Фрактальная геометрия в школе и университете

УДК 514

ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ШКОЛЕ И УНИВЕРСИТЕТЕ

Е.И. Антипова, А.В. Александрова, А.А. Широков Московский Политехнический Университет

Аннотация

Ключевые слова:

Фрактальная геометрия, рекуррентные формулы, тектонические переломы, образование, методика. История статьи:

Дата поступления в редакцию 11.08.17 Дата принятия к печати 13.08.17

В статье рассмотрено бурно развивающиеся направление современной математики — фрактальная геометрия. Это направление тесно связана с алгеброй, геометрией, математическим анализом, теорией функций, теорией размерности, топологией, теорией вероятностей, функциональным анализом, теорией хаоса, а в качестве приложений используется в биологии, металлургии, экономике, физике, психологии, лингвистике, полити-

ке и других направлениях человеческой деятельности.

Преподавание данного раздела геометрии тесно связано с использованием современных информационных и коммуникационных технологий. Сделан вывод, что данный курс способствует повышение интереса учащихся школ и студентов вузов к изучению предметов математики и информатики.

Б. Мандельброт открыл фракталы, а также он исследовал процессы, которые появляются во время решения практических задач. Только в 20 веке фрактальная геометрия раскрыла весь свой потенциал. Книга Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» появилась на прилавках в 1983 г. Она показала новые стороны геометрии. Автор писал: «По какой причине геометриюименуют холодной и сухой? Например, из-за отсутствия возможности вывести форму облака, берега моря, дерева или горы. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой...» Окружающий нас мирпо-казывает нам, что природа совсем не так проста. И далее: «Эти структуры бросают вызов в виде сложной-цели изучения форм, которые Евклид назвал как бесформенные, - цельизучения морфологии аморфного».

Фрактальная геометрия пока не входит в стандарты школьного образования. Возможность знакомства учащихся с новыми математическими идеями в процессе его обучения в школе предоставляется через систему кружков, факультативов и дисциплин по выбору. Знакомство с фракталами повышает интерес учеников к математике, программированию и компьютерной графике. Причем, привлеченный интерес учеников школ по фрактальной геометрии увеличивает интерес к техническим вузам.

Удобно организовать обучение в 10-11 классе. На этом этапе учащийся должен иметь возможность задавать вектор, определенный координатами, и на основе вычисления рекурсивной формулы знать использование вектора для определения координат метода.

Занятия лучше всего строить по схеме:

• рассказ свойств геометрических фракталов;

• определение первого или сразу двух первых шагов в создании фрактальной кривой;

• разработка рекуррентных формул для расчета координат вершин фрактала;

• программирование и создание фрактальной кривой.

С курса по информатике вам нужно понимать любой метод программирования на языке или иметь возможность работать, например, МаШса^ который позволяет вам программировать и создавать графику. Чтобы использовать язык программирования с компьютерными программами компьютерной науки и знакомство с МаШса^ вы можете ограничить себя тем, что ознакомились с содержанием нескольких частей ру-ководства.Важно отметить, что, осваивая фрактальный алгоритм, студенты становятся обычным способом создания математических моделей в природе и обществе.

I. Построение итераций фракталов с помощью L - систем.

ВЬ-системахдля вывода используется черепаха-графика. Построение многих фракталов такова: выбирается аксиома и порождающее правило. За шаг алгоритма каждый из отрезков ломаной «ползущая черепашка» заменяет порождающим правилом в соответствующем масштабе. Запишем результаты построение фрактала в виде небольшой таблицы 1.

Таблица 1

Вход

Аксиома (axiom): 'F'

Порождающее правило (newf): 'F-F++F--F++F-F'

Начальный угол(а): 0

Угол поворота (в): п/3

На рис. 1 показаны итерации фрактала. Аксиомаздесь отрезок (получается в виде 'Б') и аксиомаздесь ломаная линия (получается в виде'Б-Б++Б--Б++Б-Б').

Рис. 1

II. Построение итераций фракталов на комплексной плоскости.

В такой плоскости фракталы кодируются с помощью итерированных функций комплексного переменного у (= г2 + с, с е С . После несколько итераций становится понятно, к которому аттрактору устремится точка г комплексной плоскости.

Если ее орбита имеет какую-либо границу, то программа отметитэту точку отдельным цветом. Заполняющее множество Жюлиа будет содержаться из точек, орбиты которых ограничены. На Рис. 2как пример, показан фрактал, созданный итерацией функции f(z) = z2 - 0,24251+0,8271i. III. Построение фракталов с помощью аффинных преобразований.

При создании итераций фракталов в этом примере подбираются коэффициенты матрицы нескольких

аффинных преобразований. Затем происходят процессы итерации. Рассмотрим применение аффинных преобразований в случае построения пыли Серпинского (Рис. 3 - 4).

Т3

Т4

Рис. 3 Рис. 4

Для построения пыли Серпинского использовались четыре сжимающих аффинных преобразования, каждое из которых переводит исходный квадрат в соответствующие квадраты.

X

т

( X1 (1/3 0 1 ( X1 (01

+

V У ) \ 0 1/3, V У ) V 0 )

(1/3 о Ух^ ( о Л

^ (1/3 0 Ух^ (2/3Л

х

V У )

0 1/3

+

V У )

V 2/3)

V У )

V

0 1/3

+

V У )

V 2/3)

(1/3 0 ух^ (2/3Л

х

V У )

0 1/3

+

V У )

V 0 )

Это не все примеры, которые можно построить с помощью сжимающих аффинных преобразований. С нимитакже можно построить множество объектов природы, которые нас окружают.

Построим «ветку куста». Для начальной фигуры возьмем квадрат единичной длины и к каждой его точке применим совокупность аффинных изменений, записанных в матричной форме.

Построение этого фрактала создается с помощью аффинных преобразований А , А , А , А , А , А . Покажем первые 6 итераций множества «Ветки куста».

Рис. 5

2

4

Чем больше число, тем более четкое изображение ветки куста. После 6 итерации фрактала у насвозник-нет рисунок (Рис. 5). Если добавить краски в этот объект, то получится фигура очень похожая на ветвь куста.

Обучение данным предметом обеспечивает учащимся включение полученных знаний в их самостоятельный поиск решений нестандартных задач, а также способствует интеграции модальностей восприятия учеников и развитию креативных качеств, адекватных специальным видам творческой математической деятельности.

Также заметим, что при обучении этим предметом у студентов увеличивается уровень мотивации как к математике так и информатике.

ЛИТЕРАТУРА

1. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств: Учебное пособие /ГОУВПО Костром.гос. ун-т. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2005. -135 с.

2. Секованов В.С. Методическая система формирования креативности студентов университета в процессе обучения фрактальной геометрии. Костром.гос. ун.-т. Из-во КГУ, 2006. -279 с.

3. В. С. Секованов, В.С. Скрябин Использование информационных и коммуникационных технологий в процессе обучения фрактальной геометрии Информатизация образования - 2008. Международная научно-методическая конференция. Славянск-на-Кубани 2008. С. 391- 395.

4. Далингер В.А. Фрактальная геометрия в школе // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. - 2014. - № 1-2. - С. 236-237;

5. URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4644 (дата обращения: 16.10.2017).

6. Муханов С.А. Проектирование учебного курса / Муханов С.А., Нижников А.И. // Педагогическая информатика. 2014. № 4. С. 39-46.

7. Муханов С.А. Математическое моделирование технологии wolfram cdf для использования в спорте и туризме / Муханов С.А., Бритвина В.В., Муханова А.А. // Научное обозрение. 2017. № 12. С. 132-133.

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Е.А. Антипова, А.В. Александрова, А.А. Широков. Фрактальная геометрия в школе и университете. — Системные технологии. — 2017. — № 24. — С. 47—50

FRACTAL GEOMETRY IN SCHOOL AND UNIVERSITY

E.A. Antipova, A.V. Alexandrova, A.A. Shirokov, Moscow Polytechnic University

Abstract

The article deals with the rapidly developing direction of modern mathematics — fractal geometry. This direction is closely related to algebra, geometry, mathematical analysis, function theory, dimension theory, topology, probability theory, functional analysis, chaos theory, and as applications it is used in biology, metallurgy, economics, physics, psychology, linguistics, politics and others. directions of human activity. The teaching of this section of geometry is closely related to the use of modern information and communication technologies. It is concluded that this course contributes to the interest of pupils of schools and university students in the study of subjects in mathematics and informatics.

Keywords:

Fractal geometry, recurrent formulas, tectonic fractures, education, methodology.. Date of receip t in edition: 11.08.17

Date of acceptance for printing: 13.08.17