О модифицированной задаче Бицадзе-Самарского

Л. А. Ковалева

О МОДИФИЦИРОВАННОЙ ЗАДАЧЕ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО

Рассматривается краевая нелокальная задача, являющаяся аналогом задачи Бицадзе-Самарского. В двумерном случае задачу удается свести к локальной краевой задаче, точнее к задаче Дирихле, для уравнения, аналогичного уравнению Лапласа на стратифицированном множестве. С помощью метода Пуанкаре-Перрона устанавливается, что решением является верхняя огибающая семейства субгармонических функции, принимающих на границе заданные значения.

1. Введение. Краевым задачам с нелокальными краевыми условиями посвящено значительное число работ; первой в этом ряду стоит работа Бицадзе и Самарского. Между тем некоторые из этих нелокальных краевых задач (в том числе и задача Бицадзе-Самарского) специальными приемами сводятся к локальным задачам. В данной работе приводится пример такой нелокальной задачи, являющейся аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Эту задачу удается свести к локальной краевой задаче, точнее, к задаче Дирихле для уравнения, аналогичного уравнению Лапласа на стратифицированном множестве. Для доказательства ее разрешимости удается воспользоваться методом Пуанкаре-Перрона, т.е. решение оказывается верхней огибающей класса субгармонических функций, естественным образом определяемого краевой задачей.

2. Постановка задачи. На плоскости М2 рассматривается прямоугольник П (см. рис.1), в котором выделено п вертикальных интервалов у1 = {(X,у),у е(0,1)},

(, = 1,...,М) причем X = 0, X = 1. Эти интервалы разбиваются на группы Гр..., Г т, в каждую из которых входит некоторое число интервалов у1 (не обязательно идущих подряд). Задача состоит в нахождении непрерывной в замыкании П функции, которая гармонична в каждой по-

1

О

Ух

У

2

%

%

%

I

Р и с. 1. Исходное множество

лосе прямоугольника П, заключенного между и у+, то есть

Дм = 0,

и удовлетворяющей следующим условиям:

и(X,у) = и(X, у), у е [0,1], если у! и у входят в одну группу Г*. Далее, если Г*. состоит из интервалов у,1,

то

ды

дх

(X, у)+к +

ды

дх

(X, у) = 0, у є (0,1),

где

ды

дх

(X, у) означает «скачок» производной

І(X,+0,у)-%(XX -0,у),

дх дх

X * 0, і.

ды

Если же X = 0 или X = I, то речь идет об односторонних производных -------(X + 0, у) и, соответ-

дх

ди

ственно,-----(X - 0,у).

дх

Кроме того, задаются условия Дирихле:

и

В отличие от задачи Бицадзе-Самарского [1], функция и не предполагается гармонической во всей полосе П, что компенсируется условиями вида (3). Это обстоятельство не позволяет применить схему доказательства разрешимости задачи (1)-(4), предложенную в работе [1].

3. Преобразование задачи (1)-(4) к задаче Дирихле на стратифицированном множестве. Разрешимость краевой задачи (1)-(4) будем доказывать методом Пуанкаре-Перрона (см. следующий пункт). В этом пункте дается интерпретация соотношений (1)-(4) в виде задачи Дирихле для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве. Такая интерпрета-

ция (1)-(4), не являясь обязательной, упростит дальнейшие построения.

На множестве П введем отношение эквивалентности ~, объявив каждую точку, не принадлежащую ни одной из групп Г*, эквивалентной только себе, а в группе Г* эквивалентными объявим все точки вида (X, у) с фиксированным у. Фактор-множество П /~ =П0, удобно представить в виде объединения одномерных многообразий, получаемых склейкой элементов у группы Г,., и двумерных многообразий — образов участков между соседними и нтервала-

ми у.

Результат описанной факторизации Ф можно иллюстрировать в виде множества О0, устроенного как на рис. 2.

Множество О0 можно считать изометричным (в пределах каждой полоски между соседними у) образом в М3 прямоугольника П. Хотя это не всегда удается реализовать без самопересечений, приводимые далее рассуждения от этого обстоятельства не зависят.

Р и с. 2. Результат факторизации исходного множества

Через О обозначим замыкание 00 в М3. Разность с00 = 0 \ 00 будет тогда границей множества 00 в топологии, индуцированной на 00 из М3. Одномерные многообразия, полученные в результате факторизации (склейки) точек отрезков у е Г*, будем называть одномерными стратами О и обозначать а1к. Образы полос между соседними интервалами у назовем двумерными стратами; обозначать их будем через а2к. Точки из С00, к которым примыкают страты аи, назовем нуль-мерными стратами и обозначим а01. В число одномерных стратов включим также связные компоненты множества сО0 \ и,-ст0(. В результате описанного разбиения множество О превратится в стратифицированное множество в смысле [2].

Соотношения (1), (2) можно теперь интерпретировать как единое уравнение Ьы = 0 эллиптического типа (на описанном выше стратифицированном множестве), которое на одномерных стратах сть. имеет вид

У — (X) = 0,

что является иной записью уравнения (3). Суммирование ведется по всем стратам а2 , примыкающим к сть. (запись ст21 > аи как раз и означает факт примыкания); нормальные производные

сЫ

дп

вычисляются в направлении единичного вектора, ортогонального к сти и направленного

внутрь с2.; для некоторых стратов с2. У си таких нормалей две и в сумму включены обе производные. На двумерных стратах уравнение Ьи = 0 совпадает с (1). Мы позволим себе вместо

Ь употреблять обозначение Д, поскольку комплекс соотношений (1), (2), как было указано в работе [3] (см. также [4]—[7]), является точным аналогом уравнения Лапласа-Бельтрами на 00.

Задача (1)-(4) на рассматриваемом множестве приобретает тогда вид аналога обычной «локальной» задачи Дирихле:

Ди = 0,

и 1дп = ^

где р совпадает либо с (р0, либо с рх, в зависимости от того, какой участок границы рассматривается.

Решением задачи (6), (7) назовем (в соответствии с предыдущим пунктом) непрерывную

на О функцию, удовлетворяющую (6), (7) в классическом смысле. Тем самым будет доказана классическая разрешимость и задачи (1)-(4) в силу описанной выше процедуры ее сведения к (6), (7).

4. Разрешимость задачи (6), (7). Доказательство разрешимости задачи (6), (7), а с ней и задачи (1)-(4), проведем методом, аналогичным стандартному методу Пуанкаре-Перрона (см. [7]).

Реализацию этого метода начнем с решения задачи Дирихле в шаре множества О0 достаточно малого радиуса.

Множество О в целом не является многообразием, а поэтому вблизи некоторых точек невозможно ввести естественные координаты; это относится, например, к точкам X є сги. Поэтому в окрестности а точки X є сги координаты вводятся автономно на каждой связной компо-

ненте множества а П (<си и с2.), где . у сти (координатные линии показаны на рис. 3):

Далее в настоящей работе в качестве а берется шар Вг (Х0), который определяется следующим образом. Шаром Вг(X0) с центром в точке X0 єО0 назовем множество точек X, геодезическое расстояние которых до точки X,, меньше г. При этом г будем считать меньше, чем расстояние от точки X0 є с. до стратов, отличных от с., замыкания которых

не содержат эту точку. Прообразом такого шара при описанной выше факторизации Ф является объединение некоторого числа двумерных полушарий, если X,, єс1 , или обычный

двумерный шар, если X,, є с2 . Пример стратифицированного

шара изображен на рис. 4.

В дальнейшем постоянно используется интегрирование по так называемой «стратифицированной» мере т Для множества а єО она определяется как сумма к-мерных мер Лебега

Г х2

*2 К. Хп

Р и с. 3. К введению координат

шар

«следов» а на акі, а именно, мы полагаем

где т — к-мерная мера Лебега на сткі. Нетрудно показать, что измеримыми по такой мере оказываются такие множества а, что каждое пересечение ашй является л -измеримым. Интеграл Лебега от /л -измеримой на О функции / по такой мере оказывается суммой обычных интегралов Лебега по отдельным стратам, то есть

| /я т = Е № т

О с

В дальнейшем рассматриваются (по большей части) интегралы по границам стратифицированных шаров (сфер). В этом случае сфера рассматривается как стратифицированное множество с естественной стратификацией С і _1. = дВг (X) ос. по всем I, .. Для обозначения меры,

введенной на дВг (X) описанным выше образом, мы будем пользоваться тем же символом /л.

Переходим к формуле Пуассона в стратифицированном шаре. Естественно, что в случае, когда X0 є і , формула Пуассона имеет обычный вид. Если же X,, є иХі сП0, то можно показать, что формула Пуассона имеет следующий вид:

дО

и (X) = _ | р(У)-

дВг

дп

-Ял,

где в предположении, что У с В, = с21 О Вг (X0), имеем:

в( X, У) = -т

т 2 _ т ~ .

—К (х, у) +—^~ К(х, уХ

К (х, у),

X є В,.

и

к

Здесь х = (х1,-х2), х = (х1,x2), а m — число «лепестков» в шаре Br(X0). Через K(х,у) обозначена классическая функция Грина оператора Лапласа в шаре при условиях Дирихле, где х = (х1, х2) — координаты точки X, введенные описанным выше способом. Нетрудно показать, что функция ы( х), определяемая в (9), действительно является решением задачи (6)-(7) в шаре вг ^ о).

Кроме формулы Пуассона в шаре для реализации метода Пуанкаре-Перрона потребуются следующие факты. Первый из них является аналогом теоремы о среднем.

Теорема 1. Пусть Br (X,,) — стратифицированный шар, а u (х) — гармоническая функция. Тогда справедливо следующее равенство:

Правую часть равенства (11) будем обозначать через Мг ^ (и). Можно показать, что если от функции u потребовать лишь выполнения неравенства Дu > 0, то вместо (11) имеет место неравенство

Доказательства этих утверждений стандартны. Неравенство (12) мотивирует следующее определение.

Определение 1. Непрерывная на П0 функция ы называется субгармонической, если для любого X0 и для любого р справедливо неравенство ы(Х0) <Мг,х (ы).

Аналогично, с помощью противоположного неравенства определяется понятие супергар-монической функции.

Для удобства перечислим некоторые свойства субгармонических и супергармонических функций:

- функция одновременно субгармоническая и супергармоническая является гармонической;

- верхняя огибающая конечного числа субгармонических функций является субгармонической функцией;

- если V — субгармоническая (супергармоническая), а ы — гармоническая функция, то V + ы (соответственно (V - ы)) будет субгармонической (супергармонической) функцией;

- если ыХ0 г(X) — гармоническая срезка (см. [8]) в шаре вг(Х0) сП субгармонической в П функции, то имеет место неравенство ы (X) < ыXо г (X) при всех X еП.

Следующая теорема дает аналог «сферического» неравенства Харнака для гармонических функций.

Теорема 2. Пусть ы — неотрицательная на П0 гармоническая функция, а Вг (X,,) сП0, X,, е а21 или X0 е а.. Тогда при р < г имеем

для любого X е Вг (X,,) , удаленного от X на расстояние р.

В отличии от классического случая, общее неравенство Харнака на стратифицированном множестве не следует из сферического из-за ограничений на радиус шара, описанного выше. Не следует оно, по тем же соображениям, и из теоремы о среднем. Тем не менее, его удается получить, комбинируя эти два факта. На этом пути получается следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть F сП0 — компактно. Тогда существует такая (зависящая только от F) константа С , что неравенство

выполняется для всех неотрицательных в П0 гармонических функций.

Нам в дальнейшем понадобится теорема Харнака.

Теорема 4. Пусть ып: Вг (X,,)  М — неубывающая последовательность гармонических функций, сходящаяся в некоторой точке X. Тогда ып сходится равномерно в любом шаре

и(X0) <МГХ0 (и).

тах и

XX

Вг, (X,) с Вг (X,). Причем предельная функция будет гармонической.

Доказательство разрешимости, как обычно, начнем с определения класса Sj субгармонических на П функций, принимающих на границе ЭП0 значения не большие, чем соответствующие значения функции р. В соответствии с методом Пуанкаре-Перрона определим на П функцию как верхнюю огибающую класса Sj, то есть

Ъ( X) = 8ир ы (X), X еП,.

uеSj

Теперь докажем, что Wj является классическим решением задачи (6), (7). Мы будем следовать здесь стандартной схеме, изложенной в [9].

Теорема 5. Функция Wj является решением задачи (6), (7).

Доказательство. Возьмем произвольную точку У еП и покажем, что Wj гармоническая функция в некоторой окрестности У, тем самым мы покажем справедливость условия (6). Из определения Wj следует, что существует последовательность ып из класса Sj, сходящаяся к Wj в точке У. Будем считать, что ып возрастающая последовательность (в противном случае перейдем к последовательности ып = тах{ы1,ы2,..ып}, которая также сходится в точке У к Wj(У)). Можно также считать, переходя при необходимости к гармоническим срезкам, что функции ып - гармонические в некотором шаре Вг (У). Тогда в силу теоремы Харнака ып сходится в шаре Вг, (У) при г'< г к некоторой гармонической функции ы.

Покажем, что ы = Wj в Вг, (У) (тем самым мы покажем, что Wj гармоническая в этом шаре). В предположении противного, найдется такая точка 2 е Вг, (У), что ы (2) < Wj(Z). В силу определения Wj существует ^е Sj такая, что ы(2) < м>(2) < Wj(Z). Рассмотрим последовательность м>п = тах(^,ып). Рассуждая как выше видим, что гармоническая срезка функций м>п сходится к некоторой гармонической в Вг, (У) функции V. Тогда, в силу выбора м>п, имеем ы(X) < v(X) < Wj(X) при всех X е Вг (У), причем ы(У) = v(Y) = Wj(У). Отсюда, согласно принципу максимума, следует, что ы(X) ° v(X) в шаре Вг, (У). Мы пришли к противоречию с предположением, что ы(2) < Wj(Z) для всех 2 е Вг,(У).

Теперь остается показать, что функция Wj(X) удовлетворяет граничному условию (7). Для этой цели воспользуемся стандартной барьерной техникой. Барьером в точке 2 е ЭП назовем, как обычно (см. [9]), супергармоническую функцию в, положительную в П \ {2} и обращающуюся в нуль в точке 2. Все точки, в которых существует барьер, называются регулярными.

Стандартно проверяется, что Wj(X) удовлетворяет условию (7) в каждой регулярной точке

(подробности можно найти в работах [9, 10]). Поэтому остается показать, что все точки границы регулярные. Это делается явным построением барьера. При этом барьерную функцию удобно строить не на стратифицированном множестве П, а на исходном прямоугольнике, из которого путем факторизации было получено множество П.

Возьмем произвольную точку 20 е ЭП. Построим шар в плоскости прямоугольника, касающийся этого прямоугольника только в точке 20. Пусть у0 его центр. Тогда функция

»,(х)=ь ,

у0 4 / ^

где Я радиус шара, является искомым барьером, что легко проверяется простыми выкладками. Например, очевидно, что она удовлетворяет в каждой полосе у1 уравнению Лапласа. Из-за того, что она гладкая в прямоугольнике, следует, что все скачки, участвующие в формуле (3), равны нулю, а потому

Эы Эы

(Х, у) +... +

Эх _ Эх _

что совпадает с условием (3). Очевидно, что uy0 (x) положительна всюду в прямоугольнике, кроме точки z0, и что uy0 (z0) = 0. Тем самым полностью доказано, что Wj(X) является решением задачи (6), (7).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т.185. С.739-740.

2. Фам Ф. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау. М.: Мир, 1970, 184 с.

3. Penkin O. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions // Partial Differential Equations on Multistructures, ed. by F. Ali Mehmeti, J.von Below and S.Nicaise / Lect. Notes Pure Appl. Math. 2001. V. 219. P. 183-192.

4. Penkin O.M. Second-order elliptic equations on a stratified set. Differential equations on networks // J. Math. Sci. (N. Y.) 119 (2004), №. 6. P. 836-867.

5. Пенкин О.М., Богатов Е.М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах // Матем. заметки, 2000. Вып. 68. № 6. C. 874.

6. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О дифференциальных неравенствах для эллиптических уравнений на сложных многообразиях // Докл. РАН. Т. 360. № 4. 1998. С. 456-458.

7. Nicaise S., Penkin O. Poincare-Perron's method for the Dirichlet problem on stratified sets // J. Math. Anal. Appl. 296 (2004). № 2. P. 504-520.

8. John F. Partial Differential Equation. Springer Verlag, 1986. 250 p.

9. Гилбарг Д, Трудингер М.Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.

10. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980, 304 c.

Поступила 2.10.2006 г.

УДК 517.956 Р. Н. Салихов

РЕШЕНИЕ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ

Изучается нелокальная краевая задача для вырождающегося гиперболического уравнения в области Ю , которая представляет собой объединение двух областей в верхней и нижней полуплоскостях. Доказательство существования и единственности решения исследуемой задачи сведено к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения.

Рассмотрим уравнение

LU =\ y\2mUxx -sign(y)(yUyy + aUy) = 0,

< a < 1, в области D = D1 и D2, где Dj — ко-

где т >—,

2

нечная односвязная область плоскости независимых переменных х и у, ограниченная характеристиками

2 2т1 „ 2

AC1: x--

(-y) 2 = 0, BC1: x + -

г

2m+1 ~ = 1

2т +1 2т +1

уравнения (1) при у < 0 и отрезком 3 ° АВ = {х :0 < х < 1}, £>2 — конечная односвязная область плоскости независимых переменных х и у , ограниченная характеристиками

2т+1

~ = 0, ВС2 : х + -

AC2: x --

y

y

2 m+1 ~ = 1

2т + Г

уравнения (1) при у > 0 и отрезком 3 .

Введем следующие обозначения: ©0

Р и с. 1. Область D