К вопросу о потере устойчивости упругих цилиндрических оболочек при продольном сжатии усилием ударного типа

вступают все шлицы (после -25% нагрузки), при этом неравномерность деформации носка ТНД и внутреннего кольца МРП исчезает. Однако напряженное состояние шлицев при этом неодинаково, шлицы, первые вступившие в контакт, напряжены в гораздо большей степени, чем последние. Картина НДС на шлицах соответствует теоретическому распределению напряжений.

Результаты расчетов неравномерности деформации носка ТНД в сечении МРП сведены в таблицу.

Неравномерная деформация носка ТНД имеет обширную область распространения. Наибольшая величина неравномерности охватывает зону шлицев (поверхность установки МРП). На рис. 5 представлена картина распределения радиальных перемещений носка ТНД для 5%-ной нагрузки.

Из рис. 5 видно, что неравномерность деформации сохраняется по всей длине носка в осевом направлении, но по мере приближения к поверхностям контакта с задним валом ТНД величина неравномерности сокращается.

Учитывая все вышесказанное, можно сделать вывод о том, что наиболее неблагоприятные условия работы подшипника соответствуют уровню крутящего момента до 500 кгс-м.

В зависимости от режима и высоты полета величина крутящего момента на ТНД варьируется в широких пределах. При этом возможна длительная работа двигателя на режиме с небольшой величиной крутящего момента (менее 500 кг-м). Это приведет к увеличению динамических нагрузок на ролики МРП и снижению его долговечности.

Таким образом, применение контактной задачи метода конечных элементов позволило проанализировать изменения условия работы ответственного шлицевого соединения на турбине низкого давления вследствие неблагоприятного сочетания допусков деталей при сборке узла.

На основе полученных результатов разработаны рекомендации по изменению конструкции для увеличения долговечности подшипника и ресурса ГТД в целом.

Уровень Разность диаметров носка ТНД

нагрузки, % в сечении МРП, мм

5 0,105

10 0,080

15 0,062

20 0,029

25 0,002

30-100 0-0,002

УДК 539.3

К ВОПРОСУ О ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СЖАТИИ УСИЛИЕМ УДАРНОГО ТИПА

Т.К.Хамитов1, Ф.Г.Шигабутдинов2

Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 420043, г. Казань, ул. Зеленая, 1.

Обсуждаются результаты исследования потери устойчивости упругих цилиндрических оболочек при продольном сжатии силами, мгновенно достигающими своего максимального значения и остающимися постоянными на торце до потери устойчивости оболочки. Математический аппарат исследования опирается на теорию рядов Фурье, что делает его простым и доступным для использования в проектных организациях. Табл. 3. Библиогр. 13 назв.

Ключевые слова: цилиндрические оболочки; продольный удар; потеря устойчивости; критическая сила.

ON THE LOSS OF STABILITY OF ELASTIC CYLINDRICAL SHELLS UNDER THE LONGITUDINAL COMPRESSION BY THE IMPACT TYPE STRESS T.K. Khamitov, F.G. Shigabutdinov

Kazan State Architectural and Building University, 1 Zelenaya St., Kazan, 420043.

The authors discuss the study results of the elastic cylindrical shells buckling under the longitudinal compression forces, instantly reaching their maximum values and remaining constant on the face till the shell buckling. The mathematical study is based on the theory of Fourier series that makes it simple and accessible for design organizations. 3 tables. 13 sources.

Key words: cylindrical shells; longitudinal stroke; loss of stability (buckling); critical force.

1Хамитов Тагир Камилевич, ассистент кафедры теоретической механики, тел.: (8432) 5104791, e-mail: tagirkhamil@mail.ru Khamitov Tagir Kamilevich, assistant of the chair of Theoretical Mechanics, tel.: (8432) 5104791, e-mail: tagirkhamil@mail.ru

2Шигабутдинов Феликс Галлямович, кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики, тел.: (8432) 5104791, e-mail: shigabutdinov@ksaba.ru

Shigabutdinov Felix Gallyamovich, Candidate of physical and mathematical sciences, professor, head of the chair of Theoretical Mechanics, tel.: (8432) 5104791, e-mail: shigabutdinov@ksaba.ru

Введение. М.А. Лаврентьев и А.Ю. Ишлинский [1] впервые в литературе обратили внимание на тот факт, что формы потери устойчивости в статике и динамике могут сильно различаться. В статье были приведены эксперименты с нагружением стержней и цилиндрических оболочек с помощью подрыва взрывчатого вещества. При теоретическом описании экспериментов волновым характером распространения нагрузок пренебрегалось. Из этой работы также следует, что если приложенная мгновенно сжимающая сила окажется равной эйлеровой критической силе, то наиболее вероятная динамическая форма потери устойчивости будет совпадать со статической формой потери устойчивости. В дальнейшем эксперименты А. Коппа [2] по продольному удару по цилиндрической оболочке телом большой массы также показали, что при ударе потеря устойчивости цилиндрических оболочек происходит по высшим формам. В [3] коллективом авторов получено теоретическое решение задачи о потере устойчивости при продольном ударе по цилиндрической оболочке. Система дифференциальных уравнений, описывающих процесс потери устойчивости, состоит из уравнений продольных движений (оно считается решенным) и линеаризованных уравнений пологих цилиндрических оболочек. Для двух типов напряженно-деформированного состояния за фронтом продольной волны (оболочечное и стержневое) показано существование доминирующих волн и их симметричность. Различие в теоретических длинах полуволн для рассмотренных напряженных состояний при коэффициенте Пуассона V = 0,3 не превышает 2%. Кроме того, авторы приходят к выводу, что симметричность форм потери устойчивости как минимум будет происходить до появления нелинейных эффектов. Отметим, что осесимметричная форма потери устойчивости, как выяснилось, является наиболее ранней формой потери устойчивости и, следовательно, в целом ряде задач на нее и надо ориентироваться при определении критических параметров явления. В [4] обсуждается механизм выпучивания цилиндрической оболочки при продольном ударе и выделяется три стадии движения: осесимметричные поперечные движения оболочки, стадия повторной потери устойчивости осесимметричного движения по отношению к начальным неосе-симметричным несовершенствам и так называемая изометрическая стадия. Авторы делают предположение, что при ударе твердым телом нестационарностью, связанной с конечностью скорости распространения продольной волны можно пренебречь, «так как время прохождения фронтом характерной длины полуволны выпучивания много меньше характерного времени процесса выпучивания». Следовательно, допускается потеря устойчивости оболочки с образованием нескольких полуволн по длине, что в свою очередь позволяет пренебречь влиянием граничных условий на длину потери устойчивости. Подчеркнем, что сказанное относится к продольному удару по цилиндрической оболочке твердым телом, движущимся с заданной скоростью. Г.Е. Линдберг [5] и чуть позже Б.М. Малышев [6] пришли к заключению, что при потере устойчивости при продольном ударе форма потери устойчивости сильнее зависит от напряженного состояния за фронтом продольной волны, чем от учета конечности скорости распространения продольной волны. Авторы [7] провели числовые эксперименты по выпучиванию цилиндрической оболочки, задаваясь напряженными состояниями в серединной поверхности. Используя линейные уравнения, И.А. Кийко [8] качественно исследовал закритические движения цилиндрических оболочек. В работе Л.А. Мовсисяна [9] приводится постановка задачи о потере устойчивости цилиндрической оболочки при продольном ударе телом, масса которого значительно больше массы оболочки. Для первого прохождения продольной волны описывается качественная картина потери устойчивости и предлагаются уравнения, из которых можно было бы, по мнению автора, определить связь между приложенным на торце оболочки усилием и критической длиной по статическому критерию. В [10] авторами получены критические длины потери устойчивости стержней при продольном приложении на торце силы, изменяющейся по линейному закону. Результаты представлены для 2-х видов нагружения и 4-х комбинаций граничных условий.

Из сказанного следует: 1) Формы потери устойчивости при ударе могут отличаться от статических. При ударных воздействиях возможна потеря устойчивости по высшим формам. 2) Начальные движения-изгибания всегда носят осесимметричный характер. Следовательно, именно такие формы потери устойчивости могут рассматриваться как опасные для целого ряда конструкций, в которых прогибы порядка толщины оболочки недопустимы. 3) Формы потери устойчивости более чувствительны к характеру напряженного состояния за фронтом продольной волны сжатия, чем к учету конечности скорости продольной волны.

1. Постановка задачи и уравнения движения. Пусть в начальный момент времени к подвижному торцу оболочки прикладывается быстро возрастающее по линейному закону (ударное) продольное усилие. От торца оболочки начинает распространяться продольная волна, передний фронт которой делит оболочку на два участка: перед фронтом продольной волны невозмущенный участок, за фронтом продольной волны сжатый участок. Требуется определить наименьшую длину, которую должна пройти продольная волна для того, чтобы оболочка потеряла устойчивость. Или найти длину полуволны выпучивания, соответствующую приложенному на торце усилию.

Дифференциальные уравнения движения оболочек, учитывающих сдвиг и инерцию вращения, можно найти в [11]. После достаточно громоздких преобразований эти уравнения примут вид

дТ г , д2п „

---Л— = 0,

дх g д ^

I EN I

Транспорт

~d4w d („/ xdw^ Eh y y d2w T, , n D—-+—I T(x,t)— | + —w + h—— + L(x,t) = 0,

dx4 dx { K J dx) R g dt2 v }

где и(х,/), w(x, /) - продольное и поперечное перемещения сечений оболочки; Б, Е, у, g - цилиндрическая жесткость, модуль упругости, вес единицы объема материала оболочки и ускорение свободного падения соответственно; Я , к , ¡- радиус, толщина оболочки и коэффициент Пуассона соответственно. Продольное усилие связано с перемещениями следующей формулой:

T = -

w

1 -¡{дх ' Я)

Дифференциальный оператор четвертого порядка Ь(х,/) содержит слагаемые, которые в совокупности учитывают сдвиг (коэффициент к) и инерцию вращения, и имеет вид

L (x, t ) = D

2V

д 3u

д2 w

V

Rk2 (1 -v2) dx3 Rk2 (1 -v) dx2 Rk2 (1 - V) dx2

dw dx

dw dx

du V

--— w

dx R

Y 1 -V2

k2 (1 -v) dx'

2v(1 + V)Y du v(1 + V)Y d2 Rk2Eg dxdt2 Rk2Eg dt2

2v(1 -V2)2 Y2 d4w 2(1 +v)Y d'

1 +

dw dx

k2

2 (1 + V)Y

k2 Eg

d 4w dx2dt2

d3

dxdt2

dw dx

du V

--— w

dx R

w dt2

при x = 0,

k2 E2 g2 (1 -v) dt4 R 2k2 Eg

Система уравнений

где cr(t) - напряжение на торце оболочки.

Начало пространственной системы координат расположено на торце, воспринимающем удар. Ось x направлена по оси оболочки в сторону распространения продольной волны.

2. Решение. Процесс движения представим как процесс, состоящий из двух движений. На первом этапе идет сжатие цилиндрической оболочки, а на втором этапе происходит потеря устойчивости оболочки. Это позволяет систему уравнений движения интегрировать раздельно. При таком подходе становится возможным не учитывать сдвиг и инерцию вращения. Решение первого уравнения будем считать известным и интегрируем второе уравнение с учетом решения первого уравнения. В данном пункте рассматриваются оболочки конечной длины, при этом рассматриваются интервалы времени, за которые продольная волна может пробежать всю длину оболочки. Другими словами, напряженные состояния в серединной поверхности оболочки, вызванные отраженной волной, не рассматриваются. В числовых примерах рассматривался случай приложения мгновенно возрастающего на торце до своего максимального значения напряжения ат и три комбинации граничных условий: 1) шарнирно

опертая оболочка; 2) левый конец оболочки, воспринимающий удар, подвижно шарнирно оперт, правый конец заделан в продольном направлении и подвижен в вертикальном направлении; 3) левый конец защемлен, но опора может перемещаться в продольном и вертикальном направлениях, на правом конце оболочка опирается на неподвижный шарнир.

В качестве примера приведем теоретические выкладки для первого случая. Для мгновенно приложенного усилия решение уравнения (1) в рядах Фурье имеет вид

0 < x < b, T] »

= ^ ak cos Akx,

b < x < l, 0

k=0

a.

=T\•

a.

2T

= sinXb, (k = 1,2,3...), kn

где I - длина оболочки; Ь = ш - длина сжатого участка оболочки.

Решение уравнения (2) будем искать в виде рядов Фурье, удовлетворяющих граничным условиям шарнирного опирания:

кп

w(x, t) = вш ^ fk sin Akx,

k=1

Ak = —,

х = 0: w = 0, = 0; х = I: w = 0, < = 0. Подставляя ряды (3) и (4) в уравнение (2), после громоздких преобразований получим бесконечный ряд, рав-

ный нулю:

к=1

к-1

^ вт Лкх /к -¿к ^ Ъ/г

г=к+1

г =1

= 0,

где

Екъ Ек

Пк = ^"гт:-2-К - 2ка{) - ¿а2к + 2 — - 2ркс2.

12(1 - V ) К

Условие существования решения, отличного от нулевого, и уравнение (5) для определения коэффициентов

/к дают бесконечную систему однородных алгебраических уравнен

ий:

к-1

/к- ¿к ^ (аг+к + аг-к - - ¿к ^ (аг+к + аг-к - =0

г=к+1 г=1

Условие существования нетривиального решения системы уравнений (7) приводит к условию равенства нулю бесконечного определителя:

01 - (а1 + а3) -¿к (а2 + а4).....

-¿¿г

-Л1Л3 (а2 + а4) -¿2^3 (1 + а5) ^3

Уравнение (8) связывает между собой приложенное на торце оболочки усилие, механические характеристики, геометрию оболочки и длину сжатого участка оболочки. Для определения длин потери устойчивости воспользуемся одним из критериев, используемых при определении критических нагрузок в статике. Согласно этому критерию оболочка оказывается в состоянии безразличного равновесия в тот момент времени, когда частота колебаний с = 0 . Назовем этот критерий применительно к нашему решению «статическим критерием».

Тогда, полагая в (8) с = 0, можно получить зависимости Т , где г/ = Ь /1, Т- приложенное на торце усилие (Т = от • к). Корни характеристического уравнения (8) находились методом половинного деления по стандартной программе.

Результаты вычислений для описанных выше комбинаций граничных условий приведены в табл. 1-3.

3. Примеры. В числовых примерах рассмотрено движение и потеря устойчивости цилиндрической оболочки со следующими механическими и геометрическими характеристиками:

Е = 2-106кг /см2; к = 5-10-3см; К = 2,5 см; v = 0,3; I = 10 см (к /К = 0,002). Классическая теория потери устойчивости цилиндрической оболочки дает: к

Тст = Ттеор = 0ст ' к = 12,1 Кг

о = 0,605Е— = 2420кг / см2;

ст 5 к

Результаты вычислений при удержании 50 слагаемых (п=50) в рядах типа (4) приведены в таблицах.

а) Шарнирно опертая оболочка.

п=50 Ттеор = 12,1кг Тщшш

ш : ь . / 1 ^ X

Ь П = 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Т кр 12,687 12,433 12,322 12,262 12,224 12,198 12,178 12,162 12,084

г( %) 4,85 2,75 1,83 1,33 1,0 0,81 0,64 0,51 0,13

Таблица 1

да

да

со

б) Цилиндрическая оболочка, опертая на цилиндрический шарнир на торце, воспринимающем удар, правый конец заделан, но заделка подвижна в вертикальном направлении.

да

м>(х,^ = е™*!^/к 81ПА2к-1х; А^ = ^^ (к=1'2'3^'): х = 0: w = 0, м''Хх = 0; х = I: w = /, w'x = 0.

п=50

Ттеор = 12,1кг

Ж

ь п=1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Ткр кр 12,77 12,492 12,369 12,302 12,260 12,23 12,207 12,188

*(%) 5,33 3,24 2,22 1,65 1,32 1,1 0,88 0,73

12,129 0,24

Таблица 2

1

в) Левый торец цилиндрической оболочки заделан от поворотов, но подвижен в продольном и вертикальном направлениях. Правый конец неподвижно шарнирно оперт.

w( х, t) = е

С

да

2=14 С08 А2к-1х: А2к-1

(2к - 1)п

(к=1,2,3....

к=1'К ¿К-1 ¿к-1 21

х = 0: w = /, w'x = 0; х = I: w = 0, w'Хx = 0.

Таблица 3

п=50 Ттеор = 12,1кг Т ^1110111

7 V/ 1- ь 1 1 ^

ь П= 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Т кр 12,761 12,481 12,364 12,299 12,258 12,229 12,206 12,187 12,129

8( %) 5,46 3,15 2,18 1,64 1,3 1,07 0,88 0,72 0,24

Во всех таблицах п - безразмерная длина сжатой части оболочки. Она показывает, какую часть оболочки

прошла продольная волна сжатия. Во второй строке таблиц Ткр - полученные из решения критические усилия

потери устойчивости при использовании статического критерия с = 0 (обращение в ноль частоты колебаний оболочки). В последней строке таблиц показаны погрешности вычислений в процентах:

8 = \

Ткр Ттеор

/ Ттеор 1-100%.

Анализ результатов вычислений показывает, что, во-первых, если приложенное на торце напряжение держится дольше, чем время прохождения продольной волной длины полуволны потери устойчивости, критическая сила не меняется. Это полностью соответствует имеющимся в литературе результатам, полученным в предположении, что по длине оболочка делится на большое число полуволн. В этом случае граничные условия на торце оболочки, воспринимающем удар, не влияют на зависимости критическое усилие-длина полуволны. Во-

вторых, результаты, полученные для Ткр с использованием рядов Фурье, всегда выше Ттеор, полученного

аналитически по статическому критерию. Хотя погрешность вычислений ^значительно меньше 5%, сам факт позволяет задуматься о том, что более точной моделью для этих задач должна быть, видимо, модель полубесконечных тел, будь то стержень или оболочка. В-третьих, для определения критических усилий по статическому

I EN I

Транспорт

критерию достаточно рассматривать шарнирно опертую оболочку. В-четвертых, эффективность использованного здесь метода позволяет в дальнейшем получить аналогичные результаты при других формах продольного на-гружения. Для стержней авторы показали это в [10].

4. Рассмотрим потерю устойчивости полубесконечной оболочки, на торце которой в начальный момент времени приложена мгновенно возрастающая до своего максимального значения продольная сила (усилие). Тогда по длине оболочка разбивается на два участка. За фронтом продольной волны она сжата усилием, соответствующем приложенному на торце усилию, а перед фронтом продольной волны располагается участок с нулевым уровнем напряжений. Определим критическую длину полуволны потери устойчивости оболочки и критическую длину полуволны выпучивания оболочки, воспользовавшись динамическим критерием, вытекающим из работы М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [1].

При сделанных ранее предположениях уравнения движения полубесконечной оболочки запишем в виде

д2и 1 д2и

dt2 a2 dx2

Г Гт-чд 4w д Г^дw ^ Eh г,д2 w V ,

II D—- +—I T

0 ^ дx4 дx { У } дх) R g дt2 /

Все обозначения в системе уравнений (9) и (10) общепринятые. Начальные условия имеют вид

t = 0: w = ^/дt = 0, u = дu/дt = 0 при x Ф 0; ст(0) = ат при x = 0.

Граничные условия ставятся на торце, воспринимающем удар (эти условия произвольные) и на фронте продольной волны. На фронте продольной волны должны выполняться условия жесткого защемления. Если считать, что время приложения нагрузки больше времени, за которое продольная волна преодолевает расстояние, равное длине полуволны выпучивания, то можно считать, что граничные условия не влияют на искомые критические характеристики. В качестве граничных условий для сжатой части оболочки можно принять условия шарнирного опирания:

x = 0: w = 0, w"xx = 0; x = I: w = 0, w"xx = 0. Граничные условия будут удовлетворены, если принять

' тпх^

w

Подставляя (11) в вариационное уравнение (10) и проводя интегрирование, получим

4 4 2 2 j^J

^ .m п — 4 , m п — En — , — п Ш-^-у/х - AaJí - у/х +— + рМух = 0 , l l К

или phA

4 4 2 2 7^7

^ m n , m n Eh

D—4--c>h—— + —-

l4 l2 R

= 0.

В последних уравнениях введены следующие обозначения:

и \ d2A — г . 2 mnx A (t] = —~r; y/x = J sin —i—dx; T = a- h.

Решение обыкновенного дифференциального уравнения (12) будем искать в виде

A

После подстановки (13) в уравнение (12) для показателя экспоненты a получим

^ 4 ,2 Eh Dn -chn +—-

,2_ 1 R2

С =--—,

ph

где п = тп /1 = п/ Я. Я - длина полуволны потери устойчивости (Яст) или длина полуволны выпучивания

(Ядин ).

Воспользуемся статическим критерием потери устойчивости, который в задачах статической устойчивости трактуется как динамический критерий [12]. Положим с = 0 . Тогда из (14) после стандартного анализа получим

кр Е h

о =

ст

R

_2

Я! = Щ

>/12

что совпадает с результатами расчетов настоящей статьи и с результатами, приводимыми в [12].

Однако в задачах удара, как правило, заданными оказываются напряжения на торце оболочки и они в произвольное число раз могут превосходить статические критические напряжения. Для определения критических полуволн выпучивания воспользуемся динамическим критерием выпучивания, основанным на результатах [1] и примененным впервые в [13]. Согласно этому критерию критические длины потери устойчивости стержней, а в данном случае полуволны выпучивания оболочек, должны соответствовать максимальному темпу возрастания

амплитуды А ().

2

Отыскивая экстремум функции с по п получим

2п - Одинh = Или пи = Одинh / А для длины полуволны выпучивания Ядин = п/ пдин получаем

„2 2Dп2

Я! =—Т •

Один h

Амплитуды волн, длины полуволн которых вычисляются по формуле (16), будут обладать наибольшей скоростью возрастания.

Рассмотрим частный случай. Пусть к торцу оболочки приложено напряжение один = ор. Тогда

,2 2Dп2 2Dп2 „ ГТ-^ п2 ш

Я2,,, =-- =--—• Л 3 (1 -и2 )= , Rh,

- я]з(1 -и2)- ,-—,

о^ Е• h• h VI " ) ф2

что полностью совпадает с длинами полуволн, полученными по (15). Другими словами, полубесконечная оболочка за фронтом продольной волны должна изогнуться, как в случае статического сжатия.

Библиографический список

1. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН СССР. 1949. Т. 64, №6. С. 779-782.

2. Коппа А. О механизме выпучивания круговой цилиндрической оболочки при продольном ударе. Механика: сборник переводов иностранных статей. 1961. №6. С. 145-164.

3. Ефимов А.Б., Малый В.И., Утешев С.А. О потере устойчивости цилиндрической оболочки при продольном ударе // Изв. АН СССР, МТТ. 1971. №6. С. 20-23.

4. Ефимов А.Б., Малый В.И. О механизме выпучивания цилиндрической оболочки при продольном ударе // Тр. VII Всесо-юзн. конф. по теории оболочек и пластин. Ростов-на-Дону, 1971. М.: Наука, 1973. С. 459-463.

5. Линдберг Г.Е. Потеря устойчивости тонкого стержня при ударе. Прикладная механика: Тр. Американского общества инж.-механиков, сер. Е. 1965. №2. С. 67-76.

6. Малышев Б.М. Устойчивость стержней при ударном сжатии. МТТ. 1966. №4. С. 137-142.

7. Линдберг Г.Е., Герберт Р.Е. Динамическая потеря устойчивости тонкой цилиндрической оболочки под действием осевой ударной нагрузки // Прикладная механика: тр. Американского общества инж.-механиков, сер. Е. 1966. №1. С. 91-100.

8. Кийко И.А. Цилиндрическая оболочка под действием осевой ударной нагрузки // Изв. АН СССР, МТТ. 1969. №2. С. 135138.

9. Мовсисян Л.А. О потере устойчивости цилиндрических оболочек при продольном ударе. // Изв. АН Арм.ССР, серия ф.-м. н. 1964. Т. XVII, №6. С. 57-63.

10. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Потеря устойчивости упругих стержней при продольном ударе силой, изменяющейся по линейному закону, при различных способах закрепления // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2009. №1. С. 200-205.

11. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

12. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматлит, 1963. 880 с.

13. Терегулов И.Г., Шигабутдинов Ф.Г. Устойчивость упругопластического стержня при динамическом нагружении // Прочность и жесткость тонкостенных конструкций. Казань: 1977. С. 77-86. Вып.2. / Сб. деп. В ВИНИТИ №4101-77Деп. От 25.10.1977г.