К исследованию устойчивости дисковых пил при неравномерном нагреве

№ 1 2004

539.3:621.9

К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ дисковых пил ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ НАГРЕВЕ

Канд. физ. -мат. наук, доц. А.Ю. КАРПАЧЕВ

Рассмотрена постановка задачи на собственные значения в исследованиях критических значений температур, соответствующих потере устойчивости круглых пил при их неравномерном нагреве. Приведены основные соотношения, позволяющие получать решение для случаев симметричного распределения температурных полей. Разобран пример оценки допустимого уровня значений температур при заранее выбранном характере неравномерного нагрева вдоль радиуса пилы от ее центра к периферии.

Examined the statement of a problem on its eigenvalues provided at critical temperatures indexes corresponding to loss of stability of round saws in conditions with irregular heat of these saws. The fundamental relations are reduced, allowing gaining the solution for cases of a symmetrical temperature distribution patterns. The instance of estimation in allowance of temperatures meanings is developed at beforehand selected character of irregular heat along the radius of a saw, from its center to periphery.

При распиловке древесины пилами в виде круглых пластин возможен их неравномерный нагрев. Возникающие сжимающие напряжения могут достигать значений, при которых происходит потеря устойчивости режущего инструмента, в результате которой он приобретает, как правило, тарельчатую форму, что, в свою очередь, приводит к появлению бракованной продукции. Поэтому исследование допустимого уровня и распределения температурного поля в кольцевых пластинах представляет важную проблему для обеспечения качественной работы дереворежущего инструмента.

Анализ поведения пластин — один из хорошо разработанных разделов механики деформируемых систем. Эта физическая модель широко используется при описании и расчетах процессов, происходящих с реальными объектами. Большое значение для дальнейшего развития теории пластин имеет разработка прикладных численных методов расчета и создание условий для их реализации. В частности, это касается задач на собственные значения, связанных с устойчивостью пластин.

Ниже предлагается инженерный метод расчета критических температур при неравномерном нагреве круглых пластин на основе предложенных линеаризованных уравнений.

Постановка задачи. Особенность постановки задачи потери устойчивости кольцевой пластины вследствие неравномерного температурного нагрева заключается в предварительном исследовании напряженно-деформированного состояния (НДС) и выявлении зон преобладания сжимающих напряжений.

Формулировка задачи на собственные значения состоит в определении критических значений уровня температур исследуемого поля. Решение ее может быть найдено с использованием результатов расчета соответствующим образом сформулированной краевой задачи на основе линеаризованных уравнений, описывающих поперечные перемещения круглых пластин.

Причем в процессе линеаризации известных нелинейных уравнений за основное напряженное состояние следует принимать НДС, возникающее вследствие неравномерного температурного нагрева. При этом считаем, что пластина сохраняет идеально плоскую форму, а механические ее характеристики не зависят от температуры. Таким обра-

№ 1 2004

зом? постановка задачи содержит две части. Первая заключается в определении НДС пластины при заданном поле распределения температур. Вторая — в построении математического аппарата расчета критических значений температур.

Основные соотношения для построения решения. Рассмотрим модель в виде кольцевой пластины, имеющей внешний радиус с, внутренний а и толщину к .

Пластину считаем неравномерно нагретой вдоль радиуса. По толщине температуру предполагаем постоянной. НДС пластины (до потери устойчивости) считаем двухосным и симметричным, а напряжения — равномерными по толщине. Для определения НДС можно воспользоваться основными соотношениями теории пластин. Так, в частности, с учетом температурного фактора воздействия основное дифференциальное уравнение растяжения пластины в перемещениях имеет вид [1]

где и — перемещение точек пластины в радиальном направлении, Т — температура, \1 — коэффициент Пуассона, а — коэффициент линейного расширения материала.

Подставив решение уравнения (1) в известное выражение для радиального напряжения аг, получим

°r

у У J

где Е — модуль Юнга, сх, с2 — константы, определяемые из граничных условий. Соотношение (2) позволяет найти основное напряженное состояние пластины при заранее выбранном распределении поля температур и заданных граничных условиях.

Для решения задачи на собственные значения необходимо обратиться к линеаризованным уравнениям изгиба пластин. Воспользовавшись нелинейными уравнениями теории изгиба круглых пластин [1, 2] и проведя их линеаризацию, нетрудно получить соотношения для решения второй части поставленной задачи. В безразмерной форме они примут вид

(1Ъ О - <М (л чМ Л ГгОа /оч

С¿Г Г (¿Г г 4 ' г

где r = = = л = 12

с h Е h Е h 4 7

В (3), (4) в обозначает поворот нормали к срединной поверхности пластины при ее изгибе, М я N — соответственно радиальный изгибающий момент и интенсивность радиального усилия.

Индекс «О» отвечает параметру основного напряженного состояния, а тильдой отмечены безразмерные функции, переменные по радиусу.

Для определения критических значений температур можно задаться неравномерным распределением температурного поля в виде функции Т =ХТ(г), в которой X — некоторый параметр. Выбрав значение этого параметра для заданных граничных условий, используя соотношение (2), необходимо определить предварительное напряженное состояние пластины. Дальнейший расчет строится с использованием уравнений (3). После задания условий на границах для решения сформулированной краевой задачи можно воспользоваться одним из численных методов. Вполне достоверные результаты расчета дает метод начальных параметров. В процессе его использования строится система линейных

№1

2004

алгебраических уравнений, обеспечивающих удовлетворение граничным условиям в конце интервала интегрирования. Значение X, обращающее в ноль определитель, составленный из коэффициентов системы, стоящих при параметрах, принятых за начальные, соответствует критическому распределению поля температур. Аналогичная последовательность расчета задачи на собственные значения рассматривалась в [3].

Результаты численных расчетов. Допустим, что закон распределения температур вдоль радиуса пластины имеет вид

Т = -сое [2я(с - г)! (с -а)]}.

Тогда для граничных условий стг (а) = аг (с) = 0 поле напряжений, представленных через интенсивность радиальных сил, примет форму

X

2г

2тГ

81П

где р = 2п(1-г)/(1-ку к = а/с,Х

аг\с2Х

Закрепление пластины примем таким, что = О, М (с) = 0. Задаваясь значениями параметра А,, используя рассмотренный алгоритм решения, можно найти к, которое соответствует потере устойчивости. Для определения истинных значений поля температур достаточно воспользоваться соотношениями (5) и (7).

По результатам численного расчета, который проводился для случая |Ы = 0,3, получена кривая (рис. 1), описывающая зависимость критической температуры Л от параметра внутреннего радиуса пластины к .

90

60-

зо-

0 0,1 0,2 0,3 к

Рис. 1

Предложенный подход позволил определить один из опасных видов неравномерного распределения поля температур, а найденные собственные значения могут быть полезны для практики оценок допустимых рабочих характеристик исследуемых объектов, в качестве которых рассмотрены дисковые режущие инструменты, используемые в дерево-и металлообработке.

№ 1

2004

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ДемьянушкоИ. В.,БиргерИ. А. Расчет на прочность вращающихся дисков. — М.: Машиностроение, 1978, —247 с.

2. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. — М.: Машиностроение,1976. — 278 с.

3. К а р п а ч е в А. Ю. Проблема собственных значений в прогрессивных технологиях проектирования режущих полотен // Наукоемкие технологии. — 2001. — № 3. — Т. 2. — С. 52—57.

539.3

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ И ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрена непрерывность зависимости решения вариационной задачи от функции, входящей в рассматриваемый функционал. Критерий этой непрерывности получен в виде условия существования только тривиального решения у вспомогательной вариационной задачи для квадратичного функционала. На основе вариационной задачи рассмотрен продольно-поперечный изгиб упругой пластины. В пространстве параметров, характеризующих внешние нагрузки, найдена граница области, в пределах которой рассматриваемое решение вариационной задачи имеет физический смысл.

The research examines continuity of a variational problem solution of a function that is the part of a functional. The criterion of continuity is obtained, as a condition in which exists one trivial solution to the supplementary problem for a quadratic functional. Basing on a variational problem the transverse-longitudinal bending of an elastic plate has been examined. The domain boundary, in which breaking points the solution to the examined functional problem has physical sense, was found in space of parameters describing external loads.

1. Пусть поведение исследуемого объекта описывается решением следующей вариационной задачи:

функция /(х,у) характеризует рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него. Граничные условия

Канд. физ. -мат. наук, ст. преп. Н.В. МИНАЕВА

где

Fi Ш> Рп> Р12' Рг\> — Рпп) = 00'= 2,т; т < 2п),

где Pki =— U х Ск., 1 = 1,2, ...,п; i = 1,2, т;т<п); уе Г,Г — граница области О.

Э*+/-2.

и

(х,у)еГ

Пусть при /(х, у) =/0(х, у) задача (1) — (3) допускает решение

и(х> У) - uq(x> У)-