерном приближении:

1) уравнения нестационарной теплоп

ск Рк

дТ

Ы

1 д г дг

К Т )

дг

д +—

дг

роводности

К Т ) ^

дг

+ Л / ^

2) уравнения непрерывности тока

1 д г дг

¡г \ д^к

гак (Тк У

дг

д + —

дг

а (Т ) дик а к (Тк ) -7— дг

= 0,

Лк = (Л + Л2)1/2, Лг = -ак (Тк )дик / дг, Л = -ак (Тк )дик / дг

для катодного узла (к = 1 - катод, к = 2 - обойма), показанного схематически на рис. 2.

3) уравнения нестационарной диффузии активатора в объеме катода

дп

1 д_

г дг

дг

д + —

дг

В

кВТ к

где Тк - температура; ск, рк, Хк, ак - соответственно удельная теплоемкость, плотность, коэффициент теплопроводности, удельная электрическая проводимость материалов катодного узла; ]к - плотность тока; ик -потенциал электрического поля; п, В, В0, Qa, - соответственно концентрация, коэффициент диффузии, фактор диффузии, энергия активации легирующего элемента (присадки); кВ - постоянная Больцмана, ^ - время.

Решения уравнений (1) и (2) с соответствующими граничными условиями проведены в [6, 7]. В отличие от краевых электрической и термической задач диффузионная задача ставится и решается только для катода - вставки.

Граничные условия к уравнению (3) следующие:

1. В начальный момент времени концентрация присадки в катоде считается распределенной равномерно и равной

п(г, г ,0) = П0 105

2. На холодном торце катода (поверхность LH) концентрация остается постоянной

п( г, Ll, t ) = П0 , 0 < г < Rl

3. На поверхности горячего торца катода (ОА) происходит испарение присадки и возврат ее из приэлектродной области в пределах контакта с разрядом - круга радиуса г0:

_Щт) 8п(г,0,0 ={(1 "Л)(и/nм)2/3w(T), 0< г < г0 8г [ (п/пш)2'^(Т), Г < г <Я1

где пм - концентрация частиц основного металла в катоде; коэффициент (п/пм)2/3 учитывает различие поверхностных и объемных концентраций присадки; ^ - доля ее атомов, возвратившихся на поверхность катода за счет рециклинга из приэлектродной области; ^'(Т) - скорость испарения присадки (частиц/м2-с).

4. Радиальный поток активатора на оси симметрии катода (OL) равен нулю

8п(0, г, t) „

—= 0, 0< г < L1

8г

5. Граничное условие на цилиндрической поверхности

8п

_ D(T) ' 1 ' ' = (п/Пм)2/3 w(T), 0 < г < Lc ,

8г

дш^гА=0, Lc < г < Ll

8г

Граничное условие в месте контакта дугового разряда с катодом отражает уникальное явление - ионно-атомный рециклинг в прикатодной плазме [1]. Испарившиеся атомы металла, попадая в приэлектродную область, легко ионизируются электронами, так как вероятность ионизации металла больше вероятности ионизации рабочего газа.

Соотношение р/а ~ п° /п°а (Р, а - скорости ионизации и рекомбинации; п°е , п°а - равновесные концентрации электронов и атомов соответственно) больше для металла с меньшим V-, что приводит к увеличению скорости избыточной ионизации атомов присадки по сравнению с атомами основного металла и рабочего газа. Под действием электрического поля ионы материала катода возвращаются обратно на поверхность, где восстанавливаются до атома. В результате этого скорость испарения и удельная эрозия катода в области пятна получаются значительно ниже рассчитанных по температуре поверхности.

Скорость испарения в вакууме рассчитывается по известной ленгмюровской формуле

w

где Рн - давление насыщенных паров; М- молярная масса.

При испарении в газовой среде выражение (4) записывается в виде:

w(T) = а 1,/>11Л1\/(2пМ/а') ,

где аР - коэффициент испарения (Ленгмюра), который зависит от рельефа и чистоты поверхности катода, давления и рода рабочего газа.

Метод решения

Уравнение диффузии (3) в рассмотренной выше постановке аналитически не решается, так как является квазилинейным уравнением с переменными коэффициентами. Поэтому для численного решения применяем локально-одномерную схему прогонки метода конечных разностей [8]. Чтобы обойти трудности, связанные с выбором системы единиц измерения, а также в целях универсализации решения исходное уравнение приводим к безразмерному виду:

8у=в^)+),

дг дz д? г дг дг

В = ехр

где

г = t / гп

~ = 2 /L1, ~ = Г /

У = п / По,

В = В / Во, Gl = ВоГо/ L2, G2 = ВоГо//2.

Остановимся на некоторых особенностях поставленной задачи. В данном случае использование явных схем нецелесообразно, так как В(Т) является быстроменяющейся функцией и условие устойчивости таких схем г < ^ / 2тахВ(Т) требует очень малого шага г по времени. Поэтому расчет необходимо вести по безусловно устойчивым неявным схемам с весом 5 > о,5 [8]. Используя пространственно-временную сетку, введенную при решении электрической и тепловой задач [6, 7], с учетом

переменности коэффициента В (Т), производные уравнения аппроксимируем следующим образом (знак «тильда» для упрощения опускаем):

"Т- I ~ уг,к — У j

_8_

В8-

1 ( в^.у^—в,.

h1 /L1 4 г+1/2 h1 /Л

У1 — Уг—1 )

-1/2 , , -т Ь

1 д гВ—' 1 (

г дг _ дг _ V / [

В

к+1/2

Ук+1 — Ук V /

—В

к—1/2

V L1

Ук — У к—1 V /

\

+ — (Вк—1/2 • Уг,к + Вк+1 /2 • Уг,к X к

Ук — У к—1

где уг к =--левая разностная производная в точке ук;

+

Ю7

у — у

Угк = --— правая разностная производная в точке у-.

V К1

Коэффициенты

D(i,k) - 1/2 = D(xi,k - 0,5^12), D(i,k) + 1/2 = D(xы + 0,5Ли) выбираются из условий второго порядка аппроксимации на полушаге пространственной сетки в точках (хг-,к - 0,5Л1,2) и (хг-,к + 0,5Л12) соответственно. Это позволяет устранить немонотонность в решении сеточных функций, появляющихся при использовании полных шагов на пространственной сетке. Применяемая схема является абсолютно устойчивой, монотонной, непрерывно дифференцируемой и имеет погрешность аппроксимации 0 (т + к2).

Уравнение (5) в разностном виде запишется:

у/+1 — у/ = С! [а.^

С

+ Dk—1/2 • у г,к + Dk+1/2 • у г,- ).

2гк

Применяя локально-одномерную схему, вместо уравнения (6) последовательно решаем одномерные задачи с соответствующими граничными условиями

у/+1 — у/ = С — у/+1) — А—Ш^Г — у г1—1 )]/(^1 / А)2

у- +1 — у- = С2 А-+1/2( у-^+1 — уП — Dk—1/2( у-+1 — у{—1)]/(^2/^)2 +

с

—1/2 • уг,- + +1/2 • уг,- )

2Г-

соответственно по координатам г и г.

Расчет по координате г

После несложных преобразований уравнения (7) имеем:

А—1/2 • у!+1 —

Обозначив

Л = А-1/2, Д = А+1/2, С = А—1/2 + А+1/2 + 1/(^2С1),Fi = у! /(^), получим разностное уравнение вида:

Луй1 — Су!+1 + ад1 =— А.

Решение системы алгебраических уравнений такого типа подробно рассмотрено в предыдущей главе. Здесь остановимся на деталях аппроксимации граничных условий данной задачи.

После обезразмеривания граничное условие на рабочем торце электрода в разностном виде запишется следующим образом:

УЛ уЛ-1 V А

(1 АМ N, к) • уЛ1

£>0пТП™DN-1/2 (Ул )1/3

^ ,УЛ 0 < г < г

1/3п2/3п (у; )1/3 ' " " 0

0 "м иЛ-1/2\Ул)

М0 ЦМN,к) • улЛ+1

Пп1/3п2/3п ()1/3' Г° < Г < ^

1у0п0 "м иЛ-1 /2 ЦЛ ^

Подставив улЛ-\ =алУЛл+1 +РЛ в уравнение, находим значение

концентрации у]Л на новом временном слое:

ул 1 =

(1 Пл-1/2 •РN

-:—Г/Г, 0 < Г < Г0,

(1 -а л ) Пл-1/2 N, к)/(уЛ )1/3 0

-Пл-1/2 'РЛ-^, г0 <г <Я1,

(1 -а л )Пл-1/2 +Рм(Л, к)/( УлЛ )1/3 0 1

где Р1 = м0Л1/(П0п01/3пм2/3) - безразмерный параметр; м0 - скорость испарения присадки при температуре Т0.

Расчет по координате г

Подставляя в уравнение (8) выражения соответствующих производных из (6), получим

у:+ - У: =ТГТ^ Пк+1/2( ук++1 - УП - Пк-1/2( У: 1 - уй)]+

(V Д^21

+ „„ к-1/2

С учетом соотношения М 2 = 1/(Л2/^1)2 имеем

Ук+ - Ук = о2м2 Пк+1/2(ук++1 - Ук41) - Пк-1/2( у: 1 - Ук?'-1) +

+2к [Пк-1/2(Ук^41 - Ук-1 )+Пк+1/2(Ук:++1 - Ук41)!

Раскрывая скобки, приведя подобные члены и обозначив

Л = (2к - 1)Пк-1/2, Вк = (2к + 1)Пк+1/2, Ск = (2к + 1)Пк+1/2 + (2к - 1)Пк-1/2 + 2к/(ОМ 2), Fk = 2кук ]/(в2М 2) , М = Я1/Л2 получим систему разностных уравнений для значения искомой функции ук на новом временном слое ^ = ^ ;+1

Ау£1 - скуС1 + ВкУк++1 =- Ак ,0 < к < м

где - известная функция, определяемая по значениям функции на предыдущем слое у.

На внутренней границе (к=0) определяются начальные прогоночные коэффициенты а1 и р1. Так как на оси симметрии радиальный поток

равен нулю, в уравнении диффузии член--(гП —) при г^0 является

г дг дг

неопределенностью типа 0/0. Раскрывая эту неопределенность

109

Нт——(гА ^) = 2А 5 2П

г ^0 г дг дг дг2

на оси симметрии для прогонки по г получаем следующее разностное уравнение:

у0+1 — у0 = 2С2 ^(у—'+ — 2у0+1 — у/+1)/(^/ Поскольку у—+1 = у1!+1, получим

у0+1 — у0! = 4М 2С2 А0+1/2( у/+1 — у0+1) Сравнивая с у0+1 = а1 у/+1 +Р1, находим

«1 = 4М2С2А0+1/2 /(1 + 4М2С2А0+1/2), Р1 = у0' /(1 + 4М2С200+1/2) Краевое условие на цилиндрической поверхности в разностном виде запишется как

уМ+1 — уМ+—1 _ ^0 Я ММ, г) уМ+1

г = Я

VЯ А0п1/3</3 Ам—1/2 (УМ Г' 1

»2/^1 ^0п0 пМ ^М-1/2\УМ)

уМ —1 =а МуМ +Р М

,!+1

Исключая уМ—1, находим граничное значение искомой функции

!+1 =_АМ —1/2 • Р М

Ум ~

Ам—1/2(1 — ам ) + Р2 М,г)/(уМ )1/3 с обозначениями

Р2 = Wo МАП/3^3), Ам—1/2 = (АМ — АМ—1)/2.

При прогонке по локально-одномерной схеме разностные уравнения (7) и (8) преобразуем к алгебраической системе вида

А-,- у(г,-)-1 - С-,- уг,-+ Ву(г,-)_1 = - Fi,k с условиями Аг-,- > 0, Вг,- > 0, Сг,- > Аг-,- + Вг-,- разрешимости системы данным методом. Далее решение задачи находим по известной формуле:

у (г,-) = «-,-) у(г,-)+1 + Р(г,-)+1 , г = 0,1,2,..., N-1; - = 0,1,2,..., М-1

Р-,- с А,- — Аг,-Р-,-

_ г г,- о

а (г,-)+1 = ; , р

Значения начальных прогоночных коэффициентов а1 и р1 определяются на внутренних граничных условиях катода. Затем из других граничных условий вычисляются значения сеточных функций уым и по формуле (9) - все остальные значения у^). Переход от времени ( к (+1 реализуется через последовательное чередование прогонок по координатам г, г. В результате получается двумерное распределение концентрации активатора в объеме цилиндрического катода в зависимости от времени работы плазменного устройства.

Заключение

Математическое моделирование процессов электро- и тепломассопереноса проводится в следующей последовательности. Сначала решаются электрофизическая и термическая задачи в предположении постоянства эмиссионных характеристик катода. Затем, используя поле температур в системе «катод - обойма», решается уравнение диффузии по составленному выше алгоритму. Цикл повторяется до выхода газового разряда на стационарный режим. Численный алгоритм позволяет исследовать динамику выхода и испарения легирующей примеси из термоэмиссионных катодов плазменных устройств в широком диапазоне изменения их рабочих параметров.

Литература

1. Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный том IV / Под ред. В.Е. Фортова. — М.: Наука, 2000. — С. 153- 459.

2. Даутов Г.Ю., Тимошевский А.Н., Урюков Б.А. и др. Генерация низкотемпературной плазмы и плазменные технологии: проблемы и перспективы. — Новосибирск: Наука, 2004. — 464 с.

3. Жуков М.Ф., Засыпкин И.М., Тимошевский А.Н. и др. Электродуговые генераторы термической плазмы. - Новосибирск: Наука, 1999. — 712 с.

4. Fauchais P., Vardelle A. Thermal plasmas // IEEE Trans. on Plasma Sci. — 1997. —V. 25. — № 6. — P. 1258-1280.

5. Цыдыпов Б.Д. Катодные и прикатодные процессы сильноточных плазменных систем. Saarbrucken: Lambert Academics Publishing. — 2012.— 272 с.

6. Цыдыпов Б.Д., Аветян М.А. Нелинейная электрофизическая задача для сильноточных катодных узлов генераторов низкотемпературной плазмы // Вестник БГУ. — Вып.9. Математика и информатика. — 2015. — С. 83-88.

7. Цыдыпов Б.Д., Симаков И.Г. Тепловое состояние катодных узлов сильноточных плазменных систем // Теплофизика высоких температур. — 2011. — Т. 49. — №4. — С. 663-670.

8. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977. — 656 с.

References

1. Entsiklopediya nizkotemperaturnoi plazmy [Encyclopedia of Low-Temperature Plasma]. Moscow: Nauka Publ., 2000. V. 4. Pp. 153-459.

2. Dautov G. Yu., Timoshevskii A. N., Uryukov B. A. et al. Generatsiya nizkotemperaturnoi plazmy i plazmennye tekhnologii: problemy i perspektivy [Generation of Low-Temperature Plasma and Plasma Technologies: Problems and Prospects]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2004. 464 p.

3. Zhukov M. F., Zasypkin I. M., Timoshevskii A. N. et al. Elektrodugovye generatory termicheskoi plazmy [Electric Arc Thermal Plasma Generators]. Novosibirsk: Nauka Publ., 1999. 712 p.

4. Fauchais P., Vardelle A. Thermal plasmas. IEEE Trans. on Plasma Sci. 1997. V. 25. No. 6. Pp. 1258-1280.

5. Tsydypov B. D. Katodnye i prikatodnye protsessy sil'notochnykh plaz-mennykh sistem [Cathode and Near-Cathode Processes of High-Current Plasma Systems]. Saarbrucken: Lambert Academics Publishing, 2012. 272 p.

6. Tsydypov B. D., Avetyan M. A. Nelineinaya elektrofizicheskaya zadacha dlya sil'notochnykh katodnykh uzlov generatorov nizkotemperaturnoi plasmy [Nonlinear Electrophysical Problem for High-Current Cathode Assemblies in Generators of Low-Temperature Plasma]. Vestnik Buryatskogo gosudarstven-nogo universiteta - Bulletin of Buryat State University. 2015. V. 9. Pp. 83-88.

7. Tsydypov B. D., Simakov I. G. Teplovoe sostoyanie katodnykh uzlov sil'notochnykh plazmennykh sistem [Thermal State of Cathode Assemblies in High-Current Plasma Systems]. Teplofizika vysokikh temperatur - Thermal Physics of High Temperatures. 2011. V. 49. No. 4. Pp. 663-670.

8. Samarskii A. A. Teoriya raznostnykh skhem [The Theory of Differential Schemes]. Moscow: Nauka Publ., 1977. 656 p.

Цыдыпов Балдандоржо Дашиевич, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник Института физического материаловедения СО РАН, e-mail: tsydypovbd@rambler.ru

Аветян Мактах Арсеновна, аспирант Института физического материаловедения СО РАН, e-mail: magdaavetian@mail. ru

Дармаев Тумэн Гомбоцыренович, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией вычислительных и геоинформационных технологий Бурятского государственного университета, e-mail: dtg@bsu.ru

Чимытов Тимур Андреевич, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры экспериментальной и космической физики Бурятского государственного университета, e-mail: tchimytov@ gmail .com

Baldandorzho D. Tsydypov, DSc in Engineering, Leading Researcher, Institute of Physical Materials Science, SB RAS.

Maktakh A. Avetyan, Postgraduate, Institute of Physical Materials Science, SB RAS.

Tumen G. Darmaev, PhD in Physics and Mathematics, Laboratory of Computing and GIS Technologies, Buryat State University.

Timur A. Chimytov, PhD in Physics and Mathematics, Senior Lecturer, Department of Experimental and Space Physics, Buryat State University.