Численный расчет балок прямоугольного поперечного сечения на устойчивость плоской формы изгиба

:

Численный расчет балок прямоугольного поперечного сечения на устойчивость плоской формы изгиба

А. С. Чепурненко, В.В. Ульянская, Д.А. Высоковский, И.М. Зотов Донской государственный технический университет

Аннотация: Рассматривается задача устойчивости плоской формы изгиба деревянной балки постоянного прямоугольного сечения, нагруженной сосредоточенной силой в середине пролета. Приводится дифференциальное уравнение для случаев приложения силы не в центре тяжести сечения. Решение уравнения производится численно методом конечных разностей. Для случая приложения нагрузки в центре тяжести задача сводится к обобщенному вековому уравнению. В других случаях используется разработанный авторами итерационный алгоритм, реализованный в пакете МайаЬ. Получена зависимость между величиной критической силы и положением точки приложения нагрузки. Для указанной зависимости подобрана линейная аппроксимирующая функция. Выполнено сравнение результатов, полученных авторами, с аналитическим решением при помощи функций Бесселя.

Ключевые слова: устойчивость плоской формы изгиба, вековое уравнение, метод конечных разностей, итерационный процесс.

Оптимальными с точки зрения расхода материала являются балки с максимальным отношением высоты к ширине, откуда вытекает необходимость расчёта на устойчивость плоской формы изгиба [1-4].

Критические нагрузки в задачах устойчивости плоской формы изгиба балок прямоугольного сечения определяются из дифференциального

уравнения вида [5,6]:

с129 М2

+ -^9 = 0,

К йх2 Е1 ' К )

где G - модуль сдвига, 1К - момент инерции при кручении, 1г - осевой момент инерции Му - изгибающий момент, 9 - угол закручивания.

Уравнение (1) записано для случая приложения нагрузки в центре тяжести поперечного сечения. В настоящей статье будет рассмотрена деревянная шарнирно-опертая по концам балка, с сосредоточенной силой Г, приложенной в середине пролета (рисунок 1).

J

Рис. 1. - Расчетная схема В диссертации А.А. Карамышевой [7] приводится дифференциальное уравнение, в котором учитывается положение точки приложения нагрузки и переменная жесткость балки:

de d (gik ) de

Gl ^—т +----+

^^x dx

K J, ,2

dx

M

2 Л

qa +

EI

в = 0,

V г У

где а - расстояние от центра тяжести до места приложения нагрузки.

Так как рассматриваемая в данной статье балка имеет постоянное поперечное сечение по всей длине, то второе слагаемое в уравнении (2) обращается в нуль.

Изгибающий момент будет определяться по двум формулам, в зависимости от величины х:

„Fl Л 1

M = — x, при 0 < x < — . у 2 v 2

M = — у 2

Fl Л xA

1--

l

l

, при 2 < x < l

x

Введем безразмерную координату % = — и безразмерные величины

Л =

F Ч

214

GIKEI '

K z

а =

a EI

IVGL

Тогда выражения (3) примут вид:

Fl

My = — при 0<%<0,5, My = F(1 -%), при 0,5<%< 1,

:

Переход от сосредоточенной силы к равномерно распределенной нагрузке выполняется по формуле:

=Г=

4 = Ах " 1-1'

Уравнение (2) для узла, в котором приложена сосредоточенная сила представляется в виде:

й 9

где

й?

/ (1)=

9 = 0.

у, при 0 <1<0,5

(1-1)) 4

, при 0,5 <1< 1.

Для остальных точек балки разрешающее уравнение принимает вид:

й 9

+

Л/ (1)9 = 0.

Угол закручивания в начальной и конечной точках равен нулю, т.е. граничные условия имеют вид: 9( 0) = 0, 9(1) = 0.

Решение выполняется численно при помощи метода конечных разностей [8]. Отрезок 1е[0;1] разбивается на п шагов Д&. Разностная аппроксимация дифференциального уравнения (4) записывается следующим образом [9]:

9+, - 29 +9

г +1 г г-

1+^Л-1+Л/ (1 )9 = 0

Составив уравнение (6) для центрального узла сетки, а также аппроксимировав уравнение (5) для остальных внутренних узлов сетки, получим однородную систему линейных алгебраических уравнений:

а

\А]+^ла[с ]+Л }=о,

"-2 1 0 ... 0 " "0 ГГ0 0 0 0 0"

1 -2 1 ... 0 0 0 0 0

где Л = 1 0 1 -2 ... 0 , С = Г0 0 1 0 0

ГГ0 0 0 0 0

_ 0 0 0 1 -2 _ _0 0 0 0 0 _

Г / й) 0 .. 0 " в2 ]

Б = 0 №) •• 0 , X = <

0 0 .. • /

Уравнение (6) имеет ненулевое решение при определителе, равному нулю. Таким образом,

а

[Л] + Л-^[С ] + Х[Б ]

= 0

В случае приложения нагрузки в центре тяжести коэффициент а равен нулю, и уравнение (7) принимает вид обобщенного векового уравнения. Первая критическая нагрузка соответствует минимальному из собственных значений к. Критическая нагрузка вычисляется по следующей формуле:

р = (НКП1: = К^в1Кыг

к 12 12

При а = 0 коэффициент К равен 16.94, и ему соответствует собственное значение X = 286.96. При а ф 0 уравнение (8) не будет являться обобщенным вековым уравнением, поэтому для расчета был разработан итерационный процесс.

В первом приближении вместо уравнения (8) решается вековое уравнение, имеющее вид:

М + Х[Б] = 0,

а

где [Л ] =

[Л] + Д ^[С ]

X = 286.96.

В результате получим минимальное собственное значение Л1'. Во

где б - погрешность, выражаемая в процентах.

Представленный итерационный процесс был реализован в пакете МайаЬ. В итоге был получен график зависимости коэффициента К от положения точки приложения силы (а) (рисунок 2). Данный график показывает, что в случае приложения силы над центром тяжести ее критическая величина снижается, а если нагрузка приложена под центром тяжести, то ее критическая величина возрастает.

втором приближении в матрицу [ А1 ] вместо \ подставляем = Итерационный процесс будет остановлен при условии:

•100% <£,

24 —

V"

а

10

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 О 0 05 0.1 0.15 02

Рис. 2. - График зависимости К

J

В нормах проектирования деревянных конструкций (СП 64.13330.2017. Деревянные конструкции) положение точки приложения силы не

К

учитывается. Нами предлагается ввести поправочный коэффициент Кп = —,

П К0

где величина К0 = 16,94 соответствует приложению нагрузки в центре

тяжести. В программе Microsoft Excel для зависимости Кп (а) была

подобрана линейная аппроксимирующая функция, имеющая вид:

Кп = 1 - 1.831а.

Соответствующая формуле (11) кривая К (а) представлена на рис. 2

штриховой линией.

Произведено сравнение результатов, полученных нами при помощи итерационного алгоритма, с аналитическим решением А.С. Вольмира [10] на основе функций Бесселя (табл. 1).

Таблица №1

Над центром тяжести

а 0 0,03 0,143 0,293 0,544

К (Авторы) 16,94 15,9857 12,7765 9,6056 6,3512

К(Вольмир) 16,94 16,0 12,8 9,6 6,4

Под центром тяжести

а 0 -0,069 -0,166 -0,271 -0,396 -0,562 -0,815

К (авторы) 16,94 19,2151 22,3576 25,5395 28,7354 31,9455 35,1239

К(Вольмир) 16,94 19,2 22,4 25,6 28,8 32,0 35,2

Совпадение результатов свидетельствует об их достоверности.

Литература

1. Карамышева А.А., Языев Б.М., Чепурненко А.С., Языева С.Б. Оптимизация геометрических параметров двухскатной балки прямоугольного сечения // Инженерный вестник Дона. 2015. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_55_karamysheva.pdf_9eaad3038e.pdf

2. Карамышева А. А., Языев Б.М., Чепурненко А. С., Языева С.Б. Оптимизация формы ступенчато-призматической балки при изгибе // Инженерный вестник Дона. 2015. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_54_karamysheva.pdf_dff7f7bf1a.pdf

3. Timoshenko S.P., Gere J.M. Theory of elastic stability, McGraw-Hill, New York, 1961, second edition, 541 p.

4. Karamysheva A.A., Yazyev S.B., Avakov A.A. Calculation of plane bending stability of beams with stiffness. ICIE, 2016, pp. 1872-1877.

5. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967, 984 с.

6. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. Л., М.: Гостехиздат, 1946, 535 с.

7. Карамышева, А. А. Совершенствование расчета на устойчивость плоской формы изгиба деревянных балок переменного сечения и их оптимизация: дис. ... канд. техн. Ростов-на-Дону, 2016, 124 с.

8. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977, 154 с.

9. Sorin Micu, Ionel Roven^a, Lauren^iu Emanuel Temereanca. Approximation of the controls for the linear beam equation. Springer-Verlag London, 2016. URL: researchgate.net/publication/294736245_Approximation_of_the_controls_for_t he_linear_beam_equation

10.Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, 879 с.

References

1. Karamysheva A.A., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S., Yazyeva S.B. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2015. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_55_karamysheva.pdf_9eaad3038e.pdf

2. Karamysheva A.A., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S., Yazyeva S.B. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2015. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_54_karamysheva.pdf_dff7f7bf1a.pdf

3. Timoshenko S.P., Gere J.M. Theory of elastic stability, McGraw-Hill, New York, 1961, second edition, 541 p.

4. Karamysheva A.A., Yazyev S.B., Avakov A.A. Calculation of plane bending stability of beams with stiffness. ICIE, 2016, pp. 1872-1877.

5. Vol'mir A. S. Ustoychivost' deformiruemykh system [Stability of deformable systems]. Moskow: Nauka, 1967, 984 p.

6. Timoshenko S.P. Ustoychivost' uprugikh system [Stability of elastic systems]. L., Moskow: Gostekhizdat, 1946, 535 p.

7. Karamysheva, A. A. Sovershenstvovanie rascheta na ustoychivost' ploskoy formy izgiba derevyannykh balok peremennogo secheniya i ikh optimizatsiya: dis. ... kand. tekhn. [Improvement of the stability of the flat form of the bending of the beam of variable cross-section beams calculation and their optimization]. Rostov-na-Donu, 2016, 124 p.

8. Varvak P.M., Varvak L.P. Metod setok v zadachakh rascheta stroitel'nykh konstruktsiy [The method of grids in the problems of calculating building structures]. Moskow: Stroyizdat, 1977, 154 p.

9. Sorin Micu, Ionel Roven^a, Lauren^iu Emanuel Temereanca. Approximation of the controls for the linear beam equation. Springer-Verlag London, 2016. URL: researchgate.net/publication/294736245_Approximation_of_the_controls_for_the_ linear_beam_equation

10. Vol'mir A.S. Ustoychivost' uprugikh system [Stability of elastic systems]. Moskow: Gosudarstvennoe izdatel'stvo fiziko-matematicheskoy literatury, 1963, 879 p.