Об условиях совместности и многообразиях решений некоторых классов переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 2 (2016). С. 59-65.

УДК 517.9

ОБ УСЛОВИЯХ СОВМЕСТНОСТИ И МНОГООБРАЗИЯХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Р. ПИРОВ

Аннотация. В работе рассматривается класс переопределенных систем дифференциальных уравнений (д.у.) в частных производных второго порядка с одной неизвестной функцией, содержащий в правой части одну или две производных второго порядка. Выявлены условия совместности, доказаны теоремы существования и единственности решений, содержащих не более шести произвольных постоянных.

Ключевые слова: переопределенные системы, условия совместности, многообразия решений, операция перекрестного дифференцирования.

Mathematics Subject Classification: 35N10

1. Введение и подстановка задачи

В монографии [1] рассматривались системы уравнений в частных производных первого порядка с одной неизвестной функцией. В [2] и [3] изучены некоторые квазилинейные системы второго порядка с одной неизвестной функцией. Эти исследования были продолжены в работах [4]-[6].

В данной работе рассматриваются нелинейные системы четырех д.у. второго порядка, где неизвестная функция зависит от трех независимых переменных, а правые части содержат нелинейным образом одну или две из производных Uxx, Uyy, Uzz, Uxy, Uyz, Uxz.

Ограничимся рассмотрением по одной системе из каждой группы, а именно:

Uxx,uxy,UXZ,Uyz = f

и

Uxx,Uxy ,UXZ ,Uyz = f

Использование в системах (1.1) и (1.2) одинакового обозначения fг для функций, зависящих от различного числа аргументов (8 и 9 соответственно), оправдано тем, что эти системы изучаются независимо друг от друга. В этих системах U = U(x,y,z) - неизвестная функция, которая ищется в классе С4(П0); здесь

По = {(x,y,z) : | х - хо а, | у - уо а, | z - zo а}

при некотором а > 0.

R. Pirov, On compatibility conditions and manilolds of solutions to one class of overdetermined systems of second order partial differential equations. © Пиров Р. 2016.

Поступила 3 декабря 2015 г.

Основной метод исследования вышеуказанных систем состоит в замене производных первого и второго порядка на новые неизвестные функции, переходе к системам с большим числом неизвестных и в установлении связей с достаточно изученными (см., например, [2]) системами в полных дифференциалах (п.д.-система).

2. Исследование системы

Рассмотрим сначала систему (1.1). Через П = П(а,Ь) обозначим прямоугольник в пространстве R8, заданный неравенствами: |ж — ж0| ^ а, |у — у0| ^ а, lz — z0l ^ а, lu—Uol ^ b, IUX — U0I ^ b, lUy — U°l ^ b, IUZ — U0I ^ b, lUyy — и°у| ^ Ь. Индексом "нолик" будем снабжать значения тех или иных функций в точке (х0, y0,z0). Пусть fг Е С2(П), i = 1, 4.

Осуществляем замену UX = р(х, у, z),Uy = q(x, у, z),UZ = W(х, у, z) Uyy = qy = т(x, y, z). Тогда имеют место очевидные тождества: py = qX,qZ = Wy и pZ = WX. В силу этих замен система (1.1) примет вид:

их = Р(х,у^),иу = д(х,у^),иг = у, г),

Рх,Ру,Рг = ¡г(х,у,г; и,р,д,Ш,т),г = ^ (2 ^

Ях = !2{х,у,г; и,р,д,Ш,т)^у = = ¡4{х,у,г; и,р,д,Ш,т), ( . ) Wх = /3(х,у,г; и,р,д,Ш,т),Шу = ¡4{х,у,г; и,р,д,Ш,т).

Равенства смешанных производных рух = рху, qуz = qzу, qху = qух и qхz = qzх после несложных преобразований приводят к уравнениям:

fW Wz + frz — frTy = f¡ — f + f q — f W + fpf2 — f f3 —

— fr — fqf4 + fW f(= L1),

—f4ry + Tz = fy + fU q + ff2 + f T + fW f4

rx — frTy = f2y + fU q + ff2 + fr + fW f4

fW Wx + ¡2TTZ — j4rTx = fx — f + fU p — fu W + f f ' —

— ff3 + ff2 — ff4 + fW f 3(= L4).

При fW = 0 и ff4 — f = 0 из (2.2)-(2.5) алгебраическим разрешением находим WZ, ry, rx и tz в виде

^Z, Ty, Tx,Tz = f

где

fw f5 = L4 — fL2 + f f3,

f7 = L3 + fT f 2,f8 = f f6 + L2.

Присоединяя (2.6) к (2.1), приходим к п.д.-системе относительно пяти неизвестных функций. Проверка равенств вторых смешанных производных pyz = pzy, qxy = qyx, qyz = qzy в системах (2.1) и (2.6) осуществляется простым подсчетом; кстати, они однажды использовались при пополнении системы. Остальные девять равенств qzx = qxz ,pxy = pyx,

Pzx = Pxz ,Wxy = Wyx,WyZ = WZy ,Wxz = WZx,Txy = Tyx,TyZ = TZy и TxZ = TZx в конечном

итоге преобразуются в следующие функциональные соотношения:

Н!(х, у, z; U,p, q, W, т) = fz + f2W + tff3 + fqf4 + fW f5 + fTf8-

- f4 - fr - ff1 - ff2 - fWf3 - ff7 = o,

H2(x, y, z; U,p, q, W, T) = fl + f! q + f^f2 + fr + fW f4 + flf6-

-f - ti p - fPf i - f f2 - f2 f7 = o,

H3(x, y, z; U,p, q, W, T) = f! + fU W + flf3 + flf4 + fW f5 + f!f8-

-f - fip - ff1 - ff2 - fwf3 - f f7 = 0, H4(x, y, z; U,p, q, W, т) = ß + fiq + f^f2 + fr + fw f4 + f?f6-

-fU - fp - ff1 - ff2 - fW f3 - f f7 = 0,

H5(x, y, z; U,p, q, W, T) = f4 + ftw + f4f3 + ff + fWf5-

-f5y - fuf2 - ff - fr - fWf4 - f5r f6 = 0,

H 6(x, y, z; U,p, q, W, r) = f3x + fiW + fpf + fq^f4 + f^f5-

- fx - fu f - f f - f f - fw f - ff = 0, H 7(x, y, z; U, p, q, W, r) = fy + fvq + f7pf2 + fr + f7wf4 + f7Tf6-

- f - fuP - f f - f f - fw f - ff = 0, H8(x, y, z; U,p, q, W, т) = Д6 + fUjW + ^f3 + f^f4 + ßf5 + tff-

- fy - fk - fP f - fr - fw f - ff = 0, H9(x, y, z; U,p, q, W, r) = f[ + f^W + f^f3 + f^f4 + f7wf5 + f7Tf8-

- f - fu f - fP f - f f - fw f - ff = 0.

Поскольку (2.1) и (2.6) получены эквивалентными преобразованиями из (1.1), то начальные условия для этой системы задаются формулами

[ и]о = Ci, [Ux]o = С2, [Uy]0 = С3, [Uz]о = С4, [Uyy]o = С5.

На основе вышеизложеной схемы исследования, приводящей нелинейную систему к квазилинейной системе в полных дифференциалах, можно считать доказанной следующую теорему.

Теорема 2.1. Пусть f% Е С2(П), при этом fW = 0 и ßfT4 - fT3 = 0. Если тождественно относительно U,Ux,Uy,UZ,Uyy выполняются все девять условий (2.8) и а < min (а, Ъ/М), М = тах\ f%\, то на П(а, Ь) задача (1.1),(2.9) в классе С4(П0) разрешима единственным образом.

Иными словами, при выполнении условий теоремы 2.1 многообразие решений системы (1.1) содержит пять произвольных постоянных С\, с2, Сз, с4 и с5.

Замечание 2.1. Пусть одно из условий (2.8) не выполняется тождественно и пусть оно приводит к соотношению вида т = (р(х,у,г,и,их,иу),<р Е С^П). Тогда решение содержит четыре произвольных постоянных С\,..., с4.

Приведем два примера, иллюстрирующих теорему 2.1 и замечание 2.1. В качестве пер-

Uyy J UXy UZ j Ux

-и,

yy>

вого примера рассмотрим переопределенную систему: ихх и^ = -иуу. После соответствующих замен эта система приводится к п.д. системе относительно пяти неизвестных и,р,д,Ш и т:

Ux = р,иу = q,Uz = W, Рх = Т,Ру = WJPz = -т, Qx = w,qy = Tj qz = -Tj

WX = -TJ Wy = - TJ WZ =

Tx TjTy TjTz T.

tj

Все условия теоремы 2.1 выполнены; в частности, соотношения (2.8) выполняются тождественно. Следовательно, рассматриваемая система совместна; несложно видеть, что ее решением будет функция и(х,у,г) = с\e-х-у+z + с2(ху + г) + с3у + с4х + с5.

В качестве второго примера рассмотрим переопределенную систему: ихх = их,

ху

Uz j Uxz = -Uyy j Uyz = Uyy. Она приводится к п.д. - системе вида

их = р, Uy

Рх = PJPy = qx = w,qy = Tj qz

wx = -TjWy

--q,Uz = W,

W,PZ = -TJ

tj

TJW,

TjTV

tj T, = - T .

Все соотношения (2.8) выполняются тождественно, за исключением соотношения, соответствующего равенству Рху = Рух. Последнее соотношение приводит к уравнению т + W = 0. В силу замечания 2.1 последняя система приводится к п.д. системе относительно четырех неизвестных функций:

их

Рх

--p,Uy = qJ Uz PjPy = WjPz

W,

w,

W,qy = -W,qz = -W,

Wx = WjWy = -w, wz = -w.

Следовательно, рассматриваемая система совместна; несложно видеть, что ее решением будет функция и(х, у, г) = -С1ех-у-:г + с2у + с3ех + с4.

q

X

3. Исследование системы

Рассмотрим теперь нелинейную систему (1.2). Через П = П(а,Ь) обозначим прямоугольник в пространстве R9, заданный неравенствами: lx — Xq| ^ а, \у — yo| ^ a, lz — Zol ^ a, \U — U01 ^ b, \Ux — U_%l < b, \Uy — Uy| ^ b, \UZ — U°z| ^ b, \Uyy — Uyy| ^ b, IUzz — UZzl < ь. Пусть fг Е С2(П),1 = 1, 4.

Замена их = р(х,у,г),иу = д(х,у,г),и, = W(х,у,г),иуу = = т(х,у,г) и = = в(х,у,г) преобразует систему (1.2) в следующую квазилинейную систему первого порядка

Ux = P,Uy = q, Uz = W, РХ = f,Py = f 2,Pz = f3, qx = f2, Qy = r,qz = f4, Wx = f 3,Wy = f 4,Wz = 9.

Заметим, что осуществленная замена обеспечивает тождественное выполнение тождеств

Py = Qx,Qz = Wy, Pz = Wx. Равенства Pxy = Pyx, Qxy = Qyx, Wxy = Wyx , Pxz = Pzx 1 Qxz = Qzx, ^xz = Wzx,Pyz = Pzy, Qyz = Qzy, WyZ = Wzy приводят к девяти следующим уравнениям

-ffr + fry - frx + fry = f + ftp + ftf1 + fqf2 + flf3-

-f - fuQ - fQ - ff2 - fir - flvf4,

Tx fry fry = fy

12 Ipy J p

, f 2t2

-ffr + fry - frx + fry = f4y + ftp + f4pf1 + ftf2 + faf3-

-fy - fu Q - f f - fw f4, fw f 3-

-f! - ft W - ft f3 - ft f4 - fW o,

-frx + f Tz - frx + ftdz = fx

+ fr 42

3 f2

p

32

24 W J ,

-frx + f Tz - f49x + frz = fx

41

p

-f - fu W - f f3 - f f4 - fw в

-frz + dx - frz = f

P 33 P

-fry

fr - fry + frz = ft + ft q + ftf2

q •>

14 42 24 34 34

43

w J

w °,

2

z

-f W - f f3

+ fwf - fz- fw 6,

- f f4

-fry + rz - ftdy = f + ft q + ftf2 + f4T + fw f4

-ffr + 9y - ftdz = ft

43 p

q

4

q

44

4

w V.

Поскольку в некоторой окрестности точки (х0,у0, ; и0,и{°,иУ0,и(°, и0у, и0,,) ранг матрицы 6х9

-f 1

-f

-f -f 0

0 0 0

f -fr fr 0 0 0 -f -f

0 0 0

fr f -fr fr 1

3

0 -f

f 0

-f

-f

-f 1

0

0

0

f! -f f 0 0 0

-f -f 0

1 -f

0 0 0

f! fe

-П ft

составленной из коэффициентов при производных тх,ту ,т, ,вх ,ву ,9,, равен 6 (в этом можно убедиться непосредственным вычислением), то из (3.2) можно найти

т т т 9 9 9

xyzxyz

fк(х, у, z; U,p, q, Щт,9), к = 5 , 10.

4

Отметим, что функции fk ,к = 5,10, явно выражаются через функции f1,..., f4, и их частные производные первого порядка. Присоединяя (3.4) к (3.1), приходим к п.д.-системе относительно шести неизвестных функций U,p, q, W,t,6 :

Ux = P,Uy = q, Uz = W,

Px = f1, Py = f, Pz = f,

Qx = f, qy = r, qz = Л

Wx = f,Wy = f4,Wz = в,

Tx f , Ty f , Tz f ,

n _ f8 a _ f9 n _ -iio

V x = J , V y = J , Vz = J .

В системе (3.5), эквивалентной (1.2), первые 12 равенств смешанных производных выполняются автоматически, а остальные шесть rxy = ryx, ryz = rzy, rxz = rzx, 0xy = 9yx, @yz = @zy, Qxz = Qzx, после несложных преобразований, приводят к шести функциональным уравнениям вида

Н1(х, у, z; U,p, q, W, т, в) = ft - fx + fiq - ftp + tff2 - fpf + fir-

- f f + fw f - fw f + fed - Л f + f f - fl f = 0, Н2(х, у, z; U,p, q, W, г, в) = fz - fy + ftW - flf4 + fpf3 - fpf+

+flI4 - f т + fWe - fwI4 + flf7 - f f + flf10 - fe f = 0, Н3(х, у, z; U,p, q, W, г, в) = fz - fx + ftW - ftp + Ц f3 - fj1 + fqf4-

- f f + fwO - fw!3 + fr f - fr f + f f° + fe f = 0,

Н4(х, у, z; U,p, q, W, г, в) = fy - fx + fiq - ftp + fpf - f9pf + fqr-

- f fr2 + fWf - fWf + fr f - fr + fe f - fe f = 0,

Н5 (X, у, z; U,p, q, W, г, в) = fz - J™ + f*W - fb°q + ff - f0f + ff- f0r + fwe - fW0 f + f f - f0 f + f0 f = 0,

Н6(х, y, z; U,p, q, W, г, в) = Д8 - ft0 + ftW - f^0p + fpf3-- f0 f + f f - f0 f + fwe - fW f + fr f - f0 f + fe f0 - f0 f = 0.

Ясно, что если в некоторой окрестности точки (х0, у0, z0;U0, р0, q0, W0, т0, в0) выполнены тождества Нг(х, у, z; U,p, q,W,T, 9) = 0, i = 1, 6, то система (3.5) вполне интегрируема и к ней можно применить п.д.-теорию [7], [8] со следующей задачей с начальными данными:

[ U]0 = Ci, [р]0 = С2, [q]0 = С3, [W]0 = С4, [т]0 = с5, [6% = Ci, которая по отношению к исходной системе (1.2) преобразуется в задачу

[ U]0 = Ci, [Ux]0 = С2, [Uy]0 = С3, [Uz]0 = С4, [Uxx]0 = с5, [UzzЬ = Сб.

Теорема 3.1. Пусть fг Е С2(П). Пусть в некоторой окрестности точки (х0, у0, z0; U0, Ux, Uy, U0, Uxx, Uz) выполнены тождества Нг = 0, г = 1, 6 (функции Нг заданы формулами (3.6)). Пусть, наконец, а < min (а,Ь/М),М = тахЦ%1. Тогда на П(а,Ь) задача (1.2), (3.7) в классе С4(П0) разрешима единственным образом.

Из этой теоремы, в частности, следует, что в ее условиях многообразие решений системы (1.2) содержит шесть произвольных постоянных с1,..., с6.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. E. Goursat Lecons sur l'inteqration des equations aux derivees partielles du premier ordre. Paris. 1921. 454 p.

2. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе: Дониш. 1986. 116 с.

3. Жибер А.В., Муртазина Р.Д. Хабибуллин И.Т., Шабат А.Б. Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2012. 376 с.

4. Пиров Р. К теории нелинейных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка в пространстве // Известия ТО МАН ВШ, Душанбе. № 1. 2010. С. 85-90.

5. Пиров Р. О существовании гармонических решений одной переопределенной системы четырех дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка в пространстве // Вестник Педуниверситета, Душанбе. № 2(38). 2011. С. 3-6.

6. Пиров Р. О совместности некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных второго порядка с двумя неизвестными функциями на плоскости // ДАН Респ. Таджикистан. Т.54, № 5. 2011. C. 359-366.

7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970. 720 с.

8. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М: ГИФМЛ. 1958. 470 с.

Пиров Рахмон,

Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни, ул. С. Носирова 29, кв.93, 734003, Республика Таджикистан E-mail: pirov_60@mail.ru