Термомеханическая модель нелинейного анизотропного материала

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 102-109

Механика =

УДК 539.3

Термомеханическая модель нелинейного анизотропного материала *

М. Ю. Соколова, Ю. В. Астапов

Аннотация. Предложенная модель анизотропного упругопластического материала конкретизирована по известным экспериментальным данным о поведении мелкозернистого графита при его нагружении по различным лучевым траекториям в пространстве напряжений.

Ключевые слова: термомеханика, анизотропия, определяющие соотношения.

Известны анизотропные материалы, ведущие себя существенно нелинейным образом как на стадии активного нагружения, так и на стадии разгрузки после пластического деформирования. Одним из примеров таких материалов является мелкозернистый графит, являющийся трансверсально-изотропным и обладающий разносопротивляемостью при растяжении-сжатии. Данные о свойствах графита в широком спектре приложения нагрузок к сплошным и тонкостенным трубчатым образцам приведены в статье [1].

Существенная нелинейность в поведении мелкозернистого графита даже в области малых (до 3%) деформаций не описывается известными моделями анизотропных материалов [2]. Остается открытым вопрос и о построении модели упругопластического деформирования анизотропных материалов [3, 4]. В связи с этим требуется разработка термомеханически обоснованных определяющих соотношений, описывающих поведение начально анизотропных материалов как в области обратимых (упругих), так и в области необратимых (упругопластических) деформаций.

1. Основные термомеханические соотношения модели. Рассмотрим шестимерное пространство [3], в котором тензору деформаций е = ецЩ соответствует вектор э = эага. Связь между их компонентами в ортонормированных базисах ег (г = 1, 2, 3) и га (а = 0,1, 2, 3, 4, 5) определяется соотношениями [3]:

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-97501-р_центр_а, 12-01-31176-мол_а).

э0 = 3 (е11 + е22 + £33) , э1 = (2е33 — £11 — е22) , э2 = (е22 — е11) ,

э3 = -^у2

Векторы га шестимерного пространства являются образами тензоров

канонического базиса 1а:

I0 = (в1в1 + 6*26*2 + ё*3ё*3), I1 = —= (2ё*3ё*3 — 6*16*1 — 6262),

I2 = —

I4 = —26263 + 6362), I5 = —7= (6361 + 6163),

для которых справедливы условия нормировки I“ • -Iе = 5ав.

Аналогичным образом тензору напряжений Б = Бг^егё^ ставится в соответствие шестимерный вектор а = иа%а.

Пусть рассматриваемые тензоры е и Б энергетически сопряжены, то есть свертка Б   (е представляет элементарную удельную работу напряжений

(Л(г), тогда в шестимерном пространстве

ро

Запишем основное термомеханическое соотношение в форме Гиббса [3]:

— э

р0

где в, Т — удельная энтропия и абсолютная температура, С — термодинамический потенциал Гиббса, — элементарное производство диссипации.

Полагают, что потенциал Гиббса является функцией напряжений и температуры С = С(а,Т), тогда выражение для его дифференциала имеет вид

дС _ дС _

да д!

Соотношения, определяющие поведение материала при обратимом и необратимом деформировании, удовлетворяют соотношению (1.4) и могут быть получены путем задания конкретных форм выражений для потенциала Гиббса и производства диссипации.

2. Модель обратимого деформирования. В случае обратимых процессов диссипация отсутствует d'w = 0, тогда из соотношения (1.4) следует, что

dG = — — э • da — sdT.

Ро

Сопоставляя выражения (2.1) и (1.5), получим в случае обратимых процессов, что

dG dG . .

э = —Р0da’ s = — дТ

Примем для потенциала Гиббса простейшее квадратичное представление G = —а • A

где A(a), а — материальные характеристики, G(0)(T) — составляющая потенциала Гиббса, зависящая только от температуры.

На основании (2.2) и (2.3) получим

dA

э = роА

da

s = a •a — Ir-

В соотношениях (2.4) представим тензор свойств A(a) линейной функцией напряжений в виде

т—1

РоA

а=о

где C, ca — постоянные, ia — базисные векторы шестимерного пространства, инвариантные относительно группы ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств анизотропного материала [4, 5], m — число инвариантных базисных векторов для рассматриваемого материала.

Подставляя (2.6) в (2.4), получим нелинейные определяющие соотношения для анизотропного материала в виде

т—1

э — lC + 7 ^a V ьа

а=о

C + ¿ Ca {íaJ + Ola +

Определим термомеханический смысл констант, входящих в соотношения

(2.7). Рассмотрим линейный случай, когда са = 0 (а = 0,1, •••, т — 1):

э = С а + а(Т — То)•

Положив напряжения отсутствующими, определим температурные деформации в материале

эи=о = а(Т — То),

тогда а = роа — шестимерный вектор, являющийся образом тензора теплового расширения [6]. Если процесс деформирования является изотермическим, то

э1т=т0 = С  а

и тензор С является шестимерным образом тензора упругих податливостей, который может быть определен по начальному участку кривых деформирования.

Для конкретизации выражения (2.5) учтем, что энтропия сама является термодинамическим потенциалом [3, 6], поэтому может быть представлена функцией параметров состояния в = в(а,Т), тогда

дв дв

йв = —  йа + —йТ•

да о1

Из (2.5) следует, что йв = а  йа — йТ, тогда дт = — .

Величина Т дт представляет собой меру количества тепла, образованного в единице массы при изменении температуры и при постоянных напряжениях — удельную теплоемкость при постоянных напряжениях: са = —Т . Если считать са постоянной величиной, то после

интегрирования получим

йО(о) , Т ,о) / Т . Т Т 1

------= са 1п —, = —са То — 1п-----------+ 1

йТ а То ’ * Ч То То То

тогда энтропия имеет выражение

Т

в = а а + са 1п — •

То

Соотношение са = се + а  С-1  а связывает теплоемкость при постоянных напряжениях са с теплоемкостью при постоянных деформациях се [3, 6].

3. Идентификация модели для мелкозернистого графита. В

статье [1] приведены кривые изотермического растяжения графита в трех направлениях: вдоль трансверсальной оси, в плоскости изотропии и под углом 45° к трансверсальной оси.

Для трансверсально-изотропного материала входящий в соотношения

(2.7) тензор С имеет разложение по базису га шестимерного пространства в виде

C — Cocido + Coi (ioh + Mo) + Спйй + C22 (hh + hh) + C44 (¿4^4 + ¿5^5) >

а отличными от нуля константами ca являются только со и С1 [3].

Компоненты тензора податливости Сар могут быть определены по данным статьи [1]. Константы со и С1 могут быть определены из опытов. В частности, из опытов на растяжение вдоль трансверсальной оси (кривые 5 на рисунке 1) и в плоскости изотропии (кривые 1 на рисунке 1) установлены значения со — 2, 626 • 10_8 и С1 — 1, 575 • 10-8. Найденные значения констант co и c1 использованы при расчете зависимости между напряжениями и деформациями при растяжении образцов в направлении, составляющем 45° относительно трансверсальной оси. Соответствующие кривые на рис. 1 имеют номер 3.

0 0.0024 0.0048 0.0072 0.0096 £ 0.012

Рис. 1. Зависимости между напряжениями и деформациями: кривые 1 — растяжение в плоскости изотропии; кривые 5 — растяжение вдоль трансверсальной оси; кривые 3 — растяжение под углом 45°

На рисунке экспериментально полученные кривые растяжения показаны сплошными линиями с точками. Кривые, полученные по результатам расчетов, показаны штриховыми линиями. Рисунок показывает хорошее соответствие между результатами расчетов и данными экспериментов для всех направлений растяжения, в том числе и при растяжении под углом к трансверсальной оси, когда экспериментальные данные не использовались для определения констант.

4. Термомеханическая модель необратимого деформирования. При рассмотрении необратимых процессов полагают, что диссипация отлична от нуля и 6'^} > 0.

В шестимерном пространстве вводится термомеханический базис Ьо ,Ь\, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5 такой, что составляющие векторов деформаций и напряжений Э(о) =

= (э • Ь0)Ь0, <Г(0) = ((Г  Ь0)Ь0 в течение всего процесса остаются обратимыми, то есть необратимые деформации в направлении вектора ¿0 не происходят, они полностью расположены в подпространстве векторов ¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5, ортогональном к вектору ¿0- Используя разложения деформаций и напряжений по термомеханическому базису э = Э(0) + э^, Г = Г(0) + а±, запишем выражение для свертки

э  Г = э

Тогда основное термомеханическое соотношение в форме Гиббса (1-4) может быть представлено в виде

— э

Р0 ^ 1 ; Р0

Представим потенциал Гиббса суммой двух функций, первая из которых зависит только от составляющей напряжений 7(0) и температуры, а вторая — только от составляющей напряжений ¿г^:

0

В этом случае (4-2) можно записать в виде

— э (0)  6г(0) + —э^  + з6Т + 60(0) + 60 = —6 w < 0,

Р0 ^ 1 ’ Р0 у ’

причем

60(0) =------э(0)  6г(0) — з6Т, 60+ —э±  = —6^.

к 1 р0 к 1 к 1 р0

Предположим, что работа необратимой составляющей напряжений

полностью рассеивается:

= —Г±  6э±.

р0

Из предположения (4-5) и выражения (4-4) следует, что

60± = — — э^  67± ——Г±  6э± = — — 6

Р0 Р0 Р0

Известна связь термодинамического потенциала Гиббса и свободной энергии [3, 6]:

0 = Ф — —э  Г.

р0

Представляя свободную энергию в виде

Ф

дифференцируя (4.7) с учетом (4.1), (4.3) и (4.8), получим

1

d

ро

и

dG

1

d(s(0) • а(0)) , dG± — dФ±

1

d (э± • а±).

р0

р0

Учитывая в последнем равенстве выражение (4.6), получим, что предположение (4.5) о рассеивании работы необратимой составляющей напряжений приводит к требованию

в соответствии с которым (4.5) эквивалентно утверждению, что в пространстве деформаций существует поверхность нагружения, отделяющая область обратимого деформирования от области необратимого деформирования, которая совпадает с эквипотенциальной поверхностью составляющей свободной энергии Ф^ (э±) = Ф^. Такое предположение было использовано при построении термомеханической модели упругопластического деформирования анизотропных материалов в монографии [3].

1. Огибалов П.М., Кузнецов В.Н., Савов П.М., Алифанов А.В. Экспериментальное исследование пластичности начально-анизотропного материала при простом деформировании // Упругость и неупругость / Под. ред. А.А.Ильюшина. М.: МГУ, 1987. С. 136-146.

2. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения. Тула: ТулГУ, 2000. 149 с.

3. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. Тула: ТулГУ, 2011. 374 с.

4. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич, Д.В. Постулат А.А.Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 38-45.

5. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Нелинейные соотношения анизотропной упругости и частный постулат изотропии // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 4. С. 587-594.

6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

с!Ф± — 0,

Список литературы

Соколова Марина Юрьевна (socolova-m-u@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Астапов Юрий Владимирович (ast3x3@gmail.com), студент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Thermomechanical model of a nonlinear anisotropic material

M. Yu. Sokolova, Yu. V. Astapov

Abstract. An offered model of an anisotropic elastic-plastic material is concretized by known experimental data about fine grain graphite behavior at its loading by different ray trajectories in a stress space.

Keywords: thermomechanics, anisotropy, constitutive relations.

Sokolova Marina (socolova-m-u@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.

Astapov Yuri (ast3x3@gmail.com), student, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 22.09.2012