Моделирование динамики распространения и конкуренции различных типов информации

УДК 3:001.891.573; 7/9:001.891.573

К. Е. Евдокимов, Е. В. Мелик-Гайказян

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И КОНКУРЕНЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ

ИНФОРМАЦИИ

Рассмотрена модель процессов распространения и конкуренции информации различных типов в некотором фазовом пространстве. Модель учитывает следующие процессы: 1) конкурентное взаимодействие; 2) автоконкуренцию, 3) автокаталитическое воспроизводство; 4) распространение информации в фазовом пространстве вследствие диффузии. Результаты расчетов подтверждают качественный анализ динамики такой системы, проведенный ранее в других работах. Также получены условия доминирования одного типа информации над другим в рамках модели. Результат получен в рамках выполнения проекта РФФИ № 11-06-00160.

Ключевые слова: модификация модели Лотки-Вольтерра, критерий самоорганизации информационных систем, информационно-синергетический подход.

Введение

Существует множество определений понятия «информация» с различных точек зрения, однако обобщенной теории информации, по всей видимости, нет. Следствием самой дискуссионности термина является сложность исследования процессов распространения информации в различных системах, включая социальные, взаимодействия ее различных типов, приводящих в том числе к явлению самоорганизации.

Одним из основных методов теоретического исследования процессов в различных разделах физики, химии и других естественных наук, где возможно формальное описание исследуемой системы и законы допускают математическую формулировку, является компьютерное моделирование. Социология и экономика, с одной стороны, основываются на статистике, т. е. имеют математическую базу, но, с другой стороны, законы не всегда возможно записать математически, что затрудняет моделирование соответствующих процессов. Возможным выходом из этой ситуации является привлечение аналогий из естественных наук и использование соответствующей модели. Примером этого подхода является использование теории фазовых переходов в ферромагнетиках (теории Изинга) для описания финансового рынка [1].

Целью данной работы является численное моделирование процессов распространения и конкуренции информации различных типов в некотором фазовом пространстве. В качестве естественно-научной аналогии выбраны процессы диффузии и кинетики взаимодействия веществ различных типов. Рассмотренная в работе модель была предложена [2] и качественно изучена в работах [3-5].

Модель информационной динамической системы

Модель описывает динамику концентраций элементов, обладающих информацией /-го типа п , распределенных в фазовом пространстве и времени. Модель является обобщением модели Лотки-

Вольтерра [4, 5] и учитывает следующие процессы: 1) конкурентное взаимодействие со скоростью (—Ъу п/ п), где коэффициент Ъ у описывает влияние у-го элемента на изменение концентрации /-го элемента; 2) автоконкуренцию, т. е. конкуренцию между элементами одного типа со скоростью (—а, п/2), где а — коэффициент автоконкуренции;

3) автокаталитическое воспроизводство со скоростью п I /т,, где т/ — характерное время автовоспроизводства; 4) распространение информации в фазовом пространстве вследствие диффузии со скоростью У(Ц Уп,), где Ц — коэффициент диффузии /-го элемента. Координаты фазового пространства и время безразмерны.

Динамика концентраций п, описывается следующей системой уравнений

—п п

—п- = у

дt т. ~гу

1 ^у

где к — максимальное число элементов. Начальными условиями теоретически является хаос. Такие условия нереализуемы технически и в качестве приближения выбрано случайное распределение т гаусс-образных пиков в фазовом пространстве:

п ^ = 0, г) = ^а 1 (г-Гу) ; / = 1, к,

где ау, ру — параметры распределения, в общем случае индивидуальные для каждого пика, гу — случайно выбранный вектор в фазовом пространстве. Для решения системы (1) помимо начальных необходимы также граничные условия. В работе исследовались два типа граничных условий:

(Цуп< )1—V = °; /=1 к;

п

\дУ

= 0; / = 1, к,

где V — объем области фазового пространства, внутри которой исследуется информационная динамика; УГ — граница этого объема. Условие

/=1

соответствует нулевому потоку концентрации элемента /-го типа на границе области фазового пространства. Условие (4) соответствует нулевой концентрации элемента /-го типа на границе.

Для визуализации результатов вычислений использовался следующий метод. Каждому элементу присваивается определенный цвет. Если в точке фазового пространства доминирует определенный элемент, то точке присваивается соответствующий цвет. Условия доминирования выбирались двух следующих типов:

п —

' > 0,5; у = 1, к,

n, > -j , J = 1, к, j * і.

Рис. 1. График доминирования элементов в зависимости от координаты и логарифма времени. Значения параметров: 01 = 02 = 10-2; т1 = 20; т2 = 10; а1 = а2 = 0,1; Ь12 = Ь21 = 1;

Ті > Т2

При использовании условия (5) могут возникнуть области пространства, в которых нет доминирующего элемента. Для этих областей выбирается дополнительный цвет, соответствующий отсутствию доминанты.

Одномерная динамика двух элементов Для оценки влияния соотношения параметров различных элементов на динамику и последующее доминирование элементов рассмотрена модель для двух элементов с одной пространственной и временной координатами. Система уравнений (1) с начальными условиями (2), граничными условиями

(3) решалась численно средствами пакета Wolfram Mathematica. Для визуализации результата использовалось условие (5). Черный цвет соответствует элементу № 1, белый - элементу № 2, серый - отсутствию доминирующего элемента. Характерные результаты представлены на рис. 1-4.

Рис. 2. График доминирования элементов в зависимости от координаты и логарифма времени. Значения параметров: й1 = 10-2; 02 = 2 • 10-2; т1 = т2 = 10; а1 = а2 = 0,1; Ь12 = Ь21 = 1; 02 > й1

Рис. 3. График доминирования элементов в зависимости от координаты и логарифма времени. Значения параметров:

D1 = D2 = 1G-

1G; a1 = G,i; a2 = G,2; b12 = b21 = 1; a2 > a1

Рис. 4. График доминирования элементов в зависимости от координаты и логарифма времени. Значения параметров: й1 = й2 = 10-2; т1 = т2 = 10; а1 = а2 = 0,1; Ь12 = 0,5; Ь21 = 1; Ь21 > Ь12

Т1 = X

Двумерная динамика трех элементов

Рассмотрена модель для трех элементов с двумя пространственными и временной координатами. Система уравнений (1) с начальными условиями

(2), граничными условиями (З) и (4) решалась численно средствами пакета Wolfram Mathematica. Для визуализации результата использовались условия (З) и (б).

Характерные результаты расчетов с граничными условиями (З), соответствующими нулевому потоку через границу, и условиями доминирования

(3) представлены на рис. З.

Результаты расчетов с граничными условиями

(4), соответствующими нулевой концентрации на границе, представлены на рис. З.

Анализ полученных результатов

Согласно работе [2] процесс развития рассмотренных динамических систем должен проходить через следующие стадии:

1) зарождение чистых (без примесей) кластеров определенных элементов на фоне хаоса;

2) расширение кластеров до момента, когда все пространство будет покрыто мозаикой из чистых кластеров и границ между ними;

3) кривизна границ между кластерами уменьшается, число кластеров также уменьшается, образуется структура в виде паркета;

4) медленное движение происходит только на границах кластеров и заканчивается образованием одного чистого кластера.

Из анализа результатов расчетов для одномерной модели (рис. 1—4) следует, что данная последовательностью выполняется для всех рассмотренных систем. Результаты расчетов для двумерной модели (рис. 5, 6) иллюстрируют это еще более наглядно. Исключением является стадия 4, для достижения которой в двумерной модели необходимо неприемлемо большое количество расчетного времени. Однако динамика движения границ кластеров не позволяет усомниться в том, что в пределе будет доминировать один элемент с образованием одного чистого кластера.

Рис. 5. Графики доминирования элементов в зависимости от координат в различные моменты времени. Абсцисса и ордината - пространственные координаты. Для каждого момента времени - отдельный график. Значения параметров: 01 = й2 = 03 = 0,15; т1 = 45; т2 = 15; т3 = 5; а1 = а2 = а3 = 0,1; Ь12 = Ь13 = Ь21 = Ь23 = Ь31 = Ь32 = 5. Белый цвет - доминирует элемент 1. Светло-серый - элемент 2. Темно-серый -

элемент 3. Черный - нет доминирующей фазы

— 19З —

а

б

t= 1,5

а б

Рис. 6. Графики доминирования элементов в зависимости от координат в различные моменты времени. Абсцисса и ордината - пространственные координаты. Для каждого момента времени - отдельный график. Значения параметров: О1 = О2 = О3 = 0,05; т = 1,1; т2 = 1,3; т3 = 1; а1 = а2 = а3 = 0,1; Ь12 = Ь13 = Ь21 = Ь23 = Ь31 = Ь32 = 5. Группа результатов а соответствует условию доминирования (5), группа б - (6). Группы а и б отличаются только визуализацией. Зависимости п(г, /) в обеих группах совпадают. Белый цвет - доминирует элемент 1, светло-серый - элемент 2, темно-серый - элемент 3, черный - нет доминирующей фазы

Следует отметить также, что выполнение одного из следующих условий при прочих равных приводит к наиболее вероятному доминированию элемента № 1 над элементом № 2:

т2 > ть D1 > D2, a2 > a1, b21 > b1

Заключение

В данной работе рассмотрена модель процессов распространения и конкуренции информации различных типов в некотором фазовом пространстве, предложенная в [2]. Модель описывает динамику концентраций элементов, обладающих информацией некоторого типа, распределенных в фазовом

пространстве и времени. Модель является обобщением модели Лотки-Вольтерра [6-7] и учитывает следующие процессы: 1) конкурентное взаимодействие; 2) автоконкуренцию, 3) автокаталитиче-ское воспроизводство; 4) распространение информации в фазовом пространстве вследствие диффузии. Согласно результатам расчетов, рассмотренные системы проходят через стадии хаоса, мозаики, паркета и чистого кластера, что подтверждает качественный анализ динамики, проведенный в [3-4]. Также получены условия доминирования одного типа информации над другим в рамках модели.

Список литературы

1. Vaga T. The Coherent Market Hypothesis // Financial Analysts Journal. 1991. December/January. 26. Wiener N. Differential space. J. Math. and Phys. 2 (1923), 131-174.

2. Чернавский Д. С. Синергетика и информация. М.: Знание, 1990. 48 с.

3. Мелик-Гайказян И. В. Информация и самоорганизация. Томск: Изд-во ТПУ, 1995. 180 с.

4. Мелик-Гайказян И. В., Мелик-Гайказян М. В., Тарасенко В.Ф. Методология моделирования нелинейной динамики сложных систем. М.:

Физматлит, 2001. 272 с.

5. Мелик-Гайказян И. В. Концептуальная модель диагностики технологий информационного общества // Вестн. Томского гос. пед. ун-та. 2010. Вып. 5. С. 42-51.

6. Lotka A. J. Elements of Physical Biology. Baltimore: Williams and Wilkins, 1925. 460 p.

7. Volterra V. Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together // Animal Ecology, Chapman R. N. (ed). New

York: McGraw-Hill, 1931. P. 409-448.

Евдокимов К. Е., кандидат физико-математических наук, старший преподаватель. Национальный исследовательский Томский политехнический университет. E-mail: evdokimov@tpu.ru

Мелик-Гайказян Е. В., студент.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Ленинские горы, 1, Москва, Россия, 119991.

E-mail: melik@physics.msu.ru

Материал поступил в редакцию 11.10.2013.

K. E. Evdokimov, E. V Melik-Gaykazyan MODELING DISTRIBUTION AND COMPETITION DYNAMICS OF DIFFERENT INFORMATION TYPES

The model of processes leading to distribution and competition of different information types is considered. The model takes into account the following processes: 1) competitive interaction; 2) self-competition; 3) self-reproduction;

4) information distribution in phase space due to diffusion. The results of calculations approve qualitative analysis of dynamics of similar systems performed earlier in other works. Also, conditions of domination of one information type on another are obtained in terms of the model. The result was obtained in the framework of the project RFBR no. 11-06-00160.

Key words: modifiedLotka-Volterra model, the criterion of self-organization of information systems, information-synergetic approach.

References

1. Vaga T. The Coherent Market Hypothesis. Financial Analysts Journal, 1991, December/January, 26. Wiener N. Differential space. J. Math. and Phys. 2 (1923), pp. 131-174.

2. Chernavskiy D. S. Synergetics and Information. Moscow, Znanie Publ., 1990. 48 p. (in Russian).

3. Melik-Gaykazyn I. V. Information and self-organization. Tomsk, TPU Publ., 1995. 180 p. (in Russian).

5. Melik-Gaykazyn I. V. Conceptal Model of diagnostics of Technologies of the Information Society. Tomsk State Pedagogical University Bulletin,

2010, no. 5, pp. 42-51 (in Russian).

6. Lotka A. J. Elements of Physical Biology. Baltimore, Williams and Wilkins, 1925. 460 p.

7. Volterra V. Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together. Animal Ecology, Chapman R. N. (ed). New

York, McGraw-Hill, 1931. Pp. 409-448.

Evdokimov K. E.

National Research Tomsk Polytechnic University.

Pr. Lenina, 30, Tomsk, Russia, 634050.

E-mail: evdokimov@tpu.ru

Melik-Gaykazyan E. V.

Lomonosov Moscow State University.

Leninskie Gory, GSP-1, Moscow, Russia, 119991.

E-mail: melik@physics.msu.ru