Лучевой метод решения краевых задач ударного деформирования

Научнаясмена

Вестник ДВО РАН. 2006. № 4

Герасименко Екатерина Андреевна

Аспирантка Института автоматики и процессов управления ДВО РАН. Выпускница физико-математического класса Владивостокской средней школы № 23. В 2004 г. с отличием окончила Дальневосточный государственный технический университет, где ей была присвоена степень бакалавра, а затем магистра по специальности «Прикладная математика и информатика». Работать в лаборатории механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН она начала еще в студенческие годы во время подготовки магистерской диссертации. Ее исследования посвящены теории поверхностей разрыва и служат продолжением основных идей и методов, берущих начало в работах Дж.Адамара и развитых затем Т.Томасом, Г.И.Быковцевым и др. Результаты были представлены на Пятой международной конференции молодых ученых стран Азиатско-Тихоокеанского региона в 2003 г., где доклад Е.А.Герасименко признан одним из лучших; опубликованы «в Дальневосточном математическом журнале» (2004, т. 5, № 1). Кроме того, она не раз выступала на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В.Зо-лотова (2003-2005 гг.), а также на студенческих конференциях.

Параллельно с самостоятельной научной работой Екатерина Андреевна проводит занятия для студентов в ДВГТУ. Участвует в семинаре по вопросам механики, в выполнении исследований по грантам лаборатории. В 2006 г. ей присуждена стипендия имени академика В.П.Мясникова.

Создание и деятельность лаборатории механики деформируемого твердого тела связаны с именами таких известных специалистов, как акад. В.П.Мясников, д.ф.-м.н. Г.И.Быковцев и др. С начала 1990-х годов лабораторией руководит д.ф.-м.н., профессор А.А.Буренин. Сложившийся на сегодня ее коллектив в основе своей состоит из выпускников кафедры математического моделирования и информатики ДВГТУ, также возглавляемой А.А.Бурениным.

В сфере интересов лаборатории фундаментальные проблемы современной механики и математической физики. Описание технологических процессов, включающих интенсивное деформирование материалов (ковка, штамповка, пробивание отверстий и др.), требует создания математических моделей, учитывающих все особенности рассматриваемых явлений. Исследования имеют теоретический характер, но именно в них заинтересована инженерная практика с целью обобщения экспериментальных данных. Одно из направлений механики деформирования, разрабатываемых в лаборатории, - теория больших упругопластических деформаций. Общепринятой математической модели больших упругопластических деформаций не существует, дополнительные трудности возникают при учете температурных изменений и реологических эффектов. Разрешение этих трудностей необходимо не только для развития фундаментальных основ современной механики, но также продиктовано насущными потребностями в борьбе за приемлемую прочность ответственных элементов конструкций, за совершенствование технологий изготовления изделий. В рамках данного направления развивается теория движущихся поверхностей разрывов; разрабатываются модели высокоскоростных процессов и приближенные аналитические методы решения существенно нестационарных и нелинейных краевых задач динамики ударного деформирования материалов, такие как метод возмущений и лучевой метод, в том числе в многомерных задачах.

Над кандидатской диссертацией Е.А.Герасименко работает под руководством д.ф.-м.н., профессора А.А.Буренина и его ученицы к.ф.-м.н. В.Е.Рагозиной. Предметом исследования являются краевые задачи динамики деформирования, включающие поверхности разрывов скоростей (ударные волны), а именно поведение полей перемещений, деформаций и напряжений за этими поверхностями. В представленной статье предлагается обзор работ автора по данной тематике.

Е.А.ГЕРАСИМЕНКО

Лучевой метод решения краевых задач ударного деформирования

Рассматриваются решения некоторых краевых задач, содержащих цилиндрические или сферические ударные волны. С целью описания таких волновых процессов проводится уточнение геометрических и кинематических условий совместности для разрывов производных произвольного порядка в пространственной криволинейной системе координат. Определены возможные типы и скорости одномерных цилиндрических ударных волн, показана зависимость скоростей от интенсивности волны и предварительных деформаций в среде. Отличием от таких же плоских волн оказалась невозможность существования волны, на которой происходит изменение только интенсивности предварительного сдвига без изменения его направления (нейтральной волны). На этой основе получены приближенные решения ряда задач лучевым методом. Во всех случаях определены поле перемещений, положение волнового фронта, лучевая координата, а также изменение первоначальной интенсивности разрыва.

Ray method for solving shock deformation boundary problems. E.A.GERASIMENKO (Institute of Automation and Control Processes, FEB RAS, Vladivostok).

Solutions of some boundary problems including cylindrical and spherical shock waves are considered. With the object of describing these wave processes geometrical and kinematical compatibility conditions for discontinuities of arbitrary order derivatives in spatial curvilinear coordinate system are developed. Possible types and velocities of onedimensional cylindrical shock waves as well as dependence of velocities on wave intensity and pre-deformations are determined. In contrast to plane waves a wave where only the intensity of preliminary shear is changed without changing its direction (a neutral wave) is proved to be impossible. Based on these results approximate solutions of some problems were obtained using the ray method. In all cases displacement field, wave front location, ray coordinate and primary discontinuity intensity change were determined.

При решении краевых задач нелинейной теории упругости большой интерес представляют нестационарные поверхности, на которых имеют разрывы функции, описывающие движение сплошной среды. Изучение таких поверхностей, названных ударными волнами, проводилось в большом количестве работ и, как правило, на примере плоских волновых картин [2, 7]. Закономерно возникает задача обобщения результатов, полученных для плоских волн, для волн произвольной геометрии. Это потребовало уточнения геометрических и кинематических условий совместности разрывов производных, в том числе производных произвольного порядка, для произвольной криволинейной системы координат, так как существующая ныне теория ограничивается случаем декартовой пространственной системы координат (Ж.Адамар, Т.Томас, Г.И.Быковцев [4]).

Особенности движения ударных волн произвольной геометрии и типов деформационных картин за волнами показаны в статье на примере одномерных цилиндрических волн. Также обсуждаются приближенные аналитические решения ряда одномерных задач, включающих неплоские поверхности ударных волн. Используемый для построения этих решений лучевой метод основан на разложении искомого решения в ряд по типу ряда Тейлора за подвижной поверхностью разрывов [1]. Такое разложение может проводиться по временной или пространственной координате. В качестве пространственной координаты выбирается расстояние, отсчитываемое от поверхности разрывов до данной точки пространства по соответствующему этой точке лучу. Эта методика обычно применяется для решения задач со слабыми волнами (поверхности разрывов вторых производных от перемещений). В 80-х годах прошлого века А.А.Бурениным была предложена модификация метода [3], позволяющая применить его для решения задач с ударными волнами. Ключевые

моменты здесь опять же рассматривались на примере плоских одномерных волн. Предлагаемая статья показывает, что такой метод решения не имеет принципиальных ограничений, кроме естественных (малость послеударного времени), и может быть применен для получения прифронтовых разложений решения задач с произвольными краевыми условиями.

Условия совместности разрывов в криволинейных пространственных системах координат. Моделью среды является нелинейно-упругий изотропный сжимаемый материал, а движение точек среды задается в координатах Эйлера х ‘ (г = 1, 2, 3). Часть решаемых в дальнейшем задач использует модели несжимаемого изотропного нелинейно-упругого материала. Условие несжимаемости становится дополнительной геометрической связью, но позволяет выделить сдвиговые деформационные процессы без влияния на них предварительного деформирования.

Для изучения объектов, представляющих для нас интерес на поверхности разрывов X (к примеру, интенсивность волны, кривизна волнового фронта и т.д.), удобной характерис-

8

тикой их динамики служит 8-производная - производная по времени (~ ) в данной точке поверхности. Каждая точка X в любой момент времени движется в направлении своей единичной нормали V со скоростью О, причем ее поверхностные координаты уа (а = 1,2) остаются постоянными. Далее всюду греческие индексы принимают значения 1, 2, а латинские - 1, 2, 3. Для криволинейной системы координат необходимо уточнение операции 8-дифференцирования, причем она должна сохранять тензорный характер объекта, а при переходе к декартовой системе сводиться к известным формулам [4].

Такая работа была проделана в [5], причем было показано, что операция 8-дифференцирования должна определяться в зависимости от типа тензорного поля (поверхностный, пространственный или смешанный тензор). Приведем, к примеру, следующую операцию

для тензора Д'-'а-а (уа,/), имеющего как пространственные, так и поверхностные индексы:

где Г]к - символы Кристоффеля 2-го рода.

На основании правила вида (1) получены дифференциальные соотношения, отражающие динамику изменения геометрических характеристик поверхности, таких как касательные векторы и вектор нормали, первая, вторая и третья квадратичные формы [6].

Теперь остановимся на вопросе представления условий совместности разрывов в криволинейной системе координат. В работах Адамара было показано, что для класса обобщенных решений разрывные величины на поверхности X не являются произвольными: разрывы производных по времени и пространственной координате зависят друг от друга. Обобщением этих соотношений в нашем случае будут формулы

В (2) / - компоненты некоторого тензорного поля, определенного в рассматриваемой области, и в частности на поверхности X. Величина, заключенная в квадратные скобки [/] = /+ - / , носит название скачка данного объекта. Не останавливаясь здесь на рекуррентных формулах, по которым вычисляются скачки от производных произвольного

порядка, по причине их громоздкости, отметим, что их детальный вывод представлен в [5]. Полученные соотношения оказываются необходимыми для лучевого метода, поскольку в нем приближенные решения строятся в прифронтовой области и особо важное значение имеет информация о поведении искомых полей и их производных (или скачков от производных) на самом переднем фронте волны.

Лучевое разложение решений одномерных цилиндрических задач с ударными волнами. При решении задач, о которых пойдет речь далее, необходимо знание о типе, особенностях движения цилиндрических ударных волн. Для поверхностей сильных разрывов дифференциальные законы сохранения неприменимы, но, как их следствие, выполняются известные динамические условия совместности [2]. На их основе и с учетом (2) становится возможным указать скорости и виды цилиндрических ударных волн. В рассматриваемом случае х 1 = г, х2 = ф, х3 = г, а для компонент вектора перемещений имеем иг = иг (г, г), Ыф = Ыф (г,г), и2 = и2 (г,г). Считая основной характеристикой разрыва волновой вектор [ы^ 1, для нашей задачи из его компонент получим: Тг = [Эыг /Эг]; Тф = [Эыф /Эг]; = [Эыг /Эг].

Искомые скорости можно представить в виде рядов, зависящих от предварительных деформаций и компонент волнового вектора. Здесь существуют три типа ударных волн. Первая из них будет квазипродольной: при наличии в среде предварительных деформаций она имеет как продольную, так и поперечную составляющую волнового вектора, но последняя является величиной второго порядка малости относительно продольной. Остальные две волны квазипоперечные: на них изменяются главным образом сдвиговые деформации и только затем объемные. На одной из поперечных волн основная составляющая вектора разрывов соответствует антиплоскому деформированию, на другой изменяются прежде всего скручивающие деформации. Ответить на вопрос о том, какая из поперечных волн движется быстрее, в общем случае невозможно, однако для типовых краевых задач в частных случаях этот вопрос может быть решен. Ни одна из сдвиговых волн не воспроизводит эффекта нейтральности [3], наблюдаемого в случае плоских ударных волн, т.е. в представленном здесь случае на каждой поперечной волне меняются не только интенсивность, но и направляющие предварительных сдвиговых деформаций.

Одномерные задачи ударного деформирования - наиболее простые по наглядности получаемых здесь результатов. Именно поэтому они выбраны в качестве примера применения лучевого метода. Сразу необходимо отметить, что одномерность не является ограничением для этого метода [6]. Предположение одномерности исключает необходимость определения геометрии лучевых координат - в нашем случае такой координатой будет г. В качестве исследуемой области берется или неограниченный по образующей круговой цилиндр с начальным радиусом г0, или же пространство, заполненное нелинейно-упругой средой с цилиндрической полостью радиуса г0. В первом случае рассматриваются сходящиеся, во втором случае - расходящиеся ударные волны. Область перед фронтом волны X (+) и решение в ней в дальнейшем обозначается индексом I, область за ударной волной - II. Во всех задачах точное решение для поля перемещений заменяется рядом в окрестности X (г) вида

,(г, г) = и1 (r,г) - ( - гх ) ; гх(г) = } кп =

п=1 п ! г и

Эпи

Эгп

В (3) под и(г,1) подразумевается любая из компонент иг, Ыф, иг. Ряд (3) записан в предположении сколь угодно высокой гладкости и(г, () в окрестности границы Ь(г), но не во всей области. В (3) входит неизвестная пока зависимость гхот г и неизвестные величины к .

Уравнения относительно них можно получить, считая, что в окрестности X выполняются не только уравнения движения, но и уравнения, получаемые из них дифференцированием по времени произвольного к-го порядка. Далее полученные уравнения (от к = 0 и далее) записываются в разрывах с учетом условий совместности (2).

В результате можно получить цепочку дифференциальных уравнений, связывающих неизвестные функции к1, к2, ... с их 8-производными. В случае слабых волн на каждом шаге метода эти уравнения можно рассматривать как обыкновенные дифференциальные уравнения по времени, зависящие также от решений предыдущих шагов. Решение их последовательным интегрированием не представляет больших сложностей. Отличительной особенностью задач с ударными волнами является зависимость дифференциальных операторов от неизвестной функции последующего шага, что делает невозможным последовательное интегрирование. Здесь оказывается возможным применить лучевой метод, представив в (3) неизвестные функции кп рядами по 8-производным в окрестности г = 0 [3]. Такой выбор момента времени предполагает, что решение строится для малых послеударных времен.

Эти особенности метода рассмотрим на примере задачи о расходящейся продольной цилиндрической ударной волне. Результатом воздействия на граничной полости с момента г = 0 будут перемещения вида

а2

иг\ь а) _ &);1 -0; &)_V+—+•••; V >0;1

В (4) принято у0 > 0 с тем, чтобы воздействие на г0 создавало ударную волну с начального момента времени, квадратичная зависимость для g(t) не является принципиальным ограничением, она приведена с целью получения решения (3) за обозримое число шагов. Для упрощения дальнейшего изложения предположим отсутствие предварительных деформаций в среде (в (3) и1 = 0). При отсутствии предварительных деформаций скорость продольной волны X (г) представима степенным рядом по к1. Записывая для нашей задачи уравнение движения в разрывах, на первом шаге метода получим:

8к2 _ Ак2к2 + Бк1С1 + Бк2,

с + ‘ + ‘ ’

1 Го +| 0(№ Го +| 0(№

о о

где А, В, Б - безразмерные коэффициенты, зависящие от упругих модулей среды и от искомой функции к1. Уравнения типа (5) обычно называются уравнениями затухания интенсивности разрыва. В отличие от плоской продольной волны здесь присутствует величина гх 1, определяющая изменение кривизны волнового фронта. Первое слагаемое содержит величину к2, поэтому непосредственно проинтегрировать (5) невозможно. Однако представив к1 и к2 рядами по 8-производным, можно свести (5) к алгебраическому соотношению, связывающему величины к1(0), к2(0), 8к1(0)/8t, если считать, что (5) имеет место при г = 0. Это позволяет исключить одну из неизвестных величин. Остальные находятся из краевого условия (4). Мы не будем здесь приводить выражение для поля перемещений в силу его громоздкости, отметим только, что решение может быть продолжено дальше с требуемой степенью точности в зависимости от краевых условий на г0. Лучевой метод также позволяет определить функциональную зависимость вида гх = гх(г) или гх = гх(г), связывающую г и г на переднем фронте волны. Сходную задачу можно поставить для расходящихся сферических продольных волн. Для них в (5) будет входить средняя кривизна поверхности, что приведет к более быстрому затуханию интенсивности, чем для цилиндрических волн. Рассматривая задачу со сходящейся ударной волной, приходим к такому же уравнению затухания, но

в нем кривизна волнового фронта быстро уменьшается со временем. Использование же (5) как соотношения на искомые функции при г = 0 уничтожает это различие. Таким образом, мы получаем одну из мотивировок для решения этой же задачи, но в итерационной форме, в которой все искомые функции и уравнения, их связывающие, рассматриваются не в представлении рядами в окрестности г = 0, а по отношению к предшествующему положению поверхности разрывов. Еще одной возможностью одновременной корректировки метода с уточнением его результатов и практического использования полученных формул может быть включение полученных формул для перемещений и волнового фронта в численные конечно-разностные схемы [6].

Наряду с приведенным примером были получены лучевые разложения для задачи об одномерной продольной сферической волне, для цилиндрической задачи антиплоского деформирования в нелинейно-упругой несжимаемой среде, для задачи о скручивающем воздействии на границе цилиндрической полости. Применение лучевого метода имело в них такие же основные характерные этапы и особенности, как и в приведенной задаче, что позволяет считать его хорошим алгоритмическим инструментом для решения задач ударного деформирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бабичева Л.А., Быковцев Г.И., Вервейко Н. Д. Лучевой метод решения динамических задач в упруго-вязкопластических средах // Прикл. математика и механика. 1973. Т. 37, № 1. С. 145-155.

2. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972. 183 с.

3. Буренин А.А. Об одной возможности построения приближенных решений нестационарных задач динамики упругих сред при ударных воздействиях // Дальневосточный мат. сб. 1999. Вып. 8. С. 49-72.

4. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.

5. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Геометрические и кинематические ограничения на разрывы функций на движущихся поверхностях // Дальневост. мат. журн. 2004. Т. 5, № 1. С. 100-109.

6. Зиновьев П.В., Рагозина В.Е., Буренин А.А. Выделение поверхностей разрывов лучевым методом в задачах динамики упругих сред // Фундаментальные и прикладные вопросы механики : сб. докл. междунар. науч. конф. Хабаровск: ХГТУ, 2003. С. 64-66.

7. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Моск. лицей, 1998. 412 с.