Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в системе

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, Д. Б. Флакс

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОТКРЫТОЙ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЕ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системы. Проведена подробная математическая формализация модели и вычислены вероятностные характеристик систем массового обслуживания этого типа.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

The mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time of the application in the system is presented. A detailed mathematical formalization of the model is held; the probabilistic characteristics of queuing system of this type are calculated.

1. В настоящее время значительный интерес представляет также исследование таких систем массового обслуживания, для которых общее время пребывания одной заявки в системе в целом (как в очереди, так и под обслуживанием) ограничено некоторым случайным временем ^ со средним значением ^ . С такого рода системами массового обслуживания приходится иметь дело достаточно часто. Например, при противовоздушной обороне воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы (зоны действия обслуживающего устройства) лишь некоторое ограниченное время и покидает её независимо от того, была ли она обслужена (то есть, кончился обстрел или нет). Другим примером таких систем являются приборы (например, счётчика элементарных частиц), область действия которых ограничено некоторой зоной действия, вне которой прибор не работает. При этом каждое требование, проходящее через эту зону, может быть обслужено прибором, если он не занят, но за пределами зоны обслуживания прибор уже лишён возможности обслуживать требования. В данной работе предложен вариант комплексного описания систем массового обслуживания с ограниченным средним временем ожидания заявок в системе на основе того математического аппарата, который был ранее представлен и развит авторами в работе [1]. Напомним, что в этой работе была подробно изучена одноканальная система массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем ожидания заявок в очереди. Математической основой при этом является введение в рассмотрение функции Миттаг-Леффлера первого порядка Е1 (г; д) [2, 3], определяемой формулой

E

(z; и)=Х

.к

к = 0

Г

где Г - гамма-функция, позволяющей значительно упростить большинство промежуточных расчётов. Полученная на этой основе единая, внутренне связанная, система сравнительно компактных формул позволила адекватно описать все основные характе-

ристики стационарных режимов такого рода одно-канальной СМО - вероятность простоя системы р0, коэффициента загрузки т и среднюю длину очереди I, а также вычислить соответствующие этим характеристикам временные величины. Для изучения многоканальной системы массового обслуживания такого типа, однако, использованный в работе [1] математический аппарат следует скорректировать с учётом тех задач, которые ставит перед исследователем изучение системы массового обслуживания с числом каналов большим, чем единица.

2. Предположим, что мы имеем многоканальную СМО с однородным бесконечным простейшим потоком заявок и очередью неограниченной длины. Пусть интенсивность потока заявок равна X , а интенсивность обслуживания, то есть среднее число заявок, которые обслуживает прибор в единицу времени, есть д. Поток обслуживания тоже будем считать простейшим (с интенсивностью

д).

Предположим далее, что общее время пребывания одной заявки в системе ограничено теперь некоторым случайным временем ^ со средним значением ^ . Тем самым, на каждую заявку, находящуюся в системе, действует поток уходов с интенсивностью

1

V = — .

Г

Ясно, что если этот поток носит простейший характер, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдём для него вероятности стационарных состояний. Если в системе находится S заявок, то при этом суммарная интенсивность уходов заявок из системы равна 5 V, и тогда граф состояний

такого рода системы массового обслуживания имеет вид, изображённый на рис. 1:

Как видно из графа, перед нами классическая схема процесса гибели и размножения. Применив общие выражения (например, [4, 5]) для вероятностей предельных (стационарных) состояний в этой схеме, получим

Рис. 1

>

>

+

>

+ +

>

+

>

+

>

+

>

+

X X2

р\ =—ро; Р2 =——у) Ц+у 2 (ц+у)2

X3 xm Рз =—-:гР0 — Рт =—;-Г— Ро;

3!(ц + у)3

Рт+1 =

—!(ц + у)—

1 —+1 х Ро

т!(ц + у)т [т(ц + у)+у ]

будет марковским. Найдём для него вероятности стационарных состояний. Если в системе находится £ заявок, то при этом суммарная интенсивность будет марковским. Найдём для него вероятности стационарных состояний. Если в системе находится £ заявок, то при этом суммарная интенсивность

Рт + 2 = \т + 2

=_Х Р0_.

т!(ц + у)т [т(ц + у)+у ][т(ц + у)+2у ]

Рт+3 = ^т+З

=_Х Р0_

— (+у)— [ т((+у)+у] [ т(+у) + 2у ] [ т(+у) +3 у ]

Введём далее обозначение ц = ц + у , тогда, очевидно, имеем

X

X

2

X

3

Р1 = ~ ро; Р2 ро; Р3 ро

\1

2ц

= Xm

Рт =—г Р0;

3!ц

рт +1 =

X

т +1

т!~т

Р0.

р т + 2 ="

X

т + 2

т!~т

Р0.

рт + 3 =

л — + 3 X Ро

т!цт

или

~2 ~3

~ Р Р

Р1=р ро; Р2 =— ро; Р3 =-3- ро;

~ т ~ т +1

_Р Р

рт =—Тр0; рт+1 = ^-

т! т^т + Р ]

Р0.

-т + 2

рт+2 =

т!

ро;

-т+3

рт+3 =

т!

Р0 .

где

р X Р= ~ =

X

Р

ц ц + у 1+ Р

р=р=

у

р X

р -. При этом р = — - приве-

Ц ц + у 1+ Р Ц

дённая интенсивность потока заявок в систему, а Р У ••

Р = — - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из системы. Напомним, что параметры р и Р показывают соответственно, сколько в среднем заявок поступает в систему и покидает её необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки. В общем виде, очевидно,

имеем следующие формулы для рк :

Р к

Р ,

Рк =ТТР0 при к<т; к!

Рк =

Рк [

т!(т + р)(т + 2~)---[т + (к-т)р ] при к > т.

Р0

Запись формул (1) для Рк можно упростить следующим образом. Разделим числитель и знамена-

рк -т гг

тель второго из этих соотношений на Р . Тогда получим

Р к Р

Рк =Т7Ро при к<т; к!

Рк =•

а

к-т

т! (т/Р +

- ро при к > т.

к-т

В этом соотношении

(а)к = а (а + 1)(а + 2) ... (а + к -1); (а)0 = 1 -

символ Похгаммера [например, 6], при этом

()к = к !. Величина а = р /Р=^У, очевидно,

показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. В этом случае из условия нормировки имеем

Р0 = 1е

т-1(р)+]

т!

1+-

а

т/ Р +1

+

а

а

02 '

-1

рт

т

1+

а

а2

(Р+^1 (1+1)2 (Р+1)3

-1

~ т

ет-1 (р5)+-тг Е

а

к = 0

(т/р + 1)к

-1

В этом соотношении

2 рт

"т

(р)=1 +£ + ^ +... +

1! 2! т!

- неполная экспоненциальная функция (неполная экспонента). При этом во (р) = 1, а при т < 0 полагаем ет (р) = 0. Ясно, что вт (р)^вР при т ^ да.

Рассмотрим более внимательно сумму в формуле (1). Ясно, что в отличие от соответствующего соотношения классической модели М/М/т, в котором сумма бесконечного числа слагаемых в знаменателе этой формулы сводились к сумме бесконечной геометрической прогрессии, в формуле (1) содержится сумма $ бесконечного ряда, не являющегося такого рода прогрессией. Поэтому будем действовать следующим образом.

Введём в рассмотрение вырожденную гипергеометрическую функцию Куммера

1 Fl(a.; Ь; г), определяемую формулой [7]

ю (а) к

1 ^ 1 (а.Ь. г )=ХЦтГ-

к = 0

в этом случае, очевидно, имеем

$ =

ЕЕ

к = 0

а

1^1

поскольку (1)к = к !. Отсюда получаем более компактную формулу для вероятности полного простоя системы ро :

Р0 =

"т -

Р т ( р \ 1 (р^ 1 (1; т/р +1; а) т!

-1

.

3

и

т

т

Последнее выражение, в свою очередь, можно еще больше упростить следующим образом. Замечая, что per definitio

(«)к =

Г( + к) Г(а) '

где Г - гамма-функция, перепишем выражение для вырожденной гипергеометрической функции как

1F1

(*г >=Щ X

V / _ п

r

к = 0

а интересующую нас сумму как

Г( + к) к!

S =

iFi(1;£ + 1;z)=Г( +1)^ Г(

к = 0 ^

+1 + к )

,

поскольку Г(( +1) = к!. Далее для упрощения последнего выражения используем следующую цепочку формул:

X

Ь — Л

X ^^=1X

» zk

Г

к=0 ^ ' к=1 ^ ' к=1 '

X

к

к=0

Таким образом, получаем

Г

S = 1^1(1; £ + 1; z)=

Г(+1

» zk

X

к=0

Г

откуда с учетом известного рекуррентного соотношения для гамма-функции [7, 8] Г( +1)=Г(<£) следует

S = 1F1 (1; £ +1; z )=

<jj

г(£)Е

а

к = 0

Г

-1

X — -1

(£)к

или

S = 1*1(1;£ + 1;z)=£[[;£; z)-1]

- рекуррентная

формула для 1 F1(1;£; z ).

В данном случае, очевидно, имеем £ = т/Р , г = а = р/р, в этом случае £/2 = т/¡5 и тогда, применяя формулу (5) к соотношению (3), получаем следующую компактную формулу для вероятности полного простоя системы р0 :

Р0 =

т-1

г\ / \

-т-2

(т -1)!

-1

(напомним, что ео(р) = 1 и ет (р) = 0 для всех т < 0). Для одноканальной СМО (т=1) последнее выражение имеет особенно простой вид

1

Р0 =

1F1 (1; 1 ß; а) ^ Легко также показать, что при ß ^ 0

lim 1F1 (1; 1/ß; а) 1

ß^0 1-р

и тогда в пределе ß ^ 0, который соответствует случаю классической СМО (по классификации Кен-далла - модель М/М/1) формула (6) переходит в известное соотношение Po = 1 _ Р классической

модели.

Литература

1. М.И. Бусарев, А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Вестник Казан. технол. ун-та, 5, 22, С. 155-161 (2011).

2. М.М. Джрбашян Интегральные преобразования и представления функций. М., Наука, 1966. 672 с.

3. А.А. Гольдберг, И.В. Островский. Распределение значений мероморфных функций. М., Наука, 1970. 591 с.

4. Е.С.Вентцель, Исследование операций. М., Советское радио, 1972. 552 с.

5. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.

7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., Наука, 1985. 800 с.

8. М. Абрамовиц, И. Стиган (ред.), Справочник по специальным функциям. Наука, Москва, 1977. 832 с.

к

z

1

1

z

© А.П. Кирпичников - д-р ф.-м. наук, проф., зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru; Д. Б. Флакс - ст. препод. каф. сбора и обработки информации КНИТУ, flaxdm@gmail.com.

© А.Р. Kirpichnikov - Dr. Sci, Prof, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, kirpichnikov@kstu.ru; D. B. Flax - Senior Lecturer of the Department of Automated Data Acquisition & Processing Systems, KNRTU, flaxdm@gmail.com.