Теоремы типа Штурма для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ

2005р.

Вип.№15

УДК 517.9+513.8

Рофе-Бекетов Ф.С. , Холькин А.М.

ТЕОРЕМЫ ТИПА ШТУРМА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Исследуется связь между спектральными и осцилляционными свойствами дифференциальных уравнений произвольного порядка с ограниченными операторными коэффициентами на конечном и бесконечном интервалах. Приводится топологическая трактовка осцилляционных теорем Штурма и сопоставляется с операторным подходом.

Осцилляционная теория Штурма и различные ее обобщения для обыкновенных дифференциальных уравнений и их конечных систем в связи со спектральной теорией рассмотрены в монографиях Ф. Аткинсона; И.М. Глазмана; А.И. Гольденвейзера, В.Б. Лидского, П.Е. Товстика; Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца; А.Г. Костюченко и И.С. Саргсяна; Б.М. Левитана и И.С. Саргсяна; Л.А. Пастура и АЛ. Фиготина; В.А. Якубовича и В.М. Старжинского, где содержится обширная библиография по этому вопросу.

Для дифференциальных уравнений произвольного четного порядка с операторными коэффициентами на конечном и бесконечном интервалах обобщение осцилляционной теоремы Штурма, теорем сравнения и перемежаемости получено в работах [1]-[3]. Интересную топологическую трактовку теорем Штурма и их связь с симплектической геометрией рассматривал В.И.Арнольд [4].

Цель настоящей работы показать, как обобщается осцилляционная теорема Штурма для дифференциальных уравнений произвольного четного порядка с операторнозначными коэффициентами на конечном и бесконечном интервалах. Важным частным случаем этого результата оказывается теорема Морса об индексе. Для дифференциальных уравнений четного порядка в пространстве вектор-функций приводится обобщение теорем сравнения и перемежаемости. Показывается, как теоремы Арнольда, доказанные для конечных систем второго порядка, обобщаются на случай уравнений произвольного четного порядка с операторнозначными коэффициентами. Получено обобщение и уточнение теорем Арнольда о неколеблемости, о нулях и о перемежаемости. Приводится осцилляционная теорема типа Штурма в случае краевых условий общего вида.

Пусть Н сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением ( • , • ) и нормой | • |, dim Н < со. Обозначим Н {а,в) = L2 { Н; (а, в); W (x)dx } гильбертово пространство вектор-функций у(х) со значениями в Н, скалярным произведением

и соответствующей нормой || • ||, где (х) = \¥*(х) » 0 - ограниченный оператор в Н с положительной нижней гранью при каждом х е (а, в), зависимость от х непрерывна в равномерном смысле.

Рассмотрим самосопряженное дифференциальное уравнение четного порядка г = 2п с операторными коэффициентами из В

в

а

г

/|>1 = Z 1«\}\ = Ш(х)у.

к=0

ФТИНТ НАНУ, д-р физ.-мат. наук, проф. ПГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент

где

12J = D'p, (x)D'. p/(x) = Pj(x), 12j_i = '/2 DM {Dqj(x) + q>)D} DM. D=d/dx,

операторные коэффициенты рДх), су(х) непрерывно в равномерном смысле зависят от х вместе со своими производными до порядка j включительно, коэффициент при старшей производной рп(х) в уравнении (1) является позитивным при х е {а, в), включая а ив, если они конечны.

Обозначим L замкнутый минимальный дифференциальный оператор в Н (а, в), порожденный дифференциальным выражением

/w[y]=W1

Некоторое линейное условие

иа[у] = о,

где \]а - линейное отображение из Н{а, с), а < с < в, в гильбертово пространство На, назовем граничным условием в точке а, если любые две вектор-функции, совпадающие в какой-нибудь окрестности точки а, удовлетворяют или не удовлетворяют этому условию одновременно.

Назовем минимальным относительно конца оператором L . отвечающим (2), (3), замыкание оператора, порожденного в Н(а , Е,), а < Е, < в, выражением (2) и условием (3) на гладких, равных нулю в окрестности точки функциях.

Граничное условие Ua [у] = 0 назовем самосопряженным в точке а, если оператор Le является симметрическим и функции у е D(LV; ) удовлетворяют этому условию. Тогда L при любом Е,е(а, в) является симметрическим.

Аналогично определяется самосопряженное условие в точке в:

U, [у] = 0

Всюду ниже предполагаем, что для минимального оператора L в Н(а, Р) существуют самосопряженные распадающиеся граничные условия на любом интервале (а, Р) с (а, в).

Пусть минимальный дифференциальный оператор L является полуограниченным снизу. В этом случае существуют самосопряженные расширения с распадающимися граничными условиями, например, расширения по Фридрихсу. На конечном интервале операторы четного порядка всегда имеют распадающиеся самосопряженные граничные условия, без предположения полуограниченности ([5]), однако, на полуоси (0, со) оператор четного порядка может не иметь самосопряженных распадающихся граничных условий при dim Н < со.

Для уравнений четного порядка с ограниченными коэффициентами на конечном интервале (а, в) самосопряженные распадающиеся граничные условия имеют вид (см. [5]):

Щу]= cos А • yv

Щу]= cos В • у

-71/21« А, В <71/21 (7) А, В - самосопряженные операторы в Hn = Н© Н Ф...ФН ,

Ул(х) = col { у(х), у'(х), ... , у(п-1}(х) }, у» = col { у[2п"1], у[2п"2], ..., у[п](х) }.

у'к - квазипроизводные, отвечающие операции /[у] (1) и определенные в соответствии с [5].

Определение 1. Фундаментальным решением (ф.р.) задачи (1), (3) называем такое решение уравнения (1) Y(x.A) е В(Н, Н), где Н - какое-либо гильбертово пространство, что:

1) Vh е НД е (а. в) у = Y (х, A)h е Н(а,^) и удовлетворяет краевому условию (3);

2) любое решение у е Н(а,^) задачи (1), (3) представимо в виде у(х, А,) = Y(x, A)h:

3) при некотором, а потому и при любом, х самосопряженный оператор

г-1

MY(x, Ц:= (к)\х, Ц  Y(K)(x, Ц » О,

к=О

т.е. позитивен и имеет ограниченный обратный во всем Н (обычно бывает удобным полагать Н= Нп).

Условия 2), 3) определения 1 означают полноту и линейную независимость определяемой по фундаментальному решению Y(x, X) системы решений задачи (1), (3).

Если а > - со, то фундаментальное решение Y(x, X) задачи (1), (5) можно построить, как решение уравнения (1) с операторными данными Коши

YA

Определение 2. Решение Y(x, А)е В(Н. H) уравнения (1) при X е M называем самосогласованным, если при ^е (а, в) существует самосопряженное краевое условие

U^[y] := cosA^yv

которому при х=£, удовлетворяют все функции вида у(х, A,)— Y(x, Л)Ь (А^д - самосопряженный оператор в Нп).

Если Y(x, X) фундаментальное решение задачи (1), (3), то (9) эквивалентно краевому условию для вектор-функций

А,) • yv

порождаемому в каждой из точек Е, е (а, в) операторными коэффициентами YA (2,. X), Yv (2,. X), которые непрерывно зависят от Е,. Поэтому эрмитово отношение (9) эволюционирует непрерывно по 2,. или, иначе говоря, являющееся его графиком лагранжево (бесконечномерное комплексное) подпространство в Н©Н ("лагранжева плоскость"), эволюционирует непрерывно (в метрике подпространств).

Обозначим N(Á) - количество собственных значений Xk < Я оператора L, порожденного задачей (1), (3), (4), каждое из которых считается столько раз, какова его кратность, обозначаемая аг(/1к) (в случае регулярных концов а или в самосопряженные краевые условия в них имеют вид (5), (6)). Если Л не является собственным значением рассматриваемой задачи, то полагаем гс(А) = 0. Величины N(À), аг(/1), À/: для расширения по Фридрихсу l!h

оператора Ьь обозначаем через NF (Я), а/(А). Л[ соответственно (при Ъ < оо Ьрь =1?ь, где I"h -оператор, отвечающий задаче (1), (3), у'{Ь) = 0, поэтому наряду с индексом ^используется индекс 0).

Теорема 1

N

xG

где р = Def {/)

N

хе

(при регулярном конце Ъ < со р = rnk cos В. где В - из условия (6), Def Lb =п - dim//) Если выполнено условие Хе(Щ ) > Хе(lfb ) при t, е (а,Ь), в частности, если конец а > —оо регулярен, то (11) верно и при Я = Яе(Ь), р<°о. (Суммирование производится по тем значениям xe(a,b), где nul F (х, Нижняя оценка в (11), (12) может достигаться при условии ее

неотрицательности).

Следствие 1. При условиях теоремы 1 при г = 2, а > - со пусть rg cos А в (5) конечен, а сужение L'b оператора Lb дополнительным условием у (а) = 0 неотрицательно. Тогда

£nulY

хе

Отсюда при dim H < со получается эрмитово обобщение и уточнение теоремы о неколеблемости [4], которая формулируется так.

Теорема 2 (о неколеблемости [4]). Если потенциальная энергия неположительна, то число моментов вертикальности не превосходит числа степеней свободы п.

Действительно, так как rg cos А < dim H и так как "моменты вертикальности лагранжевой плоскости" в терминологии [4], эволюционирующей в силу уравнения (1) при X = 0 из начального положения (5), совпадают с точками х, где nul Y(x, 0) > 0, и их кратности совпадают с величинами nulY(x, 0). Отметим при этом, что если уравнение (1) задано на всей оси х, а решение Y(x, 0) определено данными Коши (8) при х = а, то формула вида (13) с А(а) вместо А справедлива для любой полуоси (а, со), если краевое условие (5) задавать в точке "а" с оператором А (а) = А *(а) , подбираемым так, чтобы оно удовлетворялось решением Y(x, 0) (это всегда возможно). Поэтому число "моментов вертикальности" на оси с учетом их кратностей для любой лагранжевой плоскости, эволюционирующей в силу уравнения (1), не превосходит dim H.

Операции I [у] (1) четного порядка г = 2п сопоставим форму )']- интеграл

Дирихле по интервалу А :

& 3=0 2 j=о

dx

Теорема 3 (Г2-31). Пусть —х, < а <Ь < х,, У] (х). У2(х) фундаментальные решения задач

вида (1), (5): /'''[К ] = 0. к = 1,2 с А = Ак в (5) соответственно, операторы полуограничены снизу и

1П^е(42)0)>°, Фк{рс) = 1, г = 2п, 1?1Ь)[у,у^Лу>у} для равных нулю в окрестности точки Ъ вектор-функций. Тогда, если

гпк {угу; - г:У} } а=т< оо

или, что эквивалентно Гпк^тД • СОзД — СОзД • 8И1Д1 = УП < оо, то при любом

£ пи\¥;

х<=(а,/3] х<=(а,/3]

Последнее из условий (14) обеспечено, в частности, если при ] = 0Д?... ? П

рУ\х)<>р™{х), ^

Если

/

, то суммировать в (15) можно по хе[а,/?]с: {а,Щ. Если dimif <оо, то суммировать в (15) можно по х е [а, /?] и при условии (16), если заменить тна п- ёпп Н :

£ пиИ^

хЕ[а,/3] хЕ[а,/3]

Следствие 2. Если

/

, то при любом [а,/?] с: (аг,6]

£

и если ^ пи1}, (х) > 171 + \ • то отрезок \а. ¡3 \ содержит, по крайней мере, одну точку, где

хе[а,р]

пи1 72а (х) > 1 •

В частности, при dim Н < оо имеем т <п- ёпп Н и поэтому из теоремы 3 вытекают теоремы сравнения и перемежаемости Хайнца-Реллиха. Установленная теорема о перемежаемости является некоторым усилением известных обобщений теоремы Штурма о перемежаемости в конечномерном случае. Из этой теоремы вытекает близкая к формулировке В.И.Арнольда [4] теорема сравнения, а следствие 2 содержит теорему о нулях [4] в уточненном и обобщенном виде.

Приведем здесь теорему о нулях из [4]. Пусть H - вещественно, dim H < со, г=2, к = 0. матрицы pi(x) и ро(х) в (1) вещественны и симметричны, pi(x) положительно определена при всех х е [а, в], - со < а < в < со. Лагранжева плоскость в H © H называется вертикальной, если она содержит ненулевой вектор {у, z} с у = 0. Лагранжева плоскость, эволюционирующая в силу уравнения (1) при названных условиях задается, в силу (10), уравнением

Y*

при некотором А = А* в (8), а моменты ее вертикальности - это те х е (а, в), при которых det Y(x, 0) = 0. (Очевидно, моменты вертикальности в [4] подразумеваются с учетом их геометрической кратности).

Теорема 4 (о нулях [4]). На отрезке, содержащем 1 + dim H момент вертикальности одной лагранжевой плоскости, всякая другая лагранжева плоскость (19) (то есть отвечающая в силу (19) решению Yi(x, 0) вместо Y(x, 0) с Ai вместо А в (8)) хоть раз становится вертикальной. Более того, разность между числами моментов вертикальности для любых двух эволюционирующих в одной системе лагранжевых плоскостей на любом отрезке оси х-времени не превосходит dim H.

Рассмотрим теперь теорему сравнения из [4]. Там рассматриваются гамильтоновы системы с 2m х 2т - матрицами Hi(t) и H2(t), причем обе матрицы при каждом t положительно определены на фиксированной лагранжевой плоскости а. Соответствующие системы имеют вид:

где j=l, 2, векторы и и и принадлежат одному и тому же пространству Н, dim H = m, матрица j =

^^m ^m ^

число моментов нетрансверсальности к а лагранжевой плоскости, эволюционирующей под действием уравнения (19) при соответствующем j=l, 2.

Теорема 5 (сравнения [4]). Если H,(t) > H2(t), то N(H,) > N(H2)-m.

Близкая к этой теореме разновидность теоремы сравнения вытекает из нашей теоремы 3, относящейся к уравнению четного порядка г в бесконечномерном пространстве Н, как частный случай при dim Н<со и г=2.

Приведем обобщение осцилляционной теоремы типа Штурма для бесконечной системы (1) дифференциальных уравнений второго порядка (г = 2) с краевыми условиями (5), (6).

Пусть Y(x, X) - ф.р. задачи (1), (5) с начальными данными Y (а, X) = cos А,

Y[1] (а, А,) = sin А, А = А*е В(Н), у[1](х) = pi(x)y' - — c]i(x)y - квазипроизводная. Обозначим

2

Y[x, X; В]: = cos В • Y[1] (х, X) + sin В • Y(x, X).

Теорема 6 (Г61). При Х<Хе(< со) для уравнения второго порядка (1) с краевыми условиями (5),

Y, nulY[x,l,B\ = N(iy

«м

если

Н22 [х, Я; 5] := cos В  |-/>0 (х) + ЯЖ(х) + (х)p~l {x)qx (х)| cos В -

--^-sin¿> • />1_1

и, если, кроме условия (7), полуограничен снизу оператор ha, самосопряженный в замыкании своей области определения D(ha), где

ha := -

Известно, что уравнение (1) сводится к системе первого порядка вида (20). Тогда, если применить наши обозначения, то теорема Арнольда о перемежаемости сформулируется следующим образом.

Теорема 7 (о перемежаемости [4]). Если функция Гамильтона H(t) положительно определена на лагранжевых плоскостях а. и р. то число v моментов нетрансверсальности эволюционирующей по закону (20) лагранжевой плоскости с одной и другой из них различаются на любом отрезке не более, чем число степеней свободы:

Следствие [4]. На отрезке, содержащем 1+ dim Н моментов нетрансверсальности к а, найдется момент нетрансверсальности к р.

Пусть Л есть симметричный оператор с индексом дефекта (р, р), представляющий собой наибольшую общую часть двух самосопряженных операторов, отвечающих задачам (1), (5), (6) с В и, соответственно, с Bi в (6). Тогда (см. [3]) р: = Def Л = rnk {sin Brcos В - cos Brsin В}, что вместе с теоремой 6 приводит к следующему обобщению теоремы Арнольда о перемежаемости.

Теорема 8 (|6|). При перечисленных выше условиях, включая условия (21) для В и В, и (22) для пар А. В и A. Bi

Следствие 3. На отрезке, содержащем 1+Def Л точек, где nul Y [х, X, В] > 0, найдется точка, где nul Y [t, X, Bi] > 0.

1. Рофе-Бекетов Ф.С. О связи между спектральными и осцилляционными свойствами матричной задачи Штурма-Лиувилля / Ф.С. Рофе-Бекетов, A.M. ХолькинИ Матем. сб. - 1977. -102, № 3. - С. 410-424.

2. Рофе-Бекетов Ф.С. Связь спектральных и осцилляционных свойств систем произвольного порядка / Ф.С. Рофе-Бекетов, A.M. Холькин // ДАН СССР. - 1981. - 261, № 3. - С. 551-555.

3. Рофе-Бекетов Ф.С. Спектральный анализ дифференциальных операторов. / Ф.С. Рофе-Бекетов, A.M. Холькин //Связь спектральных и осцилляционных свойств. - Мариуполь. - 2001. - 332 с.

4. Арнольд В.И. Теоремы Штурма и симплектическая геометрия / В.И. Арнольд // Функц. анализ и его прилож. - 1985. - 19, № 4. - С. 1 - 10.

5. Рофе-Бекетов Ф.С. О самосопряженных расширениях дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / Ф.С. Рофе-Бекетов // Теория функций, функц. анализ и их приложения. - 1969. - Вып. 8. - С. 3-24.

6. Рофе-Бекетов Ф.С. Теоретико-операторное доказательство теоремы Арнольда о перемежаемости и ее обобщение / Ф.С. Рофе-Бекетов II Матем., физика, анализ, геом. - 2005. - 12, № 1.-С. 119-125.

nulY[x,À,B]~ £ nulY[x,X,Bx] <

< Def Л = rnk\$,m.Bl - cos В - cos Bl • sin В} < dim H < OO.

Перечень ссылок

Статья поступила 14.04.2005